อยากรจกเรว ๆ แลวส

เย!

มทฤษฎบทใหมๆทนาสนใจอกแลวนะ

เลม22

แปลจาก... Tanoshiku Manabu Sugaku no Kiso

-Zukei Bunya- <Ge: Tairyoku Zokyo Hen>

โดย… Tadahiko Hoshida

แปลโดย… ดร.อรรณพ เรองวเศษ

300.-

■ บรรณาธการบรหาร ทวยา วณณะวโรจน หวหนากองบรรณาธการ แทนพร เลศวฒภทร บรรณาธการเลม

พรรณพมล กจไพฑรย ออกแบบปก ภาณพนธ โนวยทธ ออกแบบรปเลม ธารน คตตะสงค ธรการสำานกพมพ องคณา

อรรถพงศธร ■ พมพท : หจก. ท.เอส.บ. โปรดกส.

จดพมพโดย สำานกพมพ ส.ส.ท.

สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน) 5-7 ซอยสขมวท 29 ถนนสขมวท แขวงคลองเตยเหนอ เขตวฒนา กรงเทพฯ 10110 โทร. 0-2258-0320 (6 เลขหมายอตโนมต), 0-2259-9160 (10 เลขหมายอตโนมต) เสนองานเขยน • งานแปลไดท www.tpa.or.th/publisher/new ตดตอสงซอหนงสอไดท www.tpabook.com

จดจำาหนายโดย บรษท ซเอดยเคชน จำากด (มหาชน) อาคารทซไอเอฟ ทาวเวอร ชน 19 เลขท 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรงเทพฯ 10260 โทร. 0-2739-8000, 0-2739-8222 โทรสาร 0-2739-8356-9 www.se-ed.com

สอนใหแมน เรขาคณต เลม 2

by... Tadahiko Hoshida

แปลโดย... ดร.อรรณพ เรองวเศษ

ขอมลทางบรรณานกรมของสำานกหอสมดแหงชาตโฮชดะ, ทาดาฮโกะ. สอนใหแมน เรขาคณต เลม 2. - - กรงเทพฯ : สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน), 2557. 320 หนา. 1. เรขาคณต. I. อรรณพ เรองวเศษ, ผแปล. II. ชอเรอง.516ISBN 978-974-443-570-5

พมพครงท 1 มนาคม 2557

“ถาหนงสอมขอผดพลาดเนองจากการพมพ ใหนำามาแลกเปลยนไดทสมาคมฯ” โทร. 0-2258-0320 ตอ 1560, 1570

ราคา 300 บาท

TANOSHIKU MANABU SUGAKU NO KISO -ZUKEI BUNYA- <GE: TAIRYOKU ZOKYO HEN>by Tadahiko HoshidaCopyright 2012 Tadahiko HoshidaAll rights reserved.Originally published in Japan by SB Creative Corp., TokyoThai translation rights arranged with SB Creative Corp. through THE SAKAI AGENCY.สงวนลขสทธฉบบภาษาไทยโดย สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน)

คำ�นำ�น�ยกสม�คม

สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน) หรอ ส.ส.ท. กอตงอยางเปนทางการใน

วนท 24 มกราคม 2516 จากความตงใจมงมน ความรวมมอรวมใจ และความเสยสละ

ทมเทก�าลงกายและก�าลงใจของกลมผทเคยไปศกษาและดงานโดยทน ABK & AOTS

ณ ประเทศญปน ซงม ฯพณฯ สมหมาย ฮนตระกล เปนประธานคณะกรรมการกอตง

และส�าเรจดวยความชวยเหลออยางดจาก อาจารย โงอจ โฮซม อดตประธานกรรมการ

สมาคมความรวมมอทางเศรษฐกจ ญปน-ไทย (JTECS) โดยไดรบความชวยเหลอทางดาน

เงนทนจากกระทรวงการคาระหวางประเทศและอตสาหกรรม (METI) ประเทศญปน

ซงไมมพนธะผกพนใด ๆ เพอใชจายในการด�าเนนกจกรรม อนประกอบดวยฝายตาง ๆ

ดงน ฝายธรกจสงพมพ ส.ส.ท. ฝายโรงเรยนภาษาวฒนธรรม ฝายพฒนาธรกจการศกษา

และสงพมพ ฝายการศกษาและฝกอบรม ฝายพฒนาและสงเสรมอตสาหกรรม

ฝายพฒนาและจดการความร ฝายบรการสอบเทยบและวเคราะหสงแวดลอม ฝายวนจฉย

และใหค�าปรกษาสถานประกอบการ และฝายเทคโนโลยสารสนเทศ

ส�าหรบฝายธรกจสงพมพ ส.ส.ท. โดยแผนกต�าราสนบสนนเทคนคอตสาหกรรม

หรอ ส�านกพมพ ส.ส.ท. ในระยะแรกของการด�าเนนการนน มงสงเสรมใหมต�าราภาษาไทย

เกยวกบเทคโนโลยตาง ๆ โดยเฉพาะอยางยงในระดบอาชวศกษา ซงในขณะนนยงมอย

จ�ากด ใหแพรหลายขน เพอยกระดบมาตรฐานการศกษาในสายวชาชพซงเปนก�าลงส�าคญ

ในการพฒนาอตสาหกรรมไทย นบแตอดตจนถงปจจบน สมาคมฯ ยงคงยดมนการจดพมพ

หนงสอทเปนรากฐานเดม คอ เทคโนโลย และไดขยายการจดพมพครอบคลมหนงสอดาน

การบรหารจดการธรกจ อตสาหกรรม และจตวทยา-การพฒนาตนเอง รวมถงคณตศาสตร

วทยาศาสตร ทงทเปนงานเขยนและงานแปล โดยมวตถประสงคเพอถายทอดและเผยแพร

ความรในสาขาตางๆ ใหแกบคลากรทงภาครฐและเอกชน ตลอดจนนกเรยน นกศกษา

เยาวชน ซงจะเปนรากฐานส�าคญในการพฒนาอตสาหกรรม เศรษฐกจและสงคมไทยให

เตบโตไดอยางยงยนตอไป

ดวยเจตนารมณทแนวแนดงกลาว สมาคมฯ จงขอเชญชวนอาจารยและผเชยวชาญ

ทกทานทมความมงมนเชนเดยวกบสมาคมฯ ในอนทจะถายทอดทกษะ ความรในสาขา

ตาง ๆ รวมสงผลงานเขยนของทานเพอใหสมาคมฯ พจารณาจดพมพเผยแพรในวงกวาง

ตอไป อนง สมาคมฯ ใครขอแสดงความขอบคณเปนอยางยงตอผเขยนและผแปลทกทาน

ทมสวนส�าคญในความส�าเรจของส�านกพมพ ส.ส.ท. และสมาคมฯ จวบจนปจจบน

(รศ.ดร.สจรต คณธนกลวงศ)

นายกสมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน)

คำ�แถลงของสำ�นกพมพ ส.ส.ท.

ส�านกพมพ ส.ส.ท. โดยแผนกต�าราสนบสนนเทคนคอตสาหกรรม ววฒนาการ

มาจากโครงการสนบสนนเทคนคอตสาหกรรม ซงแตเดมใชชอวา โครงการต�ารา ซงจดตง

ขนเมอป พ.ศ. 2516 พรอม ๆ กบการกอตงสมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย-ญปน)

โดยมงหวงทจะใหมต�าราทางดานวทยาการตาง ๆ ทงในระดบอาชวศกษาและประชาชน

ทวไป เพอเพมพนความรทางดานชางทสามารถน�าไปใชปฏบตงานได

ในระยะแรกนน ต�าราทผลตโดยโครงการต�ารา สวนใหญจะเปนหนงสอแปลจาก

ตนฉบบภาษาญปน ตอมาจงไดขยายขอบขายของการจดพมพครอบคลมไปถงงานแปล

และเรยบเรยงจากตนฉบบภาษาอน งานเรยบเรยง-เขยนต�าราจากประสบการณของ

ผช�านาญในแตละสาขา ซงสวนใหญจะเปนอาจารยจากสถาบนการศกษา

ตอมาในระยะ 4-5 ป หลงจากการกอตงสมาคมฯ โครงการต�าราไดววฒนาการ

เปนโครงการสนบสนนเทคนคอตสาหกรรม และเปนสวนต�าราสนบสนนเทคนค

อตสาหกรรมในป พ.ศ. 2539 พรอม ๆ กบการขยายขอบขายหนงสอทจดพมพเพมเตม

ไดแก หนงสอทางดานการบรหารจดการธรกจ การบรหารจดการคณภาพ และอน ๆ

ซงสอดคลองกบวตถประสงคการด�าเนนงาน

โดยทหนงสอทจดพมพโดยสมาคมฯ ไดรบการตอนรบเปนอยางดจากนกศกษา

และประชาชนทวไป ทางสมาคมฯ จงใครขอเชญชวนใหผเชยวชาญในวงการอตสาหกรรม

และสถาบนการศกษาไดชวยกนเขยน-เรยบเรยงหนงสอทางดานเทคนคอตสาหกรรมและ

อน ๆ ใหแพรหลายยงขน โดยสมาคมฯ ยนดใหการสนบสนนในดานการจดพมพ

ส�านกพมพ ส.ส.ท. ขอขอบคณทานผเขยน-เรยบเรยงและเจาหนาทของสมาคมฯ

ทกทานทใหความรวมมอเปนอยางดในการจดพมพหนงสอเลมน และหวงวาหนงสอเลมน

จะมสวนชวยในการพฒนาเศรษฐกจและอตสาหกรรมของประเทศ และหากทานผอานม

ขอชแนะประการใด ขอไดโปรดแจงใหทางส�านกพมพทราบดวย จกเปนพระคณยง

หลงจากหนงสอเลมกอนหนาน “Tanoshiku Manabu Suugaku no

Kiso” ออกมาเปนเวลาถง 4 ปครงแลว ระหวางนนกมคนถามถงกนมากวา

“ยงไมมเรองเรขาคณตอกเหรอ ?” ซงเปนการตอบรบจากผอานทนาตนเตนมาก

ในทสดหลงจากทใหรอมานาน คราวนจงไดรวบรวมเนอหาดานเรขาคณตออก

มาส�าเรจเสยท

เนอหาทเรยบเรยงนแบงออกเปน 2 สวน คอ “ภาคความรพนฐาน”

และ “ภาคเสรมความร”

ใน “ภาคความรพนฐาน (สอนใหแมน เรขาคณต เลม 1)” เนอหาท

อธบายจะอยในระดบชนมธยมศกษาปท 1 และ 2 เปนหลก เนอหาสวนนเปน

“พนฐานของพนฐาน” แลวเมอตอยอดความรพนฐานนไปอกเลกนอย กจะเปน

เนอหาใน “ภาคเสรมความร” เลมททานก�าลงถออยนนนเอง แตขอย�าวาเปน

แคการตอยอดไปเลกนอยเทานน ! เนอหาไมไดมงเนนใหอานหนงสอเลมนแลว

จะท�าขอสอบวชาเรขาคณตได 100 คะแนน หรอท�าขอสอบเขามหาวทยาลยได

จงขอใหผอานอยาไดเขาใจผด

โดยใน “ภาคความรพนฐาน” ไดอธบายถงเนอหาในหนงสอเรยนระดบ

มธยมศกษาปท 2 จนถงวชาคณตศาสตร A ของระดบมธยมปลาย ส�าหรบเลม

น ถาเปรยบเทยบกบเลมแรกไมวาอยางไรเนอหากยากขน แตดวยจ�านวนหนา

กระดาษทจ�ากด ในเลมนจงพยายามถายทอดเนอหาทวายากออกมาใหนาสนใจ

ทสด และในครงนกไดคณ Yoshida Kaori มาชวยเขยนภาพประกอบให ซง

คาดวาภาพประกอบสนก ๆ เหลานจะชวยใหผอานท�าความเขาใจไดงายขน

คำ�นำ�

เมอพดถงเรขาคณตแลว สงแรกทนกถงกคอการพสจน ส�าหรบคนท

ไมถนดวชาเรขาคณต พอพดถงเรองนกอาจจะขนลกขนพองเลยกได แตไมวา

ใครกใชวาจะ “ไมถนด” หรอ ”ไมชอบ” วชานตงแตแรก ความจรงนาจะมอะไร

บางอยางทท�าใหรสกอยางนน

ในเลมแรกไดอธบายไปแลววา การเรยนเรขาคณตมสงหนงทส�าคญ

นนกคอ “ค�าศพท” ทงรปเรขาคณตและการค�านวณกไมส�าคญเทา “ค�าศพท”

โดยเฉพาะเรอง “การพสจน” ซงนอกจากสมการแลวยงมค�าศพทอกดวยทตอง

ใช จงแนนอนวาการท�าความเขาใจความหมายของ “ค�าศพท” ทใชอยางถก

ตองเปนเรองจ�าเปน

อกทง “การพสจน” ไมใชเรองของตวเราเองคนเดยว เพราะมผอน

ทอาน “การพสจน” ของเรา และเราเองกอาน “การพสจน” ของผอนดวย

ในแวดวงของการพสจนซงใหความส�าคญอยางมากกบทฤษฎหรอหลกการ

ทคนสวนใหญใชค�าศพทรวมกน หากใชค�าศพทในแบบท “ดแลวความหมายก

เหมอน ๆ กน” ไมนานกจะพบกบความผดพลาด เรองการเขาใจความหมาย

ของค�าศพททางคณตศาสตรจงเปนประเดนทตองการความสมบรณแบบ

áÊ´§á¹Ç·Ò§ãËŒªÑ´à¨¹µÒÁËÅÑ¡à˵ؼÅ

¨Ø´àÃÔèÁµŒ¹สมมตฐาน

໇ÒËÁÒÂผลสรป

การพสจน

สาเหตท “การพสจน” เปนเรองยากไมใชแคเรองการใชค�าศพทเทานน

แต “การพสจน” ทางคณตศาสตรเปนกระบวนการของการใชสงทยอมรบอย

กอนแลววาถกตองมาเปน “หลกเหตผล” แลวใชหลกเหตผลนแสดงแนวทาง

จาก “สมมตฐาน (จดเรมตน)” ไปส “ผลสรป (เปาหมาย)” ซง “การใชหลก

เหตผล” และ “การแสดงแนวทาง” นเองทท�าใหใคร ๆ กรสกวายาก

“หลกเหตผล” หรอ “แนวทาง” นกเหมอนกบ “การค�านวณ” ทาง

คณตศาสตร คอเรยกไดวาเปนการใชสงทเปนทยอมรบกอนแลววาถกตองมา

เปน “เหตผล” แลวจาก “โจทย (จดเรมตน)” กแสดง “แนวทาง” เพอน�าไปส

“ค�าตอบ (เปาหมาย)”

แตสงทแตกตางอยางมากระหวาง “การพสจน” กบ “การค�านวณ”

คอ “การค�านวณ” มวตถประสงคอยทผลลพธทไดออกมา แตส�าหรบ “การ

พสจน” จะมวตถประสงคอยท “ขนตอนการแสดงใหเหน”

ใน “ภาคความรพนฐาน” กไดเขยนไวเชนกนวา ถาลองเปรยบเทยบ

กบรายการโทรทศนแลว “การค�านวณ” เปรยบเหมอนกบ “ยอดนกสบจวโคนน”

ทพยายามจะหาวา “ใครคอคนราย ?” สวน “การพสจน” เปรยบเหมอนกบ

“นกสบโคลมโบ (นกสบในละครโทรทศนของอเมรกา)” หรอ “ฟรฮะตะ นนซะ-

บโร (นกสบในละครแนวสบสวนของญปน)” ทคดวา “ท�าอยางไรจงจะระบได

วาคนไหนคอคนราย ?” มากกวา

การค�านวณและการพสจนนน แมวาสงทท�าจะเหมอนกน แต

วตถประสงคตางกนโดยสนเชง คนทรสกวาไมถนดเรองการพสจน บางทอาจ

เปนเพราะมงทจะเปนแบบ “โคนน” แตการพสจนนนตองมงเปนแบบ “โคลมโบ”

หรอ “นนซะบโร” มากกวา

ในหนงสอเลมนไดแสดงการพสจนทฤษฎบททนาจะมอยในเนอหา

ระดบมธยมตน หรอเปนทฤษฎบททเรยนแลวในระดบมธยมตนเกอบทงสนไว

อยางละเอยดทกขนตอน อกทงการพสจนทส�าคญยงไดแสดง “รปสมมตฐาน”

และ “รปผลสรป” แยกกนใหเหนอยางชดเจนดวย การใชรป 2 รปในการพสจน

1 เรอง บางทนอาจจะเปนครงแรกกวาได เพราะแมแตในหนงสอเรยนยงไม

เขยนไวละเอยดขนาดน จงขอใหใชประโยชนอยางเตมท เพราะถาเปนทพอใจ

ของผอานกเปนเรองทนายนดเปนอยางยง

ส�าหรบครงนตองขอขอบคณ คณ Kenji Masuda หวหนาบรรณาธการ

ฝายบรรณาธการหนงสอวทยาศาสตร ทชวยสนบสนนมาโดยตลอด อกทง

ขอบคณ คณ Tomoyuki Uemura และคณ Shouta Tomizawa จาก Graduate

School, Nara University of Education ทชวยตรวจสอบเนอหา ขอแสดงความ

ขอบคณทกทานมา ณ โอกาสน

พฤศจกายน 2012

Tadahiko Hoshida

ส�รบญ

บทท 1 รปสามเหลยม และ รปสเหลยม ...................................... 1

รปสามเหลยมหนาจว .......................................................... 2

สมบตของรปสามเหลยมหนาจว .......................................... 8

เงอนไขการเปนรปสามเหลยมหนาจว .................................. 18

รปสามเหลยมดานเทา ......................................................... 24

การแปลงรปแบบคงพนทของรปสามเหลยม ........................ 30

ความสมพนธของดานและมมของรปสามเหลยม ................ 37

รปสามเหลยมมมฉาก .......................................................... 44

รปสเหลยมดานขนาน .......................................................... 50

เงอนไขการเปนรปสเหลยมดานขนาน ................................. 58

รปสเหลยมผนผา ................................................................. 68

รปสเหลยมขนมเปยกปน ..................................................... 75

รปสเหลยมคางหม ............................................................... 84

รปสเหลยมจตรส ................................................................. 89

บทท 2 ความคลาย ......................................................................................... 93

สมบตของอตราสวน ............................................................ 94

ความคลาย .......................................................................... 99

เงอนไขการคลายของรปสามเหลยม .................................... 106

การพสจนความคลาย .......................................................... 109

รปสามเหลยมกบเสนขนาน ................................................. 114

เสนขนานและอตราสวนของสวนของเสนตรง ...................... 124

ทฤษฎบทเสนเชอมตอจดกงกลาง ........................................ 132

อตราสวนพนทของรปคลาย ................................................ 138

อตราสวนพนทผวและปรมาตรของทรงตนทคลายกน ......... 142

อตราสวนเงนและอตราสวนทอง .......................................... 147

จดศนยถวงของรปสามเหลยม ............................................. 152

ทฤษฎบทเชวา ............................................................. 157

ทฤษฎบทของเมเนลอส ...................................... 162

บทท 3 วงกลม .................................................. 167

เรองพนฐานของวงกลม ....................................................... 168

จดศนยกลางและคอรดของวงกลม ...................................... 174

จดศนยกลางวงลอมของรปสามเหลยม ............................... 181

จดออรโทเซนเตอร ............................................................... 188

ทฤษฎบทมมในสวนโคงของวงกลม ..................................... 192

บทกลบของทฤษฎบทมมในสวนโคงของวงกลม .................. 199

เสนสมผสวงกลม ................................................................. 204

รปสเหลยมวงกลมลอม ........................................................ 208

จดศนยกลางวงกลมแนบในของรปสามเหลยม .................... 216

จดศนยกลางวงกลมแนบนอกของรปสามเหลยม ................. 221

วงกลม 9 จด ....................................................................... 224

ทฤษฎบทเสนสมผสและคอรด ............................................. 228

ทฤษฎบทการคณของระยะระหวางจดตด ........................... 233

วงกลม 2 วง ........................................................................ 240

ทฤษฎบทของทอเลม ................................ 244

บทท 4 ทฤษฎบทพทาโกรส ..................................................................... 249

ทฤษฎบทพทาโกรส ............................................................. 250

ความยาวดานของรปสามเหลยมมมฉาก ............................. 256

สามเหลยมมมฉากแบบพเศษ .............................................. 260

บทกลบของทฤษฎบทพทาโกรส ........................................... 267

รปพระจนทรเสยวของฮปพอคราทส .................................... 273

เสนทแยงมมของทรงสเหลยมมมฉาก .................................. 277

วงกลมกบทฤษฎบทพทาโกรส ............................................. 282

ทฤษฎบทเสนมธยฐาน (ทฤษฎบทของปปปส) ..................... 289

Q.E.D. ................................................................................. 293

สวนเสรม ............................................................................. 295

ดชนค�าศพท ....................................................................................... 301

นกประดษฐทางกลศาสตรและนกคณตศาสตรชาวกรก วากนวา

มผลงานอยในชวงศตวรรษท 1 เปนผเสนอแนวคดกลไกสงประดษฐ

หลายอยางทใชสมบตของความดนอากาศและความดนนำา อกทง

ยงมชอเสยงจาก “สตรของเฮรอน (Heron’s formula)” ซงใชหา

พนทของรปสามเหลยม

เฮรอน ( Heron; ประวตการเกดและเสยชวตไมแนชด)

º·· 1

รปสามเหลยม áลÐ รปสเหลยม

2

สอนใหแมน เรขาคณต เลม 2

รปสามเหลยมหนาจว

ประสบการณครงแรกกบ“นยาม”!

มาเรยนรเรอง... รปสามเหลยมหนาจว,นยาม,มมยอด,มมทฐาน,ฐาน

นยามของรปสามเหลยมหนาจว

ในเนอหาภาคเสรมความรน เราจะเขาสบทเรยนเรองรปเรขาคณต

แบบตาง ๆ เรมตนจากรปสามเหลยมหนาจว

เราลองมาดนยามของรปสามเหลยมหนาจวกนกอน !

นยาม รปสามเหลยมหนาจว

รปสามเหลยมทมดานเทากน 2 ดาน เรยกวารปสามเหลยม

หนาจว

บางทนอาจจะเปนครงแรกทนกเรยนชนมธยมตนไดรจกสงทเรยกวา

“นยาม” จงแทบอยากจะเขยนออกมาสก 10 ครง

รปสามเหลยมทมดานเทากน 2 ดาน เรยกวารปสามเหลยมหนาจว

รปสามเหลยมทมดานเทากน 2 ดาน เรยกวารปสามเหลยมหนาจว

รปสามเหลยมทมดานเทากน 2 ดาน เรยกวารปสามเหลยมหนาจว

...

ผเขยนเองไดเขยนออกมา 10 ครงจรง ๆ ไมไดลอเลน เพราะเหนวา

เปนเรองส�าคญขนาดน และจากนยามนจะเหนวาไมมตรงไหนบอกเลยวาขนาด

ของมมเปนอยางไร หรอเสนแบงครงมมยอดเปนอยางไร

3

บทท 1 รปสามเหลยม และ รปสเหลยม

รายละเอยดตอมาทไดจากนยามของรปสามเหลยมหนาจวกคอ

“สมบตของรปสามเหลยมหนาจว” ซงเราจะแยกท�าความเขาใจตางหาก

เพอใหคนเคยกบ“นยาม”

ในหนงสอเรยนระดบมธยมศกษาปท 2 กลาวถง “นยามของรป

สามเหลยมหนาจว” ส�าหรบตวนกเรยนนน ทงชอและสมบตของรปสามเหลยม

หนาจวกเคยเรยนมาบางแลวในระดบประถม เพราะเหตนบางคนจงอาจจะรสก

วา ท�าไมตองมาสอนตอนนวา “รปรางแบบน ๆ เรยกวารปสามเหลยมหนาจว”

จะมอะไรมากไปกวานอยางนนหรอ ?

ค�าตอบกคอ...

เราจะยมนยามของรปสามเหลยมหนาจวมาเรยนร “การตงนยาม”

ของอะไรสกอยาง

นนคอ เมอมผลตภณฑ มาตรฐาน หรอแนวคดใหม ๆ เกดขนในโลก

ตวอยางเชน แผนบลเรย (blu-ray disk) สมารทโฟน (smart phone) บลทธ

(bluetooth)* โครงขายไฟฟาอจฉรยะ (smart grid)** และอน ๆ กตองมการ

ตงชอทเหมาะสมใหกบสงเหลานน

แตการเรยนเรขาคณตระดบมธยมตนและมธยมปลายนนไมคอยจะม

“รปทรงเรขาคณตแบบแรกของโลก” หรอ “แนวคดแรกในโลก” โดยมากจะ

เปนการเรยนรตามการศกษาคนควาของคนในยคกอน และเพราะเปน “การ

* บลทธ (bluetooth) คอมาตรฐานการสอสารอยางหนงทใชเชอมตอระหวางอปกรณ เชน อปกรณ

สารสนเทศแบบพกพาในระยะประมาณไมกเมตร

** โครงขายไฟฟาอจฉรยะ (smart grid) คอโครงขายการจายพลงงานไฟฟาทมการควบคมก�าลง

ไฟฟาทงในดานการผลตและการใชงานเพอใหเกดประโยชนสงสด

4

สอนใหแมน เรขาคณต เลม 2

เรยนรตามผอน” ดงนนในตอนแรก

“การท�าเปนไมร ถงแมจะรอยแลว”

จงเปนเรองส�าคญ

การเรยนรเรองรปสามเหลยม

หนาจวกเชนกน เรามาเรมเรยนตาม

ความรทมมาแตเดมกน

ÁÒàÃÕ¹ÃÙŒ “¡ÒõÑ駹ÔÂÒÁ”ÍÐäÃÊÑ¡Í‹ҧ¡Ñ¹ !

รปสามเหลยมนนมมากมายหลายแบบ ทงรปสามเหลยมขนาด

ใหญ รปสามเหลยมขนาดเลก รปสามเหลยมแบนราบ รปสามเหลยม

เรยวแหลม... แมจะเรยกรวมกนวา “รปสามเหลยม” แตกมขนาดและ

รปรางตาง ๆ กนไป เดเมทรออส (ชอสมมต) จงไดรเรมแบงประเภท

ของรปสามเหลยมโดยพจารณาจากความยาวของดาน

อยมาวนหนง เดเมทรออสไดพดขนมาวา

“ด ๆ ไปรปสามเหลยมกมรปรางหลายแบบ ขานอนไมหลบ

และคดมาทงคนเลยวา ถาดาน 2 ดานมความยาวเทากนแลว เรยกวา

‘รปสามเหลยมหนาจว’ ดไหม ?”

อนาสตาเซย (ชอสมมต) เหนดวยกบความคดนแลวพดวา

“ดเหมอนกน งนชอนขาขอใชดวยนะ !”

จากนนไมนาน นกปราชญฟลปโพส (ชอสมมต) และพระราชา

คาราโนส (ชอสมมต) ซงชนชอบคณตศาสตรกไดใชชอนดวย ในทสด

ชอวา “รปสามเหลยมหนาจว” จงกลายเปนทรบรและถกใชรวมกนใน

สงคม

5

บทท 1 รปสามเหลยม และ รปสเหลยม

͹ÒʵÒà«ÕÂ

à´àÁ·ÃÔÍÍÊ

ประวตความเปนมาของชอเรยกกนาจะประมาณน และทใชชอสมมต

เปนชอกรก กเพอใหเขากบบรรยากาศ

ส�าหรบทกทานทก�าลงอานหนงสอเลมน ขอบอกวาตอจากนเราจะเรม

กระบวนการ “เรยนรตาม” ซงตอนนเรองทเพงจบไปคอ นยามของรปสามเหลยม

หนาจว

หลายคนมกจะมปญหาวาไมสามารถแยกความแตกตางระหวาง

“นยาม (def ifinition)” “สมบต (property)” และ “เงอนไข (condition)” ออก

จากกนได แตถาอานหนงสอเลมนดวยมมมองของการ “เรยนรตาม” กจะ

คอย ๆ เขาใจ

...หลงจากนน เดเมทรออส กบ อนาสตาเซย กไดศกษาคนควาตอไป

จนคนพบสมบตและเงอนไขใหม ๆ

ชอเรยกแตละสวนของรปสามเหลยมหนาจว

แตละสวนประกอบของรปสามเหลยมหนาจวมชอเรยกดงแสดงในรป

หนาถดไป ซงเปนการตงชอตามลกษณะการวางรป โดยใหดานทยาวเทากน

อยดานซายและขวาของรปสามเหลยม

6

สอนใหแมน เรขาคณต เลม 2

A

A°Ò¹

°Ò¹

B BC

CÁØÁÂÍ´

ÁØÁ·Õè°Ò¹ ÁØÁ·Õè°Ò¹

ÁØÁ·Õè°Ò¹

ÁØÁ·Õè°Ò¹ÁØÁÂÍ´

มมทถกประกบดวยดานซงยาวเทากน 2 ดานเปน “มมยอด” และอก

2 มมซงไมใชมมยอดเปน “มมทฐาน” แลวดานทอยตรงขามกบมมยอดเปน

“ฐาน” ชอเรยกเหลานจะไมเปลยนแปลง แมวารปสามเหลยมหนาจวจะตะแคง

ดงรปดานขวากตาม

ตอไปเปนค�าศพทซงสมยมธยมตนจะไมไดเรยนอยางละเอยด นนคอ

ค�าวา “ดานเทา (equilateral)” หมายถง “ดานทกดานเทากนหมด” ดงนนถา

พดวา “รปสามเหลยมดานเทา” จะหมายถง “รปสามเหลยมทมดานเทากนหมด

ทงสามดาน” หรอกคอสามเหลยมปรกต (regular triangle) (หนา 24) แลวถา

พดถง “รปสเหลยมดานเทา” กจะหมายถง “รปสเหลยมทดานเทากนทงสดาน”

เพราะฉะนนรปสเหลยมขนมเปยกปน (หนา 76) จงตรงตามความหมายนเชน

เดยวกน (ไมจ�ากดเฉพาะรปสเหลยมจตรสเทานน !)

สวน “รปสามเหลยมหนาจว” ทกลาวถงมาหลายครงแลว รปรางกจะ

เปนไปตามค�านยาม คอ “รปสามเหลยมทมดานเทากน 2 ดาน” หรอมลกษณะ

ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ´ŒÒ¹äÁ‹à·‹Ò

เหมอนจวของบานนนเอง นอกจากน รป

สามเหลยมทไมมดานเทากนเลย จะเรยก

วา “รปสามเหลยมดานไมเทา (scalene

triangle)”

7

บทท 1 รปสามเหลยม และ รปสเหลยม

ขอควรระวงเกยวกบมมทฐาน

ในหวขอน ผเขยนจะขอเตอนเรองทเปนรายละเอยดปลกยอยไวเลก

นอย เพราะมหลายคนทยงเขาใจผดเกยวกบมมทฐาน นนคอ

ผด มมทเทากน 2 มมของรปสามเหลยมหนาจว เรยกวา “มมทฐาน”

ขอย�าใหชดเจนวานยามขางตนนผด

แมวาสดทายแลว มมทฐาน 2 มมของรปสามเหลยมหนาจวจะมขนาด

เทากนจรง แตไมไดหมายความวามมทเทากน 2 มมของรปสามเหลยมหนาจว

จะเรยกวา “มมทฐาน”

ชอเรยกวา “มมทฐาน” นนถกตงตามความสมพนธเชงต�าแหนงของ

รปสามเหลยม เพราะฉะนนเรองทวามมทฐาน 2 มมของรปสามเหลยมหนาจว

มขนาดเทากนนน ตอนนขอให “ท�าเปนไมร” ไวกอน แลวเราจะพสจนกนใน

หวขอตอไป

Í‹ҼԴ¹Ð