8^ Lezione

•• EEqquuaazziioonnii ggoonniioommeettrr iicchhee ..

•• EEqquuaazziioonnii lliinneeaarrii (( 11°° ggrraaddoo )) iinn sseennoo ,, ccoosseennoo ee ttaannggeennttee ..

•• EEqquuaazziioonnii ccoommpplleettee ddii 22°° ggrraaddoo iinn sseennoo ,, ccoosseennoo ee ttaannggeennttee ..

•• EEqquuaazziioonnii oommooggeenneeee ddii 11°° ee 22°° iinn sseennoo ee ccoosseennoo ..

•• EEqquuaazziioonnii lliinneeaarrii iinn sseennoo ee ccoosseennoo ..

•• EEqquuaazziioonnii rriiccoonndduucciibbiillii aallllee oommooggeenneeee ..

• DDiisseeqquuaazziioonnii ggoonniioommeettrriicchhee .

Corso di Analisi: Algebra di Base

•• Allegato Esercizi .

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Così come per le equazioni algebriche , anche per quelle goniometriche il significato non varia.Risolvere quindi un’equazione significa determinare quel particolare valore da assegnare allavariabile x ( intesa come angolo ) cosichè la eguaglianza sia verificata.

EQUAZIONI LINEARI ( 1° GRADO ) IN SENO , COSENO E TANGENTE

0sen =+ bxa ⇒ sen xb

a= −

es: 2 1 0sen x + = ⇒ sen x = −1

2 ⇒

x k

x k

1

2

7

62

11

62

= +

= +

π π

π π k=0,1,2,….n

x1

7

6= π − 1

2 x2

11

6= π

Es: 2 1 0cosx − = ⇒ cos x = =1

2

2

2 ⇒

x k

x k

1

2

42

7

42

= +

= +

ππ

π π

Es: 013 =−tgx ⇒ 3

3

3

1+=+=tgx ⇒

ππ

ππ

kx

kx

26

7

26

1

2

1

+=

+=

ππ

kx +=62

1

x1 6=

π

π6

72 =x

3

3

2

2

x1 4=

π

x2

7

4= π

EQUAZIONI COMPLETE DI 2° GRADO IN SENO , COSENO E TANGENTE

2 3 1 02sen senx x− + = possiamo pensare di sostituire al senx la variabile y avendo così l'equazione di 2° grado relativa :

2 3 1 02y y− + = ⇒ yy

y1

2

1

2

3 9 8

4

12

1=

± −=

=

=

e ricordando della sostituzione sopra:

1sen

21sen

=

=

x

x

ππ

ππππ

kx

kxkx

22

26

5,2

6

3

21

+=

+=+=

0cos2cos2 =− xx si può comunque , in questo caso , procedere anche tramite un raccoglimento :

( )cos cosx x − =2 0 da cui cos

cos

x

x

==

0

2

x k

x

= +

/∀ ∈ ℜ

ππ

2

tan g x2 1 0− = di qui : tan gx = ±1 per cui x k= +π π4 2

.

0sensen2 =++ cxbxa

EQUAZIONI OMOGENEE DI 1° e 2° GRADO IN SENO E COSENO

Si risolvono dividendo per cosx , cos2 x , escludendo quei valori per i quali cosx = 0 .

Es. 2 2 0sen cosx x+ = ⇒ 2 2 0sen

cos

cos

cos

x

x

x

x+ = ⇒ tgx + =1 0

cos x ≠ 0 ⇒ x k≠ ±π

π2

tgx = −1 ⇒ x k= +3

4π π

valori accettabili poiché diversi da quelli esclusi.

3

4π

π4

7

0cossen =+ xbxa 0cossen 22 =+ xbxa

Es. 2 3 02 2sen sen cos cosx x x x+ + =

dividendo tutti i termini per cos2 x : 2 3 1 02tg x tgx+ + =

e risolvendo l'equazione di 2° grado in tgx si ottiene :

tgx

tgx

tgx1

2

3 9 8

4

1

1

2

1

2

=− ± −

== −

= −

da cui :

x k

x

1

2

3

41

2

= +

= −

π π

arctg

EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO

Si risolvono mediante sostituzione , ponendo sen xtg x

tg x=

+

2 2

1 22

, cosxtg x

tg x=

−

+

1 2

1 2

2

2 , tg x t2 = .

quindi si ha : sen xt

t=

+2

1 2 , cosxt

t=

−+

1

1

2

2 .

Es. 2 3 2 0sen cosx x+ − =

22

13

1

12 02

2

2

t

t

t

t++

−+

− = 4 3 3 2 2

10

2 2

2

t t t

t

+ − − −+

= − + + =5 4 1 02t t

con 1 02+ ≠t ⇒ ∀ ∈ ℜt .

0cossen =++ cxbxa

0145 2 =−− tt ⇒

−=

−==

+±−=

5

1

1

10

20164

2

1

21 t

tt

e quindi :

5

1

2

12

−=

−=

xtg

xtg

⇒ )

5

1arctg(

2

4

3

2

−=

+=

x

kx

ππ

⇒ )

5

1arctg(2

22

3

−=

+=

x

kx ππ

EQUAZIONI RICONDUCIBILI ALLE OMOGENEE

Si risolvono moltiplicando il termine noto per ( sen cos2 2x x+ ) .

Es. sen sen cos cos2 22 2x x x x− + =

( )sen sen cos cos sen cos2 2 2 22 2x x x x x x− + = + infatti ( )sen cos2 2 1x x+ =

sen sen cos cos sen cos2 2 2 22 2 2x x x x x x− + = +

sen cos sen cos2 2 2 0x x x x+ + = e dividendo per cos2 x :

tg x tgx2 2 1 0+ + = ⇒ ( )tgx + =1 02

⇒ tgx = −1 ⇒ x k= +3

4π π .

dxcxxbxa =++ 22 coscossensen

DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Per qualunque tipo di disequazione , ci comporteremo nello stesso modo e con la medesimaprocedura che abbiamo usato per le corrispondenti equazioni .

Es. 2 1 0cosx − > ⇒ cos x >1

2

da cui avremo : 0 23

2+ < < +k x kππ

π , 5

32 2 2π π π π+ < < +k x k .

Es. 3 0sen cosx x− ≤

dividendo i termini per cosx : 3 1 0tgx − ≤ .

NOTA BENE: La risoluzione della disequazione sopra non corrisponde alla risoluzione della disequazione data ; tutto questo poiché il coseno, termine che esprime il divisore , può assumere valori sia positivi che negativi . Ecco quindi che sarà necessario mettere a grafico finale i risultati parziali che esprimono i corrispondenti segni.

Avremo allora: 3 1 0tgx − ≤ ⇒ tgx ≤3

3

2

1

π3

5

3π

06

+ ≤ ≤ +k x kππ

π , π

π π π2

7

6+ ≤ ≤ +k x k

3

22 2π π π π+ ≤ ≤ +k x k

cos x > 0 ⇒ 0 22

2+ < < +k x kππ

π , 3

22 2 2π π π π+ < < +k x k

e quindi la disequazione iniziale è soddisfatta per : π

π π π6

27

62+ ≤ ≤ +k x k , x ≠

π2

.

0 +π6

+π2

+5

6π +π +

7

6π +

3

2π + 2π

+ - - + +

+5

6π

3

3 +

π6

+ π6

7 + π

6

11

0

+π2

+3

2π

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI GONIOMETRICHE

ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

Esercizi della 8°lezione di Algebra di base

Torna all'indice degli esercizi

Nasconde le soluzioni

Visualizza le soluzioni di tutti gli esercizi

Visualizza solo la soluzione dell'esercizio

USO DEI PULSANTI

Torna all'indice della lezione

Risolvere le seguenti equazioni goniometriche :

1. 01sen2 =+x

−−++=

−−++=

⇒−=⇒=+

ππππ

ππππ

kkx

kkx

xx

24

12

4

7

24

32

4

5

2

1sen01sen2

2

1

2. 03cos2 =−x

+−=

++=⇒=⇒=−

πππ

ππ

kx

kxxx

26

26

2

3cos03cos2

2

1

2

1−

π4

5+ π

4

7+

6

π+

2

3

6

π−

3. 033 =+tgx

++=⇒−=⇒−=⇒=+ ππ kxtgxtgxtgx3

23

3

3033

4. 0cos2sen =+ xx

( )

ππππ

ππ

kxkx

kx

x

x

x

x

xxxxxxx

26

11,2

6

72

2

1sen

0cos

01sen2

0cos

01sen2cos0coscossen20cos2sen

++=++=

++=⇒

−=

=⇒

=+=

⇒

=+⇒=+⇒=+

π3

2+

π3

5+

3−

π6

7+

2

1− π

6

11+

π2

3+

2

π+

5. 0cossen4cossen 22 =−+ xxxx

++=

++=⇒

++=

++=⇒

=⇒=−⇒=−+

ππ

ππ

ππ

ππ

kx

kx

kx

kx

xxxxxx

12

512

26

52

26

2

2

12sen02sen210cossen4cossen 22

6. 12coscos =− xx

( ) ( )

( )

++=++=

++=⇒

=

=⇒

=−=

⇒=−⇒=+−⇒

=+−−⇒=−−⇒=−

ππππ

ππ

kxkx

kx

x

x

x

xxxxx

xxxxxxxx

23

5,2

3

2

2

1cos

0cos

0cos21

0cos0cos21cos0coscos2

1cos1coscos1sencoscos12coscos

2

2222

π12

5+

12

π+

π12

13+

π12

17+

7. 12coscos2 =− xx

( )

++=

−−=⇒

+=−=

⇒±=⇒

=⇒=−−⇒=−

ππ

ππ

kx

kx

x

xx

xxxxxx

22

22

1sen

1sen1sen

1sen1sencoscos12coscos 22222

2

1+

3

π+2

π+

π3

5+

π2

3+

2

π+

2

π−

8. xxx cos12sensen −=−

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

( )

( )( )

+

±=

++=

=

⇒

+

±=

++=

=

⇒

−=−=

=

=

⇒

=−−

=−=

⇒=−−−⇒

=+

−−−⇒=+

++−⇒=+

−−+−⇒

=+

−+−−−+−+⇒

+

+−+=

+

−−+⇒

+−

−=+−

⋅+

−+

⇒+−

=+

=⇒

=⇒−=−⇒−=−

π

πππ

π

ππ

π

kx

kx

kx

kx

kx

kx

xtg

xtg

xtg

xtg

tt

t

t

tttt

t

tttt

t

tttt

t

tttt

t

ttttttt

t

tt

t

tttt

t

t

t

t

t

t

t

t

t

tx

t

tx

tx

tgpostoxxxxxxx

22

335arctg2

22

2

2

335arctg

2

42

2

2

335

2,

2

335

2

12

02

025

01

0

0251

01

2510

1

2360

1

236

01

1214422

1

11

1

1412

1

11

1

1

1

22

1

2

1

1cos,

1

2sen

2cos1cossen2sencos12sensen

2

2

22

2

22

23

22

234

22

22433

22

222

22

22

2

2

2

2

222

2

2

+

2

335arctg2

+

2

335arctg

2

π+

π2

−

2

335arctg

−

2

335arctg2

9. xx sen211cos2 +=−

( ) ππ

kxxxx

xxxxxx

22

1sen01sen01sen

01sen2sensen21sensen211cos

2

222

+−=⇒−=⇒=+⇒=+⇒

=++⇒+=−⇒+=−

10. ( )xxx 22 sen123sen2cos4 −+=+

( ) ( )

( )

ππkxx

xxxx

xxxxxx

232

1cos

01cos201cos201cos4cos4

cos23cos12cos4sen123sen2cos4

22

2222

+±=⇒=⇒

=−⇒=−⇒=+−⇒

+=−+⇒−+=+

2

π−

2

1

3

π−

3

π+

11. xxx 22 cos222sen2cos3 −=+

( )

( )

++=

+

−=

⇒

=

−=⇒

=

−=⇒=−−⇒

=⇒=−−⇒=+⇒

≠⇒=+⇒

−=+⇒−=+

ππ

π

kx

kx

tgx

tgx

t

ttt

ttgxpostotgxxtgxtgtgx

xpostoxperdividendoxxxx

xxxxxx

4

5

1arctg

15

1

15

10145

0145541

0coscossen5cossen4cos

cos152sen2coscos552sen2cos

2

12

22

222

2222

12. 32sen2cos =− xx

( )

( )

ℜ∈∀/⇒ℜ∈∀/⇒<−=∆⇒=++⇒

=⇒=++⇒=++⇒

≠⇒=++⇒

+=−−⇒=−

xttt

ttgxpostotgxxtgtgxxtg

xpostoxperdividendoxxxx

xxxxxxxx

07012

0120242

0coscos0cossen2sen4cos2

cossen3cossen2sencos32sen2cos

2

22

222

2222

1+

5

1−

4

π+

−5

1arctg

π2

Risolvere le seguenti disequazioni goniometriche :

13. 02

1cos >−x

ππ

ππ

kxkxx 23

232

1cos0

2

1cos ++<<+−⇒>⇒>−

14. 01sen2 ≥−− x

ππππ kxk

xxx

24

72

4

5

2

2sen

2

1sen01sen2

+<<++⇒

−≤⇒−

≤⇒≥−−

2

1

3

π+

3

π−

π4

7+π

4

5+

2

2−

15. 0sen

2

1cos

>−

x

x

πππ

ππ

ππ

kxk

kxk

x

x

x

x

22

23

23

0sen2

1cos

0sen

2

1cos

+<<

++<<+−⇒

>

>⇒>

−

e graficamente nell'intervallo [ ]ππ +− ; :

Quindi : ππ

πππ

ππ kxkkxk 23

2,23

2 ++<<+−<<+−

O anche :

Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio 6

π=x :

sostituendo nella disequazione di partenza si ha :

0130

2

12

1

2

3

0

6sen

2

1

6cos

>−⇒>−

⇒>

−

π

π

che verifica .

π− 3

π− 0

3

π+ π+

+ - + -

3

π+

3

π−

2

1

π−0

16. 01cos2

1sen2

>−−

x

x

+±−ℜ∈∀/⇒+≥−≤⇒≥−⇒ ππ

kxxxxRC2

1sen,1sen01sen.. 2

e poiché la condizione di realtà è verificata solo per i valori

+± ππ

k2

che al tempo stesso

annullano il numeratore è evidente che la disequazione non è verificata per alcun valore reale .

17. 02sen2

4

1cos

3

2

>−

−

x

x

ππππππ

π

ππππ

πππππππ

kxkkxkD

kxk

kxkkxkN

x

xx

x

x

x

x

2224

7,2

420

2223

5

23

2,23

42

3

20

2

2sen

2

1cos,

2

1cos

02sen2

4

1cos

02sen2

4

1cos

3

2

3

2

+<<+++<<⇒>

++<<+⇒

++<<++<<++⇒>

⇒

>

+>−<⇒

>−

>⇒>

−

−

e graficamente nell'intervallo [ ]π2;0 + :

Quindi :

ππππππππ

πππππππ

kxkkxk

kxkkxk

2224

7,2

3

52

3

4

,23

22

3,2

42

++<<++++<<+

++<<++++<<

0 4

π+

3

π+ π

3

2+ π+ π

3

4+ π

3

5+ π

4

7+ π2+

+ - + - + - +

O anche :

Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio π2

3=x :

sostituendo nella disequazione di partenza si ha :

0224

10

22

4

1

0

22

3sen2

4

1

2

3cos

333

2

>+

⇒>−−

−⇒>

−

−

π

π che verifica .

18. 0cos11

2sen≤

−− x

x

ℜ∈∀⇒≤⇒≥−⇒ xxxRC 1cos0cos1..

ππππ

ππ

π

ππ

πππ

π

πππ

kxk

kxk

x

kxk

x

kxk

x

kxk

x

x

x

x

22

22

2

0cos2

0cos2

1cos1

222

0cos11

02sen0

cos11

2sen

++<<+−

++≤≤⇒

>

++≤≤⇒

<−

++≤≤⇒

<−

++≤≤⇒

>−−

≥⇒≤

−−

π3

2+

4

π+

π4

7+

3

π+

π3

4+ π

3

5+

π−0

e graficamente nell'intervallo [ ]ππ +− ; :

Quindi : ππ

πππ

ππ kxkkxk 22

2,22

2 ++≤≤+−<≤+−

O anche :

Come verifica prendiamo un angolo compreso nell'intervallo soluzioni ; ad esempio π4

3−=x :

sostituendo nella disequazione di partenza si ha :

0

2

111

1

0

2

111

10

4

3cos11

2

3sen

0

4

3cos11

4

32sen

≤+−

≤

−−−

⇒≤

−−−

−

⇒≤

−−−

−

π

π

π

π

che verifica .

π− 2

π− 0

2

π+ π+

+ - + -

2

π+

2

π−

π−0

19. 0cos412cos3 ≤−−− xx

( )

ππ karxkar

x

x

xxttt

txpostoxxxx

xxxxxx

23

1cos2

3

1cos

3

1cos

1cos

3

1cos1

3

110123

cos01cos2cos302cos4cos6

01cos41cos2301cos42cos30cos412cos3

2

22

2

+

+≤≤+

−

ℜ∈∀⇒

+≤

−≥⇒+≤≤−⇒+≤≤−⇒≥−+⇒

=⇒≥−+⇒≥−+⇒

≥++−⇒≥++⇒≤−−−

e graficamente nell'intervallo [ ]ππ +− ; :

Quindi : ππ karxkar 23

1cos2

3

1cos +

+<≤+

−

π−

−

3

1cosar 0

+

3

1cosar π+

−

3

1cosar

+

3

1cosar

3

1+

π−0

20. 0sen1cos 22 ≥+− xx

ℜ∈∀⇒≥⇒≥+− xxx 000sen1cos 22