Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 2D, de Eje Recto y de Sección Constante Referida a GDL Orientados Según Ejes Locales

Ecuaciones diferenciales:

01

1

CxFuEAFNuEA+−=−==′

corteflexión vvv +=

( )

2212

3213

261

2132

221

2

132

221

32

CxFGAEICxFxFvEI

FGAEICxFxFvvEIvEI

FVvGA

CxFxFvEIFxFMvEI

s

scorteflexión

cortes

flexiónflexión

+

−+−=

−+−=′+′=′

−=−=′

+−=′⇒−==′′

Nota relativa a los giros en los extremos: s

corteflexión GAF

vvv 2−=′+′=′ θ

En las expresiones siguientes: 2

12LGA

EI

s

=φ

Deformada Condiciones de Borde Fuerzas en GDL

Col

umna

1

sGAF

Lvv

LvvLuu

2)()0(

0)()0(0)(1)0(

−=′=′

====

00

63

52

41

====

=−=

FFFF

LEAFF

Col

umna

2

sGAF

Lvv

LvvLuu

2)()0(

0)(1)0(0)()0(

−=′=′

====

( )

( ) 263

352

41

16112

0

LEIFF

LEIFF

FF

φ

φ

+==

+=−=

==

Col

umna

3

ss GAF

LvGAF

v

LvvLuu

22 )(1)0(

0)()0(0)()0(

−=′−=′

====

( )

LEIF

LEIF

LEI

FF

FF

+−

=

++

=

+=−=

==

φφ

φφ

φ

12

14

16

0

63

252

41

Col

umna

4

sGAF

Lvv

LvvLuu

2)()0(

0)()0(1)(0)0(

−=′=′

====

00

63

52

14

====

=−=

FFFF

LEAFF

C

olum

na 5

sGAF

Lvv

LvvLuu

2)()0(

1)(0)0(0)()0(

−=′=′

====

( )

( ) 263

325

41

16

112

0

LEIFF

LEIFF

FF

φ

φ

+−==

+=−=

==

Col

umna

6

ss GAF

LvGAF

v

LvvLuu

22 1)()0(

0)()0(0)()0(

−=′−=′

====

( )

LEIF

LEIF

LEI

FF

FF

++

=

+−

=

+=−=

==

φφ

φφ

φ

14

12

16

0

63

252

41

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

++

+−

+−

+

+−

++−

+−

−

+−

+−

++

+

++−

++

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

e

φφ

φφφ

φ

φφφφ

φφ

φφφ

φ

φφφφ

14

160

12

160

16

1120

16

1120

0000

12

160

14

160

16

1120

16

1120

0000

22

2323

22

2323

)(K

2

12LGA

EI

s

=φ

Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 2D

∫∫∫ ++=L sLL

dxGAVdx

EIMdx

EANU

222

222

∫∫∫

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∂∂

∂=

L sjiL jiL jijiij GA

dxFV

FV

EIdx

FM

FM

EAdx

FN

FN

FFUa

2

2

32

1

FV

FxFM

FN

=

⇒−=

−=

1

1

1

2

3

2

1

=∂∂

−=∂∂

=∂∂

−=∂∂

FVFM

xFMFN

EAL

FUa =

∂∂

= 21

2

11

( )EI

LGA

LEIL

FUa

s 124

3

33

22

2

22φ+

=+=∂∂

= 2

12LGA

EI

s

=φ

EIL

FFUaa

2

2

32

2

2332 −=∂∂

∂==

EIL

FUa =

∂∂

= 23

2

33

( )( ) ( )

( )

++

+

++==⇒

−

−+

= −

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

EIL

EIL

EIL

EIL

EAL

φφ

φ

φφφ

14

160

16

1120

00

20

21240

00

2

231

2

23

AKA

( ) ( )

( ) ( )

++

+−

+−

++

==⇒

+−−

−−

+= −

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

EIL

EIL

EIL

EIL

EAL

φφ

φφ

φφ

φφ

φφ

φφ

14

120

12

140

00

124

1220

122

1240

00

1AKA

EJES LOCALES Y EJES GLOBALES

Grados de Libertad de la Estructura

Grados de libertad del elemento orientados según ejes locales:

)()()( eee fuK ′=′′

Grados de libertad del elemento orientados según ejes globales:

Proyección de las componentes de desplazamiento y de fuerza:

)()(

)()(

ee

ee

fTf

uTu

=′

=′

)()()()()()()()()( eeeTeeeeee fuTKTfTuTKfuK =′⇒=′⇒′=′′

TKTK )()( eTe ′=

⇓

ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA

)()()( eee fuK ′=′′

)()()( eee fuK =

TKTK )()( eTe ′=

66

545

544

33

212

211

uu

ucucu

ucucuuu

ucucu

ucucu

xy

yx

xy

yx

=′

+−=′

+=′=′

+−=′

+=′

−

−

=

′′′′′′

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

1000000000000000010000000000

uuuuuu

cccc

cccc

uuuuuu

xy

yx

xy

yx

)()( ee uTu =′

66

545

544

33

212

211

FF

FcFcF

FcFcFFF

FcFcF

FcFcF

xy

yx

xy

yx

=′

+−=′

+=′=′

+−=′

+=′

−

−

=

′′′′′′

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

1000000000000000010000000000

FFFFFF

cccc

cccc

FFFFFF

xy

yx

xy

yx

)()( ee fTf =′

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES LOCALES

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

++

+−

+−

+

+−

++−

+−

−

+−

+−

++

+

++−

++

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

e

φφ

φφφ

φ

φφφφ

φφ

φφφ

φ

φφφφ

14

16

012

16

0

16

112

01

6112

0

0000

12

16

014

16

0

16

112

01

6112

0

0000

22

2323

22

2323

)(K

MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO VIGA-COLUMNA 2D CON REFERENCIA A GDL ORIENTADOS SEGÚN EJES GLOBALES

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++

+−

+

+−

++−

++

+

−+

−+

−−

+

−

++

+

−

++−−

++

++−

++

+

−

++

=

LEIc

LEIc

LEI

LEIc

LEIc

LEI

cL

EIcL

EAccL

EIL

EAcL

EIcL

EIcL

EAccL

EALEI

cL

EIcL

EAcL

EIccL

EAL

EIcL

EIcL

EALEIc

LEIc

LEI

SimétricacL

EIcL

EAccL

EIL

EA

cL

EIcL

EA

xyxy

xyyxxxyyx

yxyyxyx

xy

xyyx

yx

e

φφ

φφφφ

φφ

φφφφφ

φφφφ

φφ

φφ

φφ

φ

14

16

16

12

16

16

112

112

16

112

112

112

16

112

112

14

16

16

)(112

112112

2222

23

232

23

23

23

223

23

2

22

23

23

23

2

)(K

PÓRTICO A DOS AGUAS Unidades: t, m E = 2.1 x 107 t/m2 Luz 15 m Altura 6 m a 8.5 m Vigas I = 2 x 10-4 m4

A = 0.005 m2 Columnas I = 1 x 10-4 m4

A = 0.01 m2 Matrices de rigidez de los elementos

−−

−−

−−−−

==

14000350700035003500000350000

350067.116350067.116700035014000350

03500000350000350067.116350067.116

)()( EDAB KK

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

=

21255.3825.1275.10625.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.1273954119645.10625.3825.12721255.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.127395411964

)(BCK

−−−−−−−−−−

−−−−

−−

=

21255.3825.1275.10625.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.1273954119645.10625.3825.12721255.3825.1275.382142039545.382142039545.1273954119645.127395411964

)(CDK

Códigos de ensamble

AB BC CD ED 0 1 4 0 0 2 5 0 0 3 6 0 1 4 7 7 2 5 8 8 3 6 9 9

Matriz de rigidez de la estructura

−−−−−

−−−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

35255.3825.2225.10625.3825.1270005.3823642039545.382142039540005.2223954120805.1273954119640005.10625.3825.127425002555.10625.3825.1275.382142039540284005.382142039545.1273954119642550239275.1273954119640005.10625.3825.12735255.3825.2220005.382142039545.3823642039540005.1273954119645.222395412080

K

Fuerzas aplicadas (t)

−=

00005

0002

f

Desplazamientos (m, rad)

=

3-

4-

1-

3-

1-

1-

2-

4-

-2

10x0.3997310x0.80798-10x0.2030310x0.7699710x0.22119-10x0.1321710x0.34891-10x0.62060-10x0.61080

u

Fuerzas en los elementos

==

2.7469- 2.1721- 0.5086- 0.3046-

2.1721 0.5086

)()()( ABABAB uKf

51.017.2

75.231.0

−=−=

−=−=

AB

AB

BA

AB

VN

MM

==

7.2723 2.1721- 2.5086-

2.7469 2.1721 2.5086

)()()( BCBCBC uKf

27.107.3

27.775.2

=−=

==

BC

BC

CB

BC

VN

MM

==

7.6656- 2.8279

2.5086- 7.2723- 2.8279-

2.5086

)()()( CDCDCD uKf

89.127.3

66.727.7

=−=

−=−=

CD

CD

DC

CD

VN

MM

==

7.6656 2.8279-

2.5086 7.3858 2.8279

2.5086-

)()()( EDEDED uKf

51.283.2

66.739.7

=−=

==

ED

ED

DE

ED

VN

MM

PÓRTICO A DOS AGUAS con cargas uniformemente distribuidas Fuerzas de empotramiento (t, m)

−

=

−

==

6875.475.30

6875.475.30

122

0122

0

2

2)(

0)(

0

LwLw

LwLw

CDBC ff

0ff == )(0

)(0

EDAB

−

−

−−

=−= ∑

6875.475.3

00

5.706875.475.3

0

)(0

e

eff

Desplazamientos (m, rad)

005044000021400137210

00424190

0005044000021400137210

=

..-.

.-

.-

.-

.-

u

Fuerzas en los elementos (t,m)

−−−−

==

863.11500.7366.3333.8

500.7366.3

)()()( ABABAB uKf

36.350.7

86.1133.8

−=−=

−=−=

AB

AB

BA

AB

VN

MM

−=+=

855.70

366.3863.11500.7366.3

)()()(0

)( BCBCBCBC uKff

06.105.6

19.357.5

85.786.11

==−=−=

==

CB

BC

CB

BC

CB

BC

VVNN

MM

−−

=+=

863.11500.7366.3855.7

0366.3

)()()(0

)( CDCDCDCD uKff

05.606.1

57.519.3

86.1185.7

==

−=−=

−=−=

DC

CD

DC

CD

DC

CD

VVNN

MM

−

−

==

863.11500.7366.3333.8500.7366.3

)()()( EDEDED uKf

36.350.7

86.1133.8

=−=

==

ED

ED

DE

ED

VN

MM

HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS DEL ANÁLISIS TRADICIONAL

Matriz de rigidez de elemento columna: 1;0 == yx cc

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

++

+

+−

+−

−

++++−

+−

+

++

+−

−

+−

+−

+−

+

=

hEI

hEI

hEI

hEI

hEA

hEA

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEA

hEA

hEI

hEI

hEI

hEI

columna

φφ

φφφ

φ

φφφφ

φφ

φφφ

φ

φφφφ

140

16

120

16

0000

160

112

160

112

120

16

140

16

0000

160

112

160

112

22

2323

22

2323

)(K

Ignorando deformaciones axiales y de corte:

−

−

−

−−−

=

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

columna

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

)(K

Matriz de rigidez de elemento viga: 0;1 == yx cc

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

++

+−

+−

+

+−

++−

+−

−

+−

+−

++

+

++−

++

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

viga

φφ

φφφ

φ

φφφφ

φφ

φφφ

φ

φφφφ

14

160

12

160

16

1120

16

1120

0000

12

160

14

160

16

1120

16

1120

0000

22

2323

22

2323

)(K

Ignorando deformaciones de corte y suponiendo 41 uu =

−

−

−−−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

viga

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

)(K

PÓRTICO CON CARGA LATERAL

Matrices de rigidez de elementos típicos:

=

LEI

LEI

LEI

LEI

viga42

24)(K

−

−

−

−−−

=

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

hEI

columna

4626

612612

2646

612612

22

2323

22

2323

)(K

Elemento AB: 02EIEI = m6=h Códigos de ensamble

−−−

−−−

=

3333133330666703333033330111103333011110666703333033331333303333.0111103333011110

0)(

....

........

...

EIABK

2100

Elemento BC. 02 EIEI = m6=L

=

3333.16667.06667.03333.1

0)( EICDK

32

Elemento CD. 0EIEI = m3=h

−−−

−−−

=

3333.16667.066670666706667.044440666704444.066670666703333166670666704444.0666704444.0

0)(

....

....

..

EICDK

3100

Matriz de rigidez de la estructura:

=

666672666670666670666670666672333330666670333330555560

0

...

...

...EIK

Matriz de fuerzas de la estructura:

=

00

100f

Desplazamientos:

−−=

765.61647.17

71.2641

0EIu

Fuerzas, viga:

−−

=

=

−−

==

12.9471.64

765.61647.171

3333.16667.06667.03333.1

00

)()()(

CB

BCBCBCBC

MM

EIEIuKf

47.266/)12.9471.64( −=−−=BCV

Fuerzas, columna izquierda:

−

=

=

−

−−−

−−−

==

71.6453.2347.7651.23

647.1771.264

00

1

3333133330666703333033330111103333011110666703333033331333303333.0111103333011110

00

)()()(

BA

B

AB

A

ABABAB

MH

MH

EI............

...

EIuKf

47.26=−= BCAB VN

Fuerzas, columna derecha:

−

=

=

−

−−−

−−−

==

12.9447.7629.13547.76

765.6171.264

00

1

3333.16667.066670666706667.044440666704444.066670666703333166670666704444.0666704444.0

00

)()()(

CD

C

DC

D

CDCDCD

MH

MH

EI..

........

EIuKf

47.26−== BCCD VN

PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS

Matrices de rigidez de elementos típicos:

=

LEI

LEI

LEI

LEI

viga

42

24)(K

=

hEI

hEI

hEI

hEI

columna

42

24

)(K

Códigos de ensamble:

=

66672333313333166672

0)(

....

EIABK 10

=

2000.36000.16000.12000.3

0)( EIBCK

21

=

0000.15000.05000.00000.1

0)( EIBDK

10

Matriz de rigidez de la estructura:

=

2000.36000.16000.18667.6

0EIK

Fuerzas ficticias, viga AB:

−

=

−

=333.53

333.53)(0 LPab

LPabABf

Fuerzas ficticias, viga BC:

−

=

−=

5.625.62

1212

2

2)(

0 wLwLBCf

Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:

−

=−= ∑ 5000.621667.9)(

0e

eff

Desplazamientos:

−

=⇒=862.226621.61

0EIufuK

Fuerzas en GDL del elemento AB (viga izquierda):

−

=+=10.71

45.44)()()(0

)( ABABABAB uKff

56.356/)10.7145.44(40/)(

=−+=++= LMMPV BAABAB

44.448056.352 −=−=−= PVV ABBA

Fuerzas en GDL del elemento BC (viga derecha):

=+=076.77)()()(

0)( BCBCBCBC uKff

55.905/)076.77(75/)(2/

=++=++= LMMwLV CBBCBC

45.5915055.90 −=−=−= wlVV BCCB

Fuerzas en GDL del elemento DB (columna):

−−

=+=66.633.3)()()(

0)( BDBDBDBD uKff

50.2/)( −=+= hMMV DBBDBD

PÓRTICO CON CARGAS DISTRIBUIDAS

Elemento AB: 02EIEI = m6=h

−−−

−−−

=

3333133330666703333033330111103333011110666703333033331333303333.0111103333011110

0)(

....

........

...

EIABK

Elemento BC. 02 EIEI = m6=L

=

3333.16667.06667.03333.1

0)( EICDK

Elemento CD. 0EIEI = m3=h

−−−

−−−

=

3333.16667.066670666706667.044440666704444.066670666703333166670666704444.0666704444.0

0)(

....

....

..

EICDK

Matriz de rigidez de la estructura:

=

666672666670666670666670666672333330666670333330555560

0

...

...

...EIK

Fuerzas ficticias, columna izquierda: Códigos de ensamble:

−−

−

=

−−

−

=

75507550

8/2/8/2/

)(0

PhP

PhP

ABf

2100

Fuerzas ficticias, viga: Códigos de ensamble:

−

=

−=

9090

1212

2

2)(

0 wLwLBCf

32

Ensamble de fuerzas ficticias con signo cambiado:

−=−= ∑

901550

)(0

e

eff

Desplazamientos:

fuK =

−=

971182942041279

1

0 ...

EIu

Fuerzas en los GDL del elemento BC (viga):

−

=+=24.78

59.75)()()(0

)( BCBCBCBC uKff

56.896/)24.7859.75(90/)(2/=−+=

++= LMMwLV CBBCBC

44.9018056.89 −=−=−= wlVV BCCB

Fuerzas en los GDL del elemento AB (columna izquierda):

−−

−

=+=

59.7594.4794.8706.52

)()()(0

)( ABABABAB uKff

56.89−=−= BCAB VN

Fuerzas en los GDL del elemento CD (columna derecha):

−

=+=

24.7894.4759.6594.47

)()()(0

)( CDCDCDCD uKff

44.90−== CBCD VN

VIGA CON TIRANTES Viga: EI=12 000 tm2 Tirantes: EA = 21 000 t

Matrices de rigidez de los elementos:

−−−−

−−

=

−−−−

−−

==

120004500600045004500225045002250

600045001200045004500225045002250

46266126122646

612612

22

2323

22

2323

)()(

LEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEILEI

BCAB KK

−−−−−−

−−

=

−−−−

−−−−

=

185618561856185618561856185618561856185618561856

1856185618561856

22

22

22

22

)(

yyxyyx

yxxyxx

yyxyyx

yxxyxx

DB

cccccccccccccccccccccccc

LEAK

−−−−

−−−−

=

−−−−

−−−−

=

1512201615122016201626882016268815122016151220162016268820162688

22

22

22

22

)(

yyxyyx

yxxyxx

yyxyyx

yxxyxx

BE

cccccccccccccccccccccccc

LEAK

Códigos de ensamble: GDL AB BC DB BE

1 0 1 0 0 2 0 2 0 1 3 1 0 0 0 4 2 0 1 0

Matriz de rigidez de la estructura:

=

24000007868

K

Fuerzas de empotramiento:

−

=

−

==

812

812

122122

2

2)(

0)(

0

wLwL

wLwL

BCAB ff

Matriz de fuerzas

−

=

−

+

−

=−= ∑ 034

024

010)(

0e

easconcentrad fff

Desplazamientos:

−

=0

0043212.0u

Fuerzas en los extremos de cada elemento:

=

−

−−−−

−−

+

−

=+=

445.11277.2445.27723.21

00043212.

00

120004500600045004500225045002250

600045001200045004500225045002250

8128

12

)()()(0

)( ABABABAB uKff

−

−=

−

−−−−

−−

+

−

=+=

445.27273.21445.11

277.2

000

0043212.

120004500600045004500225045002250

600045001200045004500225045002250

8128

12

)()()(0

)( BCBCBCBC uKff

−

−

=

−

−−−−−−

−−

==

0208.80208.80208.80208.8

0043212.000

185618561856185618561856185618561856185618561856

1856185618561856

)()()( DBDBDB uKf

( ) 34.112)( =∆∆+∆∆= yvxu

LEAN DB

−−

=

−

−−−−

−−−−

==

5337.67116.85337.67116.8

00

0043212.0

1512201615122016201626882016268815122016151220162016268820162688

)()()( BEBEBE uKf

( ) 89.102)( =∆∆+∆∆= yvxu

LEAN BE

Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 3D Eje Recto y Sección Constante Referida a GDL Según Ejes Locales (Principales)

2

2

12

12

LGA

EI

LGAEI

sz

yz

sy

zy

=

=

φ

φ

Deformada Fuerzas en GDL

Col

umna

1

LEAFF =−= 71

Fuer

za A

xial

Col

umna

7

LEAFF =−= 17

Col

umna

4

LGJFF =−= 104

Tors

ión

Col

umna

10

LGJFF =−= 410

Deformada Fuerzas en GDL

Col

umna

2

( ) 382 1

12L

EIFF

y

z

φ+=−= ( ) 2126 1

6L

EIFF

y

z

φ+==

Col

umna

6

LEI

F z

y

y

+

+=

φφ

14

6

LEI

F z

y

y

+

−=

φφ

12

12 ( ) 282 1

6L

EIFF

y

z

φ+=−=

Col

umna

8

( ) 328 112

LEI

FFy

z

φ+=−= ( ) 2126 1

6L

EIFF

y

z

φ+−==

Flex

ión

y C

orte

en

el P

lano

X'Y

'

Col

umna

12

LEI

F z

y

y

+

−=

φφ

12

6

LEI

F z

y

y

+

+=

φφ

14

12 ( ) 282 1

6L

EIFF

y

z

φ+=−=

Col

umna

3

( ) 393 1

12

L

EIFF

z

y

φ+=−=

( ) 2115 1

6

L

EIFF

z

y

φ+−==

Col

umna

5

LEI

F y

z

z

++

=φφ

14

5

LEI

F y

z

z

+−

=φφ

12

11 ( ) 293 1

6

L

EIFF

z

y

φ+−=−=

Col

umna

9

( ) 339 1

12

L

EIFF

z

y

φ+=−=

( ) 2115 1

6

L

EIFF

z

y

φ+==

Flex

ión

y C

orte

en

el P

lano

X'Z

'

Col

umna

11

LEI

F y

z

z

+−

=φφ

12

5

LEI

F y

z

z

++

=φφ

14

11 ( ) 293 1

6

L

EIFF

z

y

φ+−=−=

Matriz de Rigidez de Elemento Viga - Columna 3D de Eje Recto y Sección Constante, Referida a GDL Según Ejes Locales

2

12LGA

EI

sy

zy =Φ

2

12

LGA

EI

sz

yz =Φ

Φ+

Φ+

Φ+−

Φ+

Φ−

Φ+

Φ+Φ+

Φ+

Φ+Φ−

Φ+−

−

Φ+Φ+Φ+Φ+−

Φ+−

Φ+Φ+−

Φ+−

−

Φ+

Φ−

Φ+−

Φ+

Φ+

Φ+

Φ+Φ−

Φ+

Φ+Φ+

Φ+−

−

Φ+−

Φ+−

Φ+−

Φ+

Φ+Φ+−

Φ+Φ+

−

=

LzEI

yy

Ly

zEIL

zEI

yy

Ly

zEI

LyEI

zz

Lz

yEIL

yEI

zz

Lz

yEIL

GJL

GJLz

yEI

Lz

yEI

Lz

yEI

Lz

yEILy

zEI

Ly

zEI

Ly

zEI

Ly

zEIL

EAL

EAL

zEI

yy

Ly

zEIL

zEI

yy

Ly

zEI

LyEI

zz

Lz

yEIL

yEI

zz

Lz

yEIL

GJL

GJLz

yEI

Lz

yEI

Lz

yEI

Lz

yEILy

zEI

Ly

zEI

Ly

zEI

Ly

zEIL

EAL

EA

e

14

0002)1(

6012

0002)1(

60

01402)1(

6000

1202)1(

600

0000000000

02)1(

603)1(

120002)1(

603)1(

1200

2)1(

60003)1(

1202)1(

60003)1(

120

0000000000

12

0002)1(

6014

0002)1(

60

01202)1(

6000

1402)1(

600

0000000000

02)1(

603)1(

120002)1(

63)1(

1200

2)1(

60003)1(

1202)1(

60003)1(

120

0000000000

)(K

Matriz de Flexibilidad de Elemento Viga - Columna 3D Eje Recto y Sección Constante Referida a GDL Según Ejes Locales (Principales)

jiij FF

Ua∂∂

∂=

2

∫∫∫∫∫∫ +++++=L sz

z

L sy

y

L z

z

L y

y

L

x

Ldx

GAV

dxGAV

dxEI

Mdx

EIM

dxGJ

Mdx

EANU

222222

222222

3

2

62

53

4

1

FV

FVFxFM

FxFMFMFN

z

y

z

y

x

=

=+−=

+==−=

( )

( )

−

+

−+

=

zz

yy

yy

z

zz

y

e

EIL

EIL

EIL

EIL

GJL

EIL

EIL

EIL

EIL

EAL

A

0002

0

002

00

00000

02

012

400

2000

124

0

00000

2

2

23

23

)(

φ

φ