INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO

Matematicas Basicas

Grupo de docentes de Matematicas Basicas

1. Trigonometrıa

1.1. Angulos y sus medidas

Definicion 1.1 .

1. Un angulo es la figura que se forma con dos rayos o semirrectas, que tienen un extremo comun

llamado vertice. A un rayo lo llamaremos lado inicial del angulo, y al otro, lado terminal. Es util

imaginar al angulo como formado por una rotacion, desde el lado inicial hasta el lado terminal.

El angulo se puede poner en un plano cartesiano con su vertice en el origen y su lado inicial que

coincida con el eje positivo de las x. En ese caso se dice que el angulo esta en su posicion normal o

estandar.

Medicion en grados

Existen distintos sistemas de medicion de angulos (de manera analoga a la que existen distintos sistemas

para medir, por ejemplo, distancias: millas, kilometros, pies, etc.). Los sistemas que veremos en este curso

seran el sistema sexagesimal, y el sistema circular.

La medicion de un angulo en el sistema sexagesimal se basa en la asignacion de 360 grados (se escribe

360◦) al angulo formado por una rotacion completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj,

como se indica en la FIGURA 8.1.2. Entonces, otros angulos se miden en funcion de un angulo de 360◦,

y un angulo de 1◦ es el que se forma por 1360 de una rotacion completa. Si la rotacion es contraria a la de

las manecillas del reloj, la medida sera positiva; si es en el sentido de las manecillas del reloj, la medida

sera negativa.

Por ejemplo, en los angulos de las figuras a) y b) se obtienen el primero con un cuarto de rotacion

completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y es 14 (360◦) = 90◦; y el segundo angulo es

1

formado por tres cuartos de rotacion completa en sentido de las manecillas del reloj. Este angulo mide:

34 (−360◦) = −270◦

Observacion Cuando estemos trabajando en estas unidades la calculadora debe estar en la funcion deg

(degree, que quiere decir grado en ingles).

El otro sistema a considerar es el Sistema circular, en este sistema una vuelta completa equivale

a 2π radianes. Esto se denota: 2π o 2π rad. En general en este sistema no se escribe la unidad, es decir

que un angulo de 2π radianes se expresa como 2π. Los radianes se escriben como un numero real, las

fracciones de radianes no tienen una notacion particular.

Observacion Cuando estemos trabajando en estas unidades la calculadora debe estar en la funcion rad

(radianes). Un radian se define como el angulo para el cual la longitud de arco, L, de una circunferencia

es igual al radio, r, de la misma.

Ejemplo 1.2 Algunos angulos expresados en radianes son:

2

Como la circunferencia de un cırculo unitario es 2π, una rotacion completa mide 2π radianes, y

tambien 360◦. Por consiguiente, 360◦ = 2π radianes, o 180◦ = π radianes. Si la igualdad anterior se

interpreta como 180(1◦) = π(1) radian, entonces se obtienen las dos formulas para convertir entre grados

y radianes.

Ejemplo 1.3 Conversion entre radianes y grados

1. 30◦ a radianes 2.7π

5radianes a grados 3. 3 radianes a grados

solucion:

1. 30◦ = 30( π

180

)radianes =

π

6

2.7π

5radianes =

7π

5

(180

π

)◦

= 252◦

3. 3 radianes = 3

(180

π

)◦

= 171, 89◦

Definicion 1.4 Dos angulo son coterminales si tienen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal.

Ejemplo 1.5 Algunos angulos coterminales son:

3

1.2. Trigonometrıa del triangulo rectangulo

La palabra trigonometrıa (del griego trigonon, triangulo, y metron, medida) se refiere a la medicion

de triangulos.

Un triangulo rectangulo es aquel que tiene un angulo recto (90◦) como uno de sus angulos interiores.

En este caso, los lados que forman el angulo recto se llaman catetos, y el tercer lado es la hipotenusa (h).

Si uno toma un angulo interior, que no sea el angulo recto, entonces el cateto que forma dicho angulo

sera el cateto adyacente (ca), mientras que el otro sera el cateto opuesto (co).

Se definen las funciones trigonometricas, como las razones entre los lados de un triangulo rectangulo.

Consideremos un triangulo rectangulo con un angulo agudo α, se definen

Definicion 1.6 1. la funcion seno de α (senα), es el cateto opuesto sobre la hipotenusa

senα =co

h

2. la funcion coseno de α (cosα), es el cateto adyacente sobre la hipotenusa

cosα =ca

h

3. la funcion tangente de α (tanα), es el cateto opuesto sobre el cateto adyacente

tanα =co

ca

4. la funcion cosecante de α (cscα), es la hipotenusa sobre el cateto opuesto

cscα =h

co

5. la funcion secante de α (secα), es la hipotenusa sobre el cateto adyacente

secα =h

ca

6. la funcion cotangente de α (cotα), es el cateto adyacente sobre el cateto opuesto

cotα =ca

co

observacion: Si dos triangulos rectangulos cualesquiera tienen un angulo agudo θ congruente, los triangu-

los son semejantes, es decir los lados son proporcionales, ası, cualquiera que sea el tamano del triangulo;

las razones trigonometricas correspondientes son iguales, dependen solo del angulo θ

4

En otras palabras, obtenemos el mismo valor de senθ independientemente del triangulo rectangulo

que utilicemos para calcularlo. Se puede decir lo mismo de las restantes cinco funciones trigonometricas.

Esto significa que el valor de las funciones trigonometricas dependen del angulo y no del tamano del

triangulo.

Observaciones:

1. Recordar el teorema de Pitagoras: en todo triangulo rectangulo, la suma de los cuadrados de los

catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

2. La siguiente terminologıa es frecuentes en los ejercicios de trigonometrıa:

Suponga que un observador en el punto X ve un objeto. El angulo que la linea de vista forma con

la horizontal l se denomina angulo de elevacion del objeto si el objeto esta sobre la linea horizontal.

En cambio, Si el objeto esta debajo de la linea horizontal l, se dira angulo de depresion del objeto.

Ejemplo 1.7 Calcular el valor de las demas funciones trigonometricas si sec θ = 135 Solucion: Como

sec θ = hca = 13

5 por el Teorema de Pitagoras (co)2 + (ca)2 = h2, reemplazando los valores y despejando

co, se tiene co = 12, volviendo a las definiciones se tiene:

1. senθ =12

13

2. cos θ =5

13

3. tan θ =12

5

4. csc θ =13

12

5. sec θ =13

5

6. cot θ =5

12

Ejemplo 1.8 Una torre de agua esta situada a 325 pies de un edificio (vea la figura). Desde una ventana

del edificio, un observador ve que el angulo de elevacion a la parte superior de la torre es 39◦ y que el

angulo de depresion de la parte inferior de la torre es 25◦ . ¿Cual es la altura de la torre? ¿Cual es la

altura de la ventana?

5

Solucion: Para calcular la altura vamos a dividir la torre en dos partes, la primera desde el piso

hasta la horizontal, en la cual tenemos un angulo de deprecion y la segunda desde la horizontal hasta la

parte superior de la torre, en la cual se tiene un angulo de elevacion.

La altura total es h = y1 + y2 donde tan 25◦ =y1

325y tan 39◦ =

y2325

; ası

h = 325(tan 25◦ + tan 39◦)

1.3. Funciones trigonometricas de angulos generales

Hasta el momento solo hemos definido las funciones trigonometricas de los angulos agudos. Sin em-

bargo, muchas aplicaciones de trigonometrıa incluyen angulos que no son agudos. En consecuencia, es

necesario ampliar la definicion de las seis funciones trigonometricas a todos los angulos generales. Como es

natural, necesitamos que la definicion ampliada coincida con la definicion anterior siempre que el angulo

sea agudo. Para lograrlo, procedemos de la siguiente manera.

Sea θ un angulo en posicion estandar y sea P (x, y) un punto cualquiera, excepto (0, 0) en el lado

terminal de θ. Si r =√x2 + y2 es la distancia entre (0, 0) y P (x, y), entonces x , y y r representan la

longitud de los lados de un triangulo rectangulo. Como y = co, x = ca y r = h,

y se definen las funciones trigonometricas como:

1. senθ =y

r

2. cos θ =x

r

3. tan θ =y

x

4. csc θ =r

y

5. sec θ =r

x

6. cot θ =x

y

Siempre que ningun denominador sea 0.

En el sistema de ejes cartesianos, el plano xy se divide en 4 cuadrantes: el primer cuadrante corresponde

al semiplano en el cual x e y son positivos; en el segundo cuadrante x < 0 e y > 0; en el tercer cuadrante

x e y son negativos, y en el cuarto cuadrante x > 0 e y < 0. Estos cuadrantes se denotan con numeros

romanos. Con este criterio y teniendo en cuenta que los angulos positivos se miden desde el eje positivo

6

de las abscisas y en sentido antihorario tendremos que un angulo pertenece al primer cuadrante si esta

entre 0 y π/2, pertenece al segundo cuadrante si esta entre π/2 y π, pertenece al tercer cuadrante si esta

entre π y (3/2)π; y pertenece al cuarto cuadrante si esta entre (3/2)π y 2π.

Ejemplo 1.9 Si cos θ =−2

5con θ en el II cuadrante, determinar el valor de las demas funciones

trigonometricas

Solucion: Como cos θ = cah = −2

5 por el Teorema de Pitagoras (co)2 + (ca)2 = h2, reemplazando los

valores y despejando co, se tiene co =√

21, ademas como el angulo esta en el II cuadrante, se tiene que

las funciones seno y cosecante son positivas y las demas son negativas, de las definiciones se tiene:

1. senθ =

√21

5

2. cos θ =−2

5

3. tan θ =

√21

−2=−√

21

2

4. csc θ =5√21

=5√

21

21

5. sec θ =5

−2=−5

2

6. cot θ =−2√

21=−2√

21

21

1.4. Identidades trigonometricas

Una identidad trigonometrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigo-

nometricas y es valida para todos los valores del angulo en los que estan definidas las funciones.

Notacion: se define sen2 θ como (sen θ)2. Lo mismo se aplica a las demas funciones trigonometricas.

De las definiciones de las relaciones trigonometricas se siguen las siguientes identidades:

Identidades recıprocas

a) csc θ =1

sen θb) sec θ =

1

cos θc) cot θ =

1

tan θ

Identidades por cocientes

a) tan θ =sen θ

cos θb) cot θ =

cos θ

sen θ

Demostracion:

a)sen θ

cos θ=y/r

x/r=y

x= tan θ

7

b) similar que a)

Identidades Pitagoricas

a) sen2 θ + cos2 θ = 1 b) tan2 θ + 1 = sec2 θ c) 1 + cot2 θ = csc2 θ

Demostracion:

a) sen2 θ + cos2 θ =(yr

)2+(xr

)2=y2 + x2

r2=r2

r2= 1

b) y c) similares que a)

Observacion: Las 2 opciones mas comunes para demostrar una identidad son:

a) Transformar uno de los lados de la identidad en el otro, en general, se comienza con el mas complejo.

b) Se opera a ambos lados de la identidad hasta llegar a que ambos den la misma expresion.

En resumen se tienen las siguientes:

Ejemplo 1.10 Demostrar las siguientes identidades:

1.tanx− cotx

senx− cosx≡ secx+ cscx

Vamos a transformar el lado izquierdo en el derecho

tanx− cotx

senx− cosx≡ secx+ cscx

senx

cosx− cosx

senxsenx− cosx

≡

sen2 x− cos2 x

cosx senxsenx− cosx

≡

(senx+ cosx)(senx− cosx)

cosx senx(senx− cosx)≡

senx+ cosx

cosx senx≡

senx

cosx senx+

cosx

cosx senx≡

1

cosx+

1

senx≡

secx+ cscx ≡ secx+ cscx

8

2. sec2 x(2 sen2 x+ cos2 x

)≡ sec4 x− tan4 x

Vamos a operar a ambos lados de la identidad

sec2 x(2 sen2 x+ cos2 x

)≡ sec4 x− tan4 x

sec2 x(sen2 x+ sen2 x+ cos2 x

)≡

(sec2 x+ tan2 x

) (sec2 x− tan2 x

)sec2 x

(sen2 x+ 1

)≡

(sec2 x+ tan2 x

)1

1

cos2 x

(sen2 x+ 1

)≡ 1

cos2 x+

sen2 x

cos2 x1

cos2 x

(sen2 x+ 1

)≡ 1

cos2 x

(1 + sen2 x

)

1.5. Ecuaciones trigonometricas

Una ecuacion que contiene funciones trigonometricas se denomina ecuacion trigonometrica. Por

ejemplo, las siguientes son ecuaciones trigonometricas:

sen2 θ + cos2 θ = 1 tan θ − 1 = 0 2 cos θ = −4

La primera ecuacion es una identidad, es decir, es verdadera para todo valor de la variable α. La

segunda ecuacion es verdadera solo para ciertos valores de α, mientras que la tercera no tiene solucion.

Para resolver una ecuacion trigonometrica, encontramos todos los valores de la variable que hagan ver-

dadera la ecuacion.

Observacion: Al resolver ecuaciones trigonometricas se buscar llevarlas a la formaT (α) = c, donde T

es una funcion trigonometrica y c es una constante.

Ejemplo 1.11 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones trigonometricas para valores del angulo

entre 0◦ y 360◦

1. 2 cos2 x =√

2 cosx Solucion:

2 cos2 x =√

2 cosx

2 cos2 x−√

2 cosx = 0

cosx(

2 cosx−√

2)

= 0

Se tienen 2 opciones:

a) cosx = 0 de donde x = 90◦ y x = 270◦

b) 2 cosx−√

2 = 0, de donde cosx =

√2

2en este caso se tienen x = 45◦ y x = 335◦

2. 3 senα = 2 cos2 α

9

Solucion:

3 senα = 2 cos2 α

3 senα = 2(1− sen2 α

)2 sen2 α+ 3 senα− 2 = 0

senα =−3±

√32 − 4(2)(−2)

2(2)

senα =−3± 5

4

Se tienen 2 opciones:

a) senα =−3− 5

4= −2 lo cual no tiene solucion

b) senα =−3 + 5

4=

1

2, en este caso se tiene 2 soluciones α = 30◦ y α = 150◦

1.6. Funciones trigonometricas de suma y resta de angulos

Estas expresiones las vamos a demostrar graficamente.

para la suma Tomemos dos triangulos. El primero sera un triangulo cuya hipotenusa es igual a

uno, sus catetos son a y b, y α es el angulo formado por b y la hipotenusa. El segundo tiene a b como

hipotenusa, sus catetos son e y f y β es el angulo formado por b y f .

De la figura anterior se tiene

1) senα = a 2) cosα = b 3) senβ =e

b=c

a 4) cosβ =f

b=d

a

Despejando c, d, e y f de las ecuaciones 3) y 4) se tiene

c = asenβ d = a cosβ e = bsenβ f = cosβ

y reemplazando 1) y 2) en estas ecuaciones se tiene

10

c = senαsenβ d = senα cosβ e = cosαsenβ f = cosα cosβ

De otro lado, de la figura tambien se tiene que

sen(α+ β) = d+ e

cos(α+ β) = f − c

Reemplazando los valores anteriores se tiene

sen(α+ β) = d+ e = senα cosβ + cosαsenβ

cos(α+ β) = f − c = cosα cosβ − senαsenβ

Y se obtienen las formulas para la suma de angulos para las funciones seno y coseno

Para Obtener la formula para tan(α+ β) procedemos como sigue:

tan(α+ β) =sen(α+ β)

cos(α+ β)=senα cosβ + cosαsenβ

cosα cosβ − senαsenβ

y dividiendo el numerador y el denominador por cosα cosβ se tiene

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

para la resta El procedimiento es analogo al hecho para la suma, de los triangulos de la figura se

tiene:

De la figura anterior se tiene

1) senβ = a 2) cosβ = b 3) senα =e

b=c

a 4) cosα =f

b=d

a

Despejando c, d, e y f de las ecuaciones 3) y 4) se tiene

c = asenβ d = a cosβ e = bsenβ f = cosβ

y reemplazando 1) y 2) en estas ecuaciones se tiene

11

c = senβsenα d = senβ cosα e = cosβsenα f = cosβ cosα

De otro lado, de la figura tambien se tiene que

sen(α− β) = d+ e

cos(α− β) = f − c

Reemplazando los valores anteriores se tiene

sen(α− β) = e− d = cosβsenα− senβ cosα

cos(α− β) = f + c = cosβ cosα+ senβsenα

Y se obtienen las formulas para la suma de angulos para las funciones seno y coseno

Para Obtener la formula para tan(α− β) procedemos como sigue:

tan(α− β) =sen(α− β)

cos(α− β)=

cosβsenα− senβ cosα

cosβ cosα+ senβsen

y dividiendo el numerador y el denominador por cosα cosβ se tiene

tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

1.7. Angulos dobles y angulos medios

Como un caso particular cuando α = β se tienen las formulas de angulos dobles

sen(2α) = 2senα cosα

cos(2α) = cos2 α− sen2α

De otro lado:

cosα = cos(α

2+α

2

)= cos2

(α2

)− sen2

(α2

)Pero por identidad anterior (sen2α+ cos2 α = 1) de donde sen2

α

2= 1− cos2

α

2Reemplazando se tiene

cosα = cos2(α

2

)− 1 + cos2

(α2

)y despejando

cos2(α

2

)=

1 + cosα

2

o

cos(α

2

)= ±

√1 + cosα

2

El signo depende del cuadrante en el cual se encuentre el anguloα

2

12

De igual forma se tiene

cosα = cos(α

2+α

2

)= cos2

(α2

)− sen2

(α2

)pero cos2

α

2= 1− sen2α

2Reemplazando se tiene

cosα = 1− sen2(α

2

)− sen2

(α2

)y despejando

sen2(α

2

)=

1− cosα

2

o

sen(α

2

)= ±

√1− cosα

2

El signo depende del cuadrante en el cual se encuentre el anguloα

2.

1.8. Ley de los senos y ley de los cosenos

Una aplicacion de la trigonometrıa es la resolucion de triangulos. Esto consiste en determinar los lados

y/o los angulos interiores a un triangulo conociendo algunos datos del mismo. Para ello vamos a utilizar

dos leyes (formulas) conocidas como ley de senos y ley de cosenos estas leyes se aplican a triangulos

generales, no necesariamente rectangulos.

Para expresar estas leyes con mas facilidad, utilizaremos la convencion de nombrar los angulos de un

triangulo con las letras A,B,C correspondientes a los vertices y a las longitudes de los lados opuestos co-

rrespondientes con a, b, c. Observacion: Recordar que en todo triangulo la suma de los angulos interiores

es 180◦, ası A+ B + C = 180◦

Ley de los senos En el triangulo de la figura anterior se cumple que:

senA

a=senB

b=senC

c

Observacion: 1) La ley de senos es aplicable cuando en el triangulo se conocen dos de los angulos (y

por ende el tercero) y un lado o cuando se conocen 2 lados y un angulo que no sea el formado por ellos.

2) En el primer caso siempre hay solucion unica, pero en el segundo se hay que tener cuidado ya que se

puede presentar ambiguedad, ya que puede no tener solucion, tener una o dos soluciones dependiendo del

13

problema.

Ley de los cosenos En el triangulo de la figura anterior se cumple que:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

Observacion: La ley de los cosenos es aplicable cuando en el triangulo se conocen los tres lados del

triangulo o cuando se conocen 2 lados y el angulo que formado por ellos.

Ejemplo 1.12 1. Dos vehıculos pasan al mismo tiempo junto a un edificio, en sentidos contrarios,

cuando la distancia entre ellos es de 100 metros, notan que los angulos de elevacion desde su posicion

hasta la cima del edificio son de 30◦ y 50◦. Determinar la altura (H) del edificio. Solucion: Al

trazar la figura se tiene

Ahora por suma de angulos se tiene que el angulo C mide 100◦, ahora aplicando ley de senos se

tiene quesen30◦

a=sen50◦

b=sen100◦

100

De la ultima igualdad se tiene que b =100sen50◦

sen100◦.

Por ultimo tenemos que sen30◦ =H

b, despejando H y reemplazando se tiene

H = bsen30◦ =100sen50◦sen30◦

sen100◦= 38, 89

2. Tres amigos se situan en un campo de futbol. Entre Alberto y Bernardo hay 16 metros, y entre

Bernardo y Camilo, 20 metros. El angulo formado en la esquina de Bernardo es de 50◦. Calcula la

distancia entre Alberto y Camilo. Solucion: Como nos estan dando 2 lados y el angulo formado

por ellos, debemos usar ley de cosenos, ası si A es Alberto, B es Bernardo y C es Camilo, se tiene

que

b2 = 202 + 162 − 2(20)(16) cos(50◦) = 450, 31

luego b = 21, 22 metros es la distancia entre Alberto y Camilo.

14

3. Dados los lados a = 3, b = 10 y el angulo B = 80◦ determinar, si es posible, el triangulo que se

forma. Solucion: Aplicando ley de senos se tiene que:

senA

10=sen80◦

3=senC

c

de la primera igualdad se tiene senA =10sen80◦

3= 3, 28 ecuacion que no tiene solucion, es decir,

dicho triangulo no existe, este es uno de los casos de los triangulos ambiguos mencionados en la

teorıa.

4. Reto: Investigar sobre la ley de tangentes, ¿que es?, ¿cuando se aplica?

Bibliografıa

Las notas anteriores junto con las graficas fueron tomadas de los siguientes textos:

1. Algebra, trigonometrıa y geometrıa analıtica; 3ra edicion; Zill Dennis, Dewar Jacqueline; 2012.

2. Precalculo, matematicas para el calculo; 5ta edicion; Stewart James, Redlin Lothar, Watson Saleem;

2007.

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