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120 Calculo Matricial de Porticos

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calculo matricial en porticos

Text of 120 Calculo Matricial de Porticos

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

CALCULO MATRICIAL DE PRTICOSU.D. CALCULO DE ESTRUCTURAS

Ramn Argelles lvarez Juan Jos Martnez Calleja Francisco Arriaga Martitegui

R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 1 I 66 28/04/2005

ECUACIN MATRICIAL COMPLETA INCLUIDAS LAS REACCIONES P + R1 K1,1 K1, 2 1 C P2 + R2 K 2,1 K 2, 2 M 3 K 3,1 K 3, 2 P4 K 4,1 K 4, 2 A P5 M 6 K P7 K 7,2 7 ,1 B P8 = M 9 P + R10 K10,1 K10, 2 10 D P + R 11 11 M + R 12 12 P + R 13 K13,1 K13, 2 13 E P 14 M 15 K15,1 K1,3 K 2.3 K 3, 3 K 4,3 K 7,3 K10,3 K13,3 K1, 4 K 2, 4 K 3, 4 K1,5 K 2,5 K 3, 5 K1,6 K 2, 6 K 3, 6 K1,13 K 2,13 K 3,13 K1,14 K 2,14 K 3,14 0 0 C 3 K 4,15 4 K 5,15 5 A K 6,15 6 K 7,15 7 8 B 9 K10,15 0 0 D 0 K13,15 0 K14,15 14 E K15,15 15 K1,15 K 2,15 K 3,15

K 4, 4 K 4 ,5 K 5, 5 K 7, 4 K 7 ,5 K10, 4 K10,5 K13, 4 K13,5 K15, 4

K 4,13 K 4,14 K 4, 6 K 5,6 K 5,13 K 5,14 K 6,13 K 6,14 K 6, 6 K 7,6 K 7 ,13 K 7,14 K10,6 K10,13 K10,14 K13,13 K13,14 K13, 6 K14,14

Ecuacin III.A.1

R1 , componente X de la reaccin en C. R2 , componente Y de la reaccin en C. ... ........................................................... R13 , componente X de la reaccin en E. P1 , P2 , M3 ,... Cargas aplicadas en las ligaduras segn los grados de libertad indicados en la figura III.A.2. Y desplazamientos y giros segn grados de libertad indicados en la figura III.A.2.

Ecuacin en formato resumido

{P} = [K ]{}

Figura III.A.1

Figura III.A.2. Numeracin de grados de libertad

R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 2 I 66 28/04/2005

EJES LOCALES Y GENERALES

Figura III.A.3.

Matrices de cambio de ejes:Tab cos = sen 0 cos = sen 0 sen cos 0 sen cos 0 0 0 ; 1 0 0 1

Ecuaciones de cambio de ejes:

pab = Tab Pab ; pba = Tba Pba

ab = Tab ab ; ba = Tba baT T Pab = Tab pab ; Pba = Tba pba T T a = Tab ab ; b = Tba ba

Tba

Ecuaciones III.A.3.fuerzas y desplazamientos en ejes locales P y fuerzas y desplazamientos en ejes generales R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 3 I 66 28/04/2005

sen =

Ya Yb X Xb ; cos = a ;a j sen cos 00 p x PX ,i 0 . p y PY ,i n ( 1) m ij M i (b)Ecuacin III.A.19. R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 23 I 66 28/04/2005Ejercicio III.1 (4-fin):Como continuacin del ejercicio III.1., del apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide: 11) Determinar las reacciones aplicando la ecuacin IIII.A.19. 12) Calcular las reacciones aplicando la ecuacin matricial subdividida, ecuacin III.A.20. 13) Comprobar el equilibrio de los nudos 2 y 3, figura III.A.9.11) Rx1 0 1 0 47,71 kN 5,29 kN T {R1} = RY 1 = T12 {p12 } = 1 0 0 5,29 kN = 47,71 kN ; M 0 0 1 0 0 1 1 0 0 37,13 kN 42,42 kN 79,57 kN Rx 3 T {R3 } = RY 3 = T32 {p32 } {P3 } = 0 1 0 5,29 kN 42,42 kN = 37,14 kN 70,71 kNm 70,71 kNm M 0 0 1 0 3 [ ][ ]Ecuacin III.A.19. (P. 11/III) R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 24 I 66 28/04/2005Ejercicio III.1 (4-fin):12) 1 = 0,000918 RX 1 6.000 0 0 6.000 1.200 5,29 0 X 2 = 0,000371 47,71 RY 1 100.000 0 0 0 Y 2 = 0,000477 = = 100.000 0 0 0 37,15 R X 3 42,42 0 2 = 0,001725 RY 3 42,42 0 1.200 6.000 6.000 0 5,28 3 = 0,002702 R X 1 5,29 kN R 47,71 kN Y1 = Ecuacin III.A.20. (P. 11/ III) R X 3 79,57 kN RY 3 37,14 kN Nudo 213)Nudo 3figura III.A.24Equilibrio Nudo 2 FX=- 42,42 + 37,13 + 5,29 = 0 FY=- 42,42 + 47,71 - 5,29 = 0 M=- 70,71 + 17,84 +52,87 = 0 Equilibrio Nudo 3 FX=- 37,13 - 42,42 + 79,57 = 0 FY=- 42,42 + 5,29 + 37,14 = 0 M=- 70,71 + 70,71 =0 R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 25 I 66 28/04/2005MODELOS DE BARRAS PARA LA FORMACIN DE RIGIDEZa) Enlaces rgidos de barras b) Todos estos sistemas tienen la misma matriz completa de rigidezFigura III.A.25Enlaces de nudos de barras influyen sobre matrices de barras. Y, en consecuencia, en la matriz de rigidez completa de la estructura. Si el extremo de la barra no se articula al nudo el enlace es rgido, vase la figura a. En ella todos los enlaces representados son rgidos. Para elegir el modelo de enlace no se tiene en cuenta los apoyos del sistema. As, los extremos aislados de las barras se consideran como enlaces rgidos con independencia del tipo de apoyo, vanse en la figura a los enlaces C, D y E . La matriz de rigidez completa de la estructura no depende de los apoyos. Las estructuras representadas en la figura b, todas tienen iguales matrices completas de rigidez. R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 26 I 66 28/04/2005EL NUDO ARTICULADOEcuacin matricial de un sistema con un nudo articulado P1 K11 P K 2 21 P3 K 31 . . . = . P K i i1 . . . . Pn K n1 K12 K 22 K 32 . . Ki2 . . K n2K13 K 23 K 33 . . K i3 . . K n3. . . . . . . . .. K1i . K 2i . K 3i . . .. . . ( K ii = 0) . . . . . K ni. . . . . . . . .. . . . . . . . .K1n 1 K 2 n 2 K 3n 3 . . . . K in i . . . . K nn n Ecuacin III.A.22 Si un nudo del sistema es una articulacin comn a todas las barras el coeficiente de la matriz de rigidez asociado al grado de libertad correspondiente al giro de ese nudo es igual a 0. Para el ejemplo de la figura III.A.26.a.,. este coeficiente es el K99. Al ser singular la matriz no puede resolverse el sistema. Para ello se procede de la manera siguiente: Todas las barras menos una, deben considerarse articuladas en el nudo. En la figura III.A.26.. la barra B-E, aunque articulada, se considera enlazada rgidamente.Figura III.A.26. Nudo articulado R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 27 I 66 28/04/2005EJEMPLOS DE SELECCIN DE MATRICES BARRAS (1)Figura III.A.27. Modelos de barras de estructuras reales R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 28 I 66 28/04/2005SELECCIN DE MODELOS DE ENLACES DE LAS BARRAS (2)Figura III.A.28. Modelos de barras de estructuras reales R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 29 I 66 28/04/2005ETAPAS DEL CLCULO MATRICIAL CUANDO HAY CARGAS DE BARRA Etapa I:Se bloquean los extremos de las barras introduciendo en ellos fuerzas en ejes locales de barra iguales a las reacciones h En un enlace rgido las reaccin es la de un apoyo empotrado h En un enlace articulado la reaccin es la de un apoyo articuladoEtapa II :Se aplican en los nudos cargas iguales y contrarias a las anteriores referidas a los ejes generales para poder sumarlas con las cragas procedentes de otras barras, tambin cargadas, concurrentes al mismo nudo; en la figura, por ejemplo el nudo A. La carga PA E es suma de las carga de nudo PA .EL CLCULO MATRICIAL SOLO RESUELVE LA ETAPA IIFigura III.B.1. Etapas del clculo matricial R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 32 I 66 28/04/2005CARGAS EQUIVALENTES DE LA BARRA CARGADA{rabc}{rbac}Figura III.B.3 Reacciones en ejes localesReacciones en ejes locales debidas a la carga puntual P:Figura III.B.2. Barra cargada ld Psen l l Pcos 2 (l d ) (l + 2d ) = q 3 2 l l 2 Pcos 2 q + d (l d ) 3 12 l d P sen l l Pcos = q + (l d ) 2 (l + 2d ) + Pcos 3 2 l l 2 Pcos 2 q d (l d ) 12 l2 {r }c ab{r }c ba{P } = [T ]{r } {P } = [T ]{r }E ab T ab c ab E ba T ba c baEcuaciones III.B.1Figura III.B.4 Cargas equivalentes en ejes generalesEc.III.B.2. R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 33 I 66 28/04/2005EJEMPLO DE SISTEMA CARGADOFigura III.B.5. Ejemplo de determinacin de cargas equivalentes En la Etapa I se calculan las reacciones en ejes locales en la barra 2-3 supuestamente empotrada en los dos extremos ya que en este ejemplo ambos corresponden a enlaces rgidos, figura b. En la Etapa II estas reacciones cambiadas de signo y referidas a los ejes generales se introducen en los nudos. En la figura c, nudos 2 y 3. Esta etapa es la que resuelve el clculo matricial. Los resultados finales son suma de las dos etapas I y II tanto a efectos de esfuerzos como de deformaciones, figura d. R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 34 I 66 28/04/2005Ejercicio III.4.Calcular las cargas equivalentes a las cargas de barra en los nudos del prtico representado en la figuraa) b)Figura III.B.6. R.Argelles lvarez, J. Martnez Calleja y F.Arriaga Martitegui Matricial Prticos (C.E-I) 35 I 66 28/04/20051) Reacciones debidas a las cargas de barra (ejercicio III.4.):a) Barra 1-2 b) Barra 2-3{r }c 12 0 0 l l c = q = 20 ; r21 = q = 20 2 22 l l2 q = 16,67 q = 16,67 12 12 { }{r }c 23 0 0 P c P =4 = = 4; r32 = 2 2 P l = 10 P l = 10 8 8 { }2) Matrices de cambio de ejes locales a generales:a) Barra 1-2 (=270) b) Barra 2-3 (=180) 0 1 0 0 1 0 T T T12 = 1 0 0; T21 = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 T T T23 = 0 1 0; T32 = 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Ecuacin III.A.2. Pr(2IIII)3) Cargas equivalentes de barra: A partir de las reacciones en ejes locales de barra, resulta:a) Barra 1-2 PX 0 1 0

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