Funciones Trigonométricas y Coordenadas Polares. Parte 1 · Semejanza de tri angulos. 4.Razones trigonom etricas. 5.Rectas y puntos notables de un tri angulo. 6. Angulo central y

Funciones Trigonometricas yCoordenadas Polares. Parte 1

Araceli Guzman y Guillermo GarroFacultad de Ciencias

UNAM

Semestre 2017-1

Funciones Trigonometricas y Coordenadas PolaresContenido, duracion y fecha de examen

Contenido

1. Los Elementos de la Geometrıa.

2. El Quinto Postulado de Euclides: algunas equivalencias.

3. El Teorema de Thales. Semejanza de triangulos.

4. Razones trigonometricas.

5. Rectas y puntos notables de un triangulo.

6. Angulo central y angulo inscrito en una circunferencia.

7. Ley de los senos. Ley de los cosenos.

8. π.

9. Funciones e identidades trigonometricas. El cırculo trigonometrico.

10. Coordenadas polares. Curvas en coordenadas polares.

11. Curvas parametricas

12. Coordenadas esfericas

Duracion:

15 horas.

Fecha del examen

Miercoles 14 de septiembre.

Funciones Trigonometricas y Coordenadas PolaresReferencias

Referencias:

1. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements (2nd ed.[Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]) 3 Volumes.New York: Dover Publications.

2. Puertas C., Marıa L. (1991). Los elementos de Euclides. 3 Volumenes.(Introduccion de Luis Vega). Madrid: Editorial Gredos.

3. Borceux, Francis. (2014). Geometric Trilogy I: An Axiomatic Approach toGeometry. Berlin: Springer.

4. Borceux, Francis. (2014). Geometric Trilogy II: An Algebraic Approach toGeometry. Berlin: Springer.

5. Preston, G. C., & Lovaglia, A. R. (1971). Modern analytic geometry. New York:HarperCollins Publishers.

6. Ramırez-Galarza, Ana I. (2013). Geometrıa analıtica: una introduccion a lageometrıa. Mexico: Las Prensas de Ciencias, UNAM.

7. Greenberg, M. J. (1993). Euclidean and non-Euclidean geometries: Developmentand history. Macmillan.

8. Euclid’s Elements by David E. Joyce. Department of Mathematics and ComputerScience Clark University, site:http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Ultima visita: Agosto de 2016.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Funciones Trigonometricas y Coordenadas Polares

1. Los Elementos de la Geometrıa

Funciones Trigonometricas y Coordenadas Polares1. Los Elementos de la Geometrıa

Angulo

Segun Euclides, un angulo plano es la inclinacion mutua de dos lıneas que se encuentranuna a otra en un plano y no estan en lınea recta. (Los elementos, Libro I, Definicion 8).

Angulo rectilıneo: Dos rectas sobre un mismo plano. Cuatro angulos convexos.


Angulo


Angulo rectilıneo: Dos rectas sobre un mismo plano. Cuatro angulos convexos.


Angulo


Dos cırculos que se tocan en dos puntos producen tambien cuatro angulos.


Angulo


Una recta y una circunferencia que se tocan en dos puntos producen tambien cuatroangulos.


Angulo


Pero... ¿que sucede si la recta y la circunferencia tocan en un solo punto (recta tan-gente)? (Horn angle o angulo cornicular). Segun D. E. Joyce, “Horn angles are infinitesimal

with respect to rectilinear angles, that is, no multiple of a horn angle is greater than any rectilinear

angle, or equivalently, no part (meaning fraction) of a rectilinear angle is less than a horn angle.

The contemplation of horn angles leads to difficulties in the theory of proportions that’s developed

in Book V.” Fuente.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII16.html


Angulo


O bien... ¿que sucede si los cırculos se tocan en un solo punto (cırculos tangentes)?


Angulo

Cuando las lıneas que comprenden el angulo son rectas, el angulo se llama rectilıneo(Definicion I-9). De otra forma, un angulo rectilineo es la “parte comun” de dossemiplanos.

La parte comun es un angulo convexo. Nosotros nos centraremos en los angulos rec-tilıneos. Ademas, excluimos, por ahora y siguiendo a Euclides, los angulos concavos.


Definicion

Cuando una recta levantada sobre otra recta forma angulos adyacentes iguales entre sı,cada uno de los angulos es recto, y la recta se llama perpendicular a aquella sobre laque esta. (Euclides, Los Elementos, Libro I, Definicion 10).

Angulo obtuso es el angulo mayor que un un angulo recto (Definicion I-11). Anguloagudo es el angulo menor que un angulo recto. (Definicion I-12).

De entre las figuras trilateras, triangulo equilatero es la que tiene tres lados iguales,isoceles la que tiene solo dos lados iguales, y escaleno la que tiene los tres lados de-siguales. (Definicion I-20).

Ademas, de entre las figuras trilateras, triangulo rectangulo es la que tiene un angulorecto, obtusangulo la que tiene un angulo obstuso, acutangulo la que tiene los tresangulos agudos. (Definicion I-21).

Un cırculo es una figura plana comprendida por una sola lınea (llamada circunferencia)de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de losque estan dentro de la figura son iguales entre sı. (Definicion I-15). Y el punto se llamacentro del cırculo. (Definicion I-16).

etc...


Advertencias y aclaraciones:

1. Debemos comprender que un angulo (rectilıneo, en nuestro exclusivo caso) no esun objeto, sino una relacion entre dos rectas que se cortan, una inclinacion mutua,como dice Euclides. Mantendremos esta idea por el momento aunque parezcacarente de rigor.

2. Hasta este momento, no contamos con una unidad de medida angular. No podemosreferirnos a ningun angulo en terminos de grados o radianes. Pero la idea esconstruir esta medida, lo que sera posible una vez que sea introducida de maneraapropiada la constante π. Ası que para denotar un angulo usaremos el sımbolo ∠,en lugar del tıpico ], con ello queremos hacer patente esta sutileza.

3. No abstante, de las definiciones anteriores, se desprende que los angulos rectosson la referencia especıfica para distinguir y clasificar angulos. En cierto sentidopodemos pensar que el angulo recto es una especie de medida angular, pero decaracter cualitativo (y no cuatitativo, como los radianes o los grados). Por tanto,y como un acuerdo en vigor unicamente para este curso, usaremos la notacionpara cualquier angulo recto (esta notacion la mantendremos despues de introducirla medida angular).


Angulos iguales y como sumar y restar angulos

Para la geometrıa clasica, dos angulos son iguales (congruentes), si podemos hacerloscoincidir.



Para la geometrıa clasica, sumar dos angulos consiste en colocar un angulo sobre otro.



Restar dos angulos, el menor del mayor:


Postulados

1◦ Por dos puntos diferentes pasa una sola lınearecta.

2◦ Cualquier segmento de recta, puede extenderseindefinidamente.

3◦ Dados un centro y un radio, existe un solo cırculocon ese centro y ese radio.

4◦ Todos los angulos rectos son iguales.

5◦ Si una recta secante corta a dos rectas formandoa un lado angulos interiores, la suma de los cualeses menor que dos angulos rectos; las dos rectas,suficientemente alargadas se cortaran en el mismolado.

DefinicionSon rectas paralelas las que estando en el mismoplano y siendo prolongadas en ambos sentidos,no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.(Definicion I-23).Notacion: Si una recta ` es paralela a otra recta`′, usaremos la notacion ` ‖ `′. Y si `′ no esparalela a `, entonces usaremos `′ ∦ `.

Imagen de la Wikipedia

https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides


Algunas (pocas) equivalencias del Quinto Postulado.

Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(v.0) El Quinto Postulado.

(v.1) Dadas dos rectas paralelas y unatransversal a ellas, los respectivosangulos alternos son iguales, y la sumade los angulos internos (externos) porel mismo lado, es igual a dos angulosrectos.

(v.2) Dos rectas paralelas a una tercera, sonparalelas entre sı.

(v.3) Dada una recta y un punto fuera deella, hay una unica recta paralela a talrecta que pasa por dicho punto.

(v.4) Cualesquiera dos paralelas tienen rec-tas perpendiculares comunes.

(v.5) La suma de los angulos (internos)de cualquier triangulo es igual a dosangulos rectos.

(v.6) Dado un triangulo cualquiera,existe otro triangulo semejante no con-gruente.

(v.7) Existe un triangulo de area mayor acualquier otra area dada (las areas delos triangulos no tienen lımite supe-rior).

(v.8) El Teorema de Pitagoras.

(v.9) El recıproco de Teorema de Pitagoras:Si en un triangulo resulta que la sumade los cuadrados de dos de sus lados esigual al cuadrado del tercero, entoncesel triangulo es rectangulo.

(v.10) Sobre cualesquiera tres puntos no co-lineales, pasa un cırculo.

(v.11) Todos los cırculos son semejantes: Lasareas de dos cırculos cualesquiera sonproporcionales a una misma constante.


Estructura logica de los Elementos de Euclides: las “nociones comunes”:

1. Las cosas iguales a una misma cosa son iguales entres sı:

∀x∀y∀z((x = z ∧ y = z)⇒ x = y).

2. Si a cosas iguales se anaden cosas iguales, los totales son iguales tambien:

∀x∀y∀z(x = y ⇒ x+ z = y + z).

O tambien∀w∀x∀y∀z((w = y ∧ x = z)⇒ w + x = y + z).

3. Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales tambien.

∀x∀y∀z(x = y ⇒ x− z = y − z).

O tambien∀w∀x∀y∀z((w = y ∧ x = z)⇒ w − x = y − z).

4. Las cosas que coinciden entre sı, son iguales entre sı.

5. El todo es mayor que la parte


Comentarios y aclaraciones:

A lo largo de toda la obra, es frecuente el uso de otras “reglas”, por ejemplo:

1a. Si dos cosas son desiguales, entonces la primera es mayor que la segunda, o lasegunda es mayor que la primera:

∀x∀y(x 6= y ⇒ x > y ∨ y > x).

2a. Si a cosas desiguales se anaden cosas desiguales, los totales son desiguales

∀x∀y∀z(x < y ⇒ x+ z < y + z).

3a. Los dobles de una misma cosa son iguales entre sı:

∀x∀y(x = y ⇒ 2x = 2y).

4a. Las mitades de una misma cosa son iguales entre sı:

∀x∀y(2x = 2y ⇒ x = y).



En cuanto a la nocion comun numero 4:

Las cosas que coinciden entre sı, son iguales entre sı.

siguiendo a D. E. Joyce:

requires interpretation. On the face of it, it seems to say that if two thingsare identical (that is, they are the same one), then they are equal, in otherwords, anything equals itself. But the way it traditionally is interpreted is asa justification of a principle of superposition, which is used, for instance, inproposition I.4. Using this principle, if one thing can be moved to coincidewith another, then they are equal. Ver aquı.

De modo que asumiremos este principio como una definicion de congruencia.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/cn.html



Y en cuanto a la nocion comun numero 5:

El todo es mayor que la parte.

siguiendo a D. E. Joyce:

the whole is greater than the part, could be interpreted as a definition of“greater than”. To say one magnitude B is a part of another A could betaken as saying that A is the sum of B and C for some third magnitude C,the remainder. Symbolically, A > B means that there is some C such thatA = B + C. At any rate, Euclid frequently treats these two conditions asbeing equivalent. Ver aquı.

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/cn.html


Teorema : Proposicion I-1

Construir un triangulo equilatero sobre un segmento dado.







Objecion

¿Como sabemos que los cırculos se intersectan? Pincipio de Continuidad de Dedekind.The thirteen books of Euclid’s Elements, de Thomas L. Heath, Vol 1, pags. 234-240.




Objecion

¿Como sabemos que los cırculos se intersectan? Pincipio de Continuidad de Dedekind.The thirteen books of Euclid’s Elements, de Thomas L. Heath, Vol 1, pags. 234-240.


Definicion

Dos triangulos 4ABC y 4A′B′C′ son congruentes si sus lados correspondientes soniguales y sus angulos correspondientes tambien. Escribimos 4ABC ≡ 4A′B′C′.

Dibujo de Bernardo Feijoo Perez

http://prof.usb.ve/bfeijoo/dat/MA0103/201104_MA0103_CIU_Guia_sem02.pdf


Teorema : Criterios de congruencia de triangulos

Dos triangulos son congruentes si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

(LAL) Tienen dos lados y el angulo comprendido entre ellos iguales. (Euclides,Los Elementos, Libro I, Proposicion 4).

(LLL) Tienen sus tres lados iguales (Proposicion I-8).

(ALA) Tienen un lado y los angulo adyacentes iguales (Proposicion I-26).


Prueba de LAL

Sean 4ABC y 4A′B′C′ dos triangulos con dos lados AC y AB iguales a A′C′ yA′B′ respectivamente, y el angulo BAC igual al angulo B′A′C′.

Superponemos el 4ABC sobre el 4A′B′C′ de tal manera que A coincide con A′, ellado AC queda a lo largo de A′C′ y el lado AB queda del mismo lado de A′B′.

Entonces, como AC es congruente con A′C′, el punto C queda encima de C′; por lacongruencia del angulo BAC con el angulo B′A′C′, el lado AB queda a lo largo deA′B′, y por la congruencia de estos lados, el punto B queda encima de B′. Por lotanto el lado BC coincide con el lado B′C′ ya que dos puntos pueden conectarse conuna unica recta. Y ası los triangulo completos se identifican uno sobre otro. Luego, soncongruentes.



Dividir en dos partes iguales (bisectar) un angulo (rectilıneo) dado.









Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismosegmento.









Si se levanta una recta sobre otra recta, la suma de los angulos ası obtenidos esigual a dos angulos rectos.

Demostracion.

Dada la recta AB, un punto C en esta, yla recta CD sobre AB, sea CE una rectaperpendicular a AB.

Los angulos ∠ACE y ∠ECB son rectos,y ademas

∠ACD + ∠DCB = ∠ACE + ∠ECB.

De modo que

∠ACD + ∠DCB = 2 .



Si dos rectas se cortan, producen angulos opuestos por el vertice iguales.

Demostracion.

Sean AB y CD dos rectas que se cortanen E.

Los angulos ∠AED y ∠DEB suman dosangulos rectos, y lo mismo puede decirsede los angulos ∠CEA y ∠AED. Luego,

∠AED + ∠DEB = ∠AED + ∠CEA,

por tanto,

∠DEB = ∠CEA.



En cualquier triangulo, si se alarga uno de los lados, el angulo exterior es mayoro igual que el angulo interior y los angulos opuestos.

Demostracion.

Sea G un punto sobre la extension del ladoAC del tripangulo 4ABC. Bisectamos ellado AC en E. Extendemos BE hasta Fde tal manera que BE = EF , y trazamosFC. Note que ∠AEB = ∠FEC. Por

tanto 4AEB ≡ 4FEC, y en consecuen-cia el resto de los angulos respectivos soniguales: ∠BAE = ∠ECF y ∠ABE =∠EFC. Luego,

∠ACD = ∠ECD > ∠ECF = ∠BAE.

De la misma manera se prueba que∠BCG > ∠ABC, y como ∠BCG =∠ACD, se sigue

∠ACD > ∠ABC.

Objecion:

¿Por que CF “cae” siempre “dentro” delangulo ∠ACD? Ver aquı

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI16.html



Si una recta al cortar dos rectas hace los angulos alternos iguales,las dos rectasseran paralelas.

Demostracion.

Sea EF transversal a AB y CD, tal que∠AEF = ∠EFD

Si AB y CD no son paralelas, en-tonces prolongadas suficientemente se en-contraran ya sea en sentido derecho oizquierdo. Supongamos que lo hacen ensentido derecho y que se encuentran en unpunto G.

Entonces, en el triangulo4GEF el anguloexterior ∠AEF , es igual al angulo interiory opuesto ∠EFG = ∠EFD. Lo cual esimposible en vista de la Proposicion I-16.



Construccion de una recta paralela a una dada por un punto dado.

Demostracion.

Sea A un punto cualquiera dado, y seaBC una recta cualquiera dada. Sea Dcualquier punto en BC. Trazamos AD.Construimos el angulo ∠DAE igual alangulo ∠ADC sobre la recta DA y sobreel punto A. Extendemos EA hasta F .

De la Proposicion I-27, se sigue que BCes paralela a EF .



Si una transversal sobre dos rectas hace el angulo externo igual al interno yopuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos angulosrectos, las rectas seran paralelas.

Demostracion.

Sea EF transversal a AB y CD tal que elangulo exterior ∠EGB es igual al angulo

interior y opuesto ∠GHD.

Como ∠AGH = ∠EGB (opuestos por elvertice), se sigue que ∠AGH = ∠GHD,y dado que estos utimos angulos son alter-nos, se sigue que AB y CD son paralelas,en vista de la Proposicion I-27.

Observacion

Hasta este momento no se ha usado elQuinto Postulado. Euclides lo usa porprimera vez hasta la Proposicion I-29.



Si una recta corta a dos paralelas, los angulos alternos son iguales, los angulosexternos iguales a los internos y opuestos, y la suma de los angulos internos delmismo lado es igual a dos angulos rectos.

Demostracion.

Supongamos que ∠AGH > ∠GHD.

Entonces

∠AGH + ∠BGH > ∠GHD + ∠BGH.

Pero la suma de ∠AGH y ∠BGH es iguala dos angulos rectos, de modo que lasuma de ∠GHD y ∠BGH es menor a dosangulos rectos.

Luego, AB y CD no son paralelas (Postu-lado 5). Una contradiccion.

De forma analoga, llegamos a una con-tradiccion si suponemos que ∠GHD >∠AGH.

Es entonces ∠GHD = ∠AGH.

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