UNIVERZITET U KRAGUJEVCU MAINSKI FAKULTET

Miroslav ivkovi

The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation through WUS Austria within the CDP+ 057/2004 project

This copy is not for sale

Objavljivanje ove skripte omogucili su Austrian Cooperation i WUS Austria u okviru projekta CDP+ 057/2004

Besplatan primerak

Kragujevac, 2005

Supported by the

UVOD U NELINEARNU ANALIZU.........................................................................................................1 1. KINEMATIKA KONTINUUMA............................................................................................................3

1.1. KRETANJE, MATERIJALNI I PROSTORNI OPIS .......................................................................3 1.2. KOORDINATNI SISTEMI ..............................................................................................................4 1.3. GRADIJENT DEFORMACIJE, POLARNA DEKOMPOZICIJA, DEFORMACIONI TENZORI................................................................................................................................................................13 1.4 GLAVNI PRAVCI, INVARIJANTE, DEVIJATORSKI I SFERNI DEO TENZORA. SPEKTRALNA TEOREMA..................................................................................................................15 1.5 SAMO ROTIRANI I SAMO IZDUENI PRAVCI, OPERACIJE UNAPRED/UNAZAD..............19 1.6. POMERANJA, GRADIJENTI POMERANJA...............................................................................23

2. TENZORI KONANE DEFORMACIJE..............................................................................................25 2.1. RAZLIITE MERE TENZORA KONANE DEFORMACIJE....................................................25 2.2. MULTIPLIKATIVNA DEKOMPOZICIJA ...................................................................................28 2.3. PRIRATAJI TENZORA DEFORMACIJE...................................................................................30

3. TENZORI NAPONA I RAVNOTEA .................................................................................................33 3.1. TENZORI NAPONA ......................................................................................................................33 3.2. HELMHOLZ-OVA SLOBODNA ENERGIJA, ENERGETSKI KONJUGOVANI TENZORI NAPONA I DEFORMACIJE ................................................................................................................35 3.3. PRINCIP VIRTUALNOG RADA, INTEGRACIJA KONSTITUTIVNIH RELACIJA................44 3.4. INKREMENTALNE JEDNAINE RAVNOTEE KONANOG ELEMENTA.........................45

4. KONSTITUTIVNE RELACIJE.............................................................................................................49 4.1 KONSTITUTIVNI TENZORI, GENERALISANI HOOKE-OV ZAKON.....................................49 4.2 IZOTROPNA HIPERELASTINOST............................................................................................50

4.3. IZOTROPNA PLASTINOST METALA .....................................................................................51 4.4 INTEGRACIJA NAPONA U SLUAJU KONANIH ELASTOPLASTINIH DEFORMACIJA................................................................................................................................................................74

5. IZOPARAMETARSKI KONANI ELEMENTI SA INKOMPATIBILNIM POMERANJIMA.........77 5.1. IZOPARAMETARSKI 3-D KONANI ELEMENT .....................................................................77 5.2. IZOPARAMETARSKI KONANI ELEMENT LJUSKE.............................................................82 5.3. IZOPARAMETARSKI KONANI ELEMENT GREDE..............................................................89 5.4. ROTIRANJE ORTONORMIRANIH BAZNIH VEKTORA ........................................................98 5.5 POSTUPAK REAVANJA INKREMENTALNIH JEDNAINA KONANOG ELEMENTA UZ KORIENJE INKOMPATIBILNIH POMERANJA ..........................................................................99

6. PRIMERI..............................................................................................................................................103 LITERATURA.........................................................................................................................................129

1

UVOD U NELINEARNU ANALIZU U razvoju i projektovanju sloenih konstrukcija u oblasti avio i automobilske industrije, brodogradnje i graevinarstva, u duem periodu, metoda konanih elemenata (MKE) doivljava iroku primenu to je doprinelo i njenom brzom razvoju. Na iroku primenu MKE znatno je uticao razvoj kompjuterske grafike i programa za projektovanje pomou raunara (CAD), inenjersku analizu primenom raunara (CAE) kao i objedinjeni pristup projektovanju, analizi i proizvodnji uz primenu raunara (CIM). Idui od poetnih primena u statici MKE je zatim proirena na reavanje sloenih problema konstrukcija kao to su: geometrijski i materijalno nelinearni problemi, dinamiki problemi i problemi stabilnosti konstrukcija. Pored navedenih, MKE se uspeno koristi pri reavanju problema polja fizikih veliina kao to su provoenje toplote, prenos toplote i mase, mehanika fluida, elektrotehnika i druge oblasti. Da bi se pokrilo ovako iroko polje primene bilo je neophodno razviti pouzdane metode za reavanje pojedinih problema u oblasti MKE, kao to su efikasno reavanje velikih sistema linearnih jednaina, reavanje problema sopstvenih vrednosti, inkrementalno-iterativno reavanje sistema nelinearnih jednaina u oblasti geometrijske i materijalne nelinearnosti, kao i reavanja sistema diferencijalnih jednaina u oblasti dinamike. Pored razvijanja metoda reavanja veliki broj radova je posveen razvoju pouzdanih konanih elemenata. Sa razvojem grafikih pre i post procesora posebna panja je, posveena poslednjih godina razvoju elemenata jednostavne geometrije koji daju visoku tanost i pouzdanost u primeni. Poboljanja su postignuta kod ponaanja 2-D i 3-D elemenata kontinuuma kao i kod strukturalnih elemenata ploa, ljuski i greda. Znatnom poboljanju ponaanja konanih elemenata doprinela je primena hibridnih elemenata kao i elemenata sa meovitom interpolacijom i uz korienje metode inkompatibilnih pomeranja. Pregled razvoja i analiza publikovanih radova su dati uz pojedina poglavlja i pojedine oblasti.

2

3

1. KINEMATIKA KONTINUUMA Mehanika kontinuuma je deo mehanike koji izuava deformabilna tela (vrsta tela, tenosti i gasove). Deformabilna tela su realna tela kod kojih se, u optem sluaju, rastojanja izmeu estica tela menjaju. estica ili materijalna taka oznaava mali deo materijalnog kontinuuma elementarne zapremine koji u toku vremena moe zauzimati razliite take prostora. Takom prostora nazivamo odreeni stalni poloaj (mesto) u prostoru. Mehanika kontinuuma ne izuava realna tela neposredno ve njihove modele, dodeljujui im odreene osobine realnih tela. Osnovu mehanike kontinuuma (neprekidnih sredina) ini pretpostavka o neprekidnosti materije. Poznato je da je struktura materije realnih tela molekularne prirode. Mehanika kontinuuma ignorie mikroskopsko ponaanje pojedinih molekula, ve razmatra makroskopsko ponaanje materijala kao neprekidne sredine. Pod neprekidnom sredinom (telom) podrazumevamo skup estica koje su neprekidno rasporeene u odreenoj zapremini u prostoru i potpuno je ispunjuju. Pretpostavka o neprekidnosti materije ini mehaniku kontinuuma teorijom polja, gde su veliine polja neprekidne funkcije poloaja i vremena. Matematiki aparat mehanike kontinuuma je tenzorski raun, koji operie sa tenzorima (veliine nezavisne od koordinatnih transformacija). Pored neprekidnosti uvode se jo dve dodatne pretpostavke o prirodi materijala: homogenost i izotropnost. Materijal je homogen ako poseduje iste osobine u svim esticama. Materijal je izotropan ako poseduje iste osobine u svim pravcima. U ovom radu izuavaemo kretanje i deformisanje vrstih tela usled mehanikih i termikih optereenja.

1.1. KRETANJE, MATERIJALNI I PROSTORNI OPIS Konfiguracija tela l B u nekom trenutku vremena l opisana je poloajima koje tada zauzimaju njegove materijalne take u prostoru, to znai da je svaka materijalna taka u tom trenutku pridruena jedinstvenoj taki u ogranienoj oblasti l B prostora. U budue levi gornji indeks bie korien za oznaavanje vremenskog trenutka. Kretanje kontinuuma (tela) moe se zamisliti kao neprekidan niz konfiguracija u trodimenzionalnom Euclid-ovom prostoru i vremenu, ili kao prelazak materijalnih taaka iz jedne konfiguracije u drugu u toku vremena. Jedna materijalna taka pri kretanju zauzima razliite poloaje u prostoru. Ovo kretanje moe biti opisano na razliite naine u zavisnosti od toga koja je konfiguracija izabrana kao referentna. Referentna konfiguracija je poznata konfiguracija u odnosu na koju pratimo dalje kretanje i deformisanje tela u toku vremena. Pri opisivanju kretanja materijalnih taaka najee se koriste tri konfiguracije. Konfiguracija 0B u trenutku l=0, gde je telo u prirodnom neoptereenom i nedeformisanom stanju, najee se naziva poetna. Konfiguracija t B u trenutku l=t naziva se tekua, a konfiguracija t t B+ u trenutku l=t+t susedna konfiguraciji t B . Smatramo da su nam sve veliine u poetnoj i tekuoj konfiguraciji poznate a njihovo odreivanje treba da izvrimo u susednoj. Najoptiji naini opisa kretanja kontinuuma koji se baziraju na klasinoj nerelativistikoj mehanici dati su od Larsen-a (1971), Malvern-a (1969): 1) Materijalni opis, 2) Referentni opis (najee se bira poetna konfiguracija kao referentna), 3) Prostorni opis, 4) Relativi opis (tekua konfiguracija kao referentna), 5) Konvektivni opis. Materijalni opis koristi kao nezavisno promenljive materijalnu taku P i vreme t. Posmatra uoava materijalnu taku P i prati njen poloaj u prostoru u toku vremena t. Ovo kretanje moe biti

4

izraeno jednainom ( )tPt ,=x , a predstavlja poloaj t x koji zauzima materijalna taka P u trenutku t. Referentni opis koristi kao nezavisno promenljive koordinate 0 x materijalne take P u referentnoj konfiguraciji i vreme t. U mehanici vrstih tela obino se za referentnu konfiguraciju bira poetna 0B . Takav referentni opis koji sledi kretanje uoenih materijalnih taaka u poetnoj konfiguraciji, u prostoru i u toku vremena naziva se Lagrange-ov. Ovo kretanje moe biti izraeno

jednainom ( )t tx x= 0 , , gde koordinate t x oznaavaju taku prostora koju zauzima materijalna taka P u trenutku t a koja je u referentnoj konfiguraciji zauzimala poloaj 0 x . Koordinate 0 x materijalnih taaka koje su odreene u odnosu na koordinatni sistem koji je vezan za telo zovu se materijalne i ne menjaju se tokom vremena 0 x = const . Koordinate t x taaka prostora koje su odreene u odnosu na nepokretni koordinatni sistem zovu se prostorne. Materijalni koordinatni sistem najee se bira tako da se u poetnom trenutku vremena t=0 poklapa sa prostornim koji je obino nepokretan pravougli Descartes-ov koordinatni sistem. Prostorni opis ili Euler-ov koristi kao nezavisno promenljive koordinate t x take prostora i vreme t. Ovim opisom prate se promene fizikih veliina polja (brzina, temperatura i dr.) u toku vremena u taki prostora t constx = ., kroz koji prolaze razliite materijalne take tokom kretanja. Ovo kretanje moe biti izraeno jednainom ( )0 1x x= t t, , gde koordinate 0 x oznaavaju materijalnu taku u poetnoj konfiguraciji koja u trenutku t zauzima poloaj t x u prostoru. U problemima kao to je neprekidno kretanje (teenje) fluida nema smisla odreivati poetni poloaj pojedinih materijalnih taaka pa se prethodna jednaina uglavnom ne koristi. Smatramo da su nam fizike veliine polja u nekom trenutku vremena poznate a odreujemo njihove vrednosti posle izvesnog vremenskog perioda u istim takama prostora. Relativni opis koristi kao nezavisno promenljive tekue koordinate t x materijalne take P u prostoru i vreme t+t. Ovde je za referentnu konfiguraciju izabrana tekua t B a vreme t+t odgovara susednoj konfiguraciji t t B+ gde materijalna taka P ima koordinate t t+ x . Ovo kretanje moe biti izraeno jednainom ( )t t t t t t+ = + x x , , gde indeks t na funkcijskom simbolu t istie da je referentna konfiguracija t B . Ovaj opis moe se smatrati specijalnim sluajem referentnog opisa. Konvektivni opis koristi krivolinijski koordinatni sistem vezan za materijalne take tela sa kojima se zajedno kree i deformie. Pri kretanju se menjaju bazni vektori dok koordinate materijalnih taaka u svim vremenskim trenucima ostaju nepromenjene r const = ., ( ) = 1 2 3, , . Zbog te osobine, ovakve krivolinijske koordinate zovu se konvektivne a esto se koriste i nazivi materijalne ili Gauss-ove parametarske koordinate. Bathe i Koji u svojim radovima za normirane konvektivne koordinate r 1 koriste naziv prirodne. Neke pogodnosti korienja konvektivnih koordinata su u tome to su komponente tenzora deformacija iste u odnosu na poetne i tekue bazne vektore, a komponente tenzora gradijenata deformacije ine u svakom trenutku jedininu matricu. U mehanici vrstog tela koriste se svi navedeni opisi osim prostornog koji je pogodniji za primenu u mehanici fluida. U ovom radu korien je konvektivni opis zajedno sa referentnim i relativnim.

1.2. KOORDINATNI SISTEMI

5

Ovde e biti korieni pravougli Descartes-ovi i konvektivni koordinatni sistemi. Poloaj materijalnih taaka tela u prostoru prati se u globalnom nepominom pravouglom Descartes-ovom koordinatnom sistemu. Deformisanje (promenu oblika) infinitezimalne okoline proizvoljne materijalne take je najjednostavnije pratiti preko promene baznih vektora konvektivnog koordinatnog sistema koji se mogu definisati u svakoj materijalnoj taki i u svakom vremenskom trenutku. Naglasimo da je u Metodi konanih elemenata (MKE) neizbeno korienje Gauss-ovih parametarskih konvektivnih koordinata. Integracija konstitutivnih relacija vri se u lokalnom pravouglom Descartes-ovom koordinatnom sistemu koji odgovara glavnim materijalnim pravcima u posmatranoj materijalnoj taki. U tekstu koji sledi bie izloene veze izmeu koordinata i baznih vektora navedenih koordinatnih sistema, koje se koriste pri koordinatnim transformacijama tenzora. Globalne Descartes-ove koordinate. Poloaj materijalnih taaka u prostoru u bilo kom vremenskom trenutku l prati se u odnosu na globalni nepokretan Descartes-ov koordinatni sistem sa koordinatama ( )l k l kx x k= = 1 2 3, , u ortogonalnoj bazi jedininih vektora ( )i ik k k= = 1 2 3, ,

i ij k jk jkj kj k

= = =

10

(1.2.1)

gde je jk Kronecker-ov simbol drugog reda. Bazni vektori nepokretnog Descartes-ovog koordinatnog sistema ne menjaju se tokom vremena u odnosu na referentno telo za koje su vezani, pa je zato izostavljen gornji levi indeks. Kako se kod Descartes-ovih koordinata kovarijantni i kontravarijanti bazni vektori i koordinate poklapaju, za njihovo oznaavanje koristie se sputeni desni indeksi. Indeksi Descartes-ovih koordinata pisae se Latininim slovima. Vektor poloaja materijalne take P koja moe da se kree u prostoru, u proizvoljnom trenutku vremena, u odnosu na prethodno definisan koordinatni sistem moe se napisati kao

l l l lk

lkx x x xx i i i i= + + =1 1 2 2 3 3 (1.2.2)

gde, prema Einstein-ovoj konvenciji ponovljeni indeks k oznaava sabiranje. Vektor relativnog poloaja materijalne take Q iz diferencijalne (infinitezimalne) okoline materijalne take P, u proizvoljnom trenutku vremena, je oblika

( ) ( )d Q P d xl l l k l kx x x i= = (1.2.3) Kvadrat rastojanja izmeu taaka P i Q dobija se skalarnim proizvodom vektora (1.2.3), uz korienje (1.2.1), kao

d s d d d x d x d x d x d x d xl l l j kl

jl

k jkl

jl

kl

kl

k2 = = = =x x i i (1.2.4)

Kada se u izrazima koriste krivolinijske koordinate, naznaeno je o kojim se koordinatama radi. Desni donji indeks oznaava kovarijantne a desni gornji indeks kontravarijantne veliine. Indeksi krivolinijskih koordinata pisae se Grkim slovima. Konvektivne koordinate. U okolini svake materijalne take moe se definisati konvektivni krivolinijski koordinatni sistem sa kontravarijantnim koordinatama ( )r = 1 2 3, , i kovarijantnim baznim vektorima ( )l g = 1 2 3, , . Kod konvektivnog krivolinijskog koordinatnog sistema, ije se koordinatne linije kreu i deformiu zajedno sa materijalnim takama za koje su vezane, kontravarijantne koordinate se ne menjaju pa je zato izostavljen gornji levi indeks. Uslov koji mora biti zadovoljen je da se u svakom trenutku vremena globalne Descartes-ove koordinate mogu izraziti preko neprekidnih i diferencijabilnih funkcija konvektivnih koordinata, kao i inverzno

( ) ( )l k l k l l lx x r r r k r r x x x= = = =( , , ) , , ( , , ) , ,1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 (1.2.5) Poto su (1.2.5) funkcije tri nezavisna parametra, njihovi diferencijalni prirataji koordinata (1.2.3) raunaju se kao

6

d xxr

dr J dr dr rx

d x J d xl kl

k lk l

k

lk

lk

lk= = = =

(1.2.6)

Sistem jednaina (1.2.6) moe se napisati u matrinom obliku

{ } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l lx J r r J x= = 1 (1.2.7) gde je vektor kolona { } { }1 2 3 Tl l l ld d x d x d x=x i { } { }d dr dr dr Tr = 1 2 3 . Ovde je [ ]l J Jacobi-jeva transformaciona matrica izmeu globalnih Descartes-ovih i kontravarijantnih koordinata a [ ]l J 1 inverzna Jacobi-jeva transformaciona matrica

[ ] [ ]ll l l

l l l

l l l

l

l l l

l l l

l l l

xr

xr

xr

xr

xr

xr

xr

xr

xr

rx

rx

rx

rx

rx

rx

rx

rx

rx

J J=

=

11

12

13

21

22

23

31

32

33

1

1

1

1

2

1

32

1

2

2

2

33

1

3

2

3

3

(1.2.8)

U daljem tekstu mnogi izrazi bie napisani u matrinom obliku, da bi se naglasilo znaajno korienje Jacobi-jeve transformacione matrice (1.2.8) pri koordinatnim transformacijama izmeu krivolinijskih i globalnih Descartes-ovih koordinata, kao i izmeu recipronih krivolinijskih koordinata. Iz (1.2.7) dobija se

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]l l l

kl

k

l l li

lj ij

J J

J J

J J I

J J I

= == =

13

13

(1.2.9)

gde je [ ]I3 jedinina matrica dimenzije 3. Da bi (1-1) preslikavanje izmeu Descartes-ovih i konvektivnih koordinata (1.2.6) bilo mogue bar u okolini posmatrane materijalne take, potrebno je da determinanta Jacobi-jeve transformacione matrice bude razliita od nule

[ ] [ ]l l lJ = = det detJ J1 01 (1.2.10)

Veze izmeu baznih vektora ik nepokretnog Descartes-ovog koordinatog sistema i kovarijantnih baznih vektora l g krivolinijskog koordinatnog sistema, mogu se dobiti zamenom (1.2.6) u (1.2.3)

d d xxr

dr dr rx

d xl kl

k k

lk l l

lk

lkx i i g g= =

= =

(1.2.11)

odakle sledi da su

ll

k

lk

kl

k kl

lk

l lk

rxr

J rx

Jg x i i i g g

= = = = = (1.2.12)

Izrazi (1.2.12) mogu se napisati u matrinom obliku

7

{ } { }[ ] { } { }[ ]l l l lg i J i g J= = 1 (1.2.13) gde su vektori vrste { } { }i i i i= 1 2 3 a { } { }l l l lg g g g= 1 2 3 . Oigledno je da su komponente kovarijantnih baznih vektora elementi Jacobi-jeve matrice (1.2.8)1

[ ] { } { }l k l k k l l T lJ xr = = =i g J i g (1.2.14) Kovarijanti bazni vektori l g su tangentni na kontravarijante koordinatne linije r u taki P u kojoj su definisani. Koordinatne linije formiraju koordinatne povri na koje su u taki P tangentni odgovarajui bazni vektori. Na prvu koordinatnu povr r const1 = . tangentni su kovarijantni bazni vektori l g 2 i l g3 , na drugu r const

2 = . tangentni su l g 3 i l g1 a na treu r const3 = . tangentni su l g1 i l g 2 . Prostor koji definiu konvektivne koordinate zove se tangentni prostor. Prethodno definisanom konvektivnom krivolinijskom koordinatnom sistemu je reciproan krivolinijski koordinatni sistem sa kovarijantnim koordinatama ( )l r = 1 2 3, , i kontravarijantnim baznim vektorima ( )l g = 1 2 3, , . Kod ovog koordinatnog sistema tokom kretanja mogu se menjati i bazni vektori i koordinate. Funkcije veze izmeu Descartes-ovih i kovarijantnih koordinata ( ) ( )3,2,1),,(3,2,1),,( 321321 ==== xxxrrkrrrxx llllllllklkl (1.2.15) nisu poznate, pa se diferencijalni prirataji koordinata

d xxr

d r J d r d rrx

d x J d xl kl

kl

l lk

l ll

lk

lk

lk

lk= = = =

(1.2.16)

ne mogu odrediti direktno parcijalnim izvodima funkcija (1.2.15). Takoe, ne mogu se odrediti veze izmeu baznih vektora, jer u izrazima koji se dobijaju zamenom (1.2.16) u (1.2.3)

{ } { }[ ] { } { }[ ]l

l

l k

lk

l kl

k kl

l

lk

l lk

l l l l

rxr

Jrx

Jg x i i i g g

g i J i g J

= = = = =

= = 1 (1.2.17)

nepoznati su parcijalni izvodi. Ovde je vektor vrsta { } { }l l l lg g g g= 1 2 3 a [ ]l J Jacobi-jeva transformaciona matrica izmeu globalnih Descartes-ovih i kovarijantnih koordinata. Do veza izmeu koordinata i baznih vektora ova dva koordinatna sistema dolazi se posredno, korienjem uslova da kontravarijanti bazni vektori predstavljaju recipronu bazu u odnosu na prethodno definisane kovarijantne bazne vektore

{ } { } [ ] [ ] [ ]l l l T l l T lg g g g J J I = = = 3 (1.2.18) Iz jednakosti izraza (1.2.18)2 i (1.2.9)1 dobija se

[ ] [ ]l T l l k l k l kl lk

J Jxr

rx

J J= = =1

(1.2.19)

Oigledno je da su komponente kontravarijantnih baznih vektora elementi inverzne Jacobi-jeve matrice (1.2.8)2

[ ] { } { }l k lk

lk

l l TJ rx

= = =

g i J g i

1 (1.2.20)

8

Konano, diferencijalni prirataji koordinata (1.2.16) raunaju se kao

d x rx

d r J d r d rxr

d x J d xl k lk

l lk

l ll

k lk

lk

lk= = = =

(1.2.21)

Sistem jednaina (1.2.21) moe se napisati u matrinom obliku

{ } [ ] { } { } [ ] { }d d d dl l T l l l T lx J r r J x= = (1.2.22) gde je vektor kolona { } { }d d r d r d rl l l l Tr = 1 2 3 . Veze izmeu baznih vektora i k nepokretnog Descartes-ovog koordinatog sistema i kontravarijantnih baznih vektora l g krivolinijskog koordinatnog sistema, mogu se dobiti zamenom (1.2.21) u (1.2.3)

d d x rx

d r d rxr

d xl kl

k k lk

l l l ll

k lkx i i g g= =

= =

(1.2.23)

odakle sledi da su

lk l

kk

lk k

ll

k l lk

rx

Jxr

Jg i i i g g

= = = = (1.2.24)

Izrazi (1.2.24) mogu se napisati u matrinom obliku

{ } { }[ ] { } { }[ ]l l T l l Tg i J i g J= = (1.2.25) Veze izmeu kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata dobijaju se korienjem (1.2.19)

dr rr

d r rx

xr

d r rx

rx

d r J J d r

d rr

rdr

rx

xr

drxr

xr

dr J J dr

ll

lk

lk

ll

lk

lk

l lk

lk

l

ll l

lk

lk

lk

lk l

kl

k

= = = =

= = = = (1.2.26)

Sistem jednaina (1.2.26) moe se napisati u matrinom obliku

{ } [ ] [ ] { } { } [ ] [ ]{ }d d d dl l T l l l T lr J J r r J J r= = 1 (1.2.27) Veze izmeu kovarijantnih i kontravarijantnih baznih vektora dobijaju se izjednaavanjem (1.2.11) 3 i (1.2.23)3 uz korienje (1.2.26)

d dr rx

rx

d r d rxr

xr

drl l l lk

lk

l l l ll

kl

kx g g g g= = = =

(1.2.28)

odakle sledi da su l l

l l l l l l l l l lk kk k k kl l

k k

x x r rJ J J Jr r x x

= = = =g g g g g g (1.2.29)

Izrazi (1.2.29) mogu se napisati u matrinom obliku

{ } { }[ ] [ ] { } { }[ ] [ ]l l l T l l l l l Tg g J J g g J J= = 1 (1.2.30) Kvadrat duine vektora relativnog poloaja (1.2.4), izraen preko krivolinijskih koordinata, dobija se skalarnim proizvodom (1.2.28)

rdrdgrdrddrdrgdrdrddsdlllllllllllll ===== ggggxx2 (1.2.31)

gde su

9

l l l lk

lk

l l l lk

lkg J J g J J = = = =g g g g (1.2.32)

kovarijantne i kontravarijantne komponente fundamentalnog metrikog tenzora. Zbog komutativnosti skalarnog proizvoda metriki tenzor je simetrian. U matrinom obliku (1.2.32) moe se napisati kao

[ ] { } { } [ ] [ ] [ ] { } { } [ ] [ ]l l T l l T l l l T l l l Tg g g J J g g g J J= = = = 1 (1.2.33) Pomou kovarijantnih i kontravarijantnih komponenata metrikog tenzora mogu se premetati indeksi tenzora razliitog reda. Korienjem (1.2.32) i (1.2.33), prethodno definisane veze izmeu kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata i baznih vektora mogu se napisati kao

dr g d r d r g drl l l l = = (1.2.34) { } [ ]{ } { } [ ]{ }d d d dl l l lr g r r g r= = (1.2.35)

l l l l l lg gg g g g = = (1.2.36) { } { }[ ] { } { }[ ]l l l l l lg g g g g g= = (1.2.37) Zamenom (1.2.36)2 u (1.2.36)1 dobija se da je [ ][ ] [ ]l l l lg g = =g g I3 (1.2.38) Iz (1.2.38) moe se zakljuiti, da se matrica iji su elementi komponente kontravarijantnog metrikog tenzora moe dobiti inverzijom matrice iji su elementi komponente kovarijantnog metrikog tenzora

[ ] [ ]l lg g= 1 (1.2.39) Komponente metrikog tenzora u Descartes-ovim koordinatama (1.2.1) su elementi jedinine matrice. Lokalne Descartes-ove koordinate. Definisanje lokalnih Descartes-ovih koordinatnih sistema, u posmatranoj materijalnoj taki P, je neizbeno u dva sluaja. Prvi, ako postoji uslov da nema normalnog napona u pravcu neke kontravarijantne koordinate u svakom vremenskom trenutku, a drugi kada je materijal anizotropan. U prvom sluaju definie se, u posmatranoj materijalnoj taki P, lokalni Descartes-ov koordinatni sistem sa koordinatama ( )l kx k = 1 2 3, , i ortogonalnim jedininim baznim vektorima

( )ik k = 1 2 3, , , tako da je jedna koordinatna ravan tangentna na kontravarijantnu koordinatnu povr koju definie kontravarijantna koordinata. Praktino, takav koordinatni sistem se definie kod tanke ljuske tako da dve ose lokalnog Descartes-ovog koordinatnog sistema lee u tangentnoj ravni na srednju povr ljuske, a trea je upravna na nju. Jedan od moguih naina definisanja baznih vektora ik moe izgledati ovako

ll

ll

l l

l ll l li

gg

ii gi g

i i i11

13

1 2

1 22 3 1= = =

gde oznaava intenzitet vektora. Diferencijalni prirataji Descartes-ovih koordinata su

d xx

xd x T d x d x

xx

d x T d xl jl

jl

k

lk

ljk

lk

lk

lk

lj

lj

lkj

lj= = = =

1 (1.2.40)

a veze izmeu baznih vektora dobijaju se zamenom (1.2.40) u (1.2.3)

i i i i x i ikl

j

lj

lk

lj

ljk

lj

l

lj

k

lk

lj

kl

kjxx

Tx

xx

T= = = = =

1 (1.2.41)

10

Ako se izrazi (1.2.41) pomnoe skalarno odgovarajuim baznim vektorima dobijaju se

( ) ( )l jk l jlk

lj k

lj k

lkj

lk

lj

kl

j kl

jTxx

T xx

= = = = = =i i i i i i i icos , cos ,

1 (1.2.42)

Koristei komutativnost skalarnog proizvoda koja potie od parnosti (cos) funkcije sledi da je

[ ] [ ]l kj l jk l l TT T = =1 1T T (1.2.43) Konano, diferencijalni prirataji Descartes-ovih koordinata (1.2.40) su

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl j

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lj

lk

lj

ljk

lj= = = =

(1.2.44)

Sistem jednaina (1.2.44) moe se napisati u matrinom obliku

{ } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l l l T lx T x x T x= = (1.2.45) gde je vektor kolona { } { }d d x d x d xl l l l Tx = 1 2 3 . Veze izmeu baznih vektora dobijaju se zamenom (1.2.44) u (1.2.3)

d d xxx

d x d xxx

d xl kl

k k

lj

lk

lj

lj

lj

lj

lj

lk

lkx i i i i= =

= =

(1.2.46)

odakle sledi da su

i i i i i ikl

j

lj

lk

lj

ljk

lj k

lj

lk

kl

jkxx

Txx

T= = = = (1.2.47)

Izrazi (1.2.47) mogu se napisati u matrinom obliku

{ } { }[ ] { } { }[ ]i i T i i T= =l l l l T (1.2.48) gde je vektor vrsta { } { }l l l li i i i= 1 2 3 . U drugom sluaju definie se, u posmatranoj materijalnoj taki P, lokalni Descartes-ov koordinatni sistem sa koordinatama ( )l kx k , ,= 1 2 3 i ortogonalnim jedininim baznim vektorima

( )l k k , ,i = 1 2 3 , tako da se koordinatne ose poklapaju sa tri privilegovana ortogonalna pravca. Smatra se da je relativni poloaj ovog lokalnog koordinatnog sistema u odnosu na prethodno definisani lokalni koordinatni sistem nepromenljiv u toku vremena. Prema (1.2.42)1 elementi matrice transformacije izmeu ova dva lokalna koordinatna sistema su

( )T xxjk

lj

lk

lj

lk

lj

lk= = =

cos ,i i i i (1.2.49)

Analogno izrazima (1.2.44) do (1.2.48), veze izmeu koordinata i baznih vektora lokalnih koordinatnih sistema su

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl j

lj

lk

lk jk

lk

lk

lj

lk

lj jk

lj

= = = = (1.2.50)

{ } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l T l x T x x T x= = (1.2.51)

11

lk

lj

lj

lk

lj jk

lj

lk

lj

lk

lk jk

xx

Txx

Ti i i i i i= = = = (1.2.52)

{ } { }[ ] { } { }[ ]l l l l Ti i T i i T= = (1.2.53) gde je vektor kolona { } { }d d x d x d xl l l l T x = 1 2 3 a vektor vrsta { } { }l l l l i i i i= 1 2 3 . Koristei ranije definisane matrice transformacije (1.2.42)1 i (1.2.49) dobija se matrica transformacije izmeu glavnih materijalnih pravaca i globalnog koordinatnog sistema

( ) [ ] [ ][ ]TTTiiii llkjlkjlikljik

li

l

il

jl

kl

jl

jkl TT

xx

xx

xx

T ====== ,cos

(1.2.54)

a veze izmeu koordinata i baznih vektora su

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl j

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lj

lk

lj

ljk

lj

= = = = (1.2.55)

{ } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l l l T l x T x x T x= = (1.2.56) i i i i i ik

lj

lj

lk

lj

ljk

lj k

lj

lk

kl

jkxx

Txx

T= = = = (1.2.57)

{ } { }[ ] { } { }[ ]i i T i i T= =l l l l T (1.2.58) U Tab. 1.2.1 date su veze izmeu globalnog Descartes-ovog i drugih koordinatnih sistema koji su u ovom poglavlju definisani. Ove veze vae u svakom vremenskom trenutku l, odnosno u svakoj konfiguraciji l B . Koristei date izraze mogue je odrediti veze izmeu koordinata i baznih vektora bilo koja dva navedena koordinatna sistema. Takoe, ovi izrazi koriste se pri koordinatnim transformacijama tenzora proizvoljnog reda.

12

Tabela 1.2.1 Veze izmeu globalnog Descartes-ovog i drugih koordinatnih sistema Vektor relativnog poloaja diferencijalne duine u razliitim koordinatnim sistemima

d d x dr d r d x d xl kl

kl l l l

ml

ml

nl

nx i g g i i= = = = = Globalne Descartes-ove koordinate { } { }Tllll xdxdxdd 321=x i vektori { } { }321 iiii = Kontravar. koordinate { } { }Tdrdrdrd 321=r i kovar. vektori { } { }321 gggg llll =

d xxr

dr J dr dr rx

d x J d xl kl

k lk l

k

lk

lk

lk= = = =

(1.2.6)

{ } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l lx J r r J x= = 1 (1.2.7) l

l

k

lk

kl

k kl

lk

l lk

rxr

J rx

Jg x i i i g g

= = = = = (1.2.12)

{ } { }[ ] { } { }[ ]l l l lg i J i g J= = 1 (1.2.13) { } { } { } { }1; ;l TTl l l l l l l lkk k k kl

k

x rJ Jr x

= = = = = = i g J i g g i J g i

Kovar. koordinate { } { }Tllll rdrdrdd 321=r i kontravar. vektori { } { }321 gggg llll = d x r

xd r J d r d r

xr

d x J d xl k lk

l lk

l ll

k lk

lk

lk= = = =

(1.2.21)

{ } [ ] { } { } [ ] { }d d d dl l T l T lx J r r J x= = (1.2.22) l

k lk

kl

k kl

lk l l

krx

Jxr

Jg i i i g g

= = = = (1.2.24)

{ } { }[ ] { } { }[ ]l l T l l Tg i J i g J= = (1.2.25) Lokalne Descartes koordinate { } { }Tllll xdxdxdd 321 =x i vektori { } { }321 iiii llll =

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl j

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lj

lk

lj

ljk

lj

= = = = (1.2.55)

{ } [ ]{ } { } [ ] { }d d d dl l l l l T l x T x x T x= = (1.2.56) i i i i i ik

lj

lj

lk

lj

ljk

lj k

lj

lk

kl

jkx

xT

x

xT= = = =

(1.2.57)

{ } { }[ ] { } { }[ ]i i T i i T= =l l l l T (1.2.58) ( ) [ ] [ ][ ]TTTiiii llkjlkjliklji

kl

il

il

jl

kl

jl

jkl TT

xx

xx

xx

T ====== ,cos

(1.2.54)

( ) ( )T xx T xxjkl

jl

k

lj

lk

lj

lk

ljk

lj

lk

lj k

lj k= = = = = =

cos , cos ,i i i i i i i i

13

1.3. GRADIJENT DEFORMACIJE, POLARNA DEKOMPOZICIJA, DEFORMACIONI TENZORI Posmatrana materijalna taka P , koja je u poetnom trenutku l = 0 u konfiguraciji 0 B imala koordinate 0 x , pri kretanju zauzima razliite take prostora. U tekuem vremenskom trenutku l t= materijalna taka P u konfiguraciji t B zauzima taku prostora sa koordinatama t x . Zbog toga to jedna materijalna taka ne moe zauzimati vie taaka prostora istovremeno, kao i zbog toga to jednu taku prostora ne mogu zauzimati vie materijalnih taaka istovremeno, funkcije kretanja koje povezuju poetne i tekue koordinate predstavljaju (1-1) preslikavanje

( ) ( )3,2,1),,,(3,2,1),,,( 32100302010 ==== jtxxxxxktxxxxx tttjjktkt (1.3.1) U odreenom vremenskom trenutku t const= ., diferencijalni prirataji koordinata (1.3.1) raunaju se kao

d xxx

d x F d x d xx

xd x F d xt k

tk

jj

tkj j j

jt

k

tk t jk

tk= = = =

0

00

0 00

0 (1.3.2)

Parcijalni izvodi 0t

kjF su komponente tenzora gradijenta deformacije 0t F . Indeksi sa leve strane

oznaavaju vremenske trenutke i to tako da se levi gornji odnosi na prvi desni indeks a levi donji na drugi desni indeks. Izraz (1.3.2) moe se napisati u matrinom obliku { } [ ]{ } { } [ ]{ }d d d dt t t tx F x x F x= =0 0 0 0 (1.3.3) Iz (1.3.3) dobija se [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]t

tt ik

tkj ij

tt

tjk t ki ji

F F

F F

00 3

00

00

3 00

F F I

F F I

= == =

(1.3.4)

odakle sledi da je

[ ] [ ]t t t ij t ijF F0 0 1 0 0 1F F= = (1.3.5) Zbog (1.3.5)2, parcijalni izvodi t jkF

0 (1.3.2)2 zovu se reciproni gradijenti deformacije i predstavljaju komponente tenzora recipronog (inverznog) gradijenta deformacije. Da bi (1-1) preslikavanje izmeu poetnih i tekuih koordinata (1.3.1) bilo mogue bar u okolini posmatrane materijalne take, potrebno je da determinanta matrice iji su elementi gradijenti deformacije bude razliita od nule

[ ] [ ]0 0 0 11 0t tt

F = = detdet

FF

(1.3.6)

Kako su u svakom trenutku vremena globalne Descartes-ove koordinate izraene preko neprekidnih i diferencijabilnih funkcija, nepromenljivih konvektivnih koordinata (1.2.6), parcijalni izvodi u (1.3.2) raunaju se posrednim diferenciranjem

kt

jk

tj

kt

jjk

tjk

t

j

kt

j

kt

kjt JJ

xr

rx

xx

FJJx

rrx

xxF

0001

00

000 ====== (1.3.7) Pokazano je da se komponente tenzora gradijenta deformacije kao i komponente tenzora inverznog gradijenta deformacije raunaju korienjem odgovarajuih Jacobi-jevih transformacionih matrica (1.2.8)

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]0 0 1 0 1 0 1l l l lF J J F J J= = (1.3.8)

14

Zamenom (1.3.2)1 u (1.2.3) dobija se veza izmeu vektora relativnog poloaja u poetnoj i tekuoj konfiguraciji

d d xxx

d xxx

d dt kt

k k

tk

jj k

tk

jj

tx i i i i x F x= = =

=

0

00

00

0 (1.3.9)

Koristei posredno diferenciranje (1.3.7)1 kao i (1.2.12)1 i (1.2.24)1 sledi

0 0 00t

k

tk

jj k

tk

jj

txx

xr

rx

F i i i i g g= = =

(1.3.10)

Veza izmeu baznih vektora krivolinijskih koordinata u dve konfiguracije dobija se skalarnim mnoenjem (1.3.10) odgovarajuim recipronim baznim vektorima (1.2.18)1

t t t t t T tg F g g g F F g = = = 0 0 0 0 0 (1.3.11) Zamenom (1.3.2)2 u (1.2.3) dobija se veza izmeu vektora relativnog poloaja u tekuoj i poetnoj konfiguraciji

d d xx

xd x

x

xd dj j j

jt

k

tk j

jt

kk

t t t0 00 0

01x i i i i x F x= = =

=

(1.3.12)

gde je 01t F tenzor recipronog (inverznog) gradijenta deformacije. Koristei posredno diferenciranje

(1.3.7)2 sledi

01

0 00t

jj

tk

k jj

tk

ktx

x

x

rrx

F i i i i g g = = =

(1.3.13)

Veza izmeu baznih vektora krivolinijskih koordinata u dve konfiguracije dobija se skalarnim mnoenjem (1.3.13) odgovarajuim recipronim baznim vektorima (1.2.18)1

00

1 00

10

0g F g g g F F g = = = t t t t t T (1.3.14) Ako se posredno diferenciranje u (1.3.10) izvri preko promenljivih kovarijantnih koordinata, korienjem (1.2.19)3 dobija se

0 0

0

0 0

0

00t

k

tk

t

t

jj k t

k

tj

jt

txr

r

r

r

xrx

r

r

x

r

r

rF i i i i g g= = =

(1.3.15)

Izjednaavanjem izraza (1.3.10)3 i (1.3.15)3 i skalarnim mnoenjem odgovarajuim recipronim baznim vektorima, uz korienje (1.2.32) dobija se

{ } [ ][ ]{ } t

t t tr

rg g d d0

0 0 0= =r g g r (1.3.16) Ako se posredno diferenciranje u (1.3.13) izvri preko promenljivih kovarijantnih koordinata sledi

01

0

0

0

0

00

0t

jj

t

t

tk

k jj

t

tk

k ttx

r

r

r

r

xrx

r

rxr

r

rF i i i i g g = = =

(1.3.17)

Izjednaavanjem izraza (1.3.13)3 i (1.3.17)3 i skalarnim mnoenjem odgovarajuim recipronim baznim vektorima (1.2.18)1, dobija se

{ } [ ][ ]{ } 0

0 0 0r

rg g d dt

t t t= =r g g r (1.3.18)

15

Polarna dekompozicija. Tenzor gradijenata deformacije F F=0t , kao i svaki drugi regularan tenzor drugog reda, moe biti predstavljen u obliku

F RU VR F U R R V= = = = 1 1 1T T (1.3.19) gde su R ortogonalni tenzor rotacije, U desni simetrini tenzor izduenja a V levi simetrini tenzor izduenja

R R U U V V = = =1 T T T (1.3.20) Mogue veze izmeu navedenih tenzora, koje e kasnije biti primenjene, dobijene korienjem (1.3.19) i (1.3.20), su oblika

R FU V F R UF F V= = = = 1 1 1 1T (1.3.21) U R F F R R VR U F R R F R V R= = = = = = T T T T T T1 1 1 (1.3.22)

V FR RF RUR V RF F R RU R= = = = = = T T T T T T1 1 1 (1.3.23) Kvadrati tenzora izduenja mogu se odrediti odgovarajuim mnoenjem tenzora gradijenta deformacije (1.3.19), eliminisanjem tenzora rotacije

C F F U C F F U= = = = T T2 1 1 2 (1.3.24) B FF V B F F V= = = = T T2 1 1 2 (1.3.25)

Tenzor C poznat je kao Green-ov ili desni Cauchy-Green-ov deformacioni tenzor, a B kao Cauchy-jev ili levi Cauchy-Green-ov deformacioni tenzor. Deformacione tenzore C1 i B1 neki autori nazivaju Finger-ovim deformacionim tenzorima, Sansour (1992). Prema (1.3.20) sledi da su tenzori C i B simetrini. Tenzori izduenja dobijaju se iz (1.3.24) i (1.3.25) kao

U C U CV B V B= == =

1 2 1 1 2

1 2 1 1 2 (1.3.26)

Stepenovanje simetrinog tenzora proizvoljnim izloiocem, vri se tako to se prvo odrede sopstvene vrednosti i glavni pravci tenzora, izvri se stepenovanje glavnih vrednosti i zatim primeni spektralna teorema.

1.4 GLAVNI PRAVCI, INVARIJANTE, DEVIJATORSKI I SFERNI DEO TENZORA. SPEKTRALNA TEOREMA Glavni pravci proizvoljnog simetrinog tenzora drugog reda C , u odnosu na Descartes-ove koordinate, su pravci ortonormiranih vektora ( )p k k = 1 2 3, , koji pri unutranjem proizvodu sa tenzorom daju kolinearne vektore

( ) ( ) ( ) ( )C p p = =k k kc k 1 2 3, , (1.4.1) gde su ( )c kk = 1 2 3, , skalari. Indeksi sa zagradama koriste se kada se po ponovljenim indeksima ne vri sabiranje. Ako se (1.4.1) napie u matrinom obliku

[ ] ( ) [ ]( ) ( ){ } { } ( )C I p 0 = =c kk k 1 2 3, , (1.4.2) dobija se sistem od tri linearne homogene jednaine sa nepoznatim komponentama vektora p k . Ovde je [ ]I jedinina matrica dimenzije 3. Netrivijalno reenje jednaina (1.4.2) postoji samo ako je determinanta sistema jednaka nuli

16

[ ] [ ]( )det C I =c 0 (1.4.3) Ova jednaina se zove karakteristina jednaina tenzora C , a u razvijenom obliku glasi

c I c I c I3 12

2 3 0 + = (1.4.4) Ovde su I I I1 2 3, , glavne invarijante tenzora C . Reenja karakteristine jednaine ( )c kk = 1 2 3, , zovu se sopstvene (karakteristine) vrednosti, a vektori ( )p k k = 1 2 3, , koji njima odgovaraju zovu se sopstveni (karakteristini) vektori. Praktino raunanje sopstvenih vrednosti vri se preko devijatorskog dela tenzora, to je dato u tekstu koji sledi. Glavne invarijante. Glavne invarijante tenzora su veliine koje ne zavise od koordinatnih transformacija, a raunaju se kao, Miunovi (1990),

I C C C1 11 22 33= = + +tr C (1.4.5) ( )( )I C CC C C CC C C CC C2 2 2 11 1221 22 11 1331 33 22 2332 3312= = + +tr trC C (1.4.6)

IC C CC C CC C C

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= =det C (1.4.7)

Kada je tenzor simetrian C Cij ji= , druga i trea invarijanta su oblika I C C C C C C C C C2 11 22 22 33 33 11 12

2232

312= + + (1.4.8)

I C C C C C C C C C C C C3 11 22 33 12 23 31 11 232

22 312

33 1222= + (1.4.9)

Sferni i devijatorski deo tenzora. Simetrini tenzor drugog reda moe se napisati u obliku C C C= + ~ (1.4.10)

gde su sferni deo tenzora

C I I= =13 1 0

I (1.4.11) i devijatorski deo tenzora

~C C I= 0 (1.4.12) Ovde su I jedinini tenzor, a

( ) 0 1 11 22 331313

= = + +I C C C (1.4.13) srednja vrednost normalnih komponenti tenzora ili normalna oktaedarska veliina tenzora. Ravni koje su podjednako nagnute u odnosu na glavne pravce su oktaedarske ravni. Kada se tenzor izrazi u glavnim pravcima devijatorska ravan i oktaedarska ravan se poklapaju. Glavne invarijante devijatorskog dela tenzora su

01 =J (1.4.14)

231

223

212113333222211

2122

~~~~~~31 CCCCCCCCCIIJ ++== (1.4.15)

21233

23122

22311312312332211

312133

~~~2~~~272

31 CCCCCCCCCCCCIIIIJ +=+= (1.4.16)

Glavni pravci devijatoskog dela tenzora, analogno (1.4.2), odreuju se iz sistema jednaina

17

[ ] ( ) [ ]( ) ( ){ } { } ( )~ ~ , ,C I p 0 = =c kk k 1 2 3 (1.4.17) Zamenom (1.4.12) u (1.4.17) i uporeivanjem sa (1.4.2) moe se zakljuiti da tenzor i njegov devijatorski deo imaju iste glavne pravce, a sopstvene vrednosti su im povezane relacijom ( )c c kk k= + = 0 1 2 3~ , , (1.4.18) Karakteristina jednaina devijatorskog dela tenzora, analogno (1.4.4), dobija se kao

~ ~c J c J3 2 3 0+ = (1.4.19) Jednaina (1.4.19) reava se smenom, Jari (1988), Billington (1986), Ekmark (1983),

~ cosc = 2 0 (1.4.20) gde su

0 02 2 22 2323

= = I J (1.4.21) devijatorska (smiua oktaedarska) veliina tenzora i ugao rotacije u devijatorskoj (oktaedarskoj) ravni. Zamenom (1.4.20) u (1.4.19) dobija se

4 3 3 2303 3cos cos cos = = J (1.4.22)

odakle se dobijaju tri reenja za uglove

1

03 3 2 1 3 1

13

23

23

23

= = + = arccos J (1.4.23)

Sopstvene vrednosti devijatorskog dela tenzora ~C , odnosno reenja karakteristine jednaine (1.4.19),

prema (1.4.20) su

( )~ cos , ,c kk k= =2 1 2 30 (1.4.24) Konano, sopstvene vrednosti tenzora C , odnosno reenja karakteristine jednaine (1.4.4), prema (1.4.18) su

( ) ( )3,2,13

212arccos31cos2~ 33

0000 =

+

+=+= kkJcc kk (1.4.25)

Sopstvene vrednosti simetrinih tenzora su realni brojevi i mogu se urediti po veliini c c c1 2 3 . Razliitim sopstvenim vrednostima odgovaraju razliiti meusobno ortogonalni glavni pravci. Svakoj sopstvenoj vrednosti ck treba odrediti, prema (1.4.2), odgovarajui sopstveni vektor p k

[ ] ( ) [ ]( ) ( ){ } ( )[ ] ( ){ } { } ( )C I p C p 0 = = =c kk k k k 1 2 3, , (1.4.26) Oigledno je da e (1.4.26) biti zadovoljeno, Huntley i dr. (1983), ako se za komponente sopstvenog

vektora p k uzmu normirani kofaktori jedne bilo koje vrste matrice ( )[ ]C k , iji kofaktori ( ) ( ) ( )C C Ck k k1 2 3, , nisu svi jednaki nuli

( ){ } ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p k kk kk kkT

k k k k

C

C

C

C

C

CC C C C=

= + + >1 2 3 12 22 32 0 (1.4.27)

18

Pravci sopstvenih vektora (1.4.27) predstavljaju glavne pravce tenzora. Zato se sopstvene vrednosti (1.4.25) zovu glavne vrednosti tenzora. U zavisnosti od toga da li su sopstvene vrednosti razliite ili jednake razlikujemo tri sluaja. a) Ako su sve sopstvene vrednosti razliite c c c1 2 3> > , svakoj sopstvenoj vrednosti odreuje se odgovarajui sopstveni vektor korienjem izraza (1.4.26) i (1.4.27). Dobijeni sopstveni vektori su meusobno ortogonalni p p p p1 2 3 1 i jedinini ( ) ( )p pk k = 1 . Ako su sve sopstvene vrednosti istog znaka, to je uvek sluaj kod tenzora deformacija, tenzor geometrijski predstavlja povr troosnog elipsoida, ije se ose simetrije poklapaju sa glavnim pravcima a poluprenici su jednaki sopstvenim vrednostima tenzora. b) Ako su dve sopstvene vrednosti jednake a trea razliita od njih, c c c1 2 3> = ili c c c1 2 3= > , samo za sopstvenu vrednost koja je razliita od druge dve, odreuje se sopstveni vektor korienjem izraza (1.4.26) i (1.4.27). Za druga dva sopstvena vektora mogu se uzeti proizvoljna dva ortonormirana vektora koji lee u ravni koja je upravna na prethodno odreen sopstveni vektor. Ako su sve sopstvene vrednosti istog znaka a dve meusobno jednake, tenzor geometrijski predstavlja povr obrtnog elipsoida, ija se ose obrtanja poklapa sa jednoznano odreenim glavnim pravcem, a poluprenik upravan na osu obrtanja je jednak jednakim sopstvenim vrednostima tenzora. c) Ako su sve tri sopstvene vrednosti jednake c c c1 2 3= = , svaki pravac je glavni, pa se za sopstvene vektore mogu uzeti proizvoljna tri ortonormirana vektora. U ovom sluaju tenzor geometrijski predstavlja sfernu povr iji je poluprenik jednak sopstvenim vrednostima tenzora. Spektralna teorema. Svaki simetrian tenzor C , ije su sopstvene vrednosti ck i sopstveni vektori p k odreeni, moe se izraziti spektralnim opisom

C p p= = ck k kk 1

3 (1.4.28)

Matrica iji su elementi komponente tenzora (1.4.28) je dijagonalnog oblika

[ ]C =

cc

c

1

2

3

0 00 00 0

(1.4.29)

Glavne invarijante tenzora (1.4.5) do (1.4.7), izraene u odnosu na glavne pravce su

I c c c1 1 2 3= + + (1.4.30) I c c c c c c2 1 2 2 3 3 1= + + (1.4.31) I c c c3 1 2 3= (1.4.32)

Ako je simetrini tenzor C pozitivno definitan, I 3 0> , korienjem spektralnog opisa (1.4.28) jednostavno se odreuju kvadratni koren tenzora C1 2 i inverzni tenzor C1

C p p1 2 1 21

3=

= ck k kk

(1.4.33)

C p p=

= 11

3 1ck

k kk

(1.4.34)

Pri ovim operacijama ne dolazi do promene glavnih pravaca tenzora. Prethodno izloenim postupkom, simetrini deformacioni tenzor (1.3.24) i (1.3.25) mogu se izraziti u obliku (1.4.28), a zatim primeniti (1.4.33) i (1.4.34) za izraunavanje desnog i levog tenzora izduenja (1.3.26) i njihovih inverznih tenzora

19

U C p p U C p p= = = = =

=

1 21

31 1 2

1

3 1 k k kk k k kk (1.4.35)

V B q q V B q q= = = = =

=

1 21

31 1 2

1

3 1 k k kk k k kk (1.4.36) gde su

( ) k k kc b k= = =1 2 1 2 1 2 3, , (1.4.37) glavna izduenja koja predstavljaju izduenja materijalnih dui u glavnim pravcima, a kako ne zavise od rotacije imaju istu vrednost kod oba tenzora. Glavni pravci desnog i levog tenzora izduenja razlikuju se za rotaciju i to tako da p k odgovaraju nerotiranim konfiguracijama (poetna i samo izduena), a qk rotiranim konfiguracijama (tekua i samo rotirana). Samo rotirana konfiguracija i samo izduena konfiguracija su definisane u poglavlju 1.5. Prethodne tvrdnje su oigledne ako se deformacioni tenzori (1.3.24) i (1.3.25) izraze preko recipronih baznih vektora krivolinijskih koordinata korienjem (1.3.10) ili (1.5.18)

C F F g g g g g g= = = = T t t t t tg g g g g 0 0 0 0 0 0 (1.4.38) B FF g g g g g g= = = = T t t t t t tg g g g g0 0 0 0 0 (1.4.39)

gde su komponente tenzora iste dok bazni vektori tenzora C odgovaraju nerotiranim a tenzora B rotiranim konfiguracijama. Tenzor rotacije i tenzor gradijenata deformacije u glavnim pravcima su oblika

R q p R p q= = k k T k k (1.4.40) F q p F p q= =

=

= k k kk k k kk1

31

1

3 1 (1.4.41)

1.5 SAMO ROTIRANI I SAMO IZDUENI PRAVCI, OPERACIJE UNAPRED/UNAZAD Tenzor gradijenta deformacije F vri preslikavanje materijalnih dui iz poetne u tekuu konfiguraciju. To preslikavanje moe se vriti, prema polarnoj dekompoziciji (1.3.19), na dva naina - primenom dva nezavisna tenzora, tenzora krute rotacije R i tenzora izduenja U ili V . Prvi nain, podrazumeva da se prvo promeni veliina materijalne dui desnim tenzorom izduenja U a zatim kruto rotira tenzorom rotacije R . Drugi nain, podrazumeva da se prvo materijalna du kruto rotira tenzorom rotacije R a zatim promeni njena veliina levim tenzorom izduenja V . Materijalna du koja pripada nekom glavnom pravcu ne rotira dodatno primenom tenzora izduenja, tako da samo razlikujemo njen poetni i tekui glavni pravac. Proizvoljna materijalna du rotira dodatno primenom tenzora izduenja, tako da pored poetnog i tekueg pravca razlikujemo jo dva pravca i to samo rotirani i samo izdueni pravac. Bazni vektori krivolinijskih koordinata se u optem sluaju mogu smatrati proizvoljnim orijentisanim materijalnim duima. Veze (1.3.11) i (1.3.14), izmeu poetnih i tekuih kovarijantnih i kontravarijantnih baznih vektora, preko tenzora gradijenata deformacije su

t tg F g g F g = = 0 0 1 (1.5.1) t T T tg F g g F g = = 0 0 (1.5.2)

Primenom polarne dekompozicije (1.3.19) u prethodnim izrazima dobijamo t T t T tg RU g VR g g U R g R V g = = = = 0 0 0 1 1 (1.5.3)

t T t T tg RU g V R g g UR g R V g = = = = 1 0 1 0 0 (1.5.4)

20

Radi jasnijeg predstavljanja dvooperacijskog preslikavanja baznih vektora izmeu poetne i tekue konfiguracije (1.5.3) i (1.5.4), uvode se nazivi transformacija unapred (push-forward) za operacije preslikavanja baznih vektora od poetne prema tekuoj konfiguraciji i transformacija unazad (pull-back) za operacije preslikavanja baznih vektora od tekue prema poetnoj konfiguraciji. Izvravanjem samo prve operacije u (1.5.3) i (1.5.4), dobijaju se dve nove grupe baznih vektora i to 0 g samo rotirani bazni vektori i t g samo izdueni bazni vektori, Sansour (1992). Novi bazni vektori definiu se kao

t T t t g U g R g g R g V g = = = = 0 0 0 1 (1.5.5) t T t t g U g R g g R g V g = = = =1 0 0 0 (1.5.6)

Samo izdueni kovarijantni bazni vektori t g (1.5.5)1, mogu se tumaiti da su dobijeni transformacijom poetnih 0 g unapred sa U ili transformacijom tekuih t g unazad sa R T . Samo rotirani kovarijantni bazni vektori 0 g (1.5.5)2, mogu se tumaiti da su dobijeni transformacijom poetnih 0 g unapred sa R ili transformacijom tekuih t g unazad sa V 1 . Njihovi reciproni kontravarijantni bazni vektori (1.5.6) dobijaju se istim operacijama rotiranja a inverznim operacijama izduenja. Skalarnim mnoenjem baznih vektora samim sobom (1.5.5) i (1.5.6), uz korienje (1.3.20)1, dobijaju se komponente odgovajuih metrikih tenzora

t t t t t tg g g g = = = = = =g g g g g g g g0 0 0 0 0 0 (1.5.7) t t t t t tg g g g = = = = = =g g g g g g g g0 0 0 0 0 0 (1.5.8)

Vidi se da su iste komponente metrikog tenzora za samo rotirane i poetne bazne vektore, kao i za samo izduene i tekue bazne vektore. Zato se moe smatrati da levi gornji indeks potpuno odreuje da li se radi o poetnoj ili tekuoj metrici. Korienjem izraza (1.5.3) do (1.5.6) mogu se poetni i tekui bazni vektori izraziti preko samo rotiranih i samo izduenih kao

t t t Tg R g V g g U g R g = = = = 0 0 1 0 (1.5.9) t t t Tg R g V g g U g R g = = = = 1 0 0 0 (1.5.10)

Iz izraza (1.5.5), (1.5.6), (1.5.9) i (1.5.10) dobijaju se izrazi za ortogonalni tenzor rotacije i simetrine tenzore izduenja

R g g g g g g g g= = = = 0 0 0 0 t t t t (1.5.11) U g g g g U g g g g= = = = t t t t 0 0 1 0 0 (1.5.12) V g g g g V g g g g= = = = t t t t 0 0 1 0 0 (1.5.13)

Veze izmeu samo rotiranih i samo izduenih baznih vektora preko tenzora gradijenata deformacije dobijaju se zamenom odgovarajuih veza iz (1.5.9) i (1.5.10) u (1.5.5) i (1.5.6)

t T T t t g UR g R V g g RU g V R g = = = = 0 0 0 1 1 (1.5.14) gVRgRUggVRgRUg 00101 ttTTt ==== (1.5.15)

odnosno t T T t g F g g F g = = 0 0 (1.5.16) t t g F g g F g = =1 0 0 (1.5.17)

Ranije definisan tenzor gradijenata deformacije preko poetnih i tekuih baznih vektora (1.3.10) i (1.3.13), sada se moe napisati preko samo rotiranih i samo izduenih baznih vektora koristei (1.5.16) i (1.5.17) kao

21

F g g g g F g g g g= = = = t t t t 0 0 1 0 0 (1.5.18) Tenzori (1.5.18) i (1.5.11) do (1.5.13) predstavljaju dvostruka tenzorska polja a imaju osobinu da im je matrica komponenata jedinina. Pomou ovih tenzora moe se definisati vie operacija unapred/unazad koje primenjene nad proizvoljnim tenzorom drugog reda, definisanim u konvektivnim koordinatama, transformiu samo bazne vektore dok komponente ostaju nepromenjene. Ova osobina operacija bie pokazana nad metrikim tenzorima definisanim u odnosu na razliite bazne vektore, a vai i za tenzore sa proizvoljnim komponentama. Metriki tenzori napisani u direktnoj notaciji u odnosu na kontravarijantne i kovarijantne poetne, samo rotirane, samo izduene i tekue bazne vektore su

I g g g g g g g g= = = = = = = =0 0 0 0 t t t t (1.5.19) gde su

0 0 0 0 0 0 0 0g g g g g g= = g g (1.5.20) 0 0 0 0 0 0 0 0 g g g g g g= = g g (1.5.21) t t t t t t t tg g g g g g g g= = (1.5.22) t t t t t t t tg gg g g g g g= = (1.5.23)

Prema (1.5.7) i (1.5.8), metriki tenzori u odnosu na bazne vektore koji se razlikuju za krutu rotaciju imaju iste komponente, ali zbog jasnoe zadrae se razliito oznaavanje. Metriki tenzori (1.5.19) mogu se zvati jedinini tenzori jer pri unutranjem proizvodu sa drugim tenzorima ponaaju se neutralno, odnosno ne menjaju rezultat. Korienjem tenzora gradijenata deformacije (1.5.18) mogu se definisati sledee operacije, koje primenjene nad metrikim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23) daju ( ) ( ) ggFgFgFggFgFgF ttTttT gg ==== 000*0100* (1.5.24)

( ) ( ) ggFgFgFggFgFgF 000*0010* ttTttT gg ==== (1.5.25) ( ) ( ) ggFgFgFggFgFgF 001*00* ==== gg ttTttTtt (1.5.26) ( ) ( ) ggFgFgFggFgFgF 001*00* ==== gg tTttttTt (1.5.27)

Desni donji operacijski indeks zvezda koristi se za oznaavanje operacijskih transformacija unapred, a desni gornji operacijski indeks zvezda za oznaavanje operacijskih transformacija unazad. Korienjem ortogonalnog tenzora rotacije (1.5.11) mogu se definisati sledee operacije nad metrikim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23) ( ) ( ) ggRgRgRggRgRgR 00000*00000* ==== gg TT (1.5.28) ( ) ( ) ggRgRgRggRgRgR 00000*00000* ==== gg TT (1.5.29)

( ) ( )* * t t T t t t t t T t t tg g = = = = R g R g R g g R g R g R g g (1.5.30) ( ) ( ) ggRgRgRggRgRgR ** ttttTtttttTt gg ==== (1.5.31) Korienjem simetrinih tenzora izduenja (1.5.12) i (1.5.13) mogu se definisati sledee operacije nad metrikim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23) ( ) ( ) ggUgUgUggUgUgU 000*01010* tttt gg ==== (1.5.32) ( ) ( ) ggVgVgVggVgVgV tttt gg ==== 000*01010* (1.5.33) ( ) ( ) ggUgUgUggUgUgU 0011*00* ==== gg tttttt (1.5.34)

22

( ) ( ) ggVgVgVggVgVgV 0011*00* ==== gg tttttt (1.5.35) Oigledno je da se operacije (1.5.24) do (1.5.35) mogu primeniti nad proizvoljnim tenzorima drugog reda tako da se transformiu samo bazni vektori tenzora dok komponente ostaju nepromenjene. To je posledica injenice da tenzori transformacije, (1.5.18) i (1.5.11) do (1.5.13), imaju jedininu matricu komponenata. Operacije izduenja (1.5.32) do (1.5.35), mogu se na drugi nain izvriti sukcesivnom primenom odgovarajuih operacija deformacija i rotacija (1.5.24) do (1.5.31)

U R F F R U R F F R**

* * * **

* * * = = = =D D D D (1.5.36)

V F R R F V F R R F* **

* * * **

* * = = = =D D D D (1.5.37)

U F R R F U F R R F* * ** * * *

** * = = = =D D D D (1.5.38)

V R F F R V R F F R* ** * * *

** * * = = = =D D D D (1.5.39)

Ovde je sa D oznaena kompozicija funkcija, ( )( ) ( )( )f g x f g x= D . Sve definisane operacije imaju osobinu, ako se ista operacija primeni na neki tenzor sukcesivno unapred pa unazad ili obrnuto, da se tenzor ne menja. Koristei ovu osobinu za operaciju rotacije u (1.5.36) do (1.5.39), operacije deformacije (1.5.24) do (1.5.27) mogu se izvriti na drugi nain preko sukcesivne primene odgovarajuih operacija izduenja i rotacija

F R U V R F R U V R* * * * * * * * * *= = = =D D D D (1.5.40)

* ** *

* * ** *

*F U R R V F U R R V= = = =D D D D (1.5.41) *

** *

**

** *

*F R U V R F R U V R= = = =D D D D (1.5.42) F U R R V F U R R V* * * * * * * * * *= = = =D D D D (1.5.43)

Kako su operacije (1.5.24) do (1.5.27) i (1.5.32) do (1.5.35) primenjene nad jedininim tenzorima (1.5.19), dobijeni izrazi na drugi nain definiu deformacione tenzore (1.3.24) i (1.3.25) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

C F g F g U g U g

C F g F g U g U g

= = = == = = =

**

**

**

**

t t

t t

0 0

1 0 0 (1.5.44)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )B F g F g V g V g

B F g F g V g V g

= = = == = = =

*

**

*

**

**

t t

t t

0 0

1 0 0 (1.5.45)

Ovakav nain pisanja doprinosi jasnijem tumaenju tenzora. Na primer, jedan od naina razumevanja desnog Cauchy-Green-ovog deformacionog tenzora moe biti, da je dobijen operacijom deformisanja unazad (1.5.27)1 tekueg metrikog tenzora (1.5.23)1, tako da komponente metrikog tenzora ostaju nepromenjene C gt = a tekui kontravarijantni bazni vektori transformiu se u poetne 0 g . Koristei (1.5.7) i (1.5.8), deformacioni tenzori (1.5.44) i (1.5.45) konano se mogu napisati u obliku

C g g g g= = t t tg g 0 0 0 (1.5.46) C g g g g = = 1 0 0 0g gt t t (1.5.47)

B g g g g= = t t tg g 0 0 0 (1.5.48) B g g g g = = 1 0 0 0g gt t t (1.5.49)

Tenzori izduenja (1.5.12) i (1.5.13), koji predstavljaju dvostruka tenzorska polja, mogu se napisati u odnosu na jedan sistem baznih vektora kao

23

U g g g g= = 0 0 0 0t t t tg g (1.5.50) U g g g g = = 1 0 0 0 0t t t tg g (1.5.51)

V g g g g= = 0 0 0 0t t t tg g (1.5.52) V g g g g = = 1 0 0 0 0t t t tg g (1.5.53)

gde su

00 0t t tg = = g g g g (1.5.54)

tt tg0 0 0 = = g g g g (1.5.55)

1.6. POMERANJA, GRADIJENTI POMERANJA Vektor pomeranja posmatrane materijalne take, iz jedne u drugu konfiguraciju, jednak je razlici njoj odgovarajuih vektora poloaja u tim konfiguracijama. U odnosu na globalni Descartes-ov koordinatni sistem, korienjem (1.2.2), definiu se sledei vektori pomeranja

t tk

tk

t t

t t t tk

tk

t t t t

t t t tk

t tk

t t t t

uuu

u x x i x x uu x x i x x uu u u i x x u

= = = += = = += + = = +

+ ++ + + +

0 0

0

(1.6.1)

gde su t u vektor poznatog pomeranja iz poetne u tekuu konfiguraciju, t u vektor prirataja pomeranja iz tekue u susednu konfiguraciju i t t+ u vektor konanog pomeranja iz poetne konfiguracije u konfiguraciju koja je susedna tekuoj. Tenzori gradijenata deformacije koji vre preslikavanje materijalnih dui izmeu pomenutih konfiguracija, definiu se primenom (1.3.10) i (1.3.13) kao

0 0 0

01

0

01 1

t tk

t tk

ti

ti

jj t

t t t

t tk

kt

i

ti

t tj

jt

tt t

xx

xx

xx

xx

++

+

+ +

+

= =

= =

F i i F F

F i i F F

(1.6.2)

gde je tt t+ F prirataj tenzora gradijenata deformacije

( )( )

tt t t t t

k

tk

tk

tj

j tt

tt t t t t

k

t tk

tk

t tj

j t tt

x u

xx u

x

+ +

+ + +

+ +

= = + = +

= = =

F F F i i I Y

F F F i i I Y

0 01

10 0

1

(1.6.3)

Ovde je I jedinini tenzor, a l Y tenzor gradijenata pomeranja

l kk

lj

j kk

il iu

xu

r

Y i i i g= = (1.6.4)

gde se levi gornji indeks odnosi na pomeranja a levi donji na koordinate.

24

25

2. TENZORI KONANE DEFORMACIJE

2.1. RAZLIITE MERE TENZORA KONANE DEFORMACIJE Pri deformaciji tela rastojanja izmeu njegovih estica (materijalnih taaka) se, u optem sluaju, menjaju. Linijski element, koji spaja dve diferencijalno bliske materijalne take, predstavljen vektorom relativnog poloaja u poetnoj, samo rotiranoj, samo deformisanoj i tekuoj konfiguraciji, moe se izraziti u odnosu na ranije definisane koordinatne sisteme: globalni Descartes-ov, lokalne Descartes-ove iji su bazni vektori glavni vektori (pravci) i konvektivne krivolinijske sa kovarijantnim i kontravarijantnim baznim vektorima, kao

d d x d x dr d rk k k k0 0 0 0 0 0x i p g g= = = = (2.1.1)

d d x d x dr d rk k k k0 0 0 0 0 0 x i q g g= = = = (2.1.2)

d d x d x dr d rt kt

k kt

kt t t x i p g g= = = = (2.1.3)

d d x d x dr d rt kt

k kt

kt t tx i q g g= = = = (2.1.4)

Metriki tenzori koji odgovaraju navedenim konfiguracijama, koristei (1.5.19) do (1.5.23), mogu se u direktnoj notaciji napisati kao

I i p q g g g g g g g g= = = = = = = = = = =0 0 0 0 t t t t (2.1.5) gde su

i i i p p p q q q= = = jk j k jk j k jk j k (2.1.6) Vektor relativnog poloaja moe se transformisati iz jedne konfiguracije u drugu korienjem tenzora gradijenata deformacije, tenzora izduenja i tenzora rotacije, kao

d d d dt tx F x x F x= = 0 0 1 (2.1.7) d d d dt T T t x F x x F x= = 0 0 (2.1.8) d d d dt t x U x x U x= = 0 0 1 (2.1.9) d d d dt tx V x x V x= = 0 0 1 (2.1.10) d d d dT0 0 0 0 x R x x R x= = (2.1.11)

d d d dt T t t t x R x x R x= = (2.1.12) Kako se pri krutoj rotaciji duina linijskog elementa ne menja, sledi da je intezitet vektora relativnog poloaja isti u konfiguracijama koje se razlikuju za rotaciju

d d d s d d d st t t0 0 0x x x x= = = = (2.1.13) Ako vektor relativnog poloaja nije proizvoljan vektor, ve lei du nekog glavnog pravca, primenom tenzora izduenja menja se samo njegov intezitet. Ranije definisani tenzori izduenja i Cauchy-Green-ovi deformacioni tenzori (1.4.35) i (1.4.36) u odnosu na glavne pravce su dijagonalni. Zato se u odnosu na glavne pravce razliiti tenzori deformacije mogu jednostavno i jasno definisati. Glavna izduenja ( ) k k = 1 2 3, , (1.4.37), predstavljaju odnos duina u tekuem i poetnom trenutku (2.1.13), linijskog elementa koji lei du glavnog pravca

kt

k

k

d sd s

= 0 (2.1.14)

26

Razliite mere deformacije, koje su najee u upotrebi, mogu se izraziti u funkciji glavnih izduenja, Hill (1968),

( ) ( )

km k

m

k

mm

m=

=

1 1 0

0ln (2.1.15)

Oznaka ( )m na levoj strani jednaine nije eksponent, ve pokazuje koja je vrednost koriena pri izraunavanju izraza. Za pozitivne vrednosti eksponenta ( )m= 1 2, , deformacija predstavlja odnos izduenja linijskog elementa i njegove poetne duine, odnosno deformacija se meri u odnosu na njegovu poetnu duinu

( ) k kt

k k

k

d s d sd s

10

01= =

(2.1.16)

( ) ( ) k k t k kk

d s d sd s

2 22 0 2

0 212

12

= = (2.1.17) Za negativne vrednosti eksponenta ( )m = 1 2, , deformacija predstavlja odnos izduenja linijskog elementa i njegove tekue duine, odnosno deformacija se meri u odnosu na njegovu tekuu duinu

( ) k kt

k kt

k

d s d sd s

= = 10

1 1 (2.1.18)

( ) k kt

k kt

k

d s d sd s

= =

22

2 0 2

212

1 12

(2.1.19)

Kada je vrednost eksponenta ( )m= 0 , prirataj deformacije predstavlja odnos prirataja izduenja linijskog elementa i njegove tekue duine, odnosno deformacija je jednaka prirodnom logaritmu od izduenja

( ) ( ) ( )d d d sd s

d sd sk

tk

tk

k k

tk

k

0 0 0= = =ln ln (2.1.20) Izrazi (2.1.16) do (2.1.20) predstavljaju komponente razliitih tenzora deformacije koji su definisani u glavnim pravcima. Koristei tenzore izduenja i Cauchy-Green-ove tenzore deformacije (1.4.35) i (1.4.36), kao i metrike tenzore (2.1.6) koji odgovaraju glavnim pravcima, mogu se definisati razliiti tenzori deformacije. Tenzori ije su komponente (2.1.16) i (2.1.17) definiu deformacije u odnosu na poetnu metriku koju imaju poetna konfiguracija

( )H U p p p= = = k k kk

1

1

3 (2.1.21)

( ) ( )E C p p p= = =12 21

3 k k k

k (2.1.22)

i samo rotirana konfiguracija

( )H V q q q= = = k k kk

1

1

3 (2.1.23)

27

( ) ( )E B q q q= = =12 21

3 k k k

k (2.1.24)

Tenzori ije su komponente (2.1.18) i (2.1.19) definiu deformacije u odnosu na tekuu metriku koju imaju samo deformisana konfiguracija

( )h p U p p= = =1 1

1

3 k k k

k (2.1.25)

( ) ( )e p C p p= = =12 1 21

3 k k k

k (2.1.26)

i tekua konfiguracija

( )h q V q q= = =1 1

1

3 k k k

k (2.1.27)

( ) ( )e q B q q= = =12 1 21

3 k k k

k (2.1.28)

Takoe, spektralnim opisom mogu se definisati tenzori deformacije ije su komponente (2.1.20)

( )

( )

ln

ln

l U p p

l V q q

= =

= = =

=

k k k

k

k k kk

0

1

3

0

1

3 (2.1.29)

Kako su konvektivne (kontravarijantne) koordinate konstantne (2.1.1)3 do (2.1.4)3, deformisanje linijskih elemenata, kao vektora relativnog poloaja, moe se izraziti samo preko promene kovarijantnih baznih vektora. Zato je prirodno definisati tenzore deformacije (2.1.21) do (2.1.28), kao kovarijantne tenzore korienjem (1.5.46)1 do (1.5.53)1 kao i (2.1.5)

( ) ( )E C g g g= = 12 120 0 0 0t g g (2.1.30) ( ) ( ) E B g g g= = 12 120 0 0 0t g g (2.1.31) ( ) ( ) e g C g g= = 12 121 0t t t tg g (2.1.32) ( ) ( )e g B g g= = 12 121 0t t t tg g (2.1.33) ( )H U g g g= = 0 0 0 0 0t g g (2.1.34)

( ) H V g g g= = 0 0 0 0 0t g g (2.1.35) ( ) h g U g g= = t t t t tg g1 0 (2.1.36) ( )h g V g g= = t t t t tg g1 0 (2.1.37)

Oigledna prednost ovakvog naina izraavanja tenzora deformacije je u tome to svi tenzori koji su definisani preko kvadrata duina linijskih elemenata (2.1.30) do (2.1.33), imaju iste kovarijantne komponente u odnosu na etiri razliita kontravarijantna bazna sistema. To znai da su mere deformacije, u okolini posmatrane materijalne take, potpuno odreene razlikom tekueg i poetnog kovarijantnog

28

metrikog tenzora u odnosu na bilo koju referentnu konfiguraciju. To je posledica injenice da se kovarijantni bazni sistem deformie se zajedno sa okolinom posmatrane materijalne take, tako da uvek ostaje vezan za iste materijalne estice. Tenzori deformacije (2.1.30) do (2.1.37), mogu se izraziti u odnosu na kovarijantne bazne vektore korienjem (1.5.46)2 do (1.5.53)2 kao i (2.1.5), kao

( ) ( )E C g g g= = 12 12 0t t t tg g (2.1.38) ( ) ( )E B g g g= = 12 12 0t t t tg g (2.1.39) ( ) ( )e g C g g= = 12 120 1 0 0 0g gt (2.1.40) ( ) ( )e g B g g= = 12 120 1 0 0 0 g gt (2.1.41) ( )H U g g g= = t t t t tg g 0 (2.1.42)

( )H V g g g= = t t t t tg g0 (2.1.43) ( )h g U g g= = 0 1 0 0 0 0g gt (2.1.44) ( )h g V g g= = 0 1 0 0 0 0 g gt (2.1.45)

Prethodno definisani tenzori deformacije u literaturi su poznati po sledeim nazivima: E - Green-Lagrange-ov tenzor deformacije, E - unapred rotirani Green-Lagrange-ov tenzor deformacije, e - unazad rotirani Almansi-jev tenzor deformacije, e - Almansi-jev tenzor deformacije. Tenzori E i e nazivaju se jo i Karni-Reiner-ovi tenzori deformacije. Tenzori H , H , h i h obino se nazivaju tenzorima inenjerske deformacije. Uobiajeno je u literaturi, da se promena kvadrata duine diferencijalne materijalne dui, pre i posle deformacije, izrazi preko tenzora deformacija (2.1.30) do (2.1.33), kao

d s d s d d d d d d d dt t t t t2 0 2 0 0 0 02 2 2 2 = = = = x E x x E x x e x x e x (2.1.46)

2.2. MULTIPLIKATIVNA DEKOMPOZICIJA U sluaju neelastinih materijala, smatramo da naponi zavise samo od elastinih deformacija. Zbog te injenice, pored poetne i tekue konfiguracije, smatramo da postoji neka zamiljena meukonfiguracija B , koja se dobija kada se tekua konfiguracija rastereti. Dalje e se razmatrati sluaj kada je neelastino deformisanje materijala plastino, pa e se koristiti indeks p. Meukonfiguracija je posledica samo plastinog deformisanja i u njoj nema elastinih deformacija i napona. Praktino, takvu konfiguraciju nije uvek mogue ostvariti zbog toga to dobijeno polje deformacija je u optem sluaju nekompatibilno. Koordinate materijalnih taaka x , koje odgovaraju meukonfiguraciji, nije mogue odrediti, ali se moe posredno odrediti tenzor gradijenta plastine deformacije Fp . Primenom (1.6.2) tenzor gradijenta ukupne deformacije F, moe se dobiti proizvodom tenzora gradijenta plastine deformacije Fp i tenzora gradijenta elastine deformacije Fe

29

F F F F F F

F F F F F F= == =

e p p eT

pT

eT T

eT

pT

1 1 1

(2.2.1)

Ovakvo rastavljanje gradijenta deformacije najee se u literaturi naziva multiplikativna dekompozicija, Lee (1969), Lubarda (1995). Na svaki od tenzora F , Fp i Fe mogua je primena teoreme o polarnoj dekompoziciji (1.3.19). Green-Lagrange-ovi tenzori deformacije (2.1.30), koji odgovaraju tenzorima gradijenta deformacija Fe i Fp , su

( ) ( )E F F I E F F Ie eT e p pT p= = 12 12 (2.2.2) gde je I jedinini tenzor drugog reda. Green-Lagrange-ov tenzor ukupne deformacije, koji odgovara tenzoru gradijenta ukupne deformacije F (2.2.1), dobija se kao

( )E F F I E F E F= = +12 T p pT e p (2.2.3) Tenzor ukupne deformacije E, nije jednak zbiru tenzora elastine Ee i tenzora plastine deformacije E p , poto je za tenzore E i E p referentna konfiguracija poetna

0 B , dok je tenzor Ee definisan u

odnosu na meukonfiguraciju B . U sluaju unapred rotiranog Green-Lagrange-ovog tenzora elastine deformacije (2.1.31), tenzor ukupne deformacije (2.2.3) rauna se kao

E E F R E R F= +p pT eT e e p (2.2.4) Tenzori elastinih i plastinih deformacija mogu se sabirati samo ako su izraeni u odnosu na istu konfiguraciju, koja moe biti poetna, tekua ili meukonfuguracija. To je posledica injenice da se tenzori rotacija R , R p i R e u optem sluaju razlikuju, pa se tenzori deformacije (2.2.2) ne mogu direktno sabirati u konfiguracijama koje su rotirane u odnosu na prethodno navedene konfiguracije. Almansi-jevi tenzori deformacija (2.1.33), koji odgovaraju tenzorima Fe i Fp , su

( ) ( )e I F F e I F Fe e T e p p T p= = 12 121 1 (2.2.5) Almansi-jev tenzor ukupne deformacije moe biti izraen, koristei (2.2.1), kao

( )e I F F e F e F= = + 12 1 1T e e T p e (2.2.6) U sluaju unazad rotiranog Almansi-jevog tenzora elastine deformacije (2.1.32), tenzor ukupne deformacije (2.2.6) rauna se kao

e R e R F e F= + e e eT e T p e 1 (2.2.7) Izmeu svakog prethodno navedenog Lagrange-ovog tenzora deformacije E i njemu odgovarajueg Almansi-jevog tenzora deformacije e , postoji veza preko odgovarajueg tenzora gradijenta deformacije F

E F e F e F E F

= =T T 1 (2.2.8)

Koristei (2.2.8) i (2.2.1), izraz (2.2.3) moe se napisati u obliku E E F E F F e F = =p pT e p T e (2.2.9)

koji pokazuje da se razlika Lagrange-ovog tenzora ukupne i plastine deformacije moe izraziti preko Almansi-jevog tenzora elastine deformacije.

30

Vano je naglasiti da kod metala plastine deformacije ne izazivaju promenu zapremine, tako da je determinanta tenzora gradijenta plastine deformacije

Fpd vd v

= = =0

0 1

(2.2.10)

Zato su determinante tenzora gradijenta ukupnih i elastinih deformacija iste

F F F F= = = =e p etd v

d v

0

0 (2.2.11)

injenica (2.2.10) omoguava da se integracija po zapremini nepoznate meukonfiguracije moe vriti po zapremini poznate poetne konfiguracije.

2.3. PRIRATAJI TENZORA DEFORMACIJE Kada se tenzori deformacije, koji odgovaraju Hill-ovoj meri deformacije k( )2 ili k( )2 (2.1.15), izraze u konvektivnim koordinatama, oigledno je iz (2.1.30) do (2.1.33) da imaju iste komponente

( ) ( )0 0 0 012 12t t t t t t t tg g+ + + += = g g g g (2.3.1) Koristei (1.2.12)1 i (1.6.1), ( )t t t t t t

r r+

+= = +

g

xg u

(2.3.2)

kovarijantne deformacije (2.3.1) mogu se napisati kao

0 0t t t+ = + (2.3.3)

gde su 0t deformacije izmeu poetne i tekue konfiguracije

( )0 0 012t t t = g g g g (2.3.4) a prirataj deformacije izmeu tekue i susedne konfiguracije.

= +e (2.3.5) Ovde je e linearni deo prirataja deformacije

( )er r

tt

tt t t t t

= +

= +

12

12

u g u g u g u g, , (2.3.6)

a je nelinearni deo prirataja deformacije (geometriska nelinearnost) ( ) = = 12 12

t tt t

r ru u u u, , (2.3.7)

Izrazi (2.3.6) i (2.3.7) mogu predstavljati prirataje deformacija pri iterativnim procesima, s tim to levi gornji indeks t oznaava vrednost u trenutaku t t+ u iteraciji (i-1), a levi gornji indeks t oznaava prirataj u iteraciji (i).

31

Kada su prirataji pomeranja mali, moe se zanemariti izraz (2.3.7). Ako su i rotacije male moe se smatrati da se poetna konfiguracija ne menja, pa se (2.3.6) svodi na izraz za infinitezimalne deformacije

e = + 120 0( ), ,u g u g (2.3.8)

Male deformacije (2.3.8), u odnosu na glavne Descartes-ove koordinate, dobijaju se u poznatom obliku kao

e ux

uxij

i

j

j

i

= +12

( )

(2.3.9)

32

33

3. TENZORI NAPONA I RAVNOTEA

3.1. TENZORI NAPONA U posmatranoj materijalnoj taki P , vektor "tanog" napona ( )t n definie se kao vektor tekue povrinske sile d tf po tekuoj diferencijalnoj povrini d at , gde je jedinini vektor spoljanje normale na tekuu diferencijalnu povrinu t n ,

( )tf

n = dd at

t (3.1.1)

Posmatrana diferencijalna povrina moe biti u telu ili na graninoj povri tela. Ako je diferencijalna povrina u telu povrinska sila je unutranja sila, a ako je na graninoj povri povrinska sila je spoljanja ili kontaktna sila. Vektor "tanog" napona ( )t n , u taki tekue diferencijalne povrine, moe se odrediti, prema Cauchy-jevoj fundamentalnoj teoremi, unutranjim proizvodom "tanog" ili Cauchy-jevog simetrinog tenzora napona i vektora normale na tekuu diferencijalnu povrinu t n

( )t nn = t (3.1.2) Zbog kasnijeg definisanja razliitih tenzora napona koji odgovaraju definisanim tenzorima deformacije u glavi 2., tenzorske veliine (3.1.2) je neophodno izraziti u odnosu na ranije definisana etiri tipa baznih vektora. Vektor tekue povrinske sile i jedinini vektor normale na tekuu diferencijalnu povrinu mogu se napisati u odnosu na tekue i samo rotirane bazne vektore kao

d df df dt tf g g f= = = 0 0 t tn nn g g n= = = 0 0 (3.1.3) Kada se koriste nadvueni vektori (3.1.3), smatra se da su tekui vektori izraeni u odnosu na samo rotirane bazne vektore koji imaju poetnu metriku. Zamenom (3.1.3)2 u (3.1.2) dobija se

( )t t tn = =n n (3.1.4) tako da Cauchy-jeva fundamentala teorema u drugom obliku pokazuje da se vektor "tanog" napona

( )t n , u taki tekue diferencijalne povrine, moe predstaviti linearnom funkcijom vektora napona, iji su koeficijenti komponente jedininog vektora t n n= 0 . Vektori napona (3.1.4), koji deluju na koordinatne povri kovarijantnih baznih vektora su

t ga t a= (3.1.5) t ga a= 0 (3.1.6)

Iz (3.1.5) i (3.1.6) direktno se dobija Cauchy-jev tenzor napona u obliku = = t g t g t 0 (3.1.7)

Polazei od ovog izraza mogu se definisati razliiti tenzori napona. Cauchy-jev tenzor napona (3.1.7) moe se napisati u odnosu na tekue i samo rotirane bazne vektore na sledee naine

= = = = tt t t t t t t g g g g g g g g0 0 0 0 00 0 0 (3.1.8) gde indeksi sa leve strane komponenata tenzora napona pokazuju kojim baznim vektorima, odnosno kojoj metrici komponente odgovaraju, i to tako to se levi gornji indeks odnosi se na prvi desni indeks a levi donji - na drugi desni. Iz (3.1.8)2 i (3.1.8)3 oigledno je da je

00tt = (3.1.9)

34

Korienjem (3.1.7) do (3.1.9) dobijaju se vektori napona kao t g g = =tt t t0 0 (3.1.10) t g g = =0 00 0t t (3.1.11)

Fiziko znaenje razliitih komponenata tenzora napona je jasno iz (3.1.10) i (3.1.11). Veze izmeu razliitih komponenata tenzora napona mogu se dobiti iz (3.1.8) izraavanjem tekuih baznih vektora preko samo rotiranih korienjem (1.5.54)2 i (1.2.36)2

00 0

0 00 0

0 0 = =g g g g g gt tt t t t (3.1.12) Cauchy-jev tenzor napona (3.1.8)2 i (3.1.8)3, koji je izraen u odnosu na razliite bazne vektore, moe se napisati preko proizvoda novog tenzora napona i levog simetrinog tenzora izduenja V (1.5.13)1, korienjem (3.1.9)

= = V V T (3.1.13) gde je

= 0 0 0t g g (3.1.14) Ako se na (3.1.8) primeni operacija rotacije unazad (1.5.31)2 i (1.5.29)2, korienjem (1.5.11) i (3.1.9), dobija se izometriki Cauchy-jev tenzor napona

( ) = =R R RT = = = = tt t t t t t t g g g g g g g g0 0 0 0 00 0 0 (3.1.15)

Primenom odgovarajuih operacija unazad i unapred (1.5.24)2 do (1.5.35)2 nad kovarijantnim baznim vektorima ve definisanih tenzora napona, dobijaju se novi tenzori napona. Transformacijom unazad tenzora napona (3.1.14) operacijom rotacije (1.5.29)2 dobija se ( ) = =R R R T = 0 0 0t g g (3.1.16) Transformacijom unapred tenzora napona (3.1.14) operacijom deformacije (1.5.25)2 dobija se ( ) = =F F F T = 0t t t g g (3.1.17) Transformacijom unapred tenzora napona (3.1.14) operacijom izduenja (1.5.33)2 dobija se ( ) = =V V V = 0t t t g g (3.1.18) Transformacijom unazad Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)1 operacijom deformacije (1.5.27)2 ili izometrikog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)1 operacijom izduenja (1.5.34)2 dobija se ( ) ( ) ===== 1111 UUUUFFF T = tt 0 0g g (3.1.19) Transformacijom unazad izometrikog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)1