7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini

Osnove nosivih konstrukcija I

7. STATIKA LINIJSKIH KONSTRUKCIJA U RAVNINI

Ravninska konstrukcija Usvojeni linijski model 7.1. Vrste linijskih konstrukcija u ravnini Punostjeni nosači

Poligonalni nosači

Okviri i lukovi

Rešetke

Lančanice


7.2. Unutrašnje sile u presjecima linijskih nosača u ravnini

Presjek

F1 F3

F21

1

F2

F3

F1

Trokut sila

F3

F2F1-1

F1M1-1

F1-1

M1-1

F3

F2

N1-1F1

M1-1

T1-1M1-1

T1-1

N1-1

Sile presjeka:

T1-1- poprečna(transverzalna) sila

N1-1 - uzdužna(normalna) sila

M1-1- moment POPREČNA SILA u presjeku jednaka je vektorskom zbroju projekcija u smjer normale osi štapa svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka. UZDUŽNA SILA u presjeku jednaka je vektorskom zbroju projekcija u smjer tangente osi štapa svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka. MOMENT SAVIJANJA (MOMENT) u presjeku jednak je vektorskom zbroju momenata svih sila lijevo ili desno od promatranog presjeka.


Dogovor o predznacima (konvencija)

N

M

T

NM

pozitivni smjerovi

x

T

7.3. Dijagrami unutrašnjih sila Unutrašnje sile u svim presjecima konstrukcije se praktično prikazuju pomoću dijagrama unutašnjih sila.

F1 F3

F21 2 3 4 5 6

2 3 4 5

F3y

F3x

F1y

F1x

- Nx

- Tlak

Tx

Mx

+

-

+

F1x F3x

F1y

F3y

F2


7.4. Rešetkaste konstrukcije 7.4.1. Definicija, podjela, uvjeti geometrijske nepromjenjivosti Rešetkaste konstrukcije - konstrukcije sastavljene od niza ravnih štapova međusobno vezanih čvorovima koje opterećenja prenose putem uzdužnih sila u štapovima. Opterećenja su uvijek zadana u čvorovima. Podjela rešetkastih konstrukcija a) prema obliku konstrukcije: ravninske i prostorne b) prema statičkoj određenosti: statički određene i statički neodređene Elementarni geometrijski nepromjenjivi lik - trokut

1 2

3

3 2

1

š - broj veza-štapova

n - broj čvorova

š = 2 n - 3. vrijedi za svakuravninsku rešetku

š = 2 3 - 3 = 3. Rešetke sastavljene iz trokutova su geometrijski nepromjenjivi likovi.

12 3

š = 2 9 - 3 = 15.

1 2 3 4

13

1

14 1510 11 129

5 6 7 8

4 5

6 7 8 9

Broj stupnjeva slobode rešetkaste konstrukcije

1 2

3

3 2

1

s = 2 3 - 3 - 3 = 0.

L1 L2 L3

L1 L2

1

L1 L2

1

L3

21

s = 2 1 - 2 = 0. s = 2 2 - 1 - 3 = 0.

s = 2 n - š- L = 0.Općenitos - broj stupnjeva slobodeL - broj vanjskih veza


Uvjeti za stabilnu statički određenu rešetkastu konstrukciju: Nužan uvjet geometrijske nepromjenjivosti s=0 Dovoljan uvjet - pravilan raspored veza u konstrukciji

Primjeri dokazivanja geometrijske nepromjenjivosti i statičke određenosti

1

2 3

s = 2 9 - 15 - 3 = 0 .

1 2 3 4

13

1

14 1510 11 129

5 6 7 8

45

6 7 8 9

1

2

32

3

4

4

5

6

7

8 10

1112

913

14 7

1

5

6

s = 2 7 - 14 - 0 = 0 .

Primjeri geometrijski promjenjivih i nepromjenjivih rešetki

Geom. neprom.i stat. određena

Geometrijski Geom. nepromj.i stat. neodređena

a) Geometrijski nepromjenjiva i b) Geometrijski promjenjiva i

promjenjiva

statički određena statički neodređena


7.4.2. Sile u rešetkastim konstrukcijama 1. Vanjske sile (sile opterećenja): aktivne i pasivne (reakcije) 2. Unutrašnje sile: sile štapova i sile čvorova Određivanje sila u ležajnim vezama (reakcija): - kao kod krutih tijela u ravnini ili - kao kod ostalih štapova rešetke Sile na štap Čvor rešetkaste kontrukcije

iSi

Si

- kolinearne- istog iznosa- suprotnog smjera

+ vlak

iSi

Si- tlak

Pj

j

ii+1

i+2Si

Si

Si+1

Si+1

Si+2 Si+2

zakonu akcije i reakcijesile u čvoru i štapu prema


7.4.3. Određivanje sila u štapovima rešetkastih konstrukcija Analitička metoda čvor po čvor

1 2

3

1

L1 L2L3

HP

2

3

4

5

6

7

8

9

121110

3.0

3.0

3.0

4.0

α

1) S=2 6-9-3=0.

2) S=2 6-12=0.

ili

tg =3/4α

H S1

S6

Čvor 1

0S,0Y

HS,0X

6

1

==

−==

∑∑

S1

S8

Čvor 2 P

S4

α⋅α

−−=→=++α⋅=

α=→=+α⋅=

∑

∑

sincos

HPS0PSsinS,0Y

cosHS0ScosS,0X

834

414

S2S7

Čvor 3S =06

S4=H

cosα

α⋅=α⋅α

=α⋅==

−=αα

−==

∑

∑

tgHsincos

HsinSS,0Y

Hcoscos

HS,0X

47

2

S =-H2

S9

Čvor 4S =-P-H tg8

S5

α.

α⋅⋅−−=→=−α⋅+=α

=→=−α⋅=

∑∑

tgH2PS0SsinSS,0Ycos

HS0HcosS,0X

9859

55

S3S10

Čvor 5

S =H tg7 α. S5=H

cosα

α⋅⋅=→=−α⋅+=

−=→=α⋅+=

∑∑

tgH2S0SsinSS,0Y

HS0cosSS,0X

101057

353

S =-H3

S12

Čvor 6

S =-P-2 H tg9

S11

α. .

α⋅⋅−−=→=−α⋅+=α

=→=+α⋅=

∑∑

tgH3PS0SsinSS,0Ycos

HS0ScosS,0X

1291112

11311


Grafičke metode čvorova • Metoda čvor po čvor ( zasebno crtano) • Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) → Cremona Određivanje vanjskih sila

1A B POs

1 2

1

2

s

B

A

Uravnoteženje čvorova (crtano zasebno)

1

A BP

1 2 3

4 5Čvor 1

A

Čvor 4

1 23 4 5 6

7

S1

S3

S3S4

S7

Čvor 2

S5

S4

S2

P

S1Čvor 5

S5 S6

S7

(kontrola)Čvor 3(kontrola)

S2

S6B


Metode presjeka

Promatrana rešetka sa zadanim opterećenjem i reaktivnim silama je u ravnoteži. Pri primjeni metoda presjeka izvrši se presijecanje rešetke kroz tri štapa. Promatra se jedan od odsiječenih dijelova uz nadomiještanje odbačenog dijela nepoznatim silama u presiječenim štapovima. Kako je rešetka kao cjelina u ravnoteži, tako u ravnoteži mora biti svaki njen odsječeni dio. Iz 3 uvjeta ravoteže za odsječeni dio određuju se 3 nepoznate sile u presječenim štapovima. Analitička metoda (Ritter-ova metoda)

Svodi se na analitičko uravoteženje poznate sile s 3 nepoznate sile na zadanim pravcima. Poznata sila je rezultanta vanjskih sila na odsiječenom dijelu. Kao analitički uvjeti ravnoteže koriste se jednadžbe za sumu momenata svih sila na odabrane Ritter-ove točke.

B A

P1 P 2

R =A+Pl

S8

S9

S10R8

R 9

R10

d 9

d10 d8

t

t

R , R , R - Ritter-ove točke8 9 10

Ravnoteža lijevog dijela:

10

0R

10R

9

0R

9R

8

0R

8R

d

MS,0M

d

MS,0M

d

MS,0M

1010

99

88

==

==

==

∑

∑

∑

MRi

0 - moment vanjskih sila na Ritter-ovu točku i


Grafička metoda (Culmann-ova metoda)

Uravnoteženje poznate sile R s tri nepoznate sile na poznatim pravcima vrši se grafičkim Culmann-ovim postupkom. Iz poligona sila očitaju se grafički dobivene veličine sila.

BA

P1 P2

R =A+Pl

S8

S9

S10

1

3

2

s

c

AP1

P2B

R l O

1

2

3

sS9

S8

S10

c

Očitano: S8 = ... ; S9 = ... ; S10 = ...


Primjer V- rešetke

P P P P P P

F=0.6 MN

6 x 5.0

4.0

+++0.560.480.19

- 0.56- 0.50- 0.31

-

0.35+

0.24

-

0.24

+

0.12-0.12

+++0.940.560.19

- 1.13- 0.75- 0.38

-

0.35+

0.35

-

0.35

+

0.35-0.35

P=0.1 MN

Primjer N- rešetke

++++

- - -

-1.0

0.28 0.48 0.60 0.64

-0.45

+0.25 -

0.32+

0.15-0.19 0.05

+ -0.06

0.28 0.48 0.60

5.0

8 x 4.0

P P P P P P P P P

++++

- - -

0.360.72 1.08

1.44

-0.58

+0.45 -

0.58+

0.45-0.58 0.45

+ -0.58

5.0

8 x 4.0

P=0.1 MN

F=0.9 MN

0.36 0.72 1.08

0.90+


7.5. Gredni nosači u ravnini

Gredni nosači su konstrukcije koje opterećenja u ravnini prenose putem poprečnih i uzdužnih sila i momenata savijanja.

Prosta greda

Poligonalna greda

Greda s prepustima

Konzola

Gerberov nosač

Trozglobni okvir


7.5.1. Izvod diferencijalnih veza između opterećenja i sila presjeka Zadan je element linijskog nosača opterećen raspodijeljenim linijskim silama koji se nalazi u stanju ravnoteže. Ako se na udaljenosti x izdvoji diferencijani element linijskog nosača duljine dx, on mora biti u stanju ravnoteže.

Lokalna os x

Lokalna os y

O

a) Element linijskog nosača b) Izdvojeni diferencijalni element

p(x)

n(x)

Tl

N0

T0

M0p(x)

n(x)dx

x x+dx

Nx

Tx

Mx M +dMx x

N +dNx xT +dTx x

K

Ml Nl

Uvjeti ravnoteže:

)'2(..........Tdx

dM2

dx)x(pdxTdM

0)dMM(2

dx)x(pdxTM,0M.2

)1.().........x(pdx

dTdx)x(pdT

0dx)x(p)dTT(T,0Y.1

xx

2

xx

xx

2

xxK

x

x

xxx

−=

+=−

=+−−−=

=

=

=−++−=

∑

∑

Deriviranjem (2') po x i uvrštavanjem u (1) dobiva se

)3.().........x(ndx

dNdx)x(ndN

0)dNN(dx)x(nN,0X.3

)2.().........x(pdx

Mdodnosno

dxdT

dxMd

x

x

xxx

2x

2

x2

x2

−=

=−

=+++−=

−=

−=

∑


7.5.2. Prosta greda Najjednostavniji nosač sastavljen od jednog štapa pridržanog s jednim zglobnim nepomičnim i jednim zglobnim kliznim ležajem. Broj stupnjeva slobode: s = 3n-L = 3x1-2-1 = 0 Prosta greda opterećena simetričnom koncentriranom silom

P

A B/2l /2l

P

A =P/2y B=P/2

Nx 0

+

-

B

AY

PTx

+

Pl/4

Mx

X A

M A P AP

M B P BP

x

B y y

A

= =

= ⋅ − ⋅ = →

= − ⋅ + ⋅ = → =

=

∑

∑

∑

0 0

0 2 02

0 2 02

,

, /

, /

L

L

L

l l

l l

Poprečno opterećenje - simetrično Nx - simetričan Tx - antisimetričan Mx - simetričan

Prosta greda opterećena nesimetričnom silom

P

A B

Nx 0

-

+

Ay

BP

Tx

M =l

PabMx

a bl B= P a

lA =yP b.l

+

X AM A P b

AP b

M B P

BP a

x

B y

y

A a

= =

= ⋅ − ⋅

=⋅

= − ⋅ + ⋅

=⋅

=

=

∑∑

∑

0 00 0

0 0

,,

,

L

L

L

l

ll

l


Prosta greda opterećena dvjema koncentriranim silama

P

A Ba

la

Ay=P B=P

Nx 0

-

+

Ay

B

PTx

1

1

PMx

P

c

P

Ay

+

M=P a.

X AM A P a P a AM B P a P a B

x

B y y

A

PP

= =

= ⋅ − ⋅ − = → =

= − ⋅ + ⋅ + − = → =

∑∑∑

0 00 00 0

,, ( ), ( )

l l -l l

Poprečno opterećenje - simetrično Nx - simetričan Tx - antisimetričan Mx - simetričan

Prosta greda opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem

A B

Nx 0

-

+

Ay

BTx

Mx

lAy=ql /2

q

B=ql /2

+

Mmax=ql 2/8

X A

M A q

Aq

M Bq

x

B y

y

A

= =

= ⋅ − ⋅ ⋅

=⋅

= =⋅

=

∑

∑

∑

0 0

0 0

0

,

,

,

L

L

L

l ll2

l2l

2

Tq

q x q xx =⋅− ⋅ = ⋅ −

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

l l22

Tx - antisimetričan

( )Mq

x q xx q x

xx =⋅⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅⋅ −

ll

2 2 2 Mx - simetričan


7.5.3. Konzola Nosač sastavljen od jednog štapa ukliještenog na jednom ili drugom rubu. Desna konzola

PA

l

Ay=2P

-Ay P

Tx

P

/2l/2

M=3/2Pl

3Pl /2

Pl /2-

Nx

Mx

Broj stupnjeva slobode: s = 3n-L = 3x1-3 = 0

X A

M M P

Y A P

x

A

y

= =

= = ⋅

= = ⋅

∑∑∑

0 0

032

0 2

,

,

,

l

A

Tx 0

-M x

lMM

Nx 0

M M

Lijeva konzola

l

Nx 0

AyTx

Mx

A=ql

M=ql2/2p(x)=q

ql 2

8ql 2

2

Mx= - qx2

2

-

+

l

A

Ay=ql /2

M=1/8ql 2p(x)=q

Nx 0

Tx

Mxql 2

8-

/2 l /2

ql2

l

A

A =q /2y l

M=3/8ql 2p(x)=q

Nx 0

AyTx

Mx

ql 2

8ql 2

8-

/2 l /2

+

3


7.5.4. Greda s prepustima

A B

Nx 0

Tx

Mx

lAy

q

B

.lq2

lq 2

8

+

-

++-

q a.

q a2

8 q a2

2

lq 2

8- q a2

2

- -

( )

( )

M

A q

Aq

B

B

y

y

=

⋅ − ⋅ ⋅ =

=⋅

=

∑ 0

0l l +l2

l +2

2a

2a

Tx - antisimetričan Mx - simetričan


7.5.5. Poligonalna greda

P

A B/2l /2l

P

A =B=VP2

A =0H

P2

P2

px

Simetrično

1

Ravnoteža čvora 1

N =0D

N =TL D

DTLT =0

P

Nx

-

+P

Tx

4Pl

Mx

- Tlak

Simetrično

- -

P2

P2

Antisim.

+

Simetrično

H

A =H

/2l /2lAv=Hh/l

Nx

B

H

h

-

B

+

H

AV

+

- Tlak

Tx

B

-

H

AV +

HhMx


P

a a

Nx

Tx

M x

P

bc cP P

-

-

+

+

+

PT

N

- -

Ravnoteža

N

TM N

T

M1

1

1

2

2

2

ΣX=0ΣY=0ΣM=0

A

Nx

+

Mx

l

Ayw

B

h=2l

A

A

y

x

B

W=w h.

W l.

W l.

++

Tx

-

+

W

W

W

A =A =B=Wx y


7.5.6. Kosi gredni nosači

A

B

Koriste se kod stubiša, krovnih konstrukcija, hala, ... Unutrašnje sile: moment savijanja, poprečna sila, uzdužna sila.

h

q

q

B

Al

Q

QQ

AA

A

BB B

T

N

TN

V

V

V

V

VV

N

T

+

+

q /8l 2

NX

TX

MX

α

α

αα

1/2 q sinl α

1/2 q sinl α

1/2 q cosl α

1/2 q cosl α

α=

α=

=

sinqQ

cosqQ

qQ

N

T

l

l

l

α=

α=

=

sin2qA

cos2qA

2qA

NV

TV

V

l

l

l

α=

α=

=

sin2qB

cos2qB

2qB

NV

TV

V

l

l

l

8qM

sin2

qN

cos2

qT

2

max

A

A

l

l

l

⋅=

α⋅

−=

α⋅

−=


7.5.7. Gerberovi nosači Statički određeni sklopovi sastavljeni iz više zglobno vezanih greda koji služe za premoštenje prepreka na kojima postoji više mogućih mjesta oslanjanja.

2 1

1 2 3

1 12 3

Dokaz kinematičke stabilnosti i statičke određenosti: Nosač preko dva polja s = 3⋅n–v = 3⋅n–2⋅z–L = 3⋅2-2⋅1-4 = 0 Nosač preko tri polja s = 3⋅n–v = 3⋅n–2⋅z–L = 3⋅3-2⋅2-5 = 0

Analitički postupak određivanja dijagrama unutrašnjih sila

P P

P

P/2 P/2

P P/2 P/2

P/4 5P/4 P/4

Pl/4

Pl/4Pl/4

Pl/8

3P/4

Pl/4Pl/4

Pl/2

Pl/2

P

M

T

l/2 l/2 l/2 l/2 l/2l/2 l


M

T

l/2l l

q

qql/2

ql/2

ql/2

ql/8 15ql/8

3ql /82

ql /162

ql /82

ql/8 ql

7ql/8ql/2

Grafoanalitički postupak određivanja dijagrama unutrašnjih sila

P

l/2 l/2 l/2 l/2 ll

+

+

-

- -

-

Pl/2Pl/4 Pl/4

Pl/4


7.6. Okviri i lukovi

7.6.1. Trozglobni okvir Koristi se kada treba nadsvoditi veći raspon koji ne mogu zadovoljiti poligonalne grede, a ležajni uvjeti omogućuju prihvat horizontalnih sila. Trozglobni okvir s ležajevima na istoj visini – vertikalno opterećenje

l/2

l/4 l/4 l/4 l/4

P PC

A B

A B

H H

0 0

Ako su ležajevi na istoj visini vertikalne reakcije trozglobnog luka su iste kao na ekvivalentnoj prostoj gredi.

Dokaz kinematičke stabilnosti i statičke određenosti: s = 3⋅n–v = 3⋅n–2⋅z–L = 3⋅2-2⋅1-4 = 0 Uvjeti ravnoteže:

2PB;0BA,0F.4

2PA;0

4P

2A

2A,0M.3

PB;04

P43PB,0M.2

PA;04

P43PA,0M.1

HHHH

HH0L

c

00A

00B

==−=

==−−=

==−−=

==−−=

∑

∑

∑

∑

lll

lll

lll

Primjena načela superpozicije pri određivanju unutrašnjih sila trozglobnog okvira

l/4

l/2

l/4

l/4

l/4

l/4

l/4

l/4

l/4

P PC

AH BH

A0

P P

H=P

+Pl/4

Pl/4 Pl/4

Pl/4 Pl/4

A0B0 B0

H=P


Trozglobni okvir s ležajevima na istoj visini - horizontalno opterećenje

l/2 l/2

H H

A B

A B

h

C

V V

W

W

W/2 W/2

Wh/lWh/l

Wh/2

Wh/2

+ +

Wh/l

W/2 W/2

Wh/lWh/l

+ +

+

Wh/lWh/l

+

N

T

M

W/2W/2

Uvjeti ravnoteže:

2WH;0hH

2B,0M.4

2WH;0hH

2A,0M.3

/WhB;0WB,0M.2

/WhA;0WA,0M.1

BB0L

D

AA0L

c

00A

00B

==−=

−==−=

==−=

−==+=

∑

∑∑∑

l

lll

ll

h

h


Trozglobni okvir s ležajevima na različitoj visini

β

ββ

l/4

l/2

l/4 l/4 l/4

l/4

P PC

A

B

0

0

h(x) ch

H

H

H

H

L

L

L

L

cos

sin

Pl/4Pl/3

AFINI LIK

M X

Reakcije: A0, B0, H’

Uvjeti ravnoteže:

β==

=−β−

=

==

==

∑∑∑

cos'HHP687.0'H

04

Phcos'H2

A

,0M.3

PB,0M.2

PA,0M.1

C0

Lc

0A

0B

ll

P32

hM

H0hHMM

)x(hHMM

C

0C

C0

CC

0xx

==→=⋅−=

⋅−=


Usporedba prijenosa sila trozglobnog luka i poligonalne grede iste geometrije

P P

H H

A B0 0

+

+

MX

TX

NX

hc

C

- Znatno manji momenti kod

trozglobnog luka - Znatno manje poprečne sile - Znatno veće uzdužne sile (u odnosu na poligonalnu gredu)

P P

H H

A B0 0

hc

C

M =Hh(x)x0

0T)x(hHM0)x(hHMM

x

0x

0xx

≡⋅≡→≡⋅−=

⇒ Dijagram momenata ekvivalentne proste grede se poklapa s afinim likom


7.6.2. Okviri sa zategama Koriste se kada treba nadsvoditi veliki raspon koji ne mogu zadovoljiti poligonalne grede, a ležajni uvjeti ne omogućuju prihvat horizontalnih sila.

Okvir s jednom zategom

S=3x3-2x3-2-1=0

Okvir s vješaljkom i dvije zatege

S=3x5-2x2-4x2-2-1=0

Okvir s više vješaljki i zatega

S = 3n-(4z1+2z)-L = 3x11-(4x4+2x6)-2-1=0


7.6.3. Lukovi

Konstrukcije s krivocrtnom osi čiji je poprečni presjek relativno mali u usporedbi s ukupnom dužinom. Služe za premoštenje velikih raspona (mostovske konstrukcije, industrijske hale). Prema statičkoj određenosti dijelimo ih na: Statički određene:

TROZGLOBNI LUK LUK SA ZATEGOMLUK SA ZATEGAMA I VJEŠALJKOM

statički neodređene:

DVOZGLOBNI LUK UPETI LUK JEDNOZGLOBNI LUK

Mogu se izvesti kao simetrični i nesimetrični lukovi (gdje jedan oslonac niži od drugoga).

Najčešći su u praksi simetrični lukovi. Oblik luka je proizvoljan. Oblik luka može biti kružni, parabolični, elipsasti ili po nekoj drugoj krivulji. Ukoliko djeluje jednoliko raspodijeljeno vertikalno opterećenje onda je najbolji oblik paraboličnog luka. Nastoji se da se parabolična linija momenata najvećega opterećenja podudara s oblikom nosača.


fy=qx /8

2

l

q

N

Na taj način su momenti na nosaču jednaki nuli i nosač je opterećen samo uzdužnom silom. Postižu se optimalne dimenzije poprečnog presjeka (opterećen je samo jednolikim naprezanjem). Karakteristične dimenzije svih lukova su raspon l i visina f. Odnos f/l se zove spljoštenost luka. Kod statički neodređenih nosača ona je veća. Kreće se od 1/1 do 1/12 ovisno o namjeni konstrukcije. Uporaba lučnih nosača Upotrebljavaju se u zgradarstvu i u mostogradnji od cjevnih propusta manjeg raspona do mostova velikih raspona, u izradi tunela i kod hidrotehničkih građevina.

A) U izgradnji zgrada B) Hidro objekti

C) Tuneli D) Mostovi


Trozglobni luk To je statički određen nosač. Primjenjuje se kada postoje uvjeti za dobar prihvat vertikalnih i horizontalnih sila na ležajevima.

Zadovoljavaju : -geometrijsku nepromjenjivost (nisu mogući pomaci bez sila); -statičku nosivost - mogu prenijeti opterećenje na podlogu -kinematsku stabilnost - minimalan broj veza sustava. Dva tijela I i II vezani su s po dvije veze u svakom zglobu, tako da je broj stupnjeva slobode u ravnini:

S=3⋅n-š=3⋅2-3⋅2=0 Nužan uvjet statičke određenosti je pokazan danim izrazom. Dovoljan uvjet statičke određenosti je nepreklapanje veza - zglobovi A, B i C nisu na istom pravcu. Pri bilo kojem opterećenju postoje na osloncima četiri nepoznate veličine. Osim tri jednadžbe ravnoteže koje možemo postaviti za konstrukciju u cjelini, imamo i četvrtu na unutarnjem zglobu u kojem mora moment svih sila s jedne ili druge strane biti jednak nuli.

Analitičkim putem možemo reakcije oslonaca rastaviti na vertikalne komponente A0 i B0 i komponente koje se nalaze na spojnici oslonaca HA

' i HB' .


Iz ravnotežnih uvjeta:

llqBl/2lqlB0M

2lqAl/2lqlA0M

00A

00B

⋅=⇒⋅⋅−⋅==

⋅=⇒⋅⋅−⋅==

Vidimo da su vertikalne komponente A0 i B0 u osloncu trozglobnog luka iste kao i kod proste grede raspona l.

Za određivanje horizontalne komponente imamo još dvije jednadžbe:

C

LC'

ALC

'B

'A

'B

'A

hM

cosαH0M

HHcosHcosαH0H

=⋅⇒=

=⇒α⋅−⋅==

∑

∑

Horizontalna sila se javlja iz razloga što oslonci sprječavaju nosivu konstrukciju da se ispruži. Horizontalna sila H povoljno djeluje u smislu smanjivanja momenta savijanja grede na mjestu x:

yH2

xqxAM 'A

2

0x ⋅−−⋅=

)x(hHMM 0xx ⋅−=

cosαHH 'A ⋅= - horizontalna komponenta sila '

B'A HiH

Mx0

- moment savijanja ekvivalentne proste grede )x(hH ⋅ - predstavlja afini lik, uvjetovan oblikom osi luka i horizontalnom silom luka.

Pri određivanju sila T i N u svakoj točki presjeka se mijenjaju sin ϕ i cos ϕ.


Rezne sile lijevo a)desno od unutarnjeg zglobab) lijevo

a)

b)

T

T

N

N

M

M

H

H

A0

A0

x

N1

N1

T1

T1

T0

T0

N0

N0

N2

N2

T2

T2

f

x1

y

y

ϕ⋅−ϕ⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ⋅−ϕ⋅−=ϕ⋅−ϕ⋅=

cosNsinTNsinNcosTTb)cosNsinTNsinNcosTTa)

0000

0000

odnosno:

)cos('HsinTN

)sin('HcosTT

xx0

xx

xx0

xx

β−α+α=

β−α+α=

Oblikom osi luka utječe se na veličine T i M.


Trozglobni luk izložen vertikalnom opterećenju

(a)

(b)

(c)

(d)

Kružni trozglobni luk: (a) vertikalno opterećenje, (b) Mx dijagram konstruiran pomoću afinog lika, (c) Tx dijagram, (d) Nx dijagram


Trozglobni luk izložen horizontalnom opterećenju

(a)

(b)

(c)

(d)

Izbor osi trozglobnog luka

- Dominantno opterećenje trozglobnog luka je vlastita težina. - Izabrati os luka tako da momenti za dominantno opterećenje budu u svim presjecima

jednaki nuli. → Mx≡0 - Položaj osi određuje se iz izraza:

HM)x(h

0x=

- Oblik osi luka je afin dijagramu momenata na prostoj gredi. )cos(HsinTN,0T,0M x1

0xxxx β−α+α===

- Postoje samo uzdužne tlačne sile. Svejedno je gdje se nalazi srednji zglob, da li je luk trozglobni, dvozglobni, jednozglobni ili potuno upet.

- Idealni oblik luka za konstantno raspodijeljeno vertikalno opterećenje je kvadratna parabola.


7.7. Složeni gredni nosači 7.7.1. Ojačane grede

Koriste se kada jedan gredni nosač nema dovoljnu duljinu za premoštavanje traženog raspona pa se cilj ostvaruje spajanjem dviju ili više greda. Neprekinutost sklopa na mjestu spajanja osigurava se ojačanjem.

Ojačana greda

Langerova greda


7.7.2. Poduprte grede

Koriste se za racionalno premoštavanje velikih raspona. Najviše se koriste kao mostovske konstrukcije. Uvjet korištenja je osigurano preuzimanje vertikalnih i horizontalnih sila na osloncima.

Jednostavna poduprta greda

Složena poduprta greda


7.7.3. Ovješene grede

Slične poduprtim gredama. Sastoje se od glavne grede koja se sastoji od dva dijela i vješaljki.

Documents

7 Statika Linijskih Konstrukcija u Ravnini