การวเคราะหโครงขายวงจรอนดบ 1

1st Order Circuit

ปยดนย ภาชนะพรรณ

สมการอนพนธอนดบ 1 (1st Order Equation)สมการอนพนธทวไป มรปแบบเปน

สมการอนดบ 1 คอ กรณ n = 1 จะไดรปแบบเปน

ผลลพธของสมการ เรยกวา ผลตอบสนอง (Response)

1

0 1 11( ) ( ) ( )... ( ) ( )

−

−−+ + + + =n n

n nn nd f t d f t df ta a a a f t g t

dt dt dt

0 1( ) ( ) ( )+ =df ta a f t g t

dt

คอ ตวแปร (กระแส, แรงดน)คอ เวลาคอ อนพต (แหลงจาย)

( )f tt( )g t

วงจรอนพนธอนดบ 1 (1st Order Circuit)

วงจรใดๆ ทประกอบดวย

• อปกรณเกบสะสมพลงงาน 1 ตว (L หรอ C)

• แหลงจาย (source)

• ความตานทาน

**แรงดนและกระแสในวงจรเขยนในรปสมการอนพนธอนดบ 1 ได

A First Order RC Circuit

R+-

Cvs(t)+

-vc(t)

+ -vr(t)

• Capacitor 1 ตว และ Resistor 1 ตว• Source และ Resister อาจไดจากการยบรวมจาก Source และ Resister

หลายๆตว

A First Order RC Circuit

KVL : R+

-Cvs(t)

+

-vc(t)

+ -vr(t)( ) ( ) ( )+ =r c sv t v t v t

( ) ( ) ( )+ =R c sRi t v t v t

จาก ( ) ( )= = cR c

dvi t i t Cdt

Differential Equation( ) ( )+ =c

c sdvRC v t v tdt

รปแบบสมการเปน 1st Order Equation

A First Order RL Circuit

v(t)is(t) R L

+

-

• Inductor 1 ตว และ Resistor 1 ตว• Source และ Resister อาจไดจากการยบรวมจาก Source และ Resister

หลายๆตว

A First Order RL Circuit

v(t)is(t) R L

+

-

KCL : ( ) ( ) ( )+ =r L si t i t i t

( ) ( ) ( )+ =RL s

v t i t i tR

( ) ( )= = LR L

div t v t Ldt

จาก

Differential Equation( ) ( )+ =L

L sdiL i t i t

R dt

รปแบบสมการเปน 1st Order Equation

ผลตอบทไมมอนพต (Zero Input Response)วงจร RC

ทเวลา t < 0 C ถกอดประจดวยตนแรงดน V0 จนมแรงดนเปน V0

t = 0 สวตช k1 เปดสวตช k2 ปด

เมอเวลา วงจรจะมลกษณะเปน0≥t

พลงงานไฟฟาทสะสมใน Cจะสญหายไปในรปความรอนของตวตานทาน

2

( )2

Cv

2( )Ri

0≥t ( ) ( )=C Rv t v tKVL :

KCL : ( ) ( ) 0+ =c Ri t i t

0+ =c cdv vCdt R

=−c

c

dv dtv RC

อนทเกรตสมการทง 2 ขาง (เวลา 0 t) จะไดสมการเปน

1ln =− +cv t KRC

เมอ ln คอ Natural Logarithm (ลอกกะรธมธรรมชาต) เปนคาลอกกะรธมของฐาน e = 2.71828

คาคงท K เขยนใหมเปน ln=K k

ln ln ln−= +tRC

cv e k

ln ln( )−=tRC

cv ke

จะได 0= s tcv ke

โดยท 01=−s

RCผลตอบของวงจร (Response)

โดย เปนผลตอบทวไป (General Solution)0= s tcv ke

ถา k หาได ผลตอบเปน เปนผลตอบเอกเทศ (Particular Solution)

เมอ t = 0 0(0)=cv V

0 (0)(0)= =scv ke k

จะได 0=k V

0( ) −=tRC

cv t V e เมอ 0≥t

พลอตกราฟ ไดเปน( )cv t

วงจรไมม input ผลตอบเกดจากแรงดนแรกเรมของ Cเรยก Zero Input Response (ผลตอบทไมมอนพต)

หาคากระแสและแรงดนในแตละกง ไดเปน

0( ) −= = −t

c RCc

dv Vi t c edt R

0≥t

0( ) ( ) −= − =tRC

R cVi t i t eR

0≥t

0( ) ( ) −= =tRC

R cv t v t V e 0≥t

โดย ( ), ( ), ( )c R Ri t i t v t มลกษณะกราฟเปน

อตราการลดลงของกระแสจะขนกบคา RC RC มาก อตราการลดลงนอยRC นอย อตราการลดลงมาก

R คงท C คงท

คาคงทเวลา (Time Constant)

กราฟเอกโพเนเชยล ถกกาหนดลกษณะสมบตไดดวย- ตาแหนงออดเนทของกราฟทเวลาอางอง (เชน t = 0)- คาคงทเวลา (Time Constant)

จาก 0( ) −=tRCv t V e

แทน T = RC

0

( ) −=tTv t e

V

• ใชชวงเวลาทฟงกชนเอกโพเนเชยลลดลงถง 37 % (t = T) เปนมาตรฐานในการเปรยบเทยบกราฟ

• การวดภาวะชวครความละเอยดอยท 2 % จงมกถอวาภาวะชวครจะหายไปเมอเวลา t = 4T

ตวอยาง วงจร RC ซงมผลตอบทวไปเปน

0−= t

RCv V e

กรณ 1 100 = ΩR 100 =C pF 1 0.01 secµ=T

กรณ 2 1000 M= ΩR 1 µ=C F 2 1000 sec=T

จะได T2 > T1

อตราการลดลงของ v ในกรณท 2 จะนอยกวา กรณท 1

01 1 = − = −sT RC

จากท

ความถ และ วดเปน เรเดยน/วนาทมหนวยเปน สวนกลบเวลา0s

เรยกวา ความถธรรมชาต (Natural Frequency) ของวงจร0s

วงจร RL

ทเวลา t < 0 L ถกเหนยวนาดวยกระแส I0 จนมกระแสเปน I0

t = 0 สวตช k1 สบไปท Cสวตช k2 ปด

เมอเวลา วงจรจะมลกษณะเปน0≥t

พลงงานไฟฟาทสะสมใน Lจะสญหายไปในรปความรอนของตวตานทาน

2

( )2

Li

2( )Ri

KVL : ( ) ( )=L Rv t v t0≥t

KCL : ( ) ( ) 0+ =L Ri t i t

0+ =LL

diL Ridt

=−L

L

di R dti L

( )−

=RtL

Li t keจะได , 0≥t

จากท t = 0 0(0)=Li I

0( )−

=RtL

Li t I e

KVL : ( ) ( )=L Rv t v t

KCL : ( ) ( ) 0+ =L Ri t i t

จะได ( ) ( )=−L Lv t Ri t

0( )−

=−RtL

Lv t RI e

ผลตอบแหงสถานะศนย (Zero State Response)

ผลตอบของวงจรอนเนองจากตนกาเนดอสระ (input) โดยไมมภาวะเรมตน(ภาวะเรมตนเปน 0)

t < 0 : ตนกระแสถกลดวงจรt = 0 : สวตช k เปดออก ตนกระแสตอเขาวงจร R // C

แรงดนครอมชนสวนทง 3 จะเทากน

( ) ( ) ( ) + = =Sdv t v tC i t I

dt RKVL : ( 0)≥t

เมอ t = 0 ตว C ยงไมไดรบการอดประจ ภาวะเรมตน คอ(0) 0=v

แรงดนครอม C เทากบ 0 กระแสใน R ตองเทากบ 0∴ กระแสทงหมดจะไหลเขาท C ท 0≥t

แรงดน v มอตราการเพมเปน

0= +

=t

dv Idt C

0=dvdtเมอ C ถกอดประจจนเตม แรงดนจะคงท

กระแสทงหมดจากตนกระแสจะไหลผาน R และตว C จะเปนเสมอนเปดวงจร

คาสดทายดงนน =v RI

กราฟแรงดน v แสดงไดเปน

วเคราะหการเปลยนแปลงคาแรงดน

( ) ( ) ( ) + = =Sdv t v tC i t I

dt Rจาก : ( 0)≥t

พบวาเปนสมการอนพนธแบบ nonhomogeneous ( ( ) 0)≠g t

ผลตอบของสมการสามารถเขยนไดในรปของ= +h pv v v

hv Complementary Functionผลตอบของสมการอนพนธแบบ homogeneous ( ( ) 0)=g t

pv Paricular Integralผลตอบของสมการอนพนธจะขนกบ input ( ( ) 0)≠g t

จากหา hv

( ) ( ) 0+ =dv t v tCdt R

01 0

1, = =−s thv K e s

RCจะได

หา จากpv

( ) ( )+ =dv t v tC Idt R

หา จากวธ D - Operationpv

=pv IR

ผลตอบทวไปของสมการเปน

1( ) , 0−

= + ≥t

RCv t K e RI t

พบวาท t = 0 (0) 0=v0

1 10 = + = +K e RI K RI

1 =−K RI

จะไดสมการแรงดนเปน

( ) (1 ) , 0−

= − ≥t

RCv t RI e t

พลอตกราฟแรงดน v(t) ไดเปน

วเคราะหวงจรเดม แตเปลยน input เปนสญญาณซายด (Sinusoidal Signal)

1 1( ) cos( )ω φ= +Si t A t

เมอ คอ Amplitude1A

คอ ความถเชงมม [Rad/s]ω

คอ มมเฟสφ

เนองจากวงจรเหมอนเดม เปลยนแค input เหมอนเดมhv

01 0

1, = =−s thv K e s

RC

หา (particular integral)pv

pv มคาขนอยกบ inputเมอ input เปนสญญาณซายด เปนสญญาณซายดทมความถเดยวกนpv

2 2( ) cos( )ω φ= +Pv t A t

หาคา และ 2A 2φ

1 1

( ) ( )cos( )ω φ+ = +p pdv t v t

C A tdt R

จะได

2 2 2 2 1 11sin( ) cos( ) cos( )ω ω φ ω φ ω φ− + + + = +CA t A t A tR

จากหลกการทางตรโกณมตcos( ) sin( ) cos( )ω φ ω φ ω φ δ+ + + = + −A t B t C t

โดยท 2 2= +C A B1tanδ −= B

A

แทนคาแลว จะได

( )1

22 21( )ω

=+

AAC

R

1tanδ ω−=− CR

จาก 2 1φ δ φ− =

2 1φ φ δ= +

12 1 tanφ φ ω−= − CR

ผลตอบของวงจรเปน

1 2 2( ) cos( )ω φ−

= + +t

RCv t K e A t

เมอ t = 0 (0) 0=v

1 2 2cosφ= +K A

1 2 2 cosφ∴ =−K A

สมการแรงดนในฟงกชนเวลา เปน

2 2 2 2( ) cos cos( )φ ω φ−

=− + +t

RCv t A e A t ( 0)≥t

พลอตกราฟ v(t) ไดเปน

เปนผลตอบแหงสถานะศนย (Zero State Response) ของ input 1 1cos( )ω φ+A t

- วงจรจะอยในสถานะศนย (Zero State) กตอเมอ ภาวะแรกเรมทงหมดในวงจรเปน ศนย

- ผลตอบของวงจรซงเรมจากสถานะศนย จะขนกบ input

ผลตอบแหงสภาวะศนย (Zero State Response)คอ ผลตอบของวงจรตอ input ทใสใหกบวงจรทเวลาหนงเวลาใด (t0)

โดย สภาวะของวงจรตองอยในภาวะศนย กอนทจะมการใส input เขาในวงจร

input และ zero state response จะมคาเปน 0 ท t < t0∴

ผลตอบสมบรณ (Complete Response)

•ผลตอบของวงจรตอทง input และ ภาวะเรมแรก (initial condition)•ผลรมของผลตอบทไมม input กบ ผลตอบแหงสถานะศนย

Complete Response = Zero Input Response + Zero State Response

เมอ t < 0 : สวตชอยตาแหนง A ตนกระแสถกลดวงจรมแรงดนครอม C = V0 0(0) 0= ≠v V

เมอ t = 0 : สวตชอยตาแหนง B ตนกระแส is(t) ตอเขากบวงจร

ผลตอบสมบรณของวงจร คอ รปคลน v(t) ซงเกดจาก- input is(t)- ภาวะแรกเรม V0

( )+ = sdvC Gv i tdt

(a)( 0)≥tKCL :(b)0(0)=v V (แรงดนแรกเรมครอม C)

ให vi เปน Zero Input Response0+ =i

idvC Gvdt

(1)( 0)≥t

(2)0(0)=iv V

ให vo เปน Zero State Response0

0 ( )+ = sdvC Gv i tdt

(3)( 0)≥t

(4)(0) 0=ov

รวมสมการ (1) ถง (4)0

0( ) ( ) ( )+ + + =i

i sd v vC G v v i t

dt( 0)≥t

0(0) (0)+ =i ov v V

รปคลน vi(t) +vo(t) เปนไปตามสมการอนพนธและภาวะเรมตนตามสมการ(a) และ (b)

∴ ผลตอบสมบรณ v(t) กาหนดโดย

Complete Zero ZeroResponse Input State

Response Response

( ) ( ) ( )= +i ov t v t v t

ตวอยาง กาหนดใหแหลงจายกระแสปอนเขาวงจรท t =0 โดย is(t) = I

ผลตอบสมบรณ (Complete Response) เขยนไดเปน( ) ( ) ( )= +i ov t v t v t

จะได0( )

−=

tRC

iv t V e

( ) (1 )−

= −t

RCov t RI e

( 0)≥t

( 0)≥t

ผลตอบสมบรณ (Complete Response) เปน

0Complete Zero ZeroResponse State Input

ResponseResponse

( ) (1 )− −

= + −t t

RC RCv t V e RI e ( 0)≥t

พลอตกราฟ v(t) ไดเปน

เขยนผลตอบสมบรณใหอยในรปอน ไดเปน

0Steady StateTransient

( ) ( )−

= + +t

RCv t V RI e RI ( 0)≥t

สภาวะชวคร (Transient) มาจาก Zero Input Response และ Zero State Responseเกดจาก - ภาวะเรมแรกในวงจร

- การให input ทนททนใด

สภาวะคงตว (Steady State) มาจาก Zero State Response อยางเดยว- เปนผลของ input อยางเดยว- รปคลนสมพนธกบ input (input เปน sine steady state เปน sine)

Circuit With many Time Constant

เปนวงจรประกอบดวยสวตชหลายตว

กาหนด - C,R เปนเชงเสนและไมขนกบเวลา- ในตอนแรก C ไมไดถกอดประจ

เมอ t < 0 สวตช k1 ปด และ k2 เปด

เมอ t = 0 สวตช k1 ปด ตนกระแสคงท ตอเขากบวงจรขนาน RC

เมอ วงจรจะกลายเปน 0t ≥

ตว C จะถกอดประจเรอย ดวยคาคงทเวลา

1 1T R C=

11( ) (1 )

tTv t IR e

−

= − ( 0)t ≥

ให เวลา t = T1 สวตช k2 ปด ไดวงจรเปน

แบงปญหาเปนสองชวง คอ เวลา 0, T1 และ T1, ∞

ชวงแรก 0, T1 เนองจาก v(0) = 0 หา zero state response ไดเปน

( 0)t <

11

0( )

(1 )t

Tv t

IR e−=

− 1(0 )t T≤ ≤

ท t = T1

1 11( ) (1 )v T R Ie

= −

1 , T ∞ซงเปนภาวะเรมแรก ของสวนท 2เมอ t > T1 : สวตช k2 ปด รวมวงจร C, R1, R2 จะได

1 22

1 2

R RT CR R

=+

คาคงทเวลา

คา Input I

ผลตอบสมบรณของสวนท 2 หาจาก1 2

1 2

( ) ( ) ( )sdv t R RC v t i t I

dt R R+

+ = = 1( )t T≥

แกสมการ โดยอนทเกรท ตงแตเวลา T1 ถง t1

2

( )

1

t TT

hv K e−

−

=จะได1 2

1 2p

R Rv IR R

=+

ไดผลตอบสมบรณเปน1

2

( )1 2

11 2

( )t TT R Rv t K e I

R R

−−

= ++ 1( )t T≥

1 11( ) (1 )v T R Ie

= −ท t = T1

1 1

2

( )1 2

11 2

T TT R RK e I

R R

−−

= ++

จะได 1 21 1

1 2

1(1 ) R RK R I Ie R R

= − −+

1

2

( )1 2 1 2

11 2 1 2

1( ) [ (1 ) ]t TTR R R Rv t R I I e I

e R R R R

−−

= − − ++ +

ผลตอบสมบรณ (Complete Response)

1( )t T≥

1 1

2 2

( ) ( )1 2

11 2

1( ) (1 ) (1 )t T t TT TR Rv t R I e I e

e R R

− −− −

= − + −+

1( )t T≥

พลอตกราฟ v(t) ไดเปน