VPLIV MODELIRANJA POLNIL V ANALIZI POTRESNEGA … · členki, nadomestna diagonala, linearna analiza, nelinearna potisna analiza, SAP2000 UDK: 624-012.35(043.2) Povzetek Magistrsko

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO, PROMETNO INŽENIRSTVO IN ARHITEKTURO

Vid Lešič

VPLIV MODELIRANJA POLNIL V ANALIZI POTRESNEGA OBNAŠANJA

ARMIRANOBETONSKIH OKVIRJEV

Magistrsko delo

Maribor, september 2017

I

Smetanova ulica 17 2000 Maribor, Slovenija

Magistrsko delo na študijskem programu 2. stopnje UM



Študent: Vid Lešič

Študijski program: 2. stopnja, Gradbeništvo

Smer: Gradbene konstrukcije

Mentor: izr. prof. dr. Matjaž Skrinar, univ. dipl. inž. grad.

Somentor: doc. dr. Iztok Peruš, univ. dipl. inž. grad.

Lektor(ica): Vanja Hočevar, prof. slovenščine

Maribor, september 2017

II

III

ZAHVALA

Za vso pomoč, spodbudo in nasvete pri nastajanju

magistrskega dela se zahvaljujem mentorju dr.

Matjažu Skrinarju. Prav tako se zahvaljujem

somentorju dr. Iztoku Perušu.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi omogočili

študij.

IV



Ključne besede: zidana polnila, armiranobetonski okviri, potresna obremenitev, plastični

členki, nadomestna diagonala, linearna analiza, nelinearna potisna analiza, SAP2000

UDK: 624-012.35(043.2)

Povzetek

Magistrsko delo obravnava vpliv modeliranja polnil v analizi potresnega obnašanja

armiranobetonskih okvirjev na tipskem primeru enoetažne stavbe. Študije različnih avtorjev so

pokazale, da lahko mehanske lastnosti zidanih polnil v računskih modelih dovolj dobro zajamemo

z nadomestno diagonalo, ki ji s pomočjo empiričnih enačb določimo efektivno širino in posledično

ustrezno togost. Skozi leta se je pojavilo več predlaganih modelov z eno ali več nadomestnimi

diagonalami, prav tako so različni avtorji predlagali različne izraze za določitev efektivne širine

diagonale. Da bi dobili boljši vpogled v možnosti, ki jih inženirski praksi omogoča uporaba

različnih modelov zidanih polnil, sta v magistrskem delu na štirih modelih istega okvirja z

različnim številom in različno efektivno širino nadomestnih diagonal izvedeni dve analizi. Kot

prva je narejena enostavna linearna dinamična analiza, kot se izvaja v potresnem inženirstvu;

kot druga pa nelinearna statična potisna analiza, ki daje vpogled v neelastično obnašanje okvirjev

s polnili med močnimi potresi.

V

THE INFLUENCE OF INFILL’S MODELLING IN SEISMIC BEHAVIOUR’S

ANALYSIS OF MASONRY RC FRAMES

Key words: infill’s, RC frames, earthquake linear analysis, plastic hinges, strut models,

nonlinear static pushover analysis, SAP2000

UDK: 624-012.35(043.2)

Abstract

The influence of infill's modelling in seismic behaviour's analysis of masonry RC frames on

typical example of a one-storey building is presented in the master thesis. Studies by various

authors have shown that the mechanical properties of masonry infills can be sufficiently

captured in mathematical models by strut models, which can determine the effective width and

consequently axial stiffness with empirical equations. Over the years, several authors proposed

different approaches with one or multiple strut models. Similarly, various authors proposed

different empirical equations for determining the effective width of strut elements. In this master's

thesis, a linear, as well as nonlinear static pushover analysis is performed on four models of the

same frame with different numbers and a different effective width of the struts.

VI

VSEBINA

1 UVOD ...................................................................................................................... 1

1.1 SPLOŠNO ............................................................................................................ 1

1.2 NAMEN IN CILJ MAGISTRSKEGA DELA ................................................................ 2

1.3 STRUKTURA MAGISTRSKEGA DELA .................................................................... 3

2 VPLIV POLNIL NA OBNAŠANJE ARMIRANOBETONSKIH OKVIRJEV

MED POTRESOM ......................................................................................................... 5

2.1 SPLOŠNO O VPLIVU ZIDANIH POLNIL NA ARMIRANOBETONSKI OKVIR ................ 5

2.2 NAČINI PORUŠITVE ARMIRANOBETONSKIH OKVIRJEV Z ZIDANIMI POLNILI ......... 6

3 PRAVILA ZA PROJEKTIRANJE AB OKVIRJEV S POLNILI V SKLADU

S STANDARDOM EVROKOD 8 ............................................................................... 10

4 RAČUNSKI MODELI ZA PRERAČUN AB OKVIRJEV S POLNILI ......... 13

4.1 PROBLEMATIKA MODELIRANJA OBNAŠANJA ZIDANIH POLNIL MED DELOVANJEM

POTRESA ...................................................................................................................... 13

4.2 MAKRO MODELI............................................................................................... 13

4.3 UPORABLJENE MATERIALNE KARAKTERISTIKE ................................................ 17

4.4 DOLOČITEV EFEKTIVNE ŠIRINE NADOMESTNE DIAGONALE W .......................... 17

4.5 RAČUNSKA TOGOST POLNILA, ZAJETA Z NADOMESTNO DIAGONALO ................ 21

5 PRIKAZ UPORABE MODELIRANJA AB OKVIRJEV S POLNILI ........... 25

5.1 OPIS ANALIZIRANE KONSTRUKCIJE .................................................................. 25

5.2 IZRAČUN EFEKTIVNE ŠIRINE IN TOGOSTI NADOMESTNIH DIAGONAL ................. 27

5.2.1 Model z eno nadomestno diagonalo ........................................................... 27

5.2.2 Model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama ........................ 30

5.2.3 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnima naklonoma .. 32

5.2.4 Model s tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami ............................ 34

5.2.5 Primerjava togosti med različnimi računskimi modeli in avtorji ............... 36

VII

6 LINEARNA DINAMIČNA ANALIZA .............................................................. 38

6.1 ČISTI OKVIR ..................................................................................................... 38

6.1.1 Izračun togosti obravnavanega okvirja ...................................................... 38

6.1.2 Izračun mas ................................................................................................ 39

6.1.3 Izračun nihajnih časov ............................................................................... 39

6.1.4 Izračun potresne sile na okvir .................................................................... 40

6.2 OKVIR BREZ UPOŠTEVANJA TOGOSTI POLNILA ................................................. 43

6.2.1 Izračun togosti obravnavanega okvirja ...................................................... 43

6.3 MODEL Z ENO NADOMESTNO DIAGONALO ....................................................... 44

6.3.1 Izračun togosti ............................................................................................ 44

6.3.2 Izračun mas ................................................................................................ 45



6.4 MODEL Z DVEMA VZPOREDNIMA NADOMESTNIMA DIAGONALAMA ................. 47

6.4.1 Izračun togosti ............................................................................................ 47



6.5 MODEL Z DVEMA NADOMESTNIMA DIAGONALAMA POD RAZLIČNIM NAKLONOM

49

6.5.1 Izračun togosti računskega modela ............................................................ 49



6.6 MODEL S TREMI VZPOREDNIMI NADOMESTNIMI DIAGONALAMI ....................... 51

6.6.1 Izračun togosti računskega modela ............................................................ 51



6.7 PRIMERJAVA NIHAJNIH ČASOV IN POTRESNIH SIL MED RAZLIČNIMI RAČUNSKIMI

MODELI ........................................................................................................................ 53

7 NELINEARNA STATIČNA (»PUSHOVER«) ANALIZA .............................. 56

7.1 SPLOŠNE LASTNOST PLASTIČNIH ČLENKOV ...................................................... 56

7.2 DOLOČITEV MOMENTNEGA PLASTIČNEGA ČLENKA M ..................................... 58

7.3 DOLOČITEV OSNEGA PLASTIČNEGA ČLENKA P ................................................. 63

VIII



7.3.3 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom ...... 66


7.4 REZULTATI IN PRIMERJAVE NELINEARNE STATIČNE POTISNE (»PUSHOVER«)

ANALIZE ...................................................................................................................... 68



7.4.3 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom ...... 75


7.4.5 Modeli, združeni po avtorjih ....................................................................... 82

8 ZAKLJUČEK ....................................................................................................... 86

9 BIBLIOGRAFIJA ................................................................................................ 89

10 PRILOGE .............................................................................................................. 91

10.1 SEZNAM SLIK ................................................................................................... 91

10.2 SEZNAM TABEL ................................................................................................ 92

10.3 SEZNAM GRAFOV ............................................................................................. 94

10.4 KRATEK ŽIVLJENJEPIS...................................................................................... 96

10.5 IZJAVA O AVTORSTVU ...................................................................................... 96

IX

UPORABLJENI SIMBOLI

𝑏𝑐 – širina armiranobetonskega stebra

𝑑𝑚 – dolžina nadomestne diagonale

𝐸𝑚1 – modul elastičnosti zidanega polnila vzdolž vodoravnih maltnih spojev

𝐸𝑚2 – modul elastičnosti zidanega polnila pravokotno na vodoravne maltne spoje

𝐸𝑚 – modul elastičnosti zidanega polnila pod kotom nadomestne diagonale

𝐸𝑐 – modul elastičnosti betona

𝐹𝑦 – sila pri meji tečenja

𝐹𝑚 – maksimalna sila

𝐹𝑟 – sila, ki jo zidano polnilo še prenese po porušitvi

𝑓𝑐𝑘 – karakteristična tlačna trdnost betona

𝑓𝑘 – karakteristična tlačna trdnost zidovja

𝑓𝑡𝑘 – karakteristična natezna trdnost zidovja

𝑓𝑣𝑘 – karakteristična strižna trdnost zidovja

𝑓𝑦𝑘 – karakteristična meja plastičnosti jekla

𝑓𝑡𝑘 – karakteristična natezna trdnost jekla

𝐺𝑚 – strižni modul zidanega polnila

𝐻 – višina armiranobetonskega okvirja, merjenega od tal do središčne osi nosilca

ℎ𝑐 – višina armiranobetonskega nosilca

𝐻𝑖𝑛 – višina zidanega polnila

𝐼𝑐 – vztrajnostni moment armiranobetonskega stebra

𝐾𝑚 – horizontalna togost nadomestne diagonale

𝐿 – širina armiranobetonskega okvirja, merjena med osmi stebrov

𝐿𝑖𝑛 – širina zidanega polnila

𝑀𝑦 – moment pri meji plastičnosti

X

𝑆𝑦 – pomik pri meji plastičnosti

𝑆𝑚 – pomik pri maksimalni sili

𝑆𝑟 – pomik pri sili porušitve

𝑡 – debelina zidanega polnila

𝑤 – efektivna širina nadomestne diagonale

𝜃 – naklon diagonale polnila

𝜃𝑐 – rotacija pri maksimalnem momentu

𝜃𝐸 – rotacija pri dokončni porušitvi

𝜃𝑢 – mejna rotacija

𝜃𝑦 – rotacija na meji tečenja

𝜈 – Poissonov koeficient zidu vzdolž diagonale

XI

UPORABLJENE KRATICE

EC 8 – Evrokod 8 - SIST EN 1998-1

ATC – Applied Technology Council

FEMA – Federal Emergency Management Agency

Vpliv modeliranja polnil v analizi potresnega obnašanja armiranobetonskih okvirjev Stran 1

1 UVOD

1.1 Splošno

Armiranobetonske okvirne konstrukcije z zidanimi polnili, ki se sezidajo med stebri in

nosilci glavne konstrukcije, so pogost način gradnje stavb, tudi na potresno ogroženih

področjih. Pri samem prenašanju navpičnih obremenitev so zidana polnila običajno

obravnavana kot povsem nenosilni konstrukcijski elementi, saj se sezidajo po končani

gradnji armiranobetonske okvirne konstrukcije, ki služi kot primarna nosilna konstrukcija.

Sama zidana polnila v računski analizi tako prispevajo samo k masi oz. teži, kar povzroča

dodatne obremenitve na primarno konstrukcijo.

Vloga polnil se bistveno spremeni v primeru potresa, pri katerem lahko zidana polnila igrajo

pomembno vlogo pri prenašanju horizontalne obremenitve. Njihov odziv na potresno

obremenitev in posledično vpliv na primarno nosilno konstrukcijo pa ni enostavno določljiv,

saj je močno odvisen tako od geometrijsko-mehanskih lastnosti zidanega polnila kot tudi od

tega, kako je zidano polnilo povezano s primarno konstrukcijo. V nadaljevanju bomo videli,

da je lahko vpliv zidanih polnil na primarno konstrukcijo in njeno obnašanje ugoden, včasih

pa ima lahko tudi neugoden vpliv.

Kljub temu da nam lahko zidana polnila bistveno povečajo potresno odpornost stavb, se v

inženirski praksi velikokrat upoštevajo kot nenosilni konstrukcijski elementi, saj se tak

pristop smatra kot »pristop na varni strani«.

Pri projektiranju okvirnih konstrukcij z zidanimi polnili imamo tako dve možnosti, kako

upoštevati obnašanje teh vrst objektov. Prva možnost je, da polnila sezidamo tako, da se

obnašajo kot nenosilni konstrukcijski elementi tudi pri horizontalni obremenitvi. V tem

primeru moramo paziti, da polnila ločimo od primarne nosilne konstrukcije s posebnimi

detajli, da ne ovirajo gibanja primarne konstrukcije med potresom. Druga možnost pa je, da

zidana polnila upoštevamo kot sodelujoč del konstrukcijskega sistema. V tem primeru bodo


polnila prevzela del potresne obtežbe, hkrati pa bodo s svojo med potresom naraščajočo

poškodovanostjo ugodno sodelovala pri sipanju energije celotne konstrukcije.

Če se odločimo, da bomo polnila upoštevali kot sestavni del konstrukcije, se po standardu

Evrokod 8-1 polnila projektirajo po določilih za armirano zidovje. Standard ne daje navodil

za računsko modeliranje okvirnih konstrukcij z zidanimi polnili pri potresni obtežbi, ampak

navaja zgolj splošna navodila in priporočila za projektiranje. Dejstvo je, da so zidana polnila

izrazito heterogeni material, kar pomeni, da je razporeditev materialnih lastnosti težko

napovedati. Na podlagi obsežnih eksperimentalnih raziskav, predstavljenih v strokovni

literaturi, so bili razviti različni računski modeli in predlagane računske metode za

upoštevanje togosti, odpornosti in deformabilnosti armiranobetonskih okvirjev z zidanimi

polnili. Metode so razdeljene v dve glavni kategoriji: mikro in makro modeli. Z mikro

modeli, ki so bolj obsežni, poskušamo simulirati odziv armiranobetonskih okvirjev s polnili

na potresno obtežbo čim bolj točno oz. s čim manj predpostavkami. Mikro modeli temeljijo

na metodi končnih elementov in so sestavljeni iz matematičnega modela okvirja, polnila,

maltnih spojev in elementa, ki predstavlja povezavo med okvirjem in polnilom. Makro

modeli pa temeljijo na modelu nadomestne ekvivalentne diagonale, s katero se poskušajo

čim bolj točno zajeti mehanske in geometrijske lastnosti polnila. Študije različnih avtorjev

so pokazale, da lahko mehanske lastnosti zidanih polnil v računskih modelih dovolj dobro

zajamemo z nadomestno diagonalo, ki ji s pomočjo empiričnih enačb določimo efektivno

širino in posledično ustrezno togost. Skozi leta se je pojavilo več predlaganih makro

modelov z eno ali več nadomestnimi diagonalami. Prav tako so različni avtorji predlagali

različne izraze za določitev efektivne širine diagonale, ki bistveno vpliva na togost le-te. V

magistrskem delu se bomo podrobneje posvetili različnim makro modelom in predlaganim

enačbam za določitev efektivne širine nadomestne diagonale.

1.2 Namen in cilj magistrskega dela

V magistrskem delu bomo podrobneje preučili odziv armiranobetonskih okvirjev z zidanimi

polnili na potresno obtežbo. Večino magistrskega dela bomo posvetili upoštevanju zidanega

polnila v računskem modelu in posledično opazovanju vpliva zidanega polnila na odziv

celotne konstrukcije. Med seboj bomo primerjali več predlaganih računskih modelov z eno,

dvema ali tremi nadomestnimi diagonalami. Ker pa odziv konstrukcije ni odvisen samo od


števila diagonal, ampak tudi od njihove efektivne širine, ki jo pripišemo nadomestni

diagonali, bomo v magistrskem delu med seboj primerjali tudi različne predlagane izraze za

izračun efektivne širine nadomestne diagonale, ki bistveno vpliva na izračun njene togosti.

Po izračunu togosti nadomestne diagonale bomo izvedli linearno analizo, ki ji bo sledila tudi

nelinearna statična (»pushover«) analiza s programom SAP 2000. Analizo bomo izvedli na

štirih modelih istega okvira z različnim številom in različno efektivno širino nadomestnih

diagonal. Cilj magistrskega dela je, da določimo, katera izmed zgoraj naštetih kombinacij

daje najneugodnejše vplive na okvir, saj bo to pomenilo, da smo z izbiro najneugodnejše

kombinacije na t. i. varni strani pri dimenzioniranju armiranobetonskega okvirja.

1.3 Struktura magistrskega dela

V prvem poglavju magistrskega dela so na splošno opisani armiranobetonski okviri z

zidanimi polnili in problematika, ki se pojavi v primeru potresne obtežbe. Prav tako je v

poglavju predstavljen namen in cilj magistrskega dela.

V drugem poglavju smo podrobneje opisali vpliv polnil na obnašanje armiranobetonskih

okvirjev med potresom in načine možnih porušitev, ki se lahko v primeru potresa pojavijo

pri teh vrstah gradbenih konstrukcij.

Z letom 2008 so v Sloveniji pri projektiranju v obvezno uporabo stopili evropski standardi,

imenovani Evrokod, zato smo v tretjem poglavju podrobneje pregledali, kako je modeliranje

armiranobetonskih okvirjev z zidanimi polnili na potresno obtežbo zajeto v trenutno

veljavnem standardu Evrokod 8.

V četrtem poglavju smo se osredotočili na makro modele, ki predstavljajo poenostavljen

računski model z nadomestnimi diagonalami. Opisali smo štiri računske modele, ki smo jih

v nadaljevanju podrobneje analizirali, predstavili različne izraze za določitev efektivne

širine, ki so jih predlagali različni avtorji, ter predstavili, kako se izračuna togost

nadomestnih diagonal.

V petem poglavju smo prikazali uporabo modeliranja armiranobetonskih okvirjev z zidanimi

polnili. Podrobneje smo opisali izbrane analizirane konstrukcije, računske vrednosti

posameznih modelov in izračun parametrov za nadaljnjo analizo.


V šestem poglavju smo najprej izvedli linearno analizo in primerjavo po standardu

izračunanih potresnih vplivov. Nato smo nadaljevali z nelinearno statično analizo in najprej

opisali splošne lastnosti plastičnih členkov, s katerimi zajamemo materialno nelinearnost.

Plastični členki so osnova za izvedbo nelinearne statične analize, zato v tem poglavju

definiramo kinematično-mehanske vrednosti plastičnih členkov za armiranobetonski okvir

ter nadomestne diagonale. Za tem sledijo rezultati izvedene nelinearne statične analize s

programom SAP 2000 in njihova analiza.

V zaključku smo podali najpomembnejše ugotovitve in zaključke magistrskega dela.


2 VPLIV POLNIL NA OBNAŠANJE ARMIRANOBETONSKIH

OKVIRJEV MED POTRESOM

2.1 Splošno o vplivu zidanih polnil na armiranobetonski okvir

Zidana polnila lahko bistveno vplivajo na dinamične lastnosti in odziv celotne okvirne

konstrukcije. Togost okvirjev se s polnili poveča, kar povzroči krajše nihajne čase. S krajšimi

nihajnimi časi pa se na konstrukciji lahko pojavijo tudi večje projektne potresne sile. V

elastičnem področju, pri majhnih nihanjih, povečane sile v celoti prevzame zidano polnilo.

Če polnila niso bila projektirana, da prevzamejo vodoravne sile, se bodo poškodovala. Po

poškodbah se vodoravna obtežba porazdeli s polnil na armiranobetonske okvirje. V primeru

hipne celotne porušitve polnila se vsa obremenitev hipno prenese na okvirno konstrukcijo,

ki ni bila nujno projektirana za prevzem tako velikih vodoravnih sil, kar lahko povzroči hude

poškodbe armiranobetonskih okvirjev. V takšnih primerih lahko zidana polnila zelo

neugodno delujejo na celotno konstrukcijo in povzročijo odpoved primarne nosilne

konstrukcije [1].

Kljub temu da polnila niso vedno projektirana kot sestavni del glavne konstrukcije, pa

vseeno mnogokrat ugodno vplivajo na obnašanje okvirnih konstrukcij. Če se polnila

poškodujejo, preden nastanejo velike potresne sile, delujejo kot dušilci, ki s poškodbami

sipajo energijo, hkrati pa preprečujejo velike pomike glavne okvirne konstrukcije. Osnovni

pogoj za ugoden vpliv polnil je njihova simetrična porazdelitev v tlorisu stavbe in zveznost

po višini. Če ni simetrične porazdelitve, se na konstrukciji pojavijo nevarni torzijski vplivi,

če pa ni izpolnjena zveznost po višini, se poškodbe v glavni okvirni konstrukciji

skoncentrirajo na mestih nezveznosti [1].

Raziskave so pokazale, da pri majhnih silah in deformacijah okvir z zidanimi polnili deluje

kot monoliten konstrukcijski element. Zaradi razmerja togosti med armiranobetonskim

okvirjem in zidanim polnilom je pri majhnih deformacijah prispevek okvirja k odpornosti

sistema v vodoravni smeri majhen. Pri povečanih vodoravnih silah in deformacijah pa se

delež obtežbe, ki jo prevzame zidano polnilo, zmanjša, saj preseže njegovo nosilnost. V

polnilu nastanejo razpoke, kar zmanjšuje njegovo togost. V primeru razdelitve polnil na dva

ali več delov se armiranobetonski okvir deformira po svoje in konstrukcijski sistem ne deluje


več kot monoliten element. Delež obtežbe, ki jo prevzame armiranobetonski okvir, pa je

odvisen od deformacijske oblike in mehanizma porušitve zidanega polnila [1].

2.2 Načini porušitve armiranobetonskih okvirjev z zidanimi polnili

Različni mehanizmi porušitve armiranobetonskih okvirjev z zidanimi polnili temeljijo na

eksperimentalnih in analitičnih raziskavah, ki so jih raziskovalci opravili v zadnjih petih

desetletjih. Obsežna zbirka modelov oz. mehanizmov je predstavljena v literaturi [2].

Poznamo pet različnih mehanizmov:

1) Porušitev vogalov polnila (The corner crushing (CC) mode) – porušitev zidanih

polnil se zgodi v enem od obremenjenih vogalov, kot je prikazano na sliki 2-1 (a).

Predstavlja enega od najbolj pogostih mehanizmov porušitve zidanih polnil.

2) Diagonalna tlačna porušitev polnil (The diagonal compression (DC) mode) –

porušitev zidanih polnil se zgodi v sredini polnil, kot prikazuje slika 2-1 (a). Ta način

je pogost pri razmeroma vitkih polnilih, kjer porušitev nastopi kot izvenravninska

uklonska nestabilnost polnila.

3) Strižna porušitev polnil (The sliding shear (SS) mode) – predstavlja horizontalno

strižno porušitev vzdolž vodoravnih maltnih spojev, kot prikazuje slika 2-1 (b). Ta

način je pogost pri polnilih s šibkimi maltnimi spoji in močnim armiranobetonskim

okvirjem.

4) Diagonalna porušitev (The diagonal cracking (DK) mode) – predstavlja

razpokanost zidanih polnil vzdolž tlačene diagonale, kot je prikazano na sliki 2-1 (b).

Porušitveni mehanizem pogosto poteka s hkratnim začetkom strižne porušitve polnil.

Ta način je pogost pri šibkih okvirnih spojih z močnimi stebri in prečkami ter z dokaj

močnim zidanim polnilom.

5) Porušitev okvirne konstrukcije (The frame failure (FF) mode) – predstavlja

pojav plastičnih členkov v stebrih ali prečkah, kot je prikazano na sliki 2-1 (b). Ta


način je pogost pri šibkih okvirnih spojih z močnimi stebri in prečkami ter z dokaj

močnim zidanim polnilom.

Seveda pa se lahko pojavijo tudi mešani načini porušitve, ki so sestavljeni iz osnovnih zgoraj

naštetih. Na spodnjih slikah so prikazani nekateri tipi porušitev, ki so se zgodili pri potresu

v Padski nižini v Italiji leta 2012.

Slika 2-2: Diagonalne razpoke v obeh smereh; vir: [3]

Slika 2-1: Mehanizmi porušitve [2]


Slika 2-3: Horizontalna strižna porušitev vzdolž maltnih spojev; vir: [4]

Slika 2-4: Izvenravninska uklonska nestabilnost polnila; vir: [5]

Slika 2-5: Odpoved okvirja v vogalu; vir: [6]


Potrebno je omeniti, da sta od zgoraj naštetih načinov porušitve praktičnega pomena samo

mehanizem CC (porušitev vogalov polnila) in SS (strižna porušitev polnil). Mehanizem DC

(diagonalna tlačna porušitev) je zelo redek in se pojavi samo pri zelo vitkih zidanih polnilih,

ki lahko povzročijo premik polnil iz njihove ravnine. Mehanizma DK (diagonalna porušitev)

in FF (porušitev okvirne konstrukcije) prav tako nista zanimiva za inženirsko prakso. Prvi

sploh ne predstavlja dejanski način porušitve, saj zidano polnilo tudi ob pojavi razpok po

diagonali prevzema dodatno obtežbo, drugi pa se pojavi izjemno redko [2].

Tako se bomo v magistrskem delu podrobneje osredotočili na način porušitve CC, ki se v

praksi pojavi največkrat.


3 PRAVILA ZA PROJEKTIRANJE AB OKVIRJEV S POLNILI V

SKLADU S STANDARDOM EVROKOD 8

V SIST EN 1998-1 je zahtevano, da sta pri projektiranju konstrukcij na potresnih območjih

izpolnjeni dve osnovni zahtevi:

– zahteva po neporušitvi,

– zahteva po omejitvi poškodb.

Prvi kriterij narekuje, da mora biti konstrukcija projektirana in zgrajena tako, da v predvideni

življenjski dobi prenese vse projektne potresne vplive, predvidene za območje, kjer se

konstrukcija gradi, ne da bi prišlo do njene porušitve. Drugi kriterij pa zahteva, da pri

potresu, za katerega je velika verjetnost, da se bo zgodil v projektirani življenjski dobi

konstrukcije, slednja ne utrpi tako velikih poškodb, katerih sanacija bi bila neprimerno večja

kot cena same konstrukcije.

Standard poleg splošnih navodil za projektiranje potresno odpornih konstrukcij predpisuje

še nekaj dodatnih ukrepov, ki jih moramo upoštevati pri projektiranju AB okvirjev z

zidanimi polnili, vseeno pa ne daje jasnih navodil, kako matematično modelirati zidana

polnila v AB okvirjih.

V členu 4.3.6 standarda so prvič omenjeni ukrepi za okvirje z zidanimi polnili. V njem so v

prvem podpoglavju zajeta splošna določila, kdaj konstrukcija ustreza okvirni gradnji z

zidanimi polnili. V nadaljevanju so zajete nepravilnosti zaradi zidanih polnil. Pri

projektiranju moramo biti pazljivi na tlorisne nepravilnosti in nepravilnosti po višini. Pri

prvih se je treba izogibati močno nepravilnim, nesimetričnim ali neenakomernim

razporeditvam polnil v tlorisu. Pri tem moramo upoštevati tudi količino odprtin v polnilih.

V kolikor ima polnilo več kot eno pomembno odprtino (vrata, okno ...), ga je treba v skladu

z EC 8 pri modeliranju za analizo zanemariti. Nepravilnost po višini pa pomeni, da pride do

velikega zmanjšanja polnil v eni ali več etažah v primerjavi z ostalimi, kot je prikazano na

sliki 3-1. V tem primeru moramo po EC 8 povečati učinke potresnega vpliva na navpične

elemente v ustreznih etažah.


Slika 3-1: Prikaz nepravilnosti po višini zaradi zidanih polnil; vir: Matjaž Skrinar

Standard v tem poglavju omenja tudi veliko negotovost, povezano z obnašanjem polnil. Pri

tem opozarja na spremembe mehanskih lastnosti polnil, njihove pritrditve na sosednji okvir,

potencialne možne spremembe geometrije v času uporabe konstrukcije in neenakomerno

velikost poškodb med potresom. V skladu z EC 8 je potrebno s posebnimi ukrepi preprečiti

krhki lom in predčasni razpad zidanih polnil. Posebno pozornost je potrebno nameniti

zidanim polnilom s količnikom vitkosti, večjim od 15. Pri tem količnik vitkosti predstavlja

razmerje med dolžino ali višino in debelino polnila.

V poglavju 5.9 so zajeti lokalni vplivi zaradi opečnih ali betonskih polnil. Standard določa,

da je potrebno pritličja posebej skrbno projektirati zaradi njihove ranljivosti, saj je na teh

mestih potresna obtežba največja. Porušitev zidanih polnil v pritličju bi povzročilo

nepravilnost konstrukcije po višini, tako imenovano mehko etažo, zato se morajo stebri

pritličja vzdolž cele višine obravnavati kot kritično območje, ki se primerno objame s

stremeni. Posebno pozornost v tem poglavju standard posveča tudi konstrukcijam, kjer je

višina polnil manjša od svetle višine sosednjih stebrov (slika 3-2 (b)), saj je odziv take

konstrukcije bistveno drugačen kot pri t. i. čistih okvirjih (slika 3-2 (a)). Takšna razporeditev

polnil namreč privede do učinka kratkega stebra in strižne porušitve le-tega, kar je prikazano

na slikah 3-3 in 3-4. Porušitev lahko preprečimo s strižno armaturo, ki je položena vzdolž

celotnega dela stebra, ki ni v stiku s polnilom in se nadaljuje še za dolžino ℎ𝑐, ki predstavlja

dimenzijo prečnega prereza stebra v ravnini polnila [7].


Slika 3-2: a) Prikaz deformacije čistega okvirja, b) Prikaz deformacije okvirja z delno

zapolnjenim zidanim polnilom po višini; vir: [8]

Slika 3-3: Strižna porušitev kratkega stebra; vir: [9]

Slika 3-4: Tipične poškodbe kratkih stebrov; vir: [10]


4 RAČUNSKI MODELI ZA PRERAČUN AB OKVIRJEV S POLNILI

4.1 Problematika modeliranja obnašanja zidanih polnil med delovanjem potresa

Računsko modeliranje armiranobetonskih okvirjev z zidanimi polnili je zapleten inženirski

problem, saj te konstrukcije pri potresih izkazujejo zelo nelinearni odziv, kar je posledica

interakcije med zidanimi polnili in primarno okvirno konstrukcijo.

Prvi eksperimentalni poskusi modeliranja odziva armiranobetonskih okvirjev z zidanimi

polnili na potresno obtežbo so pokazali, da bi lahko zidana polnila v računskih modelih

modelirali s fiktivno nadomestno diagonalo z ustreznimi geometrijskimi in mehanskimi

lastnostmi, kar bi enostavno in elegantno rešilo problem njihovega modeliranja. Računske

modele z nadomestno diagonalo imenujemo makro modeli. Skozi leta so različni avtorji

predlagali različne makro modele. Temeljni parametri, ki so se pri različnih makro modelih

spreminjali so: število in položaj nadomestnih diagonal, nadomestna širina diagonale in

predviden način porušitve zidanega polnila. V nadaljevanju bomo pregledali štiri različne

makro modele, ki so primerni za uporabo pri potisni (»pushover«) analizi.

4.2 Makro modeli

Namen makro modelov je, da v računskem modelu armiranobetonskega okvira z zidanim

polnilom (slika 4-1) z eno ali več nadomestnimi tlačnimi diagonalami simuliramo zidana

polnila, kot je prikazano na sliki 4-2. Seveda moramo tem diagonalam določiti ustrezne

mehansko-geometrijske parametre, s katerimi bomo izračunali njihovo togost.


Slika 4-2: Računski model z nadomestno diagonalo

Zidano polnilo med armiranobetonskim okvirjem zamenjamo z nadomestno diagonalo, kjer

so:

𝐻 – višina armiranobetonskega okvirja, merjenega od tal do središčne osi

nosilca,

𝐿 – širina armiranobetonskega okvirja, merjenega od središčne osi levega stebra

do središčne osi desnega stebra,

𝐻𝑖𝑛 – višina zidanega polnila,

L

bc Lin bc

HinH

hb

3,2

bc Lin bc

HinH

L

hb

dm

w

O1

Slika 4-1: Armiranobetonski okvir z zidanim polnilom


𝐿𝑖𝑛 – širina zidanega polnila,

𝑏𝑐 – širina armiranobetonskega stebra,

ℎ𝑐 – višina armiranobetonskega nosilca,

𝑑𝑚 – dolžina nadomestne diagonale 𝑑𝑚 = √𝐻𝑖𝑛2 + 𝐿𝑖𝑛

2 ,

𝑤 – efektivna širina nadomestne diagonale.

Slika 4-3 prikazuje modele z nadomestnimi diagonalami, ki jih bomo uporabili v tem

magistrskem delu. Razlikujejo se po številu in naklonu nadomestnih diagonal. Vse štiri

modele smo zasledili v znanstvenih člankih različnih avtorjev; [2], [11], [12]. V modelu na

sliki 4-3a bomo zidano polnilo nadomestili z enojno diagonalo, v modelu 4-3b bomo dodali

še eno diagonalo, diagonali pa bosta med seboj vzporedni. V modelu na sliki 4-3c bosta

diagonali pod različnima naklonoma, v modelu 4-3d pa bomo zidana polnila nadomestili s

tremi vzporednimi diagonalami.


Slika 4-3: Računski modeli, ki jih bomo v magistrski nalogi podrobneje obravnavali

Računski model z eno nadomestno diagonalo se v praksi najpogosteje uporablja, saj ne

zahteva velikega računskega napora, kljub temu pa relativno kvalitetno opiše dejansko

togost, ki je posledica zidanega polnila. Ima pa ta osnovni računski model pomanjkljivost,

saj ni zmožen zajeti lokalnih obremenitev na armiranobetonski okvir, ki se pojavijo zaradi

interakcije med okvirjem in polnilom. Tako so kasneje številni avtorji predlagali druge

računske modele, ki zidano polnilo nadomestijo z več diagonalami z namenom boljšega

simuliranja interakcije med okvirjem in polnilom [11].

Za vsak model posebej bomo izračunali ustrezne togosti in položaj nadomestnih diagonal,

pri čemer se bodo dimenzije samega armiranobetonskega okvirja in zidanega polnila

ohranjale. Togost nadomestne diagonale je odvisna tudi od njenih geometrijskih značilnosti.

Številni avtorji predpostavljajo, da je debelina diagonale enaka debelini zidanega polnila

(kar bomo prevzeli tudi mi), medtem ko se predlogi glede efektivne širine w od avtorja do

avtorja razlikujejo.


4.3 Uporabljene materialne karakteristike

V nadaljnjem opazovanem vzorčnem okvirju so uporabljeni materiali beton in jeklo za

armiranje za okvirno konstrukcijo ter opeka za zidana polnila, zanje pa smo uporabili tipične

karakteristične vrednosti. Materialne karakteristike za beton in jeklo smo prevzeli po

Evrokodu 2, medtem ko smo za opečna polnila tlačne, natezne in strižne trdnosti zidovja

prevzeli po Tomaževiču [1], elastične in strižne module pa po članku [12]. Materialne

karakteristike za vsak material posebej so zbrane spodaj:

– beton za okvirno konstrukcijo trdnostnega razreda C25/30:

– karakteristična tlačna trdnost: 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎,

– elastični modul: 𝐸𝑐𝑚 = 31000 𝑀𝑃𝑎,

– specifična teža: 𝛾𝑐 = 25 𝑘𝑁/𝑚3;

– jeklo za armiranje kvalitete S500:

– karakteristična meja plastičnosti: 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎,

– karakteristična natezna trdnost: 𝑓𝑡𝑘 = 650 𝑀𝑃𝑎;

– opečno polnilo iz glinaste opeke dimenzij 250/300/150 mm:

– karakteristična tlačna trdnost zidovja: 𝑓𝑘 = 4,5 𝑀𝑃𝑎,

– karakteristična natezna trdnost zidovja: 𝑓𝑡𝑘 = 0,2 𝑀𝑃𝑎,

– karakteristična strižna trdnost zidovja: 𝑓𝑣𝑘 = 0,2 𝑀𝑃𝑎,

– elastični modul vzporedno na rege: 𝐸1 = 6401 𝑀𝑃𝑎,

– elastični modul pravokotno na rege: 𝐸2 = 5038 𝑀𝑃𝑎,

– strižni modul: 𝐺 = 2560,4 𝑀𝑃𝑎.

4.4 Določitev efektivne širine nadomestne diagonale w

Teoretično se efektivna širina w med spreminjanjem obtežbe časovno spreminja in je

odvisna od trenutnega stanja zidanega polnila. Efektivna širina je na začetku, ko je zidano

polnilo nerazpokano, večja in se nato z večanjem poškodb zidanega polnila manjša. V

računskih modelih pa togosti oziroma efektivne širine ne moremo definirati kot časovno


spreminjajoče, saj ne poznamo spreminjajoče obtežbe, zato imamo na voljo dva glavna

pristopa.

Prvi pristop definira efektivno širino w samo kot funkcijo dolžine nadomestne diagonale dm

(Holmes, Paulay in Priestley, italijanski predpisi), drugi pristop pa je bolj zahteven in izraža

efektivno širino w kot funkcijo, ki je odvisna od geometrijskih in mehanskih lastnosti

zidanega polnila kot tudi armiranobetonskega okvirja (Mainstone, Liauw-Kwan, Klingner

& Bertero, Durrani-Luo, Papia).

Prvi je efektivno širino nadomestne diagonale predlagal Holmes (1961) [2], in sicer:

𝑤 =𝑑𝑚

3. (4.1)

Paulay in Priestley [2] sta predlagala izraz, s katerim sta zagovarjala drugačno vrednost

efektivne širine:

𝑤 = 0,25 𝑑𝑚. (4.2)

Medtem pa v splošnih navodilih za projektiranje na potresnih območjih v Italiji [11]

efektivno širino računajo z izrazom:

𝑤 = 0,1 𝑑𝑚. (4.3)

Vidimo, da je v vseh treh primerih efektivna širina odvisna samo od dolžine nadomestne

diagonale. Kasneje so se zvrstili številni eksperimentalni preizkusi, ki so omogočili

natančnejšo ovrednotenje efektivne širine. Tako je Stafford Smith [13] predlagal, da je širina

odvisna od razmerja 𝐻𝑖𝑛

𝐿𝑖𝑛 in koeficienta 𝜆ℎ, ki zajema še geometrijske in materialne

karakteristike armiranobetonskega okvirja in zidanega polnila oz. upošteva, kakšno je

razmerje med togostjo zidanega polnila in armiranobetonskega okvirja:

𝜆ℎ = 𝐻 ∗ √𝐸𝑚 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝜃

4 𝐸𝑐 𝐼𝑐 𝐻𝑖𝑛

4, (4.4)

kjer je:

𝑡 – debelina polnila,

𝐻𝑖𝑛 – višina zidanega polnila,

𝜃 – naklon diagonale polnila (𝜃 = tan−1(𝐻𝑖𝑛

𝐿𝑖𝑛)),


𝐸𝑚, 𝐸𝑐 – modula elastičnosti zidanega polnila v osni smeri diagonale in betona,

𝐼𝑐 – vztrajnostni moment armiranobetonskega stebra.

V literaturi se nahaja veliko različnih enačb, ki efektivno širino določajo s koeficientom 𝜆ℎ.

Mainstone [2] je na podlagi eksperimentalnih in analitičnih raziskav predlagal empirični

izraz, pri katerem je širina odvisna od koeficienta 𝜆ℎ in dolžine nadomestne diagonale:

𝑤 = 0,16 𝜆ℎ−0.3𝑑𝑚. (4.5)

Podobno kot Mainstone sta tudi Liauw in Kwan [2] predlagala izraz, ki temelji na

eksperimentalnih in analitičnih raziskavah:

𝑤 =0,95 𝑑𝑚 sin 2𝜃

2 √𝜆ℎ. (4.6)

Slika 4-4 prikazuje spreminjanje količnika 𝑤

𝑑𝑚 glede na koeficient 𝜆ℎ. Enačbi 4.1 in 4.2 sta

neodvisni od koeficienta 𝜆ℎ, zato sta na sliki prikazani kot konstanti. Enačbi sta le približka

in sta uporabna za poenostavljene analize. Pri enačbi 4.5 in 4.6 pa lahko vidimo, da se z

večanjem koeficienta 𝜆ℎ razmerje 𝑤

𝑑𝑚 manjša. Koeficient se veča, kadar je togost zidanega

polnila večja v primerjavi s togostjo armiranobetonskega okvirja. Iz slike 4-4 lahko vidimo,

da je lahko razmerje med maksimalno in minimalno vrednostjo količnika 𝑤

𝑑𝑚 približno 3.


Slika 4-4: Razmerje 𝑤

𝑑𝑚 glede na koeficient 𝜆ℎ [13]

Formula, ki sta jo na podlagi eksperimentalnih in analitičnih raziskav izpeljala Klingner in

Bertero [14], je ena izmed najbolj uporabljenih formul za določitev efektivne širine

nadomestne diagonale:

𝑤 = 0,175 𝑑𝑚(𝜆ℎ)−0,4. (4.7)

Enačba je bila vključena v standarda FEMA-274 (1997) in FEMA-306 (1998) za analizo in

obnovo stavb. Bila je sprejeta tudi s strani številnih raziskovalcev na področju okvirnih

konstrukcij z zidanimi polnili.

Durrani in Luo [2] sta na podlagi opazovanj rezultatov, pridobljenih z analizo z metodo

končnih elementov in primerjav z drugimi modeli, predlagala naslednjo enačbo za efektivno

širino nadomestne diagonale:

𝑤 = 𝛾 𝑠𝑖𝑛 2θ 𝑑𝑚. (4.8)

Parametra 𝛾 in 𝑚 sta podana z naslednjima izrazoma:

𝛾 = 0,32 𝑠𝑖𝑛0,5(2θ) (𝐸𝑚𝑡 𝐻4

𝑚 𝐸𝑐 𝐼𝑐 𝐻𝑖𝑛)

−0,1

, (4.9)


𝑚 = 6 (1 +6

𝜋

𝐸𝑏 𝐼𝑏 𝐻

𝐸𝑐 𝐼𝑐 𝐿), (4.10)

kjer so:

𝐸𝑏 , 𝐸𝑐 – modula elastičnosti armiranobetonskega nosilca in stebra,

𝐼𝑏 , 𝐼𝑐 – vztrajnostna momenta nosilca in stebra.

Eno izmed novejših enačb za določitev efektivne širine nadomestne diagonale je objavil

Papia [11]. Definiral je novi parameter 𝜆∗, ki hkrati zajema mehanske in geometrijske

karakteristike tako zidanega polnila kot tudi armiranobetonskega okvirja:

𝜆∗ =𝐸𝑚

𝐸𝑐

𝑡 𝐻

𝐴𝑐 (

𝐻2

𝐿2 + 0,25𝐴𝑐

𝐴𝐵

𝐿

𝐻), (4.11)

kjer sta:

𝐴𝑐 , 𝐴𝑏 – površini prereza stebra in nosilca.

Širina 𝑤 pa se izračuna po naslednji enačbi:

𝑤 = (𝑐

𝑧) (𝜆∗)−𝛽 𝑑𝑚, (4.12)

kjer so parametri 𝑐, 𝛽, 𝑧 podani z naslednjimi izrazi:

𝑐 = 0,249 − 0,0116 𝜈 + 0,567 𝜈2, (4.13)

𝛽 = 0,146 + 0,0073 𝜈 + 0,126 𝜈2, (4.14)

𝑧 = {1 č𝑒 𝑗𝑒

𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛= 1

1,125 č𝑒 𝑗𝑒 𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛≥ 1,5,

(4.15)

kjer je:

𝜈 – Poissonov koeficient zidu v smeri diagonale.

4.5 Računska togost polnila, zajeta z nadomestno diagonalo

Kot je že znano, zidana polnila bistveno prispevajo k togosti armiranobetonskih okvirjev pri

potresni obtežbi. Določitev togosti pa ni enostavna naloga, saj je odvisna od geometrijskih


in materialnih karakteristik zidanega polnila, pri čemer so parametri za geometrijske

karakteristike enostavno določljivi, določitev parametrov za materialne karakteristike pa

predstavlja veliko stopnjo negotovosti.

Togost zidanih polnil se glede na večanje horizontalne obtežbe in pomikov manjša, kar je

posledica razpadanja zidanih polnil in zato je ni mogoče podati z enolično vrednostjo, kot je

to mogoče pri enostavni linearni elastični analizi. Vse to nam lepo prikazujejo diagrami, ki

opisujejo razmerje med horizontalno silo in pomikom na vrhu konstrukcije. Izmed mnogih

v literaturi omenjenih diagramov sila-pomik se bomo osredotočili na dva. Prvega sta

predlagala Panagiontakos in Fardis (slika 4-5a), drugega pa Bertoldi (slika 4-5b) [11].

Slika 4-5: Diagram sila-pomik: (a) Panagiontakos in Fardis; (b) Bertoldi [14]

Ne glede na avtorja je diagram vedno razdeljen na štiri odseke. Prvi odsek predstavlja

začetno dominantno strižno obnašanje nerazpokanega zidanega polnila. Drugi odsek, za nas

najbolj zanimiv, opisuje odziv polnila po odcepitvi okvirne konstrukcije, kar modeliramo z

nadomestno diagonalo. Tretji zajema padanje nosilnosti polnila po doseženem kritičnem

pomiku. Zadnji definira končno preostalo nosilnost zidanega polnila. Pri tem 𝐹𝑦 predstavlja

silo pri meji plastičnosti, 𝐹𝑚 predstavlja maksimalno silo, 𝐹𝑟 pa silo, ki jo zidano polnilo še

prenese po porušitvi.

Razlika med diagramoma, ki so ju predlagali Panagiontakos in Fardis ter Bertoldi, je v tem,

da je prvi bolj splošen, drugi pa ima bolj jasno definirane vrednosti za njegov izris. Bertoldi

prav tako posebej definira maksimalno silo 𝐹𝑚 za vsak mehanizem porušitve zidanega


polnila, ki smo jih opisali v poglavju 2.2. Zaradi tega razloga bomo v magistrskem delu

uporabili diagram, ki ga je predlagal Bertoldi. Kot je razvidno iz slike 4-5b, je celoten

diagram mogoče konstruirati samo s pomočjo dveh glavnih parametrov 𝐹𝑚 in 𝐾𝑚, ki

predstavljata maksimalno silo in togost pri kritičnem pomiku. Togost 𝐾𝑚 izračunamo po

naslednji enačbi:

𝐾𝑚 =𝐸𝑚 𝑤 𝑡

𝑑𝑚cos2 θ. (4.16)

Vidimo, da je togost nadomestne diagonale odvisna od elastičnega modula zidanega polnila

v smeri diagonale, efektivne širine in dolžine nadomestne diagonale ter debeline polnila.

Izraz je množen tudi s kvadratom kosinusa naklona nadomestne diagonale, kar nam togost

diagonale pretvori v horizontalno togost, ki nas v analizi dejansko zanima.

Maksimalno silo izračunamo z enačbo:

𝐹𝑚 = (𝜎𝑤)𝑚𝑖𝑛 𝑡 𝑤 cos 𝜃, (4.17)

kjer je:

𝜎𝑤 – maksimalna napetost.

Maksimalna napetost je z enačbami določena za vsak tip porušitve zidanega polnila. Za nas

je zanimiva samo porušitev vogalov zidanega polnila, za katero je določen naslednji izraz

po Bertoldiju:

𝜎𝑤2 =1,12 𝜎𝑚0 𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝐾1 (𝜆ℎ)−0,12+𝐾2 (𝜆ℎ)0,88, (4.18)

kjer so:

𝜎𝑚0 – tlačna trdnost zidanega polnila,

𝜆ℎ – koeficient, ki zajema geometrijske in materialne karakteristike

armiranobetonskega okvirja in zidanega polnila, in je izračunan z enačbo (4.4),

𝐾1, 𝐾2 – koeficienta, odvisna od velikosti 𝜆ℎ (vrednosti razberemo iz spodnje

tabele).


Tabela 4-1: Tabela za določitev koeficientov 𝐾1in 𝐾2 po Bertoldiju

Koeficient 𝝀𝒉 < 3,14 3,14 < 𝝀𝒉 < 7,85 7,85 > 𝝀𝒉

𝑲𝟏 1,2 0,707 0,47

𝑲𝟐 -0,178 0,01 0,04


5 PRIKAZ UPORABE MODELIRANJA AB OKVIRJEV S POLNILI

5.1 Opis analizirane konstrukcije

Analizo za vse analizirane računske modele bomo izvedli na tipičnem izbranem pritličnem

armiranobetonskem okvirju dolžine 6,0 m in višine 3,2 m. Stebra okvirja sta dimenzije 30 x

30 cm, prečka pa 30 x 40 cm. Za izvedbo nelinearne statične analize v šestem poglavju

potrebujemo tudi podatke o armaturi v betonskem okvirju. Stebra okvirja sta simetrično

armirana z vzdolžnimi palicami 4Φ24 ter stremensko armaturo Φ8/10 cm. Prečka okvira je

v zgornji coni armirana z vzdolžnimi palicami 2Φ12, v spodnji coni s 3Φ24 ter stremensko

armaturo Φ8/10 cm. Svetla dolžina za zidana polnila znaša 5,7 m in višina 3,0 m. Vse

dimenzije so prikazane na slikah 5-1 in 5-2. Za zidano polnilo bomo upoštevali glinasto

opeko dimenzij 250/300/150 mm. Ostali parametri, ki se nanašajo na mehanske lastnosti

zidanega polnila in armiranobetonskega okvirja, so podani v tabeli 5-1.

Slika 5-1: Analizirani armiranobetonski okvir z zidanimi polnili

Predpostavili bomo, da gre za okvirno konstrukcijo stanovanjske zgradbe v Mariboru.

6

0,3 5,7 0,3

33,2

0,4

0,4

0,3

0,3

0,3

Prečka

Steber


Slika 5-2: Armatura v prečki in stebru betonskega okvira

Tabela 5-1: Geometrijske in mehanske karakteristike AB okvirja z zidanim polnilom

L

[m]

H

[m]

Lin

[m]

Hin

[m]

t

[m]

Em1

[MPa]

Em2

[MPa]

Gm

[MPa]

𝜈 Ec

[MPa]

6,0 3,2 5,7 3,0 0,30 5038 6401 2560,4 0,25 31000

Vrednost strižnega modula Gm prevzamemo kot 0,4 Em2, kot je predlagano v članku [11].

Vrednosti elastičnega modul Em1 in Em2 pa smo prevzeli po članku [12], kjer so vrednosti

pridobili z opravljenimi eksperimentalnimi preizkusi, pri čemer Em1 predstavlja elastični

modul vzdolž maltnih spojev, Em2 pa elastični modul pravokotno na maltne spoje, kot je

prikazano na sliki 5-3.

Slika 5-3: Referenčni koordinatni sistem za mehanske lastnosti zidanega polnila


Ker pa za izračun širine nadomestne diagonale in togosti potrebujemo elastični modul pod

kotom nadomestne diagonale, ki jo uporabimo pri računskem modelu, dejanski modul

elastičnosti izračunamo po enačbi:

𝐸𝑚 =1

1

𝐸𝑚1 𝑐𝑜𝑠4𝜃+[−

2 𝑣

𝐸𝑚1+

1

𝐺𝑚]𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃+

1

𝐸𝑚2𝑠𝑖𝑛4𝜃

. (5.1)

5.2 Izračun efektivne širine in togosti nadomestnih diagonal

Togosti nadomestnih diagonal bomo izračunali za vsak računski model posebej. Preden

določimo togost, moramo izračunati efektivno širino nadomestne diagonale. Vsi parametri,

potrebni za izračun efektivne širine in togosti, so podani na sliki 5-1 in 5-2 ter v tabeli 5-1.

5.2.1 Model z eno nadomestno diagonalo

Pri prvem računskem modelu bomo zidano polnilo nadomestili z eno diagonalo, ki bo

potekala od stičišča levega stebra in prečke do stičišča desnega stebra s temelji, kot je

prikazano na sliki 5-4. Ta računski model se najpogosteje pojavlja v literaturi, saj je tudi

najstarejši. Širino nadomestne diagonale bomo izračunali po vseh izrazih, ki smo jih navedli

v poglavju 4.3. Pomembno je poudariti, da bomo izračunane širine uporabili tudi kasneje pri

več diagonalnih računskih modelih s to razliko, da bomo vsaki diagonali dodelili le polovico

oz. četrtino efektivne širine, izračunane za računski model z eno nadomestno diagonalo.


Slika 5-4: Računski model z eno nadomestno diagonalo

V tabeli 5-2 so prikazani parametri, ki se spreminjajo glede na postavitev diagonale. Ti

parametri so potrebni za izračun njene efektivne širine in posledično togosti. Elastični modul

zidanega polnila 𝐸𝑚 je izračunan po enačbi 5.1 za kot Θ, pod katerim je postavljena

nadomestna diagonala.

Tabela 5-2: Geometrijske in mehanske karakteristike nadomestne diagonale

Diagonala dm

[m]

t

[m]

Θ

[°]

Θ

[rad]

𝐄𝐦

[MPa]

1 6,44 0,30 27,76 0,4845 5600,55

V tabeli 5-3 so zbrane izračunane efektivne širine diagonale po različnih avtorjih. Vidimo,

da se rezultati med seboj zelo razlikujejo, saj je razlika med najmanjšo širino, ki jo dobimo

z enačbo, ki sta jo predlagala Klingner in Bertero, ter največjo, ki jo je predlagal Holmes,

več kot 3,5-kratna. Prvi razlog, da so razhajanja velika, je, da enačbe Holmesa, Paulayja in

Priestleyja ter italijanskih predpisov zajemajo samo geometrijske parametre, medtem ko

ostali avtorji s svojimi enačbami zajemajo geometrijske in materialne karakteristike

zidanega polnila. Prav tako je razlog za velika razhajanja v različnih parametrih in pogojih,

ki so jih avtorji uporabljali pri svojih eksperimentalnih preizkusih. Potrebno je poudariti, da

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,3

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3

25

0,3

25

5,71

3,43

z/2

=0,4

88z/2

=0,4

88

5,39

27,76°

25,14°

25,14°

24,85°

53,30°

27,75°

diagonala 1

diagonala 1diagonala 2

diagonala 1

diagonala 2

diagonala 2

diagonala 1

diagonala 3

b1=2,05

d2=

0,6

b2=5,18

d1=

0,2

5


tukaj prikazane razlike niso tipične, temveč se razlike med izračunanimi efektivnimi širinami

od primera do primera razlikujejo.

Tabela 5-3: Izračunane efektivne širine nadomestne diagonale po različnih avtorjih

Avtor Efektivna širina w [m]

Klingner & Bertero 0,60

Mainston 0,64

Italijanski predpisi (circ. 10/04/1997) 0,64

Bertoldi 0,99

Durrani-Luo 0,93

Liauw-Kwan 1,14

Papia 1,56

Paulay-Priestley 1,61

Holmes 2,15

Sedaj ko smo izračunali efektivno širino diagonale po predlagani enačbi za vsakega avtorja,

lahko izračunamo tudi pripadajoče togosti. V tabeli 5-4 so zbrane togosti diagonal za vsako

efektivno širino iz tabele 5-3. Togosti smo izračunali po enačbi (4.16) iz prejšnjega poglavja.

Vidimo, da se razhajanje ujema z razhajanjem pri izračunu efektivnih širin, saj se ostali

parametri pri izračunu togosti ohranjajo.

Tabela 5-4: Horizontalne togosti nadomestne diagonale za vsako efektivno širino

Avtor Togost 𝑲𝒎 [N/m]

Klingner & Bertero 1,2189 108

Mainston 1,3065 108

Italijanski predpisi (circ. 10/04/1997) 1,3157 108

Bertoldi 2,0284 108

Durrani-Luo 1,9009 108

Liauw-Kwan 2,3263 108

Papia 3,1900 108

Paulay-Priestley 3,2893 108

Holmes 4,3857 108

[𝑤 = 0,175 𝑑𝑚(𝜆ℎ)−0,4]

[𝑤 = 0,16 𝜆ℎ−0.3𝑑𝑚]

[𝑤 = 0,1 𝑑𝑚]

[𝑤 = 𝑑𝑚(𝐾1/𝜆ℎ + 𝐾2)]

[𝑤 = 𝛾 𝑠𝑖𝑛 2θ 𝑑𝑚]

[𝑤 = (0,95 𝑑𝑚 𝑠𝑖𝑛 2𝜃)/2 √𝜆ℎ]

[𝑤 = 𝑑𝑚(𝑐/𝑧)(𝜆∗)−𝛽]

[𝑤 = 0,25 𝑑𝑚]

[𝑤 = 𝑑𝑚/3]


Ker v okviru magistrskega dela ne bomo izvajali eksperimentalnih raziskav, da bi lahko

videli, katera preračunana efektivna širina oz. togost bi izkazala najboljše ujemanje, bomo

zato v nadaljevanju uporabili tri izbrane efektivne širine. Uporabili bomo enačbe, katerih

avtorji so Klingner & Bertero, Holmes in Papia. Za prvi dve smo se odločili, ker predstavljata

zgornjo in spodnjo mejo izračunanih efektivnih širin. Enačba avtorja Papie pa predstavlja

neko srednjo vrednost znotraj teh dveh. Prav tako se izbrane enačbe velikokrat pojavljajo v

zbrani literaturi; [11], [12], [15].

V nadaljevanju bomo za vsak računski model prikazali samo izračunane rezultate za tri

zgoraj omenjene avtorje.

5.2.2 Model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama

Pri drugem računskem modelu bomo zidano polnilo nadomestili z dvema vzporednima

diagonalama. Prva bo potekala od stičišča levega stebra in prečke do desnega stebra. Stičišče

desnega stebra in diagonale bo na višini 𝑧

3 od tal. Druga diagonala bo potekala vzporedno s

prvo, in sicer od stičišča desnega stebra s temelji do levega stebra. Stičišče levega stebra in

druge diagonale bo za višino 𝑧

3 premaknjena navzdol od stičišča prečke in stebra. Parameter

𝑧 izračunamo z enačbo, ki jo je predlagal Stafford Smith:

𝑧 =𝜋

2 𝜆ℎ 𝐻. (5.2)

Slika 5-5: Računski model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,3

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3

25

0,3

25

5,71

3,43

z/2

=0,4

88z/2

=0,4

88

5,39

27,76°

25,14°

25,14°

24,85°

53,30°

27,75°

diagonala 1


diagonala 1

diagonala 2

diagonala 2

diagonala 1

diagonala 3

b1=2,05

d2=

0,6

b2=5,18

d1=

0,2

5


Vsaki izmed diagonal bomo pripisali polovico efektivne širine, izračunane po posameznem

avtorju za računski model z eno nadomestno diagonalo. Vrednosti širin so zapisane v tabeli

5-5, tabela 5-6 pa podaja geometrijske in materialne karakteristike nadomestnih diagonal 1

in 2.

Tabela 5-5: Efektivne širine nadomestnih diagonal


Diagonala 1 Diagonala 2

Klingner & Bertero 0,30 0,30

Papia 0,78 0,78

Holmes 1,07 1,07

Tabela 5-6: Geometrijske in materialne karakteristike nadomestnih diagonal 1 in 2

Diagonala dm

[m]

t

[m]

Θ

[°]

Θ

[rad]

𝐄𝐦

[MPa]

1 6,30 0,30 25,00 0,4364 5505,455

2 6,30 0,30 25,00 0,4364 5505,455

V zgornjih dveh tabelah imamo vse potrebne parametre za izračun togosti posameznih

diagonal. Tako so v tabeli 5-7 izračunane togosti za vsako diagonalo posebej in seštevek

togosti obeh diagonal v okvirju.

Tabela 5-7: Togosti nadomestnih diagonal


Skupna togost 𝑲𝒎 Diagonala 1 Diagonala 2

Klingner & Bertero 6,4357 107 6,4357 107 1,2871 108

Papia 1,6842 108 1,6842 108 3,3685 108

Holmes 2,3155 108 2,3155 108 4,6311 108


Kljub polovični vrednosti efektivne širine posamezne diagonale vsota njunih togosti 𝐾𝑚 ni

enaka togosti enojne diagonale, kar je posledica različnih kotov 𝜃 obeh modelov.

5.2.3 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnima naklonoma

Pri tretjem računskem modelu bomo zidano polnilo nadomestili z dvema diagonalama, ki

bosta pod različnim naklonom. Pozicija diagonal je odvisna od geometrijskih karakteristik

zidanega polnila in se izračuna po naslednjih enačbah:

𝑝𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑎: {

𝑑1

𝐻𝑖𝑛= 0,10834 (

𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

−1

+ 0,0073141 (𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

2

𝑏1

𝐿𝑖𝑛= 0,48689 (

𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

−2

+ 0,16302 (𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

0,5

, (5.3)

𝑑𝑟𝑢𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑎: {

𝑑2

𝐻𝑖𝑛= 0,157621 (

𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

−1

+ 0,084484 (𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

0,5

𝑏2

𝐿𝑖𝑛= 0,408621 (

𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

−0,5

+ 0,44431 (𝐿𝑖𝑛

𝐻𝑖𝑛)

0,5

, (5.4)

kjer je:

𝑏1 – odmik diagonale 1 od desnega stebra, kot je prikazano na sliki 5-6,

𝑑1 – odmik diagonale 1 od desnega temelja, kot je prikazano na sliki 5-6,

𝑏2 – odmik diagonale 2 od levega stebra, kot je prikazano na sliki 5-6,

𝑑2 – odmik diagonale 2 od prečke, kot je prikazano na sliki 5-6.


Slika 5-6: Računski model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnima naklonoma

Prav tako kot pri računskem modelu z dvema vzporednima diagonalama bomo tudi tukaj

vsaki diagonali pripisali polovico efektivne širine, izračunane za računski model z eno

nadomestno diagonalo. V tabeli 5-8 so podane izračunane efektivne širine nadomestnih

diagonal, tabela 5-9 podaja geometrijske in materialne karakteristike nadomestnih diagonal

1 in 2, tabela 5-10 pa izračunano togost posameznih diagonal.



Diagonala 1 Diagonala 2

Klingner & Bertero 0,30 0,30

Papia 0,78 0,78

Holmes 1,07 1,07

Tabela 5-9: Geometrijske in materialne karakteristike nadomestne diagonale 1 in 2

Diagonala dm

[m]

t

[m]

Θ

[°]

Θ

[rad]

𝐄𝐦

[Mpa]

1 3,43 0,30 53,30 0,930 6378,97

2 5,71 0,30 24,873 0,434 5501,07

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,3

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3

25

0,3

25

5,71

3,43

z/2

=0,4

88z/2

=0,4

88

5,39

27,76°

25,14°

25,14°

24,85°

53,30°

27,75°

diagonala 1



diagonala 2

diagonala 1

diagonala 3

b1=2,05

d2=

0,6

b2=5,18

d1=

0,2

5




Skupna togost 𝑲𝒎 Diagonala 1 Diagonala 2

Klingner & Bertero 5,9465 107 7,0977 107 1,3044 108

Papia 1,5562 108 1,8575 108 3,4137 108

Holmes 2,1395 108 2,5538 108 4,6933 108

Smiselno je omeniti presenetljivo dobro ujemanje s togostmi, dobljenimi z modelom z

dvema vzporednima diagonalama, kljub različnim naklonom nadomestnih diagonal, ki pa je

verjetno zgolj posledica izbranih podatkov.

5.2.4 Model s tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami

Pri četrtem računskem modelu bomo zidano polnilo nadomestili s tremi vzporednimi

diagonalami. Pri tem bo prva diagonala potekala od stičišča levega stebra in prečke do

stičišča desnega stebra s temeljem kot v prvem modelu. Ostali dve diagonali pa bosta

premaknjeni za višino 𝑧

2 na vsako stran, kot prikazuje slika 5-7.

Slika 5-7: Računski model s tremi vzporednimi diagonalami

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3 5,7 0,3

33,2

60,4

6,3

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

0,3 5,7 0,3

33,2

6

0,4

6,44

0,3

25

0,3

25

5,71

3,43

z/2

=0,4

88z/2

=0,4

88

5,39

27,76°

25,14°

25,14°

24,85°

53,30°

27,75°

diagonala 1


diagonala 1

diagonala 2

diagonala 2

diagonala 1

diagonala 3

b1=2,05

d2=

0,6

b2=5,18

d1=

0,2

5


Pri tem računskem modelu bomo diagonali 1 pripisali polovico efektivne širine, ostalima

dvema pa po četrtino efektivne širine, izračunane za računski model z eno nadomestno

diagonalo. Takšno razdelitev togosti je predlagal avtor Wael W. El-Dakhakhni v članku [16].

V tabeli 5-11 so podane izračunane efektivne širine nadomestnih diagonal, tabela 5-12

podaja geometrijske in materialne karakteristike nadomestnih diagonal 1,2 in 3, tabela 5-13

pa izračunane togosti posameznih nadomestnih diagonal.



Diagonala 1 Diagonala 2 Diagonala 3

Klingner & Bertero 0,3 0,15 0,15

Papia 0,78 0,39 0,39

Holmes 1,07 0,535 0,535

Tabela 5-12: Geometrijske in materialne karakteristike nadomestne diagonale 1, 2 in 3

Diagonala dm

[m]

t

[m]

Θ

[°]

Θ

[rad]

𝐄𝐦

[Mpa]

1 6,44 0,30 27,75 0,484 5600,55

2 5,34 0,30 27,75 0,484 5600,55

3 5,34 0,30 27,75 0,484 5600,55


Avtor Togost 𝑲𝒎 [N/m] Skupna togost

𝑲𝒎 Diagonala 1 Diagonala 2 Diagonala 3

Klingner & Bertero 6,0946 107 3,6752 107 3,6752 107 1,3445 108

Papia 1,5950 108 9,6179 107 9,6179 107 3,5186 108

Holmes 2,1928 108 1,3223 108 1,3223 108 4,8375 108


5.2.5 Primerjava togosti med različnimi računskimi modeli in avtorji

Sedaj ko imamo izračunane togosti diagonal za vsak računski model, lahko izvedemo

primerjavo med različnimi modeli in avtorji enačb za določitev efektivne širine.

Tabela 5-14 prikazuje skupne togosti diagonal za posamezni računski model in avtorja izraza

za določitev efektivne širine nadomestne diagonale.

Tabela 5-14: Primerjava horizontalnih togosti med različnimi računskimi modeli in avtorji

Togost 𝑲𝒎 [N/m]

Model / Avtor Klingner & Bertero Papia Holmes

Ena diagonala 1,2189 108 3,1900 108 4,3857 108

Dve vzporedni diagonali 1,2871 108 3,3685 108 4,6311 108

Dve diagonali pod različnim naklonom 1,3044 108 3,4137 108 4,6933 108

Tri vzporedne diagonale 1,3445 108 3,5186 108 4,8375 108

Graf 1: Primerjava togosti

1,0000E+08

1,5000E+08

2,0000E+08

2,5000E+08

3,0000E+08

3,5000E+08

4,0000E+08

4,5000E+08

5,0000E+08

KLINGNER-BERTERO PAPIA HOLMES

Primerjava togosti

Ena diagonala Dve vzporedni diagonali

Dve pod različnim naklonom Tri vzporedne diagonale


Iz grafa 1 in tabele 5-14 lahko vidimo, da se togost ob vsakem povečanju števila diagonal v

okvirju sicer nekoliko poveča, kar je posledica različnih kotov nadomestnih diagonal, vendar

je njihov prirastek pri vseh modelih pod 10 %, kar pomeni, da število diagonal ne vpliva

drastično na povečanje togosti. Vplivnejšo vlogo pri tem igra izbira modela glede na avtorja

za določitev efektivne širine nadomestne diagonale. Pri tem pa lahko opazimo tudi več kot

3,5-kratno razliko med posameznimi avtorji.


6 LINEARNA DINAMIČNA ANALIZA

6.1 Čisti okvir

6.1.1 Izračun togosti obravnavanega okvirja

Togost čistega okvirja bomo dobili tako, da bomo na računski model z metodo končnih

elementov v programu SAP 2000 nanesli enotino silo, kot prikazuje slika 6-1, in dobili

pomik oz. podajnost, iz katere bomo nato izračunali ustrezno togost armiranobetonskega

okvirja. Zaradi zagotovitve večjega števila neničelnih decimalk bomo namesto enotine sile

na konstrukcijo nanesli silo velikosti 1 kN. Po izračunu smo dobili pomik vozliča 4 v smeri

x osi, ki je prikazan na sliki 6-2.

Slika 6-1: Sila 1 kN na čisti okvir

Slika 6-2: Pomik vozlišča zaradi sile 1 kN


𝑈4 = 0,00008763 𝑚

𝐹 = 𝑘1 ∆

𝑘1 =𝐹

∆=

1000

0,00008763= 11411617,0261

𝑁

𝑚= 11,411617 ∙ 106 𝑁

𝑚

Pri tem moramo poudariti, da bomo togost zmanjšali za polovico, saj s tem po standardu EC

8 zajamemo razpokanost armiranobetonskih okvirjev. Tako naša upoštevana togost znaša:

𝑘1 = 5,705809 ∙ 106 𝑁

𝑚 .

6.1.2 Izračun mas

Za izračun mase smo upoštevali samo maso stebrov in maso nosilcev. Pri tem smo upoštevali

samo polovično višino stebrov, saj pri metodi z vodoravnimi silami maso razdelimo po višini

konstrukcije in pri tem predpostavimo, da masa spodnje polovice stebrov prevzamejo

temelji.

𝑚1 =1

2𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑡𝑒𝑏𝑟𝑜𝑣 + 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑜𝑠𝑖𝑙𝑐𝑎, (6.2)

𝑚1 =1

2𝐻 ∙ ∑ 𝐴𝑠𝑡𝑒𝑏𝑟𝑎 ∙ 𝜌𝑐 + 𝐿 ∙ 𝐴𝑝𝑟𝑒č𝑘𝑒 ∙ 𝜌𝑐 ,

𝑚1 =1

2 3,2 𝑚 ∙ 2 ∙ ( 0,3 𝑚)2 ∙ 2500

𝑘𝑔

𝑚3 + 1 ∙ 6 𝑚 ∙ (0,3 𝑚 ∙ 0,4 𝑚) ∙

2500𝑘𝑔

𝑚3 = 2520 𝑘𝑔.

6.1.3 Izračun nihajnih časov

Ker obravnavamo samo enoetažni okvir, lahko nihajni čas izračunamo s pomočjo izrazov:

𝜔1 = √𝑘1

𝑚1, (6.3)

𝜔1 = √5,705809 ∙106

2520= 47,58371 𝑠−1,

𝑇1 =2 𝜋

𝜔, (6.4)

𝑇1 =2 𝜋

47,58371= 0,132045 𝑠.


6.1.4 Izračun potresne sile na okvir

Velikost potresne sile bomo izračunali z metodo vodoravnih sil. Metoda je opisana v SIST

EN 1998-1: 2006, 4.3.3.2. To vrsto analize je mogoče uporabiti za stavbe, pri katerih višje

nihajne oblike v nobeni od smeri ne vplivajo pomembno na odziv. Ta zahteva je izpolnjena,

če stavbe ustrezajo dvema pogojema:

– 𝑇1 ≤ {4 ∙ 𝑇𝑐

2.0 𝑠,

– ustrezajo merilom za pravilnost po višini (SIST EN 1998-1: 2006, 4.2.3.3, str. 43).

Tega pogoja ni potrebno preverjati, saj imamo enoetažen objekt.

Tip tal:

Tip tal določimo s pomočjo standardov SIST EN 1998-1: 2006; preglednica 3.1: Tipi tal, ki

je prikazana na spodnji sliki 6-3. Za izračune bomo uporabljali vse podatke za mesto

Maribor, zato smo se odločili za tip tal C.

Slika 6-3: Preglednica tipa tal po EC 8


Tip tal C (spekter odziva tipa 1):

𝑆 = 1.15 faktor tal,

𝑇𝐵(𝑠) = 0.2 sp. meja nihajnega časa na območju spektra, kjer je spektralni

pospešek konstanten,

𝑇𝐶(𝑠) = 0.6 zg. meja nihajnega časa na območju spektra, kjer je spektralni

pospešek konstanten,

𝑇𝐷(𝑠) = 2.0 vrednost nihajnega časa, pri katerem se začne območje

konstantne vrednosti spektralnega pomika.

Pogoj:

𝑇1 ≤ {4 ∙ 𝑇𝑐

2,0 𝑠 → {

4 ∙ 𝑇𝑐 = 2,4 𝑠2,0 𝑠,

(6.5)

𝑇1 = 0,132045 𝑠.

𝑇1 ustreza pogoju 0 ≤ 𝑇1 ≤ 𝑇𝐵, zato projektni spekter 𝑆𝑑(𝑇) izračunamo po enačbi:

𝑆𝑑(𝑇) = 𝑎𝑔 ∙ 𝑆 ∙ [2

3+

𝑇

𝑇𝐵∙ (

2,5

𝑞−

2

3)], (6.6)

kjer je:

𝑎𝑔… projektni pospešek za tla tipa A,

𝑎𝑔 = 𝛾𝐼 ∙ 𝑎𝑔𝑅, (6.7)

kjer je:

𝛾𝐼 … za naš primer 𝛾𝐼 = 1.0 (stavbe II. kategorije – stanovanjska zgradba),

𝑎𝑔𝑅 … referenčna vrednost največjega pospeška na tleh tipa A (za Maribor

𝑎𝑔𝑅 = 0,1 ∙ 𝑔),

𝑎𝑔 = 1,0 ∙ 0,1 ∙ 𝑔 = 0,1 ∙ 𝑔.

Določimo še faktor obnašanja:

𝑞 = 𝑞0 ∙ 𝑘𝑤 ≥ 1,5, (6.8)

kjer je:

𝑞 … faktor obnašanja za vodoravne potresne vplive,


kw … faktor ki upošteva prevladujoč način rušenja pri konstrukcijskih sistemih

s stenami (za okvirne sisteme znaša 1.0).

Za stavbe, ki so pravilne po višini, se vrednost 𝑞0 določi s pomočjo tabele 5.1 v standardu

EC na strani 67. Odvisna je od:

– razreda duktilnosti:

– DCM srednje duktilne konstrukcije,

– DCH visoko duktilne konstrukcije,

– vrste konstrukcije obtežbe (SIST EN 1998-1: 2006, glej 5.2.2.1).

Odločimo se za DCH – visoko duktilno konstrukcijo, za kar uporabimo izraz:

𝑞0 =4,5∙𝛼𝑢

𝛼1, (6.9)

kjer je:

𝛼𝑢

𝛼1 = 1.1 – za enoetažne okvirne stavbe,

𝑞0 = 4,5 ∙ 1,1 = 4,95.

Tako dobimo faktor obnašanja:

𝑞 = 𝑞0 ∙ 𝑘𝑤 = 4,95 ∙ 1.0 = 4,95.

Sedaj imamo izračunane vse parametre, ki so potrebni za izračun projektnega spektra 𝑆𝑑(𝑇):

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,132045

0,2∙ (

2,5

4,95−

2

3)] = 0,064396 ∙ 𝑔.

Prečno silo na mestu vpetja konstrukcije dobimo po izrazu:

𝐹𝑏 = 𝑆𝑑(𝑇1) ∙ 𝑚 ∙ 𝜆, (6.10)

kjer je:

𝑚 − masa konstrukcije izračunana po enačbi 6.2,

𝜆 − korekcijski faktor, ki je za enoetažne objekte 1.0,

𝐹𝑏 = 𝑆𝑑(𝑇1) ∙ 𝑚 ∙ 𝜆 = 0,064396 ∙ 𝑔 ∙ 2520 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 1591,942 N.


6.2 Okvir brez upoštevanja togosti polnila

V primeru armiranobetonskega okvirja z zidanim polnilom lahko predpostavimo strižni

model brez rotacij stebrov na stiku z gredo, kar pomeni, da bosta na togost okvirja vplivala

samo stebra. Tako bomo izračunali togost obeh stebrov in to togost kasneje prišteli k togosti

nadomestnih diagonal za posamezni model. Prav tako kot v členu 6.1 bomo togost zmanjšali

za polovico, saj s tem po standardu EC 8 zajamemo razpokanost armiranobetonskih okvirjev.

6.2.1 Izračun togosti obravnavanega okvirja

Splošna enačba za izračun togosti obravnavanega okvirja:

𝑘𝑖 =12∙𝐸𝑐𝑚∙𝐼𝑐

2∙ℎ𝑖3 (6.11)

𝑖 … gre po stebrih

𝑘1 = ∑12∙𝐸𝑐𝑚∙𝐼𝑐

2∙ℎ𝑖3

2𝑖=1

𝐼1 = 2 ∙0,304

12= 1,35 ∙ 10−3𝑚4c

𝑘1 =12∙3,1∙1010 𝑁/𝑚2∙1,35∙10−3 𝑚4

2∙3,23 𝑚3= 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


6.3 Model z eno nadomestno diagonalo

6.3.1 Izračun togosti

Togosti modelov z nadomestnimi diagonalami bomo dobili tako, da togosti okvirja, ki smo

jo izračunali v poglavju 6.2, prištejemo togost, ki jo doda zidano polnilo za posamezni

računski model. Togosti, ki jih prinesejo zidana polnila, so za vse računske modele prikazane

v poglavju 5.2. Upoštevan je samo horizontalni del osne togosti nadomestne diagonale. Pri

tem moramo paziti, da togost zidanih polnil zmanjšamo za polovico, enako kot pri

armiranobetonskih okvirjih, saj s tem zajamemo razpokanost zidnih polnil v skladu s

standardom EC 8. Togost okvirja skupaj s togostjo zidanega polnila bomo prikazali ločeno

za vse tri obravnavane avtorje:

Klingner & Bertero:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106/ 𝑁

𝑚

𝑘1𝑝𝑜𝑙𝑛𝑖𝑙𝑎=

1,2189 108

2

𝑁

𝑚= 6,0945 107

𝑘1 = 𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 + 𝑘1𝑝𝑜𝑙𝑛𝑖𝑙𝑎

𝑘1 = 6,8608 107 𝑁

𝑚

Papia:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


3,1900 108

2

𝑁

𝑚


𝑘2 = 1,6716 108 𝑁

𝑚

Holmes:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


4,3857 108

2 𝑁

𝑚


𝑘3 = 2,2695 108 𝑁

𝑚


6.3.2 Izračun mas

Za izračun mase smo upoštevali maso stebrov in maso nosilcev, kot v poglavju 6.1.1. Ker

polnilo sodeluje pri prevzemu sil, je potrebno pri masi upoštevati tudi polovično maso

zidanega polnila. Pri tem smo upoštevali težo 10 kg/kos in porabo opeke 20 kos/m2:

𝑚1 = 2520 + 1620 = 4140 𝑘𝑔.


Klingner & Bertero:

𝜔1 = √𝑘1

𝑚1

𝜔1 = √6,8609 107

4140= 128,7334 𝑠−1

𝑇1 =2 𝜋

128,7334 = 0,04881 𝑠

Papia:

𝜔2 = √𝑘2

𝑚1

𝜔2 = √1,6716 108

4140= 200,9402 𝑠−1

𝑇2 =2 𝜋

200,9402= 0,03127 𝑠

Holmes:

𝜔3 = √𝑘3

𝑚1

𝜔3 = √2,2695 108

4140= 234,1327 𝑠−1

𝑇3 =2 𝜋

234,1327= 0,02684 𝑠



V standardu Evrokod 8 pod členom 4.3.6 se nahajajo dodatni ukrepi za okvirje z zidanimi

polnili. V točki 4.3.6.1 je zapisano, da je v primeru, če zidana polnila tvorijo del potresno-

odpornega konstrukcijskega sistema, potrebno opraviti analizo in projektiranje v skladu z

merili in pravili v poglavju 9 za armirano zidovje. Pri izračunu potresne sile na okvir bomo

uporabili enake predpostavke, kot smo jih uporabili v poglavju 6.1.1 s to razliko, da bomo

faktor obnašanja upoštevali, kot je navedeno v poglavju 9.3(4) za armirano zidovje.

Upoštevali bomo spodnjo mejo iz tabele, kot je navedeno v nacionalnem dodatku.

Slika 6-4: Faktorji obnašanja za zidane stavbe

Prav tako vsi zgoraj izračunani nihajni časi ustrezajo pogoju 0 ≤ 𝑇1 ≤ 𝑇𝐵, zato uporabimo

enako enačbo za projektni spekter 𝑆𝑑(𝑇), kot smo jo uporabili v primeru čistega okvirja.

Sedaj lahko izračunamo projektni spekter 𝑆𝑑(𝑇):

Klingner & Bertero:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,04881

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,0860215 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,0860215 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3493,6248 N

Papia:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,03127

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,0826599 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,0826599 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3357,0987 N

Holmes:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,02684

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,081810 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,081810 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3322,5918 N


6.4 Model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama

6.4.1 Izračun togosti

Klingner & Bertero:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


1,2871 108

2

𝑁

𝑚= 6,4355 107


𝑘1 = 7,20198 107 𝑁

𝑚

Papia:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


3,3685 108

2

𝑁

𝑚= 1,68425 108


𝑘2 = 1,7609 108 𝑁

𝑚

Holmes:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


4,6311 108

2 𝑁

𝑚= 2,31555 108


𝑘3 = 2,23922 108 𝑁

𝑚


Klingner & Bertero:

𝜔1 = √𝑘1

𝑚1

𝜔1 = √7,20198 107

4140= 131,8942 𝑠−1

𝑇1 =2 𝜋

131,8942= 0,04764 𝑠


Papia:

𝜔2 = √𝑘2

𝑚1

𝜔2 = √2,23922 108

4140= 206,2349 𝑠−1

𝑇2 =2 𝜋

206,2349= 0,030466 𝑠

Holmes:

𝜔3 = √𝑘3

𝑚1

𝜔3 = √4,7077 108

4140= 240,3790 𝑠−1

𝑇3 =2 𝜋

240,3790= 0,026139 𝑠



Klingner & Bertero:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,04764

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,085797 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,085797 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3484,5199 N

Papia:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,030466

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,082506 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,082506 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3350,8498 N

Holmes:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,026139

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,081677 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,081677 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3317,1635 N


6.5 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom

6.5.1 Izračun togosti računskega modela

Klingner & Bertero:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


1,3044 108

2

𝑁

𝑚= 6,522 107 𝑁

𝑚


𝑘1 = 7,28839 107 𝑁

𝑚

Papia:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


3,4137 108

2

𝑁

𝑚= 1,70685 108 𝑁

𝑚


𝑘2 = 1,7835 108 𝑁

𝑚

Holmes:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


4,6933 108

2 𝑁

𝑚= 2,34665 108 𝑁

𝑚


𝑘3 = 2,4233 108 𝑁

𝑚


Klingner & Bertero:

𝜔1 = √𝑘1

𝑚1

𝜔1 = √7,28839 107

4140= 132,6832 𝑠−1


𝑇1 =2 𝜋

132,6832= 0,04735 𝑠

Papia:

𝜔2 = √𝑘2

𝑚1

𝜔2 = √1,7835 108

4140= 207,5551 𝑠−1

𝑇2 =2 𝜋

207,5551= 0,03027 𝑠

Holmes:

𝜔3 = √𝑘3

𝑚1

𝜔3 = √2,4233 108

4140= 241,9363 𝑠−1

𝑇3 =2 𝜋

241,9363= 0,02597 𝑠



Klingner & Bertero:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,04735

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,08574 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,08574 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3482,3149 N

Papia:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,03027

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,08247 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,08247 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3349,3412 N

Holmes:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,02597

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,08164 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,08164 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3315,8538 N


6.6 Model s tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami

6.6.1 Izračun togosti računskega modela

Klingner & Bertero:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


1,3445 108

2

𝑁

𝑚= 6,7225 107


𝑘1 = 7,48876 107 𝑁

𝑚

Papia:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


3,5186 108

2

𝑁

𝑚= 1,7593 108


𝑘2 = 1,8359 108 𝑁

𝑚

Holmes:

𝑘𝑜𝑘𝑣𝑖𝑟𝑗𝑎 = 7,662963 ∙ 106 𝑁

𝑚


4,8375 108

2 𝑁

𝑚= 2,41875 108


𝑘3 = 2,4954 108 𝑁

𝑚


Klingner & Bertero:

𝜔1 = √𝑘1

𝑚1

𝜔1 = √7,48876 107

4140= 134,4946 𝑠−1


𝑇1 =2 𝜋

134,4946= 0,04672 𝑠

Papia:

𝜔2 = √𝑘2

𝑚1

𝜔2 = √1,8359 108

4140= 210,5842 𝑠−1

𝑇2 =2 𝜋

210,5842= 0,02984 𝑠

Holmes:

𝜔3 = √𝑘3

𝑚1

𝜔3 = √2,4954 108

4140= 245,5087 𝑠−1

𝑇3 =2 𝜋

245,5087= 0,02559 𝑠



Klingner & Bertero:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,04672

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,08562 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,08562 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3477,3501 N

Papia:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,02984

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,08239 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,08239 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3345,9516 N

Holmes:

𝑆𝑑(𝑇) = 0,1 ∙ 𝑔 ∙ 1,15 ∙ [2

3+

0,02559

0,2∙ (

2,5

2,5−

2

3)] = 0,08157 ∙ 𝑔

𝐹𝑏= 0,08157 ∙ 𝑔 ∙ 4140 𝑘𝑔 ∙ 1,0 = 3312,9122 N


6.7 Primerjava nihajnih časov in potresnih sil med različnimi računskimi modeli

Po končanih izračunih lahko primerjamo nihajne čase med posameznimi avtorji za določitev

efektivne širine nadomestne diagonale in med posameznimi računskimi modeli. Iz grafa 2

lahko vidimo, da se nihajni časi bistveno spreminjajo na podlagi togosti polnil, ki pa je

odvisna od izbire avtorja za določitev efektivne širine nadomestne diagonale. Opazimo, da

so nihajni časi, ki so bili izračunani s prevzetimi togostmi avtorjev Klingner & Bertero,

bistveno večji kot nihajni časi, izračunani na podlagi avtorjev Papie in Holmesa. Nihajni

časi, izračunani s predlagano togostjo avtorjev Klingner & Bertero, so za 1,8-krat večji kot

nihajni časi, izračunani po avtorju Holmesu. Razlika se pojavi tudi med avtorjema Papio in

Holmesom, vendar je ta razlika veliko manjša ter znaša okoli 16 %.

Vidimo tudi, da se nihajni časi modelov prav tako spreminjajo glede na število diagonal,

vendar je to odstopanje zgolj okoli 5 % in nima velikega vpliva pri izračunu nihajnih časov.

Na podlagi dobljenih rezultatov lahko potegnemo vzporednico z grafom v poglavju 5.2, kjer

smo prikazali razliko v togosti med posameznimi avtorji in računskimi modeli. Vidimo, da

bolj kot je računski model tog, manjši so nihajni časi, pri čemer pa število diagonal ne igra

bistvene vloge, saj se togost med posameznimi računskimi modeli ohranja. Do minimalnih

razlik prihaja zgolj zaradi različnih dolžin in naklonov nadomestnih diagonal.

Graf 2: Nihajni časi glede na avtorja in posamezni računski model

Ena diagonalaDve vzporedni

diagonaliDve nevzporedni

diagonaliTri diagonale

Klingner-Bertero 0,0488 0,0476 0,0474 0,0467

Papia 0,0313 0,0305 0,0303 0,0298

Holmes 0,0268 0,0261 0,0260 0,0256

0,0220

0,0245

0,0270

0,0295

0,0320

0,0345

0,0370

0,0395

0,0420

0,0445

0,0470

0,0495

Nih

ajn

i čas

[T]

Nihajni časi


V grafu 3 smo enako kot za nihajne čase v grafu 2 prikazali izračunane potresne sile za vsak

računski model za vse tri avtorje. Vidimo, da je razlika med avtorji ponovno bistveno večja

kot med posameznimi računskimi modeli, vendar razlika ni tako velika kot pri nihajnih časih.

Razlika med potresno silo, izračunano s predlagano togostjo avtorjev Klingner & Bertero in

Holmesom, je pri vseh računskih modelih okoli 5 %. Do tako malih razlik med potresnimi

silami je prišlo, ker smo za vse modele uporabili enako enačbo za izračun projektnega

spektra. Izbiro enačbe projektnega spektra pa določajo nihajni časi, ki so bili vsi pod mejo

𝑇𝐵.

Graf 3: Potresne sile glede na avtorja in posamezni računski model

V nadaljevanju smo v grafu 4 prikazali nihajne čase in potresne sile po avtorjih za model z

eno nadomestno diagonalo ter za okvir brez zidanega polnila. Potrebno je poudariti, da so

nihajni časi netipično majhni, saj je tudi masa relativno majhna. Prikazano je zgolj za eno

nadomestno diagonalo, saj smo iz grafa 2 in 3 ugotovili, da število diagonal bistveno ne

vpliva na izračun nihajnih časov ter potresnih sil. Vidimo, da se nihajni čas za okvir brez

zidanega polnila bistveno poveča in posledično potresna sila upade. Razlika med nihajnim

časom čistega okvirja in okvirjem z zidanim polnilom, izračunanim po Klingner & Berteru,

je približno 2,7-kratna, med čistim okvirjem in okvirjem z zidanim polnilom, izračunanim

po Holmesu, pa skoraj 5-kratna.

Ena diagonalaDve vzporedni

diagonaliDve nevzporedni

diagonaliTri diagonale

Klingner-Bertero 3493,6248 3484,5200 3482,3149 3477,3501

Papia 3357,0987 3350,8498 3349,3412 3345,9516

Holmes 3322,5918 3317,1635 3315,8538 3312,9122

3300

3320

3340

3360

3380

3400

3420

3440

3460

3480

3500

Po

tre

sne

sile

[N

]

Potresne sile na okvir


Razlika med potresnimi silami je prav tako velika. Sila na okvir brez zidanega polnila je za

približno 50 % manjša kot sila na okvir z zidanim polnilom, izračunanim po Klingner &

Berteru. Razlika pa nato pri okvirjih z zidanim polnilom, izračunanim po Papii in Holmesu,

še upade za 2 %.

Graf 4: Nihajni časi in potresne sile po avtorjih za model z eno nadomestno diagonalo

Čisti okvirKlingner-Bertero

Papia Holmes

Nihajni čas 0,1320 0,0488 0,0313 0,0268

Sila 1591,9419 3493,6248 3357,0987 3322,5918

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

Po

tres

na

sila

[N

]

Nih

ajn

i čas

i [s]

Nihajni čas in potresne sile


7 NELINEARNA STATIČNA (»PUSHOVER«) ANALIZA

Bistveno natančnejši vpogled v obnašanje armiranobetonskih okvirjev s polnili nam da

nelinearna statična potisna (»pushover«) analiza, kjer lahko poškodovanost polnila (njeno

nastajanje oz. razvoj) bistveno kvalitetnejše vključujemo v analizo kot pri linearni analizi,

kjer to storimo enostavno s faktorjem 0,5. Čeprav je jasno, da dejanska potresna obtežba ne

bo delovala monotono in statično, temveč dinamično, taka analiza vseeno omogoči dober

vpogled v obnašanje oz. odziv konstrukcije.

Nelinearna statična (»pushover«) analiza se izvede tako, da vodoravna obtežba monotono

narašča pri konstantnih težnostnih silah. S to analizo se lahko preverja obnašanje konstrukcij

novo projektiranih ali obstoječih stavb. Nelinearne analize so v primerjavi z linearnimi

analizami tako bistveno zahtevnejše predvsem s stališča priprave vhodnih podatkov za

računski model kot tudi računsko bistveno obsežnejše. Matematični model, uporabljen pri

elastični analizi, je potrebno dopolniti, tako da so za nosilne elemente znani podatki o

njihovem obnašanju v neelastičnem območju.

V splošnem lahko uporabljamo različne vrste nelinearnosti:

– materialna nelinearnost v diskretnih točkah linijskih elementov (plastični členki),

– materialna nelinearnost v veznih elementih,

– nelinearnost odziva (P-delta, teorija drugega reda).

V našem primeru bomo materialno nelinearnost armiranobetonskega okvirja in zidanega

polnila zajeli s plastičnimi členki, ki jih bomo definirali v začetnih in končnih točkah

posameznih elementov.

7.1 Splošne lastnost plastičnih členkov

Vsak linijski element ima lahko več plastičnih členkov, ki so razporejeni vzdolž osi

linijskega elementa. Členek predstavlja koncentrirano plastičnost (materialno nelinearnost).

Lahko jih definiramo kot ustrezna razmerja med različnimi fizikalnimi veličinami: osna sila-

osni pomik, prečna sila-prečni pomik, moment-zasuk ali za interakcijo med dvoosnim

upogibom in osno silo.


Obliko deformacijskega obnašanja členka za moment-zasuk definiramo s splošno

poligonalno obliko krivulje, prikazane na sliki 7-1, ki je poleg geometrije prereza elementa

ter vzdolžne in prečne armature odvisna še od materialnih karakteristik in konstitutivnih

zakonov za beton in armaturo. Oblika je določena s petimi glavnimi točkami. Točka A

predstavlja izhodišče oz. neobremenjeno stanje, točka B pa točko tečenja. Plastična

deformacija se v plastičnem členku ne pojavi pred točko B, točka C predstavlja mejno

nosilnost oz. polno plastificiranje prereza, točka D preostalo nosilnost po delni porušitvi,

točka E pa popolno porušitev.

Na sliki so prikazane tudi tri točke, ki pa so zgolj informativne narave. Točke IO (angl.

Immediate Occupany), LS (Life Saftey) in CP (Collapse Prevention) predstavljajo

informativna stanja poškodovanosti, ki jih lahko podamo za plastični členek, vendar pa na

samo analizo ne vplivajo [17].

Ta informativna stanja območje med točko tečenja (B) in točko polne plastifikacije prereza

(C) razdelijo na štiri dele in s tem opisujejo stopnjo plastifikacije členka v duktilnem

območju. Ta področja se pojavijo tudi v barvni lestvici za opis stanja plastičnih členkov v

programu SAP 2000.

Slika 7-1: Oblika deformacijske krivulje plastičnega členka [17]

Na sliki 7-2 je prikazana barvna lestvica, s pomočjo katere program SAP 2000 prikazuje

stanja plastifikacije členkov, ki so opisana v zgornjem odstavku. V območju pred


plastifikacijo je členek v programu obarvan z belo barvo, kar ponazarja, da se členek še ne

nahaja v plastičnem območju.

Slika 7-2: Barvna lestvica za stanja plastifikacije členkov

7.2 Določitev momentnega plastičnega členka M

Momentni plastični členek bomo definirali ob začetnih in končnih točkah armiranobetonskih

stebrov ter prečke, kjer so tudi pričakovana mesta največjih upogibnih obremenitev. V EC 8

oziroma EC 8-3 ni posebej definirana oblika diagrama moment-rotacija, zato smo izbrali

trilinearno krivuljo moment-rotacija, kot je prikazano na sliki 7-3.

Slika 7-3: Odnos moment-rotacija za armiranobetonski okvir [18]

Iz slike vidimo, da moramo določiti moment 𝑀𝑦 pri meji plastičnosti, ki predstavlja moment,

ko nastopi tečenje armature. Moment smo določili posebej za stebre in prečke. Odvisen je

od velikosti in razporeditve vzdolžne armature, dimenzij betonskega prereza ter materialnih

karakteristik betona in jekla za armiranja. Nato moramo izračunati pripadajoče zasuke. 𝜃𝑦

predstavlja rotacijo na meji tečenja; 𝜃𝑐 rotacijo pri maksimalnem momentu; 𝜃𝑢 je mejna


rotacija, ki je definirana v EC 8-3 (A.1); 𝜃𝐸 pa rotacija pri dokončni porušitvi. Po diplomski

nalogi [18] smo prevzeli, da je rotacija pri porušitvi za stebre enaka trikratniku, za prečke pa

šestkratniku vrednosti rotacije v točki C. Za konstruiranje diagrama potrebujemo vrednosti

𝑀𝑦, 𝜃𝑦 𝑖𝑛 𝜃𝑢. Enačba (7.1) je definirana v EC 8-3 (A.1) in predstavlja mejno rotacijo v točki

D. Enačba zajema tako elastični kot tudi neelastični del [19]:

𝜃𝑢 =1

𝛾𝑒𝑙 0,016 (0,3ν) [

max(0,01;𝑤′)

max(0,01;𝑤) fc]

0,225

(𝐿𝑣

ℎ)

0,35

25αρsx

𝑓𝑦𝑤

𝑓𝑐 (1,25100 ρd), (7.1)

kjer je:

𝛾𝑒𝑙 – faktor, ki je enak 1,5 za primarne seizmične elemente in 1,0 za sekundarne,

ℎ – višina prečnega prereza,

𝐿𝑣 – razdalja med preučevanim prerezom in nično momentno točko; po navadi

polovica dolžine elementa,

ν =𝑁

𝑏 ℎ 𝑓𝑐 – normirana osna sila,

b – širina tlačne cone,

N – osna sila, pozitivna na tlak,

𝑤, 𝑤′ =𝐴𝑠𝑡

(′) 𝑓𝑦

𝐴𝑐 𝑓𝑐 – mehanski volumenski delež armiranja v natezni oz. tlačni coni,

𝑓𝑐 – tlačna trdnost betona v MPa,

𝑓𝑦 – natezna trdnost stremen v MPa,

ρsx =𝐴𝑠𝑥

𝑏𝑤 𝑠ℎ – delež stremenske armature vzporedno s smerjo obtežbe,

𝑠ℎ – razmik med stremeni,

ρd – delež diagonalne armature,

𝛼 – faktor objetja betonskega dela prereza 𝛼 = (1 −𝑠ℎ

2 𝑏𝑐) (1 −

𝑠ℎ

2 ℎ𝑐) (1 −

∑ 𝑏𝑖2

2 𝑏𝑐 ℎ𝑐),

𝑏𝑖 – razdalja med vzdolžnimi palicami v prerezu.


Tabela 7-1: Podatki za izračun mejne rotacije za prečko in stebre

Parametri Prečka Steber

𝑀𝑦 [kN] 203,51 87,05

𝑀𝑢 [kN] 207,58 88,79

𝑀𝑐 [kN] 166,06 71,03

𝑁 [kN] 25,155 22,00

𝑏 [mm] 300 300

𝛾𝑒𝑙 [-] 1,5 1,5

𝐿𝑣 [mm] 3000 1600

ν [-] 0,01573 0,01834

𝑤 [-] 0,3689 0,3279

𝑤′ [-] 0,0615 0,3279

𝑓𝑐𝑑 [MPa] 13,33 13,33

𝑓𝑦𝑑 [MPa] 434,783 434,783

𝛼 [-] 0,4232 0,2973

𝑠ℎ [mm] 100 100

𝑏𝑐 [mm] 252 252

ℎ𝑐 [mm] 352 252

ρsx [-] 0,003989 0,003989

ρd [-] 0 0

Iz zgornje tabele lahko razberemo vse potrebne podatke za izračun mejne rotacije v točki D

po enačbi 7.1. Ko imamo izračunano mejno rotacijo 𝜃𝑢, lahko s pomočjo podobnih

trikotnikov izračunamo rotacijo 𝜃𝑐 v točki C pri maksimalnem momentu. Sledi izračun

rotacije pri končni porušitvi v točki E, ki je za stebre trikratnik in za prečko šestkratnik

rotacije v točki C.


Ostane nam še izračun rotacije na meji tečenja 𝜃𝑦. To rotacijo izračunamo tako, da po spodnji

enačbi iz standarda EC 8 določimo samo plastični del mejne rotacije v točki D in nato

dobljeno odštejemo od mejne rotacije [19]:

𝜃𝑢 = 𝜃𝑢𝑝𝑙 − 𝜃𝑦 =

1

𝛾𝑒𝑙 0,0145 (0,25ν) [

max(0,01;𝑤′)

max(0,01;𝑤) fc]

0,3

𝑓𝑐0,2 (

𝐿𝑣

ℎ)

0,35

25αρsx

𝑓𝑦𝑤

𝑓𝑐 (1,275100 ρd). (7.2)

Tabela 7-2: Momenti in rotacije za prečko za vse točke

TOČKA Moment [kNm] Rotacija [rad]

A 0,00 0

B 203,51 0,00785616

C 207,58 0,01513667

D 166,06 0,03027335

E 0,00 0,09082004

Iz tabele 7-2 sledi delovni diagram, ki na grafu 5 prikazuje uporabljen odnos moment-

rotacija za plastične členke v prečki:

Graf 5: Odnos moment-rotacija za plastični členek na prečki

0

50

100

150

200

250

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

Mo

men

t [k

Nm

]

rotacija [rad]

Odnos moment-rotacija za prečko


Tabela 7-3: Momenti in rotacije za stebre za vse točke

TOČKA Moment [kNm] Rotacija [rad]

A 0,00 0

B 87,05 0,00583313

C 88,79 0,02716013

D 71,03 0,03802418

E 0,00 0,08148039

Iz tabele 7-3 sledi delovni diagram, ki grafu 6 prikazuje uporabljen odnos moment-rotacija

za plastične členke v stebrih:

Graf 6: Odnos moment-rotacija za plastični členek na stebru

Zgoraj pridobljene vrednosti plastičnih členkov za armiranobetonski okvir bomo vstavili v

program SAP2000 in izvedli nelinearno statično analizo.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

Mo

men

t [k

Nm

]

rotacija [rad]

Odnos moment-rotacija za stebre


7.3 Določitev osnega plastičnega členka P

Osni plastični členek bomo definirali ob začetku in koncu diagonale. V poglavju 4.5 smo že

omenili odnos sila-pomik za diagonale. Omenjena sta dva diagrama, in sicer od

Panagiontakosa in Fardisa ter od Bertoldia. Mi bomo za izračun odnosa sila-pomik za

diagonalo uporabili diagram, predlagan s strani Bertoldia; slika 7-4.

Slika 7-4: Odnos sila-pomik po Bertoldiu za diagonale [14]

Ker v magistrskem delu obravnavamo štiri različne računske modele istega okvirja z

različnim številom ali razporeditvijo diagonal, bomo morali razvoj plastičnih členkov za

vsako diagonalo določati posebej. V poglavju 5.2 smo že izračunali togost 𝐾𝑚, s pomočjo

katere bomo lahko izračunali še preostale togosti ter nato še sile in pomike. Delovni diagrami

za plastične členke so zaradi različnih efektivnih širin različni za različne računske modele,

medtem ko se glede na avtorja, ki določa efektivno širino, diagonale ne spreminjajo.

Pomiki 𝑠𝑦, 𝑠𝑚 in 𝑠𝑟 se izračunajo po naslednjih enačbah:

𝑠𝑦 =𝐹𝑦

𝑘𝑦, (7.3)

𝑠𝑚 =𝐹𝑚

𝑘𝑚, (7.4)

𝑠𝑟 = 𝑠𝑚 +(𝐹𝑚−𝐹𝑟)

𝑘𝑟. (7.5)

V nadaljevanju so prikazani parametri, ki definirajo plastične členke za vse štiri računske

modele in za vse avtorje posebej.



V prvem računskem modelu z eno vzporedno nadomestno diagonalo so mehanski parametri

prikazani v tabeli 7-4, v grafu 7 pa so prikazani uporabljeni diagrami sila-pomik za

diagonalo.

Tabela 7-4: Togosti, sile in pomiki za računski model z eno nadomestno diagonalo

Parametri Klingner & Bertero Papia Holmes

𝒌𝒎 [N/m] 1,2189 108 3,1900 108 4,3857 108

𝒌𝒚 [N/m] 4,8757 108 1,27598 109 1,7543 109

𝒌𝒓 [N/m] 2,4379 106 6,37991 106 8,7714 106

𝝈𝒘[N/mm2] 3,325097 3,325097 3,325097

𝑭𝒚 [N] 421414,68 1102850,23 1516244,17

𝑭𝒎 [N] 526768,36 1378562,79 1895305,21

𝑭𝒓 [N] 184368,92 482496,98 663356,82

𝑺𝒚 [m] 0,00086 0,00086 0,00086

𝑺𝒎 [m] 0,00432 0,00432 0,00432

𝑺𝒓 [m] 0,14477 0,14477 0,14477

Graf 7: Odnos sila-pomik za plastični členek nadomestne diagonale

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

1600000

1800000

2000000

0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,125 0,15

Sila

[N

]

pomik [m]

Diagram sila-pomik

Holmes

Papia

Klingner



V drugem računskem modelu, kjer sta dve nadomestni diagonali vzporedni, so mehanski

parametri (tabela 7-5) ter delovni diagrami sila-pomik (graf 8) enaki za obe diagonali.

Tabela 7-5: Togosti, sile in pomiki za računski model z dvema vzporednima nadomestnima

diagonalama


Diagonale 1. in 2. 1. in 2. 1. in 2.

𝒌𝒎 [N/m] 6,4357 108 1,6842 108 2,3155 108

𝒌𝒚 [N/m] 2,5742 108 6,7369 108 9,2622 108

𝒌𝒓 [N/m] 1,2871 106 3,3685 106 4,6311 106

𝝈𝒘[N/mm2] 3,0904 3,0904 3,0904

𝑭𝒚 [N] 200563,73 524879,08 721625,49

𝑭𝒎 [N] 250704,66 656098,84 902031,86

𝑭𝒓 [N] 87746,63 229634,59 315711,15

𝑺𝒚 [m] 0,00078 0,00078 0,00078

𝑺𝒎 [m] 0,00390 0,00390 0,00390

𝑺𝒓 [m] 0,1305 0,1305 0,1305

Graf 8: Odnos sila-pomik za plastični členek dveh vzporednih nadomestnih diagonal

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

Sila

[N

]

pomik [m]

Diagram sila-pomik

Holmes

Papia

Klingner


7.3.3 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom

V tretjem računskem modelu, kjer sta dve nadomestni diagonali pod različnima naklonoma,

so mehanski parametri prikazani v tabeli 7-6, diagrami sila-pomik pa v grafu 9.

Tabela 7-6: Togosti, sile in pomiki za računski model z dvema nadomestnima diagonalama

pod različnim naklonom


Diagonala 1. 2. 1. 2. 1. 2.

𝒌𝒎 [N/m] 5,9465 107 7,0977 107 1,5562 108 1,8575 108 2,1395 108 2,5538 108

𝒌𝒚 [N/m] 2,3786 108 2,8391 108 6,2248 108 7,430 108 8,5581 108 1,0215 109

𝒌𝒓 [N/m] 1,1893 106 1,4195 106 3,1124 106 3,7150 106 4,2791 106 5,1075 106

𝝈𝒘[N/mm2] 5,8623 3,0753 5,8623 3,0753 5,8623 3,0753

𝑭𝒚 [N] 250883,26 199795,15 656566,27 522867,69 902674,49 718860,16

𝑭𝒎 [N] 313604,08 249743,93 820707,83 653584,62 1128343,1 898575,2

𝑭𝒓 [N] 109761,43 87410,38 287247,74 228754,62 394920,09 314501,32

𝑺𝒚 [m] 0,00105 0,0007 0,00105 0,0007 0,00105 0,0007

𝑺𝒎 [m] 0,00527 0,00352 0,00527 0,00352 0,00527 0,00352

𝑺𝒓 [m] 0,17667 0,1179 0,17667 0,1179 0,17667 0,1179

Graf 9: Odnos sila-pomik za plastični členek dveh nadomestnih diagonal pod različnima

naklonoma

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15 0,18

Sila

[N

]

pomik [m]

Diagram sila-pomik

Holmes - 1. diagonala

Holmes - 2.diagonala

Papia - 1. diagonala

Papia - 2. diagonala

Klingner - 1. diagonala

Klingner - 2. diagonala



V zadnjem računskem modelu smo izračunali odnos sila-pomik za 1. diagonalo ter za 2. in

3., ki sta enaki. Mehanski parametri so zajeti v tabeli 7-7, graf 10 pa prikazuje diagrame sila-

pomik za vse diagonale.

Tabela 7-7: Togosti, sile in pomiki za računski model s tremi vzporednimi nadomestnimi

diagonalami


Diagonala 1. 2. in 3. 1. 2. in 3. 1. 2. in 3.

𝒌𝒎 [N/m] 6,0946 107 1,5950 108 1,5562 108 9,6179 107 2,1928 108 1,3223 108

𝒌𝒚 [N/m] 2,4379 108 6,3799 108 6,2248 108 3,8472 108 8,7714 108 5,2893108

𝒌𝒓 [N/m] 1,2189 106 7,3503 105 3,19 106 1,9236 106 4,3857 106 2,6446 106

𝝈𝒘[N/mm2] 3,3251 3,3251 3,3251 3,3251 3,3251 3,3251

𝑭𝒚 [N] 210707,34 105353,67 551425,12 275712,56 758122,08 379061,04

𝑭𝒎 [N] 263384,18 131692,09 689281,39 344640,70 947652,60 473826,30

𝑭𝒓 [N] 92184,46 46092,23 241248,49 120624,24 331678,41 165839,21

𝑺𝒚 [m] 0,00086 0,00072 0,00086 0,00072 0,00086 0,00072

𝑺𝒎 [m] 0,00432 0,00358 0,00432 0,00358 0,00432 0,00358

𝑺𝒓 [m] 0,14477 0,12004 0,14477 0,12004 0,14477 0,12004

Graf 10: Odnos sila-pomik za plastični členek treh vzporednih nadomestnih diagonal

0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

1000000

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

Sila

[N

]

pomik [m]

Diagram sila-pomik

Holmes 1. diagonala

Holmes 2. in 3. diagonala

Papia 1. diagonala

Papia 2. in 3. diagonala

Klingner 1. diagonala

Klingner 2. in 3. diagonala


7.4 Rezultati in primerjave nelinearne statične potisne (»pushover«) analize

Rezultate nelinearne statične potisne analize smo zaradi preglednosti najprej ločili po

računskih modelih, nato pa še vse računske modele združili v en graf po posameznih avtorjih.

V vsakem grafu je prikazana tudi izvedena nelinearna statična analiza za čisti okvir, ki nam

daje osnovo za primerjavo, kako zidana polnila vplivajo na obnašanje obravnavane primarne

armiranobetonske konstrukcije.

Nelinearno statično potisno analizo smo izvedli s programom za računanje konstrukcij po

metodi končnih elementov SAP 2000. V prvem koraku moramo v programu izdelati računski

model, ki se uporablja za elastično analizo. To pomeni, da konstrukcijo diskretiziramo in

vsakemu elementu definiramo materialne karakteristike, prerez, obtežbe in podpore. Tak

model že omogoča izvedbo linearne dinamične analize ter potresnega vpliva.

Za izvedbo »pushover« analize pa v drugem koraku definiramo obtežbo, ki se uporablja v

nelinearni statični potisni analizi, ter določimo parametre za analizo. Tako smo generirali

nov nelinearni obtežni primer in definirali enotino silo, ki bo delovala v x smeri in se bo v

vsakem koraku analize povečevala. Analiza se bo končala, ko bo konstrukcija dosegla željen

pomik, ki smo ga pri definiranju obtežbe določili.

V tretjem koraku definiramo mesta in lastnosti potencialnih plastičnih členkov. Potrebno je

poudariti, da mest potencialnih plastičnih členkov program ne izbere samodejno, ampak jih

more uporabnik določiti sam. Lastnosti plastičnih členkov lahko uporabnik izbere oz.

izračuna sam, možno pa je tudi, da se lastnosti plastičnih členkov določijo samodejno po

ameriških pravilnikih ATC 40 ali FEMA 273. V magistrskem delu smo lastnosti plastičnih

členkov izračunali po standardu EC 8, kot je prikazano v poglavju 7.2.

Sledi zagon nelinearne analize ter pregled in analiza rezultatov. Velikokrat se zgodi, da prvi

rezultati niso dovolj inženirsko uporabni in zato sledi izboljšava modela ter parametrov (npr.:

koraka povečevanja obtežbe) in ponovna izvedba nelinearne statične potisne analize.

Zaradi kompleksnosti analize je najboljše, da se stopnja nelinearnosti modelira postopoma.

V prvem koraku je najboljše, da se izvede samo statična analiza, s katero lahko kontroliramo

elastične lastnosti našega modela in šele postopoma v model vključujemo plastične členke

in nelinearnost odziva. Z izvedbo različnih nelinearnih analiz, ki se razlikujejo po stopnji


nelinearnosti, dobimo različne rezultate, s katerimi lahko določimo občutljivost različnih

parametrov na nelinearno statično analizo.


Po izračunih vseh parametrov plastičnih členkov v prejšnjem poglavju smo le-te definirali v

programu SAP 2000. Na sliki 7-5 sta prikazani okni, v katerih se podajo parametri za

plastične členke moment-rotacija in sila-pomik. Pri tem smo momente in sile normirali na

maksimalno vrednost, zasuke in pomike pa vstavili takšne, kot smo jih izračunali v poglavju

7.3.

Slika 7-5: Prikaz okna, kjer se v programu nastavijo parametri za plastične členke moment-

rotacija in sila-pomik

Slika 7-6 prikazuje računski model z eno nadomestno diagonalo, ki smo ga modelirali v

programu SAP 2000. Na njej se vidijo tudi mesta potencialnih plastičnih členkov, ki smo jih

definirali vsakemu delu konstrukcije ob njenem koncu in začetku. Pri tem oznaka S

predstavlja plastični členek moment-rotacija za stebre, oznaka P plastični členek moment-

rotacija za prečko in oznaka D plastični členek sila-pomik za diagonalo. Po definiranju

plastičnih členkov smo izvedli nelinearno statično analizo za vse tri avtorje posebej in dobili

rezultate, prikazane v grafu 11.


Slika 7-6: Računski model z eno nadomestno diagonalo v programu SAP2000 in prikaz

definiranih lokacij plastičnih členkov

V grafu 11 so prikazane odsekovno podane krivulje, ki smo jih dobili z nelinearno statično

analizo za model z eno nadomestno diagonalo po posameznih avtorjih. Vidimo, da zidana

polnila bistveno povečajo horizontalno silo, ki jo je naša konstrukcija zmožna prenesti.

Razmerje med horizontalno silo, ki jo prenese okvir z zidanim polnilom, izračunanim po

avtorjih Klingner & Bertero, ter čistim okvirjem je tako 6-kratna. Z avtorjema Papio in

Holmesom pa se razlika v horizontalni sili še poveča in znaša za prvega 14-kratnik in za

drugega skoraj 19-kratnik sile na čisti okvir.

V magistrskem delu pa nas bolj kot primerjava med čistim okvirjem in okvirjem s polnili

zanima primerjava krivulj, ki smo jih dobili pri posameznih avtorjih. Oblike krivulj so pri

vseh treh avtorjih zelo podobne. Sila na začetku zelo strmo narašča v elastičnem območju,

sledi rahel padec naklona krivulje, ki predstavlja prehod iz elastičnega v plastično območje.

Vse tri krivulje imajo tudi izrazit vrh, ki ponazarja maksimalno silo, ki jo prenese posamezna

konstrukcija. Po dosegu maksimalne sile krivulje sledi območje padanja sile, kjer začnejo

bistveno naraščati pomiki konstrukcije. Vidimo, da najmanjšo horizontalno silo prenese

računski model z nadomestno diagonalo, izračunano po Klingner & Bertero izrazu, sledi

Papia in na koncu model z nadomestno diagonalo, izračunano po Holmesu. Maksimalne

horizontalne sile se glede na avtorja Papio v primerjavi s Klingner & Berterom povečajo za


2,35- krat, glede na avtorja Holmesa pa 3,18-krat. Razlika med Holmesom in Papio je 1,35-

kratna.

Graf 11: Rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model z eno

nadomestno diagonalo

Maksimalne sile in pripadajoči pomiki so zbrani v tabeli 7-8, tabela 7-9 pa prikazuje

razmerja maksimalnih sil med posameznimi avtorji.

Tabela 7-8: Maksimalne sile po posamezni avtorjih

Avtor Čisti okvir Klingner & Bertero Papia Holmes

Maksimalna sila [kN] 123,553 737,014 1733,476 2346,061

Pomik pri maksimalni sili [cm] 1,92 2,03 1,35 1,40

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

SIla

[kN

]

Pomik [cm]

Računski model z eno nadomestno diagonalo

Holmes

Papia

Klinger-Bertero

Okvir


Tabela 7-9: Razmerje med maksimalnimi silami glede na avtorje

Avtor Razmerje maksimalnih sil

Klingner & Bertero / Čisti okvir 5,96

Papia / Čisti okvir 14,0

Holmes / Čisti okvir 18,99

Papia / Klingner & Bertero 2,35

Holmes / Klingner & Bertero 3,18

Holmes / Papia 1,35

Tako lahko opazimo, da izbira avtorja za izračun efektivne širine nadomestne diagonale in

posledično togosti zidanega polnila bistveno vpliva na končne rezultate nelinearne statične

analize.


Mesta potencialnih plastičnih členkov smo tako kot v primeru modela z eno nadomestno

diagonalo definirali ob koncih vseh konstrukcijskih elementov, kar prikazuje slika 7-7.

Slika 7-7: Računski model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama v programu

SAP2000 in prikaz definiranih lokacij plastičnih členkov


V grafu 12 so zajete krivulje, ki smo jih dobili z nelinearno statično analizo za model z

dvema vzporednima nadomestnima diagonalama po posameznih avtorjih. Razmerje med

horizontalno silo, ki jo prenese okvir z zidanim polnilom, izračunanim po avtorju Klingner

& Bertero, ter čistim okvirjem je malo več kot 5-kratna. Z avtorjema Papio in Holmesom pa

se razlika v horizontalni sili prav tako poveča in znaša za prvega 12-kratnik in za drugega

skoraj 16-kratnik sile na čisti okvir. Vidimo, da se je nosilnost glede na model z eno

nadomestno diagonalo nekoliko zmanjšala.

Oblike vseh treh krivulj za okvir z zidanimi polnili so ponovno zelo podobne. Ponovno

imamo zelo strmi elastični del odziva, kjer horizontalna sila zelo hitro narašča, sledi bolj

postopen prehod iz elastičnega v plastično območje, kjer sila še vedno hitro narašča, vendar

se pomiki že nekoliko bolj opazno povečujejo, kar je posledica različne stopnje plastifikacije

obeh diagonal. Vrh krivulj, ki ponazarja maksimum horizontalne sile, ni več tako izrazit kot

pri modelu z eno nadomestno diagonalo, sledi upad sile in naraščanje pomikov. Maksimalne

horizontalne sile se glede na avtorja Papio v primerjavi s Klingner & Bertero povečajo za

2,29,-krat glede na avtorja Holmesa pa 3-krat. Razlika med Holmesom in Papio pa je 1,32-

kratna.

Graf 12: Rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model z dvema

vzporednima nadomestnima diagonalama

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

SIla

[kN

]

Pomik [cm]

Računski model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama

Holmes

Papia

Klingner-Bertero

Okvir


Iz tabele 7-8 vidimo, da so se maksimalne sile glede na prvi računski model z eno

nadomestno diagonalo nekoliko zmanjšale, vendar se razlika med posameznimi avtorji glede

na računski model z eno nadomestno diagonalo ohranja.














Holmes / Papia 1,32

V grafu 13 sta združena računska modela z eno nadomestno diagonalo in dvema

vzporednima diagonalama. Pri tem so krivulje, ki predstavljajo iste avtorje, enake barve,

računska modela pa sta ločena z različnimi oznakami na krivulji.


Graf 13: Združeni rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model z

eno in dvema vzporednima nadomestnima diagonalama

7.4.3 Model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom

Plastične členke smo kot v prejšnjih primerih definirali ob koncih vseh konstrukcijskih

elementov. Pri tem oznaki S in P še vedno predstavljata plastična členka moment-rotacija za

stebra in prečko, oznaki D1 in D2 pa predstavljata plastična členka sila-pomik za vsako

diagonalo. Izvedli smo tudi analizo z modelom, kjer smo definirali plastični členek v levem

stebru, kjer se stika z diagonalo 2, vendar smo po izvedbi analize dobili rezultate, ki so

pokazali, da je prišlo do učinka kratkega stebra, ki pa v našem primeru ni realen, saj imamo

steber po celotni višini podprt z zidanim polnilom, zato ti rezultati niso prikazani v

nadaljevanju.

Slika 7-8 prikazuje računski model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnima

naklonoma, ki smo ga modelirali v programu SAP2000.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

SIla

[kN

]

Pomik [cm]

Ena in dve vzporedni diagonali

Ena diagonala Holmes

Dve vzporedni Holmes

Ena diagonala Papia

Dve vzporedni Papia

Ena diagonala Klinger-Bertero

Dve vzporedni Klingner

Okvir


Slika 7-8: Računski model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom v

programu SAP2000 in prikaz definiranih lokacij plastičnih členkov

V grafu 14 so prikazane krivulje, ki smo jih dobili z nelinearno statično analizo za model z

dvema nadomestnima diagonalama pod različnima naklonoma po posameznih avtorjih.

Razmerje med horizontalno silo, ki jo prenese okvir z zidanim polnilom in čistim okvirjem,

je v primerjavi s prejšnjima računskima modeloma ponovno nekoliko upadla. Po avtorju

Klingner & Berteru je razlika okoli 4,4-kratna. Z avtorjema Papio in Holmesom pa je razlika

9,2-kratnik oz. za drugega skoraj 12-kratnik sile na čisti okvir.

Pri krivuljah vidimo, da je oblika v primerjavi s prejšnjima modeloma precej drugačna.

Model z dvema diagonalama pod različnim naklonom deluje povsem bolj podajno. Ponovno

imamo zelo strmi elastični del odziva, ki pa hitro preide v plastični odziv, kjer naklon

krivulje počasi upada. Plastično območje, v katerem horizontalna sila narašča, je veliko

daljše kot v preostalih primerih. Vrh krivulj ni več tako izrazit kot pri modelu z eno

nadomestno diagonalo. Sledi upad sile in naraščanje pomikov. Maksimalne horizontalne sile

se glede na avtorja Papio v primerjavi s Klingner & Bertero povečajo za malo več kot 2-krat,

glede na avtorja Holmesa pa 2,7-krat. Razlika med Holmesom in Papio pa je 1,3-kratna.



nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom

Razlog za tako podajnejše obnašanje računskega modela je potrebno iskati v postavitvi dveh

nadomestnih diagonal. Nadomestna diagonala 2, ki je postavljena pod veliko manjšim

kotom, prevzame na začetku veliko več sile kot diagonala 1, saj je njena horizontalna togost

večja. Prav zaradi tega se v diagonali 2 veliko prej pojavijo plastični členki v plastičnem

območju, kjer sila že upada, naraščajo pa pomiki. Tako postopoma sila v diagonali 2 upada,

s tem pa vedno večjo vlogo igra tudi diagonala 1. Na sliki 7-9 sta prikazana rezultata

plastičnih členkov v tretjem koraku nelinearne statične analize. Z modro barvo je prikazana

krivulja, ki ponazarja odnos osna sila-osni pomik za posamezno diagonalo, točka na njej pa

prikazuje stanje plastifikacije členka. Iz slike lepo vidimo, da se je v diagonali 2 že formiral

plastični členek, saj je obarvan rumeno, kar pomeni, da je prerez dosegel polno

plastificiranost in sila bo od sedaj naprej v diagonali 2 samo še upadala, v diagonali 1 pa se

plastični členek še ni formiral, saj se prerez še vedno nahaja v elastičnem območju, kar

ponazarja bela barva.

Podobno se dogaja v modelu z dvema vzporednima diagonalama, vendar sta tam togosti

diagonal enaki in ta fenomen ni tako evidenten.

0100200300400500600700800900

1000110012001300140015001600

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

SIla

[kN

]

Pomik [cm]

Računski model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnima naklonoma

Holmes

Papia

Klingner-Bertero

Okvir


Slika 7-9: Plastični členek v tretjem koraku nelinearne statične analize:

(a) diagonala 1; (b) diagonala 2



Tabela 7-12: Maksimalne sile po posameznih avtorjih











Holmes / Papia 1,29



Plastične členke smo prav tako definirali ob koncih vseh konstrukcijskih elementov, kot

prikazuje slika 7-10. Pri tem oznaka S in P še vedno predstavljata plastična členka moment-

rotacija za stebra in prečko, oznaka D1 predstavlja plastični členek sila-pomik za sredinsko

diagonalo, D2 pa plastični členek sila-pomik za zunanji dve diagonali, ki imata enaka

prereza.

Slika 7-10: Računski model s tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami v programu

SAP2000 in prikaz definiranih lokacij plastičnih členkov

V grafu 15 so podane krivulje, ki smo jih dobili z nelinearno statično analizo za model s

tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami po posameznih avtorjih. Rezultati so zelo

podobni rezultatom, ki smo jih dobili z modelom z dvema vzporednima nadomestnima

diagonalama.

Razmerje med horizontalno silo, ki jo prenese okvir z zidanim polnilom po avtorju Klingner

& Berteru ter čistim okvirjem, je 5,55-kratna, po avtorju Papii 12,75-kratna in po Holmesu

17-kratna. Maksimalne horizontalne sile se glede na avtorja Klingner & Bertero v primerjavi

s Papio povečajo za 2,3-krat, v primerjavi s Holmesom pa 3-krat. Razlika med Papio in

Holmesom je 1,3-kratna.


Graf 15: Rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model s tremi

vzporednimi nadomestnimi diagonalami














Holmes / Papia 1,33

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

SIla

[kN

]

Pomik [cm]

Računski model s tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami

Holmes

Papia

Klingner-Bertero

Okvir


V grafu 16 sta združena računska modela z dvema in tremi vzporednimi nadomestnimi

diagonalami. Pri tem so krivulje, ki predstavljajo iste avtorje, enake barve, računska modela

pa sta ločena z različnimi oznakami na krivulji. Oblika vseh treh krivulj je praktično enaka

kot pri modelu z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama s to razliko, da tukaj

krivulje nekoliko prej preidejo v plastično območje, kar je logično in pričakovano, saj je

zaradi kompleksnejšega modela plastifikacija prej zaznana v računski analizi. Prav tako je

tukaj maksimalna dosežena sila pri vseh krivuljah nekoliko višja.


dvema in tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

SIla

[kN

]

Pomik [cm]

Dve in tri vzporedne diagonale

Dve vzporedni Holmes

Tri vzporedne Holmes

Dve vzporedni Papia

Tri vzporedne Papia

Dve vzporedni Klingner-Bertero

Tri vzporedne Klingner-Bertero

Okvir


7.4.5 Modeli, združeni po avtorjih

V tem odstavku smo vse zgoraj opisane grafe še združili po posameznih avtorjih, da lahko

primerjamo, kako število diagonal vpliva na nelinearno statično analizo. Na grafu 17 so

zajeti vsi računski modeli, za katere smo izračunali efektivno širino nadomestne diagonale

po izrazih avtorjev Klingner & Bertero, graf 18 sestavljajo krivulje, ki smo jih dobili po

izračunu efektivne širine po Papii ter graf 19 po Holmesu.

Pri vseh treh grafih vidimo, da največjo računsko silo prenese računski model, ki predstavlja

model z eno nadomestno diagonalo, sledita krivulji s tremi oziroma dvema vzporednima

nadomestnima diagonalama, ki se držita tesno skupaj. Najbolj od vseh modelov pa odstopa

model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom, ki prenese po izvedeni

nelinearni statični potisni analizi najmanjše horizontalne sile od vseh računskih modelov z

nadomestnimi diagonalami.

Po avtorjih Klingner & Bertero je razlika med krivuljo, ki daje največje horizontalne sile, in

krivuljo, ki daje najmanjše horizontalne sile, za okvir z zidanim polnilom 35 %. Najmanjša

razlika se pojavi pri primerjavi računskih modelov s tremi vzporednimi in dvema

vzporednima nadomestnima diagonalama. Ta razlika znaša zgolj 4 %. Vse ostale primerjave

so znotraj omenjenih procentov in so prikazane v tabeli 7-16.

Tabela 7-16: Razmerje med maksimalnimi silami glede na računske modele po avtorjih

Klingner & Berteru

Računski model Razmerje maksimalnih sil

Ena diagonala / Dve nevzporedni diagonali 1,35

Ena diagonala / Dve vzporedni diagonali 1,12

Ena diagonala / Tri diagonale 1,07

Dve vzporedni diagonali / Dve nevzporedni diagonali 1,21

Tri diagonale / Dve vzporedni diagonali 1,04

Tri diagonale / Dve nevzporedni diagonali 1,25


Graf 17: Vsi računski modeli, izračunani po izrazih za efektivno širino avtorjev Klingner &

Bertere

Razlika med posameznimi računskimi modeli se z avtorjem Papio poveča. Tako vidimo po

grafu 18, da je razmerje med modelom z eno nadomestno diagonalo in modelom z dvema

diagonalama pod različnim naklonom približno 1,5-kratnik. Najmanjša razlika je še vedno

med modelom z dvema vzporednima in tremi vzporednimi diagonalami in znaša 4,3 %.

Ostale razlike so znotraj omenjenih procentov in se nahajajo v tabeli 7-17.

Tabela 7-17: Razmerje med maksimalnimi silami glede na računske modele po avtorju

Papii








0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Sila

[kN

]

Pomik [cm]

Klingner & Bertero

Enojna diagonala

Tri diagonale

Dve vzporedni diagonali

Dve diagonali pod različnimnaklonom

Okvir


Graf 18: Vsi računski modeli, izračunani po izrazih za efektivno širino avtorja Papie

Iz grafa 19 lahko odčitamo razlike med krivuljami, ki smo jih dobili z izvedbo nelinearne

statične analize za modele, za katere smo efektivno širino diagonale izračunali po avtorju

Holmesu. Največja razlika je med modelom z eno diagonalo in modelom z dvema

diagonalama pod različnim naklonom. Sila se pri modelu z eno diagonalo v primerjavi z

modelom z dvema diagonalama pod različnim naklonom poveča za 1,6-krat. Najmanjša

razlika pa znaša 5 %, ki je podobno kot pri ostalih dveh avtorjih tudi tukaj med modelom s

tremi vzporednimi in dvema vzporednima nadomestnima diagonalama. Vse ostale razlike

med krivuljami se nahajajo znotraj teh procentov in so zapisane v tabeli 7-18.


Holmesu








0100200300400500600700800900

100011001200130014001500160017001800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Sila

[kN

]

Pomik [cm]

Papia

Enojna diagonala

Tri diagonale



Okvir


Graf 19: Vsi računski modeli, izračunani po izrazih za efektivno širino avtorja Holmesa

Vidimo, da se razlike med krivuljami večajo po posameznih avtorjih. Tako je najmanjša

razlika med krivuljami, ki smo jih dobili z izvedbo nelinearne statične analize za modele,

kjer smo efektivno širino diagonale izračunali glede na avtorja Klingner & Bertero. Sledijo

krivulje, izračunane po Papii. Največja odstopanja znotraj krivulj smo dobili pri Holmesu.

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Sila

[kN

]

Pomik [cm]

Holmes

Enojna diagonala

Tri diagonale



Okvir


8 ZAKLJUČEK

V magistrskem delu smo analizirali vpliv modeliranja zidanih polnil, kar je posebej zanimivo

pri analizi potresnega obnašanja armiranobetonskih okvirjev. Polnila namreč bistveno

vplivajo na dinamične lastnosti celotne okvirne konstrukcije. Togost konstrukcije se s polnili

bistveno poveča, kar ima za posledico krajše nihajne čase, s katerimi se bistveno povečajo

potresne sile na konstrukcijo. Vpliv polnil na odziv konstrukcije je odvisen od magnitude

obtežbe. V elastičnem področju, pri majhnih nihanjih, potresne sile v celoti prevzame zidano

polnilo. Če se horizontalna sila povečuje, se zidana polnila poškodujejo in s svojimi

poškodbami sipajo energijo in tako ugodno vplivajo na odziv konstrukcije. Po poškodbah

polnil se vodoravna obtežba porazdeli s polnil na armiranobetonske okvirje. V primeru hipne

celotne porušitve polnila se vsa obremenitev hipno prenese na okvirno konstrukcijo, ki ni

bila nujno projektirana za prevzem tako velikih vodoravnih sil, kar lahko povzroči hude

poškodbe armiranobetonskih okvirjev. V takšnih primerih lahko zidana polnila zelo

neugodno delujejo na celotno konstrukcijo in povzročijo odpoved primarne nosilne

konstrukcije.

Matematično modeliranje armiranobetonskih okvirjev z zidanimi polnili je zapleten

inženirski problem, saj take konstrukcije pri potresih kažejo zelo nelinearni odziv, kar je

posledica interakcije med krhkimi zidanimi polnili in duktilno primarno okvirno

konstrukcijo. Eksperimentalni poskusi modeliranja odziva armiranobetonskih okvirjev z

zidanimi polnili na potresno obtežbo so pokazali, da lahko zidana polnila pri računskih

modelih zamenjamo z nadomestno diagonalo z ustreznimi geometrijskimi in mehanskimi

lastnostmi. Eden izmed najpomembnejših parametrov modela je širina nadomestne

diagonale, ki jo izračunamo na podlagi izrazov, ki so jih predlagali različni avtorji. V

magistrskem delu smo sicer prikazali devet različnih izrazov za izračun efektivne širine,

vendar smo za nadaljnje izračune izbrali samo tri. Tako smo se odločili za izraze avtorjev

Klingner & Bertere (ki nam daje najmanjšo efektivno širino), Papie (ki se po velikosti nahaja

nekje v povprečju vseh devetih širin) in Holmesa (ki predstavlja največjo izračunano

efektivno širino). Na podlagi izračunane efektivne širine smo izračunali togosti nadomestnih

diagonal, ki simulirajo zidano polnilo. Ugotovili smo, da so razhajanja v togosti med

posameznimi avtorji zelo velika, saj lahko opazimo tudi več kot 3,5-kratno razliko med

avtorji. Pri tem je potrebno poudariti, da so togosti izračunane po Holmesu pričakovano


najmanj kvalitetne, saj po njegovih izrazih na izračun efektivne širine vplivajo izključno

geometrijske lastnosti nadomestne diagonale. Prav tako smo med seboj primerjali več

računskih modelov z eno ali več nadomestnimi diagonalami, znanimi iz literature.

Analizirali smo štiri računske modele z eno, dvema vzporednima, dvema pod različnima

naklonoma in tremi diagonalami. Vsaki diagonali smo dodelili ustrezno efektivno širino in

posledično togost. Skupno je tako bilo analiziranih 12 primerov.

Sledila je inženirsko običajnejša linearna analiza in primerjava po standardu izračunanih

potresnih vplivov. Ugotovili smo, da se nihajni časi glede na računski model diagonale ne

spreminjajo bistveno, medtem pa nanje veliko bolj vpliva izbira avtorja za izračun efektivne

širine nadomestne diagonale, saj so razlike tudi do 80%. Pri izračunu potresnih sil so razlike

med avtorji ponovno bistveno večje kot med posameznimi računskimi modeli, vendar

razlika med avtorji ni tako velika kot pri nihajnih časih. Razlike so okoli 4%, kar je posledica

uporabe enake enačbe za izračun projektnega spektra.

Po končani linearni analizi smo se lotili še nelinearne statične potisne (»pushover«) analize,

ki smo jo izvedli s pomočjo programa SAP2000. Za izvedbo le-te smo izračunali

kinematično-mehanske lastnosti plastičnih členkov, s katerimi smo zajeli koncentrirano

plastičnost (materialno nelinearnost) za vsak element. Potencialne lokacije plastičnih

členkov smo definirali v začetnih in končnih točkah vsakega elementa. Rezultati nelinearne

statične analize so pokazali, da je izbira avtorja za izračun efektivne širine nadomestne

diagonale bistvena za analizo. Sile, ki jih prenese okvir z zidanim polnilom, so se v

primerjavi s silami pri čistem okvirju povečale pri prvih avtorjih (Klingner & Bertero) do 6-

krat, pri drugem (Papia) do 14-krat in pri tretjem (Holmes) celo do 19-krat. Prav tako igra

pri tem pomembno vlogo tudi izbira računskega modela. Razhajanja znotraj različnih

računskih modelov so bila pri prvem avtorju do 35%, pri drugem do 52% in pri tretjem celo

do 60 %.

Skozi rezultate, ki smo jih pridobili pri magistrskem delu, se je izkazalo, da je brez

eksperimentalnih preizkusov nemogoče določiti, kateri avtor se za izračun efektivne širine

nadomestne diagonale ali računski model najbolj približa realnemu obnašanju okvirne

konstrukcije z zidanimi polnili. Iz rezultatov lahko sklepamo, da nadgradnja modela z večjim

številom nadomestnih diagonal verjetno ne bo prinesla bistveno drugačnega obnašanja, zato

razvoj novih modelov z večjim številom vzporednih diagonal ni smiseln. Prav tako lahko na


podlagi dobljenih rezultatov ugotovimo, da izbira avtorja in računskega modela omogoča

manipuliranje rezultatov, kar pa ni dobro za inženirsko prakso.


9 BIBLIOGRAFIJA

[1] M. Tomaževič, Potresno odporne zidane stavbe, Ljubljana: Tehnis, d. o. o., 2009.

[2] P. G. Asteris, S. T. Antoniou, D. S. Sophianopoulos in C. Z. Chrysostomou,

„Mathematical Macromodeling of Infilled Frames: State of the Art,“ American Society

of Civil Engineers, 2011.

[3] [Elektronski]. Available: http://www.enea.it/it/pubblicazioni/EAI/anno-2012/n.-4-5-

luglio-ottobre-parte-II/damage-mechanisms-in-some-residential-building-typologies-

during-the-pianura-padana-emiliana-earthquake. [Poskus dostopa 13. 6. 2017].

[4] [Elektronski]. Available: https://www.slideshare.net/Nic9236/different-types-of-

damages-that-have-been-observed-in-masonry-buildings-during-past-earthquakes-

outside-india. [Poskus dostopa 13. 6. 2017].







[7] SIST EN 1998-1:2005 Evrokod 8 - Projektiranje potresno odpornih konstrukcij - 1.del:

Splošna pravila, potresni vpliv in pravila za stavbe, 2004.

[8] [Elektronski]. Available: http://inderc.blogspot.si/2012/05/captive-and-short-column-

effects.html. [Poskus dostopa 13. 6. 2017].

[9] [Elektronski]. Available: http://inderc.blogspot.si/2012/05/captive-and-short-column-

effects.html. [Poskus dostopa 13. 6. 2017].

[10] [Elektronski]. Available: http://db.world-housing.net/building/145. [Poskus dostopa

13. 6. 2017].


[11] A. Fiore, G. Spagnoletti in R. Greco, „On the prediction of shear brittle collapse

mechanisms due to the infill-frame interaction in RC budildings under pushover

analysis,“ Engineering Structures, 2016.

[12] L. Cavaleri in F. D. Trapani, „Cyclic response of masonry infilled RC frames:

Experimental results and simplified modeling,“ Soil Dynamics and Earthquake

Engineering, 2014.

[13] F. J. Crisafulli, A. J. Carr in R. Park, „Analytical modelling of infilled frame structures

- A general review,“ Bulletin of the New Zeland society for earthquake engineering,

2000.

[14] G. Uva, D. Raffaele, F. Porco in A. Fiore, „On the role of equivalent strut models in

the seismic assessment of infilled RC buildnigs,“ Engineering Structures, 2012.

[15] A. Fiore, A. Netti in P. Monaco, „The influence of masonry infill on the seismic

behaviour of RC frame buildings,“ Engineering Structures, 2012.

[16] W. W. El-Dakhakhni, M. Elgaaly in a. A. A. Hamid, „Three-Strut Model for Concrete

Masonry-Infilled Steel,“ JOURNAL OF STRUCTURAL ENGINEERING, 2003.

[17] M. Dolšek, Opis in primer nelinearne statične analize s programom SAP ali ETABS:

študijsko gradivo za podiplomske študente konstrukcijske smeri pri predmetu

Dinamika gradbenih konstrukcij z uporabo v potresnem inženirstvu, Ljubljana:

Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Katedra za konstrukcije

in potresno inženirstvo, 2004, 2004.

[18] S. Terčič, Uporaba nelinearne analize za oceno potresne odpornosti; diplomska

naloga, Ljubljana, 2005.

[19] A. Fiore, F. Porco, D. Raffaele in G. Uva, „About the influence of the infill panels over

the collapse mechanisms actived under pushover analyses: Two case studies,“ Soil

Dynamics and Earthquake Engineering, 2012.


10 PRILOGE

10.1 Seznam slik

Slika 2-1: Mehanizmi porušitve [2] ....................................................................................... 7

Slika 2-2: Diagonalne razpoke v obeh smereh; vir: [3] ......................................................... 7

Slika 2-3: Horizontalna strižna porušitev vzdolž maltnih spojev; vir: [4] ............................ 8

Slika 2-4: Izvenravninska uklonska nestabilnost polnila; vir: [5] ...................................... 8

Slika 2-5: Odpoved okvirja v vogalu; vir: [6] ....................................................................... 8

Slika 3-1: Prikaz nepravilnosti po višini zaradi zidanih polnil; vir: Matjaž Skrinar ........... 11

Slika 3-2: a) Prikaz deformacije čistega okvirja, b) Prikaz deformacije okvirja z delno

zapolnjenim zidanim polnilom po višini; vir: [8] ........................................................ 12

Slika 3-3: Strižna porušitev kratkega stebra; vir: [9] ........................................................... 12

Slika 3-4: Tipične poškodbe kratkih stebrov; vir: [10]........................................................ 12

Slika 4-1: Armiranobetonski okvir z zidanim polnilom ...................................................... 14

Slika 4-2: Računski model z nadomestno diagonalo ........................................................... 14

Slika 4-3: Računski modeli, ki jih bomo v magistrski nalogi podrobneje obravnavali ...... 16

Slika 4-4: Razmerje 𝑤𝑑𝑚 glede na koeficient 𝜆ℎ [13] ....................................................... 20

Slika 4-5: Diagram sila-pomik: (a) Panagiontakos in Fardis; (b) Bertoldi [14] .................. 22

Slika 5-1: Analizirani armiranobetonski okvir z zidanimi polnili ....................................... 25

Slika 5-2: Armatura v prečki in stebru betonskega okvira .................................................. 26

Slika 5-3: Referenčni koordinatni sistem za mehanske lastnosti zidanega polnila ............. 26

Slika 5-4: Računski model z eno nadomestno diagonalo .................................................... 28

Slika 5-5: Računski model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama................. 30

Slika 5-6: Računski model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnima naklonoma

..................................................................................................................................... 33


Slika 5-7: Računski model s tremi vzporednimi diagonalami ............................................ 34

Slika 6-1: Sila 1 kN na čisti okvir ....................................................................................... 38

Slika 6-2: Pomik vozlišča zaradi sile 1 kN ......................................................................... 38

Slika 6-3: Preglednica tipa tal po EC 8 ............................................................................... 40

Slika 6-4: Faktorji obnašanja za zidane stavbe ................................................................... 46

Slika 7-1: Oblika deformacijske krivulje plastičnega členka [17] ...................................... 57

Slika 7-2: Barvna lestvica za stanja plastifikacije členkov ................................................. 58

Slika 7-3: Odnos moment-rotacija za armiranobetonski okvir [18] .................................... 58

Slika 7-4: Odnos sila-pomik po Bertoldiu za diagonale [14] .............................................. 63

Slika 7-5: Prikaz okna, kjer se v programu nastavijo parametri za plastične členke moment-

rotacija in sila-pomik ................................................................................................... 69

Slika 7-6: Računski model z eno nadomestno diagonalo v programu SAP2000 in prikaz

definiranih lokacij plastičnih členkov ......................................................................... 70

Slika 7-7: Računski model z dvema vzporednima nadomestnima diagonalama v programu

SAP2000 in prikaz definiranih lokacij plastičnih členkov .......................................... 72

Slika 7-8: Računski model z dvema nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom v

programu SAP2000 in prikaz definiranih lokacij plastičnih členkov ......................... 76

Slika 7-9: Plastični členek v tretjem koraku nelinearne statične analize: ........................... 78

Slika 7-10: Računski model s tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami v programu

SAP2000 in prikaz definiranih lokacij plastičnih členkov .......................................... 79

10.2 Seznam tabel

Tabela 4-1: Tabela za določitev koeficientov 𝐾1in 𝐾2 po Bertoldiju ................................ 24

Tabela 5-1: Geometrijske in mehanske karakteristike AB okvirja z zidanim polnilom ..... 26

Tabela 5-2: Geometrijske in mehanske karakteristike nadomestne diagonale ................... 28

Tabela 5-3: Izračunane efektivne širine nadomestne diagonale po različnih avtorjih ........ 29


Tabela 5-4: Horizontalne togosti nadomestne diagonale za vsako efektivno širino ........... 29

Tabela 5-5: Efektivne širine nadomestnih diagonal ............................................................ 31

Tabela 5-6: Geometrijske in materialne karakteristike nadomestnih diagonal 1 in 2 ......... 31

Tabela 5-7: Togosti nadomestnih diagonal ......................................................................... 31

Tabela 5-8: Efektivne širine nadomestnih diagonal ............................................................ 33

Tabela 5-9: Geometrijske in materialne karakteristike nadomestne diagonale 1 in 2 ......... 33

Tabela 5-10: Togosti nadomestnih diagonal ....................................................................... 34

Tabela 5-11: Efektivne širine nadomestnih diagonal .......................................................... 35

Tabela 5-12: Geometrijske in materialne karakteristike nadomestne diagonale 1, 2 in 3 ... 35

Tabela 5-13: Togosti nadomestnih diagonal ....................................................................... 35

Tabela 5-14: Primerjava horizontalnih togosti med različnimi računskimi modeli in avtorji

..................................................................................................................................... 36

Tabela 7-1: Podatki za izračun mejne rotacije za prečko in stebre ..................................... 60

Tabela 7-2: Momenti in rotacije za prečko za vse točke ..................................................... 61

Tabela 7-3: Momenti in rotacije za stebre za vse točke ...................................................... 62

Tabela 7-4: Togosti, sile in pomiki za računski model z eno nadomestno diagonalo ......... 64

Tabela 7-5: Togosti, sile in pomiki za računski model z dvema vzporednima nadomestnima

diagonalama ................................................................................................................. 65

Tabela 7-6: Togosti, sile in pomiki za računski model z dvema nadomestnima diagonalama

pod različnim naklonom .............................................................................................. 66

Tabela 7-7: Togosti, sile in pomiki za računski model s tremi vzporednimi nadomestnimi

diagonalami ................................................................................................................. 67

Tabela 7-8: Maksimalne sile po posamezni avtorjih ........................................................... 71

Tabela 7-9: Razmerje med maksimalnimi silami glede na avtorje ..................................... 72

Tabela 7-10: Maksimalne sile po posamezni avtorjih ......................................................... 74

Tabela 7-11: Razmerje med maksimalnimi silami glede na avtorje ................................... 74


Tabela 7-12: Maksimalne sile po posameznih avtorjih ....................................................... 78


Tabela 7-14: Maksimalne sile po posamezni avtorjih ......................................................... 80


Tabela 7-16: Razmerje med maksimalnimi silami glede na računske modele po avtorjih

Klingner & Berteru ...................................................................................................... 82

Tabela 7-17: Razmerje med maksimalnimi silami glede na računske modele po avtorju Papii

..................................................................................................................................... 83


Holmesu ...................................................................................................................... 84

10.3 Seznam grafov

Graf 1: Primerjava togosti ................................................................................................... 36

Graf 2: Nihajni časi glede na avtorja in posamezni računski model ................................... 53

Graf 3: Potresne sile glede na avtorja in posamezni računski model .................................. 54

Graf 4: Nihajni časi in potresne sile po avtorjih za model z eno nadomestno diagonalo ... 55

Graf 5: Odnos moment-rotacija za plastični členek na prečki ............................................ 61

Graf 6: Odnos moment-rotacija za plastični členek na stebru ............................................ 62

Graf 7: Odnos sila-pomik za plastični členek nadomestne diagonale ................................. 64

Graf 8: Odnos sila-pomik za plastični členek dveh vzporednih nadomestnih diagonal ..... 65

Graf 9: Odnos sila-pomik za plastični členek dveh nadomestnih diagonal pod različnima

naklonoma ................................................................................................................... 66

Graf 10: Odnos sila-pomik za plastični členek treh vzporednih nadomestnih diagonal ..... 67

Graf 11: Rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model z eno

nadomestno diagonalo ................................................................................................. 71



vzporednima nadomestnima diagonalama................................................................... 73

Graf 13: Združeni rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model z eno

in dvema vzporednima nadomestnima diagonalama ................................................... 75


nadomestnima diagonalama pod različnim naklonom ................................................ 77

Graf 15: Rezultati nelinearne statične (»pushover«) analize za računski model s tremi

vzporednimi nadomestnimi diagonalami .................................................................... 80


dvema in tremi vzporednimi nadomestnimi diagonalami ........................................... 81

Graf 17: Vsi računski modeli, izračunani po izrazih za efektivno širino avtorjev Klingner &

Bertere ......................................................................................................................... 83

Graf 18: Vsi računski modeli, izračunani po izrazih za efektivno širino avtorja Papie ...... 84

Graf 19: Vsi računski modeli, izračunani po izrazih za efektivno širino avtorja Holmesa . 85


10.4 Kratek življenjepis

Rojen: 2. 4. 1992 v Mariboru

Šolanje: 1999–2007 Osnovna šola Franca Lešnika Vuka Slivnica

2007–2011 Srednja gradbena šola in gimnazija Maribor

2011–2015 Fakulteta za gradbeništvo, Univerza v Mariboru, študijski

program gradbeništvo, I. bolonjska stopnja

2015–2017 Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo,

Univerza v Mariboru, študijski program gradbeništvo, II.

bolonjska stopnja

10.5 Izjava o avtorstvu

Documents

VPLIV MODELIRANJA POLNIL V ANALIZI POTRESNEGA … · členki, nadomestna diagonala, linearna analiza, nelinearna potisna analiza, SAP2000 UDK: 624-012.35(043.2) Povzetek Magistrsko