Analisis Funcional vs. Matricial

Analisis Funcional vs. Matricial

Demetrio Stojanoff

December 3, 2010

Indice

I Analisis funcional basico 6

1 Espacios normados 71.1 Normas de vectores, funcionales y operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Ejemplos mas famosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Calculo de algunos duales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 El lema de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6 Subespacios finitodimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7 Cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.8 Algunos ejemplos de operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.9 Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Funcionales y Operadores 462.1 Hahn Banach: El dual es grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Recordando Baires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Teorema de la imagen abierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4 Teorema del grafico cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Principio de acotacion uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Dualidad y adjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7 Proyectores y subespacios complementados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.8 Ejercicios del Cap. 2 - Funcionales y Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3 Espacios de Hilbert 833.1 Preliminares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Ortogonalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.3 Teorema de representacion de Riesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4

∑i∈I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5 Bases ortonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.6 Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.7 Series de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.8 Ejercicios del Cap. 3 - Espacio de Hibert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1

4 Operadores en espacios de Hilbert 1084.1 El adjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2 Clases de operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3 Positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.4 Descomposicion polar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.5 Subespacios invariantes y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.6 Operadores de rango finito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.7 Ejercicios del Cap 4: Operadores en EH’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5 Espacios localmente convexos 1415.1 Seminormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 Espacios localmente convexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3 Hahn Banach version separacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4 Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.5 Topologıas debiles en espacios normados y ELC’s . . . . . . . . . . . . . . . 1525.6 Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.7 Una caracterizacion de la reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.8 Miscelanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.9 Ejercicios del Cap 5: ELC’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6 Espectro 1666.1 Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.2 Ejemplos y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2.1 El espectro depende del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.2.2 Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.3 Espectro de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.4 Espectro de autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1816.5 Calculo funcional continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.6 Propiedades de la raız cuadrada positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.7 Ejercicios del Cap. 6 - Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7 Operadores compactos 2057.1 Definiciones y equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.2 Fredholm inicia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107.3 Espectro de compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.4 Representaciones espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.5 Fredholm sigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.6 La traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2247.7 Ejercicios del Cap. 7 - Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2

II Teorıa Matricial de Operadores 244

8 Angulos entre subespacios. 2458.1 Preliminares y Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2458.2 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.3 Seudoinversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2518.4 Modulo mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

9 Complementos de Schur de operadores positivos 2609.1 Factorizacion e inclusiones de rangos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.2 Operadores definidos positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2629.3 Shorted de un operador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2659.4 Rango y Nucleo de los operadores shorted. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.5 Otras caracterizaciones del Shorted. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.6 Convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2729.7 La ecuacion X = A−B∗X−1B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10 Rango y Radio Numericos 27910.1 Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.2 El Teorema de Hausdorff Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28010.3 Caracterizaciones del radio numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.4 Comparacion con NUI’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11 Normas unitariamente invariantes para operadores compactos 29311.1 Normas unitariamente invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

12 Productos escalares torcidos 29812.1 Proyectores A-autoadjuntos y compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29812.2 Caracterizaciones de la compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.3 Complementos de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30512.4 El caso R(A) v H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30812.5 El caso de dos proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31012.6 El caso A inyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31112.7 La proyeccion minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31212.8 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

13 Proyectores escaleados 32213.1 Problemas de cuadrados mınimos y proyecciones A-autoadjuntas. . . . . . . 32213.2 Proyecciones escaleadas en dimension infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32913.3 Caracterizaciones de la B-compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

3

III Marcos 337

14 Frames 33814.1 Nociones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.2 Perturbaciones de frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34014.3 Proyecciones y frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

14.3.1 Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34314.3.2 Proyecciones Oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

14.4 Frames de Riesz y de Riesz condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34714.4.1 Frames de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34714.4.2 Un contraejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.4.3 Angulos entre columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

14.5 Yo me borro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.5.1 Excesos y Borrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.5.2 Frames que contienen bases Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

14.6 Truncaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36414.7 Marcos de Gabor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

14.7.1 Motivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36614.7.2 Algunos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

15 Marcos de fusion 37115.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37115.2 Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37215.3 Marcos de fusion y operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37415.4 Pesos Admisibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37815.5 Proyectores y marcos de subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38115.6 Refinamientos de marcos de subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38315.7 Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

IV Resultados Preliminares 399

A Topologıa 400A.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400A.2 Cerrados, lımites y clausuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402A.3 Bases y sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.3.1 Topologıa inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406A.4 Clases de ET’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

A.4.1 Numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407A.4.2 Separacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408A.4.3 Herencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

A.5 Continuidad basica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412A.6 Redes y subredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415A.7 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4

A.8 Sucesiones en espacios N1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421A.9 Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423A.10 Productos y cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

A.10.1 Topologıa inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424A.10.2 Topologıa producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425A.10.3 Topologıa final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430A.10.4 Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

A.11 Espacios metricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.12 Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435A.13 Compactos en EM’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439A.14 Compactificacion de Alexandrov: Un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440A.15 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442A.16 Stone Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443A.17 Metricas uniformes en C(X, Y ), con Y un EM . . . . . . . . . . . . . . . . . 446A.18 Teoremas de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

5

Parte I

Analisis funcional basico

6

Capıtulo 1

Espacios normados

Llamemos K = R o C. Un espacio vectorial topologico (EVT) es un espacio topologico(E, τ) en el que E es un K-espacio vectorial, y la topologıa τ es de Hausdorff y cumple quelas operaciones vectoriales

E × E 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ E y C× E 3 (λ , x) 7→ λx ∈ E (1.1)

son continuas, cuando en E ×E y en C×E se usan las topologıas producto. En particularesto hace que, para cada x ∈ E fijo, las aplicaciones Tx : E → E dada por Tx(y) = x+ y

y Mx : C→ E dada por Mx(λ) = λx (1.2)

sean continuas. Observar que cada Tx es un homeo, con inversa T−x . Esto dice que, fijadoun x ∈ E, podemos calcular siempre los entornos de x como

Oτ (x) = x +Oτ (0)def=x+ U = Tx(U) : U ∈ Oτ (0)

.

O sea que para dar una topologıa de EVT, basta con conocer una base (o sub-base) deentornos del cero de E.

1.1 Normas de vectores, funcionales y operadores.

Veremos en principio los ejemplos de EVT’s dados por una metrica. En el contexto deespacios vectoriales, interesan particularmante las metricas d que cumplen dos condicionesde compatibilidad con la estructura: Fijado el par (E, d), donde E es un K-EV y d unametrica en E, se pide que para todo λ ∈ K y todos los vectores x, y, z ∈ E se cumpla

• Que d sea invariante por translaciones, o sea que d(x+ z , y + z) = d(x , y) .

• Que sea homogenea: d(λx , λ y) = |λ| d(x , y) .

Estas metricas se definen a traves de la nocion de norma en el espacio vectorial.

1.1.1. Fijemos un K-espacio vectorial E. Diremos que una funcion ‖ · ‖ : E → R+ es

7

1. Una norma, si cumple que

(a) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ (α ∈ K, x ∈ E).

(b) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (x, y ∈ E).

(c) Dado x ∈ E , se tiene que ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

La metrica resultante se define como d (x, y) = ‖x− y‖, para x, y ∈ E.

2. En tal caso, el par (E, ‖ · ‖) pasa a llamarse una espacio normado (shortly: EN).

3. El par (E, ‖ · ‖) se llamara espacio de Banach (adivinen: EB) si la metrica d hacede E un EM completo (mirar antes la Prop. 1.1.2 de abajo).

4. Si (E, ‖ · ‖) es un espacio normado, denotaremos por BE = x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1 a subola cerrada de radio uno.

5. Diremos que la funcion ‖ · ‖ de arriba es una seminorma, si cumple (a) y (b) pero nonecesariamente (c). 4

Proposicion 1.1.2. Sea (E, ‖ · ‖) un EN. Luego:

1. La d (x, y) = ‖x− y‖ (para x, y ∈ E) es, efectivamente, una metrica en E.

2. Con la topologıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translacionesE 3 y 7→ y + x y las flechas K 3 λ 7→ λx (con x fijo) son continuas.

3. La funcion norma es continua. Mas aun, vale la desigualdad∣∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣∣ ≤ ‖x− y‖ = d (x, y) , para todo par x, y ∈ E . (1.3)

Demostracion. En principio observar que d (x, y) = ‖x − y‖ = 0 ⇐⇒ x = y, por lacondicion (c). Ademas, una desigualdad triangular se deduce facilmente de la otra. Para verque (E, τd) es un EVT, basta mencionar que la continuidad de las aplicaciones de la Ec. (1.1)se deduce directamente de las condiciones (a) y (b) de la definicion de norma. Por ejemplo

‖λx− µ y‖ ≤ ‖λx− µx‖+ ‖µx− µ y‖ = |λ− µ| ‖x‖+ |µ| ‖x− y‖ ,

para x, y ∈ E y λ, µ ∈ K cualesquiera, por lo que K × E 3 (λ, x) 7→ λx es continua. LaEc. (1.3) es otra consecuencia facil de la desigualdad triangular de las normas.

El hecho de que toda norma defina una metrica sobre un espacio vectorial dado, nos permitehablar de los conceptos topologicos habituales como abiertos y cerrados; junto con ellosaparecen en forma natural otros algo mas complejos, como por ejemplo el borde de unconjunto, un conjunto nunca denso (magro) o un conjunto denso en todo el espacio.

Como en ET’s generales, diremos que un EN es separable si tiene un denso numerable.Tambien se puede “completar” un normado, obteniendo un Banach que tiene al anterior

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como subespacio denso. Esto se puede hacer a mano, pero sera mas facil un poco masadelante (ver Obs. 2.1.14). Ademas tiene sentido definir funciones continuas en un EN. Lacosa se pone interesante cuando uno se cuestiona la continuidad de las funciones K-lineales.Ahora daremos las notaciones sobre este tema:

Notaciones 1.1.3. Sean E y F dos K-EV’s.

1. Denotaremos por E ′def= ϕ : E → K : ϕ es lineal al espacio dual algebraico de E.

2. Llamaremos Hom (E,F )def= T : E → F : T es K-lineal al espacio de transforma-

ciones lineales (se abrevia TL) entre E y F .

3. Si T ∈ Hom (E,F ) y x ∈ E, escribiremos T x en lugar de T (x) cuando sea posible.Esto se hace por analogıa con las matrices, y para ahorrar parentises. Llamaremos

(a) kerTdef= T−1(0) = x ∈ E : T x = 0 ⊆ E, al nucleo de T .

(b) R(T )def= T (E) = T x : x ∈ E ⊆ F , al rango (o imagen) de T .

Observar que tanto kerT ⊆ E como R(T ) ⊆ F son subespacios.

4. Si ahora pensamos que (E, ‖·‖ ) es un EN, no siempre vale que toda ϕ ∈ E ′ es continuarespecto de ‖ · ‖. Lo mismo si F es tambien normado y T ∈ Hom (E,F ).

5. Por ello de denomina dual “topologico” de E al K-EV

E∗def= ϕ ∈ E ′ : ϕ es ‖ · ‖-continua = E ′ ∩ C

((E, ‖ · ‖),K

). (1.4)

6. Si E era un C-EV, denotaremos por E ′R y E∗R a sus duales pensandolo como R-EV (osea las funcionales ϕ : E → R que son R-lineales). 4

1.1.4. El hecho de pedirle a una TL que sea continua suena raro. De hecho en Kn son muchomas que continuas, son las cosas por las que uno quiere aproximar otras funciones para quesean “suaves”. Sin embargo, al subir a dimension infinita la “mayorıa” de las funcionales noson continuas. Antes de seguir con la teorıa mostremos un ejemplo para convencer al lectorincredulo. Llamemos SF al subespacio de KN (todas las sucesiones en K) generado por la“base canonica” infinita E = en : n ∈ N. Obviamente cada en es la sucesion que tienetodos ceros salvo un uno en el lugar n-esimo. El espacio SF consta de las “sucesiones finitas”,en el sentido de que a partir de un momento todas sus entradas se anulan. Pongamos enSF la norma supremo ‖x‖∞ = sup

n∈N|xn| , para x = (xn)n∈N ∈ SF . Definamos ahora una

funcional no continua: Sea ϕ ∈ S ′F dada por la formula

ϕ(x) =∑n∈N

n2 · xn para cada x = (xn)n∈N ∈ SF .

Cada tal suma es en realidad finita, por lo que esta bien definida. La linealidad es clara.Ahora bien, si tomamos la sucesion (en

n) de puntos de SF , vemos que ‖en

n‖∞ = 1

n−−−→n→∞

0, por

9

lo que enn

‖ · ‖∞−−−→n→∞

0SF en el espacio normado SF . Sin embargo, ϕ( enn

) = n para todo n ∈ N,

que no converge a ϕ(0SF ) = 0 . Luego esta ϕ es una funcional lineal y no es continua ni en elcero de SF . Veamos, ahora sı, una caracterizacion de la continuidad de las funcionales. 4

Proposicion 1.1.5. Sea (E, ‖ · ‖) un EN y sea ϕ ∈ E ′. Entonces

ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ ‖ϕ‖ = ‖ϕ‖E∗def= sup

x∈BE|ϕ(x)| <∞ . (1.5)

En tal caso, se tiene la siguiente igualdad:

‖ϕ‖ = sup‖x‖=1

|ϕ(x)| = mınM ≥ 0 : |ϕ(x)| ≤M ‖x‖ para todo x ∈ E

. (1.6)

Ademas, ϕ 7→ ‖ϕ‖ es una norma en E∗, con la que resulta ser un espacio normado.

Demostracion. Supongamos que ‖ϕ‖ = +∞. Luego para todo n ∈ N debe existir unxn ∈ BE tal que |ϕ(xn)| ≥ n2. Si ahora consideramos la sucesion yn = xn

n, tendremos que

‖yn‖ =‖xn‖n−−−→n→∞

0 pero |ϕ(yn)| = |ϕ(xn)|n

≥ n para todo n ∈ N .

O sea que una tal ϕ no podrıa ser continua ni en cero (recordar que ϕ(0) = 0). Esto pruebala flecha =⇒ de la Ec. (1.5). Para ver la recıproca observemos que si ‖ϕ‖ <∞, entonces

|ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ para todo x ∈ E . (1.7)

En efecto, si x 6= 0, tomemos y = x‖x‖ . Entonces, como ‖y‖ = 1, tenemos que

|ϕ(x)|‖x‖

= |ϕ(y)| ≤ supz∈BE

|ϕ(z)| = ‖ϕ‖ =⇒ |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x‖ .

De (1.7) deducimos que |ϕ(x) − ϕ(y)| = |ϕ(x − y)| ≤ ‖ϕ‖ ‖x − y‖ para todo par x, y ∈ E.Esto muestra que una tal ϕ es re-continua.

Sea ahora M0 el mınimo de la Ec. (1.6) (en principio digamos que es el ınfimo). Por la (1.7),es claro que M0 ≤ ‖ϕ‖. La otra desigualdad surge de la definicion de ‖ϕ‖. En particularhay mınimo y vale la Ec. (1.6). Finalmente, el hecho de que ϕ 7→ ‖ϕ‖ define una norma enE∗ es de verificacion inmediata, y se deja como ejercicio.

Proposicion 1.1.6. Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E,F ), definamos

‖T‖ = ‖T‖L(E,F ) = sup‖T x‖F : x ∈ E y ‖x‖E ≤ 1

. (1.8)

Entonces vale lo siguiente:

1. ‖T‖ = supx∈BE

‖T x‖F = mınM ≥ 0 : ‖T x‖F ≤M ‖x‖E para todo x ∈ E

.

10

2. T ∈ C(E,F ) ⇐⇒ ‖T‖ <∞.

En tal caso a T se lo llama un operador acotado. Denotaremos por

L(E,F ) = Hom (E,F ) ∩ C(E,F )

al espacio (normado vıa T 7→ ‖T‖) de tales operadores.

Demostracion. La prueba coincide mutatis mutandis con la de la Prop. 1.1.5. Basta cambiarϕ por T y | · | por ‖ · ‖F cuando haga falta.

Como vimos, a las funcionales ϕ ∈ E∗ y a los operadores T ∈ L(E,F ) (para E y F dos EN’s)se los suele adjetivar como “acotados” en lugar de continuos. Esto no es del todo cierto. Loque pasa es que se asume que la acotacion se refiere a sus restricciones a la bola BE .

Observacion 1.1.7. Sean E y F dos K-EV’s y T ∈ Hom(E,F ). Entonces se tiene que

T ∈ L(E,F ) ⇐⇒ T es continua en el punto 0 ∈ E . (1.9)

Esto se debe a la igualdad T (x)− T (y) = T (x− y) y a que T (0) = 0. Recordar que por lametrica que usamos, una sucesion xn −−−→

n→∞x ⇐⇒ x− xn −−−→

n→∞0.

En particular se tiene que las ϕ ∈ E ′ cumplen que

ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ ϕ(xn) −−−→n→∞

0 para toda sucesion xn‖ · ‖−−−→n→∞

0 . 4

Observacion 1.1.8. Sea E un EN y sea ϕ ∈ E ′. Repasando la Prop. 1.1.5 se obtiene lasiguiente mecanica para estudiar una tal ϕ :

• Para mostrar que ϕ ∈ E∗ (o sea que ϕ es continua) basta ver que existe un

M > 0 tal que |ϕ(x)| ≤M ‖x‖ para todo x ∈ E .

• En tal caso, para calcular exactamente ‖ϕ‖ uno candidatea un M como arriba queintuya que es el optimo en el sentido de la Ec. (1.6). Luego para verificar que efectiva-mente lo es, y por ello valdrıa que ‖ϕ‖ = M , basta encontrar una sucesion

(xn)n∈N en BE tal que |ϕ(xn)| −−−→n→∞

M .

Usando las formulas (1.5) y (1.6), si el candidato M cumple ambas cosas (es una cotapor arriba y se lo aproxima desde la bola) ya sabremos que ‖ϕ‖ = M .

El mismo proceso sirve para calcular la ‖T‖ de un T ∈ L(E,F ) como en la Prop. 1.1.6.

Veamos un ejemplo: El normado sera el espacio SF de sucesiones finitas definido en 1.1.4.Consideremos la funcional ϕ ∈ S ′F dada por la formula

ϕ(x) =∑n∈N

xnn2

para cada x = (xn)n∈N ∈ SF .

11

Nuestro candidato para ‖ϕ‖ es el numero M =∑n∈N

1n2 <∞. En efecto observar que

|ϕ(x)| =∣∣∣ ∑n∈N

xnn2

∣∣∣ ≤ ∑n∈N

|xn|n2≤ ‖x‖∞

∑n∈N

1

n2= M ‖x‖∞

para todo x = (xn)n∈N ∈ SF . Ası que ya sabemos que ϕ ∈ S∗F con ‖ϕ‖ ≤ M . Elsiguiente paso es aproximar desde la bola: Para cada entero k ∈ N definamos el vector

yk =k∑

n=1

en = (1, . . . , 1, 0, 0, . . . ) ∈ SF (la cantidad de unos es k). Notemos que ‖yk‖∞ = 1

para todo k ∈ N, por lo que la sucesion de vectores (yk)k∈N vive en la bola BSF . Ademas

ϕ(yk) =k∑

n=1

1

n2−−−→k→∞

∑n∈N

1

n2= M .

Luego ‖ϕ‖ = M y a otra cosa. Como habran notado, la mecanica en cuestion, mas quecalcular la ‖ϕ‖, sirve para probar que una cadidato M que uno saca de la galera cumple que‖ϕ‖ = M . El criterio de eleccion de tales candidatos depende del contexto y de la intuiciondel que lo busque. No se puede dar recetas para todo en la vida.

Para ejercitar la intuicion y la metodologıa propuesta dejamos otro ejemplo para el lector:Se trata de calcular la norma del operador T : SF → SF dado por

T x =(

(1− 1

n)xn

)n∈N

para cada x = (xn)n∈N ∈ SF . 4

Observacion 1.1.9. Sean E,F y G tres EN’s y sean T ∈ L(E,F ) y A ∈ L(F,G). Comocomponer continuas da continua (y lo mismo con las K-lineales), nos queda que la com-posicion AT = A T ∈ L(E,G). Pero mejor aun, por la definicion de normas de operadoresdada en (1.8), que utiliza supremos, tenemos la siguiente desigualdad:

‖AT‖L(E,G) = supx∈BE

‖AT x‖ ≤ supx∈BE

‖A‖ ‖T x‖ = ‖A‖L(F,G) ‖T‖L(E,F ) . (1.10)

En particular, si llamamos L(E) = L(E,E), este espacio normado es tambien una K-algebra,y la norma es “matricial”, en el sentido de que si

T,A ∈ L(E) , entonces ‖AT‖ ≤ ‖A‖ ‖T‖ .

Si pedimos que E sea Banach, entonces L(E) es lo que se llama un algebra de Banach,porque como se vera en el Teo. 1.1.10 que viene a continuacion, el espacio L(E) sera tambienun EB, que es ademas K-algebra, con una norma matricial. 4

Teorema 1.1.10. Sean E y F dos EN’s. Pensemos a L(E,F ) como un EN con la normade la Ec. (1.8). Entonces vale que

1. Si F es Banach, entonces tambien L(E,F ) es un Banach.

12

2. En particular E∗ = L(E,K) es un Banach para cualquier espacio normado E.

3. Si asumimos que E∗ 6= 0, entonces

L(E,F ) es Banach ⇐⇒ F es Banach .

Demostracion. Asumamos que F es un EB. Si me dan una sucesion (Tn)n∈N de Cauchy enL(E,F ), para cada x ∈ E tenemos que

‖Tnx− Tmx‖F = ‖(Tn − Tm)x‖F ≤ ‖Tn − Tm‖ ‖x‖ −−−−→n,m→∞

0 para todo x ∈ E .

Luego (Tn x)n∈N es de Cauchy en F . Por la completitud de F podemos definir la funcion

T : E → F dada por T x = lımm∈N

Tm x para cada x ∈ E .

Es facil ver que T es K-lineal (lımites de sumas y todo eso). Y tenemos convergencia“puntual”. Para concluir que L(E,F ) es Banach nos faltarıa ver que

T ∈ L(E,F ) y que ‖Tn − T‖L(E,F ) −−−→n→∞

0 .

Veamos primero lo segundo: Dado un ε > 0, hay un n0 ∈ N tal que ‖Tn − Tm‖ < ε2

siempreque n,m ≥ n0 . Si fijamos un n ≥ n0 y tomamos cualquier x ∈ E, se tiene que

‖(T − Tn)x‖ = ‖T x− Tn x‖?= lım

m→∞‖Tm x− Tn x‖ ≤ sup

m≥n0

‖Tm x− Tn x‖ ≤ε

2‖x‖ .

En efecto, la igualdad?= surge de que tanto sumar un vector fijo como tomar norma son

funciones continuas en F (Prop. 1.1.2). Como la desigualdad de arriba vale con el mismon para todos los x ∈ E , podemos tomar supremo sobre BE , con lo que

‖T − Tn‖ = supx∈BE

‖(T − Tn)x‖ ≤ supx∈BE

ε

2‖x‖ < ε , para todo n ≥ n0 .

En resumen, ya sabemos que ‖Tn − T‖L(E,F ) −−−→n→∞

0. En particular, existe un Tm tal que

‖T − Tm‖ ≤ 1 =⇒ ‖T‖ = ‖T − Tm + Tm‖ ≤ ‖T − Tm‖+ ‖Tm‖ ≤ 1 + ‖Tm‖ <∞ .

Luego T ∈ L(E,F ) y lista la completitud. La recıproca sale fijando una ϕ ∈ E∗ no nula. Siahora tomamos una sucesion (yn)n∈N de Cauchy en F , podemos definir

Tn ∈ L(E,F ) dadas por Tn x = ϕ(x) · yn para x ∈ E y n ∈ N .

Unas cuantas directas muestran que ‖Tn − Tm‖ = ‖ϕ‖ ‖yn − ym‖F para todo par n,m ∈ N.Usando que L(E,F ) es Banach, debe existir un T ∈ L(E,F ) tal que ‖Tn − T‖ −−−→

n→∞0.

Ahora basta elegir un x0 ∈ E tal que ϕ(x0) = 1 y poner y = T x0 .

13

Observacion 1.1.11. En la prueba anterior hay un exceso de hipotesis. Para el item 3basta pedir que E 6= 0. Si bien nadie probo todavıa que que todo EN no trivial tienefuncionales continuas no nulas, mas adelante veremos que eso es cierto. Nos adelantamos unpoco para ir motivando el teorema de Hahn-Banach. 4

Antes de terminar esta seccion basica y pasar a los ejemplos, mostraremos un criterio paratestear completitud de un EN que se usara varias veces en lo que sigue.

Proposicion 1.1.12. Sea E un EN. Las suguientes condiciones son equivalentes:

1. El esapcio (E, ‖ · ‖) es un Banach (i.e., es completo).

2. Toda serie absolutamente convergente es convergente (todo en E). Mas precisamente,dada una sucesion (xn)n∈N en E, se tiene que∑n∈N

‖xn‖ <∞ =⇒∑n∈N

xn es convergente (con la norma) a un punto x ∈ E .

En tal caso, vale que ‖x‖ ≤∑n∈N‖xn‖.

Demostracion. Asumamos primero que E es un EB. Luego, para mostrar la convergencia de

la serie, basta ver que la sucesion yn =n∑k=1

xk es de Cauchy en E. Pero si n < m,

‖ym − yn‖ =∥∥∥ m∑k=n+1

xk

∥∥∥ ≤ m∑k=n+1

‖xk‖ −−−−−→n,m→∞

0 ,

por la hipotesis de que∞∑n=1

‖xn‖ <∞. Ası que existe limn→∞

yn = x =∞∑n=1

xn . Ademas,

‖x‖ = lımn→∞

‖yn‖ = lımn→∞

∥∥∥ n∑k=1

xk

∥∥∥ ≤ lımn→∞

n∑k=1

‖xk‖ =∞∑k=1

‖xk‖ ,

donde se uso que la funcion y 7→ ‖y‖ es continua, Creamos ahora en la condicion dos, ytomemos una sucesion de Cauchy (yn)n∈N en E. Para cada k ∈ N elijamos un

mk ∈ N tal que ‖yr − ys‖ < 2−k para los r, s ≥ mk .

Luego definamos inductivamente n1 = m1 y nk = maxmk , nk−1 + 1 para k > 1 (estopara que los nk sean crecientes). Nos queda una subsucesion (xk)k∈N = (ynk)k∈N tal que‖xk+1 − xk‖ < 2−k para todo k ∈ N. Tomemos finalmente la telescopica

z1 = x1 y zk+1 = xk+1 − xk para k ∈ N .

Por lo anterior, la sucesion (zk)k∈N es absolutamente convergente y por ello convergente.

Pero cadak∑r=1

zr = xk = ynk . Ası que la subsucesion (ynk)k∈N es convergente a un y ∈ E, y

arrastra con ella a toda la (yn)n∈N porque esta era de Cauchy.

14

1.2 Ejemplos mas famosos.

La gracia de los EVT’s y los EN’s, y por ende del analisis funcional en general, es que la teorıase hizo como forma de abstraer propiedades ya conocidas de muchos ejemplos matematicosmuy importantes, que se estudiaban separadamente. Esto simplifico los conceptos involu-crados, y permitio desarrollar una teorıa nueva (con aplicaciones directas a esos ejemplosy muchısimos nuevos que fueron apareciendo). Y lo bueno es que esa teorıa exploto, obte-niendo gran cantidad de resultados cualitativamente importantes y generando un mundonuevo dentro del analisis.

A continuacion enumeraremos los ejemplos mas conocidos. En general, las pruebas de quelas normas descritas cumplen la desigualdad triangular requieren de cuentas no demasiadofaciles, dentro del contexto de cada ejemplo. Dejaremos sistematicamente esas pruebas comoejercicios para el lector.

Ejemplo 1.2.1. Es sencillo ver que toda norma ‖·‖ sobre R es de la forma ‖x‖ = a · |x|(x ∈ R), donde a = ‖1‖ > 0. En efecto, la propiedad (b) de la definicion de norma nos diceque ‖x‖ = |x| ‖1‖ para cualquier x ∈ R.

Tambien esta claro que toda funcion de la forma R 3 x 7→ a|x|, con a > 0, es una normasobre R. Es conocido el resultado Q = R que nos dice que este espacio es separable.

Ejemplo 1.2.2. Si consideramos el espacio C, vale la misma observacion que en el ejemploanterior cuando se lo considera como un C-EV. Tomando Q+ iQ, vemos que C es separable.

Ejemplo 1.2.3. Mas generalmente, en Kn podemos definir varias normas: Dado un vectorx = (x1 , . . . , xn) ∈ Kn, consideremos

1. ‖x‖∞ = max1≤k≤n

|xk|.

2. ‖x‖p =

(n∑k=1

|xk|p) 1

p

para los exponentes 1 ≤ p <∞.

3. El caso particular p = 2 se denomina generalmente espacio Euclıdeo.

Las mismas consideraciones que en los ejemplos anteriores nos dicen que estos espacios sonseparables.

Ejemplo 1.2.4. Sean X un conjunto y (E, ‖ · ‖) un EN. Se definen

1. `∞(X,E) = f : X → E acotadas , o sea que

f ∈ `∞(X,E) si ‖f‖∞def= sup

x∈X‖f(x) ‖E <∞ .

Es facil ver que ‖ · ‖∞ es una norma en `∞(X,E).

15

2. Veamos que si E era un EB, entonces `∞(X,E) es completo, y queda un EB.

En efecto, sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en `∞(X,E). Dado un x ∈ X, sabemosque ‖fk(x) − fm(x)‖E ≤ ‖fk − fm‖∞ para todo k,m ∈ N. Luego cada sucesion(fn(x) )n∈N es de Cauchy en E. Como E es completo, podemos definir la funcion

f : X → E dada por f(x) = lımn→∞

fn(x) , para todo x ∈ X ,

que es nuestra candidata a lımite. Nos falta verificar dos cosas:

‖fn − f‖∞?−−−→

n→∞0 y f

?∈ `∞(X,E) .

Dado ε > 0, sea n1 ∈ N tal que ‖fk − fm‖∞ < ε2

para todo k,m ≥ n1 . Si k ≥ n1 ,

‖fk(x)−f(x)‖E= lım

m→∞‖fk(x)−fm(x)‖E ≤ sup

m≥n1

‖fk(x)−fm(x)‖E ≤ε

2< ε , (1.11)

para todos los x ∈ X a la vez. La igualdad= se deduce de que fm(x) −−−→

m→∞f(x),

usando la norma es continua. La Ec. (1.11) muestra que ‖fn− f‖∞ −−−→n→∞

0. Tomando

un n tal que ‖fn − f‖∞ < 1, la Ec. (A.24) nos asegura que f ∈ `∞(X,E) .

3. Si X tiene una topologıa τ , consideraremos el espacio de funciones continuas y acotadas

Cb(X,E) = C(X,E) ∩ `∞(X,E) =f ∈ C(X,E) : ‖f‖∞ = sup

x∈X‖f(x) ‖ <∞

,

En la Prop. A.17.4 se prueba que Cb(X,E) es cerrado en `∞(X,E). Observar que esoes mas que suficiente para asegurar que tambien Cb(X,E) es un EB.

4. En el caso de que el espacio X sea compacto, se tiene Cb(X,E) = C(X,E).

5. Recordemos que cuando E = K notamos Cb(X,K) = Cb(X) y C(X,K) = C(X). Si Xes un compacto Hausdorff, Cb(X) = C(X) es tambien separable, por Weierstrass (sino lo conocen, chusmeen el Teo. 3.6.3).

6. En cambio, si X es cualquier conjunto infinito y E 6= 0, se tiene que `∞(X,E) nuncaes separable, porque las caracterısticas de subconjuntos de X (multiplicadas por uny ∈ E \ 0) son no numerables, viven en `∞(X,E) y distan siempre ‖y‖ entre sı. 4

Ejemplo 1.2.5. Consideremos ahora los epacios de sucesiones escalares dentro de KN. Us-aremos la notacion x = (xn)n∈N para dichas sucesiones.

1. Fijado un exponente p tal que 1 ≤ p <∞, consideremos los espacios

`p = `p(N) =

x ∈ KN :

∞∑n=1

|xn|p <∞

.

16

En ellos se considera la norma

‖x‖p =

(∑n∈N

|xn|p) 1

p

.

Con estas normas, cada espacio `p es un Banach (como en el Ejem. 1.2.4).

2. Miremos ahora el espacio de sucesiones “finitas”

SF = SF (N) = K(N) =

x ∈ KN : existe un n0 ∈ N tal que xn = 0 si n ≥ n0

,

que puede interprestarse como la “union” de todos los Kn, n ∈ N. Este K-EV tienedimension algebraica numerable, porque tiene a la bases canonica en : n ∈ N, dondecada en es la funcion caracterıstica del conjunto n.Observar que SF ⊆ `p para todo p ∈ [1,∞). Mas aun, nuestro SF es claramente densoen cada `p con su norma (truncando colas de series). Considerando el subconjuntoQ(N) = SF ∩QN uno muestra que todos los `p son separables.

El parrafo anterior conlleva a una conclusion sorprendente: no todo subespacio de unnormado E tiene porque ser cerrado como subconjunto de X. Esto contradice la intu-icion erreenica, y hace falta que nos vayamos acostumbrando a descartar esa intuicione ir generando una banajica. Ası que para abreviar, en lo que sigue escribiremos

S v E para decir que S ⊆ E es un subespacio cerrado de E .

3. El espacio de sucesiones acotadas

`∞ = `∞(N) =

x ∈ KN : ‖x‖∞ = sup

n∈N|xn| <∞

es tambien un Banach con dicha norma supremo. Hemos visto que este Banach no esseparable. Contiene a SF , pero ahora no queda denso.

4. Dos subespacios importantes de `∞ son los siguientes:

c =

x ∈ `∞ : existe el lımn→∞

xn

y c0 =

x ∈ c : lım

n→∞xn = 0

. (1.12)

Ambos son subespacios cerrados de `∞, lo que los transforma en sendos espacios deBanach, siempre con la norma ‖ · ‖∞ . Observar que c0 v `∞ porque es, en realidad,la clausura en `∞ de SF . De paso, eso dice que c0 es separable.

Por otra parte, si definimos la sucesion 1 ∈ c como la constantemente igual a 1, esfacil verificar que c = c0 ⊕K · 1, por lo que tambien c es separable.

17

5. Ahora podemos generalizar los ejemplos anteriores: Fijemos E un EN, y p ∈ [1,∞).Dentro del producto EN, consideremos el subespacio

`p(N, E) = `p(E) =

(xn)n∈N ∈ EN :

∑n∈N

‖xn‖p <∞

.

Obtenemos un normado con la norma p resultante. Esto se puede extender mas aun,definiendo `p(I, E), donde I es cualrquier conjunto. Hace falta repasar un poco desumas “desordenadas”, o sea series no numerables de terminos positivos.

6. Incluso mas, podemos considerar el producto P =∏n∈N

En , donde cada (En, ‖ · ‖n) es

un EN, y tomar el subespacio `p(T ) =

(xn)n∈N ∈ P :

∑n∈N‖xn‖pn <∞

, dandole una

estructura de espacio normado mediante la super-norma p. 4

Ejercicio 1.2.6. Probar que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces `p(N) ⊆ `q(N). Ya que estamos,mostrar que si p < q, entonces la inculsion es estricta. 4

Ejemplo 1.2.7. Sea X un conjunto y sobre el consideremos el espacio de medida (X,Σ, µ),donde Σ es una σ-algebra de conjuntos de X y µ : Σ→ R+∪+∞ es σ-aditiva. LlamaremosMed(X,Σ) al conjunto de funciones f : X → K que son Σ-medibles.

1. Fijemos un exponente p ∈ [1,+∞). Se define el espacio

Lp = Lp(X , Σ , µ) =

f ∈ Med(X,Σ) :

∫X

|f(t)|p dµ(t) <∞

que es un espacio vectorial “seminormado” con la

‖f‖p =

(∫X

|f |p dµ

) 1p

, para f ∈ Med(X,Σ) .

La demostracion de que se trata realmente de una seminorma (lo que garantiza que Lpes un K-EV) es la famosa desigualdad de Minkowski.

2. Fijada una f ∈ Med(X,Σ), definimos su supremo esencial como el numero

‖f‖∞ = ess sup(f) = ınfM > 0 : tal que µ

(|f | > M

)= 0.

Luego definimos el espacio vectorial seminormado

L∞ = L∞(X,Σ, µ) = f ∈ Med(X,Σ) : ‖f‖∞ <∞ .

En este caso es trivial que ‖ · ‖∞ es una seminorma en L∞(X,Σ, µ).

18

3. Es facil ver que el conjunto N = N(X,Σ, µ) =f ∈ Med(X,Σ) : µ

(|f | 6= 0

)= 0

esun subespacio de Med(X,Σ). Una cuenta directa muestra que

N = f ∈ Med(X,Σ) : ‖f‖p = 0 ⊆ Lp para cada 1 ≤ p ≤ ∞ .

Luego se pueden definir los espacios normados Lp = Lp(X,Σ, µ) = Lp(X,Σ, µ)/N(asumimos conocido el cociente de EV’s), porque en ellos la ‖ · ‖p baja haciendoseuna buena norma. Como hace todo el mundo, abusaremos sitematicamente de lanotacion dicendo que un elemento f ∈ Lp es una funcion (en Lp) en vez de su clasede equivalencia. En los cursos de medida seguro que se ha demostrado que el espacio(Lp, ‖ · ‖p) es completo, por lo que estamos hablando de espacios de Banach.

4. Cabe recordar que si µ (X) <∞, entonces L∞ ⊆ Lp para todo 1 ≤ p <∞, y ademas

limp→∞‖f‖p = ‖f‖∞ para toda f ∈ L∞ . (1.13)

En efecto, dada f ∈ L∞, podemos suponer (sin perdida de generalidad) ‖f‖∞ = 1 .En tal caso, como |f |p ≤ 1 salvo un conjunto de medida nula, se tiene que∫

X

|f |p dµ ≤∫X

1 dµ = µ (X) <∞ =⇒ f ∈ Lp . (1.14)

Para probar la Ec. (1.13), tomumos un A < 1 y llamamos E = x ∈ X : |f(x)| > A.Por la definicion del supremo esencial vemos que µ (E) > 0. Ademas

A · µ (E)1p = (Ap)

1p ·(∫

X

χE

) 1p

=

(∫E

Ap) 1

p

≤(∫

E

|f |p) 1

p

≤ ‖f‖p ≤ µ(X)1p ,

donde la ultima desigualdad se sigue de la Ec. (1.14). Luego

A ≤ lim infp→∞

‖f‖p ≤ lim supp→∞

‖f‖p ≤ 1 .

Como el A < 1 era cualquiera, sale que lımp→∞‖f‖p = 1 = ‖f‖∞ .

Por lo tanto tambien vale que L∞ ⊆ Lp (se dividıa por lo mismo). Ojo que la inclusiones de conjuntos. Porque L∞ es un EB con su norma, aunque L∞ 6v Lp porque comosubespacio de los Lp es facil ver que es denso en cada uno de ellos con su ‖ · ‖p . 4

Ejemplo 1.2.8. Dada cualquier funcion ϕ : [a, b]→ R y cualquier particion

Π ≡ a = t0 < t1 < .... < tn = b de ([a, b] ,

definamos V (ϕ,Π) =n∑k=1

|ϕ (tk)− ϕ (tk−1) |. El espacio

BV[a, b] = ϕ : [a, b]→ R : V (ϕ)def= sup

ΠV (ϕ,Π) <∞

19

cosiste de las llamadas funciones de variacion acotada (VA) sobre [a, b].

Se ve facilmente que la flecha ϕ 7→ V (ϕ) es una seminorma. El numero V (ϕ) se llama lavariacion de ϕ. Los ejemplos mas faciles de funciones de VA son las monotonas. En esecaso, para cualquier particion Π vale que

V (ϕ,Π) = |ϕ(b)− ϕ(a)| =⇒ V (ϕ) = |ϕ(b)− ϕ(a)| <∞ .

Por otro lado, no es dificil ver que V (ϕ) = 0 si y solo si ϕ es constante. En efecto, la igualdadV (ϕ) = 0 =⇒ V (ϕ,Π) = 0 para toda particion Π. Si existieran dos puntos u, v ∈ [a, b], conu > v, tales que ϕ (a) 6= ϕ(b) podrıamos tomar la particion ad hoc Π∗ = a, , v, u, b. Peroella cumplirıa que V (ϕ,Π∗) ≥ |ϕ(u)− ϕ(v)| > 0. No puede ser.

Ahora sı podemos dar una norma para el espacio BV[a, b], poniendo

‖ϕ‖BV = |ϕ(a)|+ V (ϕ) para cada ϕ ∈ BV[a, b] .

Es una seminorma por ser la suma de dos de ellas. Pero ahora tenemos que ‖ϕ‖BV = 0 =⇒ϕ ≡ 0, porque la ϕ debe ser constante y ϕ(a) = 0. Un argumento similar al del Ejem. 1.2.4(espacios `∞(X , E) ) nos dice que BV[a, b] es no separable. 4

Ejemplo 1.2.9. Sea α ∈ R∗+

. Las funciones lipschitzianas de orden α son las funciones

ϕ : [a, b]→ K que satisfacen que su norma

‖ϕ‖Lαdef= |ϕ(a)|+ sup

t6=s

|ϕ(t)− ϕ(s)||t− s|α

<∞ .

El hecho de que ‖ ‖Lα sea una norma sale igual que en el ejemplo anterior. Es facil ver quetoda tal ϕ ∈ C[a, b]. Mas aun, si fijamos un par t 6= s en (a, b), tenemos que

|ϕ(t)− ϕ(s)||t− s|α

≤ supx 6=y

|ϕ(x)− ϕ(y)||x− y|α

def= Sϕ <∞ =⇒ |ϕ(t)− ϕ(s)| ≤ Sϕ · |t− s|α . (1.15)

Por eso se las llama lipschitzianas. De hecho, es facil ver que una ϕ cumple la desigualdadde la derecha de (1.15) para alguna constante Sϕ < ∞ ⇐⇒ ‖ϕ‖Lα < ∞. Estas funcionesson interesantes sobre todo cuando 0 < α ≤ 1. Porque sino pasa lo siguiente:

Si α > 1, las unicas funciones lipschitzianas de orden α son las constantes. En efecto, si‖ϕ‖Lα < ∞ con α > 1, entonces ϕ tiene que ser derivable en el abierto (a, b), y ademas sedebe cumplir que ϕ′ ≡ 0. Es porque dado un x0 ∈ (a, b), el cociente incremental cumple que

|ϕ(x0)− ϕ(x0 + h)||h|

(1.15)

≤ Sϕ · |h|α

|h|= Sϕ · |h|1−α −−→

h→00 .

Luego, por algun Teorema de Analisis I ya tenemos que ϕ debe ser constante. 4

20

Ejemplo 1.2.10. Sea (X, τ) un ET compacto Hausdorff. Llamemos B(X) ⊆ P(X) la σ-algebra de los Borelianos de X (la σ-algebra generada por τ). Una medida boreliana complejaes una µ : B(X)→ C que es σ-aditiva y solo toma valores finitos.

La variacion total de una tal µ es la medida positiva |µ| definida por

|µ|(A) = supπ∈PD(A)

nπ∑k=1

|µ(Ek)| para cada A ∈ B(X) , (1.16)

donde PD(A) es el conjunto de particiones finitas π = E1 , . . . , Enπ de A (i.e.,d⋃Ek = A).

Una de las utilidades de |µ| es que se la necesita para la desigualdad∣∣∣ ∫X

f dµ∣∣∣ ≤ ∫

X

|f | d |µ| , (1.17)

que vale para cualquier f ∈ C(X) (y para toda f que sea µ-integrable). Otra es que sirvepara definir la regularidad: una medida µ es regular si |µ| cumple que

|µ|(A) = sup |µ|(K) : K ⊆ A y K es compacto , para todo A ∈ B(X) . (1.18)

El espacio Mr(X) de medidas complejas regulares es un normado con la norma

‖µ‖ = |µ|(X) , para cada µ ∈Mr(X) .

El que |µ| sea finita para toda µ ∈Mr(X) y la triangular |µ+ ν|(X) ≤ |µ|(X) + |ν|(X) sonresultados tıpicos de teorıa de la medida, que asumiremos (ver 1.9.25). Observar que

|µ(A)| ≤ |µ(A)|+ |µ(X \ A)| ≤ |µ|(X) = ‖µ‖ , para µ ∈Mr(X) y A ∈ B(X) .

Usando esto se puede mostrar que (Mr(X), ‖ · ‖ ) es un Banach, cuenta que dejamos comoejercicio. Las pruebas de las afirmaciones de este ejemplo estan detalladamente propuestascomo una serie de ejercicios en la seccion final: desde el 1.9.12 hasta la Obs. 1.9.25. 4

1.3 Calculo de algunos duales.

Calcularemos ahora “los duales” de algunos ejemplos anteriores. En general esto se hacecon los llamados teoremas de representacion. Ellos consisten en tomar un espacio conocidoy hacerlo actuar sobre otro EN como funcionales acotadas. O sea “representarlo” como eldual de otro a traves de una aplicacion lineal isometrica sobre. Lo difıcil de este procesosuele ser ver que una representacion dada es sobre, o sea que toda funcional acotada debeser alguna de las representadas del espacio conocido. Esto se entendera mejor mirando lossiguientes ejemplos.

Antes de empezar, recordemos la funcion sgn : C→ S1 ∪ 0, dada por

sgn z =z

|z|para z ∈ C \ 0 y sgn 0 = 0 .

21

Una cuenta que usaremos seguido dice que(sgn z

)· z =

z

|z|· z =

|z|2

|z|= |z| para todo z ∈ C \ 0 . (1.19)

La igualdad de los bordes obviamente sigue valiendo para z = 0.

En los siguientes ejemplos usaremos sistematicamente la receta propuesta en la Obs. 1.1.8para calcular normas de funcionales.

1.3.1. Queremos identificar los duales de c0 y de `1.

Empecemos representando a `1 dentro de c∗0 . Dada y = (yn)n∈N ∈ `1 definamos la funcional

ϕy : c0 → K dada por ϕy(x) =∑n∈N

xn yn , para cada x = (xn)n∈N ∈ c0 .

La siguiente cuenta mostrara que la serie es convergente y que ϕy es acotada: Fijado x ∈ c0 ,

|ϕy(x)| =∣∣∣∑n∈N

xn yn

∣∣∣ ≤∑n∈N

|xn yn| ≤ ‖x‖∞∑n∈N

|yn| = ‖x‖∞ ‖y‖1 . (1.20)

La parte derecha dice que la serie es absolutamente convergente y por ello converge, asıque ϕy(x) esta bien definida. Mirandola de nuevo, ahora para todo x ∈ c0 , nos dice que‖ϕy‖ ≤ ‖y‖1 para cualquier y ∈ `1. Entonces ya tenemos una representacion R ∈ L(`1 , c∗0)dada por R(y) = ϕy . Veamos que es isometrica: Fijado el y ∈ `1 y un N ∈ N, tomemos

xN =N∑k=1

sgn yk ek = (sgn y1 , . . . , sgn yN , 0 , 0 , . . . ) ∈ SF ⊆ c0 . (1.21)

Observar que, usando la Ec. (1.19), tenemos que ϕy(xN) =N∑k=1

sgn yk yk =N∑k=1

|yk| . Por otra

parte ‖xN‖∞ ≤ 1 para cualquier N ∈ N, porque | sgn z| ≤ 1 para cualquier z ∈ C. Juntandotodo y agrandadno indefinidamente el N ∈ N, llegamos a que

‖ϕy‖ = sup‖x‖∞≤1

|ϕ(x)| ≥ supN∈N

|ϕ(xN)| = supN∈N

N∑k=1

|yk| = ‖y‖1 .

Esto muestra que la representacion R es isometrica. Falta ver que llena al dual c∗0 . Paraprobarlo, fijemos ϕ ∈ c∗0 y definamos yn = ϕ(en) ∈ K para cada n ∈ N. Esto nos da lacandidata y = (yn)n∈N . Es facil ver que en los x ∈ SF se cumple que

ϕ(x) = ϕ( ∑n∈ J

xn en)

=∑n∈ J

xn yn = ϕy(x) ,

donde el J ∈ PF (N) es el soporte finito de x. Con las xN ∈ c0 de (1.21) relativas a este y seve que ‖y‖1 ≤ ‖ϕ‖ por lo que y ∈ `1 and ϕy ∈ c∗0 . Luego ϕ y ϕy son funcionales continuasque coinciden en el denso SF ⊆ c0 , por lo que deben ser la misma. En resumen,

c0∗ ∼= `1 vıa la representacion `1 3 y 7→ ϕy ∈ c∗0 . (1.22)

22

Ahora viene el dual de `1. La idea es exactamente la misma, aunque ahora nos dara que(`1)∗ ∼= `∞. En efecto, dada z = (zn)n∈N ∈ `∞, volvemos a definir

ϕz : `1 → K dada por ϕz(y) =∑n∈N

yn zn , para cada y = (yn)n∈N ∈ `1 . (1.23)

La Ec. (1.20) sigue valendo en este contexto (cambiando x por z) lo que dice que la seriecamina, ϕz ∈ (`1)∗ y ‖ϕz‖ ≤ ‖z‖∞ (porque ahora la variable es el y ∈ `1). La representaciones isometrica usando los vectores yN = sgn zN · eN ∈ SF ⊆ `1. En efecto, todos tienen‖yN‖1 = | sgn zN | ≤ 1 y cumplen que ϕz(yN) = |zN |, por lo que ‖z‖∞ ≤ ‖ϕz‖.Para ver que esto llena el dual de `1 se argumenta igual que en el caso de c0 . El dato clavees que SF sigue siendo denso en `1.

Mucho mas difıcil es describir (`∞)∗, porque `∞ no tiene un denso en el que se puedan hacercuentas lineales tranquilizadoras. Pero al menos se puede ver que (`∞)∗ es “grande”, porquesı se puede meter a `1 adentro de (`∞)∗ con el mismo curro de siempre (de hecho con lamisma accion y desigualdades que describimos antes sobre c0). El tema es que no lo llenani ahı. Observar que, dada ϕ ∈ (`∞)∗, se puede seguir poniendo xn = ϕ(en) y armar un xde `1. Pero no se sabe si la ϕx actua como ϕ en todo `∞ porque SF no es mas denso. 4

Ejercicio 1.3.2. En forma similar a lo anterior, probar que si

1 < p, q <∞ y 1p

+ 1q

= 1 =⇒ (`p)∗ ∼= `q . (1.24)

La accion es como arriba, haciendo series de productos y usando Holder en vez de (1.20). 4

1.3.3. Fijemos ahora un compacto Hausdorff (X, τ) y pensemos en el dual del espacioC(X) = C(X,C), que vimos que es un Banach con la ‖ · ‖∞ . Consideremos el espacionormado Mr(X) de medidas borelianas complejas regulares, del Ejem. 1.2.10. Recordemosque si µ ∈ Mr(X) se define la medida positiva finita |µ| ∈ Mr(X), llamada variacion totalde µ, y que ‖µ‖ = |µ|(X). El teorema de representacion de Riesz asegura que

Mr(X) ∼= C(X)∗ .

Veamos la parte facil de eso: Dada µ ∈Mr(X), definamos ϕµ ∈ C(X)′ por la formula

ϕµ(f) =

∫X

f dµ , para cada f ∈ C(X) .

La definicion es buena porque las continuas son integrables para toda µ ∈Mr(X). Ademas

|ϕµ(f)| =∣∣∣ ∫

X

f dµ∣∣∣ ≤ ∫

X

|f | d |µ| ≤ ‖f‖∞ |µ|(X) = ‖µ‖ ‖f‖∞

para toda f ∈ C(X), por la Ec. (1.17). Luego ϕµ ∈ C(X)∗ y ‖ϕµ‖ ≤ ‖µ‖. Usando que µ esregular se puede mostrar que en realidad vale que ‖ϕµ‖ = ‖µ‖. La cuenta es facil usandofunciones simples sobre particiones π = E1 , . . . , En de X con los coeficientes sgnµ(Ek).

23

Eso sale como en los ejemplos anteriores, porque sus integrales aproximan el valor |µ|(X)dado en la Ec. (1.16). La regularidad sirve para aproximar esas simples por continuas (salvoconjuntos |µ|-pequenos), usando Tietze y la definicion (1.18) de regularidad. Los detallesquedan para el lector regular (ver los ejercicios 1.9.12 - 1.9.26).

Lo que es mucho mas complicado es ver que toda ϕ ∈ C(X)∗ se representa como una ϕµpara µ ∈ Mr(X). Es una demostracion tan trabajosa como la construccion de la medidade Lebesgue. Para convencerse basta un ejemplo: Si en C([0, 1]) tomamos la funcional

f 7→∫ 1

0f(t) dt , pero hecha con la integral de Riemann, entonces la µ que la representa no

es otra que la mismısima medida de Lebesgue en los borelianos del [0, 1]. 4

1.4 El lema de Riesz.

Empecemos fijando una serie de notaciones sobre subespacios:

Notaciones 1.4.1. Sea E un EN.

1. Escribiremos S v E para decir que S ⊆ E es un subespacio cerrado de E.

2. Dado cualquier A ⊆ E, notaremos span A al subespacio generado por A:

span A def=⋂

S ⊆ E : A ⊆ S y S es un subespacio de E.

3. Llamaremos span A v E al subespacio cerrado generado por A:

span A def= span A =

⋂ S ⊆ E : A ⊆ S y S v E

.

Un ligero ejercicio es mostrar la segunda igualdad de arriba. Usa esto:

Si S ⊆ E es un subespacio, entonces S v E.

O sea que la clausura de un subespacio sigue siendo subespacio. Ya que van a hacer lacuenta, observen que vale en el contexto general de EVT’s. Solo hace falta tomar redes envez de sucesiones para la prueba general. Y recordar la Ec. (1.1). 4

1.4.2. Sea E un EN , y fijemos un subespacio cerrado S v E. Como en cualquier EM, setiene definida la funcion “distancia a S”, d ( · , S) : E → R+ dada por

d (x,S)def= ınf

y∈S‖x− y‖ = ınf

z∈x+S‖z‖ , para cada x ∈ E .

Por ser S cerrado, vale que d (x,S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S. Ademas, un cambio elemental devariables asegura que en el espacio afın x+ S la distancia con S no cambia:

para todo z ∈ x+ S se tiene que d (z,S) = d (x,S) , (1.25)

24

porque x+ S = z + S. En forma aun mas facil uno puede mostrar que

λx+S = λ (x+S) =⇒ d (λx , S) = |λ|·d (x , S) para todo x ∈ E , λ ∈ K . (1.26)

Ahora bien, en los espacios Euclıdeos (mas adelante en los Hilbert) se tiene que siempreexiste un z0 ∈ x+ S que es ortogonal a S, y por lo tanto cumple (Pitagoras mediante) que

‖z0‖ = d (z0 , 0) = d (x,S)?= mın

z∈ x+S‖z‖ . (1.27)

Naturalmente cabe preguntarse si algo semejante (que el ınfimo que define la distancia a unS v E sea siempre un mınimo) pasara en cualquier espacio normado E.

A priori podrıa pensarse que alcanzarıa con que E sea un Banach (aproximar y tomar lımite).Sin embargo, en general es falso, aun para Banach’s, porque hace falta que la bola BE tengaun tipo especial de convexidad para que los aproximantes sean necesariamente de Cauchy.

Veremos primero un contraejemplo y luego una forma muy util de reiterpretar la Ec. (1.27),pero solo con ınfimos, que vale en general. 4

Ejemplo 1.4.3. El espacio base sera C[0, 1], que es Banach. Consideremos el subespacio

X = f ∈ C[0, 1] : f(0) = 0 v C[0, 1] . Luego X es un Banach .

Por otro lado, consideremos la funcional ϕ : X → C dada por

ϕ(f) =∫ 1

0f(t) dt para cada f ∈ X .

Es claro que ϕ es lineal. La desigualdad∣∣ ∫ 1

0f(t) dt

∣∣ ≤ ‖f‖∞ y la Prop. 1.1.5, nos dicen queϕ ∈ X ∗ con ‖ϕ‖ ≤ 1. Llamemos M = kerϕ v X . Es claro que M 6= X , o sea que M es unsubespacio de X que es cerrado y propio.

Ahora supongamos que existe un f0 ∈ X tal que ‖f0‖∞ = 1 = d (f0 ,M) como uno buscabaen la Ec. (1.27). Ya veremos adonde nos lleva. Para cada f ∈ X \M definamos

cf =ϕ(f0)

ϕ(f)=

∫ 1

0f0(t)dt∫ 1

0f(t)dt

que produce un g = f0 − cf · f ∈ kerϕ =M .

Por lo tanto, como d (f0 ,M) = 1, podemos deducir que

|cf | · ‖f‖∞ = ‖cf · f‖∞ = ‖f0 − g‖∞ ≥ 1 =⇒ |ϕ(f0)| · ‖f‖∞ ≥ |ϕ(f)| . (1.28)

Ahora consideremos la sucesion de funciones fn(t) = t1n en X \M. Como

‖fn‖∞ = 1 ∀ n ∈ N (1.28)=⇒ |ϕ(f0)| ≥ |ϕ(fn)| = t

1n

+1

1n

+ 1

∣∣∣10

=1

1n

+ 1−−−→n→∞

1 ,

es decir que |ϕ(f0)| ≥ 1. Pero una cuenta de Analisis 1 nos hace ver que, por otra parte,

f0 ∈ C[0, 1] , f0(0) = 0 y ‖f0‖∞ = 1 =⇒ |ϕ(f0)| ≤∫ 1

0

|f0(t)| dt < 1 . 4

25

En cualquier caso subsiste una idea de ”cuasiortogonalidad” inducida por el famoso Lemade F. Riesz que damos ahora. Una manera de visualizar su enunciado es imaginarse alsubespacio S como un plano, que uno translada con muchos vectores unitarios, y luegobusca maximizar la distancia vs. S entre todos los planos paralelos que quedan.

Lema 1.4.4. Sea E un EN. Dado un S v E tal que S 6= E se tiene que, para cada ε > 0existe algun vector unitario xε ∈ E (o sea que ‖xε‖ = 1) tal que d (xε , S) ≥ 1− ε.

Demostracion. Vamos a suponer que ε < 1 y que S 6= 0 (sino todo es una boludez). Como0 ∈ S, tenemos que 0 ≤ d (x , S) ≤ ‖x‖ para todo x ∈ E. Como S es cerrado y propio,existe por lo menos un z ∈ E tal que d (z , S) = ınf

y∈ z+S‖y‖ = 1. Luego

existe un yε ∈ z + S tal que 1 ≤ ‖yε‖ < (1− ε)−1 . (1.29)

La Ec. (1.25) nos asegura que d (yε , S) = d (z,S) = 1. Llamemos xε =yε‖yε‖

∈ BE .

Finalmente, usando la Ec. (1.26) y la Ec. (1.29) llegamos a que

d (xε , S) = d

(yε‖yε‖

, S)

=d (yε , S)

‖yε‖=

1

‖yε‖> 1− ε .

Ejemplo 1.4.5. Volviendo al ejemplo anterior al Lema (y usando las notaciones del mismo),se puede construir explıcitamente una sucesion de vectores unitarios fnn∈N en X tales que

d (fn ,M) −−−→n→∞

1. Es la de antes: fn(t) = t1n . Los detalles quedan a cargo del lector. 4

1.5 Isomorfismos.

Hay dos tipos de isomorfismos en la categorıa de EN’s, los isometricos y los comunes. En elcaso isometrico se habla de “igualdad” entre los espacios, como el los ejemplos de duales quevimos hace poco. En los demas casos se habla de isomorfos y no es para tanto. Pero vale lapenar fijar bien que cosas se preservan por cada tipo de isomorfismo.

Notaciones 1.5.1. Sean E y F dos EN’s.

1. Diremos que E y F son isometricos (o que son el mismo) si existe un

U ∈ L(E,F ) tal que U es sobre y ‖Ux‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E .

En tal caso escribiremos que E ∼= F y que U es un “isomorfismo isometrico”.

2. En cambio E y F son isomorfos si existe un

T ∈ L(E,F ) biyectivo tal que tambien T−1 ∈ L(F,E) . (1.30)

En tal caso escribiremos que E ' F y a T se lo bate “isomorfismo” (o tambien iso).

26

A los operadores lineales biyectivos pero no bicontinuos se los mencionara como isomorfismosK-lineales. La palabra iso (sola) se reserva para los del item 2. 4

Los isomorfismos entre EN’s son homeos entre sus topologıas resultantes. Pero preservanpropiedades metricas mejores que los homeos a secas, porque al ser lineales son mas que solobicontinuos. Veamos:

Proposicion 1.5.2. Sean E y F dos EN’s tales que E ' F . Sea T ∈ L(E,F ) el mentadoisomorfismo. Entonces:

1. Sean M = ‖T‖ y m = ‖T−1‖−1. Entonces tenemos que

m ‖x‖E≤ ‖T x‖

F≤ M ‖x‖

Epara todo x ∈ E . (1.31)

2. Con las mismas constantes m y M se tiene que

m ·BF ⊆ T (BE) ⊆M ·BF . (1.32)

3. Una (xn)n∈N es E es de Cauchy ⇐⇒ (T xn)n∈N es de Cauchy en F .

4. E es Banach ⇐⇒ F es Banach.

5. La bola BE es compacta ⇐⇒ BF lo es.

Demostracion. Es claro que para cualquier x ∈ E vale que ‖T x‖F≤ ‖T‖ ‖x‖

E. Ademas,

‖x‖E

= ‖T−1(T x)‖E≤ ‖T−1‖ ‖T x‖

F=⇒ m ‖x‖

E≤ ‖T x‖

F.

Veamos (1.32): Si y ∈ mBF y tomamos el unico x ∈ E tal que T x = y entonces, por (1.31),

m ‖x‖ ≤ ‖T x‖ = ‖y‖ ≤ m =⇒ x ∈ BE =⇒ y ∈ T (BE) .

La otra inclusion de (1.32) sale por la definicion de ‖T‖. Usando (1.31) y que T es lineal,sale el item 3. Los otros dos son consecuencias directas de 3, porque al ser continuas, tantoT como T−1 preservan convergencias y compacidad. Para probar 5 hay que usar (1.32) yque x 7→ λx (con λ 6= 0) es homeo tanto en E como en F .

Ejercicio 1.5.3. Sean E y F dos EN’s y tomemos T ∈ Hom(E,F ). Probar que tanto laEc. (1.31) como la Ec. (1.32) (para dos constantes m y M dadas) implican que T ∈ L(E,F )y que es un iso bicontinuo. Incluso sale que ‖T‖ ≤M y que ‖T−1‖ ≤ m−1. 4

1.5.4. Sea E un K-EV, y sean N1 y N2 dos normas en E. En tal caso se dice que N1 y N2

son normas equivalentes si existen m,M > 0 tales que

mN1(x) ≤ N2(x) ≤M N1(x) para todo x ∈ E . (1.33)

Esto equivale a que (E,N1) ' (E,N2) como espacios normados, por ejemplo con el isomor-fismo I1,2

E = IE : (E,N1) → (E,N2). En efecto, basta tomar M = ‖I1,2E ‖. La acotacion por

27

abajo equivale a que I2,1E = (I1,2

E )−1 sea acotada. La recıproca sale tomando cualquier otroisomorfismo T , y se deja como ejercicio.

Ejemplos de normas equivalentes son todas las ‖ · ‖p con 1 ≤ p ≤ ∞, siempre que uno lasuse solo en Kn, con el n fijo . De hecho vale que, si 1 < p <∞, entonces

‖x‖∞ ≤ ‖x‖p ≤ ‖x‖1 =∑k∈In|xk| ≤ n · ‖x‖∞ para todo x ∈ E .

La aparicion de ese n hace ya sospechar que la cosa se arruina al agrandar las dimensiones.En efecto, si ahora uno labura con el espacio SF del Ejem. 1.2.5 (las sucesiones “finitas”), ahitienen sentido todas las ‖ · ‖p , pero nunca son equivalentes entre sı. Eso se puede probar amano, o usando que si lo fueran, los respectivos `p en los que SF es denso (o c0 para p =∞),tendrıan que ser iguales como conjuntos (Prop. 1.5.2). Es facil ver que eso no pasa.

En la mayorıa de los ejemplos infinitodimensionales, es raro que aparezcan dos normasequivalentes (salvo buscarlas ad hoc, por ejemplo tomando 2 · ‖ · ‖). En cambio, comoveremos en la siguiente seccion, en los finitodimensionales todas las normas que uno puedainventar para un espacio fijo son equivalentes. 4

1.6 Subespacios finitodimensionales.

Un problema tıpico del AF es que la bola BE de un normado E no siempre es compacta. Enesta seccion dilucidaremos exactamente cuando sı lo es y cuando no. Adivinen.

Proposicion 1.6.1. Sea E un EN tal que dimE = n <∞. Luego todo K-isomorfismo (sololineal) Ψ ∈ Hom(Kn , E) es automaticamente un iso de EN’s, o sea que es un homeo. EnKn usamos, en principio, la norma Euclıdea ‖ · ‖2 .

Demostracion. Tomemos la base x1 , . . . , xn de E dada por xk = Ψ(ek) , k ∈ In . Luego

Ψ(α) =n∑k=1

αk xk , para α = (α1 , . . . , αn) ∈ Kn .

Veamos que la Ψ es continua (de ida). En efecto, para todo α ∈ Kn vale que

‖Ψ(α)‖ ≤n∑k=1

|αk| ‖xk‖ ≤ maxk∈In‖xk‖ ·

n∑k=1

|αk| ≤(n ·max

k∈In‖xk‖

)‖α‖2 ,

por lo que Ψ ∈ L(Kn , E). Nos falta mostrar que Φ = Ψ−1 ∈ L(E , Kn). Lo enunciamos ası:

Todo K-iso Φ ∈ Hom(E , Kn) debe ser continuo.

Supongamos que no lo es, i.e. ‖Φ‖ =∞. Entonces existe una sucesion (xn)n∈N en BE \ 0cuyas imagenes yn = Φ(xn) cumplen que an = ‖yn‖ −−−→

n→∞+∞. Luego la sucesion de los

zn = a−1n xn −−−→

n→∞0 mientras que del otro lado ‖Φ(zn)‖ = a−1

n ‖yn‖ = 1 para todo n ∈ N.

28

Sin embargo la cascara Sn−1 = w ∈ Kn : ‖w‖ = 1 es compacta en el espacio EuclıdeoKn. Luego existe una subsucesion (ynk)k∈N de (yn)n∈N tal que esta otra sucesion

Φ(znk) = a−1nkynk −−−→

k→∞w para cierto w ∈ Sn−1 .

Como ya vimos en la primera parte que Ψ = Φ−1 ∈ L(Kn , E) (tiene que ser continuo), saleque znk = Ψ

(Φ(znk)

)−−−→k→∞

Ψ(w). Pero arriba vimos que znk −−−→k→∞

0. Encima Ψ es un

K-iso, por lo que tiene que valer que w ∈ Sn−1 =⇒ w 6= 0 =⇒ Ψ(w) 6= 0. Todo estedesastre provino de suponer que Φ no era continuo. Ası que sı lo es y a otra cosa.

Corolario 1.6.2. Sea E un EN de dimE = n <∞. Entonces:

1. Si F es otro EN con dimF = n, entonces E ' F vıa cualquier iso lineal.

2. Dos normas N1 y N2 en E son equivalentes. O sea que existen m,M > 0 tales que

mN1(x) ≤ N2(x) ≤M N1(x) para todo x ∈ E . (1.34)

3. Nuestro E con cualquier norma queda Banach.

4. Tambien cumple que BE (con una norma cualquiera) es compacta.

Demostracion. Si A : E → F es un iso lineal, y T ∈ L(E , Kn) es algun iso, la Prop. 1.6.1nos asegura que tanto T como AT−1 : Kn → F deben ser isos de los buenos. Componiendoqueda que A era anche homeo. O sea que E ' F vıa cualquier iso lineal.

En particular, la identidad I1,2E = IE : (E,N1) → (E,N2) es continua para los dos lados, o

sea que es iso. Luego las desigualdades de (1.34) son consecuencia de la Ec. (1.31).

La completitud y la compacidad de la bola BE salen combinando la Prop. 1.6.1 con laProp. 1.5.2, usando que lo que se pide lo cumple Kn con la norma Euclıdea.

Corolario 1.6.3. Sea E un EN. Luego todo subespacio finitodimensional es cerrado.

Demostracion. Sea S ⊆ E un tal subespacio. Por el Cor. 1.6.2, el tal S es un normado conla norma de E que debe ser completo. Ası que tiene que ser cerrado en E.

Corolario 1.6.4. Sea E un EN. Si tenemos que dimE = ∞, entonces la bola cerradaBE = x ∈ E : ‖x‖ ≤ 1 no es compacta.

Demostracion. Por un proceso inductivo y aplicando sistematicamente el Lema de Riesz1.4.4, podemos construir una sucesion (xn)n∈N de vectores unitarios de E tales que

si Sndef= span x1 , . . . , xn entonces d (xn+1 , Sn) ≥ 1

2,

para todo n ∈ N. Notar que el Lema 1.4.4 pide que los subespacios sean cerrados y propios.Por un lado los Sn 6= E porque dimE = ∞. Por otro lado, el Cor. 1.6.3 nos asegura quedimSn <∞ =⇒ Sn v E para cada n ∈ N, por lo que el proceso inductivo funciona.

En particular tenemos que ‖xn − xm‖ ≥ 12

para todo par n,m ∈ N tal que n 6= m. Y todoslos xn viven en BE , por lo que la bola no puede ser compacta.

29

Corolario 1.6.5. Sean E y F dos EN’s y asumamos que dimE < ∞. Entonces todooperador A ∈ Hom (E , F ) es continuo (i.e., acotado). No se presume que A sea mono.

Demostracion. Fijemos una base x1 , . . . , xn de E como K-EV. Si y =∑k∈In

yk xk ∈ E,

‖Ay‖ =∥∥∥ ∑k∈In

yk Axk

∥∥∥ ≤ ∑k∈In|yk|

∥∥Axk∥∥ ≤ ( max

k∈In‖Axk‖

) ∑k∈In|yk| .

Llamemos C = maxk∈In‖Axk‖ <∞ y definamos otra norma en E por la formula

‖| y ‖| def=

∑k∈In|yk| para cada y =

∑k∈In

yk xk ∈ E .

Por el Cor. 1.6.2 existe M > 0 tal que ‖| y ‖| ≤M ‖y‖ para todo y ∈ E. Luego

‖Ay‖ ≤ C ‖| y ‖| ≤ CM ‖y‖ para todo y ∈ E =⇒ A ∈ L(E , F ) .

1.7 Cocientes.

Sea E un EN. Dado un S v E, consideramos la relacion de equivalencia usual

x ∼S y si x− y ∈ S para pares x , y ∈ E .

Es claro que E/S def= E/∼s = x + S : x ∈ E es un K-EV (para eso no hace falta que S

sea cerrado). La proyeccion ΠS : E → E/S es un epimorfismo K-lineal, dado por

ΠS x = xdef= x+ S ∈ E/S para cada x ∈ E .

Pero ahora queremos definir en E/S una norma adecuada: La mejor candidata sera tomarla ‖x ‖ como la distancia de x a S. Observar que, como S v E, para cada x ∈ E vale qued (x , S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S ⇐⇒ x = 0. Ademas, calcular la d (x , S) = ınf

z∈x+S‖z‖ no es

otra cosa que minimizar las normas entre todos los integrantes de la clase de x (que es lavariedad afın paralela a S “puesta” arriba de x). Ası que eso usaremos:

Proposicion 1.7.1. Sean E un EN y S v E tal que S 6= E. Luego la formula

‖x+ S‖ def= d (x , S) = ınf

z∈x+S‖z‖E para x+ S ∈ E/S con x ∈ E (1.35)

define una norma en E/S que lo hace EN. Ademas valen estas propiedades:

1. La proyeccion ΠS al cociente cumple que ΠS ∈ L(E,E/S) con ‖ΠS‖ = 1.

2. Si E era Banach, tambien lo sera E/S con su nueva norma.

30

Demostracion. Por lo que decıamos arriba, la unica clase con norma cero es la trivial. Yavimos en la Ec. (1.26) que d (λx , S) = |λ| d (x , S) para cualesquiera λ ∈ K y x ∈ E. Paraver la desigualdad triangular fijemos x, y ∈ E y w ∈ S. Luego

‖x+ y + S‖ = ‖(x+ w) + y + S‖ = ınfz∈S‖(x+ w) + (y + z)‖ ≤ ‖x+ w‖+ ınf

z∈S‖y + z‖ .

Tomando ahora ınfimo sobre w ∈ S nos queda que ‖x+ y + S‖ ≤ ‖x+ S‖+ ‖y + S‖.Es sabido que ΠS es K-lineal. Como d (x , S) ≤ ‖x‖ (para todo x ∈ E), vemos que ‖ΠS‖ ≤ 1.La desigualdad ‖ΠS‖ ≥ 1 es otra manera de enunciar el Lema de Riesz 1.4.4.

Asumamos ahora que E es completo, y sea (xn)n∈N una sucesion en E tal que (xn + S)n∈Nes de Cauchy en E/S. Para ver que converge, alcanza mostrarlo para alguna subsucesion,por lo que podemos suponer (como en la prueba de la Prop. 1.1.12) que

‖(xn+1 − xn) + S‖ < 2−n para todo n ∈ N . (1.36)

Fijemos y1 = x1 . La Ec. (1.36) nos premite construir inductivamente, para cada n ∈ N,un vector yn+1 ∈ xn+1 + S tal que ‖yn+1 − yn‖ < 2−n. El criterio para series dado en laProp. 1.1.12 nos da que la sucesion (yn)n∈N es de Cauchy en E y converge a un y ∈ E. Luego

xn + S = ΠS(xn) = ΠS(yn)‖ · ‖−−−→n→∞

ΠS(y) = y + S .

En general no es cierto en los espacios normados que una suma de subespacios cerradostenga que seguir siendo cerrada. Contraejemplos de esto se mostraran a su debido tiempo(Ejer. 2.7.4). Hay en el medio una sutil nocion de angulo entre subespacios, que veremosmas adelante, y este angulo decide cuando sı y cuando no. Pero ahora veremos que si unode los subespacios es de dimesion finita, entonces la cosa seguro que anda bien:

Corolario 1.7.2. Sea E un EN. Si tenemos dos subespacios S,F v E y ademas asumimosque dimF <∞, entonces se tiene que S + F = x+ y : x ∈ S e y ∈ F v E.

Demostracion. Consideremos el cociente ΠS : E → E/S. El curro es notar primero queF + S = Π−1

S(ΠS(F)

), lo cual es una cuenta algebraica estandard.

Ahora bien, el Cor. 1.6.3 nos asegura que ΠS(F) v E/S, porque es un subespacio de di-mension no menos finita que la de F . Pero como ΠS es continua, trae para atras cerradosen cerrados.

Ejercicio 1.7.3. Sea E un EN. Dado un S v E, probar que

1. La ΠS ∈ L(E,E/S) es abierta, por lo que la topologıa de abajo es la cociente.

2. Si tanto S como E/S son Banach’s con sus normas, entonces anche E es Banach. 4

Sin necesidad de usar que la proyeccion al cociente es abierta, veremos que los cocientestienen su version “acotada” de la propiedad universal:

31

Proposicion 1.7.4. Sean E y F dos EN’s y sea S v E. Consideremos el normado E/Scon la norma cociente, y la proyeccion ΠS ∈ L(E , E/S). Luego:

1. Un operador lineal A : E/S → F es acotado ⇐⇒ A ΠS ∈ L(E , F ).

2. Ademas vale que ‖A‖ = ‖A ΠS‖.

Demostracion. Para probar 1, lo no trivial es ver que A es continuo siempre que Bdef= AΠS

lo sea. Para mostralo tomemos un ρ = ΠS x ∈ E/S con x ∈ E. Para todo z ∈ S vale que

‖Aρ‖ = ‖A ( ΠS x )‖ =∥∥A ( ΠS (x− z) )

∥∥ ≤ ‖B‖L(E ,F ) ‖x− z‖ .

Usando que ‖ρ‖ = infz∈S‖x − z‖, deducimos que ‖Aρ‖ ≤ ‖B‖ ‖ρ‖ para todo ρ ∈ E/S . Con

eso hemos probado que A ∈ L(E/S , F ) con ‖A‖ ≤ ‖B‖. La otra desigualdad se deduce de

que ‖B‖ = ‖A ΠS‖ ≤ ‖A‖ ‖ΠS‖ y de que ‖ΠS‖1.7.1= 1.

Corolario 1.7.5. Sean E y F dos EN’s y sea S v E. Luego:

1. Dado un T ∈ L(E , F ) tal que S ⊆ kerT , el “bajado algebraico”

T ∈ Hom (E/S , F ) definido por la ecuacion T ΠS = T , (1.37)

cumple que T ∈ L(E/S , F ) i.e., un operador acotado baja acotado al cociente.

2. Ademas vale que ‖ T ‖ = ‖T‖,

Demostracion. Es una consecuencia directa de la Prop. 1.7.4, porque el bajado T (cuya BD

y propiedades algebraicas damos por conocidas) cumple que T ΠS = T ∈ L(E , F ).

Hiperplanos

Es claro que el nucleo de un operador acotado es cerrado. Pero la recıproca de eso es falsa engeneral. Basta tomar la identidad de un E pensado con dos normas no equivalentes (nucleoni tiene). Sin embargo, la cosa es mas agradable para las funcionales: Ser el ker de unafuncional puede caracterizarse ası: Dado un subespacio H ⊆ E (propio),

existe ϕ ∈ E ′ tal que H = kerϕ ⇐⇒ existe un x ∈ E tal que E = H⊕ span x , (1.38)

y a tales H se los llama hiperplanos. En efecto, como ϕ 6= 0, tomando cualquier x /∈ kerϕla prueba de ⇒ en (1.38) es facil, ya que y − ϕ(y)

ϕ(x)· x ∈ kerϕ para todo y ∈ E.

La recıproca sale cocientando por H, porque E/H 'K span x 'K K. En otras palabras,tenemos que los hiperplanos son aquellos subespacios H ⊆ E tales que E/H 'K K.

Una cosa interesante de los hiperplanos es que tienen que ser cerrados o densos. Esto es asıporque H ⊆ H ⊆ E y no queda mucho lugar (recordar que H v E).

Ahora veremos que cuando el codominio de una TL es finitodimensional (y esto incluye alas funcionales), entonces la cerrazon del ker sı alcanza para asegurar continuidad:

32

Proposicion 1.7.6. Sean E y F dos EN’s y asumamos que dimF < ∞. Sea T : E → Funa transformacion K-lineal no nula. Entonces se tiene que

T ∈ L(E,F ) (i.e., T es continua) ⇐⇒ kerT v E .

En particular, una ϕ ∈ E ′ \ 0 cumple que ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ kerϕ es un hiperplano cerrado.

Demostracion. Observar que T se puede “bajar” a un K-monomorfismo

T : E/ kerT → F tal que T ΠkerT = T =⇒ dim(E/ kerT

)≤ dimF <∞ .

Si asumimos que kerT v E, entonces la Prop. 1.7.1 dice que E/ kerT es un EN con la normacociente. Entonces, por el Cor. 1.6.5, sabemos que T ∈ L(E/ kerT , F ). Finalmente, comotambien ΠkerT es continua, queda que T = T ΠkerT ∈ L(E,F ).

La recıproca sale porque kerT = T−1(0) y los metricos son T1 .

Proposicion 1.7.7. Sea E un EN. Dados x ∈ E y ϕ ∈ E∗ \ 0 se tiene que

d (x , kerϕ ) = |ϕ(x)| ‖ϕ ‖−1 (1.39)

Demostracion. Llamemos S = kerϕ v E. Sea ϕ ∈ (E/S)∗ el bajado de ϕ al cociente E/Sdefinido en (1.37). Como S es un hiperplano tenemos que E/S ' K, por lo que

|ϕ(x )| = ‖ϕ ‖ ‖x ‖ para toda clase x ∈ E/S con x ∈ E .

Por otro lado, el Cor. 1.7.5 asegura que ‖ϕ‖ = ‖ϕ ‖. Luego, todo x ∈ E cumple que

d (x , kerϕ )(1.35)= ‖x ‖ =

|ϕ(x )|‖ϕ ‖

(1.37)=

|ϕ(x)|‖ϕ ‖

.

1.8 Algunos ejemplos de operadores.

El lector habra notado que apenas definimos espacios normados ya empezamos a trabajarcon sus operadores acotados. Esto se justifica porque la teorıa es una especie de algebralineal topologica-metrica y los objetos que interesan son las funciones lineales en este nuevoambiente. Vimos algunos ejemplos de funcionales, pero faltan ver operadores acotados para iracostumbrandose a las macanas que hacen. Como decıamos antes, los principales ejemplos yaexistıan antes de que se pergrenara la teorıa. Fundamentalmente los operadores diferenciales(aunque estos no suelen ser acotados), integrales, y las diferenciales de funciones suaves entrenormados, a las que se les pide acotacion.

Sin embargo, en esta seccion focalizaremos en operadores que hacen cosas a las que unono esta acostumbrado al laburar en Kn. El principlal generador de contraejemplos paraintuiciones pifiadas es el famoso operador shift que presentamos a continuacion.

33

1.8.1 (El shift). Trabajemos en un espacio E de sucesiones, por ejemplo c0 o `p(N) paracualquier p ∈ [1 , ∞]. Definamos al operador S ∈ L(E), que llameremos el shift, como

S(x) = (0 , x1 , . . . , xn , . . . ) para x = (xn)n∈N ∈ E . (1.40)

Es decir que S “corre” o “shiftea” las entradas de x a la derecha en un lugar, y completacon un cero en la primera. Formalmente se puede escribir que

S(x) = (yn)n∈N , donde y1 = 0 e yn+1 = xn para cada n ∈ N .

Observar que S es mono, mas aun es isometrico (normas con series o supremos ni ven alnuevo cero, y las demas entradas son las mismas de antes aunque en otros lugares). Peroovbiamente S no es epi. De hecho R(S) = (yn)n∈N ∈ E : y1 = 0 v E.

Esto solo ya contradice el Teor. de la dimension de las matrices, que dice que si son endosy monos deben ser epis. Pero es aun peor, porque S es inversible a izquierda pero no aderecha. En principio es claro que no puede haber un A ∈ L(E) tal que SA = IE porque Sno era epi. Pero si definimos T ∈ L(E) como el shift para el otro lado:

T (y) = (y2 , y3 , . . . , yn , . . . ) para y = (yn)n∈N ∈ E ,

nos queda que T tacha el y1 y corre el resto de y al principio. Es claro que ‖T‖ = 1 y queeste T sı es epi, pero ahora no es mono. Ademas se ve inmediatamente que TS = IE .

Otra cosa que pasa con S es que no tiene autovalores (aun si ponemos K = C). En efecto,λ = 0 no sirve porque S era mono. Y si tomamos λ 6= 0 y existiera un x ∈ E tal queS x = λx, entonces tendrıamos que Sn x = λn x para todo n ∈ N. Pero si miramos bien,vemos que Sn x tiene n ceros al principio. Paso a paso, uno muestra que todas las entradasde x son nulas y x = 0, lo que no nos sirve como autovector.

Pero la cosa es aun mas rara con T , porque tiene “demasiados” autovalores. Fijensen quesi tomamos λ tal que |λ| < 1 y hacemos el vector xλ = (λn)n∈N , entonces xλ ∈ E porquetanto el supremo como las series a la p convergen bien para las geometricas. Ahora,

T xλ = (λ2 , λ3 , . . . , λn , . . . ) = λ xλ .

Creer o reventar. Todo un disco D de autovalores para T . Y ninguno para S. A pesar deque son operadores buenısimos. Ya los volveremos a ver a estos shifts (conocidos como losshifts unilaterales) a lo largo del texto. 4

1.8.2. Operadores de multiplicacion.Caso continuo: Pongamos que E = Lp = Lp(X,Σ, µ), para algun p ∈ [1 , ∞]. Fijemos unaf ∈ L∞ y definamos su operador de multiplicacion

Mf ∈ L(Lp) dado por Mf h = f · h para las h ∈ Lp . (1.41)

Es claro que multiplicarlas por una acotada no saca a las h de su Lp. De hecho vale que

‖Mf h‖p =( ∫

X|f |p · |h|p d µ

)1/p ≤ ‖f‖∞( ∫

X|h|p d µ

)1/p= ‖f‖∞ ‖h‖p .

34

Esto muestra que efectivamente Mf ∈ L(Lp) con ‖Mf‖ ≤ ‖f‖∞ . Pero vale que

‖Mf‖ = ‖f‖∞ para toda f ∈ L∞ . (1.42)

Para verlo, fijemos un ε ∈ (0, ‖f‖∞ ). Si llamamos Aε = x ∈ X : |f(x)| ≥ ‖f‖∞ − ε (paraun representante de la “clase” f), sale que µ(Aε) > 0. Si la medida fuera infinita, cambiemosAε por alguien de medida positiva y finita dentro de el. Tomemos ahora la funcion

hε(x) = µ(Aε)−1/p · ℵAε para x ∈ X .

Una cuenta directa muestra que ‖hε‖p = 1, por lo que hε ∈ BLp . Pero si calculamos

‖Mf hε‖p = ‖f · hε‖p =(µ(Aε)

−1∫Aε|f |p d µ

)1/p

≥(µ(Aε)

−1∫Aε

(‖f‖∞ − ε)p d µ)1/p

= ‖f‖∞ − ε .

Esto nos dice que ‖Mf‖ ≥ ‖f‖∞ − ε para cualquier tal ε, o sea que ‖Mf‖ ≥ ‖f‖∞ .

El espacio L∞, ademas de ser Banach, es una K-algebra, usando el producto punto a puntode las funciones. Observar que ‖f · g‖∞ ≤ ‖f‖∞ ‖g‖∞ para cualquier par f, g ∈ L∞. Unacosa ası se llama algebra de Banach y se estudiara sistematicamente mas adelante (en elCap. 6). Otra algebra ası es L(E) para cualquier espacio E de Banach. El producto ahı esla composicion de los operadores.

La idea de este ejemplo es que da una representacion isometrica L∞M→ L(Lp) por operadores

de multiplicacion que, en el caso discreto (o sea `p), se veran como operadores “diagonales”.Notar que M ∈ L

(L∞ , L(Lp)

). Al decir esto, implıcitamente aseguramos que M es K-

lineal. Esto es bien facil de probar, y tambien es facil que Mf ·g = Mf Mg para f, g ∈ L∞cualesquiera. Ası que M es un morfismo isometrico de algebras.

Caso discreto: Si X = N, Σ = P(N) y µ es “contar”, uno tiene que Lp = `p. Allı estarepresentacion M se ve ası: Dada la sucesion x = (xn)n∈N ∈ `∞, tenemos que

Mx y = (xn yn)n∈N ∈ `p para cada y = (yn)n∈N ∈ `p , (1.43)

por lo que podemos pensar que Mx es una matriz infinita diagonal actuando en las columnasinfinitas de `p, porque lo que hace es multiplicar cada coordenada por un numero distinto.Sigue valiendo que ‖Mx‖ = ‖x‖∞ y que MxMy = Mxy para todo par x , y ∈ `∞, donde elproducto en `∞ esta dado por x y = (xn yn)n∈N ∈ `∞.

Autovalores: Observar que Mx en = xn en para todo n ∈ N. Por ello todas las entradas xnde x pasan a ser autovalores para Mx , con autovector en (los canonicos).

Sin embargo, en el caso X = [0, 1] con la medida usual, podemos tomar el operador Mt quemultiplica las h por la funcion f(t) = t, para t ∈ [0, 1]. Y lo que pasa es que el tal Mt

no tiene nigun autovalor. En efecto, si Mt h = λh, entonces (t − λ)h(t) = 0 (ctp). Estoobligarıa a que la h sea nula (ctp), y no nos servirıa como autovector.

35

Inversibles: Dejamos como ejercicio caracterizar las f ∈ L∞ (o las x ∈ `∞) tales que Mf esun iso en el sentido de la Ec. (1.30), o sea que Mf sea “inversible” en L(Lp). Observar quesi existiera la inversa de un Mf , no le quedarıa otra que ser M1/f . El tema es ver cuandoeso existe y es acotado. Sugerimos hacerlo primero en el caso discreto, usando la Ec. (1.31).Despues eso se generaliza al caso continuo con los supremos esenciales (onda los Aε).

Veamos un ejemplo raro: Sea x = ( 1n

)n∈N ∈ `∞, que produce el operador Mx ∈ L(`p). Porun lado Mx no tiene al cero como autovalor, porque es mono. Sin embargo Mx no es epi (ypor ende no es iso), por ejemplo porque el mismısimo x ∈ `p (si p > 1) pero x /∈ R(Mx) (sip 6=∞). Observar que su supuesta inversa serıa “multiplicar por n en la n-esima entrada”,lo que seguro no camina (no es acotado y ni siquiera “cae” siempre en `p). 41.8.3 (Nucleos). Laburemos ahora en L2 = L2(X,Σ, µ). Pensemos en el espacio X × Xcon la medida producto µ× µ. Si me dan una funcion k ∈ L2(X ×X), que llamaremos unnucleo, observar que es una funcion de dos variables k(x, y) para x, y ∈ X (mas bien es unaclase). Definamos el operador Tk ∈ L(L2) por la formula

(Tk f)(x) =

∫X

k(x, y) f(y) dµ(y) para cada f ∈ L2 y cada x ∈ X . (1.44)

Observar que, como k ∈ L2(X ×X), las funciones X 3 y kx7−→ k(x, y) viven en L2(X) paracasi todo x ∈ Y (por Fubini-Tonnelli). Por Holder, eso muestra que los valores

|(Tk f)(x)| ≤ ‖kx‖2 ‖f‖2 <∞ para casi todo x ∈ X .

Como siempre, la linealidad de Tk sale sin problemas. Ahora calculemos

‖Tk f‖22

=

∫X

|(Tk f)(x)|2 dµ(x) ≤ ‖f‖22

∫X

‖kx‖22dµ(x)

= ‖f‖22

∫X

∫X

|k(x, y)|2 dµ(y) dµ(x) = ‖k‖22‖f‖2

2.

En resumen, vemos que efectivamente Tk ∈ L(L2) con ‖Tk‖ ≤ ‖k‖2 .

Es interesante observar que la formula (1.44) que define a Tk tiene una clara semejanza con elproducto de una matriz por un vector. Se multiplica escalarmente la “fila x” de k, moviendosu ındice y, por las entradas en y del vector f . De hecho, en el caso discreto `2, el nucleok =

(k i,j)i,j∈N es una matriz infinita y formula (1.44) se traduce exactamente a

(Tk x)i =∑j∈N

k i,j xj para cada x = (xj)j∈N ∈ `2 y cada i ∈ N , (1.45)

que es la multiplicacion matricial sin vueltas. Si bajamos mas aun al caso finito, donde es unproducto comun de una matriz por un vector, veremos que la cota ‖Tk‖ ≤ ‖k‖2 es demasiadogrande. De hecho ‖k‖2 es la norma Frobenius de la matriz k, que suele ser mucho mayorque la norma “espectral”, que es su norma como operador sobre Kn con la norma Euclıdea.

Esto nos hace pensar, con razon, que puede haber nucleos k mucho mas “grandes” que losde cuadrado integrable, que produzcan vıa (1.44) un operador Tk ∈ L(L2). Continuara. 4

36

1.9 Ejercicios del Cap. 1 - Espacios Normados

Ejercicios aparecidos en el texto1.9.1. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 1.1.2: Sea (E, ‖ · ‖) un EN. Luego:

1. La d (x, y) = ‖x− y‖ (para x, y ∈ E) es una metrica en E.

2. Con la topologıa asociada a d, E nos queda un EVT. En particular las translaciones E 3 y 7→ y + xy las flechas K 3 λ 7→ λx (con x fijo) son continuas.

3. La funcion norma es continua. Mas aun, vale la desigualdad∣∣∣ ‖x‖ − ‖y‖ ∣∣∣ ≤ ‖x− y‖ = d (x, y) , para todo par x, y ∈ E . 4

1.9.2. Completar los detalles de la prueba de la Prop. 1.1.6: Sean E y F dos EN’s. Dado T ∈ Hom (E,F ),

‖T‖ def= ‖T‖L(E,F ) = sup‖T x‖F : x ∈ E y ‖x‖E ≤ 1

.

Entonces vale lo siguiente:

1. ‖T‖ = supx∈BE

‖T x‖F = mınM ≥ 0 : ‖T x‖F ≤M ‖x‖E para todo x ∈ E

.

2. T ∈ C(E,F ) ⇐⇒ ‖T‖ <∞.

1.9.3. Calcular la norma del operador de multiplicacion T ∈ L(SF ) dado por T x =(

(1 − 1n )xn

)n∈N

para cada x = (xn)n∈N ∈ SF . Probar que se puede extender a L(`p) manteniendo su norma, para todoexponente p ∈ [1 , ∞].

1.9.4. Hacer los detalles de las cuentas de todos los ejemplos de las Secciones 1.2 y 1.3. Parte de este laburo(medidas, espacios Lp) se propone con bastante detalle en subsecciones posteriores de esta seccion.

1.9.5. Sea E un EN, y fijemos un subespacio cerrado S v E. Recordar la funcion “distancia a S”

d ( · , S) : E → R+ dada por dS(x) = d (x,S) = ınfy∈S‖x− y‖ , para cada x ∈ E .

Probar que para todo x ∈ E se cumple que

1. La d (x,S) = 0 ⇐⇒ x ∈ S.

2. Para todo z ∈ x+ S se tiene que d (z,S) = d (x,S).

3. Dado λ ∈ K, vale que la d (λx , S) = |λ| · d (x , S).

4. La flecha E/S 3 x+ S 7→ d (x , S) define una norma en E/S.

1.9.6. Sean E y F dos EN’s y tomemos T ∈ Hom(E,F ). Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Nuestro T ∈ L(E,F ) y es un iso bicontinuo.

2. Existen m,M > 0 tales que m ‖x‖E≤ ‖T x‖

F≤ M ‖x‖

Epara todo x ∈ E.

3. Existen m,M > 0 tales que m ·BF ⊆ T (BE) ⊆M ·BF .

En tal caso se tiene que ‖T‖ ≤M y que ‖T−1‖ ≤ m−1. Comparar con el Ejer. 1.5.3.

37

1.9.7. Probar que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces `p(N) ⊆ `q(N). Ya que estamos, mostrar que si p < q,entonces la inculsion es estricta. Sugerios mostrar que para toda x ∈ CN vale que ‖x‖q ≤ ‖x‖p . 4

1.9.8. Probar que si1 < p, q <∞ y 1

p + 1q = 1 =⇒ (`p)∗ ∼= `q .

La accion es la misma que en 1.3.1 haciendo series de productos, pero usando Holder en vez de (1.20). 4

1.9.9. Completar los detalles de la prueba del Cor. 1.7.2: Sea E un EN. Si tenemos dos subespacios S,F v Ey ademas asumimos que dimF <∞, entonces se tiene que S + F = x+ y : x ∈ S e y ∈ F v E.

1.9.10. Sea E un EN. Dado un S v E, probar que

1. La ΠS ∈ L(E,E/S) es abierta, por lo que la topologıa de abajo es la cociente.

2. Si tanto S como E/S son Banach’s con sus normas, entonces anche E es Banach. 4

1.9.11. Caracterizar las f ∈ L∞ (o las x ∈ `∞) tales que su operador de multiplicacion Mf ∈ L(Lp) es uniso (o sea que Mf es “inversible” en L(Lp) ). Comparar con las f que son “inversibles” en el algebra L∞.

Repaso de medidas complejas y signadasSea X un conjunto y Σ una σ-algebra en X. Definamos las medidas complejas:

1. Una µ : Σ → C es una medida compleja si es una funcion σ-aditiva que nunca toma el valor ∞. Ental caso el triplette (X , Σ , µ) es un espacio de medida compleja.

2. Denotaremos por M(X) = M(X , Σ) al conjunto de todas las medidas complejas definidas en Σ.

3. Dada µ ∈M(X) diremos que µ es

(a) Signada si µ(∆) ∈ R para todo ∆ ∈ Σ.

(b) Positiva si es signada con signo + : µ(∆) ≥ 0 para todo ∆ ∈ Σ.

(c) Dadas µ , ν ∈M(X) ambas signadas, se pone que µ ≤ ν si µ(∆) ≤ ν(∆) para todo ∆ ∈ Σ.

4. Fijado ∆ ∈ Σ, denotaremos PD(∆) a las particiones finitas de ∆ en conjuntos medibles (y disjuntos).Tıpicamente notaremos por Π = A1 , . . . , An ∈ PD(∆) a tales particiones.

1.9.12. Demostrar las siguientes propiedades de las medidas complejas:

1. El conjunto M(X) es un C-EV. Es decir que las CL’s de medidas complejas se quedan en M(X).

2. Si µ ∈M(X) , entonces tambien µ, Re(µ) y Im(µ) ∈M(X).

La que deja de ser medida es la flecha Σ 3 ∆ 7→ |µ(∆)|, pero esto se arregla con algo de laburo:

1.9.13. Sea µ ∈M(X , Σ). La variacion total de µ es la funcion

|µ| : Σ→ [0 , +∞] dada por |µ|(∆) = sup

n∑k=1

|µ(Ak)| : Π = A1 , . . . , An ∈ PD(∆)

,

para cada ∆ ∈ Σ. Probar que |µ| ∈M(X), por lo que es una medida positiva y finita.

1.9.14. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida compleja. Probar que

1. |µ(A)| ≤ |µ|(A) para todo A ∈ Σ.

38

2. Si λ ∈M(X) es positiva y |µ(A)| ≤ λ(A) para todo A ∈ Σ, entonces |µ| ≤ λ.

3. Mas aun, |µ| = minλ ∈M(X) : λ es positiva y |µ(A)| ≤ λ(A) para todo A ∈ Σ.

Definicion 1.9.15. Sean µ ∈M(X) y E ∈ Σ. Decimos que µ esta concentrada en E si

µ(A) = µ(A ∩ E) para todo A ∈ Σ .

Definicion 1.9.16. Sean µ1 y µ2 ∈ M(X). Decimos que µ1 y µ2 son mutuamente singulares (µ1⊥µ2) siexiste Π = E1 , E2 ∈ PD(Σ) tal que µi esta concentrada en Ei para i = 1, 2.

1.9.17. Sean µ1 , µ2 y λ ∈M(X), con λ positiva. Demostrar que:

1. Si µ1 esta concentrada en E ∈ Σ, entonces |µ1| tambien.

2. Si µ1⊥µ2 , entonces |µ1|⊥ |µ2|.

3. Si µ1⊥λ y µ2⊥λ, entonces (µ1 + µ2)⊥λ.

Definicion 1.9.18. Sean µ1 y µ2 ∈ M(X). Decimos que µ1 es absolutamente continua respecto de µ2 (sedenota por µ1 µ2) si |µ2|(A) = 0 =⇒ |µ1|(A) = 0 para todo A ∈ Σ.

1.9.19. Sean µ1 , µ2 y λ ∈M(X), con λ positiva. Demostrar que:

1. Si µ1 λ, entonces |µ1| λ.

2. Si µ1 λ y µ2⊥λ, entonces µ1⊥µ2.

3. Si µ1 λ y µ2 λ, entonces (µ1 + µ2) λ.

4. Si µ1 λ y µ1⊥λ, entonces µ1 = 0.

e. Si µ1 λ, entonces Re(µ1) λ and Im(µ1) λ.

1.9.20. Sea λ ∈M(X) signada. Demostrar que existen dos (unicas) medidas λ+ y λ− ∈M(X) positivastales que λ = λ+ − λ− y ademas λ+ ⊥ λ−.

1.9.21. Sean µ , λ ∈M(X), con λ signada. Demostrar que:

λ µ ⇐⇒ λ+ µ y λ− µ.

1.9.22. Probar que la flecha M(X) 3 µ 7−→ ‖µ‖ def= |µ|(X) define una norma en M(X).

1.9.23. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida (positiva) y sea f ∈ L1(µ). Definimos la funcion

µf : Σ→ C dada por µf (∆) =∫

∆

f dµ ,

para cada ∆ ∈ Σ (observar la definicion es buena). Probar que

1. Toda tal µf es una medida compleja.

2. Su variacion total cumple que |µf | = µ|f | .

3. Deducir que ‖µf‖ = ‖f‖1 .

39

1.9.24. Supongamos que (X , τ) es un espacio topologico Hausdorff. Sea Σ una σ-algebra que contenga a τ(y por ello a los Borelianos de X). Una medida µ ∈M(X) es regular si cumple que

|µ|(∆) = ınf|µ|(U) : U es abierto y ∆ ⊆ U

= sup

|µ|(F ) : F es cerrado y F ⊆ ∆

, (1.46)

para todo ∆ ∈ Σ. Probar que

1. Una µ es regular ⇐⇒ dados ∆ ∈ Σ y ε > 0, existen un abierto U y un cerrado F tales que

F ⊆ ∆ ⊆ U y |µ|(U \ F ) < ε .

2. El conjunto Mr(X) = µ ∈M(X) : µ es regular ⊆M(X) cumple que

(a) Es un subespacio, o sea que suma de regulares es regular.(b) Mas aun, Mr(X) vM(X), o sea que es un subespacio cerrado.

(c) Si en Mr(X) consideramos la norma µ 7−→ ‖µ‖ def= |µ|(X), nos queda que Mr(X) es un Banach.

1.9.25. Supongamos ahora que (X , τ) es un espacio topologico compacto Hausdorff. Sea Σ la σ-algebrade los Borelianos de X. Fijemos µ ∈Mr(X) (insistimos: es regular). Probar que

1. Toda f ∈ C(X) (o sea que f es continua) es µ-integrable.

2. Por otro lado, se tiene la desigualdad∣∣∣∣ ∫X

f dµ

∣∣∣∣ ≤ ∫X

|f | d |µ| ≤ ‖f‖∞ ‖µ‖ . (1.47)

3. La funcional ϕµ : C(X)→ C dada por

ϕµ(f) =∫X

f dµ para cada f ∈ C(X)

es lineal y continua, por lo que ϕµ esta en C(X)∗. Mas aun, se tiene que

‖ϕµ‖ = sup‖f‖∞=1

|ϕµ(f)| = |µ|(X) = ‖µ‖ . (1.48)

Observar que una desigualdad sale usando (1.47). Para probar la otra es donde se usa que la µ esregular, como se decribe en el Ejem. 1.3.3.

Observacion 1.9.26. El Teorema de Riesz dice que esta flecha Mr(X) 3 µ 7→ ϕµ ∈ C(X)∗ produce queC(X)∗ ∼= Mr(X). El Ej. anterior es la parte facil de su prueba, pero ya dice mucho porque asegura que unaµ ∈Mr(X) esta caracterizada por como actua en las continuas. Sin embargo, mucho mas difıcil (y mas util)es ver que dicha flecha es epi. La idea no es tan rara: dada ϕ ∈ C(X)∗ una funcional positiva (esto significaque ϕ cumpla que ϕ(f) ≥ 0 siempre que f ≥ 0), se define la candidata a medida positiva

µϕ : Σ→ R ∪ ∞ dada por µϕ(∆) = supϕ(g) : g ∈ C(X) y 0 ≤ g ≤ ℵ∆

.

Largas paginas de laburo permiten ver que esta idea alcanza para mostrar que la flecha era epi. 4

1.9.27. Sea X un espacio Hausdorff y Cb(X) el espacio de todas las funciones continuas acotadas definidasen X que toman valores complejos. En Cb(X), definimos la norma

‖f‖∞ = maxx∈X|f(x)|.

Probar que (Cb(X), ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

1.9.28. Sea X un espacio LKH y C0(X) el espacio de todas las funciones continuas f : X → C tales quepara todo ε > 0 el conjunto x ∈ X : |f(x)| ≥ ε es compacto. Probar que que C0(X) es un subespaciocerrado de Cb(X) y en consecuencia es un espacio de Banach.

40

Los espacios Lp.A partir de ahora decimos que (X , Σ , µ) es us espacio de medida si µ es positiva y no necesariamente finita.Para evitar dividir por la relacion “difieren en un conjunto de medida nula”, definamos

1. Med(X) = Med(X , Σ) = f : X → C : f es Σ-medible , que es un C-EV.

2. N (X) = N (X , Σ , µ) =f ∈ Med(X) : µ

(|f | 6= 0

)= 0

, que es un subespacio.

3. L(X) = L (X , Σ , µ) = Med(X)/N (X), el C-EV de clases en c.t.p. de funciones medibles.

Es facil ver que todas las operaciones que uno hace en L(X) para definir los espacios Lp estaran bien definidasen toda la clase de cada f ∈ Med(X).

1.9.29. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida.

1. Para 1 ≤ p <∞ definimos

Lp = Lp(X,Σ, µ) = f ∈ L(X) : tales que∫X

|f |p dµ <∞ ,

con la norma ‖f‖p =(∫X|f |p dµ

)1/p. Probar que (Lp , ‖ · ‖p) es un espacio de Banach.

2. Fijada una f ∈ Med(X,Σ), definimos su supremo esencial como el numero

‖f‖∞ = ess sup(f) = ınfM > 0 : tal que µ

(|f | > M

)= 0.

Es claro que la ‖ · ‖∞ baja bien definida a L(X). Luego definimos el espacio normado

L∞ = L∞(X,Σ, µ) = f ∈ L(X) : ‖f‖∞ <∞ .

Probar que (L∞ , ‖ · ‖∞) es un espacio de Banach.

1.9.30. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida finita. Probar que

1. Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, entonces Lq ⊆ Lp.

2. Si f ∈ L∞(X,Σ, µ) entonces ‖f‖∞ = limp→∞

‖f‖p .

3. Dar un contraejemplo del item 1 si µ no es finita.

1.9.31. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida. Probar que

1. Si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ entonces Lp ∩ L∞ ⊆ Lq.

2. Si f ∈ Lp ∩ L∞ entonces ‖f‖∞ = limp→∞

‖f‖p.

1.9.32. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida finita. Fijemos 1 ≤ p , q ≤ ∞ exponentes conjugados (i.e.1p + 1

q = 1). Consideremos la representacion R : Lq → (Lp)∗ dada por

Lq 3 g 7→ R(g) = ϕg donde ϕg(f) =∫X

fg dµ para cada f ∈ Lp(X,Σ, µ) .

Mostrar que esta representacion es un isomorfismo isometrico sobre que permite identificar (Lp)∗ con Lq.

La prueba de que es “sobre” requiere del Teorema de Radon-Nikodym. Si no lo conocen lo suficiente puedenir a la pagina http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema de Radon-Nikodym. Lo anterior se extiende al caso enque (X , Σ , µ) es σ-finito (i.e. X es union numerable de cachos de medida finita), que es hasta donde llegael TRN. Con eso R y los Rn safan.

41

1.9.33. Sea (X , Σ , µ) un espacio de medida. Consideremos el espacio S0(X) de todas las “funciones”f ∈ L(X) que son simples (i.e. CL de caracterısticas) tales que µx ∈ X : f(x) 6= 0 < ∞. Probar queS0(X) es denso en Lp para todo p ∈ [1 , ∞).

1.9.34. Supongamos que en el ejercicio anterior X es un espacio topologico LKH y que Σ es la σ-algebra deBorel. Probar que el subespacio Cc(X) de las funciones continuas definidas en X con soporte compacto esdenso en Lp para todo p ∈ [1 , ∞).

1.9.35. Supongamos ahora que X ⊆ Rn es un abierto y que Σ consta de los Borelianos de X. Probar queel subespacio C∞c (X) de las funciones definidas en X con infinitas derivadas continuas y soporte compactoes denso en Lp para todo p ∈ [1 , ∞).

Los espacios de Sobolev.Definicion 1.9.36. Sean Ω ⊆ R un intervalo y C∞c (Ω) las funciones definidas en Ω infinitamente deribablescon soporte compacto. Dada f ∈ L1

loc(Ω), decimos que una funcion g ∈ L1loc(Ω) es la k-esima derivada debil

de f , y lo escribimos Dkf = g, si para toda φ ∈ C∞c (Ω) se satisface la siguiente identidad:∫Ω

f φ(k) dx = (−1)k∫

Ω

g φ dx.

Se puede probar que estas derivadas en el sentido debil son unicas. 4

1.9.37 (Espacios de Sobolev). Para 1 ≤ p ≤ ∞ definamos el espacio de Sobolev Wn,p como el espaciode todas las funciones f ∈ Lp(Ω) tales que para cada k ∈ In la derivada Dkf existe en el sentido debil ypertenece a Lp(Ω). En dicho espacio se define la siguiente norma:

‖f‖Wn,p =

(n∑k=0

‖Dkf‖pp)1/p

si 1 ≤ p <∞

n∑k=0

‖Dkf‖∞ si p =∞ .

Probar que (Wn,p, ‖ · ‖Wn,p) es un espacio de Banach.

Ejemplos de operadores acotados.1.9.38 (Shift). Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Consideremos los operadores S : `p → `p y T : `p → `p dados por

S(x) = (0 , x1 , x2 , . . .) y T (x) = (x2 , x3 , x4 , . . .) para x = (xn)n∈N ∈ `p .

1. Probar que S ∈ L(`p) y que es mono. Calcular ‖S‖.

2. Probar que T ∈ L(`p) y que es epi. Calcular ‖T‖.

3. Probar que TS = I, pero ST 6= I.

4. Probar que S no tiene autovalores, mientras que los de T son todo el D = λ ∈ C : |λ| < 1.

1.9.39. Operadores de Multiplicacion.

1. Dada una ϕ ∈ C[0, 1], consideremos el operador Mϕ : C[0, 1]→ C[0, 1] definido por

Mϕ(f) = ϕf para cada f ∈ C[0, 1] . (1.49)

Probar que Mϕ ∈ L(C[0, 1]) y calcular su norma.

42

2. Dada ϕ ∈ L∞[0, 1], definimos Mϕ : L2[0, 1]→ L2[0, 1] igual que el (1.49). Probar:

(a) Mϕ ∈ L(L2[0, 1]) con ‖Mϕ‖ = ‖ϕ‖∞ .

(b) La representacion M : L∞[0, 1]→ L(L2[0, 1]) dada por M(ϕ) = Mϕ para cada ϕ ∈ L∞[0, 1], esun morfismo isometrico de algebras (i.e. es K-lineal y respeta productos).

(c) M2ϕ = Mϕ ⇐⇒ ϕ es una caracterıstica.

1.9.40. Sea a = (an)n∈N ∈ CN una sucesion de numeros complejos. Fijado p ∈ [1 , ∞), definimos eloperador Ma : `p → `p por Ma x = (an xn)n∈N , para cada x = (xn)n∈N ∈ `p. Probar que

1. Este Ma esta bien definido (cada Ma x cae en `p) ⇐⇒ Ma ∈ L(`p) ⇐⇒ a ∈ `∞.

2. En tal caso se tiene que ‖Ma‖ = ‖a‖∞ .

3. La representacion M : `∞ → L(`p) dada por M(a) = Ma para cada a ∈ `∞, es un morfismo isometricode algebras (i.e. es K-lineal y respeta productos).

4. Un Ma es mono ⇐⇒ an 6= 0 para todo n ∈ N.

5. Un Ma es un isomorfismo (y homeo) ⇐⇒ a es inversible en `∞ ⇐⇒ a−1 def= (a−1n )n∈N ∈ `∞.

6. Sea D = Ma : a ∈ `∞ = R(M). Dado un A ∈ L(`p), son equivalentes:

(a) El tal A esta en D.

(b) Esta en el comnutante: A ∈ D′, o sea que A conmuta con todos los Ma ∈ D.

(c) Algo menos: AMen= Men

A para todos los en de la base canonica de SF ⊆ `p .

Comparar esta descripcion de D con las matrices diagonales de L(Kn). 4

1.9.41. Si k ∈ L2([0, 1]× [0, 1]), sea Tk : L2([0, 1])→ L2([0, 1]) dado por

(Tk f)(s) =∫ 1

0

k(s, t) f(t) dt para cada f ∈ L2[0, 1] .

Probar que Tk ∈ L(L2[0, 1]) y que ‖Tk‖ ≤ ‖k‖2 . 4

Funcionales Lineales.1.9.42. Sean E un EN y ϕ : E → C una funcional lineal tal que ϕ 6= 0. Probar que ϕ(E) = C. 4

1.9.43. Sean E un EN y ϕ ∈ E′R . Probar que

1. Si ϕ /∈ E∗R entonces toma todos los valores reales en cualquier entorno de 0.

2. ϕ ∈ E∗R ⇐⇒ para cada c ∈ R, los conjuntos x : ϕ(x) < c y x : ϕ(x) > c son abiertos.

3. Si A ⊆ E tiene interior no vacıo y existe a ∈ R tal que ϕ(A) ⊆ x : ϕ(x) ≤ a, entonces ϕ ∈ E∗R . 4

1.9.44. Probar que las siguientes funcionales son lineales, continuas y hallar sus normas.

1. ϕ ∈ c′ dada por ϕ(x) = limn→∞

xn para cada x = (xn)n∈N ∈ c el espacio definido en (1.12).

2. ϕ ∈ L2[−1, 1]′ dada por ϕ(f) =∫ 1

−1t f(t) dt para cada f ∈ L2[−1, 1].

43

3. ϕ ∈ (`∞)′ dada por ϕ(x) = x1 + x2 para cada x = (xn)n∈N ∈ `∞.

4. ϕ ∈ (`2)′ dada por ϕ(x) = x1 + x2 para cada x = (xn)n∈N ∈ `2.

5. ϕ ∈ (`2)′ dada por ϕ(x) =∞∑k=1

xk

k para cada x = (xk)k∈N ∈ `2.

6. ϕ ∈ c′0 dada por ϕ(x) =∞∑k=1

xk

2k para cada x = (xk)k∈N ∈ c0 . 4

1.9.45. Sean E un espacio de Banach, ϕ ∈ E∗ and y ∈ E tal que ϕ(y) 6= 0. Probar que:

1. Se tiene la descomposicion E = kerϕ⊕ span y.

2. Vale la igualdad d (y , kerϕ) = |ϕ(y)|‖ϕ‖ . Probarla “a mano”, sin usar la Prop. 1.7.7.

3. Dado a ∈ C, sea H = ϕ−1(a) = x ∈ E : ϕ(x) = a. Entonces d (0 , H) = |a|‖ϕ‖ . 4

1.9.46. Sean E un EN y ϕ, ψ ∈ E∗ tales que ϕψ ≡ 0. Probar que en tal caso ϕ ≡ 0 o bien ψ ≡ 0. 4

Potpurrı.1.9.47. Sea (E, ‖ · ‖) un EN. Son equivalentes:

1. E es un espacio de Banach.

2. La bola BE es completa.

3. La cascara SE = x ∈ E : ‖x‖ = 1 es completa.

4. Para toda sucesion (xn)n∈N en E vale que∑n∈N‖xn‖ <∞ =⇒

∑n∈N

xn converge en E. 4

1.9.48. Sean E un EN, F ⊆ E un subespacio de dimension finita y x ∈ E. Probar que existe un y0 ∈ Fque realiza la distancia, o sea que ‖x− y0‖ = d (x , F). 4

1.9.49. Sea E un EN. Dados S , T v E definamos

A(S , T ) def= ınf ‖s− t‖ : s ∈ S , t ∈ T y ‖s‖ = ‖t‖ = 1 .

Demostrar que S + T v E ⇐⇒ A(S , T ) > 0. 4

1.9.50. Sea E un EN. Dado S v E, probar que

1. Si E es separable entonces tambien lo es E/S .

2. Si S y E/S son separables entonces tambien lo es E.

3. Dar un ejemplo en el cual E/S es separable pero E no lo es. 4

1.9.51. Sea E un EN. Probar que

1. Dados A , B ∈ L(E) vale que ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖.

2. La flecha L(E)× L(E) 3 (A , B) 7→ AB ∈ L(E) es continua respecto de la norma de L(E). 4

44

1.9.52. Sea E un EB. Dado A ∈ L(E) tal que ‖A‖ < 1. Demostrar que 1−A es inversible con

(1−A)−1 =∞∑n=0

An y ‖(1−A)−1‖ ≤ 11− ‖A‖

. 4

1.9.53. Sea E un EB. Denotemos Gl (E) = T ∈ L(E) : T es inversible . Probar que Gl (E) es un abiertode L(E). Sug: Probar que si T ∈ Gl (E) entonces B(T , ‖T−1‖−1) ⊆ Gl (E). 4

1.9.54. Sea E un EB. Dada una sucesion (An)n∈N en Gl (E), mostrar que si An‖ · ‖−−−−→n→∞

A pero A /∈ Gl (E),

entoces debe pasar que ‖A−1n ‖ −−−−→

n→∞∞. 4

45

Capıtulo 2

Funcionales y Operadores

2.1 Hahn Banach: El dual es grande.

El teorema de Hahn Banach es una aplicacion clave del Lema de Zorn que permite levantara dimesion infinita buena parte de la intuicion de Kn. En principio resolvera un problemaque mencionamos anteriormente: Si bien en los ejemplos concretos vimos que el dual de unnormado suele ser bien grande, en el contexto abstracto uno no sabe ni siquiera si hay algunafuncional continua (ϕ 6= 0) para un espacio no nulo.

El teorema, cuyo enunciado es mas general que lo que uno necesita para contruir funcionalesen los normados, servira tambien para poder ver que los EVT’s dados por familias de semi-normas tienen suficientes funcionales continuas (por ejemplo, familias que separen puntosdel dominio). Tambien sera clave para tratar las propiedades de los conjuntos convexos enestos espacios. Pero para estas aplicaciones habra que esperar hasta el Cap. 5.

Definicion 2.1.1. Sea E un R-EV. Una funcion q : E → R se llama sublineal si cumplela desigualdad triangular q(x+ y) ≤ q(x) + q(y) y una version parcial de sacar escalares:

q(λx) = λ q(x) (sin modulo) , para todo x ∈ E y todo λ ∈ R+ . 4

Teorema 2.1.2. [Hahn-Banach] Sea E un R-EV, q : E → R una funcion sublineal, S ⊆ Eun subespacio y ϕ ∈ S ′ una funcional que cumple la acotacion

ϕ(y) ≤ q(y) , para todo y ∈ S .

Entonces existe una funcional Φ ∈ E ′ que cumple lo siguiente:

1. Φ(x) ≤ q(x), para todo x ∈ E.

2. Φ extiende a ϕ, o sea que Φ(y) = ϕ(y), para todo y ∈ S.

Demostracion. Por una Zornificacion, alcanzara hacer el “paso inductivo”, que viene ahora:

Caso 1: Supongamos que S es un hiperplano, o sea que E = S ⊕ R · x para algun x /∈ S.En tal caso, cualquier Φ ∈ E ′ que extienda a ϕ debe actuar ası:

Φ(y + tx) = ϕ(y) + t α , para y ∈ S , t ∈ R ,

46

para algun α = Φ(x) ∈ R a elegir. Pero se busca un α tal que

ϕ(y) + t α ≤ q(y + t x

), para todo par y ∈ S , t ∈ R .

Si t = 0 sabemos que vale. Si t > 0, esto significa que para cualquier y ∈ S valga

α ≤−ϕ(y) + q

(y + t x

)t

= −ϕ( yt

)+ q( yt

+ x).

Reemplazando yt

por y (todo sigue en S), esto a su vez equivale a que

α ≤ −ϕ(y) + q(y + x

)para todo y ∈ S . (2.1)

Similarmente, si t < 0 necesitamos que todos los z ∈ S cumplan

α ≥−ϕ(z) + q

(z + t x

)t

−t>0= ϕ

( −zt

)− q

( −zt− x

)Nuevamente, esto equivale a que

α ≥ ϕ(z)− q(z − x

)para todo z ∈ S . (2.2)

Juntando (2.1) y (2.2), para que un α ası pueda existir, habrıa que ver que

ϕ(z)− q(z − x

)≤ −ϕ(y) + q

(y + x

)para todo par z , y ∈ S . (2.3)

Y eso alcanzarıa porque, poniendo a α en el medio, las cuentas anteriores salen bien “haciaarriba”. Afortunadamente podemos hacer lo siguiente: Dados z , y ∈ S se tiene que

ϕ(z) + ϕ(y) ≤ q(y + z) = q(

(y + x) + (z − x))≤ q(y + x

)+ q(z − x

)=⇒ (2.3) . 4

Caso general: Ahora viene Zorn. Notemos GS(E) al conjunto de subespacios de E quecontienen a S. Tomemos el conjunto de las extensiones de ϕ acotadas por q,

C =

(M, ρ) : M∈ GS(E) , ρ ∈M′ , ρ ≤ q y ρ∣∣S = ϕ

ordenado por (M, ρ) ≤ (T , σ) si M⊆ T y σ

∣∣M = ρ. Miren que C 6= ∅ porque (S, ϕ) ∈ C.

Dada una cadena (Mi , ρi)i∈I en C, la podemos acotar por el par (M, ρ), donde

M =⋃i∈I

Mi y ρ(x) = ρi(x) para los x ∈Mi .

El orden total de la cadena hace que M ∈ GS(E) (se suma en el i mas grande), que ρ estebien definida, que sea menor que q y lineal en todo M. Claramente (M , ρ) ∈ C. Pordefinicion sale que (Mi , ρi) ≤ (M , ρ) para todo i ∈ I. Listo el pollo.

Por Zorn hay un par (M0 , Φ) ∈ C que es maximal. Y por el paso inductivo del Caso 1,este M0 tiene que ser todo E.

47

Observacion 2.1.3. Como muchas de las cuentas que siguen se hacen con funcionealesR-lineales, sus extensiones al caso complejo se haran tomando partes reales de funcionalescomplejas. Para que esto camine bien, hacen falta unas cuentitas: Sea E un C-EV.

1. Dada φ ∈ E ′R (R-lineal), se verifica que la funcional

φC : E → C dada por φC(x) = φ(x)− i φ(ix) , x ∈ E , (2.4)

es C-lineal (o sea que φC ∈ E ′). Esto sale porque φC es R-lineal y

φC(ix) = φ(ix) + iφ(x) = i φC(x) , para todo x ∈ E .

Observar que uno puede “volver” a E ′R usando que ReφC = φ.

2. Dada ϕ ∈ E ′ (C-lineal), luego Reϕ = ϕ+ϕ2∈ E ′R . Ademas se tiene que

toda ϕ ∈ E ′ se recupera de su parte real: ϕ = (Reϕ)C .

En efecto, para cualquier x ∈ E, igualando las partes reales de la igualdad

Reϕ(ix) + i Imϕ(ix) = ϕ(ix) = iϕ(x) = − Imϕ(x) + iReϕ(x) ,

obtenemos que Imϕ(x) = −Reϕ (ix). Mirando ahora (2.4) vemos que ϕ = (Reϕ)C .

3. Por lo tanto, dadas ϕ1 , ϕ2 ∈ E ′, tenemos que Reϕ1 = Reϕ2 =⇒ ϕ1 = ϕ2 .

4. Si me dan una C-seminorma p para E, y una funcional φ ∈ E ′R , vale que

φ ≤ p ⇐⇒ |φC| ≤ p . (2.5)

La implicacion ⇐ es obvia, porque φ = ReφC ≤ |φC| . Veamos la otra: Dado un puntox ∈ E, pongamos que φC(x) = eiθ |φC(x)|, y consideremos ahora y = e−iθ x ∈ E. Luego

|φC(x)| = e−iθ φC(x) = φC(y) = ReφC(y) = φ(y) ≤ p(y) = p(e−iθ x) = p(x) .

Observar que podemos decir lo mismo al reves: Si ϕ ∈ E ′, |ϕ| ≤ p ⇐⇒ Reϕ ≤ p. 4

Teorema 2.1.4 (H-B con seminormas y modulos). Sea E un K-EV, p : E → R+ unaseminorma, S ⊆ E un subespacio y ϕ ∈ S ′ una funcional que cumple la acotacion

|ϕ(y)| ≤ p(y) , para todo y ∈ S .

Entonces existe una funcional Φ ∈ E ′ que cumple lo siguiente:

1. |Φ(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ E.


48

Demostracion. El caso K = R sale a partir del Teo. 2.1.2, usando que las seminormas sonsublineales, y que p(−x) = p(x) para todo x ∈ E, por lo que Φ ≤ p =⇒ |Φ| ≤ p.

El caso K = C se deduce del anterior usando la Obs. 2.1.3: Empiezo con una C-lineal ϕ ∈ S ′,y llamo φ = Reϕ ∈ S ′R , que tambien esta acotada por p. Extiendo φ a una R-lineal Ψ ∈ E ′Rpor el caso anterior, y tomo ahora Φ = ΨC . Luego Φ sigue acotada por p, y veo que tantoϕ como Φ

∣∣S tienen la misma parte real φ, por lo que deben coincidir.

Teorema 2.1.5 (H-B y el dual). Sea E un EN. Sean S ⊆ E un subespacio y ϕ ∈ S∗.Entonces existe una funcional Φ ∈ E∗ que cumple lo siguiente:


2. ‖Φ‖E∗ = ‖ϕ‖S∗ .

Demostracion. El hecho de que ϕ ∈ S∗ significa que

‖ϕ‖S∗ <∞ , y que |ϕ(y)| ≤ ‖ϕ‖S∗‖y‖ para todo y ∈ S .

Como la flecha E 3 x 7→ p(x) = ‖ϕ‖S∗‖x‖ es una (semi)norma en E, y sabemos que ϕ ≤ pen S, se puede usar el usar el Teo. 2.1.4. Aparece la exension Φ ∈ E ′ que cumple que|Φ(x)| ≤ ‖ϕ‖S∗‖x‖ para todo x ∈ E. Esto muestra que Φ ∈ E∗ con ‖Φ‖E∗ ≤ ‖ϕ‖S∗ . Laotra desigualdad es trivial porque Φ extiende a ϕ, que alcanza su norma en BS ⊆ BE .

Corolario 2.1.6. Sea E un EN.

1. El espacio dual topologico (respecto a la norma) E∗ separa puntos de E.

2. Mas aun, dado x ∈ E, existe una ϕ ∈ E∗ tal que

‖ϕ‖ = 1 y |ϕ(x)| = ‖x‖ . (2.6)

3. Esto dice que se puede calcular ‖x‖ en forma dual usando a E∗. Es decir que

para cualquier x ∈ E vale que ‖x‖ = max|ϕ(x)| : ϕ ∈ BE∗

. (2.7)

Demostracion. La prueba es directa a partir del Teo. 2.1.5. Veamos 2: La clave es definiruna buena ϕ0 en el dual del subespacio S = span x = Kx. Buena significa que

ϕ0(x) = ‖x‖ por lo que |ϕ0(λx)| = |λ| ‖x‖ = ‖λx‖ para todo λ ∈ K .

Observar que ‖ϕ0‖S∗ = 1, ya que |ϕ0(z)| = ‖z‖ para todo z ∈ S. Si ϕ ∈ E∗ extiende a ϕ0

y cumple que |ϕ(y)| ≤ ‖y‖ para todo y ∈ E, es claro que ‖ϕ‖ = 1 como aspirabamos. Apartir de 2, la Ec. (2.7) se deduce sin dificultad.

Ejercicio 2.1.7. Sea E un EN. Dado un subespacio S v E y un x /∈ S, probar que existeuna ϕ ∈ E∗ tal que S ⊆ kerϕ , ‖ϕ‖ = 1 pero |ϕ(x)| = d ( x , S ) .

Se sugiere probarlo primero a mano en S ⊕ span x y extender por Hanh-Banach. Reciendespues hacerlo usando la Ec. (2.6) en E/S . 4

49

Ejercicio 2.1.8. Sea E un EN. Dado un subespacio S ⊆ E, probar que

S =⋂ kerϕ : ϕ ∈ E∗ y S ⊆ kerϕ .

Mas adelante veremos que esto significa que S es el “doble anulador” de S. 4

Ejercicio 2.1.9. Sea E un EN.

1. Dado un x ∈ E y una ϕ ∈ E∗ como en la Ec. (2.6), mostrar que ahı sı vale que

d (x , kerϕ)(1.39)= ‖x‖. Comparar con la Ec. (1.27) y el Ejem. 1.4.3.

2. Asumamos que dimE = ∞. Usando recursivamente el item anterior, probar queexisten una sucesion (xn)n∈N en E y una familia de subespacios Sn v E tales que

(a) La dimSn =∞ y la ‖xn‖ = 1 para todo n ∈ N.

(b) Los subespacios decrecen: Sm ⊆ Sn si n ≤ m.

(c) Para todo n ∈ N vale que xn ∈ Sn . Luego xm ∈ Sn para todo m ≥ n.

(d) Pero ademas vale que Sn = Sn+1 ⊕Kxn para todo n ∈ N.

(e) Observar que nos queda que E = Sn+1 ⊕ span x1 , . . . , xn para todo n ∈ N.

(f) Por ultimo pedimos que la d (xn , Sn+1) = 1 para todo n ∈ N.

Sugerencia: Empezar con S1 = E y x1 ∈ E un unitario cualquiera. El paso inductivo esencontrar una ϕn ∈ S∗n tal que d (xn , kerϕn) = 1 (todo en Sn). Luego se podra definirSn+1 = kerϕn ⊆ Sn y elegir el xn+1 al azar allı dentro.

3. Asumiendo ademas que E es un EB, exhibir un T ∈ L(`∞ , E) que sea mono. 4

Sugerencia: Construir la sucesion (xn)n∈N en E de vectores unitarios y los Sn del item 2.Luego mandar cada a = (an)n∈N ∈ `∞ a la serie T (a) =

∑n∈N 2−n an xn ∈ E.

Ejercicio 2.1.10. Sea E un EB infinitodimensional, con dimE = α (dimension algebraica).

1. Usando el Teor. de Baire 2.2.4, probar que α > |N| = ℵ0 .

2. Mas aun, usando el Ejer. 2.1.9 y Vandermonde, mostrar que α ≥ |R| = c.

Sug: Considerar los vectores (λn)n∈N ∈ `∞ para cada λ ∈ C con |λ| < 1. 4

Veamos un ejemplo de como el Teo. de H-B nos permite maniobrar en un EN generico:

Proposicion 2.1.11. Sea E un EN. Dado un S v E tal que n = dimS < ∞, existe un“proyector” acotado P ∈ L(E) tal que P P = P y R(P ) = S.

50

Proof. Por el Cor. 1.6.5, tenemos que S∗ = S ′. Sea B = x1 , . . . , xn una base de S. Luegoexiste una base dual B′ = ϕ1 , . . . , ϕn ⊆ S∗, es decir que ϕm(xn) = δmn . Estendamosestas funcionales a todo E∗ preservando sus normas (se puede por H-B) y manteniendo susnombres. Ahora podemos definir el proyector

P ∈ L(E) dado por P x =∑k∈In

ϕk(x)xk para cada x ∈ E .

Es facil testear que ‖P‖ ≤∑

k∈In ‖ϕk‖ <∞, que P y = y para los y ∈ S (aca se usa que labase B′ es dual de B) y que R(P ) = S. De ahı sale de inmediato que P P = P .

Corolario 2.1.12. Sean E y F dos EN’s. Dado un S v E tal que n = dimS < ∞, valeque todo operador acotado T0 ∈ L(S , F ) se puede extender a un T ∈ L(E , F ).

Se cumple que T |S = T0 y que ‖T‖ ≤ K ‖T0‖, donde la constante K ≥ 1 depende de E y deS, pero es la misma para todos los operadores T0 ∈ L(S , F ) (y todos los espacios F ).

Proof. Sea P ∈ L(E) el proyector sobre S de la Prop. 2.1.11, y sea K = ‖P‖. Como

R(P ) = S tiene sentido definir la composicion Tdef= T0 P ∈ L(E , F ). Eso es todo.

La inmersion en el doble dual

2.1.13. Sea E un EN. Usando el Cor. 2.1.6, tenemos los siguientes hechos:

1. Como E∗ es tambien un normado (es un Banach), podemos considerar a su dualtopologico E∗∗ = (E∗)∗.

2. Definamos la inmersion canonica J = JE : E → E∗∗ como el morfismo inducido por ladualidad (x, ϕ) 7→ 〈x, ϕ〉 = ϕ(x). O sea que, dado un x ∈ E, definimos

JE x = Jx ∈ E∗∗ por la formula Jx(ϕ) = ϕ(x) , para toda ϕ ∈ E∗ . (2.8)

O sea que hacemos actuar a E en el espacio E∗ vıa “ser evaluado en”.

3. La Ec. (1.7) nos dice que J reduce normas (en particualar que las funcionales Jx soncontinuas en E∗). Pero el Cor. 2.1.6 asegura que J es isometrica:

‖Jx‖E∗∗(1.6)= sup

ϕ∈BE∗|Jx(ϕ)| (2.8)

= supϕ∈BE∗

|ϕ(x)| (2.7)= ‖x‖E .

4. El espacio E se dice que es reflexivo si esta isometrıa JE : E → E∗∗ es sobre.

5. Ojo que existen espacios F que son isometricamente isomorfos a su F ∗∗, pero que noson reflexivos (o sea que LA inmersion JF : F → F ∗∗ no era sobre). 4

51

Ya conocemos casos de espacios reflexivos (como los `p y los Lp si 1 < p <∞) y no reflexivoscomo c0 , porque c∗∗0

∼= (`1)∗ ∼= `∞. En este caso una sabe gratis que no vale que c0∼= `∞

porque uno es separable y el otro no.

Pero mejor aun, mirando los isomorfismmos en cuestion, es facil ver que la Jc0 : c0 → `∞ noes otra cosa que la inclusion (ver el Ejem. 2.6.4 para mas detalles). Es porque `∞ actua en`1 igual a como c0 es “actuado” por `1. Y esa inclusion no es sobre.

Observacion 2.1.14. Sea E un EN. Habıamos mencionado que a E se lo puede completara un Banach que lo tenga como subespacio denso. Eso se hace con las sucesiones de Cauchycomo a cualquier otro EM, aunque aca ademas hay que definir las operaciones y toda esavaina. Pero en los normados ahora hay un camino que es casi gratis.

El tema es identificar E con su imagen JE(E) ⊆ E∗∗. Esto vale porque JE es un isoisometrico. Pero E∗∗ es el dual de E∗ y, como todo dual de un normado, es automaticamenteun Banach (por el Teo. 1.1.10). Luego el completado natural para E es

ECdef= JE(E) v E∗∗ ,

que es Banach por ser cerrado en otro. Como decıamos, E ∼= JE(E) ⊆ EC vive dentro de sucompletado como un subespacio denso. 4

2.2 Recordando Baires.

Repasemos el Teorema de Baire. Como es la herramienta clave para los importantes teoremassobre espacios de Banach de este capıtulo, daremos una prueba completa del mismo. Paraver una discusion previa y la version del teorema para espacios LKH, sugerimos ir a laProp. A.11.3 y el Teo. A.18.1 del Apendice.

2.2.1. Empecemos fijando notaciones sobre bolas: Si E es un EN, llamaremos

BaE(x, ε) = y ∈ E : ‖x− y‖ < ε y BE(x, ε) = Ba

E(x, ε) = y ∈ E : ‖x− y‖ ≤ ε,

donde se fijo un x ∈ E y un ε > 0. Observar que si x = 0 y tomamos otro δ > 0, entonces

BaE(0 , δ) =

δ

εBaE(0 , ε) y BE(0 , δ) =

δ

εBE(0 , ε) , (2.9)

cosa que nombraremos como “homogeneidad”. Si ε = 1 abreviaremos BaE = BE(0, 1) y

BE = y ∈ E : ‖y‖ ≤ 1 . Observar que, dados x ∈ E y ε > 0, tenemos que

BaE(x, ε) = x+ ε ·Ba

E y BE(x, ε) = x+ ε ·BE . (2.10)

Si bien las Eqs. (2.9) y (2.10) solo tienen sentido en EN’s, se usaran los mismos nombres Ba

(abierta) y B (cerrada) para bolas en un EM cualquiera X. 4

Lema 2.2.2 (Encaje). Sea (X, d) un EM completo. Sea Fnn∈N una familia de subconjuntoscerrados y no vacıos de X tales que

52

(a) Para todo n ∈ N, se tiene que Fn+1 ⊆ Fn 6= ∅ .

(b) La sucesion diam (Fn)def= supd(x, y) : x, y ∈ Fn −−−→

n→∞0.

Luego se debe cumplir que⋂n∈N

Fn 6= ∅.

Demostracion. Si tenemos la sucesion Fnn∈N, elijamos un xn ∈ Fn para cada n ∈ N. Lascondiciones (a) y (b) aseguran que x = (xn)n∈N es de Cauchy (dado ε > 0, basta tomarn0 ∈ N tal que diam (Fn) < ε para n ≥ n0). Observar que fijado un n ∈ N, toda la cola(xk)k≥n se queda dentro de Fn (por las inclusiones pedidas en (a) ). Si xk −−−→

k→∞x, el hecho

de los Fn sean todos cerrados termina de mostrar que x ∈⋂n∈N

Fn 6= ∅.

Sea (X, d) un EM. Recordemos que si A ⊆ X su interior es el conjunto

Adef= x ∈ A : Ba

X(x, ε) ⊆ A para cierto ε > 0 .

Ejercicio 2.2.3. Sea (X, d) un EM y sea A ⊆ X. Entonces

X \ A = (X \ A) y X \ A = X \ A . (2.11)

Teorema 2.2.4 (Baire). Sea X es un espacio metrico completo. Entonces para todafamilia numerable Fnn∈N de cerrados de X se tiene que

F n = ∅ para todo n ∈ N =⇒( ⋃n∈N

Fn

)= ∅ . (2.12)

Existen otras dos maneras de enunciar lo mismo, que conviene explicitar:

B2: Si( ⋃n∈N

Fn

)6= ∅ (por ejemplo si

⋃n∈N

Fn = X), entonces algun F n 6= ∅.

B3: Dada una sucesion Unn∈N de abiertos densos, se tiene que⋂n∈N

Un es tambien densa.

Demostracion. Probaremos el enunciado B3. Observar que, si tenemos cerrados Fn como enB2 o (2.12), y para cada n ∈ N hacemos Un = X \ Fn , por la Ec. (2.11) nos queda que

Un = X \ Fn(2.11)= X \ F n y que

⋂n∈N

Un = X \⋃n∈N

Fn(2.11)= X \

( ⋃n∈N

Fn

),

por lo que B3 =⇒ B2 y (2.12). Sea x ∈ X y ε > 0. Tomemos la bola cerrada B0 = B(x, ε).Como U1 es denso, tenemos que U1 ∩ Ba(x, ε) 6= ∅ y es abierto. Luego existe una bolacerrada B1 = B(x1 , ε1) ⊆ U1 ∩Ba(x, ε), donde podemos asumir que ε1 ≤ ε

2.

Ahora cortamos B1 ⊆ Ba(x1 , ε1) con U2 . Por la densidad de U2 podemos armar una bolacerrada B2 , de radio no mayor a ε

4, tal que B2 ⊆ B1 ∩ U2 ⊆ U1 ∩ U2 . Recursivamente,

obtenemos una sucesion (Bn)n∈N de bolas cerradas tales que, para todo n ∈ N,

Bn ⊆⋂k∈ In

Uk , Bn+1 ⊆ Bn y diam (Bn) ≤ 2 ε

2n=

ε

2n−1 .

53

El Lema 2.2.2 nos dice ahora que existe un y ∈⋂n∈N

Bn . Y la primera condicion de arriba

nos da que y ∈⋂n∈N

Un , ademas de estar en B1 ⊆ Ba(x, ε), que era un entorno generico de x.

Ası llegamos a que el puntito x esta en la clausura de⋂n∈N

Un , cualquiera sea el x ∈ X.

Observacion 2.2.5. Como primera aplicacion directa en espacios de Banach, mostremosque ellos no pueden tener dimension infinita numerable: Sea E un espacio de Banach, yagarremos un conjunto linealmente independiente B = xn : n ∈ N en E.

Para cada n ∈ N llamemos Fn = span x1 , . . . , xn. El Cor. 1.6.3 nos dice que los Fn sontodos cerrados. Tienen interior vacıo porque si fijamos un y ∈ Fn , se ve que y+ 1

kxn+1 /∈ Fn

para ningun k ∈ N aunque, con k grande, entran en cualquier bolita alrededor de y.

Si B fuera una base (o sea si generara E), tendrıamos que⋃n∈N

Fn = E. Pero el Teor. de

Baire no permite que pase esto, ası que de bases numerables (para un Banach) ni hablar. 4

2.3 Teorema de la imagen abierta.

Observacion 2.3.1. Hace unas secciones discutimos los isomorfismos entre normados. Sehizo mucho incapie en que, dados dos normados E y F , para que un T ∈ L(E,F ) biyectivosea iso de normados, hace falta verificar que T−1 ∈ L(F,E). Es decir que la continuidad deT no asegura a priori la de T−1, aunque sepamos que T−1 existe.

Veamos un ejemplo de lo anterior, un T ∈ L(E,F ) tal que T−1 existe pero no es continuo:Tomemos la identidad ISF : (SF , ‖ · ‖1 ) → (SF , ‖ · ‖∞ ). Como ‖ISF x‖∞ = ‖x‖∞ ≤ ‖x‖1

para todo x ∈ SF , nos queda que ISF es continua a la ida. Pero

xk = (1 , 12, . . . , 1

k, 0 , 0 , . . . ) ∈ SF cumple que ‖xk‖∞ = 1 para todo k ∈ N ,

mientras que ‖xk‖1 −−−→k→∞

∑m∈N

1m

=∞. Ası que, a la vuelta, ISF deja de ser continua.

En cambio, si ya supieramos que tanto E como F son Banach’s, el Teorema de la imagenabierta que daremos a continuacion dice que alcanza testear la continuidad de T para unlado, porque la de la inversa serıa automatica. Pongamos en un Lema, para el que usaremossistematicamente las notaciones de 2.2.1, la parte mas tecnica del Teorema: 4

Lema 2.3.2. Sean E y F dos espacios de Banach y T ∈ L(E,F ). Si existe un r > 0 tal que

BaF (0, r) ⊆ T (Ba

E) ,

entonces para cualquier r′ < r se cumple que BaF (0, r′) ⊆ T

(BaE

), ahora sin clausurar.

Demostracion. Escribamos r′ = λ · r con λ ∈ (0, 1) y ε = 1 − λ ∈ (0, 1). Denotemos porV = T

(BaE

). Dado y ∈ Ba

F (0, r), por hipotesis existe un y1 ∈ V tal que

‖y − y1‖ < ε · r , o sea que y − y1 ∈ BaF (0, ε · r) .

54

Por la Ec. (2.9) y la homeo-ness de x 7→ ε · x, vemos que

BaF (0, ε · r) = ε ·Ba

F (0, r) ⊆ ε · V = ε · V y que ε · V = T(ε ·Ba

E

)= T (Ba

E(0, ε) ) .

Luego existe un y2 ∈ ε·V tal que ‖y−y1−y2‖ < ε2 ·r. Siguiendo inductivamente, construimosuna sucesion (yn)n∈N en F que verifica las siguientes condiciones:

yn ∈ εn−1 · V and∥∥y − n∑

k=1

yk∥∥ < εn · r para todo n ∈ N .

Para cada n ∈ N, podemos ir eligiendo un xn ∈ E tal que T (xn) = yn y ‖xn‖ < εn−1. ComoE es Banach, la Prop. 1.1.12 nos dice que existe x =

∑n∈N

xn ∈ E. Ademas

Tx =∑n∈N

T xn =∑n∈N

yn = y and ‖x‖ <∑n∈N

εn−1 = (1− ε)−1 = λ−1 .

Luego z = λx ∈ BaE y T (z) = λy, un elemento generico de λ ·Ba

F (0, r) = BaF (0, r′).

Teorema 2.3.3 (Imagen abierta, o TIA). Sean E y F dos espacios de Banach. Si

T ∈ L(E,F ) es sobre =⇒ T es abierto ,

o sea que T (U) es abierto en F para todo U que sea abierto en E.

Demostracion. Veamos al principio que alcanza con probar que

existe un ε > 0 tal que BaF (0, ε) ⊆ T (Ba

E) . (2.13)

En efecto, si U ⊆ E es abierto y T (x) ∈ T (U) (para un x ∈ U), debe existir un s > 0 talque Ba

E(x, s) ⊆ U . Usando la homogeneidad (2.9) y transalciones (2.10), tendrıamos que

BaF

(T (x), ε · s

)= T (x) + s ·Ba

F (0, ε)(2.13)

⊆ T (x) + s · T (BaE) = T

(x+Ba

E(0, s))⊆ T (U) .

Ası que probemos (2.13). En principio, tomemos las Bn = BaE(0, n), para todo n ∈ N. Como

E =⋃n∈N

Bn y T es sobre , entonces F =⋃n∈N

T (Bn) =⋃n∈N

T (Bn) .

Por el Teor. de Baire 2.2.4 (aca es donde se usa que F es Banach)

existe un n ∈ N tal que T (Bn) 6= ∅ .

Pero todas las Bn = n · B1 , por lo que T (Bn) = n · T (B1) , para todo n ∈ N (el homeoy 7→ n · y respeta clausuras e interiores). Luego, mas que “existe un n”, lo de arriba valepara todo n ∈ N. En particular para n = 1. Entonces debe existir una bola

BaF (y, r) ⊆ T (B1) = T (Ba

E) .

Finalmente, si x ∈ BaF (0, r), usando (2.10) se lo puede escribir como

x =(y + x)− (y − x)

2∈ Ba

F (y, r)−BaF (y, r)

2⊆ T (B1)− T (B1)

2⊆ T (B1) ,

55

donde la ultima inclusion sale tomando sucesiones y usando que B1 es convexa. Luego,tambien tenemos que Ba

F (0, r) ⊆ T (BaE). Aplicando ahora el Lema 2.3.2 (aca se usa que E

es Banach), probamos que la Ec. (2.13) se cumple para cualquier ε < r.

Corolario 2.3.4 (Teor. de la funcion inversa TFI). Sean E y F dos espacios de Banach.

Si T ∈ L(E,F ) es biyectivo =⇒ T es iso de EN’s ,

o sea alcanza con que T sea continuo para que tambien T−1 ∈ L(F,E).

Demostracion. Biyectivo implica sobre. Luego, el TIA 2.3.3 dice que T es abierto. Pero esoes lo mismo que decir que T−1 es continuo.

Observacion 2.3.5. Si E es un K-EV (de cualquier dimension) y tenemos dos normas N1

y N2 en E tales que ambas lo hacen Banach, entonces cada una de las desigualdades de laEc. (1.34) implica la otra y que son equivalentes. Esto es consecuencia del TFI 2.3.4 aplicadoa la identidad de E. 4

Corolario 2.3.6. Sean E y F dos EB’s y T ∈ L(E , F ) un epi. Entonces el “bajado”T ∈ L(E/kerT , F ) del Cor. 1.7.5 es un isomorfismo y un homeo.

Demostracion. El Cor. 1.7.5 aseguraba que T era continuo. Recordemos que T ΠkerT = T .A partir de eso es claro que R(T ) = R(T ) = F y que ker T = 0 (es decir la clase nula en el

cociente E/kerT ). Luego el iso E/kerTT' F se deduce del TFI 2.3.4. No olvidar que estamos

usando la Prop. 1.7.1 para poder asegurar que E/kerT es tambien un EB.

Veremos a continuacion que todo EB separable es isomorfo (en el sentido de arriba) a uncociente de `1(N). Esto se puede leer como que no hay “tantos” de esos espacios, o biencomo que hay una inesperada multitud de subespacios cerrados de `1 = `1(N).

Proposicion 2.3.7. Sea E un EB separable. Luego existen

1. Un epimorfismo T ∈ L(`1 , E).

2. Si M = kerT v `1, entonces existe un iso T : `1/M←→ E.

Demostracion. Como asumimos que E es separable, podemos tomar un conjunto numerableD = zn : n ∈ N ⊆ BE que sea denso en la bola BE . A partir de el definimos

T (x) =∑n∈N

xn zn ∈ E para cada x = (xn)n∈N ∈ `1 .

Sale facil que T esta BD y es lineal-continua. El hecho de que sea sobre cuesta algo mas:

Sea y ∈ BE . Tomemos un zn1 ∈ D tal que 0 < ‖y − zn1‖ < 12

. Definamos las constantesan1 = 1 y an2 = ‖y − zn1‖ < 1

2. Luego tomemos otro zn2 ∈ D \ zn1 tal que

0 <∥∥∥ y − zn1

‖y − zn1‖− zn2

∥∥∥ = ‖y − zn1‖−1∥∥∥y − an1 zn1 − an2 zn2

∥∥∥ < 1

2.

56

Observar que an3

def= ‖y − an1 zn1 − an2 zn2‖ < 1

2‖y − zn1‖ = 1

2an2 <

14

. Siguiendo asıencontramos un a = (am)m∈N ∈ `1 y unos znk : k ∈ N ⊆ D tales que, para cada k ∈ N,

0 <∥∥∥ y −

∑kj=1 anj znj

‖y −∑k

j=1 anj znj‖− znk+1

∥∥∥ < 1

2con ank+1

= ‖y −k∑j=1

anj znj‖ <1

2k,

mientras que los am = 0 para m /∈ nk : k ∈ N. Por la construccion deducimos de inmediatoque T a = y, por lo que T es epi. El iso T se construye pasando al cociente al epi T recienconstruido y aplicando el Cor. 2.3.6.

2.4 Teorema del grafico cerrado.

Sean E y F dos EN’s y T : E → F un operador K-lineal. Su grafico es

Gr (T ) =

(x, y) ∈ E × F : x ∈ E e y = Tx

=

(x, Tx) : x ∈ E⊆ E × F .

La linealidad de T hace que Gr (T ) sea un subespacio de E × F . Por otra parte, la flecha

E × F 3 (x, y) 7−→ ‖(x, y)‖E×F = ‖x‖E + ‖y‖F ∈ R+ (2.14)

es evidentemente una norma para E × F . Observar que produce la topologıa producto,porque la convergencia en E × F equivaldra a la convergencia en ambas entradas a la vez.Si ahora suponemos que T ∈ L(E,F ), es bien facil ver que Gr (T ) v E × F .

Esto es porque sabemos que xn‖ · ‖E−−−→n→∞

x =⇒ Txn‖ · ‖F−−−→n→∞

Tx. Luego si tomamos una

sucesion (xn , yn)n∈N en Gr (T ) tal que (xn , yn) −−−→n→∞

(x, y) ∈ E × F , como T es continuo

la convergencia xn‖ · ‖E−−−→n→∞

x asegura que las (yn)n∈N = (Txn)n∈N convergen (aunque ya lo

sabıamos), y que su lımite debe ser y = Tx. Ası que (x, y) ∈ Gr (T ), que queda cerrado.

Como uno supone por lo de arriba, la recıproca, Gr (T ) v E × F =⇒ T ∈ L(E,F ) es falsaen general. Porque el dato de que Gr (T ) v E × F significa que

xn‖ · ‖E−−−→n→∞

x y Txn‖ · ‖F−−−→n→∞

y ∈ F =⇒ y = Tx ,

mientras que afirmar la continuidad de T es probar primero que si xn −−−→n→∞

x, los Txn

tienen que converger a algo, y recien despues que el lımite es Tx. Que el grafico sea cerradoya asume que esa convergencia sucede, y solo entonces dice que el lımite es el correcto.

De las consideraciones anteriores se concluye que encontrar un contexto donde la formula

T ∈ Hom (E,F ) y Gr (T ) v E × F =⇒ T ∈ L(E,F )

sea cierta, ayudarıa notablemente a testear la acotacion de operadores. Todo esto es elmarketing del Teorema del grafico cerrado que viene ahora. Lo que dice es que dicha formula

57

sı es cierta, siempre que uno suponga que tanto E como F son Banach’s. Y la propagandade antes no es solo verso. En repetidas ocasiones a lo largo del texto veremos que la mejorade hipotesis que se mencionaba arriba es la clave para poder probar la acotacion de muchosoperadores altamente interesantes.

Antes del enunciado, un contraejemplo si no son Banach’s los espacios: Es el mismo ejemplode la Obs. 2.3.1, pero para el lado opuesto. El operador es ISF : (SF , ‖ · ‖∞ )→ (SF , ‖ · ‖1 ),que ya vimos que no es continuo. Sin embargo, el grafico es la diagonal

Gr (ISF ) = ∆SF = (x, x) : x ∈ SF ⊆ (SF , ‖ · ‖∞ )× (SF , ‖ · ‖1 ) ,

que es cerrado porque la convergencia con la ‖ · ‖1 implica convergencia en ‖ · ‖∞ .

En el ejemplo anterior ni E ni F son Banach’s. Un ejercicio interesante es ver que si solouno de los dos espacios no es Banach, ya la cosa puede fallar. Decimos “un” ejercicio porqueen el anterior podıamos cambiar el codominio por `1(N), el grafico sigue siendo cerrado y eloperador no acotado. Ası que faltarıa uno donde E sı es completo pero F no lo es.

Teorema 2.4.1 (Grafico cerrado, alias TGC). Sean E y F dos espacios de Banach y seaT ∈ Hom(E,F ). Luego vale que

Gr (T ) v E × F =⇒ T ∈ L(E,F ) .

O sea que si su grafico es cerrado, el opreador debe ser continuo.

Demostracion. La idea es considerar el operador biyectivo

P ∈ L(Gr (T ) , E) dado por P (x, y) = x para (x, y) ∈ Gr (T ) .

Notar que la continuidad de P se deduce de que ‖x‖E ≤ ‖(x, y)‖E×F , por la definicion dadaen (2.14). Que P es biyectivo es una paponia (es porque T es una funcion!).

La gracia es que E × F es Banach porque tanto E como F lo son (Ejercicio: Verificarlo).Luego Gr (T ), al ser un subespacio cerrado, tambien es Banach. Ası que podemos aplicar elTeor. de la funcion inversa 2.3.4 a este P , y deducir que P−1 ∈ L(E,Gr (T ) ).

Ahora bien, si miramos atentamente veremos que P−1x = (x, Tx) para todo x ∈ E. Luego

‖T x‖F≤ ‖(x, T x)‖

E×F = ‖P−1x‖Gr(T )

≤ ‖P−1‖L(E,Gr(T ) )

‖x‖E

para todo x ∈ E .

Esto muestra que T ∈ L(E,F ) con ‖T‖ ≤ ‖P−1‖ <∞.

2.5 Principio de acotacion uniforme.

El teorema de esta seccion es mas raro para entender, pero suele ser el mas util de los tresTeoremas de espacios de Banach (los otros son el TIA y el TGC). Aparte PAU suena mejor.

Como siempre, fijemos E y F dos Banach’s. Aca la idea es dar una familia

58

(Ti)i∈I en L(E,F ) y buscar condiciones para que M = supi∈ I‖Ti‖ <∞ .

La posta sera pedir que sean puntualmente acotados, o sea que

Mx = supi∈ I‖Ti x‖ <∞ para todo x ∈ E . (2.15)

Es claro que esto es necesario, porque porque todos los Mx ≤M‖x‖. Como antes, miremosal espacio SF con la ‖ · ‖∞ para ver que (2.15) no es suficiente en general. Para hacer elcontraejemplo pongamos que F = K, los ındices son I = N y tomemos las funcionales

ϕn ∈ S∗F dadas por ϕn(x) =n∑k=1

xk , para x = (xk)k∈N ∈ SF .

Si un x ∈ SF termina en el xN , se ve que |ϕn(x)| ≤N∑k=1

|xk| para todo n ∈ N. Por lo tanto

la condicion (2.15) se cumple para las ϕn . Pero ‖ϕn‖ = ‖∑n

k=1 ek‖1 = n para todo n ∈ N.

El problema es un tıpico desfasaje de AF: Cada ϕn “alcanza” su norma en un x ∈ BSFdistinto. Por ello el “barrido horizontal” de todas las ϕn evaluadas en un x fijo no alcanzaa describir el supremo “doble” M = sup

n∈N‖ϕn‖ = sup

n∈Nsup

x∈BSF|ϕn(x)|.

En vista del PAU que se viene, conviene observar que en realidad S∗F ∼= `1 ∼= c∗0 , porque SFes denso en c0 . Y lo anterior no caminaba para aquellas ϕn ∈ `1 porque el “test” de (2.15) lohacıamos solo para puntos x de SF y no en todo c0 que es Banach. Observar que allı (2.15)falla porque hay elementos de z ∈ c0 que no estan en `1, y para algunos de ellos Mz =∞.

Bueno, ahora sı. Lo que falla en general veremos que no falla cuando E y F son espacios deBanach. Les presentamos al famoso PAU:

Teorema 2.5.1 (PAU). Sean E y F dos EB’s. Entonces toda familia (Ti)i∈I de operadoresen L(E,F ) que sea “puntualmente acotada”, es tambien acotada en norma. Es decir que

Mx = supi∈ I‖Ti x‖F <∞ para todo x ∈ E =⇒ M = sup

i∈ I‖Ti‖L(E,F ) <∞ ,

o sea que la familia es “uniformemente acotada” en BE .

Demostracion. Consideremos el espacio `∞(I, F ) = f : I → F acotadas del Ejem. 1.2.4.Allı se vio que, como F es completo, entonces `∞(I, F ) es otro EB con la ‖ · ‖∞ . Sea

A ∈ Hom(E, `∞(I, F ) ) dada por Ax = (Ti x)i∈I para x ∈ E ,

o sea que cada Ax es la funcion I 3 i 7→ Ti x ∈ F . Hay buena definicion porque, mirandoquienes son los Mx , da que ‖Ax‖∞ = Mx < ∞ por lo que Ax ∈ `∞(I, F ) para todo x ∈ E.La linealidad es facil, usando la de cada Ti .

Para probar el PAU alcanzarıa con ver que este A ∈ L(E, `∞(I, F ) ). En efecto, notar que

M = supi∈ I‖Ti‖ = sup

i∈ Isupx∈BE

‖Ti x‖ = supx∈BE

supi∈ I‖Ti x‖ = sup

x∈BE‖Ax‖∞ = ‖A‖ .

59

El cambio de orden de los supremos es legal, como podra demostrar facilmente el lectordesconfiado. Para probar que A es acotado, usaremos nuevamente el TGC (dominio ycodominio son Banach’s, asi que vale). Tomemos entonces una sucesion

Gr (A) 3 (xn , A xn) −−−→n→∞

(x, (yi)i∈ I) ∈ E × `∞(I, F ) .

Esto dice que xn‖ · ‖E−−−→n→∞

x y que Axn‖ · ‖∞−−−→n→∞

(yi)i∈ I , por lo que Ti xn‖ · ‖F−−−→n→∞

yi para cada uno

de los i ∈ I. Pero como los Ti ∈ L(E,F ), deducimos inmediatamente que cada yi = Ti x.Luego (yi)i∈ I = Ax, lo que nos asegura que el lımite (x, (yi)i∈ I) ∈ Gr (A), que era cerrado.Luego A ∈ L(E, `∞(I, F ) ) por el TGC.

Corolario 2.5.2. Sea E un EB y sea B ⊆ E un subconjunto cualquiera. Luego

B es ‖ · ‖-acotado ⇐⇒ B es w-acotado ,

donde w-acotado significa que para toda ϕ ∈ E∗ el conjunto ϕ(B) es acotado en C.

Demostracion. La ida es obvia (porque las ϕ ∈ E∗ son acotadas, justamente). Para lavuelta, pongamos a B en E∗∗ vıa la JE : E → E∗∗ definida en 2.1.13. Total, como JE esisometrica alcanza ver que B es acotado alla. Pero ahora los elementos de B pasaron a serfuncionales sobre E∗, y la hipotesis de w-acotacion ahora significa que B es puntualmenteacotado. En efecto, tenemos el conjunto B = JE(B) = x : x ∈ B, y fijada ϕ ∈ E∗,

Mϕ = supx∈B|x(ϕ)| = sup

x∈B|ϕ(x)| = sup |y| : y ∈ ϕ(B) <∞ por la w-acotacion de B .

Todo termina felizmente usando el PAU 2.5.1 (tanto E como C son Banach’s).

Observacion 2.5.3. Una consecuencia del Cor. 2.5.2 es que una sucesion (xn)n∈N en unBanch E que es debilmente convergente a un x ∈ E (i.e., ϕ(xn) −−−→

n→∞ϕ(x) para toda

ϕ ∈ E∗) tiene que ser acotada en norma. El siguiente teorema avanza en esa direccion: 4

Corolario 2.5.4 (Teor. de Banach-Steinhaus). Sean E y F dos Banach’s y sea (Tn)n∈N unasucesion de operadores en L(E,F ). Si se asume que

para todo x ∈ E existe un yx ∈ F tal que Tn x −−−→n→∞

yx ,

entonces valen las siguientes propiedades:

1. La sucesion es acotada, o sea que M = supn∈N‖Tn‖ <∞.

2. El operador T : E → F dado por

Tx = yx = lımn→∞

Tn x para cada x ∈ E

es K-lineal, acotado, y tiene ‖T‖ ≤M .

60

Demostracion. Observar que, fijado un x ∈ E, la sucesion (Tn x)n∈N es convergente (esa esla hipotesis). Luego tiene que ser acotada (por eso N y no I). Pero esa es exactamente lacondicion que pide el PAU 2.5.1 (junto con que E y F sean Banach’s).

Luego ya tenemos que M <∞ por el PAU. El hecho de que el lımite puntual T sea K-lineales inmediato tomando lımites y usando que los Tn lo son. Finalmente,

‖Tx‖ = lımn→∞

‖Tn x‖ ≤ supn∈N‖Tn x‖ ≤ sup

n∈N‖Tn‖ ‖x‖ ≤ M ‖x‖

para todo x ∈ E. Eso muestra que T ∈ L(E,F ) con ‖T‖ ≤M .

Observacion 2.5.5. El Teor. de Banach-Steinhaus es bueno pero no tanto. Queremos decirque, con las notaciones de arriba, no tiene porque valer que Tn −−−→

n→∞T en el sentido de la

norma de L(E,F ). O sea que nadie asegura que ‖T − Tn‖L(E,F ) −−−→n→∞

0.

Sin embargo saber que las sucesiones que tienen lımites puntuales tienen que ser acotadas,y que el operador al que convergen sea siempre continuo ya es bastante. Veremos muchasaplicaciones de esto en la parte de convergencias debiles. Mostremos anticipadamente unejemplo interesante. Fijemos E = c0 y F = K. Tomemos la sucesion de las ϕn que aparecencomo la imagen de en ∈ `1 en c∗0 . O sea que

ϕn(x) = xn para cada x = (xk)k∈N ∈ c0 y cada n ∈ N .

Como estamos justamente en c0 , vemos que ϕn(x) = xn −−−→n→∞

0 para cualquier elemento

x = (xk)k∈N ∈ c0 . Luego el lımite puntual de las ϕn es la funcional nula. Bueno, acotadaes. Pero a la cota ‖0‖ ≤ sup

n∈N‖ϕn‖ = 1 le sobra bastante.

Ademas, como ‖ϕn − 0‖ = ‖ϕn‖ = ‖en‖1 = 1 para todo n ∈ N, deducimos que en este

ejemplo NO se cumple que ϕn‖ · ‖−−−→n→∞

0, como mencionabamos arriba que podıa ocurrir.

Un ejemplo que es casi el mismo pero en otro contexto es cambiar las ϕn por los operadoresPn ∈ L(c0) dados por Pn x = ϕn(x) · en , para x ∈ c0 . Un Pn de estos, lo que hace es tachartodas las coordenadas del x dejandole solo la n-esima en el lugar n en que estaba.

Observar que para cada x ∈ c0 tenemos que ‖Pn x‖ = |ϕn(x)| ‖en‖ = |ϕn(x)| −−−→n→∞

0. Ası

que aca los Pn convergen puntualmente al operador nulo 0 ∈ L(c0). En este caso tampocole convergen en norma, porque ‖Pn‖ = ‖ϕn‖ = 1 para todo n ∈ N.

Este contexto es interesante porque los Pn son lo que se llama un sistema de proyectorespara c0 . Esto significa lo siguiente: Los Pn cumplen que

• Son proyectores, o sea que P 2n = Pn · Pn = Pn para todo n ∈ N.

• Son ortogonales entre sı, es decir que Pn · Pm = 0 si n 6= m.

61

• Aproximan puntualmente a la identidad (suman uno). Esto se escribe ası:

Qn =n∑k=1

Pkpuntual−−−−→n→∞

Ic0 ,

en el sentido de la convergencia puntual del Teor. de B-S.

Las tres cosas se verifican sin dificultad. Por ejemplo Qn x es truncar al x a sus n primerascoordenadas. La resta contra Ic0 x = x es quedarse con las utimas. Como estamos en c0 ,eso converge en ‖ · ‖∞ a cero, para cualquier tal x fijo. Sin embargo, los Qn tampoco vanhacia la identidad en norma, porque lo que les falta (truncar a las ultimas coordenadas) sigueteniendo siempre norma uno en L(c0) (basta evaluar en em con m muy grande). Fijense queen este caso la cota de las normas del Teor. de B-S da justito, porque ‖Ic0‖ = 1 = ‖Qn‖para todo n ∈ N.

Dos cosas mas. Primero que los Qn son tambien proyectores (sale distribuyendo el cuadradoo mirando que hacen) y sus imagenes crecen hacia el denso

⋃n∈NR(Qn) = SF . La otra es

que todo este ejemplo (en sus mitades con ϕn , Pn y Qn) se puede hacer exactamente igualen los espacios `p para todo 1 ≤ p < ∞. Se usa que todos esos `p ⊆ c0 y que las colas delas series convergentes van hacia el cero (para los Qn). En cambio, en `∞ pasa que las ϕn noconvergen puntualmente (porque los elementos de `∞ no siempre tienen lımite). 4

2.6 Dualidad y adjuntos.

Vimos en los ejemplos de representaciones de espacios duales que por lo general el espacioque actua es a su ves actuado por el otro. Esto se vio concretamente en el caso de c0 (o `∞)y `1 (tambien con `p y `q), donde la clave fue una forma bilineal

`1 × `∞ 3 (x , y) 7−→ 〈x , y〉 def=∑n∈N

xn yn .

O con C(X) y Mr(X) donde la dualidad surge de hacer 〈f , µ〉 =∫f dµ. Ya mas en general,

tenemos la dualidad que implementa la inmersion de un normado E al doble dual:

E × E∗ 3 (x , ϕ) 7−→ 〈x , ϕ〉 = ϕ(x) . (2.16)

La idea es que cualquier cordenada fija de un espacio produce una funcional en el otro. Lasϕ ∈ E∗ actuan en E por su naturaleza intrınseca, pero los x ∈ E tambien actuan en E∗, yeso es lo que produce las funcionales JE(x) ∈ E∗∗. Generalicemos mas:

2.6.1. Sean E y F dos EN’s. Diremos que ellos estan en dualidad si existe una funcionalbilineal 〈· , ·〉 : E × F → K tal que

1. Para cada x ∈ E fijo, la flecha F 3 y ρx7−→ 〈x , y〉 esta en F ∗.

2. Estas funcionales separan puntos de F , o sea que si y1 6= y2 (ambos en F ), entonces

62

existe un x ∈ E tal que 〈x , y1〉 6= 〈x , y2〉 , o sea que 〈x , y1 − y2〉 6= 0 .

Esto equivale a pedir que⋂x∈E

ker ρx = 0.

3. Para cada y ∈ F fijo, la flecha E 3 xρ′y7−→ 〈x , y〉 esta en E∗.

4. Las ρ′y separan puntos de E, es decir que⋂y∈F

ker ρ′y = 0.

Observar que la dualidad natural entre E y E∗ dada en la Ec. (2.16) cumple 4 por HahnBanach, y se “extiende” a la natural entre E∗∗ y E∗, siempre que incorporemos a E dentrode E∗∗ con la JE. Un hecho que conviene explicitar es que las condiciones 1 y 3 aseguranque la dualidad es continua “en cada cordenada”. Por ejemplo dice que

xn‖ · ‖−−−→n→∞

x en E =⇒ 〈xn , y〉 −−−→n→∞

〈x , y〉 para todo y ∈ F .

Lo mismo moviendose con los y’es contra un x fijo. 4

Definicion 2.6.2. Sean E y F dos EN’s, y sea T ∈ L(E,F ). Definimos su operador adjuntoT ∗ ∈ L(F ∗ , E∗) como el unico que cumple la siguiente formula:

〈x , T ∗ϕ〉 = 〈Tx , ϕ〉 para todo par x ∈ E , ϕ ∈ F ∗ . (2.17)

Podemos decir explıcitamente como actua el adjunto. Basta poner

T ∗(ϕ) = ϕ T ∈ E∗ para cada ϕ ∈ F ∗ .

Este cumple la igualdad (2.17) (mas bien la “traduce”), y es el unico que lo hace, por elhecho de que los x ∈ E separaban puntos de E∗ a traves de sus Jx . 4

2.6.3 (Propiedades del adjunto). El tema de adjuntar operadores tiene buenas propiedadesfuntoriales, la mayorıa de ellas quasitriviales, que enumeramos a continuacion:

1. Dados tres normados E,F y G, si me dan un T ∈ L(E,F ) y un S ∈ L(F,G), vale que

ϕ (S T ) = (ϕ S) T para toda ϕ ∈ G∗ =⇒ (ST )∗ = T ∗ S∗ .

2. La adjunta de la identidad es otra identidad: (IE)∗ = IE∗ . Es porque ϕ IE = ϕ.

3. Si T ∈ L(E,F ) es un iso, entonces T ∗ hace que E∗ ' F ∗, con (T ∗)−1 = (T−1)∗.

4. Si el T de arriba era isometrico, tambien lo sera T ∗. Esto sale porque componer conuna isometrıa sobre preserva la norma de las funcionales. El hecho clave es que un isoT es isometrıa ⇐⇒ T (BE) = BF . Luego se calcula normas por definicion.

5. Lo anterior se traduce a que E ∼= F =⇒ E∗ ∼= F ∗ (∼= era ser isometricamente ').Esto de hecho ya lo usamos en los ejemplos de espacios (sı y no) reflexivos.

63

6. La igualdad ‖y‖ = supφ∈BF∗

|φ(y)| para todo y ∈ F , vista en (2.7), muestra que

‖T ∗‖L(F∗,E∗) = sup

φ∈BF∗‖T ∗φ‖

E∗ = supφ∈BF∗

‖φ T‖E∗

= supφ∈BF∗

supx∈BE

|φ(Tx)|

= supx∈BE

supφ∈BF∗

|φ(Tx)| (2.7)= sup

x∈BE‖Tx‖

F= ‖T‖

L(E,F ),

para cualquier T ∈ L(E,F ). En resumen, siempre vale que ‖T‖ = ‖T ∗‖. 4

Ejemplo 2.6.4. En lo que sigue usaremos una convencion notacional: Para evitar el dobleparentesis, cuando un operador va hacia un dual (o cualquier espacio de funciones), lavariable ira abajito, onda Tx y en lugar de T (x)(y), donde Tx es el valor (en el dual de losy’es) que toma el operador T en el punto x, antes de aplicarselo a y.

Sea T ∈ L(`1 , c∗0) el iso (isometrico) visto en 1.3.1, que implementa la dualidad

c0 × `1 3 (x , y) 7−→ 〈x , y〉 = Ty x =∑n∈N

xn yn .

Esto se extiende con el iso (isometrico) S ∈ L(`∞ , (`1)∗) que nos da

`∞ × `1 3 (z , y) 7−→ 〈z , y〉 = Sz y =∑n∈N

zn yn .

Observar que T ∗ ∈ L(c∗∗0 , (`1)∗) ahora sabemos que es otro iso isometrico. Una consecuenciade esto es que c∗∗0

∼= `∞ vıa el iso isometrico S−1 T ∗ ∈ L(c∗∗0 , `∞).

Cuando decıamos que c0 no es reflexivo, mencionabamos que la Jc0 : c0 → c∗∗0 “coincidıa”con la inclusion Ic0 : c0 → `∞. Veamos ahora mejor eso. La identificacion valida entre lasincrustaciones Jc0 e Ic0 se basa en la siguiente igualdad:

S Ic0 = T ∗ Jc0 ∈ L(c0 , (`1)∗) vıa el diagrama

c0 Jc0 //

Ic0

c∗∗0OO

T ∗

`∞ oo

S// (`1)∗

En particular, eso implica que Jc0 es sobre ⇐⇒ Ic0 es sobre (los otros dos son iso-isos). Ysabemos que Ic0 no lo es, ası que c0 minga reflex. Pobemosla. Si x ∈ c0 e y ∈ `1, entonces

(T ∗ Jc0)x y = T ∗Jx y = (Jx T ) y = Jx(Ty) = Ty x =∑n∈N

xn yn = Sx y = (S Ic0)x y .

64

Como valen igual para todo y ∈ `1, vemos que (T ∗ Jc0)x = (S Ic0)x en (`1)∗ para todox ∈ c0 . Ahı sı llegamos a que S Ic0 = T ∗ Jc0 en L(c0 , (`1)∗).

Un festival semejante de dualidades, isometrıas y diagramas justifica que si 1 < p, q < ∞

cumplen que 1p

+ 1q

= 1, entonces el iso isometrico `qTq

∼= (`p)∗ de (1.24) produce que

`pTp

∼= (`q)∗(T∗q )−1

∼= (`p)∗∗ y da un diagrama

`p

J`p

//bb

Tp ""FFFF

FFFF

F (`p)∗∗OOT ∗q

(`q)∗

cuya conmutatividad se prueba exactamente igual que la del de arriba. Esto muestra que lainmersion J`p : `p → (`p)∗∗ es un iso isometrico. Concretamente, J`p = (T ∗q )−1 Tp que porello es sobre, lo que prueba que `p (y ya que estamos tambien `q) sı es reflex. 4

Definicion 2.6.5. Sea E un EN. Dados sendos subespacios S ⊆ E y T ⊆ E∗, definamos

1. El anulador S⊥ de S como el subespacio de funcionales que anulan a S:

S⊥ = ϕ ∈ E∗ : ϕ∣∣S≡ 0 = ϕ ∈ E∗ : S ⊆ kerϕ v E∗ .

2. El preanulador ⊥T de T como los x ∈ E anulados por las funcionales de T :

⊥T = x ∈ E : ϕ(x) = 0 para toda ϕ ∈ T =⋂ϕ∈T

kerϕ v E .

Las mismas definiciones pueden aplicarse a cualquier dualidad 〈· , ·〉 : E × F → K, reem-plazando ϕ(x) por 〈x, y〉 en donde haga falta. 4

Observacion 2.6.6. La idea de anuladores asociados a dualidades hace observar que elconcepto de preanulador depende de que el espacio E∗ este presentado como el dual de Ey no como espacio aislado. Esto no es ser excesivamente puntilloso, porque existen espaciosde Banach que se pueden representar como el dual de dos normados bien distintos.

Sin ir mas lejos, si E no era Banach, vale que E∗ = E∗C , donde EC es la completacion de E(la igualdad es una “casi” igualdad, porque las ϕ ∈ E∗ se extienden sin drama a EC ). Perola cosa es peor: puede haber dos Banach’s E1 6∼= E2 tales que E∗1

∼= E∗2 . El ejemplo masconocido es el de c0 y c (las sucesiones con lımite, no necsariamente nulo). Ambos tienen aldual identificable con `1 pero no vale que c0

∼= c (Ejercicio: Verificar estas cosas).

Por ello el concepto de “predual”, que esta implıcito en la definicion de los ⊥T , es lindopero no siempre es muy correcto. Un comentario parecido se puede hacer sobre el operadoradjunto T ∗. Sin embargo, al incluir en su notacion al viejo T , uno ya sabe de que espaciospreduales se esta hablando. 4

65

Proposicion 2.6.7. Sea E un EN. Dados sendos subespacios S ⊆ E y T ⊆ E∗, se tiene que

⊥(S⊥ ) = S y T ⊆( ⊥T )⊥ , (2.18)

donde la ⊆ de la derecha puede ser estricta. Sin embargo, siempre vale que

JE(⊥T ) = T ⊥ ∩ JE(E) ( en E∗∗ ) y ⊥( JE(S))

= S⊥ ( en E∗ ) . (2.19)

En particular, si E era reflex, ahı sı vale que T =( ⊥T )⊥.

Demostracion. El hecho de que tanto anuladores como preanuladores sean cerrados se deducedirectamente de sus definiciones. Por otra parte, tambien es evidente que al ir y volver unoincluye por lo menos al subespacio original. Por ello que las clausuras estan dentro de losdoble anuladores es claro. Luego alcanza probar que

⊥(S⊥ ) =⋂

kerϕ : ϕ ∈ S⊥⊆ S .

Esto se deduce del Teor. de Hahn Banach 2.1.5, y ya fue planteado en el Ejer. 2.1.8. La ideaes tomar un x /∈ S y definir una ϕ0 ∈

(S ⊕ span x

)∗tal que S ⊆ kerϕ0 pero ϕ0(x) 6= 0.

Si tomamos el espacio E = `1 y el subespacio T = c0 v `∞ ∼= (`1)∗, es facil ver que ⊥c0 = 0(basta actuar con los en ∈ c0 para tachar todo). Luego (⊥c0)⊥ es todo `∞.

La Ec. (2.19) se deduce directamente (aunque trabajosamente) de las definiciones. CuandoE es reflex, nos queda que T ⊥ = JE(⊥T ). Pensando a T como un S, vemos que

T (2.18)= ⊥( T ⊥ ) (2.19)

= ⊥( JE(⊥T )) (2.19)

=( ⊥T )⊥ .

En resumen, si E era reflex, hay dos igualdades en (2.18).

Proposicion 2.6.8. Sean E y F dos EN’s y T ∈ L(E,F ). Luego

kerT ∗ = R(T )⊥ ( en F ∗ ) y kerT = ⊥R(T ∗) ( en E ). (2.20)

Por otra parte, el operador T ∗∗ ∈ L(E∗∗ , F ∗∗) cumple que

T ∗∗ JE = JF T vıa el diagramaE

T //

JE

F

JF

E∗∗T ∗∗

// F ∗∗

(2.21)

Demostracion. Si φ ∈ F ∗ vale que φ ∈ kerT ∗ ⇐⇒ φ T = 0 ⇐⇒ R(T ) ⊆ kerφ. Esomuestra la igualdad kerT ∗ = R(T )⊥. En cambio, dado un x ∈ E tenemos que

x ∈ kerT ⇐⇒ φ(Tx) = 0 para toda φ ∈ F ∗ ⇐⇒ x ∈⋂φ∈F ∗

ker (T ∗ φ) = ⊥R(T ∗) .

Respecto del diagrama, fijemos un x ∈ E y una φ ∈ F ∗ . Pongamos x = Jx . Luego

T ∗∗x φ = (x T ∗)φ = x(T ∗ φ) = x (φ T ) = φ(Tx) = JF (T x)φ .

Como esto pasa para toda φ ∈ F ∗, nos queda que T ∗∗(JE x) = JF (T x) para todo x ∈ E.

66

Observacion 2.6.9. Tratemos de traducir la Prop. anterior. El diagrama (2.21) dice que,si tanto E como F son reflex, entonces T “ = ” T ∗∗ cuando identificamos los espacios consus dobleduales. Mas precisamente, T ∗∗ = JF T J

−1E . En general, si ahora identificamos los

espacios con sus imagenes en los dobleduales, nos quedarıa que T “ = ” T ∗∗∣∣E

.

De la Ec. (2.20) se pueden deducir formulas para los rangos:

R(T ) = ⊥ kerT ∗ y R(T ∗) ⊆ (kerT )⊥ . (2.22)

Esto surge de aplicarle la Ec. (2.18) a las igualdades de (2.20). 4

Ejercicio 2.6.10. Sea E un EN y sea S v E. Probar que

1. El dual S∗ se caracteiza como S∗ ∼= E∗/S⊥ vıa el iso-isometrico

Φ ∈ L(E∗/S⊥ , S∗) dado por Φ (ϕ+ S⊥) = ϕ|S .

Se necesita verificar buena definicion, linealidad, isometricidad y epiness (por H-B).

2. Analogamente, probar que (E/S)∗ ∼= S⊥ por el hecho de que

Π∗S ∈ L(

(E/S)∗ , E∗)

es isometrica y R(Π∗S) = S⊥ v E∗ . (2.23)

Recordar que Π∗S(φ) = φ ΠS para cada φ ∈ (E/S)∗ . El curro es “bajar” al cocientelas ϕ ∈ S⊥, vıa el Cor. 1.7.5, que tambien da el isometrismo. 4

2.6.11. Sean E y F dos normados. Diremos que un T ∈ L(E,F ) es acotado inferiormente(y abreviamos AI) si existe un ε > 0 tal que

ε · ‖x‖E≤ ‖T x ‖

Fpara todo x ∈ E . (2.24)

Es claro que ser AI implica ser mono. Pero si E es un Banach se puede decir mas: Si T esAI, entonces debe pasar que R(T ) v F (se suele decir “T es un rango cerrado”). En efecto,

Txn −−−→n→∞

y ∈ F =⇒ ‖xn − xm‖E ≤ ε−1‖T xn − T xm‖F −−−−→n,m→∞

0 .

Luego (xn)n∈N es Cauchy y hay un x ∈ E tal que xn −−−→n→∞

x. Ası que T x = y ∈ R(T ).

Es interesante observar que si tanto E como F son Banach’s, entonces

T ∈ L(E,F ) es AI ⇐⇒ T es mono y R(T ) v F . (2.25)

La ida ya la vimos en general. La vuelta sale ası: Sea G = R(T ) v F . Luego G es unBanach y podemos pensar a T ∈ L(E,G) para hacerlo K-iso. Por el TFI 2.3.4, tenemos queT−1 ∈ L(G,E). Observar que dado x ∈ E, si llamamos y = T x ∈ G, entonces

‖x‖E = ‖T−1 y‖E≤ ‖T−1‖ ‖y‖

G= ‖T−1‖ ‖T x‖

F.

Luego se cumple la Ec. (2.24) con el numero ε = ‖T−1‖−1 > 0, por lo que T es AI. 4

67

Proposicion 2.6.12. Sean E y F dos Banach’s y sea T ∈ L(E,F ). Luego

T es inversible ⇐⇒ T ∗ es inversible .

Demostracion. Ya sabemos que =⇒ vale, con (T ∗)−1 = (T−1)∗. Si asumimos que T ∗ esbiyectiva (en particular epi), como E∗ y F ∗ son Banach’s podemos aplicar el TIA 2.3.3, queasegura T ∗ es abierta, por lo que existe un ε > 0 tal que

BaE∗(0 , 2ε) ⊆ T ∗(Ba

F ∗) =⇒ ε ·BE∗ ⊆ BaE∗(0 , 2ε) ⊆ T ∗(Ba

F ∗) ⊆ T ∗(BF ∗) .

Usando esto sale que T es acotado inferiormente. En efecto, dado x ∈ E, tenemos que

‖T x‖ = supφ∈BF∗

|〈T x , φ〉| = supφ∈BF∗

|〈x , T ∗ φ〉| = supϕ∈T (BF∗ )

|〈x , ϕ〉|

≥ supϕ∈ εBE∗

|〈x , ϕ〉| = ε · supϕ∈BE∗

|〈x , ϕ〉| = ε · ‖x‖ .

Luego la Ec. (2.25) nos dice que T es mono y R(T ) v F . Pero al mismo tiempo, a partir dela Ec. (2.22) llegammos que R(T ) = ⊥(kerT ∗) = ⊥0F ∗ = F (porque T ∗ es mono). Asıque R(T ) es cerrado y denso, por lo que T es tambien epi.

2.7 Proyectores y subespacios complementados

Mostremos una serie de aplicaciones de los teoremas anteriores. Supongamos que tenemosun Banach E y dos subespacios S, T ⊆ E tales que E = S⊕T . El sımbolo ⊕ (suma directa)significa que S ∩ T = 0 y S + T = E. Luego tenemos bien definido el proyector

PS/T : E → S ⊆ E dado por PS/T (x+ y) = x para x ∈ S e y ∈ T . (2.26)

La definicion es buena porque todo z ∈ E se escribe en forma unica como z = x + y conx ∈ S e y ∈ T . Y ademas PS/T es K-lineal, por esa misma unicidad. La pregunta es quehace falta pedir para que este PS/T ∈ L(E).

Claramente la hipotesis que uno se imagina es que S, T v E, o sea que ambos sean cerrados.De hecho, seguro que hace falta pedir esto, porque T = kerPS/T y S = ker(IE − PS/T ) .Sin embargo, aun bajo esa suposicion, cuando uno intentar un prueba directa la cosa seempasta mal. Sugerimos al lector esceptico que trate de mostrar esto directamente, sin usarlos teoremas que tenemos hasta ahora. Le auguramos que le aparecera un problemita muysimilar al que se mencionaba en el marketing previo al TGC. Antes de ver como se arreglava un poco de notacion y la caracterizacion algebraica de los PS/T acotados:

Observacion 2.7.1. Sea E un Banach. Sabemos que L(E) es otro Banach con la normade operadores. Pero tambien es un anillo con la suma usual y el producto dado por lacomposicion. De hecho es una K-algebra (de Banach, ver Cap. 6) con unidad IE .

68

Diremos que un operador P ∈ L(E) es un proyector si es un idempotente: P P = P . Y

P(E) = P ∈ L(E) : P P = P (2.27)

es la notacion para el espacio de proyectores acotados. Notar que si P ∈ P(E) enotnces:

• Tambien el operador Q = IE − P ∈ P(E). Notar que P Q = QP = 0 (el ya volo).

• Nuestro P opera como la identidad en su rango S = R(P ).

• Vale que S = R(P ) = kerQ v E, y que T = R(Q) = kerP v E.

• Se cumple la descomposicion S ⊕ T = R(P )⊕ kerP = E.

• Por lo tanto nuestro P no era otro que P = PS/T , donde S = R(P ) y T = kerP .

Las pruebas son todas directas. Veamos un poco la de la suma directa: Dado x ∈ E, esobvio que el elemento y = P x ∈ S. Pero tambien tenemos que

z = x− y = x− P x = (IE − P )x = Qx ∈ T .

Como x = y + z ya sale que S + T = E. Que S ∩ T = 0 es facilongo (0x∈T= P x

x∈S= x).

Ası que hemos visto que todos los P ∈ P(E) son del tipo PS/T , el de la Ec. (2.26) para ladescomposicion S ⊕ T = R(P )⊕ kerP = E. Ahora viene la novedad, que dice que toda taldescomposicion produce un proyector acotado. 4

Proposicion 2.7.2. Sea E un Banach y sean S, T v E tales que E = S ⊕ T . Luego elproyector PS/T de la Ec. (2.26) es acotado, o sea que PS/T ∈ P(E).

Demostracion. Por el TGC 2.4.1 (y el hecho de que E es Banach), para ver que PS/T ∈ L(E)bastarıa probar que el grafico Gr

(PS/T

)v E × E. Sea entonces una sucesion

(zn , PS/T zn)n∈N en Gr (T ) tal que (zn , PS/T zn) −−−→n→∞

(z, x) ∈ E2 .

Llamemos xn = PS/T zn que es una sucesion en S. El dato de arriba significa que

zn −−−→n→∞

z y que xn −−−→n→∞

x .

Como S v E, tenemos al menos que x ∈ S. Pero ademas tenemos que todas las diferenciasyn = zn − xn ∈ T , por lo que y = z − x = lim

n→∞yn ∈ T (tambien T v E).

Finalmente, basta observar que z = x + y con x ∈ S e y ∈ T . Por la definicion de PS/T ,esto muestra que x = PS/T z. Entonces (z, x) ∈ Gr

(PS/T

), que nos queda cerrado.

Ejercicio 2.7.3. Con las notaciones de la Prop. 2.7.2, probar que ‖PS/T ‖ = N−1, para

N = maxM ≥ 0 : ‖x+ y‖ ≥M‖x‖ para todos los x ∈ S , y ∈ T

= ınf‖x+ y‖ : y ∈ T , x ∈ S1 = d (S1 , T ) ,(2.28)

69

donde se usa la notacion S1def= x ∈ S : ‖x‖ = 1.

Sug. 1 : Utilizar en el espacio producto S × T la norma dada por ‖(x , y)‖1def= ‖x‖ + ‖y‖,

para cada par (x , y) ∈ S × T , con la que nos queda un EB.

Sug. 2 : Por el Cor. 1.7.5 se tiene que ‖PS/T ‖ = ‖PS/T ‖, donde PS/T ∈ L(E/T , E) es el

bajado al cociente que cumple PS/T = PS/T ΠT . Dado un x ∈ S1 nos queda que

1 = ‖x‖ = ‖PS/T x‖ = ‖PS/T x‖ ≤ ‖PS/T ‖ ‖ x ‖ = ‖PS/T ‖ d (x , T ) .

Despues se toma ınfimo sobre tales x ∈ S1 . Usar tambien que ΠT (S) da todo E/T . 4

Ejercicio 2.7.4. Sea E = `p(N), con p ∈ (1,∞). Tomemos el operador Mx ∈ L(E)producido como en la Ec. (1.43) por x = ( 1

n)n∈N ∈ `∞(N). Consideremos los subespacios

S = E × 0 v E × E y T = Gr(Mx) =

( y , Mx y ) : y ∈ Ev E × E ,

donde en E ×E se usa la norma definida en (2.14). El hecho de que kerMx = 0 dice queS ∩ T = 0. Sin embargo, proponemos probar que

d (S1 , T ) = 0 =⇒ S ⊕ T 6v E × E ,

porque sino sumarıan un Banach mientras que ‖PS/T ‖(2.28)= ∞. Ya que estan, prueben que

S ⊕ T = E ×R(Mx) que es denso en E × E. 4

Definicion 2.7.5. Sea E un EB. Diremos que un subespacio cerrado

S v E es complementado (COM) en E si existe un T v E tal que S ⊕ T = E .

Remarquemos que complementos algebraicos siempre hay (completando bases). Lo clave acaes que exista un complemento T para S que sea tambien cerrado. 4

Proposicion 2.7.6. Sea E un EB y sea S v E. Las suguientes condiciones son equivalentes:

1. Nuestro S es COM en E.

2. Existe un proyector P ∈ P(E) tal que R(P ) = S (el complemento es kerP ).

3. Existe un proyector Q ∈ P(E) tal que kerQ = S (el complemento es R(Q) ).

4. Si consideramos el cociente E/S como EB con la norma cociente, y la proyeccionΠS ∈ L(E , E/S) como en la Prop. 1.7.1, existe una seccion lineal y continua:

Existe U ∈ L(E/S , E) tal que ΠS U = IE/S . (2.29)

En este caso el complemento para S es R(U).

70

Demostracion. Es claro que 2 ⇐⇒ 3 poniendo Q = I−P o viceversa. Si existe el proyectorP sobre S, basta tomar T = kerP , que es cerrado y es un buen complemento de S.

En cambio si tenemos el T v E tal que S ⊕ T = E, podemos aplicar la Prop. 2.7.2 que nosasegura que el proyector P = PS/T es acotado y tiene rango S.

Veamos ahora que 3 ⇐⇒ 4. Si existe la seccion U ∈ L(E/S , E) de (2.29), basta definir elproyector Q = U ΠS ∈ P(E) . Como U es mono sale que kerQ = ker ΠS = S.

Si existe el Q ∈ P(E) con kerQ = S del item 3, el Cor. 1.7.5 nos decıa que existe unU = Q ∈ L(E/S , E) tal que U ΠS = Q. Observar que esta U es continua y cumple que

ΠS U(ΠS x) = ΠS(Qx) = ΠS(x) para todo x ∈ E ,

porque x−Qx ∈ kerQ = S. Esto muestra que ΠS U = IE/S .

Ejercicio 2.7.7. Sea E un EB. Si nuestro subespacio S v E cumple que

dimS <∞ o que codim S def= dimE/S <∞ =⇒ S es COM en E .

Recordar la Prop. 2.1.11 y el Cor. 1.6.5, aplicado a E/S . 4

En general es un problema bastante complicado (e importante en algunas aplicaciones) elpoder decidir si un S v E es COM o no. De hecho no hay metodos sistematicos y hay queestudiar el problema con herramientas propias de cada ejemplo concreto.

Se cae de maduro, por todo lo que venimos diciendo, que suelen existir muchos subespaciosS v E que no son COM’s en E, siempre que E sea un EB con dimE =∞ y no sea isomorfoa un Hilbert (de ellos se habla en el Cap. 3, sobre todo en la Prop. 3.2.5). Mas aun, se haprobado que todo tal espacio E tiene al menos uno de esos subespacios noCOM. Sin embargono es demasiado facil mostrar ejemplos concretos. Ahora van un par: Un caso tıpico es laimagen de un Banach F no reflexivo en su dobre dual, vıa la JF . Veamos el caso F = c0 .

Ejemplo 2.7.8. Probaremos que c0 v `∞ no es COM en `∞. Para ello llamemos X = `∞/c0

que es un EB, y cosideremos la proyeccion Π = Πc0 ∈ L(`∞ , X).

Ahora necesitamos un lindo ejercicio de cardinales: El dice que existe una famila Aii∈I desubconjuntos de N tales que todos los Ai son infinitos, el cardinal de I es el de R, pero

Ai ∩ Aj es finito siempre que i 6= j .

No daremos los detalles del como hacerlo, porque es una lastima quemarlo. Sin embargodiremos que sale de dos maneras tradicionales (al lector entusiasta le sugerimos no leer loque sigue, hasta que le salga): Una es tomando bandas oblicuas (que sean bastante anchitas)en el reticulado N×N, con el “angulo” moviendose en (0 , π/2). La otra es tomar sucesionesadecuadas de numeros racionales.

Luego la familia Aii∈I cumple las siguientes propiedades:

• Para cada i ∈ I sean xi = 1Ai ∈ `∞ and yi = Π(xi) ∈ `∞/c0 . Vale que ‖yi‖X = 1.

71

• Mas aun, si fijamos un F ∈ PF (I) y tenemos numeros αi ∈ C tales que |αi| = 1 paratodo i ∈ F, entonces ‖

∑i∈F

αi yi‖X = ‖Π(∑i∈F

αi xi )‖X = 1.

• En particular todos los yi son vectores distintos de X, porque ‖yi − yj‖X = 1 si i 6= j.

La idea de la prueba se basa en que la sucesion∑i∈F

αi xi tiene solo finitas entradas donde se

suman mas de un αi , pero infinitas donde vale cada αi fijo. Por ello dista uno de c0 .

Sea ahora ϕ ∈ X∗. De lo anterior se sigue que Iϕdef= i ∈ I : ϕ(yi) 6= 0 debe ser numerable.

En efecto, veremos que Fk = i ∈ I : |ϕ(yi)| ≥ k es finito para todo k ∈ N: Pongamosαi = sgn ϕ(yi) para cada i ∈ Iϕ , y fijemos un F ∈ PF (Fk). Luego tenemos que

ϕ

(∑i∈F

αi yi

)=∑i∈F

αi ϕ(yi) =∑i∈F|ϕ(yi)| ≥ |F|

kmientras que

∥∥∥ ∑i∈F

αi yi

∥∥∥X

= 1 .

Ası vemos que |F|k≤ ‖ϕ‖, por lo que el cardinal |Fk| no se puede pasar de k ‖ϕ‖ <∞.

Volvamos ahora a nuestro problema de que c0 no puede ser COM en `∞ : Asumiremos queexiste una seccion lineal y continua U ∈ L(X , `∞) para Π como en (2.29), y llegaremos auna contradiccion. Aplicando la Prop. 2.7.6, eso nos dirıa que c0 no era COM en `∞.

Consideremos las funcionales ϕn ∈ X∗ dadas por ϕn = kn U , donde las kn ∈ (`∞)∗ sontomar la entrada n-esima de un x ∈ `∞, para cada n ∈ N. Observar que si un elementoz = (zn)n∈N ∈ `∞ cumple que zn = kn(z) = 0 para todo n ∈ N, entonces z = 0.

Finalmente notemos que I0 =⋃n∈N Iϕn es numerable. Luego, como I era no numerable,

existe algun i ∈ I \ I0 y para el tenemos que el vector z = U(yi) ∈ `∞ debe cumplir que

kn(z) = kn(U(yi)

)= ϕn(yi)

i/∈I0= 0 para todo n ∈ N =⇒ z = U(yi) = 0 .

Pero eso contradice el hecho de que ‖yi‖X = 1 junto con que U debe ser mono (porque era laseccion de Π, o sea que Π U = IX ). Observar que la linealidad-continuidad de la supuestaU se uso para que las ϕn ∈ X∗. Llegamos a una contradiccion lo suficientemente flagrantecomo para concluir que no hay tal U y por ello c0 no era COM en `∞. 4

El ejemplo que viene se basa en un resultado sobre `1 = `1(N) que es interesante en sı mismo.Lo pondremos como un ejercicio para el lector. Para abreviar damos una definicion:

Definicion 2.7.9. Sea E un EB. Diremos que E tiene la porpiedad L si dada cualquiersucesion (xk)k∈N en E, se tiene que

xk‖ · ‖E−−−→k→∞

0 ⇐⇒ ϕ(xk) −−−→k→∞

0 para toda ϕ ∈ E∗ . (2.30)

O sea que la convergencia debil de sucesiones implica su convergencia en norma. 4

72

Ejercicio 2.7.10. Probar que `1(N) tiene la propiedad L.

Sugerencia: La gracia es la flecha ⇐= de (2.30). Si empezamos con una sucesion (xk)k∈Nen B`1(N) que no converge a cero con la norma uno de `1(N) (eso alcanza por la Obs. 2.5.3),pasando a una subsucesion (y teniendo mucho cuidado) podemos suponer que

• ‖xk‖1 ≥ ε para todo k ∈ N.

• Existe una sucesion creciente de enteros positivos αk (con α0 = 0) tales que

αk−1∑m=1

|xk(m)| ≤ 1

kpero

αk∑m=αk−1+1

|xk(m)| ≥ ‖xk‖1 −2

kpara todo k ∈ N .

En tal caso definir z ∈ `∞ por z(m) = sgn xk(m) para αk−1 < m ≤ αk y ver que pasa conla funcional ϕz ∈ (`1)∗, definida como en la Ec. (1.23). 4

En realidad, casi ningun EB tiene la L. Es una propiedad muy especıfica de `1(N) (y de sussubespacios). Sugerimos mostrar que todos los otros Banachs que conocemos no la tienen.Le pusimos nombre solo para clarificar las cuentas en el ejemplo que viene. Pero antes otroejercicio que dice que la L se hereda y se transporta por isomorfismos entre EB’s :

Ejercicio 2.7.11. Sea E un EB que tiene la propiedad L. Probar que

1. Cualquier S v E tiene tambien la propiedad L.

2. Si F es otro EB tal que E ' F , entonces tambien F es L.

Sugerencia: Para probar 1, observar que se puede mandar toda ϕ ∈ E∗ hacia ϕ|S ∈ S∗. Paraver 2 recordar que si T ∈ L(E , F ) es un iso, entonces tambien T ∗ ∈ L(F ∗ , E∗) lo es. 4

Ejemplo 2.7.12. Ahora veremos una gran familia de subespacios no complementados sepuede “encontrar” dentro de `1(N). Ya veran el porque de las comillas:

Fijemos E un EB separable. Recordando la Prop. 2.3.7 tenemos un epi T ∈ L(`1(N) , E)y, si llamamos M = kerT v `1(N), sabemos que hay un iso T ∈ L(`1(N)/M , E). Si elsubespacio M que nos aparece tuviera un complemento N v `1(N), tambien tendrıamosque E ' `1(N)/M ' N , vıa una seccion U de la proyeccion ΠM que provee la Prop. 2.7.6.Ahora vienen las propiedades L: Por el Ejer. 2.7.10 el ambiente `1(N) tiene la L. Pero usandoahora el Ejer. 2.7.11, podrıamos deducir que N v `1(N) y tambien E ' N deben ser L.

Por ende, para “tener” unMv `1(N) no COM en `1(N), bastarıa encontrar un EB separableE que no cumpla la propiedad L, poniendo M = kerT para un epi T ∈ L(`1(N) , E).

Por ejemplo c0 no puede ser L, porque si (en)n∈N es la sucesion canonica de c0 , vale queϕ(en) −−−→

n→∞0 para toda ϕ ∈ c∗0

∼= `1. Tampoco los `p para 1 < p < ∞ son de tipo L (sale

usando la misma sucesion), ası que hay noCOM’s para tirar al techo dentro de `1(N). 4Veremos a continuacion un par de propiedades que sirven para ver que algunos subespaciossı son COM’s en su ambiente. En algun sentido generalizan la Prop. 2.7.6 :

73

Proposicion 2.7.13. Sean E y F dos EB’s y T ∈ L(E , F ). Luego se tiene que

1. Si asumimos que T era un epi, entonces

kerT es COM en E ⇐⇒ existe A ∈ L(F , E) tal que T A = IF . (2.31)

2. Si en cambio asumimos que T era un mono, entonces

R(T ) v F y es COM en F ⇐⇒ existe B ∈ L(F , E) tal que B T = IE . (2.32)

Demostracion. Empecemos con el caso en que T es epi. Si tiene un A que es inverso a derechacomo en (2.31), entonces vale que Q = A T ∈ P(E) y kerQ = kerT . Por la Prop. 2.7.6vemos que kerT era COM en E. Pero si tenemos un N v E tal que kerT ⊕ N = E,entonces nos queda que T |N ∈ L(N , F ) es un iso. Por el TFI 2.3.4 sabemos que su inversaA = (T |N )−1 ∈ L(F , N ) ⊆ L(F , E). Pero tenemos que T A = T |N A = IF .

Si T era mono y existe el B de (2.32) (o sea que T tiene inversa a izquierda), entonces eloperador P = T B ∈ P(F ) y vale que R(T ) = R(P ) v F (la igualdad sale porque B tieneque ser epi). Por la Prop. 2.7.6 vemos que R(T ) es ademas COM en F .

Si asumimos que S = R(T ) v F , entonces podemos pensar a T ∈ L(E , S) con nombre T0 ,y allı es un iso entre EB’s. Por el TFI 2.3.4, su inversa B0 = T−1

0 ∈ L(S , E). Si ademasexiste un N v F tal que R(T )⊕N = F , y llamamos P = PS/N ∈ P(F ) (es acotado por laProp. 2.7.2), entonces podemos definir al candidato B = B0 P ∈ L(F , E). Veamos:

B T = B0 P T∗= B0 T0 = IE ,

donde∗= vale porque P actua como la identidad en S y R(T ) = S.

74

2.8 Ejercicios del Cap. 2 - Funcionales y Operadores

Ejercicios aparecidos en el texto2.8.1. Sea E un EN. Dado un subespacio S v E y un x /∈ S, probar que existe una

ϕ ∈ E∗ tal que S ⊆ kerϕ , ‖ϕ‖ = 1 pero |ϕ(x)| = d (x , S ) . (2.33)

Se sugiere probarlo primero a mano en S ⊕ span x y extender por Hanh-Banach. Recien despues hacerlousando la Ec. (2.6) en E/S . Comparar con la igualdad |ϕ(x)| = d (x , kerϕ ) de la Prop. 1.7.7. 42.8.2. Sea E un EN. Probar que

1. Dado un subespacio S ⊆ E, se tiene que S =⋂ kerϕ : ϕ ∈ E∗ y S ⊆ kerϕ .

2. Mas aun, si X ⊆ E entonces un punto

y0 ∈ span X ⇐⇒ todo ϕ ∈ E∗ tal que X ⊆ kerϕ cumple que ϕ(y0) = 0. 4

2.8.3. Sea E un EN.

1. Dado un x ∈ E y una ϕ ∈ E∗ como en la Ec. (2.6) (o sea que ‖ϕ‖ = 1 pero ϕ(x) = ‖x‖ ), mostrar que

ahı sı vale que d (x , kerϕ)(1.39)

= ‖x‖. Comparar con la Ec. (1.27) y el Ejem. 1.4.3.

2. Asumamos que dimE =∞. Usando recursivamente el item anterior, probar que existen una sucesion(xn)n∈N en E y una familia de subespacios Sn v E tales que

(a) La dimSn =∞ y la ‖xn‖ = 1 para todo n ∈ N.

(b) Los subespacios decrecen: Sm ⊆ Sn si n ≤ m.

(c) Para todo n ∈ N vale que xn ∈ Sn . Luego xm ∈ Sn para todo m ≥ n.

(d) Pero ademas vale que Sn = Sn+1 ⊕Kxn para todo n ∈ N.

(e) Observar que nos queda que E = Sn+1 ⊕ span x1 , . . . , xn para todo n ∈ N.

(f) Por ultimo pedimos que la d (xn , Sn+1) = 1 para todo n ∈ N.

Sugerencia: Empezar con S1 = E y x1 ∈ E un unitario cualquiera. El paso inductivo es encontrar unaϕn ∈ S∗n tal que d (xn , kerϕn) = 1 (todo en Sn). Luego se podra definir Sn+1 = kerϕn ⊆ Sn y elegir elxn+1 al azar allı dentro.

3. Asumiendo ademas que E es un EB, exhibir un T ∈ L(`∞ , E) que sea mono. 4

Sugerencia: Construir la sucesion (xn)n∈N en E de vectores unitarios y los Sn del item 2. Luego mandarcada a = (an)n∈N ∈ `∞ a la serie T (a) =

∑n∈N 2−n an xn ∈ E. 4

2.8.4. Sea E un EB infinitodimensional, con dimE = α (dimension algebraica).

1. Usando el Teor. de Baire 2.2.4, probar que α > |N| = ℵ0 .

2. Mas aun, usando el Ejer. 2.1.9 y Vandermonde, mostrar que α ≥ |R| = c.

Sug: Considerar los vectores (λn)n∈N ∈ `∞ para cada λ ∈ C con |λ| < 1. 4

2.8.5. Mostrar un ejemplo de un T ∈ Hom(E , F ) que no es acotado aunque Gr (T ) v E×F y E es un EB.

Repaso: Sean E , F dos EN’s. Recordemos que un operador T ∈ L(E,F ) es acotado inferiormente (yabreviamos AI) si existe un ε > 0 tal que ε · ‖x‖

E≤ ‖T x ‖

Fpara todo x ∈ E .

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2.8.6. Sean E , F dos EN’s y sea T ∈ L(E,F ). Asumamos que E es Banach. Probar que:

1. Si T es AI, entonces T es mono y R(T ) es cerrado.

2. Se tiene que T es AI y epi ⇐⇒ T ∈ Gl (E).

3. Si tambien F era un EB, entonces T es AI ⇐⇒ T es mono y R(T ) es cerrado.

2.8.7. Probar que una sucesion (xk)k∈N en `1 cumple que

xk‖ · ‖1−−−−→k→∞

0 ⇐⇒ ϕ(xk) −−−−→k→∞

0 para toda ϕ ∈ (`1)∗ ∼= `∞ .

En el Ejer. 2.7.10 se da una sugerencia bastante explıcita. Pero allı se pedıa que (xk)k∈N fuera acotada.Ahora agregamos al ejercicio el mostrar que cualquiera de las dos convergencias asegura esa acotacion. 42.8.8. Sea E un EB y sea B ⊆ E un subconjunto cualquiera. Probar el Cor. 2.5.2:

B es ‖ · ‖-acotado ⇐⇒ B es w-acotado ,

donde w-acotado significa que para toda ϕ ∈ E∗ el conjunto ϕ(B) es acotado en C. 42.8.9. Dados tres normados E,F y G, un T ∈ L(E,F ) y un S ∈ L(F,G), probar lo que sigue:

1. Usando la igualdad ‖y‖ = supφ∈BF∗

|φ(y)| para todo y ∈ F , ver que ‖T‖ = ‖T ∗‖.

2. El adjunfo del producto da el producto al reves de los adjuntos: (S T )∗ = T ∗ S∗.

3. La adjunta de la identidad es otra identidad: (IE)∗ = IE∗ .

4. Si T ∈ L(E,F ) es un iso, entonces T ∗ hace que E∗ ' F ∗, con (T ∗)−1 = (T−1)∗.

5. Nuestro T es isomorfismo e isometrıa ⇐⇒ T (BE) = BF .

6. En tal caso, tambien T ∗ sera isomorfismo e isometrıa. Deducir que

E ∼= F =⇒ E∗ ∼= F ∗ (∼= era ser isometricamente ') .

¿ Vale la recıproca? 4

2.8.10. Consideremos los EB’s c0 y c = c0 + K1 = (xn)n∈N ∈ `∞ : existe el limn→∞

xn ∈ K .

1. Probar que hay isomorfismos isometricos naturales c∗0 ∼= `1(N) ∼= c∗

2. Sin embargo, probar que no existe iso isometrico entre ellos, o sea que c0 6∼= c.

3. Mostrar que por lo menos sı vale que c0 ' c con un iso no isometrico.

Sug: Para el primero conviene observar que `1(N) es “lo mismo” si uno empieza en x0 o en x1 . Para elsegundo se sugiere buscar extremales de las bolas cerradas (si no saben que son vean la Def. 5.4.1). 4

Ahora repasar la Def. 2.6.5 de anuladores y preanuladores.

2.8.11. Sea E un EN. Dados sendos subespacios S ⊆ E y T ⊆ E∗, probar que

1. Se cumple que S⊥ v E∗ y ⊥T v E.

2. Ademas ⊥(S⊥) = S y (⊥T )⊥ ⊇ T .

76

3. Pensemos a c0 ⊆ `∞ = (`1)∗. Probar que (⊥c0)⊥ contiene extrictamente a c0 .

4. Probar en detalle la Ec. (2.19): Si JE es la inmersion canonica de E dentro de E∗∗,

JE(⊥T ) = T ⊥ ∩ JE(E) ( en E∗∗ ) y ⊥(JE(S)

)= S⊥ ( en E∗ ) .

2.8.12. Sean E y F dos EN’s y T ∈ L(E,F ). Probar la Ec. (2.20) :

kerT ∗ = R(T )⊥ ( en F ∗ ) y kerT = ⊥R(T ∗) ( en E ).

Por otra parte, mostrar el operador T ∗∗ ∈ L(E∗∗ , F ∗∗) cumple la Ec. (2.21) :

T ∗∗ JE = JF T que se ve bien en el diagramaE

T //

JE

F

JF

E∗∗

T∗∗// F ∗∗

Finalmente deducir la formula (2.22), que decıa que

R(T ) = ⊥ kerT ∗ y R(T ∗) ⊆ (kerT )⊥ .

2.8.13. Sea E un EN y sea S v E. Probar que

1. El dual S∗ se caracteiza como S∗ ∼= E∗/S⊥ vıa el iso-isometrico

Φ ∈ L(E∗/S⊥ , S∗) dado por Φ (ϕ+ S⊥) = ϕ|S .

Se necesita verificar buena definicion, linealidad, isometricidad y epiness (por H-B 2.1.5).

2. Analogamente, probar que (E/S)∗ ∼= S⊥ por el hecho de que

Π∗S ∈ L(

(E/S)∗ , E∗)

es isometrica y R(Π∗S) = S⊥ v E∗ . (2.34)

Recordar que Π∗S(φ) = φ ΠS para cada φ ∈ (E/S)∗ . El curro es “bajar” al cociente las ϕ ∈ S⊥, vıael Cor. 1.7.5, que tambien da el isometrismo. 4

Repaso: Sea E un EN y sean S, T v E tales que E = S ⊕ T . El proyector PS/T de la Ec. (2.26) era

PS/T : E → S ⊆ E dado por PS/T (x+ y) = x para x ∈ S e y ∈ T .

Recordemos ademas que otro operador P ∈ L(E) es un proyector si P 2 = P y que llamabamos

P(E) = P ∈ L(E) : P 2 = P (2.35)

al espacio de proyectores acotados. 42.8.14. Sea E un EN. Probar que si P ∈ P(E) enotnces:

1. Tambien el operador Q = IE − P ∈ P(E), y cumple que P Q = QP = 0.

2. Nuestro P opera como la identidad en su rango S = R(P ).

3. Vale que S = R(P ) = kerQ v E, y que T = R(Q) = kerP v E.

77

4. Se cumple la descomposicion S ⊕ T = R(P )⊕ kerP = E.

5. Por lo tanto nuestro P no era otro que P = PS/T , donde S = R(P ) y T = kerP . 4

2.8.15. Sea E un EB y sean S, T v E tales que E = S⊕T . En la Prop. 2.7.2 vimos que, como E es Banach,entonces PS/T ∈ P(E). Probar ahora que ‖PS/T ‖ = N−1, para el numero N dado por

N = maxM ≥ 0 : ‖x+ y‖ ≥M‖x‖ para todos los x ∈ S , y ∈ T

= ınf ‖x+ y‖ : y ∈ T , x ∈ S1 = d (S1 , T ) ,

donde se usa la notacion S1def= x ∈ S : ‖x‖ = 1.

Sug. 1 : Utilizar en el espacio producto S × T la norma dada por ‖(x , y)‖1def= ‖x‖ + ‖y‖, para cada par

(x , y) ∈ S × T , con la que nos queda un EB.

Sug. 2 : Por el Cor. 1.7.5 se tiene que ‖PS/T ‖ = ‖PS/T ‖, donde PS/T ∈ L(E/T , E) es el bajado al cocienteque cumple PS/T = PS/T ΠT . Dado un x ∈ S1 nos queda que

1 = ‖x‖ = ‖PS/T x‖ = ‖PS/T x‖ ≤ ‖PS/T ‖ ‖x ‖ = ‖PS/T ‖ d (x , T ) .

Despues se toma ınfimo sobre tales x ∈ S1 . Usar tambien que ΠT (S) da todo E/T . 42.8.16. Sea F = `p(N), con p ∈ (1,∞). Tomemos el operador Mx ∈ L(F ) producido como en la Ec. (1.43)por la sucesion x = ( 1

n )n∈N ∈ `∞(N). Consideremos los siguientes subespacios de F 2 = F × F :

S = F × 0 =

( y , z ) ∈ F 2 : z = 0

y T = Gr (Mx) =

( y , Mx y ) : y ∈ F.

Probar ahora las siguientes cosas:

1. Ambos son cerrados: S v F 2 y T v F 2, usando en F 2 la norma ‖ · ‖1 definida en (2.14).

2. El operador Mx es mono. Recordemos que Mx y = ( 1n yn )n∈N para y = (yn)n∈N ∈ `p(N) = F .

3. Deducir que S ∩ T = (0 , 0) = 0F 2.

4. Sin embargo, proponemos mostrar que N = d (S1 , T ) = 0, donde S1 = w ∈ S : ‖w‖1 = 1.

5. Usando el Ejer. 2.8.15 deducir que S ⊕ T 6v F 2.

Sug: Si E = S ⊕ T fuera un EB, valdrıa que PS/T ∈ L(E) y tambien que ‖PS/T ‖2.8.15= N−1 =∞.

6. Otra forma: Mostrar que el mismısimo (0 , x) ∈ S ⊕ T pero no esta en S ⊕T . Por este lado sale facilque en realidad S ⊕ T es denso en F 2 (porque R(Mx) es denso en F ).

7. Probar que a pesar de lo anterior, pensados solitos S y T sı son COM dentro de F 2. Para el caso notrivial de T sugerimos usar la Ec. (2.32). 4

2.8.17. Sea E un EB. Si un subespacio S v E cumple que

dimS <∞ o que codim S def= dimE/S <∞ =⇒ S es COM en E . 4

2.8.18. Probar que existe una famila Aii∈I de subconjuntos de N tales que

|Ai| =∞ para todo i ∈ I , |I| = |R| pero Ai ∩Aj es finito siempre que i 6= j .

Sug: No indicaremos los detalles del como hacerlo, porque es una lastima quemarlo. Sin embargo diremosque sale de dos maneras tradicionales (al lector entusiasta le sugerimos no leer lo que sigue, hasta que lesalga): Una es tomando bandas oblicuas (que sean bastante anchitas) en el reticulado N×N, con el “angulo”moviendose en (0 , π/2). La otra es tomar sucesiones adecuadas de numeros racionales. 4

78

2.8.19. Hacer todas las cuentas del Ejem. 2.7.8 que mostraba que c0 v `∞ no es COM en `∞. 4Definicion 2.8.20. Diremos que un Banach E tiene la porpiedad L si dada cualquier sucesion (xk)k∈N enE , se tiene que

xk‖ · ‖E−−−−→k→∞

0 ⇐⇒ ϕ(xk) −−−−→k→∞

0 para toda ϕ ∈ E∗ . (2.36)

O sea que la convergencia debil de sucesiones acotadas implica convergencia en norma. 42.8.21. Probar que `1(N) tiene la propiedad L.

Sugerencia: La gracia es la flecha ⇐= de (2.30). Si empezamos con una sucesion (xk)k∈N en B`1(N) que noconverge a cero con la norma uno de `1(N) (eso alcanza por la Obs. 2.5.3), pasando a una subsucesion (yteniendo mucho cuidado) podemos suponer que

• ‖xk‖1 ≥ ε para todo k ∈ N.

• Existe una sucesion creciente de enteros positivos αk (con α0 = 0) tales que

αk−1∑m=1

|xk(m)| ≤ 1k

peroαk∑

m=αk−1+1

|xk(m)| ≥ ‖xk‖1 −2k

para todo k ∈ N .

En tal caso definir z ∈ `∞ por z(m) = sgn xk(m) para αk−1 < m ≤ αk y ver que pasa con la funcionalϕz ∈ (`1)∗, definida como en la Ec. (1.23). 42.8.22. Sean E , F dos EN’s tales que E ∼= F vıa un iso T ∈ L(E,F ). Si x = (xi)i∈ I es una red en Eprobar que, dado un candidato a lımite x ∈ E

1. Se tiene que xi‖ · ‖−−→i∈ I

x en E ⇐⇒ T xi‖ · ‖−−→i∈ I

T x en F .

2. Ademas ϕ(xi) −−→i∈ I

ϕ(x) para toda ϕ ∈ E∗ ⇐⇒ φ(T xi) −−→i∈ I

φ(T x) para toda φ ∈ F ∗.

3. La red x es acotada en E ⇐⇒ la red T x = (T xi)i∈I lo es en F . 4

2.8.23. Sea E un EB que tiene la propiedad L. Probar que

1. Cualquier S v E tiene tambien la propiedad L.

2. Si F es otro EB tal que E ' F , entonces tambien F es L. 4

Ejercicios nuevos2.8.24. Sea E un EN y sea S ⊆ E un subespacio. Probar que

1. Si S no es denso en E debe existir una funcional ϕ ∈ E∗ no nula tal que ϕ|S ≡ 0.

2. Comparar con el Ejer. 2.8.1

2.8.25. Sean E, F dos EN’s, T ∈ L(E,F ) y x ∈ E. Probar la siguiente igualdad:

d (x , kerT ) = max|φ(x)| : φ ∈ (kerT )⊥, ‖ϕ‖ ≤ 1.

2.8.26 (El operador de Volterra.). Sea V : L2[0, 1]→ L2[0, 1] el operador de Volterra, dado por

V f(x) =∫ x

0

f(t) dt para cada f ∈ L2[0, 1] .

Probar que V no es acotado inferiormente.

79

2.8.27. Consideremos a E = L1(1,+∞) como un R-EB. Sea T : E → E dado por Tf(x) = f(x)x . Probar

que T es acotado pero no abierto. (Sug. 0 ∈ T (B(0, 1)) no es punto interior).

2.8.28. Sean E y F espacios normados y T ∈ L(E,F ). Probar que el Gr (T ) v E × F ⇐⇒ para todasucesion (xn)n∈N en E tal que xn −−−−→

n→∞0 y T xn −−−−→

n→∞y ∈ F , se tiene que y = 0.

2.8.29. Sea C1[0, 1] = f ∈ C[0, 1] : existe f ′ ∈ C[0, 1] con la norma infinito de C[0, 1]. Sea

D : C1[0, 1]→ C[0, 1] dado por D(f) = f ′ para cada f ∈ C1[0, 1] .

Probar que Gr (D) v C1[0, 1]× C[0, 1] pero D no es acotado. ¿Por que esto no contradice el TGC?

2.8.30. Sea (E, ‖ · ‖) un EB separable. Fijemos una base algebraica E = eii∈I de E tal que ‖ei‖ = 1para todo i ∈ I. Con ella definamos en E otra norma ‖ · ‖E del siguiente modo:

Si x ∈ E se escribe x =∑i∈I

αi ei entonces ponemos ‖x‖E =∑i∈I|αi| .

Probar ahora las siguientes cosas:

1. Antes que nada, verificar que ‖ · ‖E es en efecto una norma.

2. La identidad IE : (E, ‖ · ‖E)→ (E, ‖ · ‖) es una contraccion.

3. Si I es infinito, su “inversa” IE : (E, ‖ · ‖)→ (E, ‖ · ‖E) tiene grafico cerrado pero no es acotada.

4. Ahora bien, ¿Por que el item anterior no contradice el TGC?

2.8.31. Sean E y F dos EB’s. Probar que para todo operador T ∈ L(E , F ), su grafico

Gr (T ) v E × F , ademas de ser cerrado es COM en E × F .

Recordar la Ec. (2.32) y el P−1 de la prueba del TGC. 42.8.32. Sea E = `p(N), con p ∈ (1,∞) e identifiquemos E∗ con `q(N) en la forma usual. Fijado un a ∈ `∞(N)consideremos el operador Ma ∈ L(E) producido como en la Ec. (1.43). Probar que su adjunto

M∗a ∈ L(E∗) = L(`q(N) ) es el mismo Ma actuando ahora en `q(N) . 4

Definicion 2.8.33. Sean E y F dos EB’s. Fijemos una sucesion (Tn)n∈N y un T , todos en L(E,F ). Decimos

que TnS.O.T.−−−−→n→∞

T (se lee “Tn converge fuertemente a T”) si para cualquier x ∈ E se tiene que Tn x‖ · ‖−−−−→n→∞

T x

(en la norma de F ). 42.8.34. Sean E y F dos EB’s. Dados T, S y dos sucesiones (Tn)n∈N y (Sn)n∈N , todos en L(E,F ), probar:

1. Si TnS.O.T.−−−−→n→∞

T y xn‖ · ‖−−−−→n→∞

x (todos en E y con su norma) entonces Tn xn‖ · ‖−−−−→n→∞

T x.

2. Si TnS.O.T.−−−−→n→∞

T y SnS.O.T.−−−−→n→∞

S, entonces TnSnS.O.T.−−−−→n→∞

TS.

3. Supongamos que para cada x ∈ E la sucesion Tn xn∈N es de Cauchy. Probar que existe un operadorA ∈ L(E,F ) tal que Tn

S.O.T.−−−−→n→∞

A. 4

2.8.35. Sean E y F dos Banach’s.

1. Si S v E llamemos IS : S → E la inclusion. Probar que

I∗S es epi y que esta dada por I∗S ϕ = ϕ IS = ϕ∣∣S , para cada ϕ ∈ E∗ .

80

2. Dado T ∈ L(E,F ), probar que R(T ) v F ⇐⇒ R(T ∗) v E.

Sug: Si vale que R(T ) v F , bajamos T a T : E/ kerT → R(T ) que es iso. Notar que

T = IR(T ) T ΠkerT =⇒ T ∗ = Π∗kerT T ∗ I∗R(T ) .

Pero por otro lado sabemos que R(Π∗kerT ) 2.8.13= (kerT )⊥ v E∗. La vuelta es similar. 4

Bases Σ y bases de Schauder.Definicion 2.8.36. Sea E un EN separable. Un conjunto (LI) B = bn : n ∈ N es una Σ-base de E si

para todo x ∈ E existe una unica sucesion c(x) = (ϕn(x) )n∈N ∈ KN tal que x =∑n∈N

ϕn(x) bn ,

donde la serie converge con la norma de E. En tal caso se definen las funcionales E 3 x 7→ ϕn(x) ∈ K.Diremos que B es una S-base (o base de Schauder) si todas las funcionales ϕn ∈ E∗.Asociado a B se define el espacio de sucesiones FB ⊆ KN dado por

FB =a = (an)n∈N ∈ KN : la serie

∑n∈N

an bn converge en E,

dotado de la norma ‖a‖Bdef= sup

m∈N

∥∥ m∑k=1

ak bk∥∥E

, para cada a = (an)n∈N ∈ FB . 4

2.8.37. Sea E un EN separable con una Σ-base B = bn : n ∈ N. Probar que

1. La unicidad asegura que las funcionales cordenadas ϕn ∈ E′, i.e. son lineales.

2. El conjunto FB ⊆ KN es un subespacio de KN.

3. La norma ‖ · ‖B esta bien definida (el sup es finito) y es una norma para FB .

4. Consideremos la flecha TB : FB → E dada por TB a =∑n∈N

an bn para cada a = (an)n∈N ∈ FB .

Mostrar que este TB ∈ L(FB , E) con ‖TB‖ ≤ 1, y que es un isomorfismo K-lineal.

5. Concluir que FB = c(x) : x ∈ E, el conjunto de las “coordenadas” de los x ∈ E.

Supongamos ahora que E era un Banach. En tal caso se tiene que

6. El espacio de coordenadas FB con su norma ‖ · ‖B es otro Banach.

7. El operador TB ∈ L(FB , E) de arriba es un iso de EB’s, o sea que es tambien homeo y E ' FB .

8. Nuestra base B era tambien una base de Schauder. Ya que estan prueben (2.37) de abajo.

9. Concluir que en los Banach’s las nociones de Σ-base y de S-base coinciden.

10. Caracterizar a E∗ como otro espacio de sucesiones en forma similar a las dualidades de `p con `q. 4

2.8.38. Sea E un EB con una S-base B = bn : n ∈ N. Probar que

1. Si sus funcionales coordenadas son ϕn ∈ E∗ para cada n ∈ N, se tiene que

1 ≤ ‖ϕn‖E∗ ‖bn‖E ≤ 2 ‖T−1B ‖ para todo n ∈ N . (2.37)

2. Si una a = (an)n∈N ∈ FB =⇒ ‖an bn‖E −−−−→n→∞

0 (obvio pero ahora se la va a usar).

81

3. Vale que supn∈N‖bn‖E <∞ ⇐⇒ ınf

n∈N‖ϕn‖E∗ > 0 ⇐⇒ `1(N) ⊆ FB .

4. Vice versa con un agregado. Las suguientes condiciones son equivalentes:

(a) El ınfn∈N‖bn‖E > 0

(b) El supn∈N‖ϕn‖E∗ <∞.

(c) Toda a = (an)n∈N ∈ FB cumple que an −−−−→n→∞

0, i.e. FB ⊆ c0 .

(d) Una mas debil: FB ⊆ `∞(N).

5. Fijado un n ∈ N denotemos por Endef= span bm : m 6= n v E. Luego

(a) Se tiene que En = kerϕn .

(b) Ademas vale que d (bn , En) ≥ ‖bn‖2 ‖T−1

B ‖. Luego para todo n ∈ N, E = En ⊕K bn . 4

2.8.39. A una S-base B = bn : n ∈ N de un Banch E se le dice acotada si

mdef= ınf

n∈N‖bn‖E > 0 y M

def= supn∈N‖bn‖E <∞ ⇐⇒ `1 ⊆ FB ⊆ c0 ,

y se le dice unitaria si m = M = 1. Probar que si B es acotada existe una nueva norma en E que esequivalente a la original, tal que B se hace unitaria. 42.8.40. Probar que la base canonica E = en : n ∈ N de SF se transforma en una S-base acotada de todoslos `p(N) para p <∞ y tambien de c0 . Con `∞ no se plantea porque no es separable. 4

82

Capıtulo 3

Espacios de Hilbert

3.1 Preliminares.

Definicion 3.1.1. Sea H un K-EV. Un producto interno (PI) en H es una funcion

〈· , ·〉 : H×H → K

que cumple las siguientes condiciones: Dados x, y, z ∈ H y λ ∈ K, vale que

1. Es sequilineal (lineal en la primera y antilineal en la segunda):

〈λx+ y , z〉 = λ 〈x , z〉+ 〈y , z〉 y 〈x , λ y + z〉 = λ 〈x , y〉+ 〈x , z〉 ,

2. Es conjugadamente simetrico (o Hermitiano): 〈x , y〉 = 〈y , x〉.

3. Es definido positivo: 〈x , x〉 ≥ 0 y solo se anula si x = 0.

4. Denotaremos ‖x‖ = 〈x , x〉1/2, lo que pronto veremos que es la norma de x.

En el caso real la conjugacion no hace nada, por lo que un PI es bilineal, simetrico y definidopositivo. Se lo llama semi PI si permitimos que 〈x , x〉 = 0 para algunos x 6= 0. 4

3.1.2 (Formulas con un PI). Sea H , 〈· , ·〉 un K-EV con un semi PI asociado.

1. Para todo par x, y ∈ H y todo λ ∈ K se tiene que

0 ≤ ‖λx+ y‖2 = 〈λx+ y , λ x+ y〉 = |λ|2 ‖x‖2 + 2 Re(λ 〈x , y〉

)+ ‖y‖2 . (3.1)

La prueba es directa y se deja como ejercicio. Observar que tiene una consecuenciaagradable: Tomando y = 0 en (3.1) nos queda que

‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para todo x ∈ H .

83

2. Por otra parte, la forma sesquilineal se puede recuperar de la cuadratica con la socalled “identidad de polarizacion”. Tiene dos versiones: Dados x, y ∈ H,

4 〈x , y〉 =3∑

k=0

ik ‖x+ ik y‖2 (siempre que K = C) , (3.2)

mientras que cuando K = R se tiene una version mas agradable:

4 〈x , y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 . (3.3)

Las pruebas tambien son directas (aunque mas largas) y se dejan como ejercicio.

3. Por ultimo, veamos la famosısima igualdad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 para todo par x, y ∈ H . (3.4)

La prueba no es mas que poner dos veces la Ec. (3.1), para ‖x + y‖2 y ‖ − x + y‖2,para despues cancelar. Dejamos como ejercicio dar una version para n vectores. 4

Proposicion 3.1.3 (Cauchy-Schwarz). Sea H , 〈· , ·〉 un K-EV con un semi PI asociado.Entonces para todo x, y ∈ H vale que

| 〈x , y〉 | ≤ ‖x‖ ‖y‖ . (3.5)

Demostracion. Usando la Ec. (3.1), podemos considerar el siguiente polinomio en R[x] :

P (t) = ‖t x+ y‖2 (3.1)= ‖x‖2 t2 +

(2 Re 〈x , y〉

)t+ ‖y‖2 , para t ∈ R .

Observar que P tiene grado dos y que solo toma valores positivos. Luego su discriminanteno puede ser positivo, o sea que

0 ≥ b2 − 4ac = 4(

Re 〈x , y〉)2 − 4 ‖x‖2‖y‖2 =⇒ | Re 〈x , y〉 | ≤ ‖x‖ ‖y‖ . (3.6)

Para sacar la parte real escribamos 〈x , y〉 = ei θ | 〈x , y〉 |. Luego 〈 e−i θ x , y〉 = | 〈x , y〉 |.Aplicandole ahora (3.6) a los vectores x′ = e−i θ x and y, llegamos a (3.5).

Corolario 3.1.4. Sea H , 〈· , ·〉 un K-EV con un semi PI asociado. Entonces la flechax 7→ ‖x‖ = 〈x , x〉1/2 es una seminorma. Si tenıamos un buen PI, entonces es una norma.

Demostracion. Ya vimos que saca escalares en modulo y toma valores no negativos. Tambiensabemos que si 〈· , ·〉 es un PI entonces ‖x‖ = 0 =⇒ x = 0. Solo falta la DT.

Dados x, y ∈ H, apliquemos la Ec. (3.1) con λ = 1 y Cauchy-Schwarz (3.5):

‖x+ y‖2 (3.1)= ‖x‖2 + 2 Re 〈x , y〉+ ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2|〈x , y〉|+ ‖y‖2

C−S≤ ‖x‖2 + 2‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 =

(‖x‖+ ‖y‖

)2.

Tomando raıces cuadradas tenemos la DT y es una (semi) norma.

84

Definicion 3.1.5. A partir de ahora, cuando H , 〈· , ·〉 es un K-EV con un PI asociado,diremos que H = (H , ‖ · ‖ ) es un espacio de pre-Hilbert (escribimos EPH).

Si con esa metrica resulta ser un Banach, lo llamaremos espacio de Hilbert (EH). 4

Observacion 3.1.6. Sea H un EPH. La desigualdad de Cauchy Schwarz muestra que elPI es continuo en cada coordenada (respecto de la norma que el produce). Por ejemplo, si

tomamos un vector y junto con una sucesion xn‖ · ‖−−−→n→∞

x, todos en H, entonces

|〈x− xn , y〉|C−S≤ ‖x− xn‖ ‖y‖ −−−→

n→∞0 =⇒ 〈xn , y〉 −−−→

n→∞〈x , y〉 .

Lo mismo se puede hacer en la segunda coordenada. 4

3.2 Ortogonalidad.

Notaciones 3.2.1. Sea H un EPH.

1. Dados x, y ∈ H, si 〈x , y〉 = 0 diremos que son ortogonales y escribiremos x ⊥ y .

2. Dado A ⊆ H denotaremos por A⊥ = y ∈ H : x ⊥ y para todo x ∈ A.

3. Dados A,B ⊆ H, diremos que A ⊥ B si B ⊆ A⊥ (o A ⊆ B⊥, que es lo mismo).

4. Diremos que un B ⊆ H es un sistema ortonormal (SON) si cumple que,

‖x‖ = 1 ∀ x ∈ H y 〈x , y〉 = 0 siempre que x 6= y , x, y ∈ B.

Si no pedimos normas uno, diremos que B es un sistema ortogonal.

5. Dado S v H, un B ⊆ S es una base ortonormal de S (se abrevia BON de S) si

B es un SON y span B = S .

6. Diremos que B es una BON (a secas) si lo es para todo H.

Observacion 3.2.2. Sea H un EPH. En vista de la Obs. 3.1.6 es facil ver que la flechaA 7→ A⊥ cumple las siguientes propiedades: Dado un A ⊆ H,

1. Su ortogonal A⊥ v H (es subespacio y es cerrado).

2. Tambien vale que, si S = span A, entonces A⊥ = S⊥ = S ⊥.

Observar que por definicion, A ⊆ B =⇒ B⊥ ⊆ A⊥. El hecho de que A⊥ ⊆ S⊥ sale por lalinealidad del PI en la primera coordenada. Y el que S⊥ ⊆ S ⊥ sale por la continuidad queofrece la Obs. 3.1.6. El mismo tipo de argumento muestra el item 1. 4

85

Proposicion 3.2.3 (Teor. de Pitagoras). Sea H un EPH. Si tenemos una familia finitaB = x1 , x2 , . . . , xn ⊆ H que es un sistema ortogonal, entonces se tiene que∥∥∥ ∑

k∈ In

xk

∥∥∥2

=∑k∈ In

‖xk‖2 .

Demostracion. Hay que hacer induccion en |B| = n ∈ N. Si n = 1 es muy difıcil. El caso enque n = 2 sale porque ‖x1 + x2‖2 = ‖x1‖2 + 2 Re 〈x1 , x2〉+ ‖x2‖2. La prueba para n ≥ 3 ladejamos como ejercicio para el lector inductivo. Se usa que xn⊥ es un subespacio.

Sea E un K-EV, y sea A ⊆ E. Decimos que A es convexo si, dados x, y ∈ A se tiene que

[x, y]def= (1− λ)x+ λ y : λ ∈ [0, 1] ⊆ A .

Observar que [x, y] denota al “segmento” recto que une a x con y dentro de E.

Teorema 3.2.4. Sea H un EH (aca es esencial que H sea completo). Dado un A ⊆ H quesea cerrado y convexo, se tiene que para todo x ∈ H

existe un unico k0 = PA x ∈ A tal que d (x , A) = ‖x− k0‖ .

Demostracion. Empecemos cambiando A por Ax = A− x = k − x : k ∈ A. Este Ax siguesiendo cerrado y convexo, pero ahora hay que realizarle la distancia al x = 0. Es decir quese busca un k0 ∈ Ax tal que ‖k0‖ = mın

k∈Ax‖k‖. Y despues hay que ver que el tal k0 es unico.

Para ello llamemos M = ınfk∈Ax‖k‖ = d (0 , Ax) y tomemos una sucesion (kn)n∈N en Ax tal

que ‖kn‖ −−−→n→∞

M . Ahora viene el paralelogramo (3.4):

‖kn + km‖2 + ‖kn − km‖2 = 2 ‖kn‖2 + 2 ‖km‖2 −−−−→n,m→∞

4M2 .

Sin embargo, por la convexidad de Ax , sabemos que

kn + km2

∈ Ax =⇒ ‖kn + km‖2 = 4∥∥∥kn + km

2

∥∥∥2

≥ 4M2 para todo n,m ∈ N .

Mirando fijo las dos ecuaciones de arriba podemos convencernos que no queda otra que

‖kn − km‖ −−−−→n,m→∞

0 =⇒ (kn)n∈N es de Cauchy =⇒ kn −−−→n→∞

k0 ∈ Ax .

Acabamos de usar que H es completo y que Ax es cerrado. Bueno, ahora ya sabemos que‖kn‖ −−−→

n→∞‖k0‖ = M y que k0 ∈ Ax como anunciamos. Para ver la unicidad tomemos otro

k ∈ Ax tal que ‖k‖ = M . Apliclandoles el paralelogramo (3.4) a k y k0 queda que

‖k + k0‖2 + ‖k − k0‖2 = 2 ‖k‖2 + 2 ‖k0‖2 = 4M2 .

Como antes vemos que ‖k + k0‖2 ≥ 4M2, ası que ‖k − k0‖ = 0 y k = k0 .

86

El Teorema anterior es particularmente util cuando el rol de convexo cerrado lo cumple unsubespacio S v H. En ese caso se define PS : H → S ⊆ H dada por

PS x = y , el unico y ∈ S tal que ‖x− y‖ = d (x , S) . (3.7)

Veremos que este PS es un proyector en L(H) con muchas propiedades agradables. Perovamos paso a paso.

Proposicion 3.2.5. Sea H un EH. Dado un S v H, se tienen las siguientes propiedades:

1. La diferencia x− PS x ∈ S⊥ para todo x ∈ H.

2. El subespacio S⊥ es un complemento de S, o sea que S ⊕ S⊥ = H.

3. PS ∈ L(H) con ‖PS‖ = 1 (si S 6= 0). Eso significa que es lineal, y que es acotado.

4. De hecho, PS = PS/S⊥ ∈ P(H), el proyector de la Ec. (2.26) asociado a S ⊕ S⊥ = H.

5. Por ello se cumple que PS = PS2 , R(PS) = S y kerPS = S⊥.

Demostracion. El hecho clave es el item 1, que sugerimos ilustrar haciendo un dibujito enun papel ⊆ R2. Sean y = PS x y z = x − y. La idea es que si z no estuviera en S⊥ sepodrıa mejorar al y ∈ S para que la diferencia quede mas ortogonal a S, y por ello mascorta. Para formalizar eso, fijemos cualquier s ∈ S \ 0 y calculemos la distancia de x alvector movidito y + ts ∈ S, con t ∈ R. Por la minimalidad que da el Teo. 3.7 sabemos que

0 ≤ ‖x− (y + ts)‖2 − ‖x− y‖2 = ‖z − ts‖2 − ‖z‖2

= −2 t Re〈z , s〉+ t2‖s‖2 = ‖s‖2 t(t− 2 Re〈z , s〉

‖s‖2).

Si Re〈z , s〉 6= 0, el polinomio de la derecha tendrıa dos raıces distintas y no podrıa sersiempre positivo. Luego podemos afirmar que Re〈z , s〉 = 0 para todo s ∈ S. Con el currode cambiar s por un eiθ s, llegamos a que z = x− PS x ∈ S⊥ como se afirmaba.

Cualquier subespacio cumple que S∩S⊥ = 0, porque los de la interseccion son ortogonalesa sı mismos. Pero ahora sabemos que todo x ∈ H cumple que

x = PS x + (x− PS x) ∈ S + S⊥ =⇒ S ⊕ S⊥ = H . (3.8)

La formula de la izquieda de paso prueba que PS = PS/S⊥ , el proyector asociado a ladescomposicion S⊕S⊥ = H, porque PS x es la coordenada S-esima de cada x ∈ H. Sabiendoesto, la unicidad de la descomposicion en coordenadas en S y S⊥ hace que la funcion PS sealineal (recordar la Ec. (2.26) y la charla que la rodea). Esto prueba tambien el item 5.

Por Pitagoras vemos que ‖x‖2 = ‖PS x‖2 + ‖x− PS x‖2 ≥ ‖PS x‖2 para todo x ∈ H, por loque PS ∈ L(H) con ‖PS‖ ≤ 1. Salvo en el caso inutil de que S = 0, vale que ‖PS‖ = 1,porque PS actua como la identidad en la bola BS .

87

Corolario 3.2.6. Sea H un EH. Dados S v H y x ∈ H, tenemos el siguiente criterio paraidentificar a PS x : Fijado un y ∈ S, las suguientes condiciones son equivalentes:

1. Nuestro y = PS x , o sea que es el unico en S tal que ‖x− y‖ = d (x , S).

2. El cumple que x− y ∈ S⊥, ademas de que y ∈ S.

3. Para todos los demas s ∈ S vale que 〈x , s〉 = 〈y , s〉.

Proof. Como 〈x , s〉 − 〈y , s〉 = 〈x− y , s〉, es claro que 2 ⇐⇒ 3. La equivalencia de 1 conellos se deduce de la igualdad PS = PS/S⊥ que mostramos en la Prop. 3.2.5.

Corolario 3.2.7. Sea H un EH. Luego tomar “el doble ortogonal” hace esto:

1. Si A ⊆ H es cualquier cosa, entonces (A⊥)⊥ = span A.

2. En particular, si S ⊆ H es un subespacio, entonces (S⊥)⊥ = S.

3. Es de remarcar que, si S v H, entonces S = (S⊥)⊥.

Demostracion. La Obs. 3.2.2 asegura que A⊥ = ( span A )⊥, ası que alcanza probar laigualdad S = (S⊥)⊥ para los S v H. Es claro que S ⊆ (S⊥)⊥. Pero si x ∈ (S⊥)⊥ yllamamos y = PS x ∈ S ⊆ (S⊥)⊥ , entonces el Cor. 3.2.6 dice que x− y ∈ S⊥ ∩ (S⊥)⊥ = 0.En resumen, x = y ∈ S, por lo que (S⊥)⊥ ⊆ S y vale la igualdad.

Corolario 3.2.8. Sea H un EH. Dado un subespacio M⊆ H se tiene que

M es denso en H ⇐⇒ M⊥ = 0 (3.9)

En particular, si S v H, entonces S⊥ = 0 ⇐⇒ S = H.

Demostracion. El Cor. 3.2.7 dice queM = (M⊥)⊥. De ahı sale de una la flecha⇐= , porque

0⊥ = H. La otra sale porque M⊥ 3.2.2= M ⊥ mientras que H⊥ = 0.

Observacion 3.2.9. Los proyectores de la Prop. 3.2.5 se llaman proyectores ortogonales.Hay uno para cada S v H. Son un caso particular de los proyectores PS/T ∈ P(H) estudiadosen la Ec. (2.26) y la Prop. 2.7.2, el caso asociado a las descomposiciones de un Hilbert H ensuma directa de subespacios cerrados ortogonales entre sı: PS = PS/S⊥ .

Recoremos aquı algunas propiedades vistas en la Obs. 2.7.1: Todo P ∈ P(H) (idempotenteo proyector oblicuo, y ademas acotado) era uno de los PS/T de la Ec. (2.26), relativo aH = R(P ) ⊕ kerP . Es decir que que P = PR(P )/ kerP . Por otro lado, salvo el caso P = 0,todos los P ∈ P(H) cumplen que ‖P‖ ≥ 1, porque actuan como la identidad en su rango.Lo llamativo es que, si llamamos S = R(P ), se tiene que

‖P‖ = 1 ⇐⇒ kerP = S⊥ ⇐⇒ P = PS . (3.10)

En efecto, las implicaciones⇐= ya las probamos en la Prop. 3.2.5. La otra sale ası: LlamemosQ = I − P , y M = R(Q) = kerP . Si ‖P‖ = 1, entonces para cada x ∈ H y cada y ∈ M,como sabemos que Qy = y, tenemos que

‖x−Qx‖ = ‖x− y + y −Qx‖ = ‖(x− y)−Q(x− y)‖ = ‖P (x− y)‖ ≤ ‖x− y‖ .

88

Esto dice que la distancia de cada x ∈ H al subespacio cerradoM se alcanza en su Qx. Enresumen, podemos asegurar que este Q = PM , el de la Prop. 3.2.5. Luego S = kerQ =M⊥.Por el Cor. 3.2.7 llegamos a que S⊥ = (M⊥)⊥ = M = kerP . Finalmente, en la mismaProp. 3.2.5 vimos que PS es el proyector asociado a la descomposicion H = S ⊕ S⊥, al igualque P . Luego son el mismo proyector. De paso probamos esto:

Para todo S v H vale que PS⊥ = I − PS . 4

3.3 Teorema de representacion de Riesz.

Ahora viene el dual de un Hilbert. En todos los ejemplos que vimos (aquellos en que elp = 2 = q), sale que su dual es el mismo. Incluso la notacion 〈· , ·〉 es sugestiva, porque seusa tanto para dualidades entre Banach’s como para PI’es en Hilbert’s. Sin embargo hayun problemita, el PI es antilineal en la segunda coordenada, mientras que las bilineales sonlineales en ambas. Por eso lo que obtendremos en una “anti-isometrıa” de H sobre H∗.

En la practica esa incosistencia no es significativa, porque al dual de los Hilberts ni se lousa. Se usan los mismos vectores de H (a la derecha del PI) y a otra cosa. Veamos:

Sea H un EH. Dado un y ∈ H definamos ϕy ∈ H∗ por la formula

ϕy(x) = 〈x , y〉 , para cada x ∈ H . (3.11)

Observar que cada ϕy es lineal bien, porque los λ ∈ K salen indemnes si estan a la izquierda.Ademas Cauchy-Schwarz 3.5 asegura que |ϕy(x)| = | 〈x , y〉 | ≤ ‖y‖ ‖x‖ para todo x ∈ H,por lo que ϕy ∈ H∗ con ‖ϕy‖ ≤ ‖y‖. Sin embargo la flecha y 7→ ϕy es anti-lineal porque, sibien respeta sumas, cumple que ϕλ y = 〈 · , λ y〉 = λ 〈 · , y〉 = λϕy para los λ ∈ K.

Teorema 3.3.1 (Riesz). Sea H un EH. La aplicacion H 3 y 7→ ϕy ∈ H∗ definida en(3.11) produce un anti-isomorfismo isometrico de H sobre H∗. En otras palabras, para todaϕ ∈ H∗ existe un unico y ∈ H tal que ϕ = 〈 · , y〉, que ademas cumple ‖ϕ‖ = ‖y‖.

Demostracion. Ya vimos que las ϕy ∈ H∗ con ‖ϕy‖ ≤ ‖y‖. Fijemos ahora un y ∈ H \ 0.Consideremos el vector x = y

‖y‖ ∈ BH . El realiza la norma de ϕy :

‖ϕy‖ ≥ |ϕy(x)| = ϕy(x) =〈y , y〉‖y‖

= ‖y‖ ≥ ‖ϕy‖ =⇒ ‖ϕy‖ = ‖y‖ .

Con esto probamos que la representacion y 7→ ϕy es isometrica. Veamos ahora que es sobre:Sea ϕ ∈ H∗ \ 0, y llamemos S = kerϕ. Como S 6= H, el Cor. 3.2.8 asegura que S⊥ 6= 0,por lo que existe un z ∈ S⊥ con ‖z‖ = 1. Sea y = ϕ(z) z ∈ S⊥. Luego

S ⊆ kerϕy mientras que ϕy(z) = 〈z , ϕ(z) z〉 = ϕ(z) ‖z‖2 = ϕ(z) .

Pero sabemos que S es un hiperplano, por lo que que H = S ⊕ K · z . Como ϕ y ϕy sonambas lineales y coinciden en los dos sumandos, queda que ϕ = ϕy .

89

Observacion 3.3.2. Tampoco era antojadiza la notacion S⊥, que se usa tanto para anu-ladores en Banach’s como para ortogonales en Hilbert’s. El tema es que, vıa la identificacionde H∗ con H del Teo. 3.3.1, el anulador de un S v H es lo mismo que su ortogonal. 4

Corolario 3.3.3. Sea H un EH. Luego, para todo x ∈ H y todo T ∈ L(H) se tiene que

‖x‖ = supy∈BH

|〈x , y〉| y ‖T‖ = supx , y ∈BH

|〈T x , y〉| . (3.12)

Demostracion. El Teor. de Riesz 3.3.1 nos asegura que la bola del dual BH∗ coincide con elconjunto ϕy : y ∈ BH, donde las ϕy son las de la Ec. (3.11). Luego basta que recordemosaquella formula (2.7) que calculaba normas vıa el dual. La segunda formula sale porquemoviendo los y ∈ BH se van calculando las ‖T x‖ para los x ∈ BH .

3.4∑

i∈I

Sea H un EPH. Si tenemos un SON finito B = x1 , x2 , . . . , xn ⊆ H y consideramos elsubespacio S = span x1 , . . . , xn, hay una formula explıcita para PS :

PS x =∑k∈ In

〈x , xk〉 xk para todo x ∈ H . (3.13)

Para verlo, llamemos y =∑j∈ In〈x , xj〉xj ∈ S . Usando que B es un SON sale directo que

〈y , xk〉 =⟨ ∑

j∈ In〈x , xj〉xj , xk

⟩=∑j∈ In〈x , xj〉〈xj , xk〉 = 〈x , xk〉 para cada k ∈ In .

Por linealidad sale que 〈y , s〉 = 〈x , s〉 para todo s ∈ S. Recordando ahora el Cor. 3.2.6,esto determina que y = PS x y que (3.13) esta probada. Por lo tanto, si

x1 , . . . , xn ⊆ H es un SON =⇒∑k∈ In

| 〈x , xk〉 |2 ≤ ‖x‖2 para todo x ∈ H . (3.14)

Esto se deduce de aplicarle Pitagoras al PS x que nos da (3.13), y de que ‖PS‖ ≤ 1.

Las cuentas de arriba se generalizan facil a sistemas numerables usando la Ec. (3.14) queasegurarıa que si xk : k ∈ N es un SON adentro de un Hilbert H, entonces la sucesion(〈x , xk〉

)k∈N ∈ `2(N) para todo x ∈ H. Pero como nos interesan SON’s de cualquier

cardinal, hay que desarrollar un poquito el concepto de series no numerables, y en particularestudiar el espacio `2(I) para cualquier conjunto I. Empecemos.

3.4.1 (Series desordenadas). Sea I un conjunto y tomemos una familia a = (ai)i∈ I ∈ RI+ .

Recordemos que PF (I) denota las partes finitas de I. Diremos que a es sumable si la serie∑i∈ I

aidef= sup

F∈PF (I)

∑i∈F

ai < ∞ .

90

En el caso en que I es numerable, esto es la definicion usual de serie sumable (de terminosno negativos), a la que no le importa el orden en que se sumen las cosas. En el caso que Ino es numerable, se ve facil que el sop(a)

def= i ∈ I : ai 6= 0 sı debe cumplir que es a lo

sumo numerable (porque cada conjunto i ∈ I : ai ≥ 1n debe ser finito).

Sumemos ahora en un normado E. Tomemos una x = (xi)i∈ I ∈ EI y consideremos la redde sumas finitas (xF)F∈PF (I) , donde cada xF =

∑i∈F

xi ∈ E. Es una red porque el orden en los

ındices PF (I) dado por la inclusion es reductivo (ver A.6). Ahora decimos que

la serie de x es convergente si existe∑i∈ I

xidef= lım

F∈PF (I)xF en E y con su norma .

Observar que esta definicion es coherente con la de terminos positivos, porque

a = (ai)i∈ I ∈ RI+ =⇒

∑i∈ Iai = sup

F∈PF (I)

∑i∈F

ai = lımF∈PF (I)

∑i∈F

ai .

Como pasaba con las series comunes, cuando E es un Banach vale que

si x = (xi)i∈ I ∈ EI y∑i∈ I

‖xi‖ <∞ =⇒∑i∈ I

xi es convergente . (3.15)

La prueba es similar a la de la Prop. 1.1.12: Para cada i ∈ I, llamemos ai = ‖xi‖. Dado unε > 0, se encuentra un F0 ∈ PF (I) tal que

∑i∈ I ai −

∑i∈F0

ai < ε. Luego se ve que paratoda parte finita G ∈ PF (I) tal que G ∩ F0 = ∅ debe verificarse que

‖xG‖ =∥∥ ∑i∈G±xi

∥∥ ≤ ∑i∈G

ai ≤∑i∈ Iai −

∑i∈F0

ai < ε . (3.16)

Con esto sale bien facil que la red (xF)F∈PF (I) es de Cauchy en E, por lo que la serie de xdebe ser convergente.

En el caso numerable, no es lo mismo ser convergente en un orden prefijado para I (quetransforma x en una sucesion) que serlo en el sentido de arriba, porque a la definicion quedimos no le interesa ningun orden para I (ver el Ejer. 3 de abajo). Es un hecho conocido,aunque no lo probaremos, que la x es convergente ⇐⇒ la serie de sus normas es finita. Laidea es pensar la medida de contar en la σ-algebra P(I) del conjunto I. Luego las funcionesx “sumables” son lo mismo que las “integrables”, y deben serlo en modulo. Finalizamos estapresentacion con una “serie” de ejercicos faciles pero necesarios: 4

Ejercicio 3.4.2. Sea E un EN y asumamos que las series de las familias x = (xi)i∈ I andy = (yi)i∈ I ∈ EI son ambas convergentes:

∑i∈Ixi = x and

∑i∈Iyi = y. Luego vale que

1. La serie∑i∈Ixi + yi es convergente, con suma x+ y.

2. Para cualquier λ ∈ K, queda convergente la serie∑i∈Iλ · xi = λ · x.

91

3. Si σ : I→ I es biyectiva, la serie∑

i∈I xσ(i) tambien converge a x.

4. Si J ⊆ I y E era un Banach, entonces valen dos cosas:

(a) La subserie∑i∈Jxi tambien converge.

(b) Lo mismo pasa con la otra mitad, y se tiene que x =∑i∈Jxi +

∑i∈I\J

xi .

Se pide que E sea Banach porque lo unico que se puede probar es que las redes involu-cradas son de Cauchy. Contraejemplificar si E no es EB (sale con sucesiones).

5. Si F es otro EN y T ∈ L(E,F ), entonces T( ∑

i∈Ixi

)=∑i∈IT xi .

6. Si E era un EH y z ∈ H, entonces la serie∑i∈I〈xi , z〉 converge hacia 〈x , z〉.

7. Si pasara que E = C, tambien convergen los conjugados:∑i∈Ixi = x. 4

Ejemplo 3.4.3. Sea I un conjunto. Entonces el K-EV

`2(I) =

x = (xi)i∈ I ∈ KI :∑i∈ I

|xi|2 <∞,

dotado del PI dado por una serie que ahora veremos que converge:⟨x , y

⟩=∑i∈I

xi yi , para x = (xi)i∈ I , y = (yi)i∈ I ∈ `2(I) ,

resulta ser un espacio de Hilbert, al que le queda la norma ‖x‖2 =( ∑i∈I|xi|2

)1/2.

Verifiquemos todo lo que hemos dicho: Si x ∈ `2(I), es claro que lo que definimos como sunorma ‖x‖2 <∞. Notemos por xF a la truncacion xF = (xi)i∈F ∈ K|F|, y lo mismo para y,para cada F ∈ PF (I). Por Cauchy-Schwarz en los Kn vale que∑

i∈F

|xi| |yi| ≤ ‖xF‖2 ‖yF‖2 ≤ ‖x‖2 ‖y‖2 .

Esto prueba que la serie que define al 〈x , y〉 es absolutamente convergente y por ello convergea un numero de K, para todo par x , y ∈ `2(I). De paso, esto sirve para probar que `2(I)es un K-EV (cada |xi + yi|2 ≤ |xi|2 + |yi|2 + 2|xi| |yi| ). Por el Ejer. 3.4.2, sabiendo que lasseries que definen al candidato a PI siempre convergen, sale que es lo que tiene que ser:sesquilineal, simetrico y positivo. Con esto ya sabemos que `2(I) es un EPH, con el PI y lanorma definidos arriba. La completitud sale ası:

Dada una x(n)n∈N de Cauchy en `2(I), es facil ver que podemos definir un candidato

x = (xi)i∈ I dado por xi = lımn→∞

x(n)i ∈ K , para cada i ∈ I .

92

Por si no quedo claro, cada termino de la sucesion de Cauchy es un x(n) = (x(n)i )i∈I ∈ `2(I) .

Observar que, como la norma 2 acota el tamano de las entradas, podemos usar que al fijarcada i ∈ I, la sucesion numerica x(n)

i n∈N es de Cauchy en K y tomar su lımite.

Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal que ‖x(n) − x(m)‖2 < ε si n,m ≥ n0 . Luego, para cada cachofinito F ∈ PF (I) y cada n ≥ n0 fijos, podemos ver que∑

i∈F|xi − x(n)

i |2 = lımm→∞

∑i∈F|x(m)i − x(n)

i |2 ≤ supm≥n0

‖x(n) − x(m)‖22≤ ε2 .

Tomando supremo en PF (I) queda que ‖x−x(n)‖2 ≤ ε, por lo que x ∈ `2(I) y la convergenciaes en esa norma. Hemos llegado a que `2(I) es un Hilbert de ley. 4

Ejercicio 3.4.4. Si en el ejemplo anterior las familias x = (xi)i∈ I viven en el productocartesiano P =

∏i∈IHi de sendos Hilbert’s (Hi , 〈· , ·〉i), podemos definir una especie de `2 :

⊕i∈I

Hi =

x ∈ P :∑i∈I

‖xi‖2i<∞

,

con el PI y la norma definidos por: Dados x = (xi)i∈ I , y = (yi)i∈ I ∈⊕i∈IHi , se hace

〈x , y⟩

=∑i∈I

〈xi , yi〉i y ‖x‖ =( ∑

i∈I

‖xi‖2i

)1/2

.

Con estos atributos⊕i∈IHi es un EH. Una forma de probarlo es definir ese PI en

∑i∈IHi (las

familias con solporte finito), y luego completar. La otra es hacer la misma cuenta de arriba,pero adaptada a los objetos de este caso. El ejercicio es hacer ambas cosas. La idea es queel viejo espacio `2(I) =

⊕i∈I

K es un caso particular.

Los nombres son:⊕i∈IHi es el producto Hilbertiano de los Hi , y si uno repite los espacios

se obtienen tres notaciones usuales⊕i∈I

H = H⊕

I = `2(I)⊗H = `2(I , H) ,

que se llama potencia Hilbertiana deH. Observar que cada uno de losHj se puede incrustraradentro del porducto

⊕i∈IHi poniendo ceros en las otras entradas. Eso queda isometrico y

se hace la identificacion usual Hj v⊕i∈IHi . Tambien pensamos que

⊕i∈JHi v

⊕i∈IHi siempre

que J ⊆ I. Observar que esta identificacion no se podıa hacer en productos de espacios novectoriales porque no hay “ceros” para elegir en las coordenadas que faltan. 4

93

3.5 Bases ortonormales.

Antes de usar todo el armamento de la seccion anterior para ver que lo que hacen las BON’sde un Hilbert, veamos que siempre hay muchas de ellas.

Proposicion 3.5.1. Sea H un EH. Si B1 = vi : i ∈ J ⊆ H es un SON, siempre existe otroB2 = vj : j ∈ L ⊆ H que lo completa a una BON de H. Es decir que

B2 es un SON , y B = B1 ∪ B2 = vi : i ∈ J ∪ L es una BON de H .

Demostracion. Esto sale Zorneando. Es bien facil ver que el conjunto de extensiones

Z =C ⊆ H : C es un SON y B1 ⊆ C

,

ordenado por inclusion, cumple lo de las cadenas con supremos (la union). Pero si B es unmaximal de Z tiene que ser una BON de H. En efecto, si no lo fuera, uno podrıa tomar elsubespacio S = span B 6= H y sabrıa, por la Prop. 3.2.5, que S⊥ 6= 0. Luego le podrıaagregar a B un vector unitario de S⊥ y quedarıa un SON mas grande. Ası que B serıa mingamaximal. Teniendo ahora la BON B tal que B1 ⊆ B, basta tomar B2 = B \ B1 .

Veamos ahora como se generalizan las Ec’s. (3.13) y (3.14): Dado un S v H caracterizare-mos completamente al proyector PS , siempre y cuando tengamos una BON para S: Anteshagamos un lema donde se testea que todas las series que se necesiten van a converger bien:

Lema 3.5.2. Sea H un EH y sea B = vi : i ∈ I ⊆ H un SON. Denotemos comoS = span B v H. Enotnces se tienen las siguientes propiedades:

1. Para toda familia de coeficientes a = (ai)i∈ I ∈ `2(I), podemos asegurar que la serie∑i∈I ai vi converge (con la norma de H) a un za ∈ S que ademas cumple

‖za‖ = ‖a‖`2(I) y 〈za , vj〉 = aj para todo j ∈ I . (3.17)

2. Para cada x ∈ H, la familia de coeficientes(〈x , vi〉

)i∈I ∈ `

2(I).

Proof. Dado el a = (ai)i∈ I ∈ `2(I) y un ε > 0, podemos fijar un F ∈ PF (I) tal que∑i∈I\F

∣∣ ai∣∣2 < ε2. Si me dan ahora G,H ∈ PF (I) tales que F ⊆ G ∩ H, entonces usando

Pitagoras y razonando como en la Ec. (3.16) se tiene que

‖∑i∈G

ai vi −∑i∈H

ai vi‖2 =∑

i∈G\(H∩G)

∣∣ ai ∣∣2 +∑

i∈H\(H∩G)

∣∣ ai ∣∣2 ≤ ∑i∈I\F

∣∣ ai ∣∣2 < ε2 .

Por lo tanto sabemos que las sumas finitas (que viven en S) son de Cauchy y podemos tomarsu lımite za =

∑i∈I ai vi ∈ S. Para ver la igualdad de las las normas, basta hacer

‖za‖2 =∥∥∥∑i∈I

ai vi

∥∥∥2

= lımF∈PF (I)

∥∥∥∑i∈F

ai vi

∥∥∥2

= lımF∈PF (I)

∑i∈F

∣∣ ai ∣∣2 =∑i∈I

∣∣ ai ∣∣2 = ‖a‖22.

94

Si fijamos un j ∈ I y llamamos Bj = vi : i 6= j, el hecho de que B sea SON asegura que

vj ∈ B⊥j = span Bj⊥ =⇒⟨za , vj

⟩=⟨aj vj , vj

⟩+⟨∑i 6=j

ai vi , vj⟩

= aj ,

porque∑

i 6=j ai vi ∈ span Bj al ser el lımite de las sumas finitas. Listo el item 1.

Por otro lado, dado un F ∈ PF (I) llamemos SF = span vi : i ∈ F. En la Ec. (3.13) vimosque PSF =

∑i∈F〈 · , vi〉 vi , de donde deducıamos (por Pitagoras y la Prop. 3.2.5) que

∑i∈F

| 〈x , vi〉 | 2 = ‖PSF x‖2 ≤ ‖x‖2 para todo x ∈ H y todo F ∈ PF (I) .

Tomando supremo sobre los F ∈ PF (I) sale que(〈x , vi〉

)i∈I ∈ `

2(I) para todo x ∈ H.

Proposicion 3.5.3. Sea H un EH y sea B = vi : i ∈ I ⊆ H un SON. Denotemos comoS = span vi : i ∈ I. Enotnces se tienen las siguientes propiedades:

1. E el proyectado PS x es una serie con esos coeficientes:

PS x =∑i∈I

〈x , vi〉 vi , para todo x ∈ H , (3.18)

donde la convergencia de la serie es con la norma de H.

2. Esos mismos coeficientes producen la “norma 2” de PS x, es decir que:

‖PS x‖2 =∑i∈I

∣∣ 〈x , vi〉 ∣∣2 ≤ ‖x‖2 , para todo x ∈ H . (3.19)

Demostracion. Para ver la igualdad (3.18), fijemos x ∈ H. Combinando los items 1 y 2 delLema 3.5.2 podemos deducir que la serie

zdef=∑i∈I

〈x , vi〉 vi ∈ S y que 〈z , vi〉(3.17)= 〈x , vi〉 para todo i ∈ I .

En otras palabras, tenemos que z ∈ S y que x − z ∈ B⊥ = span B⊥ = S⊥. Luego elCor. 3.2.6 nos permite asegurar que PS x = z =

∑i∈I 〈x , vi〉 vi . La formula (3.19) se deduce

de la Ec. (3.18) y de la igualdad de las normas en la Ec. (3.17).

Observacion 3.5.4. Sean H y K dos EH’s y Φ ∈ L(H , K) un isomorfismo isometricosobre. Entonces φ tambien preserva el producto interno, o sea que

〈Φx , Φ y〉 = 〈x , y〉 , para todo par x, y ∈ H . (3.20)

Esto sale usando que Φ preserva normas, o sea que 〈Φx , Φx〉K = 〈x , x〉H para todo x ∈ H.Para generalizarlo a (3.20) basta usar polarizacion (3.2). El hecho de que Φ preserve el PItiene numerosas consecuencias, como por ejemplo que Φ(S⊥) = Φ(S)⊥ para todo S v H.Pero la mejor es que Φ manda SON’s de H en SON’s de K. Mejor aun:

95

si B es una BON de H , entonces Φ(B) es otra BON de K .

En efecto, que B sea SON significa que 〈x, y〉 = δxy para todo par x, y ∈ B. Y por laiyectividad de Φ + la Ec. (3.20), eso lo siguen cumpliendo los elementos de Φ(B). Perosiendo SON, el hecho de que B sea BON equivale a que span B sea denso. Y al ser Φ unhomeo lineal, nos queda que tambien span Φ(B) = Φ

(span B

)es denso, ahora en K. 4

Ahora sı un re-teorema donde decimos todo lo que pasa con una BON:

Teorema 3.5.5. Sea H un EH y sea B = vi : i ∈ I ⊆ H una BON de H. Luego:

1. Cada x ∈ H se representa unıvocamente como una serie con esos coeficientes:

x =∑i∈I

〈x , vi〉 vi , para todo x ∈ H , (3.21)

donde la convergencia de la serie es con la norma de H.

2. Esos mismos coeficientes producen la “norma 2” del los vectores:

‖x‖2 =∑i∈I

∣∣ 〈x , vi〉 ∣∣2 , para todo x ∈ H . (3.22)

3. Tambien el producto interno de H se representa como

〈x , y〉 =∑i∈I

〈x , vi〉〈y , vi〉 , para todo par x , y ∈ H . (3.23)

4. En resumidas cuentas, la flecha Φ : H → `2(I) dada por

Φx =(〈x , vi〉

)i∈I para cada x ∈ H

es un iso isometrico sobre, que ademas respeta los productos internos, o sea que

〈Φx , Φ y〉`2(I) = 〈x , y〉H , para todo par x, y ∈ H . (3.24)

El operador Φ−1 ∈ L(`2(I) , H) esta dado por la formula

Φ−1 a =∑i∈I

ai vi ∈ H , para cada a = (ai)i∈ I ∈ `2(I) .

Demostracion. Los primeros tres items son una version en detalle del item 4. Empecemospor el: Como B es una BON, es en particular un SON y podemos aplicar la Prop. 3.5.3,pero asumiendo que S = span B es ahora todo H. El operador Φ esta bien definido por elLema 3.5.2 y es acotado por la Ec. (3.19). Ademas, aplicando la Ec. (3.17), podemos definir

Ψ ∈ L(`2(I),H) por Ψ(a) = za =∑i∈I

ai vi ∈ H para a = (ai)i∈ I ∈ `2(I) ,

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que queda isometrica. Mas aun, la Ec. (3.18) dice que Ψ Φ = PH = IH , mientras que losPI’es de la Ec. (3.17) muestran que Φ Ψ = I`2(I) . Esto prueba que Φ es un isomorfismoisometrico con la inversa anunciada. Por lo tanto la igualdad (3.24) sale por la Ec. (3.20).

Ahora podemos traducir: La Ec. (3.21) significa que Ψ Φ = IH , la Ec. (3.22) que Φ esisometrica y (3.23) es lo mismo que (3.24).

Corolario 3.5.6. Sean H y K dos Hilbert’s.

1. Dos BON’s del mismo H tienen que tener el mismo cardinal.

2. Dadas BH una BON de H y BK una BON de K, vale que

H ∼= K (isometricamente isomorfos) ⇐⇒ |BH| = |BK| . (3.25)

En resumen estamos afirmando que, modulo isomorfismos isometricos,

el cardinal de una BON es un invariante completo para los EH’s .

Demostracion. Sean B1 = vi : i ∈ I y B2 = wj : j ∈ J dos BON’s para H. Veamosque |J| = |I|. Si alguna de las dos es finita, la cosa es solo algebra lineal, porque en tal casoambas son bases en el sentido algebraico. Si son infinitos, consideremos los conjuntos

Si = j ∈ J : 〈vi , wj〉 6= 0 para cada i ∈ I .

Como cada ‖vi‖2 =∑

j∈Si | 〈vi , wj〉|2 < ∞ , podemos deducir que todos los Si son nume-

rables. Pero como ningun wj puede ser ortogonal a todos los vi , llegamos a que

J =⋃i∈I

Si =⇒ |J| ≤ ℵ0 · |I| = |I| .

La simetrıa es evidente, por lo que de ahı sale que |J| = |I| como afirmabamos.

El⇐= de (3.25) es consecuencia del Teo. 3.5.5 pasando por un `2(I), donde I es un conjunto

del cardinal de las dos bases. SiHΦ∼= K, entonces |BH| = |Φ(BH)| = |BK|. La ultima igualdad

se debe a que Φ(BH) es otra BON de K por la Obs. 3.5.4.

Definicion 3.5.7. Sea H un EH. Diremos que la dimension Hilbertiana de H es el numerocardinal dimH = |B|, donde B es cualquier BON de H. 4

Observacion 3.5.8. El corolario anterior ahora se lee ası: H ∼= K ⇐⇒ dimH = dimK.Por otra parte tenemos modelos standard para todos los Hilberts: Si H es un EH e I es unconjunto tal que |I| = dimH, entonces H ∼= `2(I) vıa tomas coordenadas (o coeficientes) enuna BON fija de H. Eso es lo que dice el Teo. 3.5.5. 4

Corolario 3.5.9. Si tenemos dos espacios de Hilbert H y K que son infinitodimensionalespero separables, entonces ellos son isometricamente isomorfos: H ∼= K ∼= `2(N).

Demostracion. Basta ver que si H es separable entonces dimH ≤ ℵ0 . La prueba sale usan-do la misma BON que se usa para calcular la dimH. En efecto, dados u, v ∈ B, entoncespodemos calcular que ‖u− v‖2 = 2(1− δuv) . Ası que no valen BON’s no numerables si unoasume separabilidad.

97

3.6 Stone-Weierstrass

Sea (X, τ) un ET compacto Hausdorff. Estudiaremos el algebra C(X) con su ‖ · ‖∞ . Masprecisamente, buscamos condiciones sobre una subalgebra A ⊆ C(X) para que sea uni-formemente densa en C(X). Todo empezo con el Teor. de Weierstrass de 1895 quemostraba que los polinomios lo son en CR[a, b]. Con las decadas aparecieron numerosos re-sultados semejantes, hasta que Stone probo en 1948 la version mas conspicua, que incluyea las que habıa hasta entonces, y quedo ahı. Eso daremos ahora. Las cuentas se haran enCR(X), y al final veremos que hace falta para que caminen tambien en el caso complejo.

Sirve el caso real, porque se usan los siguientes conceptos: Dadas f, g ∈ CR(X), definimos

f ∨ g(x) = maxf(x) , g(x) y f ∧ g(x) = mınf(x) , g(x) , para cada x ∈ X .

Es claro que tanto el maximo f ∨ g como el mınimo f ∧ g siguen en CR(X) (sale facil conredes). Diremos que un A ⊆ CR(X) es cerrado por minimax si cumple que

f ∨ g y f ∧ g ∈ A siempre que f y g ∈ A .

Lema 3.6.1. Sea (X, τ) un ET compacto Hausdorff. Sea A ⊆ CR(X) un subespacio cerradopor minimax. Si f ∈ CR(X) cumple que para todo par x, y ∈ X existe una

(fn)n∈N en A tal que fn(x) −−−→n→∞

f(x) y fn(y) −−−→n→∞

f(y) ,

entonces se tiene que f ∈ A ‖·‖∞ , o sea ‖f − gn‖∞ −−−→n→∞

0 para alguna (gn)n∈N de A.

Demostracion. Fijemos un ε > 0. Para cada par x, y ∈ X existe una fxy ∈ A tal que elnumero max|f(x)− fxy(x)| , |f(y)− fxy(y)| < ε. Sean

Uxy = z ∈ X : f(z)− fxy(z) < ε y Vxy = z ∈ X : fxy(z)− f(z) < ε .

Observar que ambos son abiertos, y que x, y ∈ Uxy ∩ Vxy . Fijando x y moviendo y, los Uxycubren a X. Por la compacidad, existen y1 , . . . , yn tales que X =

⋃k∈In Uxyk . Como A era

cerrada por minimax, tenemos que el maximo fx =∨k∈In fxyk ∈ A. Esta fx cumple que

f(z)− fx(z) < ε =⇒ f(z) < fx(z) + ε para todo z ∈ X .

Pero tambien vale que fx(z) < f(z) + ε, al menos para los z ∈ Wx =⋂k∈In Vxyk . Ahora se

cubre a X con estos abiertos Wx , y se encuentran x1 , . . . , xm tales que X =⋃k∈ImWxk .

Podemos armar ahora la fε =∧k∈Im fxk ∈ A y comprobar que

fε(z)− ε < f(z) < fε(z) + ε para todo z ∈ X .

Lema 3.6.2. Sea (X, τ) un ET compacto Hausdorff. Si A v CR(X) es una subalgebracerrada (con la ‖ · ‖∞), entonces A es cerrada por minimax.

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Demostracion. Observar que se pueden obtener los maximos y mınimos con este curro:

f ∨ g =f + g + |f − g|

2y f ∧ g =

f + g − |f − g|2

.

Luego, para ver que A es cerrada por minimax, alcanzarıa mostrar que es cerrada por “tomarmodulos”. Pero si f ∈ A, tenemos que |f | = (f 2)1/2. Como A era subalgebra, f 2 ∈ A. Asıque lo que hay que probar es que si 0 ≤ g ∈ A, entonces g1/2 ∈ A. Esto se hace extrapolandoun curro de Analisis I. Veamos.

Dado un ε > 0, tomemos la funcion h : [0, 1]→ R dada por h(t) = (t+ε2)1/2, t ∈ [0, 1]. Estah tiene un desarrollo en serie de potencias que le converge uniformemente en el intervalo[0, 1]. Para ello basta desarrollar en el punto medio t = 1/2. Esto da un caso particular deWeierstrass, o sea que existe un polinomio P ∈ R[x] tal que ‖h− P‖∞ < ε (en el [0, 1]). Enparticular vale que |P (0)| < 2 ε. Luego Q = P − P (0) ∈ R[x] tambien aproxima. Pero tienela ventaja de que, al no tener termino constante, cumple que Q(g) ∈ A para toda g ∈ A.Fijemos ahora una 0 ≤ g ∈ A con ‖g‖∞ ≤ 1, por lo que g(X) ⊆ [0, 1]. Entonces,

‖Q(g)− g1/2‖∞ = supx∈X

∣∣P (g(x) )− P (0)− g(x)1/2∣∣ ≤ sup

x∈[0,1]

∣∣P (t)− P (0)− t1/2∣∣

≤ 2ε+ supx∈[0,1]

∣∣ [P (t)− h(t)]− [h(t)− t1/2]∣∣

≤ 3ε+ supx∈[0,1]

∣∣(t+ ε2)1/2 − t1/2∣∣ ≤ 4ε .

Achicando con constantes y usando que A es ‖ ·‖∞-cerrada, sale que A es cerrada por tomarraıces cuadaras. Por todo lo anterior, tambien para minimax.

Teorema 3.6.3 (Stone-Weierstrass). Sea (X, τ) un ET compacto Hausdorff. Si tenemosuna subalgebra A ⊆ C(X) que cumple las siguientes condiciones:

1. Es cerrada por tomar conjugacion (f ∈ A =⇒ f ∈ A).

2. Las funciones constantes viven en A.

3. Separa puntos de X (si x 6= y ambos en X, existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y) ).

Entonces A es ‖ · ‖∞-densa en C(X).

Demostracion. Llamemos AR = A ∩ CR(X). Antes que nada, si f ∈ A, tanto su parte realcomo su parte imaginaria se quedan en AR , por la condicion 1.

Su clausura B = AR‖·‖∞ es ahora una subalgebra cerrada de CR(X), por lo que se aplica

el Lema 3.6.2 y B es cerrada por minimax. Pero B tambien separa puntos de X (las partesreales o imaginarias de las de A ya lo hacen).

Para ver que A es densa nos alcanza mostrar que B = CR(X). Y para mostrar esto, bastaver que toda f ∈ CR(X) cumple (respecto de B) las hipotesis del Lema 3.6.1, porque B ya

99

es cerrada y tomar lımites no le agrega nada. Fijemos entonces una f ∈ CR(X) y tomemosx, y en X tales que f(x) 6= f(y) (sino “toco” a f en x e y con la funcion f(x)1 ∈ B). ComoB separa puntos, existe una g ∈ B tal que g(x) 6= g(y). Cambiando g por λ g ∈ B (λ ∈ R),podemos asumir que g(x)− g(y) = f(x)− f(y). Luego

h = g +(f(x)− g(x)

)1 ∈ B cumple que h(x) = f(x) y h(y) = f(y) .

En resumen, hay funciones de B que tocan (mas que aproximan) a f en cualquier par depuntos. Por el Lema 3.6.1 llegamos a que CR(X) = B por lo que A es densa en C(X).

Corolario 3.6.4. Sea (X, τ) un ET que es LKH. Sea A ⊆ C0(X) una subalgebra que cumplelas siguientes condiciones:

1. Es cerrada por tomar conjugacion (f ∈ A =⇒ f ∈ A).

2. Separa puntos de X (si x 6= y ambos en X, existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y) ).

3. Para todo x ∈ X existe f ∈ A tal que f(x) 6= 0.

Entonces A es ‖ · ‖∞-densa en C0(X).

Demostracion. Metamos a X en su compactado X = X ∪ ∞. Metamos tambien el parA ⊆ C0(X) → C(X), haciendo f(∞) = 0. Ahora consideremos el algebra A1 = A ⊕ C1pensada dentro de C(X). Para ver que A1 cumple las tres condiciones del Teo. 3.6.3, solofalta que separe al ∞ de los puntos de X. Eso se consigue con alguna f ∈ A porque todasellas cumplen que f(∞) = 0, pero tenemos la condicion 3.

Por el Teor. de S-W 3.6.3, ya sabemos que A1 es densa en C(X). Ahora, si fijamos unaf ∈ C0(X) ⊆ C(X) y un ε > 0, existe una h = g + λ1 ∈ A1 tal que ‖f − h‖∞ < ε. Pero|λ| = |h(∞)| = |f(∞)− h(∞)| < ε. Por lo tanto ‖f − g‖∞ < 2 ε, con g ∈ A.

Ejemplos 3.6.5. Si en el Teor. de SW 3.6.3 trabajamos con una A ⊆ CR(X), para quesea densa en CR(X) alcanza que A cumpla las condiciones 2 y 3 (separa puntos y tieneconstantes). Esto sale haciendo de nuevo la cuenta, o fijandose que eso era lo que cumplıala AR de allı. Lo mismo vale para el Teo. 3.6.4 si A ⊆ C0(X,R) para un X que es LKH.

Ya contamos que el teorema de Weierstrass decıa que los polinomios de R[x] son uniforme-mente densos en CR([a, b]) para cualquier intervalo cerrado (idem con C[x] en C[a, b]) ). Estoes porque 1 ∈ R[x] y x ∈ R[x], y con ellos alcanza.

Otro caso es el de las f ∈ C(R) que son 2π periodicas. Ellas se pueden identificar conC(S1) (enrrollandolas). Allı el denso posta son los polinomios en z y z (z ∈ C). Observarque no hay productos mezclados porque z z ≡ 1 en S1. Es facil ver que, volviendo a R,quedan los llamados polinomios tigonometricos (en sennx y cosnx). Es interesante observarque, si bien la serie de Fourier de una f periodica continua no siempre aproxima bien a f(uniformemente), sı hay siempre alguna sucesion de polis trigos que lo hace.

Veamos un ejemplo famoso en que no hay densidad porque falla la condicion “cerrada porconjugacion”. Sea B = D = z ∈ C : |z| ≤ 1, el disco cerrado en C. Consideremos

100

A(D) ⊆ C(B) el algebra de las f ∈ C(B) que son holomorfas en D. Es sabido (y facil deprobar) que A(D) es cerrada para la ‖·‖∞ , aunque separa puntos y tiene a las constantes. Dehecho, A(D) es la clausura del algebra de polinomios C[z] que tambien cumple aquello, perono llega a ser densa en todo C(B). Lo que les falta es z. Por ello, como antes la subalgebraque sirve para C(B) es C[z, z]. 4

3.7 Series de Fourier.

Sea B = vi : i ∈ I una BON de un Hilbert H y tomemos un elemento x ∈ H. Loscoeficientes 〈x , vi〉 que, segun el Teo. 3.5.5, resultan ser las coordenadas de x en B en la seriede (3.21), se suelen llamar coeficientes de Fourier de x relativos a B. Eso se debe a unejemplo seminal debido al tal Fourier que veremos en seguida.

El ejemplo mas Hilbertiano de BON de un Hilbert es la base canonica EI = ei : i ∈ I delespacio `2(I), donde cada ei es la funcion caracterıstica del conjunto unipersonal i ⊆ I. Lobueno de esa base, y por eso el mote de “canonica”, es que para cada x = (xi)i∈ I ∈ `2(I),sus coeficientes coinciden con sus coordenadas: 〈x , ei〉 = xi para cada i ∈ I.Pero el ejemplo mas famoso, que con mucho es anterior al invento de Hilbert de los espaciosque estamos mostrando, es la BON de Fourier de las funciones 2π-periodicas de R en R, quepodemos pensar como L2([0 , 2π]). Mejor aun, si llamamos T = S1 = z ∈ C : |z| = 1, laspensaremos como L2(T), ya enrolladas. La medida que usaremos en T sera la de Lebesguenormalizada para que m(T) = 1 (o sea la medida de longitud usual, dividida por 2π).

La verdadera BON de Fourier en el cırculo son las funciones

en ∈ L2(T) dadas por en(z) = zn para n ∈ Z y z ∈ T .

Si pensamos a la variable t ∈ [0 , 2π], de tal modo que z = eit, entnces

en(t) = eint = cosnt+ i sennt para n ∈ Z y t ∈ [0 , 2π] .

Por ello, la serie tradicional de Fourier se expresa en terminos de las funciones armonicassennt y cosnt. Para cada f ∈ L2(T), sus coeficientes de Fourier estan dados por

f (n) = 〈f , en〉 =1

2π

∫ 2π

0

f(eit) e−int dt para cada n ∈ Z . (3.26)

Reemplazando f por em , para otro m ∈ Z, y usando que las primitivas de ei(m−n)t valen lomismo en 0 que en 2π siempre que m 6= n, llegamos facilmente a que F = en : n ∈ Z esun SON dentro de L2(T). Cuando veamos que F es una BON de de L2(T), sabremos que

f =∑n∈Z

f (n) en y ‖f‖2 =∑n∈Z

|f (n)|2 para toda f ∈ L2(T) . (3.27)

Esto serıa la Ec. (3.21) y la Ec. (3.22) en este caso, y se llaman igualdades de Bessel yde Parseval. Si tomamos el subespacio P = span F, como z−1 = z para todo z ∈ T,

101

podemos notar de inmediato que resulta ser ni mas ni menos que el conjunto de polinomiosP = P (z , z) : P ∈ C[x, y]. Mas aun, por como z z ≡ 1 en T nos queda que

P =

f(z) =

n∑k=−n

αk zk : n ∈ N y αk ∈ C , −n ≤ k ≤ n

.

Esta es la famosa algebra de polinomios trigonometricos. La prueba de su densidad en L2(T)pasa por usar Stone Weirstrass 3.6.3 en el ambiente intermedio C(T):

Proposicion 3.7.1. La familia F = en : n ∈ Z definida arriba es una BON de L2(T).

Demostracion. Ya vimos que es un SON. Por ello solo necesitamos ver que span F = Pes denso en L2(T). Tambien vimos que P = P (z , z) : P ∈ C[x, y].Observar que esta P es una subalgebra de las continuas C(T). Ademas P contiene a lasconstantes, es cerrada por conjugacion, y separa puntos de T (para ello alcanza el elementoe1(z) = z de F ⊆ P). Como T es un compacto Hausdorff, estamos en las hipotesis del Teor.de Stone-Weierstrass 3.6.3. Luego P es densa en C(T) con la ‖ · ‖∞ y por ello tambien conla ‖ · ‖2 . Queda como ejercicio para el lector integrador culminar el asunto verificando quelas continuas de C(T) son ‖ · ‖2 -densas en el espacio L2(T). Recordar el Ejer. 1.9.34.

Corolario 3.7.2 (Riemman-Lebesgue). Para cualquier f ∈ L2(T), se cumple que sus coefi-cientes de Fourier convergen a cero. En formulas esto se escribe:

f (n) =1

2π

∫ 2π

0

f(eit) e−int dt −−−−→n→±∞

0 .

Demostracion. Basta mirar la iguadad de Parseval que esta en la Ec. (3.27).

Observacion 3.7.3. Hemos visto el Ejemplo 1.8.1 del shift y su adjunto en los espacios`p(N). Ese shift se llama el unilateral. Si bajamos a p = 2, pero subimos a `2(Z), tenemostambien dos shifts bilaterales (correr a la derecha o a la izquierda) que ahora son isomorfismosisometricos, porque como las entradas no se terminan, uno las corre pero ni tacha nada nile quedan ceros sueltos. Pongamosle nombres U , V ∈ L(`2(Z) ), dados por

U x = (xn−1)n∈Z y V x = (xn+1)n∈Z , para cada x = (xn)n∈Z ∈ `2(Z) .

Si ahora pensamos en el iso-iso entre L2(T) y `2(Z) que nos brinda el Teo. 3.5.5 vıa la baseF de Fourier, nos aparece que los shifts de arriba se transforman en hermosos operadores demultiplicacion, como los de 1.8.2. De hecho queda que U ∼= Mz y V ∼= Mz . En efecto,

Mz f (n) =1

2π

∫ 2π

0

eit f(eit) e−int dt =1

2π

∫ 2π

0

f(eit) e−i(n−1)t dt = f (n− 1) ,

porque el Mz actuaba haciendo (Mz f)w = wf(w) para f ∈ L2(T) y w ∈ T. Por lo tantovemos que Mz corre los coeficientes de Fourier de las f de la misma manera que U lo hacecon las coordenadas de los x (que son sus coeficientes en la canonica).

Al tomar el isomorfismo Φ : L2(T)→ `2(Z) de tomar coeficientes, queda que U Φ = ΦMz .Es decir que U = Φ Mz Φ−1. Por una cuenta similar (o porque son los inversos de losanteriores), vemos que V = Φ Mz Φ−1. 4

102

3.7.4. La transformacion L2(T) 3 f 7−→ f ∈ `2(Z) se llama la transformada de Fourier(discreta). Es un hecho general que esta transformada es un isomorfismo isometrico. Ennuestro caso eso sale directamente por el Teo. 3.5.5. Se la puede definir tambien, siguiendola formula (3.26), para funciones de Lp(T), porque las en estan en todos los Lq(T).

Uno de los problemas iniciaticos de lo que hoy se llama analisis armonico fue el estudio de

como converge la serie de Fouriern∑

k=−nf (k) ek a la f original, de acuerdo al Lp(T) en el que

este la f . En los anos 60 se pudo probar que cuando p > 1 hay convergencia en c.t.p. (eso nolo probamos nosotros ni para p = 2, aun ahı es un teoremazo del 67 de Carlesson). Muchoantes Kolmogorov habıa mostrado que no hay tal convergencia para todas las f ∈ L1(T). 4

103

3.8 Ejercicios del Cap. 3 - Espacio de Hibert

Ejercicios aparecidos en el texto3.8.1 (Formulas con un PI). Sea H , 〈· , ·〉 un K-EV con un semi PI asociado.

1. Para todo par x, y ∈ H y todo λ ∈ K se tiene que

0 ≤ ‖λx+ y‖2 = 〈λx+ y , λ x+ y〉 = |λ|2 ‖x‖2 + 2 Re(λ 〈x , y〉

)+ ‖y‖2 . (3.28)

Deducir que ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para todo x ∈ H .

2. Mostrar que la forma sesquilineal se puede recuperar de la cuadratica con la so called “identidad depolarizacion”. Tiene dos versiones: Dados x, y ∈ H, si estamos con K = C,

4 〈x , y〉 =3∑k=0

ik ‖x+ ik y‖2 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i[‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2

], (3.29)

mientras que cuando K = R se tiene una version mas agradable:

4 〈x , y〉 = ‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 . (3.30)

3. Probar la famosısima igualdad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2 para todo par x, y ∈ H . (3.31)

4. Sea n ∈ N y An = −1 , 1n, cuyos elementos llamaremos ε = (ε1 , . . . , εn) ∈ An . Probar que

∑ε∈An

∥∥∥ ∑k∈In

εk xk

∥∥∥2

= 2n∑k∈In

‖xk‖2

para toda n-unpla x1 , . . . , xn en H. Observar que para n = 2 queda (3.31) dos veces. 4

3.8.2. Sea H un EPH. Dado A ⊆ H denotabamos A⊥ = y ∈ H : x ⊥ y para todo x ∈ A. Probar que laflecha A 7→ A⊥ cumple las siguientes propiedades: Para todo A ⊆ H, se cumple que

1. Su ortogonal A⊥ v H (es subespacio y es cerrado).

2. Tambien vale que, si S = span A, entonces A⊥ = S⊥ = S ⊥. 4

3.8.3. Probar la Prop. 3.2.3 (multiPitagoras) para n > 2. 43.8.4. Sea H un EH. Probar que para todo x ∈ H y todo T ∈ L(H) se tiene que

‖x‖ = supy∈BH

|〈x , y〉| y ‖T‖ = supx , y ∈BH

|〈T x , y〉| . 4

3.8.5. A diferencia de las series comunes, probar que cuando E es un Banach,

si x = (xi)i∈ I ∈ EI vale que∑i∈ I‖xi‖ <∞ ⇐⇒

∑i∈ I

xi es convergente . 4

3.8.6. Sea E un EN y asumamos que las series de las familias x = (xi)i∈ I , y = (yi)i∈ I ∈ EI son ambasconvergentes:

∑i∈Ixi = x and

∑i∈Iyi = y. Luego vale que

104

1. La serie∑i∈Ixi + yi es convergente, con suma x+ y.

2. Para cualquier λ ∈ K, queda convergente la serie∑i∈Iλ · xi = λ · x.

3. Si σ : I→ I es biyectiva, la serie∑i∈J

xσ(i) tambien converge a x.

4. Si J ⊆ I y E era un Banach, entonces valen dos cosas:

(a) La subserie∑i∈J

xi tambien converge.

(b) Lo mismo pasa con la otra mitad, y se tiene que x =∑i∈J

xi +∑i∈I\J

xi .

5. Si F es otro EN y T ∈ L(E,F ), entonces T( ∑i∈Ixi

)=∑i∈IT xi .

6. Si E era un EH y z ∈ H, entonces la serie∑i∈I〈xi , z〉 converge hacia 〈x , z〉.

7. Si pasara que E = K, tambien convergen los conjugados:∑i∈Ixi = x. 4

3.8.7. Consideremos el producto cartesiano P =∏i∈IHi de sendos Hilbert’s (Hi , 〈· , ·〉i), cuyos elementos son

las familias x = (xi)i∈ I ∈ P. Definamos el espacio⊕i∈IHi

def=

x ∈ P :∑i∈I‖xi‖2i <∞

,

con el PI y la norma definidos por: Dados x = (xi)i∈ I , y = (yi)i∈ I ∈⊕i∈IHi , se hace

〈x , y⟩

=∑i∈I〈xi , yi〉i y ‖x‖ =

( ∑i∈I‖xi‖2i

)1/2

.

Probar que, con estos atributos,⊕i∈IHi es un EH. Una forma de probarlo es definir ese PI en

∑i∈IHi (las

familias con solporte finito), y luego completar. La otra es hacer la misma cuenta del Ejem. 3.4.3, peroadaptada a los objetos de este caso. El ejercicio es hacer ambas cosas. Probar admas que

1. Cada uno de los Hj se puede incrustrar adentro del porducto⊕i∈IHi poniendo ceros en las otras

entradas.

2. Eso queda lineal e isometrico y se hace la identificacion usual Hj v⊕i∈IHi .

3. Tambien vale que⊕i∈JHi v

⊕i∈IHi siempre que J ⊆ I.

4. Observar que esta identificacion no se podıa hacer en productos de espacios no vectoriales porque nohay “ceros” para elegir en las coordenadas que faltan. 4

3.8.8. Probar que las continuas de C(T) son ‖ · ‖2 -densas en el espacio L2(T).

105

Ejercicios nuevos3.8.9. Sea B : H × K → C una forma sesquilineal (no necesariamente simetrica ni positiva), donde H y Kson dos C-EV’s cualesquiera. Probar que vale la formula de polarizacion:

4B(x , y) =3∑k=0

ik B(x+ ik y , x+ ik y) para todo par (x , y) ∈ H ×K . (3.32)

La novedad sobre (3.29) es que no se le pide nada a B.

Obs: El tema es que al hacer las 4 cuentas, los terminos ik B(x , ik y) = B(x , y), porque el ik sale conjugado,mientras que los ik B(ik y , x) = (−1)k B(y , x), y por eso estos se cancelan. 43.8.10. Sea H un EH real (o sea que K = R). Probar que H×H es un espacio de Hilbert complejo cuandosu estructura lineal y producto interno son definidos del siguiente modo: Dados (x , y) , (u , v) ∈ H ×H,

1. Suma: (x, y) + (u, v) = (x+ u, y + v),

2. Escalares: Si α+ iβ ∈ C, se pone (α+ iβ)(x, y) = (αx− βy, βx+ αy)

3. El PI: 〈(x, y), (u, v)〉 = 〈x, u〉+ 〈y, v〉+ i 〈y, u〉 − i 〈x, v〉.

3.8.11. 1. Sea E un EN. Probar que existe un producto escalar que induce la norma de E (y que hacede E un EPH) si y solo si ‖ ‖ verifica la identidad del paralelogramo:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 (‖x‖2 + ‖y‖2) para todo par x, y ∈ E .

(Sugerencia: Para la vuelta, definir el producto interno via la identidad de polarizacion)

2. Deducir que (`p, ‖ ‖p), si p 6= 2 y (C[0, 1], ‖ ‖∞) no son espacios de Hilbert.

3.8.12. Sobre bases ortonormales:

1. Probar que la canonica enn∈N de `2, donde (en)k = δk , n es una BON de `2.

2. Probar (con detalles) que eint√

2π: n ∈ Z es una BON de L2[−π, π].

3.8.13. Probar que el conjunto xn : n ∈ N0 es LI y genera un subespacio denso en el EH real L2[−1, 1].Probar que su ortogonalizacion de Gram-Schmidt enn∈N0 satisface que

en(x) =( 2n+ 1

2

)1/2

Pn(x) donde Pn(x) =1

2nn!( d

dx

)n (x2 − 1)n

son los polinomios de Legendre. Lo de arriba vale para todo n ∈ N0 y todo x ∈ [−1 , 1].

3.8.14. En (R2, ‖ ‖∞), K = (0, t) : −1 ≤ t ≤ 1 es un convexo cerrado. Si h = ( 12 , 1), probar que existen

infinitos k ∈ K tales que ‖h − k‖ = d(h,K). ¿Que hipotesis del Teorema de proyeccion sobre un convexocerrado no se cumple?

3.8.15. Supongamos que e1, e2, e3, . . . es una base ortonormal de un espacio de Hilbert H y definamos Sdel siguiente modo:

S =

y ∈ H :

∞∑n=1

(1 +

1n

)2

| 〈y, en〉 |2 ≤ 1

.

Probar que S es un conjunto convexo acotado y cerrado que no posee un elemento con norma maxima. 4

Un U ∈ L(H) es unitario si es un iso isometrico sobre. Llamaremos U(H) = U ∈ L(H) : U es unitario .3.8.16. Sea H un EH. Probar que

106

1. Si B = vi : i ∈ I es una BON de H, entonces un

U ∈ L(H) es unitario ⇐⇒ U vi : i ∈ I es otra BON de H .

2. Mas aun, si C = wi : i ∈ I es cualquier otra BON de H, entonces existe un

U ∈ U(H) tal que U vi = wi para todo i ∈ I .

3. El conjunto U(H) es un subgrupo cerrado de Gl (H). ¿Es compacto?

4. Dado A ⊆ H convexo y cerrado, sea U(A) = U ∈ U(H) : U(A) = A. Luego

AU(A) def= y ∈ A : Uy = y para todo U ∈ U(A) 6= ∅ . 4

3.8.17. Sea H un EH. Fijemos S ,M v H tales que dimS < ∞ y que dimS < dimM. Probar que conesas condiciones debe cumplirse que S⊥ ∩M 6= 0. 43.8.18. El “cubo de Hilbert” de `2(N) es el conjunto

Q =

x = (xn)n∈N ∈ CN : |xn| ≤1n

para todo n ∈ N⊆ `2(N) .

Probar que Q es convexo y compacto (con la norma). Realizar a Q = T (BE) para ciero T ∈ L(E , `2) dondeE es algun EB. De paso calcular ‖T‖. 43.8.19 (Repaso del texto). Sea H un EH. Dado S v H un subespacio propio, probar que

1. Existe x ∈ H \ S tal que x⊥S. Es decir que S⊥ = x ∈ H : x⊥S 6= 0.

2. Se tiene que S⊥ v H y S ⊕ S⊥ = H.

3. Para estos S vale que (S⊥)⊥ = S.

4. Dar contraejemplos de (2) y (3) si S no es cerrado.

3.8.20. En `2(N) sea S = x ∈ `1(N) :∑n∈N

xn = 0. Probar que S es un subespacio denso de `2(N).

Observar que si lo pensamos dentro de `1(N), se tiene que S v `1(N), porque S = ker ϕ1 .

3.8.21. Sea H un EH. Si xn : n ∈ N una BON de H y C = yn : n ∈ N es un SON en H que verifica∑n∈N

‖xn − yn‖2 < 1 =⇒ C era otra BON de H . 4

3.8.22. Sea H un EH. Probar que si x ∈ H es unitario, entonces es un punto extremal de la bola unidad.

3.8.23. Sean µ y ν medidas positivas y finitas sobre un espacio (X,Σ) tales que ν << µ. Probar que

1. Vale que L2(µ+ ν) ⊆ L2(µ) (¿Que pasa con coincidir en c.t.p. ?).

2. La funcional ϕ dada por L2(µ) 3 f 7→ ϕ(f) =∫Xf dµ , no solo esta bien definida sino que ϕ ∈ L2(µ)∗.

¿Cual es la h ∈ L2(µ) que la realiza vıa el Teor. de Riesz?

3. Si restringimos ϕ a L2(µ+ ν) queda mas acotada que antes, al pensarla con la norma de L2(µ+ ν).¿Que relacion existe entre dν

dµ y la funcion g ∈ L2(µ+ ν) que la realiza ahora? 4

107

Capıtulo 4

Operadores en espacios de Hilbert

Dados H1 y H2 dos EH’s, denotabamos por L(H1 , H2) al EB de operadores acotados entreellos. Dado T ∈ L(H1 , H2), su norma era

‖T‖ = supx∈BH1

‖T x‖H2= mınM ≥ 0 : ‖T x‖H2

≤M‖x‖H1para todo x ∈ H1 .

Si ahora fijamos un Hilbert H y trabajamos en L(H) = L(H , H), le daremos un nuevonombre a los isomorfismos que estan en L(H). De hecho, como L(H) es una K-algebra,a partir de ahora pasaran a llamarse operadores inversibles. Observar que, de existir suinverso T−1, el TFI 2.3.4 asegura que T−1 tambien vive en L(H), por lo que es su inversopara el producto del algebra L(H) (que es la composicion). Denotaremos por

Gl (H) =T ∈ L(H) : kerT = 0 y R(T ) = H

=T ∈ L(H) : existe T−1 ∈ L(H)

.

Es importante remarcar que Gl (H) es un grupo con el producto de L(H). De hecho es muchomas que eso. Mas adelante veremos que Gl (H) es abierto en L(H).

4.1 El adjunto.

A los operadores de L(H1 , H2) se les puede aplicar la teorıa de los adjuntos que vimosen la seccon 2.6. Sin embargo, en vista del Teor. de Riesz 3.3.1, definiremos a los adjuntosoperando en los mismos EH’s y no en sus duales. Por simplicidad de la presentacion, y porquees el caso mas importante, lo haremos en principio solo para endomorfismos de un L(H),donde H es un EH con respecto al cuerpo C. Dejaremos como ejercicio la generalizacion alcaso de operadores en L(H1 , H2) con el cuerpo K.

Definicion 4.1.1. SeaH un EH, y sea B : H×H → K una forma sesquilineal (FS). Diremosque B es acotada (y B sera una FSA) si existe una M ≥ 0 tal que

|B(x , y)| ≤ M ‖x‖ ‖y‖ para todo par x , y ∈ H .

La norma de B sera la mejor tal constante: ‖B‖ = supx , y∈BH

|B(x , y)|. Al espacio (normado)

de todas estas FSA’s lo denotaremos por Sq(H). 4

108

El siguiente resultado, conocido como el Teor. de Lax-Milgram, dice que como pasa endimension finita donde las sesquilineales estan dadas por una matriz (o sea un operador),las B ∈ Sq(H) para un Hilbert H tambien se representan con un operador de L(H).

Proposicion 4.1.2. Sea H un EH. La flecha L(H) 3 T 7→ BT ∈ Sq(H) dada por la formula

BT (x , y) = 〈T x , y〉 para todo par x , y ∈ H , (4.1)

define un isomorfismo isometrico entre esos Banach’s. Es decir que toda sesquilineal acotadaen H proviene de un T ∈ L(H) (de la misma norma) vıa el PI.

Demostracion. La linealidad sale facil. Para ver que es isometrica (en particular que es monoy que cada BT es una FSA) basta recordar que para todo T ∈ L(H)

‖T‖ (3.12)= sup

x , y ∈BH|〈T x , y〉| def

= ‖BT‖ .

Para mostrar que es epi, fijemos una B ∈ Sq(H). Para cada x ∈ H tenemos la funcional

φx ∈ H∗ dada por φx(y) = B(x , y) para y ∈ H ,

que tiene norma no mayor que ‖B‖ ‖x‖. Observar que cada funcional φx esputa bien losescalares que multiplican al y porque se los conjuga dos veces. Por el Teor. de Riesz 3.3.1debe existir un (unico) vector que habilmente llamaremos

T x ∈ H tal que ‖T x‖ = ‖φx‖ y φx(y) = 〈y , T x〉 para todo y ∈ H .

Luego llegamos a la igualdad que necesitamos:

B(x , y) = φx(y) = 〈y , T x〉 = 〈T x , y〉 para todo par x , y ∈ H .

La flecha x 7→ T x es claramente lineal, porque al multiplicar al x por un λ ∈ K, al sacarlose lo conjuga dos veces: una al hacer φλx y la otra la del Teor. de Riesz. Ademas vimos que‖T x‖ = ‖φx‖ ≤ ‖B‖ ‖x‖, por lo que T ∈ L(H) y B = BT . Final de la porfıa.

Observacion 4.1.3. Hay una consecuencia trivialonga de la Prop. 4.1.2, que sin embargoes una de las cosas que mas se usa en la practica: Dados S , T ∈ L(H) vale que

〈S x , y〉 = 〈T x , y〉 para todo par x , y ∈ H =⇒ S = T . (4.2)

No es otra cosa que la inyectividad de la flecha del Prop. 4.1.2. En particular dice que sitodos los 〈T x , y〉 = 0 entonces T = 0. Si K = C se puede mejorar esta condicion: 4

Corolario 4.1.4. Sea H un EH. Se asume que K = C. Dados T , S ∈ L(H) se tiene que

〈S x , x〉 = 〈T x , x〉 para todo x ∈ H =⇒ S = T . (4.3)

109

Proof. Hace falta mejorar la polarizacion vista en (3.2): Dados x , y ∈ H, vale que

4B(x , y) =3∑

k=0

ik B(x+ ik y , x+ ik y) para toda B ∈ Sq(H) . (4.4)

Es importante aclarar que no se asume que B sea simetrica como en (3.2). La Ec. (4.4) ya seplanteo en el Ejer. 3.8.9 con una ayuda mas que suficiente, ası que la aceptaremos (tambienvale hacer la cuenta, que sale). Poniendo B(x , y) = 〈 (T −S)x , y 〉 para todo par x , y ∈ Hvemos que usando (4.4) sale que (4.3) =⇒ (4.2) =⇒ S = T .

Observacion 4.1.5. Observar que en cambio, la polarizacion real vista en (3.3) sı usa la

simetrıa y no hay tu tıa: La matriz

[0 1−1 0

]∈ L(R2) nos muestra que la Ec. (4.3) falla

cuando K = R. ¿Porque no falla si a esa matriz la pensamos en L(C2)? 4

Teorema 4.1.6. Sea H un EH. Para todo T ∈ L(H) existe un unico T ∗ ∈ L(H) tal que

〈T x , y〉 = 〈x , T ∗ y〉 para todo par x , y ∈ H . (4.5)

Ademas, se cumplen las siguientes propiedades: Dados T, S ∈ L(H), se tiene que

1. (TS)∗ = S∗T ∗ y (T ∗)∗ = T .

2. ‖T ∗‖ = ‖T‖ y ‖T ∗T‖ = ‖T‖2.

3. La flecha T 7→ T ∗ es antilineal y, por lo de arriba, isometrica sobre e involutiva.

4. En particular, Tn −−−→n→∞

T =⇒ T ∗n −−−→n→∞

T ∗.

Demostracion. Dado T ∈ L(H), tomemos la B ∈ Sq(H) dada por B(x , y) = 〈x , T y〉, paracada par x , y ∈ H. El testeo de que efectivamente B ∈ Sq(H) con ‖B‖ ≤ ‖T‖ es directo.Llamemos T ∗ ∈ L(H) el operador asociado a B que da el Teo. 4.1.2. Luego se tiene que

〈y , T x〉 = B(y , x) = 〈T ∗ y , x〉 conjugar=⇒ 〈T x , y〉 = 〈x , T ∗ y〉 para todo par x , y ∈ H .

La unicidad del T ∗ sale de la Ec. (4.2). Sean ahora S , T ∈ L(H).

〈TS x , y〉 = 〈S x , T ∗ y〉 = 〈x , S∗T ∗ y〉 para todo x , y ∈ H unicidad=⇒ (TS)∗ = S∗T ∗ .

Por otro lado, por la Ec. (4.5) sale que para todo par x , y ∈ H se tiene que

〈T ∗∗ x , y〉 = 〈y , T ∗∗ x〉 = 〈T ∗ y , x〉 = 〈x , T ∗ y〉 = 〈T x , y〉 (4.2)=⇒ T ∗∗ = T .

Para el item 2 hagamos la siguiente cuenta: Para cualquier x ∈ BH vale que

‖T x‖2 = 〈T x , T x〉 = |〈x , T ∗T x〉| ≤ ‖T ∗T‖ ‖x‖2 ≤ ‖T ∗T‖ .

110

Deducimos que ‖T‖2 ≤ ‖T ∗T‖ ≤ ‖T ∗‖ ‖T‖ (la ultima vale siempre con un producto). Estadesigualdad implica las dos del item 2. Primero que ‖T‖ ≤ ‖T ∗‖ (para todo T ∈ L(H) ),por lo que tambien ‖T ∗‖ ≤ ‖T ∗∗‖ = ‖T‖. Mirando arriba llegamos a que ‖T‖2 = ‖T ∗T‖.La antilinealidad es trivial y se deja como ejercicio para el lector obsesivo.

Observar que dados T ∈ L(H) y dos vectores x , y ∈ H, tambien vale que

〈x , T y〉 = 〈T y , x〉 = 〈y , T ∗ x〉 = 〈T ∗ x , y〉 .

Ası que, al cambiar T por T ∗, se lo puede pasar libremente hacia cualquiera de los dos ladosdel PI. Usaremos esa herramienta hasta el cansancio en todo el texto. Otra cosa que se usarasin mas aclaraciones es que I∗ = I. Si uno mira (4.5) no lo duda ni un segundo.

Proposicion 4.1.7. Sea H un EH. Dado un T ∈ L(H) se tienen las siguientes igualdades:

ker T ∗ = R(T )⊥ y R(T ∗) = (kerT )⊥ . (4.6)

Demostracion. Veamos primer la formula para el nucleo. Dado un x ∈ H, se tiene que

x ∈ R(T )⊥ ⇐⇒ 〈x , T y〉 = 0 para todo y ∈ H

⇐⇒ 〈T ∗ x , y〉 = 0 para todo y ∈ H

⇐⇒ T ∗ x = 0 .

Luego R(T )⊥ = ker T ∗. Aplicando esta igualdad a T ∗ ∈ L(H), nos queda que

R(T ∗)⊥ = kerT ∗∗ = kerT =⇒ R(T ∗)3.2.7=

(R(T ∗)⊥

)⊥= (kerT )⊥ .

En la Prop. 2.6.12 vimos el siguiente resultado para los viejos adjuntos que operaban enlos duales. Lo reprobamos ahora con las tecnicas Hilbertianas para este contexto. Antesadelantemos una notacion: Llamaremos A(H)

def= A ∈ L(H) : A∗ = A (los autoadjuntos).

Corolario 4.1.8. Sean H un EH y T ∈ L(H). Las suguientes condiciones son equivalentes:

1. Nuestro T ∈ Gl (H).

2. Su adjunto T ∗ ∈ Gl (H).

3. Tanto T como T ∗ son AI (acotados inferiormente).

4. Ambos dos T y T ∗ son monos y tienen sus rangos cerrados.

Si todo esto pasa, vale que (T ∗)−1 = (T−1)∗. O sea que invertir y adjuntar conmutan. Estodice, en particular que si T ∈ A(H) ∩ Gl (H) =⇒ T−1 ∈ A(H).

111

Demostracion. Si T ∈ Gl (H) entonces T−1 T = I4.1.6=⇒ T ∗ (T−1)∗ = I∗ = I. Analogamente

se ve que T T−1 = I =⇒ (T−1)∗ T ∗ = I. O sea que (T−1)∗ es el inverso de T ∗. Si aplicamosesto a T ∗ y asumimos que T ∗ ∈ Gl (H), como T ∗∗ = T ya tenemos que 1 ⇐⇒ 2.

Ya hemos visto que si T ∈ Gl (H) =⇒ T es AI. La cota inferior era ‖T−1‖−1. En el mismolugar, la Ec. (2.25), vimos que AI ⇐⇒ mono y rango cerrado (se usa que H es completo).Por lo tanto el tandem de 1 y 2 implica el de 3 ⇐⇒ 4.

Si ahora asumimos 4, tenemos que kerT ∗ = 0 y ademas que R(T ∗) = (kerT )⊥ = H,porque tambien T era mono. Llegamos a que R(T ∗) es denso y cerrado. En resumen, yasabemos que T ∗ es mono + epi, o sea que T ∗ ∈ Gl (H).

Ejemplos 4.1.9.

1. Sea H = Cn con su PI tradicional. Fijemos B = v1 , . . . , vn una BON de Cn. Acada T ∈ L(Cn) se le asigna vıa B una matriz A = [T ]B ∈Mn(C) dada por

Aij = 〈Tvj , vi〉 para cada par i , j ∈ In .

Esto hace que las coordenadas de T x sean el producto de matrices [T ]B [x]B , donde[x]B es el vector columna de entradas 〈x , vj〉, para j ∈ In . Observar que la columnaj-esima de A tiene a los coeficientes de Fourier de T vj . Como uds. seguro ya saben,la matriz B = [T ∗]B se calcula usando la de T : Basta hacer

Bij = 〈T ∗vj , vi〉 = 〈vj , T vi〉 = Aji para i , j ∈ In =⇒ B = At .

O sea que al fijar una BON de Cn, el proceso de adjuntar un operador de L(Cn) consisteen transponer y conjugar su matriz.

En presencia de una BON “larga” de un Hilbert H cualquiera, se puede hacer la matriz(infinita) igual que arriba, y opera bien el las columnas largas de coeficientes de losx ∈ H. Tambien sale que adjuntar es transponer y conjugar. Pero no es tan util comoen el caso finito, porque es difıcil saber cuando una de esas supermatrices proviene ono de un operador acotado. Mas adelante veremos algunos criterios al respecto. Porejemplo el llamado “test de Schur” del Ejer. 4.7.21.

2. Sea ahora H = `2 y S, T ∈ L(`2) los shifs del Ejem. 1.8.1. Una cuenta directa muestraque T = S∗. De hecho, de sus definiciones se desprende que

〈Sx , y〉 = 〈x , T y〉 =∑n∈N

xn yn+1 para los x = (xn)n∈N , y = (yn)n∈N ∈ `2 .

Si miramos ahora los bilaterales U, V ∈ L(`2(Z) ) definidos en la Obs. 3.7.3, es igual defacil ver que V = U∗. La suma es la misma de arriba, pero con n ∈ Z.

3. Sea ahora f ∈ L∞ (para X,Σ , µ fijos) y Mf ∈ L(L2) el operador de multiplicacionMf g = f g para g ∈ L2, definido en el Ejem. 1.8.2. Como los Mf son los analogosa las matrices diagonales, era de esperar que Mf

∗ = Mf . La verificacion es directa

mirando las integrales, ya que (fg)h = g( f h ).

112

4. En los operadores nucleares del Ejem. 1.8.3, si k(s, t) ∈ L2(X × X) y tomamos elnuclear Tk , entonces Tk

∗ = Tk∗ , donde k∗(s, t) = k(t, s) para s, t ∈ X. La pruebano es mas que aplicar un Fubini adecuado a funciones de L1. Observar la analogıa deestas formulas con la idea de transponer y conjugar matrices.

4.2 Clases de operadores.

Usando que dado un T ∈ L(H), su T ∗ tambien vive en el algebra L(H), podemos hacerlosinteractuar. Eso enriquece notablemente la teorıa de operadores en EH’s por sobre la de EB’s.A los distintos comportamientos interactivos de T y T ∗ se les pondra distintos nombres, todosellos ya conocidos de las matrices.

Definicion 4.2.1. Sean H un EH y T ∈ L(H). Diremos que T es:

1. Normal si TT ∗ = T ∗T , o sea si T y T ∗ conmutan.

2. Autoadjunto o Hermitiano si T = T ∗. Denotaremos por

A(H) = T ∈ L(H) : T = T ∗ ,

que es un R-subespacio cerrado de L(H).

3. Positivo (se escribe T ≥ 0) si T ∈ A(H) y 〈Tx , x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H. Denotaremos

L(H)+ = T ∈ L(H) : T ≥ 0 ,

que es un cono convexo cerrado dentro de A(H).

4. Su interior es el conjunto Gl (H)+ de los estrictamente positivos (va como T > 0),que son aquellos T ∈ L(H)+ tales que 〈Tx , x〉 ≥ c‖x‖2 para cierto c > 0.

5. Isometrico si T ∗T = I. Ya veremos que la notacion es consistente.

6. Isometrıa parcial si (T ∗T )2 = T ∗T . Eso significa que T ∗T ∈ P(H).

7. Unitario si T ∈ Gl (H) y T−1 = T ∗. Denotaremos por

U(H) = T ∈ L(H) : T es unitario ⊆ Gl (H) ,

que es un subgrupo de Gl (H). Es cerrado por composiciones porque tanto adjuntarcomo invertir dan vuelta el producto. 4

A continuacion viene una serie de caracterizaciones alternativas elementales de las clasesrecien definidas de operadores. Recordemos la Ec. (4.3) del Cor. 4.1.4 que decıa que, paraque un T ∈ L(H) sea nulo, alcanza con ver que 〈T x , x〉 = 0 para todo x ∈ H. Por supuesto,vimos que eso solo vale si K = C. Esta sera la herramienta clave para lo que viene ahora.

113

4.2.2. Sean H un EH sobre C y T ∈ L(H). Empecemos con los normales:

T es normal ⇐⇒ ‖T x‖ = ‖T ∗ x‖ para todo x ∈ H . (4.7)

En efecto, ambas implicaciones salen usando (4.3) y observando la siguiente igualdad:

‖T x‖2 − ‖T ∗ x‖2 = 〈T x , T x〉 − 〈T ∗ x , T ∗x〉 = 〈 (T ∗T − TT ∗)x , x〉

para todo x ∈ H. Observar que la Ec. (4.7) dice en particular que

T es normal =⇒ kerT = kerT ∗(4.6)=⇒ kerT = R(T )⊥ . (4.8)

Con respecto a los autoadjuntos tenemos otra buena:

T ∈ A(H) ⇐⇒ 〈T x , x〉 ∈ R para todo x ∈ H . (4.9)

Esta sale porque 〈 (T − T ∗)x , x〉 = 〈T x , x〉 − 〈T x , x〉 para todo x ∈ H. En particular

T ∈ L(H)+ ⇐⇒ 〈T x , x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H , (4.10)

porque lo de la derecha ya sabemos que asegura que T ∈ A(H). Una formula semejante valetambien para chequear si T > 0. Usando esto salen facil las afirmaciones de arriba de queL(H)+ es un cono convexo y cerrado dentro de de A(H), y que Gl (H)+ es exactamente elinterior de L(H)+. Hay una forma usual de exhibir positivos:

Si B ∈ L(H) =⇒ B∗B ∈ L(H)+ . (4.11)

La prueba surge de que 〈B∗B x , x〉 = 〈B x , B x〉 = ‖B x‖2 ≥ 0 para todo x ∈ H. Enrealidad vale que todo positivo es como los de (4.11), pero todavıa nos falta data paraprobarlo. Veamos ahora que las isometrıas U ∈ L(H) son lo que son:

U es una isometrıa (i.e. U∗U = I) ⇐⇒ ‖U x‖ = ‖x‖ para todo x ∈ H . (4.12)

Como antes, esto se deduce de (4.3) y de que cada ‖U x‖2−‖x‖2 = 〈 (U∗U − I)x , x〉. Otracaracterizacion, si bien es bastante obvia, es sumamente util en las aplicaciones:

U es una isometrıa ⇐⇒ 〈U x , U y〉 = 〈x , y〉 para todo par x , y ∈ H . (4.13)

Es decir de dos maneras que U∗U = I. Vamos ahora hacia los unitarios:

U ∈ U(H) (i.e. U∗ = U−1) ⇐⇒ U es una isometrıa sobre . (4.14)

En realidad, es una consecuencia de (4.12), porque al asumir que U ∈ Gl (H), un inverso aizquierda tiene que ser EL inverso de U . Observar que los U ∈ U(H) son normales.

Falta decir algunas cosas sobre las isometrıas parciales, pero hace falta avanzar un pocomas para poder hacerlo, ası que esperen un poco. No olvidemos remarcar que casi todas lasimplicaciones ⇐ de esta lista fallan si K = R, aunque las ⇒ valen en general. 4

114

Recordemos que, si H es un EH, llamabamos P(H) = E ∈ L(H) : E2 = E. Ahoracaracterizaremos una subclase especial de P(H).

Proposicion 4.2.3. Sean H un EH y P ∈ P(H). Llamemos S = R(P ) v H. Ahorapodemos agregar nuevas condiciones a la Ec. (3.10): Son equivalentes

1. P = PS , es decir que kerP = S⊥.

2. ‖P‖ = 1.

3. P ∈ L(H)+.

4. P ∈ A(H), o sea que P ∗ = P .

5. P es normal.

Demostracion. Vimos en la Ec. (3.10) que 1 ⇐⇒ 2. Si asumimos ahora que P = PS y medan cualquier x = y + z ∈ S ⊕ S⊥ = H, entonces

〈P x , x〉 = 〈y , y + z〉 = 〈y , y〉 ≥ 0(4.10)=⇒ P ∈ L(H)+ .

Hemos visto que L(H)+ ⊆ A(H) ⊆ los normales. Pero si P fuera normal, entonces laEc. (4.8) ya nos da que kerP = kerP ∗ = R(P )⊥ = S⊥. Y quedo todo enrrollado.

4.2.4. Es usual restrigir la palabra “proyector” para los de la Prop. 4.2.3. Tambien se losbate proyectores ortogonales o autoadjuntos. Hay una formulita abreviada para describirlos:

Un P ∈ L(H) es un tal proyector ⇐⇒ P = P ∗P

(lo ultimo incluye la info de que P 2 = P ) En adelante denotaremos por

P(H) = P ∈ L(H) : P = P ∗P = P ∈ P(H) : P = P ∗ (4.15)

al espacio de todos los proyctores (autoadjuntos) de L(H). Observar que P(H) ⊆ BH yque el conjunto P(H) esta en correspondencia biunıvoca con la “Grasmanniana” de H, queconsta de todos los S v H.

Los E ∈ P(H) que solo cumplen que E2 = E se quedan con otros nombres. A veces lesdiremos proyectores oblicuos. Otras idempotentes a secas. 4

4.2.5 (Partes real e imaginaria). Sean H un EH y T ∈ L(H). Denotaremos por

Re T =T + T ∗

2∈ A(H) e Im T =

T − T ∗

2 i∈ A(H) . (4.16)

Es facil ver que ellos son los unicos A,B ∈ A(H) tales que T = A+ i B.

Se suele decir que un C ∈ L(H) es antihermitiano si C∗ = −C. Es facil ver que elconjunto de tales operadores coincide con iA(H), o sea que todo C antihermitiano cumpleque C = i B para algun B ∈ A(H). Lo que decıamos arriba se expresa como que

L(H) = A(H) ⊕ iA(H) , (4.17)

y que T 7→ Re T y T 7→ i Im T son las dos proyecciones (R-lineales) asociadas. Observarque ambas son contractivas, o sea que ‖Re T‖ ≤ ‖T‖ y lo mismo con las partes Im’s. 4

115

Ejercicio 4.2.6. Sea T ∈ L(H). Probar que

T es normal ⇐⇒ A = Re T conmuta con B = Im T , (4.18)

y que en tal caso T ∗T = TT ∗ = A2 +B2. Suena conocido, no? 4

4.3 Positivos.

4.3.1. Venıamos diciendo que L(H)+ es un cono cerrado dentro de A(H). Aclaremos yusemos aquello. El conjunto L(H)+ cumple, dentro del R-EV ambiente A(H), que

(a) Es cerrado (con la norma).

(b) Es cerrado por sumas y por multiplicacion por escalares positivos.

(c) Es convexo, i.e., A,B ∈ L(H)+ y λ ∈ [0, 1] =⇒ λA+ (1− λ)B ∈ L(H)+.

(d) Para todo A ∈ A(H) se tiene que A+ ‖A‖ I ∈ L(H)+ y que

A+ µ I ∈ Gl (H)+ para todo µ > ‖A‖ .

Las tres primeras porpiedades se deducen inmediatamente de la Ec. (4.10). La cuartatambien, si uno se aviva de usar que para todo A ∈ A(H) y todo x ∈ H vale que

|〈Ax , x〉| ≤ ‖Ax‖ ‖x‖ = ‖A‖ ‖x‖2 = ‖A‖ 〈x , x〉 =⇒⟨

(A+ ‖A‖ I)x , x⟩≥ 0 .

Con todas esas propiedades es evidente que podemos definir el siguiente orden en A(H):

Dados A,B ∈ A(H) decimos que A ≤ B si B − A ∈ L(H)+ . (4.19)

Esto es un orden (es antisimetrico, reflexivo y transitivo). Pero este orden no es total(pensar en matrices 2×2) y ni siquiera es un reticulado (no siempre hay supremos e ınfimos,ni siquiera de a dos operadores). Observar que, dados A,B ∈ A(H), se tiene que

A ≤ B ⇐⇒ 〈Ax , x〉 ≤ 〈B x , x〉 para todo x ∈ H . (4.20)

Las mejores propiedades de este orden necesitan de la “raız cuadrada” positiva de los oper-adores positivos, que veremos mas adelante. Pero empecemos por lo mas facil: 4

Proposicion 4.3.2. Sea H un EH. Dados A,B ∈ A(H) tales que A ≤ B, se tiene que

1. Para cualquier T ∈ L(H) tambien T ∗AT ≤ T ∗BT .

2. Si ademas pasaba que A ∈ L(H)+, entonces ‖A‖ ≤ ‖B‖.

3. A cualquier A ∈ A(H) se lo ensangucha con multiplos de la identidad:

−‖A‖ I ≤ A ≤ ‖A‖ I . (4.21)

116

4. A ∈ Gl (H)+ ⇐⇒ A ≥ c I para cierto c > 0.

Demostracion. Antes que nada, obervar que tanto T ∗AT como T ∗BT sigen estando en A(H)(basta estrellarlos y ver). Ahora bien, dado un x ∈ H podemos hacer lo siguiente:

〈T ∗AT x , x〉 = 〈AT x , T x〉(4.20)

≤ 〈B T x , T x〉 = 〈T ∗BT x , x〉 (4.20)=⇒ T ∗AT ≤ T ∗BT .

Si A ∈ L(H)+, entonces la sesquilineal H2 3 (x, y) 7→ 〈x , y〉Adef= 〈Ax , y〉 es un semi PI.

Esto se deduce de la Ec. (4.10) y de que L(H)+ ⊆ A(H). Luego, si x, y ∈ BH , se tiene que

|〈Ax , y〉|2 = |〈x , y〉A|2C−S≤ 〈Ax , x〉〈Ay , y〉 ≤ 〈B x , x〉〈B y , y〉

C−S≤ ‖B‖2 .

Aplicando ahora la Ec. (3.12) del Cor. 3.3.3, podemos ver que

‖A‖2 = supx∈BH

‖Ax‖2 = supx , y ∈BH

|〈Ax , y〉|2 ≤ ‖B‖2 .

Ası llegamos a que ‖A‖ ≤ ‖B‖. Finalmente, observar que∣∣ 〈Ax , x〉 ∣∣ ≤ ‖A‖ ‖x‖2 =⟨‖A‖ I x , x

⟩para todo x ∈ H .

Eso claramente implica las desigualdades de (4.21). Una cuenta similar muestra 4.

El siguiente teorema es un adelanto del calculo funcional continuo para operadores autoa-juntos. Lo queremos dar antes, para poder aplicarlo a muchas propiedades mas basicas deL(H), porque el desarrollo de aquel calculo requiere mucho mas andamiaje teorico. Parahacerlo de la nada, no nos queda otra que hacer un monton de cuentas. A apechugar.

Ejercicio 4.3.3 (Criterio de Dini). Sea f = (fn)n∈N una sucesion en C[0, 1] que cumple:

1. Existe f ∈ C[0, 1] tal que fn(t) −−−→n→∞

f(t) para todo t ∈ [0, 1].

2. La sucesion f es creciente: fn(t) ≤ fn+1(t) para todo n ∈ N y todo t ∈ [0, 1].

Con esas hipotesis probar que la convergencia fn −−−→n→∞

f es uniforme en todo [0, 1]. 4

Lema 4.3.4. Sea f ∈ C[0, 1] dada por f(t) = 1− (1− t)1/2 para t ∈ [0, 1]. Afirmamos queexiste una sucesion (qn)n∈N de polinomios tales que

1. Todos tienen coeficientes reales y no negativos.

2. Tambien las restas qm − qn para n < m tienen coeficientes no negativos.

3. qn(t) ∈ [0, 1] para todo t ∈ [0, 1] y todo n ∈ N.

4. ‖f − qn‖∞ −−−→n→∞

0 (convergencia uniforme en el [0, 1]).

117

Demostracion. La sucesion se define inductivamente. Se empieza por q0 ≡ 0, q1(t) = t2

, y

qn+1(t) =1

2

(t+ qn(t)2

)para t ∈ [0, 1] y n ∈ N . (4.22)

Inductivamente vemos que los coeficientes de los qn son no negativos y que en todos losn ∈ N y todos los t ∈ [0, 1] vale que tambien qn(t) ∈ [0, 1]. Observar que

2(qn+1 − qn) = q2n − q2

n−1 = (qn − qn−1) (qn + qn−1) para todo n ∈ N .

Luego vemos (inductivamente) que todas las diferencias qn+1−qn tambien tienen coeficientesno negativos (sumando, eso da el item 2). En particular, en cada t ∈ [0, 1], se tiene que lasucesion (qn(t) )n∈N es creciente y acotada por 1, por lo que qn(t) −−−→

n→∞q(t) ∈ [0, 1].

Pero por (4.22), los lımites cumplen la ecuacion 2q(t) = t+ q(t)2. Luego

1− t = q(t)2 − 2q(t) + 1 =(

1− q(t))2

=⇒ q(t) = 1− (1− t)1/2 = f(t)

para todo t ∈ [0, 1]. (la otra raız q(t) − 1 es negativa). O sea que tenemos convergenciapuntual. Pero al estar f y todas las qn en C[0, 1] y ser crecientes, el criterio de Dini visto enel Ejer. 4.3.3 nos asegura que la convergencia qn −−−→

n→∞f es uniforme.

Para construir la raız positiva de un A ∈ L(H)+ evaluaremos polinomios de coeficientespositivos en A. Para que todo camine nos falta esto:

Lema 4.3.5. Sean H un EH y A ∈ L(H)+. Luego An ∈ L(H)+ para todo n ∈ N.

Demostracion. Se hace por induccion. El caso n = 1 es joda. Para n = 2, basta observarque A2 = A∗A ∈ L(H)+ por la Ec. (4.11). Si ahora tomamos n > 2, la HI dice que 0 ≤ An−2.Conjugando con A llegamos a que 0 ≤ AAn−2A = An por la Prop. 4.3.2.

Teorema 4.3.6. Sean H un EH y A ∈ L(H)+. Luego existe un unico B ∈ L(H)+ tal queB2 = A. De ahora en mas la denotaremos B = A1/2. Ademas, se tiene que:

Si C ∈ L(H) cumple que AC = CA =⇒ tambien A1/2C = CA1/2 . (4.23)

Demostracion. Asumamos en principio que A ≤ I. Si tomamos S = I − A vemos quetambien 0 ≤ S ≤ I. Por la Prop. 4.3.2, esto implica que ‖S‖ ≤ ‖I‖ = 1. Tomemos los polisqn del Lema 4.3.4 y definamos Sn = qn(S) para cada n ∈ N. Por las propiedades de 4.3.1, elLema 4.3.5 y los coeficientes positivos de los qn , sale con fritas que todos los Sn ∈ L(H)+.

Recordemos que los qn convergen uniformemente en el [0, 1]. Por ello, dado un ε > 0 existen0 ∈ N tal que cualquier par n,m ≥ n0 con n < m cumple que

0 ≤ qm(t)− qn(t) =M∑k=0

αk(n , m) tk < ε para todo t ∈ [0, 1] , (4.24)

118

donde los αk(n , m) son ciertos coeficientes (los que den la cuenta) todos no negativos (porel item 2 del Lema 4.3.4) que terminan en algun M ∈ N. Entonces vemos que

∥∥Sm − Sn∥∥ =∥∥qm(S)− qn(S)

∥∥ =∥∥∥ M∑k=0

αk(n , m)Sk∥∥∥ ≤ M∑

k=0

αk(n , m) ‖S‖k < ε .

Luego Sn = qn(S) −−−→n→∞

R ∈ L(H)+. Haciendo una cuenta como la de recien sale que

‖Sn‖ = ‖qn(S)‖ ≤ qn( ‖S‖ ) ≤ 1 para todo n ∈ N =⇒ ‖R‖ ≤ 1(4.21)=⇒ 0 ≤ R ≤ I .

Nuestro candidato a raız de A es I −R ∈ L(H)+. Como qn(t)2 (4.22)= 2 qn+1(t)− t, entonces

(I −R)2 = lımn→∞

(I − Sn

)2= lım

n→∞

(I − 2 qn(S) + qn(S)2

)(4.22)= lım

n→∞

(I − 2 qn(S) + 2 qn+1(S)− S

)= I − S + 2 lım

n→∞

(Sn+1 − Sn

)= I − S = A .

Luego podemos tomar A1/2 = I−R ∈ L(H)+ y tenemos al menos una raız cuadrada positivapara A. Observar que, en tanto lımite de polinomios evaluados en A, nuestro A1/2 cumplela condicion (4.23) sin problemas (en la Obs. 4.3.7 se ve bien de que polinomios se trata).

Tomemos ahora otra B ∈ L(H)+ tal que B2 = A. Por (4.23), esta B (como conmuta con sucuadrado, que es A) conmuta con A1/2. Entonces hagamos esta cuenta:

(A1/2 −B)(A1/2 +B)x = (A−B2)x = 0 para todo x ∈ H .

Eso dice que (A1/2 − B) y = 0 para todo y ∈ S def= R(A1/2 +B). Ya sabemos que en el

subespacio S, las dos raıces A1/2 y B coinciden. Veamos que pasa en S⊥ = ker(A1/2 + B).El tema es que allı ambas se anulan. Mostremoslo para B:

0 ≤ 〈B z , z〉 ≤ 〈(A1/2 +B) z , z〉 = 0 para todo z ∈ S⊥ .

Como ya hemos probado que algun B1/2 existe (no olvidar que B ∈ L(H)+), vemos que

‖B1/2z‖2 = 〈B1/2 z , B1/2 z〉 = 〈B z , z〉 = 0 =⇒ B1/2z = 0 para esos z .

Por lo tanto B z = B1/2(B1/2 z) = 0 para z ∈ S⊥. La misma cuenta se puede hacer para verque A1/2

∣∣S⊥ ≡ 0. Despues de todo este laburo podemos afirmar (usando que S ⊕ S⊥ = H)

que B = A1/2 por lo que la raız cuadrada positiva de A es unica.

El caso general se pasa al anterior, porque todo A ∈ L(H)+ \ 0 cumple que

A(4.21)

≤ ‖A‖ I =⇒ C =A

‖A‖≤ I .

Luego basta tomar A1/2 = ‖A‖1/2C1/2. La unicidad tambien sale achicando.

119

Observacion 4.3.7. Mantengamos las notaciones de los resultados anteriores sobre la raızcuadrada. Si tenemos un A ∈ L(H)+ tal que 0 ≤ A ≤ I, los polinomios que convergen haciasu raız A1/2 son, rastreando las cuentas del Teo. 4.3.6, los siguientes:

pn(t) = 1− qn(1− t) ‖ · ‖∞−−−→n→∞

t1/2 uiformemente en [0, 1] .

En efecto, la convergencia sale de que los qn del Lema 4.3.4 convergen a 1 − (1 − t)1/2, yademas vimos en el Teo. 4.3.6 que A1/2 = I −R = lım

n→∞

[I − qn(I − A)

]= lım

n→∞pn(A).

Lo importante del asunto es que los mismos polinomios pn cumplen que

pn(A) −−−→n→∞

A1/2 para todo A ∈ L(H)+ tal que 0 ≤ A ≤ I . (4.25)

Repetimos: los polis no dependen de A. La misma sucesion produce la raız de cualquierpositivo menor que I. Otra cuestion importante es que pn(0) −−−→

n→∞01/2 = 0. Luego podemos

cambiar a esos pn por Pn = pn − pn(0) y siguen produciendo las raıces. Pero ahora todostienen termino constante nulo. Estos hechos se usaran repetidamente en lo que sigue. 4

Corolario 4.3.8. Sea H un EH y sea A ∈ L(H). Luego vale que

1. Nuestro A ∈ L(H)+ ⇐⇒ existe un B ∈ L(H) tal que B∗B = A.

2. Si A ∈ L(H)+ y x ∈ H, entonces 〈Ax , x〉 = 0 ⇐⇒ Ax = 0 ⇐⇒ A1/2 x = 0.

Demostracion. En la Ec. (4.11) vimos que cualquier B∗B ∈ L(H)+. En cambio, si asumimosque A ∈ L(H)+, basta tomar B = A1/2. Si ahora A = B∗B ∈ L(H)+ y x ∈ H, entonces

0 = 〈Ax , x〉 = 〈B∗B x , x〉 = 〈B x , B x〉 = ‖B x‖2 =⇒ Ax = B∗(B x) = 0 .

Corolario 4.3.9. Sea H un EH y sean A,C ∈ A(H) tales que AC = CA. Entonces:

1. El producto AC ∈ A(H).

2. Si tanto A como C estaban en L(H)+, entonces tambien AC ∈ L(H)+.

Demostracion. En principio (AC)∗ = C∗A∗ = CA = AC ∈ A(H). Si son positivos, elTeo. 4.3.6 dice que A1/2C = CA1/2. Luego, por la Prop. 4.3.2, tenemos que

0 ≤ C =⇒ 0 = A1/2 0A1/2 ≤ A1/2CA1/2 (4.23)= A1/2A1/2C = AC .

Ahora vamos a justificar la notacion de Gl (H)+ para los estrictamente positivos. Antespodemos refrasear su definicion: Un A ∈ Gl (H)+ ⇐⇒ A ≥ c I para cierto c > 0.

Proposicion 4.3.10. Sea H un EH. Luego Gl (H)+ = L(H)+ ∩ Gl (H). O sea que losestrictamente positivos son los positivos inversibles. Ademas, si A ∈ Gl (H)+ vale que

1. A−1 ∈ Gl (H)+.

120

2. A1/2 ∈ Gl (H)+ y su (A1/2)−1 = (A−1)1/2 def= A−1/2.

3. Si me dan un B ≥ A, entonces B ∈ Gl (H)+ y B−1 ≤ A−1.

Demostracion. Sea A ∈ Gl (H)+. Es claro por las definiciones que kerA = 0. Como A es

normal, vale que R(A)⊥(4.8)= kerA =⇒ R(A) es denso. Si A no fuera epi no podrıa ser AI.

Pero si existiera una sucesion (xn)n∈N de unitarios tales que Axn −−−→n→∞

0, entonces tambien

pasarıa que 〈Axn , xn〉 −−−→n→∞

0, y eso contradice la definicion de que A ∈ Gl (H)+.

Sea ahora A ∈ L(H)+ ∩ Gl (H). Notar que la igualdad A = A1/2A1/2 dice que

H = R(A) ⊆ R(A1/2) y 0 = kerA ⊇ kerA1/2 =⇒ A1/2 ∈ Gl (H) ∩ L(H)+ .

En particular existe una b > 0 tal que b‖x‖ ≤ ‖A1/2x‖ para todo x ∈ H (se puede tomar laconstante b = ‖(A1/2)−1‖−1). Luego

〈Ax , x〉 = 〈A1/2 x , A1/2 x〉 = ‖A1/2 x‖2 ≥ b2‖x‖2 = b2〈x , x〉 para todo x ∈ H .

Tomando c = b2 nos queda que A ≥ c I por lo que A ∈ Gl (H)+.

Vimos que A ∈ Gl (H)+ =⇒ A1/2 ∈ Gl (H)+. Llamemos B = (A1/2)−1 ∈ A(H). Entonces

AB2 = (A1/2)2 B2 = I =⇒ A−1 = B2 = B∗B ∈ L(H)+ =⇒ A−1 ∈ Gl (H)+ . (4.26)

Probado el item 1, se lo podemos aplicar a A1/2 ∈ Gl (H)+. Nos queda que su inversoB = (A1/2)−1 ∈ Gl (H)+. Por otro lado, la igualdad A−1 = B2 significa (usando la unicidaddel Teo. 4.3.6) que (A1/2)−1 = B = (A−1)1/2. Desde ahora sera A−1/2.

Agarremos ahora un C ≥ I. Aplicando la Prop. 4.3.2 tenemos que

I = C−1/2 C C−1/2 ≥ C−1/2 I C−1/2 = C−1 .

Si tomamos ahora un B ≥ A ≥ cI, sale igual que Cdef= A−1/2BA−1/2 ≥ I. Luego

I ≥ C−1 = A1/2B−1A1/2 =⇒ A−1 = A−1/2 A−1/2 ≥ A−1/2(A1/2B−1A1/2)A−1/2 = B−1 ,

como se aseveraba.

Observacion 4.3.11. La notacion A > 0 es polemica. Bien podrıa haberse definido lanocion de estrictamente positivo como que 〈Ax , x〉 > 0 para todo x 6= 0. Cabe destacar queesto no equivale a que A ∈ Gl (H)+. Al menos cuando dimH = ∞. Por ejemplo, podemostomar el operador diagonal Mx ∈ L(`2) dado por la sucesion x = ( 1

n)n∈N ∈ `∞. Luego

〈Mx y , y〉 =∑n∈N

ynn

yn =∑n∈N

|yn|2

n> 0 para todo y = (yn)n∈N ∈ `2 \ 0 .

Sin embargo Mx /∈ Gl (H) porque Mx en = enn

para todo n ∈ N, por lo que el operador Mx

no puede ser AI y menos inversible. De hecho 〈Mx en , en〉 = 1n−−−→n→∞

0 y no esta acotado

121

desde abajo por ninguna c > 0. Nosotros elegimos que los re-positivos sean los inversibles,y estos otros seran muy positivos, pero no estrictamente.

Una razon alternativa es que el interior de L(H)+ es solo Gl (H)+, y estos muy positivos igualquedan en el borde de L(H)+. En el ejemplo anterior es claro que Mx − 1

mI −−−→

m→∞Mx , o

sea que a Mx le converge una sucesion desde afuera de L(H)+.

Recordemos que, como siempre, esta disyuntiva desaparece si dimH <∞. Esto es ası porquela cascara de la bola SH = x ∈ H : ‖x‖ = 1 es compacta en ese caso. Luego, si nunca seanulan ahı, los productos 〈Ax , x〉 deben quedar acotados desde abajo. 4

Ejercicio 4.3.12. Sea H un EH. Probar que el orden ≤ de A(H), restringido al conjuntoP(H) de los proyectores, ahı sı produce un reticulado (con sup e ınf de a muchos). Masespecıficamente, dados P,Q ∈ P(H) con R(P ) = S y R(Q) =M, entonces son equivalentes

1. P ≤ Q

2. S ⊆M

3. PQ = QP = P

4. Q− P ∈ P(H) (y proyecta sobre MS def= M∩ (S ∩M)⊥).

Luego el orden de P(H) coincide con el de la inclusion entre los S v H. Y estos subespacioscerrados tienen sup e ınf (aun de familias infinitas) sin dramas.

Sugerimos usar que, vıa Pitagoras, x ∈M ⇐⇒ ‖x‖2 = ‖Qx‖2. 4

4.4 Descomposicion polar.

Recordemos de la Ec. (4.11) que, dado un T ∈ L(H), se tiene que T ∗T ∈ L(H)+. Ademas

ker T ∗ T = ker T para todo T ∈ L(H) , (4.27)

porque 〈T ∗ T x , x〉 = ‖T x‖2 para cada x ∈ H y T ∗T ∈ L(H)+.

Definicion 4.4.1. Sea H un EH. A cada operador T ∈ L(H) le adjuntaremos un operadorpositivo |T | = (T ∗T )1/2 ∈ L(H)+ llamado modulo de T . 4

Dado T ∈ L(H), la principal semejanza entre T y |T | es que

‖T x‖2 = 〈T x , T x〉 = 〈T ∗T x , x〉 = 〈|T |x , |T |x〉 = ‖ |T |x‖2 para todo x ∈ H . (4.28)

Luego es natural pensar que se los puede relacionar usando algun tipo de isometrıa entresus imagenes. Esa es la idea de la descomposicion polar. Antes de presentarla en sociedadnecesitamos estudiar mejor las isometrıas parciales que seran un ingrediente clave:

122

4.4.2 (Isometrıas parciales). Sea H un EH. Dado un U ∈ L(H), decıamos que U es isometrıaparcial (I P) si P = U∗U ∈ P(H) (o sea que es un proyector). Llamemos S = R(P ) v H.Veremos que en tal caso U se comporta de la siguiente manera:

U∣∣S : S → U(S) es isometrico , mientras que U

∣∣S⊥ ≡ 0 . (4.29)

En efecto, si recordamos que U∗U = P = PS , entonces vemos que

‖U z‖2 = 〈U z , U z〉 = 〈P z , z〉 para todo z ∈ H .

Si el z ∈ S = R(P ), entonces tenemos que ‖U z‖2 = 〈P z , z〉 = 〈z , z〉 = ‖z‖2. En cambio,si z ∈ S⊥ = kerP , lo de arriba implica que U z = 0. Observar que (4.29) implica que

kerU = S⊥ y que R(U) = U(S) v H . (4.30)

Otra consecuencia de (4.29) es la siguiente: Como R(I − P ) = S⊥ = kerU ,

U(I − P ) = 0 =⇒ UP = U =⇒ UU∗U = U =⇒ (UU∗)(UU∗) = UU∗ ∈ P(H) ,

por lo que tambien U∗ es una I P. Si ahora llamamos M = R(UU∗), vimos antes que

M⊥ = kerU∗ = R(U)⊥ =⇒ M = R(U) = R(U) = U(S) .

Analogamente sale que U∗(M) = R(U∗) = S y que kerU∗ =M⊥. Resumamos: 4

Proposicion 4.4.3. Sean H un EH y U ∈ L(H). Se cumple que

U una I P ⇐⇒ existe un S v H tal que U cumple la Ec. (4.29) respecto de S . (4.31)

En tal caso, si llamamos M = R(U) y S = R(U∗), valen las siguiente propiedades:

1. Tambien U∗ es una I P.

2. Tanto M = (kerU∗)⊥ v H como S = (kerU)⊥ v H.

3. UU∗ = PM y U∗U = PS .

4. U = PMU = UPS = PMUPS .

En adelante, para decir que U es una I P, diremos que

U : S →M es una I P “de S en M” , con “dominio” S e “imagen” M .

Demostracion. Ya hicimos casi todo en 4.4.2. Solo falta el ⇐ de (4.31). Si existe un S v Htal que U cumple (4.29) con respecto a S y S⊥ y denotamos por P = U∗U ∈ L(H)+, es bienfacil ver que ‖P‖ = ‖U‖2 ≤ 1, por lo que 0 ≤ P ≤ I. Si z ∈ S, entonces

〈P z , z〉 = ‖U z‖2 = ‖z‖2 = 〈z , z〉 =⇒ 〈(I − P ) z , z〉 = 0 .

Aplicando el Cor. 4.3.8 y el hecho de que I−P ≥ 0, llegamos a que Pz = z para todo z ∈ S.Por otro lado, en S⊥ tanto U como P deben anularse. En resumen, hemos probado que elproducto U∗U = P = PS ∈ P(H), por lo que U : S → U(S) es una I P.

123

Teorema 4.4.4. Sea H un EH. Para todo operador T ∈ L(H) existe una U ∈ L(H) que esuna I P, unica si le exigimos que U : (kerT )⊥ → R(T ), tal que T = U |T |. Ademas

1. U∗T = |T |.

2. TT ∗ = U(T ∗T )U∗.

3. El otro modulo |T ∗| = (TT ∗)1/2 cumple que |T ∗| = U |T |U∗.

4. Por lo tanto T = |T ∗|U .

La igualdad T = U |T | es la descomposicion polar (DP) de T , mientras que T = |T ∗|U (quesale con la misma U) es la DP a derecha de T .

Demostracion. Observar que (4.28) asegura que kerT = ker |T |. Luego si definimos

U0 : R(|T |)→ R(T ) ⊆ H dada por U0(|T |x) = T x para x ∈ H , (4.32)

tenemos que U0 esta bien definida, es lineal e isometrica, otra vez por (4.28). Es claro queU0 se puede extender, manteniendo aquellas propiedades y su nombre, a una isometrıa

U0 : R(|T |)→ R(T ) v H .

Observar que R(|T |) = (kerT )⊥def= S. Luego si extendemos a U0 a una

U : H → H tal que U∣∣S = U0 y U

∣∣S⊥ ≡ 0 ,

nos queda que U = U0 PS ∈ L(H) y por la Ec. (4.31) ya tenemos que U : S → R(T ) es unaI P. Ademas, ella cumple que U |T | = U0 |T | = T por la Ec. (4.32). Si le fijamos el dominioS, esta U es la unica I P que cumple T = U |T | porque cualquier otra, a traves de una cuentatipo (4.32), tiene que coincidir con ella en R(|T |) que es denso allı.

Como S = R(|T |) y U∗U = PS (Prop. 4.4.3), es claro que U∗T = U∗U |T | = |T |. Ademas

TT ∗ = (U |T |) (U |T |)∗ = U |T |2U∗ = U(T ∗T )U∗ .

Observar U∗U = PS =⇒ T U∗U = T . Luego (TT ∗)n = U(T ∗T )nU∗ para todo n ∈ N. Porello, si tenemos un polinomio p ∈ R[x] tal que p(0) = 0, vale que p(TT ∗) = Up(T ∗T )U∗.

Asumamos que T ∗T ≤ I y tambien TT ∗ ≤ I. Tomemos ahora los polinomios Pn ∈ R[x] dela Obs. 4.3.7. Recordar que Pn(0) = 0 para todo n ∈ N. Luego

|T ∗| = (TT ∗)1/2 = lımn→∞

Pn(TT ∗) = lımn→∞

UPn(T ∗T )U∗

= U[

lımn→∞

Pn(T ∗T )]U∗ = U(T ∗T )1/2U∗ = U |T |U∗ .

El caso en que no sean menores que I se arregla con una constante positiva ad hoc. Final-mente, observar que T = TU∗U = (U |T |U∗)U = |T ∗|U .

124

Notacion 4.4.5. Sea T ∈ L(H). De ahora en adelante diremos que

“T = U |T | es la DP de T ” , o bien que “la DP de T esta dada por T = U |T | ”

cuando asumimos (o afirmamos) que U es la unica I P del Teo. 4.3.6, con dominio (kerT )⊥

(la imagen no hace falta fijarla porque la igualdad T = U |T | dice quien es).

En cambio diremos que “T = V |T | es una DP de T ” si V ∈ L(H) es alguna I P que locumple, pero no aseguramos que es la I P posta del Teorema. 4

Observacion 4.4.6. Sea T ∈ L(H) cuya DP esta dada por T = U |T |. La iso parcial U noes unica (en general) si uno no le fija el dominio S = (kerT )⊥ = R( |T | ).

En efecto, si S 6= H y R(T ) no es denso en H, entonces se puede “extender” U a otra isoparcial V : N → M, definida en algun N mas grande que S, y tal que V

∣∣S = U . Esto se

puede hacer mandando gente de S⊥ hacia R(T )⊥ isometricamente. Cualquiera de estas Vcumplira que V |T | = U |T | = T , porque V

∣∣S = V

∣∣R( |T | ) = U .

Lo natural que a uno se le ocurre es querer extender U hasta un V ∈ U(H). Lamentable-mente, eso no siempre puede hacerse. En el Ejer. que viene veremos contraejemplos, perotambien daremos una serie de condiciones bajo las cuales sı existe tal unitario V .

Desde ya podemos comentar que si T es mono, entonces su U es una isometrıa (ya no esparcial porque su dominio es (kerT )⊥ = H). Por ende si T es mono pero no tiene rangodenso, la U sera una isometrıa que no es sobre (no queda unitaria) y no se la puede extenderporque ya no queda lugar. 4

Observacion 4.4.7. Veamos algunos casos especiales en los que la DP se describe bien. Laspruebas son directas y se dejan como ejercicio:

Sea T ∈ L(H) cuya DP esta dada por T = U |T |. Luego

1. Dada una constante λ = ei θ |λ| ∈ C, entonces

|λT | = |λ| |T | y que λT =(ei θ U

) (|λ| |T |

)es la DP de λT .

2. La (unica) DP de T ∗ esta dada por T ∗ = U∗|T ∗|.

3. Si T es normal y S = (kerT )⊥ es el dominio de U , entonces:

(a) |T | = |T ∗|.(b) Los tres operadores T , U y |T | conmutan entre sı.

(c) Se tiene que U : S → S (recordar que kerT = R(T )⊥).

4. Si T ∈ A(H) entonces tambien U ∈ A(H) (porque U∗ sirve como I P para T ).

5. Si empezamos con un T ∈ L(H)+, entonces se tiene que |T | = T y que su DP estaradada por T = PR(T ) T (muy util en este caso).

125

6. Si T es una isometrıa, entonces T ∗T = |T | = I y U = T . Es decir que la DP de T estadada por T = T I (mas util aun). Notar que aquı U es unica (S = H).

7. Si T ∈ Gl (H), entonces sı vale que U = T |T |−1 ∈ U(H), y tambien en este caso esa Ues la unica I P posible para la DP de T .

8. Exhibir algunos ejemplos en que U no pueda ser reemplazada por un V ∈ U(H) (talque T = V |T | ). Pensar en nuestro amigo el shift. ¿Que pasa con su adjunto?

9. Si se cumple alguna de estas condiciones:

(a) T es normal.

(b) T es inversible.

(c) dimH <∞.

Entonces sı existe un V ∈ U(H) que extiende a U , o sea que T = V |T | con V ∈ U(H).En el caso donde T es normal se usa que U : S → S. En el que dimH = n <∞, saleporque dimR( |T | ) = dimR(T ) = n− dim kerT . 4

Ejercicio 4.4.8. Sea H un EH. Dada U : S → M una I P en L(H), a veces convienepresentarla como U : P → Q, donde P,Q ∈ P(H) son P = PS y Q = PM . Probar que

1. Dados P,Q ∈ P(H), vale que U : P → Q es una I P ⇐⇒ U∗U = P y UU∗ = Q.

2. En particular toda P ∈ P(H) es una I P pensadda como P : P → P .

3. Definamos en P(H) la siguiente relacion: Dados P,Q ∈ P(H),

P ∼ Q si existe una U ∈ L(H) tal que U∗U = P y UU∗ = Q .

Obvio que tal U debe ser una I P. Esta relacion cumple lo que sigue:

(a) Es una relacion de equivalencia.

(b) Como tal es poco novedosa: Dados P,Q ∈ P(H), vale que

P ∼ Q ⇐⇒ dimR(P ) = dimR(Q) .

La gracia de ∼ es que su definicion vıa las I P’s no usa los rangos, lo que permitiradefinirla en algebras de operadores donde sea mucho mas util. 4

126

4.5 Subespacios invariantes y matrices

Sea T ∈ L(H). Uno de los problemas mas famosos de la teorıa de operadores es el de carac-terizar los subespacios invariantes de un tal T . Lo famoso es una conjetura que dice que todoT debe tener alguno, aparte de los obvios H y 0. Entre las matrices la cosa no tiene gracia,porque uno sabe que hay autovectores, que por serlo generan “rectas” invariantes. Pero sialguno de los amigos lectores pudiese probar tal conjetura para H = `2(N), seguro que in-ventarıan el Nobel de matematica para darselo. Les anticipo que casi todos los matematicos,cuando cursabamos funcional, encontramos alguna prueba de eso. Lastima que todavıa nohubo ni una que fuera correcta. Ası que revisen los detalles. En esta seccion no iremos paraese lado, pero sı daremos algunas propiedades interesantes que aparecen cuando uno ya tienea tales subespacios. Y las matrices que se usan para ello.

Definicion 4.5.1. Sean H un EH y T ∈ L(H). Dado un subespacio S ⊆ H diremos que

– S es invariante por T , o que es T - invariante, si T (S) ⊆ S.

– S reduce a T si tanto S como S⊥ son T - invariantes.

– Daremos la siguiente notacion para las familias de tales subespacios

Lat (T ) =S v H : T (S) ⊆ S

y Latr (T ) =

S v H : S reduce a T

.

Observacion 4.5.2. Sean H un EH y T ∈ L(H). Hay varias cosas para comentar sobre ladefinicion anterior. Las pruebas son faciles y van como ejercicio.

1. Notar que si un S es T -invariante, entonces S ∈ Lat (T ).

2. Si ahora S v H y consideramos el PS ∈ P(H), entonces

S ∈ Lat (T ) ⇐⇒ T PS = PS T PS y

S ∈ Latr (T ) ⇐⇒ T PS = PS T i.e., si T y PS conmutan .(4.33)

Identificando S ←→ PS pordemos pensar que Latr (T ) ⊆ Lat (T ) ⊆ P(H).

3. La notacion Lat viene de latice o reticulado. Observar que dados S ,M∈ Lat (T ),

S ∧M def= S ∩M ∈ Lat (T ) y S ∨M def

= S +M∈ Lat (T ) .

Lo mismo vale para Latr (T ), porque dados S ,Mv H cualesquiera

(S ∨M)⊥ = (S +M)⊥ = S⊥ ∧M⊥ y (S ∧M)⊥ = S⊥ ∨M⊥ . (4.34)

La primera sale facil y la segunda de deduce de la primera poniendo otro ⊥ . El ordenen cuation es ⊆ . Adivinen quienes son max Latr (T ) y mın Latr (T ). 4

127

Proposicion 4.5.3. SeanH un EH y T ∈ L(H). Dado un S v H, las suguientes condicionesson equivalentes:

1. El tal S reduce a T , o sea que S ∈ Latr (T ).

2. Lo mismo para T ∗ : S ∈ Latr (T ∗).

3. Se cumple que T (S) ⊆ S y T ∗(S) ⊆ S, es decir S ∈ Lat (T ) ∩ Lat (T ∗).

Demostracion. Sea P = PS ∈ P(H). Del hecho de P sea autoadjunto se ve en seguida que[TP = PT ⇐⇒ PT ∗ = T ∗P

] (4.33)=⇒

[S ∈ Latr (T ) ⇐⇒ S ∈ Latr (T ∗)

].

Es claro que cualquiera de las anteriores implica que S ∈ Lat (T )∩Lat (T ∗). Pero si asumimosesto, por (4.33) sale que TP = PTP y ademas T ∗P = PT ∗P =⇒ PT = TP . Listo.

Corolario 4.5.4. Sea H un EH. Si A ∈ A(H) entonces Lat (A) = Latr (A), por lo que todoS v H que sea A-invariante cumple automaticamente que S⊥ es tambien A-invariante.

Demostracion. Evidente a partir de la Prop. 4.5.3.

Ejemplo 4.5.5. Sea H = `2(Z) y U ∈ U(H) el shift unitario hacia la derecha. Hay librosenteros sobre como es el conjunto Lat (U). Pero veamos algunos ejemplos sencillos:

Sea B = en : n ∈ Z la BON canonica de H. Recordemos que U esta caracterizadopor el hecho de que U(en) = en+1 para todo n ∈ Z. Por lo tanto todos los subespaciosSn = span em : m ≥ n v H cumplen que Sn ∈ Lat (U). De hecho podemos ser masespecıficos, porque uno muestra de inmediato que

U(Sn) = Sn+1 ⊆ Sn para todo n ∈ Z . (4.35)

Observar que U , en tanto unitario, es normal. Cuando uno labura en un Hilbert de dimensionfinita, es un ejercicio facil ver que el Cor. 4.5.4 se generaliza a matrices normales. Sin embargoel shift tiene una actitud contraejemplar. En efecto, U es normal, todos los Sn ∈ Lat (U),pero ninguno de ellos estan en Latr (U). Para mostrarlo basta ver que

en ∈ Sn pero U∗ = U−1 =⇒ U∗ en = en−1 /∈ Sn =⇒ Sn /∈ Lat (U∗)

para todo n ∈ Z. Luego la Prop. 4.5.3 no permite que los Sn reduzcan a U . 4

Matrices de 2× 2

4.5.6. Sea H un EH. Fijado un S v H llamemos P1 = PS y P2 = PS⊥ = I − P1 . Paradar coherencia a los subındices pongamos que S1 = S y S2 = S⊥. Si ahora agarramos unT ∈ L(H), a partir de la descomposicion H = S ⊕ S⊥ podemos pensar que la accion deT : S ⊕ S⊥ → S ⊕ S⊥ se describira completamente con cuatro mitades del T operado entrelos cuatro sumandos en cuestion. Concretamente, de ahora en mas escribiremos

T =

[T11 T12

T21 T22

]SS⊥ =

[T11 T12

T21 T22

]S1

S2donde Tij = Pi TPj ∈ L(Sj , Si) , (4.36)

128

para i , j ∈ 1 , 2. Tambien podrıamos pensar que cada Tij = Pi T |Sj ∈ L(Sj , Si). Es muyimportante remarcar que estamos pensando a los Tij operando desde Sj hacia Si y no entodo L(H). Estos datos recuperan a T , porque si me dan un x ∈ H y lo descompongo comox = x1 + x2 ∈ S1 ⊕ S2 , entonces podemos ver facimente que

T x = P1 T x+ P2 T x =(T11 x1 + T12 x2

)+(T21 x1 + T22 x2

)∈ S1 ⊕ S2 = H .

Pero mejor todavıa es pensar que x = (x1 , x2) (vector columna) y entonces

T x =

[T11 T12

T21 T22

] [x1

x2

]S1

S2=

[T11 x1 + T12 x2

T21 x1 + T22 x2

]∈ S1 ⊕ S2 = H .

La gracia de hacer esta representacion es que tiene las propiedades usuales de las matrices:

1. Si B ∈ L(H) y le hacemos su matriz como en (4.36), queda que la matriz de B T secalcula como el producto formal de sus dos matrices de bloques de 2× 2:

B T =

[B11 B12

B21 B22

] [T11 T12

T21 T22

]=

B11 T11 +B12 T21 B11 T12 +B12 T22

B21 T11 +B22 T21 B21 T12 +B22 T22

S1

S2

.

Observar que todos los productos y sumas en cuestion tienen sentido, y quedan ubica-dos de acuerdo al dominio y codominio de cada bloque que interviene.

2. Lo que vimos hasta ahora se puede hacer en un contexto mas general: Basta queP 2

1 = P1 y que P2 = I − P1 , pero no es imprescindible que ellos sean ortogonales. Laformula del producto de arriba y otras que veremos mas adelante seguiran valiendo enaquel contexto. Esto es importante sobre todo si uno labura en L(E) donde E es soloun Banach, por lo que autoadjuntos ni hay. Sin embargo, nos quedaremos en el casode que P1 , P2 ∈ P(H) porque en tal caso la representacion matricial funciona bien conla operacion de tomar adjuntos. En efecto, si T ∈ L(H), nos quedara que

T =

[A BC D

]SS⊥ =⇒ T ∗ =

[A∗ C∗

B∗ D∗

]SS⊥ , (4.37)

es decir que la matriz de T ∗ es una especie de transpuesta conjugada de bloques.La prueba es inmediata a aprtir de (4.36). Observar que todo camina porque cadaproyector P ∗i = Pi . Por eso la observacion anterior es clave para esto.

Ejercicio 4.5.7. En lo anterior se uso implıcitamente esto: Sean H , K dos EH’s.Generalizar a los T ∈ L(H , K) la nocion de adjunto T ∗ ∈ L(K , H) tal que

〈T x , y〉K = 〈x , T ∗ y〉H para todo par x ∈ H , y ∈ K , (4.38)

y todas las propiedades que puedan sobrevivir en este contexto. Se sugiere considerar

AT =

[0 0T 0

]HK ∈ L(H⊕K) usando que A∗T

(4.37)=

[0 S0 0

]HK ,

y que el tal S ∈ L(K , H) cumple (4.38) contra T , ası que uno define T ∗ = S. 4

129

3. Fijense que la Ec. (4.37) nos dice como son las matrices de los autoadjuntos:

T =

[A BC D

]SS⊥ ∈ A(H) ⇐⇒ A ∈ A(S) , D ∈ A(S⊥)

y C = B∗ ∈ L(S , S⊥) .

(4.39)

4. Remarquemos como quedan nuestros proyectores en esta repre:

PS =

[IS 00 0

]SS⊥ y PS⊥ =

[0 00 IS⊥

]SS⊥ . (4.40)

Ahora veremos una conscuencia interesante de estos hechos: 4

Proposicion 4.5.8. Sean H un EH , S v H y T ∈ L(H). Si T =

[A BC D

]SS⊥ , luego

1. El S ∈ Lat (T ) ⇐⇒ C = 0 ⇐⇒ T =

[A B0 D

]es “triangular superior” de bloques.

2. En cambio nuestro subespacio S reduce a T si y solo si

B = 0 y C = 0 ⇐⇒ T =

[A 00 D

]es “diagonal” de bloques .

Demostracion. Usando la version matricial de P = PS dada en (4.40), tenemos que

S ∈ Lat (T )(4.33)⇐⇒ TP = PTP ⇐⇒ TP =

[A 0C 0

]=

[A 00 0

]= PTP ,

porque por ejemplo TP =

[A BC D

] [I 00 0

]=

[A 0C 0

]. Otra forma de verlo es que si

x ∈ S entonces T x ∈ S ⇐⇒ PS⊥ T x = 0. Pero PS⊥ T |S es justamente C ∈ L(S , S⊥).

Sabiendo esto, para probar la otra parte basta recordar que Latr (T ) = Lat (T ) ∩ Lat (T ∗)(por la Prop. 4.5.3), y despues aplicar la Ec. (4.37).

Ejercicio 4.5.9. 1. Dado S v H, probar que un Q ∈ L(H) cumple que

Q2 = Q con R(Q) = S ⇐⇒ Q =

[IS X0 0

]SS⊥ ,

para algun X ∈ L(S⊥ , S). ¿Como seran lo idempotentes R tales que kerR = S?

2. Deducir que ‖Q‖ =(1 + ‖X‖2

)1/2= ‖IH −Q‖.

Es interesante observar que la igualdad ‖Q‖ = ‖IH−Q‖, que vale para todos los proyectoresoblicuos Q ∈ P(H) en un espacio de Hilbert, no sigue siendo cierta para proyectores en unespacio de Banach, a pesar de la formula (2.28) que parecıa tan simetrica. 4

130

Ejercicio 4.5.10. Sean T ∈ L(H) y S ∈ Lat (T ). Si vale que dimS <∞ probar que

1. Si T ∈ Gl (H), entonces T (S) = S y por ello S ∈ Lat (T−1).

2. Usando lo anterior, probar que se tiene esta equivalencia:

T =

[A B0 D

]SS⊥ ∈ Gl (H) ⇐⇒ A ∈ Gl(S) y D ∈ Gl(S⊥) . (4.41)

Aca es imprescindible recordar que A y D operan solo en sus “lugares”.

3. Mostrar un ejemplo donde lo anterior falle si dimS =∞.

4. Probar que aun en tal caso, la flecha ⇐= de (4.41) sigue siendo valida.

5. Si ahora S ∈ Latr (T ) y tiene cualquier dimension, postular y probar una version de(4.41) para ese caso. 4

4.6 Operadores de rango finito.

Notaciones 4.6.1. Sea H un EH. Dado T ∈ L(H), notamos rk(T ) = dimR(T ) (es uncardinal). Por otra parte, conbsideraremos los siguientes conjuntos de operadores:

1. L1(H) = T ∈ L(H) : rk(A) ≤ 1.

2. LF (H) = T ∈ L(H) : rkA <∞.

Observar que LF (H) es un subespacio de L(H), porque rk(A + B) ≤ rkA + rkB < ∞para cualquier par A , B ∈ LF (H). Su clausura la estudiremos a fondo mas adelante. Acontinuacion daremos una caracterizacion muy util de los A ∈ L1(H). 4

Observar que un x ∈ H se puede pensar como un operador x : K→ H por la formula

x ∈ L(K , H) dado por x(λ) = λx para λ ∈ K .

Es claro que su norma como operador coincide con la que tenıa como vector. Por lo tantotenemos que H ∼= L(K , H), donde una flecha es la de arriba, y su inversa es x 7→ x(1).

Pensado ası, el teorema de representacion de Riesz 3.3.1 lo que dice es que todas las fun-cionales acotadas ϕ ∈ H∗ son del tipo ϕ = y∗ para algun y ∈ H ∼= L(K , H).

En efecto, si tomamos tal y, pensado como operador, su adjunto cumple que

y∗ ∈ L(H , K) = H∗ and y∗(z) = 〈y∗(z) , 1〉 = 〈z , y(1)〉 = 〈z , y〉 ,

para todo z ∈ H, por lo que y∗ es nuestra vieja ϕy de Riesz. Ahora los tensores:

131

Definicion 4.6.2. Sea H un EH. Dados x , y ∈ H consideremos el operador

x y def= x y∗ ∈ L(H) . (4.42)

Observar que x y actua en H de la siguiente manera:

x y(z) = x y∗ (z) = y∗(z) · x = 〈z, y〉x para todo z ∈ H . (4.43)

Por lo tanto, se tiene que R(x y) ⊆ span x, por lo que x y ∈ L1(H). 4

Por ejemplo, si x ∈ H tiene ‖x‖ = 1, entonces Pxdef= x x ∈ P(H) ∩ L1(H) es el proyector

sobre span x. En efecto, observar que x x(z) = 〈z, x〉 · x, la conocida formula de dichoproyector. Otra forma de verlo es que el tal x ∈ L(K , H) es una isometrıa, por lo quex x∗ ∈ P(H) con el mismo rango que x, o sea K · x = span x.

Proposicion 4.6.3. Sea H un EH. Si A ∈ L(H), se tiene que

A ∈ L1(H) ⇐⇒ existen z , w ∈ H tales que A = z w .

Es decir que L1(H) = z w : z , w ∈ H.

Demostracion. Si rkA = 1, tomemos z ∈ R(A) unitario. Luego R(A) = K · z. Entonces paratodo x ∈ H vale que Ax = ϕ(x) · z, donde uno verifica sin dificultad que la ϕ ∈ H∗. Todotermina eligiendo el w ∈ H que cumple que ϕ = ϕw = w∗.

A continuacion va un lista con las propiedades basicas de los tensores:

Proposicion 4.6.4. Sea H un EH. Fijemos x , y ∈ H. Luego:

1. La norma: ‖x y‖ = ‖x‖ ‖y‖.

2. El adjunto: (x y)∗ = (xy∗)∗ = y x∗ = y x.

3. El espectro: El unico autovalor de x y que puede ser no nulo es λ1 = 〈x, y〉.

4. Si A , B ∈ L(H), se tiene que A x = Ax ∈ L(K , H). Luego

A · (x y) = A · x · y∗ = (Ax) y and (x y) ·B =[B∗ · (y x)

]∗= x (B∗y) .

5. Dados v , w ∈ H, se tiene que (x y) · (v w) = 〈v, y〉 · x w ∈ L1(H).

6. Si x 6= 0, el proyector Px = x‖x‖

x‖x‖ = 1

‖x‖2 x x .

Demostracion. Algunos items vienen con su prueba. Veamos el de las normas: Tenemos que

‖x y(z)‖ = |〈z , y〉| ‖x‖ = | y∗(z)| ‖x‖ para todo z ∈ H .

Recordar que y 7→ y∗ = 〈 · , y〉 era isometrica. Ası sale que ‖x y‖ = ‖x‖ ‖y‖.

132

4.6.5 (I P’s con rango finito). Si ahora tomamos x , y ∈ H ambos unitarios, entonces

U = x y : Py → Px es una I P .

En efecto, se tiene que U∗U = (y x) · (x y) = y y mientras que UU∗ = x x. Estose puede generalizar del siguiente modo: Si B1 = uk : k ∈ In y B2 = vk : k ∈ In son dosSON’s finitos del mismo cardinal, y llamamos S = span B1 , M = span B2, entonces

U =∑k∈ In

vk uk : S →M es una I P .

En efecto, si B1 = B2 , usando (3.13) sale que PS =∑k∈ In

Puk = U . Si no son iguales,

U∗U =∑

j , k∈ In

uj vj · vk uk =∑

j , k∈ In

〈vk , vj〉 uj uk =∑k∈ In

uk uk = PS

Analogamente sale que UU∗ = PM . Observar que cada vk = (vk uk)uk = U uk .

De hecho, ası se representa cualquier V ∈ LF (H) que sea I P. Mas concretamente, si la I Pes V : N → T y nos dan B = wk : k ∈ In que es una BON de N , entonces V (B) es unaBON de T y, si llamamos yk = V wk para cada k ∈ In , queda que

V =∑k∈ In

yk wk .

En efecto, como V es iso desde N hasta T , luego dimN = dim T = n <∞. El resto de lacuenta sale porque ambas expresiones tienen el mismo dominio y coinciden en cada wk . 4

4.6.6 (Operadores de rango finito). Si tomamos ahora cualquier T ∈ LF (H) y tomamosB1 = uk : k ∈ In una BON de S = (kerT )⊥, entonces vale la formula

T = T PS = T∑k∈ In

uk uk =∑k∈ In

T uk uk .

Esto muestra que LF (H) = span L1(H). Observar que LF (H) no solo es un subespacio,sino que es un ideal bilatero del algebra L(H). Esto sale por el item 4 de la Prop. 4.6.4.

Pero mejor aun, si T = U |T | es la DP de T , podemos pensar a |T | : S → S. Ahı |T |tiene una BON de autovectores, ası que asumimos que cada |T |uk = sk(T )uk , donde lossk(T ) > 0 son los autovalores de |T | dentro de S, tambien llamados valores singulares de T .

Ademas, como U : S → U(S) = R(T ), nos queda que U(B) es una BON de R(T ). Sillamamos a cada U uk = vk , nos queda la hermosa formula

T = U |T | = U∑k∈ In

sk(T )uk uk =∑k∈ In

sk(T ) vk uk , (4.44)

que describe todo T ∈ LF (H) en terminos de dos SON’s (uno genera S y el otro el R(T ) ) y delos valores singulares de T . Observar que la Ec. (4.44) nos asegura de una que si T ∈ LF (H),entonces tambien T ∗ ∈ LF (H). Este tipo de expresiones seran generalizadas (a series) en elCapıtulo de operadores compactos. 4

133

Observacion 4.6.7. Casi todo lo que vimos en esta seccion se puede generalizar a operdoresentre dos Hilberts distintos. Por ejemplo, si x ∈ K and y ∈ H, entonces x y ∈ L1(H , K),y ellos generan el subespacio LF (H , K) (con las definiciones obvias).

Mas aun, todo lo anterior (salvo lo que use la * y la DP) se puede generalizar a un espacio deBanach E y sus operadores L(E). Allı habra que usar tensores ϕ x para x ∈ E y ϕ ∈ E∗.Ası podemos hacer que actuen haciendo ϕ x(z) = ϕ(z) · x para z ∈ E.

Y ya que estamos, tambien se hace en L(E , F ) donde F es otro EB. Dejamos como ejercicio(para el lector tenaz) reescribir toda la seccion en cada uno de estos contextos nuevos. 4

134

4.7 Ejercicios del Cap 4: Operadores en EH’s

Ejercicios aparecidos en el texto4.7.1. Veamos mas detalles en un espacio producto tipo el del Ejer. 3.8.7, cuando son 2 coordenadas. SeanH y K dos EH’s. Luego el espacio H ⊕ K con la estructura usual de C-EV (sumando y multiplicando porescalares en cada coordenada) y el PI dado por⟨

(x1 , y1) , (x2 , y2)⟩

= 〈x1 , x2〉H + 〈y1 , y2〉K para (x1 , y1) , (x2 , y2) ∈ H ⊕K

es un nuevo EH. Se llama la “suma ortogonal” de H y K. Probar que

1. Dado un (x , y) ∈ H ⊕K su norma cumple que ‖ (x , y) ‖2 = ‖x‖2H + ‖y‖2K .

2. La convergencia es en las dos coordenadas a la vez. Deducir que H⊕K era completo.

3. Dados subespacios S ⊆ H y T ⊆ K su suma S ⊕ T ⊆ H⊕K es un subespacio tal que

S ⊕ T = S ⊕ T ya que (S ⊕ T )⊥ = S⊥ ⊕ T ⊥ .

4. La flecha H 3 x 7→ (x , 0) ∈ H ⊕ 0 v H ⊕K es una isometrıa y por ello homeo con la imagen.

5. Idem para K → 0 ⊕ K v H⊕K.

6. Con las identificaciones del caso, queda que H⊥ = K y que K⊥ = H, siempre dentro de H⊕K.

Dados ahora M ∈ L(H) y N ∈ L(K), sea

M ⊕N ∈ L(H⊕K) dado por M ⊕N(x , y) = (M x , N y) ∈ H ⊕K

para cada par (x , y) ∈ H ⊕K. Se los llama “diagonales”. Probar las siguientes cosas:

1. Primero hay que verificar que efectivamente M ⊕N ∈ L(H⊕K).

2. Mas aun, se tiene que ‖M ⊕N‖ = max ‖M‖ , ‖N‖ .

3. Entre estos operadores, las operaciones sumar, multiplicar (i.e. componer), adjuntar e invertir (si sepuede), se hacen en cada coordenada.

4. Dado λ ∈ K se tiene que M ⊕N −λ IH⊕K ∈ Gl (H⊕K) ⇐⇒ M −λ IH ∈ Gl (H) y N −λ IK ∈ Gl (K).

5. R(M ⊕N) = R(M)⊕R(N) ⊆ H⊕K, y es cerrado ⇐⇒ ambos rangos lo son.

6. ker(M ⊕N) = kerM ⊕ kerN v H⊕K.

7. Un T ∈ L(H⊕K) es de estos diagonales ⇐⇒ conmuta con las proyecciones a PH y PK . 4

4.7.2. Sea T ∈ L(H). Probar que

T es normal ⇐⇒ A = Re T conmuta con B = Im T , (4.45)

y que en tal caso T ∗T = TT ∗ = A2 +B2. Suena conocido, no? 44.7.3. Sea H un EH. Trabajemos dentro de A(H) pensado como un R-EN. Probar que

1. El conjunto L(H)+ es un cono convexo cerrado dentro de A(H).

2. Gl (H)+ = A ∈ A(H) : A ≥ c I para algun c > 0 es exactamente el interior de L(H)+.

135

3. Deducir que Gl (H)+ es abierto en A(H). 4

4.7.4 (Criterio de Dini). Sea f = (fn)n∈N una sucesion en C[0, 1] que cumple:

1. Existe f ∈ C[0, 1] tal que fn(t) −−−−→n→∞

f(t) para todo t ∈ [0, 1].

2. La sucesion f es creciente: fn(t) ≤ fn+1(t) para todo n ∈ N y todo t ∈ [0, 1].

Con esas hipotesis probar que la convergencia fn −−−−→n→∞

f es uniforme en todo [0, 1]. 4

4.7.5. Sea H un EH. Probar que el orden ≤ de A(H), restringido al conjunto P(H) de los proyectores, esun reticulado (con sup e ınf de a muchos). Mas especıficamente, probar que

1. Dados P,Q ∈ P(H) con R(P ) = S y R(Q) =M, entonces son equivalentes

(a) P ≤ Q(b) S ⊆M(c) PQ = P o tambien (c’) QP = P

(d) Q− P ∈ P(H).

2. En tal caso Q− P = PMS , donde MS def= M∩ (S ∩M)⊥.

3. Deducir que el orden de P(H) coincide con el de la inclusion entre los S v H.

4. Verificar que los subespacios cerrados tienen sup e ınf (aun de familias infinitas) sin dramas.

Sugerimos usar que, vıa Pitagoras, x ∈M ⇐⇒ ‖x‖2 = ‖Qx‖2. 44.7.6. Sea T ∈ L(H) cuya DP esta dada por T = U |T |. Probar que:

1. Dada una constante λ = ei θ |λ| ∈ C, entonces

|λT | = |λ| |T | y que λT =(ei θ U

) (|λ| |T |

)es la DP de λT .

2. La (unica) DP de T ∗ esta dada por T ∗ = U∗|T ∗|.

3. Si T es normal y S = (kerT )⊥ es el dominio de U , entonces:

(a) |T | = |T ∗|.(b) Los tres operadores T , U y |T | conmutan entre sı.

(c) Se tiene que U : S → S (recordar que kerT = R(T )⊥).

4. Si T ∈ A(H) entonces tambien U ∈ A(H) (porque U∗ sirve como I P para T ).

5. Si T ∈ Gl (H), entonces sı vale que U = T |T |−1 ∈ U(H), y que U es la unica I P posible para la DPde T .

6. Si T es una isometrıa, entonces T ∗T = |T | = I y U = T . Es decir que la DP de T esta dada porT = T I (muy util en este caso). Tambien aquı U es unica (S = H).

7. Exhibir algunos ejemplos en que U no pueda ser reemplazada por un V ∈ U(H) (tal que T = V |T | ).Pensar en nuestro amigo el shift. ¿Que pasa con su adjunto?

8. Si se cumple alguna de estas condiciones:

(a) T es normal.

136

(b) T es inversible.

(c) dimH <∞.

Entonces sı existe un V ∈ U(H) que extiende a U , o sea que T = V |T | con V ∈ U(H).

Sug: En el caso de T normal usar que U : S → S. En el que dimH = n <∞, usar que dimR( |T | ) =dimR(T ) = n− dim kerT . 4

4.7.7. Sea H un EH. Dada U : S → M una I P en L(H), a veces conviene presentarla como U : P → Q,donde P,Q ∈ P(H) son P = PS y Q = PM . Probar que

1. Dados P,Q ∈ P(H), vale que U : P → Q es una I P ⇐⇒ U∗U = P y UU∗ = Q.

2. En particular toda P ∈ P(H) es una I P pensadda como P : P → P .

3. Definamos en P(H) la siguiente relacion: Dados P,Q ∈ P(H),

P ∼ Q si existe una U ∈ L(H) tal que U∗U = P y UU∗ = Q .

Obvio que tal U debe ser una I P. Esta relacion cumple lo que sigue:

(a) Es una relacion de equivalencia.

(b) Como tal es poco novedosa: Dados P,Q ∈ P(H), vale que

P ∼ Q ⇐⇒ dimR(P ) = dimR(Q) .

La gracia de ∼ es que su definicion vıa las I P’s no usa los rangos, lo que permitira definirla en algebrasde operadores donde sea mucho mas util. 4

4.7.8. Sean H un EH y T ∈ L(H). Probar que

1. Si un subespacio S es T -invariante, entonces S ∈ Lat (T ).

2. Si ahora S v H y consideramos el PS ∈ P(H), entonces

S ∈ Lat (T ) ⇐⇒ T PS = PS T PS y

S ∈ Latr (T ) ⇐⇒ T PS = PS T i.e., si T y PS conmutan .(4.46)

Identificando S ←→ PS pordemos pensar que Latr (T ) ⊆ Lat (T ) ⊆ P(H).

3. La notacion Lat viene de latice o reticulado. Mostrar que dados S ,M∈ Lat (T ),

S ∧M def= S ∩M ∈ Lat (T ) y S ∨M def= S +M∈ Lat (T ) .

4. Lo mismo vale para Latr (T ), porque dados S ,Mv H cualesquiera

(S ∨M)⊥ = (S +M)⊥ = S⊥ ∧M⊥ y (S ∧M)⊥ = S⊥ ∨M⊥ . 4

4.7.9. Sea H un EH. Dado T ∈ L(H), probar que Latr (T ) = Lat (T ) ∩ Lat (T ∗).

4.7.10. Sea H un EH. En el Cor. 4.5.4 se probo que si A ∈ A(H) entonces Lat (A) = Latr (A), o sea quetodo S v H que sea A-invariante cumple automaticamente que S⊥ es tambien A-invariante.

1. Probar a mano que lo de arriba es cierto.

137

2. Si ahora N ∈ L(H) es normal, mostrar que la igualdad Lat (N) = Latr (N) sigue valiendo si unoasume que dimH <∞.

3. Sean H = `2(Z) y U ∈ U(H) el shift unitario hacia la derecha. Observar que U , en tanto unitario, esnormal. Sea B = en : n ∈ Z la BON canonica de H.

(a) Mostrar que U esta caracterizado por el hecho de que U(en) = en+1 para todo n ∈ Z.

(b) Los subespacios Sn = span em : m ≥ n v H cumplen que Sn ∈ Lat (U).

(c) De hecho podemos ser mas especıficos:

U(Sn) = Sn+1 ⊆ Sn para todo n ∈ Z . (4.47)

(d) Probar que, sin embargo, ningumo de los Sn ∈ Latr (U).

Sug: Mostrar primero que Sn /∈ Lat (U∗) para todo n ∈ Z. 4

4.7.11. Verificar los detalles de todas las cuentas matriciales de 4.5.6. 44.7.12. 1. Dado S v H, probar que un Q ∈ L(H) cumple que

Q2 = Q con R(Q) = S ⇐⇒ Q =[IS X0 0

]SS⊥ ,

para algun X ∈ L(S⊥ , S). ¿Como seran lo idempotentes R tales que kerR = S?

2. Deducir que ‖Q‖ =(1 + ‖X‖2

)1/2 = ‖IH −Q‖. 4

4.7.13. Sean T ∈ L(H) y S ∈ Lat (T ). Si vale que dimS <∞ probar que

1. Si T ∈ Gl (H), entonces T (S) = S y por ello S ∈ Lat (T−1).

2. Usando lo anterior, probar que se tiene esta equivalencia:

T =[A B0 D

]SS⊥ ∈ Gl (H) ⇐⇒ A ∈ Gl(S) y D ∈ Gl(S⊥) . (4.48)

Aca es imprescindible recordar que A y D operan solo en sus “lugares”.

3. Si se cumple lo de (4.48), describir la matriz de T−1.

4. Mostrar un ejemplo donde (4.48) falle si dimS =∞.

5. Probar que aun en tal caso, la flecha ⇐= de (4.48) sigue siendo valida.

6. Si S ∈ Latr (T ) y tiene cualquier dimension, postular y probar una version de (4.48) para ese caso.

7. De nuevo en el caso S ∈ Latr (T ), comparar la representacion matricial de T con los operadoresdiagonales A⊕D ∈ L(S ⊕ S⊥) del Ejer. 4.7.1. 4

4.7.14. Sean H , K dos EH’s. Generalizar a los T ∈ L(H , K) la nocion de adjunto T ∗ ∈ L(K , H) tal que

〈T x , y〉K = 〈x , T ∗ y〉H para todo par x ∈ H , y ∈ K , (4.49)

y de todas las propiedades que puedan sobrevivir en este contexto. Se sugiere considerar el operador

AT =[

0 0T 0

]HK ∈ L(H⊕K) usando que A∗T =

[0 T ∗

0 0

]HK . 4

138

4.7.15. Sea H un EH. Fijemos x , y ∈ H. Recordemos que el tensor x y ∈ L1(H) era

x y(z) = x y∗ (z) = y∗(z) · x = 〈z, y〉x para todo z ∈ H .

Probar las siguientes cosas:

1. Vale que R(x y) = span x y que su nucleo es ker x y = y⊥.

2. La norma: ‖x y‖ = ‖x‖ ‖y‖.

3. El adjunto: (x y)∗ = y x.

4. El espectro: El unico autovalor de x y que puede ser no nulo es λ1 = 〈x, y〉. (adivinen quien es elautovector).

5. Si A , B ∈ L(H), las composiciones con x y quedan ası :

A (x y) = (Ax) y and (x y) B = x (B∗y) .

6. Dados v , w ∈ H, se tiene que (x y) · (v w) = 〈v, y〉 · x w ∈ L1(H).

7. Si x 6= 0, el proyector Px = x‖x‖

x‖x‖ = 1

‖x‖2 x x .

8. Los espacios L1(H) = z w : z , w ∈ H y LF (H) = span z w : z , w ∈ H = span L1(H).

9. Concluir que LF (H) es un ideal bilatero de L(H).

Ejercicios nuevos4.7.16. Sea H un EH. Dados S ,Mv H, llamemos P = PS y Q = PM . Probar que son equivalentes:

1. Ellos conmutan PQ = QP .

2. S =[S ∩M

]⊕[S ∩M⊥

].

3. M =[M∩S

]⊕[M∩S⊥

].

4. PQ = PS∩M ∈ P(H).

5. QP = PS∩M ∈ P(H).

Deducir que 2 y 3 por lo general NO son validas. Convencerse de eso dibujando tres rectas en R2. De pasomostrar que si dimS = dimM = 1 entonces lo de arriba vale ⇐⇒ S =M o bien S ⊥M. 44.7.17. Sea H un EH. Probar que los puntos extremales de la bola BL(H) = T ∈ L(H) : ‖T‖ ≤ 1 son lasisometrıas U ∈ L(H) : ‖U x‖ = ‖x‖ para todo x ∈ H.Sug. Usar que los puntos extremales de la bola BH son los vectores de norma uno, Ejer. 3.8.22.

4.7.18. Sea H un EH. Probar que las proyecciones de P(H) son los puntos extremales del conjunto:

[0, I] def= A ∈ L(H) : 0 ≤ A ≤ I .

4.7.19. Sea P ∈ P(H) cuyo rango es R(P ) = S. Esta proyeccion induce una descomposicion de losoperadores de A ∈ L(H) en matrices de 2× 2, del siguiente modo:

A =[A11 A12

A21 A22

]SS⊥

donde A11 ∼ PAP pero pensado en L(S), y analogamente se toman las compresiones A12 = PA(I − P ),A21 = (I − P )AP y A22 = (I − P )A(I − P ) a los espacios donde actuan. Probar:

139

1. Si A ∈ A(H), entonces su matriz asociada tiene la siguiente forma:

A =[C BB∗ D

]SS⊥ con C ∈ A(S) y D ∈ A(S⊥) .

Mas aun, si A ∈ L(H)+ entonces C ∈ L(S)+ y D ∈ L(S⊥)+.

2. Si un A ∈ L(H) se representa A =[C 00 D

]SS⊥ y nos dan un P ∈ C[X], entonces

P (A) =[P (C) 0

0 P (D)

]SS⊥ . 4

4.7.20. Sea A ∈ L(H)+ y tomemos su raiz cuadrada A1/2 ∈ L(H)+. Probar que

ker A = ker A1/2 pero R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(A) .

Mostrar ademas que si R(A) 6v H entonces las inclusiones son estrictas. 44.7.21. [Test de Schur] Sean anmn ,m∈N ∈ KN×N y λnn∈N ∈ RN

+tales que∑

n∈N|anm|λn ≤ b λm para todo m ∈ N, y

∑m∈N|anm|λm ≤ c λn para todo m ∈ N ,

para ciertas constantes b , c ∈ R. Probar que

1. Existe un operador T ∈ L(H) que tiene a anm como matriz (respecto a una BON de H).

2. Ademas vale que ‖T‖2 ≤ bc. 4

4.7.22 (Matriz de Hilbert). Sea H un EH con una BON en : n ∈ N. Queremos un T ∈ L(H) tal que

〈T em , en〉 =1

n+m− 1para todo par n , m ∈ N .

Probar que el tal T existe. Mostrar ademas que T = T ∗ y que ‖T‖ ≤ π.

Sug.: usar el test de Schur con λn = (n− 1/2)−1/2 y estimar las series usando integrales. 44.7.23. Sea T ∈ L(H)+. Probar que T 2 ≤ ‖T‖T . 44.7.24 (Dilacion unitaria de contracciones). Sea T ∈ L(H) tal que ‖T‖ ≤ 1. Probar que

1. Se tiene la igualdad T (I − T ∗T )1/2 = (I − TT ∗)1/2 T .

2. Trabajando en L(H⊕H), tendremos que el operador

UT =[

T (I − TT ∗)1/2

(I − T ∗T )1/2 −T ∗]

es unitario . 4

140

Capıtulo 5

Espacios localmente convexos

Recordemos que un espacio vectorial topologico (EVT) es un espacio topologico (E, τ)en el que E es un K-espacio vectorial, y la topologıa τ es de Hausdorff y cumple que lasoperaciones vectoriales

E × E 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ E y C× E 3 (λ , x) 7→ λx ∈ E (5.1)

son continuas, cuando en E ×E y en C×E se usan las topologıas producto. En particularesto hace que, para cada x ∈ E fijo, las aplicaciones Tx : E → E dada por Tx(y) = x+ y

y Mx : C→ E dada por Mx(λ) = λx (5.2)

sean continuas. Observar que cada Tx es un homeo, con inversa T−x . Esto dice que, fijadoun x ∈ E, podemos calcular siempre los entornos de x como

Oτ (x) = x +Oτ (0)def=x+ U = Tx(U) : U ∈ Oτ (0)

.

O sea que para dar una topologıa de EVT, basta con conocer una base (o sub-base) deentornos del cero de E.

Repasemos que una p : E → R es una seminorma si dados x , y ∈ E y λ ∈ K, se cumple que

1. p(x) ≥ 0.

2. p(λx) = |λ| p(x).

3. p(x+ y) ≤ p(x) + p(y).

Remarquemos que puede pasar que p(x) = 0 aunque x 6= 0 (por eso el “semi”).

5.1 Seminormas

Vimos que una sola norma produce una estructura metrica en E. Una seminorma no alcanza(la d asociada es solo un seudodistancia, como la ‖ · ‖p antes de cocientar a Lp). Sin em-bargo, es muy comun construir topologıas en espacios vectoriales usando familias de muchasseminormas. Como se pide Hausdorff, hagamos una definicion:

141

Definicion 5.1.1. Sea E un K-espacio vectorial.

1. Una familia F de seminormas en E se llama separadora si para cada par de puntosx 6= y de E existe p ∈ F tal que p(x− y) 6= 0. Esto implica que la familia de funcionesdz,p : E → R+ dadas por dz,p(x) = p(x−z), para x ∈ E (con parametros (z, p) ∈ E×F)separe los puntos de E.

2. Llamaremos σ(E,F) a la topologıa inicial inducida por esta familia de funciones. Esdecir, la menor topologıa sobre E que hace continuas a las funciones dz,p (para todoz ∈ E y toda p ∈ F).

Observaciones: 5.1.2. Si la familia F de seminormas separa puntos de E, resulta queσ(E,F) es una topologıa de Hausdorff. En efecto, observar que:

1. Dado x ∈ E, una sub-base de entornos de x esta constituida por conjuntos de la forma

Uz , p , ε = y ∈ E : |dz,p(y)− dz,p(x)| < ε = y ∈ E : |p(y − z)− p(x− z)| < ε ,

donde z ∈ E, p ∈ F y ε > 0.

2. Mas aun, para obtener una sub-base de Oσ(E,F)(x) alcanza con tomar los conjuntos

Ux , p , ε = Up , ε = y ∈ E : p(y − x) < ε para todo par p ∈ F , ε > 0 .

En efecto, la desigualdad triangular asegura que Up , ε ⊆ Uz , p , ε para todo z ∈ E.

3. Con estos semibasicos alcanza para testear que σ(E,F) es Hausdorff. Para verlo bastacon recordar que fijados x, y ∈ E, se tiene que

p(x− y) ≤ p(x− z) + p(y − z) para todo z ∈ E y toda p ∈ F .

4. Fijado un x ∈ E, los entornos Oσ(E,F)(x) tienen una base formada por conjuntos⋂k∈In

Upk , ε =y ∈ E : pk(y − x) < ε , k ∈ In

, (5.3)

moviendo n ∈ N, n-uplas (pk)k∈In en F y ε > 0.

5. Veamos ahora que σ(E,F) hace de E un EVT: Fijados x , y ∈ E y un ε > 0, consi-deremos el entorno Vp = Ux , p , ε × Uy , p , ε alrededor de (x, y). Luego se tiene que

|p(x+ y − (x′ + y′)

)| ≤ p(x− x′) + p(y − y′) < 2 ε para todo (x′ , y′) ∈ Vp ,

por lo que la flecha E × E 3 (z, w) 7→ z + w manda Vp adentro de Ux+y , p , 2 ε . Unentorno basico U de x+ y es una interseccion de estos entornos de x+ y, relativos a 2 ε

142

y finitas p1 , . . . , pn ∈ F . Si tomamos V =⋂k∈ In

Vpk , resulta ser un entorno de x + y

en E × E tal que “la suma” lo manda adentro de U . Por otra parte,

|p(λx)− p(λ′ x′)| ≤ p(λx− λ′ x′) = p(λx− λ′ x+ λ′ x− λ′ x′)

≤ |λ− λ′| p(x) + |λ′| p(x− x′) ,

para x , x′ ∈ E y λ , λ′ ∈ K cualesquiera. Tomando entornos adecuados de un par(λ , x) ∈ K× E fijo, sale la continuidad de la flecha K× E 3 (µ , y) 7→ µ y. 4

La verdadera utilidad de estos procesos para producir topologıas EVT radica en que ellospermiten encontrar la topologıa que se adecue a una convergencia dada en el espacio E.Sin entrar en detalles, pensemos en convergencias “de la f y de todas sus derivadas”, oconvergencia uniforme en compactos, etc. Una familia muy importante de convergencias en elcontexto de espacios normados (llamadas “la debil w” y “la debil estrella w∗ ”), acompanadasde sus topologıas onda σ(E,F), se vera en las secciones siguientes. Veamos ahora en quesentido la topologıa σ(E,F) se describe en terminos de convergencias:

Proposicion 5.1.3. Sea E un K-EV, y sea σ(E,F) la topologıa inducida por una familiaF de seminormas que separa puntos de E. Dada una red x = (xi)i∈ I en E, se tiene que

xiσ(E,F)−−−−→i∈ I

x ∈ E ⇐⇒ p(x− xi)R−−→i∈ I

0 para toda p ∈ F . (5.4)

Demostracion. Para mostrarlo basta fijarse quienes son los σ(E,F)-entornos del x, como sedescribe en la Ec. (5.3). O bien, recordar que pasaba con las topologıas iniciales.

La Proposicion anterior ayuda notablemente a la hora de testear si una funcion dada (quesale de, o que llega a un EVT dado por seminormas) es continua. Como estamos en uncontexto “lineal”, lo primero que uno debe estudiar es la continuidad de los operadoreslineales. Para ello pongamos (y recordemos) algunos nombres:

Notaciones 5.1.4. Sea E un K-EV.

1. Denotaremos por E ′ = ϕ : E → K : ϕ es lineal al espacio dual algebraico de E.

2. Los ejemplos mas usuales de seminormas en E consisten en tomar una funcional linealϕ ∈ E ′ y definir p = pϕ = |ϕ|.

3. Por lo general, uno toma un subespacio F ⊆ E ′ de funcionales, le pide que separepuntos de E, y toma la familia separadora de seminormas F = pϕ : ϕ ∈ F. En talcaso suele escribirse σ(E,F ) en lugar de σ(E,F).

4. Si me dan cualquier topologıa τ que haga de E un EVT, no toda ϕ ∈ E ′ debe serautomaticamente continua. De hecho, si dimE = ∞, la “mayorıa” de las funcionalesno lo son. Por ello de denomina dual “topologico” de E al K-EV

E∗τ = (E, τ)∗ = ϕ ∈ E ′ : ϕ es τ -continua = E ′ ∩ C(

(E, τ),K). (5.5)

En el caso que τ provenga de una norma ‖ · ‖, se escribıa E∗ a secas.

143

5. Observar que para cualquier ϕ ∈ E ′, se tiene que

ϕ ∈ (E, τ)∗ ⇐⇒ ϕ es τ -continua en el punto 0 ∈ E . (5.6)

Esto se debe a la igualdad ϕ(x)− ϕ(y) = ϕ(x− y) (y a que ϕ(0) = 0). Recordar quela condicion (5.1) asegura que una red xi −−→

i∈ Ix ⇐⇒ x− xi −−→

i∈ I0.

6. Si E era un C-EV, denotaremos por E ′R y (E, τ)∗R a sus duales pensandolo como R-EV(o sea las funcionales ϕ : E → R que son R-lineales). 4

Proposicion 5.1.5. Sea E un K-EV y sea ϕ ∈ E ′. Dada una familia separadora F deseminormas para E, las suguientes condiciones son equivalentes:

1. La funcional ϕ es σ(E,F)-continua.

2. Existen un M ≥ 0 y una n-upla (pk)k∈In en F tales que

|ϕ(x)| ≤ M maxk∈In

pk(x) , para todo x ∈ E .

Demostracion. Si ϕ ∈ (E, σ(E,F) )∗, por ser continua en 0 debe existir un entorno basicodel 0, pongamos que dado por un ε > 0 y una n-upla (pk)k∈In en F , tales que⋂

k∈In

x ∈ E : pk(x) < ε ⊆ x ∈ E : |ϕ(x)| < 1 . (5.7)

Es algo engorroso, aunque elemental, verificar que esto implica que

|ϕ(x)| ≤ 1

εmaxk∈In

pk(x) , para todo x ∈ E .

En efecto, el caso |ϕ(x)| = 0 no tiene gracia. Si |ϕ(x)| > 0 y sucediera que pk(x) < ε|ϕ(x)|para todo k ∈ In , la Ec. (5.7) asegurarıa que vale la siguiente contradiccion flagrante:

pk

(x

|ϕ(x)|

)< ε para todo k ∈ In =⇒ 1 =

|ϕ(x)||ϕ(x)|

=∣∣∣ϕ( x

|ϕ(x)|

) ∣∣∣ < 1 .

Poniendo M =1

ε, tenemos que 1 =⇒ 2. La recıproca es inmediata (vıa redes), ya que las

pk son continuas en 0 por hipotesis.

Teorema 5.1.6. Sea E un K-espacio vectorial y sea F ⊆ E ′ un subespacio vectorial quesepara puntos de E. Consideremos en E la topologıa σ(E,F ). Luego se tiene que(

E , σ(E,F ))∗

= F . (5.8)

Es decir que las unicas funcionales lineales sobre E que son σ(E,F )-continuas son las queya estaban en F .

144

Demostracion. Es claro que toda ϕ ∈ F queda σ(E,F )-continua (si no lo ve claro, repase laEc. (5.4) ). Para la recıproca, hace falta el siguiente lema algebraico:

Lema 5.1.7. Sean f y (fk)k∈In funcionales lineales en el K-espacio vectorial E. Las siguientescondiciones son equivalentes:

1. f =∑k∈In

αk fk , para ciertas α1, ..., αn ∈ K.

2. Existe α > 0 tal que |f(x)| ≤ αmaxk∈In|fk(x)| para todo x ∈ E.

3.⋂k∈In

ker fk ⊆ ker f .

Demostracion. La unica implicacion que no es evidente es (3) =⇒ (1). Si A : E → Kn es eloperador lineal dado por Ax = (f1(x), ..., fn(x) ) para x ∈ E, consideremos el diagrama

EA //

f !!CCCC

CCCC

Kn

g

K

Como kerA =⋂k∈In

ker fk ⊆ ker f , existe una funcional lineal g : Kn → C tal que g A = f .

O, si se prefiere, la condicion kerA ⊆ ker f permite definirla (bien) como

g : R(A)→ K dada por g(Ax) = f(x) ,

y luego extenderla Kn. Pero toda funcional lineal sobre Kn es de la forma

g(z) =∑k∈In

αk zk para z = (z1 , . . . , zn) ∈ Kn .

En particular, tomando z = Ax = (f1(x), ..., fn(x) ) obtenemos que

f(x) = g(Ax) =∑k∈In

αk fk(x) para todo x ∈ E , 4

Seguimos con el Teorema: Si ϕ ∈ E ′ es σ(E,F )-continua, la Prop. 5.1.5 asegura queexisten M > 0 una n-upla (ϕk)k∈In en F tales que

|ϕ(x)| ≤ M maxk∈In|ϕk(x)| para todo x ∈ E

Lema 5.1.7

=⇒ ϕ =n∑1

αk ϕk ,

para ciertos αk en K. Esto dice que ϕ ∈ F .

Observacion 5.1.8. Mas adelante veremos la importancia del Teo. 5.1.6 para el caso de dostopologıas (dadas por seminormas) que son muy importantes en el contexto de los EN’s.Ellas son las llamadas “debil” o “w” y la “debil * ” o w∗. Para no ser tan reiterativosmandamos al lector interesado al parrafo 5.5.1 donde se las define, describe y estudia. 4

145

5.2 Espacios localmente convexos.

Una de las ventajas de trabajar en K-espacios vectoriales es que en ellos tiene sentido lanocion de convexidad: Sea E un K-EV, y sea A ⊆ E. Recordemos que A es convexo si,dados x, y ∈ A se tiene que

[x, y]def= (1− λ)x+ λ y : λ ∈ [0, 1] ⊆ A .

Observar que [x, y] denota al “segmento” recto que une a x con y dentro de E. La teorıa deconjuntos convexos dentro de EVT’s esta muy desarrollada, y algunas cosas de ella veremosen lo que sigue. Empecemos con algunas propiedades quasitriviales, para entrar en tema.

Proposicion 5.2.1. Sea E un K-EV. Se tienen las siguientes propiedades:

1. La interseccion de cualquier cantidad de conjuntos convexos en E queda convexa.

2. El transladar a un convexo le conserva esa propiedad. Es decir que si A ⊆ E esconvexo, tambien lo sera A+ x = a+ x : a ∈ A, para todo x ∈ E.

3. Mas aun, si A,B ⊆ E son ambos convexos, tambien A+B = a+ b : a ∈ A y b ∈ Bqueda convexo.

4. Si A ⊆ E es convexo, para todo λ ∈ K se tiene que λA = λa : a ∈ A es convexo.

5. Dada un topologıa τ que haga de E un EVT, para todo convexo A ⊆ E se tiene quesu τ -clausura A

τes tambien convexo.

Demostracion. Es un ejercicio ideal para rumiar la definicion de convexidad. Hagamos laprueba del item 5, que no es tan facil: Si x ∈ A pero y ∈ A τ

, tomemos una red y = (yi)i∈ Ien A tal que yi −−→

i∈ Iy. Entonces, para todo λ ∈ [0, 1] sale que

A 3 λyi + (1− λ)x −−→i∈ I

λy + (1− λ)x =⇒ [x, y] ⊆ Aτ.

Haciendo lo mismo, pero ahora del lado del x, sale que Aτ

es tambien convexo.

Volviendo a la seccion anterior, en particular a la Ec. (5.3), notamos que si nos dan unafamilia F separadora de seminormas en E, resulta que la topologıa σ(E,F) tiene, en cadapunto x ∈ E, una base de entornos formada por abiertos convexos. A esta propiedad ledaremos un nombre:

Definicion 5.2.2. Sea (E, τ) un ETV. Decimos que E es un espacio localmente convexo(se abrevia ELC) si, para cada x ∈ E existe una base βx de Oaτ (x) que consiste de abiertosconvexos. 4

Observacion 5.2.3. Dado (E, τ) un ETV, se tiene que

1. Si queremos verificar que E es ELC, la condicion anterior (bases de entornos convexospara cada punto x) basta testearla en x = 0, porque todo U ∈ Oaτ (x) se puede escribircomo U = W + x con W ∈ Oaτ (0).

146

2. Si uno sabe que E es un ELC, se puede asumir que la base β0 consta de convexossimetricos, en el sentido de que V = −V = −x : x ∈ V .En efecto, dado un W de la base que uno tenıa, se lo cambia por V = W ∩ −W , quees mas chico, sigue siendo abierto y convexo, pero ahora queda simetrico.

3. Mas aun, se puede hacer una base de Oaτ (0) que consta de abiertos de la forma

V = U − U = x− y : x , y ∈ U para algun U abierto convexo simetrico .

Para ello, observemos que si V es simetrico y convexo como en 2, y tomamos U = 12V ,

entonces V = U − U . En efecto, si x, y ∈ U , luego x− y = 12(2x+ 2(−y) ) ∈ V . 4

Esta observacion sera clave a la hora de sacarle el jugo al siguiente Teorema de Minkowski,que de alguna manera dice que toda topologıa en E que lo haga ELC viene dada como unaσ(E,F) vıa una familia adecuada de R-seminormas.

Recordemos que, dado E un K-EV, una funcion q : E → R se llamaba sublineal si cumplela desigualdad triangular (q(x+ y) ≤ q(x) + q(y) para todo par x, y ∈ E) y ademas

q(λx) = λ q(x) (sin modulo) , para todo x ∈ E y todo λ ∈ R+ . (5.9)

Teorema 5.2.4. Sean E un ETV y U ⊆ E un abierto convexo tal que 0 ∈ U . Entonces

1. La funcion pU : E → R+ dada por

pU(x) = ınf s > 0 :1

sx ∈ U , para x ∈ E , (5.10)

es una funcion sublineal, y se denomina la funcional de Minkowski de U .

2. Se tiene ademas que U = x ∈ E : pU(x) < 1 .

Demostracion. Recordemos que, por la Ec. (5.1), si fijamos un x ∈ E se tiene que la funcionK 3 λ 7→ λx es continua. En particular, tenemos que x

n−−−→n→∞

0 ∈ U , por lo que 1nx ∈ U

a partir de cierto n0 . Luego pU(x) ≤ n0 < ∞. La comprobacion que pU es homogenearespecto a escalares positivos es un ejercicio elemental sobre ınfimos, que omitiremos.

Fijemos x, y ∈ E y tomemos escalares s, t > 0 tales que 1sx y 1

ty ∈ U . Como U es convexo

1

s+ t(x+ y) =

s

s+ t(

1

sx ) +

t

s+ t(

1

ty ) ∈ U =⇒ pU(x+ y) ≤ s+ t .

Esto muestra que pU(x+y) ≤ pU(x)+pU(y). Veamos ahora el item 2: Si x ∈ U , debe existirun ε > 0 tal que tambien (1 + ε)x ∈ U (esto vale por el comentario del principio). Entoncestenemos que pU(x) ≤ 1

1+ε< 1. Recıprocamente, si pU(x) < 1, debe existir un s < 1 tal que

1sx ∈ U . Como 0 ∈ U y U es convexo nos queda que x = (1− s)0 + s 1

sx ∈ U .

147

Observacion 5.2.5. Si uno asume que (E, τ) es un R-ELC, y toma β0 una base de entornosabiertos, convexos y simetricos del 0 ∈ E (se usa la Obs. 5.2.3), cada U ∈ β0 produce, vıael Teo. 5.2.4 una sublineal pU tal que U = x ∈ E : pU(x) < 1. Ahora bien, el hecho deque los U ’es sean simetricos implica que pU(−x) = pU(x) para todo x ∈ E (esto se deducede la Ec. (5.10) ). Pero esto sumado a la homogeneidad para t ≥ 0, asegura que las pU sonR-seminormas. Si ahora uno toma la familia

F = pU : U ∈ β0 ,

es facil ver que τ = σ(E,F), como asegurabamos antes. 4

5.3 Hahn Banach version separacion

Teorema 5.3.1 (de separacion de H-B). Sea (E, τ) un EVT y sean U, V ⊆ E dos convexosdisjuntos y no vacıos, tales que U es abierto. Luego existen ϕ ∈ (E, τ)∗ y t ∈ R tales que

Reϕ(x) < t ≤ Reϕ(y) para todo par x ∈ U , y ∈ V .

Demostracion. Caso real. Fijemos x0 ∈ U , y0 ∈ V , y consideremos el conjunto

W = y0 − x0 + U − V . Como W =⋃y∈V

y0 − x0 − y + U ,

vemos que W es abierto. Es claro que 0 ∈ W , y una cuenta directa muestra que W es,ademas, convexo. Tomemos la funcional de Minkowski pW de la Teo. 5.2.4 y el punto z =y0 − x0 . Usando que U ∩ V = ∅, concluimos que z /∈ W , por lo que pW (z) ≥ 1. Definamosϕ0 : Rz → R por ϕ0(az) = a, (a ∈ R). Entonces si a ≥ 0, se tiene que

ϕ0(az) = a ≤ apW (z) = pW (az) .

Si a < 0, tenemos que ϕ0(az) = a < 0 ≤ pW (az). Ası, ϕ0 ≤ pW en todo R z. Por elteorema de Hahn-Banach 2.1.2, podemos extender ϕ0 a una funcional R-lineal ϕ : E → Rtal que ϕ(x) ≤ pW (x), ahora para todo x ∈ E. Veamos que esta ϕ ∈ (E, τ)∗. Basta ver lacontinuidad en 0 ∈ E. Para ello, observemos que si x ∈ W , se tiene que ϕ(x) ≤ pW (x) < 1.Si ahora me dan un ε > 0, podemos deducir de lo anterior que

|ϕ(w)| < ε para todo w ∈ −εW ∩ εW ,

que es un entorno de 0. Lista la continuidad. Si x ∈ U , y ∈ V entonces

x− y + z ∈ W =⇒ ϕ(x− y + z) < 1ϕ(z)=1

=⇒ ϕ(x) < ϕ(y) .

Ademas ϕ(U) y ϕ(V ) son intervalos reales disjuntos, puesto que U y V son convexos y ϕ eslineal. Por otra parte ϕ(U) es abierto pues U lo es. Basta entonces tomar t = supϕ(U). 4Caso complejo. Consideremos a E como R-EV, y encontremos, por el caso anterior, unafuncional R-lineal φ ∈ (E, τ)∗R tal que

φ(U) < t ≤ φ(V ) , para cierto t ∈ R .

Luego ϕ(x) = φ(x)− iφ(ix) cumple que es C-lineal, τ -continua, y que Reϕ = φ.

148

Corolario 5.3.2. Sea (E, τ) un ELC y sean K,F ⊆ E dos convexos disjuntos y no vacıos,tales que K es compacto y F cerrado. Luego existen ϕ ∈ (E, τ)∗R , ε > 0 y t ∈ R tales que

ϕ(x) ≤ t− ε < t ≤ ϕ(y) para todo par x ∈ K , y ∈ F . (5.11)

Demostracion. Si existiera un abierto convexo U tal que 0 ∈ U y (K+U)∩F = ∅ estarıamoshechos, porque en tal caso existirıan una ϕ ∈ (E, τ)∗R y un t ∈ R tales que

ϕ(x) < t ≤ ϕ(y) para todo par x ∈ K + U , y ∈ F .

Eso saldrıa aplicando el Teo. 5.3.1 al abierto convexo K + U y al convexo F . Pero comotenemos que K es compacto, K ⊆ K+U y ϕ continua, existirıa el ε > 0 tal que valga (5.11).

Para construir el U se hace ası: Para cada x ∈ K tomemos un convexo simetrico Ux ∈ Oaτ (0)tal que, aun tomando Vx = Ux−Ux valga que x+ Vx ⊆ E \F . Existen porque F es cerradoy por la Obs. 5.2.3. Es calro que existen x1 , . . . , xn ∈ K tales que

K ⊆⋃k∈ In

xk + Uxk ⊆⋃k∈ In

xk + Vxk ⊆ E \ F .

Tomemos ahora U =⋂k∈ In

Uxk . Observemos que, dado x ∈ K, existe un k ∈ In tal que

x ∈ xk + Uxk . Luego x + U ⊆ xk + (Uxk + U ) ⊆ xk + Vxk ⊆ E \ F . Como esto pasa para

todos los x ∈ K llegamos a que (K + U) ∩ F =( ⋃x∈K

x+ U)∩ F = ∅.

Corolario 5.3.3. Sea (E, τ) es un ELC. Dados F ⊆ E un convexo cerrado, y x ∈ E \ F ,existen una ϕ ∈ (E, τ)∗R tal que ϕ(x) < mın

y∈Fϕ(y).

Proof. Los puntos son compactos.

Corolario 5.3.4. Si (E, τ) es un ELC, su dual E∗τ = (E, τ)∗ separa puntos de E.

Demostracion. Sabemos que E es Hausdorff. Luego los puntos son tambien cerrados.

5.4 Krein-Milman

Definicion 5.4.1. Sea E es un K-EV y fijemos K ⊆ E.

1. Un subconjunto A ⊆ K es extremal en K si para cada par x, y ∈ K se cumple que

(x, y) ∩ A 6= ∅ =⇒ x , y ∈ A ,

donde (x, y) = (1− λ)x+ λ y : λ ∈ (0, 1) es el segmento “abierto” que va de x a y.

2. Un z ∈ K es un punto extremal de K si el conjunto z es extremal en K, o sea sipara cada par x, y ∈ K se cumple que

z ∈ (x, y) =⇒ x = y = z .

149

3. Denotaremos por Ext(K) al conjunto de puntos extremales de K.

Ejemplo 5.4.2. Sea E es un K-EV y sea K ⊆ E. Los subconjuntos extremales de K sepueden visualizar como vertices, lados o caras de K (sobre todo si es convexo y cerrado).

Intuitivamente, una manera de encontrar ese tipo de partes es cortar a K con un hiper-plano de E, e ir corriendose hasta los dos bordes, a ver que queda. Esto se puede haceranalıticamente cortando a K con hiperplanos afines del tipo x ∈ E : ϕ(x) = λ para unaϕ ∈ E∗R , y distintos valores de λ. En efecto, si K es acotado, los conjuntos

mϕ(K) =x ∈ K : ϕ(x) = ınf

y∈Kϕ(y)

y Mϕ(K) =

x ∈ K : ϕ(x) = sup

y∈Kϕ(y)

(5.12)

son, efectivamente, extremales para K. La prueba es directa, y queda como ejercicio.

Lo interesante es que, si K era compacto, entonces mϕ(K) 6= ∅ 6= Mϕ(K). Esto se pruebatomando, por ejemplo, una red x = (xi)i∈ I en K tal que ϕ(xi) −−→

i∈ Iınfy∈K

ϕ(y), y luego una

subred convergente, cuyo lımite debe caer en mϕ(K). 4

Ejercicio 5.4.3. Sea E es un K-EV y sea K ⊆ E. Si me dan un conjunto A0 ⊆ K quees extremal para K, y otro A1 ⊆ A0 que es extremal para A0 , probar que A1 es tambienextremal para K. 4

Ejercicio 5.4.4. Sea E es un K-EV. Sean K ⊆ E un convexo, y x ∈ K. Probar que

x ∈ Ext(K) ⇐⇒ K \ x sigue siendo convexo . 4

Proposicion 5.4.5. Sea E un K-ELC. Si K ⊆ E es compacto, entonces Ext(K) 6= ∅.

Demostracion. Sea C = A ⊆ K : A es extremal en K, cerrado y no vacıo , ordenado porla inclusion al reves. El conjunto C 6= ∅ porque K ∈ C. Para usar el Lema de Zorn, veamosque el orden de C es inductivo: Sea A ⊆ C una familia totalmente ordenada. LlamemosA =

⋂A. Como ∅ /∈ C y el orden en A es total, vemos que A tiene la PIF. Como K es

compacto, el Teo. A.12.3 nos da que A 6= ∅. El hecho de que una interesecion de extremaleses extremal es bien facil. Y de cerrados ni hablar.

Ası que A ∈ C y es una buena cota inferior de A. Ahora sı, Zorn asegura que existe unA0 ∈ C maximal (o sea que A0 es minimal para la ⊆). Veremos que A0 contiene un unicopunto, que sera entonces un punto extremal de K.

Supongamos que existieran x1 , x2 ∈ A0 dos puntos distintos. Como E es un ELC, elCor. 5.3.4 nos asegura que existe una ϕ ∈ E∗R tal que ϕ(x1) 6= ϕ(x2). Observar que, como A0

es cerrado y vive en K, debe ser compacto. Por el Ejem. 5.4.2, el conjunto

mϕ(A0) = x ∈ A0 : ϕ(x) = ınfy∈A0

ϕ(y) ⊆ A0

es cerrado, no vacıo y extremal para A0 . Por el Ejer. 5.4.3, vemos que mϕ(A0) es tambienextremal para K. Sin embargo, tenemos que A0 6= mϕ(A0), porque mϕ(A0) no puede

150

contener simultaneamente a los puntos x1 y x2 . Como esto contradice la maximalidad-minimalidad de A0 , vemos que A0 = x y que x ∈ Ext(K).

El resultado mas importante de esta seccion es el Teorema de Krein Milman, que formalizaun enunciado intuitivamente natural: un convexo compacto es el conjunto de combinacionesconvexas de sus puntos extremales. Uno se imagina polıgonos o elipses y parece convincente.Ademas, ahora ya sabemos que los compactos en un ELC tienen extremales. Definamosahora las capsulas convexas:

Definicion 5.4.6. Sea E un R-EV, y sea A ⊆ E. La capsula convexa de A es el conjunto

Conv (A) = combinaciones convexas de elementos de A .

O sea que los elementos de Conv (A) son todos los del tipo∑k∈In

λk ak , donde los ak ∈ A y

los λk viven en R+ y cumplen que∑k∈In

λk = 1. Si ahora tenemos que (E, τ) es un EVT,

denotaremos por Conv (A) = Conv τ (A) a la τ -clausura de Conv (A). 4

Veamos ahora una propiedades obvias de estas nociones: Sea E un EVT, y sea A ⊆ E.

1. Tanto Conv (A) como Conv (A) son convexos.

2. Mas aun, se puede caracterizar a Conv (A) (resp. Conv (A) ) como el menor convexo(resp. convexo cerrado) que contiene a A.

3. A es convexo si y solo si A = Conv (A).

4. Conv (Conv (A) ) = Conv (A) y Conv (Conv (A) ) = Conv (Conv (A) ) = Conv (A).

Teorema 5.4.7 (Krein - Milman). Sea E un ELC y sea K ∈ E compacto. Entonces

K ⊆ Conv Ext(K) .

En particular, se tienen las siguiente igualdades:

1. Conv Ext(K) = ConvK.

2. Si asumimos que K es convexo (y compacto), entonces K = Conv Ext(K).

Demostracion. Llamemos K0 = Conv Ext(K), y supongamos que existe un x0 ∈ K \ K0 .Por el teorema de separacion de Hahn-Banach 5.3.1, deben existir ϕ ∈ E∗R y t ∈ R tales queϕ(x0) < t ≤ ϕ(K0). Llamemos K1 = mϕ(K) ⊆ K, que ya sabemos que es un subconjuntono vacıo, cerrado (luego compacto) y extremal en K. Por la Prop. 5.4.5, podemos tomar unx ∈ Ext(K1) que, por el Ejer. 5.4.3 es tanbien extremal para K. Sin embargo,

ϕ(x) = infy∈K

ϕ(y) ≤ ϕ(x0) < t ≤ ϕ(Ext(K)

).

Esta contradiccion muestra que K ⊆ Conv Ext(K).

151

Ejercicio 5.4.8. Sean (E, τ) un ELC y K ⊆ E un un compacto.

1. Dado x /∈ K, existe U ∈ Oaτ (0) convexo tal que (x+ U) ∩ (K + U) = ∅.

2. Deducir que, si K fuera tambien convexo, existe ϕ ∈ E∗R tal que

ϕ(x) < t < t+ ε < ϕ(K) para ciertos t ∈ R y ε > 0 .

3. Encontrar un compacto K (ahora no convexo) tal que ConvK no es compacto.

4. En cambio, si tambien ConvK es compacto, entonces Ext(

ConvK)⊆ K. 4

5.5 Topologıas debiles en espacios normados y ELC’s

Sea E un espacio de Banach. Se dice que E es reflexivo si la imagen de E por la isometrıaJE : E → E∗∗ es todo el espacio E∗∗. En otras palabras, si las unicas funcionales continuassobre E∗ son las evaluaciones en puntos de E.

Esto es siempre ası cuando dimE < ∞, y tambien para los Lp(X,Σ, µ) y los `p, para1 < p < ∞. Pero muchas veces deja de pasar en el caso infinitodimensional (sin ir maslejos, L1(X,Σ, µ) no es reflexivo). Mucha teorıa de espacios de Banach sale bien redondaen los espacios reflexivos, por lo que esta muy desarrollado el estudio de condiciones queaseguren la reflexividad. Algunos de estos criterios, en particular aquellos que involucran elcomportamiente de E relativo a sus topologıas debiles, seran tratados en este texto.

Sin embargo, la mayorıa de los espacios de Banach importantes no son reflexivos. Paradesfacer este entuerto, las topologıas debiles tambien ayudan lo suyo. Esto se debe a unaespecie de reflexividad debil que es automatica, como veremos enseguida. Otras grandesventajas de usarlas provienen de dos teoremas muy profundos, el de Goldstine (que da otrosucedaneo de la reflexividad), y fundamentalmente el de Alaoglu, que asegura que en ciertosespacios de Banach (aquellos que son el dual de otro) la bola es, al menos, w∗-compacta.

5.5.1. Hay dos ejemplos importantes de topologıas inducidas por seminormas, en el contextode espacios normados y ELC:

1. Sea E un espacio normado y E∗ su dual (topologico). Consideremos sobre E la familiade seminormas

F = pϕ : ϕ ∈ E∗ , donde pϕ(x) = |ϕ(x)| , (x ∈ E) .

Como ya vimos, la topologıa inducida por F sobre E se denota σ(E,E∗) y se denominala topologıa debil de E. A veces se la abrevia como “w”.

2. La topologıa σ(E∗, E) en E∗, es la inducida por la familia de seminormas

F = px : x ∈ E , donde px(ϕ) = |Jx (ϕ)| = |ϕ(x)| , (ϕ ∈ E∗) . (5.13)

A σ(E∗, E) se la denomina topologıa debil ∗ de E∗, y se la abrevia con w∗.

152

3. Observar que, en realidad, la σ(E∗, E) esta producida por un subespacio de E∗∗, queno es otro que JE(E), donde JE : E → E∗∗ es la isometrıa definida en la Ec. (2.8). Perocomo la accion de estas funcionales sobre E∗ es justamente operar por evaluacion enlos x ∈ E, la notacion σ(E∗, E) es justa, y por supuesto es mas economica que ponerσ(E∗, JE(E) ).

4. Mas aun, si ahora suponemos que (E, τ) es solo un ELC, tambien tenemos un dualtopologico E∗τ = (E, τ)∗ que separa puntos. Luego podemos definir:

(a) En E una topologıa debil σ(E,E∗τ ), tambien llamada w.

(b) En E∗τ , que a priori no tiene ninguna topologıa el pobre, ponemos tambien latopologıa w∗, o sea la σ(E∗τ , E), con la misma definicion que en la Ec. (5.13) (peroaca el Jx ∈ (E∗τ )

′ ).

5. Observar que σ(E,E∗τ ) y σ(E∗τ , E) tienen una linda propiedad (esto incluye el caso enque E es normado): Por el Teo. 5.1.6, vemos que(

E , σ(E,E∗τ ))∗

= E∗τ y(E∗τ , σ(E∗τ , E)

)∗ ∼= E , (5.14)

donde el ∼= es lo que uno se imagina.

6. Las topologıas w y w∗ se describen bien por convergencias (de hecho es de ahı de dondenacen): Por la Ec. (5.4), se tiene que

xiw−−→i∈ I

x ⇐⇒ ϕ(xi) −−→i∈ I

ϕ(x) para toda ϕ ∈ E∗ (o ϕ ∈ E∗τ ) . (5.15)

En forma similar, ϕiw∗−−→i∈ I

ϕ ⇐⇒ ϕi(x) −−→i∈ I

ϕ(x) para todo x ∈ E.

En otras palabras, la convergencia w es la convergenicia “contra toda ϕ del dual”,y la w∗ es ni mas ni menos que la puntual. Observar que estas caracterizacionesmuestran, en particular, que las topologıas debies recien definidas son efectivementemas debiles que las del ambiente (cuando las hay). Veremos ahoran una importantısimaconsecuencia del teorema de separacion de HB 5.3.1, que va en la otra direccion: 4

Proposicion 5.5.2. Sea (E , τ) un ELC, y sea A ⊆ E un conjunto convexo. Luego

Aτ

= Aσ(E ,E∗τ )

.

Es decir que, para un convexo, las clausuras fuerte y debil coinciden.

Demostracion. Es claro que σ(E,E∗τ ) ⊆ τ =⇒ Aτ ⊆ A

σ(E ,E∗τ ), por ejemplo porque

en τ es mas difıcil converger. Tomemos ahora cualquier x ∈ E \ A τ. Como E es ELC,

existe un entorno abierto y convexo U de x tal que U ∩ A τ= ∅. Ademas, la Prop. 5.2.1

153

nos asegura que Aτ

sigue siendo convexo. Estamos en las condiciones del Teo. 5.3.1, queasegura la existencia de una ϕ ∈ E∗τ y un t ∈ R tales que

Reϕ(U) < t ≤ Reϕ(A

τ )=⇒ Reϕ(x) < t ≤ Reϕ

(A

τ ).

Por un lado vemos que A ⊆ Fdef= y ∈ E : Reϕ(y) ≥ t. Por el otro, como nuestra ϕ ∈ E∗τ ,

entonces ella y su parte real deben ser σ(E,E∗τ )-continuas y por ende el conjunto F debe ser

σ(E,E∗τ )-cerrado. Ası que ya tenemos la inclusion Aσ(E ,E∗τ ) ⊆ F .

Sin embargo, el puntito x cumplıa que Reϕ(x) < t =⇒ x /∈ F =⇒ x /∈ A σ(E ,E∗τ ). Como

ese x era un punto cualquiera de E \ A τ, hemos probado que A

σ(E ,E∗τ ) ⊆ Aτ.

Corolario 5.5.3. Sea (E , τ) un ELC. Si A ⊆ E es convexo y τ -cerrado, entonces debe sertambien σ(E , E∗τ )-cerrado.

Observar que podemos aplicar el Cor. 5.5.3 a subespacios, para los que sera lo mismo serfuerte o debilmente cerrados. Por otra parte, en el caso de que E fuera normado, vale paralas bolas cerradas. Esto dice que la convergencia w no puede “agrandar normas”:

Ejercicio 5.5.4. Sean E un EN, un punto x ∈ E y una sucesion x = (xn)n∈N en E talesque xn

w−−−→n→∞

x. Probar que

1. Nuestra x = (xn)n∈N debe ser acotada en norma (remember Cor. 2.5.2).

2. Ademas ‖x‖ ≤ lim infn→∞

‖xn‖.

3. Existe otra sucesion (zn)n∈N que ahora vive en la capsula convexa Conv xn : n ∈ Nque cumple la condicion mas fuerte zn

‖· ‖−−−→n→∞

0. 4

El siguiente resultado dice, en particular, que el Cor. 5.5.3 falla si no pedimos que los con-juntos sean convexos. Por lo general, sucede el fenomeno de que las clausuras debiles “llenanagujeros”, como veremos a continuacion:

Proposicion 5.5.5. Si E es un espacio de Banach de dimension infinita, entonces la clausurade SE = x ∈ E : ‖x‖ = 1 en la topologıa w = σ(E,E∗) es toda la bola BE .

Demostracion. Antes que nada, el Cor. 5.5.3 asegura que BE es σ(E,E∗)-cerrada. Para

probar que B1 = x ∈ E : ‖x‖ < 1 ⊆ SEσ(E,E∗)

basta demostrar que todo entorno V detodo x0 ∈ B1 corta a la esfera SE . Tomemos un basico

V = x ∈ E : |ϕk(x)− ϕk(x0)| < ε, k ∈ In ,

para ciertos ε > 0 y ϕ1 , ..., ϕn ∈ E∗. Observemos que M =⋂k∈ In

kerϕk 6= 0, porque si

no la funcion lineal E 3 z 7→ (ϕ1(z) , ..., ϕn(z) ) ∈ Cn serıa inyectiva, por lo que E tendrıadimension finita. Notemos que x0 + M ⊆ V . A esta altura sugerimos hacer un dibujo:

154

Un subespacio puesto arriba de un punto x0 ∈ B1 tiene que “cortar” a la cascara SE .Graficamente no quedan dudas. Veamoslo en letras: Tomemos un z0 ∈M \0, y la funcion

f : R→ R , dada por f(t) = ‖x0 + t z0‖ .

Es claro que f es continua, f(0) = ‖x0‖ < 1 y lımt→∞

f(t) = +∞. Luego existe un s ∈ R tal

que f(s) = ‖x0 + s z0‖ = 1. Esto significa que x0 + s z0 ∈ (x0 +M) ∩ SE ⊆ V ∩ SE .

La Prop. 5.5.2 estudia clausuras con la topologıa w de un normado. En caso de que estesea el dual de alguien, tiene tambien su w∗ (que es mas debil aun que su w, porque usasolo funcionales de su pre-dual, que son muchas menos que las de su post-dual). Veremos acontinuacion el renombrado teorema de Goldstine que dice que clausuras en norma y en law∗ pueden no coincidir, aun en conjuntos convexos, y muy famosos. Pero antes de enunciarlorepasemos unas cosas.

Recordemos que, dado un espacio normado E, denotamos por JE : E → E∗∗ denota a laisometrıa natural, que en general no es epi. Por ello, JE(BE) es cerrada en la norma de E∗∗

(siempre que E sea un Banach), pero por lo general (si E no es reflexivo) es mucho maschica que BE∗∗ . Sin embargo, para la otra topologıa usual de E∗∗, que es la σ(E∗∗ , E∗) (osea la w∗ de E∗∗), veremos que JE(BE) es siempre densa en la bola BE∗∗ .

Teorema 5.5.6 (Goldstine). Sea E es un espacio normado y JE : E → E∗∗ es la isometrıanatural. Llamemos B = JE(BE) ⊆ E∗∗. Luego vale que

B es σ(E∗∗ , E∗) densa en BE∗∗ , o sea que JE(BE)w∗

= BE∗∗ . (5.16)

Si bien esta formulacion es muy rimbombante, demos tambien esta otra mas concreta:

Para toda ρ ∈ BE∗∗ existe una red x = (xi)i∈ I en BE tal que ϕ(xi) −−→i∈ I

ρ(ϕ) ,

para todas las ϕ ∈ E∗ (con la misma red).

Demostracion. En principio hace falta ver que Bw∗ ⊆ BE∗∗ , lo que significa que el tomar

lımites w∗ no agranda las normas. En efecto, si tomamos una red x = (xi)i∈ I en BE , y

asumimos que JE xiw∗−−→i∈ I

ρ ∈ E∗∗, para cada ϕ ∈ BE∗ nos da que

ρ(ϕ) = limi∈I

JE xi(ϕ) = limi∈I

ϕ(xi) .

Como todos los terminos ϕ(xi) cumplen que |ϕ(xi)| ≤ ‖ϕ‖ ‖xi‖ ≤ 1, vemos que |ρ(ϕ)| ≤ 1.Como ϕ ∈ BE∗ era cualquiera, deducimos que ‖ρ‖ ≤ 1, o sea que ρ ∈ BE∗∗ .

Llamemos A = Bw∗

, que es convexo y w∗-cerrado (incluso mas: en breve veremos que esw∗-compacto por Alaoglu). Supongamos que existe un ρ ∈ BE∗∗ \ A. Como (E∗∗, w∗) es unELC, podemos encontrar un abierto U ∈ σ(E∗∗ , E∗) que cumpla las siguientes condiciones:

U es convexo , ρ ∈ U y U ∩ A = ∅ .

155

Les podemos aplicar el teorema separacion de H-B 5.3.1 a los convexos A y U (con esteultimo w∗-abierto). El nos dice que existe una funcional Φ ∈ (E∗∗ , w∗)∗ tal que

Re Φ(A)≤ t < Re Φ

(U), para cierto t ∈ R .

Como 0 ∈ A, vemos que t ≥ 0. Observar que, por el Teo. 5.1.6, sabemos que(E∗∗ , σ(E∗∗ , E∗)

)∗= JE∗(E

∗) ⊆ E∗∗∗ =⇒ Φ = JE∗ ϕ para cierta ϕ ∈ E∗ .

Ası que, si tomamos un x ∈ BE , como JE x ∈ A, tendremos que

t ≥ Re Φ(JE x) = Re JE∗ ϕ(JE x

)= Re JE x (ϕ) = Re ϕ(x) .

Pero si ϕ(x) = eiθ|ϕ(x)|, la misma desigualdad vale para y = e−iθx ∈ BE . Luego,

|ϕ(x)| = e−iθ ϕ(x) = ϕ(y) = Reϕ(y) ≤ t .

Esto dice que ‖Φ‖ = ‖ϕ‖ = supx∈BE

|ϕ(x)| ≤ t. Lamentablemente, por otro lado tendremos que

‖Φ‖ ≤ t < Re Φ(ρ) ≤ |Φ(ρ)| ≤ ‖Φ‖ ‖ρ‖ ≤ ‖Φ‖ (porque ρ estaba en BE∗∗) .

Este desastre provino de suponer que BE∗∗ \ A 6= ∅, y a otra cosa mariposa.

Observacion 5.5.7. El Teorema de Goldstine tiene aplicaciones en la direccion de carac-terizar la reflexividad de espacios de Banach (que ya veremos). Sin embargo, su formulacionconcreta es tambien muy util en varios contextos. El mas interesante lo contaremos somer-amente a continuacion, a pesar de que habra que creer un monton de cosas.

Sea X un ET compacto Hausdorff. Tomemos el espacio de Banach C(X) = C(X,C), con lanorma ‖·‖∞ . En 1.3.3 mencionamos el Teor. de Riesz, que dice que C(X)∗ = Mr(X), que esel espacio de medidas Borelianas, complejas y regulares, dotado de la norma ‖µ‖ = |µ|(X),donde |µ| es la variacion total de µ (que es una medida positiva finita). La accion de Mr(X)sobre C(X) esta dada por la integracion:

Fijada µ ∈Mr(X) , hacemos ϕµ (f) =

∫X

f dµ , para cada f ∈ C(X) .

Ahora bien, el espacio C(X)∗∗ = Mr(X)∗ es inabordable. Pero uno conoce muchos de suselementos. Por ejemplo, si g : X → C es medible Borel y acotada, se puede definir

ρg ∈Mr(X)∗ dada por ρg(µ) =

∫X

g dµ , para cada µ ∈Mr(X) .

Mas aun, es facil ver (si uno sabe algo de estas cosas) que ‖ρg‖ = ‖g‖∞ . Por ejemplo,∣∣∣ ∫X

g dµ∣∣∣ ≤ ∫

X

|g| d|µ| ≤ ‖g‖∞ |µ|(X) = ‖g‖∞ ‖µ‖ , para toda µ ∈Mr(X) .

156

La otra desigualdad sale usando las medidas puntuales µx ∈ Mr(X), (x ∈ X) que integranevaluando en x y tienen norma uno. Ahora llegamos al Teorema de Goldstine 5.5.6. Elnos dice que, para cada g : X → C medible Borel y acotada, se puede encontrar una redf = (fi)i∈ I en C(X) tal que ‖fi‖∞ ≤ ‖ρg‖ = ‖g‖∞ para todo i ∈ I, que ademas cumple que∫

X

fi dµ −−→i∈ I

∫X

g dµ , para toda µ ∈Mr(X) .

Es divertido observar que el hecho de que fiw∗−−→i∈ I

g significaba que convergen “puntualmente”,

pero que en este contexto los “puntos” vendrıan a ser todas las medidas µ ∈Mr(X). Comoellas incluyen a las µx para los x ∈ X, eso es decir mucho mas que la la otra nocion deconvergencia “puntual” dada por fi(x) −−→

i∈ Ig(x) para todo x ∈ X.

Esta aproximacion de las acotadas por las continuas (del mismo tamano y para todas lasmedidas con una sola red) es interesante en sı misma, pero es de capital importancia alestudiar el teorema espectral para operadores acotados autoadjuntos en espacios de Hilbert.

Todo lo anterior se puede generalizar al caso en que X sea tan solo LKH, y el Banach seaC0(X), cuyo dual sigue siendo Mr(X). Aplicando esto a X = N con la topologıa discreta,releemos lo anterior como:

c0∗ = `1 = Mr(N) , (`1)∗ = `∞ y que truncar aproxima w∗ a los elementos de `∞ .

Esto sale a mano, pero da una idea del tipo de teorema que hemos visto. 4

5.6 Alaoglu

El siguiente teorema es lo mas importante de todo el Capıtulo. Para medir su impacto, basterecordar que ningun espacio normado infinitodimensional puede tener bolas compactas. Eltema es que los espacios de Banach, aun siendo metricos completos, no son casi nuncalocalmente compactos. Y para peor, la falta compacidad local hace fallar casi la mitadde los teoremas que uno quisiera probar, y que uno hasta se cree que deben ser ciertos,porque en caso finito parecen elementales. Sin embargo el hecho de que, en ciertos casos,uno pueda usar que la bola es compacta, aunque sea para una topologıa drasticamente masdebil, muchas veces saca las papas del fuego.

Teorema 5.6.1 (Alaoglu). Sea E un espacio normado. Entonces se tiene que

BE∗ = ϕ ∈ E∗ : ‖ϕ‖ ≤ 1 es σ(E∗, E)- compacta .

Demostracion. Abreviemos BE∗ = B. Cada una de las ϕ ∈ B cumplen que |ϕ(x)| ≤ ‖x‖para todo x ∈ E. Llamemos Dx = λ ∈ K : |λ| ≤ ‖x‖. Entonces ϕ(x) ∈ Dx para cadax ∈ E. Hagamos el producto D =

∏x∈E

Dx , dotado de la topologıa producto. Sabemos que

D es compacto, por el teorema de Tychonoff. Para probar el teorema mostraremos que(B, σ(E∗, E) ) es homeomorfo a un subconjunto cerrado de D.

157

Definamos Φ : B → D por Φ(ϕ) = ϕ(x)x∈E , para ϕ ∈ B. Veamos que, si

C =λxx∈E ∈ D : λx+y = λx + λy y λαx = αλx para todo x, y ∈ E , α ∈ K

,

entonces Φ(B) = C. En efecto, si ϕ ∈ B entonces Φ(ϕ) cumple las condiciones de linealidadque definen a C. Recıprocamente, si λ = λxx∈E ∈ C, entonces consideremos la funcional

ϕλ : E → K dada por ϕλ(x) = λx , para x ∈ E .

Las propiedades del conjunto C hacen que ϕλ sea lineal. Pero ademas |ϕλ(x)| = |λx| ≤ ‖x‖,para todo x ∈ E. Luego tenemos que que ϕλ ∈ B. De lo anterior deducimos que Φ esuna biyeccion de B sobre C. Para ver que C es cerrado, basta notar que C coincide con lainterseccion de las contraimagenes de 0 para las funciones continuas de D en C de la forma

D 3 λ 7→ λy+z − λy − λz (y, z ∈ E) y D 3 λ 7→ λαy − αλy (y ∈ E,α ∈ K) .

Solo falta ver que que Φ : B → C es homeo (si en C usamos la topologıa inducida por laproducto de D). Pero esto ultimo es inmediato, pues basta observar que en ambos conjuntosla convergencias coinciden: ambas son la convergencia cordenada a cordenada, para cadax ∈ E. En C porque ası es la la topologıa producto. En B porque allı usamos la w∗.

Corolario 5.6.2. Todo espacio de Banach E es isometricamente isomorfo a un subespaciocerrado de C(K) para un conveniente ET compacto Hausdorff K.

Demostracion. Sea K =(BE∗ , σ(E∗, E)

), que sabemos que es compacto por el teorema de

Alaoglu. Definamos ahora la funcion T : E → C(K) dada por la composicion

EJE−→ E∗∗

·|BE∗−−−→ C(K) , o sea Tx = JE x∣∣BE∗

, x ∈ E .

Es facil ver que cada Tx : K → C es σ(E∗, E)-continua, porque esta topologıa es la de laconvergencia puntual, y Tx actua en las ϕ ∈ BE∗ por evaluacion en el punto x.

Por otro lado, la funcion T , ademas de ser evidentemente lineal, es isometrica. Esto se testeadirectamente a partir de las definiciones invlucradas (se usa la Ec. (2.7) ). La imagen de Tes un subespacio cerrado de C(K), pues E es completo y T es isometrica.

Mejoraremos el resultado anterior en el caso en que E es separable. Para ello, necesitamosun lema espcıfico:

Lema 5.6.3. Sea (K, τ) un ET compacto tal que C(K) tiene un subconjunto numerable Fque separa puntos de K. Entonces el espacio K es metrizable.

Demostracion. Pongamos que F = ϕn : n ∈ N ⊆ C(X) separa puntos de K. Entonces

d(x , y) =∑n∈N

1

2n|ϕn(x)− ϕn(y)|

1 + |ϕn(x)− ϕn(y)|, x , y ∈ K ,

define una distancia sobre K. Como todas las ϕn son τ -continuas, tambien lo seran lasfunciones dx : K → R dadas por dx(y) = d(x, y), (y ∈ K). Como Bd(x, ε) = d−1

x (−ε, ε) ∈ τ ,

158

deducimos que la topologıa metrica τd ⊆ τ . Por otro lado, si F ⊆ K es τ -cerrado, entoncesF es τ -compacto, y por ende τd-compacto. Como τd es de Hausdorff (es metrica), queda queF es tambien τd-cerrado. Todo esto dice que τd = τ . O sea que K era metrizable.

Proposicion 5.6.4. Si E es un espacio de Banach separable, entonces para todo K ⊆ E∗

que sea σ(E∗, E)-compacto, el espacio topologico (K , w∗) es metrizable.

Demostracion. Si xn : n ∈ N es denso en E entonces JE xn : n ∈ N distingue los puntosde E∗ y, con mayor razon, los de K. Luego se aplica el lema anterior.

Corolario 5.6.5. Si E es un Banach separable, entonces(BE∗ , σ(E∗, E)

)es un ET compacto

metrizable y E es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de C(BE∗).

Observacion 5.6.6. Fijemos un espacio de Banach E con dimE =∞. En la demostracionde la Prop. 5.5.5 vimos que todo entorno basico del 0 en w = σ(E,E∗) contiene subespaciosde codimension finita. En particular, esto muestra que todos los w-entornos basicos son noacotados. Pero sirve ademas para probar que la topologıa σ(E,E∗) no puede ser N1 .

Observar que, en el caso en que E sea separable, reflexivo y por ello en E coincidan la w conla w∗ de su predual (esto lo probaremos detalladamente en breve), esto marca una diferenciaesencial entre el comportamiento de las topologıas debiles, entre su restriccion a una bolacerrada (donde queda metrizable), y lo que pasa en todo el espacio (no es ni N1).

Veamos que no queda N1 : Supongamos que tenemos β = Un : n ∈ N una familia numer-able en entornos basicos del 0. Para cada Un ∈ β, definamos por Sn ⊆ E∗ al subespaciogenerado por las finitas funcionales de E∗ que lo generan. Llamemos

Mn = S0n =

⋂ϕ∈Sn

kerϕ ⊆ E ,

que es un subespacio cerrado de codimension finita (basta intersectar los nucleos de los finitosgeneradores del entorno Un). Observar que Mn ⊆ Un para todo n ∈ N.

Por el Teor. de Baire 2.2.4, una union numerable de subespacios finitodimensionales nopuede cubrir a todo el Banach E∗ (son cerrados de interior vacıo). Tomemos entonces unafuncional ϕ0 ∈ E∗ \

⋃n∈N

Sn 6= ∅. Para cada n ∈ N, el Lema 5.1.7 nos dice que

ϕ0 /∈ Sn ⇐⇒ Mn =⋂ϕ∈Sn

kerϕ 6⊆ kerϕ0 , (5.17)

de nuevo porque podemos realizar a Mn como una interseccion finita de nucleos. Ahorabien, tomemos el entorno U0 = x ∈ E : |ϕ0(x)| < 1. Si me dan ahora un n ∈ N, porla Ec. (5.17) puedo encontrar un xn ∈ Mn tal que ϕ0(xn) 6= 0. Luego existe un N ∈ R∗

+

tal que |ϕ0(Nxn)| = N |ϕ0(xn)| > 1, por lo que Nxn /∈ U0 , aunque sigue pasando queNxn ∈Mn ⊆ Un . En otras palabras, ningun Un vive adentro de U0 , ası que β no puede seruna base de entornos del cero. Por todo ello,

(E , σ(E,E∗)

)NO es N1 . 4

159

Observacion 5.6.7. Recordemos el Ejer. 2.7.10 sobre `1 = `1(N), que decia que para queuna sucesion acotada de `1 converja a cero alcanza que lo haga “contra” las funcionales desu dual (`1)∗ ∼= `∞, lo que ahora llamarıamos “converge debilmente a cero”.

Ahora bien, en el Cor. 2.5.2 (y el Ejer. 5.5.4) vimos que si una sucesion va debilmente a ceroya tenıa que ser acotada. Luego la hipotesis de acotacion del Ejer. 2.7.10 estaba de mas.

Recapitulando, podemos deducir que en `1 una sucesion converge en norma ⇐⇒ convergedebilmente. Como la convergencia caracteriza la topologıa, uno tiende a pensar que lastopologıas de la norma y la debil deberıan coincidir en `1. Sin embargo ese enunciado esbien falso. Por ejemplo porque los entornos basicos de la debil no pueden ser acotados, y nopodemos meter ninguno dentro de una bolita de la norma. ¿Porque sera? 4

5.7 Una caracterizacion de la reflexividad

Teorema 5.7.1. Si E es un espacio de Banach, entonces las siguientes propiedades sonequivalentes:

1. E es reflexivo.

2. E∗ es reflexivo.

3. σ(E∗, E) = σ(E∗, E∗∗), o sea que, en E∗, coinciden la w y la w∗.

4. BE es σ(E,E∗)-compacta (i.e., la bola de E es w-compacta).

Demostracion.

1⇒ 4: El Teo. de Alaoglu 5.6.1 dice que BE∗∗ es σ(E∗∗, E∗)-compacta. Luego, dada una redx = (xi)i∈ I en BE , ella tiene una subred y = (yj)j∈ J tal que yj(ϕ) = ϕ(yj) −−→

j∈ Jρ(ϕ) para

una cierta ρ ∈ BE∗∗ y toda ϕ ∈ E∗. La reflexividad de E asegurarıa que existe un x ∈ BE

tal que ρ = JE x, por lo que yjw−−→j∈ J

x. Eso dice que BE es σ(E,E∗)-compacta.

4 ⇒ 1: Sea F = JE(E) v E∗∗. Como JE es isometrica, BF = JE(BE). La topologıainducida por σ(E∗∗, E∗) en BF coincide con la w que se trae de BE , porque de ambos ladosla convergencia es contra todas las ϕ ∈ E∗. Luego la hipotesis de 4 se traduce a que BF seaw∗-compacta en E∗∗.

Sin embargo, el Teo. de Goldstine 5.5.6 dice que BF es w∗-densa en BE∗∗ . Ambos hechosprueban que BF = BE∗∗ , por lo que JE debe ser epi, y E reflexivo.

1⇒ 3: Como JE : E → E∗∗ es sobre, las topologıas σ(E∗, E) y σ(E∗, E∗∗) estan generadaspor las mismas funcionales, por lo que coinciden.

3 ⇒ 2: Por el Teo. de Alaoglu 5.6.1, BE∗ es σ(E∗, E)-compacta. Si asumimos ahora lacondicion 3, traducimos a que BE∗ es σ(E∗, E∗∗)-compacta. Aplicandole al espacio E∗ laimplicacion 4⇒ 1 ya demostrada, nos queda que E∗ es reflexivo.

160

2 ⇒ 1: Sigamos con la notacion JE(E) = F ⊆ E∗∗. Recordemos que, por la Prop. 5.5.2, labola BF ⊆ E∗∗, al ser ‖ · ‖-cerrada y convexa, debe ser tambien σ(E∗∗, E∗∗∗)-cerrada. ComoE∗ es reflexivo BF es tambien σ(E∗∗, E∗)-cerrada (ya vimos que 1 ⇒ 3, y se lo podemosaplicar a E∗). Pero el Teo. de Goldstine 5.5.6 decıa que BF es σ(E∗∗, E∗)-densa en BE∗∗ .Ası, BF coincide con BE∗∗ y, como en 4⇒ 1, E nos queda reflexivo.

5.8 Miscelanea

Recordemos que, si E es un EN y B ⊆ E, decıamos que B es w-acotado si para toda ϕ ∈ E∗el conjunto ϕ(B) es acotado en C. En el Cor. 2.5.2, justo despues del PAU, mostrabamosque si E es Banach, entonces ser w-acotado alcanza para ser acotado en la norma de E.

Proposicion 5.8.1. Sean E , F dos EB y sea T : E → F un operador lineal. LlamemosT ′ : F ′ → E ′ su adjunto lineal. Entonces las suguientes condiciones son equivalentes:

1. T ∈ L(E , F ).

2. φ T ∈ E∗ para toda φ ∈ F ∗. Es decir que T ′(F ∗) ⊆ E∗.

3. T :(E , σ(E,E∗)

)→(F , σ(F, F ∗)

)es tambien continuo. Es decir que

si xiw−−→i∈ I

x (en E) =⇒ T xiw−−→i∈ I

T x (en F ) . (5.18)

Demostracion. Es claro que 1 =⇒ 2. Asumamos ahora 2. Sean x = (xi)i∈ I una red en Ey x ∈ E tales que xi

w−−→i∈ I

x. Dada una φ ∈ F ∗, tenemos que T ′(φ) = φ T ∈ E∗. Luego

φ(T xi) =

(φ T

)xi −−→

i∈ I

(φ T

)x = φ

(T x) .

Como esto pasa para toda φ ∈ F ∗ ya tenemos que T xiw−−→i∈ I

T x. Esto fue 2 =⇒ 3.

Observar que si T : E → F es lineal y cumple (5.18), entonces para cualquier φ ∈ F ∗ setiene que φ T ∈

(E , w

)∗(i,e., es una funcional w-continua). Pero en la Ec. (5.14) vimos

que(E , w

)∗= E∗. En resumen, sale que T ′(F ∗) ⊆ E∗. Esto fue 3 =⇒ 2.

Finalmente, dada una φ ∈ F ∗, usando que φ T ∈ E∗ podemos ver que

x ∈ BE =⇒ |φ(T x)| = |(φ T

)x| ≤ ‖φ T‖E∗ ‖x‖ ≤ ‖φ T‖E∗ .

Esto significa que T (BE) es w-acotada en F . Aplicando ahora el Cor. 2.5.2 llegamos a queT (BE) es acotada en norma, por lo que T ∈ L(E , F ). Esto fue 2 =⇒ 1. Basta.

Corolario 5.8.2. Sean E , F dos EB y sea T ∈ L(E , F ). Asumamos que E es reflex.Entonces T manda la bola BE a una elipse T (BE) que es ‖ · ‖- cerrada dentro de F .

161

Demostracion. Sea x = (xn)n∈N una sucesion en la BE tal que T xn‖ · ‖−−−→n→∞

z ∈ F . El

reciente Teo. 5.7.1 nos dice que BE es w-compacta. Luego hay una subred y = (yj)j∈ J de x

tal que yjw−−→j∈ J

y ∈ BE . Por un lado, la subredicidad nos asegura que

T xn‖ · ‖−−−→n→∞

z =⇒ T yj‖ · ‖−−→j∈ J

z =⇒ T yjw−−→j∈ J

z .

Por otro lado, usando la Prop. 5.8.1 sabemos que T respeta convergencias debiles. Luego

yjw−−→j∈ J

y ∈ BE =⇒ T yjw−−→j∈ J

T y ∈ T (BE) .

Como la topologıa w es Hausdorff, los dos lımites tienen que coincidir. En otras palabras,llegamos a que z = T y ∈ T (BE). Ası que T (BE) era cerrada, nomas. Lo de la elipse eramedio una joda, que no deberıa eclipsar la importancia del resultado.

Se como el sol, que aun en eclipseel foco sigue siendo de la elipse.

162

5.9 Ejercicios del Cap 5: ELC’s

Ejercicios aparecidos en el texto5.9.1. Sea E un K-EV. Se tienen las siguientes propiedades:

1. La interseccion de cualquier cantidad de conjuntos convexos en E queda convexa.

2. El transladar a un convexo le conserva esa propiedad. Es decir que si A ⊆ E es convexo, tambien losera A+ x = a+ x : a ∈ A, para todo x ∈ E.

3. Mas aun, si A,B ⊆ E son ambos convexos, tambien A+B = a+ b : a ∈ A y b ∈ B queda convexo.

4. Si A ⊆ E es convexo, para todo λ ∈ K se tiene que λA = λa : a ∈ A es convexo.

5. Dada un topologıa τ que haga de E un EVT, para todo convexo A ⊆ E se tiene que su τ -clausuraA

τes tambien convexo.

5.9.2. Sea (E, τ) es un ELC. Dados K ⊆ E convexo compacto y F ⊆ E convexo cerrado tales que K∩F = ∅,existen una ϕ ∈ (E, τ)∗R y un α ∈ R tales que

maxx∈K

ϕ(x) < α ≤ mıny∈F

ϕ(y) . 4

5.9.3. Sea E es un K-EV. Dados K ⊆ E acotado y ϕ ∈ E′, probar que

1. Los siguientes dos conjuntos son extremales para K (o vacıos):

mϕ(K) =x ∈ K : ϕ(x) = ınf

y∈Kϕ(y)

y Mϕ(K) =

x ∈ K : ϕ(x) = sup

y∈Kϕ(y)

.

2. Si E era un ELC, K era compacto y ϕ ∈ E∗, entonces mϕ(K) 6= ∅ 6= Mϕ(K).

3. Si x ∈ Ext(K), existe una φ ∈ E∗ tal que x ∈ mφ(K).

4. Haciendo dibujos de convexos en R2 uno podrıa arriesgar que en el item anterior se podrıa conseguiruna φ ∈ E∗ tal que mφ(K) = x solito. Pero eso es falso en general (aun si K es compacto).Contraejemplificarlo en R2. 4

5.9.4. Sea E es un K-EV y sea K ⊆ E. Si me dan un conjunto A0 ⊆ K que es extremal para K, y otroA1 ⊆ A0 que es extremal para A0 , probar que A1 es tambien extremal para K. 45.9.5. Sea E es un K-EV. Sean K ⊆ E un convexo, y x ∈ K. Probar que

x ∈ Ext(K) ⇐⇒ K \ x sigue siendo convexo . 4

5.9.6. Sean (E, τ) un ELC y K ⊆ E un un compacto.

1. Dado x /∈ K, existe U ∈ Oaτ (0) convexo tal que (x+ U) ∩ (K + U) = ∅.

2. Deducir que, si K fuera tambien convexo, existe ϕ ∈ E∗R tal que

ϕ(x) < t < t+ ε < ϕ(K) para ciertos t ∈ R y ε > 0 .

3. Encontrar un compacto K (ahora no convexo) tal que ConvK no es compacto.

4. En cambio, si tambien ConvK es compacto, entonces Ext(

ConvK)⊆ K. 4

163

5.9.7. Sean E un EN, x ∈ E y una sucesion x = (xn)n∈N en E tales que xnw−−−−→

n→∞x, probar que

1. Nuestra x = (xn)n∈N debe ser acotada en norma (remember Cor. 2.5.2).

2. Ademas ‖x‖ ≤ lim infn→∞

‖xn‖.

3. Existe otra sucesion (zn)n∈N que ahora vive en la capsula convexa Conv xn : n ∈ N que cumple la

condicion mas fuerte zn‖· ‖−−−−→n→∞

0. 4

Ejercicios nuevos5.9.8. Sea E un EB. Dados x ∈ E y una sucesion (xn)n∈N en E, probar que

1. Si xn −−−−→n→∞

x entonces xnw−−−−→

n→∞x.

2. Si dimE <∞, ahı vale que xn −−−−→n→∞

x ⇐⇒ xnw−−−−→

n→∞x.

5.9.9. Sean E y F espacios de Banach y T : E → F una transformacion lineal. Entonces, las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. T es acotada.

2. T ∗(F ∗) ⊆ E∗.

3. T es continua de (E,w) en (F,w).

5.9.10. Sea E un EB de dimension infinita. Probar que la bola BaE = x ∈ E : ‖x‖ < 1 tiene interior vacıo(!!) si la pensamos en (E , w).

5.9.11. Sea E un EB. Dados ϕ ∈ E∗ y una sucesion (ϕn)n∈N en E∗, probar que

1. ϕn −−−−→n→∞

ϕ =⇒ ϕnw−−−−→

n→∞ϕ =⇒ ϕ

w∗−−−−→n→∞

ϕ.

2. Si dimE <∞, las tres convergencias son equivalentes.

5.9.12. Sea E = `∞(N). Si (ϕn)n∈N es la sucesion en E∗ dada por ϕn(x) = xn para x = (xn)n∈N ∈ E yn ∈ N. Probar que

1. Las ϕn ∈ BE∗ para todo n ∈ N.

2. Sin embargo, (ϕn)n∈N no tiene ninguna subsucesion w∗−convergente.

¿Contradice esto el hecho de que BE∗ es w∗−compacta?

5.9.13. Sean 1 < p <∞. Dados x, x(n) ∈ `p (n ∈ N), probar que

x(n) −−−−→n→∞

x ⇐⇒ supn∈N

‖x(n)‖p <∞ y limn→∞

x(n)k = xk para todo k ∈ N .

5.9.14. Sea H un EH. Dados x ∈ H y una sucesion (xn)n∈N en H, probar que

1. xnw−−−−→

n→∞x ⇐⇒ 〈xn, y〉 −−−−→

n→∞〈x , y〉 para todo y ∈ H (este es Rieszible).

2. Si en : n ∈ N es un SON en H, entonces enw−−−−→

n→∞0.

164

5.9.15. Sean ϕ ∈ L∞[0, 1] y (ϕn)n∈N una sucesion en L∞[0, 1]. Consideremos los operadores de multipli-cacion asociados Mϕ y Mϕn

(n ∈ N ) todos ellos en L(L2[0, 1]). Probar que

ϕnw∗−−−−→

n→∞ϕ en L∞[0, 1] = L1[0, 1]∗ ⇐⇒ Mϕn f

w−−−−→n→∞

Mϕ f para toda f ∈ L2[0, 1] .

5.9.16. Probar que C[0, 1] es cerrado en L∞[0, 1] con la topologıa inducida por la norma ‖ · ‖∞ pero no enla topologıa w∗.

5.9.17. Sea E un EVT. Dados K , V ⊆ E tales que K es compacto y V es abierto y K ⊆ V , probar queexiste un entorno U del cero tal que K + U ⊆ V .

5.9.18. Sea E un espacio vectorial y A y B subconjuntos convexos de E. Probar que para todo par denumeros reales a y b el conjunto aA+ bB es convexo.

5.9.19. Sea E un espacio vectorial y A un subconjunto convexo de E. Probar que

si x ∈ A and y ∈ A =⇒ [x, y) def= (1− λ)x+ λ y : λ ∈ [0, 1) ⊆ A .

5.9.20. Sea E un espacio de Banach reflexivo y F un subespacio cerrado de E. Probar que para todo x /∈ Fexiste un un x0 ∈ F tal que ‖x− x0‖ = min‖x− y‖ : y ∈ F.5.9.21. Sean E , F dos EB y sea T ∈ L(E , F ). Probar que T ∗ pensado como T ∗ : (F ∗ , w∗) → (E∗ , w∗)es tambien continua. Deducir como en el Cor. 5.8.2 que T ∗(BF∗) es ‖ · ‖ cerrada en E∗.

Sug: Si ϕiw∗−−→i∈ I

ϕ en F ∗ y x ∈ E, entonces T ∗ϕix = ϕi(T x) −−→

i∈ Iϕ(T x) = T ∗ϕ x.

Veamos un ejemplo: Sea T ∈ L(`2 , `1) dada por Tx = (xn

n )n∈N para x = (xn)n∈N ∈ `2.

1. Usando Cauchy-Schwarz mostrar que ‖T‖2 ≤∑n∈N 1/n2 .

2. Su adjunto T ∗ ∈ L(`∞ , `2) se define (en las entradas) igual que T , multiplicando por 1n .

3. Mostrar que T ∗(B`∞) es compacta. Observar que da justo el cubo de Hilbert del Ejer. 3.8.18. 4

Definicion 5.9.22. Sean E y F dos EB’s. Fijemos una red T = (Ti)i∈ I y un T , todos en L(E,F ).

1. Decimos que TiS.O.T.−−−−→i∈I

T (se lee “Ti converge fuertemente a T”) si para cualquier x ∈ E se tiene que

Ti x‖ · ‖−−→i∈ I

T x (en la norma de F ).

2. En cambio TiW.O.T.−−−−→i∈I

T (se lee “Ti converge debilmente a T”) si para cualquier x ∈ E se tiene que

Ti xw−−→i∈ I

T x (en la debil σ(F , F ∗) de F ). En otras palabras, si

〈Ti x , ϕ〉 −−→i∈ I

〈T x , ϕ〉 para todo par x ∈ E , ϕ ∈ F ∗ . 4

5.9.23. Sean E y F dos EB’s. En L(E , F ) se consideran las topologıas S.O.T y W.O.T vıa las convergenciashomonimas.

1. Caracterizar las familias de seminormas que producen las topologıas S.O.T y W.O.T de L(E , F ).

2. Describir los entornos (sub)basicos del 0 de las mismas.

5.9.24. Probar que si una sucesion (An) esta en A(H) , es decreciente (resp. creciente) y acotada (susnormas), entonces existe A ∈ A(H) tal que An

S.O.T.−−−−→n→∞

A. En este caso, al lımite se lo llama A = ınfn∈N An

(resp. A = supn∈N An), porque 〈Ax , x〉 = ınfn∈N〈An x , x〉 para todo x ∈ H.

Sug: Ya sabemos que deben dar los productos 〈Ax , x〉. El resto sale polarizandolo.

165

Capıtulo 6

Espectro

La nocion de autovalores no es la mas adecuada para operadores en un espacio de Banach.Por ejemplo los shifts a izquierda y derecha T y S en L(`p) definidos en 1.8.1, tienen odemasiados o demasiado pocos autovalores (S no tinen ninguno). El tema es que la nocionde autovalor se basa en que el ker (λ IE − T ) 6= 0, para un T ∈ L(E) y un λ ∈ K. Eso enel caso de que dimE < ∞ equivale a muchas otras cosas (onda el polinomio caracterıstco,usando determinantes).

Cuando la dimE = ∞, lo que conviene es usar la condicion de que λ IE − T /∈ Gl (E), aunpermitiendole que sea mono. Eso permitira reproducir muchas de las propiedades estruc-turales que uno conoce para las matrices. Pero antes de desarrollar esa idea describiremosel contexto natural para la teorıa espectral, que son las algebras de Banach complejas.

6.1 Algebras de Banach

Se puede hacer la teorıa de algebras de Banacha a coeficientes reales, pero tiene poca graciaporque en ellas la nocion de espectro se pifia, como para las matrices reales.

Recordemos que A es una C-algebra si

• A es un C-EV.

• Es ademas un anillo con la misma suma que tenıa como EV, y un producto nuevo.

• A tiene unidad 1 = 1A (para el producto) a menos que se diga lo contrario.

• Vale la compatibilidad algebraica de los dos productos:

λ(a b) = (λ a) b = a (λ b) para a , b ∈ A y λ ∈ C cualesquiera .

Los multiplos λ 1 = λ 1A para λ ∈ C y 1A el “uno” para la multiplicacion de A, se abreviaranescribiendo λ 1A = λ, en el sentido de identificar a C con su copia C · 1A ⊆ A.

166

Definicion 6.1.1. Un algebra de Banach (abreviaremos AB) es una C-algebraA que ademastiene una norma ‖ · ‖ que la hace un EB, junto con la condicion de submultiplicatividad:

‖a b‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖ para todo par a , b ∈ A . (6.1)

Asumimos que A tiene un 1 = 1A y ‖1A‖ = 1. Ademas :

1. Diremos que un a ∈ A es inversible si existe a−1 ∈ A, que es el unico elemento de Atal que a a−1 = a−1 a = 1 (cuando existe).

2. El grupo de elementos inversibles de A se denota por GA .

En caso de que 1 /∈ A diremos que A es un AB sin unidad. 4

Ejemplos 6.1.2. Los ejemplos mas comunes de AB’s son:

1. Dado K un compacto Hausdorff, el espacio C(K) con la ‖ · ‖∞ es un AB conmutativa.

2. Si K era LKH, se toma Cb(K) o su ideal C0(K), que es un AB sin uno.

3. L∞(X,Σ, µ) con el producto usual y su norma. En el caso de que X = B = D ⊆ C,tenemos que L∞ tiene una subalgebra muy importante: el algebra de Hardy H∞ de lasholomorfas en D y acotadas (en ctp) en B. Se puede mostrar que ellas son exactamente

las f ∈ L∞(T) tales que sus coeficientes f(n) = 0 para los n < 0.

4. Otra AB sin uno famosa es L1(R) con el producto de convolucion. En cambio `1(Z)con la convolucion sı tiene uno, porque la delta de Dirac existe en el caso discreto.

5. La familia de ejemplos que mas nos interesa ahora es la de L(E) para E un EB complejo,con la norma de operadores (vimos que es submultiplicativa). De paso eso incluye lasalgebras de matrices (cuando dimE <∞).

Observar que los ejemplos anteriores eran todos conmutativos, mientras que los L(E)(y las matrices) son el paradigma del algebra no conmutativa. 4

Ejercicio 6.1.3. Sea A0 una AB sin uno. Consideremos entonces un 1 virtual y definamosel algebra A = C · 1 +A0 con los siguientes datos: Dados λ1 + a y µ1 + b ∈ A,

• Suma: (λ1 + a) + (µ1 + b) = (λ+ µ)1 + (a+ b).

• Producto: (λ1 + a) · (µ1 + b) = (λµ)1 + (µ a+ λ b+ a b).

• Norma: ‖λ1 + a‖ = |λ|+ ‖a‖.

Probar que entonces A es un algebra de Banach con uno (adivinen quien), de la que A0 esun ideal bilatero cerrado y maximal (y las nuevas operaciones coinciden con las viejas). 4

167

Teorema 6.1.4. Sea A un AB. Tenemos las siguientes propiedades:

1. Si c ∈ A tiene ‖c‖ < 1, entonces se verifica que

1− c ∈ GA con (1− c)−1 =∞∑n=0

cn y ‖(1− c)−1‖ ≤ 1

1− ‖c‖. (6.2)

2. Si a ∈ GA y b ∈ A cumple que ‖b− a‖ < ‖a−1‖−1, entonces, b ∈ GA .

3. GA es abierto en A y la flecha GA 3 a 7→ a−1 ∈ GA es un homeo.

Demostracion. Para probar el item 1, observemos que

‖c‖ < 1 y ‖cm‖ ≤ ‖c‖m ∀ m ∈ N =⇒∞∑k=0

‖ck‖ ≤∞∑k=0

‖c‖k =1

1− ‖c‖.

Luego, la serie∞∑k=1

ck converge a un a ∈ A tal que ‖a‖ ≤ 11−‖c‖ . Entonces cn −−−→

n→∞0 y

(1− c)N∑k=0

ck =N∑k=0

ck −N+1∑k=1

ck = 1− cN+1 −−−→N→∞

1 =⇒ (1− c) a = 1 .

Analogamente se prueba que a (1 − c) = 1 por lo que a = (1 − c)−1. Veamos ahora que1⇒ 2. En efecto, observar que ‖a−1(b− a)‖ ≤ ‖a−1‖ ‖b− a‖ < 1. Luego

‖b− a‖ < ‖a−1‖−1 =⇒ b = a− (a− b) = a[1− a−1(b− a)

]∈ GA .

Ademas se tiene que b−1 =[1− a−1(b− a)

]−1a−1, por lo que

‖b−1‖ ≤ ‖a−1‖1− ‖a−1(b− a)‖

≤ ‖a−1‖1− ‖a−1‖ ‖b− a‖

=1

‖a−1‖−1 − ‖b− a‖. (6.3)

Usando 2 sale de una que GA es abierto en A. Para ver la continuidad de invertir, tomemos

bn −−−→n→∞

a (todos en GA). A partir de algun momento se tendra que ‖bn − a‖ < ‖a−1‖−1

2.

Luego la Eq. (6.3) nos asegura que supn∈N‖b−1n ‖ < ∞ . Despues se usa que

a−1 − b−1n = a−1(bn − a)b−1

n =⇒ ‖a−1 − b−1n ‖ ≤ ‖a−1‖ ‖b−1

n ‖ ‖bn − a‖ −−−→n→∞

0 .

Finalmente, la continuidad de invertir implica que es homeo, porque su inversa (ahora comofuncion) es ella misma.

168

Ahora sı tenemos el backround basico como para definir el espectro:

Definicion 6.1.5. Sean A una C-AB y a ∈ A. Definimos las siguientes nociones:

1. El espectro de a es el conjunto

σ(a) =λ ∈ C : λ− a /∈ GA

. (6.4)

2. El radio espectral de a es ρ(a) = supλ∈σ(a)

|λ|.

3. La resolvente de a es el conjunto Res(a) = C \ σ(a).

4. La funcion resolvente de a es Ra : Res(a)→ A y esta dada por

Ra (λ) =(λ− a

)−1 ∈ GA para cada λ ∈ Res(a) . (6.5)

Por el Teo. 6.1.4 ya podemos decir que Ra es continua. 4

Ejercicio 6.1.6. Sea A un AB. Dados a, b ∈ A, probar que

si ab = ba y ademas ab ∈ GA =⇒ a y b ∈ GA . (6.6)

Sugerimos mostrar que tanto a como b conmutan con ab, y por ello con (ab)−1. 4

Antes de probar las propiedades basicas del espectro y de dar los ejemplos mas ilustrativos,necesitamos un par de resultados tecnicos de analisis complejo en este contexto.

Proposicion 6.1.7. Sea A un AB y sea a ∈ A. Luego se cumplen las siguientes propiedades:

1. Dado un poli P ∈ C[X], se tiene la igualdad espectral

σ(P (a)

)= P

(σ(a)

) def= P (λ) : λ ∈ σ(a) . (6.7)

2. El radio espectral no le gana a la norma: ρ(A) ≤ ‖a‖.

3. Mejor aun, vale que ρ(a) ≤ ınfn∈N‖an‖1/n.

Demostracion. Fijemos el P ∈ C[X]. Dado λ ∈ σ(a), definamos el poli

Q(x) = P (x)− P (λ) = (x− λ)B(x) con B ∈ C[X] ,

donde la factorizacion existe porque Q(λ) = 0. Luego, si µ = P (λ), tenemos que

P (a)− µ = P (a)− P (λ) = Q(a) = (a− λ)B(a) /∈ GA =⇒ µ ∈ σ(P (a)

),

donde hemos usado que (a − λ) y B(a) conmutan, por lo que el hecho de que λ ∈ σ(a)

asegura que (a− λ) /∈ GA(6.6)=⇒ (a− λ)B(a) /∈ GA. Ası que P

(σ(a)

)⊆ σ

(P (a)

).

169

Dado ahora un µ ∈ σ(P (a)

), definamos y factoricemos el poli Q ∈ C[X] dado por

Q(x) = P (x)− µ = cn

n∏k=1

(x− λk) donde las raıces de Q son λk ∈ C , k ∈ In .

Nos queda que Q(a) = P (a) − µ = cnn∏k=1

(a − λk) /∈ GA. Luego alguno de los factores

(a− λk) /∈ GA (esto sale porque GA es un grupo), por lo que λk ∈ σ(a) y µ = P (λk).

Probemos ahora el item 2: Tomemos un λ ∈ C tal que |λ| > ‖a‖. Entonces tenemos que‖ aλ‖ < 1. Ahora podemos usar el Teo. 6.1.4 y llegamos a que

(λ− a) = λ(

1− a

λ

)∈ GA =⇒ λ /∈ σ(a) . (6.8)

Eso implica que ρ(a) ≤ ‖a‖. Por otro lado, vimos arriba (item 1 con P (x) = xn) que

σ(an) = σ(a)n =⇒ ρ(a)n = ρ(an) ≤ ‖an‖ =⇒ ρ(a) ≤ ‖an‖1/n

para todo n ∈ N. Y eso fue todo.

Observacion 6.1.8. Sea A un AB y sea a ∈ A. Dado un λ ∈ C tal que |λ| > ‖a‖, ahorasabemos que λ ∈ Res(a). Pero usando las Eqs. (6.2) y (6.8) tenemos mas data:

Ra(λ) = (λ− a)−1 = λ−1(

1− a

λ

)−1=∞∑n=0

λ−n−1 an siempre que |λ| > ‖a‖ . (6.9)

Usaremos esta expresion mas adelante. 4

Ejercicio 6.1.9. Sea A un AB . Probar las siguientes afirmaciones:

1. Sea f : Ω→ C una funcion holomorfa en el conjunto abierto Ω ⊆ C. Supongamos que

(i) La bola cerrada BM = z ∈ C : |z| ≤M ⊆ Ω.

(ii) f(z) =∞∑n=0

αn zn con convergencia absoluta y uniforme para todo z ∈ BM .

Luego, para todo a ∈ A con ‖a‖ ≤M , la serie f(a) =∞∑n=0

αn an converge en A.

2. Extender la Eq. (6.7) en este sentido: Si a ∈ A tiene ‖a‖ ≤M , entonces

f(σ(a)

) def= f(λ) : λ ∈ σ(a) ⊆ σ

(f(a)

)para toda f como la del item 1 .

La idea es que si f(z) =∞∑n=0

αn zn en BM , entonces tenemos que

f(λ)− f(a) =∞∑n=0

αn (λn − an) = (λ− a)∞∑n=1

αn Pn−1(λ , a) ,

170

donde los polinomios Pn−1(λ , a) se pueden calcular y acotar para que la serie converja aun b ∈ A que conmuta con a. Observar que σ(a) ⊆ BM . Ası que todas estas cuentas queinvolucran series, convergen bien en todo λ ∈ σ(a). 4

Teorema 6.1.10. Sea A un AB y sea a ∈ A. Entonces vale que

1. El espectro σ(a) es compacto y no vacıo.

2. Se verifica la siguiente formula del radio espectral:

ρ(a) = lımn→∞

‖an‖1/n . (6.10)

Demostracion. Como GA es abierto, es facil ver que σ(a) es cerrado. Pero hagamoslo masexplıcito porque nos servira despues. Fijemos un λ ∈ Res(a). Veremos que si z ∈ C cumpleque |z| < ‖Ra(λ)‖−1 entonces tambien λ− z ∈ Res(a), porque podemos hacer

Ra(λ− z) = (λ− a− z)−1 =[

(λ− a) (1−Ra(λ) z )]−1

=∞∑n=0

Ra(λ)n+1 zn . (6.11)

Esto claramente da que Res(a) es abierto por lo que σ(a) es cerrado. Ademas sabemos queρ(a) ≤ ‖a‖ por lo que σ(a) ya es compacto. Pero tenemos que ver que σ(a) 6= ∅.

Para ello fijemos una ϕ ∈ A∗ y definamos f : Res(a) → C por f(λ) = ϕ(Ra(λ) ). Dado unλ ∈ Res(a) tomemos el entorno λ + Uλ, con Uλ = z : |z| ≤ ‖Ra(λ)‖−1. Por la Eq. (6.11)y la continuidad de ϕ (que le permite “entrar” en la serie), vemos que

f(λ− z) = ϕ(Ra(λ− z) ) =∞∑n=0

ϕ(Ra(λ)n+1) zn para todo z ∈ Uλ .

Eso nos dice que f es holomorfa en todo Res(a). Por otro lado, recordemos de la Eq. (6.9)que, para los λ ∈ C tales que |λ| > ‖a‖ se tiene que

f(λ) = ϕ(Ra(λ) ) =∞∑n=0

λ−n−1 ϕ(an) =⇒ |f(λ)| ≤∞∑n=0

|λ|−n−1 ‖a‖n‖ϕ‖ . (6.12)

Pero esta serie (de numeros) se puede calcular:

|f(λ)| ≤ ‖ϕ‖∞∑n=0

|λ|−n−1 ‖a‖n = ‖ϕ‖ |λ|−1∞∑n=0

( ‖a‖|λ|

)n= ‖ϕ‖

(|λ| − ‖a‖

)−1.

Deducimos que |f(λ)| −−−−→|λ|→∞

0. Si ahora supusieramos que σ(a) = ∅, entonces f serıa entera

y nula en el infinito. Por el Teorema de Liouville, f deberıa ser toda ella nula.

Llegarıamos a que, para algun λ ∈ Res(a) fijo, deberıa valer que ϕ( (λ − a)−1) = 0 paratoda funcional ϕ ∈ A∗. Pero eso dirıa (por H-B) que (λ− a)−1 = 0 ademas de ser inversible.Difıcil encontrar algo mas absurdo. Luego σ(a) 6= ∅.

171

Con respecto a la formula del radio espectral, volvamos a fijar la ϕ ∈ A∗. Consideremos lavariable z = λ−1 y la funcion g(z) = f(z−1) = f(λ) para los z 6= 0. Por (6.12) vemos que

g(z) =∞∑n=0

ϕ(an) zn+1 para todo z ∈ C tal que 0 < |z| = |λ|−1 < ‖a‖−1 .

El caso z = 0 es nuevo, pero podemos poner g(z) = 0 y g queda continua en z = 0 porque yasabemos que |f(λ)| −−−−→

|λ|→∞0 =⇒ |g(z)| −−−→

|z|→00. En resumen, tenemos que g(z) es analıtica

(con serie conocida) en la bola z ∈ C : |z| < ‖a‖−1. Pero sigue siendo analıtica hasta quez−1 = λ no entre en el σ(a), o sea en la bola mayor z ∈ C : |z| < ρ(a)−1. Luego

g(z) =∞∑n=0

ϕ(an) zn+1 si |z| < ρ(a)−1 =⇒ f(λ) =∞∑n=0

ϕ(an)λ−n−1 si |λ| > ρ(a) .

Fijemos ahora un r > ρ(a) y tomemos los λ = r ei θ. Integrando la serie de λn+1 f(λ) queda∫ 2π

0

rn+1 ei(n+1) θ f(r ei θ) dθ =∞∑m=0

∫ 2π

0

rn−m ei(n−m) θ ϕ(am) dθ = 2π ϕ(an) ,

porque, como las primitivas de las ei(n−m) θ valen lo mismo en 0 que en 2π si n 6= m, la unicaintegral que no se anula es la de m = n. Tomemos M(r) = sup

0≤θ≤2π‖Ra(r e

i θ)‖, que es finito

porque se lo toma en un compacto. Luego |f(r ei θ)| ≤ ‖ϕ‖ ‖Ra(r ei θ)‖ ≤ ‖ϕ‖M(r) para

todo θ ∈ [0 , 2π]. Estimando lo de arriba nos queda que

|ϕ(an)| ≤ ‖ϕ‖ rn+1M(r) para toda ϕ ∈ A∗ =⇒ ‖an‖ ≤ rn+1 M(r) ,

para cualquier r > ρ(a). Tomando raıces enesimas y lımites superiores sale que

lim supn→∞

‖an‖1/n ≤ infρ(a)<r

r = ρ(a)6.1.7

≤ infn→∞

‖an‖1/n ≤ lim infn→∞

‖an‖1/n ,

porque rn+1n M(r)

1n −−−→

n→∞r. Con eso terminamos la prueba.

Corolario 6.1.11. Sea A un AB que es un anillo de division (o sea que todo elemento nonulo es inversible: GA = A \ 0). Estonces A = C · 1A ∼= C .

Demostracion. Veamos que la flecha C 3 λ 7→ λ 1A es suryectiva. En efecto, todo a ∈ Acumple que σ(a) 6= ∅. Luego existe algun λ ∈ σ(a). Pero entonces tenemos que

λ 1A − a /∈ GA =⇒ λ 1A − a = 0 =⇒ λ 1A = a .

172

6.2 Ejemplos y ejercicios

Ahora que sabemos que el espectro es tan bueno, enumeraremos una serie de propiedeadesfacilongas para acostumbrernos a laburar con el. Recomendamos leerlas cuidadosamente,porque las usaremos seguido, y citaremos poco.

6.2.1. Sea A un AB. Se tienen las siguientes propiedades: Sean a ∈ A y µ ∈ C.

1. σ(0A) = 0 y σ(1A) = 1.

2. σ(µ a) = µσ(a)def= µλ : λ ∈ σ(a). En particular σ(−a) = −σ(a).

3. σ(a+ µ 1A) = µ+ σ(a)def= µ+ λ : λ ∈ σ(a).

4. a ∈ GA ⇐⇒ 0 /∈ σ(a). En tal caso σ(a−1) = σ(a)−1 def= λ−1 : λ ∈ σ(a).

5. Sea B otra AB y Γ : A → B un isomorfismo (unital) de anillos que es a la vez unisomorfismo (acotado y sobre) de EB’s. Entonces σB

(Γ(a)

)= σ(a).

6. Un caso particular: Si g ∈ GA , entonces σ(g a g−1) = σ(a).

7. Sea P ∈ C[X] y supongamos que P (a) = 0A . Entonces σ(a) ⊆ raıces de P. Enparticular, en ese caso (bastante poco comun) vale que σ(a) es finito.

8. En particular, a2 = a =⇒ σ(a) ⊆ 0, 1 y a2 = 1 =⇒ σ(a) ⊆ −1, 1.

Las pruebas son todas faciles y van como ejercicio. Pero daremos un par. Si a ∈ GA , esclaro que 0 /∈ σ(a). Ademas, tenemos las siguientes equivalencia: Dado λ ∈ C \ 0,

λ−1 − a−1 = λ−1 (a− λ) a−1 ∈ GA(6.6)⇐⇒ (a− λ) ∈ GA .

Eso muestra que σ(a−1) = σ(a)−1. Si vamos al iso Γ : A → B, es facil ver que

a ∈ GA =⇒ a−1 a = a a−1 = 1A =⇒ Γ(a−1) Γ(a) = Γ(a) Γ(a−1) = Γ(1A) = 1B ,

por lo que Γ(GA) ⊆ GB , con Γ(a)−1 = Γ(a−1). Usando el iso Γ−1 : B → A que es tanbueno como Γ, sale la otra inclusion. En resumen, Γ(GA) = GB . Con esto la igualdad de losespectros se demustra sin dificultades. La de los polinomios sale por la Prop. 6.1.7. 4

Ejercicio 6.2.2. Sea A un AB. Ahora va otra porpiedad que es mucho menos facilonga:

Dados a , b ∈ A , probar que σ(a b) ∪ 0 = σ(b a) ∪ 0 . (6.13)

Deducir que ρ(ab) = ρ(ba). Se recomienda mostrar que si λ− ab ∈ GA con λ 6= 0, entonces

el elemento λ−1(

1 + b (λ− ab)−1 a)∈ A es util . 4

Veamos los espectros de elementos de las AB’s conocidas. En la mayorıa de los casos alcanzacaracterizar el grupo GA de un algebra A para poder calcular el espectro de sus elememtos.

173

6.2.3. Sea K un compacto-H y A = C(K) = f : K → C : f es continua . Entonces

GC(K) = g ∈ C(K) : 0 /∈ g(K) y σ(f) = f(K) = f(x) : x ∈ K

para toda f ∈ C(K). En efecto, como el producto en C(K) es punto a punto (y por elloconmutativo), podemos caracterizar a los elementos de GC(K) de la siguiente forma:

g ∈ GC(K) ⇐⇒ existe h ∈ C(K) tal que g(x)h(x) = 1(x) = 1 para todo x ∈ K .

O sea que h(x) = 1g(x)

para todo x ∈ K. Pero tal funcion existe (y en tal caso es continua)

⇐⇒ g(x) 6= 0 para todo x ∈ K. Ahora la caracterizacion σ(f) = f(K) sale con fritas.

En el caso de que K sea Hausdorff pero no compacto, se puede considerar el espacio defunciones complejas continuas y acotadas Cb(K), que es otra AB con la ‖ · ‖∞ . En tal casolo arriba expuesto sigue valiendo siempre que uno reemplace f(K) por f(K) en todas susapariciones. La falta de compacidad deja de garantizar que son la misma cosa. 4

6.2.4. Sea ahora A = L∞ = L∞(X , Σ , µ). Dada f ∈ L∞ definamos su rango esencial

Re(f) =λ ∈ C : µ

( y ∈ X : |f(y)− λ| < ε

)6= 0 para todo ε > 0

=λ ∈ C : µ

[f−1(Ba

C(λ , ε)

) ]6= 0 para todo ε > 0

.

(6.14)

Traduciendo, λ ∈ Re(f) si la f “ronda” cerca de λ con medida positiva para toda cercanıaprefijada. Esta nocion sirve como el rango comun (o su clausura) en el ejemplo anterior:

GL∞ = g ∈ L∞ : 0 /∈ Re(g) y σ(f) = Re(f) para toda f ∈ L∞ .

La prueba es similar al caso continuo: Como el producto es punto a punto, tenemos que

g ∈ GL∞ ⇐⇒ existe g−1 ctp=

1

g∈ L∞ ⇐⇒ 0 /∈ Re(g) ,

donde el ⇐⇒ de la derecha sale porque tenemos la siguiente igualdad

µ(

y ∈ X : | g(y) | < ε)

= µ(

y ∈ X :1

|g(y)|> M =

1

ε

).

Que el de la derecha se anule para algun M grande (eso es que 1/g ∈ L∞) equivale a que elde la izquierada se anule para un ε chico (eso es que 0 /∈ Re(g) ).

Observar que si X tiene una topologıa Hausdorff tal que la medida de los abiertos (no vacıos)nunca es nula, entonces podemos considerar la subalgebra de Banach Cb(X) ⊆ L∞(X). Unbuen ejercicio para entender que es el Re es mostrar que si h ∈ Cb(X), entonces se cumpleque Re(h) = h(X). Eso dice que el espectro de h en las dos algebras en las que vive es elmismo. De hecho, es casi lo mismo que probar que las dos ‖ · ‖∞ coinciden en Cb(X).

El caso paradigmatico es cuando X es un compacto dentro de Rn y la medida es la deLebesgue. En tal caso C(X) ⊆ L∞(X), las normas coinciden y los espectros tambien. 4

174

Ejercicio 6.2.5. En el caso discreto de `∞(I), donde tambien multiplicamos “ i a i ” y quedaun AB con su ‖ · ‖∞ , probar que

σ(a) = Re(a) =ai : i ∈ I

para todo a = (ai)i∈ I ∈ `∞(I) .

No vale avivarse de que a : I→ C es continua. 4

6.2.1 El espectro depende del algebra

Ejemplo 6.2.6. Sea B = D ⊆ C. Como en el Ejem. 3.6.5, consideremos la subalgebraA(D) ⊆ C(B) de de las f ∈ C(B) que son holomorfas en D, con la norma supremo sobrela bola B. Es un AB, y se la llama “el algebra del disco”. Es un hecho conocido que sif ∈ A(D), entonces ‖f‖∞ = sup‖z‖=1 |f(z)| . Por lo tanto, podemos pensar en realidad que

A(D) ⊆ C(T) , pasando de una f ∈ A(D) a f∣∣T ∈ C(T) ,

total las normas supremo coinciden. Tomemos el elemnto e1 ∈ A(D) dado por e1(z) = zpara z ∈ B. Mas vale que es holomorfa en D. Pero si calculamos su espctro queda que

σA(D)(e1) = B mientras que σC(T)(e1) = T .

En efecto, lo de la derecha ya lo vimos antes. Pero si λ ∈ D, entonces tendrıamos que lafuncion (λ−e1)(z) = λ−z, por lo que su inversa, de existir, tendrıa que ser g(z) = (λ−z)−1

al menos en todos los z ∈ B tales z 6= λ . Esto camina en T, por lo que (λ − e1) ∈ GlC(T) ,pero es claramente imposible en D, y menos aun que g sea holomorfa allı. En el ejercicioque viene daremos mas detalles sobre este extrano fenomeno. 4

Ejercicio 6.2.7. Sea A un AB y sea B ⊆ A una subalgebra que tambien es de Banach(mismo uno y misma norma). Probar lo que sigue:

1. GB ⊆ GA∩ B, pero la inclusion puede ser estricta (mirar la funcion e1 del el Ejem. 6.2.6).

2. Dado a ∈ B, ahora tenemos dos espectros para el:

σB(a) = λ ∈ C : λ− a /∈ GB y σA(a) = σ(a) = λ ∈ C : λ− a /∈ GA .

Se tiene que σA(a) ⊆ σB(a), pero que la inclusion puede ser estricta.

3. Sin embargo, ρ(a) = ρB(a)def= sup

λ∈σB(a)

|λ|.

4. Mas aun, mostrar que (en cualquier AB, pongamos ahora A) una sucesion (an)n∈N enGA converge al borde ∂ GA de GA ⇐⇒ ‖a−1

n ‖ −−−→n→∞

∞, lo que no depende del algebra

en donde vivan.

5. Deducir que ∂ GB ⊆ ∂ GA .

175

6. Interpretar lo anterior como que σB(a) consiste de tomar el conjunto σA(a) y “llenar”algunos de sus “agujeros”. Estos se pueden ver como las componentes conexas yacotadas del abierto C \ σA(a) . Cotejar esto con el Ejem. 6.2.6.

7. Deducir que los elementos a ∈ B que tienen su espectro σB(a) “chatito” (i.e., sininterior) cumplen que σB(a) = σA(a).

8. Generalizar todo lo anterior al caso en que B 6⊆ A, pero existe un morfismo unital deanillos Γ : B → A que es isometrico (aunque no sobre). 4

6.2.2 Gelfand

Ejercicios 6.2.8. Sea A un AB y sea I ⊆ A un ideal (si no se aclara es bilatero) cerrado.

1. Probar que el anillo A/I con la norma cociente vista en la Prop. 1.7.1 es un AB.

2. Si J es un ideal no cerrado, mostrar que J es orto ideal.

3. Probar que si M⊆ A es un ideal maximal, entonces es cerrado, por lo que

A/M es un AB de division =⇒ A/M∼= C .

A partir de ahora asumamos que el algebra A es conmutativa.

4. Deducir que el espacio de caracteres (tambien llamado espectro de A)

XA = ϕ ∈ A∗ : ϕ es multiplicativa y unital

se biyecta con el espacio MA de ideales maximales de A.

5. Probar que si a ∈ A, entonces σ(a) = ϕ(a) : ϕ ∈ XA. La idea es que todo b /∈ GAdebe estar dentro de algun maximal, y por ello en el nucleo de una ϕ ∈ XA .

6. Deducir que todo caracter ϕ ∈ XA tiene ‖ϕ‖ = 1 (porque |ϕ(a)| ≤ ρ(a) ≤ ‖a‖).

7. Probar que XA munido con la topologıa w∗ de A∗ es un compacto Hausdorff.

8. Mostrar que la flecha Γ : A → C(XA) dada por Γ(a) = JA a = a, es decir que

a (ϕ) = ϕ(a) para ϕ ∈ XA y a ∈ A

es un morfismo (bien definido, i.e., a es continua) de algebras de Banach. Se lo llamala transformada de Gelfand.

9. Para probar la continuidad de Γ mostrar algo mejor:

‖Γ(a)‖∞ = ‖a‖∞ = ρ(a) (el radio espectral) . (6.15)

176

10. Probar que ker Γ = Rad(A) el radical de Jacobson de A, que es la interseccion de losideales maximales de A. Deducir que Rad(A) = a ∈ A : σ(a) = 0 , los elementosdenominados cuasi-nilpotentes de A. Adivinen de donde sale el nombre. 4

Ejercicio 6.2.9. Sea K un compacto Hausdorff. Probar que si I ⊆ C(K) es un idealcerrado, entonces el conjunto cerrado FI = x ∈ K : f(x) = 0 para toda f ∈ I cumple que

I =g ∈ C(K) : g(x) = 0 para todo x ∈ FI

.

Deducir que MC(K) ∼ XC(K)∼= K, con la top w∗ de C(K)∗ en XC(K). La flecha es

K 3 x 7→ Fx = x ∼ Mx = f ∈ C(K) : f(x) = 0 ∼ ϕx ∈ XC(K) ,

donde ϕx(f) = f(x) para f ∈ C(K). Eso da una prueba por el camino mas largo de que

σ(f) = f(K) = f(x) : x ∈ K para toda f ∈ C(K) ,

cosa que ya habıamos visto en el Ejem. 6.2.3. Deducir que, identificando K con XC(K) como

se hizo arriba, la transformada de Gelfand de C(K) es la identidad: f(ϕx) = ϕx(f) = f(x) .

Esto significa que toda AB conmutativa A se “representa” vıa Gelfand en un C(K) (ambascon el mismo espectro K), y que esa representacion es la natural si A ya era un C(K). 4

Ejercicio 6.2.10. Sea ahora Y un ET que es de Tychonoff. El AB conmutativa que nosinteresa es A = Cb(Y ), o sea las funciones complejas actadas y continuas en Y . Llamemosβ(Y ) al espacio compacto de caracteres XCb(Y ) . Probar que

1. Se puede “incrustar” Y → β(Y ) (un embbeding, o sea que es un homeo de Y con suimagen) con la flecha Y 3 y 7−→ ϕy , donde ϕy es el caracter dado por la “evaluacion”de las f ∈ Cb(Y ) en el punto y.

2. Al hacer la transformada Γ : Cb(Y )→ C(β(Y ) ) se tiene que

Γf (ϕy) = f(ϕy) = f(y) para toda f ∈ Cb(Y ) y todo y ∈ Y .

Interpretar esto como que la funcion f “extiende” la continua y acotada f a unacontinua en el compacto β(Y ) que “contiene” a Y .

3. Antes de seguir, mostrar que en este caso Γ es un morfismo isometrico sobre. Para ellocomparar norma con radio espectral en Cb(Y ), y usar S-W 3.6.3.

4. Deducir que la imagen de Y por el embbeding de 1 es densa en β(Y ).

5. Como lo sugerıa la notacion, β(Y ) = XCb(Y ) no es otra cosa que la compactificacionde Stone Cech de Y definida en la seccion A.16, mientras que la trnasformada Γ es laextension de su propiedad universal.

177

Ejemplo 6.2.11. Este va a tıtulo de divulgacion y propaganda, pero sigue siendo ejerciciopara lectores con muchos anos de analisis. Consideremos el espacio L1(R) con la Lebesgue.Es un AB sin uno, cuando uno le pone el producto de convolucion

f ∗ g (t) =

∫Rf(t− s) g(s) ds para f , g ∈ L1(R) y t ∈ R .

Sea A = C1 + L1(R), como en el Ejer. 6.1.3. Nos queda un AB conmutativa con uno.Se puede ver que XA es la compactacion de Alexandrov (un punto) de R, donde el ∞ es elcaracter que tiene nucleo L1(R) y los demas se veran en la siguiente formula. El hecho notablees que con estas identificaciones, la restriccion de la transformada de Gelfand Γ : A → C(XA)al ideal L1(R) toma valores en el algebra C0(R) y miren quien es:

Γ : L1(R)→ C0(R) esta dada por Γf (s) = f(s) =

∫Rf(t) e−i s t ds ,

para cada f ∈ L1(R) y s ∈ R. O sea que en este inocente ejemplito la transformada deGelfand es la de Fourier! Observar que, como nos guardamos de decir antes para mantenerel suspenso, identificamos los s ∈ R con los caracteres ϕs ∈ XA que no se anulan en L1(R),

dados por son ϕs(f) = f(s) para cada f ∈ L1(R).

Algo parecido pasa si ahora tomamos `1(Z), que ahora es un AB con uno, con su convolucion

a ∗ b(n) =∑m∈Z

am−n bm para a = (an)n∈N y b = (bn)n∈N ∈ `1(Z) .

En este caso X`1(Z)∼= T = z ∈ C : |z| = 1 y Γ : `1(Z)→ C(T) esta dada por

Γa(ω) = fa(ω)def=∑n∈Z

an ωn para a = (an)n∈N ∈ `1(Z) y ω ∈ T .

Observar que la serie que define a cada fa(ω) converge absolutamente porque a ∈ `1(Z). Laimagen Γ(`1(Z) ) se llama el algebra de Wiener (continuas en T con coeficientes de Fouriersumables), y tiene apariciones fulgurantes en analisis armonico. Hay una gran cantidadde detalles que no justificamos, pero vale la pena chamuyar sobre que dan las cosas, paraenterarse de que la de Gelfand es una transformada pulenta (ver el Ejer. 6.7.24). 4

6.3 Espectro de operadores

Ahora trabajaremos mas detalladamente sobre el espectro de operadores T ∈ L(E), dondeE es un EB. El concepto basico es que la nocion de espectro es la generalizacion correcta dela de autovalores (de matrices) al contexto infinitodimensional.

De hecho, si T ∈ L(E) y un λ ∈ C cumple que ker (λI − T ) 6= 0 (eso es ser un autovalor),es claro entonces que λI − T /∈ Gl (E), por lo que λ ∈ σL(E)(T ). Pero puede haber muchoselementos espectrales de T que no sean autovalores. Sin ir mas lejos, si T ∈ L(E) es mono

178

pero no sobre (de esos suele haber muchos cuando dimE =∞), entonces 0 no es autovalorporque T es mono, pero sı esta en el espectro de T porque T no es epi.

Mas adelante dividiremos al σ(T ) en distintas clases (las distintas posibles causas de la noinvertibilidad de los λ I−T ). Pero antes veamos algunas propiedades mas genericas y muchosejemplos. Empecemos por la adjunta de un operador:

Antes de enunciar las cosas aclaremos un eventual malentendido. SiH es un EH y A ∈ L(H),entonces A∗ ∈ L(H) opera en H (es el del Teo. 4.1.6) y no es (exactamente) lo mismo queel adjunto de A que opera en H∗ (segun la Def. 2.6.2 para EN’s generales). Hay en el mediouna identificacion (vıa el Teor. de representacion de Riesz) entre H∗ y H que es antilineal.Esto produce un cambio en el calculo del espectro de A∗, como veremos ahora:

Proposicion 6.3.1. Sean E un EB y H un EH.

1. Si T ∈ L(E), entonces T ∗ ∈ L(E∗) cumple que σ(T ∗) = σ(T ).

2. En cambio, si A ∈ L(H), vale que σ(A∗) = λ : λ ∈ σ(A).

Demostracion. El tema clave es que un S ∈ Gl (E) ⇐⇒ S∗ ∈ Gl(E∗), como asegura laProp. 2.6.12. Ademas (λS)∗ = λS∗ para cada λ ∈ C (porque S∗ϕ = ϕ S para las ϕ ∈ E∗).Luego, dado λ ∈ C tenemos que (λIE−T ) ∈ Gl (E) ⇐⇒ (λ IE−T )∗ = λ IE∗−T ∗ ∈ Gl(E∗).En cambio, si trabajamos en L(H) sigue valiendo que B ∈ Gl (H) ⇐⇒ B∗ ∈ Gl (H), peroahora tenemos que (λB)∗ = λB∗ para los λ ∈ C (Teo. 4.1.6). Por lo tanto, ahora vale que

λ IH − A ∈ Gl (H) ⇐⇒ (λ IH − A)∗ = λ IH − A∗ ∈ Gl (H) .

Como siempre, esto implica que σ(A∗) = λ : λ ∈ σ(A).

Corolario 6.3.2. Sea H un EH. Si U ∈ U(H), entonces σ(U) ⊆ T = λ ∈ C : |λ| = 1.

Demostracion. Por un lado, la Prop. 6.1.7 dice que

ρ(U) ≤ ‖U‖ = 1 =⇒ σ(U) ⊆ λ ∈ C : |λ| ≤ 1 .

Pero al mismo tiempo tenemos que U∗ = U−1 ∈ U(H) y tiene ‖U−1‖ = 1, por lo que

λ−1 : λ ∈ σ(U) 6.2.1 (4)= σ(U−1) ⊆ λ ∈ C : |λ| ≤ 1 .

Juntando ambas cosas sale que λ ∈ σ(U) =⇒ |λ| = 1.

Observacion 6.3.3. Sea T ∈ L(H). Esta claro que los λ ∈ σ(T ) no tienen porque serautovalores. Sin embargo una propiedad del estilo deben cumplir: Para todo λ ∈ σ(T )existe una sucesion (xn)n∈N en BH tal que

‖T xn − λxn‖ −−−→n→∞

0 o sino ‖T ∗ xn − λxn‖ −−−→n→∞

0 . (6.16)

La prueba se basa en aplicarle el Cor. 4.1.8 a B = T − λIH . Concretamente, si tanto Bcomo B∗ fueran AI, entonces B ∈ Gl (H), lo que no vale si λ ∈ σ(T ). Observar que si T eranormal, entonces se deben cumplir las dos convergencias de (6.16). En efecto, en tal casotambien B serıa normal, por lo que ‖B x‖ = ‖B∗ x‖ para todo x ∈ H. 4

179

6.3.4. Pensemos en el Banach Lp = Lp(X , Σ , µ) para 1 ≤ p ≤ ∞. Dada una f ∈ L∞,en 1.8.2 estudiabamos el operador Mf ∈ L(Lp) dado por Mf g = fg para g ∈ Lp. Tenıa‖Mf‖ = ‖f‖∞ . Pero ahora queremos ver su espectro. Vale que

σ(Mf ) = σL(Lp)(Mf ) = σL∞(f) = Re(f) , (6.17)

donde el “=” de la derecha lo vimos recientemente en 6.2.4. Como siempre, la prueba sebasa en que Mf ∈ Gl(Lp) ⇐⇒ f ∈ GlL∞ ⇐⇒ 0 /∈ Re(f). Y ello a su vez en que, deexistir, M−1

f deberıa ser Mg para una g ∈ L∞ tal que fg = 1. La prueba de esto ultimo

sale tomando M−1f (h) para h’s que sean caracterısticas de conjuntos de medida finita, para

que caigan en Lp. Por ejemplo, si µ(X) < ∞ tomamos g = M−1f (1) y 1 = Mf (g) = fg.

Dejamos los detalles para el lector esencial.

En particular, pensando en el caso discreto, si a = (ai)i∈ I ∈ `∞ = `∞(I) y tomamos elmultiplicador Ma ∈ L(`p), se tiene que σ(Ma) = σ`∞(a) = ai : i ∈ I.

6.3.5 (Espectro del shift). Consideremos primero los shifts unilaterales S, T ∈ L(`2(N) )definidos en 1.8.1. Allı vimos que todo λ ∈ D es autovalor de T , por lo que D ⊆ σ(T ). Porla compacidad, toda la bola B = D ⊆ σ(T ). Pero por otro lado ρ(T ) ≤ ‖T‖ = 1, ası que yapodemos asegurar que σ(T ) = B. Todo esto para el shift hacia la izquierda T .

Del shift hacia la izquierda S sabemos que no tiene ningun autovalor (ver 1.8.1). Sin embargouna cuenta directa (o un repaso de 4.1.9) muestra que S = T ∗, por lo que tambien σ(S) = B(hay que conjugar, pero no importa).

Con respecto a los bilaterales U, V ∈ L(`2(Z) ) definidos en la Obs. 3.7.3, allı se vio que sonunitarios (aunque todavıa no se usaba ese nombre). Por ello y por el Cor. 6.3.2 vemos que susespectros tienen que vivir dentro de T. Mostraremos de dos maneras que σ(U) = σ(V ) = T :

1. Por un lado, recordemos el isomorfismo natural Φ : L2(T) → `2(Z) correspondientea la BON de Fourier en(w) = wnn∈Z de L2(T). En la Obs. 3.7.3 vimos que vale laigualdad U = Φ−1Me1 Φ. Pero la flecha Γ : L(L2(T) )→ L(`2(Z) ) dada por

Γ(T ) = ΦT Φ−1 ∈ L(`2(Z) ) para T ∈ L(L2(T) )

es un isomorfismo unital (y sobre) de AB’s. Y tenemos que Γ(Me1) = U . Al respecto,en 6.2.1 (5) vimos que entonces σ(U) = σ(Me1). Por otro lado, en (6.17) mostramosque σ(Me1) = Re(e1). Y por ultimo en 6.2.4 decıamos que, al ser e1 continua, se cumpleque σ(U) = σ(Me1) = Re(e1) = e1(T) = T. Uff. Se uso todo el arsenal.

2. Ahora daremos una prueba mas directa aunque algo cuentosa de lo mismo. La ideaes tomar un ω ∈ T y construir un elemento w = (ωn)n∈Z ∈ `∞(Z). Es facil ver que elmultiplicador Mw ∈ U(`2(Z )) (no cambia los tamanos de las entradas). Una cuentadirecta (algo pastosa) muestra que al conjugar a U con este Mw queda que

Mw U M−1w = Mw U Mw = ω U =⇒ σ(U) = σ(Mw U M

∗w) = σ(ω U) = ω σ(U) .

180

La idea es que si primero multiplicamos y despues corremos, al volver a multiplicarnos sobra (en todas las coordenadas) una potencia de ω. La igualdad σ(U) = ω σ(U)vale para todo ω ∈ T. Como σ(U) 6= ∅, podemos elegir un u ∈ σ(U). Ası llegamos aque ω = (ω u)u ∈ (ω u)σ(U) = σ(U) para todo ω ∈ T.

Finalmente, obsrevar que V = U∗ = U−1 = Γ(Mz ) . Cualquiera de esas igualdades da (pordistintas razones) que tambien σ(V ) = σ(U) = T. 4

6.4 Espectro de autoadjuntos

A partir de ahora veremos algunos resultados de operadores en L(H). Recordemos que unA ∈ L(H) era AI si existıa un ε > 0 tal que ε · ‖x‖ ≤ ‖Ax ‖ para todo x ∈ H. Es claroque ser AI implica ser mono y tener rango cerrado. En 2.6.11 probamos ademas que todoA ∈ Gl (H) es automaticamente AI, con ε = ‖A−1‖−1. Veamos que pasa si A es normal:

Lema 6.4.1. Sea N ∈ L(H) un operador normal. Entonces vale que

N es AI ⇐⇒ N ∈ Gl (H) . (6.18)

Demostracion. Sabemos desde 2.6.11 que la flecha ⇐ se cumple. Para la otra tenemos queser AI =⇒ ser mono y que R(N) v H. Pero como N es normal, se tiene que

0 = kerN4.2.2= kerN∗

Prop. 4.1.7= R(N)⊥ =⇒ R(N)

Cor. 3.2.7=

(R(N)⊥

)⊥= H .

En resumen, como el rango de N es cerrado y denso, entonces N es epi.

Con este Lema podemos caracterizar bastante bien el espectro de los autoadjuntos:

Proposicion 6.4.2. Sea A ∈ L(H) tal que A∗ = A (eso se notaba A ∈ A(H) ) Entonces:

1. Su espectro σ(A) ⊆ R.

2. Mejor aun, si definimos los siguientes numeros

mA = ınf‖x‖=1

〈Ax , x〉 y MA = sup‖x‖=1

〈Ax , x〉 , (6.19)

entonces vale que σ(A) ⊆ [mA , MA].

3. Ambos extremos mA , MA ∈ σ(A). A veces se los nota λnim(A) y λmax(A) .

4. De paso canazo: Un operador T ∈ L(H) cumple que

T ∈ L(H)+ ⇐⇒ T ∈ A(H) y mT ≥ 0 ⇐⇒ T ∈ A(H) y σ(T ) ⊆ R+ . (6.20)

181

Demostracion. Sea λ = a+ i b ∈ σ(A). Abreviemos B = A− aI ∈ A(H). Luego

‖(A− λ I)x‖2 = ‖(B − i b I)x‖2 = ‖B x‖2 + |b|2 ‖x‖2 − 2 Re 〈B x , i b x〉

= ‖B x‖2 + |b|2 ‖x‖2 + 2 Re(i b 〈B x , x〉

)( i b 〈B x , x〉 ∈ iR )

= ‖B x‖2 + |b|2 ‖x‖2 ≥ |b|2 ‖x‖2 ,

para todo x ∈ H. Entonces, si λ /∈ R entonces b 6= 0, por lo que A− λI serıa normal y AI.Por el Lema 6.4.1 llegarıamos a que A− λI ∈ Gl (H). Absurdo mal. Listo que σ(A) ⊆ R.

Asumamos ahora que λ ∈ R \ [mA , MA] . Si x ∈ H \ 0 and y = x‖x‖ , entonces

‖(A− λ I)x‖ ‖x‖ ≥∣∣〈(A− λ I)x , x〉

∣∣ =∣∣ 〈Ay , y〉 − λ ∣∣ ‖x‖2 ≥ ε ‖x‖2 ,

donde ε = d (λ , [mA , MA] ) > 0 (observar que 〈Ay , y〉 ∈ [mA , MA] porque ‖y‖ = 1). Enresumidas cuentas, nos vuelve a quedar que A−λ I es AI, y ahora autoadjunto. Nuevamentellegamos a que A− λI ∈ Gl (H), por lo que λ /∈ σ(A).

Observar que el operador B = A −mA I ∈ L(H)+, porque 〈B y , y〉 = 〈Ay , y〉 −mA ≥ 0para todo vector unitario y ∈ H, y por una homotecia para todo x ∈ H de cualquier norma.Recordemos (Teo. 4.3.6) que existe la raız B1/2 ∈ L(H)+ tal que (B1/2)2 = B. Tomemos unasucesion (xn)n∈N de vectores unitarios tales que 〈Axn , xn〉 −−−→

n→∞mA . Luego

‖B1/2 xn‖2 = 〈B1/2 xn , B1/2 xn〉 = 〈B xn , xn〉 = 〈Axn , xn〉 −mA −−−→

n→∞0 .

Como todos los xn eran unitarios, deducimos que B1/2 no es AI, por lo que B1/2 /∈ Gl (H).Es facil ver que eso implica que B = A − mA I /∈ GA , lo que prueba que mA ∈ σ(A). Laprueba de que tambien MA ∈ σ(A) sale usando al operador C = MA I − A ∈ L(H)+.

Si tomamos ahora un T ∈ L(H), el primer ⇐⇒ de la Ec. (6.20) sale con fritas. Pero siestamos asumiendo que T ∈ A(H) (se lo hace de ambos lados), la equivalencia de las otrascondiciones mT ≥ 0 ⇐⇒ σ(T ) ⊆ R+ se deduce de los items 2 y 3 de arriba.

Definicion 6.4.3. Dado un T ∈ L(H), su radio numerico se define como el numero

w(T ) = sup‖y‖=1

∣∣ 〈T y , y〉 ∣∣ .Es facil ver que la flecha T 7→ w(T ) define una norma en L(H). Se usa la Ec. (4.3). 4

Ejercicio 6.4.4. Sea H un EH. Probar las siguientes afirmaciones:

1. Si T ∈ L(H), entonces∣∣ 〈T x , x〉 ∣∣ ≤ w(T ) ‖x‖2 para todo x ∈ H.

2. Cuando A ∈ A(H), se tiene la igualdad w(A) = max MA , −mA , donde mA y MA

son los numeros de la Prop. 6.4.2. 4

182

Proposicion 6.4.5. Sea H un EH. Relacionemos los radios y la norma:

1. Dado un T ∈ L(H) se tienen las desigualdades

ρ(T ) ≤ w(T ) ≤ ‖T‖ . (6.21)

2. Si dimH > 1, estas desigualdades bien pueden ser estrictas.

3. Sin embargo vale que las normas w(·) ∼= ‖ · ‖ en L(H). Mas aun, ‖T‖ ≤ 2w(T ).

4. En cambio, si A ∈ A(H), entonces ρ(A) = w(A) = ‖A‖.

Demostracion. El hecho de que w(T ) ≤ ‖T‖ no es otra cosa que Cauchy-Schwarz. Siahora me dan un λ ∈ σ(T ), y como siempre llamamos B = T − λ I /∈ Gl (H), tenemos tresposibilidades: Si existe un x ∈ kerB que es (un λ-autovector de T ) unitario, entonces

0 = 〈B x , x〉 = 〈T x , x〉 − λ =⇒ |λ| =∣∣ 〈T x , x〉 ∣∣ ≤ w(T ) .

Otra es que exista un x ∈ R(B)⊥ unitario. En este caso tambien vale que 〈B x , x〉 = 0 yse sigue igual. La ultima posibilidad es que B sea mono y con rango denso. Pero entoncessabemos por 2.6.11 que B no serıa AI, y existirıa una sucesion (xn)n∈N de unitarios tal que

B xn −−−→n→∞

0 =⇒∣∣ 〈T xn , xn〉 − λ ∣∣ =

∣∣ 〈B xn , xn〉∣∣ −−−→n→∞

0 =⇒ |λ| ≤ w(T ) .

En resumen, |λ| ≤ w(T ) para todo λ ∈ σ(T ), por lo que ρ(T ) ≤ w(T ). Si tomamos la matriz

T =

[0 10 0

]∈ L(C2), se ve que las desiguadades pueden ser estrictas. En efecto,

ρ(T ) = 0 , w(T ) =1

2y ‖T‖ = 1 .

La cuenta sale facil porque T (x1 , x2) = (x2 , 0) para (x1 , x2) ∈ C2 y porque σ(T ) = 0.

Sea ahora A ∈ A(H). La igualdad ρ(A) = w(A) se deduce de la Prop. 6.4.2 que decıa queσ(A) ⊆ [mA , MA] pero toca los dos bordes. Por otro lado el hecho de que A ∈ A(H) permitehacer una cuenta muy parecida a la polarizacion real vista en la Ec. (3.3), que dice ası :

4 Re 〈Ax , y〉 =⟨A (x+ y) , (x+ y)

⟩+⟨A (x− y) , (x− y)

⟩,

para todo par x , y ∈ H. Pero el paralelogramo (3.4) da que si x , y son unitarios, entonces

4 Re 〈Ax , y〉 ≤ w(A)(‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2

)= 2w(A)

(‖x‖2 + ‖y‖2

)= 4w(A) .

Cambiando x por algun ei θ x sale que∣∣ 〈Ax , y〉 ∣∣ ≤ w(A). Luego llegamos a que

‖A‖ = sup‖x‖=‖y‖=1

∣∣ 〈Ax , y〉 ∣∣ ≤ w(A) =⇒ ‖A‖ = w(A) .

183

Por ultimo, dado T ∈ L(H) podemos escribirlo como T = A + i B, donde A , B ∈ A(H)(por ejemplo se tenıa que A = T+T ∗

2). Con eso sale la desigualdad

‖T‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖ = w(A) + w(B) ≤ 2w(T ) ,

donde se usa que 〈Ax , x〉 = Re 〈T x , x〉 para todo x ∈ H, por lo que w(A) ≤ w(T ) y algoparecido para mostrar que tambien w(B) ≤ w(T ).

La igualdad ρ(A) = ‖A‖ que acabamos de ver que verifican los autoadjuntos, en realidadtambien se cumple para todo A que sea normal. La prueba va por otro camino:

Teorema 6.4.6. Si N ∈ L(H) es normal, tambien se verifica que

ρ(N) = w(N) = ‖N‖ . (6.22)

Demostracion. Recordar del Teo. 4.1.6 que ‖T ∗T‖ = ‖T‖2 para todo T ∈ L(H). En partic-ular, si A ∈ A(H) (por lo que A∗A = A2), uno puede mostrar inductivamente que

‖A‖2n = ‖A2‖2n−1

= · · · = ‖A2n−1‖2 = ‖A2n‖ para todo n ∈ N .

Pero ahora veremos que eso se extiende a nuestro normal N : Como N∗N ∈ A(H), entonces

‖N‖2n =(‖N∗N‖2n

)1/2= ‖(N∗N)2n‖1/2 normal

= ‖(N∗)2n N2n‖1/2 = ‖N2n‖ , (6.23)

siempre para todo n ∈ N. Pero por la formula del radio espectral (6.10) vemos que

ρ(N) = limm→∞

‖Nm‖1/m = limn→∞

‖N2n‖1/2n(6.23)= ‖N‖ .

Finalmente, por la Ec. (6.21) el w(N) queda ensanguchado entre ellos.

Corolario 6.4.7. Si N ∈ L(H) es normal y tiene σ(N) = λ, entonces N = λ IH .

Demostracion. Sea M = N − λ IH , que sigue siendo normal pero ahora tiene σ(M) = 0.Ahora solo falta descifrar que significa que ρ(M) = ‖M‖ en este caso.

Ejercicio 6.4.8 (Jodido por ahora). Dado un A ∈ L(H), probar que

nuestro A ∈ A(H) ⇐⇒ A es normal y σ(A) ⊆ R . 4

Ejercicio 6.4.9 (Algo menos jodido). Probar que la norma w(·) cumple que

w(T 2) ≤ w(T )2 para todo T ∈ L(H) . 4

184

6.5 Calculo funcional continuo

6.5.1. Sea H un EH y sea A ∈ L(H). Sabemos evaluar polinomios de C[X] en A. De hechoeso se puede hacer en cualquier algebra (con polinomios a coeficientes en el cuerpo que leactua). Fijado el A, uno tiene entonces un morfismo de algebras

EA : C[X]→ L(H) dado por EA(p) = p(A) , para cada p ∈ C[X] .

En algebra este EA se llama morfismo de evaluacion, pero aca lo llamaremos calculo polino-mial en A. Es importante que recordemos que EA es morfismo de algebras. Por ejemplo esosignifica que si p(X) = a

∏k∈In

(X − λk) ∈ C[X], entonces p(A) = a∏k∈In

(A− λk I) ∈ L(H).

La idea de lo que viene es asumir que A ∈ A(H) (esto es esencial) y extenderlo a un nuevocalculo que permita hacer la evaluacion f(A), pero ahora para todas las funciones f quesean continuas en el espectro de A. Las herramientas clave que ya hemos desarrollado son:

1. Si A ∈ A(H), entonces σ(A) ⊆ R. Se vio en la Prop. 6.4.2.

2. σ(p(T ) ) = p(λ) : λ ∈ σ(T ) para todo p ∈ C[X] y todo T ∈ L(H). (Prop. 6.1.7)

3. ρ(N) = ‖N‖ para todo N ∈ L(H) que sea normal. Es el Teo. 6.4.6.

4. El Teorema de Stone-Weierstrass 3.6.3.

Llamemos K = σ(A) ⊆ R. El Teo. 3.6.3 nos asegura que el algebra de polinomios C[X](actuando en K) es ‖ · ‖∞-densa en C(K). En otras palabras, la subalgebra

P (K)def= g ∈ C(K) : g(t) = p(t) para un p ∈ C[X] y todo t ∈ K

es ‖ · ‖∞-densa en C(K). Fijemos una f ∈ C(K). Dada una sucesion (pn)n∈N en P (K) tal

que pn‖ · ‖∞−−−→n→∞

f , intentaremos definir el valor de f en A por la formula

f(A)def= lim

n∈Npn(A) ∈ L(H) . (6.24)

Para que esto tenga sentido (buena definicion), hay que verificar dos cosas:

• Que la sucesion pn(A) tenga lımite en L(H).

• Que si otra sucesion P (K) 3 qn‖ · ‖∞−−−→n→∞

f =⇒ pn(A)− qn(A)‖ · ‖−−−→n→∞

0.

En realidad ambas cosas son lo mismo, porque tanto los pn solos como las restas pn− qn sonsucesiones de polinomios que convergen uniformemente en K (una a f , la otra a 0).

Lema 6.5.2. Sea A ∈ A(H) y (pn)n∈N una sucesion en C[X] que es uniformemente deCauchy en σ(A). Entonces existe un B ∈ L(H) que cumple lo siguiente:

1. La sucesion pn(A) −−−→n→∞

B con la norma de L(H).

185

2. El lımite B es normal.

3. La norma de B se calcula ası: ‖pn‖∞ −−−→n→∞

‖B‖ , con normas supremo en σ(A).

Demostracion. Antes que nada, observar que los operadores pn(A) − pm(A) son normalespara todo par n , m ∈ N (no estan en A(H) porque los coeficientes pueden no ser reales).Por lo tanto, podemos aplicarles el Teo. 6.4.6. Ası llegamos a que

‖pn(A)− pm(A)‖ 6.4.6= ρ

(pn(A)− pm(A)

) 6.1.7= sup

λ∈σ(A)

|pn(λ)− pm(λ)| −−−−→n,m→∞

0 .

La convergencia final no es otra cosa que decir que los pn eran uniformemente de Cauchy enσ(A). La conclusion es que la sucesion pn(A) es de Cauchy en L(H). Como L(H) es un EB,existe el lımite B ∈ L(H). Y el es normal al ser lımite de normales. Para probar lo de lasnormas, se vuelve a usar que ‖pn(A)‖ = ρ(pn(A) ) = ‖pn‖∞ para todo n ∈ N.

Con el Lema anterior se subsanan las dos objeciones anteriores. Ası que ahora ya podemosafirmar que la definicion de f(A) dada en (6.24) es consistente. Es lo que se llama el calculofuncional continuo (CFC) para operadores autoadjuntos.

Observar que si A ∈ L(H)+, entonces el operador A1/2 definido en el Teo. 4.3.6 no es otracosa que f(A) para la f(λ) = λ1/2, definida para todo λ ∈ R≥0 . Para convencerse de ellobasta mirar la Ec. (4.25), o bien acordarse de la unicidad que aseguraba el Teo. 4.3.6. 4

Definicion 6.5.3. Sea A ∈ A(H). Llamemos K = σ(A) ⊆ R. Definimos el CFC en A:

ΦA : C(K)→ L(H) dada por ΦA(f)(6.24)= f(A) para toda f ∈ C(K) .

Por el Lema 6.5.2 se ve que ΦA(f) es normal para toda f ∈ C(K). 4

La gracia de este CFC es que, aunque Magoya calcula quien es f(A), igual es re-util porquetiene propiedades magnıficas. Empecemos con un listado de las mas grosas:

Teorema 6.5.4. Sea A ∈ A(H). Luego el calculo ΦA : C(K)→ L(H) verifica que:

1. La ΦA extiende el calculo polinomial. Es decir que si p ∈ C[X], las dos formas decalcular p(A) (evaluar de una o hacer ΦA(p) ) coinciden.

2. Es un morfismo de algebras. O sea que si f , g ∈ C(K), entonces

ΦA(f + g) = (f + g) (A) = f(A) + g(A) y ΦA(fg) = (f · g) (A) = f(A) g(A)

3. Es un ∗-morfismo: Esto es que ΦA ( f ) = f(A) = f(A)∗ para toda f ∈ C(K).

4. Es isometrico. Vale la pena ponerlo como Ec. para citar despues:

‖ΦA(f)‖ = ‖f(A)‖ = ‖f‖∞ (en K) para toda f ∈ C(K) . (6.25)

186

5. Si fn −−−→n→∞

f uniformemente en K, entonces fn(A)‖ · ‖−−−→n→∞

f(A).

6. Si un B ∈ L(H) conmuta con A, entonces tambien lo hace con cualquier f(A).

7. El operador f(A) ∈ Gl (H) ⇐⇒ f ∈ GC(K)6.2.3⇐⇒ 0 /∈ f(K).

8. Para toda f ∈ C(K) vale la formula de la imagen espectral:

σ(f(A) ) = σC(K)(f) = f(σ(A) )def= f(λ) : λ ∈ σ(A) . (6.26)

9. Se tienen las siguientes caracterizaciones:

f(A) ∈ A(H) ⇐⇒ f es real y f(A) ∈ L(H)+ ⇐⇒ f es positiva . (6.27)

Demostracion. El hecho de que el CFC sea consistente con la evaluacion algebraica depolinomios sale tomando una sucesion constante en (6.24). Los items 2, 3, 4 y 5 salendirectamente de la definicion de ΦA tomando lımite de polinomios, porque suma, producto,conjugacion - ∗, conmutacion vs. B y normas se preservan en el calculo polinomial (la normapor el Lema 6.5.2), y tambien cuando uno toma lımite, tanto en C(K) como en L(H).

Eso muestra en forma directa que si f ∈ GC(K) =⇒ f(A) ∈ Gl (H), dado que su inversa esf(A)−1 = ΦA(f−1) = (f−1)(A). Pero si existe λ ∈ σ(A) tal que f(λ) = 0 y encima asumimosque f(A) ∈ Gl (H), como Gl (H) es abierto (Teo. 6.1.4) existirıa un ε > 0 tal que

todos los T ∈ L(H) tales que ‖f(A)− T‖ < ε siguen en Gl (H) .

Por el item 4, esto incluirıa a todos los T = p(A) para un p ∈ C[X] tal que ‖f − p‖∞ < ε.Sin embargo, muchısimos de ellos pueden construirse de modo que p(λ) = f(λ) = 0. Peroen tal caso sı sabemos por la Prop. 6.1.7 que 0 ∈ σ(p(A) ) por lo que T = p(A) /∈ Gl (H).

La igualdad σ(f(A) ) = f(σ(A) ) sale sin drama a partir del item 7. Basta observar que(f−λ1)(A) = f(A)−λ IH y fijarse si son inversibles de cada lado. Finalmente, si f ∈ C(K),

f(K) ⊆ R ⇐⇒ f = fΦA es mono⇐⇒ f(A) = f (A)

3= f(A)∗ ⇐⇒ f(A) ∈ A(H) .

Probado esto, la caracterizacion de la positividad sale por las Ecs. (6.20) y (6.26).

Observacion 6.5.5. El Teo. 6.5.4 suele enunciarse diciendo que “existe un unico morfismo(de AB’s) continuo ΦA : C(K) → L(H) que exitende el calculo polinomial”, o bien tal queΦA(1) = IH y ΦA(X) = A. Y que el tal ΦA cumple todas las propiedades del Teo. 6.5.4.Esto ahora es evidente si uno mira la formula (6.24).

Es interesante observar que una prueba alternariva del item 7 sobre el espectro de los f(A)se puede hacer vıa el Ejer. 6.2.7. El tema es que se puede pensar que C(K)“ ⊆ ”L(H) porel incruste isometrico ΦA . Luego se usa de ambos lados que dada f ∈ C(K), vale que la fes inversible ⇐⇒ |f |2 = f f es inversible. Idem con f(A) vs. f(A)∗ f(A) en L(H).

187

Y nuestro nuevo elemento |f |2, que esta en la subalgebra, tiene su espectro de C(K) en R,por lo que no tiene “agujeros” y debe conicidir con “su” espectro σ(f(A)∗ f(A) ) en L(H).

Este camino usando la teorıa de AB’s es en realidad el mejor para definir el CFC. Por ejemplopermite extender el Teo. 6.5.4 (con todos sus items) a operadores normales N ∈ L(H). Laidea clave es definir el algebra de Banach C∗(N) ⊆ L(H) generada por N , N∗ y IH . Observarque la normalidad de N asegura que C∗(N) es conmutativa.

Luego se aplica la “transformada de Gelfand”, cuyos preliminares vimos en el Ejer. 6.2.8,que exhibe un isomorfismo natural Γ entre las algebras conmutativas C∗(N) y C(σ(N) ), atraves de una identificacion (homeo) de los caracteres de del algebra C∗(N) con el compactoσ(N) (haciendo XC∗(N) 3 ϕ 7→ ϕ(N) ∈ σ(N), lo que caracteriza a ϕ). Observar que elTeo. 6.4.6 y la Ec. (6.15) aseguran que en este caso Γ es isometrica. Que es sobre sale porStone-Weierstrass 3.6.3. Luego uno define el CFC en N simplemente como la inversa de Γ.Una version detallada de todo esto se vera en el Ejer. 6.7.16.

Observar que todo lo de arriba (pero ahora para normales) incluye, entre otras cosas, elEjer. 6.4.8. Los detalles, ahora mucho menos jodidos que entonces, siguen para el lector. 4

Observacion 6.5.6. En el Ejer. 6.1.9 vimos otra version de un calculo funcional. Se puedeaplicar a todo T ∈ L(H) (no hace falta ni que sea normal), pero solamente funciona parafunciones holomorfas definidas en una bola Ba

C(0 , M) que contenga al σ(T ).

Hay que decir dos cosas al respecto: Primero que si N ∈ L(H) es normal y f es una holomorfacomo las de arriba, entonces el operador f(N) es siempre el mismo, ya sea que lo calculemoscon el CFC en N o con la serie del Ejer. 6.1.9. Esto es evidente del hecho que las sumasparciales de la serie sirven como polis que aproximen a la f uniformemente en σ(T ). Queambos calculos extienden al polinomial es claro.

Observar que el “calculo holomorfo”, tambien llamado CF de Riesz, es viable en toda AB,lo que ya es decir mucho mas que L(H). Esto de por sı es importante porque si E es un EB,no tenemos la nocion de operador autoadjunto o normal en L(E), por lo que no disponemosen L(E) de otro CF que el de Riesz.

Por otro lado, la version dada en el Ejer. 6.1.9 de este CF no es todo lo general que pudiera ser.El tema es que para poder definir f(T ), basta que la f sea holomorfa en un entorno cualquierade σ(T ) (no hace falta que sea una bola centrada en cero). Esto amplıa notablemente elconjunto de funciones que uno puede evaluarle a T . Claro que para esas nuevas f , el operadorf(T ) no se calcula con un serie tan amigable como la que se uso en el Ejer. 6.1.9.

La idea base es usar la formula integral de Cauchy a lo largo de una curva cerrada γ que“rodee” a σ(T ) dentro del dominio de f pero sin tocar al espectro, dando una sola vueltacontra el reloj. La formula que queda es

f(T ) =1

2πi

∫γ

f(λ)(λ− T )−1 dλ =1

2πi

∫γ

f(λ)RT (λ) dλ .

El problema es que el desarrollo de este calculo, lo que incluirıa ver que existe tal curvaγ, que f(T ) esta bien definida, pero sobre todo ver que tiene propiedades razonables, es

188

una tarea larga y complicada. Por ello no lo incluiremos en este texto. El lector interesadopordra encontrar una excelente exposicion de este calculo en el libro de Conway [2]. 4

Al efectuar el CFC en un A ∈ A(H), lo mas usual es evaluarle funciones continuas definidasen un conjunto mas viable que el σ(A), que es el intervalo [mA , MA], delimitado por losextremos de σ(A) estudiados en la Prop. 6.4.2. Sin embargo, hay un caso clave en queconviene hacer todo lo contrario. Antes un ejercicio para repasar matrices 2× 2 :

Ejercicio 6.5.7. Sea T ∈ L(H). Recordar de 4.5.6 que si S ∈ Latr (T ) entonces

T =

[T1 00 T2

]SS⊥ con T1 ∈ L(S) y T2 ∈ L(S⊥) .

Probar que en tal caso se tiene la siguiente iguadad de los espectros:

σ(T ) = σ(T1) ∪ σ(T2) ,

donde al σ(T1) se lo piensa en L(S) y al de T2 en L(S⊥). Si T ∈ A(H), probar que

f(T ) =

[f(T1) 0

0 f(T2)

]SS⊥ para toda f ∈ C(σ(T ) ) . 4

Proposicion 6.5.8. Sea A ∈ A(H) y supongamos que σ(A) = K = K1

d⋃K2 dos mitades

compactas clopen no vacıas. Sea f = 1K1 la caracterıstica de K1 dentro de σ(A). Luego:

1. Esta f ∈ C(K). Llamemos P = f(A) ∈ L(H).

2. Vale que P = P 2 = P ∗, o sea que P ∈ P(H). Sea S1 = R(P ) v H.

3. El subespacio S1 reduce a A, o sea que si llamamos S2 = S⊥1 = R(1K2(A) ), entonces

PA = AP(4.33)=⇒ A(S1) ⊆ S1 y A(S2) ⊆ S2 .

4. La gracia de todo es que la representacion matricial (4.36) en base a S1 ⊕ S⊥1 queda

A =

[A1 00 A2

]S1

S⊥1, y se tiene que σ(A1) = K1 y σ(A2) = K2 , (6.28)

donde los espectros se calculan en las algebras L(Si) en las que viven los Ai .

Es decir que en la situacion σ(A) = K = K1

d⋃K2 se puede “dividir” al operador A y al

espacio H en “autoespacios” ortogonales donde se realizan las dos mitades de σ(A).

189

Demostracion. La continuidad de f = 1K1 es obvia por la clopenidad. Si ahora uno observaque f = f 2 = f pensandolas como funciones de C(K), saca el item 2 usando el Teo. 6.5.4,cuyo item 5 tambien asegura que PA = AP , lo que muestra el item 3 de aca. Notar que0 6= P 6= IH porque, al ser los Ki no vacıos, sus caracterısticas no son nulas en C(K).

Si llamamos B = AP vemos que B = g(A) donde g(λ) = λ1K1(λ), para λ ∈ K. Aplicandonuevamente el Teo. 6.5.4 podemos calcular que σ(B) = g(K) = K1 ∪ 0. Si les aplicamosa estos operadores la representacion matricial vista en (4.36), nos queda que

B = AP =

[A1 00 A2

] [IS1 00 0

]=

[A1 00 0

]S1

S2. (6.29)

Ya sea por el Ejer. 6.5.7 o haciendo las cuentas (si no creen en matrices haganlas), sale que

K1 ∪ 0 = σ(B)(6.29)= σ(A1) ∪ 0 .

Por lo tanto, solo falta ver si 0 ∈ σ(A1) o no. Podemos asumir que 0 /∈ K (cambiando Apor A + λIH si hace falta). En tal caso, para mostrar que σ(A1) = K1 solo nos hace faltaprobar que A1 ∈ Gl(S1). Pero fijense que ahora tenemos que la funcion h(λ) = λ−1 1K1(λ)vive en C(K) y cumple que g h = 1K1 = f . Llamemos C = h(A). Luego

B C = g(A)h(A) = f(A) = P = h(A) g(A) = C B . (6.30)

Como h(A) conmuta con P = f(A), la Prop. 4.5.8 nos aseguraba que S1 ∈ Latr (C) y que

CB =

[C1 00 C2

] [A1 00 0

]=

[C1A1 0

0 0

]=

[IS1 00 0

]= P .

En forma similar sale que P = BC =⇒ A1C1 = IS1 . Luego C1 = A−11 y A1 ∈ Gl(S1). La

prueba de que σ(A2) = K2 es igual.

Corolario 6.5.9. Sea A ∈ A(H). Si λ es un punto aislado de σ(A), entonces:

1. El tal λ ∈ σ(A) es un autovalor de A, en el sentido de que ker(λIH − A) 6= 0.

2. La funcion 1λ ∈ C(σ(A) ). Sean Pλ = 1λ(A) y Sλ = R(Pλ). Luego Sλ ∈ Latr (A).

3. Ademas, haciendo la representacion matricial (4.36) en base a Sλ ⊕ S⊥λ queda

A =

[λ IS1 0

0 A2

]SλS⊥λ

,

donde A2 = A (I − Pλ) ∈ A(S⊥λ ) cumple que σ(A2) = σ(A) \ λ.

4. Nuestro Sλ cumple que en realidad Sλ = ker(λIH − A).

190

Demostracion. El hecho de que λ sea aislado significa que K2 = σ(A) \ λ es tambien unclopen compacto dentro de σ(A). Si llamamos K1 = λ estamos en las condiciones de laProp. 6.5.8. Con las notaciones de ella, tenemos que Sλ = R(Pλ) v H es no nulo y que

A =

[A1 00 A2

]SλS⊥λ

donde A1 = A∣∣Sλ∈ A(Sλ) tiene σ(A1) = K1 = λ .

El hecho de que A1 ∈ A(Sλ) sale por la vieja Ec. (4.39). Por el Cor. 6.4.7 uno deduce queA1 = λ ISλ y de ahı que Sλ ⊆ ker(λIH − A). Pero vimos arriba que Sλ 6= 0.

La segunda parte del enunciado sale directo de la Prop. 6.5.8. Observar que de ahı uno sacafacilmente que en realdad R(Pλ) = Sλ = ker(λIH − A), porque en caso contrario deberıapasar que ker(λIH − A) ∩ S⊥λ 6= 0. Y eso no esta permitido porque λ /∈ σ(A2).

En la prueba hay un pequeno gap. El caso en que σ(A) = λ harıa que K2 = ∅. Pero enese caso todo lo que se postula es trivial, porque A = λIH (Cor. 6.4.7).

Corolario 6.5.10. Toda matriz autoadjunta tiene una BON de vectores propios.

Demostracion. Sale por un argumento inductivo a partir del Cor. 6.5.9. Notar que como elespectro de las matrices es finito, todos sus puntos son aislados.

Corolario 6.5.11. Si A ∈ A(H) tiene espectro finito, entonces

1. Si σ(A) = λ1 , . . . , λr, existen P1 , . . . , Pr ∈ P(H) tales que

Pi Pj = 0 si i 6= j ,∑k∈ Ir

Pk = IH y A =∑k∈ Ir

λk Pk . (6.31)

2. Si p(X) =∏k∈ Ir

(X − λk) ∈ C[X], entonces p(A) = 0.

Es decir que un A ∈ A(H) es “algebraico” ⇐⇒ σ(A) es finito. Ojo que esto no vale paratodos los demas operadores T ∈ L(H).

Demostracion. Nuevamente sale haciendo induccion en el Cor. 6.5.9. De hecho hay quedefinir a cada Pk = 1λk(A). Con ellos las tres partes de la Ec. (6.31) salen sin muchadificultad. Con la representacion A =

∑k∈ Ir

λk Pk , tambien es una cuentita directa la

verificacion de que q(A) =∑k∈ Ir

q(λk)Pk para todo q ∈ C[X].

Ejercicio 6.5.12. Usando la Obs. 6.5.5, probar que todos los resultados anteriores, desdela Prop. 6.5.8 hasta el Cor. 6.5.11, siguen siendo validos si uno reemplaza en enunciados ypruebas la frase “A ∈ A(H)” por “N ∈ L(H) es normal”.

Ya que estamos, si el lector leyo sobre el CF de Riesz en el Conway, le proponemos extenderesos mismos resultados para cualquier algebra de Banach A y cualquier elemento a ∈ A.La idea es que, en realidad, la caracterıstica de una mitad clopen de σ(a) es una funcionholomorfa en un entorno de σ(a). Todos los resultados a extender se basan en ese hecho. 4

191

Ejercicio 6.5.13. Sea N ∈ L(H) un operador normal. Notemos K = σ(N). Fijemos unaf ∈ C(K) y llamemos J = f(K) ⊆ C que es compacto. Dada ahora una g ∈ C(J), vale que

1. La composicion h = g f ∈ C(K), por lo que podemos evaluar

h(N) =(g f

)(N) ∈ L(H) .

2. Pero tambien podemos hacer primero M = f(N) y observar que

M es normal y σ(M) = f(K) = J , por lo que g ∈ C(σ(M) ) .

En resumen, podemos usar el CFC para M = f(N) y obtener g(M) = g(f(N) ) ∈ L(H), ypor otro lado hacer CFC en N y obtener h(N) =

(g f

)(N). El ejercicio es probar que(

g f)

(N) = g(M) = g(f(N) ) , (6.32)

o sea que las dos maneras plausibles de evaluar la composicion coinciden.

Sug: Probarlo primero para funciones g ∈ C(J) que sean polinomicas. 4

Ejercicio 6.5.14. Sea U ∈ U(H), por lo que en particular es normal. La Prop. 6.3.2 nosdice que σ(U) ⊆ T. Asumamos que no lo llena, o sea que existe un ω ∈ T \ σ(U).

Probar que en esas condiciones siempre existe un B ∈ L(H) tal que

B∗ = −B y U = eB .

Esto ultimo significa que U = exp(B) vıa en CFC en B, donde exp(z) = ez es la funcionexponencial. Mas aun, probar que existe un A ∈ L(H) tal que cumple lo siguiente:

A ∈ A(H) , σ(A) ⊆ [t , t+2π] para algun t ∈ [0 , 2π] y U = exp(i A) = ei A . (6.33)

La idea es definir B = log(U) con alguna rama holomorfa del log que “salte” en nuestropuntito ω /∈ σ(U). De hecho mas adelante veremos que el requerimiento de que σ(U) nollene a T no es imprescindible para obtener (6.33), pero solo es posible hacerlo con el CFCsi asumimos eso. El caso general que anunciamos sera una consecuencia del futuro CFBA(CF Boreliano acotado), del que esta disgresion es un marketing previo.

Observar que tal resultado implicarıa que U(H) es conexo (por arcos), conectando a U conIH con la curva continua [0, 1] 3 t 7→ ei t A ∈ U(H). Haciendo la DP y usando que L(H)+ esconvexo, se podrıa deducir que todo el grupo Gl (H) es tambien arconexo. Ojo que ambascosas solo valen porque K = C. Notar que en el caso real (y finitodimensional) el signo deldeterminante da dos componentes conexas de U(H) y de Gl (H). 4

Otra aplicacion directa del CFC es la posibilidad de definir las “partes” positiva y negativade un A ∈ A(H):

192

Proposicion 6.5.15. Sea A ∈ A(H). Entonces existen unicos

A+ y A− ∈ L(H)+ tales que A = A+ − A− y A+A− = 0 . (6.34)

En particular, todo T ∈ L(H) es CL de 4 positivos (de una forma canonica).

Demostracion. Sabemos que σ(A) ⊆ R. Definamos f ∈ C(R) la funcion dada por

f(t) = maxt , 0 = t ∨ 0 para cada t ∈ R .

Como es continua pordemos definir A+ def= f(A), que es positivo porque f toma valores

positivos, vıa (6.27). Ademas A−def= A+−A = f(A)−A = g(A), donde la nueva g ∈ C(R),

que esta dada por g(t) = f(t)− t = 0∨−t (para t ∈ R), es otra funcion positiva que ademascumple que f g ≡ 0, por lo que ya tenemos que A− ∈ L(H)+ y que A+A− = 0.

Veamos la unicidad: Si A = C −D con C , D ∈ L(H)+ y tales que CD = 0, entonces C yD conmutan con A, y por ello tambien conmutan con A+ y con A− (por 6 del Teo. 6.5.4).Definamos ahora el operador S = A+ − C = A− −D ∈ A(H). Luego tenemos que

0 ≤ S∗S = S2 = (A+ − C) (A− −D) = −(A+D + A−C

)≤ 0 .

Se uso que el producto de positivos que conmutan queda positivo (si no saben porque valeva como ejercicio). Es claro que S∗S = 0 =⇒ S = 0, ası que C = A+ y D = A−. Lo de laCL de 4 positivos pasa por esctibir cada T ∈ L(H) como T = ReT + i ImT .

Ejercicio 6.5.16. Sea A ∈ A(H). Probar que

|A| = A+ + A− = m(A) , donde m(t) = |t| para t ∈ R . 4

6.6 Propiedades de la raız cuadrada positiva

Repasemos las propiedades de orden en A(H) vistas en la Seccion 4.3.

Dados A,B ∈ A(H) decimos que A ≤ B si B − A ∈ L(H)+ . (6.35)

Observar que, dados A,B ∈ A(H), se tiene que

A ≤ B ⇐⇒ 〈Ax , x〉 ≤ 〈B x , x〉 para todo x ∈ H . (6.36)

Repasemos ahora el enunciado de la Prop. 4.3.2

Prop. 4.3.2. Sea H un EH. Dados A,B ∈ A(H) tales que A ≤ B, se tiene que

1. Para cualquier T ∈ L(H) pasa que T ∗AT ≤ T ∗BT .

2. Si ademas pasaba que A ∈ L(H)+, entonces ‖A‖ ≤ ‖B‖.

193

3. A cualquier A ∈ A(H) se lo ensangucha con multiplos de la identidad:

−‖A‖ I ≤ A ≤ ‖A‖ I . (6.37)

4. A ∈ Gl (H)+ ⇐⇒ A ≥ c I para cierto c > 0.

6.6.1. Veamos ahora algunas cosas nuevas de este tema: En principio observar que

Dado un A ∈ L(H)+ se tiene que A ≤ I ⇐⇒ ‖A‖ ≤ 1 ⇐⇒ ρ(A) ≤ 1 . (6.38)

Las =⇒ son claras. Pero ρ(A) ≤ 1 =⇒ σ(A) ⊆ [0, 1], y allı la funcion f(t) = t es menorque g(t) ≡ 1. Por el CFC eso nos da que A = f(A) ≤ g(A) = I.

Va otra: Dado T ∈ L(H), se tiene las siguientes dos propiedades:

0 ≤ T ∗ T ≤ ‖T ∗ T‖ I y T ∗T ≤ I ⇐⇒ ‖T‖ ≤ 1 . (6.39)

La primera es facil y la segunda sale de (6.38), porque ‖T ∗T‖ 4.1.6= ‖T‖2. 4

Lema 6.6.2. Dados A ∈ L(H)+ y B ∈ Gl (H)+, se tiene que

A ≤ B ⇐⇒ ‖A1/2B−1/2‖ ≤ 1 ⇐⇒ ρ(AB−1) ≤ 1 . (6.40)

Demostracion. Notemos que

A ≤ B ⇐⇒ B−1/2AB−1/2 ≤ I ⇐⇒ (A1/2B−1/2)∗A1/2B−1/2 ≤ I .

Luego se aplican (6.38), (6.39) y el hecho de que ρ(B−1/2AB−1/2) = ρ(AB−1), igualdad quese deduce del Ejer. 6.13 en el algebra de Banach L(H).

Corolario 6.6.3. Dados A , B ∈ Gl (H)+ tales que A ≤ B, se tiene que B−1 ≤ A−1.

Proof. Por (6.40) tenemos que ρ(AB−1) ≤ 1. Pero el Ejer. 6.13 nos asegura que

ρ(B−1A) = ρ(AB−1) ≤ 1(6.40)=⇒ B−1 ≤ A−1 .

Ya se habia dado una prueba de esto en la Prop. 4.3.10, pero esta es mucho mas corta.

Recordemos que si A ∈ L(H)+, entonces el operador A1/2 definido en el Teo. 4.3.6 no es otracosa que f(A) para la f(λ) = λ1/2, definida para todo λ ∈ R≥0 . Sale facil por la unicidadque da el Teo. 4.3.6. Ahora viene un resultado importante: tomar raız cuadrada es lo que sesuele llamase “una funcion monotona de operadores”. Eso significa lo siguiente:

Proposicion 6.6.4. Sean A , B ∈ L(H)+ tales que A ≤ B. Entonces tambien A1/2 ≤ B1/2.

194

Demostracion. Supongamos que B ∈ Gl (H)+. Usando dos veces (6.40) sale que

1 ≥ ‖A1/2B−1/2‖ ≥ ρ(A1/2B−1/2)6.13= ρ(B−1/4A1/2B−1/4) =⇒ I ≥ B−1/4A1/2B−1/4 .

Por lo tanto B1/2 ≥ A1/2. Si B no es inversible, para cada ε > 0 se toma B + εI ∈ Gl (H)+.Luego A1/2 ≤ (B + εI)1/2 para todo ε > 0. Como (t+ ε)1/2 − t1/2 ≤ ε1/2 para todo t ≥ 0,

〈A1/2x, x〉 ≤⟨

(B + εI)1/2x, x⟩ (6.25)−−−−→ε→0

〈B1/2x, x〉 , para todo x ∈ H .

La funcion raız cuadrada se usa ademas para definir el modulo de operadores. Estudiemosloun poquito mejor: Dados S , T ∈ L(H), se tiene que

1. Es falso en general que |S + T | ≤ |S|+ |T | como operadores.

2. Sin embargo, al menos vale que la flecha T 7→ |T | es continua.

Esto no es nada facil de verificar. Para probarlo veamos antes un par de resultados:

Corolario 6.6.5. Sean S , T ∈ L(H). Entonces tenemos la desigualdad

|S T | ≤ ‖S‖ |T | . (6.41)

Demostracion. Por la Prop. 4.3.2 y la Ec. (6.39) sabemos que

(ST )∗ST = T ∗S∗ST ≤ ‖S‖2 T ∗T .

Tomando raıces y usando la Prop. 6.6.4 llegamos a que |ST | ≤ ‖S‖ |T | como operadores.

Proposicion 6.6.6. Sea I ⊆ R un intervalo cerrado (valen semirrectas o todo R). Sean

1. f : I → C una funcion continua.

2. AI(H)def= A ∈ A(H) : σ(A) ⊆ I.

Entonces la aplicacion f : AI(H) → L(H) dada por AI(H) 3 ACFC−→ f(A) ∈ L(H) es

continua, respecto de la norma en ambos lados.

Demostracion. Tomemos An −−−→n→∞

A, todos en AI(H). Observar que

mn = min‖x‖=1

〈An x , x〉 entonces mn −−−→n→∞

mA = min‖x‖=1

〈Ax , x〉 ,

porque cada 〈An x , x〉 ∈ 〈Ax , x〉+ (−ε , ε) siempre que ‖A−An‖ < ε. Lo mismo pasa conlos maximos Mn respecto de MA = max‖x‖=1 〈Ax , x〉. Por el Teo. 6.4.2, hay un n0 tal que

σ (An) ⊆ [mn , Mn] ⊆ J = I ∩ [mA − ε , MA + ε] para todo n ≥ n0 .

195

Por el teorema de Weierstrass (en el intervalo cerrado J), existe un P ∈ C[X] tal que‖f − P‖J ,∞ < ε . Comparando f(An) con P (An) para n ≥ n0 , vemos que

‖f(A)− f(An)‖ ≤ ‖f(A)− P (A)‖+ ‖P (A)− P (An)‖+ ‖P (An)− f(An)‖

< 2 ε+ ‖P (A)− P (An)‖ −−−→n→∞

2 ε .

De ahı saldrıa que ‖f(A) − f(Am)‖ −−−→m→∞

0 y que la f “de operadores” quedarıa continua

en el espacio AI(H). En lo de arriba se uso que

‖f(B)− P (B)‖ 6.5.4= ‖f − P‖σ(B) ,∞ ≤ ‖f − P‖J ,∞ < ε para todo B ∈ AJ(H) ,

que tanto A como los An estan ahi (desde n0), y que el polinomio P que esta fijo cumpleque P (An) −−−→

n→∞P (A) (suma finita de potencias).

Corolario 6.6.7. Sea H un EH. La funcion modulo de operadores, pensada como

L(H) 3 T 7−→ |T | = (T ∗ T )1/2 ∈ L(H)+

es continua. Es decir que Tn −−−→n→∞

T =⇒ |Tn| −−−→n→∞

|T |.

Demostracion. El modulo es la composicion de dos flechas continuas, a saber

• Una facil: L(H) 3 T 7−→ T ∗ T ∈ L(H)+.

• Una mas jugada: A[0 ,∞)(H) = L(H)+ 3 A√7−→ A1/2 ∈ L(H)+.

La primera es continua porque estrellar es isometrica y multiplicar continua en las dosvariables. La raız cuadrada de operadores es continua en A[0 ,∞)(H) por la Prop. 6.6.6.Finalmente, la igualdad A[0 ,∞)(H) = L(H)+ se vio en la Ec. (6.20) del Teo. 6.4.2.

Ejercicio 6.6.8. Sea H un EH. Sea I ⊆ R un intervalo abierto. Probar que

1. El conjunto AI(H)def= A ∈ A(H) : σ(A) ⊆ I es abierto en A(H).

2. La evaluacion (CFC) por una f ∈ C(I) es cotinua en AI(H).

Ahora van un par bastante mas difıciles. Si no salen al menos recordar que valen:

3. Si f es “suave” en I, tambien es suave la flecha AI(H) 3 A CFC−→ f(A) ∈ L(H).

4. Si U ⊆ C es abierto, entonces L(H)Udef= T ∈ L(H) : σ(T ) ⊆ U es abierto en L(H).

Esto es lo mejor que hay sobre “continuidad espectral” en todo el algebra L(H). 4

196

6.7 Ejercicios del Cap. 6 - Espectro

Ejercicios aparecidos en el texto6.7.1. Sea A0 una AB sin uno. Consideremos entonces un 1 virtual y definamos el algebra A = C · 1+A0

con los siguientes datos: Dados λ1+ a y µ1+ b ∈ A,

• Suma: (λ1+ a) + (µ1+ b) = (λ+ µ)1+ (a+ b).

• Producto: (λ1+ a) · (µ1+ b) = (λµ)1 + (µa+ λ b+ a b).

• Norma: ‖λ1+ a‖ = |λ|+ ‖a‖.

Probar que entonces A es un algebra de Banach con uno (adivinen quien), de la que A0 es un ideal bilaterocerrado y maximal (y las nuevas operaciones coinciden con las viejas). 46.7.2. Sea A un AB. Dados a, b ∈ A, probar que

si ab = ba y ademas ab ∈ GA =⇒ a y b ∈ GA .

Sugerimos mostrar que tanto a como b conmutan con ab, y por ello con (ab)−1. 46.7.3. Sea A un AB y sea a ∈ A. Dado un λ ∈ C tal que |λ| > ‖a‖, sabemos que λ ∈ Res(a). Usando lasEqs. (6.2) y (6.8) probar que:

Ra(λ) = (λ− a)−1 = λ−1(

1− a

λ

)−1 =∞∑n=0

λ−n−1 an siempre que |λ| > ‖a‖ . 4

6.7.4. Sea A un AB . Probar las siguientes afirmaciones:

1. Sea f : Ω→ C una funcion holomorfa en el conjunto abierto Ω ⊆ C. Supongamos que

(i) La bola cerrada BM = z ∈ C : |z| ≤M ⊆ Ω.

(ii) f(z) =∞∑n=0

αn zn con convergencia absoluta y uniforme para todo z ∈ BM .

Luego, para todo a ∈ A con ‖a‖ ≤M , la serie f(a) =∞∑n=0

αn an converge en A.

2. Extender la Eq. (6.7) en este sentido: Si a ∈ A tiene ‖a‖ ≤M , entonces

f(σ(a)

) def= f(λ) : λ ∈ σ(a) ⊆ σ(f(a)

)para toda f como la del item 1 .

La idea es que si f(z) =∞∑n=0

αn zn en BM , entonces tenemos que

f(λ)− f(a) =∞∑n=0

αn (λn − an) = (λ− a)∞∑n=1

αn Pn−1(λ , a) ,

donde los polinomios Pn−1(λ , a) se pueden calcular y acotar para que la serie converja a un b ∈ A queconmuta con a. Observar que σ(a) ⊆ BM . Ası que todas estas cuentas que involucran series, convergenbien en todo λ ∈ σ(a). 46.7.5. Sea A un AB. Se tienen las siguientes propiedades: Sean a ∈ A y µ ∈ C.

1. σ(0A) = 0 y σ(1A) = 1.

197

2. σ(µa) = µσ(a) def= µλ : λ ∈ σ(a). En particular σ(−a) = −σ(a).

3. σ(a+ µ 1A) = µ+ σ(a) def= µ+ λ : λ ∈ σ(a).

4. a ∈ GA ⇐⇒ 0 /∈ σ(a). En tal caso σ(a−1) = σ(a)−1 def= λ−1 : λ ∈ σ(a).

5. Sea B otra AB y Γ : A → B un isomorfismo (unital) de anillos que es a la vez un isomorfismo (acotadoy sobre) de EB’s. Entonces σB

(Γ(a)

)= σ(a).

6. Un caso particular: Si g ∈ GA , entonces σ(g a g−1) = σ(a).

7. Sea P ∈ C[X] y supongamos que P (a) = 0. Entonces σ(a) ⊆ raıces de P. En particular, en esecaso (bastante poco comun) vale que σ(a) es finito.

8. En particular, a2 = a =⇒ σ(a) ⊆ 0, 1 y a2 = 1 =⇒ σ(a) ⊆ −1, 1. 4

6.7.6. Sea A un AB. Ahora va otra porpiedad que es mucho menos facilonga:

Dados a , b ∈ A , probar que σ(a b) ∪ 0 = σ(b a) ∪ 0 .

Deducir que ρ(ab) = ρ(ba). Se recomienda mostrar que si λ− ab ∈ GA con λ 6= 0, entonces

el elemento λ−1(

1 + b (λ− ab)−1 a)∈ A es util . 4

6.7.7. Espectro en algebras de funciones:

1. Sea K un compacto-H y A = C(K) = f : K → C : f es continua . Probar que

GC(K) = g ∈ C(K) : 0 /∈ g(K) y σ(f) = f(K) = f(x) : x ∈ K

para toda f ∈ C(K).

2. Sea ahora A = L∞ = L∞(X , Σ , µ). Dada f ∈ L∞ recordemos que su rango esencial era

Re(f) =λ ∈ C : µ

( y ∈ X : |f(y)− λ| < ε

)6= 0 para todo ε > 0

=λ ∈ C : µ

[f−1

(Ba

C(λ , ε)

) ]6= 0 para todo ε > 0

.

Traduciendo, λ ∈ Re(f) si la f “ronda” cerca de λ con medida positiva para toda cercanıa prefijada.Esta nocion sirve como el rango comun (o su clausura) en el ejemplo anterior:

GL∞ = g ∈ L∞ : 0 /∈ Re(g) y σ(f) = Re(f) para toda f ∈ L∞ .

3. Si X tiene una topologıa Hausdorff tal que la medida de los abiertos (no vacıos) nunca es nula,podemos tomar la subalgebra de Banach Cb(X) ⊆ L∞(X). Probar que si h ∈ Cb(X), entonces

‖h‖∞ (la de L∞(X) ) = supx∈X

|f(x)| = ‖h‖∞ (la de Cb(X) ) y Re(h) = h(X) = σ(h) ,

en cualquiera de las dos algebras.

4. Cuando X es un compacto dentro de Rn y la medida es la de Lebesgue, mostrar que C(X) ⊆ L∞(X)y que las normas coinciden y los espectros tambien.

198

5. En el caso discreto de `∞(I), donde tambien multiplicamos “ i a i ” y queda un AB con su ‖ · ‖∞ ,

probar que σ(a) = Re(a) =ai : i ∈ I

para todo a = (ai)i∈ I ∈ `∞(I) .

No vale avivarse de que a : I→ C es continua. 4

6.7.8. Sea A un AB y sea B ⊆ A una subalgebra que tambien es de Banach (mismo uno y misma norma).Probar lo que sigue:

1. GB ⊆ GA ∩ B, pero la inclusion puede ser estricta (mirar la funcion e1 del el Ejem. 6.2.6).

2. Dado a ∈ B, ahora tenemos dos espectros para el:

σB(a) = λ ∈ C : λ− a /∈ GB y σA(a) = σ(a) = λ ∈ C : λ− a /∈ GA .

Se tiene que σA(a) ⊆ σB(a), pero que la inclusion puede ser estricta.

3. Sin embargo, ρ(a) = ρB(a) def= supλ∈σB(a)

|λ|.

4. Mas aun, mostrar que (en cualquier AB, pongamos ahora A) una sucesion (an)n∈N en GA convergeal borde ∂ GA de GA ⇐⇒ ‖a−1

n ‖ −−−−→n→∞

∞, lo que no depende del algebra en donde vivan.

Sug: Si ‖a−1n ‖ estuviera acotada, pasarıa que ‖1− a−1

n a‖ −−−−→n→∞

0.

5. Deducir que ∂ GB ⊆ ∂ GA .

6. Interpretar lo anterior como que σB(a) consiste de tomar el conjunto σA(a) y “llenar” algunos de sus“agujeros”. Estos se pueden ver como las componentes conexas y acotadas del abierto C \ σA(a) .Cotejar esto con el Ejem. 6.2.6.

7. Deducir que los elementos a ∈ B que tienen su espectro σB(a) “chatito” (i.e., sin interior) cumplenque σB(a) = σA(a).

8. Generalizar todo lo anterior al caso en que B 6⊆ A, pero existe un morfismo unital de anillos Γ : B → Aque es isometrico (aunque no sobre). 4

6.7.9 (Transformada de Gelfand). Sea A un AB y sea I ⊆ A un ideal (si no se aclara es bilatero) cerrado.

1. Probar que el anillo A/I con la norma cociente vista en la Prop. 1.7.1 es un AB.

2. Si J es un ideal no cerrado, mostrar que J es orto ideal.

3. Probar que si M⊆ A es un ideal maximal, entonces es cerrado, por lo que

A/M es un AB de division =⇒ A/M∼= C .

A partir de ahora asumamos que el algebra A es conmutativa.

4. Deducir que el espacio de caracteres (tambien llamado espectro de A)

XA = ϕ ∈ A∗ : ϕ es multiplicativa y unital

se biyecta con el espacio MA de ideales maximales de A.

5. Probar que si a ∈ A, entonces σ(a) = ϕ(a) : ϕ ∈ XA. La idea es que todo b /∈ GA debe estar dentrode algun maximal, y por ello en el nucleo de una ϕ ∈ XA .

199

6. Deducir que todo caracter ϕ ∈ XA tiene ‖ϕ‖ = 1 (porque |ϕ(a)| ≤ ρ(a) ≤ ‖a‖).

7. Probar que XA munido con la topologıa w∗ de A∗ es un compacto Hausdorff.

8. Mostrar que la flecha Γ : A → C(XA) dada por Γ(a) = JA a = a, es decir que

a (ϕ) = ϕ(a) para ϕ ∈ XA y a ∈ A

es un morfismo (bien definido, i.e., a es continua) de algebras de Banach. Se lo llama la transformadade Gelfand.

9. Para probar la continuidad de Γ mostrar algo mejor:

‖Γ(a)‖∞ = ‖a‖∞ = ρ(a) (el radio espectral) . (6.42)

10. Probar que ker Γ = Rad(A) el radical de Jacobson de A, que es la interseccion de los ideales maximalesde A. Deducir la siguiente caracterizacion del radical: Rad(A) = a ∈ A : σ(a) = 0 , los elementosdenominados cuasi-nilpotentes de A. Adivinen de donde sale el nombre. 4

6.7.10. Sea K un compacto Hausdorff. Probar que si I ⊆ C(K) es un ideal cerrado, entonces el conjuntocerrado FI = x ∈ K : f(x) = 0 para toda f ∈ I cumple que

I =g ∈ C(K) : g(x) = 0 para todo x ∈ FI

.

Deducir que MC(K) ∼ XC(K)∼= K (homeo), con la top w∗ de C(K)∗ en XC(K). La flecha es

K 3 x 7→ Fx = x ∼ Mx = f ∈ C(K) : f(x) = 0 ∼ ϕx ∈ XC(K) ,

donde ϕx(f) = f(x) para f ∈ C(K). Eso da una prueba por el camino mas largo de que

σ(f) = f(K) = f(x) : x ∈ K para toda f ∈ C(K) ,

cosa que ya habıamos visto en el Ejem. 6.2.3. Deducir que, identificando K con XC(K) como se hizo arriba,la transformada de Gelfand de C(K) es la identidad: f(ϕx) = ϕx(f) = f(x) .

Esto significa que toda AB conmutativa A se “representa” vıa Gelfand en un C(K) (ambas con el mismoespectro K), y que esa representacion es la natural si A ya era un C(K). 46.7.11. Sea ahora Y un ET que es de Tychonoff. El AB conmutativa que nos interesa es A = Cb(Y ), osea las funciones complejas acotadas y continuas en Y , con la norma supremo. Llamemos β(Y ) al espaciocompacto de caracteres XCb(Y ) . Probar que

1. Se puede “incrustar” Y → β(Y ) con la flecha Y 3 y 7−→ ϕy , donde ϕy es el caracter dado por la“evaluacion” de las f ∈ Cb(Y ) en el punto y.

2. Usar que Y era CR para ver que la incrustacion de arriba es en ralidad un embbeding, o sea un homeode Y con su imagen dentro de β(Y ) con la topologıa inducida.

3. Al hacer la transformada Γ : Cb(Y )→ C(β(Y ) ) se tiene que

Γf (ϕy) = f(ϕy) = ϕy(f) = f(y) para toda f ∈ Cb(Y ) y todo y ∈ Y .

Interpretar esto como que la funcion f “extiende” la continua y acotada f a una continua en elcompacto β(Y ) que “contiene” a Y .

4. Antes de seguir, mostrar que en este caso Γ es un morfismo isometrico sobre. Para ello compararnorma con radio espectral en Cb(Y ), y usar S-W 3.6.3.

200

5. Deducir que la imagen de Y por el embbeding de 1 es densa en β(Y ) (aca tb se usa que Y era CR).

6. Como lo sugerıa la notacion, β(Y ) = XCb(Y ) no es otra cosa que la compactificacion de Stone Cechdel espacio Y definida en la seccion A.16, mientras que la trnasformada Γ es la extension de funcionescontinuas acotadas que da su propiedad universal.

6.7.12. Sea ω ∈ T y construir un elemento w = (ωn)n∈Z ∈ `∞(Z).

1. Probar que el multiplicador Mw ∈ U(`2(Z) ) (o sea que es unitario).

2. Sea U ∈ U(`2(Z) ) el shift (a derecha). Mostrar que al conjugar a U con este Mw queda que

Mw U M−1w = Mw U Mw = ω U =⇒ σ(U) = σ(Mw U M

∗w) = σ(ω U) = ω σ(U) .

3. Deducir que σ(U) = ω σ(U) vale para todo ω ∈ T.

4. Concluir que σ(U) = T. ¿Y el de Mw que da? 4

6.7.13. Sea H un EH. Probar las siguientes afirmaciones:

1. La flecha T 7→ w(T ) define una norma en L(H). Se usa la Ec. (4.3).

2. Si T ∈ L(H), entonces∣∣ 〈T x , x〉 ∣∣ ≤ w(T ) ‖x‖2 para todo x ∈ H.

3. Cuando A ∈ A(H), se tiene la igualdad w(A) = max MA , −mA , donde mA y MA son los numerosde la Prop. 6.4.2. 4

6.7.14. Probar que la norma w(·) cumple que

w(T 2) ≤ w(T )2 para todo T ∈ L(H) . 4

6.7.15. Dado un A ∈ L(H), probar que

nuestro A ∈ A(H) ⇐⇒ A es normal y σ(A) ⊆ R . 4

6.7.16 (CFC para normales). Sea N ∈ L(H) un normal.

1. Consideremos el algebra de Banach C∗(N) ⊆ L(H) generada por N , N∗ y IH . Probar que C∗(N) esconmutativa, cerrada por adjuncion y que todos sus elementos son normales.

2. Recordando el Ejer. 6.7.9, probar que la flecha XC∗(N) 3 ϕ 7→ ϕ(N) ∈ σ(N) es un homeo entre elespectro maximal XC∗(N) de C∗(N) (con su topologıa w∗ que lo hacıa compacto) y σ(N).

3. Componiendo con este homeo, identificar (como AB’s) a C(XC∗(N)

)con C(σ(N) ).

4. Aplicar la “transformada de Gelfand” Γ : C∗(N)→ C(XC∗(N)

) ∼= C(σ(N) ) del Ejer. 6.7.9.

5. Usando el Teo. 6.4.6 y la Ec. (6.42), mostrar que Γ es isometrica.

6. Sea ϕ ∈ XC∗(N) un caracter. Probar que ϕ(A∗) = ϕ(A) para todo A ∈ C∗(N).

7. Deducir que Γ(A∗) = Γ(A) para todo A ∈ C∗(N).

8. Probar que Γ es sobre por el Teor. de Stone-Weierstrass 3.6.3.

9. Definir el CFC en N simplemente como la inversa de Γ, o sea que ponemos

ΦNdef= Γ−1 : C(σ(N) )→ C∗(N) ⊆ L(H) .

201

10. Extender el Teo. 6.5.4 (con todos sus items) a operadores normales N ∈ L(H).

11. Repasar a la luz de todo esto aquel viejo Ejer. 6.4.8 - 6.7.15. 4

6.7.17. Sea N ∈ L(H) un operador normal. Notemos K = σ(N). Fijemos una f ∈ C(K) y llamemosJ = f(K) ⊆ C que es compacto. Dada ahora una g ∈ C(J), vale que

1. La composicion h = g f ∈ C(K), por lo que podemos evaluar

h(N) =(g f

)(N) ∈ L(H) .

2. Pero tambien podemos hacer primero M = f(N) y observar que

M es normal y σ(M) = f(K) = J , por lo que g ∈ C(σ(M) ) .

En resumen, podemos usar el CFC para M = f(N) y obtener g(M) = g(f(N) ) ∈ L(H), y por otro ladohacer CFC en N y obtener h(N) =

(g f

)(N). El ejercicio es probar que(

g f)

(N) = g(M) = g(f(N) ) , (6.43)

o sea que las dos maneras plausibles de evaluar la composicion coinciden.

Sug: Probarlo primero para funciones g ∈ C(J) que sean polinomicas. 46.7.18. Sea U ∈ U(H), por lo que en particular es normal. La Prop. 6.3.2 nos dice que σ(U) ⊆ T. Asumamosque no lo llena, o sea que existe un ω ∈ T \ σ(U).

Probar que en esas condiciones siempre existe un B ∈ L(H) tal que

B∗ = −B (en particular B es normal) y U = eB .

Esto ultimo significa que U = exp(B) vıa en CFC en B, donde exp(z) = ez es la funcion exponencial. Masaun, probar que existe un A ∈ L(H) tal que cumple lo siguiente:

A ∈ A(H) , σ(A) ⊆ [t , t+ 2π] para algun t ∈ [0 , 2π] y U = exp(i A) = ei A . (6.44)

La idea es definir B = log(U) con alguna rama holomorfa del log que “salte” en nuestro puntito ω /∈ σ(U).De hecho mas adelante veremos que el requerimiento de que σ(U) no llene a T no es imprescindible paraobtener (6.44), pero solo es posible hacerlo con el CFC si asumimos eso. El caso general que anunciamossera una consecuencia del futuro CFBA (CF Boreliano acotado).

Observar que tal resultado implicarıa que U(H) es conexo (por arcos), conectando a U con IH con la curvacontinua [0, 1] 3 t 7→ ei t A ∈ U(H). Haciendo la DP y usando que L(H)+ es convexo, se podrıa deducir quetodo el grupo Gl (H) es tambien arconexo. 46.7.19. Sea A ∈ A(H). Probar que

|A| = A+ +A− = m(A) , donde m(t) = |t| para t ∈ R . 4

6.7.20. Sea T ∈ L(H). Recordar de 4.5.6 que si S ∈ Latr (T ) entonces

T =[T1 00 T2

]SS⊥ con T1 ∈ L(S) y T2 ∈ L(S⊥) .

Probar que en tal caso se tiene la siguiente iguadad de los espectros:

σ(T ) = σ(T1) ∪ σ(T2) ,

donde al σ(T1) se lo piensa en el algebra L(S) y al de T2 en L(S⊥). Si T ∈ A(H), probar ademas que

f(T ) =[f(T1) 0

0 f(T2)

]SS⊥ para toda f ∈ C(σ(T ) ) . 4

202

6.7.21. Sea H un EH. Sea I ⊆ R un intervalo abierto. Probar que

1. El conjunto AI(H) def= A ∈ A(H) : σ(A) ⊆ I es abierto en A(H).

2. La evaluacion (CFC) por una f ∈ C(I) es cotinua en AI(H).

Ahora van un par bastante mas difıciles. Si no salen al menos recordar que valen:

3. Si f es “suave” en I, tambien es suave la flecha AI(H) 3 A CFC−→ f(A) ∈ L(H). 4

Ejercicios nuevos

6.7.22. Sea A un AB. Si U ⊆ C es abierto, probar que AUdef= a ∈ A : σ(a) ⊆ U es abierto en A. En

otras palabras, si a ∈ A y σ(a) ⊆ U , entonces existe ε > 0 tal que

b ∈ A y ‖a− b‖ < ε =⇒ σ(b) ⊆ U . 4

6.7.23. Sea A un AB. Dados a, b ∈ A, probar que

si ab ∈ GA y tambien ba ∈ GA =⇒ a y b ∈ GA .

Observar que esto mejora el Ejer. 6.7.2. 46.7.24. Sea A = `1(Z) con su norma usual y el producto de convolucion

a ∗ b = c donde cm =∑n∈Z

an bm−n para a = (an)n∈N , b = (bn)n∈N ∈ A y m ∈ Z .

Probar que nos queda un AB unital (con 1 = e0 , la delta de Dirac discreta). Probar ademas que

1. Antes de empezar, hay que ver que ‖a ∗ b‖1 ≤ ‖a‖1 ‖b‖1 para que sea AB.

2. Por otra parte A es conmutativa, i.e. a ∗ b = b ∗ a para todo par a , b ∈ A.

3. El elemento e1 ∈ GA y cumple que em1 = em para todo m ∈ Z.

4. Por ello e1 genera el algebra A. Mas especıficamente, todo

a = (an)n∈N ∈ A se escribe como a =∑n∈Z

an en =∑n∈Z

an en1 ,

con convergencia en la norma (uno) de A.

5. Deducir que todo caracter ϕ ∈ XA esta determinado por su valor ϕ(e1).

6. Usando que ‖ϕ‖A∗ = 1 y que ‖e1‖ = ‖e−11 ‖ = ‖e−1‖ = 1, deducir que ϕ(e1) ∈ T.

7. Si λ ∈ T la funcional ϕλ : A → C dada por

ϕλ(a) =∑n∈Z

an λn para cada a = (an)n∈N ∈ A

es lineal, acotada y multiplicativa. O sea que ϕλ ∈ XA y ϕλ(e1) = λ.

8. Deducir que λ 7→ ϕλ es un homeo entre T y XA con inversa ϕ 7→ ϕ(e1).

203

9. Interpretar que la transformada de Gelfand se puede ver como

Γ : A → C(T) dada por Γa(z) = a(z) =∑n∈Z

an zn para a = (an)n∈N ∈ A y z ∈ T .

10. Luego la imagen de Γ son las f ∈ C(T) tales que sus coeficientes de Fourier (f(n) )n∈Z ∈ `1(Z). Esasfunciones f forman la llamada algebra de Wiener W(T).

11. Un famoso (y difıcil) teorema del mismo Wiener dice que si f ∈ W(T) y f−1 ∈ C(T) entonces tambiensu inversa es de Wiener: f−1 ∈ W(T). Probarlo con toda la data anterior. La facilidad de esta pruebale dio prensa mundial a la T de G, mostrando que es un “abstract nonsense” que tiene mucho sentido.

Sug: Se asume que 0 /∈ f(T). Si f = a sale que 0 /∈ σ(a) por lo que a−1 ∈ A y f−1 = a−1 ∈ W(T). 4

6.7.25. Sea N ∈ L(H) un operador normal. Demostrar que se verifica la siguiente propiedad:

Dado un λ ∈ C \ σ(N) se tiene que ‖(N − λ)−1‖ = d (λ , σ(N) )−1.

Dar un contraejemplo si se saca la hipotesis de normalidad. 46.7.26. Sea A ∈ L(H). Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. A ∈ L(H)+

2. A = B2 para cierto B ∈ A(H).

3. A = C∗C para algun C ∈ L(H).

4. A ∈ A(H) y ‖A− λ IH‖ ≤ λ para todo numero λ ≥ ‖A‖.

5. A ∈ A(H) y ‖A− λ IH‖ ≤ λ para algun numero λ ≥ ‖A‖. 4

204

Capıtulo 7

Operadores compactos

Recordemos que en el Cor. 5.8.2 mostramos que si T ∈ L(H) entonces T (BH) es siemprecerrada en norma dentro de H. Se usa que los EH son todos reflex.

Cabe preguntarse que operadores cumpliran que T (BH) sea compacta en H. Ahora bien,si la dimH = ∞ y T (BH) tiene interior no vacıo, ya sabemos que no puede pasar porquelas bolitas nunca son compactas en H. Sin embargo hay muchos operadores que sı cumplenlo pedido arriba, y por ello se los llama operadores compactos. Una teorıa muy similar sepuede desarrollar en el contexto mas general de operadores entre EB’s. Pero en este textonos limitaremos al caso Hilbertiano.

7.1 Definiciones y equivalencias

Si H es un EH, recordar que llamabamos LF (H) = T ∈ L(H) : rkT < ∞ ⊆ L(H)al subespacio de operadores de rango finito. Una cuenta facil, que sale usando la viejaEc. (4.44), muestra que LF (H) en realidad es un ideal bilatero de L(H) que ademas escerrado por tomar ∗ . Entonces su clausura sera un ideal cerrado que permitira cocientary jugar a las algebras de Banach. Pero antes de definir veamos una serie de condicionesequivalentes que usaremos a posteriori como definicion.

Lema 7.1.1. Sea H un EH. Fijemos B = ei : i ∈ I una BON de H. Para cada F ∈ PF (I)definamos proyector PF ∈ P(H) con rango HF = span ei : i ∈ F. Luego vale que

‖PF y − y‖ −−−−−→F∈PF (I)

0 para todo y ∈ H . (7.1)

Demostracion. Recordemos que PF y =∑

i∈F〈y , ei〉 ei . Aplicando ahora el Teo. 3.5.5 vemosque ‖PF y − y‖2 =

∑i∈I\F | 〈y , ei〉 |2 −−−−−→F∈PF (I)

0.

Con el lenguaje del Lema anterior ya podemos dar la serie de condiciones equivalentes queanunciabamos. Para cada Hilbert H, denotaremos por K(H) a la clausura en norma de losrango finito LF (H). En la prueba del siguiente teorema usaremos libremente las caracteri-zaciones de los espacios (topologicos o metricos) compactos vistas en A.12.3 y A.13.3.

205

Teorema 7.1.2. Sean H un EH y T ∈ L(H). Las suguientes condiciones son equivalentes:

1. T ∈ K(H)def= LF (H).

2. Si xiw−−→i∈ I

x (todos en BH), entonces T xi‖ · ‖−−→i∈ I

T x. En otras palabas, estamos diciendo

que la restriccion T∣∣BH

: BH → H es w → ‖ · ‖ continua.

3. T (BH) es ‖ · ‖- compacta en H.

4. Dada una red x = (xi)i∈ I en BH , existe un z ∈ H y una subred y = (yj)j∈ J de x tales

que T yj‖ · ‖−−→j∈ J

z.

5. T (BH) es totalemte acotada con la norma de H.

6. La red PF T‖·‖−−−−−→

F∈PF (I)T , donde los PF son los proyectores del Lema 7.1.1, asociados a

cualquier BON de H.

A los T ∈ L(H) que cumplen estas cosas se los llama operadores compactos.

Demostracion. Fijemos la red convergente xiw−−→i∈ I

x. Observar que como la red x = (xi)i∈ I

vive en BH , entonces automaticamente su lımite x ∈ BH , porque la bola es convexa y cerradaen norma (se usa la Prop. 5.5.2). Si asumimos que T ∈ K(H), existira un S ∈ LF (H) talque ‖T − S‖ < ε

3. Luego la cuenta de siempre dice que

‖T xi − T x‖ ≤ ‖T xi − S xi‖+ ‖S xi − S x‖+ ‖S x− T x‖ < 2 ε

3+ ‖S xi − S x‖ ,

Por otra parte, la Prop. 5.8.1 decıa que el S debe ser w → w continuo, por lo que podemosafirmar que S xi

w−−→i∈ I

S x. Finalmente, como la dimR(S) < ∞, allı adentro la topologıa de

la norma coincide con la w (basta productear contra una BON del R(S) y convergen las

coordenadas). Luego tenemos que S xi‖ · ‖−−→i∈ I

S x. Con la desigualdad de arriba podemos

concluir que T xi‖ · ‖−−→i∈ I

T x como afirma el item 2.

Como H es reflex, el Teo. 5.7.1 asegura que BH es w- compacta. Si ahora aceptamos queT∣∣BH

es w → ‖·‖ continuo, sale al toque que T (BH) es ‖ · ‖- compacta en H. Como sabemos

que T (BH) es cerrada (Cor. 5.8.2) y por ello completa, eso equivale a que T (BH) sea TA.

Vimos que 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇔ 5. La relacion 3 ⇔ 4 es casi tautologica (vıa A.12.3). El baile

es 5 ⇒ 6: Queremos probar que PF T‖·‖−−−−−→

F∈PF (I)T . Por la Ec. (7.1) del Lema 7.1.1 aplicada

a y = T x, sabemos que hay convergencia puntual. Pero estamos asumiendo que T (BH) esTA. Ello nos permite, dado un ε > 0, cubrila con n bolas Bk = Ba

H(T xk ,ε3), para k ∈ In .

206

Fijemos un F0 ∈ PF (I) tal que ‖PF T xk − T xk‖ < ε3

para todo F ⊇ F0 y todo k ∈ In .Usando que todas las ‖PF‖ ≤ 1, vemos que los F ⊇ F0 cumplen que

‖PF T x− T x‖ ≤ ‖PF (T x− T xk)‖+ ‖PF T xk − T xk‖+ ‖T xk − T x‖

< 2 ‖T x− T xk‖+ ε3< ε siempre que T x ∈ Bk .

Como las Bk cubren T (BH), si F ⊇ F0 nos queda que ‖PF T x−T x‖ < ε para todo x ∈ BH ,

es decir que ‖PF T − T‖ ≤ ε para tales F. Eso mustra que PF T‖·‖−−−−−→

F∈PF (I)T .

Finalmente notemos que PF ∈ LF (H) para todo F ∈ PF (I). Luego todos los productos PF Testan tambien en LF (H). Ası que 6 ⇒ 1 es gratis.

La definicion usual de que un operador T ∈ L(E , F ) entre espacios de Banach sea compactopasa por el hecho de que T (BE) sea “relativamente compacto”. En tal contexto no es ciertosimpre que los compactos K(E,F ) ⊆ L(E,F ) sean la clausura de los rango finito.

En cambio vimos que sı pasa con los compactos de L(H). A partir de ese hecho puedenprobarse muchas propiedades del espacio K(H), y con el Teo. 7.1.2 ya tenemos muchasadentro. Las enumeramos a continuacion:

Corolario 7.1.3. Sea H un EH. El conjunto K(H) de operadores compactos cumple:

1. Contiene a LF (H) i.e., todo rango finito es compacto.

2. Es un subespacio de L(H), o sea que suma de compactos es compacto.

3. Mas aun, es un ideal bilatero. Esto agrega que si T ∈ K(H), entonces

AT B ∈ K(H) para todo par A , B ∈ L(H) .

4. Es cerrado, por lo que un lımite de compactos queda compacto.

5. Es cerrado por adjuncion: T ∈ K(H) =⇒ T ∗ ∈ K(H).

6. Ademas vale que T ∈ K(H) ⇐⇒ |T | ∈ K(H) ⇐⇒ Re T e Im T ∈ K(H).

7. En cambio si hay un subespacio N ⊆ H y un ε > 0 tales que

dimN =∞ y T ∈ L(H) cumple ‖T x‖ ≥ ε ‖x‖ para todo x ∈ N (7.2)

(eso se abrevia “T es AI en N por ε”), entonces T /∈ K(H).

Demostracion. Al fin y al cabo K(H) era la clausura en norma e LF (H). De ahı se deducenen forma trivial los items 1 al 4. Lo del modulo sale porque si T = U |T | es la DP de T , enel Teo. 4.4.4 vimos que |T | = U∗T , por lo que T ∈ K(H) ⇐⇒ |T | ∈ K(H). De ahı sale queT ∗ = |T |U∗ ∈ K(H) si T era compacto. Lo de Re T e Im T va como ejercicio. Finalmente,

207

si estamos en la situacion de (7.2), entonces existe un SON xn : n ∈ N ⊆ BN . Luego setiene que xn

w−−−→n→∞

0 pero ‖T xn‖ ≥ ε para todo n ∈ N.

Los compactos parecen tan buenos que uno sospecharıa que tal vez haya muy pocos de ellos.Sin embargo son una clase bastante respetable, e incluyen muchas familias importantes deejemplos, como los integrales y las “inversas” de muchos operadores diferenciales. De masesta decir que si dimH < ∞, entonces K(H) = L(H), o sea que todas las matrices soncompactas. De hecho, la gracia de todo esto es estudiar operadores que se parezcan mas aellas. Listemos a continuacion cuando son compactos nuestros ejemplos amigos:

Ejemplo 7.1.4. Sea H = `2(N) y fijemos un a = (an)n∈N ∈ `∞(N). Entonces

Ma ∈ K( `2(N) ) ⇐⇒ a ∈ c0 , es decir que an −−−→n→∞

0 .

Probemoslo: En el Ejem. 1.2.5 vimos que c0 es la clausura con la ‖ · ‖∞ de SF que eranlas sucesiones finitas. Como la flecha a 7→ Ma era isometrica, si a ∈ c0 , entonces Ma seaproxima por operadores Mb con los b ∈ SF . Pero es facil ver que esos Mb ∈ LF (H).

Si ahora asumimos que Ma ∈ K( `2(N) ), basta recordar que los enw−−−→

n→∞0, por lo que

an en = Ma en‖ · ‖−−−→n→∞

0. Luego |an| = ‖an en‖ −−−→n→∞

0 y a ∈ c0 . 4

Ejemplo 7.1.5. El ejemplo anterior se generaliza bastante: Si H es un EH con dimH = ℵ0 ,y fijamos B = xn : n ∈ N una BON de H, podemos definir un unico operador

Ma ,B ∈ L(H) tal que Ma ,B xn = an xn para todo n ∈ N . (7.3)

En efecto hay que hacer Ma ,B x =∑

n∈N an〈x , xn〉xn , para cada x ∈ H. Los operadoresque admiten una representacion de este tipo se llaman diagonalizables, porque su “matriz”en B queda diagonal (con un a ∈ `∞ en la diagonal). Un ejercicio que es casi solo notacional(pero que igual hay que hacer) serıa mostrar que un Ma ,B ∈ K(H) ⇐⇒ a ∈ c0 . Es poresto que en muchos libros se usa la notacion L0(H) en lugar de nuestro K(H). Como se vaa usar seguido, a pesar de ser medio obvia igual dejamos sentada la siguiente propiedad:

Si Ma ,B es el de (7.3) para un a ∈ `∞ entonces ‖Ma ,B‖ = ‖a‖∞ . (7.4)

La prueba es igual que para L(`2) con la BON canonica. 4

Ejemplo 7.1.6. El ejemplo anterior muestra una clase bastante gorda de operadores com-pactos. Sin embargo, cuando uno toma multiplicadores en un espacio de medida que sea“continuo”, no consigue nunca un compacto. Por ejemplo si H = L2[0, 1] y tomamos unMf ∈ L(H) para una f ∈ L∞[0, 1], entonces se tiene que

Mf ∈ K(H) ⇐⇒ fctp= 0 ⇐⇒ Mf = 0 .

En efecto, si f 6= 0, existe un ε > 0 tal que A = t ∈ [0, 1] : |f(t)| ≥ ε tiene medida positiva.En tal caso, es facil ver que en el subespacio SA = f ∈ L2[0, 1] : f = f 1A de funcionescon soporte en A, nuestro Mf esta AI por la contante ε. Como dimSA = ∞, el item 7 delCor. 7.1.3 no permite que Mf ∈ K(H). 4

208

Ejemplo 7.1.7 (Operadores integrales). Recordemos el ejemplo visto en 1.8.3: Se laburaen L2 = L2(X,Σ, µ). Dado un nucleo k ∈ L2(X × X) con la medida producto µ × µ, eloperador Tk ∈ L(L2) estaba dado por la formula

(Tk f)(x) =

∫X

k(x, y) f(y) dµ(y) para cada f ∈ L2 y casi todo x ∈ X . (7.5)

Sea B = φi : i ∈ I una BON de L2. Dados i, j ∈ I definamos

φi ⊗ φj ∈ L2(X ×X) por φi ⊗ φj(x, y) = φi(x)φj(y) para (x, y) ∈ X ×X .

Un ejercicio straightforward muestra que si los juntamos a todos,

B ⊗ B def= φi ⊗ φj : i , j ∈ I es una BON de L2(X ×X) .

La idea es probar primero que es un SON (eso sale facil), y despues ver que su ortogonal es

cero, usando que dada una h ∈ L2(X ×X), casi todas las funciones X 3 y hx7−→ h(x, y) vivenen L2(X). Laburo para la casa. De paso observar que los operadores asociados

Tφi⊗φj = φi φj ∈ L1(L2(X) ) para todo par i , j ∈ I ,

donde φi φj son los operadores de rango uno definidos en (4.42). En efecto, si f ∈ L2(X),

Tφi⊗φj f (x) =

∫X

φi(x) φj(y) f(y) dµ(y) = 〈f , φj 〉φi (x) para todo x ∈ X .

Luego Tφi⊗φj f = 〈f , φj 〉φi = φi φj (f). Observemos ahora dos hechos:

• La flecha L2(X ×X) 3 k 7→ Tk ∈ L(H) reduce normas: ‖Tk‖ ≤ ‖k‖2 (ver 1.8.3).

• Todo k ∈ L2(X × X) es lımite (en norma dos) de combinaciones lineales finitas deelementos de B ⊗ B, por ser esta una BON.

Entonces uno deduce que Tk ∈ LF (L2(X) ) = K(L2(X) ) para todo nucleo k ∈ L2(X ×X).Traduciendo, todos los operadores integrales con nucleo de tipo L2 son compactos. 4

Ejercicio 7.1.8. Sea H un EH con una BON B = xn : n ∈ N. Sea

DB = M ∈ L(H) : M = Ma ,B (el de (7.3) ) para algun a ∈ `∞ .

1. Mostrar que DB ∩K(H) = Ma ,B : a ∈ c0 (propuesto en el Ejem. 7.1.5).

2. Probar que existe un EB ∈ L(L(H) ) que comprime a la diagonal:

(a) E2B = EB y ‖EB‖ = 1.

(b) Su rango es R(EB) = DB , por lo que EB(M) = M para todo M ∈ DB .

(c) Mas aun, se tiene que si M ∈ DB y T ∈ L(H), entonces

EB(MT ) = M EB(T ) y EB(TM) = EB(T ) M .

209

(d) Si T ∈ K(H), entonces EB(T ) ∈ K(H).

3. Probar que aunque K(H) v L(H), el subespacio K(H) no es COM en L(H).

Sug: Dado T ∈ L(H), definir dT =(〈T xn , xn〉

)n∈N ∈ `

∞ y poner EB(T ) = MdT ,B . Por

otro lado, si hubiera un proyector acotado Q de L(H) sobre K(H), entonces EB Q∣∣DB

proyectarıa al espacio DB ∼= `∞ sobre DB ∩K(H) ∼= c0 . Luego mirar el Ejem. 2.7.8. 4

7.2 Fredholm inicia

7.2.1. Sea A un AB y sea I ⊆ A un ideal bilatero y cerrado. En el Ejer. 6.2.8 se afirmabaque el espacio A/I con la norma cociente vista en la Prop. 1.7.1 es un AB. Como nos interesaparticularmente el algebra cociente L(H)/K(H) revisemos como sale.

Por ser I un ideal bilatero, entonces A/I queda un buen anillo, que sigue siendo C-algebracon su estructura de C-EV. Por otro lado, la norma cociente de la Prop. 1.7.1 lo hace Banach.Ası que solo falta verificar la desigualdad (6.1) : Dados a , b ∈ A, como a I ⊆ I sale que

‖a b‖ = ‖a b‖ = ınfc∈I‖a b+ c‖ ≤ ınf

c∈I‖a b+ a c‖ ≤ ‖a‖ ınf

c∈I‖b+ c‖ = ‖a‖ ‖b‖ .

Tomando ahora el ınfimo sobre los elementos de a = a+ I, nos queda que ‖a b‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖.Con esta ya podemos decir que A/I es una senora AB. 4

7.2.2. Sea H un EH. Como K(H) es ideal bilatero cerrado de L(H) podemos definir

el algebra de Calkin Cal (H)def= L(H)/K(H)

que por lo viste recien es un AB con la norma cociente ‖T + K(H)‖ = d (T,K(H) ). Laproyeccion se denotara PK(H) : L(H)→ Cal (H). Ella es un epimorfismo (acotado) de AB’s.En general se abrevia PK(H) T = T ∈ Cal (H).

Las propiedades de un T ∈ L(H) que dependen de su clase T se suelen llamar propiedadesesenciales. Tıpicamente la version esencial de una propiedad P significa cambiar la frase“T cumple P” por “T cumple P modulo un compacto”.

Por ejemplo, el espectro esencial de T es σe(T )def= σCal (H)(T ). Como PK(H) es morfismo

se ve que PK(H)(Gl (H) ) ⊆ GCal (H) . De ahı se deduce facil que σe(T ) ⊆ σ(T ). La inclusionpuede muy bien ser estricta, como se puede ver en el caso del shift S ∈ L(`2(N) ). Un lindoejercicio es mostrar que σe(S) = T, mucho mas chico que σ(T ) = D.

En cambio los operadores esencialmente inversibles F (H) = P−1K(H)(GCal (H) ) tienen nombre

propio, se los conoce como operadores de Fredholm y ahora veremos sus propiedades. 4

Teorema 7.2.3. Sea T ∈ L(H). Las suguientes condiciones son equivalentes:

1. PK(H) T = T ∈ GCal (H) , o sea que T ∈ F (H) es de Fredholm.

210

2. Existe un S ∈ L(H) tal que

ST − I ∈ K(H) y tambien TS − I ∈ K(H) . (7.6)

3. Se cumplen las siguientes tres cosas:

(a) α(T ) = dim kerT <∞.

(b) β(T ) = dim kerT ∗ = dimR(T )⊥ <∞.

(c) R(T ) v H.

En tal caso, existe un unico T † ∈ L(H) que mejora el item 2 del siguiente modo:

T † T = I − PkerT = PR(T ∗) y T T † = I − PkerT ∗ = PR(T ) . (7.7)

Demostracion. La relacion 1 ⇔ 2 es clara, tomando PK(H)(S) = T −1. Asumamos quetenemos el S ∈ L(H) que cumple (7.6). Llamemos A = ST − I ∈ K(H). Si existiera unSON en : n ∈ N dentro de kerT , tendrıamos que en

w−−−→n→∞

0 (todos dentro BH). Pero como

A ∈ K(H), ello implicarıa que en = −Aen‖ · ‖−−−→n→∞

0. Absurdon. Observar que S∗ cumple

(7.6) para T ∗. Luego, por el mismo argumento vemos que dim kerT ∗ <∞.

Tomemos ahora B ∈ LF (H) tal que ‖A−B‖ < 12

. Entonces todo x ∈ kerB cumple que

‖S‖ ‖T x‖ ≥ ‖S T x‖ = ‖(I + A)x‖ ≥ ‖x‖ − ‖(A−B)x‖ ≥ 1

2‖x‖ .

Luego T |kerB es AI, por lo que T (kerB) v H. Pero la otra mitad T(

(kerB)⊥)

tienedimension finita, porque tambien B∗ ∈ LF (H) y (kerB)⊥ = R(B∗). Juntandolos, por elCor. 1.7.2 queda lo que nos faltaba:

kerB ⊕ (kerB)⊥ = H =⇒ R(T ) = T (kerB) + T(

(kerB)⊥) 1.7.2

v H .

Ya probamos que 2 implica el abc del item 3. Asumamos que T cumple los tres de 3.Llamemos N = (kerT )⊥ y M = R(T ) v H. Observar que T0

def= T |N es un iso entre los

Hilberts N yM. Luego existe T−10 = S0 ∈ L(M , N ) (usamos el TFI 2.3.4 entre Banach’s).

Extendamos S0 a un T † ∈ L(H) haciendolo actuar como cero enM⊥ = R(T )⊥ = kerT ∗. Esacotado porque cumple que T † x = S0 PM x para todo x ∈ H. Y por eso mismo,

T T † x = T0 S0 PM x = PM x y T † T x = T † PM T0 PN x = S0 T0 PN x = PN x ,

para todo x ∈ H. Luego I − T T † = PkerT ∗ y I − T † T = PkerT viven en LF (H) ⊆ K(H).Fijense que construimos al T † de la Ec. (7.7), la seudoinversa de Moore Penrose de T .

7.2.4. El Teo. 7.2.3 es conocido como el Teorema de Atkinson. El permite desarrollar unateorıa muy profunda, que es la del ındice de operadores de Fredolm: Si T ∈ F (H),

IndTdef= α(T )− β(T ) = dim kerT − dim kerT ∗ ∈ Z ,

es el ındice de T . Del Teo. 7.2.3 vemos que se tienen las siguientes propiedades:

211

1. Gl (H) ⊆ F (H), y si G ∈ Gl (H) entonces IndG = 0− 0 = 0.

2. El conjunto F (H) es abierto en L(H), por serlo GCal (H) en Cal (H).

A partir de ahora asumamos que T ∈ F (H).

3. Llamemos PT = PkerT y QT = PT ∗ = PkerT ∗ . Luego IndT = rkPT − rkQT .

4. Si M ∈ F (H), entonces MT y TM ∈ F (H). Aun no sabemos sus ındices.

5. Pero si G ∈ Gl (H) =⇒ IndGT = IndTG = IndT (porque vale para sus α y β).

6. T ∗ ∈ F (H) y tiene su IndT ∗ = −IndT . Sale porque α(T ∗) = β(T ).

7. Tambien T † ∈ F (H) y cumple que IndT † = −IndT . 4

Definicion 7.2.5. Sea H un EH con dimH =∞. Definamos los conjuntos

Fn(H) = A ∈ F (H) : IndA = n para cada n ∈ Z . (7.8)

Veamos que son todos no vacıos: 4

Ejemplo 7.2.6. Fijemos H = `2(N) y recordemos al shift S ∈ L(H) unilateral hacia laderecha, tal que S ek = ek+1 para cada k ∈ N. Luego tenemos que

S ∈ F (H) , IndSn = −n mientras que Ind (S∗)n = n para todo n ∈ N .

En efecto, notar que S S∗ = I y S∗S = I − Pe1 , por lo que S ∈ F (H) con S† = S∗. Paracalcular el Ind de sus potencias, tenemos que α(Sn) = 0 y β(Sn) = n, porque

ker(S∗)n = span e1 , . . . , en para todo n ∈ N .

Por otro lado, las potencias de S∗ cambian el signo del ındice de las de S. Por lo tantoFm(H) 6= ∅ para todo m ∈ Z. Al menos cuando dimH = |N|. 4

7.3 Espectro de compactos

Usando el Teo. de Atkinson 7.2.3, uno puede ver que desde el punto de vista del espectro,los compactos son lo que uno hubiese querido que sea una generalizacion agradable de lasmatrices al caso infinitodimensional.

Lema 7.3.1. Sea F ∈ LF (H). Entonces I + F ∈ F0(H). Es decir que Ind (I + F ) = 0.

Demostracion. Es claro que T = I + F ∈ F (H). Recordemos la notacion PT = PkerT yQT = PT ∗ = PkerT ∗ . Por el Teo. 7.2.3 ellos viven en LF (H). Llamemos S = T †. Por laEc. (7.7), sabemos que ST = I − PT y que TS = I −QT . Por lo tanto

PT −QT = T S − S T = (I + F )S − S (I + F ) = F S − S F . (7.9)

212

Consideremos un ambiente finitodimensional donde operan tres de ellos: Sean

M = R(PT ) +R(QT ) +R(F ) +R(F ∗) v H y PM ∈ LF (H) ∩ P(H) .

Luego el proyector PM funciona como una identidad en L(M) para los tres:

PM PT PM = PT , PMQT PM = QT y PM F PM = F

porque, por ejemplo, PM F = F y PM F ∗ = F ∗. Sea S1 = PM S PM . Luego

PT −QT = PM (PT −QT )PM(7.9)= PM (F PM S − S PM F )PM = F S1 − S1 F .

Entonces podemos pensar a los 4 operadores involucrados (se agrego S1) en el ambienteL(M). Pero como dimM < ∞, en L(M) hay una traza finita (la suma de la diagonal enalguna BON de M). Luego podemos tomar traza de lo de arriba y nos queda que

Ind (I + F ) = Ind (T )7.2.4= rkPT − rkQT = tr (PT −QT ) = tr (F S1 − S1 F ) = 0 .

Hemos usado que la traza de un proyector es igual a su rank (sale eligiendo una BON queempiece generando su imagen) y que trAB = trBA para todo par A , B ∈ L(M).

Lema 7.3.2. Sea T ∈ K(H). Entonces I + T ∈ F (H) y tambien vale que Ind (I + T ) = 0.

Demostracion. Sea F ∈ LF (H) tal que ‖T − F‖ < 1. Luego, por el Teo. 6.1.4

S = I + (T − F ) ∈ Gl (H) =⇒ I + T = S + F = S(I + S−1F ) ∈ F0(H) .

En efecto, como S−1F ∈ LF (H) el Lema 7.3.1 asegura que I + S−1F ∈ F0(H). Pero vimosque multiplicarlo por un S ∈ Gl (H) no le cambiaba el ındice.

Proposicion 7.3.3. Sea T ∈ K(H). Dado λ ∈ σ(T ) tal que λ 6= 0, se tiene que

1. El tal λ es un autovalor.

2. Ademas 0 6= dim ker(λ I − T ) = dimR(λ I − T )⊥ <∞.

3. De paso se sabe tambien que R(λ I − T ) es cerrado y tiene codimension finita.

Demostracion. Observar que para todo λ ∈ C \ 0 tenemos que Bλ = λ I − T ∈ F (H),porque PK(H)(Bλ) = λ 1A(H) . Mas aun, por el Lema 7.3.2 podemos asegurar que IndBλ = 0(el λ se saca). Por lo tanto ya tenemos que

λ ∈ σ(T ) ⇐⇒ Bλ /∈ Gl (H) ⇐⇒ α(Bλ) = β(Bλ) 6= 0 ,

porque sabemos que R(Bλ) v H. En resumen, si λ ∈ σ(T ) \ 0, entonces kerBλ 6= 0 yencima tiene que cumplirse que dim kerBλ = dim kerB∗λ = dimR(Bλ)

⊥ <∞.

Observacion 7.3.4. El resultado anterior se llama la “alternativa de Fredholm” (descubiertaa principios del siglo pasado para el caso de operadores integrales). La alternatividad consisteen que si nos planteamos la ecuacion T x = λx+ b

213

con la incognita x y los datos b ∈ H , T ∈ K(H) y λ ∈ C \ 0 ,

entonces se tienen las dos posibilidades conocidas:

• O bien T − λ I ∈ Gl (H) por lo que hay solucion unica

x = (T − λ I)−1 b para todo b ∈ L(H) .

• O bien λ ∈ σ(T ) \ 0 y caemos en la Prop. 7.3.3. En tal caso tenemos la igualdaddim ker(λ I − T ) = dimR(λ I − T )⊥ < ∞, que es parecido a lo que sabemos de lossistemas de ecaciones del algebra lineal: La dimension del espacio de soluciones esfinita, e igual a la del ortogonal del espacio de los b ∈ H para los que hay solucion. 4

Proposicion 7.3.5. Sea T ∈ K(H) con dimH =∞. Luego σ(T ) tiene dos posibilidades:

1. Puede ser que σ(T ) sea finito, con 0 ∈ σ(T ).

2. Pero si es infinito, entonces es numerable. Mas precisamente

σ(T ) = 0 ∪ λn : n ∈ N donde λn −−−→n→∞

0 .

En ambos casos, todos los λn ∈ σ(T ) \ 0 son autovectores de multiplicidad finita.

Demostracion. Dado m ∈ N, consideremos el conjunto σ(T )m = λ ∈ σ(T ) : |λ| ≥ 1m. Para

probar todo lo enunciado bastarıa ver que σ(T )m es finito para todo m ∈ N. En efecto, comoσ(T ) \ 0 =

⋃m∈N σ(T )m , si todos fueran finitos la union quedarıa numerable, y cualquier

enumeracion de σ(T ) \ 0 harıa que sus elementos tiendan a cero (o que se terminen). Loscomentarios finales sobre las propiedades de los λn son un refrito de la Prop. 7.3.3.

Supongamos entonces que algun σ(T )m fuese infinito. Luego existirıa una sucesion (µk)k∈Nen ese σ(T )m tal que µk 6= µr si k 6= r. Por la Prop. 7.3.3, para cada k ∈ N podrıamos elegirun vector unitario xk ∈ ker (T − µk I), y un subespacio Sk = span x1 , . . . , xk v H.

Como los xk son autovectores de autovalores distintos, ellos son un conjunto LI, por lo queSk ⊂ Sk+1 en forma propia para todo k ∈ N. Luego, por la el Lema de Riesz 1.4.4, podemosir eligiendo vectores unitarios yk+1 ∈ Sk+1 tales que d (yk+1 , Sk) ≥ 1

2para todo k ∈ N.

Setiemos y1 = x1 . Una cuenta directa muestra que se deberıan cumplir dos cosas:

(a) T (Sk) ⊆ Sk para todo k ∈ N, porque sus generadores xj son autovectores.

(b) Si k > 1, como xk ∈ ker (T −µk I) entonces (T −µk I) yk ∈ Sk−1 , porque le tachamos sucomponente en xk y las anteriores no se mueven de Sk−1 . Luego, si r < k,

‖T ykµk− T yr

µr‖ = ‖ yk −

(T yr

µr− (T − µk I) yk

µk

)‖ ≥ 1

2, (7.10)

porque el bodoque(T yr

µr− (T−µk I) yk

µk

)∈ Sr+Sk−1 ⊆ Sk−1 . Como todos los |µk| ≥ 1

m, la

sucesion(ykµk

)k∈N vive en m ·BH . Pero (7.10) dice que al aplicarle T no tiene subsucesiones

convergentes. Eso contradirıa la compacidad de m · T (BH) y por ende la de T .

214

Observacion 7.3.6. En las cuentas de la prueba de la Prop. 7.3.5, en forma deliberada nose uso que H sea un Hilbert, salvo en el hecho de que los λ ∈ σ(T ) \ 0 de un T ∈ K(H)debıan ser autovalores. Este hecho sigue siendo cierto si E es un EB y T ∈ L(E) es compacto(eso significaba que T (BE) tenga clausura compacta). La prueba de la Prop. 7.3.3 en estecontexto es bastante mas costosa que para elementos de K(H), y la omitiremos. Pero almenos informamos que eso vale, y por lo tanto tambien la Prop. 7.3.5. 4

Ejemplo 7.3.7. Sea H = L2[0, 1] y tomemos v ∈ L2([0, 1]2

)el nucleo dado por

v = 1∆ donde ∆ es el triangulo ∆ =

(x, y) ∈ [0, 1]2 : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1,

la mitad de abajo de [0, 1]2. Luego el operador Vdef= Tv ∈ L(L2) esta dado por

V f (x) =

∫ 1

0

v(x , y) f(y) dy =

∫ x

0

f(y) dy para f ∈ L2 y x ∈ [0, 1] . (7.11)

Este operador V se llama “el Volterra”. Observemos que para cada f ∈ L2, la funcion V fes la unica primitiva F de f que cumple F (0) = 0. Por otro lado, como v ∈ L2

([0, 1]2

), en

el Ejem. 7.1.7 mostramos que el Volterra V = Tv ∈ K(L2), o sea que es compacto.

Es un hecho famoso que σ(V ) = 0. La prueba usual consiste en hacer trabajosas acota-ciones con integrales. Pero ahora, en vista de la Prop. 7.3.3, para mostrar que σ(V ) = 0nos alcanza con ver que V no puede tener autovalores, porque al ser un operador compactosabemos que si hubiera un λ ∈ σ(V ) \ 0 deberıa ser uno de ellos.

Sea entonces λ ∈ C \ 0. Si una f ∈ L2 cumple que F = V f = λ f , como F ∈ C[0, 1],sabemos que f es continua y por ello F (y tambien f) es derivable en todos los puntos.Iterando, sale que f es muy suave (C∞). Por otro lado, aplicando ahora la formula (7.11)sabemos que f = F ′ = λ f ′. Luego, de un curso basico de ED’s podemos deducir que nuestraf(x) = k eλx para cierta constante k ∈ C.

Pero tambien sabemos que λ f(0) = F (0) = 0. Esto obliga a que k = 0 por lo que f ≡ 0 yminga autovector. Ni siquiera λ = 0 puede ser autovalor, porque es facil ver que V es mono.Resumiendo, V no tiene ningun autovector, ası que aplicando la Prop. 7.3.3 ya podemos darpor demostrado que σ(V ) = 0. 4

7.4 Representaciones espectrales

Vimos que el λ = 0 del espctro de un compacto debe tener un tratamiento espacial. Siemprepasa que 0 esta, porque no hay compactos inversibles. De hecho hay ejemplos importantes(en esta misma pagina) de compactos para los que la Prop. 7.3.5 es muy poco util, ya queson cuasinilpotentes, o sea que su espectro es tan solo el 0. En cambio, si el compactoes tambien autoadjunto, entonces el cero de su espectro no aporta nada importante. Esopermite dar una representacion del kia como una serie en la que aparecen sus autovectores.A partir de ella y usando la DP, podremos dar una representacion de todos los compactos,incluidos los cuasinilpotentes, en funcion de dos SON’s y de sus valores singulares.

215

Teorema 7.4.1. Sea A ∈ K(H) tal que A = A∗ y σ(A) es infinito. Entonces existen

• un sistema B = xk : k ∈ N, que es una BON de (kerA)⊥ = R(A), y

• una sucesion (µk)k∈N en R tal que µk −−−→k→∞

0,

tales que ellos describen completalmente la accion de A por la formula

Ay =∑k∈N

µk 〈y , xk〉xk =∑k∈N

µk xk xk (y) para todo y ∈ H . (7.12)

A la tal B se la llama una BON de autovectores de A (aunque hay que agregarle una BONde kerA, que bien puede ser infinita, para que generen todo H).

Demostracion. Podemos representar a σ(A) = 0 d∪ λn : n ∈ N con los λn −−−→n→∞

0

como en la Prop. 7.3.5. Luego todos esos λn son puntos aislados de σ(A). Consideremosahora los proyectores Pn = Pλn = 1λn(A) del Cor. 6.5.9. Allı se vio que los subespacios

Sndef= R(Pn) = ker(λn I −A) para todo n ∈ N. Observar que, por las propiedades del CFC,

Pn Pm = 1λn(A)1λm(A) =(1λn · 1λm

)(A) = 0 siempre que n 6= m .

Eso dice que Sn ⊥ Sm si n 6= m. Consideremos el subespacio cerrado que ellos generan:

S =⊕n∈N

Sndef= span

⋃n∈N

Sn

=( ⋂n∈N

S⊥n)⊥

. (7.13)

Como los Sn son ortogonales 2 a 2, podemos construir una BON de S pegando sendasBON’s de cada Sn (todas ellas finitas). Llamemosla B = xk : k ∈ N. Al mismo tiempoconstruyamos la sucesion (µk)k∈N en R repitiendo dimSn veces cada λn . En ambos casosrespetando el orden de los n ∈ N (por los λn repetidos y por los vectores de cada BONcita).

Como cada A|Sn actua multiplicando por λn y las numeraciones fueron hechas coherente-mente, vale que cada Axk = µk xk . Luego la formula (7.12) se cumple para todo y ∈ S :

y ∈ S = span B (3.18)=⇒ y =

∑k∈N

〈y , xk〉xk =⇒ Ay =∑k∈N

µk 〈y , xk〉xk . (7.14)

De esto podemos deducir que A(S) ⊆ S. Como A = A∗, el Cor. 4.5.4 dice que S ∈ Latr (A),o sea que A(S⊥) ⊆ S⊥. Consideremos entonces A0 = A|S⊥ ∈ L(S⊥). Observar que

• En realidad A0 ∈ K(S⊥), porque manda BS⊥ a un cacho de A(BH) que es compacta.

• Tambien vale que A0 ∈ A(S⊥) como hemos visto otras veces (por ejemplo por (4.39) ).

• Pero ademas tenemos que σL(S⊥)(A0) = 0, porque no le quedan autovectores librespara ningun λ 6= 0 (de haberlos lo serıan tambien de A, pero estan todos en S).

216

Usando estas tres cosas, por el CFC en A0 (o el Cor. 6.4.7) vemos que A0 = 0.

Finalmente, si descomponemos a un vector y = y0 + y1 ∈ S⊥ ⊕ S = H, entonces tenemosque 〈y , xk〉 = 〈y1 , xk〉 para todo k ∈ N. Como vimos que Ay0 = A0 y0 = 0, queda que∑

k∈N

µk 〈y , xk〉xk =∑k∈N

µk 〈y1 , xk〉xk = Ay1 = Ay ,

ahora para todo y ∈ H. Finalmente, mirando fijo la Ec. (7.14) y lo que se dijo despues vemosque S ∩ kerA = 0 mientras que S⊥ ⊆ kerA. De ahı se deduce que S⊥ = kerA. Estojustifica la afirmacion de que B era una BON de (kerA)⊥ = S.

Observaciones: 7.4.2. Sigamos en el caso de A ∈ K(H) ∩ A(H). Manteniendo las nota-ciones del Teo. 7.4.1, se tienen las siguientes propiedades extra:

1. En el caso que faltaba en el que σ(A) es finito, una cuenta mas facil que la de arribamuestra que A ∈ LF (H) y tambien tiene una BON de autovectores de (kerA)⊥, queahora sera finita. Y con ella sale una Ec. (7.12) con sumas finitas.

2. Volviendo al caso σ(A) = 0 ∪ λn : n ∈ N con λn −−−→n→∞

0, una reescritura de la

Ec. (7.12) nos dice que A es diagonalizable en el sentido de Ejem. 7.1.4. Mejor aun:

A =∑k∈N

µk xk xk , (7.15)

donde la convergencia es con la norma de L(H). En efecto, al ser operadores diagonales,la Ec. (7.4) da que las normas de las colas ‖

∑k≥m

µk xk xk‖ = supk≥m|µk| −−−→

m→∞0.

3. Por otra parte, podemos usar los proyectores Pλn = 1λn(A) para obtiener otra lindarepresentacion de A, que describe mejor su comportamiento:

A =∑n∈N

λn Pλn =∑n∈N

λn Pker (λn I−A) , (7.16)

donde la convergencia tambien es en la norma de L(H). La prueba no es otra cosa

que volver a reagrupar las cosas en la Ec. (7.15), porque cada Pλn =mn∑k=rn

xk xk

para ciertos numeros rn < mn adecuados (los que limitan a los µk = λn). Lo de laconvergencia en norma sale porque es un caso particular de la de (7.15). 4

Corolario 7.4.3. Sea A ∈ K(H) tal que A = A∗. Entonces existen

A+ y A− ∈ L(H)+ ∩K(H) tales que A = A+ − A− y A+A− = 0 , (7.17)

que son unicos aun sin pedrles que sean compactos. En particular, todo T ∈ K(H) es CLde 4 positivos compactos.

217

Demostracion. Sabemos que existen (y son unicos) por la Prop. 6.5.15. Pero para ver queson compactos hagamos esto: Sea σ(A) = 0 ∪ λn : n ∈ N ⊆ R. Escribamos

Pn = Pker (λn I−A) , n ∈ N y A(7.16)=

∑n∈N

λn Pn .

Sean I = n ∈ N : λn ≥ 0 y J = n ∈ N : λn < 0. Luego I d∪ J = N y los operadores

A+ =∑n∈I

λn Pn y A− = −∑n∈J

λn Pn ∈ L(H)+ ∩K(H)

cumplen que A = A+ − A− y que A+A− = 0. Si σ(A) era finito se hace lo mismo. Luegoson los unicos de la Prop. 6.5.15 y son compactos. La observacion sobre los T ∈ K(H) sededuce de lo anterior y de que T = ReT + i ImT .

7.4.4 (CFC para compactos autoadjuntos). Dado A ∈ K(H) ∩ A(H) tal que σ(A) esinfinito, las descomposiciones (7.15) y (7.16) caracterizan completamente el CFC en A:

1. Dada f ∈ C(σ(A) ) tal que f(0) = 0, con las notaciones del Teo. 7.4.1 se tiene que

f(A)♣=∑k∈N

f(µk) xk xk=∑n∈N

f(λn)Pλn , (7.18)

con convergencia en la norma de L(H). Para probarlo basta fijarse que anda bienpara los polis p ∈ C[X] tales que p(0) = 0 (aproximan a esas f ’s). Sale usando que

An y?=∑k∈N

〈An y , xk〉xk =∑k∈N

µnk 〈y , xk〉xk para todo par k , n ∈ N ,

donde?= se debe a que todos los R(An) ⊆ R(A) y B es BON de R(A). Para los lımites

se usa que los operadores a comparar son diagonalizables en la misma BON, ası quela Ec. (7.4) da que su distancia es la infinito de las “diagonales”. Eso demuestra la

igualdad♣= de (7.18). Para probar

= se usa el mismo argumento que en (7.16).

2. En cambio, para las funciones f ∈ C(σ(A) ) tales que f(0) 6= 0 nos queda que

f(A) = f(0) IH +∑n∈N

(f(λn)− f(0) )Pλn

= f(0) IH +∑k∈N

(f(µk)− f(0) ) xk xk(7.19)

tambien con convergencia en norma de L(H). Surge de que f = f(0)1 + (f − f(0)1).La formula es algo enrrevesada justamente para que converja bien, porque como f escontinua, los multiplicadores f(λn)− f(0) −−−→

n→∞0 y lo mismo para los µk .

218

3. Otra manera de escribir la Ec. (7.19) es esta: Para toda f ∈ C(σ(A) ),

f(A) = f(0)PkerA +∑n∈N

f(λn)Pλn = f(0)PkerA +∑k∈N

f(µk) xk xk . (7.20)

Sin embargo, ahora la convergencia no es en norma sino puntual. Esto significa quelas series convergen recien despues de evaluar en un y ∈ H. Por ejemplo

f(A) y = f(0)PkerA (y) +∑k∈N

f(µk) 〈y , xk〉xk para todo y ∈ H ,

donde ahora sı hay convergencia en H. 4

Observacion 7.4.5. Como siempre los normales quedan para los remarks. Si N ∈ K(H)es normal, entonces el Teo. 7.4.1 y las Ec’s. (7.15), (7.16), (7.18), (7.19) y (7.20) valen talcual, slavo el hecho de que ahora los µk ∈ C y no necesariamente a R. La prueba es igual,dado que usa el CFC, que tambien camina para los normales.

Otra sutileza es que, si S es el subespacio definido en la Ec. (7.13), ahora hay que probar amano que S ∈ Latr (N), sin la ayuda del Cor. 4.5.4. Esto no se deduce de que S ∈ Lat (N)como en el caso en que N ∈ A(H), pero sale usando que el proyector PS es lımite puntualde las sumas finitas de los proyectores PSn = 1λn(N) , que conmutan con N . 4

Definicion 7.4.6. Usemos las notaciones del Teo. 7.4.1, pero ahora para un A ∈ K(H)que sea positivo, o sea A ∈ L(H)+. Se vio que la sucesion (µk)k∈N se construye con losautovalores de A contados “con multiplicidad” (tantos como la dimension de su espacio deautovectores), y sabemos que ella converge a cero.

Como ahora todos los µk ≥ 0 (Prop. 6.4.2), la sucesion puede ser reordenada para que quededecreciente, y en tal caso es unıvoca. A tal sucesion decreciente se la denotara por

µ(A) = (µk(A) )k∈N y sera llamada la sucesion de autovalores de A . (7.21)

Pot otro lado, si T ∈ K(H) sabemos que |T | ∈ K(H) y que es positivo. Definimos

s(T ) = ( sk(T ) )k∈N dada por s(T ) = µ ( |T | ) , (7.22)

la sucesion de valores singulares de T . En el caso de operadores de rango finito, lassucesiones µ(A) y s(T ) = µ( |T | ) terminan en n = el rango, pero les agregamos ceros. 4

Corolario 7.4.7. Sean A ∈ L(H)+ ∩K(H) y µ(A) su sucesion decreciente de autovectoresdefinida en (7.21). Sea f ∈ C(σ(A) ) que cumpla las siguiente propiedades:

• La f toma valores positivos.

• Ademas f es no decreciente.

• Se cumple que f(0) = 0.

219

En tal caso se tiene la siguiente data sobre f(A): Con las notaciones de (7.21),

f(A) ∈ L(H)+ ∩K(H) y tiene su µ(f(A) ) =(f(µk(A) )

)k∈N

. (7.23)

con la misma BON de autovectores que A. Para que f(A) ∈ K(H) alcanzaba con quef(0) = 0, sin pedirle las otras cosas.

Demostracion. Antes que nada hay que ver que f(0) = 0 =⇒ f(A) ∈ K(H). Esto saleporque σ(A) es una sucesion que tiende a cero, por lo que σ(f(A) ) = f(σ(A) ) (esto era elTeo. 6.5.4) es otra del mismo tipo. Despues uno mira la formula (7.18) en su version conproyectores, y deduce que f(A) es lımite en norma de las sumas finitas que viven en LF (H).

Asumamos ahora que f cumple tambien las otras dos cosas. El hecho de que f(A) ∈ L(H)+

ya fue probado en la Ec. (6.27) del Teo. 6.5.4. Tenıamos que σ(f(A) ) = f(σ(A) ), o seaque tan solo los f(µk(A) ), y eventualmente el 0, pueden ser autovectores de f(A). Pero lasmultiplicidades son las correctas y la BON es la misma por la Ec. (7.18). Finalmente, el hecho

de que f sea creciente asegura que la sucesion(f(µk(A) )

)k∈N

sigue siendo decreciente, y

por ello coincide con µ(f(A) ).

Teorema 7.4.8. Sea T ∈ K(H) \ LF (H). Luego existen dos SON’s :

1. B1 = xk : k ∈ N, que es BON de (kerT )⊥, y

2. B2 = zk : k ∈ N, donde ella es BON de R(T ) = (kerT ∗)⊥,

tales que el operador T se representa como la serie (que converge en norma) :

T =∑k∈N

sk(T ) zk xk =⇒ T y =∑k∈N

sk(T ) 〈y , xk〉 zk para todo y ∈ H . (7.24)

De hecho B1 es una BON de autovectores para |T | y B2 lo es para |T ∗|, donde ninguna delas dos contiene generadores de los nucleos. Ademas vale que s(T ∗) = s(T ).

Demostracion. Hagamos T = U |T | la DP de T . Recordar que s(T ) = µ(|T |). El Teo. 7.4.1nos provee del sistema B1 = xk : k ∈ N que es una BON de autovectores para |T |. En laObs. 7.4.2 se veıa que span B1 = S = (ker |T |)⊥ = (kerT )⊥.

Por otro lado, en el Teo. 4.4.4 vimos que la U de la DP es una IP con dominio S e imagenR(U) = R(T ) = (kerT ∗)⊥. Luego U actua isometricamente en S, y por ello el sistema B2

formado por los vectores zk = U xk es una BON de R(T ). Finalmente, por (7.12) para |T |,

T y = U( |T | y ) = U( ∑

k∈N

µk( |T | ) 〈y , xk〉xk)

=∑k∈N

sk(T ) 〈y , xk〉 zk

para todo y ∈ H. En el Teo. 4.4.4 vimos que |T ∗| = U |T |U∗. De ahı se deduce queB2 = U(B1) es una BON de autovectores para |T ∗| con los mismos autovalores. Por lo tantotenemos que s(T ∗) = µ(|T ∗|) = µ(|T |) = s(T ). Cuando no ponemos el y, la convergencia dela serie es en norma porque lo es para |T | y multiplicar por U es continua en L(H).

220

Ejercicio 7.4.9. Dado T ∈ K(H), probar que s1(T ) = ‖ |T | ‖ = ‖T‖. 4

Ejercicio 7.4.10. Probar que si T ∈ LF (H), entonces tiene una representacion del tipo(7.24) pero con sumas finitas. De paso mostrar que, si ahora T ∈ K(H) \LF (H), truncandoen (7.24) obtenemos una sucesion posta en LF (H) que le converge a T . Posta significa queminimiza la distancia de T a los operadores del rango de cada truncado. 4

Ejercicio 7.4.11. Sea T ∈ K(H). Probar que ese T es diagonalizable (c.f. Ejem. 7.1.4) siy solo si T es normal. En tal caso vale que sk(T ) = |µk(T )| para todo k ∈ N (o hasta dondesea que lleguen si T era rango finito), siempre que uno enumere los µk(T ) para que tenganmodulos decrecientes (se puede porque van hacia cero). 4

7.5 Fredholm sigue

Para empezar repasemos la data de la seccion 7.2. Se definıa el agebra de Calkin como elcociente Cal (H) = L(H)/K(H) , que es un AB con la norma cociente. Se tiene la proyeccionPK(H) : L(H) → Cal (H) que es un epimorfismo de AB’s. Luego definıamos los operadoresde Fredholm como aquellos T ∈ L(H) tales que PK(H)(T ) ∈ GCal (H) . El conjunto de losFredholm’s es F (H) = P−1

K(H)(GCal (H) ). Vimos que T ∈ F (H) es de Fredholm si y solo si

α(T ) = dim kerT <∞ , β(T ) = dim kerT ∗ = dimR(T )⊥ <∞ y R(T ) v H .

Luego definıamos el ındice de Fredholm como la funcion Ind : F (H)→ Z dada por

IndTdef= α(T )− β(T ) = dim kerT − dim kerT ∗ ∈ Z para cada T ∈ F (H) ,

En la Obs. 7.2.4 vimos que, entre otras, se tienen las siguientes propiedades: Si me dan dosoperadores T , M ∈ F (H), se tenıa que MT y TM ∈ F (H). Tambien vale que

G ∈ Gl (H) =⇒ IndGT = IndTG = IndT y ademas IndT ∗ = −IndT . (7.25)

Luego definıamos Fn(H) = T ∈ F (H) : IndT = n para cada n ∈ Z. Cuando H = `2(N)vimos que el shift S ∈ L(H) unilateral hacia la derecha cumple que S ∈ F (H) con

IndSn = −n mientras que Ind (S∗)n = n para todo n ∈ N . (7.26)

Ahora sı podemos seguir desarrollando la teorıa de Fredholm.

Lema 7.5.1. Sea T ∈ F0(H) un Fredholm con Ind (T ) = 0. Luego

1. Existe un F ∈ LF (H) tal que T + F ∈ Gl (H).

2. Sumarle compactos a T no le altera en ındice:

Ind (T + A) = 0 para todo A ∈ K(H) . (7.27)

En otras palabas, se tiene que F0(H) +K(H) = F0(H).

221

Demostracion. Sean N = kerT y M = R(T ) v H. El hecho de que Ind (T ) = 0 significaque dimN = α(T ) = β(T ) = dimM⊥ <∞. Luego existe un operador F0 ∈ L(N ,M⊥) quees un iso. Podemos extender F0 a un F ∈ LF (H) haciendolo actuar como cero en N⊥. Esacotado porque Fx = F0 PN x para todo x ∈ H y porque F0 era automaticamente continuo.

Ahora una cuenta directa muestra que T + F ∈ Gl (H) como se anuncio. La idea es que

T = TPN⊥ = T (I − PN ) =⇒ (T + F )x = T (I − PN )x+ F PN x ∈M⊕M⊥

para todo x ∈ H. Luego las acciones de T y de F son independientes entre sı. Como Ttambien es iso entre N⊥ y Mv H, sale que G

def= T + F ∈ Gl (H).

Tomemos ahora un A ∈ K(H), y llamemos B = A− F ∈ K(H). Por lo tanto tenemos queT + A = G+B = G (I +G−1B). Calculando ındices terminamos el laburo:

Ind (T + A) = Ind (G+B) = Ind(G (I +G−1B)

) (7.25)= Ind (I +G−1B)

7.3.2= 0 .

Para probar las propiedades mas interesantes de la teorıa de Fredholm hay una herramientaespecialmente util: La suma directa de operadores. Todo lo referente a esas sumas es muyelemental, pero son muchas cosas. En el siguiente ejercicio enumeramos exhaustivamentelos hechos que nos interesaran de estos operadores. La mayor parte de los enunciados quesiguen ya habıan aparecido en el viejo Ejer. 4.7.1. Lo novedoso va con ∗.

Ejercicio 7.5.2. Sean H y K dos EH’s. Luego el espacio H⊕K con la estructura usual deC-EV (sumando y multiplicando por escalares en cada coordenada) y el PI dado por⟨

(x1 , y1) , (x2 , y2)⟩

= 〈x1 , x2〉H + 〈y1 , y2〉K para (x1 , y1) , (x2 , y2) ∈ H ⊕K

es un nuevo EH. Se llama la “suma ortogonal” de H y K. Probar que

1. Dado un (x , y) ∈ H ⊕K su norma cumple que ‖ (x , y) ‖2 = ‖x‖2H + ‖y‖2

K .

2. La convergencia es en las dos coordenadas a la vez. Deducir que H⊕K era completo.

3. Dados subespacios S ⊆ H y T ⊆ K su suma S ⊕ T ⊆ H⊕K es un subespacio tal que

S ⊕ T = S ⊕ T y (S ⊕ T )⊥ = S⊥ ⊕ T ⊥ .

4. La flecha H 3 x 7→ (x , 0) ∈ H ⊕K es una isometrıa y por ello homeo con la imagen.

5. Idem para K → 0 ⊕ K v H⊕K.

Dados ahora M ∈ L(H) y N ∈ L(K), sea

M ⊕ S ∈ L(H⊕K) dado por M ⊕N(x , y) = (M x , N y) ∈ H ⊕K


222



3. * Si fijamos el N ∈ L(K), la flecha L(H) 3M 7→M ⊕N es un homeo entre

L(H) y L(H)⊕N def= M ⊕N : M ∈ L(H) ,

si a este le consideramos la topologıa inducida de la de L(H⊕K). Mas aun, las metricascoinciden.

4. * Por otra parte σ(M ⊕N) = σ(M) ∪ σ(N).

5. Entre estos operadores, las operaciones sumar, multiplicar, adjuntar e invertir (si sepuede), se hacen en cada coordenada.

6. R(M ⊕B) = R(M)⊕R(N) ⊆ H⊕K, y es cerrado ⇐⇒ ambos rangos lo son.


8. Un operador cualquiera T ∈ L(H ⊕ K) es de estos diagonales ⇐⇒ conmuta con lasproyecciones a H y K. * En otras palabras, si H⊕ 0 reduce a T .

9. * Nuestros M y N son compactos ⇐⇒ M ⊕N ∈ K(H⊕K). Idem para rango finito.

10. * Ademas M y N son Fredholms ⇐⇒ M ⊕N ∈ F (H⊕K). En tal caso vale que

α(M ⊕N) = α(M) + α(N) y β(M ⊕N) = β(M) + β(N) .

Finalmente, llegamos a que Ind (M ⊕N) = Ind (M) + Ind (N). 4

Teorema 7.5.3. Sea T ∈ F (H) un Fredholm. Entonces vale que

Ind (T + A) = Ind (T ) para todo A ∈ K(H) . (7.28)

En otras palabas, la funcion Ind : F (H)→ Z se puede bajar al cociente y definir un

Ind a : GCal (H) → Z dado por Ind a(T ) = Ind (T ) para cada T ∈ F (H) . (7.29)

Demostracion. Consideremos el Hilbert K = H⊕ `2(N), como en el Ejer. 7.5.2. Supongamosque Ind (T ) = n > 0. Tomemos S ∈ L(`2(N) ) el shift a derecha. En (7.26) vimos queInd (Sn) = −n, por lo que Ind (T ⊕ Sn) = n − n = 0 (Ejer. 7.5.2). Por lo tanto podemosaplicarle el Lema 7.5.1 a T ⊕ Sn ∈ F0(K). Para hacerlo tomemos un A ∈ K(H). Luego

Ind (T + A)− n = Ind(

(T + A)⊕ Sn)

= Ind(T ⊕ Sn + A⊕ 0

) 7.5.1= 0 ,

porque A ⊕ 0 es compacto en L(K). Esto prueba (7.28) en el caso Ind (T ) > 0. El caso deındice nulo ya lo vimos, y el caso negativo se deduce del positivo cambiando T por T ∗.

223

Teorema 7.5.4. SeaH un EH. Luego la flecha Ind : F (H)→ Z es continua. Esto significaque los conjuntos Fn(H) son abiertos para todo n ∈ Z.

Demostracion. Alcanza con ver que F0(K) es abierto para todo Hilbert K. En efecto,observar que si S ∈ L(`2(N) ) el shift a derecha, entonces para un n > 0 tenemos que

Fn(H)⊕ Sn 7.5.2= F0

(H⊕ `2(N)

)∩ L(H)⊕ Sn , todo en L

(H⊕ `2(N)

).

Como la flecha T 7→ T ⊕ Sn es un homeo entre L(H) y L(H) ⊕ Sn (Ejer. 7.5.2) podemosusar que F0

(H⊕ `2(N)

)es abierto en L

(H⊕ `2(N)

)para deducir que Fn(H) es abierto en

L(H). Para el caso negativo uno usa que F−n(H) = Fn(H)∗ y que adjuntar es homeo.

Asumamos ahora que T ∈ F0(H). Por el Lema 7.5.1 sabemos que existe un F ∈ LF (H) talque G = T + F ∈ Gl (H). Luego tanto G como G∗ son AI en todo H por un ε > 0.

Si ahora me dan una sucesion Tn −−−→n→∞

T , es claro que Gn = Tn + F −−−→n→∞

G, por lo que

a partir de un n0 ∈ N todos esos Gn ∈ Gl (H) (por aquel Teo. 6.1.4 sabemos que Gl (H) eraabierto). Finalmente, aplicando el Lema 7.5.1 podemos deducir que a partir de ese n0 todoslos Tn = Gn−F ∈ Gl (H) +K(H) ⊆ F0(H). Eso dice que T es interior para F0(H), que porello debe ser abierto en su ambiente L(H).

Teorema 7.5.5. Dados T , M ∈ F (H) se tiene que Ind (T M) = Ind (T ) + Ind (M).

Demostracion. Sean n = Ind (T ) y m = Ind (M). Como siempre, empecemos con el casoen el que m = Ind (M) = 0. Si pasa eso, el Lema 7.5.1 provee del F ∈ LF (H) tal queG = M + F ∈ Gl (H). Como tambien vale que T F ∈ LF (H), podemos calcular que

Ind (T ) + Ind (M) = n = Ind (T )(7.25)= Ind (T G) = Ind (T M + T F )

7.5.3= Ind (T M) .

Si m > 0, laburemos en L(H⊕ `2(N) ) con el shift Sm. Nos queda que el Ind (M ⊕ Sm) = 0.Luego, por el caso que acabamos de ver, podemos hacer esta cuenta:

n = Ind (T ⊕ I) = Ind(

(T ⊕ I) (M ⊕ Sm))

= Ind (T M ⊕ Sm) = Ind (T M)−m .

Entonces Ind (T M) = n+m = Ind (T ) + Ind (M). El caso m < 0 sale con (S∗)−m.

Corolario 7.5.6. Sea H un EH. Luego la funcion Ind a : GCal (H) → Z que aparecıa en (7.29)esta bien definida y es un morfismo continuo de grupos.

Demostracion. Bajar a GCal (H) los tres tristes teoremas 7.5.3, 7.5.4 y 7.5.5.

7.6 La traza

Todos sabemos que es la traza de matrices, y hasta la hemos usado un par de veces en estetexto. En el contexto de un Hilbert H tal que dimH = ∞, la tr de un T ∈ L(H) se definecomo siempre (la suma de la “diagonal”), pero la gracia va a ser estudiar a aquellos T talesque trT < ∞. Ademas veremos que sus propiedades se mantienen intactas. Pero definirlano es tan facil, porque la diagonal depende en principio de la BON que uno elija. Para hacerlas cosas bien conviene empezar por los positivos.

224

Definicion 7.6.1. Sea H un EH. Definiremos la traza de un T ∈ L(H)+ por la fomula

tr T =∑i∈I

〈T ei , ei〉 ∈ R+ ∪ +∞ , (7.30)

para alguna BON fija B = ei : i ∈ I de H. 4

Proposicion 7.6.2. Sea T ∈ L(H). Entonces la traza de arriba cumple que

tr (T ∗ T ) = tr (T T ∗ ) . (7.31)

Demostracion. Observar que para todo par i , j ∈ I, pasando por∣∣ 〈T ei , ej 〉 ∣∣2 tenemos que

〈T ei , ej 〉〈 ej , T ei 〉 = 〈T ∗ ej , ei 〉〈 ei , T ∗ ej 〉 ≥ 0 . (7.32)

Fijemos un i ∈ I. Sumando los primeros de (7.32) sobre j ∈ I nos queda que∑j∈I

⟨〈T ei , ej 〉 ej , T ei

⟩=⟨ ∑

j∈I

〈T ei , ej 〉 ej , T ei⟩

= 〈T ei , T ei 〉 = 〈T ∗ T ei , ei 〉 .

Si ahora fijamos j ∈ I y sumamos los segundos de (7.32) sobre i ∈ I nos queda que∑i∈I

⟨〈T ∗ ej , ei 〉 ei , T ∗ ej

⟩= 〈T ∗ ej , T ∗ ej 〉 = 〈T T ∗ ej , ej 〉 .

Si ahora sumamos tutti en la (7.32), como todos los teminos son positivos da lo mismo elorden en que lo hagamos. Luego estamos como queremos:∑

i∈I〈T ∗ T ei , ei 〉 =

∑i∈I

∑j∈I〈T ei , ej 〉〈 ej , T ei 〉

(7.32)=

∑j∈I

∑i∈I〈T ∗ ej , ei 〉〈 ei , T ∗ ej 〉 =

∑j∈I〈T T ∗ ej , ej 〉 .

O sea que tr (T ∗ T ) = tr (T T ∗ ).

Corolario 7.6.3. Sea T ∈ L(H)+. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. Vale la igualdad trT = tr (U∗ T U) para cualquier U ∈ U(H)

2. El valor de tr T es independiente de la BON que se use en la formula (7.30).

En resumen, en la Def. 7.6.1 se puede cambiar “una BON fija” por “cualquier BON”.

Demostracion. Aplicandole la Ec. (7.31) al operador S = U∗ T 1/2 nos queda que

tr (U∗ T U) = tr (U∗ T 1/2 T 1/2 U) = tr (SS∗)(7.31)= tr (S∗S) = tr(T 1/2 U U∗ T 1/2) = trT .

Fijada B = ei : i ∈ I, toda otra BON de H tiene la forma BV = V ei : i ∈ I para algunV ∈ U(H). Por ello, si calculamos la trT con BV llegamos a que∑

i∈I

〈T V ei , V ei〉 =∑i∈I

〈V ∗ T V ei , ei〉 = tr (V ∗ T V ) = trT .

225

7.6.4. La funcion tr : L(H)+ → R+ ∪ +∞ cumple algunas propiedades: Si A ∈ L(H)+

1. trA =∑

i∈I 〈Aei , ei〉, ahora para cualquier BON ei : i ∈ I de H.

2. Si y ∈ H es unitario, entonces 〈Ay , y〉 ≤ trA. Sale completando y a una BON.

3. En particular ‖A‖ (6.22)= w(A) = sup‖y‖=1 〈Ay , y〉 ≤ trA.

4. Hasta donde tiene sentido (por ahora), la tr es lineal: Si B ∈ L(H)+ y µ ∈ R+ ,

tr(A+B) = trA+ trB y tr(µA) = µ trA . (7.33)

Esto sale de una por la formula (7.30).

5. La traza es monotona: A ≤ B =⇒ tr A ≤ tr B. Es consecuencia de la Def. 7.6.1.

6. Si A es compacto (ademas de positivo), entonces su traza se puede calcular ası:

A =∑k∈N

µk(A)xk xk =⇒ tr A =∑k∈N

µk(A) , (7.34)

donde los µk(A) son su sucesion decreciente de autovectores (con multiplicidades),como en la Ec. (7.21). Para probarlo basta calcular la traza en la correspondienteBON de autovectores de A (los del nucleo no aportan). Al hacer eso uno tiene queusar que cada termino Axk = µk(A)xk =⇒ 〈Axk , xk〉 = µk(A) .

7. Luego podemos afirmar la siguiente caracterizacion que sera util mas adelante:

Dado A ∈ K(H) ∩ L(H)+ se tiene que tr A <∞ ⇐⇒ µ(A) ∈ `1(N) . (7.35)

Ahorita veremos que los positivos “traza finita” son siempre de estos. 4

Pensemoslo al reves: Sea B = en : n ∈ N una BON de un H y tomemos, como en (7.3), undiagonalizable Ma ,B ∈ L(H)+ dado por un a = (an)n∈N ∈ `∞ de entradas positivas. Paracalcular su traza podemos usar a la misma B y nos queda que

cada Ma ,B en = an en =⇒ tr Ma ,B =∑n∈N

an por lo que tr Ma ,B <∞ ⇐⇒ a ∈ `1 .

En particular tendremos que an −−−→n→∞

0 y por el Ejem. 7.1.5 ello asegura que Ma ,B ∈ K(H).

Es un hecho general que los operadores con traza finita (de el o de alguna potencia) tienenque ser compactos, aunque la “compacidad” no alcanza para asegurar traza finita.

Para decirlo propiamente recordemos que si T ∈ L(H) entonces |T | ∈ L(H)+ por lo quepodemos usar el CFC en |T | y definir f( |T | ) ∈ L(H) para cualquier funcion f ∈ C[0,∞).Lo usaremos seguido para las f(t) = tp con p > 0.

226

Proposicion 7.6.5. Sea T ∈ L(H). Si existe algun p > 0 tal que se cumpla que

tr |T |p < ∞ =⇒ T ∈ K(H) .

Demostracion. Sea B = xi : i ∈ I una BON de H. Consideremos la red asociada deproyectores (PF)F∈PF (I) definida en el Lema 7.1.1. Recordemos que R(PF) = span xi : i ∈ Fy llamemos QF = IH − PF para cada F ∈ PF (I). Dado un y ∈ H unitario vale que

‖ |T |p/2QF y‖2 = 〈QF |T |pQF y , y〉7.6.4

≤ tr(QF |T |pQF

)=∑i/∈F

〈 |T |p xi , xi 〉 −−−−−→F∈PF (I)

0 ,

donde la convergencia final se debe a que la tr |T |p <∞ (calculandola con B). Observar que

lo que va a cero es independiente del y ∈ BH , o sea que |T |p/2 PF‖ · ‖−−−→n→∞

|T |p/2. Aplicando el

Teo. 7.4.8 y adjuntando, llegamos a que |T |p/2 ∈ K(H) =⇒ |T |p ∈ K(H) ∩ L(H)+.

Luego podemos aplicarles el Cor. 7.4.7 a |T |p y a la funcion f(t) = t1/p para t ∈ [0,+∞).Deducimos que f(|T |p) = (|T |p)1/p ∈ K(H). Finalmente, la Ec. (6.32) del Ejer. 6.5.13 nos

asegura que |T | = (|T |p)1/p ∈ K(H)Cor. 7.1.3

=⇒ T ∈ K(H).

7.6.6. Sea H un EH. Consideremos los siguientes subespacios de K(H) asociados a la traza.

• Para empezar sea L1(H)+ = A ∈ L(H)+ : tr A <∞ ⊆ K(H).

• Los operadores traza: L1(H)def= span L1(H)+.

• Los Hilbert-Schmit (HS): L2(H)def= T ∈ K(H) : tr(T ∗T ) <∞.

Queremos extender la traza a una funcion lineal tr : L1(H)→ C. Vamos por pasos:

Si B ∈ L1(H) ∩A(H) entonces B =∑

k∈In αkAk con los Ak ∈ L1(H)+ y los αk ∈ R, porquelas partes imaginarias se cancelan. Luego definimos

trB =∑k∈In

αk tr Ak(7.33)= tr

( ∑αk≥0

αkAk

)− tr

( ∑αk<0

−αk Ak

)∈ R . (7.36)

La definicion es buena (no depende de la CL elegida) porque si tenemos otra representacionB =

∑j∈Im βj Cj (con los Cj ∈ L1(H)+ y los βj ∈ R), entonces podemos despejar:∑

αk≥0

αkAk +∑βj<0

−βj Cj =∑βj≥0

βj Cj +∑αk<0

−αkAk(7.33)=⇒

∑k∈In

αk tr Ak =∑j∈Im

βj tr Cj ,

porque todos los coeficientes de la izquierda son positivos. Observar que la formula (7.36)hace que la tr sea R-lineal en L1(H) ∩ A(H). Sigamos extendiendo:

El segundo paso es tomar un T ∈ L1(H) y ahora la cosa es mas facil. Hay que notar queL1(H) = L1(H)∗, lo que se deduce directamente de su definicion. Este hecho implica queRe(T ) = T+T ∗

2∈ L1(H) y lo mismo para Im(T ). Finalmente basta poner

tr T = tr Re(T ) + i tr Im(T ) .

227

Como la descomposicion T = Re(T ) + i Im(T ) es unica (ver 4.2.5), ni siquiera hay queverificar la BD. Encima, como las flechas T 7→ Re(T ) y T 7→ Im(T ) ya eran R-linealesy multiplicar por i permuta Re con Im, sale sin dificultad que nuestra traza extendidatr : L1(H)→ C es C-lineal en todo L1(H). Ahora que sabemos que lo es, podemos dar unapropiedad-definicion mucho mas satisfactoria: Si T ∈ L1(H), entonces

trT =∑i∈I

〈T ei , ei〉 para cualquier BON ei : i ∈ I de H . (7.37)

En efecto, ambos terminos son lineales en T , y la igualdad se cumple para los generadoresde L1(H)+. La Ec. (7.37) tiene dos consecuencias utiles: Si T ∈ L1(H), entonces

tr T ∗ = tr T y tr T ≥ 0 siempre que T ∈ L1(H) ∩ L(H)+ = L1(H)+ . (7.38)

Con respecto a L2(H), decıamos que es un subespacio, pero hace falta probarlo. Para ello

sirve observar que dados S , T ∈ L(H), se cumple la siguiente desgualdad paralelogramica:

(S + T )∗ (S + T ) ≤ (S + T )∗ (S + T ) + (S − T )∗(S − T ) = 2 (S∗S + T ∗T ) . (7.39)

La prueba es tan solo distribuir y simplificar. Mirandola fijo uno descubre que ella muestraque L2(H) era nomas un subespacio. Por otro lado, usando la Prop. 7.6.2 (tr T ∗ T = tr T T ∗)vemos inmediatamente que L2(H) = L2(H)∗. Para terminar este potpurrı, veamos que

4T ∗ S =3∑

k=0

ik (S + ik T )∗(S + ik T ) para todo par S , T ∈ L(H) . (7.40)

Nuevamente la prueba consiste en distribuir y simplificar (un poco mas). 4

Teorema 7.6.7. Sea H un EH. Entonces se tienen las siguientes propiedades:

1. Tanto L1(H) como L2(H) son ideales bilateros autoadjuntos de L(H).

2. Podemos caracterizar mejor a los traza: Dado T ∈ L(H) vale que[T ∈ L1(H) ⇐⇒ |T | ∈ L1(H)+

]=⇒ L1(H) = T ∈ L(H) : tr |T | <∞ . (7.41)

3. Dado T ∈ K(H), sea s(T ) = µ( |T | ) su sucesion de valores singulares (7.22). Luego

T ∈ L1(H) ⇐⇒ s(T ) ∈ `1(N) y T ∈ L2(H) ⇐⇒ s(T ) ∈ `2(N) . (7.42)

4. Podemos relacionar varios de estos espacios con una cadena de inclusiones:

LF (H) ⊆ L1(H) ⊆ L2(H) ⊆ K(H) , (7.43)

todas ellas estricas si dimH =∞.

Demostracion. Ya sabemos que ambos espacios son subespacios autoadjuntos.

228

1. Veamos que L1(H) es ideal. Fijemos un T ∈ L1(H)+. En principio, la Prop. 7.6.2asegura que para cualquier B ∈ L(H) se tiene que

tr(B∗ T B

)= tr

[(B T 1/2)∗(B T 1/2)

] (7.31)= tr

(T 1/2B∗B T 1/2

) 7.6.4

≤ ‖B‖2 trT , (7.44)

porque B∗B(6.39)

≤ ‖B‖2 I. Dados ahora otro A ∈ L(H), la Ec. (7.40) dice que

4T A = 4T 1/2 · T 1/2A =3∑

k=0

ik (T 1/2A + ik T 1/2 )∗(T 1/2A + ik T 1/2 )

=3∑

k=0

ik (A + ik I )∗ T (A + ik I )(7.44)∈ L1(H) .

Pero como L1(H)+ genera L1(H) y L1(H) = L1(H)∗ (eso para que A∗ T ∈ L1(H) ), lode arriba alcanza para convencerse de que L1(H) es ideal bilatero.

Si ahora tenemos un S ∈ L2(H) y un C ∈ L(H), lo que vimos de L1(H) hace que

S ∈ L2(H) ⇐⇒ S∗S ∈ L1(H) =⇒ C∗ S∗ S C ∈ L1(H) =⇒ S C ∈ L2(H) .

Del hecho de que tambien L2(H)∗ = L2(H) sale que L2(H) es ideal bilatero.

2. Si T = U |T | es la DP de un T ∈ L(H), entonces |T | = U∗ T (Teo. 4.4.4). Como vimosque L1(H) es un ideal, eso dice que T ∈ L1(H) ⇐⇒ |T | ∈ L1(H).

3. La primera equivalencia de (7.42) de deduce de las Ec’s. (7.41) y (7.35), usando ques(T ) = µ( |T | ). Para ver la otra se hace esta cuenta, basada en la Ec. (7.23):

T ∈ L2(H) ⇐⇒ T ∗ T ∈ L1(H)

(7.35)⇐⇒ s(T ∗ T ) = µ( |T |2 )(7.23)=(µk( |T | )2

)k∈N ∈ `

1(N)

⇐⇒ s(T ) = µ( |T | ) ∈ `2(N) .

4. Si F ∈ LF (H), entonces |F | ∈ LF (H). Calculando su traza en una BON (finita) deautovectores de |F | vemos que tiene que ser finita. Luego F ∈ L1(H).

La inclusion L1(H) ⊆ L2(H) se deduce de (7.42), porque `1(N) ⊆ `2(N). En laProp. 7.6.5 (o en su misma Def.) ya se vio que L2(H) ⊆ K(H). Finalmente, losejemplos para ver las inclusiones propias son evidentes usando (7.42).

Ejercicio 7.6.8. Mostrar la siguiente concretizacion de la Ec. (7.42):

1. Dado T ∈ L1(H) se cumple que tr |T | =∑n∈N

sn(T ) = ‖s(T )‖1 .

2. En cambio si T ∈ L2(H), entonces ‖T‖22

= trT ∗T =∑n∈N

sn(T )2 = ‖s(T )‖22

.

229

Teorema 7.6.9. El espacio L2(H) de operadores de Hilbert Schmit cumple lo siguiente:

1. Dados S , T ∈ L2(H), se tiene que T ∗ S ∈ L1(H).

2. La siguiente flecha define un producto interno en L2(H):

L2(H)× L2(H) 3 (S , T ) 7−→ 〈S , T 〉trdef= tr T ∗ S . (7.45)

3. Con ese PI, el espacio L2(H) es un Hilbert. O sea que hay completitud con la norma

‖T‖2def= 〈T , T 〉1/2tr =

(tr T ∗ T

)1/2para T ∈ L2(H) .

Demostracion. El item 1 se deduce directamente de la Ec. (7.40). Del hecho de que la trazaes lineal en L1(H) deducimos sin problemas que el 〈· , ·〉tr es sesquilineal. Es conjugadamentesimetrico y semidefinido positivo por la Ec. (7.38). Por ejemplo, dados S , T ∈ L2(H),

〈T , S〉tr = trS∗ T = tr (T ∗ S)∗(7.38)= tr T ∗ S = 〈S , T 〉tr .

El hecho de que sea definido positivo sale usando el item 3 de 7.6.4, donde se vio que

T ∈ L2(H) \ 0 =⇒ ‖T‖22

= 〈T , T 〉tr = tr T ∗T7.6.4

≥ ‖T ∗T‖ = ‖T‖2 > 0 . (7.46)

Falta ver que L2(H) es completo con la ‖ · ‖2 . Fijemos una sucesion (Tn)n∈N en L2(H) quesea de Cauchy en la ‖ · ‖2 . Por la desigualdad ‖ · ‖2 ≥ ‖ · ‖ vista en (7.46), podemos afirmar

que existe un T ∈ K(H) tal que Tn‖ · ‖−−−→n→∞

T .

Dado ε > 0 sea n0 tal que ‖Tm − Tn‖2 < ε para n , m ≥ n0 . Antes de seguir, fijemosuna proyeccion P ∈ LF (H) y un n ≥ n0 . En este caso concreto podemos afirmar que laconvergencia en la norma usual implica que ‖(Tm − Tn)P‖2 −−−→

m→∞‖(T − Tn)P‖2 , porque

gracias a P la traza se hace con una suma finita. Ahora sı podemos ver que

‖(T − Tn)P‖22

= limm→∞

‖(T − Tn)P‖22

= limm→∞

tr[P (Tm − Tn)∗ (Tm − Tn)P

]= lim

m→∞tr[

(Tm − Tn)P (Tm − Tn)∗]

(7.38)

≤ supm≥n0

tr[

(Tm − Tn) (Tm − Tn)∗]

= supm≥n0

‖(Tm − Tn)‖22≤ ε2 .

Como la acotacion vale con n ≥ n0 para cualquier proyector P ∈ LF (H), lo podemosagrandar hasta llegar a que ‖(T − Tn)‖2 ≤ ε para todo n ≥ n0 . De esto deducimos queT ∈ L2(H) y que ‖(T − Tn)‖2 −−−→

n→∞0, ası que L2(H) es un EH en toda regla.

Proposicion 7.6.10. Sea H un EH. Se tienen las siguientes desigualdades:

230

1. Dado un M ∈ L2(H) y cualquier A ∈ L(H) sabemos que AM ∈ L2(H), pero ademas

‖AM‖2 ≤ ‖A‖ ‖M‖2 . (7.47)

2. Similarmente, si T ∈ L1(H) y A ∈ L(H) se tiene que∣∣ tr (AT )∣∣ ≤ tr |AT | ≤ ‖A‖ tr |T | . (7.48)

Demostracion. Para probar la desigualdad (7.47) basta observar que

‖AM‖22

= tr (M∗A∗AM ) ≤ tr[M∗ ( ‖A∗A‖ I )M

]= ‖A∗A‖ tr(M∗M) = ‖A‖2 ‖M‖2

2,

porque A∗A ≤ ‖A∗A‖ I, como habıamos visto en (6.39). Veamos ahora que∣∣ tr S∣∣ ≤ tr |S| para todo S ∈ L1(H) , (7.49)

que es la (7.48) para A = I. Para ello hagamos S = U |S| la DP de S ∈ L1(H). Observemosque |S| = U∗S ∈ L1(H). Luego |S|1/2 ∈ L2(H), ya que ‖ |S|1/2‖2

2= tr |S| < ∞. Usando

Cauchy Schwarz para el PI de L2(H), podemos hacer esta cuenta:∣∣ tr S∣∣ =

∣∣ tr[

(U |S|1/2) |S|1/2] ∣∣ =

∣∣∣ ⟨ |S|1/2 , (U |S|1/2)∗⟩

tr

∣∣∣C−S≤ ‖U |S|1/2‖2 ‖ |S|1/2‖2

(7.47)

≤ ‖U‖ ‖ |S|1/2‖22

= tr |S| .

En un momento se uso que ‖B∗‖2 = ‖B‖2 para B ∈ L2(H). Eso sale de la Ec. (7.31). Paraprobar la (7.48) general recordemos que la Ec. (6.41) mostraba que |AT | ≤ ‖A‖ |T | comooperadores. Tomando traza deducimos que tr |AT | ≤ ‖A‖ tr |T |. Finalmente, aplicando laEc. (7.49) al operador S = AT sale que

∣∣ tr (AT )∣∣ ≤ tr |AT |.

Proposicion 7.6.11. La traza cumple su paradigmatica propiedad

tr S T = tr T S (7.50)

en los dos casos en los que ya sabemos que tendrıa sentido:

• Cuando T ∈ L1(H) y ponemos cualquier S ∈ L(H).

• Cuamdo ambos S , T ∈ L2(H).

Demostracion. Como ahora sabemos que siempre vale la Ec. (7.37), la prueba es basicamentela misma que la de la Prop. 7.6.2: Hacer una serie doble y cambiar el orden de las sumatorias.

231

El problema es que en el caso general los terminos que hay que sumar no son positivos comoentonces. Ası que mejor aplicamos la formula (7.40) y recien ahı la Ec. (7.37):

4 tr T ∗ S(7.40)=

3∑k=0

ik tr[

(S + ik T )∗(S + ik T )]

(7.37)=

3∑k=0

ik tr[

(S + ik T )(S + ik T )∗]

=3∑

k=0

ik tr[

(S∗ + i−k T ∗)∗(S∗ + i−k T ∗)]

=3∑

k=0

ik tr[

(T ∗ + ik S∗)∗(T ∗ + ik S∗)] (7.40)

= 4 tr S T ∗ .

(7.51)

Ojo que lo de arriba solo tiene sentido cuando S y T ∈ L2(H). Para el otro caso podemosasumir que T ∈ L1(H)+, porque ellos generan. Entonces sabemos que T 1/2 ∈ L2(H) y porlo que probamos arriba podemos hacer la siguiente cuenta: Dado S ∈ L(H), vale que

tr S T = tr[

(S T 1/2)T 1/2] (7.51)

= tr[

(T 1/2 S)T 1/2] (7.51)

= tr[T 1/2 (T 1/2 S)

]= tr T S .

Teorema 7.6.12. La formula ‖T‖1 = tr |T | define una norma en L1(H) que lo hace unespacio de Banach.

Demostracion. Veamos que es una norma. Es claro que las constantes salen en modulo.Usando el item 3 de 7.6.4 vemos que si T ∈ L1(H) \ 0, entonces

0 < ‖T‖ = ‖ |T | ‖ ≤ tr |T | = ‖T‖1 ,

o sea que es positiva definida. La DT sale aı: Si S + T = V |S + T | es su DP, entonces

‖S + T‖1 = tr |S + T | 4.4.4= tr

[V ∗ (S + T )

]≤ | tr V ∗ S|+ | tr V ∗ T |

(7.48)

≤ tr |S|+ tr |T | .Ahora a laburar con la completitud. Es casi lo mismo que para L2(H): Fijemos una sucesion(Tn)n∈N en L1(H) que sea de Cauchy en la ‖ · ‖1 . Por la desigualdad ‖ · ‖1 ≥ ‖ · ‖ vista

recien, podemos afirmar que existe un T ∈ K(H) tal que Tn‖ · ‖−−−→n→∞

T . Dado ε > 0 sea n0 tal

que ‖Tm− Tn‖1 < ε para n , m ≥ n0 . Antes de seguir, fijemos una proyeccion P ∈ LF (H) yun n ≥ n0 . Luego podemos afirmar que la convergencia en la norma usual implica que

tr P |Tm − Tn|(7.50)= tr P |Tm − Tn|P −−−→

m→∞tr P |T − Tn|P ,

porque P hace que la traza sea una suma finita, y porque el Cor. 6.6.7 aseguraba queTm −−−→

m→∞T =⇒ |Tm − Tn| −−−→

m→∞|T − Tn|. Luego, si n ≥ n0 tenemos que

tr P |T − Tn|P = limm→∞

tr P |Tm − Tn|(7.50)= lim

m→∞tr(|Tm − Tn|1/2 P |Tm − Tn|1/2

)(7.38)

≤ supm≥n0

tr |Tm − Tn| = supm≥n0

‖(Tm − Tn)‖1 ≤ ε .

232

Como la acotacion vale con n ≥ n0 para cualquier proyector P ∈ LF (H), lo podemosagrandar hasta llegar a que ‖(T − Tn)‖1 ≤ ε para todo n ≥ n0 . De esto deducimos queT ∈ L1(H) y que ‖(T − Tn)‖1 −−−→

n→∞0, ası que L1(H) es un EB de ley.

Ejercicio 7.6.13. Recordemos la Ec. (7.43): LF (H) ⊆ L1(H) ⊆ L2(H) ⊆ K(H). Probarque cada uno de ellos en denso en los mas grandes con sus normas. En otras palabras, probarque LF (H) es denso en los tres con las normas que les corresponden (1, 2 e ∞). 4

Para lo que nos falta hacer conviene tener como herramientas algunas cuentas mas sobre lostensorcitos x y ∈ LF (H) vistos en la Seccion 4.6. En las demostraciones que se vienenusaremos (sin citar ni aclarar) las multiples propiedades ya probadas en la Prop. 4.6.4, asıque damos una version retroactiva antes de seguir.

Repaso de la Prop. 4.6.4. Sea H un EH. Fijemos x , y ∈ H. Luego:

1. La norma: ‖x y‖ = ‖x‖ ‖y‖.

2. El adjunto: (x y)∗ = y x.

3. El espectro: El unico autovalor de x y que puede ser no nulo es λ1 = 〈x, y〉.

4. Si A , B ∈ L(H), se tiene que A x = Ax ∈ L(K , H). Luego

A · (x y) = (Ax) y and (x y) ·B = x (B∗y) .

5. Dados v , w ∈ H, se tiene que (x y) · (v w) = 〈v, y〉 · x w .

6. Si x 6= 0, el proyector Pspanx = x‖x‖

x‖x‖ = 1

‖x‖2 x x .

Ahora sı enunciamos las novedades:

Proposicion 7.6.14. Sea H un EH. Dados x , y ∈ H se tiene que

1. El tensor x y ∈ L1(H) y cumple que tr x y = 〈x , y〉.

2. Su modulo (como operador) es |x y| = ‖x‖ ‖y‖ · y1 y1 , donde y1 = y‖y‖ .

3. Por ello, su ‖x y‖1 = tr |x y| = ‖x‖ ‖y‖ = ‖x y‖.

4. Si dimH > 1, su espectro es σ (x y) =

0 , 〈x , y〉

.

5. Dados z , w ∈ H, se tiene que el PI de L2(H) entre los tensores da⟨x y , z w

⟩tr

= 〈x , z〉〈w , y〉 . (7.52)

Demostracion.

233

1. Si x = 0 es trivial. Sino, sea x1 = x‖x‖ . Como R(x y) = span x1, podemos calcular

su traza empezando (y terminando) por x1 :

tr x y =⟨x y (x1) , x1

⟩= 〈x1 , y〉〈x , x1〉 = 〈x1 , y〉 ‖x‖ = 〈x , y〉 .

2. |xy| =(yx · xy

)1/2=(‖x‖2 yy

)1/2= ‖x‖ ‖y‖ · (y1y1)1/2 = ‖x‖ ‖y‖ ·y1y1 .

3. Es porque tr y1 y1 = tr Pspany = 1. La igualdad con ‖x y‖ se vio en la Prop. 4.6.4.

4. Tambien se vio en la Prop. 4.6.4, agregando ahora el hecho de que x y es compacto.

5. Es cuestion de hacer la cuenta. Si nos armamos de paciencia vemos que⟨x y , z w

⟩tr

= tr(w z · x y

)= 〈x , z〉 tr w y = 〈x , z〉〈w , y〉 .

Teorema 7.6.15. Sea H un EH. Si B = vi : i ∈ I es un SON de H, entonces

B B def= vi vj : i , j ∈ I es un SON de L2(H) . (7.53)

Pero si B era una BON de H, entonces B B se constituye en una BON de L2(H).

Demostracion. La (7.53) es una consecuencia directa de la formula (7.52) (o sea el final delo de arriba). Para ver que B B genera todo L2(H), basta ver que su ortogonal es trivial.En efecto, si me dan un T ∈ L2(H) y un par i , j ∈ I, podemos calcular⟨

T , vi vj⟩

tr= tr

(vj vi · T

)= tr

(vj T ∗ vi

)= 〈vj , T ∗ vi〉 = 〈T vj , vi〉 ,

Pero es bien facil ver que si todos esos 〈T vj , vi〉 = 0, entonces T = 0.

Observacion 7.6.16. Recordemos que cuando H = L2(X,µ) tenıamos los operadores nu-

cleares Tk para los nucleos k ∈ K def= L2(X ×X , µ × µ). Ademas, en el Ejem. 7.1.7 vimos

que si B = φi : i ∈ I es una BON de H, y dados i, j ∈ I definamos

φi ⊗ φj ∈ K por φi ⊗ φj(x, y) = φi(x)φj(y) para (x, y) ∈ X ×X ,

entonces B ⊗ B def= φi ⊗ φj : i , j ∈ I es una BON de K. Ademas mostramos que

Tφi⊗φj = φi φj ∈ L2(H ) para todo par i , j ∈ I ,

O sea que la flecha L2(X×X , µ×µ) 3 k 7→ Tk ∈ L2(H) manda una BON en otra BON (losφi φj por el Teo. 7.6.15), por lo que es una isometrıa entre esos dos EH’s. Esto se traducea que si H = L2(X,µ), sus operadores de Hilbert Schmit coinciden con los nucleares Tk paralos nucleos k ∈ L2(X ×X , µ× µ), y que la norma 2 de ellos es igual a la ‖k‖2 . 4

Teorema 7.6.17. Sea H un EH. Luego tenemos sendos isomorfismos isometricos

L1(H) ∼= K(H)∗ y L(H) ∼= L1(H)∗ (7.54)

implementados por la dualidad L(H)× L1(H) 3 (S , T ) 7→ tr S T = tr TS.

234

Demostracion. Recordemos de la Ec. (7.48) que | tr S T | ≤ ‖S‖ tr |T | para S ∈ L(H) yT ∈ L1(H) cualesquiera. Eso permite definir sendas flechas

L1(H) 3 T 7→ ϕT ∈ K(H)∗ y L(H) 3 S 7→ φS ∈ L1(H)∗ (7.55)

dadas por ϕT (S) = tr S T para S ∈ K(H) y φS(T ) = tr S T para T ∈ L1(H). La desigualdad(7.48) antes mencionada nos asegura que dados T ∈ L1(H) y S ∈ L(H), se tiene que

ϕT ∈ K(H)∗ con ‖ϕT‖ ≤ ‖T‖1 y φS ∈ L1(H)∗ con ‖φS‖ ≤ ‖S‖ .

Ahora viene el laburo: Dada una ϕ ∈ K(H)∗, la podemos restringir a L2(H) (recordemos queL2(H) ⊆ K(H) ). Nos queda una ϕ ∈ L2(H)∗ y no se agranda su norma (porque ‖·‖2 ≥ ‖·‖).Pero vimos que L2(H) es un EH. Luego el TRR 3.3.1 nos provee de un T ∈ L2(H) tal que

ϕ(S) = 〈S , T ∗〉tr = tr T S = tr S T para todo S ∈ L2(H) ,

Por otro lado, dado un proyector P ∈ LF (H) y haciendo T = U |T | su DP, vale que∣∣ tr(P |T |

) ∣∣ =∣∣ tr

(P U∗ T

) ∣∣ = |ϕ(PU∗)| ≤ ‖ϕ‖ .

Como P es arbitraria, ya podemos asegurar que nuestro T ∈ L1(H) con ‖T‖1 = tr |T | ≤ ‖ϕ‖.Finalmente, como L2(H) es denso en K(H), deducimos que ϕ = ϕT y que ‖ϕT‖ ≥ ‖T‖1 .Esto muestra que la primera flecha de (7.55) es un isomorfismo isometrico sobre K(H)∗.

A laburar sobre la otra. Sea φ ∈ L1(H)∗. El curro es definir la sesquilineal acotada

B(x , y)def= φ

(x y

)para x , y ∈ H .

La sesquilinealidad sale facil, y es acotada por la constante ‖φ‖ porque

|B(x , y)| = |φ(x y

)| ≤ ‖φ‖ ‖x y‖1

7.6.14= ‖φ‖ ‖x‖ ‖y‖ para x , y ∈ H .

La Prop. 4.1.2 (Lax-Milgram) nos produce un S ∈ L(H) tal que ‖S‖ ≤ ‖φ‖ y

φ(x y

)= B(x , y) = 〈S x , y〉 7.6.14

= tr(S x y

)= φS

(x y

)para x , y ∈ H .

Finalmente, en 4.6.6 vimos que los x y generan LF (H), que a su vez es ‖ · ‖1-denso enL1(H). Luego lo de arriba dice que φ = φS y que ‖φS‖ ≥ ‖S‖. Con ello hemos probado quela otra flecha de (7.55) es un iso isometrico sobre L1(H)∗.

Observacion 7.6.18. Las dualidades de arriba son una especie de extencion de las viejasc∗0 = `1 y (`1)∗ = `∞. De hecho, fijando una BON (numerable) deH uno contruye operadoresdiagonales y se aviva de que un Ma ∈ L(H) dado por una a = (an)n∈N ∈ CN cumple que

Ma ∈ K(H) ⇐⇒ a ∈ c0 , Ma ∈ L1(H) ⇐⇒ a ∈ `1 y Ma ∈ L(H) ⇐⇒ a ∈ `∞ .

Ademas es un lindo ejercicio verificar que las dualidades viejas coinciden con tr(MaMb).Otra manifestacion de esta analogıa se ve en aquel Ejer. 7.1.8. 4

235

Observacion 7.6.19. Una consecuencia importante de que L(H) sea el dual de L1(H)(Teo. 7.6.17) es que le podemos aplicar Alaoglu para decir que la bola BL(H) es w∗-compacta.

Claro que aca converger w∗ es traceando contra todo A ∈ L1(H), lo que no parece facil detestear. Sin embargo, en la bola BL(H) hay una manera mucho mas concreta de describir esatopologıa. Definamos la convergencia WOT, que habıa aparecido en 5.9.22.

Definicion 7.6.20. Fijemos una red T = (Ti)i∈ I y un T , todos en L(H). Decimos que

TiW.O.T.−−−→i∈I

T (se lee “Ti converge debilmente o WOT a T”) si se cumple que

〈Ti x , y〉 −−→i∈ I

〈T x , y〉 para todo par x , y ∈ H .

Esta convergencia proviene de la topologıa WOT en L(H) dada por la familia de seminormasPxy(T ) = | 〈T x , y〉 | (para x , y ∈ H y T ∈ L(H) ), que lo hacen ELC. 4

Proposicion 7.6.21. Sea H un EH. En la bola BL(H) (o en cualquier acotado de L(H) ) lastopologıas WOT y w∗ de L(H) coinciden. Por lo tanto BL(H) es WOT compacta.

Proof. Por la Prop. 7.6.14 sabemos que para cualquier T ∈ L(H) valen las igualdades

〈T x , y〉 = tr Tx y = tr(T (x y)

)para todo par x , y ∈ H .

Como todos los x y ∈ LF (H) ⊆ L1(H) tenemos que la convergencia w∗ implica la WOTen todo L(H), y por lo tanto tambien en BL(H) .

Pero la misma igualdad asegura que si TiW.O.T.−−−→i∈I

T , entonces trTi F −−→i∈ I

trT F para todo

operador F ∈ LF (H). Al fin y al cabo, en 4.6.6 se vio que tales F son suma de finitostensorcitos xk yk . Por otro lado LF (H) es ‖ · ‖1 denso en L1(H).

Asumamos ahora que los TiW.O.T.−−−→i∈I

T y que todos viven en BL(H) . Fijado un A ∈ L1(H) y

un ε > 0, tomemos un F ∈ LF (H) tal que ‖A− F‖1 < ε. Luego

| tr (T − Ti)A| ≤ | tr (T − Ti) (A− F )|+ | tr (T − Ti)F |

(7.48)

≤ ‖T − Ti‖ ‖A− F‖1 + | tr (T − Ti)F |

≤ 2 ε+ | tr (T − Ti)F | < 3 ε si i ≥ cierto i0 (para F ) .

Entonces trTiA −−→i∈ I

trT A para todo operador A ∈ L1(H). Ası que tambien vale que la

convergencia WOT implica la w∗ si nos quedamos en BL(H) , por lo que ambas topologıascoinciden allı. La compacidad de BL(H) con la w∗ = WOT es Alaoglu. Listo.

Ejercicio 7.6.22. Sea H un EH separable. Probar que

236

1. Si xn : n ∈ N es un denso en BH , entonces la formula

‖T‖W =∑

n ,m∈N

1

2n+m

∣∣ 〈T xn , xm〉 ∣∣ para cada T ∈ L(H) ,

cumple las siguientes propiedades:

(a) La serie converge. Mas aun, ‖T‖W ≤ ‖T‖ para todo T ∈ L(H).

(b) La flecha T 7→ ‖T‖W es una norma en L(H).

(c) Una red acotada Ti‖ · ‖W−−−→i∈I

T ∈ L(H) ⇐⇒ 〈Ti xn , xm〉 −−→i∈ I〈T xn , xm〉 para

todo par de elementos xn , xm del denso.

(d) Esta norma produce, en la bola BL(H) , exactamente la topologıa WOT.

2. Deducir toda sucesion acotada en L(H) tiene una subsucesion WOT-convergente.

Ojo con lo siguiente: Si suponemos que dim H =∞ (sea o no separable), vale que

3. La norma ‖ · ‖W no produce la WOT en todo L(H).

4. La w∗ (relativa al “predual” L1(H) ) y la WOT no coinciden en todo L(H). 4

237

7.7 Ejercicios del Cap. 7 - Operadores compactos

Ejercicios aparecidos en el texto7.7.1. Probar los detalles del Cor. 7.1.3: Sea H un EH. El conjunto K(H) de operadores compactos cumple:

1. Contiene a LF (H) i.e., todo rango finito es compacto.

2. Es un subespacio de L(H), o sea que suma de compactos es compacto.

3. Mas aun, es un ideal bilatero. Esto agrega que si T ∈ K(H), entonces

AT B ∈ K(H) para todo par A , B ∈ L(H) .

4. Es cerrado, por lo que un lımite de compactos queda compacto.

5. Es cerrado por adjuncion: T ∈ K(H) =⇒ T ∗ ∈ K(H).

6. Ademas vale que T ∈ K(H) ⇐⇒ |T | ∈ K(H) ⇐⇒ Re T e Im T ∈ K(H).

7. En cambio si hay un subespacio N ⊆ H y un ε > 0 tales que

dimN =∞ y T ∈ L(H) cumple ‖T x‖ ≥ ε ‖x‖ para todo x ∈ N

(eso se abrevia “T es AI en N por ε”), entonces T /∈ K(H). 4

7.7.2. Sea H es un EH con dimH = ℵ0 . Fijemos B = xn : n ∈ N una BON de H.

1. Probar que, dado a = (an)n∈N ∈ `∞(N), existe un unico operador

Ma ,B ∈ L(H) tal que Ma ,B xn = an xn para todo n ∈ N . (7.56)

Mostrar que el cumple que Ma ,B x =∑n∈N an〈x , xn〉xn , para cada x ∈ H.

2. Probar que el tal Ma verifica las siguientes propiedades:

(a) Su norma es ‖Ma ,B‖ = ‖a‖∞ .

(b) Su adjunto es M∗a = Ma , por lo que Ma ∈ A(H) ⇐⇒ a ∈ RN.

(c) Ademas Ma ∈ L(H)+ ⇐⇒ a ∈ RN+ .

(d) El Ma ∈ Gl (H) ⇐⇒ ınfn∈N|an| > 0. Deducir de ello que su espectro σ(Ma) es la clausura en C

del conjunto an : n ∈ N.(e) Caso compacto: Nuestro Ma ,B ∈ K(H) ⇐⇒ a ∈ c0 .

(f) Ademas Ma ,B ∈ L1(H) ⇐⇒ a ∈ `1(N) y Ma ,B ∈ L2(H) ⇐⇒ a ∈ `2(N) .

3. Los operadores que admiten una representacion de este tipo se llaman B-diagonalizables.

Probar que un T ∈ L(H) es B-diagonalizble ⇐⇒ su “matriz” en B es diagonal (se recupera el a ∈ `∞de la diagonal) ⇐⇒ T conmuta con cada proyector Pxn = xn xn y cada T xn = an xn . 4

7.7.3. Sea H un EH con una BON B = xn : n ∈ N. Sea

DB = M ∈ L(H) : M = Ma ,B (el de (7.56) ) para algun a ∈ `∞ .

1. Mostrar que DB ∩K(H) = Ma ,B : a ∈ c0 (propuesto en el Ejem. 7.7.2).

238

2. Probar que existe un EB ∈ L(L(H) ) que comprime a los B-diagonales:

(a) Es un proyector tal que E2B = EB y ‖EB‖ = 1.

(b) Su rango es R(EB) = DB , por lo que EB(M) = M para todo M ∈ DB .

(c) Mas aun, se tiene que DB(I) = I y si M ∈ DB y T ∈ L(H), entonces

EB(MT ) = M EB(T ) y EB(TM) = EB(T ) M .

(d) Si T ∈ K(H) entonces EB(T ) ∈ K(H) i.e., la diagonal de un compacto esta en c0 .

3. Probar que aunque K(H) v L(H), el subespacio K(H) no es COM en L(H).

Sug: Dado T ∈ L(H), definir dT =(〈T xn , xn〉

)n∈N ∈ `∞ y poner EB(T ) = MdT ,B . Por otro lado, si

hubiera un proyector acotado Q de L(H) sobre K(H), entonces EB Q∣∣DB

proyectarıa al espacio DB ∼= `∞

sobre DB ∩K(H) ∼= c0 . Luego mirar el Ejem. 2.7.8. 4

7.7.4. Dado T ∈ K(H), probar que s1(T ) def= µ1( |T | ) = ‖ |T | ‖ = ‖T‖. 4

Repaso del Teo. 7.4.8: Sea T ∈ K(H) \ LF (H). Luego existen dos SON’s :

B1 = xk : k ∈ N, que es BON de (kerT )⊥ y B2 = zk : k ∈ N, que es BON de R(T ) ,

tales que el operador T se representa como la serie (que converge en norma) :

T =∑k∈N

sk(T ) zk xk =⇒ T y =∑k∈N

sk(T ) 〈y , xk〉 zk para todo y ∈ H . (7.57)

De hecho B1 es una BON de autovectores para |T | y B2 lo es para |T ∗|, donde ninguna de las dos contienegeneradores de los nucleos. Ademas vale que s(T ∗) = s(T ).

7.7.5. Probar que si T ∈ LF (H), entonces tiene una representacion del tipo (7.57) pero con sumas finitas.De paso mostrar que, si ahora T ∈ K(H) \ LF (H), truncando en (7.57) obtenemos una sucesion posta enLF (H) que le converge a T . Posta significa que minimiza la distancia de T a los operadores del rango decada truncado. 47.7.6. Sea T ∈ K(H). Probar que ese T es diagonalizable (c.f. Ejer. 7.7.2) con respecto a alguna BON deH si y solo si T es normal. En tal caso vale que sk(T ) = |µk(T )| para todo k ∈ N (o hasta donde sea quelleguen si T era rango finito), siempre que uno enumere los µk(T ) para que tengan modulos decrecientes (sepuede porque van hacia cero). 4

7.7.7. Sea T ∈ F (H) def= P−1K(H)

(GCal (H)

). Vıa el Teo. 7.2.3 podemos definir su ındice por

IndT def= α(T )− β(T ) = dim kerT − dim kerT ∗ ∈ Z ,

Deducir del Teo. 7.2.3 las siguientes propiedades:

1. El grupo Gl (H) ⊆ F (H), y si G ∈ Gl (H) entonces IndG = 0− 0 = 0.

A partir de ahora asumamos que T ∈ F (H).

2. Llamemos PT = PkerT y QT = PT∗ = PkerT∗ . Luego IndT = rkPT − rkQT .

3. Si M ∈ F (H), entonces MT y TM ∈ F (H).

4. Pero si G ∈ Gl (H) =⇒ IndGT = IndTG = IndT (porque vale para sus α y β).

5. T ∗ ∈ F (H) y tiene su IndT ∗ = −IndT . Sale porque α(T ∗) = β(T ).

239

6. Tambien T † ∈ F (H) y cumple que IndT † = −IndT .

7. Definamos Fn(H) = S ∈ F (H) : IndS = n para cada n ∈ Z. Si H = `2(N) y recordamos al shiftS ∈ L(H) unilateral hacia la derecha, luego

S ∈ F (H) , IndSn = −n mientras que Ind (S∗)n = n para todo n ∈ N .

Por lo tanto Fn(H) 6= ∅ para todo n ∈ Z. Al menos cuando dimH = |N|. 4

7.7.8 (Alternativa de Fredholm). Si nos planteamos la ecuacion T x = λx+ b

con la incognita x y los datos b ∈ H , T ∈ K(H) y λ ∈ C \ 0 ,

probar que se tienen las dos posibilidades conocidas:

• O bien T − λ I ∈ Gl (H) por lo que hay solucion unica

x = (T − λ I)−1 b para todo b ∈ L(H) .

• O bien λ ∈ σ(T ) \ 0, en cuyo caso tenemos la igualdad dim ker(λ I − T ) = dimR(λ I − T )⊥ < ∞,que es parecido a los sistemas de ecaciones del algebra lineal: La dimension del espacio de solucioneses finita, e igual a la del ortogonal del espacio de los b ∈ H para los que hay solucion. 4

La mayor parte de los enunciados que siguen ya aparecieran en el viejo Ejer. 4.7.1. Lo nuevo va con ∗.7.7.9. Sean H y K dos EH’s. Dados M ∈ L(H) y N ∈ L(K), sea

M ⊕ S ∈ L(H⊕K) dado por M ⊕N(x , y) = (M x , N y) ∈ H ⊕K




3. * Si fijamos el N ∈ L(K), la flecha L(H) 3M 7→M ⊕N es un homeo entre

L(H) y L(H)⊕N def= M ⊕N : M ∈ L(H) ,

si a este le consideramos la topologıa inducida de la de L(H⊕K). Mas aun, las metricas coinciden.

4. * Por otra parte σ(M ⊕N) = σ(M) ∪ σ(N).

5. Entre estos operadores, las operaciones sumar, multiplicar, adjuntar e invertir (si se puede), se hacenen cada coordenada.

6. R(M ⊕B) = R(M)⊕R(N) ⊆ H⊕K, y es cerrado ⇐⇒ ambos rangos lo son.


8. Un operador cualquiera T ∈ L(H ⊕ K) es de estos diagonales ⇐⇒ conmuta con las proyecciones aH y K. * En otras palabras, si H⊕ 0 reduce a T .

9. * Nuestros M y N son compactos ⇐⇒ M ⊕N ∈ K(H⊕K). Idem para rango finito.

240

10. * Ademas M y N son Fredholms ⇐⇒ M ⊕N ∈ F (H⊕K). En tal caso vale que

α(M ⊕N) = α(M) + α(N) y β(M ⊕N) = β(M) + β(N) .

Finalmente, llegamos a que Ind (M ⊕N) = Ind (M) + Ind (N). 4

7.7.10. Probar que la funcion tr : L(H)+ → R+ ∪ +∞ cumple algunas propiedades: Si A ∈ L(H)+

1. La trA =∑i∈I 〈Aei , ei〉, para cualquier BON ei : i ∈ I de H.

2. Si y ∈ H es unitario, entonces 〈Ay , y〉 ≤ trA. Deducir que ‖A‖ ≤ trA.

3. La traza es monotona: A ≤ B =⇒ tr A ≤ tr B.

4. Si A es compacto (ademas de positivo), entonces su traza se puede calcular ası:

A =∑k∈N

µk(A)xk xk =⇒ tr A =∑k∈N

µk(A) , (7.58)

donde los µk(A) son su sucesion decreciente de autovectores, como en la Ec. (7.21). 4

7.7.11. Mostrar la siguiente concretizacion de la Ec. (7.42):

1. Dado T ∈ K(H) se cumple que tr |T | =∑n∈N

sn(T ) = ‖s(T )‖1 . Eso da que T ∈ L1(H) ⇐⇒ s(T ) ∈ `1.

2. En cambio si T ∈ L2(H), entonces ‖T‖22

= trT ∗T =∑n∈N

sn(T )2 = ‖s(T )‖22

.

7.7.12. Recordemos la Ec. (7.43): LF (H) ⊆ L1(H) ⊆ L2(H) ⊆ K(H). Probar que cada uno de ellos endenso en los mas grandes con sus normas. En otras palabras, probar que LF (H) es denso en los tres con lasnormas que les corresponden (1, 2 e ∞). Se sugiere actualizar el Ejer. 7.7.5. 47.7.13. Sea H un EH separable. Probar que

1. Si xn : n ∈ N es un denso en BH , entonces la formula

‖T‖W =∑

n ,m∈N

12n+m

∣∣ 〈T xn , xm〉 ∣∣ para cada T ∈ L(H) ,

cumple las siguientes propiedades:

(a) La serie converge. Mas aun, ‖T‖W ≤ ‖T‖ para todo T ∈ L(H).

(b) La flecha T 7→ ‖T‖W es una norma en L(H).

(c) Una red acotada Ti‖ · ‖W−−−−→i∈I

T ∈ L(H) ⇐⇒ 〈Ti xn , xm〉 −−→i∈ I

〈T xn , xm〉 para todo par de

elementos xn , xm del denso.

(d) Esta norma produce, en la bola BL(H) , exactamente la topologıa WOT.

2. Deducir toda sucesion acotada en L(H) tiene una subsucesion WOT-convergente.

Ojo con lo siguiente: Si suponemos que dim H =∞ (sea o no separable), vale que

3. La norma ‖ · ‖W no produce la WOT en todo L(H).

4. La w∗ (relativa al “predual” L1(H) ) y la WOT no coinciden en todo L(H). 4

241

Ejercicios nuevos7.7.14. Sea LF (H) el espacio de todos los operadores de rango finito definidos sobre el espacio de HilbertH. Demostrar que LF (H) es minimal en el sentido que no posee un ideal propio.Sug: Demostrar primero que LF (H) interseca todo ideal no nulo de L(H). 47.7.15. Probar que todo operador T : H → H continuo desde (H , w) hacia (H , ‖ · ‖ ) pertenece a LF (H).Recordar que los compactos lo son solo desde la bola BH , que ahora vemos que es mucho menos pedir. 47.7.16. Sea k ∈ L2

([0, 1]× [0, 1]

)y sea Tk : L2[0, 1]→ L2[0, 1] el operador definido por:

Tk f(x) =∫ 1

0

k(x, y) f(y) dy para cada f ∈ L2[0, 1] .

1. Probar que Tk ∈ L(L2[0, 1] ). Mas aun, demostrar que ‖K‖ ≤ ‖k‖2 .

2. Probar que es compacto.

3. Encontrar condiciones sobre k de modo que K resulte autoadjunto. 4

El siguiente ejercicio es un ejemplo de un metodo mas general utilizada para resolver ciertas ecuacionesdiferenciales ordinarias. Dicho metodo se lo conoce con el nombre de Strum-Liouville.

7.7.17. Consideremos la siguiente ecuacion diferencial con condiciones de contorno:

u′′(x) = f(x)u(0) = u(1) = 0,

donde f(x) es una funcion continua.

1. Encontrar dos soluciones de la ecuacion homogenea u′′(x) = 0, u0 y u1, tales que u0(0) = u1(1) = 1y calcular el Wronskiano.(Recordar que el Wronskiano W (x) = u′0(x)u1(x)− u0(x)u′1(x)).

2. Definir la funcion k(x, y) : [0, 1]× [0, 1]→ R

3. ??? 4Definicion 7.7.18 (Weil). Sea A ∈ A(H). Diremos que λ ∈ σe(A), el espectro escencial de A, si existe unSON ψn : n ∈ N ⊆ H talque ‖ (A− λ IH )ψn‖ −−−−→

n→∞0. 4

7.7.19. Porbar las siguientes propiedades del espectro escencial:

1. Dados A , B ∈ A(H) tales que A−B es compacto, se tiene que σe(A) = σe(B).

2. Mas aun, probar que σe(A) es el espectro del bajado de A al algebra de Calkin Cal (H) = L(H)/K(H) .

3. Deducir de la definicion y de la caracterizacion anterior que σ(A) ⊆ σe(A).

4. Dar una caracterizacion espacial tipo 7.7.18 del σe(T ) para los T ∈ L(H) no autoadjuntos. 47.7.20. Sea T ∈ K(H) un operador compacto normal. Probar que

1. Si x ∈ H es un autovector de T correspondiente al autovalor λ, entonces x es tambien un autovectorde T ∗ correspondiente al autovalor λ.

2. Los autovectores de T correspondientes a autovales distintos son ortogonales.

7.7.21. Sea T ∈ K(H) un operador compacto normal. Probar que

1. La apliciacion x→ 〈Tx, x〉, de BH a los complejos, es debilmente continua.

2. Existe un x ∈ BH tal que | 〈T x , x〉 | = ‖T‖.

3. El x de 2 es un autovector de T correspondiente a un autovalor λ que satisface |λ| = ‖T‖.

242

Bibliografıa

Libros mas recomendados:

[1] Pedersen - Analysis Now (GTM 118).

[2] Conway J. - A course in functional analysis (GTM 96, Springer, 1985)

[3] Douglas R. - Banach Algebra Techniques In Operator Theory, 2nd Ed. Ac. Press

[4] Andruchow E. y Corach G. - Notas de analisis funcional (Apunte en pdf).

[5] Reed y Simon - Methods of Math Physics Vol 1 (FA) - Ac. Press 1980.

[6] Nagy G., Real analysis, (Kansas State lecture notes, 2001).

[7] Rudin W. - Functional analysis

[8] Yosida, K. - Functional analysis (6ed., GMW 123, Springer, 1980)

Referncias Adicionales

[9] Kelley - General Topology (1955).

[10] Munkres J. Topology (2ed., PH, 2000).

[11] Rudin W., Fourier analysis on groups (Interscience, 1962).

[12] Rudin W. - Real and Complex Analysis. Tata-McGraw-Hill, 1974.

[13] Simmons G. Introduction to topology and modern analysis (ISPAM, MGH,1963).

243

Parte II

Teorıa Matricial de Operadores

244

Capıtulo 8

Angulos entre subespacios.

8.1 Preliminares y Notaciones

En lo que sigue trabajaremos en espacios de Hilbert de dimension infinita. Por si algunlector empieza por esta parte del texto, repasaremos a continuacion algunas propiedades ynotaciones de la primera parte:

Usaremos las letras H, K, H1 , H2 , etc, para denotar espacios de Hilbert (EH’s).

Llamaremos L(H1 , H2) al espacio de operadores lineales acotados de H1 en H2 .

Si H1 = H2 = H, escribiremos L(H) = L(H,H), que es una C-algebra.

Dado C ∈ L(H1 , H2), notaremos R(C) a su rango, y kerC o N(C) a su nucleo.

Si A ∈ L(H1 , H2), su norma (de operadores) es

‖A‖ = sup‖Aξ‖ : ξ ∈ H1 , ‖ξ‖ = 1

= min

C ≥ 0 : ‖Aξ‖ ≤ C‖ξ‖ , ξ ∈ H1

.

Con esta norma, L(H1 , H2) es un espacio de Banach (y L(H) un algebra de Banach).

Gl (H) denota al grupo (abierto) de operadores inversibles de L(H).

Si A ∈ L(H), su espectro es

σ(A) =λ ∈ C : λI − A /∈ Gl (H)

,

que es compacto y no vacıo.

Si A ∈ L(H), su radio espectral y radio numerico son

ρ(A) = max|λ| : λ ∈ σ(A)

= lim

n→∞‖An‖1/n y w(A) = sup

‖ξ‖=1

| 〈Aξ, ξ〉 | .

Se tiene que ρ(A) ≤ w(A) ≤ ‖A‖ y las recıprocas no valen en general.

245

Si A ∈ L(H1 , H2), su adjunto A∗ ∈ L(H2 ,H1) es el unico operador que cumple que

〈Aξ, η〉H2 = 〈ξ, A∗η〉H1 para todo ξ ∈ H1 , η ∈ H2 .

A(H) =A ∈ L(H) : A∗ = A

es el subespacio real de operadores autoadjuntos.

U(H) =U ∈ Gl (H) : U−1 = U∗

, el grupo unitario de H.

L(H)+ =A ∈ L(H) : 〈Aξ, ξ〉 ≥ 0 para todo ξ ∈ H

⊆ A(H), el cono de los

operadores semidefinidos positivos.

Notaremos Gl(H)+ = Gl (H) ∩ L(H)+, los operadores positivos inversibles.

Usaremos la notacion S v H para denotar que S es un subespacio cerrado de H.

Dado X ⊆ H, notaremos span X al subespacio generado por X.

span X v H denotara a la clausura (en norma) de span X.

Dados S, T v H, se escribe S + T = span S ∪ T . Noteremos S + T = S ⊕ T si lasuma es cerrada y S ∩ T = 0. Si ademas S ⊆ T ⊥, escribiremos S ⊕ T = S ⊥ T .

En cambio, dada una familia Sii∈I de subespacios cerrados de H, llamaremos

∨i∈I

Si = span

⋃i∈I

Si

.

Por otra parte, se usaran sin mayores explicaciones algunas propiedades usuales de los op-eradores en un espacio de Hilbert H, como por ejemplo:

• Todas las propiedades de los operadores compactos (Cap. 7).

• Los teoremas de la imagen abierta, del grafico cerrado, y de acotacion uniforme.

• Existencia de raices cuadradas de operadores en L(H)+.

• La descomposicion polar (DP) A = U |A| para cualquier A ∈ L(H), donde |A| =(A∗A)1/2 y U : kerA⊥ → R(A) es una isometrıa parcial. Tambien la DP a derecha:A = |A∗|U , con el mismo U de antes.

• Si A ∈ L(H), entonces R(A∗)⊥ = kerA y kerA∗A = kerA.

• Si A ∈ L(H)+, entonces R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(A).

• Las propiedades de proyectores oblıcuos P(H) y ortogonales P(H). Por elemplo que,si Q ∈ P(H) se tiene que Q ∈ L(H) y Q2 = Q,

1. R(Q) v H y ademas R(Q)⊕ kerQ = H.

246

2. Q ∈ P(H) ⇐⇒ Q ∈ A(H) ⇐⇒ Q ≥ 0 ⇐⇒ ‖Q‖ = 1 ⇐⇒ R(Q) = N(Q)⊥.

3. Si S v H existe un unico proyector ortogonal PS ∈ P(H) tal que R(PS) = S.

4. Si S, T v H cumplen S ⊕ T = H (suma no necesariamente ortogonal), entoncesel proyector PS/T dado por PS/T (s+ t) = s (si s ∈ S y t ∈ T ) es acotado.

• Propiedades basicas de la convergencia fuerte de operadores (SOT):

AnS.O.T.−−−→n→∞

A si Anx‖ · ‖−−−→n→∞

Ax para todo x ∈ H .

En particular, que si la sucesion (An) esta en A(H) , es decreciente (resp. creciente) y

acotada, entonces existe A ∈ A(H) tal que AnS.O.T.−−−→n→∞

A. En este caso, al lımite se lo

llama A = infnAn (resp. A = supnAn).

• Propiedades basicas de la convergencia debil de operadores (WOT):

AnW.O.T.−−−→n→∞

A si 〈Anx, y〉 −−−→n→∞

〈Ax, y〉 para todo par x, y ∈ H .

En particular, que las topologıas WOT y w∗ (de L(H) pensado como el dual de L1(H),los operadores traza) coinciden en la bola cerrada BL(H) . Luego, por el Teorema deAlaoglu, sabemos que L(H)1 es WOT compacta.

• Tambien se usara que, si H es separable, entonces la topologıa WOT de L(H) esmetrizable, por lo que sera suficiente operar con sucesiones (en lugar de redes).

No se usara (salvo ocacionalmente, y con aclaraciones) el calculo funcional boreliano y elteorema espectral para operadores normales o autoajduntos. Sı usaremos el calculo funcionalcontinuo (CFC) para esos operadores, pensado como lımite de polinomios en z y z (o en lavariable real x, en el caso autoadjunto) evaluados en el operador. Esto se usara, en particular,para definir A1/2 o mas generalmente At, si A ∈ L(H)+ y 0 < t ∈ R.

8.2 Angulos

Es natural definir el angulo entre dos subespaciosN yMv H como el mınimo de los angulosentre pares de rectas, una en N y la otra enM. Sin embargo este metodo tiene problemas siN ∩M 6= 0, porque no estarıa bien que en ese caso el angulo sea nulo. Para ello convienesacar a cada subespacio la interseccion, y quedarse con sus complementos ortogonales

MN =M∩ (M∩N )⊥ y N M = N ∩ (M∩N )⊥ .

Sugerimos dibujar dos planos en R3 y convencerse de que esta tecnica (que deja tan soloun par de rectas para elegir) da lo que uno intuitivamente definirıa como angulo entre esosplanos.Las siguientes definiciones estan bastante estandarizadas, aunque hay numerosas variacionesmenores en la literatura, y una infinidad de notaciones diferentes. Las propiedades de estos

247

angulos son muy utiles en dimension finita (entre otras razones por su relacion con normas,maximos y mınimos de matrices), pero es aun mas relevante en el caso infinitodimensional,donde puede pasar que N ∩M = 0 pero el angulo entre ellos sea nulo. Veremos que esosignificara que N +M 6v H.

Definicion 8.2.1 (Friedrichs). Sean M,N v H.

1. Llamaremos M1 = ξ ∈M : ‖ξ‖ = 1, la cascara de BM .

2. El angulo entre M y N es el numero θ ∈[

0,π

2

]cuyo coseno esta dado por

c [M , N ] = sup| 〈x, y〉 | : x ∈ (MN )1 , y ∈ (N M)1

.

Si M⊆ N o N ⊆M, ponemos c [M , N ] = 0, como si fueran ortogonales.

3. El seno del angulo entre N y M es s [M , N ] = (1− c [M , N ])1/2. 4

Observacion 8.2.2. Es importante aclarar que, si bien es cierto que el angulo entre M yN es cero si y solo si c [M , N ] = 1, en este approach se esta excluyendo de esa situacionel caso en que M = N , o mas generalemte que uno este contenido en el otro.

O sea que el decir que el angulo es nulo solo significara que se pueden ir encontrando paresde vectores cada vez mas alineados, uno en cada subespacio. Pero se excluye el tradicionalsignificado de tener angulo cero (que es estar alineados exactamente).

Sin ir mas lejos, veremos en seguida que basta que uno de los subespacios tenga dimensionfinita para que el angulo NO PUEDA ser nulo. 4

Proposicion 8.2.3. Sean M,N v H. Entonces

1. 0 ≤ c [M , N ] ≤ 1.

2. c [M , N ] = c [N ,M ].

3. c [M , N ] = c [MN , N ] = c [M , N M ] = c [MN , N M ].

4. c [M , N ] = ‖PMPN − PM∩N‖ = ‖PMPNM‖ = ‖PMPNP(M∩N )⊥‖. En particular,

si M∩N = 0 , se tiene que c [M , N ] = ‖PMPN‖ . (8.1)

Demostracion. Los dos primeros enunciados se deducen facilmente de las definiciones. Elcoseno c [MN , N ] se calcula con vectores

x ∈ (MN )N =MN e y ∈ N (MN ) = N .

Observar que, si y = y1 + y2 ∈ N con y1 ∈ N M e y2 ∈M∩N , entonces 〈x, y〉 = 〈x, y1〉.Mirado con atencion, esto prueba 3. Para probar 4, asumamos en principio queM∩N = 0.Observar que ‖PMPN‖ se realiza con vectores x ∈ N1 . Para un tal x, si PM x 6= 0, entonces

‖PMPN x‖ = ‖PM x‖ =

⟨PM x

‖PM x‖, x

⟩≤ c [M , N ] .

248

Esto prueba la desigualdad c [M , N ] ≥ ‖PMPN‖. Ahora bien, dados y ∈ M1 y x ∈ N1 ,se tiene (por Cauchy-Schwarz) que

|〈y, x〉| = |〈y, PM x〉| ≤ ‖y‖ 〈PM x, PM x〉1/2 = ‖PMPN x‖ ≤ ‖PMPN‖ ,

lo que prueba la desigualdad recıproca. Veamos ahora el caso en queM∩N 6= 0. Usando3 y el caso anterior, sabemos que c [M , N ] = c [M , N M ] = ‖PMPNM‖. Las otrasdos identidades se deducen de que PNM = PN − PN∩M = PN (I − PN∩M).

Observacion 8.2.4. La igualdad c [M , N ] = c [MN , N ] tiene su lado bueno y sulado malo. Lo bueno, como decıamos antes, es que permite calcular angulos entre paresarbitrarios de subespacios cerrados, y siempre reducirse al caso en que estos no se cortan.Lo malo es que en general, cuando los subespacios son muy especıficos (nucleos, sumas, etc),se hace dificultoso muchas veces calcular efectivamenteMN (que es donde hay que hacerlos productos escalares, o calcular distancias como veremos enseguida).

Y ademas pasan cosas raras, poco intuibles. Un ejemplo de cosa rara es que es falso queM ⊆ S =⇒ c [M , N ] ≤ c [S , N ], como uso supondrıa si calcula los productos internossin tener cuidado. Sin ir mas lejos, si S = N +M, entonces c [S , N ] se hace cero, mientrasque c [M , N ] era cualquier cosa. En general, al agrandarM puede surgir sorpresivamentemas interseccion con N , lo que al ser restado puede generar problemas.

El uso de angulos y sus propiedades, una vez sistematizadas, simplifica drasticamente muchasdemostraciones en diversos campos de la Teorıa de operadores. Y al simplificar, permitetambien conseguir resultados nuevos. Pero hay que ser cuidadoso, porque la intuicion erradaque mencionamos mas arriba suele generar excesos de opitimismo en las cuentas.

Un hecho sorprendente es que el subespacioMN que hay que usar para calcular c [M , N ],muchas veces coincide “magicamente” con subespacios que tienen pleno sentido conceptualen las aplicaciones, y esto hace que las complicaciones que uno teme desaparezcan, o masbien hasta ayuden. Esto se ira viendo paulatinamente el las diversas aplicaciones que iremoshaciendo de esta teorıa en los suscesivos capıtulos de estas notas. 4

Ahora daremos caracterizaciones del s [M , N ] en terminos de distancias: Recordemos quedados X, Y ⊆ H, su distancia se calcula como

d (X, Y ) = inf‖x− y‖ : x ∈ X e y ∈ Y

.


s [M , N ] = d (M1 ,N M) = d (N1 ,MN ) = d ( (N M)1 ,M) .

Si M∩N = 0, tenemos que s [M , N ] = d (M1 , N ) = d (N1 ,M) y basta.

249

Demostracion. Por la Prop. 8.2.3, podemos asumir que M∩ N = 0. Por la definiciondel seno y la Prop. 8.2.3, se tiene que s [M , N ]2 = 1 − ‖PMPN‖2. Por otro lado, comod (x , N ) = ‖PN⊥ x‖ (mostrarlo con un dibujo), para todo x ∈ H tenemos que

d (M1 ,N )2 = inf‖PN⊥ x‖2 : x ∈M1 = inf1− ‖PN x‖2 : x ∈M1

= 1− sup‖PN x‖2 : x ∈M1 = 1− ‖PNPM‖2 = 1− ‖PMPN‖2,

lo que pruba la igualdad anunciada.

Observacion 8.2.6. Sean M,N v H. Supongamos que dimN < ∞. Entonces N1 escompacta, y por lo tanto 0 < d (N1 ,MN ) = s [M , N ], o sea que c [M , N ] < 1. ElCorolario de abajo dara una prueba alternativa del conocido resultado de que, en este caso,M+N v H. Sin embargo, si ambos subespacios tienen dimension infinita, bien puede pasarque M y N tengan “angulo nulo” aunque M∩N = 0 (ver el Ejem. 8.4.8).

Corolario 8.2.7. Dados M,N v H, las siguientes condiciones son equivalentes:

i. M+N v H.

ii. c [M , N ] < 1.

iii. Existe c0 > 0 tal que, si x ∈M e y ∈ N M, entonces ‖x+ y‖ ≥ c0‖x‖.De hecho, la mejor constante para iii es c0 = s [M , N ].

Demostracion. Podemos suponer que M∩N = 0, ya que M + N = M + (N M) yc [M , N ] = c [M , N M ]. Observar que, por la Prop. 8.2.5,

c0def= max

c ≥ 0 : ‖x+ y‖ ≥ c‖x‖ para todo par x ∈M, y ∈ N

= ınf

‖x+ y‖ : x ∈M1 , y ∈ N

= d (M1 , N ) = s [M , N ] .

Si c0 > 0, y nos dan un sucesion M+N 3 xn + yn −−−→n→∞

z ∈M+N , tenemos que

‖xn − xm‖ ≤ c−10 ‖xn + yn − xm − ym‖ −−−−→

n,m→∞0 ,

es decir que la sucesion (xn) es de Cauchy. ComoMv H, existe x ∈M tal que xn −−−→n→∞

x.

Por ello yn −−−→n→∞

z − x ∈ N . Entonces z ∈M+N .

Reciprocamente, si M⊕N v H, la poryeccion PM/N de M⊕N sobre M dada por

PM/N (x+ y) = x , para x ∈M e y ∈ Nes acotada (esto es el Cor. 2.7.2, que necesita que el dominio M⊕ N v H para que seaBanach). Por ende, podemos tomar c0 = ‖PM/N‖−1 > 0.

Corolario 8.2.8 (Ljance-Ptak). Sean M, N v H, tales que M⊕N = H. Tomemos laproyeccion oblicua PM/N ∈ L(H) sobre M con kerPM/N = N . Luego

‖PM/N‖ =(

1− ‖PM PN‖2)−1/2

=(

1− c [M , N ])−1/2

= s [M , N ]−1 . (8.2)

Demostracion. La formula (8.2) se deduce de la prueba anterior. Comparar con el Ejer. 2.7.3en espacios de Banach.

250

8.3 Seudoinversas

Definicion 8.3.1. Dados A ∈ L(H1,H2) y B ∈ L(H2,H1), decimos que B es seudoinversade A si

ABA = A y BAB = B .

Llamaremos SI(A) = B ∈ L(H2,H1) : B es seudonversa de A. 4

Teorema 8.3.2. Sea A ∈ L(H1,H2).

1. Si B ∈ SI(A), entonces

(a) AB es un proyector (oblicuo) con R(AB) = R(A).

(b) BA es un proyector (oblicuo) con ker(BA) = kerA.

2. Se tiene que R(A) v H2 si y solo si SI(A) 6= ∅.

3. En tal caso, para cada par de proyectores P ∈ P(H2), Q ∈ P(H1) tales que

R(P ) = R(A) y kerQ = kerA ,

existe un unico B ∈ SI(A) tal que AB = P y BA = Q.

Demostracion.

1. Sea B ∈ SI(A). Entonces

(BA)2 = BABA = BA y (AB)2 = ABAB = AB.

Es claro que R(AB) ⊆ R(A). Pero tambien R(A) = R(ABA) ⊆ R(AB). Por otraparte, kerA ⊆ kerBA ⊆ kerABA = kerA.

2. Si B ∈ SI(A), entonces R(A) = R(AB) v H2 , porque es la imagen de un proyector(eso se vio en aquella Obs. 2.7.1). La recıproca se deducira del item 3, aplicado a losproyectores P = PR(A) y Q = I − PkerA .

3. Si R(A) v H2 , y nos dan dos proyectores oblicuos P ∈ P(H2) y Q ∈ P(H1) tales queR(P ) = R(A) y kerQ = kerA, llamemos S = kerP y T = R(Q) v H1 .

Nos queda la descomposicion H1 = kerA ⊕ T , y por ende A∣∣T ∈ L(T , R(A) ) es

inversible. Llamemos B0 ∈ L(R(A) , T ) a su inversa, que es acotada por el TFI 2.3.4.Definamos ahora el operador lineal

B : H2 = S ⊕R(A)→ kerA⊕ T = H1 dado por B(x⊕ y) = B0 y , (8.3)

para x ∈ S and y ∈ R(A). Observar que B ∈ L(H2,H1). En efecto, tenemos que‖B‖ ≤ ‖B0‖ ‖P‖ <∞, ya que B(z) = B0(Pz) para todo z ∈ H2 .

Calculos elementales muestran que este B ∈ SI(A), AB = P y BA = Q. Veamosahora la unicidad: Si C ∈ SI(A) tambien cumple que AC = P y CA = Q, entoncespodemos hacer C = C(AC) = CP = CAB = QB = BAB = B.

251

Definicion 8.3.3. Dado A ∈ L(H1,H2) con rango cerrado, se llama A† ∈ L(H2,H1) alunico elemento de SI(A) tal que A†A y AA† son proyectores autoadjuntos. A† es conocidacomo la seudoinversa de Moore-Penrose de A. 4

Corolario 8.3.4. Dado T ∈ L(H1,H2), se verifican:

1. R(T ) es cerrado si y solo si R(T ∗) es cerrado.

2. SI(T ∗) = B∗ : B ∈ SI(T ).

3. (T ∗)† = (T †)∗.

Demostracion. La igualdad SI(T ∗) = B∗ : B ∈ SI(T ) se deduce directamente de ladefinicion de seudoinversa. Luego la primera parte es consequencia del Teorema 8.3.2. Laultima, del hecho de que (T †)∗ verifica las condiciones de la definicion de (T ∗)†.

La siguiente Proposicion, cuya prueba es semi trivial, es interesante porque describe en quesentidos T †b es la mejor solucion posible para la ecuacion Tx = b.

Proposicion 8.3.5. Sea T ∈ L(H1 , H2) tal que R(T ) v H2 , y sea b ∈ H2 . Entonces elvector x = T †b ∈ H1 cumple las siguientes condiciones:

1. Si b0 = Tx, entonces ‖b− b0‖ = d (b , R(T ) ), o sea que b0 = Tx es lo mas cerca de “b”que se puede llegar a traves de T .

2. El vector x es el mas chico de los que van por T a b0 . O sea que

‖x‖ = min‖z‖ : z ∈ H1 y Tz = b0

.

Demostracion. Es otra manera de decir que TT † = PR(T ) y T †T = I − PN(T ) .

Proposicion 8.3.6. Sea T ∈ L(H1 , H2) tal que R(T ) v H2 . Entonces

‖T †‖ = min ‖B‖ : B ∈ SI(T ) .

Demostracion. Sea B ∈ SI(T ). Dado y ∈ R(T ), sea x ∈ N(T )⊥ el unico tal que Tx = y.Entonces x = T †Tx = T †y. Pero tambien tenemos que y = Tx = TBTx = T (By), y por lotanto By − x ∈ N(T ). Esto muestra, vıa Pitagoras, que

‖By‖2 = ‖x+ (By − x)‖2 ≥ ‖x‖2 = ‖T †y‖2 .

Si me dan ahora un z ∈ H2 con ‖z‖ = 1, lo parto z = y + w con y ∈ R(T ) y w ∈ R(T )⊥.Entonces tengo que ‖y‖ ≤ 1 y que ‖T †y‖ ≤ ‖By‖ (por lo de arriba). Por lo tanto

‖T †z‖ = ‖T †(TT †z)‖ = ‖T †y‖ ≤ ‖By‖ ≤ ‖B‖ ‖y‖ ≤ ‖B‖ .

Tomando supremo sobre tales z, me da que ‖T †‖ ≤ ‖B‖.

252

Observacion 8.3.7. Sea Q =

[1 01 0

]∈ L(C2), que es un proyector oblicuo tal que

N(Q)⊥ = R(Q†) = span e1. Tomemos P =

[1 00 0

]. Como PQ = P y QP = Q, se

tiene que P ∈ SI(Q), pero no es la seudoinversa de Moore-Penrose de T . Sin embargo,1 = ‖P‖ es menor que la norma de cualquier otro proyector sobre span e1. ¿Que pasa?

Ejemplos 8.3.8.

1. Si A ∈ Gl(H), entonces SI(A) = A−1. En particular, A† = A−1.

2. Si A ∈ L(H1 , H2) es suryectivo, entonces SI(A) coincide con el conjunto de inversasa derecha de A, porque si AB = I, entonces ABA = A y BAB = B. La recıproca valepor la Prop. 8.3.2. Es facil ver ademas que A† = A∗(AA∗)−1.

3. En cambio, si A es inyectivo y R(A) v H2 , se tiene que

SI(A) = B ∈ L(H2 , H1) : BA = I y A† = (A∗A)−1A∗ .

Esto se deduce de que A∗ es suryectivo.

4. Si U ∈ L(H) es una isometrıa parcial (i.e., U es isometrico en (kerU)⊥), entonces setiene que U † = U∗.

5. Si A ∈ L(H) es normal y R(A) v H, entonces A conmuta con A†. Mas en detalle, sillamamos A0 = A

∣∣R(A)∈ L(R(A) ), se tiene que A0 ∈ Gl (R(A) ) ,

A =

[A0 00 0

]R(A)kerA

y A† =

[A−1

0 00 0

]R(A)kerA

. (8.4)

6. Si A ∈ L(H) y S ∈ Gl(H), entonces

SI(SAS−1) = SBS−1 : B ∈ SI(A),

pero no es facil averiguar quien es (SAS−1)† (si es que existe).

7. Si A ∈ L(H) tiene R(A) v H, y V,W ∈ U(H), entonces (V AW )† = W ∗A†V ∗.

8. Si A ∈ Mn(C) es una matriz diagonal A = diag (x) para cierto x ∈ Cn, entoncesA† = diag

(x†), donde x† ∈ Cn esta dado por x†i = x−1

i si xi 6= 0 o x†i = 0 si xi = 0.

9. Sea A ∈Mn(C) con rk(A) = k. Si V,W ∈ U(n) verifican A = W ∗Σ(A)V , entonces,

A† = V ∗Σ(A)†W = V ∗diag(s1(A)−1, . . . , sk(A)−1, 0, . . . , 0

)W .

Esto se deduce de los dos items anteriores. 4

253

Dados A,B ∈ Gl (H), suele ser muy util (sobre todo para hacer acotaciones) la identidad

A−1 −B−1 = A−1(B − A)B−1 .

Con las seudoinversas de Moore Penrose no vale una formula tan linda, pero algo hay:

Proposicion 8.3.9. Sean A,B ∈ A(H), ambos con rango cerrado. Entonces:

B† − A† = −B†(B − A)A† + (I −B†B)(B − A)(A†)2 + (B†)2(B − A)(I − AA†).

En particular, si R(B) ⊆ R(A),

B† − A† = −B†(B − A)A† + (I −B†B)(B − A)(A†)2.

Demostracion. Ejercicio.

8.4 Modulo mınimo

Definicion 8.4.1. Dado T ∈ L(H1,H2), llamaremos modulo mınimo de T al numero

γ(T )def= inf

‖Tx‖ : x ∈ ker(T )⊥, ‖x‖ = 1

. (8.5)

Cuando T = 0, usaremos la convencion γ(T ) =∞. 4

Proposicion 8.4.2. Sea T ∈ L(H1 , H2).

1. Si T es inversible, se tiene que γ(T ) = ‖T−1‖−1.

2. Si B ∈ L(H2 , H3) es inversible, entonces el γ(BT ) se acota por ambos lados:

‖B−1‖−1 γ(T ) = γ(B)γ(T ) ≤ γ(BT ) ≤ ‖B‖γ(T ) . (8.6)

Demostracion. Si T es invertible, entonces N(T ) = 0 y, por definicion,

γ(T ) = min‖Tx‖ : ‖x‖ = 1 =(

max ‖y‖ : ‖Ty‖ = 1)−1

=(

max ‖T−1z‖ : ‖z‖ = 1)−1

= ‖T−1‖−1 .

Por otro lado, si ahora B es el inversible, tenemos que N(BT ) = N(T ). Como N(B) = 0,cualquiera sea el x ∈ N(T )⊥ = N(BT )⊥ (no importa donde caiga Tx), tenemos que

γ(B)‖Tx‖ ≤ ‖BTx‖ ≤ ‖B‖ ‖Tx‖ .

Tomando ınfimo en (N(T )⊥)1 , obtenemos que γ(B)γ(T ) ≤ γ(BT ) ≤ ‖B‖γ(T ).

Proposicion 8.4.3. Sea T ∈ L(H1,H2). Entonces

254

1. Se tiene la equivalencia R(T ) v H2 ⇐⇒ γ(T ) > 0.

2. En tal caso, γ(T ) = γ(T ∗) = ‖T †‖−1.

Demostracion. La primera parte es una cuenta usual de operadores, y se deja como ejercicio.Pasa por ver que γ(T ) > 0 ⇐⇒ T |(kerT )⊥ es AI y recordar (2.25). Si ahora asumimos queR(T ) v H2 y que T 6= 0, la construccion de (6.28) dice que

T †∣∣R(T )

: R(T )→ ker(T )⊥ es la inversa de T∣∣ker(T )⊥

: ker(T )⊥ → R(T ) .

Por lo tanto, la Prop. 8.4.2 nos asegura que

γ(T ) = γ(T∣∣ker(T )⊥

)=∥∥∥T †∣∣

R(T )

∥∥∥−1

.

Pero como kerT † = R(T )⊥, tenemos que ‖T †∣∣R(T )‖ = ‖T †‖. Finalmente, el Cor. 8.3.4 dice

que (T ∗)† = (T †)∗, por lo que

γ(T ∗) = ‖(T ∗)†‖−1 = ‖(T †)∗‖−1 = ‖T †‖−1 = γ(T ) ,

como querıamos demostrar.

Proposicion 8.4.4. Sean A y B ∈ L(H)+ tales que 0 6= A ≤ B pero R(A) = R(B) v H.Entonces γ(A) ≤ γ(B). Ademas se tiene que

R(A) v H =⇒ γ(A) = minλ ∈ σ(A) : λ 6= 0

. (8.7)

Demostracion. El hecho de que S = R(A) = R(B) v H dice que S⊥ = kerA = kerB y que

A =

[A0 00 0

]S

kerA, B =

[B0 00 0

]S

kerB.

Ademas, se tiene que A0 ≤ B0 ambos en Gl(S)+. Por el Cor. 6.6.3, podemos deducr que

0 < B−10 ≤ A−1

0 =⇒ γ(A) = γ(A0) = ‖A−10 ‖−1 ≤ ‖B−1

0 ‖−1 = γ(B0) = γ(B) .

Pero σ(A0)(6.28)=

λ ∈ σ(A) : λ 6= 0

y ‖A−1

0 ‖ = ρ(A−10 ) = max

λ−1 : λ ∈ σ(A) \ 0

. Al

volver a invertir obtenemos la Ec. (8.7).

Observacion 8.4.5. Si no asumimos la hipotesis de que R(A) = R(B), en general es falsoque 0 ≤ A ≤ B =⇒ γ(A) ≤ γ(B). Sugerimos pensar un contraejemplo (deberıa salirrapidito, no vale A = 0). 4

Corolario 8.4.6. Sea T ∈ L(H1,H2). Entonces

γ(T ) = γ( |T | ) = γ(T ∗ T )1/2 .

255

Demostracion. Sea T = U |T | la DP de T . Recordemos que, como decıa la Ec. (4.28),

‖T x‖ = ‖ |T |x‖ para todo x ∈ H1 =⇒ kerT = ker |T | .

Luego la igualdad γ(T ) = γ( |T | ) se deduce de las definiciones. Por otra parte, la Prop. 6.1.7asegura que T ∗T = |T |2 =⇒ σ(T ∗ T ) = σ( |T | )2. Entonces, si R( |T | ) v H1 , podemosdeducir la igualdad γ(T ∗ T ) = γ( |T | )2 de la Ec. (8.7). En caso contrario ambos dan 0.

Ejercicio 8.4.7.

1. Sea A ∈ A(H) que no es inversible. Usando (6.16) y la Prop. 6.5.8 probar que

R(A) v H ⇐⇒ el 0 ∈ σ(A) es punto aislado . (8.8)

2. Sea ahora T ∈ L(H) no inversible. Probar que

R(T ) v H ⇐⇒ 0 es aislado en σ( |T |). (8.9)

En realidad la Ec. (8.8) vale para todo T ∈ L(H) (sin pedir que T ∗ = T ). Pero laprueba es difıcil con las herramientas que tenemos aca. Probarlo para T normal. 4

Ejemplos 8.4.8. 1. Sea H = `2(N) y T ∈ L(H) dado por

T (x) =(x1,

x2

2, . . . ,

xnn, . . .

), x ∈ `2(N) . (8.10)

Es evidente que ‖T‖ = 1 y que kerT = 0. Ademas, si enn∈N es la base canonicade `2(N), tenemos que

‖Ten‖ =∥∥∥enn

∥∥∥ =1

n−−−→n→∞

0 =⇒ γ(T ) = 0 .

Por lo tanto R(T ) 6v `2(N).

2. Tomemos los subespacios M = `2(N)⊕ 0 v `2(N)⊕ `2(N) y

N = Gr(T ) =

(x, Tx) : x ∈ `2(N)v `2(N)⊕ `2(N) ,

donde T es el operador definido en (8.10). El hecho de que kerT = 0 dice queM∩N = 0. Por lo tanto,

s [M , N ] = d (M1 ,N ) = inf(x,0)∈M1

d ( (x, 0),Gr(T ) )

≤ inf(x,0)∈M1

‖(0, Tx)‖ = infx∈H1

‖Tx‖ = γ(T ) = 0 .

Esto nos dice que c [M , N ] = 1, y por ende M⊕N no es un subespacio cerrado,aunque ambos subespacios son cerrados y se cortan solo en 0. 4

256

Proposicion 8.4.9. Sean M,N v H tales que PM⊥PN 6= 0 (o sea N 6⊆ M). Entonces

γ(PM⊥PN ) = s [M , N ] .

Demostracion. Llamemos R =M⊥. Como ker(PRPN ) = N⊥ ⊕ (N ∩M), se tiene que

ker(PRPN )⊥ = N ∩ (N ∩M)⊥ = N M.

Luego, por la Prop. 8.2.3 y la definicion del modulo mınimo,

γ(PRPN ) = infx∈(NM)1

‖PRx‖ = infx∈(NM)1

d (x,M) = d ( (N M)1,M) = s [M , N ] ,

donde su usa nuevamente que d (x,M) = ‖PM⊥ x‖, para cualquier x ∈ H.

El resultado anterior es interesante porque relaciona ajustadamente gamas y angulos, perolo es mas aun porque tiene las siguientes importantes consecuencias:


c [M , N ] = c[M⊥ , N⊥

].

Demostracion. Sabemos, por la Prop. 8.4.3, que para cada T ∈ L(H) se verifica que γ(T ) =γ(T ∗). Luego, aplicando la Prop. 8.4.9, nos queda que

s[M⊥ , N⊥

]= γ(PMPN⊥) = γ( (PMPN⊥)∗) = γ(PN⊥PM) = s [N ,M ] = s [M , N ] .

Por lo tanto, tambien c [M , N ] = c[M⊥ , N⊥

]. En los casos en que la Prop. 8.4.9 no se

puede aplicar (i.e. N ⊆M o vive versa), el enunciado es trivial.

Proposicion 8.4.11. Sean A,B ∈ L(H) tales que R(A) y R(B) son cerrados. Entonces

R(AB) v H ⇐⇒ c [ kerA , R(B) ] < 1 .

Demostracion. Si AB = 0 es obvio. Sino, llamemos M = kerA⊥ y N = R(B). Notar queA∣∣M :M→ R(A) es un iso, porque R(A) v H. Luego, un subespacio S ⊆ M cumple que

S vM ⇐⇒ A∣∣M(S) v R(A) ⇐⇒ A

∣∣M(S) v H. Por lo tanto,

R(AB) = A(N ) = A∣∣M(PM(N ) ) v H ⇐⇒ PM(N ) = R(PMB) = R(PMPN ) vM .

Pero por la Prop. 8.4.9 (que se puede aplicar porque AB 6= 0 =⇒ PM(N ) 6= 0),

γ(PMPN ) = s[M⊥ , N

]= s [ kerA , R(B) ] > 0 ⇐⇒ c [ kerA , R(B) ] < 1 .

El resultado se sigue, ahora, de la Prop. 8.4.3.

A continuacion daremos una generalizacion de la Prop. 8.4.9, que sera muy util mas adelante.La prueba es parecida, aunque un poco mas cuidadosa.

257

Proposicion 8.4.12. Sean T ∈ L(H1 , H2) y Mv H1 tales que TPM 6= 0. Entonces

γ(T ) s [N(T ) ,M ] ≤ γ(TPM) ≤ ‖T‖ s [N(T ) ,M ] . (8.11)

Demostracion. Observar que N(TPM) =M⊥ ⊥M∩N(T ). Luego

N(TPM)⊥ =M∩ (M∩N(T ) )⊥ =M (M∩N(T ) ) =MN(T ) .

Por lo tanto, si x ∈MN(T ) y ‖x‖ = 1, tenemos que

‖TPMx‖ = ‖Tx‖ = ‖T (PN(T )⊥ x)‖

≥ γ(T )‖PN(T )⊥ x‖ = γ(T ) d (x,N(T ) )

≥ γ(T ) s [N(T ) ,M ] ,

donde la ultima desigualdad se deduce que s [N(T ) ,M ] = d(

(MN(T ) )1 , N(T ))

, como

asegura la Prop. 8.2.5. Tomando mınimo sobre los vectores unitarios de N(TPM)⊥, deduci-mos que

γ(TPM) ≥ γ(T ) s [N(T ) ,M ] .

La otra desigualdad de (8.11) se deduce de que ‖Ty‖ = ‖TPN(T )⊥ y‖ ≤ ‖T‖ ‖PN(T )⊥ y‖ paratodo y ∈ H1 , de que N(TPM) = N(PN(T )⊥ PM) y de la Prop. 8.4.9.

Observacion 8.4.13. Con las mismas ideas puede probarse la siguiente formula, que gen-eraliza la Prop. 8.4.12: Dados A ∈ L(H2 , H3) y B ∈ L(H1 , H2) tales que AB 6= 0,

γ(A)γ(B) s [ kerA , R(B) ] ≤ γ(AB) ≤ ‖A‖ ‖B‖ s [ kerA , R(B) ] .

En particualr, si A y B son isometrıas parciales, (o sea γ(A) = ‖A‖ = 1 = γ(B) = ‖B‖),entonces s [ kerA , R(B) ] = γ(AB). 4

Antes de leer el siguiente resultado, sugerimos hacer unos dibujos (no en este papel): Primerodos rectas (por el origen) N yM en R2. Luego agarrar un punto, e ir aplicandole sucesiva-mente PN y PM . Se vera que uno se va acercando a cero, mas despacito en tanto el anguloentre N yM sea mas pequeno. Ahora, extrapolar este dibujo al caso en que N yM son dosplanos en R3. Ahı adonde uno se acerca es a la recta N ∩M, y moviendose siempre dentrode un plano ortogonal a ella. Ahora sı, leamos la siguiente generalizacion (cuantitativa) desus dibujos:

Proposicion 8.4.14. Sean P y Q dos proyectores ortogonales en P(H). Entonces

‖(PQ)k − P ∧Q‖ = c [R(P ) , R(Q) ]2k−1 , para todo k ∈ N ,

donde P ∧Q es la proyeccion ortogonal sobre R(P ) ∩R(Q). En particular,

(PQ)k‖·‖−−−→k→∞

P ∧Q ⇐⇒ c [R(P ) , R(Q) ] < 1 .

258

Demostracion. Sean E = P − P ∧ Q = P (I − P ∧ Q) y F = Q − P ∧ Q. Observar queI − P ∧Q comnuta tanto con P como con Q (porque P ∧Q lo hace). Luego,

‖(PQ)k − P ∧Q‖2 = ‖(PQ)k(1− P ∧Q)‖2 = ‖(EF )k‖2

= ‖(FE)k(EF )k‖ = ‖(FEF )2k−1‖ = ‖FEF‖2k−1.

Por otro lado, usando la Prop. 8.2.3 y el hecho de que R(E) ∩ R(F ) = 0, se tiene que‖FEF‖ = ‖EF‖2 = c [R(E) , R(F ) ]2 = c [R(P ) , R(Q) ]2. Por lo tanto

‖(PQ)k − P ∧Q‖2 = c [R(P ) , R(Q) ]2(2k−1) ,

lo cual concluye la demostracion.

Ejercicio 8.4.15. SeanM, N v H tales queM∩N 6= 0 y c [M , N ] < 1. Supongamosque tenemos un subespacio

V v N tal que V ∩M = 0 pero V ⊕M = N +M .

Probar que entonces se tiene

s [M , N ] = s [M , N M ] ≥ s [M , V ] .

Observar que N M es un tal V . Pero lo interesante es la desigualdad para otros V . Sepodrıa refrasear el ejercicio como sigue: s [M , N ] es el maximo de los senos entreM y lossuplementos de M en M+N que estan contenidos en N .

Sug: Probar primero que si x ∈ N entonces, como N = N ∩M ⊥ N M, se tiene que

x = PN∩M x+ PNM x ∈ PNM x+M =⇒ d (x ,M) = d (PNM x ,M) .

Luego usar la Prop. 8.2.5 para calcular los senos. Tambien debe usarse que

V1 3 y 7→PNM y

‖PNM y‖∈ (N M)1 ,

ademas de bien definida es biyectiva (sobre todo que es sobre). 4

259

Capıtulo 9

Complementos de Schur deoperadores positivos

9.1 Factorizacion e inclusiones de rangos.

El siguiente resultado, extraido del trabajo [96] de R. Douglas de 1966, sera de una her-ramienta escencial en todo lo que sigue de estas notas, en las que se lo citara (muchısimasveces) como el Teorema de Douglas .

Teorema 9.1.1 (Douglas). Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3). Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

1. R(A) ⊆ R(B).

2. Existe λ ∈ R+ tal que AA∗ ≤ λBB∗.

3. Existe C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC.

En tal caso, exite un unico

C ∈ L(H1,H2) tal que A = BC y R(C) ⊆ R(B∗) = kerB⊥ .

Esta solucion satisface, ademas, las siguentes propiedades:

i) kerC = kerA

ii) ‖C‖2 = minλ ∈ R+ : AA∗ ≤ λBB∗

Demostracion.

3 ⇒ 1) Es claro.

3 ⇒ 2) Como todo D ∈ L(H3)+ verifica que D ≤ ‖D‖I, se tiene que

AA∗ = BCC∗B∗ ≤ ‖CC∗‖BB∗ .

260

2 ⇒ 3) La condicion AA∗ ≤ λBB∗ es equivalente a que ‖A∗x‖ ≤ λ1/2‖B∗x‖ para todox ∈ H3 . En particular, ker(B∗) ⊆ ker(A∗). Por lo tanto, es correcto definir

T : R(B∗)→ R(A∗) dado por T (B∗x) = A∗x para x ∈ H3 .

Es claro que T esta bien definido y es lineal. Como ‖A∗x‖ ≤ λ1/2‖B∗x‖ para todox ∈ H3 , deducimos que T es acotado (con ‖T‖ ≤ λ1/2). Extendemos T (manteniendosu nombre) a R(B∗) por continuidad y luego a todo H2 como cero en R(B∗)⊥. Quedaque T ∈ L(H2,H1), y sigue valiendo que ‖T‖ ≤ λ1/2. Es claro que A∗ = TB∗, lo cualmuestra que el operador que estamos buscando es C = T ∗ ∈ L(H1,H2). Notar queeste C que construimos cumple R(C) ⊆ kerT ⊥ ⊆ R(B∗) = kerB ⊥.

1 ⇒ 3) La condicion R(A) ⊆ R(B) permite asegurar que para todo x ∈ H1 existe un unicoy ∈ kerB ⊥ tal que Ax = By. Definamos C : H1 → H2 como Cx = y. Para ver queC ∈ L(H1,H2) basta verificar que su grafico es cerrado. Sea (xn, yn)n∈N una sucesionde puntos en el grafico de C tal que xn −−−→

n→∞x e yn −−−→

n→∞y . Luego

Ax = limn→∞

Axn = limn→∞

Byn = By

es decir (x, y) pertenece al grafico de C.

Es claro que la inclusion R(C) ⊆ R(B∗) = kerB ⊥ identifica univocamente al operador C,puesto que BC = A y B es inyectivo en kerB ⊥. Observar que tanto el C construido en(1⇒ 3) como el construido en (2⇒ 3) cumplen esa inclusion, y por ende coinciden.

Verifiquemos ahora este C satisface (i) y (ii). Como, A = BC, vemos que kerC ⊆ kerA.Pero si x ∈ kerA, entonces el unico y ∈ kerB ⊥ tal que By = Ax = 0 es y = 0, por lo queCx = 0 (el C de 1⇒ 3). Esto muestra que kerA ⊆ kerC.

Por otro lado, vimos en (2⇒ 3) que ‖C‖ = ‖T‖ ≤ λ1/2, para todo λ tal que AA∗ ≤ λBB∗.La otra desigualdad es clara, puesto que AA∗ = BCC∗B∗ ≤ ‖C‖2BB∗.

Corolario 9.1.2. Sea A ∈ L(H1 , H2). Entonces R(|A∗|) = R(A).

Demostracion. Dado que AA∗ = |A∗|2, usando la equivalencia entre (1) y (2) del Teo. 9.1.1se tiene que R(|A∗|) = R(A).

Definicion 9.1.3. Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) tales que R(A) ⊆ R(B). Llamare-mos solucion reducida (o SR) de la ecuacion A = BX al unico operador C ∈ L(H1,H2)tal que A = BC y R(C) ⊆ kerB⊥, que exhibe el Teo. 9.1.1. 4

Observacion 9.1.4. Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3) tales que R(A) ⊆ R(B). SeaP ∈ L(H2) la proyeccion ortogonal sobre kerB⊥. Entonces, para todo C ∈ L(H1,H2) talque BC = A, se tiene que PC es la SR de la ecuacion BX = A. En efecto, como BP = By R(PC) ⊆ R(P ), la prueba es inmediata. Observar que esto dice que la SR el la mas chica(en norma) de todas las soluciones de la ecuacion BX = A (porque ‖P‖ ≤ 1). 4

Ejercicios 9.1.5. Sean A ∈ L(H1,H3) y B ∈ L(H2,H3).

261

1. Probar queR(A) +R(B) = R( (AA∗ +BB∗)1/2) .

2. Supongmos que R(A) ⊆ R(B), sea C la SR de la ecuacon BX = A, y sea D otrasolucion. Entonces

‖Cξ‖ ≤ ‖Dξ‖ para todo ξ ∈ H1 .

En particular, ‖C‖ es mınima entre dichas soluciones.

3. Supongmos que R(A) ⊆ R(B) v H3 . Sea B† la seudoinversa de Moore-Penrose de B(ver Def. 8.3.3). Entonces la SR de la ecuacion BX = A es C = B†A.

4. Observar que B† es la SR de la ecuacion BX = PR(B) .

5. Mas generalmente, si P es un proyector (oblicuo) tal que R(P ) = R(B) y C es la SRde BX = P , entonces C ∈ SI(B) y CB es un proyector ortogonal.

6. Usar lo anterior para dar otra prueba de la Prop. 8.3.6.

9.2 Operadores definidos positivos.

Proposicion 9.2.1. Sea A ∈ L(H)+. Entonces su raiz A1/2 cumple que

1. Nucleos: kerA(4.27)= kerA1/2.

2. Imagenes: R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(A).

3. Si R(A) 6v H (o sea no es cerrado), entonces R(A) 6= R(A1/2) 6= R(A).

Demostracion. Los ıtems 1 y 2 son inmediatos. Supongamos que R(A) = R(A1/2). Fijadoun x ∈ (kerA)⊥, debe existir un y ∈ (kerA)⊥ tal que A1/2 x = Ay = A1/2 (A1/2 y).

Como tambien A1/2 y ∈ R(A1/2) ⊆ (kerA)⊥ y A1/2 es mono allı, deducimos que A1/2 y = x.Pero esto implica que R(A1/2) = (kerA)⊥ v H. Como asumıamos que R(A) = R(A1/2),entonces tambien R(A) v H.

Corolario 9.2.2. Sean A , B ∈ L(H)+ y S v H. Luego si

A ≤ B y R(B) ⊆ S =⇒ R(A) ⊆ S . (9.1)

Demostracion. Apliquemos Douglas 9.1.1 a A1/2 y B1/2. Como A ≤ B deducimos que

R(A) ⊆ R(A1/2) ⊆ R(B1/2) ⊆ S ,

donde el ultimo ⊆ surge de que R(B1/2) ⊆ R(B) ⊆ S, porque S era cerrado.

262

Proposicion 9.2.3. Sea S v H, y consideremos un operador

M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+ .

Entonces R(B) ⊆ R(D1/2) y R(B∗) ⊆ R(A1/2).

Demostracion. Como A ∈ L(S)+, tenemos que A+ IS ∈ Gl (S)+. Con un pequeno abuso denotacion, llamemos (A+ IS)−1 a su inversa en L(S). Por cuentas elementales tenemos que

0 ≤[

IS 0−B(A+ IS)−1 IS⊥

] [A+ IS B∗

B D

] [IS −(A+ IS)−1B∗

0 IS⊥

]=

[A+ IS 0

0 D −B(A+ IS)−1B∗

]=⇒ B(A+ IS)−1B∗ ≤ D .

Por el Teo. 9.1.1, deducimos que R(B) = R(B(A + IS)−1/2) ⊆ R(D1/2). El hecho de queR(B∗) ⊆ R(A1/2) se prueba usando lo anterior para S⊥ en ves de S.

Proposicion 9.2.4. Sean S v H y M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+ . Luego, si

C ∈ L(S,S⊥) es la SR de B = D1/2X =⇒ A ≥ C∗C en L(S) .

Mas aun, para todo x ∈ S, existe una sucesion (yn)n∈N en S⊥ tal que

⟨(A− C∗C)x , x

⟩= lim

n∈N

⟨M

[xyn

],

[xyn

]⟩. (9.2)

Demostracion. Obsevar que M =

[A− C∗C 0

0 0

]+

[C∗C B∗

B D

]. Recordemos que, por

ser C la SR de B = D1/2X, se tiene que R(C) ⊆ R(D1/2). Luego, para cada x ∈ S, existeuna sucesion (yn)n∈N en S⊥ tal que D1/2yn −−−→

n→∞−Cx . Como[

C∗C B∗

B D

]=

[0 C∗

0 D1/2

] [0 0C D1/2

],

podemos deducir que⟨[C∗C B∗

B D

] [xyn

],

[xyn

]⟩=⟨Cx+D1/2yn , Cx+D1/2yn

⟩−−−→n→∞

0 .

Por lo tanto la sucesion (yn)n∈N cumple lo pedido en la Ec. (9.2).

Ejercicio 9.2.5. Sea S v H. Consideremos la casimatriz M =

[? B∗

B D

]SS⊥ . Supon-

gamos que D ∈ L(S⊥)+ y R(B) ⊆ R(D1/2). Probar que se puede completar a la casimatrizM en el lugar 1, 1 de tal modo que quede una matriz en L(H)+. 4

263

El siguiente resultado ya fue visto para el caso de matrices. La prueba para operadores esalgo mas complicada:

Corolario 9.2.6. Sea C ∈ L(H1 , H2). Luego

‖C‖ ≤ 1 ⇐⇒ M =

[IH1 C∗

C IH2

]∈ L(H1 ⊕H2)+ .

Demostracion. La ida se prueba igual que en dimension finita: si ‖C‖ ≤ 1, entonces paratodo z = (x , y) ∈ H1 ⊕H2 se tiene que

〈Mz , z〉 =⟨

(x+ C∗ y , C x+ y) , (x , y)⟩

= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 Re 〈Cx , y〉 .

Pero como 2 Re 〈Cx , y〉 ≥ −2 | 〈Cx , y〉 | ≥ −2 ‖x‖ ‖y‖, deducimos que 〈Mz , z〉 ≥ 0.

Para probar la recıproca, observar que C misma es la SR de la ecuacion I1/2H2

X = C. SiM ∈ L(H1 ⊕H2)+, la Prop. 9.2.4 asegura que C∗C ≤ IH1 , o sea que ‖C‖ ≤ 1.

Teorema 9.2.7. Sea S v H, y sea M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H) . Entonces M ∈ L(H)+

si y solo si se verifican las siguientes condiciones:

1. A ∈ L(S)+ y D ∈ L(S⊥)+.

2. Existe una contraccion C ∈ L(S,S⊥) tal que B = D1/2CA1/2 .

Demostracion. Si se cumplen las condiciones pedidas, vemos que

M =

[A B∗

B D

]=

[A1/2 0

0 D1/2

] [IS C∗

C IS⊥

] [A1/2 0

0 D1/2

]∈ L(H)+ ,

por el Cor. 9.2.6. Si asumimos que M ≥ 0, es claro que A ∈ L(S)+ y D ∈ L(S⊥)+.

Sea C1 la SR de la ecuacion D1/2X = B (que existe por la Prop. 9.2.3). Por la Prop. 9.2.4se tiene que C∗1C1 ≤ A. Luego tomemos C2 la SR de la ecuacion A1/2X = C∗1 .

Veamos que C = C∗2 cumple lo pedido. En efecto, ‖C‖ = ‖C∗‖ = ‖C2‖ ≤ 1, porque A acotaa C∗1C1 con constante 1 (ver ii del Teorema de Douglas). Finalmente,

B = D1/2C1 = D1/2C∗2 A1/2 = D1/2C A1/2 .

Observacion 9.2.8. En las condiciones del Teorema anterior, la contraccion C no esta, engeneral, unıvocamente determinada. Pero sus unicos grados de libertad dependen de losnucleos de A y D. Por ejemplo, si A > 0 y D > 0, entonces la unica solucion posiblees C0 = D−1/2BA−1/2. La soluciuon C0 obtenida en la prueba del Teorema (tomandodos veces soluciones reducidas) es mınima en varios sentidos, y puede caracterizarse porpropiedades de nucleo e imagen, o bien obtenerse a partir de cualquier solucion C de laecuacion B = D1/2XA1/2, tomando C0 = PCQ, donde P y Q son los proyectores ortogonalessobre kerD⊥ y kerA⊥, respectivamente (ver la Obs. 9.1.4). 4

264

Corolario 9.2.9. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ A(H) . Entonces

M =

[A BB A

]≥ 0 en L(H⊕H) ⇐⇒ −A ≤ B ≤ A en L(H) .

En particular, si B ∈ L(H)+, lo anterior equivale a que B ≤ A.

Demostracion. Si la matriz M es positiva, por el Teo. 9.2.7 sabemos que existe una con-traccion C ∈ L(H) tal que A1/2CA1/2 = B. Necesitarıamos usar que C ∈ A(H), lo que noes claro que sea cierto. Para safar, consideremos D = PCP , donde P = P

R(A1/2)∈ P(H).

Este D cumple la misma ecuacion (porque P A1/2 = A1/2 P = A1/2). Sigue cumpliendo que‖D‖ ≤ 1. Pero ahora sı vale que A1/2DA1/2 = B ∈ A(H) =⇒ D ∈ A(H) . En efecto,basta testear que 〈Dx , x〉 ∈ R para todo x ∈ R(P ) (donde opera D). Pero podemos usarque R(A1/2) es denso en R(P ) y que A1/2DA1/2 ∈ A(H). Ahora sı podemos hacer esto:

‖D‖ ≤ 1D=D∗=⇒ −I ≤ D ≤ I =⇒ −A ≤ A1/2DA1/2 = B ≤ A .

Para ver la recıproca, la cuenta saldrıa joya su uno pudiera “dividir” por A1/2. Para safaresta vez, tomemos An = A+ 1

nI ∈ Gl (H)+ (para cada n ∈ N). Luego

−An ≤ −A ≤ B ≤ A ≤ An =⇒ −I ≤ A−1/2n BA−1/2

n ≤ I =⇒ ‖A−1/2n BA−1/2

n ‖ ≤ 1 .

Ahora les podemos aplicar a todos ellos el Teo. 9.2.7 con Cn = A−1/2n BA

−1/2n y nos queda

0 ≤[An BB An

]= M +

1

nIH⊕H para todo n ∈ N =⇒ M ∈ L(H⊕H)+ ,


9.3 Shorted de un operador.

Definicion y propiedades basicas

Comenzaremos con el siguiente resultado originalmente obtenido por Krein, y redescubiertovarios anos despues por Anderson-Trapp [87], el cual dara origen a la definicion de Shortedde un operador. La prueba que daremos se basa en un trabajo posterior de Pekarev [108].

Teorema 9.3.1. Sea A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces el conjunto

M(A,S)def= D ∈ L(H)+ : D ≤ A y R(D) ⊆ S (9.3)

posee un elemento maximo en el orden usual de A(H) .

265

Demostracion. Sean M = A−1/2(S) y T = A1/2PMA1/2. Claramente T ∈ M(A,S). Por

otra parte, si D ∈ M(A,S), en particular D ≤ A. Por el Teorema de Douglas 9.1.1 (conconstante λ = 1), debe existir una contraccion C ∈ L(H) tal que D1/2 = A1/2C.

Ahora bien, tenemos que A1/2(R(C) ) = R(D1/2) ⊆ R(D) ⊆ S =⇒ R(C) ⊆ M. Esto nosasegura que PMC = C. Usando que C C∗ ≤ I, podemos deducir que C C∗ ≤ PM . Luego

D = A1/2C C∗A1/2 ≤ A1/2 PMA1/2 = T ,

lo cual muestra que nuestro T = maxM(A,S).

Definicion 9.3.2. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Llamaremos shorted de A al subespacio S,y lo notaremos SC (A , S), al maximo del conjunto M(A,S). 4

En la siguiente proposicion, recopilamos una serie de resultados mas o menos inmediatos apartir de la definicion del shorted y de la demostracion del Teo. 9.3.1.

Proposicion 9.3.3. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces:

1. Demas esta decir que SC (A , S) ≤ A y que R(

SC (A , S))⊆ S.

2. Para todo α ∈ R+ , se tiene que SC (αA , S) = α SC (A , S).

3. Si B ∈ L(H)+ cumple que A ≤ B, entonces

M(A , S) ⊆M(B , S) y por lo tanto SC (A , S) ≤ SC (B , S) .

4. Si S ⊆ T v H, entonces M(A , S) ⊆M(A , T ) y SC (A , S) ≤ SC (A , T ).

5. Como el R(

SC (A , S))⊆ S, tenemos que SC

(SC (A , S) , S

)= SC (A , S).

6. SC (A2 , S)1/2 ≤ SC (A , S) .

7. Si denotamos por M = A−1/2(S), se tiene la formula

SC (A , S) = A1/2 PMA1/2 . (9.4)

Demostracion. Los items 1 - 5 se deducen de la definicion y el 7 de la prueba del Teo. 9.3.1.El 6 usa el Teorema de Lowner (Prop. 6.6.4): Como tomar raıces cuadradas preserva el orden,tenemos que D ∈ M(A2 , S) =⇒ D1/2 ∈ M(A , S), porque el R(D1/2) no puede salirse de

S. En particular nos queda que SC (A2 , S)1/2 ∈M(A , S).

Como x2 no es MOP, siguiente resultado es mas fuerte que el item 6 de la Prop. 9.3.3:

Proposicion 9.3.4. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces, SC (A2 , S) ≤ SC (A , S)2.

266

Demostracion. Denotemos porM = A−1/2(S) y N = A−1(S). Consideremos los proyectoressobre ellos: PM , PN ∈ P(H). Observar que A1/2(N ) ⊆M. Por lo tanto, se tiene que

(I − PM)A1/2 PN = 0∗

=⇒ PN A1/2 (I − PM) = 0 .

En particular PN A1/2 = PN A

1/2 PM . Fijado un vector x ∈ H, nos queda que

〈A1/2 PN A1/2 x , x〉 = 〈PN A1/2 x , PN A

1/2 x〉 = ‖PN A1/2 x‖2 = ‖PN A1/2 PM x‖2

≤ ‖A1/2 PM x‖2 = 〈PMAPM x , x〉 .

Luego A1/2 PN A1/2 ≤ PMAPM . Conjugando con A1/2 nos queda que

SC(A2 , S

) (9.4)= APN A ≤ A1/2 PMAPMA

1/2 = (A1/2 PMA1/2 )2 (9.4)= SC (A , S)2 .

Proposicion 9.3.5. Sean A ∈ L(H)+ y S, T v H. Entonces

SC(

SC (A , S) , T)

= SC (A , S ∩ T ) . (9.5)

Demostracion. Consideremos los conjuntos

M(A , S ∩ T ) = D ∈ L(H)+ : D ≤ A y R(D) ⊆ S ∩ T y

M(

SC (A , T ) , S)

= D ∈ L(H)+ : D ≤ SC (A , T ) y R(D) ⊆ S .

Probaremos que estos conjuntos son iguales y por ende sus maximos, que son los dos shorted’sde (9.5) tambien lo seran. Sea D ∈M(A , S ∩ T ). Luego tenemos que

R(D) ⊆ T ∩ S ⊆ T y D ≤ A =⇒ D ≤ SC (A , T ) y R(D) ⊆ S .

Eso nos dice que D ∈M(

SC (A , T ) , S). Recıprocamente, si asumimos que

D ∈M(

SC (A , T ) , S)

=⇒ D ≤ SC (A , T )(9.1)=⇒ R(D) ⊆ R

(SC (A , T )

)⊆ T .

Por lo tanto ya sabemos que R(D) ⊆ S ∩ T . Como ademas D ≤ SC (A , T ) ≤ A, llegamosa lo que querıamos: D ∈M(A,S ∩ T ).

9.4 Rango y Nucleo de los operadores shorted.

Proposicion 9.4.1. Dados A ∈ L(H)+ y S v H, se tiene la igualdad

R(

SC (A , S)1/2 ) = R(A1/2) ∩ S . (9.6)

267

Demostracion. Sea M = A−1/2(S). Observar que, volviendo y yendo queda que

R(A1/2) ∩ S = A1/2(A−1/2(S)

)= A(M) = R(A1/2 PM) .

Luego, por el Cor. 9.1.2 (decıa que R(B∗) = R( |B| ) ), sale lo anunciado:

R(A1/2) ∩ S = R(A1/2 PM) = R(|PMA1/2|

)= R

((A1/2 PMA1/2)1/2

) (9.4)= R

(SC (A , S)1/2 ) .

Corolario 9.4.2. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces

R(A) ∩ S ⊆ R(

SC (A , S))⊆ R(A1/2) ∩ S .

Demostracion. En la Prop. 9.4.1 (aplicada a A2) vimos que R(A)∩S = R(

SC (A2 , S)1/2 )

.

Por otro lado, la Prop. 9.3.4 dice que SC (A2 , S) ≤ SC (A , S)2. A partir de ello, el Teo. de

Douglas 9.1.1 nos asegura que R(A) ∩ S = R(SC (A2 , S)1/2

) ⊆ R(

SC (A , S)).

La otra inclusion se sigue de que R(

SC (A , S))⊆ R

(SC (A , S)1/2 ) (9.6)

= R(A1/2) ∩ S.

El siguiente lema sera de utilidad en muchas cuentas futuras:

Lema 9.4.3. Sean B ∈ L(H)+ y N v H. Luego se tiene la igualdad

B−1 (N⊥ ) = B (N )⊥ (9.7)

Demostracion. Dado un y ∈ H se tiene que 〈B x , y〉 = 0 para todo x ∈ N si y solo si〈x , B y〉 = 0 para todo x ∈ N . Si se mira bien, eso es (9.7).

Por comodidad notacional, para un X ⊆ H cuyo nombre sea muy largo, de ahora en masalgunas veces escribiremos c l (X) en vez de X para denotar a su clausura.

Proposicion 9.4.4. Sean A ∈ L(H)+, S v H y M = A−1/2(S). Entonces

1. c l(

kerA+ S⊥)⊆ ker SC (A , S) = A−1/2(M⊥).

2. ker SC (A , S) = kerA+ S⊥ ⇐⇒ A1/2(S⊥) es cerrado en R(A1/2).

Demostracion.

1. Por un lado, usando la Prop. 9.4.1 se tiene

c l(kerA+ S⊥

)⊆ (R(A1/2) ∩ S)⊥ = ker SC (A , S)1/2 (4.27)

= ker SC (A , S) .

Por el otro, como SC (A , S)(9.4)= A1/2 PMA1/2, vemos que

ker SC (A , S) = ker (A1/2 PMA1/2)(4.27)= ker (PMA1/2) = A−1/2(M⊥) .

268

2. Dado que(A1/2(S⊥)

)⊥ (9.7)= A−1/2(S) =M, se tiene c l

(A1/2(S⊥)

)=M⊥. Luego

A1/2(S⊥) v R(A1/2) ⇐⇒ M⊥ ∩R(A1/2)?= A1/2(S⊥) .

Pero como ambos viven dentro de R(A1/2), la igualdad?= equivale a que

ker SC (A , S) = A−1/2(M⊥)A−1/2(?)

= A−1/2(A1/2(S⊥)

)= kerA+ S⊥ .

EL shorted es la mayor “parte” de un A ∈ L(H)+ que trabaja dentro de un S v H. Dimosbastante informacion sobre quien es y cuales son su imagen y su nucleo. Estudiemos ahoralo que le “sobra”, que se suele llamar la S-compresion de A.

Definicion 9.4.5. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Al operador

ASdef= A− SC (A , S) ∈ L(H)+

lo llamaremos la S-compresion de A. 4

Proposicion 9.4.6. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces

R(AS1/2) ∩ S = 0 y kerAS = A−1(S) .

Demostracion. Supongamos que nos dan un x ∈ R(AS1/2) ∩ S. Consideremos el proyector

P = Px = x x ∈ P(H). Como R(P ) ⊆ R(AS1/2), por el Teorema de Douglas 9.1.1,

existe λ > 0 tal que λP ≤ AS = A− SC (A , S) =⇒ λP + SC (A , S) ≤ A .

Pero al asumir que x ∈ S nos queda que λP + SC (A , S) ∈ M(A , S) y le gana al shorted.Luego P debe ser nulo y x era el 0, como anunciabamos.

Por otro lado, si M = A−1/2(S), entonces por la Prop. 9.3.3,

SC (A , S) = A1/2PMA1/2 =⇒ AS = A1/2(I − PM)A1/2 .

Luego el kerAS = ker (I − PM)A1/2 = A−1/2(M) = A−1/2(A−1/2(S)

)= A−1(S).

9.5 Otras caracterizaciones del Shorted.

Teorema 9.5.1 (Ando - Descomposicion de Lebesgue). Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entoncesexisten unicos F y G ∈ L(H)+ tales que:

A = F +G , R(F 1/2) ⊆ S y R(G1/2) ∩ S = 0 . (9.8)

Mas aun, ellos no son otros que F = SC (A , S) y G = AS .

269

Demostracion. La definicion del shorted y la Prop. 9.4.6 nos dicen que si elegimos los oper-adores F = SC (A , S) y G = AS , ellos cumplen las condiciones de (9.8).

Supongamos ahora que nos dan otro par F y G ∈ L(H)+ que tambien las satisfacen. Luego

R(F ) ⊆ R(F 1/2) ⊆ S y F ≤ AF∈M(A ,S)

=⇒ Bdef= SC (A , S)− F ∈ L(H)+ .

Entonces escribamos a G = A− F = AS +B ≥ B. Luego tenemos que

R(B1/2) ⊆ S y por Douglas 9.1.1 R(B1/2) ⊆ R(G1/2) .

Como R(G1/2) ∩ S = 0 queda que B = 0 y SC (A , S) = F .

Teorema 9.5.2. Sean S v H y M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+. Llamemos C ∈ L(S,S⊥)

a la SR de la ecuacion B = D1/2X (que existe por la Prop. 9.2.3). Entonces

SC (M , S) =

[A− C∗C 0

0 0

].

Demostracion. Podemos partir a M usando a la solucion C del siguiente modo:

M =

[A B∗

B D

]=

[A− C∗C 0

0 0

]+

[0 C∗

0 D1/2

] [0 0C D1/2

]= F +G .

Para mostrar que F = SC (M , S) bastarıa verificar que F y G estan en las condiciones delTeo. 9.5.1. Vamos por partes. Es claro que G ≥ 0. Por el Cor. 9.1.2, se tiene que

R(G1/2) = R

([0 C∗

0 D1/2

]).

Ahora bien, si

[0 C∗

0 D1/2

] [xy

]=

[C∗ yD1/2 y

]=

[z0

]∈ R(G1/2) ∩ S, entonces D1/2y = 0.

Pero observemos que ker(D1/2) ⊆ ker(C∗), porque C es la SR de B = D1/2X. Luego tambienz = C∗y = 0, y llegamos a que R(G1/2) ∩ S = 0. Por otro lado, la Prop. 9.2.4 nos aseguraque F ≥ 0 y el hecho de que R(F 1/2) ⊆ S sale mirando su matriz.

Corolario 9.5.3. Sean S v H y M =

[A B∗

B D

]SS⊥ ∈ L(H)+. Supongamos ahora que

R(D) v H. Entonces tenemos esta nueva descripcion del shorted:

SC([

A B∗

B D

], S)

=

[A−B∗D†B 0

0 0

].

Demostracion. Sale porque la SR de la ecuacion B = D1/2X es (D1/2)†B = (D†)1/2B .

270

Ejercicio 9.5.4. Sea S v H. Recorderemos la casimatriz M =

[? B∗

B D

]SS⊥ del

Ejer. 9.1.5. Consideremos ahora el conjunto de bloques 1,1 adecuados:

P(M , S) =X ∈ L(S)+ :

[X B∗

B D

]∈ L(H)+

.

El Ejer. 9.1.5 decıa que P(M , S) 6= ∅ ⇐⇒ R(B) ⊆ R(D1/2). Este ejercio consiste enprobar que, en tal caso, existe X0 = minP(M , S) y ademas identificarlo. 4

Alguien dijo que en un problema de aproximacion, todo maximo de algo puede tambien serdescrito como un mınimo. Eso pasa con las normas de operadores (supremo en la bola, peromınimo de las cotas superiores). Ahora veremos dos caracterizaciones del shorted (definidocomo un maximo) que se obtienen tomando ınfimos adecuados:

Proposicion 9.5.5. Sean M ∈ L(H)+ y S v H. Dado x ∈ S, se tiene que⟨SC (M , S)

[x0

],[x0

] ⟩= inf

⟨M[xy

],[xy

] ⟩: y ∈ S⊥

. (9.9)

Demostracion. Observar que para todo y ∈ S⊥ se debe cumplir que

mdef=

⟨SC (M , S)

[x0

],

[x0

]⟩=

⟨SC (M , S)

[xy

],

[xy

]⟩≤⟨M

[xy

],

[xy

]⟩,

por lo que m es una cota inferior. Pero escribiendo a M como una matriz 2× 2, el Teo. 9.5.2y la Ec. (9.2) de la Prop. 9.2.4, aseguran que m debe ser el ınfimo, porque hay una sucesion(yn)n∈N en S⊥ que aproxima el valor de 〈SC (M , S) x , x〉.

Teorema 9.5.6. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Consideremos el conjunto

N (A,S) = QAQ∗ : Q ∈ P(H) y R(Q) = S .

Entonces SC (A , S) = ınfN (A,S), con respecto al orden usual de A(H).

Demostracion. Llamemos PS(H) = Q ∈ P(H) : R(Q) = S. En el Ejer. 4.5.9 se afirmaba

que dado un Q ∈ PS(H), debe existir un B ∈ L(S⊥ , S) tal que Q =

[I B0 0

]SS⊥ (sale

usando que PS Q = Q) . Luego, dado y = x+ z ∈ S ⊕ S⊥ = H, se tiene que

〈QAQ∗y , y〉 =

⟨AQ∗

[xz

], Q∗

[xz

]⟩=

⟨A

[x

B∗ x

],

[x

B∗ x

]⟩. (9.10)

Observar que cualquier B ∈ L(S⊥ , S) produce un Q =

[I B0 0

]∈ PS(H). Luego los

valores w = B∗ x recorren todo S⊥. Usando la Prop. 9.5.5 y la Ec. (9.10) deducimos que

infQ∈PS〈QAQ∗ y , y〉 = inf

w∈S⊥

⟨A

[xw

],

[xw

]⟩(9.9)=

⟨SC (A , S)

[x0

],

[x0

]⟩= 〈SC (A , S) y , y〉 ,

271

para todo y = x + z ∈ S ⊕ S⊥ = H. Luego SC (A , S) = infN (A,S), en el sentido de quees cota inferior y debe ser mayor que todas las otras cotas.

9.6 Convergencia.

Proposicion 9.6.1. Sean Ann∈N una sucesion en L(H)+ tal que AnSOT

n→∞

A y Snn∈N una

sucesion decreciente de subespacios cerrados de H. Entonces

SC (An , Sn)SOT

n→∞

SC (A , S) , donde S =∞⋂n=1

Sn .

Demostracion. Llamemos Bn = SC (An , Sn) para cada n ∈ N. Por la Prop. 9.3.3, nuestrasucesion Bnn∈N es decreciente en L(H)+. Usando el Ejer. 5.9.24, debe tener un lımite(ınfimo) en la topologıa fuerte de operadores SOT, al cual denotaremos B ∈ L(H)+.

Como SC (A , S) ≤ Bn ≤ A para todo n ∈ N, nos queda que SC (A , S) ≤ B ≤ A. Luegobastarıa verificar que R(B) ⊆ S para que B ∈ M(A,S), porque ello nos darıa la otradesigualdad B ≤ SC (A , S). Para convencernos de que R(B) ⊆ S, usemos Douglas 9.1.1:

B ≤ Bn =⇒ R(B) ⊆ R(B1/2) ⊆ R(B1/2n

) (9.6)= R(A1/2

n ) ∩ Sn ⊆ Sn ,

para todo n ∈ N. Ası que R(B) ⊆∞⋂n=1

Sn = S.

La Prop. 9.6.1 mata dos pajaros de un tiro. Para entenderla mejor veamos dos casos parti-culares que son interesantes en sı mismos:

Corolario 9.6.2. Trabajaremos en H que es un EH.

1. Sea S v H. Si nos dan una sucesion Ann∈N en L(H)+ tal que AnSOT

n→∞

A, vale que

SC (An , S)SOT

n→∞

SC (A , S) .

2. Si ahora fijamos el operador A ∈ L(H)+ y tenemos una sucesion decreciente Snn∈Nde subespacios cerrados de H, ahı nos queda que

SC (A , Sn)SOT

n→∞

SC (A , S) , donde S =∞⋂n=1

Sn .

Demostracion. Es la Prop. 9.6.1 fijando cada una de las variables.

Ahora buscaremos condiciones suficientes para garantizar la convergencia en norma.

272

Lema 9.6.3. Sean A ∈ Gl(H)+ y S v H. Entonces

SC (A+ εI , S)‖ · ‖−−−→ε→0+

SC (A , S) .

Demostracion. Dado ε > 0, llamemos λε = 1 + ε‖A−1‖. Como I ≤ ‖A−1‖A, deducimos queA+ εI ≤ λεA y por ende SC (A+ εI , S) ≤ λε SC (A , S). Por lo tanto,

SC (A , S) ≤ SC (A+ εI , S) ≤ λε SC (A , S)‖ · ‖−−−→ε→0+

SC (A , S) ,

por lo que SC (A+ εI , S) converge ensanguchadamente a SC (A , S).

Teorema 9.6.4. Sean A ∈ Gl(H)+ y (An)n∈N una sucesion en Gl(H)+ tal que

An‖ · ‖−−−→n→∞

A y An ≥ A para todo n ∈ N .

Entonces, para todo S v H, se cumple que

SC (An , S)‖ · ‖−−−→n→∞

SC (A , S) .

Demostracion. Observar que An = A + (An − A) ≤ A + ‖An − A‖ I para todo n ∈ N. Siabreviamos εn = ‖An − A‖ −−−→

n→∞0, por el Lema anterior se tiene que

‖SC (An , S)− SC (A , S) ‖ ≤ ‖SC (A+ εnI , S)− SC (A , S) ‖ −−−→n→∞

0 ,

donde el ≤ vale porque en general 0 ≤ B ≤ CEj.

=⇒ ‖B‖ ≤ ‖C‖. Y usamos que cada An ≥ Apara que lo de adentro de las normas sea siempre positivo.

9.7 La ecuacion X = A−B∗X−1B.

Definicion 9.7.1. Sean A ∈ A(H) y B ∈ L(H). Dado n ∈ N, llamaremos

Zn(A,B) =

A B∗ 0 . . . 0B A B∗ . . . 0...

. . . . . . . . ....

0 . . . B A B∗

0 . . . 0 B A

∈ A(Hn+1) .

Si A = I, escribiremos Zn(B) en lugar de Zn(I, B). 4

Observacion 9.7.2. Sean a ∈ R∗+

y b ∈ C. Supongamos que Zn(a, b) > 0 para todo n ∈ N.

Llamemos d0 = a, dn = detZn(a, b) y xn =dndn−1

, n ∈ N. Es facil ver, desarrollando por las

primeras columnas, que se tiene la formula recursiva

dn+1 = a dn − |b|2 dn−1 =⇒ xn+1 =dn+1

dn= a− |b|2 dn−1

dn= a− |b|2x−1

n , n ∈ N .

273

Como x1 = a2−|b|2a≤ a = x0, uno muestra recursivamente que (xn)n∈N es un sucesion

decreciente. Por lo tanto, su lımite x debe cumplir

0 < x y x = a− |b|2x−1 = a− b x−1 b .

Veremos que una condicion de este tipo es necesaria y suficiente para la positividad de lasmatrices Zn(A,B), incluso en el caso de operadores. Tal ecuacion serıa

X = A−B∗X−1B (todos en L(H), pero A y X en L(H)+) .

Esta ecuacion es interesante en sı misma, dado que tiene aplicaciones en teorıa de circuitoselectricos. Para evitar pedir que nadie sea inversible, se la puede mejorar usando operadoresshorted, usando la formula (9.11) del siguiente Teorema. Si X > 0, el Cor. 9.5.3 dice que(9.11) es equivalente a la ecuacion anterior. 4

Teorema 9.7.3. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ L(H). Son equivalentes:

1. Existe X ∈ L(H)+ tal que[A B∗

B X

]∈ L(H⊕H)+ y SC

([A B∗

B X

], H⊕ 0

)=

[X 00 0

]. (9.11)

2. El conjunto M(A,B) =Y ∈ L(H)+ :

[A− Y B∗

B Y

]≥ 06= ∅.

3. Para todo n ∈ N, Zn(A,B) ∈ L(Hn+1)+.

En tal caso, existe X = maxM(A,B), y es una de las soluciones de la Ec. (9.11).

Demostracion. Si existe un X que cumpla la Ec. (9.11), entonces X ∈ M(A,B) 6= ∅.Supongamos ahora que existe Y ∈M(A,B). Tenemos que

0 ≤ Y ≤ A por lo que 0 ≤[A− Y B∗

B Y

]≤[A B∗

B A

]= Z2(A,B) .

Analogamente,

0 ≤

A− Y B∗ 0B Y 00 0 0

+

0 0 00 A− Y B∗

0 B Y

=

A− Y B∗ 0B A B∗

0 B Y

≤ Z3(A,B) .

Inductivamente, uno prueba que Zn(A,B) ≥ 0 para todo n ∈ N.

Veamos ahora que 3 → 1: Notemos X0 = A y Xn = SC (Zn(A,B) , H⊕ 0n), para cadan ∈ N. Pensamos a todos los Xn como con operadores en L(H)+ (dado que solo operanen la primera cordenada de Hn+1). Llamemos Bn = (B, 0n−1) ∈ L(H)n, pensado como

274

una columna, o bien Bn = (0n−1 , B) ∈ L(H)n, como vector fila. Entonces, si tomamosZ0(A,B) = A, se tienen las igualdades

Zn+1(A,B) =

[A B∗n+1

Bn+1 Zn(A,B)

]=

A B∗n 0Bn Zn−1(A,B) B∗n0 Bn A

para todo n ∈ N .

Por la Prop. 9.5.5, para todo x ∈ H y todo n ∈ N,

〈Xnx, x〉 = inf

⟨[A B∗nBn Zn−1(A,B)

] [xy

],

[xy

]⟩: y ∈ Hn

≥ inf

⟨ A B∗n 0

Bn Zn−1(A,B) B∗n0 Bn A

xyz

, xyz

⟩ : (y, z) ∈ Hn ⊕H

= 〈Xn+1 x, x〉 ,

es decir que la sucesion Xn es decreciente. Al tomar el ınfimo sobre y ∈ Hn de la ecuacionanterior, si escribimos y = (y1, y2) ∈ H ⊕Hn−1 nos queda

〈Xnx, x〉 = 〈Ax, x〉+ infy=(y1,y2)∈Hn

2 Re 〈Bx, y1〉+ 〈Zn−1(A,B)y, y〉 .

Si fijamos y1 ∈ H y movemos y2 ∈ Hn−1, obtenemos

infy2∈Hn−1

⟨Zn−1(A,B)

[y1

y2

],

[y1

y2

]⟩= 〈Xn−1y1, y1〉 .

Tomando ahora ınfimo sobre y1 ∈ H, llegamos a que, para todo x ∈ H y n ∈ N,

〈Xnx, x〉 = inf

⟨[A B∗

B Xn−1

] [xy1

],

[xy1

]⟩: y1 ∈ H

.

Aplicando nuevamente la Prop. 9.5.5, esto se reescribe como[A B∗

B Xn−1

]≥ 0 y SC

([A B∗

B Xn−1

], H⊕ 0

)=

[Xn 00 0

], (9.12)

para todo n ∈ N. Tomemos X el lımite para n → ∞ de los Xn (que existe, al menos en latopologıa fuerte de operadores, por ser la sucesion decreciente). Luego, mirando el lımite en

la Ec. (9.12), obtenemos que

[A B∗

B X

]≥ 0. Por la Prop. 9.6.1, deducimos que X verifica

la formula (9.11). Finalmente, observar que X ∈ M(A,B) y, si Y ∈ M(A,B), entoncesY ≤ A = X0 . Si hubieramos obtenido que Y ≤ Xn−1 , para cada x ∈ H tendrıamos que[

Y 00 0

]≤[A B∗

B Y

]≤[A B∗

B Xn−1

]=⇒ Y ≤ Xn ,

por la Ec. (9.12) y la Def. 9.3.2 de operador shorted. Tomando ınfimo, llegamos a que Y ≤ X.

275

Observacion 9.7.4. El operador X construido en la prueba del Teo. 9.7.3 se puede obtenerrecursivamente por la siguiente receta, usando la formula (9.12): Tomar X0 = A y, paran ∈ N, tomar [

Xn+1 00 0

]= SC

([A B∗

B Xn

], H⊕ 0

).

Luego Xn ≥ 0 para todo n ∈ N y XnS.O.T.−−−→n→∞

X decrecientemente. 4

Observacion 9.7.5. Una variacion: Fijemos cualquier Y0 ∈M(A,B). Como[A B∗

B Y0

]≥ 0 podemos definir Y1 = SC

([A B∗

B Y0

], H⊕ 0

),

pensado en L(H)+ (sin los tres ceros). Del hecho de que Y0 ∈M(A,B), deducimos que[Y0 00 0

]≤[A B∗

B Y0

]=⇒ Y0 ≤ Y1 y

0 ≤[A− Y1 B∗

B Y0

]≤[A− Y1 B∗

B Y1

]=⇒ Y1 ∈M(A,B) .

Definiendo recursivamente Yn+1 = SC([

A B∗

B Yn

], H⊕ 0

), obtenemos una sucesion

creciente en M(A,B) cuyo supremo Y debe cumplir la Ec. (9.11). En principio no se sabesi la solucion Y es la misma del proceso anterior (o del que resulte de empezar con otroelemento de M(A,B) ).

En efecto, la solucion X de la Ec. (9.11) no es necesariamente unica, como lo muestrael caso unidimensional, donde la ecuacion x = a − x−1|b|2 puede producir dos solucionespositivas: si b 6= 0,

x = a− x−1|b|2 ⇐⇒ x2 − ax+ |b|2 = 0 ⇐⇒ x =a±

√a2 − 4|b|22

,

siempre que 2|b| ≤ a. Esta condicion, que es entonces equivalente al hecho de que Zn(a, b) ≥ 0para todo n ∈ N, se generalizara a operadores (usando el radio numerico en lugar del modulo)en el Cor. 10.3.6. 4

Observacion 9.7.6. Si en el Teo. 9.7.3 se toman sistematicamente operadores shorted sobreel subespacio 0 ⊕H (es decir, que se trabaja en el lugar 2, 2 de las matrices en cuestion),se obtiene, bajo las mismas hipotesis (los Zn(A,B) ≥ 0), un operador X2 que es solucion dela Ec. (9.11) con B cambiado por B∗. Ademas,

X2 = max

Z ∈ L(H)+ :

[Z B∗

B A− Z

]≥ 0

= minM(A,B) ,

276

dado que la aplicacion Z 7→ A − Z = Y manda el conjunto del medio sobre M(A,B), einvierte el orden. En dimH = 1, se tiene que, si 0 < 2|b| ≤ a y 0 < y < a,[

a− y bb y

]≥ 0 ⇐⇒ (a− y)y ≥ |b|2 ⇐⇒ y2 − ay + |b|2 ≤ 0

⇐⇒a−

√a2 − 4|b|22

≤ y ≤a+

√a2 − 4|b|22

.

Por lo tanto, el mınimo y el maximo de M(a, b) son las soluciones de la Ec. (9.11) paraA = a y B = b. Esto sucede porque b es “normal” y porque x y b conmutan. En general,las ecuaciones

X = A−B∗X−1B y X = A−BX−1B∗

no tienen por que tener las mismas soluciones. Pero si B = B∗, sı sabemos que X2 = A−Xy es otra solucion de la Ec. (9.11). 4

Corolario 9.7.7. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ A(H) . Entonces se cumplen las condiciones delTeo. 9.7.3 si y solo si

A/2 ∈M(A,B) ⇐⇒[A/2 BB A/2

]≥ 0 ⇐⇒ −A

2≤ B ≤ A

2.

Demostracion. Observar que M(A,B) es convexo, yX + (A−X)

2= A/2. Luego la primera

equivalencia se sigue de la Obs. 9.7.6. La ultima ecuacion equivale a la del medio por elCor. 9.2.9.

Nota: Los resultados de esta seccion estan basados en los trabajos de Ando [92] y Anderson-Morley-Trapp [88].

9.8 Ejercicios

Ejercicio 9.8.1. Sean S v Cn, y A =

[A11 A∗21

A21 A22

]SS⊥ ∈Mn(C)+.

1. R(SC (A , S)) = R(A) ∩ S y N(SC (A , S)) = N(A) + S⊥.

2. Si A ∈ Gl (n)+, entonces tambien SC (A , S) > 0 (pensado en L(S) ). Mas aun, si

A−1 =

[(A−1)11 (A−1)12

(A−1)21 (A−1)22

], entonces (A−1)11 = SC (A , S)−1 .

3. Dados A,B ∈ L(H)+ tales que A ≤ B, notemos

[A,B] = X ∈ L(H)+ : A ≤ X ≤ B .

Observar que [A,B] es convexo. Probar que

277

a. Los puntos extremales de [0, I] son los proyectores autoadjuntos de L(H).

b. Si A ∈ Gl (H)+, entonces ext([0, A]) = SC (A , S) : S v H , que incluyen a0 = SC (A , 0) y A = SC (A , H).

4. Si f : [0,+∞)→ R es una funcion monotona de operadores tal que f(0) ≤ 0, entonces,f(SC (A , S)) ≤ SC (f(A) , S) .

5. La sucesion

detA(

det (Am)nn)1/m

m∈N

es decreciente, y

µn(A) ≤ limm→∞

detA(det (Am)nn

)1/m.

278

Capıtulo 10

Rango y Radio Numericos

10.1 Definiciones y propiedades basicas

Definicion 10.1.1. Sea A ∈ L(H).

1. El Rango numerico de A es el conjunto

W (A) = 〈Ax, x〉 : x ∈ H, ‖x‖ = 1 .

2. Recordemos que el radio numerico de A se define como

w(A) = maxλ∈W (A)

|λ| = max |〈Ax, x〉| : x ∈ H, ‖x‖ = 1

y que define una norma en L(H) (si el cuerpo es C). 4

Propiedades elementales de W (A) y w(A):

1. Sea A ∈ L(H). Se cumplen las siguientes desigualdades:

ρ(A) ≤ w(A) ≤ ‖A‖ .

La segunda se deduce de Cauchy-Schwarz. La primera es facil para matrices. Paraoperadores se necesita usar la formula (10.1) de un poco mas abajo.

2. Tomando A =

[0 02 0

], se ve que las desiguadades pueden ser estrictas. En efecto, es

claro que ρ(A) = 0 y ‖A‖sp = 2. Por otra parte, como la funcion

f : z ∈ C : |z| ≤ 1 → R dada por f(z) = 2|z| (1− |z|2)1/2

alcanza el maximo f(z) = 1 cuando |z|2 = 1/2, podemos deducir que w(A) = 1.

3. Dado B ∈ L(H) se cumple que W (A+B) ⊆ W (A) +W (B).

279

4. Dado λ ∈ C, se tiene que W (A+ λI) = W (A) + λ y W (λ · A) = λ ·W (A).

5. Si U ∈ U(H), entonces W (UAU∗) = W (A) y w(UAU∗) = w(A).

6. Si dimH <∞, entonces W (A) es compacto (por serlo la cascara de la bola unidad deH). Esto falla cuando dimH =∞, donde W (A) puede no ser cerrado, aunque sı pasaque W (A) es compacto. 4

Proposicion 10.1.2. Sea A ∈ L(H). Entonces

σ (A) ⊆ W (A) . (10.1)

Demostracion. Si λ es autovalor de A, es claro que λ = 〈Ax, x〉 ∈ W (A) para cualquierautovector unitario x asociado a λ . Si λ ∈ σ (A) pero ker(A − λI) = 0, se tienen dosposibilidades:

1. γ(A − λI) = 0, con lo que se consigue una sucesion xn de vectores unitarios talesque ‖(A− λI)xn‖ −−−→

n→∞0, por lo que 〈Axn , xn〉 −−−→

n→∞λ .

2. R(A − λI) es cerrado, pero no todo H. En tal caso, existe un vector unitario x ∈R(A− λI)⊥. Luego 〈(A− λI)x, x〉 = 0, por lo que 〈Ax, x〉 = λ .

Observar que los unicos λ ∈ σ (A) pueden no pertenecer a W (A) son aquellos en los queA− λI es inyectivo con rango denso. Por lo tanto, si dimH <∞ se tiene directamente queσ (A) ⊆ W (A).

Ejemplo 10.1.3. Sea A el operador definido en el Ejemplo 8.4.8. Recordar que, para todo

n ∈ N, Aen =enn

, donde en : n ∈ N es una BON de H. Como A es compacto (o porque

γ(A) = 0), se tiene que A /∈ Gl (H), por lo que 0 ∈ σ (A).Es facil ver que A ∈ L(H)+ y que kerA = 0. Por lo tanto 0 /∈ W (A). En efecto, si

〈Ax, x〉 = ‖A1/2x‖2 = 0, debe cumplirse que Ax = A1/2(A1/2x) = 0. Observar que, paratodo n ∈ N, 1/n ∈ W (A), por lo que sı se cumple que 0 ∈ W (A). 4

Es un hecho standard de la teorıa de operadores en espacios de Hilbert el que, si A esnormal, entonces

ρ(A) = w(A) = ‖A‖ .

Veremos que, en ese caso, W (A) = conv [σ (A)].

10.2 El Teorema de Hausdorff Toeplitz

El Teorema de Hausdorff Toeplitz dice que, para todo A ∈ L(H), se cumple que W (A) esconvexo. Para probarlo se necesitan una serie de reducciones. La principal es ver que bastaprobarlo para matrices en M2(C) (esto lo veremos en la prueba del Teorema). Pero aunentre ellas, necesitamos dos reducciones especiales:

280

Lema 10.2.1. Dada A ∈M2(C), existe U ∈ U(2) tal que,

B = U∗AU =

[c ab c

], con c =

trA

2.

Demostracion. Cambiando A por A − trA

2I, podemos suponer que trA = 0 y tratar de

hacer que la diagonal de B sea nula. Si σ(A) = 0, esto es facil (por el Teorema de Schur).Sino, σ(A) = λ,−λ con λ 6= 0. Sean x1 y x2 autovectores unitarios asociados a λ y−λ, respectivamente. Tomemos la curva x(t) = eitx1 + x2, para t ∈ [0, 2π]. Observar quex(t) 6= 0, por que x1 y x2 son LI. Entonces,

〈Ax(t), x(t)〉 = λ− λ+ eit 〈Ax1, x2〉+ e−it 〈Ax2, x1〉

= λeit 〈x1, x2〉 − λe−it 〈x2, x1〉 = 2iλ Im (eit 〈x1, x2〉) .

Eligiendo t0 ∈ [0, 2π] tal que eit0 〈x1, x2〉 ∈ R, tenemos que 〈Ax(t0), x(t0)〉 = 0, con x(t0) 6= 0.Normalizando a x(t0), completando a una BON de C2, y tomando U ∈ U(2) tal que tengaa esa BON en sus columnas, obtenemos

B = U∗AU =

[0 ab 0

], con a, b ∈ C ,

donde B22 = 0 porque B11 = 0 = trB.

Lema 10.2.2. Dada B ∈M2(C) con diagonal nula, existen V ∈ U(2) y w ∈ C con |w| = 1tales que,

w · V BV ∗ =

[0 ab 0

], con a ≥ 0 y b ≥ 0 .

Demostracion. Si B =

[0 ab 0

], tomando V =

[u 00 1

]∈ U(2) y w ∈ C con |w| = 1,

tenemos que

w · V B1V∗ =

[0 wua

wu b 0

].

Si a = eiθ1 |a| y b = eiθ2|b|, tomando u = ei2

(θ2−θ1) y w = ei2

(θ2+θ1) , se obtiene que

w · V B1V∗ =

[0 |a||b| 0

],

como deseabamos.

281

Teorema 10.2.3 (Hausdorff-Toeplitz). Sea A ∈ L(H). Entonces W (A) es convexo.

Demostracion. Sean α, β ∈ W (A) distintos, y sean x, y ∈ H unitarios tales que 〈Ax, x〉 = αy 〈Ay, y〉 = β. Tomemos B0 = v1, v2 una BON de S = span x, y. Consideremos lacompresion AS ∈ L(S). La matriz de AS en la base B0 es B = (〈Avj, vi〉)i,j∈I2 ∈ M2(C).Dado z = (z1, z2) ∈ C2, se tiene que

w = z1v1 + z2v2 ∈ S , ‖w‖ = ‖z‖2 y 〈Bz, z〉 = 〈Aw,w〉 ,

por lo que α, β ∈ W (B) y, para probar que las combinaciones convexas de α y β estan enW (A), basta verificar que estan en W (B). En otras parabras, alcanza con probar el teoremaen el caso de que A ∈M2(C). Para ello, por los Lemas 10.2.1 y 10.2.2, se puede asumir que

A =

[0 ab 0

], con a ≥ 0 y b ≥ 0 ,

puesto que W (C +λI) = W (C) +λ y W (u ·V CV ∗) = u ·W (C) para cualquier C ∈M2(C),λ ∈ C, V ∈ U(2) y u ∈ C con |u| = 1. Obervar que los cambios inducidos por lasreducciones anteriores (translaciones y rotaciones) no perturban el hecho de que W (A) seaconvexo. Veremos que en este caso,

W (A) =t(

(a+ b) cos θ + i(a− b) sin θ)

: t ∈ [0, 1/2] y θ ∈ [0, 2π], (10.2)

que es una elipse (o eventualmente un segmento) centrada en el origen, y por lo tantoconvexa. En efecto, dado z ∈ C2 con ‖z‖ = 1, como

〈Az, z〉 =⟨Aeiαz, eiαz

⟩para todo α ∈ R ,

podemos suponer que z = (t, (1− t2)1/2eiθ) para t ∈ [0, 1] y θ ∈ [0, 2π]. En tal caso, cuentaselementales muestran que

〈Az, z〉 = t(1− t2)[

(a+ b) cos θ + i(a− b) sin θ].

Observar que los numeros t(1−t2) recorren el intervalo [0, 1/2] cuando t ∈ [0, 1]. Esto pruebala formula (10.2).

Corolario 10.2.4. Sea A ∈ L(H).

1. En general se cumple que conv [σ (A) ] ⊆ W (A).

2. Si A es normal, entonces conv [σ (A) ] = W (A).

3. Si dimH <∞, los resultados anteriores valen sin tomar clausura.

Demostracion. La inclusion σ (A) ⊆ W (A) ya fue vista en la Prop. 10.1.2. Pero por elTeo. 10.2.3, sabemos que esa incuson arrastra a la capsula convexa. Si A es normal, pro-baremos la inclusion recıproca solo en el caso de que dimH = n <∞. Sea x1, . . . , xn una

282

BON de H formada por autovectores de A asociados a sus autovalores λ1 , . . . , λn . Si x ∈ Htiene ‖x‖ = 1, entonces

〈Ax, x〉 =

⟨A

n∑k=1

〈x, xk〉xk,n∑k=1

〈x, xk〉xk

⟩=

n∑k=1

| 〈x, xk〉 |2λk ∈ conv [σ (A) ] ,

porque∑n

k=1 | 〈x, xk〉 |2 = ‖x‖2 = 1. Por lo tanto W (A) ⊆ conv [σ (A)].

Observacion 10.2.5. El caso general (dimH = ∞) del Corolario anterior, sale por unargumento similar (integrando o aproximando con sumas finitas), pero usando el TeoremaEspectral para operadores normales, que esta mas alla de los requerimientos pedidos a unlector tıpico de este trabajo. Se propone como ejercicio para el lector que lo conozca. 4

Definicion 10.2.6. 1. Dados dos espacios de Hilbert H y K, notamos

H⊕K = (x, y) : x ∈ H , y ∈ K ,

que es un espacio de Hilbert con el producto 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 〈x1, x2〉+ 〈y1, y2〉.

2. Dados A ∈ L(H) y B ∈ L(K), se define el operador

A⊕B ∈ L(H⊕K) dado por A⊕B(x, y) = (Ax,By), (x, y) ∈ H ⊕K .

3. Matricialmente tenemos que

A⊕B def=

[A 00 B

]HK ∈ L(H⊕K) .

4. En forma similar se definen sumas directas de muchos espacios de Hilbert y de muchosoperadores en ellos. 4

Corolario 10.2.7. Sean A ∈ L(H) y B ∈ L(K). Entonces

W (A⊕B) = conv [W (A) ∪W (A) ] y w(A⊕B) = maxw(A), w(B) . (10.3)

Idem con muchos bloques diagonales.

Demostracion. La inclusion W (A) ∪W (A) ⊆ W (A ⊕ B) se testea inmediatamente usandovectores con una cordenada nula. Por el Teorema 10.2.3, esto arrastra a la capsula convexade W (A) ∪W (A). Recıprocamente, dados x ∈ H e y ∈ K no nulos tales que ‖(x, y)‖2 =‖x‖2 + ‖y‖2 = 1, tenemos que

〈A⊕B(x, y), (x, y) 〉 = 〈Ax, x〉+ 〈By, y〉

= ‖x‖2

⟨A

x

‖x‖,x

‖x‖

⟩+ ‖y‖2

⟨B

y

‖y‖,y

‖y‖

⟩,

quien claramente pertenece a conv [W (A) ∪W (A) ].

283

Corolario 10.2.8. Sea A ∈Mn(C). Entonces existe U ∈ U(n) tal que, si B = U∗AU , luego

Bii =trA

npara todo i ∈ In .

Demostracion. Cambiando A por A − trA

n, lo que debemos probar es que, si trA = 0,

entonces podemos conseguir U ∈ U(n) tal que la diagonal de U∗AU sea nula. Lo probaremospor induccion en n. Para n = 1 es trivial. Observar que el caso n = 2 es el Lema 10.2.1. Sin > 2, aplicando el Cor. 10.2.4 obtenemos que

0 =trA

n∈ conv [σ (A)] ⊆ W (A) .

Luego existe un vector unitario x ∈ Cn tal que 〈Ax, x〉 = 0. Completando x a una BONde Cn que lo tenga como primer elemento, y tomando U1 ∈ U(n) la matriz con esa BON ensus columnas, obtenemos que

C = U∗1AU1 =

[0 ∗∗ D

]1

n− 1,

porque C11 = 〈Ax, x〉 = 0. Como D ∈ Mn−1(C) cumple que trD = 0, podemos aplicarla hipotesis inductiva y encontrar V ∈ U(n − 1) tal que la diagonal de V ∗DV sea nula.Definiendo U2 = 1⊕ V ∈ U(n) y U = U1U2 ∈ U(n), se ve que

U∗AU = U∗2CU2 =

[1 00 V ∗

] [0 ∗∗ D

] [1 00 V

]=

[0 ∗VV ∗∗ V ∗DV

],

que tiene la diagonal nula.

Observacion 10.2.9. Sea W ⊆ C un conjunto convexo compacto, y sea z0 /∈ W . Entoncesexiste un unico w0 ∈ W tal que

d(z0,W ) = |z0 − w0| = d > 0 .

El tal w0 existe (y es unico) por la teorıa usual de espacios de Hilbert, usando que W esconvexo y cerrado. Mas aun, si x = z0 − w0, entonces Re (w0x) + d = Re (z0x) y

Re (zx) ≤ Re (w0x) para todo z ∈ W .

Esto se deduce de que w0 es la proyeccion ortogonal de z0 sobre W , y de que el productoescalar en C pensado como R2 es la parte real del producto escalar usual. Observar que larecta z ∈ C : Re [(z − w0)x] = 0 es ortogonal a z0 − w0 y pasa por w0. 4

Teorema 10.2.10. Sea A ∈ L(H). Entonces

W (A) =z ∈ C : |z − λ| ≤ w(A− λI) para todo λ ∈ C

=

z ∈ C : |z − λ| ≤ ‖A− λI‖ para todo λ ∈ C

.

284

Demostracion. Notemos W = W (A), X =z ∈ C : |z − λ| ≤ w(A − λI) , λ ∈ C

e

Y =z ∈ C : |z − λ| ≤ ‖A − λI‖ , λ ∈ C

. Es claro, por las definiciones, que X ⊆ Y .

Usando que W (A)− λ = W (A− λI), es facil ver que W ⊆ X. En lo que sigue probaremosque Y ⊆ W : Supongamos que z0 /∈ W , y sea w0 la proyeccion ortogonal de z0 sobre W(como en la Obs. 10.2.9). Sean

d = |z0 − w0| = D(z0,W ) > 0 , y B = e−iθ(A− w0I) ,

donde z0 − w0 = eiθd. Luego WB = W (B) = e−iθ(W (A)− w0) y, si

YB =z ∈ C : |z − λ| ≤ ‖B − λI‖ , λ ∈ C

, entonces YB = e−iθ(Y − w0) .

Por lo tanto, para ver que z0 /∈ Y , alcanza probar que d = e−iθ(z0−w0) /∈ YB. Observar que,como la funcion x 7→ e−iθ(x − w0) preserva distancias, la proyeccion de d a WB es, ahora,e−iθ(w0 − w0) = 0. Ademas, como d = d− 0 > 0, si z ∈ WB ,

Re (z d ) = dRe z ≤ 0 =⇒ Re z ≤ 0 ,

por la Obs. 10.2.9. Ahora, si ‖x‖ = 1 y m ∈ N, entonces

‖(B +mI)x‖2 =⟨(B +mI)x , (B +mI)x

⟩= ‖Bx‖2 +m2 + 2mRe 〈Bx, x〉≤ ‖B‖2 +m2 ,

porque 〈Bx, x〉 ∈ WB . Es decir que ‖B +mI‖ ≤ (‖B‖2 +m2)1/2. Es facil ver que (‖B‖2 +m2)1/2 −m −−−→

m→∞0. Por lo tanto, debe existir m ∈ N tal que

‖B +mI‖ −m ≤ (‖B‖2 +m2)1/2 −m < d .

En otras palabras, para ese m se tiene que ‖B +mI‖ < d+m = |d+m|, por lo que d /∈ YBy entonces z0 /∈ Y . Resumiendo, vimos que si z0 /∈ W , entonces z0 /∈ Y , o sea que Y ⊆ W .

10.3 Caracterizaciones del radio numerico

Vaeamos una aplicacion directa del Teo. 6.1.4:

Proposicion 10.3.1. Sea A ∈ L(H). Entonces:

1. ‖A− I‖ < 1 implica que A ∈ Gl (H) y A−1 =∑∞

n=0(I − A)n

2. Si B ∈ Gl (H) y ‖B − A‖ ≤ ‖B−1‖−1, entonces, A ∈ Gl (H).


Lema 10.3.2. Sea A ∈ L(H) tal que w(A) ≤ 1. Sea z ∈ C con |z| < 1. Entonces

285

1. σ (A) ⊆ λ ∈ C : ‖λ‖ ≤ 1.

2. I − zA ∈ Gl (H).

3. Re(I − zA) ≥ 0 y Re(I − zA)−1 ≥ 0.

4. Se tiene le expresion en serie de potencias

Re(I − zA)−1 = I +∞∑k=1

znAn

2+∞∑k=1

znA∗n

2, (10.4)

con convergencia en norma, para |z| < 1.

Demostracion. Lo primero sale porque ρ(A) ≤ w(A) ≤ 1. Ademas, si z 6= 0, entoncesI − zA = z(z−1I − A) ∈ Gl (H), porque |z−1| > 1, o sea que z−1 /∈ σ (A). Como w(zA) ≤w(A) ≤ 1,

〈Re(zA)x, x〉 = Re 〈zAx, x〉 ≤ | 〈zAx, x〉 | ≤ ‖x‖2 para todo x ∈ H .

Esto muestra que Re(I − zA) ≥ 0. Dado y ∈ H, tomando x = (I − zA)−1y,⟨y,Re(I − zA)−1y

⟩= Re

⟨y, (I − zA)−1y

⟩= 〈Re(I − zA)x, x〉 ≥ 0 ,

ası que tambien Re(I − zA)−1 ≥ 0. La formula (10.4) se deduce de las igualdades

(I − zA)−1 =∞∑k=0

znAn y[(I − zA)−1

]∗=∞∑k=0

z n(A∗)n ,

que valen para todo |z| < 1 (aunque ‖A‖ pueda ser mayor que 1) porque son ciertas para|z| < ‖A‖−1 por la Prop. 10.3.1, y siguen valiendo hasta el mayor disco donde se puedacalcular la funcion analıtica z 7→ (I − zA)−1, que sabemos que no es menos que |z| < 1 porlo visto en el item 2.

Lema 10.3.3. Sea Sea T ∈ L(H) tal que w(T ) ≤ 1. Entonces, para todo n ∈ N,

Zn

(T2

)=

1

2

2I T ∗ 0 . . . 0T 2I T ∗ . . . 0...

. . . . . . . . ....

0 . . . T 2I T ∗

0 . . . 0 T 2I

∈ L(Hn+1)+ .

Demostracion. Como w(T ) ≤ 1, por el Lema 10.3.2 sabemos que Re(I−zT )−1 ≥ 0 y tenemosla expresion en serie (10.4), para |z| < 1. Por lo tanto, si llamamos Q(r, θ) = Re(I−reiθT )−1,para r ∈ [0, 1) y θ ∈ [0, 2π], tenemos que

Q(r, θ) = I +1

2

∞∑k=1

rk(eikθT k + e−ikθ(T ∗)k

)≥ 0 .

286

Tomemos (h0 , . . . , hn) ∈ Hn+1. Si llamamos h(θ) =n∑s=0

hseis θ, tenemos que

0 ≤ 1

2π

∫ 2π

0

〈 Q(r, θ)h(θ) , h(θ) 〉 dθ

=n∑k=0

‖hk‖2 +1

2

∑0≤j<s≤n

rs−j⟨T s−jhj, hs

⟩+

1

2

∑0≤s<j≤n

rj−s⟨(T ∗)j−shj, hs

⟩,

pues solo sobreviven a la integral los terminos ei(k+j−s)θ ⟨T khj, hs⟩ donde k+ j − s = 0, y lomismo para T ∗. Como esto vale para todo r < 1, haciendo r → 1− obtenemos

0 ≤n∑k=0

‖hk‖2 +1

2

∑0≤j<s≤n

⟨T s−jhj, hs

⟩+

1

2

∑0≤s<j≤n

⟨(T ∗)j−shj, hs

⟩

=

⟨1

2

2I T ∗ (T ∗)2 . . . (T ∗)n

T 2I T ∗ . . . (T ∗)n−1

.... . . . . .

...T n−1 . . . T 2I T ∗

T n . . . T 2 T 2I

h0

h1......hn

,

h0

h1......hn

⟩

.

Si llamamos Wn(T ) a la matriz de arriba (con el 1/2), cuentas elementales muestran

0 ≤ Wn(T ) =

I T ∗ . . . (T ∗)n

0 I. . .

......

. . . . . . T ∗

0 . . . 0 I

Zn(−T/2)

I 0 . . . 0T I . . . 0...

. . . . . ....

T n . . . T I

.

Como las matrices que conjugan son inversibles (triangulares con I’s en la diagonal), de-ducimos que Zn(−T/2) ≥ 0. Como w(−T ) = w(T ) ≤ 1, tambien Zn(T/2) ≥ 0, para todon ∈ N.

El siguiente resultado fue probado por T. Ando en [92]:

Teorema 10.3.4 (Ando 1973). Sea A ∈ L(H). Son equivalentes:

1. w(A) ≤ 1.

2. Para todo θ ∈ [0, 2π) se tiene que Re(eiθA) ≤ I.

3. Se cumple que Zn(A/2) ≥ 0 para todo n ∈ N (ver Def. 9.7.1).

4. Existe X ∈ L(H)+ tal que[I A∗/2A/2 X

]≥ 0 y SC

([I A∗/2A/2 X

], H⊕ 0

)= X .

287

5. Existe Y ∈ L(H)+ tal que

[I − Y A∗/2A/2 Y

]∈ L(H⊕H)+ .

6. Existen C ∈ L(H) e Y ∈ L(H)+ tales que Y ≤ I,

‖C‖ ≤ 2 y (I − Y )1/2 C Y 1/2 = A .

7. Existe L ∈ A(H) tal que

[I + L A∗

A I − L

]∈ L(H⊕H)+ .

Demostracion. La equivalencia entre las condiciones 1 y 2 es bien facil.

1 → 3 Es el Lema 10.3.3.

3 ↔ 4 ↔ 5 Es el Teo. 9.7.3.

5 ↔ 6 Es el Teo. 9.2.7.

5 → 7 Supongamos que

[I − Y A∗/2A/2 Y

]≥ 0. Si llamamos L = I−2Y ∈ A(H), se tiene que

I + L = 2(I − Y ) y I − L = 2Y . Por lo tanto,[I + L A∗

A I − L

]= 2

[I − Y A∗/2A/2 Y

]≥ 0 .

7 → 2 Dado x ∈ H, sea y = −eiθx. Luego, si L cumple la condicion 7 ,

2‖x‖2 =

∥∥∥∥[xy ]∥∥∥∥2

≥⟨[−L −A−A∗ L

] [xy

],[xy

] ⟩= 2

⟨Re(eiθA)x, x

⟩. (10.5)

Luego Re(eiθA) ≤ I.

Corolario 10.3.5. Dado A ∈ L(H),

w(A) = minL∈A(H)

max

⟨[L AA∗ −L

]x, x

⟩: x ∈ C2n , ‖x‖ = 1

.

Demostracion. Se puede asumir que w(A) = 1, porque las dos cantidades dependen ho-mogeneamente de A. En ese caso, la igualdad se deduce de la formula (10.5), con algunosretoques.

Corolario 10.3.6. Sean A ∈ L(H)+ y B ∈ L(H). Son equivalentes:

1. Existe X ∈ L(H)+ tal que[A B∗

B X

]∈ L(H⊕H)+ y SC

([A B∗

B X

], H⊕ 0

)=

[X 00 0

].

288

2. Para todo n ∈ N, Zn(A,B) ∈ L(Hn+1)+.

3. Existe C ∈ L(H) tal que A1/2CA1/2 = B y w(C) ≤ 1

2.

Demostracion. En el Teo. 9.7.3 se muestra la equivalencia 1↔ 2. Llamemos

A(n) =

A1/2 0 . . . 0

0 A1/2 . . . 0...

. . . . . ....

0 . . . 0 A1/2

= A1/2 ⊗ In ∈ L(Hn)+ , n ∈ N .

La relacion entre las condiciones 2 y 3 se ve a traves de la formula

Zn(A,B) = A(n+1)Zn(C)A(n+1) para todo n ∈ N , (10.6)

y el hecho de que Zn(C) ≥ 0 para todo n ∈ N si y solo si w(2C) ≤ 1, por el Teo. 10.3.4.Esto muestra 3 → 2. Recıprocamente, si Z1(A,B) ≥ 0, el Teo. 9.2.7 dice que existe unacontraccion C ∈ L(H) tal que A1/2CA1/2 = B, y la Ec. (10.6) tiene sentido. Si P ∈ L(H) es

el proyector ortogonal sobre R(A1/2), entonces PCP sirve tanto como C. Luego podemosasumir que C = PCP . En tal caso, si Zn(A,B) ≥ 0, la Ec. (10.6) dice que 〈Zn(C)y, y〉 ≥ 0para y en un denso del subespacio invariante R(P ) n+1, mientras que en (R(P )n+1)⊥ =(kerA)n+1, el operador Zn(C) actua como la identidad. Podemos concluir que Zn(C) ≥ 0, ypor ende w(C) ≤ 1/2.

Observacion 10.3.7. Dado A ∈ L(H), w(A) ≤ 1 si y solo si existe un espacio se HilbertK ⊇ H y U ∈ U(K) tal que, si P ∈ L(K) es la proyeccion ortogonal sobre H, entonces

Anx = 2PUnx , para todo x ∈ H y n ∈ N .

Esto es algo mas difıcil que lo anterior, pero puede deducirse de los Lemas 10.3.2 y 10.3.3 (enparticular del hecho de que las matrices Wn(T ) sean positivas). Recientemente, Chi-KwongLi y H. Woerdeman plantearon una conjetura que intenta generalizar estos resultados (enparticular el Cor. 10.3.5), en terminos del k-esimo radio numerico

wk(A) = sup

k∑j=1

|〈Axj, xj〉| : x1, . . . , xk es un sistema ortonormal

.

Al parecer, la conjetura esta aun sin resolver. 4

10.4 Comparacion con NUI’s

Proposicion 10.4.1. Sea A ∈ L(H). Entonces

1

2‖A‖ ≤ w(A) ≤ ‖A‖ .

Admas, las constantes 1 y 1/2 son optimas para la desigualdad anterior.

289

Demostracion. Tomemos partes real e imaginaria: A = ReA+ i ImA. Luego

w(A) ≤ ‖A‖ ≤ ‖ReA‖+ ‖ ImA‖ = w(ReA) + w(ImA) ≤ 2 · w(A) ,

donde la ultima desigualdad se deduce de que W (ReA) = Re z : z ∈ W (A), por lo quew(ReA) ≤ w(A), y lo mismo para ImA. La optimalidad de las constantes 1 y 1/2 se vetomando las matrices E11 y 2E21 .

Proposicion 10.4.2 (Marcus-Sandy 1985). Sea A ∈Mn(C). Entonces

1

n

n∑i=1

si(A) ≤ w(A) ≤n∑i=1

si(A) = ‖A‖1 .

Admas, las constantes 1 y 1/n son optimas para la desigualdad anterior.

Demostracion. Tomemos la descomposicion polar A = U |A|, con U ∈ U(n). Conjugandocon otra matriz unitaria (lo que no cambia ni w(A) ni ‖A‖1), podemos suponer que que U esdiagonal. Pongamos U = diag (w1 , . . . wn), con |wi| = 1, i ∈ In . Veremos que, en este caso,

el numero1

n

n∑i=1

si(A) es superado por alguno de los modulos de los elementos diagonales de

A. En efecto, si notamos e1 , . . . , en a la base canonica de Cn, y llamamos P = |A|, dadok ∈ In tenemos que

|Akk| = | 〈Aek, ek〉 | = | 〈UPek, ek〉 | = | 〈Pek, U∗ek〉 | = |wk 〈Pek, ek〉 | = |Pkk| = Pkk ,

donde la ultima igualdad surge de que P ∈Mn(C)+. Por otra parte,

n∑k=1

Pkk = trP = tr |A| =n∑i=1

si(A) .

Por ende, debe existir algun k ∈ In tal que

1

n

n∑i=1

si(A) ≤ Pkk = | 〈Aek, ek〉 | ≤ w(A) .

Para ver que las constantes 1 y 1/n son optimas, tomar las matrices E11 e I.

Definicion 10.4.3. Llamemos A =

[0 02 0

]∈ M2(C) y V =

[0 11 0

]∈ U(2). Dado

n ∈ N, si n = 2m consideremos las matrices diagonales de bloques

Cn = A⊕ A⊕ · · · ⊕ A =m∑k=1

2E2k,2k−1 ∈Mn(C) y

Un = V ⊕ V ⊕ · · · ⊕ V =m∑k=1

E2k,2k−1 + E2k−1,2k ∈ U(n) .

290

Si n = 2m+ 1 e I1 denota a la “matriz” [ 1 ] ∈M1(C),

Cn = A⊕ · · · ⊕ A⊕ I1 = En,n +m∑k=1

2E2k,2k−1 ∈Mn(C) y

Un = V ⊕ · · · ⊕ V ⊕ I1 = En,n +m∑k=1

E2k,2k−1 + E2k−1,2k ∈ U(n) .

Observar que, como w(A) = w(I1) = 1, la Ec. (10.3) asegura que w(Cn) = 1 para todon ∈ N. 4

Los resultados anteriores fueron usados por C.R. Johnson y C.K. Li [100] para calcular, paraN una NUI fija en Mn(C), las mejores constantes m y M tales que

m ·N(T ) ≤ w(T ) ≤M ·N(T ) para todo T ∈Mn(C) .

Proposicion 10.4.4 (Johnson-Li 1988). Sea N una NUI en Mn(C). Luego

N(Cn)−1 N(T ) ≤ w(T ) ≤ N(E11)−1 N(T ) para toda T ∈Mn(C) .

Ademas, las constantes N(Cn)−1 y N(E11)−1 son optimas.

Demostracion. Fijemos T ∈ Mn(C). Si T = 0, el resultado es claro. Si no, sea A =w(T )−1 T , que tiene w(A) = 1. Por las Proposiciones 10.4.1 y 10.4.2, si s(A) = (s1, . . . , sn),se tiene que

1 ≤ s1 ≤ 2 y n ≥n∑k=1

sk .

Observar que s(E11) = e1 y s(Cn) = vn, donde

vn =

(2, . . . , 2, 0, . . . , 0) =m∑k=1

2ek si n = 2m

(2, . . . , 2, 1, 0, . . . , 0) =m∑k=1

2ek + em+1 si n = 2m+ 1 .

(10.7)

Por lo tanto, s(E11) ≺w s(A) ≺w s(Cn). Como N es una NUI, el Teorema de Ky Fan(Teorema 3.3.8 del Libro 1) dice que que

N(E11) ≤ N(A) =N(T )

w(T )≤ N(Cn) .

Invirtiendo y multiplicando por N(T ), se obtienen las desigualdades buscadas. TomandoT = Cn y T = E11 y observando que w(Cn) = w(E11) = 1, podemos deducir que lasconstantes dadas son optimas.

291

Proposicion 10.4.5. Sea N es una NUI en Mn(C). Entonces

w(T ) ≤ N(T ) , ∀ T ∈Mn(C) =⇒ ‖T‖sp ≤ N(T ) , ∀ T ∈Mn(C) .

Demostracion. Observar que ‖T‖sp = ‖ |T | ‖sp = w(|T |) ≤ N(|T |) = N(T ).

El siguiente teorema es el contenido del paper de T. Ando [93]:

Teorema 10.4.6 (Ando 2005). Si definimos la norma

N0(T ) = max

‖T‖sp

2,‖T‖1

n

para T ∈Mn(C) ,

se tiene que

1. N0 es una NUI.

2. N0(T ) ≤ w(T ) para todo T ∈Mn(C).

3. N0 es la mayor NUI en Mn(C) tal que N(T ) ≤ w(T ) para todo T ∈ Mn(C). Esdecir, si N es una NUI en Mn(C),

N(T ) ≤ w(T ) , ∀ T ∈Mn(C) =⇒ N(T ) ≤ N0(T ) , ∀ T ∈Mn(C) .

Demostracion. Los dos primeros items son claros de lo anterior. Fijemos T ∈ Mn(C).Como la desigualdad a probar es entre normas unitariamente invariantes, podemos asumirque T = Σ(T ) = diag (s1(T ), . . . , sn(T )). Mas aun, supongamos que

N0(T ) = max s1(T )

2,

1

n

n∑i=1

si(T )

= 1 .

En este caso deberıamos probar que N(T ) ≤ 1. Las desigualdades resultantes de la igualdadanterior implican que s(T ) ≺w vn , donde vn es el vector definido en la Ec. (10.7). TomemosCn y Un las matrices de la Def. 10.4.3. Notar que UnCn = Bn , donde

Bn = diag (2, 0, 2, 0, . . . , 2, 0) o bien Bn = diag (2, 0, 2, 0, . . . , 2, 0, 1) .

Observar que s(B) = vn. Luego, como s(T ) ≺w vn = s(Bn) y N es una NUI, el Teorema deKy Fan (Teorema 3.3.8 del Libro 1) nos dice que que N(T ) ≤ N(Bn), con lo que bastarıaprobar que N(Bn) ≤ 1. Por otra parte, en la Def. 10.4.3 se ve que w(Cn) = 1 para todon ∈ N. Como U ∈ U(n) y N es una NUI, tenemos que

N(T ) ≤ N(Bn) = N(UnCn) = N(Cn) ≤ w(Cn) = 1 = N0(T ) .

Observar que recien al final usamos la hipotesis sobre N .

292

Capıtulo 11

Normas unitariamente invariantespara operadores compactos

Sea H un espacio de Hilbert separable, y L(H) el algebra de operadores lineales acotadosque operan en en H. Denotaremos por

• L0(H) al ideal de operadores compactos,

• Gl (H) al grupo de operadores invertibles,

• A(H) al subespacio (real) de operadores heritianos,

• L(H)+ al conjunto de operadores semidefinidos positivos (de ahora en mas, llamaremospositivos a estos operadores),

• U(H) al grupo unitario, y

• Gl(H)+ = L(H)+ ∩Gl (H) al conjunto de operdores definidos positivos (o sea positivose invertibles).

Dado A ∈ L(H), R(A) denota la imagen de A, kerA el nucleo de A,

σ(A) = λ ∈ C : a− λI /∈ Gl (H)

el espectro de A, A∗ el adjunto de A, |A| = (A∗A)1/2 el modulo de A, ρ(A) el radio espectralA, y ‖A‖ notma de A en L(H). Dado un subespacio cerrado S de H, notaremos por PS ala proyeccion ortogonal sobre S.

Cuando dimH = n < ∞ identificaremos H con Cn, L(H) con Mn(C), y usaremos lassiguientes notaciones: H(n) por A(H), Mn(C)+ por L(H)+, U(n) por U(H), y Gl (n) porGl (H).

293

11.1 Normas unitariamente invariantes

Una norma ‖| · ‖| en Mn(C) era unitariamente invariante si ‖| UAU∗ ‖| = ‖| A ‖| para todaA ∈ Mn(C) y U ∈ U(n). La nocion de norma unitariamente invariante puede extenderse aoperadores en espacios de Hilbert. Para verlo, empecemos con algunas definiciones basicas:

Sea A ∈ L0(H). Luego tambien |A| ∈ L0(H). Notaremos por s(A) = (sk(A))k∈Na la sucesion de autovalores de |A|, tomados con multiplicidad y en orden decreciente. SidimR(A) = n <∞, pondremos sk(A) = 0 para k > n. Los numeros sk(A) se llaman tambienvalores singulares de A. Notar que, por el Teorema espectral para operadores compactos,existe un sistema ortonormal xnn∈N de autovectores de |A| asociados a la sucesion s(A).Si notamos A = U |A| la descomposicion polar de A, entonces U es isometrico en R(|A|).Luego el sistema ynn∈N = Uxnn∈N es tambien ortonormal. Para ellos vale una versioninfinitodimensional de la descomposicion en valores singulares:

A = U |A| = U∑n∈N

sn(A) xn ⊗ xn =∑n∈N

sn(A) yn ⊗ xn .

En otras palabras,

Az =∑n∈N

sn(A)〈z, xn〉yn , z ∈ H .

Observar que los operadores Am =∑m

n=1 sn(A) yn ⊗ xn tienen rango finito, puesto ques(Am) = (s1(A), . . . , sm(A), 0, . . . ). Pero tienen la interesante propiedad de que

s(A− Am) = (sm+1(A), sm+2(A), . . . ) , m ∈ N . (11.1)

Repaso de matrices

Recordemos los siguientes nociones y resultados de matrices (ver capıtulo 3 del Libro I):

Definicion 11.1.1. Una norma ‖| · ‖| en Mn(C) se dice que es una norma unitariamenteinvariante (NUI) , si cumple que

‖| UAV ‖| = ‖| A ‖|

para toda A ∈Mn(C) y U, V ∈ U(n). Notar que, en tal caso, ‖| A ‖| = ‖| Σ(A) ‖| . 4

Definicion 11.1.2. Dada una norma N(·) unitariamente invariante, se define la funciongN : Rn → R como gN(x1, . . . , xn) = N (diag (x1, . . . , xn)). 4

Proposicion 11.1.3. Sea N una NUI. Entonces:

1. gN es una norma en Rn.

2. gN(x1, . . . , xn) = gN(|x1|, . . . , |xn|).

3. gN(x1, . . . , xn) = gN(xσ(1), . . . , xσ(n)).

294

Observacion 11.1.4. Una funcion f : Rn → R que cumple los ıtems 1, 2 y 3 de laProposicion anterior se denomina gauge simetrica. 4

Proposicion 11.1.5. Si g es una funcion gauge simetrica, entonces, g es monotona, es decir,si |xi| ≤ |yi| para todo i ∈ 1, . . . , n, entonces, g(x) ≤ g(y).

Sucesiones de numeros

Denotaremos C0 al conjunto de sucesiones complejas a = (an)n∈N tales que an −−−→n→∞

0.

Consideremos CF ⊆ C0 , el conjunto de sucesiones a ∈ C0 con finitas entradas no nulas. Dadaa ∈ C0, notaremos |a| = (|an|)n∈N ∈ C0 . Para cada n ∈ N, llamaremos Pn : C0 → CF a lafuncion dada por Pn(a) = (a1, . . . , an, 0, . . . ). En forma similar a las nociones definidas enel caso finitodimensional en la Proposicion 11.1.3, definiremos funciones gauge simetricas enCF y C0, y normas unitariamente invariantes en L0(H):

Definicion 11.1.6.

1. Una funcion gauge simetrica (o norma simetrica) es una funcion g : CF → R queverifica las siguientes condiciones:

• g es una norma en CF .

• g(a) = g(|a|) para todo a ∈ CF , y

• g es invariante por permutaciones.

Decimos que g esta normalizada si g(e1) = 1.

2. Si g es una norma simetrica, se tiene que, para toda a ∈ C0, la sucesion g(Pn(a)) iscreciente. Redefinimos

g : C0 → R+ ∪ ∞ vıa g(a) = limn→∞

g(Pn(a)) .

A partir de ahora, llamaremos normas simetricas a estas extensiones a C0. Como en laProp. 11.1.5, puede verse que las normas simetricas son monotonas, i.e., g(|a|) ≤ g(|b|)si a, b ∈ C0 verifican que |ak| ≤ |bk| para todo k ∈ N.

3. Una norma unitariamente invariante in L0(H) es una funcion

‖| · ‖| : L0(H)→ R+ ∪ ∞ , dada por ‖| A ‖| = g(s(A) ), A ∈ L0(H) ,

donde g es una norma simetrica en C0. La norma se dice normalizada if g lo esta. 4

Observacion 11.1.7. Se sabe (ver, por ejemplo, el libro de Simon [109]) que, si

I = A ∈ L0(H) : ‖| A ‖| <∞ , entonces

295

1. Para todo ε > 0 y T ∈ I, existe un operador de rango finito S (i.e., dimR(S) < ∞)tal que ‖| T − S ‖| < ε. En efecto, basta encontrar, para cada n ∈ N, operadores Sntales que s(Sn) = Pn(s(T )) y s(T − Sn) = (sn+1(T ), sn+2(T ), . . . ). Tales operadores sepueden obtener aplicando las observaciones anteriores a la formula (11.1). Este hechoes clave, porque con los resultados conocidos para matrices, uno puede deducir lassiguientes propiedades:

2. Si A ∈ L(H) tiene rango finito, luego A ∈ I, ya que s(A) ∈ CF . Si dimR(A) = 1,entonces ‖| A ‖| = s1(A)g(e1) = g(e1)‖A‖.

3. Dados A ∈ L0(H) y B ∈ I tales que

‖A‖(k)def=

k∑j=1

sj(A) ≤k∑j=1

sj(B) = ‖B‖(k) para todo k ∈ N,

entonces A ∈ I y ‖| A ‖| ≤ ‖| B ‖| .

4. Para cualrquier A ∈ I y cualquier proyeccion P ∈ L(H), se tiene que

‖| PAP ‖| ≤ ‖| PAP + (I − P )A(I − P ) ‖| ≤ ‖| A ‖| .

5. I es un ideal autoadjunto de L(H). Mas aun, si B ∈ I, luego ‖| B ‖| = ‖| B∗ ‖| , y

‖| AB ‖| ≤ ‖A‖ ‖| B ‖| para todo A ∈ L(H) .

6. (I, ‖| · ‖| ) es un espacio de Banach. En particular, ‖| · ‖| es una norma en I.

The most known examples of norma unitariamente invariante s are the Schatten p-normsdefined by ‖| A ‖| p = tr(|A|p)1/p, for 1 ≤ p ≤ ∞, and the Ky-Fan norms ‖ · ‖(k) , k ∈ N. Theusual norm, which coincides with ‖ · ‖(1) y ‖| · ‖| ∞ when restricted to L0(H), is also unitaryinvariant. 4

Proposicion 11.1.8. Let N be an norma unitariamente invariante ‖| · ‖| on an ideal I ⊆L(H). Let PFF∈F be a increasing net of projections in L(H)+ which converges stronglyto the identity. Then

N(PFTPF ) −−−→F∈F

N(T ) para todo T ∈ I .

Demostracion. By Remark 11.1.7, para todo ε > 0, there exists a finite rank operator S talque N(T − S) < ε. On the other hand, para todo A ∈ I y every projeccion P ∈ L(H), itholds that N(PAP ) ≤ N(A). In particular, N(PF (T −S)PF ) < ε para todo F ∈ F . Hence,we can assume that dimR(T ) = n <∞.

En tal caso, also dimR(PFTPF ) ≤ n, F ∈ F . entonces sm(T ) = sm(PFTPF ) = 0 para todom > n y F ∈ F . The symmetric norm g associated with N is a norm on Rn (completingthe n-tuples with zeros) and, in Rn, all norms are equivalent. Hence, in order to show the

296

Proposition, it suffices to verify that sk(PFTPF ) −−−→F∈F

sk(T ) para todo 1 ≤ k ≤ n. It is

known (see [94] III.6.6) that, para todo k ∈ N,

‖T‖(k) =k∑j=1

sj(T ) = max

∣∣∣∣∣k∑j=1

〈Txj, yj〉

∣∣∣∣∣ ,where the maximum is taken over all orthonormal systems x1, . . . , xk, y1, . . . , yk in H.Note that 〈PFTPFx, y〉 = 〈TPFx, PFy〉 −−−→

F∈F〈Tx, y〉 para todo x, y ∈ H. On the other

hand, by Remark 11.1.7, the net ‖PFTPF‖(k) is increasing, because the norm ‖ · ‖(k isunitary invariant, and PGTPG = PG(PFTPF )PG, for F,G ∈ F , G ≤ F . So, we can deducethat ‖PFTPF‖(k) −−−→

F∈F‖T‖(k) para todo k ∈ N. Por lo tanto

sk(PFTPF ) = ‖PFTPF‖(k) − ‖PFTPF‖(k−1) −−−→F∈F

‖T‖(k) − ‖T‖(k−1) = sk(T ),

para todo 1 ≤ k ≤ n.

Observacion 11.1.9. Let ‖| · ‖| be a unitary invariant norm defined on a norm ideal I ⊆L(H). The space L(H⊕H) can be identified with the algebra of block 2× 2 matrices withentries in L(H), denoted by L(H)2×2. Denote by I2 the ideal of L(H⊕H) associated with thesame norm ‖| · ‖| (i.e., by using the same symmetric norm g). Then, the following propertiesare esasy to see:

1. Let A ∈ L0(H), y define A1 ∈ L0(H⊕H) as any of the following matrices

A1 =

[0 A0 0

]or

[0 00 A

].

Then s(A1) = s(A), ‖| A1 ‖| = ‖| A ‖| , y A1 ∈ I2 si y solo si A ∈ I.

2. Under the mentioned identification, I2 = I 2×2. 4

297

Capıtulo 12

Productos escalares torcidos

12.1 Proyectores A-autoadjuntos y compatibilidad

Cada A ∈ L(H)+ produce una forma sesquilineal acotada (y no negativa)

〈 , 〉A : H×H → C dada por 〈ξ, η〉A = 〈Aξ, η〉 , ξ, η ∈ H .

Este semiproducto escalar induce la nocion de A-orthogonalidad. Es facil ver que el sube-spacio A-orthogonal de un S v H es

S⊥A def= ξ : 〈Aξ, η〉 = 0 ∀η ∈ S = A−1(S⊥) = A(S)⊥.

Dado T ∈ L(H), un operador W ∈ L(H) es un A-adjunto de T si

〈Tξ, η〉A = 〈ξ,Wη〉A, ξ, η ∈ H .

Puede verificarse inmediatamente que esto equivale a que T ∗A = AW . Por el Teo. 9.1.1, laexistencia de un A-adjunto para T equivale a que R(T ∗A) ⊆ R(A).

Ejercicio 12.1.1. Sean A ∈ L(H)+ y Q ∈ L(H) un proyector (i.e. Q2 = Q). Entonces Qtiene un A-adjunto si y solo si

R(A) = R(A) ∩N(Q∗)⊕R(A) ∩R(Q∗) = R(A) ∩N(Q)⊥ ⊕R(A) ∩R(Q)⊥. (12.1)

Observar que esto es bastante restrictivo, dado que solo permite adjuntar descomposicionesde H asociadas (vıa tomar ortogonales) a otras que tambien descompongan al R(A). 4

El Ejercicio anterior muestra que en general un T ∈ L(H) puede no tener A-adjuntos. Porotro lado, si N(A) 6= 0, puede suceder que un T ∈ L(H) tengo muchos A-adjuntos. Noseguiremos con este tema, porque nos concentraremos en las proyecciones A-autoadjuntas.

Antes de empezar a desarrollar la teorıa, comentaremos que la mayor parte de los resultadosde este Capıtulo pueden generalizarse al caso en que A = A∗ pero no es positivo. En algunoscasos se puede hacer en forma directa, e otros es bastante mas difıcil que el caso A ∈ L(H)+.Sobre este tema se investiga actualmente, utilizando recursos de la teorıa de espacios deKrein. Sin embargo, en este trabajo nos restrigiremos al caso positivo, dejando algunasgeneralizaciones para los ejercicios.

298

Definicion 12.1.2. Dado un espacio de Hilbert H, llamaremos

Q = Q(H) = Q ∈ L(H) : Q2 = Q y P = P(H) = P ∈ Q : P ∗ = P

a los conjuntos de proyecciones (obicuas) y de proyecciones ortogonales. Fijado S v H,llamaremos

QS = Q ∈ Q : R(Q) = S =

Q =

[I X0 0

]SS⊥ : X ∈ L(S⊥,S)

,

a la variedad afın de proyectores sobre S. Observar que QS ∩ P = PS. 4

Definicion 12.1.3. Dado A ∈ L(H)+, llamaremos

PA = Q ∈ Q : Q∗A = AQ ,

al conjunto de proyectores A-autoadjuntos. Para cada S v H, notaremos

P(A,S) = QS ∩ PA = Q ∈ Q : R(Q) = S, AQ = Q∗A

a la clase de proyectores A-autoadjuntos con rango S, que seran nuestro principal objeto deestudio en este capıtulo. Diremos que el par (A,S) es compatible si P(A,S) 6= ∅. 4

En los siguientes capıtulos tenderemos que hacer muchas cuentas con subespacios: sumas,restas, contraimagenes, sus ortogonales, y otras yerbas. Muchas de esas cuentas son ele-mentales (hay que probar las dos inclusiones, y salen), pero como esos pasos se mezclan conotras cuentas y a veces las notaciones confunden, agregaremos ahora un ejercicio para irfamiliarizandose con (y en lo posible memorizando) el tipo de igualdades que luego usaremoshasta el cansancio:

Ejercicios 12.1.4. Sean S, T ,Mv H. Recordemos que se usa la notacion

S T = S ∩ (S ∩ T )⊥ .

1. Cuidado: en general no vale que S T = S ∩ T ⊥ (buscar ejemplo).

2.(S + T

)⊥= S⊥ ∩ T ⊥ mientras que

(S ∩ T

)⊥= c l

(S⊥ + T ⊥

).

3. Si S ⊕ T = H, entonces no siempre vale que

(M∩S)⊕ (M∩ T ) de todo M .

Pero la igualdad sı vale cuando S ⊆M o T ⊆M.

4. Si S ∩ T = 0, S + T v H y ademas T ⊆M, entonces(S ⊕ T

)∩M =

(S ∩M

)⊕ T .

299

5. Supongamos que S ⊆ T ⊥, y nos preguntamos como calcular(S ⊥ T

)M. En general

es un bolonqui. Pero se tiene que, si tambien M⊆ T ⊥, entonces(S ⊥ T

)∩M = S ∩M =⇒

(S ⊥ T

)M =

(S M

)⊥ T .

6. Dado Q ∈ Q , se tiene que Q−1(S) = N(Q)⊕(R(Q) ∩ S

).

7. Dados A ∈ L(H) y Q ∈ Q , tenemos que kerAQ = N(Q)⊕(R(Q) ∩ kerA

). 4

La herramienta escencial que usaremos para estudiar la compatibilidad, y por lo tanto paraexhibir proyectores adecuados, sera el Teorema de Douglas 9.1.1. Veremos a continuacionuna version particular de dicho Teorema, que involucra (y produce) proyectores oblicuos:

Lema 12.1.5. Sean A ∈ L(H) y Q ∈ Q con R(Q) = S y kerQ = T . Entonces

1. R(QA) ⊆ R(A) si y solo si R(A) =[R(A) ∩ S

]⊕[R(A) ∩ T

].

2. En tal caso, si D ∈ L(H) es la SR de la ecuacion AX = QA, entonces tambien D ∈ Q.

Ademas, se tiene que R(D) = A−1(S) kerA y kerD = A−1(T ) .

Demostracion.

1. Si R(QA) ⊆ R(A), entonces R(QA) ⊆ R(A) ∩ S. Entonces, si ξ ∈ R(A), nos sale que

ξ −Qξ ∈ R(I −Q) ∩R(A) = R(A) ∩ T .

La recıproca es obvia.

2. Obervar que AD2 = QAD = Q2A = QA. Encima vale que

R(D2) ⊆ R(D) ⊆ (kerA)⊥ .

Entonces D2 es tambien una SR de la ecuacion AX = QA. Por la unicidad que asegurael Teo. 9.1.1, tiene que valer que D2 = D, i.e. D ∈ Q. Su rango y nucleo se calculanusando el item 1, dado que kerD = kerQA y A

(A−1(S)

)= R(A) ∩ S.

El problema que trataremos en principio, sera el de dar caracterizaciones de la compatibilidadde un par (A,S), y de describir y calcular a los elementos de P(A,S), si es que hay. Antesde ello, daremos la siguiente caracterizacion de los elementos de PA , muy similar al casousual (A = I):

Proposicion 12.1.6. Sean A ∈ L(H)+ y Q ∈ Q. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

1. Q ∈ PA , o sea que Q∗A = AQ.

2. kerQ ⊆ R(Q)⊥A .

300

3. Q es una A-contraccion, i.e. 〈Qξ,Qξ〉A ≤ 〈ξ, ξ〉A para todo ξ ∈ H.

Demostracion. Llamemos S = R(Q). Recordar que R(Q)⊥A = A−1(S⊥).

1 → 2: Si Q ∈ PA , para todo par ξ, η ∈ H se tiene que

〈Aη,Qξ〉 = 〈Q∗Aη, ξ〉 = 〈AQη, ξ〉 = 〈Qη,Aξ〉 . (12.2)

Entonces Qξ = 0 implica que Aξ ∈ S⊥ (porque η es cualquiera), por lo que kerQ ⊆ A−1(S⊥).

2 → 3: Supongamos que kerQ ⊆ A−1(S⊥). Dado ξ ∈ H, escribamos

ξ = η + ρ , donde η = Qξ ∈ S y ρ = (I −Q)ξ ∈ kerQ ⊆ A−1(S⊥) .

Entonces 〈Aρ, η〉 = 〈ρ,Aη〉 = 0 y nos queda que

〈Aξ, ξ〉 = 〈Aη, η〉+ 〈Aρ, ρ〉 ≥ 〈Aη, η〉 = 〈Q∗AQ ξ, ξ〉 =⇒ Q∗AQ ≤ A .

Finalmente, observar que la condicion 3 es equivalente a que Q∗AQ ≤ A.

3 → 1: Supongamos que Q∗AQ ≤ A. Por el Teo. 9.1.1, si D es la SR de la ecuacionA1/2X = Q∗A1/2, se tiene que ‖D‖ ≤ 1 y, por el Lema 12.1.5, que D2 = D. Ambascondiciones aseguran que D∗ = D, o sea D ∈ P . Pero como Q∗A = A1/2DA1/2, podemosconcluir que Q∗A = AQ.

Corolario 12.1.7. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

1. El par (A,S) es compatible.

2. S + S⊥A = S + A−1(S⊥) = H.

Demostracion. Por la Prop. 12.1.6, si Q ∈ P(A,S), entonces kerQ ⊆ S⊥A . Luego

H = R(Q)⊕ kerQ ⊆ S + S⊥A .

Por otra parte, si S + S⊥A = H, entonces debe existir algun Q ∈ QS tal que N(Q) ⊆ S⊥A .Por la Prop. 12.1.6, un tal Q ∈ P(A,S).

12.2 Caracterizaciones de la compatibilidad

Ahora veremos caracterizaciones de la compatibilidad en terminos de la matriz de A. Antesfijemos las notaciones: Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Llamaremos P = PS y escribiremos larepresentacion matricial de A con las letras

A =

[a bb∗ c

]SS⊥ .

301

Proposicion 12.2.1. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:


2. R(PA) = R(PAP ) o, equivalentemente, R(b) ⊆ R(a).

3. La ecuacion ax = b tiene solucion.

En tal caso, todo Q ∈ P(A,S) tiene la forma Q =

[I y0 0

]SS⊥ , donde ay = b.

Demostracion. Recordar que, salvo tres ceros, a = PAP y b = PA(1− P ).

2 ↔ 3: Aplicar el Teo. 9.1.1 y observar que R(PA) = R(a) +R(b).

1 ↔ 3: Pensemos que a ∈ L(S) y b ∈ L(S⊥,S). Si y ∈ L(S⊥,S) sea Q =

(I y0 0

)∈ PS .

Entonces

AQ =

[a bb∗ c

] [I y0 0

]=

[a ayb∗ b∗y

]y Q∗A = (AQ)∗ =

[a by∗a y∗b

].

Pero las tres igualdades resultantes a que AQ = Q∗A (o sea que Q ∈ P(A,S) ) equivalen aque ay = b (porque en tal caso y∗b = y∗ay ≥ 0).

Ejemplo 12.2.2. Sea A ∈ L(H)+ y consideremos

M =

[A A1/2

A1/2 I

]=

[A1/2 0I 0

] [A1/2 I

0 0

]∈ L(H⊕H)+.

Si S = H ⊕ 0, la Prop. 9.2.1 nos asegura que el par (M,S) es compatible si y solo siR(A) v H. 4

Observacion 12.2.3. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Entonces

1. Si R(PAP ) v H, el par (A,S) es compatible. En efecto, si A =

[a bb∗ c

], por la

Prop. 9.2.3 se tiene que R(b) ⊆ R(a1/2). Pero como R(PAP ) = R(a) v H, entoncesR(a1/2) = R(a). Por la Prop. 12.2.1, (A,S) es compatible. En particular:

2. Si dimH <∞, entonces todo par (A,S) es compatible.

3. Idem si dimS <∞.

4. Si A ∈ Gl(H)+, sabemos que R(PAP ) = S, por lo que seguro (A,S) es compatible.En este caso, la unica proyeccion PA,S sobre S que es A-autoadjunta esta determinadapor las siguientes formulas (ver [110])

PA,S =

[I a−1b0 0

]= P (1+P−A−1PA)−1 =

(PAP+(1−P )A(1−P )

)−1

PA. (12.3)

302

Cabe observar que, es este caso, (H, 〈·, ·〉A) es un espacio de Hilbert isomorfo al Hnormal (el producto interno nuevo es equivalente al viejo). Por ello no debe sorprenderque haya siempre un unico projector ortogonal sobre cada subespacio cerrado S (y quelos subespacios cerrados sean los mismos). 4

Definicion 12.2.4. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS tales que (A,S) es compatible.

Si A =

[a bb∗ c

], sea d ∈ L(S⊥,S) la SR de la ecuacuion ax = b. Fijaremos entonces al

proyector PA,S ∈ P(A,S) dado por

PA,Sdef=

[1 d0 0

]SS⊥ .

Teorema 12.2.5. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS tales que (A,S) es compatible.Notaremos N = A−1(S⊥) ∩ S = S⊥A ∩ S. Entonces se tiene que:

1. N = ker a = kerA ∩ S.

2. PA,S ∈ P(A,S) y N(PA,S) = A−1(S⊥)N .

3. P(A,S) tiene un solo elemento (que sera PA,S) si y solo si si y solo si N = 0 si ysolo si S ⊕ A−1(S⊥) = H.

4. P(A,S) es una variedad afın y puede parametrizarse a traves de

P(A,S) = PA,S + L(S⊥,N ) ,

donde pensamos a L(S⊥,N ) como un subespacio de L(H). Una version matricial deesta parametrizacion serıa:

P(A,S) 3 Q = PA,S + z =

1 0 d0 1 z0 0 0

S NNS⊥

, para z ∈ L(S⊥,N ) , (12.4)

con las notaciones de la Def. 12.2.4.

5. PA,S tiene norma mınima en P(A,S):

‖PA,S‖ = min ‖Q‖ : Q ∈ P(A,S) . (12.5)

Sin embargo, PA,S no es en general el unico Q ∈ P(A,S) que realiza la norma mınima.

Demostracion.

1. Sea ξ ∈ S. Luego Aξ = aξ + b∗ξ. Recordemos que aξ ∈ S y b∗ξ ∈ S⊥. Por tanto,Aξ ∈ S⊥ si y solo si ξ ∈ ker a. Por otro lado, si ξ ∈ N , entonces

‖A1/2ξ‖ = 〈Aξ, ξ〉‖A1/2ξ‖ = 0 .

Por ello Aξ = 0. Es evidente que kerA ⊆ A−1(S⊥), asi que tenemos demostrada laigualdad N = ker a = kerA ∩ S.

303

2. Como ya vimos, PA,S ∈ P(A,S) por la Prop. 12.2.1. Ademas, por la Prop. 12.1.6,kerPA,S ⊆ A−1(S⊥). Pero como S ⊕ (A−1(S⊥)N ) = H, bastarıa ver que kerPA,S ⊆N⊥. Sea ξ ∈ kerPA,S y pongamos ξ = ξ1 + ξ2 , con ξ1 ∈ S y ξ2 ∈ S⊥. Entonces0 = PA,Sξ = ξ1 + dξ2. Ahora pordemos ver que

η ∈ N =⇒ 〈ξ, η〉 = 〈ξ1, η〉 = −〈dξ2, η〉 = 0 ,

porque R(d) ⊆ R(a) = (ker a)⊥ = N⊥, por ser d la SR de ax = b.

3. Por la Prop. 12.1.6, si Q ∈ QS , Q ∈ P(A,S) si y solo si kerQ ⊆ A−1(S⊥).

4. Tenemos que ver que cada Q ∈ P(A,S) se escribe en forma unica como

Q = PA,S + z , con z ∈ L(S⊥,N ).

Si A =

[a bb∗ c

], Q =

[1 y0 0

]con y ∈ L(S⊥,S) y si d ∈ L(S⊥,S) es la SR de la

ecuacion ax = b, entonces

Q ∈ P(A,S) ⇐⇒ ay = b ⇐⇒ a(y − d) = 0 .

Por lo tanto, si z = y − d ∈ L(S⊥,S), entonces

Q ∈ P(A,S) ⇐⇒ Q = PA,S + z y R(z) ⊆ ker a = N .

Con respecto a la representacion matricial, observar que el Teo. 9.1.1 asegura que

R(d) ⊆ R(a) = (ker a)⊥ ∩ S = S N .

5. Si Q ∈ P(A,S) tiene la matriz de la Ec. (12.4), entonces

‖Q‖2 = 1 +

∥∥∥∥∥∥ 0 0 d

0 0 z0 0 0

∥∥∥∥∥∥2

= 1 + ‖d∗d+ z∗z‖2 ≥ 1 + ‖d∗d‖2 = 1 + ‖d‖2 = ‖PA,S‖2.

Veamos un ejemplo donde no es la unica: Sea d ∈ L(S⊥,S) tal que

‖d‖ = 1 , R(d) = R(d) 6= S y ker d 6= 0 .

Entonces la matriz

A =

[PR(d) dd∗ 1

]≥[dd∗ dd∗ 1

]≥ 0 .

Tenemos que N = kerA ∩ S = S R(d) y que d es la SR de PR(d)x = d. Seaz ∈ L(ker d,N ) tal que 0 < ‖z‖ ≤ 1. Entonces Q = PA,S + z como en (12.4) cumpleque Q ∈ P(A,S), ‖Q‖ = ‖PA,S‖ =

√2 y Q 6= PA,S .

304

12.3 Complementos de Schur

Recordemos que, si A ∈ L(H)+ y S v H, entonces el Teo. 9.5.6 dice que

SC(A , S⊥

)= infR∗AR : R ∈ Q, kerR = S .

En general el ınfimo no es un mınimo. Por otro lado, por el Cor. 9.4.2,

R(A) ∩ S⊥ ⊆ R(SC(A , S⊥

)) ⊆ R(SC

(A , S⊥

)1/2) = R(A1/2) ∩ S⊥ .

Aquı, la primera inclusion puede ser estricta. Veremos que lo que no pasa en general sı pasacuando el par (A,S) es compatible:

Proposicion 12.3.1. Sean A ∈ L(H)+ y S v H tales que (A,S) es compatible. SeaE ∈ P(A,S) y notemos Q = 1− E. Entonces

1. SC(A , S⊥

)= AQ = Q∗AQ.

2. SC(A , S⊥

)= minR∗AR : R ∈ Q, kerR = S y el mınimo se alcanza en esos Q.

3. R(SC(A , S⊥

)) = R(A) ∩ S⊥.

4. ker SC(A , S⊥

)= kerA+ S.

Demostracion.

1. En principio, podemos ver que 0 ≤ AQ = Q∗AQ ≤ A, por la Prop. 12.1.6, y ademas

R(AQ) = R(Q∗A) ⊆ R(Q∗) = kerQ⊥ = S⊥ .

Esto dice que AQ ∈M(A,S⊥), el conjunto definido en (9.3), de quien SC(A , S⊥

)es

el maximo. Por otro lado, dado X ∈M(A,S⊥), como kerQ = S, tenemos que

X =

[0 00 x

]SS⊥ y Q = I − E =

[0 y0 I

]SS⊥ =⇒ XQ = X = Q∗X .

Por lo tanto, X = Q∗XQ ≤ Q∗AQ = AQ.

2. Por el item 1, Q∗AQ = SC(A , S⊥

)y kerQ = S. Entonces el mınimo se alcanza en Q

por el Teo. 9.5.6.

3. Notar que SC(A , S⊥

)= AQ implica que R(SC

(A , S⊥

)) ⊆ R(A) ∩ S⊥. La otra

inclusion vale siempre por el Cor. 9.4.2

4. Como Q es un proyector y kerQ = S, se ve facilmente que

ker SC(A , S⊥

)= kerAQ = kerQ ⊕

(R(Q) ∩ kerA

)⊆ S + kerA .

La otra inclusion vale siempre por la Prop. 9.4.4.

305

Corolario 12.3.2. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:


2. El conjunto S∗AS : S ∈ Q, kerS = S alcanza el mınimo en alguna proyeccion R.

3. Existe R ∈ Q tal que kerR = S y R∗AR ≤ A.

Demostracion. 1 → 2: Aplicar la Prop. 12.3.1.2 → 3: Se deduce del Teo. 9.5.6.3 → 1: Por la Prop. 12.1.6, cualquier R ∈ Q tal que R∗AR ≤ A cumple que AR = R∗A.Si tambien kerR = S, entonces 1−R ∈ P(A,S)

Observacion 12.3.3. Recien vimos que una condicion semejante al item 2 de la Prop. 12.3.1es suficiente para que valga la compatibilidad. Observar que tal condicion dice que el op-erador SC

(A , S⊥

)tiene una buena conducta en terminos de su computabilidad. A contin-

uacion mostraremos que juntando los items 3 y 4, que tambien hablan de buenas porpiedadesdel operador shorted, conseguimos otra caracterizacion de la compatibilidad. Pero antesveamos un resultado intermedio, que es interesante en sı mismo. 4

Lema 12.3.4. Sean A ∈ L(H)+ y S v H tales que R(SC(A , S⊥

) )⊆ R(A). Denotemos

ker SC(A , S⊥

)= T . Entonces

1. SC(A , T ⊥

)= SC

(A , S⊥

).

2. El par (A, T ) es compatible.

Demostracion. Observar que SC(A , T ⊥

)≤ SC

(A , S⊥

)por la Prop. 9.3.3, ya que

T ⊥ = R(SC (A , S⊥)

)⊆ S⊥ .

Pero esto mismo dice que SC(A , S⊥

)∈ M(A, T ⊥) (el conjunto definido en (9.3) ), por lo

que SC(A , S⊥

)≤ SC

(A , T ⊥

). Por otra parte, como R

(SC(A , S⊥

) )⊆ R(A), existe la

solucion reducida Q de la ecuacion AX = SC(A , S⊥

). Por lo tanto, se tiene que

kerQ = ker SC(A , S⊥

)= T y AQ = SC

(A , S⊥

)= Q∗A .

Para poder concluir que 1−Q ∈ P(A, T ), alcanzarıa mostrar que Q ∈ Q. Veamos primeroque, si L = A−1/2(S⊥) = A1/2(S)⊥, entonces Q es la SR de la ecuacion A1/2X = PLA

1/2 (loque, de paso, muestra que R(PLA

1/2) ⊆ R(A1/2) ). Por la Prop. 9.3.3,

SC(A , S⊥

)= A1/2PLA

1/2 =⇒ A1/2(A1/2Q− PLA1/2) = 0 .

Luego, para todo ξ ∈ H, se tiene que PLA1/2ξ = A1/2Qξ + η para algun η ∈ kerA1/2. Por lo

tanto, como kerA1/2 = R(A1/2)⊥ ⊆ A1/2(S)⊥ = L, se tiene que

‖η‖2 = 〈PLA1/2ξ, η〉 − 〈A1/2Qξ, η〉 = 〈A1/2ξ, PL η〉 = 〈A1/2ξ, η〉 = 0.

306

Llegamos a que A1/2Q = PLA1/2. Pero, por otra parte, como Q era la SR de la ecuacion

AX = SC(A , S⊥

), tenemos que

R(Q) ⊆ (kerA)⊥ = (kerA1/2)⊥ .

Por lo tanto, Q tambien debe ser la SR de A1/2X = PLA1/2. Finalmente, como PL ∈ P ,

podemos aplicar el Lema 12.1.5, y concluir que Q ∈ Q. Entonces 1−Q ∈ P(A, T ) 6= ∅.

Teorema 12.3.5. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces (A,S) es compatible si y solo si

R(SC(A , S⊥

) )= R(A) ∩ S⊥ y ker SC

(A , S⊥

)= kerA+ S .

Demostracion. La ida fue vista en la Proposicion 12.3.1. Si R(SC(A , S⊥

) )= R(A) ∩ S⊥

y ker SC(A , S⊥

)= kerA+S = T , sabemos, por la Proposicion 12.3.4, que el par (A, T ) es

compatible, o sea que T + A−1(T ⊥) = S + kerA+ A−1(T ⊥) = H. Pero

kerA ⊆ A−1(S⊥) y ademas T ⊥ ⊆ S⊥ =⇒ A−1(T ⊥) ⊆ A−1(S⊥) ,

por lo que S + A−1(S⊥) ⊇ S + kerA+ A−1(T ⊥) = H. Entonces (A,S) es compatible.

Corolario 12.3.6. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Notemos Q = PS⊥ . Entonces el par (A,S)es compatible si y solo si

S⊥ ⊆ R(A+ λQ

)para algun (y en tal caso para todo) λ > 0 . (12.6)

Demostracion. La Prop. 12.2.1 asegura que el hecho de que (A,S) sea compatible solodepende de la primera fila PA de A (es decir, de a y b). Por ello podemos cambiar libremente

A por Aλ = A+ λQ , para cualquier λ > 0 ,

y la compatibilidad con S ni se entera. Ademas es facil ver (por las definiciones) que

SC(Aλ , S⊥

)= SC

(A , S⊥

)+ λQ ≥ λQ , para todo λ > 0 .

Si ahora uno aplica el Teo. 12.3.5 a Aλ , se tiene que (Aλ,S) es compatible si y solo si severifica la Ec. (12.6), porque SC

(Aλ , S⊥

)es estrictamente positivo en S⊥. Recordar que,

respecto de los nucleos, la inclusion a testear es ker SC(Aλ , S⊥

)⊆ kerAλ+S. Pero ahora es

automatica, porque ker SC(Aλ , S⊥

)= S (y porque, si vale (12.6), kerAλ = R(Aλ)

⊥ ⊆ S).

Compresiones

Recordemos la Def. 9.4.5 de la S-compresion de A y sus propiedades:

Observacion 12.3.7. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. El operador

ASdef= A− SC (A , S) ∈ L(H)+

307

se llama la S-compresion de A. En la Prop. 9.4.6 se vio que

R(AS1/2) ∩ S = 0 y kerAS = A−1(S) .

Si llamamos M = A−1/2(S⊥) = A1/2(S)⊥, entonces por la Prop. 9.3.3,

SC(A , S⊥

)= A1/2PMA

1/2 =⇒ AS⊥ = A1/2(I − PM)A1/2 .

Por lo tanto, como (I − PM) es la identidad en A1/2(S), se tiene que

A(S) ⊆ R(AS⊥) ⊆ A1/2(M⊥) ⊆ A(S) , (12.7)

donde la ultima inclusion se sigue de que M⊥ =(A1/2(S)⊥

)⊥= A1/2(S) (y de que A1/2

es continua). Pero por la Prop. 12.3.1, si (A,S) es compatible, entonces AS⊥ = AQ, paracualquier proyector Q ∈ P(A,S). En tal caso, tenemos que R(AS⊥) = A(S) . En la siguienteProposicion veremos que esta igualdad en realidad caracteriza la compatibilidad. 4

Proposicion 12.3.8. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Entonces

el par (A,S) es compatible si y solo si R(AS⊥) = A(S) .

Demostracion. Si (A,S) es compatible entonces por lo mencionado mas arriba, sabemosque R(AS⊥) = A(S). Recıprocamente, supongamos que R(AS⊥) ⊆ A(S). Luego, comoSC(A , S⊥

)= A− AS⊥ , vemos que R

(SC(A , S⊥

) )⊆ R(A). Por otro lado, si

ξ ∈ ker SC(A , S⊥

)entonces Aξ = AS⊥ ξ ∈ A(S) .

Si Aξ = Aη con η ∈ S, entonces ξ = (ξ − η) + η ∈ kerA + S. Hemos probado queker SC

(A , S⊥

)⊆ kerA+ S. Por el Teo. 12.3.5, deducimos que (A,S) es compatible.

12.4 El caso R(A) v H

Cuando el rango de A es cerrado, es mas facil caracterizar la compatibilidad. Primero veamosuna condicion suficiente en general, que luego veremos que es necesaria si R(A) v H.

Proposicion 12.4.1. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Entonces

R(PAP ) v H =⇒ (A,S) es compatible

Demostracion. Ver la Obs. 12.2.3.

La mayorıa de las condiciones del siguiente Teorema se sabe que son equivalentes entre sıpor los resultados del Capıtulo 1. Sin embargo las incluimos todas para enfatizar.

Teorema 12.4.2. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Supongamos que R(A) v H.Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

308


2. R(PAP ) es cerrado.

3. c [S , kerA ] < 1.

4. S + kerA es cerrado (resp. S⊥ +R(A) es cerrado).

5. R(PA) es cerrado (resp. R(AP ) = A(S) es cerrado).

6. R(A1/2P ) = A1/2(S) es cerrado.

Demostracion. La Prop. 12.4.1 muestra que 2 → 1. Que las condiciones 2 hasta 6 sonequivalentes entre sı se deduce de las Proposiciones 8.4.10 y 8.4.11, y del hecho de queR(A) v H (por lo que tambien R(A1/2) v H, cf. Prop. 4.3.6). Finalmente, la Prop. 12.3.1dice que, si (A,S) es compatible, entonces S + kerA = ker SC

(A , S⊥

)v H.

Ejercicio 12.4.3. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Si R(A) v H, probar que

(A,S) es compatible ⇐⇒ ker SC(A , S⊥

)⊆ S + kerA .

Comparar con el Teo. 12.3.5. Y con los rangos ¿que pasa? Sugerencias:

C1. Combinar las Proposiciones 9.4.4 y 12.4.2.

C2. Combinar la Prop. 9.4.1, el Cor. 9.4.2 y el Teo. 12.3.5. 4

Corolario 12.4.4. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Supongamos que R(A) v H.Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:


2. Para todo B ∈ L(H)+ tal que R(B) = R(A), el par (B,S) is compatible.

3. El par (PR(A),S) es compatible.

Mas aun, si B ∈ L(H)+ y R(B) = R(A), las variedades afines P(A,S) y P(B,S) son”paralelas”, i.e.

P(B,S) = (PB,S − PA,S) + P(A,S). (12.8)

Demostracion. Si R(B) = R(A) entonces tambien kerB = kerA = kerPR(A) . Por elTeo. 12.4.2, las tres condiciones son equivalentes, porque la compatibilidad solo depende delangulo entre S y el nucleo del operador. Usando que

N = A−1(S⊥) ∩ S = kerA ∩ S = kerB ∩ S = B−1(S⊥) ∩ S ,

la igualdad (12.8) se deduce de la parametrizacion dada en el Teo. 12.2.5.

La condicion 3 del corolario anterior y la Ec. (12.8) son una invitacion a considerar losconjuntos P(Q,S) para Q ∈ P , que es lo que haremos a continuacion.

309

12.5 El caso de dos proyectores

En esta seccion estudiaremos el caso en el que A es un proyector ortogonal, i.e., A = Q ∈ P .Por el Teo. 12.4.2 (items 3 y 6), si S v H y P = PS , entonces

kerQ+ S v H si y solo si P(Q,S) 6= ∅ .

En este caso, denotaremos PQ,P al proyector PQ,R(P ) de la Definicion 12.2.4. En el siguienteresultado, recolectaremos varias condiciones equivalentes a la existencia de PQ,P . Vale lamisma observacion que la mencionada antes del Teo. 12.4.2.

Teorema 12.5.1. Sean P,Q ∈ P con R(P ) = S y R(Q) = T . Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

1. (Q,S) es compatible.

2. (P, T ) es compatible.

3. kerQ+R(P ) es cerrado.

4. kerP +R(Q) es cerrado.

5. R(PQ) es cerrado.

6. R(QP ) es cerrado.

7. R(1− P +Q) es cerrado.

8. R(1−Q+ P ) es cerrado.

9. c[S , T ⊥

]= c

[T , S⊥

]< 1.

Si ademas kerQ ∩ S = 0, son equivalentes tambien a que

10. ‖(1−Q)P‖ < 1.

Demostracion. La unica novedad es la equivalencia con las condiciones 7 y 8, que dejamoscomo ejercicio (por ejemplo, mostrar que R(1− P + Q) = S⊥ + T ). La equivalencia de lasotras con 10 surge de la Prop. 8.2.3.

Ejercicio 12.5.2. Sean P,Q ∈ P con R(P ) = S y R(Q) = T , tales que

S + T ⊥ = H (en particular (Q,S) es compatible) y S ∩ T ⊥ = 0 .

Sea E ∈ Q el proyector asociado a la descomposicion S ⊕ T ⊥ = H, i.e., R(E) = S = R(P )y kerE = T ⊥ = kerQ. Probar que entonces

PQ,P = PQ,S = E y PP,Q = PP,T = E∗ .

Calcular sus normas, y comparar con lo que sigue. 4

310

Proposicion 12.5.3. Sean Q ∈ P y S v H tales que (Q,S) es compatible. Entonces valela igualdad

‖PQ,S‖ = s[R(Q)⊥ , S

]−1= s [N(Q) , S ]−1 .

Demostracion. Por el Cor. 8.2.8, sabemos que ‖PQ,S‖ = s [N(PQ,S) , S ]−1. Pero, por lasProposiciones 12.2.5 y 8.2.3, tenemos que

N(PQ,S) = Q−1(S⊥)(Q−1(S⊥) ∩ S

)=⇒ c [N(PQ,S) , S ] = c

[Q−1(S⊥) , S

].

Por otra parte, si llamamos T = R(Q), entonces Q−1(S⊥) = N(Q)⊕ (T ∩S⊥). Observemosque T ∩ S⊥ = (N(Q) + S)⊥. Usando el Ejer. 12.1.4 (Item 5) esto implica, por un lado, que(N(Q)⊕ (T ∩ S⊥)

)∩ S = N(Q) ∩ S, y por otro lado que

Q−1(S⊥) S =(N(Q)⊕ (T ∩ S⊥)

) S =

(N(Q) S

)⊕ (T ∩ S⊥) .

De ahı podemos deducir, aplicando la definicion con productos escalares, que

c[Q−1(S⊥) , S

]= c [N(Q) , S ] .

Finalmente, llegamos a que

‖PQ,S‖ = s [N(PQ,S) , S ]−1 = s[Q−1(S⊥) , S

]−1= s [N(Q) , S ]−1 ,


12.6 El caso A inyectivo

Proposicion 12.6.1. Sea A ∈ L(H)+ tal que kerA = 0 y sea S v H. Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. El (A,S) es compatible.

2. S ⊕ S⊥A = H

3. S ⊕ S⊥A es cerrado.

4. S⊥ ⊕ A(S) = H

5. S⊥ ⊕ A(S) es cerrado.

En tal caso P(A,S) = PA,S, donde PA,S es el que aparece en la Def. 12.2.4.

311

Demostracion. Las sumas de 2 y 3 son directas porque S ∩ S⊥A = kerA ∩ S = 0. Laequivalencia entre 1 y 2 esta probada en el Cor. 12.1.7 La equivalencia entre las otras cuatrocondiciones se deduce varios hechos: primero que

S⊥ ⊕ A(S) v H ⇐⇒ c[S⊥ , A(S)

]< 1 ⇐⇒ c

[S , S⊥A

]< 1 ⇐⇒ S ⊕ S⊥A v H ,

(12.9)

porque A(S) =(A−1(S⊥)

)⊥=(S⊥A

)⊥, lo que permite aplicar la Prop. 8.4.10. El otro

hecho significativo es que S⊥ ⊕ A(S) es denso en H, porque el ortogonal de la suma esS ∩ A(S)⊥ = kerA ∩ S = 0. El ultimo hecho es la equivalencia entre 2 y 4 que es, ahora,un ejercicio facil (N ⊕M = H si y solo si N⊥ ⊕ M⊥ = H). Finalmente, la lınea deimplicaciones ya probadas es 3→ 5→ 4→ 2→ 3.

Observacion 12.6.2. Como en el caso de rango cerrado, en el caso inyectivo tambien setiene una caracterizacion de la compatibilidad en terminos de angulos. En efecto, obesrvarque

el par (A,S) es compatible ⇐⇒ c[S⊥ , A(S)

]< 1 ⇐⇒ c

[S , S⊥A

]< 1 ,

por la Ec. (12.9). 4

12.7 La proyeccion minimal

Repasemos la definicion de la proyeccion PA,S :

Definicion 12.7.1. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS tales que (A,S) es compatible. Si

A =

[a bb∗ c

], sea d ∈ L(S⊥,S) la SR de la ecuacuion ax = b. Entonces

PA,Sdef=

[1 d0 0

]SS⊥ ∈ P(A,S) .

Se vio, ademas que, si N = A−1(S⊥) ∩ S = kerA ∩ S, entonces

kerPA,S = A−1(S⊥)N y que ‖PA,S‖ = min‖Q‖ : Q ∈ P(A,S) ,

aunque no es siempre la unica minimal en norma. 4

Veremos que PA,S cumple una propiedad de minimalidad algo mejor, que sı la caracteriza:

Proposicion 12.7.2. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS tales que (A,S) es compatible.Entonces PA,S es el unico elemento de P(A,S) que cumple

‖(I − PA,S) ξ‖ = min‖(I −Q) ξ‖ : Q ∈ P(A,S) para todo ξ ∈ H . (12.10)

312

Demostracion. Dado Q ∈ P(A,S), por la Prop. 12.2.5 existe z ∈ L(S⊥,N ) tal que

I −Q = I − PA,S − z =

0 0 −d0 0 −z0 0 I

S NNS⊥

.

Por lo tanto, fijado ξ ∈ H, si η = (I − P ) ξ ∈ S⊥, entonces

‖(I −Q) ξ‖2 = ‖d η‖2 + ‖z η‖2 + ‖η‖2 ≥ ‖d η‖2 + ‖η‖2 = ‖(I − PA,S) ξ‖2 .

Observar que, si z 6= 0, puede elegirse ξ ∈ H tal que z η 6= 0, por lo que la desigualdad sepuede hacer estricta. Por ello PA,S es el unico que puede cumplir (12.10).

Observacion 12.7.3. Si E ∈ Q, entonces ‖E‖ = ‖I − E‖, porque dependen del seno delangulo entre el rango y el nucleo (que es simetrico). Por ello la Prop. 12.7.2 refina la formula(12.5) del Teo. 12.2.5 que dice que ‖PA,S‖ es mınima en P(A,S). Con las notaciones de laProp. 12.7.2, tambien se tiene que PA,S es el unico elemento de P(A,S) que cumple

‖PA,S ξ‖ = min‖Qξ‖ : Q ∈ P(A,S) para todo ξ ∈ N⊥ . (12.11)

En efecto, fijado ξ ∈ N⊥, pongamos ξ = ξ1 + ξ2 , con ξ1 = Pξ ∈ S N y ξ2 ∈ S⊥. Entonces,como R(d) ⊆ S N , tenemos que

‖Qξ‖2 = ‖ξ1 + d ξ2‖2 + ‖z ξ2‖2 = ‖PA,S ξ‖2 + ‖z ξ2‖2 ≥ ‖PA,S ξ‖2 .

Observar que, si z 6= 0, puede elegirse ξ ∈ N⊥ tal que z ξ2 6= 0, por lo que la desigualdad sepuede hacer estricta. Por ello PA,S es el unico que puede cumplir (12.11).

No es cierto que la desigualdad (12.11) valga para todo ξ ∈ H, salvo en el caso N =0, que es trivial (porque en tal caso PA,S es unico). De hecho, si elegimos ξ con ciertacomponente 0 6= ξ3 ∈ N , entonces PA,S deja fija esa componente, mientras que Q = PA,S + zpuede achicarla, o tacharla directamente si ξ3 ∈ R(z). 4

Lema 12.7.4. Sean A ∈ L(H)+ y S v H. Como siempre, N = A−1(S⊥) ∩ S = kerA ∩ S.Entonces

(A, S) es compatible ⇐⇒ (A, S N ) es compatible (12.12)

En tal caso se tienen las siguientes propiedades:

1. PA,SN + PN = PA,S .

2. kerPA,SN = A−1(S⊥).

3. P(A,S N ) = PA,SN.

313

Demostracion. Antes que nada, observar que

S + A−1(S⊥) = H ⇐⇒ (S N )⊕ A−1(S⊥) = H .

Pero A−1(S⊥) = A(S)⊥ = A(S N )⊥ = (S N )⊥A , porque N ⊆ kerA. Aplicandoel Cor. 12.1.7 a ambos pares, tenemos la prueba de la equivalencia (12.12). La igualdadP(A,S N ) = PA,SN se deduce de que (S N ) ∩ kerA = 0. Como

APN = PNA = 0 y N ⊆ A−1(S⊥) = kerPA,SN =⇒ PA,SNPN = PNPA,SN = 0 ,

tenemos que PA,SN + PN ∈ P(A,S). Por ultimo, es facil ver que

ker(PA,SN + PN

)= kerPA,SN ∩ kerPN = A−1(S⊥) ∩N⊥ = A−1(S⊥)N ,

lo que prueba que PA,SN + PN = PA,S , vıa la Prop. 12.2.5.

La Prop. 12.2.1 muestra que un par (A,S) es compatible si y solo si R(PA) ⊆ R(PAP ),donde P = PS . Por lo tanto, si (A,S) es compatible, es natural estudiar a la solucionreducida Q de la ecuacion

(PAP )X = PA (12.13)

y su relacion con PA,S . Observar que R(Q) ⊆ R(PAP ), que puede estar estrictamenteincluido en S, por lo que, en general, Q 6= PA,S . Sin embargo:

Proposicion 12.7.5. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS tales que (A,S) es compatible.Sea Q la SR de la ecuacion (12.13). Sea N = kerA ∩ S. Entonces

Q = PA,SN y PA,S = PN +Q .

Demostracion. Antes que nada, observar basta probar que Q = PA,SN , ya que la otra

igualdad se deducirıa del Lema 12.7.4. Si A =

[a bb∗ c

], pensando que a ∈ L(S), se tiene

ker a = N y R(a) = R(a1/2) = S N .

Observar que R(Q) ⊆ R(PAP ) = R(a). Tambien kerQ = ker(PA) = A−1(S⊥). Pero

ξ ∈ S N =⇒ a(Qξ) = (PAP )Qξ = PAξ = PAPξ = a(ξ).

Como a es inyectivo en S N , deducimos que Qξ = ξ para todo ξ ∈ S N . Entonces

Q2 = Q , R(Q) = S N y kerQ = A−1(S⊥) ,

lo que, en vista del Lema 12.7.4, mustra que Q = PA,SN .

En la Prop. 12.3.8 se vio que si un par (A,S) es compatible, entonces se verifica la inclusionR(AS⊥) ⊆ A(S) = R(APS), donde AS⊥ = A− SC

(A , S⊥

). Esto da sentido a otra SR que

puede servir para calcular PA,S . En efecto, da el mismo proyector que el de la Prop. 12.7.5:

314

Proposicion 12.7.6. Sean A ∈ L(H)+ y S v H tales que (A,S) es compatible. SeaP = PS . Si Q es la SR de la ecuacion (AP )X = AS⊥ , entonces

Q = PA,SN y ademas PA,S = Q+ PN ,

donde N = kerA ∩ S.

Demostracion. Sea Q la SR de la ecuacion APX = AS⊥ . Entonces, por la Prop. 9.4.6,

kerQ = kerAS⊥ = A−1(S⊥) y R(Q) ⊆ (kerAP )⊥ = (S⊥ +N )⊥ = S N . (12.14)

Luego PQ = Q, por lo que AS⊥ = AQ. Si ξ ∈ S N ⊆ ker SC(A , S⊥

), tenemos que

Aξ = AS⊥ ξ = AQξ =⇒ ξ −Qξ ∈ kerA ∩ (S N ) = 0 .

Esto muestra que Q es la identidad en S N . Como vimos que kerQ = A−1(S⊥), el Lema12.7.4 asegura que Q = PA,SN .

Observacion 12.7.7. Otra manera de probar la Prop. 12.7.6 es verificar que si Q la SR dela ecuacion APX = AS⊥ , entonces Q tambien es la SR de la Ec. (12.13). Esto sale usandola Ec. (12.14) y el hecho de que P SC

(A , S⊥

)= 0. 4

En la Prop. 12.3.1 se muestra que si un par (A,S) es compatible, entonces se verifica lainclusion R

(SC(A , S⊥

) )⊆ R(A). Esto da sentido a otra SR que puede servir para calcular

PA,S . En efecto:

Proposicion 12.7.8. Sean A ∈ L(H)+ y S v H tales que (A,S) es compatible. Sea Q laSR de la ecuacion AX = SC

(A , S⊥

). Entonces T = S + kerA v H ,

I −Q = PA, T y PA,S = (I −Q)− PkerA + 2PN ,

donde, como siempre, N = kerA ∩ S.

Demostracion. En la prueba del Lema 12.3.4 se vio que I −Q ∈ P(A, T ). Por otro lado,

kerA ⊆ A−1(T ⊥) = A(T )⊥ =⇒ T ∩ A(T )⊥ = S ∩ A(S)⊥ = N = kerA ∩ S .

Luego, como ker(I −Q) = R(Q) ⊆ kerA⊥ ⊆ N⊥, ya podemos decir que I −Q = PA, T . Laotra igualdad se deja como ejercicio.

Proposicion 12.7.9. Sean A ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Entonces las siguientes condi-ciones son equivalentes:


2. R(A1/2) = A1/2(S)⊕ (A1/2(S)⊥ ∩R(A1/2))

3. Si M = A1/2(S), entonces R(PMA1/2) ⊆ R(A1/2P ).

315

Demostracion. 1 ↔ 2: Si H = S + S⊥A , aplicando A1/2 en ambos lados tenemos que

A1/2(H) = A1/2(S) + A1/2(A−1(S⊥)) .

Es decir que

R(A1/2) = A1/2(S) + A−1/2(S⊥) ∩R(A1/2) = A1/2(S)⊕ A1/2(S)⊥ ∩R(A1/2) .

Pero si R(A1/2) = A1/2(S)⊕ A1/2(S)⊥ ∩R(A1/2) podemos ver que

H = S + A−1(S⊥) + kerA1/2 = S + A−1(S⊥) .

2 ↔ 3: Si vale 3 y tenemos un y ∈ R(A1/2), entonces y = y1 + y2 para y1 = PMy ∈ A1/2(S)e y2 = y − y1 ∈M⊥ = A1/2(S)⊥ (y son unicos). La recıproca es similar.

Por la Prop. 12.7.9, (A,S) es compatible si y solo si R(PMA1/2) ⊆ R(A1/2P ), es decir, si la

ecuacion A1/2PX = PMA1/2 tiene solucion. Como en la Prop. 12.7.6, su SR es la misma que

la de (12.13):

Proposicion 12.7.10. Sean A ∈ L(H)+ y S v H tales que (A,S) es compatible. SeaP = PS . Si Q es la SR de la ecuacion A1/2PX = PMA

1/2, entonces

Q = PA,SN y ademas PA,S = Q+ PN ,

donde N = kerA ∩ S.

Demostracion. Ejercicio. Se sugiere un camino similar al de la Obs. 12.7.7.

Ejercicio 12.7.11. Sean A ∈ L(H)+ y S v H tales que (A,S) es compatible. Sea P = PS .Supongamos que R(A) v H. Entonces

1. Los subespacios R(PAP ), R(AP ) y R(A1/2P ) son cerrados.

2. Si kerA ∩ S = 0, se tienen las siguientes igualdades

PA,S = (PAP )†PA = (AP )†AS⊥

= I − PkerA − A†SC(A , S⊥

)= (A1/2P )†PMA

1/2 ,

donde M = A1/2(S) . 4

Observacion 12.7.12. Sean A,B ∈ L(H)+, S v H y P = PS . Supongamos que PA = PB,o sea que

A =

[a bb∗ c1

]SS⊥ y B =

[a bb∗ c2

]SS⊥ .

316

Por la Prop. 12.2.1 y mirando la Def. 12.2.4, uno deduce que

(A,S) es compatible ⇐⇒ (B,S) es compatible

y, en tal caso, que PA,S = PB,S , porque ambas cosas dependen solo de a y de b. Usandoestos hechos, podremos en adelante cambiar libremente un dado A ∈ L(H)+ por A+Y paracualquier Y ∈ L(H)+ tal que PY = 0. Esto no cambiara la compatibilidad o no con S, nila proyeccion minimal asociada. Observar que esto ya fue usado en la Prop. 12.3.6. 4

Proposicion 12.7.13. Sean A ∈ L(H)+ y S, T v H tales que S ⊆ T . Supongamos que T

que reduce A, es decir PTA = APT . Si A =

(Z 00 Y

)TT ⊥ entonces (A,S) es compatible

si y solo si (Z,S) es compatible en L(T ). En tal caso,

PA,S =

[PZ,S 0

0 0

]TT ⊥ ,

donde tambien pesamos PZ,S ∈ L(T ).

Demostracion. Como S ⊆ T , se tiene que PS A = PS PT A =

(PS · Z 0

0 0

). Si llamamos

B = PTA =

(Z 00 0

), la Obs. 12.7.12 muestra la equivalencia de la compatibilidad de los

pares (A,S) y (B,S), y que PA,S = PB,S (si existen). Observar que

B−1(S⊥) = Z−1(T S) ⊥ T ⊥ .

LuegoH = B−1(S⊥) + S ⇐⇒ T = Z−1(T S) + S ,

lo que muestra la equivalencia con la compatibilidad de (Z,S). Por otro lado, como T ⊥es ortogonal tanto a S como a Z−1(T S), podemos aplicar el Ejer. 12.1.4 (Item 5) paraobtener que N = S ∩B−1(S⊥) = S ∩ Z−1(T S) y ademas

kerPB,S = B−1(S⊥)N =( (Z−1(T S)

)N

)⊥ T ⊥ = ker

[PZ,S 0

0 0

],

lo que muestra la igualdad PA,S = PB,S =

[PZ,S 0

0 0

].

12.8 Algunos ejemplos

Ejemplo 12.8.1. Sea A ∈ L(H)+ inyectivo con rango denso en H. Sea ξ ∈ R(A1/2) yllamemos Pξ al proyector ortogonal sobre span ξ. Entonces R(Pξ) ⊆ R(A1/2) y, por elteorema de Douglas 9.1.1, Pξ ≤ λA para algun λ > 0. Supondremos que λ = 1, sinocambiamos A por λA. Por el Cor. 9.2.9 se tiene que

B =

[A PξPξ A

]∈ L(H⊕H)+ .

317

Por la Prop. 9.2.1, R(A) ⊂ R(A1/2) en forma estricta (no son iguales). Luego existe ξ ∈R(A1/2)\R(A). Sea S = H⊕0 v H⊕H. Entonces S⊥ = 0⊕H. Veremos que B es inyectivo,ker SC (B , S) = S, mas aun B(S) es cerrado en R(B) (una condicion necesaria para lacompatibilidad y que implica que ker SC (B , S) = S). Pero el par (B,S) es incompatible.

En principio, es claro que B no cumple la condicion 2 de la Prop. 12.2.1, por lo que elpar (B,S) es incompatible. Sea D la SR de la ecuacion Pξ = A1/2X. Entonces

SC(B , S⊥

)=

[0 00 A−D∗D

].

Como kerD = kerPξ , entonces DPξ = D. Ası D∗D = PξD∗D y, si 0⊕ η ∈ ker SC

(B , S⊥

),

Aη = D∗Dη = PξD∗Dη = λξ para algun λ ∈ R =⇒ η = 0 ,

porque ξ /∈ R(A) y A es inyectivo. Esto muestra que ker SC(B , S⊥

)= S. Tambien

B(ω ⊕ η) = 0⊕ 0 =⇒ Aω + Pξ η = 0 = Aη + Pξ ω =⇒ Aω = Aη = 0 =⇒ ω = η = 0 ,

lo que muestra que B es inyectivo. Finalmente,

B(H⊕ 0) =(H⊕ span ξ

)∩R(B),

porque B(H ⊕ 0) ⊆ H ⊕ span ξ y, si ω 6= 0, entonces 0 6= Aω /∈ span ξ, por lo que,cualquiera sea η ∈ H, se tiene que

B(η ⊕ ω) = Aη + Pξ ω ⊕ Pξ η + Aω /∈ H ⊕ span ξ .

Esto prueba que B(S) es cerrado en R(B). 4

Observacion 12.8.2. Sean P ∈ P con R(P ) = S y A ∈ L(H)+. Por la Obs. 12.2.3, sidimS < ∞, entonces (A,S) es compatible. Por otro lado, si dimS⊥ < ∞ y R(A) v H,tambien (A,S) es compatible, en este caso por la Prop. 12.4.2 (porque la compatibilidaddepende de que c

[S⊥ , R(A)

]< 1). Sin embargo, si R(A) 6v H, entonces el Ejemplo 12.8.3

mostrara que la compatibilidad puede fallar, aun con dimS⊥ <∞. 4

Ejemplo 12.8.3. Sea A ∈ L(H)+ inyectivo con rango denso en H. Fijemos ξ /∈ R(A) vectorunitario. Sean Pξ el proyector ortogonal sobre span ξ, P = I −Pξ y S = ξ⊥ = R(P ). Si

A =

[a bb∗ c

]SS⊥ = span ξ y Aξ = λξ + η para η ∈ S ,

entonces λ = 〈Aξ, ξ〉 6= 0 y η 6= 0, porque sino valdrıa que ξ ∈ R(A). Luego

c = λPξ y b (µξ) = PA(µξ) = µ η para cada µ ∈ C =⇒ b = η ⊗ ξ .

Si sucediera que η ∈ R(a), i.e. que exista ν ∈ S tal que aν = bξ, entonces

PA(ν − ξ) = aν − bξ = 0 =⇒ A(ν − ξ) ∈ span ξ .

318

Como ξ /∈ R(A), tendrıamos que ν = ξ, una contradiccion. Ası que R(b) 6⊆ R(a) y el par(A,S) es incompatible, aunque dimS⊥ = 1. Sea d ∈ L(S⊥,S) la SR de la ecuacion a1/2x = b.Como η /∈ R(a) y a1/2 es inyectivo en S, podemos deducir que R(a1/2) ∩ R(d) = 0.Consideremos ahora el operador

B =

[a bb∗ dd∗

]∈ L(H)+ .

Por lo anterior (B,S) es tambien incompatible, pero ademas SC(B , S⊥

)= 0. Veremos que

B es inyectivo. En efecto,

B =

[a a1/2d

d∗a1/2 dd∗

]=

[a1/2 0d∗ 0

] [a1/2 d

0 0

]=⇒ kerB = ker

[a1/2 d

0 0

]= 0 ,

porque R(a1/2) ∩R(d) = 0, a1/2 es inyectivo en S y porque d es inyectivo en S⊥.Este ejemplo muestra tambien que la condicion ker SC

(B , S⊥

)= kerB+S que aparece

en el Teo. 12.3.5 es imprescindible. Aca no se cumple esa, pero sı la inclusion de los rangos,porque SC

(B , S⊥

)= 0 (y kerB = 0), y por eso (B,S) es incompatible. En ese sentido,

este ejemplo se complementa con el anterior 12.8.1, donde las cosas se daban al reves, y tam-poco habıa compatibilidad. Por ello estos ejemplos dicen que ninguna de las dos condicionespedidas en el Teo. 12.3.5 (la de rangos y la de nucleos) implica la otra, ni siquiera cuando Bes inyectivo. Recordar que en el caso de rango cerrado, alcanza con la de los nucleos. 4

12.8.4. Dados A,B ∈ L(H)+, decimos que estan en la misma ”componente de Thompson”,y lo notamos

A ∼ B si R(A1/2) = R(B1/2) ⇐⇒ λA ≤ B ≤ µA

para ciertas constantes λ, µ > 0. Una pregunta natural: Dado S v H, ¿es cierto que (A,S)es compatible si y solo si (B,S) es compatible? Esto resulta cierto si los rango s son cerrados,por el Cor. 12.4.4. Lamentablemente, en el caso general la respuesta es NO, como veremosen el siguiente Ejemplo. Antes necesitamos un Lema. 4

Lema 12.8.5. Sean A,B ∈ L(H)+.

1. Si R(A) = R(B) entonces R(At) = R(Bt) para todo 0 ≤ t ≤ 1. En particular A ∼ B.

2. Si R(A) 6v H, existe D ∈ L(H)+ tal que A ∼ D pero R(A) 6= R(D). Esto dice que elitem 1 no vale en general para potencias t > 1.

Demostracion.

1. Por el Teorema de Douglas 9.1.1, el que R(A) = R(B) implica que existen λ, µ > 0tales que λA2 ≤ B2 ≤ µA2. Por el Teorema de Lowner [121] (ver tambien el Teorema4.2.6 de nuestro tomo I, cuya prueba se extiende al caso de L(H) mutatis mutandis),deducimos que

λtA2t ≤ B2t ≤ µtA2t =⇒ R(At) = R(Bt) , para todo 0 ≤ t ≤ 1 .

Tomando t = 1/2 tenemos que A ∼ B.

319

2. Llamemmos C = A1/2. Dado G ∈ Gl(H)+, el Cor. 9.1.2 dice que

R(C) = R(CG1/2) = R(

(CGC)1/2).

Veremos que se puede encontrar un G tal que R(A) 6= R(CGC). En efecto, tomemos

(a) ξ ∈ R(C) \R(A) (existe por la Prop. 9.2.1 ).

(b) η ∈ (kerC)⊥ tal que Cη = ξ.

(c) ρ ∈ R(C) tal que 〈η, ρ〉 > 0 (existe porque R(C) es denso en (kerC)⊥).

(d) G ∈ Gl(H)+ tal que Gρ = η.

Este ultimo paso es algo mas complicado (porque le pedimos a G que sea positivo).Pero la hipotesis de que 〈η, ρ〉 > 0 (lo que dara que 〈Gρ, ρ〉 > 0) permite construir un talpositivo invertible que opere solo en Z = span ρ, η (ejercicio) y despues completarlocomo uno guste en Z⊥. Hecho todo esto, tenemos que

ξ = Cη = CGρ ∈ R(CGC) \R(A) .

Finalmente, tomemos D = CGC

Ejemplo 12.8.6. Sea A ∈ L(H)+ inyectivo pero no invertible. Sea B ∈ L(H)+ tal queA ∼ B y λA ≤ B ≤ µA para λ < 1 < µ. Por el Lema 12.8.5, podemos suponer queR(A) 6= R(B). Luego existe ξ ∈ R(A) \ R(B) ⊆ R(A1/2) = R(B1/2). Sea Pξ al proyectorortogonal sobre span ξ. Entonces R(Pξ) ⊆ R(A1/2) = R(B1/2). Por el Teorema de Douglas9.1.1 asumimos que 2Pξ ≤ A y que 2Pξ ≤ B. Como en el Ejem. 12.8.1, tomemos

MA =

[A PξPξ A

]∈ L(H⊕H)+ y MB =

[B PξPξ B

]∈ L(H⊕H)+ .

Sean S = H⊕ 0 y S⊥ = 0⊕H. Se vio en el Ejem. 12.8.1 que MB es inyectivo pero (MB,S)es incompatible. Por otro lado, como ξ ∈ R(A), entonces (MA,S) sı es compatible. Veremosque MA ∼MB, lo que dara la respuesta negativa a la conjetira anterior. En efecto,

2Pξ ≤ A y1

µB ≤ A =⇒ 2A− 1

µB ≥ 2Pξ ≥ (2− 1

µ)Pξ .

Por lo tanto, por el Cor. 9.2.9,

2MA = 2

[A PξPξ A

]≥ 1

µ

[B PξPξ B

]=

1

µMB .

Analogamente 2Pξ ≤ B y λA ≤ B =⇒ 2B − λA ≥ 2Pξ ≥ (2− λ)Pξ . Por lo tanto

2MB = 2

[B PξPξ B

]≥ λ

[A PξPξ A

]= λMA ,

lo que muestra que MA ∼MB . 4

320

Ejemplo 12.8.7. Sea A ∈ L(H)+ y tomemos

M =

[A A1/2

A1/2 I

]=

[A1/2 0I 0

] [A1/2 I

0 0

]∈ L(H⊕H)+

como en el Ejem. 12.2.2. Sean S = H⊕0 y N =

[A1/2 I

0 0

]. Como M = N∗N , entonces

kerM = kerN = ξ ⊕−A1/2ξ : ξ ∈ H que es el grafico de −A1/2. Observar que

R(N) = (R(A1/2) +R(I))⊕ 0 = S =⇒ R(M) v H⊕H .

Ademas SC(M , S⊥

)=

[0 00 PkerA

], porque la SR de A1/2X = A1/2 es D = PR(A). Si

A ∈ L(H)+ es inyectivo pero no invertible, entonces (M,S) no es compatible (ya sea porqueR(A) 6= R(A1/2), porque c [S , kerM ] = 1, o porque R(A) = R(PSMPS) no es cerrado).

Por la Prop. 12.3.8, deducimos que M(S) 6= R(MS⊥

). Por otra parte, MS⊥ = M que

tiene rango cerrado. Luego, en este caso, R(MS⊥) = M(S) mientras que M(S) no es cerrado(ver la Obs. 12.3.7). 4

Ejercicio 12.8.8. Consideremos el conjunto de pares compatibles

A =

(A,P ) ∈ L(H)+ × P : el par (A,S) es compatible.

Probar que

1. Si dimH =∞, entonces A no es ni cerrado ni abierto en L(H)+ × P .

2. La funcion α : A → Q dada por α(A,P ) = PA,S ( (A,P ) ∈ A) NO es continua. 4

321

Capıtulo 13

Proyectores escaleados

Sea S v H. En este capıtulo estudiaremos cantidades de la forma

supD∈Γ‖PD,S‖ ,

donde Γ es cierto subconjunto de L(H)+ y S v H. Estas cantidades estan estrechamente vin-culadas con problemas de cuadrados mınimos y con cuestiones de programacion numerica. Sibien en estos casos los espacios de Hilbert involucrados son finito dimensionales, extensionesa espacios mas generales no solo pueden resultar utiles cuando el conjunto de datos es muynumeroso y/o la dimension de los mismos no esta acotada, sino que tambien, permitiraancrear un nuevo punto de contacto entre las proyecciones oblicuas y la teorıa de marcos.Las herramientas claves que utilizaremos para realizar tales extensiones son la nocion decompatibilidad, las proyecciones A-autoadjuntas y la nocion de angulo entre subespacios.

13.1 Problemas de cuadrados mınimos y proyecciones

A-autoadjuntas.

Sea A ∈Mm,n(C) con rk(A) = n (se asume que m > n) y consideremos el sistema lineal

Ax = b .

Por las caracterısticas de la matriz A, este sistema resulta sobredeterminado y si b /∈ R(A)claramente no tiene solucion. En este ultimo caso, se suele eligir un x de tal forma queAx este “cerca” de b, en algun sentido. Usualmente, esa nocion de cercanıa se escribe delsiguiente modo:

‖Ax− b‖ = minz∈Cn‖Az − b‖2 . (13.1)

Sin embargo, muchas veces es necesario reescalear el producto escalar, de modo que lascoordenadas de un vector dado respecto a la base canonica de Cm posean distintos pesos.Este proceso se lleva a cabo perturbando el producto escalar por medio de un matriz D

322

diagonal respecto a la base canonica, positiva e inversible. El nuevo producto interno sedefine del siguiente modo

〈x, y〉D = 〈Dx, y〉 .Respecto a la norma que induce este producto interno, el problema de minimizacion (13.1)se reescribe de la siguiente forma:

‖D1/2(AxD − b)‖ = minz∈Cn‖D1/2(Az − b)‖2. (13.2)

Se puede incluso perturbar el producto interno con matrices diagonales semidefinidas pos-itivas, aunque en este caso pueden existir mas de una solucion del problema (13.2). Unnotable teorema de Ben-Tal y Teboulle establece que las soluciones xD se hallan todas enla capsula convexa de ciertas soluciones singulares xI . Para enunciar precisamente esteresultado, necesitamos introducir cierta notacion.

Definicion 13.1.1. Sean A ∈Mm,n(C) (con m ≥ n) y b ∈ Cm.

1. Dado un conjunto de ındices I = α1, . . . , αn ⊆ Im (se asume que α1 < . . . < αn),escribiremos I ⊆n Im .

2. Si I ⊆n Im , llamaremos AI a la submatriz de n× n de A dada por:

AI = (Aαi , j)i,j∈In ∈Mn(C) , (13.3)

o sea que AI es es la matriz resultante quedarse con las filas de A con ındice en I.

3. En cambio, si D ∈ Mm(C), DI ∈ Mn(C) denotara la submatriz de D resultantequedarse con las entradas de D con ındice en I × I.

4. Analogamente, el vector bI denotara el vector de Cn dado por bI = (bα1 , . . . , bαn).

5. Llamaremos J(A) =I ⊆n Im : AI ∈ Gl (n)

. Observar que J(A) 6= ∅ si y solo si

rkA = n. 4

Observacion 13.1.2. Se usaran en esta seccion resultados sobre determinantes, que han sidoprobados en el Capıtulo 10 Seccion 2 del Tomo I de este libro. A continuacion reenunciaremosdichos resultados. 4

Proposicion 13.1.3. Sea A ∈ Gl (n). Entonces se tiene la formula siguiente

(A−1)ij = (−1)i+jdetA(j|i)

detA, i, j ∈ In , (13.4)

donde A(j|i) ∈ Mn−1(C) es la matriz resultante de sacarle a A la columna i-esima y la filaj-esima. De ella se deduce facilmente la otra version del calculo de A−1, conocida como laregla de Cramer: Si b ∈ Cn, entonces

A−1(b)i =det(A −−→

i∈ Ib)

detA, i ∈ In , (13.5)

donde A −−→i∈ I

b denota a la matriz resultante de cambiarle a A la columna Ci(A) por b.

323

Proposicion 13.1.4 (Formula de Cauchy Binnet). Sean A ∈ Mn,m(C) y B ∈ Mm,n(C) ,con n ≤ m. Luego,

detAB =∑

I⊆n Im

det IA · detBI , (13.6)

donde IA ∈Mn(C) es la matriz resultante quedarse con las columnas de A con ındice en I,al reves que en la Ec. (13.3) que define BI .

A lo largo de esta seccion usaremos las siguiente notaciones:

1. Dm ⊆Mm(C) denotara el algebra abeliana de matrices diagonales.

2. P(Dm) el conjunto de proyecciones en Dm .

3. D+m denota al cono de matrices positivas de Dm .

4. Dado I ⊆n Im , llamaremos QI ∈ P(Dm) a la proyeccion que verifica que R(QI) =span ei : i ∈ I.

5. Sean A ∈Mm,n(C) (con m ≥ n) e I ∈ J(A). A veces haremos el abuso de notacion

AI = QIA y A−1I = (QIA)−1 = (QIA)−1QI ,

que consiste en ingnorar las filas nulas de QIA y pensarla en Mn(C). En formaparecida, se identifica bI con QIb, para b ∈ Cm.

Definicion 13.1.5. Dos subespacios S, T v H estan en posicion P’ si T ⊥ ∩ S = T ∩ S⊥ =0. En tal caso, escribiremos S Y T . 4

Proposicion 13.1.6. Sea A ∈Mm,n(C) (con m > n) tal que rk(A) = n. Denotaremos porS = R(A) v Cm. Sean, ademas, D ∈ D+

m y Q ∈ P(Dm). Entonces

1. PD,S = A(A∗DA)−1A∗D.

2. I ∈ J(A) si y solo si R(QI) Y S.

3. Si R(Q) YR(A) entonces PQ,S = A(QA)−1Q.

Demostracion.

1. Una cuenta directa muestra que A(A∗DA)−1A∗D es un proyector con rango S. Ahorabasta notar que DA(A∗DA)−1A∗D es autoadjunto, pues al ser D inversible, existe unaunica proyeccion D-autoadjunta.

2. Por definicion de J(A), I ∈ J(A) si y solo si QA : Cn → R(Q) es biyectivo, lo cuales equivalente a que tanto QA : Cn → R(Q) como A∗Q : R(Q)→ Cn sean inyectivos.Pero QA : Cn → R(Q) es inyectivo si y solo si S ∩ N(Q) = 0, y analogamente,A∗Q : R(Q) → Cn es inyectivo si y solo si R(Q) ∩ S⊥ = R(Q) ∩ N(A∗) = 0. Enconsecuencia, I ∈ J(A) si y solo si R(Q) Y S.

324

3. Claramente, A(QA)−1Q es una proyeccion con rango S cuyo nucleo es N(Q). Por otrolado, por definicion R(PQ,R(A)) = S, y por el Teorema 12.2.1

N(PQ,S) = Q−1(S⊥) (N(Q) ∩ S) = N(Q).

Luego A(QA)−1Q = PQ,R(A) .

Corolario 13.1.7. Sea A ∈Mm,n(C) (con m > n) tal que rk(A) = n. Entonces

(A∗DA)−1A∗D = A†D ,

es decir, la seudoinversa de Moore-Penrose de A segun 〈·, ·〉D . Ademas, si I ∈ J(A), entoncesA−1I ' (QIA)† = (A∗QIA)−1A∗QI .

Demostracion. La formula para A†D se deduce del item 1 de la Prop. 13.1.6, porque PD,R(A)

es la unica proyeccion D-autoadjunta sobre R(A), y el otro producto da la identidad. Lasegunda identidad es evidente (si AI ∈ Gl (n), toda inversa de un lado es la inversa). Observarque hay un pequeno abuso de notacion, porque se piensa que A∗QI tiene dominio en CI ,para poder escribir que A∗QIA = A∗QIAI .

Usando estos preliminares, podemos enunciar y probar el teorema de Ben-Tal y Teboulle.

Proposicion 13.1.8. Sea A ∈ Mm,n(C) (con m > n) tal que rk(A) = n y sea D ∈ D+m .

Entonces,

PD,R(A) = A(A∗DA)−1A∗D =∑I∈J(A)

detDI | detAI |2∑J∈J(A)

detDJ | detAJ |2

A(QIA)−1QI .

En particular, PD,R(A) ∈ conv[PQ,R(A) : Q ∈ J(A)

].

Demostracion. Fijemos b ∈ Cm. Llamemos M =∑

J∈J(A)

detDJ | detAJ |2 e y = A∗Db. La

cuenta que sigue se va a la otra pagina, porque es muy larga:

325

Entonces, por la Prop. 13.1.3, para cada i ∈ Im ,

((A∗DA)−1y

)i

=det(A∗DA −−→

i∈ IA∗Db)

detA∗DA=

detA∗D(A −−→i∈ I

b)

detA∗DA

=

∑I⊆nIm

det I(A∗D) det(A −−→

i∈ Ib)I∑

J∈J(A)

det J(A∗D) detAJ(por Cauchy-Binnet)

= M−1∑I∈J(A)

detDI detA∗I det(A −−→i∈ I

b)I

= M−1∑I∈J(A)

detDI | detAI |2det(A −−→

i∈ Ib)I

detAI

=∑I∈J(A)

(detDI | detAI |2

M

)A−1I (bI)i .

Juntando todos los i ∈ Im y recordando que cada A−1I = (A∗QIA)−1A∗QI = (QIA)−1QI ,

como los coficientes no dependen de b, tenemos que

A†D = (A∗DA)−1A∗D =∑I∈J(A)

(detDI | detAI |2

M

)(QIA)−1QI .

Multiplicando por A y aplicando la Prop. 13.1.6, estamos.

Un ano antes que apareciera el trabajo de Ben-Tal y Teboulle, Stewart demostro que

MA = sup‖A(A∗DA)−1A∗D‖ : D ∈ D+

m

= sup

D∈D+m

‖PD,R(A)‖ <∞ . (13.7)

Este resultado, a partir de la Prop. 13.1.8, resulta muy sencillo de probar:

Corolario 13.1.9. Sea A ∈Mm,n(C) (con m > n) tal que rk(A) = n. Entonces

MA ≤ maxI∈J(A)

‖A(QIA)−1QI‖ <∞ ,

ya que J(A) es finito.

Por otra parte, de la teorıa de inversas generalizadas, es bien sabido que la solucion delproblema (13.2) esta dada por

xD = (D1/2A)†D1/2b = (A∗DA)−1A∗Db = A†Db ,

326

mientras que la solucion del sistema reducido AI x = bI puede escribirse del siguiente modo:

xI = (QIA)†QIb = A−1I bI ,

para cada I ∈ J(A).

Corolario 13.1.10 (Ben-Tal y Teboulle). Sea A ∈Mm,n(C) (con m > n) tal que rk(A) = ny sea D ∈ D+

m . Entonces, la solucion xD del problema de cuadrados mınimos

minz∈Cn‖D1/2(Az − b)‖2 esta dada por xD =

∑I∈J(A)

detDI | detAI |2∑J∈J(A)

detDJ | detAJ |2

A−1I bI .

Observar que cada xI = A−1I bI es la solucion del mismo problema, escaleado con QI .

Observacion 13.1.11. Usando la Prop. 13.1.6, la Prop. 13.1.8 puede reescribirse del sigu-iente modo: Sea S v Cm y sea D ∈ D+

m. Entonces

PD,S ∈ conv [PQ,S : Q ∈ P(Dm) y R(Q) Y S] . (13.8)

En particular,

supD∈D+

m

‖PD,S‖ ≤ max‖PQ,S‖ : Q ∈ P(Dm) : R(Q) Y S

. (13.9)

La desigualdad (13.9) es en realidad una igualdad. Este hecho fue demostrado por el mismoStewart y tambien es una consecuencia de la siguiente Proposicion. Es importante destacarque si uno no se restringe a matrices diagonales, el supremo de las normas de los PA,S noesta acotado, aun cuando A sea inversible. De aquı la importancia del resultado obtenidopor Stewart. 4

Proposicion 13.1.12. Sea S v Cm y denotemos por medio de D+0,m al conjunto de matrices

diagonales, semidefinidas positivas de m×m. Entonces

supD∈D+

m

‖PD,S‖ = supD∈D+

0,m

‖PD,S‖. (13.10)

Demostracion. Sea D ∈ D+0,m y consideremos la sucesion de matrices positivas e inversibles

Dkk≥1 definidas por:

Dk = D +1

kI.

Si N = S ∩N(D), entonces

D =

A 0 B0 0 0B∗ 0 C

S NNS⊥

y Dk =

A+ 1kI 0 B

0 1kI 0

B∗ 0 C + 1kI

S NNS⊥

,

327

donde A, y por lo tanto A+1

kI son inversibles. Luego, por el Teorema 12.2.1,

PDk,S =

I 0 (A+ 1kI)−1B

0 I 00 0 0

y PD,S =

I 0 A−1B0 I 00 0 0

.

En consecuencia obtenemos

‖PD,S‖ = limk→∞‖PDk,S‖ ≤ sup

D′∈D+m

‖PD′,S‖

lo cual prueba una desigualdad. La otra es consecuencia de (13.9).

Observacion 13.1.13. Un resultado similar sigue valiendo si uno trabaja con operadoresdiagonales (respecto de alguna BON fija) en un Hilbert H de dimension infinita. El puntoalgido es donde se afirma que A es inversible (por ser mono). Eso deja de ser cierto engeneral en este contexto. Pero sı es cierto si uno supone que R(D) v H y que (D,S) escompatible. Porque entonces el Teo. 12.4.2 asegura que R(PSDPS) = R(A) v H. 4

Corolario 13.1.14. Sea S v Cm. Entonces

supD∈D+

m

‖PD,S‖ = max‖PQ,S‖ : Q ∈ P(Dn) : R(Q) Y S

. (13.11)

Observacion 13.1.15. En su trabajo, Stewart observo que si U ∈Mm,n(C) es una matrizcuyas columnas forman una base ortonormal del R(A) y mI denota el menor valor singularno mulo de la submatriz UI , entonces:

M−1A ≤ min

mI : I ⊆n Im

. (13.12)

Mas aun, Stewart conjeturo que valıa la igualdad en (13.12), lo cual fue demostrado pos-teriormente por O’Leary. Veamos como esta igualdad se deduce a partir de los resultadosanteriores. Comencemos notando que por el Teorema 13.1.12, el maximo en (13.11) puedetomarse tanto sobre todas las proyecciones en posicion P’ con S = R(A) = R(U) como sobretodas la proyecciones diagonales cuyo rango tiene dimension n. Luego,

MA = supD∈D+

n

‖PD,S‖ = max‖PQI ,S‖ : I ⊆n Im

.

Fijemos I ⊆n Im . Por la Prop. 12.5.3,

‖PQI ,S‖−1 = s [S , N(QI) ] = γ(QIU) .

Pero, mI = γ(QIU). En consecuencia,

‖PQI ,S‖−1 = mI =⇒M−1

A = min‖PQI ,S‖−1 : I ⊆n Im

= min

mI : I ⊆n Im

,

como afirmabamos. 4

328

13.2 Proyecciones escaleadas en dimension infinita.

Sea H un espacio de Hilbert separable y S v H. A lo largo de de esta seccion, estudiaremoscantidades del tipo supD∈Γ ‖PD,S‖, donde Γ denota algun subconjunto de L(H)+.

Mas precisamente, fijemos una base ortonormal B = enn∈N del espacio de HilbertH, y sea D el algebra abeliana de todos los operadores diagonales con respecto a B, i.e.C ∈ L(H) pertenece a D si existe una sucesion acotada de numeros complejos cnn∈N talque Cen = cnen (n ∈ N). Los subconjuntos Γ que consideraremos seran los siguientes:

1. D+, el conjunto de elementos positivos e inversibles en D (i.e. todos los cn > ε, paraalgun ε > 0),

2. P(D), el conjunto de las proyecciones en D (i.e. cn = 0 o 1),

3. P0(D), el conjunto de elementos en P(D) con rango finito,

4. P0,S⊥(D), el conjunto de elementos Q ∈ P0(D) tales que R(Q) ∩ S⊥ = 0,

A diferencia de lo que ocurre en espacios de dimension finita estos supremos pueden noser finitos, aun cuando el subespacio S sea finito dimensional. En tal sentido, el siguienteejemplo es contundente:

Ejemplo 13.2.1. Sea S el subespacio generado por x =∞∑n=1

2−n2 en . Luego

PD,S =1

‖D1/2(x)‖2〈 · , Dx〉x =

1

‖D1/2(x)‖2

(xDx

),

para todo D ∈ D+. En efecto, una cuenta bastante simple muestra que el operador dela derecha es idempotente, que proyecta sobre span x y que D (x Dx) = Dx Dx esautoadjunto. Fijado n ≥ 1, seanQn = enen y, para cada k ∈ N, Dk = Qn+ 1

k(I−Qn) ∈ D+ .

Entonces Dk −−−→k→∞

Qn y tambien D1/2k −−−→

k→∞Qn . Por lo tanto,

PDk,S −−−→k→∞

1

‖Qnx‖2

(xQnx

)=

2−n2

‖2−n2 en‖2

(x en

)= 2

n2

(x en

).

Esto muestra que limk→∞‖PDk,S‖2 = 2n, y por ende sup

D∈D+

‖PD,S‖ =∞. 4

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 13.2.2. Dado S v H, se dice que S es compatible con respecto a B si

supD∈D+

‖PD,S‖ <∞ . (13.13)

En tal caso tambien diremos que S es B-compatible. 4

329

En esta seccion mostraremos que la B-compatibilidad de un subespacio S es equivalentea que supD∈Γ ‖PD,S‖ sea finito, donde Γ denota alguno de los subconjuntos de operadoresdiagonales mencionados anteriormente. Comenzaremos demostrando que un subespacio Ses B-compatible si y solo si el par (Q,S) es compatible para cada Q ∈ P(D) y ademas

supQ∈P(D)

‖PQ,A‖ <∞ .

Esto nos ayudara a obtener caracterizaciones alternativas de la B-compatibilidad en terminosde angulos entre subespacios y de propiedades de aproximacion finita que estos subespaciosposeen. Luego, daremos una version del teorema de Ben-Tal y Teboule para subespaciosB-compatibles, que finalmente nos permitira demostrar que un subespacio es B-compatiblesi y solo si sup

Q∈P0,S⊥ (D)

‖PQ,S‖ es finito.

A lo largo de esta seccion fijaremos una BON B = enn∈N de H, y un subespacio S v H.Usaremos las siguientes notaciones: Para cada I ⊆ N,

1. HI = span ei : i ∈ I.

2. QI es la proyeccion ortogonal sobre HI .

3. En particular, si n ∈ N, abreviaremos Hn = HIn y Qn = QIn = PHn .

4. Tambien notaremos SI = S ∩HI (I ⊆ N) y Sn = S ∩Hn (n ∈ N).

Comencemos con la siguiente definicion:

Definicion 13.2.3. Si S es compatible con toda proyeccion diagonal, entoces definimos lacantidad K[S,D] del siguiente modo:

K[S,D] = supQ∈P(D)

‖PQ,S‖ .

En caso de que el par (Q,S) no sea compatible para alguna proyeccion Q ∈ P(D) definimosK[S,D] =∞. 4

A continuacion demostraremos la equivalencia entre la B-compatibilidad de S y la condicionK[S,D] <∞. Mas aun, demostraremos que


‖PQ,S‖ = supD∈D+

‖PD,S‖.

Comenzaremos por la parte mas sencilla:

Proposicion 13.2.4. Supongamos que S es B-compatible. Entonces (Q,S) es compatiblepara todo Q ∈ P(D) y ademas:


‖PQ,S‖ ≤ supD∈D+

‖PD,S‖.

330

Demostracion. Solo demostraremos que dado Q ∈ P(D), entonces el par (Q,S) es compati-ble. En tal caso, el resto de la demostracion seguirıa las mismas lineas que la demostracionde la Proposicion 13.1.12 y la Obs. 13.1.13.

Fijemos Q ∈ P(D) y definamos la sucesion Dkk∈N en D+ dados por Dk = Q + 1kI.

Entonces los proyectores PDk,S estan bien definidos y, por hipotesis, sabemos que

supk≥1‖PDk,S‖ <∞.

Por lo tanto, la sucesion PDk,S posee un punto lımite P respecto a la topologıa debilde operadores (WOT), pues la bola unitaria de L(H) es WOT-compacta (Prop. 7.6.21).Ademas, como el espacio H es separable, la topologıa WOT es metrizable en la bola. Luego,podemos suponer que PDk,S

W.O.T.−−−→n→∞

P . De no ser ası, existe una subsucesion de PDk,Sk∈N

la cual converge, y utilizamos dicha subsucesion.

Demostraremos que P ∈ P(Q, S), es decir, P 2 = P , R(P ) = S y QP = P ∗Q. Las primerasdos condiciones surgen de hecho de que para todo k ∈ N,

PDk,S =

(1 Xk

0 0

)SS⊥ , luego P =

(1 X0 0

)SS⊥ ,

donde X es el lımite debil de la sucesion Xk = PSDk(1− PS). Por otro lado,

DkPDk,S = P ∗Dk,SDk para cada k ∈ N .

Un simple argumento del tipo ε/2 muestra que DkPDk,SW.O.T.−−−→n→∞

QP . Por ende, tomando

lımite en la identidad recientemente mencionada y usando el hecho de que la involucion escontinua respecto a la topologıa debil de operadores, resulta que QP = P ∗Q.

Para demostrar la recıproca, es necesario probar antes algunos lemas. El primero es el pasoclave de toda esta seccion, y da una idea de que la compatibilidad con una BON es unacondicion muy restrictiva.

Lema 13.2.5. Sea S v H y sea B = enn∈N una BON de H. Supongamos que existe unasucesion Inn∈N en PF (N) y una constante c < 1 tales que

In ⊆ In+1 ,⋃n∈N

In = N y c [S , HIn ] ≤ c , n ∈ N .

Entonces c l

( ⋃n∈N

S ∩HIn

)= S .

Demostracion. Llamemos Qn = PIn , n ∈ N. El enunciado del Lema equivale a decir que

PS ∧Qn

SOT

n→∞

PS .

331

Sea x ∈ H un vector unitario y sea ε > 0. Sea k ∈ N tal que c2k−1 ≤ ε

2. Por la Prop. 8.4.14,

se tiene que ∥∥∥(PSQn)k − PS ∧Qn

∥∥∥ ≤ ε

2para todo n ∈ N .

Por otro lado, como QnPSS.O.T.−−−→n→∞

PS y la funcion f(t) = tk es SOT-continua en conjuntos

acotados (ver, por ejemplo, 2.3.2 en [1]), existe n0 ∈ N tal que∥∥∥[(QnPS)k − PS]x∥∥∥ < ε

2para todo n ∈ N .

Luego, para todo n ≥ n0, tenemos que

‖(PS − PS ∧Qn) x‖ ≤∥∥∥[PS − (PSQn)k

]x∥∥∥+

∥∥∥((PSQn)k − PS ∧Qn

)x∥∥∥ < ε .

Como esto sucede para todo x ∈ H, se tiene que PS ∧QnS.O.T.−−−→n→∞

PS .

El Lema anterior nos permitira hacer un estudio local del subespacio S en ambientes dedimension finita, donde se pueden aplicar los resultados de la seccion anterior.

Lema 13.2.6. Si S esta incluido en algun Hn , entonces S es B-compatible. Mas aun

PD,S : D ∈ D+ ⊆ conv[PQ,S : Q ∈ P(D), Q ≤ Qn y R(Q) Y S

].

En particular,

supD∈D+

‖PD,S‖ ≤ sup‖PQ,S‖ : Q ∈ P(D), Q ≤ Qn y R(Q) Y S

= K [S, D ] .

Demostracion. Dado D ∈ D, D ≥ 0 (esto vale tanto para D ∈ D+ como para D ∈ P(D) ), elsubespacio Hn reduce a D. Luego, la descomposicion matricial de D inducida por Hn tienela siguiente forma:

D =

[D1 00 D2

]Hn

H⊥n.

Mas aun, por la Prop. 12.7.13, el par (D,S) es compatible y

PD,S =

(PD1,S 0

0 0

)Hn

H⊥n, (13.14)

donde pensamos a PD1,S ∈ L(Hn). Como dimHn <∞, la B-compatibilidad de S y el restode las afirmaciones se deducen ahora de la Prop. 13.1.8 y el Cor. 13.1.14. Observar que siS ⊆ Hn y Q ≤ Qn , la condicion R(Q) Y S da lo mismo pensarla en Hn o en H.

Lema 13.2.7. Dado n ∈ N, entonces:

K [Sn, D ] = supQ∈P(D)

‖PQ,Sn‖ ≤ supQ∈P(D)

‖PQ,S‖ = K[S,D]

332

Demostracion. Usando el Lema 13.2.6 se tiene que:

K [Sn, D ] = sup‖PQ,Sn‖ : Q ∈ P(D), Q ≤ Qn y R(Q) Y Sn

.

Luego, basta probar la desigualdad ‖PQ,Sn‖ ≤ K[S,D] para cadaQ ∈ P(D) tal queR(Q)YSny Q ≤ Qn . Para una tal Q, consideremos Q = Q+ (1−Qn) ∈ P(D). Entonces se tiene que

N(Q) = N(Q) ∩Hn y, como(N(Q) ∩Hn

)∩ S = N(Q) ∩ Sn = 0,

c [N(Q) , Sn ] = sup | 〈x, y〉 | : x ∈ N(Q), y ∈ Sn tales que ‖x‖ = ‖y‖ = 1

= sup | 〈x, y〉 | : x ∈ N(Q) ∩Hn , y ∈ Sn tales que ‖x‖ = ‖y‖ = 1

≤ sup | 〈x, y〉 | : x ∈ N(Q) ∩Hn , y ∈ S tales que ‖x‖ = ‖y‖ = 1

= c[N(Q) , S

].

Por lo tanto, usando la Prop. 12.5.3, obtenemos

‖PQ,Sn‖ = s [N(Q) , Sn ]−1 ≤ s[N(Q) , S

]−1

= ‖PQ,S‖ ≤ K[S,D] ,

tal como querıamos demostrar.

Observacion 13.2.8. Por la Prop. 12.5.3, sabemos que ‖PQ,S‖ = s [N(Q) , S ]−1. Por lotanto, como Q −→ (1−Q) establece una biyeccion en el conjunto P(D), se tiene que:

K[Sn,D] ≤ supQ∈P(D)

s [N(Q) , S ]−1 = supQ∈P(D)

s [R(Q) , S ]−1 .

Mas aun, tambien se tiene que K[Sn,D] ≤ supQ∈P0(D)

s [R(Q) , S ]−1. En efecto, la demostracion

del lema anterior muestra que, con la notacion allı empleada, para acotar a K[Sn,D] basta

considerar las proyecciones E = 1− Q ∈ P0(D). 4

Ahora sı estamos en condiciones de probar la recıproca:

Proposicion 13.2.9. Si K[S,D] <∞, entonces, S es B-compatible. Mas aun

supD∈D+

‖PD,S‖ = supQ∈P(D)

‖PQ,S‖ = K[S,D].

Demostracion. Por el hecho de que K[S,D] < ∞, si calculamos los cosenos c [S , Hn ],n ∈ N, usando la Prop. 12.5.3, vemos que podemos aplicar el Lema 13.2.5 y deducir que

S0 =⋃n∈N

Sn es densa en S .

333

Fijemos ahora un D ∈ D+. Recordemos que ‖·‖D es la norma definida por ‖x‖D = ‖D1/2x‖.Como D ∈ Gl(H)+, se tiene que ‖ · ‖D es equivalente la norma usual. Por ende, S0 es densaen S con respecto a ambas normas ‖ · ‖D y ‖ · ‖. Fijemos un vector unitario x ∈ H. ComoPD,S (resp. PD,Sn) es la proyeccion D-ortogonal sobre el subespacio S (resp. Sn), entonces

PD,Sn x‖ ·‖D−−−→n→∞

PD,S x =⇒ PD,Sn x‖ ·‖−−−→n→∞

PD,S x ,

usando nuevamente que ‖ · ‖D ∼ ‖ · ‖. Por los Lemas 13.2.7 y 13.2.6, resulta que

‖PD,Sn x‖ ≤ ‖PD,Sn‖ ≤ K[Sn,D] ≤ K[S,D] para todo n ∈ N .

Luego ‖PD,S x‖ = limn→∞

‖PD,Sn x‖ ≤ K[S,D]. Moviendo los vectores unitarios x ∈ H,

llegamos a que ‖PD,S‖ ≤ K[S,D]. Finalmente, como D es arbitario, la proposicion quedademostrada.

13.3 Caracterizaciones de la B-compatibilidad

Como consecuencia de las Proposiciones 13.2.4 y 13.2.9 y de los lemas utilizados para de-mostrar esta ultima, obtenemos las siguientes caracterizaciones de la B-compatibilidad. Laprimera de ellas es en terminos de angulos entre subespacios.

Teorema 13.3.1. Sean S v H y B una BON de H. Entonces las siguientes condiciones sonequivalentes:

1. S es B-compatible.

2. C(S) = supc [S , R(Q) ] : Q ∈ P(D)

< 1.

3. CF (S) = supc [S , R(Q) ] : Q ∈ P0(D)

< 1.

4. C0(S) = supc [S , R(Q) ] : Q ∈ P0(D) y R(Q) ∩ S = 0

< 1.

Mas aun, siempre se tiene que C0(S) = CF (S) = C(S) = C(S⊥) .

Demostracion. Por las Proposiciones 13.2.4 y 13.2.9, sabemos S es B-compatible si y solo siK[S,D] <∞. Recordemos por otra parte que, por la Prop. 12.5.3, si Q ∈ P(D),

‖PQ,S‖ =(1− c [N(Q) , S ]2

)−1/2=(1− c

[R(Q) , S⊥

]2 )−1/2.

Luego, claramente K[S,D] < ∞ si y solo si C(S⊥) < 1. La igualdad C(S) = C(S⊥) sededuce de la Prop. 8.4.10 y del hecho de que la aplicacion Q 7→ I −Q es biyectiva en P(D).Para mostrar las otras igualdades, observemos primero que C0(S) ≤ CF (S) ≤ C(S).

Veamos que CF (S) ≤ C0(S) : Llamemos P = PS⊥ . Sean I ∈ PF (N) y Q = QI ∈ P0(D)tales que PQ 6= 0 (si PQ = 0, entonces c [S , R(Q) ] = 0 y no interesa). Si sucediera queHI ∩S 6= 0 (o sea que Q /∈ P0,S(D) ), consideremos el conjunto Pei : i ∈ I, que genera

334

R(PQ), pero no queda LI (porque P∣∣HI

tiene nucleo no trivial). Extraigamos un J ⊆ I

tal que Pei : i ∈ J sea una base de R(PQ). Entonces HJ ∩ S = 0. Tomemos ahoraE = QJ ∈ P0,S(D), que verifica que E ≤ Q y R(PQ) = R(PE). Observar que entoncesR(PEP ) = R(PQP ) y 0 ≤ PEP ≤ PQP . Usando el Cor. 8.4.6 y las Proposiciones 8.4.9 y8.4.4, resulta que

s [S , R(E) ]2 = γ(PE)2 = γ(PEP ) ≤ γ(PQP ) = γ(PQ)2 = s [S , R(Q) ]2 .

Por lo tanto c [S , R(Q) ] ≤ c [S , R(E) ] , y en consecuencia CF (S) ≤ C0(S) .

Supongamos ahora que CF (S) < 1 (si CF (S) = 1 no hay nada que probar). Como hemosnotado en la Obs. 13.2.8,

supQ∈P(D)

‖PQ,Sn‖ ≤ (1− CF (S)2)−1/2 <∞ para todo n ∈ N .

Por otro lado, dado que se cumplen sus hipotesis, el Lema 13.2.5 nos asegura que∞⋃n=1

Sn es

densa en S. Luego, siguiendo la demostracion de la Proposicion 13.2.9 resulta que

supD∈D+

‖PD,S‖ ≤ (1− CF (S)2)−1/2.

Finalmente, de la Proposicion 13.2.4 y la identidad ‖PQ,S‖ =(1 − c [N(Q) , S ]2

)−1/2, se

obtiene que C(S) ≤ CF (S).

Corolario 13.3.2. Sean S v H y B una BON de H. Entonces

supD∈D+

‖PD,S‖ = supQ∈P(D)

‖PQ,S‖ = supQ∈P0(D)

‖PQ,S‖ = supQ∈P

0,S⊥ (D)

‖PQ,S‖.

En particular, estos supremos son finitos si y solo si S es B-compatible.

Demostracion. Las primera igualdad es consecuencia de las Proposiciones 13.2.4 y 13.2.9.Por otro lado, claramente

supQ∈P(D)

‖PQ,S‖ ≥ supQ∈P0(D)

‖PQ,S‖ ≥ supQ∈P

0,S⊥ (D)

‖PQ,S‖ .

Como en el Teorema anterior, por la Prop. 12.5.3,

‖PQ,S‖ =(1− c [N(Q) , S ]2

)−1/2=(1− c

[R(Q) , S⊥

]2 )−1/2.

Por lo tanto, con las notaciones del Teo. 13.3.1, tenemos que

supQ∈P(D)

‖PQ,S‖ =(

1− C(S⊥)2)−1/2

y supQ∈P

0,S⊥ (D)

‖PQ,S‖ =(

1− C0(S⊥)2)−1/2

,

Pero, por el Teo. 13.3.1, C(S⊥) = C0(S⊥) , y todos los supremos coinciden.

335

Proposicion 13.3.3. Sean S v H y B una BON de H. Entonces las siguientes condicionesson equivalentes:


2. a.∞⋃n=1

Sn es denso en S.

b. Existe M > 0 tal que K [Sn, D ] = supQ∈P(D)

‖PQ,Sn‖ ≤M para todo n ∈ N.

Demostracion.

1⇒ 2. Por la proposicion anterior supc [S , R(Q) ] : Q ∈ P(D)

< 1. Luego, esta impli-

cacion es una consecuencia de los Lemas 13.2.5 y 13.2.7.

2⇒ 1. Fijemos D ∈ D+. El argumento utilizado en la Proposicion 13.2.9 para demostrar que‖PD,S‖ ≤ K[S,D], se puede repetir ahora, usando las hipotesis de 2, para probar que

‖PD,S‖ ≤ supn∈N

K[Sn ,D] ≤M <∞ .

Moviendo ahora D ∈ D+, llegamos a que S es B-compatible.

Corolario 13.3.4. Sea S v H tal que dimS < ∞. Entonces S es B-compatible si y solosi existe un n ∈ N tal que S ⊆ Hn .

Demostracion. Observar que, si S ⊆ Hn , entonces S = Sn . Por otro lado, por laProp. 12.7.13, se tiene que K[Sm ,D] = K[Sn ,D] < ∞ para todo m ≥ n. La recıprocase deduce de que, como dimS < ∞, la condicion 2. a. de la Prop. 13.3.3 solo puedecumplirse si existe un n ∈ N tal que S ⊆ Hn .

Observaciones: 13.3.5.

1. Volver a mirar el Ejem. 13.2.1 en vista del Cor. 13.3.4.

2. Como c [S , T ] = c[S⊥ , T ⊥

]para todo par S, T v H, entonces un subespacio S es

B-compatible si y solo si S⊥ es B-compatible. Mas aun, K[S,D] = K[S⊥,D].

3. El hecho de que la compatiblidad de S con B implique que la union de los Sn esdensa en S, de algun modo, muestra que la condicion de B-compatibilidad es bastanterestrictiva. No obstante, como veremos en el siguiente Capıtulo, estos subespaciosaparecen en las aplicaciones. 4

336

Parte III

Marcos

337

Capıtulo 14

Frames

Introduciremos algunos hechos basicos sobre marcos (frames) en espacios de Hilbert. Parauna descripcion completa de la teorıa de frames y sus aplicaciones, sugerimos ver el reviewde Heil y Walnut [27] o los libros de Young [35] y Christensen [15].

14.1 Nociones Basicas

Definicion 14.1.1. Sea F = fnn∈N una sucesion en un espacio de Hilbert separable H.

1. Decimos que F es una sucesion de Bessel si existe B > 0 tal que, para toda f ∈ H,∑n∈N

| 〈f, fn〉 |2 ≤ B‖f‖2 . (14.1)

2. Decimos que F es un frame si existen numeros A,B > 0 tales que, para toda f ∈ H,

A‖f‖2 ≤∑n∈N

| 〈f, fn〉 |2 ≤ B‖f‖2 . (14.2)

3. Las constantes opimas AF y BF para la Ec. (14.2) se llaman cotas de frame de F .

4. El frame F se denomina ajustado si AF = BF , y ajustado normalizado (o tambiende Parseval) si AF = BF = 1.

Observacion 14.1.2. Sea F = fnn∈N una sucesion de Baessel en H. Definamos la apli-cacion T ∗ : H → `2(N) por

H 3 f 7−→ T ∗(f) =(〈f , fn〉

)n∈N

∈ `2(N) .

La ecuacion (14.1) significa que T ∗ ∈ L(H, `2(N) ) (o sea que T ∗ es acotado, con ‖T ∗‖2 ≤ B).Y la Ec. (14.2) dice que F es frame si y solo si T ∗ es, ademas, acotado inferiormente. Observarque esto ultimo equivale a la suyectividad (y continuidad) del adjunto de T ∗,

T ∈ L(`2(N) , H) dado por `2(N) 3 c = (cn)n∈N 7−→ T (c) =∑n∈N

cn fn .

338

En efecto, observar que

〈f, Ten〉H = 〈T ∗f, en〉`2(N) = 〈f, fn〉 para todo f ∈ H y n ∈ N .

Por ello Ten = fn para todo n ∈ N. Esto justifica las siguientes definiciones: 4

Definicion 14.1.3. Sea F = fnn∈N un frame en H. Sean K y H′ espacios de Hilbertseparables con H v H′. Sea B = ϕn : n ∈ N una BON de K. Luego existe un unicoT ∈ L(K,H′) tal que

T (ϕn) = fn , n ∈ N .

Diremos que el triple (T,K,B) es un operador preframe (o de sıntesis) de F . De la Obs. 14.1.2deducimos que R(T ) = H. En particular, si H′ = H, se tiene que T es suryectivo.

La notacion con tripletes (T,K,B) omite nombrar el espacio H′. Esto se debe a que el talespacio no es determinante para el frame F . Sin embargo, admitimos que el codominio deT sea variable porque muchas veces, por razones tecnicas, ambientaremos a H en espaciosde Hibert mayores, y ası las notaciones usadas seran coherentes. 4

Observacion 14.1.4. Sea F = fnn∈N un frame en H con operador preframe (T,K,B).

1. Las cotas de frame de F pueden calcularse en terminos de T :

AF = γ(T )2 y BF = ‖T‖2 . (14.3)

2. El adjunto T ∗ ∈ L(H′,K) of T , esta dado por la formula

T ∗(f) =∑n∈N

〈f, fn〉ϕn , f ∈ H′ ,

donde B = ϕn : n ∈ N. Se lo llama operador de analisis de F .

3. Si (T1,K1,B1) es otro operador de preframe para F , debe existir un operador unitarioU ∈ L(K1,K) que manda B1 sobre B. Por lo tanto T1 = TU . Deducimos que eloperador S = TT ∗ = T1T

∗1 . Observar que

Sf =∑n∈N

〈f, fn〉 fn , f ∈ H′ . (14.4)

Por lo tanto, si se piensa a S actuando en H, usando la Ec. (14.3) podemos deducirque AF I ≤ S ≤ BF I, por lo que S es positivo e invertible en H. Mas aun, las cotasde F son

BF = ‖S‖ = ρ(S) y AF = γ(S) = ‖S−1‖−1 = minλ : λ ∈ σ(S) .

A este S se lo llama operador frame de F . Notar que, por las observaciones previas,el operador frame de F no depende del opreador preframe elegido. Ademas, usando laEc. (14.4) podemos deducir las siguientes formulas de reconstruccion:

f =∑n∈N

〈f, fn〉S−1fn =∑n∈N

⟨f, S−1fn

⟩fn para todo f ∈ H . (14.5)

339

4. A la sucesion de numeros ⟨f, S−1fn

⟩ se la llama coeficientes de frame de f para F .

Tienen la siguiente propiedad de optimizacion: si

c = (cn)n∈N ∈ `2(N) cumple f =∑n∈N

cnfn =⇒∑n∈N

|⟨f, S−1fn

⟩|2 ≤

∑n∈N

|cn|2 .

Es decir que los coeficientes de frame de f para F dan la reconstruccion optima paracada f ∈ H.

5. La sucesion G = gnn∈N dada por gn = S−1fn , n ∈ N, es tambien un frame. Se lollama el frame dual de F . La gracia es que verifica las formulas de reconstruccion

f =∑n∈N

〈f, fn〉 gn =∑n∈N

〈f, gn〉 fn para todo f ∈ H

que vimos en la Ec. (14.5). 4

Definicion 14.1.5. Sea F = fnn∈N un frame en H con operador preframe (T,K,B).

1. El numero cardinale(F) = dimN(T )

se llama el exceso de F .

2. Notar que, por la Obs. 14.1.4, e(F) no depende del operador preframe elegido. Enparticular,

e(F) = dim

(cn)n∈N ∈ `2 :∑n∈N

cnfn = 0,

que es la nulidad del operador preframe inducido por la base canonica de `2(N).

3. El frame F Se llama base de Riesz si e(F) = 0, i.e., si F es la imagen de una BON dealgun Hilbert K por un isomorfismo T ∈ L(K,H).

14.2 Perturbaciones de frames

Un tema muy estudiado es el “problema de perturbaciones” para frames. Esto es: si F =fnn∈N es un frame en un espacio de Hilbert H, ¿que podemos decir acerca de una sucesionde Bessel G = gnn que esta “cerca”, en algun sentido, de F?

El survey [9] de Casazza’s es una excelente guıa sobre los resultados en este tema. Acontinmuacion veremos un resultado general para operadores del cual se pueden deducirvarios de los resultados mas conocidos sobre perturbacion.

Lema 14.2.1. Sea T ∈ L(H) tal que R(T ) = H. Si G ∈ L(H) y

‖G− T‖ < γ(T ) = ‖T †‖−1 ,

entonces G es tambien suryectivo, y ademas γ(G) ≥ γ(T )− ‖G− T‖.

340

Demostracion. Poe ser T suryectivo, tenemos que TT † = I. Pero

‖GT † − I‖ = ‖(G− T )T †‖ ≤ ‖G− T‖ ‖T †‖ < 1 .

Esto muestra que GT † es invertible. Por lo tanto T †(GT †)−1 es una inversa a derecha de G,o sea que es una de sus seudoinversas. Por la Prop. 8.3.6, ‖G†‖ ≤ ‖T †(GT †)−1‖ y

γ(G) = ‖G†‖−1 ≥ ‖T †(GT †)−1‖−1 ≥ γ(T ) ‖(GT †)−1‖−1

≥ γ(T )

(∞∑n=0

‖G− T‖n ‖T †‖n)−1

= γ(T )(1− ‖G− T‖ ‖T †‖

)= γ(T )− ‖T −G‖

como se aseguraba.

Fijemos de ahora en mas un frame F = fnn∈N en H, con operador de preframe (T,H,B).Como siempre, notaremos S = SF = TT ∗ al operador de frame de F , que cumple γ(S) = AFy ‖S‖ = BF .

Proposicion 14.2.2. Sea G = gnn∈N una sucesion de Bessel, con operador de preframe(G,H,B). Si existe algun B ∈ Gl (H) tal que

R = ‖T ∗S−1/2 −G∗B‖ < 1 , (14.6)

entonces G es un frame en H, con constantes

AG ≥ (1−R)2 ‖B‖−2 y BG ≤ (1 +R)2 ‖B−1‖2 . (14.7)

Demostracion. Tenemos que ver que G es epimorfismo, y que las constantes propuestasacotan a GG∗. Observar que S−1/2T es una isometrıa parcial (la de la DP de T ). Luego

R = ‖T ∗S−1/2 −G∗B‖ = ‖S−1/2T −B∗G‖ < 1 = γ(S−1/2T ) .

Por el Lema 14.2.1, tenemos que B∗G es epimorfismo, por lo que tambien G lo es. Ademas,el mismo Lema asegura que

γ(G) ≥ γ(B−1)γ(B∗G) ≥ γ(B−1)(γ(S−1/2T )− ‖S−1/2T −B∗G‖

)= ‖B‖−1(1−R) ,

por lo que AG ≥ (1−R)2 ‖B‖−2. La otra deisgualdad sale en forma similar.

Corolario 14.2.3. Sea G = gnn∈N sucesion de Bessel en H. Si existe R < 1 tal que∑n∈N

∣∣ 〈 f , S−1/2(fn − gn) 〉∣∣2 ≤ R2‖f‖2 , para toda f ∈ H , (14.8)

entonces G es un frame en H tal que

AF(1−R)2 ≤ AG y BG ≤ BF(1 +R)2 .

341

Demostracion. Observar que (14.8) es equivalente a que

‖(T ∗ −G∗)S−1/2‖2 = ‖T ∗S−1/2 −G∗S−1/2‖2 ≤ R2 ,

porque ‖(T ∗−G∗)h‖2 =∑n∈N

∣∣ 〈h , fn−gn 〉 ∣∣2, para todo h ∈ H. Por la Prop. 14.2.2, tenemos

que G es frame. Para la acotacion de sus cotas, basta observar que

‖S−1/2‖−2 = γ(S) = AF y ‖S1/2‖2 = ‖S‖ = BF ,

y aplicar la formula (14.7).

Corolario 14.2.4. (Casazza, Christensen) Sean µ1, µ2 > 0 tales que R = µ1 +µ2

A1/2F

< 1, y

sea G = gnn∈N sucesion de Bessel en H. Si para toda f ∈ H se tiene que

‖(T ∗−G∗) f‖ =

(∑n∈N

∣∣ 〈 f , fn − gn 〉 ∣∣2)1/2

≤ µ1

(∑n∈N

∣∣ 〈 f , fn 〉 ∣∣2)1/2

+ µ2 ‖f‖ , (14.9)


AF(1−R)2 ≤ AG y BG ≤ BF(1 +R)2 .

Demostracion. Aplicando la formula (14.9) a S−1/2f , tenemos que

‖(T ∗ −G∗)S−1/2 f‖ ≤ µ1 ‖T ∗ S−1/2 f‖ + µ2 ‖S−1/2 f‖

≤

(µ1 +

µ2

A1/2F

)‖f‖ = R ‖f‖ ,

porque ‖S−1/2‖ = A−1/2F y ‖T ∗S−1/2‖ = 1. Ahora basta aplicar el Cor. 14.2.3.

Corolario 14.2.5. (Christensen- Heil) Sea G = gnn∈N sucesion de Bessel en H y sea0 < R < AF . Si para toda f ∈ H se tiene que∑

n∈N

∣∣ 〈 f , fn − gn 〉 ∣∣2 ≤ R2 ‖f‖2 , (14.10)


AF

(1− R

AF

)2

≤ AG y BG ≤ BF

(1 +

R

AF

)2

.

Demostracion. Basta observar que, para toda f ∈ H,

‖(T ∗ −G∗)S−1/2f‖2 ≤ R‖S−1/2f‖2 ≤ R

AF‖f‖2 ,

porque ‖S−1/2‖ = A−1/2F . Aplicar nuevamente el Cor. 14.2.3.

342

14.3 Proyecciones y frames

Los frames y las proyecciones se relacionan de varias maneras. Por ejemplo, si F es unframe en H con operador preframe (T,K,B), como T es suryectivo, cada seudoinversa Ude T produce una proyeccion UT ∈ L(K). En esta seccion estudiaremos el problema decaracterizar a los frames que admitan algun operador preframe que sea una proyeccion(ortogonal u oblıcua). En toda esta seccion usaremos que un subespacio S v H induce unarepresentacion de L(H) vıa matrices de bloques de 2× 2. Ası, identificaremos un A ∈ L(H)

con la matriz

(A11 A12

A21 A22

)SS⊥ . Por ejemplo, es facil ver que Q ∈ L(H) is una projeccion

oblicua con R(Q) = S si y solo si Q tiene la forma Q =

[I X0 0

]SS⊥ , para algun

X ∈ L(S⊥,S).

14.3.1 Proyecciones ortogonales

Recordemos que si H v K, notamos por PH al proyector ortogonal sobre H. Enunciaremosen principio el siguiente resultado de Han y Larson [25], que estaba implıcito en la teorıa dedilaciones de Naimark (ver las comentarios de Casazza y Kovacevic [14] p. 396).

Teorema 14.3.1 (Han y Larson). Dada una sucesion F = fnn∈N en H, los siguientesenunciados son equivalentes:

1. F es un frame de Parseval en H.

2. Existen un espacio de Hilbert K w H y una BON B = enn∈N de K tales que eltriplete (PH,K,B) es un operador preframe para F , i.e., fn = PH en, n ∈ N.

A contiunuacion daremos una version generalizada de este Teorema, en el sentido de que siuno proyecta ortogonalmente bases de Riesz (en ves de ortonormales) consigue TODOS losframes de H. Ademas esto se puede hacer sin modificar las cotas de frame, lo que hace queel siguiente resultado, en particular, implique el Teorema de Han y Larson.

Teorema 14.3.2. Dada una sucesion F = fnn∈N en H, los siguientes enunciados sonequivalentes:

1. F = fnn∈N es un frame para H.

2. Existe un espacio de Hilbert K w H y una base de Riesz R = xkk∈N de K tal quefn = PH xn, para todo n ∈ N.

Mas aun, en tal caso se puede elegir la base de Riesz R de tal modo que

AR = AF y BR = BF . (14.11)

343

Demostracion. Supongamos que F es un frame. Sea (T,H,B) un operador preframe de F .Tomemos K = H⊕N(T ). Sea V : H = N(T )⊥ ⊕N(T )→ H⊕N(T ) = K definido por:

V x = Tx⊕ γ(T )PN(T )x = TPN(T )⊥x⊕ γ(T )PN(T )x, x ∈ H.

Como T (N(T )⊥) = R(T ) = H, se tiene que V ∈ L(H,K) y es un isomorfismo. Por ende, siB = enn∈N , entonces R = xn = V en : n ∈ N es una base de Riesz de K. Observar quefn = Ten = PHxn para todo n ∈ N. Finalmente, por la construccion de V , se ve que

γ(V ) = γ(T ) y ‖V ‖ = ‖T‖ ,

lo que implica las identidades de (14.11). La recıproca es evidente.

14.3.2 Proyecciones Oblicuas

En esta seccion estudiaremos el siguiente problema: dado un frame F = fnn∈N para H,¿existe un espacio de Hilbert K w H, una BON B = enn∈N de K y una proyeccion oblicua(i.e., no necesariamente ortogonal) Q ∈ L(K) tal que el triplete (Q,K,B) es un operadorpreframe para F (i.e., fn = Q en , para todo n ∈ N)? En otras palabras, ¿existe un preframeoperator (Q,K,B) para F tal que Q es idempotente?

En general la respuesta es no. En efecto, se tienen al menos dos obstrucciones:

1. Toda proyeccion oblicua Q cumple que γ(Q) ≥ 1, porque

QQ∗ ≥ QPR(Q)Q∗ = PR(Q) , R(QQ∗) = R(Q) y γ(PR(Q) ) = 1 .

Por lo tanto, si existiera una representacion de F como se buscaba, se tendrıa quepedir al menos que AF = γ(Q) ≥ 1. Esta obstruccion ne es muy esencial, porque sepuede arreglar multiplicando a F por una constante positiva conveniente.

2. Pero incluso si las constantes de frame de F cumplieran que 1 ≤ AF ≤ BF , la repre-sentacion podrıa no existir si e(F) < ∞. Por ejemplo, si F fuese una base de Rieszcon un operador preframe (Q,K,B) para alguna proyeccion oblicua Q ∈ L(K) y unaBON B = enn∈N de K w H, entonces sabemos que 0 = e(F) = dimN(Q). O sea queK = H, Q = I y F = B. Estamos diciendo que las unicas bases de Riesz que admitenuna tal representacion son las bases ortonormales.

El siguiente teorema completa, en algun sentido, los resultados de Casazza, Han y Larsonexpuestos en [13, seccion 3].

Teorema 14.3.3. Sea F = fnn∈N un marco para H, con cotas 1 ≤ AF ≤ BF . DenotemosK = H ⊕H. Entonces existe un sistema ortonormal B = bnn∈N en K y una proyeccionoblicua Q ∈ L(K) con R(Q) = H⊕ 0, tales que

fn ⊕ 0 = Q bn , para todo n ∈ N .

Mas aun, si e(F) =∞, entonces puede suponerse que B es una BON de K.

344

Demostracion. Sea (T,H, E) un operador preframe de F , con E = enn∈N una BON delmismo H donde vive F .

1. Por hipotesis, TT ∗ ≥ AFI ≥ I y podemos definir X = (TT ∗ − I)1/2 ∈ L(H)+.

2. Sea T0 : H → K el operador definido por T0x = Tx⊕ 0, x ∈ H. Entonces

T0 =

[T0

]y T ∗0 =

[T ∗ 0

]=⇒ T0T

∗0 ∼

[TT ∗ 0

0 0

]HH ∈ L(K) .

3. Sea Q =

[IH X0 0

]∈ L(K). Entonces, es claro que Q es una proyeccion oblicua tal

que R(Q) = H⊕ 0. Mas aun,

QQ∗ =

[IH +XX∗ 0

0 0

]= T0T

∗0 =⇒ |Q∗| = |T ∗0 | .

Consideremos la descomposicion polar (a derecha) T = |T ∗|U , donde U ∈ L(H) es unaisometrıa partial espacio inicial N(T )⊥ y espacio final R(T ) = H. Definamos

V : H → K dado por V x = UPN(T )⊥x⊕ PN(T )x, x ∈ H. (14.12)

Entonces, V es una isometrıa y T0 = |T ∗0 |V . La isometrıa parcial de la descomposicion polara derecha de Q puede extenderse a un operador unitario W sobre K, pues dim(N(Q)) =dim(R(Q)⊥). Mas aun, esto puede hacerse de modo que Q = |Q∗|W . Entonces

T0 = |T ∗0 |U = |Q∗|U = Q W ∗U.

Luego, si definimos B = bnn∈N = W ∗V enn∈N , que es un sistema ortonormal en K (porqueW ∗V es isometrıa), se tiene que

fn = Ten ∼ Ten ⊕ 0 = T0en = Q(W ∗V en) = Qbn , n ∈ N .

Supongamos ahora que e(F) = dimN(T ) = ∞. Mostraremos que la isometria V definidaen la ecuacion (14.12) puede cambiarse por un operador unitario de H sobre K, que siguesatisfaciendo que T0 = |T ∗0 |V . Para ello, tomemos

V x = UPN(T )⊥x⊕ Y PN(T )x, x ∈ H,

donde Y ∈ L(`2(N),H) es la isometrıa parcial con espacio inicial N(T ) y espacio final H.Se tiene que V manda isometricamente N(T )⊥ sobre H ⊕ 0 y N(T ) sobre 0 ⊕ H porlo que es, en efecto, unitario. Luego, la sucesion bn = W ∗V en, n ∈ N, resulta ser una baseortonormal de K.

Observacion 14.3.4. Usando la notacion del Teorema 14.3.3, si K0 = span bn y Q0 =Q∣∣K0

, entonces (Q0,K0,B) es un operador preframe de F , por lo que parecerıa que es posible

considerar (en general) bases ortonormales en vez de sistemas ortonormales. No obstante,el Teorema 14.3.5 muestra que este argumento falla: observar que H no esta necesariamentecontenido en K0, y en tal caso no se cumple que Q0 sea una proyeccion. 4

345

Si e(F) <∞, se tiene el siguiente teorema:

Teorema 14.3.5. Sea F = fnn∈N un marco en H con cotas 1 ≤ AF ≤ BF . Supongamosque e(F) <∞. Entonces, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Existe un espacio de Hilbert K tal que H ⊆ K, una proyeccion Q ∈ L(K), y una baseortonormal B = bnn de K tal que fn = Qbn para todo n ∈ N.

2. Si S es el operador de frame de F , entonces dim ran(S − IH) ≤ e(F).

Demostracion. Sea (T,H,B) un operador preframe de F . Observar que S = TT ∗. Sila primer condicion se satisface, entonces e(F) = dimN(T ) = dimN(Q) = dim(K H).Identificaremos K H con N(T ), y por lo tanto K con H ⊕ N(T ). Sea T0 : H → K, dadopor T0x = Tx⊕ 0. Entonces

T0T∗0 =

[TT ∗ 0

0 0

]HN(T )

=

[S 00 0

]HN(T )

∈ L(K) .

Es facil ver que debe existir X ∈ L(N(T ),H) tal que Q =

[IH X0 0

]HN(T )

. Entonces

[S 00 0

]= T0T

∗0 = QQ∗ =

[IH +XX∗ 0

0 0

].

En consecuencia, S − IH = XX∗, mientras que dimR(XX∗) ≤ dimR(X) ≤ dimN(T ).

Reciprocamente, si dim ran(S − I) ≤ dimN(T ), consideremos, como en la demostraciondel Teorema 14.3.3, X = (S − I)1/2 ∈ L(H)+. Notemos que dimN(X)⊥ = dimR(X) ≤dimN(T ). Entonces existe una isometrıa parcial U : N(T )→ H con UU∗ = PN(X)⊥ . Comoantes, usamos el espacio de Hilbert K = H ⊕ N(T ), y el operador T0 ∈ L(H,K), dado porT0x = Tx⊕ 0. Sea Y = XU ∈ L(N(T ),H), y

Q =

[IH Y0 0

]HN(T )

∈ L(K).

Entonces Q2 = Q, R(Q) = H⊕ 0 y |Q∗| = |T ∗0 |, pues

Y Y ∗ = XUU∗X∗ = XPN(X)⊥X∗ = XX∗ .

Luego

QQ∗ =

[I + Y Y ∗ 0

0 0

]=

[I +XX∗ 0

0 0

]= T0T

∗0 .

El resto de la demostracion sigue las mismas ideas que la primer parte de la demostraciondel Teorema 14.3.3, pero tomando K = H⊕N(T ). Notemos que, en este caso, la isometrıaV definida en la ecuacion (14.12) resulta un operador unitario de H sobre K. Por lo tanto,si W es el operador unitario considerado en la primer parte de la demostracion del Teorema14.3.3, la sucesion bn = W ∗V en, n ∈ N, resulta ser una base ortonormal de K.

346

14.4 Frames de Riesz y de Riesz condicionados

Como observa Christensen en [15] , p. 65, dado un frame F = fnn∈N, puede se dificil, en lapractica, usar la decomposicion f =

∑⟨f, S−1fn

⟩fn , porque se necesita aproximar S−1 o,

al menos, los coeficientes frame⟨f, S−1fn

⟩. Para obtener algunas ventajas usando bases de

Riesz, Christensen introdujo en [16] el metodo de la projeccion, que aproxima S y S−1 conoperadores de rango finito, que actuan en ciertos espacios finitodimensionales Hn dentro deH. Mas tarde, Christensen [18] definio dos clases particulares de frames: frmaes de Rieszy frmaes de Riesz condicionados, que se adaptan bien a los problemas mencionados.

Fijaremos algunas notaciones:

- Llamaremos P(N) al conjunto de partes de N.

- Notaremos PF (N) = I ∈ P(N) : |I| <∞ a las partes finitas y PI(N) = P(N)\PF (N)a las infinitas.

Sea B = enn∈N una BON de H y sea I ∈ P(N).

- Notaremos BI = en : n ∈ I, HI = span BI, y PI = PHI a la proyeccion ortogonalde H sobre HI .

- Si I = In = 1, 2, . . . , n, escribiremos Hn en lugar de HI .

- Dado S v H, llamaremos Sn = S ∩Hn, para cada n ∈ N.

- Si F = fnn∈N es un frame en H, notaremos FI = fnn∈I y Fn = FIn .

- Diremos que FI es una sucesion frame si es un frame para span FI.

- En cambio, FI se dira subframe de F si ella misma es un frame en H.

14.4.1 Frames de Riesz

Una de las principales causas que indujeron a estudiar esta clase de marcos fue la dificultadpractica que implica el calculo de los coeficientes

⟨f, S−1fn

⟩n∈N de la descomposicion

f =∑⟨

f, S−1fn⟩fn .

Con el objeto de hacer uso de las ventajas que poseen las bases de Riesz en este aspecto,Christensen habıa introducido en [16] el denominado metodo proyectivo, el cual aproximalos operadores S y S−1 por medio de operadores de rango finito, los cuales actuan en ciertosespacios finitos dimensionales cuya union es densa en H. Los marcos de Riesz se ajustabanbien a este metodo. Mas tarde (ver [16]), Christensen caracterizo exactamente que marcosde adaptan bien al metodo antes mencionado. A estos marcos los denomino marcos de Rieszcondicionados, por su estrecha conexion con los de Riesz.

347

Definicion 14.4.1. 1. Un frame F = fnn∈N se denomina frame de Riesz si existenA,B > 0 tales que, para todo I ⊂ N, la sucesion FI es una sucesion frame con cotasA y B (uniformes para todo I).

2. F se llama frame de Riesz condicionado si existe una sucesion Inn∈N en PF (N) (osea que son finitos) tal que

(a) In ⊆ In+1 para todo n ∈ N,

(b)⋃n∈N

In = N

(c) Existen A,B > 0 que funcionan como cotas para todas las sucesiones frame FIn .

El lector interesado en mas detalles sobre marcos de Riesz y marcos de Riesz condicionadospuede ver los artıculos citados a lo largo de esta seccion, como ası tambien [8], [10] y [11]).

Observacion 14.4.2. Sean F un frame en H con operador preframe (T,H,B) e I ⊆ N.

1. Se tiene que FI es sucesion frame si y solo si R(TPI) v H.

2. Por otra parte, FI es un subframe de F si y solo si R(TPI) = H.

3. En ambos casos las cotas frame para FI son

AFI = γ(TPI)2 (si TPI 6= 0) y BFI = ‖TPI‖2 , (14.13)

ya que (TPI ,HI , enn∈I) deviene operador preframe para cada FI .

Usando estos hechos y la Proposicion 8.4.12, podemos obtener dos caracterizaciones alter-nativas de los frames de Riesz: 4

Proposicion 14.4.3. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Entonces sonequivalentes:

1. F es un frame de Riesz.

2. Existe ε > 0 tal que γ(TPI) ≥ ε para todo I ∈ P(N) tal que TPI 6= 0.

3. Existe c < 1 tal que

c [N(T ) , HI ] ≤ c para todo I ∈ P(N) . (14.14)

Demostracion. Por la Prop. 8.4.12, para todo I ⊆ N tal que TPI 6= 0 se tiene que

γ(T ) s [N(T ) , HI ] ≤ γ(TPI) ≤ ‖T‖ s [N(T ) , HI ] .

Esto implica la equivalencia entre 2 y 3 (si TPI = 0 entonces c [N(T ) , HI ] = 0). Por otraparte, usando la Prop. 8.4.11, y la Ec. (14.13), podemos deducir la equivalencia entre 1 y 2.

Se tiene un resultado similar para frames de Riesz condicionados.

348

Proposicion 14.4.4. Sean F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Entonces Fes frame de Riesz condicionado si y solo si existen una sucesion Inn∈N en PF (N) y unaconstante c < 1 tales que

In ⊆ In+1 ,⋃n∈N

In = N y c [N(T ) , HIn ] ≤ c , n ∈ N (14.15)

o, equivalentemente, γ(TPIn) ≥ ε para cierto ε > 0.

Observacion 14.4.5. Enumeraremos a continuacion algunos resultados del Capıtulo ante-rior que usaremos aquı: Sean S v H y B = enn∈N una BON de H. Para cada I ∈ P(N),se denota HI = span ei : i ∈ I. Si n ∈ N, escribimos Hn = HIn .

1. En el Teo. 13.3.1 vimos que S es B-compatible si y solo si

C(S) = supc [S , HI ] : I ∈ P(N)

< 1 . (14.16)

2. Dada una sucesion Inn∈N en PF (N), si existe c < 1 tal que se cumple la Ec. (14.15),entonces por el Lema 13.2.5,

c l

( ⋃n∈N

S ∩HIn

)= S . (14.17)

3. Para cada n ∈ N, sean Sn = S ∩Hn y C(Sn) = supJ⊆ In

c [Sn , HJ ]. Por el Teo. 13.3.1, el

Lema 13.2.5 y la Prop. 13.3.3, las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) S es B-compatible.

(b) Existe c < 1 tal que c [S , Hn ] ≤ c para todo n ∈ N, y supn∈N

C(Sn) < 1.

(c) c l

(⋃n∈N

Sn

)= S y sup

n∈NC(Sn) < 1.

(d) C0(S) = supc [S , HI ] : I ∈ PF (N) tal que S ∩HI = 0

< 1. 4

Proposicion 14.4.6. Sea F un frame de Riesz condicionado y sea (T,H,B) un operadorpreframe asociado. Notemos S = N(T ). Se tiene que

c l

(∞⋃m=1

S ∩Hm

)= S. (14.18)

Demostracion. Como F es un frame de Riesz condicionado, existen una sucesion Inn∈N enPF (N) y una constante c < 1 que verifican la Ec. (14.15). Por la formula (14.17), sabemosque

⋃n∈N S ∩ HIn es densa in S. Finalmente, para cada n ∈ N, existe m ∈ N tal que

In ⊆ Im = 1, 2, . . . ,m. Por ende,⋃n∈N S ∩HIn ⊆

⋃m∈N S ∩Hm .

Los resultados de la Obs. 14.4.5 se pueden “traducir” al idioma de frames para conseguir unacaracterizacion de los frame de Rieszs, similar a la obtenida por Christensen y Lindner en[19]:

349

Teorema 14.4.7. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Llamemos S =N(T ). Entonces son equivalentes:



3. Existe una cota inferior uniforme para toda sucesion frame finita y linealmenteindependiente (LI) FJ , J ∈ PF (N).

4. Existe d > 0 tal que γ(TPJ) ≥ d, para todo J ∈ PF (N) tal que S ∩HJ = 0.

Demostracion. La equivalencia entre 1 y 2 se deduce de la Obs. 14.4.5 y la Prop. 14.4.4.Si J ∈ PF (N), entonces HJ ∩ S = 0 si y solo si FJ es LI. Esto muestra que 3 y 4 sonequivalentes. Por la Obs. 14.4.5 y la Prop. 8.4.12, ambas condiciones son tambien equivalentesa la B-compatibilidad de S.

Ahora bien, que exista un d tal que 0 < d ≤ γ(TPI) para todo I ∈ PF (N) tal queHI ∩ S = 0, equivale a decir que exista una constante c < 1 tal que c [S , HI ] ≤ c paraesos conjuntos I. Por la Obs. 14.4.5, esto equivale a la condicion 2.

Proposicion 14.4.8. Sea F un frame de Riesz condicionado con e(F) <∞. Entonces F esun frame de Riesz. En particular, si (T,H,B) es un operador preframe para F , debe existirun m ∈ N tal que N(T ) ⊆ Hm .

Demostracion. Sea S = N(T ). Por la Prop. 14.4.6, S verifica la Ec. (14.18). Como dimS <∞, existe m ∈ N tal que S ⊆ Hm . Por otra parte, en la terminologıa de la Obs. 14.4.5, siC(Sn) = sup

J⊆Inc [Sn , HJ ], entonces C(Sn) = C(Sm) para todo n ≥ m. En resumen, por la

Obs. 14.4.5, se tiene que S es B-compatible, por lo que F debe ser un frame de Riesz.

Teorema 14.4.9. Sea F un frame de Riesz condicionado con operador preframe (T,H,B).Para cada n ∈ N, denotemos

1. Sn al operador frame de Fn = fkk∈In ,

2. Gn = S−1/2n fkk∈In , y

3. An el mınimo de las cotas inferiores de sucesiones frame no nulas de Gn .

Si se tiene que infn∈N

An > 0, entonces F debe ser un frame de Riesz.

Demostracion. Notemos S = N(T ). Observenos que, para todo n ∈ N, se tiene que(TPn,Hn,Bn) es operador preframe para Fn y por ello Sn = TPnT

∗. Observar que N(TPn) =

N(S−1/2n TPn) = S ∩ Hn = Sn (si pensamos a TPn con dominio Hn). Ademas tenemos que

γ(S−1/2n TPn) = ‖S−1/2

n TPn‖ = 1. Luego, por la Prop. 8.4.12, si J ⊆ In , la cota inferior AJ,nde S−1/2

n fkk∈J verifica que

AJ,n = γ( (S−1/2n TPn)PJ)2 = s [Sn , HJ ]2 = 1− c [Sn , HJ ]2 .

Usando la Obs. 14.4.5, el Teorema follows.

350

14.4.2 Un contraejemplo:

Hemos visto que el nucleo S de una operador preframe asociada a un frame de Riesz condi-cionado F satisface la propiedad de “densidad”: c l (

⋃∞n=1 Sn) = S, para Sn is S ∩Hn . En el

siguiente ejemplo veremos que tal desidad no es suficiente para que F sea un frame de Rieszcondicionado.

Para ello usaremos un metodo indirecto: Dado S v H con dimS⊥ =∞, sabemos que existenframes F con un operador preframe (T,H,B) tal que S = N(T ). Luego construiremos un Sadecuado, en el sentido de la caracterizacion de frames de Riesz condicionados a traves delnucleo de su operador preframe, dada en Prop. 14.4.4.

Ejemplo 14.4.10. Dada una BON B = enn∈N de un espacio de Hilbert H y dado r > 1,definamos el siguiente sistema ortogonal:

x1 = e1 − re2 +1

re3 +

1

r2e4 +

1

r3e5 +

1

r4e6

x2 = e5 − re6 +1

r5e7 +

1

r6e8 +

1

r7e9 +

1

r8e10

...

xn = e4n−3 − re4n−2 +1

r4n−3e4n−1 +

1

r4n−2e4n +

1

r4n−1e4n+1 +

1

r4ne4n+2 .

Sea S = span xn : n ∈ N. Por su construccion, c l

(∞⋃n=1

S ∩Hn

)= S. Ademas,

e4n−1 − re4n : n ∈ N ⊂ S⊥ =⇒ dimS⊥ =∞ .

Por los comentarios anteriores, existe un frame F con preframe operator (T,H,B), tal queS = N(T ). Veremos que F NO es un frame de Riesz condicionado. Por la Prop. 14.4.4,bastarıa probar que, para toda sucesion J1 ⊆ J2 ⊆ J3 ⊆ . . . ⊆ Jn . . . N en PF (N), secumple que c [S , HJk ] −−−→

k→∞1. Fijemos entonces Jkk∈N y tomemos un 0 < ε < 1.

Como ‖xn‖2 ≤ 1 + r2 +4

r8n−6para todo n ∈ N, existe n0 ∈ N tal que

1− ε < 1 + r2

‖xn‖2∀ n ≥ n0.

Para cada i ∈ N, llamemos Mi = span e4i−1, e4i . Observar que PMixj 6= 0 ⇐⇒ j = i,

dado que las dos coordenadas del medio son “exclusivas” de cada xi . Por lo tanto, si

y ∈ S entonces PMiy 6= 0 ⇐⇒ 〈y, xi〉 6= 0 . (14.19)

Sea k ∈ N tal que j = maxi ∈ N : PMi

(S ∩ HJk) 6= 0≥ n0 . El tal k debe existir

porque xn0 debe pertenecer a S ∩ HJk para k grande. Pero por la Ec. (14.19), se tiene que

351

xh ∈ (S ∩HJk)⊥ para todo h > j. En particular, xj+1 ∈ S (S ∩HJk) = S HJk . Por otro

lado, existe un y ∈ (S ∩ HJk) tal que PMjy 6= 0. Por lo tanto, las ultimas cuatro entradas

asociadas a xj son no nulas en y, porque y ∈ span x1, . . . , xj, 〈y, xj〉 6= 0 y no esta presentexj+1 para cambiarlas. Por ende, como y ∈ HJk , entonces esas cuatro coordenadas debenpertenecer a Jk . Ahora bien, como las dos ultimas entradas de xj son las dos primeras dexj+1 , y deben pertenecer a Jk , tenemos que ‖PJkxj+1‖2 ≥ 1 + r2. Luego, como j ≥ n0 ,

1− ε <1 + r2

‖xj+1‖2≤ ‖PJkxj+1‖2

‖xj+1‖2

=

⟨xj+1

‖xj+1‖,PJkxj+1

‖xj+1‖

⟩≤⟨

xj+1

‖xj+1‖,

PJkxj+1

‖PJkxj+1‖

⟩≤ c [S , HJk ] .

El mismo argumento muestra que 1 − ε ≤ c [S , HJm ], para todo m ≥ k (porque solo seusaba que j ≥ n0 , lo que sigue pasando a partir de k). Como ε es arbitrario y k solo dependede n0 , y por ende de ε, tenemos que c [S , HJk ] −−−→

k→∞1. 4

14.4.3 Angulos entre columnas

En esta seccion abreviaremos linealmente independiente con las letras LI.

Proposicion 14.4.11. Sea A ∈ L(H,K) inversible, y sean S, T v H tales que S ∩T = 0y s [S , T ] > 0. Entonces

s [A(S) , A(T ) ] ≥ s [S , T ]

‖A‖‖A−1‖> 0 .

Demostracion. Observar que, dado x ∈ H, se tiene que ‖Ax‖ ≥ ‖A−1‖−1‖x‖, y si ‖Ax‖ = 1entonces ‖x‖ ≥ ‖A‖−1. Por lo tanto, como A(S) ∩ A(T ) = 0,

s [A(S) , A(T ) ] = d((AS)1, AT )

= inf‖A(x− y)‖ : x ∈ S, y ∈ T , ‖Ax‖ = 1

= inf

‖x‖ ‖A(

x

‖x‖− y)‖ : x ∈ S, y ∈ T , ‖Ax‖ = 1

≥ ‖A‖−1 inf

‖A(x− y)‖ : x ∈ S, y ∈ T , ‖x‖ = 1

≥ (‖A−1‖ ‖A‖)−1 inf

‖x− y‖ : x ∈ S, y ∈ T , ‖x‖ = 1

=

s [S , T ]

‖A−1‖‖A‖,

como se querıa demostrar.

352

Proposicion 14.4.12. Sea T ∈ L(H) tal que 0 6= R(T ) v H. Fijemos una BON fijaB = enn∈N de H. Supongamos que S = N(T ) cumple

s = infs [S , HJ ] : J ⊆ N > 0

(o sea que S es B-compatible). Entonces, dados I, J ⊆ N tales que T (HI) ∩ T (HJ) = 0,se tiene que

s [T (HI) , T (HJ) ] ≥ γ(T ) s

‖T‖=

s

‖T‖‖T †‖.

Demostracion. Notemos E = PS⊥ , P = PI y Q = PJ . Supongamos primero que T ∗T = E,i.e., T es una isometrıa parcial. En tal caso, como T |

S⊥es isometrıa, tenemos que

c [T (HI) , T (HJ) ] = c [T E(HI) , T E(HJ) ] = c [E(HI) , E(HJ) ] .

La hipotesis T (HI) ∩ T (HJ) = 0 implica las siguientes cosas:

a) HI ∩ HJ = HI∩J ⊆ S, por lo que podemos suponer que I ∩ J = ∅, reemplazando Jpor J0 = J \ (I ∩ J), ya que E(HJ) = E(HJ0) .

b) En tal caso P ∨Q = P +Q y ademas

R(P +Q) ∩ S = (R(P ) ∩ S) ⊥ (R(Q) ∩ S) , (14.20)

porque T (P +Q)x = 0 =⇒ TPx = TQ(−x) ∈ R(TP ) ∩R(TQ) = 0 .

c) Si P ′ = P − PR(P )∩S = PR(P )(R(P )∩S) y Q′ = Q − PR(Q)∩S , entonces se tiene queEP = EP ′, EQ = EQ′ y, por otra parte,

R(P ′ +Q′) = R(P ) (R(P ) ∩ S) ⊥ R(Q) (R(Q) ∩ S)

= R(P +Q) (R(P +Q) ∩ S) = R(P +Q) S .(14.21)

d) De lo anterior deducimos que

s [R(P ′ +Q′) , S ] = s [R(P +Q) S , S ] = s [R(P +Q) , S ] ≥ s.

Observar que kerE(P ′ +Q′) = ker(P ′ +Q′) ⊥ R(P ′ +Q′) ∩ S = ker(P ′ +Q′). Luego

kerE(P ′ +Q′)⊥ = R(P ′ +Q′) =⇒ ‖Ez‖ ≥ γ(E(P ′ +Q′))‖z‖ , si z ∈ R(P ′ +Q′) .

Ahora sı:

s [R(EP ) , R(EQ) ] = inf‖ Ex‖Ex‖ − Ey‖ : x ∈ R(P ′)1, y ∈ R(Q′)

= inf‖Ex‖−1‖Ex− Ey‖ : x ∈ R(P ′)1, y ∈ R(Q′)

≥ inf‖Ex− Ey‖ : x ∈ R(P ′)1, y ∈ R(Q′)

≥ γ(E(P ′ +Q′) ) · inf‖x− y‖ : x ∈ R(P ′)1, y ∈ R(Q′)

≥ γ(E) s [ kerE , R(P ′ +Q′) ] · 1 ≥ s,

353

donde la ultima desigualdad se deduce de la Prop. 8.4.12 aplicada a E y P ′ +Q′.El caso general se prueba tomando la DP a derecha T = |T ∗|U = (TT ∗)1/2U . Entonces

U es isometrıa parcial, y cae en el caso anterior. Luego se aplica la Prop. 14.4.11 paraA = |T ∗| + PS > 0 con los subespacios U(HI) y U(HJ) , que ya sabemos que cumplens [U(HI) , U(HJ) ] ≥ s. Notar que ‖A‖ = ‖T‖ y ‖A−1‖ = ‖T †‖.

Observacion 14.4.13. Con las notaciones de la Prop. 14.4.12, si T (HI) ∩ T (HJ) 6= 0,pero existe algun K ⊆ I tal que

T (HK) ∩ T (HJ) = 0 mientras que T (HK) + T (HJ) = T (HI) + T (HJ) = T (HI∪J)

(por ejemplo si I ∈ PF (N) ), entonces tambien

s [T (HI) , T (HJ) ] ≥ s [T (HK) , T (HJ) ] ≥ s

‖T‖‖T †‖.

Esto se deduce de una cuenta de angulos (el primer ≥ de arriba) que se propone comoejercicio (ver Ejer. 8.4.15).

Otro ejercicio serıa verificar que la condicion anterior (que exista un buen K) siempre secumple, si uno supone que F es frame de Riesz. La prueba es del estilo de la Prop. 14.5.16de mas adelante, donde se muestra que los frames de Riesz contienen bases de Riesz.

De ello se podra deducir que la Prop. 14.4.12 vale para todo par I, J ⊆ N sin mas hipotesis.4

Proposicion 14.4.14. Sea A ∈ L(H,K) tal que N(A) = 0. Fijemos B = en : n ∈ Nuna BON de H. Entonces A es acotada inferiormente (i.e., γ(A) > 0) si y solo si se cumplenlas siguientes condiciones:

1. Existe D > 0 tal que D ≤ ‖Aen‖, para todo n ∈ N.

2. Existe r < 1 tal quec [A(HI) , A(HJ) ] ≤ r ,

para todo par I , J ∈ PF (N) tales que I ∩ J = ∅.

En tal caso vale que γ(A) ≥ (1 + r)1/2

D(1− r)1/2.

Demostracion. La ida sale por la Proposicion 14.4.11, tomando K = R(A) que es cerrado(para que A quede inversible). Observar que siempre s [HI , HJ ] = 1 y que D = γ(A) sirve.

Supongamos que se cumplen 1 y 2. Sea a =(1 + r)1/2

D(1− r)1/2. Veremos que ‖Ax‖ ≥ a‖x‖

para x ∈ H0 , donde H0 = span B, que es denso en H. Es facil ver que eso es suficiente.Observar que H0 es la union de todos los HK para K ∈ PF (N). Para un K fijo, definamos

s(K) = s ∈ HK : sn = ±1 , n ∈ K .

354

Para s ∈ s(K), pongamos Is = n ∈ K : sn = 1 y Js = K \ Is . Dado c ∈ HK , definamoscs = (PIs − PJs)c, que resulta de cambiarle los signos a sus cordenadas de acuerdo a s.

Paso 1: Veremos que si b =1 + r

(1− r), entonces

‖Acs‖2 ≤ b ‖Ac‖2 para todo K ∈ PF (N) , todo c ∈ HK y todo s ∈ s(K) .

Llamemos x = Ac, x0 = APIsc y x1 = x − x0. Observar que x0 ∈ A(HIs) y x1 ∈ A(HJs) .Luego |〈x0, x1〉| ≤ r‖x0‖ ‖x1‖ (aquı se usa que A(HIs)∩A(HJs) = 0 porque N(A) = 0).Entonces

‖Acs‖2 = ‖x0 − x1‖2 = ‖x0‖2 + ‖x1‖2 − 2Re〈x0, x1〉 ≤ ‖x0‖2 + ‖x1‖2 + 2r‖x0‖ ‖x1‖ .

Analogamente,

‖Ac‖2 = ‖x0 + x1‖2 ≥ ‖x0‖2 + ‖x1‖2 + 2Re〈x0, x1〉 ≥ ‖x0‖2 + ‖x1‖2 − 2r‖x0‖ ‖x1‖ .

Cuentas directas dicen que si M > 0, entonces

(1 +M)‖Ac‖2 − ‖Acs‖2 ≥ (1 +M)(‖x0‖2 + ‖x1‖2 − 2r‖x0‖ ‖x1‖)−

−(‖x0‖2 + ‖x1‖2 + 2r‖x0‖ ‖x1‖)

= M(‖x0‖2 + ‖x1‖2 − 2(r +

2r

M)‖x0‖ ‖x1‖

)≥ 0 ,

siempre que 1 ≥ r +2r

M, o sea, si M ≥ 2r

1− r. Entonces

b =1 + r

1− r= 1 +

2r

1− r.

claramente cumple lo pedido (y no depende de nada).

Paso 2: Por la regla generalizada del paralelogramo:

x1, . . . , xN ∈ H =⇒ 2NN∑k=1

‖xk‖2 =∑

ε∈±1N

∥∥∥∥∥N∑k=1

εk xk

∥∥∥∥∥2

,

se puede deducir que, si N = |K|, para todo c ∈ HK se tiene

2N∑n∈K

‖cn · Aen‖2 =∑s∈s(K)

‖APIsc− APJsc‖2 =∑s∈s(K)

‖Acs‖2 .

Por lo tanto, debe existir algun s ∈ s(K) tal que∑n∈K

‖cn · Aen‖2 ≤ ‖Acs‖2.

355

Paso 3: Veremos que a =(1 + r)1/2

D(1− r)1/2es cota inferior de A: Dado c ∈ HK ,

‖c‖2 =∑n∈K

|cn|2 ≤ D−2∑n∈K

‖cnAen‖2 ≤ D−2‖Acs‖2 ≤ (1 + r)

D2(1− r)‖Ac‖2 ,

para algun s ∈ S(K) tal que∑n∈K

‖cn · Aen‖2 ≤ ‖Acs‖2, que existe por el Paso 2.

Si traducimos nuevamente al idoma frame, nos queda lo siguiente (ver [19]):

Corolario 14.4.15. Sea F = fnn∈N un frame enH con operador preframe (T,H,B). Paracada I ⊆ N, noratemos MI = span FI, al subespacio cerrado generado por las columnasI-esimas de T (en la base B). Luego las siguientes condiciones son equivalentes:


2. Existen d > 0 y c < 1 tales que

(a) d ≤ ‖fn‖ para todo n ∈ N tal que fn 6= 0.

(b) c [MI ,MJ ] < c para todo par I, J ⊆ N.

3. Existen d > 0 y c < 1 tales que

(a) d ≤ ‖fn‖ para todo n ∈ N tal que fn 6= 0.

(b) c [MI ,MJ ] < c para todo par I, J ∈ PF (N) tal que I ∩ J = ∅, FI y FJ son LIy MI ∩MJ = 0 (o, equivalentemente, si FI∪J es LI).

En tal caso, se puede ver que γ(TPK) ≥ min

d ,

(1 + c)1/2

d(1− c)1/2

para todo K ⊆ N.

Demostracion.

1 → 2 Se sigue de la Prop. 14.4.12 y la Obs. 14.4.13. Notar que, si fn 6= 0, entonces ‖fn‖ =γ(TPen) ≥ d, donde d = minγ(TPJ) : J ⊆ N > 0.

2 → 3 Es evidente.

3 → 1 Usando la condicion 4 del Teo. 14.4.7, basta probar que existe a > 0 tal que γ(TPK) ≥a, para todo K ⊆ PF (N) tal que S ∩ HK = 0. Es decir, tenemos que ver queK ∈ PF (N) y kerTPK = 0 implica que γ(TPK) ≥ a. Pero podemos aplicar laProp. 14.4.14 a los operadores inyectivos TPK y deducir de la hipotesis que

γ(TPK) ≥ (1 + c)1/2

d(1− c)1/2para todo tal K ⊆ N .

Por el Teo. 14.4.7, las cotas γ(TPK) para estos K son suficientes para acotar cualquier otrosubconjunto de N.

356

Observacion 14.4.16. La equivalencia entre 1 ↔ 3 fue demostrada por Christensen yLindner en [19]. Se deduce de un resultado muy semejante a la Prop. 14.4.14, que fue probadopor Bittner-Lindner en [6], y de la condicion 4 del Teo. 14.4.7 (ver tambien el theorem 2.1en [19]).

14.5 Yo me borro

La propiedad mas importante de un frame F = fnn∈N es que le “sobra” para generar alos elementos de H. En esa redundancia radica su utilidad, porque le brinda robustez a lastransmisiones de datos f ∈ H usando sus cordenadas (〈f, fn〉)n∈N .

Por lo tanto, dado un frame F = fnn∈N , es natural preguntarse que tanto le sobra. Enotra palabras, cuantos vectores puedo sacarle sin que deje de ser un frame. Este problemaes importante en teorıa de la informacion y en signal processing. Sobre estos temas, sug-erimos al lector los trabajos recientes de Goyal-Vetterli-Thao [24], Goyal-Kovacevic-Kelner[23], Casazza-Kovacevic [14], Balan-Casazza-Heil-Landau [3], Benedetto-Fickus [4], Holmes-Paulsen [28], y Strohmer-Heath [34].

14.5.1 Excesos y Borrados

Recordemos que, dado un frame F = fnn∈N en H con operador preframe (T,K,B), sellama el exceso de F al cardinal e(F) = dimN(T ). En la Obs. 14.1.4 se vio que e(F) nodepende del operador preframe elegido. En particular,

e(F) = dim

(cn)n∈N ∈ `2 :∑n∈N

cnfn = 0,

que es la nulidad del operador preframe inducido por la base canonica de `2(N).

Definicion 14.5.1. Dado I ⊆ N notaremos Ic = N \ I. Dado un frame F = fnn∈N ,diremos que I puede borrarse de F si FIc = fkk∈Ic es un subframe de F , i.e. FIc siguesiendo un frame (para todo H). Denotaremos

E(F) = sup|I| : I puede borrarse de F ∈ N ∪ 0,+∞.

El frame F se dice exacto (o sucesion excta) si E(F) = 0, i.e. si span F \ fn 6= H paratodo n ∈ N . 4

Observacion 14.5.2. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Dado I ⊆ N,tenemos que I se puede borrar de F si y solo si , R(TPIc) = H. En tal caso, (TPIc ,HIc ,BIc)es un operador preframe para FIc . 4

El siguiente resultado fue probado por Holub [29] y por Balan, Casazza, Heil, Landau [3]:

Proposicion 14.5.3. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Entonces

1. F es exacto si y solo si F es una base de a Riesz de H, i.e. E(F) = 0 ⇐⇒ e(F) = 0.

357

2. e(F) <∞ si y solo si E(F) <∞. En tal caso, E(F) = e(F).

3. Si I ∈ PF (N) con |I| = e(F) < ∞ puede borrarse de F , entonces FIc es una base dea Riesz de H.

En resumen, siempre vale que E(F) = e(F). Y si e(F) es finito, entonces F contiene almenos una base de Riesz de H.

Demostracion. Observar que T ∗ ∈ L(H) es inyectivo con rango cerrado.1. Supongamos que E(F) = 0. Fijemos n ∈ N y llamamos Pn a la proyeccion sobre en⊥.Se tiene que

R(TPn) 6= H pero R(TPn) v H ,

porque c[N(T ) , en⊥

]= c

[N(T )⊥ , span en

]< 1. Luego existe xn 6= 0 tal que

xn ∈ R(TPn)⊥ = N(PnT∗) =⇒ T ∗xn ∈ N(Pn) = span en y T ∗xn 6= 0 ,

porque T ∗ es mono. Como esto pasa para todo n ∈ N, deducimos B ⊆ R(T ∗) o sea que T ∗

es epi. Pero entonces N(T ) = R(T ∗)⊥ = 0 y e(F) = 0. La recıproca es clara, porque unabase es una base.

2. Si E(F) = m < ∞, borrando algun I con |I| = m, conseguinos una base de Riezs H(porque no se puede sacar nada mas, y aplicamos 1.). Luego N(T ) ∩HIc = 0, por lo quee(F) = dimN(T ) ≤ dimHIc

⊥ = m.Para ver la recıproca, usaremos las propiedades del ındice de Fredholm. De hecho, si

e(F) = m <∞, se tiene que T es de Fredholm con IndT = dimN(T ) = m. El caso m = 0ya lo vimos (es P (0) de la induccion). Si m > 0, tambien E(F) > 0 (por 1.). Sea n ∈ N talque a fn se lo puede borrar de F . Notemos Fn = F \ fn. Sabemos que

Ind (TPn) = Ind (T ) + Ind (Pn) = Ind (T ) = m ,

porque al ser Pn un proyector (y de Fredholm), tiene IndPn = 0. Pero como Fn es un frame,

R(TPn) = H y m = IndTPn = dimN(TPn) .

Ahora, como (TPn, en⊥,B \ en) es un operador preframe para Fn, tenemos que

e(Fn) = dim(N(TPn) ∩ en⊥) = m− 1

Por alguna hipotesis inductiva (e(F) = n =⇒ E(F) = n para n < m), deducimos queE(Fn) = m − 1 < ∞. Pero como esto pasa para todo n ∈ N que pueda ser borrado de F ,tiene que valer que E(F) = m.

3. Se deduce de lo visto hasta ahora.

Observacion 14.5.4. Sea F = fnn∈N un frame en H. Podemos deducir de la Prop. 14.5.3que, si e(F) = m <∞, existe I ⊆ N con |I| = e(F) tal que FIc es base de Riesz de H. Estofue probado por Holub en [29].

358

Pero si e(F) = ∞, la Prop. 14.5.3 nos asegura que se pueden borrar de F conjuntosJ ⊆ N de cualquier tamano, siempre que sean finitos (ya que E(F) es un supremo, nonecesariamente un maximo). Cae naturalmente la siguiente pregunta: Cuales son los framesa los que sı se les puede borrar un conjunto infinito I ⊆ N de ındices?

Esta clase de frames fue caracterizada por Balan, Casazza, Heil y Landau [3]. Presentare-mos una version de esa caracterizacion en terminos de nucles de operadores preframe. Antesde hacerlo, necesitamos un Lemma tecnico (ver theorem 5.2 en [3]).

Recordar que, si B = ekk∈N una BON de H e I ⊆ N, notamos BI = ek : k ∈ I,HI = span BI y PI = PHI . 4

Lema 14.5.5. Sean A ∈ L(H)+ y B = ekk∈N una BON de H. Si existe a > 0 tal que〈Aek, ek〉 ≥ a para todo k ∈ N, entonces para cada 0 < ε < a, existe I ∈ PI(N) (o sea que Ies infinito) tal que

γ(PIAPI) ≥ a− ε y N(PIAPI) = HIc .

En particular, PIAPI ∈ Gl(HI)+.

Demostracion. Fijemos 0 < ε < a. Por un argumento recursivo, se puede elegir un I ∈ PI(N)que cumpla que la matriz C = (cij)i,j∈I dada por cij = 〈Aej, ei〉, i, j ∈ I, verifique∑

j∈Ij 6=i

|cji| =∑j∈Ij 6=i

|cij| < ε , para todo i ∈ I.

Esto puede hacerse porque, para todo i ∈ N, la sucesion (cij)j∈I ∈ `2(I), y a fortiori cij −→j→∞

0.

Notar que C es la matriz de PIAPI ∈ L(HI)+ en terminos de la BON BI de HI . Ademas

cii ≥ a > ε, para todo i ∈ I. Es conocido que un operador no negativo con una tal matrizdebe ser estrictamente positivo. Mas aun, por el teorema de los discos de Gersgorin y unargumento standard de lımites (SOT), podemos probar que σL(HI)(PIAPI) ⊆ [a − ε,+∞)(ver, por ejemplo, el libro de Bhatia [5] VIII.6.3).

Teorema 14.5.6. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Notemos S =N(T ) y B = enn∈N . Supongamos que e(F) = ∞. Entonces existe un J ∈ PI(N) quepuede borrarse de F si y solo si

PS en −−−→n→∞

/0 .

Mas aun, si I ∈ PI(N) y ‖PS en‖ ≥ cI > 0 para todo n ∈ I, se puede tomar J ⊆ I.

Demostracion. Ambas condiciones son invariantes de la clase de equivalencia de F , porquemultiplicar a izquierda por un inversible no cambia el nucleo ni cambia el hecho de que unoperador sea suryectivo. Por lo tanto basta probar el caso en que F es de Parseval. Es decir,que asumimos que TT ∗ = I y T ∗T = PS⊥ .

Sea J ∈ PI(N) borrable. Si x ∈ HJ ∩ S⊥ e y ∈ HJc , entonces

0 = 〈x, y〉 = 〈T ∗Tx, y〉 = 〈Tx, Ty〉 .

359

Por lo tanto T (HJ ∩ S⊥) ⊆ T (HJc)⊥ = 0. Y como T

∣∣S⊥ es inyectivo, podemos deducir

que HJ ∩ S⊥ = 0. Por otro lado, como R(TPJc) = H (en particular es cerrado), lasProposiciones 8.4.12 y 8.2.5 dan que, para todo n ∈ J ,

0 < γ(TPJc) = s [S , HJc ] = s[S⊥ , HJ

]= d((HJ)1,S⊥) ≤ d(en,S⊥) = ‖PSen‖ ,

por lo que PS en −−−→n→∞

/0. Recıprocamente, si existen I ∈ PI(N) y cI > 0 tales que

‖PS en‖2 = 〈PS en, en〉 = 〈PIPSPI en, en〉 ≥ c2I para todo n ∈ I ,

podemos aplicar el Lema 14.5.5 a PIPSPI actuando HI . Ası sabemos que existe J ⊆ I,tambien infinito, tal que

0 < γ(PJPSPJ) = γ(PSPJ)2 = s[S⊥ , HJ

]2= s [S , HJc ]2 = γ(TPJc)

2 , (14.22)

(se usaron las Proposiciones 8.4.9 y 8.4.10). Por la Prop. 8.4.11, R(TPJc) v H. Por otrolado, siempre por el Lema 14.5.5 aplicado a a PIPSPI ,

HJc = N(PJPSPJ) = N(PSPJ) = HJc ⊥ (HJ ∩ S⊥) =⇒ HJ ∩ S⊥ = 0 .

Luego H = (HJ ∩S⊥)⊥ = H⊥J +S = HJc +S, ya que la suma es cerrada por (14.22). Luego

R(TPJc) = T (HJc) = T (HJc + S) = T (H) = H .

Esto muestra que FJc es subframe de F .

Corolario 14.5.7. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). Notemos S =N(T ) y B = enn∈N . Supongamos que e(F) =∞. Entonces son equivalentes:

1. Existe un J ∈ PI(N) que puede borrarse de F .

2. Existe un J ∈ PI(N) tal que R(TPJc) = H.

3. PS en −−−→n→∞

/0.

4. Existen I ∈ PI(N) y cI > 0 tales que ‖PS en‖ ≥ cI para todo n ∈ I.

Mas aun, si algun I ⊆ N cumple la condicion 4, entonces existe un J ⊆ I, tambien infinito,que puede borrarse de F .

Demostracion. Es consecuencia del Teo. 14.5.6 y de su demostracion.

Corolario 14.5.8. Sea F = fnn∈N un frame de Parseval con e(F) =∞. Entonces existeun I ∈ PI(N) que puede borrarse de F si y solo si ‖fn‖ −−−→

n→∞

/1.

Demostracion. Sea (T,K,B) un operador preframe de F , con B = enn∈N . NotemosS = N(T ). Luego T es una coisometrıa, y ‖Tx‖ = ‖x‖ para todo x ∈ S⊥. En particular

‖fn‖ = ‖Ten‖ = ‖TPS⊥en‖ = ‖PS⊥en‖ = (1− ‖PSen‖2)1/2 , n ∈ N .

Ahora basta aplicar el Teo. 14.5.6.

360

Observacion 14.5.9. Con las notaciones del Cor. 14.5.7, los numeros ‖PS en‖ tienen unafuerte relacion con las cotas AFn de las sucesiones Fn = F\fn. En efecto, por la Prop. 8.2.5,para cada n ∈ N tal que PS en 6= 0 (o sea ‖fn‖ 6= 1),

‖PS en‖ = d(

(span en)1 ,S⊥)

= s[

span en , S⊥]

= s[en⊥ , N(T )

].

La Proposicion 8.4.12 da entonces que, si notamos Pn = Pen⊥ ,

γ(T )‖PS en‖ ≤ γ(TPn) ≤ ‖T‖ ‖PS en‖ para aquellos n ∈ N .

Recordar que AFn = γ(TPn)2. La condicion 4 del Cor. 14.5.7, escrita en terminos de las AFn ,es la caracterizacion dada por Balan, Casazza, Heil y Landau en [3]. En el Ejem. 14.5.15de mas abajo, veremos un frame F de H con e(F) = ∞ que no verifica las condiciones delCor. 14.5.7. 4

14.5.2 Frames que contienen bases Riesz

Aquı estudiaremos aqullos frames F = fnn∈N para los cuales existe un J ∈ PI(N) (o seaque J es infinito) tal que FJc = fnn∈Jc es una base de Riesz. Llamaremos framesRieszibles a tales F . Para ver resultados sobre estos temas, referimos a los siguientestrabajos: [10], [11], [18] y [19].

Observaciones: 14.5.10. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). NotemosS = N(T ) y B = enn∈N .

1. F is Rieszible si y solo si existe J ∈ P(N) tal que J c ∈ PI(N) y TPJ : HJ → H esinversible. En otras palabras, HJ debe cumplir que

a. T (HJ) = H.

b. N(T ) ∩HJ = 0.

2. Ser Rieszible es un invariante de la clase de equivalenmcia de F , i.e., F es Rieszible siy solo si Gfnn∈N es Rieszible, para todo G ∈ Gl (H). En este sentido, el ser Riesziblees una propiedad de S = N(T ) (que es el mismo que N(GT ), para todo G ∈ Gl (H)).

3. Veremos mas adelante (en la Prop. 14.5.16) que todo frame de Riesz contiene bases deRiesz. Esto fue probado por Christensen en [18]. En particular, un frame de Riesz cone(F) = ∞ sera entonces Rieszible. Tambien los frames con la “subframe property”(i.e., frames F tales que FI es a sucesion frame para todo I ⊆ N, ver Casazza andChristensen [10] [12]) son Rieszibles, pero los frame de Riesz condicionados en generalno son Rieszibles, (ver Ejemplo 14.4.10). Por otro lado, por la Prop. 14.5.3, los framescon exceso finito contienen bases de Riesz , pero no son Rieszibles, porque el conjuntoque se debe borrar es finito.

Proposicion 14.5.11. Sea F = fnn∈N un frame en H y sea B una BON de H. EntoncesF is Rieszible si y solo si existe un operador preframe (M,H⊕H,B′) para F tal que

361

1. B′ = B ⊕ 0⋃0 ⊕ B.

2. M(x⊕ y) = Nx+ Uy, x, y ∈ H; donde N ∈ L(H) y U ∈ Gl (H).

Demostracion. Supongamos que F es Rieszible, con operador preframe (T,H,B). FijemosJ ∈ PI(N) tal que FJc es base de Riesz. Llamaremos

V1 : H → HJ y V2 : H → HJc ,

a los operadores unitarios definido por las biyecciones naturales entre B y BJ (resp. entre By BJc). Tomando N = T V1 y U = T V2 , podemos definir

M(x⊕ y) = Nx+ Uy , para todo par x, y ∈ H ,

que es el operador preframe anunciado (M,H ⊕ H,B′) para F . En efecto, U debe serinversible porque (U, 0 ⊕ H, 0 ⊕ B) is un operador preframe para FJc . La recıproca esclara.

Observacion 14.5.12. La Prop. 14.5.11 tiene la siguiente consecuencia: Dado F = fnn∈NRieszible, si usted me da un J ∈ PI(N) tal que FJ sigue siendo frame, bien puede pasar queFJ no sea mas Rieszible, ni siquiera en el sentido mas debil de Teo. 14.5.6, y tampoco tenerla subframe property.

En efecto, si se toman M , N y U como en la Prop. 14.5.11 y suponemos que N era unepimorfismo, podrıamos borrar BJc = 0 ⊕ en : n ∈ N ⊆ B′ (la mitad de B′ asociada aU). Entonces conseguirıamos al frame FJ = Nenn∈N , que puede ser tan malo como unoquiera, porque N puede ser cualquier epimorfismo.

Tambien dice que va a ser muy complicado encontrar alguna caracterizacon limpitade ser Rieszible, porque la libertad que uno tiene para poner N ’s hace que la clase delos Rieszibles sea seguramente bastante caotica. Sin embargo, la modelizacion que da laProp. 14.5.11 permite obtener las siguientes condiciones necesarias, que al menos ayudan atestar la Rieszibilidad o no de los ejemplos. 4

Proposicion 14.5.13. Sea F un frame Rieszible en H. Sea B = enn∈N una BON de H, yconsideremos el operador preframe (M,H⊕H,B′) de F , con M(x⊕y) = Nx+Uy, x, y ∈ Hcomo en la Prop. 14.5.11. Si S = N(M), entonces

‖PS(en ⊕ 0)‖ ≥ (1 + ‖U−1T‖2)−1 para todo n ∈ N

y‖PS(0⊕ en)‖2 ≤ 1− (1 + ‖U−1T‖2)−2 para todo n ∈ N . (14.23)

Demostracion. Notar que

S = Gr(−U−1T ) = x⊕−U−1Tx : x ∈ H .

En efecto, Tx+ Uy = 0 si y solo si y = −U−1Tx. Notemos V = U−1. Es facil ver que

S⊥ = T ∗V ∗y ⊕ y : y ∈ H .

362

Fijemos N ∈ N. Sea en ⊕ 0 ∈ B y tomemos en ⊕ 0 = (x ⊕ −V Tx) + (T ∗V ∗y ⊕ y), sudescomposicion relativa a S⊕S⊥. Luego y = V Tx, y en = x+T ∗V ∗V Tx = (I+T ∗V ∗V T )x.Por lo tanto

PS(en ⊕ 0) = (I + T ∗V ∗V T )−1en ⊕−V T (I + T ∗V ∗V T )−1en ,

por lo que

‖PS(en ⊕ 0)‖ ≥ ‖(I + T ∗V ∗V T )−1en‖ ≥ ‖(I + T ∗V ∗V T )‖−1 = (1 + ‖U−1T‖2)−1 .

Por otro lado, si 0 ⊕ en = (x ⊕ −V Tx) + (T ∗V ∗y ⊕ y), entonces x = −T ∗V ∗y y tambienen = y + V TT ∗V ∗y. Ası y = (I + V TT ∗V ∗)−1en ,

PS(0⊕ en) = −T ∗V ∗(I + V TT ∗V ∗)−1en ⊕ V TT ∗V ∗(I + V TT ∗V ∗)−1en y

PS⊥(0⊕ en) = T ∗V ∗(I + V TT ∗V ∗)−1en ⊕ (I + V TT ∗V ∗)−1en .

Como antes, obtenemos que ‖PS⊥(0⊕ en)‖ ≥ (1 + ‖U−1T‖2)−1.

Corolario 14.5.14. Sea F un frame en H con operador preframe (T,H,B). NotemosS = N(T ) y B = enn∈N . Supongamos que J ⊆ PI(N) cumple que FJc es base de Riesz.Entonces debe exisitir una constante c ∈ (0, 1) tal que

‖PS en‖ ≥ c para todo n ∈ J y ‖PS en‖ ≤ (1− c2)1/2 para todo n ∈ J c .

Demostracion. Es tan solo refrasear la Prop. 14.5.13.

Ejemplo 14.5.15. Sea B = enn∈N una BON H. Sea C = cnn∈N el sistema ortonormaldado por

c1 = e1 , c2 =e2 + e3√

2, . . . , cn = 2

1−n2

2n−1∑k=2n−1

ek , . . . .

Sea S = span C. Es claro que dimS = ∞ y que tambien dimS⊥ = ∞. Notemos que, si2n−1 ≤ k ≤ 2n − 1, entonces

PS ek =∞∑j=1

〈ek, cj〉cj = 〈ek, cn〉cn = 21−n

2 cn .

Por lo tanto PS ek −−−→k→∞

0 y ‖PS⊥ ek‖ = ‖(I−PS) ek‖ −−−→k→∞

1. Sean T1, T2 ∈ L(H) suyectivos

tales que N(T1) = S y N(T2) = S⊥. Consideremos los frames

F = fnn∈N y G = gnn∈N dados por fn = T1 en y gn = T2 en , n ∈ N .

1. Por el Teo. 14.5.6, F da un ejemplo de frame con e(F) = ∞ para el que no existeI ∈ PI(N) tal que FIc sea subframe de F . En particular, F no es Rieszible, aunqueexiste ε > 0 tal que ‖fn‖ ≥ ε para todo n ∈ N, porque

‖fn‖ = ‖TPS⊥en‖ ≥ γ(T1)‖PS⊥en‖ −−−→n→∞

γ(T1) .

363

2. G da un ejemplo de frame para el que sı existe I ∈ PI(N) tal que GIc es frame (nueva-mente por el Teo. 14.5.6), pero G no es Rieszible. En efecto, como ‖PS⊥ ek‖ −−−→

k→∞1,

no se puede cumplir lo dicho por el Cor. 14.5.14.

Se suguiere ver los ejemplos de los siguientes trabajos: Balan, Casazza, Heil, Landau [3] yCasazza, Christensen [11]. 4

Proposicion 14.5.16. Todo frame de Riesz contiene una base de Riesz.

Demostracion. Sea F = fnn∈N un marco de Riesz. El caso en que e(F) < ∞ es facil, asique podemos suponer que e(F) =∞. Sea

C =J ⊆ N : FJc es subframe de F

,

ordenado por inclusion. Por la Proposicion 14.5.3, si existiera un J ∈ C maximal, entoncestendrıamos que 0 = E(FJc) = e(FJc), por lo que FJc serıa una base de Riesz. Observarque e(F) 6= 0 implica que C 6= ∅. Para poder aplicar el Lema de Zorn (y ası ver que haymaximales), bastarıa probar que si (Jα)α∈Λ es una cadena en C, entonces

J =⋃α∈Λ

Jα ∈ C .

Sea (T,H,B) un operador preframe para F y sea a > 0 tal que γ(TPI) ≥ a para todo I ⊆ N.Notemos Iα = N \ Jα , α ∈ Λ, e I = N \ J . Como Jα ∈ C, o sea que FIα es subframe de F ,tenemos que TPIαT

∗ ∈ Gl(H)+, para todo α ∈ Λ. Por lo tanto a2IH ≤ TPIαT∗ para todo

α ∈ Λ. Por la definicion de J , se tiene que PJαSOT−−→ PJ . Entonces PIα

SOT−−→ PI y

a2IH ≤ TPIαT∗ SOT−−→ TPIT

∗ .

Luego a2IH ≤ TPIT∗, lo que implica que TPI es epi, FI es un frame y J ∈ C.

14.6 Truncaciones

Observacion 14.6.1. Sea F = fnn∈N un frame enH, con un operador preframe (T,H,B).Notemos S = TT ∗. Llamaremos operadores de frame truncados a

SN(f) =N∑n=1

〈f, fn〉fn = TPNT∗ , N ∈ N ,

donde la ultima igualdad se deduce de que TPN es operador de preframe para f1, . . . , fN.Observar que los SN verifican las siguientes propiedades: para todo N ∈ N,

1. SN ≥ 0, y R(SN) = R(TPN) = span fn : 1 ≤ n ≤ N.

2. Como PNSOT−−−→N→∞

I, entonces SN = TPNT∗ SOT−−−→N→∞

TT ∗ = S.

364

3. Existe S†N , y ademas S†NSN = SNS†N = PR(SN )

SOT−−−→N→∞

I.

4. Para cada f ∈ H, se tiene que

N∑n=1

〈 f , S†N fn 〉 fn =N∑n=1

〈S†N f , fn 〉 fn = SNS†N f −−−→

N→∞f , (14.24)

lo que da una forma finita de aproximar la formula de inversion para F . Sin embargono es cierto en general que los coeficientes 〈 f , S†N fn 〉 aproximen a los coeficientes deframe 〈 f , S−1 fn 〉. Para esto es necesario que F sea de Riesz: 4

Proposicion 14.6.2. Sea F = fnn∈N un frame de Riesz en H, con un operador preframe(T,H,B). Notemos S = TT ∗. Entonces los operadores de frame truncados

SN(f) =N∑n=1

〈f, fn〉fn = TPNT∗ , N ∈ N

verifican las siguientes propiedades:

1. S†NSOT−−−→N→∞

S−1.

2. Para cada f ∈ H, se puede aproximar uniformemente (para n ∈ N) a los coeficientesframe

(〈f, S−1fn〉

)n∈N de f con los coeficientes truncados

(〈f, S†Nfn〉

)n∈N. Es decir que∥∥∥(〈f, S†Nfn〉)n∈N −

(〈f, S−1fn〉

)n∈N

∥∥∥∞−−−→N→∞

0 .

donde ‖ · ‖∞ denota la norma de `∞(N).

3. Para cada f ∈ H, se tiene que

∞∑n=1

〈 f , S†N fn 〉 fn =∞∑n=1

〈S†N f , fn 〉 fn = S S†N f −−−→N→∞

f

(comparar con la Ec. (14.24) ).

Demostracion. Veremos en principio que S†NSSOT−−−→N→∞

I. En efecto, como SN = TPNT∗,

podemos escribir S = TT ∗ = SN+T (I−PN)T ∗. Llamemos RN = T (I−PN)T ∗, y observemos

que RNSOT−−−→N→∞

0. Como F es de Riesz, existe a > 0 tal que γ(TPI) ≥ a para todo I ⊆ N.

Luego‖S†N‖ = γ(TPNT

∗)−1 = γ(TPN)−1/2 ≤ a−1/2 para todo N ∈ N .

Es facil ver que entonces tambien S†NRNSOT−−−→N→∞

0. Como

S†NSN = PN(SN )⊥ = PR(SN ) y R(SN) = span fn : n ≤ N , N ∈ N,

365

podemos concluir que

S†NS = S†NSN + S†NRNSOT−−−→N→∞

I + 0 = I .

Es claro que esto implica que S†NSOT−−−→N→∞

S−1 y que S S†NSOT−−−→N→∞

I (lo que prueba el item 3).

Si fijamos f ∈ H, y observamos que ‖fn‖ = ‖Ten‖ ≤ ‖T‖, n ∈ N, deducimos que

|〈f, S−1fn〉 − 〈f, S†Nfn〉| = |〈S−1f − S†Nf, fn〉| ≤ ‖S

−1f − S†Nf‖ ‖T‖ −−−→N→∞

0

a la misma velocidad para todo n ∈ N.

14.7 Marcos de Gabor.

14.7.1 Motivaciones

Comencemos motivando la definicion de esta clase de marcos, tan importantes en las apli-caciones. Dada una senal f(t), donde la variable t es interpretada como el tiempo, sutransformada de Fourier f(ω) nos brinda informacion sobre las oscilaciones para cada fre-cuencia ω. Uno de los problemas que surgen en la practica es que la transformada de Fourierno nos dice que frecuencias aparecen en un determinado tiempo t0. El modo de superaresta dificultad es mirar la senal en un intervalo pequeno de tiempo y transformar Fourierallı. Matematicamente hablando, esto significa multiplicar f(t) por una funcion g(t) que esconstante en un intervalo pequeno y luego decae rapidamente a cero. Dicha funcion g(t)suele denominarse funcion de ventana. Si bien este proceso tiene sus limitaciones, nosbrinda una idea de las frecuencias que aparecen en un entorno de cierto t0. Para obteneresta informacion sobre f en todo el eje temporal repetimos el proceso trasladando la funcionde ventana. Esto conduce a la siguiente definicion

Definicion 14.7.1. Sea g ∈ L2(R) no nula. La transformada de Fourier de tiempocorto de una funcion f ∈ L2(R) con respecto a la funcion de ventana g se define del siguientemodo:

Ψg(f)(y, ω) =

∫ ∞−∞

f(x)g(x− y)e−2πixω dx y, ω ∈ R.

La definicion anterior puede reformularse en terminos de los denominados operadores detraslacion y de modulacion. Recordemos que, dado y ∈ R, el operador de translacionTy : L2(R)→ L2(R) se define como

(Tyf)(x) = f(x− y).

Por otro lado, dado ω ∈ R, el operador de modulacion Eω : L2(R)→ L2(R) se define como

(Eωf)(x) = e2πixωf(x)

366

Es un hecho bien conocido que estos operadores resultan unitarios, y si bien no conmutanguardan la siguiente relacion:

Eω Ty = e−2πiωy Ty Eω (14.25)

En terminos de estos operadores, Ψg(f)(y, ω) = 〈f, EωTyg〉.Al igual que para la transformada de Fourier, existe una formula de inversion. Dadas

funciones g1, g2 ∈ L2(R) tales que 〈g1, g2〉 6= 0, entonces, para toda f ∈ L2(R)

f =1

〈g1, g2〉

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞〈f, EωTyg1〉EωTyg2dωdy,

donde la integral debe interpretarse en cierto sentido debil que no precisaremos. En estainstancia, uno podrıa preguntarse si es necesario tener como informacion Ψg(f)(y, ω) paratodo (y, ω) ∈ R2, o si basta conocer los valores que esta toma en, por ejemplo, ciertoreticulado de la forma aZ× bZ con a, b ∈ R+ no nulos. De esta pregunta surge la definicionde los marcos de Gabor.

Definicion 14.7.2. Un marco de Gabor (regular) para L2(R) es un marco de la forma

G(g, a, b) = EmbTnagn,m∈Z ,

donde a, b > 0 y g ∈ L2(R) es una funcion fija.

Estos marcos suelen llamarse tambien marcos de Weyl-Heisenberg debido a que el sub-grupo de unitarios que generan Eb y Ta es una representacion del grupo que lleva ese nombre.Por otro lado, cabe mencionar que los parametros de los operadores de traslacion y modu-lacion no tiene por que ser las coordenadas de un reticulado de la forma aZ × bZ. Masgeneralmente, uno puede buscar marcos de la forma EbmTangn,m∈Z con an, bm ∈ R, loscuales son denominados marcos de Gabor irregulares. Dado que en este trabajo no con-sideraremos tales marcos, cuando nos refiramos a marcos de Gabor, implıcitamente nosestaremos refiriendo a marcos de Gabor regulares.

Los marcos de Gabor han sido extensamente estudiados. En este trabajo nos interesasolamente su relacion con los marcos de Riesz. Es por eso que, de la innumerable cantidadde resultados sobre marcos de Gabor, nos limitaremos a citar el siguiente teorema extraıdode un trabajo de Linnell [32].

Teorema 14.7.3. Sea g ∈ L2(R) no nula y aZ × bZ un reticulado de R2 donde a, b > 0.Entonces, para todo conjunto finito Λ ⊆ aZ× bZ el conjunto EαTβg(α,β)∈Λ es LI.

14.7.2 Algunos resultados

El primer resultado que mostraremos dice que los frames asociados a un frame de Gabor sontambien de Gabor, modulo cambiar adecuadamente la funcion g ∈ L2(R) que la genera:

Observacion 14.7.4. Sea G un grupo numerable y discreto. Sea U : G → U(L2(R)) unarepresentacion de G. Fijemos g ∈ L2(R). Sea M : `2(G) → L2(R) dado por M(ex) = Ux g,

367

x ∈ G. Esto es un preframe para la sucesion de Bessel Uxg : x ∈ G. Entonces siS = MM∗ ∈ L(L2(R))+, se tiene que

SUx = UxS para todo x ∈ G .

En efecto, observar que, si para cada x ∈ G definimos Lx ∈ U(`2(G)), dado por Lxey = exy ,y ∈ G, entonces

UxMey = Ux(Uy g) = Uxy g = Mexy = MLxey , x, y ∈ G .

O sea que UxM = MLx , x ∈ G. Por lo tanto,

M∗Ux = M∗(U−x)∗ = (U−xM)∗ = (ML−x)

∗ = LxM∗ .

Es decir que UxS = UxMM∗ = MLxM∗ = MM∗Ux = SUx . Algo parecido pasa con los

frames de Gabor, aunque no sean exactamente la representacion de un grupo discreto:

Teorema 14.7.5. Sean g ∈ L2(R) y a, b > 0 tales que G(g, a, b) es un frame. Sea S suoperador de frame. Se tiene que

1. S · (ErbTsa) = (ErbTsa) · S para todo r, s ∈ Z.

2. El frame dual S−1G(g, a, b) = G(S−1g, a, b).

3. El parseval asociado es S−1/2G(g, a, b) = G(S−1/2g, a, b).

Demostracion. Notemos k = 2πiab. Recordemos que EmbTna = e−kmnTnaEmb . Fijemos unabon B = en,m : n,m ∈ Z de un Hilbert H y definamos Mem,n = EmbTnag, obteniendo unoperador preframe para G(g, a, b), por lo que S = MM∗. Entonces, para todo par r, s ∈ Z,se tiene que

(ErbTsa)Mem,n = (ErbTsa)(EmbTna)g = ekmsE(r+m)bT(s+n)ag = M(ekmser+m,s+n) .

Si Rr,s ∈ U(H) esta dado por Rr,sem,n = ekmser+m,s+n , entonces (ErbTsa)M = MRr,s . Esfacil ver que R∗r,s = ek srR−r,−s (porque esto manda er+m,s+n en e−kmsem,n). Por lo tanto

M∗(ErbTsa) = [T−saE−rbM ]∗ = [ek srE−rbT−saM ]∗

= [M(ek srR−r,−s)]∗ = [MR∗r,s]

∗ = Rr,sM∗ .

Es claro que entonces (ErbTsa)S = MRr,sM∗ = S(ErbTsa). Las otras identidades se deducen

de inmediato, usando que S1/2 es lımite de polinomios en S.

368

Ejercicio 14.7.6. Sea F = fnn∈N un frame con constantes A y B. Entonces se tiene que

1. ‖fn‖2 ≤ B para todo n ∈ N.

2. Si ‖fn‖2 = B, entonces fn ⊥ fm para todo m 6= n.

El curro es aplicar la desigualdad que define la framidad de F para f = fn y acotar. 4

Teorema 14.7.7. Dados 0 6= g ∈ L2(R) y a, b > 0, se tiene que

1. Si G(g, a, b) es un frame, entonces ab ≤ 1.

2. Si G(g, a, b) es un frame y ab = 1, entonces G(g, a, b) es una base de Riesz.

Demostracion. Usando el Teorema 14.7.5, podemos suponer que G(g, a, b) es un frame deParseval, porque si G(g, a, b) es frame, entonces S−1/2G(g, a, b) = G(S−1/2g, a, b) es un framede Gabor con los mismos a y b, pero es de Parseval. En este caso, el Teorema se deducirıainmediatamente del siguiente hecho:

‖g‖2 = ‖EmbTnag‖2 = ab ,

porque las constantes de G(g, a, b) son uno y, por el Ejercicio 14.7.6, sabemos que 1 mayoraa los cuadrados de las normas de sus elementos (esto dirıa que ab ≤ 1) y porque los que lasalcanzan son ortogonales a los demas, por lo que en el caso ab = 1 resultarıa que G(g, a, b)queda bon, despues de Parsevalizarla. Para probar la formula, usaremos los ıtems 2 y 3 dela siguiente Proposicion, que es sumamente interesante por sı misma:

Proposicion 14.7.8. Sean g ∈ L2(R) y a, b > 0. Definamos

G : R→ R+ ∪ +∞ por G(x) =∑n∈Z

|g(x− na)|2 . (14.26)

entonces valen las siguientes cosas:

1. G(x) ∈ L1(0, a), en particular es finita pp(x). Ademas es a-periodica.

2. Mas detalladamente, se tiene que ‖g‖22

=

∫ a

0

G(x) dx.

3. Si G(g, a, b) es un frame con constantes A y B, entonces

bA ≤ G(x) ≤ bB para casi todo x ∈ R . (14.27)

En particular, si G(g, a, b) es de Parseval, entonces G(x) ≡ b y ‖g‖2 = ab.

Demostracion. Los ıtems 1. y 2. se deducen de que, como la medida de Lebesgue esinvariante por translaciones en R, entonces

‖g‖2 =

∫R|g(x)|2dx =

∑n∈Z

∫ a

0

|g(x− na)|2dx =

∫ a

0

∑n∈Z

|g(x− na)|2dx =

∫ a

0

G(x)dx <∞ .

Las desigualdades de (14.27) se prueban independientemente. Veamos la primera. Si fuerafalsa, existirıa un ∆ ⊆ R con |∆| > 0 tal que G(x) < bA para todo x ∈ ∆. Por manipula-ciones tıpicas de medidas, podemos suponer tambien las siguientes dos cosas:

369

1. ∆ ⊆ I, con I un intervalo de |I| = b−1.

2. Existe un ε > 0 tal que G(x) ≤ bA− ε para todo x ∈ ∆.

Tomemos f = ℵ∆ . Veremos que en f no se cumple la desigualdad que caracteriza a la cotaA para G(g, a, b). Se usara que b1/2Emb : m ∈ Z es una bon de L2(I). Por ello,

∑n,m∈Z

|〈f, EmbTnag〉|2 =∑n,m∈Z

∣∣∣∣∫∆

g(x− na)E−mbdx

∣∣∣∣2

=∑n∈Z

∑m∈Z

|〈f Tnag, Emb〉|2

=1

b

∑n∈Z

‖f Tnag‖2

=1

b

∑n∈Z

∫∆

|g(x− na)|2dx

=1

b

∫∆

∑n∈Z

|g(x− na)|2dx =1

b

∫∆

G(x)dx

≤ 1

b(bA− ε)|∆| = (A− ε

b)‖f‖2 ,

lo que contradice que A sea cota inferior para G(g, a, b). El otro caso se hace igual, dado queen la ecuacion anterior todos los pasos son con “igualdad” salvo el que usa la hipotesis.

370

Capıtulo 15

Marcos de fusion

15.1 Introduccion

La teorıa de marcos de fusion (o de subespacios) es relativamente reciente. P. Casazza y G.Kutyniok, en [56], los definieron como marcos de subespacios, estudiando posibles construc-ciones de marcos “pegando” muchas sucesiones marco en un espacio de Hilbert H. Paraque esto pueda hacerse este marco uniendo los submarcos, los subespacios que estos generandeben satisfacer (concretamente las proyecciones ortogonales a ellos) una desigualdad similara la de los marcos de vectores. De ahı el nombre de marcos de subespacios. Enfoques simi-lares aparecen en los trabajos de M. Fornasier, [66, 67], el trabajo de A. Aldroubi, C.Cabrelliy U.Molter, [37] y el paper de G. Sun [84].

Los marcos de subespacios, son el modelo adecuado para representar los denominadosprocesos distribuidos en los que una senal se estudia en partes, utilizando marcos, parafinalmente reconstruir la senal completa uniendo adecuadamente esas piezas. El ejemploque Casazza y Kutyniok usan para graficar una situacion de esta ındole es el de una red desensores, por ejemplo tomando datos climaticos, distribuıda a lo largo de un terreno extenso.Por cuestiones practicas, por ejemplo para que la transmision de datos tenga cierta robustez,los sensores presentan cierto nivel de redundancia, por lo que los podemos considerar comoelementos de un marco. Los sensores se agrupan en subredes redundantes, por ejemplo, paraprevenirse de que fallas en algun sensor o grupo de sensores afecte la informacion completaque provee la red completa. Por lo tanto, cada una de esas subredes es un submarco, ylos subespacios generados forman un marco de subespacios. De forma similar, se puedesimular el proceso neuronal tratando a grupos de neuronas como submarcos integrando unared neuronal mas grande.

Los marcos de subespacios, renombrados marcos de fusion a partir del trabajo de P.Casazza, G. Kutyniok y S. Li [58]), comenzaron a estudiarse intensivamente en los ultimosanos. Se han estudiado tecnicas de reconstruccion utilizando marcos de fusion en procesosdistribuidos, comparando reconstrucciones locales y globales. Asimismo, propiedades derobustez en marcos de fusion para erasures, tanto de subespacios como a nivel local, devectores en alguno de los submarcos que integran el marco global (ver P. Casazza y G.Kutyniok [57]). Recientemente han aparecido ademas los trabajos de Bodmann, Kribs y

371

Paulsen ([48]) y Bodmann ([47]) en donde se estudian marcos de fusion Parseval (bajo elnombre de resolucion proyectiva pesada de la identidad ) para la transmision de estadoscuanticos.

15.2 Nociones basicas

En este Capıtulo, el conjunto de ındices I consistira de

I = In = 1, . . . , n para algun n ∈ N, o bien I = N ,

para incluir tanto el caso de sucesiones finitas, como numerables. Recordemos que por `∞+ (I)nos referimos al espacio de sucesiones acotadas de numeros (estrictamente) positivos queseran considerados pesos de aquı en adelante. El elemento 1 ∈ `∞+ (I) es la sucesion formadapor unos. Sea H un espacio de Hilbert separable de dimension infinita. Las siguientesdefiniciones se basan el el trabajo [56] de Casazza y Kutyniok.

Definicion 15.2.1. Sea W = Wii∈I una sucesion de subespacios cerrados de H, todosellos distintos de 0, y sea w = wii∈I ∈ `∞+ (I).

1. Decimos que Ww = (wi , Wi)i∈I es una sucesion de Bessel de subespacios (que enadelante abreviaremos por SBS) si existe B > 0 tal que∑

i∈I

w2i ‖PWi

f‖2 ≤ B‖f‖2 para todo f ∈ H . (15.1)

donde cada PWi∈ L(H) es la proyeccion ortogonal sobre Wi .

2. Decimos que Ww es un marco de subespacios o marco de fusion (abreviaremos MF)para H, (resp. MF para S v H) si existen A,B > 0 tal que

A‖f‖2 ≤∑i∈I

w2i ‖PWi

f‖2 ≤ B‖f‖2 para todo f ∈ H (resp. f ∈ S) , (15.2)

Las cotas optimas para (15.2) se denotan AWw y BWw .

3. W es una sucesion minimal si

Wi ∩ span Wj : j 6= i = 0 para todo i ∈ I . (15.3)

Supongamos que Ww es un MF para H. Entonces

4. Ww es un marco ajustado si AWw = BWw , y un marco de Parseval si AWw = BWw = 1.

5. Ww es una base de Riesz de subspacios (BRS) si W es una sucesion minimal.

6. Ww es una base ortonormal de subespacios (en siglas, BONS) si Wi ⊥ Wj paracualquier par de ındices i 6= j, y ademas w = 1. 4

372

Observacion 15.2.2. Los marcos de subespacios pueden interpretarse como una general-izacion de los marcos usuales de vectores. Concretamente, dado un marco F = fii∈I paraH, este puede pensarse como un marco de subespacios Ww si consideramos los subespaciosde dimension uno Wi = span fi y los pesos wi = ‖fi‖. 4

El siguiente resultado determina una relacion entre marcos de subespacios y marcos devectores. Desde un punto de vista dice que, bajo determinadas condiciones, uno puede“unir” sucesiones marco y obtener un marco para el espacio de Hilbert completo. Por otrolado, permite testear si una sucesionWw = (wi , Wi)i∈I es o no un MF (y obtener informacionsobre sus cotas), en funcion a familias de vectores elegidos convenientemente dentro de cadasubespacio Wi .

Teorema 15.2.3. Sea W = Wii∈I una sucesion de subespacios cerrados de H y seaw ∈ `∞+ (I). Para cada i ∈ I, sea Gi = fijj∈Ji un marco para Wi . Supongamos que

0 < A = infi∈I

AGi y B = supi∈I

BGi <∞ .

Sea Ei = eikk∈Ki una base ortonormal para cada Wi . Entonces son equivalentes:

1. F = wifiji∈I,j∈Ji = wi Gii∈I es un marco para H.

2. E = wieiki∈I,k∈Ki = wi Eii∈I es un marco para H.

3. Ww = (wi , Wi)i∈I es un MF para H.

En este caso, las cotas de marco para Ww , F y E satisfacen las desigualdades

AAWw ≤AFB≤ AWw = AE y BE = BWw ≤

BFA≤ B

ABWw . (15.4)

Demostracion. Dado f ∈ H, de las hipotesis tenemos que

A∑

i∈I w2i ‖PWi

f‖2 ≤ Ai∑i∈Iw2i ‖PWi

f‖2 ≤∑i∈I

∑j∈Ji|〈PWi

f, wi fij〉|2

≤ Bi

∑i∈Iw2i ‖PWi

f‖2 ≤ B∑i∈Iw2i ‖PWi

f‖2 .(15.5)

Por otra parte, como Wi = span fij : j ∈ Ji para cada i ∈ I, tenemos que∑i∈I

∑j∈Ji

|〈PWif, wi fij〉|2 =

∑i∈I

∑j∈Ji

|〈 f, wi fij〉|2 .

Luego, si asumimos que F es un marco, podemos deducir que Ww es un MF cuyas cotascumplen una parte de la Ec. (15.4). Por ejemplo, por las ultimas desigaudades de (15.5),queda que

AFB‖f‖2 ≤ 1

B

∑i∈I

∑j∈Ji

|〈 f, wi fij〉|2 ≤∑i∈I

w2i ‖PWi

f‖2 =⇒ 0 <AFB≤ AWw .

373

Analogamente se ve que BWw ≤BFA

< ∞. Recıprocamente, si Ww es un MF entonces,

aplicando nuevamente la Ec. (15.5), podemos deducir que F es un marco y que sus cotascumplen las desigualdades

AAWw ≤ AF ≤ BF ≤ BBWw .

La equivalencia entre 2 y 3, y las igualdades AWw = AE y BWw = BE se muestran ree-scribiendo la Ec. (15.5) para E , donde se tendra que A = Ai = 1 = Bi = B. Se obtienendesigualdades semejantes a las de la Ec. (15.4), pero al ser A = B = 1, quedan igualdades.

15.3 Marcos de fusion y operadores

Las nociones de operadores de marco, sıntesis y analisis pueden ser extendidas a sucesionesde Bessel de subespacios. Sin embargo, el espacio de Hilbert de “analisis” del marco ahoradepende fuertemente de la sucesion de subespacios W = Wii∈I .

Definicion 15.3.1. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I una SBS en H. Definimos el espacio de Hilbert

KW =⊕i∈I

Wi , con la norma `2: ‖g‖2 =∑i∈I

‖gi‖2, para g = (gi)i∈I ∈ KW .

Ademas, la SBS tiene asociados los siguientes operadores:

• Operador de sıntesis: TWw : KW → H, definido por

TWw(g) =∑i∈I

wi gi , para g = (gi)i∈I ∈ KW .

• Su adjunto, T ∗Ww∈ L(H,KW) es el operador de analisis de Ww . Es facil ver que

T ∗Ww(f) = wi PWi

fi∈I , para todo f ∈ H .

• El operador de marco: SWw = TWw T∗Ww∈ L(H)+, que satisface

SWwf =∑i∈I

w2i PWi

f , para todo f ∈ H .

• El exceso de Ww se define como E (Ww) = dimN(TWw) . 4

Observacion 15.3.2. Sean Ww y E como en el Teo. 15.2.3. Luego se tiene que

TWw = TE , usando la base ortonormal B = eiki∈I,k∈Ki de KW =⊕i∈I

Wi .

Esto se muestra directamente por la definicion de ambos operadores, y el hecho de quewigi =

∑j∈Ji〈gi, eij〉wieij , para todo gi ∈ Wi y todo i ∈ I. Observar que ası se obtiene otra

prueba de la equivalencia entre los ıtems 2 y 3 de aquel teorema. 4

374

Observacion 15.3.3. Sea W = Wii∈I una sucesion de subespacios cerrados de H, y seaw = wii∈I ∈ `∞+ (I). Los siguientes resultados se siguen directamente de las definiciones,en forma semejante a como se hace en la Obs. 14.1.2 para el caso vectorial (ver [56]):

1. Ww = (wi , Wi)i∈I es una SBS si y solo si el operador de sıntesis TWw esta bien definidoy es acotado. En este caso,

2. Ww es un MF para H (resp. para S v H) si y solo si TWw es suryectivo (respR(TWw) = S) .

3. Esto es equivalente ademas con que T ∗Wwes acotado inferiormente.

Si Ww es un MF para H, entonces

4. AWw = γ(TWw)2 y BWw = ‖TWw‖2. Por lo tanto AWw · I ≤ SWw ≤ BWw · I.

5. Ww es una BRS si y solo si TWw es invertible (i.e. inyectivo) y Ww es una baseortonormal de subespacios si y solo si w = e y T ∗Ww

TWw = IKW .

6. Ww es ajustado si y solo si TWwT∗Ww

= AWw · IH , y Ww es de Parseval si y solo si TWw

es una coisometrıa. 4

En resumen, dada Ww = (wi , Wi)i∈I , una SBS en H, se le asocia el espacio de Hilbert

KW =⊕i∈I

Wi , dotado de una BONS natural (las copias Ei de cada Wi en KW), y el operador

de sıntesis TWw : KW → H, definido por TWw(g) =∑i∈Iwi gi para g = (gi)i∈I ∈ KW , cuyas

propiedades caracterizan aWw . Esta construccion busca reemplazar la relacion entre framesde vectores y sus llamados operadores preframe (el par dado por un epimorfismo sobre H yuna base ortonormal de su dominio). Sin embargo, dicha construccion es demasiado rıgida,en el sentido de que cambiando muy poco una SBS, no puede saberse como se modifica ocomo obtener su operador de sıntesis. Notar, por ejemplo, que la accion de TWw en cadasubespacio Ei es la de una homotesia. En efecto, si gi ∈ Ei , se tiene que TWwgi = wi gi .

En el siguiente resultado se mostraran condiciones mas flexibles para un espacio de HilbertK, dotado de una BONS E = Eii∈I , y un epimorfismo T ∈ L(K,H), para que podamosconocer las propiedades de la sucesion de subespacios W = T (Ei)i∈I . Esto dara unaherramienta para poder encontrar mas eficientemente las propiedades de las sucesiones, apli-cando tecnicas de operadores.

Teorema 15.3.4. Sea E = Eii∈I una BONS de un espacio de Hilbert K y sea T ∈ L(K,H)un epimorfismo. Supongamos que

mini∈I

γ(TPEi)2

‖TPEi‖2< ∞ . (15.6)

Sean 0 < A ≤ B <∞ tales que, para todo i ∈ I,

A

B≤ γ(TPEi)

2

‖TPEi‖2o, equivalentemente,

‖TPEi‖2

B≤ γ(TPEi)

2

A. (15.7)

375

Para cada i ∈ I, llamemos Wi = T (Ei) v H. Sea w = wii∈I ∈ `∞+ (I) tal que

‖TPEi‖2

B≤ w2

i ≤γ(TPEi)

2

Apara todo i ∈ I . (15.8)

Entonces:

1. La sucesion Ww = (wi , Wi)i∈I es un MF para H.

2. Las cotas de Ww cumplen las desigualdades

γ(T )2

B≤ AWw ≤

γ(T )2

Ay

‖T‖2

B≤ BWw ≤

‖T‖2

A. (15.9)

3. Si N(T ) ∩ Ei = 0 para todo i ∈ I, entonces existe un operador invertible

V ∈ L(K,KW) tal que TWw V = T .

En particular, en este caso se tiene que E (Ww) = dimN(T ) .

Demostracion. Supongamos que (15.7) y (15.8) valen para todo i ∈ I.

1. Dado que γ(TPEi) > 0, entonces Wi = TEi es cerrado para todo i ∈ I. Sea bijj∈Jiuna base ortonormal para cada Ei . Por la Ec. (14.3) de la Obs. 14.1.4, y las Ecs.(15.7) y (15.8), las sucesiones Gi = w−1

i T bijj∈Ji son marcos para cada Wi con

AGi = w−2i γ(TEi)

2 ≥ A y BGi = w−2i ‖TEi‖2 ≤ B .

Por otro lado, dado que biji∈I,j∈Ji es una base ortonormal paraK, y T un epimorfismo,la sucesion F = Tbiji∈I,j∈Ji es un marco para H.

Finalmente, dado que F = wi(w−1i Tbij)i∈I,j∈Ji = wi Gii∈I , el Teorema 15.2.3 im-

plica que Ww es un MF para H.

2. Por como estan construidas las sucesiones F y Ww del ’ıtem anterior, la Ec. (15.4)del Teorema 15.2.3 asegura que

A

BAWw ≤

AFB≤ AWw =⇒ AF

B≤ AWw ≤

AFA

Analogamente se ve queBFB≤ BWw ≤

BFA

. Pero como AF = γ(T )2 y BF = ‖T‖2,

obtenemos inmediatamente la Ec. (15.9).

3. Supongamos que N(T ) ∩ Ei = 0 para todo i ∈ I. Entonces

N(TPEi) = E⊥i y γ(TPEi) ‖z‖ ≤ ‖TPEiz‖ = ‖Tz‖ para todo z ∈ Ei .

376

Sea x ∈ K, y notemos zi = PEi x, para cada i ∈ I. Observar que x =∑i∈Izi y

‖x‖2 =∑i∈I‖zi‖2. Por la Ec. (15.8), para cada i ∈ I, se tiene que

A1/2wi ‖zi‖ ≤ γ(TPEi) ‖zi‖ ≤ ‖Tzi‖ ≤ ‖TPEi‖ ‖zi‖ ≤ B1/2wi‖zi‖ .

Sea KW =⊕

i∈IWi (el dominio de TWw ). Observemos que T (Ei) = Wi para todoi ∈ I. Por lo tanto la aplicacion

V : K → KW dada por V x =(w−1i T (PEi x)

)i∈I =

(w−1i T (zi)

)i∈I ,

para cada x ∈ K, esta bien definida, es acotada e invertible. Usando la definicion deloperador de sıntesis TWw , si x ∈ K tenemos que

x =∑i∈I

zi =⇒ Tx =∑i∈I

Tzi =∑i∈I

TPEix =∑i∈I

wi(V x)i

= TWw (V x) .

Es decir que TWw V = T , como se aseguraba. La formula para el exceso de Ww sededuce de que dimN(T ) = dimV −1(N(TWw)) = dimN(TWw) = E (Ww ).

Observacion 15.3.5. Con las notaciones del Teorema 15.3.4, la condicion γ(TPEi) > 0 esnecesaria (y suficiente) para que Wi = TEi v H. Podrıa esperarse que ademas sea suficientepara asegurar que W = TEii∈I sea un MF para alguna sucesion de pesos adecuada.

Sin embargo, en el Ejemplo 15.7.1 se vera que existe un operador suryectivo T y unabase ortonormal de subespacios E = Eii∈I tal que γ(TPEi) > 0 para todo i ∈ I pero lasucesion Ww = (w,W) no es un MF para ningun peso w ∈ `∞+ (I) . Lo que sucede en talejemplo es que T y E no satisfacen la ecuacion (15.6). Esto significa que los angulos entrelos subespacios Ei y el N(T ) van empeorando a medida que i crece.

Por otro lado, (15.6) no es tampoco una condicion necesaria para que P (W) 6= ∅ (verla Definicion 15.4.1), si W = TE . En el Ejemplo 15.7.2 se tiene un MF que es la imagen porun epimorfismo de una base ortonormal de subespacios pero que no satisface la Ec. (15.6).La idea aquı sera que si con unos pocos subespacios uno ya obtiene un buen MF, puede iragregandole mas hasta arruinar la Ec. (15.6), sin que deje de quedar un MF. 4

Observacion 15.3.6. Si Ww = (wi , Wi)i∈I es un MF para H, entonces su operador desıntesis TWw satisface claramente la Ec. (15.6). Mas aun, se tiene que

TWwg = wig para todo g ∈ Ei , la copia de Wi en KW .

Por lo tanto, γ(TWwPEi) = ‖TWwPEi‖ = wi para todo i ∈ I. O sea que TWw y w cumplen lasEcs. (15.7) y (15.8) con A = B = 1. 4

Como primera aplicacion del Teo. 15.3.4, el siguiente Corolario muestra que la relacion deequivalencia entre MF’s puede definirse coherentemente, y preserva las mismas propiedadesque en el caso vectorial.

377

La unica diferencia es que, en aquel caso, un operador inversible G cambia las normasde los vectores del marco (que en el caso actual se representan como los pesos). Aquı nose puede hacer eso, porque G no actua tan uniformemente en los subespacios Wi . Por ellodejaremos sin cambios la sucesion de pesos, pero absorveremos los cambios en las constantesde los marcos. Parte de este resultado aparece en los trabajos de P. Casazza, G. Kutyniok yS. Li [58] (Corolario 2.12) , y de P. Gavruta [70] (Teorema 2.4). Se suguiere al lector intentarobtener exactamente lo que en la notacion del corolario serıa el operador TGWw , y ver porlo tanto la necesidad de usar el Teo. 15.3.4.

Corolario 15.3.7. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H, y sea G ∈ L(H,H1) invertible.Entonces GWw = (wi , GWi)i∈I es un MF para H1 , cuyas cotas satisfacen las desigualdades(

‖G‖ ‖G−1‖)−2

AWw ≤ AGWw y BGWw ≤(‖G‖ ‖G−1‖

)2BWw . (15.10)

Ademas, E (Ww) = E (GWw ) .

Demostracion. Notemos por Ei la copia de cada Wi en KW =⊕

i∈IWi . Definimos T =GTWw ∈ L(KW ,H1), que es claramente suryectivo (dado que TWw lo es). Aplicando laProp. 8.4.2, para cada i ∈ I tenemos que γ(TPEi) = γ(GTWwPEi) ≥ γ(G) · γ(TWwPEi).Luego, por la Observacion 15.3.6, llegamos a que

γ(TPEi) ≥ γ(G) · γ(TWwPEi) = γ(G) wi y ‖TPEi‖ ≤ ‖G‖ ‖TWwPEi‖ = ‖G‖ wi ,

para todo i ∈ I. Entonces, puede aplicarse el Teorema 15.3.4 para T con constantes A =γ(G)2 y B = ‖G‖2. De hecho, para cada i ∈ I, hemos visto que

γ(G)2

‖G‖2 ≤γ(TPEi)

2

‖TPEi‖2 y‖TPEi‖2

‖G‖2 ≤ w2i ≤

γ(TPEi)2

γ(G)2 .

Por lo tanto, GWw = (wi , GWi)i∈I es un MF para H1 por el Teorema 15.3.4. En cuanto alas cotas, por la Prop. 8.4.2 y el ıtem 2 de la Observacion 15.3.3, se tiene que

γ(GTWw) ≥ γ(G) γ(TWw) = ‖G−1‖−1A1/2Ww

y ‖GTWw‖ ≤ ‖G‖ ‖TWw‖ = ‖G‖B1/2Ww

.

Aplicando la Ec. (15.9) del Teorema 15.3.4 y el hecho de que γ(G)2 = ‖G−1‖−2, obtenemosla Ec. (15.10). Finalmente, como N(T ) = N(TWw) , entonces N(T ) ∩ Ei = 0 (i ∈ I). Porel Teorema 15.3.4, deducimos que E (Ww ) = dimN(TWw) = dimN(T ) = E (GWw ).

15.4 Pesos Admisibles.

El proposito de esta seccion es estudiar, para una sucesion de subespacios cerrados fijaW = Wii∈I , el conjunto de pesos w ∈ `∞+ (I) tal queWw = (wi , Wi)i∈I sea un MF para H.Recordemos que notamos `∞+ (I) ∗ =

wii∈I ∈ `∞+ (I) : inf

i∈Iwi > 0

= `∞+ (I) ∩Gl(`∞(I) ).

Definicion 15.4.1. Sea W = Wii∈I una sucesion de subespacios cerrados de H.

378

1. Decimos queW = Wii∈I es una sucesion generadora de H, si span Wi : i ∈ I = H.

2. Si W = Wii∈I es generadora de H, definimos

P (W) =w ∈ `∞+ (I) : Ww = (wi , Wi)i∈I es un MF para H

,

el conjunto de pesos admisibles para W . 4

En los Ejemplos 15.7.1 y 15.7.3 se vera que existen sucesiones generadoras W = Wii∈I deH tales que P (W) = ∅.

Proposicion 15.4.2. Sea W = Wii∈I una sucesion generadora de H.

1. Si w ∈ P (W), entonces aw ∈ P (W) y E (Ww) = E (Waw) , para todo a ∈ `∞+ (I) ∗.

2. Si Ww = (w,W) es una BRS, para algun w ∈ `∞+ (I), entonces P (W) = `∞+ (I) ∗, yademas (a,W) es una BRS para todo a ∈ `∞+ (I) ∗. En particular, (e,W) es una BRSpara H.

3. Sea G ∈ Gl(H). Entonces P (W) = P (GWii∈I). En otras palabras, una sucesionw ∈ `∞+ (I) es admisible para W si y solo si es admisible para GW .

Demostracion. Sea KW =⊕

i∈IWi , y notemos por Ei v KW la copia de cada Wi en K.

1. Para cada a ∈ `∞+ (I) ∗, consideremos la serie Da =∑i∈I

aiPEi , que es convergente en

la topologıa fuerte de operadores. Ademas Da ∈ Gl(KW)+. Por lo tanto, si TWw ∈L(KW ,H) es el operador de sıntesis de Ww , entonces TWwDa es, por definicion, eloperador de sıntesis de (aw,W). Dado que TWw Da es acotado y suryectivo, entonces(aw,W) es tambien un MF. Finalmente, notemos que

N(TWaw) = N(TWw Da) = D−1a (N(TWw) ) =⇒ E (Ww) = E (Waw) .

2. Si Ww es una BRS para H, entonces TWw es invertible. Dado que TWwx = wix

para x ∈ Ei , entonces wi ≥ γ(TWw) = A1/2Ww

para todo i ∈ I. Esto implica quew ∈ `∞+ (I) ∗. Notemos que w · `∞+ (I) ∗ = `∞+ (I) ∗ (dado que w−1 ∈ `∞+ (I) ∗). Entonces`∞+ (I) ∗ ⊆ P (W) por (1). Sea a ∈ P (W). Entonces w−1a ∈ `∞+ (I) y, como en el ıtem(1), that

TWa = TWw(w−1a)= TWw Dw−1a =⇒ Da = Dw Dw−1a = Dw T

−1Ww

TWa .

Por lo tanto, Da es suryectivo (e inyectivo), entonces Da ∈ Gl(KW)+ y a ∈ `∞+ (I) ∗.

La ultima observacion se deduce de la definicion de BRS’s (que solo concierne a lasucesion W), o del hecho de que Dw−1a ∈ Gl(KW)+.

3. Aplicar el Corolario 15.3.7 a G y a G−1.

379

Definicion 15.4.3. Sea W = Wii∈I una sucesion generadora de H. Dado v, w ∈ P (W),decimos que v y w son equivalentes si existe a ∈ `∞+ (I) ∗ tal que v = aw. 4

Observaciones: 15.4.4. Sea W = Wii∈I una sucesion generadora de H.

1. Por la Proposicion 15.4.2, si una sucesion w ∈ P (W), luego toda su clase de equiva-lencia w · `∞+ (I) ∗ ⊆ P (W).

2. Por otro lado, en el Ejemplo 15.7.5 veremos que existen sucesiones generadoras W deH con infinitas sucesiones w ∈ P (W) no equivalentes.

3. Si Ww es una BRS para H, entonces por la Proposicion 15.4.2 todas las sucesiones depesos admisibles para W son equivalentes a w, dado que P (W) = `∞+ (I) ∗ . Ademas,Wv = (v,W) es tambien una BRS para H, para todo otro v ∈ `∞+ (I) ∗. Por lo tanto,de ahora en mas, nos referiremos a las bases de Riesz de subespacios W sin hacerreferencia explıcita a la sucesion de pesos, dado que el conjunto de pesos admisibles essiempre el mismo (y ademas, W es una BRS con cualquiera de ellos).

4. Por definicion, si W es una BRS, entonces es una sucesion minimal. Sin embargo, enel Ejemplo 15.7.3, veremos que hay sucesiones minimales, generadoras de H, pero conP (W) = ∅. 4

Proposicion 15.4.5. Sea E = Eii∈I una BONS para H. Sea G ∈ L(H,H1) un operadorinvertible. Entonces la sucesion G E = (GEi)i∈I es una BRS para H1 .

Demostracion. Es consecuencia del Corolario 15.3.7 y del hecho de que G E sigue siendo unasucesion minimal.

Observacion 15.4.6. Hemos visto que, dado un marco F = fii∈I para H, la sucesion

S−1/2F fii∈I es un marco de Parseval. Sin embargo, siWw = (wi , Wi)i∈I es un MF, entonces

S−1/2WwWw podrıa no ser un marco de Parseval de subespacios (Ejemplo 15.7.5), ni siquiera

con una sucesion de pesos diferente. Peor aun, existen marcos de fusion Ww = (w,W) paraH tales que la sucesion (v,GW) no es un MF de Parseval para H, para cualquier eleccionde G ∈ Gl(H) y v ∈ `∞+ (I) (ver Ejemplo 15.7.6). La siguiente Proposicion muestra que lasituacion es diferente si nos restringimos a BRS’s para H: 4

Proposicion 15.4.7. SeaW = Wii∈I una BRS para H. Entonces, para todo w ∈ `∞+ (I) ∗,

la sucesion S−1/2Ww

Wii∈I es una BONS.

Demostracion. Sea eikk∈Ki una base ortonormal en cada Wi . Fijemos cualquier w ∈`∞+ (I) ∗. Por el Teorema 15.2.3, la sucesion E = wieiki∈I,k∈Ki es un marco para H. Masaun, por la Obs. 15.3.2, TE = TWw que es inversible. Luego se tiene que E es una base de

Riesz de H. Por lo tanto wiS−1/2E eiki∈I, k∈Ji es una base de Riesz y ademas un marco

de Parseval para H. En otras palabras, es una base ortonormal de H. Pero usando queSWw = SE y que wiS−1/2

Wweikk∈Ki es una base ortonormal para cada subespacio S

−1/2Ww

Wi ,

podemos deducir que la sucesion S−1/2Ww

Wii∈I es una BONS para H.

380

15.5 Proyectores y marcos de subespacios.

Por el Teo. 14.3.1, una sucesion fjj∈N es un marco de Parseval para H si y solo si existenun espacio de Hilbert K que contiene a H y una base ortonormal bjj∈N de K tales quefj = PHbj para todo j.

En esta seccion estudiaremos la posible generalizacion a los marcos de subespacios, reem-plazando bases ortornormales por bases ortonormales de subespacios. Se vera que una im-plicacion es cierta ( un marco de Parseval de subespacios es la proyeccion ortogonal de unabase ortonormal de subespacios) pero la otra implicacion no es cierta (Ejemplo 15.7.4).

El esquema de esta seccion es muy similar al de la Seccion 14.3 que relaciona proyec-ciones y marcos vectoriales. Pero veremos que en varios casos como el antes mencionado, seobtendran condiciones suficientes pero no necesarias.

Teorema 15.5.1. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H. Entonces existe un espacio deHilbert V ⊇ H y una base de Riesz de subespacios Bii∈I para V tal que

PH(Bi) = Wi y A1/2Ww‖PHPBi‖ ≤ wi ≤ B

1/2Ww‖PHPBi‖ para todo i ∈ I .

Esto es, la nueva sucesion de pesos vi = ‖PHPBi‖, i ∈ I, es equivalente a w. Ademas,podemos calcular E (Ww ) = dimV H.

Demostracion. Como antes, notaremos Ei la copia de cada Wi en KW =⊕

i∈IWi . SeaTWw ∈ L(KW ,H) el operador de sıntesis de Ww . Llamemos N = N(TWw) y V = H ⊕ N .Podemos identificar H con H⊕ 0 v V . Sea U : KW → V dado por

U(x) = TWwx⊕ γ(TWw) PN x , x ∈ KW . (15.11)

Dado que KW = N⊥ ⊥ N y TWw

∣∣N⊥ : N⊥ → H es invertible, podemos deducir que U es

acotado e inversible. Mas aun, es facil ver que

‖U−1‖−1 = γ(U) = γ(TWw) = A1/2Ww

y ‖U‖ = ‖TWw‖ = B1/2Ww

. (15.12)

Por la Proposicion 15.4.5, la sucesion Bii∈I = U(Ei)i∈I es una base de Riesz de sube-spacios para V . Observemos que

PH(Bi) = PHU(Ei) = TWw(Ei)⊕ 0 = Wi ⊕ 0 ∼ Wi , para todo i ∈ I .

Sea y un vector de norma uno de Bi = U(Ei). Entonces y = Ux con x ∈ Ei . Se tiene

γ(U)‖x‖ ≤ ‖Ux‖ = ‖y‖ = 1 ≤ ‖U‖ ‖x‖ .

Si x ∈ Ei , notemos por xi a su componente en Wi (las demas son cero). Usando que‖PH y‖ = ‖TWw x‖ = wi‖xi‖ = wi‖x‖ y la Ec. (15.12), concluimos que para todo vectorunitario y ∈ Bi , se tiene que

A1/2Ww‖PH y‖ = γ(TWw) ‖PH y‖ = wi γ(U) ‖x‖ ≤ wi =⇒ A

1/2Ww‖PHPBi‖ ≤ wi .

Similarmente, wi ≤ wi ‖U‖ ‖x‖ = B1/2Ww‖PH y‖ ≤ B

1/2Ww‖PHPBi‖.

381

Corolario 15.5.2. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF de Parseval para H. Entonces existen unespacio de Hilbert V ⊇ H y una BONS Fii∈I para V tales que

PH(Fi) = Wi y wi = c [H , Fi ] = ‖PH PFi‖ para todo i ∈ I .

Demostracion. Usaremos las notaciones de la prueba del Teorema 15.5.1. SiWw es Parseval,entonces AWw = BWw = 1. La Ec. (15.12), implica que el operador U ∈ L(K,V) definido en(15.11) es ademas unitario (es una isometrıa invertible).

Por lo tanto, en este caso, la sucesion Fii∈I = U(Ei)i∈I es una base ortonormal desubespacios para V . Ademas, por el Teorema 15.5.1, tenemos que wi = ‖PH PFi‖ para todoi ∈ I. Es facil ver que Fi ∩ (H⊕0) 6= 0 implica que wi = 1 y Fi ⊆ (H⊕0) (dado queU es unitario). Entonces ‖PH PFi‖ = c [H , Fi ] para todo i ∈ I.

Teorema 15.5.3. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H tal que 1 ≤ AWw . LlamemosV = H ⊕ KW . Entonces, existen una proyeccion oblicua Q ∈ L(V) con R(Q) = H ⊕ 0 yun sistema ortonormal de subespacios Bii∈I in V , tales que

Wi ⊕ 0 = Q(Bi) y wi = ‖QPBi‖ = γ(QPBi) para todo i ∈ I .

Mas aun, si E (Ww) =∞, entonces Bii∈I puede tomarse como una BONS de V .

Demostracion. Escribamos TWw = T . Por hipotesis, TT ∗ = SWw ≥ AWwI ≥ I. Notemos por

X = (TT ∗ − I)1/2 ∈ L(H)+ .

Consideremos la descomposicion polar (a derecha) T = |T ∗|V , donde V ∈ L(KW ,H) esuna isometrıa parcial con espacio inicial y final N(T )⊥ y H respectivamente, por lo tantoV V ∗ = IH . Consideremos la “ampliacion ” T ∈ L(KW ,V) dada por T x = Tx⊕0. Entonces

T T ∗ =

(TT ∗ 0

0 0

)HKW

∈ L(V). Definamos

Q =

(IH XV0 0

)HKW

∈ L(V) .

Entonces es claro que Q es una proyeccion oblicua con R(Q) = H⊕ 0. Mas aun,

QQ∗ =

(IH +XX∗ 0

0 0

)= T T ∗ =⇒ |Q∗| = |T ∗| .

Sea U ∈ L(KW ,V) definido por

Ux = V PN(T )⊥x⊕ PN(T )x , para x ∈ KW . (15.13)

Entonces U es una isometrıa, porque el espacio inicial de V es N(T )⊥. Ademas, se tiene queT = |T ∗|U . La isometrıa parcial de la descomposicion polar a derecha de Q se extiende a unoperador unitario W en V , porque dimN(Q) = dimR(Q)⊥. Ademas, Q = |Q∗|W . Entonces

T = |T ∗|U = |Q∗|U = Q W ∗U.

382

Por lo tanto, si consideramos la base ortonormal de subespacios Eii∈I of KW ,

Wi = T (Ei) ∼ T (Ei)⊕ 0 = T (Ei) = QW ∗U(Ei) = Q(Bi) , i ∈ I ,donde Bii∈I = W ∗UEii∈I , que es claramente un sistema ortonormal en V . Si y ∈ Bi esun vector unitario, entonces y = W ∗Ux para x ∈ Ei con ‖x‖ = 1, y

wi = ‖Tx‖ = ‖QW ∗Ux‖ = ‖Qy‖ =⇒ wi = ‖QPBi‖ = γ(QPBi) .

Supongamos ahora que dimN(T ) =∞. Entonces, la isometrıa U definida en (15.13) puedecambiarse a un operador unitario de KW sobre V , manteniendo la identidad T = |T ∗|U .Para ver esto, tomemos

Ux = V PN(T )⊥x⊕ Y PN(T )x, x ∈ H,

donde Y ∈ L(KW) es una isometrıa parcial con espacio inicial N(T ) y espacio final KW . Esinmediato entonces que U aplica isometricamente N(T )⊥ sobre H⊕0 y N(T ) sobre 0⊕KW . Entonces, se concluye que la sucesion Bii∈I es una base ortonormal de subespaciospara V .

15.6 Refinamientos de marcos de subespacios.

Tomemos H = `2(Z) y el MF Ww formado por 2 subespacios:

W1 = span en : n ≤ 0 y W2 = span en : n ≥ 0 ,

con pesos w1 = 1 = w2 . Es claro que E (Ww ) = 1 > 0, pero Ww es exacto, en el sentido deque (wi,Wi)i∈J no es un marco, para todo subconjunto propio J ⊂ I2 (en este caso, J tendrıaa lo sumo un elemento). Esta situacion es posible porque el exceso del marco puede estarcontenido propiamente en alguno de los Wi de Ww , por lo que si “borramos” cualquierade los subespacios de Ww , la sucesion restante deja de ser generadora.

En conclusion, la nocion de “exceso” no es la misma en este contexto que en el de losmarcos de vectores, en el sentido de la Definicion 14.1.5 y la Prop. 14.5.3. En esta seccion,introducimos la nocion de refinamientos de sucesiones de subespacios, que funcionara comomedio natural para recuperar la conexion entre exceso y erasures. Teniendo eso en cuenta,esta seccion tiene un esquema similar a la Seccion 14.5 del Capıtulo anterior.

En concreto, un refinamiento de una sucesion W = Wii∈I es una sucesion de sube-spacios “mas chicos”. Con el objeto de mantener la convencion de que los subespacios sondistintos de 0, permitiremos el borrado de algunos subespacios de W , considerando queun subconjunto propio de I pueda ser el conjunto de ındices para el refinamiento.

Definicion 15.6.1. Sea W = Wii∈I una sucesion de subespacios cerrados de H.

1. Un refinamiento de W es una sucesion V = Vii∈J de subespacios cerrados tal que

J ⊆ I y 0 6= Vi ⊆ Wi para todo i ∈ J .

383

En este caso, usaremos las siguientes notaciones:

2. El exceso de W con respecto a V es el cardinal

E (W ,V) =∑i∈ J

dim(Wi Vi) +∑i/∈ J

dimWi .

3. Si w ∈ P (W), decimos que Vw = (wi, Vi)i∈ J es un MF-refinamiento de Ww si Vw estambien un MF para H. 4

Observacion 15.6.2. Es facil ver que, si V es un refinamiento deW y V ′ es un refinamientode V , entonces V ′ refina a W y E (W ,V ′) = E (W ,V) + E (V ,V ′). 4

Lema 15.6.3. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H y sea V = Vii∈J un refinamiento deW . Consideremos KV = ⊕i∈JVi como subespacio de ⊕i∈IWi = KW . Entonces

1. E (W ,V) = dimK⊥V = dimN(PKV ) .

2. Vw = (wi, Vi)i∈ J es un MF-refinamiento de Ww si y solo si TWwPKV is suryectivo.

En este caso, tenemos que

3. E (W ,V) ≤ E (Ww).

4. Si E (W ,V) <∞, entonces E (Vw) = E (Ww)− E (W ,V).

Demostracion. Para cada i ∈ I, notemos por Ei (resp. Fi) la copia de cada Wi (resp. Vi ,o Fi = 0 si i /∈ J) en KW . Es facil ver entonces que K⊥V = ⊕i∈IEi Fi , lo que prueba elıtem 1. Abreviemos P = PKV . Por sus definiciones, tenemos que

TVw = TWw

∣∣KV

= TWw

∣∣R(P )∈ L(KV ,H) .

Entonces R(TWwP ) = R(TVw) = H si y solo si Vw es un MF-refinamiento de Ww . En estecaso, 0 = N(PT ∗Ww

) . Dado que R(T ∗Ww) = N(TWw) ⊥, vemos que

N(PT ∗Ww) = 0 ⇒ N(P ) ∩N(TWw) ⊥ = 0 ⇒ dimN(P ) ≤ dimN(TWw) ,

ya que la proyeccion ortogonal sobre N(TWw) actua inyectivamente en N(P ). Entonces

E (W ,V) = dimN(P ) ≤ dimN(TWw) = E (Ww) .

Observemos que, por ser suryectivos, TWw y TWwP son operadores de semi-Fredholm, con

IndTWw = dimN(TWw)− 0 = E (Ww) e Ind (TWwP ) = dimN(TWwP ) .

Si E (W ,V) <∞, entonces P es un operador de Fredholm, con IndP = 0. Luego

E (Ww) = IndTWw + IndP = IndTWwP = dimN(TWwP ) .

Finalmente, dado que TVw = TWw

∣∣KV

,

E (Vw) = dimN(TVw) = dimN(TWwP )− dimN(P ) = E (Ww)− E (W ,V) ,

donde la segunda igualdad surge de que TWwP coincide con TVw , salvo que su dominio (y sunucleo) se agrandan agregando el subespacio finitodimensional N(P ).

384

Lema 15.6.4. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H con E (Ww) > 0. Entonces existe unMF-refinamiento Vw = (wi, Vi)i∈ J de Ww con E (W ,V) = 1.

Demostracion. Para cada i ∈ I, notemos por Ei la copia de Wi en KW . Supongamos queno existe ningun MF-refinamiento Vw de Ww , con E (W ,V) = 1. Entonces, por el Lema15.6.3, para todo i ∈ I y todo vector unitario y ∈ Ei , se tiene que R(TWwPy⊥) 6= H. Porla Proposicion 8.2.3 y Ec. (8.6),

c[N(TWw) , y⊥

]= c

[N(TWw)⊥ , span y

]< 1 =⇒ R(TWwPy⊥) v H .

Tomemos x ∈ R(TWwPy⊥)⊥ = N(Py⊥T∗Ww

) un vector unitario. Entonces

0 6= T ∗Wwx ∈ span y , i.e. y ∈ R(T ∗Ww

) .

Luego⋃i∈I

Ei ⊆ R(T ∗Ww) (que es cerrado), por lo que T ∗Ww

es suryectivo y E (Ww ) = 0.

Teorema 15.6.5. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H. Entonces

E (Ww ) = supE (W ,V) : Vw = (wi, Vi)i∈ J es un MF-refinamiento de Ww

. (15.14)

Ademas, si E(Ww ) = ∞, entonces, para todo n ∈ N, existe un MF-refinamiento Vw =(wi, Vi)i∈ J de Ww tal que E (W ,V) = n.

Demostracion. Notemos por α el supremo de (15.14). El item 3 del Lema 15.6.3 nos diceque α ≤ E (Ww ). Si E (Ww ) < ∞, combinando la Observacion 15.6.2, el Lema 15.6.4 y elıtem 4 del Lema 15.6.3, uno puede probar inductivamente que α ≥ E (Ww ).

Si E (Ww ) = ∞, un argumento inductivo similar muestra que para todo n ∈ N, existeun MF-refinamiento Vv de Ww , tal que E (W ,V) = n.

Corolario 15.6.6. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H tal que E (Ww) <∞. Entonces

1. La sucesion w ∈ `∞+ (I) ∗.

2. Existe un MF-refinamiento Vw = (wi, Vi)i∈ J de Ww tal que:

(a) V es una BRS para H.

(b) E (W ,V) = E(Ww).

Demostracion. Por el Teorema 15.6.5, existe un MF-refinamiento Vw = (wi, Vi)i∈ J de Ww ,tal que E (W ,V) = E(Ww). Por el ıtem 4 del Lema 15.6.3, E(Vw) = 0. Es decir, Vw esuna BRS para H. Entonces, por la Prop. 15.4.2, la sucesion wii∈J ∈ `∞+ (J)∗. Dado queE (W ,V) <∞, entonces I \ J es finito, y se tiene ademas que w ∈ `∞+ (I) ∗.

Corolario 15.6.7. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H tal que E (Ww) <∞. Entonces

P (W) = `∞+ (I) ∗ y E (Wv) = E (Ww) para cualquier otro v ∈ P (W) .

385

Demostracion. Por el Corolario 15.6.6, sabemos que w ∈ `∞+ (I) ∗. De la Proposicion 15.4.2,se deduce que `∞+ (I) ∗ ⊆ P (W). Sea Vw = (wi, Vi)i∈ J un MF-refinamiento de Ww quees una BRS para H, (existe por el Corolario 15.6.6). Tomemos v ∈ P (W). Necesitamosverificar que la sucesion Vv = (vi , Vi)i∈ J es tambien un MF-refinamiento de Wv .

En efecto, consideremos el operador TVv = TWv

∣∣KV∈ L(KV , H). Por el Lema 15.6.3,

dimK⊥V = E (W ,V) <∞. Como en la prueba del Lema 15.6.4, esto implica que

R(TVv) = R(TWv PKV ) v H .

Por otro lado, span

⋃i∈J

Vi

⊆ R(TVv). Pero span

⋃i∈J

Vi

es denso en H, porque TVw

es suryectivo (recordemos que Vw es un MF). Esto muestra entonces que TVv es tambiensuryectivo, i.e. Vv es un MF.

Tenıamos que V es una BRS, y ahora sabemos que vJ = vii∈ J ∈ P(V). Por laProposicion 15.4.2, podemos asegurar que vJ ∈ `∞+ (J)∗. Como antes, como I \ J es finito,esto implica que v ∈ `∞+ (I) ∗. Ası se ve que `∞+ (I) ∗ = P (W). Usando la Prop. 15.4.2 otravez, ahora por el hecho de que v y w son equivalentes, concluimos que E (Wv) = E (Ww).

Teorema 15.6.8. Sea Ww = (wi , Wi)i∈I un MF para H. Entonces

E (Wv) = E (Ww) para cualquier otro v ∈ P (W) .

Demostracion. Si E (Ww) <∞, aplicamos Corolario 15.6.7. Por otro lado, si E (Ww) =∞ ytomamos otro v ∈ P (W), entonces tambien debe valer que E (Wv) =∞, porque si E (Wv)fuera finito, podrıa aplicarse el Corolario 15.6.7 a Wv , llegando a una contradiccion.

15.7 Ejemplos.

Observemos que, si Eii∈I es una base ortonormal de subespacios para K y T ∈ L(K,H) esun operador suryectivo tal que T (Ei) v H para todo i ∈ I, entonces W = TEii∈I es unasucesion generadora para H. Sin embargo, el primer ejemplo muestra que, en general, talsucesion W puede tener P (W) = ∅, i.e. Ww no es un MF para H, para cualquier sucesionw ∈ `∞+ (I).

Ejemplo 15.7.1. Sea B = enn∈N una base ortonormal de H. Para k ∈ N, consideremosel espacio Ek = span e2k−1, e2k . Entonces Ek resulta una base ortonormal de subespaciospara H. Sea T : H → H el operador (definido en un denso) dado por

Ten =

2−k e1 si n = 2k − 1

ek+1 si n = 2k

.

Entonces, T puede extenderse a un operador acotado y suryectivo (a quien seguimos llamandoT ), dado que la sucesion Tekk∈N es claramente un marco ajustado para H. Veremos que

386

la sucesion de subespacios cerrados

W = Wkk∈N tal que Wk = T (Ek) = span e1, ek+1 , k ∈ N

cumplen que P (W) = ∅. Supongamos que, por el contrario, w ∈ P (W). Entonces, por la

Ec. (15.2) aplicada a f = e1 ∈⋂k∈N

Wk , tenemos que w ∈ ` 2(N). Pero esto contradice la

existencia de una cota inferior de marco AWw para Ww = (wk , Wk)k∈N , porque para todok ∈ N,

AWw = AWw‖ek+1‖2 ≤∑j∈N

w2j‖PWj

ek+1‖2 = w2k −−−→k→∞

0 .

Notemos que, por definicion,γ(TPEk)‖TPEk‖

= 2−k

1 −−−→k→∞

0. 4

El operador T y la base ortonormal E = Enk∈N del ejemplo anterior no satisfacen la Ec.(15.7) del Teorema 15.3.4. Sin embargo, (15.7) no es una condicion necesaria que asegureque P (W) 6= ∅, si W = TE . Esto se muestra en el proximo ejemplo, en donde se muestraun MF, imagen por un epimorfismo de una base ortonormal de subespacios, pero que nosatisfacen la Ecuacion (15.7).

Ejemplo 15.7.2. Sea ekk∈N una base ortonormal para H y consideremos el marco (devectores)

F = fnn∈N dado por fn =

ek si n = 2k − 1

ek+1√k+1

si n = 2k

.

Sea T = TF ∈ L(`2(N),H) su operador de sıntesis (que es suryectivo). Si bnn∈N es la basecanonica de `2(N), entonces Tbn = fn . Para cada k ∈ N hacemos Ek = span b2k−1, b2k. En-tonces, por construccion Ekk∈N es una base ortonormal de subespacios de `2(N). Tomemoslas sucesiones

w = e ∈ `∞+ (N) y Wk = TEk = span ek, ek+1 , k ∈ N .

Entonces Ww = (wk , Wk)k∈N es un MF para H. Sin embargo, T no cumple la Ec. (15.7),

dado que γ(TPEk) = 1√k+1

, mientras que ‖TPEk‖ = 1, para todo k ∈ N. 4

En el Ejemplo 15.7.1, se tiene una sucesion generadora W = Wii∈I con P (W) = ∅. Elargumento clave fue que ∩i∈IWi 6= 0. Esto es suficiente para asegurar que P (W) es vacıosi span Wi : 1 ≤ i ≤ n 6= H para todo n ∈ N. Sin embargo, como mostrara el siguienteejemplo, esta condicion no es necesaria, aun si dimWi < ∞ para todo i ∈ I. Este ejemplosirve ademas para mostrar que existen sucesiones generadoras, minimales de subespaciostales que P (W) = ∅.

387

Ejemplo 15.7.3. Fijemos una base ortonormal B = eii∈N para H. Sea g =∞∑k=1

e2k

2k/2∈ H

(‖g‖ = 1). Para todo n ∈ N, notemos por Pn ∈ L(H) a la proyeccion ortogonal sobreHn = span e1, e2, . . . , en. Consideremos la sucesion generadores W = Wkk∈N dada por

Wk = span P2k g , e2k−1 = span

k∑j=1

e2j

2j/2, e2k−1

, k ∈ N .

Es facil ver que W es una sucesion minimal.Lo que esta sucediendo en este caso particular es que c [Wi , Wj ] −−−−→

i,j→∞0 (rapidamente),

y por esta razon P (W) = ∅. De hecho, supongamos que w ∈ P (W), y el marco desubespacios Ww = (w,W) tiene cotas 0 < AWw ≤ BWw . Entonces

BWw = BWw‖g‖2 ≥∑k∈N

w2k ‖PWk

g‖2 =∑k∈N

w2k ‖P2k g‖2 =

∑k∈N

w2k (1− 2−k) , (15.15)

lo que implica que wk −−−→k→∞

0. Por otro lado, para todo k ∈ N,

AWw = AWw‖e2k−1‖2 ≤∑i∈N

w2i ‖PWi

e2k−1‖2 = w2k (15.16)

por lo que AWw = 0, contradiciendo la suposicion inicial de queWw era un MF. Por lo tanto,P (W) = ∅. 4

Sabemos que fjj∈N es un marco de Parseval para H si y solo si existe un espacio deHilbert K que contiene a H tal que fj = PHbj para todo j ∈ N, donde bjj∈N es una baseortonormal para K. En la seccion 15.5 se probo que en el caso de marcos de subespacios unaimplicacion era cierta, si reemplazabamos convenientemente las bases ortonormales por basesortonormales de subespacios. Concretamente, se vio que un marco Parseval de subespacios esla imagen por una proyeccion ortogonal de una base ortonormal de subespacios. El siguienteejemplo muestra que la recıproca no es cierta en este contexto.

Ejemplo 15.7.4. Sea ekk∈N una base ortonormal para H. Consideremos el vector unitario

g =∑k∈N

e2k−1

2k/2, y sea M = span g ∪ e2k : k ∈ N .

Por otro lado, tomemos la sucesion E = Ekk∈N dada por Ek = span e2k−1, e2k (k ∈ N).Entonces E es una bon de subespacios para H. Sea la sucesion W = Wkk∈N dada por

Wk = PMEk = span g , e2k , para todo k ∈ N .

Entonces P (W) = ∅ por la misma razon que en el Ejemplo 15.7.1, porque g ∈⋂k∈N

Wk 6= 0.

4

388

El proximo ejemplo muestra que en el caso de marcos de subespacios, la existencia de unmarco ajustado canonico no es cierta, a diferencia de los marcos de vectores.

Ejemplo 15.7.5. Sea E = enn∈N una base ortonormal de H. Definamos la sucesionW = Wkk∈N como

W1 = span ek : k ≥ 2 = e1⊥ y Wk = span e1, ek , para k ≥ 2 .

Notemos que P (W) = ` 2+(N). De hecho, una inclusion es clara, y

w ∈ P (W) =⇒∞∑k=2

w2k =

∞∑k=2

w2k ‖PWk

e1‖2 ≤ BWw =⇒ w ∈ ` 2+ (N) .

Ahora veamos que Ww no puede ser un marco ajustado de subespacios para ningun w ∈P (W). Si Ww fuera un marco ajustado, con cota de marco A, entonces para todo k ≥ 2,

A = A‖ek‖2 =∑i∈N

w2i ‖PWi

ek‖2 = w21 + w2

k =⇒ w2k = A− w2

1 ,

lo que contradice w ∈ ` 2+(N). Veamos ahora que el operador de marco SWw ∈ L(H) es

diagonal con respecto a la base ortonormal E , para todo w ∈ P (W). De hecho,

T ∗Wwe1 = wkPWk

e1k∈N = 0⊕ wke1k≥2 =⇒ SWwe1 = TWwT∗Wwe1 =

(∞∑k=2

w2k

)e1 .

Por otro lado, si Ek es la copia de Wk en KW , entonces para todo k ∈ N y j ≥ 2,

PEk(T ∗Ww

ej)

=

w1 ej si k = 1

wj ej si k = j

0 si k 6= 1, j

=⇒ SWwej = TWwT∗Wwej = (w2

1 + w2j )ej .

En particular, S−1/2Ww

es tambien diagonal. Esto implica que S−1/2WwW =W , que sabemos que

no puede ser ajustado para ninguna sucesion de pesos.Otra propiedad del presente ejemplo es la siguiente: Ww es un MF para H, pero la

sucesion (wk , Wk)k>1 no es una sucesion MF (i.e. un MF para span Wk : k > 1). Estopuede probarse con los mismos argumentos utilizados en el Ejemplo 15.7.1, usando que∩k>1Wk 6= 0. 4

Ejemplo 15.7.6. Sea B4 = enn≤4 una base ortonormal para C4. Consideremos la sucesionW = Wkk∈N dada por

W1 = span e1, e2 , W2 = span e1, e3 y W3 = span e4 .

Veremos que la sucesion GWw = (wk, GWk)k∈I3 no es un marco de Parseval para todoinvertible G ∈M4(C) y todo peso w ∈ R3

+ .

389

Tomemos base ortonormal en cada GWi

GW1 = span g1, g2 , GW2 = span g1, g3 y GW3 = span g4 ,

donde g1 =Ge1

‖Ge1‖, lo mismo para g4 . Si GWw fuera de Parseval, entonces el marco

E = TGWw gkk∈I5 = w1 g1 , w1 g2 , w2 g1 , w2 g3 , w3 g3 ,

serıa un marco de Parseval (de vectores). Sea T ∈ M4,5(C) la matriz con los vectores de Ecomo columnas. Bajo un cambio de coordenadas adecuado, T es de la forma

T =

(w1 w2 ~v0 0 V

)CC3 con ~v = (0, 0, a) ∈ C3 y V ∈M3(C) .

Dado que TT ∗ = I4 , es facil ver que V ∈ U(3). Pero esto es imposible dado que lasdos primeras columnas de V tienen normas ‖w1 g2‖ = w1 y ‖w2 g3‖ = w2 , mientras que1 = w2

1 + w22 + |a|2 . 4

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Parte IV

Resultados Preliminares

399

Apendice A

Topologıa

A.1 Definiciones basicas

Definicion A.1.1. Sea X un conjunto. Una topologıa en X es un sistema de subconjuntosτ ⊆ P(X) que verifica las siguientes tres propiedades basicas.

1. Si σ ⊆ τ , entonces⋃σ ∈ τ .

2. Si F ⊆ τ es finita, entonces⋂F ∈ τ .

3. ∅ ∈ τ y X ∈ τ .

En otras palabras, τ es una topologıa si contiene a X y ∅, y es cerrada por uniones arbitrariasy por intersecciones finitas.

En tal caso, decimos que el par (X, τ) es un espacio topologico (ET). Si no hay ambiguegdadsobre que topologıa se esta usando, escribiremos X solo en lugar de (X, τ). Los elementosde τ se llamaran subconjuntos abiertos (o τ -abiertos) de X. 4

La familia mas conocida de espacios topologicos proviene de dotar a un conjunto X de unametrica o distancia:

Definicion A.1.2. Sea X un conjunto. Una metrica en X es una funcion d : X×X → R≥0

que verifica las siguientes propiedades: Dados x, y, z ∈ X,

1. d(x, y) = d(y, x), es decir que d es simetrica.

2. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (d es fiel).

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), o sea que d cumple la desigualdad triagular.

En tal caso, (X, d) es un espacio metrico, y usaremos las notaciones:

1. Dados x ∈ X y N ∈ R>0 , los conjuntos

B(x,N) = y ∈ X : d(x, y) < N y B(x,N) = y ∈ X : d(x, y) ≤ N ,

son la bola abierta y la bola cerrada de centro x y radio N .

400

2. Un conjunto A ⊆ X es abierto (o d-abierto) si para todo x ∈ A existe un ε > 0 tal queB(x, ε) ⊆ A.

3. Dados A,B ⊆ X, la distancia entre ellos es

d(A,B) = inf d(x, y) : x ∈ A e y ∈ B .

Si x ∈ X, escribiremos d(x,B) = inf d(x, y) : y ∈ B en lugar de d(x, B). 4

Observacion A.1.3. Si (X, d) es un espacio metrico, es facil ver que el sistema de conjuntosτd = A ⊆ X : A es d-abierto es una topologıa en X. Pensando al reves, si τ es unatopologıa para X, diremos que el espacio topologico (X, τ) es metrizable si existe algunadistancia d en X tal que τ = τd .

La mayorıa de los espacios topologicos son metrizables. Sin embargo, hay dos razones im-portantes para que las teorıas topologica y metrica se desarrollen separadamente (o en par-alelo). Por un lado, existen importantes ejemplos en la matematica de espacios topologicosno metrizables (pocos pero buenos). Por otro lado, las dos teorıas hacen incapie en aspectosbien diferenciados entre sı, hasta el punto de que es usual hablar de propiedades topologicas(como las enumeradas al principio del capıtulo) y de propiedades metricas. Como ejem-plo de estas ultimas, podemos mencionar propiedades como “ser acotado”, ser “completo”,diametro, sucesiones de Cauchy, etc. Todas estas son puramente metricas y no tienen uncorrelato topologico. 4

A continuacion seguiremos introduciendo lenguaje topologico:

Definicion A.1.4. Sea (X, τ) un ET y fijemos un punto x ∈ X.

1. Diremos que un conjunto

A ⊆ X es un entorno de x si existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A .

A se llamara entorno abierto de x si se tiene que x ∈ A y el mismo A ∈ τ .

2. Denotaremos por O(x) = A ⊆ X : A es entorno de x al filtro de entornos de x.LlamaremosOa(x) = A ⊆ O(x) : A es entorno abierto de x = O(x)∩τ . Cuando hagafalta especificar el espacio o la topologıa en cuestion, escribiremos OX(x) o tambienOτ (x). Lo mismo para Oa(x).

3. Dado un conjunto Y ⊆ X denotaremos por

Y = x ∈ Y : Y ∈ O(x) = x ∈ Y : Y es entorno de x , (A.1)

al interior de Y . Los elementos x ∈ Y se llamaran puntos interiores de Y . 4

Proposicion A.1.5. Sea (X, τ) un ET y sean A,B ⊆ X. Entonces

1. A es abierto.

401

2. Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B.

3. A es abierto si y solo si A = A, o sea si A es entorno de todos sus puntos.

4. (A) = A.

5. A es el mayor abierto contenido en A.

6. (A ∩B) = A ∩B .

Demostracion. Sea x ∈ A, y sea U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A. Por la definicion de ser entorno,vemos que todos los otros y ∈ U tambien cumplen que A ∈ O(y). Es decir que U ⊆ A. Deahı podemos deducir que

A =⋃U ∈ τ : U ⊆ A . (A.2)

Es claro que esta igualdad sirve para demostrar los primeros 5 items del enunciado. ComoA ∩B ⊆ A ∩B y es abierto, el ıtem 5 asegura que A ∩B ⊆ (A ∩B). La otra inclusiontambien se deduce de la Ec. (A.2).

A.2 Cerrados, lımites y clausuras

Sea (X, τ) un ET. Los subconjuntos cerrados de X seran los complementos de los conjuntosabiertos. Es decir, F ⊆ X es cerrado si y solo si X \F ∈ τ . Usando la Def. A.1.1 y las leyesde De Morgan, tenemos las siguientes propiedades:

• Intersecciones arbitrarias de cerrados son cerradas.

• Uniones finitas de cerrados son cerradas.

• ∅ y X son cerrados.

Usando estos hechos, podemos definir la nocion de clausura de un subconjunto, que es ladual de la nocion de interior (comparar con la Ec. (A.2) ):

Definicion A.2.1. Sea (X, τ) un ET y sea A ⊆ X. El conjunto

A =⋂F ⊆ X : F es cerrado y A ⊆ F (A.3)

se denomina la clausura de A. Los elementos x ∈ A se llamaran puntos lımite de A. 4

Veamos ahora la version dual de la Prop. A.1.5, cuya prueba dejamos como ejercicio.

Proposicion A.2.2. Sea (X, τ) un ET y sean A,B ⊆ X. Entonces

1. A es cerrado.

2. Si A ⊆ B, entonces A ⊆ B

3. A es cerrado si y solo si A = A.

402

4.(A)−

= A.

5. A es el menor cerrado que contiene a A.

6. A ∪B = A ∪B.

La dualidad mencionada se manifiesta mejor en la siguiente formula:

Proposicion A.2.3. Sea (X, τ) un ET y sea A ⊆ X. Entonces

X \ A = (X \ A) y X \ A = X \ A . (A.4)

Demostracion. Se deduce de las formulas (A.2) y (A.3). Por ejemplo,

X \ A =⋃X \ F : F es cerrado y A ⊆ F =

⋃U ∈ τ : U ⊆ X \ A .

La otra igualdad se muestra en forma semejante.

Daremos ahora una caracterizacion especial de ser punto lımite:

Proposicion A.2.4. Sea (X, τ) un ET. Dados A ⊆ X y x ∈ X, las siguientes condicionesson equivalentes:

1. x ∈ A

2. A ∩ V 6= ∅ para todo V ∈ O(x).

3. A ∩ U 6= ∅ para todo U ∈ Oa(x).

Demostracion. Supongamos que A ∩ V = ∅ para cierto V ∈ O(x). Entonces tenemos queV ⊆ X \ A por lo que x ∈ (X \ A) = X \ A . Esto prueba 1 → 2. Es claro que 2 → 3.Finalemnte, para ver que 3 → 1, supongamos que x /∈ A. Como U = X \ A es abierto,tenemos que x ∈ U ∈ Oa(x). Pero como A ⊆ A, se tiene que U ∩ A = ∅.

Por la Prop. A.2.4, un x ∈ X es punto lımite de un conjunto A ⊆ X si y solo si se cumpleque A ∩ V 6= ∅ para todo V ∈ O(x), o sea si A corta a todo entorno de x. En formasimilar, pero un poco mas sofisticada, se define la nocion de punto de acumulacion:

Definicion A.2.5. Sea (X, τ) un ET. Dados A ⊆ X y x ∈ X, decimos que

x es punto de acumulacion de A si(A \ x

)∩ V 6= ∅ para todo V ∈ O(x) .

Es decir, si A corta a todo entorno de x en algun punto y distinto de x. Denotaremos porA′ = x ∈ X : x es punto de acumulacion de A. 4

Ejercicios A.2.6. 1. Sea (X, τ) un ET. Dado A ⊆ X, probar que A = A ∪ A′.

2. Sean (X, d) un EM y A ⊆ X. Probar que

x ∈ A ⇐⇒ 0 = d(x,A) .

Deducir que A es cerrado si y solo si[d(y, A) = 0 =⇒ y ∈ A

]. 4

403

Definicion A.2.7. Sea (X, τ) un ET. Dado A ⊆ X, llamaremos borde de A al conjunto

∂A = A ∩X \ A = A \ A

= x ∈ X : A ∩ V 6= ∅ 6= (X \ A) ∩ V , para todo V ∈ O(x) .

Es facil ver que ∂A = ∂(X \ A). 4

A.3 Bases y sub-bases

En esta seccion estudiaremos construcciones que producen nuevas topologıas a partir de unatopologıa dada, o basandose en familias arbitrarias de conjuntos.

Sean τ1 y τ2 dos topologıas en X. Diremos que τ1 es mas fuerte (o que es mayor) que τ2 siτ2 ⊆ τ1 , es decir que τ1 tiene mas conjuntos abiertos que τ2 . La menor de todas las topologıases la llamada trivial, y consiste de ∅, X. La mayor es la llamada topologıa discreta, quees tomar todo P(X) (en la que todos los puntos son abiertos). Se puede, ademas, construirınfimos y supremos de familias arbitrarias de topologıas. En efecto, si τi : i ∈ I es unafamilia de topologıas en X, entonces es facil ver que los sitemas∧

i∈I

τi =⋂i∈ I

τi y∨i∈I

τi =∧

τ : τ es una topologıa y⋃i∈I

τi ⊆ τ

son topologıas, la primera el ınfimo y la segunda el supremo de la familia τi : i ∈ I. Estasconstrucciones permiten generar topologıas a partir de familias arbitrarias de subconjuntosde X, con la sola condicion de que cubran a X.

Definicion A.3.1. Sea X un conjunto y sea ρ ⊆ P(X) tal que⋃ρ = X.

1. La topologıa generada por ρ es la menor topologıa que contiene a ρ, o sea

τ(ρ) =∧

τ : τ es una topologıa y ρ ⊆ τ.

2. Diremos que ρ es una sub-base de una topologıa τ si τ = τ(ρ).

3. Dada una topologıa τ en X, diremos que ρ es una base de τ si

(a) τ = τ(ρ)

(b) Todo V ∈ τ cumple que V =⋃U ∈ ρ : U ⊆ V . 4

En resumidas cuentas, sabemos generar una topologıa en X a partir de una familia arbitrariaρ ⊆ P(X), y sabemos que queremos que cumpla una familia para ser base de una topologıa(notar la analogıa con las bolas abiertas en una topologıa que proviene de una metrica). Elproblema es saber cuando ρ es o no base de τ(ρ), o bien como contruir una base de τ(ρ) apartir de ρ. Esto se responde ahora:

404

Proposicion A.3.2. Sea X un conjunto y sea ρ ⊆ P(X) tal que⋃ρ = X.

1. Se tiene que ρ es base de τ(ρ) si y solo si se cumple que

dados U , V ∈ ρ y x ∈ U ∩ V , existe W ∈ ρ tal que x ∈ W ⊆ U ∩ V . (A.5)

En particular, esto pasa si ρ es cerrado por intersecciones finitas.

2. La siguiente familia es base de τ(ρ):

β = V1 ∩ V2 ∩ · · · ∩ Vn : n ∈ N y V1 , . . . , Vn ∈ ρ , (A.6)

es decir que β consiste de las intersecciones finitas de elementos de ρ.

En conclusion, si ρ ⊆ P(X) cumple que⋃

ρ = X, se tiene que

τ(ρ) = uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de ρ . (A.7)

Demostracion. Si ρ es base de τ(ρ), la condicion (A.5) se verifica de inmediato (notar queU ∩ V ∈ τ(ρ) ). Supongamos ahora que ρ cumple la condicion (A.5), y consideremos

τ = ⋃

α : α ⊆ ρ

= uniones de elementos de ρ ,

Es claro que ρ ⊆ τ ⊆ τ(ρ), ya que τ esta contenido en toda topologıa que contenga a ρ.Probaremos que τ es una topologıa, de lo que podremos deducir que τ = τ(ρ), por lo que ρsera una base de τ(ρ).

Tomando α = ρ, o bien α = ∅, vemos que X y ∅ estan en τ (recordar que⋃ρ = X). Por su

construccion, τ es cerrado por uniones arbitrarias. Solo falta ver que lo es para interseccionesfinitas. Es facil ver que la condicion (A.5) muestra que si U, V ∈ ρ, entonces U ∩ V ∈ τ . Siahora tomamos α, γ ⊆ ρ, y consideramos los conjuntos

A =⋃

α y B =⋃

γ en τ , =⇒ A ∩B =⋃U∈α

⋃V ∈γ

U ∩ V ∈ τ .

Inductivamente, se ve que τ es cerrado para intersecciones finitas, lo que prueba 1.

El conjunto β de la Ec. (A.6) claramente cumple la condicion (A.5), puesto que β es cerradopara intersecciones finitas. Por ello, β es base de τ(β). Pero es facil ver que τ(ρ) = τ(β), loque prueba 2. La formula (A.7) es consecuencia de lo visto anteriormente.

Proposicion A.3.3. Sea (X, τ) un ET. Dada β ⊆ τ , son equivalentes:

1. β es base de τ .

2. Para todo x ∈ X y todo U ∈ O(x) existe V ∈ β tal que x ∈ V ⊆ U .

Demostracion. Si β es base y U ∈ O(x), sabemos que x ∈ U =⋃V ∈ β : V ⊆ U. Basta

tomar uno de tales V tal que x ∈ V . La recıproca es similar.

Si ahora aislamos la condicion anterior, para cada x ∈ X fijo, obtenemos la nocion naturalde base de entornos de ese x:

405

Definicion A.3.4. Sea (X, τ) un ET y sea x ∈ X. Una base de entornos de x es unasubfamilia βx ⊆ O(x) tal que para todo U ∈ O(x) existe V ∈ βx tal que x ∈ V ⊆ U . 4

Observacion A.3.5. Si βx es base de entornos de un x ∈ X, en todos los enunciadosanteriores, donde se decıa “para todo U ∈ O(x)” puede decirse “para todo V ∈ βx” yobtener las mismas conclusiones. 4

Ejemplos A.3.6. 1. Sea (X, τ) un ET y sea β ⊆ τ una base. Entonces, para todo x ∈ X,

O(x) ∩ β = U ∈ β : x ∈ U (A.8)

es una base de entornos de x.

2. Sea (X, d) un EM, y pensemoslo como un ET (X, τd). Sea (an)n∈N una sucesion en R>0

tal que an −−−→n→∞

0. Sea D ⊆ X un subconjunto denso, i.e., tal que D = X. Entonces

(a) Para todo x ∈ X, la familia B(x, an) : n ∈ N

es una base de entornos de x.

(b) La familia β =B(y, an) : y ∈ D y n ∈ N

es una base de τd .

Las pruebas de 1 y de 2 (a) son inmediatas a partir de las definiciones. La de 2 (b) es unpoquito mas trabajosa: si x ∈ U ∈ τd , existe una B(x, ε) ⊆ U . Tomemos un an <

ε2

. ComoD es denso, en la bola B(x, an) debe haber un y ∈ D. Pero

y ∈ B(x, an) =⇒ x ∈ B(y, an) ⊆ B(x, ε) ⊆ U ,

ya que si z ∈ B(y, an) se tiene que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < 2 an < ε. Ahora se puedeaplicar la Prop. A.3.3 y deducir que β es base de τd . 4

A.3.1 Topologıa inducida

Sea (X, τ) un ET y fijemos un subconjunto Y ⊆ X. Hay una manera natural de dotar a Yde una topologıa a partir de τ : Consideremos el sistema

τY = U ∩ Y : U ∈ τ = A ⊆ Y : existe U ∈ τ tal que A = U ∩ Y ⊆ P(Y ) .

Usando las propiedades basicas de conjuntos, se verifica sin dificultades que τY es unatopologıa en Y . Se la llamara la topologıa inducida por τ a Y . Enumeraremos a contin-uacion varias propiedades del ET (Y, τY ) cuyas demostraciones son elementales:

Proposicion A.3.7. Sea (Y, τY ) ⊆ (X, τ) como recien. Dados y ∈ Y y B ⊆ Y , se tiene que

1. El conjunto OY (y) de τY -entornos de y se calcula como OY (y) = V ∩ Y : V ∈ O(y).Analogamente se puede hacer con los entornos abiertos de y en Y .

2. Si β es una base de τ , entonces βY = U ∩ Y : U ∈ β es una base de τY . Lo mismopuede hacerse con sub-bases de τ y con bases de entornos de cada punto de Y .

3. B es τY -cerrado si y solo si existe un conjunto cerrado F ⊆ X tal que B = Y ∩ F .

4. La clausura BY

de B en Y es igual a Y ∩B X.

406

A.4 Clases de ET’s

La gracia de la topologıa es que es tan general que se confunde con la teorıa de conjuntos,pero en cualquier ET se puede hacer algo de analisis. Sin embargo tanta generalidad hace quepocos resultados interesantes y sofisticados puedan probarse para todo ET. Por eso, la teorıase construye definiendo diversas clases especıficas de ET’s que tengan algunas propiedadesmas restrictivas, en las que se muestra que valen teoremas cada vez mas ambiciosos. Untıpico teorema topologico tiene un enunciado del siguiente estilo: Sea (X, τ) un ET de laclase tal y cual. Entonces en X vale una propiedad sofisticada.

Este tipo de construccion teorica a veces suena un poco acomodaticia. Se corre el riesgo dehacer el siguiente procedimiento:

1. Primero uno averigua que se necesita que cumpla X para que camine la demostracion,que uno penso, de que en X vale la propiedad P .

2. Luego uno define la clase de C de los ET’s que cumplen esos prerrequisitos.

3. Se enuncia un Superteorema: Todo ET de la clase C cumple la propiedad P !!

En realidad, este fue el procedimiento que se fue usando. Pero la teorıa quedo bien, porquehay propiedades P que son necesarias e importantes. Las clases C donde ellas valen no sedefinieron para que camine una prueba concreta, sino que se fueron extendiendo (mejorandolas pruebas) hasta llegar a los mınimos prerrequisitos posibles en X para que valga P . Ytuvieron prioridad las clases C que fueran razonablemente faciles de detectar en la larga listade ejemplos importantes.

Luego de muchos anos de mezclar propiedades y clases, el proceso decanto en una buenaclasificacion de los ET’s, tal que combinando dos o tres de los ingredientes fijados (clases deespacios) se encuentran hipotesis optimas para la mayorıa de las propiedades P que sirvenen la mayorıa de las teorıas matematicas donde se usa la topologıa.

A continuacion enumeraremos las clasificaciones que quedaron aceptadas por consenso.A lo largo de todo el texto se vera como estas clases se iran combinando para ir obteniendolos distintos teoremas de la teorıa.

A.4.1 Numerabilidad

Recordemos que un EM se dice separable si tiene un subconjunto denso numerable. En elcontexto general de ET’s, tenemos varias clases diferentes de numerarabilidad, que definire-mos a continuacion. Para abreviar, si queremos decir que un conjunto D es numerable,escribiremos |D| ≤ ℵ0 . Recordar que |D| es el cardinal de D y ℵ0 = |N|.

Definicion A.4.1. Sea (X, τ) un ET, y asumamos que τ esta fijada. Diremos que

1. X es separable si existe D ⊆ X tal que |D| ≤ ℵ0 y D = X.

2. X es N1 (o que cumple el primer axioma de numerabildad), si para todo x ∈ Xexiste una base βx de entornos de x tal que |βx| ≤ ℵ0 .

407

3. X es N2 (o que cumple el segundo axioma de numerabildad), si existe una baseβ de τ tal que |β| ≤ ℵ0 .

4. X es de Lindeloff, si para todo cubrimiento abierto σ ⊆ τ de X (i.e.,⋃σ = X),

existe un subcumbrimiento numerable σ0 ⊆ σ, (i.e.,⋃σ0 = X y |σ0| ≤ ℵ0 ). 4

Proposicion A.4.2. Sea (X, τ) un ET. Si X es N2 , entonces es separable, N1 y Lindeloff.

Demostracion. Sea β = Un : n ∈ N una base de τ (si hay un β finito todo es muy facil).Usando la Ec. (A.8), es facil ver que N2 =⇒ N1 . Para ver la separabilidad, elijamos unxn ∈ Un para cada n ∈ N. Se toma D = xn : n ∈ N. Entonces D es denso, porque “toca”todo entorno de todo punto de X (usar la Prop. A.3.3).

Para ver que X es Lindeloff, fijemos un cubrimiento σ ⊆ τ . Sea

Jσ = m ∈ N : Um ⊆ V para algun V ∈ σ y βσ = Um : m ∈ Jσ ⊆ β .

Como σ cubre X y β es una base, podemos ver que⋃

βσ =⋃m∈Jσ

Um = X. Elijamos ahora,

para cada m ∈ Jσ , un Vm ∈ σ tal que Um ⊆ Vm . Luego la familia σ0 = Vm : m ∈ Jσ ⊆ σes numerable y cubre X.

Observacion A.4.3. Es falso en general que alguna de las otras 3 condiciones de separa-bilidad impliquen ser N2 o cualquier otra. Pero en EM’s todo es mejor: 4

Proposicion A.4.4. Sea (X, d) un EM. Entonces

1. (X, τd) es N1 .

2. (X, τd) es N2 si y solo si es Lindeloff si y solo si es separable.

Demostracion. Todo EM es N1 porque, para cada x ∈ X, basta tomar la base de entornosβx = B(x, 1

n) : n ∈ N. Ya vimos (para ET’s generales) que N2 =⇒ Lindeloff. Si X es

Lindeloff, para cada n ∈ N se puede cubrir a X con numerables bolas B(xn,m ,1n), m ∈ N.

Tomando D = xn,m : n,m ∈ N, obtenemos un denso numerable para X. Si asumimos queX es separable, podemos ver que es N2 usando el item 2 (b) del Ejem. A.3.6.

A.4.2 Separacion

Sea (X, τ) un ET. Si no se le pide algo especıfico a τ , puede haber puntos distintos de Xque resulten indistingibles desde el punto de vista topologico. Por ejemplo puede pasar queexistan x, y ∈ X tales que x 6= y, pero O(x) = O(y). O que O(x) ⊆ O(y). Observar queen tal caso, x ∈ y, por lo que y no es cerrado. Pedir condiciones para que estas cosasno pasen se llama dar propiedades de separacion a la topologıa τ . Estas condiciones estanestratificadas en cinco clases estandarizadas, denominadas Tk , con 0 ≤ k ≤ 4.

Definicion A.4.5. Sea (X, τ) un ET. Diremos que X es de la clase:

408

T0 : Si dados x, y ∈ X distintos, existe

U ∈ O(x) tal que y /∈ U o bien V ∈ O(y) tal que x /∈ V .

Puede verse que esto equivale a que x 6= y =⇒ O(x) 6= O(y).

T1 : Si dados x, y ∈ X distintos, existen U ∈ O(x) y V ∈ O(y) tales que x /∈ V e y /∈ U .Otra forma de decirlo es que

⋂O(x) = x, para todo x ∈ X.

T2 : Si dados x, y ∈ X distintos, existen

U ∈ O(x) y V ∈ O(y) tales que U ∩ V = ∅ .

Los ET’s de clase T2 son mas conocidos como espacios de Hausdorff.

T3 : Si X es T1 y, para todo x ∈ X y todo F ⊆ X cerrado tales que x /∈ F , existen

U ∈ O(x) y V ∈ τ tales que F ⊆ V y U ∩ V = ∅ .

Los ET’s de clase T3 son tambien conocidos como espacios regulares.

T4 : Si X es T1 y, para todo par F1 , F2 ⊆ X de subconjuntos cerrados y disjuntos,

existen U y V ∈ τ tales que F1 ⊆ U , F2 ⊆ V y U ∩ V = ∅ .

Los ET’s de clase T4 son conocidos como espacios normales. 4

Observacion A.4.6. Sea (X, τ) un ET. Vimos que X es T1 si y solo si⋂O(x) = x, para

todo x ∈ X. Es claro que esto a su vez equivale a que y sea cerrado para todo y ∈ X.Entonces las espacios T1 son aquellos en los que los puntos son cerrados.

Teniendo esto en cuenta, es inmediato verificar que las clases recien definidas son cada vezmas restrictivas, en el sentido de que

X es de clase Tk =⇒ X es de clase Tk−1 , para todo k ∈ I4 ,

o bien que: normal =⇒ regular =⇒ Hausdorff =⇒ puntos cerrados =⇒ T0 . Ningunade las implicaciones anteriores vale en el sentido inverso, por lo que se justifica darle nombresdistintos a las 5 clases. Ahorita ya podemos ver que T1 6⇒ Hausdorff: 4

Ejemplo A.4.7. Sea X un conjunto infinito. Consideremos en X la topologıa cofinita:

τCF (X) = ∅ ∪ X \ V : V ∈ PF (X) = ∅ ∪ U ⊆ X : X \ U es finito .

Es facil ver que τCF (X) es una topologıa. Este ejemplo es un caso bastante patologico, queinduce a pensar que los axiomas de la topologıa pueden ser demasiado debiles si uno no pidecondiciones extra. Lo unico bueno que tiene es que los puntos de X son cerrados.

Por lo tanto, una topologıa τ en un conjunto X es de tipo T1 si y solo si τCF (X) ⊆ τ . Sinembargo, es claro que (X, τCF (X) ) no es un espacio de Hausdorff, porque no tiene abiertosdisjuntos (no vacıos). 4

409

La observacion que sigue da versiones equivalentes a la definicion de regularidad y normal-idad. Todo es cuasi tautologico, pero conviene tenerlo enunciado y aceptado claramentedesde el principio para encarar mas comodos, y no enturbiar los argumentos de numerosasdemostraciones posteriores (con complementos, clausuras e interiores y mas yerbas).

Observacion A.4.8. Sea (X, τ) un ET de calse T1 . Son equivalentes:

1. X es regular

2. Dados x ∈ X y un abierto W ∈ Oa(x), existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ U ⊆ W .

3. Dados x ∈ X y un cerrado F2 tales que x /∈ F2 , se verifica que

existe un abierto U ∈ τ tal que x ∈ U pero F2 ∩ U = ∅ .

Analogamente, son equivalentes las condiciones

1. X es normal

2. Dados un cerrado F ⊆ X y un abierto W ∈ τ tales que F ⊆ W ,

existe un abierto U ∈ τ tal que F ⊆ U ⊆ U ⊆ W .

3. Para todo par F , F2 ⊆ X de subconjuntos cerrados y disjuntos,

existe un abierto U ∈ τ tal que F ⊆ U pero F2 ∩ U = ∅ .

Como decıamos antes, las pruebas son casi confusas de tan directas. Demostremos la segundatanda para dar una idea. Si X es normal y tenemos F ⊆ W como en 2, se toma el cerradoF2 = X \W , y se los separa con abiertos disjuntos U ⊇ F y U2 ⊇ F2 . Ahora basta observarque F ⊆ U ⊆ U ⊆ X \ U2 ⊆ X \ F2 = W .

Asumamos 2. Para probar 3, llamemos W = X \F2 ⊇ F . El abierto U que provee 2 cumpleque F ⊆ U y que U ⊆ W , por lo que F2 ∩ U = ∅ .

Asumamos ahora 3, y tomemos F y F2 dos cerrados disjuntos. El abierto U que provee 3cumple que F ⊆ U y que U2 = X \ U es abierto, es disjunto con U , y contiene a F2 . 4

En general, la normalidad es mucho mas restrictiva (y mas util) que la regularidad. Perocomo veremos a continuacion, un poco de numerabilidad empata las cosas:

Proposicion A.4.9. Sea (X, τ) un ET que es regular y Lindeloff. Entonces X es normal.

Demostracion. Ver el Apunte de topologıa.

La clasificacion no termina aca. Falta definir varias clases importantes de ET’s (por ejemplocompactos, conexos, completamente regulares o de Tychonoff, etc), pero debemos posponerloporque nos faltan ver y estudiar las nociones involucradas en sus definiciones, o porque sonclases que ameritan capıtulo propio, y se las definira entonces.

410

Las clases de separacion recien definidas carecen de interes entre los EM’s porque, comoveremos a continuacion, son todos normales. La prueba de esto pasa por una propiedadque parece aun mas fuerte que la normalidad, pero que a la larga (y con notable esfuerzo)veremos que equivale a ella para cualquier ET.

Lema A.4.10. Sea (X, d) un EM. Dado un A ⊆ X, la funcion dA : X → R≥0 dada por

dA(x) = d(x,A) = inf d(x, z) : z ∈ A , para cada x ∈ X ,

es continua. Ademas, se tiene que A = x ∈ X : dA(x) = 0. O sea que ser punto lımite sedescribe como “distar cero” de A.

Demostracion. Sean x, y ∈ X. Para cada z ∈ A tenemos que

d(x,A) ≤ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) =⇒ dA(x) ≤ d(x, y) + infz∈A

d(y, z) = d(x, y) + dA(y) .

Cambiando roles, tambien sale que dA(y) ≤ d(x, y) + dA(x). Por lo tanto nos queda que

|dA(x)− dA(y)| ≤ d(x, y) para todo par x , y ∈ X ,

con lo que dA es recontinua. Observar que, dado x ∈ X, el hecho de que dA(x) = 0 equivalea que en toda bola B(x, ε) haya puntos de A, o sea que x ∈ A.

Proposicion A.4.11. Todo espacio metrico (X, d) es normal. Mas aun, dados F1 y F2 ⊆ Xdos cerrados disjuntos, existe una funcion continua

f : X → [0, 1] tal que f∣∣F1≡ 0 y f

∣∣F2≡ 1 .

Demostracion. Sean F1 y F2 ⊆ X dos cerrados disjuntos. Definamos la funcion continua

f : X → [0, 1] dada por f(x) =d(x, F1)

d(x, F1) + d(x, F2)para x ∈ X .

Observar que el denominador no puede anularse, puesto que

d(x, Fi) = 0 =⇒ x ∈ Fi (para i = 1, 2) y que F1 ∩ F2 = ∅ .

Ahora bien, notar que si x ∈ F1 entonces f(x) = 0, y que f(y) = 1 para todo y ∈ F2 . Paradeducir la normalidad, basta tomar los conjuntos abiertos y disjuntos

U = x ∈ X : f(x) < 1/3 ⊇ F1 y V = x ∈ X : f(x) > 2/3 ⊇ F2 ,

que separan a F1 y a F2 .

Ejercicio A.4.12. Sea (X, τ) un ET de clase T1 , y sea A ⊆ X. Probar que

x ∈ A′ ⇐⇒ V ∩ A es infinito , para todo V ∈ O(x) .

Mostrar tambien que lo anterior puede ser falso si X no era T1 . 4

411

A.4.3 Herencias

Una clase C de ET’s se llama hereditaria, si para todo espacio X de clase C, se tieneque cualquier subespacio Y ⊆ X sigue siendo C con la topologıa inducida. Veremos acontinuacion cuales de las clases antes definidas son o no hereditarias. La herramientabasica es la Prop. A.3.7, que reenunciamos para comodidad del lector:

Proposicion A.3.7. Sea (Y, τY ) ⊆ (X, τ). Dados y ∈ Y y B ⊆ Y , se tiene que

1. El conjunto OY (y) de τY -entornos de y se calcula como OY (y) = V ∩ Y : V ∈ O(y).Analogamente se puede hacer con los entornos abiertos de y en Y .

2. Si β es una base de τ , entonces βY = U ∩ Y : U ∈ β es una base de τY . Lo mismopuede hacerse con sub-bases de τ y con bases de entornos de cada punto de Y .

3. B es τY -cerrado si y solo si existe un conjunto F ⊆ X cerrado tal que B = Y ∩ F .

4. La clausura BY

de B en Y es igual a Y ∩BX.

Proposicion A.4.13. Las siguientes clases de ET’s son hereditarias:

N1 , N2 , T0 , T1 , T2 y T3 .

Las clases de espacios Lindeloff, separables y normales no son hereditarias.

Demostracion. Las clases N2 y N1 dependen de la existencia de bases y de bases de en-tornos. Las clases T0 , T1 y T2 dependen de la existencia de entornos de puntos con ciertaspropiedades. Luego todas ellas son hereditarias por la Prop. A.3.7. El hecho de que las tresclases mencionadas no sean hereditarias se muestra en los ejemplos (Ejercicio: Buscarlos).Veamos el caso de la regularidad:

Sea B ⊆ Y un subconjunto Y -cerrado y sea y ∈ Y \B. Por la Prop. A.3.7,

y /∈ B = BY

= Y ∩BX=⇒ y /∈ F = B

X.

Como X es regular, existen dos abiertos disjuntos U, V ∈ τ tales que y ∈ U y F ⊆ V . Bastaentonces tomar U0 = U ∩Y y V0 = V ∩Y ∈ τY y estamos (recordar que el ser T1 tambien seheredaba). Este argumento no camina para la normalidad, porque si tenemos dos conjuntosA,B ⊆ Y que son Y -cerrados y disjuntos, nadie nos garantiza que A

X ∩BX= ∅.

A.5 Continuidad basica

Definicion A.5.1. Sean (X, τ) e (Y, σ) dos ET’s, y sea f : X → Y una funcion.

1. Diremos que f es continua si

f−1(V ) = x ∈ X : f(x) ∈ V ∈ τ para todo V ∈ σ .

Es decir, si la contraimagen por f de todo abierto de Y , queda abierta en X.

412

2. Diremos que f es continua en un punto x ∈ X si

f−1(A) ∈ Oτ (x) para todo A ∈ Oσ(f(x) ) .

3. Denotaremos por C(

(X, τ), (Y, σ))

= C(X, Y

)al conjunto de todas las funciones

continuas g : (X, τ)→ (Y, σ). 4

Proposicion A.5.2. Una funcion f : (X, τ)→ (Y, σ) es continua si y solo si f en continuaen x para todo x ∈ X.

Demostracion. Si f es continua, sean x ∈ X y A ∈ Oσ(f(x) ). Luego existe un

V ∈ σ tal que f(x) ∈ V ⊆ A =⇒ f−1(V ) ∈ τ y x ∈ f−1(V ) ⊆ f−1(A) .

Luego f−1(A) ∈ Oτ (x). Si ahora asumimos que f es continua en todos los puntos de Xy tomamos un abierto V ∈ σ, para cada x ∈ f−1(V ) se tiene que V ∈ Oσ(f(x) ). Por lacontinuidad en x, vemos que f−1(V ) ∈ Oτ (x). Esto muestra que f−1(V ) es entorno de todossus elementos. Y por la Prop. A.1.5, deducimos que f−1(V ) ∈ τ .

Observacion A.5.3. Sea f : (X, τ)→ (Y, σ) una funcion. Luego

1. Dado un x ∈ X, se tiene que f es continua en x si y solo si

Para cada A ∈ Oσ(f(x) ) exite un B ∈ Oτ (x) tal que f(B) ⊆ A . (A.9)

2. La f es continua (en todo X) si y solo si f−1(F ) es τ -cerrado para todo σ-cerradoF ⊆ Y . Esto se debe a que ser cerrado equivale a tene complemento abierto, y a quela operacion A 7→ f−1(A) tiene la siguiente propiedad:

f−1(Y \ A) = X \ f−1(A) para todo A ∈ P(Y ) , (A.10)

cuya verificacion es inmediata.

3. Como el operador A 7→ f−1(A) respeta tambien uniones e intersecciones arbitrarias,para verificar que f es continua, basta testar que f−1(U) ∈ τ para los elementos U deuna base o incluso sub-base de σ. 4

Observacion A.5.4. Sean X e Y dos EM’s y sea f : X → Y una funcion. Entonces f escontinua en un x ∈ X si y solo si vale la formula ε, δ de siempre:

para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que dX(z, x) < δ =⇒ dY (f(z), f(x) ) < ε , (A.11)

donde estamos hablando de la continuidad relativa a las topologıas inducidas por las metricas.En efecto, basta aplicar la Ec. (A.9), mas el hecho de que las bolas alrededor de un puntoforman una base de entornos de ese punto. 4

413

A continuacion juntaremos en un enunciado numerosas propiedades de las funciones contin-uas que, si bien parecen muy elementales, conviene testear cuidadosamente si uno las postulaen el contexto hipergeneral de ET’s.

Proposicion A.5.5 (Miscelanea). Sea (X, τ) un ET. Se tienen las siguientes propiedades:

1. Toda funcion f : X → Y que es constante es continua.

2. La composicion de dos funciones continuas es continua.

3. Sea A ⊆ X, pensado con la topologıa inducida. La funcion inclusion JA : A → Xdada por JA(x) = x (x ∈ A) es continua.

4. Si f : X → Y es continua y A ⊆ X, entonces la restriccion f∣∣A

: A→ Y es continua.

Si f(X) ⊆ Z ⊆ Y , entonces tambien la correstriccion f∣∣Z : X → Z es continua (en

ambos casos con las topologıas inducidas).

5. Dada una funcion f : X → Y y un cubrimiento Uαα∈A de X (i.e.,⋃i∈IUi = X) por

conjuntos abiertos tales que f∣∣Uα

es continua para todo α ∈ A, entonces f es continua.

6. Sean f, g : (X, τ)→ A ⊆ R dos funciones continuas. Entonces

(a) La funcion (f, g) : X → R2 dada por (f, g)(x) = (f(x), g(x) ) es continua.

(b) Las funciones x 7→ f(x) + g(x) y x 7→ f(x) · g(x) son continuas.

(c) Si f(x) 6= 0 para todo x ∈ X, entonces x 7→ 1

f(x)es continua.

(d) Las funciones f ∧ g = mınf, g y f ∨ g = maxf, g son continuas.

Demostracion. Los ıtems 1, 2, 3 y 4 se deducen directamente de las definiciones de con-tinuidad y de la topologıa inducida. Observar que, dado un subconjunto M ⊆ Y , se tiene

que(f∣∣A

)−1(M) = A ∩ f−1(M) y que, si f(X) ⊆ Z, entonces f−1(M) = f−1(M ∩ Z).

5. Sea V ∈ σ. Como cada Uα es abierto, sus abiertos relativos estan en τ . Luego, comopara todo α ∈ A sabemos que f

∣∣Uα

es continua, se tiene que(f∣∣Uα

)−1

(V ) = f−1(V ) ∩ Uα es abierto en Uα =⇒ f−1(V ) ∩ Uα ∈ τ ,

para todo α ∈ A. Pero del hecho de que Uαα∈A sea un cubrimiento, podemos deducirque f−1(V ) =

⋃α∈A

f−1(V ) ∩ Uα ∈ τ .

6. La parte (a) sale usando que (f, g)−1(U × V

)= f−1(U) ∩ g−1(V ), para cualquier

par de abiertos U, V ⊆ R. La parte (b) porque las funciones de R2 a R dadas por(s, t) 7→ s + t y (s, t) 7→ s · t son continuas (componiendo). La (c) porque la funciont 7→ t−1 es continua en R \ 0. La (d) porque R2 3 (s, t) 7→ mıns, t es continua. Ylo mismo con el maximo. Los detalles quedan como ejercicio.

414

Muchas veces uno tiene que definir una funcion en distintas partes de un espacio X, y despuesnecesita testear la continuidad de la f “pegoteada”. Por ejemplo, en los items 4 y 5 de laProp. A.5.5 vimos que si me dan una f : (X, τ)→ (Y, σ) y una familia Uii∈I de abiertosde τ que cubren a X, entonces se tiene que

f ∈ C(

(X, τ), (Y, σ))⇐⇒ f

∣∣Ui

es continua , para todo i ∈ I .

Y no importa cuan grande sea el conjunto I. Algo parecido vale para cubrimientos concerrados, aunque ahı hace falta restringirse al caso de finitos:

Proposicion A.5.6 (Lema del pegoteo). Sea f : (X, τ) → (Y, σ). Sean F1 y F2 doscerrados en X tales que F1 ∪ F2 = X. Luego se tiene que

f∣∣F1∈ C(F1 , Y ) y f

∣∣F2∈ C(F2 , Y ) =⇒ f ∈ C(X , Y ) .

Otra manera de decir lo mismo que suele ser mas util es: Si tenemos dos funciones continuasg ∈ C(F1 , Y ) y h ∈ C(F2 , Y ) tales que g

∣∣F1∩F2

= h∣∣F1∩F2

, entonces la funcion

f : X → Y dada por f(x) =

g(x) si x ∈ F1

h(x) si x ∈ F2

es continua .


A.6 Redes y subredes

Recordemos que un conjunto ordenado I (por el orden parcial ≤ ) esta dirigido si para todopar i, j ∈ I, existe un k ∈ I tal que i ≤ k y j ≤ k. En tal caso, una induccion muestra que

si F ⊆ I es finito, existe kF ∈ I tal que j ≤ kF para todo j ∈ F . (A.12)

Decimos que un subconjunto J ⊆ I es cofinal si para todo i ∈ I existe un j ∈ J tal quej ≥ i. O sea que J tiene elementos mas grandes que cualquiera de I.

Ejercicio A.6.1. Probar las siguientes afirmaciones:

1. Si un orden ≤ en un conjunto I es total, entonces I esta dirigido por ≤.

2. Si X es un conjunto y ordenamos a P(X) con la inclusion al reves (o sea que U ≤ Vsi V ⊆ U), entonces ≤ dirige a P(X), pero no es un orden total.

3. Un subconjunto A ⊆ N es cofinal (con el orden usual de N) si y solo si A es infinito.

4. Sin embargo A = 2− 1n

: n ∈ N es infinito y “creciente”, pero no es cofinal en R. 4

Las redes, que reemplazaran en esta teorıa a las sucesiones, son familias indexadas en con-juntos dirigidos. Para entender la necesidad de este concepto, veamos el siguiente ejemplo:

415

Ejemplo A.6.2. Sea (X, τ) un ET y sea x ∈ X. Entonces el conjunto O(x), ordenado porinclusion al reves (o sea que V ≥ U si V ⊆ U), esta dirigido. Lo mismo pasa con cualquierbase de entornos βx de x. En efecto, si V, U ∈ βx , sabemos que existe W ∈ βx tal queW ⊆ U ∩ V . Luego U ≤ W y V ≤ W . Observar que un subconjunto β ⊆ O(x) es base deentornos de x si y solo si es cofinal en O(x) con este orden. 4

Para poder definir adecuadamente la nocion de convergencia en ET’s generales (y describira traves de ella las clausuras de conjuntos y, mas adelante, las nociones de continuidad ycompacidad), sera crucial considerar redes indexadas en bases de entornos de puntos. Lainsuficiencia de las sucesiones surge de que si X es un ET que no es N1 , para alguno de suspuntos ninguna de estas bases sera numerable, por lo que tales redes no seran sucesiones. Enel caso de EM’s, ese proceso puede hacerse con las bolas B(x, 1/n), n ∈ N. Pero en generaluno no tiene ese recurso.

Una nocion alternativa para definir convergencia es la de filtros, que definiremos mas ade-lante. El ejemplo que suguiere los axiomas que definen a un filtro es, nuevamente, el conjuntoO(x), para x ∈ X, un ET. Las propiedades clave son:

• Si U ∈ O(x) y V ⊇ U , entonces V ∈ O(x).

• O(x) es cerrado por intersecciones finitas y ∅ /∈ O(x).

Observar que ni Oa(x) ni las bases de entornos βx cumple lo anterior. Por esta especie deinflexibilidad de los filtros, y por el hecho de que las redes tienen mas “afinidad notacional”con las sucesiones a las que estamos acostumbrados, es mayoritaria entre los especialistas(salvo los muy francofilos) la eleccion de las redes en vez de los filtros para describir la nocionde convergencia.

Sin embargo, en algunos ambitos de aplicacion de la topologıa, y en ciertos procesosmaximales que veremos mas adelante, los filtros (y los ultrafiltros) seran una herramientanecesaria. Esta es una vieja polemica retratada jocosamente por G. Pedersen como la eternadiscusion entre los net-men y los fiter-fans. Nosotros estamos en el primer bando, perousaremos a los filtros como ayudantes de sus enemigas las redes.

El defecto mas grave de las redes (ahı sacan ventaja los filtros) es que la nocion necesariade “subred” no es muy feliz, porque se empasta bastante. Pero igual le damos para adelante:

Definicion A.6.3. Sea X un conjunto.

1. Una red en X es una funcion x : I → X, donde el conjunto I esta dirigido por unorden ≤ . Usaremos siempre la siguiente notacion mas agradable: la red se escribirax = (xi)i∈ I , donde identificamos xi = x(i), i ∈ I.

2. Fijada una red x = (xi)i∈ I en X, una subred de x sera otra red y = (yj)j∈ J dotadade una funcion h : J→ I tales que

(a) h es creciente, en el sentido de que j1 ≤J j2 =⇒ h(j1) ≤I h(j2).

(b) La imagen de h es un subconjunto cofinal de X (abreviaremos diciendo que h escofinal), o sea que para todo i ∈ I, existe j ∈ J tal que i ≤ h(j).

416

(c) Se tiene que y = x h, es decir que yj = xh(j) para todo j ∈ J.

Observar que el unico dato relevante de la red y, y de su entidad de subred de x, es elconjunto dirigido J y la funcion creciente y cofinal h : J→ I, ya que al tenerlos, la condicion(c) determina automaticamente a la funcion y = x h. 4

Ejercicio A.6.4. Probar que si z es una subred de una subred y de una red x, entonces z esuna subred de x (la primera parte del ejercicio es entender que significa este trabalenguas).Se sugiere componer las funciones que conectan los ındices, y usar que son crecientes paraver que la composicion es creciente y cofinal. 4

Ejercicio A.6.5. Sea x = (xi)i∈ I una red en un conjunto X. Probar que:

1. Dado K ⊆ I un subconjunto cofinal, o sea que para todo i ∈ I existe un k ∈ K tal quek ≥ i, entonces la red x

∣∣K = (xk)k∈K es una subred de x. La h es la inclusion K → I.

2. En particular, fijado cualquier i0 ∈ I, la red (xi)i≥i0 , que esta dada por el conjuntoI0 = i ∈ I : i ≥ i0 ⊆ I, es subred de x. 4

Observacion A.6.6. Es evidente que hace falta aclarar un poco lo de las subredes. Repase-mos con sucesiones: ellas seran las redes tales que I = N, con su orden usual. Es claro quedar x : N → X dada por x(n) = xn es la definicion formal de ser sucesion. En la notacionanterior, una subsucesion de x sera una y que es subred de x, y a la vez es sucesion, osea que J = N. Tambien hay que pedirle que h sea estrictamente creciente. Observarque llamando h(k) = nk para k ∈ N, tendrıamos que nk < nr si k < r, y nos queda quey = (yk)k∈N = (xnk)k∈N como estamos acostumbrados. Otra manera de recuperar las sub-sucesiones en este contexto es observar que un conjunto K ⊆ N es cofinal si y solo si K esinfinito. Luego uno aplica el Ejer. A.6.5.

Releyendo la definicion de subred (ahora en el caso general), vemos que y toma sus valoresentre los de x, y que los ındices de x que aparecen en y son “arbitrariamente grandes” (esoes que sean un conjunto cofinal de los de x). Esto es parecido a las subsucesiones. Las dosdiferencias fundamentales son

• El conjunto que indexa a y no tiene porque ser numerable.

• La funcion h no tiene que ser estrictamente creciente, ni siquiera inyectiva.

La primera diferencia es parecida a lo que pasa con las redes: hacen falta conjuntos biengrandes de ındices. La segunda es mas sutil y mas importante. Uno hubiese querido que seeligiera al J como un subconjunto cofinal de I, y que h solo sea la inclusion. Eso parece unageneralizacion honesta y razonable, si hacen falta conjuntos grandes. De hecho, estas sonsubredes (Ejer. A.6.5). Y si habıamos empezado con una sucesion, todas sus subsucesionesse construyen de esta manera. El problema es que todas las subredes construidas de esamanera (a partir de una sucesion) serıan subsucesiones.

Pero mas adelante veremos que no alcanza con ellas para que la teorıa camine. Y en realidadla definicion dada enriquece la cosa, porque las subredes podran ser mucho mas grandes

417

que la red original, permitiendo refinarla poniendo muchısimos yj’s arriba de cada xi delconjunto cofinal h(J), y complicar notablemente el tipo de orden de I. Esto es completamentenuevo, y veremos que ademas de necesario, sera sumamente util. 4

Observacion A.6.7. En muchos textos de topologıa, en la definicion de subred no se pideque la funcion h que conecta los ındices sea creciente. Solo que sea cofinal. La teorıa,en tal caso se hace mucho mas intrincada y difıcil, pero gana un poco de generalidad.Nosotros preferimos dar la version con h creciente porque con ella se obtienen “almostall” los resultados que uno quiere que arreglen las subredes, y se gana notablemente en“transparencia” para las demostraciones. 4

A.7 Convergencia

A continuacion daremos unas definiciones linguısticas sobre las redes, que seran convenientespara manejarse con las nociones de convergencia y de puntos de acumulacion.

Definicion A.7.1. Sean X un conjunto, A ⊆ X y x = (xi)i∈ I una red en X.

1. Dado i0 ∈ I denotaremos por Ci0(x) = xi : i ≥ i0 a la cola de la red x, pero pensadacomo conjunto.

2. Diremos que x esta eventualmente en A, y escribiremos xE→ A o bien (xi)i∈I

E→ A,

si existe un i0 ∈ I tal que Ci0(x) ⊆ A, o sea que xi ∈ A para todo i ≥ i0 .

3. La red x esta frecuentementemente en A, y escribiremos xF→ A, si para todo i ∈ I

se tiene que Ci(x) ∩ A 6= ∅, o sea que existe un j ∈ I tal que j ≥ i y xj ∈ A. 4

Ahora si podemos definir las nociones de convergencia y puntos de acumulacion para redesen un ET:

Definicion A.7.2. Sean (X, τ) un ET, x ∈ X y x = (xi)i∈ I una red en X. Diremos que

1. (xi)i∈I converge a x, y escribiremos xi −−→i∈ I

x, si para todo entorno U ∈ O(x) se tiene

que (xi)i∈IE→ U (i.e., que existe un iU ∈ I tal que xi ∈ U para todo i ≥ iU ).

2. x es un punto de acumulacion (PA) de x si para todo entorno U ∈ O(x) se tiene

que (xi)i∈IF→ U (i.e., que para todo i ∈ I existe un j ∈ I tal que j ≥ i y xj ∈ U).

Observar que en ambas definiciones basta verificar que las condiciones pedidas se cumplenpara los entornos U de Oa(x) o los de cualquier base βx de O(x). 4

Ejemplo A.7.3 (Convergencia en EM’s). Sea (X, d) un EM, y pensemoslo como ET vıa latopologıa τd . Dados un punto x ∈ X y una red x = (xi)i∈ I en X, se tiene que

xiτd−−→i∈ I

x ⇐⇒ la red en R d(xi , x) −−→i∈ I

0 ,

418

y que ambos equivalen a que xE→ B(x, ε) para todo ε > 0. Para probarlo, basta recordar

que las bolas B(x, ε) son una base de Oτd(x), y que las bolas BR(0, ε) son base de OR(0). 4

Ejercicio A.7.4. Sea (X, τ) un ET y sea x = (xi)i∈ I una red en X.

1. Si A ⊆ X cumple que xE→ A, entonces toda subred y = (yj)j∈ J de x tambien cumple

que yE→ A . Para probar esto sera util usar que la funcion h : J → I que determina

a y es creciente y cofinal, por lo que Cj(y) ⊆ Ch(j)(x), y al h(j) se lo puede hacer tangrande como haga falta.

2. Si xi −−→i∈ I

x ∈ X, toda subred y = (yj)j∈ J de x tambien converge a x.

3. Si x vive en un Y ⊆ X e y ∈ Y , entonces xiτ−−→i∈ I

y ⇐⇒ xiτY−−→i∈ I

y , donde τY es la

topologıa inducida por τ a Y . Lo mismo vale si el y es PA de x (en Y o en X).

4. Si xi −−→i∈ I

x ∈ X, y me dan un cerrado F ⊆ X tal que xE→ F , entonces x ∈ F . 4

Proposicion A.7.5. Sea (X, τ) un ET y sean x = (xi)i∈ I una red en X y x ∈ X. Lassiguientes propiedades son equivalentes:

1. Se tiene la convergencia xi −−→i∈ I

x.

2. Toda subred de x tiene una subred que converge a x.

Demostracion. Si vale 1, las subredes enteras de x convergen a x, por el Ejer. A.7.4. Pero

si fuera falso que xi −−→i∈ I

x, existirıa un U ∈ Oa(x) tal que x 6 E→ U . Esto significarıa que

xF→ F = X \ U . En otras palabras, J = i ∈ I : xi ∈ F serıa cofinal para I. Ahora

tomemos la red xJ = (xi)i∈J , que junto con la funcion inclusion de J en I es una subred de x.Finalmente, como xJ vive en el cerrado F , todas sus subredes convergentes (si las tuviera)tendrıan su lımite en F (por el Ejer. A.7.4), ası que xJ no tendrıa subredes que puedan irhacia el x en cuestion.

El siguiente Teorema es la justificacion del nombre puntos lımite para los elementos de laclausura de un conjunto:

Teorema A.7.6. Sea (X, τ) un ET. Dados A ⊆ X y z ∈ X, son equivalentes:

1. z es punto lımite de A, o sea z ∈ A.

2. Existe una red x = (xi)i∈I en A tal que xi −−→i∈ I

z.

Demostracion. 2→ 1: Si existe la red xi −−→i∈ I

z, entonces todo U ∈ O(z) contiene a una cola

Ci0(x) de x, que vive en A. Eso significa que z ∈ A.

419

1 → 2: Si ahora suponemos que z ∈ A, definamos una red cuyos ındices se muevan enel conjunto O(z), ordenado con la inclusion al reves, como en el Ejem. A.6.2. Para cadaU ∈ O(z), como sabemos que U ∩A 6= ∅, elijamos un xU ∈ U ∩A. Veamos que nuestra redx = (xU)U∈O(z) converge a z. La prueba es tan simple que confunde: Si a un U ∈ O(z) lopensamos como entorno de z, a partir del mismo U , pero ahora como ındice, tenemos que

V ≥ U =⇒ V ⊆ U y entonces xV ∈ V ∩ A ⊆ V ⊆ U .

Esto prueba que xE→ U , lo que demuestra la convergencia a z.

Observacion A.7.7. El resultado anterior muestra que el operador clausura A 7→ A, quedetermina la clase de los conjuntos cerrados, y por ello a la topologıa τ , esta a su vezcaracterizado por la convergencia de redes en X. Luego para mostrar que dos topologıascoinciden en X, bastara ver que producen las mismas convergencias de las redes en X.

Mas aun, si tenemos σ y τ dos topologıas en un conjunto X, se tiene que

σ ⊆ τ ⇐⇒[τ -convergencia =⇒ σ-convergencia

].

La prueba se sigue de las definiciones (en τ hay mas entornos). En parte por eso es que,en tal caso, se dice que τ es mas fuerte que σ, ya que se dice que una convergencia es masdebil en tanto sea mas facil converger, y mas fuerte si pocas series pueden hacerlo.

Sin embargo, si no se ponen algunas restricciones, el fenomeno de la convergencia puedetener propiedades raras (el tıpico es que una red tenga mas de un lımite). Para tener unaidea de esto veamos un ejemplo catastrofico: 4

Ejemplo A.7.8. Sea X un conjunto infinito y consideremos en X la topologıa cofinitaτCF (X) que ya vimos en el Ejem. A.4.7. En este espacio, muchas redes convergen a todoslos puntos de X.

Por ejemplo, asumamos que una red x = (xi)i∈ I en X cumple que I es infinito, y que lafuncion x : I→ X es inyectiva. Luego, si U ∈ τCF (X), el conjunto i ∈ I : xi /∈ U es finito,

por lo que xE→ U . Y estamos hablando de todos los abiertos de X, o sea los entornos de

todos los puntos. Si la red cumple algo menos: que las colas

Ci(x) = xj : j ≥ i son infinitas para todo i ∈ I ,

entonces todo x ∈ X es punto de acumulacion de x. 4

La siguiente Proposicion muestra que los espacios de Hausdorff son un ambito en donde lascosas son mas normales en este sentido:

Proposicion A.7.9. Sea (X, τ) un ET. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Toda red convergente en X tiene un unico lımite.

2. X es un espacio de Hausdorff.

420


Ahora veamos el primer resultado basico de subredes:

Proposicion A.7.10. Sea (X, τ) un ET y sea x = (xi)i∈I una red en X. Luego un puntoz ∈ X es de acumulacion para x si y solo si existe una subred y de x que converge a z.

Demostracion. Ver en el Apunte de topologıa.

Observacion A.7.11. Tenemos dos apariciones del nombre punto de acumulacion (abre-viemos PA): para conjuntos y para redes. Conviene aclarar que los conceptos son semejantes,pero de equivalencias ni hablar. A pesar de que uno podrıa pensar en una red x = (xi)i∈ Ien un (X, τ) y en el subconjunto Ax = xi : i ∈ I ⊆ X y en sus PA’s. Pero ninguna cosaimplica la otra. La palabra acumulacion refiere a que aparecen muchısimos terminos cercadel punto. Pero en el caso de conjuntos eso refiere a que sean distintos elementos, y en el delas redes a que aparezcan en distintos momentos (apariciones muy frecuentes).

Observar que la red puede ser constantemente igual a un x ∈ X. Allı x es PA de la red xpero no de Ax . Incluso puede haber una cantidad cofinal de apariciones del x en x y que laotra mitad se vaya a cualquier otro lado. Pasa lo mismo.

O bien puede pasar que x : I→ X sea inyectiva, y que haya un conjunto infinito numerableJ = in : n ∈ N ⊆ I tal que la sucesion xin −−−→

n→∞x. Entonces se tiene que x ∈ A′x . Pero si

J no es cofinal en I (lo que bien puede pasar si, por ejemplo, I = R con su orden), nadie nosasegura que x sea un PA de x.

Donde las cosas se parecen un poco mas es cuando se toman sucesiones. Ahi sı puede verseque, si x : N→ X es inyectiva, entonces x es PA de x si y solo si x ∈ A′x . 4

A.8 Sucesiones en espacios N1

En los espacios N1 (en particular todos los EM’s), las redes siguen siendo utiles, pero noson imprescindibles. Esto es algo complicado de formular explıcitamente. A continuacionenumeraremos los resultados concretos que nos permitiran trabajar sistematicamente consucesiones (y subsucesiones) cuando estemos en el contexto N1 . En principio vienen un ejer-cicio y un lema tecnico, donde uno concentra las dificultades del pasaje de redes a sucesiones:

Ejercicio A.8.1. Sea I un conjunto dirigido con el orden ≤. Si no existe un elementomaximo iM ∈ I, probar que para todo j ∈ I hay un k ∈ I tal que k > j (k ≥ j pero k 6= j).Otra manera de decirlo: En un dirigido, maximal =⇒ maximo. 4

Lema A.8.2. Sea (X, τ) un ET de tipo N1 . Sean x = (xi)i∈ I una red en X y x un punto deacumulacion de x. Supongamos que I no tiene un elemento maximo. Entonces debe existirun subconjunto numerable J = ik : k ∈ N ⊆ I, no necesariamente cofinal, tal que

1. Usando el orden de I en J, se tiene que ik ≤ ir si y solo si k ≤ r.

2. La sucesion y = (yk)k∈N = (xik)n∈N cumple que yk −−−→k→∞

x.

421

Demostracion. Sea Vm : m ∈ N ⊆ τ una base de O(x). Para cada n ∈ N, tomemos el

abierto Un =n⋂

m=1

Vm ∈ τ . Luego βx = Un : n ∈ N ⊆ τ es otra base de O(x), que ahora

cumple que Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ N.

Tomemos i1 ∈ I tal que xi1 ∈ U1 . Como xF→ U2 e I no tiene un elemento maximo,

podemos tomar i2 > i1 (o sea que i1 ≤ i2 6= i1) tal que xi2 ∈ U2 (se usa el Ejer. A.8.1).Recursivamente, podemos construir el conjunto J = ik : k ∈ N ⊆ I tal que el orden de Ien J cumpla la condicon (a), y tal que xik ∈ Uk para todo k ∈ N. Luego, si tomamos unUk ∈ βx , fijamos ese k ∈ N y tomamos cualquier m ≥ k (o sea un im ≥ ik), se tiene queym = xim ∈ Um ⊆ Uk . Esto muestra que yk = xnk −−−→

k→∞x.

Proposicion A.8.3. Sea (X, τ) un ET de tipo N1 . Si una sucesion x = (xn)n∈N en Xtiene una subred y = (yi)i∈ I que converge a un x ∈ X, entonces existe una subsucesion(xnk)k∈N de x tal que xnk −−−→

k→∞x.

Demostracion. Observar que, por la Prop. A.7.10, el tal x es un PA de x. Como N no tieneelementos maximos, el Lema A.8.2 nos asegura que existe un conjunto infinito numerableJ = nk : k ∈ N ⊆ N (ordenado en forma estrictamente creciente) tal que la sucesion(xnk)k∈N cumple que xnk −−−→

k→∞x. Pero como todo conjunto infinito de N es cofinal, la

sucesion (xnk)k∈N es, de hecho, una subsucesion de x, como buscabamos.

Ejercicio A.8.4. Volviendo a la Porp. anterior: Si tomamos la subred y con su funcionh : I → N cofinal creciente, sabemos que h(I) ⊆ N es infinito. Lo numeramos en formacreciente h(I) = nk : k ∈ N y tomamos la subsucesion (xnk)k∈N de x. Como h es crecientey sabemos que yi −−→

i∈ Ix, vemos que xnk −−−→

k→∞x. Y san se acabo.

El ejercicio consiste en ver que parte de lo de arriba esta mal. No puede ser correcto porqueno se usa que X sea N1 . Y ese enunciado es falso en general. 4

Proposicion A.8.5. Sea (X, τ) un ET de tipo N1 . Se tienen las siguientes propiedades

1. Dado A ⊆ X, un punto x ∈ A si y solo si existe una sucesion y = (yn)n∈N en A talque yn −−−→

n→∞x.

2. Un x ∈ X es punto de acumulacion de una sucesion x = (xn)n∈N en X si y solo siexiste una subsucesion (xnk)k∈N de x tal que xnk −−−→

k→∞x.

Demostracion.

1. Sea x ∈ A tal que ninguna sucesion constante en A converge a x (o sea que en A nohay un y ∈

⋂O(x) ∩ A). Por el Teo. A.7.6, existe una red x = (xi)i∈ I en A tal que

xi −−−→n→∞

x. Si I tuviera un elemento maximo iM , se tendrıa que xiM ∈⋂O(x), lo que

esta excluido porque el tal xiM ∈ A. Como x es el lımite de x, entonces x es punto deacumulacion de x. Sea (yn)n∈N la sucesion asociada vıa el Lema A.8.2. Observar que,como x esta en A, tambien (yn)n∈N esta en A, porque sus terminos son algunos de los

422

de x. Y se tiene que yn −−−→n→∞

x. La vuelta sale por el Teo. A.7.6, porque una sucesion

es tambien una red.

2. Se deduce de la Prop. A.8.3 y de la Prop. A.7.10. Observar, para la vuelta, que unasubsucesion es tambien una subred.

A.9 Conexos

Definicion A.9.1. Sea (X, τ) un ET.

1. Un subconjunto U ∈ X es clopen si U ∈ τ y tambien V = X \ U ∈ τ (en castellanopodrıa ser “cerrierto” o “abirrado”, o ya que estamos “beodo”).

2. Decimos que X es conexo si los unicos clopen que tiene son ∅ y X.

3. X es disconexo en caso contrario (si tiene algun clopen no trivial). 4

La mayorıa de ejemplos interesantes donde se plantea la conexidad es en el caso de subespa-cios Y de un ET (X, τ) ambiente, pensando a Y con la inducida τY . Ahı conviene poneruna notacion ad hoc:

Definicion A.9.2. Sea (X, τ) un ET y sea Y ⊆ X. Una X-separacion fuerte de Y es unpar (U, V ) de subconjuntos abiertos de X tal que

Y ⊆ U ∪ V , U ∩ V ∩ Y = ∅ pero U ∩ Y 6= ∅ 6= V ∩ Y . (A.13)

Diremos que (U, V ) es una X-separacion si se cumplen solamente las dos condiciones de laizquierda en (A.13). 4

Es claro que Y es disconexo si y solo si existe una X-separacion fuerte (U, V ) de Y , porqueen tal caso U ∩Y queda clopen y propio (en esto se usa la fortaleza) en (Y, τY ). La recıprocasale facil por la definicion de τY . Pero es mas util para hacer cuentas la siguiente formulacion

Proposicion A.9.3. Sea (X, τ) un ET y sea Y ⊆ X. Si Y es conexo y (U, V ) es unaX-separacion de Y , entonces se tiene que Y ⊆ U o bien Y ⊆ V .

Demostracion. Si no pasara lo asegurado, (U, V ) serıa una X-separacion fuerte de Y .

Teorema A.9.4. Sea f : X → Y una funcion continua. Luego f manda conexos en conexos.

Demostracion. Basta observar que si A ⊆ X y (U, V ) es una Y -separacion fuerte de f(A),entonces

(f−1(U), f−1(V )

)es una X-separacion fuerte de A.

Teorema A.9.5. Sea (X, τ) un ET y tomemos una familia Aii∈ I de subconjuntos conexosde X. Si asumimos que

⋂i∈ IAi 6= ∅, entonces A =

⋃i∈ IAi es conexo.

423

Demostracion. Es claro que toda X-separacion (U, V ) de A tambien lo es de cada Ai . Comoestos son conexos, tienen que caer dentro de U o de V . Pero como U ∩ V ∩ A = ∅ y todoslos Ai se cortan, todos ellos tienen que caer del mismo lado. Por ello no hay separacionesfuertes de A, que resulta conexo.

Teorema A.9.6. Sea (X, τ) un ET. Si A ⊆ X es conexo, entonces todo conjunto B talque A ⊆ B ⊆ A es tambien conexo. En particular podemos asegurar que la clausura de unconexo es conexa.

Demostracion. Dada una X-separacion (U, V ) de B, y por ende de A, podemos suponer queA ⊆ U . Si hubiera un x ∈ B∩V , como x ∈ A y V ∈ Oa(x), deberıa suceder que A∩V 6= ∅,lo que no estaba permitido, porque A ∩ V = A ∩ U ∩ V = ∅. Ası que B es conexo.

A.10 Productos y cocientes

A.10.1 Topologıa inicial

Definicion A.10.1. Sea X un conjunto y sea F = fα : α ∈ A una familia indexada enA de funciones fα : X → (Yα, τα) hacia sendos ET’s. Denotaremos por

τF =∧

τ ⊆ P(X) : τ es una topologıa tal que fα ∈ C(

(X, τ), (Yα, τα))∀ α ∈ A

.

O sea que τF a la mınima topologıa en X que hace de todas las fα funciones continuas.Esta τF se llama la topologıa inicial asociada a F , y se caracteriza por el hecho de quetiene como sub-base a la familia

ρF =⋃α∈A

f−1α (U) : U ∈ τα

. (A.14)

Observar que si F = f (una sola funcion), entonces ρF ya da toda τF . 4

Proposicion A.10.2. Sea τF la topologıa inicial en X dada por la familia F = fα : α ∈ A.Dada una red x = (xi)i∈ I en X y un punto x ∈ X, se tiene que

xiτF−→i∈I

x ⇐⇒ fα(xi)τα−→i∈I

fα(x) para todo α ∈ A .

Demostracion. La flecha =⇒ es clara por la definicion de τF . Para ver la recıproca,tomemos V ∈ OτF (x). Por la Ec. (A.14) y las propiedades de bases y sub-bases, debenexistir

n ∈ N , α1 , . . . , αn ∈ A y entornos Uk ∈ Oταk (fαk(x) ) , k ∈ In ,

tales que x ∈⋂k∈ In

f−1αk

(Uk) ⊆ V . Como las redes fαk(xi) −−→i∈ I

fαk(x), para cada k ∈ In

podemos tomar un ik ∈ I tal que fαk(xi) ∈ Uk para todo i ≥ ik . Como I es dirigido, existeun iM ∈ I que mayora a todos los ik . Luego,

si i ≥ iM =⇒ fαk(xi) ∈ Uk para todo k ∈ In =⇒ xi ∈⋂k∈ In

f−1αk

(Uk) ⊆ V .

424

O sea que xE→ V . Como esto pasa para todo V ∈ OτF (x), deducimos que xi −−→

i∈ Ix.

Corolario A.10.3. Sea τF la topologıa inicial en X dada por la familia F = fα : α ∈ A,con las fα : X → (Yα, τα). Sea (Z, σ) otro ET. Dada g : (Z, σ)→ (X, τF), se tiene que

g ∈ C(

(Z, σ), (X, τF))⇐⇒ fα g ∈ C

((Z, σ), (Yα, τα)

)para todo α ∈ A . (A.15)

Demostracion. Como antes, la flecha =⇒ es clara, y la gracia es la vuelta. Para probarla continuidad de g, tomemos un z ∈ Z y una red z = (zi)i∈ I en Z tal que zi −−→

i∈ Iz. Si

asumimos lo que dice a la derecha de (A.15), sabremos que fα(g(zi) ) −−→i∈ I

fα(g(z) ) para todo

α ∈ A. Ahora, por la Prop. A.10.2, podemos deducir que g(zi) −−→i∈ I

g(z). O sea que g debe

ser continua en cada z ∈ Z.

A.10.2 Topologıa producto

Notaciones: Sea(

(Xα , τα))α∈A

una familia de ET’s.

1. Llamemos P =∏α∈A

Xα a su producto cartesiano.

2. Para no confundirnos con las redes, un elemento tıpico de P se denotara por xαα∈A(llaves en vez de parentesis), donde cada xα ∈ Xα .

3. Para cada α ∈ A, llamaremos πα : P → Xα a la proyeccion que a un elementoxαα∈A ∈ P lo manda al correspondiente xα .

4. Si para cada α ∈ A tenemos subconjuntos Yα ⊆ Xα , asumiremos que∏

α∈A Yα ⊆ P.4

Se busca una topologıa para el conjunto P que tenga propiedades agradables. Se puedepensar como modelo a R2 donde, si bien la base comun de su topologıa esta formada porbolas redondas, uno puede tambien tomar una base de rectangulitos abiertos

(a, b)× (c, d) =(

(a, b)× R)∩(

R× (c, d))

= π−11

((a, b)

)∩ π−1

2

((c, d)

).

Este sera, en efecto, el modelo a seguir para la construir lo que se llamara “la topologıaproducto” en P. Pero hay una decision a tomar: ¿Que se hace en el caso de que A seainfinito? Una opcion serıa multiplicar abiertos de cada τα en todas las cordenadas. Esto sellamara la topologıa caja en P. La otra opcion (la buena), sera mirar el lado derecho de laecuacion de arriba, y compararla con la Ec. (A.14) de las topologıas iniciales.

Pensando ası podemos tomar la familia de funciones F =πα : α ∈ A

, y construir la

topologıa inicial asociada a F que llamaremos τP = τF . Ya vamos a ver que pinta tienensus abiertos, pero de antemano, sin saber como son, sabemos que tendra las propiedadesagradables en las que pensabamos, que son las traducciones a P de la Prop. A.10.2 y elCor. A.10.3. Formalizemos todo esto en el siguiente enunciado:

425

Proposicion A.10.4. Sea(

(Xα , τα))α∈A

una familia de ET’s. Sea P =∏α∈A

Xα , dotado

de la topologıa producto τP , que es la inicial asociada a la familia F =πα : α ∈ A

. Se

tienen las siguientes propiedades:

1. Una base βP de τP esta dada por los conjuntos construidos con el siguiente proceso:

(a) Sea F ⊆ A un subconjunto finito de ındices.

(b) Sean Uα ∈ τα , un abierto para cada α ∈ F.

(c) Un elemento de βP construido con estos datos sera:

U =⋂α∈F

π−1α (Uα) =

xαα∈A ∈ P : xα ∈ Uα , α ∈ F

=∏α∈F

Uα ×∏α/∈F

Xα .

La base βP constara de todos los abiertos de este tipo, moviendose en todos los con-juntos finitos de ındices F ⊆ A y todas las elecciones de abiertos Uα en los α ∈ F.

2. Una f : Z → P sera continua si y solo si cada fα = πα f es continua.

3. Una red x =(xi,αα∈A)i∈I en P convergera a un punto xαα∈A ∈ P si y solo si

cada red πα x = (xi,α)i∈I en Xα converge a xα ,

o sea que xi,α −−→i∈ I

xα , para todo α ∈ A (todo esto dentro de cada espacio Xα y en su

topologıa τα).

Demostracion. Cada ıtem no es otra cosa de la traduccion a este caso particular de los tresresultados vistos para topologıas iniciales: El ıtem 2. es el Cor. A.10.3, y el ıtem 3. es laProp. A.10.2. El ıtem 1. se basa en la Ec. (A.14). Aquı hace falta una aclaracion: al inter-sectar finitas contraimagenes de abiertos (o sea elementos de la sub-base ρF), como indica laProp. A.3.2, podrıan aparecer varias correspondientes al mismo α, pero con distintos abiertosde τα . Sin embargo, eso no hace falta escribirlo al describir un elemento de βP , porque laoperacion V 7→ π−1

α (V ) respeta intersecciones. Luego uno puede intersectar primero todoslos abiertos correspondientes dentro del mismo τα , y quedarse con un solo Uα para cada αque aparezca en la lista finita.

Gracias a la Prop. A.10.4 muchas propiedades de los espacios cordenados Xα (si todos elloslas tienen) siguen siendo validas en el espacio producto P, siempre que uno use la topologıaproducto τP . El caso mas importante sera la compacidad, que veremos mas adelante (esto esel famoso Teorema de Tychonoff). Este tipo de propiedades son las que justifican la eleccionconsensuada de usarla a ella y no a la de la caja, que podrıa verse como mas intuitiva. Demasesta decir que en el caso de que A sea finito ambas coinciden. Esto muestra, por ejemplo,que en Rn la topologıa usual (inducida por la metrica euclıdea) conicide con la topologıaproducto, que proviene de pensar a Rn = R× · · · × R.

426

Proposicion A.10.5. Sea P =∏α∈A

Xα , dotado de la topologıa producto. Para cada α ∈ A

tomemos subconjuntos Bα ⊆ Xα . Luego la “cajita” B ⊆ P dada por

B =∏α∈A

Bα , verifica que B =∏α∈A

Bα .

En particular, si los Bα eran todos cerrados (o densos), tambien B lo sera.

Demostracion. Llamemos C =∏α∈A

Bα . Dado y = yαα∈A ∈ C, tomemos un entorno

basico de y de la forma V =∏α∈F

Uα ×∏α/∈F

Xα , para cierto F ⊆ A finito. Para cada α ∈ F ,

tomemos un xα ∈ Bα∩Uα , que existe porque yα ∈ Bα . Rellenemos con xα ∈ Bα cualesquierapara los α /∈ F . Luego x = xαα∈A ∈ B ∩ V . Esto muestra que C ⊆ B.

Por otro lado, tomando redes en B y aplicando el ıtem 3. de la Prop. A.10.4, uno muestrainmediatamente que B ⊆ C. Otra forma de verlo es usar que P\C =

⋃α∈A

π−1α (Xα\Bα ) ∈ τP ,

por lo que C debe ser cerrado.

Proposicion A.10.6. Sea(

(Xα , τα))α∈A

una familia de ET’s, y sea P =∏α∈A

Xα , dotado

de la topologıa producto τP . Si todos los espacios (Xα , τα) son de una de las siguientesclases: T0 , T1 , Hausdorff o regular, entonces P es tambien de esa clase. Sin embargo, Ppuede no ser normal aunque todos los Tα lo sean, incluso para el caso de A finito.

Demostracion. En los tres primeros casos (T0 , T1 y T2), el problema se describe a partir deun par de puntos de P que, por ser distintos, deben diferir en alguna cordenada α ∈ A. Y lacosa se arregla operando en esa sola cordenada, con abiertos π−1

α (U) de la sub-base ρF .

Probaremos en detalle solo el caso asociado a la regularidad, que no sale por aquel metodo.Por la Obs. A.4.8, basta ver que si x = xαα∈A ∈ W ∈ τP , entonces existe V ∈ τP tal quex ∈ V ⊆ V ⊆ W . Para empezar, por la Prop. A.10.4 sabemos que existe

U =∏α∈F

Uα ×∏α/∈F

Xα ∈ βP (con F finito) , tal que x ∈ U ⊆ W .

Para cada α ∈ F, tenemos que xα ∈ Uα y, por la regularidad de las cordenadas, existensendos Vα ∈ τα tales que xα ∈ Vα ⊆ V α ⊆ Uα , para todo α ∈ F. Finalmente, si tomamos

V =∏α∈F

Vα ×∏α/∈F

Xα ∈ τP , se tiene que x ∈ V ⊆ V =∏α∈F

V α ×∏α/∈F

Xα ⊆ U ⊆ W ,

donde la igualdad de la derecha sobre las clausuras vale por la Prop. A.10.5. El hecho de quela cosa no camina para espacios normales se puede ver en el Apunte de topologıa.

Ejercicio A.10.7. Sea P =∏α∈A

(Xα , τα) , dotado de la topologıa producto τP . Supongamos

que, para cada α ∈ A, tenemos un denso Dα ⊆ Xα . Por la Prop. A.10.5 sabemos que el

427

producto∏

α∈A Dα es denso en P. Pero se puede construir un denso mucho mas chico:Asumamos que P 6= ∅, y fijemos un x = xαα∈A ∈ P. Definamos los conjuntos

DF =∏α∈F

Dα ×∏

α∈A\F

xα ⊆ P , para cada F ∈ PF (A) .

Luego el conjunto D =⋃

F∈PF (A)

DF es denso es P. 4

Proposicion A.10.8. Producto de conexos (con la topologıa producto) es conexo. Lomismo pasa con los productos de arcoconexos (quedan idem).

Demostracion. Sea P =∏α∈A

Xα , con todos los (Xα , τα) conexos. Como el vacıo es conexo

(porque todo subconjunto es impropio), podemos asumir que P 6= ∅.

Paso 1: Supongamos que A es finito. Por un argumento inductivo evidente podemosreducirnos al caso A = 1, 2. Si fijamos un par (x1 , x2) ∈ P, consideremos las “cruces”

Cx =(X1 × x

) ⋃ (x1 ×X2

), para cada x ∈ X2 .

Observar que P =⋃

x∈X2

X1 × x ⊆⋃

x∈X2

Cx . Ademas, el Teo. A.9.5 asegura que cada Cx es

conexo, porque los dos cachos se cortan en el punto (x1 , x) . Finalmente, como sabemosque (x1 , x2) ∈ x1 ×X2 ⊆

⋂x∈X2

Cx 6= ∅, el mismo Teorema nos dice que P es conexo.

Paso 2: A lo que sea. Tomemos un x = xαα∈A ∈ P. Definamos los conjuntos

BF =∏α∈F

Xα ×∏α∈A\F

xα ⊆ P para cada F ∈ PF (A) .

Como cada BF (con la inducida de la producto) es homeo al respectivo∏α∈F

Xα , el paso

anterior dice que todos los BF son subconjuntos conexos de P. Por el Teo. A.9.5, tambien

B =⋃

F∈PF (A)

BF es conexo ( porque todos los BF se cortan en x) .

Finalmente, el Ejer. A.10.7 muestra que B es denso es P. Luego el Teo. A.9.6 asegura quetodo P es conexo. La prueba para arcoconexos es mas facil:

Dados x = xαα∈A e y = yαα∈A ∈ P, tomamos sendas curvas continuas γα : [0, 1] → Xα

que unan cada entrada xα con la respectiva yα , y definimos la curva

γ : [0, 1]→ P dada por γ(t) = γα(t)α∈A para t ∈ [0, 1] .

Esta γ queda continua por el item 2 de la Prop. A.10.4. Y une x con y.

428

A.10.9 (Producto de funciones). Sean fα : Xα → Yα una familia de funciones indexada porα ∈ A. Asumamos que todos los conjuntos involucrados son ET’s. Entonces definimos

F =∏α∈A

fα :∏α∈A

Xα →∏α∈A

Yα , por F(xαα∈A

)= fα(xα)α∈A ,

la funcion producto, que opera como las fα en cada cordenada α ∈ A. Si asumimos quetodas las fα tienen la propiedad P , se ve facilmente que tambien F tendra P , para laspropiedades de ser

inyectiva , suryectiva , continua , homeo , embbeding , suryectiva + abierta .

Observemos que, para cada α ∈ A tenemos el diagrama conmutativo∏α∈A

Xα F //

πα

∏α∈A

Yα

πα

Xα fα

// Yα

Eso, mas la el item 2 de la Prop. A.10.4 muestra que F es continua. Esto sale tambienusando redes, aunque la notacion es engorrosa. La prueba de los otros casos es directa y sedeja como ejercicio. 4

Ejercicios A.10.10. Sea P =∏n∈N

(Xn , τn) , dotado de la topologıa producto τP .

1. Si suponemos que todos los Xn son de tipo N2 , entonces anche P es N2 .

2. Idem con N1 y separable.

3. Si suponemos que todos los Xk son Lindeloff, aun si asumimos que P = X1×X2 , puedesuceder que P no sea Lindeloff.

4. Si cada τn proviene de una metrica dn en Xn , entonces

(a) Si para cada n ∈ N, definimos d′

n(x, y) = mınd ′n(x, y) , 1, para x, y ∈ Xn ,entonces d

′n es otra metrica en Xn y se tiene que τn = τdn = τd ′n .

(b) La funcion dP : P× P→ R≥0 dada por

dP

(xn , yn

)=∑n∈N

d′n(xn , yn)

2n, xn , yn ∈ P

es una metrica en P tal que τdP = τP .

En otras palabras, producto numerable de metrizables es metrizable. 4

Ejercicio A.10.11. Sea (X, τ) un ET. Probar que

429

1. X es Hausdorff si y solo si la diagonal

∆X = (x, y) ∈ X ×X : x = y

es cerrada en la topologıa producto de X ×X.

2. Si X es Hausdorff, (Y, σ) es otro ET y nos dan f, g ∈ C(Y,X), entonces

Zf, g = y ∈ Y : f(y) = g(y) es cerrado en Y .

Lamentablemente no vale usar a f − g, porque X no siempre tiene − ni 0. 4

Ejercicio A.10.12. Sea (X, τ) un ET que es regular y sean x = (xi)i∈ I e y = (yj)j∈ J dosredes en X, anbas convergentes. Entonces son equivalentes:

• Las dos redes tienen el mismo lımite.

• La red “doble” (x , y) = (xi , yj)i,j∈I×J , que vive en X ×X, cumple que

(x , y)E→ U para todo abierto U ⊆ X ×X tal que ∆X = (x, x) : x ∈ X ⊆ U .

El orden de I× J es en las dos entradas a la vez. 4

A.10.3 Topologıa final

Definicion A.10.13. Sea Y un conjunto y sea G = fα : α ∈ A una familia indexada enA de funciones gα : (Xα, τα)→ Y con dominios en sendos ET’s. Denotaremos por

τG =∨

τ ⊆ P(Y ) : τ es una topologıa tal que fα ∈ C(

(Xα, τα), (Y, τ))∀ α ∈ A

.

O sea que τG a la maxima topologıa en Y que hace de todas las fα funciones continuas.Esta τG se llama la topologıa final asociada a G, y se caracteriza por el hecho de que

τG =U ⊆ Y : f−1

α (U) ∈ τα para todo α ∈ A. (A.16)

El hecho de que tal familia sea una topologıa se deduce de las propiedades conjuntısticas deloperador “tomar contraimagen”. 4

Proposicion A.10.14. Sea τG la topologıa final en Y dada por la familia G = fα : α ∈ A,con las fα : (Xα, τα)→ Y . Sea (Z, σ) otro ET. Entonces, dada g : Y → Z, se tiene que

g ∈ C(

(Y, τG), (Z, σ))⇐⇒ g fα ∈ C

((Xα, τα), (Z, σ)

)para todo α ∈ A . (A.17)

Demostracion. Como en el Cor. A.10.3, la flecha =⇒ es clara y lo nuevo es la vuelta. Sitodas las composiciones g fα son continuas y tomamos un V ∈ σ, tenemos que

(g fα)−1(V ) = f−1α

(g−1(V )

)∈ τα , para todo α ∈ A .

Por defincion, eso significa que g−1(V ) ∈ τG. O sea que g es continua.

430

A.10.4 Cocientes

Recordemos que hay tres conceptos en teorıa de conjuntos que son esencialmente el mismo:

1. Dar una relacion de equivalencia ∼ en un conjunto X.

2. Dar una particion de X.

3. Dar una funcion suryectiva P : X → Y .

En efecto, dada ∼, uno elige un sistema de represntantes A ⊆ X (i.e, todo x ∈ X esequivalente a un a ∈ A, pero dos elementos distintos de A no pueden ser equivalentes) y unoconstruye la particion de X que consiste en las clases de equivalencia a = x ∈ X : x ∼ a,para los a ∈ A.

Y uno tiene el espacio cociente X/∼ = a : a ∈ A, y la proyeccion Q : X → X/∼ dadapor Q(x) = x, que es suryectiva. Y se tiene una funcion al reves, g : X/∼ → A ⊆ X dadapor g(a) = a, para cada a ∈ A. Ella cumple que Q g = IX/∼ .

Si empezamos con una P : X → Y , se define que x1 ∼ x2 cuando P (x1) = P (x2), ynos queda una relacion de equivalencia. Ademas existe un funcion g : Y → X (inyectiva)tal que P g = IY . Definiendo A = g(Y ), tenemos un sistema de representantes para ∼,cuyas clases son a = P−1(y), para a = g(y), y ∈ Y . Ası que X/∼ = P−1(y) : y ∈ Y ,que se identifica naturalmente con el conjunto Y . Modulo esa identificacion (o biyeccion),recuperamos a P como la proyeccion Q asociada a ∼.

El asunto ahora es suponer que tenemos una topologıa τ en X y queremos encontrar unatopologıa piola en el espacio cociente X/∼ . O lo que es lo mismo, dada una funcion suryectivaP : (X, τ) → Y , se busca topologıa para Y . Esto tiene un sentido geometrico mucho massabroso que la cosa conjuntista a secas: Podemos pensar, por ejemplo, al cırculo S1 comoun cociente del intevalo [0, 1] vıa “pegar” los bordes, identificando al 0 con el 1 y dejandoa los t ∈ (0, 1) solitos. Podemos pensarlo tomando P : [0, 1] → S1 dada por P (t) = e2π i t,donde solo pegamos P (0) = P (1) = 1 ∈ C. Y ya que estamos, seguimos: definimos ahoraP : R→ S1 con la misma formula, enrollando R infinitas veces para cada lado (ahı las clasesson todas infinitas y discretas). Y ası siguiendo aparecen las esferas, los toros y cuanta figuraa uno se le ocurra.

El proceso de considerar la que llamaremos topologıa cociente, ya sea en X/∼ o en Y ,de acuerdo a lo que convenga, nos permitira

1. Por un lado, topologizar espacios cocientes nuevos, lo que agranda la familia de ET’s,pero tambien puede aportar al estudio del espacio X original.

2. Por otro lado, aplicar un paquete teorico (las topologıas finales) a espacios conocidoscomo los de los ejemplos, al realizarlos como cocientes de otros mas simples de estudiar.

Hacıa falta toda esta perorata, porque los espacios cociente son de lo mas complicado eintrincado de la teorıa. Ası que ahora que estamos remotivados, empezamos.

431

Definicion A.10.15. Sea (X, τ) un ET, y sea g : X → Y una funcion suryectiva. Se definela topologıa cociente τg en Y como la topologıa final asociada a la familia unipersonalG = g. Luego

τg =U ⊆ Y : g−1(U) ∈ τ

. (A.18)

En otras palabras, dado U ⊆ Y , tenemos que U ∈ τg si y solo si g−1(U) ∈ τ . Observar quetambien se tiene que un F ⊆ Y es τg-cerrado si y solo si g−1(F ) es τ -cerrado. 4

Proposicion A.10.16. Sea (X, τ) un ET, y sea g : X → Y una funcion suryectiva. Setoma en Y la topologıa cociente τg . Sea (Z, σ) otro ET. Entonces una funcion

f : (Y, τg)→ (Z, σ) es continua ⇐⇒ f g : (X, τ)→ (Z, σ) es continua .

Demostracion. Esto no es otra cosa que la Prop. A.10.14 en este caso particular.

Observacion A.10.17. Por el espıritu con que se contruye τg , uno esta tentado de pensarque la funcion cociente g : (X, τ) → (Y, τg) (se asume g suryectiva) deberıa ser abierta. Ocerrada. En realidad esto es suficiente pero no necesario.

En efecto, una aplicacion cociente no siempre tiene que ser abierta y/o cerrada, como veremosen los ejemplos. Pero se tiene el siguiente resultado que explica en que sentido ser abierta ocerrada es una condicion suficiente: 4

Proposicion A.10.18. Sea g : (X, τ)→ (Y, σ) una funcion suryectiva, continua y abierta(o cerrada i.e. g manda cerrados en cerrados). Entonces uno puede asegurar que σ no esotra que la topologıa cociente τg .

Demostracion. Por ser g continua, sabemos que σ ⊆ τg , porque la topologıa final es lamaxima de las que hacen continua a g. Si g fuera abierta, como cada V ∈ τg cumple queg−1(V ) ∈ τ , se tendrıa que g

(g−1(V )

)∈ σ. Pero el hecho de que g sea suryectiva asegura

que g(g−1(V )

)= V . Ası se llega a que τg ⊆ σ, y ambas coinciden. La version de g cerrada

sale igual, usando la observacon final de la Def. A.10.15.

Corolario A.10.19. Sea g : (X, τ)→ (Y, σ) una funcion suryectiva y continua. Si asumimosque X es compacto y que Y es Hausdorff, entonces σ es la topologıa cociente τg .

Demostracion. Observar que g es cerrada, porque manda compactos en compactos.

Ejemplo A.10.20. La topologıa usual del cırculo S1 (la que hereda de la inclusion S1 ⊆ C)es la topologıa cociente de la funcion g : R→ S1 dada por g(t) = ei 2πt, t ∈ R. En efecto, esbien claro que g es suryectiva y continua. Pero ademas g es abierta, como se puede verificartomando intervalos abiertos U = (a, b) con b− a < 1/2, porque

g(U) = S1 ∩z ∈ C :

⟨z, g( a+ b

2

)⟩> cos

b− a2

,

donde 〈z, w〉 = Re (zw) es el producto interno pensando C = R2. Se usa que g(a+b2

) esortogonal al vector g(b) − g(a), y cortamos a S1 con el semiplano abierto con borde en la

432

recta generada por g(a) y g(b). El numero cos b−a2

se visualiza imaginando que a+b2

= 0.Tambien sale tomando una rama holomorfa adecuada del logaritmo.

En realidad, este ejemplo es interesante desde otro punto de vista: R y S1 son grupos,y g es un morfismo. Por ello el nucleo de g, que es Z, es un subgrupo. Y las clases deequivalencia (ahora pensamos en la ∼ dada por g, que es la congruencia modulo Z) son lascoclases t · Z, para t ∈ [0, 1). En otras palabras, estamos diciendo que la topologıa cocienteen el grupo cociente R/Z , lo hace homeomorfo a S1. Este punto de vista da otra pruebade que g es abierta (pensada con proyeccion al cociente): Si U ⊆ R es abierto, entoncesg−1(g(U)

)=⋃n∈Z

U + n = V . Como en R las translaciones son homeos, queda que V es

abierto, por lo que g(U) lo es en S1, para la topologıa cociente. 4

Ejercicio A.10.21. Probar que la g : R→ S1 dada por g(t) = ei 2πt no es cerrada. 4

Definicion A.10.22. Sea g : X → Y una funcion suryectiva y sea A ⊆ X. El g-saturadode A es el conjunto Sg(A) = g−1

(g(A)

). Observar que la clase de g-equivalencia en X de un

x ∈ X, es el conjunto x = g−1(g(x) ), y que Sg(A) =⋃x∈A

x. 4

Proposicion A.10.23. Sea (X, τ) un ET, y sea g : X → Y una funcion suryectiva. Setoma en Y la topologıa cociente τg , con lo que g se torna la proyeccion al cociente. Se tieneque

1. La funcion g es abierta si y solo si Sg(U) ∈ τ para todo U ∈ τ .

2. La funcion g es cerrada si y solo si Sg(F ) es cerrado para todo F ⊆ X cerrado.

Demostracion. Recordar que g(U) ∈ τg si y solo si g−1(g(U)

)= Sg(U) ∈ τ . Con los

cerrados es igual.

Observacion A.10.24. Sigamos con las notaciones del Ejem. A.10.20. Se tenıa la funciong : R → S1 dada por g(t) = ei 2πt, t ∈ R. Consideremos ahora la funcion (suryectiva)g1 = g

∣∣[0,1]

: [0, 1]→ S1, tomando en S1 la topologıa cociente asociada. En este caso g1 no es

abierta, porque [0, 1/2) es abierto en [0, 1], pero g1([0, 1/2) ) no es abierto en S1 . En efecto,

Sg1([0, 1/2) ) = g−11 (g1([0, 1/2) ) ) = [0, 1/2) ∪ 1 ,

que no es abierto en [0, 1]. Sin embargo, en este caso la topologıa cociente de S1 asociada ag1 tambien coincide con su topologıa usual. Esto sale porque [0, 1] es compacto, y se puedeaplicar el Cor. A.10.19. Desde este punto de vista, podemos ver de nuevo porque g1([0, 1/2) )no es abierto en S1 . Basta dibujarlo. 4

A.11 Espacios metricos completos

Proposicion A.11.1. Sea (X, d) un EM y sea x = (xn)n∈N una sucesion de Cauchy en Xy sea x ∈ X un punto. Supongamos que se verifica alguna de las siguientes condiciones:

433

1. Existe una subsucesion (xnk)k∈N de x tal que xnk −−−→k→∞

x .

2. El tal x es un punto de acumulacion de la sucesion (xn)n∈N .

3. Nuestro x es punto de acumulacion del conjunto A = C1(x) = xn : n ∈ N.

Cualquiera de esas tres cosas implica que xn −−−→n→∞

x.

Demostracion. Es claro 1 ⇐⇒ 2. Supongamos que vale 1, tomemos un ε > 0 y un n0 ∈ Ntal que si n ≥ n0 y m ≥ n0 , entonces d(xn , xm) < ε

2.

Dada la subsucesion xnk −−−→k→∞

x, tomemos un k0 ∈ N tal que d(xnk , x) < ε2

siempre que

k ≥ k0 (o lo que es lo mismo, que nk ≥ nk0). Fijemos un k ∈ N tal que nk ≥ maxnk0 , n0.Por fin, si ahora tomamos un n ≥ n0 , tenemos que

d(xn, x) ≤ d(xn , xnk) + d(xnk , x) <ε

2+ε

2= ε =⇒ xn −−−→

n→∞x .

Por otro lado, dado ε > 0, si un n0 es suficientemente grande, el hecho de que x ∈ A′ permite

suponer que xn0 ∈ A ∩B(x , ε2), y la Cauchycidad que x

E→ B(xn0 ,

ε2) ⊆ B(x , ε).

Definicion A.11.2. Sea (X, d) un EM. Diremos que X es competo si toda sucesion deCauchy en X es convergente. 4

Proposicion A.11.3. Sea (X, d) un EM. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. X es completo.

2. Dada una familia Fnn∈N de subconjuntos cerrados de X tales que

(a) Para todo n ∈ N, se tiene que Fn+1 ⊆ Fn 6= ∅ .

(b) La sucesion diam (Fn) −−−→n→∞

0.

se debe cumplir que⋂n∈N

Fn 6= ∅.

Demostracion. Si X es completo y tenemos la sucesion Fnn∈N como en el ıtem 2, elijamosun xn ∈ Fn para cada n ∈ N. Las condiciones (a) y (b) aseguran que x = (xn)n∈N es de

Cauchy (dado ε > 0, basta tomar n0 ∈ N tal que diam (Fn0) < ε). Observar que xE→ Fn

para todo n ∈ N (por (a) ). Si xn −−−→n→∞

x, el hecho de los Fn sean todos cerrados termina

de mostrar que x ∈⋂n∈N

Fn 6= ∅.

Supongamos ahora que se cumple la condicion 2, e imaginemos que una sucesion de Cauchyy = (yn)n∈N en X no tiene lımite. Definamos Fn = Cn(y) = ym : m ≥ n. El hecho deque y sea de Cauchy dice exactamente que diam (Fn) −−−→

n→∞0. Y los Fn estan encajados por

definicion. Como todas las colas yn = (ym)m≥n son tambien sucesiones de Cauchy, y estantan carentes de lımite como y, la Prop. A.11.1 nos dice que F ′n = ∅ para todo n ∈ N. Ası

434

llegamos a que cada Fn = Fn∪F ′n = Fn , por lo que son todos cerrados. Y de que sean vacıosni hablar. Podemos tomar entonces el x ∈

⋂n∈N

Fn . Para cada n ∈ N se tiene que tanto xn

como x estan en Fn . Luego d(xn , x) ≤ diam (Fn) −−−→n→∞

0 . Ya fue.

Ejercicio A.11.4. Sea (X, d) un EM. Entonces se tiene que

1. Existe un EM completo Xc y una isometrıa f : X → Xc tal que f(X) es denso en Xc.

2. Mas aun, si me dan otro par (g, Y ) que cumpla lo mismo (Y es completo y g mandaisometricamente a X a un denso de Y ), enotnces existe una isometrıa sobre

(o sea un homeo isometrico) Φ : Xc → Y tal que Φ f = g .

Esto se reinterpreta como que Φ es “la identidad” en X, si preferimos pensar que lascompletaciones Xc e Y son conjuntos que contienen a X y que f y g son las inclusionesde X en ellos.

Sugerimos construir Xc como el conjunto de sucesiones de Cauchy en X, dividido por larelacion de equivalencia “ir hacia el mismo lado” (o sea que d(xn , yn) −−−→

n→∞0). El espacio

X “entra” en Xc como las clases de las sucesiones contantes. 4

A.12 Compactos

Sea (X, τ) un ET y sea K ⊆ X un subconjunto. Recordemos que llamamos cubrimientopor abiertos de K a una familia

σ ⊆ τ tal que K ⊆⋃

σ .

Un subcubrimiento de σ es un ρ ⊆ σ que sigue cubriendo a K. A veces conviene escribirlosen terminos de ındices: El cubrimiemto σ se presentara como una familia

Uαα∈A tal que Uα ∈ τ para todo α ∈ A y ademas K ⊆⋃α∈A

Uα .

Y un subcubrimiento estara dado por un F ⊆ A tal que siga pasando que K ⊆⋃α∈F

Uα .

La version dual de los cubrimientos se describe con intersecciones de cerrados: Dada unafamilia F = Fαα∈A de subconjuntos cerrados de X, se dice que

F tiene la PIF para K si K ∩⋂α∈F

Fα 6= ∅ para todo subconjunto finito F ⊆ A .

Las letras PIF aluden a la propiedad de la interseccion finita. Si K = X, se dice que F tienela PIF a secas. Comenzaremos con la definicion tradicional de compactos (onda Heine-Borel):

435

Definicion A.12.1. Sea (X, τ) un ET. Un subconjunto K ⊆ X es compacto (en X) sitodo cubrimiento por abiertos de K tiene un subcubrimiento finito. En particular, diremosque X es compacto si pasa lo anterior para los cubrimientos de todo el espacio X. 4

Observacion A.12.2. Hace falta aclarar algo de esta Definicion. Que el tal K ⊆ X seacompacto (en X), como se definio arriba, equivale a que el espacio entero (K, τK), donde τKes la inducida por τ a K, sea compacto (en sı mismo). Esto es ası porque los cubrimientosabiertos de K solito se levantan a cubrimietos abiertos de K dentro de X, y vice versa. Enadelante omitiremos las aclaraciones del tipo “(en X)”, salvo necesidad imperiosa. 4

Teorema A.12.3. Sea (X, τ) un ET y tomemos un subconjunto K ⊆ X . Luego lassiguientes propiedades son equivalentes:

1. K es compacto.

2. Toda familia de cerrados F = Fαα∈A con la PIF para K cumple que K∩⋂α∈A

Fα 6= ∅.

3. Toda red en K tiene un punto de acumulacion en K.

4. Toda red en K tiene una subred que converge a un punto de K.

Demostracion. Ver en el Apunte de topologıa.

Observacion A.12.4. Sea X un conjunto infinito y consideremos en X la topologıa cofinitaτCF (X). Entonces todo K ⊆ X es compacto, porque lo que le falte cubrir al “primer” abiertode cualquier cubrimiento, es un conjunto finito. Y esto se va cubriendo de a un abierto porelemento. Ası vemos que hay compactos que no son Hausdorff.

Algunos autores incluyen la condicion de ser Hausdorff para la compacidad (como unopide T1 para regularidad y normalidad). Sin embargo, hay ejemplos importantes (sobre todoen geometrıa algebraica) de espacios compactos no Hausdorff, por lo que haremos la teorıaen el caso general, agregando la H cuando haga falta.

Observar que, si bien la convergencia de redes caracteriza la compacidad, en el caso noHausdorff hay lımites multiples, por lo que convendra tener cuidado al usar tecnicas de redes.

Por ejemplo, en un sentido generico, las condiciones relativas a redes del Teo. A.12.3hacen pensar que si un subconjunto K ⊆ X es compacto, deberıa ser cerrado. O que un Kque sea cerrado dentro de un espacio compacto X debe ser tambien compacto (en amboscasos, porque los lımites se quedan dentro de K).

Veremos que la segunda presuncion es cierta siempre, pero la primera solo cuando elespacio ambiente X es Hausdorff (pensar en el ejemplo mencionado al principio). 4

Proposicion A.12.5. Sea (K, τ) un ET compacto, y sea F ⊆ K un subconjunto cerrado.Entonces F es compacto.

Demostracion. Toda red x en F tiene una subred que converge a algun x ∈ K. Pero comoF es cerrado, el lımite x ∈ F . Por el Teo. A.12.3, F es tambien compacto.

Proposicion A.12.6. Sea (X, τ) un ET de Hausdorff. Entonces todo subconjunto compactoK ⊆ X es cerrado en X.

436

Demostracion. Sea y ∈ K, y tomemos una red y = (yi)i∈ I en K tal que yi −−→i∈ I

y. Por el

Teo. A.12.3, y tiene una subred z que converge a un z ∈ K. Sin embargo, por ser subred dey, la red z tambien converge a y. Como X es Hausdorff, por lo que los lımites son unicos,tenemos que y = z ∈ K. Esto muestra que K es cerrado.

Ahora veremos que en un espacio de Hausdorff, la propiedad de separar puntos se extiendea separar subconjuntos compactos:

Proposicion A.12.7. Sea (X, τ) un ET de Hausdorff. Dados K1 , K2 ⊆ X compactos ydisjuntos, existen abiertos U, V ∈ τ tales que

K1 ⊆ U , K2 ⊆ V y U ∩ V = ∅ . (A.19)

Demostracion. Fijemos un x ∈ K1 . Como X es Hausdorff, para cada y ∈ K2 existen abiertosdisjuntos Ay , By ∈ τ tales que y ∈ By y x ∈ Ay . La familia Byy∈K2 es un cubrimiento deK2 , del que podemos extraer finitos By1 , . . . , Byn que siguen cubriendo a K2 . Sean

Ux =n⋂k=1

Ayk y Vx =n⋃k=1

Byk .

Es claro que son abiertos, que x ∈ Ux y que K ⊆ Vx . Como Ux ∩Byk ⊆ Ayk ∩Byk = ∅ para

todo k ∈ In , podemos deducir que Ux ∩ Vx = Ux ∩n⋃k=1

Byk = ∅.

Hagamos este laburo en todos los x ∈ K1 . Obtenemos una familia Uxx∈K1 que es uncubrimiento de K1 . Extraigamos finitos Ux1 , . . . , Uxm que siguan cubriendo a K1 . Sean

U =m⋃k=1

Uxk y V =m⋂k=1

Vxk .

Es claro que son abiertos, que K1 ⊆ U y que K2 ⊆ V . Como antes, podemos ver queU ∩ V = ∅, lo que termina de probar la formula (A.19).

Corolario A.12.8. Sea (K, τ) un ET compacto Hausdorff. Entonces K es normal.

Demostracion. Sean F1 y F2 dos cerrados disjuntos en K. Como K es compacto, laProp. A.12.5 asegura que F1 y F2 son compactos. Como K es Hausdorff, la Prop. A.12.7nos provee de los abiertos disjuntos que los separan.

Proposicion A.12.9. Sea f : (X, τ) → (Y, σ) una funcion continua y sea K ⊆ X unsubconjunto compacto. Entonces se tiene que f(K) es compacto en Y .

Demostracion. Notemos Z = f(K). Sea z = (zi)i∈ I una red en Z. Para cada i ∈ I, elijamosun xi ∈ f−1(zi) ∩K. La red x = (xi)i∈ I , como vive en el compacto K, tiene una subredy = (yj)j∈ J tal que yj −−→

j∈ Jy ∈ K. Pero como f es continua, la red f(yj) −−→

j∈ Jf(y) ∈ Z.

Observar que, si h : J → I es la funcion cofinal creciente que define a la subred y, entoncesf(yj) = f(xh(j)) = zh(j) para todo j ∈ J. Luego la red f y es subred de z (con la mismafuncion h), y ademas es convergente a alguien de Z.

437

Proposicion A.12.10. Sea f ∈ C(K,X) inyectiva, con K compacto y X Hausdorff.Entonces f : K → X es un embbeding, o sea que f : K → f(K) es un homeo.

Demostracion. Llamemos Z = f(K). Es claro que f : K → Z es biyectiva y continua.Veamos que es abierta: Sea F ⊆ K un cerrado. Por la Prop. A.12.5, F es compacto. Porla Prop. A.12.9, f(F ) es compacto en X. Al ser X un Hausdorff, la Prop. A.12.6 dice quef(F ) es cerrado en X, y por lo tanto tambien cerrado en Z. En resumen, f : K → Z mandacerrados en cerrados. Como es biyectiva, tambien manda abiertos en abiertos. Por lo tantof : K → Z es homeo.

Observacion A.12.11. Sea (K, τ) un ET compacto Hausdorff (en adelante abreviaremosescribiendo K-H). Luego la topologıa τ es rıgida, en el siguiente sentido: Si uno la agranda,K es mas Hausdorff, pero no es mas compacto. Y si uno la achica, K es mas compacto, perodeja de ser Hausdorff. Esto es consecuencia de la Prop. A.12.10.

En efecto si σ ⊇ τ , entonces IK ∈ C(

(K, σ), (K, τ)). Si (K, σ) fuera compacto, como (K, τ)

es Hausdorff, IK quedarıa homeo. Y entonces σ = τ .

Por otro lado, si σ ⊆ τ , entonces IK ∈ C(

(K, τ), (K, σ)). Si (K, σ) siguiera siendo Haus-

dorff, como (K, τ) es compacto, IK tambien quedarıa homeo. Y entonces τ = σ. 4

Ejercicio A.12.12. Sea f : X → Y , donde X e Y son dos ET’s. Probar que

f ∈ C(X, Y ) =⇒ Grf = (x, f(x) ) : x ∈ X ⊆ X × Y es cerrado en X × Y .

Probar que la recıproca es cierta si Y es compacto (usar la Prop. A.7.5). 4

El siguiente resultado es bastante esperable, y su prueba nos va a quedar cortita, porque ellaburo grosso lo fuimos haciendo antes. Pero es uno de los teoremas mas importantes de lateorıa, en funcion de sus innumerables aplicaciones dentro y fuera de la topologıa.

Teorema A.12.13 (Tychonoff). Sea(

(Xα , τα))α∈A

una familia de ET’s compactos. En-

tonces el producto P =∏α∈A

Xα , con la topologıa producto, es compacto. O sea que

“producto de compactos es compacto”, aunque sean “muchos” .


Sugerimos hacer como ejercicio una prueba a mano del teorema anterior, pero asumiendoque A es finito. Inductivamente se reduce al caso de P = X × Y , con X e Y compactos.Usando redes comunes, eso sale iterando la toma de subredes. Con cubrimientos tambiensale, pero es mas largo, aunque muy grafico y divertido (ver en el libro de Munkres [10]).Sin embargo ambos metodos colapsan en el caso infinito, donde las RU’s dan la prueba masdirecta posible.

438

A.13 Compactos en EM’s

Hay varias caracterizaciones y propiedades asociadas a la compacidad que son especıficas delos EM’s, y algunas mas para subespacios de Rn.

Sea (X, d) un EM. Si uno toma un compacto K ⊆ X y fija un ε > 0, se puede cubrir a Kcon bolas de radio ε, y luego quedarse con finitas. Esta propiedad sera casi suficiente parala compacidad, ası que le ponemos nombre:

Definicion A.13.1. Sea (X, d) un EM. Diremos que A ⊆ X es totalmente acotado (TA)si, para todo ε > 0, existen n(ε) ∈ N y x1 , . . . , xn(ε) ∈ X tales que A ⊆

⋃k∈In(ε)

B(xk, ε). 4

Las caracterizaciones de compacidad vıa redes pueden cambiarse, en el contexto de EM’s, asucesiones y subsucesiones. Tambien se pueden usar los puntos de acumulacion (se abreviaPA) de conjuntos. Antes de ir a los bofes, repasemos algunas de sus propiedades, particu-larmente en el contexto metrico:

A.13.2. Sea (X, d) un EM y sea A ⊆ X. Un x ∈ X era un PA de A si

para todo ε > 0 existe un y 6= x tal que y ∈ B(x, ε) ∩ A .

Se llama A′ al conjunto de los PA’s de A. Veamos alguna variaciones y casos particulares:

1. x ∈ A′ ⇐⇒ B(x, ε) ∩ A es infinito para todo ε > 0.

2. Si A cumple que existe un δ > 0 tal que d(x, y) ≥ δ para todo par x 6= y en A, entoncesdebe suceder que A′ = ∅.

3. En cambio, si (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy en X, y llamamos

A = xn : n ∈ N , entonces x ∈ A′ =⇒ xn −−−→n→∞

x .

Las pruebas son elementales: Lo primero se deduce del Ejer. A.4.12 (esto vale en ET’s declase T1). Lo segundo sale porque en una bola B(x, δ/2) solo puede haber un elemento deA. Por el diametro. Lo ultimo fue probado en la Prop. A.11.1. 4

Teorema A.13.3. Sea (X, d) un EM y sea K ⊆ X. Son equivalentes:

1. K es compacto.

2. Toda sucesion en K tiene una subsucesion convergente, con su lımite en K.

3. Todo A ⊆ K infinito tiene un PA en K (o sea que A′ ∩K 6= ∅).

4. K es totalmente acotado y el EM (K, d) es completo.


Corolario A.13.4. Sea (X, d) un EM completo y sea A ⊆ X. Entonces

439

A es compacto ⇐⇒ A es TA .

En particular, si A es TA, toda red en A tiene una subred convergente (a alguien de A).

Demostracion. Observar que, por ser X completo, sus subconjuntos son completos si ysolo si son cerrados (el lımite de las Cauchy existe, el tema es donde esta). El segundoingrediente es que A es TA ⇐⇒ A es TA. Esto es facil y se deja como ejercicio (recordarque B ∪ C = B ∪ C, y quien dice dos...).

A.14 Compactificacion de Alexandrov: Un punto

Definicion A.14.1. Sea (X, τ) un ET. Una compactificacion de X es un par (g,K) talque

1. (K, σ) es un ET compacto.

2. g : X → K es un embbeding (i.e. g es continua, inyectiva y homeo con la imagen).

3. g(X) queda denso en K.

Diremos que (g,K) es una H-compactificacion si K es, ademas, un espacio de Hausdorff.

Muchas veces, en presencia de una compactificacion (g,K), identificaremos a X con suimagen g(X), que esta dentro de K y tiene la topologıa inducida por K.

Desde ese punto de vista, una compactificacion de un (Y, τ ′) serıa un compacto (K, σ) quecontenga a Y como un subespacio denso, y tal que τ ′ sea la inducida a Y por σ. 4

Observacion A.14.2. Por la Prop. A.12.5 (un cerrado en un compacto es compacto), si unotiene su espacio X incrustado dentro de un compacto K ′, vıa un embbeding g : X → K ′,entonces tomando K = g(X) ⊆ K ′ uno obtiene una compactificacion (g,K).

Como veremos mas adelante, todo ET tiene compactificaciones. El tema se pone mas intere-sante si uno quiere ver si tiene alguna H-compactificacion. Sin embargo ese problema ya lotenemos resuelto de antes: 4

Ahora veremos el metodos para construir compactificacionesmas simple posible: agregar unpunto. Se llama la compactificacion de Alexandrov. Lo unico que hay que pedirle a X paraque el proceso camine es que el mismo no sea compacto. Ahora, el tema de cuando estacompactificacion queda Hausdorff es otra historia (y otro Capıtulo).

Proposicion A.14.3. Sea (X, τ) un ET que no es compacto. Inventemos un punto ∞ alque solo le pedimos que ∞ /∈ X. Sean X = X ∪ ∞ y τ∞ ⊆ P(X) dada por

τ∞ = τ ∪ τ ′ , donde τ ′ = V ∪ ∞ : V ∈ τ y X \ V es compacto en X .

Luego τ∞ es una topologıa en X tal que

1. (X, τ∞) es compacto.

440

2. τ es la topologıa inducida a X por τ∞ .

3. X queda denso y abierto en X.

O sea que la inclusion X ⊆ X es una compactificacion de X.

Demostracion. Es claro que ∅ ∈ τ y X ∈ τ ′ (porque ∅ es compacto!). Observar que

τ ′ = V ′ ∈ P(X) : ∞ ∈ V ′ y X \ V ′ es cerrado y compacto en X . (A.20)

Veamos las uniones arbitrarias y las intersecciones finitas: Entre cosas de τ no hay drama.Dada una familia de abiertos V ′i ∈ τ ′ y sus complementos Fi = X \ V ′i , para i ∈ I, entonces

X \⋂i∈I

V ′i =⋃i∈I

Fi y X \⋃i∈I

V ′i =⋂i∈I

Fi .

Cuando I es finito, la⋃i∈I

Fi queda cerrada y compacta. Y la interseccion cumple eso siempre.

Luego operando en τ ′ uno se queda en τ ′. Si hay de las dos clases (tanto en ∩ como en ∪ ),uno primero reagrupa todas las de cada clase, y opera uno contra uno. Pero allı pasa que

si U ∈ τ y V ′ = ∞ ∪ V ∈ τ ′ =⇒ U ∩ V ′ = U ∩ V ∈ τ y U ∪ V ′ = ∞ ∪ (U ∪ V ) ∈ τ ′.

Por lo tanto τ∞ es una topologıa en X. Para ver que la inducida de τ∞ a X es τ , observarque si V ′ ∈ τ ′, entonces V ′ ∩X ∈ τ (y los de τ estaban todos en τ∞). Para ver la densidad,observar que τ ′ no es otra cosa que Oaτ∞(∞). Ademas, como X no es compacto, entonces

∞ /∈ τ ′. Luego todo V ′ ∈ Oaτ∞(∞) corta a X, lo que muestra que X es denso en X.

Veamos ahora que (X, τ∞) es compacto: Como τ ′ = Oaτ∞(∞), si σ ⊆ τ∞ es un cubrimiento

de X, existe un V ′ ∈ σ ∩ τ ′ (para cubrir al ∞). Solo falta cubrir X \ V ′, que es compacto(en X y en X). Y sabemos que σ \ V ′ lo cubre. Entonces agregando finitos elementos deσ a V ′ cubrimos todo X, que por ello es compacto.

Por ahora no vamos a hacer nada con esta compactacion que hemos construido. El resultadose hace muy util cuando X es Hausdorff, y los espacios X que cumplen eso son los llamados“localmente compactos” (Hausdorff). Para ellos usaremos sistematicamente su X, pero eselaburo se hara en el Capıtulo que viene (que es sobre esos espacios). Pero ahora daremosunos ejemplos para entender un poco mejor la construccion.

Ejemplos A.14.4. 1. Tomemos X = R con su topologıa usual. Entonces R ∼= S1.Esto se puede mostrar con la proyeccion estereografica o, mejor dicho, su inversa quepodemos explicitar: g(x) = ( 2x

x2+1, x

2−1x2+1

) ∈ S1, para x ∈ R. Otra manera es hacer

primero R ∼= (0, 1) y despues incrustar al (0, 1) dentro de S1 con la flecha t 7→ ei2πt.

2. En forma analoga se puede ver que Rn ∼= Sn, que es la esfera de Rn+1.

441

3. Sea ahora X = N con la topologıa discreta. Observar que los unicos compactos deN son los finitos. Por lo tanto tendremos que τ = P(N) mientras que τ ′ = τCF (N),nuestra conocida topologıa cofinita (agregandoles el ∞). Con esto en mente, se puedever que N ∼= 1

n: n ∈ N ∪ 0, con la topologıa inducida de R. Lo lindo de este

ejemplo es que el homeo que uno escribe justifica la polemica formula1

∞= 0.

4. Si tomamos X = (0, 1) ∪ (2, 3), queda que X es un “ocho”, o el mismısimo ∞. Y siponemos 3 o 4 intervalos abiertos disjuntos nos queda un trebol.

5. Los ejemplos anteriores justifican que se llame ∞ al punto que se agrega al hacerAlexandrov. Sin embargo no siempre queda tan clarito “para donde” esta el infinito.La cosa se pone mas brava si tomamos X = Q. Intuitivamente, en Q tenemos alinfinito por todos lados, porque esta lleno de redes sin lımites en Q, y no solo hacia losdos costados. Lamentablemente no es facil dar un modelo de Q, porque los compactosde Q, ademas de los finitos, incluyen sucesiones convergentes junto con sus lımites, yla cosa se complica bastante. De paso un ejercicio: Mostrar que, a diferencia de losejempos anteriores (donde X quedaba metrizable), Q no es ni Hausdorff. 4

A.15 Espacios localmente compactos

A.15.1. Hicimos muchas compactificaciones, y sabemos que “alguna” de ellas es una H-compactificacion si y solo si el espacio base es de Tychonoff. Pero concentremonos en la deAlexandrov y preguntemos ¿para que espacios X tendremos que X es Hausdorff?

Con las notaciones de la Prop. A.14.3, vemos que si queremos separar un x ∈ X del ∞,tendremos por un lado un V ′ ∈ τ ′ y necestaremos un U ∈ Oa(x) contenido en K = X \ V ′,que es compacto. O sea que hay un compacto K ∈ O(x). Ya vimos que los ET’s que cumplenesa condicion son importantes por muchas otras razones, y ahora los definimos: 4

Definicion A.15.2. Sea (X, τ) un ET. Diremos que X es localmente compacto (y abre-viaremos LK) si todo x ∈ X tiene algun entorno compacto. 4

Observacion A.15.3. Si X es LK, y ademas le pedimos que sea Hausdorff, entonces todox ∈ X tiene un U ∈ Oa(x) tal que U es compacto. En efecto, basta poner el U dentro de unentorno compacto K de x. Como X es Hausdorff, K debe ser cerrado, por lo que tambienU ⊆ K. Si no pedimos que X sea Hausdorff, no hay garantıa de lo anterior. A partir deahora usaremos las siglas LKH para denotar localmente compacto + Hausdorff. 4

Proposicion A.15.4. Sea (X, τ) un ET. Entonces

la compactificacion X = X ∪ ∞ es Hausdorff si y solo si X es LKH.

Demostracion. Usaremos las notaciones τ∞ = τ ∪ τ ′ de la Prop. A.14.3. Una implicacion(⇒) se vio en A.15.1 (la H se agrega porque es hereditaria). Si X es LKH, la H asegura quelos puntos de X se separan usando τ ⊆ τ∞ . Para separar a un x ∈ X del ∞, se toman

un compacto K ∈ Oτ (x) , un U ∈ Oaτ (x) tal que U ⊆ K , y V ′ = ∞ ∪ V ,

442

donde V = X \K. Como X es Hausdorff, K es cerrado, por lo que V ∈ τ y V ′ ∈ τ ′.

Ejemplo A.15.5. Todo subconjunto cerrado o abierto de algun Rn, incluso todo ET que“localmente” es homeo uno de esos (esto incluye a las variedades de la geometrıa diferencial)es automaticamente LKH. Aun ası, esta clase es muy restrictiva (al asuncion de ser LKH escostosa), pero vale la pena estudiarla porque los LKH son los espacios mas usados en analisisy geometrıa. Veremos ademas que tienen propiedades fuertes que justifican ese interes.

Observemos que, al contrario de lo que uno puede pensar por exceso de Rn, existen EM’scompletos que no son LK. Y muchos. Veremos bastantes de ellos en el Capıtulo de EVT’s,pero mostremos ahora uno concretito. Sea `∞(N) el espacio de sucesiones acotadas denumeros complejos con la metrica del supremo: Dados a = (an)n∈N , b = (bn)n∈N ∈ `∞(N),

d∞(a , b) = ‖a− b‖∞ = supn∈N|an − bn| .

Es facil ver que d∞ es un metrica en `∞(N) (de hecho, `∞(N) = Cb(N,C) y a d∞ ya laconocıamos). Para cada n ∈ N consideremos el punto en ∈ `∞(N) que tiene un 1 en el lugarn y todos los demas ceros. Todos los en viven en la bola cerrada de centro 0 y radio uno,pero d∞(en , em) = 1 siempre que n 6= m. Por ello dicha bola no es compacta. Transladandoy achicando con multimplos, uno deduce en seguida que ninguna bola cerrada alrededor deningun punto de `∞(N) puede ser compacta. Como las bolas abiertas son una base de latopologıa de esta metrica, queda que `∞(N) no es LK. 4

Observacion A.15.6. Sea (X, τ) un ET que es LK. No es cierto en general que sus sub-conjuntos deban ser LK (LK no es hereditaria). Por ejemplo R es LKH, pero Q no puedeser LKH, ya que ningun (a, b) ∩Q tiene clausura compacta en Q (salvo que b ≤ a). 4

A.16 Stone Cech

Ahora vamos a mostrar otro metodo de compactificar, que es todo lo contrario del anterior,porque es fabricar un compacto lo mas grande posible, agregandole al ET original montonesde puntos nuevos. Lo que queda es difıcil de describir explıcitamente, pero lo bueno es queexiste, y que permite extender cualquier funcion continua y acotada al compactado. Esorequiere de mucho puntos nuevos, por las muchas maneras en que pueden comportarse esasfunciones en los bordes del espacio.

Por ejemplo, si empezamos con R, vimos que su compactificacion de Alexandrov es S1. Lasfunciones f ∈ Cb(R,R) que se pueden extender al ∞ = (0, 1) ∈ S1 son solo aquellas talesque existen M = lım

t→+∞f(t) y m = lım

t→−∞f(t), y ademas cumplen que m = M = f(∞). Y

nadie duda de que hay muchas mas funciones acotadas que esas.

A.16.1. Sea (X, τ) un ET de Tychonoff. Llamemos F = Cb(X), y consideremos el hiper-disco

DX =∏f∈F

Df , donde cada Df = z ∈ C : |z| ≤ ‖f‖∞ .

443

Por el Teorema de Tychonoff y la Prop. A.12.8, DX es un compacto Hausdorff. El hecho deque X sea CR significa que C(X, [0, 1]), y a fortiori Cb(X), separan a X. Luego

F : X → DX , dada por F (x) = f(x)f∈F , x ∈ X

es un embbeding. Llamemos β(X) = F (X). Por la Obs. A.14.2, el par (F, β(X) ) es unaH-compactificacion de X, que se llama la compactificacion de Stone Cech. 4

Teorema A.16.2. Sea (X, τ) un ET de Tychonoff. Consideremos (F, β(X) ) su compacti-ficacion de Stone Cech. Entonces

1. Para toda g ∈ Cb(X) existe una unica g ∈ C(β(X) ) que extiende a g, en el sentido deque g F = g.

2. Para toda H-compactificacion (h,K) de X existe una ΦK ∈ C(β(X), K) tal que

(a) La funcion ΦK es continua y suryectiva.

(b) ΦK es “la identidad” en X, o sea que h = ΦK F .

3. Si una H-compactificacion (h,K) de X tiene la misma propiedad que β(X) enunciadaen el ıtem 1, entonces la funcion ΦK del ıtem 2 es un homeo.

Demostracion.

1. Fijada la g ∈ Cb(X), consideremos la proyeccion Πg : DX → Ig ⊆ R a la g-esimacordenanda. Es claro que Πg es continua, por lo que tambien lo sera g = πg

∣∣β(X)

. Por

otra parte, para todo x ∈ X se tiene que

g F (x) = Πg F (x) = Πg

(f(x)f∈F

)= g(x) .

La unicidad de g se deduce del hecho de que F (X) es denso en β(X).

2. Como K es un compacto Hausdorff, es normal, por ende CR, y por ello

G : K → [0, 1]C(K,[0,1]) , dada por G(k) = f(k)f∈C(K,[0,1]) , k ∈ K

es un embbeding. Sea m ∈ C(G(K), K) la inversa del homeo G : K → G(K).

Si existiera la ΦK que buscamos, tomando Ψ = G ΦK : β(X)→ G(K), deberıa pasarque ΨF = G (ΦK F ) = Gh. Luego, mirando en cada cordenada f ∈ C(K, [0, 1]),deberıamos tener que πf (Ψ F ) = πf (G h) = f h ∈ C(X, [0, 1]) ⊆ Cb(X).

Por lo tanto, las cordenadas de Ψ deberıan ser funciones gf ∈ C(β(X) ) que cumplanla igualdad gf F = f h. Afortunadamente, el item 1 nos provee de dichas funciones,ası que empecemos por ellas, y construyamos Ψ desde abajo:

Para cada f ∈ C(K, [0, 1]), consideremos gf = f h ∈ Cb(X). Por el item 1, existeuna gf ∈ C(β(X) ) tal que gf F = gf . Como cada gf es continua, tambien lo sera

Ψ : β(X)→ [0, 1]C(K,[0,1]) , dada por Ψ(y) = gf (y)f∈C(K,[0,1]) , y ∈ β(X) .

444

Observar que las gf toman valores en [0, 1] por que las gf = f h lo hacen, y porqueF (X) es denso en β(X) (recordar que gf F = gf ). Ademas, para cada x ∈ X,

Ψ(F (x) ) = gf (x)f∈C(K,[0,1]) = f(h(x) )f∈C(K,[0,1]) = G(h(x) ) . (A.21)

O sea que Ψ F = G h. Por la densidad de F (X) en β(X), se tiene que Ψ(β(X)

)es

un compacto que coincide con la clausura de G(h(X) ), que no es otra cosa que G(K).

O sea que Ψ(β(X)

)= G(K). Tomemos finalmente ΦK = m Ψ ∈ C(β(X), K). Por

todo lo anterior ya tenemos probado que la funcion ΦK es continua y suryectiva. Peropor la Ec. (A.21) vemos que

ΦK F = m Ψ F = m G h = h .

3. En caso de que (h,K) cumpliese 1, podrıamos rehacer el ıtem 2, pero con los papelescambiados. Esto es porque solo se uso de β(X) el que tenga extensiones de las funcionescontinuas acotadas en X. Ese laburo producirıa una Φβ(X) ∈ C(K , β(X) ) tal queΦβ(X) h = F . Pero estas condiciones funtoriales (la otra es ΦK F = h) permitenporbar que ambas composiciones de las Φ’es coinciden con la identidad en los densosF (X) y h(X). Luego son una la inversa de la otra y son homeos.

Observacion A.16.3. Hay varias maneras de hacer la compactificacion de Stone Cech.Ya vimos una en el Ejer. 6.2.10. A continuacion delinearemos otra, que es analoga a lacompletacion de EM’s a partir de sus sucesiones de Cauchy (ver Ejer. A.11.4), pero usandolas RU’s de X.

Asumamos que X es un ET de Tychonov, y llamemos RU(X) al conjunto de todas sus redesuniversales. Dada una x = (xi)i∈ I ∈ RU(X) y una f ∈ Cb(X), la red f x es acotada yuniversal en C, por lo que converge a un xf ∈ C. Consideremos las funciones

ϕf : RU(X)→ C dadas por ϕf (x) = lımi∈ I

f(xi) = xf , para x ∈ RU(X) .

En RU(X) se define la relacion de equivalencia dada por

x ∼ y si ϕf (x) = xf = yf = ϕf (y) para toda f ∈ Cb(X) . (A.22)

El conjunto que buscamos sera B(X) = RU(X)/ ∼ , que consta de las clases de equivalencia(que notaremos x, para cada red universal x en X) de la relacion que acabamos de definir.Es claro que, para cada f ∈ Cb(X), su ϕf se “baja” bien al cociente B(X). Llamemosahora φf : B(X) → C a la funcion bajada dada ahora por φf (x) = xf , x ∈ RU(X). SeaF = φf : f ∈ Cb(X). Notar que ahora F separa puntos de B(X).

La topologıa para B(X) sea la inicial τF , dada por la familia F . Y el embbeding sera

G : X → B(X) dado por G(x) = cx , donde cx es la sucesion constantemente igual a x .

445

Se podrıa probar a mano que el espacio (B(X), τF) es compacto (Hausdorff es, porque Fsepara puntos), pero es mas facil ver que hay un homeo entre β(X) y B(X) que conmutacon los embbedings (lo que de paso mostrara que G era un embbeding). Los detalles de esacuenta se dejan como ejercicio. 4

La construccion anterior es en escencia la misma que la original, pero describe mejor quelo que se agrega a X son los lımites de redes en X hacia los “bordes”. La similitud estaen que ambas se basan en la accion de Cb(X), ya sea en un producto o en las RU’s de X.Esta accion es clave en este ejemplo porque es la que define la relacion de equivalencia de laEc. (A.22) en RU(X). 4

A.17 Metricas uniformes en C(X, Y ), con Y un EM

Como pasa siempre, una teorıa produce objetos a los que se les aplica, a su vez, la teorıa encuestion. En este caso, la topologıa produce las funciones continuas, y uno quiere estudiarlos espacios de tales funciones desde un punto de vista topologico, con especial enfasis enlos distintos tipos de convergencias. Para hacerlo en general, necesitamos la nocion decompacidad. Pero por ahora desarrollaremos el caso en que las funciones tomen valores enun espacio metrico acotado Y (o bien pidamos que las funciones lo sean). Allı podemosdefinir la metrica de la convergencia uniforme:

Definicion A.17.1. Sean X un conjunto e (Y, d) un EM. Se definen

1. `∞(X, Y ) = f : X → Y acotadas (o sea que f ∈ `∞(X, Y ) si diam (f(X) ) <∞).

2. En `∞(X, Y ) se define la distancia uniforme: dadas f, g ∈ `∞(X, Y ),

d∞(f, g) = sup d(f(x), g(x) ) : x ∈ X .

Es facil ver que d∞ esta bien definida (es <∞) y que es una metrica en `∞(X, Y ).

3. Si X tiene una topologıa τ , consideraremos el espacio de funciones continuas y acotadas

Cb(X, Y ) = C(X, Y ) ∩ `∞(X, Y ) =f ∈ C(X, Y ) : diam (f(X) ) <∞

,

donde tambien podemos usar la d∞ .

4. En el caso de que el espacio Y sea acotado, se tiene que `∞(X, Y ) = Y X , o sea todaslas funciones f : X → Y . Ademas sucede que Cb(X, Y ) = C(X, Y ). 4

Observacion A.17.2. La topologıa de `∞(X, Y ) inducida por d∞ es aquella cuya conver-gencia es la uniforme en X: Dada una sucesion (fn)n∈N en `∞(X, Y ) y una f ∈ `∞(X, Y ),

fnτd∞−−−→n→∞

f ⇐⇒ ∀ ε , ∃ m ∈ N tal que: n ≥ m =⇒ d∞(fn , f) < ε , (A.23)

o sea que d(fn(x) , f(x) ) < ε para todos los x ∈ X a partir del mismo m. 4

446

El siguiente enunciado da la maxima generalidad a la conocida frase “lımite uniforme defunciones continuas es continua”.

Proposicion A.17.3. Sean (X, τ) un ET e (Y, d) un EM. Entonces se tiene que Cb(X, Y )es d∞-cerrado en `∞(X, Y ). Si Y era acotado, reescribimos: C(X, Y ) es d∞-cerrado en Y X .

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion en Cb(X, Y ) y sea f ∈ `∞(X, Y ) tal que fnd∞−−−→n→∞

f .

Para ver que f es continua, tomemos una red x = (xi)i∈ I en X tal que xi −−→i∈ I

x. Dado ε > 0,

la Ec. (A.23) asegura que existe un n ∈ N tal que d∞(fn , f) < ε3

. Como fn ∈ C(X, Y ),existe un i0 ∈ I tal que d(fn(xi), fn(x) ) ≤ ε

3para todo i ≥ i0 . Luego

d(f(xi) , f(x) ) ≤ d(f(xi) , fn(xi) ) + d(fn(xi) , fn(x) ) + d(fn(x) , f(x) )

< 2 d∞(fn , f) + d(fn(xi), fn(x) ) < ε .

Solo falta ver que el lımite f es acotada (si todas las fn lo son). Pero si tomamos un n ∈ Ntal que d∞(fn , f) < 1, entonces es facil ver que

diam(f(X)

)≤ 2 + diam

(fn(X)

)<∞ , (A.24)

por lo que f ∈ Cb(X, Y ).

Proposicion A.17.4. Sean (X, τ) un ET e (Y, d) un EM completo. Entonces se tiene quetanto `∞(X, Y ) como su subespacio Cb(X, Y ) son d∞-completos.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en `∞(X, Y ). Dado un x ∈ X, sabemosque d(fk(x) , fm(x) ) ≤ d∞(fk , fm) para todo k,m ∈ N. Luego cada sucesion (fn(x) )n∈N esde Cauchy en Y . Como Y es completo, podemos definir la funcion

f : X → Y dada por f(x) = lımn→∞

fn(x) , para todo x ∈ X ,

que es nuestra candidata a lımite. Nos falta verificar dos cosas:

d∞(fn, f)?−−−→

n→∞0 y f

?∈ `∞(X, Y ) .

Dado ε > 0, sea n1 ∈ N tal que d∞(fk , fm) < ε2

para todo k,m ≥ n1 . Luego, si k ≥ n1 ,

d(fk(x) , f(x) )= lım

m→∞d(fk(x) , fm(x) ) ≤ sup

m≥n1

d(fk(x) , fm(x) ) ≤ ε

2< ε , (A.25)

para todos los x ∈ X a la vez. La igualdad= se deduce de que fm(x) −−−→

m→∞f(x), usando

el Lema A.4.10. La Ec. (A.25) muestra que d∞(fn , f) −−−→n→∞

0. Tomando un n tal que

d∞(fn , f) < 1, la Ec. (A.24) nos asegura que f ∈ `∞(X, Y ) . Listo el caso `∞(X, Y ) .

La completitud de Cb(X, Y ) sale usando ahora la Prop. A.17.3, porque Cb(X, Y ) es un sub-conjunto cerrado del espacio completo `∞(X, Y ) .

447

En el caso particular de que Y = Rn o Cn, los espacios `∞(X, Y ) y Cb(X, Y ), ademas demetricos, son espacios “normados”. Esto significa son espacios vectoriales y que la metricaes homogenea e invariante por translaciones. Por ejemplo, dada f ∈ RX , se define

‖f‖∞ = supx∈X|f(x)| . Observar que ‖f‖∞ <∞ si y solo si f ∈ `∞(X,R) . (A.26)

Ademas, si tenemos otra funcion g ∈ `∞(X,R) y un escalar λ ∈ R, vale que

d∞(f, g) = ‖f − g‖∞ , ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞ y ‖λ f ‖∞ = |λ| ‖f‖∞ . (A.27)

Todo esto camina igual si las funciones viven en el subespacio cerrado Cb(X,R) ⊆ `∞(X,R).Ademas, el hecho de que Cb(X,R) sea completo da sentindo al siguiente enunciado:

Proposicion A.17.5. Sea (X, τ) un ET. En (Cb(X,R), d∞), una serie absolutamenteconvergente es convergente. Es decir que dada una sucesion (fn)n∈N en (Cb(X,R), d∞),

∞∑n=1

‖fn‖∞ <∞ =⇒ la serie∞∑n=1

fn converge a una f ∈ Cb(X,R)

cuya norma verifica que ‖f‖∞ ≤∞∑n=1

‖fn‖∞ .

Demostracion. Por la Prop. A.17.4, para mostrar la convergencia de la serie, basta ver que

la sucesion gn =n∑k=1

fk es de Cauchy para la d∞ . Pero si n < m, por la Ec. (A.27),

d∞(gm, gn) = ‖gm − gn‖∞ =∥∥∥ m∑k=n+1

fk

∥∥∥∞≤

m∑k=n+1

‖fk‖∞ −−−−−→n,m→∞0 ,

por la hipotesis de que∞∑n=1

‖fn‖∞ <∞. Ademas, como la funcion g 7→ ‖g‖∞ es continua,

‖f‖∞ = lımn→∞

‖gn‖∞ = lımn→∞

∥∥∥ n∑k=1

fk

∥∥∥∞≤ lım

n→∞

n∑k=1

‖fk‖∞ =∞∑k=1

‖fk‖∞ ,

con lo que culmina la prueba.

El resultado anterior tambien vale en `∞(X,R). De hecho, vale en cualquier R o C espaciovectorial normado completo (se los llama espacios de Banach). Lo enunciamos solo paraCb(X, Y ) porque es lo que necesitaremos mas adelante.

A.18 Teoremas de Baire

Empecemos con un resultado facil que motivara lo que sigue: Sea (X, τ) un ET, y tomemosA,B ⊆ X dos cerrados. Luego se tiene que

(A ∪B) 6= ∅ =⇒ A 6= ∅ o B 6= ∅ , (A.28)

448

y quien dice dos, dice finitos (la induccion es directa). En efecto, tomando complementos,esto equivale a decir que, dados dos abiertos U, V ⊆ X, vale que

si tanto U como V son densos en X , tambien debe ser denso U ∩ V .

Veamos esto: Si me dan un x ∈ X y un W ∈ Oa(x), usando que U es denso tenemos que∅ 6= W ∩U ∈ τ . Tomando cualquier y ∈ W ∩U , nos queda que W ∩U ∈ Oa(y). Ahora porla densidad de V arribamos a que W ∩ (U ∩ V ) 6= ∅. Por ello, x ∈ U ∩ V .

Como decıamos antes, estos resultados se extienenden a uniones finitas de cerrados sin inte-rior, o intersecciones finitas de abiertos densos. Pensando en una generaliizacion a unioneso interseccioines infinitas, uno no puede aspirar a algo completamente general, porque encualquier espacio X que sea razonable, todo abierto es union de cerrados sin interior (lossingueletes de todos sus elementos).

Pero imginandose rectas en R2 o superficies en R3, uno llegarıa a arriesgar que si la cantinadde cerrados es numerable, podrıa valer una formula tipo (A.28). Sin embargo, algunas re-stricciones habra que poner. Por ejemplo, si X = Q, la obstruccion recien planteada seguirıavigente (con numerables puntos uno llena lo que sea). De hecho, mirando el argumento dearriba, si los abiertos fueran numerables harıa falta “encajar” infinitos entornos y que quedealgo en todos a la vez.

Y ahora les contamos el final: Como uno podrıa suponer por lo dicho antes, hay dos caminospara asegurarse la extension de (A.28) al caso numerable: que X sea un EM completo (bolascerradas encajadas), o que sea un ET localmente compacto Hausdorff (entornos compactos+ la PIF). Y el “detective” que los descubrio es Rene-Louis Baire.

Teorema A.18.1 (Baire). Sea (X, τ) un ET que cumple alguna de estas dos hipotesis:

EMC: X es un espacio metrico completo.

LKH: X es localmente compacto Hausdorff.

Entonces para toda familia numerable Fnn∈N de cerrados de X se tiene que

F n = ∅ para todo n ∈ N =⇒( ⋃n∈N

Fn

)= ∅ .

Existen otras dos maneras de enunciar lo mismo, que conviene explicitar:

B2: Si( ⋃n∈N

Fn

)6= ∅ (por ejemplo si

⋃n∈N

Fn = X), entonces algun F n 6= ∅.

B3: Dada una sucesion Unn∈N de abiertos densos, se tiene que⋂n∈N

Un es tambien densa.

Demostracion. Probaremos en ambos casos el enunciado B3. Observar que, si tenemoscerrados Fn como em B2, y para cada n ∈ N hacemos Un = X \ Fn , queda que

Un = X \ F n y que⋂n∈N

Un = X \⋃n∈N

Fn = X \( ⋃n∈N

Fn

).

449

Caso EMC: Sea x ∈ X y ε > 0. Tomemos la bola cerrada B0 = B(x, ε). Como U1 es denso,tenemos que ∅ 6= U1 ∩ B(x, ε) ∈ τ . Luego existe una bola B1 = B(x1 , ε1) ⊆ U1 ∩ B(x, ε),donde podemos asumir que ε1 ≤ ε

2.

Ahora cortamos B1 = B(x1 , ε1) con U2 . Por la densidad de U2 podemos armar una bolacerrada B2 , de radio no mayor a ε

4, tal que B2 ⊆ B1 ∩ U2 ⊆ U1 ∩ U2 . Recursivamente,

obtenemos una sucesion (Bn)n∈N de bolas cerradas tales que, para todo n ∈ N,

Bn ⊆⋂k∈ In

Uk , Bn+1 ⊆ Bn y diam (Bn) ≤ ε

2n.

La Prop. A.11.3 nos dice ahora que existe un y ∈⋂n∈N

Bn . Y la primera condicion de arriba

fuerza a que y ∈⋂n∈N

Un , ademas de estar en B(x, ε), que era un entorno generico del puntito

x. Ası llegamos a que x esta en la clausura de⋂n∈N

Un , para todo x ∈ X. 4

Caso LKH: La construccion es similar. Recordemos que, como ahora X es LKH, es biensabido que todo punto de X tiene una base de entornos compactos. Si me dan x ∈ X yun V ∈ Oa(x), como V ∩ U1 6= ∅, encuentro un y ∈ V ∩ U1 . Tomo un K1 ∈ O(y) que seacompacto tal que K1 ⊆ V ∩U1 . Despues corto K1 con U2 , y tomo un entorno compacto K2

de algun punto de K1 ∩ U2 ⊆ U1 ∩ U2 (K1 6= ∅ porque K1 es entorno de y). Ası siguiendo,construyo la sucesion (Kn)n∈N de compactos (con interior) tales que, para todo n ∈ N,

Kn ⊆⋂k∈ In

Uk y Kn+1 ⊆ Kn ⊆ K1 ⊆ V .

Ahora uso que K1 es compacto, y que la sucesion (Kn)n∈N tiene la PIF para K1 (todainterseccion finita me da el ultimo Kn 6= ∅ y ademas Kn ⊆ K1). Por ello, el Teo. A.12.3asegura que puedo tomar un z ∈

⋂n∈N

Kn 6= ∅. Como en el caso anterior, me queda que

z ∈ V ∩⋂n∈N

Un . Como V ∈ Oa(x) era generico, volvemos a llegar que x esta en la clausura

de⋂n∈N

Un , para todo x ∈ X.

Observacion A.18.2. Las pruebas de las dos mitades del Teorema de Baire son casi iguales,pero no se puede usar un solo argumento para ambas. Esto es ası porque hay espacios LKHque, aun siendo metricos no son completos, como el intervalo (0, 1). Y porque hay EM’scompletos donde las bolas (cerradas) no pueden ser compactas. Esto pasa en todos losespacios de Banach de dimension infinita. 4

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Analisis Funcional vs. Matricial