NELINEARNA STATI KA ANALIZA PO PREPORUKAMA FEME 273, …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2007/0543-07980702020V.pdf · nelinearna statiČka analiza po preporukama feme 273,

NELINEARNA STATIČKA ANALIZA PO PREPORUKAMA FEME 273, 274, 356, 440 I 450 I NJENA PRAKTIČNA PRIMJENA UZ POMOĆ KOMPJUTERSKOG

SOFTWARE-A SAP2000

Venera VUKAŠINOVIĆ Goran SIMONOVIĆ

PREGLEDNI RAD

UDK:624.5.041.001.573:681.3.06:517.988=861

1 UVOD

Nelinearnom statičkom analizom određuje se kriva kapaciteta poznata još kao i push-over kriva. Tačnije, ona se dobije tako što se statičko gravitaciono opterećenje kombinuje sa lateralnim tj. bočnim silama od zemljotresa koje su opet statičkog karaktera. Cilj ove analize je definiranje zavisnosti pomijeranja zadnje etaže ili krova konstrukcije i smičuće sile u osnovi koja prouzrokuje prvo tečenje u konstrukciji. Kontrolna tačka bi trebalo biti smještena u centru mase najvišeg nivoa konstrukcije. Kad čvrstoća pojedinih nosivih elemenata dosegne čvrstoću napona na granici velikih izduženja, ti pojedini nosivi elementi počinju teći i formiraju takozvane plastične zglobove. Inkrementalno bočno opterećenje se i dalje nanosi sve dok se ne dosegne takozvano ciljno pomeranje ("target displacement") i ne formira kriva nelinearnog statičkog kapaciteta.

Pretpostavka je da konstrukcija može napraviti više takvih ciklusa i ponašati se na histerezisni način. Krutost koja se uzima u proračunima je redukovana na sekantnu koja se dobije za najveće pomijeranje uočeno na krivoj kapaciteta. Preporuka je da tamo gdje se projektno pomijeranje definiše kao ciljno pomeranje, konstrukcija ipak "gurne" još malo kako bi se dobio veći nivo tačnosti i pouzdanosti.

Brojni svjetski propisi i literature definišu i diskutuju proces provođenja ove analize; jedna od najpopularnijih je svakako FEMA (Federal Emergency Management Agency).

MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (20-38) 20

Adrese autora: Mr Venera Vukašinović, dipl.inž.građ., Energoinvest-d.d., Sektor za hidrotehniku, građevinarstvo i arhitekturu, Hamdije Čemerlića 2, Sarajevo, Bosna i Herecgovina, [email protected] Goran Simonović, dipl.inž.građ., Građevinski fakultet Sarajevo, Patriotske lige bb, Sarajevo, Bosna i Herecgovina, [email protected]

2 NELINEARNA STATIČKA ANALIZA PREMA FEMA-I 274

FEMA 274 pokriva seizmičku rehabilitaciju zgrada [1].

Kako je već rečeno, na matematičkom modelu konstrukcije prilažu se statičke horizontalne sile koje se inkrementalno povećavaju sve dok se ne postigne ciljno pomijeranje izabrane kontrolne tačke. Deformacije i unutarnje sile se prate i prikazuju kontinualno za sve faze ponašanja modela. Procedura je paralelna linearnoj statičkoj, ali sa dvije velike razlike. Prvo, u nelinearnoj statičkoj proceduri (Nonlinear Static Procedure-NSP) nelinearno ponašanje u smislu opterećenje-deformacija pojedinih komponenti ili elemenata je modelirano direktno u matematičkom modelu. Drugo, u NSP efekti zemljotresa su definisani u smislu pomijeranja a ne pseudo-lateralnog opterećenja. Iako NSP zahtijeva više truda i vremena prilikom analize u odnosu na linearnu statičku proceduru-LSP (Linear Static Procedure-LSP), ona obezbjeđuje bolji uvid u očekivano nelinearno ponašanje pa samim tim i kvalitetnije informacije koje će koristiti prilikom projektovanja konstrukcije.

NSP koristi podatke o kretanju tla sa «zaglađenih, zaravnjenih» računskih spektara pa će se posljedično tome dobiti robusnije računsko opterećenje na konstrukciju i to za tla klase A, B, C i D, pa treba biti na oprezu, dok se smatra da će projektno pomijeranje za klasu E biti čak i više precijenjeno. NSP nije testirana na spektrima razvijenim za pojedinačne lokacije, (site specific spectra), a ni za zemljotrese za izrazitom vertikalnom komponentom. Aproksimativni faktori modifikacije su kalibrirani tako da je faktor čvrstoće R pet (5) ili manji, a isti mogu biti povećani za konstrukcije sa većim faktorom R (o ovome će biti više govora u nastavku).

Nedostatak ove procedure je što ne može predstaviti najrealnije sve promjene u ne linearnom dinamičkom odgovoru konstrukcije uslijed degradacije krutosti i preraspodijele uticaja. Ovaj nedostatak može voditi ka neadekvatnoj procijeni lokalnih sila i plastičnih

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

deformacija, naročito kada su u pitanju viši sopstveni oblici osciliranja konstrukcije. U tom slučaju treba prednost dati nelinearnoj dinamičkoj proceduri-NDA (Nonlinear Dynamic Procedure-NDP). Još jedan nedostatak NSP je što nije uvijek u stanju da prepozna više tipova loma konstrukcije već samo jedan od njih, pa bi projektanti trebali biti veoma oprezni u tom slučaju. Zato je za NSP potrebno razmotriti najmanje dva oblika apliciranog lateralnog, horizontalnog opterećenja prilikom procjene, uniformni i modalni oblik.

2.1 Modeliranje i analiza

Generalna procedura za izvršenje NSP je slijedeća: 1. potrebno je napraviti elastični model konstrukcije

koji će uključiti sve nove i stare komponente koji imaju značajan doprinos težini, čvrstoći, krustosti i stabilnosti konstrukcije i čije je učešće važno za dobijanje realne slike ponašanja konstrukcije za vrijeme zemljotresa. Konstrukcija je opterećena sa gravitacionim opterećenjem kao i u slučaju "regularne" statičke procedure prije nanošenja bilo kakvog bočnog opterećenja od zemljotresa,

2. konstrukciju izložiti setom poprečnih opterećenja koristeći jedan od ponuđenih načina raspodjele, ali najmanji broj ovih različitih opterećenja bi trebao biti dva (2) za svaki glavni pravac konstrukcije,

3. intenzitet horizontalnog opterećenja se povećava sve dok najslabiji element ne dosegne deformacije za koje će se njegova krutost znatno smanjiti, a to je najčešće opterećenje koje izaziva tečenje elementa ili doseže njegovu čvrstoću. Krutost nosivog elementa koji teče je modificirana pa je takva modifikovana konstrukcija izložena daljem porastu bočnog opterećenja, (za slučaj kada je ona izložena kontroli putem sila) ili porastu pomijeranja, (kada je kontrola putem pomijeranja). Pri tome se koristi isti oblik raspodjele horizontalnog zemljotresnog opterećenja ili modifikovan oblik koji se može pojaviti u jednoj od slijedećih formi:

3.1. ubacivanje plastičnih zglobova gdje je element napregnut na savijanje dostigao čvrstoću na savijanje (ovo može biti na kraju grede, stuba ili u dnu AB zida),

3.2. eliminacijom krutosti smicanja poprečnih zidova koji su dostigli čvrstoću smicanja na pojedinom spratu,

3.3. eliminacijom elementa za ukrućenje koji se izvio i čija čvrstoća nakon izvijanja rapidno opada,

4. korak 3. se ponavlja onoliko puta koliko treba da dođe do postizanja čvrstoće pojedinih elemenata. Iako se opterećenje povećava, oblik opterećenja ostaje isti. U ovom koraku se za svako nivo opterećenja računaju unutrašnje sile i deformacije-kako elastične tako i plastične,

5. sile i deformacije iz prethodnih nivoa opterećenja se dodaju da bi se obezbijedila ukupna sila i deformacija i to za sve komponente i za sve nivoe opterećenja,

6. proces opterećenja se nastavlja sve dok se ne detektuje neprihvatljivo ponašanje konstrukcije ili dok pomijeranje na krovu ne dosegne maksimalno pomijeranje za dati računski zemljotres,

7. iscrtava se pomijeranje kontrolne tačke naspram smičuće sile u osnovi tj. prvom spratu za razne nivoe opterećenja kako bi se dobio nelinearni dijagram odgovora konstrukcije,

8. kada se odredi ciljno pomijeranje, akumulirane sile i deformacije na mjestu pomijeranja kontrolne tačke treba koristiti kako bi se procijenilo ponašanje pojedinih komponenti i to:

8.1. za dejstva koja su kontrolisana deformacijama, npr. savijanje u gredama, zahtijevane (računske) deformacije su poređene sa maksimalnim dopuštenim vrijednostima-kapacitetom deformacija,

8.2. za dejstva koja su kontrolisana silama, npr. smicanje u gredama, kapacitet nosivosti je poređen sa zahtijevanom silom,

8.3. ako bilo koji element po 8.1 ili 8.2. dostigne dopuštene vrijednosti, tada dejstva, komponente ili elementi narušavaju utvrđene kriterije i vode ka lomu konstrukcije.

FEMA 274 vodi računa i o asimetričnosti zgrade u pravcu gdje se nanosi bočno opterećenje jer će ona uticati na zahtijevane sile i deformacije. Asimetrični elementi kao što su smičući AB zidovi za T ili L poprečnim presjekom, imaju promjenljiv kapacitet za sile i deformacije u zavisnosti od pravca opterećenja. Prema tome, potrebno je napraviti dvije nelinearne analize za svaku osovinu zgrade sa opterećenjima u pozitivnim i negativnim pravcima. Preporuka je da se analiza sprovodi sve do postizanja 150% od ciljnog pomijeranja pri čemu je ciljno pomijeranje srednje pomijeranje za projektovani zemljotres, ali pošto postoji izvjesno odstupanje od (oko) sredine, preporuka je da se radi sa srednjom, prosječnom vrijednosti plus jedna standardna devijacija.

Kako je rečeno u koraku 1, gravitaciono opterećenje treba biti nanešeno prije početka nelinearne analize i treba ga zadržati cijelo vrijeme analize. To je zato što se superpozicija koja je primjenljiva za linearnu analizu, ne može ostvariti i kod nelinearne procedure, a gravitaciono opterećenje ima značajan uticaj na nelinearni odgovor. Kombinacija gravitacionog sa ostalim opterećenjima je ista kao i linearnu proceduru.

Dalje, matematički model treba biti takav da je u stanju da prepozna nelinearnost na krajevima elemenata ili po njihovoj dužini, npr. greda može razviti plastični zglob od savijanja po dužini raspona ili na krajevima. Prvi slučaj će biti zastupljen tim prije ukoliko se radi o velikim rasponima ili o velikom gravitacionom optere-ćenju. U ovakvim slučajevima zglobovi bi trebali biti umetnuti po dužini grede, kako je objašnjeno na slici 1.


G G

-----f-----j- __"'"[m_rn.,mm°c.°c.

----- --------

(a) Glavity load

Slika 1. Identifikacija potencijalnih lokacija plastičnih

zglobova

2.2 Način nanošenja bočnog, zemljotresnog opterećenja

Raspored poprečnih inercijalnih sila varira kontinuirano za vrijeme potresa, a zavisiće između ostalog i od intenziteta zemljotresnog opterećenja kao i od dinamičkih karakteristika zgrade. Profil opterećenja-oblik raspodele sila koji je kritičan za jednu proračunsku veličinu, može da se razlikuje za drugu proračunsku veličinu, pa je zato potrebno uzeti u razmatranje najmanje dva oblika bočnog opterećenja. Pojedini autori su predložili i neke druge oblike nanošenja bočnog opterećenja koji se mijenjaju u zavisnosti od amplitude pomijeranja objekta. S obzirom na ovo, postoje razne sugestije, jedna od njih je da su sile po spratovima proporcionalne deformisanom obliku konstrukcije kao rezultat savijanja (Fajfar i Fischinger) ili da su bazirane na sopstvenim oblicima osciliranja izvedenih za svaki korak opterećenja konstrukcije i to na osnovu njene sekatne krutosti (Eberhard i Sozen) ili da su pridružene sile po spratovima proporcionalne otpornosti sprata na smicanje (Bracci et al.) itd. Međutim ove alternative trebaju više truda i vremena tokom analize, a njihova superiornost u odnosu na invariatne načine opterećenja konstrukcije nije demonstrirana, pa se zapravo striktno ne preporučuje upotreba adaptivnih, «detaljnijih» načina nanošenja zemljotresnog opterećenja. Apliciranje sila preko ravnomjernog opterećenja je preporučljivo jer naglašava zahtjev u nižim spratovima u odnosu na gornje i povećava relativni značaj smičućih sila po spratovima u poređenju sa momentima prevrtanja. Kada

su efekti viših tonova od značaja, konstrukciju treba opteretiti na način koji će biti proporcionalan modalnim silama kombiniranih ili SRSS (Square Root of the Sum of the Squares) ili CQC (Complete Quadratic Combination) metodom.

2.3 Određivanje perioda

Pošto se konstrukcija za vrijeme zemljotresa ponaša nelinearno, jasno je da se sopstveni oblik mijenja sa amplitudom odgovora. Neki autori predlažu računanje osnovnog perioda na bazi sekantne krutosti za maksimalno pomijeranje. Elastični spektar odgovora daje samo aproksimaciju odgovora kada je konstrukcija u nelinearnom području bez obzira na period. Iz tog razloga, a i da bi se pojednostavila procedura analize, trebalo bi usvojiti referentni period koji odgovara sekantnoj krutosti za čvrstoću koja iznosi 60% od one na granici velikih deformacija. Za ovakav period konstrukcija bi trebala biti izložena bočnim silama do postizanja prilično velikih deformacija. Ne savjetuje se upotreba empirijskih formula za računanje perioda jer oni obično daju nižu procjenu koja je pogodna za linearnu proceduru. Putem njih se dobiju veće spektralne računske sile koje treba aplicirati na matematički model što uslovljava i konzervativnije rezultate. Suprotno tome, opet je konzervativno koristiti i procijenjen osnovni period u NSP jer će on dati veća bočna, ciljna pomijeranja.

Dijagram sila-pomijeranje sa nelinearnog treba svesti na bi-linearnu zavisnost, a najbolji način je preko izjednačenja površina ispod obje krive. Niže vrijednosti pomijeranja na granici tečenja konstrukcije i manja sekantnu krutost daju konzervativne rezultate.

2.4 Analiza dvo-dimenzionalnih modela

Tačnost rezultata prilikom analize tro-dimenzionalnih modela je veća od dvo-dimenzionalnih, ali su ti modeli i mnogo zahtijevniji u smislu angažovanosti projektanata i kompjutera, pa njihova aplikacija nije opravdana ukoliko se radi o simetričnim objektima. Tada se slobodno može koristiti dvo-dimenzionalni model. U suprotnom, a naročito kod zgrada sa niskom torzionom krutošću treba koristiti tro-dimenzionalne modele.

2.5 Određivanje sile i pomeranja

Sile i pomeranja u konstrukciji se računaju za unaprijed utvrđeno pomijeranje kontrolne tačke. Unaprijed određeno pomijeranje za zove se ciljno (željeno, projektno) pomijerenje. Za njegovo određivanje postoje uglavnom dvije definisane metode. Prva je metoda 1 o kojoj će biti više riječi u nastavku (Method 1), a druga se oslanja na metodu određivanja maksimalnog odgovora konstrukcije na osnovu pomijeranja koje odgovara presjeku krive kapaciteta i spektralne krive (metoda 2-Method 2).

Metod 1 koristi podatke i analizira sistem sa jednim stepenom slobode (Single Degree of Freedom System- SDOF system) da bi odredio ciljno pomijeranje za sistem sa više stepeni slobode kretanja (Multy Degree of Freedom System-MDOF system). Koriste se bi i tri-


G G

E·-~---I-----j---------R;tfiexumJ- plastic hinge

(b) Gravity toad and earthquake load

G G

"-..,........--f--- Second flexurarplastic hinge

(c) Gravity load and maximumearthquake/oad

linearni sistemi bez degradacije krutosti i sa viskoznim prigušenjem 5% od kritičnog. Da bi se transformisao odgovor MDOF sistema u ekvivalentni SDOF sistem, nelinearnu relaciju sila-pomijeranje određenu iz NSP treba promjeniti u bi-linearnu, kako je ilustrovano na slici 2.

Pošto je matrica mase dijagonalna, može se napisati:

n,i2

n

1i

n,i

n

1i

r,10

m

mC

φ

φφ=

∑

∑ (2)

gdje je: mi masa na nivou sprata i, Φi,n ordinata sopstvenog oblika i na nivou n. Ako je apsolutna vrijednost ordinate kontrolne tačke

(krova) podešena na jedan, vrijednost koeficijenta C0 je jednaka faktoru učešća mase prvog sopstvenog oblika.

Koeficijent C1 obuhvata razliku između amplitude pomijeranja za nelinearni i linearni odgovor, što je bitno za zgrade sa relativno kratkim periodima vibracije, dok je koeficijent C2 zasnovan na obliku i histerezisnim karakteristikama zgrade. Suženje histerezisne petlje i degradacija krutosti mogu voditi ka povećanim pomijeranjima.


Slika 2. Odnos između smičuće sile u osnovi i pomijeranja na nivou krova

Koeficijent C0 uzima u obzir razliku između

pomijeranja krova sistema sa više stepeni slobode kretanja i pomijeranja ekvivalenog sistema sa jednim stepenom slobode. Ako se koristi samo prvi sopstveni oblik osciliranja (Φ1) i pretpostavi elastično ponašanje, koeficijent C0 je jednak faktoru učešća prvog sopstvenog oblika na nivou krova Γ1,r (koji je odabran za kontrolnu tačku). To se vidi iz jednačina 1 i 2.:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } 1r,1

1T

1

T1

r,1r,10M

1MC Γφ=φφ

φφ=Γ= (1)

Koeficijent C3 uzima u obzir P-Δ efekte koji su uzrokovani gravitacionim opterećenjem koji djelujući na deformisano stanje zgrade još više povećavaju bočna pomijeranja. Ako P-Δ efekti rezultiraju negativnom krutošću nakon tečenja na bilo kom spratu, ovi efekti mogu značajno povećati međuspratna pomijeranja i ciljno pomijeranje. Stepen kojim dinamički P-Δ efekti utiču na pomijeranja zavisi od: odnosa α tj. od odnosa negatvne krutosti nakon dostizanja granice tečenja i elastične krutosti; osnovnog perioda zgrade; odnosa čvrstoća R; histerezisne relacije za svaki sprat; frekventnih karakteristika kretanja tla i trajanja tog kretanja. Zbog broja uključenih parametara, teško je uzeti u obzir P-Δ efekte sa jednim jedinim faktorom modifikacije. Za sisteme sa malom čvrstoćom i periodom, amplifikacija može postati veoma znatna, a ista je manja za one konstruktivne sisteme koji imaju suženu histerezisnu petlju.

gdje je: Čvrstoća je uglavnom važna za konstrukcije sa malim osnovnim periodom vibracije u odnosu na predominantni period kretanja tla; ovaj parametar je prikazan u NSP kroz faktor R.

[M] dijagonalna matrica mase, Γ1 faktor učešća prvog sopstvenog oblika.

Slika 3. Početna efektivna i sekantna krutost i metode u kojima se primjenjuju

! [AsSU~:d_~nnear response

(13, I~, ..J: 'l/l~,

~ Adual nonlinearresponse~l

Roo~ disp,laceme t

Maximum displacement for thedesign earthquake

---__- Stiffness used inMethod 2

,,,, ....1 .... -

:... -

/1 \ Stiffness used in Methods 1 and 2

~ Nonlinear load-displacement relationJ Ke for t~: structure

,/

Vy /,O.6Vy -t-__,1

Roof displacement

Metoda 2 definiše maksimalni odgovor konstrukcije na osnovu pomijeranja koje odgovara presjeku krive kapaciteta i spektralne krive. Ova metoda koristi početnu efektivnu i sekatnu krutost da bi proračunali ciljno pomijerenje, za razliku od metode 1 koja koristi isključivo inicijalnu efektivnu krutost. Slika 3. ilustruje ove dvije različite krutosti.

Idealno, obje metode bi trebale dati iste računske vrijednosti pomijeranja. Još jedna razlika između ove dvije metode je što prva koristi prigušenje 5% od kritičnog koje odgovara približno pojavi tečenja u konstrukciji, a druga metoda koristi veće vrijednosti prigušenja na osnovu oblika histereze i maksimalnog nivoa deformacije.

Opis pomenute metode 2 uz moguće iteracije je dat u nastavku:

1.-7. ovi koraci su identični sa onim navedenim u tački 2.1.

8. željeno pomijeranje je procijenjeno ili na osnovu neke početne pretpostavke ili na osnovu rezultata iz prethodne iteracije. Sekantna krutost Ks je definisana nagibom linije od početka nelinearne krive sila-pomijeranje do tačke koja odgovara pomenutom pomijeranju

9. ekvivalentno viskozno prigušenje je određeno kao funkcija globalne duktilnosti po pomijeranjima i očekivanog oblika histerezisne krive

10. Zapravo je moguće napraviti «opšti» spektar odgovora za prigušenje od 5% pa ga potom modifikovati koeficijentima iz literature i dobiti druge potrebne stepene prigušenja. Spektar ubrzanja može biti pretvoren u spektar pomijeranja množeći vrijednosti ordinate sa T2/4π2. Slika 4. ilustruje uticaj prigušenja na spektre odgovora (spektre ubrzanja i pomijeranja)

Slika 4. Krive spektralnog ubrzanja i pomijeranja

11. sada je potrebno usporediti pomijerenje izračunato za sekantnu krutost i prigušenje sa amplitudom pomijeranja iz koraka 8. Ako se ta vrijednost razlikuje za više od 10% potrebno je započeti ponovo proces iteracije od koraka 8. Kako je rečeno u koraku br.10. spektralno ubrzanje i spektralno pomijeranje se odnose sa T2/4π2 pa ih je moguće predstaviti na istom crtežu, sa različitim prigušenjima kao na slici 5.

Slika 5. Spektralno ubrzanje i spektralno pomijeranje na istom grafikonu sa različitim stepenima prigušenja

Projektno pomijeranje za ekvivalentni sistem sa

jednim stepenom slobode je presjek krive sila-deformacija sa spektrom odgovora za određeni nivo prigušenja. Pažnju treba obratiti na to da željeno pomijeranje za ekvivalentni SDOF sistem nije isto kao ciljno pomijeranje na krovu; da bi došli do njega potrebno je izvršiti transformaciju u MDOF.

Pretpostavka je da jedinstveni oblik putem kojeg će konstrukcija odgovoriti na pobudu ostaje konstantan cijelo vrijeme odgovora. Ova pretpostavka je naravno netačna, ali pilot studije (Saiidi, Sozen, Fajfar, Fischinger, Miranda i drugi) pokazuju da ovakva pretpostavka vodi ka maksimalnom odgovoru sistema sa više stepeni slobode i da je odgovor konstrukcije definisan njenim prvim sopstvenim oblikom. Prema tome, deformisani oblik MDOF sistema predstavljen je vektorom oblika {Φ} koji ostaje konstantan za vrijeme istorije odgovora bez obzira na nivo deformacije. Izbor ovog vektora dat je u nastavku.

Treba poći od osnovne diferencijalne jednačine kretanja za MDOF sistema, jednačina 3:

[ ] [ ] { } [ ]{ } g.....x1MQXCXM −=+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

(3)

gdje su: [M] matrica mase, [C] matrica prigušenja, {X} vektor relativnog pomijeranja,

gx..

vremenska istorija ubrzanja tla, {Q} vektor pripadajućih sila po spratovima. Ako je vektor oblika {Φ} normaliziran s obzirom na

pomijeranje na krovu, tada je iz jednačine 4 :


Spectralaccelerafon

lP'elriod

Spectr,aldiiisplacement

Increasing P

Period

Spectral,acce lie ,at iiolo

{ } { } txX Φ= (4)

uvrštavajući jednačinu 4 u jednačinu 3, slijedi:

[ ] [ ] { } [ ]{ } g...

tt..

x1MQxCxM −=+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧Φ+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧Φ (5)

Neka je referentno pomijeranje za SDOF sistem xr

predstavljeno u jednačini 6:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } tT

Tr x

1M

Mx

φ

Φφ= (6)

Ako jednačinu 5. pomnožimo sa{Φ}T i zamijenimo xt koristeći jednačinu 6. tada je diferencijalna jednačina odgovora SDOF sistema:

g..

rrr.

rr..

r xMQxCxM −=++ (7)

gdje je:

{ } [ ]{ }1MM Tr Φ= (8)

{ } { }QQ Tr Φ= (9)

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }{ } [ ]{ }φφ

Φφφ=

M1MCC T

TTr (10)

Relacija između sile i pomijeranja ekvivalentnog sistema sa jednim stepenom slobode može se odrediti iz rezultata NSP za sisteme sa više stepeni slobode kretanja uz pomoć vektora oblika datog gore. Da bi se došlo do globalnih podataka, multilinearna relacija je predstavljena linearnom koja je definisana čvrstoćom na granici tečenja (velikih izduženja), prosječnom elastičnom krutošću ke (ke=Vy/δy) i krutošću nakon tečenja ks (ks=α ke). Grafičko objašnjenje relacija sila-pomijeranje za sistem sa više i ekvivalentni sistem sa jednim stepenom slobode data je kroz sliku 6.

Smičuća sila u osnovi na granici tečenja Vy i odgovarajuće pomijeranje na krovu xt,y se koriste zajedno sa jednačinom 6. i 9. da bi se izračunala relacija između sile i pomijeranja za SDOF sistema kako slijedi u priloženoj proceduri. Jednačina 11. daje njegov ekvivalentni period Teq:

2/1

ry

rry

eqQ

Mx2T

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡π= (11)

dok su referetno pomijeranje i sila na granici tečenja dati preko jednačina 12. i 13:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } y,tT

Tr

y xMMx

ΦΦ

ΦΦ= (12)

{ } { }yTr

y QQ Φ= (13)

gdje je: {Qy} je vektor sila po spratovima:

Vy={1}T{Qy} (14)

Koeficijent ojačanja α na dijagramu sila-pomijeranje

za MDOF sistem će definisati taj isti koeficijent na bilinearnom dijagramu ekvivalentnog SDOF sistema. Koristeći ovu informaciju, SDOF sistem se sada može definisati u potpunosti. Sljedeći korak u analizi je proračun željenog pomijeranja kako bi se procijenilo ponašanje konstrukcije. Osobine ekvivalentnog SDOF sistema zajedno sa spektralnim informacijama za neelastični SDOF sistem daju podatke neophodne da bi se odredilo ovo pomijeranje. Za elastični SDOF sistem spektralno pomijeranje se može odrediti direktno iz računskog spektra pomijeranja tla. Ako je dato spektralno ubrzanje, spektralno pomijeranje Sd se može odrediti na već opisan način: SaT2/(4π2) gdje treba dodati da je T period elastičnog SDOF sistema. Pomijeranje nelinearnog SDOF sistema se naravno razlikuje od linearno-elastičnog, a pogotovo za male periode oscilacije. Odnos između ova dva pomijeranja je nazvan koeficijentom duktilnosti. Jasno je dakle, da je neophodno znati zahtijevanu duktilnost ekvivalentnog sistema da bi se izračunalo njegovo pomijeranje. Ovo povlači pretpostavku odnosa između zahtijevane elastične čvrstoće i čvrstoće na granici tečenja ekvivalentnog SDOF sistema. Pošto su neelastični spektri uglavnom definisani za jediničnu masu sistema, potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju:

Slika 6. Odnos sile i pomijeranja za MDOF sistem i ekvivalentni SDOF sistem


,Q'

a,,-" Q',

(.){bl'- .~

" ",

g..

r

rr.

r

rr..x

MQx

MCx −=++ (15)

Jednačina 15. opisuje odgovor sistema sa jednim stepenom slobode kretanja jedinične mase sa periodom Teq i čvrstoćom na granici tečenja Fy, eq kako slijedi iz jednačine 16:

r

ry

eq,yM

QF = (16)

Ako je poznat elastični spektar odgovora, zahtijevana elastična čvrstoća ekvivalentnog SDOF sistema jedinične mase je data preko jednačine 17:

)T(SF eqaeq,e = (17)

Faktor redukcije čvrstoće je tada (jednačina 18.):

( )r

y

reqa

eq,y

eq,e

Q

MTSFF

R == (18)

Pošto je pretpostavljeno da je zahtijevana duktilnost ekvivalentnog sistema sa jednim stepenom slobode i sistema sa više stepeni slobode kretanja jednaka, ciljno pomijeranje MDOF sistema xt,t je:

y,tt,t xx μ= (19)

Dalje modifikacije ovog pomijeranja su moguće kako bi se uzeli i obzir lokalni efekti tla, efekti degradacije čvrstoće i krutosti, efekti drugog reda i ostali faktori koji mogu imati uticaj na odgovor konstrukcije putem pomijeranja. Dakle, dvije su ključne komponente koje su neophodne da bi se izračunalo ciljno pomijeranje: period Teq i čvrstoća na granici tečenja Fy,eq ekvivalentnog SDOF sistema. Ove veličine, dalje zavise od vektora oblika {Φ}, vektora sila raspoređenih po spratovima {Q} i rasporeda mase po spratovima. Jasno je da su svaka pojednostavljenja i uproštenja poželjna kako bi se smanjila računska procedura. Smatra se da su za ovu svrhu zadovoljavajući prvi period vibracije T1 i faktor participacije prvog sopstvenog oblika PF1; oni su nezavisni i neosjetljivi na izbor vektora oblika, pa se može reći da je (jednačine 20. i 21.):

1eq TT = (20)

1y

eq,y PFWV

F = (21)

Tačnost ovih pretpostavki je provjerena koristeći trougaonu raspodjelu sila, usvajajući iste mase po svim spratovima i vektore oblika za zidane konstrukcije: od elastične deformacije koja odgovaranja njihovom deformiranom obliku kao rezultat savijanja pa do deformisanog oblika predstavljenog pravom linijom (sa plastičnim zglobom u osnovi i potpunim odsustvom elastičnih deformacija). Plastična komponenta pomijeranja u ravni krova je opisana parametrom p na slici 7.

Slika 7. Vrijednost koeficijenta p i usvojeni vektori oblika iz studije


FEMA 273 se bavi seizmičkom rehabilitacijom zgrada [1]. Razvijena je zahvaljujući velikom timu specijalista iz oblasti zemljotresnog inženjerstva i seizmičke rehabilitacije. Išlo se dotle da su kriteriji prihvatljivosti oformljeni čak i na osnovu laboratorijskih testova objekata gdje je god to bilo moguće.

Po njenim preporukama NSP može koristiti za bilo koju konstrukciju koju treba rehabilitovati tj. saniratri izuzev:

• kod konstrukcija kod kojih je efekat viših sopstvenih oblika osciliranja značajan. Da bi se utvrdilo da li je to tako, spektar modalnog odgovora trebao bi biti takav da se kroz sopstevene oblike obuhvati 90% mase. Efekti viših tonova bi trebali biti razmatrani ako je smicanje na svakom spratu izračunato iz modalne analize razmatrajući sve sopstvene oblike koji obezbjeđuju 90% mase prelazi 130% od odgovarajuće smičuće sile sprata razmatrane samo za prvi sopstveni oblik.

• NSP ne bi trebalo primjenjivati dok se ne raspolaže sa iscrpnim podacima o konstrukciji. To je iz razloga jer se radi o rehabilitaciji nekad izgrađenog objekta koji je pretrpio izvjesna oštećenja, pa je potrebno znati sve informacije vezane za osobine materijala (čvrstoću, deformabilnost…), a detaljno snimiti i pažnju posvetiti naročito nosivim elementima kao što su grede, stubovi, ploče.

Ciljno pomijeranje je definisano kao maksimalno koje će se desiti u konstrukciji za vrijeme računskog (projektnog) zemljotresa. Ono se može proračunati bilo kojom procedurom koja uzima u obzir efekte nelinearnog odgovora na amplitudu pomijeranja (dato u nastavku). Rezultate NSP treba provjeriti na osnovu isto tako definisanih kriterija prihvatljivosti (Acceptance Criteria, FEMA 273, Part 3.4.3.). Izračunate vrijednosti sila i pomijeranja se direktno porede sa dopuštenim vrijednostima.


TH • p =--t:-

• P varies from 0.0 (ef"sric)to 1.0

• Shape v""l0'" "re compuwdby normalizmg Ill.. defOffiledshape"" thaI 0, = 1.0

3.1 Modeliranje i analiza

Odnos između smičuće sile u osnovi i bočnog pomijeranja kontrolne tačke trebao bi biti dat za vrijednosti pomijeranja koje je u granicama između 0 i 150% od ciljnog pomijerenja.

3.2 Način nanošenja bočnog opterećenja

Poprečno opterećenje od zemljotresa treba biti nanijeto u takvom obliku koje će aproksimativno opisati stvarne inercijalne sile tokom kretanja tla. Za tro-dimenzionalnu analizu, horizontalni raspored bi trebao simulirati raspored inercijalnih sila u ravni svakog sprata tj. dijafragme. Pri tom je kako za tro- tako i za dvo-dimenzionalne konstrukcije potrebno sprovesti analizu za najmanje dva načina rasporeda opterećenja. Prvi je (kako je već rečeno u prethodnom poglavlju tj. FEMA-i 274) uniformni, ravnomjerni obrazac koji se zasniva na bočnim silama koje su proporcionalne totalnoj masi svakog sprata. Drugi obrazac se naziva modalni, a on može biti izabran iz slijedećih opcija:

• Predstavljen je kroz vrijednost Cvx (jednačina 22.), koji može biti korišten ako više od 75% totalne mase objekta učestvuje u osnovnom sopstvenom obliku oscilovanja za pravac koji se razmatra:

∑=

=n

1i

kii

kxx

vx

hw

hwC (22)

gdje je: Cvx faktor vertikalne distribucije wx dio od ukupne težine zgrade W koji otpada na

sprat x, hx visina od dna (osnove) zgrade do sprata x, k eksponent koji utvrđuje vertikalnu distribuciju

poprečnog opterećenja k=1,0 za T≤0,5 sekundi k=2,0 za T≥2,5 sekundi Za vrijednosti k između ovih definisanih, treba koristiti

linearnu interpretaciju kako bi se odredile međuvrijednosti za T.

wi dio od ukupne težine zgrade W koji otpada na sprat i,

hi visina od dna (osnove) zgrade do sprata i. • ili je oblik bočnog opterećenja proporcionalan

spratnim inercijalnim silama koje su u skladu sa rasporedom smičućih sila po spratovima izračunatih za kombinaciju odgovora od: (1) spektralne analize koja uključuje dovoljan broj sopstvenih oblika uslijed kojih će biti obuhvaćeno 90% totalne mase i (2) odgovarajućih spektara kretanja tla. Ova distribucija bi se trebala koristiti kada fundamentalni period konstrukcije dostiže (prelazi) vrijednost od 1 sekunde.

3.3 Određivanje perioda

Efektivni fundamentalni period Te u razmatranom pravcu može se dobiti iz relacije sila-pomijeranje sračunate pomoću NSP. Nelinearnu relaciju između smičuće sile u osnovi i pomijeranja treba zamijeniti bi-

linearnom sa efektivnom bočnom krutošću ke koja se uzima kao sekantna izračunata za smičuću silu u osnovi koja je jednaka 60% od čvrstoće na granici tečenja. Efektivni fundamentalni period Te se računa po jednačini 23:

e

iie k

kTT = (23)

gdje je: Ti efektivni fundamentalni period dobiven za

elastičnu dinamičku analizu, ki elastična bočna krutost zgrade za posmatrani

pravac, ke efektivna bočna krutost zgrade za posmatrani

pravac. Ove krutosti objašnjene su na slikama 8. i 9.

3.4 Ciljno (projektno) pomijeranje

Slika 8. Elastična i efektivna krutost; pozitivna krutost nakon tečenja

Slika 9. Elastična i efektivna krutost; negativna krutost nakon tečenja

Ciljno pomijeranje δt za zgradu sa krutim

dijafragmama na svakom nivou trebalo bi biti proračunato koristeći proceduru koja obuhvata i podrazumijeva nelinearni odgovor zgrade. Ono se računa po jednačini 24:


"'<'Ii,Ill

'; vy-+----I---,IllI»'OIl'II:I

0.6 Vy-+--+-+-

~ 8tRoof displacement

Vy-lf--'--..-.o!!'i±-:::o~.......,=t-----T

Vl---l---Hf-~-~:'::'=~~~:::"'....,.......0.6 Vy

g4TSCCCC

2e

2

a3210tπ

=δ (24)

gdje je: δt ciljno (projektno) pomijeranje na nivou krovne

ravni, C0 faktor modifikacije koji povezuje spektralno

pomijeranje i vjerovatno pomijeranje zgrade na krovu.

C0 može biti procijenjen na osnovu faktora participacije prvog sopstvenog oblika na nivou kontrolne tačke ili na osnovu faktora modalne participacije na nivou kontrolne tačke (dobija se na osnovu vektora oblika koji odgovara deformisanom obliku zgrade od savijanja kada je postigla projektno pomijeranje) ili pak na osnovu tabele 1. Za broj spratova između naznačenih, treba koristiti linearnu interpolaciju kako bi se odredile međuvrijednosti za C0.

Tabela 1. Vrijednosti faktora modifikacije C0

Broj spratova Faktor modifikacije

1 1,0 2 1,2 3 1,3 5 1,4 10 1,5


C1 faktor modifikacije koji povezuje očekivano

maksimalno neelastično pomijeranje sa elastičnim pomijeranjem. Vrijednost ovog koeficijenta se može računati ponaosob ili se mogu usvojiti već date vrijednosti i to:

C1=1,0 za Te≥T0

( )[ ]R

T/T1R0,1C e0

1−+

= za Te<T0 (25)

Za vrijednosti C1 između ovih definisanih u jednačini 25., treba koristiti linearnu interpolaciju kako bi se odredile međuvrijednosti za T.

Vrijednosti C1 ne trebaju dostići ove navedene veličine:

C1=1,5 za T < 0,1 sekunde C1=1,0 za T ≥ T0

ali ni u kom slučaju vrijednost ne može biti manja od 1,0.

Isto tako, gore definisani faktor R se može izračunati na osnovu formule 26:

0y

a

C1

WVS

R = (26)

gdje je: Sa ubrzanje očitano sa spektra odgovora za dati

osnovni period i prigušenje zgrade, Vy čvrstoća na granici tečenja dobivena iz rezultata

NSP gdje je nelinearna relacija između sila i pomijeranja kontrolne tačke pretvorena u bi-linearnu,

W ukupni mrtvi teret i predviđeno korisno opterećenje koje treba da je minimum 25% od korisnog opterećenja sprata za robne kuće i skladišta; stvarno ukupno opterećenje na spratu ili minimum 10 psf u zavisnosti šta je veće; opterećenje od snijega; i konačno ukupno opterećenje od stalne opreme i namještaja,

T0 karakteristični period spektra odgovora, definisan kao tačka gdje segment konstantnog ubrzanja prelazi u konstantnu brzinu,

C2 je faktor modifikacije koji predstavlja efekte izazvane uslijed degradacije krutosti i čvrstoće na nivou maksimalnog pomijeranja a dati su u tabeli 2. Za vrijednosti C2 između ovih definisanih, treba koristiti linearnu interpretaciju kako bi se odredile međuvrijednosti za T. Pri tome okvir tipa 11 označava one konstrukcije kod kojih će više od 30% smičuće sile na svakom spratu biti prihvaćeno komponentama ili elementima čija čvrstoća i krutost mogu opasti za vrijeme računskog zemljotresa. Tu spadaju npr. obične ramovske konstrukcije, ukrućene ramovske konstrukcije, ne armirana zidarija i dr. a u grupu 22 spadaju svi ostali nosivi sistemi koji nisu uključeni u prethodni tip.

Tabela 2. Vrijednosti modificirajućeg faktora C2

T=0,1 sekunda T≥T0

Ponašanje zgrade Okvir tipa 11

Okvir tipa 22

Okvir tipa 11

Okvir tipa 22

Neposredno useljenje (Immediete Occupancy)

1,0 1,0 1,0 1,0

Bezbijedno po život (Life Safety) 1,3 1,0 1,1 1,0

Prevencija kolapsa (Collapse Prevention)

1,5 1,0 1,2 1,0

C3 faktor modifikacije koji predstavlja povećenje

pomijeranja uslijed dinamičkih P-Δ efekata, a treba uzeti u obzir i statičke P-Δ efekte.

Za pozitivne vrijednosti krutosti nakon tečenja, C3 se

može uzeti da je jedan (1), a za negativne vrijednosti se računa po jednačini 27:

( )e

2/3

3 T1R

0,1C−α

+= (27)

gdje je: α odnos krutosti nakon tečenja i efektivne elastične

krutosi, kada je nelinearan odnos sila-deformacija predstavljen bi-linearnim odnosom, slika 8.

Vrijednost koeficijenta C3 ne treba premašiti sljedeće vrijednosti:

C3=1,0 za θ<0,1

( )T

1,050,1C3−θ

+= za θ >0,1 (28)

gdje je: θ koeficijent stabilnosti koji se računa iz jednačine

29:

ii

ii

hVPδ

=θ (29)

Pi dio totalne težine konstrukcije koje uključuje mrtvi teret, stalno pokretno i 25% prolaznog korisnog opterećenja koje djeluje na stubove i nosive zidove na spratu i,

Vi totalna računska poprečna sila u pravcu koji se posmatra na spratu i pod pretpostavkom da konstrukcija ostaje elastična,

hi visina sprata i, δi bočno međuspratno pomijeranje mjereno na

spratu i u pravcu koji se posmatra, T osnovni period zgrade; ako se razmatra

interakcija između konstrukcije i tla, potrebno je uzeti efektivnu vrijednost perioda,

g ubrzanje zemljine teže. Za zgrade koje nemaju ni krute ni fleksibilne

dijafragme, ciljno pomijeranje se računa na osnovu jednačine 24. koju treba pomnožiti sa vrijednošću koja predstavlja odnos između maksimalnog pomijeranja bilo koje tačke na krovu i pomijeranja centra mase krova (δmax/δcm). Pri tome su oba pomijeranja sračunata uz pomoć modalne analize tro-dimenzionalnog modela koristeći računski spektar odgovora. To izračunato pomijeranje ne bi ni u kom slučaju trebalo biti manje od pomijeranja iz jednačine 24. koja podrazumjeva krute dijafragme na svim etažama.


Svi komentari ovog standarda se primarno zasnivaju na onima iz FEMA-e 273 i na limitiranom materijalu

uzetog iz FEMA-e 274, pa su stoga sve preporuke iz FEMA-e 356 [3] istovjetne, s tim da je FEMA 356 dopunjena sa dodatnim proširenim tablicama koji se odnose na vrijednosti faktora modifikacije C0 i Cm (tabele 3.i 4.):

Koeficijent efektivne mase ulazi u formulu 30, koja jako podsjeća na jednačinu 26, s tim da u jednoj figurira recipročna vrijednost koeficijenta C0 a u drugoj ulazi koeficijent Cm. Međutim njihove numeričke vrijednosti su skoro iste, tj. razliku se za otprilike 10%.

my

a C

WVS

R = (30)

Međutim, posmatrajući tabele 1 i 3, da se uočiti da je ova posljednja iz FEMA-e 356 dosta detaljnija pri čemu ulogu imaju dva faktora: vrste nosive konstrukcije i raspodjela sile. Cm treba uzeti da je 1,0 ako je osnovni period T veći od 1,0 sekunde.

4.1 Način nanošenja bočnog opterećenja

Poprečne zemljotresne sile bi trebale biti nanešene na matematički model konstrukcije proporcionalno rasporedu inercijalnih sila u ravni dijafragmi. Kako je rečeno, za svaku analizu, potrebno je primijeniti najmanje dva slučaja (vrste) vertikalne distribucije poprečnog opterećenja:

1. modalni obrazac, pri čemu se može izabrati jedna od ponuđenih varijanti:

1.1. vertikalna distribucija je proporcionalna vrijednosti već definisanog koeficijenta Cvx iz jednačine 22. Upotreba ovog oblika distribucije je opravdana samo kada više od 75% od totalne mase učestvuje u osnovnom tonu,

1.2. vertikalna distribucija je proporcionalna obliku prvog tona. Upotreba ove metode je dozvoljena ako više od 75% od totalne mase učestvuje u ovom tonu,

1.3. vertikalna distribucija je proporcionalna smičućim silama po spratovima pri čemu je uključeno najmanje 90% totalne mase objekta. Ovaj oblik distribucije se može koristiti kada osnovni ton prelazi 1,0 sekundu,

Tabela 3. Vrijednosti faktora modifikacije C0

Smičući objekti Druge zgrade Broj spratova

Trougaona raspodjela sile Uniformna raspodjela sile Bilo koja raspodjela sile 1 1,0 1,0 1,0 2 1,2 1,15 1,2 3 1,2 1,2 1,3 5 1,3 1,2 1,4

10 1,3 1,2 1,5

Tabela 4. Vrijednost faktora efektivne mase Cm

Broj spratova

AB ramovi

Konstrukcije od AB zidova

Čelični ramovi

Čelični ramovi sa centričnim spregovima

Čelični ramovi sa

ekscentričnim spregovima

Ostalo

1-2 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 više od 3 0,9 0,8 0,9 0,9 0,9 1,0


2. drugi način nanošenja opterećenja može biti jedan

od sljedećih ponuđenih: 2.1. ravnomijerna raspodjela bočnih horzontalnih sila

na svakom nivou proporcionalna ukupnoj masi tog nivoa, 2.2. adaptivna raspodjela opterećenja koja se mijenja

kako se konstrukcija pomjera.


FEMA 440 [4] obrađuje na 390. strana upravo i samo nelinearnu statičku analizu, pa bi komentare ili preporuke bilo nemoguće predstaviti u sklopu ovih stranica.


Osnovna razlika između ove i prethodnih FEMA-i je što se prethodne FEMA-e bave seizmičkom rehabilitacijom zgrada, dakle, njihov cilj je da daju sistematska uputstva projektantima kako bi efektivno zaštitili postojeće zgrade od očekivanih potencijalnih oštećenja za vrijeme zemljotresa. Ta uputstva se mogu primijeniti na sve tipove postojećih zgrada i u svim dijelovima USA. FEMA 273, 274, 356 prve startaju sa programom čiji je zadatak detektovanje rizika uzrokovanog od strane seizmički nesigurnih postojećih konstrukcija i razvijanju standardnih metodologija za identifikaciju objekata koji su pod rizikom kao i pregled efektivnih rehabilitacionih tehnika sa prepoznavanje socijalnih posljedica svega, tj. uticaja koje bi taj potez imao na društvo. Dakle, glavni cilj cijelog projekta je da da tehnički opravdana i zdrava rješenja, primjenljiva za korištenje u svakodnevnoj praksi prilikom seizmičke rehabilitacije zgrada.

S druge strane, FEMA 450 se bavi seizmičkom regulacijom novih zgrada i drugih objekata koje treba tako projektovati da se odupru projektnim zemljotresima, a da pri tome, u najmanju ruku budu zadovoljeni minimumi kriterija nosivosti i primarne funkcije objekata, kao i da smanji rizik sa ciljem očuvanja života ljudi i sigurnosti dobara. Ovo se ne odnosi samo na zgrade već i na druge bitne objekte i uređaje koji sadrže veoma važne, hazardne materijale, a koji trebaju funkcionirati za vrijeme i poslije zemljotresa (plino-, naftovodi, nuklearne centrale i dr.). [5].

6.1 Modeliranje

I ovdje važe sve postavke date već u prethodnim standardima sa naglaskom na modeliranje dijafragmi koje nisu krute, jer bi model trebao ovo uzeti u obzir kroz uključivanje izvjesnog stepena fleksibilnosti istih. Svi elementi nakon dosegnute granice tečenja, bi se trebali ponašati u skladu sa definiranim karakteristikama materijala kroz: degradaciju uslijed omekšavanja, ojačanja, izvijanja, loma i dr.

6.2 Analiza

Kako je rečeno već više puta i ovdje se ponavlja da poprečne sile treba da se povećavaju inkrementalno na monoton način, a pomenuto inkrementalno povećanje trebalo bi biti tako malo da omogući uočavanje bitnih individualnih promjena u komponentama kao što su tečenje, izvijanje ili lom. Prvi inkrementalni korak trebao bi biti takav da konstrukcija ostane u linearno-elastičnom području. Analiza treba da traje sve dok se ne dosegne pomijeranje koje će iznositi najmanje 150% od ciljnog pomijeranja.

6.3 Projektno pomjeranje

Ciljno pomijeranje δt kontrolne tačke se računa po formuli 31:

g2T

SCC2

ea10t ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π

=δ (31)

Sve vrijednosti koje ulaze u formulu su već objašnjene, a factor modifikacije C0 se dalje računa po jednačini 32:

∑ φ

∑ φ=

=

=n

1i

2ii

n

1iii

0w

wC

∑

∑

=

=

φ

φ=

n

1i

2ii

n

1iii

0

w

wC (32)

gdje su: wi učešće tj. dio od težine W na nivou i, Φi amplituda vektora oblika na nivou i. Očigledna je sličnost ove i jednačine 2. s tim da kod

jednačine 2. figurira masa, a u jednačinu 32. ulazi težina po spratovima.

Za vrijednosti efektivnog osnovnog perioda Te koje su veće od Ts, koeficijent C1 je 1.00. Inače se treba raunati po jednačini 33:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

e

sd

d1 T

T1R1

R1C (33)

Iako su korišteni nešto drugačiji indeksi, ova formula je istovjetna sa jednačinom 25.

Nadalje, faktor duktilnosti Rd se računa po jednačini 34, što je opet varijacija formula 26.i 30. ali bez uključivanja koeficijenata C0 i Cm:

WVS

Ry

ad = (34)


Prilikom seizmičke rehabilitacije za niže objekte (tabela 3), dobiju se potpuno iste vrijednosti faktora čvrsoće, dok za zgrade koje imaju više od tri sprata, faktor čvrstoće je cca 10% veći za potpuno nove objekte nego za one koji se izlažu procesu rehabilitacije.

6.4 Vektor oblika

Vektor oblika bi trebao biti takav da je jednak prvom tonu konstrukcije koji je utvrđen modalnom analizom pri prvom inkrementu horizontalnog opterećenja i normaliziran tako da ima jediničnu amplitudu na mjestu kontrolne tačke.

6.5 Efektivna čvrstoća na granici tečenja i efektivni period

Bilinearna kriva koja treba da zamijeni realnu krivu kapaciteta treba da bude takva da se njen prvi segment poklapa sa krivom kapaciteta na 60% čvrstoće na granici tečenja (Vy), a drugi segmet treba da odgovara krivoj kapaciteta na mjestu njenog ciljnog pomijeranja, a površina koju bilinearna kriva poklapa jednaka površini krive kapaciteta mjereno između koordinatnog početka i ciljnog pomijeranja. Efektivni fundamentalni period se sada računa po jednačini 35:

yy

111e /V

/VTT

ΔΔ

= (35)

gdje su V1, Δ1 i T1 vrijednosti sile, pomijeranja i perioda na prvom inkrementu zadatog bočnog opterećenja.

7 PUSH-OVER ANALIZA PRIMJENOM SOFTWERE-A SAP2000

Ovdje će biti dati objašnjenja i koraci koje treba slijediti prilikom izvođenja push-over analize kompjuter-skim software-om SAP2000 [6]. Prije nego što se počne sa ovom analizom potrebno je izvršiti statičku analizu, a zatim definisati osobine plastičnih zglobova.

7.1 Modeliranje konstrukcije

Prvo je naravno potrebno oformiti model konstrukcije, što uz pomoć kompjuterskog software-a SAP2000 predstavlja brz i jednostavan zadatak. Neka se radi o trodimenzionalnom modelu konstrukcije koji je predstavljen slikom 10.

7.2 Definisanje zglobova

SAP2000 koristi dvije osnovne vrste nelinearnih elemenata: linijski (ramovski/kablovski) elementi kod kojih je definisano nivo pritiska/zatezanja koji mogu primiti i plastični zglobovi. Svaka linearna analiza počinje od neopterećenog (nultog) stanja, i odvija se kao da nisu prisutni nelinearni parametri. Moguće je umetnuti proizvoljan broj zglobova na bilo kojoj lokaciji, a svaki zglob je modeliran kao diskretna tačka na modelu. Sve plastične deformacije, dakle, pomijeranja ili rotacije, dešavaju se unutar ove «tačke» tj. zgloba. Ovo dalje znači da je potrebno odrediti adekvatnu dužinu preko koje će se plastične dilatacije ili krivina integrirati. Ona zapravo predstavlja frakciju od ukupne dužine elementa, a često je funkcija od visine presjeka, posebno za

Slika 10. Osnovni SAP-ov model bez unesenih podataka vezanih za push-over analizu


! Pip!i ..g II 1m .,

zglobove koji primaju moment tj. rotaciju. Također je moguće aproksimirati plastičnost koja je raspoređena preko cijele dužine elementa umetajući više zglobova. Npr. može se umetnuti deset (10) zglobova na relativnim lokacijama unutar elementa koje iznose 0,05; 0,15; 0,25;…0,95. Naravno, umetanje više zglobova povećava vrijeme i trošak analize, a može se desiti da i nemaju značaj ako se ne aktiviraju, tj. ne počnu teći. Prilikom izabiranja ove dužine može se konsultovati sa ATC-om 40 i FEMA-om 273.

SAP2000 posjeduje standardne, već definisane zglobove pa nije potrebno određivati nove. Tačnije postoje dvije osnovne vrste zglobova: standarni zglobovi i zglobovi definisani od strane projektanta kao i generisani zglobovi, međutim samo prva dva tipa mogu biti pridružena ramovskim elementima. Tada program automatski kreira različite osobine zglobova za svaki generisani zglob ponaosob (ovaj postupak će biti detaljnije objašnjen u nastavku).

Zglobovi koji su default opcija u SAP2000 se ne mogu modificirati, a ne mogu se ni vidjeti jer zavise od poprečnog presjeka kome se trebaju pridružiti tj. poprečni presjeci moraju biti određeni u potpunosti kako bi im se zglobovi mogli pridružiti. Nakon toga se mogu revidovati generisani zglobovi. Osobine ovih tipskih zglobova su definisane po kriterijima iz FEMA-e 273 (za čelične konstrukcije) i ATCa-40 (za betonske konstrukcije). U slučaju kada projektant sam definiše plastične zglobove, on opet može usvojiti ponuđene default-opcije ili pak kreirati nove. U prvom slučaju se opet ne mogu vidjeti sve dok se, kako je več rečeno, ne definišu poprečni presjeci. U drugom slučaju, osobine plastičnih zglobova se mogu vidjeti i u svakom trenutku modifikovati. Generirani zglobovi imaju svojevrstan način obilježavanja gdje pored pridruženog broja zgloba obavezno stoji oznaka zgloba-H (hinge) i broj elementa kome je isti pridružen, tj. ako je drugi plastični zglob pridružen nosivom elementu br. 23 (F23-frame) ukupna oznaka zgloba biće: F23H2.

Slika 11. Dijagram sila-deformacija za push-over plastične zglobove

Pri tome SAP2000 ima definisane osobine za četiri

tipa zgloba: Default-M3, Default-P, Default-PMM, Default-V2. Dugme za modificiranje ovih zglobova nije uključeno jer ne postoji mogućnost modificiranja default-nih vrijednosti.

Na slici 11. je pet specifičnih tačaka označenih kao A,B,C,D i E koje su korištene za definisanje ponašanja zglobova i tri stanja koja definišu kriterij prihvatljivosti ovih zglobova: neposredno useljenje (IO-Immidiete Occupancy), bezbijedan po život (LS-Life Safety) i

prevencija kolapsa (CP-Collapse Prevention). Iako je ovo ponuđeni oblik, u biti se može koristiti bilo koji drugi.

Pri tome točka A označava početak, a točka B tečenje. Nikakve deformacije se ne dešavaju u zglobu dok se ne dostigne točka B, dakle one su linearne i dešavaju se u nosivom elementu a ne u zglobu. One plastične deformacije koje će se odvijati u zglobu su svakako iza tačke B, sa naznakom da deformacije u nosivom elementu mogu i dalje biti potpuno elastične. U slučaju da se zglob rastereti elastično, to se odvija paralelno sa krivom A-B. Točka C predstavlja granični kapacitet za push-over analizu. Kada zglob dosegne tačku C na dijagramu sila-deformacija, on će se rasteretiti a sila će se smanjiti. Kada je push-over sila (smičuća sila u osnovi) u plastičnom zglobu dostigla vrijednost koju ima tačka D, pomijeranje opet počinje da raste. Ovo ponašanje je vidljivo kako na kreiranom push-over videu tako i na displeju koji prikazuje push-over krivu sila-pomijeranje. Inače tačke D predstavlja rezidualnu čvrstoću za push-over analizu. Točka E predstavlja totalni lom, ispod koje će zglob odbaciti svo mu pridruženo opterećenje na tačku F (nije prikazana na slici). Ako ne želimo da dođe do ovoga, treba obezbijediti veoma veliki kapacitet deformacije u tački E.

Za svaki stepen slobode sila (aksijalnih i smičućih) može se definisati plastično ponašanje kroz dijagram sila-pomijeranje. Za svaki stepen slobode momenata (savijanja i torzije) može se definisati plastično ponašanje kroz dijagram moment-rotacija. Moguća je interakcija aksijalne sile i dva (2) momenta savijanja oko različitih osovina.

U prozoru Force (vertikalna osovina)-Displacement (horizontalna osovina) izabrana je simetrična verzija dijagrama: tada je gornji dio tablice obojen u sivo. Ovo su default-ne vrijednosti i ne treba ih mijenjati. Ukoliko se pak ne odlučimo za simetričnu verziju (Symmetric) gornji dio tablice nije više siv kao što druga kolona u prozoru u kojem se definiše kriterij prihvatljivosti Acceptance Criteria -Negative nije više neaktivna.

U prozoru za skaliranje sile i pomijeranja (Scaling for Force and Disp.) treba zadržati ponuđene vrijednosti, koje će uzeti već naznačene sile i pomijeranja (Use Yield Force, Use Yield Disp). U protivnom je moguće ukucati proizvoljni faktor skaliranja (Force SF, Disp SF) u prozoru za pozitivne (Positive) i negativne (Negative) koordinate u zavisnosti da li je simetrična (Symmetric) opcija dijagrama selektovana ili ne. Dakle, pored direktnog ukucavanja vrijednoti i sile, moguće je unijeti normalizirane, a potom odrediti skalirajući faktor. Najčešći slučaj je da se dijagram normalizira silom (momentom) tečenja i pomijeranjem (rotacijom) na granici velikih izduženja, tako da je normalizirana vrijednost koju treba unijeti za tačku B (1,1). Ali, može se koristiti bilo koji skalirajući faktor. Kada se koriste default-ne vrijednosti plastičnih zglobova, program automatski koristi vrijednosi na granici tečenja prilikom skaliranja. Te vrijednosti su izračunate iz osobina poprečnih presjeka.

U prozoru gdje se definiše kriterij prihvatljivosti (Acceptance Criteria) treba prihvatiti predložene default-ne vrijednosti, koje mogu ali i ne moraju biti predstavljene na grafičkoj krivoj. Radi se o pomenutim stanjima sa slike 11. (IO-Immidiete Occupancy, LS-Life Safety, CP-Collapse Prevention) Inače, ako se žele unijeti druge vrijednosti treba znati da se one odnose na


CB

LSCP• flot: D E;..A

Dl'rOI"malioli

omjer između pomijeranja i pomijeranja na granici tečenja.

U prozoru gdje se definiše tip (Type) treba ostaviti već odabranu opciju sila-pomijeranje (Force-Displacement) koja predstavlja zapravo način kontrolisanja ponašanja zglobova. Kada je specificirana opcija naponi-diletacije (Stress-Strain) mora se dati i dužina zgloba (Hinge Length) koja može biti unešena kao apsolutna ili relativna (Relative Length). Ova mogućnost je dostupna samo ako postoje plastični zglobovi koji primaju aksijalne i smičuće sile. Opet, ako je ova opcija izabrana, program će automatski transformirati te vrijednosti u podatke za silu i pomijeranja, računajući silu na taj način što će napon pomnožiti sa površinom poprečnog presjeka (σA) za zglobove koji primaju aksijalnu silu i napone smicanja sa smičućom površinom poprečnog presjeka (σAv) za zglobove koji primaju smičuću silu. Pomijeranje se računa kao dilatacija ε pomnožena sa dužinom zgloba L (εL).Opisani prozor se vidi na slici 12.

Slika 12. Osobine plastičnih zglobova

7.3 Pridruživanje plastičnih zglobova

Pomenute default-ne osobine zglobova se pridružuju na sljedeći način: Default-PMM stubovima, Default-M3 gredama I Default-P ukrućenjima. Potrebno je unijeti vrijednosti relativnog položaja (Relative Distance) zgloba na gredi čiji su krajevi označeni sa ij. Ovdje 0 znači da se zglob nalazi na kraju grede i, a 1 znači da se zglob nalazi na kraju j. Na slici 13. je prikazan postupak pridruživanja jedne vrste zgloba, istu proceduru treba ponoviti i za ostale tipove.

Slika 13. Pridruživanje push-over zglobova

7.4 Pregled osobina generisanih push-over zglobova

Ovaj korak je proizvoljan, tj. može se i izbjeći ukoliko nismo zainteresovani za pregled osobina generisanih push-over zglobova. Inače, korisnik software-a, može imati samo uvid u generisane zglobove, nikako ih mijenjati, jer su oni neaktivni što je predstavljeno sivom bojom, kao što se vidi na slici 14. Isto tako se da uočiti da su generisani zglobovi simetrični.

Slika 14. Pregled osobina generisanih push-over

zglobova


rame Hinges (Pushover)

Frame Hinge Dala------------------,

Hinge Propert~ Relalive Dislance

JDelaull-M3 :::.:J J1

Defaull-M3 o Add

Modif~

Delele

OK Cancel I

---=- ~~----------- -_. -------

Frame Hinge Property Data for FH1 - V2

Edit

I Point '1-I D- II C- '1-

Force/SF-02-0.2-L25

·1

Di,p/SF-8-6-6 L

I A I-I C I L250,

I D I- 0.202

6,8, P' l8i~~~i;R.i~i~~li;lig

P' Symmetric

Frame Hinge Property Data For lOHl - M3

Edit

Scaling for Force and Disp,----------------

Immediate 0 ccupanc'y 12,Lile Salety r"14"',----

Collapse Prevention 16,r Show Acceptance Criteria on Plot

Acceptance Criteria (Plastic Disp/S F)

Point Momenl/SF Rotalion/SFE- -0.4 -95D- -0.4 -7.5

.....LC' ,1.195 -7.5

B, ,1 "

A 0 0 I"RB 1- 1-C 1.195 7.5D 0.4 7.5

P' l8i6g~i~R.iQi~~li~ligE 04 95P' Symmetric

Scaling lor Moment and RolationPositive Negalive

r U,e Yield Moment Moment SF 14032. Ir U,e Yield Rolalion Rolalion SF 13.749E,03 I

Acceplance Crileria (Pla,lic Rolalion/S F)Positive Negalive

Immediale Dccupancy 115 ILife Safely 15 ICollapse Prevention 165 I

I OK ICancel I

Negative

NegativePositive

Positive

Force SF

Di,p SF

P' U'e Yield Force

P' U,e Yield Di,p

Type

e;' Force - Displacement

r Stress Strain

Hinge Lenglh

r Relative Length

7.5 D

efiniranje slučajeva opterećenja nelinearne statičke analize

Sada je

potrebno definirati

push-over

slučajeve opterećenja, slika 15. U

SAP-u2000 moguće je definisati

više od jednog slučaja opterećenja u isto vrijeme, pri

čemu se prvi slučaj odnosi na gravitaciono, a ostalih pet

na bočna

tj. horizontalna

opterećenja. Prije

svega potrebno je već urađenu statičku analizu preim

enovati u nelinearnu. Sljedeći slučaj opterećenja u im

enu slučaja opterećenja ( A

nalysis Case N

ame) m

ože se nazvati npr. G

RA

V, a među početnim

uslovima (Initial C

onditions) naznačiti da ono počinje od prethodnog nelinearnog slučaja (C

ontinue from S

tate at End of N

onlinear Case)

tj. od stalnog opterećenja ( Dead). O

vdje smo uključili

ukupno stalno kao i 25 % korisnog opterećenja. Sljedeći

slučaj push-over opterećenja će početi od ovog tj. od G

RA

V. Tip analize (Analyze Type) je svakako podešen

na nelinearnu ( Nonlinear). M

eđu drugim param

etrima

(Other

Param

eters): načinu

nanošenja opterećenja

( Load A

pplication), rezultatim

a koji

će se

zapisati (R

esults Saved) i nelinearnim

parametrim

a (Nonlinear

Param

eters ), treba izabrati sljedeće:

• rezultate treba naravno čuvati ne sam

o za krajnje stanje konstrukcije ( Final S

tate Only) već za više njenih

stanja kroz koje će proći ( Multiple S

tates). Od interesa je

da se

sačuvaju pom

ijeranja sa

samo

pozitivnim

tj. rastućim

inkrementim

a, •

pažljivo je

potrebno definisati

vrijednost m

inimalnog i m

aksimalnog broja koraka ( M

inimum

and M

aximum

Saved S

teps). Ovim

se određuje broj tačaka koje

treba m

emorirati

u push-over

analizi. Ako

je m

inimalni

broj koraka

premali

nema

dovoljnog broja

tačaka da se adekvatno napravi push-over kriva. Ako je

pak, broj minim

alnih i maksim

alnih koraka previše velik, analiza m

ože uzeti prilično vremena kao i prostora na

disku. Maksim

alna dužina koraka je jednaka ukupnoj sili ili

pomijeranjim

a podijeljenih

sa specificiranim

m

inimalnim

brojem sačuvanih koraka. P

rogram počinje

zapisujući korake na ovom inkrem

entu. Ako se određeni događaj

desi u

trenutku koji

je m

anji od

ovog inkrem

enta, program će spasiti ovaj korak također. N

pr. ako su m

inimalni i m

aksimalni sačuvani koraci 20 i 30, a

push-over je podešen na kontrolisano pomijeranje od 10

cm.

Maksim

alni inkrem

entalni sačuvani

korak je

10/20=0,5 cm, pa će se podaci čuvati na svakih 0,5, 1,

1,5, 2, 2,5 cm. Ako se određeni događaj desi na npr. 2,7

cm, ti podaci će se isto tako spasiti ali će sljedeći

sačuvani podaci biti na 3,2, 3,7, 4,2, 4,7, 5,2, 5,7, 6,2, 6,7, 7,2, 7,7, 8,2, 8,7, 9,2, 9,7 i 10 cm

.

• da

se ponašanje

konstrukcije kontroliše

kroz pom

ijeranja do određene m

agnitude, a ne kroz sile (izuzev za slučaj opterećenja G

RA

V) i da se naznači čvor ( C

ontrol Joint) koji se želi kontrolisati kao i pravac (C

ontrol Direction) u kojem

se želi ići,

Slika 15. D

efinisanje slučajeva opterećenja za nelinearnu statičku analizu

MATER

IJALI I KO

NSTR

UKC

IJE 50 (2007) 1-2 (20-38) 34

J

o

t

[o " 0 ~ ~

Hq~w~ ~ io

i

O)'i:~n N n !!Cfa q ;~~i:S~S< ~ n ~~ co g Z

- It ~o r ~ ~ 3"9 ~ ~ ~- !S.. ~ 0a~"' co

~ ~ a. ~~ - '" -B' z ~

< ~ c

~. ~ ~

~,~,~ I,

IIrJrr~ .~

~ Ii < ~l ~ • H

-~ [!

I'IJ~ iIl-,D o

•

, 0 r

• r, I, C<l" ~

~~~ J

<

~I ~I ~~ ~ ,!

~~

Z :Il r 0

~ a ' <, " < '"'" ~ ~ ~~ 2.. ~ ii g ~

~.~. ~.iii! ! !

Maksimalni broj sačuvanih koraka kontroliše broj događaja od važnosti za koji će se sačuvati podaci. Program će uvijek doseći ciljanu vrijednost sile ili definisanog pomijeranja unutar specificiranog broja sačuvanih koraka. Ali, npr. ako je minimalni broj sačuvanih koraka 20, a maksimalni na 21, a push-over analiza je podešena na 10 cm, tada će maksimalni broj sačuvanih koraka biti na 10/20=0,5 cm, pa su podaci memorisani na 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5 cm. Pretpostavimo da se određeni događaj dešava na 2,7 cm. I ovaj podatak će biti zapisan, a analiza nastavlja sa 3,2 i 3,7 cm. Ako se drugi bitan događaj desi na 3,9 cm program ga neće zapisati.

Ako je potrebno, može se definisati i maksimalni broj koraka (Maximum Failed Steps) jer program možda neće moći konvergirati u trenutku kada se desi lom u konstrukciji ili zbog npr. numeričke osjetljivosti rješenja. Maksimalni broj koraka je kumulativne prirode kroz cijelu analizu. Kada se on dosegne, analiza se zaustavlja.

Slika 16. Grafičko objašnjenje kako SAP2000 tretira

pojavu zglobova u zavisnosti od tolerancije sile i pomijeranja

Tolerancija sile ili pomijeranja (Event Force

Tolerance, Event Displacement Tolerance) predstavlja odnos koji se koristi da bi se odredilo kada se specifični događaj dešava za konkretan zglob, a značenje mu je predstavljeno na Slici 16.

Naime, na dijagramu sila-deformacija predstavljeni su položaji dva zgloba. Zglob 1 se već formirao, a ako je na dijagramu dovoljno mala vrijednost tolerancije sile i pomijeranja, onda će i drugi zglob biti tretiran kao dio ovog spomenutog događaja. Ako je tolerancija sile (Force Tolerance) podijeljena sa silom na granici tečenja (Yield Force) manja od događaja koji definiše toleranciju sile, a tolerancija pomijeranja podijeljena sa horizontalnom rastojanju od B do C manja od događaja koji definiše toleranciju pomijeranja, drugi zglob biće shvaćen kao dio prethodnog događaja. Kada se određuje omjer tolerancije sile, denominator je uvijek sila tečenja, a kada se određuje omjer pomijeranja, denominator je horizontalna dužina između dva zgloba na dijagramu sila-pomijeranje. Na slici 16. drugi zglob se nalazi na dijelu B-C pa će to biti uzeto kao vrijednost denominatora.

• na projektantu je da odluči koliki će biti broj nanesenih poprečnih opterećenja, međutim SAP2000 preporučuje pet (5) različitih. Npr. moguće je izabrati da način nanošenja opterećenja (Load Type) bude ubrzanje u pravcu x (acc dir X), ubrzanje u pravcu y (acc dir Y),

oboje istovremeno (acc dir X, acc dir Y), modalno (Modal) i druge kombinacije sa odgovarajućim faktorima skaliranja (Scale Factor).

7.6 Izvršenje push-over analize

Prije početka push-over analize, potrebno je uraditi statičku analizu, dimenzionirati poprečne presjeke, definisati plastične zglobove i definisati slučajeve opterećenja.

7.7 Prikazivanje push-over krive i krive spektra kapaciteta

Rezultati push-over analize (dijagram: smičuća sila u osnovi-pomijeranje) biće predstavljeni grafički kao što je dato na slici 17. pri čemu je iscrtano zapravo pomijeranje posmatranog čvora u specificiranom pravcu a ne rezultanto pomijeranje. Padovi na krivoj upućuju na to da zglobovi dostižu određena specifirana stanja o kojima je već nekoliko puta bilo riječi. Pošto je naznačeno da želimo plotati dijagram smičuća sila-pomijeranje, a ne spektar kapaciteta u prozoru koji određuje tip crteža (Plot Type), prozor sa spektrom (Demand Spectrum) je neaktivan. Ispod samog crteža četiri su prozora: jedan koji pokazuje lokaciju kursora koji je aktivan upravo ako je iscrtan ovakav dijagram (Cursor Location), a ostala tri određuju tačke ponašanja (Performance Point: V,D; Sa,Sd;Teff,βeff). Pri bilo kom položaju kursora dobijemo vrijednost njegovih koordinata u prvom prozoru dok su ostala tri prozora aktivna samo kada je spektar kapaciteta uključen. Tačka koja definiše globalno ponašanje konstrukcije (Performance Point) se može očitati usmjeravanjem miša na presjek između ADRS push-over krive i spektra seizmičkog zahtijeva pri čemu prva vrijednost u prostoru za detekciju položaja kursora označava položaj na horizontalnoj osovini, a druga koordinata je na vertikalnoj. Iako može da izgleda da konstrukcija ima zadovoljavajući globalni kapacitet, potrebno je provjeriti šta se dešava na lokalnom nivou (Performance Point, Teff,βeff).

Sljedeća opcija ponuđena u tipu crteža je spektar kapaciteta koji je plotan u ADRS formatu (Acceleration-Displacement Response Spectrum) tj. na apscisi je spektralno pomijeranje (Spectral Displacement), a na ordinati spektralno ubrzanje (Spectral Acceleration). SAP2000 automatski vrši konvertovanje krive sila-pomijeranje u ADRS format tako što smičuća sila prelazi u spektralno ubrzanje, Sa, a pomijeranje u kontrolisanom pravcu u spektralno pomijeranje, Sd. Seizmički koeficijenti Ca i Cv su podešeni na default-ne 0.4, a mogu biti promjenjeni za vrijednosti oko kojih se može konsultovati ATC40, Poglavlje 4. Za njihove veće vrijednosti, dobiva se «viši» i «razvučeniji» spektar seizmičkih zahtijeva, a spektar kapaciteta je naravno nepromjenjen. Ove vrijednosti kontrolišu oblik 5% prigušenog spektra. U zavisnosti od stepena prigušenja (postoje četiri opcije) moguće je predstaviti čitavu familiju spektra tj. krivih (Show Family of Demand Spectra). Ako bi se ukucala nula ili prozor sa prigušenjem (Damping Ratios) ostavio prazan, dotična kriva ne bi bila iscrtana. Moguće je ukucati vrijednosti između 0 i 1 što zapravo znači da nema prigušenja odnosno da je ono 100%. Nije neophodno ukucati vrijednosti prigušenja u striktno


rastućem ili opadajućem nizu. Ako je prigušenje npr. 5% od kritičnog treba unijeti vrijednost 0,05 a ne 5. Također, preporučuje se selektirati prozore koji uključuju opcije: Show Single Demand Spectrum (Variable Damping) i

Show Constant Period Lines at i ostaviti default-ne vrijednosti. Birajući opciju koja prikazuje pojedinačni spektar seizmičkog zahtjeva sa različitim prigušenjima

Slika 17. Grafički prikaz rezultata push-over analize, 1

Slika 18. Grafički prikaz rezultata push-over analize, 2


=i1e View

-Color

104

104

IpUSH

rUser~~~~ I= -=-~

ReseIDelaultCo~; -

r--- r--- r--- r---Color rColor r-

r--- r--- r--- r---

Static Nonlinear Case

Seismic Coefficient Cv

P Show Family of Demand Speclra

Damping Ratios

P Show Single Demand Spectrumrvariabfe Damping)

P Show Conslant Period Lines at

Plot Type

(: Resultant Base Shear vs Monitored Displacement

r Capacity Spectrum Color

Demand Spectrum---------------,

Seismic Coefficient Ca

Damping Parameters--:-----:---------;;:;;::===-lInherenl + Addilional Damping 10.05

Structural Behavior T}Ipe

rAr.'B rc

;:;'il'"..c::..!@

CCl

Displacement

Perlormance Poinl rv ,D I

Perlormance Poinl {S a,S dl

Perlormance Poinl {T elf,Belfl

Cursor Location

''''1''''1''''1''''1''''1''''1''''1''''1''''1''''115 30 45 60 75 90 105 120 135 150

150.

135.

120

105.

90.

75.

60.

45.

30.

15.

USHOYER CURYE - CASE PUSH

File View

I-Color

Color

104

104

IpUSH

Color rColor r-

~r;:---~~

Static Nonlinear Case

Seismic Coefficient Cv

Seismic Coefficient Ca

P Show Family of Demand Spectra

Damping Ratios

~ro:;---~~

P Show Single Demand Spectrumrvariable Damping)

P Show Conslanl Period Lines at

Demand Spectrum

Piol Type

r Resultant Base Shear vs Monitored Displacement

Damping Parameters--::------~;:;;:===I

Inherenl + Additional Damping 10.05

Struclural Behavior Type

rA r.'B rc

10574,2019 I

10.560,0073 I

(87407,1.606 )Performance Poinl rv ,D I

Performance Poinl (Sa,Sd)

Performance Poinl (T eff,Belfl

Cursor Location

Spectral Displacement

11111111111111111111111111111111111111111111111111

4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0 28.0 32.0 36.0 40.0

100

090

O.BO

0.70

0.60

0.50

040

0.30

0.20

0.10

Override A,is Labefs/Range... Resel DefaultCo~;

(Show Single Demand Spectrum-Variable Damping) znači da će biti prikazan samo jedan, zadati spektar seizmičkog zahtjeva. Ta kriva je konstruisana sljedeći ove korake:

• crta se radijalna linija iz koordinatnog početka u ADRS formatu koja je zapravo linija konstantnog perioda,

• izračuna se prigušenje ispod presječne tačke linije konstantnog perioda i push-over krive na osnovu površine zahvaćene ispod, počevši od koordinate 0,0 do pomenute presječne tačke,

• konstruiše se spektar seizmičkog zahtijeva sa izračunatim prigušenjem iz prethodne tačke,

• presjek između radijalne linije konstantnog perioda i prigušenog spektra seizmičkog zahtijeva daje tačku na ovom pojedinačnom spektru, slika 19. (Single Demand Spectrum-Variable Damping).

Inače, za veće vrijednosti konstantnih perioda dobiva se njegova položenija linija.

Slika 19. Objašnjenja iznalaženja vrijednosti za opciju u SAP-u: Show Single Demand Spectrum-Variable Damping

Ova metoda je slična proceduri B u Poglavlju br.8

ATC-a 40 osim što se ne podudaraju u pojednostavljenoj pretpostavci da krutost nakon dostizanja granice velikih izduženja ostaje konstantna. Inače, procedura C Poglavlja br.8 ATC-a 40 je deklarisana kao «tačna». Opcija sa konstantnim periodima (Show Constant Period Lines at) je uključena, a to zapravo znači da se u ADRS formatu dodaju linije koje se radijalno šire iz

koordinatnog početka. Ukoliko se izostavi ili ukuca 0 u jednom od polja, ta linija neće biti ni iscrtana.

Konačno se stiže i do posljednjeg prozora koji se odnosi na parametre prigušenja (Damping Parameters). Ulazi se sa 5% viskoznog prigušenja, a ako postoji dodatno prigušenje u konstrukciji, npr. od viskoznih dampera koji nisu posebno uključeni u model tada bi i to prigušenje trebalo biti uključeno i upisano u ovo polje. Npr. ako je svojstveno prigušenje konstrukcije 5% od kritičnog, a od dampera 7%, tada će ukupno prigušenje biti 12% od kritičnog tj. 0,05+0,07=0,12. Ukoliko je prigušenje veće, spektar seizmičkog zahtjeva je «niži» tj. «manji».

U programu su ponuđene četiri opcije koje određuju ponašanje konstrukcije (Structural Behavior Type): A, B, C i ono koje može biti definisano od strane korisnika programa. Pomenuti tipovi ponašanja konstrukcije definišu faktor kapa-κ koji reducira pretpostavljeno prigušenje uzeto iz ATC-a 40, Sekcija 8.2.2.1.1. tako što reducira izračunatu površinu histerezisne krive kako bi uzeo u obzir sužavanje petlje. Projektant može sam mijenjati zadate vrijednosti u opciji User.

7.8 Rezultati analize

Nakon izvršenja analize, imamo rezultate koji porede kapacitet zahtjevom ili rezultate za push-over krivu. U tablici broj 4. postoji opcija korak (Step) koja definiše broj koraka push-over krive, Teff je efektivni period spomenutog koraka, βeff je efektivno prigušenje spomenutog koraka, Sd(C) i Sa(C) predstavljaju tačke na krivi kapaciteta u ADRS formatu za pomenuti korak, Sd(D) i Sa(D) su tačke na spektru seizmičkog zahtijeva (za različita prigušenja) za pomenuti korak, alpha je faktor koji konvertira smičuću silu u osnovi u spektralno ubrzanje i PF*Φ faktor koji konvertira pomijeranje u spektralno pomijeranje.

Ako se selektuje opcija smičuća sila-kontrolno pomijeranje (Base shear vs Control Displacement) u tipu crteža (Plot Type), pojaviće se tablica 5. Pored koraka (Step) koji definiše broj koraka push-over krive tu je i pomijeranje (Displacement) i smičuća sila u osnovi (Base Shear) za taj korak. U produžetku se očitava totalni broj zglobova u rangu specificirane podjele unutar krive sila-pomijeranje, a na kraju je ukupan broj plastičnih zglobova (Total) za pridruženi korak.

Tabela 4. Rezultati analize koji porede push-over kapacitet sa seizmičkim zahtjevom


mpUSHOYER CAPACITY/DEMAND COMPARISON

File

Step Teff neff Sd(C) Sa(C) Sd(D) Sa(D) lU...PHA

0 0.H4 0.050 0.000 0.000 5.023 1. 941 1. 000 ....1 0.514 0.050 1. 265 0.490 5.023 1. 941 0.982

2 0.159 0.112 5.258 0.933 5.150 0.913 0.929

3 2.116 0.356 25.114 0.544 11. 916 0.251 0.685

4 2.241 0.358 26.581 0.541 12.213 0.250 0.109

5 2.301 0.360 28.034 0.542 12.599 0.243 0.129

6 2.356 0.362 29.523 0.544 12.900 0.238 0.141

1 2.406 0.364 31. 042 0.548 13.119 0.233 0.162 l:J

Tabela 5. Rezultati analize za push-over krivu

8 LITERATURA

[1] FEMA Publication 274 (Federal Emergency Management Agency), NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of buildings (October 1997).

[2] FEMA Publication 273 (Federal Emergency Management Agency), NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of buildings (October 1997).

[3] FEMA 356 (Federal Emergency Management Agency), Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings (November 2000).

[4] FEMA 440 (Federal Emergency Management Agency) Improvement of Nonlinear Static Seismic rehabilitation of Buildings, (2004).

[5] FEMA 450 (Federal Emergency Management Agency) Improvement of Nonlinear Static Seismic rehabilitation of Buildings, (2004).

[6] SAP2000, Integrated Finite Elements Analysis and Design of Structures, Detailed Tutorial Including Pushover Analysis, Computers and Structures, Inc. Berkeley, California, USA.

REZIME

NELINEARNA STATIČKA ANALIZA PO PREPORUKAMA FEME 273, 274, 356, 440 I 450 I NJENA PRAKTIČNA PRIMJENA UZ POMOĆ KOMPJUTERSKOG SOFTWARE-A SAP2000


Prema nelinearnoj statičkoj analizi poprečne sile se raspoređuju po visini matematičkog modela konstrukcije i inkrementalno povećavaju sve do nadmašivanja ciljnog pomijeranja ili kolapsa zgrade. Pri tome se kontinuirano prate projektne sile i pomijeranja. Proces neelastične analize je sličan konvencionalnoj statičkoj proceduri koja se sprovodi pri uobičajenim procedurama projektovanja konstrukcije. Sile koje se nanose su statičke, kao i cela procedura, model je linearno-elastičan iako je odgovor konstrukcije vrlo često u nelinearnom području. U radu su priloženi i sortirani komentari iz FEMA-e 273, FEMA-e 274, FEMA-e 356 i FEMA-e 440 koje detaljno tretiraju ovu problematiku. U zadnjem poglavlju ovog rada data su objašnjenja kako se ova procedura sprovodi pomoću kompjuterskog paketa SAP2000. Analiza je nazvana još i kao " push-over" analiza.

Ključne riječi: nelinearna statička analiza," push-over" analiza, FEMA, SAP2000

SUMMARY

NONLINEAR STATIC ANALYSIS ACCORDING TO FEMA 273, 274, 356, 440 AND 450 AND IT'S PRACTICAL APPLICATION WITH SOFTWARE SAP2000


According to the nonlinear static procedure, lateral forces are applied vertically over the height of a mathematical model and incrementally increasing until either a target displacement is exceeded or the building collapses. Design forces and displacements are monitored continuously. The process of the inelastic analysis is similar to conventional static procedure that is carried out during the usually designs of the structures. The forces subjected are static as like as the whole procedure, the model is linear-elastic although the response of the structure is very often in nonlinear range. In this paper are given and sorted the comments of FEMA 273, FEMA 274, FEMA 356 and FEMA 440 that treat this problem very systematically. The explanation how to carry out this procedure using analysis software SAP2000 is given in the last chapter. The analysis is also called push-over analysis.

Key words: nonlinear static analysis, pushover analysis, FEMA, SAP2000


"*""1:""4 j ....".\1 xl

'" '>0Stell OJ.q'l.c........t ....11 She"", .-. "-10 lO-U LS-CP o-c e-D N T<n'"0 •. 002r:·0~ 0.0000 ., 0 0 0 0 0 0 0 ., -• 0.0&8&

._-28.:)100' - ., 0 0 0 0 0 0 0 .., 0.096& ~6.1411 .. 0 0 0 0 0 0 0 .., O.Utt II~ .1.121 .. 0 0 0 0 0 0 0 .,

• 0.tn6 109.~8U_ ", 0 0 0 0 0 0 .., 0 2336 125.1036 ", 0 0 0 0 0 0 .., 0.2J98 121.1146 .. • 0 0 0 0 0 0 .., 0.2818 1.36.8051 .. • 0 0 0 0 0 0 .., 0 JJ58 U6.4968 .. • 0 0 0 0 0 0 .., 0 3190 IH.9U6 " • , 0 0 0 0 0 "" 0 ~UO !SS. U92 .. , , 0 0 0 0 0 "H 0 41H 158.5150 " • , 0 0 0 0 0 "" o .63. !S9. &686 " • • 0 0 0 0 0 ..

" 0 nu 160.3621 " • • 0 0 0 0 0 "" 0 ~S94 161. 2Sn " • • 0 0 0 0 0 .." 0.60H 162.U92 "

, , 0 0 0 0 0 .... o.nSf. 163.0428 " 0 , 0 0 0 0 0 "" o 103. 163.9364 " 0 • 0 0 0 0 0 .." o 15U 16:.8'299 " 0 , 0 0 0 0 0 ..." o 1!19. 165. 1235 " 0 , 0 0 0 0 0 ., C

" O.8H~ 166.6110 " 0 , 0 0 0 0 0 "" 0_8!15~ 161.5106 " 0 , , 0 0 0 0 .. ~

Documents

NELINEARNA STATI KA ANALIZA PO PREPORUKAMA FEME 273, …scindeks-clanci.ceon.rs/data/pdf/0543-0798/2007/0543-07980702020V.pdf · nelinearna statiČka analiza po preporukama feme 273,