LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi 1

Appunti ed esercizi su:

Dimostrazioni in algebra elementare

11 marzo 2012

1 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale:francescomarchi.wordpress.comIndirizzo email: fra.marchi@yahoo.it

Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, percio puo capitare che: un paragrafo sia lasciato ameta, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; inumeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano esseredi una qualche utilita: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il piu che puoi da questimateriali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondereprima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’e una sola risposta giusta!).Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verra richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai“costruirti gli esercizi”, dal momento che in alcuni dei miei file di appunti sono presenti esercizi cherimandano ad un archivio finale o a delle appendici, dove sono presenti una serie di equazioni, disequazioni,grafici e altro2.In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”,si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettaglinumerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnantenella scuola secondaria. Laddove ho tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fontioriginali.In ogni caso, per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori,suggerimenti e quant’altro, scrivimi a fra.marchi@yahoo.it.Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS(francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che difisica.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per glistimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazionedi appunti sempre piu completi.

Versione finale

11 marzo 2012.

2Ad esempio, in nell’archivio relativo agli appunti sulle funzioni, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sonoindicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su unfoglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

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INDICE 2

Indice

1 Algebra elementare: dimostrazioni 31.1 Numeri razionali e calcolo con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Monomi, polinomi etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Calcolare, spiegare, dimostrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Altri esempi di dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Un disegno, per chiarire le idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Scomporre il problema della dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.5 Alcuni approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Dimostrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Rappresentazioni grafiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

A Formulario 9A.1 Algebra elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

A.1.1 Proprieta fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9A.1.2 Altre proprieta “di dimostrazione immediata” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9A.1.3 Prodotti cosiddetti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

A.2 Potenze ed esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10A.3 Funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A.3.1 Relazioni tra funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10A.3.2 Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11A.3.3 Formule di duplicazione e di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A.3.4 Formule cosiddette parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12A.3.5 Formule di prostaferesi e di Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A.4 Funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.4.1 Proprieta dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Capitolo 1

Algebra elementare: dimostrazioni

1.1 Numeri razionali e calcolo con le frazioni

1.2 Monomi, polinomi etc.

1.2.1 Calcolare, spiegare, dimostrare

Vogliamo dimostrare le formule relative ai cosiddetti prodotti notevoli, elencate nell’appendice A.1.3.Innanzitutto vogliamo far vedere la differenza fra eseguire un calcolo e fare una dimostrazione. Prendiamo,ad esempio, la formula A.7. Per spiegarla, si potrebbe fare nel seguente modo:

(a− b)(a+ b) = a2 + ab− ab− b2 = a2 − b2

Si tratta di una spiegazione e non di una vera e propria dimostrazione. Infatti:

Definizione 1. Dimostrare una formula significa:

1. Esplicitare le regole che si assumono per vere1, dette ipotesi.

2. Giustificare ciascuno dei passaggi fatti sulla base delle regole considerate come ipotesi.

A seconda di quali regole consideriamo come formule che possiamo utilizzare nella dimostrazione, taledimostrazione sara piu o meno complicata: se prendiamo per buone molte regole, la dimostrazione sarabreve; se possiamo basarci solo su poche regole, la dimostrazione sara piu lunga. Vediamo allora unadimostrazione della formula suddetta, basandoci solo sulle regole elencate nell’appendice A.1.1.

Dimostrazione.

(a− b)(a+ b)A.4= (a− b)a+ (a− b)b A.2

= a(a− b) + b(a− b) A.4= a · a− b · a+ a · b− b · b A.12a

=

a2 − b · a+ a · b− b2 A.2= a2 − a · b+ a · b− b2 A.1

= a2 − b2

Nel primo passaggio abbiamo considerato a− b come “un oggetto unico”, per poter usare la proprietaA.4. Prima di spiegare meglio la cosa, prova a rispondere, da solo, a questa domanda:

1Perche alcune regole possano essere considerate vere senza dimostrazione e altre no e un punto assai delicato e verraapprofondito nel seguito: una vera comprensione del perche arrivera solo dopo aver visto molti esempi, non solo relativiall’algebra, ma anche ad altri settori della matematica.

3

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI 4

Domanda 1. Perche nella dimostrazione precedente abbiamo usato tanti passaggi per “sviluppare leparentesi”? Non potevamo utilizzare subito la proprieta distributiva e scrivere (a− b)(a+ b) = a · a− b ·a+ a · b− b · b?

Non potevamo usare subito la proprieta distributiva perche abbiamo detto che dovevamo fare ladimostrazione usando solo le proprieta dell’appendice A.1.1: e da tali regole risulta che la proprietadistributiva vale solo per distribuire un numero (o una “lettera”, a ad esempio) su due altri numeri; enon che valga per distribuire due numeri su due numeri.Se la richiesta dell’esercizio fosse stata: “dimostrare la formula in questione usando anche le regoledell’appendice A.1.2”, avremmo potuto usare subito la proprieta “doppia distributiva”, la dimostrazionesarebbe stata piu breve e l’esercizio, in un certo senso, piu facile.Per sintetizzare: anche nella richiesta di un esercizio di dimostrazione deve essere messo bene in evidenza“da dove si vuole partire”, cioe quali sono le regole che si possono usare nella dimostrazione.

1.2.2 Altri esempi di dimostrazioni

La dimostrazione fatta nella sezione precedente suggerisce che ci sono alcune formule importanti, cheutilizzeremo spesso, che e percio utile dimostrare. Prova a farlo tu per esercizio: dimostra le formule dellasezione A.1.2 dell’appendice a partire da quelle fondamentali (sezione A.1.1) e da quelle sulle proprietadelle potenze (A.2).

Soluzioni degli esercizi proposti

Dimostrazione della proprieta A.6, (a+ b)(c+ d) = ab+ ad+ bc+ bd:

Dimostrazione.

(a+b)(c+d)A.4= (a+b)c+(a+b)d

A.2= c(a+b)+d(a+b)

A.4= ca+cb+da+db

A.2= ac+bc+ad+bd

A.3= ac+ad+bc+bd

Dimostrazione della proprieta A.5, (a+ b)c = ac+ bc:

Dimostrazione.(a+ b)c = . . .

1.2.3 Un disegno, per chiarire le idee

Tutto quello che abbiamo detto puo essere chiarito con un disegno, chiamato grafo, proposto nella figura1.1.In tale disegno trascriviamo, dentro dei rettangoli, detti nodi del grafo, tutte le proprieta di cui abbiamoparlato: sia quelle “prese per buone”, sia quelle dimostrate. Per dimostrare la A.6, cosa che abbiamofatto nel paragrafo precedente, abbiamo usato, nel corso della dimostrazione, tre proprieta: commutativadella somma (A.3), distributiva del prodotto (A.4), commutativa del prodotto (A.2). Percio, da quelletre formule facciamo partire delle frecce verso la formula “che le utilizza”, ovvero (a + b)(c + d) =ac+ ad+ bc+ bd.Si puo fare la stessa cosa con il prodotto notevole dimostrato nella sezione precedente e cosı con tutte lealtre formule. E’ chiaro che cosı facendo il grafo si riempie molto velocemente di tante frecce e diventadifficile da capire. Per questo, conviene fare le dimostrazioni “poco per volta”: a partire da quellefondamentali dimostrare le proprieta che abbiamo detto “immediate” (e che potremmo anche chiamare“intermedie”); poi, a partire da queste, dimostrare le proprieta dette prodotti notevoli; poi, a partire daiprodotti notevoli, proprieta ancora piu complicate; e cosı via. Chiariremo la cosa, con un esempio, nellaprossima sezione.

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI 5

Figura 1.1: Dimostrazione di proprieta algebriche e prodotti notevoli: rappresentazione tramite grafo.

Domanda 2. Quali sono le proprieta “prese per buone” e quelle dimostrate e che relazione c’e con lefrecce che collegano le varie proprieta?

I nodi del grafo (ovvero i rettangoli in cui sono contenute le formule) su cui non arrivano frecce sonoproprieta non dimostrate.

Domanda 3. Sulla base del numero di frecce “che arrivano” su di un nodo e di quelle “che partono” daun nodo, quali teoremi (in questo caso quali formule) possono essere considerati piu difficili da dimostrare?E quali teoremi possono essere considerati piu importanti?

1.2.4 Scomporre il problema della dimostrazione

A questo punto dovresti aver capito che, poiche dimostrare una proprieta a partire da poche regolefondamentali puo essere molto lungo, conviene “scomporre” il problema in vari passaggi: a partire dalleregole prese per buone, si dimostrano alcune proprieta; in seguito si potranno usare sia queste, che quellefondamentali per dimostrare un fatto piu complesso.Facciamo un esempio, dimostrando la formula del quadrato di binomio:

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab

Prima lo faremo usando sia le regole dell’appendice A.1.1 che quelle dell’appendice A.1.2; poi, usandosolo quelle dell’appendice A.1.1.La diversa complessita delle dimostrazioni puo essere anche illustrata dai grafi proposti in figura 1.2.

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI 6

Dimostrazione fatta usando anche le “proprieta immediate”

Dimostrazione.

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2abA.12a

= (a+ b)(a+ b)A.6= a · a+ a · b+ b · a+ b · b A.2

=

a · a+ a · b+ a · b+ b · b A.12a= a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2

Il grafo relativo a questa dimostrazione e proposto nella figura 1.2(a).In questa dimostrazione abbiamo usato il fatto che ab + ab = 2ab. E’ una regola di calcolo nota; masi puo dimostrare anch’essa, oppure non ammette dimostrazione? Beh, anche questa regola puo esseredimostrata2.

Dimostrazione fatta usando solo le “proprieta fondamentali”

Dimostrazione.

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2abA.12a

= (a+ b)(a+ b)A.4=

A.4= (a+ b)a+ (a+ b)b

A.2= a(a+ b) + b(a+ b)

A.4=

A.4= a · a+ a · b+ b · a+ b · b A.2

= a · a+ a · b+ a · b+ b · b A.12a= a+ab+ ab+ b=a2 + 2ab+ b2

In pratica, rispetto alla dimostrazione precedente, questa e piu lunga di due passaggi, quelli centrali,che si sono dovuti aggiungere per evitare di usare la proprieta A.6, che non era, in questo secondo caso,ammessa. Questi due passaggi potranno essere evitati in questa ed in ogni altra dimostrazione, se siprendera per buona la A.6, che percio e importante dimostrare una volta per tutte, come abbiamo fattonella sezione 1.2.2.

1.2.5 Alcuni approfondimenti

Perche a− a = 0?

Abbiamo visto fin qui come si dimostrano alcune formule di algebra elementare. In sostanza, dimostraresignifica “prendere per buone” alcune formule e a partire da esse spiegarne altre. Ma questo processo haun termine? In altre parole: quelle regole “prese per buone” possono essere a loro volta dimostrate?La risposta a questa domanda e assai complessa, per cui accenneremo soltanto ad una spiegazione.Detto in termini semplici, “da qualche parte bisogna pur cominciare”. Quindi alcune regole vanno presenecessariamente per buone e tali regole sono dette, a seconda dei casi:

• Assiomi: ad esempio, la proprieta commutativa della moltiplicazione, ab = ba, e un assioma chevale per i numeri (ma non, ad esempio, per le matrici o le trasformazioni geometriche).

2Si puo scrivere infatti:

ab + abA.4= ab · (1 + 1) = ab · 2

A.2= 2ab

Avendo preso per buono che 1+1=2. Si puo dimostrare anche questo? Beh, questa e una domanda che va molto al di ladegli scopi di questi appunti.

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI 7

• Definizioni: una definizione, diversamente da un assioma, non e una vera e propria regola, mauna spiegazione di cosa si intende con un nuovo termine (una nuova operazione, un nuovo terminegeometrico e cosı via). Ad esempio, se non so cosa vuol dire fare il quadrato di un numero, ma socosa vuol dire fare il prodotto, posso definire il quadrato in termini della moltiplicazione: a2 = a · ae la definizione di quadrato. Analogamente, si puo definire la moltiplicazione in termini di qualeoperazione? E qual e tale definizione?

1.3 Esercizi

1.3.1 Dimostrazioni

Esercizio 1

Dimostra le proprieta della sezione A.1.2 dell’appendice utilizzando solo quelle della sezione A.1.1.

Esercizio 2

Dimostra le proprieta della sezione A.1.3 dell’appendice, utilizzando le proprieta proposte nelle sezioniA.1.1, A.1.2, A.2 dell’appendice.

1.3.2 Rappresentazioni grafiche

Rappresenta tramite il software yEd graph editor le formule (tramite dei rettangoli) e le dimostrazioni(tramite delle frecce che collegano i rettangoli) che hai dimostrato negli esercizi precedenti.

CAPITOLO 1. ALGEBRA ELEMENTARE: DIMOSTRAZIONI 8

(a) Grafo relativo alla “dimostrazione breve”.

(b) Grafo relativo alla “dimostrazione lunga”.

Figura 1.2: Dimostrazione della formula del quadrato di binomio: confronto tra la “dimostrazione breve” (basata su fattiintermedi gia dimostrati) e la “dimostrazione lunga” (basata solo sulle regole fondamentali).

Appendice A

Formulario

A.1 Algebra elementare

A.1.1 Proprieta fondamentali

(inverso dell’addizione) a− a = 0 (A.1)

(commutativa del prodotto) a · b = b · a (A.2)

(commutativa dell’addizione) a+ b = b+ a (A.3)

(distributiva del prodotto sull’addizione) a · (b+ c) = a · b+ a · c (A.4)

A.1.2 Altre proprieta “di dimostrazione immediata”

(distributiva dell’addizione sul prodotto) (a+ b)c = ac+ bc (A.5)

(“doppia distributiva”) (a+ b)(c+ d) = ab+ ad+ bc+ bd (A.6)

A.1.3 Prodotti cosiddetti notevoli

(differenza di quadrati) (a+ b)(a− b) = a2 − b2 (A.7)

(quadrato di binomio) (a± b)2 = a2 + b2 ± 2ab (A.8)

(quadrato di trinomio) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc (A.9)

(cubo di binomio) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (A.10)

(somma di cubi) a3 + b3 = (a+ b)(a2 + b2 − ab) (A.11)

9

APPENDICE A. FORMULARIO 10

A.2 Potenze ed esponenziali

an.= a · a . . . · a︸ ︷︷ ︸

n volte

(A.12a)

a0 = 1 (a 6= 0) (A.12b)

am · an = am+n (A.12c)

am

an= am−n (A.12d)

(ab

)n=an

bn(A.12e)

(am)n = am·n (A.12f)

n√am = a

mn (A.12g)

a−n =1

an(A.12h)

aloga x = x (A.12i)

A.3 Funzioni circolari

A.3.1 Relazioni tra funzioni goniometriche

Relazioni fondamentali

sin2 x+ cos2 x = 1 (A.13)

tanx =sinx

cosx(A.14)

APPENDICE A. FORMULARIO 11

Espressione di una funzione in termini delle altre

sinx = ±√

1− cos2 x (A.15a)

= ± tanx√1 + tan2 x

(A.15b)

cosx = ±√

1− sin2 x (A.15c)

= ± 1√1 + tan2 x

(A.15d)

tanx = ± sinx√1− sin2 x

(A.15e)

= ±√

1− cos2 x

cosx(A.15f)

A.3.2 Formule di addizione e sottrazione

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ (A.16a)

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ (A.16b)

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ (A.16c)

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ (A.16d)

tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ(A.16e)

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ(A.16f)

APPENDICE A. FORMULARIO 12

A.3.3 Formule di duplicazione e di bisezione

Duplicazione

sin(2x) = 2 sinx cosx (A.17a)

cos(2x) = cos2 x− sin2 x (A.17b)

= 1− 2 sin2 x (A.17c)

= 2 cos2 x− 1 (A.17d)

tan(2x) =2 tanx

1− tan2 x(A.17e)

Bisezione

sin(x

2

)= ±

√1− cosx

2(A.18a)

cos(x

2

)= ±

√1 + cosx

2(A.18b)

tan(x

2

)= ±

√1− cosx

1 + cosx(A.18c)

A.3.4 Formule cosiddette parametriche

Sia t = tan(x2

). Allora:

sinx =2t

1 + t2(A.19a)

cosx =1− t2

1 + t2(A.19b)

tanx =2t

1− t2(A.19c)

APPENDICE A. FORMULARIO 13

A.3.5 Formule di prostaferesi e di Werner

Prostaferesi

sinx+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y2

(A.20a)

sinx− sin y = 2 cosx+ y

2sin

x− y2

(A.20b)

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y2

(A.20c)

cosx− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y2

(A.20d)

Werner

sinx sin y =1

2[cos(x− y)− cos(x+ y)] (A.21a)

cosx cos y =1

2[cos(x− y) + cos(x+ y)] (A.21b)

sinx cos y =1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)] (A.21c)

A.4 Funzioni logaritmiche

A.4.1 Proprieta dei logaritmi

Laddove non e indicata esplicitamente la base, e inteso che la proprieta vale qualsiasi sia la base.

log(xy) = log x+ log y (A.22a)

log(xy

)= log x− log y (A.22b)

log xn = n log x (A.22c)

loga x =logb x

logb a(A.22d)

loga ax = x (A.22e)

loga a = 1 (A.22f)