Appunti di Matematica Discreta - Algebra lineare .Appunti di Matematica Discreta - Algebra lineare

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  • Appunti di Matematica Discreta - Algebralineare

    7 ottobre 2011

    AVVISO: I presenti appunti possono contenere (anzi sicuramente conterranno) errori e/oripetizioni. Essi sono infatti opera di vari collage e, per ovvie questioni di tempo, non sonostati rivisti. Pertanto non intendono sostituire alcun libro di teoria e/o esercizima vogliono sopratutto essere un dettagliato programma del corso. Prego gli studenti diprestare particolare attenzione nella loro lettura e di informarmi sia direttamente che pere-mail (quattrocchi@dmi.unict.it) su qualunque errore (certo o sospetto) notato.

    Cerchero di correggere nel piu breve tempo possibile qualunque errore trovato. Pertantoquesti appunti saranno continuamente aggiornati: la data dellultimo aggiornamento apparein prima pagina. Consiglio infine agli studenti di non stamparli immediatamente mafarlo il piu tardi possibile (per lo meno alcuni giorni dopo che largomento sia stato trattatoa lezione).

    1

  • Indice

    1 Insiemi e operazioni su di essi 4

    2 Applicazioni 5

    3 Relazioni di equivalenza 8

    4 Relazioni di ordinamento parziale 9

    5 Cardinalita di un insieme 11

    6 Operazioni algebriche binarie 13

    7 Gruppi 16

    8 Campi 20

    9 Omomorfismi fra strutture 21

    10 Matrici: prodotto righe per colonne 23

    11 Sistemi lineari e matrici ridotte per righe 30

    12 Ancora sui sistemi lineari. 50

    13 Sistemi lineari dipendenti da un parametro 54

    14 Come ricavare la matrice inversa attraverso il metodo di riduzione. 59

    15 Determinanti. Teorema di Cramer. Teorema di Rouche-Capelli 65

    16 Vettori applicati del piano 79

    17 Vettori applicati dello spazio 87

    18 Vettori liberi 90

    19 Rette del piano e loro equazioni 92

    20 Coordinate omogenee nel piano 97

    21 Isometrie e similitudini nel piano 100

    22 Piani e rette dello spazio e loro equazioni 115

    23 Punti e rette improprie nello spazio 121

    2

  • 24 Spazi vettoriali 128

    25 Sottospazi Vettoriali 131

    26 Base e dimensione di uno spazio vettoriale 141

    27 Applicazioni lineari 162

    28 Matrici e Applicazioni Lineari. 167

    29 Autovalori ed autovettori 180

    30 Ricerca degli autovalori e degli autospazi ad essi associati 183

    31 Unapplicazione degli autovettori: il motore di ricerca Google 186

    32 Endomorfismi semplici 189

    33 Matrici diagonalizzabili 195

    34 Similitudine fra matrici 200

    3

  • 1 Insiemi e operazioni su di essi

    Per comodita dello studente richiamiamo alcuni concetti elementari di teoria degli insiemi.Il concetto di insieme e primitivo ed e sinonimo di classe, totalita. Sia A un insieme di

    elementi qualunque. Per indicare che a e un elemento di A scriveremo a A. Se A e B sonoinsiemi, diremo che A e un sottoinsieme di B e scriveremo A B se ogni elemento di A eun elemento di B. Fra i sottoinsiemi di B ci sono in particolare B stesso e linsieme vuotoche viene denotato con . Due insiemi A e B si dicono uguali, A = B, se hanno gli stessielementi. Cioe:

    A = B A B e B A.Diremo che un sottoinsieme A di B e proprio, se A 6= B e scriveremo A B.

    Se A e un insieme, denoteremo con P (A) l insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemidi A; P (A) si dice linsieme delle parti di A.

    Esempio 1.1 Sia A = {1, 2, 3}. Allora P (A) = {b1, b2, . . . , b8} essendo b1 = , b2 = {1},b3 = {2}, b4 = {3}, b5 = {1, 2}, b6 = {1, 3}, b7 = {2, 3}, b8 = {1, 2, 3}.

    Se A e B sono insiemi, diremo unione di A e B linsieme AB costituito dagli elementiche stanno in A oppure in B, A B = {x | x A o x B}, diremo intersezione di A e Blinsieme A B costituito dagli elementi comuni ad A e B, A B = {x | x A e x B},mentre diremo differenza di A e B linsieme AB degli elementi di A che non sono elementidi B, A B = A \ B = {x | x A e x 6 B}. Due insiemi si dicono disgiunti se la lorointersezione e linsieme vuoto.

    Se A e sottoinsieme di B diremo complementare (o complemento) di A in B linsiemeB A e lo denoteremo con CBA. Se B e linsieme ambiente il complementare di A in Bverra semplicemente denotato con CA.

    Se A e B sono insiemi, definiamo prodotto cartesiano di A e B e lo denoteremo con AB,linsieme i cui elementi sono le coppie ordinate (a, b) con a A e b B.

    Proprieta

    1. A A = A, A A = A;2. A B = B A, A B = B A (proprieta commutativa);3. A = A, A = ;4. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C (proprieta associativa);5. A (B C) = (A B) (A C) (proprieta distributiva dellunione rispetto allinter-

    sezione);

    6. A (B C) = (A B) (A C) (proprieta distributiva dellintersezione rispettoallunione);

    4

  • 7. C (A B) = CA CB, C (A B) = CA CB (formule di De Morgan).Nel seguito denoteremo con N, Z, Q, R e C rispettivamente gli insiemi dei numeri naturali

    (N = {0, 1, 2, . . . , n, . . .}), degli interi relativi (Z = {. . . ,3,2,1, 0,+1,+2,+3, . . .}), deinumeri razionali (Q =

    {nm

    | n,m Z,m 6= 0}), dei numeri reali e dei numeri complessi.

    2 Applicazioni

    Siano A e B insiemi non vuoti.

    Definizione 2.1 Si dice applicazione (o funzione) di A in B, e si denota con f : A B,una corrispondenza che associa ad ogni elemento x A uno ed un solo elemento f(x) B.

    Unapplicazione si dice:

    iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, cioe sex1, x2 A, x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2) o anche da f(x1) = f(x2) x1 = x2;

    suriettiva (od anche: su tutto) se ogni elemento di B e il corrispondente di qualcheelemento di A, cioe se y B, x A tale che y = f(x);

    biiettiva se e iniettiva e suriettiva; una applicazione biiettiva di A in B e detta pureuna corrispondenza biunivoca fra A e B.

    Esempio 2.1 Siano N linsieme dei numeri naturali e R quello dei numeri reali. La leggef(n) = 1

    n1 , non definisce unapplicazione f : N R, perche non esiste f(1). Essa puo peroessere vista come unapplicazione f : N \ {1} R.

    Esempio 2.2 Sia R+ linsieme dei numeri reali non negativi. La legge f che ad ogni a R+associa quel numero o quei numeri b R tali che b2 = a non e unapplicazione. Infatti, peresempio, al numero 4 R+, la f associa sia 2 che 2. Invece la legge g che ad ogni a R+associa quel numero o quei numeri b R+ tali che b2 = a e unapplicazione g : R+ R+definita da g(x) =

    x per ogni x R+.

    Esempio 2.3 Sia Z linsieme dei numeri interi relativi e sia Q linsieme delle frazioni, ridotteai minimi termini, m

    ncon m,n Z e n 6= 0. La legge f : Q Z tale che f(m

    n) = m + n, e

    unapplicazione. Si osservi che f non e iniettiva. Infatti si ha 236= 3

    2ma f(2

    3) = f(3

    2).

    Esempio 2.4 Lapplicazione iA : A A, definita dalla legge i(x) = x x A, dicesiapplicazione identica o unita, essa e iniettiva e suriettiva pertanto e biiettiva.

    Esempio 2.5 Lapplicazione f : N N, definita dalla legge f(n) = n+1 e un applicazioneiniettiva ma non suriettiva perche lo 0 non proviene da nessun elemento.

    5

  • Definizione 2.2 Sia f : A B unapplicazione; dicesi immagine di f e si indica con Imf ,il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che sono corrispondenti di qualche elemento diA. Cioe:

    Imf = {y B | x A tale che y = f(x)}.

    Chiaramente f e suriettiva se e solo se Imf = B.Sia f : A B unapplicazione. Se b B indicheremo con f1(b) linsieme degli elementi

    a A tali che f(a) = b. Poniamo cioe

    f1(b) = {a | a A e f(a) = b}.

    Ovviamente se b 6 Imf si ha f1(b) = .

    Definizione 2.3 Prodotto di applicazioni. Siano f : A B, g : B C applicazioni.Si definisce prodotto o composizione di f e g, lapplicazione di A in C ottenuta applicandosuccessivamente prima f e poi g; essa viene denotata con g f ed e definita da

    (g f)(x) = g(f(x)) x A.

    Il prodotto di applicazioni gode della proprieta associativa cioe per f : A B, g : B C,h : C D si ha h (g f) = (h g) f .

    Definizione 2.4 Applicazione inversa. Se l applicazione f : A B e biiettiva allorasi puo definire lapplicazione inversa f1 : B A come segue: y B, f1(y) e l unicoelemento x A tale che f(x) = y.Chiaramente e:

    f f1 = iB, f1 f = iA, (f1)1 = f .Sulla composizione di due applicazioni si hanno vari risultati, alcuni dei quali sono ri-

    chiamati nelle due seguenti proposizioni. La dimostrazione della Proposizione 2.1 e lasciataallo studente come esercizio.

    Proposizione 2.1 Siano f : A B, g : B C applicazioni.1. Se f e g sono iniettive allora g f e iniettiva.2. Se f e g sono suriettive allora g f e suriettiva.3. Se f e g sono biettive allora g f e biiettiva.4. Se g f e suriettiva allora g e suriettiva.

    6

  • 5. Se g f e iniettiva allora f e iniettiva.6. Se g f e biettiva allora f e iniettiva e g e suriettiva.

    Proposizione 2.2 Siano f : A B, g : B A applicazioni, e inoltre f g = iB eg f = iA, allora f e g sono entrambe biiettive e g = f1.

    Dimostrazione. Proviamo che f e biettiva, in modo analogo si prova la biettivita di g.

    f e suriettiva: Sia y B; si ha g(y) = x A, da cui f(x) = f(g(y)) = f g(y) =iB(y) = y.

    f e iniettiva: Siano x1, x2 A tali che f(x1) = f(x2). Allora g(f(x1)) = g(f(x2)),g f(x1) = g f(x2), ia(x1) = iA(x2), x1 = x2.

    Proviamo che g = f1. Cioe che per ogni y B, g(y) = f1(y). Sia x lunica soluzione(nella variabile x) dellequazione f(x) = y. Cioe y = f(x). Allora f1(y) = x. Quindig(y) = g(f(x)) = g f(x) = ia(x) = x.

    Esercizio. Sia f : N Z lapplicazione cos definita

    f(n) =

    {+n

    2se n e pari

    n+12

    se n e dispari.

    Dire se f e biunivoca oppure no.

    Dati due insiemi non vuoti A e B possiamo considerare un nuovo insieme, denotato conBA, costituito da tutte le applicazioni di A in B. Un caso particolarmente importante e ilcaso in cui B = {0, 1} e linsieme costituito da due elemen