Appunti del corso di Teorie Logiche 1 Tipi e Logica ...dmf.matfis.uniroma3.it/corsi_files/847/Abrusci-1.pdf · Appunti del corso di Teorie Logiche 1 Tipi e Logica Lineare (a.a. 2014/2015)

Appunti del corso di Teorie Logiche 1

Tipi e Logica Lineare

(a.a. 2014/2015)

V. M. Abrusci

21 maggio 2015

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Indice

1 Calcolo dei sequenti per la logica classica 7

1.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Linguaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Regole di inferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Analisi e derivazioni, derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Regole di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Regole basilari del calcolo dei sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


1.2.2 Regola di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Regole strutturali del calcolo dei sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


1.3.2 Regole di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Regole del calcolo dei sequenti sulle unità logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Regole moltiplicative sulle unità logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1.1 Regole moltiplicative di inferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1.2 Regola moltiplicativa di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Regole additive sulle unità logiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3 Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Regole del calcolo dei sequenti sui connettivi preposizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Regole moltiplicative sui connettivi preposizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1.1 Regole di inferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1.2 Regola di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 Regole additive sui connettivi proposizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


1.5.2.2 Regole di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3 Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Regole del calcolo dei sequenti sui quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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1.6.2 Regola di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Regole di permutazione del calcolo dei sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8 Il principio della sottoformula e l’eliminazione dei tagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9 Gli invarianti delle derivazioni, la diversità delle derivazioni di una stessa formula . . . . . . . 23

1.10 Alcune formule derivabili e le loro derivazioni cut-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Logica Intuizionista, corrispondenza Curry-Howard, sistema F 27

2.1 Le formule e i sequenti della logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Formule intuizioniste e sequenti intuizionisti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2 Altra definizione delle formule intuizioniste e dei seguenti intuizionisti . . . . . . . . . 28

2.1.3 La negazione intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Derivazioni intuizioniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1 Regole basilari in logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2 Regole strutturali in logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3 Regole sulle unità logiche in logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.4 Regole sui connettivi proposizionali in logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.5 Regole sui quantificatori in logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Derivabilità classica e derivabilità intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 La negazione intuizionista e la doppia negazione intuizionista . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Traduzione della logica classica entro la logica intuizionista . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Le deduzioni naturali intuizioniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Definizione delle deduzioni naturali intuizioniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 Redex e regole di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.3 Regole di inferenza locali e regole di inferenza globali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5 La corrispondenza Curry-Howard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Sistemi tipati: il sistema dei tipi semplici, il sistema F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.1 Il sistema dei tipi semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.2 Il sistema F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Logica lineare: dualità, controllo logico della dimostrabilità 49

3.1 Calcolo dei sequenti per la logica lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.1 Riformulazione delle regole strutturali come regole su formule sottolineate . . . . . . . 52


3.1.1.2 Regole di trasformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.2 Regole basilari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4

3.1.3 Regole moltiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.4 Regole additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.5 Regole esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.6 Regole sui quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.7 Regole di permutazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.8 Principali proprietà del calcolo dei sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.9 Alcune leggi della logica lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.10 Frammenti della logica lineare, e loro complessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 La struttura della dimostrabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Gli spazi delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 Lo spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.3 La semantica delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Logica lineare: positivo e negativo 67

4.1 Operatori logici negativi e operatori logici positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.1 Caratteristiche degli operatori negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.2 Caratteristiche degli operatori positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.3 Rapporto tra operatori positivi e operatori negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Derivazioni focalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3 Operatori generalizzati, negativi e positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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Capitolo 1

Calcolo dei sequenti per la logica classica

1.1 Preliminari

1.1.1 Linguaggio

L’alfabeto della logica classica del primo ordine contiene le unità logiche V ERO e FALSO, i connettivi ∧ e∨, i quantificatori ∀ e ∃, un insieme infinito numerabile di variabili per individui, un insieme di variabili perfunzioni n-arie (per ogni numero naturale n), un insieme di variabili per proposizioni, un insieme di variabiliper predicati n-arie (per ogni numero naturale n), i simboli ausiliari.

Sull’insieme delle variabili per proposizioni e su ciascun insieme di variabili per predicati è definita unafunzione NON iniettiva e suriettiva tale che per ogni variabile v NON(v) è una variabile dello stesso tipodella variabile v e NON(NON(v)) = v.

L’alfabeto della logica classica del secondo ordine è ottenuto dall’alfabeto della logica classica del primoordine imponendo che tutti gli insiemi di variabili siano numerabili.

L’alfabeto della logica classica preposizionale del primo ordine è ottenuto dall’alfabeto della logica classicadel primo ordine imponendo che l’insieme delle variabili per proposizioni sia numerabile e che tutti gli altriinsieme di variabili siano vuoti, e rimuovendo i quantificatori.

L’alfabeto della logica classica preposizionale del secondo ordine è ottenuto dall’alfabeto della logica classicadel secondo ordine imponendo che l’insieme delle variabili per proposizioni sia numerabile e che tutti gli altriinsieme di variabili siano vuoti.

Le formule della logica classica del primo ordine sono definite come segue, con una definizione induttiva, unavolta che è stato definito l’insieme dei termini individuali (ossia dei termini che hanno lo stesso tipo dellevariabili per individui) :

• BASE DI INDUZIONE (formule atomiche)

– le unità logiche sono formule;

– le variabili per proposizioni sono formule;

– se P è una variabile per predicato n-ario, e t1, · · · , tn sono termini individuali, allora P (t1, · · · , tn)è una formula;

• PASSO DI INDUZIONE

– se A e B sono formule, allora A ∧B e A ∨B sono formule;

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– se A è una formula e x è una variabile individuale e ∀x e ∃x non compaiono in A, allora ∀xA e∃xA sono formule;

• CLAUSOLA FINALE: nient’altro è una formula.

Le formule della logica classica preposizionale del primo ordine sono definite con una variante della definizioneinduttiva precedente, ossia eliminando l’ultima clausola della base di induzione e l’ultima clausola del passodi induzione.

Le formule della logica classica del secondo ordine sono definite con un’altra variante della definizione in-duttiva precedente, ossia rimpiazzando la seconda clausola del passo di induzione con: se A è una formula ev è una variabile e ∀v e ∃v non compaiono in A, allora ∀vA e ∃vA sono formule.

Le formule della logica classica preposizionale del secondo ordine sono definite con una variante della defini-zione induttiva delle formule della logica classica del secondo ordine, ossia eliminando l’ultima clausola dellabase di induzione.

A ciascuna formula A si associa il suo unico albero generativo, un albero di formule in cui la radice è A, lefoglie sono formule atomiche e ciascun nodo è ottenuto dai nodi immediatamente precedenti con una delleoperazioni previste nel passo di induzione.

Una formula B è sottoformula di una formula A se e soltanto se B è un nodo dell’albero generativo di A.

Il grado di una formula è il numero di occorrenze di simboli logici (unità logiche, connettivi preposizionali,quantiifcatori) presenti in quella formula.

Per ogni formula A, è definita la negazione di A denotata da ¬A, come segue:

• ¬V ERO = FALSO e ¬FALSO = V ERO

• se P è una variabile per proposizioni, allora ¬P = NOT (P )

• se se P è una variabile per predicato n-ario, e t1, · · · , tn sono termini individuali, allora ¬(P (t1, · · · , tn)) =NOT (P )(t1, · · · , tn) ;

• ¬(A ∧B) = ¬A ∨ ¬B, ¬(A ∨B) = ¬A ∧ ¬B;

• ¬∀vA = ∃v¬A , ¬∃vA = ∀v¬A.

È facile mostrare che per ogni formula A, ¬A ha lo stesso grado di A e ¬¬A è A.

Se A e B sono formule, A→ B denota la formula ¬A ∨B. ¬(A→ B) è dunque la formula A ∧ ¬B.

Un sequente è un multinsieme finito di formule, e viene rappresentato da ogni espressione della forma

⊢ Γ

dove Γ è una successione di tutti gli elementi del sequente. Pertanto, Γ e ∆ rappresentano lo stesso sequenzequando ∆ è una permutazione di Γ.

Quando focalizziamo su una particolare occorrenza di formula A in un sequente, usiamo rappresentare talesequente nella forma ⊢ Γ, A o nella forma ⊢ A,Γ e chiamiamo Γ il contesto di A in quel sequente.

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1.1.2 Regole di inferenza

Le regole di inferenza del calcolo dei seguenti sono regole 0-arie (nessuna premessa, una sola conclusione),unarie (una sola premessa, una sola conclusione), binarie (due sole premesse, una sola conclusione).

Le regole 0-arie sono rappresentate nel modo seguente:

⊢ Γ(R)(· · · )

dove ⊢ Γ è la conclusione della regola, (R) è il nome della regola e (· · · ) sono eventuali condizioni perl’applicazione della regola.

Le regole unarie sono rappresentate nel modo seguente:

⊢ Γ⊢ ∆

(R)(· · · )

dove ⊢ Γ è la premessa della regola, ⊢ ∆, (R) è il nome della regola e (· · · ) sono eventuali condizioni perl’applicazione della regola.

Le regole binarie sono rappresentate nel modo seguente:

⊢ Γ1 ⊢ Γ2

⊢ ∆(R)(· · · )

dove ⊢ Γ è la premessa della regola, ⊢ ∆, (R) è il nome della regola e (· · · ) sono eventuali condizioni perl’applicazione della regola.

Una regola preserva il principio della sottoformula quando ogni formula che compare in almeno uno delle suepremesse compare anche nella conclusione o è sottoformula di una formula che compare nella conclusione.

1.1.3 Analisi e derivazioni, derivabilità

Un’analisi di un sequente ⊢ Γ nel calcolo dei sequenti per la logica classica da un insieme M di sequenti èun albero di sequenti nel quale ciascun nodo:

• se è la radice (ossia, se non ha successori), è il sequente ⊢ Γ

• se è una foglia, ossia se non ha predecessori, è conclusione di una regola 0-aria del calcolo dei sequentiper la logica classica, oppure è un sequente appartenente a M ;

• se ha un solo predecessore, allora è conclusione di una regola unaria la cui premessa è il sequente suopredecessore;

• se ha due soli predecessori, allora è conclusione di una regola binaria le cui premesse sono i due sequentisuoi predecessori.

Una derivazione di un sequente ⊢ Γ nel calcolo dei sequenti per la logica classica da un insieme M di sequentiè una analisi finita (dunque, ben fondata) di ⊢ Γ da M .

Se esiste una derivazione di un sequente ⊢ Γ nel calcolo dei sequenti per la logica classica da un insieme Mdi sequenti, si dice che ⊢ Γ à derivabile da M nella logica classica.

Se ⊢ Γ è derivabile dall’insieme vuoto di sequenti, si dice che ⊢ Γ è derivabile in logica classica.

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Se ⊢ Γ, A è derivabile in logica classica, si dice che A è derivabile in logica classica nel contesto Γ.

Una regola di inferenza (R) è derivabile da certe altre regole del calcolo dei sequenti se esiste una derivazionedella conclusione di (R) dalle premesse di (R) usando soltanto quelle altre regole del calcolo dei sequenti.

Ogni regola di inferenza 0-aria asserisce la derivabilità della conclusione della regola, o meglio - focalizzandosu una delle formule della conclusione della regola - asserisce la derivabilità di quella particolare formula inun certo contesto, ossia che una certa configurazione del contesto è condizione sufficiente per la derivabilità diquella formula. Una regola di inferenza 0-aria è detta reversible quando stabilisce che una certa configurazionedel contesto è condizione sufficiente per la derivabilità di una formula, e tale condizione è anche una condizionenecessaria.

Ogni regola di inferenza unaria asserisce che la derivabilità della sua premessa è condizione sufficiente per laderivabilità della sua conclusione. Una regola di inferenza unaria è detta reversibile quando la derivabilitàdella sua premessa è condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità della sua conclusione, ossia quandola sua premessa è derivabile nel calcolo dei sequenti dalla sua conclusione.

Ogni regola di inferenza binaria asserisce che la derivabilità di entrambe le sue premesse è condizione suffi-ciente per la derivabilità della sua conclusione. Una regola di inferenza binaria è detta reversibile quandola derivabilità di entrambe le sue premesse è condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità dellasua conclusione, ossia quando entrambe le sue premesse sono derivabili nel calcolo dei sequenti dalla suaconclusione.

1.1.4 Regole di trasformazione

Una regola di trasformazione del calcolo dei sequenti per la logica classica è una regola che

• ha come premessa una analisi di un sequente da un insieme di seguenti e come conclusione un’analisidello stesso sequente dallo stesso insieme di seguenti,

• la trasformazione consiste in operazioni effettive da compiere a partire dalla premessa,

• la trasformazione preserva le derivazioni, ossia se la premessa è una derivazione anche la conclusione èuna derivazione.

Una regola di trasformazione viene rappresentata da

π R ψ

dove π è la premessa (l’analisi che viene trasformata), ψ è la conclusione (l’analisi che si ottiene dallatrasformazione di π) e (R) è il nome della regola di trasformazione.

Se una analisi ψ si ottiene da un’analisi π mediante una successione finita di regole di trasformazione, siscrive

π ψ

Ovviamente, vale che se π ψ allora:

• π e ψ sono analisi dello stesso sequente dallo stesso insieme di sequenti

• ψ è una derivazione se π è una derivazione

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1.2 Regole basilari del calcolo dei sequenti

Le regole basilari del calcolo dei seguenti sono regole che concernono il rapporto tra una formula e la suanegazione. Esse sono: due regole di inferenza (una 0-aria, l’altra binaria) e una regola di trasformazione.


La regola (id) (identità) è una regola 0-aria, mentre la regola (cu) (taglio) è una regola binaria.

⊢ ¬A,A(id)

⊢ Γ, A ⊢ ¬A,∆⊢ Γ,∆

(cut)

Si noti che nella regola (cut) l’ordine delle premesse non conta: poiché ogni formula è negazione di qualcheformula, non possiamo caratterizzare la prima premessa come la premessa che contiene una formula e laseconda come la premessa che contiene la sua negazione.

Con un’applicazione della regola (cut) una occorrenza di una formula A e una occorrenza della sua negazione¬A compaiono nelle premesse ma non compaiono più nella conclusione: pertanto, la regola (cut) non preservail principio della sottoformula.

Quando un’applicazione della regola (cut) ha come premesse i sequenti ⊢ Γ, A e ⊢ ¬A,∆ e come conclusioneil sequente ⊢ Γ,∆, si dice che tale applicazione concerne la coppia di formule (A,¬A); si dice anche che A e¬A sono formule tagliate da quella applicazione della regola (cut).

Il grado di una applicazione della regola (cut) che concerne la coppia di formule (A,¬A) è il grado di A (cheè uguale al grado di ¬A).

Un’applicazione della regola (cut) è detta più semplice di un’altra applicazione della regola (cut) quando ilgrado della prima applicazione è minore del grado della seconda applicazione.

Una analisi (una derivazione) è detta cut-free quando non contiene alcuna applicazione della regola (cut).Un’analisi (una derivazione) è detta quasi cut-free quando contiene solo un’applicazione della regola (cut)e tale applicazione è la regola finale dell’analisi (della derivazione).

1.2.2 Regola di trasformazione

La regola basilare di trasformazione permette di trasformare una analisi (una derivazione) che termina conun’applicazione della regola (cut) nella quale una delle premesse è conclusione di una regola (id); tale regoladi trasformazione sarà denominata (id,cut).

⊢ ¬A,A

...π⊢ ¬A,∆

⊢ ¬A,∆

(id,cut)

...π⊢ ¬A,∆

È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale epreserva le derivazioni. Inoltre, se la premessa è quasi cut-free, la conclusione è cut-free.

In base alla regola (id,cut), quando anche π consiste semplicemente nella regola (id) con conclusione ⊢ ¬A,A,si ottiene come conclusione ancora la regola (id) con conclusione ⊢ ¬A,A.

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1.3 Regole strutturali del calcolo dei sequenti

Le regole strutturali concernono l’aggiunta di formule o la contrazione di formule nei seguenti. Si tratta didue regole unarie di inferenza, e di tre regole di trasformazione


Le regole strutturali di inferenza sono la regola di indebolimento (W) con la quale si aggiunge una occorrenzadi formula, e la regola di contrazione (C) con la quale si contraggono due occorrenze della stessa formula.

⊢ Γ⊢ Γ, A

(W )⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A

(C)

Di queste regole presentiamo la versione (derivabile) nella quale si aggiunge una successione finita di formule(W+) o si contraggono due successioni finite costituite dalle stesse occorrenze di formule (C+).

⊢ Γ⊢ Γ,∆

(W+)⊢ Γ,∆,∆⊢ Γ,∆

(C+)

È evidente che le regole strutturali del calcolo dei sequenti preservano il principio della sottoformula.

1.3.2 Regole di trasformazione

La prima regola strutturale di trasformazione permette di trasformare un’analisi (una derivazione) che ter-mina con un’applicazione della regola (cut) nella quale una delle premesse è conclusione di una regola (W):viene eliminata quella applicazione della regola (cut) e una parte dell’analisi, e viene usata una regola (W+).

...π1

⊢ Γ⊢ Γ, A

...π2

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ,∆

(W,cut)

...π1

⊢ Γ⊢ Γ,∆


La seconda regola strutturale di trasformazione permette di trasformare un’analisi (una derivazione) chetermina con un’applicazione della regola (cut) nella quale una delle premesse è conclusione di una regola(C): invece di avere la regola (C) seguita dalla regola (cut) si hanno due applicazioni della regola (cut) seguitada una applicazione della regola (C+), e viene a questo scopo duplicata una parte dell’analisi.

...π1

⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A

...π2

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ,∆

(C,cut)

...π1

⊢ Γ, A,A

...π2

⊢ ¬A,∆⊢ Γ,∆, A

...π2

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ,∆,∆⊢ Γ,∆

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È evidente che questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finale epreserva le derivazioni.

La terza regola strutturale di trasformazione permette di trasformare un’analisi (una derivazione) che terminacon una applicazione di una regola (C) immediatamente preceduta da un’applicazione di una regola (W) conla quale si aggiunge una delle due occorrenze contratte: la trasformazione consiste nel cancellare queste dueregole finali della analisi.

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A

(W,C)

...π1

⊢ Γ, A


Si noti che la regola (W,cut) non è deterministica: infatti permette di trasformare una stessa analisi in dueanalisi sintatticamente diverse, quando entrambe le premesse della regola (cut) sono conclusioni di (W),come in questo caso

...π1

⊢ Γ⊢ Γ, A

...π2

⊢ ∆⊢ ¬A,∆

⊢ Γ,∆

(W,cut)

...π1

⊢ Γ⊢ Γ,∆

...π1

⊢ Γ⊢ Γ, A

...π2

⊢ ∆⊢ ¬A,∆

⊢ Γ,∆

(W,cut)

...π2

⊢ ∆⊢ Γ,∆

1.4 Regole del calcolo dei sequenti sulle unità logiche

Le regole sulle unità logiche, V ERO e FALSO, sono di due tipologie: le regole moltiplicative e le regoleadditive.

Le regole moltiplicative sono derivabili dalle regole additive usando le regole strutturali, e le regole additivesono derivabili dalle regole moltiplicative usando le regole strutturali.

1.4.1 Regole moltiplicative sulle unità logiche

Le regole moltiplicative sulle unità logiche sono due regole di inferenza (una regola 0-aria, e una regolaunaria) e una regola di trasformazione.

1.4.1.1 Regole moltiplicative di inferenza

Le regole moltiplicative di inferenza sulle unità logiche sono:

⊢ V ERO(1)

⊢ Γ⊢ Γ, FALSO

(⊥)

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È evidente che entrambe le regole preservano il principio delle sottoformule.

Si osservi che la regola (1) asserisce: un sequente contenente V ERO è derivabile se il contesto è vuoto.

Si noti che la regola (1) non è reversibile: ci sono sequenti contenti V ERO derivabikle dove il contesto nonè vuoto: ad esempio, il sequente ⊢ FALSO, V ERO che è derivabile essendo conclusione di (id).

La regola (⊥) stabilisce una condizione sufficiente per la cerivabilità di FALSO in un contesto Γ: laderivabilità di ⊢ Γ nel calcolo dei sequenti.

Si verifichi che la regola (⊥) è reversibile: dalla conclusione della regola (⊥) e dal sequente derivabile⊢ V ERO (conclusione di (1)) si ottiene la premessa di (⊥) mediante un (cut). Dunque condizione necessariae sufficiente per la derivabilità di FALSO in un contesto Γ è la derivabilità di ⊢ Γ .

1.4.1.2 Regola moltiplicativa di trasformazione

La regola moltiplicativa di trasformazione sulle unità logiche permette di trasformare una analisi (una deri-vazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola (1) e la conclusione dellaregola (⊥); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui sono state eliminatequelle applicazioni della regole moltiplicative di inferenza sulle unità logiche e del (cut).

⊢ V ERO

...π⊢ ∆

⊢ FALSO,∆⊢ ∆

(1,⊥,cut)

...π⊢ ∆


1.4.2 Regole additive sulle unità logiche

C’è una sola regola di inferenza sulle unità logica, ed è una regola 0-aria:

⊢ Γ, V ERO(T )

La regola preserva ovviamente il principio della sottoformula.

Tale regola asserisce che essere una successione di occorrenze di formule è condizione sufficiente per essere uncontesto in cui V ERO è derivabile. Ovviamente, essere una successione di occorrenze di formule è condizionenecessaria per essere un contesto in cui V ERO è derivabile. Pertanto, la regola (T) è reversibile.

L’assenza di regole additive di inferenza che tratti i contesti in cui FALSO è derivabile è in sostanza questaregola: nessuna successone di occorrenze di formule è condizione sufficiente per essere un contesto in cuiFALSO è derivabile. Pertanto tale regola non è reversibile, perché esistono contesti in cui FALSO èderivabile, poiché è derivabile il sequente ⊢ V ERO,FALSO che è conclusione di (id).

Non c’è alcuna regola additiva di trasformazione sulle unità logiche.

14

1.4.3 Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive

La regola moltiplicativa di inferenza (1) è un caso particolare della regola additiva (T). La regola molti-plicativa di inferenza (⊥) è un caso particolare della regola strutturale (W). La regola moltiplicativa ditrasformazione (1, ⊥ ,cut) è un caso particolare della regola strutturale di trasformazione (W,cut).

La conclusione della regola additiva (T) è derivabile dalla conclusione della regola moltiplicativa (1) mediantela regola strutturale (W+).

Pertanto, le regole moltiplicative sulle unità logiche sono regole derivabili a partire dalle regole additive sulleunità logiche e dalle regole strutturali, e le regole additive sulle unità logiche sono regole derivabili a partiredalle regole moltiplicative sulle unità logiche e dalle regole strutturali.

1.5 Regole del calcolo dei sequenti sui connettivi preposizionali

Anche le regole sui connettivi logici, ∧ e ∨, sono di due tipologie: le regole moltiplicative e le regole additive.

Le regole moltiplicative sono derivabili dalle regole additive usando le regole strutturali, e le regole additivesono derivabili dalle regole moltiplicative usando le regole strutturali.

1.5.1 Regole moltiplicative sui connettivi preposizionali

Le regole moltiplicative sui connettivi preposizionali sono due regole di inferenza (una regola binaria e unaregola unaria) e una regola di trasformazione.

1.5.1.1 Regole di inferenza

Le regole moltiplicative di inferenza sui connettivi preposizionali sono:

⊢ Γ, A ⊢ ∆, B⊢ Γ,∆, A ∧B

(⊗)⊢ Γ, A,B⊢ Γ,∆, A ∨B

(`)

È evidente che entrambe le regole preservano il principio della sottoformula.

La regola (⊗) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di A∧B in un contesto, e tale condizioneconsiste nel fatto che A sia derivabile in una parte di tale contesto e B sia derivabile nella restante parte ditale contesto.

La regola (`) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di A∨B in un contesto, e tale condizioneconsiste nel fatto che la coppia A,B sia derivabile in quel contesto, ossia che ciascuna delle due formule siaderivabile in quel contesto con l’aggiunta dell’altra delle due formule.

Si noti che la regola (`) è reversibile: infatti, la premessa di tale regola ⊢ Γ, A,B è derivabile dalla conclusionedi tale regola ⊢ Γ, A`B mediante un cut la cui altra premessa è il sequente ⊢ ¬A∧¬B,A,B (che è derivabilemediante (⊗) da ⊢ ¬A,A e ⊢ ¬B,B, conclusioni di (id)).

Si noti che la regola (⊗) non è reversibile se il calcolo non permette di derivare un sequente della forma ⊢ Xdove X è una variabile per proposizioni: infatti, prendendo due variabili per proposizioni P e Q, il sequente⊢ P ∨Q,¬P ∧¬Q è derivabile poiché è premessa di (id), ma il contesto di ¬P ∧¬Q è costituito da una solaformula e dunque (se la regola (⊗) fosse reversibile) sarebbe derivabile il sequente ⊢ P o il sequente ⊢ Q.

15

1.5.1.2 Regola di trasformazione

La regola moltiplicativa di trasformazione sui connettivi preposizionali permette di trasformare una analisi(una derivazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola (⊗) e la conclusionedella regola (`); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui sono state eliminatequelle applicazioni della regole moltiplicative di inferenza suon connettivi proposizionali e quella applicazionedel (cut) e compaiono due applicazioni più semplici della regola (cut).

...π1

⊢ Γ1, A

...π2

⊢ Γ2, B⊢ Γ1,Γ2, A ∧B

...π3

⊢ ¬A,¬B,∆⊢ ¬A ∨ ¬B,∆

⊢ Γ1,Γ2,∆

(⊗,`,cut)

...π1

⊢ Γ1, A

...π2

⊢ Γ2, B

...π3

⊢ ¬B,¬A,∆⊢ ¬A,Γ2,∆

⊢ Γ1,Γ2,∆


1.5.2 Regole additive sui connettivi proposizionali

Le regole additive sui connettivi preposizionali sono tre regole di inferenza (una regola binaria e due regoleunarie) e due regole di trasformazione.


Le regole additive di inferenza sui connettivi preposizionali sono:

⊢ Γ, A⊢ Γ, A ∨B

(⊕1)⊢ Γ, B⊢ Γ, A ∨B

(⊕2)⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, A ∧B

(&)

È evidente che le tre regole preservano il principio della sottoformula.

La regola (⊕1) e la regola (⊕2) stabiliscono due condizioni sufficienti per la derivabilità di una formula A∨Bin un contesto: essere derivabile in quello stesso contesto una fra le due formule A e B. Le due regole unarie(⊕1) e (⊕2) possono essere presentate anche nella seguente forma:

⊢ Γ, A oppure ⊢ Γ, B⊢ Γ, A ∨B

(⊕)

La regola (&) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una formula A ∧ B in un contesto:essere derivabili entrambe le formule A e B in quello stesso contesto.

La regola (&) è reversibile, ossia la derivabilità sia di A che di B in un contesto è condizione necessaria esufficiente per la derivabilità di AB in quello stesso contesto. Infatti, entrambe le premesse di una applicazionedella regola (&) si ottengono mediante (cut) dalla conclusione di quella stessa regola e dai sequenti ¬A∨¬B,Ae ¬A ∨ ¬B,B che a loro volta sono derivabili da (id) mediante la regola (⊕1) o la regola (⊕2).

Invece, entrambe le regole (⊕1) e la regola (⊕2) sono non reversibili, se nel calcolo non si derivano un sequente⊢ X,¬Y dove X e Y sono variabili per proposizioni. infatti prendendo due variabili per proposizioni P e Q,il sequente ⊢ P ∧Q,¬P ∨¬Q è derivabile poiché è premessa di (id), ossia ¬P ∨¬Q è derivabile nel contestoP ∧Q: ma né ¬P è derivabile nel contesto P ∧Q (altrimenti, sarebbe derivabile il sequente ⊢ Q,¬P ) né ¬Qè derivabile nel contesto P ∧Q (altrimenti, sarebbe derivabile il sequente ⊢ P,¬Q).

16

1.5.2.2 Regole di trasformazione

Le due regole additive di trasformazione sui connettivi preposizionali permettono di trasformare una analisi(una derivazione) che termina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola (&) e la conclusionedi una delle due regola (⊕1) o (⊕2); tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) incui sono state eliminate quelle applicazioni della regole additive di inferenza sui connettivi proposizionali equella applicazione del (cut) e compaiono due applicazioni più semplici della regola (cut).

La prima regola concerne il caso in cui una delle premesse della regola (cut) è conclusione della regola (⊕1):

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, A ∨B

...π2

⊢ ¬A,∆

...π3

⊢ ∆, B⊢ ¬A ∧ ¬B,∆

⊢ Γ,∆

(⊕1,&,cut)

...π1

⊢ Γ, A

...π2

⊢ ¬A,∆⊢ Γ,∆

La seconda regola concerne il caso in cui una delle premesse della regola (cut) è conclusione della regola(⊕2):

...π1

⊢ Γ, B⊢ Γ, A ∨B

...π2

⊢ ¬A,∆

...π3

⊢ ∆, B⊢ ¬A ∧ ¬B,∆

⊢ Γ,∆

(⊕2,&,cut)

...π1

⊢ Γ, B

...π3

⊢ ¬B,∆⊢ Γ,∆

È evidente che entrambe queste regole di trasformazione trasformano analisi in analisi, mantengono ilsequente finale e preservano le derivazioni.

1.5.3 Interderivabilità delle regole moltiplicative e delle regole additive

Le due regole moltiplicative di inferenza sui connettivi preposizionali sono derivabili dalle regole additive diinferenza sui connettivi preposizionali e dalle regole strutturali. Infatti:

• date le due premesse ⊢ Γ1, A e ⊢ Γ2, B di una applicazione della regola (⊗), dapprima - mediantela regola strutturale (W+) applicata a ciascuna delle premesse - si ottengono i sequenti ⊢ Γ1,Γ2, A e⊢ Γ1,Γ2, B e infine si ottiene mediante la regola (&) il sequente ⊢ Γ1,Γ2, A ∧B;

• data la premessa ⊢ Γ, A,B di una applicazione della regola (`), mediante (⊕1) si ottiene ⊢ Γ, A∨B,Bda cui mediante (⊕2) si ottiene ⊢ Γ, A∨B,A ∨B e infine mediante la regola strutturale (C) si ottieneil sequente ⊢ Γ, A ∨B.

Le tre regole additive di inferenza sui connettivi preposizionali sono derivabili dalle regole moltiplicative diinferenza sui connettivi preposizionali e dalle regole strutturali. Infatti:

17

• date le due premesse ⊢ Γ, A e ⊢ Γ, B di una applicazione della regola (&), dapprima mediante la regolamoltiplicativa (⊗) si ottiene il sequente ⊢ Γ,Γ, A ∧ B e infine si ottiene mediante la regola strutturale(C+) il sequente ⊢ Γ, A ∧B;

• data la premessa ⊢ Γ, A di una applicazione della regola (⊕1), mediante la regola strutturale (W) siottiene ⊢ Γ, A,B da cui mediante (`) si ottiene ⊢ Γ, A ∨B;

• data la premessa ⊢ Γ, B di una applicazione della regola (⊕2), mediante la regola strutturale (W) siottiene ⊢ Γ, A,B da cui mediante (`) si ottiene ⊢ Γ, A ∨B.

La trasformazione prodotta dalla regola di trasformazione moltiplicativa sui connettivi preposizionali puòessere compiuta anche trasformando dapprima le regole moltiplicative mediante le regole additive e le regolestrutturali, e poi eseguendo le regole di trasformazione additive e quelle strutturali. Analogamente, latrasformazione prodotta da una delle regole di trasformazione additiva sui connettivi preposizionali puòessere compiuta anche trasformando dapprima le regole additive mediante le regole moltiplicative e le regolestrutturali, e poi eseguendo la regole di trasformazione moltiplicativa e le regole di trasformazione strutturale.

1.6 Regole del calcolo dei sequenti sui quantificatori

Le regole del calcolo dei seguenti per i quantificatori ∀ e ∃ due regole di inferenza e una regola di trasforma-zione.

Le regole sono le stesse per ogni tipologia di quantificazione: ossia per la quantificazione sulle variabiliindividuali, per la quantificazione sulle variabili per proposizioni, per la quantificazione sulle variabili perfunzioni, per la quantificazione sulle variabili per predicati e per la quantificazione sulle variabili per insiemi.

Quel che è necessario per applicare le regole per una tipologia di quantificazione, ossia per la quantificazionesu un tipo T di variabili, è disporre della nozione di variabile di tipo T , di quella di termine di tipo T , quelladi occorrenza libera di una variabile di tipo T e di quella di sostituzione di una variabile di tipo T con untermine di quello stesso tipo T . In particolare:

• nel caso del tipo degli individui, le variabili di quel tipo sono le variabili individuali, i termini di queltipo sono i termini di un linguaggio del primo ordine, A[t/x] denota la formula ottenuta dalla formulaA sostituendo la variabile individuale x con il termine del primo ordine t (ossia rimpiazzando con ttutte le occorrenze libere di quella variabile x in A), e π[t/x] debita l’analisi (la derivazione) ottenutasostituendo la variabile individuale x con il termine del primo ordine t (ossia rimpiazzando con t tuttele occorrenze libere della variabile x nelle formule presenti in π);

• nel caso del tipo delle proposizioni, le variabili di quel tipo sono le variabili per proposizioni e i terminidi quel tipo sono le formule del linguaggio considerato, A[B/X ] denota la formula ottenuta dalla for-mula A sostituendo la variabile per proposizioni X con la formula B (ossia rimpiazzando con B tutte leoccorrenze libere di quella variabile X in A), e π[B/X ] debita l’analisi (la derivazione) ottenuta sosti-tuendo la variabile per proposizioni X con la formula B (ossia rimpiazzando con B tutte le occorrenzelibere della variabile X nelle formule presenti in π).


Le regole di inferenza per i quantificatori del primo ordine (ossia per i quantificatori su variabili individuali)sono le seguenti due regole unarie:

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA

(∃)(ttermine del primo ordine,xvariabile individuale)

18

⊢ Γ, A[y/x]⊢ Γ, ∀xA

(∀)(y variabile individuale non libera in Γ, x variabile individuale)

In generale, le regole di inferenza per i quantificatori su un tipo T di variabili sono:

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA

(∃)(ttermine di tipo T ,xvariabile di tipo T )

⊢ Γ, A[y/x]⊢ Γ, ∀xA

(∀)(y variabile di tipo T non libera in Γ, x variabile di tipo T )

La regola (∃) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una formula ∃xA in un contesto:essere derivabile in quello stesso contesto una formula A[t/x] ossia una istanza di ∃xA (senza porre alcunacondizione su questa istanza).

La regola (∀) stabilisce una condizione sufficiente per la derivabilità di una formula ∀xA in un contesto:essere derivabile in quello stesso una formula A[y/x] con y non libera in quel contesto, ossia un’istanza di∀xA sulla quale nulla viene fissato nel contesto, ossia una istanza di ∀xA che è trattata come istanza genericain quel contesto.

La regola (∀) è reversibile. Infatti,dalla conclusione ⊢ Γ, ∀xA di (∀) si ottiene la premessa della stessa regola,come segue: si prende una variabile y (dello stesso tipo di x ) che non compaia in Γ ( e una tale variabilec’è necessariamente, perchè le variabili di un tipo sono infinite mentre le variabili presenti in una successionefinita di formule sono in numero finito), e si ricava la premessa della regola (∀) ⊢ Γ, A[y/x] mediante un (cut)l e cui premesse sono ⊢ Γ, ∀xA e il sequente ∃x¬A,A[y/x] che è derivabile mediante (∃) dalla conclusione di(id) ¬A[y/x], A[y/x].

La regola (∃) è non reversibile se nel calcolo non si derivano sequenti della forma ⊢ ¬A[y/x], A[t/x] con unavariabile y diversa da t dello stesso tipo. Infatti, il sequente ⊢ ∀x¬A, ∃xA è derivabile (poiché è conclusionedi (id)), e dunque se (∃) fosse reversibile sarebbe derivabile un sequente ⊢ ∀x¬A,A[t/x] e allora (per lareversibilità di (∀)) sarebbe derivabile un sequente ⊢ ¬A[y/x], A[t/x] con una y diversa da t.

Si noti che tutte le regole di inferenza sulle unità logiche e sui connettivi logici preservano il principio dellasottoformula, in quanto le formule che compaiono in almeno una delle premesse e che non compaiono nellaconclusione sono comunque sottoformule della formula introdotta nella conclusione. Invece, questo principionon viene preservato dalle regole di inferenza sui quantificatori, già nel caso in cui la quantificazione è sullevariabili individuali: infatti una formula A[t/x] non è sottoformula della formula ∃xA quando il termine t èdiverso dalla variabile x e anche la formula A[y/x] non è sottoformula della formula ∀xA quando la variabiley è diversa dalla variabile x.

Per far sì che anche la regola (∀) preservi in qualche modo il principio della sottoformula, dobbiamo estendereun po’ la nozione di sottoformula, ritenendo che sottoformula di una formula quantificata ∀xA o ∃xA sononon solo le formule che compaiono nei nodi ma anche tutte le formule A[y/x] dove y è una variabile dellostesso tipo di x. Questa estensione è abbastanza ragionevole poiché per tante ragioni dovremmo ritenereuguali la formula ∀xA e la formula ∀yA[y/x], cioé la formula che si ottiene dalla prima cambiando la variabilevincolata x con la variabile vincolata y purché entrambe le variabili siano dello stesso tipo.

Per far sì che anche la regola (∃) - limitata alla quantificazione sulle variabili individuali preservi in qualchemodo il principio della sottoformula - dobbiamo estendere molto di più la nozione di sottoformula, ritenendoche sottoformula di una formula quantificata ∀xA o ∃xA sono non solo le formule che compaiono nei nodima anche tutte le formule A[t/x] dove t è un termine individuale: tale nozione è chiamata sottofomulaestesa. Questa estensione è ovviamente meno ragionevole della precedente, ma accettabile se non altro peril fatto che dal punto di visto logico un termine individuale è dello stesso grado di una variabile individuale,poiché non contiene alcun simbolo logico. E pertanto questa estensione non può essere fatta nel caso dellaquantificazione su variabili che non siano individuali: ad esempio, un termine dello stesso tipo di una variabileper proposizioni è una formula, ed essa può contenere un numero arbitrario di simboli logici.

19

1.6.2 Regola di trasformazione

Le regola di trasformazione sui quantificatori permette di trasformare una analisi (una derivazione) chetermina con un (cut) le cui premesse sono la conclusione della regola (∃) e la conclusione della regola (∀);tale analisi (derivazione) è trasformata in una analisi (derivazione) in cui

• sono state eliminate quelle applicazioni delle regole di inferenza sui quantiificatori e quella applicazionedel (cut)

• viene modificata (mediante la sostituzione di una variabile con un termine dello stesso tipo) l’analisi(la derivazione) della premessa della regola (∀)

• compare una applicazioni più semplice della regola (cut).

.

La regola è la stessa per ogni tipologia di quantiificatori.

...π1

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA ∨B

...π2

⊢ ¬A[y/x],∆⊢ ∀x¬A,∆

⊢ Γ,∆

(∃,∀,cut)

...π1

⊢ Γ, A[t/x]

...π2[t/y]

⊢ ¬A[t/x],∆⊢ Γ,∆

Si noti che la sostituzione π2[t/y] non modifica affatto il contesto ∆ poiché in tale contesto y non puòoccorrere libera (in quanto questa condizione è quella che permette di applicare la regola (∀) con cui da⊢ Γ,¬A[y/x] si passa a ⊢ Γ, ∀¬A[y/x].


1.7 Regole di permutazione del calcolo dei sequenti

Le regole di permutazione del calcolo dei sequenti sono regole di trasformazione, una per ciascuna regola diinferenza unaria o binaria del calcolo dei sequenti.

Ogni regola di permutazione ha come premessa una analisi (una derivazione) che termina con una regola (cut)e nella quale una delle premesse è conclusione di una regola di inferenza (R) che introduce una occorrenzadi una formula che non è tagliata dalla applicazione della regola (cut) (ossia la regola (R) viene prima dellaregola (cut) e non concerne la formula tagliata da quella regola), e ha come conclusione una analisi (unaderivazione) in cui la regola (R) è compiuta dopo la regola (cut).

Si tenga conto che se (R) è una regola unaria e non concerne una formula A (ossia lascia inalterata dallapremessa alla conclusione quella occorrenza della formula A), allora tale regola si presenta sempre in questaforma:

⊢ Λ, A⊢ Γ, A

(R)

Per ogni regola unaria (R) la regola di permutazione che concerne la regola (R) è la seguente:

20

...π1

⊢ Λ, A⊢ Γ, A

...π2

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ,∆

(Perm,(R),(cut))

...π1

⊢ Λ, A

...π2

⊢ ¬A,∆⊢ Λ,∆⊢ Γ,∆

dove l’ analisi che costituisce la conclusione termina con una applicazione della regola (R).

Si verifichi, per ciascuna regola (R), che tale regola di trasformazione permette di passare da una analisi adun’analisi, e da una derivazione ad una derivazione.

La regola binaria (⊗) quando non concerne una occorrenza di una formula A e nella conclusione introduceuna formula B ∧C si può presentare in una di queste due forme:

⊢ Γ1, B,A ⊢ Γ2, C⊢ Γ1,Γ2, B ∧ C,A

(⊗)⊢ Γ1, B ⊢ Γ2, C,A⊢ Γ1,Γ2, B ∧ C,A

(⊗)

Pertanto la regola di permutazione che concerne la regola (⊗) si presenta nelle due forme seguenti, una perciascuna delle due forme in cui si presenta la regola (⊗) che non concerne la formula tagliata:

...π1

⊢ Γ1, B,A

...π2

⊢ Γ2, C⊢ Γ1,Γ2, B ∧ C,A

...π3

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ1,Γ2, B ∧ C,∆

(Perm,(⊗),(cut),1)

...π1

⊢ Γ1, B,A

...π3

⊢ ¬A,∆⊢ Γ1,∆, B

...π2

⊢ Γ2, C

⊢ Γ1,Γ2, B ∧C,∆

...π1

⊢ Γ1, B

...π2

⊢ Γ2, C,A⊢ Γ1,Γ2, B ∧ C,A

...π3

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ1,Γ2, B ∧ C,∆

(Perm,(⊗),(cut),2)

...π1

⊢ Γ1, B

...π2

⊢ Γ2, C,A

...π3

⊢ ¬A,∆⊢ Γ2,∆, C

⊢ Γ1,Γ2, B ∧C,∆

La regola binaria (&) quando non concerne una occorrenza di una formula A e nella conclusione introduceuna formula B ∧C si presenta in questa forma:

⊢ Γ, B,A ⊢ Γ, C,A⊢ Γ, B ∧C,A

(&)

Pertanto la regola di permutazione che concerne la regola (&) si presenta nella forma seguente:

21

...π1

⊢ Γ, B,A

...π2

⊢ Γ, C,A⊢ Γ, B ∧ C,A

...π3

⊢ ¬A,∆

⊢ Γ, B ∧ C,∆

(Perm,(&),(cut))

...π1

⊢ Γ, B,A

...π3

⊢ ¬A,∆⊢ Γ,∆, B

...π2

⊢ Γ2, C,A

...π3

⊢ ¬A,∆⊢ Γ,∆, C

⊢ Γ, B ∧ C,∆

1.8 Il principio della sottoformula e l’eliminazione dei tagli

Una derivazione ψ soddisfa il principio della sottoformula quando ogni formula presente nella derivazione èsottoformula di qualche formula presente nel sequente finale di π.

Una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula corrisponde a una dimostrazione analitica: nelladimostrazione vengono usati solo concetti contenuti nell’asserto dimostrato.

Una derivazione ψ soddisfa il principio della sottoformula estesa quando ogni formula presente nella deriva-zione è sottoformula estesa di qualche formula presente nel sequente finale di π.

Una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula estesa corrisponde a una dimostrazione logica-mente analitica: i concetti logici usati nella dimostrazione sono solo quelli contenuti nell’asserto dimostrato.

È possibile, e quando, in linea di principio, trasformare ogni derivazione nel calcolo dei sequenti in unaderivazione che soddisfa il principio della sottoformula?

È possibile, e quando, in linea di principio, trasformare ogni derivazione nel calcolo dei sequenti in unaderivazione che soddisfa il principio della sottoformula estesa?

Si noti che ogni analisi o una derivazione che sia cut-free π e senza le regole sui quantificatori soddisfail principio della sottoformula: poiché tutte le regole usate in tale derivazione preservano il principio dellasottoformula, ogni formula presente nella derivazione è sottoformula di qualche formula presente nel sequentefinale di π.

Un teorema - dimostrato in una forma diversa, e più generale da Gentzen - stabilisce che ogni derivazionesenza premesse può essere trasformata - mediante le regole di trasformazione del calcolo dei sequenti - inuna derivazione cut-free ossia , e quindi che nella logica senza quantificatori ogni derivazione può esseretrasformata in una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula

Teorema 1. Teorema di eliminazione del taglio per la logica senza quantificatori. Se π è una derivazionedi ⊢ Γ da nessuna premessa nel calcolo dei sequenti senza le regole di inferenza sui quantificatori, allora nelcalcolo dei sequenti senza le regole di inferenza sui quantificatori esiste una derivazione cut-free ψ di ⊢ Γ taleche:

• π ψ

• ψ non ha regole strutturali di inferenza, se π non le ha

Dimostrazione. ...

Una analisi o una derivazione cut-free π nella quale sono usate le regole sui quantificatori solo per la quanti-ficazione su variabili individuali, ossia una analisi o derivazione del primo ordine, soddisfa il principio dellasottoformula estesa: poiché ogni regola usata nella derivazione preserva il principio della sottoformula estesa,

22

ogni formula presente nella derivazione è sottoformula estesa di qualche formula presente nel sequente finaledi π.

Un teorema - dimostrato in una forma diversa da Gentzen - stabilisce che ogni derivazione senza premessepuò essere trasformata - mediante le regole di trasformazione del calcolo dei sequenti - in una derivazionecut-free ossia in una derivazione che soddisfa il principio della sottoformula estesa.

Teorema 2. Teorema di eliminazione del taglio per la logica del primo ordine

Se π è una derivazione di ⊢ Γ da nessuna premessa nel calcolo dei sequenti per la logica classica del primoordine, senza le regole di inferenza sui quantificatori, allora nel calcolo dei sequenti per la logica classica delprimo ordine esiste una derivazione cut-free ψ di ⊢ Γ tale che:

• π ψ

• ψ non ha regole strutturali di inferenza, se π non le ha

Dimostrazione. ...

1.9 Gli invarianti delle derivazioni, la diversità delle derivazioni di

una stessa formula

Nel calcolo dei sequenti viene definita la relazione π ψ tra analisi e dunque tra derivazioni.

Quando per due derivazioni π e ψ si ha che π ψ , in un certo senso le due derivazioni sono uguali nelsenso che entrambe rappresentano una dimostrazione che si manifesta in forme diverse lungo il processo ditrasformazione.

O meglio: si deve poter assegnare ad ogni derivazione π un qualcosa (meglio ancora, qualcosa appartenentea una buona classe di strutture matematiche) che sarà denotato con ‖π‖ ( e sarà chiamato l’invariante delladerivazione π) in modo che valga: se π ψ allora ‖π‖ = ‖ψ‖. Una siffatta assegnazione di un oggetto‖π‖ ad ogni derivazione π sarà chiamata assegnazione di invarianti alle derivazioni o anche semantica dellederivazioni (semantica delle dimostrazioni).

Pertanto, sotto qualunque assegnazione di invarianti alle derivazioni, si dovrà avere: se ψ π1 e ψ π2 ,allora ‖π1‖ = ‖ψ‖ e ‖π2‖ = ‖ψ‖ cosicché ‖π1‖ = ‖π2‖. Ossia: due derivazioni che si trasformano entrambein una terza devio essere ritenute uguali.

Una assegnazione di invarianti alle derivazioni è banale quando rende sempre uguali due derivazioni di unastessa formula, ossia quando vale che per ogni formula A se π1 e π2 sono derivazioni dello stesso sequente⊢ A allora ‖π1‖ = ‖π2‖.

Il teorema seguente mostra che in logica classica - per la presenza delle regole strutturali - ogni assegnazionedi invariati è banale, e dunque che in logica classica siamo sempre obbligati a dichiarare uguali tutte lederivazioni di una stessa formula; in sostanza, ciò mostra che in logica classica quel che conta non sono lesingole dimostrazioni bensì la dimostrabilità, e ciò per effettio delle regole strutturali.

Teorema 3. Sia A una formula, π1 una derivazione di ⊢ A e π2 una derivazione di ⊢ A.

Esiste una derivazione ψ di ⊢ A tale che ψ π1 e ψ π2. Pertanto, ‖π1‖ = ‖π2‖.

Dimostrazione. Date le derivazioni π1 e π2 di ⊢ A si costruisca la seguente derivazione ψ di ⊢ A mediantedue applicazioni della regola (W), una successiva applicazione della regola (cut) e una applicazione finaledella regola (C):

23

...π1

⊢ A⊢ A,B

...π2

⊢ A⊢ ¬B,A

⊢ A,A⊢ A

ψ π1 e ψ π2, usando le regole strutturali di trasformazione (W,cut) e (W,C):

...π1

⊢ A⊢ A,B

...π2

⊢ A⊢ ¬B,A

⊢ A,A⊢ A

(W,cut)

...π1

⊢ A⊢ A,A⊢ A

(W,C)

...π1

⊢ A

...π1

⊢ A⊢ A,B

...π2

⊢ A⊢ ¬B,A

⊢ A,A⊢ A

(W,cut)

...π2

⊢ A⊢ A,A⊢ A

(W,C)

...π2

⊢ A

1.10 Alcune formule derivabili e le loro derivazioni cut-free

Consideriamo la seguente formula

∀X(¬X ∨X)

dove X è una variabile per proposizioni. Tale formula può essere scritta anche come

∀X(X → X)

e verrà chiamata ID (identità). ID è derivabile, ossia il sequente ⊢ ∀X(¬XveeX) è derivabile, e esiste solouna derivazione cut-free di ⊢ ∀X(¬XveeX) (una derivazione che non fa uso di regole strutturali).


∀X(¬X ∨ (¬X ∨X))


∀X(X → (X → X))

e verrà chiamata BOOLE (booleani). BOOLE è derivabile, ossia il sequente ⊢ ∀X(¬X ∨ (¬X ∨ X) èderivabile, e esistono solo due derivazione cut-free di ⊢ ∀X(¬X ∨ X), entrambe le derivazione fanno usodella regola strutturali (W) (una dimostrazione per introdurre la prima occorrenza di ¬A e la secondadimostrazione per introdurre la seconda occorrenza di ¬A).


24

∀X((X ∧ ¬X) ∨ (¬X ∨X))


∀X((X → X)→ (X → X))

e verrà chiamata INT (interi, numeri naturali). INT è derivabile, ossia il sequente ⊢ ∀X(¬X ∨ (¬X ∨X))è derivabile, e esistono infinite derivazioni cut-free di ⊢ ∀X(¬X ∨ (¬X ∨X)):

• una derivazione fa uso della regola (W) per introdurre la formula (X ∧ ¬X),

• un’altra derivazione fa nessun uso delle regole strutturali,

• un’altra derivazione fa uso di una applicazione della regola (C) per contrarre due occorrenze di (X∧¬X),

• per ogni n esiste una derivazione che fa uso di n applicazioni della regola (C) per contrarre n + 1occorrenze di (X ∧ ¬X).

25

26

Capitolo 2

Logica Intuizionista, corrispondenza

Curry-Howard, sistema F

2.1 Le formule e i sequenti della logica intuizionista

La logica intuizionista si ottiene dalla logica classica mediante la rinuncia alla dualità nella classe delleformule e in quella dei sequenti, in modo che con le formule e i sequenti non possa più essere fatta quellacatena di inferenze che portavano da due derivazioni π1 e π2 della stessa formula a una nuova derivazionedella stessa formula che si trasforma in ciascuna delle due derivazioni π1 e π2 che devono dunque essereconsiderate uguali.

2.1.1 Formule intuizioniste e sequenti intuizionisti

La classe delle formule della logica classica viene limitata a una sottoclasse di formule (formule intuizioniste),prendendo come intuizionista una sola formula per ogni coppia di formule (A,B) che siano una la negazionedell’altra e che chiameremo (secondo la tradizione aristotelica) coppie contraddittorie, nel modo seguente,per induzione sulla costruzione delle coppie di formule della logica classica.

• BASE DI INDUZIONE (formule atomiche)

– nella coppia contraddittoria (V ERO,FALSO), si prende come intuizionista la formula FALSO,

– nella coppia contraddittoria (A,B) dove A e B sono formule atomiche diverse da V ERO eFALSO, una sola delle due è presa come formula intuizionista.


– Sia stata già scelta la formula intuizionista in ciascuna di due coppie contraddittorie (A,¬A) e(B,¬B) e siano A,B le formule scelte come intuizioniste. La scelta della formula intuizionistaall’interno delle coppie contraddittorie (A∧B,¬A∨¬B), (¬A∧B,A∨¬B), (A∧¬B,¬A∨B), (¬A∧¬B,A ∨B) è fatta come segue:

∗ nella coppia (A ∧B,¬A ∨ ¬B) la formula intuizionista è A ∧B,∗ nella coppia (¬A ∧B,A ∨ ¬B) la formula intuizionista è A ∨ ¬B che viene rappresentata daB ← A,∗ nella coppia (A ∧ ¬B,¬A ∨B) la formula intuizionista è A ∨ ¬B che viene rappresentata daA→ B,

27

∗ nella coppia (¬A ∧ ¬B,A ∨B) la formula intuizionista è A ∨B.

– Sia stata già scelta la formula intuizionista in ciascuna di due coppie contraddittorie (A,¬A) e(B,¬B) e siano A,B le formule scelte come intuizioniste. La scelta della formula intuizionistaall’interno delle coppie contraddittorie (∀xA, ∃x¬A) e (∃xA, ∀x¬A) è fatta come segue:

∗ nella coppia (∀xA, ∃x¬A) la formula intuizionista è ∀xA,∗ nella coppia (∃xA, ∀x¬A) la formula intuizionista è ∃xA.

• CLAUSOLA FINALE: nient’altro è formula intuizionista.

È facile mostrare che, per ogni formula classica A, se A non è intuizionista, allora A è ¬B di qualche formulaintuizionista.

La rinuncia intuizionista alla dualità nelle formule sta nel fatto che per nessuna formula intuizionista esisteil suo duale, ossia la sua negazione.

La classe dei sequenti della logica classica viene limitata a una sottoclasse di sequenti (sequenti intuizionisti):un sequente della logica classica è un sequente intuzionista se e soltanto se esso contiene esattamente unaformula intuizionista e tutte le altre formule sono dunque negazioni di formule intuizioniste.

Un sequente intuizionista può essere presentato nella forma ⊢ ¬(Γ), A dove A è una formula intuizionista eΓ è una successione finita di occorrenze di formule intuizioniste.

Un sequente intuizionista della forma ⊢ ¬(Γ), A (dove A è una formula intuizionista e Γ è una successionefinita di occorrenze di formule intuizioniste) viene spesso presentato nella forma Γ ⊢ A.

La rinuncia intuizionista alla dualità nei sequenti intuizionista sta nel fatto che non solo si usano formuleintuizioniste ma anche si tratta in maniera del tutto asimmetrica lo spazio costituito dalle negazioni delleformule intuizioniste (che può contenere un arbitrario numero finito di elementi) e quello costituito dalleformule intuizioniste (che contiene esattamente un elemento); in sostanza quando un sequente intuizionistaviene rappresentato nella forma Γ ⊢ A a sinistra del simbolo ⊢ ci può essere un numero finito arbitrario dioccorrenze di formule, nello spazio a destra del simbolo ⊢ ci deve essere soltanto esattamente una occorrenzadi formula.

Si verifichi che sono intuizioniste le formule considerate nella sezione 1.10.

2.1.2 Altra definizione delle formule intuizioniste e dei seguenti intuizionisti

Le formule intuizioniste possono essere anche definite con questa definizione induttiva:

• BASE DI INDUZIONE (Formule atomiche intuizioniste)

– FALSO è una formula intuizionista;

– Se A e B sono due formule atomiche classiche contraddittorie, allora una e una sola di esse è unaformula intuizionista.


– Se A e B sono formule intuizioniste, allora A ∧B, A→ B e A ∨B sono formule intuizioniste;

– se A è una formula intuizionista, e x è una variabile e ∀x e ∃x non occorrono in A, allora ∀xA e∃xA sono formule intuizioniste.

• CLAUSOLA FINALE: nient’altro è una formula intuizionista.

E i sequenti intuizionisti possono essere definiti in questa maniera: un sequente intuizionista è una coppiacostituita da un multinsieme finito (anche vuoto) di formule intuizioniste (le premesse del sequente), e unasola formula intuizionista (la conclusione del sequente), e può essere rappresentate come Γ ⊢ A dove Γ è unasuccessione di tutte le premesse del sequente e A è la conclusione del sequente.

28

2.1.3 La negazione intuizionista

Se A è una formula intuizionista, allora la negazione intuizionista di A (denotata ∼ A) è la formula definitacome segue: ∼ A = A→ FALSO.

Mostriamo che : se A è una formula intuizionista, allora anche ∼ A lo è e . ∼ A è equivalente a ¬A.

Infatti, è evidente che la negazione intuizionista di una formula intuizionista è una formula intuizionista cheperò non è uguale alla negazione classica: se A è una formula intuizionista, allora ∼ A = A → FALSO =¬A ∨ FALSO. La negazione intuizionista di una formula intuizionista è solo equivalente alla sua negazioneclassica: da ¬A si ottiene ∼ A mediante la regola (`), e da ∼ A si ottiene ¬A poiché la regola (`) èreversibile.

Mostriamo che, se A è una formula classica e non è intuizionista, allora A è equivalente a ∼ (¬A).

Infatti, se A è una formula classica e non è intuizionista, allora è intuizionista la sua negazione ¬A, e perquanto abbiamo mostrato sopra ∼ (¬A) è equivalente a ¬¬A che è la formula A.

Quando Γ è una successione finita di formule intuizioniste, con ∼ (Γ) denotiamo la successione che si ottienerimpiazzando ogni formula A in Γ con ∼ A.

2.2 Derivazioni intuizioniste

Una derivazione intuizionista è una derivazione in logica classica, nella quale ogni sequente è un sequenteintuizionista.

Un sequente intuizionista è derivabile in logica intuizionista (da un insieme M anche vuoto di seguentiintuizionisti) se e soltanto se esiste una sua derivazione intuizionista (da M).

Pertanto, ogni sequenze intuizionista derivabile nella logica intuizionista è anche derivabile nella logicaclassica.

Una inferenza intuizionista è un’inferenza secondo una delle regole di inferenza della logica classica, nellaquale le premesse e la conclusione sono sequenti intuizionisti.

Una trasformazione intuizionista di derivazioni è una trasformazione di derivazioni secondo una regola ditrasformazione della logica classica, nella quale le due derivazioni sono intuizioniste.

Nei paragrafi successivi di questa sezione mostreremo, per ciascuna regola (di inferenza o di trasformazione)della logica classica, le forme con cui si presentano le inferenze intuizioniste o le trasformazioni di derivazioniintuizioniste secondo quella regola. Tali forme le indicheremo scrivendo i sequenti intuizionisti nel formatoΓ ⊢ A con A formula intuizionista e Γ successione finita di formule intuizioniste.

2.2.1 Regole basilari in logica intuizionista

Le inferenze intuizioniste secondo le regole basilari di inferenza sono quelle che si riconducono ai seguenticasi:

A ⊢ A(id)

Γ ⊢ A A,∆ ⊢ BΓ,∆ ⊢ B

(cut)

Le trasformazioni di derivazioni intuizioniste secondo la regola basilare di trasformazione sono quelle che siriconducono ai due casi seguenti:

29

A ⊢ A

...πA,Γ ⊢ B

A,Γ ⊢ B

(id,cut)

...πA,Γ ⊢ B

...πΓ ⊢ A

A ⊢ AΓ ⊢ A

(id,cut)

...πΓ ⊢ A

2.2.2 Regole strutturali in logica intuizionista

Le inferenze intuizioniste secondo le regole strutturali di inferenza sono quelle che si riconducono ai seguenticasi:

Γ ⊢ BA,Γ ⊢ B

(W )A,A,Γ ⊢ BA,Γ ⊢ B

(C)

Le trasformazioni di derivazioni intuizioniste secondo le regole strutturali di trasformazione sono quelle chesi riconducono ai due casi seguenti:

...π1

Γ ⊢ A

...π2

∆ ⊢ BA,∆ ⊢ B

Γ,∆ ⊢ B

(W,cut)

...π2

∆ ⊢ BΓ∆ ⊢ B

...π1

Γ ⊢ A

...π2

A ,A,∆ ⊢ BA,∆ ⊢ B

⊢ Γ,∆

(C,cut)

...π1

Γ ⊢ A

...π1

Γ ⊢ A

...π1

⊢ Γ, A,A⊢ Γ,∆, A

⊢ Γ,∆,∆⊢ Γ,∆

2.2.3 Regole sulle unità logiche in logica intuizionista

Le inferenze intuizioniste secondo le regole di inferenza sulle unità logiche sono quelle che si riconducono alseguente caso della fregola additiva (T):

FALSO,Γ ⊢ B(T )

e questo caso viene chiamato in logica intuizionista con il nome (FALSO, L).

2.2.4 Regole sui connettivi proposizionali in logica intuizionista

Le inferenze intuizioniste secondo la regola moltiplicativa di inferenza (⊗) sono quelle che si riconducono aiseguenti casi, per ciascuno dei quali indichiamo il nome dato nella logica intuizionista:

30

Γ ⊢ A ∆ ⊢ BΓ,∆ ⊢ A ∧B

(∧,m,R)Γ ⊢ A B,∆ ⊢ CA→ B,Γ,∆ ⊢ C

(→, L)A,Γ ⊢ C ∆ ⊢ BB → A,Γ,∆ ⊢ C

(→, L)

dove il terzo caso risulta essere solo una diversa equivalente formulazione del secondo caso.

Le inferenze intuizioniste secondo la regola moltiplicativa di inferenza (`) sono quelle che si riconducono aiseguenti casi, per ciascuno dei quali indichiamo il nome dato nella logica intuizionista:

A,Γ ⊢ BΓ ⊢ A→ B

(→, R)A,B,Γ ⊢ C

A ∧B,Γ ⊢ A→ B(∧, L)

Le trasformazioni intuizioniste secondo la regola moltiplicativa di trasformazione delle derivazioni (⊗,`, cut)si riconducono ai seguenti due casi, il primo dei quali viene visto in logica intuizionista come regola di riduzionemoltiplicativa della congiunzione e il secondo come regola di riduzione della implicazione:

...π1

Γ 1 ⊢ A

...π2

Γ 2 ⊢ BΓ1,Γ2 ⊢ A ∧B

...π3

A ,B,∆ ⊢ CA ∧B,∆ ⊢ C

Γ1,Γ2,∆ ⊢ C

(⊗,`,cut)

...π1

Γ 1 ⊢ A

...π2

Γ 2 ⊢ B

...π3

B ,A,∆ ⊢ CA,Γ2,∆ ⊢ C

Γ1,Γ2,∆ ⊢ C

...π1

Γ 1 ⊢ A

...π2

B ,Γ2 ⊢ CA→ B,Γ1,Γ2 ⊢ C

...π3

A ,∆ ⊢ B∆ ⊢ A→ B

Γ1,Γ2,∆ ⊢ C

(⊗,`,cut)

...π1

Γ 1 ⊢ A

...π2

B ,Γ2 ⊢ C

...π3

A ,∆ ⊢ BA,Γ2,∆ ⊢ C

Γ1,Γ2,∆ ⊢ C

Le inferenze intuizioniste secondo la regola additiva di inferenza (&) sono quelle che si riconducono ai seguenticasi, per ciascuno dei quali indichiamo il nome dato nella logica intuizionista:

Γ ⊢ A Γ ⊢ BΓ ⊢ A ∧B

(∧, R)A,Γ ⊢ C B,Γ ⊢ C

A ∨B,Γ ⊢ C(∨, L)

Le inferenze intuizioniste secondo la regola additiva di inferenza (⊕) sono quelle che si riconducono ai seguenticasi, per ciascuno dei quali indichiamo il nome dato nella logica intuizionista:

Γ ⊢ AΓ ⊢ A ∨B

(∨, R1)Γ ⊢ B

Γ ⊢ A ∨B(∨, R2)

A,Γ ⊢ CA ∧B,Γ ⊢ C

(∧, L1)B,Γ ⊢ C

A ∧B,Γ ⊢ C(∧, L2)

Le trasformazioni intuizioniste secondo le due regole additive di trasformazione delle derivazioni (⊕,&, cut)si riconducono ai seguenti quattro casi, dei quali i primi due vengono visti in logica intuizionista come regoladi riduzione della disgiunzione e gli altri due come regola di riduzione (additiva) della congiunzione:

...π1

Γ ⊢ AΓ ⊢ A ∨B

...π2

A ,∆ ⊢ C

...π3

B ,∆ ⊢ CA ∨B,∆ ⊢ C

Γ,∆ ⊢ C

(⊕1,&,cut)

...π1

Γ ⊢ A

...π2

A ,∆ ⊢ CΓ,∆ ⊢ C

...π1

Γ ⊢ BΓ ⊢ A ∨B

...π2

A ,∆ ⊢ C

...π3

B ,∆ ⊢ CA ∨B,∆ ⊢ C

Γ,∆ ⊢ C

(⊕2,&,cut)

...π1

Γ ⊢ B

...π3

B ,∆ ⊢ CΓ,∆ ⊢ C

31

...π1

A ,Γ ⊢ CA ∧B,Γ ⊢ C

...π2

∆ ⊢ A

...π3

∆ ⊢ B∆ ⊢ A ∧B

Γ,∆ ⊢ C

(⊕1,&,cut)

...π1

A ,Γ ⊢ C

...π2

∆ ⊢ AΓ,∆ ⊢ C

...π1

B ,Γ ⊢ CA ∧B,Γ ⊢ C

...π2

A ,∆ ⊢ C

...π3

B ,∆ ⊢ CA ∨B,∆ ⊢ C

Γ,∆ ⊢ C

(⊕2,&,cut)

...π1

B ,Γ ⊢ C

...π3

∆ ⊢ BΓ,∆ ⊢ C

La regola (∧,m,R) è derivabile in logica intuizionista - mediante le regole strutturali - dalla regola (∧, R)che viene usualmente presa come unica regola di introduzione della congiunzione nella parte destra di unsequente intuizionista. Analogamente la regola (∧,m, L) è derivabile in logica intuizionista - mediante leregole strutturali - dalle regole (∧, L1) e (∧, L2) che sono usualmente prese come uniche regole di introduzionedella congiunzione nella parte sinistra di un sequente intuizionista.

2.2.5 Regole sui quantificatori in logica intuizionista

Le inferenze intuizioniste secondo la regola di inferenza (∃) (per la quantificazione su variabili di un tipoqualsiasi T ) sono quelle che si riconducono ai seguenti casi, per ciascuno dei quali indichiamo il nome datonella logica intuizionista:

Γ ⊢ A[t/x]Γ ⊢ ∃xA

(∃, R)(ttermine di tipo T ,xvariabile di tipo T )

A[t/x],Γ ⊢ C∀xA ⊢ C

(∀, L))(ttermine di tipo T ,xvariabile di tipo T )

Le inferenze intuizioniste secondo la regola di inferenza (∀) (per la quantificazione su variabili di un tipoqualsiasi T ) sono quelle che si riconducono ai seguenti casi, per ciascuno dei quali indichiamo il nome datonella logica intuizionista:

Γ ⊢ A[y/x]Γ ⊢ ∀xA

(∀, R)(y variabile di tipo T non libera in Γ, x variabile di tipo T )

A[y/x],Γ ⊢ CΓ, ∃xA ⊢ C

(∃, L)(y variabile di tipo T non libera in Γ, x variabile di tipo T )

Le trasformazioni intuizioniste secondo la regola di trasformazione delle derivazioni (∃, ∀, cut) si riconduco-no ai seguenti due casi, il primo dei quali viene visto in logica intuizionista come regola di riduzione delquantificatore esistenziale e il secondo come regola di riduzione della quantificazione universale:

...π1

Γ ⊢ A[t/x]Γ ⊢ ∃xA

...π2

A [y/x],∆ ⊢ C∃xA,∆ ⊢ C

Γ,∆ ⊢ C

(∃,∀,cut)

...π1

Γ ⊢ A[t/x]

...π2[t/y]

A [t/x],∆ ⊢ CΓ,∆ ⊢ C

...π1

A [t/x],Γ ⊢ C∀xA,Γ ⊢ C

...π2

∆ ⊢ A[y/x]∆ ⊢ ∀xA

Γ,∆ ⊢ C

(∃,∀,cut)

...π1

A [t/x],Γ ⊢ C

...π2[t/y]

∆ ⊢ A[t/x]Γ,∆ ⊢ C

32

2.3 Derivabilità classica e derivabilità intuizionista

I risultati considerati in 1.8 per la logica classica, intorno al principio della sottoformula e all’eliminazionedei tagli, valgono anche per la logica intuizionista.

Il teorema 3 non vale per la logica intuizionista: difatti, come vedremo, esistono assegnazioni non banali diinvariati per le derivazioni della logica intuizionista. Si osservi - per il momento - che la dimostrazione delteorema 3 non può essere applicata alla logica intuizionista: date due derivazioni dello stesso sequente ⊢ Amediante (W) non posso aggiungere una formula B intuizionista come conclusione (nello spazio a destra di⊢) ad uno dei due seguenti e come ipotesi (nello spazio a sinistra di ⊢ ) all’altro sequente, poiché nella logicaintuizionista non c’è la possibilità di aggiungere conclusioni ad un sequente.

Ci soffermiamo ora su alcuni importanti risultati che chiariscono il rapporto tra la derivabilità in logicaclassica e quella in logica intuizionista, e si basano sulla negazione intuizionista e sulla doppia negazioneintuizionista.

2.3.1 La negazione intuizionista e la doppia negazione intuizionista

Innanzitutto, si osservi che sono regole intuizioniste derivabili le seguenti regole di inferenza:

Γ, A ⊢ FALSOΓ ⊢∼ A

(→, R)Γ ⊢ A

∼ A,Γ,∆ ⊢ C(→, L)e(FALSO)

dove C è una formula arbitraria (che può essere anche FALSO).

Si verifichi che sono derivabili in logica intuizionista i seguenti, per ogni formula A e per ogni formula B:

∼ (A ∨B) ⊢∼ A∧ ∼ B ∼ A∧ ∼ B ⊢∼ (A ∨B)

∼ (∃xA) ⊢ ∀x ∼ A ∀x ∼ A ⊢∼ (∃xA)

A ∧B ⊢∼ (∼ A∨ ∼ B) ∀xA ⊢∼ ∃x ∼ A

Una formula intuizionista A è equivalente in logica intuizionista alla sua doppia negazione intuizionista,quando sono derivabili in logica intuizionista i seguenti A ⊢∼∼ A e ∼∼ A ⊢ A.

Si accerti che è derivabile nella logica per ogni formula intuizionista A il sequente intuizionista A ⊢∼∼A (esercizio). Pertanto, una formula intuizionista A è equivalente in logica intuizionista alla sua doppianegazione intuizionista quando vale il sequente ∼∼ A ⊢ A.

Si osservi che ciascuna formula intuizionista, in logica classica, è equivalente alla sua doppia negazioneintuizionista: infatti i seguenti A ⊢∼∼ A e ∼∼ A ⊢ A sono derivabili in logica classica per ogni formula A.

Pertanto, le formule intuizioniste che non sono equivalenti in logica intuizionista alla loro doppia negazioneintuizionista forniscono esempi di seguenti intuizionisti che sono derivabili in logica classica e non derivabiliin logica intuizionista.

Si accerti anche (esercizio) che - se nella logica intuizionista non si deriva mai per le variabile proposizionaliP il sequente P ⊢ FALSO o il sequente ∼∼ P, P ⊢ FALSO - nella logica intuizionista ci sono formuleintuizioniste A tali che il sequente ∼∼ A ⊢ A non è derivabile, ossia esistono formule intuizioniste che nonsono equivalenti in logica intuizionista alla loro doppia negazione intuizionista.

Ma ci sono comunque formule intuizioniste A per le quali è derivabile il sequente ∼∼ A ⊢ A e dunque formuleintuizioniste che sono equivalenti in logica intuizionista alla loro doppia negazione intuizionista . Si verifichi(esercizio) che esempi di tali formule sono:

33

• la formula FALSO

• la negazione intuizionista di qualunque formula intuizionista, ossia ∼ A per ogni formula intuizionistaA.

Inoltre, se A e B sono formule intuizioniste equivalenti in logica intuizionista alla loro doppia negazioneintuizionista, allora la stessa proprieà è goduta dalla loro congiunzione, dalla loro implicazione e dalla loroquantificazione universale. Si verifichi infatti che in logica intuizionista, quando sono derivabili i seguenti∼∼ A ⊢ A e ∼∼ B ⊢ B, sono derivabili anche i seguenti

• ∼∼ (A ∧B) ⊢ A ∧B,

• ∼∼ (A→ B) ⊢ A→ B

• ∼∼ (∀xA) ⊢ ∀xA .

• ∼ (∼ A∨ ∼ B) ⊢ A ∧B

• ∼ ∃x ∼ A ⊢ ∀xA

Pertanto, in logica intuizionista, quando sono derivabili i seguenti ∼∼ A ⊢ A e ∼∼ B ⊢ B:

• A ∧B, ∼∼ (A ∧B) e ∼ (∼ A∨ ∼ B) sono equivalenti;

• ∼∼ (A ∨B) e ∼ (∼ A∧ ∼ B) sono equivalenti;

• ∀xA, ∼∼ ∀xA e ∼ ∃x ∼ A sono equivalenti;

• ∼∼ ∃xA e ∼ ∀x ∼ A sono equivalenti.

2.3.2 Traduzione della logica classica entro la logica intuizionista

Il teorema seguente mostra che ogni formula e ogni sequente derivabile in logica classica - opportunamentetradotto, in una traduzione classicamente equivalente - è derivabile anche in logica intuizionista. La tra-duzione delle formule e dei seguenti dalla logica classica alla logica intuizionista fa uso di ciò che abbiamovisto nella sezione precedente a proposito della doppia negazione intuizionista delle formule intuizioniste, edè quindi chiamata traduzione per doppia negazione.

Teorema 4. Esiste una traduzione g di ogni formula della logica classica in una formula della logicaintuizionista tale che:

1. per ogni formula classica A, g(A) e A sono equivalenti in logica classica, e in logica intuizionista g(¬A)è ∼ g(A) e g(A) è equivalente alla sua doppia negazione intuizionista e g(¬A) è equivalente a ∼ g(A);

2. ogni derivazione di un sequente ⊢ Γ in logica classica può essere trasformata in una derivazione di∼ g(Γ) ⊢ FALSO in logica intuizionista.

Dimostrazione. La traduzione g viene definita per induzione sulla costruzione delle formule, nel modoseguente:

• g(V ERO) è ∼ FALSO ossia FALSO→ FALSO, g(FALSO) è FALSO

• se A è una formula atomica intuizionista, allora g(A) è ∼∼ A e g(¬A)è ∼ A

• g(A ∧B è ∼ (∼ g(A)∨ ∼ g(B)), g(A ∨B) è ∼ (∼ g(A)∧ ∼ g(B))

34

• g(∀xA) è ∼ ∃x ∼ g(A), g(∃xA) è ∼ ∀x ∼ g(A) .

Quando Γ è una successione di formule della logica classica, con g(Γ) denotiamo la successione di formuleintuizioniste che sono la traduzione delle formule di Γ. Passiamo ora alla dimostrazione dei due punti delteorema.

1. La dimostrazione - per induzione sulla costruzione della formula A - sfrutta quanto stabilito nelparagrafo precedente a proposito della negazione intuizionista e della doppia negazione intuizionista.

2. La dimostrazione - per induzione sulla costruzione della derivazione di un sequente in logica classica -consiste sostanzialmente nel trasformare ogni inferenza classica in una inferenza intuizionista sulla partesinistra dei seguenti, e nell’usare in maniera opportuna le regole derivate sulla negazione intuizionista.Nel caso degli regole basilari di inferenza, si fa uso del fatto che g(¬A) è equivalente a ∼ g(A)

Corollario 1. Sia g una traduzione delle formule della logica classica in formule della logica intuizionista,come stabilito dal teorema 4. Allora, per ogni formula A della logica classica se A è derivabile nella logicaclassica g(A) è derivabile nella logica intuizionista.

2.4 Le deduzioni naturali intuizioniste

Una deduzione naturale D è costituito da:

• un albero di formule intuizioniste (l’albero di D) con diramazioni unarie, binarie o ternarie, nel qualeogni foglia sta in uno di due stati (attiva o scaricata)

• un insieme finito (anche vuoto) di occorrenze di formule (chiamate le assunzioni di D, rappresentato daqualunque successione finita Γ di tutti i suoi elementi, che soddisfa a queste condizioni: ogni assunzioneA di D rappresenta un numero finito (anche vuoto) di foglie attive dell’albero di D che sono etichettatedalla stessa formula A, ogni foglia attiva dell’albero di D è rappresentato da una assunzione di D.

Se D è una deduzione naturale , A è la radice di D e Γ rappresenta le assunzioni di D, si dice che D è unadeduzione naturale della formula A dalle assunzioni Γ.

Nei prossimi paragrafi diamo una definizione delle deduzioni naturali intuizioniste e delle regole per la lorotrasformazione, mostrando che

• ad ogni deduzione naturale intuizionista di A da Γ si può associare una derivazione del sequente Γ ⊢ Anella logica intuizionista,

• ad ogni derivazione di un sequente Γ ⊢ A si può associare una deduzione naturale intuizionista di Ada Γ,

• ad ogni trasformazione di una deduzione naturale intuizionista di A da Γ si può associare una trasfor-mazione della corrispondente derivazione del sequente Γ ⊢ A,

• ad ogni trasformazione di una derivazione del sequente Γ ⊢ A nella logica intuizionista si può associareuna deduzione naturale intuizionista di A da Γ

In questa maniera, mentre la derivazione di un sequente Γ ⊢ A in logica intuizionista stabilisce intuitivamenteche esiste una dimostrazione di A dalle assunzioni Γ, una corrispondente deduzione naturale di A da Γmostra una dimostrazione di A da Γ, in una forma in qualche modo geometrica (un albero) ma purtroppocon tante peculiarità assolutamente non geometriche.

35

2.4.1 Definizione delle deduzioni naturali intuizioniste

Le deduzioni naturali intuizioniste sono deduzioni naturali associate alle derivazioni intuizioniste e definitenel modo seguente, per induzione sulla costruzione delle derivazioni intuizioniste.

• BASE DI INDUZIONE.

– L’albero costituito da un solo punto A (dove A è una formula intuizionista) è una deduzionenaturale intuizionista di A da A. Tale deduzione naturale è associata alla derivazione di A ⊢ Acome conclusione della regola (Id).

– L’albero costituito da un solo punto A è una deduzione naturale intuizionista di A da Γ, FALSOper qualunque successione finita di formule intuizioniste Γ. Tale deduzione naturale è associataalla derivazione di Γ, FALSO ⊢ A come conclusione della regola (FALSO,L).


– (Regola di indebolimento). Se D è una deduzione naturale di A da Γ, e ∆ è una successione finitadi formule intuizioniste, allora si ottiene una deduzione naturale D’ da Γ,∆ prendendo come alberol’albero di D e come assunzioni l’insieme ottenuto da quello rappresentato da Γ aggiungendo glielementi di Γ i quali non rappresentano alcuna foglia dell’albero. D’ è la deduzione naturaleassociata alla derivazione che si ottiene applicando la regola (W+) alla derivazione associata a D.

– (Regola di contrazione) Se Dè una deduzione naturale di A da Γ, A,A, allora si ottiene unadeduzione naturale D’ da Γ, A prendendo come albero l’albero di D e come assunzioni l’insiemeottenuto da quello rappresentato da Γ, A,A togliendo una delle due occorrenze di A e facendorappresentare dall’altra occorrenza anche tutte le foglie attive prima rappresentate dall’occorrenzaeliminata di A. D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione che si ottiene medianteun’applicazione di (C+) dalla derivazione associata a D.

– (Cut) Se D1 è una deduzione naturale di A da Γ e D2 è una deduzione naturale di C da A,∆, sicostruisce una nuova deduzione naturale D di C da Γ,∆ prendendo

∗ come albero di D l’albero che si ottiene da D2 rimpiazzando con l’albero D1 ogni foglia A diD2 rappresentata dall’assunzione A in A,∆, e dunque un albero con radice C

∗ come insieme delle assunzioni di D l’insieme costituito dalle formule in Γ (che rappresentanole stesse foglie attive che rappresentavano in D1 ) e dalle formule in ∆ (che rappresentano lestesse foglie attive che rappresentavano in D2 ).

D è la deduzione naturale associata alla derivazione che si ottiene mediante (cut) dalla derivazioneassociata a D1 e da quella associata a D2.

– (Regola di introduzione della congiunzione, (∧, I) ). Se D1 è una deduzione naturale di A e D2 èuna deduzione naturale di B, allora si ottiene una deduzione naturale di A∧B nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D1 con radice A e dall’albero D2 con radice B, facendodiventare queste radici premesse di un legame la cui conclusione è A ∧B

∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D1 e tutte le assunzioni di D2, senza alcuna modificanella rappresentazione delle foglie attive.

D è, una volta usata la regola di contrazione, la deduzione naturale associata alla derivazioneottenuta da D1 e da D2 mediante (∧, R).

– (Regola di eliminazione della congiunzione, (∧, E1). Se D è una deduzione naturale in cui A èun’assunzione, allora si ottiene una deduzione naturale D’ in cui l’assunzione A è rimpiazzatadall’assunzione A ∧B nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo per ogni foglia aperta associata all’assunzioneA un nodo A ∧B con un legame in cui A ∧B è premessa e A è conclusione;

36

∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D eccetto A che è rimpiazzata da A ∧ B alla qualesono associate tutte le foglie aperte A∧B aggiunte all’albero di D. D’ è la deduzione naturaleassociata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di (∧, L1).

– (Regola di eliminazione della congiunzione, (∧, E2). Se D è una deduzione naturale in cui B èun’assunzione, allora si ottiene una deduzione naturale D’ in cui l’assunzione B è rimpiazzatadall’assunzione A ∧B nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo per ogni foglia aperta associata all’assunzioneB un nodo A ∧B con un legame in cui A ∧B è premessa e B è conclusione;

∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D eccetto B che è rimpiazzata da A ∧ B alla qualesono associate tutte le foglie aperte A ∧B aggiunte all’albero di D.

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∧, L2).

– (Regola di introduzione dell’implicazione, (→, I)). Se D è una deduzione naturale di B dalleassunzioni Γ, A, allora si ottiene una deduzione naturale D’ di A→ B d Γ come segue:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo un nodo A → B che ha come premessa laradice B di D, e trasformando in scaricate tutte le foglie aperte di D che erano rappresentatedall’assunzione A;

∗ le assunzioni sono quelle di D con la eliminazione però dell’assunzione A.

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(→, R).

– (Regola di eliminazione dell’implicazione, (→, E)). Se D1 è una deduzione naturale con radice Ae D2 è una deduzione naturale in cui B è un’assunzione, allora si ottiene una deduzione naturaleD nel modo seguente:

∗ l’albero di D è ottenuto dall’albero di D2, aggiungendo per ogni foglia aperta rappresentatadall’assunzione B un nuovo legame con due premesse che ha come conclusione il nodo B,come prima premessa la radice A di D1 con tutto l’albero di D1, e come seconda premessauna foglia aperta A→ B;

∗ le assunzioni di D sono tutte le assunzioni di D1 e tutte le assunzioni di D2 eccetto l’assunzioneA.

D è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D1 e da D2 mediante (→, L).

– (Regola di introduzione della disgiunzione, (∨, I1). Se D è una deduzione naturale in cui A è laradice dell’albero, allora si ottiene una deduzione naturale D’ in cui la radice è A ∨ B nel modoseguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo un nodo A ∨B con un legame in cui A ∨Bè conclusione e A è premessa;

∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D.

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∨, R1).

– (Regola di introduzione della disgiunzione, (∨, I2). Se D è una deduzione naturale in cui B è laradice dell’albero, allora si ottiene una deduzione naturale D’ in cui la radice è A ∨ B nel modoseguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo un nodo A ∨B con un legame in cui A ∨Bè conclusione e B è premessa;

∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D.

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∨, R2).

37

– (Regola di eliminazione della disgiunzione, (∨, E) ). Se D1 è una deduzione naturale con radice Ce con A fra le assunzioni, e D2 è una deduzione naturale con radice C e con B fra le assunzioni,allora si ottiene una deduzione naturale D nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D1 con radice C e dall’albero D2 con radice C, facendodiventare queste radici premesse di un legame a tre premesse la cui la terza premessa è unanuova foglia aperta A ∨B e la conclusione è un nuovo nodo C, e rendendo scaricate tutte lefoglie aperte rappresentate da A in D1 e tutte le foglie aperte rappresentate da B in D2;∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D1 tranne A, tutte le assunzioni di D2 tranne B, eA ∨B che rappresenta la nuova foglia aperta A ∨B .

D - con opportuni usi delle regole di contrazione e di indebolimento - è la deduzione naturaleassociata alla derivazione ottenuta da D1 e da D2 mediante (∨, L).

– (Regola di introduzione del quantificatore universale, (∀, I)). Se D è una deduzione naturale incui A è la radice dell’albero, e la variabile y non è libera in nessuna delle assunzioni di D , allorasi costruisce una deduzione naturale D’ la cui radice è ∀xA[x/y] nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo un nodo ∀xA[x/y] con un legame in cui∀xA[x/y] è conclusione e A è premessa;∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D.

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∀, R).

– (Regola di eliminazione del quantificatore universale, (∀, E)). Se D è una deduzione naturale incui A[t/y] è un’assunzione, allora si costruisce una deduzione naturale D’ in cui l’assunzione A[t/y]è rimpiazzata da ∀xA[x/y] nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo, per ogni foglia aperta rappresentata dal-l’assunzione A[t/y], un nodo ∀xA[x/y] con un legame in cui ∀xA[x/y] è premessa e la fogliaA[t/y] è conclusione∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D,eccetto A[t/y] che è rimpiazzata da ∀xA[x/y] alla

quale sono associate tutte le foglie aperte ∀xA[x/y] aggiunte all’albero di D .

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∀, L).

– (Regola di introduzione del quantificatore esistenziale, (∃, I)). Se D è una deduzione naturale incui A[t/y] è la radice dell’albero, allora si costruisce una deduzione naturale D’ con radice A[t/y]è rimpiazzata da ∃xA[x/y] nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D aggiungendo un nodo ∃xA[x/y] con un legame in cui∃xA[x/y] è conclusione e la foglia A[t/y] è premessa;∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D.

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∃, R).

– (Regola di eliminazione del quantificatore esistenziale, (∃, E)). Se D è una deduzione naturale incui C è la radice e A è un’assunzione, e la variabile y non è libera in C e in nessuna delle assunzionidi D , allora si costruisce una deduzione naturale D’ la cui radice è C nel modo seguente:

∗ l’albero è ottenuto dall’albero di D facendo diventare la radice prima premessa di un legame a2 premesse la cui conclusione è un nuovo nodo C e l’altra premessa è un nuovo nodo ∃xA[x/y],e rendendo scaricate tutte le foglie aperte rappresentate da A in D ;∗ le assunzioni sono tutte le assunzioni di D eccetto A, e ∃xA[x/y] che rappresenta la nuova

foglia aperta ∃xA[x/y].

D’ è la deduzione naturale associata alla derivazione ottenuta da D mediante un’applicazione di(∃, L).

38

• CLAUSOLA FINALE: nient’altro è una deduzione naturale intuizionista.

Si noti che a diverse derivazioni intuizionistiche può essere associata una stessa deduzione naturale intuizio-nista.

2.4.2 Redex e regole di riduzione

Un redex in una deduzione naturale intuizionista D è costituito da un nodo dell’albero che è conclusione diuna regola di introduzione di un operatore logico (connettivo preposizionale o quantificatore) e premessa diuna regola di eliminazione dello stesso operatore logico.

Una deduzione naturale intuizionista è in forma normale se e soltanto se non contiene redex.

In corrispondenza ad ogni redex di una deduzione naturale intuizionista dove A è la formula conclusionedi una regola di introduzione di un operatore logico e premessa di una regola di eliminazione dello stessooperatore logico, la deduzione naturale può essere vista come ottenuta mediante la regola del taglio, da duededuzioni naturali (una che termina A e l’altra che ha A fra le assunzioni), e ad essa corrisponde ad unaderivazione intuizionista che è premessa di una regola di trasformazione intuizionista . Dunque, ogni redexdi una deduzione naturale corrisponde alla premessa di una regola di trasformazione.

Ad ogni redex è associata una regola di riduzione che ha come premessa una deduzione naturale intuizionistacontenente quel redex e come conclusione una deduzione naturale intuizionista senza quel redex: tale regolacorrisponde a una trasformazione che parte dalla derivazione intuizionista corrispondente alla premessadella regola di riduzione e arriva alla derivazione intuizionista corrispondente alla conclusione della regola diriduzione, usando la regola di trasformazione che ha come premessa la derivazione intuizionista corrispondentealla premessa della regola di riduzione nonché eventualmente regole strutturali.

Elenchiamo i redex e le corrispondenti regole di riduzione.

• Riduzione del redex (∧, I)− (∧, E1): un redex costituito da una regola (∧, I) (con conclusione A ∧B,e nella quale la prima premessa A è conclusione di una deduzione naturale D1 e la seconda premessaB è conclusione di una deduzione naturale D2 ) e da una una regola (∧, E) (con conclusione A che èassunzione di una deduzione naturale D3 ), si riduce componendo per (cut) la deduzione naturale D1

con la deduzione naturale deduzione D3 .

• Riduzione del redex (∧, I)− (∧, E2): un redex costituito da una regola (∧, I) (con conclusione A ∧B,e nella quale la prima premessa A è conclusione di una deduzione naturale D1 e la seconda premessaB è conclusione di una deduzione naturale D2 ) e da una una regola (∧, E) (con conclusione A che èassunzione di una deduzione naturale D3 ), si riduce componendo per (cut) la deduzione naturale D1

con la deduzione naturale deduzione D2.

• Riduzione del redex (→, I)−(→, E): un redex costituito da una regola (→, I) (con conclusione A→ B,e nella quale la premessa B era conclusione di una deduzione naturale D1 con assunzione A) e da unauna regola (→, E) (nella quale l’altra premessa è A conclusione di una deduzione naturale D2 , e laconclusione B è assunzione di una deduzione naturale D3, ), si riduce componendo per (cut) prima ladeduzione naturale D2 con la deduzione naturale D1 e poi la deduzione naturale così risultante con ladeduzione naturale D3.

• Riduzione del redex (∨, I1)−(∨, E): un redex costituito da una regola (∨, I1) (nella quale la conclusioneè A∨B e la premessa A è conclusione di una deduzione naturale D1) e da una una regola (∨, E) (nellaquale la conclusione C è assunzione di una deduzione naturale D4 e le altre due premesse C sonorispettivamente la conclusione di una deduzione naturale D2 con assunzione A e la conclusione diuna deduzione naturale D3 con assunzione B) si riduce componendo per (cut) dapprima la deduzionenaturale D1 con la deduzione naturale deduzione D2 e poi la deduzione naturale così risultante con ladeduzione naturale D4 .

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• Riduzione del redex (∨, I2)−(∨, E): un redex costituito da una regola (∨, I2) (nella quale la conclusioneè A∨B e la premessa B è conclusione di una deduzione naturale D1) e da una una regola (∨, E) (nellaquale la conclusione C è assunzione di una deduzione naturale D4 e le altre due premesse C sonorispettivamente la conclusione di una deduzione naturale D2 con assunzione A e la conclusione diuna deduzione naturale D3 con assunzione B) si riduce componendo per (cut) dapprima la deduzionenaturale D1 con la deduzione naturale deduzione D2 e poi la deduzione naturale così risultante con ladeduzione naturale D4 .

• Riduzione del redex (∀, I) − (∀, E): un redex costituito da una regola (∀, I) (con conclusione ∀xA,e nella quale la premessa A[y/x] è conclusione di una deduzione naturale D1 le cui assunzioni noncontengono libera la variabile y ) e da una una regola (∀, E) (con conclusione A[t/x] che è assunzionedi una deduzione naturale D2 ), si riduce componendo per (cut) la deduzione naturale D1[t/y] (ottenutada D1 rimpiazzando ovunque la variabile y con il termine t) con la deduzione naturale deduzione D2 .

• Riduzione del redex (∃, I)−(∃, E): un redex costituito da una regola (∃, I) (nella quale la conclusione è∃xA e la premessa A[t/x] è conclusione di una deduzione naturale D1) e da una una regola (∃, E) (nellaquale la conclusione C è assunzione di una deduzione naturale D3 e l’altra premessa C è la conclusionedi una deduzione naturale D2 con assunzione A[y/x] dove y è una variabile che non occorre liberanelle altre assunzioni e nella conclusione C ) si riduce componendo per (cut) dapprima la deduzionenaturale D1 con la deduzione naturale deduzione D2[t/y] e poi la deduzione naturale così risultantecon la deduzione naturale D3.

Oltre a queste regole di riduzione, ci sono anche altre regole di trasformazione che corrispondono alle altreregole di trasformazione delle derivazioni nel calcolo dei seguenti, nonché altre regole che permettono di tenerconto della sostanziale aribitarietà della conclusione C delle regole di eliminazione per il connettivo ∨ e delquantiifcatore ∃.

Per indicare che una deduzione naturale D si riduce a una deduzione naturale D’ scriviamo D D’ .

Una deduzione naturale D è in forma normale quando non contiene alcun redex (e dunque non può essereridotta ad alcuna deduzione naturale).

Una successione di riduzione di una deduzione naturale D è una successione di deduzioni naturali tale cheinizia con D e ogni deduzione naturale della successione qualora contenga almeno un redex si riduce medianteun solo passo di riduzione alla successione naturale che la segue nella successione.

Una successione di riduzione di una deduzione naturale D termina quindi solo quando si raggiunge unadeduzione naturale in forma normale.

Al teorema di eliminazione dei tagli nelle derivazioni della logica intuizionista corrisponde il teorema chestabilisce che per ogni deduzione naturale D esiste una deduzione naturale D’ in forma normale tale che D

D’ . Tale teorema è chiamato teorema di normalizzazione. Esso può essere riformulato dicendo: per ognideduzione naturale D esiste una successione naturale di D che termina.

Per alcuni sistemi della logica lineare intuizionista vale anche un teorema più forte, detto teorema dinormalizzazione forte: per ogni deduzione naturale D ogni successione di riduzione di D termina.

In alcuni sistemi della logica lineare intuizionista vale anche la seguente proprietà delle riduzioni, chiamataconfluenza: se D D1 e D D2 allora esiste D’ tale che D1 D’ e D2 D’.

Se vale la proprietà di confluenza, allora ogni deduzione naturale ha al massimo una forma normale: infatti,se D D1 e D D2 e D1 e D2 sono in forma normale e sono diverse allora dovrebbe esistere una deduzionenaturale D’ tale che D1 D’ e D2 D’, ma ciò è impossibile poiché le deduzioni naturali in forma normalenon possono ulteriormente ridursi.

40

2.4.3 Regole di inferenza locali e regole di inferenza globali

Una regola di inferenza è locale se la correttezza della sua applicazione viene fatta osservando soltanto ciòche è presente nelle sue premesse e nella sua conclusione; una regola che non è locale viene detta regolaglobale.

Nel calcolo dei sequenti - che concerne non solo formule ma in primo luogo sequenti - tutte le regoledininferenza sono locali.

Invece, nel calcolo di deduzione naturale per la logica intuizionista - che concerne solo formule - non tutte leregole sono locali. Infatti, non sono locali - e dunque sono globali - le seguenti regole:

• la regola (→,I), poiché può essere esterna alla premessa la formula che viene scaricata ossia la formulache non è più assunzione e le cui occorrenze come foglia dell’albero passano da attive a scaricate;

• la regola (∨, E), poiché possono essere esterne alle premesse le formule che vengono scaricate ossia leformule che non sono più assunzione e le cui occorrenze come foglie dell’albero passano da attive ascaricate;

• la regola (∀, I), poiché non la correttezza della regola dipende da una proprietà (non contenere liberauna variabile) delle assunzioni della deduzione naturale;

• la regola (∃, E), poiché può essere esterna alla premessa la formula che viene scaricata ossia la formulache non è più assunzione e le cui occorrenze come foglia dell’albero passano da attive a scaricate, einoltre la correttezza della regola dipende da una proprietà (non contenere libera una variabile) delleassunzioni e della conclusione della deduzione naturale.

2.5 La corrispondenza Curry-Howard

La corrispondenza Curry-Howard è la corrispondenza tra le derivazioni della logica intuizionista e i terminidi un lambda-calcolo tipato, termini che a loro volto sono programmi.

Si tenga presente che in questa corrispondenza si fa uso dell’idea di programma come termine, tipica dellambda calcolo, idea che può essere caratterizzata come segue.

• Un’espressione (un termine) viene visto come qualcosa che può contenere variabili e parti da ridurre(redense), e può avere un tipo (che indica la classe degli oggetti che possono essere la denotazione diquel termine) così come le variabili possono avere un tipo (che indica la classe dei termini che possonoessere posti come valore di quella variabile).

• Un’espressione (un termine) di tipo T con variabili libere di tipo T1, ..., Tn può essere considerato comeun programma che - ricevuti valori per le variabili - produce un oggetto di tipo T ; tale programma puòa sua volta essere considerato come un oggetto il cui tipo è quello dei programmi da T1, ..., Tn a T .

• Un’espressione (un termine) di tipo T senza alcuna variabile e senza parti da ridurre può essereconsiderato come un oggetto di quel tipo A.

In particolare, nella corrispondenza Curry-Howard:

• le formule della logica intuizionista sono concepite come tipi di oggetti, e pertanto gli operatori logici(connettivi o quantificatori) sono concepiti come operazioni sui tipi ;

41

• alle regole di introduzione di una formula ottenuta mediante un operatore logico sono associate regoledi formazione degli oggetti del tipo corrispondente a quella formula, e alle regole di eliminazione di unaformula sono associate regole di uso degli oggetti del tipo corrispondente a quella formula;

• ogni assunzione A in una derivazione corrisponde ad una variabile libera di tipo A, cosicché per ognitipo A ci deve essere un’infinità potenziale di variabili di quel tipo;

• ad ogni derivazione di A1, ..., An ⊢ A - e ad ogni deduzione naturale di una formula A dalle assun-zioni A1, ..., An - è associato un termine di tipo A che ha variabili libere di tipo A1, ..., An , ossia unprogramma dai tipi A1, ..., An al tipo A;

• un cut (un redex) in una derivazione (in una deduzione naturale) viene concepito come una istruzioneda eseguire per la riduzione del termine associato alla derivazione (alla deduzione naturale), ossiaun’istruzione da eseguire nell’esecuzione del programma associato a quel termine;

• ad ogni applicazione di una regola di trasformazione (di una regola di riduzione) viene associata unariduzione del termine associato ossia un passo di esecuzione del programma associato a quel termi-ne , cosicché la trasformazione delle derivazioni (la riduzione delle deduzioni naturali) corrispondeall’esecuzione di un programma;

• ad ogni derivazione cut-free (e ad ogni deduzione in forma normale) di una formula A da nessunapremessa è associato un termine chiuso e irriducibile di tipo A ossia un oggetto del tipo di oggetti A;

• ad ogni derivazione con cut (con redex) di una formula A da nessuna premessa è associato un terminechiuso di tipo A che può essere ridotto ad un oggetto del tipo di oggetti A.

2.6 Sistemi tipati: il sistema dei tipi semplici, il sistema F

Consideriamo qui due sistemi tipati che sono collegati - con la corrispondenza Curry-Howard - con sistemidi logica intuizionista.

Il primo è un sistema molto semplice, che serve più che altro per impratichirsi con il tema: il sistema dei tipisemplici.

Il secondo è un sistema molto potente, poiché in esso possono essere rappresentati programmi per tutte lefunzioni numeriche calcolabili la cui totalità può essere dimostrata entro l’analisi matematica.

2.6.1 Il sistema dei tipi semplici

Il sistema dei tipi semplici è il sistema tipato che è collegato - con la corrispondenza Curry-Howard - con ilframmento della logica intuizionista proposizionale nel quale gli unici operatori logici sono il connettivo ∧ eil connettivo →.

I tipi semplici sono esattamente le formule di quel frammento della logica intuizionista, ossia la classe cosìdefinita per induzione:

• BASE DI INDUZIONE. Le variabili per tipi X,Y, Z, ... sono tipi semplici.

• PASSO DI INDUZIONE. Se A e B sono tipi semplici, allora A ∧B e A→ B sono tipi semplici.

• Nient’altro è un tipo semplice.

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Intuitivamente, il tipo A ∧ B è il tipo delle coppie di oggetti costituite da un oggetto di tipo A e da unoggetto di tipo B, mentre A→ B è il tipo dei programmi che hanno come input gli oggetti di tipo A e comeoutput gli oggetti di tipo B.

I termini del sistema dei tipi semplici sono espressioni che corrispondono alle deduzioni naturali nel fram-mento della logica intuizionista con i soli connettivi ∧ e →, e ogni termine ha un tipo che è un tipo semplice.Quando un termine t è di tipo A si scrive: t : A. La definizione di questi termini avviene con la seguentedefinizione induttiva, nella quale mostriamo anche le deduzioni naturali corrispondenti ai termini.

• BASE DELL’INDUZIONE. Per ogni tipo semplice A, c’è un’infinità numerabile di variabili di tipo Ae ciascuna variabile x di tipo A è un termine di tipo A. - Ciascuna variabile x di tipo A corrisponde auna deduzione naturale costituita esclusivamente da una assunzione A che è anche conclusione.

• PASSO D’INDUZIONE.

– Se s e t sono termini e s : A e t : B, allora < s, t > (la coppia di s e t) è un termine e< s, t >: A ∧ B. Se s è un termine e s : A ∧ B allora p1(s) (la prima proiezione di s ) e p2(s)(la seconda proiezione di s) sono termini e p1(s) : A e p2(s) : B. - Se s : A corrisponde a unadeduzione naturale di A e t : B corrisponde a una deduzione naturale di B, allora < s, t >: A∧Bcorrisponde alla deduzione naturale ottenuta da quelle due deduzioni naturali mediante la regola(∧, I). Se s : A ∧ B corrisponde a una deduzione naturale di A ∧ B, allora p1(s) : A corrispondealla deduzione naturale costituita di A ottenuta da essa mediante la regola (∧, E1) e p1(s) : Bcorrisponde alla deduzione naturale costituita di B ottenuta da essa mediante la regola (∧, E2).

– Se s è un termine e x è una variabile libera in s e s : B e x : A, allora λx.s è un termine (iklprogramma indotto da s in dipendenza dalla variabile x) e λx.s : A → B . Se s e t sono terminie s : A → B e t : A, allora st è un termine (l’applicazione di s a t) e st : B (l’applicazione di sa t). - Se s : B con la variabile libera x : A corrisponde a una deduzione naturale di B in cui Aè assunzione, allora λx.s : A→ B corrisponde alla deduzione naturale da essa ottenuta medianteapplicazione della regola (→, I). Se s : A→ B corrisponde a una deduzione naturale di A→ B et : A corrisponde a una deduzione naturale di A, allora st : B corrisponde alla deduzione naturaleche si ottiene da quelle deduzioni naturali mediante la regola (→, E).

• CLAUSOLA FINALE. Nient’altro è termine.

I redex sono i termini che hanno la seguente forma:

• p1(< s, t >) che è un termine di tipo A quando s : A e t : B

• p2(< s, t >) che è un termine di tipo B quando s : A e t : B

• (λx.s)t che è un termine di tipo B quando x : A, s : B e t : A

Le regole di riduzione dei redex sono le seguenti (che corrispondono alle regole di riduzione delle deduzioninaturali associate a tali redex):

• p1(< s, t >) s

• p2(< s, t >) t

• (λx.s)t s[t/x]

Si mostri che:

43

• se x è una variabile di tipo A, il termine λx.x è un termine in forma normale di tipo A→ A e corrispondeall’unica derivazione cut-free o alla unica deduzione naturale in forma normale di IDA = A→ A. Taletermine corrisponde al programma identità su A, e vale che per ogni termine t : A (λx.x)t t.

• se x e y sono due variabili diverse di tipo A, il termine λyλx.x e il termine λxλy.x sono termini informa normale di tipo A → (A → A) e corrispondono alle uniche due derivazioni cut-free (deduzioninaturali in forma normale) di BOOLEA = A → (A → A); il termine λyλx.x sarà chiamato 0A e iltermine λxλy.x sarà chiamato 1A, e vale che:

– per ogni termine s : A e per ogni termine t : A (1A)st s,

– per ogni termine s : A e per ogni termine t : A (0A)st t,

– pertanto, per ogni termine a : BOOLEA, per ogni termine s : A e per ogni termine t : A il termineast s si comporta come (IF a then s else t , ossia ast s se a = 1A e ast t se a = 0A.

Teorema 5. Per il sistema dei tipi semplici valgono le seguenti proprieà:

1. Confluenza della riduzione: se s t1 e s t2 allora esiste un termine t tale che t1 t e t2 t .

2. Normalizzazione forte: per ogni termine s, ogni successione di riduzione di s termina in un numerofinito di passi.

3. Esistenza e unicità della forma normale: per ogni termine s, esiste un e un solo termine t in formanormale tale che s t (ogni successione di riduzione di s termina con t).

Dimostrazione. 1. Omessa.

2. Per induzione sui tipi, si dimostra che per ogni tipo semplice ogni termine di quel tipo è fortementenormalizzabile (ossia ogni su successione di riduzione termina in un numero finito di passi).

3. Conseguenza delle prime due proprieà.

2.6.2 Il sistema F

Il sistema F è il sistema tipato che è collegato - con la corrispondenza Curry-Howard - con il frammento(∧, ∀) della logica intuizionista proposizionale del secondo ordine, il frammento della logica intuizionistaproposizionale del secondo ordine nel quale gli unici operatori logici sono il connettivo → e il quantificatore(su variabili per proposizioni) ∀.

Si osservi che tale frammento è in realtà equivalente all’intera logica intuizionista proposizionale del se-condo ordine, poiché in esso sono definibili anche tutti gli altri operatori logici della logica preposizionaleintuizionista del secondo ordine (FALSO, ∧, ∨ e ∃), nel modo seguente:

• FALSO = ∀X.X

• Se A e B sono formule, allora A ∧B = ∀X((A→ (B → X))→ X) e A ∨B = ∀X((A→ X)→ ((B →X)→ X))

• Se A è una formula, e X e Y sono variabili preposizionali che non occorrono vincolate in A, allora∃X.A = ∀X(∀Y (A[Y/X ]→ X)→ X)

Si verifichi che con queste definizioni le regole sugli operatori logici FALSO, ∧, ∨ e ∃ divengono regolederivate del frammento (∧, ∀) della logica intuizionista proposizionale del secondo ordine.

I tipi di F sono esattamente le formule del frammento (∧, ∀) della logica intuizionista proposizionale delsecondo ordine, ossia la classe così definita per induzione:

44

• BASE DI INDUZIONE. Le variabili per tipi X,Y, Z, ... sono tipi di F.

• PASSO DI INDUZIONE.

– Se A e B sono tipi di F, allora A→ B sono tipi di F.

– Se A è un tipo di F, e X è una variabile per tipi di F non vincolata in A, allora ∀XA è un tipodi F

• Nient’altro è un tipo semplice.

Intuitivamente,

• A → B è il tipo dei programmi che hanno come input gli oggetti di tipo A e come output gli oggettidi tipo B.

• ∀XA è il tipo di particolari programmi che hanno come input e come output i tipi di F.

I termini di F sono espressioni che corrispondono alle deduzioni naturali nel frammento (∧, ∀) della logicaintuizionista proposizionale del secondo ordine, e ogni termine ha un tipo che è un tipo di F. Quando untermine t è di tipo A si scrive: t : A. La definizione di questi termini avviene con la seguente definizioneinduttiva, nella quale mostriamo anche le deduzioni naturali corrispondenti ai termini.

• BASE DELL’INDUZIONE. Per ogni tipo semplice A, c’è un’infinità numerabile di variabili di tipo Ae ciascuna variabile x di tipo A è un termine di tipo A. - Ciascuna variabile x di tipo A corrisponde auna deduzione naturale costituita esclusivamente da una assunzione A che è anche conclusione.

• PASSO D’INDUZIONE.

– Se s è un termine di F e e s : B, e x è una variabile non vincolata in s e e x : A, allora λx.sè un termine (il programma indotto da s in dipendenza dalla variabile x : A) e λx.s : A → B .Se s e t sono termini di F e s : A → B e t : A, allora st è un termine di F (l’applicazione dis a t) e st : B. - Se s : B con la variabile libera x : A corrisponde a una deduzione naturaledi B (nel frammento (∧, ∀) della logica intuizionista proposizionale del secondo ordine), nellaquale deduzione A è assunzione, allora λx.s : A→ B corrisponde alla deduzione naturale da essaottenuta mediante applicazione della regola (→, I). Se s : A → B corrisponde a una deduzionenaturale di A→ B e t : A corrisponde a una deduzione naturale di A (nel frammento (∧, ∀) dellalogica intuizionista proposizionale del secondo ordine), allora st : B corrisponde alla deduzionenaturale che si ottiene da quelle deduzioni naturali mediante la regola (→, E).

– Se s è un termine di F e s : A, eX è una variabile proposizionale non vincolata in s eX non è liberanel tipo di una variabile libera in s, allora ΛX.s (il programma indotto da s in dipendenza dellavariabile proposizionale X) è un termine di F e ΛX.s : ∀X.A. Se s è un termine di F e s : ∀X.A,e B è un tipo di F, allora sB (l’applicazione di s al tipo B) è un termine di F e sB : A[B/X ].- Se s : A corrisponde a una deduzione naturale (nel frammento (∧, ∀) della logica intuizionistaproposizionale del secondo ordine) di A e X è una variabile proposizionale non vincolata in s e Xnon è libera nel tipo di una variabile libera in s, allora la variabile proposizionale X non occorrelibera in nessuna delle assunzioni della deduzione corrispondente a s; e pertanto si può applicarela regola (∀, I) e ΛX.s : ∀X.A corrisponde alla deduzione naturale di ∀X.A ottenuta con questaregola dalla deduzione naturale associata a s. Se s : ∀X.A corrisponde a una deduzione naturaledi ∀X.A, allora sB : A[B/X ] corrisponde alla deduzione naturale costituita di A[B/X ] ottenutada essa mediante la regola (∀, E).

• CLAUSOLA FINALE. Nient’altro è termine.

45

I redex di F sono i termini di F che hanno la seguente forma:

• (λx.s)t che è un termine di F di tipo B quando x : A, s : B e t : A

• (ΛX.s)B che è un termine di F di tipo A[B/X ] quando X è una variabile proposizionale, s : A doveX non occorre libera nel tipo di una sua variabile libera, e B è un termine di F.

Le regole di riduzione dei redex di F sono le seguenti (che corrispondono alle regole di riduzione delle deduzioninaturali - nel frammento (∧, ∀) della logica intuizionista proposizionale del secondo ordine- associate a taliredex):

• (λx.s)t s[t/x]

• (ΛX.s)B s[B/X ]

Si mostri che:

• seX è una variabile preposizionale e x è una variabile di tipo X , il termine di F ΛXλx.x è un termine informa normale di tipo ∀X(X → X) e corrisponde all’unica derivazione cut-free o alla unica deduzionenaturale in forma normale di ID = ∀X(X → X). Tale termine di F corrisponde al programma identità,e vale che per ogni tipo B di F (ΛXλx.x)B IDB.

• se X è una variabile preposizionale e x e y sono due variabili diverse di tipo X , il termine di F

ΛXλyλx.x e il termine di F ΛXλxλy.x sono termini in forma normale di tipo ∀X(X → (X → X) ecorrispondono alle uniche due derivazioni cut-free (deduzioni naturali in forma normale) di BOOLE =∀X(X → (X → X); il termine ΛXλyλx.x sarà chiamato 0 e il termine ΛXλxλy.x sarà chiamato 1, evale che:

– per ogni tipo B di F, 1B 1B e per ogni termine s : B e per ogni termine t : B 1Bst s,

– per ogni tipo B di F, 0B 0B e per ogni termine s : B e per ogni termine t : B 0Ast t,

– pertanto, per ogni termine a : BOOLE, per ogni tipo B, per ogni termine s : B e per ogni terminet : B il termine aBst s si comporta come (IF aB then s else t , ossia aBst s se a = 1 eaBst t se a = 0.

• se X è una variabile preposizionale e x è una variabile di tipo X e y è una variabile di tipo X → X ,possiamo definire per ogni n un termine di F n di tipo INT = ∀X((X → X) → (X → X)) comesegue:

– 0 è ΛXλyλx.x

– 1 è ΛXλyλx.yx

– ...

– n è ΛXλyλx.y...yx dove y...y è y per n volte

– ...

Tali termini sono tutti in forma normale, sono i soli termini in forma normale di tipo INT e corri-spondono a diverse derivazioni (deduzioni naturali) della formula INT : 0 a una derivazione con unuso della regola di indebolimento e senza uso della regola di contrazione, 1 a una derivazione senzaregola di indebolimento e di contrazione, 2 a una derivazione senza regola di indebolimento e con unuso della regola di contrazione, ..., n+ 1 a una derivazione senza regola di indebolimento e con n usidella regola di contrazione, ...

46

I teoremi seguenti mostrano la forza e l’importanza del sistema F . Il primo teorema stabilisce per il sistemaF le proprieà che valgono già per il sistema dei tipi semplici.

Teorema 6. Il sistema F ha le seguenti proprieà

1. Confluenza della riduzione: se s t1 e s t2 allora esiste un termine t tale che t1 t e t2 t .

2. Normalizzazione forte: per ogni termine s, ogni successione di riduzione di s termina in un numerofinito di passi.

3. Esistenza e unicità della forma normale: per ogni termine s, esiste un e un solo termine t in formanormale tale che s t (ogni successione di riduzione di s termina con t).

Dimostrazione. 1. Omessa.

2. La dimostrazione non può avvenire stabilendo - per induzione sui tipi di F - che per ogni tipo ogni suotermine è fortemente normalizzabile: nella formazione dei termini di un tipo si fa riferimento a tutti itipi. La dimostrazione di questo teorema avviene usando i candidati di riducibilià, nitrodotti da J.-Y.Girard.

3. Conseguenza delle proprieà precedenti.

Si osservi che, se t è un termine di F di tipo INT → INT , esso rappresenta il programma di una funzionetotale ft da N a N così definita:

ft(n) = m se soltanto se tn m

La funzione ft è ben definita per la unicità della forma normale dei termini di F , ed è totale per l’esistenzadella forma normale dei termini di F, ed è calcolabile poiché t è un programma per tale funzione.

Una funzione f da N a N è rappresentabile in F se e soltanto se per qualche termine t di F f = ft.

In un sistema formale S che estende l’aritmetica del primo ordine è dimostrabile la totalià di una funzionericorsiva da N a N se e soltanto se in S è derivabile la formula ∀x∃yB(x, y) dove B(x, y) è una formula cheesprime f(x) = y.

Il secondo teorema mette in relazione il sistema F con l’analisi matematica formalizzata nel sistema deno-minato PA2 (aritmetica del secondo ordine).

Teorema 7. (Relazioni tra sistema F e sistema PA2 )

1. La normalizzazione del sistema F implica la non-contraddittorietà di PA2.

2. Il Teorema 6 su F è formalizzabile in PA2 ma non è dimostrabile in PA

2.

3. Le funzioni da N a N rappresentabili nel sistema F sono esattamente le funzioni ricorsive da N a N

la cui totalità è dimostrabile in PA2.

Dimostrazione. 1. Si veda il capitolo 15 del volume Proofs and Types. In sostanza, si definisce una tradu-zione di PA2 in F , nella quale la derivabilità di una contraddizione da PA2 corrisponde all’esistenzadi un termine non normalizzabile di F .

2. L’enunciato del Teorema 6 (in particolare, il punto 2) può essere aritmetizzato e formalizzato in PA2

così come il punto precedente di questo teorema; se fosse dimostrabile il Teorema 6 in PA2 sarebbedimostrabile in PA2 la non-contraddittorietà di PA2, contro il teorema di incompletezza di Gödel.

3. Si veda il capitolo 15 del volume Proofs and Types.

47

48

Capitolo 3

Logica lineare: dualità, controllo logico

della dimostrabilità

La logica lineare (avviata nel 1987 da Jean-Yves Girard) si caratterizza per molti aspetti innovativi inconfronto con la logica intuizionista e con l’usuale maniera di trattare la logica classica, e per i risultatiimportanti (in larga parte anche inattesi) che ha permesso di ottenere.

Mentre nei successivi capitoli saranno trattati altri aspetti innovativi e altri risultati ottenuti dalla logicalineare, in questo capitolo verranno trattati i seguenti aspetti innovativi della logica lineare e i principalirisultati ad essi connessi:

• il conseguimento dell’obiettivo di poter distinguere dimostrazioni diverse della stessa proposizione senzamutilare la logica classica ma attraverso un suo approfondimento, e in particolare mantenendo in pienola dualità che costituisce un’importante caratteristica della logica;

• il controllo logico della dimostrabiltà, e in particolare il controllo logico delle regole strutturali dellalogica classica, e la scoperta che la struttura della dimotrabilità (così controllata) costituisce unainteressante struttura matematica.

Nel calcolo dei sequenti per la logica lineare, rispetto a quello per la logica classica:

• le regole strutturali sono regole che agiscono solo su formule sottolineate, in modo che resti traccia delfatto che non sono state usate le regole strutturali su una formula nel corso di una derivazione;

• ogni formula può essere sottolineata, ma le formule sottolineate non possono essere componenti di altreformule;

• in ogni applicazione della regola (Cut) che concerne una formula e la sua solo una di queste due formuleè sottolineata;

• ogni formula sottolineata A può divenire una formula a pieno titolo (ossia una formula che può esserecollegata ad altre formule) ?A dove ? è un nuovo connettivo il cui duale è !;

• questo trattamento delle regole strutturali impedisce di ottenere la interdervabilità delle regole molti-plicative e delle regole additive per le unità logiche e per i connettivi logici.

Si noti che entro un sistema logico ciascuna unità logica, ciascun connettivo e ciascun quantificatore è definitodalle sue regole e dalle regole strutturali di quel sistema logico.

Pertanto,

49

• la negazione in logica lineare è differente da quella della logica classica, proprio perché è una negazioneche è definita solo dalle regole basilari e non dalle regole strutturali; la negazione in logica lineare(negazione lineare) di una formula A è denotata da A⊥;

• poiché in logica lineare le regole moltiplicative e quelle additive per le unità logiche e per i connettivinon sono interderivabili, le regole moltiplicative e le regole additive di ciascuna unità logica definisconodue diverse unità logiche che sono unità logiche della logica lineare, e le regole moltiplicative e le regoleadditive di ciascun connettivo logico definiscono due diversi connettivi logici che sono connettivi logicidella logica lineare; in particolare,

– le unità logiche definite dalle regole moltiplicative sono chiamate unità moltiplicative, e sono 1

(vero moltiplicativo) e ⊥ (falso moltiplicativo),

– i connettivi definiti dalle regole moltiplicative sono chiamati connettivi moltiplicativi, e sono ⊗(congiunzione moltiplicativa) e `(disgiunzione moltiplicativa),

– le unità logiche definite dalle regole additive sono chiamate unità additive, e sono o T (veroadditivo) e 0 (falso additivo),

– i connettivi definiti dalle regole additive sono chiamati connettivi additivi e sono & (congiunzioneadditiva) e ⊕(disgiunzione additiva);

• i quantificatori in logica lineare sono differenti da quelli in logica classica, poiché sono definiti dalle lororegole e non anche dalle regole strutturali, ma vengono usualmente denotati con gli stessi simboli coni quali vengono denotati i quantificatori della logica classica.

Nella tabella seguente sono indicati gli operatori logici lineari:

• nella prima colonna in ciascuna riga è indicato l’operatore logico classico dal quale provengono glioperatori logici lineari di quella linea;

• nella seconda colonna sono indicati tutti gli operatori logici lineari moltiplicativi (unità logiche molti-plicative e connettivi moltiplicativi): si noti che le due unità logiche moltiplicative sono l’una il dualedell’altra, e che i due connettivi moltiplicativi sono l’uno il duale dell’altro;

• nella terza colonna sono elencati gli operatori logici lineari additivi (unità logiche additive e connettiviadditivi): si noti che le due unità logiche additive sono l’una il duale dell’altra, e che i due connettiviadditivi sono l’uno il duale dell’altro;

• nella quarta colonna sono elencati i quantificatori, l’uno duale dell’altro;

• nella quinta colonna sono elencati i connettivi esponenziali lineari, l’uno duale dell’altro.

Tabella 3.1: Operatori logici lineari

Moltiplicativi Additivi Quantificatori EsponenzialiVERO 1 T

FALSO ⊥ 0

∧ ⊗ &∨ ` ⊕∀ ∀∃ ∃

?!

50

Si noti anche che in ciascuna coppia di operatori duali uno è introdotto con una regola reversibile ed èchiamato negativo mentre l’altro è introdotto con una o più regole non reversibili ed è chiamato positivo.Dunque:

• sono positivi gli operatori 1,0,⊗,⊕, ∃, !,

• sono negativi gli operatori T,⊥,&,`, ∀, ?.

Le formule della logica lineare sono definite nel modo solito.

Se A è una formula della logica lineare, con A si indica la formula A sottolineata; se ∆ è un multinsiemefinito di formule, con ∆ si indica il multinsieme finito di formule sottlineate costituito sottolineando ciascunaformula di ∆.

La negazione lineare A⊥ di ogni formula A della logica lineare è definita come segue:

• 1⊥ =⊥, ⊥⊥= 1,

• T⊥ = 0, 0⊥ = T ;

• se P è una variabile per proposizioni, allora P⊥ = NOT (P )

• se se P è una variabile per predicato n-ario, e t1, · · · , tn sono termini individuali, allora (P (t1, · · · , tn))⊥ =NOT (P )(t1, · · · , tn) ;

• (A⊗B)⊥ = A⊥` B⊥, (A`B)⊥ = A⊥ ⊗B⊥,

• (A&B)⊥ = A⊥ ⊕B⊥, (A⊕B)⊥ = A⊥&B⊥;

• (!A)⊥ =?(A⊥), (?A)⊥ =!(A⊥)

• (∀vA)⊥ = ∃vA⊥ , (∃vA)⊥ = ∀vA⊥.

Il connettivo lineare⊸ è definito da: A⊸ B = A⊥ `B ed è chiamto implicazione lineare.

I sequenti della logica lineare sono definiti nel modo solito.

Le formule e i sequenti della logica lineare possono essere tradotte in formule e sequenti della logica classica,come segue:

• per ogni formula B della logica lineare, B− (traduzione classica di B) è la formula della logica classicaottenuta da B rimuovendo i connettivi esponenziali e rimpiazzando i simboli lineari con i corrispondentisimboli classici.

• per ogni successione finita Γ di formule della logica lineare, Γ− (traduzione classica di Γ) è la successionedi formule della logica classica ottenuta rimpiazzando ogni formula B con B−.

Le formule e i sequenti della logica classica ammettono molte possibili traduzioni in formule e sequenti dellalogica lineare, come segue:

• per ogni formula B della logica classica, si definisce la classe lin(B) delle formule della logica lineare chesono traduzioni lineari di B, ossia le formule ottenute da B rimpiazzando ciascun simbolo logico classicocon uno dei corrispondenti simboli logici lineari ed aggiungendo eventualmente connettivi esponenziali.

• per ogni successione finita Γ di formule della logica classica, si definisce la classe lin(Γ) delle traduzionilineari di Γ, ossia le successioni finite di formule classiche ottenute da Γ rimpiazzando ciascuna formulaB di Γ con una formula C ∈ lin(Γ).

51

3.1 Calcolo dei sequenti per la logica lineare

3.1.1 Riformulazione delle regole strutturali come regole su formule sottolineate

Le regole strutturali di indebolimento e di contrazione, nel calcolo dei sequenti per la logica lineare, divengonoregole di inferenze e regole di trasformazione che concernono le formule sottolineate. La riformulazione diqueste regole porta all’individuazione di una regola strutturale, nascosta in logica classica, la regola disottolineatura o di abbandono (dereliction)

Con queste riformulazioni mostreremo che non potrà essere ricostruita in logica lineare l’argomentazionefatta in 3 che portava alla necessità di considerare uguali in logica classica tutte le derivazioni di una stessaformula. Quindi, la logica lineare ammetterà la possibilità di distinguere tra le derivazioni di una stessaformula.


Le regole di indebolimento (W), di contrazione (C) e di abbandono (D) in logica lineare si presentano nellaforma sequente.

⊢ Γ⊢ Γ, A

(W )⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A

(C)⊢ Γ, A,⊢ Γ, A

(D)

Già per il solo fatto che un sequente ⊢ Γ, A può essere conclusione di ben tre regole ((W),(C).(D)) mostrache nessuna di queste regole è reversibile.

Di queste regole presentiamo la versione (derivabile) nella quale si aggiunge una successione finita di for-mule sottolineate (W+) o si contraggono due successioni finite costituite dalle stesse occorrenze di formulesottolineate (C+) o si sottolineano le formule di una successione finita di formule (D+)

⊢ Γ⊢ Γ,∆

(W+)⊢ Γ,∆,∆⊢ Γ,∆

(C+)⊢ Γ,∆,⊢ Γ,∆

(D+)

Si noti che quando si ignora la sottolineatura delle formule le regole (W) e (C) divengono le usuali regole dellalogica classica (W) e (C), mentre (D) diviene una banale regola di ripetizione (dove la premessa è ugualealla conclusione).

3.1.1.2 Regole di trasformazione

La regola strutturale di trasformazione associata alla regola di indebolimento, individuata nella logicaclassica, viene così riformulata in logica lineare:

...π1

⊢ Γ⊢ Γ, A

...π2

⊢ A⊥,∆

⊢ Γ,∆

(W,cut)

...π1

⊢ Γ⊢ Γ,∆

Si noti che:

• è stato necessario chiedere che ∆ sia una successione finita di formule sottolineate, perché solo così èpossibile aggiungerle mediante (D+) come richiesto da questa regola di trasformazione;

52

• la regola (cut) viene applicata ad una formula sottolineata A (perchè conclusione di una regola (W) ealla negazione lineare di A ossia a A⊥ la quale non è sottolineata.


Inoltre, la regola (W,cut) è deterministica, a differenza della regola classica (W,cut), se si esclude che en-trambe le premesse della regola (cut) siano conclusioni di (W): e proprio questa condizione viene postasull’applicazione della regola del taglio in logica lineare.

La regola strutturale di trasformazione associata alla regola di contrazione, individuata nella logica classica,viene così riformulata in logica lineare:

...π1

⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A

...π2

⊢ A⊥,∆

⊢ Γ,∆

(C,cut)

...π1

⊢ Γ, A,A

...π2

⊢ ¬A,∆⊢ Γ,∆, A

...π2

⊢ A⊥,∆

⊢ Γ,∆,∆⊢ Γ,∆

Si noti che anche qui:

• è stato necessario chiedere che ∆ sia una successione finita di formule sottolineate, perché solo così èpossibile contrarre due sue occorrenze mediante (D+) come richiesto da questa regola di trasformazione;

• la regola (cut) viene applicata ad una formula sottolineata A (perchè conclusione di una regola (W) ealla negazione lineare di A ossia a A⊥.


Alla regola di abbandono (D) è associata la seguente regola di trasformazione che - in logica classica, ossiaignorando le sottolineature - sarebbe la trasformazione di una derivazione in se stessa:

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, A

...π2

⊢ A⊥,∆

⊢ Γ,∆

(D,cut)

...π1

⊢ Γ, A

...π2

⊢ A⊥,∆⊢ Γ,∆

La terza regola strutturale di trasformazione, imdividuata nella logica classica, permetteva di trasformareun’analisi (una derivazione) che termina con una applicazione di una regola (C) immediatamente precedutada un’applicazione di una regola (W) con la quale si aggiunge una delle due occorrenze contratte: la trasfor-mazione consisteva nel cancellare queste due regole finali della analisi. Questa regola viene così riformulatanella logica lineare, inserendo anche la regola di abbandono poiché solo con essa si ottengono due occorrenzedi una stessa formula che poi vengono contratte:

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A,A⊢ Γ, A

(W,C)

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, A

È evidente che anche questa regola di trasformazione trasforma analisi in analisi, mantiene il sequente finalee preserva le derivazioni.

53

3.1.2 Regole basilari

Le regole basilari in logica lineare sono quelle della logica classica, se la negazione lineare viene rimpiazzatadalla negazione classica e se vengono tolte le sottolineature delle formule: possono dunque essere viste comeraffinamenti delle regole basilari della logica classica.

Le regole di inferenza sono la regola 0-aria (id) e due regole binarie, la regola (cut) (nella quale in una delle duepremesse c’è una formula A e nell’altra premessa c’è la sua negazione lineare A⊥ ed entrambe non compaiononella conclusione) e la regola (cut) (nella quale in una delle due premesse c’è una formula sottolineata Ae nell’altra premessa c’è la sua negazione lineare A⊥ non sottolineata, ed entrambe non compaiono nellaconclusione).

⊢ A⊥, A(id)

⊢ Γ, A ⊢ A⊥,∆⊢ Γ,∆

(cut)⊢ Γ, A ⊢ A⊥,∆

⊢ Γ,∆(cut)

Le regole di trasformazione è la seguente, nella quale si trasforma una derivazione che termina con una regola(cut) avente come una delle due premesse la conclusione di una regola (id):

⊢ A⊥, A

...π⊢ A⊥,∆

⊢ ¬A,∆

(id,cut)

...π⊢ A⊥,∆

3.1.3 Regole moltiplicative

Le regole moltiplicative della logica lineare sono le regole moltiplicative per le unità logiche e i connettividella logica classica, quando i simboli della logica lineare vengono rimpiazzati dai simboli della logica classica.

Le regole moltiplicative di inferenza sono:

⊢ 1(1)

⊢ Γ⊢ Γ,⊥

(⊥)

⊢ Γ, A ⊢ ∆, B⊢ Γ,∆, A⊗B

(⊗)⊢ Γ, A,B

⊢ Γ,∆, A`B(`)

Si tenga presnete che sono reversibili le regole (⊥) e (`) mentre non sono reversibili le regole (1) e l (⊗.

Le regole moltiplicative di trasformazione sono:

⊢ 1

...π⊢ ∆⊢ ⊥,∆

⊢ ∆

(1,⊥,cut)

...π⊢ ∆

...π1

⊢ Γ1, A

...π2

⊢ Γ2, B⊢ Γ1,Γ2, A⊗B

...π3

⊢ A⊥, B⊥,∆⊢ A⊥ ` B⊥,∆

⊢ Γ1,Γ2,∆

(⊗,`,cut)

...π1

⊢ Γ1, A

...π2

⊢ Γ2, B

...π3

⊢ B⊥, A⊥,∆

⊢ A⊥,Γ2,∆⊢ Γ1,Γ2,∆

54

Le regole di inferenza e di trasformazione portano a dire che:

• ottenere A⊗B significa ottenere sia A che B in due processi separati;

• ottenere A`B significa ottenere sia A che B in uno stesso processo;

• usare A⊗B (ossia ottenere A⊥ `B⊥ ) significa usare sia A che B nello stesso processo;

• usare A`B (ossia ottenere A⊥ ⊗B⊥ significa usare sia A che B in due processi separati.

3.1.4 Regole additive

Anche le regole moltiplicative della logica lineare sono le regole moltiplicative per le unità logiche e i connettividella logica classica, quando i simboli della logica lineare vengono rimpiazzati dai simboli della logica classica.

Le regole additive di inferenza sono:

⊢ Γ,T(T)

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊕B

(⊕1)⊢ Γ, B⊢ Γ, A⊕B

(⊕2)⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, A&B

(&)

Si noti che sono reversibili le regole (T) e (&), mentre non sono reversibili le regole per il connettivo (⊕) eper l’unità logica 0 (cioè l’assenza di regole per tale unità).

Le regole additive di trasformazione sono:

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊕B

...π2

⊢ A⊥,∆

...π3

⊢ ∆, B

⊢ A⊥&B⊥,∆⊢ Γ,∆

(⊕1,&,cut)

...π1

⊢ Γ, A

...π2

⊢ A⊥,∆⊢ Γ,∆

...π1

⊢ Γ, B⊢ Γ, A⊕B

...π2

⊢ A⊥,∆

...π3

⊢ ∆, B⊢ A⊥&B⊥,∆

⊢ Γ,∆

(⊕2,&,cut)

...π1

⊢ Γ, B

...π3

⊢ B⊥,∆⊢ Γ,∆


• ottenere A&B significa ottenere la disponibilità sia A che di B in uno stesso contesto e la possibilitàdi sceglierne una sola dei due;

• ottenere A⊕B significa ottenere uno tra A e B in uno stesso contesto;

• usare A&B (ossia ottenere A⊥ ⊕B⊥ ) significa compiere la scelta tra A e B in uno stesso processo;

• usare A ⊕ B (ossia ottenere A⊥&B⊥) significa la usabilità sia di A che B in uno stesso contesto e lapossibilità di sceglierne una sola delle due.

55

3.1.5 Regole esponenziali

Le regole esponenziali sono regole che concernono i due connettivi esponenziali, ? e !. Si tratta di regoleche - una volta eliminati i simboli per i connettivi esponenziali e le sottolineature delle formule - fannopassare da un sequente allo stesso sequente (se si tratta di regole di inferenza) e da una derivazione allastessa derivazione (se si tratta di regole di trasformazione). Possiamo dunque dire che si tratta di regole checostituiscono un raffinamento della logica classica.

Le regole di inferenza sono la regola per il connettivo ! e la regola per il connettivo ?:

⊢ Γ, A⊢ Γ, !A

(!)⊢ Γ, A⊢ Γ, ?A

(?)

È facile mostrare che la regola (?) è reversibile: da un sequente ⊢ Γ, ?A e dal sequente ⊢!A⊥, A si ottieneper (cut) il sequente ⊢ Γ, (A), mentre il sequente ⊢!A⊥, A si ottiene da (id) ⊢ A⊥, A applicando prima (D)per sottoneare la formula A e poi la regola (!).

Invece, la regola (!) non è reversibile: infatti, il sequente ⊢?A⊥, !A è dimostrabile (essendo conclusione di(id)) ma il contesto in cui è derivabile !A non è costituito da una formula non sottolineata.

La regola per il connettivo ? asserisce che si può passare dalla derivabilità di una formula sottolineata A inun contesto alla derivabilità della formula ?A in quello stesso contesto, mentre la regola per il connettivo !asserisce che si può passare dalla derivabilità di una formula A non sottolineata in un contesto di formuletutte sottolineate alla derivabilità della formula non sottolineata !A in quello stesso contesto.

La motivazione di queste regole sta nella regola di trasformazione che mostreremo qui sotto: derivare ?A⊥ inun contesto significa derivare in quel contesto la formula sottolineata A⊥ ossia una formula sulla quale puòaver agito una regola strutturale, derivare !A in un contesto significa derivare A⊥ in quel contesto per poteravere un (cut) con la formula A⊥ e pertanto quel contesto deve essere costituito da formule sottolineate.

La regola esponenziale di trasformazione trasforma una derivazione che termina con la regola (cut) checoncerne la coppia di formule (!A, ?A⊥ che sono state introdotte dall’ultima regola nella derivazione diciascuna delle due premesse, in una derivazione che termina con la regola (cut) e che a sua volta può ridursicome indicate nelle regole di riduzione delle regole che concernono le formule sottolineate. La regola è laseguente:

...π1

⊢ Γ, A⊢ Γ, !A

...π2

⊢ A⊥,∆⊢?A⊥,∆

⊢ Γ,∆

(!,?,cut)

...π1

⊢ Γ, A

...π2

⊢ A⊥,∆⊢ Γ,∆


• ottenere !A significa ottenere A in un contesto classico, ossia in un contesto di formule ottenute unnumero arbitrario di volte;

• ottenere ?A significa ottenere A un numero arbitrario di volte;

• usare !A (ossia ottenere ?A⊥) significa usare A un numero arbitrario di volte;

• usare ?A (ossia ottenere !A⊥) significa usare A in un contesto classico.

56

3.1.6 Regole sui quantificatori

Le regole sui quantificatori in logica lineare sono le stesse della logica classica, quando i simboli della logicalineare vengono rimpiazzati dai corrispondenti simboli della logica classica.

Le regole di inferenza sono (per un tipo T di variabili):

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA

(∃)(ttermine di tipo T , x variabile di tipo T )

⊢ Γ, A[y/x]⊢ Γ, ∀xA

(∀)(y variabile di tipo T non libera in Γ, x variabile di tipo T )

Si noti che la regola (∃) non è reversibile mentre la regola (∀) lo è.

Le regole di trasformazione sono (per un tipo T di variabili):

...π1

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA ∨B

...π2

⊢ A⊥[y/x],∆

⊢ ∀xA⊥,∆⊢ Γ,∆

(∃,∀,cut)

...π1

⊢ Γ, A[t/x]

...π2[t/y]

⊢ A⊥[t/x],∆⊢ Γ,∆

3.1.7 Regole di permutazione

Le regole di permutazione nel calcolo dei sequenti della logica lineare sono le stesse che nel calcolo dei sequentidella logica classica.

3.1.8 Principali proprietà del calcolo dei sequenti

Per il calcolo dei sequenti per la logica lineare valgono le argomentazioni stabilitate nella sezione 1.8, e inparticolare vale Il teorema di eliminazione del taglio per il calcolo dei sequenti per la logica lineare del primoordine.

Invece il teorema 3 non vale per il calcolo dei sequenti per la la logica lineare. Più avanti mostreremo come siapossibile assegnare valori alle derivazioni del calcolo dei sequenti per la logica lineare in maniera tale che cisiano formule che hanno derivazioni con valore diverso. Per il momento, giova osservare che l’argimentazioneche aveva portato alla dimostrazione del teorema 3 per il calcolo dei sequenti della logica classica non puòvalere per il calcolo dei sequenti della logica lineare. Infatti, se π1 e π2 sono derivazioni di ⊢ A nel calcolodei sequenti per la logica lineare e si cerca di costruisce una derivazione π3 come nella dimostrazione delteorema 3, si avrebbe:

...π1

⊢ A⊢ A,B

...π2

⊢ A

⊢ B⊥, A⊢ A,A⊢ A

che non sarebbe corretta perchè conterrebbe una regola (cut) concernente due formule sottolineate e unacontrazione tra due formule non sottolineate; se si decide di sottolineare le due occorrenze di A, si avrebbe

57

...π1

⊢ A⊢ A,B

...π2

⊢ A

⊢ B⊥, A⊢ A,A⊢ A

la quale sarebbe ancora scorretta perchè la regola (cut) concerne due formule sottolineate e - anche se siaccettasse un tale (cut) - la derivazione sarebbe non del sequente ⊢ A ma del sequente ⊢ A.

In generale, il rapporto tra logica lineare e logica classica è dato dai seguenti teoremi.

Teorema 8. Traduzione dalla logica lineare alla logica classica Si definisca per ogni derivazione π nel calcolodei sequenti per la logica lineare l’albero π− ottenuto da π rimpiazzando ogni formula B con la sua traduzioneclassica B− e eliminando ogni sottolineatura di formula.

Se π è una derivazione di ⊢ Γ in logica lineare, allora π− è una derivazione di ⊢ Γ− in logica classica.

Dimostrazione. Per induzione sulla lunghezza della derivazione π.

Teorema 9. Traduzione dalla logica classica alla logica lineare

Se A è una formula derivabile in logica classica, allora esiste una formula C ∈ lin(A) tale che C è derivabilein logica lineare.

Dimostrazione. ... Omessa

3.1.9 Alcune leggi della logica lineare

1 è l’elemento neutro della congiunzione moltiplicativa ⊗ e ⊥ è l’elemento neutro della disgiunzione mol-tiplicative `: è quanto viene espresso dai due sequenti derivabili della logica lineare (la loro derivazione èlasciata per esercizio):

⊢ A⊗ 1, A⊥ ⊢ A⊥` ⊥, A

ossia

A ⊢ A⊗ 1 A⊗ 1 ⊢ A A⊥` ⊥⊢ A⊥ A⊥ ⊢ A⊥` ⊥

La congiunzione moltiplicativa ⊗ e la disgiunzione moltiplicativa ` sono commutative: è quanto vieneespresso dal sequente derivabile della logica lineare (la sua derivazione è lasciata per esercizio):

⊢ A⊗B,B⊥ À⊥

ossia

B ⊗A ⊢ A⊗B B⊥À⊥ ⊢ B⊥

À⊥

La congiunzione moltiplicativa ⊗ e la disgiunzione moltiplicativa ` sono associative: è quanto viene espressodai due sequenti derivabili della logica lineare (la loro derivazione è lasciata per esercizio):

⊢ A⊗ (B ⊗ C), (A⊥ `B⊥)` C⊥ ⊢ (A⊗B)⊗ C,A⊥ ` (B⊥ ` C⊥)

58

ossia

(A⊗B)⊗ C ⊢ A⊗ (B ⊗ C) A⊗ (B ⊗ C) ⊢ (A⊗B)⊗ C

A⊥ ` (B⊥ ` C⊥) ⊢ (A⊥ `B⊥)` C⊥ (A⊥ `B⊥)` C⊥ ⊢ A⊥ ` (B⊥ ` C⊥)

T è l’elemento neutro della congiunzione additiva & e 0 è l’elemento neutro della disgiunzione additiva ⊕:è quanto viene espresso dai due sequenti derivabili della logica lineare (la loro derivazione è lasciata peresercizio):

⊢ A&T,A⊥ ⊢ A⊥ ⊕ 0, A

La congiunzione additiva & e la disgiunzione additiva ⊕ sono commutative: è quanto viene espresso dalsequente derivabile della logica lineare (la sua derivazione è lasciata per esercizio):

⊢ A&B,A⊥ ⊕B⊥

La congiunzione aditiva ⊗ e la disgiunzione additiva ⊕ sono associative: è quanto viene espresso dai duesequenti derivabili della logica lineare (la loro derivazione è lasciata per esercizio):

⊢ A&(B&C), (A⊥ ⊕B⊥)⊕ C⊥ ⊢ (A$B)&C,A⊥ ⊕ (B⊥ ⊕ C⊥)

I connettivi moltiplicativi sono delle moltiplicazioni e i connettvi additvi sono delle addizioni, poiché lacongiunzione moltiplicativa ⊗ distribuisce sulla disgiunzione additiva ⊕, e la disgiunzione moltiplicativa &distribuisce sulla congiunzione additiva &: è quanto viene espresso dai due sequenti derivabili della logicalineare (la loro derivazione è lasciata per esercizio):

⊢ (A⊗B)⊕ (A⊗ C), (A⊥ ` (B⊥)&C⊥) ⊢ (A⊥ `B⊥)&(A⊥ ` C⊥), A⊗ (B ⊕ C)

I connettivi esponenziali sono delle esponenziazioni, poiché l’esponenziale ! di una congiunzione additiva &è la congiunzione moltiplicativa ⊗ degli esponenziali, e l’esponenziale ? di una disgiunzione additiva ⊕ è ladisgiunzione moltiplicativa degli esponenziali: è quanto viene espresso dai due sequenti derivabili della logicalineare (la loro derivazione è lasciata per esercizio):

⊢ (!A⊗!B), ?(A⊥ ⊕B⊥) ⊢!(A&B), ?A⊥`?B⊥

Conveniamo di chiamare una formula A vera quando ⊢ A è derivabile, e falsa quando ⊢ A[ ⊥] ossia A ⊢ èderivabile. Conveniamo di dire che una formula A è minore di una formula B (e B è maggiore di A) quando⊢ A⊥, B ossia A ⊢ B è derivabile. Allora:

• 1 è il più piccolo vero, poiché è derivabile il sequente ⊢ 1 per la regola (1) e , quando è derivabile ⊢ A,è anche derivabile il sequente 1 ⊢ A per la regola (⊥);

• T è il più grande vero, poiché è derivabile il sequente ⊢ T per la regola (T ) e per ogni formula A èderivabile il sequente A ⊢ T per la stessa regola (T );

• 0 è il più piccolo falso, poiché è derivabile il sequente 0 ⊢ per la regola (T ) e per ogni formula A èderivabile il sequente 0 ⊢ A per la stessa regola (T );

• ⊥ è il più grande falso, poiché è derivabile il sequente ⊥⊢ per la regola (1) e , quando è derivabile A ⊢,è anche derivabile il sequente A ⊢⊥ per la regola (⊥).

59

3.1.10 Frammenti della logica lineare, e loro complessità

LL è la sigla usata per indicare la logioca lineare: e di solito, alcune sigle denotano importanti frammentidella logica lineare:

• MLL denota il frammento proposizionale moltiplicativo della logica lineare, costituito dalle regole ba-silari e dalle regole per i connettivi moltiplicativi ⊗ e ` (e dunque le formule sono ottenute mediantequesti soli connettivi a partire da formule atomiche non logiche e dalle loro negazioni lineari); si chiamaMLL con unità logiche il frammento ottenuto da MLL aggiungendo le unità logiche moltiplicative 1 e⊥;

• MALL denota il frammento proposizionale moltiplicativo-additivo della logica lineare, costituito dalleregole basilari, dalle regole per i connettivi moltiplicativi ⊗ e ` e dalle regole per i connettivi additivi& e ⊕ (e dunque le formule sono ottenute mediante questi soli connettivi a partire da formule atomichenon logiche e dalle loro negazioni lineari); si chiama MALL con unità logiche il frammento ottenuto daMALL aggiungendo le unità logiche moltiplicative 1 e ⊥ e le unità logiche additive T e 0;

• MELL denota il frammento proposizionale moltiplicativo-esponenziale della logica lineare, costituitodalle regole basilari, dalle regole per i connettivi moltiplicativi ⊗ e `, dalle regole sulle formule sotto-lineate e dalle regole per gli esponenziali ! e ? (e dunque le formule sono ottenute mediante questi soliconnettivi a partire da formule atomiche non logiche e dalle loro negazioni lineari); si chiama MELLcon unità logiche il frammento ottenuto da MELL aggiungendo le unità logiche moltiplicative 1 e ⊥;

• MAELL denota il frammento proposizionale moltiplicativo-additivo-esponenziale della logica lineare,costituito dalle regole basilari, dalle regole per i connettivi moltiplicativi ⊗ e `, dalle regole per iconnettivi additivi & e ⊕, dalle regole sulle formule sottolineate e dalle regole per gli esponenziali !e ? (e dunque le formule sono ottenute mediante questi connettivi a partire da formule atomiche nonlogiche e dalle loro negazioni lineari); si chiama MAELL con unità logiche il frammento ottenuto daMELL aggiungendo le unità logiche moltiplicative 1 e ⊥ e le unità logiche additive T e 0;

• LL al primo ordine denota la logica lineare con la quantificazione solo al primo ordine, ossia tutto ilsistema sopra esposto con le regole sui quantificatori limitate alla quantificazione su variabili per il tipodegli individui.

Con la lettera I davanti a quelle sigle si denota la versione intuizionista di ciascuno di tali frammenti, ossiauna versione ottenuta in maniera analoga a come abbiamo ottenuto la logica intuizionista a partire dallalogica classica.

Riportiamo alcuni importanti risultati sulla complessità di tali frammenti, ossia la comp’lessità della nozioneessere formula derivabile in tali frammenti:

• MLL è NP-completo;

• MALL è PSPACE-completo;

• MAELL è indecidibile.

Si noti che la logica proposizionale classica è decidibile: e dunque il suo raffinamento ottenuto con il fram-mento MAELL diventa indecibile in forza della introduzione degli esponenziali. Ebbene, gli esponenzialicostituiscono in logica lineare qualcosa di analogo ai quantificatori in logica classica: contengono un riferi-mento all’infinito (!A indica una risorsa che può essere usata un numero finito arbitrario di volte, ?A indicauna risora che è stata ottenuta un numero finito arbitrario di volte).

60

3.2 La struttura della dimostrabilità

Si consideri per ogni formula A l’insieme dei contesti - ossia dei multinsiemi finiti di formule - entro cui essaè derivabile nel calcolo dei sequenti, che denoteremo con

prLL(A) = {Γ : ⊢ Γ, A derivabile nel calcolo dei sequenti per la logica lineare}.

Gli elementi di prLL(A) indicano ciò che serve dimostrare per dimostrare A: se Γ ∈ prLL(A) allora perdimostrare la formula A (ossia per derivare il sequente ⊢ A) serve avere una dimostrazione di B⊥ (ossia unaderivazione di ⊢ B⊥ per ogni B che compare nel multinsieme Γ.

Si consideri l’insieme dei multinsiemi finiti di formule che sono derivabili nel calcolo dei sequenti, chedenoteremo con

prLL = {Γ : ⊢ Γ derivabile nel calcolo dei sequenti per la logica lineare}.

Lo studio dell’insieme prLL e degli insiemi prLL(A) (per tutte le formule A del linguaggio) costituisce lostudio della struttura della dimostrabilità nella logica lineare.

Mostreremo - limitandoci alla logica lineare proposizionale MAELL (cioè non considrando le regole suiquantificatori) che questi insiemi sono i fatti di uno spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti perLL, e mostreremo così che la struttura della dimostrabilità nel calcolo dei sequenti per LL è un’interessantestruttura matematica.

3.2.1 Gli spazi delle fasi

Uno spazio delle fasi è costituito da:

• un monoide commutativo 〈M, ·, i〉, dove M è un insieme non vuoto, · è un’operazione binaria da M aM commutativa e associativa, e i è l’elemento neutro dell’operazione ·,

• un sottoinsieme ⊥ di M .

Si noti che i piéù semplici monoidi commutativi sono quelli della forma 〈{i}, ·, i〉 dove i · i = i, e i più semplicispazi delle fasi sono quelli della forma 〈〈{i}, ·, i〉, ∅〉 o 〈〈{i}, ·, i〉, {i}〉 dove i · i = i.

Se 〈M, ·, i〉 è un monoide commutativo, allora:

• sull’insieme ℘(M) (la potenza, l’insieme delle parti di M) si possono definire le seguenti operazionibinarie:

– la composizione, per ogni F ⊆M e per ogni G ⊆M , F ·G = {x · y : x ∈ F ∧ y ∈ G}

– l’implicazione, per ogni F ⊆M e per ogni G ⊆M , F ⊸ G = {x : ∀y ∈ Fx · y ∈ G}

• 〈℘(M), ·, {i}〉 è un monoide commutativo

È facile mostrare che se 〈M, ·, i〉 è un monoide commutativo e F ⊆M e G ⊆M , allora

F · F ⊸ G ⊆ G.

Si noti che, considerando un monoide commutativo 〈{i}, ·, i〉, si passa a un monoide commutativo 〈{∅, {i}}, ·, {i}〉dove: F ·G = F ∩G , F ⊸ G = ∅ se F = {i} e G = ∅, F ⊸ G = {i} altrimenti.

Se 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 è uno spazio delle fasi, allora si può definire su ℘(M) l’operazione ()⊥ (ortogonale):

61

per ogni F ⊆M , F⊥ = F ⊸⊥

È facile mostrare che, se 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 è uno spazio delle fasi, allora per ogni F ⊆M e per ogni G ⊆M

se F ⊆ G allora G⊥ ⊆ F⊥

F · F⊥ ⊆⊥

F ⊆ F⊥⊥

F⊥ = F⊥⊥

F è un fatto di uno spazio delle fasi 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 se e soltanto se è un sottoinsieme di M uguale al suobi-ortoginale:

F ⊆M ∧ F = F⊥⊥

È facile mostrare che, se 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 è uno spazio delle fasi, allora:

• F è un fafto sse F ⊆M e per qualche G ⊆M,F = G⊥

• per ogni F ⊆M , F⊥⊥ è il più piccolo fatto che include F

Si noti che in particolare, se 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 è uno spazio delle fasi:

• per ogni F ⊆M F⊥ è un fatto

• F⊥⊥ è ottenuto da F aggiungendo tutti gli x che hanno la seguente proprietà che è posseduta daglielementi di F : per ogni y ∈ F⊥ x · y ∈⊥.

Un fatto F di uno spazio delle fasi 〈〈M, ·, i〉,⊥〉

• è detto valido se e soltanto se i ∈ F

• è detto antivalido se e soltanto se per qualche fatto valido G F = G⊥

Se 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 è uno spazio delle fasi, allora IM = {x : xx = x ∧ x ∈ {i}⊥⊥}.

Si dimostra quanto segue, per ogni spazio delle fasi 〈〈M, ·, i〉,⊥〉:

• 1 = {i}⊥⊥ è un fatto, ed è il più piccolo fatto valido.

• ⊥= {i}⊥ e quindi ⊥ è un fatto, ed è il più grande fatto antivalido.

• M = ∅⊥ e quindi M è un fatto ed è il più grande fatto e il più grande fatto valido.

• 0 = ∅⊥⊥ è un fatto, ed è il più piccolo fatto e il più piccolo fatto antivalido.

• I fatti sono chiusi sotto le operazioni di implicazione e di intersezione: se F e G sono fatti, allora

– F ⊸ G = (F ·G⊥)⊥ ed è quindi un fatto,

– F ∩G = (F⊥ ∪G⊥)⊥ ed è quindi un fatto.

62

• I fatti, in generale, non sono chiusi sotto le operazioni di composizione e di unione ma sono chiusi sottoil bi-ortogonale della composizione (⊗) e sotto il biortogonale dell’unione (⊕): se F e G sono fatti,allora

– F ⊗G = (F ·G)⊥⊥ ed è quindi un fatto,

– F ⊕G = (F ∪G)⊥⊥ ed è quindi un fatto.

• I fatti sono chiusi sotto l’operazione ? così definita : se F è un fatto , allora ?F = (F⊥ ∩ IM )⊥ è unfatto.

• I fatti, in generale, non sono chiusi sotto l’operazione di intersezione con IM ma sono chiusi sotto ilbiortogonale di tale intersezione (!): se F è un fatto, allora !F = (F ∩ IM )⊥⊥ è un fatto.

In ogni spazio delle fasi 〈〈M, ·, i〉,⊥〉 si può definire l’operazione binaria ` nel modo seguente: per ogni F eper ogni G, F `G = F⊥

⊸ G. Tale operazione preserva i fatti.

3.2.2 Lo spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti

Il calcolo dei sequenti per il frammento proposizionale MAELL della logica lineare (ma anche quello per lalogica classica proposizionale) induce in maniera naturale uno spazio delle fasi

〈〈MLL, ·,iLL〉,⊥LL〉

dove:

• MLL è l’insieme dei multinsiemi finiti di formule del linguaggio della logica lineare;

• · è l’operazione binaria da MLL a MLL, con la quale da due multinsiemi finiti di formule Γ e ∆ siottiene il multinsieme Γ,∆, ed è dunque un’operazione commutativa e associativa;

• iLL è il multinsieme vuoto, e dunque vale che Γ · iLL = Γ = iLL · Γ

• ⊥LL è l’insieme prLL (l’insieme dei multinsiemi finiti Γ tali che ⊢ Γ è derivabile nel calcolo dei sequenti).

Si noti che i multisiemi finitio di formule sottolineate sono idempotenti el monoide langle MLL, ·,iLL〉: infatti,Γ,Γ = Γ. In riferimento a questo spazio delle fasi„ denotiamo con 1LL il fatto {iLL}⊥⊥, con 0LL il fatto ∅⊥⊥

e con ILL l’insieme degli idempotenti del monoide che appartengono a 1LL.

I tre teoremi seguenti mostrano che questo spazio delle fasi costituisce la struttura della dimostrabilità dellalogica lineare: per ogni formula A l’insieme prLL(A) è un fatto ed è ottenuto mediante operazioni di quellospazio delle fasi a partire dagli insiemi prLL(B) prendendo per B le sottoformule immediate di A.

Teorema 10. Le regole basilari del calcolo dei sequenti stabiliscono che per ogni formula A:

1. (prLL(A))⊥ ⊆ prLL(A

⊥) (regola (id))

2. prLL(A⊥) ⊆ (prLL(A))

⊥ (regola (cut))

3. prLL(A⊥) = (prLL(A))

⊥

4. prLL(A) è un fatto dello spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti.

Dimostrazione. 1. Poiché ⊢ A⊥, A è conclusione di (id), si ha che A⊥ ∈ prLL(A): perciò, se Γ ∈(prLL(A))

⊥, allora ⊢ Γ, A⊥ è derivabile e quindi Γ ∈ prLL(A⊥).

63

2. Per la regola (cut), se Γ ∈ prLL(A) e ∆ ∈ prLL(A⊥) allora Γ,∆ ∈ prLL: ciò può essere riformulato

dicendo che prLL(A⊥) ⊆ (prLL(A))

⊥.

3. Dai due precedenti risultati.

4. Per quanto sopra mostrato, prLL(A)⊥⊥ = prLL(A

⊥⊥) = prLL(A)

Teorema 11. Le regole moltiplicative del calcolo dei sequenti stabiliscono che:

1. prLL(1) = 1LL

2. prLL(⊥) =⊥LL

3. per ogni formula A e per ogni formula B, prLL(A⊗B) = prLL(A) ⊗ prLL(B)

4. per ogni formula A e per ogni formula B, prLL(A`B) = prLL(A) ` prLL(B)

Dimostrazione. 1. 1LL ⊆ prLL(1) è dato dalla regola (1) che stabilisce che iLL ∈ prLL(1), e dunque{iLL} ⊆ prLL(1) da cui 1LL ⊆ (prLL(1))

⊥⊥ ossia (poichè prLL(1) è un fatto) 1LL ⊆ prLL(1). prLL(1) ⊆1LL è dato dalla regola (⊥) e dalla regola (cut): se ΓinprLL(1) e ∆ ∈ {iLL}⊥ =⊥Λ allora ⊢ Γ, 1 e⊢ ∆ sono derivabili e dunque per (⊥) è derivabile ⊢ ∆,⊥ e così per (cut)= è derivabile ⊢ Γ,∆ ossiaΓ,∆ ∈⊥LL.

2. La regola (⊥) stabilisce che⊥LL⊆ prLL(⊥), e la reversibilità di tale regola stabilisce che prLL(⊥) ⊆⊥LL.

3. La regola (⊗) permette di ottenere che prLL(A) ⊗ prLL(B) ⊆ prLL(A ⊗ B): infatti, la regola (⊗)stabilisce che prLL(A) · prLL(B) ⊆ prLL(A⊗ B), e da ciò segue che prLL(A) ⊗ prLL(B) ⊆ (prLL(A⊗B))⊥⊥ ossia (poichè prLL(A⊗B) è un fatto) prLL(A)⊗prLL(B) ⊆ prLL(A⊗B). - Le regole (`) e (cut)permettono di ottenere prLL(A⊗B) ⊆ prLL(A)⊗ prLL(B). Infatti, supponiamo che Γ ∈ prLL(A⊗B)(cioè che ⊢ Γ, A⊗B è derivabile) e che ∆ ∈ (pr(A) · pr(B))⊥: allora è anche derivabile ⊢ ∆, A⊥, B⊥ edunque per la regola (`) il sequente ⊢ ∆, A⊥ `B⊥, e infine per la regola (cut) il sequente ⊢ Γ,∆ ossiaΓ,∆ ∈⊥LL.

4. La regola (`) stabilisce che prLL(A)`prLL(B) ⊆ prLL(A`B), e la reversibilità di tale regola stabilisceche prLL(A`B) ⊆ prLL(A)` prLL(B).

Teorema 12. Le regole additive del calcolo dei sequenti stabiliscono che:

1. prLL(0) = 0LL

2. prLL(T ) =MLL

3. per ogni formula A e per ogni formula B, prLL(A⊕B) = prLL(A) ⊕ prLL(B)

4. per ogni formula A e per ogni formula B, prLL(A&B) = prLL(A) ∩ prLL(B)

Dimostrazione. 1. 0LL ⊆ prLL(0) è dato dalla banale affermazione che ∅ ⊆ prLL(0) da cui 0LL ⊆(prLL(0))

⊥⊥ ossia (poichè prLL(0) è un fatto) 0LL ⊆ prLL(0). prLL(0) ⊆ 0LL è dato dalla regola(T ) e dalla regola (cut): se ΓinprLL(0) e ∆ ∈ ∅⊥ =MΛ allora ⊢ Γ, 0 è derivabile e per (T ) è derivabile⊢ ∆, T e così per (cut)= è derivabile ⊢ Γ,∆ ossia Γ,∆ ∈⊥LL.

2. La regola (T ) stabilisce che MLL ⊆ prLL(T ), ed è banale che prLL(T ) ⊆MLL.

64

3. Le regole (⊕1) e (⊕2 permettono di ottenere che prLL(A)⊕ prLL(B) ⊆ prLL(A⊗B): infatti, le regole(⊕1) e (⊕2 stabiliscono che prLL(A)∪prLL(B) ⊆ prLL(A⊕B), e da ciò segue che prLL(A)⊕prLL(B) ⊆(prLL(A ⊕ B))⊥⊥ ossia (poichè prLL(A ⊕ B) è un fatto) prLL(A) ⊕ prLL(B) ⊆ prLL(A ⊕ B). - Leregole (&) e (cut) permettono di ottenere prLL(A⊕B) ⊆ prLL(A)⊕prLL(B). Infatti, supponiamo cheΓ ∈ prLL(A ⊕ B) (cioè che ⊢ Γ, A ⊕ B è derivabile) e che ∆ ∈ (pr(A) ∪ pr(B))⊥: allora sono anchederivabili ⊢ ∆, A⊥ e ⊢ ∆, B⊥ e dunque per la regola (&) il sequente ⊢ ∆, A⊥&B⊥, e infine per la regola(cut) il sequente ⊢ Γ,∆ ossia Γ,∆ ∈⊥LL.

4. La regola (&) stabilisce che prLL(A)∩prLL(B) ⊆ prLL(A&B), e la reversibilità di tale regola stabilisceche prLL(A&B) ⊆ prLL(A) ∩ prLL(B).

Teorema 13. Le regole sulle formule esponenziali e le regole esponenziali del calcolo dei sequenti stabilisconoche per ogni formula A:

1. ILL = {Γ : Γ ∈MLL}

2. per ogni formula A, prLL(!A) =!prLL(A)

3. per ogni formula A, prLL(?A) =?prLL(A)

Dimostrazione. 1. Gli unici multinsiemi di formule ∆ tali che si possa dire ∆,∆ = ∆ sono i multinsiemifiniti di formule sottolineate, in forza della regola di contrazione delle formule sottolineate; e ciacunmultinsieme finito ∆ di formule sottolineate - in forza della regola di indebolimento per le formulesottolineate - è tale che ⊢ ∆, 1 è derivabile, ossia ∆ ∈ prLL(1). Con un’opportuno cambiamento nelledefinizioni relative ai contesti dei sequenti, si ha da questi risultati la dimostrazione che ILL = {Γ :Γ ∈MLL}.

2. La regola (! permette di ottenere che !prLL(A) ⊆ prLL(!A): infatti, la regola (!) stabilisce che prLL(A)∩ILL ⊆ prLL(!A), e da ciò segue che !prLL(A) ⊆ (prLL(!A))

⊥⊥ ossia (poichè prLL(!A) è un fatto)!prLL(A) ⊆ prLL(!A). - Le regole (?) e (cut) permettono di ottenere prLL(!A) ⊆!prLL(A). Infatti,supponiamo che Γ ∈ prLL(!A) (cioè che ⊢ Γ, !A è derivabile) e che ∆ ∈ (pr(A) ∩ ILL)

⊥: allora è anchederivabile ⊢ ∆, A⊥ e dunque per la regola (?) il sequente ⊢ ∆, ?A⊥, e infine per la regola (cut) ilsequente ⊢ Γ,∆ ossia Γ,∆ ∈⊥LL.

3. La regola (?) stabilisce che ?prLL(A) ⊆ prLL(?A), e la reversibilità di tale regola stabilisce cheprLL(?A) ⊆?prLL(A).

Si noti come nella dimostrazione dei tre teoremi precedenti:

• per gli operatori logici la cui regola è reversibile, si fa uso di questa sola regola e della sua reversibilità;e l’insieme dei contesti in cui una formula ottenuta con un tale operatore è derivabile si definisce (apartire dagli insiemi corispondenti alle sue sottoformule) senza ricorrere al bi-ortogonale;

• per gli operatori logici che hanno regole non reversibili, si fa uso di queste regole e della regola dell’ope-ratore logico duale; e l’insieme dei contesti in cui la formula ottenuta con un tale operatore è derivabilesi definisce (a partire dagli insiemi corispondenti alle sue sottoformule) usando il bi-ortogonale.

65

3.2.3 La semantica delle fasi

I teoremi che stabiliscono come lo spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti sia la struttura delladimostrabilità nel calcolo dei sequenti per la logica lineare proposizionale MAELL possono essere usati perottenere un risultato di completezza fra la nozione di derivabilità nella logica lineare proposizionale MAELLe una nozione di valididtà negli spazi delle fasi.

Innanzitutto, fissato uno spazio delle fasi S, si definisce la nozione di interpretazione delle formule dellalogica lineare proposizionale MAELL sui fatti di S: essa è data da una funzione f che assegna un fatto di Sa ogni formula atomica non logica, in modo tale che f(A⊥) = f(A)⊥ per ogni formula atomica A non logica,e si estende a tutte le formule di MAELL nel modo seguente:

• (1) è il fatto 1 di S, f(⊥) è il fatto ⊥ di S, f(T ) è il fatto M costituito dagli elementi del monoide diS, f(0) è il fatto 0 di S

• f(A⊗B) = f(A)⊗ f(B), f(A`B) = f(A)` f(B), f(A&B) = f(A)∩f(B), f(A⊕B) = f(A)⊕ f(B),dove nella parte destra di ciascuna di queste uguaglianze si fa riferimento a operazioni dello spaziodelle fasi ;

• f(!A) =!f(A) , f(?A) =?f(A), dove nella parte destra di ciascuna di queste uguaglianze si fa riferimentoa operazioni dello spazio delle fasi.

Una formula A di MAELL è detta valida nella interpretazione f su uno spazio delle fasi S se e soltanto sef(A) è un fatto valido di S, ossia sse l’elemento neutro del monoide di S appartiene a f(A).

Una formula A è detta valida in uno spazio delle fasi S se e soltanto se A è valida in ogni interpretazione suS.

Teorema 14. Un sequente ⊢ A di MAELL è derivabile nella logica lineare proposizionale MAELL se esoltanto se la formula A è valida in ogni spazio delle fasi.

Dimostrazione. • Mostriamo che, se una formula A di MAELL è valida in ogni spazio delle fasi, allora⊢ A è derivabile nel calcolo dei sequenti della logica lineare proposizionale MAELL. Si consideri l’in-terpretazione f delle formule di MAELL sullo spazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti, cheassegna ad ogni formula atomica non logica B il fatto prLL(B): allora, per i teoremi del paragrafoprecedente, si mostra facilmente che per ogni formula C di MAELL f(C) = prLL(C). Se una formulaA di MAELL è valida in ogni spazio delle fasi, allora A è valida anche in questa interpretazione f sullospazio delle fasi indotto dal calcolo dei sequenti; e dunque f(A) = prLL contiene l’elememto neutro diquel monoide, ossia contiene il multinsieme vuoto, e pertantoa ⊢ A è derivabile.

• Per mostrare che, se una formula A di MAELL è derivabile nel calcolo dei sequenti per la logica lineareproposizionale MAELL, allora A è valida in ogni spazio delle fasi, si verifica per induzione che - per ognispazio delle fasi S - se Γ è derivabile in MAELL allora la formula B ottenuta mediante la disgiunzionemoltiplicative ` di tutte le formule di Γ è valida in ogni interpretazione su S.

Si noti che per la logica classica vale il teorema :

Teorema 15. Un sequente ⊢ A è derivabile nella logica classica proposizionale se e soltanto se la formula Aè valida in ogni spazio delle fasi in cui il monoide è un singoletto i e ⊥= ∅ (e nel quale dunque i fatti sonosolo due, ∅ e i).

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Capitolo 4

Logica lineare: positivo e negativo

4.1 Operatori logici negativi e operatori logici positivi

Per operatore logico intendiamo una unità logica (moltiplicativa o additiva) o un connettivo (moltiplicativo,additivo o esponenziale) o un quantificatore.

Chiamiamo negativi gli operatori logici che sono definiti da una regola reversibile, e chiamiamo positivi glioperatori logici che sono definiti con nessuna, una o più regole non reversibili. Diciamo che due operatorilogici hanno la stessa polarità quando sono entrambi positivi o entrambi negativi, e hanno diversa polaritàaltrimenti.

Si noti che possiamo chiamare negativo o positivo ciascun operatore logico in logica lineare poiché nessunoperatore ha - come invece accade accade in logica classica - sia regole reversibili che regole non reversibili.

La tabella seguente mostra gli operatori logici negativi e positivi in logica lineare:

• la seconda colonna contiene gli operatori logici positivi e la terza colonna gli operatori logici negativi,

• in ciascuna riga compaiono la denominazione dei due operatori presentiti in quella linea, un operatorelogico positivo e l’operatore logico negativo che è il suo duale.

Tabella 4.1: Operatori logici positivi e negativi

Denominazione Positivo Negativounità moltiplicative 1 ⊥connettivi moltiplicativi ⊗ `

unità additive 0 T

connettivi additivi ⊕ &esponenziali ! ?quantificatori ∃ ∀

Nei prossimi paragrafi individueremo le caratteristiche salienti comuni degli operatori negativi e quelle deglioperatori positivi.

Chiamiamo negativa una formula il cui operatore logico principale è un operatore negativo, e chiamiamopositiva una formula il cui operatore logico principale è positiva.

Si noti che - con l’esclusione delle formule atomiche diverse dalle unità logiche - ciascuna formula della logicalineare è una formula positiva o una formula negativa e non può essere sia positiva che negativa, poiché ilsuo operatore logico principale é unico ed è o negativo o positivo e non può essere sia positivo che negativo.

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4.1.1 Caratteristiche degli operatori negativi

La prima caratteristica degli operatori negativi è quella di avere una sola regola. Questa regola ha un’arietàche dipende dall’operatore: 0 per T , 2 per & e 1 per gli altri operatori negativi elencati nella tabella.

Per ciascun operatore negativo, in ciascuna premessa della sua regola compaiono un numero finito di sot-toformule della formula che viene introdotta nella conclusione della regola: in ciascuna delle due premessedella regola di & compare una sola sottoformula della formula introdotta nella conclusione, nell’unica pre-messa della regola di ` sono presenti due sottoformule della formula introdotta nella conclusione, nell’unicapremessa della regola degli altri operatori negativi con regola unaria compare solo una sottoformula dellaformula introdotta nella conclusione della regola (se si ammette nel caso della regola ? che sottoformula di?A sia A)

Per ciascun operatore negativo, la regola è reversibile. La reversibilià della regola può ben essere espressadicendo che: se A è una formula negativa, ⊢ Γ, A è derivabile se e soltanto se esiste una derivazione la cuiultima regola è quella che introduce la formula A ed è la regola dell’operatore logico principale in A.

Infatti, se ⊢ Γ, A è derivabile, poichè la regola per l’operatore logico negativo principale in A è reversibile,esiste una derivazione di ciascuna delle premesse della regola che permette di ottenere il sequente ⊢ Γ, A : eda esse si ottiene, mediante la regola dell’operatore logico principale in A, il sequente ⊢ Γ, A. Il viceversa èbanale.

Ogni coppia di operatori logici negativi commuta. Ossia, se N1 e N2 sono due operatori logici negativi, alloraN1N2 = N2N1.

La commutatività di due operatori negativi può essere meglio formulata come segue. Siano N1 e N2 operatorilogici negativi. Siano A e B due formule ottenute dalle stesse formule, nel primo caso compiendo dappri-ma l’operatore logico N1 e successivamente l’operatore logico N2, e nel secondo caso compiendo dapprimal’operatore logico N2 e successivamente l’operatore logico N1 . Allora:

• le formule A e B sono equivalenti, ossia sono derivabili i sequenti ⊢ A⊥, B e ⊢ B⊥, A;

• per ogni Γ, i sequenti ⊢ Γ, A e ⊢ Γ, B sono derivabili dalle stesse premesse mediante le regole per queglioperatori logici negativi, usate in caso nell’ordine N1, N2 e nell’altro nell’ordine N2, N1 .

Mostriamo alcuni esempi di commutatività di due operatori negativi, indicando coppie di formule la cuiequivalenza è facile da ottenere:

• le due formule la cui equivalenza esprime l’associatività di `, ossia le formule A` (B`C) (nella qualesi esegue dapprima un ` che coinvolge C e successivamente uno che coinvolge A) e (A`B)`C (nellaquale si esegue dapprima il ` che coinvolge A e succcessivamente quello che coinvolge C);

• le due formule la cui equivalenza esprime l’associatività di &, ossia le formule A&(B&C) (nella qualesi esegue dapprima un & che coinvolge C e successivamente uno che coinvolge A) e (A&B)&C (nellaquale si esegue dapprima il & che coinvolge A e successivamente quello che coinvolge C);

• le due formule la cui equivalenza permette di trascurare l’ordine della quantificazione universale di duevariabili, ossia le formule ∀x∀yA ( nella quale si esegue dapprima il ∀ su y e successivamente quello sux) e ∀y∀xA ( nella quale si esegue dapprima il ∀ su x e poi quello su y);

• le due formule la cui equivalenza esprime la distributività di ` su &, ossia le formule A` (B&C) (nellaquale si esegue dapprima un & - che coinvolge B e C - e successivamente un ` che coinvolge A) e(A`B)&(A`C) (nella quale si esegue dapprima il ` che coinvolge A con ciascuna delle formule B eC e successivamente il & tra questi due risultati);

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• le due formule (con x non libera in A) ∀x(A ` B) (nella quale si esegue dapprima il ` tra A e B esuccessivamente il ∀ sulla formula così ottenuta) e A ` ∀B (nella quale si esegue dapprima il ∀ su Bnel contesto A dove x non è libera e successivamente il ` tra le due formule).

• le due formule ∀x(A&B) (nella quale si esegue dapprima il & tra A e B e successivamente il ∀ sullaformula così ottenuta) e ∀A&∀B (nella quale si esegue dapprima il ∀ su ciascuna delle due formule esuccessuvamente il ` tra le due formule).

Mostriamo come, in ciascuna dei casi sopra considerati, le due formule si derivano dalle stesse premessemediante le stesse regole in ordine inverso:

⊢ Γ, A,B,C⊢ Γ, A,B ` C⊢ Γ, A` (B ` C)

⊢ Γ, A,B,C⊢ Γ, A`B,C⊢ Γ, (A`B)` C

⊢ Γ, A⊢ Γ, B ⊢ Γ, C⊢ Γ, B&C

⊢ Γ, A&(B&C)

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, A&B

⊢ Γ, C

⊢ Γ, (A&B)&C

⊢ Γ, A,B⊢ Γ, A`B

⊢ Γ, A, C⊢ Γ, A` C

⊢ Γ, (A`B)&(A` C)

⊢ Γ, A,B ⊢ Γ, A, C⊢ Γ, A,B&C⊢ Γ, A` (B&C)

⊢ Γ, A⊢ Γ, ∀yA⊢ Γ, ∀x∀yA

⊢ Γ, A⊢ Γ, ∀xA⊢ Γ, ∀y∀xA

quando x non è libera in Γ

⊢ Γ, A,B⊢ Γ, A, ∀xB⊢ Γ, A` ∀xB

⊢ Γ, A,B⊢ Γ, A`B⊢ Γ, ∀x(A `B)

quando x non è libera in A e in Γ

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, A&B⊢ Γ, ∀x(A&B)

⊢ Γ, A⊢ Γ, ∀xA

⊢ Γ, B⊢ Γ, ∀xB

⊢ Γ, ∀xA&∀xBquando x non è libera in Γ

Quindi la commutatività di due operatori negativi può essere espressa nel seguente modo.

Sia A una formula negativa, con operatore principale negativoN1 e operatore secondarioN2, e siaA derivabilein ogni contesto da certe premesse mediante l’applicazione della regola per N2 seguita dall’applicazione dellaregola per N1: in ogni contesto, da quelle stesse premesse, applicando prima la regola per N1 e poi la regolaper N2 è è derivabile una formula negativa B in cui l’operatore principale è N2 e l’operatore secondario èN1.

Sembrano un’eccezione alla regola della commutatività di due operatori negativi i casi in cui uno dei dueoperatori negativi è ?: ad esempieo le due seguenti coppie di formule che sono coppie di formule nonequivalenti:

• ?(A ` B) (dove si esegue dapprima il ` e successivamente il ?) e ?A`?B (dove si esegue dapprima il? sulle due formule A e B e successivamente il `);

• ?(A&B) ((dove si esegue dapprima il & e successivamente il ?) e ?A&?B (dove si esegue dapprima il? sulle due formule A e B e successivamente il & ).

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In realtà, per eseguire il ? la formule deve essere dapprima sottolineata, e la sottolineatura non è reversibile!Sicché, quando uno dei due operatori negativi è ?, prima di esso non può mai esserci un’operazione negativama deve esserci un’operazione non reversibile di sottolineatura. Quindi, non c’è mai una successione di dueoperatori negativi nella quale il secondo operatore eseguito è il ?.

Si veda, ad esempio, ciò che avviene nel caso della derivazione delle due coppie di formule, tenendo presenteperaltro che una formula sottolineata può essere conclusione anche della regola di indebolimento o dellaregola di contrazione:

⊢ Γ, A,B⊢ Γ, A`B⊢ Γ, A`B⊢ Γ, ?(A`B)

⊢ Γ, A,B⊢ Γ, A,B⊢ Γ, ?A, ?B⊢ Γ, ?A`?B

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, A&B⊢ Γ, A&B⊢ Γ, ?(A&B)

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊢ Γ, ?A

⊢ Γ, B⊢ Γ, B⊢ Γ, ?B

⊢ Γ, ?A&?B

Possiamo generalizzare la commutatività degli operatori logici negativi, nel modo seguente. Siano A e Bdue formule ottenute dalle stesse formule, compiendo esclusivamente gli stessi operatori logici negativi main ordine diverso. Allora:


• per ogni Γ, i sequenti ⊢ Γ, A e ⊢ Γ, B sono derivabili dalle stesse premesse mediante le regole per queglioperatori logici negativi, usate in caso in un ordine e nell’altro in un altro ordine.

Una formula negativa n-aria è una formula negativa nella quale ci sono n sottoformule massimali nonnegative. Quando A è una formule negativa n-aria e le sue sottoformule massimali non negative sonoA1, ..., An, allora è denotata da A[A1, ..., An].

Si noti che una formula negativa n-aria A[A1, ..., An] è una formula che si ottiene dalle formule non negativeA1, ..., An mediante esclusivamente operatori logici negativi.

Esempi di formule negative 0-arie, unarie, binarie e ternarie:

• 0- arie: le unità logiche negative;

• unarie: ?A per ogni formula A (poiché si tratta di una formula da ritenere sottolineata), ∀xA dove Aè una formula non negativa, ma anche ∀x1...∀xnA dove A è una formula non negativa;

• binarie: A&B e A`B dove A,B sono formule non negative; ma anche formule come ∀x(A `B), A`

∀xB, ∀x(A&B), ∀xA&∀xB, dove A e B sono formule non negative;

• ternarie: A` (B`C), (A`B)`C,A&(B&C), (A&B)&C,A` (B&C), (A`B)&(A`C), dove A,B,Csono formule non negative.

Le proprietà degli operatori negativi permettono di stabilire questa proprietà delle formule negative n-arie.Se A[A1, ..., An] è una formula negativa n-aria e A1, ..., An sono le sue sottoformule massimali non negative,allora per ogni contesto Γ il sequente ⊢ Γ, A[A1, ..., An] è derivabile da un numero finito di premesse checontengono ciascuna lo stesso contesto Γ e un numero finito di formule fra A1, ..., An attraverso derivazioniche differiscono unicamente per l’ordine di applicazione di regole reversibili.

70

SeA[A1, ..., An] è una formula negativa n-aria doveA1, ..., An sono le sue sottoformule massimali non negative,e per ogni contesto Γ il sequente ⊢ Γ, A[A1, ..., An] è derivabile da un numero finito di premesse che contengonociascuna lo stesso contesto Γ e un numero finito di formule fra A[A1, ..., An], e dimentichiamo l’ordine diapplicazione delle regole reversibili nelle varie derivazioni di ⊢ Γ, A[A1, ..., An] da quelle premesse, allora siè davanti ad una sorta di regola negativa, dunque reversibile per derivare direttamente ⊢ Γ, A[A1, ..., An] daquelle premesse, una regola che è reversibile.

Tale regola negativa ha la seguente forma, se le premesse sono k:

⊢ Γ,∆1 ⊢ Γ,∆k

⊢ Γ, A[A1, ..., An]

dove ciascun ∆i contiene un numero finito di formule non negative comprese tra A1, ..., An.

Esempi di tale regola negativa sono ottenibili passando direttamente dalle premesse alla conclusione nellederivazioni sopra mostrate per ciascuna delle coppie di formule sopra considerate:

⊢ Γ, A,B,C⊢ Γ, A` (B ` C)

⊢ Γ, A,B,C⊢ Γ, (A`B)` C

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B ⊢ Γ, C⊢ Γ, A&(B&C)

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B ⊢ Γ, C⊢ Γ, (A&B)&C

⊢ Γ, A,B ⊢ Γ, A, C⊢ Γ, (A`B)&(A` C)

⊢ Γ, A,B ⊢ Γ, A, C⊢ Γ, A` (B&C)

⊢ Γ, A⊢ Γ, ∀x∀yA

⊢ Γ, A⊢ Γ, ∀y∀xA


⊢ Γ, A,B⊢ Γ, A` ∀xB

⊢ Γ, A,B⊢ Γ, ∀x(A `B)

quando x non è libera in A e in Γ

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, ∀x(A&B)

⊢ Γ, A ⊢ Γ, B⊢ Γ, ∀xA&∀xB


Ogni formula negativa ha soltanto una regola, e tale regola è reversibile. La regola per una formula negativaA[A1, ..., An] definisce l’unica maniera (e anche reversibile) per ottenere quella formula in qualunque contesto:la regola per A[A1, ..., An] caratterizza, definisce quella formula negativa.

Pertanto, date due formule negative A[A1, ..., An] e B[B1, ..., Bn] , se la regola di A[A1, ..., An] ha le stessepremesse della regola di B[B1, ..., Bn], allora è naturale pensare che tali formule negative sono uguali.

Ad esempio, per quello che abbiamo fatto vedere sopra:

• sono uguali le formule negative unarie ∀x∀yA e ∀y∀xA dove A è una formula non negativa; e in generalesono uguali le formule negative unarie ∀x1...∀xnA e ∀xσ(1)...∀xσnA dove A è una formula non negativae σ è una permutazione di {1, ..., n}

• sono uguali le formule negative ternarie A` (B ` C) e (A`B)` C, dove A,B,C sono non negative;

• sono uguali le formule negative binarie A` ∀xB e ∀x(A`B) dove A,B sono non negative e in A nonè libera x;

• sono uguali le formule negative binarie ∀xA&∀xB e ∀x(A&B) dove A,B sono non negative e in A nonè libera x;

• sono uguali le formule negative ternarie A&(B&C) e (A&B)&C, dove A,B,C sono non negative;

• sono uguali le formule negative ternarie (A`B)&(A`C) e A`(B&C) dove A,B,C sono non negative.

71

4.1.2 Caratteristiche degli operatori positivi

Molto diverse da quelle degli operatori negativi sono le caratteristiche degli operatori positivi.

La prima caratteristica degli operatori positivi è quella di avere un numero finito di regole, numero chedipende dall’operatore: l’operatore 0 ha 0 regole, l’operatore ⊕ ha 2 regole, e gli altri operatori positivielencati nella tabella hanno una sola regola.

Ciascuna regola di ciascun operatore positivo ha un’arietà (l’unica regola dell’operatore positivo ⊗ ha 2premesse, l’unica regola dell’operatore positivo 1 ha 0 premesse, e le regole degli altri operatori positivielencati in tabella hanno solo una premessa), e in ciascuna premessa di ciascuna regola di ciascun operatorepositivo compare solo una delle sottoformule della formula che viene introdotta nella conclusione della regola.Nella prima premessa della regola binaria di ⊗ con conclusione A ⊗ B compare la sottoformula A e nellaseconda premessa la sottoformula B; nella unica premessa di ciascuna delle due regole dell’operatore positivo⊕ con conclusione A⊕B compare una sola delle due sottoformule A e B; nell’unica premessa dell’unica regoladi ! con conclusione !A compare la formula A ; nell’unica premesa della regola di ∃ compare una sottoformulaestesa della formula introdotta nella conclusione.

Per ciascun operatore positivo, la regola o le regole non sono reversibili. La non reversibilità delle regoledegli operatori positiivi può ben essere espressa dicendo che: se A è una formula positiva, ci sono contestiΓ tali che ⊢ Γ, A è derivabile ma non esiste alcuna derivazione di ⊢ Γ, A la cui ultima regola introduce laformula A ed è la regola dell’operatore logico principale in A.

Ma, anche se le regole per gli operatori positiivi non sono reversibili, anche per gli operatori positivi valeuna proporietà che abbiamo visto valere per gli operatori negativi: ogni coppia di operatori logici positivicommuta. Ossia, se P1 e P2 sono due operatori logici negativi, allora P1P2 = P2P1.

La commutatività di due operatori positivi può essere meglio formulata come segue. Siano P1 e P2 operatorilogici positivi. Siano A e B due formule ottenute dalle stesse formule, nel primo caso compiendo dappri-ma l’operatore logico P1 e successivamente l’operatore logico P2, e nel secondo caso compiendo dapprimal’operatore logico P2 e successivamente l’operatore logico P1 . Allora:


• per ogni Γ, considerati i sequenti ⊢ Γ, A e ⊢ Γ, B, per ogni derivazione di uno dei due sequenti daalcune premesse mediante le regole per quegli operatori logici positivi esiste una derivazione dell’altrosequente dalle stesse premesse mediante le regole per quegli operatori logici negativi, usate in casonell’ordine inverso.

Mostriamo alcuni esempi di commutatività di due operatori logici positivi , indicando coppie di formule lacui equivalenza è fscile da ottenere:

• le due formule la cui equivalenza esprime l’associatività di ⊗, ossia le formule A⊗ (B⊗C) (nella qualesi esegue dapprima un ⊗ che coinvolge C e successivamente uno che coinvolge A) e (A⊗B)⊗C (nellaquale si esegue dapprima un ⊗ che coinvolge A e successivamente uno che coinvolge C);

• le due formule la cui equivalenza esprime l’associatività di ⊕, ossia le formule A⊕ (B⊕C) (nella qualesi esegue dapprima un ⊕ che coinvolge C e successivamente uno che coinvolge A) e (A⊕B)⊕C (nellaquale si esegue dapprima un ⊕ che coinvolge A e successivamente uno che coinvolge C);

• le due formule la cui equivalenza permette di trascurare l’ordine della quantificazione esistenaziale didue due variabili, ossia le formule ∃x∃yA (nella quale si esegue dapprima il ∃ su Y e successivamentequello su x) e ∃y∃xA (nella quale si esegue dapprima il ∃ su x e successivamente quello su y);

72

• le due formule la cui equivalenza esprime la distributività di ⊗ su ⊕, ossia le formule A ⊗ (B ⊕ C)(nella quale si esegue dapprima un ⊕ che coinvolge B e C, e successivamente un ⊗ che coinvolge A) e(A⊗B)⊕ (A⊗ C) (nella quale si esegue dapprima il ⊗ che coinvolge A con ciascuna delle formule Be C e dopo il ⊕ tra questi due risultati);

• le due formule ∃x(A ⊗ B) (nella quale si esegue dapprima il ⊗ tra A - dove x non è libera - e B esuccessivamente il ∃ sulla formula così ottenuta) e ∃xA⊗∃B (nella quale si esegue dapprima il ∃ su Be successivamente il ⊗ A - dove x non è libera - e questa formula);

• le due formule ∃x(A ⊕ B) (nella quale si esegue dapprima il ⊕ tra A e B e successivamente il ∃ sullaformula così ottenuta) e ∃A⊕ ∃B (nella quale si esegue dapprima il ∃ su ciascuna delle due formule esuccessivamente il ⊕ tra le due formule);

Mostriamo come, in ciascuna dei casi sopra considerati, le due formule si derivano dalle stesse premessemediante le stesse regole in ordine inverso (si noti che - trattandosi di operatori positivi - ci sono più manieredi derivare una formula in un contesto, e ciascuna maniera può coinvolgetre premesse diverse):

⊢ Γ1, A⊢ Γ2, B ⊢ Γ3, C⊢ Γ2,Γ3, B ⊗ C

⊢ Γ, A⊗ (B ⊗ C)

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ1,Γ2, A⊗B

⊢ Γ3, C

⊢ Γ, (A⊗B)⊗ CΓ = Γ1,Γ2,Γ3

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊕ (B ⊕ C)

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊕B

⊢ Γ, (A⊕B)⊕ C

⊢ Γ, B⊢ Γ, B ⊕ C

⊢ Γ, A⊕ (B ⊕ C)

⊢ Γ, B⊢ Γ, A⊕B

⊢ Γ, (A⊕B)⊕ C

⊢ Γ, C⊢ Γ, B ⊕ C

⊢ Γ, A⊕ (B ⊕ C)

⊢ Γ, C⊢ Γ, (A⊕B)⊕ C

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ, A⊗B

⊢ Γ, (A⊗B)⊕ (A⊗ C)

⊢ Γ1, A⊢ Γ2, B

⊢ Γ2, B ⊕ C⊢ Γ, A⊗ (B ⊕ C)

Γ = Γ1,Γ2

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, C⊢ Γ, A⊗ C

⊢ Γ, (A⊗B)⊕ (A⊗ C)

⊢ Γ1, A⊢ Γ2, C

⊢ Γ2, B ⊕ C⊢ Γ, A⊗ (B ⊕ C)

Γ = Γ1,Γ2

⊢ Γ, A[s/x, t/y]⊢ Γ, ∃yA[t/x, y]⊢ Γ, ∃x∃yA[x, y]

⊢ Γ, A[s/x, t/y]⊢ Γ, ∃xA[x, t/y]⊢ Γ, ∃y∃xA[x, y]

⊢ Γ1, A⊢ Γ2, B[t/x]⊢ Γ, A, ∃xB

⊢ Γ, A⊗ ∃xB[x]

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B[t/x]⊢ Γ, A⊗B[t/x]⊢ Γ, ∃x(A ⊗B[x])

quando x non è libera in A, con Γ = Γ1,Γ2

73

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, A[t/x]⊕B[t/x]⊢ Γ, ∃x(A[x] ⊕B[x])

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA[x]

⊢ Γ, ∃xA[x] ⊕ ∃xB[x]

⊢ Γ, B[t/x]⊢ Γ, A[t/x]⊕B[t/x]⊢ Γ, ∃x(A[x] ⊕B[x])

⊢ Γ, B[t/x]⊢ Γ, ∃xB[x]

⊢ Γ, ∃xA[x] ⊕ ∃xB[x]

Un’apparente eccezione alla commutatività di due operatori positivi può sembrare la presenza di queste duecoppie di formule che non sono affatto equivalenti:

• le formule !(A⊗ B) (dove si esegue dapprima un ⊗ su due formule e successivamente il ! sul risultatoottenuto) e !A⊗!B (dove si esegue dapprima il ! sulle due formule e successivamente il ⊗ sui risultatiottenuti);

• le formule !(A⊕ B) (dove si esegue dapprima un ⊕ su due formule e successivamente il ! sul risultatoottenuto)e !A⊕!B (dove si esegue dapprima il ! sulle due formule e poi il ⊕ sui risultati ottenuti.

Si osservi però che l’operatore positivo ! richiede che il contesto sia fatto esclusivamente di formule sottoli-neate, e con questa condizione cade la equivalenza in ciascuna delle due coppie di formule: infatti in !(A⊗B)o !(A ⊕ B) in realtà si ha non un operatore positivo (⊗ o ⊕) seguito da ! ma un operatore positivo seguitoda una sottolineatura del contesto e poi da !. Le derivazioni delle due coppie di formule si comportano comeci si attende per la commutatività degli operatori positivi, ma sotto la condizione che il contesto sia tuttosottolineato:

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ, A⊗B⊢ Γ, !(A⊗B)

⊢ Γ1, A⊢ Γ1, !A

⊢ Γ2, B⊢ Γ2, !B

⊢ Γ, !A⊗!BΓ = Γ1,Γ2

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊕B⊢ Γ, !(A⊕B)

⊢ Γ, A⊢ Γ, !A⊢ Γ, !A⊕!B

⊢ Γ, B⊢ Γ, A⊕B⊢ Γ, !(A⊕B)

⊢ Γ, B⊢ Γ, !B⊢ Γ, !A⊕!B

Possiamo generalizzare la commutatività degli operatori logici positivi, nel modo seguente.

• Siano A e B due formule ottenute dalle stesse formule, compiendo esclusivamente gli stessi operatorilogici positivi - eccetto ! - ma in ordine diverso. Allora:

– le formule A e B sono equivalenti, ossia sono derivabili i sequenti ⊢ A⊥, B e ⊢ B⊥, A;

– per ogni Γ, i sequenti ⊢ Γ, A e ⊢ Γ, B sono derivabili dalle stesse premesse mediante le regole perquegli operatori logici positivi, usate in caso in un ordine e nell’altro in un altro ordine.

• Siano A e B due formule ottenute dalle stesse formule, compiendo esclusivamente gli stessi operatorilogici positivi compreso ! ma in ordine diverso. Allora per ogni Γ, i sequenti ⊢ ΓA e ⊢ Γ, B sonoderivabili dalle stesse premesse mediante le regole per quegli operatori logici positivi, usate in caso inun ordine e nell’altro in un altro ordine.

Una formula positiva n-aria è una formula positiva nella quale ci sono n sottoformule massimali non positive.Quando A è una formule positiva n-aria e le sue sottoformule massimali non positive sono A1, ..., An, alloraè denotata da A[A1, ..., An].

Si noti che una formula positiva n-aria A[A1, ..., An] è una formula che si ottiene dalle formule non positiveA1, ..., An mediante esclusivamente operatori logici positivi.

Esempi di formule positive 0-arie, unarie, binarie e ternarie:

74

• 0- arie: le unità logiche positive;

• unarie: !A , ∃xA e anche ∃x1...∃xnA, dove A è una formula non positiva;

• binarie: A⊗B e A⊕B dove A,B sono formule non positive; ma anche formule come ∃x(A⊗B), A⊗∃B, ∃x(A⊕B), ∃xA⊕∃xB, !(A⊗B), !A⊗!B, !(A⊕B) =!A&!B, dove A e B sono formule non posiitve;

• ternarie: A⊗ (B ⊗C), (A⊗B)⊗C,A⊕ (B ⊕C), (A⊕B)⊕C,A⊗ (B ⊕C), (A⊗B)⊕ (A⊗C), doveA,B,C sono formule non positive.

Le proprietà degli operatori positivi permettono di stabilire questa proprietà delle formule positive n-arie. SeA[A1, ..., An] è una formula positiva n-aria e A1, ..., An sono le sue sottoformule massimali non positive, alloraper ogni contesto Γ esiste un numero finito di classi di derivazioni del sequente ⊢ Γ, A[A1, ..., An] tale checiascuna classe contiene derivazioni - che consistono unicamente in applicazioni di regole non reversibilie che differiscono unicamente per l’ordine inessenziale di applicazione di tali regole non reversibili - di⊢ Γ, A[A1, ..., An] dallo stesso numero finito di premesse ciascuna delle quali contiene una sola delle formuleA1, ..., An e una parte del contesto Γ.

Se A[A1, ..., An] è una formula positiva n-aria dove A1, ..., An sono le sue sottoformule massimali non positive,e Γ è un contesto, allora ciascuna classe di derivazioni del sequente ⊢ Γ, A[A1, ..., An] puè derivabile dallostesso numero finito di premesse contenente una sola formula delle formule A1, ..., An e una parte del contestoΓ può essere rappresentata da una sorta di regola positiva, ossia non reversibile che deriva direttamente⊢ Γ, A[A1, ..., An] da quelle premesse, una regola che è non reversibile.

Pertanto, ciascuna formula positiva A[A1, ..., An] dove A1, ..., An sono le sue sottoformule massimali nonpositive induce un numero finito di regole positive (ossia non reversibili), ciascuna delle quali ha una arietàe si presenta (se le premesse sono k) nel modo seguente:

Tale regola negativa ha la seguente forma, se le premesse sono k:

⊢ Γ1, B1 ⊢ Γk, Bk

⊢ Γ, A[A1, ..., An]

dove Γ1, ...,Γk = Γ e B1, ..., Bk sono formule non positive fra A1, ..., An.

Esempi di tale regola negativa sono ottenibili passando direttamente dalle premesse alla conclusione nellederivazioni sopra mostrate per ciascuna delle coppie di formule sopra considerate.

• Le formule positive ternarie A ⊗ (B ⊗ C) e (A ⊗ B) ⊗ C (con A,B,C formule non positive) hannociascuna una sola regola che è ternaria:

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B ⊢ Γ3, C⊢ Γ, A⊗ (B ⊗ C)

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B ⊢ Γ3, C⊢ Γ, (A⊗B)⊗ C

Γ = Γ1,Γ2,Γ3

• Le formule positive ternarie A ⊕ (B ⊕ C) e (A ⊕ B) ⊕ C (con A,B,C formule non positive) hannociascuna tre regole tutte unarie:

⊢ Γ, A⊢ Γ, A⊕ (B ⊕ C)

⊢ Γ, B⊢ Γ, A⊕ (B ⊕ C)

⊢ Γ, C⊢ Γ, A⊕ (B ⊕ C)

⊢ Γ, A⊢ Γ, (A⊕B)⊕ C

⊢ Γ, B⊢ Γ, (A⊕B)⊕ C

⊢ Γ, C⊢ Γ, (A⊕B)⊕ C

• Le formule positive ternarie (A⊗B)⊕ (A⊗C) e A⊗ (B⊕C) (con A,B,C formule non positive) hannociascuna due regole entrambe binarie:

75

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ, (A⊗B)⊕ (A⊗ C)

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, C⊢ Γ, (A⊗B)⊕ (A⊗ C)

Γ = Γ1,Γ2

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ, A⊗ (B ⊕ C)

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, C⊢ Γ, A⊗ (B ⊕ C)

Γ = Γ1,Γ2

• Le formule positive unarie ∃x∃yA[x, y] e ∃y∃xA[x, y] (con A formula non positive) hanno ciascuna unasola regla che è unaria:

⊢ Γ, A[s/x, t/y]⊢ Γ, ∃x∃yA[x, y]

⊢ Γ, A[s/x, t/y]⊢ Γ, ∃y∃xA[x, y]

• Le formule positive binarie A⊗ ∃xB[x] e ∃x(A⊗B[x]) (con A,B formule non positive, e x non liberain A) hanno ciascuna una sola regola che è binaria:

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B[t/x]⊢ Γ, A⊗ ∃xB[x]

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B[t/x]⊢ Γ, ∃x(A⊗B[x])

con Γ = Γ1,Γ2

• Le formule positive binarie ∃x(A[x]⊕B[x]) e ∃xA[x]⊕ ∃xB[x] (con A,B formule non positive) hannociascuna due regole entrambe unarie:

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃x(A[x] ⊕B[x])

⊢ Γ, B[t/x]⊢ Γ, ∃x(A[x] ⊕B[x])

⊢ Γ, A[t/x]⊢ Γ, ∃xA[x]⊕ ∃xB[x]

⊢ Γ, B[t/x]⊢ Γ, ∃xA[x] ⊕ ∃xB[x]

• Le formule positive binarie !(A ⊗ B) e !A⊗!B (con A e B formule non positive) hanno ciascuna unasola regola che è binaria e con contesti sottolineati:

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ, !(A⊗B)

⊢ Γ1, A ⊢ Γ2, B⊢ Γ, !A⊗!B

Γ = Γ1,Γ2

• Le formule positive binarie !(A ⊕ B) e !A⊕!B (con A e B formule non positive) hanno ciascuna dueregole entrambe unarie e con contesti sottolineati:

⊢ Γ, A⊢ Γ, !(A⊕B)

⊢ Γ, B⊢ Γ, !(A⊕B)

⊢ Γ, A⊢ Γ, !A⊕!B

⊢ Γ, B⊢ Γ, !A⊕!B

L’insieme finito delle regola per una formula positiva A[A1, ..., An] definisce l’unica maniera per ottenerequella formula in un dato contesto, e dunque l’insieme finito delle regole per A[A1, ..., An] caratterizza,definisce quella formula positiva.

Pertanto, date due formule positive A[A1, ..., An] e B[B1, ..., Bn] , se l’insieme delle regola di A[A1, ..., An] edi B[B1, ..., Bn] coincidono (nel senso che hanno lo stesso numero di regole e tutte le regole hanno le stessepremesse) allora è naturale pensare che tali formule posiitve sono uguali.

Ad esempio, per quello che abbiamo fatto vedere sopra:

• sono uguali le formule positive unarie ∃x∃yA e ∃y∃xA dove A è una formula non positiva; e in generalesono uguali le formule positive unarie ∃x1...∃xnA e ∃xσ(1)...∃xσnA dove A è una formula non positivae σ è una permutazione di {1, ..., n}

• sono uguali le formule positive ternarie A⊗ (B ⊗ C) e (A⊗B)⊗ C, dove A,B,C sono non positive;

• sono uguali le formule positive binarie A⊗ ∃xB e ∃x(A ⊗ B) dove A,B sono non positive e in A nonè libera x;

• sono uguali le formule positive binarie ∃xA⊕ ∃xB e ∃x(A⊕ B) dove A,B sono non positive;

• sono uguali le formule positive ternarie A⊕ (B ⊕ C) e (A⊕B)&C, dove A,B,C sono non positive;

• sono uguali le formule positive ternarie (A⊗B)⊕(A⊗C) e A⊗(B⊕C) dove A,B,C sono non positive.

76

4.1.3 Rapporto tra operatori positivi e operatori negativi

Chiamiamo una formula PN o positiva-negativa se il suo operatore principale è positivo ed è precedutodirettamente da un operatore negativo. Chiamiamo una formula NP o negativa-positiva se il suo operatoreprincipale è negativo ed è preceduto direttamente da un operatore positivo.

A ciascuna formula PN viene associata una formula NP come nella tabella seguente:

PN NPA⊗ (B ` C) (A⊗B)` CA⊗ (B&C) (A⊗B)&(A⊗ C)∀xA ⊗ ∀xB ∀x(A⊗B)?A⊗?B ?(A⊗B)

(A`B)⊕ (A` C) A` (B ⊕ C)(A&B)⊕ (A&C) A&(B ⊕ C)∀xA ⊕ ∀xB ∀x(A⊕B)?A⊕?B ?(A⊕B)∃x(A`B) ∃xA` ∃xB∃x(A&B) ∃xA&∃xB∃x∀yA ∀y∃xA∃x?A ?∃xA

!(A`B) !A`!B!(A&B) !A&!B!∀xA ∀x!A!?A ?!A

Tabella 4.2: Formule PN e corrispondenti formule NP

La prima cosa da segnalare è che - mentre due operatori logici positivi commutano tra loro e due operatorilogici negativi commutano tra loro - due operatori di polarità diversa (ossia non entrambi positivi, nonentrambi negativi) non commutano. Ossia: se A è una formula PN e B è la corrispondente formula NP,allora A e B non sono logicamente equivalenti.

In più, si mostra (in riferimento alla tabella precedente) che ciascuna formula PN implica logicamente lacorrispondente formula NP, ossia che se A è una formula PN e B è la corrispondente formula NP, allora èderivabile logicamente il sequente ⊢ A⊥, B.

Per esercizio, quando A è una formula PN e B è la corrispondente formula NP

• si mostri una derivazione cut-free di ⊢ A⊥, B

• si mostri che non esiste una derivazione cut-free di ⊢ B⊥, A

Si noti che, quando A è una formula PN e B è la corrispondente formula NP, per particolari valori dellevariabili libere presenti nelle due formule può essere derivato (in una particolare teoria) che B implica A.Ad esempio, il teorema di compattezza è un particolare caso in cui si stabilisce che - per particolari valoridelle variabili - una formula NP B implica la sua corrispondente formula PN.

I teoremi che stabiliscono - come il teorema di compattezza - che per particolari valori delle variabili unaformula NP implica la sua corrispondente formula PN sono in generale teoremi difficili e non banali.

77

4.2 Derivazioni focalizzate

Una derivazione cut-free è focalizzata quando soddisfa le seguenti condizioni:

1. se un sequente contiene una formula negativa, esso è conclusione di (ID) o di una regola reversibile(che introduce nel seguente una formula negativa),

2. se un sequente è premessa di una regola non reversibile, e tale regola agisce su una formula positivaB di tale sequente che diventa sottoformula immediata introdotta nella conclusione di quella regola,allora esso è conclusione di una regola non reversibile che introduce la formula B.

Una derivazione cut-free focalizzata si presenta pertanto nel modo seguente:

• per la prima proprietà di una derivazione focalizzata, se un sequente contiene almeno una formulanegativa, allora la derivazione sopra quel sequente contiene solo (ID) o regole reversibili fino a che (dalbasso verso l’alto) non si arriva a sequenti che non contengono formule negative e che sono premesse diregole reversibili, e dunque consiste nel passare (dal basso verso l’alto) mediante regole reversibili daquel sequente a sequenti che contengono solo sottoformule non negative delle formule di quel sequente;

• per la seconda proprietà di una derivazione focalizzata, se un sequente è della forma ⊢ Γ, C[C1, ..., Cn]e non contiene formule negative ed è conclusione di una regola non reversibile che introduce la formulapositiva n-aria C[C1, ..., Cn] (dove C1, ..., Cn sono formule non positive, allora la derivazione sopra quelsequente contiene solo (ID) oppure regole non reversibili che introducono sottoformule di C fino a che(dal basso verso l’alto)non si arriva a sequenti che contengono ciascuno una delle sottoformule nonpositive C1, ..., Cn di C e che sono premesse di regole positive che introducono quelle sottoformulepositive di C, e dunque consiste nel passare (dal basso verso l’alto) mediante regole non reversibili daun sequente che contiene C a sequenti che contengono sottofomule non positive di C;

• per quanto detto sopra, dal basso verso l’alto si presenta come un alternanza fra blocchi di regolereversibili e blocchi di regole non reversibili(si comincia con un blocco di regole reversibili seguito daun blocco di regole non reversibili, poi ancora un blocco di regole reversibili seguito da un blocco diregole non reversibili, ecc... ) fino agli assiomi.

Un’importante teorema mostra come ci possiamo limitare, quando consideriamo le derivazioni cut-free - allesole derivazioni focalizzate:

Teorema 16. Ogni derivazione cut-free di ⊢ Γ in logica lineare può essere effettivamente trasformata inuna derivazione focalizzata di ⊢ Γ .

Dimostrazione. Segue dalla generalizzazione delle proprietà degli operatori positivi e degli operatori negativi,illustrate nei paragrafi precedenti.

L’importanza di questo teorema consiste nel fatto che esso mostra qualcosa di non atteso nella proceduradi ricerca di una derivazione. Quando si ha a che fare con la ricerca di una derivazione di un sequente checontiene solo formule positive la scelta di quale fra queste formule vada analizzata per prima (dal bassoverso l’altro) è una scelta che può essere sbagliata: la non reversiobilità delle regole degli operatori positivisignifica proprio che la presenza di una formula positiva in un sequente non ci permette di dire che ci sia unaderivazione di quel sequente che termina con la regola che introduce quella formula. Ma dato un sequentecontenente solo formule positive, se c’è una derivazione che termina con la regola che introduce una formulapositiva di quel sequente a partire da premesse positive di quella formula, allora anche le premesse di quellaregola sono derivabili con la regole non reversibili che introducono quelle sottoformule positive.

Il teorema mostra anche come le derivazioni (e quindi le dimostrazioni da esse espresse) cut-free possanoessere viste ciascuna come un’alternanza di polarità: una polarità negativa (regole reversibili) e una polaritàpositiva (regole non reversibili).

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4.3 Operatori generalizzati, negativi e positivi

Una formula negativa n-aria A[A1, ..., An] - dove A1, ..., An sono le sue sottoformule massimali non negative -piò essere vista come il risultato dell’applicazione di un operatore negativo n-ario F alle formule non negativeA1, ..., An, definito dalla unica regola reversibile di A[A1, ..., An], con A[A1, ..., An] = F (A1, ..., An).

Analogamente, una formula positiva n-aria A[A1, ..., An] - dove A1, ..., An sono le sue sottoformule massimalinon positive - piò essere vista come il risultato dell’applicazione di un operatore positivo n-ario G alle formulenon positive A1, ..., An, definito dall’insieme delle regole di A[A1, ..., An], con A[A1, ..., An] = G(A1, ..., An)

Ora mostriamo che, per ogni n, tutti gli operatori negativi n-ari e tutti gli operatori positivi n-ari possonoessere indotti dai sottoinsiemi di ℘({1, ..., n}.

Infatti, sia Φ ⊆ ℘({1, ..., n}.

• L’operatore n-ario negativo indotto da Φ e denotato Φ− è l’operatore n-ario che trasforma n formulenon negative A1, ..., An in una formula negativa Φ−(A1, ..., An) definita da una sola regola reversibiletale che:

– ha tante premesse quanti gli elementi di Φ, ossia ♯(Φ−) è l’arietà della regola di Φ−;

– le singole premesse della regola sono associate ai singoli elementi di Φ, ossia a ∈ Φ è la premessaa della regola di Φ−;

– la premessa a ha la forma ⊢ Γ, {Ai : i ∈ a} quando Γ,Φ−(A1, ..., An) è la conclusione della regola.

La regola per l’operatore Φ− che introduce nella conclusione Φ−(A1, ..., An) si presenta dunque nellaforma seguente:

... ⊢ Γ, {Ai : i ∈ a} ... ∀a ∈ Φ⊢ Γ,Φ−(A1, ..., An)

• L’operatore n-ario positivo indotto da Φ e denotato Φ+ è l’operatore n-ario che trasforma n formulenon positive A1, ..., An in una formula positiva Φ+(A1, ..., An) definita da un insieme finito di regolenon reversibili tale che:

– ci sono tante regole quanti gli elementi di Φ, ossia ♯(Φ) è il numero delle regole di Φ+;

– le singole regole sono associate ai singoli elementi di Φ, ossia a ∈ Φ è la regola a di Φ+;

– la regola a ha tante premesse quanti gli elementi di a, e la premessa associata ad i ∈ a contienela formula Ai quando Γ,Φ+(A1, ..., An) è la conclusione della regola.

L’operatore Φ+ ha dunque una regola per ogni a ∈ Φ, e per a ∈ Φ la regola associata ad a quandointroduce la formula Φ+(A1, ..., An) nella conclusione ha la forma seguente:

... ⊢ Γi, Ai ... ∀i ∈ a⊢⋃{Γi},Φ+[A1, ..., An]

• La negazione lineare di una formula negativa ottenuta mediante l’ operatore negativo Φ− e la negazionelineare di una formula positiva ottenuta mediante l’operatore positivo Φ+ sono definite come segue:

– se A1, ..., An sono formule non negative, (Φ−(A1, ..., An))⊥ = Φ+((A1)

⊥, ..., (An)⊥)

– se A1, ..., An sono formule non positive, (Φ+(A1, ..., An))⊥ = Φ−((A1)

⊥, ..., (An)⊥)

Per induzione, si mostra che - anche con l’uso degli operatori n-ari negativi e positivi - per ogni formulaA vale A⊥⊥ = A.

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• La regola di trasformazione di un (cut) che coinvolge una formula ottenuta come conclusione di unaregola a per Φ+ e una formula ottenuta come conclusione della regola per Φ− è la seguente

... ⊢ Γi, Ai ... ∀i ∈ a⊢⋃{Γi},Φ+[A1, ..., An]

... ⊢ ∆, {(Ai)⊥ : i ∈ b} ... ∀b ∈ Φ

⊢ ∆,Φ−((A1)⊥, ..., (An)

⊥)⊢⋃{Γi},∆

Φ... ⊢ Γi, Ai ... ∀i ∈ a ⊢ ∆, {(Ai)

⊥ : i ∈ a}⊢⋃{Γi},∆

(cut multiplo)

Per esercizio, si mostrino gli operatori negativi e positivi 0-ari indotti dagli elementi di ℘(∅), gli operatorinegativi e positivi unari indotti dagli elementi di ℘({1}), gli operatori negativi e positivi binari indotti daglielementi di ℘({1, 2}), gli operatori negativi e positivi ternari indotti dagli elementi di ℘({1, 2, 3}).

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Appunti del corso di Teorie Logiche 1 Tipi e Logica ...dmf.matfis.uniroma3.it/corsi_files/847/Abrusci-1.pdf · Appunti del corso di Teorie Logiche 1 Tipi e Logica Lineare (a.a. 2014/2015)