คณิตศาสตร์ - academic.obec.go.thacademic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1560828742_example.pdf · 6 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่

ผเรยบเรยง

ผตรวจ

บรรณาธการ

คณตศาสตร๕ชนมธยมศกษาปท

ตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวด กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. ๒๕๖๐)

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน

อาจารยวฒนา นธศดลก

อาจารยเจรญ ราคาแกว

ดร.กตตปกรณ อมเถอน

อาจารยวฒชย ภด

อาจารยปาณตา อาจวงษ

ผศ.ดร.วรยทธ นลสระค

หนงสอเรยนรายวชาพนฐานคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เปนหนงสอทเขยนขน

ตามมาตรฐานการเรยนร ตวชวด และสาระการเรยนรแกนกลาง กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560) ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน

พทธศกราช2551ซงในเลมนจดแบงเนอหาสาระเปน4หนวยการเรยนรคอหนวยการเรยนร

ท 1 เลขยกกำาลง หนวยการเรยนรท 2 ความสมพนธและฟงกชน หนวยการเรยนรท 3

ลำาดบและอนกรมและหนวยการเรยนรท4ดอกเบยและมลคาของเงนในการนำาเสนอเนอหา

สาระมงใหผเรยนมความรความสามารถตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดทกำาหนดไว

และมความสามารถเพยงพอทจะศกษาหาความรในระดบทสงขนไดอยางมประสทธภาพ

ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนผสอนเปดโอกาสใหผเรยนไดมสวนรวมในกจกรรม

การเรยนการสอนใหมากทสด จดกจกรรมการเรยนการสอนเพอใหผเรยนคนพบกฎเกณฑ

ตาง ๆผสอนตองสงเสรมใหผเรยนคดและลงมอแกปญหาไดอยางมประสทธภาพ เชน ใช

คำาถามทเหมาะสมกระตนใหผเรยนคดและแกปญหาไปตามลำาดบจนสามารถสรปกฎเกณฑ

ตางๆ ไดนอกจากนนผเรยนจะตองทำากจกรรมตรวจสอบความกาวหนาและทำาแบบฝกหด

อยางสมำาเสมอ ซงจะชวยใหผเรยนเขาใจเนอหาสาระกระจางขน รวมทงเหนประโยชนและ

คณคาของคณตศาสตร

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตรเลมน หากผเรยนมความมงมนทจะศกษา

อยางจรงจง หนงสอเลมนจะชวยใหผเรยนประสบความสำาเรจในการเรยนคณตศาสตรได

อยางแนนอน

อาจารยวฒนานธศดลก

อาจารยเจรญราคาแกว

สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)

คำ�นำ�

สถาบนพฒนาคณภาพวชาการ (พว.)

๑๒๕๖/๙ ถนนนครไชยศร แขวงถนนนครไชยศร เขตดสต กรงเทพฯ ๑๐๓๐๐

โทร. ๐-๒๒๔๓-๘๐๐๐ (อตโนมต ๑๕ สาย), ๐-๒๒๔๑-๘๙๙๙

แฟกซ : ทกหมายเลข, แฟกซอตโนมต : ๐-๒๒๔๑-๔๑๓๑, ๐-๒๒๔๓-๗๖๖๖

website : www.iadth.com

สงวนลขสทธ

สำานกพมพ บรษทพฒนาคณภาพวชาการ (พว.) จำากด

พ.ศ. ๒๕๖๒

พมพครงท ๑ จำานวน ๒๐,๐๐๐ เลม

เลขยกกำ�ลง1

หนวยกา

รเรยนรท

แผนผงสาระการเรยนร

ตวชวด

• เขาใจความหมายและใชสมบตเกยวกบการบวก การคณ การเทากน และการไมเทากนของจำานวนจรง

ในรปกรณฑ และจำานวนจรงในรปเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ (ค 1.1 ม.5/1)

สมบตของเลขยกกำาลง

ทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม

เลขยกกำ�ลง1. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลง

เปนจำ�นวนเตม3. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลง

เปนจำ�นวนตรรกยะ

คาหลกของรากท n

สมบตของรากท n

การคำานวณหารากของจำานวนจรง

การบวก ลบ คณ และหาร

ของจำานวนในรปกรณฑ

2. ร�กท n ของจำ�นวนจรง

หนา

หนวยการเรยนรท 1 เลขยกกำาลง 5

ใชความคด พชตดวย...เลขยกกำาลง 6 1. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนเตม 8 2. ร�กทnของจำ�นวนจรง 17 3. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนตรรกยะ 36

หนวยการเรยนรท 2 ความสมพนธและฟงกชน 41

ใชความคด พชตดวย...ความสมพนธและฟงกชน 42 1. คอนดบ 43 2. ผลคณค�รทเซยน 47 3. คว�มสมพนธ 53 4. โดเมนและเรนจของคว�มสมพนธ 58 5. ฟงกชน 69 6. ก�รห�ค�ของฟงกชน 84 7. ก�รเขยนกร�ฟของฟงกชนและชนดของฟงกชน 88

หนวยการเรยนรท 3 ลำาดบและอนกรม 125

ใชความคด พชตดวย...ลำาดบและอนกรม 126 1. ลำ�ดบ 127 2. ลำ�ดบเลขคณต 139 3. ลำ�ดบเรข�คณต 149 4. อนกรม 159

หนวยการเรยนรท 4 ดอกเบยและมลคาของเงน 171

ใชความคด พชตดวย...ดอกเบยและมลคาของเงน 172 1. ดอกเบย 174 2. มลค�ของเงน 194 3. ค�ร�ยงวด 201เฉลยกจกรรมสงทายหนวยการเรยนรท 1-4 210บรรณานกรม 215ภาคผนวก 216

สารบญ

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5 เลขยกกำาลง6 7

นกเรยนเคยสงสยไหมวา ทองฟาทกวางใหญนน ในจกรวาลมดวงดาวอยทงหมดกดวง

ดวยเครองมอทมอยในปจจบนยงไมสามารถตรวจจบการมอยของวตถในอวกาศไดทงหมด จงยง

ไมมใครสามารถตอบคำาถามนไดแตหากจะใหประมาณคราวๆแลวกลาวไดวา เฉพาะในเอกภพสวนท

สามารถตรวจจบไดดวยเทคโนโลยในปจจบนมกาแลกซอยหนงหมนลานกาแลกซ ในแตละกาแลกซ

มดาวฤกษประมาณหนงแสนลานดวงกลาวคอเฉพาะในเอกภพสวนทสามารถตรวจจบไดมดาวฤกษอย

มากกวาหนงพนลานลานลานดวงนกเรยนเขยนตวเลขแทนจำานวนดงกลาวไดอยางไร

10,000,000,000 Ö 100,000,000,000 =

1,000,000,000,000,000,000,000ใชไหมนะ

ตวอยางนแสดงใหเหนวา การเขยนตวเลขแสดงจำานวนใหครบทกหลกอยางถกตองมโอกาส ผดพลาดไดดงนนนกคณตศาสตรจงไดคดคนการแสดงจำานวนในรปแบบทสะดวกขนนนกคอการเขยนจำานวนในรปเลขยกกำาลง (และสญกรณวทยาศาสตร) จากตวอยางขางตน หากเขยนจำานวนดาวฤกษ ในเอกภพสวนทสามารถตรวจจบไดในรปเลขยกกำาลงจะได1010 Ö 1011 = 1021ดวง กอนจะเขาสบทเรยนนกเรยนลองพจารณาวาจะเขยนจำานวนตอไปนอยางไร

“นกดาราศาสตรประมาณเอาไววา ดวงอาทตยมมวลสามพนลานลานลานลานตน โดยมวลของ วตถทงหมดในทางชางเผอกนนนาจะเปนหนงลานลานเทาของมวลของดวงอาทตย จงประมาณมวล ของวตถทงหมดในทางชางเผอกไดเปนสามพนลานลานลานลานลานลานตน”

ใชความคด พชตดวย...เลขยกกำาลง

การดำาเนนชวตประจำาวนของนกเรยนนนมกจกรรมตาง ๆ มากมาย ทอาจไมทนสงเกตวา

กจกรรมตางๆ เหลานนสวนใหญมกเกยวของกบการคำานวณทางคณตศาสตรจากตวอยางในกจกรรม

ใชความคดพชตดวย...เลขยกกำาลงเปนเพยงสวนหนงในชวตประจำาวนเทานนจะเหนไดวาหากนกเรยน

มความรเกยวกบเลขยกกำาลงเพอใชในการคำานวณ จะทำาใหคด วเคราะหไดสะดวกขน ชวยลดโอกาส

ในการผดพลาดการศกษาคณตศาสตรเกยวกบเลขยกกำาลงยงมประโยชนอกมากมายในหลากหลาย

ศาสตร ในระดบชนของนกเรยนมความเกยวของกบการเรยนในวชาอนๆ เชนวทยาศาสตรในการเรยน

ดาราศาสตร สงคมศกษา ศาสนา และวฒนธรรมในการเรยนภมศาสตร หากนกเรยนมความเขาใจ

พนฐานเลขยกกำาลงทดยอมสงผลใหนำาไปตอยอดความเขาใจในวชาอนๆไดดดวย

ราชบณฑตยสภาไดกำาหนดความหมายของเลขชกำาลงไววา

เลขชกำาลง (exponent)คอ (คณต)น. จำานวนเตมหรอจำานวนตรรกยะทใชยกกำาลงจำานวนจรง

เชน73ม3เปนเลขชกำาลง.

ตวอยาง

65 ม 5 เปนเลขชกำาลง

813 ม 1

3 เปนเลขชกำาลง

(x+2)3 ม 3 เปนเลขชกำาลง

3x ม x เปนเลขชกำาลง

ในหวขอเรองเลขยกกำาลงชนมธยมศกษาปท5มงเนนใหนกเรยนเขาใจความหมายและใชสมบต

เกยวกบการบวกการคณการเทากนและการไมเทากนของจำานวนจรงในรปกรณฑและจำานวนจรงในรป

เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะซงสาระการเรยนรมดงน

1) รากทnของจำานวนจรงเมอnเปนจำานวนนบทมากกวา1

2) เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ

ซงนกเรยนไดเรยนรเรองเลขยกกำาลงทมฐานเปนจำานวนใดๆและเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

ในชนมธยมศกษาปท1มาแลวซงมบทนยามดงน

เลขยกกำาลง

ระบบสรยะ ทมา : Photo Bank From IAD


เรอเน เดการต (Renè Descartes) นกปรชญาและนกคณตศาสตร

ชาวฝรงเศส เปนคนแรกทรเรมใชรปแบบการแสดงเลขยกกำาลงดงทใชในปจจบน

โดยตพมพลงในผลงานLaGèomètrie

บทนยาม

เมอaเปนจำานวนใดๆและnเปนจำานวนเตมบวกเลขยกกำาลงทมaเปนฐาน

และnเปนเลขชกำาลงเขยนแทนดวยanมความหมายดงน

an = aÖaÖaÖ...Öa

anอานวา“เลขยกกำาลงn”หรอ“aกำาลงn”หรอ“กำาลงnของa”

nตว

และในชนมธยมศกษาปท 2 นกเรยนไดเรยนรเรอง เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม

มาแลวจงขอทบทวนบทนยามและทฤษฎบทเกยวกบเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม โดยไมม

การพสจนดงน

ใหaเปนจำานวนจรงและnเปนจำานวนเตมบวก

“a ยกกำาลงn”หรอ“aกำาลงn”หรอ“กำาลงnของa”

เขยนแทนดวยanมความหมายดงน

an = a Ö a Ö a Ö … Ö a

nตว

เรยกan วา เลขยกกำาลง

เรยกa วา ฐานของเลขยกกำาลง

เรยกn วา เลขชกำาลง

บทนยาม

1. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนเตม

เชน

1. 35 = 3 Ö 3 Ö 3 Ö 3 Ö 3

2. (0.3)5 = 0.3Ö0.3Ö0.3Ö0.3Ö0.3

3. (-3)5 = (-3) Ö (-3) Ö (-3) Ö (-3) Ö (-3)

4. (1 4)

3

= 1 4

Ö 1 4

Ö 1 4

5. (-0.5)3 = (-0.5) Ö (-0.5) Ö (-0.5)

6. (-1 8)

0

= 1

7. 7-3 = 1

73 = 1

7Ö7Ö7 = 1

343

8. (-3)-2 = 1

(-3)2 = 1

(-3)Ö (-3) = 1

9

สมบตเกยวกบเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมทนกเรยนไดเรยนรในชนมธยมศกษา

ปท2มดงน

ใหa,bเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยและm,nเปนจำานวนเตมจะไดวา

1. amÖan = am+n

2. (ab)n = anbn

3. (am)n = amn

4. am

an = am-n

5. a-n = 1

an

6. ( ab )n

= an

bn


สมบต 1 amÖan=am+n

สมบต 2 1 เมอm=n

am

an = am-n เมอm>n

1

an-m เมอm<n

จากสมบตของเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม

ในทนสามารถยกตวอยางประกอบและประยกตเปนสมบตของ

เลขยกกำาลงอนๆไดดงน

ถาaและbเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยm,nและpเปน

จำานวนเตมจะได

อารคมดส (Archimedes) นกคณตศาสตร นกดาราศาสตร นกปรชญานกฟสกส และวศวกร ชาวกรก เปนผคนพบและพสจน กฎของเลขยกกำาลง10a .10b = 10a+b ซงเปนรากฐานของทฤษฎบทตางๆ

หมายเหต

บทนยาม

จากสมบตของเลขยกกำาลงขอท 2 ขางตน am

an =am-nเมอm=nผลหารทไดจะเปน1เชน

102

102 = 100

100 = 1 หรอ 102

102 = 102-2 = 100

ดงนน 100 = 1

ในการหารตวหารตองไมเปน0เพราะไมนยามการหารดวย0

ถาaเปนจำานวนจรงทa≠0จะไดa0 = 1

และจากสมบตของเลขยกกำาลงขอท 2 เชนเดยวกน am

an =am-nเมอm<nผลหารทไดจะเปน

1

an-m เชน

102

104 = 100

10000 = 1

100 = 1

102 หรอ102

104 = 102-4 = 10-2

ดงนน 1

102 = 10-2

บทนยาม

สมบต 3 a-n

b-m =bm

an

จากบทนยามขางตนทำาใหสามารถใชสมบตของเลขยกกำาลงam

an=am-nไดทกกรณ

ถาaเปนจำานวนจรงทa≠0และnเปนจำานวนเตมใดๆจะไดa-n = 1

anหรอan = 1

a-n

ตวอยางท 1 + --

ใหนกเรยนเขยน 8-4 Ö 411 อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน

มเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก


ใหนกเรยนเขยน 8 15

4

Ö 105อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน


23Ö(-4)Ö 22 Ö 11

วธทำา 8 15

4

Ö 105 = 23 3 Ö 5

4 Ö(2 Ö5)5

= 212 34 Ö54 Ö 25 Ö 55

= 212+5Ö 55-4 34

= 217Ö 5 34

ดงนน 8 15

4

Ö 105 = 217Ö 5 34

วธทำา 8-4 Ö 411 = (23)-4 Ö(22)11

= 2-12 Ö 222

= 2-12+22 = 210

ดงนน 8-4 Ö 411 = 210



ใหaและbเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยใหนกเรยนเขยนพจนตอไปน

อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

1. a-4 Ö a11 2.b-3 Ö1

b-5

วธทำา 1. a-4 Ö a11 = a-4+11

= a7

ดงนน a-4 Ö a11 = a7

2. b-3 Ö1

b-5 = b-3 Ö b5

= b-3+5

= b2

ดงนน b-3 Ö1

b-5 = b2


การคณสามารถเขยนในรปa Ö bหรอa.bหรอ(a)(b)หรอabกได

(ยกเวนการคณระหวางจำานวนจะไมใชแบบสดทาย)

สมบต 4 (am)n=amn

36Ö(-4)Ö 32Ö11


ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน


1. 729-4 Ö 911 2. 4x-2- 4x-1 +12x-2- x-1

1

32

จากกำาลงสองสมบรณ4- 4x+x2=(2- x)2

(2- x)2-1

สมบต 5 (aÖb)n=anÖbn

จากสมบตขอท 4 และ 5 จะได

สมบต 6 (amÖbn)p=ampÖbnp

c0 = 1


ใหนกเรยนเขยน (a-2b-1c0)-3 อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน


สมบต 7 ( ab )n= an

bn

4 x2 - 4 . x

x. x+1. x

2 x2

2 x2 - 1 . x

x. x

4 - 4x +x2

x2 . x2 2 - x

2. 4x-2- 4x-1+12x-2- x-1 =

4 x2 - 4

x+1

2 x2 - 1

x

=

4 - 4x+x2

x2

2 - xx2

= 4 - 4x+x2 2 - x

= (2- x)2 2 - x

= 2 - x

ดงนน 4x-2- 4x-1+1

2x-2- x-1 = 2 - x

วธทำา (a-2b-1c0)-3 = a(-2)(-3)b(-1)(-3)c(0)(-3)

= a6b3c0

= a6b3

ดงนน (a-2b-1c0)-3 = a6b3 วธทำา 1. 729-4 Ö 911 = (36)-4 Ö(32)11

= 3-24 Ö 322

= 3-24+22

= 3-2

= 19

ดงนน 729-4 Ö 911 = 19


a6-6 Öb8-3 Öc4 a0 = 1


ใหa,bและcเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยใหนกเรยนเขยนพจนตอไปน

อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตมบวก

1. a-7b-3

c-5

2 2. a2

b

3 b4c2 a3

2

วธทำา a4b2 c3

-3

= c3

a4b2

3

= c(3)(3)

a(4)(3)b(2)(3)

= c9

a12b6

ดงนน a4b2

c3

-3

= c9

a12b6

สมบต 8 ab-n

= ban



ใหนกเรยนเขยน a4b2

c3

-3

อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน



สมบต 9 am bn

p

= amp

bnp

c =c1

a2

b3-1c

4


ใหนกเรยนเขยน a2bb3c

4

อยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวน


อนเครอง

ฝกฝน

แบบฝกหดท 1

วธทำา1. a-7b-3

c-5

2 = a(-7)(2)b(-3)(2)

c(-5)(2)

= a-14b-6

c-10

= c10

a14b6

ดงนน a-7b-3

c-5

2 = c

10

a14b6

2. a2

b

3 b4c2 a3

2 = a(2)(3)

b(1)(3) Ö b

(4)(2)c(2)(2)

a(3)(2)

= a6 b3 Ö b

8c4

a6 = a6

a6 Ö b8

b3 Öc4

= a0 Öb5 Öc4

= b5c4

ดงนน a2

b

3 b4c2 a3

2 = b5c4

วธทำา a2bb3c

4

= a2

b2c

4

= a(2)(4)

b(2)(4)c(1)(4)

= a8

b8c4

ดงนน a2bb3c

4

= a8

b8c4

1. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลง

เปนจำานวนเตมบวก

1) 2,4500 2) 17-3 3) 1

14-3

4)3-7¶ 35

3-3

5) (-9)-5

6)(11-3 . 5-2)-4 7) (10-4 ö 10-3)-5 8) 815 Ö 8-9

8-8 Ö 8-4

9)10-5 Ö 10-8

10-12 Ö 1014 10) 36 Ö 10-5

9 Ö 10-8



ฝกฝน

ทาทาย

บทนยาม

2. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายและเลขยกกำาลงทกจำานวนมเลขชกำาลง

เปนจำานวนเตมบวกเมอa,b,cและdเปนจำานวนจรงทไมเปนศนย

1) (a11)0 2) ab-14 3) c-5Öc6 4) 1

a-7

5) (4a-9)(12a-7)6) (3a2)(2a4)(4a3) 7)25b-10

5b-15 8) c-4

c-5

-8

9) a8 a-9

-1 10) (12a5b-2)3

11) (3ab-6)-4 12) 9 16b-3c5

-2

13) b3 c6

-2

14) 2a7b-3

18a-4b3

15) 24a-3b5

8a-2b-1 16) 6b

-3c-4

3b-4c-2 17) 10a3b2

4a2b36a2b4

9a4b2

18) c-2 d-6d6

-3 19) 34a5

17b2

2 -2

20) (c+d)-1 21) ab2

2c3

2

22) a2¶ b3 c4d

4

23) 6(c- 2)-6

12(c- 2)-4

24) 3(b+c)2(c- b)4

6(c- b)2(c+b)5 25) a 3c - 2b- 1

b-2a-2c2

-2 226) 33c0d-2

23d-6c2

-1 33c-2d22d-3c2

2

3. ถาโกเรยนดนตรในแตละวนดงน

วนท1 เรยน 16นาท





อยากทราบวาถาโกเรยนดนตรเปนเวลา10วนโกจะใชเวลาเรยนทงหมดกนาท

(เขยนตอบในรปเลขยกกำาลง)

4. ตอมเลนเกมคอมพวเตอรในแตละวนดงน

วนท1 เลนเกม5นาท



อยากทราบวาวนท9ตอมจะเลนเกมคอมพวเตอรใชเวลากนาท

(เขยนตอบในรปเลขยกกำาลง)

การศกษาความรเรองรากทnของจำานวนจรงและจำานวนจรงในรปกรณฑจะใชเปนพนฐานในการ

เขยนเลขยกกำาลงเมอเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะซงอยในหวขอถดไปของหนวยการเรยนรน

ใหnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1aและbเปนจำานวนจรง

bเปนรากทnของaกตอเมอbn=a

พจารณาการคณดวยจำานวนเดยวกนของจำานวนตอไปน

1. 961 = 31Ö31 = 312

หรอ961 = (-31)Ö(-31) = (-31)2

มจำานวนจรง 31และ-31ทยกกำาลง2ได961

จะกลาววา 31และ-31เปนรากท2ของ961

2. 1,024 = 2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2Ö2=210

หรอ 1,024 = (-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)

= (-2)10

หรอ 1,024 = 32Ö32=322

หรอ 1,024 =(-32)Ö(-32)=(-32)2

หรอ 1,024 = 4Ö4Ö4Ö4Ö4=45

มจำานวนจรง 2 และ -2 ทยกกำาลง 10 ได 1,024

จะกลาววา 2 และ -2 เปนรากท 10 ของ 1,024

มจำานวนจรง 32 และ -32 ทยกกำาลง 2 ได 1,024

จะกลาววา 32 และ -32 เปนรากท 2 ของ 1,024

มเพยงจำานวนจรง4ทยกกำาลง5 ได 1,024

จะกลาววา 4เปนรากท5ของ1,024

3. 161,051 = 11Ö11Ö11Ö11Ö11

= 115

2. ร�กท n ของจำ�นวนจรง


ขอสงเกต

มเพยงจำานวนจรง 11 ทยกกำาลง 5 ได 161,051

จะกลาววา 11 เปนรากท 5 ของ 161,051

-2,197 = (-13)Ö(-13)Ö(-13)

= (-13)3

มเพยงจำานวนจรง -13 ทยกกำาลง 3 ได -2,197

จะกลาววา -13 เปนรากท 3 ของ -2,197

ในการหารากทเปนจำานวนค จะมคำาตอบทเปนไปไดทงทเปนคาบวกและทเปนคาลบ

ในขณะทการหารากทเปนจำานวนค จะมฐานทเปนไปไดทมเครองหมายตรงกบจำานวนนน

เพยงคาเดยว

จงสรปไดวา

ถาnเปนจำานวนค

เมอa>0 รากทnของaม2คาคอรากทเปนจำานวนจรงบวกเขยนแทนดวยn√a

และรากทเปนจำานวนจรงลบเขยนแทนดวย-n√aเมอa<0 จะไมมจำานวนจรงทเปนรากทnของa

เมอa=0 รากทnของaคอ0

ถาnเปนจำานวนค

เมอa>0 รากทnของaม1คาคอรากทเปนจำานวนจรงบวกเพยงจำานวนเดยว

เขยนแทนดวยn√a

เมอa<0 รากทnของaม1คาคอรากทเปนจำานวนจรงลบเพยงจำานวนเดยว

เขยนแทนดวยn√a

เมอa=0 รากทnของaคอ0

ใหa,bเปนจำานวนจรงและnเปนจำานวนเตมทมากกวา1

bจะมรากทnเมอnเปนจำานวนคได2คาคอรากทเปนจำานวนจรงบวกและรากทเปน

จำานวนจรงลบจงมการใหนยามคาหลกของรากทnดงน

คาหลกของรากท n

เครองหมาย√ เดมกคอตวr

ซงมาจากคำาวาradixขอตกลงเมอn=2นยมเขยน√ (squareroot)แทน√2

ใหa,bเปนจำานวนจรงและnเปนจำานวนเตมทมากกวา1

bเปนคาหลกของรากทnของaกตอเมอ

1.bเปนรากทnของaและ

2.ab 0

เขยนแทนคาหลกของรากทnของaดวยn√a อานวา“กรณฑทnของa”หรอคาหลกของรากทnของa”

วธทำา1. 81 = 3Ö3Ö3Ö3=34 หรอ

81 = (-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö(-3)=(-3)4 หรอ

81 = 9 Ö 9 = 92 หรอ

81 = (-9)Ö(-9)=(-9)2

มจำานวนจรง3 และ-3ทยกกำาลง4ได 81

จะกลาววา 3 และ-3เปนรากท4ของ 81 นนคอ4√81=3และ-4√81 = -3

มจำานวนจรง9 และ-9ทยกกำาลง2ได 81

จะกลาววา 9 และ-9เปนรากท2ของ 81 นนคอ√81=9และ-√81 = -9

2. 125= 5Ö5Ö5

= 53

มเพยงจำานวนจรง 5 ทยกกำาลง 3 ได 125

จะกลาววา 5 เปนรากท 3 ของ 125 นนคอ3√125 = 5

3. -125= (-5)Ö(-5)Ö(-5)

= (-5)3

มเพยงจำานวนจรง -5ทยกกำาลง 3 ได -125

จะกลาววา -5เปนรากท 3 ของ-125นนคอ-3√125 = -5


ใหนกเรยนหารากทnทเปนไปไดทงหมดของจำานวนตอไปน

โดยทnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1

1. 81 2. 125 3. -125



ใหนกเรยนหาคาหลกของรากทnทเปนไปไดทงหมดของจำานวนตอไปน

โดยทnเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1

1. 16 2. 343 3. -243 4. - 127

5. - 1128 6. 1 7. -1 8. 0

9. -9 10. -81

วธทำา1. 16

พจารณา16=4Ö4และ16=(-4)Ö(-4)

ดงนน คาหลกของรากท2ของ16คอ√16 = 4

เนองจาก4เปนรากท2ของ16และ4Ö16>0

แต คาหลกของรากท2ของ16คอ√16 ≠-4

เนองจาก4เปนรากท2ของ16แต(-4)Ö16<0

พจารณา16=2Ö2Ö2Ö2และ16=(-2)Ö(-2)Ö(-2)Ö(-2)

ดงนน คาหลกของรากท4ของ16คอ 4√16 = 2

เพราะวา2เปนรากท4ของ16และ2Ö16>0

แต คาหลกของรากท4ของ16คอ4√16≠-2

เพราะวา-2เปนรากท4ของ16แต(-2)Ö16<0

ดงนน คาหลกของรากทnทเปนไปไดหมดของ16คอ

คาหลกของรากท2ของ16คอ√16 = 4

คาหลกของรากท4ของ16คอ4√16 = 2

2. 343

เนองจาก343=7Ö7Ö7

ดงนน คาหลกของรากท3ของ343คอ 3√343 =7

เพราะวา7เปนรากท3ของ343และ7Ö343>0

3. -243

เนองจาก-243=(-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö(-3)

ดงนน คาหลกของรากท5ของ-243คอ 5√-243 = -3

เพราะวา-3เปนรากท5ของ-243และ(-3)Ö(-243)>0

4. - 127

เนองจาก- 127 = - 1

3 Ö - 13 Ö - 1

3

ดงนน คาหลกของรากท3ของ- 127 คอ - 1

27 3 = - 1

3

เพราะวา- 13 เปนรากท3ของ-

127 และ -

13 Ö - 1

27 >0

5. - 1128

เนองจาก- 1128 = - 1

2 Ö - 12 Ö - 1

2 Ö - 12 Ö - 1

2 Ö - 12 Ö - 1

2

ดงนน คาหลกของรากท7ของ- 1128 คอ - 1

1287 = - 1

2

เพราะวา- 12 เปนรากท7ของ-

1128 และ - 1

2 Ö - 1128 >0

6. 1

เนองจาก1= 1Ö1Ö1Ö...Ö1

ไดวาคาหลกของรากทnของ1คอ1เสมอ

เพราะวา1เปนรากทnของ1และ1Ö1>0เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ

7. -1

เนองจาก-1= (-1)Ö(-1)Ö(-1)Ö...Ö(-1)

ไดวาเมอnเปนจำานวนคคาหลกของรากทnของ-1คอ-1เสมอ

แตไมมคาหลกของรากทเปนจำานวนค

8. 0

เนองจาก0= 0Ö0Ö0Ö...Ö0

ไดวาคาหลกของรากทnของ0คอ0เสมอ

เพราะวา0เปนรากทnของ0และ0Ö0=0เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ

nตว เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ

nตว เมอnเปนจำานวนค

nตว เมอnเปนจำานวนเตมใดๆ



เรยก √ วา เครองหมายกรณฑ (radicalหรอ radix) เรยก n√ วา เครองหมายกรณฑท n

โดยมnเปนดชน(index)ของกรณฑและเรยกn√a วาคาหลกของรากทn ของa

(principlenthrootofa)หรอกรณฑทnของaในกรณทn=2จะเขยน√aแทน2√a จากบทนยามคาหลกของรากทnของaจะไดวาbเปนคาหลกของรากทnของaแลว

aและbเปนจำานวนจรงบวกทงคหรอเปนจำานวนจรงลบทงคหรอเปนศนยทงค

9. -9

เนองจาก-9=(-3)Ö3

ดงนน -9ไมมคาหลกของรากท2หรอ√-9 ไมเปนจำานวนจรง

เพราะวาไมมจำานวนจรงใดทเปนรากท2ของ-9

10. -81

เนองจาก-81=(-3)Ö(-3)Ö(-3)Ö3หรอ-81=(-9)Ö9

ดงนน -81ไมมคาหลกของรากท2หรอ√-81 ไมเปนจำานวนจรง


และ-81ไมมคาหลกของรากท4หรอ4√-81ไมเปนจำานวนจรง


จากตวอยางสรปไดวาคาหลกของรากทnของaหรอn√a มลกษณะคำาตอบดงน

1.ถาa=0แลวคาหลกของรากทnของaเทากบ0หรอn√a = 0

2.ถาa>0แลวคาหลกของรากทnของaเปนจำานวนจรงบวก

3.ถาa<0และnเปนจำานวนคแลวคาหลกของรากทnของaเปนจำานวนจรงลบ

4.ถาa<0และnเปนจำานวนคแลวไมมคาหลกของรากทnของa

เนองจากรากทnของaไมมคำาตอบเปนจำานวนจรง

สมบต 1 (n√a)n =aเมอn√aเปนจำานวนจรง

พสจน เนองจาก n√a เปนคาหลกของรากทnของa

ดงนน n√a เปนรากทnของa นนคอ (n√a)n

=a(ตามบทนยามหนา17)

ตวอยางท 3 + -- ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปนโดยใชสมบต 1

1. (4√3)4

2. (5√-11)5

3.(4√16)2 4.(8√-256)4

วธทำา 1. (4√3)4

= 3

2. (5√-11)5

= -11

3. (4√16)2 = (√4)2

= 4

4. (8√-256)4

ไมเปนไปตามสมบต 1 เนองจาก 8√-256 ไมเปนจำานวนจรง

4√16 = √4

1 (n√a)n

= a เมอn√aเปนจำานวนจรง

2

n√an

= a เมอnเปนจำานวนค

|a|เมอnเปนจำานวนค

3 n√ab = n√a . n√b

4 a

bn

=

n√an√bและb≠0

5 m√n

√a = mn√a

ใหaและbเปนจำานวนจรงทมรากทnและmเปนจำานวนเตมบวกทมากกวา1จะได

สมบตของรากท n เปนสมบตทมลกษณะเดยวกบสมบตของเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปน

จำานวนเตมดงน

สมบตของรากท n


สมบต 2 n√an =

aเมอnเปนจำานวนค

|a| เมอnเปนจำานวนค

พสจน 1. nเปนจำานวนค

เนองจากan=a Ö a Ö a Ö … Ö a ดงนนaเปนรากทnของan

กรณท1a 0จะไดan 0 กรณท2a<0จะไดan<0

ดงนนan. a 0 ดงนนan. a >0

จะไดวาaเปนคาหลกของรากทnของan จะไดวาaเปนคาหลกของรากทnของan

นนคอ(n√a )n=a นนคอ(n√a

)n=a

2. nเปนจำานวนคจะไดan 0

เนองจากan=|a| Ö |a| Ö |a| Ö … Ö |a|

ดงนนan. |a| 0

เพราะฉะนน|a|เปนคาหลกของรากทnของan

นนคอ(n√a )n=|a|

nตว

nตว

ตวอยางท 4 + -- ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปนโดยใชสมบต 2

1.5√243

2.-4√81

3.4√(-3)4

วธทำา 1. 5√243

= 5√3 Ö 3 Ö 3 Ö 3 Ö 3 = 5√35

= 3

2. -4√81

= -4√3 Ö 3 Ö 3 Ö 3หรอ = -4√(-3) Ö (-3)Ö (-3) Ö (-3)

= -4√34

= -4√(-3)4

= -3 = -|-3|

= -3

3. 4√(-3)4

= |-3|

= 3

สมบต 3 n√ab = n√a . n√b

3√(-27)(5)

พสจน จากสมบต 1 จะได(n√a )n=aและ(n√b

)n=b

จะได ab=(n√a )n(n√b

)n=(n√a

n√b)n

ดงนนn√a . n√bเปนรากทnของab

จากสมบตของคาหลกของรากทnของaและbจะได

a . n√a 0และb . n√b 0

ดงนน(ab)(n√a n√b) = (a . n√a)(b . n√b) 0

สงผลให n√a . n√b เปนคาหลกของรากทnของab

นนคอ n√ab = n√a . n√b

ตวอยางท 5 + -

- ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปน

1. √4a2

2.3√-135

วธทำา 1. √4a2

= √4 . √a2

= 2|a|

2. 3√-135

= 3√-27 . 3√5

= -33√5

สมบต 4 ab

n = n√an√bเมอb≠0

พสจน จากสมบต 1 จะได(n√a )n=aและ(n√b

)n=b

จะได ab = (n√a)n(n√b)n

= n√an√b

n

ดงนนn√an√b เปนรากทnของ

ab

จากสมบตของคาหลกของรากทnของaและbจะได

a . n√a 0และb . n√b >0

ดงนน ab

n√an√b

= a . n√ab . n√b

0

สงผลให n√an√b เปนคาหลกของรากทnของab

นนคอ ab

n = n√an√bเมอb≠0


≈2.44953582

คณดวย √3√3

เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม

3√2 Ö 3 √3 Ö 3

จากขอ1.

คณดวย √7√7


4√5Ö7 √7Ö7

≈3.38072764571

วธทำา 1. 35 3

=

3√33√5

2. 16

314

= 24√31 4√31

4√16

สมบต 5 m√n

√a = mn√a

วธทำา 1. 4√3

√3 = 12√3

2. 5√4

√5

= 20√5

4Ö3√35Ö4√5

ตวอยางท ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปน

1. 35 3

2. 16

314

6+ -

-

ตวอยางท ใหนกเรยนหาผลลพธของจำานวนตอไปน

1. 4√3

√3

2. 5√4

√5

7+ -

-

พสจน จากสมบต 1 จะได(n√a )n=aและ(m√n

√a)m = n√a

ดงนน(n√a )n = ((m√n

√a)m)n = (m√n

√a)mn

นนคอ

m√n

√a เปนรากทmnของa

จากสมบตของคาหลกของรากทnของaและคาหลกของรากทmของn√aจะได a . n√a 0และn√a . m√n

√a 0

ดงนน n√a และm√n

√a มเครองหมายเชนเดยวกน

เพราะฉะนนa. m√n

√a 0

สงผลใหm√n

√a เปนคาหลกรากทmnของa

นนคอm√n

√a = mn√a

วธทำา 1. √6

= √2 . √3 ≈ 1.4142Ö1.7321

≈ 2.4495

2. 3√2

√3

= 3√2√3

. √3√3

= 3√63

= √6 ≈ 2.4495

3. 4√5√7

= 4√5

√7 . √7√7

= 4√5 Ö √77

≈ 4 Ö 2.2361Ö2.64587

≈ 3.3807

นกเรยนสามารถเขยนคากรณฑทคำาตอบของรากไมเปนจำานวนเตมในรปกรณฑ หรอสามารถ

คำานวณเปนคาประมาณทเปนทศนยมไมซำานนคอคาของกรณฑเปนจำานวนอตรรกยะเชน√2

กรณฑท2ของ2หรอคาหลกของรากท2ของ2มคาประมาณ1.4142โดย1.41422เทากบ1.99996164

เมอคดเปนทศนยม4ตำาแหนงกจะมคาใกลเคยง2

√3≈ 1.7321 √5≈ 2.2361 √7≈ 2.6458

ชาวบาบโลเนยไดคำานวณหาคาของ√2 ไว

ตงแตเกอบ 4,000 ปกอน โดยมความแมนยำาถง

ทศนยมตำาแหนงท5

ตวอยางท ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน(ตอบเปนทศนยม4ตำาแหนง)

1. √6

2. 3√2√3

3. 4√5 √7

8+ -

-


(√4 Ö 4 Ö 5 - 3√5) +(2√2 Ö 2 Ö 3 + √5 Ö 5 Ö 3 )

(4- 3)√5+(4+ 5)√3

(2+4)√3

(5+4-3)√7

(12+3 2 ) √2

คณดวย√2√2

เพอทำาตวสวน

ใหเปนจำานวนเตม

(CASIOรนfx-991ESPLUS)

การคำานวณหารากของจำานวนจรง

นอกเหนอจากการใชโปรแกรมคำานวณ

และการใชเครองคดเลขทมฟงกชน y√x ในการ

คำานวณหาคารากของจำานวนจรงแลว นกเรยน ยงสามารถคำานวณหาคาประมาณของราก ดงกลาวไดดวยตนเอง โดยการหาจำานวนจรงb ท bnมคาใกลเคยงกบ aมากทสดดงตวอยาง ตอไปน

การใชเครองคดเลขทมฟงกชนy√xมาใชในการคำานวณหารากทnของจำานวนจรงเชน√2≈1.4142

ตวอยางท ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของ3√65 (ตอบเปนทศนยม2ตำาแหนง)9+ -

-

วธทำา ขนตอนการทำาเรมจากหาจำานวนจรงbทb3มคาใกลเคยงกบ65

43 = 64 นอยกวา65

(4.1)3 = 68.921 มากกวา65

(4.05)3 = 66.430125 มากกวา65แตใกลเคยงมากขน

(4.02)3 = 64.964808 นอยกวา65เลกนอยแตใกลเคยงมากทสด

(4.03)3 = 65.450827 มากกวา65เลกนอย

ดงนน คาประมาณทมทศนยม2ตำาแหนงของ3√65 คอ4.02

ตรวจสอบคำาตอบดวยโปรแกรมคำานวณหรอเครองคดเลขคำาตอบทได

คอ4.020725759ซงมคาประมาณเปนทศนยม2ตำาแหนงเทากบ4.02

ตวอยางท ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของ√91 (ตอบเปนทศนยม2ตำาแหนง)10+ -

-

วธทำา ขนตอนการทำาเรมจากหาจำานวนจรงbทb2มคาใกลเคยงกบ91

92 = 81 นอยกวา91

(9.5)2 = 90.25 นอยกวา91แตใกลเคยงมากขน

(9.55)2 = 91.2025 มากกวา91เลกนอย

(9.54)2 = 91.0116 มากกวา91เลกนอยแตใกลเคยงมากทสด

ดงนน คาประมาณทมทศนยม2ตำาแหนงของ√91 คอ9.54

ตรวจสอบคำาตอบดวยโปรแกรมคำานวณหรอเครองคดเลขคำาตอบทได

คอ9.539392014ซงมคาประมาณเปนทศนยม2ตำาแหนงเทากบ9.54

การบวก ลบ คณ และหารของจำานวนในรปกรณฑ

การหาผลบวกและผลลบของจำานวนในรปกรณฑ

จำานวนในรปกรณฑทปรากฏเปนรากทเทากนและมจำานวนภายใตเครองหมายกรณฑเปน

จำานวนเดยวกน จะสามารถใชสมบตการแจกแจงของระบบจำานวนจรงในการหาผลบวกและผลลบได

นนคอคดในลกษณะเดยวกบตวแปรในเรองพหนามนนเอง

วธทำา 1. 2√3+4√3 = 6√3

2. 5√7+4√7 - 3√7 = 6√7

3. 6√2+ 3

√2 = 6√2 + 3

√2. √2√2

= 6√2 +3√22

= (6+32)√2

= 15 2 √2

4. (√80 - 3√5) +(2√12+√75)

= (4√5 - 3√5) +(4√3+5√3)

= √5 +9√3

5. (4√7 - √175+√7) +(7√2 - √50)

= (4√7 - √25Ö7 +√7) +(7√2 - √25 Ö 2)

= (4√7 - √25√7 +√7) +(7√2 - √25 √2)

= (4√7 - 5√7 +√7) +(7√2 - 5√2)

= (4- 5+1)√7 +(7-5)√2 = (0)√7 +2√2 = 2√2

ตวอยางท ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย11+ -

-

1. 2√3+4√3

2. 5√7+4√7 - 3√7

3. 6√2+ 3

√2

4. (√80 - 3√5) +(2√12+√75)

5. (4√7 - √175 +√7) +(7√2 - √50)


√5 Ö 11

3√3Ö73√(10a4b5)Ö(75a5b6)

3√(125a6b9)Ö(6b2)

3√(5a2b3)3¶3√6b2

ทำารากใหเทากนกอนหรอใชสมบตm√n

√a = mn√a

6√26a12b18¶ 2ab5

√3 Ö √7√3 Ö √6

คณดวย 3√3a2

3√3a2เพอทำาตวสวนใหเปนจำานวนเตม

คณดวย√6 √6


คณดวย3√2a3√2a


3√3b2 ● 3√2a

3√8a3

14√77

93 3

คณดวย√7√7


คณดวย√5 √5


18a4 Ö 3√3a2

3√27a3

ตวอยางท 12+ -

- ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย กำาหนดใหaเปนจำานวนจรงทไมเปนศนยและbเปนจำานวนจรง

1. √5 . √11

2. 3√3 . 3√7

3. 3√10a4b5 . 3√75a5b6

4.√2a3b5 . 3√4a2b4

การหาผลคณของจำานวนในรปกรณฑ

จำานวนในรปกรณฑทปรากฏเปนรากทเทากน สามารถคณกนได ซงเปนไปตามสมบตของราก

ขอท 3 n√ab = n√a . n√b

วธทำา 1. √5 . √11 = √55

2. 3√3 . 3√7 = 3√21

3. 3√10a4b5 . 3√75a5b6

= 3√750a9b11

= 3√(5a2b3)3(6b2)

= 5a2b3 3√6b2

4. √2a3b5 . 3√4a2b4 = 2Ö3√(2a3b5)3 . 3Ö2√(4a2b4)2

= 6√23a9b15¶24a4b8

= 6√(2a2b3)6¶2ab5

= |2a2b3| 6√2ab5

การหาผลหารของจำานวนในรปกรณฑ

จำานวนในรปกรณฑทปรากฏเปนรากทเทากน สามารถหารกนได ซงเปนไปตามสมบตของราก

ขอท 4 ab

n = n√an√bเมอa 0,b>0และnเปนจำานวนเตมทมากกวา1



1. 3√93√3

2. 14 √7

3. √3√5

4. √21

√18

5. 18a4

3√9a

6. 33b2

4a2

4. √21

√18 = √3Ö7

√3 Ö 6

= √7√6

= √7√6

. √6√6

= √426

5. 18a

4

3√9a = 18a4

3√9a.

3√3a2

3√3a2

= 18a4 Ö 3√3a2

3a

= 6a33√3a2

6. 33b2

4a2 = 3√3b2

3√4a2.

3√2a3√2a

= 3√3b2¶2a

2a

= 3√6ab2

2a

วธทำา 1.3√93√3 = 3√3

2. 14 √7

= 14 √7

. √7√7

= √7

3. √3√5

= √3√5

. √5√5

= √155


คณดวยสงยค√3 + √2√3+ √2


(3√2333a9)(√3+√2)(√3 - √2)(√3+√2)

6a¶(√3 Ö √2)1

คณดวยสงยค√6 + √5√6+ √5



ฝกฝน

ทาทาย


ฝกฝน

ทาทาย


ฝกฝน

ทาทาย

การแปลงตวเศษหรอตวสวนทอยในรปa+b√mหรอa-b√mในกรณa≠0ใหคณดวยสงยค(conjugate)ทงตวเศษและตวสวน

โดยทสงยคของa+b√mคอa-b√m

และสงยคของ a-b√mคอa+b√m ตวอยางของสงยค

√a+√bสงยคคอ√a - √b

√3+√5สงยคคอ√3 - √5

√2 - √7สงยคคอ√2+√7 4 - √2สงยคคอ4+√2

เมอนำาสงยคมาคณจะได(a+b√m)(a-b√m)= a2 -(b√m)2 หรอ (√a+√b)(√a - √b) = (√a)2 -(√b)2



1. 1 √6 - √5

2. 3√8a2 . 3√27a

√3 - √2

วธทำา

1. 1 √6 - √5

= 1 √6 - √5

. √6 + √5 √6+ √5

= √6 + √5 (√6)2 - (√5)2

= √6 + √5 6 - 5

= √6+√5

2.3√8a2 . 3√27a√3 - √2

= 3√8a2 . 3√27a√3 - √2

¶√3 + √2√3+ √2

= 3√(6a)3¶(√3+√2)

3 - 2

= 6a(√3+√2)


1. ใหนกเรยนทำาจำานวนตอไปนอยในรปอยางงายกำาหนดใหa,b,cและdเปนจำานวนจรงบวก

1) 5√(-3)5 2) √(-16)2 3) 3√(-8)3

4) 5√(-5)5 5) √6 . √3

6) 4√a4b8 7) 3√a6c-9 8) 15√b5

9) 25c√5c

10) 3b5

125

11) 16c3

3√2c2 12)

35b2

3d4 13) 4√(a2 +b2)4

14) 3√

√d

2. ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน(ตอบเปนทศนยม4ตำาแหนง)

กำาหนดให√2≈1.4142,√3≈1.7321,√5≈2.2361และ√7≈2.6458

1) √6 2) √15 3) √70

4) √120 5) √125 6) √250 7) √700

8) √2,156 9) √5,768 10) 7√5√35

3. ใหนกเรยนหาคาโดยประมาณของจำานวนตอไปน(ตอบเปนทศนยม2ตำาแหนง)

1)หากรณฑท2ของ

(1) 57 (2) 69 (3) 105

(4) 148 (5) 472 (6) 689

(7) 1,245 (8) 1,532 (9) 1,854 (10)2,564



ฝกฝน

ทาทาย


ฝกฝน

ทาทาย

ฝกฝน

ทาทาย


ฝกฝน

ทาทาย

2) หากรณฑท3ของ

(1) 33 (2) 73 (3) 146

(4) 243 (5) -252 (6) -364 (7)-543

(8) 616 (9) -1,501 (10) 2,833

4. ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงายกำาหนดใหaเปนจำานวนจรงบวก

1) √755 2) √48√3

3) √6√5

4) 2√50

5) 5 √15

6) 3√72 - 2√28

7) 9√a9 8) 3√27a3

9) √3 . √18 10) √3 . √9 . √27

11) 81a4

16 12) √2 . √5√20

13) √8 . √6√24

14) 3√

√4

15) 3√5 +9√2+√5 - 4√216) √80+√40 - √45

17) √903 + 1

√3 18) 4√80 - 2 4√405 +3 4√1,280

19) 1 √343

+4√28 - 17

3 20) 3√1,600+3√25 +3√6753√200

21) √15√5+√6

- √10√6 - √5

5. ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย กำาหนดให a, b, c เปนจำานวนจรง

และd,eเปนจำานวนจรงทไมเปนศนย

1) √32a5 b2c3 2) 4√243a6b5

3) 3√16a2b5¶3√4a7b4 4) 3√2a2b4¶3√4ab7

5) 4√4ab5¶4√32a7b6 6) 33d74d4

7) √6

√a6b8

8) 3√4

√a3b9 9) 4√16b

√a6b9c12

10) √10 √94 √8a6b934 11) 4√27a7b3¶√3a5b

12) √2e3√e

13) √3a5b3¶3√81a7b7

14) 3√3a2b2¶4√9a2b3 15)3√16d2e2

√5de

6. ใหนกเรยนทำากรณฑในแตละขอตอไปนอยในรปอยางงาย

1) (√3 - √7)(√3+ √7) 2) (√5+ √2)(√5 - √2) 3) (-1+ √6)(-1 - √6) 4) (√8 - 3)(√8+ 3)

5) (-√3 - √5)(-√3+ √5)

6) 4 √3+ √2

7) -3 √2+ 1

8) √21 -√2

9) 1+√21 - √2

10) √3 + √10 √5 - √2

11) 2√3 √5+ √2

12) 3√2 +51 - 2√2

13) √5 - √10 -3√5+ √3

14) √24 +√12 √12 - √20

15) √18 - √27 √27 - √45



การเขยนเลขยกกำาลงใหอยในรปกรณฑ



การทำาใหอยในรปอยางงายตวอยางท 4 + --

3. เลขยกกำ�ลงทมเลขชกำ�ลงเปนจำ�นวนตรรกยะ

ในหวขอนเปนการกลาวถง เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ โดยใชสมบตของ

รากท n และสมบตของเลขยกกำาลง ซงนกเรยนมพนฐานความรเรอง เลขยกกำาลงทมเลขชกำาลง

เปนจำานวนเตมแลว ตอไปจะศกษาเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ เพอใหนกเรยน

มพนฐานสามารถทำาความเขาใจเลขยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนคาตางๆในขอบขายทกวางขน

บทนยาม

เมอaเปนจำานวนจรงnเปนจำานวนเตมทมากกวา1และaมรากทn

จะไดวาa1n = n√a

บทนยาม

1.คาหลกของรากทสองของ4 คอ √4 จะได 2√4 = 412

2.คาหลกของรากทสองของ81 คอ √81 จะได 2√81 = 8112

3.คาหลกของรากทสามของ8 คอ 3√8 จะได 3√8 = 813

4.คาหลกของรากทสามของ-27 คอ 3√(-27) จะได 3√(-27) = (-27)13

5.คาหลกของรากทสของ81 คอ 4√81 จะได 4√81 = 8114

6.คาหลกของรากทหาของ-32 คอ 5√(-32) จะได 5√(-32) = (-32)15


จากบทนยามจะพบวาa1n คอคาหลกของรากทnของaโดยท (a

1n)n=a

เมอaเปนจำานวนจรงใหmและnเปนจำานวนเตม

โดยทn>1และm n เปนเศษสวนอยางตำา

จะไดวาamn = (a

1n)m =(n√a )m

และ amn = (am)

1n = n√am

ตวอยางท 1 + -- การเขยนคาหลกของรากทnของจำานวนใหอยในรปเลขยกกำาลง

จากamn แลวaตองไมเทากบ0เนองจากหากa=0และmมคานอยกวา1จะไดเศษสวนท

มสวนเปนศนยซงไมมความหมายทางคณตศาสตรเชน กำาหนดใหa=0,m=-2และn=2

จะไดamn = 0

-22 = 10

1.คาหลกของรากทสามของ 22 คอ 3√22 จะได 3√22 = 223

2.คาหลกของรากทสของ 53 คอ 4√53 จะได 4√53 = 534

3.คาหลกของรากทสองของ 35 คอ 2√35 จะได 2√35 = 352

1. 814 เขยนในรปกรณฑไดวา 4√8

2. 62515 เขยนในรปกรณฑไดวา 5√625

3. (-243)13 เขยนในรปกรณฑไดวา 3√-243

4. 34332 เขยนในรปกรณฑไดวา √3433 หรอ (√343)3

1. (27)23 = 3√(33)2

= 3√(32)3 = 32 = 9 2. (-125)-

13 = 3√(-53)-1

= 3√(-51)-3

= 3√{(-5)-1}-3

= (-5)-1

= -15

การเขยนคาหลกของรากทnของจำานวนทมเลขชกำาลงมากกวา1ใหอยในรปเลขยกกำาลง





ฝกฝน

ทาทาย


ฝกฝน

ทาทาย

ฝกฝน

ทาทาย



1.6456 = {(64)16}5

= {(26)16}5

= 25

ทบทวนสมบตของเลขยกกำาลงถาaและbเปนจำานวนจรงใดๆทไมเปนศนยmและnเปนจำานวนตรรกยะจะได

1. amÖ an= am+n 2. (ab)n = anÖ bn

3. (am)n = amn 4. am

an = am-n

5. ( a b )n

= an

bn

การทำาใหอยในรปอยางงาย

2. 5125

32 = 5

12+

32

= 542

= 52

3. 8324

14 = (23)

32(22)

14

= 2922

24

= (282+

12)(2

12)

= 242122

12

= 25

4. (5125

32)6 = (2

13-1

6)6

= (516)6

= 5

สรนนก เ งนจากธนาคารจำานวน 50,000 บาท โดยกยมเปนเวลา 4 ป และคดดอกเบยทบตนตอปในอตรารอยละ2เมอครบกำาหนดสรนนตองจายเงนใหธนาคารรวมทงหมดเทาไรและคดเปนดอกเบยเทาไร

วธทำา จากโจทยไดวาเงนตน(p) = 50,000บาท

อตราดอกเบยตองวด(i) = 2

100 = 0.02

และจำานวนงวด(n) = 4งวด

จากสตร An = p(1+i)n

จะได An = 50000(1+0.02)4

= 50000(1.02)4

≈ 50000(1.0824) ≈ 54,120

ดงนน เงนรวมทงหมดทสรนนตองจายใหธนาคารประมาณ54,120บาทและคดเปน

ดอกเบยประมาณ54,120-50,000=4,120บาท


1. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปกรณฑ

1) 412 2) 125

13 3) 144

12 4) 180

15

5) 51218 6) 0.125

13

7) 8123 8) 96

45 9) 0.144

12 10) 1.225

78

11) -(0.2512)12) (-27)

13 13) -(64

34) 14) (-0.001)

73

2. ใหนกเรยนเขยนคาหลกของรากทnของจำานวนตอไปนอยในรปเลขยกกำาลง

1) √16 2) 3√27 3) 4√625

4) 4√163 5) 5√-322 6) 8√6252 7) 3√0.0272

8) - 3 3√3

9) -3√-8 10) 3√81 3√-125

3. ใหนกเรยนเขยนจำานวนตอไปนอยในรปอยางงาย

1) √16 2) 3√216 3) 5√243

4) 3

125-343

5) 27b4

252 6) -4625x2

49 7) 64b4

(-6)2

8) 6√(25x2)3 9) 81a2

493

-4 10) 5√(-32xy2)10

4. ใหนกเรยนหาคาของจำานวนตอไปน

1) √75 5√3

2) √54

√45 3) 2

32 Ö 4

26

4) 7-3 Ö 49 5) 325 Ö 9

75 6) 343

23 Ö 49

76

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 540

ฝกฝน

ทาทาย

5. โดยทวไปหวใจของมนษยเตนประมาณ 72 ครงตอนาท อยากทราบวาในหนงวนหวใจของมนษย

เตนประมาณกครง

6. วรดากเงนกบธนาคารจำานวน 25,000 บาท โดยกยมเปนเวลา 3 ป และคดดอกเบยทบตนตอป

ในอตรารอยละ 4 เมอครบกำาหนด วรดาตองจายเงนใหธนาคารรวมทงหมดเทาไร และคดเปน

ดอกเบยเทาไร

7. เดกชายวรเดชกำาลงหดคดตวอกษรภาษาองกฤษ โดยในแตละวนเขาคดตวอกษรไป 73 ตว

อยากทราบวาในเวลา 73 วน เขาจะคดตวอกษรภาษาองกฤษไดทงหมดกตว

8. โซเดยม-25 เปนไอโซโทปกมมนตรงสทสลายตวเรว มครงชวตเพยง 1 วนาทเทานน หากเรมตน

มโซเดยม-25 อย 1 กโลกรม เมอผานไป 10 วนาท จะเหลอโซเดยม-25 อยกกรม (ตอบเปนทศนยม

2 ตำาแหนง)

9. หนวยความจำาของเครองคอมพวเตอรมหนวยเปนไบต โดย 1,024 ไบต จะเรยกวา 1 กโลไบต

1,024 กโลไบต จะเรยกวา 1 เมกะไบต 1,024 เมกะไบต จะเรยกวา 1 จกะไบต 1,024 จกะไบต

จะเรยกวา 1 เทระไบต หากนองมายดซอฮารดไดรฟขนาด 2 เทระไบต จะเกบไฟลรปคณภาพสง

ขนาด 32 เมกะไบตไดทงหมดกรป

10. แบคทเรย Lactobacillus Acidophilus เมออยในสภาวะทเหมาะสมและพรอมทจะแบงเซลล

จะเพมจำานวนเปน 2 เทาภายใน 66 นาท หากในนมเปรยว 1 ขวด ตองการใหมแบคทเรยดงกลาว

8 พนลานเซลล และใชเวลาในการบม 22 ชวโมง ตองมแบคทเรยเรมตนประมาณกเซลล

7) 3√-128

3√64 8) (-27)

53 Ö 243

26 9) 25

32√5√125

10) 2723√6√50

11) 3√1,000 - 16

14

1,72813

12) 1,33123 - √169

6√1443 13) 16

14 + 3√1,000 1,728

13

14) 12523 + √121216

13

15) (-27)13 + 3√72981

14

Documents

คณิตศาสตร์ - academic.obec.go.thacademic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1560828742_example.pdf · 6 คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่