Appunti di algebra   2015-02-23¢  Appunti di algebra lineare

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    Appunti di algebra lineare

    Federico G. Lastaria

    Mauro Saita

    Politecnico di Milano

    gennaio 2008

    Email degli autori:

    federico.lastaria@polimi.it

    maurosaita@tiscalinet.it

  • 2

  • Indice

    1 Spazi vettoriali e Applicazioni Lineari 7

    1.1 Gli spazi vettoriali reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.1 Lo spazio vettoriale delle matrici m× n . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Combinazioni lineari. Sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Basi e dimensioni. Coordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4 Riduzione a scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.6 Prodotto di matrici. Matrici invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.8 Applicazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.10 Applicazioni lineari e matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.10.1 Matrice associata a un’applicazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.10.2 Cambio di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    1.12 Somme di sottospazi. Formula di Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    1.13 Nucleo e immagine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    1.13.1 Il Teorema Nullità+Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    1.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2 Sistemi lineari. Rette e piani nello spazio 47

    2.1 Sistemi lineari. Il teorema di Rouché-Capelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.2 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.3 Il metodo di eliminazione di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    2.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.5 Rette e piani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    2.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    3

  • 4 INDICE

    3 Spazi vettoriali euclidei 67

    3.1 Spazi vettoriali euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    3.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    3.3 Matrici ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    3.4 Proiezioni ortogonali e matrici associate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.4.1 Proiezioni ortogonali su rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    3.4.2 Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli . . . . . . . . . . . . . . . 72

    3.4.3 Matrici di proiezioni su rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3.4.4 Il procedimento di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3.4.5 Proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    3.4.6 Matrici di proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4 I determinanti 81

    4.1 Proprietà caratteristiche del determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    4.1.1 Esistenza e unicità del determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.1.2 Calcolo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.1.3 Il determinante del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.2 Spazi vettoriali orientati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.2.1 Basi equiorientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    4.2.2 Deformazioni continue di basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    4.3 Interpretazione geometrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5 Autovettori e Autovalori 97

    5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.2 Autovalori e autovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.3 Il polinomio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.4 Matrici e operatori diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    5.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6 Operatori autoaggiunti. Il teorema spettrale. 107

    6.1 Operatori autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    6.1.1 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    6.1.2 Cambio di coordinate in una forma quadratica . . . . . . . . . . . . . 109

    6.2 Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    6.3 Proprietà di massimo e minimo degli autovalori di una matrice simmetrica . . 112

    6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

  • INDICE 5

    A Temi d’esame svolti 117

    A.1 Tema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    A.2 Tema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    A.3 Tema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    A.4 Tema 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    A.5 Tema 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    A.6 Tema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    A.7 Tema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

  • 6 INDICE

  • Capitolo 1

    Spazi vettoriali e Applicazioni Lineari

    1.1 Gli spazi vettoriali reali

    I punti del piano, e quelli dello spazio, si possono rappresentare mediante coppie o, rispetti- vamente, terne ordinate di numeri reali, quando si fissa un sistema di riferimento cartesiano. Questo suggerisce l’idea di considerare l’insieme Rn delle n-uple ordinate di numeri reali come uno spazio di “vettori, che scriveremo come vettori riga:

    v = ∣∣ a1 . . . an

    ∣∣ o anche (a1, ..., an) o come vettori colonna:

    v =

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    a1 . . .

    an

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    Lo spazio Rn delle n-uple di numeri reali è l’esempio più comune di spazio vettoriale. Quando pensiamo a Rn come a uno spazio vettoriale, intendiamo prendere in considerazione soltanto due operazioni:

    • la somma di vettori: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    a1 . . .

    an

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    +

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    b1 . . .

    bn

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    =

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    a1 + b1 . . .

    an + bn

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    ;

    • la moltiplicazione di uno scalare reale per un vettore:

    λ

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    b1 . . .

    bn

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    =

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    λb1 . . .

    λbn

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    dove λ è un numero reale.

    7

  • 8 CAPITOLO 1. SPAZI VETTORIALI E APPLICAZIONI LINEARI

    Veniamo ora alla definizione precisa di spazio vettoriale.

    Definizione 1.1.1 Uno spazio vettoriale reale è un insieme V con due operazioni:

    • la somma: V × V −→ V (v, w) 7−→ v + w

    • la moltiplicazione per uno scalare:

    R× V −→ V (λ, v) 7−→ λv

    Queste operazioni devono soddisfare i seguenti assiomi:

    1. La somma è commutativa: per ogni v, w in V

    v + w = w + v

    2. La somma è associativa: per ogni u, v, w in V

    (u + v) + w = u + (v + w)

    3. Esiste un vettore in V , il vettore nullo 0, che è elemento neutro rispetto all’operazione di somma, nel senso che

    v + 0 = v

    per ogni vettore v.

    4. Per ogni vettore v ∈ V esiste un vettore, l’opposto di v, denotato −v, che sommato a v dà il vettore nullo:

    v + (−v) = 0.

    Diremo allora che V , con l’operazione di somma, è un gruppo abeliano.

    5. Per ogni v, w in V e per ogni λ, µ in R

    λ(µv) = (λµ)v (λ + µ)v = λv + µv λ(v + w) = λv + λw

    1v = v

    Esempio. Abbiamo già visto che l’insieme Rn delle n-uple ordinate di numeri reali (n intero positivo) è uno spazio vettoriale.

    Esempio. Sia V l’insieme di tutte le funzioni a valori reali definite su un qualunque insieme D:

    V = RD = {tutte le funzioni f : D −→ R}.

  • 1.1. GLI SPAZI VETTORIALI REALI 9