METODO ACELERADO PARA EL ANALISIS DE

PORTICOS PLANOS

Elaborado por: Ing. Luis Pea Plaza Dr MSc Colaborador: Ing. Roberto Pea Pereira Septiembre de 2004 Coro, Venezuela. e-mail: lumape1@yahoo.com

Pgina e : http://es.geocities.com/lumape1/

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RESUMEN

METODO ACELERADO PARA EL ANALISIS DE PORTICOS PLANOS, Luis Pea Plaza, Roberto Pea Pereira 2004, Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda, Coro, UNEFM, Edo. Falcn, Venezuela. Profesor Titular Jubilado. Area de tecnologa, Programa de Ingeniera Civil, Departamento de Estructura. Se sugiere como nombre: mtodo de anlisis de prticos planos; mtodo de Kani-Takabeta-Pea. En esta propuesta se presenta una metodologa que recoge los procedimientos propuestos por los ingenieros Gaspar Kani, Fukujei Takabeya y en menor contenido el de Hard Croos, integrndolos y redefiniendo algunos trminos. Tambin se pueden considerar o tomar en cuenta, si as se desea, los efectos de: Seccin Variable, extremos rgidos y de corte. Se recoge un resumen de las deducciones de: a) Las ecuaciones de rotacin bases del mtodo, b) Los momentos de empotramiento y c) Las constantes elsticas para las ecuaciones de rotacin. Finalmente se realizan ejemplos para: la determinacin de las constantes elsticas, de los momentos de empotramiento y de aplicacin del mtodo propuesto para prticos con desplazabilidad. Como conclusin se puede afirmar que este mtodo es el ms rpido y expedito que existe en la actualidad en su tipo, por lo tanto puede ser usado manualmente y el usuario puede hacer las simplificaciones que desee de acuerdo a su experiencia. Mas adelante se presentar una aplicacin de este procedimiento para el anlisis dinmico de estructuras, ya desarrollada pero que se est estudiando como mejorarla y acelerarla.

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METODO ACELERADO PARA EL ANALISIS DE PORTICOS PLANOS

1. INTRODUCCION.

Este mtodo est basado en el desarrollado inicialmente por Gaspar Kani

quien naci en octubre de 1910 en Frantztal, Serbia, que fue publicado en el idioma

espaol por primera vez en 1968, en ingls en 1957 y en la propuesta mejorada por el Ingeniero Japons Fukuhei TaKabeya, publicada por primera vez en el idioma

espaol en 1969, siendo su primera edicin en Ingls en 1965. Tambin se incluyen

algunos conceptos desarrollados por Hard Croos En todas las publicaciones

mencionadas se inclua el anlisis para prticos con nodos desplazables. Los

autores, Ing. Luis Pea Plaza en colaboracin con el Ing. Roberto pea Pereira,

proponen adaptaciones y redefinicin de algunos trminos para congeniar,

integrar y actualizar ambas propuestas, poniendo al alcance del estudioso

demostraciones pormenorizadas sobre lo que hemos denominado expresiones o

ecuaciones fundamentales de Kani-TaKabeya-Pea, para las influencias de las

rotaciones de las juntas en los momentos llamadas Mi j y para las influencias en los momentos por los giros de los miembros, columnas, considerados

como cuerpos rgidos, llamadas Mi j .

Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotacin para

una estructura o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Prtico

Plano, por medio de aproximaciones sucesivas que se corrigen tambin

sucesivamente. Por tanto es importante recordar las hiptesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotacin como son: a) El material es homogneo, istropo y se comporta como lineal elstico, es decir, todo el material es de la

misma naturaleza, tiene idnticas propiedades fsicas en todas las direcciones y las

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deformaciones, , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, , que

resiste y el factor de proporcionalidad se llama modulo de elasticidad, E, es

decir,

= E

(Ley de Hooke), b) El principio de las deformaciones pequeas que

seala que una vez cargada la estructura las deformaciones o desplazamientos

lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los puntos de sus miembros son bastantes pequeos de tal manera que la forma de ella no cambia ni

se altera apreciablemente, c) El principio de superposicin de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas totales o finales de la estructura sometida a

un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente, d) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer rden como son: Las deformaciones internas por

flexin siempre, mientras que las por fuerza axial y torsin as como la

existencia de segmentos rgidos se pueden tomar en cuenta o no.

En esta metodologa se seala un procedimiento para tomar en cuenta si

se desea alguna de las tres o todas las consideraciones siguientes: las

deformaciones debidas al corte, los segmentos rgidos en los extremos de los

miembros, as como tambin que los miembros puedan ser de seccin variable

a lo largo de su eje recto. Esto se logra introduciendo sus efectos en la determinacin de las constantes elsticas Ci, Cj y C. Otros efectos como el de torsin puede incluirse en estas constantes dejando al lector tal estudio. La convencin de signos propuesta por Kani y bajo la cual se deducen todas las expresiones a objeto de mantener su propuesta original es la siguiente:

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Para Momentos (M), giro de juntas ( ) y rotacin de miembros ( )

+ Positivos sentido horario o de las agujas del reloj. Esto no quiere decir que no podemos usar la convencin de sentido

contrario como es el de la convencin tradicional de positivos para momentos,

giros de juntas y rotaciones de miembros el sentido antihorario. Esto no altera las expresiones deducidas ya que esto equivaldra hacer el mismo procedimiento con

sentidos contrarios a los indicados en las deducciones, es decir: + . Por lo tanto

podemos utilizar cualquiera de los dos sentidos para la convencin de signos y

ser conveniente indicar la que se utilice cada vez que apliquemos este

procedimiento de clculo.

Llama profundamente la atencin la poca difusin de este mtodo, que a pesar

del tiempo transcurrido desde su publicacin, no haya sido divulgado ampliamente

por autores modernos especialistas en la temtica del Anlisis Estructural. Los

autores no han conseguido hasta la fecha un mtodo de Anlisis Estructural que

supere las ventajas que ofrece, inclusive en comparacin con uno de los mas conocidos el de Hardy Cross, quien naci en 1885 Virginia, U.S.A., publicado por

primera vez en ingls en 1932, desde el punto de vista de lo expedito del

procedimiento, rpida convergencia, buena precisin, prctico, autocorrectivo,

ejecucin manual o automtica. Adems hemos incluido los denominados factores de transporte definidos en el mtodo de Cross para relacionarlos con

este mtodo.

Probablemente la deficiente demostracin que present Kani en su folleto, no

dio garantas a estudiosos de la materia de lo poderoso y de la rigurosidad

matemtica con que se puede demostrar la validez de este mtodo, vaco que creo

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hemos llenado en estas pginas. Este mtodo puede emplearse para anlisis

dinmico de estructuras. Los autores tambin ha desarrollado una versin para

obtener la frecuencia y perodo natural de vibracin de una estructura, que

incluiremos en prximas revisiones.

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2. DEDUCCION DE LAS FORMULAS O ECUACIONES DE ROTACIN PARA UN MIEMBRO DE UNA ESTRUCTURA.

Estas se definen al aplicar el mtodo llamado de los desplazamientos o de

las rotaciones para un miembro cualquiera en una estructura plana, tomando en

cuenta las cinco hiptesis sealadas en la introduccin. Este mtodo es un mtodo

de flexibilidad por que determina factores de flexibilidad que son

desplazamientos producidos por fuerzas unitarias como veremos ms adelante.

Para esto se selecciona un miembro cualquiera, que antes de aplicar a la estructura

un sistema de cargas estar en una posicin inicial y despus de aplicar este

sistema de cargas pasa a una posicin deformada como se indica a continuacin

en la figura 2.1, donde se sealan las deformaciones finales denominadas por i,

rotacin en el extremo i, j, rotacin en el extremo j y i j, rotacin del miembro como

si fuera cuerpo rgido:

Fig. 2.1 Posiciones iniciales y deformadas de un miembro en una estructura.

Por principio de superposicin esta deformada puede ser igual a la suma de

los dos casos siguientes:

xi S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)

y i j j Posicin deformada del miembro y i i j despus de aplicar las cargas.

S.C.L. yi Li j=L(Longitud del miembro)

o x i j Posicin inicial del elemento o miembro.

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Fig. 2.1a Superposicin para deformada de un miembro en una estructura.

De acuerdo al principio de las deformaciones pequeas, se aplica que: la

longitud del miembro no cambia y los ngulos por lo tanto coinciden con el seno o la

tangente del mismo, esto es:

i j = (yj -yi )/L = y / L. = Giro del miembro como si fuera cuerpo rgido ......... (2.1)

En estas figuras 2.1 y 2.1a S.C.L. significa sistema de coordenadas

locales, que estn referidas con relacin al miembro considerado, en el que la

direccin x coincide con la del eje del miembro antes de aplicar las cargas y la direccin oy es perpendicular a ox. Aplicando el principio de superposicin a la

posicin deformada de la figura 2.1a, como se indica en la figura 2.2 siguiente:

Mj i

y i j j Posicin deformada del miembro Mi j i i j despus de aplicar las cargas.

Mi j y Mj i Son los momentos definitivos o finales en los extremos i y j respectivamente, debido al sistema de cargas.

Figura 2.2 Posicin deformada de un miembro en el sistema real.

Esta ser igual por el principio de superposicin, a un miembro de una

estructura totalmente inmovilizada en las juntas, isogeomtrico, con las cargas

xi S.E.

Mj i

+ y i j j y

i En esta posicin j i i j .

S.C.L. xi Las fuerzas en los extremos Mi j

o x son cero al no existir deformaciones internas en el miembro i j.

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existentes o reales mas el de una estructura hipergeomtrica con los

desplazamientos en las juntas iguales al original o real: i i Mj i

+ y MEi j MEj I Mi j i j

Fig. 2.3 Sistemas equivalentes al real por superposicin.

El Segundo sistema de la figura 2.3 anterior ser igual a resolver el siguiente:

i

= jii

Mi j jijj Mj i

Fig. 2.4 Miembro del sistema hipergeomtrico.

y este a su vez ser igual por superposicin a la suma de estos los dos subsistemas

siguientes:

fi i fi j

Mi j + Mj i

1 fj i fj j 1

Sistema (i) Sistema (j) (Momento unitario en el extremo i) (Momento unitario en el extremo j)

Fig. 2.5 Subsistemas del sistema hipergeomtrico.

Para completar la igualdad del sistema real con los dos subsistemas debe

cumplirse adems con las ecuaciones de compatibilidad o deformaciones

consistentes siguientes:

i = Mi j fi, i + Mj i fi, j ..(2.2a)

j = Mi j fj,i + Mj i fj,j .....(2.2b) De donde despejando Mi j y Mj i se obtiene que:

Mi j = )/()()( ji ijjijjiijijijjji ffffff .....(2.3a)

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Mj i = )/()()( ij ijjijjiiijjiiiji fffffj .....(2.3b)

Donde fi. j = fj.,i por ser el material lineal y elstico, segn la Ley de Maxwell o

de Maxwell-Betti de las deformaciones recprocas, que establece la igualdad de las

deformaciones recprocas.

Los trminos f denominados factores de flexibilidad se determinan por el

principio de las fuerzas virtuales o trabajo virtual complementario, resolviendo los sistemas (i) y (j), es decir: fi i fj i

+

1 1/L fj I 1/L 1/L fj j 1/L 1

X 0 L 0 L

0 1 0 1

Sistema (i) Sistema (j) CORTANTE + 1/L + 1/L

V=1/L V=1/L

MOMENTO 1 - + 1

M = -(1-X/L) = -(1- ) M = X/L =

Fig. 2.6 Ecuaciones y diagramas de los subsistemas con carga unitaria.

De acuerdo a esta figura podemos definir como un factor de flexibilidad

genrico, fi j, en la cual i y j son dos direcciones de desplazamientos lineales o angulares genricas cualesquiera en una estructura o miembro, a un

desplazamiento en la direccin j producido por una fuerza unitaria en la direccin i.

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Ahora bien sumndoles a los trminos de momentos Mi j y Mj i definidas en

ecuaciones 2.3a y 2.3b los Momentos de empotramiento respectivos, se obtienen

reordenando trminos e introduciendo las llamadas constantes elsticas Ci, Cj y C, que ms adelante se definen, las expresiones de los momentos definitivos llamadas

ecuaciones de rotacin, como se indican a continuacin:

M i j = MEi j + EKO Ci i + EKO C j - EKO (Ci + C) i j ..(2.4a)

M j i = MEj i + EKO Cj j + EKO C i - EKO (Cj + C) i j ..(2.4b)

De tal manera que si se conoce el momento en alguno de los dos extremos

por ser articulado o cualquier otra razn, por ejemplo si se conoce el Mj i , se despeja de la 2.4b la rotacin j o Eko j y se introduce en 2.4a, de igual manera que si se

conoce el Mi j se despeja de la 2.4a la rotacin I o EKo i y se introduce en 2.4b, es decir:

EKo j = (1/Cj)(Mj i - MEj I) Eko( i C/Cj + i j (Cj + C)/Cj)

EKo i = (1/Ci)(Mji j - MEji j) Eko( j C/Ci + i j (Ci + C)/Ci)

M i j=MEi j + (C/Cj)(Mj i - MEj I ) + EKO ( i - i j)(Ci2-C2)/Cj

M j i=MEj I + (C/Ci)(Mj i - MEj I ) + EKO( j - i j )(Cj2-C2)/Ci

Para miembros de seccin constante y que solo se tomen en cuenta los

efectos de flexin (S.C.) las constantes elsticas toman los valores de: Ci = Cj = 4 y C = 2, las ecuaciones de rotacin sern:

M i j = MEi j + 4EKO i + 2EKO j - 6EKO i j ..(2.4a`)

M j i = MEj i + 4EKO j + 2EKO i - 6EKO i j ..(2.4b`)

M i j = MEi j+ ()(Mj i - MEj i ) +3EKO( i - i j) Para Mj i conocido . ..(2.4c`)

M j i = MEj i+ ()(Mi j - MEi j ) +3EKO( j - i j) Para Mi j conocido . ..(2.4d`)

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Para definir en forma general Ci, Cj y C, en la figura siguiente se presenta un miembro de directriz recta de seccin transversal variable y con segmentos en los

extremos rgidos:

i j A, I A0 , I0

Xi L (X1+X2) Xj

X 0 Xi X (L Xj) L

W =X / L 0 i = ( Xi / L) = X/L j = (L Xj) / L 1

Fig. 2.7 Miembro de seccin cualquiera con extremos rgidos.

Donde:

I , j : Extremos inicial y final del miembro respectivamente. A0 , I0 : Area y momento de inercia de una seccin transversal seleccionada

en un punto arbitrario cualquiera sobre el eje del miembro o valores arbitrarios cualesquiera.

A = ( ) Ao = Area de una seccin transversal cualquiera; ( ) = ley de

Variacin de A.

I = ( ) I0 = Momento de inercia de una seccin transversal cualquiera ;

( ) = Ley de variacin de I.

X i , X j = Longitudes de segmentos rgidos, en extremos i, j respectivamente,

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en estos se considera que el elemento tiene rigidez infinita

L = Longitud total o luz del miembro.

X = Coordenada a lo largo del eje del miembro o abscisa.

= (X / L)=Coordenada a lo largo del eje del miembro o abscisa adimensional.

f = Factor de forma para la distribucin de los esfuerzos de corte.

E = Modulo de elasticidad longitudinal.

G = Mdulo de corte o de elasticidad transversal.

v = Influencia o efecto de las deformaciones de corte en los

coeficientes elsticos.

Se denominan coeficientes o factores elsticos i , j y y son dependientes

o estn relacionados con los factores de flexibilidad fi i , fj j y fi j respectivamente a

las siguientes expresiones de integrales definidas:

)5.2()//( 2 bdLEIf vojjjL

jXL

LiX

)5.2()//( 2)1( adLEIf voiiiL

jXL

LiX

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)5.2()//()//( )1( cdLEIfLEIf voijojiL

jXL

LiX

)5.2()(2 dL

jXL

LiX

o

o dLGAfEI

v

En las tres primeras expresiones

i ;

j ;

el trmino

corresponde

al efecto por corte y el otro a los efectos por deformaciones a flexin.

De tal manera que las constantes elsticas Ci , Cj , y C empleadas en

las ecuaciones de KANI y de rotacin vienen dadas por las expresiones :

Ci = j / ( i j

2 ) ..(2.6a) ; Cj = i / ( i j

2 ) ..(2.6b) ;

C =

/ ( i j

2 ) ..(2.6c)

2.1 EJEMPLO PARA DEFINICION DE Xi y Xj :

En el siguiente ejemplo note que los extremos rgidos estn en la zona comn de dos elementos. De igual manera puede considerarse los extremos rgidos en el

elemento vertical.

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* i j *

X * Zona de adicionales extremos rgidos

Xi Xj en columnas.

Fig. 2.8 Miembro horizontal unido a dos elementos verticales.

NOTA: Los mtodos que utilizan Las ecuaciones de rotacin como son el

mtodo de las rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran mtodos de

rigidez ya que en ellos las incgnitas son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los niveles, aunque

indirectamente se utiliza el mtodo de las fuerzas para obtener sus expresiones

y las ecuaciones de momentos de empotramiento. El mtodo de flexibilidad

aplicado a una estructura cualquiera no es prctico ya que cualquier estructura

comn indeterminada tiene muchos sistemas primarios isostticos, mientras

que la rigidez de cualquier miembro y toda una estructura es nica.

2. EXPRESIONES PARA DETERMINAR EN LOS EXTREMOS DE UN

MIEMBRO LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO.

Dado el elemento en la siguientes figura con extremos empotrados, inamovibles:

S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera) i j MEi j MEj i

Fig. 3.0 Caso General.

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Aplicando el mtodo de las fuerzas, seleccionando un sistema primario

isosttico eliminando las fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos

de empotramientos MEi j y MEj i se puede establecer que este caso ser igual

utilizando el principio de superposicin a la suma de los tres casos indicados en la

siguiente figura:

fi,0 S.E. fi,i

+ MEi j

fj,9 1 fj,i

Sistema ( 0 ) Isosttico. Sistema (i) Fi,j

+ MEj i

fj,j 1

Sistema (j) Fig. 3.1 Casos equivalentes por el mtodo de las fuerzas.

Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones de compatibilidad

de deformaciones o deformaciones consistentes, es decir, las deformaciones en el

sistema original en los extremos del miembro deben ser iguales por el principio de

superposicin a las sumas correspondientes a los tres sistemas, como es:

0 = fi, 0 + MEi j (fi,i) + MEj I (fi,j ) .....(3.1a) 0 = fj,0 + MEi j (fj,i) + MEj I ( fj,j ) ..(3.1b) donde los valores f i j son los que hemos llamado anteriormente factores de flexibilidad y estos son siempre

deformaciones o desplazamientos, de tal manera que uno de ellos es la deformacin

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en la direccin de i producido por una fuerza unitaria en la direccin j. En el caso de fi,0 y fj,0 son las deformaciones en las direcciones i,j respectivamente producidas en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas ecuaciones de compatibilidad se resuelven obtenindose:

1) Los factores de flexibilidad f por medio del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera que el sistema virtual con fuerza unitaria ser el que indica el primer

subndice y el otro sistema es el que corresponde al segundo subndice.

2) Despejar los Momentos de empotramiento ME de 3.1a y 3.1b, obtenindose las siguientes expresiones si se toman en cuenta los efectos de flexin y corte:

)2.3()()(

)()(1

20

2

adww

VLGAfEIdw

w

wMC

dww

VLGAfEIdw

w

wMCiM

L

XL

LX

O

O

OLXL

LX

L

XL

LX

O

O

OLXL

LX O

Eji

j

i

j

i

j

i

j

i

)2.3()()()1(

)()(

20

20

bdww

VLGAfEIdw

w

wMC

dww

VLGAfEIdw

w

wMCjM

LXL

LX

O

O

OLXL

LX

LXL

LX

O

O

OLXL

LX

Eij

j

i

j

i

j

i

j

i

Donde MO y VO corresponden a las expresiones de Momento y Corte en

el sistema ( 0 ) isosttico. Cuando se trabaja manualmente se pueden despreciar efectos de

extremos rgidos y de corte ( VO ) hacindolos iguales a cero, es decir: Xi = Xj = VO = 0

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Si se tiene el caso particular articulado en uno de los extremos

se puede

proceder, aplicando el principio de superposicin como se indica en la siguiente

figura:

S.E. S.E.

i j i j MoEi j MEi j MEj i

Caso un extremo articulado Caso empotrados ambos extremos

+ i j MEj i (C/Cj) MEj i Caso un extremo articulado con Momento aplicado en extremo articulado de signo o

sentido contrario al anterior.

Fig. 3.2 Caso del Momento de empotramiento con un extremo articulado.

POR TANTO EL MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PARA UN EXTREMO

ARTICULADO SER CONOCIDO Y PARA EL EXTREMO EMPOTRADOS SERA: MoEi j = MEi j MEj i (C/Cj ) (Articulacin en extremo j ) ..(3.3a) y de manera

similar con el extremo i articulado se obtiene:

MoEj i = MEj i MEi j (C/Ci ) (Articulacin en extremo i ) ..(3.3b) OJO CON LOS SIGNOS: RECUERDE QUE EN ESTAS ECUACIONES 3.3a y

b LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS MEi j, MEj i SE COLOCAN CON SU

SIGNO, positivo contrario a las agujas del reloj o negativo en el sentido de las agujas del reloj, o puede trabajar con la convencin contraria, positivo en el sentido de las agujas del reloj si esta ha sido su seleccin personal.

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Estas expresiones tambin pueden obtenerse directamente a partir de las

expresiones 2.4c y 2.4d respectivamente, haciendo i = j = f i j = 0 y Mj i = 0 (3.3a) para articulacin en j o Mi j = 0 (3.3b) para articulacin en i. NOTA EN EL CASO PARA S.C. : C/Ci = ri j = C/ Cj = rj i = 1/ 2 (Usualmente llamado en el mtodo de Cross como FACTOR DE TRANSPORTE del momento

en el extremo i de un miembro al extremo j del mismo miembro o del momento en el extremo j al extremo i respectivamente.)

3.1 FORMULA PARA INTEGRACION NUMERICA:

Pueden emplearse la frmula siguiente (3.4):

Del trapecio: )(21)0(

21)()(

0Nffif

Nab

xfNi

i

b

a o tambin puede utilizarse

cualquier frmula estudiada en clculo numrico como la de Simpson o de Romberg.

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4.1 Ejemplo de clculo de constantes elsticas y momentos de empotramiento para un miembro de seccin variable:

Determinar los momentos de empotramiento y constantes elsticas,

despreciando el efecto de corte, sabiendo que el modulo de elasticidad del material

es E es de 210.000Kg/cm2 (2.100.000Ton/m2), para el siguiente elemento: 5Ton/m

2T/m 0T/m

54cm 60cm

100cm

Curva parablica

15,75cm 0,9725m1,02m 2,00m 2,00m 15cm Nota: En la prctica por condiciones

constructivas 15,75cms son

15 16cms, 0,9725cms son

50cm 35cm 0,97 98 100cms

50cm y 1,02m son 1,00m

1,02m.

Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y m.

Determinacin de los coeficientes o factores elsticos i , j y

(L-xj)/L = (6,3m-0,15)/6,30m = 0,9762 ; xi /L = 0,1575 /6,30 = 0,025 Coordenada en punto de cambio de seccin: 2,15m/6,30 m = 0,3413

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Determinemos

i segn expresin 2.5a, para lo cual hay que dividir la

integracin en tantas como leyes o frmulas de variacin de inercia se tenga,

en este caso son dos, es decir:

02 dL

jXL

LiX

i = d3413,0

025,0

2

+ d9762,0

3413,0

2

Deduccin de ( ) para coordenada entre 0,025 y 0,3413:

1,00m b

B 0,35m

0,325m b

x 0,1575m 1,13m 2,15m

0,025 0,17937 0,3413 b = 0,325 (0,325/(0,3413-0,025))( -0,025)

b = 0,35069-1,02751

Verificacin para: =0,025 b=0,325 y para =0,3413 b=0

B = 0,35+2b = 1,05138-2,05502

0,75m 0,60m

1,00 H = a 2 + c + e H=1=0,0252a+0,025c+e

H=0,75=0,179372a+0,17937c+e

H=0,60=0,34132a+0,3413c+e

Resolviendo este sistema de ecuaciones para a,c y e resulta :

H=2,15464 2 2,05387 + 1,05

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Verificando esta para: =0,025 H=1,00; =0,17937 H=0,75m ; =0,3413 H=0,60

Por lo tanto: I = B H3 /12 = (1,0514-2,055 )(2,1546 2 2,0539 + 1,05) 3/12 m4

Si seleccionamos I0 el menor, es decir para = 0,3413

Io = = 0,35X0,603/12 = 0,0063m4 y A0 = 0,35x0,60= 0,21m2 , por lo tanto:

063,01212120

3

0

033 IBH

IIBHBHI esto es:

I = (1,0514-2,055 )(2,1546 2 2,0539 + 1,05) 3 Io/(12x0,0063) m4

I = (13,9074-27,1825 )(2,1546 2 2,0539 + 1,05) 3 Io m4 = a( ) I0 De igual manera se tiene que:

A=BHXA0/A0=(1,0514-2,055 )(2,1546 2-2,0539 +1,05)A0/0,21 A = ( ) A0 De igual manera ( ) y ( ) para entre 0,3413 y 0,9762 (=6,15/6,3) :

I =0,35X0,603/12 =0,0063m4=0,0063 Io / 0,0063 = Io = Seccin constante por lo tanto

( )=( )= 1

Determinacin de las integrales para obtener los factores elsticos i ; j y

segn

las expresiones 2.5a, 2.5b y 2.5c respectivamente y as poder obtener las

constantes elsticas, Ci , Cj y C segn 2.6a, 2.6b y 2.6c esto es:

i = d

3413,0

025,0

2

+ d9762,0

3413,0

2

= df

3413,0

025,0 + d

9762,0

3413,0

2 =

La primera integral la evaluaremos por integracin numrica, dividiendo en cuatro

intervalos iguales, es decir (0,3413-0,025)/4, y la segunda es una integral conocida: ((0,3413-0,025)/4)( f( 1)+f( 2)+f( 3)+(f( 0)/2)+(f( 4)/2)) + (0,97623 0,34133)/3 = Donde: 0 = 0,025; 1=0,025+(0,3413-0,025)/4 = 0,3413+0,079075=0,1041;

23

2= 1+0,079075=0,1832; 3=0,2622; 4=0,3413 , de tal manera que se obtiene:

i = (4.724,8/2+154.048,1+905.385,9+3.533.431,9+11.648.537,1/2)x10-8x0,079075+

0,296843 = 0,104.194.968.5x0,079.075 +0,296843 =

0.008.239.217 + 0,296843 = 0,30508

Si dividimos el intervalo en 10 espacios en lugar de 4 se obtiene:

0 = 0,025; 1=0,025+(0,34130,025)/10 = 0,025 + 0,03163= 0,05663;

2 = 0,05663+0,03163= 0,08826; 3 = 0,08826+0,03163=0,11989;

4 = 0,15152; 5 = 0,18315; 6 = 0,21478; 7 = 0,24641; 8 = 0,027804;

9 = 0,30967; 10 = 0,3413

I =(4.724,8/2+11.648.537,1/2+31.158,7+97.485,9+232.083,3+478.859,0+904.524,0

+1.609.123,7+2.741.869,2+4.526.741,3+7.308.660,2)x10-8x0,03163+ 0,296843 = 7.514x10-6+0,296843 = 0,30436 muy poca diferencia entre 4 y diez intervalos,

0,24%, debido a que el tramo ms largo es de seccin constante, lo que lo hace el

ms importante en la integral de las . Las otras constantes elsticas i y

tendrn

los siguientes valores:

j =(0,071866x0,5+0,086467+0,104029+0,125070+0,150159+0,179925+0,215072+

0,256449+0,305209+0,363206+0,433885x0,5)x0,03163+(0,9762-0,3413) (0,97622 0,34132)+(0,97623 0,34133)/3 ) = 0,1597389 = 0,15974

= (0,001842x0,5+0,005191+0,010071+0,017037+0,026815+0.040342+0,058828+

0,083854+0,117542+0,162928 +0,224814x0,5)x0,03163+((0,97622 0,34132)/2) ((0,97623-0,34133)/3) = 0,1415119 = 0,14151

Por lo tanto las constantes elsticas, Ci , Cj y C y otros valores relacionados con

ellas tendrn los siguientes valores:

( i j - 2) = 0,30436x0,15974 0,141512 = 0,02860

24

Ci = i /( i j - 2) = 0,30436/0,02860 = 10,6420

Cj = j /( i j - 2) = 0,14151/0,02860 = 5,5853

C =

/( i j - 2) = 0,14324/0,02820 = 4,9479

Ci / C = 10,6420/4,9479 = 2,1508 ; Cj / C = 5,5863/4,9479 = 1,1288

Determinemos la ecuacin del Momento en el sistema 0 (M0) isottico: Primero debemos encontrar las reacciones en los extremos del miembro, por

medio de las ecuaciones de equilibrio, suma de fuerzas y momentos iguales a cero

en cualquier punto.

5Ton/m Para hallar la reaccin Vj tomamos momentos

2T/m 0T/m en el extremo i :

+ M1 = 0 = Vj x 6,3m

i j (52)X(1,9925/2)X(0,1575+(1,9925/3)) Vi Vj 2X(1,9925)X(1,9925/2 + 0,1575) (2X2)X(2,15+1)(2X2/2)X(4,15+2/3) = 15,75cm 1,9925m 2,00m 2,00m 15cm Vj X 6,3m 29,28678T-m = 0

x = 0,0 0,1575 2,15 4,15 6,15 6,30 Vj = 4,6487 Ton =x/L 0,0 0,025 0,3413 0,6587 0,9762 1,0 Para encontrar Vi , por suma de

fuerzas verticales:

+ Fv = 0 = -(5+2)X(1,9925/2)- 2X2 - 2x2/2 +Vi + Vj es decir,

-12,97375 + Vj + Vi = 0 por lo tanto Vi = 12,97375-4,6487 = 8,3251 Ton

Hay que encontrar la ecuacin de M0 en los tres intervalos que varia la

carga, efectuaremos para de estos tres tramos de la siguiente manera:

Ecuacin de M0 para x entre 0,1575 y 2,15m ( entre 0,025 y 0,3413 respectivamente) : La ecuacin de la carga aplicada q0(x) es:

25

5T/m +

q0(X) 2T/m Convencin de signos positivos 0,1575m 1,9925m

x 0.1575m 2,15m 8,3251Ton

0,025 0,3413

)1575,0)(9925,1/3(5)( 15,2 1575,00 xxq

De tal manera que la expresin del momento es:

2/)1575,0)((3/)1575,0(22/)1575,0()(53251,8)( 20015,2 1575,00 xxqxxxqxxM

15,21575,00 )(xM =8,3251x +(x-0,1575)3/(3,985)-2,5(x-0,1575)2

Para llevarla a trminos de la variable , como sabemos = x / L por lo tanto:

x = L = 6,3 , sustituyendo esta expresin en esta ecuacin de momentos da:

3413,0025,00 )(M =8,3251 6,3 +(6,3 -0,1575)3/(3,985)-2,5(6,3 -0,1575)2

Las ecuaciones de momentos alternativamente tambin se pueden obtener

por integracin, recuerde que al integrar la carga q(x) se obtiene el corte V(x) y al integrar este cortante se obtendr el momento flector M(x). Veamos a continuacin:

3251,8)1575,0)(9925,1/3(5)1575,0()()(1575,0001575,0 0

15,21575,00

xx

dxxVdzxqxV

26

1313.92371,57528,01313,9)1575,02

(5057,15)(

3251,8)1575,02

(5057,15)(

22

15,21575,00

1575,0

215,21575,00

xxxx

xxV

xx

xxVx

xx

XdxxxMxVxM1575,0

2

1575,0 0015,21575,00 1575,03251,81313,92371,57528,0)1575,0()()(

3112,11313,922371,537528,0)( 1575,02315,2

1575,00

x

xxxxM

06301313,922371,537528,0)(2315,2

1575,00 xxxxM Verifiquemos los resultados

de esta ecuacin con la anterior en x=2,15m ya que deben dar iguales, es decir:

M0(X=2,15) = 0,7528/3X2,153-5,2371/2X2,152+9,1313X2,15 - 0,063 = 9,9589 T-m M0(X=2,15) = 8,3251X2,15 + (2,15-0,1575)3/(3,985) - 2,5X(2,15-0,1575)2 =9.9589 Ecuacin de M0 para x entre 2,15m y 4,15m ( entre 0,3413 y 0,6587 respectivamente) : La ecuacin de la carga aplicada q0(x) es: 2T/m

M2,15 q0(x) = 2Ton/m Obtuvimos anteriormente: V2,15 2,00m M2,15 = 9,9589 Ton-m

x 2,15m 4,15m Detal manera que V2,15 es:

0,3413 0,6587 V2,15 = 8,3251-((5+2)/2)X1,9925 = 1,3514 T. mTonxq /2)( 15,4 15,20 , de tal manera que la expresin del momento es:

2,4309 X 5,6514 X- /22,15)-(X 2- 9,9589 2,15)-(X 1,3514 )( 2215,4 15,20 xM

Para llevarla a trminos de la variable , como sabemos = X / L por lo tanto:

x = L = 6,3 , sustituyendo esta expresin en la ecuacin de momentos

27

4309,2)3,6(6514,5)3,6()( 26587,0 3413,00 xM

Ecuacin de M0 para x entre 4,15m y 6,15m ( entre 0,6587 y 0,9762 respectivamente) : La ecuacin de la carga aplicada q0(x) es: 2T/m

M4,15 M4,15 = Sustituyendo en expresin anterior

V4,15 2,00m = -4,152 + 5,6514X4,15 + 2,4309 = 8,6617 T-m

x 4,15m 6,15m 0,6587 0,9762 V4,15 = V2,15 2X2 = 1,3514 4 = -2,6486T.

mTonxxxq /)15,6(15,4)(2/2(2)( 15,6 15,40 , de tal manera que la expresin del

momento es:

)15,4)(3/2(2/)15,4()(26617,8)15,4(6486,2)( 0015,6 15,40 xxxqxxM

3/)15,4(6617,8)15,4(6486,2)( 315,6 15,40 xxxM

4779,438711,1915,43

)( 23

15,615,40 xx

xxM

Para llevarla a trminos de la variable , como sabemos = x / L por lo tanto:

x = L = 6,3 , sustituyendo esta expresin en la ecuacin de momentos resulta:

4779,43)3,6(8711,19)3,6(15,43

)3,6()( 23

9762,06587,00M

Dejaremos al lector como ejercicio la determinacin de los momentos de empotramiento en los extremos aplicando las expresiones antes descritas y por

integracin numrica. Tambin seran necesarias las ecuaciones del corte si se

quieren tomar en cuenta los efectos del cortante en los momentos de

empotramiento, se deja tambin al lector esto como ejercicio para que compare que diferencia existe si se toman en cuenta o no estos efectos.

28

5. DEDUCCION DE ECUACIONES FUNDAMENTALES DE KANI.

5.1 EXPRESIONES PARA ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS EJE RECTO Y

SECCION CUALQUIERA O CONSTANTE.

Sea la ecuacin de rotacin para un miembro definida anteriormente en 2.4a,

es decir: M i j = MEi j + EKO Ci i + EKO C j - EKO (Ci + C) i j ..(2.4a)

Redefinamos algunos trminos para proceder segn metodologa propuesta

por KANI de la siguiente manera:

K i j = KO C = IO C .........(5.1)

2 Li j 2

Mi = 2E i = Participacin en los momentos por influencia del giro i de la junta i, en los extremos i de los miembros que llegan a ella .....(5.2a)

Mj = 2E j = Participacin en los momentos por influencia del giro j de la junta j, en los extremos j de los miembros que llegan a ella ...(5.2b) Mi j = Mj i = 6E i j = Participacin en los momentos en los extremos i y j del miembro i j por influencia de la rotacin o giro i j del miembro i j

. ............................(5.2c)

Por lo tanto de 5.1:

KO = (2 K i j ) / C .....(5.3a) o lo que es lo mismo:

KO = (IO / Li j ) (2/C) .....(5.3b) donde: IO = Inercia de una seccin de referencia para el miembro considerado, en un punto cualquiera del eje del miembro, usualmente la menor o en el centro del tramo, o si el miembro es de seccin constante es la inercia de esta seccin. Esta inercia puede referirse con relacin a un valor cualquiera arbitrario seleccionado para toda la estructura. Li j = Longitud del eje del miembro, o para simplificar simplemente = L

De tal manera que si el miembro es de seccin constante, no tiene extremos rgidos y no se toman en cuenta los efectos de corte se tiene que C = 2 por tanto:

K i j = KO (2/2) = KO ...............................................(5.3b)

29

Sustituyendo estas expresiones 5.2a, 5.2b, 5.2c y 5.3a en 2.4a se obtiene que el Momento definitivo o final M

i j , en el extremo i de un miembro i j resulta ser: M

i j = ME i j + Ki j Mi Ci + Mj Ki j + Ki j Mi j (Ci + C) ...............(5.4a) C 3C

De igual manera se obtiene la expresin del momento en el otro extremo Mj i es decir:

M j i = ME j i + Ki j Mj Cj + Mi Ki j + Ki j Mi j (Cj + C) ...............(5.4b)

C 3C

Ci/C y Cj/C son los inversos de lo que se denominan en el mtodo de Cross como Factores de Transporte ( ri j = C/Ci) del Momento de i para j y ( rj i = C/Cj) del Momento de j para i respectivamente.

Kani defini el siguiente trmino como Factor de correccin para Mi j

bi = (Ci+C)/ (3C)

Consideremos el caso de un miembro cualquiera ( i j ) de una estructura y su deformada final, para el cual aplicando el principio de superposicin se puede indicar

sus efectos totales reales como la suma de varios casos aislados:

Mj i S.E. (Solicitaciones o acciones externas)

i j Los Momentos en los extremos son los

Deformada

j j , j definitivos o finales, Mi j y Mj i , y estos

i i extremos giran i j y se desplazan linealmente,

Mi j i L produciendo el giro o rotacin del miembro i j

Caso: Sistema original real .

Aplicando el Principio de Superposicin de Efectos este caso ser igual o

puede expresarse como la suma de los cuatro casos siguientes vea las ecuaciones

de rotacin modificadas segn KANI 5.4a y 5.4b :

30

S.E.

j MEj i Las Fuerzas en los extremos se denominan de empotramiento, que impiden que las juntas

se desplacen linealmente o giren, entre ellas estn

i i = j = i j = 0 los Momentos de Empotramiento, MEi j MEj i ,

MEi j que impiden que las juntas giren o roten. Caso: Sistema ( 0 ) Miembro con Juntas inmovilizadas.

j Ki j Mi j Ki j Mj ( Cj / C )

j = i j = 0 i = i j = 0

i i Caso: Sistema (1) i Caso: Sistema (

2

)

Ki j Mi ( Ci / C ) Influencia del giro i

Ki j Mj Influencia del giro j

j = 0 j Ki j Mj i (Cj + C) / (3C)

i j Mi j = Mj i

j

i i = 0 Caso: Sistema (3) Influencia del giro del miembro ( i j )

i

Ki j Mi j (Ci+C) / (3C)

El sistema (0) se suele llamar sistema primario con Momentos de Empotramiento en los extremos (ME ), y al conjunto de los sistemas o subsistemas (1),(2) y (3) se denomina usualmente Sistema Complementario,

31

que toman en cuenta los giros de las juntas i ,

j , y rotacin del miembro

como cuerpo rgido i j .

5.1.2 INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS (Mi ) DEBIDO A

LOS GIROS O ROTACIONES EN LAS JUNTAS i .

Si en una junta i cualquiera aplicamos la condicin de equilibrio, es decir, suma de todos los momentos M i j segn 5.4a de todos los miembros o elementos

que llegan a ella resulta:

M i j =

MEi j + Ki j Mi (Ci/C) + Ki j Mj +

Ki j Mi jj (Ci + C) / 3C = 0 (i ) (i ) (i ) (i ) (i ) Despejando el trmino

Ki j Mi (Ci/C) se obtiene:

(i )

Ki j Mi (Ci/C) = [

MEi j +

Ki j Mj +

Ki j Mi j (Ci + C) / 3C ] ........(5.5) (i ) (i ) (i ) (i )

Si multiplicamos las expresiones (5.2a) por Ki j Ci /C de cada uno de los mismos y todos los miembros que llegan a la junta i considerada y se suman todas ellas se obtiene:

Mi Ki j Ci =

2 E i Ki j Ci y debido a que todos los extremos de los miembros que (i ) C (i ) C

llegan a la junta i, continua y rgida, giran en cada caso el mismo ngulo de giro i ,

se puede decir que:

Mi Ki j Ci

= 2E i Ki j Ci Despejando 2E i que es Mi

(i ) C (i ) C

segn se defini en (5.2a) resulta que: Mi = ___1 ____

Mi Ki j (Ci)

K i j (

Ci) (i ) (C)

(i ) (C)

y colocando el valor del numerador segn (5.5) en esta y designando parmetros similares a los propuestos por Kani se obtiene lo que denominamos como:

32

EXPRESION FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA PEA PARA Mi Mi = i [ M i + Ki j Mj +

Ki j Mi j b i ] ...............(5.6a)

(i ) (i )

Donde: i = 1 .....(5.6b) Se le llama factor de giro

2 Ki j (Ci)

(i ) 2C de la junta considerada.

M i =

MEi j ....(5.6c) y se le denomina Momento de

(i )

Sujecin del nodo o junta i, que impide el giro del mismo.

b i = (Ci + C) / (3C) ......(5.6d) es el factor de correccin para las

influencias Mi j , de los momentos debidos a los giros de los miembros

i j , para

miembros de seccin variable, con o sin extremos rgidos y/o con o sin efectos por

corte.

Si todos los miembros que llegan a una junta i son de SECCION CONSTANTE, sin extremos rgidos y no se toman en cuenta los efectos de corte, entonces los

valores de las constantes elsticas son:

Ci = Cj = 4 ; C = 2, resulta entonces que:

bi = bj = 1 ; i = 1 1 ........... (5.5e)

2

K i j

(i )

33

5.1.3 MODIFICACION DE LA RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON

EXTREMOS ARTICULADOS.

De la expresin de la ecuacin de rotacin para miembros de seccin variable

para un extremo articulado considerando solo la influencia o trmino con i :

Este momento es EK o i ( Ci C 2 ) y como K O = (2K i j )/C, entonces

Cj

tambin ser igual a = (Ci Cj C 2

) 2EK i j

i .....(5.6a) Llamemos a esta Cj C K

i j como Koi j

i j i

y si ambos extremos son continuos este momento segn expresin (5.4b) y caso: sistema1 anterior ser igual a K

i jMi (Ci) / (C ) , y como segn ecuacin (5.2a)

Mi = 2E i , es decir este momento para ambos extremos continuos ser igual a

2EK i j i Ci / C ......(5.6b)

i i j

Igualando estos dos momentos (5.6a) = (5.6b) resulta que la rigidez Koi j de un miembro articulado deber multiplicarse por un factor para obtener y usar en los

clculos una rigidez equivalente K i j como si el miembro tuviera ambos extremos

continuos o rgidos, es decir:

K i j = Koi j ( 1 C2

)

= Koi j ( 1 r i j r j i ) =KoC (1 - ri j rj i) .......(5.7a) Ci Cj 2

Donde usualmente ri j = C/Ci = Factor de transporte (Definido as por Hardi Cross en su mtodo de anlisis estructural) de Momentos

34

desde la junta i para la junta j o simplemente factor de transporte de i para j. rj i = C/Cj = Factor de transporte de j para i.

ijji rrCiCjC 11

2

Factor de correccin para rigidez

modificada por extremo articulado. .......(5.7b) De tal manera que si la SECCION ES CONSTANTE sin extremos rgidos y

se desprecian los efectos por deformaciones de corte:

Ci = Cj = 4 ; C = 2; r i j = rj i = 1/2 ;

K i j = (3/4) Koi j .............(5.7c)

5.1.4 INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, Mi j ,

DEBIDO A LA ROTACION O GIRO DE LOS ELEMENTOS i j .

En el caso de prticos solo los elementos verticales o columnas son los que

sufrirn giro de miembro , ya que los extremos de los elementos horizontales se

trasladan horizontalmente sin que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo

tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las columnas son los nicos elementos de

los sistemas estructurales aporticados que tendrn influencias Mi j en los

momentos extremos. Esto partiendo de la hiptesis de las ecuaciones de rotacin

que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas

axiales.

Este efecto de traslacin por desplazamientos horizontales que sufren las

juntas de un prtico se denomina usualmente desplazabilidad lateral o simplemente

35

DESPLAZABILIDAD. Recordemos que este mtodo resuelve el sistema de

ecuaciones rotacin para toda la estructura, por lo tanto se cumplen las bases del

mtodo de los desplazamientos, que descompone los efectos del sistema real en la

suma de los efectos de otros dos como indicamos a continuacin:

S.E. Este sistema real, con sus solicitaciones

Existen externas cualesquiera (S.E.), Hipergeomtrico,

i , j , i j es decir, un sistema con grados de libertad,

que son desplazamientos independientes, G.D.L.

mayores que cero. En ste existen juntas que

sufren giros o rotaciones

(Desplazamientos

angulares) y/o desplazamientos lineales, G.D.L.

0 que provocan en algunos miembros, como

indicamos al principio de este punto, en las

columnas, giros como cuerpos rgidos,

i j . Los momentos en los extremos de

cada miembro se llaman usualmente momentos finales o reales, Mi j .

Los efectos o resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio

de Superposicin como la suma de los efectos de los dos sistemas que indicamos a

continuacin:

36

S.E. HEi +1

HEq i +1

i , j , i j = 0 ( son conocidos) HEi HEq i

HEqi = HEi

HEi-1 +

HEq i -1

G.D.L. = 0 G.D.L. 0

Sistema isogeomtrico; Sin grados de libertad, Sistema hipergeomtrico;

(G.D.L.=0), sin desplazamientos en las juntas, llamado Complementario, con las

estn inmovilizadas, i = j = i j = 0. Igual al mismas dimensiones, caractersticas,

sistema real en dimensiones, caractersticas. del sistema original, sin S.E. y con

y S.E. En este existen Los Momentos de los mismos desplazamientos i , j ,

Empotramiento MEi j

, que impiden los i j , G.D.L. igual al real. En este

giros ( ) de las juntas y las fuerzas HEi actan las fuerzas HEqi , llamadas

llamadas Fuerzas de Empotramiento, Fuerzas Horizontales Equivalentes que

que impiden los desplazamientos que son iguales pero de sentido contrario

horizontales de las juntas y por lo a las fuerzas de empotramiento HE i .

tanto los giros i j de los miembros. En este sistema existen las influencias

de los momentos Mi debidas a los giros

y las influencias de los momentos Mi j

debidas a los giros i j de los miembros.

37

Consideremos una columna cualquiera i-j , en un piso p tambin cualquiera y en el sistema complementario:

i j i i Vi j = Fuerza de corte en extremo i.

i j Mi j El piso p est limitado por un nivel

superior i y por otro inferior j

Piso p i j = i j / hi j = Para ngulos pequeos

j j su valor en radianes prcticamente Mj i coinciden con el de la tangente.

Si tomamos momentos en la junta inferior j resulta:

+ 0jM

Mi j + Mj i + Vi j hi = 0 , despejando Vi j se obtiene:

Vi j = ( Mi j + Mj i ) / hi j ......... (5.8 )

Sumando todos los cortes (Fuerzas cortantes) de todas las columnas de un mismo piso p y si todas tienen la misma altura se tiene que:

Vp = Corte total del piso p = Vi j = (Mi j + Mj i ) / hi j Sustituyendo a Mi j y a Mj i

(p)

(p)

por sus valores segn expresin (5.4a) de la ecuacin de rotacin y como todos los miembros de una mismo piso (Columnas) tienen el mismo valor para Mi j segn

expresin 5.2c ya que tienen los mismos i j = P y hi j = h P , por tanto el mismo

i j = i j / hi j =

P , es decir:

p =

p / h p , llamaremos a este Mi j como Mp

influencias de los momentos debidas a los giros i j =

p y multiplicando y

dividiendo por tres cada miembro y como en el sistema complementario no hay

momentos de empotramientos se tiene que:

38

biMKMKMKCCi

CCCiMMKMK

CCiM PjijjiijiPjjiijiji

,,,,,,,,

3

. ..........(5.9a)

.....(5.9b) Por lo tanto se obtiene:

Pp

Pjip

jjip

ijip hbjbiMK

CCCjMK

CCCiMKV

)(

)(

)(

33

33

33

........(5.10) Despejando el trmino con Mp resulta:

bjMKbiMKhVbjbiMKp

jjip

ijijip

pPji

)(

,

)(

,

)(

,,

33

.........(5.11a)

Como segn ecuacin (5.2c) Mp = 6E

p = 6E p / h p ........(5.11b) y si se multiplica cada Mp de cada columna por el factor Ki j (bi+bj) / 3 y se suman todos estos trminos de las columnas de un mismo piso se obtiene:

)()(

,,

3)(6

3 p PPji

pPji h

bjbiEKbjbiMK .....(5.11c) Igualando los

segundos trminos de las expresiones (5.11a) y (5.11c) y sacando fuera los

trminos

P y hP de la expresin

donde ellos estn y despejando de aqu el

cociente P / h P se obtiene que:

P / h P = )()(

)(

)(23 p

jip

jjip

ijiPp bjbiEKbjMKbiMKhV sustituyendo

este valor en la expresin (5.2c) de Mi j ahora llamado MP resulta:

biMKMKMKCCi

CCCiMMKMK

CCiM PjiijijjiPijijjiij

,,,,,,,,

3

39

)()( )(

)(236p

jip pjjiiji

PPP bjbiEKbjMKbiMK

hVEM

ordenando y definiendo algunos trminos nuevos se obtiene la ECUACION

FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEA PARA Mp y Mi j de la manera siguiente:

)(

pjjiijipjiP bjMKbiMKMM

.....(5.12a)

M p = Mi j = - 6 E P Si todas las columnas de un mismo piso tienen la

hP misma altura hP

Donde:

)(

2

123

pji

P bjbiK = Factor de corrimiento del piso p

.......(5.12b) Se calcula para cada piso.

33ppjip

p

hVhVM = Momento del piso (p). Se calcula

.....(5.12c) para cada piso.

Si todas las columnas del mismo piso tienen seccin constante sin

extremos rgidos y se desprecian las deformaciones por corte, se tendr:

bi = bj = ( Ci + C ) / (3C) = (Cj + C ) / (3C) = (4 + 2) / (3x2) = 1 (bi+bj) /2 = (1+1)/2 = 1

)(

123

pji

P K ...(5.13a) )(

pjijipPP MMKMM ...............(5.13b)

40

5.1.4.1 EXPRESION PARA M P CON COLUMNAS DE DIFERENTES ALTURAS.

Consideremos el siguiente esquema general de columnas con diferentes

alturas:

P P P Tomemos una altura como

referencia, hp , cualquiera,

i j 1 i j 2 hi j 2 i j 3 generalmente la de mayor

hi j 1 hi j 3 magnitud y empotrada en sus extremos, es decir:

hp = hi j 1

Definamos el Factor de correccin por diferencia de altura para cada columna de un mismo piso C

i j como: Ci j 1 = hp / hi j 1 = 1 ; Ci j 2 = hp / hi j 2 ; para una columna k cualquiera del piso p Ci j k = hp / hi j k o para simplificar la

nomenclatura: Ci j = hp / hi j .....(5.14a) hi j = hp / Ci j .......... (5.14b) y sustituyendo en (5.8) :

Vi j = - (Mi j+ Mj i) / hi j = - (Mi j+ M j i ) / (hp / Ci j ) Sustituyendo a Mi j y a Mj i por sus valores segn expresin 5.4a y 5.4b, y segn expresin (5.2c) a Mi j = Mj i = 6E

i j = -6E P/ hi j = (-6E P/ h p )Ci j = Mp Ci j as como multiplicando y dividiendo por tres todos los trminos del segundo miembro y ordenarlos se obtiene:

pjiPjijijjijiijiji hCbjbiMKC

CCCjMKC

CCCiMKV 2

33

33

33

Sumando todos los cortes Vi j de todas las columnas de un mismo piso (p) :

2

)( )(

)(

)( 33

jip p

Pjijijjijip

ijipP

JIp CbjbiMKbjCMKbiCMK

hVV

......(5.15a)

y despejando de esta expresin el trmino que contiene MP :

41

)( )(

2

3)

3(

p p pjijjijiiji

ppjiPji bjCMKbiCMK

hVCbjbiMK

.........(5.15b) como MP = -6E P = -6E P / h P .........(5.16)

Multiplicando ambos miembros de 5.16 por Ki j C2i j(bi+bj) / 3 y se suman todos estos trminos de las columnas de un mismo piso y sacando del signo

los coeficientes constantes para el mismo piso (p) se obtiene:

)( )(

2ji

2ji )( K

23

Kp p

jip

PjiP Cbjbih

ECbjbiM .......(5.17a)

igualando los segundos trminos de las ecuaciones (5.15a) y (5.17a) y despejando

P/hp resulta:

)(

2

)(

)(

'

)(2

)3(

pjiji

pjiijjiji

pjijipp

p

P

CbjbiKE

biCMKbiCMKhV

h .

.........................................(5.17b) Sustituyendo este valor de ( P / hp ) en la ecuacin (5.16) y multiplicando y

dividiendo el denominador por dos resulta modificada la ecuacin fundamental de

Kani-Takabeya-Pea para MP de la manera siguiente:

)(

pjijijippP bjMbiMCKMM

.......................(5.18a) y adems

se tiene que:

Mi j = Mj I = MP Ci j .....(5.18b)

33/

)(

pPp

pjip

hVhVM

.......................(5.18c)

)(

2

2

123

pjiji

p

CbjbiK ......(5.18d)

42

5.1.4.2 EXPRESIN PARA Mi j PARA COLUMNAS ARTICULADAS Y DE

DIFERENTES ALTURAS.

P Busquemos una columna P i i i i equivalente con dos

M* * M *

i j extremos rgidos que i j = /hi j = /hi j

hi j produzca el mismo hi j

efecto para Mi j

j j j j Si igualamos los momentos en el extremo i en cada caso ( M* = M** )

producidos por los giros del miembro ( i j y i j) para conseguir el valor de hi j que

produce el mismo efecto del momento (MP ), segn las ecuaciones de rotacin:

2

00

2

)(ji

P

ji

P

hCiCjCCiCj

EKCCih

EKCj

CCiCj

Momento (**)

Factor de correccin para rigidez

Momento (*) Modificada por extremo articulado. Despejando hi j resulta: hi j = hi j (Ci + C) = hi j mi j ...(5.19a) y si la articulacin

Ci est en el extremo i se obtiene de igual manera que:

hi j = hi j (Cj + C) = hi j mj i .......(5.19b) y si el miembro es de seccin Cj

constante y sin extremos rgidos y se desprecian las deformaciones por corte:

hi j = hi j ( 3 / 2 ) ......(5.19c)

Por tanto: Ki j Mi j= - Ki j 6E P = - Ki j 6E P . = - Ki j MP

....(5.19d) hi j hi j (Ci+C)

m

Ci Encontremos una expresin para Mi j para columnas con un extremo

articulado, en el sistema complementario:

43

I Tomando momentos en j:

hi j + M j = 0 = (Mi j Vi j hi j ) de donde:

Vi j = Mi j / hi j ....(5.20a)

j Segn expresin (5.4a) aplicable para miembros con = 0

ambos extremos rgidos : Mi j = MEi j + (Ci/C) Ki j Mi j + bi Ki j Mi j y sustituyendo en (5.20a) resulta:

Vi j = (Ci Ki j Mi + bi Ki j Mi j) / hi j .....(5.20b) despejando hi j de expresin (5.19a) C resulta: hi j = hi j Ci/(Ci+C) y como segn ecuacin (5.14a) se tiene que hi j = hp / Ci j y sustituyendo hi j en esta ltima expresin 5.20b de Vi j se obtiene:

)(

CCiCCih

MbiKMKCCiV

ji

pjijiijiji Despejando de sta el

trmino que contiene Mi j , multiplicando y dividiendo por tres el segundo trmino y

ordenando trminos se obtiene:

CiCCiCMK

CCihV

CiCCibiCMK jiiji

pjijijiji

333 si se suman todos

estos trminos de todas las columnas de un mismo piso:

)( )(

)(

333

p pjiiji

p

pjijijiji C

CCiCMKh

VCi

CCibiCMK es decir,

)(

)(

3p

jiijipp

jijiji biCMKMCiCCibiCMK ............(5.21a)

De expresin (5.2c ) y (5.14b) se tiene: Mi j = 6EKi j i j = 6EKi j

hi j Mi j = 6E P Ci j = MP C i j ..........(5.21b)

hp Multiplicando ambos miembros de esta ecuacin por bi Ci j Ci +C y sumando Ci

todos estos trminos de todas las columnas de un mismo piso (p) resulta:

44

)( )(

2 6p p

jijip

Pjiji Ci

CCibiCKh

ECi

CCibiCM igualando el segundo

trmino de esta ecuacin con el de la (5.21a) y despejando / hp :

)(

2

)(

6

3

pjiji

pjiijip

p

P

CiCCibiCKE

biCMKM

h y sustituyendo en (5.21b):

)(

)(

2

)

223

pjiijip

pjiji

jiji biCMKM

CiCCibiCK

CM

Si dentro de un mismo piso (p) existen columnas articuladas en extremos i ,

y/o en extremos j y/o con extremos no articulados (Rgidos) y como: Mi j = 6E P Ci j = Mp C i j de donde Mp = M i j / C i j

hp se puede decir que a continuacin se tiene lo que hemos denominado como:

45

EXPRESIN O ECUACION GENERAL FUNDAMENTAL DE KANI-TAKABEYA-PEA PARA Mp :

)(

pjijijippP bjMbiMKCMM .....(5.22a)

M i j = MP Ci j = - 6 E P Ci j

hP Donde: Ci j = hP / hi j ; hP = Altura patrn del piso p ; hi j = h I j (Altura real de columna) x m m = (Ci+C) / (Ci) = (Cj+C) / (Cj) Factor de correccin solo para columnas articuladas en extremo i o en extremo j respectivamente. En columnas no articuladas m = 1.

)(

2

2

123

pjiji

p

mbjbiCK

= Factor de corrimiento del piso (p).

.......(5.22b) Se calcula para cada piso.

Mp = (Vp hp)/ 3 = Momento del piso (p) ........(5.22c)

CiCjCCiCjCKK ji

20

2 Rigidez modificada para columnas articuladas.

Con K0 = I0/Li j ; I0 = Inercia de referencia.

20CKK ji = Rigidez para columnas sin articulaciones.

SI LAS SECCIONES DE LAS COLUMNAS SON DE SECCION CONSTANTE, NO

TIENEN SEGMENTOS EXTREMOS RGIDOS Y NO SE DESPRECIAN LAS DEFORMACIONES POR CORTE SE TENDRA QUE: m = 3/2 ; Ki j = K0 3/4 ;

y Ci j = hi j 3

( Para columnas articuladas) hp 2

m = 1 ; Ki j = K0 = I0 / L y Ci j = hi j / hp Para columnas no articuladas

NOTA: En columnas articuladas en ambos extremos su rigidez Ki j = o

46

6. ALGORITMO DE TRABAJO PARA ESTE METODO

I. ASPECTOS GENERALES:

a)SELECCION CONVENCION DE SIGNOS Y UNIDADES

( +) Para , y M positivos sentido horario .

Las unidades usuales son cm y Kg o m y Ton.

b)IDENTIFICACIN NUMRICA DE LAS JUNTAS

I I DETERMINACIN PREVIA DE VALORES INVARIABLES: I I . I PARA CADA MIEMBRO :

LAS CONSTANTES ELASTICAS : C, Ci, Cj segn el punto 2

SU RIGIDEZ : K i j = K0 C / 2 y si tiene un extremo articulado la rigidez

modificada. K

i j = Koi j ( 1 C2

)

= Koi j ( 1 r i j r j i ) =KoC (1 - ri j rj i) Ci Cj 2 Si es de seccin constante, sin extremos rgidos y sin considerar efectos por

corte (SC) : C = 2 ; Ci = Cj = 4 ; K

i j = Ko ( ) y K i j = K0 (3/4) (Modificada para un extremo articulado ).

LOS MOMENTOS ( MEi j ; MEj i ), Y FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

HORIZONTALES ( HEi j ; HEj i ) . I I . I I EN CADA JUNTA O NODO CUALQUIERA ( i ) donde llegan por lo menos dos miembros contnuos y que no sean juntas de apoyo:

Momento de Empotramiento MEI : Si hay momentos en las juntas.

EL MOMENTO DE SUJECION : M i =

MEi j + MEi = suma de todos los ( i ) momentos de empotramiento en la junta.

47

LOS FACTORES DE GIRO p DE JUNTA:

)( 2

121

iji

i

CCiK

(SC) )(

121

iji

i K

MEi j

EN CADA NODO COLOCAR ki j MEi j MEi j

EL RECUADRO: ki j M i ki j

Ki j = 0 ; I =

-- LAS FUERZAS EQUIVALENTES HORIZONTALES EN LOS NODOS QUE

NO SON APOYOS = Iguales en magnitud pero de sentido contrario a las de

empotramiento mas las fuerzas horizontales externas aplicadas en las

juntas ( HEQi j = -HEi j ; HEQj i = -HEj i ).

I I.III EN CADA PISO ( p ) : Limitado por dos niveles superior ( j ) e inferior ( i ): -- Seleccionar la altura patrn o de referencia, se recomienda tomar la de la columna de mayor valor h

p . -- El Corte Total en el piso: V

p = Vi j . (i) Donde Vi j son todas las Fuerzas Equivalentes Horizontales por encima del piso considerado.

-- EL MOMENTO DE PISO: M p = Vp hp / 3

-- LOS FACTORES : bi , bj :

bi bi=0 bi bi = (Ci+C) / (3C) Para Columnas

bj bj bj=0 bj = (Cj+C) / (3C) (SC): bi=bj=1

48

- LOS FACTORES : Ci j , m : Ci Ci Ci = 0

i i i

Ci j = h p / h i j Ci j = mh

h

ji

p

Ci j =mh

h

ji

p

h i j m = 1 h i j m =(Ci+C) h i j m =(Cj+C)

Ci Cj

m =3/2 (SC) m

= 3/2 (SC)

j j Cj Cj=0 Cj

EL FACTOR DE CORRIMIENTO P del piso considerado:

)(

2

2

123

pjiji

P

mbjbiCK

Si todas las columnas del piso son de seccin constante, sin extremos rgidos y no se

toma en cuenta el efecto por cortante: bi =1 , bj =1 , (bi+bj)/2=1/2, m =3/2 (Un extremo articulado) , m = 1(Ambos extremos continuos no articulados, [bi+bj]/2=1 ). III. PROCEDIMIENTO DE CALCULO POR APROXIMACIONES SUCESIVAS:

III . I En cada piso aplicar la expresin:

Mi son los M en los extremos superiores de las columnas del piso p considerado

)(

pjijijipPP CKbjMbiMMM Mj son los M en los extremos

inferiores de las columnas del piso p considerado. Los valores iniciales de M se

toman iguales a cero.

49

III . II En cada junta o nodo de la estructura que llegan dos o ms miembros sin Articulacin aplicar la siguiente ecuacin:

Mj son los Mde las juntas de los extremos opuestos de todos los miembros que llegan a la junta i considerada

)( )(

i ijijiPjijiii biCKMKMMM

Mp son los M de las columnas

que llegan a la junta considerada III . III ESQUEMA PARA LLEVAR LOS CALCULOS ANTERIORES III .I Y III .II:

MEij M

p+1 = Ki j MEip MEiq

Ki p Ki q Mi Ki k

i M Momentos Finales

(VER ADELANTE III.V) MEik M

M

bi = MP bj = m =

p = C i j =

M = 0

MEk MEki = 0

Kk i = 0 MEkr MEks = 0

Kk r Kk s M

M Kk t

k

MP -1 MEkt M

p-1 = bi = bj = m = C

i j =

MI

Mk

M p +1 =

M p =

M p 1 =

50

III . IV SE LOGRA LA CONVERGENCIA ?

Todos los Mi son aprox. = a los Mi anteriores?

Todos los MP son aprox. = a los MP anteriores?

NO IR A III . II

III . V SI NO HACER MAS CICLOS Y CALCULAR LOS MOMENTOS FINALES

SEGN Mi j = MEi j + Mi Ki j (Ci / C) + Mj Ki j + MP Ki j Ci j bi Mi i = MEj i + Mj Ki j (Cj / C) + Mi Ki j + MP Ki j Ci j bi

Tambin se pueden obtener las rotaciones, i, de las juntas y las rotaciones o giros, f , de las columnas de las expresiones: i = Mi / (2E) ; f = P / Altura real de la columna ; P = -( hP MP ) / (6E) . OBSERVACIONES:

Cuando las rigideces se obtienen en funcin de una inercia de referencia

para toda la estructura llamada Ir, o una rigidez de referencia llamada Kr,

entonces los valores que se iteran son M/Ir y M/Ir o M/Kr y M/Kr

respectivamente. De tal manera que los factores de giro y de corrimiento

estarn en funcin de 1/Ir o 1/Kr.

Los primeros valores o los valores iniciales como no se conocen de M

se toman iguales a cero. El orden de los clculos es arbitrario porque el

mtodo es autocorrectivo y si cometemos algn error aumentar el nmero

de ciclos.

Cuando se hacen clculos manuales e incluso automticos mediante el uso

de programas de computacin, es importante hacer notar que cuando se

trata del anlisis de un prtico por cargas verticales los efectos ms

51

importantes se deben a las influencias M y se pueden despreciar los

efectos por M, lo contrario para cargas horizontales los efectos M son los

ms importantes y los M podemos despreciarlos.

En el caso de Prticos espaciales, podemos suponer que no hay torsin

en planta y todas las columnas de un piso tienen la misma desplazabilidad,

es decir habr un solo M por piso y todas las columnas del piso colaboran

en el nico factor de corrimiento para el mismo y habr un solo Momento de

piso. Un procedimiento mas exacto sera considerar un momento de piso

producido por la fuerza horizontal equivalente y un factor de corrimiento para

cada prtico, es decir, cada prtico tendr una desplazabilidad distinta.

7. COLUMNAS QUE PERTENECEN A MAS DE UN PISO

7.1 Veamos el siguiente caso:

La columna D tiene un

p = 3 sector que pertenece a

2 a dos pisos 2 y 3.

p = 2 Se puede tratar de dos

1 maneras segn sea el

p =1 caso. 0 A B C D

a) Si existe una placa rgida por ejemplo a nivel 2 : Esta rigidez produce que todos los desplazamientos horizontales del piso sean

iguales y por lo tanto podemos suponer una viga ficticia de dimensiones nulas:

52

La viga ficticia en el nivel de la

Ki j = 0 placa tiene rigidez nula, Ki j = 0

Ai j = 0 y rea transversal nula Ai j = 0.

b) Si no existe placa o elemento suficientemente rgido o un vaco (caso usual):

La columna colabora en las influencias Mp de los pisos a que pertenece. Se

reparte su influencia proporcionalmente a las M de cada piso, y en M

colaboran todas las Mp de los pisos a que pertenece la columna.

3 3

p=3

M (Piso3) en M es = M(Total) M piso3 entre (M piso3 + Mpiso2)

p=2 M (Piso2) en M es = M(Total) M piso2 entre (M piso3 + Mpiso2)

.

1 1

p=1

0 0

53

6.2 OTROS EJEMPLOS:

Placa rgida K = A = 0

Este sector est libre (Vacio) y no hay placa como en el caso anterior

8 . EJEMPLO NUMERICO:

Resolver el siguiente prtico plano del ejercicio mostrado a continuacin empleando este mtodo acelerado : 4ton/m

6Ton 6m 4,50m Ir 5m 1,5m 1m 1T 3Tm 3Tm 3Tm IO =1,5Ir Distancia muy pequea 1,5Ir Ir (*) 4m Ir Ir Ir

2T 3T-m 3T-m Placa rgida Ir Ir Ir 4T/m 1m

Ir Ir 0,150T/m 3m 1m Distancia muy pequea

Libre 0,500 T/m Ir Ir 1,2 Ir

3m Ir IO= Ir (**) Ir

E=2,1X106 Ton/m2 =Constante para toda la estructura.

54

1m

Seleccionemos las unidades en que trabajaremos: Ton. y m. 4,8m 1,2m

(*) dO d =1,2dO Las Constantes Elsticas i j de tablas son : C/2 = 1,16