Embed Size (px)
Citation preview
เอกสารประกอบการเรยน
เอกสารประกอบการเรยน
กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 5
เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม
นางสาวจตพร สกยง
ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ
โรงเรยนพทลงพทยาคม
ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 12
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน กระทรวงศกษาธการ
ค ำน ำ
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม สาระการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาป
ท 5 น ไดจดท าขนประกอบการจดการเรยนการสอนสาระการเรยนรคณตศาสตรพนฐาน ชนมธยมศกษาปท 5 เพอมง
พฒนาสมรรถภาพการเรยนรของนกเรยน เพมประสทธภาพในการเรยน และชวยเราความสนใจของนกเรยนใหมสวน
รวมในการเรยนรอยางแทจรง ซงสอดคลองกบสาระการเรยนรและมาตรฐานการเรยนร ตามคมอการจดกจกรรมการ
เรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โดยยดกรอบตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551
และหลกสตรสถานศกษาโรงเรยนพทลงพทยาคม พทธศกราช 2552 ตลอดจนแนวนโยบายตามแผนงานและโครงการ
ของสถานศกษา
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม จะตองใชรวมกบ
แผนการจดการเรยนร เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร
ชนมธยมศกษาปท 5 ทผสอนไดจดท าขนเพอเปนคมอในการจดการเรยนร
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม มเนอหาทงหมด 5 ตอน ดงน
ตอนท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ
ตอนท 2 แฟกทอเรยล
ตอนท 3 วธเรยงสบเปลยน
ตอนท 4 วธจดหม
ตอนท 5 ทฤษฎบททวนาม
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม เสรจสมบรณลงได เพราะไดรบความ
อนเคราะหจากผเชยวชาญหลายทานทไดใหค าแนะน าปรกษา จงขอขอบคณไว ณ โอกาสน และหวงเปนอยางยงวา
เอกสารประกอบการเรยนเรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม นจะชวยใหนกเรยนไดเกดการเรยนร และพฒนา
ตนเองไดเตมตามศกยภาพ เรยนคณตศาสตรดวยความเขาใจ เรยนอยางมความสข สามารถน าความรทไดไปเปน
เครองมอในการเรยนรสงตาง ๆ และเปนพนฐานในการศกษาตอในชนสงตอไป
จตพร สกยง
ก
สำรบญ
เรอง หนำ
ค าน า ก
สารบญ ข
ค าชแจงส าหรบคร จ
ค าชแจงส าหรบนกเรยน ฉ
สาระการเรยนรและมาตรฐาน/ตวชวด ช
จดประสงคการเรยนร ซ
ตอนท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 1
แผนภาพตนไม 2
แบบฝกหดท 1.1 7
หลกการคณ(กฎขอท 1) 10
แบบฝกหดท 1.2 13
หลกการคณ(กฎขอท 2) 16
แบบฝกหดท 1.3 20
หลกการบวก 23
แบบฝกหดท 1.4 28
ตอนท 2 แฟกทอเรยล 30
แฟกทอเรยล 31
แบบฝกหดท 2.1 37
สมการแฟกทอเรยล 39
แบบฝกหดท 2.2 41
ข
สำรบญ(ตอ)
เรอง หนำ
ตอนท 3 วธเรยงสบเปลยน 43
วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด 44
แบบฝกหดท 3.1 51
วธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมด 54
แบบฝกหดท 3.2 58
วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 61
แบบฝกหดท 3.3 65
ตอนท 4 วธจดหม 67
วธจดหม 68
แบบฝกหดท 4.1 72
โจทยปญหาวธจดหม 75
แบบฝกหดท 4.2 78
ตอนท 5 ทฤษฎบททวนาม 80
ทฤษฎบททวนาม 81
แบบฝกหดท 5 87
บรรณานกรม 90
ภาคผนวก 91
เฉลยแบบฝกหดท 1.1 92
เฉลยแบบฝกหดท 1.2 96
เฉลยแบบฝกหดท 1.3 99
เฉลยแบบฝกหดท 1.4 102
ค
สำรบญ (ตอ)
เรอง หนำ
เฉลยแบบฝกหดท 2.1 104
เฉลยแบบฝกหดท 2.2 107
เฉลยแบบฝกหดท 3.1 109
เฉลยแบบฝกหดท 3.2 112
เฉลยแบบฝกหดท 3.3 116
เฉลยแบบฝกหดท 4.1 118
เฉลยแบบฝกหดท 4.2 122
เฉลยแบบฝกหดท 5 125
ง
ค ำชแจงส ำหรบคร
เอกสำรประกอบกำรเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม
เพอใหกำรใชเอกสำรประกอบกำรเรยนมประสทธภำพสงสด ครผสอนควนปฏบตตำมค ำชแจง
ตอไปน
1. เตรยมเอกสารประกอบการเรยนใหพรอมและเพยงพอส าหรบนกเรยน
2. กระตนใหนกเรยนศกษาเนอหาตามแผนการจดการเรยนร
3. คอยใหก าลงใจ ใหค าชแนะ ชวยอธบายเพมเตม ตลอดจนใหค าปรกษาแนะน ากบนกเรยนในสวนท
นกเรยนรองขอตามความเหมาะสม
4. ควบคมการเรยนการสอนใหด าเนนไปตามเวลาทก าหนด
5. น านกเรยนอภปรายเพอสรปบทเรยนและเฉลยแบฝกหด
จ
ค ำชแจงส ำหรบนกเรยน
เอกสำรประกอบกำรเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม
เพอใหกำรใชเอกสำรประกอบกำรเรยนมประสทธภำพสงสดนกเรยนนกเรยนควรปฏบตตำมค ำชแจงตอไปน
1. ใหนกเรยนอานตวชวดและจดประสงคการเรยนร
2. ใหนกเรยนศกษาเนอหาจากเอกสารประกอบการเรยน จากนนใหนกเรยนท าแบบฝกหดเปนรายคน
3. สอบถามหรอขอความชวยเหลอจากคร เมอมขอสงสย หรอมปญหา
4. ใหความรวมมอกบครในการตรวจเฉลยค าตอบ และบนทกคะแนนแบบฝกหด
ฉ
สำระกำรเรยนร
สำระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน
สำระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร
มำตรฐำน/ตวชวด
มำตรฐำน ค 5.2 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตสมผล
ตวชวด ม.4-6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใช คาดการณ
ในสถานการณทก าหนดให
มำตรฐำน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล
การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ
ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค
ตวชวด ม.4-6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา
ตวชวด ม.4-6/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการแกปญหาใน
สถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม
ตวชวด ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม
ตวชวด ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอได
อยางถกตองและชดเจน
ตวชวด ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆในคณตศาสตรและน าความร หลกการกระบวนการทางคณตศาสตรไป
เชอมโยงกบศาสนอน ๆ
ตวชวด ม.4-6/6 มความคดรเรมสรางสรรค
ช
จดประสงคกำรเรยนร
1. ใชแผนภาพตนไมในการแกปญหาเกยวกบจ านวนวธของเหตการณตางๆทจะเกดขนได
2. สามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบหลกการคณ
(กฎขอท 1)ได
3. สรปกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ หลกการคณ (กฎขอท 2) ได
4. น ากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ หลกการคณ (กฎขอท 2) ไปแกโจทยปญหาได
5. สรปกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบหลกการบวกได
6. น ากฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบหลกการบวกไปแกโจทยปญหาได
7. หาแฟกทอเรยลของจ านวนตาง ๆ ได
8. เขยนผลคณของจ านวนตาง ๆ ใหอยในรปแฟกทอเรยลได
9. หาค าตอบของสมการทอยในรปแฟกทอเรยลได
10. แกโจทยปญหาเกยวกบจ านวนวธเรยงสบเปลยนสงของ n สงทแตกตางกนทงหมดในแนวเสนตรง ได
11. หาค าตอบจากคาทอยในรป n, rP ได
12. แกโจทยปญหาเกยวกบวธเรยงสบเปลยนในแนวตรงของสงของทงหมด n สง
ทแตกตางกน โดยจดคราวละ r สงได
13. แกโจทยปญหาเกยวกบวธเรยงสบเปลยนเชงเสนของสงของทไมแตกตางกนทงหมดได
14. แกโจทยปญหาวธการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมได
15. หาคาของสมการในรป n
r
ได
16. แกโจทยปญหาโดยใชวธการจดหมได
17. น าความรเรองทฤษฎบททวนามไปใชได
ซ
ตอนท 2
แฟกทอเรยล
2.1 แฟกทอเรยล
ในการหาจ านวนวธของการนบนน มกจะอยในรปคณของจ านวนทเรยงตดกน เชน
5×4×3×2×1 หรอ 1×2×3×4×5
ดงนน เพอความสะดวกในการเขยนผลคณดงกลาว จะแทนดวยสญลกษณ
แฟกทอเรยล ซงมบทนยามดงน
บทนยาม ถา n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล (factorial) n คอ ผลคณของจ านวนเตมบวก
ตงแต 1 ถง n และเขยนแทนดวย n!
ขอตกลง
1. แฟคทอเรยล (factorial) n ถกเขยนแทนดวน “ n!”
2. สญลกษณ n! อานวา “แฟกทอเรยลเอน” หรอ “เอนแฟกทอเรยล”
2. แฟกทอเรยล (factorial) n
เกบเกยวความรทครให
เกบใหไดมากทสดนะคะ
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 31
ขอสงเกต
(1) n! = n× (n – 1)!
n! = n× (n – 1)× (n – 2)!
n! = n× (n – 1)× (n – 2)× (n – 3)!
.
.
.
n! = n× (n – 1)× (n – 2)× . . . ×3×2×1
(2) 0! = 1
พสจน จาก n! = n× (n – 1)!
สมมตให n = 1
จะได 1! = 1× (1 – 1)!
1 = 1×0!
ดงนน 0! = 1
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 32
ตวอยางท 1 จงเขยนจ านวนตอไปน ในรปการคณของจ านวนเตมบวก
(1) 5! (2) 7! 6! (3) (-3)! (4) (4)! + (3)!
วธท า (1) 5! = 5×4×3×2×1
(2) 7! 6! = (7×6×5×4×3×2×1) (6×5×4×3×2×1)
= 5,040 720 = 4,320
(3) (-3)! ไมมความหมาย
(4) (4)! + (3)! = (4×3×2×1) + (3×2×1)
= 24 + 6
= 30
ตวอยางท 2 จงหาคาของ
(1) 7!5!
(2) 3!×6!
(3) 12!8!3!
(4) 2(3!)
วธท า (1) 7!5!
7!5!
= 7×6×5!
5!
= 7×6
ดงนน 7!5!
= 42
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 33
(2) 3!×6!
3!×6! = 3×2×1×6×5×4×3×2×1
= 4,320
ดงนน 3!×6! = 4,320
(3) 12!8!3!
12!8!3!
= 12×11×10×9×8!
8!×3×2×1
= 12×11×10×9
3×2×1
= 1,980
ดงนน 12!8!3!
= 1,980
(4) 2(3!)
2(3!) = 2(3×2×1)
= 2(6)
= 36
ดงนน 2(3!) = 36
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 34
ตวอยางท 3 จงเขยนผลคณตอไปน ใหอยในรปแฟกทอเรยล
(1) 9×8
(2) 13×12×11×10
(3) 50×51×52× ×80
(4) (n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)×n
วธท า
(1) 9×8
9×8 = 9×8×7!
7!
= 9!7!
(2) 13×12×11×10
13×12×11×10 = 13×12×11×10×9!
9!
= 13!9!
(3) 50×51×52× ×80
50×51×52× ×80 = 80×79×78× ×50
= 80×79×78× ×50×49!
49!
= 80!49!
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 35
(4) (n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)×n
(n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)×n = (n+ 3)×(n+ 2)×(n+1)× n×(n 1)!
(n 1)!
= (n+ 3)!(n 1)!
ตวอยางท 4 จงเขยนคาในแตละขอตอไปนในรปทไมมแฟกทอเรยล
(1) (n+ 3)!(n+1)!
(2) (n 1)!(n 3)!
(3) n!
(n 3)!
(4) 2
(n 1)!(n+ 2)!(n )!(n+1)!
(5) 2
(n+ 2)!(n+1)!(n!)
วธท า
(1) (n+ 3)!(n+1)!
(n+ 3)!(n+1)!
= (n+ 3)(n+ 2)(n+1)!
(n+1)!
= (n+ 3)(n+ 2)
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 36
(2) (n 1)!(n 3)!
(n 1)!(n 3)!
=
(n 1)(n 2)(n 3)!(n 3)!
= (n 1)(n 2)
(4) (n 1)!(n+ 2)!(n 2)!(n+1)!
=
(n 1)(n 2)!(n+ 2)(n+1)!(n 2)!(n+1)!
= (n 1)(n+ 2)
( 5) 2
(n+ 2)!(n+1)!(n!)
2
(n+ 2)!(n+1)!(n!)
= (n+ 2)(n+1)(n!)(n+1)(n!)
(n!)(n!)
= 2(n 2)(n 1)
ครทกคนพรอมทจะมอบสงทดทสดใหแกลก
ศษย
เพยงแคลกศษยยอมเปดใจทจะรบสงนน
แลวทกอยางจะน าพาอนาคตอนสดใสใหกบ
คณ
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 37
แบบฝกหดท 2.1
เรอง แฟกทอเรยล (factorial) n
ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช (แฟกทอเรยล (factorial) n)
1. จงหาคาของ
1.1 7! (1 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
1.2 2! + 4! (1 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
1.3 10! 7! (1 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 38
2. จงหาคาของ
2.1 8!
2!6! (2 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
2.2 9!
2!3!4! (2 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
2.3 2
8!(4!)
(3 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
3. จงเขยนใหอยในรปแฟกทอเรยล
3.1 5×4×3 (1 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 39
3.2 (n+1)(n)(n 1) (1คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
4. จงเขยนใหอยในรปไมมแฟกทอเรยล
4.1 (n+ 3)!(n+1)!
(2 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
4.2 2(n!)
(n+1)!(n 1)! (2 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
ตารางบนทกคะแนน
แบบฝกหดท 2.1
คะแนนเตม คะแนนทได
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 40
2.2 สมการแฟกทอเรยล
เมอหาคาแฟกทอเรยล เขยนจ านวนอยในรปแฟกทอเรยลและเขยนจ านวนทไมมแฟกทอ
เรยลไดแลว เราสามารถน าความรทไดไปแกสมการทอยในรปแฟกทอเรยลได
ตวอยางท 5 ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลวจงหาคา n ซงท าให n!
= 703!(n 2)!
วธท า n!
3!(n 2)! = 70
n!
(n 2)! = 70×3!
n(n 1)(n 2)!
(n 2)!
= 420
n(n 1) = 420 หรอ n(n 1) = 420
2n n = 420 หรอ n(n 1) =
21×20
2n n 420 = 0 หรอ n = 21
(n 21)(n+20) = 0
ดงนน n = 21, -20
n = 21 (n เปนจ านวนเตมบวก)
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 41
ตวอยางท 6 จงหาคา n เมอก าหนด n!
= 870(n 2)!
วธท า n!
(n 2)! = 870
n(n 1)(n 2)!
(n 2)!
= 870
n(n 1) = 870
n(n 1) = 30×29
ดงนน n = 30
ตวอยางท 7 จงหาคา n เมอก าหนด n! n!
=(n 8)!8! (n 6)!6!
วธท า n!
(n 8)!8! =
n!(n 6)!6!
(n 6)!(n 8)!
=
8!6!
(n 6)(n 7)(n 8)!
(n 8)!
=
8×7×6!6!
(n 6)(n 7) = 8 7
จะไดวา n 6 = 8
ดงนน n = 14
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 42
ตวอยางท 8 จงหาคา n เมอก าหนด n! n!
= 30 ( )(n 4)! (n 5)!5!
วธท า n!
(n 4)! =
n!30 ( )
(n 5)!5!
n!(n 5)!n!(n 4)!
=
305!
n!(n 5)!
n!(n 4)(n 5)!
=
30120
1
(n 4) =
14
4 = n 4
8 = n
ดงนน n = 8
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 43
แบบฝกหดท 2.2
เรอง สมการแฟกทอเรยล (factorial) n
ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช แฟกทอเรยล (factorial) n
1. ก าหนดให n!
(n 3)! = 720 จงหาคา n (3 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………….
2. ก าหนดให (n+1)!(n 1)!
= 420 จงหาคา n (3 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 44
3. ก าหนดให n!
(n 5)!5! =
n!(n 3)!3!
จงหาคา n (3 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
4. ก าหนดใหn!
(n 10)!10! =
n!(n 8)!8!
จงหาคา n (3 คะแนน)
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
ตารางบนทกคะแนน
แบบฝกหดท 5.2
คะแนนเตม คะแนนทได
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 45
เฉลยแบบฝกหดท 2.1
เรอง แฟกทอเรยล (factorial) n
ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช (แฟกทอเรยล (factorial) n)
1. จงหาคาของ
1.1 7! (1 คะแนน)
วธท า 7! = 7×6×5×4×3×2×1
= 5,040
1.2 2! + 4! (1 คะแนน)
วธท า 2! + 4! = (2×1) + (4×3×2×1)
= 2 + 24
= 26
1.3 10! 7! (1 คะแนน)
วธท า 10! 7! = (10×9×8×7×6×5×4×3×2×1) (7×6×5×4×3×2×1)
= 3,628,800 5,040
= 3,623,760
1 คะแนน
1 คะแนน
1 คะแนน
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 104
2. จงหาคาของ
2.1 8!
2!6! (2 คะแนน)
วธท า 8!
2!6! =
8×7×6!2×1×6!
1 คะแนน
= 28 1 คะแนน
2.2 9!
2!3!4! (2 คะแนน)
วธท า 9!
2!3!4! =
9×8×7×6×5×4!2×1×3×2×1×4!
1 คะแนน
= 9×8×7×6×52×1×3×2×1
= 1,260
2.3 2
8!(4!)
(3 คะแนน)
วธท า 2
8!(4!)
= 8!
4!4! 1 คะแนน
= 8×7×6×5×4!4 ×3×2×1×4!
1 คะแนน
= 8×7×6×54 ×3× 2×1
= 70
1 คะแนน
1 คะแนน
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 105
3. จงเขยนใหอยในรปแฟกทอเรยล
3.1 5×4×3 (1 คะแนน)
วธท า 5×4×3 = 5× 4 ×3× 2!
2!
= 5!2!
3.2 (n+1)(n)(n 1) (1คะแนน)
วธท า (n+1)(n)(n 1) = (n+1)(n)(n 1)(n 2)!
(n 2)!
= (n+1)!(n 2)!
4. จงเขยนใหอยในรปไมมแฟกทอเรยล
4.1 (n+ 3)!(n+1)!
(2 คะแนน)
วธท า (n+ 3)!(n+1)!
= (n+ 3)(n+ 2)(n+1)!
(n+1)! 1 คะแนน
= (n+ 3)(n+ 2) 1 คะแนน
4.2 2(n!)
(n+1)!(n 1)! (2 คะแนน)
วธท า 2(n!)
(n+1)!(n 1)! =
n!n!(n+1)n!(n 1)!
1 คะแนน
= n!n(n 1)!
(n+1)n!(n 1)!
= n
(n+1)
1 คะแนน
1 คะแนน
1 คะแนน
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 106
เฉลยแบบฝกหดท 2.2
เรอง สมการแฟกทอเรยล (factorial) n
ค าสง ใหนกเรยนแสดงวธการหาค าตอบโดยใช แฟกทอเรยล (factorial) n
1. ก าหนดให n!
(n 3)! = 720 จงหาคา n (3 คะแนน)
วธท า n!
(n 3)! = 720
1 2n(n )(n )(n 3)!
(n 3)!
= 720 1 คะแนน
1 2n(n )(n ) = 720
1 2n(n )(n ) = 10×9×8
ดงนน n = 10 1 คะแนน
2. ก าหนดให (n+1)!(n 1)!
= 420 จงหาคา n (3 คะแนน)
วธท า (n+1)!(n 1)!
= 420
(n+1)n(n 1)!
(n 1)!
= 420 1 คะแนน
(n+1)n = 21×20 1 คะแนน
ดงนน n = 20 1 คะแนน
1 คะแนน
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 107
3. ก าหนดให n!
(n 5)!5! =
n!(n 3)!3!
จงหาคา n (3 คะแนน)
วธท า n!
(n 5)!5! =
n!(n 3)!3!
n!(n 3)!(n 5)!n!
=
5!3!
1 คะแนน
(n 3)(n 4)(n 5)!
(n 5)!
= 5×4
ดงนน (n 3)(n 4) = 5×4
n 3 = 5
n = 8
4. ก าหนดใหn!
(n 10)!10! =
n!(n 8)!8!
จงหาคา n (3 คะแนน)
วธท า n!
(n 10)!10! =
n!(n 8)!8!
(n 8)!(n 10)!
=
10!8!
1 คะแนน
(n 8)(n 9) = 10×9 1 คะแนน
n 8 = 10
ดงนน n = 18
1 คะแนน
1 คะแนน
1 คะแนน
เอกสารประกอบการเรยน เรอง วธเรยงสบเปลยนและวธจดหม 108
