บทที่ 1 ความรู พื้นฐาน (Preliminaries) · 1.1 เซตและฟ งก ช ัน3 1.1 เซตและฟ งก ช ัน(Sets and Functions)

บทที ่1 ความรูพ้ืนฐาน

(Preliminaries)

การทบทวนความรูพื้นฐานสําหรับการศึกษาวิเคราะหจํานวนจริง ประกอบดวย การดําเนินการของเซตและฟงกชัน อุปนัยเชิงคณิตศาสตร เซตจํากัดและเซตอนันต เรื่องราวของเซตและฟงกชันการทบทวนจะใชเทาที่เพียงพอในการดําเนินการดวยเซตและฟงกชันในเนื้อหาของการวิเคราะหจํานวนจริงเทานั้น สําหรับอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะใชเกี่ยวของกับสมบัตหิลักมูลของระบบจํานวนธรรมชาต ิ สวนหัวขอสุดทาย เซตจํากัดและเซตอนันต จะอธิบายโดยการประยุกตบางเรื่องที่ใชในบทนี้ อยางไรก็ตามแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับขอความและสัญลักษณในบทนี ้ ผูเรียนควรมีประสบการณในการเขียนพิสูจน ซึ่งเปนทักษะที่จําเปนในการวิเคราะหจํานวนจริง

1.1 เซตและฟงกชัน 3

1.1 เซตและฟงกชัน (Sets and Functions) เบื้องตนจะทบทวนเกี่ยวกับสัญลักษณที่ใชในตําราเลมนี้ โดยจะกระทําการอยางยอ ๆ เทานั้น เซตใด ๆ ที่กลาวถึงตอไปจะกําหนดให U เปนเอกภพสัมพัทธ - ถาสมาชิก x อยูในเซต A จะเขียน x ∈ A และจะกลาววา x เปนสมาชิกของ A หรือ x อยูใน A - ถา x ไมอยูใน A จะเขียน x ∉ A - เซตท่ีไมมีสมาชิก เรียกวา เซตวาง (empty set) เขียนแทนดวย φ หรือ { } - ถาทุกสมาชิกของเซต A อยูใน B จะกลาววา A เปนเซตยอยของ B เขียนแทนดวย A ⊆ B หรือ B ⊇ A จะกลาววา A เปนเซตยอยแทของ B ถา A ⊆ B และมีสมาชิกอยางนอยท่ีสุดหนึ่งตัวของ B ไมอยูใน A ในกรณีนี้บางครั้ง จะเขียน A ⊂ B จากการเปนเซตยอยของ A และ B อาจมีกรณีท่ีเปนไปไดวา เซตทั้งสองจะเปนเซตยอย ซึ่งกันและกัน นั่นคือ สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B และสมาชิกทุกตัวของ B เปนสมาชิกของ A จะไดเซต A และ B เปนเซตท่ีเทากัน ดังบทนิยาม 1.1.1 บทนิยาม 1.1.1 สําหรับเซต A และ B A เทากับ B ก็ตอเมื่อ A และ B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว จะเขียนแทนดวย A = B หมายเหตุ 1.1.1 จากบทนิยาม 1.1.1 อาจจะกลาววา A = B ก็ตอเม่ือ A ⊆ B และ B ⊆ A โดยปกติการเขียนเซต จะเขียนโดยการแจกแจงสมาชิกหรือโดยการบอกเง่ือนไขสมาชิก ของเซต ถา P แทนขอความเกี่ยวกับสมบัติหรือเงื่อนไขสมาชิกของเซต S ดังนั้น จะเขียน {x ∈ S | P(x) } แทน เซตของสมาชิก x ท้ังหมดใน S สําหรับสมบัติ P เปนจริง เซตของจํานวนท่ีใชในตํารานี้ จะแทนดวยสัญลักษณมาตรฐาน ดังนี ้ - เซตของจํานวนธรรมชาติ (natural numbers) ; = {1, 2, 3, …} - เซตของจํานวนเต็ม (integers) ; = {0, 1, -1, 2, -2, …} - เซตของจํานวนตรรกยะ (rational numbers) ; = {

nm | m, n ∈ , n ≠ 0}

- เซตของจํานวนอตรรกยะ (irrational numbers) ; \ - เซตของจํานวนจริง (real numbers) ( )

4 บทที่ 1 ทบทวนความรูพื้นฐาน

A

B

A B

A B

A∪B A∩B A\B

1.1.1 การดําเนินการของเซต (Set Operations) 1. ลักษณะการดําเนินการของเซต การดําเนินการของเซตเปนการกําหนดวิธีการไดมาซึ่งเซตใหมจากเซตที่กําหนดให โดยเซตเหลานี้ ไดจากการดําเนินการบนพ้ืนฐานของความหมายคําวา “ หรือ ” “ และ” “ ไม ” แตอยางไรก็ตาม ยังมีการดําเนินการท่ีอยูบนพ้ืนฐานของความหมายท่ีแตกตางจากคําดังกลาว เปนตนวา การดําเนินการแบบยูเนียน ดังบทนิยาม 1.1.2 ท่ีจะกลาวตอไป ซึ่งจะเปนสวนสําคัญของขอเท็จจริง คําวา “ หรือ” ท่ีใชในความหมาย “ รวมท้ังหมด” บางคร้ังอาจใชคําวา “ และ / หรือ” 2. การดําเนินการแบบยูเนียน อินเตอรเซกชัน และสวนเติมเต็ม เซตใหมท่ีเกิดจากการดําเนินการแบบยูเนียน อินเตอรเซกชัน และสวนเติมเต็ม จะเปนไปตามบทนิยาม 1.1.2 บทนิยาม 1.1.2 สําหรับ A และ B เปนเซตใดๆ

(1) ยูเนียน (union) ของเซต A และ B คือ A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A หรือ x ∈ B}

(2) อินเตอรเซกชัน (intersection) ของเซต A และ B คือ A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∈ B}

(3) สวนเติมเต็มของ B สัมพัทธกับ A (complement of B relative to A) คือ A\B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∉ B}

รูปท่ี 1.1.1 : ยูเนียน อินเตอรเซกชัน และสวนเติมเต็ม


เซต A และ B เรียกวา ไมมีสวนรวมกัน (disjoint) ถาท้ัง A และ B ไมมีสมาชิกรวมกัน นั่นคือ A ∩ B = φ เพ่ือแสดงวิธีพิสูจนการเทากันของเซต ตอไปจะยกตัวอยางบางกรณีโดยจะยกกรณีการสรางกฎเดอมอรแกน สําหรับเซต 3 เซต ทฤษฎีบท 1.1.1 สําหรับ A, B และ C เปนเซตใด ๆ ดังนั้น (1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) (2) A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) พิสูจน (1) จะตองแสดงวา ทุกสมาชิกใน A\(B ∪ C) อยูในท้ัง (A\B) และ(A\C) และ บทกลับเปนจริง

1.1 (⇒) ให x ∈ A\(B ∪ C) ดังนั้น x ∈ A แต x ∉ (B ∪ C) จะไดวา x ∈ A แต x ∉ B และ x ∉ C นั่นคือ x ∈ A\B และ x ∈ A\C ซึ่งแสดงวา x ∈ (A\B) ∩ (A\C)

1.2 (⇐) ให x ∈ (A\B) ∩ (A\C) ดังนั้น x ∈ (A\B) และ x ∈ (A\C) จะไดวา x ∈ A แต x ∉ B และ x ∉ C นั่นคือ x ∈ A และ x ∉ (B ∪ C) ซึ่งแสดงวา x ∈ A\(B ∪ C)

ดังนั้น จะไดวา (A\B) ∩ (A\C) และ A\(B ∪ C) มีสมาชิกเหมือนกัน เพราะฉะนั้น โดยบทนิยาม 1.1.1 จะไดวา (A\B) ∩ (A\C) = A\(B ∪ C) (2) สามารถแสดงไดในทํานองเดียวกันกับขอ 1 (ใหแสดงเปนแบบฝกหัด)

# บางครั้งมีความตองการใชยูเนียนและอินเตอรเซกชันของเซตมากกวา 2 เซต พิจารณาไดดังนี้ สําหรับเซตจํากัด {A1, A2, … , An} โดยท่ี Ak เปนเซตใด ๆ สําหรับ 1 ≤ k ≤ n ยูเนียนของเซต Ak ทุก k จะประกอบดวยสมาชิกทั้งหมดซึ่งอยูในอยางนอยท่ีสุดหนึ่งเซต Ak และอินเตอรเซกชันจะประกอบดวยสมาชิกทั้งหมดซึ่งอยูในทุกเซต Ak เขียนแทนดวย

Un

1kkA

=

= {x | x ∈ Ak บาง k ซึ่ง 1 ≤ k ≤ n}

In

1kkA

=

= {x | x ∈ Ak ทุก k ซึ่ง 1 ≤ k ≤ n}


อยางไรก็ตาม สามารถขยายไปเซตอนันต {A1, A2, … , An, …} โดยท่ี An เปนเซตใด ๆ ทุก n ∈ ดังตอไปนี ้ ยูเนียนของเซต An ประกอบดวยสมาชิกซึ่งอยูในอยางนอยท่ีสุดหนึ่งเซต An จะเขียนแทนดวย U

nnA = U

∞

= 1nnA = {x | x ∈ An บาง n ∈ }

ในทํานองเดียวกัน อินเตอรเซกชันของเซต An ประกอบดวยสมาชิกท้ังหมดซึ่งอยูใน ทุกเซต An จะเขียนแทนดวย =I

nnA I

∞

= 1nnA = {x | x ∈ An ทุก n ∈ }

จากการยูเนียนและอินเตอรเซกชนัขางตน เซต จะเปนเซตดัชน ี อยางไรก็ตามเซตดัชน ีดังกลาวไมจําเปนจะตองเปนเซต อาจจะเปนเซตใด ๆ กไ็ด การยูเนียนและอินเตอรเซกชนั เขียนในรูปทั่วไปไดดังนี้ สําหรับ I เปนเซตดัชนี U

IiiA

∈

= {x | x ∈ Ai บาง i ∈ I} และ =∈I

IiiA {x | x ∈ Ai ทุก i ∈ I}

ตัวอยาง 1.1.1 1. ให Ak = {n ∈ | n ≥ k} โดยท่ี k ∈ จงหา I

∞

= 1nnA และ U

∞

= 1nnA

วิธีทํา เนื่องจาก Ak = {n ∈ | n ≥ k} โดยท่ี k ∈ ดังนั้น A1 = {1, 2, 3, …} A2 = {2, 3, 4, …} A3 = {3, 4, 5, …} .……………………. นั่นคือ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ A4 …. เพราะฉะนั้น I

∞

= 1nnA = φ และ U

∞

= 1nnA = A1 =

2. สําหรับแตละ n ∈ ให Bn = [0, 1 - ]21

n

จงหา U∞

= 1nnB และ I

∞

= 1nnB

วิธีทํา เนื่องจาก Bn = [0, 1 - ]21

n , n = 1, 2, 3, …

ดังนั้น B1 = [0, ]21 ; B2 = [0, ]

43 ; B3 = [0, ]

87

…………………………………………………………………. นั่นคือ B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ⊂ B4 ….


เพราะฉะนั้น U∞

= 1nnB = [0, 1) และ I

∞

= 1nnB = B1 = [0, ]

21

3. จงพิสูจนวา B \ Un

1kkA

=

= In

1kk )A\B(

=

พิสูจน จะตองแสดงวา B \ Un

1kkA

=

⊂ In

1kk )A\B(

=

และ In

1kk )A\B(

=

⊂ B \ Un

1kkA

=

3.1 จะแสดงวา B \ Un

1kkA

=

⊂ In

1kk )A\B(

=

ให x ∈ B \ Un

1kkA

=

ดังนั้น x ∈ B และ x ∉ Un

1kkA

=

จะไดวา x ∈ B และ x ∉ Ak ทุก k นั่นคือ x ∈ (B\Ak) ทุก k เพราะฉะนั้น x ∈ I

n

1kk )A\B(

=

3.2 จะแสดงวา In

1kk )A\B(

=

⊂ B\ Un

1kkA

=

สามารถแสดงไดในทํานองเดียวกันกับขอ 3.1 (ใหแสดงเปนแบบฝกหัด) #

1.1.2 ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian Products) 1. ความหมายของคูอันดับ คูอันดับเปนพ้ืนฐานกอใหเกิดผลคูณคารทีเซียน (รายละเอียดจะมีในขอ 2 ความหมายผลคูณคารทีเซียน) เม่ือตองการศกึษาผลคูณคารทีเซียนจึงจําเปนจะตองเขาใจลักษณะของคูอันดับ จากเรื่องราวของเซตสามารถนําไปกําหนดคูอันดับได ดังนี้ บทนิยาม 1.1.3 สําหรับ A และ B เปนเซตใด ๆ ซึ่ง a ∈ A และ b ∈ B คูอันดับ (ordered pair) ของ a และ b คือ เซตท่ีมีสมาชิก {a} และ {a, b} เขียนแทนดวย (a, b) = {{a}, {a, b}} จากบทนิยาม 1.1.3 สามารถแสดงไดวา (a, b) = (c, d) ก็ตอเม่ือ a = c และ b = d ดังทฤษฎีบท 1.1.2 ทฤษฎีบท 1.1.2 ให X = {{a}, {a, b}} และ Y = {{c}, {c, d}} ดังนั้น X = Y ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d


พิสูจน (⇐ ) ถา a = c และ b = d ดังนั้น X = Y ( ⇒) ถา X = Y จะไดวา {c} ∈ X ดังนั้น {c} = {a} หรือ {c} = {a, b}

เนื่องจาก {a} และ {a, b} มี a เปนสมาชิก ดังนั้น {c} มี a เปนสมาชิก จะไดวา a = c ในทํานองเดียวกัน สําหรับ d ∈ {c, d} และ d เปนสมาชิก ตัวหนึ่งของ X ดังนั้น d = a หรือ d = b จะไดวา d = c หรือ d = b เมื่อ a = c จะนําไปสู b = d

# 2. ความหมายผลคูณคารทีเซียน สําหรับเซต A และ B ใดๆ ซึ่งไมเปนเซตวาง โดยเซตท้ังสองอาจจะเปนเซต ท่ีเทากัน หรือไมเทากันก็ได สามารถจับคูสมาชิกจากเซต A ไปเซต B หรือ จากเซต B ไปเซต A การจับคูดังกลาวเขียนแทนดวยคูอันดับ ซึ่งเซตของคูอันดับท้ังหมดจาก A ไป B จะเรียกชื่อดังบทนิยาม 1.1.4 บทนิยาม 1.1.4 สําหรับเซต A และ B ไมเปนเซตวาง ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian Product) ของ A และ B คือ เซตของคูอันดับท้ังหมด (a, b) ซึ่ง a ∈ A และ b ∈ B เขียนแทนดวย A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} ตัวอยาง 1.1.2 ถา A = {1, 2, 3} และ B = {1, 5} ดังนั้น A × B = {(1, 1), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (3, 1), (3, 5)}

# จากตัวอยาง 1.1.2 จะเห็นวา เซต A × B เปนเซตของสมาชิก 6 จุดในระนาบดวยพิกัด ท่ีแนนอน จะเขียนแผนภาพ A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} ดังรูปท่ี 1.1.2

b • (a, b)

A × B B

a A รูปท่ี 1.1.2 : A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}


ตัวอยาง 1.1.3 สําหรับ A = {x ∈ | 1 ≤ x ≤ 2} และ B = {y ∈ | 0 ≤ y ≤ 1 หรือ 2 ≤ y ≤ 3} ดังนั้น A × B จะแทนดวยรูปสี่เหลี่ยมผืนผา 2 รูป ดังรูปที่ 1.1.3

รูปที่ 1.1.3 : A × B 3. ความสัมพันธระหวางผลคูณคารทีเซียนกับฟงกชัน ตอไปจะนําผลคูณคารทีเซียนไปอธิบายการเกิดขึ้นของฟงกชัน จากนิยามของ ผลคูณคารทีเซียน จะเห็นวา ผลคูณคารทีเซียนเปนเซต ดังนั้น สามารถสรางเซตยอยได ซึ่งเซตยอยของผลคูณคารทีเซียน A × B จะเรียกวา ความสัมพันธจาก A ไป B ดังตัวอยาง 1.1.4 ตัวอยาง 1.1.4 ให A = {1, 2, 3}, B = {a, b} จงหา ความสัมพันธจาก A ไป B มา 4 ความสัมพันธ วิธีทํา เนื่องจาก A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} จะเห็นวา จํานวนสมาชิก A × B มี 6 คูอันดับ จะไดเซตยอยของ A × B ท้ังหมด 26 = 64 เซต ดังนั้น มีความสัมพันธจาก A ไป B ท้ังหมด 64 ความสัมพันธ จะได ตัวอยาง 4 ความสัมพันธจาก A ไป B r1 = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a)} r2 = {(1, a), (2, a), (3, a)} r3 = {(1, a), (2, b), (3, b)} r4 = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)}

#

B 3-

2-

1-

0 1 2 A

A × B


จากตัวอยาง 1.1.4 เขียนแผนภาพความสัมพันธ r1, r2, r3 และ r4 ดังรูปท่ี 1.1.4

รูปที่ 1.1.4 : การจับคูสมาชิกของ r1, r2, r3 และ r4

จากรูปท่ี 1.1.4 พิจารณาการจับคูสมาชิกของ A และ B ดังนี ้ 1. ความสัมพันธท่ีมีสมาชิกของ A อยางนอยหนึ่งตัว จับคูใน B มากกวา 1 ตัว ไดแก r1 และ r4 2. ความสัมพันธท่ีแตละสมาชิกของ A จับคูใน B เพียงตัวเดียวเทานั้น ไดแก r2 และ r3 ความสัมพันธลักษณะ ขอ 2 ดังกลาวขางตน จะเรียกวา ฟงกชันจาก A ไป B

1.1.3 ฟงกชัน (Functions) นักคณิตศาสตรตนศตวรรษท่ี 19 ไดอธิบายคําวา “ ฟงกชัน” หมายถึง การกําหนดสูตร เชน f(x) = x2 + 3x – 5 จะเกี่ยวเนื่องกับแตละจํานวนจริง x และจํานวน f(x) (ในท่ีนี้ f(0) = -5, f(1) = -1, f(5) = 35 ) จากนั้นก็พัฒนากลายเปนรูปแบบนิยามในรูปท่ัวไปของฟงกชัน โดยใชประโยชนเปนท่ีปรากฏชัดถึงความสําคัญของฟงกชัน ดังนั้น เพ่ือใหชัดเจนเม่ือกลาวถึงฟงกชันและคาของฟงกชันจึงกําหนดความหมายของฟงกชันที่ควรจะเปนดังนี้

1 2 3

a

b

r1

1 2 3

a b

r2

1 2 3

a b

r3

1 2 3

a

b

r4

A B A B

A B A B


“ ฟงกชัน f จากเซต A ไปเซต B คือ กฎของการสมนัยกัน ซึ่งแตละสมาชิก x ใน A จะมีสมาชิก f(x) เพียงตัวเดียวใน B ” อยางไรก็ตาม มีขอแนะนําเกี่ยวกับการปรับปรุงนิยามดังกลาวขางตนท่ีควรจะเปนเพราะวา มีความยุงยากในการเขาใจคําวา “ กฎของการสมนัยกัน ” เพ่ือใหงายย่ิงขึ้น จึงกําหนดนิยามของฟงกชันในเทอมของเซต ดังบทนิยาม 1.1.5 1. ความหมายของฟงกชัน ลักษณะของความสัมพันธจาก A ไป B ในตัวอยาง 1.1.4 ความสัมพันธ r2 และ r3 ซึ่งเปนฟงกชันจาก A ไป B อธิบายในรูปทั่วไปได ดังบทนิยาม 1.1.5 บทนิยาม 1.1.5 สําหรับเซต A และ B ไมเปนเซตวาง ฟงกชัน f จาก A ไป B (function from A into B) คือ เซตของคูอันดับใน A × B ซึ่งแตละ a ∈ A จะมี b ∈ B เพียงตัวเดียวเทานั้น โดยที่ (a, b) ∈ f หมายเหตุ 1.1.2 จากบทนิยาม 1.1.5 อาจกลาววา

“ ถา (a, b) ∈ f และ (a , b′) ∈ f แลว b = b′ ”

เซต A ซึ่งเปนเซตของสมาชิกตัวท่ีหนึ่งของคูอันดับ ในฟงกชัน f จะเรียกวา โดเมน (domain) ของ f เขียนแทนดวย D(f) เซตของสมาชิกตัวท่ีสองของคูอันดับใน f จะเรียกวา เรนจ (range) ของ f เขียนแทนดวย R(f)

D(f) = A แต R(f) ⊆ B ดังรูปท่ี 1.1.5

รูปที่ 1.1.5 : ฟงกชันเหมือนกราฟ

(a, b) b

a

B R(f)

A = D(f)

12 บทที่ 1 ความรูพื้นฐาน

เง่ือนไขสําคัญของฟงกชัน สําหรับ (a, b) ∈ f และ (a, b′) ∈ f จะได b = b′ บางคร้ังเรียกวา การทดสอบเสนในแนวยืน (vertical line test) ในเทอมของเรขาคณิตจะกลาววา “ ทุกเสนใน แนวยืน x = a ซึ่ง a ∈ A จะตัดกับกราฟของ f เพียงจุดเดียวเทานั้น ” สัญลักษณ f : A → B ท่ีจะใชเปนตัวชี้วา f เปนฟงกชันจาก A ไป B จะกลาวในลักษณะเหมือนกับวา f เปนการสงจาก A ไป B หรือ f สง (maps) A ไป B ถา (a, b) ∈ f จะเขียน b = f(a) หรือ a a b และ อาจจะกลาววา b เปนคาของ f ท่ี a หรือ b เปนภาพ (image) ของ a ภายใต f ฟงกชันเหมือนกับการแปลงและเครื่องจักร (Transformation and Machines) จากการใชกราฟ สามารถนึกภาพของฟงกชันเหมือนการแปลงจากเซต D(f) = A ไปเซต R(f) ⊆ B ในที่นี้อาจกลาววา เมื่อ (a, b) ∈ f จะเปนการสงสมาชิก a ใน A ไปสมาชิก b = f(a) ใน R(f) ⊆ B เขียนแผนภาพดังรูปท่ี 1.1.6 แมวา A และ B ไมเปนเซตยอยของ ระนาบ

รูปท่ี 1.1.6 : ฟงกชันเหมือนกับการแปลง

นอกจากนี้ยังสามารถนึกภาพฟงกชันเหมือนกับเครื่องจักร โดยยอมรับสมาชิกของ D(f) = A เหมือนตัวปอนวัตถุดิบ (input) และกระบวนการสมนัยสมาชิกของ R(f) ⊆ B เหมือนผลผลิต (output) ถาเอาสมาชิก x ∈ D(f) ใสเขาไปยัง f แลวผลลัพธจะได f(x)

f

A

b = f(a)

R(f)

B

a ⋅ ⋅


ถาเปนสมาชกิ y ∈ D(f) ซึ่ง y ≠ x ใสเขาไปยัง f แลวผลลัพธจะเปน f(y) ซึ่งแตกตางหรือไมแตกตางจาก f(x) ก็ได ถาพยายามท่ีจะใสบางสิ่งบางอยางซึ่งไมอยูใน D(f) เขาไปใน f จะพบวา มันจะไมยอมรับ สําหรับ f สามารถปฏิบัติการไดเฉพาะกับสมาชกิของ D(f) ดังรูปท่ี 1.1.7

รูปท่ี 1.1.7 : ฟงกชันเหมือนเครื่องจักร

2. การเกิดภาพของฟงกชัน การสงแตละสมาชิกของโดเมนไปยังเรนจของฟงกชัน อุปมาอุปไมยคลายกับการสะทอนภาพของวัตถ ุ สามารถอธิบายการเกิดภาพดังบทนิยาม 1.1.6 บทนิยาม 1.1.6 สําหรับ E ⊆ A และ H ⊆ B ซึ่ง f : A → B เปนฟงกชันท่ีมี D(f) = A

และ R(f) ⊆ B (1) ภาพตรง (direct image) ของ E ภายใต f คือ เซตยอย f(E) ของ B

โดยท่ี f(E) = {f(x) | x ∈ E} (2) ภาพผกผัน (inverse image) ของ H ภายใต f คือ เซตยอย f -1(H) ของ A โดยท่ี f -1(H) = {x ∈A | f(x) ∈ H}

จากบทนิยาม 1.1.6 อาจกลาววา สําหรับ E ⊆ A จะไดวา y1 ∈ B อยูในภาพตรง f(E) ก็ตอเมื่อ มีอยางนอยท่ีสุดหนึ่งตัว x1 ∈ E โดยท่ี y1 = f(x1) ในทํานองเดียวกัน สําหรับ H ⊆ B จะไดวา x2 อยูในภาพผกผัน f -1(H) ก็ตอเมื่อ y2 = f(x2) อยูใน H ดังรูปท่ี 1.1.8

f(x) ผลผลิต

x ตัวปอนวัตถุดิบ

f

f


B f(E)

รูปท่ี 1.1.8 : ภาพตรงและภาพผกผัน

ตัวอยาง 1.1.5 1. ให f : → กําหนดโดย f(x) = x2 จงหา ภาพตรงของ E = {x | 0 ≤ x ≤ 2} และภาพผกผันของ G = {y | 0 ≤ y ≤ 4} วิธีทํา จาก f(x) = x2

ดังนั้น ภาพตรงของเซต E = {x | 0 ≤ x ≤ 2} คือ เซต f(E) = {y | 0 ≤ y ≤ 4} ถา G = {y | 0 ≤ y ≤ 4} ดังนั้น ภาพผกผันของ G คือ เซต f -1(G) = {x | -2 ≤ x ≤ 2}

2. ให f : A → B และ G ⊆ B, H ⊆ B จงแสดงวา f -1(G ∩ H) = f -1(G) ∩ f -1(H) วิธีทํา จะตองแสดงวา f -1(G ∩ H) ⊆ f -1(G) ∩ f -1(H) และ f -1(G) ∩ f -1(H) ⊆ f -1(G ∩ H)

2.1 จะแสดงวา f -1(G ∩ H) ⊆ f -1(G) ∩ f -1(H) สําหรับ x ∈ f -1(G ∩ H) แลว f(x) ∈ G ∩ H

ดังนั้น f(x) ∈ G และ f(x) ∈ H จะไดวา x ∈ f -1(G) และ x ∈ f -1(H) นั่นคือ x ∈ f -1(G) ∩ f -1(H)

เพราะฉะนั้น f -1(G ∩ H) ⊆ f -1(G) ∩ f -1(H) 2.2 f -1(G) ∩ f -1(H) ⊆ f -1(G ∩ H) ( ใหแสดงเปนแบบฝกหัด )

# 3. ชนิดของฟงกชัน โดยปกติสําหรับ f เปนฟงกชันจาก A ไป B จะไดวา R(f) ⊆ B ถา R(f) มีลักษณะเฉพาะเพิ่มเติมอีก เชน สมาชิกของ D(f) แตละตัวมีภาพตางกัน หรือไมก็ R(f) = B

A E

f

H f -1(H)


ลักษณะดังกลาวอาจเรียกชื่อ ดังบทนิยาม 1.1.7 บทนิยาม 1.1.7 สําหรับ f : A → B เปนฟงกชันจาก A ไป B (1) ฟงกชัน f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง (injective or one to one) ก็ตอเม่ือ ถา x1 ≠ x2 แลว f(x1) ≠ f(x2) (2) ฟงกชัน f เปนฟงกชันท่ัวถึง (surjective or onto) ก็ตอเม่ือ f(A) = B (3) ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและท่ัวถึง แลว f จะเรียกวา ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ท่ัวถึง (bijective) หมายเหตุ 1.1.3 (1) การพิสูจน f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B จะตองแสดงวา สําหรับทุก x1, x2 ∈ A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 เพื่อกระทําดังกลาว จะสมมุติ f(x1) = f(x2) แลวแสดงวา x1 = x2 [ อาจจะกลาววา กราฟของ f สอดคลองกับ การทดสอบที่ 1 เสนแนวนอน (first horizontal line test) “ ทุกเสนแนวนอน y = b ซึ่ง b ∈ B จะตัดกับกราฟ f มากท่ีสุด 1 จุด ” ] (2) การพิสูจน f เปนฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง B จะตองแสดงวา สําหรับแตละ b ∈ B จะมีสมาชกิอยางนอยหนึ่งตัว x ∈ A โดยที่ f(x) = b [ อาจจะกลาววา กราฟ f สอดคลองกับการทดสอบที่ 2 เสนแนวนอน (second horizontal line test) “ ทุกเสนแนวนอน y = b ซึ่ง b ∈ B จะตัดกับกราฟ f นอยท่ีสุด 1 จุด ”] ตัวอยาง 1.1.6 ให A = {x ∈ | x ≠ 1} และกําหนด f(x) =

1xx2

− ทุก x ∈ A

จงแสดงวา 1. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง 2. หา R(f) ท่ีทําให f เปนฟงกชันทั่วถึง วิธีทํา 1. จะแสดงวา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ให x1, x2 ∈ A และ f(x1) = f(x2) จะไดวา

1xx2

1

1

− =

1xx2

2

2

−

x1(x2 – 1) = x2(x1 – 1) ดังนั้น x1 = x2 เพราะฉะนั้น f เปนฟงกชนัหนึ่งตอหนึ่ง

2. หาเรนจของ f จะตองหาผลเฉลยของสมการ y = 1x

x2−

ทุก x ในรูป

ของ y จะไดวา x = 2y

y−

ซึ่ง y ≠ 2


นั่นคือ เรนจของ f คือ เซต B = {y ∈ | y ≠ 2} เพราะฉะนั้น f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B

# 4. การเกิดฟงกชันผกผัน ฟงกชันประกอบ และฟงกชันกํากัด 4.1 ฟงกชันผกผัน (Inverse Functions) ถา f เปนฟงกชันจาก A ไป B แลว f เปนเซตยอยของ A × B เซตของคูอันดับ B × A จะไดโดยสลับเปลี่ยนสมาชิกคูอันดับใน f โดยท่ัวไปอาจจะเปนฟงกชัน หรือไมก็ได อยางไรก็ตาม ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึงแลวการสลับเปลี่ยนสมาชิกใน คูอนัดับ จะนําไปสูการเปนฟงกชัน ซึ่งเรียกวา “ ฟงกชันผกผัน” ของ f บทนิยาม 1.1.8 สําหรับ f : A → B เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B

ฟงกชัน g เปนฟงกชันผกผัน (inverse function) ของ f ก็ตอเม่ือ g = {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ f} เปนฟงกชันจาก B ไป A เขียนแทนดวย f - 1

หมายเหตุ 1.1.4 ฟงกชัน f – 1 เรียกชื่อเหมือนกับตัวผกผันของ f สามารถที่จะแสดงเกี่ยวกับความสัมพันธระหวาง f และ f – 1 โดยที่ D(f) = R(f – 1), R(f) = D(f – 1) และ b = f(a) ก็ตอเม่ือ a = f – 1(b) สําหรับตัวอยาง จากตัวอยาง 1.1.6 ฟงกชัน f(x) =

1xx2

− เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก

A = {x ∈ | x ≠ 1} ไปท่ัวถึง B = {y ∈ | y ≠ 2} ฟงกชันผกผันของ f กําหนดโดย f – 1(y) =

2yy−

สําหรับ y ∈ B

หมายเหตุ 1.1.5 แมวา f ไมมีฟงกชันผกผัน สัญลักษณ f – 1(H) ในบทนิยาม 1.1.6 (2) ยังกระทําในความหมายดังกลาว อยางไรก็ตามถามีฟงกชันผกผัน f – 1 แลว f – 1(H) เปนภาพตรงของ H ⊆ B ภายใต f –1 4.2 ฟงกชันประกอบ (Composite Functions) บางครั้งมีความตองการท่ีจะประกอบ 2 ฟงกชัน f, g โดยหา f(x) แลวกระทํากับ g จะได g(f(x)) อยางไรก็ตาม ลักษณะดังกลาวจะเปนไปได เม่ือ f(x) อยูในโดเมนของ g เพ่ือกระทําการนี้ไดท้ังหมดสําหรับ f(x) ดังนั้น จะตองสมมุติเรนจของ f อยูในโดเมนของ g ดังรูปท่ี 1.1.9


f g

รูปท่ี 1.1.9 : ฟงกชันประกอบ

บทนิยาม 1.1.9 สําหรับ f : A → B, g : B → C และ R(f) ⊆ D(g) = B ฟงกชันประกอบ (composite function) (go f) เปนฟงกชันจาก A ไป C โดยท่ี (g o f)(x) = g(f(x)) ทุก x ∈ A ตัวอยาง 1.1.7 1. ให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่ง x ∈ กําหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = 3x2 - 1 จงหา g o f และ f o g วิธีทํา เนื่องจาก D(g) = และ R(f) ⊆ = D(g)

ดังนั้น D(g o f) = ฟงกชันประกอบ g o f จะกําหนดโดย (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 3(2x)2 - 1 = 12x2 - 1 และเนื่องจาก D(f) = และ R(g) ⊆ = D(f) ดังนั้น D(fo g) = ฟงกชันประกอบ f o g จะกําหนดโดย (f og)(x) = f(g(x)) = f(3x2 – 1) = 2(3x2 – 1) = 6x2 – 2 เพราะฉะนั้น ในกรณีนี้ g o f ≠ f og

2. ให f(x) = 1 - x2 และ g(x) = x จงหา 2.1 คา x ท่ีทําใหมี g o f 2.2 คา x ท่ีทําใหมี f og

C

g o f

A B

R(f) ⊆


วิธีทํา 2.1 การพิจารณา g o f จะตองระมัดระวังและมีความมั่นใจวาเรนจของ f อยูในโดเมน ของ g

เนื่องจาก D(g) = {x | x ≥ 0} ฟงกชันประกอบ g o f จะกําหนดโดย (g o f)(x) = 2x1 − , x ∈ D(f) ท่ีสอดคลองกับ f(x) ≥ 0 ดังนั้น คา x สอดคลองกับ -1 ≤ x ≤ 1

2.2 ในทํานองเดียวกัน การพิจารณา f og จะตองระมัดระวังและมีความมั่นใจวา เรนจของ g อยูในโดเมนของ f

เนื่องจาก D(f) = ฟงกชันประกอบ f og จะกําหนดโดย (fo g)(x) = 1 - x , x ∈ D(g) ท่ีสอดคลองกับ g(x) ≥ 0 ดังนั้น คา x สอดคลองกับ x ≥ 0

# ตอไปจะใหความสัมพันธระหวางฟงกชันประกอบและภาพผกผัน ทฤษฎีบท 1.1.3 ให f : A → B, g : B → C และ H ⊆ C ดังนั้น (g o f)-1(H) = f -1(g -1(H)) พิสูจน ให x ∈ (go f)-1(H) ดังนั้น x ∈ (g o f)-1(H) ⇔ go f (x) ∈ H

⇔ g(f(x)) ∈ H ⇔ f(x) ∈ g-1(H) ⇔ x ∈ f -1(g-1(H))

# 4.3 การกํากัดของฟงกชัน (Restriction of Functions) ถา f : A → B และ A1 ⊂ A สามารถกําหนดฟงกชัน f1 : A1 → B โดยท่ี f1(x) = f(x) สําหรับ x ∈ A1 ฟงกชัน f1 ดังกลาว มีชื่อเรียกดังบทนิยาม 1.1.10 บทนิยาม 1.1.10 สําหรับ f : A → B และ A1 ⊂ A f1 เปนฟงกชันกํากัดของ f เทียบกับ A1 (restriction of f to A1) ก็ตอเมื่อ f1 : A1 → B โดยท่ี f1(x) = f(x) ทุก x ∈ A1 เขียนแทนดวย f1 =

1Af


ฟงกชันกํากัดดังกลาวดูเหมือนวาเปนสวนหนึ่งของฟงกชัน f อยางไรก็ตาม สําหรับฟงกชันท่ีไมมีฟงกชันผกผัน สามารถใชการกํากัดฟงกชัน ทําใหฟงกชันกํากัดมีฟงกชันผกผัน เชน ถา f : → เปนฟงกชันจัตุรัส โดยท่ี f(x) = x2 , x ∈ แลว f ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ดังนั้น f ไมมีฟงกชันผกผัน ถากํากัด f เทียบกับเซต A1 = {x | x ≥ 0} แลวฟงกชันกํากัด

1Af เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A1 ไปท่ัวถึง A1 ฉะนั้น ฟงกชันกํากัดนี้มีฟงกชันผกผัน ซึ่งเปนฟงกชันรากที่สองท่ีเปนจํานวนบวก ในทํานองเดียวกัน ฟงกชันตรีโกณมิติ S(x) = sin x และ C(x) = cos x ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งบน ถาทําการกํากัดฟงกชันเหลานี้ จะไดฟงกชันผกผันของ sine และ cosine ตามตองการ สรุปแนวคิดเซตและฟงกชัน 1. สําหรับ A, B เปนเซต ; A = B ก็ตอเม่ือ A ⊆ B และ B ⊆ A 2. A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A หรือ x ∈ B} ; A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∈ B} A\B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∉ B} 3. สําหรับ I เปนเซตดัชนี

UIi

iA∈

= {x | x ∈ Ai บาง i ∈ I} ; IIi

iA∈

= {x | x ∈ Ai ทุก i ∈ I}

4. A × B = {(a, b) | a ∈A, b ∈ B} ; เซตยอย A × B เรียกวา ความสัมพันธจาก A ไป B 5. ฟงกชัน f จาก A ไป B คือ เซตของคูอันดับใน A × B ซึ่งแตละ a ∈ A จะมี b ∈ B เพียงตัวเดียวเทานั้น โดยท่ี (a, b) ∈ f สําหรับ A ≠ φ และ B ≠ φ 6. สําหรับ E ⊆ A และ H ⊆ B ซึ่ง f : A → B เปนฟงกชันท่ีม ี D(f) = A และ R(f) ⊆ B 6.1 ภาพตรงของ E ภายใต f คือ เซตยอย f(E) ของ B โดยท่ี f(E) = {f(x) | x ∈ E} 6.2 ภาพผกผันของ H ภายใต f คือ เซตยอย f -1(H) ของ A โดยท่ี f -1(H) = {x ∈A | f(x) ∈ H} 7. สําหรับ f : A → B 7.1 f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ก็ตอเม่ือ ถา x1 ≠ x2 แลว f(x1) ≠ f(x2) 7.2 f เปนฟงกชันท่ัวถึง ก็ตอเมื่อ f(A) = B 7.3 f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและท่ัวถึง ก็ตอเมื่อ f สอดคลองกับขอ 7.1 และ 7.2


8. สําหรับ f : A → B เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B f – 1 เปนฟงกชันผกผันของ f ก็ตอเมื่อ f -1 : B →A โดยที่ f – 1 = {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ f} เปนฟงกชันจาก B ไป A 9. สําหรับ f : A → B, g : B → C และ R(f) ⊆ D(g) = B g o f เปนฟงกชันประกอบจาก A ไป C ก็ตอเมื่อ (go f)(x) = g(f(x)) ทุก x ∈ A 10. สําหรับ f : A → B และ A1 ⊂ A ทุก x ∈ A1

ฟงกชันกํากัดของ f เทียบกับ A1 คือ 1Af : A1 → B โดยท่ี 1Af (x) = f(x)

ทุก x ∈ A1


แบบฝกหัด 1.1

1. แตละขอยอยตอไปนี้เปนจริงหรือเท็จ ถาเปนจริงใหพิสูจน ถาเปนเท็จใหยกตัวอยางคาน 1.1 (A ∪ B)\C = A ∪ (B\C)

1.2 (A ∪ B)\A = B 1.3 (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ C) = A ∩ B ∩ C 1.4 (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C)

2. สําหรับ n ∈ 2.1 An = ( -

n1,

n1 ) จงหา I

∞

= 1nnA

2.2 An = (n, n + 1) จงหา U∞

= 1nnA

3. จงแสดงวา B \ UIn

1kk

n

1kk )A\B(A

==

=

4. ให g(x) = x2 และ f(x) = x + 2 สําหรับ x ∈ และให h เปนฟงกชันประกอบ h = g o f 4.1 จงหาภาพตรง h(E) ของ E = {x ∈ | 0 ≤ x ≤ 1} 4.2 จงหาภาพผกผัน h – 1(G) ของ G = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 4} 5. ให f(x) = x2 สําหรับ x ∈ และให E = {x ∈ | -1 ≤ x ≤ 0} และ F = { x ∈ | 0 ≤ x ≤ 1} 5.1 จงแสดงวา E ∩ F = {0} และ f(E ∩ F) = {0} ขณะท่ี f(E) = f(F) = {y ∈ | 0 ≤ y ≤ 1}

5.2 จงอธิบายวา จะเกิดอะไรขึ้นสําหรับ E\{0} และ F\{0} 5.3 จงหา E\F และ f(E)\f(F) 5.4 จงแสดงวา f(E\F) ⊆ f(E)\f(F)

6. สําหรับ f : A → B และ E, F เปนเซตยอยของ A 6.1 จงแสดงวา f(E ∪ F) = f(E) ∪ f(F) 6.2 จงแสดงวา f(E ∩ F) ⊆ f(E) ∩ f(F) 7. สําหรับ f : A → B และ G, H เปนเซตยอยของ B จงแสดงวา f -1(G ∪ H) = f -1(G) ∪ f -1(H)


8. จงแสดงวา ฟงกชัน f กําหนดโดย f(x) = 1x

x2 +

, x ∈

เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง {y | -1 < y < 1} 9. สําหรับ f : A → B 9.1 จงแสดงวา ถา f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และ E ⊆ A แลว f -1(f(E)) = E

และใหยกตัวอยางวาไมเปนจริง ถา f ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง 9.2 จงแสดงวา ถา f เปนฟงกชันทั่วถึง และ H ⊆ B แลว f(f -1(H)) = H และใหยกตัวอยางวาไมเปนจริง ถา f ไมเปนฟงกชันท่ัวถึง

10. สําหรับ f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปท่ัวถึง B จงแสดงวา f -1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก B ไปท่ัวถึง A 11. สําหรับ f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จงแสดงวา f -1 o f(x) = x ทุก x ∈ D(f) และ f o f -1(y) = y ทุก y ∈ R(f) 12. จงพิสูจนวา ถา f : A → B และ g : B → C เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและท่ัวถึง แลว g o f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปท่ัวถึง C 13. ให f : A → B และ g : B → C 13.1 จงแสดงวา ถา g o f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง แลว f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง 13.2 จงแสดงวา ถา g o f เปนฟงกชันทั่วถึง แลว g เปนฟงกชันท่ัวถึง 14. สําหรับ f, g เปนฟงกชัน โดยท่ี (g o f)(x) = x ทุก x ∈ D(f) และ (f og)(y) = y ทุก y ∈ D(g) จงพิสูจนวา g = f -1

1.2 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร 23

1.2 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical Induction) อุปนัยเชิงคณิตศาสตร เปนวิธีการของการพิสูจนที่ใชแสดงความสมเหตุสมผลของประโยคในเทอมของจํานวนธรรมชาติ แมวาจะเปนประโยชนท่ีจํากัดดวยเทอมของจํานวนธรรมชาติ แตอุปนัยเชิงคณิตศาสตรสามารถเปนเคร่ืองมือในสาขาอื่นๆทั้งหมดของคณิตศาสตร เนื่องจาก การพิสูจนอุปนัยหลายอยางเปนเหมือนรูปแบบเชิงเสนของการอางเหตุผล สําหรับในหัวขอนี ้จะพิจารณาพ้ืนฐานและตัวอยางของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ให = {1, 2, 3, …} เซตของจํานวนธรรมชาติ จะไดสมบัติพ้ืนฐานของ ดังนี้ สัจพจน 1.2.1 หลักการจัดอันดับด ี(Well - Ordering Principle) ทุก ๆ เซตยอยท่ีไมเปนเซตวางของ จะมีสมาชิกนอยสุด รายละเอียดของหลักการจัดอันดับดีของ อาจกลาวไดดังตอไปนี ้“ ถา S เปนเซตยอยของ และ S ≠ φ แลวจะมี m ∈ S โดยท่ี m ≤ k ทุก k ∈ S ” บนพื้นฐานหลักการจัดอันดับดี จะไดหลักการของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ซึ่งแสดงในเทอมเซตยอยของ 1.2.1 รูปแบบของหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จากท่ีกลาวมาขางตน หลักการจัดอันดับดี เปนพ้ืนฐานของหลักการอุปนัย เชิงคณิตศาสตร ซึ่งการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรแสดงในเทอมเซตยอยของจํานวนธรรมชาติ สามารถพิจารณารูปแบบของการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ไดดังนี ้ทฤษฎีบท 1.2.1 หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 1 (Principle of Mathematical Induction : First Form) ให S เปนเซตยอยของ ซึ่งมีสมบัติ 2 ขอ ดังนี ้ (1) 1 ∈ S

(2) สําหรับทุก k ∈ ถา k ∈ S แลว k + 1 ∈ S ดังนั้น S = พิสูจน สมมุติ S ≠ ซึ่ง S ⊆ จะไดวา \ S ≠ φ

ดังนั้น โดยหลักการจัดอนัดับดี \ S จะมีสมาชิกนอยสุด m เนื่องจาก 1 ∈ S โดย (1) และ m > 1 และจะไดวา m - 1 เปนจํานวนธรรมชาติ เนื่องจาก m – 1 < m และ m เปนสมาชิกท่ีนอยสุดใน \ S โดยท่ี m ∉ S จะไดวา m – 1 ∈ S


โดยประยุกต (2) จะไดวา k = m – 1 ∈ S ดังนั้น k + 1 = (m – 1) + 1 = m ∈ S เกิดขอขัดแยง เพราะฉะนั้น S =

# หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร หลายเทอมแสดงออกมาในโครงรางสมบัติหรือขอความเกี่ยวกับจํานวนธรรมชาติ ถา P(n) เปนขอความเกี่ยวกับ n ∈ แมวา P(n) จะเปนจริงสําหรับบาง n และเปนเท็จสําหรับคาอื่นๆ เชน 1. ถา P1(n) เปนขอความ ; “ n2 = n ” แลว P1(1) เปนจริง ขณะที่ P1(n) เปนเท็จ สําหรับทุก n > 1, n ∈ 2. ถา P2(n) เปนขอความ ; “ n2 > 1 ” แลว P2(1) เปนเท็จ ขณะท่ี P2(n) เปนจริง สําหรับทุก n > 1, n ∈ ในขณะนี ้ หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร สามารถกําหนดเหมือนดังตอไปนี ้สําหรับแตละ n ∈ ให P(n) เปนขอความเกี่ยวกับ n โดยสมมุติฐานวา (1′) P(1) เปนจริง (2′) สําหรับทุก k ∈ ถา P(k) เปนจริง แลว P(k + 1) เปนจริง ดังนั้น P(n) เปนจริง ทุก n ∈

จากหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรในรูปแบบที่ 1 จะไดวา S = {n ∈ | P(n) เปนจริง} ดังนั้น เง่ือนไข (1) และ(2) ของหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 1 มีลักษณะเชนเดียวกัน กับเงื่อนไข (1′) และ (2′) ตามลําดับ ขอสรุป S = มีลักษณะเชนเดียวกับขอสรุป P(n) เปนจริง ทุก n ∈ ใน (2′) สมมุติฐาน “ ถา P(k) เปนจริง ” อาจจะเรียกวาเปน สมมุติฐานอุปนัย (induction hypothesis) จากหลักการดังกลาวจะเห็นวาเงื่อนไข P(1) จะตองเปนจริง แตอยางไรก็ตาม มีขอความ P(n) เปนจริง ทุก n ≥ n0 บาง n0 โดยท่ี P(1) ไมจริง หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรสามารถอธิบายถึงสถานการณนี้ ดังนั้น จะกําหนดการขยาย หลักการนีดั้งรูปแบบท่ี 2 ตอไป ทฤษฎีบท 1.2.2 หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 2 (Principle of Mathematical Induction : Second Form) ให n0 ∈ และ P(n) เปนขอความสําหรับแตละจํานวนธรรมชาติ n ≥ n0 สอดคลองเงื่อนไขตอไปนี ้


(1) P(n0) เปนจริง (2) สําหรับทุก k ≥ n0 ถา P(k) เปนจริง แลว P(k + 1) เปนจริง ดังนั้น P(n) เปนจริง ทุก n ≥ n0 พิสูจน สมมุติ P(n) เปนเท็จ สําหรับบาง n ≥ n0 ให m เปนจํานวนเต็มท่ีนอยสุดท่ีทําให P(m) เปนเท็จ เนื่องจาก โดย (1) P(n0) เปนจริง ดังนั้น m ≠ n0 นั่นคือ m จะเขียนในรูป m = 1 + n1 สําหรับทุก n1 ≥ n0 จะไดวา n1 = m – 1 < m และเนื่องจาก m เปนจํานวนเต็มท่ีนอยสุดท่ีทําให P(m) เปนเท็จ ดังนั้น P(m – 1) = P(n1) เปนจริง นั่นคือเรามี ทุก n1 ≥ n0 และ P(n1) เปนจริง โดย (2) จะไดวา P(n1 + 1) = P(m) เปนจริง เกิดขอขัดแยง เพราะฉะนั้น P(n) เปนจริง ทุก n ≥ n0 # จากหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 2 บางคร้ังจํานวน n0 ใน (1) เรียกวา ฐาน (base) เนื่องจากเปนจุดเริ่มตน และนําไปสู (2) ซึ่งสามารถเขียน P(k) → P(k + 1) เรียกวา สะพาน (bridge) เนื่องจากเชื่อมโยงกรณ ี k ไปยัง k + 1 นอกจากนี้ยังมีกรณีอื่นของหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร บางครั้งเรียกวา “ หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรแบบเขม ” แตอยางไรก็ตามหลักการท้ังหมดสมมูลกับรูปแบบที่ 1 ทฤษฎีบท 1.2.3 หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรแบบเขม

(Principle of Strong Mathematical Induction) ให S ⊆ โดยท่ี (1) 1 ∈ S (2) สําหรับทุก k ∈ ถา {1, 2, … , k} ⊆ S แลว k + 1 ∈ S ดังนั้น S = พิสูจน พิสูจนในทํานองเดียวกันกับทฤษฎีบท 1.2.1

# 1.2.2 การนําหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรไปใชอางเหตุผล

ตอไปเปนตัวอยางเกี่ยวกับอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ซึ่งใชพิสูจนยืนยันเกี่ยวกับ จํานวนธรรมชาติ


ตัวอยาง 1.2.1 1. สําหรับแตละ n ∈ ผลบวกต้ังแต 1 ถึง n ของจํานวนธรรมชาติ 1 + 2 + … + n =

21 n(n + 1)

วิธีทํา เพื่อพิสจูนสูตรนี้ ให S เปนเซตของทุก n ∈ สําหรับทําใหสูตรนี้เปนจริง จะตองแสดงเงื่อนไข (1) และ (2) ของหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 1 เปนจริง ถา n = 1 จะไดวา 1 =

21 (1)(1 + 1) ดังนั้น 1 ∈ S

นั่นคือ เง่ือนไข (1) เปนจริง ตอไปสมมุติ k ∈ S ดังนั้น 1 + 2 + … + k =

21 k(k + 1)

ถาเพ่ิม k + 1 ท้ังสองขาง จะไดวา 1 + 2 + … + k + (k + 1) =

21 k(k + 1) + (k + 1) =

21 (k + 1)(k + 2)

เนื่องจาก ขอความดังกลาวเปนสูตรสําหรับ n = k + 1 จะไดวา k + 1 ∈ S ดังนั้น เงื่อนไข (2) ของหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 1 เปนจริง โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะไดวา S = เพราะฉะนั้น สูตรดังกลาวเปนจริง สําหรับทุก n ∈ 2. สําหรับแตละ n ∈ ผลบวกของจัตุรัสต้ังแต 1 ถึง n ของจํานวนธรรมชาติ 12 + 22 + … + n2 =

61 n(n + 1)(2n + 1)

วิธีทํา สูตรนี้เปนจริงสําหรับ n = 1 เนื่องจาก 12 = 61 (1)(2)(3)

ถาสมมุติฐานเปนจริง สําหรับ k ดังนั้นเพ่ิม (k + 1)2 ท้ังสองขาง 12 + 22 + … + k2 + (k + 1)2 =

61 k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2

= 61 (k + 1)(2k2 + k + 6k + 6)

= 61 (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

= 61 (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]

เพราะฉะนั้น สูตรนี้สมเหตุสมผล สําหรับทุก n ∈


3. ให a, b ∈ จงพิสูจนวา a - b เปนตัวประกอบของ an – bn สําหรับทุก n ∈ วิธีทํา เห็นไดชัดวา ขอความดังกลาวเปนจริง เมื่อ n = 1 ถาให a - b เปนตัวประกอบของ ak - bk ดังนั้น ak + 1 - bk + 1 = ak + 1 - abk + abk - bk + 1 = a(ak - bk) + bk(a – b) โดยสมมุติฐานของการอุปนัย จะไดวา a – b เปนตัวประกอบ a(ak - bk) และ โดยขอเท็จจริง a – b เปนตัวประกอบ bk(a – b) เพราะฉะนั้น a - b เปนตัวประกอบของ ak + 1 - bk + 1 = a(ak – bk) + bk(a – b) นั่นคือ โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร

จะไดวา a - b เปนตัวประกอบของ an – bn สําหรับทุก n ∈ #

ประโยชนสําหรับการตรวจสอบการหารลงตัว จะไดมาจากขอเท็จจริงดังกลาวขางตน เชน 11 - 7 = 4 จะไดวา 11n – 7n หารดวย 4 ลงตัว สําหรับทุก n ∈

4. อสมการ 2n > 2n + 1 เปนเท็จ สําหรับ n = 1, 2 จงแสดงวา อสมการเปนจริง สําหรับทุก n ≥ 3 วิธีทํา จะเห็นวา อสมการเปนจริง สําหรับ n = 3 ถาสมมุติฐาน 2k > 2k + 1 และคูณดวย 2 ท้ังสองขาง จะไดอสมการ 2k + 1 > 2(2k + 1) = 4k + 2 = 2k + (2k + 2) เนื่องจาก 2k + 2 > 3 ทุก k ≥ 1 จะไดวา 2k + 1 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 ดังนั้น ดวยฐาน n0 = 3 ประยุกตหลกัการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรรูปแบบท่ี 2 จะไดวา 2n > 2n + 1 เปนจริง สําหรับทุก n ≥ 3 5. จงแสดงวา 2n ≤ (n + 1)! ทุก n ∈ วิธีทํา n = 1 เปนจริง เนื่องจาก 21 = 2 = 1 + 1 ถาสมมุติ 2k ≤ (k + 1)! และจากขอเท็จจริง 2 ≤ k + 2 ทุก k ∈ นั่นคือ 2k + 1 = 2(2k) ≤ 2(k + 1)! ≤ (k + 2)(k + 1)! = (k + 2)! จะไดวา อสมการเปนจริงสําหรับ k แลวเปนจริงสําหรับ k + 1 เพราะฉะนั้น อสมการเปนจริง ทุก n ∈

6. ถา r ∈ , r ≠ 1 และ n ∈ แลว 1 + r + r2 + … + rn = r1

r1 1n

−− +

เปนสูตรสําหรับผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต สามารถแสดงโดยใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตร


วิธีทํา ถา n = 1 แลว 1 + r = r1

r1 11

−− +

สมมุติสูตรเปนจริง สําหรับ n = k เพ่ิมเทอม rk + 1 ท้ังสองขาง

1 + r + r2 + … + rk + rk + 1 = r1

r1 1k

−− +

+ rk + 1 = r1

r1 2k

−− +

ซึ่งเปนสูตรสําหรับ n = k + 1

เพราะฉะนั้น โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร สูตรเปนจริง ทุก n ∈ #

[สูตรในขอ 6 ดังกลาว สามารถพิสูจนโดยปราศจากการใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ถาให Sn = 1 + r + r2 + … + rn แลว rSn = r + r2 + … + rn + 1 ดังนั้น (1 - r)Sn = Sn - rSn = 1 – rn + 1 ถาหารดวย 1 – r จะไดสูตรตามตองการ]

7. มีขอความที่เปนจริงสําหรับจํานวนธรรมชาติหลายจํานวน แตไมเปนจริงสําหรับจํานวน ธรรมชาติท้ังหมด ซึ่งในบางกรณีก็ไมสามารถใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตร สําหรับตัวอยาง เชน สูตร p(n) = n2 - n + 41 เปนจํานวนเฉพาะ เมื่อ n = 1, 2, … , 40 อยางไรก็ตาม p(41) เห็นไดชัดวา หารดวย 41 ลงตัว ดังนั้น p(41) ไมเปนจํานวนเฉพาะ

# สรุปแนวคิดอุปนัยเชิงคณิตศาสตร รูปแบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร รูปแบบท่ี 1 : หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ให S เปนเซตยอยของ ซึ่งมีสมบัติ 2 ขอ ดังนี ้ (1) 1 ∈ S (2) สําหรับทุก k ∈ ถา k ∈ S แลว k + 1 ∈ S ดังนั้น S = รูปแบบท่ี 2 : หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ให n0 ∈ และ P(n) เปนขอความสําหรับแตละจํานวนธรรมชาติ n ≥ n0 สอดคลอง เงื่อนไขตอไปนี ้ (1) P(n0) เปนจริง (2) สําหรับทุก k ≥ n0 ถา P(k) เปนจริง แลว P(k + 1) เปนจริง ดังนั้น P(n) เปนจริงทุก n ≥ n0


รูปแบบท่ี 3 : หลกัการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรแบบเขม ให S ⊆ โดยท่ี (1) 1 ∈ S (2) สําหรับทุก k ∈ ถา {1, 2, … , k} ⊆ S แลว k + 1 ∈ S ดังนั้น S =


แบบฝกหัด 1.2 จงพิสูจนวา ประโยคขอ 1 – 11 ตอไปนี้เปนจริง 1.

1nn

)1n(n1...

)3(21

)2(11

+=

++++ ทุก n ∈

2. 13 + 23 + … + n3 = [21 n(n + 1)]2 ทุก n ∈

3. 3 + 11 + … + (8n – 5) = 4n2 – n ทุก n ∈

4. 12 + 32 + … + (2n – 1)2 = 3

nn4 3 − ทุก n ∈

5. 12 – 22 + 32 + … + (-1)n + 1 n2 = 2

)1n(n)1( 1n +− +

ทุก n ∈

6. n3 + 5n หารดวย 6 ลงตัว ทุก n ∈ 7. 52n - 1 หารดวย 8 ลงตัว ทุก n ∈ 8. 5n – 4n – 1 หารดวย 16 ลงตัว ทุก n ∈ 9. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 หารดวย 9 ลงตัว ทุก n ∈ 10. 110 1n2 +− หารดวย 11 ลงตัว ทุก n ∈ 11. ถา 1 + a > 0 แลว (1 + a)n ≥ 1 + na ทุก n ∈ 12. จงพิสูจนวา n < 2n ทุก n ∈ 13. จงพิสูจนวา 2n < n! ทุก n ≥ 4, n ∈ 14. จงพิสูจนวา 2n – 3 ≤ 2n - 2 ทุก n ≥ 5, n ∈ 15. จงพิสูจนวา n

n1...

21

11

>+++ ทุก n ∈

16. จงหาจํานวนธรรมชาติ n โดยท่ี n2 < 2n และพิสูจนยืนยนั 17. จงหาจํานวนธรรมชาติมากสุด m โดยท่ี n3 - n หารดวย m ลงตัว ทุก n ∈ และพิสูจนยืนยัน 18. ให S เปนเซตยอยของ โดยท่ี (a) 2k ∈ S ทุก k ∈ และ (b) ถา k ∈ S และ k ≥ 2 แลว k – 1 ∈ S จงพิสูจนวา S = 19. ใหจํานวน xn กําหนดโดย x1 = 1, x2 = 2 และ xn + 2 =

21 (xn + 1 + xn) ทุก n ∈

จงใชหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตรแบบเขม เพ่ือแสดงวา 1 ≤ xn ≤ 2 ทุก n ∈

1.3 เซตจํากัดและเซตอนันต 31

1.3 เซตจํากัดและเซตอนันต (Finite and Infinite Sets) เมื่อนับสมาชิกในเซตจะกลาววา “ หนึ่ง , สอง , สาม , …” จะหยุดเม่ือสมาชิกหมด จากรูปแบบการนับดังกลาว จะทําการกําหนดฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึง ระหวางเซตและเซตยอยของจํานวนธรรมชาติ ถาเซตนับไดแตไมสิ้นสุด จะเหมือนเซตของจํานวนธรรมชาติ ซึ่งจะอธิบาย เซตเหมือนกับเซตอนันต คําวา “ จํากัด ” และ “ อนันต ” ในหัวขอนี้จะกําหนดในเทอมท่ีแนนอนบนพื้นฐานของการกําหนดเซต φ เปนเซตท่ีไมมีสมาชิกและเซตท่ีมี n สมาชิก สําหรับเซตท่ีมี n สมาชิก สามารถกลาวไดดังนี ้ สําหรับ n ∈ เซต S จะกลาววามี n สมาชิก ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึงจากเซต n = {1, 2, … , n} ไปท่ัวถึง S 1.3.1 ความหมายของเซตจํากัดและเซตอนันต จากการพิจารณาการเปนสมาชิกของเซต φ และเซตท่ีมี n สมาชิกขางตน สามารถกําหนดเซตจํากัดและเซตอนันตไดดังบทนิยาม 1.3.1 บทนิยาม 1.3.1 สําหรับ S เปนเซตใดๆ (1) S เปนเซตจํากัด (finite set) ก็ตอเม่ือ S เปนเซต φ หรือมี n สมาชิก บาง n ∈ (2) S เปนเซตอนันต (infinite set) ก็ตอเม่ือ S ไมเปนเซตจํากัด หมายเหตุ 1.3.1 จากบทนิยาม 1.3.1(1) อาจกลาววา S เปนเซตจํากัด ก็ตอเมื่อ S เปนเซต ท่ีไมมีสมาชิก หรือมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจากเซต {1, 2, 3, … , n} ไปท่ัวถึง S บาง n ∈ เนื่องจากฟงกชันผกผันของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึง เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึง ดังนั้น อาจกลาววา เซต S มี n สมาชิก ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S ไปท่ัวถึง เซต {1, 2, … , n} ในทํานองเดียวกัน เนื่องจากฟงกชันประกอบของ 2 ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึง เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งทั่วถึง จะเห็นวา เซต S1 มี n สมาชิก ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S1 ไปท่ัวถึงเซต S2 มี n สมาชิก และจะไดวา เซต T1 เปนเซตจํากัด ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก T1 ไปท่ัวถึงเซตจํากัด T2 1.3.2 ทฤษฎีบทเบื้องตนของเซตจํากัดและเซตอนันต ขอเท็จจริงเบ้ืองตนเกี่ยวกับเซตจํากัดและเซตอนันต สอดคลองทฤษฎีบท 1.3.1 – 1.3.4 ซึ่งบางทฤษฎีบทอาจมีบทต้ังชวยในการพิสูจน บทตั้ง 1.3.1 สําหรับ m, n ∈ ซึ่ง m > n ดังนั้น ไมมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไป n พิสูจน จะพิสูจนโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตรบน n


ถา n = 1 และให g เปนฟงกชันจาก m (m > 1) ไป 1 ดังนั้น เห็นไดชัด g(1) = … = g(m) = 1 จะไดวา g ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง สมมุติ k > 1 โดยท่ี ถา m > k แลวไมมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไป k จะแสดงวา ถา m > k + 1 แลวไมมีฟงกชัน h : m → k + 1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง กรณี 1 ถาเรนจ h( m ) ⊆ k ⊂ k + 1

ดังนั้น สมมุติฐานอุปนัยนําไปสู h ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไป k และ m ไป k + 1 กรณี 2 สมมุต ิ h( m) ไมอยูใน k ถามีสมาชิกมากกวา 1 ตัว ใน m สงไป k + 1 แลว h ไมเปนฟงกชัน

หนึ่งตอหนึ่ง ดังนั้น จะสมมุติสมาชิกตัวเดียว p ∈ m สงไป k + 1 โดย h ขณะนี้จะกําหนด h1 : m - 1 → k

โดยท่ี h1(q) =

−=+−=

1m,...,pq;)1h(q1p,...,1q;h(q)

โดยสมมุติฐานอุปนัย จะไดวา h1 ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m – 1 ไป k ดังนั้น h ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไป k + 1 #

ทฤษฎีบท 1.3.1 ทฤษฎีบทความเปนไดอยางเดียว (Uniqueness Theorem) ถา S เปนเซตจํากัด แลวจํานวนสมาชิกของ S เปนเพียงจํานวนเดียวใน พิสูจน ถา S มี m สมาชิก จะมีฟงกชัน f1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไปท่ัวถึง S ถา S มี n สมาชิก จะมีฟงกชัน f2 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก n ไปท่ัวถึง S

ดังนั้น f2- 1

o f1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไปท่ัวถึง n และ f1

- 1o f2 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก n ไปท่ัวถึง m

ถา m > n โดยบทตั้ง 1.3.1 จะไดวา ไมมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไป n ซึ่งเกิดขอขัดแยงกับ f2

- 1o f1

ถา n > m จะทําใหเกิดขอขัดแยงเชนเดียวกันกับกรณี m > n เพราะฉะนั้น m = n #

บทตั้ง 1.3.2 ถา n ∈ แลว ไมมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไป n พิสูจน สมมุติ f : → n เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง และให m = n + 1 ดังนั้น ฟงกชันกํากัดของ f เทียบกับ m ⊂ เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไป n

ซึ่งขัดแยงกับบทต้ัง 1.3.1


เพราะฉะนัน้ ไมมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไป n #

ทฤษฎีบท 1.3.2 เซต ของจํานวนธรรมชาตเิปนเซตอนันต พิสูจน สมมุติ เปนเซตจํากัด จะมีบาง n ∈ และฟงกชัน f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

จาก n ไปทั่วถึง ในกรณีนี้ ฟงกชันผกผัน f – 1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง n ซึ่งขัดแยงกับบทต้ัง 1.3.2 เพราะฉะนั้น เปนเซตอนันต # ทฤษฎีบท 1.3.3 สําหรับ A, B และ C เปนเซตใด ๆ (1) ถา A ม ี m สมาชิก และ B มี n สมาชิก ซึ่ง A ∩ B = φ

แลว A ∪ B มี m + n สมาชิก (2) ถา A มี m สมาชิก และ C มี 1 สมาชิก ซึ่ง C ⊆ A

แลว A\C มี m - 1 สมาชิก (3) ถา C เปนเซตอนันต และ B เปนเซตจํากัด แลว C\B เปนเซตอนันต พิสูจน (1) ให f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m ไปท่ัวถึง A และ g เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก n ไปท่ัวถึง B

กําหนด h บน m + n โดยที่ h(i) =

++=−=

nm,...,1mi;m)g(im,...,2,1i;f(i)

จะไดวา h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก m + n ไปทั่วถึง A ∪ B ขอ (2), (3) ใหแสดงเปนแบบฝกหัด # ทฤษฎีบท 1.3.4 สําหรับ S และ T เปนเซตใด ๆ โดยท่ี T ⊆ S (1) ถา S เปนเซตจํากัด แลว T เปนเซตจํากัด (2) ถา T เปนเซตอนันต แลว S เปนเซตอนันต พิสูจน (1) ถา T = φ จะไดวา T เปนเซตจํากัด

นั่นคือ สมมุต ิ T ≠ φ จะพิสูจนโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตรบนจํานวนสมาชิก ใน S ถา S มี 1 สมาชิก แลว เซตยอย T ท่ีไมใชเซตวางของ S จะเปน S ดังนั้น T เปนเซตจํากัด สมมุติ ทุกเซตยอยท่ีไมใชเซตวางของเซตท่ีม ี k สมาชิก เปนเซตจํากัด


ในขณะนี ้ ให S มี k + 1 สมาชิก (จะมีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก k + 1 ไปทั่วถึง S) และ T ⊆ S ถา f(k + 1) ∉ T สามารถพิจารณา T เปนเซตยอยของ S1 โดยท่ี S1 = S\{f(k + 1)} ซึ่งมี k สมาชิก (โดยทฤษฎีบท 1.3.3(2)) ดังนั้น โดยสมมุติฐานอุปนัย จะไดวา T เปนเซตจํากัด ถา f(k + 1) ∈ T จะไดวา T1 = T\{f(k + 1)} เปนเซตยอยของ S1 เนื่องจาก S1 มี k สมาชิก โดยสมมุติฐานอุปนัย จะไดวา T1 เปนเซตจํากัด ดังนั้น T = T1 ∪ {f(k + 1)} เปนเซตจํากัด (2) เปนขอความแยงสลับท่ีขอ (1) #

1.3.3 ความสัมพันธระหวางเซตนับได กับ เซตจํากัดและเซตอนันต จากเรื่องราวของเซตจํากัดและเซตอนันต สามารถนําไปอธิบายเซตนับได ดังบทนิยาม 1.3.2 และตอจากนั้นก็จะศึกษาทฤษฎีบทท่ีเกี่ยวของกับเซตนับได บทนิยาม 1.3.2 (1) S เปนเซตอนันตนับได (denumerable or countable infinite set) ก็ตอเม่ือ

มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง S (2) S เปนเซตนับได (countable set) ก็ตอเม่ือ S เปนเซตจํากัด หรือเซตอนันตนับได (3) S เปนเซตนับไมได (uncountable set) ก็ตอเมื่อ S ไมเปนเซตนับได

จากสมบัติของฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งทั่วถึง เห็นไดชัดวา S เปนเซตอนันตนับได ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S ไปท่ัวถึง เชนเดียวกัน S1 เปนเซตอนันตนับได ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S1 ไปท่ัวถึง S2 ซึ่งเปนเซตอนันตนับได และ เซต T1 เปนเซตนับได ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก T1 ไปท่ัวถึง T2 ซึ่งเปนเซตนับได ตัวอยาง 1.3.1 1. E = {2n | n ∈ } เปนเซตของจํานวนธรรมชาติคู จะเปนเซตอนันตนับได เนื่องจาก มี f : → E โดยท่ี f(n) = 2n ทุก n ∈ เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก ไปท่ัวถึง E ในทํานองเดียวกัน O = {2n - 1 | n ∈ } เปนเซตของจํานวนธรรมชาติคี ่ จะเปน เซตอนันตนับได 2. เซตของจํานวนเต็มทั้งหมด จะเปนเซตอนันตนับได เพ่ือจะสรางฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง จะสง 1 ไปยัง 0


สงสมาชิกจํานวนธรรมชาติคูไปเซตของจํานวนเต็มบวก และสงสมาชิกจํานวนธรรมชาติคี ่ ท่ีไมใช 1 ไปเซตของจํานวนเต็มลบ ฟงกชันนี้สามารถแสดงโดยระบุ = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …} 3. ยูเนียนของเซตอนันตนับได 2 เซต ท่ีไมมีสมาชิกรวมกัน เปนเซตอนันตนับได ถา A = {a1, a2, a3, …} และ B = {b1, b2, b3, …} สามารถระบุสมาชิกของ A ∪ B เปนดังนี้ a1, b1, a2, b2, a3, b3, … # ตอไปจะพิจารณาเซต × ซึ่งประกอบดวยคูอันดับทั้งหมด (m, n) โดยท่ี m, n ∈ สามารถระบุเปนคูอันดับดังตอไปนี้ (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), … ดังรูปที่ 1.3.1

รูปท่ี 1.3.1 : เซต ×

สามารถแสดงไดวา เซต × เปนเซตอนันตนับได ดังทฤษฎีบท 1.3.5 ทฤษฎีบท 1.3.5 เซต × เปนเซตอนันตนับได พิสูจน ให h : × → โดยท่ี h(m, n) = ϕ (m + n - 2) + m ซึ่ง (m, n) ∈ × และ ϕ (k) = 1 + 2 + … + k =

21 k(k + 1) , k ∈

จะแสดงวา h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึง 1. จะแสดงวา h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ถา (m, n) ≠ (m′, n′) ดังนั้น จะไดวา (1) m + n ≠ m′ + n′ หรือ (2) m + n = m′ + n′ และ m ≠ m′

กรณี (1) m + n ≠ m′ + n′

(1,4) (2,4)

(1,3) (2,3) (3,3)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)


สมมุติ m + n < m′ + n′ ดังนั้น ใชสูตร ϕ (k + 1) = ϕ (k) + k + 1 ซึ่ง k ∈ โดยขอเท็จจรงิ เรามี ϕ เปนฟงกชันเพ่ิม และ m′ > 0 จะไดวา h(m, n) = ϕ (m + n - 2) + m ≤ ϕ (m + n - 2) + (m + n - 1) = ϕ (m + n - 1) ≤ ϕ (m′ + n′ - 2) < ϕ (m′ + n′ - 2) + m′ = h(m′, n′) กรณี (2) m + n = m′ + n′ และ m ≠ m′ ดังนั้น h(m, n) - m = ϕ (m + n - 2) = ϕ (m′ + n′ - 2) = h(m′, n′) - m′ จะไดวา h(m, n) ≠ h(m′, n′) ดังนั้น ถา (m, n) ≠ (m′, n′) แลว h(m, n) ≠ h(m′, n′) จะไดวา ถา h(m, n) = h(m′, n′) แลว (m, n) = (m′, n′) เพราะฉะนั้น h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง 2. จะแสดงวา h เปนฟงกชันท่ัวถึง เห็นไดชัดวา h(1, 1) = 1 ถา p ∈ ซึ่ง p ≥ 2 จะหาคูอันดับ (mp, np) ∈ × ซึ่ง h(mp, np) = p เนื่องจาก p < ϕ (p) ดังนั้น Ep = {k ∈ | p ≤ ϕ (k)} ≠ φ โดยหลักการจัดอันดับดี ให kp > 1 เปนสมาชิกนอยสุดใน Ep เนื่องจาก p ≥ 2 จะไดวา ϕ (kp – 1) < p ≤ ϕ (kp) = ϕ (kp - 1) + kp

ให mp = p - ϕ (kp - 1) ดังนั้น 1 ≤ mp ≤ kp และให np = kp - mp + 1 ดังนั้น 1 ≤ np ≤ kp และ mp + np – 1 = kp

จะไดวา h(mp , np) = ϕ (mp + np - 2) + mp = ϕ (kp – 1) + mp = p นั่นคือ h เปนฟงกชันท่ัวถึง

จากขอ 1, 2 จะไดวา h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก × ไปท่ัวถึง เพราะฉะนั้น × เปนเซตอนันตนับได # ทฤษฎีบท 1.3.6 ให S, T เปนเซต และ T ⊆ S (1) ถา S เปนเซตนับได แลว T เปนเซตนับได (2) ถา T เปนเซตนับไมได แลว S เปนเซตนับไมได


พิสูจน (1) กรณี 1 ถา S เปนเซตจํากัด โดยทฤษฎีบท 1.3.4 (1) จะไดวา T เปนเซตจํากัด ดังนั้น T เปนเซตนับได กรณี 2 ถา S เปนเซตอนันตนับได แลว จะมี ϕ เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S ไปท่ัวถึง

จะไดวา ฟงกชันกํากัดของ ϕ เทียบกับ T เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก T ไปท่ัวถึง ϕ (T) เนื่องจาก ϕ (T) ⊆ และ ϕ (T) เปนเซตอนันต จะแสดงวา ϕ (T) เปนเซตอนันตนับได นั่นคือ จะตองแสดงวา มี 1ϕ เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง ϕ (T) กําหนด 1ϕ : → ϕ (T) โดยท่ี 1ϕ (n + 1) > 1ϕ (n) ≥ n ทุก n ∈ จะแสดงวา 1ϕ เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไป ϕ (T) สําหรับ m > n จะไดวา m = n + r บาง r ∈ ถา r = 1 จะไดวา 1ϕ (m) = 1ϕ (n + 1) > 1ϕ (n) สมมุติ 1ϕ (n + k) > 1ϕ (n) จะแสดงวา 1ϕ (n + (k + 1)) > 1ϕ (n) โดยขอเท็จจริงจะได 1ϕ (n + (k + 1)) = 1ϕ ((n + k) + 1) > 1ϕ (n + k) > 1ϕ (n) เนื่องจาก 1ϕ (m) > 1ϕ (n) สําหรับ m > n จะไดประโยค ถา m ≠ n แลว 1ϕ (m) ≠ 1ϕ (n) นั่นคือ ถา 1ϕ (m) = 1ϕ (n) แลว m = n ดังนั้น 1ϕ เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง ตอไปจะแสดงวา 1ϕ เปนฟงกชันทั่วถึงจาก ไป ϕ (T) สมมุติวา 1ϕ ไมเปนฟงกชันท่ัวถึง จะไดวา ϕ′ (T) = ϕ (T)\ 1ϕ ( ) ≠ φ ให p เปนสมาชกินอยสุดใน ϕ′ (T) จะแสดงวา p ∈ { 1ϕ (1), 1ϕ (2), … , 1ϕ (p)} ถาไมจริง จะไดวา p ∈ ϕ (T)\{ 1ϕ (1), 1ϕ (2), … , 1ϕ (p)} = pϕ (T) ดังนั้น 1ϕ (p + 1) เปนสมาชิกนอยสุดใน pϕ (T) จะไดวา 1ϕ (p + 1) ≤ p ซึ่งขัดแยงกับขอเท็จจริง 1ϕ (p + 1) > 1ϕ (p) ≥ p ดังนั้น p ∈ { 1ϕ (1), 1ϕ (2), … , 1ϕ (p)} นั่นคือ ϕ′ (T) = φ ดังนั้น 1ϕ เปนฟงกชันท่ัวถึง จะไดวา ϕ (T) เปนเซตอนันตนับได


และเนื่องจาก ฟงกชันกํากัดของ ϕ เทียบกับ T เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก T ไปท่ัวถึง ϕ (T) เพราะฉะนั้น T เปนเซตนับได

(2) เปนขอความแยงสลับท่ีขอ (1) #

ทฤษฎีบท 1.3.7 ขอความตอไปนี้สมมูลกัน (1) S เปนเซตนับได (2) มีฟงกชันจาก ไปท่ัวถึง S (3) มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S ไป พิสูจน (1)⇒(2) ถา S เปนเซตจํากัด จะมี h เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จากบางเซต n ไปท่ัวถึง S

กําหนด H บน โดยท่ี H(k) =

>

=

nk;h(n)

n,...,2,1k;h(k)

ดังนั้น H เปนฟงกชันจาก ไปท่ัวถึง S ถา S เปนเซตอนันตนับได จะมี H เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง S ซึ่งจะไดวา มีฟงกชันจาก ไปทั่วถึง S

(2)⇒(3) ถา H เปนฟงกชันจาก ไปทั่วถึง S กําหนด H1 : S → โดยที่ H1(s) เปนสมาชิกท่ีนอยสุดใน H-1(s) = {n ∈ | H(n) = s}

สําหรับ s, t ∈ S และ n s t = H1(s) = H1(t) แลว s = H(ns t) = t จะไดวา H1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S ไป

(3)⇒(1) ถา H1 เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก S ไป แลวจะเปนฟงกชัน หนึ่งตอหนึ่งจาก S ไปท่ัวถึง H1(S) ⊆ โดยทฤษฎีบท 1.3.6(1) จะไดวา H1(S) เปนเซตนับได ซึ่งจะไดวา S เปนเซตนับได # ทฤษฎีบทตอไปจะแสดงวา เซต ของจํานวนตรรกยะเปนเซตอนันตนับได โดยแนวคิดของการพิสูจนจะสังเกตเซต + ของจํานวนตรรกยะบวก มีสมาชิกท่ีระบุดังนี้

...,41,

13,

22,

31,

12,

21,

11 ซึ่งเปนการสงตามเสนทแยง ดังรูปที่ 1.3.2


รูปท่ี 1.3.2 : เซต +

อยางไรก็ตาม การสงดังกลาวนี้ไมเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง เนื่องจากเศษสวนแตกตางกัน

21 และ

42 แทน จํานวนตรรกยะเดียวกัน

ทฤษฎีบท 1.3.8 เซต ของจํานวนตรรกยะเปนเซตอนันตนับได พิสูจน เนื่องจาก × เปนเซตนับได (ทฤษฎีบท 1.3.5) และ ทฤษฎีบท 1.3.7(1)⇒(2) จะมี f เปนฟงกชันจาก ไปทั่วถึง × ถา g : × → + เปนการสงคูอันดับ (m, n) ไปยังจํานวนตรรกยะบวก ซึ่งแทนดวย

nm จะไดวา g เปนฟงกชันท่ัวถึง +

ดังนั้น ฟงกชันประกอบ g o f เปนฟงกชันจาก ไปท่ัวถึง + และ ทฤษฎีบท 1.3.7(2)⇒(1) จะไดวา + เปนเซตนับได ในทํานองเดียวกัน เซต - ของจํานวนตรรกยะลบท้ังหมดเปนเซตนับได จะเหมือน ตัวอยาง 1.3.1(2) เซต = - ∪ {0} ∪ + เปนเซตนับได และเนื่องจาก ⊂ เพราะฉะนั้น เปนเซตอนันตนับได #

11

12

13

14 . . .

21

22

23

24 . . .

31

32

33

34 . . .

41

42

43

44 . . .

. . . . .

. . . . .


ทฤษฎีบท 1.3.9 ถา Am เปนเซตนับได สําหรับแตละ m ∈

ดังนั้น A = U∞

= 1mmA เปนเซตนับได

พิสูจน สําหรับแตละ m ∈ ให mϕ เปนฟงกชันจาก ไปท่ัวถึง Am

กําหนด σ : × → A โดยท่ี σ (m, n) = mϕ (n) จะแสดงวา σ เปนฟงกชันท่ัวถึง โดยขอเท็จจริง ถา a ∈ A แลว จะมีจํานวนนอยสุด m ∈ โดยท่ี a ∈ Am ซึ่งมีจํานวนนอยสุด m ∈ โดยที่ a = mϕ (n) จะไดวา a = σ (m, n) เนื่องจาก × เปนเซตนับได จากทฤษฎีบท 1.3.7(1)⇒(2) จะมีฟงกชันท่ัวถึง f : → × ซึ่ง oσ f เปนฟงกชันจาก ไปท่ัวถึง A โดยทฤษฎีบท 1.3.7(2)⇒(1) จะไดวา A เปนเซตนับได # หมายเหตุ 1.3.2 รูปแบบท่ีเห็นในทฤษฎีบท 1.3.9 ระบุสมาชิกของ Am, m ∈ ดังนี ้ A1 = {a11 , a12 , a13, …} ; A2 = {a21 , a22 , a23, …} ; A3 = {a31 , a32 , a33, …} ……………………………………………………………………………………………… ดังนั้น สามารถระบุเรียงสมาชิกโดยปฏิบัติแนวทะแยง a11, a12 , a21, a13 , a22, a31, a14, … เหมือนแสดงในรูปท่ี 1.3.1 อยางไรก็ตาม การอางเหตุผลเซต ของจํานวนตรรกยะเปนเซตนับได ปรากฏครั้งแรกในป ค.ศ. 1874 โดย เกออรก คันทอร (Georg Cantor : ค.ศ. 1845 – 1918) สําหรับตอนสุดทายในหัวขอนี้ จะกลาวถึงทฤษฎีบทของคันทอร 1.3.4 ทฤษฎีบทของคันทอร ทฤษฎีบท 1.3.10 ทฤษฎีบทของคันทอร ถา A เปนเซตใด ๆ แลว จะไมมีฟงกชันจาก A ไปท่ัวถึง P(A) โดยท่ี P(A) เปนเซต ของเซตยอยท้ังหมดของ A พิสูจน ให ψ : A → P(A) เปนฟงกชันท่ัวถึง และเนื่องจาก ψ (a) เปนเซตยอยของ A จะพิจารณาวา a อยูใน ψ (a) หรือไม ให D = {a ∈ A | a ∉ ψ (a)} เนื่องจาก D เปนเซตยอยของ A ถา ψ เปนฟงกชันท่ัวถึง แลว D = ψ (ao) บาง ao ∈ A จะมี ao ∈ D หรือ ao ∉ D ถา ao ∈ D ดังนั้น เนื่องจาก D = ψ (ao) จะตองมี ao ∈ ψ (ao) ขัดแยงกับ


การกําหนดเซต D ในทํานองเดียวกัน ถา ao ∉ D แลว ao ∉ ψ (ao) ดังนั้น ao ∈ D ซึ่งขัดแยงเชนเดียวกัน เพราะฉะนั้น ψ ไมเปนฟงกชันท่ัวถึง # ทฤษฎีบทของคันทอร นําไปสูการมีกระบวนการไมรูจบของกระบวนการของเซตใหญกวา โดยเฉพาะอยางย่ิง จะนําไปสูเซตของ P( ) ของเซตยอยทั้งหมดของเซตจํานวนธรรมชาติ ไมเปนเซตนับได สรุปแนวคิดเซตจํากัดและเซตอนันต สําหรับ S เปนเซตใดๆ 1. S เปนเซตจํากัด ก็ตอเมื่อ สอดคลองกับขอใดขอหนึ่งตอไปนี้ (1) S = φ (2) S มี n สมาชิก บาง n ∈ (นั่นคือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก {1, 2, 3, … , n}

ไปท่ัวถึง S บาง n ∈ ) 2. S เปนเซตอนันต ก็ตอเมื่อ S ไมเปนเซตจํากัด 3. S เปนเซตอนันตนับได ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก ไปท่ัวถึง S 4. S เปนเซตนับได ก็ตอเม่ือ S เปนเซตจํากัด หรือเซตอนันตนับได 5. S เปนเซตนับไมได ก็ตอเม่ือ S ไมเปนเซตนับได 6. ถา A เปนเซตใดๆ แลว จะไมมีฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง P(A) 7. เซต ของจํานวนธรรมชาติเปนเซตอนันต 8. เซต × เปนเซตอนันตนับได 9. เซต ของจํานวนตรรกยะเปนเซตอนันตนับได

10. ถา Am เปนเซตนับได สําหรับแตละ m ∈ ดังนั้น U∞

= 1mmA เปนเซตนับได

11. สําหรับ S, T เปนเซตใด ๆ และ T ⊆ S 11.1 ถา S เปนเซตจํากัด แลว T เปนเซตจํากัด 11.2 ถา S เปนเซตนับได แลว T เปนเซตนับได 11.3 ถา T เปนเซตอนันต แลว S เปนเซตอนันต 11.4 ถา T เปนเซตนับไมได แลว S เปนเซตนับไมได


แบบฝกหัด 1.3

1. สําหรับ T1 ≠ φ จงพิสูจนวา T1 เปนเซตจํากัด ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก T1 ไปท่ัวถึงเซตจํากัด T2 2. จงแสดงฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งท่ัวถึงระหวาง และเซตยอยแทของตนเอง 3. จงพิสูจนวา เซต T1 เปนเซตอนันตนับได ก็ตอเม่ือ มีฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก T1 ไปท่ัวถึงเซตอนันตนับได T2 4. จงพิสูจนวา ถา S และ T เปนเซตอนันตนับได แลว S ∪ T เปนเซตอนันตนับได 5. ใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตรเพ่ือพิสูจนวา ถาเซต S มี n สมาชิก แลว P(S) มี 2n สมาชิก 6. จงพิสูจนวา เซต F( ) ของเซตจํากัดท้ังหมดของ เปนเซตนับได 7. จงแสดงวา ถา A และ B เปนเซตนับได แลว A × B เปนเซตนับได 8. สําหรับ f : A → B และ R(f) เปนเซตนับไมได จงพิสูจนวา D(f) เปนเซตนบัไมได 9. จงพิสูจนวา ถา B เปนเซตยอยนับไดของเซตนับไมได A แลว A\ B เปนเซตนับไมได 10. จงพิสูจนวา เซตของจํานวนอตรรกยะเปนเซตนับไมได 11. 11.1 จงแสดงวา A ∪ B เปนเซตจํากัด ก็ตอเม่ือ A และ B เปนเซตจํากัด 11.2 จงแสดงวา A × B เปนเซตจํากัด ก็ตอเมื่อ A และ B เปนเซตจํากัด 12. จงพิจารณาวา แตละขอยอยตอไปนี ้ เปนเซตนับไดหรือไม จงอธิบาย 12.1 A = {f | f : [0, 1] → +} 12.2 B = {f | f : {1, 2, … , n} → +} 12.3 C = {f | f : + →{0, 1}} 12.4 D = {J | J เปนเซตยอยจํากัดท้ังหมดของ +} 13. ให A และ B เปนเซตใด ๆ และ F = {f | f : A→ B} จงแสดงวา ถา A และ B เปนเซตจํากัด แลว F เปนเซตจํากัด 14. จงแสดงวา ถา A เปนเซตจํากัด แลว P(A) ซึ่งเปนเซตของเซตยอยท้ังหมดของ A จะเปนเซตจํากัด

Documents

บทที่ 1 ความรู พื้นฐาน (Preliminaries) · 1.1 เซตและฟ งก ช ัน3 1.1 เซตและฟ งก ช ัน(Sets and Functions)