ติวสบายคณิต เล่ม 4 บทที่ 10 เฉลยตะลุย ...¸ªรุปเข้ม-M10... · ติวสบายคณิต เล่ม

ติวสบายคณิต เล่ม 4 http://www.pec9.com บทที่ 10 จ านวนเชิงซ้อน

1

เฉลยตะลุยข้อสอบเข้ามหาวิทยาลยั บทที ่ 10 จ านวนเชงิซอ้น

1. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก z = i9 + i10 + i11 + i12 + i13 + i14 + i15 + i16 +…+ i125 + i126 จะได ้ z = i + i2 + i3 + i0 + i + i2 + i3 + i0 + … + i – i2 z = i – 1 – i + 1 + i – 1 – i + 1 + …. + i – 1

รวมได ้0 รวมได ้0 z = –1 + i ดงันั้น z–1 = 21 21)(

i 1

z–1 = 2i 1

และ 2z–1 = –1 – i

2. ตอบ 4 แนวคิด จาก z = i–7 + i–5 + i–3 + i จะได ้ z = i 3i

15i17i

1

z = i 3i1

i1

3i1

z = i i1

i1

i1

z = i i

ii

1 z = i 2i

i

z = i 1i z = 2i สุดท้ายจะได ้ z2 = 2i 2 = 22 = 4

3. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก (1+ i) ( 1Z ) = –1 จะได ้ 1Z = i)(1

i)(1 i) (11

.

http://www.pec9/


2

1Z = i21 2

1

1)(z = i)21

21(

z + 1 = 21 2

1 i z = 2

1 23 i

สุดท้ายจะได ้ Z(Z– Z )15 = 15 i21

23i2

123 i2

1 23

= i21 2

3 (–i)15 = i2

1 23 (–i15)

= i21 2

3 (–i3) = i2

1 23 (–i)

= 21 i 23 i2

Z(Z– Z )15 = 23 2

1 i

จะเห็นวา่ส่วนจริงของ Z(Z – Z )15 คือ 21

4. ตอบข้อ 1.

แนวคิด จาก 12i 1

2i = 12i) (1

12(2i)

จะได ้ = 62i) (1

12(2i)

( แทน (1 + i)2 = 2i )

= 6(2i)12(2i)

= (2i)6 = 26 i6 ( แทน i6 = i2 ) = 64 i2 = 64 (–1)

12i 1

2i = –64

จะเห็นวา่ส่วนจริงคือ –64 (ส่วนจินตภาพคือ 0)

http://www.pec9/


3

5. ตอบ 128 แนวคิด โจทยบ์อก Z = –1 – 3 i จะได ้ Z = 1 + 3 i ดงันั้น Z6 + Z 6 = (–1 – 3 i)32 + (–1 + 3 i)32 = (–8)(–1)32 + (–8)(–1)32 = 64 + 64 = 128


แนวคิด ข้อ ก. ถูก 1z = z1 เป็นสมบติัค่าสัมบูรณ์อยูแ่ลว้

ข้อ ค. ถูก z1. z2 = z1 . z2 เป็นสมบติัค่าสัมบูรณ์อยูแ่ลว้ ข้อ ข. ผดิ เพราะ z1 + z2 z1 + z2

7. ตอบข้อ 3. แนวคิด จาก (5 – 12i) z3 (–3 + 4i) = 130 z จะได ้ (5 – 12i) z3 (–3 + 4i) = 130 z 5 – 12i z3 –3 + 4i = 130 z

212)(25 z3 2423)( = 130 z (13) z 3 (5) = 130 z

|z |3 |z | = (5) 13

130

z2 = 2 z = 2


แนวคิด จาก (7 – 24i)(3 + 4i) z6 = 1 จะได ้ 7 – 24i 3 + 4i z6 = 1

224)(27 2423 z6 = 1 25625 z6 = 1 (25) (5) z6 = 1

http://www.pec9/


4

( z 2)3 = 1251

z 2 = 51

สุดท้ายจะได ้ z . z = z 2 = 51 = 0.2


แนวคิด จากา 2

z1z = 2

z 1 2z

จะได ้ = 2z2) 1 2z (

= 2z1 22z 4z

= 2z22z ) 1 4z ( ( แทนค่า z4 + 1 = 0 )

= 2z22z 0

2

z1z = 2

10. ตอบข้อ 3.

แนวคิด ขั้นที ่1 จาก 11 z = cos 6

– i sin 6 = 2

3 – 12 i = 12 ( 3 – i ) จะได ้ 1 1(z ) 1 = [ 12 ( 3 – i) ]–1

z1 = 2 ( 4i 3 )

z1 = 2i 3

ขั้นที ่2 จาก z1 z2 = 2i ( เอา z–1 คูณตลอด ) z2 =

1z i 2

z2 = 2 i z1 z2 = 2 i ( 12 ( 3 – i ) )

z2 = 3 i – i2 z2 = 1 + 3 i

http://www.pec9/


5

สุดท้าย จะได ้ z1 + 23 z22 = 2

3 + 12 i + 23 (1 + 3 i) 2

= 23 + 12 i + 3

2 + 32 i 2

= 3 + 2i 2

= 2 23 + 2

z1 + 23 z22 = 7

11. ตอบข้อ 1.

แนวคิด ขั้นที ่1 จาก z1 + z22 = 5 ( แทน z1 + z22 = (z1 + z2)2 ) จะได ้ (z1 + z2)2 = 5 2z1 + 2z1z2 + 2z2 = 5

และจาก z1 – z22 = 1 ( แทน z1 – z22 = (z1 – z2)2 ) จะได ้ (z1 – z2)2 = 1 2z1 – 2z1z2 + 2z2 = 1

น า + จะได ้ 2 2z1 + 2 2z2 = 6 2z1 + 2z2 = 3 ( แทน 2z1 = z12 , 2z2 = z22 )

z12 + z22 = 3

12. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่ 1 จาก z1. 2z = 3 + 4i

จะได ้ z z1 2 = 3 + 4 i นัน่คือ z1 . z2 = 3 – 4i

สุดท้าย จาก 2z1z = 3

จะได ้ 2z1z 2 = 32

(z1 + z2) (z + z )1 2 = 9 (z1 + z2) ( z1 + z2 ) = 9

z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 = 9

http://www.pec9/


6

z12 + (3 + 4i) + (3 – 4i) + z22 = 9 z12 + z22 + 6 = 9 z12 + z22 = 3

13. ตอบข้อ 4. แนวคิด เน่ืองจาก 1 z 1 z 1 z

ดงันั้น 1z 1 z 1 z

ต่อไปจาก 2i 31 z1 z z

2i 31 z1 z z

( แทน 1z 1 z )

2i 31 z1 z z

z + 1 = –3 + 2i z = –4 + 2i z = –4 + 2i

z = 2224)( z = 20 z = 54 z = 2 5

14. ตอบข้อ 2. แนวคิด สมมติ z = x + yi ดงันั้น z = x – yi จาก (z + i) ( z – i) = 4 ( แทนค่า z และ z ลงไป ) จะได ้ (x + yi + i) (x + yi – i) = 4

(x + [y + 1] i ) (x – (y + 1) i ) = 4 x2 + (y + 1)2 = 4

x2 + y2 + 2y + 1 = 4 (x – 0)2 + (y + 1)2 = 22 สมการน้ีจะมีกราฟเป็นรูปวงกลมจุดศูนยก์ลางอยูท่ี่ ( 0 , –1 ) รัศมียาว 2 หน่วย

http://www.pec9/


7

15. ตอบข้อ 1. แนวคิด จาก z1 = 1 (cos12o + i sin 12o ) และ z2 = (–cos 16o – i sin 16o ) = –1(–cos 16o + i sin 16o )

ดงันั้น 2z1z = 1

1

(cos (12o – 16o) + i sin(12o – 16o))

2z1z = (–1)(cos(–4o) + i sin(–4o))

และ ( 2z1z)15 = (–1)15 (cos (–4ox 15) + i sin(–4ox15))

= (–1) (cos (–60o) + i sin(–60o)) = (–1) (cos60o – i sin 60o)

= (–1)( 21 – 2

3 i)

( 2z1z)15 = 2

i3 1

16. ตอบข้อ 3. แนวคิด จาก z = –2 + 2 3 i

จะได ้ = 180o + tan–1 232

= 180o – tan 3 = 180o – 60o = 120o

ดงันั้น z17 จะมีอาร์คิวเมนต ์ = 120o x 17 = 2040o และเน่ืองจาก 2040o – 5(360o) = 2040o – 1800o = 240o ดงันั้น z17 จะอยูใ่นควอดรันตท่ี์ 3

17. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 จาก z1 = (cos 18

π + i sin 18π )6

z1 = (cos 10o + i sin 10o)6

z1 = cos (10ox6) + i sin (10ox6) = cos60o + i sin 60o = 21 + 2

3 i

ขั้นที ่2 จาก 2 z1 2z = 1 + 2z

2 z1 2z – 2z = 1

( 2 z1 – 1 ) 2z = 1 ( แทน z1 = 21 + 2

3 i )

http://www.pec9/


8

( 2 [ 21 + 2

3 i] – 1 ) 2z = 1

( i 3 ) 2z = 1

2z ) i 3( = 1

(– i 3 ) z2 = 1 – i 3 =

2z1

นัน่คือ 12 z = – i 3

18. ตอบข้อ 1.

แนวคิด ขั้นที ่1 จาก z1 = cos 16 + isin 16

4 = cos ( 16

x 4) + i sin( 16 x 4)

= cos 4 + i sin 4

= i 2

1 21

z1 = 2i) (1

ขั้นที ่2 จาก 2z = 1z2i2

= 2 – i –

2i 1

2

= 2 – i – i)(1i)(1 i) (1

22 .

= 2 – i – 21 21i) 2(1

= 2 – i – (1– i ) = 2 – i – 1 + i 2z = 1

2z = 1

z2 = 1

http://www.pec9/


9

19. ตอบข้อ 1. แนวคิด ขั้นที ่1 จาก (1 – i ) z3 = 2

z3 = i)(1i)(1

i)(12

z3 = 21 21i)(1 2

z3 = 22 + 2

2 i

z3 = cos 45o + i sin 45o

ขั้นที ่ 2 หารากท่ี 3 ซ่ึงจะมี 3 ค าตอบ โดย = 3603 = 120o จึงได ้

z1 = 3

1 ( cos 3o45 + i sin 3

o45 ) = cos15o + i sin15o

z2 = 3

1 ( cos[15o+120o] + i sin[15o+120o]) = cos135o + i sin135o

z2 = 3

1 ( cos[135o+120o] + i sin[135o+120o]) = cos255o + i sin255o

สุดท้ายจะได ้ z1 z3 = (cos 15o + i sin 15o) (cos 255o + i sin 255o) = cos 270o + i sin 270o = 0 + i (–1) z1 z3 = – i

และ 2z2 = (cos 135o + i sin 135o)2 = cos(135ox2) + i sin(135ox2) = cos270o + i sin270o = 0 + i (–1) 2z2 = – i

นัน่คือ z1 z3 + 2z2 = (– i) + (– i) = –2i

http://www.pec9/


10

20. ตอบข้อ 5.

แนวคิด ค่ารากในควอดรันตถ์ดัไปหาจากน ามุมเดิมบวกเพิ่มทีละ = 3360 = 120o

ดงันั้น z2 = 2 ( cos(15o+120o) + i sin(15o+120o) ) = 2 (cos135o + i sin135o) z3 = 2 (cos(135o+120o) + i sin(135o+120o)) = 2 (cos 255o + i sin 255o) สุดทา้ยจะได ้ z2 x z3 = 2 2 (cos (135o + 255o) + i sin (135o + 255o) ) z2 x z3 = 2(cos 390o + i sin 390o) z2 x z3 = 2(cos 30o + i sin 30o)

z2 x z3 = 2( 23 + 2

1 i) z2 x z3 = 3 + i

21. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก z2 + z+ 1 = 0

จะได ้ z = 2a4ac2b b

z = 2(1)4(1)(1)21 1

z = 23 1

z = 223i 1

z = 2i 3 1

z = – 21 + 2

3 i , – 21 – 2

3 i

ดงันั้น ขอ้ 4. เป็นค าตอบท่ีถูกตอ้ง

22. ตอบข้อ 4. แนวคิด จาก z2 + z+ 1 = 0

จะได ้ z = 2a4ac2b b

z = 2(1)4(1)(1) 21 1

http://www.pec9/


11

z = 23 1

z = 223i 1

z = 22i3 1

z = i23

21 , i2

321

พิจารณาขอ้ 4 cos120o + i sin120o = i23

21

–cos60o + i sin60o = i23

21

ดงันั้น ขอ้ 4. เป็นค าตอบท่ีถูกตอ้ง

23. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 จาก z3 – 2z2 + 2z = 0

z (z2 – 2z + 2) = 0 จะได ้ z = 0 และ z2 – 2z + 2 = 0

z = 2(1)4(1)(2)22)( 2) (

z = 2 2 i2 2 z = 1 + i , 1 – i แต่โจทยบ์อก z 0 และอาร์กิวเมนตข์อง z อยูใ่นช่วง (0 , 2

π ) แสดงวา่อยูใ่นควอดรันต ์ 1 จึงตอบ z = 1 + i เท่านั้น

ขั้นที ่2 หา 2) z (4z = 4(1 + i)

2(1 i)

= 2 2[(1 + i) ]2(1 i)

[ แทน (1 + i)2 = 2i และ (1 – i)2 = –2i ]

= 2(2 i)( 2i)

= (2 i) (2 i) 2 i

2)z(4z = –2i

http://www.pec9/


12

24. ตอบข้อ 4. แนวคิด ขั้นที ่1 พิจารณาของ A x3 – 2x2 + 9x – 18 = 0 x(x2 + 9) – 2(x2 + 9) = 0 (x – 2)(x2+9) = 0

จะได ้ x–2 = 0 x = 2

x2 + 9 = 0 x2 = –9

x = 29i

x = 29i x = 3i , – 3i

ดงันั้น A = {2 , 3i , –3i}

ขั้นที ่2 พิจารณาเซต B x4 – 81 = 0 (x2 + 9) (x2 – 9) = 0

จะไดว้า่ x–2 = 0 x2 = –9 x = 9 x = +3i , – 3i

และ x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 , – 3

ดงันั้น B = { +3 , 3 , 3i , –3i }

สุดท้ายจะได ้ B – A = { +3 , –3 }

25. ตอบข้อ 2. แนวคิด พิจารณา f(x) = x4 – 6x3 + 15x2 + ax + b โจทยบ์อก 1 + i เป็นค าตอบ ดงันั้น 1 – i จะเป็นค าตอบดว้ย นัน่คือ (x – (1 + i) ) กบั (x – (1 – i) ) เป็นตวัประกอบของ f(x) น้ี

โจทยบ์อก 2 + i เป็นค าตอบ ดงันั้น 2 – i จะเป็นตอบดว้ย นัน่คือ (x – (2 + i) ) กบั (x – (2 – i) ) เป็นตวัประกอบของ f(x) ดว้ย

http://www.pec9/


13

ดงันั้น x4 – 6x3 + 15x2 + ax + b = (x – (1 + i) ) (x – (1 – i) ) (x – (2 + i) ) (x – (2 – i) ) = (x2 – 2x + 2) (x2 – 4x + 5)

x4 – 6x3 + 15x2 + ax + b = x4 – 6x + 15x2 – 18x + 10

จึงไดว้า่ a = –18 และ b = 10 ดงันั้น a + b = –18 + 10 = –8

26. ตอบ 25 แนวคิด ขั้นที ่1 โจทยบ์อก f(x) = x3 + ax2 + bx + c มี (x + 2) เป็นตวัประกอบ และ (x – 1 + i) เป็นตวัประกอบ ดงันั้น (x – 1 – i) เป็นตวัประกอบดว้ย จึงไดว้า่ f(x) = x3 + ax2 + bx + c = ([x – 1] + i ) ([x – 1] – i ) (x + 2) = ([x – 1]2 – i2 ) (x + 1) = (x2 – 2x + 1 + 1) (x + 2) = (x2 – 2x + 2) (x + 2) f(x) = x3 – 2x + 4 ขั้นที ่2 หาเศษเหลือจากการหารดว้ย (x – 3) โดยแทน x = 3 ลงใน f(x) จะได ้ เศษเหลือ = f (3) = (3)3 – 2 (3) + 4 = 25

http://www.pec9/

Documents

ติวสบายคณิต เล่ม 4 บทที่ 10 เฉลยตะลุย ...¸ªรุปเข้ม-M10... · ติวสบายคณิต เล่ม