RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS USANDO

LAS LEYES DE SENO Y COSENO

UNIDAD II: FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS

G.FG.11.5.1J. Pomales Marzo 2010

Introducción• No todos los triángulos

poseen un ángulo recto (90º)

• Aquellos triángulos que no poseen un ángulo recto se les llama:

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

EJEMPLOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS• Your subtopic goes here

Ninguno de ellos posee ángulos rectos

¿Qué es resolver triángulos?

• Calcular la medida de todos sus lados y ángulos.

• Anteriormente utilizamos SOHCAHTOA cuando eran triángulos rectángulos.

• Ahora utilizaremos la ley de senos y cosenos para resolver cualquier tipo de triángulos.

LEY DE LOS SENOS

¿Qué establece la ley de los senos?• En cualquier triángulo la

relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

• Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemosángulo-lado-ángulo (ALA)

ángulo-ángulo-lado (AAL)

lado-lado-ángulo (LLA)

¿Qué establece la ley de los senos?• En cualquier triángulo la

relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

c

Csen

b

Bsen

a

Asen

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Esta ley se puede utilizar de esta forma y ofrece el mismo resultado final

• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:

54

126180

)7254(180

A

A

AEstrategia de solución

Primero buscamos el tercer ángulo (el que falta)

Luego los otros lados utilizando la ley de los senos.

Cuidado: No siempre el ángulo que falta será igual a uno de los que aparezca en el triángulo

Ejemplo 1 para ALA

• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:

x

xsen

sen

senxsensen

x

sen

Csen

c

Asen

a

63.17

)54(

)72(15

)54()72(157254

15

=54º

Ejemplo 1 para ALA

Estrategia de solución

Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de los senos.

• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:

y

ysen

sen

senysensen

y

sen

Bsen

b

Asen

a

15

)54 (

)54 (15

)54 ()54 (1554 54

15

=54ºx ≈

17.63 m

Ejemplo 1 para ALA

Estrategia de solución

Ahora calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.

• Resuelve el triángulo de la derecha si el mismo posee las siguientes medidas:

Una vez tengas todas las medidas de los lados y ángulos el problema terminó.

Para el caso AAL se puede trabajar de forma similar a ALA.

=54ºx ≈

17.63 m

y = 15 m

Ejemplo 1 para ALA

• Resuelve el triángulo de la derecha:

24

47

)123 (23

47

)123 (23

) (47)123 (23

123

47

23

1 sensen

sensen

sensen

sensen

sen

a

sen

b

Estrategia de solución

Primero buscamos el ángulo β con la ley de senos

Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.

Finalmente, calculamos el lado que falta utilizando la ley de los senos.

Ejemplo 2 para LLA

47 cm23 cm

c

• Resuelve el triángulo de la derecha:

ccm

csen

sen

sencsensen

c

sen

sen

c

sen

a

31123

)33 (47

)123 ()33 (4733 123

47

Estrategia de solución

Segundo, buscamos el tercer ángulo que falta.

Ejemplo 2 para LLA

47 cm23 cm

33

147180

)12324(180

180

Por último, buscamos el lado que falta por la ley de senos.

c

Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?

125

m

Estrategia de solución:

Como nos dan la medida de un lado

deberíamos conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de senos

y encontrar d.

Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?

125

m

1.14

9.165180

)3.1246.41(180

)(180

C

C

C

BAC

Ahora usamos la ley de senos para

encontrar d

Ejemplo 3Para medir la longitud d de un lago, se estableció y se midió una línea de base AB de 125 metros. Los ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente. ¿Qué tan largo es el lago?

125

m

d

dsen

sen

sendsensen

d

sen

Asen

a

Csen

c

66.3401.14

)6.41(125

)1.14()6.41(1256.411.14

125

El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.

14.1º

LEY DE LOS

COSENOS

¿Qué establece la ley de los cosenos?• Cuando no se tiene entre

los datos un par de elementos opuestos la ley de senos no es suficiente.

• Así que, esta ley aplica mayormente cuando tenemos

lado-ángulo-lado (LAL)

lado-lado-lado (LLL)

¿Qué establece la ley de los cosenos?

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222

Estas tres ecuaciones plantean en esencia lo mismo.

Estrategia para resolver casos LAL con ley de cosenos

Paso Encuentre Método

1 El lado opuesto al ángulo dado

Ley de cosenos

2 Segundo ángulo (Encuentre el ángulo opuesto al más corto de los dos lados dados; siempre será agudo)

Ley de senos

3 Tercer ángulo 180 menos la suma de los otros 2 ángulos

• Resuelve el triángulo de la derecha

Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para despejar b.

Ejemplo 4 para LAL

cmb

b

Baccab

Baccab

96.5

4.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(

cos2

cos2

22

22

222

• Resuelve el triángulo de la derecha

Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar .Puesto que el lado c es más corto que el lado a, debe ser agudo.

Ejemplo 4 para LAL

44.35

96.5

)4.32(45.6

)(

)()(

1

sensen

b

sencsen

sencsenb

sen

b

sen

c

• Resuelve el triángulo de la derecha

Paso 3: Calcular el tercer ángulo

Ejemplo 4 para LAL

16.112

)44.354.32(180

)(180

Estrategia para resolver casos LLL con ley de cosenosPaso Encuentre Método

1 El ángulo opuesto al lado más largo (hay que tener cuidado si el ángulo es obtuso)

Ley de cosenos

2 De los ángulos restantes, cuál será agudo (¿Por qué?)

Ley de senos

3 Tercer ángulo 180 menos la suma de los otros 2 ángulos

• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m

Paso 1: Utiliza la ley de cosenos para encontrar el ángulo , que está opuesto al lado más largo.

Ejemplo 5 para LLL

49.100

)8.17)(3.27(2

)8.17()3.27()2.35(cos

cos2

cos2

cos2

2221

222

222

222

ab

bac

abbac

abbac

• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m

Paso 2: Utiliza la ley de senos para encontrar el ángulo α o β.Calculemos α.

Ejemplo 5 para LLL

69.49

2.35

)49100(3.27

)(

)()(

1

.sen sen

c

senasen

senasencsen

c

sen

a

• Resuelve el triángulo con a = 27.3 m, b = 17.8 m y c = 35.2 m

Paso 3: Calcular el tercer ángulo, β.

Ejemplo 5 para LLL

82.29

)69.4949.100(180

)(180

EJERCICIO

S DE

PRÁCTICA

Resuelva cada triángulo1) α = 73º β = 28º c = 42 pies

2) α = 122º = 18º b = 12 km

3) β = 112º = 19º c = 23 yds

4) α = 52º = 47º a = 13 cm

5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separación), se colocan en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el límite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en el ángulo BAS = 37º y el faro B reporta el mismo barco en el ángulo ABS = 20º. ¿A qué distancia está el barco del faro A? ¿A qué distancia está de la costa? (Suponga que la costa está a lo largo de la línea que une a los faros.)

Resuelva cada triángulo

6) α = 72.1º b = 5.32 yds c = 5.03 yds

7) = 120º a = 5.73 mm b = 10.2 mm

8) β = 104.5º a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg

9) α = 57.2º = 112º c = 24.8 m

10) β = 38.4º a = 11.5 pulg b = 14 pulg

Referencia• PRECÁLCULO,

FUNCIONES Y GRÁFICAS. Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill

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