17.1.2014.

1

Uvod u nelinearni proračun konstrukcija GEOMETRIJSKA NELINEARNOST

NELINEARNA STATIKA ŠTAPNIH KONSTRUKCIJA

UVOD- PRORAČUN ŠTAPNIH KONSTRUKCIJA

• sustav diferencijalnih jednadžbi koje opisuju ponašanje konstrukcije pod djelovanjem vanjskih utjecaja• DIF.JED. RAVNOTEŽE – veza vanjskih djelovanja i unutarnjih sila• DIF.JED. KOMPATIBILNOSTI – veza pomaka i deformacija• DIF.JED. MATERIJALA – veza naprezanja i deformacija

• TEORIJA I REDA – geometrijska i materijalna linearnost• TEORIJA II REDA – geometrijska nelinearnost i materijalna linearnost• TEORIJA III REDA – geometrijska nelinearnost i materijalna nelinearnost

• LINEARNI PRORAČUN - pretpostavke• pomaci mali; uvjeti ravnoteže na nedeformiranom sustavu• veza deformacija i pomaka – linearna dif.jed. I reda• veza deformacije i naprezanja linearna – Hookeov zakon

17.1.2014.

2

UVOD - PRORAČUN ŠTAPNIH KONSTRUKCIJA

STATIKA ŠTAPNIH KONSTRUKCIJA

LINEARNI PRORAČUN NELINEARNI PRORAČUN

GEOMETRIJSKA NELINEARNOST

MATERIJALNA NELINEARNOST

• ravnoteža na nedeformiranom sustavu

• Hookeov zakon

• jedinstveno rješenje

• vrijedi zakon superpozicije

• ravnoteža na deformiranom sustavu

• Hookeov zakon

• rješenja nisu jedinstvena

• ne vrijedi zakon superpozicije

• ravnoteža na deformiranom sustavu

• ne vrijedi Hookeov z.

• rješenja nisu jedinstvena

• ne vrijedi zakon superpozicije

UVOD- PRORAČUN ŠTAPNIH KONSTRUKCIJA

•• GEOMETRIJSKA KRUTOST GEOMETRIJSKA KRUTOST

•• štap opterećen vlačnom silomštap opterećen vlačnom silom→ povećanje krutosti→ povećanje krutosti•• štap opterećen tlačnom silom → smanjenje krutostištap opterećen tlačnom silom → smanjenje krutosti•• geometrijska krutost geometrijska krutost -- funkcija opterećenja, dužine štapafunkcija opterećenja, dužine štapa

{F}=[k{F}=[kee+k+kgg]]××{u}{u}•• problem izvijanja problem izvijanja -- za vrlo veliku tlačnu silu ukupna za vrlo veliku tlačnu silu ukupna

matrica krutosti može postati singularnamatrica krutosti može postati singularna

17.1.2014.

3

UVOD- PRORAČUN ŠTAPNIH KONSTRUKCIJA

•• PP--∆∆ POSTUPAK ZA ZGRADEPOSTUPAK ZA ZGRADE•• uzima se u obzir uzima se u obzir geometrijska krutostgeometrijska krutost i na taj način se i na taj način se

uključuju uključuju sekundarni efektisekundarni efekti u proračun konstrukcijeu proračun konstrukcije•• zgrade zgrade -- poprečno opterećenjepoprečno opterećenje→pomaci katova→pomaci katova

-- vertikalna opt.vertikalna opt.××pomaci→dodatni momentipomaci→dodatni momenti→ → UTJECAJ VERTIKALNOG OPTEREĆENJA NA UTJECAJ VERTIKALNOG OPTEREĆENJA NA

POPREČNU KRUTOST ZGRADEPOPREČNU KRUTOST ZGRADE•• DINAMIČKA ANALIZA DINAMIČKA ANALIZA -- produljenje vlastitih periodaproduljenje vlastitih perioda•• dobro koncipirane zgrade s povoljnim omjerom odnosa dobro koncipirane zgrade s povoljnim omjerom odnosa

krutost/težina za svaki kat krutost/težina za svaki kat -- pomaci i un. sile se razlikuju pomaci i un. sile se razlikuju za manje od 10% (linearni i nelinearni proračun)za manje od 10% (linearni i nelinearni proračun)

•• ako je težina konstrukcije velika u odnosu na poprečnu ako je težina konstrukcije velika u odnosu na poprečnu krutost, Pkrutost, P--∆∆ ima velik utjecaj (>25%)ima velik utjecaj (>25%)

PRIMJER 1. – PROSTA GREDA

RASPON ℓ=10 m

PRESJEK b/h=20/40 cm I=1,067×10-4 m4

MATERIJAL beton C35/45 E=3×107 kN/m2

OPTEREĆENJE q= 10 kN/m2 poprečno opterećenje

Htl=1000 kN tlačna sila

Hvl=1000 kN vlačna sila

17.1.2014.

4

POPREČNI PRESJEK

LOAD CASELOAD CASE

Opterećenje uzdužnom tlačnom silom

17.1.2014.

5

LOAD CASELOAD CASE

Modal – za proračun vlastitih oblika

LOAD CASELOAD CASE

Opterećenje uzdužnom vlačnom silom

17.1.2014.

6

LOAD CASELOAD CASE

Opterećenje uzdužnom vlačnom silom

2 210 10125

8 8

q lM kNm

× ×= = =

17.1.2014.

7

4

4

5

384

5 10 100,0407

384 32010

q lw

E I

m

× ×= =

× ×

× ×= =

×

PRIMJER 1. – PROSTA GREDA

, 1851,48

125

II tl

I

MM

M∆ = = = , 94

0,75125

II vl

I

MM

M∆ = = =

Usporedba momenata i progiba – LINEARNI vs. NELINEARNI PRORAČUN

TIR TIIR - TLAČNA SILA TIIR - VLAČNA SILA

MOMENT U POLJU [kNm] 125 185 94

PROGIB [m] 0,041 0,06 0,031

povećanje momenata i progiba smanjenje momenata i progibau odnosu na one u odnosu na one dobivene lin.proračunom dobivene lin.proračunomza cca. 50% za cca. 25%

17.1.2014.

8

PRIMJER 1. – PROSTA GREDAUsporedba perioda oscilacija – LINEARNI vs. NELINEARNI PRORAČUN

LINEARNI PRORAČUN

NELINEARNI PRORAČUN S TLAČNOM SILOM

NELINEARNI PRORAČUN S VLAČNOM SILOM

→ “OMEKŠANJE” KONSTRUKCIJE

→ “OČVRŠĆENJE” KONSTRUKCIJE

2m

Tk

π=

PRIMJER 1. – PROSTA GREDASTABILNOST – problem tlačne sile

17.1.2014.

9

PRIMJER 1. – PROSTA GREDA

2 2

2 2

3,14 320103156,06

10cr

EIP kN

π ×= = =�

STABILNOST – problem tlačne sile

crP P izvijanje štapa≥ →

PRIMJER 1. – PROSTA GREDASTABILNOST – problem tlačne sile

→ NEMOGUĆE!!!!

za P=3160 kN

17.1.2014.

10

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

RASPON ℓ=10 m

PRESJEK b/h=20/40 cm I=1,067×10-4 m4

MATERIJAL beton C35/45 E=3×107 kN/m2

OPTEREĆENJE q=10 kN/m2 poprečno opterećenje

Htl=1000 kN tlačna sila

Hvl=1000 kN vlačna sila

2 210 1083,33

12 12lež

q lM kNm

× ×= = =

2 210 1041,66

24 24polje

q lM kNm

× ×= = =

17.1.2014.

11

4

4

384

10 100,0081

384 32010

q lw

E I

m

×= =

× ×

×= =

×

, 461,095

42

II tl

I

MM

M∆ = = = , 38

0,90542

II vl

I

MM

M∆ = = =

Usporedba momenata i progiba – LINEARNI vs. NELINEARNI PRORAČUN

TIR TIIR - TLAČNA SILA TIIR - VLAČNA SILAMOMENT U POLJU [kNm] 42 46 38MOMENT NA LEŽ. [kNm] 83 88 79

PROGIB [m] 0,0081 0,0088 0,0075

povećanje momenata i progiba smanjenje momenata i progibau odnosu na one u odnosu na one dobivene lin.proračunom dobivene lin.proračunomza cca. 10% za cca. 10%

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

17.1.2014.

12

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAPUsporedba perioda oscilacija – LINEARNI vs. NELINEARNI PRORAČUN

LINEARNI PRORAČUN

NELINEARNI PRORAČUN S TLAČNOM SILOM

NELINEARNI PRORAČUN S VLAČNOM SILOM

→ “OMEKŠANJE” KONSTRUKCIJE

→ “OČVRŠĆENJE” KONSTRUKCIJE

STABILNOST – problem tlačne sile

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

2 2

2 2

3,14 3201012624,23

(0,5 ) 5cr

EIP kN

π ×= = =

�

crP P izvijanje štapa≥ →

17.1.2014.

13

STABILNOST – problem tlačne sile

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAPza P=12640 kN

STABILNOST – problem tlačne sile

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

→ NEMOGUĆE!!!!

za P=12640 kN

17.1.2014.

14

- AKO POSTOJI POČETNA IMPERFECIJA – npr. 1 cm u sredini nosača

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

Kako zadati početnu imperfekciju u SAPu?

- AKO POSTOJI POČETNA IMPERFECIJA – npr. 1 cm u sredini nosača

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

, ,

,

511,11

46

II tl imp

II tl

MM

M∆ = = =

, , 511,21

42

II tl imp

I

MM

M∆ = = =

17.1.2014.

15

- AKO POSTOJI POČETNA IMPERFECIJA – npr. 1 cm u sredini nosača

PRIMJER 2. – OBOSTRANO UPETI ŠTAP

, ,

,

330,9

38

II vl imp

II vl

MM

M∆ = = ≈

, , 330,8

42

II vl imp

I

MM

M∆ = = ≈

P

A

cP

1a

2a 3

a

1 2 3a a a< <

0α =

Ovisnost kritične sile o početnoj imperfekciji za elastični štap

PRIMJER 3. – OKVIR

RASPON PREČKE ℓ=6 m

VISINA STUPA ℓ=4 m

PRESJEK HEB300 I=2,517×10-4 m4

MATERIJAL ČELIK S235 E=2×108 kN/m2

OPTEREĆENJE V=1000 kN vertikalna sila

H=120 kN horizontalna sila

17.1.2014.

16

LOAD CASELOAD CASE

Opterećenja - vertikalne sile i horizontalna sila

LOAD CASELOAD CASE

Opterećenje uzdužnom tlačnom silom

17.1.2014.

17

LOAD CASELOAD CASE

LOAD CASE

Modal – za proračun vlastitih oblika

17.1.2014.

18

P

1511,04

145II

I

MM

M∆ = = =

PRIMJER 3. – OKVIRUsporedba perioda oscilacija – LINEARNI vs. NELINEARNI PRORAČUN

LINEARNI PRORAČUN

NELINEARNI PRORAČUN

17.1.2014.

19

STABILNOST – problem tlačne sile

PRIMJER 3. – OKVIR

PRIMJER 3. – OKVIR

2 2

2 2

( ) 2,57 5034020780

4cr

kl EIP kN

×= = =

�

STABILNOST – problem tlačne sile

crP P izvijanje stupa≥ →

17.1.2014.

20

PRIMJER 3. – OKVIRSTABILNOST – problem tlačne sile

20780za P kN=

PRIMJER 3. – OKVIRSTABILNOST – problem tlačne sile

→ NEMOGUĆE!!!!

20780za P kN=

17.1.2014.

21

UČINCI PREMA TEORIJI II REDA• učinci prema teoriji II reda moraju se uzeti u proračun ako utječu na

ukupnu stabilnost građevine ili dostizanje graničnog stanja nosivosti

• granična vrijednost kad se učinci II reda mogu zanemariti:

• pomični okviri:

• u nedostatku drugih podataka - granična vrijednost svedene vitkosti:

PROJEKTIRANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

,

Ed

cr

Ed H Ed

H h

Vα

δ

=

10 (15)cr

cr

Ed

F

Fα = ≥

0,3 y

Ed

A f

Nλ

×≥ →kad učinci II reda

nisu zanemarivi

STABILNOST OKVIRA• PREMA TIPU OKVIRA I GLOBALNOJ ANALIZI, UTJECAJI II REDA I

IMPERFEKCIJE MOGU SE PRORAČUNATI PREMA SLJEDEĆIM METODAMA:

• oboje pomoću globalne analize

• djelomično preko globalne analize i djelomično kroz provjeru stabilnosti pojedinačnih elemenata

• osnovni slučajevi stabilnosti pojedinačnih elemenata uzimajući u obzir odgovarajuće duljine izvijanja prema globalnom tonu izvijanja konstrukcije

• JEDNOKATNI OKVIRI – povećanje horizontalne sile HEd i ekvivalentnih vertikalnih opterećenja VEd zbog imperfekcija za faktor

1; 3,0

11

cr

cr

α

α

≥

−

PROJEKTIRANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

17.1.2014.

22

IMPERFEKCIJEIMPERFEKCIJE•• GLOBALNE IMPERFEKCIJE ZA OKVIRE I SPREGOVEGLOBALNE IMPERFEKCIJE ZA OKVIRE I SPREGOVE

•• LOKALNE IMPERFEKCIJE POJEDINIH ELEMENATALOKALNE IMPERFEKCIJE POJEDINIH ELEMENATA

GLOBALNE IMPERFEKCIJE OKVIRAGLOBALNE IMPERFEKCIJE OKVIRA

•• pretpostavljeni oblik globalnih imperfekcija može se dobiti iz pretpostavljeni oblik globalnih imperfekcija može se dobiti iz elastičnog elastičnog moda izvijanjamoda izvijanja konstrukcije u promatranoj ravninikonstrukcije u promatranoj ravnini

•• uzeti u obzir za uzeti u obzir za najnepovoljnije opterećenjenajnepovoljnije opterećenje

•• za okvire osjetljive na izvijanje u pomičnom modu, utjecaj imperfekcija za okvire osjetljive na izvijanje u pomičnom modu, utjecaj imperfekcija uzima se u obzir preko početne uzima se u obzir preko početne horhor. imperfekcije. imperfekcije

ENV 1993-1-1:2005PROJEKTIRANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

0 0; 1/200

22 / ; 1,0

3sin

0,5(1 1/ )

h m

h h

m

h

h vi a konstrukcijem

m broj stupova u redu

φ φ α α φ

α α

α

= =

= ≤ ≤

−

= +−

PRIMJER 3. – OKVIR

2078020,8 10

1000cr

cr

Ed

F

Fα = = = ≥

11,05

1 1/20,78=

−

PROPISI – da li je trebao proračun po teoriji II reda?

→ nije trebao, povećanje unutarnjih sila je zanemarivo u odnosu na teoriju I reda

1511,04

145II

I

MM

M∆ = = =