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1 LE PROPORZIONI
Una proporzione è un’uguaglianza tra rapporti.
Per esempio, è una proporzione:
4 : 5 = 8 : 10 oppure 54
= 108
e si legge «4 sta a 5 come 8 sta a 10».
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Nell’esempio precedente:
4 : 5 = 8 : 10 ) 4 10$ = 5 8$
Per risolvere una proporzione:
• se l’incognita x è un medio, il suo valore è uguale al prodotto degli estremi
diviso il medio che conosciamo:
4 : 5 = x : 10 → x = 54 10$
= 8
• se l’incognita x è un estremo, il suo valore è uguale al prodotto dei medi diviso
l’estremo che conosciamo:
x : 5 = 8 : 10 → x = 105 8$
= 4
Esempio La larghezza di una stanza
La mappa di un appartamento ha una scala 1 : 200. Con un righello hai tro-
vato che la larghezza di una stanza è 2,5 cm.
▸ Quanto è larga la stanza?
La soluzione
La scala 1 : 200 significa che a 1 cm sulla mappa corrispondono 200 cm nella
realtà. Per ricavare la larghezza reale della stanza dobbiamo risolvere la pro-
porzione:
1 : 200 = 2,5 : x
Il valore della x è il prodotto dei medi diviso l’estremo che già conosciamo:
x =,
1200 2 5$
= 500
La larghezza della stanza è x = 500 cm = 5 m.
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medi
estremi
La matematicaper cominciare
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La matematica per cominciare
ESERCIZI
3 : 20 = 4,5 : x
36 : x = 5 : 15
360 : 18 = x : 4
Per preparare un dolce per 4 persone servono 150 g di zucchero.▸ Quanto zucchero serve per preparare un dolce per 6 persone? [225 g]
La mappa di una città ha una scala 1:200 000. Il municipio dista 1,5 km dalla pisci-na comunale.▸ A quale distanza si trovano sulla cartina? [0,75 cm]
2 LE PERCENTUALI
La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100 e si indica con
il simbolo %.
Per esempio, 75% si legge «75 per cento» e significa 10075
= 0,75.
Percentuale di un numero rispetto a un altro
Una torta è stata tagliata in 6 parti uguali e ne
sono state mangiate 5. La percentuale di torta
mangiata è:
5 : 6 = x : 100 →
x = 65 100$
= 83,3 → 83,3%
Percentuale di un numero
Il 15% di 200 è:
10015
200 30$ =
Esempio L’aumento della CO2 in atmosfera
Nel 1980 la concentrazione di CO2 in atmosfera era di circa 340 ppm, cioè
340 molecole di CO2 ogni milione di molecole d’aria. Nel 2020, la concentra-
zione di CO2 è aumentata di circa il 22% rispetto al 1980.
▸ Qual è la concentrazione di CO2 presente in atmosfera nel 2020?
La soluzione
L’aumento della concentrazione di CO2 in atmosfera tra il 1980 e il 2020 è
stato pari al 22% della concentrazione di CO2 registrata nel 1980:
10022$ (340 ppm) = 74,8 ppm - 75 ppm
Nel 2020 la concentrazione di CO2 in atmosfera è di circa:
(340 ppm) + (75 ppm) = 415 ppm
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La matematica per cominciare
ESERCIZI
Quanto è il 3% di 500?
Il prezzo di un giaccone che costava 275 € è diminuito del 20%.▸ Quanto costa il giaccone?
Se il numero 44 aumenta del 58%, quanto si ottiene?
A quale percentuale equivale la frazione 6048
?
Se l’8% di un numero è 1846, qual è il numero?
50 g di albicocche contengono circa il 4,6 g di zuccheri.▸ Qual è la quantità di zucchero in percentuale?
3 LE POTENZE DI 10
La potenza di (base) 10 di grado (o ordine) n è data dall’espressione 10n.
Esponente positivo
10n = 10 $ 10 $ … $ 10 = 100…0
Per esempio: 103 = 10 $ 10 $ 10
Esponente uguale a zero
100 = 1
Esponente negativo
10−n =10
1n
Per esempio: 10−2 =10
12 = 100
1
n volte
n zeri
Potenza di 10 Frazione Numero Nome
10−9
10
19 0,000 000 001 un miliardesimo
10−6
10
16 0,000 001 un milionesimo
10−3
10
13 0,001 un millesimo
10−2
10
12 0,01 un centesimo
10−1
10
1 0,1 un decimo
100 1 uno
101 10 dieci
102 100 cento
103 1000 mille
106 1 000 000 un milione
109 1 000 000 000 un miliardo
Proprietà delle potenze
Consideriamo due numeri scritti con le potenze di 10
p $ 10m e q $ 10n
dove p e q sono numeri razionali, positivi o negativi, e hanno un valore assoluto
compreso tra 0 e 10.
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La matematica per cominciare
Moltiplicazione
(p $ 10m) $ (q $ 10n) = pq $ 10m+n
Per esempio:
(3 $ 103) $ (−2 $ 10−5) = −6 $ 10−2
Divisione
qp
1010
n
m
$
$
= qp$ 10m−n
Per esempio:
4 102 10
2
3
$
$
- = 2
1$ 105 = 0,5 $ 105
Potenza
(p $ 10m)n = pn$ 10m×n
Per esempio:
(2 $ 10−2)3 = 8 $ 10−6
Esempio Il volume di uno spaghetto
Uno spaghetto ha una lunghezza l = 2,5 $ 10−1 m e una circonferenza di base
di raggio r = 1,0 $ 10−3 m.
▸ Calcola il volume dello spaghetto.
La soluzione
Consideriamo lo spaghetto come un cilindro. L’area A del cerchio di base è:
A = πr2 = π(1,0 $ 10−3 m)2 = 3,14 $ 10−6 m2
Calcoliamo il volume V moltiplicando l’area di base A per la lunghezza l
dello spaghetto:
V = A $ l = (3,14 $ 10−6 m2) $ (2,5 $ 10−1 m) = 7,9 $ 10−7 m3
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ESERCIZI
Scrivi in numero le seguenti potenze:
104 = .................................................................................
10−5 = ...............................................................................
106 = .................................................................................
10−3 = ...............................................................................
10−8 = ...............................................................................
Scrivi in potenze di 10 il risultato delle seguenti operazioni:
106$ 1012 = ......................................................................
10−3$ 104 = ......................................................................
102 : 109 = ........................................................................
10−5$ 1011 = .....................................................................
107 : 108 = ........................................................................
100$ 100 = ........................................................................
Scrivi in potenze di 10 il risultato delle seguenti operazioni:
100$ 102 = ........................................................................
(5 $ 106) $ (6 $ 10−3) = .....................................................
106$ 10−3 = ......................................................................
(3 $ 1018) : 104 = ..............................................................
(2 $ 103) : (4 $ 107) = .......................................................
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La matematica per cominciare
4 SENO, COSENO E TANGENTENote le misure dei lati di un triangolo rettangolo, si definiscono il seno, il coseno
e la tangente di uno degli angoli acuti come rapporti tra le lunghezze dei lati:
cos θ = hha
sin θ = hho
tan θ = hh
a
o
Poiché sono definiti come rapporti tra lunghezze, si tratta di numeri puri, cioè
privi di unità di misura.
Inoltre, siccome l’ipotenusa è più lunga dei cateti, seno e coseno sono sempre
minori di 1.
Nella tabella seguente sono riportati i valori di seno, coseno e tangente per alcuni
valori degli angoli. I valori per gli angoli 0° e 90° si ottengono come casi limite di
un triangolo in cui l’ipotenusa si sovrappone a uno dei cateti. I valori per angoli
diversi si ottengono con la calcolatrice.
Angolo 𝛉 cos 𝛉 sin 𝛉 tan 𝛉
0° 1 0 0
30°2
32
1 3
3
45°2
2
2
2 1
60°2
1
2
3 3
90° 0 1 non definito
Dato un triangolo rettangolo di cui conosciamo solo due elementi (lati o angoli),
il seno, il coseno e la tangente consentono di determinare gli elementi incogniti.
Se sono noti per esempio un lato e un angolo acuto i:
• dalla definizione di coseno otteniamo il lato adiacente o l’ipotenusa:
cosh ha i= e viceversa coshha
i=
• dalla definizione di seno otteniamo il lato opposto o l’ipotenusa:
sinh ho i= e viceversa sinhho
i=
• dalla definizione di tangente otteniamo il lato opposto o il lato adiacente:
tanh ho a i= e viceversa tanhh
ao
i=
Se sono noti invece i lati di un triangolo rettangolo, è possibile risalire alla misura
degli angoli utilizzando gli inversi di seno, coseno e tangente, che si indicano con
sin 1- , cos 1- e tan 1- :
• cos hh1 a
i =- b l significa che i è l’angolo il cui coseno assume il valore h
ha ;
lato adiacente
lato opposto
lato opposto
ipotenusa
ipotenusa
lato adiacente
90°
h = Lunghezza
dell’ipotenusa
ho = Lunghezza del
lato opposto
all’angolo θ
ha = Lunghezza del lato
adiacente all’angolo θ
θ
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La matematica per cominciare
• sin hh1 o
i =- b l significa che i è l’angolo il cui coseno assume il valore h
ho ;
• tan hh1
a
oi =
- c m significa che i è l’angolo il cui coseno assume il valore hh
a
o .
Esempio L’altezza di un grattacielo
L’ombra proiettata da un grattacielo in un
giorno soleggiato è lunga 130 m. La dire-
zione dei raggi solari forma un angolo θ di
60° con il terreno.
▸ Qual è l’altezza dell’edificio?
La soluzione
L’altezza del grattacielo, la sua ombra e
i raggi del sole formano il triangolo ret-
tangolo mostrato nella figura, con angolo
acuto 60ci = .
L’altezza dell’edificio, che vogliamo deter-
minare, è il lato opposto all’angolo i; la
lunghezza dell’ombra è invece il lato adia-
cente. Dalla definizione di tangente possiamo scrivere:
( ) ° ( )tan tanhh 130 60 130 3 225m m mao $ $i= = = =
4
θ = 60°
= 130 mha
ho
ESERCIZI
Una scala mobile collega l’atrio di una stazione ferroviaria con la biglietteria. Lascala mobile è lunga 18 m e ha un’inclinazione di 30°.▸ Calcola l’altezza della biglietteria rispetto all’atrio.
Una scala lunga 3,8 m è appoggiata a un muro verticale in modo tale che il puntod’appoggio della scala sul terreno dista 1,9 m dal muro.▸ Calcola l’angolo che la scala forma col terreno.▸ Calcola l’altezza da terra del punto d’appoggio della scala al muro.
In un magazzino, un montacarichi lungo 7,5 m collega due piani che distano6,5 m.▸ Calcola l’angolo che il montacarichi forma col pavimento.
Un cartoncino ha la forma di un parallelogramma, con i lati rispettivamente di 16cm e 25 cm e con un angolo di 30° fra i lati.▸ Calcola l’area del cartoncino.
La faccia di una gomma da cancellare è un parallelogramma con un angolo di 60°e i lati lunghi 1,2 cm e 4,6 cm.▸ Qual è l’area della faccia?
b = 4,6 cm
hθ = 60°
a=
1,2
cm
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La matematica per cominciare
5 I GRAFICI
Un grafico rappresenta visivamente la relazione tra due grandezze.
Un grafico può essere realizzato a partire da un insieme di dati oppure dalla for-
mula che mette in relazione le grandezze.
Esempio La pioggia al Nord
Nella tabella seguente sono indicate le pre-
cipitazioni annue registrate nelle regioni del
Nord Italia dal 2004 al 2014.
▸ Disegna il grafico.
La soluzione
Il grafico si costruisce in tre passi:
1. si tracciano l’asse orizzontale, o asse delle ascisse, e l’asse verticale, o asse
delle ordinate, con le relative grandezze e unità di misura;
2. si sceglie una scala per ogni asse;
pre
cip
itazi
oniannue
(mm
)
tempo (anno)
pre
cip
itazi
oni annue (
mm
)
tempo (anno)2004
600
1400
1000
700
800
900
1100
1200
1300
20122008
3. si inseriscono i punti che hanno
come coordinate le coppie di valo-
ri della tabella.
5
tempo(anno)
precipitazioniannue (mm)
2004 950
2005 860
2006 680
2007 700
2008 1020
2009 950
2010 1200
2011 860
2012 900
2013 1150
2014 1380
pre
cip
itazi
oni annue (
mm
)
tempo (anno)2004
600
1400
1000
700
800
900
1100
1200
1300
20122008
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La matematica per cominciare
Il grafico di una tabella è un insieme di punti.
L’asse delle ascisse rappresenta la variabile indipendente; l’asse delle ordinate rap-
presenta la variabile dipendente. La lettura di un grafico ci consente dunque di
dire se la variabile dipendente cresce, diminuisce o resta costante in un determi-
nato intervallo di valori della variabile indipendente; inoltre possiamo individua-
re rapidamente qual è il valore massimo e minimo delle variabili.
6 LA PROPORZIONALITÀ DIRETTA
Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se:
• la relazione matematica che le lega ha la forma:
y = kx
dove k è una costante, detta costante di proporzionalità;
• il grafico è una retta che passa per l’origine degli assi e il rapporto y/x = k
(con x 0! ) indica la pendenza della retta rispetto all’asse x.
Esempio Il costo del pane
1 kg di pane costa 3 €.
▸ Disegna il grafico della spesa in funzione della massa di pane.
La soluzione
Se 1 kg di pane costa 3 €, il prezzo del pane è 3 €/kg.
Quando compriamo 2 kg di pane, quindi, spendiamo 6 €; quando ne com-
priamo 3 kg, spendiamo 9 €. La spesa è quindi direttamente proporzionale
alla massa di pane che acquistiamo.
Il grafico della spesa in funzione della massa del pane è una retta del tipo:
(spesa) = k $ (massa)
con k = 3 €/kg.
spesa
(€)
massa (kg)
0,5
1,5
3
6
9
1 2 3
6
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La matematica per cominciare
7 LA PROPORZIONALITÀ INVERSA
Due grandezze x e y sono inversamente proporzionali se:
• la relazione matematica che le lega ha la forma:
y = k/x
dove k è una costante;
• il grafico è un arco di iperbole equilatera.
Esempio Cilindri da laboratorio
Versiamo un volume d’alcol V = 200 ml in quattro cilindri di vetro da labo-
ratorio con area di base: 10 cm2, 25 cm2, 50 cm2 e 100 cm2.
▸ Calcola l’altezza raggiunta dall’alcol nei diversi cilindri e traccia il grafico
dell’altezza in funzione dell’area.
La soluzione
Il volume di un cilindro è V = Ah, dove A è l’area di base e h è l’altezza.
Il volume d’alcol da versare è sempre lo stesso per cui:
200 ml = Ah → h = A200 ml
L’altezza e l’area del cilindro sono quindi inversamente proporzionali.
Usando la relazione, calcoliamo i valori dell’altezza in base all’area:
area (cm2) altezza (cm)
100 2
50 4
25 8
10 20
Riportiamo ora i valori trovati nel grafico dell’altezza in funzione dell’area:
alt
ezz
a(c
m)
area (cm2)
10
20
8
2
4
10025 50
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La matematica per cominciare
8 LA PROPORZIONALITÀ QUADRATICA
Una grandezza y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza
x se:
• la relazione matematica che le lega ha la forma:
y = kx2
dove k è una costante;
• il grafico è una parabola con il vertice nell’origine degli assi.
Per esempio, in un quadrato l’area è direttamente proporzionale al quadrato del
lato: A = kl2, con k = 1. Costruiamo una tabella con 4 punti:
l (m) A (m2)
1 1
2 4
3 9
4 16
Il grafico dell’area di un quadrato in funzione del lato sarà quindi:
are
a(m
2)
lato (m)1
0
16
1
4
9
320 4
Esempio La crostata
Per fare una crostata di 16 cm di diametro, un pasticcere utilizza 300 g di
pastafrolla.
▸ Quanta pastafrolla deve utilizzare il pasticcere per una crostata con un
diametro di 32 cm?
La soluzione
Visto che la crostata ha una forma circolare, la sua area è A = πr2, dove r è il
raggio della crostata.
Supponiamo che le crostate abbiano lo stesso spessore; in questo caso la mas-
sa di pastafrolla è direttamente proporzionale all’area della crostata, dunque
al quadrato del raggio:
mpastafrolla ∝ r2
Il simbolo ∝ significa «proporzionale a».
In base alla relazione precedente, possiamo dire che se il raggio raddoppia
(cioè il diametro raddoppia), la massa di pastafrolla che il pasticcere deve
utilizzare diventa 4 volte maggiore:
mpastafrolla = 4 ∙ (300 g) = 1200 g = 1,2 kg
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La matematica per cominciare
9 GRANDEZZE LINEARMENTE DIPENDENTI
Due grandezze x e y sono linearmente dipendenti quando, al variare di una,
l’altra varia secondo la relazione matematica:
y = kx + q
L’equazione è una retta: k è la pendenza; q è il valore di y per x = 0.
Esempio Il pieno di benzina
Nel serbatoio di un’auto ci sono 10 L di benzina nell’istante t = 0 s. Una
pompa di benzina eroga 0,5 L di benzina al secondo. La tabella mostra come
varia il volume di benzina nel serbatoio in funzione del tempo di erogazione
del carburante.
t (s) V (L)
0 10
2 11
10 15
20 20
▸ Scrivi la relazione che lega il volume in funzione del tempo e disegna il
grafico corrispondente.
La soluzione
La relazione che lega il volume V della benzina in funzione del tempo t di
erogazione è del tipo:
V = kt + V0
dove k è la velocità di erogazione della benzina, uguale a 0,5 L/s, e V0 = 10 L
è il volume di benzina nel serbatoio nell’istante t = 0 s.
Sostituendo i dati:
V = (0,5 L/s)t + 10 L
Inserendo i dati della tabella nel grafico del volume in funzione del tempo,
si ottiene:
V (
L)
t (s)2
0
20
10
11
15
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1 LA NATURA DELLA FISICALa fisica è una scienza nata dai tentativi di spiegare l’ambiente in cui viviamo.Questi tentativi hanno avuto così tanto successo che oggi le leggi fisiche spieganofenomeni che avvengono in vari campi, dall’astronomia alle nanoscienze.
Una legge fisica esprime la regolarità di un fenomeno naturale attraverso illinguaggio matematico.
Una legge fisica è dunque una generalizzazione delle osservazioni della natura,perché non descrive un fenomeno singolo, ma tutti i fenomeni dello stesso tipo.Per questa ragione, la sua formulazione è il frutto di una lunga serie di esperi-menti che hanno dato gli stessi risultati.
A partire dalle leggi fisiche, si possono poi dedurre matematicamente nuovi svi-luppi della teoria, che di volta in volta dovranno essere confermati dagli espe-rimenti. Questa capacità di previsione pone la fisica alla base della tecnologiamoderna e quindi ha una grande influenza sul nostro modo di vivere.
Le tecnologie impiegate per la costruzione dei razzi e lo sviluppo dell’esplo-razione spaziale hanno le radici nelle leggi fisiche scoperte da Galileo Galilei(1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727). L’industria dei trasporti si avvale delleleggi della fisica per lo sviluppo di motori e la progettazione di veicoli aerodina-mici. Tutta l’industria elettronica e quella dei computer devono la loro esistenzaall’invenzione dei transistor, resa possibile dalla scoperta delle leggi fisiche chedescrivono il comportamento elettrico dei solidi. L’industria delle telecomu-nicazioni dipende in gran parte dalle conoscenze che abbiamo sulle onde elet-tromagnetiche, previste da James Clerk Maxwell (1831-1879) nella sua teoriasull’elettricità e il magnetismo. In medicina sono comunemente usati metodidiagnostici basati sulle leggi della fisica come i raggi X, gli ultrasuoni e la riso-nanza magnetica per ottenere immagini dell’interno del corpo umano.
©N
ASA
1 Le grandezze fisicheImmagina che tutti gli italiani formino un grande girotondo. I cittadini italiani sono circa
60 milioni e ognuno occupa circa 1 metro di spazio. L’equatore terrestre è lungo circa
40000 kilometri.
▸ Riuscirebbero tutti gli italiani ad abbracciare la Terra con un girotondo? ▶ Risposta a pag. 17
13
Le grandezze fisiche 1
I fenomeni a cui la fisica dà, o tenta di dare, una spiegazione sono innumerevoli.È sufficiente guardarsi attorno, anche in un ambiente familiare come una cucina,per formulare domande a cui la fisica dà una risposta (figura 1).
MECCANICA1Come funziona una
cappa aspirante?
2Perché il mestolo
non cade?
TERMODINAMICA3Come funziona
un frigorifero?
4Perché l’acqua bolle?
OTTICA5Come si formano le
ombre?
6Perché le ante sono
gialle?
MAGNETISMO7Come funziona
un forno
a microonde?
8Perché
una lampadina accesa
si scalda?
FISICA ATOMICA9Come funziona una
lampada al neon?
10Perché il forno
elettrico cuoce
i cibi?
2 LE GRANDEZZE FISICHEGli oggetti attorno a noi presentano una grande varietà di proprietà, come il co-lore e la forma. Spesso persone diverse percepiscono queste proprietà in mododifferente.
Per esempio, è più bella la Bugatti Royale (foto a sinistra) o la Ferrari 488 (a de-stra)? Probabilmente un amante di auto d’epoca indicherà la Bugatti, mentre unappassionato di auto sportive la Ferrari. Il concetto di «bellezza» è infatti sogget-tivo, perché può variare da persona a persona. Esistono però proprietà degli og-getti che non dipendono dall’osservatore e che possono essere valutate in modooggettivo. Per esempio, due persone in disaccordo sulla bellezza delle auto nonavranno dubbi nel dire che la Ferrari 488 è più veloce della Bugatti Royale.
Una grandezza fisica (o grandezza) è una proprietà di un corpo o di un feno-meno che può essere misurata con uno strumento.
Sono esempi di grandezze fisiche la lunghezza, la velocità e l’energia.
Figura 1gli oggetti presenti in una cucinapossono far nascere molte do-mande che riguardano la fisica.
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14
Le gRANdezze fiSiche1
Le unità di misura
Prima di misurare una grandezza bisogna stabilire quale unità di misura si vuoleutilizzare.
L’unità di misura è la grandezza di riferimento a cui viene assegnato arbitra-riamente il valore numerico uguale a 1.
Per questa ragione,
eseguire una misura di una grandezza fisica significa stabilire quante volte l’u-nità di misura fissata è contenuta in quella grandezza.
Consideriamo la parete nella figura 2. Se scegliamo come unità di misura la pia-strella, la lunghezza della parete è 8 piastrelle. La misura è facilmente riproduci-bile e chiunque la esegue trova lo stesso risultato.
Definizione operativa di una grandezza
La definizione operativa di una grandezza consiste nello stabilire una proceduraattraverso la quale determinare la sua misura in modo oggettivo, che non dipen-de cioè da chi la esegue.
L’esempio della misura della larghezza della stanza illustra bene le caratteristichedi questo procedimento (figura 2):
• si sceglie una unità di misura come campione (la piastrella);
• si confronta la grandezza (la larghezza della stanza) con il campione e si stabili-sce il numero n di campioni che bisogna sommare per ottenere una grandezzauguale a quella che si deve misurare;
• si esprime il numero n seguito dall’indicazione dell’unità di misura utilizzata.
Spesso una grandezza fisica è misurata in modo indiretto, attraverso le misure digrandezze fisiche legate a essa. Per esempio, l’area della parete può essere calco-lata a partire dalla misura della sua larghezza e della sua altezza.
3 IL SISTEMA INTERNAZIONALE DI UNITÀIl numero che esprime la misura di una grandezza dipende anche dall’unità dimisura scelta. Nel caso della parete di figura 2, se le piastrelle fossero lunghe ildoppio, la lunghezza della parete sarebbe espressa da un numero che è la metàdi 8, cioè 4.
A livello internazionale è stato quindi concordato un insieme di unità di misuracomuni. L’Unione Europea ha adottato il Sistema Internazionale di Unità, ab-breviato in SI, che comprende sette grandezze fisiche fondamentali e ne fissa leunità di misura come riportato nella tabella 1.
Grandezza fisica Unità di misura Simbolo
intervallo di tempo secondo s
Lunghezza metro m
Massa kilogrammo kg
intensità di corrente ampere A
Temperatura kelvin K
intensità luminosa candela cd
Quantità di sostanza mole mol
unit of measurement
Figura 2La lunghezza della parete può
essere misurata usando lapiastrella come unità.
se scegliamola piastrellala piastrellacome unità dicome unità dimisura dellamisura dellalunghezza...lunghezza...
... la pareteè lunga 8è lunga 8piastrellepiastrelle
SI units
Tabella 1Le unità fondamentali del Si.
15
Le gRANdezze fiSiche 1
Le unità di misura del Sistema Internazionale sono dette unità fondamentali
perché le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche possono essere ottenu-te a partire da queste applicando le leggi della fisica.
Multipli e sottomultipli
A volte il valore numerico della misura di una grandezza fisica è molto grandeo molto piccolo. In questi casi è conveniente usare multipli o sottomultipli, se-condo le potenze di 10, delle unità SI. Per indicare i multipli o i sottomultipli e lerelative potenze di 10 si usano prefissi e simboli che precedono il nome dell’unitàdi misura (tabella 2).
Prefisso Simbolo Fattore
tera T 1 000 000 000 000 = 1012
giga g 1 000 000 000 = 109
mega M 1 000 000 = 106
kilo k 1000 = 103
etto h 100 = 102
deca da 10 = 101
deci d101
= 10−1
centi c100
1 = 10−2
milli m1000
1 = 10−3
micro µ1000 000
1 = 10−6
nano n1000 000 000
1 = 10−9
pico p1000 000 000 000
1 = 10−12
femto f1000 000 000 000 000
1 = 10−15
Per esempio, 1000 m equivalgono a 1 kilometro (simbolo km) o a 103 m, mentre0,001 m equivale a 1 millimetro (simbolo mm) o a 10−3 m.
Esempio La 500 miglia di Indianapolis
La 500 miglia di Indianapolis è una garaautomobilistica che si svolge ogni annonegli Stati Uniti, nel famoso circuito adanello di Indianapolis. La lunghezza del-la gara è espressa in miglia: il miglio èun’unità di misura che non appartiene alSI e si utilizza prevalentemente nei paesianglosassoni. Un miglio corrisponde acirca 1609 m.
▸ Quanti kilometri è lunga la 500 miglia di Indianapolis?
Prova tu
La diagonale delloschermo di unosmartphone misura 5,5inches (pollici); 1 inchequivale a 2,54 cm.
▸ Qual è la lunghezzadella diagonale in cm?
[14 cm]
1
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Tabella 2Prefissi standard per i multiplie i sottomultipli delle unità dimisura.
• 1 hm = 100 m
• 1 nm = 10−9 m
16
Le gRANdezze fiSiche1
La soluzione
Sappiamo che un miglio equivale a 1609 m. Inoltre 1 m = 10−3 km. Questosignifica che:
1 miglio = 1609 m = 1609 ∙ 10−3 km = 1,609 km
Dato che la gara è lunga 500 miglia, per calcolare la sua lunghezza L in kilo-metri dobbiamo moltiplicare per il numero di miglia percorse, cioè per 500:
L = 500 ∙ (1,609 km) = 804,5 km
• 1 km = 103 m
(1 km) ∙ 10−3 = (103 m) ∙ 10−3
10−3 km = 1 m
4 LA NOTAZIONE SCIENTIFICAQuando il valore di una misura è molto grande o molto piccolo, possiamo scri-verlo in notazione scientifica usando le potenze di 10. Per esempio:
raggio della Terra rT = 6 400 000 m = 6,4 ∙ 106 m
raggio dell’atomo di idrogeno rH = 0,000 000 000 053 m = 5,3 ∙ 10−11 m
Un numero scritto in notazione scientifica è il prodotto di un coefficiente,maggiore o uguale a 1 e minore di 10, e di una potenza di 10.
Il vantaggio più evidente della notazione scientifica è che fornisce una scritturapiù compatta di un numero. Il fattore 106 corrisponde a 1 milione, perciò la mi-sura del raggio della Terra è 6,4 ∙ 106 m, una forma più facile da scrivere e ricor-dare rispetto a 6 400 000 m.
Inoltre, eseguire moltiplicazioni e divisioni con numeri in notazione scientifica èfacile grazie alle proprietà delle potenze:
2 600 000 ∙ 3500 = (2,6 ∙ 106)(3,5 ∙ 103) = (2,6 ∙ 3,5) ∙ 106 + 3 = 9,1 ∙ 109
2100094000000
=,,
2 1 109 4 10
4
7
$
$
= ,,
2 19 4a k ∙ 107 − 4 = 4,5 ∙ 103
L’ordine di grandezza
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 con esponente interoche meglio approssima quel numero.
Quando una misura è espressa in notazione scientifica, valutare il suo ordine digrandezza è immediato. Vediamo alcuni esempi nella tabella.
Valore della misura Ordine di grandezza
Raggio del Sole 7,0 ∙ 108 m ≈ 10 ∙ 108 m = 109 m 109 m
Raggio della Luna 1,7 ∙ 106 m ≈ 2 ∙ 106 m ≈ 106 m 106 m
diametro di un globulo rosso 7,5 ∙ 10−6 ≈ 10 ∙ 10−6 m ≈ 10−5 m 10−5 m
L’uso degli ordini di grandezza aiuta nel fare rapide stime numeriche. Per esempio, ilrapporto fra gli ordini di grandezza del raggio solare e del raggio lunare indica che ilraggio del Sole (figura 3) è circa 109/106 = 103 = 1000 volte più grande di quello lunare.
L’ordine di grandezza di una misura dipende dall’unità scelta. Per esempio, l’or-dine di grandezza dell’altezza di un uomo può essere espresso come 100 m = 1 moppure 103 mm.
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Alcune proprietàdelle potenze(n, m interi positivi)
• 10n ∙ 10m = 10n+m
•1010
m
n
= 10n−m
• 10−n =10
1n
• (10n)m = 10n∙m
MATEMATICA
Figura 3il raggio del Sole ha un ordine di
grandezza di 106 km.
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17
Le grandezze fisiche 1
Esempio Un grande girotondo
Gli italiani sono circa 60 milioni. Immaginiamo un girotondo formato datutte queste persone e supponiamo che ogni partecipante occupi lo spaziodi 1 m.
▸ Qual è l’ordine di grandezza della lunghezza del girotondo formato datutti gli italiani?
La soluzione
Per semplificare i calcoli, scriviamo il numero 60 milioni in notazione scien-tifica:
60 milioni it = 60 000 000 it = 60 ∙ 106 it = 6,0 ∙ 107 it
Dato che ogni italiano occupa 1 m di spazio, la lunghezza totale Ltot sarebbe:
Ltot = (6,0 ∙ 107 it) ∙ (1 m/it) = 6,0 ∙ 107 m = 6,0 ∙ 104 km
L’ordine di grandezza di questo girotondo è 105 km.
Prova tu
Una moneta da 1 euroè spessa 2,33 mm.Attualmente circolano inEuropa circa 8 miliardidi monete da 1 euro;immagina di impilarletutte una sopra l’altra.
▸ Quale ordine digrandezza, in km,raggiungerebbe lacolonna ottenuta?
[104 km]
2
5 LE GRANDEZZE FONDAMENTALILe grandezze fondamentali sono riassunte nella tabella 1 del paragrafo 3, doveabbiamo discusso le unità fondamentali del SI. Sono sette: intervallo di tempo,lunghezza, massa, intensità di corrente, temperatura, intensità luminosa e quan-
tità di sostanza.
Il 20 maggio 2019, in occasione della Giornata Mondiale della Metrologia, è en-trato in vigore il nuovo Sistema Internazionale di Unità. Come mostra il logo delSI (figura 4), ora le sette grandezze fondamentali sono definite a partire da co-
stanti fisiche fondamentali, cioè grandezze di riferimento legate ad alcuni pro-cessi fisici importanti, che hanno sempre e ovunque lo stesso valore. In questomodo le unità di misura fondamentali hanno sempre lo stesso valore e non sonosoggette al deteriorarsi dei campioni di riferimento.
In questo capitolo parleremo dell’intervallo di tempo, della lunghezza e della massa.
L’intervallo di tempo
Quanto dura un film? Quanto tempo impiega un treno per andare da Roma aMilano? Per quanto tempo riesci a stare in apnea? Quando nella vita di tutti igiorni parliamo di tempo, in realtà ci riferiamo quasi sempre a intervalli di tempo
tra due eventi ben precisi: i titoli di testa e i titoli di coda di un film; la partenzae l’arrivo di un treno; l’inizio e la fine di un’immersione. Quando parliamo ditempo ci riferiamo dunque alla durata di un evento.
La durata di alcuni fenomeni naturali è utilizzata per definire unità di misuradel tempo che utilizziamo quotidianamente. Il giorno, per esempio, è l’intervallodi tempo impiegato dalla Terra per compiere una rotazione completa intornoal proprio asse, mentre l’anno corrisponde al periodo di rivoluzione del nostropianeta intorno al Sole.
Quelli che abbiamo citato sono esempi di moti periodici che si ripetono sempreuguali a se stessi. La misura del tempo richiede sempre un confronto con unmoto periodico.
Figura 4il logo del si, introdotto dal BiPM(Bureau international des Poidset Mesures), mostra le settecostanti fisiche su cui si basa ladefinizione delle sette grandezzefondamentali.
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Le grandezze fisiche1
In altre parole:
la misura di un intervallo di tempo consiste nel contare quante volte la duratadi un fenomeno periodico si ripete durante quell’intervallo di tempo.
I primi orologi meccanici utilizzavano i moti periodici di un pendolo oppure diuna molla a bilanciere. Ancora oggi molti orologi da polso scandiscono il tempocontando le oscillazioni periodiche di un cristallo di quarzo.
Nel corso dei secoli, gli scienziati sono andati alla ricerca di fenomeni periodici sem-pre più accurati per definire il secondo (s), cioè l’unità di misura del tempo nel SI.
La prima definizione del secondo era basata sul giorno solare medio, cioè sultempo medio impiegato dalla Terra per compiere una rotazione attorno all’as-se terrestre, a cui fu attribuita una durata di 86 400 secondi. Il numero 86 400 èsemplicemente il prodotto tra il numero di ore in un giorno (24) per il numero diminuti in un’ora (60) per il numero di secondi in un minuto (60).
Gli scienziati capirono però che la durata del giorno solare medio non è abbastan-za costante da poter costituire un campione sufficientemente preciso dell’unitàdi misura degli intervalli di tempo. Un accordo internazionale del 1967 stabilì didefinire il secondo usando una proprietà dell’atomo di cesio-133 (figura 5), che èinfatti usato nei cosiddetti orologi atomici, come il NIST-F1 (figura 6).
Il secondo (s) è l’intervallo di tempo impiegato da una particolare radiazione,emessa da atomi di cesio-133 per compiere 9 192 631 770 oscillazioni.
Tabella 3 Principali multipli e sottomultipli del secondo.
Nome Simbolo Valore in secondi
anno a 3,16 $ 107
giorno d 86 400
ora h 3600
minuto min 60
millisecondo ms1000
1 = 10−3
microsecondo μs1000 000
1 = 10−6
Esempio Quanti secondi hai?
Immagina che oggi sia il giorno del tuo quindicesimo compleanno.
▸ Quanti secondi fa sei nato?
La soluzione
Sappiamo che un anno è formato da 365 giorni, un giorno da 24 ore, un’orada 60 minuti e un minuto da 60 secondi. Così un anno ha una durata:
Δt = (365 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60) s = 31 536 000 s = 3,1536 ∙ 107 s
A questo punto dobbiamo moltiplicare il numero di secondi presenti in unanno per 15:
(3,1536 ∙ 107 s) ∙ 15 = 4,7304 ∙ 108 s
Quando una persona compie 15 anni, ha dunque circa mezzo miliardo disecondi.
3Prova tu
Un anno scolastico duranormalmente 200 giorni,con circa 5 ore di lezioneal giorno.
▸ Quanti minuti prevedidi trascorrere allescuole superiori?
[3 · 105 min]
Figura 5nel si il secondo è definito a
partire dalla frequenza vD
della radiazione emessada atomi di cesio-133.
Figura 6L’orologio atomico nisT-f1,che si trova negli stati Uniti,
è considerato uno dei più precisidel mondo. indica l’ora con una
incertezza di circa 1 secondo ognisessanta milioni di anni.
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Le grandezze fisiche 1
La lunghezza
Un’antica unità di misura della lunghezza era la spanna, pari alla distanza trala punta del pollice e quella del mignolo di una mano aperta (figura 7). Come sipuò immaginare, la spanna non era un’unità di misura oggettiva, perché variavada persona a persona. Il termine è sopravvissuto fino ai giorni nostri proprio aindicare una «misura approssimativa», cioè fatta «a spanne».
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della lunghezza è il metro (m).
Figura 8nel si il metro è definito a partiredalla velocità della luce c e dallafrequenza oD necessaria perdefinire il secondo.
La prima definizione del metro fu data nel 1791, quando si stabilì che il metroè la decimilionesima parte della distanza tra l’Equatore e il Polo Nord, calcolatalungo il meridiano passante per Parigi. La necessità di avere un campione piùpreciso portò nel 1799 a ridefinire il metro come la distanza tra due linee sottiliincise su una barra composta da una lega di platino e iridio e mantenuta a tem-peratura costante.
Anche questa definizione fu poi abbandonata per la necessità di una maggioreprecisione. La definizione che usiamo oggi fu stabilita per accordo internazionalenel 1983.
Il metro è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di1/299 792 458 secondi.
Questa definizione di metro è ottimale perché si basa sulla velocità della luce nelvuoto (figura 8), che ha un valore costante in ogni punto dello spazio.
Tabella 4 Principali multipli e sottomultipli del metro.
Nome Simbolo Valore in metri
kilometro km 1000 = 103
ettometro hm 100 = 102
decametro dam 10
decimetro dm101
= 10−1
centimetro cm 1001
= 10−2
millimetro mm1000
1 = 10−3
Esempio Quanti nanometri sei alto?
Un tuo compagno di classe è alto 176 cm.
▸ Esprimi la sua altezza in nanometri.
La soluzione
Per rispondere alla domanda dobbiamo calcolare a quanti nanometri equi-valgono 176 cm. Sappiamo che:
1 cm = 0,01 m = 10−2 m
e dunque
176 cm = 1,76 ∙ 102 cm = 1,76 ∙ 102 ∙ (10−2 m) = 1,76 m
Prova tu
Lo spessore di un capelloè 70 μm.
▸ Esprimi lo spessore incm e in km.
[7,0 · 10–3 cm; 7,0 · 10–8 km]
4
Figura 7La doppia freccia indica laspanna.
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Le grandezze fisiche1
L’equivalenza tra nanometri e metri è:
1 nm = 10−9 m
Moltiplicando per 109 entrambi i membri dell’uguaglianza, ricaviamo l’equi-valenza tra nanometri e metri:
1 1010 10nm m99 9$ $=
-^ ^h h10 1nm m9
=
Il risultato espresso in nanometri è:
1,76 m = 1,76 ∙ (109 nm) = 1,76 ∙ 109 nm
La massa
La massa di un corpo è definita in modo operativo come la grandezza che si mi-sura con la bilancia a bracci uguali (figura 9). In particolare, due oggetti hanno lastessa massa se quando sono posti sui due piatti della bilancia, i piatti non salgo-no, né scendono, cioè restano in equilibrio.
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della massa è il kilogrammo (kg).
Anche la definizione del kilogrammo è stata cambiata varie volte nel corso deglianni. Il kilogrammo fu introdotto nel 1793 come multiplo del grammo, che erastato definito come la massa di un centimetro cubo di acqua in determinate con-dizioni di temperatura e pressione.
Nel 1979 esigenze di maggiore precisione portarono a definire il kilogrammocome la massa del cilindro di 39 mm di altezza e di diametro composto da unalega di platino e iridio conservato a Sèvres.
Anche questa definizione presentava tuttavia problemi di precisione, dovuti inparticolare alla deteriorabilità e all’unicità del campione, che ne rendevano diffi-cile la comparazione. Il nuovo Sistema Internazionale delle Misure supera questiproblemi definendo anche l’unità di massa in termini di alcune costanti fisichefondamentali (figura 10), in modo analogo a quanto già fatto per le unità di misu-ra del tempo e della lunghezza.
Il kilogrammo è definito a partire dalla combinazione di alcune costanti fi-siche: la radiazione emessa dal cesio-133, la velocità della luce nel vuoto, euna grandezza che caratterizza le interazioni atomiche e subatomiche, dettacostante di Planck.
Figura 10nel si il kilogrammo è definito apartire dalla frequenza vD della
radiazione emessa da atomi dicesio-133, la velocità della luce c,
e la costante di Planck h. Tabella 5 Principali multipli e sottomultipli del kilogrammo
Nome Simbolo Valore in kilogrammi
tonnellata t 1000 = 103
ettogrammo hg101
= 10−1
grammo g1000
1 = 10−3
decigrammo dg10000
1 = 10−4
milligrammo mg1000 000
1 = 10−6
Figura 9Una bilancia a bracci uguali che
non si trova in equilibrio.
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21
Le gRANdezze fiSiche 1
Esempio Qual è la massa di questo libro in tonnellate?
Il libro che stai leggendo ha una massa m = 900 g.
▸ Esprimi la sua massa in tonnellate.
La soluzione
Per rispondere alla domanda possiamo iniziare convertendo la misura inkilogrammi:
900 g = 900 (10−3 kg) = 0,900 kg
Sappiamo che 1 t = 103 kg. Moltiplicando per 10−3 entrambi i membri dell’u-guaglianza, ricaviamo l’equivalenza tra kilogrammi e tonnellate:
1 kg = 10−3 t
A questo punto, esprimiamo il risultato della misura in tonnellate:
0,900 kg = 0,900 (10−3 t) = 0,000900 t = 900 ∙ 10−4 t
Prova tu
Per merenda haipreparato un panino lacui massa è 1,20 hg.
▸ Qual è la sua massain μg?
[1,20 · 108 μg]
5
• 1 t = 103 kg
(1 t) = 10−3 = (103 kg) ∙ 10−3
10−3 t = 1 kg
6 LE GRANDEZZE DERIVATE
Le grandezze derivate sono definite a partire dalle grandezze fondamentaliapplicando le leggi della fisica.
Le unità di misura delle grandezze derivate si deducono dalle unità di misuradelle grandezze fondamentali di partenza.In questo capitolo studieremo tre esempi di grandezze derivate: l’area, il volume
e la densità. Nel resto del corso ne incontreremo molte altre, perché la maggiorparte delle grandezze fisiche sono grandezze derivate.
L’area
La copertina di questo libro è rettangolare. Che cosa dobbiamo fare per calcolarela sua area? In base alla definizione sappiamo che dobbiamo misurare la larghez-za e l’altezza della copertina, per esempio con un righello, e poi moltiplicarle traloro. La misura indiretta che abbiamo appena descritto ci suggerisce che l’area diuna superficie è il prodotto di due lunghezze.
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura dell’area è il metro quadrato (m2),definito come l’area di un quadrato di lato 1 m:
1 m2 = (1 m) ∙ (1 m)
Se volessimo eseguire una misura diretta dell’area di una superficie, dovremmocontare quanti quadrati di lato 1 m sono contenuti in quella superficie. Nellamaggior parte dei casi, però, questa operazione non è agevole, così si procede pervia geometrica, calcolando l’area in modo indiretto, come descritto nel caso dellacopertina del libro.
L’area di una superficie può essere misurata anche utilizzando multipli e sotto-multipli del metro quadrato.
Per passare da una misura espressa in metri quadrati a una espressa, per esem-pio, in decimetri quadrati, dobbiamo sapere quanti quadrati di lato 1 dm sono
22
Le gRANdezze fiSiche1
contenuti in un quadrato di lato 1 m, cioè a quanti dm2 equivale 1 m2 (figura 11):
1 m2 = (1 m) ∙ (1 m) = (10 dm) ∙ (10 dm) = 100 dm2
Quanti dm2 misura una stanza di 15 m2? Per calcolarlo dobbiamo eseguire questaequivalenza:
15 m2 = 15 ∙ (1 m)2 = 15 ∙ (10 dm)2 = 15 ∙ 100 dm2 = 1500 dm2 = 1,5 ∙ 103 dm2
In maniera analoga a quanto osservato per il decimetro quadrato, 1 cm2 è l’areadi un quadrato di lato 1 cm; così risulta che:
1 m2 = (1 m) ∙ (1 m) = (100 cm) ∙ (100 cm) = 104 cm2
1 dm2 = (1 dm) ∙ (1 dm) = (10 cm) ∙ (10 cm) = 102 cm2
Allo stesso modo si possono ottenere rapidamente altre equivalenze come queste:
1 m2 = (1 m)2 = (103 mm)2 =106 mm2
1 dm2 = (1 dm)2 = (102 mm)2 =104 mm2
1 mm2 = (1 mm)2 = (10−1 cm)2 =10−2 cm2
1 cm2 = (1 cm)2= (10−2 m)2 =10−4 m2
Esempio Quanto spazio occuperebbero gli italiani?
Nell’esempio 2 abbiamo visto che gli italiani sono 60 milioni. Supponiamoche in 1 m2 si trovino 4 persone, come capita in un concerto.
▸ Quanti kilometri quadrati occuperebbero gli italiani se si mettessero tuttivicini?
La soluzione
Calcoliamo per prima cosa la superficie S in metri quadrati occupata dagliitaliani. Dividiamo poi il numero degli italiani per il numero di persone chesi trovano in un metro quadrato:
S =/4
60000000it m
it2 = 1,5 ∙ 107 m2
Adesso calcoliamo l’area della superficie in km2:
1,5 ∙ 107 m2 = 1,5 ∙ 107 ∙ (10−3 km)2 = 1,5 ∙ 107 ∙ 10−6 km2 = 15 km2
Se questa superficie fosse quadrata, avrebbe il lato lungo poco meno di 4 km!
Prova tu
In Italia circolano circa37 milioni di automobili.Supponi che abbianole dimensioni di unacomune utilitaria,ovvero 4,0 m dilunghezza e 1,8 m dilarghezza.
▸ Quale superficieoccupano in km2?
[270 km2]
6
Il volume
Che cosa dobbiamo fare per calcolare il volume d’acqua contenuto in una piscinaolimpica? Dobbiamo misurare la lunghezza della piscina, la sua larghezza, la suaprofondità e poi moltiplicare queste tre misure. Il volume di un oggetto, di unaregione di spazio oppure di un contenitore è infatti il prodotto di tre lunghezze.
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del volume è il metro cubo (m3),definito come il volume di un cubo di lato 1 m:
1 m3 = (1 m) ∙ (1 m) ∙ (1 m)
Come nel caso dell’area, anche il volume può essere misurato utilizzando multi-pli e sottomultipli del metro cubo.
Figura 11Un quadrato di lato 1 m contiene
100 quadrati di lato 1 dm.
1 m2 = 100 dm2
1 dm2
23
Le gRANdezze fiSiche 1
Per passare da una misura espressa in metri cubi a una espressa, per esempio, indecimetri cubi, dobbiamo sapere quanti cubi di lato 1 dm sono contenuti in uncubo di lato 1 m, cioè a quanti dm3 equivale 1 m3 (figura 12):
1 m3 = (1 m) ∙ (1 m) ∙ (1 m) = (10 dm) ∙ (10 dm) ∙ (10 dm) = 1000 dm3
In maniera analoga a quanto osservato per il decimetro cubo, 1 cm3 è il volume diun cubo di lato 1 cm; così risulta che:
1 m3 = (1 m)3 = (100 cm)3 = 106 cm3
1 dm3 = (1 dm)3 = (10 cm)3 = 103 cm3
Allo stesso modo si possono ottenere rapidamente altre equivalenze come queste:
1 m3 = (1 m)3 = (103 mm)3 =109 mm3
1 dm3 = (1 dm)3 = (102 mm)3 =106 mm3
1 mm3 (1 mm)3 = (10−1 cm)3 =10−3 cm3
1 cm3 = (1 cm)3 = (10−2 m)3 =10−6 m3
Molto spesso per esprimere il volume di liquidi e gas si usa un’unità di misurache non appartiene al SI: il litro.
Un litro (L) è uguale a un decimetro cubo:
1 dm3 = 1 L
Questo vuol dire che:
1 L = 1 dm3 = 10−3 m3
Esempio Un sacco d’acqua!
In Italia ogni anno vengono consumati 10 milioni di metri cubi diacqua minerale. Supponiamo che tutta quest’acqua sia contenutain bottiglie di platica da 1,5 L.
▸ Quante bottiglie di acqua minerale vengono consumate in Italiaogni anno?
La soluzione
Calcoliamo a quanti litri corrispondono 10 milioni di metri cubi d’acqua:
10 ∙ 106 m3 = 107 m3 = 107 ∙ (103 L) = 1010 L
Per calcolare il numero delle bottiglie, dividiamo il numero totale dei litrid’acqua per il volume di una singola bottiglia:
,1 510
L/botL10
= 6,6 ∙ 109 bottiglie
In Italia vengono consumate più di 6 miliardi e mezzo di bottiglie di plasticaall’anno.
Prova tu
Il serbatoio diun’automobile contienein media 45 L di benzina;ogni anno in Italia vieneconsumato l’equivalentedi 2,3 · 105 miliardi dipieni di benzina.
▸ A quanti metri cubicorrispondono?
[1,0 ∙ 1013 m3]
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La densità
A parità di volume occupato, è maggiore la massa di un palloncino pieno d’ariao di uno pieno d’acqua? Sulla risposta abbiamo pochi dubbi: il palloncino pienod’acqua ha massa maggiore perché l’acqua è più densa dell’aria.
Figura 12Un cubo di lato 1 m contiene1000 cubi di lato 1 dm.
1 m3 = 1000 dm3
1 dm3
24
Le gRANdezze fiSiche1
La densità di un corpo è uguale al rapporto tra la sua massa m e il suo volume V:
d =Vm [1]
Questo significa che:
• a parità di volume, come nel caso dei due palloncini, la densità è direttamente
proporzionale alla massa;
• a parità di massa, la densità è inversamente proporzionale al volume.
Visto che la densità è data dal rapporto tra massa e volume, la sua unità di misuraè uguale al rapporto tra le unità di misura della massa e del volume.
Nel SI la densità si misura in kilogrammi al metro cubo (kg/m3).
Esempio Quanto sangue abbiamo nel nostro corpo?
Il corpo di una persona adulta contiene circa 5,2 L di sangue. La densità delsangue è d = 1060 kg/m3.
▸ Calcola la massa del sangue presente nel corpo di una persona adulta.
La soluzione
Calcoliamo a quanti metri cubi equivalgono 5,2 litri:
5,2 L = 5,2 dm3 = 5,2 ∙ 10−3 m3
La densità d è data dall’espressione [1]. Per ricavare la massa m, moltipli-chiamo entrambi i membri dell’espressione per V:
dVVm
V dV m"= =
Sostituiamo i valori numerici nell’espressione precedente e calcoliamo lamassa del sangue di una persona adulta:
m = (1060 kg/m3) ∙ (5,2 ∙ 10−3 m3) = 5,5 kg
8Prova tu
La produzione diParmigiano Reggianoassorbe in un anno circa2 milioni di tonnellatedi latte (densitàd = 1020 kg/m3); perpreparare una formaservono 550 L di latte.
▸ Quante forme diParmigiano Reggianosi producono in unanno?
[3,6 · 106]
Tabella 6La densità di alcune sostanze.
Sostanza Densità d(kg/m3) Sostanza Densità d(kg/m3)
Solidi Liquidi
Alluminio 2700 Acqua (a 4 °c) 1,000 ∙ 103
Argento 10 500 Alcool etilico 806
cemento 2200 Mercurio 13 600
diamante 3520 Olio (lubrificante) 800
ferro (acciaio) 7860 Sangue umano 1060
ghiaccio 917 Gas
Legno (di pino) 550 Aria 1,29
Oro 19 300 Azoto 1,25
Ottone 8470 Biossido di carbonio 1,98
Piombo 11 300 elio 0,179
Quarzo 2600 idrogeno 0,0899
Rame 8890 Ossigeno 1,43
A meno che non sia indicato diversamente, i valori si riferiscono alle densità a 0 °c e alla pressione di 1 atm.
MMM
55bbb
5bbbbbbb
ks
b
25
Le gRANdezze fiSiche 1
7 LE DIMENSIONI FISICHE DELLE GRANDEZZELa distanza tra due città può essere misurata in miglia, la dimensione di unosmartphone è misurata in pollici mentre l’altezza di una persona è misurata inmetri o in centimetri.
Chepstow
43,8 miglia
Pontypridd
Pontypool
Weston--super-Mare
Wellington
Minehead
Taunton
Bridgwater
Wells
Merthyr Tydfil
Newport
BristolCardiff
0 10 km
10 miglia
PPPPPPPP
WWWWWWWWWW
MMMMMMMMMMM
MMMMMMMMMMMMM
15:45Friday October 25
10:38
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10:38:38:383838383838383338383838388:383838
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Music
Bookokkkskskskskksskskskskskkkskss
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6p
olli
ci 1,47 m
Anche se sono espresse con unità di misura differenti, le tre grandezze descrittesono tutte lunghezze. In casi come questo diciamo che le grandezze hanno tuttele stesse dimensioni fisiche.
La natura fisica di una grandezza e il tipo di unità di misura usata per specifi-carla sono indicati con il termine dimensione.
Le dimensioni fisiche sono indicate tra parentesi quadre. Per esempio, le dimen-sioni della lunghezza si indicano con [l], le dimensioni dell’intervallo di tempo siindicano con [t] e quelle della massa con [m].
Grandezze che hanno le stesse dimensioni si dicono grandezze omogenee.
Alcune grandezze sono definite soltanto da un numero, senza unità di misura:sono dette grandezze adimensionali o anche numeri puri.
Sommare grandezze che hanno dimensioni diverse non ha senso: per esempio,la somma di 2 metri e 5 secondi non esiste. È invece possibile moltiplicare odividere tra loro grandezze di tipo diverso. Per esempio, visto che la densità è ilrapporto tra la massa e il volume, le sue dimensioni fisiche sono:
[d] =lm[ ]
[ ]3 = [ml−3]
In qualsiasi formula che coinvolga grandezze fisiche, i due membri devono averele stesse dimensioni fisiche. Il controllo delle dimensioni fisiche a sinistra e a de-stra del segno «=» è detto analisi dimensionale ed è necessario per accertarsi cheuna formula abbia senso dimensionalmente.
L’analisi dimensionale è un utile controllo da fare quando svolgi un esercizio: sei due membri di una formula che hai ricavato hanno dimensioni fisiche diverse,la formula contiene sicuramente un errore.
• Se d è la densità di un corpocon massa m e volume V, laformula
V dm=
è sbagliata per ragionidimensionali, infatti
m ll3 2 3! -6 6@ @
Le gRANdezze fiSiche1
MAPPA DEI CONCETTI
26
si misuranoscegliendo una
LE GRANDEZZE FISICHEsono le proprietà misurabili di un corpo
o di un fenomeno
definite a partire dallegrandezze fondamentali
Grandezze derivate
• secondo (s)• metro (m)• kilogrammo (kg)• ampere (A)• kelvin (K)• candela (cd)• mole (mol)
©B
iPM
Sistema Internazionale
cioè la grandezza di riferimento a cuiassegniamo il valore 1
Unità di misura
cioè contare quante volte l’unità dimisura è contenuta in una grandezza
Misurare
cioè la potenza di 10 che meglioapprossima il valore della misura.Per esempio: l’ordine di grandezza
di ,7 22 10 m4$ è 105 m
Ordine di grandezza
Per esempio:
,l 7 22 10 m4$=
Notazione scientifica
1 cifra
virgola
cifre decimali
potenza di 10
unità dimisura
che si usa per
la misura può esserescritta in
da cui si ricava un
si misurano con il per esempio
possono essere
Per esempio l’intervallodi tempo, la lunghezza
e la massa
Grandezzefondamentali
Nel Sistema internazionalesi misura in m2
Area
Nel Sistema internazionalesi misura in m3.
Spesso si usa come unitàdi misura il litro:
1 L 1 dm 10 m3 3 3= =
-
Volume
dv
m=
unità di misura: kg/m3
Densità
massa (kg)
volume (m3)
Indicano la natura fisica di unagrandezza e il tipo di unità dimisura usata per specificarla
In una formula, i membri adestra e a sinistra dell’uguale
devono avere le stessedimensioni fisiche
Dimensioni fisiche
Analisi dimensionale
sono caratterizzate da
che si possonosfruttare nella
Video
in inglese
GUARDA!
27
Le gRANdezze fiSiche 1
GrandezzeproporzionaliObiettivo
▸ Mostrare che la relazione di proporzionalità diretta tra massa e volume non cambia quando siconsiderano oggetti dello stesso materiale.
▸ Rappresentare in un grafico la proporzionalità diretta tra due grandezze.
Cosa serve□ Calibro decimale: sensibilità 0,1 mm.□ Piccoli oggetti di forma cilindrica di vari materiali (ad esempio
ferro, alluminio, gesso, plastica).□ Una bilancia elettronica: portata 500 g e sensibilità 1 g (o
migliore).□ Calcolatrice scientifica.□ Quaderno, biro, matita, righello.
Come si fa
▸ Ogni gruppo numera i vari cilindri disponibili in modo da non confonderli e misura con il calibrodiametri e altezze.
▸ Con la bilancia elettronica, ogni gruppo misura la massa degli oggetti.
▸ Ogni studente calcola il volume, V = πR2h, dei cilindri del proprio gruppo.
Come usare i dati
▸ Ogni studente compila sul proprio quaderno una tabella analoga alla seguente:
Materiale Diametro (cm) Altezza (cm) Volume (cm3) Massa (g) Densità (g/cm3)
1 ferro …
2 ferro
… …
▸ Ogni gruppo controlla se gli oggetti dello stesso materiale hanno valori di densità simili tra loro e,dove possibile, li confronta con i valori noti per quel materiale.
▸ Per ciascun materiale, ogni studente disegna un grafico cartesiano mettendo in ascisse il volumee in ordinata la massa.
A casa
▸ Su ogni grafico che hai creato durante l’esperienza, traccia una retta che abbia le seguenti caratte-ristiche: passa per l’origine ed è il più vicino possibile ai punti del grafico.
Se usi un foglio di calcolo sul tuo computer, questa retta si chiama linea di tendenza.
▸ Misura le pendenze delle rette disegnate con questo metodo:
• scegli un punto P sulla retta che si trovi più lontano dall’origine degli assi rispetto ai punti tro-vati per via sperimentale;
• calcola il rapporto tra l’ordinata e l’ascissa del punto P (non dimenticare le unità di misura).
▸ Confronta le pendenze così determinate con le densità riportate nella tabella compilata in laboratorio.
LABORATORIO
Difficoltà
●●● 1 ora 2/3 studenti
1
28
Esercizi
Le grandezze fisiche
1 LA NATURA DELLA FISICA
2 LE GRANDEZZE FISICHE
3 IL SISTEMA INTERNAZIONALEDI UNITÀ
Per cominciareCOMPLETA
Una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fisica è una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . di uncorpo o di un fenomeno che può essere
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . con uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., come lalunghezza, l’intervallo di tempo e la massa.misurata • parola • grandezza • strumento •
situazione • proprietà • sensibilità • rivoluzionata
TEST
Quale delle seguenti non è una delle sette grandezzefondamentali del SI?a lunghezza
B intervallo di tempo
c intensità di corrente
d velocità
1●●●
2●●●
Completa la tabella convertendo le lunghezze indica-te tra metri e kilometri.
Metri (m) Kilometri (km)
1000
25
47 000
0,14
Completa la tabella convertendo le lunghezze indica-te tra centimetri e metri.
Centimetri (cm) Metri (m)
34
12
0,3
3●●●
4●●●
Completa la tabella convertendo le masse indicatetra grammi e kilogrammi.
Grammi (g) Kilogrammi (kg)
10
1
18 000
150
5,2
Completa la tabella convertendo il tempo indicatotra secondi, minuti e ore.
Secondi Minuti Ore
30
1,2
900
108
Scrivi i nomi dei prefissi dei multipli e dei sottomul-tipli e la potenza di 10 corrispondente.
Simbolo Prefisso Potenza
M
μ
k
T
n
Controlla se le misure in tabella sono espresse inmodo corretto. Se sono sbagliate, scrivi l’espressionecorretta.
hm 15
5 cm
13 Km
150 gr
15 moli
Esegui le conversioni nelle unità di misura indicatenella tabella.
10 m km
200 mm m
34 cm m
18 g kg
5 kg mg
65 000 μg kg
40 hg g
5●●●
6●●●
7●●●
8●●●
9●●●
Esercizi 1
29
Esegui le conversioni nelle unità di misura indicatenella tabella.
82 mm m
33 g kg
12 min s
3700 ma a
1 cmol mol
1500 μcd cd
10●●●
4 LA NOTAZIONE SCIENTIFICA
Per cominciareTEST
Quale delle seguenti misure non è scritta innotazione scientifica?a ,2 2 10 m3
$
B ,2 3 10 m3$
c ,4 7 10 m3$
d 54 10 m3$
15●●●
Completa la tabella seguendo l’esempio riportato.
8 decine 80
6 migliaia
5 centinaia
3 milioni
4 decimi
6 milionesimi
11 centesimi
16●●●
Esprimi il numero a parole seguendo l’esempio ri-portato.
700 000 7 centinaia di migliaia
30 000
500
9 000 000
0,01
0,004
0,000 002
Ordina in modo crescente i seguenti ordini di gran-dezza.
10−2 10−6 103 107 104
Ordina in modo decrescente i seguenti ordini digrandezza.
centinaiadecinedimigliaia
Milionesimicentesimidimillesimi
Millesimi
17●●●
18●●●
19●●●
Esegui le conversioni nelle unità di misura indicatenella tabella.
18 nm μm
3 Mg mg
48 min ore
640 pm nm
0,1 Tg Mg
12 μg mg
11●●●
12 PROBLEM SOLVING
Un tipo di batterio detto micoplasma è lungo circa 0,000 000 2 m.
▸ Converti la lunghezza del micoplasma nel sottomultiplo più conveniente.
RisolviamoConvertiamo la misura in alcuni sottomultipli del metro:
0,000 000 2 m 0,0002 mm 0,2 μm 200 nm
L’unità di misura più conveniente è il μm, oppure, in alternativa, il nm.È quindi conveniente dire che la lunghezza del batterio è 0,2 μm oppure 200 nm.
L’unità di misura più conveniente
è più convenientescrivere un numeroscrivere un numerocon pochi zericon pochi zeri
PROVA TU
Lo spessore massimo di un capello umano è 0,00010 m.▸ Esprimi lo spessore massimo di un capello nell’unità di misura più conveniente.
PROVA TU
Il pianeta Giove dista dal Sole, in media, circa 780 miliardi di metri.▸ Esprimi la distanza media di Giove dal Sole nell’unità di misura più conveniente.
13●●●
14●●●
1 Le grandezze fisiche
30
Cerca le dimensioni dei seguenti oggetti e ordinali inbase alla loro lunghezza, indicando il loro ordine digrandezza.
cellula atomo Torre eiffel everest Penna
Cerca le dimensioni dei seguenti oggetti e ordinaliin base alla loro massa, indicando il loro ordine digrandezza.
auto zanzara cellula TerrastellaBetelgeuse
Titanic
Esprimi i valori delle grandezze indicate nella lorocorrispondente notazione scientifica.
1000 m
0,0005 s
800 g
0,012 km
6 400 000 m
Converti i valori delle grandezze indicate dalla nota-zione scientifica al numero corrispondente.
1,6 ∙ 101 km
5,2 ∙ 10−3 a
1,1 ∙ 103 g
1,3 ∙ 10−2 km
6,0 ∙ 102 s
Ordina in modo crescente i seguenti numeri espressiin notazione scientifica.
1,2 ∙ 10−3 1,9 ∙ 10−6 1,0 ∙ 10−6 9,9 ∙ 102 1,0 ∙ 103
Completa la tabella convertendo le grandezze indica-te nelle unità di misura fondamentali del SI seguen-do l’esempio indicato.
Grandezza Notazionescientifica Numero
32 μm 3,2 ∙ 10−5 m 0,000 032 m
75 km
12 ns
4,2 ma
9,6 mg
500 μs
L’Universo è nato circa 14 miliardi di anni fa in un’e-norme esplosione chiamata Big Bang.▸ Calcola l’età dell’Universo in secondi e indica il
suo ordine di grandezza.[4,4 ∙ 1017 s]
20●●●
21●●●
22●●●
23●●●
24●●●
25●●●
26●●●
Esegui le seguenti operazioni tra numeri in notazio-ne scientifica e indica l’ordine di grandezza.
Operazione Risultato Ordine digrandezza
(1,5 ∙ 102) + (7,8 ∙ 102)
(1,1 ∙ 102) − (7,8 ∙ 101)
(3,2 ∙ 107) ∙ (1,0 ∙ 101)
(9,5 ∙ 103) : (1,3 ∙ 102)
Esegui le seguenti operazioni tra numeri in notazio-ne scientifica, approssimando il risultato a due cifree indica l’ordine di grandezza.
Operazione Risultato Ordine digrandezza
(5,9 ∙ 103) + (3,1 ∙ 102)
(5,5 ∙ 107) − (4,8 ∙ 109)
(5,1 ∙ 107) ∙ (1,2 ∙ 105)
(1,2 ∙ 102) : (1,8 ∙ 106)
In un anno un raggio di luce percorre una distanza dicirca 9 460 500 000 000 km.▸ Scrivi questo numero in metri approssimandolo a
due sole cifre e in notazione scientifica.▸ Indica l’ordine di grandezza.
[9,5 ∙ 1015 m; 1016 m]
La distanza media tra il Sole è la Terra è di 150 milio-ni di chilometri.▸ Scrivi tale distanza in notazione scientifica usando
l’unità di misura fondamentale del SI.▸ Se l’orbita terrestre fosse una circonferenza, quan-
to misurerebbe?[9,4 ∙ 1011 m]
5 LE GRANDEZZE FONDAMENTALI
Per cominciarePROBLEMA GUIDATO
Durante una partita di calcio, una squadra va in van-taggio a 5 minuti dalla fine.▸ Quanti secondi ha la squadra avversaria per recu-
perare lo svantaggio?
Soluzione.........
......... ...........
1
5 5 1 5
minuto s
minuti minuto s s$ $
=
= = =^ ^h h
31●●●
SPIEGA PERCHÉ
La lunghezza di due strade è stata misurata in metri.▸ Cambierebbe il loro rapporto se si misurassero in
kilometri?▸ E se si misurassero in miglia?
27●●●
28●●●
29●●●
30●●●
32●●●
1Esercizi
31
Per misurare il tempo in modo molto preciso usiamol’impulso luminoso di un laser che si accende ogni100 ns e contiamo il numero di impulsi.▸ Quanto tempo è durato l’esperimento se abbiamo
contato 4001 impulsi luminosi?[4,00 ∙ 10−4 s]
Misuriamo la lunghezza di un tavolo con matite lun-ghe 16 cm, penne lunghe 14 cm e gomme lunghe3,0 cm.▸ Quanto è lungo il tavolo se per ricoprire la sua in-
tera lunghezza abbiamo utilizzato 3 matite, 4 pen-ne e 2 gomme?
[1,1 m]
La massa del Sole è di circa MS = 2,0 ∙ 1030 kg, mentrela massa di un elettrone è di circa me = 9,1 ∙ 10−31 kg.▸ Calcola l’ordine di grandezza del rapporto MS/me.
[1060]
QUANTI SU 100?
In una miniera di ferro, per ogni 1000 kg di rocciasolo lo 0,01% è costituita da ferro.▸ Calcola quanto ferro è stato estratto da 10 Mg di
roccia.[1 kg]
6 LE GRANDEZZE DERIVATE
Completa la tabella convertendo i valori delle areenell’unità di misura indicata.
2 cm2 m2
440 dm2 m2
3 km2 m2
7500 mm2 m2
6,2 ∙ 10−4 km2 m2
Completa la tabella convertendo i valori delle areenelle unità di misura indicate.
15 m2 cm2
3 m2 cm2
0,45 m2 dm2
6900 m2 km2
1,2 ∙ 10−4 m2 mm2
Completa la tabella convertendo i valori dei voluminell’unità di misura indicata.
10 000 cm3 m3
2400 cm3 m3
5700 dm3 m3
0,001 km3 m3
4900 mm3 m3
0,03 km3 m3
39●●●
40●●●
41●●●
42●●●
43●●●
44●●●
45●●●
In un gioco da tavola il tempo a disposizione per fareuna mossa viene misurato con una clessidra di dura-ta 0,5 minuti. La clessidra può essere girata per unmassimo di 4 volte.▸ Qual è il tempo massimo a disposizione per ese-
guire una mossa?[2,5 min]
QUANTI SU 100?
In base a recenti osservazioni astronomiche, si ipo-tizza che solo una piccola parte, circa il 10%, dellamassa delle galassie sia materia visibile. Il restante90% è costituito da materia invisibile chiamata Mate-ria Oscura.▸ Calcola quanta materia visibile è presente in una
galassia di massa 1,2 ∙ 1040 kg.[1,2 ∙ 1039 kg]
Per misurare un lato del pavimento della cucina usidei tovaglioli quadrati di lato 10 cm, disponendoli inmodo ordinato uno dietro l’altro. In totale usi 32 to-vaglioli.▸ Calcola la lunghezza dal pavimento.
[3,2 m]
Marco e Luca misurano la lunghezza di una motoci-cletta con le loro braccia. Marco ottiene una misuradi 7 braccia mentre Luca ottiene una misura di 5,5braccia.▸ Il braccio di Luca è lungo 40 cm: quanto è lunga la
motocicletta?▸ Quanto è lungo il braccio di Marco?
[2,2 m; 0,3 m]
Un camion può portare un carico massimo di 10 Mg.▸ Quanti scatoloni da 120 kg possono essere caricati
sul camion?[83]
Il pianeta Saturno impiega 29,45 anni terrestri percompiere un giro completo intorno al Sole.
▸ Se un diciottenne, abitante del pianeta Terra, an-dasse su Saturno, quanti anni saturniani avrebbe?
▸ Se un diciottenne di Saturno venisse sulla Terra,quanti anni terrestri avrebbe?
[0,61 anni saturniani; 530 anni terrestri]
33●●●
34●●●
35●●●
36●●●
37●●●
38●●●
©n
asa/
JPL/
spac
esc
ien
cein
stit
ute
1 Le grandezze fisiche
32
Vogliamo stimare il volume di un recipiente versan-doci all’interno dell’acqua contenuta in una bottigliada mezzo litro. Il recipiente si riempie completamen-te dopo 20 travasi.▸ Calcola il volume del recipiente ed esprimi il ri-
sultato in m3.[1,0 ∙ 10−2 m3]
Completa la tabella convertendo la densità nell’unitàdi misura indicata.
1 g/cm3 kg/m3
0,38 g/cm3 kg/m3
0,0043 g/cm3 kg/m3
Completa la tabella convertendo i valori delle densitànell’unità di misura indicata.
3700 kg/m3 g/cm3
28 kg/m3 g/cm3
4,6 ∙ 10−3 kg/m3 g/cm3
Per determinare la densità di un cubo misuriamouno dei suoi lati, ottenendo il valore di 10 cm, e mi-suriamo la sua massa, ottenendo un valore di 100 g.▸ Calcola la densità del cubo in g/cm3.▸ Converti questa densità in kg/m3.
[0,10 g/cm3; 100 kg/m3]
Il volume di un cilindro di vetro è di 1,2 ∙ 10−3 m3, ladensità del vetro è di 2,4 g/cm3.▸ Calcola la massa del vetro. [2,9 kg]
Il raggio della Terra è circa 6,4 ∙ 106 m, mentre la suamassa è circa 6,0 ∙ 1024 kg.▸ Calcola la densità della Terra.
[5,5 ∙ 103 kg/m3]
Ogni anno 13 milioni di tonnel-late di plastica finiscono in mare.Nel tempo, circa la metà di questaplastica si frammenta in particellecon dimensioni inferiori al millimetro ed entra nellacatena alimentare della fauna marina.
▸ Quanti kg di plastica entrano nel mare in mediaogni secondo?
▸ Una bottiglietta per bibite è fatta con circa 20 cm3
di plastica. Stima il numero di particelle da 0,5 mmche si formano da una bottiglietta di plastica.
[410 kg]
55●●●
56●●●
57●●●
58●●●
59●●●
60●●●
61●●●
©r
ich
car
ey/s
hu
tter
sto
ck
Completa la tabella convertendo il volume nell’unitàdi misura indicata.
0,001 m3 cm3
6 m3 cm3
93 m3 dm3
5300 m3 km3
0,047 m3 mm3
19 000 m3 km3
Quante lattine da 0,33 L si possono riempire con1,0 m3 di acqua? [circa 3000]
QUANTI SU 100?
In Italia il volume complessivo diacqua immessa nelle reti comuna-li di distribuzione dell’acqua pota-bile è 8,3 miliardi di metri cubi. Acausa del deterioramento delle tubazioni, il 39% diquesta acqua si disperde nel sottosuolo.▸ Calcola di quanti litri di acqua al giorno dispone
in media ognuno dei 60 milioni di italiani.(Fonte: ISTAT Utilizzo e qualità della risorsa idrica in Italia)
[230 L]
Un campo da calcio ha dimensioni 90 m per 120 m.▸ Calcola l’area del campo da calcio.▸ Esprimi l’area del campo da calcio in ettari. Un et-
taro (ha) corrisponde a 1,0 ∙ 104 m2.[1,1 ∙ 104 m2; 1,1 ha]
Il raggio della Terra è di circa 6,4 ∙ 106 m.▸ Calcola l’area della superficie terrestre ed esprimi
il risultato in km2.[5,1 ∙ 108 km2]
Un agronomo vuole stimare quanta terra ha a dispo-sizione per una coltura di vigne. Misura i lati dei suoitre appezzamenti di forma quadrata e ottiene per ilprimo un lato di 100 m, per il secondo un lato doppiorispetto al primo e per il terzo un lato triplo rispettoal secondo.▸ Calcola l’area totale destinata alla coltura delle vi-
gne. [4,10 ∙ 105 m2]
Il litro è un’unità di misura che non appartiene al SIma è comunemente usato per indicare la capacità deirecipienti.▸ Converti il volume di una lattina da 33 cL in litri.▸ Converti il volume di un recipiente da 100 L in m3.
[0,33 L; 0,100 m3]
Il raggio della terra è circa 6,4 ∙ 106 m.▸ Calcola il volume della terra ed esprimi il risultato
in km3.[1,1 ∙ 1012 km3]
Il rapporto tra i lati di due cubi è 3.▸ Qual è il rapporto tra le loro superfici totali?▸ Qual è il rapporto tra i loro volumi?
46●●●
47●●●
48●●●
49●●●
50●●●
51●●●
52●●●
53●●●
54●●●
1Esercizi
33
7 LE DIMENSIONI FISICHEDELLE GRANDEZZE
Per cominciarePROBLEMA GUIDATO
L’area di un triangolo si trova con la formulaA = (b ∙ h)/2.▸ Determina le dimensioni fisiche dell’area di un
triangolo e indica l’unità di misura nel SI.
SoluzioneLa base e l’altezza hanno le dimensioni di una lun-ghezza, cioè [. . . . . . . . . . . . . . . . . . .]. Quindi:
.......... ......... ..........
A bh b h b h21
21
= = =
= =
6 96 6
9 6 6 6 6@@C
@C @ @ @ @
L’unità di misura di una lunghezza nel SI è il . . . . . . . . . . . . . . . . .,quindi l’unità di misura dell’area è . . . . . . . . . . . . . . . . ..
62●●●
Il volume di una sfera si trova con la formulaV = (4/3)πr3.▸ Determina le dimensioni fisiche del volume e in-
dica l’unità di misura del SI.
La densità di un cubo è definita come la sua massadiviso il suo volume.▸ Determina le dimensioni fisiche della densità di
un cubo e indica la sua unità di misura nel SI.
SPIEGA PERCHÉ▸ Che dimensioni ha il rapporto tra due volumi?▸ È possibile confrontare il rapporto tra due lun-
ghezze con il rapporto tra due volumi?
SPIEGA PERCHÉ
Per raggiungere un’isola dall’entroterra è necessariopercorrere 4,5 km in pullman e 8,2 miglia nautiche(nmi) in battello (1 nmi = 1852 m).▸ Si tratta di due grandezze omogenee?▸ Si possono sommare? In caso affermativo, qual è
la loro somma?[20 km]
63●●●
64●●●
65●●●
66●●●
PROVA TU
Man mano che un serbatoio viene riempito, la sua massa aumenta con la legge M = at, dove t indica il tempo e a èuna costante di valore 0,025, con unità di misura opportune.▸ Quali sono le dimensioni di α?▸ Qual è la sua unità di misura SI?
68●●●
67 PROBLEM SOLVING
Durante un esperimento, si misura più volte la posizione s di un oggetto in diversi istanti di tempo t. I dati raccoltimostrano che la posizione e il tempo sono legati dalla legge s = kt3, dove k è un parametro di valore 2,3.
▸ Quali sono le dimensioni del parametro k?
▸ Qual è una sua possibile unità di misura?
Risolviamo• Invertiamo la legge s = kt3, isolando il parametro k:
k =ts3
Da questa relazione deduciamo che le dimensioni di k sono quelle di una lunghezza diviso il cubo di untempo, cioè
[k] =tl3: D = [l] ∙ [t−3]
• Una possibile unità di misura del parametro k è m/s3.
Le dimensioni di un parametro
A spring is hanging down from the ceiling, and an object of mass m is attached to the free end. The object ispulled down, thereby stretching the spring, and then released. The object oscillates up and down, and the time Trequired for a complete up-and-down oscillation is given by the equation T m k2r= , where k is known as thespring constant.▸ What must be the dimension of k for this equation to be dimensionally correct?
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1 Le grandezze fisiche
34
Una lastra metallica ha la forma di un quadrato dilato 60 cm e massa 1300 g.▸ Quali sono le dimensioni di σ?▸ Qual è la densità superficiale della lastra in unità
SI?,3 6 kg/m26 @
Per oggetti che si sviluppano prevalentemente inlunghezza, come fili e tubi, si utilizza la densità linea-re λ, definita come il rapporto tra la massa dell’ogget-to e la sua lunghezza.Un rocchetto di filo da pacchi, di massa 160 g, con-tiene 95 m di filo.▸ Quali sono le dimensioni di λ?▸ Qual è la densità lineare del filo? Esprimila nell’u-
nità che ritieni più opportuna.,1 7 g/m6 @
Immagina di mescolare 120 cm3 di acqua e 40 cm3 dialcool etilico.▸ Qual è la densità della miscela ottenuta?
[950 kg/m3]
La lunghezza del ponte di Brooklyn a New York è di1825 m.▸ Indica l’ordine di grandezza se esprimiamo la lun-
ghezza del ponte in centimetri.[105 cm]
In un parco comunale l’albero più vecchio ha71 anni.▸ Esprimi l’età dell’albero in secondi.
[2,2 ∙ 109 s]
Un allevatore deve acquistare la recinzione per il suoterreno di forma quadrata. Sa che l’area del terrenoè 1,6 ∙ 103 m2.▸ Calcola quanti metri di recinzione deve acquistare.
[160 m]
La massa di un uomo adulto è di 92 kg.▸ Determina l’ordine di grandezza della massa
dell’uomo in grammi.[105 g]
La FAO stima che ogni anno nelmondo si sprechi 1/3 dei 4 miliar-di di tonnellate di cibo prodotto.Lo spreco avviene nella produzio-ne, nel trasporto e nella conservazione del cibo maanche nella sua utilizzazione finale.▸ Stima quanti kg di cibo getti ogni anno nei rifiuti.▸ Immagina che ogni italiano sprechi la tua stessa
quantità di cibo. Stima quante tonnellate di cibosprecheremmo ogni anno in Italia.
▸ Un camion autocompattatore trasporta circa 20 tondi rifiuti. Quanti camion servirebbero per traspor-tare in discarica la massa di rifiuti che hai stimato?
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PROBLEMI FINALI
Completa la tabella convertendo nelle unità di misu-ra indicate.
52 g kg
350 m km
76 km m
420 s min
0,02 kg g
2,4 h s
Completa la tabella convertendo nelle unità di misu-ra indicate.
6 km2 m2
260 m3 km3
12 g/cm3 kg/m3
3600 s h
0,02 kg/m3 g/cm3
2,4 km2 m2
Esegui le seguenti operazioni tra numeri in notazio-ne scientifica e indica l’ordine di grandezza.
Operazione Risultato Ordine digrandezza
(1,2 ∙ 105) + (5,8 ∙ 105)
(1,6 ∙ 103) − (6,0 ∙ 102)
(4,2 ∙ 105) ∙ (1,5 ∙ 103)
(6,0 ∙ 107) : (2,0 ∙ 102)
Supponi di avere un grande foglio di carta di spes-sore 0,1 mm e di ripiegarlo su se stesso per 10 volte.▸ Calcola lo spessore del foglio di carta così ripie-
gato.[10 cm]
La luce percorre 3,0 ∙ 108 m ogni secondo.▸ Calcola a quanti metri corrisponde un anno-luce,
ovvero quanto spazio percorre la luce in un anno.[9,5 ∙ 1015 m]
Un astrobus del futuro percorre la tratta Luna-Terra.Il contametri segna 1,3 Tm di spazio percorso. La di-stanza media tra la Terra e la Luna è circa 384 400 km.▸ Quante volte l’astrobus ha percorso la tratta Lu-
na-Terra?[3400]
Per classificare oggetti di forma piana, come fogli epiastrelle, si utilizza la densità superficiale σ, definitacome il rapporto tra la massa dell’oggetto e la sua su-perficie.
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1Esercizi
35
QUANTI SU 100?
L’80% della massa di un lingotto è in oro, il restante20% è in argento.▸ Qual è la densità del lingotto?
[16500 kg/m3]
Il volume di una schiuma in espansione aumenta se-condo la relazioneV a bt ct2= + +
dove a, b, c sono tre costanti.▸ Quali sono le dimensioni delle tre costanti?▸ Quali sono le loro unità di misura SI?
COMPITO DI REALTÀStima quanti litri di acquapotabile potresti risparmiareogni giorno, evitando glisprechi.Esprimi il dato in L e in m3.
Immagina che in media ognuno dei 60 milioni di ita-liani risparmi la tua stessa quantità d’acqua.▸ Quanto sarebbe il risparmio annuo di acqua pota-
bile? Esprimi il dato in m3.
Immagina di accumulare questa quantità d’acqua incontenitori con lo stesso volume del Colosseo, cioècirca 105 m3.▸ Quanti ne servirebbero?
[2 ∙ 108 m3; 2000]
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Vogliamo determinare il volume di un oggetto diforma irregolare immergendolo in un contenitorecilindrico di raggio 10 cm contenente acqua. Primadi immergere l’oggetto, l’acqua raggiunge un’altez-za di 4,8 cm; dopo aver immerso l’oggetto, l’altezzadell’acqua è 8,0 cm.▸ Determina il volume dell’oggetto incognito.
[1,0 ∙ 10−3 m3]
Una sfera d’oro ha un raggio di 1,2 mm. L’oro ha unadensità di 19 300 kg/m3.▸ Calcola il volume della sfera.▸ Quanti grammi di oro sono stati usati per realiz-
zare la sfera?[7,2 ∙ 10−9 m3; 0,14 g]
Un cubo di lato 10 cm ha una massa di 150 g; un altrocubo dello stesso materiale ha un lato di 32 cm.▸ Calcola la massa del secondo cubo.
[4,9 kg]
Un cilindro di alluminio ha una massa di 1400 g ed èalto 26 cm. La sua densità è di 2700 kg/m3.▸ Calcola la superficie di base del cilindro ed esprimi
il risultato in m2.[2,0 ∙ 10−3 m2]
Un parallelepipedo ha una massa di 12 g, è largo0,010 m, è profondo 10 mm ed è alto 1,0 ∙ 105 μm.▸ Determina la sua densità in kg/m3.
[1200 kg/m3]
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91 PROBLEM SOLVING
CON LA MATEMATICA
Due grandezze A e B hanno dimensioni [ ] [ ]A lt 2=
- e [ ] [ ]B lt 1=
- . Moltiplicando o dividendo A, B o le loro potenzesi ottengono altre grandezze derivate. Fra le possibili grandezze derivate, determina:
▸ una grandezza T che abbia le dimensioni di un tempo: [ ] ]T [t= .
▸ una grandezza L che abbia le dimensioni di una lunghezza: [ ] [ ]L l= .
Traduciamo il testoI DATI
• Dimensioni di A [ ] [ ]A lt 2=
-
• Dimensioni di B [ ] [ ]B lt 1=
-
LE INCOGNITE
• Grandezza derivata da A e B di dimensione [ ]t ?T =
• Grandezza derivata da A e B di dimensione [l ?L =
Risolviamo per passiOsserviamo che nelle dimensioni di entrambe le grandezze [ ]A e [ ]B compaiono sia il tempo che la lunghezza, conpotenze diverse: se consideriamo il rapporto tra le due grandezze otteniamo delle semplificazioni.
• ELIMINARE LA LUNGHEZZA
Quale potenza?
Per ottenere una grandezza di dimensioni [t] dobbiamo eliminare [ ]l . Osserviamo che la lunghezza [ ]lcompare con la stessa potenza in [ ]A e in [ ]B : se consideriamo il rapporto tra le due grandezze, si semplificadirettamente.
Grandezze derivate e analisi dimensionale
1 Le grandezze fisiche
36
Il rapporto
Per fare il rapporto abbiamo due possibilità: verifichiamole entrambe
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ] [ ]BA
BA
l tl t
t t1
22 1 1
= = = =-
-
- + -: D
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ] [ ]AB
AB
l tl t
t t2
11 2
= = = =-
-
- +: D
Quindi la grandezza derivata che cerchiamo è T AB
= , che ha dimensioni [ ] [ ]T AB
t= =: D .
• ELIMINARE IL TEMPO
Quale potenza?
Per ottenere una grandezza di dimensioni [ ]l dobbiamo eliminare [ ]t . Osserviamo che il tempo [ ]t comparecon potenze diverse in [ ]A e in [ ]B : affinché si semplifichi in un rapporto, deve comparire con la stessa potenzaa numeratore e a denominatore. Quindi dobbiamo considerare il quadrato di B.
Il rapporto
Per fare il rapporto tra A e B2 abbiamo due possibilità: verifichiamole entrambe
[[ ]
[
[ ][ ] [ ]
]BA
BA
l t ]l t
l l2 2 21 2 1
2
2
= = = =-
-
- -: D
[ ][ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]A
BAB
l tl t
l l2 2
2
2 22 1
= = = =-
-
-: D
Quindi la grandezza derivata che cerchiamo è L AB2
= , che ha dimensioni [ ] [ ]L AB
l2
= =: D .
per ottenere le dimensionidi B2 eleviamo al quadratole dimensioni di B:[ ] [ ] [ ] [ ]B B lt l t2 2 1 2 2 2= = =
- -
PROVA TU CON LA MATEMATICA
Due grandezze, p e v, hanno rispettivamente dimensioni:
p mlt 1=
-66 @@ e v lt 1=
-6 6@ @▸ Determina le dimensioni del prodotto p v$ e del rapporto v
p.
▸ Verifica chem
pm v
22
$=
66 6 6@@ @ @.
;ml t m2 2-86 6@ @BPROVA TU CON LA MATEMATICA
Il nuovo Sistema Internazionale di Unità, entrato in vigore nel 2019, si basa su 7 costanti fondamentali. A partire daesse è possibile riprodurre la dimensionalità di tutte le grandezze di interesse fisico, mediante operazioni di molti-plicazione, divisione o elevamento a potenza.Per definire le unità introdotte in questo capitolo sono sufficienti 3 costanti:• Δν, la costante di radiazione del cesio-133, usata nella definizione di secondo;• c, la velocità della luce nel vuoto, che consente di definire il metro;• h, la costante di Planck, usata nella fisica atomica.Le tre costanti hanno le seguenti dimensioni:
• t 1oD =
-6 6@ @• c lt 1
=-6 6@ @
• h ml t2 1=
-6 6@ @▸ Verifica che vale la relazione dimensionale:
c
hm2
oD=
666 6@@@ @, ovvero che questa combinazione delle tre costanti, a
meno di un fattore numerico adimensionale, consente di definire il kilogrammo.
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1Esercizi
37
10/100 Problema 1
Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri:2,5 miliardi; 70,31; 4583; 0,000 014 7; 161; 758 000 000; 0,067; 45 002; 0,000 008 90; 5,3
10/100 Problema 2
È possibile che due quantità abbiano le stesse dimensioni ma diverse unità di misura?È possibile che abbiano le stesse unità di misura ma dimensioni diverse?
10/100 Problema 3
Una vasca d’acqua ha la forma di un parallelepipedo retto con area di base pari a 6,0 m2. La sua capienza è18 000 L. In un certo istante contiene 15 000 L di acqua.▸ Calcola in metri la distanza tra la superficie dell’acqua e il bordo superiore della vasca. [0,50 m]
10/100 Problema 4
Una sfera di massa 15 kg ha una densità di 454,5 kg/m3.▸ Qual è il raggio della sfera? [20 cm]
Problema 5
Anche se è il sistema di misura ufficiale, il Sistema Internazionale di misura non è adottato in tutto il mondo perl’uso quotidiano. Il caso più noto di sistema di misura alternativo è quello degli Stati Uniti, detto USCS (UnitedStates Customary System). In questo sistema, lunghezza, massa e volume dei liquidi (nonché altre grandezze)hanno unità di misura con multipli e sottomultipli non basati sul sistema decimale. Per questo nella conversioneda un’unità di misura a un’altra, le cifre del valore della grandezza cambiano.A La tabella mostra alcune unità di misura delle lunghezze del sistema USCS e alcuni fattori di conversione:
Unità di misura Nome inglese e simbolo Equivalente a
Pollice inch (in) 1/12 di piede
Piede foot (ft) 1/3 di iarda
iarda Yard (yd) 91,44 cm
Miglio Mile (mi) 1760 iarde
Converti queste unità di misura nel SI.
B La tabella mostra alcune unità di misura delle masse del sistema USCS e alcuni fattori di conversione:
Unità di misura Nome inglese e simbolo Equivalente a
Oncia Ounce (oz) 28,35 g
Libbra Pound (lb) 16 once
Ton Ton (ton) 2000 libbre
Converti queste unità di misura nel SI.
C La tabella mostra alcune unità di misura dei volumi del sistema USCS e alcuni fattori di conversione:
Unità di misura Nome inglese e simbolo Equivalente a
Pinta Pint (pt) 473,18 mL
Quarto Quart (qt) 2 pinte
gallone gallon (gal) 4 quarti
Converti queste unità di misura nel SI.
D Un contenitore di volume 2,5 ∙ 103 cm3 contiene 2,5 kg di acqua. Calcola la sua densità usando le unità di misuradel sistema USCS. [8,3 lb/gal]
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13/100
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SEI PRONTO PER LA VERIFICA? In 1 ora
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