Appunti di Algebra Superiore - cdm.unimo.itcdm.unimo.it/home/matematica/fiori.carla/AlgebraSuperiore1_13... · Prefazione Questi appunti raccolgono le lezioni del corso di Algebra

Prof.ssa Carla Fiori

Appunti diAlgebra Superiore

Laurea Magistrale in Matematica

Univertisà di Modena e Reggio EmiliaDipartimento di Matematica Pura e Applicata

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Prefazione

Questi appunti raccolgono le lezioni del corso di Algebra Superiore tenute dallaProfessoressa Carla Fiori presso l’Università di Modena e Reggio Emilia.

L’algebra non é che la geometria scritta;la geometria non é che l’algebra figurata.

Sophie Germain

i

Indice

Prefazione i

Capitolo 1. Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 11. Definizioni ed Esempi 12. Insiemi di permutazioni e strutture di incidenza 4

Capitolo 2. Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 71. Definizioni e teoremi 72. Considerazioni finali e problemi aperti 16

Capitolo 3. Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 171. Definizioni e teoremi 172. Esempi di Quasicorpi associativi non planari 25

Capitolo 4. Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi 281. Introduzione 282. Il gruppo proiettivo lineare PGL(2,K) 293. Il gruppo proiettivo semilineare PΓL(2,K) 304. Il gruppo proiettivo lineare speciale PSL(2,K) 325. Esempi di insiemi (non gruppi) strettamente 3-transitivi 336. Problemi aperti 34

Capitolo 5. Insiemi e gruppi k-transitivi, k ≥ 4. 35

Capitolo 6. Estensione di gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 361. Definizioni e Teorema di Witt 362. Estensione di insiemi di permutazioni k-transitivi 383. Estensione di gruppi di permutazioni k-transitivi 41

Capitolo 7. Applicazione dei teoremi di estensione di gruppi e insiemi dipermutazioni k-transitivi 46

1. Esempi di estensioni di gruppi k-transitivi 462. Esempi di estensioni di insiemi k-transitivi 51

Capitolo 8. Gruppi e Insiemi k-omogenei. 54

Capitolo 9. Trasformazione di (k,n)-strutture 551. Definizioni e prime proprietà 55

ii

INDICE iii

2. Piani di Moulton 593. Trasformazione di Insiemi di Permutazioni 604. Trasformazione di gruppi di permutazioni strettamente 3-transitivi su

insiemi finiti 63

CAPITOLO 1

Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni

1. Definizioni ed Esempi

Definizione 1.1.1. Siano P e B due insiemi non vuoti tali che P ∩ B = ∅.Sia I ⊆ P × B. La terna (P ,B, I) prende il nome di struttura di incidenza.Gli elementi di P sono detti punti, gli elementi di B sono detti blocchi, I è dettarelazione di incidenza o semplicemente incidenza.

Un punto p ∈ P è incidente ad un blocco B ∈ B se (p,B) ∈ I.

Definizione 1.1.2. Due strutture di incidenza (P ,B, I) e(P ′,B′

,=)

si diconoisomorfe se esiste una applicazione ϕ tale che:

(1) ϕ(P) = P ′ , ϕ(B) = B′ ;(2) ϕ è biunivoca;(3) pIB se e solo se ϕ(P ) = ϕ(B) per ogni p ∈ P e B ∈ B.

Considerata una struttura di incidenza (P ,B, I), essa é sempre isomorfa aduna struttura in cui la relazione di incidenza é l’appartenenza ′′∈ ′′.

Infatti per ogni B ∈ B sia B∗ = p ∈ P | pIB e sia B∗ = B∗ | B ∈ B; lastruttura (P ,B∗,∈) é banalmente isomorfa alla struttura (P ,B, I) nell’isomorfismoϕ definito da ϕ (p) = p per ogni p ∈ P e ϕ(B) = B∗ per ogni B ∈ B.

Di norma una struttura di incidenza è indicata con la coppia (P ,B) sotto-intendendo che la relazione di incidenza è l’appartenenza.

Una struttura di incidenza si dice finita se tali sono P e B. Ad ogni strutturadi incidenza finita

¯resta associata una matrice ∆ detta matrice di incidenza nel

seguente modo.In P e in B si fissi un ordinamento; sia P = p1, ..., pm e B = B1, ..., Bn, ciò

è sempre possibile perchè P e B sono insiemi finiti. La matrice ∆ è così definita:(1) ∆ = [Ih,k] ,

Ih,k =

1 ⇔ ph I Bk

0 ⇔ ph 6I Bkcon

h = 1, ...,mk = 1, ..., n

.

1

CAPITOLO 1 - Strutture di incidenza e insiemi di permutazioni 2

Viceversa se si fissano due insiemi P e B rispettivamente di m ed n oggetti edun ordinamento in ciascuno di essi, data comunque una matrice ∆ ad m righe edn colonne ad elmenti 0 e 1, per (1) rimane definita una incidenza I ⊆ P × B equindi una struttura di incidenza (P ,B, I).

Lo studio delle strutture di incidenza finite equivale a quello dellematrici m× n con elementi 0 e 1.

Esempio 1.1.3.P = x1, x2, x3, x4, x5, x6, B = y1, y2, y3

I = (x1, y2), (x1, y3), (x2, y3), (x4, y2), (x4, y3), (x6, y1), (x6, y2), (x6, y3)

y1 y2 y3

x1 0 1 1x2 0 0 1x3 0 0 0x4 0 1 1x5 0 0 0x6 1 1 1

Esempio 1.1.4.P 6= ∅, B 6= ∅, I = P × B. Nel caso P e B siano finiti, fissati in essi unordinamento, la matrice di incidenza è costituita tutta da elementi 1.

Esempio 1.1.5.P 6= ∅, B 6= ∅, I = ∅.Nel caso P e B siano finiti, fissato in essi un ordinamento, la matrice di incidenzaassociata è costituita tutta da elementi 0.

Esempio 1.1.6.Sia Q un quadrato del piano euclideo, P l’insieme dei vertici del quadrato e Bl’insieme dei lati e delle diagonali di Q. Diremo che un punto x ∈ P è incidentea un blocco y ∈ B, se il punto x appartiene alla retta y. (P,B, I) è una strutturadi incidenza. E’ immediato verificare che in tale struttura ogni punto è incidentea tre blocchi distinti, fissato comunque un blocco esistono esattamente due puntiincidenti ad esso.


x1

????

????

????

????

? x2

x4

x3

(P,B, I) è un esempio di struttura di piano affine finito. Ci possiamo proporredi costruire la matrice di incidenza di questa struttura. Ordinati i punti e i blocchiin modo che x1, x2, x3, x4 siano i vertici consecutivi di Q, yi sia il lato di Q divertici xi, xi+1 (i = 1, 2, 3), y4 quello di vertici x4, x1 ed inoltre y5 e y6 le diagonalidi vertici rispettivamente x1, x3 e x2, x4, la matrice di incidenza risulta essere laseguente:

y1 y2 y3 y4 y5 y6

x1 1 0 0 1 1 0x2 1 1 0 0 0 1x3 0 1 1 0 1 0x4 0 0 1 1 0 1

Osserviamo che in tale matrice ogni riga possiede esattamente tre elementi ugualiad 1, il che equivale a dire che ogni punto è incidente esattamente a tre rette.Inoltre ogni colonna ha esattamente due elementi 1, il che equivale a dire che ogniretta è incidente a due punti. Ancora, fissate comunque due righe distinte, esisteuna sola colonna che le interseca ambedue nell’elemento 1 e ciò equivale a dire chedue punti sono incidenti a una sola retta.

Esempio 1.1.7.Sia K un campo qualsiasi. Sia P = K2,

B = r | r : ax+ by + c = 0 , a, b, c ∈ K ; a, b non entrambi nullil’insieme delle equazioni di 1 grado a due incognite a coefficienti in K. DefiniamoI ⊆ P ×B: (x, y) ∈ K2 è incidente ad un blocco r ∈ B se la coppia (x, y) soddisfal’equazione espressa da r.(P,B, I) è una struttura di incidenza.Questa è una struttura di piano affine.Se K è il campo delle classi resto modulo 2, si ottiene l’esempio 1.1.6 .


2. Insiemi di permutazioni e strutture di incidenza

Definizione 1.2.1. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Lacoppia (E,G) individua una struttura di incidenza.

Definiamo punti gli elementi dell’insieme P = E×E. Per ogni α ∈ G definia-mo blocco l’insieme Bα = (x, α(x)) | x ∈ E e definiamo blocchi della struttural’insieme B = Bα | α ∈ G.

La struttura (P ,B) così determinata è detta struttura di incidenza as-sociata all’insieme di permutazioni G, essa viene solitamente indicata con(E2, G).

Oltre ai blocchi, nella struttura (E2, G) rimangono determinati particolariinsiemi di punti fra cui i seguenti.

Per ogni a ∈ E siano

[a]1 = (a, y) | y ∈ E , [a]2 = (x, a) | x ∈ E ,G1 = [a]1 | a ∈ E , G2 = [a]2 | a ∈ E .

Gli elementi di G = G1 ∪ G2 sono detti generatori.

Definizione 1.2.2. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Nellastruttura di incidenza (E2, G) due punti p, q ∈ E2 si dicono dipendenti se ap-partengono allo stesso generatore, in caso contrario si dicono indipendenti. Piùpunti p1, p2..., ph ∈ E2 si dicono indipendenti se sono a due a due indipendenti.

La struttura (E2, G) e le famiglie G1 e G2 di generatori, godono di alcuneproprietà di immediata verifica:

(1) Due elementi distinti di G1 (rispettivamente G2) sono disgiunti ed hannola stessa cardinalità, che è la cardianlità di E.

(2) Gli elementi di G1 (rispettivamente G2) formano una partizione di P , lecui classi sono i generatori di G1 (rispettivamente G2). Per la proprietà (1)le classi della partizione hanno la stessa cardinalità, che è la cardinalitàdi E.

(3) Ogni punto appartiene esattamente ad un generatore di G1 ed ad ungeneratore di G2.

(4) Ogni blocco ha la stessa cardinalità di ogni generatore, che è la cardinalitàdi E.

(5) Ogni blocco ha in comune con ogni generatore esattamente un punto.

Queste sono proprietà che caratterizzano l’insieme G, ossia se valgono queste pro-prietà allora rimane determinato un insieme G di permutazioni. Infatti vale ilseguente teorema.


Teorema 1.2.3. Sia (P ,B) una struttura di incidenza tale che esistono duepartizioni G1 e G2 dei punti e si abbia:

(1) |g| = |h| per ogni g, h ∈ G1 ∪ G2;(2) |g ∩ h| = 1 per ogni g ∈ G1, per ogni h ∈ G2;(3) |B ∩ g| = 1 per ogni B ∈ B, per ogni g ∈ G1 ∪ G2.

Allora esistono un insieme E e un insieme G di permutazioni su E tali che (P ,B)è la struttura (E2, G) associata a G.

Dimostrazione. Per la (2) ogni elemento di G1 interseca un elemento di G2

in esattamente un punto e pertanto per ogni g ∈ G1 si ha |g| = |G2|. Analogamenteper ogni h ∈ G2 si ha |h| = |G1|. Per la (1) segue pertanto

|G1| = |g| = |h| = |G2|.Sia E un insieme di indici tale che |E| = |G1|; indichiamo gli elementi di G1

con A1, A2, .... , Ai, ... con i ∈ E e indichiamo con B1, B2, ..., Bj, ... con j ∈ E glielementi di G2.

Gli elementi di P risultano in corrispondenza biunivoca con gli elementi diE × E, infatti per ogni p ∈ P basta porre p = (i, j) se p ∈ Ai ∩ Bj. A partire daogni blocco B ∈ B definiamo l’applicazione αB : E → E, αB(x) = y se (x, y) ∈ B.

Per come definita, αB è una applicazione biunivoca (permutazione) di E in sè.Sia G = αB | B ∈ B ; la struttura (P ,B) è isomorfa alla struttura (E2, G).

Esempio 1.2.4.Sia E = 1, 2, 3. Consideriamo

G = α = id., β = (123), γ = (12), δ = (13) .Definiamo P = E × E insieme dei punti. Inoltre a partire dalle permutazioni chesono elementi di G definiamo:

Bα = (1, 1), (2, 2), (3, 3) , Bβ = (1, 2), (2, 3), (3, 1) ,Bγ = (1, 2), (2, 1), (3, 3) , Bδ = (1, 3), (3, 1), (2, 2) .

Definiamo B = Bα, Bβ, Bγ, Bδ insieme dei blocchi. (P ,B) è la struttura diincidenza associata all’insieme di permutazioni G. Solitamente è indicata con(E2, G).

Generatori :1 ∈ E ⇒ [1]1 = (1, y) | y ∈ E = (1, 1), (1, 2), (1, 3)2 ∈ E ⇒ [2]1 = (2, y) | y ∈ E = (2, 1), (2, 2), (2, 3)3 ∈ E ⇒ [3]1 = (3, y) | y ∈ E = (3, 1), (3, 2), (3, 3) .

G1 = [1]1 , [2]1 , [3]1 , è un insieme di generatori che è una partizione di P ossiadue generatori distinti di G1 sono disgiunti e inoltre l’unione dei generatori di G1

ricopre l’insieme P .Analogamente si definisce l’insieme di generatori G2 = [1]2 , [2]2 , [3]2, dove


[1]2 = (x, 1) | x ∈ E = (1, 1), (2, 1), (3, 1)[2]2 = (x, 2) | x ∈ E = (1, 2), (2, 2), (3, 2)[3]2 = (x, 3) | x ∈ E = (1, 3), (2, 3), (3, 3) .• Preso un blocco e un generatore, qual’è la loro intersezione?

Esempio: Bγ ∩ [1]2 = (2, 1) .Più in generale possiamo scrivere

Bϕ ∩ [a]1 = (a, ϕ(a))Bϕ ∩ [b]2 =

(ϕ−1(b), b)

.

• A partire da un qualunque blocco della struttura (E2,B) si costruisce unapermutazione.Esempio: consideriamo il blocco Bδ = (1, 3), (3, 1), (2, 2), definiamo

φBδ: E → E

1 7−→ 3

2 7−→ 2

3 7−→ 1

φBδrisulta un’applicazione biettiva perchè per ogni x ∈ E esiste ed è

unico l’elemento di Bδ appartenente a [x]1 (e pertanto φBδè applicazione);

inoltre per ogni (x, y) ∈ Bδ esiste ed è unico [y]2 con Bδ ∩ [y]2 = (x, y)(e pertanto φBδ

suriettiva, anzi φBδbiettiva).

Esempio 1.2.5.Siano P = R× R, B = r | r : y = mx+ n , m ∈ R∗ , n ∈ R .

A partire dal blocco y = mx+ n rimane definita la permutazioneα : R → R, α(x) = mx+ n.(P ,B) è una struttura di incidenza.Quali sono i generatori?[a]1 = (a, y)|y ∈ R[b]2 = (x, b)|x ∈ R.

CAPITOLO 2

Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi

1. Definizioni e teoremi

Definizione 2.1.1. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E e siak ∈ N∗.G si dice k-transitivo su E se per ogni (x1, ..., xk), (y1, ..., yk) con xi, yi ∈ Etali che xi 6= xj, yi 6= yj se i 6= j esiste α ∈ G tale che α(xi) = yi con i = 1, ..., k.

Se α è unica, G si dice strettamente k-transitivo. Gli insiemi strettamente1-transitivi sono anche detti regolari .

L’insieme G si dice transitivo su E se è almeno 1-transitivo su E.

Esempio 2.1.2.Sia R il campo dei numeri reali, per ogni a ∈ R sia αa : R → R , αa(x) = 2x+ ae sia G = αa | ∈ R . G é un insieme strettamente 1-transitivo su R.Infatti comunque presi r, s ∈ R esiste (ed é unica) la permutazione αs−2r ∈ G taleche αs−2r(r) = s.

Gli insiemi di permutazioni strettamente k-transitivi su un insieme E, fini-to o no, hanno una particolare importanza perchè rappresentano strutturegeometriche fondamentali.

Nota 2.1.3. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo suun insieme E finito, |E| = n. Si possono contare gli elementi di G, infatti fissatauna k-upla (a1, a2, ..ak) di elementi distinti di E, per la stretta k-transitività, glielementi di G sono tanti quante sono le possibili immagini di (a1, a2, ..ak), bastaquindi contare le k-uple di elementi distinti di E. Risulta pertanto

|G| = Dn,k = n(n− 1) · ... · (n− k + 1).

In particolare se G è regolare su E si ha

|G| = |E| = n.

7

CAPITOLO 2 - Gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 8

Teorema 2.1.4. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Fissataα ∈ G, l’insieme α−1G è ancora un insieme di permutazioni su E e pertantorimangono determinate le strutture (E2, G) e (E2, α−1G). Si ha che (E2, G) èisomorfo a (E2, α−1G) ed inoltre id ∈ G oppure id ∈ α−1G.

Dimostrazione. Sia ϕ : (E2, G) −→ (E2, α−1G) così definita:ϕ(x, y) = (x, α−1(y)) per ogni

ϕ(β) = α−1β per ogni(x, y) ∈ E2

β ∈ G .

E’ di immediata verifica che ϕ è un isomorfismo di (E2, G) in (E2, α−1G) perché ϕé una applicazione biettiva, inoltre se G non contiene l’identità si ha che α−1α ∈α−1G e pertanto l’identità appartiene ad α−1G.

Il teorema 2.1.4 assicura che, senza ledere in generalità, nello studio di unastruttura di incidenza (E2, G) si può sempre supporre id ∈ G.

si dicono dipendenti se appartengono allo stesso generatore, in caso contrariosi dicono indipendenti. Più punti p1, p2..., ph ∈ E2 si dicono indipendenti se sonoa due a due indipendenti.

Teorema 2.1.5. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitvosu un insieme E e sia (E2, G) la struttura ad esso associata. Se p1, p2, ..., pk ∈ E2

sono punti indipendenti allora esiste ed è unico il blocco che li contiene.

Dimostrazione. Siano pi = (xi, yi), i = 1, ..., k, punti indipendenti di E2.Siccome i punti sono indipendenti, per i 6= j risulta xi 6= xj, yi 6= yj. Perla stretta k-transitività di G esiste ed è unica la permutazione α ∈ G tale cheα(xi) = yi, i = 1, ..., k, e pertanto in (E2, G) α é il blocco cercato.

Nota 2.1.6. La relazione fra gli insiemi di permutazioni strettamente k-transi-tivi e le strutture di incidenza associate è un legame fra l’algebra e la geome-tria che permette di affrontare lo studio di strutture geometriche con l’algebra eviceversa permette di dare una lettura geometrica di problemi algebrici.

Un notevole esempio è la relazione tra insiemi di permutazioni e piani affini.

Richiamiamo la definizione di piano affine.

Definizione 2.1.7. La struttura di incidenza (P ,R) è detta piano affine se:(1) comunque presi p, q ∈ P , p 6= q, esiste ed è unico R ∈ R tale che p, q ∈ R;(2) per ogni p ∈ P , per ogni R ∈ R con p /∈ R, esiste ed è unico S ∈ R tale

che p ∈ S e S ∩R = ∅;(3) esistono almeno 3 punti non appartenenti ad uno stesso elemento di R.

Un piano affine con un numero finito di punti é detto di ordine n se |R| = n perogni R ∈ R.


Teorema 2.1.8. Sia G un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivosu un insieme E finito con |E| = n, n ≥ 2. La struttura (E2, G) associata a Gdetermina un piano affine di ordine n.

Dimostrazione. Si definiscono punti gli elementi dell’ insieme P = E2, rettegli elementi dell’ insieme R dati dai blocchi e dai generatori di (E2, G).

(1) Siano (x1, y1), (x2, y2) ∈ P. Se x1 = x2 l’unica retta che li contiene è ilgeneratore [x1]1.Se y1 = y2 l’unica retta che li contiene è il generatore [y1]2.Se x1 6= x2, y1 6= y2 allora per la stretta 2-transitività c’è un unico blocco(non generatore) che li contiene.

(2) Per le proprietà delle strutture di incidenza associate agli insiemi di per-mutazioni, per il teorema 1.2.3 ed essendo G strettamente 2-transitivo, siha che:• se p = (x, y) ∈ P , [a]1 ∈ R, a 6= x, allora l’unica retta di R passante

per p e disgiunta da [a]1 è la retta [x]1;• se p = (x, y) ∈ P , [b]2 ∈ R, y 6= b, allora l’unica retta di R passante

per p e disgiunta da [b]2 è la retta [y]2;• se p = (x, y) ∈ P , Bα ∈ R, α(x) 6= y, allora esiste ed è unico Bγ ∈ R

tale che y = γ(x) (ossia p ∈ Bγ) e Bα ∩Bγ = ∅.Per dimostrare questo iniziamo con il contare le rette passanti per p.Considerato [z]1 con z 6= x, su [z]1 ci sono esattamente n − 1 puntiindipendenti da p che individuano altrettante rette per p ( l’unicopunto di [z]1 dipendente da p è (z, y)); oltre a queste rette ci sonoesattamente altre due rette per p, sono le rette-generatori [x]1 e [y]2che sono sicuramente diverse dalle precedenti n−1 perchè [x]1 6= [z]1.Si conclude che per p passano esattamente (n− 1) + 2 = n+ 1 rette.Contiamo ora le rette per p intersecanti Bα: sono esattamente n− 2perchè i punti di Bα indipendenti da p sono esattamente n−2 ( devoescludere (x, α(x)) e (α−1(y), y)). Si conclude pertanto che le retteper p non aventi punti in comune con Bα sono (n− 1)− (n− 2) = 1ossia esiste ed è unica la retta passante per p non avente punti incomune con Bα.

(3) Poiché |E| ≥ 2 esistono almeno 3 punti non appartenenti ad una stessaretta.

Del teorema ora dimostrato vale anche il viceversa.

Teorema 2.1.9. Sia π un piano affine di ordine n. Esso individua uninsieme di permutazioni strettamente 2-transitivo su n elementi.


Dimostrazione. Posto E = 1, ... , n fissiamo due fasci distinti di retteparallele G1,G2. Ciascuno di essi contiene n rette, sia G1 = A1, ..., An e G2 =B1, ...Bn .

Per ogni p ∈ π esistono e sono unici Ai, Bj, tali che Ai ∩ Bj = p ; poniamoallora p = (i, j).

Fissata una retta R con R /∈ G1 e R /∈ G2 definiamo

αR : E −→ E , αR(x) = y se (x, y) ∈ R .Le applicazioni αR sono applicazioni biunivoche di E in sè, sono dunque permuta-zioni su E, perciò

G = αR | R ∈ πè un insieme di permutazioni sull’insieme E. G è strettamente 2-transitivo su E:infatti siano (x1, x2) e (y1, y2) due coppie di elementi di E con x1 6= y1 e x2 6= y2.Le coppie (x1, x2), (y1, y2) individuano due punti distinti del piano π e pertantoesiste ed è unica la retta R ∈ π tale che (x1, x2) ∈ R e (y1, y2) ∈ R con R 6∈ G1∪G2

e quindi esiste ed è unica αR ∈ G tale che αR(xi) = yi con i = 1, 2.

Nota 2.1.10. I teoremi 2.1.8 e 2.1.9 valgono per E insieme finito. Se E nonè finito la stretta 2-transitività non basta più per ottenere un piano affine. Questosarà approfondito nel capitolo 3.

Nota 2.1.11. Nel piano affine π di ordine n individuato da un insieme Gstrettamente 2-transitvo sull’insieme E, |E| = n, ogni fascio di rette paralleledistinto dai fasci dei generatori è un insieme strettamente 1-transitivo su E. Di talifasci ne esistono esattamente n−1 e pertanto esistono n−1 insiemi di permutazioniregolari e distinti che agiscono su n elementi.

Approfondiamo lo studio dei gruppi e degli insiemi di permutazioni k-transitivi.

Teorema 2.1.12. Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E. G èstrettamente k-transitivo su E se e solo se G è k-transitivo su E e solo l’identitàfissa k elementi comunque scelti in E.

Dimostrazione. Sia G strettamente k-transitivo su E. E’ ovvio che G èk-transitivo su E; inoltre l’identità appartiene a G essendo questo un gruppo el’identità fissa sempre k elementi comunque scelti in E. Infine l’identità è l’unicoelemento di G che fissa k elementi di E perchè per ipotesi G è strettamente k-transitivo.

Viceversa sia G k-transitivo su E e tale che solo l’identità fissa k elementicomunque scelti in E. Consideriamo due k-uple di elementi distinti di E, siano


(x1, ..., xk) e (y1, ..., yk) con xi 6= xj, yi 6= yj per i 6= j. Poichè G è k-transitivoesiste α ∈ G tale che α(xi) = yi, i = 1, ... , k.

Se esistesse anche β ∈ G tale che β(xi) = yi, i = 1, ... , k, allora risulterebbeβ−1α ∈ G con β−1α(xi) = xi, i = 1, ... , k e pertanto dall’ ipotesi seguirebbeβ−1α = identità da cui α = β.

Nota 2.1.13. Il teorema 2.1.12 non vale se G non é un gruppo.

Definizione 2.1.14. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E e siaa ∈ E. Si chiama stabilizzatore di a l’insieme

Ga = α ∈ G | α(a) = a .Se a1, a2, ..., ah ∈ E si chiama stabilizzatore di a1, a2, ..., ah l’insieme

Ga1,...,ah= α ∈ G | α(ai) = ai con i = 1, ..., h .

Nota 2.1.15. Lo stabilizzatore di un elemento dipende dall’insieme di permu-tazioni G fissato ed ha un ruolo importante nello studio di G.

Nota 2.1.16. Se G è un gruppo lo stabilizzatore di un elemento è un sotto-gruppo di G e quindi di SymE.

Teorema 2.1.17. Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un in-sieme E e sia a ∈ E. Lo stabilizzatore Ga è un insieme (k-1)-transitivo suE − a .

Dimostrazione. Fissiamo due (k-1)-uple in E − a , (x1, x2, ..., xk−1),(y1, ..., yk−1) con xi 6= xj e yi 6= yj se i 6= j.

Poichè G è k-transitivo su E esiste α ∈ G tale che

α :

(a x1 x2 ... xk−1

a y1 y2 ... yk−1

)e siccome α(a) = a si ha α ∈ Ga e pertanto Ga è (k-1)-transitivo su E − a.

Nota 2.1.18. Se G è un gruppo k-transitivo su E e a ∈ E allora Ga è ungruppo (k-1)-transitivo su E − a .


Teorema 2.1.19. Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E, Gtransitivo su E e sia a ∈ E. Se Ga è (k-1)-transitivo su E−a (risp. strettamente(k-1)-transitivo su E − a), allora G è un gruppo di permutazioni k-transitivo suE (risp. strettamente k-transitivo su E).

Dimostrazione. Siano (x1, ..., xk) e (y1, ..., yk) due k-uple di elementi di Econ xi 6= xj, yi 6= yj se i 6= j. Poichè G è transitivo su E, esiste α ∈ G tale cheα(x1) = a ed esiste β ∈ G tale che β(y1) = a. Sia γ ∈ Ga tale che γ(α(xi)) = β(yi)con i = 2, .., k. La permutazione γ esiste certamente in Ga perchè Ga è (k-1)-transitivo su E − a ed è α(xi) 6= a e β(yi) 6= a per ogni i = 2, ..., k. EssendoG un gruppo si ha β−1γα ∈ G e β−1γα(xi) = yi per ogni i = 1, ..., k, quindi G èk-transitivo su E. Inoltre se Ga è strettamente (k-1)-transitivo su E−a, l’unicoelemento di G che fissa a, x2, .., xk è l’identità; infatti poiché G é k-transitivo su E,esiste δ ∈ G tale che δ(a) = a, δ(xi) = xi con i = 2, ..., k. La permutazione δ fissak-1 elementi di E −a e δ ∈ Ga, allora per la stretta (k-1)-transitività di Ga, δ èl’identità in Ga ossia fissa tutti gli elementi di E − a e poiché é anche δ(a) = asi ha che δ fissa tutti gli elementi di E , cioé é l’identità anche in G, allora per ilteorema 2.1.12 G è strettamente k-transitivo su E.

Corollario 2.1.20. Sia G un gruppo di permutazioni su E e a ∈ E. G éstrettamente k-transitivo su E se e solo se Ga é strettamente (k-1)-transitivo suE − a.

Dimostrazione. Segue dai teoremi 2.1.17 e 2.1.19.

Teorema 2.1.21. Sia G un gruppo di permutazioni su un insieme E, sia Gtransitivo su E. Se a, b ∈ E allora Ga è coniugato con Gb.

Dimostrazione. Si deve dimostrare che esiste α ∈ G tale che α−1Gbα = Ga.Il gruppo G è per ipotesi transitivo e pertanto esiste α ∈ G tale che α(a) = b.

Le permutazioni αGaα−1 fissano b, infatti per ogni γ ∈ Ga si ha αγα−1(b) =

αγ(a) = α(a) = b. Risulta pertanto αGaα−1 ⊂ Gb da cui Ga ⊂ α−1Gbα.

Analogamente le permutazioni di α−1Gbα fissano a e perciò risulta ancheα−1Gbα ⊂ Ga.

Resta così provato α−1Gbα = Ga.

Corollario 2.1.22. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E, sia Gtransitivo su E. Se a, b ∈ E allora Ga è isomorfo a Gb.

Dimostrazione. La relazione di coniugio che lega gli stabilizzatori determinal’isomorfismo.


Teorema 2.1.23. Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insie-me E finito, |E| = n. Siano x1, ..., xk elementi distinti di E. Si ha

|G| = |Gx1,...,xk| · n(n− 1) · ... · (n− k + 1)

Dimostrazione. Poichè lo stabilizzatore Gx1,...,xkè un sottogruppo di G, ba-

sta dimostrare che n(n − 1) · ... · (n − k + 1) è il suo indice in G. G è finitoe perciò l’indice di Gx1,...,xk

coincide con il numero dei laterali distinti. Fissatiα, β ∈ G, i due laterali αGx1,...,xk

e βGx1,...,xkcoincidono se e solo se α(xi) = β(xi)

con i = 1, ..., k, pertanto i laterali distinti sono tanti quante le possibili k-upledistinte di elementi distinti di E, ossia sono n(n− 1) · ... · (n− k + 1) da cui seguela tesi.

Teorema 2.1.24. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivosu un insieme E tale che 1E ∈ G e αβ ∈ G per ogni α, β ∈ G. Allora G è ungruppo.

Dimostrazione. Poichè G ⊂ SE, basta dimostrare che G è un sottogruppodi SE. Per ipotesi αβ ∈ G per ogni α , β ∈ G. Rimane da dimostrare che seα ∈ G allora anche α−1 ∈ G. Sia α ∈ G e sia α(xi) = yi, i = 1, ..., k; siccome G èstrettamente k-transitivo, esiste ed è unica β ∈ G tale che β(yi) = xi, i = 1, ..., k.

Per ipotesi βα ∈ G e risulta βα(xi) = xi, i = 1, ..., k e pertanto βα = 1E dacui β = α−1 e perciò α−1 ∈ G.

Teorema 2.1.25. Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un in-sieme E tale che 1E ∈ G. Se αβ ∈ G per ogni α, β ∈ G e solo l’identità fissa kelementi distinti di E, allora G è un gruppo strettamente k-transitivo su E.

Dimostrazione. Poichè G per ipotesi è chiuso rispetto al prodotto, per di-mostrare che è un gruppo basta dimostrare che ogni elemento di G ha l’inversoche sta in G. Sia α ∈ G, α(x1) = y1, ..., α(xk) = yk. Poichè G è k-transitivo esisteβ ∈ G tale che β(y1) = x1, ..., β(yk) = xk, inoltre per ipotesi βα ∈ G e βα fissagli elementi x1, x2, ..., xk; poichè per ipotesi solo l’identità fissa k elementi risultaβα = 1E da cui α−1 = β ∈ G e pertanto G è un gruppo.

Dimostriamo ora che G è strettamente k-transitivo.Per ipotesi G è k-transitivo, supponiamo per assurdo che esistano α, β ∈ G tali

che α(x1) = β(x1) = y1, ... , α(xk) = β(xk) = yk, allora β−1α ∈ G e β−1α fissa glielementi x1, ..., xk perciò per l’ipotesi fatta risulta β−1α = 1E da cui α = β.

Teorema 2.1.26. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Se Gè transitivo su E e se αβ = βα per ogni α, β ∈ G allora G è un gruppo abeliano eregolare su E.


Dimostrazione. Da inserire.

Esempio 2.1.27.Sn è strettamente n-transitivo su E.

Segue dalla definizione di Sn.

Esempio 2.1.28.Sn è strettamente (n-1)-transitivo su E.

Infatti fissate due (n-1)-uple (x1, ..., xn−1), (y1, ..., yn−1) di elementi distinti diE, la permutazione che trasforma gli xi negli yi muta anche l’unico elemento diE diverso dagli xi nell’unico elemento di E diverso dagli yi e pertanto questapermutazione è unica.

Esempio 2.1.29.An è strettamente (n-2)-transitivo su E.

Infatti siano x1, ..., xn−2 e y1, ..., yn−2 due (n-2)-uple di elementi distinti di E.Rimangono determinate le due n-uple (x1, ..., xn−2, a, b) e (y1, y2, ..., yn−2, c, d). InSn esistono α e β tali che

α :

(x1 ... xn−2 a by1 ... yn−2 c d

)β :

(x1 ... xn−2 a by1 ... yn−2 d c

)e queste sono le uniche permutazioni di Sn che trasformano x1, ..., xn−2 in y1, ..., yn−2.Inoltre una sola tra le permutazioni α e β è di classe pari perchè α−1β è una tra-sposizione (e quindi di classe dispari). Dunque in An esiste un’unica permutazioneche trasforma gli xi negli yi perciò An è strettamente (n-2)-transitivo su E.

Per i gruppi di permutazioni k-transitivi su n elementi, i casi k = n, k =n− 1, k = n− 2 sono considerati “banali”. Nel caso più generale in cui G siaun insieme non gruppo, si ha il seguente teorema.

Teorema 2.1.30. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme finito E,|E| = n ≥ 3. Se G è strettamente (n-2)-transitivo su E, allora G = An oppureG = Sn − An.

Dimostrazione. La dimostrazione si suddivide in due casi a seconda che lapermutazione identitá 1E appartenga oppure no all’insieme G.

Ricordiamo che An è un sottogruppo di indice due in Sn e i due laterali sonoAn e Sn − An.


(1) Sia 1E ∈ G. Si dimostra per induzione che G = An.Sia n = 3, allora G è strettamente 1-transitivo e perciò |G| = 3 e gli

elementi di G diversi dall’identità non fissano nessun elemento pertantorisulta

G =

1E,

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

)ossia G = An.

Sia n > 3; l’ipotesi induttiva è che ogni insieme di permutazioni stret-tamente ((n-1)-2)=(n-3)-transitivo su n-1 elementi contenente l’identità èil gruppo An−1.

Osserviamo che se G è strettamente (n-2)-transitivo su n elementisi ha |G| = n(n − 1) · ... · (n − (n − 2) + 1) = n!

2, ossia |G| = |An|. Per

dimostrare che G coincide con An basta quindi provare che G non contienepermutazioni di classe dispari. Per assurdo supponiamo che esista σ ∈ Gdi classe dispari; scriviamo σ come prodotto di cicli disgiunti σ = σ1 ·...·σh.Poichè σ è di classe dispari almeno uno dei cicli σi (o comunque un numerodispari di essi) è di classe dispari. I cicli sono disgiunti e quindi permutabilie pertanto non è restrittivo supporre che sia σ1 di classe dispari. Sia σ1 =(x1x2...x2k). Consideriamo il ciclo τ1 = (x1x2...x2k−1) e la permutazioneτ = τ1σ2...σh.

La permutazione τ è di classe pari e fissa almeno l’elemento x2k (perchènon compare in τ1 nè in σi, i = 2, ..., h) e pertanto τ ∈ An−1.

Lo stabilizzatore Gx2kè strettamente (n-3)-transitivo su E − x2k

e contiene l’identità; perciò, per l’ipotesi induttiva, si ha Gx2k= An−1.

Allora τ ∈ An−1 = Gx2k⊂ G da cui τ ∈ G e quindi τ ∈ G, σ ∈ G.

Ciò è assurdo in quanto τ e σ agiscono allo stesso modo sugli elementidi E − x2k−1, x2k perchè differiscono solo nei cicli τ1 e σ1 i quali hannoazioni diverse solo sugli elementi x2k−1 e x2k. Le permutazioni τ e σ sonodistinte e agiscono allo stesso modo su (n − 2) elementi di E, ma ciò èassurdo per la stretta (n-2)-transitività di G.

(2) Sia 1E /∈ G. Si dimostra che G = Sn − An.Sia α ∈ G; si ha α−1G insieme di permutazioni su E con 1E = α−1α ∈

α−1G e perciò per il caso (1) si ha α−1G = An, G = αAn. Non può essereαAn = An perchè si avrebbe G = An da cui 1E ∈ G contro l’ipotesi.Dunque αAn 6= An e pertanto αAn = Sn − An ossia G = Sn − An.


2. Considerazioni finali e problemi aperti

(1) Tutti i gruppi finiti strettamente k-transitivi, k ≥ 2, sono noti. Per K ≥ 4sono noti anche tutti i grupi strettamente k-transitivi non finiti.

(2) Per k = 2 e per k = 3 esistono esempi di insiemi di permutazioni G, finitie non finiti, contenenti la permutazione identitá i quali sono strettamentek-transitivi e non sono gruppi.

(3) Per k ≥ 4 non vi è alcun esempio di insieme strettamente k-transitivo,contenente la permutazione identitá che non sia un gruppo.

(4) A.Bonisoli, P.Quattrocchi hanno dimostrato che per qualunque k ≥ 4, seG è un insieme strettamente k-transitivo finito contenente la permutazio-ne identitá e tale che α−1 ∈ G per ogni α ∈ G allora G è un gruppo. Essoè il gruppo simmetrico oppure il gruppo alterno oppure il gruppo M4,11

oppure il gruppo M5,12. (“Each Invertible Sharply d-transitive Finite Per-mutation set with d ≥ 4 is a group”. Journal of Algebraic Combination,12, (2000 Olanda), p.p. 239-248.)

(5) Nel lavoro di Bonisoli-Quattrocchi sopra citato si dimostra anche che:• un insieme di permutazioni su 11 elementi strettamente 4-transitivo

contenente la permutazione identità è necessariamente il gruppo diMathieu M4,11.

• Un insieme di permutazioni su 12 elementi strettamente 5-transitivocontenente la permutazione identitá è necessariamente il gruppo diMathieu M5,12.

• Per k ≥ 6 non esistono insieme strettamente k-transitivi su un insie-me finito con almeno k + 3 elementi.

(6) Problema aperto: un insiemeG strettamente 3-transitivo finito contenentela permutazione identitá e tale che α−1 ∈ G per ogni α ∈ G é un gruppo?

CAPITOLO 3

Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi

1. Definizioni e teoremi

I gruppi strettamente 2-transitivi finiti sono tutti noti. Oltre ai gruppi ”bana-li” S2, S3, A4 esistono infinite famiglie di gruppi strettamente 2-transitivi che sonostate classificate da Zassenhaus nel 1936. I gruppi strettamente 2-transitivi nonbanali sono dati dalle trasformazioni affini su un quasicorpo associativo planareoppure su uno pseudocorpo; i primi (quelli su un quasicorpo associativo plana-re) determinano un piano affine ed inoltre non occorre l’ipotesi di planarità se ilquasicorpo associativo è finito.

Iniziamo con il dare un esempio di gruppo strettamente 2-transitivo.

Esempio 3.1.1.Sia K un campo, finito o no; per ogni a, b ∈ K, a 6= 0, l’applicazione definita daαa,b : K −→ K, αa,b(x) = ax+b è una permutazione. SiaG = αa,b | a ∈ K∗, b ∈ K.

L’insieme G così definito è un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivosu K, sottogruppo di Sym K.

(1) G è un gruppo• se αa,b, αc,d ∈ G allora si ha αa,bαc,d = αh,k con h = ac 6= 0, k = ad+b

e pertanto αa,bαc,d ∈ G;• α1,0 : x −→ x è elemento neutro per G;• se αa,b ∈ G allora αa−1,−a−1b ∈ G è la sua inversa.

(2) G è transitivoPer ogni x ∈ K esiste in G una permutazione che trasforma 0 in x,

infatti basta considerare un’applicazione del tipo αa,x con a 6= 0.Comunque presi x, y ∈ K, si considerino le permutazioni α, β ∈ G

tali che α(0) = x, β(0) = y, allora risulta βα−1(x) = y con βα−1 ∈ G epertanto G è transitivo su K.

(3) G0 è strettamente 1-transitivo su K− 0Gli elementi di G0 sono tutte e sole le permutazioni del tipo αa,0. Per

ogni x, y ∈ K∗ esiste ed è unica la permutazione α ∈ G0 tale che α(x) = y,essa è la permutazione αyx−1,0; pertanto lo stabilizzatore G0 è strettamente1-transitivo su K∗.

17

CAPITOLO 3 - Gruppi e insiemi di permutazioni 2-transitivi 18

Per il teorema 2.1.19 rimane dimostrato che G è strettamente 2-transitivo essendoverificate(2) e (3).

Il gruppo G dell’esempio 3.1.1 è indicato con AG(1,K) ed è detto gruppo delleaffinità sulla retta affine.

Definizione 3.1.2. SiaG un insieme di permutazioni strettamente 2-transitivosu E. L’insieme G è detto planare se comunque presi a, b ∈ E e comunque presoβ ∈ G con β(a) 6= b, esiste una ed una sola permutazione α ∈ G tale che α(a) = be α(x) 6= β(x) per ogni x ∈ E.

Il gruppo G = AG(1,K) é un esempio di gruppo strettamente 2-transitivoplanare. La proprietá di planaritá non vale per tutti gli insiemi strettamente 2-transitivi ma vale sempre nel caso in cui l’insieme sia finito.

Teorema 3.1.3. Se G è un insieme strettamente 2-transitivo su un insiemeE finito allora G è planare.

Dimostrazione. Sia |E| = n, siano a, b ∈ E, a 6= b, e sia β ∈ G tale cheβ(a) = c 6= b. Per la stretta 2-transitività, in G esistono esattamente n − 1permutazioni α tali che α(a) = b perchè fissato un qualunque elemento a ∈ E−ale permutazioni di G che trasformano (a, a) in (b, y) sono tante quante sono lepossibilità di scelta per y ossia sono n− 1 essendo y ∈ E − b.

Sia β−1(b) = d, ovviamente d 6= a per l’ipotesi β(a) 6= b e pertanto unapermutazione γ ∈ G tale che γ(a) = b può avere la stessa azione di β solo su xtale che x ∈ E − a, d.

Per la stretta 2-transitività di G, per ogni x ∈ E − a, d esiste una ed unasola permutazione che trasforma (a, x) in (b, β(x)) e pertanto le permutazioni γtali che γ(a) = b e γ(x) = β(x) sono n− 2. Rimane così dimostrato che in G vi èesattamente 1 = (n− 1)− (n− 2) permutazione che trasforma a in b e non ha lastessa azione di β su alcun elemento di E.

I prossimi risultati mettono in evidenza alcune proprietà di particolari elementidi un gruppo G strettamente 2-transitivo (non necessariamente planare).

Definizione 3.1.4. Sia G un gruppo di permutazioni su E, una permutazionej ∈ G si dice textbfinvoluzione se j2 = 1E, j 6= 1E.

Nota 3.1.5. Se α é una involuzione, da α2 = 1E segue che α(y) = x implicaα(x) = y ossia α é una simmetria.


Teorema 3.1.6. Le involuzioni di un gruppo G strettamente 2-transitivosono a due a due coniugate.

Dimostrazione. Ricordiamo anzitutto che due elementi g1 e g2 di un gruppoH si dicono coniugati se esiste x ∈ H tale che g2 = x−1g1x.

Siano j1 e j2 ∈ G involuzioni distinte, e sia

j1 =

(a b ...b a ...

), j2 =

(a c ...c a ...

)con b 6= c; queste involuzioni esistono certamente perchè G è strettamente

2-transitivo.Per la stretta 2-transitività di G, esiste γ ∈ G tale che

γ =

(a c ...a b ...

)e si ha γ−1j1γ = j2.

Nota 3.1.7. Sia G un gruppo strettamente 2-transitivo, allora:• in G esiste almeno una involuzione, basta prendere g ∈ G tale che g(a) =b, g(b) = a con a 6= b;

• una involuzione j ∈ G ha al più un punto fisso perchè se ne avesse più diuno agirebbe come l’identità;

• seG è su E con |E| = n dispari allora ogni involuzione diG ha esattamenteun punto fisso.

Teorema 3.1.8. Sia G un gruppo strettamente 2-transitivo, si possono averedue casi:

(1) tutte le involuzioni di G hanno un elemento fisso;(2) tutte le involuzioni di G sono prive di elementi fissi.

Dimostrazione. Sia j1 ∈ G una involuzione con un elemento fisso, j1(x) = x.Ogni altra involuzione j2 ∈ G è coniugata a j1 tramite una opportuna permutazioneγ ∈ G; posto j2 = γ−1j1γ si ha che j2 fissa l’elemento γ−1(x). Si conclude pertantoche in G o tutte le involuzioni fissano un elemento o nessuna involuzione fissa unelemento.

Esempio 3.1.9.Sia G = AG(1,K).

(1) Se K ha caratteristica 2 allora le involuzioni di G sono prive di punti fissi.Infatti in questo caso le involuzioni sono le applicazioni g(x) = x+ b conb ∈ K∗ e queste sono prive di punti fissi.


(2) Se K ha caratteristica diversa da 2, le involuzioni sono le applicazionih(x) = −x+ b con b ∈ K e queste hanno tutte un punto fisso, è l’elementox = b(2u)−1 dove u è l’unità del campo K.

Teorema 3.1.10. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivosull’insieme E e tale che tutte le involuzioni hanno un elemento fisso. Allora perogni x ∈ E esiste ed è unica l’involuzione j ∈ G tale che j(x) = x.

Dimostrazione. Iniziamo con il dimostrare l’esistenza: sia x ∈ E e sia j ∈ Guna involuzione, per ipotesi j fissa un elemento di E, sia j(a) = a. Consideriamoγ ∈ G tale che γ(x) = a, risulta γ−1jγ(x) = γ−1j(a) = γ−1(a) = x con γ−1jγinvoluzione di G.

Dimostriamo ora l’unicità: supponiamo per assurdo che esistano due involuzio-ni distinte j1 e j2 che fissano x ∈ E. Sia a ∈ E, a 6= x, sia j1(a) = b, j2(a) = c; per lastretta 2-transitività diG ed essendo j1(x) = j2(x) = x, si ha b 6= c, a 6= b, a 6= c. Leinvoluzioni j1 e j2 sono tra loro coniugate tramite γ ∈ G tale che γ(a) = a, γ(b) = c,ossia j2 = γ−1j1γ. Risulta j2(x) = γ−1j1γ(x) = x da cui j1(γ(x)) = γ(x) e perciòdeve essere γ(x) = x essendo j1 6= id; ma allora γ ∈ G, γ(a) = a, γ(x) = x epertanto per la stretta 2-transitività di G risulta γ = 1E ma ciò è assurdo perchèγ(c) = b con c 6= b.

Teorema 3.1.11. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivosu un insieme E. Il prodotto di due involuzioni distinte di G è una permutazionedi G priva di punti fissi.

Dimostrazione. Siano j1, j2 ∈ G due involuzioni, j1 6= j2; ovviamente j1j2 ∈G. Supponiamo per assurdo che sia j1j2(x) = x con x ∈ E; allora risulta j1(x) =j2(x). Sia j1(x) = j2(x) = y, per il teorema 3.1.10 deve essere x 6= y ma alloraj1(x) = j2(x) = y e j1(y) = j2(y) = x e pertanto j1 = j2 poichè le permutazioniagiscono allo stesso modo su due elementi diversi; ciò è assurdo per la stretta2-transitivitá di G e per l’ipotesi j1 6= j2.

Nota 3.1.12. Il prodotto di due involuzioni di G è un elemento di G ma nonè detto sia ancora una involuzione di G.

Il seguente teorema richiama la condizione che caratterizza la condizione di pla-narità per i gruppi ma non assicura tale proprietà perchè non assicura la condizionedi unicità.


Teorema 3.1.13. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivosu un insieme E. Comunque presi a, b ∈ E, a 6= b, esiste α ∈ G tale che α(a) = be α(x) 6= x per ogni x ∈ E.

Dimostrazione. Siano a, b ∈ E, a 6= b; dividiamo la dimostrazione in duecasi:

(1) Sia G tale che tutte le involuzioni hanno un elemento fisso. Per il teorema3.1.10 esiste ed è unica l’involuzione j1 ∈ G tale che j1(a) = a. Poichè Gè strettamente 2-transitivo, esiste ed è unica l’involuzione j2 ∈ G tale chej2(a) = b, j2(b) = a. Allora risulta j2j1 ∈ G, j2j1(a) = b e j2j1(x) 6= x perogni x ∈ E per il teorema 3.1.11.

(2) Sia G tale che tutte le involuzioni sono prive di punti fissi.Sia j ∈ G tale che j(a) = b, j(b) = a; per la stretta 2-transitività di Gla permutazione j esiste, è unica, è una involuzione e per l’ipotesi fatta siha j(x) 6= x per ogni x ∈ E.

I seguenti teoremi permettono di approfondire lo studio dei gruppi strettamente2-transitivi planari.

Teorema 3.1.14. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivoplanare su un insieme E e tale che tutte le involuzioni sono prive di punti fissi.

Allora si ha:(1) Ogni elemento di G privo di punti fissi è una involuzione.(2) Detto J l’insieme delle involuzioni e detto A = J ∪ 1E, A è un

sottogruppo di G, abeliano, normale in G, regolare su E.

Dimostrazione.(1) Sia α ∈ G, α(x) 6= x per ogni x ∈ E e sia α(a) = b con a 6= b. Sia j ∈ G

tale che j(a) = b, j(b) = a; la permutazione j è una involuzione e perl’ipotesi fatte j(x) 6= x per ogni x ∈ E. Poichè G è planare, in G esiste edè unica la permutazione che manda a in b e che non fissa nessun elementodi E e pertanto deve essere α = j ossia α è una involuzione.

(2) Sia A = J ∪ 1E.• A è un sottogruppo di G. Infatti A è chiuso rispetto al prodotto perchèj j = 1E ∈ A per ogni j ∈ A, inoltre se j1 6= j2 la permutazione j1 j2è priva di punti fissi e per quanto provato al punto (1) è allora unainvoluzione e pertanto j1 j2 ∈ A. Infine se j ∈ A anche j−1 = j ∈ A.

• A è abeliano. Infatti siano j1, j2 ∈ A, si ha j1 j2 = j3 ∈ A perchè Aè sottogruppo e perciò j3 = j−1

3 , allora j1j2 = j3 = j−13 = (j1j2)

−1 =j−12 j−1

1 = j2j1.


• A è normale in G. Infatti sia γ ∈ G, j ∈ A. Se j = 1E allo-ra γ−11Eγ = 1E ∈ A; se j 6= 1E allora γ−1jγ è la permutazioneconiugata di una involuzione e quindi γ−1jγ ∈ A.

• A è regolare su E. Infatti siano a, b ∈ E. Se a = b allora l’unicoelemento di A che fissa il punto a è l’identità 1E. Se a 6= b allora inA esiste l’involuzione j tale che j(a) = b, j(b) = a e per la planaritàdi G la permutazione j è unica.

Teorema 3.1.15. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivoplanare su un insieme E e tale che tutte le involuzioni hanno un punto fisso. SiaA l’insieme costituito dall’identità e da tutti e soli gli elementi di G privi di puntifissi; sia J l’insieme di tutte le involuzioni di G e sia j1 ∈ J una qualunqueinvoluzione. Allora si ha:

(1) A = j1J = JJ ;(2) A è un sottogruppo di G, abeliano, normale in G, regolare su E.

Dimostrazione.(1) Per il teorema 3.1.11 si ha j1J ⊂ A; dimostriamo che A ⊂ j1J . Sia

α ∈ A; se α = 1E allora α = j1 j1 ∈ j1J ; se α 6= 1E sia α(a) = b cona, b ∈ E, a 6= b. Sia j ∈ J tale che j(a) = j1(b) da cui j1j(a) = b, inoltreda a 6= b segue j1j 6= 1E, j1 6= j e pertanto per il teorema 3.1.11 si haj1j(x) 6= x per ogni x ∈ E. Poichè G è planare, in G esiste ed è unicala permutazione che manda a in b e non fissa nessun elemento di E equindi j1j = α da cui α ∈ j1J . Rimane così provato che A = j1J ; questauguaglianza non dipende dalla scelta di j1 ∈ J e pertanto

A =⋃

ji∈J

jiJ = JJ .

(2) • A è un sottogruppo di G. Infatti A è chiuso rispetto al prodotto perchèj1j2 · j1j3 = j4j3 ∈ JJ = A (si ricordi che j1j2j1 è una involuzioneperchè è una permutazione coniugata di una involuzione).Inoltre se j1j2 ∈ A si ha (j1j2)

−1 = j−12 j−1

1 = j2j1 ∈ JJ = A.• A è abeliano. Infatti siano j1j2, j1j3 ∈ A, si ha j1j2 · j1j3 ∈ A e perciòj1j2 · j1j3 = j1j4 = j1j

−14 = j1(j2j1j3)

−1 = j1j−13 j−1

1 j−12 = j1j3 · j1j2.

• A è normale in G. Infatti sia γ ∈ G, j1j ∈ A; si ha γj1jγ−1 =

γj1γ−1γjγ−1 = j2j3 ∈ JJ = A perchè γj1γ−1 e γjγ−1 sono involu-

zioni essendo coniugate di involuzioni.• A è regolare su E. Infatti siano a, b ∈ E. Se a = b allora l’unico

elemento di A che fissa a è l’identità 1E = j1j1 ∈ JJ = A. Se a 6= bsia j ∈ J l’involuzione tale che j(a) = j1(b); risulta j1j(a) = b conj1j ∈ JJ = A e inoltre j1j è unica per la planarità di G.


Corollario 3.1.16. Sia G un gruppo strettamente 2-transitivo planare su E.In G esiste un sottogruppo A che risulta abeliano, normale in G, regolare su E.

Dimostrazione. Segue dai teoremi 3.1.14 e 3.1.15

Quali sono le strutture algebriche che caratterizzano i gruppi stret-tamente 2-transitivi? Si dimostra che:

(1) i gruppi strettamente 2-transitivi sono caratterizzati dalla struttura alge-brica di pseudocorpo;

(2) i gruppi strettamente 2-transitivi planari sono caratterizzati dalla strut-tura algebrica di quasicorpo associativo planare.

Come risulta dalla definizione di pseudocorpo e di quasicorpo associativo diseguito riportate, la struttura di pseudocorpo è più debole di quella di quasicorpoassociativo.

Non si conoscono esempi di pseudocorpi che non siano quasicorpi associativimentre sono noti quasicorpi associativi non planari.

Probema aperto: esistono pseudocorpi che non siano quasicorpi as-sociativi?

Richiamiamo le definizioni delle strutture algebriche sopra citate.

Definizione 3.1.17. Sia E un insieme non vuoto e “ +” una operazione binariainterna ad E. La struttura (E,+) si dice cappio se:

(1) Esistono e sono unici x, y ∈ E tali che a + x = b, y + a = b per ognia, b ∈ E.

(2) Esiste 0 ∈ E tale che 0 + a = a+ 0 = a per ogni a ∈ E.

Definizione 3.1.18. Sia E un insieme non vuoto e siano “ +” e “” dueoperazioni binarie interne ad E. La struttura (E,+, ) si dice pseudocorpo se:

(1) (E,+) è un cappio, sia 0 l’elemento neutro;(2) per ogni a, b, c ∈ E si ha (a + b) + c = hb,c a + (b + c) con hb,c ∈ E e

dipendente solo da b e da c (questa proprietà è detta pseudoassociativa);(3) (E∗, ) è un gruppo, E∗ = E − 0;(4) 0 a = 0 per ogni a ∈ E;(5) a (b+ c) = a b+ a c per ogni a, b, c ∈ E.


Definizione 3.1.19. Sia E un insieme non vuoto e siano “+” e “” due ope-razioni binarie interne ad E.

La struttura (E,+, ) si dice quasicorpo associativo se:(1) (E,+) è un gruppo abeliano, sia 0 l’elemento neutro;(2) (E∗, ) è un gruppo, E∗ = E − 0;(3) 0 a = 0 per ogni a ∈ E;(4) a (b+ c) = a b+ a c per ogni a, b, c ∈ E.

Definizione 3.1.20. Sia E un insieme non vuoto e siano “ +” e “” dueoperazioni binarie interne ad E. La struttura (E,+, ) si dice quasicorpo associativoplanare se:

(1) (E,+, ) è un quasicorpo associativo.(2) Per ogni a, b, c ∈ E, a 6= b, esiste x ∈ E tale che a x = b x+ c.

Valgono i seguenti teoremi di cui non riportiamo la dimostrazione.

Teorema 3.1.21. Ogni quasicorpo associativo finito è planare.

Teorema 3.1.22. Sia G un gruppo di permutazione strettamente 2-transitivosu un insieme E. Si possono definire in E due operazioni “+” e “” tali che (E,+, )risulti uno pseudocorpo e gli elementi di G si possono rappresentare nella forma

x −→ a x+ b, a ∈ E∗, b ∈ E.

Viceversa sia (E,+, ) uno pseudocorpo, sia E∗ = E − 0 e sia

G = α | α(x) = a x+ b, a ∈ E∗, b ∈ E .

G è un gruppo di permutazioni strettamente 2-transitivo su E.

Teorema 3.1.23. Sia G un gruppo di permutazioni su E, G strettamente2-transitivo e planare. Si possono definire in E due operazioni “+” e “ ” tali che(E,+, ) risulti un quasicorpo associativo planare e gli elementi di G si possonorappresentare nella forma

x −→ a x+ b, a ∈ E∗, b ∈ E.


2. Esempi di Quasicorpi associativi non planari

Concludiamo il capitolo riportando tre esempi di quasicorpi associativi nonplanari.

Esempio 3.2.1.L’esempio è dovuto a Helmut Karzel.

Consideriamo il campo dei numeri reali (R,+, ·) e fissiamo un suo ampliamentotrascendente

R(t) =

a0 + a1t+ ...+ ant

n

b0 + b1t+ ...+ bmtm| n,m ∈ N, bi non tutti nulli

.

A partire dal campo (R(t),+, ·) costruiamo una famiglia di quasicorpi associativinon planari deformando l’operazione di moltiplicazione.

Notiamo che se x ∈ R(t)∗ allora x può essere rappresentato nella forma

x =p(t)

q(t)=a0 + a1t+ ...+ ant

n

b0 + b1t+ ...+ bmtmcon an, bm 6= 0

e con p(t), q(t) 6= 0 e primi fra loro. Definiamo allora

x =|an||bm|

.

Se consideriamo l’applicazione ϕ : (R(t)∗, ·) −→ (R∗, ·) tale che ϕ(x) = x essa è unomomorfismo di gruppi perchè banalmente ϕ(x1x2) = ϕ(x1)ϕ(x2), inoltre ϕ è unisomorfismo se e solo se restringiamo l’immagine a (R+, ·). Fissiamo a ∈ R+, a 6= 1;per ogni x ∈ R(t) definiamo 0 x = 0 e per ogni x ∈ R(t)∗, per ogni y ∈ R(t)definiamo

x y =f1(t)

f2(t) g1(t)

g2(t)=f1(t)

f2(t)· g1(t+ lgax)

g2(t+ lgax).

Proviamo che la struttura (R(t),+, ) è un quasicorpo associativo non planare.(R(t),+, ) è un quasicorpo associativo. Infatti:(1) (R(t),+) è un gruppo perché l’operazione di addizione non è stata modi-

ficata.(2) Per le proprietà dei logaritmi si ha che (R(t)∗, ) è un gruppo:

• è una operazione binaria interna;• esiste l’elemento neutro ed è il polinomio costante 1;• esiste l’elemento inverso:

per ogni x ∈ R(t)∗ se x =f1(t)

f2(t)allora x−1 =

f2(t− lgax)

f1(t− lgax);

• vale la proprietà associativa.(3) Dalla definizione posta si ha che per ogni x ∈ R(t) risulta 0 x = 0.(4) Vale la proprietà distributiva a sinistra, come si può facilmente verificare.


Il quasicorpo (R(t),+, ) non è planare. Per dimostrarlo basta determinare un’e-quazione del tipo

b x = c x+ d con b, c, d ∈ R(t) e b 6= c

che non ammette soluzioni in R(t).Una tale equazione è ad esempio 2t x = x+ 1.Essa è a coefficienti in R(t), inoltre 2t 6= 1 perchè t è un elemento trascendente

su R quindi t 6= 12∈ Q.

Per assurdo supponiamo che l’equazione 2t x = x + 1 ammetta soluzione inR(t), sia

2t p(t)q(t)

=p(t)

q(t)+ 1

allora è

2t · p(t+ lga2)

q(t+ lga2)=p(t)

q(t)+ 1

cioè(2t)p(t+ lga2)q(t)− q(t)q(t+ lga2) = p(t)q(t+ lga2)

da cuiq(t)((2t)p(t+ lga2)− q(t+ lga2)) = p(t)q(t+ lga2).

Ne segue che q(t) divide p(t)q(t+lga2), ma q(t) non divide p(t) perciò q(t) divideq(t+ lga2) e poiché q(t) e q(t+ lga2) hanno lo stesso grado si ha q(t) = λq(t+ lga2)con λ costante.

Inoltre q(t) e q(t+ lga2) hanno il medesimo coefficiente per il termine di gradomassimo, quindi λ = 1. Perciò q(t) = q(t+ lga2) = costante.

Allora se confrontiamo i gradi dei due membri dell’uguaglianza

(2t)p(t+ lga2)q(t)− q(t)q(t+ lga2) = p(t)q(t+ lga2)

ottenuta in precedenza abbiamo 1 + deg(p) = deg(p) e ciò è assurdo.

(R(t),+, ) individua una famiglia di quasicorpi associativi non planari; alvariare di a in R+, a 6= 1, otteniamo infiniti esempi.

OsservazioneLa non planarità è determinata dalla deformazione della moltiplicazione, ma co-

me vedremo nei prossimi esempi è indipendente dalla scelta dell’uso del logaritmo.

Esempio 3.2.2.Sia K un campo di caratteristica zero e sia K(t) un suo ampliamento trascendente

K(t) =

a0 + a1t+ ...+ ant

n


.


Per ogni x ∈ K(t)∗ con x = f1(t)f2(t)

sia ix = (deg(f1)− deg(f2)) ∈ Z.Definiamo in K(t) una operazione “” nel seguente modo.Per ogni x ∈ K(t) definiamo 0 x = 0. Fissato h ∈ K∗; per ogni x ∈ K(t)∗, e

per ogni y ∈ K(t)∗ definiamo

x y =f1(t)

f2(t) g1(t)

g2(t)=f1(t)

f2(t)· g1(t+ hix)

g2(t+ hix).

La struttura (K(t),+, ) è un quasicorpo associativo non planare; un’equazioneche non trova soluzione in K(t) è ad esempio

t x = x+ 1.

La dimostrazione è analoga a quella dell’esempio 3.2.1 .

OsservazioneSe scegliamo h = 1 ritroviamo l’esempio 3.2.1 .

Esempio 3.2.3.Sia K un campo di caratteristica zero e sia K(t) un suo ampliamento trascendente

K(t) =

a0 + a1t+ ...+ ant

n


.

Per ogni x ∈ K(t)∗ con x = f1(t)f2(t)

sia ix = (deg(f1)− deg(f2)) ∈ Z.Definiamo in K(t) una operazione “” nel seguente modo. Per ogni x ∈ K(t)∗

definiamo 0 x = 0. Sia fissato k ∈ K∗ tale che kn 6= 1 per ogni n ∈ Z∗; per ognix ∈ K(t)∗ e per ogni y ∈ K(t)∗ definiamo

f1(t)

f2(t) g1(t)

g2(t)=f1(t)

f2(t)· g1(tk

ix)

g2(tkix).

La struttura (K(t),+, ) è un quasicorpo associativo non planare; un’equazioneche non trova soluzione in K(t) è ancora

t x = x+ 1.

La dimostrazione è analoga a quella dell’esempio 3.2.1 .

CAPITOLO 4

Gruppi e insiemi di permutazioni 3-transitivi

1. Introduzione

Sono esempi di gruppi strettamente 3-transitivi i gruppi S3, S4, A5.Tutti gli altri esempi di gruppi e insiemi strettamente 3-transitivi noti che

agiscono su un insieme E sono tali che |E| = pn + 1, p primo, n ∈ N− 0. Sonotutti esempi ottenuti a partire da un campo K con |K| = pn e pertanto richiamiamoalcune proprietà dei campi finiti.

(1) Se K è un campo finito allora |K| = pn con p primo, n ∈ N− 0.(2) Per ogni p primo e n ∈ N − 0 esiste uno ed uno solo campo con pn

elementi indicato con GF (pn).(3) GF (pn) è il campo di spezzamento del polinomio xpn − x ∈ Zp[x].(4) Il gruppo moltiplicativo (K∗, ·) di un campo finito K è ciclico:

K∗ =< σ >=1, σ, ..., σpn−1

.

(5) Se K = GF (pn) allora il gruppo AutK degli automorfismi di K è ciclicodi ordine n, un generatore è l’automorfismo σ : K −→ K, σ(x) = xp dettoautomorfismo di Frobenius; AutK =< σ >

Definizione 4.1.1. Sia (K,+, ·) un campo; un elemento x ∈ K∗ = K− 0 èdetto quadrato se esiste y ∈ K∗ tale che x = y2.

Si osservi che anche lo zero di K può essere considerato un quadrato, ma quelliche interessano sono i quadrati non nulli perchè questi formano un sottogruppo di(K∗, ·).

Per i campi finiti vale il seguente teorema.

Teorema 4.1.2. Sia K = GF (pn) un campo finito. Se K ha caratteristicap = 2 allora tutti gli elementi sono quadrati. Se K ha caratteristica p 6= 2 allora ilsottogruppo moltiplicativo dei quadrati ha indice 2 in K∗.

Dimostrazione. Sia p = 2, gli elementi del campo soddisfano l’equazionex2n

= x da cui x = (x2n−1)2 e pertanto x è un quadrato per ogni x ∈ K.

Sia p 6= 2 e sia σ il generatore del gruppo ciclico (K∗, ·). I quadrati del camposono tutte e sole le potenze di σ ad esponente pari. Infatti σ2h è il quadrato di σh,

28


inoltre se supponiamo per assurdo che esista σ2h+1 = a2 con a ∈ K∗, si ha a = σt

da cui σ2h+1 = (σt)2 = σ2t e pertanto deve essere (2h + 1)− 2t ≡ 0 mod (pn − 1)ossia 2(h − t) + 1 ≡ 0 mod (pn − 1) e ciò è assurdo perchè 2(h − t) + 1 è disparimentre pn − 1 è pari. Dunque il sottogruppo H dei quadrati di K∗ è costituito datutte e sole le potenze di σ ad esponente pari perciò gli unici laterali di H rispettoal gruppo (K∗, ·) sono H e σH ossia H ha indice 2 in K∗ e |H| = pn−1

2.

Prima di passare alla costruzione di insiemi e gruppi strettamente 3-transitivi,osserviamo che per noti teoremi non esistono insiemi di permutazioni abeliani etransitivi che non siano gruppi strettamente 1-transitivi e pertanto la ricerca digruppi e insiemi strettamente 3-transitivi va condotta in ambiti noncommutativi.

2. Il gruppo proiettivo lineare PGL(2,K)

Sia K un campo qualsiasi e sia ∞ 6∈ K. Posto E = K ∪ ∞ sia

G =

α |α(x) =

ax+ b

cx+ d, a, b, c, d ∈ K, ad− bc 6= 0

l’insieme delle applicazioni di E in E ottenute estendendo le operazioni del

campo K all’elemento ∞ in modo tale che

∞ −→ a

cse c 6= 0, ∞→∞ se c = 0, (−d

c) −→∞.

L’insieme G risulta essere un sottogruppo di Sym E strettamente 3-transitivosu E; viene indicato con PGL(2,K) ed è detto gruppo proiettivo lineare di grado2 sul campo K.

L’elemento ad − bc ∈ K∗ si dice il determinante della permutazione; se α ∈PGL(2,K) il suo determinante è indicato con det(α).

Per il teorema 2.1.19, dividiamo nelle seguenti tre parti la dimostrazione cheG = PGL(2,K) è un gruppo strettamente 3-transitivo su E = K ∪ ∞ .

(1) PGL(2,K) è un gruppo;(2) PGL(2,K) è transitivo su E;(3) G∞, stabilizzatore di∞ ∈ E, è strettamente 2-transitivo su K = E−∞ .

Dimostrazione.


(1) G = PGL(2,K) è un sottogruppo di Sym E.Siano α, β ∈ G, per le proprietà dei determinanti risulta det(αβ) =det(α)det(β) e poichè det(α) 6= 0, det(β) 6= 0 e K privo di divisori del-lo zero, risulta det(αβ) 6= 0 e pertanto αβ ∈ G. Inoltre per ogni α ∈ Gpoichè det(α−1) = 1

det(α)si ha che α−1 ∈ G. Rimane così provato che

G = PGL(2,K) è un gruppo.(2) G = PGL(2,K) è transitivo su E.

Iniziamo con il dimostrare che per ogni y ∈ E esiste α ∈ G tale cheα(∞) = y. Se y = ∞ ogni α ∈ G,α(x) = ax + b, a ∈ K∗, è tale cheα(∞) = ∞. Se y 6= ∞ ogni α ∈ G, α(x) = yx+b

x, b ∈ K∗, è tale che

α(∞) = y.Comunque presi x, y ∈ E siano α, β ∈ G tali che α(∞) = x, β(∞) = y;risulta βα−1(x) = y con βα−1 ∈ G perchè G è un gruppo e pertantoG = PGL(2,K) è transitivo su E.

(3) G∞ è strettamente 2-transitivo su K.Dalla definizione di G, segue che G∞ = α | α(x) = ax+ b, a ∈ K∗ è ilgruppo affine AG(1,K) che è strettamente 2-transitivo su K come dimo-strato nel capitolo 3.Rimane pertanto dimostrato che G = PGL(2,K) è un gruppo stretta-mente 3-transitivo su E = K ∪ ∞.

3. Il gruppo proiettivo semilineare PΓL(2,K)

Sia K un campo qualsiasi, ∞ /∈ K, E = K ∪ ∞. Per ogni automorfismoσ ∈ AutK prolunghiamo l’azione di σ a tutto E ponendo σ(∞) = ∞.

Sia

Γ =

x −→ aσ(x) + b

cσ(x) + d, a, b, c, d ∈ K, ad− bc 6= 0, per ogni σ ∈ AutK

=

= ασ | α ∈ PGL(2,K), per ogni σ ∈ AutK

l’insieme delle applicazioni di E in E ottenute estendendo le operazioni delcampo K all’elemento ∞ in modo tale che

∞ −→ a

cse c 6= 0, ∞→∞ se c = 0, (−d

c) −→∞.

L’insieme Γ risulta essere un sottogruppo di Sym E 3-transitivo su E (non stret-tamente); viene indicato con PΓL(2,K) ed è detto gruppo proietivo semilineare.


L’elemento ad − bc ∈ K∗ si dice determinante della permutazione; se γ ∈PΓL(2,K) il suo determinante è indicato con det(γ).

Dimostriamo che:(1) Γ è un gruppo;(2) Γ è 3-transitivo su E.

Dimostrazione.(1) Dimostriamo che Γ è un sottogruppo di Sym E.

Siano α = ασ, β = βτ ∈ Γ con α, β ∈ PGL(2,K) e σ, τ ∈ AutK.Si osservi che poichè gli automorfismi di un campo formano un gruppo,

se σ, τ ∈ Aut(K) allora στ ∈ AutK. Inoltre per ogni α ∈ PGL(2,K),indicato det(α) = ∆, risulta det(σα) = σ(det(α)) = σ(∆) e pertanto perle proprietà degli automorfismi, se ∆ 6= 0 anche σ(∆) 6= 0 da cui σα ∈ Γe quindi, oltre a ασ ∈ Γ, si ha anche σα ∈ Γ.

Se dunque ασ = θ, α(x) = a1x+b1c1x+d1

, β(x) = a2x+b2c2x+d2

, risulta

ασ · βτ : x −→ a3θ(x) + b3c3θ(x) + d3

con a3, b3, c3, d3 ∈ K, a3d3 − b3c3 ∈ K∗ e pertanto ασ · βτ ∈ Γ.Sia ora ασ ∈ Γ, si ha α−1 ∈ PGL(2,K) e perciò per le osservazioni

precedenti si ha (ασ)−1 = σ−1α−1 ∈ Γ.Rimane così provato che Γ = PΓL(2,K) è un gruppo.

(2) Poichè AutK è un gruppo, sia 1K l’automorfismo identico su K la cuiazione è stata estesa a tutto E. In PΓL(2,K) esistono le applicazioniα1K con α ∈ PGL(2,K) e pertanto PGL(2,K) ⊂ PΓL(2,K). Ab-biamo dimostrato che PGL(2,K) è strettamente 3-transitivo ed essen-do PGL(2,K) 6= PΓL(2,K), PGL(2,K) ⊂ PΓL(2,K) si conclude cheΓ = PΓL(2,K) è 3-transitivo su E ma non strettamente 3-transitivo.

Teorema 4.3.1. Sia K un campo qualsiasi e sia ∞ /∈ K. Posto E = K∪∞si ha PGL(2,K) sottogruppo normale di PΓL(2,K).

Dimostrazione. PGL(2,K) è un gruppo e poichè per ogni α ∈ PGL(2,K)si ha α1K ∈ PΓL(2,K) con 1K automorfismo identità, risulta PGL(2,K) sotto-gruppo di PΓL(2,K).

Siano α ∈ PGL(2,K) e βσ ∈ PΓL(2,K), si ha (βσ)α(βσ)−1 = βσασ−1β−1.Ma σ e σ−1, essendo automorfismi di K, modificano solo i coefficienti di α, mentregli effetti degli automorfismi sull’incognita si annullano e pertanto (βσ)α(βσ)−1 ∈PGL(2,K) ossia PGL(2,K) è normale in PΓL(2,K).


Evidenziamo ora un importante sottogruppo di PGL(2,K) (e quindi di PΓL(2,K))fondamentale nella costruzione e nello studio dei gruppi e degli insiemi strettamen-te 3-transitivi noti.

4. Il gruppo proiettivo lineare speciale PSL(2,K)

Sia K un campo qualsiasi e sia ∞ 6∈ K. Posto E = K ∪ ∞, sia J =α | α(x) = ax+b

cx+d, a, b, c, d ∈ K, ad− bc quadrato di K∗ l’insieme delle applicazio-

ni di E in E definite estendendo le operazioni del campo K all’elemento ∞ inmodo tale che per ogni α ∈ J sia

α(∞) = ac

se c 6= 0, α(∞) = ∞ se c = 0, α(−dc) = ∞ .

L’insieme J è contenuto nel gruppo PGL(2,K) e poichè in K∗ il prodotto di duequadrati è un quadrato e l’inverso di un quadrato è un quadrato, si ha che J èun gruppo indicato con PSL(2,K) e detto gruppo proiettivo lineare speciale sulcampo K. Ovviamente PSL(2,K) è sottogruppo di PGL(2,K) ed è sottogruppodi PΓL(2,K).

Il gruppo PSL(2,K) è sottogruppo normale di PΓL(2,K).Infatti siano α ∈ PSL(2,K) e βσ ∈ PΓL(2,K), si ha (βσ)α(βσ)−1 = βσασ−1β−1.Posto det(β) = ∆1 e det(α) = ∆2 si ha σ(∆2) quadrato perchè ogni automorfismotrasforma quadrati di K∗ in quadrati di K∗, inoltre risulta

det((βσ)α(βσ)−1) = det(β)det(σασ−1)det(β−1) =

= det(β)det(σασ−1)det(β−1) = ∆1σ(∆2)∆−11 = σ(∆2)

quadrato di K∗.Si conclude pertanto (βσ)α(βσ)−1 ∈ PSL(2,K) e quindi PSL(2,K) sottogrup-

po normale in PΓL(2,K).

Nota 4.4.1. PSL(2,K) non è 3-transitivo su E = K∪∞ perchè è contenutopropriamente in PGL(2,K) che è strettamente 3-transitivo. Se K è finito alloraPSL(2,K) è un gruppo di indice due in PGL(2,K),


5. Esempi di insiemi (non gruppi) strettamente 3-transitivi

Sia K = GF (pn) un campo finito e sia ∞ /∈ K; sia H = x2 | x ∈ K∗ ilsottogruppo moltiplicativo dei quadrati di K∗. Sia σ ∈ AutK, E = K ∪ ∞,estendiamo l’azione di σ a tutto E ponendo σ(∞) = ∞.

Sia G l’insieme delle permutazioni su E così definito:

G = G(pn, σ) =

α | α(x) =

ax+ b

cx+ dse ad− bc ∈ H;

α(x) =aσ(x) + b

cσ(x) + dse ad− bc ∈ K∗ −H; per ogni a, b, c, d ∈ K

ossia G = PSL(2, pn) ∪ βσ | β ∈ PGL(2, pn), detβ ∈ K∗ −H .L’insieme G è strettamente 3-transitivo su E.

Dimostrazione. Notiamo innanzitutto che σPGL(2, pn) = PGL(2, pn)σ per-chè PGL(2, pn) è sottogruppo normale di PΓL(2, pn) e inoltre σ ∈ PΓL(2, pn)

perché σ : x −→ 1·σ(x)+00σ(x)+1

.

Siano (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) due terne di elementi distinti di E. Poichè PGL(2, pn)è strettamente 3-transitivo su E, esiste ed è unica α ∈ PGL(2, pn) tale che α(x1) =0, α(x2) = 1, α(x3) = ∞ ed esiste ed è unica β ∈ PGL(2, pn) tale che β(0) =y1, β(1) = y2, β(∞) = y3.

La permutazione βα ∈ PGL(2, pn) è tale che βα(xi) = yi per i = 1, 2, 3.Consideriamo ora la permutazione

βσα ∈ PGL(2, pn)σPGL(2, pn) = PGL(2, pn)σ,

essa è tale che βσα(xi) = yi per i = 1, 2, 3. Le due permutazioni βα e βσαagiscono dunque allo stesso modo su x1, x2, x3 ma una ed una sola appartiene aG = G(pn, σ) perchè esse hanno lo stesso carattere quadratico ossia det(βα) ∈ Hse e solo se det(βσα) ∈ H.

Infatti k e σ(k) sono entrambi quadrati o entrambi non quadrati e perciò dettodet(α) = r, det(β) = s si ha det(βα) · det(βσα) = srsσ(r) = s2rσ(r) ∈ He dunque det(βα) e det(βσα) sono entrambi quadrati o entrambi non quadratiperchè, essendo K finito, H è un sottogruppo di indice 2 in K∗.

Rimane così provato che G = G(pn, σ) è un insieme strettamente 3-transitivo.

Nota 4.5.1. L’esempio appena visto è ottenuto a partire da un automorfismoσ fissato arbitrariamente.

Al variare di σ in AutK si ottengono insiemi strettamente 3-transitivi, nonsempre identificabili fra loro. In particolare si evidenziano i seguenti casi:


(1) Se σ = 1E allora G = G(pn, σ) = PGL(2, pn).(2) Se p = 2 allora H = K∗ e G = G(2n, σ) = PSL(2, 2n) = PGL(2, 2n).(3) G = G(pn, σ) è un gruppo se e solo se σ2 = 1E.

Teorema 4.5.2. Se G è un insieme di permutazioni strettamente 3-transitivosu un insieme E finito, contenente la permutazione identitá e tale che |E| = n +1, n ≡ 0 mod2, allora si ha n = 2h con h ∈ N∗ e G = PGL(2, 2h).

Dimostrazione. Vedi P. Quattrocchi ′′Sugli insiemi di sostituzioni stretta-mente 3-transitivi finiti′′, Atti del Seminario Matematica e Fisica dell’Universitádi Modena, vol. XXIV, 1975, 279-289.

6. Problemi aperti

(1) Sia G strettamente 3-transitivo su E, G contenente la permutazione iden-tità e sia |E| = n+ 1, n ≡ 1 mod 2. Risulta n = ph?

(2) Tutti gli esempi di insiemi strettamente 3-transitivi finiti noti sono quellidescritti nel paragrafo 5 e dunque sono tutti contenuti in PΓL(2, pn) econtengono tutti PSL(2, pn).

Esistono insiemi strettamente 3-transitivi non contenuti in PΓL(2, pn)?

(3) Si è avanzata la seguente congettura. Se G è un insieme di permutazionistrettamente 3-transitivo su E = GF (pn) ∪ ∞ contenente la permuta-zione identità e tale che G ⊂ PΓL(2, pn) allora G ⊃ PSL(2, pn).

(4) Sia G un insieme finito strettamente 3-transitivo su E tale che 1E ∈ G eαβ ∈ G per ogni α, β ∈ G. G é un gruppo?

CAPITOLO 5

Insiemi e gruppi k-transitivi, k ≥ 4.

In fase di completamento.

35

CAPITOLO 6

Estensione di gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi

Nel teorema 2.1.17 si é dimostrato che da un insieme k-transitivo, k ≥ 2, épossibile passare ad un insieme (k-1)-transitivo considerando lo stabilizzatore diun elemento. In generale é possibile costruire insiemi di permutazioni che non sonok-transitivi ma che contengono stabilizzatori (k-1)-transitivi. Il passaggio inverso,cioé estendere un insieme G k-transitivo ad un insieme G∗ (k+1)-transitivo, évero quando G é un gruppo infatti se G é un gruppo transitivo allora G é k-transitivo se e solo se Ga é (k-1)-transitivo. Rimane aperto il problema di stabiliresotto quali condizioni sia possibile estendere un insieme k-transitivo a un insieme(k+1)-transitivo.

1. Definizioni e Teorema di Witt

Definizione 6.1.1. Sia G un insieme di permutazioni su un insieme E. Consi-derato un elemento ∞ /∈ E e posto E∗ = E ∪ ∞, un insieme G∗ si diceestensione di G nel senso di Witt se:

• G∗ è un insieme di permutazioni su E∗;• G∗

∞, nella sua azione su E, coincide con G.

Teorema 6.1.2. Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insiemeE, k ≥ 2. Fissato a ∈ E e considerata una qualunque permutazione δ ∈ G − Ga

risultaG = Ga ∪GaδGa .

Dimostrazione. Poichè G è un gruppo risulta G ⊃ Ga ∪GaδGa.Dimostriamo che G ⊂ Ga ∪ Ga δ Ga. Sia α ∈ G. Se α ∈ Ga allora α ∈

Ga∪Ga δ Ga. Se α ∈ G − Ga dimostriamo che α ∈ Ga δ Ga. Poichè α−1(a) 6= ae δ−1(a) 6= a, essendoG k-transitivo su E con k ≥ 2 esiste λ ∈ G tale che λ(a) = ae λ(δ−1(a)) = α−1(a); pertanto αλ δ−1 ∈ Ga ossia α ∈ Ga δ λ

−1 con λ−1 ∈ Ga edunque α ∈ Ga δ Ga.

Rimane così provato che G = Ga ∪Ga δ Ga.

36

CAPITOLO 6 - Estensione di gruppi e insiemi di permutazioni k-transitivi 37

Teorema 6.1.3. Sia G∗ un gruppo di permutazioni (k+1)-transitivo su uninsieme E∗, k ≥ 2. Fissato ∞ ∈ E∗ e posto E = E∗ − ∞ sia G = G∗

∞ e sianoa, b ∈ E con a 6= b. Allora esistono α ∈ G∗ e β ∈ G tali che

(1) α(∞) = a, α(a) = ∞, α(b) = b;(2) β(a) = b, β(b) = a;(3) (βα)3 ∈ G, α2 ∈ G;(4) αGaα = Ga;(5) G∗ = G ∪GαG.

Dimostrazione. La (1) è vera perchè G∗ è almeno 3-transitivo. La (2) è veraperchè G è almeno 2-transitivo. La (3) è vera perchè (βα)3(∞) = ∞ e α2(∞) = ∞.

Dimostriamo ora la (4); per ogni γ ∈ Ga si ha γ(∞) = ∞ perchè Ga ⊂ G equindi αGaα ⊂ Ga e anche α−1γα−1(a) = a da cui α−1γα−1 ∈ Ga, γ ∈ αGaα equindi Ga ⊂ αGaα. Rimane dunque provato che αGaα = Ga. Infine (5) è vera peril teorema 6.1.2 che assicura G∗ = G∗

∞ ∪G∗∞αG

∗∞ = G ∪GαG.

Teorema 6.1.4. Teorema di estensione di Witt (1938)Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insieme E, k ≥ 2. Sia

E∗ = E∪∞ con ∞ /∈ E e sia σ(∞) = ∞ per ogni σ ∈ G. Siano a, b ∈ E, a 6= b.Se esistono α ∈ Sym E∗ e β ∈ G tali che:

(1) α(∞) = a, α(a) = ∞, α(b) = b;(2) β(a) = b, β(b) = a;(3) (βα)3 ∈ G, α2 ∈ G;(4) αGaα = Ga;

allora G∗ = G ∪ GαG è un gruppo di permutazioni (k+1)-transitivo su E∗ eG∗∞ = G.

Dimostrazione. Dimostriamo che G∗ è un gruppo. Per provare che G∗ èchiuso rispetto al prodotto distinguiamo tre casi:

(1) Siano δ, τ ∈ G; essendo G un gruppo si ha δτ ∈ G∗ perchè δτ ∈ G ⊂ G∗.(2) Sia δ ∈ G e τ ∈ GαG; esistono γ1, γ2 ∈ G, tali che τ = γ1αγ2 e poichè

δγ1 ∈ G si ha δτ = δγ1αγ2 = γ3αγ2 ∈ GαG ⊂ G∗, dunque δτ ∈ G∗.Analogamente si prova δτ ∈ G∗ se δ ∈ GαG e τ ∈ G.

(3) Siano δ, τ ∈ GαG. Iniziamo con il dimostrare che αGα ⊂ G∪GαG; poichèα2(∞) = ∞, α2(a) = a si ha α2 ∈ G ∩Ga = Ga, α2Ga = Gaα

2 = Ga,ma per l’ipotesi (4) si ha αGa = Gaα

−1 e pertanto αGa = Gaα−1 =

Gaα2α−1 = Gaα ossia

αGa = Gaα. (I)


Per l’ipotesi (3) si ha (βα)3 = βαβαβα ∈ G, αβα ∈ β−1α−1β−1G =β−1α−1G e, per l’ipotesi (3), β−1α−1G = β−1α−1α2G = β−1αG ossia

αβα ∈ β−1αG. (II)

Tenendo conto del teorema 6.1.2 , di (I), di (II) e dell’ipotesi(4) possiamoaffermare che

αGα = α(Ga ∪GaβGa)α = αGaα ∪ αGaβGaα = Ga ∪GaαβαGa ⊂Ga ∪Gaβ

−1αGGa = Ga ∪ (Gaβ−1)α(GGa) ⊂ Ga ∪GαG ⊂ G ∪GαG.

Se dunque δ, τ ∈ GαG si ha δτ ∈ (GαG)(GαG) = GαGαG ⊂ G(G ∪ GαG)G =GGG ∪GGαGG = G ∪GαG = G∗ ossia

δτ ∈ G∗.

Rimane così completamente dimostrato che comunque presi δ, τ ∈ G∗ risultaδτ ∈ G∗. Per dimostrare che per ogni δ ∈ G∗ si ha δ−1 ∈ G∗, distinguiamo duecasi.

(1) Se δ ∈ G. Essendo G un gruppo segue δ−1 ∈ G ⊂ G∗.(2) Sia δ ∈ GαG. Posto δ = λαµ, λ, µ ∈ G risulta δ−1 = (λαµ)−1 =

µ−1α−1λ−1; essendo G un gruppo e α2, λ−1 ∈ G si ha che esiste γ ∈ Gtale che α2γ = λ−1 e pertanto δ−1 = (λαµ)−1 = µ−1α−1α2γ = µ−1αγ ∈GαG ⊂ G∗.

Dimostriamo che il gruppo G∗ è transitivo su E∗. Essendo G∗ gruppo bastaprovare che per ogni x ∈ E∗ esiste τ ∈ G∗ tale che τ(∞) = x. Se x = ∞ al-lora ogni τ ∈ G ⊂ G∗ è tale che τ(∞) = ∞. Se x 6= ∞ sia σ ∈ G tale cheσ(a) = x, σ esiste perchè G è k-transitivo. Considerata τ = σα si ha τ(∞) = xe τ = σα = σα1E ∈ GαG ⊂ G∗ ossia τ ∈ G∗.Dimostriamo che G∗

∞ = G. Ogni elemento di G fissa ∞.Se per assurdo esistesse γ1αγ2 ∈ GαG tale che γ1αγ2(∞) = ∞, poichè γ2(∞) =

∞, γ−11 (∞) = ∞ si avrebbe α(∞) = ∞ e ciò è assurdo perchè α(∞) = a ∈ E e

∞ /∈ E.Per il teorema 2.1.19 rimane così provato che G∗ è un gruppo (k+1)-transitivo

su E∗ e G∗∞ = G.

2. Estensione di insiemi di permutazioni k-transitivi

Nel 1986 P.Quattrocchi e P.Sisi hanno generalizzato il Teorema di Witt de-terminando delle condizioni sufficienti per estendere gli insiemi di permutazioni(non necessariamente gruppi) k-transitivi. Nel 1977 G.Rinaldi e S.Spaggiari hanno


migliorato le condizioni sufficienti trovate da Quattrocchi e Sisi, dimostrando ilteorema seguente.

Teorema 6.2.1. Sia G un insieme di permutazioni k-transitivo su un insiemeE con k ≥ 1 , |E| ≥ 3. Sia E∗ = E ∪ ∞ con ∞ /∈ E e sia γ(∞) = ∞ per ogniγ ∈ G. Se esistono α ∈ Sym E∗ e G ⊂ G tali che:

(1) α(∞) 6= ∞;(2) G è transitivo su E;(3) GαG = GαG;(4) GG ⊂ G , GG ⊂ G;(5) αGα ⊂ G ∪GαG;

allora G∗ = G ∪ GαG è un insieme di permutazioni (k+1)-transitivo su E∗ eG∗∞ = G.

Se G è strettamente k-transitivo su E allora G∗ è strettamente (k+1)-transitivosu E∗.

Dimostrazione. Siano a e b ∈ E non necessariamente distinti, tali cheα(∞) = b e α(a) = ∞.Iniziamo con l’ossevare che G∗

∞ = G ossia dimostriamo che le sole permutazioni diG∗ = G ∪ GαG che fissano ∞ sono quelle di G; infatti per definizione se γ ∈ Gsi ha γ(∞) = ∞ mentre se γ ∈ GαG si ha γ = γ1αγ2 con γ1 , γ2 ∈ G e risultaγ(∞) 6= ∞ perché γ(∞) = γ1αγ2(∞) = γ1(∞) ∈ E.

Siano (x1, x2, ..., xk+1), (y1, y2, ..., yk+1) due (k+1)-uple di elementi distintidi E∗; dimostriamo che esiste una permutazione g ∈ G∗ tale che g(xi) = yi,i = 1 , . . . , k + 1.

Distinguiamo due casi.

1caso: Se k = 1 e x1 = ∞, y2 = ∞, siano β1, eβ2 ∈ G con β1(b) = y1 eβ2(x2) = a; risulta allora β1αβ2(∞) = y1 e β1αβ2(x2) = ∞ con β1αβ2 ∈G∗. Analogamente se k = 1 e x2 = ∞, y1 = ∞, esiste in G∗ una permu-tazione che trasforma (x1,∞) in (∞, y2).

2caso: Se k = 1 e non si verifica il 1caso oppure se k ≥ 2, esiste r ∈1, 2, . . . , k + 1 tale che xr 6= ∞, yr 6= ∞. Siano σ e τ ∈ G tale cheσ(xr) = a e τ(b) = yr. Per ogni i ∈ 1, 2, . . . , k + 1 - r si ha ασ(xi) ∈E e α−1τ−1(yi) ∈ E e pertanto, per la k-transitività di G, esite β ∈ Gtale che βασ(xi) = α−1τ−1(yi), per ogni i ∈ 1, 2, . . . , k + 1 − r eβασ(xr) = ∞ = α−1τ−1(yr) e quindi ταβασ(xi) = yi, per ogni i ∈1, 2, . . . , k + 1. Proviamo che ταβασ ∈ G∗, infatti ταβασ ∈ GαGαGallora, tenedo conto delle ipotesi 3), 4), 5) si ha:


ταβασ ∈ GαGαG ⊂ G(G∪GαG)G ⊂ GGG∪GαGG ⊂ G∪GαGG =G∪GαGG ⊂ G∪GαG ⊂ G∪GαG. Abbiamo così provato l’esistenza diun elemento g ∈ G∗ tale che g(xi) = yi, i = 1, 2, . . . , k + 1, quindi G∗ è(k+1)-transitivo su E∗.

Dimostriamo infine che se è G stretamente k-transitivo su E allora g è unicacioè G∗ è strettamente (k+1)-transitivo su E∗. Supponiamo esistano g, h ∈ G∗

tali che g(xi) = yi, h(xi) = yi, i = 1, 2, . . . , k + 1. Distinguiamo tre casi.

1caso: Sia g che h appartengono a G. Per la stretta k-transitività di Gsegue necessariamente g = h.

2caso: Sia g che h appartengono a GαG. Se k = 1 e x1 = ∞, y2 = ∞,siano β1, β2 ∈ G con β1(y1) = a allora β2αβ1g(∞) = β2αβ1h(∞) = ∞ eβ2αβ1g(x2) = β2αβ1h(x2) = β2(b) 6= ∞. Inoltre questi sono elementi diG∗ perchè appartengono a GαGGαG ⊂ GαGαG ⊂ GGG ∪ GGαGG ⊂G ∪ GαG = G∗ e poichè stabilizzano ∞ essi sono elementi di G avendodimostrato che G = G∗

∞. Inoltre, poichè entrambe le permutazioni hannolo stesso effetto su x2, per la stretta 1-transitività di G si ha che β2αβ1g =β2αβ1h da cui g = h. (Si procede in modo analogo se k = 1 e con x2 = ∞e y1 = ∞). Per k = 1 e non è x1 = ∞, y2 = ∞ oppure per k = 1 enon è x2 = ∞, y1 = ∞ oppure per k ≤ 2, sia r ∈ 1, 2, . . . , k + 1 taleche risulti xr 6= ∞ e yr 6= ∞, siano β1, β2, β3 ∈ G tale che β1(b) = xr eβ3(yr) = a; ricordando che abbiamo supposto g ∈ GαG si osservi che:αβ3gβ1αβ2 ∈ G ∪ GαG infatti gβ1αβ2 ∈ GαGGαG = GαGGαG ⊂GαGαG ⊂ GGG ∪ GGαGG ⊂ G ∪ GαGG = G ∪ GαGG ⊂ G ∪ GαGe poichè gβ1αβ2(∞) = yr 6= ∞, esso è un elemento di GαG. Alloraαβ3gβ1αβ2 ∈ αGGαG ⊂ αGαG ⊂ GG ∪ GαGG ⊂ G∗. Analogamen-te si dimostra che αβ3hβ1αβ2 ∈ G∗. Si osservi che αβ3gβ1αβ2(∞) =αβ3hβ1αβ2(∞) = ∞, (quindi sono elementi di G) e che hanno la stessaazione sui k elementi (β1αβ2)

−1 (xi), per ogni i ∈ 1, 2, . . . , k + 1 - r,allora la stretta k-transitività di G implica che αβ3gβ1αβ2 = αβ3hβ1αβ2

da cui g = h.

3caso: Sia g ∈ GαG e h ∈ G (o viceversa). in questo caso un elementor ∈ 1, 2, . . . , k + 1 tale che xr 6= ∞ e yr 6= ∞, esiste sicuramente (anchequando k=1 essendo h(∞) = ∞). Prendendo β1, β2, β3 come sopra, siha che αβ3hβ1αβ2 ∈ G∗ infatti:αβ3hβ1αβ2 ∈ αGGGαG ⊂ αGGαG ⊂ αGαG ⊂ GG ∪ GαGG ⊂ G∗.Procedendo come nel 2caso, si ottiene g = h e questo è assurdo essendoG ∩GαG = ∅.


Nota 6.2.2. Il teorema precedente è più generale del teorema di Witt perchèsi applica agli insiemi e non solo ai gruppi di permutazioni, inoltre esso vale ancheper k = 1 e non solo per k ≥ 2. Inoltre, come verrà dimostrato nel prossimoparagrafo, se G è gruppo e k ≥ 2 il teorema equivale al Teorema di Witt.

3. Estensione di gruppi di permutazioni k-transitivi

A conclusione di questo capitolo dimostriamo un teorema che fornisce unageneralizzazione del teorema di Witt per l’estensione dei gruppi di permutazioni.

Teorema 6.3.1. Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insiemeE, k ≥ 1, |E| ≥ 3. Sia E∗ = E∪∞, ∞ /∈ E, e sia α ∈ Sym E∗ con α(∞ 6= ∞).G∗ = G ∪GαG è un gruppo di permutazioni (k+1)-transitivo su E∗ e G∗

∞ = G see solo se αGα ⊂ G ∪ GαG. Inoltre G∗ è strettamente (k+1)-transitivo se e solose G è strettamente k-transitivo.

Dimostrazione. Siano a e b ∈ E non necessariamente distinti, tali cheα(∞) = b e α(a) = ∞. Sia G un gruppo e sia αGα ⊂ G∪GαG, allora prendendoG = G sono soddisfatte le condizioni del teorema 6.1.6 e pertanto G ∪GαG = G∗

è un insieme di permutazioni su E∗ (k+1)-transitivo con G∗∞ = G. Dimostriamo

ora che G∗ è un gruppo; dimostriamo dapprima che α−1 ∈ GαG. Sia β ∈ Gcon β(b) = a, allora αβα ∈ G∗ e αβα(∞) = ∞ cioè αβα = β1 ∈ G da cuisegue α−1 = β−1

1 αβ ∈ GαG. Proviamo ora che comunque presi g, h ∈ G∗ si hagh−1 ∈ G∗. Distinguiamo 4 casi.

1caso: g, h ∈ G. Poichè G è un gruppo, si ha gh−1 ∈ G e pertantogh−1 ∈ G ∪GαG = G∗.

2caso: g ∈ G, h ∈ GαG. Si ha h−1 ∈ Gα−1G e poichè α−1 ∈ GαG e Ggruppo, si ha che Gα−1G ⊂ GαG, allora h−1 è un elemento di GαG epertanto gh−1 ∈ GGαG = GαG ⊂ G∗.

3caso: g ∈ Gα G, h ∈ G. Si ha h−1 ∈ G perchè G è gruppo e gh−1 ∈GαGG = GαG ⊂ G∗.

4caso: g , h ∈ GαG. Si ha gh−1 ∈ GαGGα−1G = GαGGGαGG =GαGαG ⊂ G(G ∪GαG)G = G ∪GαG = G∗.


Viceversa se G∗ = G∪GαG è un gruppo allora α ∈ G∗ e pertanto αGα ⊂ G∗;inoltre G∗

∞ = G.Infine, poichè G∗ è un gruppo di permutazioni su E∗ (k+1)-transitivo e G∗

∞ =G; per il corollario 2.1.21 segue che G∗ è strettamente (k+1)-transitivo su E∗ see solo se G∗

∞, cioè G, è strettamente k-transitivo su E∗ − ∞ cioè su E.

Nota 6.3.2. IL teorema 6.3.1 generalizza il Teorema di Witt perchè vale ancheper k = 1 mentre per k ≥ 2 è equivalente al Teorema di Witt.

Teorema 6.3.3. Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insiemeE, k ≥ 1. Sia E∗ = E ∪ ∞ con ∞ /∈ E e sia λ(∞) = ∞ per ogni λ ∈ G. Seesistono α ∈ Sym E∗ e G ⊂ G tali che:

(1) α 6∈ G,α2 ∈ G;(2) G transitivo su E;(3) αGα ⊂ G ∪GαG.

allora risulta GαG = GαG = GαG.

Dimostrazione. Sia α(∞) = 0 ∈ E; poichè α2 ∈ G si ha α(0) = ∞.Iniziamo con il dimostrare che αG ⊂ GαG.Poichè G è un gruppo, per ogni g ∈ G esiste g1 ∈ G tale che g = g1α

2 da cui

αg = αg1αα. (I)

Distinguiamo due casi:• αg1α = g2 ∈ G; in tal caso si ha αg = g2α e considerata g ∈ G tale cheg(0) = 0 risulta anche αg = g2α = g2αg

−1g. Poichè G è un gruppo esisteg3 ∈ G tale che g3α

2 = g−1 e quindi g2αg−1g = g2αg3ααg. Per l’ipotesi

(3) è αg3α ∈ G∪GαG, ma g3 = g−1α−2 e perciò risulta αg3α ∈ G perchèαg3α(∞) = αg3(0) = αg−1α−2(0) = αg−1(0) = α(0) = ∞.

Risulta dunque αg = g2αg3ααg = g2g4αg = g5αg ∈ GαG con g4 =αg3α ∈ G e g5 = g2g4 ∈ G.

• αg1α ∈ GαG; in tale caso si ha αg1α = g2αg2 con g2 ∈ G e g2 ∈ G e perla (I) possiamo scrivere αg = g2αg2α. Poichè g2αg2(0) = αg1α(0) = 0 e0 6= ∞ si ha g2(0) 6= 0 da cui αg2α(∞) 6= ∞. Da αg2α ∈ G ∪ GαG eαg2α(∞) 6= ∞ segue αg2α /∈ G e quindi αg2α ∈ GαG e si può scrivereαg = g2αg2α = g2g3αg4 con g3 ∈ G, g4 ∈ G da cui αg ∈ GαG.

Sia nel primo che nel secondo caso si ha dunque

αG ⊂ GαG.


(II)

Dalla (II) si ottiene GαG ⊂ GGαG = GαG e anche GαG ⊂ GGαG =GαG; d’altra parte da G ⊂ G si ha GαG ⊂ GαG; si conclude pertantoGαG = GαG.

Proviamo ora che è Gα = GαG.Sia g ∈ G; G è transitivo su E e perciò esiste g ∈ G tale che g(0) =

g(0), inoltre G è un gruppo e pertanto esiste g1 ∈ G tale che g = gg1. Siha gα = gg1α = gα2g2α = gααg2α con g2 ∈ G tale che g1 = α2g2.

Poichè αg2α ∈ G ∪ GαG e αg2α(∞) = αg2(0) = αα−2g1(0) =α−1g1(0) = α−1g−1g(0) = α−1(0) = ∞ si ha αg2α = g3 ∈ G. Dunquegα = gααg2α = gαg3 ∈ GαG e pertanto

Gα ⊂ GαG. (III)

Dalla (III) si ottiene GαG ⊂ GαGG = GαG e poichè si è già dimo-strato che GαG = GαG, si ha

GαG = GαG ⊂ GαG ⊂ GαG.

Rimane pertanto dimostrato che GαG = GαG = GαG.

Teorema 6.3.4. Sia G un gruppo di permutazioni k-transitivo su un insiemeE con k ≥ 1. Sia E∗ = E ∪ ∞ con ∞ /∈ E e sia λ(∞) = ∞ per ogni λ ∈ G. Seesiste α ∈ Sym E∗ tale che :

(1) α 6∈ G,α2 ∈ G;(2) αGα ⊂ G ∪GαG;

allora G∗ = G∪GαG è un gruppo di permutazioni (k+1)-transitivo su E∗ e G∗∞ =

G. Il gruppo G∗ è strettamente (k+1)-transitivo su E∗ se e solo se G è strettamentek-transitivo su E.

Dimostrazione. Considerato G = G, per il teorema 6.1.6 G∗ è un insiemedi permutazioni (k+1)-transitivo su E∗ e G∗

∞ = G. Dimostriamo che G∗ è ungruppo. Siano β, γ ∈ G∗ = G ∪ GαG; per dimostrare che βγ ∈ G∗ distinguiamoquattro casi:

• β, γ ∈ G. Poichè G è un gruppo risulta βγ ∈ G ⊂ G∗.• β ∈ G, γ ∈ GαG. Si ha βγ ∈ GGαG = GαG ⊂ G∗.• β ∈ GαG, γ ∈ G. Si ha βγ ∈ GαGG = GαG ⊂ G∗.• β, γ ∈ GαG. Sia β = g1αg2 e γ = g3αg4, si ha βγ = g1αg2g3αg4 =g1αg5αg4 con g5 = g2g3 ∈ G. Per ipotesi αg5α ∈ G ∪ GαG; se αg5α ∈ G


allora βγ ∈ GGG = G ⊂ G∗, se αg5α ∈ GαG allora βγ ∈ GGαGG =GαG ⊂ G∗.

Rimane così provato che G∗ è chiuso rispetto al prodotto.Dimostriamo ora che se β ∈ G∗ allora β−1 ∈ G∗.Se β ∈ G allora è ovvio che β−1 ∈ G ⊂ G∗.Se β ∈ GαG allora β−1 = g−1

2 α−1g−11 = g−1

2 αα−2g−11 = g−1

2 αg3 con g3 =α−2g−1

1 ∈ G perchè α2, g1 ∈ G; risulta dunque β−1 ∈ GαG.Rimane così completamente dimostrato che G∗ è un gruppo.Infine se G∗ è strettamente (k+1)-transitivo su E∗ allora è ovvio che G è

strettamente k-transitivo su E. Viceversa sia G strettamente k-transitivo su E,lo stabilizzatore di (k+1) elementi di E∗ di cui uno è ∞ risulta l’identità per lastretta k-transitività di G, allora poichè G∗ è (k+1)-transitivo su E∗, per il teorema6.1.10??? si ha che G∗ è strettamente (k+1)-transitivo su E∗.

Il teorema ora dimostrato generalizza le condizioni sufficienti di Witt; con ilseguente teorema si generalizzano anche le condizioni necessarie.

Teorema 6.3.5. Sia G∗ un gruppo di permutazioni (k+1)-transitivo su uninsieme E∗ e sia ∞ ∈ E∗. Se G = G∗

∞ allora esiste α ∈ G∗ − G tale che α2 ∈ Ge G∗ = G ∪GαG.

Dimostrazione. Sia 0 ∈ E∗ con 0 6= ∞; poichè G∗ è almeno 2-transitivo suE∗ esiste α ∈ G∗ tale che α(∞) = 0, α(0) = ∞; risulta α2(∞) = ∞ e peratntoα2 ∈ G.

Sia g ∈ G∗ − G; esiste g1 ∈ G∗ tale che g1(∞) = ∞ e g1(0) = g−1(∞) epertanto gg1α

−1(∞) = ∞ da cui gg1α−1 ∈ G, g ∈ Gαg1 ⊂ GαG; rimane

così provato che G∗ − G ⊂ GαG. Risulta dunque G∗ ⊂ G ∪ GαG e poichè èovviamente G ∪GαG ⊂ G∗, si ha che G∗ = G ∪GαG.

Nota 6.3.6. Nell’ipotesi del teorema 6.3.3 ora dimostrato segue anche αGα ⊂G ∪GαG perchè αGα ⊂ G∗.

Nota 6.3.7. Nel caso k ≥ 2 i teoremi 6.3.2 e 6.3.3 sono equivalenti al teoremadi Witt, ma lo generalizzano perchè valgono anche nel caso k = 1. Si veda l’esempio1 nel capitolo 7.

A conclusione di questo capitolo, riportiamo l’enunciato di un teorema chefornisce indicazioni circa l’esistenza di insiemi strettamente k-transitivi che nonsiano gruppi.


Teorema 6.3.8. Sia G∗ un insieme strettamente (k+1)-transitivo di permu-tazioni su E∗, k ≥ 2, |E∗| ≥ 5, G∗ non necessariamente finito. G∗ è un gruppo see solo se esiste un elemento ∞ ∈ E∗ tale che

• G∗∞ è un gruppo;

• G∗∞αG

∗∞ ⊂ G∗ con α ∈ G∗, α(∞) 6= ∞, α fissa (k-1)elementi di E∗.

CAPITOLO 7

Applicazione dei teoremi di estensione di gruppi e insiemi dipermutazioni k-transitivi

In questo capitolo si riportano esempi di estensioni di gruppi e di insiemi dipermutazioni k-transitivi nel senso di Witt.

1. Esempi di estensioni di gruppi k-transitivi

Esempio 7.1.1.Sia K un campo finito o no, K∗ = K − 0; fissato a ∈ K∗ sia πa : K∗ −→ K∗

l’aplicazione biunivoca definita da πa(x) = ax per ogni x ∈ K∗. L’insieme G =πa | a ∈ K∗ risulta un gruppo di permutazioni strettamente 1-transitivo su K∗.

Estendiamo il gruppo G a un gruppo strettamente 2-transitivo su K = K∗∪0utilizzando il teorema 6.3.1.

Prolunghiamo l’azione di G a tutto K = K∗ ∪ 0 ponendo πa(0) = 0 per ogniπa ∈ G. Sia α ∈ Sym K definita da α(x) = −x+ 1 per ogni x ∈ K.

Risulta αGα ⊂ G ∪ GαG; infatti si ha απaα(x) = ax − a + 1. Se a = 1allora απaα = 1K∗ ∈ G ⊂ G ∪ GαG. Se a 6= 1 consideriamo r, s ∈ K∗ tali cher = −a+ 1, s = −a

−a+1; si ha che απaα = πrαπs ∈ GαG ⊂ G ∪GαG.

Poichè le condizioni del teorema 6.3.1 sono verificate, si conclude che G∗ = G∪GαG è un gruppo strettamente 2-trasitivo su K; G∗ è il gruppo affine AG(1,K) =g|g(x) = ax+ b, a, b ∈ K, a 6= 0.

Esempio 7.1.2.Dimostriamo che il gruppo strettamente 3-transitivo PGL(2,K) si ottiene comeestensione, nel senso di Witt, del gruppo strettamente 2-transitivo AG(1,K).

Sia K un campo, finito o no, e sia G = AG(1,K) il gruppo affine su K che,come noto, è strettamente 2-transitivo su K; sia ∞ /∈ K e E = K ∪ ∞.

Sia α ∈ Sym E definita da α(0) = ∞,alpha(∞) = 0, α(x) = 1

xper ogni x ∈ E − 0,∞.

Dimostriamo che αGα ⊂ G ∪GαG.1 caso : Sia β ∈ G, β(x) = ax. Allora αβα ∈ G perchè agisce su x come gli

elementi di G e pertanto αβα ⊂ G ∪GαG.46

CAPITOLO 7 - Applicazione dei teoremi di estensione di gruppi e insiemi di permutazioni 47

2 caso : Sia β ∈ G, β(x) = ax + b, b 6= 0. Consideriamo γ, δ ∈ G definite

da γ(x) = −abx +

1

b, δ(x) = bx + a; si ha αβα = γαδ e γαδ ∈ GαG e pertanto

αβα ∈ G ∪GαG.Per il teorema 6.3.1. si ha pertanto cheG∗ = G∪GαG è un gruppo strettamente

3-transitivo su E e G∗∞ = G.

Verifichiamo infine che G∗ = PGL(2,K).Risulta G∗

∞ = G ⊂ PGL(2,K) perchè gli elementi di G sono permutazioni αdel tipo α(x) = ax+ b, a 6= 0, che appartengono a PGL(2,K).

Siano ora γ1, γ2 ∈ G con γ1(x) = a1x+ b1, γ2(x) = a2x+ b2, a1, a2 ∈ K∗, risultaγ1αγ2(x) = b1a2x+b1b2+a1

a2x+b2con detγ1αγ2 = −a1a2 6= 0 e pertanto γ1αγ2 ∈

PGL(2,K). Rimane così provato che G∗ = G ∪GαG ⊂ PGL(2,K).Sia ora α ∈ PGL(2,K); siano x1, x2, x3 elementi distinti di K ∪ ∞ e sia

α(xi) = yi, i = 1, 2, 3.Per la sua stretta 3-transitività, in G∗ esiste β tale che β(xi) = yi, i = 1, 2, 3,

e poichè G∗ ⊂ PGL(2,K) si ha β ∈ PGL(2,K), ma PGL(2,K) è strettamente3-transitivo e pertanto β = α ∈ G∗ e quindi PGL(2,K) ⊂ G∗.

Rimane così dimostrato che G∗ = PGL(2,K).

Esempio 7.1.3.Sia K = GF (p2m), p 6= 2, H = x2 | x ∈ K∗ , σ ∈ AutK, σ(x) = xpm ; fissatia, b ∈ K, a 6= 0, sia ϕa,b : K −→ K la permutazione definita da ϕa,b(x) = ax + bse a ∈ H, ϕa,b(x) = aσ(x) + b se a ∈ K∗ −H.

L’insieme G = ϕa,b | a, b ∈ K, a 6= 0 risulta un gruppo di permutazioni stret-tamente 2-transitivo su K.

Estendiamo il gruppo G al gruppo strettamente 3-transitivo G(p2m, σ). Ri-cordiamo che in GF (p2m), si ha −1 ∈ H perchè p2m ≡ 1 mod4, inoltre σ2 =identità.

Sia ∞ /∈ K, E = K ∪ ∞; prolunghiamo l’azione di G su tutto E ponendoγ(∞) = ∞ per ogni γ ∈ G. Sia α ∈ Sym E definita da α(0) = ∞, α(∞) =0, α(x) = −1

xper ogni x ∈ E − 0,∞.

Dimostriamo che αGα ⊂ G ∪GαG.1 caso : Sia β ∈ G, β(x) = ax+ b con a quadrato.• Se b = 0, αβα ∈ G ⊂ G ∪GαG perchè agisce su x come gli elementi di G

del tipo x→ ax+ b con a un quadrato e con b = 0.

• Se b 6= 0 consideriamo γeδ ∈ G tali che γ(x) =a

b2x− 1

b, δ(x) = x− a

b.

Si ha αβα = γαδ ∈ GαG ⊂ G ∪GαG.2 caso : Sia β ∈ G, β(x) = axpm

+ b con a non quadrato.• Se b = 0, αβα ∈ G perchè agisce su x come gli elementi di G del tipox→ axpm

+b con a non quadrato e con b = 0, allora αβα ∈ G ⊂ G∪GαG.


• Se b 6= 0 consideriamo γeδ ∈ G tali che γ(x) =a

b2xpm − 1

b, δ(x) =

x− apm

bpm ; risulta αβα = γαδ ∈ GαG ⊂ G ∪GαG.

Per il teorema 6.3.1 si ha che G∗ = G ∪GαG.G∗ risulta il gruppo delle permutazioni su K ∪ ∞ definite da:

x→ ax+ b

cx+ d, ad− bc ∈ H; a, b, c, d ∈ K

x→ axpm+ b

cxpm + d, ad− bc ∈ K∗ −H; a, b, c, d ∈ K.

Inoltre il gruppo G∗ = G ∪ GαG ⊂ G(p2m, σ) e poichè |G∗| = |G(p2m, σ)| =(p2m + 1)p2m(p2m − 1) si conclude che G∗ = G(p2m, σ).

Esempio 7.1.4.Con questo esempio si descrive il gruppo di MathienM4,11 strettamente 4-transitivosu 11 elementi, come estensione del gruppo G(32, σ) strettamente 3-transitivo suGF (32) ∪ ∞.

Per maggiore chiarezza iniziamo con il descrivere il campo GF (32).Sia GF (3) = 0, 1, 2; consideriamo il polinomio x2 +1 ∈ GF (3)[x] irriducibile

in GF (3).Detta i una radice del polinomio, il campo di spezzamento di x2 +1 è il campo

GF (32) = a+ ib | a, b ∈ GF (3).Sia dunque K = GF (32) = 0, 1, 2, i, 2i, 1 + i, 1 + 2i, 2 + i, 2 + 2i;ricordando

che i2 + 1 = 0 si ottengono in K le seguenti tavole per le operazioni di “+” e di “·”che rendono K un campo:

+ 0 1 2 i 2i 1 + i 1 + 2i 2 + i 2 + 2i

0 0 1 2 i 2i 1 + i 1 + 2i 2 + i 2 + 2i1 1 2 0 1 + i 1 + 2i 2 + i 2 + 2i i 2i2 2 0 1 2 + i 2 + 2i i 2i 1 + i 1 + 2ii i 1 + i 2 + i 2i 0 1 + 2i 1 2 + 2i 22i 2i 1 + 2i 2 + 2i 0 i 1 1 + i 2 2 + i

1 + i 1 + i 2 + i i 1 + 2i 1 2 + 2i 2 2i 01 + 2i 1 + 2i 2 + 2i 2i 1 1 + i 2 2 + i 0 i2 + i 2 + i i 1 + i 2 + 2i 2 2i 0 1 + 2i 12 + 2i 2 + 2i 2i 1 + 2i 2 2 + 1 0 i 1 1 + i


· 1 2 i 2i 1 + i 1 + 2i 2 + i 2 + 2i

1 1 2 i 2i 1 + i 1 + 2i 2 + i 2 + 2i2 2 1 2i i 2 + 2i 2 + i 1 + 2i 1 + ii i 2i 2 1 2 + i 1 + i 2 + 2i 1 + 2i2i 2i i 1 2 1 + 2i 2 + 2i 1 + i 2 + i

1 + i 1 + i 2 + 2i 2 + i 1 + 2i 2i 2 1 i1 + 2i 1 + 2i 2 + i 1 + i 2 + 2i 2 i 2i 12 + i 2 + i 1 + 2i 2 + 2i 1 + i 1 2i i 22 + 2i 2 + 2i 1 + i 1 + 2i 2 + i i 1 2 2i

I quadrati di K∗ sono gli elementi del gruppo H = 1, 2, i, 2i.Sia ∞ /∈ K = GF (32), E = K∪∞ , σ ∈ AutK definito da σ(∞) = ∞, σ(x) = x3

per ogni x ∈ K. L’insieme

G = G(32, σ) =

ax+ b

cx+ dse ad− bc ∈ H, aσ(x) + b

cσ(x) + dse ad− bc ∈ K∗ −H; perogni a, b, c, d ∈ K

è un gruppo di permutazioni stretamente 3-transitivo su E.

Consideriamo in G le permutazioni λ(x) = x+ 1, γ(x) = ix, τ(x) = (1 + i)x3 esia Γ =< λ, γ, τ > il gruppo generato da λ, γ, τ .

Dimostriamo che Γ = G∞.Si ha Γ ⊂ G∞ perché lambda(∞) = γ(∞) = τ(∞) = ∞ e poichè G∞ è

strettamente 2-transitivo su K per dimostrare che Γ = G∞ basta dimostrare cheΓ è 2-transitivo su K.

Iniziamo con il dimostrare che Γ è transitivo su K; poichè Γ è un gruppo bastadimostrare che per ogni x ∈ K esiste ϕ ∈ Γ tale che ϕ(0) = x.

Le permutazioni 1K, λ, λ2, γλ, γλ2, τλ, τλ2, λγλ2, λτλ sono elementi di Γ e tra-

sformano l’elemento 0 rispettivamente negli elementi 0, 1, 2, i, 2i, 1 + i, 2 + 2i, 1 +2i, 2+i che sono tutti e soli gli elementi di K; rimane così provato che Γ è transitivosu K.

Dimostriamo ora che Γ0 è 1-transitivo su K∗.Consideriamo il gruppo ∆ =< γ, τ > generato da γ e τ ; ∆ è 1-transitivo su

K∗ perchè per ogni x ∈ K∗ esiste ψ ∈ ∆ tale che ψ(1) = x, infatti le permutazioni1K∗ , γ, γ2, τ, τγ, γ3, γτ, γ2τ sono elementi di ∆ e trasformano l’elemento 1 rispetti-vamente negli elementi 1, i, 2, 1 + i, 1 + 2i, 2i, 2 + i, 2 + 2i che sono tutti e soli glielementi di K∗. Poichè γ(0) = τ(0) = 0 si ha ∆ ⊂ Γ0 ed essendo ∆ 1-transitivo suK∗ risulta anche Γ0 1-transitivo su K∗.

Per il terema 2.1.19 rimane così provato che Γ è 2-transtivo su K∗ e pertantoΓ = G∞.

Estendiamo il gruppo G = (32, σ) applicando il teorema di Witt.


Sia ∞′ /∈ E,E∗ = E ∪ ∞′ = K ∪ ∞,∞′; prolunghiamo l’azione di G atutto E∗ ponendo ρ(∞′) = ∞′ per ogni ρ ∈ G. Sia α ∈ Sym E∗ definita daα = (i, 2 + 2i)(2, 1 + i)(1 + 2i, 2 + i)(∞,∞′) e sia β ∈ G tale che β(x) = 1

x.

Verifichiamo che ∞,∞′, 0, G, α, β soddisfano le condizioni del teorema di Witt.Si ha:

(1) α(∞′) = ∞, α(∞) = ∞′, α(0) = 0;(2) β(0) = ∞, β(∞) = 0;(3) (βα)3 = 1E ∈ G e α2 = 1E ∈ G;(4) αG∞α = G∞.

Le condizioni (1), (2), (3) seguono immediatamente dalle definizioni poste. Dimo-striamo la (4). Per ogni γ ∈ G∞ ⊂ G risulta αγα(∞) = ∞ e perciò αG∞α ⊂ G∞da cui αG∞α = G∞ perchè sono insiemi finiti e |αG∞α| = |G∞|.

Essendo verificate le ipotesi del teorema di Witt si ha che G∗ = G∪GαG è ungruppo di permutazioni strettamente 4-transitivo su 11 elementi, esso è il gruppodi Mathieu M4,11.

Nota 7.1.5. Il gruppo PGL(2, 32) non è estendibile ad un gruppo strettamente4-transitivo su 11 elementi.

Esempio 7.1.6. Con questo esempio si descrive l’estensione del gruppo diMathieu M4,11 al gruppo strettamente 5-transitivo su 12 elementi detto gruppo diMathieu M5,12.

Sia E∗ = GF (32) = ∞,∞′ ,∞′′ /∈ E∗, E∗∗ = E∗ ∪ ∞′′ = GF (32) ∪∞,∞′,∞′′.

Sia Γ = M4,11 il gruppo di Mathieu strettamente 4-transitivo su E∗; prolun-ghiamo l’azione di Γ a tutto E∗∗ ponendo γ(∞′′) = ∞′′ per ogni γ ∈ Γ. Siaα ∈ Sym E∗∗ definita da α(∞′) = ∞′′, α(∞′′) = ∞′, α(∞) = ∞, α(x) = x3 perogni x ∈ GF (32). Sia β ∈ Γ definita da β(∞) = ∞′, β(∞′) = ∞, β(a+ ib) = a− ibper ogni a + ib ∈ GF (32) con riferimento alla notazione usata nell’esempio 7.1.4per il campo GF (32).

Verifichiamo che ∞′′,∞′,∞,Γ, α, β soddisfano le condizioni del teorema diWitt. Si ha:

(1) α(∞′) = ∞′′, α(∞′′) = ∞′, α(∞) = ∞;(2) β(∞) = ∞′, β(∞′) = ∞;(3) (βα)3 = 1E∗ , α2 = 1E∗ ∈ Γ;(4) αΓ∞′α = Γ∞′ .

Le condizioni (1), (2), (3) seguono immediatamente dalle definizioni poste.Dimostriamo la (4). Per quanto visto nell’ esempio 7.1.4 si ha Γ∞′ = G(32, σ) edunque occorre dimostrare che αG(32, σ)α = G(32, σ) e poichè α è di periodo 2basta verificare che αG(32, α)α ⊂ G(32, α). Sia g ∈ G(32, σ),


g(x) = ax+bcx+d

con ad−bc quadrato diGF (32)∗; si ha αgα(∞) = ∞ e αgα(x) = a3x+b3

c3x+d3

con a3d3 − b3c3 = (ad− bc)3 quadrato di GF (32)∗ e perciò αgα ∈ G(32, σ).Sia g ∈ G(32, σ), g(x) = ax3+b

cx3+dcon ad − bc non quadrato di GF (32)∗; si ha

αgα(∞) = ∞ e αgα(x) = a3x3+b3

c3x3+d3 con a3d3 − b3c3 = (ad − bc)3 non quadrato diGF (32)∗ e perciò αgα ∈ G(32, σ).

Essendo verificate le ipotesi del teorema di Witt si ha che Ω = Γ ∪ ΓαΓ èun gruppo di permutazioni strettamente 5-transitivo su E∗∗, |E∗∗| = 12; esso è ilgruppo di Mathieu M5,12.

Nota 7.1.7. Il gruppo M5,12 non è estendibile ad un gruppo strettamente6-transitivo su 13 elementi.

2. Esempi di estensioni di insiemi k-transitivi

Applichiamo il Teorema 6.2.1 per ottenere gli insiemi di permutazioni stretta-mente 3-transitivi, a noi noti, come estensione di insiemi di permutazioni stretta-mente 2-transitivi.

Esempio 7.2.1.Sia K = GF (pn), H = x2 | x ∈ K∗ , σ ∈ AutK; fissati a, b ∈ K, a 6= 0, sia ϕa,b :K −→ K la permutazione definita da ϕa,b(x) = ax+b se a ∈ H,ϕa,b(x) = aσ(x)+bse a ∈ K∗ −H.

L’insieme G = ϕa,b|a, b ∈ K, a 6= 0 è un insieme di permutazioni strettamente2-transitivo su K.

Sia ∞ /∈ K, E∗ = K ∪ ∞, estendiamo l’azione di σ e di G a tutto E∗

ponendo σ(∞) = ∞ e γ(∞) = ∞ per ogni γ ∈ G. Sia α ∈ SymE definita daα(0) = ∞, α(∞) = 0, α(x) = − 1

xper ogni x ∈ K∗. Per ogni b ∈ K sia τb : K −→ K

la permutazione definita da τb(x) = x+ b e sia G = τb|b ∈ K.Verifichiamo che α,G,G, soddisfano le condizioni del terema 6.2.1, ossia veri-

fichiamo che valgono le seguenti cinque condizioni.(1) α(∞) 6= ∞;(2) G è 1-transitivo su K;(3) GαG = GαG;(4) GG ⊂ G;GG ⊂ G;(5) αGα ⊂ G ∪GαG.

Infatti:(1) Dalla definizione di α segue α(∞) = 0 6= ∞.


(2) E’ G ⊂ G e G risulta 1-transitivo su K, infatti, comunque presi x1, y1 ∈K, in G esiste ed è unica la permutazione γ tale che γ(x1) = y1: è lapermutazione definita da γ(x) = x+ (y1 − x1).

(3) Per dimostrare che GαG = GαG sia γ ∈ G tale che γ(x) = x + b edistinguiamo due casi.

i) Sia γ ∈ G, γ(x) = ax + b′, a, b′ ∈ K, a ∈ H; risulta γαγ(x) =b′x+bb′−a

x+b, detγαγ = a ∈ H.

Siano γ1 ∈ G, γ1(x) = x + b′ e γ1 ∈ G, γ1(x) = a−1x + ba−1, a−1 ∈ Hperchè a ∈ H; risulta γαγ = γ1αγ1.

ii) Sia γ ∈ G, γ(x) = aσ(x)+b′, a, b′ ∈ K, a ∈ K∗−H; risulta γαγ(x) =b′σ(x)+b′σ(b)−a

σ(x)+σ(b), detγαγ = a ∈ K∗ −H.

Siano γ1 ∈ G, γ1(x) = x+b′ e γ1 ∈ G, γ1(x) = a−1σ(x)+σ(b)a−1, a−1 ∈K∗ −H perché a ∈ K∗ −H; risulta γαγ = γ1αγ1.

Rimane così provato che GαG ⊂ GαG; analogamente si dimostra che

GαG ⊂ GαG e pertanto si ha GαG = GαG.(4) Per come definiti G e G segue che GG ⊂ G e GG ⊂ G.(5) Per dimostrare che αGα ⊂ G ∪GαG distinguiamo due casi.

i) Sia γ ∈ G, γ(x) = ax + b, a, b ∈ K, a ∈ H; risulta αγα(x) = −xbx−a

.Se b = 0 allora detαγα = a−1 ∈ H e αγα ∈ G; se b 6= 0 allora αγα(∞) =α(b) 6= ∞ e perciò αγα /∈ G ma esistono γ1 ∈ G, γ(x) = x − ab−1, eγ1 ∈ G, γ1(x) = ab−2x− b−1, tali che αγα = γ1αγ1 ∈ GαG.

ii)sia γ ∈ G, γ(x) = aσ(x) + b, a, b ∈ K, a ∈ K∗−H; risulta αγα(x) =−σ(x)

bσ(x)−a. Se b = 0 allora detαγα = a−1 ∈ K∗ − H e αγα ∈ G; se b 6= 0

allora αγα(∞) = α(b) 6= ∞ e perciò αγα /∈ Gma esistono γ1 ∈ G, γ1(x) =x− σ−1(ab−1), e γ1 ∈ G, γ1(x) = ab−2σ(x)− b−1, tali che αγα = γ1αγ1 ∈Gαγ1 ∈ GαG.

Le ipotesi del teorema 6.2.1 sono dunque verificate e pertanto G∗ =G ∪GαG è un insieme strettamente 3-transitivo su E∗ = K ∪ ∞.

Verifichiamo infine che G∗ = G(pn, σ).Dimostriamo che G∗ ⊂ G(pn, σ); si ha G∗

∞ = G ⊂ G(pn, σ), inoltreanche GαG ⊂ G(pn, σ) perchè considerata γ ∈ G, γ(x) = x+b; si possonoavere due casi:

i) γ ∈ G, γ(x) = ax+ b′, a, b′ ∈ K, a ∈ H;

ii) γ ∈ G, γ(x) = aσ(x) + b′, a, b′ ∈ K, a ∈ K∗ −H;


ma in entrambi i casi risulta γαγ ∈ G(pn, σ). Dunque G∗ ⊂ G(pn, σ).Poichè |G∗| = |G(pn, σ)| = (pn + 1)pn(pn − 1) si ha G∗ = G(pn, σ).

CAPITOLO 8

Gruppi e Insiemi k-omogenei.

in fase di completamento.

54

CAPITOLO 9

Trasformazione di (k,n)-strutture

In questo capitolo si illustra un procedimento mediante il quale da una (k,n)-struttura se ne costruisce un’altra non necessariamente isomorfa. Questo procedi-mento è dovuto a P.Quattrocchi e L.A.Rosati ′′Trasformation of design and otherincidence structures′′, Geometriae Dedicata, 44 (1992), 233-240.

Trasformare una (k,n)-struttura di incidenza permette:• di ottenere nuove strutture;• di trasportare una dimostrazione da una struttura ottenuta per trasfor-

mazione alla struttura di partenza, o viceversa.

1. Definizioni e prime proprietà

Definizione 9.1.1. Siano k ed n due numeri cardinali con k finito. Si definisce(k,n)-struttura ogni struttura di incidenza che gode delle seguenti proprietà:

• k punti distinti P1, P2, . . . , Pk incidono ad un unico blocco;• l’insieme dei punti incidenti ad un qualunque blocco ha cardinalità n.

Se (P ,B, I) è una (k,n)-struttura denoteremo con < P1, P2, . . . , Pk > il bloccoincidente i punti P1, P2, . . . , Pk e denoteremo con BI = P ∈ P | PIB l’insiemedei punti che incidono il blocco B ∈ B.

Definizione 9.1.2. Sia (P ,B, I) una (k,n)-struttura, F ⊂ B una famiglia diblocchi e f una permutazione sull’insieme P dei punti. Si dice che la struttura diincidenza (P ,B, I) è trasformabile e che F , f è un sistema di trasformazioneper (P ,B, I) se e solo se, comunque presi k punti distinti, P1, P2, . . . , Pk, si ha che< P1, P2, . . . , Pk >∈ F se e solo se < f(P1), f(P2), . . . , f(Pk) >∈ F .

Osservazione 9.1.3.Se f ∈ Sym P ha periodo finito la condizione a) implica la condizione b), con

a) < P1, P2, . . . , Pk >∈ F ⇒ < f(P1), f(P2), . . . , f(Pk) >∈ F55

CAPITOLO 9 - Trasformazione di (k,n)-strutture 56

b) < f(P1), f(P2), . . . , f(Pk) >∈ F ⇒ < P1, P2, . . . , Pk >∈ F .Infatti se f ha periodo finito, esiste r ∈ N tale che f r è l’identità e pertantoapplicando ripetutamente la condizione a) si ottiene b).In particolare se la struttura di incidenza (P ,B, I) è finita, certamente f ha periodofinito perchè il gruppo Sym(P) è di ordine finito, dunque nel caso finito a) implicasempre b).

Definizione 9.1.4. Sia (P ,B, I) una (k,n)-struttura e F , f un sistema ditrasformazione per (P ,B, I). Definiamo una nuova relazione di incidenza J tra ipunti ed i blocchi nel seguente modo:se B /∈ F allora PJB se e solo se PIB,se B ∈ F allora PJB se e solo se f(P )IB.

La struttura (P ,B,J ) è detta struttura trasformata di (P ,B, I) tramite ilsistema di trasformazione F , f.

Inoltre per ogni b ∈ B si definisce BJ = P ∈ P | PJB.

Si noti che dalla definizione posta segue che l’incidenza J trasforma un bloccodi F in un blocco di F mentre trasforma un blocco di B − F in sé stesso (non èdetto punto per punto).

Osservazione 9.1.5.B Se B /∈ F si ha PJB se e solo se PIB, ossia BJ = BI .B Se B ∈ F si ha PJB se e solo se f(P )IB, ossia BJ = f−1 (BI) infattiBJ = P ∈ P | PJB = P ∈ P | f(P )IB ed essendo f biunivoca si ha BI == P ∈ P | PIB = f(P ) ∈ P | f(P )IB = Q ∈ P | f−1(Q)JB.

Teorema 9.1.6. Sia (P ,B, I) una (k,n)-struttura. Se (P ,B,J )è la strutturatrasformata di (P ,B, I) tramite il sistema di trasformazione F , f allora (P ,B, I)è la struttura trasformata di (P ,B,J ) tramite F , f−1.

Dimostrazione. Sia B l’unico blocco cui sono J -incidenti P1, P2, . . . , Pk; seB ∈ F si ha Pi JB se e solo se f(Pi) IB per i = 1, 2, . . . , k, ossia se e solo seB =< f(P1), . . . , f(Pk) >∈ F . Poichè F , f è un sistema di trasformazione si haanche B ′ =< P1, . . . , Pk >∈ F .

Siano Qi ∈ P tali che f(Qi) = Pi per i = 1, 2, . . . , k; poichè B ′ ∈ F siha che Qi = f−1(Pi)JB ′ per i = 1, 2, . . . , k, quindi l’unico blocco di (P ,B,J )J -incidente f−1(P1) , f

−1(P2) , . . . , f−1(Pk) appartiene ad F .

Analogamente si dimostra che se l’unico blocco J -incidente f−1(P1), . . . , f−1(Pk)

appartiene ad F allora anche l’unico blocco di (P ,B,J ) J -incidente P1, . . . , Pk

appartiene ad F . Quindi F , f−1 è un sistema di trasformazione di (P ,B,J ).Sia (P ,B, I ′) la struttura di incidenza trasformata di (P ,B,J ) mediante F , f−1.I ′ è così definita:


se B /∈ F allora PI ′B ⇔ PJB ⇔ PIB;se B ∈ F allora PI ′B ⇔ f−1(P )JB ⇔ f (f−1(P )) = PIB.

Dunque, poichè I = I ′, la struttura trasformata di (P ,B,J ) mediante F , f−1è (P ,B, I).

D’ora in avanti con < P1, P2, . . . , Pk > indichiamo il blocco incidente i puntiP1, P2, . . . , Pk secondo la relazione I.

Teorema 9.1.7. La struttura trasformata di una (k,n)-struttura è ancorauna (k,n)struttura.

Dimostrazione. Sia B ∈ B. Se B /∈ F allora PJB se e solo se PBI e perciòl’insieme dei punti J -incidenti B ha cardinalità n perchè sono esattamente i puntiI-incidenti B. Se B ∈ F allora PJB se e solo se f(P )IB; siano Q1, . . . , Qn i puntiI-incidenti B e siano P1, . . . Pn i punti tali che F (Pi) = Qi con i = 1, 2, . . . , n, allorai punti J -incidenti B sono esattamente n punti P1, P2, . . . , Pn.

Consideriamo ora k punti distinti: P1, P2, . . . Pk e sia B =< P1, P2, . . . , Pk >l’unico blocco passante per essi nella struttura di partenza. Se B /∈ F alloraB è l’unico blocco in B − F che è J -incidente P1, P2, . . . Pk. Inoltre non esistenessun blocco C ∈ F tale che Pi J C, per i = 1, 2, . . . , k perchè in caso contrariosi avrebbe C =< f(P1), . . . , f(Pk) > ∈ F da cui B =< P1, . . . , Pk > ∈ F control’ipotesi. Dunque B è l’unico blocco J -incidente P1, P2, . . . , Pk.

Analogamente si dimostra che se B =< P1, . . . , Pk > ∈ F allora considerati ipunti Qi = f(Pi), i = 1, 2, . . . , k, si ha che < Q1, Q2, . . . , Qk > è l’unico bloccoJ -incidente P1, P2, . . . , Pk.

Nota 9.1.8. Un piano affine (finito o no) è una (2,n)-stuttura e pertanto questoprocedimento di trasformazione può essere applicato in particolare ai piani affini.È importante osservare che se il piano affine è finito allora esso viene trasformato inun piano affine perchè l’assioma di Euclide è conseguenza dell’ipotesi di finitezzamentre se il piano affine è di ordine non finito il suo trasformato è ancora una(2,n)-struttura ma non è detto che questa sia un piano affine perchè può nonvalere l’assioma di Euclide come mostra il seguente esempio.

Esempio 9.1.9. Sia π il piano affine costituito sul campoQ dei numeri raziona-li ossia P = Q×Q è l’insieme dei punti, B = r | r : ax+ by + c = 0 a, b, c ∈ Q ,a, b non entrambi nulli è l’insieme delle rette.

Si consideri l’applicazione σ : Q → Q definita da:

σ(x) =

−2

x, per −2 < x < −1

x+ 3 per x ≤ −2 o x ≥ −1


σ è biunivoca e strettamente crescente.

Sia f la permutazione dei punti di π definita da f(x, y) = (σ(x), y). Sia Fla famiglia delle rette di π di equazione ax + by + c = 0 con ab > 0. La coppiaF , f è un sistema di trasformazione per π. Infatti:

(1) f è una permutazione sui punti di π.

Dimostrazione. f è una applicazione biettiva perché definita a par-tire da σ e identità che sono entrambe applicazioni biettive.

(2) Comunque presi due punti distinti P ed R, la retta PR ∈ F se e solo sela retta f(P ) f(R) ∈ F .

Dimostrazione. Siano P = (x1, y1) e R = (x2, y2) due punti distin-ti. La retta PR ha equazione (y1 − y2)x − (x1 − x2)y + x1y2 − x2y1 = 0e PR ∈ F se e solo se (y1 − y2) (x1 − x2) > 0. La retta f(P ) f(R) ∈ Fha equazione (y1 − y2)x − (σ(x1) − σ(x2))y + σ(x1)y2 − σ(x2)y1 = 0 ef(P ) f(R) ∈ F se e solo se (y1 − y2)(σ(x1) − σ(x2)) > 0. Pertano dimo-strare che PR ∈ F se e solo se f(P ) f(R) ∈ F equivale a dimostrare che(x1−x2) e (σ(x1)− σ(x2)) hanno lo stesso segno; poiché σ è strettamentecresente si ha (x1 − x2) > 0 se e solo se x2 > x1 se e solo se σ(x1) > σ(x2)se e solo se σ(x1)− σ(x2) > 0.

Rimane dunque provato che F , f è un sistema di trasformazioneper π.

Verifichiamo ora che la (2, n)-struttura π∗ trasformata di π non è unpiano affine. Consideriamo in π la retta t : 3x − 2y + 3 = 0, poiché3 (−2) < 0 si ha t /∈ F e pertanto i punti J -incidenti t sono tutti esoli i punti I-incidenti t e quindi in π∗ la retta t è rappresentata ancoradall’equazione 3x− 2y + 3 = 0.

Analogamente la retta r : 3x − 2y − 1 = 0 è rappresentata dallastessa equazione sia in π che in π∗ perché r /∈ F . Inoltre r è J -incidenteil punto P = (−1, −2) ed è J -parallela a t.

Consideriamo ora la retta s che in π ha equazione s : x + y = 0;s ∈ F e perciò in π∗ è rappresentata dall’equazione σ(x) + y = 0 e on π∗il punto P è J -incidente s. Inoltre in π∗ le rette t ed s sono J -paralleleinfatti t ed s sono J -incidenti in un punto se e solo se il sistema:

3x −2y +3 = 0σ(x) +y = 0

ammette una soluzione razionale ossia se esiste x ∈ Q tale che 3x+2σ(x)+3 = 0. Distinguiamo due casi:

CAPITOLO 9 - Piani di Moulton 59

(a) x ∈ (−∞,−2] ∪ [−1,+∞). Si ha σ(x) = x+ 3 e l’equazione diventa

3x + 2x + 6 + 3 = 0 che ammette come unica soluzione x =−9

5,

questo valore è però non accettabile perché−9

5∈ (−2,−1).

(b) x ∈ (−2,−1).

Si ha σ(x) = −2

xe l’equazione diventa 3x − 4

x+ 3 = 0 che ammet-

te come soluzioni x =−3 +

√57

6e x =

−3−√

57

6entrambe non

accettabili perché non razionali.In π∗ esistono dunque due rette, r ed s, entrambe J parallele allaretta t ed entrambe J -incidenti il punto P , ne consegue che π∗ nonè un piano affine perché in esso non vale l’assioma di Euclide.

Più in generale, in analogia a quanto dimostrato nell’esempio 9.1.9, si dimostrala seguente proposizione.

Teorema 9.1.10. Sia K un sottocampo del campo R dei numeri reali e siaπ il piano affine costruito su K. Sia σ : K → K un’applicazione strettamentecrescente, f la permutazione sui punti di π definita da f(x, y) = (σ(x), y) e sia Fla famiglia di rette di π aventi equazione ax+ by + c = 0 con a b > 0.

(1) La coppia F , f è un sistema di trasformazione per π.(2) Se K = R allora la struttura trasformata di π è sempre un piano affine.

2. Piani di Moulton

In questo paragrafo mostriamo come si possono ottenere i piani di Moultonapplicando il metodo di trasformazione delle (k,n)-strutture. Poiché i piani diMoulton sono non desarguesiani mentre i piani affini da cui si ottengono per trasfor-mazione sono desarguesiani, questo è un ulteriore esempio che una (k,n)-strutturae la sua trasformata possono essere non isomorfe.

Sia G = AG(1,K) il gruppo affine e sia π il piano affine associato a G.Sia h ∈ R+, h 6= 0, 1 , e sia σ : R→ R definita da

σ(x) =

x se x ≤ 0hx se x > 0

;

l’applicazione σ è biettiva e strettamente crescente.

CAPITOLO 9 - Trasformazione di gruppi di permutazioni strettamente 3-transitivi 60

Sia f ∈ SymK2 definita da f(x, y) = (σ(x), y) e sia

F = r : ax+ by + c = 0 | a, b, c ∈ R, ab > 0la famiglia di rette del piano affine π aventi coefficiente angolare negativo (sonoquindi esclusi gli assi). Per la proposizione 8.1.9 la coppia F , f è un sistema ditrasformazione per π.

Considerata l’aplicazione σ sopra definita, al variare di h si ottengono altret-tanti sistemi di trasformazione che applicati a π determinano una famiglia di pianiaffini π∗. In questa trasformazine si ha che:

(1) le rette di π con coefficiente angolare positivo e le rette parallele agli assicartesiani non vengono modificate e perciò sono le stesse di π∗;

(2) le rette di π con coefficiente angolare negativo non vengono modificate neipunti di ascissa negativa mentre vi è una diffrazione nei punti di ascissapositiva;

(3) la diffrazione ′′devia′′ le rette verso il basso se 0 < h < 1, verso l’alto seh > 1.

I piani π∗ ottenuti dalla trasformazione di π sono i piani di Moulton e risul-tano essere piani affini non desarguesiani mentre π è un piano affine desarguesiano.

Ricordiamo che un piano affine è detto desarguesiano se in esso vale il teoremadi Desargues.

Teorema 9.2.1 (Teorema di Desargues). In un piano affine π, consi-derati i triangoli ABC e A′B′C ′, se AC ‖ A′C ′, AB ‖ A′B′, BC ‖ B′C ′ alloraAA′ ‖ BB′ ‖ CC ′.

3. Trasformazione di Insiemi di Permutazioni

Come noto ad un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo su E, |E| =n, rimane associata in modo naturale una struttura di incidenza che è una (k, n)- struttura. A partire dal metodo di trasformazione delle (k,n) - strutture, sipuò pertanto stabilire sotto quali ipotesi è possibile trasformare un insieme dipermutazioni su E strettamente k-transitivo su E (finito o no), in un insieme dipermutazioni su E ancora strettamente k-transitivo su E.

Teorema 9.3.1. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivosu un insieme E, finito o no, tale che 1E ∈ G. Sia G1 ⊂ G, 1E ∈ G1, G2 = G−G1

e sia σ ∈ SymE. Se valgono le seguenti condizioni:(1) g−1

2 g1 ∈ G per ogni g1 ∈ G1 e per ogni g2 ∈ G2;


(2) comunque presi x1, x2, ..., xk ∈ E distinti, esiste g1 ∈ G1 tale che g1(xi) =σ(xi) per i = 1, 2, ..., k;

allora G1 ∪G2σ è un insieme di permutazioni su E strettamente k-transitivo econtenente la permutazione identità.

Dimostrazione. A partire dall’insieme G definiamo una opportuna strutturad’incidenza nel seguente modo. Sia A = (x1, x2, ..., xk)|xi ∈ E, xi 6= xjsei 6=j; i, j = 1, .., k l’insieme delle k-uple di elementi distinti di E; definiamo insiemedei punti l’insieme P = A× A. Nel seguito se P ∈ P scriveremo P = (x, y) conx = (x1, ..., xk), y = (y1, y2, ..., yk). Inoltre per ogni g ∈ G scriveremo g(x) = y seg(xi) = yi per i = 1, 2, ..., k.

A partire da g ∈ G definiamo blocco Bg l’insieme dei punti (x, g(x)) ossiaBg = (x, g(x)) | x ∈ A. Sia B = Bg | g ∈ G l’insieme dei blocchi.

Per ogni P = (x, y) ∈ P diciamo che (x, y)IBg se e solo se g(x) = y; in questocaso useremo anche la notazione P I Bg.

La struttura (P ,B, I) così definita è una struttura di incidenza. In particolare(P ,B, I) è una (1, |A|)-struttura per la stretta k-transitività diG e per come definitii blocchi.

Determiniamo ora un sistema di trasformazione per (P ,B, I). Se P = (x, y) ∈P definiamo f(P ) = (σ(x), y) e poniamo F = Bg | g ∈ G2. Indichiamo con l’unico blocco I-incidente il punto P ∈ P ; inoltre osserviamo che da (1),essendo 1E ∈ G1, segue che per ogni g2 ∈ G2 risulta g−1

2 ∈ G2 e quindi da (1)segue anche g−1

1 g2 ∈ G2 per ogni g1 ∈ G1 e per ogni g2 ∈ G2.Dimostriamo che F , f è un sistema di trasformazione ossia che

 ∈ F se e solo se < f(P ) > ∈ F .

Sia P = (x, y).• Se P ∈ F allora < f(P ) > ∈ F . Infatti da ∈ F segue che esiste ed

è unico g2 ∈ G2 tale che y = g2(x), inoltre per la stretta k-transitività di Gesiste ed è unico g ∈ G tale che y = g(σ(x)) e pertanto g2(x) = gσ(x). Per(2) esiste g1 ∈ G1 tale che g1(x) = σ(x) e perciò gg1(x) = gσ(x) = g2(x)da cui g1(x) = g−1g2(x). Se g ∈ G1 allora g−1g2 ∈ G2 ma ciò è assurdoperchè G è strettamente k-transitivo e g−1g2 = g1 ∈ G1. Allora g ∈ G2 epertanto < f(P ) > ∈ F .

• Se < f(P ) > ∈ F allora ∈ F . Infatti esiste g2 ∈ G2 tale chey = g2σ(x). Per la (2) esiste g1 ∈ G1 tale che g1(x) = σ(x) e quindig2g1(x) = g2σ(x) = y. Ricordando che g−1

2 ∈ G2 per ogni g2 ∈ G2, per la(1) si ha g2g1 ∈ G2 e dunque ∈ F .

Rimane pertanto dimostrato che F , f è un sistema di trasformazione e lastruttura trasformata di (P ,B, I) mediante questo sistema è una (1, |A|)-struttura(P ,B, J). Ciò significa che per ogni x, y ∈ A esiste una ed una sola permutazioneβ ∈ G tale che (x, y)JBβ e si ha


• β(x) = y se β ∈ G1;• βσ(x) = y se β ∈ G2.

Perciò G1 ∪ G2σ è un insieme di permutazioni strettamente k-transitivo su Econtenente la permutazione identità 1E.

Se consideriamo un gruppo G strettamente k-transitivo su E, allora l’ipotesi(1) del teorema 9.3.1 è soddisfatta se e solo se G1 è un gruppo, mentre l’ipotesi(2) equivale a richiedere che se g2 ∈ G2 allora g2 e σ agiscono allo stesso modo sual più (k − 1) elementi distinti. Valgono infatti i seguenti teoremi.

Teorema 9.3.2. Sia G un gruppo di permutazioni strettamente k-transitivosu E, finito o no. Sia G1 ⊂ G, 1E ∈ G1, G2 = G−G1 e sia σ ∈ SymE. Risultag−12 g1 ∈ G2 per ogni g1 ∈ G1 e per ogni g2 ∈ G2 se e solo se G1 è un gruppo.

Dimostrazione. Sia g−12 g1 ∈ G2 per ogni g1 ∈ G1 e per ogni g2 ∈ G2; di-

mostriamo che G1 è un gruppo provando che per ogni g1, h1 ∈ G1 si ha g1h−11 ∈

G1.Supponiamo per assurdo che sia g1h

−11 ∈ G2; allora per l’ipotesi fatta si ha

anche (g1h−11 )−1g1 ∈ G2 ossia h1 ∈ G2 e ciò è assurdo.

Viceversa sia G1 un gruppo. Dimostriamo che g−12 g1 ∈ G2 per ogni g1 ∈ G1 e

per ogni g2 ∈ G2. Siano g1 ∈ G1 e g2 ∈ G2, essendo G gruppo si ha g−12 g1 ∈ G;

supponiamo per assurdo che sia g−12 g1 ∈ G1. In questo caso è anche g1(g

−12 g1)

−1 ∈G1 ossia g2 ∈ G1 e ciò è assurdo.

Teorema 9.3.3. Sia G un insieme di permutazioni strettamente k-transitivosu un insieme E, finito o no, tale che 1E ∈ G. Sia G1 ⊂ G, 1E ∈ G1, G2 = G−G1

e sia σ ∈ SymE. Allora comunque presi x1, x2, ..., xk ∈ E distinti, le seguenti duecondizioni sono equivalenti:

(1) esiste g1 ∈ G1 tale che g1(xi) = σ(xi), i = 1, 2, ..., k;(2) non esiste g2 ∈ G2 tale che g2(xi) = σ(xi), i = 1, 2, ..., k.

Dimostrazione. Supponiamo valga la (1); non può esistere g2 ∈ G2 cheagisce come σ su k elementi distinti di E perchè risulterebbe contraddetta la strettak-transitività di G.

Supponiamo valga la (2); presi x1, x2, ..., xk ∈ E distinti, per la stretta k-transitività di G esiste g ∈ G tale che g(xi) = σ(xi)i = 1, 2, ..., k. Per la (2) lapermutazione g 6∈ G2 e pertanto g ∈ G1.

CAPITOLO 9 - Trasformazione di Insiemi di Permutazioni 63

4. Trasformazione di gruppi di permutazioni strettamente 3-transitivisu insiemi finiti

Nel capitolo 4 sono stati descritti gli insiemi di permutazioni strettamente 3-transitivi su insiemi finiti contenenti la permutazione identità finora noti. Questiinsiemi possono essere ritrovati applicando opportunamente il metodo di trasfor-mazione introdotto in questo capitolo.

Sia K = GF (pm) il campo finito di ordine pm e sia E = K∪∞ con∞ 6∈ K. SiaG = PGL(2, pm), G1 = PSL(2, pm), G2 = G−G1 e σ ∈ Aut(K) un automorfismodi K per il quale poniamo σ(∞) = ∞.

Applichiamo il Teorema 9.3.1 di trasformazione.

(1) L’ipotesi (1) del teorema 9.3.1 è verificata perchè G e G1 sono gruppi eper le proprietà dei determinanti e dei quadrati di un campo.

(2) Dimostriamo che vale l’ipotesi (2) del teorema 9.3.1. Anzittutto notiamoche per ogni g ∈ G esiste g ∈ G tale che gσ = σg e g−1g ∈ G1. Infatti

se g(x) =ax+ b

cx+ d, posto a = σ−1(a), b = σ−1(b), c = σ−1(c), d = σ−1(d),

si ha gσ(x) =aσ(x) + b

cσ(x) + d=σ(a)σ(x) + σ(b)

σ(c)σ(x) + σ(d)= σ

(ax+ b

cx+ d

)= σg(x) dove

g(x) =ax+ b

cx+ d.Inoltre da ad − bc è un quadrato se e solo se ad − bc =

σ(ad − bc) è un quadrato e pertanto o g, g ∈ G1 oppure g, g ∈ G2; inentrambi i casi g−1g ∈ G1 perchè G1 è gruppo di indice 2 in G.

Siano x1, x2, x3 ∈ E distinti. per la stretta 3-transitività di G esiste edè unico g ∈ G = G1 ∪G2 tale che g(xi) = σ(xi), i = 1, 2, 3. Dimostriamoche g ∈ G1; per quanto dimostrato sopra esiste g ∈ G tale che gσ = σge g−1g ∈ G1. Per la stretta 3-transitività di G, esiste h ∈ G tale cheh(x1) = 0, h(x2) = 1, h(x3) = ∞; sia h ∈ G tale che hσ = σh con h−1h ∈G1. Poichè per ogni x ∈ E è g(x) = σ−1g−1σ(x) e h(x) = σ−1hσ(x), si hahg(x) = σ−1hg−1σ(x) per ogni x ∈ E e, ricordando che σ(0) = 0, σ(1) =1, σ(∞) = ∞, risulta hg(x1) = σ−1h(x1) = 0, hg(x2) = σ−1h(x2) =1, hg(x3) = σ−1h(x3) = ∞ e pertanto, per la stretta 3-transitività di G,si ha h = hg ossia g = h−1h. Poichè h−1h ∈ G1 e G1 è gruppo, si ha(h−1h)−1 = h−1h = g ∈ G1 da cui anche g ∈ G.

Rimane così provato che sussiste l’ipotesi (2) del teorema 9.3.1.

Applicando il teorema 9.3.1 a G,G1, G2, σ, si ha che l’insieme G1 ∪ G2σ èstrettamente 3-transitivo su E ed è un gruppo se e solo se σ2 = 1E. Al variare di σin Aut(K) si ottengono tutti gli insiemi ed i gruppi di permutazioni strettamente3-transitivi finiti contenenti la permutazione identità noti.

CAPITOLO 9 - Trasformazione di Insiemi di Permutazioni 64

Nota 9.4.1. Se la caratteristica del campo K è pari, tutti gli elementi di Ksono quadrati e pertanto G = PGL(2,K) = PSL(2,K). In questo caso applicareil teorema 9.3.1 a G considerando G1 = PSL(2,K) non è significativo.

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