สงทจะไดในวนน

1. ความสมพนธ

2. การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

สมบตทส ำคญ

1. )()( CABA )( CBA =

2. )( CBA = )()( CABA

3. )( CBA = )()( CABA

ควำมสมพนธ (relation)

นยำม r เปนควำมสมพนธ จำก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B

ตวอยำง ก ำหนดให A = { 1, 2 ,3 ,4 } , B = { 0, 2 ,4 ,6 } ให r แทนควำมสมพนธ “ มำกกวำ” จำก A ไป B

จะได r = { (1,0) ,(2,0) ,(3,0) ,(3,2) ,(4,0) ,(4,2) }

หรอ r = { (x,y) A x B | x > y }

ตวอยำง

ถำ r1 = { (x,y) A x B | y = x2 }

ก ำหนด A = { 0,1,5 } และ B = { 1,3,6} จงหำ

ถำ r2 = { (x,y) A x B | x+y > 4}

ถำ r3 = { (x,y) A x B | x+y เปนจ ำนวนค}

ตวอยำง จงหำควำมสมพนธระหวำงสมำชกตวหนำ และตวหลงของทกคอนดบในแตละควำมสมพนธ

ถำ r1 = { (1,2) , (3,4) , (5,6) }

ถำ r3 = { (1,2) , (2,4) , (3,6) , (4,8)}

ถำ r4 = { (1,1) , (2,4) , (3,9), (4,16) }

ตวอยำง ก ำหนด A = { x | x เปน จ ำนวนเตม }

B = { x | x เปน จ ำนวนเตมบวก }

ถำ r1 = { (x,y) A x B | y = x2 }

เขยน r1 แบบแจกแจงสมำชกไดดงน

r1 = { (1,1) ,(-1,1) ,(2,4) ,(-2,4) ,(3,9) ,(-3,9) , . . . }

โดเมนและเรนจ บทนยำม

ให r แทนควำมสมพนธจำก A ไป B โดเมนของ r คอสมำชกตวหนำของคอนดบใน r เขยนแทนโดเมนของ r ดวย Dr

เรนจของ r คอสมำชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนเรนจของ r ดวย Rr

𝑫𝒓 = 𝑥 ∈ 𝐴 |ม 𝑦 ∈ 𝐵 ซง 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑟

𝑹𝒓 = 𝑦 ∈ 𝐵 |ม 𝑥 ∈ 𝐴 ซง 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑟

เมอ r เปนความสมพนธจาก A ไป B

ตวอยำง ก ำหนด r = { (1,2) ,(2,3) ,(3,4) ,(4,5) }

จะได Dr = { 1 ,2 ,3 ,4 }

Rr = { 2 , 3 , 4, 5 }

ก ำหนด r = { (x,y) I+x I+ | y = 2x }

เขยน r แบบแจกแจงได r = {(1,2),(2,4),(3,6) ,(4,8) , . . . }

{ 1, 2 ,3, …} = { x | x เปนจ ำนวนเตมบวก }

Rr = { 2 ,4, 6 ,…} = { x | x เปนจ ำนวนเตมบวกค} ดงนน Dr =

สรปกำรหำโดเมนและเรนจ

1.แบบแจกแจงสมำชก

โดเมน คอ เซตของสมำชกตวหนำของคอนดบทกคในควำมสมพนธ

เรนจ คอ เซตของสมำชกตวหลงของคอนดบทกคในควำมสมพนธ

2.แบบบอกเงอนไข

กำรหำโดเมน 1. เขยนเงอนไขใหอยในรป y = เทอมของ x

2. พจำรณำวำ คำ x ใดบำงทท ำให y หำคำได

3. โดเมนคอ เซตของคำ x ทงหมด ทท ำให y หำคำได

กำรหำเรนจ 1. เขยนเงอนไขใหอยในรป x = เทอมของ y

2. พจำรณำวำ คำ y ใดบำงทท ำให x หำคำได

3. เรนจคอ เซตของคำ y ทงหมด ทท ำให x หำคำได

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | xy-x-3y+1 = 0 }

วธท ำ 1. หำ Dr

1. จด y = เทอมของ x จากสมการ xy-x-3y+1 = 0

xy- 3y = x -1

y(x-3) = x-1

y =

𝑥 − 1

𝑥 − 3

เศษสวน ตวสวนหำมเปนศนย x ไมเทำกบ 3

ดงนน Dr = R – { 3}

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | xy-x-3y+1 = 0 }

วธท ำ 1. หำ Rr

1. จด x = เทอมของ y จากสมการ xy-x-3y+1 = 0

xy- x = 3y-1

x(y-1) = 3y-1

x =

3𝑦 − 1

𝑦 − 1

เศษสวน ตวสวนหำมเปนศนย y ไมเทำกบ 1

ดงนน Rr = R – { 1}

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 92 xy

วธท ำ หาโดเมน จาก 92 xy

จะหาคา y ไดกตอเมอ x2 - 9 0

(x-3)(x+3) 0

ดงนน x -3 หรอ x 3

ดงนน Dr = }33|{ xxRx

จด y ในเทอมของ x

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 92 xy

วธท ำ

y2 = x2 - 9

หาเรนจ พจารณาเปน 2 กรณ

จาก x2 - 9 0

จะได 092 x

ดงนนเรนจ r = }0|{ yRy

กรณท 1 จด x ในเทอมของ y กรณท 2 พจำรณำจำกโจทย

y2 + 9= x2

X = ± 𝑦2 + 9

∴ 𝑅𝑟 = 0, ∞ ∴ 𝑦 ∈ 𝑅

กรณ 1 ∩ กรณ 2 ∴ 𝑅𝑟 = 0, ∞

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 2416 xy

วธท ำ หาโดเมน จาก 2416 xy

จะหาคา y ไดกตอเมอ 16-4x2 0

0

ดงนน

ดงนน Dr = 2,2

จด y ในเทอมของ x

4x2 -16 x2 -4 0

(x-2)(x+2) 0

−2 ≤ 𝑥 ≤ 2

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด r = { (x,y) | } 2416 xy

วธท ำ

y2 = 16-4x2

หาเรนจ พจารณาเปน 2 กรณ

x จะหาคาไดกตอเมอ 16−𝑦2

4 ≥ 0

016 2 y

}0|{ yRy

กรณท 1 จด x ในเทอมของ y

4x2 = 16- y2

X = ±16−𝑦2

4

∴ 𝑅𝑟 = 0,4

044 yy

−4 ≤ 𝑦 ≤4

16-4x2 0จะได

0416 2 x

กรณท 2 พจำรณำจำกโจทย

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด

r = { (x,y) | 𝒙 − 𝟐 + 𝒚 − 𝟑 = 4 } วธท ำ หาโดเมน จะได 𝒚 − 𝟑 = 4 - 𝒙 − 𝟐

เนองจาก 𝒚 − 𝟑 ≥ 𝟎 จะได 4 - 𝒙 − 𝟐 ≥ 0

𝒙 − 𝟐 ≤ 4

-4 ≤x-2≤ 4 -2 ≤ x≤ 6

∴ 𝐷𝑟 = −2,6

ตวอยำง จงหำ โดเมนและเรนจ ของ r เมอก ำหนด

r = { (x,y) | 𝒙 − 𝟐 + 𝒚 − 𝟑 = 4 } วธท ำ หาเรนจ จะได 𝒙 − 𝟐 = 4 - 𝒚 − 𝟑

เนองจาก 𝒙 − 𝟐 ≥ 𝟎 จะได 4 - 𝒚 − 𝟑 ≥ 0

𝒚 − 𝟑 ≤ 4

-4 ≤ y-3≤ 4 -1 ≤ y ≤ 7

∴ 𝑅𝑟 = −1,7

ฝกทกษะ

จงหำ โดเมนและเรนจ ของควำมสมพนธตอไปน

1. r = { (x,y) | 𝒚 =𝟓𝒙+𝟑

𝟐𝒙+𝟒 }

2. f = { (x,y) | 𝐲 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 } 3. r = { (x,y) | 𝒙 + 𝒚 − 𝟏 = 5 }

กรำฟควำมสมพนธ

บทนยำม

ให R เปนเซตจ ำนวนจรง r เปนสบเซตของ R x R กรำฟของควำมสมพนธ r คอ เซตของจดในระนำบ โดยทแตละจดแทนสมำชกของควำมสมพนธ r

ตวอยำง จงเขยนกรำฟควำมสมพนธ r = }|),{( 2xyIIyx

(1,1) (0,0)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)

( กราฟมลกษณะเปนจด )

ตวอยำง จงเขยนกรำฟควำมสมพนธ r = }|),{( 2xyRRyx

(1,1)

(0,0)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)

( กราฟมลกษณะเปนเสน เนองจากโดเมนคอ R )

ตวอยำง จงเขยนกรำฟควำมสมพนธ r = }31|),{( xRRyx

(กราฟมลกษณะเปนพนท)

ตวอยำง ก ำหนดกรำฟ r ดงรป จงหำโดเมน และเรนจของ r

O 9

3

โดเมนของ r คอ

เรนจของ r คอ

(เงากราฟทแกน X )

(เงากราฟทแกน Y )

[0,9] [0,3]

สรปกำรหำโดเมนและเรนจ

3. กรำฟ

โดเมน คอ พจำรณำคำของ x ทงหมดบนแกน X ทใชในกำรเขยนกรำฟ

เรนจ คอ พจำรณำคำของ y ทงหมดบนแกน Y ทใชในกำรเขยนกรำฟ

สรปกำรหำโดเมนและเรนจ

1.ควำมสมพนธในรปสมกำรเชงเสน

r ={(x,y)∈R×R } แลว 𝐷𝑟 = R , 𝑅𝑟 = R 2.ควำมสมพนธทมเงอนไขอยในรปเศษสวน

r ={(x,y)∈R×R𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑เปนคาคงตว} แลว

𝐷𝑟 = {x𝜖R ≠-𝑑

𝑐} = R -{−

𝑑

𝑐}

𝑅𝑟 = {x𝜖R ≠𝑎

𝑐} = R -{𝑎

𝑐}

3.ควำมสมพนธทมเงอนไขอย คำสมบรณ

r ={(x,y)∈R×R 𝑥 + 𝑎 } แลว 𝐷𝑟 = R , 𝑅𝑟 = [0, ∞)

สรปกำรหำโดเมนและเรนจ

4.ควำมสมพนธทมเงอนไขอยในรปกรณฑอนดบค

1. r ={ (x,y)∈R×R 𝑥2 − 𝑎 } แลว 𝐷𝑟 =(-,- 𝑎] ∪ [ 𝑎 ,∞) , 𝑅𝑟 = [0, ∞)

𝒙𝒏 เมอ x เปนจ ำนวนจรง และ n เปนจ ำนวนคบวก หำคำไดเมอ x ≥ o

2. r ={ (x,y)∈R×R 𝑎 − 𝑥2 } แลว 𝐷𝑟 = [− 𝑎 , 𝑎] , 𝑅𝑟 = [0, 𝑎]

3. r ={ (x,y)∈R×R 𝑥2 + 𝑎 } แลว 𝐷𝑟 = R , 𝑅𝑟 = [ 𝑎,)

จงหาโดเมนและเรนจ ของความสมพนธตอไปน

จงหาโดเมนและเรนจ ของความสมพนธตอไปน