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lgebra Matricial
Octubre 2012
Diplomado en Administracin de Riesgos
Curso Propedutico
Profesor: Juan Francisco Islas A.
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Notacin
vector unitario
vector columna vector rengln
=
na
aM1
a ( )naa L1=Ta
=
1
1Mi ( )11 L=Ti
-
Notacin
matriz rectangular
matriz identidad
=
nmn
m
aa
aa
LMOM
L
1
111
A
matriz cuadradasi mn =matriz simtricasi jiaa jiij =
=
10
01
LMOM
LI
matriz cuadradacon
jiaia
ij
ii
==
01
-
Sistemas de Ecuaciones Lineales
)1(102 L=+ yx)2(823 L= yx
=
810
2312
yx
Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos
incgnitas
En forma matricial
En notacin compacta
bAx =
-
Regla de Cramer
La solucin al sistema de ecuaciones lineales incgnitas de la
formaes
bAx =( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 47
28132218210
2312
28110
1 ==
=
==AA
x
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) 27
141322
10382
231283
102
2 ==
=
==AA
y
-
-
Mtodo de la Matriz Inversa
A partir debAx =
Despejando
bAIx 1=
Premultiplicando ambos lados por 1A
bAAxA 11 =
bAx 1=
x
-
Mtodo de la Matriz Inversa
donde
( )AA
A Adj11 =Para el sistema de ecuaciones considerado:
=23
12
2312
11 AdjA
=
= 23
127
12132
)1)(3()2)(2(1
T
-
Mtodo de la Matriz Inversa
x
=
72
73
71
72
1A
Por lo tanto, la matriz inversa de es
El vector de solucin al sistema es
A
( ) ( )( ) ( )
=
=
+
=
==
24
714728
87210
73
87110
72
810
72
73
71
72
1bAx
-
Notas generales
=
2221
1211
aaaa
A
22xALa matriz inversa deSea
( )
===
2221
1211
2221
1211
1 11aaaa
Adj
aaaa
Adj AA
Ax
=
= 1121
1222
122122111112
2122
12212211
11aaaa
aaaaaaaa
aaaa
T
-
Notas generales
= 1A
12212211
11
12212211
21
12212211
12
12212211
22
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
-
Notas generales
= AA 1
2221
1211
12212211
11
12212211
21
12212211
12
12212211
22
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
IAAAA == 11Demostracin
I=
=
+
+
=1001
12212211
22111221
12212211
21111121
12212211
22121222
12212211
21121122
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
-
Notas generales
=1AA
12212211
11
12212211
21
12212211
12
12212211
22
2221
1211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaa
I=
=
+
+
=1001
12212211
11221221
12212211
21222221
12212211
11121211
12212211
21122211
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
-
Notas generales
=Ix
=
++=
2
1
21
21
2
1
1001
1001
xx
xxxx
xx
=Ix T ( ) ( ) ( )21212121 10011001
xxxxxxxx =++=
-
Ejercicio
)3(9.154.72.65.4)2(8.106.78.54.3)1(1.117.23.49.7
LLL
==+=+
zyxzyxzyx
=
9.158.101.11
4.72.65.46.78.54.3
7.23.49.7
zyx
Resolver el siguiente sistema de tresecuaciones lineales en tres
incgnitas
Planteamiento bAx =
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
SolucinbAx =
Despejando
bAIx 1=bAAxA 11 =
bAx 1=
x
donde
( )AA
A Adj11 =
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
Para el sistema de ecuaciones considerado:
=
4.72.65.46.78.54.3
7.23.49.7
4.72.65.46.78.54.3
7.23.49.711 AdjA
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
El determinante de es
4.72.65.46.78.54.3
7.23.49.7
=A
A
7.9 -4.3 2.73.4 5.8 -7.6
---
-799.83108.188-372.248-70.47-147.0656.916--339.068 =+=A
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
La matriz adjunta de es
T
=
8.54.33.49.7
6.74.37.29.7
6.78.57.23.4
2.65.43.49.7
4.75.47.29.7
4.72.67.23.4
2.65.48.54.3
4.75.46.74.3
4.72.66.78.5
4.72.65.46.78.54.3
7.23.49.7Adj
A
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
=
=
=
60.4429.6347.18-69.2270.61-9.04-17.0248.56-90.04-
31.269.2217.0229.6370.61-48.56-47.18-9.04-90.04-
8.54.33.49.7
6.74.37.29.7
6.78.57.23.4
2.65.43.49.7
4.75.47.29.7
4.72.67.23.4
2.65.48.54.3
4.75.46.74.3
4.72.66.78.5
T
T
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
Por lo tanto, la matriz inversa de es
( )
==
60.4429.6347.18-69.2270.61-9.04-17.0248.56-90.04-
799.83-111 A
AA Adj
A
=
=0.03704537-0.03704537-0.058987530.08654339-0.01130240.01130240.02127952-0.06071290.11257392
799.83-60.44
799.83-29.63
799.83-47.18-
799.83-69.22
799.83-70.61-
799.83-9.04-
799.83-17.02
799.83-48.56-
799.83-90.04-
1A
-
Mtodo de la Matriz Inversa 3x3
Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones es
=
==
95.030.0
57.1
9.158.101.11
0.03704537-0.03704537-0.058987530.08654339-0.01130240.01130240.02127952-0.06071290.11257392
1bAx
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En Excel
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En Stata
