Analízis lépésrl - lépésre
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Analízis lépésrl - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna
iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom
Elszó ................................................................................................................................................ vi 1. Sorozatok ........................................................................................................................................ 1
1. Definíció, alapfogalmak ........................................................................................................ 1 2. Konvergens, divergens sorozatok ....................................................................................... 10 3. Nevezetes sorozatok határértékei ........................................................................................ 17 4. Mveletek konvergens sorozatokkal ................................................................................... 20 5. Kritikus határértékek, rendr-elv ........................................................................................ 21 6. Egy pénzügyi alkalmazás .................................................................................................... 23 7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témakörébl ............................................... 24
7.1. Monotonitás, korlátosság ........................................................................................ 24 7.1.1. 1. feladat ..................................................................................................... 24 7.1.2. 2. feladat ..................................................................................................... 27 7.1.3. 3. feladat ..................................................................................................... 29 7.1.4. 4. feladat ..................................................................................................... 30
7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke ........................................... 32 7.2.1. 1. feladat ..................................................................................................... 33 7.2.2. 2. feladat ..................................................................................................... 35 7.2.3. 3. feladat ..................................................................................................... 36 7.2.4. 4. feladat ..................................................................................................... 37 7.2.5. összefoglalás .............................................................................................. 38 7.2.6. 5. feladat ..................................................................................................... 38 7.2.7. 6. feladat ..................................................................................................... 39 7.2.8. 7. feladat ..................................................................................................... 40
7.3. A qn sorozat határértékére visszavezethet feladatok ............................................. 41 7.3.1. 1. feladat ..................................................................................................... 41 7.3.2. 2. feladat ..................................................................................................... 43 7.3.3. 3. feladat ..................................................................................................... 44 7.3.4. 4. feladat ..................................................................................................... 45 7.3.5. 5. feladat ..................................................................................................... 46
7.4. Néhány "∞-∞" típusú kritikus határérték kiszámítása ........................................... 47 7.4.1. 1. feladat ..................................................................................................... 47 7.4.2. 2. feladat ..................................................................................................... 48 7.4.3. 3. feladat ..................................................................................................... 49
7.5. Az (1+1/n)n sorozat határértékére visszavezethet határértékszámítási feladatok . 50 7.5.1. 1. feladat ..................................................................................................... 50 7.5.2. 2. feladat ..................................................................................................... 51 7.5.3. 3. feladat ..................................................................................................... 53 7.5.4. 4. feladat ..................................................................................................... 54 7.5.5. 5. feladat ..................................................................................................... 55 7.5.6. 6. feladat ..................................................................................................... 56
7.6. Feladatok önálló megoldásra ................................................................................. 57 8. Függelék -- Számhalmazok ................................................................................................. 58
2. Sorok ............................................................................................................................................. 62 1. Sorok, bevezet példák ....................................................................................................... 62 2. A sor matematikai fogalma ................................................................................................. 64 3. A mértani sor ....................................................................................................................... 65 4. Konvergencia kritériumok .................................................................................................. 67 5. Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések ............................................................................ 69 6. Szemléltetés ........................................................................................................................ 70 7. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................... 71
3. Függvények .................................................................................................................................. 73 1. Függvény definíciója ........................................................................................................... 73
1.1. Az értelmezési tartomány ....................................................................................... 74 2. Függvénytulajdonságok ...................................................................................................... 76
2.1. Zérushely ................................................................................................................ 76 2.2. Paritás ..................................................................................................................... 76
Analízis lépésrl - lépésre
iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.3. Periodikusság .......................................................................................................... 79 2.4. Monotonitás ............................................................................................................ 80 2.5. Korlátosság ............................................................................................................. 82 2.6. Szélsérték .............................................................................................................. 84 2.7. Konvexitás .............................................................................................................. 85
3. Elemi függvények és függvénytranszformációk ................................................................. 87 4. Összetett függvények .......................................................................................................... 93 5. Inverz függvények ............................................................................................................... 96 6. Néhány további függvény ................................................................................................... 97 7. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 100
4. Függvény határértéke, folytonosság .......................................................................................... 101 1. Függvény határértéke ........................................................................................................ 101 2. A határérték típusai ........................................................................................................... 104
2.1. Véges helyen vett végtelen határérték .................................................................. 104 2.2. Végtelenben vett végtelen határérték .................................................................... 106 2.3. Végtelenben vett véges határérték ........................................................................ 109 2.4. Véges helyen vett véges határérték ....................................................................... 111 2.5. Mikor nem létezik a határérték? ........................................................................... 113
3. Nevezetes függvény határértékek ...................................................................................... 115 4. Folytonosság ..................................................................................................................... 118
4.1. Függvény pontban való folytonossága ................................................................. 118 4.2. Féloldali folytonosság ........................................................................................... 119 4.3. Intervallumon folytonos függvények .................................................................... 119 4.4. Folytonos függvények tulajdonságai .................................................................... 125 4.5. Szakadási helyek fajtái ......................................................................................... 127
5. A határérték és a folytonosság feladatokban ..................................................................... 128 5.1. Szemléleten alapuló feladatmegoldás ................................................................... 129 5.2. Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás ................................................ 134 5.3. Maple gyakorló panel a határérték meghatározására ............................................ 135
6. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 135 5. Differenciálszámítás ................................................................................................................... 137
1. A differenciálszámítás elemei ........................................................................................... 137 1.1. Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény ............................ 137 1.2. Differenciálhatóság és folytonosság ..................................................................... 142 1.3. Differenciálási szabályok ...................................................................................... 143 1.4. Maple ellenrz panel a deriváláshoz ................................................................... 144 1.5. Maple gyakorló panel a deriváláshoz ................................................................... 144 1.6. Középérték tételek ................................................................................................ 145 1.7. Kidolgozott feladatok ........................................................................................... 147
2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 151 6. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................................... 152
1. Alkalmazások .................................................................................................................... 152 1.1. Monotonitás .......................................................................................................... 152 1.2. Szélsérték ............................................................................................................ 152 1.3. Konvexitás, inflexiós hely .................................................................................... 154 1.4. Függvényvizsgálat ................................................................................................ 154 1.5. Példák függvényvizsgálatra .................................................................................. 155 1.6. Érint .................................................................................................................... 169 1.7. Közelítés ............................................................................................................... 170 1.8. Gazdasági feladatok megoldása ............................................................................ 172
2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 177 7. Integrálszámítás ......................................................................................................................... 178
1. Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata .............................................................. 178 2. Integrálási típusok ............................................................................................................. 180 3. Maple gyakorló-ellenrz panel az integráláshoz ............................................................. 182 4. Határozott integrál ............................................................................................................. 182 5. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 185
8. Az integrálszámítás alkalmazásai ............................................................................................... 187 1. Az integrálás alkalmazásai ................................................................................................ 187
1.1. Newton-Leibniz-formula ..................................................................................... 187
Analízis lépésrl - lépésre
v Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.2. Függvénygörbék közti terület .............................................................................. 188 1.3. Függvény átlaga ................................................................................................... 191 1.4. Görbe ívhossza .................................................................................................... 192 1.5. Forgástest térfogata, palástjának felszíne ............................................................ 193 1.6. Súlypont ............................................................................................................... 195
2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 196 9. Kétváltozós függvények I. .......................................................................................................... 198
1. Bevezetés .......................................................................................................................... 198 2. Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése ........................................................... 198 3. Értelmezési tartomány ....................................................................................................... 204 4. Határérték .......................................................................................................................... 210 5. Parciális deriváltak ............................................................................................................ 212 6. Iránymenti derivált ............................................................................................................ 215 7. Megoldott feladatok .......................................................................................................... 217 8. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 218
10. Kétváltozós függvények II. ....................................................................................................... 220 1. Szélsérték ........................................................................................................................ 220
1.1. Fogalmak .............................................................................................................. 220 1.2. Szükséges feltétel ................................................................................................. 220 1.3. Elégséges feltétel .................................................................................................. 224
2. Érintsík ............................................................................................................................ 230 3. Megoldott feladatok .......................................................................................................... 233 4. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 235
Irodalomjegyzék ............................................................................................................................. 236
Elszó
"Én nem csak azért szeretem a matematikát, mert alkalmazni lehet a technikában, hanem fõleg azért, mert szép.
Mert játékos kedvét is belevitte az ember, és a legnagyobb játékra is képes: megfoghatóvá tudja tenni a
végtelent. Végtelenségrõl, ideákról hiteles mondanivalói vannak. És mégis annyira emberi, korántsem az a
bizonyos kétszerkettõ: magán viseli az emberi alkotások soha le nem zárt jellegét." Péter Rózsa
Tapasztalatunk szerint a felsoktatásban tanuló hallgatók számára a matematikai tanulmányaik során az els
féléves analízis a legnehezebben legyzhet akadály. Ennek oka véleményünk szerint az új oktatási szinthez
való alkalmazkodáson kívül az, hogy a végtelen fogalma oly sokszor és különböz formában felbukkan a
tananyagban. Az "Analízis lépésrl - lépésre" cím tananyag fleg a több éve - sokszor több évtizede -
érettségizett levelez hallgatóknak szól, akiknek szükséges apró lépésekre bontani a matematikai
gondolatmeneteket és fel kell idézni a rég elfeledett matematikai fogalmakat is. Reméljük, hogy ez a tananyag
sok hallgató életét teszi könnyebbé, és ahogy Péter Rózsa matematikus szép bevezet idézetében olvashatjuk,
sikerül megfoghatóvá tenni a végtelent.
Tananyagunk Maple programmal készült. A rövid elméleti összefoglalók után a kidolgozott feladatokra
általában két különböz megoldást mutatunk. Az egyik a hagyományos utat választja, a másik azt mutatja meg,
hogy Maple utasítások segítségével hogyan kapjuk meg az eredményt. Sok animációval, szemléltetéssel
szeretnénk az elmélet meértését és a feladatmegoldást segíteni. Minden fejezet végén önálló megoldásra javasolt
feladatokat is közlünk. A nagyon részletesen kidolgozott, sokszor az általános iskolai ismeretekig visszanyúló
feladatmegoldások kifejezetten a több éve végzett levelez szakos hallgatóknak szólnak. Ezek a feladatok
fként az els fejezetben találhatók, itt ismételjük át a legfontosabb matematikai fogalmakat és ööszefüggéseket,
a késbbiekben a részletezés ilyen mélységeire már nincs szükség.
Kaposvár, 2014
1. fejezet - Sorozatok
1. Definíció, alapfogalmak
Eddigi tanulmányainkra visszaemlékezve általában a sorozatokról a számtani és a mértani sorozat jut az
eszünkbe. A sorozatok azonban ennél a két típusnál sokkal változatosabbak lehetnek. A sorozatok általános
definíciója a következ:
A sorozat egy olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív természetes számok halmaza ,
értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.
Sorozatok
2 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Természetesen a fenti ábrán az értelmezési tartománynak és az értékkészletnek is csak egy részhalmaza látható.
A hozzárendelés szabálya például lehet az ábra alapján az, hogy minden pozitív természetes számhoz a
négyzetét rendeljük.
Ha képletben írjuk fel: a1=1 a2=4 a3=9 a4=16 ... an=n2
Látható, hogy az értelmezési tartomány elemei, a pozitív egész számok az alsó indexben, a hozzárendelt értékek,
az értékkészlet elemei pedig az egyenlségjel után vannak.
A fenti halmazábrával bonyolult a sorozatokat szemléltetni. A szokásos ábrázolás, szemléltetés számegyenesen
és koordináta -rendszerben történik. Minden sorozatnak végtelen sok tagja van, de ábrázolni természetesen csak
véges sokat tudunk.
A sorozatokat Maple programban is ábrázolhatjuk számegyenesen és koordináta-rendszerben is.
[ > pointplot({seq([n2, 0], n = 1 .. 10)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12)
Sorozatok
3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > pointplot({seq([n, n2], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12);
Sorozat megadása:
1.képlettel
Sorozatok
, például: ,
an = 5 + 2 n , például: a3 = 5 + 2 ⋅ 3 =11 , a80 = 5 + 2 ⋅ 80 = 165
Ha képlettel adunk meg egy sorozatot bármely elemét gyorsan ki tudjuk számolni úgy, hogy n helyére a sorozat
sorszámát helyettesítjük. Nem ütközik sokkal nagyobb nehézségbe a sorozat 100. elemének kiszámolása, mint
az 1. Ugyanezt nem mondhatjuk el, ha a sorozatot rekurzióval adjuk meg.
2.rekurzióval
A rekurzióval való megadás úgy történik, hogy megadjuk a sorozat els elemét, vagy néhány els elemét, ezután
még egy képzési szabályt is megadunk arról, hogy egy sorozatelem hogyan, milyen mveletekkel képezhet az
elz elembl, vagy elemekbl. Legyen például a sorozat els eleme a1 = 5 , és a további elemek képzési
szabálya an = an-1 + 2 , n = 2, 3, ... , vagyis a sorozat minden elemét (az elst kivéve) úgy kapjuk meg, hogy az
elz elemhez hozzáadunk 2-t. Ekkor a2 = a1+ 2 =5+2=7, a3 = a2+ 2 = 7+2= 9 , ezzel a módszerrel a nagyobb
index tagok kiszámítása hosszú ideig tart.
A legismertebb rekurzív sorozat a Fibonacci-sorozat. Képzési szabálya a következ: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2,
n > 2
A sorozat els és második eleme 1, minden további elemet úgy kapunk meg, hogy összeadjuk a sorozat elz
két elemét. A Fibonacci-sorozathoz nagyon sok érdekesség kapcsolódik. Egészen hihetetlen, hogy hány helyen
fordul el a természetben, alkalmazzák szabályait építészek, képzmvészek, költk, zeneszerzk. Még a tzsde
árfolyammozgásainak leírására is használják, bár ez az alkalmazás sokak által vitatható.
A rekurzív sorozatokkal az a probléma, hogyha pl. a 100. elemét szeretném kiszámítani, akkor minden elemét
meg kell határozni egészen a 99.-ig. Nem lehetséges az 1. pontbeli képlethez hasonló, csak n-tl függ képletet
megadni a rekurzív sorozatokra is? A matematikának külön fejezete foglalkozik a rekurzív sorozatok explicit
képletének megadásával. Milyen típusú sorozatokhoz tudunk megadni képletet, és ha lehetséges a megadás
hogyan?
3. Szöveges utasítással
Ha így adunk meg egy sorozatot nagyon fontos, hogy vigyázzunk a pontos fogalmazásra, hogy egyértelmen
reprodukálható legyen az általunk megadott sorozat. A világ bármely pontján, a különböz elképzettséggel
rendelkez emberek mind ugyanarra a sorozatra gondoljanak, ha hallják a megfogalmazásunkat. Mikor
használjuk ezt a módszert? Ha más módszer nem alkalmas a sorozat megadására, például a sorozat n. eleme
legyen a π n. jegye. Erre valóban nem alkothatunk sem képletet, sem rekurziót.
4. A sorozat néhány elemének felsorolásával
Például a felsorolt elemek legyenek az 5, 7, 9, 11, 13, ... . Ekkor észrevehetjük, hogy a an = 2 n + 3 alkalmas
képzési szabály. Ennek a megadási módnak az a veszélye, hogy a folytatás nem mindig egyértelm.
5. A függvény értelmezési tartományának leszkítésével
Legyen például a függvény az . Az f(x) függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza,
kivéve a 0-t, ha az értelmezési tartományt leszkítjük a pozitív természetes számok halmazára az
sorozatot kapjuk. Ábrázoljuk a függvényt és a sorozatot egy koordináta-rendszerben:
[ >
[ >
[ >
[ > plot([l, f], n = -10 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2]);
A következ példa ugyanerre a megadási módra az függvény és az sorozat.
[ >
[ >
[ >
[ > plot([l, f], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2]);
A sorozatok legfontosabb tulajdonságai:
Korlátosság:
Az an sorozat felülrl korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra.
Megadható egy valós szám, az úgynevezett fels korlát (K), amelynél minden sorozatelem kisebb, vagy egyenl
(más szóval nem nagyobb).
Az an sorozat alulról korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra.
Megadható egy valós szám, az úgynevezett alsó korlát (k), amelynél minden sorozatelem nagyobb, vagy
egyenl (más szóval nem kisebb).
Az an sorozat korlátos, ha alulról és felülrl is korlátos.
A sorozatelemek a két - alsó és fels - korlát között "mozoghatnak".
A következkben néhány sorozatot szemléltetünk korlátaikkal együtt, ha vannak.
A sorozat felülrl korlátos,
= 1
= 3
K = 2, 25
felülrl nem korlátos
Monotonitás:
Az an sorozat szigorúan monoton n, ha an < an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem nagyobb az t megelznél. Számításokban gyakran az an+1 - an > 0 egyenltlenségnek kell
teljesülni.
Az an sorozat monoton n, ha an ≤ an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem nagyobb, vagy egyenl az t megelznél. Számításokban gyakran az an+1 - an ≥ 0
egyenltlenségnek kell teljesülni.
Az an sorozat szigorúan monoton csökken, ha az an > an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem kisebb az t megelznél. Számításokban gyakran az an+1 - an < 0 egyenltlenségnek kell
teljesülni.
Az an sorozat monoton csökken, ha an≥ an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem kisebb, vagy egyenl az t megelznél. Számításokban gyakran az an+1 - an ≤ 0
egyenltlenségnek kell teljesülni.
A korlátosság példáit tartalmazó táblázat els cellájában a sorozat szigorúan monoton csökken, a másodikban
szigorúan monoton n, a harmadikban újra szigorúan monoton csökken, a negyedik cella példája nem monoton.
Példa:
Monotonitás vizsgálata:
Mieltt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány els elemét!
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken. (Vigyázat! Az els néhány elem kiszámítása nem mindig alkalmas
a helyes sejtés megfogalmazására. Egyes sorozatok néhány els eleme monoton n, de lehetséges, hogy a
további elemek monoton csökkennek.)
Számítsuk ki az an+1 - an különbséget, ha negatív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést.
Sorozatok
an+1 - an=
, mert a számláló negatív és a nevez pozitív.
Tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. Ha egy sorozat szigorúan monoton csökken, az els eleme, vagy
bármely annál nagyobb szám alkalmas lesz fels korlátnak, legyen pl. a fels korlát K = 0, 6 . Hogyan
határozzuk meg az alsó korlátot? Számítsuk ki a sorozat egy nagy index tagját, abból talán megsejthetjük az
alsó korlátot.
, ha nagyon szoros alsó korlátot akarunk megadni, úgy tnik, hogy az 1/2 alkalmas lesz, ezt be
kellene bizonyítani. Van most egy egyszerbb módszer is. Látjuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, így a k =
0 biztosan jó lesz alsó korlátnak, és ez nyilvánvaló, bizonyítanunk sem kell.
Nézzük végig a fenti gondolatmenetünket a Maple utasításokkal:
[ >
[ > evalf(a(1(,3) # A sorozat elemeit tizedestörtté alakítjuk, mert így könnyebben össze tudjuk hasonlítani a
tagokat, és sejtést tudunk megfogalmazni a sorozat monotonitására.
Hasonlóan további elemeket is kiszámítunk és tizedestörtté alakítunk.
Sejtés: A sorozat szigorúan monoton csökken.
[ > a(n+1) # A sorozat n+1. eleme
[ > a(n+1)-a(n) # Az n+1. és az n. elem különbsége
[ > simplify(a(n+1)-a(n)) # A különbség lehet legegyszerbb alakra hozása
[ > solve(a(n+1)-a(n) < 0, [n]) # Megvizsgáljuk, hogy a sorozat szigorúan monoton csökken-e? Ez azt jelenti,
hogy n-re megoldjuk az a(n+1)-a(n)<0 egyenltlenséget
[ > s := solve({n > 0, a(n+1)-a(n) < 0}, [n]) # Azt kaptuk, hogy minden pozitív n-re teljesül az egyenltlenség,
tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken. Ezért a fels korlát a sorozat els eleme lesz.
[ > a(1000) # A fels korlátot a sorozat elég nagy index eleme segít megsejteni.
[ > # Megnézzük, hogy sejtésünk
helyénvaló-e?
Igen, minden pozitív n-re igaz a fenti egyenltlenség, tehát valóban jó alsó korlát az 1/2.
[ > l : = [[n, a(n)], $n = 1 .. 10)]; # A sorozat els tíz elemének kiszámítása:
[ > plot([l, k, K], n = 0 .. 10, style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle,
symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0 .. 10, 0 .. 1]); # Szemléltetés a koordináta-rendszerben az alsó
és fels korláttal együtt.
2. Konvergens, divergens sorozatok
A konvergencia és a divergencia a sorozatokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmak. Egyes sorozatok szép nagy,
egyenletes léptekkel gyalogolnak a +∞, vagy a -∞ felé, míg mások egy, vagy több pontba "srsödnek".
Vizsgáljuk elször ezeket a néhány pont köré besrsöd sorozatokat. Hogy tudjuk ezt a szemléletes képet
matematikailag pontosan megfogni? Elször meghatározzuk a környezet fogalmát:
Környezet
Az "a" pont ε > 0 sugarú környezete az ]a- ε,a+ ε[ nyílt intervallum, ahol ε tetszleges pozitív, valós szám.
Torlódási pont
Az an sorozat torlódási pontja "a", ha a tetszleges ε > 0 környezetén belül a sorozatnak végtelen (∞) sok eleme
van. Nagyon fontos kihangsúlyozni, hogy a definíció bármilyen kis ε sugarú környezet esetében igaz, és a
kérdés ekkor érdekes igazán.
A következ táblázatban három sorozatot szemléltetünk, amelyeknek rendre 1, 2 illetve 3 torlódási pontjuk van.
A szemléltetés nem egy egyszer ábra, hanem animáció. Maple-ben a képre kattintva megjelenik az animáció
menü, ahol, ha az FPS: utáni számot kicsire 1, vagy 2 értékre állítjuk az animáció lassabb lesz, és jobban meg
tudjuk figyelni a sorozatok viselkedését. A harmadik sorozat esetében úgy tnik, hogy csak három elemet
ábrázolunk, ez azért látszik így, mert ez a három elem (-1, 0, 1) ismétldik, mindegyik végtelen sokszor.
A sorozatnak egy torlódási pontja A sorozatnak két torlódási pontja A sorozatnak három torlódási pontja
Sorozatok
11 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
van és az a 0. van a 2 és a - 2. van a - 1, 0, és az 1.
Konvergencia
Konvergens csak az a sorozat lehet, ami egyetlen pontba "srsödik", nem lehet több torlódási pontja. Ekkor a
torlódási pontot a sorozat határértékének nevezzük.
Ha a határérték bármilyen kicsi ε > 0 sugarú környezetét vesszük, a sorozatelemek egyszercsak beugranak ebbe
a környezetbe és utána mindig benn is maradnak. Legyen a sorozatnak N db eleme a környezeten kívül. Ekkor
az utolsó elem, ami még nincs a megadott környezetben az aN . Pontosabban ezt így fogalmazhatjuk meg: a
sorozat konvergens és határértéke "a", ha bármely pozitív ε- hoz található egy N ( ε - tól függ) küszöbindex,
hogy ha a sorozat N-nél nagyobb sorszámú elemeit tekintjük, akkor azok a határértékhez, "a"-hoz ε -nál
közelebb lesznek. (A konvergencia 1. definíciója)
Matematikai jelekkel így írható fel a definíció: Az an sorozat konvergens és határértéke "a", ha
(A jelek magyarázata: "∀ " , az ún. univerzális kvantor, jelentése minden, bármely. "∃ " , egzisztenciális kvantor,
jelentése van olyan, létezik) A fenit megfogalmazással ekvivalens definíció a következ: Az an sorozat
konvergens és határértéke "a", ha "a" bármilyen "kis" ε > 0 sugarú, ]a- ε,a+ ε[ környezetén kívül a sorozatnak
véges sok eleme van. (A konvergencia 2. definíciója)
Jelölések: vagy,
Tekintsük újra az sorozatot. Mi lehet a sorozat határértéke? A monotonitás vizsgálatnál
kiszámoltuk a sorozat 1000. elemét, ami elég közel van az 1/2-hez. Nézzük meg, hogy az 1/2 jó lesz-e
határértéknek? Legyen elször ε = 0,05. Számítsuk ki, hogy a sorozat hány eleme lesz az 1/2- nek az ε = 0,05
sugarú környezetén kívül, illetve hányadik elemtl lesznek a sorozatelemek a megadott környezetben?
Sorozatok
Az abszolútérték "elhagyható", mert pozitív számot tartalmaz. < 0,05
Vegyük mindkét oldal reciprokát, ekkor az egyenltlenség iránya megfordul. 2 ⋅ (2n + 3) > 20 ⇒ 4n + 6 > 20 ⇒
4n > 14 ⇒ n > 3,5
Tehát n = 4, 5, ... adódott, vagyis a sorozatelemek a 4. elemtl kezdve vannak az 1/2 -nek az ε = 0,05 sugarú
környezetében. Ezért a küszöbindex N = 3, a sorozatnak csak az els három eleme van a megadott
intervallumon kívül. Általában N, a küszöbszám az egyenltlenség megoldása során kapott eredmény egész
része. Ugyanezt az egyenltlenséget ε = 0,01, ε = 0,001 esetében is oldjuk meg. A kapott küszöbszámok rendre
N = 23, N = 248. Az alábbiakban a Maple utasításokkal történ számolást, majd a kapott eredmények
szemléltetését láthatjuk.
[ > f := simplify(e) # Az egyenltlenség bal oldalának leegyszersítése
[ > solve({(e < 0.5 and n > 0)}, n); # a megoldás 0,05-re
[ > solve({ e < 0.01 and n > 0 },n); a #megoldás 0,01-re
[ > solve({ e < 0.001 and n > 0 },n); a #megoldás 0,001-re
[ > # Az egyenltlenség általános
[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.01])
[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.001])
Sorozatok
A Maple limit utasítása megadja a sorozat határértékét:
[ >
A divergens sorozatok is többfélék lehetnek.
A divergens sorozatok típusai:
• oszcillálva ("ide-oda ugrálva") divergens sorozatok
Akkor tart a +∞-hez egy sorozat, ha bármilyen (nagy) M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem,
ami ennél a számnál nagyobb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem nagyobb lesz M-nél. Az utolsó
elem, ami még nem nagyobb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy,
hogy an > M, ha n > N
Sorozatok
14 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Akkor tart a - ∞-hez egy sorozat, ha bármilyen M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami
ennél a számnál kisebb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem kisebb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami
még nem kisebb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → - ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy, hogy an < M,
ha n > N
korlátos sorozat
[ > limit(n2, n = infinity) ; # +∞-hez tartó sorozat
[ > limit(-2⋅ n+1, n = infinity); # -∞-hez tartó sorozat
[ > limit((-1)n⋅ n, n = infinity); # oszcillálva divergens sorozat
Néhány példa különböz tulajdonságú sorozatokra:
A fenti példákat nézzük meg Maple-ben szemléltetve is. Az els oszlopban számegyenesen ábrázoltuk a
sorozatokat animálva, a második oszlopban koordináta - rendszerben ábrázoltunk, a harmadik oszlopban
összefoglaltuk a legfontosabb tulajdonságokat:
Alulról korlátos k = 1, monoton
növekv, nincs torlódási pontja,
monoton, torlódási pontja 0,
monoton, torlódási pontjai:-1, 0, 1,
oszcillálva divergens
torlódási pontja, oszcillálva
Felülrl korlátos K = -1, monoton
csökken, torlódási pontja nincs,
monoton, torlódási pontjai: -2, 2,
oszcillálva divergens
monoton, torlódási pontjai: -1, 1,
oszcillálva divergens
Észrevehetjük, hogy a példaként szerepl sorozatokban többször elfordul a (-1)n és a (-1)(n+1) kifejezés. n
értékétl függen ezeknek a kifejezéseknek a számértéke, - 1, és +1 felváltva. Ezért szerepük a váltakozó eljel
biztosítása. Ha (-1)n -nel szorozzuk meg a képletet, akkor a sorozat els eleme negatív lesz, a második pozitív és
így tovább, minden páratlan sorszámú elem negatív és minden páros sorszámú pozitív. Ha (-1)(n+1)-nel szorozzuk
meg a sorozat képletét, akkor a páratlan sorszámú elemek lesznek pozitív eljelek és a páros sorszámú elemek
negatívok. A divergens sorozatok határértékét az elbb már megnéztük a Maple limit utasításával. Most nézzük
meg a táblázatban szerepl konvergens sorozatok határértékét:
[ >
[ >
A fenti táblázatban szerepelnek monoton és nem monoton, korlátos és nem korlátos, konvergens és divergens
sorozatok. Tegyünk rendet, vizsgáljuk meg, hogy ezek a sorozat tulajdonságok milyen kapcsolatban vannak
egymással.
A konvergencia, a monotonitás és a korlátosság kapcsolata
Tétel: Ha az an sorozat konvergens, akkor korlátos. A bizonyítás vázlatosan a következképpen szól. Ha egy
sorozat konvergens, akkor a konvergencia 2. definíciója értelmében a határérték tetszleges ε sugarú
környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. Az 1. definíció azt mondja, hogy pontosan N db elem van
az ε sugarú környezeten kívül. De a véges sok elem között mindig van legnagyobb és legkisebb, ami alkalmas
fels ill. alsó korlátnak. Elfordulhat az is , hogy a sorozatnak a környezeten kívül egyáltalán nincs eleme, vagy
csak a + ε - nál nagyobb, vagy a - ε -nál kisebb eleme nincs. Ezért a fels korlát K = maximum{a1, a2, ...aN, a +
ε}, az alsó korlát k = minimum{a1, a2, ...aN, a - ε}. Az ábra egy olyan esetet mutat, ahol a sorozatnak a N db ε
sugarú környezeten kívüli elemei között van a + ε -nál nagyobb, és a - ε -nál kisebb eleme is.
Sorozatok
17 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha az an sorozat korlátos, akkor nem szükségképpen konvergens. Ilyen sorozatok például a táblázat dn, gn, hn
sorozatai. Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a korlátosság a konvergencia szükséges, de nem elégséges
feltétele.
közlünk:
Tétel: Ha az an sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.
DE!
Ha az an sorozat konvergens, akkor nem szükségképpen korlátos és monoton. Ilyen például a cn sorozat, ami
konvergens, de nem monoton.
Ezért: A korlátosság és monotonitás a konvergencia elégséges, de nem szükséges feltétele.
an konvergens an korlátos és monoton
an korlátos és monoton ⇒ an konvergens
Halmaz ábrával:
3. Nevezetes sorozatok határértékei
A következkben néhány nevezetes sorozat határértékét vizsgáljuk meg. Az an=1/n sorozat már többször
elfordult, tudjuk, hogy határértéke 0.
Sorozatok
18 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A második nevezetes sorozat a qn sorozat. Ez különböz alapok esetében másképpen viselkedik. Az alábbi
táblázatban láthatjuk a lényegesen különböz eseteket.
összefoglalva:
Különben osszillálva divergens a sorozat.
Ezután tekintsük az sorozatot, mivel n értéke páros és páratlan szám is lehet fontos az a > 0 kikötés (páros
gyök alatt negatív szám nem állhat!). (A sorozat határértékét különböz a értékekre úgy is megsejthetjük, hogy a
számológépünkbe beírunk egy tetszleges pozitív számot, és elkezdjük "nyomogatni" a gyök billentyt. Ha
sokszor megismételjük a gyökvonás mveletet, akármilyen nagy, vagy akármilyan kicsi számból is indultunk ki
egyszer 1 érték adódik, ami azt jelenti, hogy a sorozat elemek a számológép pontosságánál már jobban
megközelítik az 1-et.)
Szemléltessük ezt a sorozatot is néhány a érték esetében.
Láthatjuk és bebizonyítható, hogy az sorozat határértéke minden pozitív n -re 1. Ha n > 1 , akkor a sorozat
szigorúan monoton csökkenve tart 1-hez, ha n < 1 , akkor szigorúan monoton növekedve, n = 1 esetén a sorozat
természetesen a konstans 1 sorozat lesz.
A következ nevezetes sorozat az , láthatjuk, hogy itt a gyökkitevn kívül a gyök alatti mennyiség sem
állandó, hanem a változó n érték. Mivel n mindig pozitív a gyök alatti mennyiségre nem kell kikötést tennünk,
csak a gyökkitev miatt kell n > 1 -re vizsgálnunk a sorozatot, mivel a legkisebb gyökkitev a 2, más szóval a
négyzetgyök. Elször kiszámítjuk a sorozat határértékét, majd megnézzük a századik elem közelít értékét 20
tizedes jegyig, végül ábrázoljuk a sorozat néhány elemét:
[ >
[ >
[ > Közelítés := evalf(c, 20)
[ >
A sorozat szigorúan monoton csökken az els két elemet kivéve, határértéke 1. Tehát a 4. nevezetes sorozat
határértéke:
A következ nevezetes sorozat egy olyan hatvány, ahol az alap és a kitev is változik. A pénzügyi
számításokban is elfordul, ahogy egy további fejezetben látni fogjuk.
A sorozat:
...
[ >
20 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A határértékre most "nem szám" adódott, hanem azt írta ki a program, hogy e. Mi az e szám és mennyi az
értéke? Az e egy irracionális szám (végtelen nem szakaszos tizedestört), ezért csak közelít értékét tudjuk
megadni, ezt számolta ki a program 20 tizedesig. Milyen irracionális számokat ismerünk még? A π, a
biztosan mindenkinek eszébe jut.
Ha egy kicsit megváltoztatjuk a sorozatot és a zárójelben szerepl tört számlálója tetszleges való szám lesz a
határérték így változik:
Az elbbi részben öt nevezetes sorozat határértékével ismerkedtünk meg, de nyilvánvaló, hogy nem csak ennek
az öt sorozatnak a határértékére vagyunk kíváncsiak. Hogyan tudjuk más sorozatok határértékeit meghatározni
ezekre a nevezetes sorozatokra építve? Erre ad választ a mveletek konvergens sorozatokkal fejezet. Ha adott
két konvergens sorozat an és bn és ismerjük mindkett határértékét, vagyis tudjuk, hogy és
, akkor sorozatok is konvergensek és
Sorozatok
, ahol a > 0
Mit alkalmaztunk? A 2. mveleti azonosságot:
Mit alkalmaztunk? A 3. mveleti azonosságot:
A fenti két mvelet egy más utáni alkalmazásával azt kapjuk, hogy ha egy számot n tetszleges pozitív egész
kitevs hatványával elosztjuk, akkor 0-hoz taró sorozatot kapunk, képletben: , ahol , és
További részletesen kidolgozott feladatok a tananyag 2. fejezetében találhatók.
5. Kritikus határértékek, rendr-elv
Ez elz pontban megismert mveleti szabályok mindig alkalmazhatók sorozatok határértékének kiszámítására?
Sajnos nem, vannak ún. kritikus határértékek, ekkor mindig valami "trükköt " kell alkalmazni a határérték
kiszámítására a mveleti szabályok egyszer alkalmazásával nem érünk célba. Melyek ezek a kritikus
határértékek? És mit értünk azalatt pontosan, hogy kritikus határérték?
Ha egy tört számlálója és nevezje is 0-hoz tart, hova tart a tört? Ez az egyik leggyakrabban elforduló kritikus
határérték. A mveleti szabály azért sem alkalmazható, mert az említett hányadost nem tudjuk értelmezni, de ha
megnézünk néhány ilyen példát láthatjuk, hogy a hányados sorozat határértéke bármi lehet.
Az els példában a számláló , a nevez , mindkett (a számláló és a nevez is) 0-hoz tart, ha n tart ∞-
hez. Ha felhasználjuk a törtek osztásának szabályát (a számlálót az osztó reciprokával szorozzuk), akkor n
adódik, tehát a határérték ∞.
A következ példában cseréljük meg a tört számlálóját és nevezjét. Ekkor is igaz, hogy a tört számlálója és
nevezje is a 0-hoz tart, de az eredmény most , aminek a határértéke 0.
Sorozatok
22 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Végül nézzünk egy olyan példát, ahol a számláló és a nevez is 0-hoz tart, a hányados pedig egy véges
számhoz, mondjuk 2-höz.
Láthatjuk, hogy mi is a probléma ezzel a határérték típussal, nem tudjuk megmondani, hogy mi lesz a hányados
határértéke, mert a konkrét sorozatoktól függen bármi lehet. A többi kritikus határérték esetében is ez okozza a
gondot, az eredmény lehet akármi, 0, ∞, tetszleges valós szám.
összefoglalva a kritikus határértékek:
Ha és , akkor sorozat határértékérl nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékérl nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékérl nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékérl nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékérl nem tudunk semmit sem mondani.
A következben még egy módszert ismertetünk egy sorozat határértékének kiszámítására, ez a
Rendr-elv
Adott három sorozat an, bn és cn , és tudjuk, hogy b1 az a1 és c1 között helyezkedik el a számegyenesen, vagyis a1
≤ b1 ≤ c1, hasonlóan a2 ≤ b2 ≤ c2, és így tovább minden n-re. Továbbá a bn-et közrefogó két sorozat an és cn
határértéke megegyezik, és ez a közös határérték A , akkor bn sorozatnak "sincs más választása, kénytelen lesz"
A -hoz konvergálni.
Egy sorozat határértékét rendr-elvvel meghatározni azért nem könny, mert kell keresnünk egy, a
sorozatunknál elemenként nagyobb és egy, elemenként kisebb sorozatot és még annak is teljesülnie kell, hogy a
két sorozatnak ugyanaz legyen a határértéke.
Nézzünk egy példát!
Számítsuk ki a határértéket! A számláló és a nevez is ∞-hez tart, ez egy "kritikus" határérték.
Sorozatok
23 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Találtunk a sorozatunkhoz elemenként kisebb és nagyobb sorozatot. Most már csak azt kell megnézni, hogy mi
a két közrefogó sorozat határértéke. Tudjuk a 2. nevezetes sorozat határértékét:
, ezért , így a keresett határérték
Szemléltessük eredményünket, ábrázoljuk a három sorozat néhány elemét koordináta - rendszerben:
[ >
[ >
[ >
[ >
Pénzügyi számítások során gyakran találkozunk sorozatokkal, de ez általában egy sorozat néhány értékének
kiszámítása. Például a kamatoskamat számításnál, hitel törlesztrészletének, betét értékének meghatározásánál.
Ezekben a feladatokban a sorozat néhány elemét, vagy néhány elemének összegét kell kiszámítanunk.
Határértéket, a sorozat viselkedését a végtelenben általában nem vizsgáljuk, pedig a matematikai analízis
szempontjából ez lenne az érdekes. Mégis találhatunk olyan pénzügyi példát, ahol a határérték számításra is
szükségünk van.
Az e-hez és e hatványaihoz tartó nevezetes sorozat "pénzügyes " háttere:
"Az e talán nem mindenkinek tnik annyira "természetesnek ". Nevét onnan kapta, hogy többek között olyan
alapvet életfolyamatok modellezésében is találkozhatunk vele, mint a növekedés és a fogyás. Nem is beszélve
arról a szintén alapvet dologról, amely (Erdst leszámítva) gyakran foglalkoztatja az embereket nevezetesen a
pénzrl. Az e központi szerepet játszik a kamatos kamat számításánál. Tegyük fel, hogy 1 dollárt teszünk egy
olyan bankba, ami 100% tkésített kamatot ígér egy évre. Egy másik pénzintézet a tkésítést fél évre vállalja.
Utóbbi esetben jobban járunk, mivel a hat hónap letelte után a befektetett összeg 50%-ának megfelel kamatot
kapunk, azaz 50 centet. Év végére persze már a kamat is kamatozik, így tizenkét hónap elteltével a teljes összeg
2 dollár 25 centre n. Na és mi van akkor, ha az évi 100%-os kamat negyedéves bontásban értend? Egy év után
ebben az esetben már 2 dollár 44 centünk lesz. Ha pedig évente nyolcszor számolunk kamatot, 2 dollár 57 centet
tehetünk zsebre. Végül mi történik, ha a túlságosan is nagylelk Erds Bank folyamatosan kínálja az évi 100%
kamatot? Vajon Erds szavaival élve "végtelenül gazdagok " lennénk-e 12 hónap elteltével? Nem egészen. Az
összeg, amelyre ily módon szert tehetünk, nem lenne több, mint e, vagyis 2,718 - dollár. " Paul Hoffman: A
PRÍM ember ERDS PÁL kalandjai a matematika végtelenjében
Számoljunk végig egy olyan példát, ahol a kamat hozzáadása a tkéhez (tkésítés) nem év végén történik,
hanem félévente, negyedévente, stb.:
Számoljuk ki 1 Ft felnövekedett értékét, ha az éves kamatláb 12% és a tkésítés arányos kamatlábakkal
félévente, negyedévente, havonta, illetve naponta történik.
Félévente: , vagyis a növekedés 12,36%
Negyedévente: , vagyis a növekedés 12,55%
Havonta: azaz , vagyis a növekedés 12,68%
Naponta: az arányos kamatláb ekkor ,azaz , a növekedés 12,70%
Folytonos kamatozás esetén: , ahol m az évi tkésítések száma, i pedig a kamat,
, ami közelítleg 12,75%-os növekedés.
A folytonos kamatozásnál nyert érték a különböz kamatozási folyamatok fels határa. Ha nem 1 Ft, hanem C0;
és nem egy év, hanem n szerepelt volna a példában, akkor az éves kamattényezt még n-dik hatványra kellene
emelni és a C0-lal szorozni.
7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témakörébl
7.1. Monotonitás, korlátosság
7.1.1. 1. feladat
Monotonitás vizsgálata:
25 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Mieltt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány els elemét!
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton n
Számítsuk ki az an+1 - an különbséget, ha pozitív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést.
an+1 felírása: az an képletébe n helyére (n+1)-et írunk, fontos, hogy mindig tegyük zárójelbe! (A zárójel néha
elhagyható, de ha nem vagyunk benne biztosak, hogy mikor, azt javaslom, mindig írjunk zárójelet, mert akkor
biztos nem követünk el hibát.)
A fenti sorban felbontottuk a zárójeleket és összevontunk. Ezután közös nevezre hozzuk a két törtet, mivel a
nevezknek nincs közös tényezje (a legnagyobb közös osztójuk 1) a közös nevez a két nevez szorzata lesz:
Látható, hogy a közös nevezre hozás mindkét törtnél lényegében törtbvítés volt. Az els tört számlálóját és
nevezjét is megszoroztuk n + 3 -mal, a második törtet n + 4 -gyel bvítettük. Most közös a nevez, ezért a
kifejezésünket egy törtként is felírhatjuk, majd a számlálóban felbontjuk a zárójeleket, ezután összevonunk. A
nevezben soha ne végezzük el a szorzást!
A nevez második tagjánál vigyázzunk, a zárójel eltt negatív eljel van, ez azt jelenti, hogy ha felbontjuk a
zárójelet minden tag ellentétes eljel lesz.
A számláló összevonása után kapott tört eljelét már könnyen megvizsgálhatjuk. A számláló 5, ez pozitív, a
nevezben n+4 > 0 és n+3 > 0, mert n > 0, ezért a szorzatuk is, így a nevez is pozitív. Ha egy tört számlálója és
nevezje is pozitív, akkor a tört is az, tehát bebizonyítottuk az állítást, a sejtés igaz, a sorozat szigorúan monoton
n.
Korlátosság vizsgálata:
Ha egy sorozat szigorúan monoton n, vagy monoton n, akkor els eleme mindig alkalmas alsó korlátnak, k =
a1 A fels korlát keresése eltt célszerû kiszámítani a sorozat határértékét.
A sorozat szigorúan monoton növekedve tart 2-höz. Ezért a 2 (de bármely 2-nél nagyobb szám is) alkalmas lesz
fels korlátnak. Nézzük meg, hogy valóban igaz-e, hogy minden sorozat elem (ehhez a sorozat általános
elemével kell elvégezni a vizsgálatot) kisebb, mint 2.
Sorozatok
26 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Vonjunk ki az egyenltlenség mindkét oldalából kettt, majd hozzuk a bal oldali kifejezést közös nevezre:
Vigyázat, negatív eljel a zárójel eltt!!!
Igaz egyenltlenséget kaptunk, mert a bal oldali tört számlálója negatív (-5), nevezje pozitív, mert n > 0, így a
tört is negatív. Tehát a sorozat egy fels korlátjának K = 2 valóban megfelel.
összefoglalva: sorozatunk szigorúan monoton n és korlátos, alsó korlátja k = a1=3/4, fels korlátja K = 2,
konvergens, határértéke is 2. (Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a sorozatok korlátaikkal együtt Excel
programban is szemléltethetk.)
Most nézzük meg, hogy ugyanennek a feladatnak a megoldásában, hogyan segítenek a Maple utasítások?
[ > restart
[ > with(plots):
[ > k := a(1)
[ > limit(a(n), n = infinity)
[ > l := [`$`([n, a(n)], n = 1 .. 10)]
[ > plot([l, k, K], n = 0 .. 10, style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle,
symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0 .. 10, 0 .. 2])
7.1.2. 2. feladat
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken
Sorozatok
28 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Milyen eljel a kapott tört? Számlálója negatív (-8), de vajon a nevez eljele mi lesz? Mindkét szorzótényez
negatív a nevezben, mert n > 0, azért szorzatuk pozitív. A tört negatív lesz, mert a számlálója és a nevezje
különböz eljel.
Korlátosság vizsgálata:
Minden szigorúan monoton csökken és monoton csökken sorozat els eleme alkalmas lesz fels korlátnak,
K = a1 = 6
Az alsó korlát kiszámítása eltt nézzük meg a határértéket:
Alsó korlátnak megfelel lesz a -2, vagy bármely nála kisebb szám. Az alsó korlátnál minden sorozatelemnek
nagyobbnak kell lennie, ezért a következ egyenltlenségnek kell teljesülnie:
an > - 2
Az egyenltlenség igaz, mert a számláló és a nevez is negatív, ezért a tört pozitív. A sorozat szigorúan
monoton csökken, fels korlátja 2, alsó korlátja -2, tehát korlátos a sorozat, és így konvergens is, határértéke -2.
Ezt a feladatot is végigkísérhetjük Maple-ben az elz feladatnál felsorolt utasításokkal. A kapott ábra:
Sorozatok
7.1.3. 3. feladat
n ≠ 5
Kikötést kell tennünk, mert a nevez nem lehet 0. Miért nem tettünk kikötést az elz feladatokban, hiszen ott is
tört tagú sorozataink voltak? Ha tettünk volna kikötést ez az els feladatban n ≠ -3, a másodikban n ≠ 0,5 lett
volna, de ezek az n értékek a sorozatoknál sohasem fordulnak el, mert az n csak pozitív, egész szám lehet.
Monotonitás vizsgálata:
Mit mondhatunk ennek a sorozatnak a monotonitásáról, elször csökken, majd felugrik egy nagyot, és újra
csökkenni kezd. Ha valaki csak az els három tagot számolja ki az a sejtése támadhat, hogy ez a sorozat
szigorúan monoton csökken. Nézzük meg, hogy a szokásos számolásból kiderül-e a sorozat „renitens
viselkedése”, s ha igen hogyan tudjuk észrevenni.
Sorozatok
30 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Vizsgáljuk meg a kapott tört eljelét, a számláló mindig negatív, tehát a tört eljelét a nevez fogja
meghatározni. Ha n < 4 mindkét tényez negatív, a nevez pozitív, a tört negatív, tehát 4-nél kisebb n-ekre a
sorozat szigorúan monoton csökken. Ha n > 5, akkor mindkét tényez pozitív, szorzatuk pozitív, a tört negatív,
ekkor is szigorúan monoton csökken a sorozat. A fenti törtbl a sorozat 4 és 5 közötti viselkedésére nem kapunk
választ, ki kell számítanunk a megfelel sorozatelemeket (amelyiket lehet).
Mondhatjuk azt, hogy a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, általában is elmondhatjuk, hogy a sorozat
viselkedése „nagy” n-ekre érdekel bennünket, a sorozat elején néhány „nem jól viselked taggal” nem kell
tördnünk.
Hasonlóan az elzekhez gyakorlásként meg lehet határozni a határértéket, a fels korlát K = 7, az alsó korlát k
= -5 lesz. összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, fels korlátja K = 7, az alsó korlátja k =
-5, tehát korlátos, ezért konvergens is, határértéke 1.
A megoldás lépései Maple utasításokkal is végigvihetk. A kapott grafikon a korlátokkal:
7.1.4. 4. feladat
an = - 2 n + 5
Monotonitás vizsgálata:
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken.
Bizonyítás:
an+1 - an = ( -2(n + 1) + 5) - ( -2n + 5) = -2n -2 + 5 +2n - 5 = -2 < 0
Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken.
Korlátosság vizsgálata:
Mivel a sorozat szigorúan monoton csökken a sorozat els eleme alkalmas lesz fels korlátnak,
K = a1 = 3
Bizonyítás indirekt:
Tegyük fel, hogy van egy m szám, ami alkalmas alsó korlátnak, vagyis a sorozatnak nincs m-nél kisebb eleme.
Ezt képletben a következképpen írhatjuk fel:
an > m minden n ∈ + esetén
-2n + 5 ≥ m
-2n ≥ m - 5
A kapott végeredmény nyilvánvaló lehetetlenség, hiszen n bármilyen nagy pozitív természetes szám lehet. Az
ellentmondást csak úgy oldhatjuk fel, hogy eredeti állításunk hamis volt, vagyis a sorozatnak nincs alsó korlátja.
összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, felülrl korlátos, fels korlátja K = a1 = 3 , alulról nem
korlátos.
Maple-ben:
[ > a(1)
[ > a(2)
[ > a(3)
[ > l := [`$`([n, a(n)], n = 1 .. 10)]
[ > plot([l, K], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2], view = [0 .. 10, -16 .. 4])
7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke
Az an = 1/n sorozat határértékére visszavezethet feladatok
A polinomok határértéke mindig ±∞ , ha n → ∞ , tehát ha két polinom hányadosának határértékét szeretnénk
kiszámítani, az mindig egy ± ∞ / ± ∞ típusú kritikus határérték. Ezért ki kell találni valami olyan módszert,
amivel azonos átalakítások segítségével addig formáljuk a kifejezéseket, amíg a határérték már nem lesz
kritikus.
Mi a polinom? Egy változó, jelen esetben „n” hatványai számokkal szorozva és összeadva, csökken hatványok
szerint rendezve. Pl.:
4n3 + 5n2 - 2n + 11, ez n változó harmadfokú egyváltozós polinomja.
A definíció szerint összeadásnak kell szerepelni a hatványok között, a fenti példában azonban van egy kivonás
is. Okoz-e ez problémát? Nem, mert a polinom
Sorozatok
4n3 + 5n2 + (- 2)⋅ n + 11 formába is írható.
Az „n” hatványok eltti szám-szorzókat együtthatóknak szoktuk nevezni.
A legnagyobb kitevj hatvány eltti együttható a fegyüttható.
7.2.1. 1. feladat
Számítsuk ki a következ határértéket:
Láthatjuk, hogy a számlálóban és a nevezben is elsfokú polinom van (n = n1). A számlálót és a nevezt is
elosztjuk tagonként n-nel. Megtehetjük-e ezt anélkül, hogy megváltozna a tört értéke? Ez azonos átalakítás,
nevezetesen tört egyszerûsítés, hasonlóan
átalakításhoz, (ahol a törtet 3-mal egyszersítettük) tehát a tört értéke nem változik.
Tudjuk, hogy , vagy másképp , ha
Ezután a szürke keretben lev mveleti azonosságokat alkalmazzuk:
A 2. azonosságot használtuk fel:
Sorozatok
A számláló határértékére az 1. azonosság alkalmazható (kivonás), a számláló határértéke:
an = 2 (konstans 2 sorozat: 2, 2, 2, ),
a = 2, b = 0, 2 – 0 = 2
A nevez határértékére szintén az 1. azonosság alkalmazható (összeadás), a nevez határértéke:
, bn = 5
a = 0, b = 5, 0 + 5 = 5
A tört határértékéhez már csak a 4. azonosságot kell felhasználni, és adódik, hogy ha a számláló határértéke 2, a
nevezé pedig 5, akkor a tört határértéke 2 / 5 lesz.
Tehát:
[ >
[ >
[ > plot([l, h], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2], view = [0 .. 10, 0 .. .5])
Sorozatok
7.2.2. 2. feladat
Számítsuk ki a következ határértéket:
A számláló és a nevez fokszáma megegyezik, mindkett másodfokú polinom. A legnagyobb kitevjû hatvány
az n2, ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezt is. A következ adódik:
Az egyszersítések után:
Sorozatok
36 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Általánosan is elmondhatjuk, hogy a (a számlálóban c egy állandó szám, a nevezben n pozitív, egész
kitevjû hatványa az (nk) típusú határérték mindig 0.
Az elz feladatban megnéztük, hogy és ugyanígy igazolható az is, hogy
Ezután az 1. és 4. azonosság alkalmazásával adódik, hogy a határérték
A szemléltetést a Maple segítségével végezzük el. Az ábrára pillantva, észrevehetjük, hogy a sorozat csak a 2.
elemtl kezdden szigorúan monoton növekv és azt is, hogy ennek a sorozatnak a konvergenciája sokkal
„lassúbb” az elznél. Ott már a 10. elem 0,05-nél kevesebbel tér el a határértéktl, itt még a 20. elem eltérése is
csaknem 10-szer annyi (0,5).
7.2.3. 3. feladat
A következben egy olyan tört határértékét számítsuk ki, ahol a számláló fokszáma nagyobb a nevez
fokszámánál:
Sorozatok
37 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Magyarázat: A legnagyobb hatvány n3, tehát ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezt is. Felhasználva az ismert
azonosságokat azt kapjuk, hogy a számláló 1-hez, a nevez 0-hoz tart. A nem kritikus határértékek között
felsoroltuk a szám/0 típusú határértéket, ami végtelen. Azt, hogy +, vagy végtelent kapunk-e a számlálóban és
a nevezben is a legnagyobb kitevjû tagok eljele határozza meg. Ez a számlálóban az n3, a nevezben a 3 n2,
mivel mindkett pozitív szám, az eredmény +∞ lesz.
...
7.2.4. 4. feladat
Számítsuk ki a következ határértéket, a számláló fokszáma most legyen kisebb a nevez fokszámánál:
Sorozatok
7.2.5. összefoglalás
7.2.6. 5. feladat
Mit tegyünk, ha gyök is szerepel a feladatban? Elször azt az esetet vizsgáljuk, amikor csak a nevezben, vagy
csak a számlálóban van gyök. n > 1 kikötést azért kell megtennünk, hogy a nevezben ne legyen a gyök alatt
negatív szám.
, mert 2n > 0.
Magyarázat: A számlálóban lev kifejezést bevisszük a gyök alá. Gyök alá úgy viszünk be egy (nem negatív)
kifejezést, hogy négyzetre emeljük. (Általában, ha n. gyök alá visszük be, akkor n. hatványra emeljük.)
Sorozatok
7.2.7. 6. feladat
Ha a számláló és a nevez is azonos kitevj gyök alatt van. Ekkor közös gyök alá visszük és a gyök alatt a két
polinom hányadosára vonatkozó szabály szerint járunk el.
Felhasznált azonosság:
7.2.8. 7. feladat
Ha a számláló és a nevez gyökének fokszáma különböz, Azért, hogy a feladat nevezje ne legyen 0, az n > 1
kikötést kell tennünk.
A felhasznált azonosságok:
Azt is mondhatjuk, hogy a számláló fokszáma (a legnagyobb kitevj hatványának fokszáma) 3/2, harmadik
hatvány a második gyök alatt, a nevez fokszáma (a legnagyobb kitevj hatványának fokszáma) 2/3 , második
hatvány a harmadik gyök alatt. Mivel a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezé, a határérték ∞.
Sorozatok
7.3. A qn sorozat határértékére visszavezethet feladatok
A feladatok megoldása során gyakran felhasználjuk a középiskolában tanult hatványozás azonosságokat.
7.3.1. 1. feladat
Számítsuk ki a következ határértéket:
Ebben a feladatban egy olyan törtet vizsgálunk, amelynek a nevezje egytagú (nincs a tört nevezjében
összeadás, kivonás) Az azonosságokat ebben a leckében kicsit szokatlan módon visszafelé alkalmazzuk.
Mindenki eltt ismert, hogy két azonos nevezjû törtet így adunk össze:
, vagy betkkel:
42 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
„Fordítva” alkalmazva ez azt jelenti, hogy ha egy tört számlálójában összeg van, akkor két azonos nevezj tört
összegévé bontható.
, feladatunkban:
Most nézzük az összeg két tagját külön, hogyan alakíthatók tovább. Az els tag számlálójában az 1. hatványozás
azonosságot alkalmazzuk, ezt is „fordítva” jobbról balra olvassuk most: összeget látunk a kitevben és azt
azonos alapú hatványok szorzatává alakítjuk.
Ezután 3n -nel egyszerûsítünk és megkapjuk az összeg els tagját, ami 9. A második tag átalakítása: Tudjuk,
hogy 1 minden hatványa 1, vagyis 1n = 1 bármely n-re. Így
Az utóbbi egyenlség a hatványozás 5. azonosságát használta fel (jobbról balra visszafelé) Foglaljuk össze
az átalakításokat és számoljuk ki a határértéket:
A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy mert az alap abszolút értéke kisebb egynél,
azaz számokkal és jelekkel:
Sorozatok
7.3.2. 2. feladat
Most egy olyan határértéket számítsunk ki, ahol a nevez többtagú é