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Trigonometrıa: Funciones Trigonometricasde Angulos Estandarizados

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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ObjetivosAngulos EstandarizadosFunciones Trigonometricas de Angulos EstandarizadosAngulo de ReferenciaIdentidades Trigonometricas Fundamentales

Tabla de Contenido



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Objetivos:

Discutiremos:

angulos normalizados o en posicion estandar

funciones trigonometricas de angulos estandarizados

angulo de referencia

identidades trigonometricas fundamentales


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Objetivos:

Discutiremos:






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Objetivos:

Discutiremos:






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Objetivos:

Discutiremos:






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Angulos Estandarizados

Definicion de Angulo en Posicion Estandar

Definicion: Un angulo esta en posicion estandar o normalsi su vertice coincide con el origen del plano cartesiano y sulado inicial coincide con la parte positiva del eje−X.

Nota: El lado final del angulo puede caer en cualquiercuadrante o en cualquier eje de coordenadas.


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Figura: Angulos positivos en posicion estandar o normal


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Figura: Angulos negativos en posicion estandar o normal


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Funciones Trigonometricas de AngulosEstandarizados

Figura: r =√x2 + y2


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Funciones Trigonometricas

Funciones Trigonometricas de Angulos Estandarizados

Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar y sea P (x, y)un punto en el lado terminal de θ (distinto de O(0, 0)). Sear =

√x2 + y2 la distancia del punto P (x, y) al origen del

sistema cartesiano. Entonces, si esta definida

sen(θ) = yr csc(θ) = r

y

cos(θ) = xr sec(θ) = r

x

tan(θ) = yx cot(θ) = x

y

Nota: Los valores de las funciones trigonometricas de unangulo θ no dependen del punto particular que se escoja paracalcularlas; dependen unicamente de la medida del angulo θ.


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Funciones Trigonometricas de Angulos Estandarizados

Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar y sea P (x, y)un punto en el lado terminal de θ (distinto de O(0, 0)). Sear =

√x2 + y2 la distancia del punto P (x, y) al origen del

sistema cartesiano. Entonces, si esta definida

sen(θ) = yr csc(θ) = r

y

cos(θ) = xr sec(θ) = r

x

tan(θ) = yx cot(θ) = x

y

Nota: Los valores de las funciones trigonometricas de unangulo θ no dependen del punto particular que se escoja paracalcularlas; dependen unicamente de la medida del angulo θ.


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Figura: Relacion entre las razones trigonometricas y las funcionestrigonometricas de angulos estandarizados


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Figura: Signos de los valores de las funciones trigonometricas


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Figura: θ = −270◦ en forma estandar


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Figura: θ = 3π en forma estandar


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Figura: θ = 315◦ en forma estandar


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Ejercicios: Determine el valor de las seis funcionestrigonometricas de θ si:

1 la medida de θ es 32π radianes.

2 el lado final de θ cae sobre la lınea y = −x.

3 tan(θ) = 512 y el lado final de θ cae en el cuadrante III.

4 cos(θ) = −45


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Definicion: Un angulo estandar es cuadrantal si su lado finalcae encima de uno de los ejes de coordenadas.

Angulo de Referencia

Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar nocuadrantal. Entonces el angulo de referencia de θ es elangulo agudo formado por el lado final de θ y el eje−X.


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Definicion: Un angulo estandar es cuadrantal si su lado finalcae encima de uno de los ejes de coordenadas.

Angulo de Referencia

Definicion: Sea θ un angulo en posicion estandar nocuadrantal. Entonces el angulo de referencia de θ es elangulo agudo formado por el lado final de θ y el eje−X.


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Figura: Angulo de Referencia

Nota: El valor de una funcion trigonometrica de un anguloestandarizado θ es el mismo, excepto posiblemente por el signo,que del valor de esa misma funcion trigonometrica de su angulode referencia.


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Figura: θ′

= 45◦ es el angulo de referencia de θ = 315◦


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Ejemplo: Sea θ = 928◦.

Determine un angulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminalcon θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de lasfunciones trigonometricas.)

Determine el angulo de referencia de θ.



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Determine un angulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminalcon θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de lasfunciones trigonometricas.)Determine el angulo de referencia de θ.



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Determine un angulo entre 0◦ y 360◦ que sea coterminalcon θ. (Por lo tanto tienen los mismos valores de lasfunciones trigonometricas.)Determine el angulo de referencia de θ.



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Ejercicio: Para cada caso, determine el angulo de referenciadel angulo θ, si θ es igual a:

1 −30◦

2 230◦

3 34π

4 −79π

5 640◦

6 2518π

7 −510◦

8 −56π

9 70◦

10 1918π


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Ejercicio: Exprese cada caso en terminos de su angulo dereferencia. Ejemplo: cos(150◦) = − cos(30◦)

1 sen(100◦)

2 tan(−23π)

3 tan(200◦)

4 sen(23π)

5 csc(74π)

6 sen(−300◦)

7 cot(−113 π)

8 sec(264◦)


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Ejercicio: Sin usar la calculadora, determine el valor exacto desen(θ), cos(θ) y tan(θ) haciendo uso del angulo de referencia deθ, si θ es igual a:(Ejemplo: cos(150◦) = − cos(30◦) = −1

2)

1 750◦

2 103 π

3 −405◦

4 −254 π

5 −840◦

6 43π


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Identidades Trigonometricas Fundamentales

Sea θ un angulo estandarizado cualquiera con medida en gradoso en radianes. Si ambos lados de la ecuacion estan definidos,entonces:

Identidades recıprocassen(θ) = 1

csc(θ) cos(θ) = 1sec(θ) tan(θ) = 1

cot(θ)

csc(θ) = 1sen(θ) sec(θ) = 1

cos(θ) cot(θ) = 1tan(θ)

Identidades cocientetan(θ) = sen(θ)

cos(θ) cot(θ) = cos(θ)sen(θ)


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cot(θ)






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cot(θ)






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Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)

Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)

Identidades Par/Imparsen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ) tan(−θ) = − tan(θ)csc(θ) = − csc(θ) sec(−θ) = sec(θ) cot(−θ) = − cot(θ)

Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.


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Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)

Identidades pitagoricassen2(θ) + cos2(θ) = 1 1 + tan2(θ) = sec2(θ)cot2(θ) + 1 = csc2(θ)

Identidades Par/Imparsen(−θ) = − sen(θ) cos(−θ) = cos(θ) tan(−θ) = − tan(θ)csc(θ) = − csc(θ) sec(−θ) = sec(θ) cot(−θ) = − cot(θ)

Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.


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Figura: Reflexion del angulo θ con respecto al eje−X


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Ejercicio: Sea θ un angulo tal que cot(θ) = − 815 y sen(θ) < 0.

Use identidades trigonometricas fundamentales para determinar:

1 sen(θ)

2 cos(θ)

3 tan(θ).


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Ejercicio: Use identidades trigonometricas fundamentales paratransformar el lado izquierdo de la ecuacion en el lado derecho.

1 sen2(θ) − cos2(θ) = 2 sen2(θ) − 1

2sen(θ)cos(θ) + cos(θ)

sen(θ) = csc(θ) sec(θ)

3 cot(−θ) × cos(−θ) + sen(−θ) = − csc(θ)


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