บทท 3 ฟงกชนอนาลตก (Analytic Functions)

3.1 ฟงกชนตวแปรเลขเชงซอน (Functions of Complex Variables)

ฟงกชน f คอกฎทใชในการกาหนดคา (assign) ใหกบสมาชกทกตวของเซต A โดยสมาชกหนงตวมเพยงหนงคา เราเขยน b = f(a) โดย a ∈A, และ b ∈B เราเรยก b วาเปนอมเมจของ a ภายใตฟงกชน f (image of a under f) เราเรยก เซต A วา โดเมน (domain) และเซต B วา ชวงของฟงกชน f (range of f) ในแคลคลส A และ B เปนเซตของเลขจานวนจรง เราขยายความหมายของฟงกชนโดย

– B เปนเซตของจานวนจรง A เปนเซตของจานวนเชงซอน เราเรยกฟงกชนเชนนวา real-valued functions of a complex variable

– ทง A และ B เปนเซตของจานวนเชงซอน เราเรยกฟงกชนเชนนวา complex-valued functions of a complex variable

เรยกฟงกชนอกอยางวา mapping

ถา f(z) เขยนอธบายดวยสมการเชน 2

2

1( )1

zf zz−

=+

และไมมการบอกโดเมนทชดเจน แลวเราจะพจารณาวาโดเมนของ f คอเซตของเลขเชงซอนทงหมดททาใหสมการมความหมาย เชนในกรณตวอยางโดเมนคอเลขเชงซอนทงหมดยกเวน ±i

ถาเราใช w แทนคาของฟงกชน f (w = f(z)) สวนจรงและสวนจนตภาพของ w คอฟงกชนคาเปนจานวนจรง (real-valued functions) ของเลขเชงซอน z ซงสามารถเขยนไดดวยฟงกชนของสองตวแปรจานวนจรง x และ y นนคอ w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) (1) โดย u(x,y) และ v(x,y) เปนฟงกชนคาเปนจานวนจรงและตวแปรจานวนจรง 2 ตว กลาวอกนยหนงคอ เราสามารถเขยนอธบาย (describe) ฟงกชนคาเปนเลขเชงซอนและตวแปรเชงซอน (A complex-valued function of a complex variable) ไดดวยฟงกชนคาเปนจานวนจรงและตวแปรจานวนจรง 2 ตว (real-valued functions of two real variables) จานวน 2 ฟงกชน ดงนนเปนไปไมไดทจะเขยนกราฟแสดงฟงกชน f(z) ทเดยวเพราะม 4 มต เราจงแสดงภาพของคณสมบตบางอยางของฟงกชนโดยการสเกตโดเมนและชวงของฟงกชนซงเปนพนทบนระนาบ ดงแสดงในรปท 3.1 ซงในการสเกตโดเมนคอพนทของ z = x + iy บนระนาบ z (z-plane) และชวง (range)ของฟงกชนคอพนทของ w = u + iv = f(z) บนระนาบ w (w-plane)

รปท 3.1 การสเกตโดเมนและชวงของฟงกชนตวแปรเชงซอน f(z)

ตวอยาง: แสดงฟงกชน f(z) = z3 สาหรบ z ภายในครงดส (semidisk) ซงกาหนดไดโดย |z| ≤ 2, Im z ≥ 0

รปท 3.2 สเกตโดเมนและชวงของฟงกชน w=f(z)=z3 เมอโดเมนคอ semidisk ครงบวก

ถาเขยน z ในรปของ arg| | i zz e เราจะไดวาฟงกชน 3 3 3arg| | i zw z z e= = กลาวคอขนาด

ของ z3 จะเทากบขนาดของ z ยกกาลงสาม ในขณะท arg 3argw z= ดงนน พจารณาใช principal branch เราจะไดวาเมอ 20 Arg

3z π

≤ ≤ แลว 0 Arg w 3Arg 2z π≤ = ≤ ซงคอ 1

รอบของวงกลมสวนขนาดของวงกลมกคอขนาดของ w ซงเปนกาลงสามของขนาดของ z ตามทแสดงในรปทเปนพนทระบายดวยลายในแนวนอน สวนทเหลอของโดเมนคอ z ทม principal argument ในชวง 2 Arg

3zπ π≤ ≤ จะทาให 2 Arg w 3Arg 3zπ π≤ = ≤ ตามทแสดงดวย

พนททระบายดวยลายตาขาย ซงจะเปนพนทททบซอนกบพนทของ w ทม argument ในชวง 2 Arg w 03π≤ ≤ จะเหนวาการสเกตเชนนบอกเฉพาะ z จาก z-plane ซงเปนโดเมนจะถก map ไปยงพนทใด

ใน w-plane โดยไมบอกวา z ใดคกบ w ใด และ z หลายตวอาจจะถก map ลงไปยง w ตวเดยวกนกไดดงตวอยางขางบน 3.2 Limits and Continuity นยาม 1 (การลเขาหรอลมตของลาดบของเลขเชงซอน) ลาดบของเลขเชงซอน { }1nz ∞ (sequence of complex numbers) จะถกเรยกวามลมตเทากบ 0z หรอ ลเขาหา 0z และเราเขยนดวย 0lim nn

z z→∞

= หรอ 0nz z→ เมอ n →∞

ถาสาหรบ 0ε > จะมเลขจานวนเตม N ททาให 0z z ε− < สาหรบทกคา n N>

รปท 3.3 การลเขาหา 0z ของลาดบ { }1nz ∞

รปท 3.3 แสดงการลเขาหรอลมตของลาดบ { }1nz ∞ ตามนยาม 1 จะเหนวาสาหรบทกคาของ

4n > แลว 0z z ε− <

นยาม 2 (การลเขาหรอลมตของฟงกชน) ให f เปนฟงกชนทมคาภายในโดเมนทเปน neighborhood ของ 0z โดยอาจจะยกเวนจด 0z เองท f อาจไมมคา (ไมมนยาม) เราจะพดวา ลมตของฟงกชน f(z) เมอ z เขาหา 0z คอ 0w และเขยนดวย

00lim ( )

z zf z w

→=

หรอ 0( )f z w→ เมอ 0z z→ ถาสาหรบ 0ε > จะมเลขจานวนบวก δ ททาให 0( )f z w ε− < สาหรบทกคาของ z ท

0z z δ− <

รปท 3.4 การลเขาหรอลมตของฟงกชน

รปท 3.4 แสดงการลเขาหรอลมตของฟงกชนตามนยาม 2 จะเปนวาสาหรบทกคาของ z ภายใน disk 0z z δ− < แลว 0( )f z w ε− < นยาม 3 (ความตอเนองของฟงกชน) ให f เปนฟงกชนทมคาภายในโดเมนทเปน neighborhood ของ 0z แลวฟงกชน f ตอเนองทจด 0z (f is continuous at z0) ถา

00lim ( ) ( )

z zf z f z

→=

เราจะพดวาฟงกชน f ตอเนองบนเซต S ถา f ตอเนองททก ๆ จดบนเซต S ฟงกชนทมลมต และ/หรอ ตอเนอง เมอนามา บวก ลบ คณ หรอ หาร กนจะยงคงไดฟงกชนทมลมต และ/หรอ ตอเนองอยดงทฤษฎตอไปน

ทฤษฏ 1 (ลมตของฟงกชนผลบวก ผลลบ ผลคณและผลหาร) If 0

lim ( )z z

f z A→

= และ

0

lim ( )z z

g z A→

= แลว (i)

0

lim( ( ) ( ))z z

f z g z A B→

+ = ± (ii)

0

lim( ( ) ( ))z z

f z g z AB→

= (iii)

0

lim( ( ) / ( )) /z z

f z g z A B→

= โดย 0B ≠ ทฤษฏ 2 (ความตอเนองของฟงกชนผลบวก ผลลบ ผลคณและผลหาร) If f และ g เปนฟงกชนทตอเนองทจด 0z และ 0( ) 0g z ≠ แลว ฟงกชน f+g, f-g, fg และ f/g ตอเนองทจด z0 เชนเดยวกน จากทฤษฎ 1 และ 2 นทาใหเราไดกลมของฟงกชนตอเนองจานวนมากทเปนประโยชนในการนาไปใชงาน ดงตวอยางตอไปน

1. ฟงกชนโพลโนเมยล (polynomial functions) เปนฟงกชนทอยในรปของ 1

1 21 2 1 0

0( )

nn n k

n n kk

p z a z a z a z a a z−

− −− −

=

= + + + + =∑

ซงพสจนไดไมยากตามทฤษฎ 1 และ 2 วา ฟงกชนโพลโนเมยลมคณสมบตตอเนองททกจด z บนระนาบ ดงน

(i) เราใชนยามพสจนวาฟงกชนคาคงทเปนฟงกชนทตอเนองททกคาของ z ซงเปนการพสจนทไมยากเพราะ f(z) = ai ททกจด z ดงนน

00lim ( ) ( )iz z

f z a f z→

= = ททกจดของ z ซงทาใหฟงกชน f(z) = ai ตอเนองททกจดของ z

(ii) เราใชนยามพสจนวาฟงกชน g(z) = z เปนฟงกชนทตอเนองททกจด z บนระนาบ ซงจะเหนวา สาหรบทกจด 0z บน z-plane เราจะได

0 00 0lim ( ) lim ( )

z z z zg z z z g z

→ →= = =

(iii) จาก (ii) และทฤษฎ 2 เราจะไดวา , 0,1,2, , 1kz k n= −… เปนฟงกชนทตอเนองททกจดบนระนาบ

(iv) จาก (i) และ (iii) และทฤษฎ 2 เราจะพสจนไดวา , 0,1, 2, , 1kka z k n= −… เปน

ฟงกชนทตอเนองททกจดบนระนาบ

(v) จาก (iv) เราจะไดวา 1

1 21 2 1 0

0( )

nn n k

n n kk

p z a z a z a z a a z−

− −− −

=

= + + + + =∑ ตอเนอง

ททกจดบนระนาบ

2. ฟงกชนเศษสวนของโพลโนเมยล (Rational Functions) เปนฟงกชนทอยในรปของเศษสวนของโพลโนเมยล นนคอ

1 21 2 1 0

1 21 2 1 0

( )( )( )

m mm m

n nn n

b z b z b z bp zr zq z a z a z a z a

− −− −

− −− −

+ + + += =

+ + + +

ซงจะมความตอเนองทกจดบนระนาบยกเวนจด z ททาใหตวหารเปนศนยหรอหายไป (vanished) กลาวคอทกจดยกเวนจด z ทเปนรากของ ( ) 0q z = การพสจนคณสมบตนเปนไปตามผลจากขอ 1 และทฤษฎท 2

ขอสงเกต 1. เราสามารถทาใหฟงกชนทไมตอเนองบางจด เปนฟงกชนทตอเนองทจดนนไดโดยการ

กาหนดคาทจดไมตอเนองใหเหมาะสม เชน ฟงกชน 2(z) (z 4) / ( 2 )f z z i= + − ไมตอเนองทจด z0 = 2i

สามารถทาใหตอเนองทจดดงกลาวไดดวยกาหนดให f(2i) = 2 ทงนทสามารถกาหนดเชนนแลวทาให f(z) ตอเนองทจด z0 = 2i กเพราะ

2

2 2lim (z) lim (z 4) / ( 2 ) 2z i z i

f z z i→ →

= + − = แตโดยนยามเดมนนฟงกชนนไมมคาทจด z = 2i เพราะมนจะทาใหตวหารเปน 0 ดงนนถาตองการใหฟงกชนนตอเนองทจด z0 = 2i เราสามารถทาไดโดยเพมนยามของฟงกชนทจด z0 นใหมคณสมบตวา 0 2

(z ) (2 ) lim ( ) 2z i

f f i f z→

= = = โดยทวไปแลวเรากลาวไดวา ถาเราสามารถนยามฟงกชนทจดไมตอเนอง z0 ใหม เพอกาจดความไมตอเนองออกไปได ซงการทจะนยามเชนนไดกตอเมอเราสามารถหาลมตของฟงกชนทจด z0 ได เราเรยกฟงกชนทมคณสมบตเชนนวาม ความไมตอเนองแบบขจดทงไดทจด z0 (removable discontinuity at z0)

2. ความแตกตางของลมตในระบบเลขจานวนจรงและระบบเลขเชงซอน ในระบบเลขเชงซอน การเขาหาลมตจะมาจากหลายทาง จานวนเสนทางทเขามานเปนจานวนอนนตในขณะทในระบบเลขจานวนจรงนนมแคสองทาง

3.3 คณสมบตอนาลตก (Analyticity) คณสมบตอนาลตกเปนคณสมบตทตองการมากสาหรบฟงกชนตวแปรเชงซอน เหตผลกคอในการวเคราะหฟงกชนตวแปรเชงซอนนนถาฟงกชนไมมคณสมบตอนาลตกแลว การวเคราะหจะยากมาก แตในทางกลบกนถาฟงกชนตวแปรเชงซอนมคณบตอนาลตก การวเคราะหจะงายขนมาก ในบางกรณงายกวาการวเคราะหในระบบเลขจานวนจรง คาถามจงอยทคณสมบตอนาลตกนเปนอยางไร หรออะไรทาใหฟงกชนมคณสมบตอนาลตก หรอจะใชอะไรตดสนวาฟงกชนมคณสมบตนหรอไม เพอตอบคาถามเหลานลองพจารณาฟงกชนตวแปรเชงซอนตวซงเขยนอยในรปของฟงกชนตวแปรจานวนจรง u(x,y) และ v(x,y) ดงน

ฟงกชนท 1: 1 1 1( )f z u iv= + โดย u1(x,y) = x2 – y2, v1(x,y) = 2xy

ฟงกชนท 2: 2 2 2( )f z u iv= + โดย u2(x,y) = x2 – y2 , v2(x,y) = 3xy จะเหนวาฟงกชนท 1 สามารถเขยนอยในรปของ “หนงหนวย” ของ z = x + iy เพราะ

2 2 2 21 1 1( ) 2 ( )f z u iv x y i xy x iy z= + = − + = + =

แตฟงกชนท 2 ไมสามารถเขยนอยในรปของ “หนงหนวย” ของ z = x + iy ไดตองเขยนแยก 2 2

2 2 2( ) 3f z u iv x y i xy= + = − + คณสมบตทเขยนฟงกชนใหอยในรปของหนงหนวยของ z ดอยางไร? คาตอบมาจาก

ตวอยางในฟงกชนตวแปรจานวนจรง ซงฟงกชนเขยนอยในรปหนงหนวยของ x ทาใหเกดทฤษฎตาง ๆ ทางพชคณต แคลคลส ซงใชในการแกปญหาในรปของตวแปรจานวนจรง ดวยเหตนถาเราสามารถเขยนฟงกชนตวแปรเชงซอนเปนหนงหนวยของ z ได ทฤษฎจานวนมากเหลานสามารถนามาใชกบฟงกชนตวแปรเชงซอนไดทนท

การเขยนฟงกชนตวแปรเชงซอนในรปของหนงหนวยของ z มขอควรระวงเพราะ เราจะไมนบ complex conjugate ของ z ( z ) วาเปนหนงหนวยของ z ทงนเพราะถาเรายอมให (admit) z วาเปนฟงกชนทเขยนในรปของหนงหนวยของ z กจะทาใหเราตองยอมใหฟงกชน

f(z) = x = Re z หรอ f(z) = y = Im z เพราะ Re2

z zz += และ Im

2z zz

i−

= แตฟงกชน Re z และ Im z ไมใชฟงกชนในรปของหนงหนวยของ z แนนอนเพราะทงสองกรณเปนฟงกชนคาเปนจานวนจรงและตวแปรเปนจานวนจรง เราเรยกฟงกชนทเขยนในรปของหนงหนวยของ z ไดตามกฎเกณฑน (ไมยอมรบ z , Re z, และ Im z) วา admissible functions และเรยกฟงกชนทไมใชวา inadmissible functions ตวอยางทง admissible functions

2 2 2

3 3 2 2 3

2 2 2 2

( ) ( ),( ) 2 ( ),( ) 3 (3 ) ( ),

1( ) ( )

f z z x iy admissiblef z z x y i xy admissiblef z z x xy i x y y admissible

x yf z i admissiblez x y x y

= = +

= = − +

= = − + −

= = −+ +

และ inadmissible functions

2 2

Re ( ),Im ( ),

3 ( ),( )

( ) | | ( )

z x inadmissiblez y inadmissiblez x y i xy inadmissiblez x iy inadmissible

f z z inadmissible

==

= − += −=

ฟงกชน z เปนฟงกชน inadmissible เพราะถาเรายอมให z วาอยในรปหนงหนวยของ z แลวจะทาใหเราตองยอมรบ z เพราะ 2

zzz

= ซงจะตองทาใหเราตองยอมรบ Re z และ Im z ซงเปนไปไมได

การทเราใช z เปนตวบอกวาฟงกชน admissible หรอไมนนใชไมไดเสมอไป ดงเชนฟงกชนขางลางน

2 2 2 2

2 2

2 2 110 2 5 5z z z z zz z

z zz zz z z+ + − − ++ − − + −

แมจะปรากฏ z แตกเปนฟงกชนทสามารถเขยนในรปของ z ไดเพราะเทอมทม z จะหกลางกนไป ฟงกชน ze ตามนยามทเราใชคอ (cos sin )z xe e y i y= + แยกสวนจรงและสวนจนต

ภาพ แตเราสามารถนยาม ze ในในรปของ z ตวเดยวไดไดเปน 2 3

12! 3!

z z ze z= + + + + แสดงวาสาหรบฟงกชนทเขยนกนอยกอาจจะเปน admissible function ได จะเหนวาเกณฑจากการดวาฟงกชนมหรอไมม z นนใชไดกบบางกรณเทานน

เกณฑทดกวาสาหรบแยกแยะฟงกชนใหมคณสมบตดงกลาวขนอยกบ ความสามารถในการหาอนพนธ (differentiability) ของฟงกชน ซงมนยามดงน นยาม 4 (Differentiability) ให f เปนฟงกชนทมคาภายในโดเมนทเปน neighborhood ของ 0z

แลว อนพนธของฟงกชน f หาไดตามนยามขางลาง

0 00 0 0

( ) ( )( ) ( ) : lim ,z

f z z f zdf z f zdz z∆ →

+ ∆ −′≡ =∆

โดยลมตดงกลาวหาคาได เราเรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนทหาอนพนธไดทจด 0z (f is differentiable at z0) ถาฟงกชน f หาคาลมตดงกลาวไดทจด 0z

จดสาคญของนยามนคอ ∆z เปนเลขเชงซอน ดงนนการเขาใกลศนยของมน มาไดจากหลายทาง (จากขวา ซาย บน ลาง แมแตเปน เกลยวหมนเปนกนหอย (spiral) เขามา) แตไมวามนจะมาจากทางใด คาลมตของมนตองมเพยงคาเดยว คอเทากบ f’(z0) ถงจะเรยกฟงกชนนนวาหาอนพนธไดทจด 0z (differentiable at z0) เราสามารถใชเงอนไขนนยามแสดงใหเหนวาฟงกชน ( )f z z= เปนฟงกชนทหาอนพนธไมไดททก ๆ จด z บนระนาบ

รปท 3.5 การลเขาหา 0z จากทางดานแกน x และแหน y

0 0 0 0

0 0 0

( )

( ) ( )

f z z

f z z f z z z z zz z z

z z z x iy x iy x i y

=

+ ∆ − + ∆ − ∆= =

∆ ∆ ∆∆ = − = + − − = ∆ + ∆

ดงนน เมอ 0z z→ ตามแนวแกน x เราจะไดวา z x i y x∆ = ∆ + ∆ = ∆ เพราะคา y ของทกจด z ทเขาหาจด z0 ตามแนวแกนนอนนนมคาเทากนทกจดทาให 0y∆ =

0 0( ) ( ) 1f z z f z z xz z x

+ ∆ − ∆ ∆= = =

∆ ∆ ∆

เมอ 0z z→ ตามแนวแกน y เราจะไดวา z x i y i y∆ = ∆ + ∆ = ∆ เพราะคา x ของทกจด z ทเขาหาจด z0 ตามแนวแกนตงนนมคาเทากนทกจดทาให 0x∆ =

0 0( ) ( ) 1f z z f z z i yz z i y

+ ∆ − ∆ − ∆= = = −

∆ ∆ ∆

จะเหนวาคาลมต 0 0( ) ( )f z z f zz

+ ∆ −∆

เมอ 0z z→ ในทศทางทตางกนไมเทากน นนคอฟงกชน ( )f z z= หาอนพนธไมไดทจด z ใด ๆ บนระนาบ

คณสมบตการหาอนพนธไดสงตอไปยงฟงกชนผลบวก ผลลบ ผลคณ และผลหารดงทฤษฎตอไปน ทฤษฎ 3 ถา f และ g หาอนพนธไดทจด z0 แลว

0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) (5)( ) ( ) ( ) (for any constant ) (6)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7)

f g z f z g zcf z cf z cfg z f z g z f z g z

fg

′ ′ ′± = ±′ ′=′ ′ ′= +

⎛

⎝ [ ]0 0 0 0

0 020

( ) ( ) ( ) ( )( ) if ( ) 0 (8)( )

( ( )) ( ( )) ( ) (9)

f z g z f z g zz g zg z

d f g z f g z g zdz

′ ′ ′⎞ −= ≠⎜ ⎟

⎠

′ ′=

สงเกตวาสมการ (9) คอ chain rule และจะเหนวาถาฟงกชนมคณสมบต differentiability

แลวมนจะมคณสมบต continuity จากสมการ (4), (5) และ (6) พบวา โพลโนเมยลในรปของตวแปร z (Polynomial in z)

11 1 0( ) n n

n nP z a z a z a z a−−= + + + +

เปนฟงกชนท differentiable ในทกจดบนระนาบ โดย 1 2

1 1( ) ( 1)n nn nP z na z n a z a− −

−′ = + − + + เมอใชสมการ (8) รวมดวยเราจะไดวา rational function เปนฟงกชนท differentiable ทกจดภายในโดเมนของมน นนคอ

1

1 1 01

1 1 0

( )m m

m mn n

n n

b z b z b z bR za z a z a z a

−−

−−

+ + + +=

+ + + +

มโดเมนคอทกจด z บนระนาบยกเวนจด z ทเปนรากของสมการ 1

1 1 0 0n nn na z a z a z a−

−+ + + + = ดงนน ( )R z′ จะหาคาไดทกจด z บนระนาบยกเวนจด z ทเปนรากของสมการขางบน

ในแงของการหาอนพนธแลว rational function ของเลขเชงซอนมคณสมบตเหมอนของเลขจานวนจรง

เรานยาม analytic บนโดเมน แตบางครงเราอาจใชเทอม analytic at the point z0 เพอหมายถงวาฟงกชน analytic บน neighborhood ของ z0

ถาฟงกชน f(z) มคณสมบต analytic บนเซตของระนาบเชงซอน เราเรยก f(z) วา entire function 3.4 The Cauchy-Riemann Equations

คณสมบต analyticity แสดงถงความเชอมโยงระหวาง สวนจรงและสวนจนตภาพ ของฟงกชน

เชงซอน ถาฟงกชน f(z) = u(x,y) + iv(x,y) เปนฟงกชนท differentiable ทจด 0 0 0z x iy= + แลว 0 0

0 0 0

( ) ( )( ) ( ) : lim ,z

f z z f zdf z f zdz z∆ →

+ ∆ −′≡ =∆

คานวณโดยการให ∆z เขาใกลศนยจากทศทางใดกได ถามนเขาใกลศนยในแนวนอน (บนแกน x หรอ ∆z = ∆x) แลว

0 0 0 0 0 0 0 00 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) lim

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim

(

x

x x

u x x y iv x x y u x y iv x yf zx

u x x y u x y v x x y v x yix x

u vix x

∆ →

∆ → ∆ →

+ ∆ + + ∆ − −′ =∆

+ ∆ − + ∆ −= +

∆ ∆∂ ∂

= +∂ ∂

1)

ถามนเขาใกลศนยในแนวตง (บนแกน x หรอ ∆z = i∆y) แลว 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) lim

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim

y

y y

u x y y iv x y y u x y iv x yf zi y

u x y y u x y v x y y v x yii y i y

u viy y

∆ →

∆ → ∆ →

+ ∆ + + ∆ − −′ =∆

+ ∆ − + ∆ −= +

∆ ∆∂ ∂

= − +∂ ∂

(2)

แตทงสองกรณคอคาอนพนธของฟงกชน f(z) ทจด z0 เชนเดยวกน จงเทากน

, (3)u v u vx y y x∂ ∂ ∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂ ∂

สมการ (3) คอ Cauchy-Riemann Equation

นยาม 5 (Analyticity) เราจะเรยกฟงกชนเลขเชงซอน (complex-valued function) f(z) วาเปนอนาลตก (analytic) หรอมคณสมบตอนาลตก บนเซตเปด G ถาฟงกชน f มอนพนธททกจดบนเซต G

ตวอยาง แสดงใหเหนวาฟงกชน f(z) = (x2 + y) + i(y2 - x) ไมอนาลตกทจดใดเลย u(x,y) = x2 + y และ v(x,y) = y2 - x เราจะได

2 , 2 , 1, 1u v u vx yx y y x∂ ∂ ∂ ∂

= = = = −∂ ∂ ∂ ∂

จะเหนวา ถา x = y ฟงกชน f(z) จะ analytic แต x = y เปนเซตของจดบนเสนตรง ดงนนไมมทางท f(z) จะมคณสมบตเปนไปตาม Cauchy-Riemann Equations บน open disk (อนาลตกนยามบนเซตเปดซงเสนตรงไมใช) ทฤษฎ 4 บอกเฉพาะเงอนไขทจาเปนแตไมเพยงพอสาหรบทจะบอกวาฟงกชน f(z) เปนฟงกชนอนาลตกหรอไม ทฤษฎตอไปนบอกเงอนไขทเพยงพอ

ตวอยาง พสจนวาฟงกชน f(z) = ez = excos y + iexsin y เปนฟงกชน entire (analytic บนระนาบเชงซอน) และหา derivative ของมน

cos , cos , sin , sinx x x xu v u ve y e y e y e yx y y x∂ ∂ ∂ ∂

= = = − =∂ ∂ ∂ ∂

อนพนธยอยทกตวตอเนองและ เปนไปตามสมการ Cauchy-Riemann equations ดงนน ez เปนฟงกชน entire ซงคา derivative ของ มนคอ

ทฤษฎ 5 ใหฟงกชน f(z) = u(x,y) +iv(x,y) มนยามบนเซตเปด G ทม จด z0 อย ถาอนพนธยอยลาดบท 1 ของ u(x,y) และ v(x,y) หาคาไดทจด z0 ในเซต G แลว เงอนไขทจาเปนและเพยงพอสาหรบ ฟงกชน f(z) ทจะหาอนพนธไดทจดคอสมการ Cauchy-Riemann ตองเปนจรงทจด z0 และอนพนธยอยลาดบท 1 ของ u(x,y) และ v(x,y) ตอเนองทจด z0 ผลทตามมาคอ ถาอนพนธยอยของ u(x,y) และ v(x,y) ตอเนองและสมการ Cauchy-Riemann ตองเปนจรงททกจด z บนเซต G แลวฟงกชน f อนาลตกในเซตเปด G

ทฤษฎ 4 เงอนไขทจาเปนสาหรบฟงกชน f(z) = u(x,y) +iv(x,y) ทจะหาอนพนธไดทจด z0 คอสมการ Cauchy-Riemann ตองเปนจรงทจด z0 ผลทตามมาคอ ถาฟงกชน f อนาลตกในเซตเปด G แลวสมการ Cauchy-Riemann ตองเปนจรงททกจด z ในเซต G

( ) cos sin ( )x xu vf z i e y ie y f zx x∂ ∂′ = + = + =∂ ∂

คณสมบต connectedness มความสาคญมากตอทฤษฎ 6 ใชทฤษฎ 6 บวกกบสมการ

Cauchy-Riemann เราสามารถแสดงไดวาฟงกชน f(z) ท analytic จะเปนฟงกชนคงทเมอ คณสมบตอยางนอยหนงอยางดงตอไปนเปนจรง

– Re f(z) is constant (7) – Im f(z) is constant (8) – |f(z)| is constant (9)

3.5 Harmonic Functions

สมการลาปาซ 2 มต (two-dimensional Laplace equation) 2 2

2 2: 0x yφ φφ ∂ ∂

∆ = + =∂ ∂

(1)

เปนสมการทมความสาคญในคณตศาสตรของฟสกส ตวอยางปญหาทางฟสกสทจดอยในรปของ Laplace equation คอ

– Electrostatic potential – Scalar magnetostatic potential – two-dimensional fluid flow – displacement of a membrane stretched across a loop of wire, if the loop

is nearly flat การใช analytic function theory ทสาคญทสดคอการใชหาคาตอบของ Laplace equation ซงมอยจานวนมากในทางวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร

ทฤษฎ 6. ถา f(z) อนาลตกในโดเมน D และ ถา f′(z) = 0 ททกจดใน D แลว f(z) เปนฟงกชนคาคงทในโดเมน D.

นยาม 6. ฟงกชนคาจรง (real-valued function) φ(x,y) จะเรยกวาเปนฟงกชนฮารโมนกในโดเมน D ถาอนพนธยอยอนดบ 2 ของมนทกตวตอเนองในโดเมน D และถาฟงกชน φ เปนไปตามสมการ (1) ททกจดในโดเมน D

สวนจรงและสวนจนตภาพของ analytic function ม partial derivatives ทกลาดบ

(2)u uy x x y∂ ∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

ใชสมการ Cauchy-Riemann เราจะได 2 2

2 2

u v v u v vy x y y y x y x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = = − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ซงแสดงวา v(x,y) เปนฟงกชนฮารโมนก ทานองเดยวกนเราสามารถพสจนวา u(x,y) กเปนฟงกชนฮารโมนก กาหนด harmonic function u(x,y) ใด ๆ ให เราสามารถ harmonic function v(x,y) ทจะทาให u +iv เปน analytic function ฟงกชน v เรยกวาเปน harmonic conjugate ของ u ตวอยาง สรางฟงกชน analytic จาก harmonic function u(x,y) = x3 - 3xy2 + y

เรมจากตรวจสอบวา 2 2

2 2 6 6 0u u x xx y∂ ∂

+ = − =∂ ∂

ซงแสดงวา u เปน harmonic function จรง แลวหาฮารโมนกคอนจเกทของมน คอ v(x,y) ซงเปนไปตามสมการ Cauchy-Riemann

2 23 3 and 6 1 v u v ux y xyy x x y∂ ∂ ∂ ∂

= = − = − = −∂ ∂ ∂ ∂

ถามอง x เปนคาคงทแลวอนตเกรตสมการ (3) เทยบกบ y เราจะได

2 3( , ) 3 constantv x y x y y= − + คาคงทอาจจะเปนฟงกชนของ x กได ดงนน

2 3( , ) 3 ( )v x y x y y xψ= − + เราสามารถหา ( )xψ ไดโดยแทน v(x,y) จากสมการขางบนลงในสมการ (4) ทาใหเราได 6 ( ) 6 1v xy x xy

xψ∂ ′= + = −

∂

หรอ ( ) 1 ( )x x x aψ ψ′ = − ⇒ = − + โดย a เปนคาคงทจานวนจรงไมใชฟงกชน ดงนน v(x,y) = 3x2y - y3 - x + a

ทฤษฎ 7. ถา u(x,y) + iv(x,y) อนาลตกในโดเมน D แลวทง u(x,y) และ v(x,y) เปนฟงกชนฮารโมนกในโดเมน D.

และ f(z) = x3 - 3xy2 + y +i(3x2y - y3 - x + a)

ซงเราอาจมองเปน f(z) = z3 – iz - ia = z3 – iz - c

เราสามารถเรยนร analytic function โดยการศกษา harmonic functions และในทางตรงขามเราเรยนร harmonic functions จาก analytic functions

Harmonic functions 2 ตวทประกอบเปนสวนจรงและสวนจนตภาพของ analytic function เปนตวสรางกลมของ curves ใน xy-plane เรยกวา level curves หรอ isotimic curves u(x,y) = constant (6) v(x,y) = constant (7)

ถา u เปนศกยไฟฟาสถต (electrostatic potential) เราเรยก curves ในสมการ (6) หรอ (7) วาequipotentials ถา u เปนอณหภมเราเรยก curves ในสมการ (6) หรอ (7) วา isothermals

รปท 3.6 Level curves ทเกดจากสวนจรงและสวนจนตภาพของฟงกชน z2

รปท 3.6 แสดง level curves หรอ isotimic curves ของ harmonic functions ทประกอบกนเปนสวนจรงและสวนจนตภาพของ analytic function f(z)=z2 = (x + iy)2 = x2 + y2 + i2xy นนคอ

u(x,y) = x2 + y2 = constant v(x,y) = 2xy = constant สงเกตวาเมอพลอตสมการทงสองในแกนระนาบเดยวกน จดตดของ level curves ของ u(x,y)

จะตงฉากกบเสน level curves ของ v(x,y) คณสมบตนเปนจรงสาหรบ u(x,y) และ v(x,y) ทเปนสวนจรงและสวนจนตภาพของฟงกชนอนาลตกใด ๆ (จะเหนวา z2 เปนฟงกชนอนาลตก)

จะเหนวา [ ]/ , /u x u y∂ ∂ ∂ ∂ เปน gradient vector ของ u และตงฉากกบ level curves ของ u และ [ ]/ , /v x v y∂ ∂ ∂ ∂ เปน gradient vector ของ v และตงฉากกบ level curves ของ v dot product ของ gradient vectors ของ u และ v คอ

0u v u v v v v vx x y y y x x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

สมการหลงไดจากการใช Cauchy-Riemann equations จะเหนวาถา gradient vectors ของ u และ v ไมเปนศนยแลว มนจะตงฉากกน ตวอยาง หา harmonic function φ(x,y) ในพนทดานขวาของแกน y (x > 0) และอยระหวาง curves x2 – y2 = 2 และ x2 – y2 = 4 โดย φ(x,y) มคา 3 ทขอบดานซายของพนท และมคา 7 ทขอบดานขวา คาตอบ: เราจาไดวา x2 – y2 คอสวนจรงของฟงกชน z2 นนคอ x2 – y2 = 2 และ x2 – y2 = 4 ซงเปนเสนขอบของพนท (boundary) เสน level curves ของ harmonic function ทเรารจก เพอใหเปนไปตามเงอนไขของคาบนเสนขอบดวยเราเพมฟงกชนดงน φ(x,y) = A(x2 – y2) + B, A, B เปนจานวนจรง เมอ x2 – y2 = 2 เราได φ(x,y) = 2A + B = 3 เมอ x2 – y2 = 4 เราได φ(x,y) = 4A + B = 7

รปท 3.7 พนททมคณสมบตตาม Laplace’s equation

ดงนน เราได A = 2 และ B = -1 φ(x,y) = 2(x2 – y2) - 1 3.6 Elementary Functions ฟงกชนอนาลตกมบทบาทอยางมากตอ complex analysis ดงนนในสวนนเราจะพจารณาฟงกชนอนาลตกทเปนพนฐานสาหรบ complex analysis โดยจะพจารณาฟงกชนเหลานในเรองของ นยาม (definition) อนพนธ (derivatives) ขนาด (absolute or modulus) argument และโดเมน รวมทงทฤษฎทเกยวของทจะเปนประโยชนในการวเคราะหฟงกชนเชงซอน 3.6.1 Exponential Function เปนฟงกชนทเราไดพจารณาไปแลว ถอวาเปนฟงกชนทมคณสมบตทดมาก เพราะนอกจากจะเปนฟงกชน entire แลว ยงมอนพนธเปนตวมนเอง นยาม (cos sin )z x x iye e y i y e e= + = โดเมน ทงระนาบ ( ze เปน entire function)

อนพนธ ( )z

z zde e edz

′= = มอดดลส z xe e= argrument arg 2 , 0, 1, 2,ze y k kπ= + = ± ±

ฟงกชน xe (x เปนจานวนจรง) เปนฟงกชนแบบหนงตอหนง (one-to-one) ท map จากจานวนจรงไปหาจานวนจรง แตเมอเปนฟงกชน ze (z เปนเลขเชงซอน) ไมใชฟงกชนแบบหนงตอหนงบนระนาบเชงซอน โดยจะเหนวาจะมหลายคาของ z ทใหคาของ arg zz x i ee e e= เทากน นนคอฟงกชน ze เปนฟงกชนแบบ many-to-one ทฤษฎท 1 ตอไปนอธบายคณสมบตนของ ze

คณสมบตทสาคญจากทฤษฎท 1 คอฟงกชน ze เปนฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) ซงในกรณทวไปสาหรบฟงกชนทเปนคาบเราจะไดวา

Theorem 1: (i) A necessary and sufficient condition that 1ze = is that 2z k iπ= , where k is an integer.

(ii) A necessary and sufficient condition that 1 2z ze e= is that 1 2 2z z k iπ= + , where k is an interger.

ฟงกชน f เปนทเปนคาบในโดเมน D ถา ( ) ( )f z f zλ+ = เราเรยก λ วาเปนคาบ (period)ของฟงกชน f

ตามทฤษฎท 1 เราจะไดวา ฟงกชน ze เปนฟงกชนทเปนคาบ (periodic function) ทมคาบเทากบ 2k iπ เพราะ 2z z k ie e π+= จากคณสมบตนถาเราแบงระนาบเชงซอน z-plane ออกเปนสวน ๆ ทางดานแกนจนตภาพ (แกน y) ใหแตละชวง มความกวางทางดานแกน y เทากบ 2π โดยใหสวนแรกเรมจาก iπ− ถง iπ สวนทางดานแกน x ใหรวมเอาทกคาของ x ไวในแตละสวน เราจะไดการแบงระนาบดงกลาวดงแสดงในรปท 3.8

รปท 3.8 การแบงสวนของ z-plane ททาให ze มคาเทากน

การแบงสวนของ z-plane เชนนเปนการแบงตามคาบของ ze นนคอ ถาใหโดเมน

{ }| , (2 1) (2 1) , 0,1, 2,nS z x iy x n y n nπ π= = + −∞ < < ∞ − < ≤ + = แลวฟงชน ze สาหรบ z ภายใน nS จะเปนฟงกชนแบบหนงตอหนง เราเรยกโดเมน nS วาเปน fundamental region สาหรบฟงกชน ze

z

2 2 2z z i z i z k ie e e eπ π π+ − ±= = = =

3.6.2 Trigonometric Functions ฟงกชนตรโกณมต (trigonometric functions) เปนฟงกชนพนฐานอกกลมหนงสาหรบ

การวเคราะหเชงซอน ความจรงแลวฟงกชนเอกโปเนนเชยลมนยามมาจากฟงกชนตรโกณมตของตวแปรจานวนจรงตามสมการของออยเลอร นนคอ cos siniye y i y= + ซงทาใหเราเขยนฟงกชน cos y และฟงกชน sin y ในรปของ iye ไดดงน

cos and sin2 2

iy iy iy iye e e ey yi

− −+ −= =

เราจะใชความสมพนธนขยายเปนนยามของ cos z และ sin z เมอ z x iy= + ดงน

โดเมน ฟงกชน cos z และ sin z เปน entire functions เพราะ ize และ ize− เปนฟงกชน entire อนพนธ

( )1sin ( ) cos2 2

cos sin

iz iziz izd d e ez ie i e z

dz dz i id z zdz

−−⎛ ⎞−

= = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

มอดดลส

( )

( )

1 1cos2 2 2

1 1sin2 2 2

iz iziz iz iz iz

iz iziz iz iz iz

e ez e e e e

e ez e e e ei

−− −

−− −

+= = + ≤ +

−= = − ≥ −

argument ยากในการหาสมการปดของ argument คณสมบตทสาคญ

Definition 1: Given any complex number z, we define

cos and sin2 2

iz iz iz ize e e ez zi

− −+ −= =

สมการ (6) แสดงใหเหนวาฟงกชน sin z และ cos z เปน periodic functions และ sin z = 0 ถา z = kπ และ z = kπ ถา sin z = 0 cos z = 0 ถา z = π/2 + kπ และ z = π/2 + kπ ถา cos z = 0

ฟงกชนตรโกณมตอน ๆ นยาม ไดจากความสมพนธทางดานตรโกณมตดงน

sin costan : , cot :cos sin

1 1sec : , csc :cos sin

z zz zz z

z zz z

= =

= =

โดเมน 1. สาหรบฟงกชน tan z และ sec z จะมนยามทกคาของ z ยกเวนจดท cos 0z = ซงไดแก

จด z = π/2 + kπ โดย k คอเลขจานวนเตม 2. สาหรบฟงกชน cot z และ csc z จะมนยามทกคาของ z ยกเวนจดท sin 0z = ซงไดแก

จด z = kπ โดย k คอเลขจานวนเตม อนพนธ

2 2tan sec , cot csc

sec sec tan , csc csc cot

d dz z z zdz dzd dz z z z z zdz dz

= = −

= = −

คณสมบต คณสมบตทางดานตรโกณมตอน ๆ เปนจรงสาหรบฟงกชนตรโกณมตตวแปรเชงซอน 3.6.3 Hyperbolic Functions

โดเมน ฟงกชน cosh z และ sinh z เปน entire functions เพราะ ze และ ze− เปนฟงกชน entire

Definition 2: Given any complex number z, we define

cosh and sinh2 2

z z z ze e e ez z− −+ −

= =

อนพนธ

( )1sinh ( 1) cosh2 2

cos sin

z zz zd d e ez e e z

dz dzd z zdz

−−⎛ ⎞−

= = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

คณสมบต sinh sin cosh cosz i iz z iz= − = ฟงกชน hyperbolic อน ๆ

sinh coshtanh : , coth :cosh sinh

1 1sech : , csch :cosh sinh

z zz zz z

z zz z

= =

= =

3.6.4 Logarithmic Function

ทผานมาเราใชคาวา “ฟงกชน” ใหหมายถงกฎทใชกาหนดคาใหกบสมาชกทกตวของโดเมน โดยสมาชก 1 ตวมคาของฟงกชน 1 คา ถา ฟงกชน f มคณสมบตดงกลาว เราอาจพดใหชดเจนวา “f เปนฟงกชนทมคาเดยว” ( f is a single-valued function)

มการ mapping ทไมใช single-valued function เชน w = arg z และ w = z1/2 ดงนนในรปทวไป ถาคา z หนงคาใหผลตอคา w = f(z) มากกวาหนงคา เราเรยกฟงกชนนนวา “ฟงกชนแบบหลายคา” (multiple-valued function) โดยทวไปเราหา multiple-valued function จากการหา inverse function ของ single-valued functions ทไมใชฟงกชนหนงตอหนง หรอกลาวอกนยหนงคอ multiple value functions เปน inverse function ของ single-valued functions แบบ many-to-one เราจะใชคณสมบตนนยาม logarithmic function (log z) ซงเปน inverse function ของ

we ตองการนยามวา log z เปน inverse function ของ ew นนคอ

w = log z if z = ew (1) ew ไมมทางเทากบ 0 ดงนนโดเมนของ log z คอระนาบเชงซอนยกเวนเมอ z = 0

เขยน z ในรป exponential ได z = reiθ และเขยน w ในรปมาตรฐาน w=u+iv เราได

reiθ = eu+iv = eueiv (2) หรอ r = eu และ θ = v ซงหมายถง u = Log r = Log |z| และ v = arg z

โดย Log หมายถง natural logarithmic function ของตวแปรจานวนจรง ดงนนเรานยามฟงกชน log z ดงน

การมหลายคาของ log z สะทอนถง สวนจรงของ log z เปนฟงกชนคาเดยว แต argument ของมนคอมมของ θ ใน Polar form นนมหลายคา ตวอยาง ถา z ≠ 0 แลวเราจะได z = elog z แต log ez = z + i2kπ (k = 0, ±1, ±2, … ) จากคณสมบต arg z1z2 = arg z1 + arg z2, arg (z1/z2) = arg z1 – arg z2 (4) ถาใชสมการ (3) และ คณสมบตตามสมการ (4) เราจะได

log z1z2 = log z1 + log z2 (5) log z1/z2 = log z1 – log z2 (6)

โดยใหตความสมการ (5) และ (6) วาถาเรารคาสองคาของสมการแลว เราจะหาคาทสามเพอใหเปนไปตามสมการได เชน ถา z1 = z2 = -1 และเราเลอก iπ เปนคาของ log z1 และ log z2 แลว

เราจะได i2π เปนคาของ log z1z2

เราใช branch cut เปนตวแกปญหาความคลมเครอของมม θ= arg z เชนถา branch ของมม θ อยในชวง (-π, π] ซงเรยกวา principal branch แลว branch cut เกดขนทดานลบของแกน x โดยเกดการกระโดดของมมเทากบ 2π เรเดยน

ถา branch ของ θ อยในชวง (τ, τ+ 2π] จะเกดการกระโดดของมมเทากบ 2π เรเดยนทเสน branch cut ทมม θ=τ ใชหลกการเดยวกน เราสามารถหา branch ทจะทาใหฟงกชน log z เปน single-valued function นยาม

เรานยามฟงกชน log z เมอ arg z = Arg z (principal branch ของ z) Log z := Log |z| + iArg z (7)

เรยก Log z ดงกลาววาเปน principal branch ของ log z

Definition 3. If z ≠ 0, then we define log z to be any of the infinitely many values log z := Log |z| + i arg z = Log |z| + iArg z + i2kπ (3)

ใชสญลกษณ Log เชนเดยวกบกรณตวแปรจานวนจรง เพราะนยามดงกลาวเปนจรงเมอ z เปนจานวนจรง (Arg z = 0) โดเมน

Log z ตอเนองททกจดยกเวน จดทอยบนแกน x ดานลบและจด origin อนพนธ

ผลจากทฤษฎท 1 และจะไดความสมพนธของ harmonic functions กบฟงกชน Log z ดงน

Theorem 2. The function Log z is analytic in the domain D* consisting of all points of the complex plane except those lying on the nonpositive real exist (see Fig. 3.9). Furthermore, 1Log d z

dz z= , for z in D*

x

y D*

0

รปท 3.9 โดเมน D* หมายถงทกจด z ยกเวนจด z ท Im z = 0 และ Re z ≤ 0

Corollary 1. The function Arg z is harmonic in the domain D* of Theorem 2

Corollary 2. The function Log |z| is harmonic in the entire plane with the exception of the origin.

ตวอยาง 1 หาโดเมนททาใหฟงกชน f(z) มคณสมบตอนาลตกโดย f(z) := Log(3z – i) Soln: f(z) เปน composite function ของ Log นนคอ f(z) = Log g(z) โดย g(z) = 3z – i ดงนนเราใช chain rule ได กลาวคอ จะหาอนพนธของ f ไดในโดเมนทคา g(z) อยบนโดเมน D* ตามทฤษฎท 2 ดงนนเราไมยอมให 3z – i เทากบจดทไมเปนคาบวกบนเสนแกน x ซงเซตดงกลาวคอเสนตรง x ≤ 0 และ y = 1/3

กาหนด branch อนของ log z ไดโดยการกาหนดเสนทเกดความไมตอเนอง หรอกาหนด

branch cut แลวเราจะไดโดเมนทานองเดยวกบ D* นนคอ เปนโดเมนทรวมทกจดบนระนาบยกเวนจดบนเสน branch cut ททาให log z เปน single-valued function

ในรปทวไป Lτ(z) = Log z + arg τ z (12)

จะ ทมสวนจนตภาพอยในชวง (τ, τ+ 2π] ยงไปกวานน ดวยเหตผลเดยวกบทเราใชในการพสจนทฤษฎท 2 เราจะไดวา ฟงกชนดงกลาวจะอนาลตกในระนาบเชงซอนยกเวนจดบนเสนตรง θ = τ และจด origin และ d

dz Lτ(z) = 1

z บนโดเมนของ Lτ(z)

ตวอยางถากาหนด branch cut คอ θ = -π/4 เราจะไดฟงกชนหนงตอหนง L-π/4(z) = Log z + arg-π/4 z ซงอนาลตกบนโดเมนตามรปท 3.11

x

y D*

0

i/3

รปท 3.10 โดเมนททาใหฟงกชน Log (3z – i) เปนฟงกชนอนาลตก

เราอาจขยายวธการนยามฟงกชน Lτ(z) ไปใชในการนยาม branch ของ multiple-value

function f(z) ใด ๆ ดงน

ตวอยาง 2 หา branch ของ f(z) = log (z3 – 2) ท analytic ทจด z = 0, และหาคา f(0) และคา f’(0) คาตอบ: f(z) เปน composite function ของฟงกชน logarithm โดยมอนาลตกฟงกชน g(z) = z3 – 2 เปนโดเมน ดงนนตาม chain rule แลว มนเปนการเพยงพอทจะใหได f(z) ท analytic ทจด z = 0 โดยการเลอก branch ของ ฟงกชน logarithm ท analytic ทจด g(0) = -2 ตวอยางของ branch ของ logarithmic function เชนนคอ L-π/4(z) ดงนน f(z) = L-π/4(g(z)) 3.6.5 Complex Powers

ความสาคญประการหนงของฟงกชน logarithm กคอใชสาหรบนยามกาลงของเลข

เชงซอน ซงไดแรงจงใจจาก zn = (elog z)n = en log z ซงเปนจรงสาหรบ n ทเปนจานวนเตม

Definition 4. F(z) is said to be a branch of a multiple-value function f(z) in a domain D if F(z) is single-valued and continuous in D and has the property that, for each z in D, the value F(z) in one of the values of f(z)

x

y

0 -π/4

รปท 3.11 โดเมนททาใหฟงกชน L-π/4 (z) เปนฟงกชนอนาลตก

ซงตามนยาม 5 นหมายความวา แตละคาของ log z นาไปสคาของ zα ถาใชการเขยน logarithmic function ตามสมการ (3) เราจะได

(Log Arg 2 ) (Log Arg ) 2

0, 1, 2,

z i z k i z i z k iz e e ek

α α π α α π+ + += == ± ± …

(1)

คาของฟงกชน zα เมอ k = k1 และ k = k2 (k1≠ k2) จะมคาเทากนเมอ 1 22 2k i k ie eα π α π=

ตามทฤษฎ 1 เงอนไขดงกลาวจะเกดขนเมอ 1 22 2 2k i k i m iα π α π π= + โดย m เปนเลขจานวนเตม ซงเมอแกสมการแลวเราจะได

1 2

mk k

α =−

ดงนนเราจงกลาวไดวา สมการ (1) จะใหคาทเหมอนกน (identical values) กตอเมอ α เปนจานวนจรงทเปนเศษสวน แตถา α เปนเลขเชงซอนทไมใช pure real number แลวจะมเลขเชงซอน w จานวนเปนอนนตทมคาเทากบ zα

พจารณา α = m/n โดย m และ n เปนจานวนเตม แลว zα = zm/n มคาทแตกตางกน n คา คอ

(Log ) ( Arg 2 )/

0, 1, 2,

m mz i z k im n n nz e ek

π+=

= ± ± … (2)

ซงเปนไปตามทฤษฏเกยวกบรากท n ของ z ทไดกลาวมาแลว จะเหนวาจานวนคาของ zα ขนอยวา α เปนตวเลขแบบใดซงสรปไดดงน

– zα เปนฟงกชนคาเดยวเมอ α เปนจานวนเตม

– zα เปนฟงกชนทมหลายคา โดยมจานวนคาทแตกตางกน n ตวเมอ α เปนจานวนจรงทเปนเลขเศษสวน m/n , m และ n เปนจานวนเตมทไมมตวรวม (n หาร m ไมลงตว)

– zα เปนฟงกชนคาเดยวเมอ α เปนเลขอน ๆ นอกเหนอจากสองขอขางบน

Definition 5. If α is a complex constant and z ≠ 0, then we define zα โดย zα := eα log z

ตามนยาม 5 และ 6 แตละ branch ของ log z จะเกด branch ของ zα

โดยการใช Log z ซงเปน principal branch ของ log z เราจะได principal branch สาหรบ zα

ซงจะอนาลตกในโดเมน D* = C\(-∞, 0] ทนยามตามทฤษฎ 2 และสาหรบ z ∈D* แลว

Log Log Log( Log )z z zd de e z edz dz z

α α α αα= =

ถากาหนด branch ของ log z ใหเราจะได

1( )d z edz z

α αα= (3) โดย branch ทใชทงสองดานของสมการตองเปน branch เดยวกน