Embed Size (px)
Citation preview
1
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
1
สาระการเรยนร
1. พชคณตบลน 1.1 นยามพชคณตบลน 1.2 คณสมบตพชคณตบลน 1.3 ทฤษฎทนาสนใจของพชคณตบลน
2. ฟงกชนบลน 2.1 พชคณตสวทชง 2.2 การหาคาของฟงกชนสวทชง
3. เกท 3.1 แอนดเกท 3.2 ออรเกท 3.3 นอทเกท 3.4 แนนดเกท 3.5 นอรเกท 3.6 เอกซคลซฟออรเกท
2
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
2
จดประสงคการเรยนร
1. บอกคณสมบตและทฤษฎของพชคณตบลนได
2. หาคาฟงกชนของพชคณตบลนโดยใชคณสมบตและทฤษฎได
3. หาคาฟงกชนของพชคณตบลนโดยใชตารางคาความจรงได
4. เขยนเกทตาง ๆ ได 5. สามารถเขยนเกทเมอก าหนดนพจนของวงจรโลจกได 6. เขยนนพจนของวงจรโลจกไดเมอก าหนดเกท
3
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
3
สาระส าคญ
ในระบบคอมพวเตอร น าตรรกศาสตรมาชวยในการจดการควบคมการท างานของวงจรตาง ๆ เพอน าไปสระบบปฏบตการของคอมพวเตอร ซงตรรกศาสตรไดถกพฒนาและคดคนขนมาจากนกคณตศาสตรชาวกรกโบราณ คอ Plato และ Aristotle เพอใชในการแกปญหาคณตศาสตรทมมากและซบซอน
4
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
4
พชคณตบลน
หนวยวงจรทเลกทสดของเครองคอมพวเตอร เรยกวา เกท (Gate หรอ Logic Gate) และ เกทเปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทกอใหเกดปฏบตการพชคณตบลนตอหนงสญญาณเขา ( Input) หรอมากกวา เพอใหเกดสญญาณออก (Out put)
โดยทสญญาณเขาและสญญาณออกเปนตวแปรบลน (Boolean Variable) ซงตวแปรบลนแสดง 2 สถานะ คอ ปดและเปด ดวยการใชจ านวน “1” แทนสถานะเปด “0”
ในป พ.ศ. 1849 นายจอรจ บล ( George Boole) ไดเสนอกฎเกณฑพชคณตบลน
5
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
5
นยามพชคณตบลน
พชคณตบลน เปนระบบพชคณตทมคณสมบตปด ซงระบบนประกอบดวย เซต
K ≠ และการด าเนนการ 2 อยาง คอ ● (การคณ) และ + (การหาผลรวม)
ซงคณสมบตปด คอส าหรบ
a และ b ใด ๆ ใน K จะไดวา
1) a + b K
2) a ● b K
6
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
6
คณสมบตของพชคณตบลน
1. กฎการมจรงของ 1 และ 0 จะม 1 และ 0 ในเซต k ทซงส าหรบ a
ใด ๆ ใน k จะไดวา 1.1 a + 0 = a 1.2 a ● 1 = a
7
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
7
คณสมบตของพชคณตบลน 2. กฎการสลบท (Commutative Law)
ส าหรบ a และ b ใด ๆ ใน k ทซง 2.1 a + b = b + a 2.2 a ● b = b ● a
8
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
8
คณสมบตของพชคณตบลน 3. กฎการจดกลม (Associative Law) ส าหรบ a และ b ใด ๆ ใน k ทซง
3.1 a + (b + c) = (a + b) + c 3.2 a ● (b ● c) = (a ● b) ● c
9
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
9
คณสมบตของพชคณตบลน 4. กฎการกระจาย (Distribution Law) ส าหรบ a และ b ใด ๆ ใน k ทซง
4.1 a + (b ● c) = (a ● b) ● (a + c) 4.2 a ● (b ● c) = a ● b + a ● c
10
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
10
คณสมบตของพชคณตบลน 5. กฎการมจรงของสวนเตมเตม (The Law of Complementary Existence)
ส าหรบ a ใด ๆ ใน k จะมสมาชกเพยงตวเดยว เรยกวา a (สวนเตมเตม a หรอ Complement of a ) ใน k จะไดวา
5.1 a + a = 1 5.2 a ● a = 0
11
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
11
ทฤษฎทนาสนใจของพชคณตบลน
ทฤษฎท 1 นจพล (Idempotency) ส าหรบ a ใด ๆ ใน K จะไดวา 1. a + a = a 2. a ● a = a ทฤษฎท 2 ส าหรบ a ใด ๆ ใน K จะไดวา 1. a + 1 = 1 2. a ● 0 = 0
12
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
12
ฟงกชนบลน (Boolean Function)
ก าหนดให X1 , X2 , X3,……..Xn เปนตวแปรบลน (Boolean Function) f( X1 , X2 , X3,……..Xn ) ..Xn เปนตวแปรบลน (Boolean Function)
ของตวแปร X1 , X2 , X3,……..Xn
การเขยนฟงกชนบลนจะเขยนอยในรปนพจนของบลน เชน
f( X1 , X2 , X3) ..= X1 , X2 + X1 , X3+ X1 , X3
13
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
13
1. พชคณตสวตชง (Switching Algebra) คอ พชคณตบลนทมสมาชกของเซต k เพยง 2 ตว คอ 0 และ 1 สว ตชงฟงกชน (Switching Function) คอ f( X1 , X2 , X3,……..Xn ) เปนฟงกชนบลนของตวแปร X1 , X2 , X3,……..Xn ซงฟงกชนบลนน อาจมคาเปน 1 หรอ 0 ขนอยกบการก าหนดคาตวแปร X1 , X2 , X3,……..Xn เปน 1 หรอ 0
14
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
14
ตวอยางท 1 จงหาคาของ f( X1 , X2 , X3,) เมอก าหนดให
f( X1 , X2 , X3,) = X1 , X2 + X1 , X3+ X1 , X3 และ X1 = 1, X2 = X3 = 0
วธท า f( X1 , X2 , X3,) = X1 , X2 + X1 , X3+ X1 , X3
= 1 ● 0 + 1 ● 0 + 1 ● 0 = 1 ● 0 + 0 ● 0 + 1 ● 1
(เพราะ 1 = 0, 0 = 1) = 1.0 + 0 + 1 (ทฤษฎท 2 ) = (0 + 0) + 1 (ทฤษฎท 2 )
= 0 + 1 (กฎการจดกลม , ทฤษฎนจพล) = 1 (กฎการมจรงของ 1 และ 0)
ดงนน f( X1 , X2 , X3,) = 1
15
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
15
2. การหาคาของฟงกชนบลน (Switching Function) สามารถหาคาไดดวยการใชตารางคาความจรงในเรองตรรกศาสตรโดย
X1 , X2 , X3,……..Xn แทน ประพจน ● แทน + แทน X แทน ~ (not) X 1 แทน คาความจรงเปน “จรง” 0 แทน คาความจรงเปน “เทจ”
16
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
16
ตวอยางท 2 จงหาคา f( X1 , X2 ) = X1 ● X2 โดยใชตารางทมคาความเปน 1 หรอ 0
วธท า ขนท 1 ท าตารางคาความจรงทมคาความเปนจรงและเทจ
X1 X2 X1 X2
T T F F
T F T F
T F F F
ขนท 2 เปลยนขนท 1 เปนตารางความเปน 1 และ 0 X1 X2 X1 X2
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
17
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
17
จากตวอยางท 2 ตารางคาความจรงของ f( X1 , X2 ) = X1 ● X2
สามารถหาคา f( X1 , X2 ) ไดทกคา นนคอ ถา X1 = 1 และ X2 = 1 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 1 ถา X1 = 1 และ X2 = 0 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 0 ถา X1 = 0 และ X2 = 1 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 0 ถา X1 = 0 และ X2 = 0 จะไดวา f( X1 , X2 ) = 0
18
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
18
ตวอยางท 3 จงหาคาความจรงของฟงกชน f( X1 , X2 , X3) f( X1 , X2 , X3,) = X1 X2 X3 + X1 X2+ X1 X2 X3 ใชตารางคาความจรง
X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X3 X1 X2 X1 X2 X3 f( X1 , X2 , X3)=
X1 X2 X3+ X1 X2+ X1 X2 X3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1
19
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
19
ตวอยางท 4 ก าหนดให f1( X1 , X2 ) = X1 +X2 และ
f2( X1 , X2 ) = X1● X2 จงแสดงวา f1( X1 , X2 ) = f2( X1 , X2 )
X1 X2
X1
X2
X1+ X 2
X1+ X 2
X1●X 2
1 1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 1
จะเหนวา X1 +X2 X1 ● X2 นนคอ X1 +X2 = X1 ● X2
20
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
20
เกท (Gate)
เปนอปกรณทางอเลกทรอนกส
ทมสญญาณเขา (Input) หนงสญญาณ หรอมากกวา และสญญาณออก (Output) เปนฟงกชนบลน
21
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
21
แอนดเกท (AND Gate) เปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทกอใหเกด
ปฏบตการทางพชคณตทมตวด าเนนการ คอ แอนด (AND) ซงวงจรตรรกะนมสญญาณเขาตงแต 2 สญญาณ ซงจะไดสญญาณออก (Output) เพยง 1 สญญาณ
22
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
22
สญลกษณ a f( a , b ) = a ● b b
ตารางคาความจรง
a b a ● b 1 1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 0
สญญาณออกของแอนดเกท เปน “1” (สญญาณมคาสง) กตอเมอสญญาณเขาเปน “1” (สญญาณมคาสง) ทงหมด
23
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
23
1. ออรเกท (OR Gate) เปนวงจรตรรกะ (Logic Gate) ทท าให
เกดปฏกรยาทางพชคณตบลน ทมตวด าเนนการคอ ออร และวงจรตรรกะนมสญญาณเขาตงแต 2 สญญาณ และสญญาณออก 1 สญญาณ
24
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
24
สญลกษณ a f( a , b ) = a + b b
ตารางคาความจรง
a b a + b 1 1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0
สญญาณออกจะเปน “0” (สญญาณมคาต า) กตอเมอสญญาณเขาเปน “0” ทงหมด (สญญาณมคาต า)
25
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
25
2. นอทเกท (NOT Gate) หรอ Inverter
เปนวงจรตรรกะทท าใหเกดปฏกรยาทางพชคณตทมตวด าเนนการ คอ นอต วงจรนจะมสญญาณเขา และออก เพยงอยางละ สญญาณ และ สญญาณออกจะเปนสวนเตมเตมของสญญาณเขา
26
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
26
สญลกษณ
a f( a ) = a
ตารางคาความจรง
a f(a) 1 0
0 1
27
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
27
3. แนนดเกท (Nand Gate) วงจรนเปนการรวมของแอนทเกทและนอตเกท
สญลกษณ a f( a , b ) = a ● b b
เนองดวย แนนทเกท เปนการรวมของแอนดเกทและนอตเกท จงสามารถเขยนสญลกษณอกแบบหนงได
a f( a , b ) = a ● b b
28
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
28
สญญาณออกเปน “0” กตอเมอสญญาณเขาเปน “1” ทงหมด
ตารางคาความจรง ส าหรบแนนดเกท ดงน
a b a b 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 1
29
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
29
4. นอรเกท (NOR Gate) เปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทรวมของ
ออรเกทและนอตเกต
สญลกษณ a f( a , b ) = a + b b
หรอสญลกษณของออรเกทกบนอตเกท a f( a , b ) = a + b b
30
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
30
สญญาณออกเปน “1” กตอเมอ สญญาณเขาเปน “0” ทงหมด
ตารางคาความจรง a b a + b 1 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
31
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
31
5. เอกซคลซฟออรเกท (Exclusive OR Gate)
เปนอปกรณทางอเลกทรอนกสทกอปฏบตการทางพชคณตบลน ทถกก าหนดดวยตารางคาความจรงตอไปน
a b a b
1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0
32
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
32
จากตาราง จะไดวา 1. สญญาณออก (Output) จะเปน “1” กตอเมอสญญาณเขา (Input) แตกตางกน
2. สญญาณออก (Output) จะเปน “0” กตอเมอสญญาณเขาเทากน
สญลกษณ a f( a , b ) = a b b
33
แผนใสหนวยท 6 พชคณตบลน
33
ตวอยางท 4 จงเขยนวงจรลอจกตอไปน
f(a , b , c ) = P1 P2 P1 = ab
P2 = a + c f(a , b , c ) = (ab ) + (a + c)
f(a,b,c) = ?
a b a c
