เฉลยแบบฝึกหัด คณิตศาสตร์2 · เฉลยแบบฝึกหัด คณิตศาสตร์2 ิแบบประเมินผลการเรียนรู้ทฤษฎีบ

เฉลยแบบฝึกหดั คณิตศาสตร ์2

แบบประเมินผลการเรียนรู้ ทฤษฎีบททวินาม จงแสดงวิธีท า 1. จงหาค่าของ

1.1 3! + 5! = 3(2)(1) + (5)(4)(3)(2)(1) = 6 + 120 = 126 1.2 5! - 3! = (5)(4)(3)(2)(1) - (3)(2)(1) = 120 - 6 = 114

1.3 )!n()!n(

31

เมื่อ n = 3 = )!n(

)!n)(n)(n(3

321

= (n - 1)(n - 2)

ถา้ n = 3 , )!n()!n(

31

= (n - 1)(n - 2) = (3 - 1)(3 - 2) = 2

1.4 )!n()!n(

13

เมื่อ n = 4 = )!n)(n)(n(

)!n(321

3

= )n)(n( 21

1

ถา้ n = 4 , )!n()!n(

13

= ))(( 2414

1

= 61

1.5

38

= ! )!(!

3388

= ! !!35

8 = (3)(2)(1) 5

)5(8)(7)(6)(!

!

= 6336

= 56

1.6

58

= ! )!(!

5588

= ! !!53

8 = )5(3)(2)(1)(

)5(8)(7)(6)(!!

= 6336

= 56

1.7

8

10 = ! )!(

!8810

10

= ! !!82

10 = )(2)(1)(8

)(10)(9)(8!!

= 290

= 45

1.8

2

10 = ! )!(

!2210

10

= ! !!28

10 = )(2)(1)(8

)(10)(9)(8!

!

= 290

= 45

2. จงกระจายทวินามต่อไปน้ี โดยใช้สามเหล่ียมปาสกาล

2.1 (x + 3)6 วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)6 คอื 1 6 15 20 15 6 1

(x + 3)6 = 1(x6)(30) + 6(x5)(31) + 15(x4)(32) + 20(x3)(33) + 15(x2)(34) + 6(x1)(35) + 1(x0)(36) = x

6 + 18x5 + 135x4 + 540x3 + 1215x2 + 1458x + 729

2

2.2 (x + 4)6 วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)6 คอื 1 6 15 20 15 6 1

(x + 4)6 = 1(x6)(40) + 6(x5)(41) + 15(x4)(42) + 20(x3)(43) + 15(x2)(44) + 6(x1)(45) + 1(x0)(46) = x

6 + 24x5 + 240x4 + 1280x3 + 3840x2 + 6144x + 4096 2.3 (x - 2)5

วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)5 คอื 1 5 10 10 5 1 (x - 2)5 = 1(x5)(-2)0 + 5(x4)(-2)1 + 10(x3)(-2)2 + 10(x2)(-2)3 + 5(x1)(-2)4 + 1(x0)(-2)5

= x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x - 32

2.4 (x - 3)5 วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)5 คอื 1 5 10 10 5 1

(x - 3)5 = 1(x5)(-3)0 + 5(x4)(-3)1 + 10(x3)(-3)2 + 10(x2)(-3)3 + 5(x1)(-3)4 + 1(x0)(-3)5 = x

5 - 15x4 + 90x3 - 270x2 + 405x - 243 2.5 (2x + 3y)4

วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)4 คอื 1 4 6 4 1 (2x + 3y)4 = 1(2x)4(3y)0 + 4(2x)3(3y)1 + 6(2x)2(3y)2 + 4(2x)1(3y)3 + 1(2x)0(3y)4

= 16x4 + 96x3y + 216x

2y

2 + 216xy3 + 81y

4 2.6 (3x + 2y)4

วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)4 คอื 1 4 6 4 1 (3x + 2y)4 = 1(3x)4(2y)0 + 4(3x)3(2y)1 + 6(3x)2(2y)2 + 4(3x)1(2y)3 + 1(3x)0(2y)4

= 81x4 + 216x3y + 216x2

y2 + 96xy

3 + 16y4

2.7 (1 - 2x)8 วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)8 คอื 1 8 28 56 70 56 28 8 1

(1 - 2x)8 = 1(18)(-2x)0 + 8(17)(-2x)1 + 28(16)(-2x)2 + 56(15)(-2x)3 + 70(14)(-2x)4

+ 56(13)(-2x)5 + 28(12)(-2x)6 + 8(11)(-2x)7 + 1(10)(-2x)8

= 1 - 16x + 112x2 - 448x3 + 1120x4 - 1792x5 + 1792x6 - 1024x7 + 256x8 2.8 (1 - 3x)8

วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)8 คอื 1 8 28 56 70 56 28 8 1 (1 - 3x)8 = 1(18)(-3x)0 + 8(17)(-3x)1 + 28(16)(-3x)2 + 56(15)(-3x)3 + 70(14)(-3x)4

+ 56(13)(-3x)5 + 28(12)(-3x)6 + 8(11)(-3x)7 + 1(10)(-3x)8

= 1-24x + 252x2 - 1512x3 + 5670x4 - 13608x5 + 20412x6 - 17496x7 + 6561x8

3. จงกระจาย (2x + y2)5 โดยใช้สามเหล่ียมของปาสกาล วธิที า ส.ป.ส. ของ (a + b)5 คอื 1 5 10 10 5 1

3

(2x + y2)5 = 1(2x)5(y2)0 + 5(2x)4(y2)1 + 10(2x)3(y2)2 + 10(2x)2(y2)3 + 5(2x)(y2)4+ 1(2x)0(y2)5 = 32x5+80x4

y2+80x3

y4+40x2

y6+10xy

8+y10

4. จงกระจาย (x2 + y3)6 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

วธิที า (x2+y3)6 =

06

(x2)6(y3)0 +

16

(x2)5(y3)1 +

26

(x2)4(y3)2 +

36

(x2)3(y3)3

+

46

(x2)2(y3)4 +

56

(x2)(y3)5 + (

66

(x2)0(y3)6

06

= 1 ,

16

= 6 ,

26

= ! !!24

6 = 15

36

= ! !!33

6 = 20 ,

46

= ! !!42

6 = 15

56

= 6 ,

66

= 1

(x2 + y3)6 = (1)(x12) + (6)(x10)(y3) + (15)(x8)(y6) + 20(x6)(y9) + (15)(x4)(y12) + (6)(x2)(y15) + (1)(y18)

= x12 + 6x10

y3 + 15x

8y

6 + 20x6y

9 + 15x4y

12 + 6x2y

15 + y18 5. จงกระจายบททวินามต่อไปน้ี โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม

5.1 (x - 2)5

วธิที า (x - 2)5 =

05

(x5)(-2)0+

15

(x4)(-2) +

25

(x3)(-2)2 +

35

(x2)(-2)3+

45

(x)(-2)4

+ (

55

(x0)(-2)5

05

=

55

= 1 ,

15

=

45

= 5 ,

25

=

35

= 10

(x - 2)5 = x5 - 10x4 + 40x3 - 80x2 + 80x – 32

5.2 (x - 3)5

วธิที า (x - 3)5 =

05

(x5)(-3)0 +

15

(x4)(-3) +

25

(x3)(-3)2 +

35

(x2)(-3)3

+

45

(x)(-3)4 + (

55

(x0)(-3)5

05

=

55

= 1 ,

15

=

45

= 5 ,

25

=

35

= 10

(x - 3)5 = x5 - 15x4 + 90x3 - 270x2 + 405x – 243

4

5.3 (2x + y)4

วธิที า (2x + y)4 =

04

(2x)4(y0) +

14

(2x)3(y1) +

24

(2x)2(y2) +

34

(2x)(y3) +

44

(2x)0(y4)

04

=

44

= 1 ,

14

=

34

= 4 ,

24

= 6

(2x + y)4 = 16x4 + 32x3y + 24x2

y2 + 8xy

3 + y4

5.4 (x + 2y)4

วธิที า (x + 2y)4 =

04

(x)4(2y)0 +

14

(x)3(2y)1 +

24

(x)2(2y)2 +

34

(x)(2y)3 +

44

(x)0(2y)4

04

=

44

= 1 ,

14

=

34

= 4 ,

24

= 6

(x + 2y)4 = x4 + 8x3

y + 24x2y

2 + 32xy3 + 16y

4

5.5 (2x

+ 2)6

วธิที า ( 2x

+ 2)6 = 6

206

x (20) +

5

216

x (21) +

4

226

x (22) +

3

236

x (23)

+ 2

246

x (24) +

1

256

x (25) +

0

266

x (26)

06

=

66

= 1 ,

16

=

56

= 6

26

=

46

= 15 ,

36

= 20

( 2x

+ 2)6 = 415

83

64

456 xxx + 20x3 + 60x2 + 96x + 64

5.6 (3 - 2x

)6

วธิที า (3- 2x

)6 = 0

6230

6

x )( +

15

2316

x )( +

24

2326

x )( +

33

2336

x )(

+4

2234

6

x )( +

51

2356

x )( +

60

2366

x )(

06

=

66

= 1 ,

16

=

56

= 6

5

26

=

46

= 15 ,

36

= 20

(3- 2x

)6 = 729 - 729x + 64169

16135

2135

41215 65432 xxxxx

5.7 จงหาพจน์ท่ี 5 ของ (x - 2y3)10

วธิที า พจน์ที ่r + 1 =

rn

an-r

br

พจน์ที ่5 = 4 + 1 =

410

(x)10-4 (-2y3)4

= 4)!-(10 4!!10

(x6)(16y12)

= 210x6(16y12) = 3360x6

y12

5.8 จงหาพจน์ท่ี 6 ของ (x - 3y2)10

วธิที า พจน์ที ่r + 1 =

rn

an-r

br

พจน์ที ่6 = 5 + 1 =

510

(x)10-5 (-3y2)5

= )!-( !!5105

10(x5)(-243y10)

= 252x5(-243y10)

= -61236x5y

10

6. จงหาค่าต่อไปน้ี โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม และให้ตอบทศนิยมไม่เกิน 4 ต าแหน่ง 6.1 (4.01)4

วธิที า (4.01)4 = (4 + 0.01)4

=

04

(44)(0.01)0 +

14

(43)(0.01)1 +

24

(42)(0.01)2 +

34

(41)(0.01)3

+

44

(40)(0.01)4

04

=

44

= 1 ,

14

=

34

= 4 ,

24

= 6

(4.01)4 = 256 + 2.56 + 0.0096 + 0.000016 + 0.00000001 = 258.5696

6.2 (9.99)6 วธิที า (9.99)6 = (10-0.01)6 = (10+(-0.01))6

6

=

06

(106)(-0.01)0 +

16

(105)(-0.01)1 +

26

(104)(-0.01)2 +

36

(103)(-0.01)3

+

46

(102)(-0.01)4 +

56

(10)(-0.01)5 +

66

(100)(-0.01)6

06

=

66

= 1 ,

16

=

56

= 6

26

=

46

= 15 ,

36

= 20

(9.99)6 = 1000000 - 6(100000)(0.01) + 15(10000)(0.0001) - 20(1000)(0.000001) + 15(100)(0.00000001) - 6(10)(0.0000000001) + (0.000000000001) = 994014.98

6.3 (2.04)5 วธิที า (2.04)5 = (2 + 0.04)5

=

05

(2)5(0.04)0 +

15

(2)4(0.04)1 +

25

(2)3(0.04)2

+

35

(2)2(0.04)3 +

45

(2)1(0.04)4 +

55

(2)0(0.04)5

05

=

55

= 1 ,

15

=

45

= 5 ,

25

=

35

= 10

(2.04)5 = 32 + 3.2 + 0.128 + 0.00256 + 0.0000256 + 0.000000102 = 35.3306

6.4 (2.05)7 วธิที า (2.05)7 = (2 + 0.05)7

=

07

(2)7(0.05)0 +

17

(2)6(0.05)1 +

27

(2)5(0.05)2 +

37

(2)4(0.05)3

+

47

(2)3(0.05)4 +

57

(2)2(0.05)5 +

67

(2)1(0.05)6 +

77

(2)0(0.05)7

07

=

77

= 1 ,

17

=

67

= 7 ,

27

=

57

= 21

37

=

47

= 35

(2.05)7 = 128 + 22.4 + 1.68 + 0.07 + 0.001736 + 0.0000252 + 0.000000219 + 0.00000000078 = 152.1518

7

แบบประเมินผลการเรียนรู้เรือ่ง เมทริกซ์ จงแสดงวิธีท า 1. ก าหนดให้

1.1 จงบอกขนาดของเมทริกซ ์วธิที า 1.1 A มขีนาด 3 3 , B มขีนาด 3 2 , C มขีนาด 2 3 D มขีนาด 2 2 , E มขีนาด 3 1 , F มขีนาด 4 4 G มขีนาด 1x3

1.2 เมทริกซใ์ดเป็นเมทริกซจ์ตัรุสั A, F 1.3 เมทริกซใ์ดเป็นเมทริกซส์ามเหล่ียมบน D, F 1.4 เมทริกซใ์ดเป็นเมทริกซแ์ถว G 1.5 จากเมทริกซ ์A จงหาสมาชิก a11 a23 และ a32 0, 7, 1

1.6 จากเมทริกซ ์F จงหาสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลกั 1, 2, 3, -1 2. จากสมการเมทริกซต่์อไปน้ี จงหาค่าตวัแปร

2.1

wy z

yx3

263

2

วธิที า 2x = 6 , x = 3 y = -2 z = y + 3 , z = -2 + 3 , z = 1 w = 3

2.2 3 yx

yx

612

12

2

วธิที า 3(2x + y) = 12 6x + 3y = 12 …(1) x + y = 1 …(2)

(2) 6 , 6x + 6y = 6 …(3) (3) - (1) , 3y = -6 , y = -2

แทน y = -2 ใน (2) x = 3 x = 3 , y = -2

8 3. ก าหนดให้

A =

301

212 B =

131

201

C =

431012

0 =

000000

3.1 จงหา A + B – C

วธิที า A + B - C =

301

212+

131

201-

431012

=

413330111022101212 )(

=

003

405

3.2 จงแสดงวา่ A + B = B + A

วธิที า A + B =

301

212+

131

201 =

432

413

B + A =

131

201+

301

212 =

432

413

A + B = B + A

3.3 จงแสดงวา่ A + (B + C) = (A + B) + C

วธิที า A + (B + C) =

301

212+

431

012131201

=

301

212+

560211

=

861

421

(A + B) + C =

131

201301212

+

431012

=

432

413+

431012

=

861

421

A + (B + C) = (A + B) + C

9 3.4 จงแสดงวา่ A + 0 = A

วธิที า A + 0 =

301

212+

000000

=

301

212 = A

A + 0 = A จากขอ้ 4-7 จงหา AB และ BA

4. A = [-1 2 3] , B =

413

วธิที า AB = [ -1 2 3 ]

413

= [ -3+2+12 ] = [ 11 ]

BA =

413

[ -1 2 3 ] =

1284321963

5. A =

31

42 , B =

31

05

วธิที า AB =

31

42

31

05 =

9035120410

=

921214

BA =

31

05

31

42 =

9432020010

=

552010

6. A =

253102

B =

352103421


253102

352103421

651210064153308504202

=

231622510

BA = หาผลคณูไม่ได ้เพราะจ านวนหลกัของตวัตัง้ไม่เท่ากบัจ านวนแถวของตวัคณู

10

7. ก าหนด A =

072121

414853

, B =

174452

961

AB =

02818035120142189710644144362852416248202756251832103

=

1047161831365722159945

BA หาผลคณูไม่ได ้เน่ืองจากจ านวนหลกัของตวัตัง้ไม่เท่ากบัจ านวนแถวของตวัคณู

8. ก าหนดให้ A =

5231

, B =

530214

C =

342

, D =

100010001

8.1 จงหา A2

วธิที า A2 = AA =

5231

5231

=

25610215361

=

1912185

8.2 จงแสดงวา่ A(BC) = (AB)C

วธิที า A(BC) =

5231

342

530214

=

5231

318

=

2127

11

(AB)C =

530214

5231

34 2

=

211781784

34 2

=

2127

A(BC) = (AB)C 8.3 จงหา DC

วธิที า DC =

100010001

34 2

=

34 2

8.4 จงแสดงให้เหน็จริงวา่ (AB)T กบั BTA

T เท่ากนัหรอืไม่ เพราะอะไร


5231

530214

=

211781784

(AB)T =

211717884

BTA

T =

523104

53

21 =

211717884

(AB)T = BTA

T เพราะ เป็นไปตามสมบตัขิองเมทรกิซ ์9. จงบอกเงือ่นไข ท่ีท าให้ (AB)2 = A2B2

วธิที า เงื่อนไขทีท่ าให ้ (AB)2 = A2B

2 1. A และ B ตอ้งมมีติเิท่ากนั

2. A และ B ตอ้งเป็นเมทรกิซเ์อกลกัษณ์เมทรกิซห์นึ่งหรอืเป็นเมทรกิซเ์อกลกัษณ์ทัง้ 2 เมทรกิซ ์

10. จงหาเมทริกซผ์กผนัส าหรบัการคณู

A =

95

42

วธิที า ให ้ B = A-1 =

dcba

จะได ้ AB = BA = I

95

42

dcba

=

1001

12

dbcadbca9595

4242 =

1001

2a + 4c = 1 …(1) -5a + 9c = 0 …(2) 2b + 4d = 0 …(3) -5b + 9d = 1 …(4) (1) 5 , 10a + 20c = 5 …(5) (2) 2 , -10a + 18c = 0 …(6)

(5) + (6) , 38c = 5 , c = 385

แทน c = 385

ใน (1) ได ้2a + 4

385

= 1 , a = 389

(3) 5 , 10b + 20d = 0 …(7) (4) 2 , -10b + 18d = 2 …(8)

(7) + (8) , 38d = 2 , d = 191

แทน d = 191

ใน (3) ได ้2b+4

191

= 0 , b = - 192

A-1 =

191

385

192

389

แบบประเมินผลการเรียนรู้เรือ่งดีดีเทอรมิ์แนนตข์องเมทริกซ ์จงแสดงวิธีท า 1. จงหาดีเทอรมิ์แนนตข์องเมทริกซต่์อไปน้ี

1.1 [15] = 15 1.2 [-3] = -3

1.3

5421

= -5-8 = -13

1.4

13

42 = 2+12 = 14

1.5

1 2 11 1420 2

= -2 + 0 - 16 – 2 - 4-0 = -24

13

1.6

41 0 12 1 3 21

= 8 + 0 + 3 - 0 - 1 - 8 = 2

2. จงหาค่าต่อไปน้ี

2.1

120132 453

วธิที า

120132 453

= 013206

= 13

26 = 2

2.2

010 123 421110324103

วธิที า

100102312321421101102432403103

= 0101200

090406

= 13

1

3. จงหาค่า a และ b

3.1 a432

= -10

วธิที า a432

= -10 , 2a - 12 = -10 , a = 1

3.2 วธิที า 35b35

04404

12212

= 0

0 + 20 + 24 - 0 - 24 - 4b = 0 20 = 4b , b = 5

14


3 512 34102

จงหา M11 , M23, C22 , และ C32

วธิที า M11 = 3523

= 9 - 10 = -1

วธิที า M23 = 5102

= 10 - 0 = 10

วธิที า C22 = (-1)2+2

3112

= (1)(6 + 1) = 7

วธิที า C32 = (-1)3+2 2412

= (-1)(4 + 4) = -8


5 13 2 01242

จงหา det.A โดยวิธีการกระจายโคแฟกเตอร ์วธิที า กระจายตามแถวที ่2, det A = a21c21 + a22c22 + a23c23

c21 = (-1)2+1

5124

= (-1)(20 + 2) = -22

c23 = (-1)2+3

1342

= (-1)(2 - 12) = 10

det A = (-1)(-22) + 0 + (2)(10) = 42

6. จงใช้สมบติัของดีเทอรมิ์แนนต ์อธิบายวา่สมการเป็นจริงอย่างไร

6.1 542000321

= 0

วธิที า สมการเป็นจรงิตามสมบตั ิขอ้ 1

6.2 543231543

= 606434212


15

6.3 321432201

= -201432321



11 1 2 20 2 0 10 3 2 0211

จงหาค่า det.A

เลอืกกระจายตามแถวที ่3 วธิที า det A = a31c31 + a32c32 + a33c33 + a34c34

c32 = (-1)3+2 112102021

= (-1)(0-4 + 0 - 0 + 1 + 4) = -1

c34 = (-1)3+4 112032211

= (-1)(-3 + 0 - 4 + 12 - 0 + 2) = -7

A = 0 + 2(-1) + 0 + 2(-7) = -16

8. จงหา det.A จาก

A =

6403254140122321

วธิที า กระจายตามแถวที ่2 , det A = a21c21 + a22c22 + a23c23 + a24c24 = a21c21 + a22c22 + a24c24

c21 = (-1)2+1

406405425432232

= (-1)(60 + 0 + 32 - 0 + 16 + 72) = -180

c22 = (-1)2+2

436435125131231

= (1)(30 + 18 - 8 - 3 0 + 8 - 18) = 0

c24 = (-1)2+4

034034154121321

= (1)(16 + 30 + 0 + 36 - 0 + 8) = 90

det A = 2(-180) + 1(0) + 4(90) = 0

16

9. จงหา det.B จาก

B =

1130131022011101021132012

วธิที า กระจายตามแถวที ่3 , det B = a31c31 + a32c32 + a33c33 + a34c34 + a35c35 = a32c32 + a33c33 + a34c34

c32 = (-1)3+2

1131310210213202

, กระจายตามหลกัที ่2 จะได ้

= (-1)(a22c22 + a42c42)

= (-1)

312101322

3111312322

2

= (-1)[(2)(2 + 6 + 6 - 3 - 6 - 4) + 3(0 + 4 + 3 - 0 - 2 - 6)] = (-1)[(2)(1) + (3)(-1)] = (-1)(-1) = 1

c33 = (-1)3+3

1101312210113212

, กระจายตามแถวที ่2 จะได ้

= (1)(a21c21 + a22c22 + a24c24) = a21c21 + a22c22 + a24c24

= (1)

101122212

11111312322

11110312321

1 )()()()()(

= (1)[(-1)(0)] + (-1)[(1)(1)] + (1)[(1)(-1)] = 0 - 1 - 1 = -2

c34 = (-1)3+4

1301302212113012

, กระจายตามแถวที ่1 จะได ้

= (-1)(a11c11 + a12c12 + a14c14)

17

= (-1)

301022211

13131302121

11130302321

12 )()()()()(

= (-1)[(2)(23) + 1 + (-3)(8)] = (-1)(23) = -23

det B = (1)(1) + (1)(-2) + (1)(-23) = -24

10. จงแสดงให้เหน็วา่

acbababcacabcbcacb

22

22

2 = 4 a2b2c2

วธิที า abaacab

bcacb

acbababcacabcbcacb

22

2

2

2222

= (b2 + ac)(2ac)(b2 + ac) + (bc)(bc)(a2) + (c2)(ab)(ab) - (a2)(2ac)(c2) - (ab)(bc)(b2 + ac) - (b2 + ac)(ab)(bc) = 2ab

4c + 4a2

b2c

2 + 2a3c

3 + a2b

2c

2 + a2b

2c

2 - 2a3c

3 - (ab4c + a2

b2c

2) - (ab4c + a2

b2c

2) = 4a2

b2c

2

แบบประเมินผลการเรียนรู้ เมทริกซ์ผกผนั

จงแสดงวิธีท า จากขอ้ 1-4 จงหา adj (A)

1. A =

5 411

วธิที ำ A =

5411

c11 = 5 , c12 = 4 , c21 = 1 , c22 = 1

adj(A) =

1415

2. A =

201120021

18


201120021

c11 = 2012

= 4 c31 = 1202

= 2

c12 = (-1) 2110

= 1 c32 = (-1) 1001

= -1

c13 = 0120

= -2 c33 = 2021

= 2

c21 = (-1) 2002

= -4

c22 = 2101

= 2 adj(A) =

222121

244

c23 = (-1) 0121

= 2

3. A =

2012022001121021

วธิที า A =

2012022001121021

c11 = 201022011

= 0

c12 = (-1)202020012

= -8

c13 = 212020012

= 8

19

c14 = (-1)012220112

= 4

c21 = (-1)201022102

= -6

c22 = 202020101

= 0

c23 = (-1)212020121

= 0

c24 = 012220021

= 6

c31 = 201011102

= 3

c32 = (-1)202012101

= 0

c33 = 212012121

= -6

c34 = (-1)012112021

= -3

c41 = (-1)022011102

= 0

c42 = 020012101

= 4

c43 = (-1)020012121

= -4

20

c44 = 220112021

= -8

adj(A) =

8364460840080360

4. A =

80114011 20111111


80114011 20111111

c11 = 801401201

= 0

c12 = (-1)801401201

= 0

c13 = 811411211

= -12

c14 = (-1)011011011

= 0

c21 = (-1)801401111

= 4

c22 = 801401111

= -12

21

c23 = (-1)811411111

= 6

c24 = 011011111

= 2

c31 = 801201111

= -6

c32 = (-1)801201111

= -6

c33 = 811211111

= 12

c34 = (-1)011011111

= 0

c41 = (-1)401201111

= 2

c42 = 401201111

= 6

c43 = (-1)411211111

= -6

c44 = 011011111

= -2

adj(A) =

2020612612661202640

22

จากขอ้ 5-9 จงหา A-1

5. A =

4213


4213

c11 = 4 , c12 = -2 , c21 = 1 , c22 = 3

adj(A) =

32

14 , det.A = 12+2 = 14

A-1 =

143

142

141

144

=

143

71

141

72

6. A =

12 320 1132


12 320 1132

det.A = 12 320 1132

= -21

c11 = 1220

= -4 , c12 = - 1321

= -(1 - 6) = 5

c13 = 2301

= 2 , c21 = - 1213

= -(-3 - 2) = 5

c22 = 1312

= -1 , c23 = - 2332

= -(4 + 9) = -13

c31 = 2013

= -6 , c32 = - 2112

= -3

c33 = 0132

= 3

adj(A) =

3132315654

23

A-1 =

213

2113

212

213

211

215

216

215

214

=

71

2113

212

71

211

215

72

215

214

7. A =

11 10 0 1 0 22 11 0 1 0 1 2


11 10 0 1 0 22 11 0 1 0 1 2

det.A =

11 10 0 1 0 22 11 0 1 0 1 2

=

13

1110010221101110 RR

= (-2)111211111

= 4

c11 = 111010211

= 1

c12 = (-1)110012210

= 2

c13 = 110002210

= 2

c14 = (-1)110102110

= 0

c21 = (-1)111010101

= 0

24

c22 = 110012102

= -4

c23 = (-1)110002112

= 0

c24 = 110102012

= 4

c31 = 111211101

= -1

c32 = (-1)110210102

= 2

c33 = 110210112

= 2

c34 = (-1)110110012

= 0

c41 = (-1)010211101

= 1

c42 = 012210102

= -6

c43 = (-1)002210112

= 2

c44 = 102110012

= 4

25

adj(A) =

4040220262421101

A-1 =

1010010

21

21

21

23

21

21

41

41

41

8. A =

22 2 111 2 31 11132 3 2


22 2 111 2 31 11132 3 2

det.A =

22 2 111 2 31 11132 3 2

=

22 2 111 2 31 11110 1 1

=

2201111311011001

= (1)(-1)221111101

= 3

c11 = 222112111

= 0

c12 = -221113111

= 0

c13 = 221123111

= -3

26

c14 = -221123111

= -3

c21 = -222112323

= 2

c22 = 221113322

= -5

c23 = -221123332

= 1

c24 = 221123232

= -3

c31 = 222111323

= 0

c32 = -221111322

= 3

c33 = 221111332

= 0

c34 = -221111232 = 3

c41 = -112111323

= 1

c42 = 113111322

= -4

c43 = -123111332

= 5

27

c44 = 123111232 = 0

adj(A) =

0333501343501020

A-1 =

0111011000

35

31

34

35

31

32

9. A =

00 00 1168421168 42 111 11 111111


00 00 1168421168 42 111 11 111111

det.A =

168421684211111111

=

21

168421684211112020 RR

=

128421284201110020

= -212821282011

= -224001282011

= -48 8211

= -48(8-2) = -288

c11 =

000016842168411111

= 0

28

c12 = -

000116841168411111

=

16841684111

= 0160

1684111

= 16 16411

= 16(16-4) = 192

c13 =

000116821168211111

= -

16821682111

= -32001682111

= -32 8211

= -32(8-2) = -192

c14 = -

000116421164211111

=

16421642111

= 004

1642111

= -4 16411

= -4(16-4) = -48

c15 =

0001842184211111

= -

842842111

= -080842111

= 8 8211

= 8(8-2) = 48

c21 = -

000016842168421111

= 0

c22 =

000116841168411111

= -16841684111

= -0160

1684111

= -16 16411

= -16(16 - 4) = -192

29

c23 = -

000116821168211111

= 16821682111

= 32001682111

= 32 8211

= 32(-8 + 2) = -192

c24 =

000116421164211111

= -16421642111

= -004

1642111

= 4 16411

= 4(16 - 4) = 48

c25 = -

0001842184211111

= 842842111

= 080842111

= -8 8211

= -8(-8 + 2) = 48

c31 = 0

c32 = -

00011684111111111

= 1684111111

= 1684020111

= 2 16411

= 2(16 - 4) = 24

c33 =

00011682111111111

= -1682111111

= -1682200111

= 2 8211

= 2(8 - 2) = 12

c34 = -

00011642111111111

= 1642111111

= 1642002111

= -2 16411

= -2(16 - 4) = -24

30

c35 =

0001842111111111

= -842111111

= -842020111

= -2 8211

= -2(8 - 2) = -12

c41 = 0

c42 =

00011684111111111

= -1684111111

= -1684020111

= -2 16411

= -2(16 - 4) = -24

c43 = -

00011682111111111

= 1682111111

= 1682200111

= -2 8211

= -2(-8 + 2) = 12

c44 =

00011642111111111

= -1642111111

= -1642002111

= 2 16411

= 2(16 - 4) = 24

c45 = -

0001842111111111

= 842111111

= 842020111

= 2 8211

= 2(-8 + 2) = -12

c51 =

168421684211111111

=

168421684211112020

=

320801684211112020

31

= 81682111200

+ 32842111020

= 8

8211

2 +32

82

112

= 96 – 384 = -288

c52 =

168411684111111111

= (-1)

168411684102001111

= 216411641111

= 0

c53 =

168211682111111111

=

016401682111111111

=

016401682120021111

=

016401682120020110

=

016401600120020110

=

012401600120020010

= 121601202010

= 12 16122

= 12(32 - 2) = 360

c54 =

164211642111111111

=

164211642100201111

= 216411641111

= 0

c55 =

8421842111111111

=

8421842102021111

=

0802842102021111

= -2080842111

-2002821111

= 16 8211

-4 8211

= 16(-8 + 2) -4(-8 + 2) = -96 + 24 = -72

32

adj(A) =

7212124848024244848

360121219219202424192192

2880000

A-1 =

41

241

241

61

61

121

121

61

61

45

241

241

32

32

121

121

32

32

0

010000

จากขอ้ 10-11 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้เมทริกซผ์กผนัส าหรบัการคณู

10. x1 + x2 + x3 = 0 x1 + 2x2 - 3x3 = 1 -2x1 + x2 + 2x3 = 0


212321111

, det.A = 212321111

= 232311101

= 432411001

= 4341

= 4 + 12 = 16

c11 = 2132

= 4 + 3 = 7

c12 = 2231

= -(2 - 6) = 4

c13 = 1221

= 1 + 4 = 5

c21 = - 2111

= -(2 - 1) = -1

c22 = 2211

= 2 + 2 = 4

c23 = - 1211

= -(1 + 2) = -3

c31 = 3211

= -3 - 2 = -5

33

c32 = - 3111

= -(-3 - 1) = 4

c33 = 2111

= 2-1 = 1

adj(A) =

135444517

A-1 =

161

163

165

41

41

41

165

161

167

3

2

1

xxx

= A-1B =

161

163

165

41

41

41

165

161

167

010

=

163

4116

1

x1 = 161

, x2 = 41

และ x3 = 163

11. 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 4 x1 - x2 + x3 + 3x4 = 0 -x1 + 2x2 + 3x3 - 4x4 = 0 2x1 + 3x2 - x3 - x4 = 2


1132432131111234

det.A =

1132432131111234

=

1135432131101237

=

1235452130101537

=

823525210010

10537

= -825251

1057 = -32

c11 = 113432311

= -36

34

c12 = -112431311

= 31

c13 = 132421311

= -2

c14 = -132321111

= 23

c21 = -113432123

= 52

c22 = 112431124

= -51

c23 = -132421134

= -6

c24 = 132321234

= -43

c31 = 113311123

= 20

c32 = -112311124

= -19

c33 = 132311134

= -6

c34 = -132111234

= 11

c41 = -432311123

= 40

35

c42 = 431311124

= -46

c43 = -421311134

= 4

c44 = 321111234

= -30

adj(A) =

30-1143-2346-6-2-

46-19-51-3140205236-

A-1 =

3230

3211-

3243

3223-

324-

326

326

322

3246

3219

3251

3231-

3240-

3220-

3252-

3236

4

3

2

1

xxxx

= A-1B =

3230

3211-

3243

3223-

324-

326

326

322

3246

3219

3251

3231-

3240-

3220-

3252-

3236

2004

=

1630

823

164

82

1646

831

1640

836

=

88

88

816

0 =

10 12

x1 = 2 , x2 = -1 , x3 = 0 และ x4 = -1 จากขอ้ 12-13 จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยใช้กฎของคราเมอร ์

12. 2x1 - x2 - x3 = 1 x1 + 3x2 + x3 = 0 -x1 + x2 + 2x3 = 4


211131112

, B =

401

36

det.A = 211131112

= 12 + 1 - 1 - 3 - 2 + 2 = 9

det.A1 = 214130111

= 6 - 4 + 0 + 12 - 1 - 0 = 13

det.A2 = 241101112

= 0 - 1 - 4 - 0 - 8 - 2 = -15

det.A3 = 411031112

= 24 + 0 + 1 + 3 - 0 + 4 = 32

x1 = A.detA.det 1 = 9

13


15 = 3

5


32 = 9

32

x1 = 913

, x2 = 35

และ x3 = 932

13. 2x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 = 1 x1 - x2 - x3 + x4 = 0 3x1 + 2x2 + x3 - x4 = 1 x1 + 2x2 + 2x3 - 2x4 = 0


2221112311113232

, B =

0101

det.A =

2221112311113232

=

4220003112311113232

RR

= (-3) 112

111323

= (-3)(-1) = 3

37

det.A1 =

2220112111103231

=

4220000112111103231

RR

= 0

det.A2 =

2201111311013212

= (-1) 221113

111

+ (-1) 221

111322

= (-1)(0) + (-1)(-3) = 3

det.A3 =

2021112310113132

= (1) 221123

111

+ (1) 221

111332

= (1)(-3)+(1)(0) = -3

det.A4 =

0221112301111232

= (-1)

221123111

+ (-1) 221111

232

= (-1)(3) + (-1)(-3) = 0


0 = 0


3 = 1


3 = -1


0 = 0

x1 = 0 , x2 = 1, x3 = -1 และ x4 = 0

Documents

เฉลยแบบฝึกหัด คณิตศาสตร์2 · เฉลยแบบฝึกหัด คณิตศาสตร์2 ิแบบประเมินผลการเรียนรู้ทฤษฎีบ