คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ · จํานวนเชิงซ้อน คือ จํานวนทีเขียนอยูในรูปคูอันดับ

1 ✍✍✍✍ ค มอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ✏ ชดท 1 การสรางจานวนเชงซอน

น�าคาง แสงศรจนทร โรงเรยนเชยงคาวทยาคม ☃☃☃☃

คาช�แจง คมอการใชแบบฝกทกษะ คณตศาสตรเลมน เปนส# อการเรยนรท#ใชคกบ แบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท# 1 การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ระดบชนมธยมศกษาปท# # 5 สาหรบใชในการจดกจกรรมการ เรยนรภายในเวลา 1 ชวโมง# คมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมน เ ปนหน# งในคมอการใช แบบฝกทกษะคณตศาสตรจานวนทงหมด 20 เลม ท#ผจ ดทาไดสรางขน สาหรบครผ สอน เพ#อใชจดกจกรรม การเรยนรหนวยการเรยนรจานวนเชงซอน ควบคกบแบบฝกทกษะ คณตศาสตรของนกเรยนท#จดทาไวจานวนทงหมด 20 เลมเชนเดยวกน คมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร แตละเลม ประกอบดวย คานา สารบญ คาชแจง ขนตอนการใชคมอ บทบาทครผสอน บทบา ทนกเรยน แผนการจดการเรยนรและเคร#องมอท#ใช ในการจดการเรยนร และอ#นๆ ท#สาคญและจาเปนไวอยางครบถวน สมบรณ ครผสอนสามารถนาไปใชในกระบวนการจดการเรยนรและวดผลประเมนผลการเรยนรในชนเรยน ไดอยาง สะดวกรวดเรว และมประสทธภาพ ทาใหนกเรยนสามารถบรรลเปาหมายของการจดการเรยนรในเร#องดงกลาว ได



ข�นตอนการใชคมอ 1. ศกษารายละเอยดทกสวนของ คมอการใชแบบฝกทกษะใหเขาใจ กอนท#จะนา แบบฝกทกษะ

คณตศาสตรไปใชจรงในการจดกจกรรมการเรยนรใน ชน เรยน ทงน เพ#อใหการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรกบนกเรยน เกด ประสทธภาพสงสด

2. ศกษาแผนการจดการเรยนรท# 1 ในคมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรเลมนใหละเอยดและ เขาใจอยางชดเจน และครบทกสวน เพ#อใหสามารถจดกจกรรมการเรยนรไดอยางมประสทธภาพ ตงแต ผลการเรยนร สาระสาคญ จดประสงคการเรยนร สาระการเรยนร กจกรรมการเรยนร การวดและประเมนผล ส#อการเรยนร แหลงการเรยนร และเคร#องมอท#ใชในการจดการเรยนร รวมถงองคประกอบอ#น ๆ ของแผนการจดการเรยนรดวย

3. ตรวจสอบและจดเตรยมเคร#องมอในการจดการเรยนรตาง ๆ อาท เชน ใบความร แบบฝกทกษะ แบบบนทกคะแนน แบบประเมนดานตาง ๆ ตลอดจนส#อและอปกรณการเรยนรท#ตองใชในการจดกจกรรมการเรยนร ใหพรอมและอยในสภาพเรยบรอย สมบรณ ครบถวนกอนใช งาน พรอมทง วางแผนจดลาดบการใชส#อการเรยนรแตละอยาง ใหเหมาะสม ตามลาดบกอนหลง

4. ดาเนนการจดกจกรรมการเรยนร ตามขนตอนท#กาหนดไวในแผนการจดการเรยนรท# 1 เร#อง การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน

5. ใหนกเรยนทาแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท# 1 การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน โดยมครผสอนเปนผดแลในการดาเนนกจกรรม คอ ยใหคาปรกษา เม#อนกเรยนมปญหาในการทาแบบฝกทกษะคณตศาสตร แตตองใหนกเรยนแตละคนไดคดและลงมอทาดวยตนเองจนสดความสามารถกอน

6. ใหนกเรยนทาแบบทดสอบหลงเรยน เร# องการสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน เพ#อประเมนผลการเรยนรตามจดประสงคของการเรยนร หลงจากไดเรยนรผานการทาแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท# 1 ครบทกแบบฝกทกษะแลว

7. สรปผลการประเมนผลการเรยนรแตละดานของนกเรยน แลวบนทกผลหลงการจดกจกรรมการเรยนรลงในแผนการจดการเรยนร เพ#อใชเปนขอมลในปรบปรงพฒนานกเรยนใหบรรลเปาหมายของการจดการเรยนรแตละดาน และปรบปรงพฒนาแผนการจดการเรยนรใหดยง# ขน ตอไป



บทบาทครผสอน การเตรยมการกอนจดการเรยนร

1. ศกษารายละเอยดของคมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ใหครบถวนทกสวน กอนนาไปใช 2. ศกษาคาช แจง ขนตอนการใชคมอ และแผนการจดการเรยนรท# 1 ในคมอ ใหเขาใจอยาง ถองแท 3. จดเตรยมและตรวจสอบเคร#องมอ ส#อและอปกรณการเรยนรท#ตองใชในการจดกจกรรมการ

เรยนรตามแผนการจดการเรยนรใหพรอมและอยในสภาพเรยบรอย สมบรณ ครบถวน บทบาทสาคญในระหวางการจดกจกรรมการเรยนร

1. แจงจดประสงคการเรยนร พรอมทง อธบายหรอชแจง ขนตอน การจดการเรยนรทงในสวนของ เนอหา กจกรรม วธการวดและประเมนผลใหนกเรยนทราบ

2. กาหนดบทบาทของนกเรยนเพ#อใหมสวนรวมในการปฏบตกจกรรมการเร ยนรตาง ๆ 3. อธบายหรอชแจงวธการปฏบตกจกรรมใหชดเจน กอนท#จะใหนกเรยนทากจกรรมการเรยนร 4. ดาเนนการจดกจกรรมการเรยนรตามแผนการจดการเรยนรท#กาหนดไว โดยแบงเปน 4

ขนตอน ไดแก ขนนา ขนกจกรรมการเรยนร ขนสรป และขนฝ กทกษะ 5. ขณะท#นกเรยนปฏบตกจกรรมการเรยนรและทาแบบฝกทกษะ ครเปนผดแลนกเรยนอยาง

ใกลชด คอยแนะนา ชวยเหลอ และตอบขอซกถามของนกเรยน เม#อนกเรยนมปญหาหรอขอสงสย พรอมทงสงเกตและประเมนพฤตกรรมในการเรยนรของนกเรยน

บทบาทหลงจากกจกรรมการเรยนรเสรจส�น

1. ใหนกเรยนตรวจสอบและเกบรวบรวมแบบฝกทกษะคณตศาสตรสงครผสอน เม#อสนสดการ ปฏบตกจกรรมการเรยนรในแตละครง

2. ควรมการสอนซอมเสรม นอกเวลาใหกบนกเรยน ท#ทาแบบฝกทกษะหรอแบบทดสอบหลงเรยนไดคะแนนไมผานเกณฑท# กาหนด แลวใหนกเรยนทาแบบฝกทกษะหรอแบบทดสอบหลงเรยนอกครง



บทบาทนกเรยน บทบาทสาคญในข�นกจกรรมการเรยนร

1. ตงใจฟงคาอธบายจากครผสอนและศกษารายละเอยดเกยวกบเนอหา ความร ตลอดจนขนตอน # วธการตาง ๆ ในการปฏบตกจกรรมการเรยนรอยาง ละเอยด

2. ควรกลาแสดงความคดเหน ซกถาม เพ#อนหรอครในชนเรยน 3. แสดงการมสวน รวม ในการปฏบตกจกรรมการเรยนรตาง ๆ ดวยความตงใจ กระตอรอรน และ

เตมความสามารถ 3. เกบรวบรวมแบบฝกทกษะคณตศาสตร สงครผสอน เม#อเสรจสนการปฏบตกจกรรมการ เรยนร ขอควรปฏบตในข�นฝกทกษะ

1. ศกษาสาระสาคญ จดประสงคการเรยนร และคาชแจงของแบบฝกทกษะใหเขาใจ 2. ทาแบบฝกทกษะดวยตนเองอยางตงใจและ รบผดชอบตองานท#ไดรบมอบหมาย เพ#อใหทางาน

เสรจภายในเวลาท#กาหนด หากมปญหาหรอขอสงสยในสวนไห นท#ทาใหไมสามารถทาตอได ใหกลบไปทบทวนความคดรวบยอดและตวอยางของแตละแบบฝก หากยงไมเขาใจ กให ขอคาแนะนาจากครผสอน

3. ทาแบบทดสอบหลงเรยนดวยความซ#อสตย



แผนการจดการเรยนรท+ 1

เร+อง การสรางจานวนเชงซอน เวลา 1 ช+วโมง

หนวยการเรยนรท+ 2 จานวนเชงซอน รายวชาคณตศาสตรเพ+มเตม

ช�นมธยมศกษาปท+ 5 ภาคเรยนท+ 2 ปการศกษา 2557

1. ผลการเรยนร

มความคดรวบยอดเกยวกบจานวนเชงซอน เขยนกราฟและหาคาสมบรณของจานวน# เชงซอนได

2. สาระสาคญ

จานวนเชงซอน คอ จานวนท#เขยนอยในรปคอนดบ ( )a,b เม#อ a และ b เปนจานวนจรง โดยกาหนดการเทากน การบวก และการคณของจานวนเชงซอน ดงน

สาหรบจานวนเชงซอน ( )a,b และ ( )c,d กาหนด 1) การเทากน ( )a,b = ( )c,d กตอเม#อ a c= และ b d= 2) การบวก ( ) ( )a,b c,d+ = ( )a c,b d+ + 3) การคณ ( ) ( )a,b c,di = ( )ac bd,ad bc− + อาจเขยนแทน ( ) ( )a,b c,di ดวย ( )( )a,b c,d กได

เซตของจานวนเชงซอนเขยนแทนดวย ℂ 3. สาระการเรยนร

บทนยามของจานวนเชงซอน การเทากน การบวก และการคณของจานวนเชงซอน



4. จดประสงคการเรยนร

ดานความร (K)

1) นกเรยนสามารถอธบายหรอสรปความคดรวบยอดเกยว# กบความหมายของจานวน เชงซอนได 2) นกเรยนสามารถบอกผลลพธของการบวกและการคณจานวนเชงซอนท#กาหนดให ไดถกตอง

3) นกเรยนสามารถบอกคาตวแปรท#เปนองคประกอบของจานวนเชงซอน ท#อยภายใต เง#อนไขท#กาหนด มาใหได

ดานทกษะกระบวนการ (P)

1) นกเรยนสามารถแสดงวธการบวกและคณจานวนเชงซอนไดถกตอง 2) นกเรยนสามารถประยกตใชหลกการเทากนของจานวนเชงซอน ในการหาคาตวแปร ท#เปนองคประกอบของจานวนเชงซอนได

ดานคณลกษณะอนพงประสงค (A)

นกเรยนมความตง ใจและรบผดชอบในการปฏบตหนาท#การงาน (คณลกษณะอนพงประสงค ขอท# 6 มงมนในการทางาน # : ตวชว ดท# 6.1) 5. สมรรถนะสาคญของผเรยน

-

6. หลกฐาน/รองรอยของการเรยนร

แบบฝกทกษะคณตศาสตร หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน ชดท# 1 การสรางจานวนเชงซอน



7. การจดกจกรรมการเรยนร

ข�นนา 7.1 ครใชคาถามเพ#อใหนกเรยนไดคดทบทวนเกยวกบ# เนอหาวชาคณตศาสตรเร#อง ระบบ จานวนจรง ในชนมธยมศกษาปท# 4 วา ในเร#องนนกเรยนไดเรยนเกยวกบอะไรบาง # โดยพยายามชประเดนความ สนใจของนกเรยนไปท#การแกสมการพหนามตวแปรเดยว 7.2 ครเขยนสมการตอไปนบนกระดาน สมการท# 1 2x 25 0− = สมการท# 2 2x 1 0+ = หลงจากนน จงสมใหนกเรยน 2 คนบอกคาตอบของตนเอง โดยครเขยนคาตอบของ แตละคนไวบนกระดาน 7.3 นกเรยนและครรวมกน ตรวจสอบคาตอบของสมการท#เพ#อนทง 2 คนตอบวาถกตอง หรอไม โดยคาตอบท#ถกตองของสมการท# 1 คอ -5 และ 5 สวน คาตอบของสมการท# 2 คอไมมจานวนจรงใดท#เปนคาตอบของสมการ เน#องจาก ไมมจานวนจรงใด ท#ยกกาลง สองแลวมคาเปน -1

7.4 ครตง ประเดนเพ#อรวมกนอภปรายกบ นกเรยนวา ถาเราสมมตวาสมการท# 2 มคาตอบ นกเรยนคดวาวาคาตอบ นน จะเปนจานวนท#อยภายในเซตของ จานวนจรงอยหรอไม (คาตอบคอเปนจานวนท#ไมอยในเซตของจา นวนจรง) เพราะถาไมใชจานวนท#อย ในเซตของจานวนจรงกแสดงวาเปนจานวนชนดอ#นท#เรายงไมเคยรจกมากอน ดงนนคาตอบของสมการ 2x 1 0+ = กตองเปนจานวนชนดใหม แลวใหนกเรยน ชวยกนยกตวอยางสมการอ#น ๆ ท#มคา ตอบลกษณะเดยวกนกบสมการ 2x 1 0+ = อก 2-3 ตวอยาง

7.5 ครสรปการอภปรายเพ#อเขาสบทเรยน วาการพยายามหาคาตอบของสมการประเภท ดงกลาวท# พบวาคาตอบของสมการ เปนจานวนท#อยภายนอกเซตของจานวนจรงนน ทาใหนกคณตศาสตรไดคดคนและสรางระบบจานวนขนมาใหม และ เรยกจานวน ชนดใหมท#สรางขนมาวา จานวนเชงซอน (Complex Numbers) ซ# งในปจจบนได มการนาความรเกยวกบจานวนเชงซอนไปประยกตใชในหลาย ๆ ดาน#



ข�นกจกรรมการเรยนร

7.6 นกเรยนศกษาใบความรท# 1 การสรางจานวนเชงซอน ท#ครแจกให โดยครเปนท#ปรกษา คอยชแนะเม#อนกเรยนมปญหาหรอไมเขาใจ 7.7 นกเรยนและครรวมกน อภปรายเพ#อตรวจสอบความรท#ไดจากการศกษาใบความรโดย ครตงคาถามใหนกเรยนรวมกนตอบ ดงน - ทาไมจงเกด การคดคนหรอสรางจานวนเชงซอนขนมา และใครคอนกคณตศาสตรท# เปนผรเรมใหเกดการศกษาจานวนเชงซอน# - ความรเกยวกบจานวนเชงซอนสามารถนาไปประยกตใชในดานใดบาง# - จากนยามจานวนเชงซอนคออะไร - กาหนดคอนดบ มา 3 คอนดบ คอ ( )3, 10− − ( )3,24− และ ( ), log3−π คอนดบ

แตละคอนดบเปนจานวนเชงซอนหรอไม เพราะเหตใด - ถาครกาหนดจานวนเชงซอน มาให คอ ( )a,b และ ( )c,d จานวนดงกลาว จะเทากน เม#อใด (ครถามพรอมกบเขยนจานวนดงกลาวบนกระดาน และเขยนคาตอบของ นกเรยนดวย) - จากนยามการบวกจานวนเชงซอน จะได ( ) ( )4,23 20, 8− + − เทากบ เทาใด (ครถามพรอมกบเขยนจานวนดง กลาวบนกระดาน และเขยนคาตอบของนกเรยน) - จากนยามการคณจานวนเชงซอน จะได ( )( )5,0 1,6− เทากบเทาใด (ครถามพรอมกบเขยนจานวนดงกลาวบนกระดาน และเขยนคาตอบของนกเรยน ) - จากหลกของการเทากนของจานวนเชงซอน ถากาหนด ( ) ( )x, 3 15, y− = จะไดวา x และ y มคาเทากบเทาใด

ข�นสรป

7.8 นกเรยนและครรวมกนสรปเกยวกบ # ความหมายของจานวนเชงซอน การเทากน การบวกและการคณของจานวนเชงซอน โดยการทบทวนบทนยามของเนอหา ท#กลาวมาทงหมดรวมกน



ข�นฝกทกษะ

7.9 นกเรยนทาแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท# 1 การสรางจานวนเชงซอน ซ# งมจานวน ทงหมด 3 แบบฝกทกษะ 7.10 ขณะท#นกเรยนทาแบบฝกทกษะ ครคอยใหคาแนะนา ชวยเหลอ และตอบ ขอซกถามของนกเรยน เม#อนกเรยนมปญหาหรอขอสงสย พรอมทงสงเกต และ บนทกพฤตกรรมสาคญในการประเมนคณลกษณะอนพงประสงค ตวชวด 6.1 ตงใจ และรบผดชอบในการปฏบตหนาท#การงาน ลงในแบบบนทกการประเมน คณลกษณะอนพงประสงค 7.10 นกเรยนทาแบบทดสอบหลงเรยน เร#องการสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนร จานวนเชงซอน

8. ส+อการเรยนร

8.1 ใบความรท# 1 เร#อง การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน 8.2 แบบฝกทกษะคณตศาสตร หนวยการเรยนรจานวนเชงซอน ชดท# 1 การสรางจานวนเชงซอน

9. แหลงการเรยนร

9.1 หองศนยการเรยนรกลมสาระการเรยนร คณตศาสตร 9.2 หองสมดสเขยว กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร 9.3 หองสมดโรงเรยน 9.4 หองบรการสบคนเทคโนโลยสารสนเทศของโรงเรยน



10. การวดผลและประเมนผลการเรยนร

รายการท+ประเมน วธการวด เคร+องมอท+ใช เกณฑการผาน

การประเมน

1. ดานความร (K) 1) นกเรยนสามารถอธบายหรอสรปความคดรวบยอดเกยวกบความหมายของ# จานวนเชงซอนได 2) นกเรยนสามารถบอกผลลพธของการบวกและการคณจานวนเชงซอนท#กาหนดใหไดถกตอง 3) นกเรยนสามารถบอกคาตวแปรท#เปนองคประกอบของจานวนเชงซอนท#อยภายใต เง#อนไขท#กาหนดมาให ได

ตรวจใหคะแนน

- แบบฝกทกษะท# 1 ของแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท# 1 - แบบทดสอบหลงเรยน เร#อง การสรางจานวนเชงซอน

นกเรยนมผลรวมของคะแนนรวมแบบฝกทกษะท# 1 กบแบบทดสอบหลงเรยน อยในระดบคณภาพ 2 (ด) ขนไป

2. ดานทกษะกระบวนการ(P)

1) นกเรยนสามารถแสดงวธการบวกและคณจานวนเชงซอนไดถกตอง 2) นกเรยนสามารถประยกตใชหลกการเทากนของจานวนเชงซอน ใน การหาคา ตวแปรท#เปนองคประกอบของจานวนเชงซอนได

ตรวจใหคะแนน

- แบบฝกทกษะท# 2 และ แบบฝกทกษะท# 3 ของแบบฝกทกษะคณตศาสตร ชดท# 1

นกเรยนมผลรวมของคะแนนรวมแบบฝกทกษะท# 2 และ 3 อยในระดบคณภาพ 2 (ด) ขนไป

3. ดานลกษณะอนพงประสงค (A)

ขอท+ 6 มงม+นในการทางาน

ตวช�วดท+ 6.1 นกเรยนมความตงใจและ รบผดชอบในการปฏบตหนาท#การงาน

สงเกตพฤตกรรมสาคญท#แสดงออก

แบบบนทกการประเมนคณลกษณะอนพงประสงค

นกเรยนไดรบผลการประเมนอยในระดบคณภาพ 1 (ผาน ) ขนไป



11. บนทกผลหลงการจดการเรยนร

นกเรยนชนมธยมศกษาปท# 5 จานวน .............. คน

11.1 สรป ผลการจดกจกรรมการเรยนร

1) ดานความร (K) แบบฝกทกษะท# 1 คะแนนเฉล#ย .............. แบบทดสอบหลงเรยน คะแนนเฉล#ย .............. ผลรวมของคะแนนท#ใชประเมน คะแนนเฉล#ย .............. ผานการประเมน ........... คน คดเปนรอยละ ............ ไมผานการประเมน ........... คน คดเปนรอยละ ............

2) ดานทกษะกระบวนการ (P)

แบบฝกทกษะท# 2 คะแนนเฉล#ย .............. แบบฝกทกษะท# 3 คะแนนเฉล#ย .............. ผลรวมของคะแนนท#ใชประเมน คะแนนเฉล#ย .............. ผานการประเมน ........... คน คดเปนรอยละ ............ ไมผานการประเมน ........... คน คดเปนรอยละ ............

3) ดานคณลกษณะอนพงประสงค (A) ผานการประเมน ........... คน คดเปนรอยละ ............ ไมผานการประเมน ........... คน คดเปนรอยละ ............



ปญหา/อปสรรค ท+พบ

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

การปรบปรง แกไข/พฒนา ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

ผลจากการปรบปรงแกไข /พฒนา ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

ขอเสนอแนะ / ขอคดเหนเพ+มเตม

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................... ลงช#อ................................................. ครผสอน (นางสาวนาคาง แสงศรจนทร) .................../................... /...................



ผลการพจารณาและอนมต เพ+อนาแผนการจดการเรยนรไปใช

ความคดเหนของหวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

ลงช#อ........................................................ (นางสาวสอญชญ ชยชนะ)

หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ผลการพจารณาของกลมงานวชาการ

( ) เหนควรอนญาตใหใชในการจดการเรยนรได ( ) เหนควรไมอนญาตใหใชใ นการจดการเรยนร เน#องจาก .......................................................

ลงช#อ........................................................ (นายพทกษ ศรชย)

รองผอานวยการ กลมงานวชาการ

ผลการอนมตจากผบรหารสถานศกษา

( ) อนญาตใหใชในการจดการเรยนรได ( ) ไมอนญาตใหใชในการจดการเรยนร เน#องจาก .......................................................

ลงช#อ........................................................ (ดร. ธวช ชมชอบ)

ผอานวยการโรงเรยนเชยงคาวทยาคม



ใบความรท+ 1

เร+อง การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนร จานวนเชงซอน

วชา คณตศาสตรเพ+มเตม ช�นมธยมศกษาปท+ 5

ผลการเรยนร

มความคดรวบยอดเกยวกบจา# นวนเชงซอน เขยนกราฟและหาคาสมบรณของจานวนเชงซอนได

จดประสงคการเรยนร

1) นกเรยนสามารถอธบายหรอสรปความคดรวบยอด เกยวกบความหมายของจานวนเชงซอนได# 2) นกเรยนสามารถบอกผลลพธของการบวกและการคณ จานวนเชงซอนท#กาหนดใหไดถกตอง

3) นกเรยนสามารถบอกคาตวแปรท#เปนองคประกอบของ จานวนเชงซอนท#อยภายใตเง#อนไขท#กาหนดมาให ได



เจโรลาโม คารดาโน

(Gerolamo Cardano)

นกคณตศา สตรชาว อตา เ ลย น ผ จ ด ป ร ะ เ ด น ค ว า ม ส น ใ จ ใ นการศกษาจานวนซ# งอยในรปกรณท#สองของจานวนจรงท# ตดลบ ใหกบนกคณตศาสตรหลาย ๆ คนจากการศกษาคาตอบท#อยในรป กรณของสมการพหนามดกรสาม (cubic equations) ของเขาเอง เขาไดสรางความเขาใจงาย ๆ เกยวกบจานวน# ท#อยในรปกรณ ท#สองของจานวนจรงท# ตดลบ ดวยการใชการจนตนาการ แตก ทาใหนกคณตศาสตรทงหลาย ห น ม า ส น ใ จ จา น ว น ดง ก ล า ว มากขน สงผลให เกดการ พฒนาระบบจานวนขนใหม เปนท#มา ของจานวนชนดใหม คอ จานวนเชงซอน (complex numbers)

การสรางจานวนเชงซอน (Complex Numbers)

ประวตความเปนมา

ในการดาเนนชวตของเรานน พบวาบอยครง ท#มนษยเรามความจาเปนตองแกปญหาบางอยางท#มกเปนเหตให นกคณตศาสตรไดมโอกาสสรางแนวคดในการสรางองคความร ใหม ๆ ขน ทงนกเพ#อจะใชแกปญหาเหลานนใหหมดไป ในเร#องน เราจะ กลาวถงการสรางจานวนชนดใหม ซ# งเกดจาก แนวคดในการพยายามท#จะสรางหรอนยามจานวนท#อยในรปกรณฑท#สองของจานวนจรงท# ตดลบขน เพ#อใชในการหา คาตอบของสมการพหนามบางสมการ เชน สมการ 2x 1 0+ = ซ# งเราทราบวาไมมคาตอบท#เปนจานวนจรง เ น#องจากไมมจานวนจรงใดท#ยกกาลงสองแลวมคาเปน 1− จนกระทงนก#คณตศาสตรไดสรางระบบจานวนขนมาใหม เราจงสามารถ หาคาตอบของสมการประเภทนได นกคณตศาสตรเรยกจานวน ท#สรางขนมาใหมนวา จานวนเชงซอน (Complex Numbers)

แนวคดรเรมในการสรางจานวนเชงซอนนนไดเรม # # มขนตงแตชวงครสตวรรษท# 16 โดย เจโรลาโม คารดาโน (Gerolamo Cardano) นกคณตศาสตรชาวอตาเลยน หลงจากนนกไดมนกคณตศาสตรอกหลายทานท#ไดใหความสนใจและ มสวนชวยใหเกดการพฒนาระบบจานวนเชงซอนจ นมความสมบรณ ไดแก Rafael Bombelli, William Rowan Hamilton, René Descartes, Abraham de Moivre, Leohard Euler, Caspar Wessel, Jean-Robert Argand, Carl Friedrich Gauss, Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann และอกหลายทานท#ไมไดกลาวนามมาในท#นดวย

การสรางจานวนเชงซอน



ตวอยางการนาไปประยกตใช

San Macro Fractal

เฟรกทลหรอกราฟท#ไดจากการวาดจดแตละจดท#ไดจากการคานวณฟงกชน คาเชงซอน (Complex – valued function) ดวยวธการทาซา (itteration) เซตของจดทงหมดบนเฟรกทลหรอ กราฟนคอตวอยางของเซตชนดหน# ง ท#เรยกวา จเลยเซต (Julia set)

กราฟส (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 2f z z i 2z 2i= − += − += − += − +

สบนกราฟจะแสดงคาของฟงกชน ( )f z ณ จดตาง ๆ บนระ นาบของ

จานวนเชงซอน เม#อกาหนดรหสสของจานวนเชงซอนแตละคาดวยวงลอส ดงรปดานลาง เม#อสขาวตรงกลาง คอ จานวนเชงซอน ( )0,0

การประยกตใช ความรเก+ยวกบจานวนเชงซอน

ในปจจบน พบวามการนาความรเกยวกบจานวน # เชงซอนไปประยกตใชจรงอยางกวางขวางในหลาย ๆ ดาน ทงทางดานคณตศาสตร ฟสกส เคม ชววทยา เศรษฐศาสตร วศวกรรมศาสตร และสถต เปนตน ซ# งโดยมากจะใชใน การคานวณหรอสรางแบบจาลองของสถานการณตาง ๆ ในรปของสตร สมการ ฟงกชนหรอกราฟของจานวนเชงซอน จงนบวาจานวนเชงซอนนนมความสาคญและ มประโยชนอยางยง ดงนนเราจงควรศกษาความรเกยวกบ # # จานวนเชงซอนไว เพ#อท#จะไดสามารถนาไปประยกตใชไดเม#อมโอกาสในอนาคตขางหนา

จานวนเชงซอน

ในท#น เราจะแนะนาใหรจกและเขาใจจานวน เชงซอนในเบองตน ดวยบทนยามตอไปน

บทนยาม จ านวนเชงซอน คอ จานวนท# เ ขยนอยในรป คอนดบ ( )a,b เม#อ a และ b เปนจานวนจรง กาหนดการเทากน การบวก และการคณของ จานวนเชงซอน ดงน สาหรบจานวนเชงซอน ( )a,b และ ( )c,d 1. การเทากน ( )a,b = ( )c,d กตอเม#อ a c= และ b d= 2. การบวก ( ) ( )a,b c,d+ = ( )a c,b d+ + 3. การคณ ( ) ( )a,b c,di = ( )ac bd,ad bc− + อาจเขยนแทน ( ) ( )a,b c,di ดวย ( )( )a,b c,d เซตของจานวนเชงซอน เขยนแทนดวย ℂ



จากบทนยาม เม#อเราใชความรในเร#องเซตมาพจารณาเซตของจานวนเชงซอน จะพบวา

ℂ = ( ){ }a,b a b∈ ∈ℝ ℝ และ = { }a a∈ℝ × { }b b∈ℝ

= ℝ × ℝ

ดงนน เราจงไดขอสงเกตจากการพจารณาเซตของจานวนเชงซอนขางตน ดงน

ตวอยางการบวกและการคณจานวนเชงซอน

ตวอยาง 1 ใหนกเรยนหาผลบวกของจานวนเชงซอนตอไปน

1) ( ) ( )2,3 5,6+ = ( )2 5, 3 6+ + = ( )7,9 2) ( ) ( )3, 8 3,8− + − = ( ) ( )( )3 3 , 8 8+ − − +

= ( )0,0 ตวอยาง 2 ใหนกเรยนหาผลคณของจานวนเชงซอนตอไปน

1) ( )( )3,5 4,7 = ( ) ( ) ( ) ( )( )3 4 5 7 , 3 7 5 4− +

= ( )12 35 , 21 20− +

= ( )23 , 41− 2) ( )( )3, 8 6,0− − = ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )3 6 8 0 , 3 0 8 6− − − + − −

= ( )18 0 , 0 48− − +

= ( )18 , 48−

ขอสงเกต เซตของจานวนเชงซอน (ℂ ) คอ ผลคณของเซตของจานวนจรง ( ×ℝ ℝ ) และ คอนดบท#เปนสมาชกของเซตดงกลาว กคอ จานวนเชงซอน

ทบทวนนยาม สาหรบจานวนเชงซอน ( )a,b และ ( )c,d

( ) ( )a,b c,d+ = ( )a c,b d+ + ( )( )a,b c,d = ( )ac bd,ad bc− +



ตวอยางการประยกตการเทากนของจานวนเชงซอน

ตวอยาง 3 จงแสดงวธในการหาคา x และ y จากเง#อนไขของสมการจานวนเชงซอนท#กาหนดให

1) ( )2x, 5− = ( )4, y−

วธคด จาก ( )2x, 5− = ( )4, y−

โดยการเทากนของจานวนเชงซอน สรปได วา 2x = 4− ....................... (1) และ 5− = y ....................... (2) จากการแกสมการ ( )1 และ ( )2 จะได x 2= − และ y 5= − ตอบ x 2= − และ y 5= −

2) ( )x y , x y− + = ( )2,6 วธคด จาก ( )x y , x y− + = ( )2,6 จะได x y− = 2 ....................... (1) และ x y+ = 6 ....................... (2) แกระบบสมการ โดยนาสมการ ( )1 บวกสมการ ( )2 ได

2x = 8

x = 4 เม#อแทนคา x 4= ในสมการ ( )2 ได

4 y+ = 6 y = 2 ตอบ x 4= และ y 2=

จากความรท#ไดกลาวมาในใบความรน คาดวาผอา นนาจะไดรจกและเกดความร ความเขาใจเบองตนเกยวกบจานวนเชงซอนกนแลว ในลาดบตอไปเรากจะทาการศกษาความรเกยวกบจานวน # # ชนดใหมนกนตอ โดยเฉพาะความรพนฐานท# สาคญและจาเปนสาหรบผท#กาลงเรมตนศกษา # จานวน

เชงซอน ขอเปนกาลงใจใหทกทานตงใจศกษาตอไป แลวพบกนใหม ในครงตอไปคะ ✌

สาหรบจานวนเชงซอน ( )a,b และ ( )c,d กาหนด ( )a,b = ( )c,d กตอเม#อ a c= และ b d=



เฉลยแบบฝกทกษะคณตศาสตร

ชดท+ 1 การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนร จานวนเชงซอน

เฉลยแบบฝกทกษะท+ 1 ความหมายของจานวนเชงซอน

ขอ คอนดบ เปน


ไมเปน


1. 1, log3

2 −

�� -

2. ( )2 ,1π �� -

3.

( )0, 4− - ��

4. ( )x, y

เม#อ x และ y เปนจานวนอตรรกยะ �� -

5. ( )a,0

เม#อ a คอคาตอบของสมการ 2x 4 0+ = - ��



เฉลยแบบฝกทกษะท+ 2 การบวกและการคณจานวนเชงซอน

1. จงหาผลบวกของจานวนเชงซอนตอไปน� (จานวน 10 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน)

1.1 ( ) ( )5,1 2,8+ = ( )5 2,1 8+ + = ( )7 , 9 1.2 ( ) ( )7, 2 0,0− + = ( )7 20 , 0+ − + = ( )7 , 2− 1.3 ( ) ( )8,0 12,0− + − = ( )( )8 12 , 0 0−+− + = ( )20,0−

1.4 ( ) ( )0, 4 0,13− + = ( )( )0 0, 4 13+ − + = ( )0,9 1.5 ( ) ( )0,12 8,1+ − = ( )( )0 8 ,12 1+ − + = ( )8,13−

1.6 ( ) ( )3,6 7, 2− + − = ( ) ( )( )3 7,6 2− + + − = ( )4,4 1.7 ( ) ( )3,10 3, 10− + − = ( ) ( )( )3 3,10 10− + + − = ( )0,0

1.8 ( ) ( )18, 6 5, 20− − + − − = ( ) ( ) ( ) ( )( )18 5 , 6 20− + − − + − = ( )0,0 1.9 ( ) ( )4, 2 3,5 2− + − = ( ) ( )( )4 3 , 2 5 2− + − + = ( )7,6 2−

1.10 2 23x, y x,2y + −

= ( )( )2 23x x , y 2y+ − + = ( )22x,3y

2. จงหาผลคณของจานวนเชงซอนตอไปน� (จานวน 6 ขอ คะแนนเตม 10 คะแนน)

2.1 ( )( )1,3 4,5 = ( ) ( ) ( ) ( )( )1 4 3 5 ,1 5 3 4− +

= ( )4 15 , 5 12− +

= ( )9,17−



2.2 ( )( )3,2 4, 2− − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 4 2 2 , 3 2 2 4− − − − − +

= ( )12 4,6 8− + +

= ( )8,14−

2.3 ( )( )8, 1 2, 3− − − = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )8 1 ,2 3 213 8− − −− + − −−

= ( )16 3, 24 2− − − +

= ( )19, 22− −

2.4 ( )( )7,0 6,2− = ( ) ( ) ( ) ( )( )7 6 0 2 ,7 2 0 6− − + −

= ( )42 0,14 0− − +

= ( )42,14− 2.5 ( )( )3, 9 1, 2− − − − = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )3 1 9 2 , 3 2 9 1− − − − − − − + − −

= ( )3 18,6 9− +

= ( )15,15−

2.6 ( )( )3, 1 5 3,2− = ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )3 5 3 1 2 , 3 2 1 5 3− − + −

= ( )15 2,2 3 5 3+ −

= ( )17, 3 3−



เฉลยแบบฝกทกษะท+ 3 การประยกตการเทากนของจานวนเชงซอน

1. ( )5 2y, 18− − = ( )1,3x−

วธคด จาก ( )5 2y, 18− − = ( )1,3x−

โดยการเทากนของจานวนเชงซอน สรปไดวา

5 2y− = 1− ....................... (1) และ 18− = 3x ....................... (2)

จากสมการ ( )1 จะได 2y− = 6−

ดงนน y = 3 จากสมการ ( )2 จะได x = 6−

ตอบ x 6= − และ y 3=

2. ( ) ( )3x, y y,x+ − = ( )1,3−

วธคด จาก ( ) ( )3x, y y,x+ − = ( )1,3− จะได ( )3x y,x y− + = ( )1,3−


3x y− = 1− ....................... (1) และ x y+ = 3 ....................... (2)

แกระบบสมการโดย นาสมการ ( )1 บวกสมการ ( )2 จะไดวา

4x = 2 ดงนน x = 2 เม#อแทนคา x 2= ในสมการ ( )2 ได

2 y+ = 3

ดงนน y = 1 ตอบ x 2= และ y 1=



3. ( )( )1,5 x, y− = ( )4,6

วธคด จาก ( )( )1,5 x, y− = ( )4,6 จะได ( )x 5y, y 5x− − − + = ( )4,6


x 5y− − = 4 ....................... (1)

และ y 5x− + = 6 ....................... (2) นา 5 คณสมการ ( )1 ได

25y 5x− − = 20 ....................... (3)

แกระบบสมการ โดย นาสมการ ( )2 บวกสมการ ( )3 ได

26y− = 26

ดงนน y = 1− เม#อแทนคา y 1= − ในสมการ ( )1 ได

( )x 5 1− − − = 4

x− = 1−

ดงนน x = 1 ตอบ x 1= และ y 1= −



เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

เร+อง การสรางจานวนเชงซอน หนวยการเรยนร จานวนเชงซอน

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1. ก. 2. ค. 3. ค. 4. ข. 5. ง. 6. ก.

7. ง.

8. ข.

9. ข.

10. ก.



บรรณานกรม กนกวล อษณกรกล และ รณชย มาเจรญทรพย. แบบฝกหดและประเมนผลการเรยนรคณตศาสตร

เพ+มเตม ม.5 เลม 2. กรงเทพฯ : เดอะบคส, 2550. กระทรวงศกษาธการ. สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน . คมอประเมนสมรรถนะสาคญ

ของผเรยนระดบการศกษาข�นพ�นฐาน ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน

พทธศกราช 2551 ช�นมธยมศกษาปท+ 6. กรงเทพฯ : สานกงานพระพทธศาสนาแหงชาต , 2555. กระทรวงศกษาธการ. สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน . สานกวชาการและมาตรฐาน การศกษา. แนวทางการพฒนา การวดและประเมนคณลกษณะอนพงประสงค

ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : ชมนม สหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย , 2552. กระทรวงศกษาธการ. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . คมอครรายวชา เพ+มเตม

คณตศาสตร เลม 4 ช�นมธยมศกษาปท+ 4-6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร

แกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน พท ธศกราช 2551. กรงเทพฯ : สกสค. ลาดพราว, 2554. ______ . หนงสอเรยนรายวชาเพ+มเตม คณตศาสตร เลม 4 ช�นมธยมศกษาปท+ 4-6 กลมสาระ

การเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : สกสค. ลาดพราว, 2556. กวยา เนาวประทป. เทคนคการเรยนคณตศาสตร จานวนเชงซอน กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร .

กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร, 2547. ทรงวทย สวรรณธาดา. หนงสอเรยนเสรมมาตรฐานแมค คณตศาสตรเพ+มเตม ช�นมธยมศกษาปท+ 5

ภาคเรยนท+ 2. กรงเทพฯ : แมค จากด, มปป. ธนวฒน สนทราพรพล. แบบฝกหดทกษะและวธคดเรว คณตศาสตรเพ+มเตม เลม 4 ช�นมธยมศกษา

ปท+ 4-6 ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : science center, มปป. สมย เหลาวานชย และ พวพรรณ เหลาวานชย . คณตศาสตร ม. 5 เลม 4. กรงเทพฯ : ไฮเอด พบลชชง# จากด, มปป. สมย เหลาวานชย . คมอ คณตศาสตร ม. 4-5-6. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง จากด# , มปป.



อเนก หรญ. แบบฝกหดพ�นฐาน วชาคณตศาสตร ม.5. กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร, 2539. Farris, Frank A. Visualizing complex – valued functions in the plane. (Online). Available : http://www.maa.org/visualizing-complex-valued-functions-in-the-plane. 2015. Joyce, David E. Julia and Mandelbrot Sets. (Online). Available : http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/julia/julia.html. 2015. Dugopolski, Mark. Intermediate Algebra. 3rd ed. New York : McGraw – Hill, 2000. Larson, Ron and Hostetler. Precalculus. 7th ed. New York : Houghton Mifflin, 2007. Peterson, Gary L. Algebra and Trigonometry. California : Wadsworth, 1985. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. New York : McGraw – Hill, 1976. Spiegel, Murray R. Schaum’s outline series : Mathematical Handbook of Formulas and

Tables. New York : McGraw – Hill, 1968. Wikipedia, the free enclopedia. Complex number. (Online). Available : http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number. 2013. ______ . Gerolamo Cardano. (Online). Available : http://en.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano. 2013.

Documents

คู่มือการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ · จํานวนเชิงซ้อน คือ จํานวนทีเขียนอยูในรูปคูอันดับ