120 Calculo Matricial de Porticos

© R.Argüelles Álvarez, J. Martínez Calleja y F.Arriaga MartiteguiMatricial Pórticos (C.E-I) 1 I 66 28/04/2005

CALCULO MATRICIAL DE PÓRTICOS

U.D. CALCULO DE ESTRUCTURAS

Ramón Argüelles ÁlvarezJuan José Martínez CallejaFrancisco Arriaga Martitegui

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID


ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA INCLUIDAS LAS REACCIONES

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆∆

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆∆

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧++

E

D

B

A

C

KKKKKK

K

KKK

K

KKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

MP

RPE

RMRPRP

D

MPP

B

MPP

A

MRPRP

C

15

14

9

8

7

6

5

4

3

15,15

15,1414,14

15,1314,1313,13

4,15

6,135,134,13

1,15

3,132,131,13

15,1014,1013,106,105,104,103,102,101,10

15,714,713,76,75,74,73,72,71,7

15,614,613,6

15,514,513,5

15,414,413,4

6,6

6,55,5

6,45,44,43,42,41,4

15,314,313,3

15,214,213,2

15,114,113,1

6,35,34,3

6,25,24,2

6,15,14,1

3,32,31,3

3.22,21,2

3,12,11,1

15

14

1313

1212

1111

1010

9

8

7

6

5

4

3

22

11

0000

00

·

·········

·····

·····

············

······

······

············

······

······

········

·······

······

Figura III.A.1 Figura III.A.2. Numeración de grados de libertad

R1 , componente X de la reacción en C. R2 , componente Y de la reacción en C.... ...........................................................R13 , componente X de la reacción en E.P1 , P2 , M3 ,... Cargas aplicadas en las ligaduras

según los grados de libertad indicados en la figura III.A.2.

∆ Y Θ desplazamientos y giros según gradosde libertad indicados en la figura III.A.2.

Ecuación III.A.1

{ } [ ]{ }∆= ·KPEcuación en formato resumido


bal

XXl

YY

T

T

ab

ba

ab

ba

ba

ab

<−

=−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

;cos;sen

1000cossen0sencos

;1000cossen0sencos

αα

αααα

αααα

baTbabab

Taba

baTbabaab

Tabab

bababaababab

bababaababab

TT

pTPpTP

TTPTpPTp

δδ

δδ

·;·

·;·

·;··;·

=∆=∆

==

∆=∆===

Matrices de cambio de ejes: Ecuaciones de cambio de ejes:

Ecuaciones III.A.2.

Figura III.A.3.

Ecuaciones III.A.3.

p y δ fuerzas y desplazamientos en ejes locales

P y ∆ fuerzas y desplazamientosen ejes generales

EJES LOCALES Y GENERALES


Ecuación III.A.4.

Figuras III.A.4.

)15(;

·

··

········

········

····

·

·2

1

,,2,1,

,21

,222221

,111211

2

1

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆

∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

n

KKKK

KKKK

KKKKKKKK

P

P

PP

n

i

nninnn

niiiii

ni

ni

n

i

a) grados de libertad del sistema b) deformada y solicitaciones provo-cadas por el desplazamiento ∆7=1

c) ) deformada y solicitaciones debidos a un giro unidad del grado de libertad 3

ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA ASOCIADA A LOS GRADOS DE LIBERTAD DEL SISTEMA


{ }

{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ba

ab

abbba

abbaa

ba

ab

kk

kk

p

p

δ

δ····

:······

:···

Ecuación matricial en formato resumido

Ecuación III.A.5.

Ecuación III.A.6.

Figura III.A.5.l

EIlEI

lEI

lEA ·2;·6;·12; 23 ==== µκρε

Figura III.A.6.

Valores de los coeficientes cnc1= c2 = c3= c4= c5= c6 =c7= c8= c9= c10=1

c1= c3 =c8= 1/4; c4 =c9=1/2; c10=3/4; c2=c5= c6= c7=0

c1= c3 =c8= 1/4; c2 =c6=1/2; c5=3/4; c4=c7= c9= c10=0

c1= c2 = c3= c4= c5= c6 =c7= c8= c9= c10=0

a

b

y

x

y

x

y

x

y

xa

b cccccccc

cccccccc

mpp

mpp

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϑδδ

ϑδδ

µκµκκρκρ

εε

µκµκκρκρ

εε

·······

2··0:··0··0:··0

00:00·······················0:2··0··0:··0

00:00

······

10974

9863

7652

4321

ECUACIÓN MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES LOCALES


bababaaab

bbaabTabaab

baa

Tabab

Tab

bbaabaabbaaab

baababbaaab

KKP

TkTTkTpT

TkTkp

kkp

∆+∆=

∆+∆=

∆+∆=

+=

··

······

····

·· δδ

baabb

Tba

abbabba

Tbaba

baabT

abababbaa

Tab

baa

TkTKTkTK

TkTKTkTK

····

····

==

==

3) Ecuación matricial reducida en ejes generales

babbababa

bbaabb

Tbaaabba

Tbaba

Tba

bbaabbaabbaba

baabbabbaba

KKP

TkTTkTpT

TkTkp

kkp

∆+∆=

∆+∆=

∆+∆=

+=

··

······

····

·· δδ

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

666564

565554

464544

636261

535251

434241

363534

262524

161514

333231

232221

131211

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

KKKKKKKKK

K

Ecuaciones III.A.8.Ecuación III.A.9.

Ecuación III.A.10.

Extremo a Extremo b

Figura III.A.7.

a

2) Submatrices de rigidez en ejes generales

{ }

{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∆

∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

b

a

abbba

abbaa

ba

ab

KK

KK

P

P····

:······

:···

Ecuaciones III.A.7.

4) Significado físico de los coeficientes de la matriz

b

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN EJES GENERALES DEL SISTEMA


PX , PY y M reacciones en los extremos en ejes generales

∆X , ∆Y y Θ desplazamientos de los nudos de la barra en ejes generales

E, módulo de elasticidadI, momento de inercia de la sección

transversal de la barraA, área de la sección transversal de la

barral, longitud de la barra

sen α = (Ya-Yb)/l ;cos α = (Xa-Xb)/l ; a, nudo de menor numeración de la

barrac1 , c2 , c3...... coeficientes relacionados con los

enlaces de la barra, véase presentación 4/III.

a

b

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Xa

b cccsen

sencsencsencsimetríaccsencc

ccsensencccsensencsencsencsencsencsenc

MPPMPP

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Θ∆∆Θ∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+

−−−−−−−+

−−−−−+

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

·

·2··cos··cos····2)···(5,0···cos··cos····2··cos··cos··2)···(5,0·cos·cos···

··2)···(5,0···cos··2)···(5,0···cos

10

92

82

982

82

7665

42

32

322

12

432

32

212

12

µακαραεακαρεαραε

µακακµακαραεαρεακαραεακαρεαραεακαρεαραε

Figura III.A.8.

lEI

lEI

lEI

lEA ·2;·6;·12; 23 ==== µκρε

Ecuación III.A.11.

Ecuación matricial de la barra de sección constante en ejes generales.


Ejercicio III.1(1)Para el sistema de barras representado en la figura III.A.9, se pide:

1) Matrices de cambio de ejes.2) Matrices de barras en ejes locales.3) Matrices de rigidez de barras en ejes generales.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

100001010

;100001010

2112 TT

Barra 1-2: cos α = (0-0)/10 = 0 ; sen α= (0-10)/10 = -1

Barra 2-3: cos α = (0-10)/10 = -1; sen α = (10-10)/10 = 0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

100010001

;100010001

3223 TT

1) Matrices de cambio de ejes

Ecuaciones III.A.2. (P. 2/III)

Figura III.A.9.


2) Matrices de barras en ejes locales (ejercicio III.1.(1))

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00100000··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100

.:

··:··:

:··:··

:

23332

23322

12221

12211

kk

kk

kk

kk

Barras 1-2 y 2-3

Ecuación III.A.5. (P 4/III)

1...;000.2010

01,0·10·2·2;000.610

01,0·10·6·6

/200.110

01,0·10·12·12;/000.10010

1,0·10

1021

7

2

7

2

3

7

3

7

==========

======

ccckNml

EIkNlEI

mkNlEImkN

lEA

µκ

ρε

Valores auxiliares para las dos barras (se consideran ambas barras como biempotradas) :


3) Matrices de rigidez de barras en ejes generales

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000.400000.6:000.200000.60000.1000:0000.1000000.60200.1:000.60200.1··············000.200000.6:000.400000.60000.1000:0000.1000000.60200.1:000.60200.1

.:

··:··:

12221

12211

KK

KK

Barra 1-2 sen α=-1; cos α=0 ; sen 2α=0

Barra 2-3 sen α=0; cos α=-1 ; sen 2α=0

[ ] [ ]

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

−−

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100··············000.20000.60:000.4000

000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100

:··:··

:

23332

23322

KK

KK

Ecuación III.11. (P. 6/III)

Ecuación III.11. (P. 6/III)


CONDICIONES DE DEFORMACIÓN Y DE EQUILIBRIO DEL SISTEMA DE BARRAS.

1) Condiciones de continuidad de deformaciones en nudos, figuras III.A.10.a y c. En la figura a , en la que todos enlaces de las barras son rígidos se mantiene el ángulo de giro de las deformadas de las barras en los nudos Ay B . En la figura c la articulación del nudo B de la barra rompe la continuidad del giro de dicha barra en B 2) Concordancia de la deformada del sistema con las condiciones de apoyo, nudos C, D y E., figuras III.A.10.a-c 3) Equilibrio de fuerzas en todos los nudos, figura III.A.10.b. En todos los nudos de la estructura debe existir equilibrio entre la resultante de las fuerzas en los extremos de barra, con las cargas aplicadas en los nudos. Obsérvese el equilibrio de fuerzas en los nudos A y B.

Figura III.A.10.a.Continuidad de deformacionesde nudos

Figura III.A.10.c.Equilibrio de fuerzas de nudos

Figura III.A.10.b.perdida de continuidad de los giros en los enlaces articulados.


{ } { } { } { }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ]{ } )4(;·..·..··

)3(;·...·.......··

)2(;··....····

)1(;...

mimi

mj

bj

jiicicbibi

mimimii

cii

biicicbibi

mimimiicici

ciibibi

biii

imicibi

KKKKP

KKkKKKP

KKKKKKP

PPPP

∆++∆⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∑++∆+∆=

∆+∆+++++∆+∆=

∆+∆++∆+∆+∆+∆=

+++=

=

=

Ensamblaje de la matriz de rigidez

Figura III.A.11.

Figura III.A.12.

Ec. III.A.12.

Ec. III.A.14.

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }m

mj

bj

jmmimimmm

mimi

mj

bj

jiiiii

mmii

mj

bj

j

mimii

mj

bj

j

KKKKP

KKKKP

KKKKP

KKKKP

∆∑++∆++∆+∆=

∆++∆∑++∆+∆=

∆++∆++∆∑+∆=

∆++∆++∆+∆∑=

=

=

=

=

=

=

=

=

·..·..··

··········································································

·..·..··

··········································································

·..·····

·..·..··

2211

2211

22221212

12121111

Sistema lineal de ecuaciones

Ec.III.A.13.

{ }{ }{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }{ }⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆∆∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

5

4

3

2

1

35553

34443

3534533

433

23332

23322

12221

122

11

5

4

3

2

1

·

000000

000000

KKKK

KKKKKKKKKK

KK

PPPPP

Figura III.A.13.

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

Euaciones de equilibrio


Figura III.A.14.

Ecuación subdividida según apoyos

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Θ∆Θ∆∆Θ∆∆Θ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++++++

000000

········

·

:···:···:···:···:···:···

························:················:···:···:···:···:···:···:···:···:···

········15

14

9

8

7

6

5

4

3

13,1312,1311,1310,132,131,1315,134,133,13

13,121,1215,123,12

13,111,1115,113,11

13,101,1015,103,10

13,21,215,23,2

13,112,111,110,12,11,115,14,13,1

13,1512,1511,1510,152,151,1515,1515,33,15

13,141,1415,143,14

13,91,915,93,9

13,81,815,83,8

13,71,715,73,7

13,61,615,63,6

13,51,515,53,5

13,41,415,43,4

13,312,311,310,32,31,315,34,33,3

1313

1212

1111

1010

22

11

15

14

9

8

7

6

5

4

3

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

RPRMRPRPRPRP

MPMPPMPPM

fffl

lfll

Figura III.A.15..Ecuación III.A.16.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Θ∆Θ∆∆Θ∆∆Θ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

15

14

9

8

7

6

5

4

3

15,15

15,1414,14

15,914,99,9

15,814,89,88,8

15,714,79,78,77,7

15,614,69,68,67,66,6

15,514,59,58,57,56,55,5

15,414,49,48,47,46,45,44,4

15,314,39,38,37,36,35,34,33,3

15

14

9

8

7

6

5

4

3

·

KKKSimetríaKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

MPMPPMPPM

ll

Ecuación reducida

Ecuación III.A.15.

MODIFICACIONES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ


⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆

∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

n

i

nnninnn

iniiiii

ni

ni

ni

n

i

KKKKK

KKKKK

KKKKKKKKKKKKKKK

P

P

PPP

.

.

.

.

......................

..)10(.....................

....

....

....

.

.

.

.3

2

1

321

20321

33333231

22232221

11131211

3

2

1

Ecuación III.A.17.

Figuras III.A.16.

a)

b)

1) Resolución de la ecuación matricial en formato resumido

2) Resolución de la ecuación completa penalizando la matriz de rigidez

{ } [ ]{ }llll KP ∆=Ec. III.A.16.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RIGIDEZ


Ejercicio III.1 (2)Como continuación del ejemplo III.1.(1), apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide:

4) Ensamblaje de la matriz de rigidez general del sistema.5) Ecuación matricial completa. 6) Ecuación matricial completa subdividida según apoyos.7) Ecuación matricial reducida.8) Desplazamientos de los nudos.9) Ecuación matricial penalizada. Fig. III.A.9.

4) Ensamblaje de la matriz de rigidez

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

23332

23322

12221

122

11

::0··········

::··········0::

KK

KKKK

KK

K

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−−−−

=

000.40::000.6200.1::00000.100::······:······:······000.20000.60:000.80:

000.6200.10:000.6200.101:00000.100:000.60200.101:······:······:······

:000.200000.6:000.40:0000.1000:0000.100:000.60200.1:000.60200.1

Simetría

K

Ecuación III.A.14 (P. 7/III)


⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Θ∆∆

Θ∆∆

Θ∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−−

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

1

1

··

··

·

000.40::000.6200.1::00000.100::······:······:······000.20000.60:000.80:

000.6200.10:000.6200.101:00000.100:000.60200.101:······:······:······

:000.200000.6:000.40:0000.1000:0000.100:000.60200.1:000.60200.1

71,7042,4242,42

··71,7042,4242,42

··0

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

SimetríaRR

RR

5) Ecuación matricial completa (Ejercicio III.1 (2))

6) Ecuación matricial subdividida según apoyos

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∆=∆=∆=∆

ΘΘ∆∆Θ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−−−−−

−−−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−−

0000

···

200.1000:000.6000.6200.1000000.10000:000000.100000000.1000:00000.10000000200.1:0000.60200.1000.6····················000.6000:000.40000.20000.600000.600000.6:000.20000.80000.6000.6000.2200.10000.1000:000.6000.6200.101000000.1000200.1:0000.60200.101000.6000000.6:0000.20000.6000.40

42,4242,42

··71,7071,7042,4242,42

0

3

3

1

1

3

2

2

2

1

3

3

1

1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

RR

RR

Ecuación III.A.15. (P. 8/III)

Kll Klf

Kfl Kff


7) Ecuación matricial reducida (Ejercicio III.1 (2)) :

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

ΘΘ∆∆Θ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−

3

2

2,

2,

1

·

000.40000.20000.80

000.6000.6200.1010000.60200.1010000.200000.6000.40

71,7071,7042,4242,42

0

y

X

Simetría

Ecuación III.A16. (P. 8/III)

Figura III.A.17. Sistema desplazado

8) Desplazamientos:

∆X (m) ∆Y ( m) Θ (rad.) Nudo 1 0,00 0,00 0,000918 Nudo 2 -0,000371 -0,000477 -0,001725 Nudo 3 0,00 0,00 0,002702

Resolviendo el sistema:

En la figura III.A.17., se representa el sistema desplazado.


9) Ecuación matricial completa penalizada (Ejercicio III.1 (2))

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Θ∆∆

Θ∆∆

Θ∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−++

−−

−

−+−−−+

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−−

3

3

3

2

2

2

1

1

1

20

20

20

20

3

3

1

1

··

··

·

000.40::000.610200.1::0010000.100::······:······:······000.20000.60:000.80:

000.6200.10:000.6200.101:00000.100:000.60200.101:······:······:······

:000.200000.6:000.40:0000.1000:010000.100:000.60200.1:000.6010200.1

71,7042,4242,42

··71,7042,4242,42

··0

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

SimetríaRR

RR



⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

b

Y

X

a

Y

X

y

x

b

y

xa

cccccccc

cccccccc

mppmpp

·1000cossen0sencos

·1000cossen0sencos

·

2··0··0··0··0

0000··02··0··0··0

0000

10974

9863

7652

4321

αααα

αααα

µκµκκρκρ

εεµκµκκρκρ

εε

Ecuación III.A.18.

Figura III.A.18 Figura III.A.19 Figura III.A.20. Diagramas

ε,ρ,κ,µ y coeficientes cnDefinidos en la ecuación III.A.5.

ECUACIÓN DE LA BARRA NO CARGADA EN EJES LOCALES


Ejercicio III.1.(3)Como continuación del ejercicio III.1., del apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide:

10) Esfuerzos reacción en los extremos de barras y representación de leyes de esfuerzos de las barras

a) Barra 1-2 (α=270º)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Θ−=∆−=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Θ=∆=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

kNmkN

kN

kNkN

mpp

mpp

Y

X

Y

X

y

x

y

x

87,5229,5

71,47·····00,0

29,571,47

001725,0000477,0000371,0

·100001010

·····000918,0

00,000,0

·100001010

·

000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00100000··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100

.·········2

1

12

21

k112 k12

k21 k221

10) EsfuerzosLas matrices en ejes locales k11

2 ... de la barra han sido calculadas en el ejercicio III.1.(1) y los desplazamientos en ejes en el ejercicio III.1.(1)


EJEMPLO III.1.(3) (continuación)

Figura III.A.21 Leyes de esfuerzos

b) Barra 2-3 (α=180º)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Θ=∆=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Θ−=∆−=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

kNmkNkN

kNmkNkN

mpp

mpp

Y

X

Y

X

y

x

y

x

71,7029,513,37·····84,1729,513,37

002702,000,000,0

·100010001

·····001725,0000477,0000371,0

·100010001

·

000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100

.·········3

2

23

32



{ } [ ]{ } { }

( )

jisinjisin

MPP

mpp

sensen

MRR

PpTR

i

iY

iX

ij

y

xcj

aj n

n

i

Y

X

iij

cj

aj

Tiji

>=<=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

∑

∑

=

=

=

=

12

.1000cos0cos

·)1(

·

,

,

αααα

Ecuación III.A.19.

Figura III.A.22.

1) Reacción en el ligadura-apoyo i como suma de las reacciones de las barras

(a)

(b)

CÁLCULO DE LAS REACCIONES


Ejercicio III.1 (4-fin):Como continuación del ejercicio III.1., del apartado III.A.6., figura III.A.9., se pide:

11) Determinar las reacciones aplicando la ecuación IIII.A.19.12) Calcular las reacciones aplicando la ecuación matricial subdividida, ecuación

III.A.20.13) Comprobar el equilibrio de los nudos 2 y 3, figura III.A.9.

11)

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ } { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−==

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

014,3757,79

71,7042,4242,42

71,7029,513,37

·100010001

·

;0

71,4729,5

029,5

71,47·

100001010

·

33232

3

3

3

3

1212

1

1

1

1

kNkN

kNmkNkN

kNmkNkN

PpTMRR

R

kNkN

kNkN

pTMRR

R

TY

x

TY

x



13) Nudo 2 Nudo 3

Σ FX=- 42,42 + 37,13 + 5,29 = 0Σ FY=- 42,42 + 47,71 - 5,29 = 0Σ M=- 70,71 + 17,84 +52,87 = 0

Equilibrio Nudo 2 Equilibrio Nudo 3Σ FX=- 37,13 - 42,42 + 79,57 = 0Σ FY=- 42,42 + 5,29 + 37,14 = 0Σ M=- 70,71 + 70,71 = 0

figura III.A.24

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=Θ−=Θ−=∆−=∆

=Θ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

kNkNkNkN

RRRR

RR

RR

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

14,3757,7971,47

29,5

28,515,3771,47

29,5

002702,0001725,0000477,0000371,0

000918,0

·

000.6000.6200.100000000.100000000.100000000.60200.1000.6

42,4242,42

3

3

1

1

3

2

2

2

1

3

3

1

1

12)

Ecuación III.A.20. (P. 11/ III)

Ejercicio III.1 (4-fin):


MODELOS DE BARRAS PARA LA FORMACIÓN DE RIGIDEZ

•Enlaces de nudos de barras influyen sobre matrices de barras. Y, en consecuencia, en la matriz de rigidez completa de la estructura. •Si el extremo de la barra no se articula al nudo el enlace es rígido, véase la figura a. En ella todos los enlaces representados son rígidos.•Para elegir el modelo de enlace no se tiene en cuenta los apoyos del sistema. Así, los extremos aislados de las barras se consideran como enlaces rígidos con independencia del tipo de apoyo, véanse en la figura a los enlaces C, D y E . •La matriz de rigidez completa de la estructura no depende de los apoyos. Las estructuras representadas en la figura b, todas tienen iguales matrices completas de rigidez.

Figura III.A.25

a) Enlaces rígidos de barras b) Todos estos sistemas tienen la misma matriz completa de rigidez


EL NUDO ARTICULADO

Si un nudo del sistema es una articulación común a todas las barras el coeficiente de la matriz de rigidez asociado al grado de libertad correspondiente al giro de ese nudo es igual a 0. Para el ejemplo de la figura III.A.26.a.,. este coeficiente es el K99. Al ser singular la matriz no puede resolverse el sistema. Para ello se procede de la manera siguiente:Todas las barras menos una, deben considerarse articuladas en el nudo. En la figura III.A.26.. la barra B-E, aunque articulada, se considera enlazada rígidamente.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆

∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

n

i

nnninnn

iniiiii

ni

ni

ni

n

i

KKKKK

KKKKK

KKKKKKKKKKKKKKK

P

P

PPP

.

.

.

.

......................

..)0(.....................

....

....

....

.

.

.

.3

2

1

321

321

33333231

22232221

11131211

3

2

1

Figura III.A.26. Nudo articulado

Ecuación III.A.22

Ecuación matricial de un sistema con un nudo articulado


EJEMPLOS DE SELECCIÓN DE MATRICES BARRAS (1)

Figura III.A.27. Modelos de barras de estructuras reales


SELECCIÓN DE MODELOS DE ENLACES DE LAS BARRAS (2)

Figura III.A.28. Modelos de barras de estructuras reales


ETAPAS DEL CÁLCULO MATRICIAL CUANDO HAY CARGAS DE BARRA

Etapa I: Se bloquean los extremos de las barras introduciendo en ellos fuerzas en ejes locales de barra iguales a las reaccionesh En un enlace rígido las reacción es la de un apoyo empotradoh En un enlace articulado la reacción es la de un apoyo articulado

EL CÁLCULO MATRICIAL SOLO RESUELVE LA ETAPA II

Etapa II :Se aplican en los nudos cargas iguales y contrarias a las anteriores referidas a los ejes generales para poder sumarlas con las cragas procedentes de otras barras, también cargadas, concurrentes al mismo nudo; en la figura, por ejemplo el nudo A. La carga PA

E es suma de las carga de nudo PA .

Figura III.B.1. Etapas del cálculo matricial


Figura III.B.2. Barra cargada

Figura III.B.3 Reacciones en ejes locales

Figura III.B.4 Cargas equivalentes en ejes generales

{ }

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+

+−−−

−−

=

23

2

23

)·(··cos12·

)2·()(·cos2

·

·sen

dldl

Plq

dldll

PlqldlP

r cab

β

β

β

{ }

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−

++−+−

−

=

)·(··cos12·

·cos)2·()·(·cos2

·

sen·

22

2

23

dldl

Plq

Pdldll

PlqldP

r cba

β

ββ

β

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }c

baT

baE

ba

cab

Tab

Eab

rTP

rTP

·

·

−=

−=

Ec.III.B.2.

Ecuaciones III.B.1

Reacciones en ejes locales debidas a la carga puntual P:

{rabc} {rba

c}

CARGAS EQUIVALENTES DE LA BARRA CARGADA


EJEMPLO DE SISTEMA CARGADO

En la Etapa I se calculan las reacciones en ejes locales en la barra 2-3 supuestamente empotrada en los dos extremos ya que en este ejemplo ambos corresponden a enlaces rígidos, figura b.En la Etapa II estas reacciones cambiadas de signo y referidas a los ejes generales se introducen en los nudos. En la figura c, nudos 2 y 3. Esta etapa es la que resuelve el cálculo matricial.Los resultados finales son suma de las dos etapas I y II tanto a efectos de esfuerzos como de deformaciones, figura d.

Figura III.B.5. Ejemplo de determinación de cargas equivalentes


a) b)

Ejercicio III.4.Calcular las cargas equivalentes a las cargas de barra en los nudos del pórtico representado en la figura

Figura III.B.6.


1) Reacciones debidas a las cargas de barra (ejercicio III.4.):a) Barra 1-2

{ } { }

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−

==

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=−=

67,1612·

202

·0

;

67,1612·

202

·0

2

21

2

12

lq

lqr

lq

lqr cc

b) Barra 2-3

{ } { }

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−

==

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=−=

108

·

42

0;

108

·

42

0

3223

lP

Pr

lP

Pr cc

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

100001010

;100001010

2112TT TT

2) Matrices de cambio de ejes locales a generales:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

100010001

;100010001

3223TT TT

b) Barra 2-3 (α=180º)

3) Cargas equivalentes de barra: A partir de las reacciones en ejes locales de barra, resulta:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

67,16020

67,16200

·100001010

;67,16

020

67,16200

·100001010

21

12E

Y

X

E

Y

X

MPP

MPP

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

104

0

1040

·100010001

;104

0

104

0·

100010001

32

23E

Y

X

E

Y

X

MPP

MPP

a) Barra 1-2 b) Barra 2-3

a) Barra 1-2 (α=270º)

Ecuación III.A.2. Pr(2IIII)


4) Cargas equivalentes en nudos:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

67,16020

1

E

Y

X

MPP

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

104

0

3

E

Y

X

MPP

Nudo 1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

67,64

20

104

0

67,16020

2

E

Y

X

MPPNudo 2

Nudo 3

4) Representación de resultados:

Figura III.B.7.


rxc , componente de la reacción en la dirección x en el extremo a, en ejes locales de la barra aislada ab

.........mc , momento de la reacción en el extremo b en ejes locales de la barra aislada ab

Figura III.B.8. Barra cargada

Ecuación. III.B.4.

Formato desarrollado referido a las cargas de barra y desplazamientos en ejes generales

{ }

{ }

[ ] [ ]

[ ] [ ]

{ }

{ }

{ }

{ }⎪⎭⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

cba

cab

ba

ab

abbba

abbaa

ba

ab

r

r

kk

kk

p

p······

:······

:···

δ

δ

Ecuación III.B.3.

Formato resumido referido a los desplazamientos en ejes locales

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Θ∆∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

bc

cy

cx

a

c

cy

cx

b

Y

X

a

Y

X

y

x

b

y

xa

mrr

mrr

cccccccc

cccccccc

mppmpp

·1000cossen0sencos

·1000cossen0sencos

·

2··0··0··0··0

0000··02··0··0··0

0000

10974

9863

7652

4321

αααα

αααα

µκµκκρκρ

εεµκµκκρκρ

εε

b)a)

ECUACIÓN MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA CARGADA


LEYES DE ESFUERZOS DE LA BARRA CARGADA

Los resultados finales son suma de las etapas I y II tanto a efectos de esfuerzoscomo de deformaciones, figura III.B.4.

Figura III.B.9. Diagramas de esfuerzos de barras cargadas


Ejercicio III.5. Determinar y representar los diagramas de esfuerzos de la barra 2-3 perteneciente al sistema representado en la figura III.B.10., cuya geometría de barras es la misma que la del ejercicio III.1.(1), figura III.A.9., apartado III.A.6.

Figura III.B.10. Ejemplo III.5..

1) Cálculo de cargas equivalentesInicialmente se determinan las cargas equivalentes a la carga uniformemente repartida aplicada sobre la barra 2-3 del modo siguiente:• Se calculan las reacciones de la barra 2-3, tabla

II.1.a., en ejes locales como barra biempotrada:{ -42,42, -42,42, 70,71}T en el nudo 2 y { 42,42, 42,42, -70,71}T en el nudo 3, figura III.B.11.

• Se calculan las cargas equivalentes referidas a los ejes generales:

Figura III.B.11.

[ ]{ }

[ ]{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=−=

kNmkNkN

rTP

kNmkNkN

rTP

cTE

cTE

71,7042,4242,42

71,7042,4242,42

·100010001

·

71,7042,4242,42

71,7042,4242,42

·100010001

·

32323

23232

2) Resolución del sistemaTeniendo en cuenta que las cargas equivalentes son las mismas que las del ejercicio III.1, apartado III.A.10.2., los desplazamientos de los nudos en ejes generales han sido ya determinados. Estos desplazamientos están representado en la figura III.B.12.


Figura III.B.13. Leyes de esfuerzos

4) Representación de leyes de esfuerzosCalculadas las reacciones en los extremos de barra se determinan los diagramas de esfuerzos de la barra 2-3, figura III.B.13., obtenidos tras iniciar el barrido de esfuerzos de barra por el nudo de menor numeración (2).

Figura III.B.12.Desplazamientos

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

+

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Θ=∆=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Θ−=∆−=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

00,014,3757,79·····

87,5271,47

29,5

71,7042,4242,42

·······71,7042,4242,42

002702,000,000,0

·100010001

········································001725,0000477,0000371,0

·100010001

·

000.40000.60:000.20000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100··············000.20000.60:000.40000.60000.6200.10:000.6200.1000000.100:00000.100

.·········3

2

23

32

kNkN

kNmkNkN

mpp

mpp

Y

X

Y

X

y

x

y

x

3) Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 2-3:Las matrices k11

2,..k221, han sido calculadas en el ejercicio III.1.(1), apartado III.A.6., y los desplazamientos

en ejes generales en el ejercicio III.1.(2)

Ecuación III.B.4. (P 13/III)


Figura III.B.14.

1) Matrices de cambio de ejes:

Ejercicio III.6.En el sistema de barras de la figura III.B.14., el nudo 2 es un nudo articulado (para el cálculo matricial se sitúa la articulación en el extremo 2 de la barra 1-2), se pide:

1) Determinar las fuerzas equivalentes a las cargas de barra.

2) Ecuación matricial reducida.3) Fuerzas en los extremos de la barra 1-2, en ejes locales, conocidos los desplazamientos en ejes generales del nudo 2: ∆2={1,555·10-4, -4,266·10-4, -1,144·10-2}T, en m y rad. 4) reacciones en el apoyo 1 en ejes generales.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

100010001

;100010001

3223 TT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=10004472,08944,008944,04472,0

;10004472,08944,008944,04472,0

2112 TT

Barra 1-2: cos α = (0-2)/4,472 = -0,4472; sen α= (0-4)/4,472 = -0,8944

Barra 2-3: cos α = (2-7)/5 = -1; sen α = (5-5)/5 = 0

Ecuaciones III.A.2. (P 2/III)


2) Cargas equivalentes a la carga sobre la barra 2-3 (ejercicio III.6.):

{ } { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

kNmkNr

kNmkNr cc

2530

0;

2530

0

3223

Figura III.B.15. Reacciones

Reacciones de apoyo de la barra 2-3 en ejes locales de barra, figura III.B.15.

{ }

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

kNmkN

MPP

P

kNmkN

MPP

P

E

Y

XE

E

Y

XE

2530

0

25300

·100010001

;2530

0

25300

·100010001

32

32

23

23

Ecuaciones III.B.2. (P. 12/III)

Cargas equivalentes:

3) Ecuación matricial reducida:

{ }

{ }

{ }

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

{ }

{ }

{ }⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∆

∆

∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

2

1

23332

23322

12212

12211

3

2

1

····

·····

::0··········

::··········0::

····

····

KK

KKKK

KK

P

P

Pa) Ecuación matricial completaen formato resumido:


b) Suprimiendo las filas y columnas asociadas a los desplazamientos nulos, resulta : { } [ ] [ ][ ]{ }2

322

1222 · ∆+= KKP

Siendo:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000400.64150.320150.32170.16

122K [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

160.264806482,259000000.72

322K

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Θ−=∆=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−

−

−

radm

m

Y

X

22

42

42

10·144,110·266,4

10·555,1·

160.26480648659.64150.320150.32170.88

25300

Ecuación III.A.11. (P. 6/III) c8= 1/4; c9= c10=0 para K22

1

c1= c2= c5=1 para K223

1

222

4

4

1

21

12

00298,0

11,25133,00298,0

11,25

10·1446,110·266,410·555,1

·10004472,08944,008944,04472,0

000

·10004472,08944,008944,04472,0

·

000000056,90040556,90000490.8000490.8004050811.14050056,9004055,90000490.8000490.80

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=Θ−=∆=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=Θ=∆=∆

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−

−

kNkN

kNmkN

kN

mppmpp

Y

X

Y

X

y

x

y

x

4) Esfuerzos-reacción en los extremos de la barra 1-2


Obteniéndose:

Ejercicio III.6. (continúa)


Figura III.B.14.

5) Reacción en el apoyo 1 (ejercicio III.6.)

{ } [ ]{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−==

133,047,2220,11

133,00298,0

11,25·

10004472,08944,008944,04472,0

· 12121 pTR T


Ejercicio III.6. (continúa)

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