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  • Appunti Algebra I Questo documento contiene degli appunti presi durante il corso di algebra I (primo modulo). Mi auguro che possano essere utili a qualcuno.

    Marco Centin, città degli studi di Milano Bicocca, luglio 2007.

  • Indice

    1 Relazioni, funzioni, operazioni 5 1.1 Relazioni e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Congruenze, relazioni compatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Numeri interi 15 2.1 Congruenze modulo n in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Massimo comun divisore in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Congruenze linerari in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Numeri primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3 Strutture algebriche 25 3.1 Semigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Monoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Sottogruppi ciclici e ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Gruppi di permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4 Teoria elementare dei gruppi 37 4.1 Classi laterali, teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Congruenze in gruppi, sottogruppi normali . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Omomorfismi e gruppi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 Classificazione dei gruppi ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Teoremi di isomorfismo per i gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6 Azioni di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.6.1 Esempio: rappresentazione regolare sinistra . . . . . . . . . . . 51 4.6.2 Esempio: rappresentazione regolare destra . . . . . . . . . . . . 51 4.6.3 Esempio: azione per coniugio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.7 Teoremi di Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5 Anelli, corpi, campi 61 5.1 Anelli, domini: definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5.1.1 Esempio: elementi unitari in Z ‹ nZ . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    5.1.2 Esempio: anelli di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.1.3 Teorema di Eulero-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.2 Corpi, campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 Congruenze in un anello, ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4 Anelli quoziente e teoremi di isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Caratteristica di un anello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.6 Ideali principali, domini a ideali principali . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.7 Ideali primi e ideali massimali in un anello . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.8 Domini euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5.8.1 Esempio: divisione di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.8.2 Esempio: gli interi di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    5.9 Domini a fattorizzazione unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.10 Teorema cinese dei resti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.11 Radici di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

  • 1 Relazioni, funzioni, operazioni

    1.1 Relazioni e funzioni

    Definizione 1.1 Siano X e Y insiemi non vuoti. Una relazione tra X e Y è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X × Y . Se R ⊆ X × Y è una relazione e x ∈ X, y ∈ Y sono due elementi tale che (x, y) ∈ R si usa scrivere xRy e si dice che “x è in relazione con y”.

    Definizione 1.2 Siano X, Y, V insiemi non vuoti. Siano R ⊆ X × Y e S ⊆ Y × V due relazioni binarie. Si definisce prodotto o composizione 1 delle relazioni S ed R la relazione

    S ◦R := {(x, v) ∈ X × V : ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ R e (y, v) ∈ S}

    La composizione di relazioni è associativa, cioè se R ⊆ X×Y , S ⊆ Y ×V , T ⊆ V ×W sono tre relazioni allora T ◦ (S ◦R) = (T ◦ S) ◦R. La composizione non è in generale commutativa.

    La definizione qui sopra si può interpretare dicendo che due elementi x ∈ X e v ∈ V sono in relazione tramite S ◦ R se esiste un elemento intermedio y ∈ Y tale che x sia in relazione con y tramite R e y sia in relazione con v tramite S. Si noti che nella definizione la scrittura R ◦S ha senso soltanto se V = X. Anche ponendo X = Y = V in generale la composizione di relazioni non è commutativa.

    Definizione 1.3 Siano X e Y insiemi non vuoti. Una funzione (o applicazione, o mappa) da X a Y è una relazione F ⊆ X × Y tale che:

    ∀x ∈ X ∃! y ∈ Y : (x, y) ∈ F Se F è una funzione si scrive allora F : X → Y per indicare che è una funzione da X a Y . Se (x, y) ∈ F si scrive y = F (x) intendendo con tale scrittura che y ∈ Y è quell’unico valore tale che (x, y) ∈ F . In modo analogo è possibile usare la seguente notazione:

    x F7−→ y

    Dicendo che la funzione F mappa l’elemento x ∈ X nell’elemento y ∈ Y tale che y = F (x). Si definiscono inoltre i seguenti insiemi: ∀A ⊆ X, A 6= ∅, F (A) := {y ∈ Y : ∃x ∈ A : y = F (x)} ∀B ⊆ Y, B 6= ∅, F−1(B) := {x ∈ X : ∃y ∈ B : F (x) = y} F (∅) := ∅; F−1(∅) := ∅ ∀y ∈ Y F−1(y) := F−1({y}) imF := F (X) Si noti che F−1(B) può essere vuoto. L’insieme F (A) è detto immagine di A tramite F . L’insieme F−1(B) è detto controimmagine di B tramite F .

    Definizione 1.4 Siano X, Y, Z tre insiemi non vuoti. Siano f : X → Y e g : y → Z due funzioni. La composizione di f e g è la funzione

    g ◦ f : X → Z x 7−→ g(f(x)) 1Nell’ordine assegnato.

    5

  • La composizione di funzioni è associativa. Cioè se f : X → Y , g : Y → Z, h : Z → T sono tre funzioni si ha:

    h ◦ g ◦ f := (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

    Definizione 1.5 Sia f : X → Y una funzione. Si dice che f è: (i) Iniettiva se ∀x1, x2 ∈ X : x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). (ii) Suriettiva (o surgettiva, o surjettiva) se f(X) = Y . (iii) Biettiva (o bigettiva, o bjettiva) se è suriettiva ed inettiva.

    Osservazione Si noti che la condizione di iniettività di una funzione può essere espres- sa in una forma equivalente dalla proposizione contronominale. Cioè una funzione è iniettiva se e solo se:

    ∀x1, x2 ∈ X : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

    Se X è un insieme non vuoto è possibile definire una funzione su X facendo corri- spondere ogni elemento a se stesso. Cioè considerando la relazione formata da tutte le coppie (x, x) : x ∈ X. Tale applicazione viene detta relazione, applicazione o mappa identica e si denota con il simbolo idX o semplicemente con I. In notazione funzionale idX è quella funzione f : ∀x ∈ x : f(x) = x.

    Definizione 1.6 Sia f : X → Y una funzione. Si dice inversa sinistra di f una funzione g : Y → X tale che:

    g ◦ f = idX

    Se esiste una tale funzione g si dice che f ammette g come inversa sinistra.

    L’esistenza di una inversa sinistra di una funzione è condizione necessaria e sufficiente per la sua iniettività.

    Proposizione 1.1 Sia f : X → Y una funzione. Allora f è iniettiva se e solo se ammette inversa sinistra.

    Dimostrazione. Sia f iniettiva. Sia y ∈ imf . Allora esiste un unico x ∈ X tale che y = f(x). Definiamo g : Y → X ponendo:

    g(y) :=

     x ∈ X : f(x) = y Se y ∈ imf x0 ∈ X : x0 arbitrario Se y /∈ imf

    g è una funzione. Sia x ∈ X. Si ha:

    x f7−→ f(x) ∈ imf g7−→ x

    Quindi g ◦ f = idX . Viceversa, sia g un’inversa sinistra di f . Siano x1, x2 ∈ X tali che f(x1) = f(x2). Allora:

    x1 = (g ◦ f)(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = (g ◦ f)(x2) = x2 Perciò f è iniettiva. �

    6

  • Definizione 1.7 Sia f : X → Y una funzione. Si dice inversa destra di f una funzione g : Y → X tale che:

    f ◦ g = idY

    Se esiste una tale funzione g si dice che f ammette g come inversa destra.

    L’esistenza di una inversa destra di una funzione è condizione necessaria e sufficiente per la sua surjettività.

    Proposizione 1.2 Sia f : X → Y una funzione. Allora f è suriettiva se e solo se ammette inversa destra.

    Dimostrazione. Sia f suriettiva. Allora ∀y ∈ Y f−1(y) 6= ∅. Per ogni y ∈ Y fissiamo xy ∈ f−1(y) e definiamo g : Y → X ponendo ∀y ∈ Y g(y) := xy. g è una funzione. Inoltre:

    y g7−→ xy ∈ f−1(y)

    f7−→ f(x) = y

    Viceversa, sia g : Y → X un’inversa destra di f . Per ogni y ∈ Y si ha:

    f(g(y)) = (f ◦ g)(y) = y = g(y) ∈ f−1(y)

    E quindi f è surgettiva. �

    Corollario 1.3 Sia f : X → Y una funzione. Allora f è biettiva se e solo se ammette inversa sinistra e inversa destra. In tal caso le due inverse coincidono e si dice che f ammette inversa bilatera, o semplicemente che f ammette inversa.

    Dimostrazione. La prima parte della dimostrazione è immediata conseguenza della definizione. Proviamo che le due inverse coincidono. Sia g un’inversa sinistra e h un’inversa destra. Si ha g ◦ f = idX e f ◦ h = idY . Allora:

    g = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = h

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  • 1.2 Relazioni di equivalenza

    Un tipo particolare di re