LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE

DEFINIZIONE

Seno e cosenoConsideriamo la circonferenza goniometrica

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1521. LE FUNZIONI SENO E COSENO

e sia B il punto della circonferenzaassociato ad .

Definiamo coseno e seno di , e indichiamo con cos e sen :

cos = xB ,

sen = yB .

e un angolo orientato ,

Circonferenza di raggio unitario

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1531. LE FUNZIONI SENO E COSENO

Indichiamo con (x; y) le coordinate di B.

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

x = cos

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.

y = sen

Scopriamo che:

e

e quindi sen e cos non dipendono dalla particolare circonferenza considerata,

ma solo dall’angolo .

Triangoli rettangoli

cos = rapporto tra il cateto adiacenteall’angolo e

l’ipotenusa.

Il triangolo OA'B' è un triangolo rettangolo.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1541. LE FUNZIONI SENO E COSENO

sen = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e

l’ipotenusa.

Le proprietà del seno e del coseno si applicano a tutti i triangoli rettangoli.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1552. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLE FUNZIONI

SENO E COSENO

Costruiamo il grafico delle funzioniy = sen x e y = cos x in [0; 2] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y le coordinate dei punti della circonferenza goniometrica.

PROPRIETÀ

In particolare si verifica che:

–1 ≤ sen x ≤ 1 ;

–1 ≤ cos x ≤ 1 ;

cos x = cos (–x) ;sen x = –sen (–x) .

Il grafico completo della funzione seno si chiama sinusoide, quello della funzione coseno cosinusoide. I due grafici differiscono per una traslazione di /2.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /156

sen (x + 2) = sen x = sen (x + 4) = ... ,cos (x + 2) = cos x = cos (x + 4) = … ,

3. SINUSOIDE E COSINUSIDE

cioèsen (x + 2k) = sen x ,cos (x + 2k) = cos x .Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2 .

2

mentre, se è noto sen ,

.

Da cui, se è noto cos ,

,

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1574. LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE

Prima relazione fondamentale della goniometria

cos2 + sen2 = 1

DEFINIZIONE

TangenteConsideriamo un angolo orientato ,e sia B il punto della circonferenza associato ad .

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1585. LA FUNZIONE TANGENTE

B

Bxy

tg

Definiamo tangente di il rapporto, quando esiste, tra l’ordinata e l’ascissa di B:

.

Un altro significato geometrico

Consideriamo il cerchio goniometrico e la sua tangente t.

Circonferenza di centro O e raggio qualsiasi

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1595. LA FUNZIONE TANGENTE

Indichiamo con (x'; y') le coordinate di B'.

Triangolo rettangolo

tg = rapporto tra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente. tg = ordinata di T.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15106. LE VARIAZIONI E IL GRAFICO DELLA FUNZIONE

TANGENTE

Costruiamo il grafico della funzione y = tg x in [0;] riportando sull’asse x i valori degli angoli e sull’asse y l’ordinata del punto T.

PROPRIETÀ

In particolare si verifica che:

tg x tende a + o – quando x si avvicina a /2,

tg x = – tg (–x).

Il grafico completo della

funzione tangente si chiama tangentoide.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /1511

tg ( + ) = tg = tg ( + 2) = ...

7. LA TANGENTOIDE

cioètg ( + k) = tg .

La funzione tangente è periodica di periodo .

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15128. LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE

Seconda relazione fondamentale della goniometria

,

yB = sen , xB = cos ,

cossen

tg

tg

B

Bxy

.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15139. ESERCIZI: SENO E COSENO

Disegna, utilizzando la circonferenza goniometrica, gli angoli a cui corrispondono i seguenti valori.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /15149. ESERCIZI: SENO E COSENO

Calcola il valore della funzione indicata, utilizzando le informazioni fornite.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /151510. ESERCIZI: LA TANGENTE

Per ogni angolo a in figura, individua tg , quando esiste, sulla retta tangente alla circonferenza.

Disegna la circonferenza goniometrica e rappresenta la tangente dei seguenti angoli.

LE FUNZIONI SENO, COSENO E TANGENTE /151610. ESERCIZI: LA TANGENTE

Calcola il valore di tg , usando le informazioni fornite.