Appunti ed esercizi di Algebra lineare

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Appunti ed eserizi di Algebra lineare

Marello Colozzo

fn (x; x1, x2, ..., xn) =

1 x1 x2 ... xn1 xn1 x x2 ... xn1 xn1 x1 x ... xn1 xn... ... ... ... ... ...

1 x1 x2 ... xn1 xn1 x1 x2 ... xn1 x

(n) =

0 0 0 ... 0 10 0 0 ... 1 0

... ... ... ... ... ...0 1 0 ... 0 0

1 0 0 ... 0 0

, n = 2, 3, 4, ...,+ (1)

Indie

I Spazi vettoriali 7

1 Matrii e determinanti 9

1.1 Denizione di matrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Classiazione delle matrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Operazioni elementari sulle matrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Somma e dierenza di matrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Minori di una matrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Teorema di Laplae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Altre propriet delle matrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Inversa di una matrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9 Rango di una matrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10 Eserizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10.1 Operazioni sulle matrii e lassiazione delle matrii . . . . . . . . . 35

1.10.2 Minori e omplementi algebrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.10.3 Calolo di determinanti del seondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.4 Calolo di determinanti del terzo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10.5 Calolo di determinanti di ordine qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Sistemi di equazioni lineari 57

2.1 Generalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Riera delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3 Sistemi normali: teorema di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Sistemi non normali: Teoremi di Rouh e di Capelli . . . . . . . . . . . . . 61

2.5 Sistemi omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.6 Esempi numerii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Spazi vettoriali 69

3.1 Denizione assiomatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Sottospazio vettoriale generato da un numero nito di vettori . . . . . . . . . 76

3.4 Sistemi massimi di vettori linearmente indipendenti di un insieme di vettori . 83

3.5 Basi e dimensioni di uno spazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6 Il metodo delle trasformazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.7 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.8 Dimensione di un sottospazio vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.9 Somma di due spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.10 Eserizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.10.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 INDICE

II Omomorsmi ed isomorsmi 107

4 Appliazioni lineari tra spazi vettoriali 109

4.1 Denizione di appliazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2 Eserizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.2.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Omomorsmi e isomorsmi 115

5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2 Denizione assiomatia e teoremi onseguenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3 Eserizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3.1 Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4 Lo spazio vettoriale Hom (E, F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5 Matrie rappresentativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.6 Relazioni tra le omponenti dei vettori trasformati . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.7 Sistemi di equazioni lineari. Appliazione di Kn in Km . . . . . . . . . . . . 1285.8 Prodotto di endomorsmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.9 Endomorsmo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.9.1 Eserizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.10 Autovalori e autovettori di un endomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.10.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.10.2 Polinomio aratteristio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.10.3 Endomorsmi diagonalizzabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.10.4 Eserizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.11 Similitudine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.11.1 Matrii simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6 Spazio duale 161

6.1 Forme lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2 Cambiamento di base nello spazio duale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7 Spazi vettoriali eulidei 167

7.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.2 Prodotto salare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3 Tensore metrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.4 Spazi vettoriali propriamente eulidei e pseudo-eulidei . . . . . . . . . . . . 171

7.5 Norma di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.6 Spazi metrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.7 Base ortonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.8 Polinomi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

III Appendii 177

A Soluzioni degli eserizi proposti 179

A.1 Calolo di determinanti del seondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.2 Determinanti del terzo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.3 Determinanti di ordine qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.3.1 end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

INDICE 5

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versione

6 INDICE

Parte I

Spazi vettoriali

Capitolo 1

Matrii e determinanti

1.1 Denizione di matrie

Una matrie una tabella di m n elementi disposti per m righe e n olonne. Sriviamo:

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...am1 am2 ... amn

(1.1)

A volte si utilizza la seguente notazione simbolia:

A = (aij) on i = 1, ..., m; j = 1, ..., n

Gli elementi aij appartengono a un assegnato ampo K.Se m = n si die he A una matrie quadrata di ordine n. Ad es.:

A =

(1 02 3

)A una matrie quadrata di ordine 2.

B =

2 cosh t 5et2 sin t e2t

2 sinh t 10 sin t

B una matrie 3 2 i ui elementi sono funzioni del tempo t.

1.2 Classiazione delle matrii

Consideriamo una matrie A (m n):

A =


(1.2)

Si denise matrie trasposta di A e si india on AT la matrie (m n) ottenuta da Asambiando le righe per le olonne:

AT = (bij) = (aji)

=


10 Matrii e determinanti

Ad esempio, la trasposta della matrie:

A =

(1 2 34 5 6

),

:

AT =

1 42 5

3 6

***

Consideriamo la matrie quadrata di ordine n:

A = (aij) , on i, j = 1, 2, ..., n

Abbiamo la seguente denizione:

i > j, aij = 0) def= (A una matrie triangolare alta (1.3)Risulta:

A =

a11 a12 a13 ... a1n0 a22 a23 ... a2n0 0 a33 ... a3n... ... ... ... ...0 0 0 0 ann

(1.4)

Vieversa:

i < j, aij = 0) def= (A una matrie triangolare bassa (1.5)Risulta:

A =

a11 0 0 ... 0a21 a22 0 ... 0a31 a32 a33 ... 0... ... ... ... ...an1 an2 an3 ... ann

(1.6)

Nel aso speiale in ui la matrie quadrata di ordine n, A = (aij) simultaneamente alta ebassa, si ha:

i 6= j, aij = 0) def= (A una matrie diagonale (1.7)La (1.7) implia:

A =

a11 0 0 ... 00 a22 0 ... 00 0 a33 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... ann

, (1.8)

e viene indiata on la notazione simbolia:

A = diag (a11, a22, a33, ..., ann) (1.9)

Se a11 = a22 = ... = ann = k, la matrie si die salare, e per k = 1, la (1.9) la matrieidentit di ordine n:

1.2 Classiazione delle matrii 11

In =

1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 ... ... 1

(1.10)

= diag (1, 1, 1, ..., 1)

Quando non rilevante l'ordine n della matrie, la matrie identit si india sempliemente

on I.

***

Sia A una matrie quadrata di ordine n.

A = ATdef= A simmetria (1.11)

A = AT def= A antisimmetria

Cio, rispettiavamente:

i, j {1, 2, 3, ..., n} , aij = aji (1.12)i, j {1, 2, 3, ..., n} , aij = aji

Esempi.

A =

1 2 32 4 5

3 5 6

(1.13)

La (1.13) simmetria:

AT =

1 2 32 4 5

3 5 6

= A

B =

0 2 32 0 43 4 0

(1.14)

La (1.14) antisimmetria:

BT =

0 2 32 0 4

3 4 0

= B

***


Sia A una matrie quadrata di ordine n sul ampo omplesso C, io aij C. Si denisematrie oniugata di A, la matrie quadrata di ordine n i ui elementi sono i omplessi

oniugati degli elementi di A:

Adef=(aij)

Ad esempio:

A =

(4 + 5i 3i

2 23i)

= A =(

4 5i 3i2 2 +

3i

)Sussiste la propriet:

(A) = A

***

Sia A una matrie quadrata di ordine n sul ampo omplesso C. Abbiamo le seguentidenizioni:

(A)T = Adef= A hermitiana (1.15)

(A)T = A def= A antihermitianaCio, rispettivamente:

i, j {1, 2, ..., n} , aji = aij) def= A hermitiana

i, j {1, 2, ..., n} , aji = aij) def= A antihermitiana

Ad esempio:

A =

1 1 i 21 + i 3 i

2 i 0

Passando alla trasposta della oniugata:

(A)T =

1 1 i 21 + i 3 i

2 i 0

= A,

donde A hermitiana.

B =

1 1 i 21 i 3i i

2 i 0

Passando alla trasposta della oniugata:

(B)T =

1 1 + i 21 + i 3i i

2 i 0

= B,donde B antihermitiana.

1.3 Operazioni elementari sulle matrii 13

1.3 Operazioni elementari sulle matrii

1.3.1 Somma e dierenza di matrii

Sian A = (aij), B = (bij) on i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ...n. Si denise somma di A e B, lamatrie m n:

A +B = (cij) , (1.16)

essendo:

cij = aij + bij (1.17)

La dierenza AB la somma A + (B), essendo B = (bij). Quindi:

A B = (dij) ,

on

dij = aij bijEsempio.

A =

(2 7 01 5 9

), B =

( 4 1 01 5 9

)Abbiamo:

A+B =

( 2 6 00 0 0

)

A B =(

6 8 02 10 18

)Consideriamo le matrii A (nm) e B (m p):

A =

a11 a12 ... a1ma21 a22 ... a2m... ... ... ...an1 an2 ... anm

; B =

b11 b12 ... b1pb21 b22 ... b2p... ... ... ...bm1 bm2 ... bmp

(1.18)

he possono essere indiate on la notazione ompatta:

A = (aij) , i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m

B = (bij) , i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ..., p

Si denise matrie prodotto righe per olonne e si india on AB, la matrie n p:

AB = (cij) , i = 1, 2, ...n; j = 1, 2, ..., p (1.19)

essendo:

cij =

mk=1

aikbkj (1.20)

Esempio 1. Date le matrii:

A =

2 1 03 2 0

1 0 1

; B =

1 1 1 02 1 1 0

2 3 1 2

Determinare la matrie AB.


Soluzione 2. Abbiamo A (3 3) , B (3 4), quindi AB (3 4). Appliando la (1.20):

AB =

4 3 3 07 5 5 0

3 4 2 2

Ci premesso, sussiste il

Teorema 3. Siano A (nm) e B (m p). Risulta:

(AB)T = BTAT (1.21)

Dimostrazione. Poniamo:

A = (aij) on i = 1, ..., n; j = 1, ..., m

B = (bij) on i = 1, ..., m; j = 1, ..., p

Indihiamo on un apie gli elementi di matrie delle rispettive trasposte:

AT =(aij)

on aij = aji (1.22)

BT =(bij)

on bij = bji

Il prodotto di A e B:

AB = (cij) on cij =mk=1

aikbkj (1.23)

la ui trasposta

(AB)T =(cij)

on cij = cji =

mk=1

ajkbki (1.24)

Il prodotto di BT e AT :

BTAT =(cij)

on cij =

mk=1

bikakj (1.25)

Per le (1.22):

cij =

mk=1

bkiajk = cij = BTAT = (AB)T ,

donde l'asserto.

Teorema 4. Se A una matrie quadrata di ordine n, la matrie A+ AT simmetria.

Dimostrazione. Poniamo A = (aij) on i, j = 1, 2, ..., n. Quindi, AT = (aji); la somma :

A+ AT = (ij) ,

essendo:

ij = aij + aji

Risulta:

ji = ij , i, j = 1, 2, ..., ndonde la simmetria di A+ AT .

Teorema 5. Se A una matrie quadrata di ordine n, la matrie AAT antisimmetria.

1.3 Operazioni elementari sulle matrii 15

Dimostrazione. Poniamo A = (aij) on i, j = 1, 2, ..., n. Quindi, AT = (aji); la dierenza :

AAT = (ij) ,essendo:

ij = aij ajiRisulta:

ji = ij , i, j = 1, 2, ..., ndonde l'antisimmetria di AAT .Corollario 6. Ogni matrie quadrata si esprime ome somma di una matrie simmetria e

di una matrie antisimmetria.

Dimostrazione. Sia A = (aij) on i, j = 1, 2, ..., n. Il generio elemento di matrie pusriversi:

aij = aij +1

2aji 1

2aji (1.26)

=1

2aij +

1

2aij +

1

2aji 1

2aji

=1

2(aij + aji) +

1

2(aij aji)

La (1.26) implia:

A =1

2

(A+ AT

)

simmetria

+1

2

(A AT )

antisimmetria

,

donde l'asserto.

Denizione. Se A una matrie quadrata, diremo he A ortogonale se:

AAT = ATA = I, (1.27)

essendo AT la matrie trasposta di A. In altri termini, la matrie A ortogonale se l'inversa(per tale denizione vedere 1.8) oinide on la trasposta:

A1 = AT (1.28)

Denizione. Se A una matrie quadrata di ordine n e se p N, la potenza p-esima di A:

Ap = A A ... A p volte

Denizione. Se A una matrie quadrata di ordine n si die he A idempotente, se:

A2 = A

Denizione. Se A una matrie quadrata di ordine n e se p N, si die he A nilpotentedi ordine p, se:

Ap = 0

Teorema 7. Se A nilpotente di ordine p, ogni intero p > p ordine di nilpotenza per A.

Dimostrazione.

p > p, Ap = ApApp = 0 App = 0

Teorema 8. A nilpotente di ordine p = 2) = (s N, A (I A)s = A


Dimostrazione. La dimostrazione segue per alolo diretto:

s = 1 = A (I A) = AA2 = As = 2 = A (I A)2 = A 2A2 + A3 = A...

s = s = A (I A)s = A

***

Assegnate due matrii quadrate dello stesso ordine A (n n), B (n n), si osservi he ingenerale il prodotto righe per olonne non ommutativo, io:

AB 6= BASe risulta:

AB = BA

si die he A e B ommutano o he il prodotto AB ommutativo.

Se risulta:

AB = BAsi die he A e B antiommutano o he il prodotto AB antiommutativo.Possiamo poi onsiderare la potenza k-sima di una matrie quadrata:

Ak = A A ... A k volte

Si onsideri ad esempio, la matrie quadrata di ordine 3:

A =

2 1 10 1 2

1 0 1

Abbiamo:

A2 =

2 1 10 1 2

1 0 1

2 1 10 1 2

1 0 1

=

5 3 12 1 4

3 1 2

A3 = A2 A = 5 3 12 1 4

3 1 2

2 1 10 1 2

1 0 1

=

11 8 08 1 8

8 4 3

Verihiamo he il prodotto A2 A ommutativo:

1.4 Determinanti 17

A A2 = 2 1 10 1 2

1 0 1

5 3 12 1 4

3 1 2

=

11 8 08 1 8

8 4 3

= A2 A

Determiniamo A5:

A5 = A2A3 =

5 3 12 1 4

3 1 2

11 8 08 1 8

8 4 3

=

39 41 2162 33 20

41 31 2

Si osservi he A2A3 ommutativo:

A3A2 =

11 8 08 1 8

8 4 3

5 3 12 1 4

3 1 2

=

39 41 2162 33 20

41 31 2

= A2A3

1.4 Determinanti

Abbiamo visto he una matrie un array di mn numeri. Nel aso speiale di una matriequadrata:

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann

, (1.29)

possibile assoiare a tale array un numero, he si hiama determinante della matrie e si

india on il simbolo detA,

detA =


Per n = 1, si pone per denizione:

detAdef= a11

Per denire detA nel aso n 2, dobbiamo introdurre la nozione di prodotto assoiatoalla matrie (1.29). A tale sopo hiediamoi se sia possibile prendere tra gli n2 elementi diA, un sottoinsieme S ostituito da n elementi tali he:

aij , ahk S, (i 6= h, j 6= k)


io due qualunque elementi di S non appartengono n alla stessa riga, n alla stessa olonna.Quindi il sottoinsieme deve essere del tipop:

S = {ah1k1 , ah2k2, ..., ahnkn}

on hi, ki tali he:

i, j {1, 2, ..., n} , i 6= j = (hi 6= hj, ki 6= kj)Cio

h1, h2, ..., hn (1.30)

k1, k2, ..., kn

sono permutazioni arbitrarie (distinte o oinidenti) degli elementi 1, 2, 3, ..., n.Ad esempio, per n = 5 onsideriamo:

(h1, h2, ..., hn) = (4, 2, 1, 3, 5)

(k1, k2, ..., kn) = (2, 4, 3, 1, 5)

ottenendo:

S = {a42, a24, a13, a31, a55} (1.31)Quindi, gli elementi dell'insieme (1.31) soddisfano la ondizione rihiesta.

Siano ora h e k le inversioni della prima e seonda delle (1.30), rispettivamente. Il prodottoassoiato alla matrie quadrata (1.29) per denizione:

(1)h+k ah1k1ah2k2...ahnknSi osservi he:

(1)h+k = +1, se h + k pari(1)h+k = 1, altrimenti

Inoltre h+ k pari se h, k hanno la medesima parit, io se le due permutazioni sono dellastessa lasse. Vieversa, se h+ k dispari.Per n = 2:

A =

(a11 a12a21 a22

)Abbiamo i seguenti sottoinsiemi:

a11, a22

a12, a21

e i relativi prodotti assoiati:

+ a11a21

a21a22

1.4 Determinanti 19

Da i segue he per ottenere tutti i prodotti assoiati basta tenere sso uno degli indii

hi, ki, faendo variare l'altro in tutti i modi possibili, per ui il numero di prodotti assoiatiad una matrie di ordine n, pari a n! Ad esempio, per n = 3:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

abbiamo 3! = 6 prodotti assoiati. Infatti gli insiemi sono:

a11, a22, a33

a12, a21, a33

a13, a21, a32

a13, a23, a31

a11, a23, a32

a11, a23, a32

Nel aso generale, il determinante di A la somma degli n! prodotti assoiati. Per eseguire lasomma si pu ssare la n-pla h1, h2, ..., hn, per poi variare in tutti i modi possibili k1, k2, ..., kn,o vieversa. Abbiamo quindi:

detA = (1)h

k1k2...kn

(1)k ah1k1ah2k2...ahnkn (1.32)

detA = (1)k

h1h2...hn

(1)h ah1k1ah2k2 ...ahnkn

Nel aso speiale in ui (h1, h2, ..., hn) = (1, 2, ..., n), la prima delle (1.32) diventa (h = 0):

detA =

k1k2...kn

(1)k a1k1a2k2 ...ankn (1.33)

Nel aso speiale in ui (k1, k2, ..., kn) = (1, 2, ..., n), la seonda delle (1.32) diventa (k = 0):

detA =

h1h2...hn

(1)h ah11ah22...ahnn (1.34)

Ad esempio, per n = 3:

detA =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= a11a22a33 a11a23a32 a21a12a33 + a21a13a32 + a31a12a23 a31a13a22

Per n = 4


detA =

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

= a11a22a33a44 a11a22a34a43 a11a32a23a44 + a11a32a24a43+ a11a42a23a34 a11a42a24a33 a21a12a33a44 + a21a12a34a43+ a21a32a13a44 a21a32a14a43 a21a42a13a34 + a21a42a14a33 + a31a12a23a44 a31a12a24a43 a31a22a13a44 + a31a22a14a43 + a31a42a13a24 a31a42a14a23 a41a12a23a34 + a41a12a24a33 + a41a22a13a34 a41a22a14a33 a41a32a13a24 + a41a32a14a23

Da i segue he al resere di n, aumenta la omplessit del alolo diretto del determinante.Fortunatamente esistono teoremi he riduono tale omplessit di alolo.

Teorema 9. Se A una matrie quadrata di ordine n:

detA = detAT

Dimostrazione. Siano:

detA =

a11 ... a1n... ... ...an1 ... ann

detAT =

a11 ... a

1n

... ... ...an1 ... a

nn

Per denizione di matrie trasposta:

ahk = akh (1.35)

Il determinante di A:

detA =

k1k2...kn

(1)k a1k1a2k2 ...ankn

Per la (1.35):

detA =

k1k2...kn

(1)k ak11ak22...aknn

= detAT

Teorema 10. Sia A una matrie quadrata di ordine n. Se negli indii di riga eseguiamo lasostituzione:

(1, 2, ..., n) (h1, h2, ..., hn) (1.36)otteniamo una nuova matrie quadrata di ordine n, he indihiamo on A. Risulta:

detA = (1)h detA,

essendo h il numero di inversioni della sostituzione (1.36).

1.4 Determinanti 21

Dimostrazione. Poniamo A = (ahk):

a1r = ah1r, a2r = ah2r, ...,a

nr = ahnr on r = 1, 2, ..., n

Abbiamo:

detA =

k1k2...kn

(1)k a1k1a2k2 ...ankn

=

k1k2...kn

(1)k ah1k1ah2k2 ...ahnkn

= (1)h detA

Ad esempio, onsideriamo la matrie

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

Eseguiamo la sostituzione degli indii di riga:

(1, 2, 3) (3, 1, 2) (1.37)Quindi:

a11 = a31, a21 = a11, a31 = a21

a21 = a11, a22 = a12 a

23 = a13

a31 = a21, a32 = a22, a

33 = a23

Da ui:

A =

a31 a32 a33a11 a12 a13

a21 a22 a23

Si osservi he la sostituzione (1.37) presenta due inversioni, quindi h = 2. Il determinantedi A :

detA = (1)2 detA = detAIn maniera analoga si dimostra il seguente

Teorema 11. Sia A una matrie quadrata di ordine n. Se negli indii di olonna eseguiamola sostituzione:

(1, 2, ..., n) (k1, k2, ..., kn) (1.38)otteniamo una nuova matrie quadrata di ordine n, he indihiamo on A. Risulta:

detA = (1)k detA,

essendo k il numero di inversioni della sostituzione (1.38).

I due teoremi preedenti si speializzano nel seguente:

Teorema 12. Un determinante inverte il proprio segno se si sambiano due righe o due

olonne.


Dimostrazione. Poniamo:

detA =


(1.39)Senza ledere la generalit, sambiamo la prima riga on la seonda, ottenendo:

detA =


(1.40)Si osservi he (1.40) si ottiene da (1.39) attraverso la sostituzione di indii di riga:

(1, 2, ..., n) (2, 1, ..., n)Tale sostituzione ha h = 1 inversioni. Per i teoremi preedenti:

detA = detAIn maniera analoga si dimostra he

detA = detA,essendo detA il determinante ottenuto da (1.39) sambiando la prima on la seonda

olonna.

Teorema 13. Se in una matrie quadrata A (n n) ontiene due righe (o due olonne)identihe, segue he detA = 0.

Dimostrazione. Senza ledere la generalit:

A =


Se sambiamo la prima riga on la seonda otteniamo una matrie A = A. Per il teoremapreedente:

detA = detAD'altro anto A = A implia:

detA = detA

donde:

detA = detA = detA = 0

io l'asserto.

Teorema 14. Sia A (n n) una matrie quadrata:

A =


Moltipliando la riga i-esima per una ostante , si ottiene la matrie

A =

a11 a12 ... a1n... ... ... ...ai1 a

i2 ... a

in

... ... ... ...an1 an2 ... ann

,

1.4 Determinanti 23

essendo air = air.

Ci posto, i determinanti di A e A sono legati dalla relazione:

detA = detA

Dimostrazione. Nella (1.32) troviamo un fattore in ogni termine della sommatoria, donde:

detA = (1)h

k1k2...kn

(1)k ah1k1ah2k2...ahnkn

= detA

Da tale teorema segue he se gli elementi di una riga hanno un fattore omune , questo puessere posto fuori del determinante:


= a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann

Il teorema preedente si generalizza al aso della moltipliazione di una ostante per gli

elementi di una olonna. Ad esempio:


= a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...an1 an2 ... ann

Teorema 15. Se in una matrie quadrata A (n n), gli elementi di una riga (o di una

olonna) sono tutti nulli, si ha detA = 0.

Dimostrazione. Per il teorema (14):

a11 a12 ... a1n... ... ... ...0 0 ... 0... ... ... ...an1 an2 ... ann

= 0

a11 a12 ... a1n... ... ... ...1 1 ... 1... ... ... ...an1 an2 ... ann

= 0,

donde l'asserto.

Teorema 16. Se una matrie quadrata A (n n) ontiene due righe (o due olonne) pro-porzionali, allora detA = 0.

Dimostrazione. Qui per righe proporzionali intendiamo:

: as1 = ar1, as2 = ar2, ..., asn = arn,


donde:

detA =

a11 a12 ... a1n... ... ... ...ar1 ar2 ... arn... ... ... ...ar1 ar2 ... arn... ... ... ...an1 an2 ... ann

=

a11 a12 ... a1n... ... ... ...ar1 ar2 ... arn... ... ... ...ar1 ar2 ... arn... ... ... ...an1 an2 ... ann

= 0 = 0

1.5 Minori di una matrie

Consideriamo una matrie A (m n):

A =


Sia p N {0} | p min {m,n}. Quindi prendiamo p righe di indie h1 < h2 < ... < hp, ep olonne di indii k1, k2, ..., kp; in tal modo resta individuato il determinante:

ah1h2...hp,k1k2...kp =

ah1k1 ah1k2 ... ah1kpah2k1 ah2k2 ... ah2kp... ... ... ...

ahpk1 ahpk2 ... ahpkp

(1.41)Il determinante (1.41) si hiama minore di ordine p della matrie A. Ad esempio:

A =

(1 0 52 1 3

)(1.42)

Assumiamo:

h1 = 1, h2 = 2

k1 = 2, k2 = 3

Quindi:

a12,23 =

0 51 3 ,

he un minore di ordine 2 della matrie (1.42).

Ora onsideriamo il aso partiolare di una matrie quadrata di ordine n :

1.5 Minori di una matrie 25

A =


Assegnati p {1, 2, ..., n 1}, h1, h2, ..., hp, k1, k2, ..., kp abbiamo il minore di ordine p :

ah1h2...hp,k1k2...kp =

ah1k1 ah1k2 ... ah1kpah2k1 ah2k2 ... ah2kp... ... ... ...

ahpk1 ahpk2 ... ahpkp

(1.43)Al tempo stesso resta denito il minore di ordine n p:

ahp+1hp+2...hn,kp+1kp+2...kndef=

ahp+1kp+1 ahp+1kp+2 ... ahnknahp+2kp+1 ahp+2kp+2 ... ahnkp

... ... ... ...ahnkp+1 ahnkp+2 ... ahnkn

(1.44)Il minore (1.44) si hiama minore omplementare del minore (1.43). Deniamo poi

omplemento algebrio o aggiunto o ofattore del minore (1.43):

ah1h2...hp,k1k2...kp = (1)p

r=1

hr+

pr=1

kr

ahp+1hp+2...hn,kp+1kp+2...kn

Esempi numerii

A =

0 1 124 2 3

9 6 14

Poniamo: h1 = 1, h2 = 2; k1 = 1, k2 = 2, per ui hp+1 = 3, kp+1 = 3, essendo p = 2. Periil minore di ordine 2:

a12,12 =

0 14 2 = 4

Il minore omplementare del minore a12,12 di ordine 1:

a3,3 = det (14) = 14

Il omplemento algebrio di a12,12 :

a12,12 = (1)6 a3,3 = 14

***

Sia:

A =

2 4 3 51 2 7 93 2 9 47 2 1 0

Prendiamo p = 2, donde: h1 = 1, h2 = 2; k1 = 1, k2 = 2

a12,12 =

2 41 2 = 0

Il minore omplementare del minore a12,12


a34,34 =

9 41 0 = 4


a12,12 = (1)6 a34,34 = 4

Sia:

A =

1 2 9 4 02 3 1 3 25 4 6 2 10 8 1 5 36 4 9 1 3

Consideriamo il minore del seond'ordine:

a24,23 =

3 18 1 = 11

Il minore omplementare di a24,23 di ordine 3:

a135,145 =

1 4 05 2 16 1 3

= 41


a24,23 = (1)6+5 a135,145 = +41

***

Sia

A =

2 0 104 1 2

0 1 1

Abbiamo:

1.5 Minori di una matrie 27

a12,12 =

2 04 1 = 2

a12,13 =

2 104 2 = 44

a12,23 =

0 101 2 = 10

a13,12 =

2 00 1 = 2

a13,13 =

2 100 1 = 2

a13,23 =

0 101 1 = 10

a13,23 =

0 101 1 = 10

a13,23 =

0 101 1 = 10

a23,12 =

4 10 1 = 4

a23,23 =

1 21 1 = 3

a3,3 = det (1) = 1

a12,12 = (1)6 a3,3 = 1e

.

***

La nozione di minore di ordine p si speializza nel aso p = 1. Pi speiatamente, unqualunque elemento ahk di una matrie A (n n) un minore di ordine 1. Il omplementoalgebrio di ahk :

ahk = (1)h+kMhk, (1.45)

essendo

Mhk = detAhk

Qui Ahk la matrie omplementare di A :

A =

a11 ... a1,k1 a1k a1,k+1 ... a1na21 ... a2,k1 a2k a2,k+1 ... a2n... ... ... ... ... ... ...

ah1,1 ... ah1,k1 ah1,k ah1,k+1 ... ah1,nah1 ... ah,k1 ahk ah,k+1 ... ahnah+1,1 ... ah+1,k1 ah+1,k ah+1,k+1 ... ah+1,n... ... ... ... ... ... ...an1 ... an,k1 ank an,k+1 ... ann

, (1.46)


io la matrie quadrata di ordine n 1 ottenuta dalla (1.46) anellando la riga h-esima ela olonna k-esima:

Ahk =

a11 ... a1,k1 a1,k+1 ... a1na21 ... a2,k1 a2,k+1 ... a2n... ... ... ... ... ...

ah1,1 ... ah1,k1 ah1,k+1 ... ah1,nah+1,1 ... ah+1,k1 ah+1,k+1 ... ah+1,n... ... ... ... ... ...an1 ... an,k1 an,k+1 ... ann

1.6 Teorema di Laplae

Consideriamo la matrie quadrata:

A =


Fissiamo p < n, dopodih prendiamo p righe di indii: h1 < h2 < ... < hp. Resta osindividuata la matrie p n:

ah11 ah12 ... ah1nah21 ah22 ... ah2n... ... ... ...ahp1 ahp2 ... ahpn

Il numero di minori he possono essere estratti da tale matrie, pari al numero delle

ombinazioni di lasse p di n oggetti, io(np

)=

n!

p! (n p)!Abbiamo quindi:

ah1h2...hp,k1,k2,...,kp,

essendo k1 < k2 < ... < kp una qualunque ombinazione di lasse p di 1, 2, ..., n. Ci posto,sussiste il Teorema di Laplae:

Teorema 17.

detA =

k1k2...kp

ah1h2...hp,k1,k2,...,kpah1h2...hp,k1,k2,...,kp

(1.47)

Dimostrazione. Omessa.

Nel aso speiale p = 1, la (1.47) si srive:

detA =k

ahkahk (1.48)

he esprime lo sviluppo di un determinante seondo gli elementi di una riga assegnata (somma

degli

(n1

)= n prodotti dei singoli elementi per i orrispondenti omplementi algebrii).

In maniera analoga si dimostra lo sviluppo seondo gli elementi di una olonna assegnata.

Nella (1.48) ahk il omplemento algebrio del minore ahk ed dato dalla (1.45) herisriviamo:

1.6 Teorema di Laplae 29

ahk = (1)h+k detAhk ={

detAhk, h+ k pari detAhk, altrimenti

La relazione preedente suggerise la seguente

Denizione. Un elemento ahk di una matrie quadrata, si die di posto pari o di postodispari se h + k pari o dispari rispettivamente.

Esempi

A =

1 1 23 9 22 1 5

Sviluppiamo il determinante di A seondo gli elementi della prima riga:

detA = (+1) 9 21 5

+ (1)1 3 22 5

+ 2 3 92 1

= 104,poih:

a11 = (1)2A11 = (+1) 9 21 5

a12 = (1)3A12 = (1)

3 22 5

a22 = (1)4A13 = (+1) 3 92 1

***

Caloliamo il determinante

=

1 1 2 32 3 1 41 3 2 54 5 7 6

Sviluppando seondo gli elementi della seonda olonna:

=

2 1 41 2 54 7 6

+ 3

1 2 31 2 54 7 6

31 2 32 1 44 7 6

+ 5

1 2 32 1 41 2 5

Risulta:

2 1 41 2 54 7 6

= 361 2 31 2 54 7 6

= 481 2 32 1 44 7 6

= 601 2 32 1 41 2 5

= 0,


donde:

= 288

1.7 Altre propriet delle matrii

Sia A (n n) una matrie quadrata di ordine n. Senza ledere la generalit supponiamo heaij R. Fissiamo arbitrariamente p N : p < n, e le righe: h1 < h2 < ... < hp:

A =

a11 a12 ... a1n... ... ... ...ah11 ah12 ... ah1nah21 ah22 ... ahnn... ... ... ...ahp1 ahp2 ... ahpn... ... ... ...an1 an2 ... ann

(1.49)

Fissiamo l'attenzione sulle p righe:

(ahr1, ahr2, ..., ahrn) on r = 1, 2, ..., p

Se 1, 2, ...p R, onsideriamo le ombinazioni lineari:

b1 = 1ah11 + 2ah21 + ...+ pahp1

b2 = 1ah12 + 2ah22 + ...+ pahp2

...

bn = 1ah1n + 2ah2n + ...+ pahpn

Indihiamo on B la matrie ottenuta da (1.49) on la sostituzione

(ai1, ai2, ..., ain) (ai1 + b1, ai2 + b2, ..., ain + bn) ,per un assegnato i {1, 2, ..., n} {h1, h2, ..., hp}. Sussiste ilTeorema 18.

detA = detB


Un aso partiolare :

(ai1, ai2, ..., ain) (ai1 + ar1, ai2 + ar2, ..., ain + arn) ,essendo i, r {1, 2, ..., n} on i 6= n. Tale sostituzione produe la matrie:

C =

a11 a12 ... a1n... ... ... ...

ai1 + ar1 ai2 + ar1 ... ain + ar1... ... ... ...an1 an2 ... ann

Si ha:

detC = detA

Esempi

1.7 Altre propriet delle matrii 31

A =

1 2 54 1 1

2 1 1

detA =

1 2 54 1 12 1 1

= 36Fissiamo p = 2, h1 = 2, h2 = 3. Quindi:

b1 = 1 (4) + 2 (2)b2 = 1 (1) + 2 (1)b3 = 1 (1) + 2 (1)

Assumendo (1, 2) = (1, 2):

b1 = 0, b2 = 3, b3 = 1Per i = 1:

B =

1 5 44 1 1

2 1 1

Un alolo diretto porge:

detB = 36***

Sia:

A =

1 1 02 1 1

3 7 2

detA =

1 1 02 1 13 7 2

= 4Eseguiamo la sostituzione:

(a11, a12, a13) (a11 + a21, a12 + a22, a13 + a23)Per = 1

(1,1, 0) (3, 0, 1)donde:

B =

3 0 12 1 1

3 7 2

detB =

3 0 12 1 13 7 2

= 4


Per = 1/2

(1,1, 0)(0,3

2,1

2

)donde:

C =

0 32 122 1 1

3 7 2

detC =

0 3

21

2

2 1 13 7 2

= 4Eseguiamo la sostituzione:

(a21, a22, a23) (a21 + a11, a22 + a12, a23 + a13)Per = 2:

(2, 1, 1) (0, 3, 1) ,donde:

D =

0 32 122 1 1

3 7 2

detC =

1 1 00 3 13 7 2

= 4Osservazione. I teoremi preedenti ontinuano a valere nel aso di sostituzioni per olonna.

Ad esempio:

A =

1 2 31 1 4

5 2 1

detA =

1 2 31 1 45 2 1

= 14Eseguiamo la sostituzione per olonna:

(a11, a21, a31) (a11 + a12, a21 + a22, a31 + a32)Per = 1

(1,1, 5) (3, 0, 7) ,donde:

B =

1 3 31 0 4

5 7 1

detB =

1 3 31 0 45 7 1

= 14

1.8 Inversa di una matrie 33

Teorema 19. Sia A (n n) e p {1, 2, ..., n 1}. Fissiamo quindi h1 < h2 < hp.

i0 {1, 2, ..., n} : (ai01, ai02, ..., ai0n) =p

j=1

j(ahj1, ahj2, ..., ahjn

)= detA = 0

j0 {1, 2, ..., n} : (a1j0 , a2j0 , ..., anj0) =pi=1

i (a1hi , a2hi,..., anhi) = detA = 0


Seondo il teorema preedente, un determinante nullo se una riga (o una olonna)

ombinazione lineare di altre righe (o di altre olonne). Ad esempio:

A =

5 7 191 2 5

1 1 3

Qui :

(5, 7, 19) = 2 (1, 2, 5) + 3 (1, 1, 3) ,

donde

detA = 0

ome onfermato da un alolo diretto.

Teorema 20. Siano A, B matrii quadrate di ordine n.

det (A B) = (detA) (detB)Dimostrazione. Omessa.

1.8 Inversa di una matrie

Consideriamo la matrie quadrata di ordine n :

A =


, (1.50)

Seondo la (1.45) per ogni elemento ahk resta univoamente denito il suo omplementoalgebrio ahk:

ahk ahk = (1)h+k detAhkResta os denita la matrie quadrata di ordine n:

A(a)def=

a11 a12 ... a

1n

a21 a22 ... a

2n

... ... ... ...an1 a

n2 ... a

nn

T

he si hiama matrie aggiunta della matrie A. In altri termini, la matrie aggiunta latrasposta della matrie dei omplementi algebrii.

Denizione. Una matrie quadrata non singolare se il suo determinante non nullo.

Nel aso ontrario, la matrie singolare.


Denizione. Sia A una matrie quadrata di ordine n. Se A non singolare, si deniseinversa di A e si india on A1 la matrie quadrata di ordine n tale he:

AA1 = A1A = In,

essendo In la matrie identit di ordine n.

Proposizione. Sia A una matrie quadrata di ordine n non singolare. La sua inversa :

A1 =A(a)

detA(1.51)


***

Denizione. Una matrie quadrata di ordine n si die involutoria se oinide on la propriainversa:

A1 = A A2 = IEsempi

Sia

A =

1 1 04 3 2

2 2 5

detA = 43

La matrie aggiunta :

A(a) =

19 5 224 5 2

2 4 7

Quindi l'inversa:

A1 =

1943 543 24324

43543

243

243

443

743

***

Sia

A =

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16


A(a) =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Si osservi he detA = 0, per ui la matrie singolare e ome tale priva di inversa.

1.9 Rango di una matrie 35

1.9 Rango di una matrie

Se A (n n) 6= 0 per 1.5 esistono minori di ordine p = 1, 2, ...,min {m,n}.Denizione. Diesi rango o aratteristia di A, l'intero naturale:

r (A)def= p>,

essendo p> = max {p} : i minori di ordine p> sono non nulli.Da tale denizione segue he se r (A) = p>, signia:

1. Esiste almeno un minore di ordine p> non nullo;

2. se p> < min {m,n}, i minori di ordine p> + 1, p> + 2, ..., sono tutti nulli.

1.10 Eserizi proposti

1.10.1 Operazioni sulle matrii e lassiazione delle matrii

(per alune soluzioni onsultare l'Appendie A)

1 2 1 04 0 2 1

2 5 1 2

+

3 4 1 21 5 0 3

2 2 3 1

=

4 2 0 25 5 2 4

4 7 4 1

;

1 2 1 04 0 2 1

2 5 1 2

3 4 1 21 5 0 3

2 2 3 1

=

2 6 2 23 5 2 2

0 3 2 3

;

3

1 2 1 04 0 2 1

2 5 1 2

=

3 6 3 012 0 6 3

6 15 3 6

;

1 2 1 04 0 2 1

2 5 1 2

=

1 2 1 04 0 2 12 5 1 2

***

(2 3 1

) 142

= 12

142

( 2 3 1 ) =

2 3 18 12 44 6 2

;

(2 3 1

) 4 2 6 90 1 7 10

5 3 8 11

= ( 19 13 16 14 )

(2 3 41 5 6

) 12

3

= ( 20

29

);

(1 2 14 0 2

) 3 41 52 2

= ( 3 8

8 12);


Date le matrii:

A =

a11 a12a21 a22

a31 a32

, B =

(b11 b12b12 b22

),

alolare la matrie prodotto AB.Date le matrii:

A =

1 23 4

5 6

, B =

3 21 5

4 3

,

determinare:

D =

p qr s

t u

: A+B D = 0***

Date le matrii:

A =

1 2 35 0 2

1 1 1

, B =

3 1 24 2 5

2 0 3

, C =

4 1 20 3 2

1 2 3

, (1.52)

determinare: A +B, A C, 2A. Veriare l'identit:

A+ (B C) = (A+B) CDeterminare una matrie D tale he:

A+D = B

Veriare le identit:

D = B AD = (A B)

***

Date le matrii:

A =

1 1 13 2 12 1 0

; B =

1 2 32 4 6

1 2 3

veriare la non ommutativit del loro prodotto.

Soluzione

AB =

0 0 00 0 0

0 0 0

BA =

1 6 6 1 + 4 + 3 1 22 12 12 2 + 8 + 6 2 4

1 6 6 1 + 4 + 3 1 2

=

11 6 120 12 211 6 1

,

1.10 Eserizi proposti 37

io AB 6= BA.

***

Date le matrii:

A =

1 2 22 1 3

4 3 1

, B =

1 4 1 02 1 1 1

1 2 1 2

, C =

2 1 1 23 2 1 1

2 5 1 0

,

veriare l'identit matriiale:

AB = AC

Soluzione

Proediamo per alolo diretto:

AB =

3 3 0 11 15 0 53 15 0 5

AC =

3 3 0 11 15 0 53 15 0 5

***

Date le matrii:

A =

1 1 12 0 3

3 1 2

, B =

1 30 21 4

, C =

(1 2 3 42 0 2 1

)

veriare l'identit (propriet distributiva rispetto alla moltipliazione righe per olonne):

A (BC) = (AB)C

Soluzione

Proediamo per alolo diretto:

AB =

2 11 18

1 15

(AB)C =

4 4 4 735 2 39 22

31 2 27 11

BC =

7 2 3 14 0 4 2

7 2 11 8

A (BC) =

4 4 4 735 2 39 22

31 2 27 11

***


Date le matrii (1.52) veriare la propriet distributiva della moltipliazione righe per

olonne rispetto all'addizione di matrii:

A (B + C) = AB + AC (1.53)

Soluzione

B + C =

7 0 44 5 7

3 2 6

Quindi:

A (B + C) =

6 16 041 4 32

6 7 3

Determiniamo il seondo membro della (1.53):

AB =

5 3 319 5 16

1 3 0

AC =

1 13 322 1 16

5 4 3

da ui:

AB + AC =

6 16 041 4 32

6 7 3

***

Data la matrie:

A =

(i 00 i

),

essendo i =1, determinare An per n N.

Soluzione

A2 =

(i 00 i

)(i 00 i

)=

( 1 00 1

)= I

A3 =

( 1 00 1

)(i 00 i

)= A

A4 = A3A =

( i 00 i

)(i 00 i

)=

(1 00 1

)= I

Da i segue:

n pari = An = In dispari = An = A

Preisamente:


A2 = IA4 = +I

A8 = +I

A10 = Ida i segue:

An = +I, se n = 4p p NAn = I, se n = 4p+ 2 p N

In maniera simile si dimostra he:

An = +A, se n = 4p+ 1 p NAn = A, se n = 4p+ 3 p N

***

Assegnate le matrii:

A =

2 3 51 4 5

1 3 4

, B =

1 3 51 3 51 2 5

, C =

2 2 41 3 4

1 2 3

,

veriare he A e B ommutano e he AC = A, CA = C.Soluzione

AB =

2 3 + 5 6 9 15 10 + 15 251 + 4 5 3 12 + 15 5 20 + 251 3 + 4 3 + 9 12 5 + 15 20

=

0 0 00 0 0

0 0 0

BA =

2 3 + 5 6 9 15 10 + 15 251 + 4 5 3 12 + 15 5 20 + 251 3 + 4 3 + 9 12 5 + 15 20

=

0 0 00 0 0

0 0 0

Cio AB = BA = 0.

AC =

2 3 51 4 5

1 3 4

= A

CA =

2 2 41 3 4

1 2 3

= C

***



A =

(a bb a

), B =

(c dd c

), on a, b, c, d R

veriare he A e B ommutano.Soluzione

AB =

(a bb a

)(a bb a

)

=

(ac + bd ad+ bcbc + ad bd+ ac

)

BA =

(ca + db cb+ dada+ cb db+ ca

),

donde:

a, b, c, d R, AB = BA

***

Veriare he la matrie:

A =

2 2 41 3 4

1 2 3

idempotente.

Soluzione

A2 =

2 2 41 3 4

1 2 3

2 2 41 3 4

1 2 3

=

2 2 41 3 4

1 2 3

= A2 = A

***

Veriare l'idempotenza delle matrii:

A =

2 3 51 4 5

1 3 4

, B =

1 3 51 3 51 3 3

Per la matrie A:

A2 =

2 3 51 4 5

1 3 4

2 3 51 4 5

1 3 4

=

2 3 51 4 5

1 3 4

= A


Per la matrie B

B2 =

1 3 51 3 51 3 3

1 3 51 3 51 3 3

=

1 3 51 3 51 3 3

= B

***

Dimostrare la seguente proposizione:

AB = A, BA = B) = (A, B sono idempotenti

Soluzione

AB = A = A (BA) = APer la propriet distributiva rispetto alla moltipliazione tra matrii:

(AB)A = A

Ma AB = A, donde:

A2 = A

da ui l'idempotenza di A. Passiamo alla matrie B:

BA = B = B (AB) = B

Per la proprit distributiva:

(BA)B = B

Ma BA = B, donde:

B2 = B,

da ui l'idempotenza di B.

***

Veriare la nilpotenza di ordine 3 della matrie:

A =

1 1 35 2 62 1 3

Soluzione


A2 =

1 1 35 2 62 1 3

1 1 35 2 62 1 3

=

0 0 03 3 91 1 3

A3 =

0 0 03 3 91 1 3

1 1 35 2 62 1 3

=

0 0 00 0 0

0 0 0

,

donde l'asserto.

***

Assegnata la matrie quadrata:

A =

1 2 22 1 2

2 2 1

veriare he soluzione dell'equazione matriiale:

X2 4X 5I3 = 0Abbiamo:

A2 =

1 2 22 1 2

2 2 1

1 2 22 1 2

2 2 1

=

9 8 88 9 8

8 8 9

Quindi:

A2 4A 5I3

=

9 8 88 9 8

8 8 9

4 8 88 4 8

8 8 4

5 0 00 5 0

0 0 5

=

0 0 00 0 0

0 0 0

Cio:

A2 4A 5I3 = 0

***


Assegnata la matrie:

A =

2 1 31 1 2

1 2 1

veriare he soluzione dell'equazione matriiale:

X3 2X2 9X = 0Abbiamo:

A2 =

2 1 31 1 2

1 2 1

2 1 31 1 2

1 2 1

=

8 7 113 6 3

5 1 8

A3 =

8 7 113 6 3

5 1 8

2 1 31 1 2

1 2 1

=

34 23 4915 3 24

19 20 25

Quindi:

A3 2A2 9A = 0 0 00 0 0

0 0 0

***

Veriare he la matrie:

A =

1 3 41 3 4

1 3 4

nilpotente di ordine 2.Soluzione

A2 =

1 3 41 3 4

1 3 4

1 3 41 3 4

1 3 4

=

0 0 00 0 0

0 0 0

***

Veriare he le matrii:

A =

1 2 33 2 01 1 1

, B =

2 1 63 2 91 1 4


ommutano, e he il loro prodotto la matrie identit.

Soluzione

Abbiamo:

AB =

1 2 33 2 01 1 1

2 1 63 2 91 1 4

=

1 0 00 1 0

0 0 1

BA =

2 1 63 2 91 1 4

1 2 33 2 01 1 1

=

1 0 00 1 0

0 0 1

***


A =

1 1 22 3 21 2 4

, B =

2/3 0 1/33/5 2/5 1/5

7/15 1/5 1/15

ommutano, e he il loro prodotto la matrie identit.

Soluzione

Abbiamo:

AB =

1 1 22 3 21 2 4

2/3 0 1/33/5 2/5 1/5

7/15 1/5 1/15

=

1 0 00 1 0

0 0 1

BA =

2/3 0 1/33/5 2/5 1/5

7/15 1/5 1/15

1 1 22 3 21 2 4

=

1 0 00 1 0

0 0 1

***


A =

(1 12 1

), B =

(1 14 1

)antiommutano. Inoltre si dimostri he:

A,B : A e B antiommutano, (A +B)2 = A2 +B2Soluzione


AB =

(1 12 1

)(

1 14 1

)

=

( 3 22 3

)

BA =

(1 14 1

)(

1 12 1

)

=

(3 22 3

)= BA

Se A, B sono due qualunque matrii he antiommutano:

(A+B)2 = (A+B) (A+B)= A2 + AB +BA+B2

=BA=AB

A2 +B2

***


A1 =

(0 11 0

), A2 =

(0 ii 0

), A3 =

(i 00 i

),

veriare he iasuna antiommuta on le altre. Pi preisamente:

AiAj =

{ AjAi se i 6= jI se i = j

Soluzione

Abbiamo:

A1A2 =

(i 00 i

)

A2A1 =

( i 00 i

)= A1A2

A1A3 =

(0 ii 0

)

A3A1 =

(0 ii 0

)= A1A3

A2A3 =

(0 11 0

)

A3A2 =

(0 11 0

)= A2A3

A21 =

(1 00 1

)

A22 =

(1 00 1

)

A23 =

(1 00 1

)


***

Determinare le matrii he ommutano on D = diag (1, 2, 3).Soluzione

Sia

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

Quindi:

AD =

a11 2a12 3a13a21 2a22 3a23

a31 2a32 3a33

DA =

a11 a12 a132a21 2a22 2a23

3a31 3a32 3a33

A e D ommutano se:

AD = DA

a12 = 2a12a13 = 3a13a21 = 2a12a31 = 3a313a32 = 2a32

Cio

A =

a11 0 00 2a22 0

0 0 3a33

, a11, a22, a33

Ridenendo (in forza della loro arbitariet) a11, a22, a33:

A =

a11 0 00 a22 0

0 0 a33

Il risultato preedente si generalizza al aso di una matrie diagonale di ordine n. Preisamen-te, la pi generale matrie quadrata di ordine n he ommuta onDn = diag (d11, d22, ..., dnn).

An =

a11 0 ... 00 a22 ... 0... ... ... ...0 0 ... ann

***

Determinare l'inversa della matrie

(1 23 4

)appliando la denizione.

Soluzione

Imponiamo (1 23 4

)(a bc d

)=

(1 00 1

)Cio:


{a+ 2c = 13a + 4c = 1{b+ 2d = 03b+ 4d = 1

Risolvendo entrambi i sistemi lineari:

(a, c) =

(2, 3

2

), (b, d) =

(1,1

2

),

donde: (1 23 4

)1=

( 2 13/2 1/2

)***


A =

0 1 14 3 4

3 3 4

veriare he involutoria.

Soluzione

Abbiamo:

A2 = A A

=

0 1 14 3 4

3 3 4

0 1 14 3 4

3 3 4

=

1 0 00 1 0

0 0 1

***


A =

1 1 + i 2 + 3i1 i 2 i

2 3i i 0

, B =

i 1 + i 2 3i1 + i 2i 12 3i 1 0

veriare he A hermitiana, e B antihermitiana.Soluzione

Abbiamo:

A =

1 1 + i 2 3i1 + i 2 i

2 + 3i i 0

(A)T =

1 1 + i 2 + 3i1 i 2 i

2 3i i 0

= A

(B)T =

i 1 + i 2 3i1 + i 2i 12 3i 1 0

= B


1.10.2 Minori e omplementi algebrii


A =

1 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 12 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 25

Determinare il minore omplementare e il omplemento algebrio del minore del terzo ordine

a145,135.

Soluzione

Abbiamo:

a145,135 =

1 3 516 18 2021 23 25

(1.54)Il minore omplementare di (1.54) il minore del seond'ordine:

a23,24 =

7 912 4 = 10

Il omplemento algebrio:

a145,135 = (1)1+4+5+1+3+5 a23,24 = a23,24

***


A = (aij) =

1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/3

2/3 2/3 1/3

; B = (bij) =

4 3 31 0 1

4 4 3

,

veriare he i omplementi algebrii degli elementi di A,B soddisfano rispettivamente lepropriet seguenti:

aij = aij, bij = bji

Soluzione

Per la matrie A:

a11 = 1

3= a11, a

12 =

2

3= a12, a

13 =

2

3= a13

a21 =2

3= a21, a

22 =

1

3= a22, a

23 =

2

3= a23

a31 =2

3= a31, a

22 =

2

3= a22, a

33 =

2

3= a33

In maniera analoga per la matrie B.

***



A =

1 2 32 3 2

1 2 2

Determinare i ofattori dei singoli elementi, nonh la matrie inversa.

Soluzione

Abbiamo:

a11 =

3 22 2 = 2 a12 =

2 21 2 = 2 a13 =

2 31 2 = 1

a21 = 2 32 2

= 2 a22 = 1 31 2

= 1 a23 = 1 21 2

= 0a31 = +

2 33 2 = 5 a32 =

1 32 2 = 4 a33 =

1 22 3 = 1


A(a) =

2 2 52 1 4

1 0 1

L'inversa:

A1 =A(a)

detA

Calolo del determinante:

detA =

1 2 32 3 21 2 2

=1 2 32 3 20 0 1

= 1 22 3

= +1Quindi:

A1 = A(a)

***

Assegnato il determinante

=

bc a2 a2

b2 ca b2

c2 c2 ab

,si moltiplihino le sue olonne per a, b, c. Quindi, ra

ogliendo il fattore omune di iasunariga, si dimostri he:

=

bc ab acab ac cbac bc ab

Soluzione

Abbiamo:


a = a

bc a2 a2

b2 ca b2

c2 c2 ab

=abc a2 a2

ab2 ca b2

ac2 c2 ab

ab = b

abc a2 a2

ab2 ca b2

ac2 c2 ab

=abc a2b a2

ab2 bca b2

ac2 bc2 ab

abc = c

abc a2b a2

ab2 bca b2

ac2 bc2 ab

=abc a2b a2cab2 bca cb2

ac2 bc2 abc

Ra

ogliendo i fattori omuni per singola riga:

abc = abc

bc ab acab ac cbac bc ab

= =bc ab acab ac cbac bc ab

***

1.10.3 Calolo di determinanti del seondo ordine

(Soluzioni in A.1) 2 31 4; 2 11 2

; sin cos cos sin

; a c+ idc id b

; + i + i i i

; sin cossin cos ; cos sinsin cos

; tan 11 tan

; 1 +

2 23

2 +3 12

; 1 lgb alga b 1

; a+ b b+ da + c c+ d; a + b a ba b a b

; x 1 1x3 x2 + x+ 1

; 1

;1.10.4 Calolo di determinanti del terzo ordine

1 1 11 0 11 1 0

;0 1 11 0 11 1 0

;a a aa a xa a x

;1 1 11 2 31 3 6

;

1 i 1 + ii 1 01 i 0 1

;1 cos pi

3+ i sin pi

3cos pi

4+ i sin pi

4

cos pi3 i sin pi

31 cos 2pi

3+ i sin 2pi

3

cos pi4 i sin pi

4cos 2pi

3 i sin 2pi

31

;1 1 11 2

1 2

;1.10.5 Calolo di determinanti di ordine qualsiasi

Determinare i valori di x R per i quali nullo il determinante:

f (x) =

2x x 1 21 0 1 13 2 0 11 1 1 x

Calolare il determinante della matrie di ordine n:

Adiag =

1 0 0 ... 00 2 0 ... 00 0 3 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... n


***

Calolare il determinante di ordine n:

(n) =

0 0 0 ... 0 10 0 0 ... 1 0... ... ... ... ... ...0 1 0 ... 0 01 0 0 ... 0 0

, n = 2, 3, 4, ...,+ (1.55)

***

Calolare il determinante di ordine n:

D (n) =

1 a a ... a0 2 a ... a0 0 3 ... a0 0 0 ... ...0 0 0 ... n

, n = 2, 3, 4, ...,+ (1.56)

***

Assegnata la funzione:

fn (x) =n1k=0

(x k) , on n N {0, 1} , (1.57)

alolare i seguenti determinanti di ordine n+ 1:

a) F (n) =

fn (0) fn (1) fn (2) ... fn (n)fn (1) fn (2) fn (3) ... fn (n+ 1)... ... ... .. ...

fn (n) fn (n + 1) fn (n+ 2) ... fn (2n)

b) G (x, n) =

fn (x) f

n (x) f

n (x) ... f

(n)n (x)

f n (x) fn (x) f

n (x) ... f

(n+1)n (x)

... ... ... ... ...

f

n (x) fn (x) ... ... f

(2n)n (x)

***

Assegnati ak R on ak 6= ak (k, k = 1, 2, ...n), risolvere l'equazione algebria di gradon 1:

1 x x2 ... xn1

1 a1 a21 ... a

n11

1 a2 a22 ... a

n12

... ... ... ... ...1 an1 a

2n1 ... a

n1n1

= 0 (1.58)

***


Risolvere l'equazione algebria di grado n 2:

1 1 1 ... 11 1 x 1 ... 11 1 2 x ... 1... ... ... ... ...1 1 1 ... (n 1) x

(1.59)

Assegnati ak R on ak 6= ak (k, k = 1, 2, ...n), risolvere l'equazione algebria di gradon 1:

a1 a2 a3 ... ana1 a1 + a2 x a3 ... ana1 a2 a2 + a3 x ... an... ... ... ... ...a1 a2 a3 ... an1 + an x

= 0 (1.60)

***

Dimostrare he 2 ( + 1)2 ( + 2)2 ( + 3)2

2 ( + 1)2 ( + 2)2 ( + 3)2

2 ( + 1)2 ( + 2)2 ( + 3)2

2 ( + 1)2 ( + 2)2 ( + 3)2

= 0 (1.61)

***

Assegnata la matrie diagonale di ordine n:

Adiag =

a1 0 0 ... 00 a2 0 ... 00 0 a3 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... an

, (1.62)

determinare la somma dei omplementi algebrii degli elementi di matrie.

***

Assegnata la matrie di ordine n:

A =

0 0 ... 0 a10 0 ... a2 00 0 ... 0 0... ... ... ... ...an 0 ... ... 0

(1.63)

determinare la somma dei omplementi algebrii degli elementi di matrie.

***

Calolare il seguente determinante, sviluppando seondo gli elementi delle terza riga:

=

1 0 1 10 1 1 1a b c d1 1 1 0

(1.64)


Calolare il seguente determinante, sviluppando seondo gli elementi delle quarta olonna:

=

2 1 1 x1 2 1 y1 1 2 z1 1 1 t

(1.65)***

Calolare il seguente determinante, sviluppando seondo gli elementi delle prima olonna:

=

a 1 1 1b 0 1 1c 1 0 1d 1 1 0

(1.66)***

Calolare:

1.

13547 1364728423 28523 = 1487 600

2.

246 427 3271014 543 443342 721 621

= 29 400 000

3.

3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

= 48

4.

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

= 1

5.

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

= 160

6.

1 1 1 11 2 3 41 4 9 161 8 27 64

= 12

7.

1 2 3 42 1 4 33 4 1 24 3 2 1

= 900

8.

2 1 1 1 11 3 1 1 11 1 4 1 11 1 1 5 11 1 1 1 6

= 394


9.

5 6 0 0 01 5 6 6 00 1 5 5 00 0 1 1 60 0 0 0 5

= 0

10.

0 1 1 11 0 a b1 a 0 c1 b c 0

= c2 2ac 2bc+ b2 2ba + a2

11.

x y x+ yy x+ y x

x+ y x y

= 2x3 2y3

12.

x 0 1 1 01 x 1 1 01 0 x 1 0 10 1 1 x 10 1 1 0 x

= x5 x4 + x2 x+ 1 + x3

13.

1 + x 1 1 11 1 x 1 11 1 1 + z 11 1 1 1 z

= z2x2

14.

1 1 2 31 2 x2 2 32 3 1 52 3 1 9 x2

= 12 3x4 + 15x2

15.

cos (a b) cos (b c) cos (c a)cos (a+ b) cos (b+ c) cos (c+ a)sin (a+ b) sin (b+ c) sin (c+ a)

= 2 sin (a b) sin (a c) sin (b c)

16.

0 a b ca 0 d eb d 0 fc e f 0

= [eb+ af + 2c sin (a b) sin (a c) sin (b c)]2

17.

1 2 3 ... n1 0 3 ... n1 2 0 ... n... ... ... ... ...1 2 3 ... 0

18.

1 a1 a2 ... an1 a1 + b1 a2 ... an1 a1 a2 + b2 ... an... ... ... ... ...1 a1 a2 ... an + bn


19. Espliitare l'espressione analitia della funzione fn (x, x1, x2, ..., xn) data dallo sviluppodel determinante di ordine n:

fn (x; x1, x2, ..., xn) =

1 x1 x2 ... xn1 xn1 x x2 ... xn1 xn1 x1 x ... xn1 xn... ... ... ... ... ...1 x1 x2 ... xn1 xn1 x1 x2 ... xn1 x

20. Calolare:

(n) =

1 2 3 ... n 1 n1 3 3 ... n 1 n1 2 5 ... n 1 n... ... ... ... ... ...1 2 3 ... 2n 3 n1 2 3 ... n 1 2n 1

(1.67)

21. Calolare:

(n) =

1 2 2 ... 2 22 2 2 ... 2 22 2 3 ... 2 2... ... ... ... ... 22 2 2 ... n 1 22 2 2 ... ... n

(1.68)

22. Calolare:

(b1, b2, ..., bn) =

1 b1 0 0 ... 0 01 1 b1 b2 0 ... 0 00 1 1 b2 b2 .. 0 0... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... 1 bn1 bn0 0 0 0 ... 1 1 bn

, on n N {0}

(1.69)

23. Calolare:

(n) =

a a + h a+ 2h ... a + (n 1)ha a 0 ... 00 a a ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... a

(1.70)

24. Calolare:

(n) =

a0 1 0 ... 0 0a1 x 1 ... 0 0a2 0 x ... 0 0... ... ... ... ... ...an1 0 0 ... x 1an 0 0 ... 0 x

(1.71)

25. Calolare:

(n) =

n n 1 n 2 ... 3 2 11 x 0 ... 0 0 00 1 x ... 0 0 0... ... ... ... ... ... ...0 0 0 ... 1 x 00 0 0 ... 0 1 x


26. Se n N{0, 1} e se fk (x) on k = 1, 2, ..., n, sono polinomi su R di grado rk n2,dimostrare:

a1, a2, ..., an R,

f1 (a1) f1 (a2) ... f1 (an)f2 (a1) f2 (a2) ... f2 (an)... ... ... ...

fn (a1) fn (a2) ... fn (an)

= 0 (1.72)

27. Calolare (n N {0}):

f (x1, x2, ...xn; y1, y2, ..., yn) =

a0 a1 a2 ... an1 any1 x1 0 ... 0 00 y2 x2 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 ... yn xn

(1.73)

28. Calolare (n N {0}):

fn (x) =

n!a0 (n 1) a1 (n 2) a2 ann x 0 00 (n 1) x 0... ... ... ...0 0 0

(1.74)

29. Calolare per ogni n N{0}

D (n) =

2 1 0 0 ... 0 01 2 0 0 ... 0 00 1 2 1 ... 0 0... ... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... 1 2

(1.75)

30. Costruire il diagramma artesiano della funzione reale di variabile reale nell'intervallo

[2, 2]:

fn (x) =

2 cosx 1 0 ... 01 2 cosx 1 ... 00 1 2 cosx ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 2 cosx

, (1.76)

per n = 1, ..., 7.

31. Costruire il diagramma artesiano della funzione reale di variabile reale nell'intervallo

[1, 1]:

fn (x) =

cos x 1 0 ... 01 2 cosx 1 ... 00 1 2 cosx ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 2 cosx

(1.77)

per n = 1, ..., 7.

Capitolo 2

Sistemi di equazioni lineari

2.1 Generalit

Sia un sistema di m equazioni lineari in n inognite:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2

....am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

(2.1)

Qui aij R (o C) sono i oeienti, mentre bi sono i termini noti. Poniamo:

A =


(2.2)

La matrie A (m n) os denita, la matrie dei oeienti1.Risulta inoltre denita la seguente matrie m n + 1:

M =

a11 a12 ... a1n b1a21 a22 ... a2n b2... ... ... ... ...am1 am2 ... amn bm

, (2.3)

denominata matrie dei oeienti e dei termini noti

2

.

Il sistema (2.1) pu essere sritto ome:

AX = B, (2.4)

essendo:

X =

x1x2...xn

, (2.5)

il vettore olonna di dimensioni n 1, mentre:

B =

b1b2...bm

, (2.6)

1

Tale matrie spesso denominata matrie inompleta.

2

Tale matrie spesso denominata matrie ompleta.

58 Sistemi di equazioni lineari

il vettore olonna ostituito dai termini noti.

Una soluzione di (2.4) [o di (2.1) ogni n-pla (1, 2, ..., n) Rn(o Cn) tale he:

A = B,

dove:

=

12...n

(2.7)

Chiamiamo vettore soluzione di (2.4).

Denizione 2. Il sistema (2.4) [o (2.1) si die ompatibile se ammette almeno una soluzione.

Di ontro, inompatibile se privo di soluzioni. Risolvere il sistema (2.4) equivale a

veriare la sua ompatibilit e in aso aermativo rierare le soluzioni.

Denizione 3

Un sistema ompatibile si die determinato se ammette una ed una sola soluzione. Se un

sistema ompatibile ammette pi di una soluzione, ne ammette innite. In tal aso il sistema

si die indeterminato.

2.2 Riera delle soluzioni

Sia p il rango della matrie dei oeienti. Chiamiamo p rango del sistema (2.1). Come noto, deve essere p min {m,n}.Inoltre, per denizione di rango di una matrie, esiste almeno un minore di A non nullodi ordine p. Preso ad arbitrio un minore non nullo di ordine p, hiameremo tale minoredeterminante fondamentale.

Senza perdita di generalit

3

supponiamo he tale minore sia il determinante della matrie

quadrata di ordine p:

C =

a11 a12 ... a1pa21 a22 ... a2p... ... ... ...ap1 ap2 ... app

, detC 6= 0 (2.8)

I asi possibili sono:

1. p = m. In tal aso il sistema un sistema normale.

2. p < m. In tal aso il sistema un sistema non normale.

2.3 Sistemi normali: teorema di Cramer

Per quanto detto deve essere p = m. Abbiamo i due sottoasi:

a p = n;

b p < n.

3

Basta omunque eettuare opportuni sambi di righe e olonne.

2.3 Sistemi normali: teorema di Cramer 59

Nel aso a il sistema di p equazioni in p inognite on la matrie dei oeienti pari a C[eq .(2.8) Quindi:

a11x1 + a12x2 + ... + a1pxp = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2pxp = b2

...ap1x1 + ap2x2 + ...+ appxp = bp,

(2.9)

he pu essere sritto ome:

CX = B (2.10)

Abbiamo il

Teorema 1

Il sistema (2.9) ammette una ed una sola soluzione:

X = C1B (2.11)

Dimostrazione. La matrie C tale he detC 6= 0, donde dotata di inversa C1. Moltipli-

hiamo per C1 primo e seondo membro (da sinistra) della (2.10):

C1 (CX) = C1B (CC1)X = C1B CC1=1

X = C1B (2.12)

Vieversa, il vettore olonna C1B veria la (2.10):

C(C1B

)=(CC1

)B = 1B = B (2.13)

(Nelle (2.12) - (2.13), 1 la matrie identit di ordine p).

Dalla (2.11) segue il

Teorema 2 (Teorema di Cramer)

Il sistema (2.9) ompatibile e determinato. La soluzione data da:

x1 =detC1detC

, x2 =detC2detC

, ..., xp =detCpdetC

(2.14)

Nella (2.14) Cj ( j = 1, 2, ..., p) la matrie di ordine p, ottenuta da C sostituendo alla

olonna

a1ja2j...apj

, dei oeienti dell'inognita xj , la olonna

b1b2...bp

dei termini noti.

Cio:

C1 =

b1 a12 ... a1pb2 a22 ... a2p... ... ... ...bp ap2 ... app

, C2 =

a11 b1 ... a1pa21 b2 ... a2p... ... ... ...ap1 bp ... app

, (2.15)

.......

Cp =

a11 a21 ... b1a21 a22 ... b2... ... ... ...ap1 ap2 ... bp


Dimostrazione. Dall'algebra delle matrii:

C1 =1

detC

a11 a12 ... a

1p

a21 a22 ... a

2p

... ... ... ...ap1 a

p2 ... a

pp

T

(2.16)

=1

detC

a11 a21 ... a

p1

a12 a22 ... a

p2

... ... ... ...a1p a

2p ... a

pp

Qui aij il omplemento algebrio di aij . Per la (2.11):

X =1

detC

a11b1 + a21b2 + ...+ a

p1bp

a12b1 + a22b2 + ...+ a

p2bp

...a1pb1 + a

2pb2 + ...+ a

ppbp

(2.17)

faile rendersi onto he a1jb1 + a2jb2 + ... + a

pjbp lo sviluppo del determinante della

matrie Cj, per ui:

X =1

detC

detC1detC2...

detCp

,

donde l'asserto (2.14).

***

Passiamo ora ai sistemi di tipo b. Ora il numero delle inognite n > p, quindi il sistema sisrive:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1pxp + a1,p+1xp+1 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2pxp + a2,p+1xp+1 + ...+ a2nxn = b2

..............................................ap1x1 + ap2x2 + ...+ appxp + ap,p+1xp+1 + ... + apnxn = bp

(2.18)

Abbiamo il seguente:

Teorema 3

Il sistema (2.18) ammette np soluzioni, he si ottengono assumendo ome parametri leinognite xj , on j = p+ 1, p+ 2, ..., n e appliando il teorema di Cramer.Infatti, il sistema (2.18) pu essere sritto ome:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1pxp = b1 (a1,p+1xp+1 + ...+ a1nxn)a21x1 + a22x2 + ...+ a2pxp = b2 (a2,p+1xp+1 + ...+ a2nxn)

..............................................ap1x1 + ap2x2 + ... + appxp = bp (ap,p+1xp+1 + ...+ annxn)

(2.19)

Poniamo:

1 = xp+1, 2 = xp+2, ... np = xn

Si

ome le k sono arbitrarie, segue he il numero di soluzioni np.Si onlude he i sistemi normali (p = m) sono sempre ompatibili. Pi speiatamente,sono determinati se n = m , indeterminati se n > m.

2.4 Sistemi non normali: Teoremi di Rouh e di Capelli 61

Osservazione. Il numero di equazioni di un sistema normale m n. Infatti, se m > n, p < m, gia

h p min {m,n}. Ad esempio, il sistema:

a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2a31x1 + a32x2 = b3

omposto da m = 3 equazioni in n = 2 inognite. Quindi p 2, peri il sistema nonnormale (p < m).

2.4 Sistemi non normali: Teoremi di Rouh e di Capelli

In un sistema non normale p < m:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1pxp + a1,p+1xp+1 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2pxp + a2,p+1xp+1 + ... + a2nxn = b2

...ap1x1 + ap2x2 + ...+ appxp + ap,p+1xp+1 + ...+ apnxn = bp

ap+1,1x1 + ap+1,2x2 + ...+ ap+1,pxp + ap+1,p+1xp+1 + ... + ap+1,nxn = bp+1...

am1x1 + am2x2 + ...+ ampxp + am,p+1xp+1 + ... + amnxn = bm

(2.20)

deve essere:

=


6= 0,

avendo indiato on il determinante fondamentale del sistema (eq. (2.8))

Dimostriamo il seguente

Lemma

Assegnato r {p+ 1, p+ 2, ..., m}, risulta

(x1, x2, ..., xn) ,

a11 a12 ... a1p b1 nj=1

a1jxj

a21 a22 ... a2p b2 nj=1

a2jxj

... ... ... ... ...

ap1 ap2 ... app bp nj=1

apjxj

ar1 ar2 ... arp br nj=1

arjxj

=

a11 a12 ... a1p b1a21 a22 ... a2p b2... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app bpar1 ar2 ... arp br

(2.21)

Dimostrazione. L'asserto dimostrabile attraverso una nota propriet dei determinanti. Pre-

isamente (senza perdita di generalit), un determinante una ui olonna (o riga) ostituito


da elementi binomi (in generale polinomi), ammette uno sviluppo del tipo:

a11 a12 ... c1j + d1j ... a1na21 a22 ... c2j + d2j ... a2n... ... ... ... ... ...an1 an2 ... cnj + dnj ... ann

=a11 a12 ... c1j ... a1na21 a22 ... c2j ... a2n... ... ... ... ... ...an1 an2 ... cnj ... ann

+

a11 a12 ... d1j ... a1na21 a22 ... d2j ... a2n... ... ... ... ... ...an1 an2 ... dnj ... ann

Indihiamo on D1 il determinante a primo membro della (2.21). Abbiamo:

D1 =


nj=1

xj

a11 a12 ... a1p a1ja21 a22 ... a2p a2j... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app apjar1 ar2 ... arp arj

def= D2

(2.22)

Espliitiamo il determinante D2:

D2 = x1

a11 a12 ... a1p a11a21 a22 ... a2p a21... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app ap1ar1 ar2 ... arp ar1

+ ...+

+ x2

a11 a12 ... a1p a12a21 a22 ... a2p a22... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app ap2ar1 ar2 ... arp ar2

+ ...

+ xp

a11 a12 ... a1p a1pa21 a22 ... a2p a2p... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app appar1 ar2 ... arp arp

+

+ xp+1

a11 a12 ... a1p a1,p+1a21 a22 ... a2p a2,p+1... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app ap,p+1ar1 ar2 ... arp ar,p+1

+ ...

+ xn

a11 a12 ... a1p a1na21 a22 ... a2p a2n... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app apnar1 ar2 ... arp arn

I determinanti a seondo membro sono tutti nulli: per j = 1, ..., p, hanno due olonneidentihe; per j = p + 1, ..., n, sono minori di ordine p + 1 e ome tali nulli, gia

h il rangodella matrie dei oeienti p.

2.4 Sistemi non normali: Teoremi di Rouh e di Capelli 63

Denizione. Si denisono determinanti assoiati al determinante fondamentale , i de-terminanti:

r =


, on r = p+ 1, p+ 2, ..., m (2.23)

Ora siamo in grado di enuniare il:

Teorema (di Rouhe') 21.

il sistema ompatibile r = 0, on r = p+ 1, p+ 2, ..., mDimostrazione. Impliazione diretta Per ipotesi il sistema ompatibile. Se (1, 2, ..., n) una soluzione, per il lemma 2.4:

r =


=xj=j

a11 a12 ... a1p b1 n

j=1

a1jj

a21 a22 ... a2p b2 n

j=1

a2jj

... ... ... ... ...

ap1 ap2 ... app bp n

j=1

apjj

ar1 ar2 ... arp br n

j=1

arjj

=

a11 a12 ... a1p 0a21 a22 ... a2p 0... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app 0ar1 ar2 ... arp 0

= 0

Impliazione inversa. L'ipotesi :

r = 0, on r = p+ 1, p+ 2, ..., m

La (2.21) diventa:

(x1, x2, ..., xn) ,

a11 a12 ... a1p b1 n

j=1

a1jxj

a21 a22 ... a2p b2 n

j=1

a2jxj

... ... ... ... ...

ap1 ap2 ... app bp n

j=1

apjxj


j=1

arjxj

= 0 (2.24)


Si onsideri ora il sistema ottenuto dalla (2.20) onservando solo le prime p equazioni:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1pxp + a1,p+1xp+1 + ...+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ...+ a2pxp + a2,p+1xp+1 + ...+ a2nxn = b2

....ap1x1 + ap2x2 + ...+ appxp + ap,p+1xp+1 + ... + apnxn = bp

(2.25)

Tale sistema ompatibile, poih il rango p pari al numero di equazioni, ed indeterminato(np soluzioni). Se (1, 2, ...n) una soluzione, abbiamo he ponendola in (2.24):

a11 a12 ... a1p 0a21 a22 ... a2p 0... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app 0


j=1

arjj

= 0

Cio: (br

nj=1

arjj

) = 0 =

6=0br

nj=1

arjj = 0 (2.26)

Quindi le j soddisfano le rimanenti m p equazioni.Un enuniato equivalente dato da:

Teorema (di Capelli) 22.

il sistema ompatibile R (A) = R (M)Dimostrazione. Impliazione inversa

R (A) = R (M) = p = r {p+ 1, p+ 2, ..., m} ,r = 0Per il teorema di Rouh il sistema ompatibile.

Impliazione diretta. L'ipotesi la ompatibilit del sistema. La tesi da dimostrare

R (M) = p. Prendiamo ad arbitrio un minore di ordine p+1 di M. Se formato da olonnedi soli elementi aij allora esso nullo, in quanto minore di ordine p+1 di A. Vieversa deltipo:

=

ai1j1 ai1j2 ... ai1jp bi1ai2j1 ai2j2 ... ai2jp bi2... ... ... ... ...... ... ... ... ...

aip+1j1 aip+1j2 ... aip+1jp bip+1

Considerando i omplementi algebrii degli elementi dell'ultima olonna si ha he essi o sono

tutti nulli (= = 0) o ne esiste almeno uno non nullo, ma in questo aso un minoredi ordine p della matrie A, he pu essere assunto ome determinante fondamentale delsistema. Quindi risulta essere un determinante assoiato e ome tale nullo per il teoremadi Rouh. Da i segue he tutti i minori di ordine p+ 1 sono nulli, donde l'asserto.

2.5 Sistemi omogenei

Un sistema di equazioni lineari si die omogeneo quando i suoi termini noti sono tutti nulli.

Continuando a onsiderare un sistema di m equazioni in n inognite:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = 0

(2.27)

2.5 Sistemi omogenei 65

Osserviamo innanzitutto he un sistema omogeneo sempre ompatibile, poih ammette la

soluzione.

(x1, x2, ..., xn) = (0, 0, ..., 0) (2.28)

Si badi he i in a

ordo on il teorema di Rouh (se p < m). Infatti, supponendo senzaledere la generalit, he il determinante fondamentale del sistema sia:

=


6= 0, (2.29)

on p < m. Segue he i determinanti assoiati a sono tutti nulli:

r =

a11 a12 ... a1p 0a21 a22 ... a2p 0... ... ... ... ...ap1 ap2 ... app 0ar1 ar2 ... arp 0

= 0, r = p+ 1, p+ 2, ..., m

Quindi per il teorema di Rouh il sistema ompatibile.

Ci premesso, osserviamo he da un punto di vista appliativo non molto interessante la so-

luzione (2.28), denominata soluzione banale, bens le soluzioni non tutte nulle. Quest'ultime

sono le autosoluzioni o soluzioni proprie del sistema.

Sussite il seguente

Teorema 23. Il sistema (2.27) ammette autosoluzioni se e solo se p < n

Dimostrazione. Per ipotesi il determinante fondamentale (2.29). Quindi le soluzioni del

sistema sono tutte e sole quelle del sistema equivalente ottenuto onservando le prime pequazioni:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1pxp + a1,p+1xp+1 + ...+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ...+ a2pxp + a2,p+1xp+1 + ...+ a2nxn = 0

...ap1x1 + ap2x2 + ...+ appxp + ap,p+1xp+1 + ...+ annxn = 0

(2.30)

Risulta:

p = n = ! (x1, x2, ..., xn) = (0, 0, ..., 0)Ci implia he anh esistano autosoluzioni deve neessariamente essere p < n. Si osservi

he tale ondizione anhe suiente. Infatti, posto:

xp+k = k, on k = 1, 2, ..., n p

on

(1, 2, ..., np) 6= (0, 0, ..., 0)il sistema (2.30) diventa:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1pxp = npk=1

a1,p+kk

a21x1 + a22x2 + ...+ a2pxp = npk=1

a2,p+kk

...

ap1x1 + ap2x2 + ...+ appxp = npk=1

ap,p+kk

, (2.31)

ed ammette np soluzioni non tutte nulle.


Consideriamo ora il aso partiolare m = n:

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0

...an1x1 + an2x2 + ...+ annxn = 0

(2.32)

La matrie dei oeienti

A =


evidente he p < n detA = 0. Da i segue:

(x1, x2, ..., xn) 6= (0, 0, ..., 0) detA = 0Cio, un sistema omogeneo di n equazioni in n inognite ammette autosoluzioni se e solo se nullo il determinante della matrie dei oeienti.

2.6 Esempi numerii

Consideriamo il sistema:

x1 + x2 = 2 (2.33)

2x1 x2 = 1La matrie dei oeienti :

A =

(1 12 1

)Risulta: r (A) = 2 = m (numero di equazioni di 2.33), donde il sistema di Cramer. Lematrii (2.15) sono:

C1 =

(2 11 1

), C2 =

(1 22 1

)L'unia soluzione (x1, x2) :

x1 =detC1detC

=33 = 1, x2 =

detC2detC

=33 ,

io:

=

( 11

)

***

Risolviamo il sistema:

x1 x2 + x3 = 0 (2.34)2x1 + 0 + 3x3 = 1

0 + x2 + x3 = 2

2.6 Esempi numerii 67

La matrie dei oeienti :

A =

1 1 12 0 3

0 1 1

Il suo determinante :

detA =

1 1 12 0 30 1 1

= 3 2 1 11 1

= 3 2 (1 1) = 3 + 4 = 1 = r (A) = 3,quindi (2.34) un sistema di Cramer.

C1 =

0 1 11 0 3

2 1 1

, detC1 =

1 11 1+ 2

1 10 3 = 4

C2 =

1 0 12 1 3

0 2 1

, detC2 =

1 32 1 2

0 12 1 = 1

C3 =

1 1 02 0 1

0 1 2

, detC2 = 0 11 2

2 1 01 2

= 3La soluzione :

x1 = 4, x2 = 1, x3 = 3

***

Risolviamo il sistema:

x1 x2 + x3 x4 = 4 (2.35)2x1 + x2 + 0 + 2x4 = 0

0 2x2 + 3x3 + x4 = 39x1 + 3x2 5x3 + 0 = 0

Il determinante della matrie dei oeienti :

detA =

1 1 1 12 1 0 20 2 3 19 3 5 0

= 31 = p = 4 = m = il sistema di Cramer

Abbiamo:


detC1 =

4 1 1 10 1 0 2.3 2 3 10 3 5 0

= 31

detC2 =

1 4 1 12 0 0 2.0 3 3 19 0 5 0

= 62

detC3 =

1 1 4 12 1 0 2.0 2 3 19 3 0 0

= 93

detC4 =

1 1 1 42 1 0 0.0 2 3 39 3 5 0

= 61da qui l'unia soluzione del sistema: (1, 2,2, 3).

***

Risolvere il sistema:

2x1 + x2 + x3 + x4 = 7

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 6

x1 + x2 + 2x3 + x4 = 6

x1 + x2 + x3 + x4 = 6

Risulta:

detA =

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 1

= 1 detC

detC1 =

7 1 1 16 2 1 16 1 2 16 1 1 1

= 1

detC2 =

2 7 1 11 6 1 11 6 2 11 6 1 1

= 0

detC3 =

2 1 7 11 2 6 11 1 6 11 1 6 1

= 0

detC4 =

2 1 1 71 2 1 61 1 2 61 2 1 6

= 5

Capitolo 3

Spazi vettoriali

3.1 Denizione assiomatia

Sia E un insieme non vuoto e K un ampo (ad esempio, R o C). L'insieme E uno spa-zio vettoriale (e i suoi elementi si diono vettori) su K se sono denite una legge di

omposizione interna e una legge di omposizione esterna :

: E E 7 E (3.1) : K E 7 E

La prima delle (3.1) si hiama addizione di vettori e si india on +. Quindi:

+ : (u,v) E E 7 (u+ v) E (3.2)L'operazione (3.2) veria le seguenti propriet:

1. Propriet ommutativa.

u,v E, u+ v = v + u2. Propriet assoiativa.

u,v,w E, u+ (v +w) = (u+ v) +w3. Esistenza dell'elemento neutro.

0 E | u E, u+ 0 = u4. Esistenza dell'opposto

u E, (u) E | u+ u = 0

La seonda delle (3.1) si hiama moltipliazione di uno salare per un vettore:

: (,v) K E 7 (v) E (3.3)L'operazione (3.3) veria le seguenti propriet:

I Propriet distributiva rispetto alla somma vettoriale.

K, u,v E, (u+ v) = u+ vII Propriet distributiva rispetto alla somma in K

, K, v E, (+ )v = v + vIII Propriet assoiativa

, K, v E, (v) = ()v

70 Spazi vettoriali

IV Esistenza dell'elemento neutro

1 K | v E, 1v = vPer quanto detto, se le operazioni (3.1) veriano le propriet 1, 2, 3, 4 e I, II, III, IV,

l'insieme E assume la struttura di spazio vettoriale su K. Gli elementi di K si dionosalari.

Esempio 24. Consideriamo l'insieme Rn = R R ... R n

delle n-ple ordinate di numeri

reali:

Rn = {(x1, x2, ..., xn) | xi R, i = 1, 2, ..., n}Deniamo l'operazione di addizione:

+ : (x,y) Rn Rn 7 (x+ y) Rn

essendo:

x = (x1, x2, ...xn) , y = (y1, y2, ...yn)

Per denizione:

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

Abbiamo

1. x,y Rn, xi + yi = yi + xi (i = 1, 2, ..., n) = x+ y = y + x2. x,y, z Rn, xi+(yi + zi) = (xi + yi)+zi, (i = 1, 2, ..., n)= x+(y + z) = (x+ y)+z3. 0 = (0, 0, ..., 0) Rn | x Rn, x+ 0 = x4. x Rn, x = (x1,x2, ...,xn) Rn | x + x = 0

L'operazione di moltipliazione di uno salare per un vettore os denita:

ax = (ax1, ax2, ..., axn) , a R

e veria le propriet:

I a R, x,y Rn, a (x + y) = ax + ayII a, b R, x Rn, (a + b)x = ax+ bxIII a, b R, x Rn, a (bx) = (ab)xIV x Rn, 1x = x

Da i segue he on le operazioni sopra denite, l'insieme Rn uno spazio vettorialesul ampo reale R.

Esempio 25. Consideriamo l'insieme Cn delle n-ple ordinate di numeri omplessi:

Cn = {(z1, z2, ..., zn) : zi C, i = 1, 2, ..., n}Deniamo l'operazione di addizione:

+ : (z,w) Cn Cn 7 Cn

essendo:

z = (z1, z2, ...zn) , w = (w1, w2, ...wn)

Per denizione:

z+w = (z1 + w1, z2 + w2, ..., zn + wn)

evidente he:

3.1 Denizione assiomatia 71

1. z,w Cn, z+w = w + z1. z,w,u Cn, z+ (w + u) = (z+w)+u2. 0 = (0, 0, ...0) Cn : z+ 0 = z3. z Cn, z = (z1,z2, ...,zn) Cn : z + z = 0

L'operazione di moltipliazione di uno salare per un vettore os denita:

az = (az1, az2, ..., azn) , a C

e veria le propriet:

I a C, x,y Cn, a (z+w) = az+ awII a, b C, z Cn, (a+ b) z = az+ bzIII a, b C, z Cn, a (bz) = (ab) zIV z Cn, 1z = z

Da i segue he on le operazioni sopra denite, l'insieme Cn uno spazio vettorialesul ampo omplesso C.

Esempio 26. Sia MR (m,n) l'insieme delle matrii m n su R. Introduiamo in MR (m,n)l'operazione di addizione:

+ : (A,B) MR (m,n)MR (m,n) 7 (A+B) MR (m,n)

Pi preisamente:

(A = (aij) , B = (bij)) = A+B = (aij + bij)

L'operazione di addizione veria le seguenti propriet:

1. A,B MR (m,n), A+B = B + A2. A,B,C MR (m,n), A + (B + C) = (A+B) + C

3. 0 =

0 0 ... 00 0 ... 0... ... ... ...0 0 ... 0

MR (m,n) | A MR (m,n), A + 0 = A

4. A = (aij) MR (m,n), A = (aij) MR (m,n) : A + A = 0

Deniamo l'operazione moltipliazione di uno salare per una matrie:

: (,A) RMR (m,n) 7 (A) MR (m,n)

Pi preisamente:

( R, A = (aij)) = A = (aij)Tale operazione veria le seguenti propriet:

I R, A,B MR (m,n) , (A+B) = A + BII , R, A MR (m,n), (+ )A = A+ AIII , R, A MR (m,n), (A) = ()A

72 Spazi vettoriali

IV A MR (m,n), 1A = ASi onlude he MR (m,n) on le operazioni sopra introdotte assume la struttura dispazio vettoriale su R.

Esempio 27. Sia Pn [x] l'insieme dei polinomi su R di grado minore o uguale di n N.Prendiamo ad arbitrio due elementi di tale insieme:

pm (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ... + amx

m

qr (x) = b0 + b1x+ b2x2 + ... + brx

r,

essendo m, r n. Deniamo l'addizione tra polinomi:+ : (pm (x) , qr (x)) Pn [x]Pn [x] 7 (pm (x) + qr (x)) Pn [x]

Senza ledere la generalit, supponiamo he m < r:

pm (x) + qr (x)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2) x2 + ...+ (am + bm) x

m + bm+1xm+1 + ... + brx

r

L'operazione di addizione veria le seguenti propriet:

1. pm (x) , qr (x) Pn [x], pm (x) + qr (x) = qr (x) + pm (x)2. pm (x) , qr (x) , lk (x) Pn [x], pm (x) + (qr (x) + lk (x)) = (pm (x) + qr (x)) + lk (x)3. 0 = 0 + 0x+ 0x2 + ...+ 0xn | pm (x) Pn [x], pm (x) + 0 = pm (x)4. pm (x) =

(mk=1 akx

k) Pn [x], pm (x) = (mk=1 (ak)xk) Pn [x] | pm (x) +

pm (x) = 0

Deniamo l'operazione moltipliazione di uno salare per un polinomio

: (, pm (x)) R Pn [x] 7 (pm (x)) Pn [x]Pi speiatamente:

pm (x) =

mk=1

ajxj = pm (x) =

mk=1

(aj) xj

Esempio 28. Tale operazione veria le seguenti propriet:

I R, pm (x) , qr (x) Pn [x] , (pm (x) + qr (x)) = pm (x) + qr (x)II , R, pm (x) Pn [x], (+ ) pm (x) = pm (x) + pm (x)III , R, pm (x) Pn [x], (pm (x)) = () pm (x)IV pm (x) Pn [x], 1pm (x) = pm (x)

Da i segue he l'insieme Pn [x] on l'operazioni sopra introdotte assume la strutturadi spazio vettoriale su R.

Esempio 29. Sia F (a, b) l'insieme delle funzioni reali di variabile reale denite in [a, b] R:f F (a, b) f : [a, b] 7 R

Deniamo l'addizione:

+ : (f, g) F (a, b)F (a, b) 7 (f + g) F (a, b) (3.4)Pi speiatamente:

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

La (3.4) veria le seguenti propriet:

3.2 Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori 73

1. f, g F (a, b) , f + g = g + f2. f, g, h F (a, b) , f + (g + h) = (f + g) + h3. 0 0 (funzione identiamente nulla): f F (a, b) , f + 0 = f4. f F (a, b) , f : f + f = 0

Deniamo l'operazione moltipliazione di uno salare per un elemento di F (a, b): : (, f) R F (a, b) 7 (f) F (a, b)

Preisamente:

(f) (x) = f (x) ,

e veria le seguenti propriet:

I R, f, g F (a, b) , (f + g) = f + gII , R, f F (a, b), (+ ) f (x) = f (x) + g (x)III , R, f F (a, b), (f) = () f (x)IV f F (a, b), 1f = f

Con le operazioni sopra introdotte, F (a, b) assume la struttura di spazio vettoriale sul

ampo reale.

***

Sia E uno spazio vettoriale su K.

Proposizione. K, 0 = 0Dimostrazione. 0 = (0+ 0) = 0+0 =0 = 0Proposizione. v E, 0v = 0Dimostrazione. 0v = (0 + 0)v =0v + 0v =0v = 0

3.2 Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori

Sia E uno spazio vettoriale su K. Consideriamo il sistema di vettori:

= {v1,v2, ...,vr} , on r N {0}dove l'intero naturale r l'ordine del sistema.Presi ad arbitrio r salari i K (i = 1, 2, ..., r), il vettore:

v = 1v1 + 2v2 + ...+ rvr,

si hiama ombinazione lineare dei vettori di . Equivalentemente si die he v dipendelinearmente dai vettori v1,v2, ...,vr (o dal sistema ).Ci premesso, abbiamo la seguente:

Denizione. linearmente indipendente se:

1v1 + 2v2 + ...+ rvr = 0 = 1 = 2 = ... = r = 0 (3.5)Nel aso ontrario diremo he linearmente dipendente. Cio:

(1, 2, ..., r) 6= (0, 0, ..., 0) | 1v1 + 2v2 + ... + rvr = 0 (3.6)

74 Spazi vettoriali

Esempio 30. Assegnato lo spazio vettoriale R3 (fr esempio 24 per n = 3), mostrare he ilsistema di vettori = {v1,v2,v3} on

v1 = (2, 1, 2) , v2 =

(7,3

2, 3

), v3 = (3, 1,1) , (3.7)

linearmente dipendente.

Soluzione 31. Consideriamo l'equazione vettoriale:

1v1 + 2v2 + 3v3 = 0, (3.8)

equivalente a:

1 (2, 1, 2) + 2

(7,3

2, 3

)+ 3 (3, 1,1) = (0, 0, 0) ,

le ui omponenti formano il sistema lineare omogeneo:

21 + 72 33 = 0 (3.9)1 3

22 + 3 = 0

21 + 32 3 = 0La matrie dei oeienti del sistema (3.9) :

A =

2 7 31 3/2 1

2 3 1

La aratteristia del sistema 3.9 p = r (A) = 2, per ui tale sistema ammette 1 soluzioniproprie. In altri termini (1, 2, 3) 6= (0, 0, 0) :

3i=1 ivi = 0, per ui = {vi}

linearmente dipendente.

Esempio 32. Assegnato lo spazio vettoriale R3, mostrare he il sistema di vettori ={v1,v2,v3} on

v1 = (2, 1, 2) , v2 =

(7,1

2, 3

), v3 = (3, 1,1) , (3.10)

linearmente indipendente. Esprimere altres il vettore v4 = (1, 1,1) ome ombinazionelineare di .

Soluzione 33. Proedendo ome nell'eserizio preedente, abbiamo il sistema lineare omo-

geneo:

21 + 72 33 = 0 (3.11)1 1

22 + 3 = 0

21 + 32 3 = 0,la ui matrie dei oeienti :

A =

2 7 31 1/2 1

2 3 1

Qui detA = 4, peri p = 3 = n (numero di inognite). Pertanto il sistema 3.11 am-mette solo la soluzione impropria (1, 2, 3) = (0, 0, 0); da i segue he linearmenteindipendente. Per la seonda domanda, poniamo:

v4 = 1v1 + 2v2 + 3v3

3.2 Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori 75

Tale equazione vettoriale pu essere sritta ome:

1 (2, 1, 2) + 2

(7,1

2, 3

)+ 3 (3, 1,1) = (1, 1,1) ,

le ui omponenti formano il sistema lineare non omogeneo:

21 + 72 33 = 1 (3.12)1 1

22 + 3 = 1

21 + 32 3 = 1,Il sistema 3.12 manifestamente di Cramer, ammettendo l'unia soluzione:

(1, 2, 3) =

(52, 3, 5

),

donde:

v4 = 52v1 + 3v2 + 5v3

Proposizione. (0 ) = ( linearmente

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