Download pdf - Analízis lépésről lépésre

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Analízis lépésről - lépésre

interaktív tananyag

Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

Előszó ................................................................................................................................................ vi 1. Sorozatok ........................................................................................................................................ 1

1. Definíció, alapfogalmak ........................................................................................................ 1 2. Konvergens, divergens sorozatok ....................................................................................... 10 3. Nevezetes sorozatok határértékei ........................................................................................ 17 4. Műveletek konvergens sorozatokkal ................................................................................... 20 5. Kritikus határértékek, rendőr-elv ........................................................................................ 21 6. Egy pénzügyi alkalmazás .................................................................................................... 23 7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témaköréből ............................................... 24

7.1. Monotonitás, korlátosság ........................................................................................ 24 7.1.1. 1. feladat ..................................................................................................... 24 7.1.2. 2. feladat ..................................................................................................... 27 7.1.3. 3. feladat ..................................................................................................... 29 7.1.4. 4. feladat ..................................................................................................... 30

7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke ........................................... 32 7.2.1. 1. feladat ..................................................................................................... 33 7.2.2. 2. feladat ..................................................................................................... 35 7.2.3. 3. feladat ..................................................................................................... 36 7.2.4. 4. feladat ..................................................................................................... 37 7.2.5. összefoglalás .............................................................................................. 38 7.2.6. 5. feladat ..................................................................................................... 38 7.2.7. 6. feladat ..................................................................................................... 39 7.2.8. 7. feladat ..................................................................................................... 40

7.3. A qn sorozat határértékére visszavezethető feladatok ............................................. 41 7.3.1. 1. feladat ..................................................................................................... 41 7.3.2. 2. feladat ..................................................................................................... 43 7.3.3. 3. feladat ..................................................................................................... 44 7.3.4. 4. feladat ..................................................................................................... 45 7.3.5. 5. feladat ..................................................................................................... 46

7.4. Néhány "∞-∞" típusú kritikus határérték kiszámítása ........................................... 47 7.4.1. 1. feladat ..................................................................................................... 47 7.4.2. 2. feladat ..................................................................................................... 48 7.4.3. 3. feladat ..................................................................................................... 49

7.5. Az (1+1/n)n sorozat határértékére visszavezethető határértékszámítási feladatok . 50 7.5.1. 1. feladat ..................................................................................................... 50 7.5.2. 2. feladat ..................................................................................................... 51 7.5.3. 3. feladat ..................................................................................................... 53 7.5.4. 4. feladat ..................................................................................................... 54 7.5.5. 5. feladat ..................................................................................................... 55 7.5.6. 6. feladat ..................................................................................................... 56

7.6. Feladatok önálló megoldásra ................................................................................. 57 8. Függelék -- Számhalmazok ................................................................................................. 58

2. Sorok ............................................................................................................................................. 62 1. Sorok, bevezető példák ....................................................................................................... 62 2. A sor matematikai fogalma ................................................................................................. 64 3. A mértani sor ....................................................................................................................... 65 4. Konvergencia kritériumok .................................................................................................. 67 5. Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések ............................................................................ 69 6. Szemléltetés ........................................................................................................................ 70 7. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................... 71

3. Függvények .................................................................................................................................. 73 1. Függvény definíciója ........................................................................................................... 73

1.1. Az értelmezési tartomány ....................................................................................... 74 2. Függvénytulajdonságok ...................................................................................................... 76

2.1. Zérushely ................................................................................................................ 76 2.2. Paritás ..................................................................................................................... 76


iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.

2.3. Periodikusság .......................................................................................................... 79 2.4. Monotonitás ............................................................................................................ 80 2.5. Korlátosság ............................................................................................................. 82 2.6. Szélsőérték .............................................................................................................. 84 2.7. Konvexitás .............................................................................................................. 85

3. Elemi függvények és függvénytranszformációk ................................................................. 87 4. Összetett függvények .......................................................................................................... 93 5. Inverz függvények ............................................................................................................... 96 6. Néhány további függvény ................................................................................................... 97 7. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 100

4. Függvény határértéke, folytonosság .......................................................................................... 101 1. Függvény határértéke ........................................................................................................ 101 2. A határérték típusai ........................................................................................................... 104

2.1. Véges helyen vett végtelen határérték .................................................................. 104 2.2. Végtelenben vett végtelen határérték .................................................................... 106 2.3. Végtelenben vett véges határérték ........................................................................ 109 2.4. Véges helyen vett véges határérték ....................................................................... 111 2.5. Mikor nem létezik a határérték? ........................................................................... 113

3. Nevezetes függvény határértékek ...................................................................................... 115 4. Folytonosság ..................................................................................................................... 118

4.1. Függvény pontban való folytonossága ................................................................. 118 4.2. Féloldali folytonosság ........................................................................................... 119 4.3. Intervallumon folytonos függvények .................................................................... 119 4.4. Folytonos függvények tulajdonságai .................................................................... 125 4.5. Szakadási helyek fajtái ......................................................................................... 127

5. A határérték és a folytonosság feladatokban ..................................................................... 128 5.1. Szemléleten alapuló feladatmegoldás ................................................................... 129 5.2. Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás ................................................ 134 5.3. Maple gyakorló panel a határérték meghatározására ............................................ 135

6. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 135 5. Differenciálszámítás ................................................................................................................... 137

1. A differenciálszámítás elemei ........................................................................................... 137 1.1. Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény ............................ 137 1.2. Differenciálhatóság és folytonosság ..................................................................... 142 1.3. Differenciálási szabályok ...................................................................................... 143 1.4. Maple ellenőrző panel a deriváláshoz ................................................................... 144 1.5. Maple gyakorló panel a deriváláshoz ................................................................... 144 1.6. Középérték tételek ................................................................................................ 145 1.7. Kidolgozott feladatok ........................................................................................... 147

2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 151 6. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................................... 152

1. Alkalmazások .................................................................................................................... 152 1.1. Monotonitás .......................................................................................................... 152 1.2. Szélsőérték ............................................................................................................ 152 1.3. Konvexitás, inflexiós hely .................................................................................... 154 1.4. Függvényvizsgálat ................................................................................................ 154 1.5. Példák függvényvizsgálatra .................................................................................. 155 1.6. Érintő .................................................................................................................... 169 1.7. Közelítés ............................................................................................................... 170 1.8. Gazdasági feladatok megoldása ............................................................................ 172

2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 177 7. Integrálszámítás ......................................................................................................................... 178

1. Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata .............................................................. 178 2. Integrálási típusok ............................................................................................................. 180 3. Maple gyakorló-ellenőrző panel az integráláshoz ............................................................. 182 4. Határozott integrál ............................................................................................................. 182 5. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 185

8. Az integrálszámítás alkalmazásai ............................................................................................... 187 1. Az integrálás alkalmazásai ................................................................................................ 187

1.1. Newton-Leibniz-formula ..................................................................................... 187


v Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1.2. Függvénygörbék közti terület .............................................................................. 188 1.3. Függvény átlaga ................................................................................................... 191 1.4. Görbe ívhossza .................................................................................................... 192 1.5. Forgástest térfogata, palástjának felszíne ............................................................ 193 1.6. Súlypont ............................................................................................................... 195

2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 196 9. Kétváltozós függvények I. .......................................................................................................... 198

1. Bevezetés .......................................................................................................................... 198 2. Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése ........................................................... 198 3. Értelmezési tartomány ....................................................................................................... 204 4. Határérték .......................................................................................................................... 210 5. Parciális deriváltak ............................................................................................................ 212 6. Iránymenti derivált ............................................................................................................ 215 7. Megoldott feladatok .......................................................................................................... 217 8. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 218

10. Kétváltozós függvények II. ....................................................................................................... 220 1. Szélsőérték ........................................................................................................................ 220

1.1. Fogalmak .............................................................................................................. 220 1.2. Szükséges feltétel ................................................................................................. 220 1.3. Elégséges feltétel .................................................................................................. 224

2. Érintősík ............................................................................................................................ 230 3. Megoldott feladatok .......................................................................................................... 233 4. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 235

Irodalomjegyzék ............................................................................................................................. 236

vi Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Előszó

"Én nem csak azért szeretem a matematikát, mert alkalmazni lehet a technikában, hanem fõleg azért, mert szép.

Mert játékos kedvét is belevitte az ember, és a legnagyobb játékra is képes: megfoghatóvá tudja tenni a

végtelent. Végtelenségrõl, ideákról hiteles mondanivalói vannak. És mégis annyira emberi, korántsem az a

bizonyos kétszerkettõ: magán viseli az emberi alkotások soha le nem zárt jellegét." Péter Rózsa

Tapasztalatunk szerint a felsőoktatásban tanuló hallgatók számára a matematikai tanulmányaik során az első

féléves analízis a legnehezebben legyőzhető akadály. Ennek oka véleményünk szerint az új oktatási szinthez

való alkalmazkodáson kívül az, hogy a végtelen fogalma oly sokszor és különböző formában felbukkan a

tananyagban. Az "Analízis lépésről - lépésre" című tananyag főleg a több éve - sokszor több évtizede -

érettségizett levelező hallgatóknak szól, akiknek szükséges apró lépésekre bontani a matematikai

gondolatmeneteket és fel kell idézni a rég elfeledett matematikai fogalmakat is. Reméljük, hogy ez a tananyag

sok hallgató életét teszi könnyebbé, és ahogy Péter Rózsa matematikus szép bevezető idézetében olvashatjuk,

sikerül megfoghatóvá tenni a végtelent.

Tananyagunk Maple programmal készült. A rövid elméleti összefoglalók után a kidolgozott feladatokra

általában két különböző megoldást mutatunk. Az egyik a hagyományos utat választja, a másik azt mutatja meg,

hogy Maple utasítások segítségével hogyan kapjuk meg az eredményt. Sok animációval, szemléltetéssel

szeretnénk az elmélet meértését és a feladatmegoldást segíteni. Minden fejezet végén önálló megoldásra javasolt

feladatokat is közlünk. A nagyon részletesen kidolgozott, sokszor az általános iskolai ismeretekig visszanyúló

feladatmegoldások kifejezetten a több éve végzett levelező szakos hallgatóknak szólnak. Ezek a feladatok

főként az első fejezetben találhatók, itt ismételjük át a legfontosabb matematikai fogalmakat és ööszefüggéseket,

a későbbiekben a részletezés ilyen mélységeire már nincs szükség.

Kaposvár, 2014

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1. fejezet - Sorozatok

1. Definíció, alapfogalmak

Eddigi tanulmányainkra visszaemlékezve általában a sorozatokról a számtani és a mértani sorozat jut az

eszünkbe. A sorozatok azonban ennél a két típusnál sokkal változatosabbak lehetnek. A sorozatok általános

definíciója a következő:

Definíció:

A sorozat egy olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív természetes számok halmaza ,

értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.

Sorozatok


Természetesen a fenti ábrán az értelmezési tartománynak és az értékkészletnek is csak egy részhalmaza látható.

A hozzárendelés szabálya például lehet az ábra alapján az, hogy minden pozitív természetes számhoz a

négyzetét rendeljük.

Ha képletben írjuk fel: a1=1 a2=4 a3=9 a4=16 ... an=n2

Látható, hogy az értelmezési tartomány elemei, a pozitív egész számok az alsó indexben, a hozzárendelt értékek,

az értékkészlet elemei pedig az egyenlőségjel után vannak.

A fenti halmazábrával bonyolult a sorozatokat szemléltetni. A szokásos ábrázolás, szemléltetés számegyenesen

és koordináta -rendszerben történik. Minden sorozatnak végtelen sok tagja van, de ábrázolni természetesen csak

véges sokat tudunk.

Ábrázoljuk a fenti sorozatot a számegyenesen:

A sorozatokat Maple programban is ábrázolhatjuk számegyenesen és koordináta-rendszerben is.

[ > pointplot({seq([n2, 0], n = 1 .. 10)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12)

Sorozatok


[ > pointplot({seq([n, n2], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12);

Sorozat megadása:

Hogyan adhatunk meg egy sorozatot?

1.képlettel

Sorozatok


, például: ,

an = 5 + 2 n , például: a3 = 5 + 2 ⋅ 3 =11 , a80 = 5 + 2 ⋅ 80 = 165

Ha képlettel adunk meg egy sorozatot bármely elemét gyorsan ki tudjuk számolni úgy, hogy n helyére a sorozat

sorszámát helyettesítjük. Nem ütközik sokkal nagyobb nehézségbe a sorozat 100. elemének kiszámolása, mint

az 1. Ugyanezt nem mondhatjuk el, ha a sorozatot rekurzióval adjuk meg.

2.rekurzióval

A rekurzióval való megadás úgy történik, hogy megadjuk a sorozat első elemét, vagy néhány első elemét, ezután

még egy képzési szabályt is megadunk arról, hogy egy sorozatelem hogyan, milyen műveletekkel képezhető az

előző elemből, vagy elemekből. Legyen például a sorozat első eleme a1 = 5 , és a további elemek képzési

szabálya an = an-1 + 2 , n = 2, 3, ... , vagyis a sorozat minden elemét (az elsőt kivéve) úgy kapjuk meg, hogy az

előző elemhez hozzáadunk 2-t. Ekkor a2 = a1+ 2 =5+2=7, a3 = a2+ 2 = 7+2= 9 , ezzel a módszerrel a nagyobb

indexű tagok kiszámítása hosszú ideig tart.

A legismertebb rekurzív sorozat a Fibonacci-sorozat. Képzési szabálya a következő: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2,

n > 2

A sorozat első és második eleme 1, minden további elemet úgy kapunk meg, hogy összeadjuk a sorozat előző

két elemét. A Fibonacci-sorozathoz nagyon sok érdekesség kapcsolódik. Egészen hihetetlen, hogy hány helyen

fordul elő a természetben, alkalmazzák szabályait építészek, képzőművészek, költők, zeneszerzők. Még a tőzsde

árfolyammozgásainak leírására is használják, bár ez az alkalmazás sokak által vitatható.

A rekurzív sorozatokkal az a probléma, hogyha pl. a 100. elemét szeretném kiszámítani, akkor minden elemét

meg kell határozni egészen a 99.-ig. Nem lehetséges az 1. pontbeli képlethez hasonló, csak n-től függő képletet

megadni a rekurzív sorozatokra is? A matematikának külön fejezete foglalkozik a rekurzív sorozatok explicit

képletének megadásával. Milyen típusú sorozatokhoz tudunk megadni képletet, és ha lehetséges a megadás

hogyan?

3. Szöveges utasítással

Ha így adunk meg egy sorozatot nagyon fontos, hogy vigyázzunk a pontos fogalmazásra, hogy egyértelműen

reprodukálható legyen az általunk megadott sorozat. A világ bármely pontján, a különböző előképzettséggel

rendelkező emberek mind ugyanarra a sorozatra gondoljanak, ha hallják a megfogalmazásunkat. Mikor

használjuk ezt a módszert? Ha más módszer nem alkalmas a sorozat megadására, például a sorozat n. eleme

legyen a π n. jegye. Erre valóban nem alkothatunk sem képletet, sem rekurziót.

4. A sorozat néhány elemének felsorolásával

Például a felsorolt elemek legyenek az 5, 7, 9, 11, 13, ... . Ekkor észrevehetjük, hogy a an = 2 n + 3 alkalmas

képzési szabály. Ennek a megadási módnak az a veszélye, hogy a folytatás nem mindig egyértelmű.

5. A függvény értelmezési tartományának leszűkítésével

Legyen például a függvény az . Az f(x) függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza,

kivéve a 0-t, ha az értelmezési tartományt leszűkítjük a pozitív természetes számok halmazára az

sorozatot kapjuk. Ábrázoljuk a függvényt és a sorozatot egy koordináta-rendszerben:

[ >

[ >

Sorozatok


[ >

[ > plot([l, f], n = -10 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,

thickness = [4, 2]);

A következő példa ugyanerre a megadási módra az függvény és az sorozat.

Az első ábrán csak a sorozat, a másodikon a sorozat és a függvény együtt látható

[ >

Sorozatok


[ >

[ >

[ > plot([l, f], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,

thickness = [4, 2]);

Sorozatok


A sorozatok legfontosabb tulajdonságai:

Korlátosság:

Az an sorozat felülről korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra.

Megadható egy valós szám, az úgynevezett felső korlát (K), amelynél minden sorozatelem kisebb, vagy egyenlő

(más szóval nem nagyobb).

Az an sorozat alulról korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra.

Megadható egy valós szám, az úgynevezett alsó korlát (k), amelynél minden sorozatelem nagyobb, vagy

egyenlő (más szóval nem kisebb).

Az an sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

A sorozatelemek a két - alsó és felső - korlát között "mozoghatnak".

A következőkben néhány sorozatot szemléltetünk korlátaikkal együtt, ha vannak.

A sorozat felülről korlátos,

alulról nem Felső korlát: K

= 1

A sorozat alulról korlátos,

felülről nem Alsó korlát: k

= 3

A sorozat korlátos Alsó

korlát k = 2 , felső korlát

K = 2, 25

A sorozat sem alulról, sem

felülről nem korlátos

Sorozatok


Monotonitás:

Az an sorozat szigorúan monoton nő, ha an < an+1 minden -ra.

Minden sorozat elem nagyobb az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an > 0 egyenlőtlenségnek kell

teljesülni.

Az an sorozat monoton nő, ha an ≤ an+1 minden -ra.

Minden sorozat elem nagyobb, vagy egyenlő az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an ≥ 0

egyenlőtlenségnek kell teljesülni.

Az an sorozat szigorúan monoton csökken, ha az an > an+1 minden -ra.

Minden sorozat elem kisebb az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an < 0 egyenlőtlenségnek kell

teljesülni.

Az an sorozat monoton csökken, ha an≥ an+1 minden -ra.

Minden sorozat elem kisebb, vagy egyenlő az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an ≤ 0

egyenlőtlenségnek kell teljesülni.

A korlátosság példáit tartalmazó táblázat első cellájában a sorozat szigorúan monoton csökken, a másodikban

szigorúan monoton nő, a harmadikban újra szigorúan monoton csökken, a negyedik cella példája nem monoton.

Példa:

Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából?

Monotonitás vizsgálata:

Mielőtt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány első elemét!

Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken. (Vigyázat! Az első néhány elem kiszámítása nem mindig alkalmas

a helyes sejtés megfogalmazására. Egyes sorozatok néhány első eleme monoton nő, de lehetséges, hogy a

további elemek monoton csökkennek.)

Számítsuk ki az an+1 - an különbséget, ha negatív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést.

Sorozatok


an+1 - an=

, mert a számláló negatív és a nevező pozitív.

Tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. Ha egy sorozat szigorúan monoton csökken, az első eleme, vagy

bármely annál nagyobb szám alkalmas lesz felső korlátnak, legyen pl. a felső korlát K = 0, 6 . Hogyan

határozzuk meg az alsó korlátot? Számítsuk ki a sorozat egy nagy indexű tagját, abból talán megsejthetjük az

alsó korlátot.

, ha nagyon szoros alsó korlátot akarunk megadni, úgy tűnik, hogy az 1/2 alkalmas lesz, ezt be

kellene bizonyítani. Van most egy egyszerűbb módszer is. Látjuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, így a k =

0 biztosan jó lesz alsó korlátnak, és ez nyilvánvaló, bizonyítanunk sem kell.

Nézzük végig a fenti gondolatmenetünket a Maple utasításokkal:

[ >

[ > a(1) # A sorozat 1. elemének kiszámítása

[ > evalf(a(1(,3) # A sorozat elemeit tizedestörtté alakítjuk, mert így könnyebben össze tudjuk hasonlítani a

tagokat, és sejtést tudunk megfogalmazni a sorozat monotonitására.

Hasonlóan további elemeket is kiszámítunk és tizedestörtté alakítunk.

Sejtés: A sorozat szigorúan monoton csökken.

[ > a(n+1) # A sorozat n+1. eleme

[ > a(n+1)-a(n) # Az n+1. és az n. elem különbsége

[ > simplify(a(n+1)-a(n)) # A különbség lehető legegyszerűbb alakra hozása

[ > solve(a(n+1)-a(n) < 0, [n]) # Megvizsgáljuk, hogy a sorozat szigorúan monoton csökkenő-e? Ez azt jelenti,

hogy n-re megoldjuk az a(n+1)-a(n)<0 egyenlőtlenséget

[ > s := solve({n > 0, a(n+1)-a(n) < 0}, [n]) # Azt kaptuk, hogy minden pozitív n-re teljesül az egyenlőtlenség,

tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken. Ezért a felső korlát a sorozat első eleme lesz.

[ > a(1000) # A felső korlátot a sorozat elég nagy indexű eleme segít megsejteni.

[ > # Megnézzük, hogy sejtésünk

helyénvaló-e?

Igen, minden pozitív n-re igaz a fenti egyenlőtlenség, tehát valóban jó alsó korlát az 1/2.

[ > l : = [[n, a(n)], $n = 1 .. 10)]; # A sorozat első tíz elemének kiszámítása:

[ > plot([l, k, K], n = 0 .. 10, style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle,

symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0 .. 10, 0 .. 1]); # Szemléltetés a koordináta-rendszerben az alsó

és felső korláttal együtt.

Sorozatok


2. Konvergens, divergens sorozatok

A konvergencia és a divergencia a sorozatokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmak. Egyes sorozatok szép nagy,

egyenletes léptekkel gyalogolnak a +∞, vagy a -∞ felé, míg mások egy, vagy több pontba "sűrűsödnek".

Vizsgáljuk először ezeket a néhány pont köré besűrűsödő sorozatokat. Hogy tudjuk ezt a szemléletes képet

matematikailag pontosan megfogni? Először meghatározzuk a környezet fogalmát:

Környezet

Az "a" pont ε > 0 sugarú környezete az ]a- ε,a+ ε[ nyílt intervallum, ahol ε tetszőleges pozitív, valós szám.

Torlódási pont

Az an sorozat torlódási pontja "a", ha a tetszőleges ε > 0 környezetén belül a sorozatnak végtelen (∞) sok eleme

van. Nagyon fontos kihangsúlyozni, hogy a definíció bármilyen kis ε sugarú környezet esetében igaz, és a

kérdés ekkor érdekes igazán.

A következő táblázatban három sorozatot szemléltetünk, amelyeknek rendre 1, 2 illetve 3 torlódási pontjuk van.

A szemléltetés nem egy egyszerű ábra, hanem animáció. Maple-ben a képre kattintva megjelenik az animáció

menü, ahol, ha az FPS: utáni számot kicsire 1, vagy 2 értékre állítjuk az animáció lassabb lesz, és jobban meg

tudjuk figyelni a sorozatok viselkedését. A harmadik sorozat esetében úgy tűnik, hogy csak három elemet

ábrázolunk, ez azért látszik így, mert ez a három elem (-1, 0, 1) ismétlődik, mindegyik végtelen sokszor.

A sorozatnak egy torlódási pontja A sorozatnak két torlódási pontja A sorozatnak három torlódási pontja

Sorozatok


van és az a 0. van a 2 és a - 2. van a - 1, 0, és az 1.

Konvergencia

Konvergens csak az a sorozat lehet, ami egyetlen pontba "sűrűsödik", nem lehet több torlódási pontja. Ekkor a

torlódási pontot a sorozat határértékének nevezzük.

Ha a határérték bármilyen kicsi ε > 0 sugarú környezetét vesszük, a sorozatelemek egyszercsak beugranak ebbe

a környezetbe és utána mindig benn is maradnak. Legyen a sorozatnak N db eleme a környezeten kívül. Ekkor

az utolsó elem, ami még nincs a megadott környezetben az aN . Pontosabban ezt így fogalmazhatjuk meg: a

sorozat konvergens és határértéke "a", ha bármely pozitív ε- hoz található egy N ( ε - tól függő) küszöbindex,

hogy ha a sorozat N-nél nagyobb sorszámú elemeit tekintjük, akkor azok a határértékhez, "a"-hoz ε -nál

közelebb lesznek. (A konvergencia 1. definíciója)

Matematikai jelekkel így írható fel a definíció: Az an sorozat konvergens és határértéke "a", ha

(A jelek magyarázata: "∀ " , az ún. univerzális kvantor, jelentése minden, bármely. "∃ " , egzisztenciális kvantor,

jelentése van olyan, létezik) A fenit megfogalmazással ekvivalens definíció a következő: Az an sorozat

konvergens és határértéke "a", ha "a" bármilyen "kis" ε > 0 sugarú, ]a- ε,a+ ε[ környezetén kívül a sorozatnak

véges sok eleme van. (A konvergencia 2. definíciója)

Jelölések: vagy,

Tekintsük újra az sorozatot. Mi lehet a sorozat határértéke? A monotonitás vizsgálatnál

kiszámoltuk a sorozat 1000. elemét, ami elég közel van az 1/2-hez. Nézzük meg, hogy az 1/2 jó lesz-e

határértéknek? Legyen először ε = 0,05. Számítsuk ki, hogy a sorozat hány eleme lesz az 1/2- nek az ε = 0,05

sugarú környezetén kívül, illetve hányadik elemtől lesznek a sorozatelemek a megadott környezetben?

Sorozatok


Az abszolútérték "elhagyható", mert pozitív számot tartalmaz. < 0,05

Vegyük mindkét oldal reciprokát, ekkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. 2 ⋅ (2n + 3) > 20 ⇒ 4n + 6 > 20 ⇒

4n > 14 ⇒ n > 3,5

Tehát n = 4, 5, ... adódott, vagyis a sorozatelemek a 4. elemtől kezdve vannak az 1/2 -nek az ε = 0,05 sugarú

környezetében. Ezért a küszöbindex N = 3, a sorozatnak csak az első három eleme van a megadott

intervallumon kívül. Általában N, a küszöbszám az egyenlőtlenség megoldása során kapott eredmény egész

része. Ugyanezt az egyenlőtlenséget ε = 0,01, ε = 0,001 esetében is oldjuk meg. A kapott küszöbszámok rendre

N = 23, N = 248. Az alábbiakban a Maple utasításokkal történő számolást, majd a kapott eredmények

szemléltetését láthatjuk.

[ > e : = | a(n) - 0.5 |# Az egyenlőtlenség bal oldalának felírása

[ > f := simplify(e) # Az egyenlőtlenség bal oldalának leegyszerűsítése

[ > solve({(e < 0.5 and n > 0)}, n); # a megoldás 0,05-re

[ > solve({ e < 0.01 and n > 0 },n); a #megoldás 0,01-re

[ > solve({ e < 0.001 and n > 0 },n); a #megoldás 0,001-re

[ > # Az egyenlőtlenség általános

megoldása

[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.05])

[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,05 sugarú környezet esetén





Sorozatok


A Maple limit utasítása megadja a sorozat határértékét:

[ >

Divergencia

A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük.

A divergens sorozatok is többfélék lehetnek.

A divergens sorozatok típusai:

• + végtelenhez tartó sorozatok (→ + ∞)

• - végtelenhez tartó sorozatok (→ - ∞)

• oszcillálva ("ide-oda ugrálva") divergens sorozatok

Akkor tart a +∞-hez egy sorozat, ha bármilyen (nagy) M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem,

ami ennél a számnál nagyobb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem nagyobb lesz M-nél. Az utolsó

elem, ami még nem nagyobb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy,

hogy an > M, ha n > N

Sorozatok


Akkor tart a - ∞-hez egy sorozat, ha bármilyen M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami

ennél a számnál kisebb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem kisebb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami

még nem kisebb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → - ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy, hogy an < M,

ha n > N

Jelölés:

oszcillálva divergens,

korlátos sorozat oszcillálva divergens, nem

korlátos sorozat

Mit mond a Maple limit utasítása divergens sorozatok esetén?

[ > limit(n2, n = infinity) ; # +∞-hez tartó sorozat

[ > limit(-2⋅ n+1, n = infinity); # -∞-hez tartó sorozat

[ > limit((-1)n⋅ n, n = infinity); # oszcillálva divergens sorozat

Néhány példa különböző tulajdonságú sorozatokra:

A fenti példákat nézzük meg Maple-ben szemléltetve is. Az első oszlopban számegyenesen ábrázoltuk a

sorozatokat animálva, a második oszlopban koordináta - rendszerben ábrázoltunk, a harmadik oszlopban

összefoglaltuk a legfontosabb tulajdonságokat:

Sorozatok


Alulról korlátos k = 1, monoton

növekvő, nincs torlódási pontja,

divergens,

limit(1/n, n = infinity) = 0

Korlátos k = -1, K = 1/2, nem

monoton, torlódási pontja 0,

konvergens, határértéke 0

Korlátos k = -1, K = 1, nem

monoton, torlódási pontjai:-1, 0, 1,

oszcillálva divergens

Nem korlátos, nem monoton, nincs

torlódási pontja, oszcillálva

divergens

Sorozatok


Felülről korlátos K = -1, monoton

csökkenő, torlódási pontja nincs,

divergens


monoton, torlódási pontjai: -2, 2,



monoton, torlódási pontjai: -1, 1,


Észrevehetjük, hogy a példaként szereplő sorozatokban többször előfordul a (-1)n és a (-1)(n+1) kifejezés. n

értékétől függően ezeknek a kifejezéseknek a számértéke, - 1, és +1 felváltva. Ezért szerepük a váltakozó előjel

biztosítása. Ha (-1)n -nel szorozzuk meg a képletet, akkor a sorozat első eleme negatív lesz, a második pozitív és

így tovább, minden páratlan sorszámú elem negatív és minden páros sorszámú pozitív. Ha (-1)(n+1)-nel szorozzuk

meg a sorozat képletét, akkor a páratlan sorszámú elemek lesznek pozitív előjelűek és a páros sorszámú elemek

negatívok. A divergens sorozatok határértékét az előbb már megnéztük a Maple limit utasításával. Most nézzük

meg a táblázatban szereplő konvergens sorozatok határértékét:

[ >

[ >

A fenti táblázatban szerepelnek monoton és nem monoton, korlátos és nem korlátos, konvergens és divergens

sorozatok. Tegyünk rendet, vizsgáljuk meg, hogy ezek a sorozat tulajdonságok milyen kapcsolatban vannak

egymással.

A konvergencia, a monotonitás és a korlátosság kapcsolata

Tétel: Ha az an sorozat konvergens, akkor korlátos. A bizonyítás vázlatosan a következőképpen szól. Ha egy

sorozat konvergens, akkor a konvergencia 2. definíciója értelmében a határérték tetszőleges ε sugarú

környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. Az 1. definíció azt mondja, hogy pontosan N db elem van

az ε sugarú környezeten kívül. De a véges sok elem között mindig van legnagyobb és legkisebb, ami alkalmas

felső ill. alsó korlátnak. Előfordulhat az is , hogy a sorozatnak a környezeten kívül egyáltalán nincs eleme, vagy

csak a + ε - nál nagyobb, vagy a - ε -nál kisebb eleme nincs. Ezért a felső korlát K = maximum{a1, a2, ...aN, a +

ε}, az alsó korlát k = minimum{a1, a2, ...aN, a - ε}. Az ábra egy olyan esetet mutat, ahol a sorozatnak a N db ε

sugarú környezeten kívüli elemei között van a + ε -nál nagyobb, és a - ε -nál kisebb eleme is.

Sorozatok


Ha az an sorozat korlátos, akkor nem szükségképpen konvergens. Ilyen sorozatok például a táblázat dn, gn, hn

sorozatai. Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a korlátosság a konvergencia szükséges, de nem elégséges

feltétele.

an konvergens ⇒ an korlátos

an korlátos ⇏ an konvergens

Halmaz ábrával:

Tudunk-e a konvergenciára elégséges feltételt megfogalmazni? Igen, ez a következő tétel, amit bizonyítás nélkül

közlünk:

Tétel: Ha az an sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.

DE!

Ha az an sorozat konvergens, akkor nem szükségképpen korlátos és monoton. Ilyen például a cn sorozat, ami

konvergens, de nem monoton.

Ezért: A korlátosság és monotonitás a konvergencia elégséges, de nem szükséges feltétele.

an konvergens ⇏ an korlátos és monoton

an korlátos és monoton ⇒ an konvergens

Halmaz ábrával:

3. Nevezetes sorozatok határértékei

A következőkben néhány nevezetes sorozat határértékét vizsgáljuk meg. Az an=1/n sorozat már többször

előfordult, tudjuk, hogy határértéke 0.

Sorozatok


A második nevezetes sorozat a qn sorozat. Ez különböző alapok esetében másképpen viselkedik. Az alábbi

táblázatban láthatjuk a lényegesen különböző eseteket.

összefoglalva:

Különben osszillálva divergens a sorozat.

Ezután tekintsük az sorozatot, mivel n értéke páros és páratlan szám is lehet fontos az a > 0 kikötés (páros

gyök alatt negatív szám nem állhat!). (A sorozat határértékét különböző a értékekre úgy is megsejthetjük, hogy a

számológépünkbe beírunk egy tetszőleges pozitív számot, és elkezdjük "nyomogatni" a gyök billentyűt. Ha

sokszor megismételjük a gyökvonás műveletet, akármilyen nagy, vagy akármilyan kicsi számból is indultunk ki

egyszer 1 érték adódik, ami azt jelenti, hogy a sorozat elemek a számológép pontosságánál már jobban

megközelítik az 1-et.)

Szemléltessük ezt a sorozatot is néhány a érték esetében.

Láthatjuk és bebizonyítható, hogy az sorozat határértéke minden pozitív n -re 1. Ha n > 1 , akkor a sorozat

szigorúan monoton csökkenve tart 1-hez, ha n < 1 , akkor szigorúan monoton növekedve, n = 1 esetén a sorozat

természetesen a konstans 1 sorozat lesz.

A következő nevezetes sorozat az , láthatjuk, hogy itt a gyökkitevőn kívül a gyök alatti mennyiség sem

állandó, hanem a változó n érték. Mivel n mindig pozitív a gyök alatti mennyiségre nem kell kikötést tennünk,

csak a gyökkitevő miatt kell n > 1 -re vizsgálnunk a sorozatot, mivel a legkisebb gyökkitevő a 2, más szóval a

négyzetgyök. Először kiszámítjuk a sorozat határértékét, majd megnézzük a századik elem közelítő értékét 20

tizedes jegyig, végül ábrázoljuk a sorozat néhány elemét:

[ >

[ >

Sorozatok


[ > Közelítés := evalf(c, 20)

[ >

A sorozat szigorúan monoton csökken az első két elemet kivéve, határértéke 1. Tehát a 4. nevezetes sorozat

határértéke:

A következő nevezetes sorozat egy olyan hatvány, ahol az alap és a kitevő is változik. A pénzügyi

számításokban is előfordul, ahogy egy további fejezetben látni fogjuk.

A sorozat:

Számoljuk ki a sorozat néhány elemét:

...

[ >

[ > közelítés : = evalf (b, 20);

[ >

Sorozatok


A határértékre most "nem szám" adódott, hanem azt írta ki a program, hogy e. Mi az e szám és mennyi az

értéke? Az e egy irracionális szám (végtelen nem szakaszos tizedestört), ezért csak közelítő értékét tudjuk

megadni, ezt számolta ki a program 20 tizedesig. Milyen irracionális számokat ismerünk még? A π, a

biztosan mindenkinek eszébe jut.

Ha egy kicsit megváltoztatjuk a sorozatot és a zárójelben szereplő tört számlálója tetszőleges való szám lesz a

határérték így változik:

, ahol

4. Műveletek konvergens sorozatokkal

Az előbbi részben öt nevezetes sorozat határértékével ismerkedtünk meg, de nyilvánvaló, hogy nem csak ennek

az öt sorozatnak a határértékére vagyunk kíváncsiak. Hogyan tudjuk más sorozatok határértékeit meghatározni

ezekre a nevezetes sorozatokra építve? Erre ad választ a műveletek konvergens sorozatokkal fejezet. Ha adott

két konvergens sorozat an és bn és ismerjük mindkettő határértékét, vagyis tudjuk, hogy és

, akkor sorozatok is konvergensek és

Sorozatok


, ahol b ≠ 0 és bn ≠ 0

, ahol c konstans és a > 0

, ahol a > 0

Mit jelent ez? Nézzünk meg néhány példát.

Mit alkalmaztunk? A 2. műveleti azonosságot:

Mit alkalmaztunk? A 3. műveleti azonosságot:

A fenti két művelet egy más utáni alkalmazásával azt kapjuk, hogy ha egy számot n tetszőleges pozitív egész

kitevős hatványával elosztjuk, akkor 0-hoz taró sorozatot kapunk, képletben: , ahol , és

További részletesen kidolgozott feladatok a tananyag 2. fejezetében találhatók.

5. Kritikus határértékek, rendőr-elv

Ez előző pontban megismert műveleti szabályok mindig alkalmazhatók sorozatok határértékének kiszámítására?

Sajnos nem, vannak ún. kritikus határértékek, ekkor mindig valami "trükköt " kell alkalmazni a határérték

kiszámítására a műveleti szabályok egyszerű alkalmazásával nem érünk célba. Melyek ezek a kritikus

határértékek? És mit értünk azalatt pontosan, hogy kritikus határérték?

Ha egy tört számlálója és nevezője is 0-hoz tart, hova tart a tört? Ez az egyik leggyakrabban előforduló kritikus

határérték. A műveleti szabály azért sem alkalmazható, mert az említett hányadost nem tudjuk értelmezni, de ha

megnézünk néhány ilyen példát láthatjuk, hogy a hányados sorozat határértéke bármi lehet.

Az első példában a számláló , a nevező , mindkettő (a számláló és a nevező is) 0-hoz tart, ha n tart ∞-

hez. Ha felhasználjuk a törtek osztásának szabályát (a számlálót az osztó reciprokával szorozzuk), akkor n

adódik, tehát a határérték ∞.

A következő példában cseréljük meg a tört számlálóját és nevezőjét. Ekkor is igaz, hogy a tört számlálója és

nevezője is a 0-hoz tart, de az eredmény most , aminek a határértéke 0.

Sorozatok


Végül nézzünk egy olyan példát, ahol a számláló és a nevező is 0-hoz tart, a hányados pedig egy véges

számhoz, mondjuk 2-höz.

Láthatjuk, hogy mi is a probléma ezzel a határérték típussal, nem tudjuk megmondani, hogy mi lesz a hányados

határértéke, mert a konkrét sorozatoktól függően bármi lehet. A többi kritikus határérték esetében is ez okozza a

gondot, az eredmény lehet akármi, 0, ∞, tetszőleges valós szám.

összefoglalva a kritikus határértékek:

Ha és , akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani.





A következőben még egy módszert ismertetünk egy sorozat határértékének kiszámítására, ez a

Rendőr-elv

Adott három sorozat an, bn és cn , és tudjuk, hogy b1 az a1 és c1 között helyezkedik el a számegyenesen, vagyis a1

≤ b1 ≤ c1, hasonlóan a2 ≤ b2 ≤ c2, és így tovább minden n-re. Továbbá a bn-et közrefogó két sorozat an és cn

határértéke megegyezik, és ez a közös határérték A , akkor bn sorozatnak "sincs más választása, kénytelen lesz"

A -hoz konvergálni.

Matematikai jelőlésekkel:

Adott három sorozat an, bn és cn

Egy sorozat határértékét rendőr-elvvel meghatározni azért nem könnyű, mert kell keresnünk egy, a

sorozatunknál elemenként nagyobb és egy, elemenként kisebb sorozatot és még annak is teljesülnie kell, hogy a

két sorozatnak ugyanaz legyen a határértéke.

Nézzünk egy példát!

Számítsuk ki a határértéket! A számláló és a nevező is ∞-hez tart, ez egy "kritikus" határérték.

Sorozatok


Találtunk a sorozatunkhoz elemenként kisebb és nagyobb sorozatot. Most már csak azt kell megnézni, hogy mi

a két közrefogó sorozat határértéke. Tudjuk a 2. nevezetes sorozat határértékét:

, ezért , így a keresett határérték

Szemléltessük eredményünket, ábrázoljuk a három sorozat néhány elemét koordináta - rendszerben:

[ >

[ >

[ >

[ >

6. Egy pénzügyi alkalmazás

Pénzügyi számítások során gyakran találkozunk sorozatokkal, de ez általában egy sorozat néhány értékének

kiszámítása. Például a kamatoskamat számításnál, hitel törlesztőrészletének, betét értékének meghatározásánál.

Ezekben a feladatokban a sorozat néhány elemét, vagy néhány elemének összegét kell kiszámítanunk.

Határértéket, a sorozat viselkedését a végtelenben általában nem vizsgáljuk, pedig a matematikai analízis

szempontjából ez lenne az érdekes. Mégis találhatunk olyan pénzügyi példát, ahol a határérték számításra is

szükségünk van.

Sorozatok


Az e-hez és e hatványaihoz tartó nevezetes sorozat "pénzügyes " háttere:

"Az e talán nem mindenkinek tűnik annyira "természetesnek ". Nevét onnan kapta, hogy többek között olyan

alapvető életfolyamatok modellezésében is találkozhatunk vele, mint a növekedés és a fogyás. Nem is beszélve

arról a szintén alapvető dologról, amely (Erdőst leszámítva) gyakran foglalkoztatja az embereket nevezetesen a

pénzről. Az e központi szerepet játszik a kamatos kamat számításánál. Tegyük fel, hogy 1 dollárt teszünk egy

olyan bankba, ami 100% tőkésített kamatot ígér egy évre. Egy másik pénzintézet a tőkésítést fél évre vállalja.

Utóbbi esetben jobban járunk, mivel a hat hónap letelte után a befektetett összeg 50%-ának megfelelő kamatot

kapunk, azaz 50 centet. Év végére persze már a kamat is kamatozik, így tizenkét hónap elteltével a teljes összeg

2 dollár 25 centre nő. Na és mi van akkor, ha az évi 100%-os kamat negyedéves bontásban értendő? Egy év után

ebben az esetben már 2 dollár 44 centünk lesz. Ha pedig évente nyolcszor számolunk kamatot, 2 dollár 57 centet

tehetünk zsebre. Végül mi történik, ha a túlságosan is nagylelkű Erdős Bank folyamatosan kínálja az évi 100%

kamatot? Vajon Erdős szavaival élve "végtelenül gazdagok " lennénk-e 12 hónap elteltével? Nem egészen. Az

összeg, amelyre ily módon szert tehetünk, nem lenne több, mint e, vagyis 2,718� - dollár. " Paul Hoffman: A

PRÍM ember ERDőS PÁL kalandjai a matematika végtelenjében

Számoljunk végig egy olyan példát, ahol a kamat hozzáadása a tőkéhez (tőkésítés) nem év végén történik,

hanem félévente, negyedévente, stb.:

Számoljuk ki 1 Ft felnövekedett értékét, ha az éves kamatláb 12% és a tőkésítés arányos kamatlábakkal

félévente, negyedévente, havonta, illetve naponta történik.

Félévente: , vagyis a növekedés 12,36%

Negyedévente: , vagyis a növekedés 12,55%

Havonta: azaz , vagyis a növekedés 12,68%

Naponta: az arányos kamatláb ekkor ,azaz , a növekedés 12,70%

Folytonos kamatozás esetén: , ahol m az évi tőkésítések száma, i pedig a kamat,

, ami közelítőleg 12,75%-os növekedés.

A folytonos kamatozásnál nyert érték a különböző kamatozási folyamatok felső határa. Ha nem 1 Ft, hanem C0;

és nem egy év, hanem n szerepelt volna a példában, akkor az éves kamattényezőt még n-dik hatványra kellene

emelni és a C0-lal szorozni.

7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témaköréből

7.1. Monotonitás, korlátosság

7.1.1. 1. feladat



Sorozatok


Mielőtt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány első elemét!

Sejtés: a sorozat szigorúan monoton nő

Számítsuk ki az an+1 - an különbséget, ha pozitív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést.

an+1 felírása: az an képletébe n helyére (n+1)-et írunk, fontos, hogy mindig tegyük zárójelbe! (A zárójel néha

elhagyható, de ha nem vagyunk benne biztosak, hogy mikor, azt javaslom, mindig írjunk zárójelet, mert akkor

biztos nem követünk el hibát.)

A fenti sorban felbontottuk a zárójeleket és összevontunk. Ezután közös nevezőre hozzuk a két törtet, mivel a

nevezőknek nincs közös tényezője (a legnagyobb közös osztójuk 1) a közös nevező a két nevező szorzata lesz:

Látható, hogy a közös nevezőre hozás mindkét törtnél lényegében törtbővítés volt. Az első tört számlálóját és

nevezőjét is megszoroztuk n + 3 -mal, a második törtet n + 4 -gyel bővítettük. Most közös a nevező, ezért a

kifejezésünket egy törtként is felírhatjuk, majd a számlálóban felbontjuk a zárójeleket, ezután összevonunk. A

nevezőben soha ne végezzük el a szorzást!

A nevező második tagjánál vigyázzunk, a zárójel előtt negatív előjel van, ez azt jelenti, hogy ha felbontjuk a

zárójelet minden tag ellentétes előjelű lesz.

A számláló összevonása után kapott tört előjelét már könnyen megvizsgálhatjuk. A számláló 5, ez pozitív, a

nevezőben n+4 > 0 és n+3 > 0, mert n > 0, ezért a szorzatuk is, így a nevező is pozitív. Ha egy tört számlálója és

nevezője is pozitív, akkor a tört is az, tehát bebizonyítottuk az állítást, a sejtés igaz, a sorozat szigorúan monoton

nő.

Korlátosság vizsgálata:

Ha egy sorozat szigorúan monoton nő, vagy monoton nő, akkor első eleme mindig alkalmas alsó korlátnak, k =

a1 A felső korlát keresése előtt célszerû kiszámítani a sorozat határértékét.

A sorozat szigorúan monoton növekedve tart 2-höz. Ezért a 2 (de bármely 2-nél nagyobb szám is) alkalmas lesz

felső korlátnak. Nézzük meg, hogy valóban igaz-e, hogy minden sorozat elem (ehhez a sorozat általános

elemével kell elvégezni a vizsgálatot) kisebb, mint 2.

Sorozatok


Vonjunk ki az egyenlőtlenség mindkét oldalából kettőt, majd hozzuk a bal oldali kifejezést közös nevezőre:

Vigyázat, negatív előjel a zárójel előtt!!!

Igaz egyenlőtlenséget kaptunk, mert a bal oldali tört számlálója negatív (-5), nevezője pozitív, mert n > 0, így a

tört is negatív. Tehát a sorozat egy felső korlátjának K = 2 valóban megfelel.

összefoglalva: sorozatunk szigorúan monoton nő és korlátos, alsó korlátja k = a1=3/4, felső korlátja K = 2,

konvergens, határértéke is 2. (Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a sorozatok korlátaikkal együtt Excel

programban is szemléltethetők.)

Most nézzük meg, hogy ugyanennek a feladatnak a megoldásában, hogyan segítenek a Maple utasítások?

[ > restart

[ > with(plots):

[ > a(n):=(2*n+1)/(n+3)

[ > a(1)

[ > a(2)

[ > a(3)

[ > a(n+1)

[ > a(n+1)-a(n)

[ > simplify(a(n+1)-a(n))

[ > solve({n > 0, a(n+1)-a(n) > 0}, [n])

[ > k := a(1)

Sorozatok


[ > limit(a(n), n = infinity)

[ > K := limit(a(n), n = infinity)

[ > l := [`$`([n, a(n)], n = 1 .. 10)]

[ > plot([l, k, K], n = 0 .. 10, style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle,

symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0 .. 10, 0 .. 2])

7.1.2. 2. feladat


Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökkenő

Sorozatok


Milyen előjelű a kapott tört? Számlálója negatív (-8), de vajon a nevező előjele mi lesz? Mindkét szorzótényező

negatív a nevezőben, mert n > 0, azért szorzatuk pozitív. A tört negatív lesz, mert a számlálója és a nevezője

különböző előjelű.

ezért a sorozat szigorúan monoton csökken.


Minden szigorúan monoton csökkenő és monoton csökkenő sorozat első eleme alkalmas lesz felső korlátnak,

K = a1 = 6

Az alsó korlát kiszámítása előtt nézzük meg a határértéket:

Alsó korlátnak megfelelő lesz a -2, vagy bármely nála kisebb szám. Az alsó korlátnál minden sorozatelemnek

nagyobbnak kell lennie, ezért a következő egyenlőtlenségnek kell teljesülnie:

an > - 2

Az egyenlőtlenség igaz, mert a számláló és a nevező is negatív, ezért a tört pozitív. A sorozat szigorúan

monoton csökken, felső korlátja 2, alsó korlátja -2, tehát korlátos a sorozat, és így konvergens is, határértéke -2.

Ezt a feladatot is végigkísérhetjük Maple-ben az előző feladatnál felsorolt utasításokkal. A kapott ábra:

Sorozatok


7.1.3. 3. feladat


n ≠ 5

Kikötést kell tennünk, mert a nevező nem lehet 0. Miért nem tettünk kikötést az előző feladatokban, hiszen ott is

tört tagú sorozataink voltak? Ha tettünk volna kikötést ez az első feladatban n ≠ -3, a másodikban n ≠ 0,5 lett

volna, de ezek az n értékek a sorozatoknál sohasem fordulnak elő, mert az n csak pozitív, egész szám lehet.


a5 nincs értelmezve

Mit mondhatunk ennek a sorozatnak a monotonitásáról, először csökken, majd felugrik egy nagyot, és újra

csökkenni kezd. Ha valaki csak az első három tagot számolja ki az a sejtése támadhat, hogy ez a sorozat

szigorúan monoton csökkenő. Nézzük meg, hogy a szokásos számolásból kiderül-e a sorozat „renitens

viselkedése”, s ha igen hogyan tudjuk észrevenni.

Sorozatok


Vizsgáljuk meg a kapott tört előjelét, a számláló mindig negatív, tehát a tört előjelét a nevező fogja

meghatározni. Ha n < 4 mindkét tényező negatív, a nevező pozitív, a tört negatív, tehát 4-nél kisebb n-ekre a

sorozat szigorúan monoton csökken. Ha n > 5, akkor mindkét tényező pozitív, szorzatuk pozitív, a tört negatív,

ekkor is szigorúan monoton csökken a sorozat. A fenti törtből a sorozat 4 és 5 közötti viselkedésére nem kapunk

választ, ki kell számítanunk a megfelelő sorozatelemeket (amelyiket lehet).

Mondhatjuk azt, hogy a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, általában is elmondhatjuk, hogy a sorozat

viselkedése „nagy” n-ekre érdekel bennünket, a sorozat elején néhány „nem jól viselkedő taggal” nem kell

törődnünk.


Hasonlóan az előzőekhez gyakorlásként meg lehet határozni a határértéket, a felső korlát K = 7, az alsó korlát k

= -5 lesz. összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, felső korlátja K = 7, az alsó korlátja k =

-5, tehát korlátos, ezért konvergens is, határértéke 1.

A megoldás lépései Maple utasításokkal is végigvihetők. A kapott grafikon a korlátokkal:

7.1.4. 4. feladat


an = - 2 n + 5

Sorozatok



a1 = - 2 ⋅ 1 + 5 = 3

a2 = - 2 ⋅ 2 + 5 = 1

a3 = - 2 ⋅ 3 + 5 = -1

Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken.

Bizonyítás:

an+1 - an = ( -2(n + 1) + 5) - ( -2n + 5) = -2n -2 + 5 +2n - 5 = -2 < 0

Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken.


Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő a sorozat első eleme alkalmas lesz felső korlátnak,

K = a1 = 3

A sorozat alulról nem korlátos.

Bizonyítás indirekt:

Tegyük fel, hogy van egy m szám, ami alkalmas alsó korlátnak, vagyis a sorozatnak nincs m-nél kisebb eleme.

Ezt képletben a következőképpen írhatjuk fel:

an > m minden n ∈ ℕ+ esetén

-2n + 5 ≥ m

-2n ≥ m - 5

Vigyázat! Negatív számmal való osztás, az egyenlőtlenség irány megfordul!

A kapott végeredmény nyilvánvaló lehetetlenség, hiszen n bármilyen nagy pozitív természetes szám lehet. Az

ellentmondást csak úgy oldhatjuk fel, hogy eredeti állításunk hamis volt, vagyis a sorozatnak nincs alsó korlátja.

összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, felülről korlátos, felső korlátja K = a1 = 3 , alulról nem

korlátos.

Maple-ben:

[ > a(n):=-2*n+5

Sorozatok


[ > a(1)

[ > a(2)

[ > a(3)

[ > a(n+1)-a(n)

[ > limit(a(n), n = infinity)

[ > solve({a(n)-m >= 0}, [n])

[ > K := a(1)

[ > l := [`$`([n, a(n)], n = 1 .. 10)]

[ > plot([l, K], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,

thickness = [4, 2], view = [0 .. 10, -16 .. 4])

7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke

Az an = 1/n sorozat határértékére visszavezethető feladatok

A polinomok határértéke mindig ±∞ , ha n → ∞ , tehát ha két polinom hányadosának határértékét szeretnénk

kiszámítani, az mindig egy ± ∞ / ± ∞ típusú kritikus határérték. Ezért ki kell találni valami olyan módszert,

amivel azonos átalakítások segítségével addig formáljuk a kifejezéseket, amíg a határérték már nem lesz

kritikus.

Mi a polinom? Egy változó, jelen esetben „n” hatványai számokkal szorozva és összeadva, csökkenő hatványok

szerint rendezve. Pl.:

4n3 + 5n2 - 2n + 11, ez n változó harmadfokú egyváltozós polinomja.

A definíció szerint összeadásnak kell szerepelni a hatványok között, a fenti példában azonban van egy kivonás

is. Okoz-e ez problémát? Nem, mert a polinom

Sorozatok


4n3 + 5n2 + (- 2)⋅ n + 11 formába is írható.

Az „n” hatványok előtti szám-szorzókat együtthatóknak szoktuk nevezni.

A legnagyobb kitevőjű hatvány előtti együttható a főegyüttható.

7.2.1. 1. feladat

Számítsuk ki a következő határértéket:

Láthatjuk, hogy a számlálóban és a nevezőben is elsőfokú polinom van (n = n1). A számlálót és a nevezőt is

elosztjuk tagonként �n�-nel. Megtehetjük-e ezt anélkül, hogy megváltozna a tört értéke? Ez azonos átalakítás,

nevezetesen tört egyszerûsítés, hasonlóan

átalakításhoz, (ahol a törtet 3-mal egyszerűsítettük) tehát a tört értéke nem változik.

Tudjuk, hogy , vagy másképp , ha

Ezután a szürke keretben levő műveleti azonosságokat alkalmazzuk:

A 2. azonosságot használtuk fel:

Sorozatok


A számláló határértékére az 1. azonosság alkalmazható (kivonás), a számláló határértéke:

an = 2 (konstans 2 sorozat: 2, 2, 2, � ),

a = 2, b = 0, 2 – 0 = 2

A nevező határértékére szintén az 1. azonosság alkalmazható (összeadás), a nevező határértéke:

, bn = 5

a = 0, b = 5, 0 + 5 = 5

A tört határértékéhez már csak a 4. azonosságot kell felhasználni, és adódik, hogy ha a számláló határértéke 2, a

nevezőé pedig 5, akkor a tört határértéke 2 / 5 lesz.

Tehát:

Maple-ben a limit utasítás azonnal megadja a sorozat határértékét.

[ >

[ >

[ > plot([l, h], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,

thickness = [4, 2], view = [0 .. 10, 0 .. .5])

Sorozatok


7.2.2. 2. feladat


A számláló és a nevező fokszáma megegyezik, mindkettő másodfokú polinom. A legnagyobb kitevőjû hatvány

az n2, ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezőt is. A következő adódik:

Az egyszerűsítések után:

a szürke táblázat 2. és 3. azonosságát alkalmaztuk.

Sorozatok


Általánosan is elmondhatjuk, hogy a (a számlálóban c egy állandó szám, a nevezőben n pozitív, egész

kitevőjû hatványa az (nk) típusú határérték mindig 0.

Az előző feladatban megnéztük, hogy és ugyanígy igazolható az is, hogy

Ezután az 1. és 4. azonosság alkalmazásával adódik, hogy a határérték

A szemléltetést a Maple segítségével végezzük el. Az ábrára pillantva, észrevehetjük, hogy a sorozat csak a 2.

elemtől kezdődően szigorúan monoton növekvő és azt is, hogy ennek a sorozatnak a konvergenciája sokkal

„lassúbb” az előzőnél. Ott már a 10. elem 0,05-nél kevesebbel tér el a határértéktől, itt még a 20. elem eltérése is

csaknem 10-szer annyi (0,5).

7.2.3. 3. feladat

A következőben egy olyan tört határértékét számítsuk ki, ahol a számláló fokszáma nagyobb a nevező

fokszámánál:

Sorozatok


Magyarázat: A legnagyobb hatvány n3, tehát ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezőt is. Felhasználva az ismert

azonosságokat azt kapjuk, hogy a számláló 1-hez, a nevező 0-hoz tart. A �nem kritikus határértékek� között

felsoroltuk a szám/0 típusú határértéket, ami végtelen. Azt, hogy +, vagy � végtelent kapunk-e a számlálóban és

a nevezőben is a legnagyobb kitevőjû tagok előjele határozza meg. Ez a számlálóban az n3, a nevezőben a 3 n2,

mivel mindkettő pozitív szám, az eredmény +∞ lesz.

...

7.2.4. 4. feladat

Számítsuk ki a következő határértéket, a számláló fokszáma most legyen kisebb a nevező fokszámánál:

Sorozatok


7.2.5. összefoglalás

7.2.6. 5. feladat

Mit tegyünk, ha gyök is szerepel a feladatban? Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor csak a nevezőben, vagy

csak a számlálóban van gyök. n > 1 kikötést azért kell megtennünk, hogy a nevezőben ne legyen a gyök alatt

negatív szám.

, mert 2n > 0.

Magyarázat: A számlálóban levő kifejezést bevisszük a gyök alá. Gyök alá úgy viszünk be egy (nem negatív)

kifejezést, hogy négyzetre emeljük. (Általában, ha n. gyök alá visszük be, akkor n. hatványra emeljük.)

Sorozatok


7.2.7. 6. feladat

Ha a számláló és a nevező is azonos kitevőjű gyök alatt van. Ekkor közös gyök alá visszük és a gyök alatt a két

polinom hányadosára vonatkozó szabály szerint járunk el.

Felhasznált azonosság:

Sorozatok


7.2.8. 7. feladat

Ha a számláló és a nevező gyökének fokszáma különböző, Azért, hogy a feladat nevezője ne legyen 0, az n > 1

kikötést kell tennünk.

A felhasznált azonosságok:

Azt is mondhatjuk, hogy a számláló fokszáma (a legnagyobb kitevőjű hatványának fokszáma) 3/2, harmadik

hatvány a második gyök alatt, a nevező fokszáma (a legnagyobb kitevőjű hatványának fokszáma) 2/3 , második

hatvány a harmadik gyök alatt. Mivel a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, a határérték ∞.

Sorozatok


7.3. A qn sorozat határértékére visszavezethető feladatok

A feladatok megoldása során gyakran felhasználjuk a középiskolában tanult hatványozás azonosságokat.

7.3.1. 1. feladat


Ebben a feladatban egy olyan törtet vizsgálunk, amelynek a nevezője egytagú (nincs a tört nevezőjében

összeadás, kivonás) Az azonosságokat ebben a leckében kicsit szokatlan módon �visszafelé� alkalmazzuk.

Mindenki előtt ismert, hogy két azonos nevezőjû törtet így adunk össze:

, vagy betűkkel:

Sorozatok


„Fordítva” alkalmazva ez azt jelenti, hogy ha egy tört számlálójában összeg van, akkor két azonos nevezőjű tört

összegévé bontható.

, feladatunkban:

Most nézzük az összeg két tagját külön, hogyan alakíthatók tovább. Az első tag számlálójában az 1. hatványozás

azonosságot alkalmazzuk, ezt is „fordítva” jobbról balra olvassuk most: összeget látunk a kitevőben és azt

azonos alapú hatványok szorzatává alakítjuk.

Ezután 3n -nel egyszerûsítünk és megkapjuk az összeg első tagját, ami 9. A második tag átalakítása: Tudjuk,

hogy 1 minden hatványa 1, vagyis 1n = 1 bármely n-re. Így

Az utóbbi egyenlőség a hatványozás 5. azonosságát használta fel (jobbról balra ��visszafelé�) Foglaljuk össze

az átalakításokat és számoljuk ki a határértéket:

A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy mert az alap abszolút értéke kisebb egynél,

azaz számokkal és jelekkel:

Az ábrán nyomon követhető a "villámgyors" konvergencia.

Sorozatok


7.3.2. 2. feladat

Most egy olyan határértéket számítsunk ki, ahol a nevező többtagú és a hatványalapok is különbözők:

Először alkalmazzuk az 1. és 2. hatványozás azonosságot:

Próbáljuk a tagokat külön alakítani. A számláló 1. tagja

Mit használtunk itt fel? Az egész számok törtekkel való szorzásának szabályát.

Általánosan ezt így is írhatjuk:

a számlálót az egész számmal megszorozzuk, a nevező változatlan marad.

A számláló 2. tagja: 4⋅ 3n⋅ 32 = 4⋅ 32⋅ 3n = 4⋅ 9⋅ 3n = 36⋅ 3n

Mit használtunk fel? A szorzás tényezői tetszés szerint felcserélhetők. Idegen szóval a szorzás kommutatív:

a⋅ b = b⋅ a

természetesen nemcsak két, hanem több tényezőre is igaz, hogy a tényezők tetszés szerinti sorrendbe írhatók. Mi

a feladatban 3 tényezőre alkalmaztuk a kommutativitást.

Hasonlóan alakítható a nevező 2. tagja is: 5⋅ 2n⋅ 2 = 5⋅ 2⋅ 2n = 10⋅ 2n

Gyakori hiba, hogy az eredmény 20n. Ez miért nem jó? Az n. hatvány csak a 2 alapra vonatkozik a 10-re nem.

10⋅ 2n≠20n 10n⋅ 2n = (10⋅ 2)n = 20n

Hol tartunk most a fenti átalakítások után?

A hatványalapok közül (2, 3) válasszuk ki a nagyobb abszolút értékût, ez (3) és annak n. hatványával (3 ) osszuk

el tagonként a számlálót és a nevezőt is:

Az 5. hatványozás azonosság és a lehetséges egyszerűsítések után a következő adódik:

Sorozatok


A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy , mert az alap

Szép példát látunk egy nem monoton sorozatra.

7.3.3. 3. feladat

Számítsuk ki a következő határértéket, az újdonság ebben a feladatban az előzőekhez képest, hogy az egyik

kitevőben szorzat van.

Ez a számláló 1. tagja a 22n. Hogyan alakítjuk át?

Az átalakításhoz a 3. hatványozás azonosságot használtuk fel.

1. megjegyzés: ha a kitevőben a 2 és az n között nincs műveleti jel, ez mindig szorzást jelent, 2n = 2⋅ n

2. megjegyzés:

és is helyes átalakítás, de most a 2. számunkra a célravezető.

A további átalakítások az 1. és 2. hatványozás azonosság szerint az előző feladatoknál ismertetett módon

végezhetők el.

Sorozatok


Kiválasztjuk a legnagyobb abszolút értékû hatványalapot, ez most 4, 4n -nel osztjuk el a számláló és a nevező

minden tagját. A nevező harmadik tagját így alakítjuk át:

Az osztások, az 5. hatványozás azonosság és a fenti átalakítás alkalmazása után kapjuk:

A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy

mert mindhárom alap abszolút értéke egynél kisebb szám.

7.3.4. 4. feladat

Eddig nem használtuk még a 4. hatványozás azonosságot és nem vizsgáltunk negatív alapot sem. Nézzünk most

egy olyan feladatot, ami ezeket is tartalmazza.

A számláló 2. tagjában alkalmazzuk a 4. hatványozás azonosságot:

2n⋅ 5n = (2⋅ 5)n = 10n

Sorozatok


A legnagyobb abszolút értékű hatványalap most a 10, ezzel osztjuk a tört számlálóját és nevezőjét,

természetesen most is felhasználjuk az 5. hatványozás azonosságot.

A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy , mert mindkét alap abszolút

értéke egynél kisebb szám.

7.3.5. 5. feladat

Változtassuk meg a feladatot úgy, hogy a legnagyobb abszolút értékű alap csak a nevezőben szerepeljen, a

számlálóba 10 helyett írjunk egy kisebb számot, például 5-öt.

A határérték számításnál azt kaptuk, hogy a tört számlálója 3-hoz, nevezője 0-hoz tart. Ezt a matematikailag

„csúnya” felírást idézőjelbe tettem a 0-val való osztás miatt, de a határérték számítás elméletéből tudjuk, hogy

ez nem ún. „kritikus határérték”, hanem tudjuk, hogy a sorozat a ∞-be tart. Hogyan tudjuk eldönteni, hogy +,

vagy – végtelen lesz-e a határérték? A számlálóban és a nevezőben is el kell dönteni, hogy melyik tag a

legnagyobb. Ez a számlálóban és a nevezőben is a 2. tag. Ezek egyikének előjele pozitív, (számlálóban a 3), a

másiké negatív (a nevező 2. tagja), így hányadosuk negatív lesz, ezért a határérték -∞.

Sorozatok


Ha a 20. tagot kiszámoljuk az már -752,132, a sorozat gyorsan "vágtat" a -∞ felé.

7.4. Néhány "∞-∞" típusú kritikus határérték kiszámítása

7.4.1. 1. feladat


Ha n → ∞, akkor n + 3 → ∞és , hasonlóan , tehát valóban a felírt kifejezés határértéke

"∞ - ∞" típusú kritikus határérték.

Ha egy kifejezést 1-gyel szorzunk, az értéke nem változik. Minden olyan tört értéke 1, amelynek a számlálója és

nevezője megegyezik

Emlékezzünk az azonosságra is.

Szorozzuk meg a kifejezést 1-gyel, amit formában írunk fel.

Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy az egész számot a tört számlálójával összeszorozzuk, a nevezőt

változatlanul leírjuk, ugyanígy járunk el tetszőleges egész és törtkifejezésekkel is.

Sorozatok


Felhasználtuk az átalakítás során a azonosságot, a összefüggést, ami minden a≥0

esetére igaz.

A következő lépésnél vigyázzunk a zárójelfelbontásra különösen, ha a zárójel előtt negatív előjel áll! A

folytatás:

Miért lett 0 a határérték? A számláló 4, a nevező határértéke +∞, a „nem kritikus határértékek között felsoroltuk,

hogy a

Lassan konvergál a sorozat a 0-hoz, még 20. tagnál is legalább 0,4 az eltérés a határértéktől.

7.4.2. 2. feladat

Nem mindig lesz a számlálóban állandó szám az átalakítás után. Nézzünk erre is egy példát:

Eddig a szokásos átalakításokat végeztük el. A határértéket "∞-∞" típusú kritikus határértékből típusú,

szintén kritikus határértékké alakítottuk.

Most osszuk el a számlálót és a nevezőt is n -tel. A gyök alá n-et négyzetre emelve n2 formában vigyük be.

Sorozatok


Nagyon gyorsan konvergál a sorozat 1-hez, már a 3. tagnál az ábrán szinte alig látható az 1-től való eltérés.

7.4.3. 3. feladat

Nézzünk még egy az előzőhöz hasonló példát:

Eddig a szokásos átalakításokat végeztük el. A határértéket "∞-∞" típusú kritikus határértékből típusú,

szintén kritikus határértékké alakítottuk. Most osszuk el a számlálót és a nevezőt is n2 -tel. A gyök alá n2-et

négyzetre emelve (n2)2 = n4 formában vigyük be.

A számláló 1-hez a nevező 0-hoz tart, az idézőjelbe tett osztásnak a számok körében nincs értelme, de mint

határérték létezik és nem is kritikus, értéke ∞, mégpedig +∞, mert a nevező pozitív, ahogy a számláló nagyobbik

tagja is az.

Sorozatok


7.5. Az (1+1/n)n sorozat határértékére visszavezethető határértékszámítási feladatok

7.5.1. 1. feladat


Először a zárójelben levő kifejezést

alakra kell hoznunk.

Az átalakításhoz a következőket használjuk fel: a + (-b) = a - b, vagy számokkal: 10 + (-3) = 10 - 3 , ha egy

kifejezéshez (vagy számhoz) egy negatív kifejezést (vagy számot) hozzáadunk, az ugyanazt eredményezi,

mintha a hozzáadott értéket kivontuk volna.

Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy ha lehetséges elosztjuk a számlálót az egész számmal, ha nem a

nevezőt szorozzuk meg vele. Ugyanígy végezzük el az említett műveletet algebrai kifejezésekre is. Algebrai

kifejezéseknél általában a 2. módszer alkalmazható, ezért a számpélda és a „betűs” példa is arra vonatkozik.

,

Hogyan lehet eldönteni a felírásból, hogy törtet osztunk egész számmal, vagy egész számot törttel? Az

egyenlőségjel helye mutatja meg. A kétféle felírást tilos összekeverni, mert egész más eredményre vezet.

Nézzünk mindkettőre ugyanazokkal a számokkal 1-1 példát és hasonlítsuk össze az eredményt:

Egész számot törttel osztunk:

Sorozatok


Törtet osztunk egész számmal:

A fentieket alkalmazva adódik, hogy

Az átalakításból látható, hogy , és így

(Az utóbbi két átalakítás már nem tartozik szorosan a feladat megoldásához, csak „cifrázat”, hogy

hányféleképpen is írható fel egy negatív törtkitevőjű hatvány.)

7.5.2. 2. feladat

n > 1

Az alap átalakításánál kétféle gondolatmenet szerint is eljárhatunk.

1. Hasonlóan, mint a 2 polinom hányadosának határérték számításánál, vagyis a számlálót és a nevezőt is osszuk

el n-nel.

2. A számlálóban és a nevezőben is emeljünk ki n-et, majd egyszerűsítsünk vele.

Sorozatok


A kiemelés helyességéről mindig úgy tudunk megbizonyosodni, hogy �visszaszorozzuk�. Ez például a tört

számlálója esetén így néz ki:

Az eredmény nyilván mindkét esetben ugyanaz lesz, különben „nagy baj” lenne. A második eljárás vihető

tovább a későbbi, bonyolultabb feladatokra.

A kitevőben összeg van, ezért az 1. hatványozás azonosságot kell alkalmaznunk.

Itt álljunk meg egy pillanatra. Nézzük meg a határértékeket külön-külön. Az első tört számlálójának és

nevezőjének határértékei a nevezetes határértékek alapján:

A második tört esetében nagyon vigyázzunk, gyakori hiba itt is e-t belekeverni a határérték számításba. Pedig

ezek a határértékek teljesen mások. A kitevő itt konkrét szám. Ekkor meg kell nézni, hogy hova tart az alap.

Jelen esetben ez a számláló és nevező esetén is 1. És ezt kell a megfelelő hatványra emelni, mivel 12 = 1 , ezért a

számláló és nevező határértéke is egy. Tehát még egyszer; csak akkor lesz a határérték az e megfelelő hatványa,

ha a kitevőben �n� (vagy n is) szerepel és nem (csak) konkrét szám.

Sorozatok


7.5.3. 3. feladat

n < 1

A zárójelben levő tört számlálójából és nevezőjéből is emeljünk ki 2n-et. A kitevőt írjuk

n - 3 = n + ( -3) alakba és alkalmazzuk rá az első hatványozás azonosságot.

A kitevőben levő különbségre alkalmazhattuk volna a 2. hatványozás azonosságot is, de akkor dupla emeletes

törtet kellett volna írni, ami szintén jó, csak szokatlanabb.

2n kiemelése például a számlálóból: 1 + 2n = 2n ȥ(? + ?) mit írjak az 1. kérdőjel helyére, mivel kell megszorozni

a 2n-et, hogy 1-et kapjak?

A reciprokával -nel, tehát ez kerül az első kérdőjel helyére. És mivel tudjuk helyettesíteni a második

kérdőjelet? Mivel kell megszoroznunk 2n-et, hogy 2n-et kapjunk? Természetesen a válasz 1. Tehát a kiemelés

eredménye:

Hasonlóképpen járunk el a nevezőben is.

Sorozatok


Végül a 4. hatványozás azonosság és az előző feladatból ismert átalakítások után adódik az eredmény. A

konkrét szám (nem n) kitevőjű hatványokat nem szükséges a 4. hatványozás azonosság szerint felbontani, elég

megnézni az alap határértékét (ez most 1) és a megfelelő hatványra (-3) emelni, ami eredményül 1-et ad.

7.5.4. 4. feladat

A számlálóból 2n-et, a nevezőből 3n-et emelünk ki, hogy "1+ valamilyen kifejezés" legyen a számlálóban és a

nevezőben is. Ezután n-nel lehet egyszerûsíteni, de a szorzó ott marad.

Az utolsó lépésben a 3. hatványozás azonosságot is alkalmaztuk a teljes kifejezésre. Ezután a 4. és 5.

hatványozás azonosság alkalmazása következik és a már ismert emeletes törtté alakítás a belső zárójelben levő

kifejezésekre. Így el is érjük, hogy kialakulnak a nevezetes határértékre jellemző „mintázatok”.

A határértéken kívül felhasználtuk a nevezetes határértéket is, mert az alap

egynél kisebb.

Sorozatok


7.5.5. 5. feladat

A számlálóból 4n-et, a nevezőből 3n-et emelünk ki. Az egyszerűsítés és a hatványozás azonosságok elvégzése

után adódik. A kitevő átalakítása a törtkitevőjű hatvány definíciója alapján történik, itt az szerint.

(Az „a” betű most a teljes zárójeles kifejezést helyettesíti.)

A határértéken kívül felhasználtuk a nevezetes határértéket is, a határérték azért

+∞, mert az alap egynél nagyobb.

Sorozatok


7.5.6. 6. feladat

Utoljára nézzünk meg egy „renitens példányt”, egy oszcillálva divergens sorozatot. Az előzőekben részletezett

átalakításokat végezzük itt is el.

Mivel a sorozat páros indexű és páratlan indexű tagjainak más a határértéke, ezért a sorozat divergens.

Ha n páros a határérték:

Ha n páratlan:

Sorozatok


7.6. Feladatok önálló megoldásra

1. Vizsgálja meg monotonitás, korlátosság szempontjából a következő sorozatot! Konvergens-e? Ha igen, adja

meg a határértékét! Adjon meg küszöbszámot, ha ε= 10-2 !

2. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha igen, adja meg a határértéküket!

Sorozatok


3. Vizsgálja meg korlátosság szempontjából a következő sorozatokat!

8. Függelék -- Számhalmazok

A természetes számok halmaza

Az ember történelme során először a természetes számok halmazával ismerkedett meg. Este beterelte az

állatokat a karámba és közben megszámolta őket. Vajon ugyanannyi van, mit reggel?

Tehát a természetes számok halmaza 0, 1, 2, 3, 4, 5, �Jele: ℕ, a naturalis latin szóból származik, ami

természetest jelent, bár gondolhatunk a natur angol szóra is. Az N első, vagy középső szárát általában duplán

szokták megrajzolni. A 0 számra érdemes külön kitérni, mert ez a középkorban sok vitát szült, az emberek

nagyon nehezen tudták elfogadni. �A nulla semmi, és mégis megtízszerezi az előtte álló számot. Ez volt az, ami

sehogy sem fért az emberek fejébe.� (Forrás: B.L. van der Waerden, Egy tudomány ébredése Egyiptomi,

babiloni és görög matematika Gondolat Budapest 1977) Ha a természetes számokat szemléltetni akarjuk,

elhelyezhetjük őket egy félegyenesen, különálló, diszkrét pontok, egymástól 1 távolságra.

Sorozatok


Ha alapműveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) kezdünk végezni a természetes számokkal,

észrevehetjük, hogy bármely két természetes szám összege és szorzata is természetes szám lesz, de ez nem igaz

a kivonásra (pl. 3-5 kivonás eredmény nem természetes szám). Ezt a matematikusok úgy mondják, hogy a

természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve, de nem zárt a kivonásra.

Az egész számok halmaza

Ha bevezetjük azokat a számokat, amiket két természetes szám különbségeként kaphatunk, eljutunk az egész

számokhoz …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… Az egész számok halmazának jele: ℞ , a német Zahl szó kezdőbetűje. Az

egész számok halmaza tartalmazza a természetes számokat, annak kibővítése, halmaz jelöléssel: . Ha

szemléltetni szeretnénk az egész számokat, egy egyenest kell rajzolnunk, és azon lesznek egymástól 1

távolságra az egész számokat jelképező diszkrét pontok. Ha megvizsgáljuk a műveleteket az egész számok

körében, akkor azt tapasztaljuk, hogy a természetes számoknál fennálló zártságot nem rontottuk el (tehát az

egész számok halmaza zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve) és sikerült a kivonásra is zárttá

tennünk a halmazt. De itt a 4. alapművelet, az osztás. Sajnos az osztásra nézve nem zárt az egész számok

halmaza, pl 2:7 nem egész.

Quentin Massys A pénzváltó és felesége (1514) Olaj, fa, 71 x 68 cm Louvre, Párizs.

A racionális számok halmaza

Bővítsük a halmazt újra. Vezessük be a két egész szám hányadosaként kapott számokat is. Így eljutunk a

racionális számokhoz. A pontos definíció így szól : Racionális számok a p/q alakú számok, ahol p, q ∈ ℞ és q ≠

0 .

De miért nem lehet, a nevező, más szóval az osztó 0? Ritkán tudják megválaszolni ezt a kérdést. Gondoljunk

bele, hogy mit jelent az osztás, például nézzük a következőt: 35 : 7 = 5 , az osztás �próbája� a szorzás, ezért

5⋅ 7 = 35 . Most alkalmazzuk ugyanezt a gondolatmenetet a 0-val való osztásra. 3:0 = ? , először mondjuk

legyen a kérdőjel helyén 0, ekkor a �próbát� elvégezve *(0, 0) = 3 adódik, ami nyilvánvalóan hamis állítás. Ha

a kérdőjel helyére más számot írunk, akkor ez a más szám szorozva 0-val 3-mat kellene hogy adjon, ugye ez

sohasem teljesülhet? Tehát sikerült megértenünk, hogy a 0-val való osztást kizárni a mûveletek közül nem a

matematikusok szőrszálhasogatása, hanem ésszerû döntés.

A racionális számok jele ℚ. A hányados quotient angol szóból, vagy a latin quotiens hányszor szóból származik.

Most már elmondhatjuk, hogy sikerült egy olyan számhalmazt találni, ami a 4 alapmûveletre nézve (összeadás,

kivonás, szorzás, osztás) zárt. A racionális számok halmaza tartalmazza az egész számokat, annak kibővítése,

halmaz jelöléssel: ℞ ⊆ ℚ (! keresni jobb jelölést). Vajon van-e olyan mûvelet, ami kivezet a racionális számok

halmazából is? Bizony van. A középiskolából általában a következő mondatok tûnnek ismerősnek. A √2 nem

racionális szám, ezt általában bizonyítani is szokták. Vannak olyan pozitív egész számok, amelyek gyöke nem

racionális, ezeket irracionális számoknak nevezzük. A π is irracionális szám. Hogy is van ez pontosan? Ahhoz,

hogy a racionális és irracionális számok fogalmát teljesen rendbe tegyük, vizsgáljuk meg a számok tizedes tört

alakját.

Hogyan kapjuk meg egy p /q alakú közönséges tört tizedes tört alakját? Úgy, hogy p-t (a számlálót) elosztjuk q-

val (a nevezővel). Nézzünk erre néhány példát:

Sorozatok


Mit mondhatunk a fenti példák alapján a racionális számok tizedes tört alakjáról? Ha az osztás során előfordul 0

maradék, a tizedes tört véges, ha nem fordul elő 0 maradék, akkor végtelen. A második példában a 7-tel való

osztásnál hány különböző maradék lehet? Legfeljebb 6 féle (1, 2, 3, 4, 5, 6), �legrosszabb� esetben a 6

maradék elő is fordul. Ezt látjuk a második osztásnál, ezért a kapott tizedes törtben a 6 hosszúságú szakasz

(428571) ismétlődik. A harmadik példánál a tizedes vessző után egy 8-as jön, majd az ismétlődő maradékok

miatt csupa hármas következik, az ismétlődő szakasz itt 1 hosszúságú. Tehát a racionális számok tizedes tört

alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Azt is meg tudjuk mondani a nevező (osztó) ismeretében,

hogy mikor lesz az osztás végeredmény véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ha a nevező prímtényezős

felbontásában csak 2-es és 5-ös számok szerepelnek, az osztás végeredmény véges, hiszen a tört bővítésével a

nevezőben 10 hatványt kaphatunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-től és 5-től különböző

számok vannak, akkor a tizedes tört végtelen, ún. tiszta szakaszos, ha a nevező felbontásában 2, vagy 5

valamelyike, vagy mindegyike előfordul, de más tényezők is vannak, akkor a tizedes tört szintén végtelen, de

ún. vegyes szakaszos. Azért vegyes szakaszos, mert nem csak az ismétlődő számok szerepelnek benne, hanem

az elején ott van néhány más szám (kakukktojás) is. Ez látható a 3. példában. Miért pont azok a számok lesznek

véges tizedes törtek, amelyeket 2 és 5 hatványt tartalmazó nevezőjû törtekből kapunk? Ennek az oka, hogy 10-

es számrendszerben számolunk. A 3-as számrendszerben az 1 / 3 és minden olyan szám, amelynek nevezőjében

csak 3 hatványok vannak, véges tizedes tört lesz.

Az irracionális számok

Tehát összefoglalva a racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. El

tudunk képzelni más tizedes törteket is? Igen, végtelen nem szakaszosakat, ezek lesznek az irracionális számok.

Nézzünk egy példát: 0,10110011100011110000�..és így tovább. Mivel egyre hosszabb 0 és 1 sorozatot

tartalmaz a tizedes tört, nem találunk benne ismétlődő szakaszt. A fenti példához nagyon sok hasonló tizedes

törtet tudnánk alkotni, bár ezek szakaszt nem tartalmaznak, mégis valamilyen szabályosság szerint építettük fel

őket. A √2 , a π és a későbbiekben előforduló e szám is irracionális, de ezekben semmi szabályosság, mintázat

Sorozatok


nem fedezhető fel. Ezeket a számokat teljes egészében soha nem tudjuk megismerni, de az egyre gyorsabb

számítógépek egyre több jegyüket tudják kiszámítani. Az irracionális számok, különösképpen a π misztikája

zeneszerzők, költők, írók fantáziáját is megmozgatta. Érdekes böngészés az Interneten, milyen mûalkotások

születtek a π-vel kapcsolatosan, hány jegye ismert? Az irracionális számok jelölésére a Q*-ot vezették be. Az

irracionális számhalmaz a felsoroltak közül az egyetlen, ami nem fogható fel úgy, mint az előző számhalmazok

bővítése. Az irracionális és a racionális számok halmazának nincs közös eleme, ℚ⋂ℚ* = ∅ . Az ábrán néhány

nevezetes geometriai példát is látunk, ahol a számolás eredményeként irracionális számok adódnak.


2. fejezet - Sorok

1. Sorok, bevezető példák

Akhilleusz és a teknős

A teknős versenyfutásra hívja ki a fürgelábú Akhilleuszt, aki nála tízszer gyorsabb; a hős elfogadja a kihívást, s

ellenfelének 1 stadion előnyt ad. Mire Akhilleusz elér arra a pontra, ahonnan ellenfele indult, addig az is

megtesz egy tized stadion távolságot, valamennyi előnye tehát marad. Akhilleusz villámgyorsan lefutja ezt is �

ám a teknős újfent előrébb iszkol, ezúttal egy század stadionnyit. Mire Akhilleusz ledolgozza hátrányát, a teknős

még mindig előtte marad: egy ezred stadion távolságra. És ez így megy a végtelenségig, a teknős előnye

folyamatosan csökken, de soha nem fogy el: álljon ellenfele bármilyen jó futó hírében, képtelen őt megelőzni.

Józan eszünk azt mondatja velünk, hogy ez lehetetlen. 1 stadion = 184,8 m ókori mértékegység, az egyszerűbb

számolás kedvééert legyen a teknős előnye 100 m, Akhilleusz sebessége 5 m/s, a teknős sebessége ennek tized

része 0,5 m/s. Azt gondolom, hogy ezzel a feltételezéssel nagyon méltányosak voltunk a teknőshöz. Tegyük fel

továbbá, hogy Akhilleusz t idő alatt éri utol a teknőst. Ekkor a következő egyenletet írhatjuk fel:

5⋅ t=0.5⋅ t+100

4.5⋅ t=100

Nézzük ugyanezt a számolást Maple-ben, és ábrázoljuk a két versenyző út - idő függvényét:

[ > utolér : = solve(0.5⋅ t+100-5⋅ t, t)

utolér := 22.22222222

Sorok


[ > plot([5⋅ x, 0.5⋅ x+100], x = 0 .. 24, y = 0 .. 120)

Tehát azt kaptuk, hogy az indulás után 200/9 másodperc múlva, azaz tíz jegyre kerekítve 22,22222222 s múlva

éri utol Akhilleusz a teknőst, és nem soha, ahogy a bevezető szöveg sugallja. Hogyan tudjuk feloldani az

ellentmondást?

Nézzünk egy másik bevezető példát. Tekintsünk egy egységnyi oldalú négyzetet. Az ábrára kattintva Maple-ben

ki tudjuk színezni. Először egy 1/2 területű téglalapot, majd egy fele akkor 1/4 területű négyzetet, majd újra egy

téglalapot kapunk, amelynek 1/8-ad a területe, és így tovább.

A területek összege a következő lesz:

Sorok


2. A sor matematikai fogalma

Számsornak a következő végtelen tagú összeget nevezzük:

Ezután definiáljuk a számsor részletösszegeit:

a sor első részletösszege

a sor második részletösszege

...

a sor n. részletösszege

A részletösszegek számsorozatot alkotnak.

A számsort konvergensnek nevezzük, ha a részletösszegek sorozatának véges határértéke létezik.

Fontos megkülönböztetnünk a következő két sorban levő összeget:

Sorok


a sor n. részletösszege, n bármilyen nagy szám lehet, de véges. Tehát ez egy véges tagú

összeg.

a sor összege, a végtelen tagú összeg. Ez az összeg lehet véges, vagy végtelen, a

részletösszegek sorozatának határértékétől függően.

A sorok definíciója kapcsán két sorozattal találkozunk a tagok és a részletösszegek sorozatával. A következő

ábra ezt szemlélteti egy véges összegű sor esetén. a1, a2, a3, ... aan a sor tagjainak sorozatát alkotják, S1, S2, S3, ...

Sn a részletösszegek sorozata és S a végtelen tagú összeg jele.

3. A mértani sor

Most vizsgáljunk meg néhány sort, hogyan tudjuk kiszámítani a sorösszeget, hogyan lehet eldönteni, hogy a sor

konvergens, vagy divergens. Tekintsük először a mértani sort. Középiskolai tanulmányokból a mértani sorozat

jól ismert. Ebben a sorozatban az egymást követő tagok hányadosa állandó. Ha felírjuk a mértani sorozat

összegét, de az n. tagnál nem hagyjuk abba az összegzést, hanem a végtelenségig folytatjuk, akkor kapjuk a

mértani sort.

Mértani sor:

A mértani sor részletösszegei:

...

Az n. részletösszeget zárt formában fel tudjuk írni, ha felhasználjuk a mértani sorozat jól ismert összegképletét:

A sorozatok fejezetben tanulmányoztuk a qn sorozatot és különböző q-k esetén felírtuk a határértéküket. Idézzük

fel:

Különben osszillálva divergens a sorozat

Mivel az összegképletből következik, hogy q ≠ 1 , ezért látható, hogy csak akkor lesz véges határértéke az n.

részletösszegnek, Sn -nek, ha |q| < 1 .

Sorok


Ekkor a keresett határérték, más szóval a mértani sor összege:

ezt úgy is mondhatjuk, hogy a mértani sor konvergens. Ha , akkor a mértani sor divergens.

Szorosan kapcsolódik a mértani sorok témájához a racionális számok tizedestört alakja. A középiskolai

tanulmányok során itt általában maradt egy hiány, ezt fogjuk most pótolni.

Racionális számok tizedestört alakja:

Hogyan kapjuk meg egy p/q alakú közönséges tört tizedes tört alakját? Úgy, hogy p-t (a számlálót) elosztjuk q-

val (a nevezővel). Nézzünk erre néhány példát:

Mit mondhatunk a fenti példák alapján a racionális számok tizedes tört alakjáról? Ha az osztás során előfordul 0

maradék, a tizedes tört véges, ha nem fordul elő 0 maradék, akkor végtelen. A második példában a 7-tel való

osztásnál hány különböző maradék lehet? Legfeljebb 6 féle (1, 2, 3, 4, 5, 6), „legrosszabb” esetben a 6

különböző maradék elő is fordul. Ezt látjuk a második osztásnál, ezért a kapott tizedes törtben a 6 hosszúságú

szakasz (428571) ismétlődik. A harmadik példánál a tizedes vessző után egy 8-as jön, majd az ismétlődő

maradékok miatt csupa hármas következik, az ismétlődő szakasz itt 1 hosszúságú. Tehát a racionális számok

tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Azt is meg tudjuk mondani a nevező (osztó)

ismeretében, hogy mikor lesz az osztás végeredmény véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ha a nevező

prímtényezős felbontásában csak 2-es és 5-ös számok szerepelnek, az osztás végeredmény véges, hiszen a tört

bővítésével a nevezőben 10 hatványt kaphatunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-től és 5-től

különböző számok vannak, akkor a tizedes tört végtelen, ún. tiszta szakaszos, ha a nevező felbontásában 2, vagy

5 valamelyike, vagy mindegyike előfordul, de ha más tényezők is vannak, akkor a tizedes tört szintén végtelen,

de ún. vegyes szakaszos. Azért vegyes szakaszos, mert nem csak az ismétlődő számok szerepelnek benne,

hanem az elején ott van néhány más szám (kakukktojás) is. Ez látható a 3. példában.

Miért pont azok a számok lesznek véges tizedes törtek, amelyeket 2 és 5 hatványt tartalmazó nevezőjű törtekből

kapunk? Ennek az oka, hogy 10-es számrendszerben számolunk. A 3-as számrendszerben az 1/3 és minden

olyan szám, amelynek nevezőjében csak 3 hatványok vannak, véges tizedes tört lesz. Most vizsgáljuk meg

ugyanezt a kérdést "visszafelé". Könnyen belátható, hogy egy véges tizedestört közönséges tört alakra hozható,

ha a törtet bővítjük úgy, hogy a nevező 10 hatvány legyen. Például:

De hogy látható be, hogy a végtelen szakaszos tizedestört mindig alakú, racionális számot ad.

Így megkaptuk azt a közönséges törtet, amiből osztással a példa

tizedestörtje adódik. Ezt számológéppel könnyen ellenőrizhetjük, ha elosztjuk a tört számlálóját a nevezőjével.

Sorok


Vigyázzuk arra, hogy ha mértani sor összegét számoljuk soha ne felejtsük el ellenőrizni, hogy a mértani sor

hányadosa |q| < 1 legyen.

Hogy számolja ki a Maple a sorösszeget?

[ > # a Maple kiszámolja a sorösszeget

[ > evalf(a, 10) # Megkapjuk a tört 10 tizedesre kerekített értékét, az eredmény: 0.7878787879

Az evalf utasítás 10 számjegyre kerekítve adta meg az eredményt, ezért 9 az utolsó jegy.

Határozzuk meg a következő sor összegét:

Először írjuk fel a sorozat néhány tagját:

Észrevehetjük, hogy ez egy hányadosú mértani sor, melynek első eleme , mivel |q| < 1

alkalmazhatjuk a mértani sor összegképletét:

Mi történne akkor, ha elfeledkeznénk a |q| < 1 feltételről és automatikusan alkalmaznánk a mértani sor képletét.

Legyen a sor az S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 ... sor, ez egy |q| = -1 hányadosú, a1 = 1 kezdőértékű mértani sor. Az

összegképlet alapján Most tekintsük a részletösszegek sorozatát: S1=1, S2 = 1 - 1 = 0, S3

= 1 - 1 + 1 = 1 S4 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0, előbb-utóbb észreveszzük, hogy a részletösszegek sorozata az 1, 0, 1, 0, 1,

... oszcillálva divergens sorozat. Tehát, ha nem teljesül a |q| < 1 feltétel, az összegképlet alkalmazása hamis

eredményre vezet.

4. Konvergencia kritériumok

Ha a sorunk nem mértani, hogyan tudjuk eldönteni, hogy konvergens-e ?

Konvergencia szükséges (de nem elégséges) feltétele:

Ha S konvergens ⇒ (A sor konvergenciájának szükséges, de nem elégséges feltétele a tagok

sorozatának 0 határértéke.) Ha egy sor konvergens, akkor a tagok sorozatának határértéke 0, de ha a tagok

sorozatának határértéke 0, abból nem következik a sor konvergenciája. Nézzünk egy példát. Tekintsük az

úgynevezett harmonikus sort: esetén de a sor mégsem konvergens.

Itt a sort alulról becsültük, és a kapott sor ∞-hez tart, akkor a nála nagyobb, vagy egyenlő tagokból álló sor is a

végtelenbe tart.

A harmonikus sor divergenciája a Maple-ben:

[ > a := sum(1/k, k = 1 .. infinity);

Tehát, ha egy sor tagjainak határértéke a ∞-ben 0, az még nem jelenti azt, hogy a sor konvergens, de ha a tagok

sorozata nem tart 0-hoz akkor a sor biztosan nem konvergens. Egy ilyen sorra is nézzünk meg egy példát:

Sorok


⇒ a sor nem konvergens

[ >

A feladat megoldás során, tehát először mindig nézzük meg, hogy a sor tagjainak mi a határértéke, ha nem 0,

már nem kell tovább foglalkozni a sorral, mert biztosan nem konvergens, ha 0, akkor további vizsgálódásra van

szükség, mert lehet, hogy a sor konvergens, de az is lehet, hogy nem. Ebben az esetben a konvergencia

eldöntésében segítenek a különböző kritériumok.

Minoráns kritérium

Ha divergens és bn≥an minden n-re, akkor is divergens.

Szavakban megfogalmazva: Ha a sorunknál találunk egy tagonként nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) sort és

az divergens, akkor a vizsgálatunkra kijelölt sor is divergens lesz. A minoráns kritériumot a harmonikus sor

divergenciájának bizonyításánál használtuk fel.

Majoráns kritérium

Ha konvergens és bn≤an minden n-re, akkor is konvergens.

Szavakban megfogalmazva: Ha a sorunknál találunk egy tagonként nem kisebb (nagyobb, vagy egyenlő) sort és

az konvergens, akkor a vizsgálatunkra kijelölt sor is konvergens lesz.

Egy példa a majoráns kritériumra. Döntsük el, hogy a következő sor konvergens, vagy divergens:

Alulról becsüljük az n faktoriálist.

Mivel a faktoriálisok reciprokai alkotják a sorozatot, ezést a 2 hatványokat helyettesítve felső becslést kapunk.

A majoráló sor, mértani, összege az ismert képlettel könnyen adódik.

Most azt nem tudtuk meg, hogy a kérdéses sor összege pontosan mennyi, de tudjuk, hogy a sor konvergens, és

összege nem lehet több, mit 3. Mit mond erről a Maple?

[ > a := sum(1/k!, k = 0 .. infinity);

A sor összege e, a természetes alapú logaritmus alapszáma, ami (a közelítő értéket is kiírathatjuk az evalf

utasítással) valóban kisebb, mint 3. Tananyagunk kereteit ez a számolás meghaladja, így elhisszük a Maple

eredményét. További kritériumok is rendelkezésünkre állnak a sorok konvergenciájának vizsgálatához.

Gyökkritérium: sor

konvergens, ha

divergens, ha

Sorok


ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni a konvergenciát, ha

Példa a gyökkritériumra. Döntsük el, hogy konvergens-e a következő sor?

, mert , ha n→∞. Tehát a sor konvergens.

Hányadoskritérium: sor

konvergens, ha

divergens, ha

ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni a konvergenciát, ha

Példa a hányadoskritériumra: Döntsük el, hogy konvergens-e a következő sor?

, ha n→∞. Tehát a sor konvergens.

5. Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések

Egy érdekes sor a teleszkópikus sor:

Átalakítjuk az n. tagot:

Az átalakítást alkalmazzuk minden tagra, látható, hogy minden kapott tört szerepel egyaránt pozitív és negatív

előjellel is, kivéve az első és az utolsó tagot:

, ha n n→∞

[ > b := Sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. 10) # Nagy betűvel kezdődő utasítás (Sum) esetén megismétli szumma jellel a

kérést

[ > b := sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. 10) # A sor első 10 tagját adja össze

[ > b := sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. 100) # A sor 100 tagját adja össze

[ > a := sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. infinity) # Kiszámolja a sor összeget

Sorok


A váltakozó előjelű sorokat alternáló soroknak is nevezük. Emlékezzünk vissza, általában nem igaz, hogy ha a

sor tagjainak sorozata 0-hoz tart, akkor a sor konvergens. Erre láttuk ellenpéldának a harmonikus sort. A

váltakozó előjelű sorokra igaz a következő tétel:

Leibniz tétel: A váltakozó előjelű sor konvergens, ha tagjainak abszolút értéke monoton csökkenve 0-hoz tart. A

hiba (a pontos sor összegtől való eltérés) nem nagyobb, mint az első elhagyott tag abszolút értéke:

Számoljuk ki, hogy mekkora hibát követünk el a sorösszeg kiszámításáben, ha az első 5 tagot adjuk össze.

[ >

[ >

[ > c := evalf(a, 10);

[ > d := abs(c-b);

Pozitív tagú sorok

Ha an>0 minden n-re, akkor az részletösszegei monoton nőnek, ezért, ha a pozitív tagú sor korlátos,

akkor konvergens is.

Abszolút konvergensnek nevezünk egy sort, ha a sor tagjainak abszolút értékeiből képezett sor is konvergens.

Példa abszolút konvergens sorra:

Feltételesen konvergensnek nevezünk egy sort, ha a sor konvergens, de nem abszolút konvergens. Feltételesen

konvergens sorra példa a váltakozó előjelű harmonikus sor.

6. Szemléltetés

A Maple-ben a harmonikus sort a következő rövid programokkal is szemléltethetjük. Az első animációban a

számegyenesen ábrázoljuk a sor részletösszegeit, a másodikban a koordináta-rendszerben. A harmadikban

koordináta-rendszerben, ill. számegyenesen együtt ábrázoljuk a sor tagjait és részletösszegeit. Pirossal a sor

tagjai jelennek meg, kékkel pedig a részletösszegek.

[ > a := 0:

[ > K := NULL:

[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p : =pointplot({seq([a, 0], n=1..10)}, color=red, symbol=solidcircle,

symbolsize=12): d:=display({p,q}, scaling=constrained): q:=textplot([2,0.5,a]): K:=K,d: od:

display([K],insequence=true);

[ > a := 0:

Sorok


[ > K := NULL:

[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle,

symbolsize = 12): q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,q},scaling=constrained): K:=K,d: od:


[ > a := 0:

[ > K := NULL:

[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([a, 0], n = 1 .. 11)}, color = blue, symbol = solidcircle,

symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([1/i, 0], n = 1 .. 11)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12):

q:=textplot([2,0.5,a]): f:=textplot([0.5,0.5,1/i]): d:=display({p,e,q,f},scaling=constrained): K:=K,d: od:


[ > a := 0:

[ > K := NULL:

[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle,

symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([i, 1/i], n = 1 .. 30)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12):

q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,e,q},scaling=constrained): K:=K,d: od:


7. Feladatok önálló megoldásra

Döntsük el a következő sorokról, hogy konvergensek, vagy divergensek. Ha lehet határozzuk meg a sor összeget

(mértani sor, és teleszkópikus sor esetén).

Sorok



3. fejezet - Függvények

1. Függvény definíciója

Függvény definíciója

Adott két halmaz A és B. Az f hozzárendelés függvény, ha az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B

halmaz egyetlen elemét.

Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A B halmaz az értékkészlet. A következő hozzárendelések

példákat mutatnak függvényekre és olyan hozzárendelésekre, amelyekben nem teljesül a függvény

definíciójának egyik, vagy másik feltétele.

Egy - több hozzárendelés

Nem függvény, mert az A

halmaz elemeihez a B

halmaznak nem egyetlen

elemét rendeltük.

Több - egy hozzárendelés

Függvény Nem függvény, mert az A

halmaz nem minden

eleméhez rendeltünk

hozzá elemet a B

halmazból.

Egy-egy értelmû, vagy

más szóval kölcsönösen

egyértelmû hozzárendelés

Függvény

...

A függvény jelölésére általában kis betűket használunk: f, g, h, ...Az f függvény értelmezési tartományának D f ,

értékkészletének Rf a jelölése. A függvény megadása többféle módon történhet:

, a továbbiakban leginkább ezt a jelölést használjuk

, a függvény síkbeli derékszögű Descartes koordináta - rendszerben ábrázolt grafikonjának

egyenlete.

x szokásos elnevezése független változó, y, vagy f(x) a függvény érték.

Az alábbi grafikonokat vizsgáljuk meg, lehetnek-e függvény képei (ill. egy függvény képeinek részei)?

Függvények


1.1. Az értelmezési tartomány

Két lehetőség van:

1. A függvény megadásával együtt az értelmezési tartományt is megadják, ekkor nincs dolgunk az értelmezési

tartomány meghatározásával.

2. A függvénynek csak a hozzárendelési utasítását adják meg. Ekkor az értelmezési a független változóknak az a

legbővebb halmaza, ahol a függvény értelmezhető. Jelölés: D[f] (Az értelmezési tartományt meghatározását

egyszerûen úgy is szoktuk fogalmazni, hogy megtesszük a szükséges �kikötéseket�.) A legfontosabb függvény

típusok, ahol kikötést kell tenni:

A nullával való osztásnak nincs értelme, a tört nevezője nem lehet 0.

Példa: Kikötés:

A páros gyökkitevő alatt csak nem negatív szám állhat.

Példa:

Kikötés:

Függvények


[ >

[ > solve(|x|-3) ≥ 0)

Csak pozitív számnak vehetjük a logaritmusát.

Példa:

[ > plot ( [ln (1-x2) ], x = -1.5 .. 1.5, y = -8 .. 0 )

[ > solve( 1 - x2 > 0)

Függvények


Figyelem! Minden függvényekkel kapcsolatos feladatnál, ha a feladat nem adja meg az értelmezési tartományt,

az első dolgunk meghatározni azt, vagyis a szükséges kikötéseket megtenni, akár kérdezi ezt a feladat, akár

nem.

Mikor kell kikötést tenni? Ha a függvény képlete tartalmaz osztást, páros gyököt, vagy/és logaritmust. (A tgx és

a ctgx függvények a sinx és cosx függvények hányadosai, osztást tartalmaznak, tehát a tgx és ctgx függvények

esetén is kikötést kell tennünk.)

2. Függvénytulajdonságok

2.1. Zérushely

Azon amelyre

Szemléletesen: ahol a függvény az x tengelyt metszi.

Határozzuk meg a következő függvény zérushelyét:

Szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla.

[ > plot( [ (x-3) ⋅ ln ( x )] , x = 0 .. 5, y = -1 .. 9)

[ > solve ( ( x-3 ) ⋅ ln ( x ) = 0)

2.2. Paritás

Definíció:

Az f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha f(-x) = f(x) minden esetén. Geometriailag ez azt jelenti, hogy

a függvény az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus.

Az f(x) függvényt páratlannak nevezzük ,ha f(-x) = -f(x) minden esetén. Geometriailag ez azt jelenti,

hogy a függvény az origóra középpontosan szimmetrikus.

Ha egy függvényre a fent leírtak egyike sem áll fenn, akkor azt mondjuk róla, hogy se nem páros se nem

páratlan. Az elnevezés onnan származik, hogy minden páros hatvány függvény páros és minden páratlan

Függvények


hatványfüggvény páratlan. (Ábrák a hatványfüggvényekről, a különböző függvény típusoknál láthatók.) A

trigonometrikus függvények közül a cos(x) függvény páros a többi páratlan.

Példák:

Az függvény páros.

[ >

[ >

A függvény páratlan.

[ >

Függvények


A következő függvény se nem páros, se nem páratlan.

[ >

Hogyan tudjuk eldönteni ábrázolás nélkül számolással, hogy egy függvény páros, vagy páratlan?

Helyettesítsünk a függvény képletébe x helyett -x-et, majd egyszerűsítsük le a képletet amennyire lehet, és

ezután nézzük meg, hogy visszakaptuk-e az eredeti függvényt, vagy a -1-szeresét.

, ezért a függvény páros.

és , ezért a függvény se

nem páros, se nem páratlan.

Függvények


2.3. Periodikusság

Definíció:

Az f(x) függvényt peridikusnak nevezzük, ha van olyan p valós szám, amelyre f(x+p) = f(x). Az ilyen

tulajdonságú valós számok között a legkisebbet a függvény periódusának nevezzük.

Példa:

periódusa 2π

[ >

periódusa 2π

[ >

Függvények


periódusa π

[ >

periódusa

[ >

Általában is igaz, hogy függvény periódusa

2.4. Monotonitás

Definíció:

Az f(x) függvényről azt mondjuk , hogy

Függvények


szigorúan monoton csökken, ha f(x1)> f(x2)

monoton csökken, ha f(x1)≥ f(x2)

szigorúan monoton nő, ha f(x1)< f(x2)

monoton nő, ha f(x1)≤ f(x2) az értelmezési tartomány bármely x1 és x2 x1 < x2 elemeire.

Példa:

Az függvény

[ >

a ]-∞, -2] intervallumon szigorúan monoton csökken,

a [-2, 0] intervallumon szigorúan monoton nő,

a [0, 2] intervallumon szigorúan monoton csökken,

a [2, ∞[ intervallumon szigorúan monoton nő.

A constans függvényt egyszerre mondjuk csökkenőnek és növekedőnek.

[ >

Függvények


2.5. Korlátosság

Definíció:

Az f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k szám, amelyre f(x)≥k .

Az f(x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan K szám, amelyre f(x)≤K .

A függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos.

Példa:

Az függvény alulról korlátos. Alsó korlát pl. k = -3 vagy -2,5. Alsó korlátnak bármilyen -

2,25-nél nem nagyobb szám alkalmas. Más szóval, ha találunk egy alsó korlátot, akkor bármilyen nála kisebb

szám is jó lesz alsó korlátnak. Végtelen sok alsó korlát van. A legnagyobb alsó korlátot, ha létezik a függvény

alsó határának, idegen szóval infimumának nevezzük. Ebben az esetben a függvény alsó határát, a függvény

képletének teljes négyzetté kiegészítésével kaphatjuk meg:

[ >

Függvények


Az f(x) = -2 |x + 3| + 4 függvény felülről korlátos. Felső korlát például K = 5 vagy K = 4. Ha egy függvénynek

megtaláljuk egy felső korlátját, bármely annál nagyob szám alkalmas lesz felső korlátnak. A legkisebb felső

korlátot, ha létezik felső határnak, idegen szóval szupremumnak nevezzük.

[ >

A függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1.

[ > függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1.

Függvények


2.6. Szélsőérték

1) Lokális (helyi)

a) minimum

Az f(x) függvény lokális (helyi) minimumát az x1 helyen veszi fel, és minimum értéke f(x1), ha x1-nek van olyan

ε sugarú környezete, hogy a f(x1) ≤ f(x), ha x az x1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ∃ ε >

0, hogy f(x1) ≤ f(x), ∀ x ∈ ] x1 -ε,x1 +ε [ esetén.

Hasonlat: „A szűkebb környezetéből negatív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legrosszabb matematikusa,

a helyi úszóbajnokság utolsó helyezettje, stb.”

b) maximum

Az f(x) függvény lokális (helyi) maximumát az x1 helyen veszi fel és maximum értéke f(x1), ha x1-nek van olyan

ε sugarú környezete, hogy a f(x1) ≥ f(x), ha x az x1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ∃ ε >

0, hogy f(x1) ≥ f(x), ∀ x ∈ ] x1 -ε, x1 +ε [ esetén.

Hasonlat: „A szűkebb környezetéből pozitív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legjobb matematikusa, a

helyi úszóbajnokság első helyezettje, a falusi szépségkirálynő, stb.”

2) Globális (abszolút)

a) minimum

Az f(x) függvény globális (abszolút) minimumát az x1 helyen veszi fel, és minimum értéke fx1), ha f(x1) ≤ f(x)

minden x ∈ Df esetén.

Hasonlat: „A világ legbénább embere az adott területen.:)”

b) maximum

Függvények


Az f(x) függvény globális (abszolút) maximumát az x1 helyen veszi fel, és maximum értéke f(x1), ha f(x1) ≥

f(x) minden x ∈ Df esetén.

Hasonlat: „Az adott terület világbajnoka.”

Tegyük fel, hogy az ábrán vázolt függvényre igaz a következő két határérték: és

, akkor az ábrán vázolt függvénynek nincs abszolút minimuma, lokális minimuma x2-ben,

lokális maximuma x1-ben és x3-ban van, de x1 egyben globális maximum hely is.

2.7. Konvexitás

Szemléletes definíciók

Egy függvény akkor konvex, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.

Egy függvény akkor konkáv, ha érintője mindenütt a függvénygörbe felett halad.

Másik megfogalmazás és szemléltetés:

Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában konvex (konkáv), ha az intervallum bármely

x1 < x2 értékeinél fennáll, hogy a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz

alatt (felett) halad.

Függvények


Az f függvénynek inflexiós pontja van az értelmezési tartományának egy x0 helyén, ha létezik az értelmezési

tartománynak olyan ]a; b[ (a < x0 < b) intervalluma, hogy f az ]a; x0]-ban konvex (konkáv), az [x0; b[-ben

konkáv (konvex). Szemléletesen: Az inflexiós pontban (x0) a függvény konvexből konkávba, vagy konkávból

konvexbe �billen át�.

Egy vicces ábra a konvexitás szemléltetésére: Forrás: http://cheezburger.com/1092644096

De a jól ismert Smile-k is a konvex, konkáv görbékre utalhatnak:

Függvények


3. Elemi függvények és függvénytranszformációk

Az elemi függvények az f (x) = x , f (x) =ax és az f (x) = sin (x) függvényekből származtathatók, képlettel

megadhatók és véges számú �

• konstanssal való szorzás, �

• összeadás,

• szorzás,

• osztás, �

• inverz függvény képzése, �

• összetett függvény

képzése mûveletek alkalmazásával felírhatók.

...

Elemi alapfüggvényeknek nevezzük a

• hatványfüggvényeket, xn �

• exponenciális függvényeket, ax �

• trigonometrikus függvényeket, sin(x) , cos(x) , tan(x)

• és ezek inverzeit.

Az összetett és inverz függvény képzéséről a későbbiekben lesz szó.

Először nézzünk néhány elemi alapfüggvényt. Ezeket a függvényeket az alább látható ablakban lehet

tanulmányozni. Az ablak az elemi alapfüggvények nevû gomb megnyomásával hozható elő. Az ablak bal oldali

képe mutatja a legördülő listát, ahonnan a függvényeket választhatjuk. A számunkra szükségesnél a listában

több függvény található. A bennünket érdeklő függvények: sin (x), cos (x), tan (x) = tg (x), cot (x) = ctg (x), exp

(x) = ex , ln(x) = loge(x) , log10(x) = lg(x) = log10(x) , abs(x) = |x| , sqrt(x) = Azonkívül, hogy ezeknek a

függvényeknek a képét megnézhetjük, a függvények transzformációit is tanulmányozhatjuk.

A következő táblázat összefoglalja a függvény transzformációkat.

Függvények


Nézzünk minden transzformációra egy-egy animációt:

A felső (zöld) táblázat első sorában levő két eltolást az x2 függvényre alkalmazzuk. Sorban (x + a)2 , x2 + a

beírásával a megfelelő utasításba. Az animáció úgy indul csak el, ha a grafikont kijelöljük (rákattintunk). Ekkor

megjelenik az animációt irányító panel. Lassítsuk le az animáció futását, ekkor jobban tudjuk tanulmányozni a

változást.

[ >

[ >

Függvények


A második és harmadik sor transzformációit alkalmazzuk a sin(x) függvényre. Először sin(c x) , majd c sin(x)

képletû függvényeket animáljuk.

[ > animate(plot, [sin(c⋅ x), x = -4⋅ Pi .. 4⋅ Pi], c = -3 .. 3)

Azt is észrevehetjük, hogyha c értéke negatívból pozitívba vált, a függvény y tengelyre való tükrözése is

megtörténik, ahogy a táblázat harmadik sorában látjuk.

[ > animate(plot, [c⋅ sin(x), x = -4⋅ Pi .. 4⋅ Pi], c = -2 .. 2)

Függvények


Most nézzük meg ugyanezt egy táblázatban különböző c értékekhez rendelve.

Itt is megfigyelhetjük a tükrözést, de most az x tengelyre. Meg tudjuk-e különböztetni a két különböző x és y

tengelyre történő tükrözést a sin (x) függvény esetén? Nem, mert a sin (x) páratlan függvény és ezért sin (-x) = -

sin (x) . Keressünk egy olyan függvényt, ahol a kétféle tükrözést eredményező transzformáció különböző lesz.

Legyen a függvény pl. |x - 3|

Függvények


[ > plot([|x-3|, -|x-3|, |-x-3|], x = -8 .. 8, y = -4 .. 4, color = [blue, red, yellow])

Polinomok alakú függvényeket polinomoknak (vagy racionális

egész függvényeknek) nevezzük, ahol n természetes szám és an≠ 0 , valós szám.

Ekkor a polinom n-ed fokú. Az an , an-1 , ... a1 , a0 számok is valósak, ezek a polinom együtthatói, az együtthatók

között természetesen 0-k is lehetnek. Az elsőfokú polinomot lineáris függvénynek is nevezzük. Polinomok

például 3⋅ x2-2⋅ x+4, 5⋅ x6-2⋅ x3+1.

Ne felejtsük el beírni a szorzás és hatványozás jelét, ahogy a képen is látható. Feladat: Írjuk be a páros és

páratlan kitevőjû hatványfüggvényeket és soroljuk fel a tulajdonságaikat. Miben különböznek egymástól?

Függvények


Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük. a következő gombbal egy olyan ablak hívható

elő, amelybe különböző racionális törtfüggvények képletét írhatjuk be, ezután megkapjuk a függvények képét és

így tanulmányozhatjuk őket.

Függvények


4. Összetett függvények

A következő ábra azt szemlélteti, hogy összetett függvényt szemléletesen úgy kaphatunk, hogy két függvény

egymásutánját egyetlen függvénnyé kapcsolunk össze:

Forrás: http://mathinsight.org/function_machine_composition

Ha visszatérünk a függvény definíciójához, halmazokkal a következőképpen tudjuk szemléltetni az összetett

függvényt:

Függvények


Ha g(x) = 2 x + 1 és f(x) = x2 , akkor

Az összetett függvény értelmezési tartománya:

Legyen most g (x) = sin (x) f (x) = log2(x) ekkor f (g (x) ) = log2(sin(x)) . Számítsuk ki az értékét!

Első lépésben a belső függvény értékét határozzuk meg, , ezután a kapott érték kettes alapú

logaritmusát kellene meghatároznunk, de mivel negatív értéket kaptunk, ennek nincs logaritmusa. Hogyan

tudjuk meghatározni az összetett függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a fenti probléma ne forduljon elő?

A g függvény értelmezési tartományának az a részhalmaza lehet csak az összetett függvény értelmezési

tartománya, amelyhez tartozó g szerinti függvény értékek az f függvény értelmezési tartományába esnek. A fenti

esetben sin (x) > 0, vagyis 2 k π < x < π + 2 k π halmaz lesz az összetett függvény értelmezési tartománya. A

kapott összetett függvényt az alábbi ábra mutatja. A belső függvény értékkészletét az x tengelyre vetítve a piros

AB szakasz mutatja. Az is látható, hogy az összetett függvény csak ott van értelmezve, ahol a szinusz függvény

pozitív értékeket vesz fel.

A következő példa azt mutatja, hogy az összetett függvényeknél a külső és belső függvényt nem cserélhetjük

fel. Először az összetett függvény legyen , másodszor

Függvények


[ > plot( [ 1/ (sin (x))], x = -7 .. 7, y = -10 .. 10, discont = true)

[ > plot( sin(1/x), x = -.5 .. .5)

Összetett függvények gyakorló paneljei a Maple-ben:

Függvények


5. Inverz függvények

Az f függvény inverzének nevezzük és f-1 -gyel jelöljük azt a függvényt, amely minden valós "a" számhoz (mely

az f függvény értékkészletéhez tartozik), azt a "b" számot rendeli, melyhez az f az "a"-t rendelte, vagyis ha f (b)

= a , akkor f-1(a) = b . Az f-1 függvény értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, és az f-1 függvény

értékkészlete az f értelmezési tartománya.

és

Csak kölcsönösen egyértelmû függvénynek lehet inverze. Ha egy függvény nem kölcsönösen egyértelmû, akkor

értelmezési tartományát leszûkítjük a legbővebb kölcsönösen egyértelmû tartományra. A táblázat első

példájában az f(x) = x2 függvény nem kölcsönösen egyértelmû, ezért az értelmezési tartományt le kellett

szûkíteni a nem negatív számok halmazára. Ha a függvény képét tükrözzük az y = x egyenesre a függvény

képének inverzét kapjuk. Ha az (a, b) pont rajta van egy függvény grafikonján, akkor a (b, a) pont a függvény

inverzének grafikonján lesz rajta.

Függvények


Hogyan kapjuk meg az inverz függvény képletét? Tekintsük például az függvényt. Használjuk az

jelölést! Cseréljük fel az x és y betûket (most történik a képletben, ami geometriailag a függvény képének

tükrözése az y = x egyenesre), , majd fejezzük ki y-t. Vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát:

⇒ . A vagy e alapra alkalmazva a , azonosságot használtuk fel.

6. Néhány további függvény

Hatványfüggvények

Az alábbi ábrán közös koordináta - rendszerben ábrázoltuk a hatványfüggvényeket, nevezetesen: x , x2 , x3 , x4

függvényeket. Az ábrán jól látható, hogy minden hatványfüggvénynek két közös pontja van a (0,0) és az (1,1)

pontok. A páratlan kitevőjû hatványok grafikonjai átmennek a (-1,-1) ponton, míg a párosak a (-1,1) ponton. A

]0, 1[ intervallumon a nagyobb kitevőjû hatványok értéke kisebb, azaz x4<x3<x2<x , az ]1, +∞[ -ben az

egyenlőtlenségek megfordulnak.

[ >

Egészrész függvény f(x) = [x]

Minden számhoz a nála nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) egész számot rendeli. Nyilvánvaló, hogy minden

egész szám egész része önmaga, a pozitív törtek egész részének kiszámítása sem szokott gondot okozni [3.2] =

3 , vagy [9.9] = 9 , de mennyi az [-2.3] ? Mit is mond az egészrész definíciója? Minden számhoz a nála nem

nagyobb egész számot rendeljük, ezért [-2.3] = -3 . az egészrész függvény úgynevezett lépcsős függvény. A

grafikonon látható szakaszok bal végpontja hozzátartozik a függvény képéhez, a jobb végpont nem.

[ > plot(floor(x), x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, discont = [showremovable]);

Függvények


Törtrész függvény f(x) = {x} and {x} = x + [-x] . Egy szám törtészét úgy kapjuk meg, ha a számból kivonjuk az

egészrészét. Az alább látható grafikonon a szakaszok bal végpontja hozzátartozik a grafikonhoz a jobb végpont

nem.

[ > plot(x-floor(x), x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, discont = true);

Érdekességképpen nézzük meg az x2 és a 2⋅ sin(x) függvények egészrészét és törtrészét:

[ x2] { x2} [2⋅ sin(x)] {2⋅ sin(x)}

Előjel függvény (szignum függvény) f(x) = sgn(x) Pozitív számok szignuma 1, negatív számoké -1, a 0 szám

szignuma 0.

Függvények


[ > plot(signum(x), x = -3 .. 3, y = -2 .. 2, discont = true);

Nézzük meg néhány példán, hogyan szemlélteti a szignum a függvények előjelét? Ha alaposabban megnézzük a

grafikonokat látszik a függvények zérushelyénél a zöld pont, ott a szignum függvény mindig 0.

sgn ((x-3)⋅ (x+2)) sgn (0.25⋅ x⋅ (x-3)⋅ (x+4)) sgn (sin (x))

Függvények reciprokának ábrázolása: Ha ismerünk egy függvényt könnyen felvázolhatjuk a reciprokának

grafikonját. Ahol a függvényérték 1, vagy -1, az a pont a függvény és reciprok függvény grafikonjának közös

pontja lesz. Ahol a függvénynek zérushelye van a reciprok függvénynek szakadása lesz. Minél nagyobb az

eredeti függvény függvényértéke, annál kisebb lesz a reciprok függvény értéke és fordítva.

Függvények



1. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tarományát!

2. Számítsuk ki a felsorolt függvények zérushelyét!

3. Melyik függvény páros, vagy páratlan a felsoroltak közül?

4. Ábrázolja az f(x) függvényt és inverzét! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket!

5. Ábrázolja az f(x) függvényt! Adja meg az értelmezési tartományát és értékkészletét! Adja meg az f(x)

függvény inverzét és ábrázolja!

6. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja

meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x)

összetett függvényt!


meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x)

összetett függvényt!


meg az f(x) függvény inverzét és ábrázolja!

9. Képezzük a következő összetett függvényeket: h(g(x)) , g(h(x)) ,

f(g(x)) , f(h(x)) ! Mit mondhatunk az értelmezési tartományokról?


4. fejezet - Függvény határértéke, folytonosság

forrás: http://dannbislondon.blogr.ws/files/CIMG2098-UK-London-TowerBridge_01.jpg

1. Függvény határértéke

Az előző fejezetekben megismerhettük a sorozat határértékének fogalmát, több módszert is láttunk a határérték

meghatározására. Mivel a sorozatok is "speciális" függvényeknek tekinthetők, így általában a függvények

határértékének egyik fajta definíciója is a sorozatoknál tanultakra vezethető vissza ( Heine-féle definíció).

A függvény határértékének kétféle - Heine-féle és Cauchy-féle - definícióját ismerjük. Definiáljuk ezekhez a

környezet fogalmát: Az x0 pont környezetén értjük a ]x0-δ;x0+δ[ intervallumot, ahol δ tetszőleges pozitív számot

jelöl:

Feltesszük, hogy a függvények az x0 környezetében értelmezve vannak, akkor az x0 pontban így értelmezzük a

határértéket:

Heine-féle definíció:

Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x0 pontban a határértéke +∞ ill. -∞ ,ha valahányszor xn → x0 , xn

≠ x0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor +∞ ill. -∞ -be divergál, azaz f(xn)→ + ∞ ill - ∞ .

Jelölésben:

A fenti definícióból látható, hogy a határérték egyértelműen meghatározott, hiszen a sorozatokra vonatkozó

unicitás-tétel igaz rá, mivel a definíciót a sorozatoknál tanultakra vezettük vissza. (Az unicitás-tétel a sorozatok

határértékének egyértelműségét mondja ki.)

Szemléletesen azt jelenti, hogy ha �ballagunk� az x tengelyen xx0 felé, közben az f(x) függvény értékei az A

szám felé tartanak:

Függvény határértéke, folytonosság


Az ábrán azt jelenti, hogy ha x→16 , akkor a függvényértékek 4-hez közelítenek, akár bal oldalról, akár jobb

oldalról nézzük.

[ > f : = x→ log 2 (x)

[ > hely : = tickmarks = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], [-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6]]

[ > gorbe : = plot(f(x), x = .1 .. 5, discont = true, hely, thickness = 3); gorbe

[ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x

= .1 .. 4, .1)]:

[ > display(rajzokbal, insequence = true)



A Maple animáció balról közeledve mutatja a pontbeli határértéket.

[ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x

= 5 .. 4, -.1)]:

[ > display(rajzokjobb, insequence = true)

A Maple animáció jobbról közeledve mutatja a pontbeli határértéket.

Megadjuk a másik, Cauchy-féle definíciót is:

Az f(x) függvénynek az x0 -ban létezik a határértéke, ha megadható olyan A valós szám, hogy bármely ε > 0-hoz

van olyan δ , hogy ha , x≠x0 akkor . ( δ, ε kicsi, valós, pozitív számokat jelölnek)

(Ez az ún környezetes definíció.)

Szemléletesen:



A hely kis megváltozása a függvényértékek kicsiny változását vonja maga után. Másképpen: f (x) tetszőlegesen

közel kerül A -hoz ( ) , ha x elég közel van x0 -hoz ( ) .

Bizonyítható, hogy a két definíció ekvivalens. Ettől most eltekintünk. A megadott definíciók pontbeli

határértékre vonatkoznak.

2. A határérték típusai

Végtelen határértékek:

Itt is kétféle definíciót adunk meg:


Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x0 pontban a határértéke +∞ ill. -∞ ,ha valahányszor xn → x0 , xn

≠ x0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor +∞ ill. -∞ -be divergál, azaz f(xn)→ + ∞ ill - ∞ .

Jelölésben: , vagy

Cauchy-féle definíció:

Az f (x) függvénynek az x0 -ban a határértéke +∞ ill. -∞ , ha bármely M számhoz van olyan 0 < δ ( x0, M), hogy

ha , x≠x0 akkor f (x) ≥ M, ill. f (x) ≤ teljesül. ( δ kicsi, valós számot jelöl, M abszolút értékben

"nagy" számot jelent)

A két definíció ekvivalens.

Hasonlóan definiálhatók a féloldali határértékek is.

2.1. Véges helyen vett végtelen határérték

Így viselkedik például az x=0 pontban az függvény:



[ >

[ > ngorbe := plot(n, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); ngorbe

, illetve

A 0 hely bal és jobb oldali határértéke egyaránt plusz végtelen. Minél közelebb "megyünk" a 0-hoz, a függvény

értékei egyre nagyobbak lesznek. Tehát véges helyen végtelen a határértéke a függvénynek.

Így viselkedik például az x0 = 0 pontban az függvény:

[ >

[ > hgorbe := plot(h, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); hgorbe



, illetve

A 0 helyen a baloldali határérték mínusz, a jobb oldali határérték plusz végtelen. Láthatjuk, hogy nem mindegy

melyik oldalról közelítjük a 0-t: balról egyre kisebbek lesznek a függvény értékei, míg jobbról közeledve nőnek.

Tehát véges helyen végtelen határértékkel találkozunk.

2.2. Végtelenben vett végtelen határérték

Így viselkedik például a +∞-ben az f (x) = 2 | x - 3 | + 5 függvény:

[ > ab := -2*abs(x-3)+5

[ > abgorbe := plot(ab, x = -1 .. 15, discont = true, thickness = 3); abgorbe



Azt látjuk, hogy minél „messzebb” megyünk az x tengelyen pozitív irányban, a függvény értékei egyre

mélyebbre esnek, egyre kisebb értékeket vesznek fel.

Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:

[ >

[ > gygorbe := plot(gy, x = -31 .. 2, discont = true, thickness = 3); gygorbe

Azt látjuk, hogy ha az x tengelyen a -∞-be ballagunk (távolodunk az origótól), a függvény értékei nőnek, azaz a

mínusz végtelenben vett függvény határárérték plusz végtelen lesz.


[ >

[ > gngorbe := plot(gn, x = -18 .. 6, discont = true, thickness = 3); gngorbe



Azt látjuk, hogy minél �messzebb� megyünk az x tengelyen negatív irányban, azaz ballagunk a mínusz

végtelen felé, a függvény értékei egyre mélyebbre mennek, egyre kisebb értéket vesznek fel. A mínusz

végtelenben tehát a függvény értékek is mínusz végtelenbe tartanak.

Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:

[ >

[ > epgorbe := plot(ep, x = -8 .. 16, discont = true, thickness = 3); epgorbe



Azt látjuk, hogy minél „messzebb” megyünk az x tengelyen a függvény értékei egyre magasabbra törnek, egyre

nagyobb értéket vesznek fel. A plusz végtelenben a függvény határértéke is plusz végtelen.

2.3. Végtelenben vett véges határérték


[ >

[ > epgorbe := plot(ep, x = -8 .. 4, discont = true, thickness = 3); epgorbe

A mínusz végtelenben a függvény grafikonja nagyon közel megy az y=-6 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri

el.


[ >

[ > egorbe := plot(e, x = -10 .. 5, 0 .. 6, discont = true, thickness = 3); egorbe



A függvény a mínusz végtelenben nagyon közel megy az y = 2 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, de

ugyanez elmondható a plusz végtelenben is, hiszen láthatjuk, hogy a függvény az y tengelyre szimmetrikus.


[ >

[ > engorbe := plot(en, x = -5 .. 15, -6 .. 0, discont = true, thickness = 3); engorbe



A függvény a plusz végtelenben folyamatosan közelít az y= - 4 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el,

hasonlóan igaz ez a mínusz végtelenben is.


[ >

[ > hegorbe := plot(he, x = -5 .. 15, -4 .. 0, discont = true, thickness = 3); hegorbe

A függvény a plusz végtelenben nagyon közel megy az y=-3 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, a

függvényértékek -3-hoz tartanak.

2.4. Véges helyen vett véges határérték

Legyen f (x) = x2, x ∈ ℜ, a vizsgálandó függvény. Határozzuk meg a határértékét az x=2 helyen:

[ > n : = x2

[ > ngorbe := plot(n, x = -4 .. 4, 0 .. 16, discont = true, thickness = 3, color = red); ngorbe



...

A Heine-féle sorozatos definíció alapján mondhatjuk a következőket: Pl.

Vizsgáljuk meg, hogy ekkor hova tart a megfelelő függvényértékek sorozata:

. Ha , akkor

. Ha , akkor

. A határérték környezeti tulajdonság („Nem érdekel, hogy

mit csinál a függvény x = a-ban, csak a környezetében.”) Tehát



A fenti 3 függvény f (x), g (x), h (x) az x0 = 2 pont környezetében teljesen ugyanúgy viselkedik, eltérés közöttük

kizárólag az x0 = 2 pontbeli viselkedésükben van.

Az f (x) függvény minden valós számra értelmezve van, tehát 2-ben is, a 2-beli érték �szépen belesimul� a

függvény megfelelő értékeinek sorába.

A g (x) értelmezési tartományából hiányzik a 2, tehát g (x) 2-ben nincs értelmezve (�lyukas�).

A h (x) függvény ugyan szintén minden valós számra értelmezve van, mint az f (x), de a h (x) 2-beli értéke

�renitens�, kilóg a sorból, �kitéptük� a 2-beli értékét és áttettük máshova, 4-ből 6-ba.

2.5. Mikor nem létezik a határérték?

Nézzük az f (x) = sin (x) függvényt!

[ > s := sin(x)

[ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi .. 4*Pi, -1.5 .. 1.5, discont = true, thickness = 3); sgorbe

f (x) = sin (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan xn→ ∞, hogy f (xn)→0 és van olyan

xn→ ∞ , hogy f (xn)→1 , és bármilyen -1≤A≤1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó

sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart.



Nézzük az f (x) = cos (x) függvényt!

[ > c := cos(x);

[ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi .. 4*Pi, -1.5 .. 1.5, discont = true, thickness = 3); cgorbe

f (x) = cos (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan xn→ ∞, hogy f (xn)→0 és van olyan

xn→ ∞ , hogy f (xn)→1 , és bármilyen -1≤A≤1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó

sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart.

Tekintsük az f (x) = { x } = x - [ x ] törtrész függvényt!

[ > er := floor(x)

[ > trgorbe := plot(tr, x = -7 .. 7, discont = true, thickness = 3); trgorbe



{ x } = x - [ x ], Egy szám törtrészét úgy kapjuk meg, hogy a számból kivonjuk az egészrészét. Egy szám

egészrésze a nála nem nagyobb (kisebb vagy egyenlő) egész szám. Törtrész jelölése: {x} Egészrész jelölése: [x]

Azaz az x=1 helyen nem létezik a határérték! Nem megszüntethető szakadás

van!

3. Nevezetes függvény határértékek

[ >

[ > h1gorbe := plot(h1, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h1gorbe

Láthatjuk, hogy a függvényértékek 0-hoz közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-

hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha a 0-t is felvennék.

[ >




Láthatjuk, hogy a függvényértékek 1-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-

hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az 1-t is felvennék.

[ >


Láthatjuk, hogy a függvényértékek e-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-

hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az e-t is felvennék. Itt

elfogadjuk, hogy a határérték az e szám, mivel tudjuk, hogy az értéke 2,72 "körül" van, a pontos értékét nem

tudjuk meghatározni, nem írható fel két egész szám hányadosaként (ún transzcendens szám).



Bizonyítás: Geometriai személet alapján röviden:

Ha x> 0 vegyük a reciprokát,ekkor a reláció megfordul:

az egyenlőtlenséget sin(x)-szel szorozva: , ha x → 0, akkor cos(x)→ 1, ezért a rendőr-elv

miatt

A bizonyítás hasonló x<0 esetén is. Függvény ábrázolással:

Az előző függvény határ érték általánosítása. Rövid bizonyítás: ha x→0, akkor kx→0. Legyen kx=X, ekkor



A fenti négy nevezetes függvény határértéket jól ismerjük, mert ha speciálisan xn = n ,akkor a sorozatoknál

megismert nevezetes határértékekhez jutunk.

[ >

4. Folytonosság

4.1. Függvény pontban való folytonossága

Szintén kétféle definíciót mondunk ki, ezek közül a Heine-féle a sorozatok határérték fogalmára támaszkodik.


Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvény az x0 pontban folytonos, ha minden olyan xn sorozatra, amely xn→x0 , xn

≠ x0 , a függvényértékek sorozata f(x0) -hoz konvergál, azaz f(xn) → f(x0) .

Jelölésben:


Az f (x) függvény az x0 -ban folytonos, , ha bármely ε > 0 -hoz van olyan δ (ε, x0 ) > 0 , hogy ha | x - x0| < δ, x≠

x0 , akkor | f (x) - f (x0) | <ε . ( ε, δ kicsiny valós számokat jelölnek, δ függ ε-tól és x0 -tól )

A két definíció ekvivalens. A bizonyítástól eltekintünk.

A Heine-féle definícióból, a számsorozatokra megismert tételekből és a folytonosság definíciójából adódnak a

következő állítások:



Ha f (x)≥0 és létezik, akkor

Ha és létezik, akkor

Ha a függvények folytonosak az adott pontban, akkor az összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos, és ha

, akkor

Hasonlóan, ha a függvények folytonosak az adott pontban, akkor a hányadosuk is az, feltéve ha a nevezőben

lévő függvény nem 0 x0-ban.

Ha f (x) ≥ g (x) az x0 hely valamely környezetében és a és határértékek léteznek, akkor

Az f (x) függvénynek x0-ban akkor és csak akkor létezik a határértéke, ha {f (xn)} sorozat konvergál,

valahányszor xn→x0, x0≠x0

Az f (x) függvény x0 -ban akkor és csak akkor folytonos, ha létezik a határértéke és

4.2. Féloldali folytonosság

Ugyanúgy megadjuk a kétféle definíciót:


Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvény az x0 pontban balról (ill. jobbról) folytonos, ha minden olyan xn

sorozatra, amely xn→x0 , xn ≠ x0 , és tagjaira xn<x0 (xn>x0) a függvényértékek sorozata f(x0) -hoz konvergál, azaz

f(xn) → f(x0) .

Jelölésben: ill.


Az f (x) függvény az x0 -ban balról (ill. jobbról) folytonos, , ha bármely ε > 0 -hoz van olyan 0 < δ (ε, x0 ) , hogy

ha x< x0 (ill. x0<x) és | x - x0| < δ, akkor | f (x) - f (x0) | <ε . ( ε, δ kicsiny valós számokat jelölnek, δ függ ε-tól és

x0 -tól ).

Tétel:

Az f(x) függvény az x0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha x0-ban balról is és jobbról is folytonos.

Tehát 3 pontban foglalhatjuk össze, hogy mikor mondjuk, hogy az adott pontban folytonos-e a függvény: �

• értelmezve legyen az adott pontban �

létezzen a határértéke az adott pontban (azaz van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők) �

a határérték megegyezik a függvény adott pontbeli helyettesítési értékével .

4.3. Intervallumon folytonos függvények

Definíció:



Az f (x) függvényt egy nyitott intervallumon folytonosnak nevezünk, ha az intervallum bármely pontjában

folytonos (azaz minden pontjában folytonos).

Definíció:

Az f(x) függvényt egy zárt intervallumon folytonosnak nevezünk, ha az intervallum bármely belső pontjában

folytonos, a balvégpontban jobbról és a jobbvégpontban balról folytonos.

Definíció:

Az f (x) függvényt egy ℑ intervallumon (ami lehet nyitott vagy zárt) egyenletesen folytonosnak nevezünk, ha

bármely ε > 0 -hoz van olyan δ (ε) > 0 , amely csak ε-tól függ, de a helytől nem (!), hogy valahányszor |x - x*| <

δ x, x*∈ℑ , akkor |f(x) - f(x*)| < ε .

Folytonos függvények fokozatos-változás tulajdonsága:

A folytonos függvények egy nagyon fontos tulajdonságát fejezi ki, nevezetesen, hogy a függvényértékei csak

fokozatosan változhatnak, nem lehet �ugrás� egy folytonossági pontban.

Tételként így szól:

Ha f (x) folytonos x0 -ban és k < f(x0) < K , akkor van az x0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x pontra

k < f(x) < K teljesül.

Összetett függvény fogalma:

Legyen f (x) és g (x) két adott függvény. Az f (g (x)) összetett függvényen értjük azt a függvényt, amelynek

értelmezési tartománya g (x) értelmezési tartományának az a része, ahol olyan értéket vesz fel, ahol f (x)

értelmezve van. Az f(g(x)) összetett függvény hozzárendelési utasítása a következő: az x0 helyen az összetett

függvény értéke az f (x) függvénynek a g(x0) helyen felvett értéke. Az f (x) függvényt külső, a g (x) függvényt

belső függvénynek nevezzük.

Összetett függvény meghatározását segíti a gépek összekapcsolásával alkotott szabály

Tétel:

Az f (g (x)) összetett függvény folytonos az x0 helyen, ha a g (x) függvény folytonos x0 -ban és az f (x) külső

függvény folytonos g(x0) -ban.

Műveletek folytonos függvényekkel: (tétel)

Ha két függvény folytonos az x0 pontban, akkor összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos az x0 pontban.

Hányadosuk is folytonos, ha a nevezőben lévő függvény az x0 pontban nullától különböző.



Az f (x) = c és az f (x) = x függvények mindenütt folytonosak.

Racionális egész függvénynek nevezünk egy olyan függvényt, amely a független változóból (legyen ez ) és

valós számokból véges sok összeadás (kivonás) és szorzás műveletekkel lett képezve. Általános alakjuk:

, ahol an≠0. Ezt n-ed fokú polinomnak is nevezzük.

A racionális egész függvények mindenütt folytonosak.

A racionális törtfüggvény olyan függvény, amely két polinom hányadosaként áll elő. Általános alakjuk:

Bármely racionális törtfüggvény a nevező zérus helyeit kivéve mindenütt folytonos.

Racionális függvényeknek nevezzük a racionális egész és racionális törtfüggvények összességét.

Irracionális függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek a független változóból (legyen ez x ) és

valós számokból véges sok összeadás (kivonás) és szorzás, osztás és egész kitevős gyökvonás műveletekkel

állíthatók elő.

A racionális és irracionális függvényeket együtt algebrai függvényeknek nevezzük.

Trigonometrikus függvények:

A szinusz és koszinusz függvények mindenütt folytonosak.

[ > s := sin(x)

[ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi .. 4*Pi, thickness = 3); sgorbe

[ > c := cos(x)

[ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi .. 4*Pi, thickness = 3); cgorbe



[ > g := tan(x)

[ > tgorbe := plot(tg, x = -4*Pi .. 4*Pi, discont = true, thickness = 3); tgorbe

A tangens függvény az helyek kivételével mindenütt folytonos.

Exponenciális függvény

Az exponenciális függvény mindenütt folytonos.

[ > k := 2^x

[ > kgorbe := plot(k, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); kgorbe



[ > ke := (1/2)^x

[ > kegorbe := plot(ke, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); kegorbe

Logaritmus függvény

A logaritmus függvény az értelmezési tartományán mindenütt folytonos.

[ > l2 := log[2](x)

[ > l2gorbe := plot(l2, x = 0 .. 39, discont = true, thickness = 3); l2gorbe



[ > ld2 := log[1/2](x)

[ > ld2gorbe := plot(ld2, x = 0.1e-1 .. 39, discont = true, thickness = 3); ld2gorbe

[ > l3 := log[3](x)

[ > l3gorbe := plot(l3, x = 0 .. 39, discont = true, thickness = 3); l3gorbe



[ > ld3 := log[1/3](x)

[ > ld3gorbe := plot(ld3, x = 0 .. 39, discont = true, thickness = 3); ld3gorbe

Az irracionális kitevőjű hatványfüggvényt, az exponenciális, a logaritmus, a trigonometrikus függvényeket és

ezekből összetett függvényeket közös néven transzcendens függvényeknek nevezzük.

Az elemi függvények körébe az algebrai és a transzcendens függvények tartoznak.

4.4. Folytonos függvények tulajdonságai

Véges zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai:

Tétel:

Véges zárt intervallumon folytonos függvény korlátos ezen az intervallumon.



[ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x)

[ > korlgorbe := plot(korl, x = -3 .. 6, thickness = 3); korlgorbe

Tétel:

Véges zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélső értékeit.

[ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x)


A függvénynek két minimuma és két maximuma van az adott intervallumon, fel is veszi, ott értelmezve van.

Tétel:

Véges zárt intervallumon folytonos függvény ezen az intervallumon egyenletesen is folytonos.



Tétel:

Véges zárt intervallumon folytonos függvény minden a minimuma és maximuma közé eső értéket felvesz ezen

az intervallumon. Sőt lesz egy olyan hely, ahol azt először és egy olyan hely, ahol azt utoljára veszi fel.

[ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x)


Tétel:

Egy intervallumon folytonos függvény ezen intervallum bármely két pontjában felvett értékei közé eső bármely

értéket felvesz e két hely között. Azaz megvan a Bolzano-Darboux féle tulajdonsága. Sőt e két hely között lesz

egy első és egy utolsó olyan pont, ahol a függvény ezt a teszőleges közbülső értéket felveszi. Ezt úgy mondjuk,

hogy bármely folytonos függvény rendelkezik az első és utolsó elérés tulajdonsággal is.

Ez a függőhíd mindenütt folytonos, minden gond nélkül végigsétálhatunk rajta

4.5. Szakadási helyek fajtái

Definíció: Megszüntethető szakadási helye van az f (x) függvénynek x0 -ban, ha itt létezik a határértéke, de az

nem egyezik meg az f(x0) helyettesítési értékkel, vagy ha függvény nincs is értelmezve x0 -ban. (

vagy f(x0) nincs értelmezve).



A képen látható hídnak szakadása van,amit ügyesen megjavíthatnak a munkások. Ezek után gond nélkül végig

sétálhatunk rajta.

definíció:

Elsőfajú szakadási helye van az f (x) függvénynek x0 -ban, ha létezik a jobb- és baloldali határértéke, de ezek

különbözők; azaz

definíció:

Másodfajú szakadási helye van az f (x) függvénynek x0-ban, ha vagy a jobb-, vagy a baloldali, vagy egyik

féloldali határértéke sem létezik. (nem megszüntethető szakadás, ld. az alábbi képen)

Nem megszüntethető szakadás

http://www.mommo.hu/media/A_Tacoma-_hid_osszeomlasa_1940ben

Az eredeti Tacoma-híd ismert volt lengéseiről, himbálódzásáról. Az 5939 láb hosszú hidat 1940 július 1-én

adták át. A híd Tacomát és Gig Harbort kapcsolta össze. A hídavatás után 4 hónappal, 1940 november 7-én 42

mérföld/óra sebességű szélvihar támadt a híd környezetében. A szél által keltett lengéshullámok egyik oldaltól a

másikig oda-vissza haladtak egyre erősebbé válva, s a híd leszakadásához vezettek. A katasztrófa a híd

szerkezetére vezethető vissza.10 évvel később épült meg az új híd, mely 40 lábbal hosszabb, mint az első volt.

Az első és másodfajú szakadási helyeket nem megszüntethető szakadási helyeknek nevezzük.

...

5. A határérték és a folytonosság feladatokban

http://www.mommo.hu/media/A_Tacoma-_hid_osszeomlasa_1940ben



5.1. Szemléleten alapuló feladatmegoldás

A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a következő

kérdésekre!

Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos?

Megoldás:

[ >

[ > fgorbe := plot(f, x = -5 .. 7, discont = true, thickness = 3); fgorbe

Az x=0 helyen nem megszüntethető szakadása van, ott nem folytonos, másutt viszont igen.

Vizsgálja meg a következő függvényt is: az adott helyeken! Hol van szakadása és az

milyen típusú? Hol folytonos?

Megoldás:



[ > ggorbe := plot(g, x = -5 .. 7, discont = true, thickness = 3); ggorbe

Nem megszüntethető szakadása van az x=-2 és x=2 helyeken. E helyeken nem folytonos, másutt igen.

A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a

következő kérdésekre!


Megoldás:

[ >

[ > hgorbe := plot(h, x = -5 .. 7, discont = true, thickness = 3); hgorbe



A függvény alakja egy töröttvonal, nincs szakadása, az értelmezési tartományán mindenütt folytonos.




Megoldás:

[ >




A függvénynek az x=0 helyen nem megszüntethető szakadása van, itt nem folytonos, másutt igen az értelmezési

tartományán belül.




Megoldás:

[ >




Az x=1 helyen nem megszüntethető szakadása van a függvénynek, itt nem is folytonos; másutt igen, az

értelmezési tartományán.

Határérték és folytonosság szemléltetése

Baloldali határérték számítása

Jobboldali határérték számítása

Mivel a bal és jobb oldali határérték nem egyenlő ezért a nem létezik. Így nem lehet

folytonos sem.



5.2. Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás

F1:

Megoldás:

A feladat megoldása a nevezetes határérték alkalmazásán alapul. Kialakítjuk a nevezetes

határértéket, bővítéssel: lesz az egyszerűsítések elvégzése

után.

F2: Határozza meg a következő határértékeket!

F3: Határozza meg a következő határértékeket!



F4: Adja meg a p paraméter értékét, hogy az alábbi függvény folytonos legyen!

Megoldás:

A megismert tételek alapján, a racionális törtfüggvény a nevező zérushelyeinek kivételével mindenütt folytonos,

így csak az x=3 helyen kell vizsgálnunk a függvényt: értelmezve van? -igen

határértéke van? - igen, van határértéke

a határérték és a helyettesítési érték egyenlő? - igen, ha a p=3 értéket adjuk a paraméternek

5.3. Maple gyakorló panel a határérték meghatározására

Először kattintsunk a kép alatti nyomógombra, kis idő múlva megjelenik a felugró ablak, abban a gyakorló

panel. A panel function mezőjébe írhatjuk a keresett határértéket, melyet aztán részletesen lépésről-lépésre

megoldhatunk a Next Step parancsra kattintva.

6. Megoldásra javasolt feladatok

1. Határozza meg az alábbi határértékeket!



2. Vizsgálja meg folytonosság szempontjából az alábbi függvényeket!

és f (0) = 1.

3. Határozza meg az a és b paraméterek értékét, amennyiben léteznek ilyenek, oly módon, hogy az alábbi

függvény folytonos legyen!


5. fejezet - Differenciálszámítás

forrás: http://www.edenkert.hu/wellness/elmenyvadaszat---miert-szeretjuk-a-szaguldast-/2352/2/sebesseg-az-

alagutban.jpg

1. A differenciálszámítás elemei

Ennek a fejezetnek az a célja, hogy megértsük az alapfogalmakat és elsajátítsuk a deriválás műveletét. A

differenciálszámítás kialakulását geometriai és mechanikai problémák siettették. A függvény adott pontban való

differenciálhatóságát is többféleképpen definiálhatjuk. Mi a határérték fogalmára támaszkodó definíciót fogjuk

használni.

1.1. Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény

A differenciahányados fogalma

definíció:

Legyen f (x) az x0 pont valamely környezetében értelmezve. Ha az , x≠x0, differenciahányados

függvénynek létezik a (véges) határértéke az x0 pontban, akkor az f (x) függvényt az x0 pontban

differenciálhatónak nevezzük. Ezt a határértéket az f (x) függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának

nevezzük.

Jele: vagy szokásos jelölések még:

A differenciahányados a függvénygörbe két pontján át húzott szelő meredekségét mutatja meg:

[ > n := sqrt(x)

[ > ngorbe := plot(n, x = 0 .. 5, discont = true, thickness = 3); ngorbe

Differenciálszámítás


A differenciálhányados a függvénygörbe adott pontjában húzott érintő meredekségét mutatja meg:

Ha azt mondjuk, hogy f'(x0) létezik, az azt jelenti, hogy f (x) az x0 pontban differenciálható. Ha x = x0 + ∆x

alakú, akkor , ∆x≠0; ezzel a kifejezéssel is gyakran találkozhatunk tankönyvekben.

A differenciálhányados definíciójára egyaránt megfogalmazhatunk Heine-féle és Cauchy-féle definíciót is, mint

a határérték és folytonosság esetében. Ezektől most eltekintünk.

Szemléletesen:

Tekintsük az f (x) = x2 függvényt az x0= 1 hely (rögzített pont) környékén. ∆ x= 1; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1 értékeket

veszi fel.

...



Számoljuk ki rendre a differenciahányadosok értékét:

A kiszámolt differenciahányadosok értékeit vizsgálva, az a sejtés alakul ki, hogy az adott esetben a

differenciahányadosok sorozata 2-höz konvergál, ha ∆ x→ 0 . Nézzük e sejtés igazolását:

A függvénygörbéhez szelőket rajzolva, láthatjuk, hogy a differenciahányadosok a szelők meredekségeit adják

meg, a differenciálhányados az érintő meredekségét adja meg. Mondhatjuk azt is, hogy a szelők határhelyzete az

érintő az adott pontban. Innen származnak olyan elnevezések a közgazdaságtanban, hogy a határbevételi

függvény a bevételi függvény deriváltja. Általában, amelyik függvény neve elé odatesszük a „határ” jelzőt, az

adott függvény deriválását jelenti.

[ > animate( plot, [[x^2,(2+t)*(x-1)+1],x=-4..4], t=-2..0 );

definíció:



Ha , illetve határértékek léteznek, akkor azt

mondjuk, hogy létezik az f (x) bal illetve jobboldali differenciálhányadosa az x0 pontban, ezek jele:

illetve

Ezek után nyilvánvaló, hogy akkor és csakis akkor létezik, ha és léteznek és

egyenlők, azaz:

Nézzük például az abszolútérték függvény differenciálhányadosát a 0 helyen:

[ > a := abs(x)

[ > agorbe := plot(a, x = -4 .. 5, discont = true, thickness = 3); agorbe

[ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, a(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x

= -4 .. 0, .1)]

[ > display(rajzokbal, insequence = true)



[ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, a(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]),

x = 5 .. 0, -.1)]:

[ > display(rajzokjobb, insequence = true)

A két féloldali differenciálhányados nem egyezik meg, tehát az abszolútérték függvény a 0 helyen nem

differenciálható.

definíció:



Az f (x) függvényt az [a;b] intervallumon akkor nevezzük differenciálhatónak, ha minden belső pontban

differenciálható, továbbá az a pontban a jobboldali és a b pontban a baloldali differenciálhányadosa létezik.

definíció:

A differenciálhányados és a differenciálhányados függvény:

Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon pontok halmaza, ahol differenciálható és amelynek

értéke egy ilyen helyen éppen a differenciálhányadosa ebben a pontban, azt a függvény differenciálhányados

függvényének, vagy derivált függvényének nevezzük. (Gyakran röviden csak differenciálhányadosának vagy

deriváltjának.)

A differenciálhányadosra vonatkozó rendőrelv:

Ha az f (x) , g (x) és h (x) függvények az x0 pont valamely környezetében értelmezve vannak és e környezetben f

(x)≤g (x)≤h (x), továbbá f (x0) = h (x0) és f ' (x0) = h' (x0), akkor g (x) differenciálható az x0 helyen és g' (x0) = f '

(x0) = h' (x0) .

Tétel:

Konstans differenciálhányadosa mindenütt 0. ( f (x) = c )

Bizonyítás:

1.2. Differenciálhatóság és folytonosság

Tétel: ( A differenciálhatóság szükséges feltétele)

Ha f (x) differenciálható az(x0 pontban, akkor ott folytonos is.

Úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a differenciálhatóságból következik a folytonosság, de a folytonosságból a

differenciálhatóság még nem. Például:

[ > f := abs(x)

[ > plot(f, x = -6 .. 6, thickness = 3)



Tekintsük a baloldali differenciálhányadost az x=0 pontban:

Tekintsük a jobboldali differenciálhányadost az x=0 pontban:

Mivel a két féloldali határérték nem egyezik meg, ezért a 0 pontban nem diffenciálható az abszolútérték

függvény, de ott folytonos, hiszen mindkét féloldali határértéke 0.

definíció:

Egy függvényt egy intervallumon akkor nevezünk folytonosan differenciálhatónak, ha differenciálhányados

függvénye folytonos ezen az intervallumon.

1.3. Differenciálási szabályok

Differenciálási szabályok tétele:

Ha f (x) és g (x) differenciálható x0 -ban, akkor összegük, különbségük, szorzatuk is, és ha a nevezőben levő

függvény x0 -ban 0-tól eltérő értéket vesz fel, akkor a hányadosuk is differenciálható, továbbá érvényesek az

alábbi összefüggések:

ha g (x0)≠ 0 akkor

, hol c valós számot jelöl.

Elemi függvények deriválása:

A bizonyításoktól, levezetésektől eltekintünk, táblázatos formában foglaljuk össze:

Összetett függvény differenciálhányadosa:

Ha a g (x) függvény differenciálható x0 -ban és f (x) differenciálható g (x0) -ban, akkor az f (g (x)) összetett

függvény is differenciálható x0 -ban és



A fenti szabályt szokták láncszabálynak is hívni. Bizonyítását nem részletezzük.

Mivel néha nehéz felismerni az összetett függvényt, vagy legalábbis jól kell beazonosítani, hogy melyik a külső

függvény és melyik a belső függvény, ehhez is készült egy segédtáblázat, melynek segítségével egyszerűsödik a

deriválás.

...

1.4. Maple ellenőrző panel a deriváláshoz

1.5. Maple gyakorló panel a deriváláshoz



1.6. Középérték tételek

Rolle-tétel:

Ha f (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott ]a;b[ intervallumon, továbbá ha f

(a) = f (b) , akkor létezik legalább egy belső pont, ahol a differenciálhányados 0.

Ennek a tételnek következménye az, hogy a derivált 0 volta szükséges feltétele a szélsőérték létezésének.

Szemléletesen:



ROLLE-TÉTEL

Az alábbi utasításban ha kicseréljük a függvény hozzárendelési utasítását és az intervallum végpontjait, a Maple

megrajzolja a függvényt és megkeresi a közbülső helyet.

[ > with(Student[Calculus1]):

[ > RollesTheorem(x^4-3*x^2+1, x = -2 .. 2);

Lagrange-tétel:

Ha f (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott ]a;b[ intervallumon, akkor van

olyan c belső pont, ahol a differenciálhányados értékére

Szemléletesen:



Szokás a differnciálszámítás első középérték tételének is nevezni. Szemléletesen azt jelenti, hogy van olyan c

belső pont, amelyben olyan érintőt rajzolhatunk a függvényhez, amelyik párhuzamos az intervallum végpontjain

át húzott szelővel.

A Lagrange- tétel általánosítása a Cauchy-tétel:

Ha f (x) és g (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott [a;b[ intervallumon,

továbbá g '(x) a belső pontokban nem nulla, akkor van olyan ξ belső pont, ahol

1.7. Kidolgozott feladatok

1. Differenciáljuk a következő függvényeket:

Megoldás:

2. Adja meg a következő függvények deriváltjait!

Megoldás:



3. Írja fel az függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét az y tengellyel való

metszéspontjában!

Megoldás:

Először határozzuk meg, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt. Ez ott van, ahol x = 0. Behelyettesítés után

kapjuk, hogy y = -1/2 . Tehát a P0(0; 1/2) ponton átmenő érintő egyenesét kell felírnunk. Ehhez az egyenes

iránytényezős egyenletét használjuk, mivel az iránytényezőt vagy meredekséget a függvény

differenciálhányadosának értéke adja meg az adott pontban. A meredekség meghatározása:

Az egyenes iránytényezős alakja: . Behelyettesítés után az érintő egyenlete:

[ >

[ >

[ > plot([f, g], x = -3 .. 1.5, thickness = 3)



4. Mennyi az függvény differenciahányadosa a 2≤x≤2,2 intervallumban? Mennyi a

differenciálhányados ezen intervallum végpontjaiban?

Megoldás:

A differenciahányados képzéséhez vegyük észre, hogy x0= 2 és ∆x = 0,2. A definíció szerint

A differenciálhányadoshoz meghatározzuk a derivált függvényt és annak vesszük a helyettesítési értékeit az

intervallum végpontjaiban.



f '(2,2) = 0,1 és f '(2) = 0

5. Mennyi az függvény differenciahányadosa az 1≤x≤1,5 intervallumban? Melyik x értéknél

egyezik az meg az intervallumon belül a differenciálhányadossal?

Megoldás:

A differenciahányados definíciója szerint: . Legyen x0= 1 ekkor ∆x = 0,5 a

feladatban. Számolás:

A differenciálhányados definíciója szerint:

Kérdés, hogy a derivált függvény melyik helyen veszi fel az 1,58 értéket. Meghatározás:

Tehát két olyan hely is van, ahol a differenciálhányados értéke megegyezik a kérdéses intervallumban vett

differenciahányados értékével.

6. A függvények ismeretében határozza meg a következő értékeket!

f '(1) = ? g '(1) = ?

Megoldás:

7. Mennyi f '(1) értéke, ha ?



8. Mekkora szögben metszi az függvény grafikonja az x tengelyt?

Megoldás:

Az x tengelyt a zérushelyében metszi, ennek meghatározása:

A metszés szögét a differenciálhányados adja meg az adott helyen. Meghatározása:


Végezze el a következő deriválásokat!


6. fejezet - A differenciálszámítás alkalmazásai

forrás: http://www.erdekesvilag.hu/kepek/huang-shan/sarga-hegy-1.jpg

1. Alkalmazások

Ebben a fejezetben a differenciálszámítás alkalmazásait ismerjük meg több pédán keresztül.

A függvénytulajdonságok definíciói a harmadik fejezetben találhatók.

1.1. Monotonitás

A monotonitás deriválttal való kapcsolatát fejezi ki a következő tétel:

Ha az f (x) az ]a; b[ intervallumon differenciálható, akkor annak, hogy f ( x) az ]a; b[ -on növekedő (csökkenő)

legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy f′ (x)≥0, illetve f′ (x) ≤ 0 teljesüljön. A szigorú növekedés (szigorú

csökkenés) szükséges és elegendő feltétele, hogy 0 < f′ (x), illetve f′ (x) < 0 legyen, de a derivált az ]a; b[

intervallum egyetlen részintervallumán sem lehet azonosan 0.

1.2. Szélsőérték

Egy szemléletes példa:

Legyen az értelmezési tartomány a Föld hegyeinek halmaza.

Ekkor abszolút maximum:

A differenciálszámítás alkalmazásai


Helyi maximum (a környezet Magyarország):

Szélsőérték létezésének szükséges feltétele:

Ha az f (x) az x0 pont valamely környezetében mindenütt differenciálható és a differenciálhányados függvénye

x0 -nál előjelet vált, akkor az x0 -ban az f (x) függvénynek szigorú helyi szélső értéke van; mégpedig maximum,

ha f′(x) előtte pozitív, utána negatív; minimum, ha f′(x) előtte negatív, utána pozitív.

Szélsőérték meghatározása magasabb rendű deriváltakkal:

Tétel:

Ha az x0 pontban az első 0-tól különböző differenciálhányados páros rendű, akkor a függvénynek szélsőértéke

van az x0 helyen, mégpedig ha a kérdéses differenciálhányados pozitív, akkor minimuma van, ha negatív, akkor

maximuma van. Ha az első nullától különböző differenciálhányados páratlan rendű és e rendszám nagyobb 1-

nél, akkor ha ez a differenciálhányados pozitív, a függvény x0 valamely környezetében növekedő, ha negatív,

akkor csökkenő.

Példa:

Hol van szélsőértéke az függvénynek?

Megoldás:

Ott lehet a függvénynek szélsőértéke, ahol az első derivált eltűnik, azaz f′(x) = 0 .



Ezzel még csak azt kaptuk meg, hogy hol lehet szélsőértéke a függvénynek. Ezután megvizsgáljuk, hogy a

kapott helyen előjelet vált-e a derivált függvény.

A vizsgálathoz készítsünk előjel-táblázatot!

f ' (x) - 0 +

f (x) ↘ lokális minimum ↗

Eldönthetjük a szélsőérték típusát a második derivált segítségével is:

1.3. Konvexitás, inflexiós hely

Konvexség és konkávság eldöntése differenciálhányadosokkal:

Tétel:

Ha az f (x) az ]a; b[ intervallumon kétszer differenciálható, akkor annak, hogy f (x) az ]a; b[ -on konvex

(konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy f″(x)≥0 illetve f″(x)≤0 teljesüljön ]a; b[-ben. A szigorú

növekedés (szigorú csökkenés) szükséges és elegendő feltétele, hogy f″(x)>0 illetve f″(x)<0 legyen, de a

második derivált az ]a; b[ egyetlen részintervallumán sem lehet azonosan 0.

Inflexiós pont kritériumai deriváltakkal

Ha az f (x) az x0 pont valamely környezetében mindenütt kétszer differenciálható és x0 -ban inflexiós pontja van,

akkor a második differenciálhányados függvénye szükségképpen 0, azaz f″(x) = 0 .

Inflexiós pont magasabb rendű deriváltakkal:

Ha az első el nem tűnő differenciálhányados páratlan rendű az x0 pontban, akkor azf (x) -nek az x0 -ban inflexiós

pontja van.

...

1.4. Függvényvizsgálat

A függvénydiszkusszió általános sémája

1. Meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát, a szakadási pontokat, folytonossági intervallumokat,

zérushelyeket, jeltartási intervallumokat, a görbe szimmetriatengelyeit és pontjait (paritás).

2. Meghatározuk az első deriválttal a monotonitási intervallumokat, a szélsőérték helyeit és értékeit.

3. Meghatározzuk a második deriválttal a függvénygörbe konvex és konkáv részeit, inflexiós pontjait.



4. Meghatározzuk a függvény határértékeit a - és + végtelenben és a szakadási pontokban.

5. Megrajzoljuk a függvény görbéjét, ha lehet, és meghatározzuk az értékkészletet.

1.5. Példák függvényvizsgálatra

Végezze el az függvény teljes vizsgálatát!

HAGYOMÁNYOS MEGOLDÁS:

Értelmezési tartomány meghatározása: Df: x ∈ ℝ

szimmetria tulajdonságok, periodicitás:

nem periodikus

zérushely: f (x) = 0

szélsőérték, monotonitási szakaszok: A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja eltűnik.

x < 5 x = 5 5 < x < 7 x = 7 7 < x

f ' (x) - 0 + 0 -

f (x) ↘ lok. min. ↗ lok. max. ↘

Azaz a függvény a ]-∞;5[ intervallumban monoton nő, az [5;7] intervallumban monoton csökken, a [7;∞[

intervallumban monoton nő. Az x = 5 helyen lokális maximuma van, ennek értéke f (5) = 0 , mert ez éppen a

zérushelye is. A z x =7 helyen lokális minimuma van, ennek értéke

inflexiós pont, görbület ( konvexitás)

A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol a második differenciálhányados eltűnik.



f " (x) + 0 - 0 +

f (x) ∪ infl. pont ∩ infl. pont ∪

Azaz az f (x) függvény a intervallumban konvex, a intervallumban konkáv,

intervallumban ismét konvex.

határértékek vizsgálata:

függvénygörbe megrajzolása (kiemelve a határértékek):

függvény görbe megrajzolása az inflexiós hely és szélsőérték környékének kiemelésével:



Értékkészlet meghatározása:

MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOKKAL:

[ > restart; with(plots):

[ >

[ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x);

[ > derivaltf := diff(f(x), x);

[ > implify(derivalsimplify(derivaltf)tf);

[ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x);

[ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = 0 .. 10, color = blue); rajzderivaltf;



[ > plot(signum(derivaltf(x)), x = 0 .. 10, title = A derivált elöjele, color = green);

A derivált függvény az x=5-nél negatívról pozitívra váltja az előjelét, így lokális minimuma van, míg x=7-nél

pozitívról, negatívra vált, tehát lokális maximuma van. A szélsőértékek nagysága:

[ > m := f(5)

[ > M := f(7)

[ > derivalt2 := diff(derivaltf, x);

[ > simplify(derivalt2);

[ >

[ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x);

[ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = 0 .. 10, color = blue); rajzderivalt2;



[ > plot(signum(derivalt2(x)), x = 0 .. 10, title = A második derivált előjele, color = green);

A második derivált a zérushelyeknél előjelet vált, a -on pozitív előjelű, így ott a függvény konvex, a

-on negatív előjelű, így ott konkáv, a -on pedig ismét konvex a függvény.

[ >

[ >

[ > plot(f(x), x = -4 .. 10, title = A függvény grafikonja, color = red);



[ > plot(f(x), x = -4 .. 10, 0 .. 0.1e-1, title = A függvény grafikonja, color = red);


Végezze el az függvény teljes vizsgálatát!

Megoldás:

Értelmezési tartomány: x≠0 ⇒ Df: x ∈ ℝ ∖ {0}

Nem periodikus, azaz nincs olyan p valós szám, amelyre f (x) = f (x + p) lenne.

Paritás:



Zérushely:

Szélsőérték és monotonitás:

A függvénynek ott lehet szélsõ értéke, ahol f '(x) = 0 ( szükséges feltétel!)

A függvény egy szorzatfüggvény, amelynek az egyik tényezője összetett függvény:

Elegendő a feltétel, ha a derivált e helyen előjelet vált:

x < - 1 x = -1 - 1 < x < 0 x = 0 0 < x

f ' (x) + 0 - nincs értelmezve! +

f (x) ↗ lok. max. ↘ nincs értelmezve! ↗

Konvexitás és inflexiós pont:

A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol f "(x) = 0

Az első deriváltat tovább deriválva ( szorzat, egyik tényező összetett függvény):

Látjuk, hogy a második derivált sehol sem lesz 0, tehát nincs inflexiós pontja! Elõjel vizsgálatot azonban

végezni kell:

x < 0 x = 0 0 < x

f " (x) - nincs értelmezve! +

f (x) ∩ nincs értelmezve! ∪

Tehát a negatív számok halmazán konkáv, a pozitív számok halmazán konvex a függvény.

Határértékek:

(dominál az x fgv)

A +∞-ben hasonlóan +∞ ⋅ 1 = ∞. Kihasználtuk, hogy

Mi a helyzet a 0 környékén? (zűrös hely)



Grafikon:

Aszimptota : y=x egyenes

Értékkészlet:

MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOK HASZNÁLATÁVAL:

[ >

[ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x)

[ > derivaltf := diff(f(x), x)

[ > simplify(derivaltf)

[ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x)

[ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = -3 .. 2, color = blue); rajzderivaltf



[ > plot(signum(derivaltf(x)), x = -5 .. 5, title = A*derivált*elöjele, color = green)

A derivált függvény az x=-1-nél pozitívról negatívra váltja az elõjelét, így lokális maximuma van, míg x=0-nél

negatívról, pozitívra vált, de itt nincs szélsõérték, mert sem a függvény, sem a derivált nincs értelmezve. A

szélsõ értékek nagysága:

[ > M := f(-1)

[ > derivalt2 := diff(derivaltf, x)

[ > simplify(derivalt2)

[ > md := x → derivalt2(x)

[ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x)

[ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = -2 .. 2, color = blue); rajzderivalt2



[ > plot(signum(derivalt2(x)), x = -5 .. 5, title = A*második*derivált*elöjele, color = green)

A második derivált a 0-nál előjelet vált: a ]-∞;0[ -on konkáv a ]0;∞[-on konvex a függvény.

[ >

[ >

[ > limit(f(x), x = 0, right)

[ > limit(f(x), x = 0, left)

A féloldali határértékeket más szintaxisban kell beírni!!!

[ > plot(f(x), x = -4 .. 10, title = A*függvény*grafikonja, color = red)




Végezze el a következő függvény vizsgálatát!

HAGYOMÁNYOS MEGOLDÁS:

Df : x ∈ ℝ

paritás:

nem periodikus

zérushely:

szélsőérték, monotonitás:

A szélső érték létezésének szükséges feltétele, hogy az első derivált eltűnjön; elegendő is, ha azon a helyen a

derivált előjelet vált:

x < 0 x =0 0 < x < 9 x = 9 9 < x

f ' (x) + 0 + 0 -

f (x) ↗ nincs szélső érték ↗ nincs értelmezve! ↘

inflexiós pont, konvexitás:



Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele, hogy a második derivált eltűnjön, elegendő is, ha az adott

helyen a második derivált előjelet is vált.

előjel táblázat:

x < 0 x =0 0 < x < 6 x = 6 6 < x

f " (x) - 0 + 0 -

f (x) ∩ inflexiós pont ∪ inflexiós pont ∩

határértékek vizsgálata:

grafikon megrajzolása:

Értékkészlet :

MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOKKAL:

[ > f := x → 12*x^3-x^4

[ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x)

[ > derivaltf := diff(f(x), x)

[ > simplify(derivaltf)

[ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x)



[ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = -3 .. 10, color = blue); rajzderivaltf

[ > plot(signum(derivaltf(x)), x = -3 .. 12, title = A*derivált*elöjele, color = green)

A derivált függvény az x=0-nál nem vált elõjelet, így itt nincs szélsõ értéke. Az x=9 helyen pozitíról negatíra

vált, így ott a függvénynek maximuma van. A szélsõ érték nagysága:

[ > M := f(9)

[ > derivalt2 := diff(derivaltf, x)

[ > simplify(derivalt2)

[ > md := x →derivalt2(x)

[ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x)

[ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = -2 .. 10, color = blue); rajzderivalt2



[ > plot(signum(derivalt2(x)), x = -2 .. 10, title = A*második*derivált*elöjele, color = green)

A második derivált a zérushelyeknél elõjelet vált, a "]-∞ ; 0[" -on negatív elõjelû, így ott a függvény konkáv, a

"]0;6[" -on pozitív elõjelû, így ott konvex, a "]6 ; ∞[" -on pedig ismét konkáv a függvény.

[ >

[ >

[ > plot(f(x), x = -4 .. 15, title = A*függvény*grafikonja, color = red)



A helyi maximum abszolút maximum is.


1.6. Érintő

Az érintő egyenes egyenletét az y - y0 = m ⋅ (x - x0) iránytényezős egyenlet felhasználásával írjuk fel, ahol (x0,

y0) jelöli azt a pontot, amelyben kíváncsiak vagyunk az érintő egyenletére, az m meredekség a

differenciálhányados értéke az x0 pontban. Így az érintő általános egyenlete átrendezés után: y = f' (x0)⋅ (x - x0)

+ f (x0)

Példa:



Írja fel az függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét az y tengellyel való metszéspontjában!

Megoldás:

Először meghatározzuk, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt. Ez ott van, ahol x=0. Behelyettesítés után azt

kapjuk, hogy y= -1/2 . Tehát a P0(0; -1/2) ponton átmenő érintő egyenesét kell felírnunk. Ehhez az egyenes

iránytényezős egyenletét használjuk, mivel az iránytényezőt, vagy meredekséget a függvény

differenciálhányadosának értéke adja meg az adott pontban. A meredekség meghatározása:

Az egyenes iránytényezős alakja: y - y0 = m ⋅ (x - x0). Behelyettesítés után az érintő egyenlete:

Példa:

Mekkora szögben metszi az

Megoldás:

Az x tengelyt a függvény zérushelyén metszi, ennek meghatározása: . A metszés

szögét a differenciálhányados adja meg az adott helyen.

Meghatározása:

...

1.7. Közelítés



TAYLOR-POLINOM GYAKORLÓ PANEL ANIMÁCIÓVAL:

Példa:

Számítsa ki és közelítő értékét célszerű helyen felvett érintő egyenletének felhasználásával!

Megoldás:

A következő közelítést alkalmazzuk: célszerű helyen az érintő meredeksége megegyezik a szelő

meredekségével, azaz

A függvény jelen esetben a négyzetgyök függvény lesz, a célszerű hely pedig a 4. Így:

Példa:



Írja fel az f (x) = ln (2 x + 1) függvény Taylor-polinomját a 0 hely környékén a harmadfokú tagig! Segítségével

becsülje meg ln3 értékét!

Megoldás:

A harmadfokú Taylor-polinom:

Alkalmazzuk a feladatra:

ln3 becsléséhez x=1 helyettesítést alkalmazzuk:

1.8. Gazdasági feladatok megoldása

Ismeretes, hogy egy cég valamely termékének B(x) árbevételi, illetve K(x) költségfüggvénye, a következő: B(x)

=200x � 0,1 2 x , illetve K(x) = 10x + 6000, ahol x (> 0) a termék darabszámban kifejezett mennyisége. a) Írja

fel a határköltség függvényt, a profitfüggvényt és a határprofit függvényt! b) Határozza meg a termék azon

darabszámát, amelynek értékesítése esetén a cég nyeresége maximális lesz. Számítsa ki a maximális profit

értékét is! c) A fedezeti pont a nulla veszteséghez és profithoz tartozik. Határozza meg, hogy fedezeti pont

milyen termelési mennyiséghez tartozik!

[ > K : = x →10⋅ x + 6000

[ > határköltség := x →diff(K(x), x)

[ > határköltség(x)

[ > B: =x →200*x-0.1*x^2

[ > profit : =x →B(x)-K(x)

[ > profit(x)

[ > határprofit: = x → diff(profit(x), x)

[ > határprofit(x)

[ > határprofit_zérushelye := solve(határprofit(x) = 0, x)

[ > rajzhatárprofit := plot(határprofit(x), x = 0 .. 1500, color = blue); rajzhatárprofit



[ > plot(signum(határprofit(x)), x = 0 .. 1800, title = À derivált elöjele`, color = green);

A derivált az x=950-nél előjelet vált, pozitívról negatívra, tehát a profitfüggvénynek maximuma van.

[ > P:= profit(950)

[ > fedezetipont := solve(profit(x) = 0, x)

Feladat:

Egy termék árbevételének alakulását (ezer Ft-ban) a függvény adja meg, ahol x az eladott

termékek darabszámát jelenti.

a) Milyen értékeket vehet fel az eladott termék darabszáma?

b) Milyen x érték mellett lesz maximális az árbevétel?



c) Számítsa ki az árbevétel-függvény pontelaszticitását x = 1000; -ben, és a kapott eredményt értékelje!

[ >

[ > grafikon := plot(B(x), x = 0 .. 3000); grafikon

[ > deriváltB : = x → diff(B(x), x); derivált = deriváltB(x)

[ > derivált_zérushelyei := solve(deriváltB(x) = 0, x)

[ > rajzderivált := plot(deriváltB(x), x = 0 .. 4000, color = blue); rajzderivált

[ > maximum_hely := derivált_zérushelyei[2]

A derivált előjelet vált 1600-nál, pozitívról negatívra, tehát B(x)-nek helyi maximuma van x=1600-ban.

[ > plot(signum(deriváltB(x)), x = 0 .. 1800, title = À derivált elöjele`, color = green)



[ > maximum_értéke := B(maximum_hely); evalf(%)

A bevétel maximális értéke 25600000 sqrt(2)

[ > elaszticitás := unapply(x*deriváltB(x)/B(x), x)

Àz árbevétel elaszticitása` = elaszticitás(x)

[ > elaszticitás_értéke := elaszticitás(1000)

[ > fuggoleges := plot([[1000, 0], [1000, 1.5]], linestyle = [dash], color = blue);

[ > rajz_elaszticitás := plot([elaszticitás(x), elaszticitás_értéke], x = 0 .. 1700, color = [green, red], linestyle =

[solid, longdash]); display([fuggoleges, rajz_elaszticitás]);

Adott az f(x)=e-0,01x+1 függvény, ahol x egy termék egységárát jelenti forintban, f(x) pedig a termék iránti

keresletet darabban. a) Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális,és mekkora az ehhez a bevételhez

tartozó kereslet és árbevétel? b)Állapítsa meg az f (x)függvény x0=50 pontbeli elaszticitását! Fogalmazza meg,

mit jelent a kapott eredmény!

[ > f : = x→ x ⋅ f (x)

[ > bevétel(x)

[ > grafikon := plot(bevétel(x), x = 0 .. 700); grafikon



[ > bevételderivált : = x→diff(bevétel(x), x)

[ > bevételderivált(x);

[ > bevételderivált_zérushelye := solve(bevételderivált(x) = 0, x);

[ > rajzderivált := plot(bevételderivált(x), x = 0 .. 700, color = blue); rajzderivált;

A derivált előjelet vált 100-nál, pozitívról negatívra, tehát a bevételnek helyi maximuma van x=100-ban.

[ > plot(signum(bevételderivált(x)), x = 0 .. 700, title = A derivált elöjele, color = green);



[ > B : = bevétel(100)

[ > db := f(100);

[ >

[ > elaszticitás_értéke := elaszticitás(50)


1. Egy bizonyos termék (kg-ban kifejezett) kereslete és annak x (Ft/kg ) egységára között az f(x) = 21 000 -

0,7⋅ x2, (0≤x≤173) összefüggés áll fenn. (f(x ) tehát a keresleti függvény, B(x)=x⋅ f(x ) az árbevétel függvénye.)

Írja fel a bevételi függvényt és a határbevételi függvényt! Milyen egységár mellett maximális az árbevétel és

mekkora az ehhez tartozó kereslet? Mekkora a maximális árbevétel? Állapítsa meg az f(x) függvény

elaszticitását (rugalmasságát) az x0 = 50 helyen és értelmezze a kapott eredmény jelentését!

2. Végezze el a következő függvények vizsgálatát!

f (x)= 3x3-6x2

3. Mi az görbéhez az x = -1 abszcisszájú pontjában húzott érintő egyenlete?

4. Diszkutáljuk a következő függvényt monotonitás szempontjából! Van-e szélső értéke? Ha igen, hol?

5. Írja fel az függvény Taylor-polinomját a 0 hely környékén az ötödfokú tagig! Segítségével

becsülje meg értékét!

...


7. fejezet - Integrálszámítás

forrás: http://motorinfo.hu/images/11446-itt_van_bmw_r_1200_gs/42-11446-itt_van_bmw_r_1200_gs.jpg

1. Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata

Definíció:

Egy F(x) függvényt az f(x) függvény primitív függvényének nevezünk valamely véges, vagy végtelen

intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x pontjában F ' (x) = f (x) dx .

Az f (x) függvény y = F(x) primitív függvényének görbéjét az f (x) függvény integrálgörbéjének nevezzük.

Tétel:

Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek, tehát ha van primitív függvény, akkor

végtelenül sok van. A primitív függvény konstans erejéig egyértelműen meghatározott.

Elemi függvények primitív függvényei:

Integrálszámítás


Integrálási szabályok:

Az integrálási szabályok következnek a deriválási szabályokból.

Példa:

Végezze el a következő integrálást!

Megoldás:

Maple paranccsal:

[ > int(1+sh(2*x-1), x)


Megoldás:

Maple paranccsal:

[ > int(((2*x-1)*(1/3))^2, x)

Határozza meg a következő integrált!



Megoldás:


Természetesen Maple paranccsal szintén minden feladat megoldható, ezt a továbbiakban nem részletezzük.

Határozza meg az függvény primitív függvényét!


Integrálja a következő függvényeket!

(alfás típus)

2. Integrálási típusok

Az összetett függvény deriválási szabályai alapján megfogalmazhatunk néhány gyakran előforduló integrálási

típust.

Helyettesítéssel való primitív függvény meghatározása:



Ha az f (x) függvénynek F(x) függvény a primitív függvénye, akkor bármely olyan differenciálható ϕ(t)

függvény esetén, amelyre f(ϕ(t)) értelmezve van egy intervallumon, az f(ϕ(t))⋅ ϕ'(t) függvénynek F(ϕ(t))

primitív függvénye, azaz

Ez a tétel az alapja a fenti integrálási típusoknak is.

Példa:


Megoldás:

Vezessük be az helyettesítést. Ekkor azaz . Így az alábbiakra jutunk:


Megoldás:

Vezessük be az helyettesítést. Ekkor . Így az alábbiakra jutunk:

Alkalmas helyettesítéssel határozza meg az integrál kifejezés értékét!

Megoldás:

Vezessük be az helyettesítést. Ekkor . Átalakítva az

integrandust:

Alkalmas helyettesítéssel határozza meg az integrál kifejezés értékét!

Megoldás:

Legyen helyettesítés. Ekkor , átalakítva az integrandusban álló kifejezést:

Parciális integrálással folytatva:

választással:



3. Maple gyakorló-ellenőrző panel az integráláshoz

4. Határozott integrál

Alapfogalmak:

Az I = [a, b] intervallum n-részes beosztásán egy olyan n+1 elemű Bn = (x0, x1, x2, ... , xn) pontrendszert értünk,

amelyre x0 = a , xn = b , és xi-1< xi (i=1,2,...,n) teljesül. Az xi pontokat osztáspontoknak, az Ii = [xi-1, xi]

intervallumot i-edik részintervallumnak nevezzük.

Az f (x) függvényről tegyük fel, hogy korlátos az [a; b]-on, így bármely részintervallumán létezik a

függvényértékeinek infimuma és suprémuma is. Ezeket így jelöljük: és . Ezek segítségével

képezzük az függvénynek az I=[a; b] intervallum Bn = (x0, x1, x1, ... , xn) beosztásához tartozó alsó ill. felső

integrálközelítő összegét:

A Maple gyakorló panel:



Riemann-féle közelítő összeg: alakú összeg, ahol ξi∈ Ii .

A beosztás finomításán azt értjük, hogy újabb osztáspontokat veszünk hozzá.

Tételek:

1. A beosztás finomításakor az alsó összegek nem csökkennek, a felső összegek nem növekednek.

2. Bármely beosztáshoz tartozó alsó összeg nem-nagyobb bármely másik beosztáshoz tartozó felső összegnél.

Darboux-féle alsó ill. felső integrálon értjük az alsó összegek felső határát ill. a felső összegek alsó határát.

Tétel:

A Darboux-féle alsó integrál nem nagyobb a Darboux-féle felső integrálnál; és ha m≤f (x)≔M, akkor

Riemann-integrál- definíciója:

A korlátos f (x) függvényt az [a;b] véges intervallumon Riemann-szerint integrálhatónak nevezzük, ha a

Darboux-féle alsóintegrálja egyenlő a Darboux-féle felső integráljával, és ezt a közös értéket nevezzük az f (x)

függvény [a;b] véges intervallumon vett Riemann-integráljának. Jelölés:

RIEMANN-KÖZELÍTő ÖSSZEGEK ANIMÁCIÓVAL

Integrálhatósági kritériumok:

Definíció: Egy f (x) függvény B beosztáshoz tartozó oszcillációs összegén értjük a következő összeget:

A definícióból következik, hogy bármely beosztás esetén az oszcillációs összeg nemnegatív.

Oszcillációs-kritérium:

Az [a;b] véges intervallumon korlátos f (x) függvény akkor és csak akkor Riemann-integrálható, ha bármely

pozitív ε-hoz megadható olyan B=B(ε) , hogy o(f, B) < ε .



Tételek:

1. Ha az f(x) függvény korlátos és monoton az [a;b] véges intervallumon, akkor Riemann-szerint integrálható.

2. Ha az f(x) függvény folytonos a véges [a;b] intervallumon, akkor integrálható.

3. Ha az f(x) függvény korlátos az [a;b] véges intervallumon és annak bármely részintervallumán integrálható,

akkor [a;b] -on is integrálható.

Szükséges és elegendő kritérium:

Ha az f (x) függvény korlátos az [a;b] véges intervallumon, akkor ahhoz, hogy integrálható legyen, szükséges és

elegendő, hogy a Riemann-féle közelítő összegek konvergáljanak a közbülső helyek bármely választása esetén,

ha a beosztások finomsága tart nullához.

A határozott integrál tulajdonságai:

Ha az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon, akkor ezen intervallum bármely

részintervallumán is integrálható.

Ha az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon és a < c and c < b , akkor

, azaz integrálási tartomány szerint additív.

Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon, akkor összegük, különbségük,

szorzatuk is integrálható, továbbá ha m ≤g(x) , m ≠ 0 akkor is integrálható.

Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon és g(x) jeltartó és m ≤ |g(x)| , m ≠ 0

akkor is integrálható [a;b] -on.

Ha a korlátos f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon, akkor | f (x) | is integrálható és

Az integrálszámítás első középérték tétele:

Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon és g(x) jeltartó is ezen, akkor

létezik olyan μ valós szám, amelyre

Következmény:

Ha az f (x) folytonos az [a; b] véges intervallumon, akkor van olyan ξ az [a;b] -ban, amelyre

Az integrálfüggvény

Tegyük fel, hogy az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon. Mint láttuk, akkor ezen

intervallum bármely részintervallumán is integrálható f (x) , és így bármely x∈ [a;b] esetén létezik az

integrál is. Jelöljük az integrál értékét mint a felső határ függvényét F(x)-szel, azaz legyen , és ezt a

függvényt az f(x) függvény integrálfüggvényének nevezzük.



Tétel:

Legyen az f(x) korlátos függvény integrálható az [a;b] véges intervallumon és legyen . Az F(x)

függvény az [a; b] minden belső pontjában folytonos ( a végpontokban jobbról illetve balról), és minden olyan x

pontjában, ahol f(x) folytonos, az F(x) függvény differenciálható és


1. Mennyi a kifejezés értéke?

2. Végezze el a következő integrálásokat!

3. Határozza meg a következő kifejezések értékét!




8. fejezet - Az integrálszámítás alkalmazásai

forrás: https://encrypted-

tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSTmvykAmRKfniLF2zvQ1AKMguwvZP0EwcJ3xorvvSIMBsC31f6jg

1. Az integrálás alkalmazásai

A fejezetben az integrálszámítás azon alkalmazásaira mutatunk példát, amelyeket a leggyakrabban használunk.

1.1. Newton-Leibniz-formula

Newton-Leibniz formula tétele:

Ha az f (x) függvény korlátos és folytonos az ]a;b[ nyitott intervallumon, a Φ(x) függvény az f (x) függvénynek

ezen az intervallumon primitív függvénye, továbbá Φ(x) a zárt [a;b] intervallumon folytonos, akkor

Példa:

Határozza meg a kifejezés értékét!

Megoldás:

Maple paranccsal:

[ > int(6-x^3, x = -1 .. 4)

Definíció:

Az [a;b] intervallumon értelmezett, nemnegatív, integrálható f (x) függvény görbéje alatti területet (pontosabban

az x �tengely, az x=a és x=b egyenesek, valamint az y = f (x) görbe által közrezárt területet) az f (x)

függvénynek ezen az intervallumon vett integráljával definiáljuk.

Függvénygörbék által közrezárt területet, a görbék alatti területek különbségeként tudjuk meghatározni.

Példa:

Mennyi az a paraméter értéke, ha

Az integrálszámítás alkalmazásai


Megoldás:

Maple paranccsal:

[ >

[ >

...

1.2. Függvénygörbék közti terület

Függvénygörbék által közrezárt területet, a görbék alatti területek különbségeként tudjuk meghatározni.

Lépései:

• metszéspontok meghatározása-ezek lesznek az integrálási tartomány végpontjai

a függvények ábrázolásával vagy más módon megállapítjuk, hogy melyik függvény van a másik felett

a két függvény különbségét a meghatározott tartományon integráljuk

("felsőből az alsó")

Példa:

Határozza meg az ábrán a színezett terület nagyságát!



Megoldás:

Megkeressük az alsó integrálási határt, ami jelen esetben a függvény zérushelye.

A meghatározandó terület nagyságát (a függvénygörbe alatti területet) integrálással határozzuk meg.

Maple paranccsal:

[ > solve(sqrt(x)-1 = 0, x)

[ > int(sqrt(x)-1, x = 1 .. 4)

Példa:

Határozza meg az ábrán a színezett terület nagyságát!

Megoldás:

A kérdéses területet a függvénygörbe alatti terület határozza meg, amely a tanultak szerint a függvény határozott

integráljával egyezik meg az adott intervallumon. Meghatározzuk az integrálási határokat, melyek éppen a

függvény zérushelyeivel egyenlők a feladatban. A zérushelyek:

Ezek után a terület meghatározása:

Maple paranccsal:

[ > solve(-x^2+2 = 0, x)

[ > int(-x^2+2, x = -sqrt(2) .. sqrt(2))

Példa:



Számítsa ki az ábrán színessel jelölt terület nagyságát!

Megoldás:

Az első negyed beli területet határozzuk meg, majd kétszerezzük, mert a III. negyed beli terület ugyanakkora.

Az y=x egyenes az I. negyedben az x tengellyel háromszöget zár be, melynek területe:

Tehát a kérdezett terület nagysága fél terület egység.

Maple paranccsal:

[ > solve(x^3 = x, x)

[ > int(x-x^3, x = 0 .. 1)

Példa:

Mennyi az ábrán a satírozott terület?

Megoldás:

Célszerű az integrálási tartományt több részre bontanunk, így az egyes részeken tudjuk alkalmazni a megoldási

útmutatót.



Tehát a kérdéses terület 3 területegység.

Maple paranccsal:

[ > solve(4*x = (1/2)*x, x)

[ > solve(4*x = 4/x^2, x)

[ > solve(4/x^2 = (1/2)*x, x)

[ >

1.3. Függvény átlaga

Definíció: Függvény átlaga vagy integrálközép:

Példa:

Mennyi az függvény átlaga az 3≤x≤8 intervallumban?

Megoldás:

Példa:

Melyik kifejezés számértéke a nagyobb? vagy a f (x) = 2 x + 3 függvény átlaga az [1;4]

intervallumon?

Megoldás:

A kérdéses függvény átlagának kiszámítása:

Tehát az első kifejezés értéke a nagyobb.

Maple paranccsal:



[ >

[ >

Gyakorló panel a függvény átlagának meghatározásához:

1.4. Görbe ívhossza

Definíció:

Példa:

Határozzuk meg az grafikonjának ívhosszát az 0≤x≤2 intervallumban.

Megoldás:

Maple paranccsal:

[ >

[ >



[ >

Példa:

Határozzuk meg az f (x) = x2 grafikonjának ívhosszát az 0≤x≤1 intervallumban.

Megoldás:

Mivel az integrandusban szereplő függvénynek nincs primitív függvénye, a helyettesítéses integrálás pedig

nehéz, közelítőleg határozzuk meg. Felírjuk a hatványsorát a 0 hely környezetében, és azzal helyettesítjük a

függvényt.

Maple parancsokkal:

[ > f : =x2

[ >

[ >

...

1.5. Forgástest térfogata, palástjának felszíne

Definíció:



Ha az f (x) függvényt megforgatjuk az x-tengely körül az [a;b] intervallumon, akkor az így keletkező forgástest

térfogatát így definiáljuk:

Forgástest palástjának felszíne:

Példa:

Határozza meg a [4;9] intervallumon az f (x) függvény x tengely körüli megforgatással keletkező

test térfogatát, ha

Megoldás:

Maple paranccsal:

[ >

[ >

[ >

Példa:

Határozzuk meg az grafikonja (parabola) x tengely körüli megforgatásával keletkező forgási paraboloid

felszínét az 0≤x≤2 intervallumban.

Megoldás:



Gyakorló panel forgástest térfogatának meghatározásához:

1.6. Súlypont

A súlypont meghatározása:

Homogén görbeív elsőrendű nyomatéka x- illetve az y-tengelyre:

Súlypont: , ahol

Homogén síkrész elsőrendű nyomatéka az x- ill. y-tengelyre:



Súlypont:

Példa:

Legyen f (x) = x2 ; 0≤x≤3, keressük az A területű síkidom súlypontjának koordinátáit!

Megoldás:

, vagyis


1. Állapítsa meg, mekkora területet zár be egymással a következő két függvény vonala! A szükséges adatokat

számítással határozza meg!

a) f (x) = -x2 + 4 x - 3 és a g(x) = 2 x - 3



b) f (x) = -(x - 2)2 + 4 és a

c) f (x) = -2 x2 - 1 és a g(x) = 4 x - 5

d) és a g (x) = x2

e) és a g(x) = x

f) , az x = 0 és a g(x) = x - 1

2. Mennyi az f (x) = 3 x2 - 4 x + 1 függvény átlaga az [1;5] intervallumon?

3 Mennyi az függvény átlaga az [0;16] intervallumon?

4. Melyik kifejezés számértéke a nagyobb?

vagy az f (x) = 2 x + 3 függvény átlaga az intervallumon?

5. Számítsa ki az függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező test térfogatát a [0;9]

intervallumban!

6. Számítsa ki az f(x) = 2 x + 1 függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező test térfogatát a [-1;3]

intervallumban!

...


9. fejezet - Kétváltozós függvények I.

Javier Barrallo: Sliceform

1. Bevezetés

A minket körülvevő világot tanulmányozva észrevehetjük, hogy a mennyiségek általában több más

mennyiségtől függnek. Ezeket a kapcsolatokat többváltozós függvényekkel írhatjuk le. A többváltozós

függvények tanulmányozása, analízise fontos a közgazdasági alkalmazásokban is. Erre nézzünk két konkrét

példást: "R. Frisch és T. Haavelmo a tej keresletére vonatkozó tanulmányukban az alábbi összefüggést adták:

(A pozitív állandó) A képletben x a tej fogyasztása, p a tej relatív ára és r egy család jövedelme. Ez az

egyenlőség x-et p és r függvényeként adja meg. Vegyük észre, hogy a tej fogyasztása nő, ha az r jövedelem nő,

és csökken, ha a tej ára növekszik � mindez elfogadhatónak tûnik." Knut Sydsaeter Peter I. Hammond

Matematika közgazdászoknak 462. oldal

Kettőnél több változós függvényekkel is találkozhatunk a közgazdasági gyakorlatban: "R. Stone az alábbi

becslést adta az angliai sörkeresletre:

Itt a sörkereslet (x) négy változó függvénye: x1 (a fogyasztó jövedelme), x2 (a sör ára), x3 (egy a többi jószágra

vonatkozó általános árindex), és x4 (a sör alkoholtartalma)." Knut Sydsaeter Peter I. Hammond Matematika

közgazdászoknak 463. oldal További gazdasági alkalmazásokat találhatunk az alábbi könyvekben: Simonovits

András Mikroökonómia, Sydsaeter Hammond Matematika közgazdászoknak

2. Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése

A függvény leképezés két halamaz elemei között. Az eddig vizsgált, egyváltozós függvények a valós számok

részhalmazai között létesítettek leképezést. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet is a valós számok

részhalmaza volt. A két és többváltozós függvényeket az egyváltozós függvényekhez hasonlóan definiáljuk. A

többváltozós függvények értelmezési tartománya most rendezett valós számpárok, számhármasok, szám n-esek

halmaza, értékkészlete pedig ugyanúgy, mint az egyváltozós esetban a valós számok egy részhalmaza. A

továbbiakban a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk részletesen, esetleg utalást teszünk a többváltozós

esetekre.

D. Az f függvény kétváltozós, ha értelmezési tartománya D ( f ) része a kétdimenziós Euklideszi térnek ℜ2 -nek

és a függvény D ( f ) minden eleméhez egyetlen valós számot rendel, vagyis ℜ2-ből ℜ-be képez. A függvény

értékkészlete R ( f ) az egydimenziós Euklideszi tér részhalmaza.

Kétváltozós függvények I.


Tehát a kétváltozós függvényeknek két független változója van, ezeket x és y jelöli, az értelmezési tartomány az

xy-sík egy részhalmaza. A kétváltozós függvény jelölése: f (x, y). A kétváltozós függvényeket térbeli Descartes

koordináta-rendszerben ábrázolva a függvény azon térbeli P (x, y, z) pontok halmazával szemléltethető,

amelyek koordinátáira fennáll a z = f (x, y) összefüggés.

Egy és kétváltozós függvények jelölésének összehasonlítása:

Kétváltozós Egyváltozós

Felület Descartes - koordinátás ábrázolása a háromdimenziós koordináta-rendszerben:

[ > B : = textplot3d([2, 3, 1, "P0 (x, y)", 'font' = ["times", "roman", 12]], axes = normal, 'view' = [-5 .. 6, -5 .. 6, -

4 .. 7]);

[ > C : = textplot3d([2, 3, 5, "P (x, y, z)", 'font' = ["times", "roman", 12]], axes = normal, 'view' = [-5 .. 6, -5 .. 6,

-4 .. 7]);

[ > E : = pointplot3d([2, 3, 4], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20);

[ > F : = pointplot3d([2, 3, 0], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 15);

[ > H := implicitplot3d(z = 0, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, z = 0 .. 7, transparency = .9, color = magenta, style =

patchnogrid);

[ > A : = plot3d(-.1*x^2-.1*y^2+6.3, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, transparency = .9, color = grey, style = patchnogrid);

[ > display({A, B, C, E, F, H});



A felületeket különböző koordináta-rendszerekben szokás ábrázolni, mi minden felületet a térbeli derékszögû

Descartes koordináta-rendszerben ábrázolunk. Érdekességképpen nézzünk meg néhány felületet a Mapleben,

ezek ábrázolásakor használtunk gömbkoordinátákat, hengerkoordinátákat, paraméteres ábrázolást is. A képekre

kattintva a felületeket forgathatjuk, különböző irányból megszemlélhetjük. A megjelenő ábrázolás menüsor

lehetőségei között szerepel többek között a különböző koordináta-rendszerek választása, az ábrázolás stílusának

megváltoztatása, a felület közelítése, távolítása. A táblázat legalsó sorában felületek animációját láthatjuk. Ha a

kiválasztjuk az egyik felületet, megjelenik az animáció menü. A jelek magukért beszélnek. Az animáció

sebességét (FPS: után megjelenő szám) érdemes minél kisebbre, pl. 1-re választani, hogy jobban

megszemlélhessük a változást.

Sík z = 3 Descartes -

koordináta Gömb Gömbkoordináta Gömbkoordináta Hengerkoordináta

Kúp Hengerkoordináta Felület paraméteres

ábrázolása Möbiusz-szalag

Hengerkoordináta Descartes - koordináta



Tórusz Tóruszkoordináta Gömbkoordináta Descartes - koordináta Animáció Descartes -

koordináta

Animáció

Gömbkoordináta Animáció

Gömbkoordináta Animáció

Hengerkoordináta Animáció

Gömbkoordináta

Hogyan tudjuk a felületeket még jobban szemléltetni? Elsőként a földrajzból ismerős, térképek ábrázolására is

használatos szintvonalas ábrázolás siet segítségünkre.

Szintvonalas térkép és magyarázata Forrás: http://nagysandor.eu/AsimovTeka/PhysHelp/fields.html

Az alábbi táblázatban két felületet ábrázoltunk. Az egyik az f(x, y) = x2 + y2 a másik a g (x, y) = sin (x) + 2 sin

(y) . Az első cellában láthatjuk a felületeket, 10 párhuzamos síkkal elmetszve. A síkok az xy síkkal

párhuzamosak, z értéke mindegyik síkon állandó, más szóval egy-egy síkon a pontok z koordinátája

megegyezik. (Az xy síkon levő pontok harmadik, z koordinátája mindig 0. Ezért az xy sík egyenlete z = 0.) A

táblázat második oszlopában elhagytuk a felület és a síkok ábrázolását és csak a metszésvonalak maradtak, de ez

még mindig térbeli ábra. A harmadik oszlopban látszik az úgynevezett szintvonalas ábrázolás. Itt a második ábra

metszésvonalait merőlegesen levetítettük az xy síkra.

[ > P := Array(1 .. 2, 1 .. 3):

[ > with(Student[MultivariateCalculus]):

[ > P1,1 := CrossSection(x^2+y^2, z = 0 .. 25, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, planes = 10)

[ > P1,3 := contourplot(x^2+y^2, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1)



[ > P1,2 := plot3d(x^2+y^2, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, style = contour)

[ > P2,3 := contourplot(sin(x)+2*sin(y), x = -4*Pi .. 4*Pi, y = -3 .. 3)

[ > P2,2 := plot3d(sin(x)+2*sin(y), x = -4*Pi .. 4*Pi, y = -3 .. 3, style = contour)

[ > P2,1 := CrossSection(sin(x)+2*sin(y), z = -3 .. 3, x = -4*Pi .. 4*Pi, y = -3 .. 3, planes = 10)

[ > display(P)

...

A felületnek nemcsak az xy síkkal párhuzamos metszeteit kell vizsgálnunk ahhoz, hogy a felületet minél jobban

el tudjuk képzelni, hanem a zy és a zx síkokkal párhuzamos metszeteket is érdemes megnéznünk.

Az alábbi ábrán az f(x,y)=x2- y2 egyenletû nyeregfelület látható. Egy zy síkkal párhuzamos síkkal elmetszettük,

a sík egyenlete x = 3. A metszetgörbe egy maximumos parabola. Ha további zy-nal párhuzamos síkkal metsszük

a felületet szintén maximumos parabolákat kapunk, egymáshoz képest eltolva.

[ > CrossSection(x^2-y^2, x = 3, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, planes = 10, axes = normal);



Nézzük meg ugyanennek a felületnek egy xz síkkal párhuzamos metszetét, most y-t rögzítjük, legyen y = 2:

[ > CrossSection(x^2-y^2, y = 2, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, planes = 10, axes = normal);

Most minimumos parabolát kapunk.

A következő ábrák mutatják a nyeregfelület xy, yz, xz síkokkal párhuzamos síkmetszeteinek sorozatát (több

párhuzamos síkkal történő metszetét), az első három ábrán a síkra merőleges, harmadik tengely irányából nézve,

mintegy egyetlen síkra vetítve a metszeteket, a második sor ábrái ugyanezt mutatják, de itt látható, hogy térbeli

ábrákról van szó.



A különböző felületek síkmetszeteinek előállításával magunk is kísérletezhetünk a "Kétváltozós szemléltetés"

elnevezésű gombra kattintva. A gomb alatt látható ablakba tetszőleges kétváltozós függvény képletét írva tudjuk

a mindhárom koordináta síkkal párhuzamos síkmetszeteket előállítani és tanulmányozni.

3. Értelmezési tartomány

A kétváltozós függvények esetén is, ha a feladat nem adja meg , meg kell határoznunk az értelmezési

tartományt, egyszerűbben a kikötést. Ha a feladat megadja az értelmezési tartonányt, könnyebb dolgunk van.

Először nézzünk erre egy példát. Ábrázoljuk a

függvényt az adott tartományon.

[ >



[ >

[ > display({A, B});

A következő példák, azokat a leggyakoribb eseteket veszik sorra, amikor nekünk kell kikötést tenni.

1. A függvény hányadost tartalmaz. A nevező nem lehet 0. Ábrázoljuk a kikötést, az x2 + y2 - 9 = 0 -t, mint

egyváltozós függvényt. A kapott görbén nincs értelmezve a függvény.

[ > with(plots, implicitplot);

[ > implicitplot(x^2+y^2-9 = 0, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5);



Tehát a fenti függvény mindenütt értelmezve van kivéve az ábrán látható kör pontjai felett. Most ábrázoljuk a

felületet. Hogyan látszik az ábrán az értelmezési tartomány? Ha jobb gombbal az ábrára kattintva a tengelyek

címnél a z értékét -2-től, 2-ig engedjük futni, nagyon szép szemléletes ábrát kapunk. Így jól láthatóvá válik,

hogy hogyan szakad a függvény.

[ >



Ha x és y értéket is csak -2 és 2 között futtatjuk, a szakadás nem látszik, hiszen teljesen a kör belsejáben

maradunk, de a függvény menete jól szemléltethető az adott tartományon.

[ >

A szakadási körön kívül is megszemlélhetjük a függvényt:

[ >



2. Kikötés gyökös függvény esetén: ekkor a gyök alatt csak nemnegatív szám állhat. A Maple megoldja az

egyenlőtlenséget, és ábrázolja 2 dimenzióban, a sötétkék tartomány felett van értelmezve a függvény.

[ >



Ezután a függvényt három dimenzióban ábrázoljuk, a z tengelyre merőleges irányból nézve itt is látjuk az

értelmezési tartományt.

[ >

Az értelmezési tartomány ábrájával jól összevethető a 3 dimenziós ábra, ha a szokásos 3D Descartes koordináta

- rendszert állítjuk be és jobb gombbal a z tengely irányú tájolást.

Kikötés logaritmus függvény esetén: ekkor a logaritmus után csak pozitív szám állhat.

[ > g(x,y):=ln(3*x-2*y)

[ > inequal({3*x-2*y > 0}, x = -2 .. 2, y = -2 .. 2)



[ plot3d(ln(3*x-2*y), x = -2 .. 2, y = -2 .. 2, axes = normal)

4. Határérték

A kétváltozós függvények esetében is definiálhatjuk a határértéket és a folytonosságot. Egy pont környezete az

egyváltozós függvények esetében nyílt intervallun volt, most a környezet egy nyílt körlap.



Egy P0(a, b) középpontú δ sugarú nyílt körlap a egyenlőtlenséget kielégítő P ( x, y ) pontok

halmaza.

Az f kétváltozós függvényről akkor mondjuk, hogy a P0(a, b) helyhez tartozó határértéke az A szám, ha

tetszőleges kis ε > 0 esetén mindig létezik a P0 pontnak olyan δ sugarú környezete (ahol a környezet egy P0

középpontú δ sugarú nyílt körlap), hogy az ebből a környezetből választott x,y számpárhoz tartozó f(x, y)

függvényértékek A-tól való eltérése kisebb, mint ε.

Matematikai jelölésekkel: Ha , akkor

A legtöbb kétváltozós függvény is "jól viselkedik" van határértéke minden pontban. Most nézzük meg, hogy

milyen az, ha egy kétváltozós függvénynek nincs határértéke egy pontban. Tekintsük az

függvényt, belátjuk, hogy a (0,0) - ban a függvénynek nincs határértéke.

A tengelyeken a függvény értéke 0, mert a tört számlálója 0 és a nevezője nem 0, ezért a (0,0) pont minden

környezetében van olyan pont, ahol a függvényérték 0. De, ha a függvényt az y = x egyenes pontjaiban nézzük,

akkor itt a függvényértéke 1/2 (helyettesítsük be a függvény képletébe y = x -et), ezért a (0,0) minden

(bármilyen kicsi) környezetében van olyan pont, ahol a függvény 1/2-et vesz fel. Így világosan látszik, hogy

bármilyen határértéket is adunk meg, pl. ε=1/4-hez nem lehet jó δ-t találni. Ha az origón átmenő y = m x

egyenest tekintjük, a függvény képletébe behelyettesítve adódik.

Nézzük meg, hogy néz ki ez a függvény az origó körül:

[ >

[ >



Az (a,b) pontban folytonosnak nevezzük az f (x,y) függvényt, ha az (a,b) pontban értelmezve van, létezik ott

véges határértéke és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével. (A definíció pontosan ugyanaz, mint az

egyváltozós függvények esetében, csak ott természetesen más a határérték fogalma.)

...

5. Parciális deriváltak

Kétváltozós, f(x, y) függvények differenciálása.

1. x szerinti parciális derivált:

Legyen az f függvény értelmezve a P0(x0, y0) pontban és annak egy környezetében, az f(x, y) függvény x szerinti

parciális deriváltjának nevezzük a következő határértéket:

Az x szerinti parciális deriválásnál, y rögzített, x változó.

Szemléletesen: Metsszük el a felületet egy y tengelyre merőleges síkkal, ez a felületből egy görbét metsz ki, a

görbe érintőjének a meredeksége, más szóval iránytangense a felület x szerinti parciális deriváltja.

[ > F : = plot3d(x^2-y^2, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, style = patchnogrid, color = grey, transparency = .6, axes =

normal);

[ > H : = implicitplot3d(y = 1, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, z = -25 .. 25, transparency = .7, color = magenta, style =

patchnogrid);

[ > G : = plot3d(x^2-y^2, x = -5 .. 5, y = 1 .. 1, thickness = 3, color = red);

[ > C : = plot3d(4*x-5, x = -5 .. 5, y = 1 .. 1, thickness = 3)

[ > display({C, F, G, H})



2. y szerinti parciális derivált:

Legyen az f függvény értelmezve a P0(x0, y0) pontban és annak egy környezetében, az f (x, y) függvény y szerinti

parciális deriváltjának nevezzük a következő határértéket:

Az y szerinti parciális deriválásnál, x rögzített, y változó.

Szemléletesen: Metsszük el a felületet egy x tengelyre merőleges síkkal, ez a felületből egy görbét metsz ki, a

görbe érintőjének a meredeksége, más szóval iránytangense a felület y szerinti parciális deriváltja.

[ > F : = plot3d(x^2-y^2, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, style = patchnogrid, color = grey, transparency = .6, axes =

normal);

[ > H : = implicitplot3d(x = 2, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, z = -25 .. 15, transparency = .7, color = magenta, style =

patchnogrid);

[ > G : = plot3d(x^2-y^2, x = 2 .. 2, y = -5 .. 5, thickness = 3, color = red);

[ > C : = plot3d(-2*y+5, x = 2 .. 2, y = -5 .. 5, thickness = 3);

[ > display({C, F, G, H})



Hogyan derviválunk parciálisan kétváltozós függvényt ? Tanuljuk meg a parciális deriválás technikáját!

A konstansnak tekinthető tényező van a kék karikában.

Az x szerinti parciális derivált kiszámításakor az első tagot az egyváltozós függvényeknél megszokott módon

deriváljuk, mert csak x-et tartalmaz, y-t nem, ezért lesz a 2x2 deriváltja 4 x. A második tagnál már bonyolultabb

a helyzet. A definíció azt mondja, hogy az x szerinti parciális derivált esetében y rögzített, nem változik, ezért a

deriválás során konstansként kezeljük, x deriváltja 1, ezért xy3 deriváltja y3lesz.

A konstansnak tekinthető tag és tényező van a kék karikában.

Az y szerinti parciális deriválásnál az első tagban nincs y, ezért a 2x2 állandónak tekinthető, ezért deriváltja 0, a

második tagban, most x lesz állandó és y3 -t kell deriválnunk, ez 3y2 és az x konstanssal szorozva lesz 3xy2 a

kivonás miatt - előjelet kap. Az egyváltozós esethez hasonlóan itt is definiálhatunk magasabbrendû deriváltakat.

Elvileg itt négy másodrendû derivált lenne.

Amit először x szerint deriváltunk, másodszor is x szerint deriváljuk:



Amit először x szerint deriváltunk, most y szerint deriváljuk:

Amit először y szerint, másodszor x szerint:

És végül, kétszer egymás után y szerint deriválunk:

Magasabb rendű deriváltak az előző példában:

Általánosan is igaz, hogy

Számoljunk parciális deriváltakat Maple-ben:

[ > f(x,y): =x^(3)-y^(3)+8* x*y;

[ > e : = diff(f(x, y), x);

[ > g : = diff(f(x, y), y);

[ > a : = diff(f(x, y), `$`(x, 2));

[ > b : = diff(f(x, y), `$`(y, 2));

[ > c : = diff(f(x, y), x, y);

...

6. Iránymenti derivált

A parciális deriváltakon kívül gyakran számolunk még iránymenti deriváltat is. A felületet itt is egy xy síkra

merőleges síkkal metsszük el, de most a sík nem merőleges sem az x, sem az y tengelyre, hanem egy xy síkban

fekvő vektorral párhuzamos. Ez a sík is egy görbét metsz ki a felületből, ennek a görbének az iránytangense az

iránymenti derivált. Az iránymenti derivált számításánál tehát nemcsak egy pontot kell megadnunk, mint a

parciális derváltak kiszámításánál, hanem egy irányt is. A Maple-ben beépített utasítások számolják az

iránymenti deriváltat és szemléltetik is azt.

[ > with(VectorCalculus):

[ >

[ > with(Student[MultivariateCalculus]):

[ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [1, 2], [3, 4]);

[ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [-4, 4], [-4, 4], output = animation, frames = 7);



[ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [-4, 4], [-6, -6], x = -8 .. -2, y = 0 .. 6, z = 0 .. 40, output = plot);

[ > Student[MultivariateCalculus][CrossSectionTutor]();



7. Megoldott feladatok

Ábrázolja paraméteresen a függvényt az x = 0,1,2 értékekre. Jelölje meg az ábrán azt a P1 pontot,

amelyre x1 =1, y1 =2 és számítsa ki a z1 értéket!

Megoldás:

Három függvényt kell ábrázolnunk, ezek:

ha x = 0, akkor

ha x = 1, akkor

ha x = 2, akkor



Határozza meg a értékeket, ha !

Megoldás:

Tehát a függvényértékek: és


Számítsa ki az függvény (1,1) helyhez tartozó másodrendű deriváltjait.

Ábrázolja paraméteresen a függvényt az x=0,1,2 értékekre. Jelölje meg az ábrán azt a P1 pontot, amelyre x1

=1, y1 =2 és számítsa ki a z1 értéket!

Határozza meg a és értékeket, ha !

Határozzuk meg a következő függvények elsőrendű parciális deriváltjait:



Számítsa ki a következő fügvények minden másodrendű deriváltját!

A következő feladatokban mutassuk meg, hogy !

Határozzuk meg a következő függvények iránymenti deriváltját a P0 pontban és a v irányban!

P0(4, 5) v(3,4)

P0(3, - 5) v(1,-2)


10. fejezet - Kétváltozós függvények II.

Georg Glaeser: Tangent surface of a helix

1. Szélsőérték

1.1. Fogalmak

Helyi szélsőérték, lehet helyi minimum és helyi maximum Az f (x, y) függvénynek az (a, b) helyen helyi

minimuma van, ha (a, b) pontnak van olyan környezete, ahol f (a, b) > f (x, y). Az f (x, y) függvénynek az (a, b)

helyen helyi maximuma van, ha (a, b) pontnak van olyan környezete, ahol f (a, b) < f (x, y). Ha az f (x, y)

kétváltozós függvénynek szélső értéke van az (a, b) pontban, akkor helyi szélsőértéke van az x = a helyen az f

(x, b) egyváltozós függvénynek is, amelynek görbéje természetesen illeszkedik a felületre. Ezért az egyváltozós

függvényeknél tanultak alapján a szélsőérték létezésének szükséges feltétele . Hasonlóképpen

helyi szélsőértéke van az y = b helyen az f (a, y) egyváltozós függvénynek is. Ezért a szélsőérték létezésének

is szükséges feltétele.

1.2. Szükséges feltétel

Tétel: Az f kétváltozós függvény (a, b) helyhez tartozó szélsőértéke létezésének szükséges feltétele:

és

Ezt a következőképpen láthatjuk be. Ha f (x, y)-nak szélsőértéke van (a, b)-ben, akkor g (x) = f (x, b)-nek is

szélsőértéke van x = a-ban, ezért g'(a) = 0 az egyváltozós függvényeknél tanultak alapján és mivel g'(a) =

, így . Hasonlóan h (y) = f (a, y)-nak is szélsőértéke van b-ben, ezért

adódik.

Tehát a függvénynek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az elsőrendű parciális deriváltjai zérussal egyenlők. A

szüséges feltétel általában egy egyenletrendszer. Ha az egyenletrendszernek van megoldása, a kapott pont, vagy

pontok még nem biztosan szélsőértékek, ahhoz az elégséges feltételnek is teljesülnie kell. De abban biztosak

lehetünk, hogy a kapott pontokon kívül más pontban helyi (lokális) szélsőérték nem lehet.

Kétváltozós függvények II.


A felület forgatásával szemléletesen az ábrán is látható, hogy mindkét parciális derivált 0, mert a parciális

deriváltak az xy síkkal párhuzamosak a g (x) = f (x, b) és h (y) = f (a, y) görbék érintői.

[ > F : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, axes = normal, transparency = .5, style = patchnogrid, color

= red):

B : = plot3d(10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0):

C : = plot3d(10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4):

G : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0, color = blue):

H : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4, color = green):

display({B, C, F, G, H});

[ > F : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, axes = normal, transparency = .5, style = patchnogrid, color

= blue):

B : = plot3d(10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0):

C : = plot3d(10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4):

G : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0, color = blue):

H : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4, color = green):

display({B, C, F, G, H});



A kék felület arra példa, hogy nem csak a helyi szélsőérték esetén fordulhat elő, hogy egy pontban mindkét

parciális derivált 0 (a megfelelő metszetgörbék érintői párhuzamosak az xy síkkal), hanem más esetben,

úgynevezett nyeregpontoknál is. Ezért a szélsőérték létezésének bizonyításához, a szükséges feltételen kívül

elégséges feltételt is meg kell a későbbiekben fogalmaznunk.

A következő példák egyelőre csak a szükséges feltételt vizsgálják, és a kapott eredményeket ábrázolva,

szemléletünk alapján mondunk döntést a szélsőérték létezésére.

Példa: Határozzuk meg, hogy a következő függvénynek hol lehet helyi szélsőértéke!

Először határozzuk meg a két parciális deriváltat:

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

Fejezzük ki x-et a (2) egyenletből, majd helyettesítsük be az (1)-be.

→ → → → →

A kapott y értéket helyettesítsük be a (2) egyenlet azon alakjába, ahol kifejeztük y-t:

Tehát a kapott pont a -3, 3 csak ebben a pontban lehet szélsőértéke a függvénynek.

Ha van itt szélsőérték, akkor ebben a pontban a függvény értéke:



Most nézzük meg ugyanezt Maple-ben:

[ > f(x, y):=x^(2)+x*y+y^(2)+3*x-3*y+4;

[ > fx := diff(f(x, y), x) # f x szerinti parciális deriváltjának meghatározása

[ > fy := diff(f(x, y), y) # y szerinti parciális deriváltjának meghatározása

[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]) # Az egyenletrendszer megoldása

[ > gyokok[1, 1] # Külön felírjuk az egyenletrendszer x-re kapott megoldását, hogy később tudjunk hivatkozni

rá.

[ > gyokok[1, 2] # Külön felírjuk az egyenletrendszer y-ra kapott megoldását, hogy később tudjunk hivatkozni

rá.

[ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]) # Kiszámítjuk a szélsőérték helyen a függvény

értékét.

[ > A := pointplot3d([-3, 3, -5], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white)

[ > B := plot3d(f(x, y), x = -5 .. 0, y = 0 .. 5, axes = normal, style = patchnogrid, color = orange, transparency =

.5) # Ábrázoljuk a felületet, a felület forgatásával szemléletesen ellenőrizzük megoldásunk helyességét.

[ > display({A, B})

[ > g(x,y):=x^(3)-y^(3)-2*x*y+6;

[ > gx := diff(g(x, y), x);

[ > gy := diff(g(x, y), y);



[ > solve({gx = 0, gy = 0}, [x, y]);

[ > A := pointplot3d([0, 0, 6], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);

[ > B := pointplot3d([-2/3, 2/3, 170/27], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);

[ > C := plot3d(g(x, y), x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, axes = normal, style = patchnogrid, color = grey);

[ > display({A, B, C});

1.3. Elégséges feltétel

Tétel: A helyi szélsőérték létezésének elégséges feltétele, hogy a másodrendű deriváltakból képezett

kifejezés pozitív legyen, ha a

függvénynek minimuma, ha a függvénynek maximuma van. Ha D < 0 nincs szélsőértéke a

függvénynek, D = 0 esetén csak további vizsgálattal dönthető el a szélsőérték létezése.

Határozzuk meg a következő függvények lokális szélsőértékeit!

[ > f(x, y):=2*x*y-5*x^(2)-2*y^(2)+4*x+4*y-4;

[ > fx := diff(f(x, y), x);

[ > fy := diff(f(x, y), y);

[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]);

[ > n := numelems(gyokok);

[ > gyokok[1, 1];



[ > gyokok[1, 2];

[ > fxx := diff(fx, x);

[ > yy := diff(fy, y);

[ > fxy := diff(fx, y);

[ > d := fxx*fyy-fxy^2;

[ > if d > 0 then print(van*szélsőérték) elif d < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d = 0 then

print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;

[ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);

[ > if fxx > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;

[ > A := plot3d(f(x, y), x = -1 .. 3, y = -1 .. 3, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue);

[ >


Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 1 megoldása van. P (2/3; 4/3; 0), ez valóban

szélsőérték, mégpedig maximum.

[ > f(x, y):=x^(3)+3*x*y+y^(3);

[ > fx := diff(f(x, y), x);

[ > fy := diff(f(x, y), y);





[ > gyokok[1, 1];

[ > gyokok[1, 2];

[ > ertek1 := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);

[ > gyokok[2, 1];

[ > gyokok[2, 2];

[ > ertek2 := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);


[ > fyy := diff(fy, y);



[ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);

[ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then






[ > if eval(fxx, gyokok[2, 1]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;

[ > C := plot3d(f(x, y), x = -3 .. 2, y = -3 .. 2, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue);

[ > A := pointplot3d([0, 0, 0], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);

[ > B := pointplot3d([-1, -1, 1], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);

[ > display({A, B, C});



Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 2 valós megoldása van, ezek közül csak az

egyik szélsőérték, ez maximum a P (-1; -1; 1) pontban.

[ >

[ > fx := diff(f(x, y), x);

[ > fy := diff(f(x, y), y);



[ > gyokok[1, 1];

[ > gyokok[1, 2];





[ > simplify(d);




[ > if eval(fxx, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;




[ > A := plot3d(f(x, y), x = -.5 .. .5, y = -.5 .. .5, axes = normal, style = patchnogrid, color = gold);

[ > B := pointplot3d([0, 0, -1], symbol = solidcircle, symbolsize = 30, color = black);


Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 1 megoldása van. P (0; 0; -1), ez valóban

szélsőérték, mégpedig maximum.

[ > f(x, y):=4*x*y-x^(4)-y^(4);

[ > fx := diff(f(x, y), x);

[ > fy := diff(f(x, y), y);



[ > gyokok[1, 1];

[ > gyokok[1, 2];

[ > gyokok[2, 1];

[ > gyokok[2, 2];

[ > gyokok[3, 1];

[ > gyokok[3, 2];













[ > szelsoertek1 := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);

[ > if eval(fxx, gyokok[2, 1]) ,gyokok[2, 2]> 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;




[ > szelsoertek2 := eval(f(x, y), [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]);

[ > if eval(fxx, [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;

[ > C := plot3d(f(x, y), x = -2 .. 2, y = -2 .. 2, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue);

[ > A := pointplot3d([0, 0, 0], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);

[ > B := pointplot3d([1, 1, 2], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);

[ > E := pointplot3d([-1, -1, 2], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);

[ > display({A, B, C, E});



Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 3 valós megoldása van, ezek közül kettő

szélsőérték, mindkettő maximum a P1 (-1; -1; 128) és P2(1; 1; 128) pontokban.

2. Érintősík

Tekintsük a P0(x0, y0) pontban és környezetében differenciálható f (x, y) függvényt. A P0 ponton átmenő xy síkra

merőleges síkok az f ( x, y) függvény képét (ami felület), különböző síkgörbékben metszik. Bizonyítható, hogy

ezeknek a síkgörbéknek az érintői egy síkban vannak és ezek összességét a felület P0 ponthoz tartozó

érintősíkjának nevezzük. Egy sík két egymást metsző egyenessel egyértelmûen megadható. Az xz, ill. yz

síkokkal párhuzamos síkmetszete a felületnek egy-egy görbe, melynek érintő egyenesei a felület parciális

deriváltjai segítségével meghatározhatók, így az érintősíkot is megadhatjuk. A sík egyenlete általában z = A⋅ x

+ B⋅ y + C alakú. Az érintési pontban a felület és az érintősík parciális deriváltjai megegyeznek, ezért

és , C értéke pedig abból a feltételból számolható ki, hogy az

érintési pont és a felület közös pontja > P0.;

[ > F := plot3d(x^2+y^2, x = -2 .. 4, y = -2 .. 4, style = patchnogrid, color = grey):

G := plot3d(x^2+y^2, x = 1 .. 1, y = -2 .. 4):

A := plot3d(x^2+y^2, x = -2 .. 4, y = 1 .. 1):

B := plot3d(2*x, x = -2 .. 4, y = 1 .. 1):

C := plot3d(2*y, x = 1 .. 1, y = -2 .. 4):

E := plot3d(2*x+2*y-2, x = -2 .. 4, y = -2 .. 4, transparency = .5, color = green, style = patchnogrid):

display({A, B, C, E, F, G});



Tehát egy adott f (x, y) függvény P[0] pontbeli érintőjének felírásakor a következőképpen járunk el:

1. Először kiszámoljuk az adott pont harmadik koordinátáját z0 = f (x0, y0)

2. Majd parciálisan deriváljuk x és y szerint a függvényt, majd a kapott parciális deriváltakba x0, y0 értékének

behelyettesítésével nyerjük az A és a B együtthatókat.

3. Végül C értékének meghatározása következik, abból a feltételből, hogy a felület és az érintősík közös pontja

az adott pont: C = z0 - A ⋅ x0 - B ⋅ y0

Nézzünk meg néhány konkrét példát, először hagyományos módon, utána Maple-ben:

Határozzuk meg az f (x,y) : = x2+2⋅ y2+x⋅ y függvény érintősíkját a P0(1, 1) pontban!

zz0= 12+2⋅ 12+1⋅ 1=4

A parciális deriváltak:

Helyettesítsük be a megadott pont koordinátáit a kapott parciális deriváltakba:

Tehát A = 3 és B = 5 C = 4 - 3⋅ 1 - 5⋅ 1= - 4 Az érintő egyenlete: z = 3 x + 5 y - 4

Ugyanez Maple-ben:

[ > f(x,y):= x^(2)+2*y^(2)+x*y;

[ > x0 := 1; y0 := 1;

[ > z0 := subs(x = x0, y = y0, f(x, y));

[ > fx := diff(f(x, y), x);



[ > A := subs(x = x0, y = y0, fx);

[ > fy := diff(f(x, y), y);

[ > B := subs(x = x0, y = y0, fy);

[ > C := z0-A*x0-B*y0;

[ > z := A*x+B*y+C;

[ > X := pointplot3d([1, 1, 4], symbol = solidbox, color = black, symbolsize = 20);

[ > Y := plot3d({z, f(x, y)}, x = -1 .. 4, y = -4 .. 4, colour = [blue, red], axes = normal, style = patchnogrid);

[ > display({X, Y});

És még egy példa Maple-ben:

[ >

[ > x0 := 1; y0 := 2;

[ > z0 := simplify(subs(x = x0, y = y0, f(x, y)));

[ > fx := diff(f(x, y), x);

[ > A := simplify(subs(x = x0, y = y0, fx));

[ > fy := diff(f(x, y), y);

[ > B := simplify(subs(x = x0, y = y0, fy));

[ > C := z0-A*x0-B*y0;

[ > z := A*x+B*y+C;



[ > X := plot3d(f(x, y), x = -1 .. 3, y = 0 .. 4, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue, transparency = .6);

[ > Y := plot3d(z, x = -1 .. 3, y = 0 .. 4, axes = normal, style = patchnogrid, color = grey);

[ > E := pointplot3d([1, 2, 3], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);

[ > display({E, X, Y});

3. Megoldott feladatok

1. Írja fel az felület érintősíkja egyenletét az x0 = -1, y0 = 1 helyen!

Megoldás:

Az érintősík egyenlete z = Ax + By + C alakú, ahol

Az érintősík egyenlete: z = x - 2y + 2

2. Írja fel a függvény érintősíkja egyenletét a P1(1; 1) helyen!

Megoldás:



Az érintősík egyenlete tehát: z = 3x+5y-4

3. Fennáll-e annak a lehetősége, hogy a függvénynek a helyen helyi (lokális)

szélsőértéke legyen? Igen, vagy nem? Válaszát indokolja!

Megoldás:

Képezzük az első parciális differenciálhányadosokat! Ha ezek eltűnnek a kérdéses pontban, akkor lehet, hogy

szélsőértéke van az adott függvénynek.

Tehát a függvénynek a P pontban nincs szélsőértéke.

4. Írja fel a következő felület érintősíkjának egyenletét x0 = 2, y0 = 1 pontban!

5. Írja fel a következő felület érintősíkjának egyenletét x0 = 1, y0 = 2 pontban!

6. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét:



van szélsőérték!

, ezért a szélsőérték minimum.

7. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét!

Nincs szélsőérték a kapott pontban.


1. Lehet-e szélsőértéke a függvénynek?

2. Írja fel a függvény érintősíkja egyenletét a P 1(1;1)helyen!

3. Fennáll-e annak a lehetősége, hogy a függvénynek a helyen helyi (lokális)

szélsőértéke legyen? Igen, vagy nem? Válaszát indokolja!

4. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét: pontban:

5. Írja fel az alábbi kétváltozós függvény érintősíkjának egyenletét a P (2; - 3) pontban:

6. Milyen típusú szélsőértéke van a következő kétváltozós függvénynek?

7. Írja fel a következő felület érintősíkjának egyenletét x0=1, y0=2 pontban!

8. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét:


Irodalomjegyzék

[1] Ábrahám I., Analízis I, Mozaik Kiadó, Szeged,2005

[2] Ábrahám I., Analízis II, Mozaik Kiadó, Szeged,2005

[3] Ábrahám I., Analízis III, Mozaik Kiadó, Szeged,2005

[4] Baumol, W.,J., Közgazdaságtan és operációanalízis, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1968

[5] Csernyák L. (szerk.), Analízis. Matematika a közgazdasági alapképzés számára, Nemzeti Tankönyvkiadó,

Budapest, 2008, ISBN: 9789631958959

[6] Heck, A., Bevezetés a Maple használatába, JGYF Kiadó, Szeged, 1999

[7] Klincsik M.-Maróti Gy.,Maple, Nyolc tételben a matematikai problémamegoldás művészetéről, Livermore,

2006, ISBN 9630605716

[8] Leindler L., Analízis II, Egyetemi jegyzet, JATE Sokszorosító Üzeme, Szeged,1973, 338/76

[9] Leindler L., Analízis I, Egyetemi jegyzet, JATE Sokszorosító Üzeme, Szeged,1974, 131

[10] Obádovics J. Gy., Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény, Scolar Kiadó, Budapest, 1999

[11] Walter J., Matematika I., PATE Állattenyésztési Kar, Kaposvár, 1995

[12] Laczkovich Miklós - T. Sós Vera Analízis I. II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2006

[13] Knut Sydsaeter Peter I. Hammond Matematika közgazdászoknak, Aula, 2003

[14] Michael Spivak Calculus, Cambridge University Press, 1994