10. Matrična analizana analiza - grf.bg.ac.rs · 10 Matrična analiza konstrukcija 10.1 Uvod 10. Matri na analiza konstrukcija 10.1 Uvod Istorijski razvoj 1930 Prvi put primenjena

Teorija konstrukcija 1Teorija konstrukcija 110 Matrična analiza10 Matrična analiza

Prof Mira Petronijević

1

10 Matrična analiza konstrukcija

101 Uvod


101 UvodIstorijski razvoj1930 Prvi put primenjena matrična analiza u rešavanju

bl l tič ti C ll i D iproblema aeroelastičnosti Collar i Duncanavio-industrija GB

1934 Prva knjiga Collar Duncan i Frazerj g 1955 Argyris metoda sila i metoda deformacije1959 Tyrner Direct Stiffness Method 1964 Wil t d k č ih l t (MKE)1964 Wilson metoda konačnih elemenata (MKE)1964 Gallagher Irons Martin Clough Zienkiewicz1977 Sekulović

2

1977 Sekulović

Od 1960 t di k ij čbull Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi j ) p j jlinijskih nosača

bull Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Di k dSTIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti) Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapavezu između sila i pomeranja krajeva štapa

bull Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA - mnogo opštija metoda koja se primenjuje u linearnoj i nelinearnoj statičkoj i dinamičkoj analizi složenih nosača

3

složenih nosača

MKE Shema rada kompjuterskog programaMKE_Shema rada kompjuterskog programa

4

Koncept matrične analize konstrukcijabull Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od

diskretnih elemenata ndash štapova koji su

Koncept matrične analize konstrukcija

diskretnih elemenata štapova koji supovezani u čvorovima nosača

bull Za nepoznate veličine se usvajajuj il č ipomeranjasile u čvorovima

bull Na nivou elementa (štapa) uspostavljaju se vezeizmeđu sila i pomeranja krajeva štapap j j p

bull Formiraju se jednačine za određivanjenepoznatih veličina (uslovne jednačine)Od đ j t ti i ilbull Određuju se nepoznate a zatim i sile upresecima nosača

5

Idealizacija nosača i stepeni slobode jpomeranja

6

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E

Slika 103 Idealizacija ravnog okvira

7

Numeracija čvorova i štapova nosačau e ac ja č o o a štapo a osača

Štap - osnovni element nosača

ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104

bull Nepoznate veličine su parametri u čvorovima p pnosača

bull U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima postoje 2 metode analizepostoje 2 metode analize

Metoda sila Metoda deformacijeMetoda sila Metoda deformacije

9

a) Metoda sila

bull Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa

a) Metoda sila

Parametri sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema H V M

YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4

XXY - globalni koordinatni sistem

9 10

bull Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija

10

u matričnoj analizi konstrukcija

b) Metoda deformacije

bull Parametri komponente pomeranja u v ib t j č č


obrtanja čvorova nosača bull Konvencija znaka pomeranja su pozitivna u

smeru pozitivnih osa X i Y globalnogsmeru pozitivnih osa X i Y globalnog koordinatnog sistema

Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste

U metodi deformacije postoje 2 nivoaU metodi deformacije postoje 2 nivoaanalize analiza štapa i analiza nosača(sistema štapova)(sistema štapova)ndash Analiza štapa uspostavlja veze između sila i

pomeranja na krajevima štapapomeranja na krajevima štapandash Analiza nosača formira jednačine za

određivanje nepoznatih pomeranja (uslovneodređivanje nepoznatih pomeranja (uslovnejednačine) nosača

12

Analiza štapa

2p(x)

35

y

x y ndashlokalni koordinatni sistem

4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1

Vektor pomeranja Vektor silaOsnovna jednačina štapa j

P Važi linearna teorija štapaxy lokalni koordinatni sistem

1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4

Matrica krutosti štapa

V k k i l ć j

13

6 k Vektor ekvivalentnog opterećenja

bull Veza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa uVeza između vektora sila i pomeranja krajeva neopterećenog štapa ulokalnom koordinatnom sistemu može se dobiti čisto matematičkimrazmatranjem Naime preslikavanje vektora q na vektor R definisano jematricom K

R Kqbull Jednačina predstavlja osnovnu jednačinu neopterećenog štapa Matrica K

je matrica krutosti štapa Pošto su vektori q i R šestog reda sledi da matricakrutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matrice

R Kq

krutosti K mora biti kvadratna matrica šestog reda Ako elemente matricekrutosti obeležimo sa kij i j= 126 onda se matrica krutosti štapa moženapisati u sledećem obliku

14

bull Element matrice krutosti kij ima jasno fizičko značenjeij j j koje se dobija kada osnovnu jednačinu štapa napišemou razvijenom obliku

bull Element matrice krutosti kij predstavlja silu Ri usledij j ipomeranja qj=1 kada su sva druga pomeranja krajevaštapa qi ij jednaka nuli

bull Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij=kji) i

15

Matrica krutosti je kvadratna simetrična (kij kji) isingularna

Analiza nosačaAnaliza nosačaY

1 2 3 4 5 6 7 8

XXY - globalni koordinatni sistem9 10

Moguća pomeranja čvorova nosača

Broj mogućih pomeranjaPomeranja čvorova


Određivanje broja nepoznatih pomeranja

uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9

uv - u čvorovima gde postoji krut ugao

uv- u čvorovima gde postoji zglobna veza

16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X

Nepoznata pomeranja čvorova nosača

Broj nepoznatih pomeranja

uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17

Uslovne jednačineUslovne jednačine

18

Uslovne jednačineU analizi nosača nepoznata pomeranja određujemo iz uslova ravnotežečvorova nosača opterećenog ekvivalentnim opterećenjem slika 105c u

Uslovne jednačine

p g p j kojima su sile na krajevima štapova iskazane u funkciji nepoznatihpomeranja čvorova

Uslovi ravnoteže svih čvorova nosača u globalnom koordinatnomgsistemu predstavljaju uslovne jednačine sistema koje se mogu prikazatiu obliku

j

K q S Vektor sila u čvorovima nosača u

globalnom koordinatnom sistemuj Vektor pomeranja čvorova nosača u

globalnom koordinatnom sistemu

g

Matrica krutosti sistema štapova u

19

Matrica krutosti sistema štapova u globalnom koordinatnom sistemu

USLOVNE JEDNAČINE

K S

USLOVNE JEDNAČINE SISTEMA ŠTAPOVA

K q SREŠAVANJEREŠAVANJE

q jRVEKTOR POMERANJA

VEKTOR SILA NA

Š

20

VEKTOR POMERANJA KRAJEVIMA ŠTAPOVA

10 2 Analiza štapa102 Analiza štapaTipovi štapova kod ravnih linijskih nosača i komponente

ku

iŠtap tipa k

pomeranja krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu

ivk

ukk

ui

vi

Štap tipa k(6 pomeranja )

vgug

ui

i

vi

i g Štap tipa g(5 pomeranja )

gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)

Štap tipa k Lokalni koordinatni sistem

qi - pomeranja Ri - sile na

R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4

bull Aksijalno naprezanjey

R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x

bull Savijanje +bull Savijanje +

E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5

Aksijalno naprezanje i savijanje su dva nezavisna naponskat j i li i ti istanja i mogu se analizirati nezavisno

Vektor pomeranja Vektor silaVektor pomeranja Vektor sila

1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M

aksijalno naprezanje

kq 6

23


savijanje

1021 Matrice krutosti štapova u ravni

S š

a) Matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa

bull Sile i pomeranja krajeva štapaR1 q1 R2 q2

F E1 q1 R2 q2

l

bull Vektor sila i pomeranja krajeva štapa

1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u

Veza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoVeza između vektora sila i pomeranja štapa se može lakoizvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapaPromena dužine tetive štapa l je jednaka razlicikomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapakomponenata pomeranja krajeva štapa u pravcu ose štapa

(2) 12 qql Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinicidužine tj

(3)2 1q ql (3)

Napon tj normalna sila se određuje direktno iz dilatacije

2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25

Sile na krajevima štapa

N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)

Osnovna jednačina neopterećenog štapa

1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26

R K q matrica krutosti štapa

Fizičko značenje elemenata matrice krutosti aksijalno napregnutog štapaštapaElementi matrice krutosti kij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matrične jednačine (6)

1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q

Element kij predstavlja silu Ri usled pomeranja qj=1 kada su sva druga

q1=1 q2=1

ij i jpomeranja qk=0 Iz toga sledi da svaka j-ta vrsta matrice krutostipredstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1

k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1

Jednačina (7) je izvedena za neopterećen štap Ako je štap izložen

uticaju temperaturne promene u osi to on trpi dodatnu dilataciju t=tto gde je t koeficijent termičke dilatacije materijala Ukupna normalna sila će biti

Uvodeći matričnu notaciju dobija se vektor sila u obliku

2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)

Drugi član desne strane jednačine predstavlja vektor ekvivalentnog

opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28

Vektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcijaVektor ekvivalentnog opterećenja Q jednak je vektoru reakcija obostrano oslonjenog prostog štapa usled zadatog uticaja sa suprotnim znakom To su zapravo sile koje se sa štapa prenose u čvorove nosačačvorove nosačaVektor ekvivalentnog opterećenja usled to - Q t

toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q

Sa uvedenim obeležavanjem iz jednačina (8) i (9) dobija se osnovnajednačina opterećenog štapa u matričnom obliku

o 1

jednačina opterećenog štapa u matričnom obliku

tR Kq Q (10)

29

a) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjua) Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuŠtap tipa k u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 stepeni slobode pomeranjapo tri u svakom čvoru dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose p p j p y j

R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x

Vektori sila i pomeranja imaju 4 komponente pozitivne u smeru pozitivnih osa

1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q

Veza između vektora sila i pomeranjaVeza između vektora sila i pomeranja

11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3

k k k kR qk k k kR qk k k kR

41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q

1 1 0 gde je iq q i = 234 Ako je 1 g jiq q Ako je

1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1

bull Matrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći odMatrica krutosti za slučaj savijanja K se može izvesti polazeći od značenja elemenata matrice krutosti Naime element kij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j To znači da elementi matrice krutosti k i 1 4 prizmatičnog štapa predstavljajuelementi matrice krutosti kij i=1-4 prizmatičnog štapa predstavljaju reakcije obostrano uklještenog štapa usled zadatog pomeranja oslonca qj=1 j=1234

K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32

K33=12EIl3K13=-12EIl3 K14=6EIl2 K34=6EIl2

U statičkom smislu štap tipa k izložen savijanju je dva puta statički neodređenElementi matrice krutosti Kij predstavljaju reakcije oslonaca i usled jediničnog pomeranja oslonca qj i određuju se primenom metode sila Ovde će biti ilustrovano određivanje elemenata Ki1 usled pomeranja oslonca q1=1q1=1

Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0

Koeficijenti i slobodni članovi

ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1

Stanje X2=1Uslovne jednačine

Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl

Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanjuUsled pomeranja q1=1 dobijaju se reakcije na krajevima štapa koje predstavljaju redom elemente prve kolone matrice krutosti Na sličannačin određuju se elementi kolona j=2 3 i 4 Tako se dobija matricanačin određuju se elementi kolona j=23 i 4 Tako se dobija matricakrutosti oblika

2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34

Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenjaVekto ekvivalentnog čvo nog opte ećenja

Vektor ekvivalentnog čvornog opterećenja Q u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente koje su jednake negativnim vrednostima p j j greakcija oslonaca obostrano uklještene grede usled zadatog opterećenja

a) jednakopodeljeno opterećenje

M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12

b) temperaturna razlika t = tu-to

ty

M Mk

h

to

tu

l

Mi Mkt = tu- to gt 0x

Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1

Matrica krutosti štapa tipa kR3 q3 R6 q6

R1 q1 R4 q4

Matrica krutosti štapa tipa k se dobija iz matrice krutosti prostog štapa i štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova

R2 q2 R5 q5

R4 q4

štapa opterećeno na savijanje stavljanjem odgovarajućih članova matrica krutosti na mesta u matrici krutosti K štapa izloženog složenom naprezanju aksijalno naprezanje

1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k

l l l lEI EI EI EIl l l l

K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6

Vektor ekvivalentnog opterećenja se takođe dobija postavljanjem na g p j j p j jodgovarajuća mesta ekvivalentnog opterećenja aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju Q3 Q6

Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q

aksijalno naprezanje 2 3

5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38

c) Matrica krutosti štapa tipa gyR3c) at ica k utosti štapa tipa g

Matrica krutosti štapa tipa g se dobija iz matrice krutosti aksijalno napregnutog

R2xR1 R4R5

štapa i matrice krutosti štapa tipa g izloženog savijanju

Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju

1R

vektor vektor sila pomeranja

1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x

Štap tipa g izložen savijanju ima 3 stepena slobode pomeranja Vektori sila i pomeranja krajeva štapa imaju po 3 komponente a matrica krutosti štapa je trećeg reda

39

trećeg reda

Element matrice krutosti kij predstavlja silu na mestu i jednostrano uklještene grede usled pomeranja qj=1uklještene grede usled pomeranja qj 1

Sračunavanje elemenata ki121 2

3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl

11 1 1 0cX Uslovna jednačina23 2

3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl

Matrica krutosti štapa tipa g izloženog savijanju3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg

l l lEI EI EIl l lEI EI EI

KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5

Matrica krutosti štapa tipa g dobija se kombinacijom matrica krutosti aksijalno napregnutog štapa i štapa izloženog savijanju

R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5

Vektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gVektor ekvivalentnog opterećenja štapa tipa gp(x)

Q1 Q4- aksijalno naprezanjeyQ3

xQ Q

Vektor ekvivalentnog opterećenja od savijanja jednak je vektoru reakcija sa

Q2 Q3 Q5 - savijanjeQ2

Q1 Q4Q5

g p j j j j j jnegativnim znakom

2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42

a) jednakopodeljeno opterećenjea) jednakopodeljeno opterećenje

Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q

b) temperaturna razlika t = t -tb) temperaturna razlika t tu-to

x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l

Osobine matrice krutostiOsobine matrice krutosti

bull kvadratnakvadratnabull simetrična kij= kji

bull singularna det K=0

44

103 Analiza nosača u ravni103 Analiza nosača u ravni

8

9

1

2

nepoznate ui vi i

ukupan broj pomeranja N=2K+m=24+1=9

3 4

broj nepoznatih n=N- zo=9-6=3nepoznata pomeranjapoznata pomeranja3 4 p p j

45

XOY ndash globalni koordinatni sistem xy ndash lokalni koordinatni sistem

10 3 1 Matrice transformacije

Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru

1031 Matrice transformacije

Sile i pomeranja krajeva štapova u matričnoj anlizi se definišu u smeru osa globalnog koordinatnog sistema koji je jedinstven za ceo nosač To je Dekartov koordinatni sistem desne orijentacije - XOYPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnomPošto su na nivou štapa sile i pomeranja krajeva štapa dati u lokalnom koordinatnom sitemu štapa u kome su izvedene i osnovne jednačine štapa potrebno je izvršiti transformaciju sila i pomeranja iz jednog koordinatnog sistema u drugikoordinatnog sistema u drugiTa transformacija je definisana uglom koji osa štapa x zaklapa sa globalnom X-osomVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnogVektor sila i pomeranja krajeva štapa se transformišu iz globalnog koordinatnog sistema u lokalni koordinatni sistem pomoću matrice transformacije T Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap

46

Pokazaćemo matrice transformacije za štapove tipa k g i prost štap

a) Matrica transformacije za štap tipa k

Vektori sila i pomeranjau lokalnom koordinatnom sistemu xOy

Vektori sila i pomeranjau globalnom koordinatnom sistemu XOY

Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq

Projektovanjem komponenata čvornog vektora pomeranjasila globalnog koordinatnog sistema na pravce komponenata lokanog koordinatnog sistemadobija se matrica transformacije čvora a na osnovu nje i matrica transformacije štapa

Vektor sila u čvoru iY

y

1R

Vektor sila u čvoru ilokalni ks globalni ks

1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R

Veza između sila u čvoru i

1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R

Matrica transformacije sila u čvoru icos sin 0sin cos 00 0 1

t i iR tR

k kR tR

0 0 1

Za čvor k važi ista relacija

Na osnovu toga se može napisati veza između sila na krajevimaštapa u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu

0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk

gde je matrica transformacije štapa

tT

t49

t

Matrica transformacije za štap tipa k jednaka je

cos sin 0sin cos 0 0

0 0 1

cos sin 00 sin cos 0

T

T

0 sin cos 00 0 1

Relacija važi ne samo za sile već i za vektor pomeranja krajeva štapa

Matrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je

R TR q Tq Q TQMatrica transformacije je ortogonalna Tt = T-1 odakle sledi da je

t t t R T R q T q Q T Q

50

b) Matrica transformacije za štap tipa g Vektor sila) j p p g

Yx 1R

1R

Vektor sila lokalni ks globalni ks

5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1

Matrica transformacijei

R TR q Tq Q Tq

Veze između vektora silapomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu

cos sinsin cos

1g

T

51

t t t

q q Q qR T R q T q Q T Q

cos sinsin cos

c) Matrica transformacije za prost štap) j p p

1R R

Vektor sila u lokalnom sistemu

Yx

kR2q2

2R

R

Vektor sila u globalnom sistemuyR

3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i

Matrica transformacije

X4R

R1q1 1 1q

Veze između vektora silapomeranja u l k l l b l k d

at ica t ansfo macije

cos sincos sin

T

t t t

R TR q Tq Q TqR T R q T q Q T Q

lokalnom i globalnom koordinatnom sitemu

52

q q Q Q

1032 Transformacija matrice krutosti0 3 a s o ac ja at ce utost

tR = Kq Q T - matrica krutosti stapa uKt t t

R Kq Q TT R T Kq T Q

matrica krutosti stapa u globalnom koordinatnom sistemu

K

t R T KT q Q tK T KT

sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT

ˆtK T Kosnovna jednačina štapa u globalnom koordinatnom

53

gsistemu

104 Formiranje uslovnih jednačina iz uslova ravnoteže čvorova nosača

Uslov ravnoteže sila u čvoru iY

iP

0i

ji i

P R

Uslov ravnoteže sila u čvoru i

(1)i yP

iM

ivektor sila u čvoru i

iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR

vektor sila u čvoru ina kraju štapa j

i broj štapova u čvoru i

jiR

jkR

ji broj štapova u čvoru i

54

k X

Vektor sila u čvoru ik j št j

Vektor sila u čvoru i

1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55

Vektor sila na krajevima štapa j čvorne matrice

j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)

subvektor sila u čvoru i

Subvektor sila u čvoru i štapa j subvektor pomeranja u čvoru i

subvektor ekviv opt

j j j ji ii i ik k i R k q k q Q

Ako j-nu (3) uvrstimo u j-nu (1) dobija se

(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j

i i Ako uvedemo obeležavanje

1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q

dobija se jednačina

(6)1

ii i ik k i ij

57

Ak i iš l i t ž ih K č d bijAko se ispišu uslovi ravnoteže za svih K čvorova dobija sesistem od N=2K+m+zu jednačina

= K q S (7)

Kgde je

matrica krutosti sistema štapovaKq

- matrica krutosti sistema štapova

- vektor pomeranja čvorova nosača

S P Q - vektor slobodnih članova

58

Formiranje K i S postupkom kodnih brojevaFormiranje K i S postupkom kodnih brojeva

22q

lokalni koordinatni sistem štapa j

3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59

Xglobalni koordinatni

sistem

Kodiranje ndash obeležavanje komponenata pomeranja čvorovau globalnom koordinatnom sistemu brojevima od 12N

5

6 nepoznata pomeranja

poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO

Obeležavaju se prvo svanepoznata pomeranja pa

t j

1

60

X poznata pomeranja

Kodiranje vrsata i kolona globalnematrice krutosti elementa Kј 4

56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j

Kolone i vrste matrice krutosti u globalnom koordinatnom sistemu se

52 2 2 211 12 13 14k k k k

5 6 3 4 obeležavaju brojevima kojima su kodirana pomeranja i sile na krajevima štapa u globalnom koordinatnom

6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k

Formiranje matrice krutosti sistema K

1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62

Matrica krutosti sistema K dobija se postavljanjem elemenata matrica krutosti pojedinih štapova na odgovarajuće mesto shodno kodnim brojevima Pri tome se elementi sa istim kodinim brojevima sabiraju


1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32

k k k kk k k k k k k k

K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14

k k k k k k k kk k k k

K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63


Formiranje vektora ekvivalentnog opterećenja QFormiranje vektora ekvivalentnog opterećenja Q

22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X

Komponente vektora Q sistema u globalnom koordinatnom sistemu

64

X Komponente vektora Qj pojedininih štapova u globalnom koordinatnom sistemu

koordinatnom sistemu

Kodiranje vektora ekvivalentnog opterećenja elemenata

11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65

Vektor ekvivalentnog opterećenja sistemaVektor ekvivalentnog opterećenja sistema

1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q

Vektor ekvivalentnog opterećenja sistema Q dobija se postavljanjem elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja pojedinih štapova na odgovarajuće mesto u vektoru sistema shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju

66

shodno kodnom broju Vektori sa istim kodinim brojevima se sabiraju

Vektor koncentrisanih sila u čvorovima

5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11

Sil l b d i č i t il

66P

nP

Sile u slobodnim čvorovima - poznate sileSile u oslonačkim čvorovima - nepoznate sile

Vektor sila u čvorovima sistema P dobija se postavljanjem elemenata vektora sila na

67

j p j jodgovarajuće mesto u vektoru sistema prema kodnom broju

Vektor slobodnih članovae to s obod č a o a

1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6

Vektor slobodnih članova se dobija sabiranjem vektora Q i P

nS

68

j j

105 Rešavanje sistema jednačina105 Rešavanje sistema jednačina = K q S

Matrica krutosti sistema je singularna det K=0Matrica K i vektori S i q se parcionšu po nepoznatim(q ) i poznatim pomeranjima (q )(q n) i poznatim pomeranjima (q p)

nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q

Ak iš jAko prvo numerišemo nepoznata pa poznata pomeranjadobijaju se parcionisane matrica krutosti i vektori sila tjpomeranjap j

nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70

Uslovne jednačine se parcionišu po nepoznatim (n) ipoznatim pomeranjima (p)

Parcionisane uslovne jednačine

nn np n n

K K q S (I)

Nepo nata pomeranja se dobijaj i jednačine I q

pn pp p p

K K q S (II)

= K q K q S K q S K q

Nepoznata pomeranja se dobijaju iz jednačine I nq

- n vektor nepoznatih pomeranjaq

nn n np p n nn n n np p K q K q S K q S K q

71

- p vektor poznatih (zadatih) pomeranjaq

M i i 2 l č j

I) - homogeni granični uslovi (nepomerljivi oslonci ) = 0 pq

Mogu nastupiti 2 slučaja

nn n n n K q S qII) - nehomogeni granični uslovi (pomerljivi oslonci ) 0 p q

K S K- nn n n np p n K q S K q q

Ako je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) = 0SAko je (neopterećen nosač zadato pomeranje oslonaca) 0 nS - nn n np p n K q K q q

72

10 6 Određivanje reakcija oslonaca

Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima

106 Određivanje reakcija oslonaca

Reakcije oslonaca su jednake silama u čvorovima u kojima su poznata pomeranja Njih određujemo iz jednačine II

S K K

p pn n pp pq q

S K K

S P Q P S Q p p p p p p S P Q P S Q

Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca

ekvivalentnog opterećenja

73

osloncima

10 7 Određivanje sila na krajevima štapova107 Određivanje sila na krajevima štapovaVektori sila na krajevima elementa štapa j se dobija iz osnovne jednačine štapa

- vektor sila u lokalnom sistemuj j j j R K q Q

j j j j j R K T q Q

j j jq T q - veza između v pomeranja u lokalnom i globalnom ks

q Q

ˆ j jK K T - matrica krutosti koja daje vezu između sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks

-veza između v sila u lokalnom ks i pomeranja u globalnom ks za element j

ˆj j j j R K q Q

74Vektor sila u ls Vektor pomeranja u gs

Konvencija znaka presečnih silaj p

75

108 Algoritam poračunabull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja

čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjabull Sračuna se geometrija svih elemenata (dužina površina i moment

inercije poprečnih preseka glo i nagiba štapo a prema X osi iinercije poprečnih preseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)

bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u lokalnom sistemuQ elemenata u lokalnom sistemu

bull Sračunavaju se matrice transformacije Tj matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globalnom koordinatnom sistemu

bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistema

bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemu

bull Sračuna se vektor slobodnih članova S= P+ Qbull Rešava se jednačina sistema i određuje vektor nepoznatih pomeranja

č

76

čvorova qnbull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova

109 Rešetkasti nosači109 Rešetkasti nosačiRešetka u ravniOsnovni element rešetkastog nosača je prost štap m koji je u čvorovima i i kzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomzglavkasto vezan sa ostalim delovima nosača (sl1) Štap je izložen aksijalnomnaprezanju Pretpostavlja se da je štap konstantnog poprečnog presekaU svakom čvoru postoji 2 stepena slobode pomeranja u globalnom koordinatnomsistemu

štapovi

Ukupan broj pomeranja N=2K gde je K br čvorova nosača Broj nepoznatih pomeranja n=2K-zo

i

p

nepoznata pomeranja

poznata pomeranjakji

č i

77

čvorovi

Slika 1

Element rešetke je prost štapElement rešetke je prost štap

Vektori sila R i pomeranja q u lokalnom koordinatnom sistemu su

1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2

Matrica krutosti prostog štapa je jednaka matrici krutosti zak ij l j

11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78

Transformacija koordinatnog sistemaj g

lokalni sistem globalni sistemY

x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR

RVektor sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu

X

34

qq

34

RR

cos sin 0 00 0 cos sin

T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin

Matrice krutostiˆ K KT

cos sin cos sinEF cos sin cos sinˆcos sin cos sin

EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin

1091 Algoritam poračuna rešetke

bull Numerišu se čvorovi i elementi nosača kodiraju se pomeranja čvorova i određuje broj nepoznatih pomeranjačvorova i određuje broj nepoznatih pomeranja

bull Sračunava se geometrija svih elemenata (dužina površina poprečnihpreseka uglovi nagiba štapova j prema X-osi i cosj i sinj)

bull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnogbull Sračunavaju se matrice krutosti Kj i vektori ekvuivalentnog opterećenja Qj elemenata u globanom koordinatnom sistemu

bull Sračunavaju se matrice krutosti K i vektor ekvuivalentnog opterećenja Q sistemaopterećenja Q sistema

bull Formira se vektor koncentrisanih sila u čvorovima P u globalnom koordinatnom sistemuS č kt l b d ih čl S P Qbull Sračunava se vektor slobodnih članova S= P+ Q

bull Reši se jednačina sistema i odrediti vektor nepoznatih pomeranja čvorova qn

81

bull Sračunavaju se reakcije i vektori sila na krajevima štapova

Primer 1Primer 1Odrediti pomeranje čvora a i sile u štapovima rešetkastog nosača na slici usled zadatog opterećenja primenom matričnog postupka

EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača

Nepoznata pomeranja 1 i 2

Matrice krutosti štapova u globalnom koordinatnom sistemu

K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K

Uslovna jednačinaUslovna jednačina

1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90

cos sin cos sinˆ EF cos sin cos sin

EFl

K

Reakcije i sile u štapovimaReakcije i sile u štapovima

1011 Simetrični nosači Štap tipa s

bull Štap tipa ldquosrdquo se javlja kod simetričnih nosača koji su opterećeni i t ič i t ć j


simetričnim opterećenjembull To je štap tipa ldquokrdquo koga polovi osa simetrije slika 1

3

1

2

sP P P2s

i k i4

56

4 ne računamo u nepoznata pomeranja

ldquokrdquo ldquosrdquo

= Štap tipa ldquosrdquo

k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1

Matrica krutosti štapa tipa s s3

1

2

i

q q

Štap tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju vektor pomeranja štapa

ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo

Štap tipa ldquosrdquo

1R

1q

vektor pomeranja vektor sila

s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94

Veza između vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa tipa ldquokrdquo pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom

0 0 0 0EF EF

k pri simetričnom opterećenju data je matričnom jednačinom

3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0

R qEI EI EI EIR ql l l lR qEF EF

(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0

l lR qEI EI EI EIR q

l l l v

2 2

6 2 6 40 0EI EI EI EIl l l l

95

Veza između vektora sila i vektora pomeranja na kraju i štapa tipa ldquosrdquo se d bij i t i j d či ( ) s3

2ldquosrdquo

dobija iz prve tri jednačine (a) jednostavnim množenjem elemenata matrice krutosti K vektorom pomeranja q U matričnom obliku se dobija

s3

1 i

ls=l2

Matrica krutosti štapa tipa ldquosrdquo

U matričnom obliku se dobija

1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l

Veza između vektora sila i pomeranja štapa tipa s l ndash dužina štapa tipa ldquokrdquo

l = l2 ndash dužina štapa tipa rdquosldquo

96

ls l2 dužina štapa tipa s

PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12

št i ti ldquo rdquo4

s9

8

7 1011

15 1418

=

štapovi tipa ldquosrdquo

s7

1613

18

17

broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n=9

97

broj nepoznatih n=18 broj nepoznatih n 9

10 11 Ortogonalni nosači1011 Ortogonalni nosačibull Ortogonalni nosači su nosači čiji su štapovi međusobno

pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98

bull Kod ortogonalnih nosača uticaj normalnih sila na g jdeformaciju se može zanemariti

bull Posledica- Sva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su istaSva pomeranja u pravcu jednog poteza štapova su ista

bull Prednostindash Smanjuje se broj nepoznatihndash Matrice krutosti se redukuju na matrice krutosti pri savijanjundash Pravilnim izborom lokalnog koordinatnog sistema izbegava se

transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8

Na slici a) je predstavljen tipičan ortogonalni nosač simerično opterećen Svavertikalna pomeranja čvorova duž vertikalnog poteza štapova su ista i jednakanuli Horizontalna pomeranja čvorova su ista na svakoj etaži Nepoznate sup j j phorizontalna pomeranja spratova i obrtanja slobodnih čvorova Ukupan brnepoznatih je n=3+6=9 Ako se iskoristi osobina simetrije slika b) dobiće se dasu sva horizontalna pomeranja spratova jednaka nuli pa je br nepoznatih n=3

1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)

Napomena Ako se uticaj N-sila ne zanemaruje br nepoznatih je n=6x3=18

broj nepoznatih n=90 0

0

Matrice krutosti štapova ortogonalnih nosača su matrice p gkrutosti štapova tipa g i k izloženih savijanju savijanju

štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101

Da bi se izbegla transformacijax2y2

Y

Da bi se izbegla transformacijapotrebno je lokalni koordinatnisistem postaviti tako da jekoordinatni početak

2

2

koordinatni početak

bull kod horizontalnih štapova ulevom čvoru

x1y1

levom čvoru

bull kod vertikalnih štapova u gornjem čvoru

1

go je čvo u

X

102

1012 Kontinualni nosačiNepoznate obrtanja čvorova

- matrica krutosti za štap tipa k

- matrica krutosti za štap tipa g

103

p p g

Uslovne jednačine su tročlane jednačine oblikaj j

Ako je nosač na elastičnim osloncima pored nepoznatih obrtanja nepoznata su i vertikalna pomeranja na mestima gde su elastični oslonci

Nepoznata pomeranjaNepoznata pomeranja

104

Elastične oslonce predstavljamo oprugama čija je vertikalna krutost k

Matrica krutosti elementa opruge je

Matrica krutosti uz nepoznata pomeranja je takođe trakasta matrica koja ima 5 članova u j-toj vrsti tj koloni (na glavnoj dijagonali i po dva iznad i ispod gl dijagonale)

105

10 12 Zidno platno1012 Zidno platnoZidno platno je element kod koga je visina poprečnog preseka velika u odnosu na dužinu elementa hgt025l Zbog toga se u matrici krutosti zidnog platna uticaj transverzalnih sila na deformaciju mora uzeti u obzir

i12

Štap tipa ldquokrdquoi

k

Kod određivanja elemenata matrice krutosti na savijanje uticaj transverzalnih sila se

Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds

pojavljuje u izrazu za generalisana pomeranja

k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b

Matrica krutosti zidnog platna pri savijanju je jednaka matrici krutosti g p p j j j jštapa tipa k kod koga je uticaj T-sila uzet u obzir kod sračunavanja njenih elemenata

3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )

EI EI EI EIl l l lEI EI EI EI

2 2

3 2 3 2

112 6 12 61

S l l l lEI EI EI EI

l l l l

K

2 2

6 (2 ) 6 (4 )l l l lEI EI EI EIl l l l

3

212 EI

l kGFhE

G

- koeficijent za pravougaoni presek ( predstavlja odnos krutosti na savijanje i klizanje)

107

GFkl

G l krutosti na savijanje i klizanje)

Zidno platno-štap tipa gZidno platno štap tipa g

bull Matrica krutosti za savijanje 1S SK KMatrica krutosti za savijanje1 025gz g

K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3

EI EI EIl l lEI EI EI

2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108

Štapovi skokovito promenljivog preseka

bull na jednom kraju beskonačno krutitipa k I= E F I

ndash tipa kl rsquol

l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI EIl l l l l

2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0

l l l l lEI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l

EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l

ndash tipa gl rsquol

I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110

bull beskonačno kruta oba krajajndash tip k I= E F I

l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120

EI EI EI EI EI EIl l l l l l

EI EI EI EI EI EI EI EIl l l l l l l l

0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112

PrimerPrimerZa ortogonalni nosač na slici odrediti sile na krajevima štapova i nacrtati dijagrame sila u presecima usled zadatog opterećenjaEI=const

113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


101 Uvod


101 UvodIstorijski razvoj1930 Prvi put primenjena matrična analiza u rešavanju

bl l tič ti C ll i D iproblema aeroelastičnosti Collar i Duncanavio-industrija GB

1934 Prva knjiga Collar Duncan i Frazerj g 1955 Argyris metoda sila i metoda deformacije1959 Tyrner Direct Stiffness Method 1964 Wil t d k č ih l t (MKE)1964 Wilson metoda konačnih elemenata (MKE)1964 Gallagher Irons Martin Clough Zienkiewicz1977 Sekulović

2

1977 Sekulović




3

složenih nosača


4








5


6

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E


7



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




3

složenih nosača


4








5


6

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E


7



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


4








5


6

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E


7



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119








5


6

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E


7



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


6

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E


7



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

grede

stubovi

zidno platno

I p E

I p E


7



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



ČVOROVI 4 54

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10Br čvorova 10

B št 9ŠTAPOVI

Br štapova 9

8

Slika 104




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




9

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

a) Metoda sila


a) Metoda sila


YY

1 2 3 4 5 6 7 8H4

V4M4


9 10


10







Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119






Y

1 2 3 4 5 6 7 8u4

v44


9 10

11

s ste




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




12

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

Analiza štapa

2p(x)

35

y


4

6 x1

3 E F I l

i k

R N iuq1



1

2

3

i

i

i

R NR TR M

R

i

i

i

vu

qqq

3

2

1

q

j j j j R K q Q4

5

6

k

k

k

R NR TR M

R

k

k

k

vu

qqq

6

5

4


V k k i l ć j

13





R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




R Kq


14




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




15



1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1 2 3 4 5 6 7 8






uv 2K

m+zu

K=10 m=6 zu=2 zo=9



16N = 2x10+6+2=28

veza

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

Y

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10X



uv 2K-zo

m

n=2x10-9+6=17

17


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


18


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


Uslovne jednačine



j




g


19


USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

USLOVNE JEDNAČINE

K S




VEKTOR SILA NA

Š

20



ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


ku

iŠtap tipa k


ivk

ukk

ui

vi


vgug

ui

i

vi


gvi

k uui i

Prost štap(2 j )

21

k uki (2 pomeranja)



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



R3 q3 R6 q6E F I x

y

=

i krajevima štapa

R2 q2l R5 q5

R1 q1 R4 q4


R RF E l

=

R1 q1 R4 q4F E l x


E F I l

y

xR3 q3

R6 q6

22R2 q2 R5 q5



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



1 iR N

iuq1

1

2

3

i

i

i

R TR M

R

i

ivqq

3

2

q4

5

k

k

RR NR T

k

k

vu

qq

5

4q

6 kR M


kq 6

23


savijanje


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


S š



F E1 q1 R2 q2

l


1RR

R 2 1q uq u

q (1)

24

2R 2 2q u



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



(3)2 1q ql (3)


2 1q ql l

2 1( )EFN F FE q ql

(4)

25


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


N N

R1 R2

1 1 2( )EFR N q ql

2 1 2( )EFR N q ql

(5)

1 11 1R qEF R K (6)


1 1

2 21 1q

R ql

R Kq (6)

R K26



1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1 11 12 1

2 21 22 2

R k k qR k k q


q1=1 q2=1


k11= k21=-EFl

EFl

q1=1k12= k22

l l

=EFl

EFl

27q2=1




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




2 1( ) ( ) ot t

EFN EF q q EF tl

(7)


1 1

2 2

1 1 11 1 1

ot

R qEF EF tR ql

(8)


opterećenja

2 2ql

opterećenja

11

ot tEF t

Q (9)

28


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


toEF to EF to

Qt

tEFtto EFtto

Q1=EFtt Q2=EFtto 11

ot tEF t

Q


o 1


tR Kq Q (10)

29


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


R2 q2 R4 q4

y

R1 q1

R2 q2

R3 q3

4 q4

x


1R 1q

1 q1 R3 q3

1

2

3

RRR

R

1

2

3

qqq

q

30

4R 4q


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


11 12 13 141 1k k k kR qk k k kR

21 22 23 242 2

31 32 33 343 3


41 42 43 444 4k k k kR q

q1=1 q3=1

1 11 1 12 2 13 3 14 4R k q k q k q k q


1 11 12 13 14 111 0 0 0R k k k k k

31

R1 q1=1


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


K21=6EIl2 K41=6EIl2

q =1q2=1 K22=4EIl K42=2EIl

K31=-12EIl3K11=12EIl3

q1=1

1

K12=6EIl2 K32=6EIl2

K23=-6EIl2 K43=-6EIl2

q3=1

q4=1K24=2EIl

K24=4EIl

32



Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


Uslovne jednačine

11 X1+12 X2+10=0

21 X1+22 X2+20=0


ki

X1 X2

f j

11=

12 = 21 =

21

3k

i

M ldsEI EI

1 2

6k

i

M M ldsEI EI

22

22 3k

i

M ldsEI EI

Stanje X1=1

C1=1l C2=1l

Uslovne jednačine

6EI EI

1 11

c C cl

2 21

c C cl

1l l X2=1

C2 1l

M1


Rešenje

1

2

3 6 01

6 3

XEI EI lXl l

EI EI l

6EIX X

C2=1lC1=1l

1M2

33

Rešenje

Reakcije oslonaca

1 2 2X Xl

1 2 3

12EIT Tl

ki

31 3

12EIkl

11 3

12EIkl

41 2

6EIkl

21 2

6EIkl


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


2 2

12 6 12 66 4 6 2s

l ll l l lEI

K

2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

K

6 2 6 4l l l l

q2=1q1=1

q3=1

q4=1

34




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




M Mpy(x)=py


2pl

Mi

Mk

Ti Tk

xl

y21

2

3

12i

i

k

TQ plMQTQ pl

QQ2

Q1

Q4

Q3

3

42

2

12

k

k

Q pMQ

pl

35

12


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


ty

M Mk

h

to

tu

l


Q2 Q4

01t

1

01

tt

tEIh

Q

36

1


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


R1 q1 R4 q4


R2 q2 R5 q5

R4 q4


1 2 3 4 5 6

0 0 0 0

12 6 12 60 0

EF EFl l

EI EI EI EI

1 2 3 4 5 6

2

1

3 2 3 2

2 2

0 0

6 4 6 20 0k


K

3

2

3 2 3 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

k EF EFl l

EI EI EI EIl l l l

K

5

4

savijanje

37

3 2 3 2

2 2

6 2 6 40 0


6


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


Q1

1Q

k ij l j

1

Q2 Q5

Q1 Q4

3

2

QQ

Q


5

4

3

QQQ

Q savijanje 4 5

6

5

QQ 5 6

38



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



R2xR1 R4R5



1R


1q

R2 q2

y

2

3

RR

R 2

3

qq

qR1 q1 R3 q3

x


39

trećeg reda



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



3EIkl

q =1

X1

q1=1

gi

11 3

3EIkl

31 3

3EIkl

q1=1

Stanje X1=1

l

223EIkl

q2=1C1=1l C2=1l

M112 2

3EIkl

32 2

3EIkl

21

11 3

g

i

M ldxEI EI

1 11

c j jj

C cl


3EIkl

q3=1

40

11 2 2

11

3c EIX Rl

1 3 3

3EIR Rl

13 3

3EIkl

33 3

3EIkl


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


3 3 3EI EI EIl l l

2 2

3 3 3

3 3 3

sg


KR2 q2

x

y

3 2 3l l l

q1=1 q2=1 q3=1

R1 q1 R3 q3

yR3 EF EF 1 2 3 4 5


R3

R2

xR1 R4R5 3 2 3

0 0 0

3 3 30 0

EF EFl l

EI EI EIl l l

1

22

2 2

3 3 30 0

0 0 0

gEI EI EIl l l

EF EFl l

K 3

4

413 2 3

3 3 30 0

l lEI EI EIl l l

5



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



xQ Q



Q1 Q4Q5


2 is

Q TQ M

Q 3

5

sg i

g

Q MQ T

Q

42


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


Mi

py(x)=py

5Q

Q2

xlTi Tk

2

3

5

83

sg

QplQ l

Q

Q

Q1Q3

5 3Q


x

Miy

2

1Q lt

t = tu- to gt 0

Q3

xTi Tk3

5

15 11

Tg T

tQ EIh

Ql

Q

43

Q5Q2l




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




44


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


8

9

1

2

nepoznate ui vi i


3 4


45






46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119





46





Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




Y

xy

R5 q5

R4 q4R6 q6

4 4R q

2 2R q

6 6R q

5 5R q

R

X

R1 q1

R2 q2 R3 q3

4 4q

1 1R q

3 3R q

1

2

RR

1

2

qq

12

RR

12

qq

O

2

3

4

5

RRR

R

2

3

4

5

qqqq

q

2

345

RRR

R

2

345

qqqq

q

47

5

6R

5

6

qq

56R

56

qq



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



y

1R


1R

Ri

R

2R

2

3

i RR

R 23

i RR

R

R

R2

x

R3

3R

XR1

1R

1 1 2R R cos R sin

sin cosR R R


1 1

cos sin 0sin cos 0

R RR R

48

2 1 2sin cosR R R

3 3R R2 2

3 3

sin cos 00 0 1

R RR R


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


t i iR tR

k kR tR

0 0 1



0

0i i

k k

R t RR t R

R = TRk


tT

t49

t



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



0 0 1


T

T

0 sin cos 00 0 1





50


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


Yx 1R

1R


5 5R q

R q

R4q4

R5q5

4 4R q

yg g

2

3

4

RRR

R

2

34

RRR

R

3 3R q

2 2R q

R1 q1

R2q2

R3q3

4 4R q

1 1R q

i i

5R

5R

3 3qX

1q1


R TR q Tq Q Tq


cos sinsin cos

1g

T

51

t t t


cos sinsin cos


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1R R


Yx

kR2q2

2R

R


3 3R q

4 4R q

g

1

23

RRR

R

3 3R q 2 2R q

R1 q1 1 1R q

i i


X4R

R1q1 1 1q



cos sincos sin

T

t t t



52

q q Q Q





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119





K


sistemu

R K q Q

ˆ

ˆK KT


53

gsistemu



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



iP

0i

ji i

P R


(1)i yP

iM


iP

1j

i xP

i

jiR

i

jiR



jiR

jkR


54

k X



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



1

jR

na kraju štapa j

i xP

23

j ji

j

RR

R

i i y

i

PM

P

3

55


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


j j ji ii ik i i

R k k q Q

krutosti štapa

i ii ik i i

k ki kk k k

R k k q Q

R k k q Q(2)



subvektor ekviv opt



(3)čvoru i

0i

j j ji ii i ik k i

P k q k q Q

j ( ) j ( ) j

(4)

56

1j

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

1 1 1

i i ij j j

ii i ik k i ij j j

k q k q P Q (5)1 1 1j j j


1 1

i ij j j

ii ii ik ik i ij j

K k K k Q Q

i=12K = i

ii i ik k i i

K q K q P Q


(6)1

ii i ik k i ij

57


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


= K q S (7)

Kgde je





58


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


22q


3

2

24q

21q

q

6q

5q

2

2

4

1q23q

32

2Y

4q3q

3

2

2

1

2

2

1q

4q13q

1 1q

2q

1

11

1q1

X

1

59


sistem


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


5


poznata pomeranja

4Y2

poznata pomeranja

3

PRAVILO1

1

2PRAVILO


t j

1

60

X poznata pomeranja


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


56

2

1 1 1 1k k k k 1 2 3 4

3

1

2 1

1 1 1 111 12 13 141 1 1 1

1 21 22 23 24

k k k kk k k k

K

1

2kodni brojevi

1

1 1 1 131 32 33 341 1 1 141 42 43 44

k k k kk k k k

K3

4

j


52 2 2 211 12 13 14k k k k


6

3

11 12 13 142 2 2 2

2 21 22 23 242 2 2 231 32 33 34

k k k kk k k k

K kodni brojevi

gsistemu

61

3

4

31 32 33 342 2 2 241 42 43 44

k k k kk k k k


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1 2 3 4 5 6

10 0 0 0 0 0

23

00

K45

00

K

1K 60

2K nnK

62



1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1 2 3 4 5 6

11 1 1 111 12 13 14k k k k

23

1 1 1 112 22 23 241 1 1 2 1 2 2 2

31 32 33 33 34 34 31 32


K45

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 43 44 44 41 42

2 2 2 211 12 13 14


K

61K

2 2 2 221 22 23 24k k k k

2K nnK

63



22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


22Q

Q3

2

24Q

21Q

Q

6Q

5Q

2

2

4

1Q23Q

4Q3Q

3

2

23

2

2Y

1

2

2

1Q

4Q13Q

1Q

2Q

1

1

11

1Q11

X


64




11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


11tQ

1 62

4

1Q1Q

12

1 13

t

t

QQ

Q 2

35

6

4

1

2

1

2

1Q3Q

3

14tQ

4

3

4

2Q

11

1Q 2

2

2122

2 2

t

t

QQQ

Q

5

6

31

2

3 24Q

21Q

22Q 1

12 2324

t

t

QQ

3

42

2

23Q

4Q

65


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1 1Q Q 123

1 1 12 2 1 2

t t

t t

Q QQ QQ Q Q

3

45

3 3 3 1 24 4 4 2

t t t

t t t

Q Q QQ Q QQ Q

Q

56

nQ

5 1 26 2

t t

t t

Q QQ Q


66



5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


5

61

1P

4PP

32

52

3

2

3

PP

P3P

21

2

4

5

4

5

PP

P

11


66P

nP



67



1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1 1 1

S Q PS Q P

1

22 2 2 3 3 3

S Q PS Q PS Q P

2

3

44 4 4 5 5 5

S Q PS Q PS Q P

4

5

66 6 6S Q P 6


nS

68

j j



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



nepoznata pomeranja

1

q 6

23

n

qq

qq

3

45

6

45

p qqq

q

1

2

69

6q


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


nepoznata

8

9

1

2

nepoznata pomeranja

1q

23

np

qq

qq

3 4

p

pq

70



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



nn np n n

K K q S (I)


pn pp p p

K K q S (II)





71


M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

M i i 2 l č j






72





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119





S K K

p pn n pp pq q

S K K


Vektor Vektork l

Vektor sila u

reakcija oslonaca


73

osloncima



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



j j j j j R K T q Q


q Q



ˆj j j j R K q Q



75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


75









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119









č

76



štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


štapovi


i

p

nepoznata pomeranja


č i

77

čvorovi

Slika 1



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



1

2

RR

R

2

2

qq

q

l

R1 q1R2 q2


11 12 1 11 1

k k EFk k l

K


21 22 1 1k k l

78



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



x

yR4 q4

R2 q2x

XR1 q1

R2 q2 R3 q3

R1 q1

O

1

23

qqq

q

1

23

RRR


X

34

qq

34

RR


T


q = T q Q = T Q

79

0 0 cos sin



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



EFl

K

t t ˆ K T K T K T

K KEF K -K-K K

e e

e e

EFl

K

2

e 2

cos cos sinK

cos sin sin

80

cos sin sin








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119








81



EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


EF

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

N j 1 i 2

Geometrija nosača



K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


K -KK K

e eEFl

K-K Ke el

2cos cos sin e 2

cos cos sinK

cos sin sin

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

11 1l

K

Inverzna matrica

1 2 2 1nn EF

K


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1

4 2 2 04

qEFPl

24 2 2 Pl q

1 12

1

1 2 21q Pl2EFq

2q

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

Pomeranjaj

Y q1

Xq2

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

90


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


EFl

K






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119






3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119





3

1

2

sP P P2s

i k i4

56




k s

s s3

1

2

i

93

Slika 1


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1

2

i

q q


ldquokrdquo1 1

2 2

3 3

q qq qq qq q

qP P

3 2 65

k 4 1

5 2

6 3

q qq qq q

i l1 4

3

2ldquosrdquo


1R

1q


s3

1 i

ls=l22

3

RR

R1

2

3

qq

q

94


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


0 0 0 0EF EF


3 2 3 21 1

12 6 12 60 0

l lEI EI EI EI

R ql l l lR

2 2

2 33 3

4 1

6 4 6 20 0

0 0 0 0


(a)

5 2

6 33 2 3

0 0 0 0

12 6 12 60 0


l l l v

2 2


95


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


2ldquosrdquo


s3

1 i

ls=l2



1 1

2 2 s

0 02 0 0 2 0 0

0 0 0 K 0 0 0 0 0 0s

EFEF EFlR ql l

R q

2 2 s

3 30 0 2 0 0 2 0 0s

qR EI q EI EI

l l l



96


PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

PrimerPrimers3

1

2

1

3 25 6

1

s6 5

1

9 8

4

12


s9

8

7 1011

15 1418

=


s7

1613

18

17


97



pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


pod pravim uglom

1

3 2

4

6 5

98




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




transformacija0

q1

q2q5=0

q1

q3q4=0

q7q5=0 q4=0

qq9

99

q6q8


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


1

4 05

1

0

s1

0

0

2

6 0

2

70

s2

0

0


3

8 0

3

9

0

s3

0

0=

štapovi tipa s

a) b)0 00

0

0

100n=3

)



0


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


štap tipa g

R2q2

x

yštap tipa g

R2q2 R4 q4

x

yštap tipa k

R1 q1 R3 q3

xR1 q1 R3 q3

x

2

1 13s

lEI l l l

K

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 6

sk 3

l ll l l lEI

l ll

K3

1 1g l l l

ll

K2 2

12 6 12 66 2 6 4

k 3 l lll l l l

101


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


Y


2

2



x1y1

levom čvoru


1

go je čvo u

X

102




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




103

p p g




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




104




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




105


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


i12


k


Štap tipa k

l E G

I

i k i kk

M M TTds k ds


k 34

iks s

ds k dsEI GF

106h

b


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


3 2 3 2

12 6 12 6

6 (4 ) 6 (2 )


2 2

3 2 3 2

112 6 12 61


l l l l

K

2 2


3

212 EI

l kGFhE

G


107

GFkl




K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119



K K

3 3 3 3 2 3

3 3 3

1 3 3 3


2 2

1 3 3 31 025

3 3 3

Szg


K

3 2 3

3 3 3EI EI EIl l l

108




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119




l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2

0 0 0 0

12 6 12 12 60 0

EF EFl l


2

2 3 2 2 3 2 2

4 12 12 6 12 2 60

0 0


EF

K

3 3 2 2

0 0

12 6 0

4

lEI EIsiml l

EI

109

l


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


I= E F I

l

EF EF

3 3 3 2 3 3

3 3 3

3 3 3

l lEI EI EIl l l

EI EI EI

3 2 3 3 2

3 3 3EI EI EIl l l

EF EFl l

K

3 3 3 2 3 3

3 3 3EI EI EIl l l

110


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


l rsquol ll

I=

l

0 0 0 0EF EFl l

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2

2 2

2 3 2 2 3 2 2 3

12 6 12 12 6 120 0

4 12 12 6 12 2 12 120



0 0

12 6 120

l l l l l l l lEFl

EI EI EIsim

K 3 3 2 2 3 2

0

4 12

siml l l

EI EIl

2

2 3

12 EIl l

111

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

ndash tip s

2EF

I=

E F I

I=2 2acute

q3q1

q2-q3

-q1

q2

2 0 0EFl

q3q1

q2

l rsquol l

l=100 0 0

20 0

s

EI

K

q3

s2 0 0

l

112


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119


113

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

114

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

16+0375

115

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

116

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

117

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

= K q Q= Kj qj - Qj

118

119

119

Documents

10. Matrična analizana analiza - grf.bg.ac.rs · 10 Matrična analiza konstrukcija 10.1 Uvod 10. Matri na analiza konstrukcija 10.1 Uvod Istorijski razvoj 1930 Prvi put primenjena