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FORMULE TRIGONOMETRICHE
FORMULE TRIGONOMETRICHE
Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come varia una grandezza fisica scalare in funzione della direzione e, più in generale, ogni volta che in un problema è coinvolto un angolo
Ma hanno un «difetto», non sono proporzionali agli angoli; per esempio, il seno di 90° non è il triplo del seno di 30°
altro esempio, la tangente di 90° non è il doppio della tangente di 45° . . . La tangente di 45° è 1 mentre quella
di 90° è !!!!!
FORMULE TRIGONOMETRICHE
E’ fondamentale quindi avere a disposizione delle regole (formule) che possano permettere di calcolare il valore delle funzioni goniometriche partendo da particolari combinazioni di angoli
Ad esempio: quanto vale il coseno di un angolo pari a
–
cos( – )
se si conoscono cos e cos
FORMULE TRIGONOMETRICHE
La risposta è
cos( – ) = sen sen + cos cos
Come si ottiene questa relazione?
FORMULE TRIGONOMETRICHE
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
P’
x
y
0 ACoseno della differenza tra due angoli
cos( – )
P’
P’ (cos; sen)
x
y
0 A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’
A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
Quest’angolo in verde è
-
-
A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
-
A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
-
Scriviamo l’espressione della distanza P’P
A
RIPASSO
DISTANZA TRA DUE PUNTI IN UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI
x
y
0
A
B
A (xa; ya) B(xb; yb)
A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
-
Scriviamo l’espressione della distanza P’P
A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
-
Costruiamo lo stesso angolo ( – partendo dal punto A
A
P
P’ (cos; sen)
x0
y
P’P
P (cos; sen
-
Costruiamo lo stesso angolo – partendo dal punto A
Ax
P
x0
y
- A
x
KP’P
P
0
y
- A
x
KP’P
A (1; 0) K [cos( – ); sen( – )]
La distanza AK è data da
P
0
y
- A
x
KP’P
PP’ = AK
Coseno della somma tra due angoli
cos( + )
cos( + ) = cos[ – (- )]
Applicando la relazione trovata in precedenza
cos[ – (- )] = sensen(- ) + coscos(- )
e, poiché
sen(- ) = - sen
e
cos(- ) = cos
x
y
cos( + ) = cos[ – (- )]
Applicando la relazione trovata in precedenza
cos[ – (- )] = sensen(- ) + coscos(- )
e, poiché
sen(- ) = - sen
e
cos(- ) = cos
x
y
cos( + ) = cos[ – (- )]
Applicando la relazione trovata in precedenza
cos[ – (- )] = sensen(- ) + coscos(- )
e, poiché
sen(- ) = - sen
e
cos(- ) = cos
x
y
cos( + ) =
sensen + coscossensen + coscos
quindi
Seno della somma tra due angoli
sen( + )
Seno della differenza tra due angoli
sen( - )
FORMULE DI DUPLICAZIONE
sen2=
cos2=
cotg2=
tg2=
FORMULE DI DUPLICAZIONE
sen2=sencossensencos
sen2sencos
FORMULE DI DUPLICAZIONE
cos2=coscoscossensen
cos2cos2sen2
FORMULE DI DUPLICAZIONE
cos2cos2sen2
Esercizio
Utilizzando
sen2sencos
Ricavare le formule di duplicazione per:tg2e cotg2
FORMULE DI SOTTRAZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE
sen(sencossencos
cos(sensencoscos
FORMULE DI SOTTRAZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE
sen(sencossencos
cos(sensencoscos
FORMULE DI ADDIZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE
sen(sencossencos
cos(sensencoscos
FORMULE DI SOTTRAZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE
sen(sencossencos
cos(coscossensen
