Capıtulo 3

Triangulos

Luego de las rectas y los angulos, las figuras mas sencillas en el plano sonlos triangulos, que pasamos a estudiar a continuacion.

A B

C

M

N

a

c

b

fig. 1

Sean A, B y C tres puntos no coli-neales en el plano, a la recta determi-nada por los puntos B y C, b deter-minada por C y A y c por A y B. A lainterseccion de los semiplanos aA, bBy cC lo llamaremos el triangulo deter-minado por los puntos A, B y C y lodenotarmos con4ABC. A los puntosque determinan el triangulo los llama-remos vertices del triangulo. A los

segmentos determinados por pares de vertices los llamaremos los lados deltriangulo. A los angulos ^cAb, ^aBc y ^bCa, los llamaremos angulos in-ternos del triangulo, mientras que a los adyacentes a estos los llamaremosangulos externos del triangulo. Ası los angulos ^MAC, ^NCA son externos.

3.1. Criterios de igualdad de triangulos

Si dos triangulos 4ABC y 4A′B′C ′ son congruentes, esto es, si existeun movimiento que transforma los vertices del 4ABC en 4A′B′C ′ entonces,en este movimiento seran congruentes los lados y los angulos homologos, demodo que

AB = A′B′, AC = A′C ′, BC = B′C ′,

27

28 CAPITULO 3. TRIANGULOS

^A = ^A′, ^B = ^B′, ^C = ^C ′.

No hace falta verificar todas las congruencias anteriores para verificar quedos triangulos son congruentes.

Criterio 1

Si dos triangulos tienen respectivamente iguales dos lados y el angulo queforman, son congruentes

A B

C

'A

'B

'C

fig. 2

Supongamos, por ejemplo que,AB = A′B′ AC = A′C ′ y ^A = ^A′.El movimiento que lleva AB sobreA′B′ y el semiplano que contiene a Csobre el semiplano que contiene a C ′,transformara tambien el angulo ^Aen su congruente ^A′ y el segmen-to AC en su congruente A′C ′, con loque los tres vertices ABC se habrantransformado en A′B′C ′.

Criterio 2

Si dos triangulos tienen, respectivamente, iguales un lado y los dos anguloscontiguos (AB = A′B′, ^A = ^A′.^B = ^B′), son congruentes.

Basta llevar AB sobre A′B′ y el semiplano que contiene a C sobre el semiplanoque contiene a C ′.

3.2. Triangulo isosceles y sus propiedades

Diremos que un triangulo es isosceles si tiene dos lados iguales. Al tercerlado lo llamaremos base. En la figura 3, el triangulo isosceles ABC tiene loslados CA y CB iguales y desigual la base AB.

3.3. EQUIDISTANCIA ENTRE PUNTOS Y LUGAR GEOMETRICO 29

A B

C

fig. 3

La simetrıa respecto de la bisec-triz del angulo ^C, transforma elsegmento CA en CB, transforman-do el segmento AB en si mismo y eltriangulo ABC en si mismo. Diremosque esta bisectriz es eje de simetrıadel triangulo. Se deduce que la bisec-triz del angulo opuesto a la base deun triangulo isosceles es mediatriz dedicha base. Los angulos en la base de

un triangulos isosceles son iguales. Recıprocamente: Si dos angulos ^A y ^Bde un triangulo ABC son iguales, los lados opuestos a aquellos son tambieniguales. En efecto, la mediatriz del lado AB sera eje de simetrıa de la figura.

3.2.1. Triangulo equilatero

fig. 4

Llamaremos triangulo equilateroa todo aquel que tenga sus tres la-dos iguales. De las propiedades deltriangulo isosceles resultaLos tres angulos de un trianguloequilatero son iguales.

Recıprocamente Si los tres angu-los de un triangulo son iguales enton-ces es equilatero.

3.3. Equidistancia entre puntos y lugar geo-

metrico

Si un punto P determina con otros dos A y B dos segmentos iguales PAy PB diremos que el punto P es equidistante de A y B.

Por otra parte, si una figura contiene todos los puntos que cumplen conuna cierta propiedad y recıprocamente, solo contiene aquellos puntos quecumplen dicha propiedad, entonces diremos que la figura es el lugar geometri-co de dichos puntos.

30 CAPITULO 3. TRIANGULOS

Por ejemplo: Todo punto P que equidista de otros dos A y B se hallasobre la mediatriz del segmento AB que estos determinan. Recıprocamente:Todo punto P de la mediatriz de un segmento AB equidista de sus extremos.

Por tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar geometrico de los puntosequidistantes de sus extremos.

3.4. Equidistancia de un punto a un par de

rectas

Si al trazar las perpendiculares PA y PB desde un punto P a dos rectasa y b, este punto equidista de las de interseccion obtenidas A y B, diremosque P equidista de las rectas a y b o que el punto P es equidistante a lasrectas a y b.

� �

�

�

�

�

fig. 5

Todo punto P de la bisectriz de unangulo equidista de las rectas de suslados. En efecto, tracemos la perpen-dicular que pasa por P al lado a delangulo y sea A el punto de intersec-cion de la perpendicular con el lado.En la simetrıa con respecto a la bi-sectriz, el simetrico de A esta sobre ellado b del angulo, las rectas b y PBson perpendiculares y el segmento

PB es congruente con PA. Se sigue que P equidista de a y b. El recıprocolo debemos enunciar de una manera ligeramente distinta.

Todo punto interior a un angulo que equidista de las rectas de sus ladosesta sobre la bisectriz del mismo. Pues si PA = PB, en la simetrıa que invier-te el angulo ^APB seran simetricos los puntos A y B y las perpendicularesrespectivas a y b, que forman los lados del angulo. El punto O pertenece aleje de simetrıa por cortarse las rectas simetricas a y b en este punto. Comoel eje PO es interior al angulo lo divide en partes iguales.

Si no agregamos la condicion de que P sea interior al angulo, resultantambien equidistantes los puntos de las bisectrices de los angulos adyacentesy del opuesto por el vertice, de donde:

El lugar geometrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectassecantes es el conjunto formado por las bisectrices de dos de los angulosadyacentes que aquellas determinan.

3.5. POLIGONOS CONVEXOS 31

Tercer criterio de igualdad de triangulos

A B

C

B'C'

A'''C

fig. 6

Si dos triangulos tienen respectiva-mente iguales los tres lados son con-gruentes.

Sean ABC y A′B′C ′ dos triangu-los y supongamos que AB = A′B′,AC = A′C ′ y BC = B′C ′. Apli-quemos al triangulo A′B′C ′ un mo-vimiento que lleve A′B′ sobre AB deforma tal que el homologo C ′′ de C ′

quede en distinto semiplano que Ccon respecto a la recta AB. En vista de las hipotesis tenemos que AC =A′C ′ = AC ′′, y por tanto, A equidista de C y de C ′′.

De manera similar B equidista de C y de C ′′. La recta AB es pues, lamediatriz del segmento CC ′′ y en la simetrıa con respecto a dicha recta, sonsimetricos los triangulos ABC y ABC ′′. Esto termina la demostracion.�

3.5. Polıgonos convexos

Supongamos que podemos ordenar n puntos A, B, . . . , F del plano, deforma tal que tres consecutivos no esten alineados y las rectas determinadaspor dos consecutivos dejan los restantes puntos de un mismo semiplano.En este caso diremos que la interseccion de todos estos semiplanos son unpolıgono convexo.

A B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F

A B

C

D

E

F

fig. 7

Los puntos A, B, . . . , F se llaman vertices del polıgono y los segmentosdeterminados por dos consecutivos, lados del polıgono.

32 CAPITULO 3. TRIANGULOS

A

B

C

P

Q

fig. 8

La existencia de polıgonos conve-xos puede demostrarse usando induc-cion a partir de triangulos. Dados trespuntos no alineados, un de ellos de-termina un semiplano limitado por larecta que pasa por los otros dos. Su-pongamos que hemos construido unpolıgono convexo de n− 1 lados. To-memos puntos P y Q sobre los ladosAB y BC respectivamente. La recta

fig. 9

determinada por este par de puntos,corta al polıgono solo en dichos pun-tos, pues si lo cortara en otro punto,dos de ellos quedarıan de distinto la-do respecto de la recta que contieneal segmento sobre el cual se encuen-tra el tercer punto. Se deduce que,exceptuando el punto B, todos losdemas puntos del polıgono quedan enun mismo semiplano de la recta PQ

y por tanto esta limita, con los lados del polıgono, uno nuevo que tiene nlados.

Todas las figuras que se definen como la interseccion de semiplanos, comolos angulos convexos, triangulos y polıgonos convexos satisfacen la siguientepropiedad:

Los puntos del segmento determinado por un par de puntos que pertenecena una figura convexa tambien pertenecen a ella. Esto es ası por pertenecer acada uno de los semiplanos que la definen.

Ejercicios.

1. Muestre que las bisectirces de dos angulos adyacentes, determinadospor dos rectas secantes, son perpendiculares.