aljabar, vektor, mata kuliah kalkulus, teori-teori matriks, rumus-rumus matriks, aljabar dan vektor.
ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis &
Matrices)
Pendahuluan
Pada Fisika : a. Besaran Vektor . b. Besaran Skalar
Besaran : sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan .
dengan angka * Definisi besaran Vektor : suatu besaran yg besarnya
dapat . diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah . Contoh :
kecepatan, gaya, dsb * Definisi besaran Skalar : suatu besaran yg
besarnya dapat . diukur tapi tidak mempunyai arah . Contoh : massa,
panjang, dsb.
ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis &
Matrices)
BAB 1. VEKTOR dan SKALAR
Operasi2 penjumlahan, pengurangan dan perkalian yg lazim . dalam
aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat di- . perluas
kedalam aljabar Vektor
Definisi dasar Aljabar Vektor 1. Dua buah vektor A dan B sama
jika memiliki besar dan . arah yg sama, tanpa memperhatikan titik
awalnya, A = B 2. Sebuah vektor yg arahnya berlawanan dengan vektor
A . tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh A 3. Jumlah
(resultan) dari dua vektor, A dan B adalah vektor C, . yg dibentuk
dengan menempatkan titik awal B pada titik . terminal A, lalu
menghubungkan titik awal A ke terminal B, . C = A + B 4. Selisih
vektor A dan B, yg dinyatakan oleh A B adalah C
.
yg bila ditambahkan B menghasilkan vektor A. . C = A B . = A +
(-B) . Bila A = B, maka A B = 0 sebagai vektor nol. 5. Hasil kali
vektor A dengan skalar m adalah vektor mA yg . besarnya |m| kali
besarnya A dan memiliki arah yg sama atau . berlawanan A,bergantung
pada apakah m positif /negatif. . Bila m = 0 maka mA adalah vektor
nol.
Hukum-hukum Aljabar Vektor
Bila A, B dan C adalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka :
1. A + B = B + A hukum Komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A +
B) + C hukum Asosiatif penjumlahan 3. mA = Am hukum Komutatif
perkalian 4. m(nA) = (mn)A hukum Asosiatif perkalian 5. (m + n)A =
mA + nA hukum Distributif 6. m(A + B) = mA + mB hukum
Distributif
VEKTOR SATUAN
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yg besarnya 1(satu) Bila A
adalah vektor yg besarnya A 0 maka adalah sebuah vektor satuan yg
arahnya sama dengan A. - Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh
sebuah vektor satuan . a dalam arah A, dikalikan dengan besarnya A.
Jadi A = Aa - Vektor satuan merupakan vektor yg panjangnya satu
satuan
Setiap vektor A = | | yang bukan nol, mempunyai vektor . satuan
: = = | | - Besar (panjang) vektor . Misalnya A = | | adalah vektor
di R2, maka besar vektor A : . | A | =
Contoh soal
1. Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, ma- .
sing-masing delapan macam ? 2. Hitunglah besar (panjang) vektor dan
vektor satuan dari . vektor A = ? 3. Buktikan bahwa penjumlahan
vektor adalah komutatif, yaitu . A + B = B + A ? Secara grafis ! 4.
Diketahui vektor2 : K = , L = dan M = bila . 3K 2L = - M maka
hitung nilai x ? 5. Tentukan resultan vektor2 berikut : . Vektor A,
15 m arah barat laut, B. 25 m. 30o disebelah . utara dari timur dan
C, 40 m ke selatan ?
Jawaban contoh soal
1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medan listrik,
me- . dan magnet, medan gravitasi, kohesi, adhesi, arus listrik,
pegas dll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalor jenis, volume,
luas, jarak, massa . jenis, intensitas cahaya, perbesaran lensa,
dll.
2. Besar(panjang) vektor A : A = . A = |A| = = = 5 . Vektor
satuan, A = = =
3. Hukum Komutatif penjumlahan : A + B = B + A . bukti : Q OP +
PQ = OQ A + B = C . P B OR + RQ = OR A + B = C . A C A Jadi : . C A
+ B = B + A . O B R
Jawaban contoh soal
4. 3K 2L = - M . 3 - 2 = - . + = . 6 2x = -2 . x = . x = 4
5. A = 15 m arah barat laut . B = 25 m arah utara dari timur 30o
. C = 40 m ke selatan
Jawaban contoh soal
U . B D = A + B + C . 30o Secara grafis : . A - pada ttk
terminal A tempatkan . 45o C ttk pangkal B . B T - pada ttk B
tempatkan ttk pang . kal C . D - resultan D dibentik dengan .
menghubungkan ttk pangkalA . S dengan ttk terminal C, jadi . D =
A+B+C
Secara grafis, resultan mempunyai besar 4,5 satuan, jadi
resultan D = 22,5 m dengan arah 60o disebelah selatan dari
timur.
Latihan soal/PR
1. a. Nyatakan vektor A secara aljabar ?
3 A(4,3) b. Hitunglah besar vektor A ?
c. Tentukan besar vektor satuan A ?
4
2. Hitunglah besar vektor dan vektor satuan dari vektor B =
?
3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif yaitu . A
+ B + C = (A + B) + C ?
4. Sebuah mobil sedan bergerak ke arah utara sejauh 4km, lalu
8km . ke arah timur laut. Tentukan vektor perpindahan resultannya
se- . cara grafis dan analitis, gambarkan perpindahan mobil secara
. grafis ?
BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k
- Himpunan vektor2 satuan penting adalah yg arahnya menurut .
sumbu2 x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang .
3-dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k.
z C
k
A
0
i j y B
x A
1. Vektor2 Satuan Tegak-lurus. i, j, k
- Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan .
tangan kanan, kecuali ada pernyataan lain. - Sistem ini
dianalogikan dengan sebuah sekrup berulir kanan . yg diputar 90o
dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sb z pos. - Bila tiga buah
vektor A, B dan C yg titik pangkalnya berhim- . pit dan tak
koplanar(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg .
sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau . sistem
dekstral. Analogi dengan sebuah sekrup (baut) berulir . kanan yg
diputar dengan sudut kurang dari 180o dari A ke B . maka akan
menuju arah C.
2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR
Setiap vektor A dalam ruang 3-dimensi bisa digambarkan dgn titik
pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat - A1, A2, A3 :
komponen2 dari vektor A dalam arah x, y dan z - A1i, A2j dan A3k :
vektor2 komponen dari A dlm arah x, y, z
Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah : . A = A1i + A2j +
A3k
Besar vektor A = | A | =
Khususnya, vektor posisi atau vektor jejari(radius vector) r
dari O ke titik (x, y, z) : . r = xi + yj + zk
Besar vektor r : . r = | r | =
3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR
Bila pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang,
dikaitkan sebuah skalar(bilangan) (x,y,z) maka disebut fungsi titik
skalar (scalar point function), medan skalar Contoh : 1. Temperatur
dalam laboratorium komputer . 2. (x,y,z) = x3y2 + y2z xz2
Jika pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang,
dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi titik
vektor (vector point function) dan dikatakan sebuah medan vektor
telah didefinisikan dalam R. Contoh : 1. Kecepatan fluida yg
bergerak dalam pipa 2. V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j 2x2z2 k - Medan
vektor stationer atau keadaan steady state adalah . sebuah medan
vektor yg tidak bergantung waktu.
4. Contoh soal
1. Diketahui vektor2 berikut, r = , s = , t = Bila . 3r - 2s =
-t, hitunglah nilai x dan y ?
2. Diberikan beberapa vektor, P = , Q = , R = dan . S =
.Tentukan nilai x dan y,bila PQ = RS dan bila PQ = SR
3. Koordinat titik A( 2,-5) dan vektor AB = 3i 4j , hitunglah .
koordinat titik B ?
4. Diberikan beberapa vektor, K = i - 2j + 2k, L = 2i - 4j - 4k
. dan M = 3i - 2j + 6k. Tentukan besar : a. | K |, |L |, | M | . b.
| K - L + M | c. 3K L + 2M
5. Diketahui medan skalar yg didefinisikan (x,y,z)= 3x2y xy3 . +
5z2 Tentukan pada titik-titik :
Contoh soal lanjutan
a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?
Jawaban contoh soal
1. 3r 2s = - t . - = . 3x 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = -3 + 6 3y = 4
+ 2 . x = 1 y = 2
2. PQ = RS PQ = SR
PQ = q p = = SR = . RS = s r = . = = . 4 = 2 - x -12 = y - 1 4 =
x - 2 - 12 = y - 1 . x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13
Jawaban contoh soal lanjutan
3. AB = b a = = 3i -4j = =
=
3 = x-2 - 4 = y + 5 . x = 5 y = - 9 . Jadi koordinat titik B
adalah B(5, -9)
4a. | K | = | i 2j + 2k | = = = 3 . | L | = | 2i 4j - 4k | = = =
6 . | M | = | 3i 2j + 6k | = = = 7
4b. K L + M = (i - 2j + 2k) (2i - 4j - 4k) + (3i 2j +6k) = 2i +
12k . | K L + M | = = = 2 4c. 3K L + 2M = (3i 6j + 6k) (2i 4j 4k) +
(6i 4j + 12k) = . 7i 6j + 22k
Jawaban contoh soal lanjutan
5. (x,y,z) = 3x2y xy3 + 5z2
(0,0,0) = 0
(1, 2, -2) = 3(1)2(2) (1)(2)3 + 5(-2)2 = 6 - 8 + 20 = 18
(1, 1, -2) = 3(1)2(1) (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 1 + 20 = 22
(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 8 + 45 = .
= 31
5. Soal Latihan/PR
1. Diketahui beberapa koordinat vektor2 : . A pada (4,3), B
pada( 2,-8), C(x,3) dan D(3,y). Tentukan . nilai x dan y bila : a.
AB = CD b. AB = DC ?
2. Koordinat vektor K(3,-5, 4) dan vektor KL = 2i 3j + 5k .
Hitunglah koordinat L ?
3. Diberikan beberapa vektor : R = 2i 2j + k, S = 4i 4j + 2k .
dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S | + | T | . b. | R +
S + T | c. | 3R - 2S - T |
4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vek- .
tor-vektor A = 5i + 4j + 2k dan B = 3i + 2j + k ? 5. Sebuah beban
50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah . tali seperti pada
gambar di bawah.Tentukan tegangan T pada . tali ?
Soal Latihan/PR lanjutan
. T1 T2 .
600 600 .
T
50 kg
BAB 3. HASIL-KALI TITIK DAN HASIL-KALI SILANG
Pendahuluan
Pada vektor terdapat dua perkalian, perkalian skalar dan per-
kalian vektor
Perkalian skalar dua vektor dinamakan hasil-kali
titik(skalar)
Perkalian vektor dua vektor disebut hasil-kali silang
(vektor)
Hukum-hukum yg berlaku pada kedua perkalian itu ; hasil-kali
titik dan hasil-kali silang
1. Hasil-kali Titik (Skalar)
Perkalian Skalar dua buah vektor disebut juga hasil-kali titik
atau dot product.
Hasil-kali titik (skalar) dua buah vektor, A dan B, yg
dinyatakan oleh A B didefinisikan sebagai hasil-kali antara
besarnya vektor2 A dan B serta cosinus antara keduanya : . A B = |
A | | B | cos dimana 0
Bila diketahui A = B = maka, A B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1 z2),
dimana | A | = dan | B |=
Bila A B = 0 maka A B Jadi hasil-kali skalar dua vektor adalah
suatu bilangan(skalar)
Hasil-kali Titik (Skalar) lanjutan
4. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor atau hukum-hukum pada
hasil-kali titik : 1. A B = B A Hukum Komutatif 2. A (B + C) = A B
+ A C Hukum Distributif 3. m (A B) = (mA) B = A (mB) = (A B)m 4. i
i = j j = k k = 1 . i j = j k = k i = 0 5. A A = | A |2 6. Bila : A
= A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka . A B = A1B1 + A2B2
+ A3B3 . A A = | A |2 = A12 + A22 + A32 . B B = | B |2 = B12 + B22
+ B32
7. Besar sudut antara dua vektor
Bila diketahui A, B dan < A B = , maka . cos = =
8. Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain . Bila C
adalah proyeksi A pada B, maka
a. Proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor
A pada B adalah : C = hasilnya skalar(bilangan) . b. Proyeksi
vektor orthogonal A pada B adalah : . C = hasilnya vektor.
2. Hasil-kali Silang (Vektor) cross product
1). Hasil-kali silang (vektor) dari dua vektor A dan B adalah .
sebuah vektor C = A x B. Besar A x B didefinisikan sebagai .
hasil-kali antara besarnya A dan B serta sinus sudur anta- . ra
keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang . yg memuat
A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C . membentuk sistem
tangan kanan.
A x B = | A | | B | sin u , dimana 0 dan . - u adalah vektor
satuan yg menunjukkan arah dari A x B . - bila A = B atau A sejajar
B maka sin = 0 dan didefinisi- . kan A x B = 0
2). Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali silang
a. A x B = - B x A hukum Komutatif . b. A x (B + C) = A x B + A
x C hukum Distributif . c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x
B)m . d. i x i = j x j = k x k = 0 . i x j = k . j x k = i . k x i
= j . e. Bila A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka
. A x B =
f. Besar A x B = luas jajaran genjang dengan sisi A, B
g. Bila A x B = 0, A dan B bukan vektor2nol maka
A dan B sejajar.
Contoh Soal Hasil-kali Titik
1. a. i i = d. j k = . b. i j = e. j (2i 2j 2k) = . c. i . k =
f. (2i j) (2i k) =
2. Bila diketahui vektor P = 2i 2j k dan Q = i - 4j + 8k, . maka
tentukan : a. | P | c. P Q . b. | Q | d. sudut .
3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dan sudut antara vektor A dan B .
adalah 60o. Tentukan | A B | ?
4. Bila sudut antara vektor K = i + j + a k dan L = i - j . + a
k, adalah 60o Tentukan besar a ?
Jawaban contoh Soal Hasil-kali Titik
1a. i i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i j = | i |
| j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i j = | i | | k | cos 90o =
(1)(1)(0) = 0 . d. j (2i 2j 2k) = 2j i 2j j 2j k = 0 2 - 0 = 2 . e.
(2i j) (2i + k ) = 2i (2i + k) j (2i + k) = 4i i + 2i k . 2j i j k
= 4 + 0 0 0 = 4
2a. | P | = = 3 b. | Q | = = 8 c. P Q = (2)(1) + (-2)(-4) +
(1)(8) = 2 + 8 + 8 = 18 d. cos = = = = arc cos 0,667 = 48,50
3. | A B |2 = | A |2 + | B |2 2 | A | | B | cos 600 =
122 + 82 2 (12)(8)(0,5) = 112 | A B | = 4
Jawaban contoh soal Hasil-kali Titik lanjutan
4. K . L = | K | | L | cos cos = =
cos 600 = =
=
-2 + 2a2 = 12 + 2 + a2
a2 = 5
a = = 2,2360
SOAL LATIHAN/PR Hasil-kali Titik
1a. i (3i 2j k) = . b. (2i j) (i + 2j) . c. k k = . d. i . [ (i
3j k) . (3i 2j + 3k)] =
2. Bila P = P1i + P2j + P3k dan Q = Q1i + Q2j + Q3k maka bukti .
kan P . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ?
3. Tentukan sudut antara vektor2 K = 2i + 2j k dan . L = 6i 3j -
2k ?
4. Tentukan proyeksi vektor A = i 2j + k dan B = -4i 4j +7k
Contoh soal Hasil-kali Silang
Tentukan hasilnya : a. i x j = . b. j x k = e. j x j = h. i x k
= . c. k x i = f. k x j = i. i x i = . d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k)
j. 2j x i 3k =
Bila P = 2i 3j k dan Q = i + 4j - 2k, maka tentukan a. P x Q =
b. Q x P = c. (P + Q) x (P Q) =
Jika K = 3i 2j + 2k, L = 2i + j k dan M = i 2j + 2k carilah : a.
(K x L) x M . b. K x (L x M) ?
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang
1.a. i x j = k f. k x j = - j x k = - i . b. j x k = I g. (2i) x
(-3k) = 3k x 2i = 6j . c. k x i = j h. i x k = - k x i = - j . d.
2i x 3k = - 3k x 2i = - 6j j. (2j x i) 3k =(-i x 2j)-3k= - 5k
2a. P x Q= i j k . 2 -3 -1 = i -3 -1 - j 2 -1 + k 2 - 3 = 10 i +
3j + 11k . 1 4 -2 4 -2 1 -2 1 4
metode lain : (2i -3j -k)x(i + 4j -2k)= 2i x(i + 4j -2k) 3j
x(i+4j-2k) . k x(i + 4j -2k)= 2i x i + 8i x j 4i x k + 3j x i 12j x
j + 6j x k . k x i 4k x j + 2k x k = 0 + 8k + 4j + 3k 0 + 6i - j +
4i + 0 . = 10i + 3j + 11k
ataupun metode lainnya : (-3)(-2) (-1)(4) 10 . (-1) (1) - (2)
(-2) = 3 . (2) (4) - (-3) (1) 11
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang lanjutan
2b. (Q x P) = i j k . 1 4 -2 = (i + 4j 2k) x ( 2i 3j k) . 2 -3
-1
= i 4 -2 - j 1 -2 + k 1 4 = - 10 i 3j 11k . -3 -1 2 -1 2 -3
2c. P + Q = (2i 3j k) + (i + 4j 2k) = 3i + j 3k . P Q = (2i 3j
k) - (i + 4j 2k) = i 7j + k, maka
(P + Q) x (P Q) = (3i + j 3k) x (i 7j + k) = i j k . 3 1 -3 = .
1 -7 1 . i 1 -3 - j 3 -3 + k 3 1 = - 20i 6j 22k . . -7 1 1 1 1 -7 .
atau dengan metode lain :
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang lanjutan
(P + Q) x (P Q) = P x (P Q) + Q x (P Q) . = P x P P x Q + Q x P
Q x Q = - P x Q P x Q . = - 2 (P x Q) = - 2 (10i + 3j + 11k) = -20i
6j 22k
3a. (K x L) x M =
K x L = i j k . 3 -1 2 = - i + 7j + 5k maka . 2 1 -1 . (K x L) x
M = (-i + 7j + 5k) x (i 2j + 2k) = i j k . -1 7 5 = 24i + 7j 5k . 1
-2 2
3b. K x (L x M) =
L x M = i j k . 2 1 -1 = 0i 5j 3k . 1 2 -2 maka
Jawaban contoh soal Hasil-kali Silang lanjutan
K x (L x M) = (3i j + 2k) x (-5j 5k) =
i j k . 3 -1 2 = 15i + 15j 15k . 0 -5 -5 Jadi (K x L) x M K x (L
x M), yg memperlihatkan perlunya tanda kurung dalam K x L x M untuk
menghindari tafsir ganda.
Latihan soal/PR Hasil-kali Silang
1a. 3k x 3j = c. k x (-3k) = e. 5j x 5i 5k = . b. 4i x (-5k) =
d. 6i x 4k =
2. Bila diketahui vektor P = (3, 2, -1), Q = (0, 2, -3) dan R
=(2, 6, 7) . Maka tentukan : a. Q x R = . b. P x (Q x R) = . c. P x
Q 2R =
3. Hitunglah luas segitiga yg titik-titik sudutnya berada di . A
= (1, 2, 3), B = (2, -1, 2) dan C = (-1, 2, 3) ?
4. Tentukan vektor satuan yg tegak-lurus bidang K = 2i 6j 3k, .
L = 4i + 3j k, serta hitung vektor satuan yg sejajar K x L ?
3. Hasil-kali Tripel triple product
Hasil-kali titik dan silang dari tiga buah vektor A, B dan C
dapat menghasilkan hasil-kali yg mempunyai arti dalam bentuk2 sbb :
(A B)C , A (B x C) dan A x (B x C).
Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali tripel : 1. (A B)C A(B C)
2. A (B x C) = B (C x A) = C (A x B) = volume sebuah . jajaran
genjang ruang yg memiliki sisi-sisi A, B dan C atau . negatif dari
volume ini, sesuai dengan apakah A, B dan C . membentuk sebuah
sistem tangan kanan atau tidak. Bila . A = A1i + A2j + A3k, B = B1i
+ B2j + B3k dan C = C1i + . C2j + C3k , maka :
A (B x C) = A1 A2 A3 . B1 B2 B3 . C1 C2 C3
Hasil-kali Tripel triple product
3. A x (B x C) (A x B) x C Hukum Asosiatif 4. A x (B x C) = (A
C)B (A B)C . A x (B x C) = (A C)B (B C) A 5. Hasil-kali A (B x C)
seringkali disebut hasil-kali tripel . skalar atau hasil-kali kotak
dan dapat dinyatakan dengan . ABC . Hasil-kali A x (B x C) disebut
hasil-kali tripel vektor 6. Dalam A (B x C) seringkali tanda
kurungnya dihilangkan, . ditulis sebagai A B x C. Sedangkan tanda
kurung harus . dipakai dalam A x (B x C).
Contoh soal Hasil-kali Tripel
Bila P = P1i + P2j + P3k, Q = Q1i + Q2j + Q3k, R= R1i + R2j +
R3k. Buktikan bahwa P (Q x R) = P1 P2 P3 . Q1 Q2 Q3 . R1 R2 R3
Bila A = 2i 3j , B = i + j k ,C = 3i k, hitunglah A (B x C)
Tentukan persamaan untuk bidang yg ditentukan oleh titik2
K(2,-1, 1), L(3, 2, -1) dan M(-1, 3, 2) ?
Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel
P (Q x R) = P i j k . Q1 Q2 Q3 . R1 R2 R3 . = (P1i + P2j + P3k)
[(Q2R3- Q3R2) i + (Q1R3 Q3R1) j + . (Q1R2 Q3R1) k] . = P1(Q2R3-
Q3R2 ) P2 (Q1R3 Q3R1) + P3 (Q1R2 Q3R1) . = P1 P2 P3 . Q1 Q2 Q3 . R1
R2 R3
Cara-1
A (B x C) = (2i 3j) i j k . 1 1 -1 = (2i 3j +0) . (- i 2j 3k) .
3 0 -1 = -2 + 6 +0 = 4
Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel lanjutan
Cara-2
A (B x C) = 2 3 0 . 1 1 -1 = - 2 + 6 = 4 . 3 0 -1
Cara-3
A (B x C) = (2i 3j + 0) [(i + j k) x (3i + 0 k)] . = (2i 3j + 0)
(3i x i i x j + 3j x i j x k 3k x j + k x k . = (2i 3j + 0) (0 + j
3k i 3j + 0) . = (2i 3j + 0) ( - i 2j 3k) . = (2)(-1) + (-3)(-2) +
0(-3) = 4
3. Vektor2kedudukan dari K, L, M dan sebarang titik N(x,y,z)
ada- . lah : A1 = 2i j + k, A2 = 3i + 2j k, A3 = - i + 3j 2k dan .
A = xi + yj + zk.
Jawaban contoh soal Hasil-kali Tripel lanjutan
Maka : NK = A A1 = (x 2)i + (y + 1)j + (z 1)k . LK = A2 A1 = (3
2)i + (2 + 1)j + (-1 1)k = i + 3j 2k . MK = A3 A1 = (-1 2)i +
(3+1)j (2- 1)k = - 2i + 4j + k Semuanya terletak pada bidang yg
dikehendaki, sehingga : NK (LK x MK) = 0 A A1 [(A2 A1) x (A3 A1)]
[(x 2)i + (y + 1)j + (z 1)k] [(i + 3j 2k) x (- 3i + 4j + k)] = 0
[(x 2)i + (y + 1)j + (z 1)k] (11i + 5j + 13k) = 0 11(x 2) + 5(y +
1) + 13(z 1) = 0 11x 22 + 5y + 5 + 13z 13 11x + 5y + 13z = 13 + 22
5 11x + 5y + 13z = 30
Soal Latihan/PR Hasil-kali Tripel
Bila diketahui vektor A = 3i 2j , B = i + j k dan C = 3i k maka
hitunglah A B x C ?
Tentukan persamaan bidang yg ditentukan oleh titik-titik
A(2,1,1), B(3, 2, 1) dan C(1, 3, 2) ?
4. Himpunan Vektor2 Resiprokal (Reciprocal)
- Himpunan vektor2 A, B, C dan A, B, C disebut himpunan . atau
sistem vektor2 resiprokal bila :
A A = B B = C C = 1
A B = A C = B A = B C = C A = C B = 0 - Himpunan A, B, C dan A,
B, C adalah himpunan vektor2 . . Resiprokal jika dan hanya jika
:
A = , B = , C =
dimana A B x C 0
Contoh soal Vektor-vektor Resiprokal
Bila diketahui vektor A = 2i + 3j k , B = i j +2k , dan C = - i
+ 2j + 2k. Tentukan suatu himpunan vektor-vektor Resiprokal
terhadap himpunan vektor-vektor tersebut ?
Dari ketentuan (rumus) di atas buktikan bahwa A A = B B = 1
?
Jawaban contoh soal Vektor-vektor Resiprokal
A = , B = dan C =
B x C = i j k . . 1 -1 2 . -1 2 2 = i(2) j(0) + k = 2 i 0j +
k
A B x C = (2i + 3j k ) (2i 0 k) = 4 + 0 -1 = 3
A = = = i + k
C x A = i j k . -1 2 2 . 2 3 -1 = i (-8) + j (3) k (-7) = - 8i +
3j 7k
B = = = - i + j - k
A x B = i j k . 2 3 -1 . 1 -1 -2 = i(-7) + j(3) + k(-5) = - 7i +
3j 5k
C = = = - i + j - k
Jawaban contoh soal Vektor2 Resiprokal - lanjutan
2. A A = B B = 1
A A = A A = A = = 1
B B = B B = B = = 1
Soal Latihan/PR Vektor2 Resiprokal
1. Tentukan himpunan vektor-vektor resiprokal terhadap himpunan
. vektor P = 2i + 2j + 3k, Q = i + j + 2k dan R = i + 2j + 2k ?
2. Tentukan himpunan vektor-vektor resiprokal dari beberapa
vektor . ini, K = (1, 0, 2) , L = (3, 1, 2) dan M = (-2, 1 , 3)
?
BAB 4. DIFERENSIASI VEKTOR
Pendahuluan
- Pada bab ini terdapat 5 sub-bab yg perlu diketahui - Ke-5
sub-bab itu merupakan dasar dari diferensiasi vektor - Lima sub-bab
yg dipelajari meliputi : . a. Turunan biasa Vektor : turunan
pertama dan kedua dari vektor . b. Kurva-kurva Ruang : turunan pada
suatu lintasan tertentu . c. Kontinuitas dan Diferensiabilitas :
fungsi skalar dan vektor . d. Rumus Diferensiasi : fungsi skalar
dan vektor yg diferen- . siabel . e. Turunan Parsial Vektor :
turunan yg lebih dari satu variabel.
1. Turunan Biasa Vektor
Bila R(u) adalah sebuah vektor yg bergantung pada sebuah
variabel skalar tunggal u, maka : = dimana u menunjuk- kan suatu
pertambahan dalam u.
. R(u+u) R = R(u+u) R(u) . . R(u)
Turunan biasa dari vektor R(u) terhadap skalar u : . = lim = lim
. u 0 u 0
karena = sebuah vektor yg bergantung pada u, maka dapat di-
tinjau lagi terhadap u. Bila turunan ini ada, maka dinyatakan
oleh
2. Kurva-kurva Ruang
- Bila R(u) adalah vektor kedudukan r(u) yg menghubungkan titik
asal 0 dari suatu sistem koordinat dan sembarang titik (x,y,z) maka
: r(u) = x(u)i + y(u)j + z(u)k dimana vektor r(u) men- definisikan
x,y dan z sebagai fungsi2 u. - Bila u berubah, titik terminal r
menggambarkan sebuah kurva ruang yg mempunyai persamaan : x = x(u),
y = y(u) dan z =z(u) maka : = merupakan suatu vektor yg searah
r.
Bila : lim = ada, maka limitnya akan berupa vektor yg searah
dengan arah garis singgung pada kurva ruang di (x,y,z), diberikan
oleh : = + +
Bila u adalah waktu t, maka adalah kecepatan v, yg mana
dengannya titik terminal r melukiskan kurvanya. Demikian pula
dengan = = adalah percepatan a sepanjang kurva.
3. Kontinuitas dan Diferensiabilitas
Sebuah fungsi skalar (u), dikatakan kontinui di u bila . lim
(u+u) = (u) . u 0
Fungsi (u) kontinu di u bila untuk setiap bilangan positif dapat
memperoleh bilangan : . | (u+u) (u) | < bila | u | <
Sebuah fungsi vektor R(u) = R1(u)i + R2(u)j + R3(u)k disebut
kontinu di u bila ketiga fungsi skalar R1(u), R2(u) dan R3(u)
kontinu di u atau jika lim (u+u) = R(u) . u 0
Fungsi vektor R(u) kontinu di u bila untuk setiap bilangan
postif . kita dapat menemukan bilangan positif : . | R(u+u) R(u) |
< , bila | u | <
4. Rumus-rumus Diferensiasi
Bila A, B dan C adalah fungsi2 vektor dari sebuah skalar u yg
diferensiabel dan sebuah fungsi sakalar dari u yg diferensiabel
maka :
(A + B) = +
(A B) = A + B
(A x B) = A x + x B
( A ) = + A
(A B x C) = A B x + A x C + B x C
(A x (B x C)) = A x (B x ) + A x x C + (B x C)
5. Turunan Parsial dari Vektor
Bila A adalah sebuah vektor yg bergantung pada lebih dari satu
variabel skalar, misalnya x, y, z maka dituliskan A = A(x,y,z)
Turunan parsial dari A terhadap x didefinisikan : . = lim . . x
0
= lim . . y 0
= lim . . z 0
adalah masing2 turunan parsial dari A terhadap x, y dan z bila
limitnya ada.
.
Untuk fungsi2dari dua atau lebih variabel, dipergunakan istilah
diferensiabel dengan pengertian bahwa fungsinya memiliki turunan2
parsial pertama yg kontinu. Jadi turunan parsial yg lebih tinggi
:
= ( ) , = ( ) , = ( ) dan
= ( ) , = ( ) , = ( )
Bila A memiliki se-kurang2nya turunan2 parsial orde kedua yg
Kontinu maka : =
Aturan2 untuk turunan parsial vektor, mirip dengan yg dipakai
da- lam kalkulus elementer dari fungsi2 skalar.
.
Bila A dan B adalah fungsi2 dari x, y, z maka :
(A B) = A + B
(A x B) = A x + x B
(A B) = (A B)) = (A + B)
= A + + + B
Contoh soal Diferensiasi Vektor
1. Diketahui vektor A = t2 i - t j + t2 k, maka tentukan : . a.
= c. = . b. | | = d. | | =
2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaan
para . meternya ; x = e-t , y = 3 cos 2t dan z = 3 sin 2t, dimana t
adalah . waktu. Tentukan : a. kecepatan dan percepatannya pada
sebarang . waktu ?
b. besar kecepatan dan percepatan pada t = 0 s
3. Diberikan vektor2 P = t i 2t2 k, Q = t3 i t k, R = i + t j +
t3 k.
Tentukan : a. (P Q) = c. (2P 3R) = . b. (R P = d. 6(Q R) =
Contoh soal Diferensiasi Vektor lanjutan
4. Bila K = (3x3 y2 x4)i + (exy y sin x)j + (x3 cos y)k, maka .
tentukan : a. = d. = . b. = e. = . c. = f. =
5. Bila (x,y,z) = x2yz2 dan A = xz i x2y j + yz2 k, maka .
tentukan (A) pada titik (2, -1, 1) ?
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor
A = t2i t j + t2 k
a. = 2t i j + 2t k . . b. = 2 i 0j + 2 k = 2 i + 2 k . . c. | |
= = = 3 . . d. | | = = = 2
r = x i + y j + z k = e-t i + 3 cos 2t j + 3 sin 2t k . a. v = =
- e-t 6 sin 2t + 6 cos 2t . . a = = = e-t i 12 cos 2t j - 12 sin 2t
k
b. t = 0 sec.
v = - e-0 6 sin 00 + 6 cos 0t = - i + 6 k . a = e-0 i 12 cos 0 j
- 12 sin 0 k = i 12 j . Besarnya : | v | = = = 6,083 . | a | = = =
12,042
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor - lanjutan
3. P = t i 2t2 k , Q = t3 i t k , R = i + t j + t3 k
a. (P Q) = P (t3 i t k) + Q (t i 2t2 k)
= (t i 2t2 k) (3t2 i k) + (i 4t k) (t3 i t k)
= 3t3 + 2t2 + t3 + 4t2 = 4t3 + 6t2 = 2t2 (3 + 2t)
b. (2P 3R) = 2P 3(i + t j + t3 k) + 3R . 2(t i 2t2 k)
= (2t i 4t2 k) . (0i + 3 j + 9t2 k) + (3t i + 3t j + . (3t3k) .
(2i 8t k) =0 36t2 + 6 + 0 24t4 =
= - 60t4 + 6 = 6(1 10t4)
c. (R P) = R . + P . = (i + t j + t3 k) . (i 4t k) + (t i .
2t2k) . (3t2 i k) = (1 + 0 4t4) + (3t3 + 2t2) =
. 2t2 + 3t3 4t4 + 1
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor lanjutan
3d. 6(Q R) = 6Q . + 6R .
= (6t3 i 6t k) . (0 + j + 3t2 k) + (6 i + 6t j + 6t3 k) . . (3t2
i k) = 0 18t3 + 18t2 6t3
= 18t2 24t3
4. a. = (3x3 y2 x4)i + (exy y sin x)j + (x3 cos y)k
= (9x2y2 4x3)i + (y exy y cosx) j + (3x2 cosy) k
b. = (3x3 y2 x4)i + (exy y sin x)j + (x3 cos y)k
= (6x3y x4) i + (x exy y sinx) j + (3x2 (-siny)) k
= 6x3y i + (x exy sin x) j (3x2 sin y) k
c. = (9x2y2 4x3)i + (y exy y cosx) j + (3x2 cosy) k
= (18xy2 12x2)i + (y2 exy + y sin x) j + (6x cos y) k
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor lanjutan
4d. = (6x3 y)i + (xexy sin x)j + (3x2 sin y)k
= 6x3 i + (x2 exy cos x) j (3x2 cos y) k
4e. = 6x3y i + (x exy sin x) j (3x2 sin y) k
= (18 x2y) i + (xy exy cos x) j (6x sin y) k
4e. = (9x2y2 4x3)i + (y exy y cosx) j + (3x2 cosy) k
= (18x2y) i + (xy exy cos x) j (3x2 sin y) k
5. A = x2yz2 (xz i x2y j + yz2 k) = x3yz3 i x4y2z2 j + x2y2z4
k
A = x3yz3 i x4y2z2 j + x2y2z4 k = 3x3yz2 i 2x4y2z j + . 4x2y2z3
k
A = 3x3yz2 i 2x4y2z j + 4x2y2z3 k = 9x2yz2 i 8x3y2z j + . 8xy2z3
k
Jawaban contoh soal Diferensiasi Vektor lanjutan
Jadi : a = 9x2yz2 i 8x3y2z j + 8xy2z3 k= 18xyz2 i 24x2y2z j +
8y2z3 k , maka pada titik (2, -1, 1) adalah :
= 18 (2)(-1)(1)2 i 24 (2)2(-1)2(1) j + 8 (-1)2 (1)2 k
= - 36 I + 96 j + 8 k.
Soal Latihan/PR
Diberikan vektor K = sin a i + cos a j + a k . Tentukan :
a. = c. | =
b. = d. | =
2. Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva x = 2t2, y = t2 4t
dan z = 3t 5, dimana t adalah waktu. Tentukan komponen2 kecepatan
dan percepatan pada t = 1s dalam arah i 3j + 2k ?
3. Bila diketahui vektor P = 5t2 i + t j t3 k , Q = sin t i cos
t j . tentukan : a. (P . Q) b. (P x Q) = ?
4. Bila diberikan D = (2x2y - x4) i + (exy y sin x) j + (x2 cos
y) k maka tentukan : a. b. c.
d. e. f.
BAB 5. GRADIEN, DIVERGENSI DAN CURL
Pendahuluan
- Perlu mengetahui Operator Diferensial Vektor, DEL = , yg .
didefinisikan :
= i + j + k = i + j + k
Operator vektor ini memiliki sifat2 yg analog dengan vektor2 .
biasa.
Sangat perlu untuk mendefinisikan tiga besaran berikut yg muncul
dalam pemakaian praktis yg dikenal sebagai gradien, divergensi dan
curl. Operator juga disebut sebagai nabla.
1. GRADIEN
Bila (x,yz) terdefinisikan dan diferensiabel pada tiap2 titik
(x, . y,z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang, yaitu
mendefinisi-. kan sebuah medan skalar diferensiabel, gradien ,
ditulis . didefinisikan : = ( i + j + k) = i + j + k . perhatikan
bahwa mendefinisikan sebuah medan vektor. . Komponen dalam arah
vektor satuan a, diberikan oleh .a . dan disebut turunan arah dari
pada arah a. Secara fisika ini . adalah laju perubahan pada (x,y,z)
dalam arah a.
2. DIVERGENSI
Bila V(x,y,z) = V1 i + V2 j + V3 k terdefinisikan dan
diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang, yaitu V
mendefinisikan sebuah medan vektor, maka divergensi V, ditulis V,
didefinisikan
V = i + j + k) (V1 i + V2 j + V3 k)
= + +
Perhatikan analoginya dengan A B = A1B1 + A2B2 + A3B3
Dan perhatikan pula V x V dan
3. CURL
Bila W(x,y,z) adalah sebuah medan vektor diferensiabel, maka .
curl atau rotasi dari W, ditulis curl W atau rot W :
x W = ( i + j + k) x (W1 i + W2 j + W3 k)
= i j k . . W1 W2 W3
= i + j + k = . W2 W3 W1 W3 W1 W2
= ( - ) i + ( - ) j + ( - k
Perhatikan, dalam penguraian determinan, operator2 , , harus
mendahului W1, W2, W3
4. RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG
Bila A dan B adalah fungsi2 vektor yg diferensiabel dan dan
fungsi2 skalar dari kedudukan (x,y,z) yg diferensiabel, maka :
( + ) = + atau grad ( + ) = grad + grad
(A + B) = A + B atau div (A + B) = div A + div B
x (A + B) = x A + x B , curl (A + B) = curl A + curl B
(A) = () A + ( A)
x (A) = () x A + ( x A)
(A x B) = B ( x A) - A ( x B)
x (A x B) = (B ) A - B ( A) (A )B + A( B)
(A B) = (B . )A + (A )B + B x ( x A) + A x ( x B)
() = 2 =
RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG - lanjutan
dimana 2 = + + disebut operator Laplace
10. x () = 0, curl dari gradien adalah nol
11. ( x A) = 0, divergensi dari curl A adalah nol
12. x ( x A) = ( A) - 2 A
Contoh soal Gradien, Divergensi dan Curl
1. Bila (x,y,z) = 2x2 2y3z2, tentukan pada titik (1, 2, -1)
?
2. Hitunglah A bila besar A = , dimana r = x i + y j + z k ?
3. Tentukan normal satuan terhadap permukaan x2y + 2xz = 4 pada
. titik (2, -2, 3) ?
4. Bila diketahui P = 2X2Z i 3y3z2 j xy2z2 k , tentuka P pada .
titik (1, 2, 3) ?
5. Jika diberikan sebuah vektor K = xz2 i 2x2y2z j + 2yz4 k ,
maka . tentukan x K pada titik (1, -1, 1) ?
6. Bila a = 2x2y2z2, maka tentukanlah a = (a) ?
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl
(x,y,z) = 2x2 2y3z2 , maka besar pada titik (1, 2, -1) :
= ( i + j + k) (2x2 2y3z2) . = (2x2 2y3z2) + (2x2 2y3z2) + (2x2
2y3z2) . = (4x 0) i + (0 6y2z2 j + (0 4y3z) k = . = 4x i 6y2z2 j
4y3z k . maka pada titik(1, 2, -1) adalah : 4(1) i 6(2)2(-1)2 j
4(2)3(-1)k . = 4 i 24 j + 32 k
2. A = = , maka A = [(x2 + y2 + z2)-] . = i (x2 + y2 + z2)- + j
(x2 + y2 + z2)- + k (x2 + y2 + z2)- . = i [(-)(2x) (x2 + y2 +
z2)-1] + j [(-)(2y) (x2 + y2 + z2)-1] + . k [(-)(2z) (x2 + y2 +
z2)-1] . = =
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl lanjutan
3. Permukaan datar x2y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3)
(x2y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x2 j + 2x k . pada titik (2, -2, 3)
adalah : = 2(2)(-2) + 2(3) i + (2)2 j + 2(2) k . = - 2 i + 4 j + 4
k , . maka normal satuan terhadap permukaan datar adalah :
= - i + j + k
= - i + j + k
Sedangkan normal satuan yang lain adalah : i - j - k
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl lanjutan
4. P = 2x2z i 3y3z2 j xy2z2 k pada titik (1, 2, 3)
P = i + j + k) (2x2z i 3y3z2 j xy2z2 k) . = (2x2z) - (3y3z2) -
(xy2z2)
= 4xz 9y2z2 2xy2z . pada titik (1, 2, 3) adalah : . = 4(1)(3)
9(2)2(3) 2(1)(2)2(3) . = 12 324 24 . = - 288
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl lanjutan
5. K = xz2 i 2x2y2z j + 2yz4 k pada titik (1, -1, 1)
x K = i + j + k) x (xz2 i 2x2y2z j 2yz4 k) . = i j k . . xz2
-2x2y2z 2yz4 = (2z4 + 2x2y2) i 2xz j 4xy2z k . Pada titik (1, -1,
1) :
2(1)4 + 2(1)2(-1)2 i 2(1)(1) j 4(1)(-1)2(1) k = . (2 + 2) i 2 j
4 k = . 4 i 2 j 4 k
Jawaban contoh soal Gradien, Divergensi, dan Curl lanjutan
6. a = 2x2y2z2 , maka (a) = . = [i( 2y2x2z2) + j ( 2y2x2z2) + k
( 2y2x2z2)]
= [(4xy2z2) i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ]
= ( i + j + k) [(4xy2z2 )i + (4x2yz2) j + (4x2y2z) k ]
= 4y2z2 + 4x2z2 + 4x2y2
= 4(x2y2 + x2z2 + y2z2)
Soal Latihan/PR
Bila (x,y,z) = 3x2y y3z2 ,tentukan atau grad pada titik . (1,
-2, -1) ?
Bila = | ln r | , tentukan , dimana r = x i + y j + z k ?
Tentukan persamaan untuk bidang singgung terhadap permuka- an
2xz2 3xy 4x = 7 pada titik T(x, y, z) ?
Diberikan skalar p = 3x3y2z3 , tentukanlah atau div. grad. p
?
Bila diketahui vektor F = x2y2 i 2xz2 j + 2yz2 k , tentukanlah x
( x F) ?
