Stavebni Statika

VSB–Technicka univerzita Ostrava

Fakulta stavebnı, Ludvıka Podeste 1875, 708 33 Ostrava

Anezka Jurcıkova, Martin Krejsa,

Lenka Lausova, Vladimıra Michalcova

STAVEBNI STATIKA

Vzdelavacı pomucka

Ostrava 2013

Predmluva

Ucebnı pomucka byla vytvorena v ramci projektu Inovace studijnıho programu Stavebnıinzenyrstvı, ktery zahrnuje tvorbu vyukovych podkladu. Vyukove materialy, jejichz prıpravugarantuje Ing. Vladimıra Michalcova, Ph.D., by mely slouzit jako doplnujıcı prvek vyukypredmetu Stavebnı statika. Podklady jsou urceny zejmena pro studenty bakalarskeho studiastudijnıho programu Stavebnı inzenyrstvı (B3607).

V Ostrave 30. 9. 2013 Autori

i

Obsah

1 Uvod do predmetu Stavebnı statika 11.1 Nosna konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Kinematika prutove nosne konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Pohybove moznosti volnych hmotnych objektu . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Resene ulohy v oboru kinematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Kinematika prutovych soustav . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Prıklad na posouzenı kinematicke urcitosti rovinne kloubove prutove sou-

stavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Akce, reakce, iterakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Prımkova a rovinna soustava sil 102.1 Prımkova soustava sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1 Prıklad - vyslednice prımkove soustavy sil . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.2 Prıklad - rovnovaha prımkove soustavy sil . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Svazek sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.1 Prıklad - vyslednice soustavy sil se spolecnym pusobistem . . . . . . . . 132.2.2 Prıklad - rovnovaha soustavy sil se spolecnym pusobistem . . . . . . . . 15

2.3 Staticky moment sıly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Silova dvojice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Obecna soustava sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Prıklad - vyslednice obecne soustavy sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Prıklad - soustava rovnobeznych sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.3 Prıklad - urcenı ramene vyslednice soustavy rovnobeznych sil . . . . . . . 23

3 Vypocet reakcı silove zatızeneho prutu 263.1 Rovinny nosnık a jeho podeprenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Vypocet reakcı vazeb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Prıklady na vypocet reakcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Prosty nosnık - bodove zatızenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.2 Nosnık s previslymi konci - bodove zatızenı . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.3 Konzola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.4 Prosty nosnık - spojite zatızenı rovnomerne . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.5 Prosty nosnık - spojite zatızenı trojuhelnıkove . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.6 Sikmy nosnık - zatızenı kolme ke strednici prutu . . . . . . . . . . . . . . 313.3.7 Sikmy nosnık - zatızenı svisle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.8 Lomeny nosnık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.9 Oblouk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

ii

3.3.10 Oblouk 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.11 Oblouk 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.12 Oblouk 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.13 Oblouk 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Vnitrnı sıly prımeho vodorovneho nosnıku 394.1 Analyza vnitrnıch sil na rovinnych nosnıcıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Schwedlerovy vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.2 Prıklad - bodove zatızenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.3 Prıklad - nosnık s previslym koncem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.4 Prıklad - rovnomerne spojite zatızenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.5 Prıklad - nerovnomerne spojite zatızenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Vnitrnı sıly prımeho sikmeho nosnıku 475.1 Zatızenı kolme ke strednici prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.1.1 Sikmy prut zatızeny spojitym zatızenım kolmym ke strednici . . . . . . . 485.1.2 Sikmy prut zatızeny silou kolmou ke strednici . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Zatızenı svisle, pusobenı na sikmou delku prutu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.1 Sikmy prut zatızeny spojitym zatızenım zadanym na delku prutu . . . . 555.2.2 Sikmy prut zatızeny svislou silou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Spojite zatızenı zadano na pudorysny prumet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3.1 Sikmy prut zatızeny spojitym zatızenım zadanym na prumet . . . . . . . 61

5.4 Dalsı resene prıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4.1 Sikmy prut - Prıklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4.2 Sikmy prut - Prıklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4.3 Sikmy prut - Prıklad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4.4 Sikmy prut - Prıklad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Vnitrnı sıly rovinne lomeneho nosnıku, pravouhle zalomenı 686.1 Charakteristika rovinneho lomeneho nosnıku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Vypocet a vykreslenı vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3 Kontrola rovnovahy ve stycnıku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4 Resene prıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4.1 Prıklad - ram 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4.2 Prıklad - ram 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4.3 Prıklad - ram 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.4.4 Prıklad - ram 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4.5 Prıklad - ram 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7 Vnitrnı sıly rovinne lomeneho nosnıku se sikmymi pruty 847.1 Prıklad - sikmy ram 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.1.1 Resenı - sikmy ram 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2 Prıklad - sikmy ram 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.1 Resenı - sikmy ram 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3 Prıklad - sikmy ram 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3.1 Resenı - sikmy ram 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4 Otazky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

iii

8 Vnitrnı sıly rovinne zakriveneho prutu 958.1 Prıklad - oblouk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.1.1 Resenı - oblouk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Prıklad - oblouk 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


8.3.1 Resenı - oblouk 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.4 Prıklad - oblouk 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198.5 Prıklad - oblouk 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122



8.7.1 Resenı - oblouk 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9 Rovinne nosnıkove soustavy : Gerberuv nosnık 1319.1 Prıklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.1.1 Zatızenı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.1.2 Vypocet interakcı a reakcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.1.3 Vypocet vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2 Prıklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.2.1 Vypocet interakcı a reakcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.2.2 Vypocet vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.3 Prıklad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3.1 Vysledne hodnoty reakcı a prubehy vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . 137

9.4 Prıklad 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.1 Vypocet interakcı a reakcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4.2 Vysledne hodnoty reakcı a prubehy vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . 140

10 Rovinne nosnıkove soustavy: trojkloubovy nosnık bez tahla a s tahlem 14210.1 Trojkloubovy ram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.2 Prıklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.2.1 Vypocet reakcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.2.2 Prubehy vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.3 Trojkloubovy ram s tahlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14510.4 Prıklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.4.1 Vypocet reakcı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.4.2 Vypocet sıly v tahle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.4.3 Prubehy vnitrnıch sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11 Rovinne nosnıkove soustavy : Prıhradovy nosnık 15011.1 Prıklad - prıhradova konstrukce 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15011.2 Prıklad - prıhradova konstrukce 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.3 Prıklad - prıhradova konstrukce 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15811.4 Prıklad - prıhradova konstrukce 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

iv

12 Prurezove charakteristiky 16012.1 Prıklad - slozeny prurez 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

12.1.1 Plocha slozeneho prurezu [m2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012.1.2 Staticky moment plochy [m3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.1.3 Poloha teziste slozeneho prurezu [m] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16312.1.4 Momenty setrvacnosti (MS) zakladnıch prurezu [m4] . . . . . . . . . . . 16412.1.5 Momenty setrvacnosti prurezu k posunutym osam [m4] . . . . . . . . . . 16512.1.6 Centralnı momenty setrvacnosti slozeneho prurezu [m4] . . . . . . . . . . 16512.1.7 Deviacnı moment [m4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16612.1.8 Hlavnı centralnı momenty setrvacnosti prurezu [m4] . . . . . . . . . . . . 16812.1.9 Natocenı hlavnıch centralnıch os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16812.1.10 Invariant souctu momentu setrvacnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16912.1.11 Polarnı moment setrvacnosti [m4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.1.12 Rekapitulace zakladnıch pojmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.2 Prıklad - slozeny prurez 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17212.3 Prıklad - slozeny prurez 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.4 Prıklad - slozeny prurez 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.5 Prıklad - slozeny prurez 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17612.6 Prıklad - slozeny prurez 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.7 Prıklad - slozeny prurez 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13 Otazky k dane problematice 180

v

Kapitola 1

Uvod do predmetu Stavebnı statika

Predmet Stavebnı statika je urcen pro studenty prvnıho rocnıku bakalarskeho studia oboruStavebnı inzenyrstvı a Architektura a stavitelstvı. Je zameren na resenı prutovych nosnychkonstrukcı, u nichz se predpoklada, ze jsou nedeformovatelne (dokonale tuhe). Pri vypoctechse tedy neuvazuje, ze se ucinkem zatızenı zmenı tvar nosneho systemu.

Nosne konstrukce vyzadujı splnenı nekterych dulezitych predpokladu. Prvnım z nich jeskutecnost, ze konstrukce musı zustat po ucinku zatızenı nehybna, coz souvisı s vhodnympodeprenım nosne konstrukce, resp. se spravnym spojenım jednotlivych castı nosneho systemu.Splnenı tohoto predpokladu zkouma obor nazyvany kinematika, o kterem je v tomto ucebnımtextu pojednano v kapitole 1.2.

Dalsı dulezita vlastnost kazde nosne konstrukce je skutecnost, ze nosny system musı bytv rovnovaze. Znamena to, ze ucinky zatızenı vyvolajı v nosnem systemu rovnovazne sıly. Kjejich urcenı slouzı podmınky rovnovahy, ktere jsou v tomto textu vysvetleny nejprve nasilovych soustavach v kapitole 2. Dalsı text pak obsahuje staticke resenı ruznych typu prutovychnosnych konstrukcı na zaklade prıslusnych podmınek rovnovahy. V predmetu Stavebnı statikase resı vyhradne konstrukce staticky urcite, coz znamena, ze pro urcenı veskerych statickychvelicin u techto nosnych systemu postacı pouze podmınky rovnovahy.

1.1 Nosna konstrukce

Nosna konstrukce je tvorena z jedne nebo vıce castı nosneho systemu - z tzv. konstrukcnıchprvku. Tato telesa mohou byt rozdelena podle sveho tvaru na:

• pruty (prevlada jeden rozmer - delka, viz napr. obr. 1.1),

• plosne prvky (prevladajı dva rozmery, tretım je tloust’ka, viz napr. 1.2 nebo 1.3),

• masıvnı prvky (vsechny tri rozmery jsou z hlediska sve velikosti srovnatelne).

Ve vypoctech lze rovnez vyuzıt i tzv. hmotny bod, coz je teoreticky prıpad nosneho prvku,jehoz rozmery jsou vzhledem k ostatnım castem nosneho systemu natolik male, ze je lzepovazovat za nekonecne male.

V tomto ucebnım textu je vyklad soustreden pouze na prutove konstrukce, tedy nosnesystemy, ktere jsou tvoreny jednım nebo vıce pruty (pak se jedna o tzv. nosnıkovou soustavu).V nekterych prıkladech muze nosnıkova soustava obsahovat i hmotne body. Tyto nosne prvkybudou v ramci tohoto ucebnıho textu umısteny do svisle, prıpadne vodorovne roviny. Taktodefinovane ulohy se pak nazyvajı rovinne.

1

1.2. KINEMATIKA PRUTOVE NOSNE KONSTRUKCE

Obrazek 1.1: Pohled na nosny system, tvoreny soustavou prutovych prvku

Obrazek 1.2: Nosny system, ktery obsahuje stropnı desku - plosny konstrukcnı prvek

1.2 Kinematika prutove nosne konstrukce

Kinematika je obor mechaniky pevnych teles, ktery se zabyva studiem moznostı pohybu doko-nale tuhych teles a jejich soustav ciste z geometrickeho hlediska.

Nosne stavebnı konstrukce musı byt dokonale nehybne. Toho se dosahne vhodnym po-deprenım a u soustav vhodnym spojenım jednotlivych teles soustavy. Podeprenım se ro-zumı pripojenı nosne konstrukce k dokonale nehybne podporove konstrukci, ktera muze byttvorena zakladovou konstrukcı, mostnım pilırem nebo sousednım objektem.

Ve vypoctech se uvazuje s tzv. idealizacı podeprenı, ktere muze tvorit:

2


Obrazek 1.3: Nosny system, tvoreny prutovymi prvky a tzv. ztuzujıcı stenou - plosnym kon-strukcnım prvkem

Obrazek 1.4: Betonova prehrada - masıvnı konstrukcnı system

1. vnejsı vazba: branı absolutnımu posunu nebo pootocenı podepreneho telesa (viz napr.obr. 1.5),

2. vnitrnı vazby: branı vzajemnemu posunu nebo pootocenı spojenych teles (viz napr.obr. 1.6).

3


Obrazek 1.5: Vnejsı vazba - vetknutı: tento typ podeprenı branı posunutı i pootocenı kon-strukce.

Obrazek 1.6: Vnitrnı vazba - momentovy kloub: tento typ podeprenı vzajemnemu posunutıdvou castı mostnı konstrukce.

1.2.1 Pohybove moznosti volnych hmotnych objektu

U hmotnych objektu, ktere se v oboru kinematiky vysetrujı, se stanovuje tzv. stupen volnostinv. Tato velicina stanovuje pocet pravouhlych slozek posunutı (translacı) nebo pootocenı(rotacı), ktere zkoumany volny hmotny objekt muze vykonat.

4


Nasledujıcı vycet uvadı ruzne typy hmotnych objektu v rovine a prostoru s prıslusnymistupni volnosti:

• Volny hmotny bod v rovine: nv = 2. Objekt je jednoznacne urcen dvojicı souradnic[x, y], v rovine muze nabyvat celkem ∞2 ruznych poloh.

• Volny hmotny bod v prostoru: nv = 3. Objekt je jednoznacne urcen trojicı souradnic[x, y, z], v prostoru muze nabyvat celkem ∞3 ruznych poloh.

• Volny tuhy prut (volna tuha deska) v rovine: nv = 3. Objekt je jednoznacne urcendvojicı souradnic [x, y] a svym natocenım α, v rovine muze nabyvat celkem ∞3 ruznychpoloh.

• Volne tuhe teleso v prostoru: nv = 6. Objekt je jednoznacne urcen trojicı souradnic[x, y, z] a trojicı natocenı k osam souradnicoveho systemu α, β, γ, v prostoru muze nabyvatcelkem ∞6 ruznych poloh.

Dane stupne volnosti hmotnym objektum odebırajı vnejsı ci vnitrnı vazby, ktere znemoznujıv mıste podeprenı posuny ci pootocenı hmotneho objektu. Podle poctu odebranych stupnuvolnosti se pak vazby mohou oznacovat jako n-nasobne podle poctu odebranych stupnu volnosti,kde n = 1, 2, . . . , 6.

Pro podeprenı tuheho prutu v rovinnych ulohach lze rozlisit nasledujıcı jednoduche vnejsıvazby:

• Kyvny prut: nasobnost vazby = 1, je braneno posunutı ve smeru kyvneho prutu, vznikajedna silova reakce.

• Posuvny kloub (posuvna vazba): vse je identicke s kyvnym prutem, jedna se jen oodlisne vyjadrenı stejneho typy vnejsı vazby.

• Neposuvny (pevny) kloub: nasobnost vazby = 2, je braneno 2 posunutım ve dvou nasebe kolmych smerech , vznikajı dve na sebe kolme silove reakce.

• Posuvne vetknutı: nasobnost vazby = 2, je braneno pootocenı a posunutı prutu vesmeru kolmem k ose prutu, vznika momentova reakce a silova reakce kolma k ose prutu.

• Dokonale vetknutı: nasobnost vazby = 3, je braneno pootocenı a 2 na sebe kolmymposunutım, vznika momentova reakce a dve na sebe kolme silove reakce.

1.2.2 Resene ulohy v oboru kinematiky

V oboru stavebnı statiky lze v ramci kinematiky resit nasledujıcı ulohy:

1. urcenı nejmensıho nezbytne nutneho poctu vnejsıch i vnitrnıch (u soustav) vazeb prozajistenı dokonale nehybnosti konstrukce,

2. pripojenı techto vazeb k telesu (telesum) konstrukce zpusobem zajist’ujıcım dokonalounehybnost. U teto ulohy existuje nebezpecı nevhodneho umıstenı vazeb do konstrukce(tzv. vyjimkove prıpady podeprenı).

K pevnemu podeprenı objektu je potreba tolika vazeb v, aby zrusily vsechny stupne volnostinv objektu. Z hlediska kinematiky pak rozlisujeme nasledujıcı typy nosnych konstrukcı:

5


1. Kinematicky urcite konstrukce: nv = v, konstrukce je podeprena nejmensım nezbytnenutnym poctem spravne umıstenych vazeb. Nehybnost konstrukce je tımto zajistena.Kinematicky urcite konstrukce se resı v oboru stavebnı statiky.

2. Kinematicky preurcite konstrukce: nv < v, konstrukce je podeprena vetsım poctemspravne umıstenych vazeb. Nehybnost konstrukcı je zajistena. Kinematicky preurcite kon-strukce nelze resit jen s pomocı podmınek rovnovahy a s predpokladem dokonale tuhehotelesa, proto nelze provest staticky vypocet v oboru stavebnı statiky, ale v predmetechPruznost a plasticita nebo Statika stavebnıch konstrukcı.

3. Kinematicky neurcite konstrukce: nv > v, konstrukce je podeprena nedostatecnympoctem vazeb. Nehybnost konstrukce nenı nezajistena, a proto nelze pouzıt ve staveb-nictvı.

1.2.3 Kinematika prutovych soustav

Vetsina nosnych konstrukcı je slozena z vıce hmotnych objektu. Pokud se jedna o tzv. prutovousoustavu, vzajemne spojenı prutu pak muze byt:

• Monoliticke (ramove) spojenı: spojenı prutu provedeno svarem, nytovanım, sroubovymspojem, slepenım, betonazı. Nenı umozneno vzajemne pootocenı spojenych prutu, takzese stale jedna o jeden hmotny objekt (viz napr. obr. 1.7).

• Kloubove spojenı: ke spojenı prutu je pouzito (momentovych) kloubu - vnitrnıch va-zeb, ktere umoznujı vzajemne pootocenı spojenych prutu. Vznika tzv. kloubova prutovasoustava (viz napr. obr. 1.1).

Obrazek 1.7: Prıklad monolitickeho (ramoveho, tuheho) spojenı prutu - spojene konce se ne-mohou vzajemne posunout ani pootocit

6


Zajistenı nehybnosti rovinne kloubove prutove soustavy pomocı vnejsıch i vnitrnıch vazebje pak treba venovat zvlastnı pozornost. Musı byt splnena zejmena nasledujıcı podmınka:

2 · b+ 3 · p = a1 + 2 · a2 + 3 · a3 + 2 ·∑

n=3,4...

(n− 1) · kn , (1.1)

kde b je pocet hmotnych bodu, p je pocet tuhych prutu, a1 je pocet jednonasobnych vazeb, a2je pocet dvojnasobnych vazeb (take se zde pripocıtava pocet vnitrnıch kloubu, ktere spojujı 2tuhe pruty), a3 je pocet trojnasobnych vazeb a kn je pocet vnitrnıch kloubu, spojujıcıch n > 2tuhych prutu.

V rovnici 1.1 lze pak na leve strane zıskat celkovy pocet stupnu volnosti nv rovinne klouboveprutove soustavy (a take pocet statickych podmınek rovnovahy), na strane prave pak pocetvnejsıch (externıch) a vnitrnıch (internıch) vazeb v = ve + vi.

1.2.4 Prıklad na posouzenı kinematicke urcitosti rovinne klouboveprutove soustavy

Posud’te kinematickou urcitost rovinne kloubove prutove soustavy, ktera je schematicky zob-razena na obr. 1.8. (Pozn.: tahlo, spojujıcı body b a c je nutno povazovat za jednonasobnouvnitrnı vazbu, ktera odebıra prutove soustave 1 stupen volnosti - body b a c by se jiz ve smerutahla posouvaly stejne.)

Obrazek 1.8: Schema rovinne kloubove prutove soustavy z prıkladu 1.2.4

Resenı:Po uvolnenı vsech vnejsıch i vnitrnıch vazeb bude rovinna kloubova prutova soustava tvorena

trojicı lomenych nosnıku. Kazdy z nich vykazuje tri stupne volnosti - dva na sebe kolme posunya pootocenı. Do leve strany rovnice (1.1) je tedy nutno dosadit za p = 3 a celkovy pocet stupnuvolnosti soustavy je pak nv = 3 · p = 9.

7

1.3. AKCE, REAKCE, ITERAKCE

Vnejsı vazby jsou pak tvoreny jednım posuvnym kloubem, jednım pevnym kloubem a jednımdokonalym vetknutım. Do prave strany rovnice (1.1) se pak dosadı za a1 = 1, a2 = 1 a a3 = 1.Pocet vnejsıch (externıch) vazeb (a take neznamych reakcı v nich) je pak roven ve = a1 + 2 ·a2 + 3 · a3 = 6.

V konstrukci se nachazejı dva vnitrnı momentove klouby, ktere spojujı dva hmotne objekty- lomene nosnıky. V takovem prıpade se do prave strany rovnice (1.1) pricte k a2 = 2, jelikoz sejedna rovnez o dvojnasobnou vazbu. Tahlo je, jak jiz bylo receno, vnitrnı vazba jednonasobna,tudız se pricte k a1 = 1. Pocet vnitrnıch (internıch) vazeb (a neznamych interakcı v nich) jetedy vi = a1 + 2 · a2 = 5.

Vysledna analyza pak spocıva v nerovnici nv = 9 < ve + vi = 6 + 5 = 11. Jedna setedy o kinematicky preurcitou rovinnou kloubovou prutovou soustavu, jejız stupen kinematickepreurcitosti je roven 2 (ve + vi − nv).

1.3 Akce, reakce, iterakce

Pri dotyku dvou teles na sebe telesa pusobı vzajemne silami o shodnych absolutnıch velikos-tech a opacnych smyslech. Tyto sıly se nazyvajı akce a reakce. Preneseno na nosny system,podepreny vnejsımi vazbami, prıpadne obsahujıcı vıce nosnych prvku spojenych vnitrnımivazbami, lze definovat:

• Akce: silove ucinky, ktere vzniknou pusobenım nosne konstrukce na podpory (uplatnı sepri vypoctu podporove konstrukce).

• Reakce: silove ucinky, ktere vzniknou v dusledku pusobenı podporove konstrukce nanosny system (uplatnı se pri vypoctu nosne konstrukce).

• Interakce: silove ucinky, ktere vznikajı ve vnitrnıch vazbach mezi spojenymi nosnymiprvky.

Zaverem teto uvodnı kapitoly kratka rekapitulace. Na obr. 1.9 je schematicky znazornenasoustava, tvorena tuhou deskou a hmotnym bodem. Oba nosne prvky jsou spojeny dvojicıvnitrnıch vazeb. Cela soustava je pak podeprena pevnym a posuvnym kloubem. Nosny systemje tedy nehybny. Konstrukce je zatızena trojicı sil F1 az F3, ktere pusobı vne konstrukce.Vzhledem ke skutecnosti, ze ve statickych vypoctech je zatızenı predem znamo (muze bytdefinovano napr. normovymi predpisy), jedna se o vstupnı udaj vypoctu. Zatızenı se protomuze oznacovat take jako tzv. primarnı vnejsı sıly.

Reakce ve vnejsıch vazbach Ra,x, Ra,z a Rb,z naopak predstavujı nezname dane ulohy. Jednase o sıly, ktere pusobı rovnez vne konstrukce, dıky cemuz se mohou oznacovat take jako tzv.sekundarnı vnejsı sıly.

Z hlediska poctu reakcı ve vnejsıch ci interakcı ve vnitrnıch vazbach lze rozlisovat:

1. Staticky urcite konstrukce: nv = v, konstrukce je podeprena nejmensım nezbytnenutnym poctem spravne umıstenych vazeb, ve kterych vznikajı reakce a interakce, jenzlze vyresit jen s pomocı podmınek rovnovahy.

2. Staticky neurcite konstrukce: nv < v, konstrukce je podeprena vetsım poctem spravneumıstenych vazeb. Reakce a interakce jiz nelze vyresit jen s pomocı podmınek rovnovahy,nybrz take napr. s podmınkami deformacnımi. Staticky vypocet proto nelze provest v

8

1.3. AKCE, REAKCE, ITERAKCE

oboru stavebnı statiky, ale az v predmetech Pruznost a plasticita nebo Statika stavebnıchkonstrukcı, ktere se mj. zabyvajı urcenım deformacı nosneho systemu. (Napr. rovinnakloubova prutova soustava z prıkladu 1.2.4, jejız stupen staticke neurcitosti je roven 2.Znamena to, ze krome podmınek rovnovahy je potreba ve statickem vypoctu definovatjeste 2 podmınky deformacnı.)

3. Staticky preurcite konstrukce: nv > v, konstrukce je podeprena nedostatecnympoctem vazeb, a proto nelze pouzıt ve stavebnictvı.

Pokud se jedna o kinematicky urcitou konstrukci, k jejich urcenı postacı podmınky rov-novahy.

Primarnı i sekundarnı vnejsı sıly tvorı silovou soustavu - v danem prıpade rovinnou. Oresenı rovinnych silovych soustav pojednava nasledujıcı kapitola 2.

Obrazek 1.9: Schematicke znazornenı - idealizace, nosneho systemu, tvoreneho tuhou deskoua hmotnym bodem.

9

Kapitola 2

Prımkova a rovinna soustava sil

2.1 Prımkova soustava sil

Soustava sil lezıcı ve spolecnem paprsku se nazyva prımkova soustava sil [2]. Pusobiste vsech silmi lze posunout do spolecneho bodu m, ktery je totozny s pocatkem souradnicoveho systemuo a paprsek sil lze ztotoznit s osou x (obr. 2.1).

Vyslednice R soustavy sil F1, F2, ..., Fn ma smer totozny se smerem spolecneho paprskusil a velikost rovnou algebraickemu souctu sil podle vztahu

R =n∑

i=1

Fi , (2.1)

kde sıly F1, F2, ..., Fn majı kladnou hodnotu pri souhlasnem smeru s osou x, zapornou pri smeruopacnem. Vysledne kladne znamenko znamena souhlasny smysl vyslednice R s osou x, zaporneznamenko opacny.

Soustava sil F1, F2, ..., Fn je v rovnovaze, pokud algebraicky soucet vsech sil soustavy jeroven nule

R =n∑

i=1

Fi = 0 . (2.2)

Pokud soustava sil nenı v rovnovaze (vyslednice soustavy R 6= 0), lze ji uvest do rovnovahytzv. rovnovaznou silou R = −R.

Rovnice (2.1) predstavuje podmınku ekvivalence a (2.2) podmınku rovnovahy sou-stavy sil pusobıcıch ve spolecnem paprsku. Pro prımkovou soustavu sil lze psat tedy jednupodmınku rovnovahy a jednu podmınku ekvivalence.

2.1.1 Prıklad - vyslednice prımkove soustavy sil

Urcete vysledny ucinek soustavy sil pusobıcıch ve spolecnem vodorovnem paprsku (totoznem sosou x viz obr. 2.1), je-li dano: F1 = −20 kN, F2 = 12 kN a F3 = 30 kN.

Resenı:

Pro urcenı vysledneho ucinku prımkove soustavy sil lze posunout pusobiste vsech sil do pocatkusouradneho systemu podle obrazku 2.1. Hodnota vyslednice R je urcena podle podmınky ekvi-

10

2.1. PRIMKOVA SOUSTAVA SIL

Obrazek 2.1: Vyslednice prımkove soustavy sil z pr. 2.1.1

valence (2.1)

R =n∑

i=1

Fi = −20 + 12 + 30 = 22 [kN] . (2.3)

Vyslednice dane soustavy sil je R= 22 kN, kladne znamenko odpovıda souhlasnemu smeru sosou x viz obr. 2.1.

2.1.2 Prıklad - rovnovaha prımkove soustavy sil

Zruste ucinek soustavy sil z predchozıho prıkladu 2.1.1 pusobıcıch ve spolecnem vodorovnempaprsku podle obr. 2.1.

Resenı:

Rovnovaznou silou R je doplnena dana soustava sil tak, aby vysledny ucinek byl nulovy. Hod-notu R i znamenko (cili smer) lze urcit z podmınky rovnovahy (2.2)

n∑i=1

Fi = 0 , (2.4)

kde po dosazenı lze zıskat

− 20 + 12 + 30 +R = 0⇒ R = −22 [kN] . (2.5)

Hodnota rovnovazne sıly je R= -22 kN, zaporne znamenko udava smer proti ose x viz obr. 2.2.

Obrazek 2.2: Rovnovazna soustava sil z pr. 2.1.2

11

2.2. SVAZEK SIL

Poznamka:

Pri srovnanı vyslednice R a rovnovazne sıly R je zrejme, ze vyslednice i rovnovazna sıla majıstejnou velikost a jsou opacne orientovane.

2.2 Svazek sil

Rovinna soustava sil F1, F2, ..., Fn se spolecnym pusobistem se nazyva svazek sil. Pro vysledneresenı takove soustavy sil je zapotrebı kazdou sılu dane soustavy rozlozit do dvou slozek Fix aFiz pusobıcıch v souradnicovych osach x a z (obr. 2.3). Prumety sil majı velikost

Fix = Fi · sin γi , Fiz = Fi · cos γi , (2.6)

kde uhel γi je orientovany uhel, ktery svıra sıla Fi s kladnym smerem osy z. Vysledkem rozkladu

Obrazek 2.3: Rozklad sil v souradnem systemu

vsech sil jsou soustavy sil pusobıcı v ose x a v ose z, ktere lze secıst podle rovnic ekvivalence2.7 a zakreslit podle obr. 2.4

Rx =n∑

i=1

Fix , Rz =n∑

i=1

Fiz . (2.7)

Obrazek 2.4: Nahrazenı soustavy sil

12

2.2. SVAZEK SIL

Silami Rx a Rz je puvodnı soustava sil ekvivalentne nahrazena. Lze urcit celkovou vyslednicisoustavy sil R, ktera je dana vektorovym souctem slozek Rx a Rz podle obr. 2.6

R =√Rx

2 +Rz2 (2.8)

a smerovy uhel γR

sinγR =Rx

R, cosγR =

Rz

R. (2.9)

Vysledny ucinek svazku sil muze byt dan slozkami vyslednice Rx a Rz nebo celkovou vyslednicıR a smerovym uhlem γR.

Zrusenı ucinku svazku sil lze pomocı rovnovazne sıly R, jejız slozky Rx a Rz lze zıskat zpodmınek rovnovahy v obou osach podle rovnice (2.2).

Pro svazek sil lze psat dve podmınky ekvivalence

Rx =n∑

i=1

Fix =n∑

i=1

Fi · sin γi = R · sin γR , (2.10)

Rz =n∑

i=1

Fiz =n∑

i=1

Fi · cos γi = R · cos γR (2.11)

a dve podmınky rovnovahy

Rx =n∑

i=1

Fix = 0 , Rz =n∑

i=1

Fiz = 0 . (2.12)

2.2.1 Prıklad - vyslednice soustavy sil se spolecnym pusobistem

Urcete pocetne i graficky velikost, smer a smysl vyslednice R svazku trı sil se spolecnympusobistem m podle obrazku 2.5, je-li dano: F1 = 20 kN, F2 = 12 kN a F3 = 30 kN, γ1 = 900,γ2 = 1200 a γ3 = 2400.

Obrazek 2.5: Zadanı soustavy sil z pr. 2.2.1

13

2.2. SVAZEK SIL

Tabulka 2.1: Slozky vyslednice soustavy sil z pr. 2.2.1

F i γi sin γi cos γi F ix F iz

[kN] [°] [-] [-] [kN] [kN]

1 20,00 90,00 1,00 0,00 20,00 0,00

2 12,00 120,00 0,87 -0,50 10,39 -6,00

3 30,00 240,00 -0,87 -0,50 -25,98 -15,00

Rx = 4,41 Rz = -21,00

i

∑=

3

1i

Resenı:

Nejprve jsou urceny slozky vsech sil v osach x a z podle rovnic (2.6). Pro vetsı prehlednost jsouzadanı a vypocty slozek vyslednice Rx a Rz uvedeny v tabulce 2.1.

Jednotlive vypocty v tabulce lze rozepsat pomocı nasledujıcıch rovnic

F1x = F1 · sin γ1 = 20 · sin 90 = 20, 00 [kN] , (2.13)

F2x = F2 · sin γ2 = 12 · sin 120 = 10, 39 [kN] , (2.14)

F3x = F3 · sin γ3 = 30 · sin 240 = −25, 98 [kN] , (2.15)

F1z = F1 · cos γ1 = 20 · cos 90 = 0 [kN] , (2.16)

F2z = F2 · cos γ2 = 12 · cos 120 = −6, 00 [kN] , (2.17)

F3z = F3 · cos γ3 = 30 · cos 240 = −15, 00 [kN] . (2.18)

Pote lze secıst vsechny sıly pusobıcı v osach x, z a urcit vysledny ucinek soustavy sil podlepodmınek ekvivalence (2.7)

Rx =n∑

i=1

Fix = 20, 00 + 10, 39− 25, 98 = 4, 41 [kN] . (2.19)

Rz =n∑

i=1

Fiz = 0− 6, 00− 15, 00 = −21, 00 [kN] . (2.20)

Slozkami Rx a Rz je puvodnı soustava ekvivalentne nahrazena. V nekterych prıpadech jevyhodnejsı ponechat vyslednice soustavy ve vypoctenych slozkach vyslednice Rx a Rz. V tomtoprıklade je ukolem urcit celkovou vyslednici R a jejı smer a orientaci (uhel γ) vzhledem kosam souradneho systemu. Zname slozky vyslednice Rx a Rz jsou zakreslene v obrazku 2.6. Zvektoroveho souctu je zrejma velikost, smer i uhel vyslednice soustavy R.

Graficke resenı vyslednice lze overit vypoctem

R =√Rx

2 +Rz2 =

√4, 412 + (−21, 00)2 = 21, 46 [kN] . (2.21)

Jednoznacne urcenı uhlu γR, ktery svıra vyslednice R s kladnym smerem osy z je zrejme zobr. 2.6. Nejprve je urcen ostry uhel γR,o ke svisle ose nezavisle na jejı orientaci z absolutnıchhodnot Rx a Rz, napr. ze slozky Rx

γR,o = arcsin|Rx|R

= arcsin|4, 41|21, 46

= 11, 86 [◦] (2.22)

14

2.2. SVAZEK SIL

Obrazek 2.6: Vyslednice soustavy sil z pr. 2.2.1

a pote je dopocıtan uhel, ktery svıra vyslednice s kladne orientovanou osou z

γR = 180− γR,o = 180− 11, 86 = 168, 14 [◦] . (2.23)

Poznamka:

Smer vyslednice je zrejmy uz ze znamenek slozek vyslednice Rx a Rz. V prıklade 2.2.1 kladneznamenko u Rx znamena, ze slozka smeruje doprava ve smeru kladne osy x a zaporne znamenkou Rz znamena, za tato slozka smeruje nahoru proti kladnemu smeru osy z, z cehoz lze vyvodit,ze vyslednice R smeruje do II. kvadrantu.

2.2.2 Prıklad - rovnovaha soustavy sil se spolecnym pusobistem

Urcete pocetne i graficky velikost, smer a smysl rovnovazne sıly R svazku trı sil se spolecnympusobistemm z predchazejıcıho prıkladu (obr. 2.5) (= uved’te danou soustavu sil do rovnovahy).

Resenı:

V osach x a z se urcı rovnovazne sıly k dane soustave sil podle podmınky rovnovahy 2.2, kterouaplikujeme na obe osy x a z (vyuzijeme jiz vypoctenych slozek Fi,x a Fi,z z rovnic (2.13) az(2.18)). Slozky rovnovazne sıly Rx a Rz v osach x a z majı hodnotu

n∑i=1

Fix +Rx = 0⇒ Rx − 20, 00− 10, 39 + 25, 98 = 0 . (2.24)

Rx = −4, 41 [kN] . (2.25)

n∑i=1

Fiz +Rz = 0⇒ Rz + 0− 6, 00− 15, 00 = 0 . (2.26)

Rz = 21, 00 [kN] . (2.27)

15

2.3. STATICKY MOMENT SILY

Obrazek 2.7: Rovnovazna sıla k soustave sil z pr. 2.2.2

Rovnazna sıla R ma hodnotu

R =

√Rx

2+Rz

2=

√(−4, 41)2 + 21, 002 = 21, 46 [kN] . (2.28)

Pro urcenı smeru a uhlu, ktery svıra rovnovazna sıla s kladnym smerem osy z je opet vhodnezakreslit jiz vypoctene slozky Rx a Rz v souradnem systemu (obr. 2.7), urcit nejprve ostry uhelnapr. k ose z nezavisle na jejı orientaci a pote dopocıtat orientovany uhel ke kladnemu smeruosy z. Ostry uhel γR,o, ktery svıra rovnovazna sıla R se svislou osou z, muze byt urcen z

absolutnıch hodnot znamych slozek Rx a Rz, napr. pomocı slozky Rx

γR,o = arcsin|Rx|R

= arcsin| − 4, 41|

21, 46= 11, 86 [◦] (2.29)

a uhel γR, ktery svıra rovnovazna sıla s kladne orientovanou osou z

γR = 360− γR,o = 180− 11, 86 = 348, 14 [◦] . (2.30)

Poznamka:

Soustava svazku trı sil doplnena o rovnovaznou sılu R (nebo jejı slozky Rx a Rz) je v rovnovaze.Z prıkladu 2.2.1 a 2.2.2 je zrejme, ze vyslednice a rovnovazna sıla majı stejnou velikost, smerale opacnou orientaci.

2.3 Staticky moment sıly

Staticky moment sıly F k libovolnemu bodu s je definovan soucinem velikosti sıly F a jejıhoramene p podle rovnice

M = Ms = F · p . (2.31)

Bod s se nazyva momentovy stred a rameno p je delka kolmice spustene z momentoveho stredus na paprsek sıly F . Je-li smysl otacenı sıly okolo momentoveho stredu proti smeru choduhodinovych rucicek, jedna se o kladny staticky moment sıly F k bodu s. Zakladnı poucky o

16

2.4. SILOVA DVOJICE

statickem momentu sıly k bodu lze najıt v [2]. Jedna ze zakladnıch poucek se nazyva vetaVarignonova a je prıkladem uplatnenı principu superpozice ucinku

Ms = R · r =n∑

i=1

Fi · pi , (2.32)

kde r je rameno vyslednice R k bodu s, pi jsou ramena dılcıch sil soustavy Fi k bodu s.

2.4 Silova dvojice

Dvojice sil je soustava dvou rovnobeznych sil stejne velkych, opacne orientovanych a nelezıcıchve spolecnem paprsku. Vysledny ucinek dvojice sil v rovine v nız pusobı je otacivy, dvojice silzpusobı moment. Velikost momentu dvojice sil lze urcit podle rovnice

Ms = F · p , (2.33)

kde F je jedna sıla z dvojice sil a p je rameno dvojice sil.Silove dvojice lze skladat a vyslednym ucinkem soustavy silovych dvojic je moment Mr

Mr =n∑

i=1

Mi , (2.34)

kde Mi jsou momenty zpusobene jednotlivymi silovymi dvojicemi pusobıcımi v rovine. Dalsıpoucky tykajıcı se dvojic sil lze najıt napr. v [2].

2.5 Obecna soustava sil

Kazdou sılu obecne soustavy sil F1, F2, ..., Fn lze rozlozit do dvou slozek Fix a Fiz pusobıcıch vsouradnicovych osach x a z (obr. 2.8). Prumety sil majı velikost

Fix = Fi · sin γi , Fiz = Fi · cos γi , (2.35)

kde uhel γi je orientovany uhel, ktery svıra sıla Fi s kladnym smerem osy z. Kazda sıla vytvarık pocatku take moment M0

Mi0 = Fix · zi − Fiz · xi , (2.36)

kde xi a zi jsou souradnice pusobiste sıly Fi, Fix a Fiz jsou jejı prumety do smeru souradnychos x a z.

Pro obecnou soustavu sil lze psat tri podmınky ekvivalence:

Rx =n∑

i=1

Fix =n∑

i=1

Fi · sin γi = R · sin γR , (2.37)

Rz =n∑

i=1

Fiz =n∑

i=1

Fi · cos γi = R · cos γR , (2.38)

M0 =n∑

i=1

Mi0 =n∑

i=1

(Fix · zi − Fiz · xi) (2.39)

a tri podmınky rovnovahy:

Rx =n∑

i=1

Fix = 0 , Rz =n∑

i=1

Fiz = 0 ,M0 =n∑

i=1

Mi0 = 0 . (2.40)

17

2.5. OBECNA SOUSTAVA SIL

Obrazek 2.8: Obecna soustava sil

2.5.1 Prıklad - vyslednice obecne soustavy sil

Urcete pocetne i graficky velikost, smer, smysl a polohu vyslednice R obecne pusobıcıch sil mpodle obrazku 2.9, je-li dano: F1 = 8 kN, F2 = 22 kN a F3 = 14 kN, γ1 = 300, γ2 = 1200 aγ3 = 2000, souradnice pusobist’ x1=1 m, z1=2 m, x2=0 m, z2=0 m, x3=-2 m, z3=-3 m.


18


Nejprve jsou urceny slozky vsech sil v osach x a z podle rovnic (2.6). Zadanı soustavy sil amezivypocty jsou uvedeny v tabulce 2.2.

Tabulka 2.2: Zadanı a vypocet pr. 2.5.1F i γι sin γi cos γi x i z i F ix F iz M 0x M 0z

[kN] [°C] [-] [-] [m] [m] [kN] [kN] [kNm] [kNm]

1 8,00 30,00 0,50 0,87 1,00 2,00 4,00 6,93 8,00 -6,93

2 22,00 120,00 0,87 -0,50 0,00 0,00 19,05 -11,00 0,00 0,00

3 14,00 200,00 -0,34 -0,94 -2,00 -3,00 -4,79 -13,16 14,36 -26,31

i

R x = 18,26 R z = -17,23 22,36 -33,24

R = 25,11 M 0 = -10,87

r = 0,43 m

∑=

3

1i

Rozklady sil do souradnych os:

F1x = F1 · sin γ1 = 8 · sin 30 = 4, 00 [kN] , (2.41)

F2x = F2 · sin γ2 = 22 · sin 120 = 19, 05 [kN] , (2.42)

F3x = F3 · sin γ3 = 14 · sin 200 = −4, 79 [kN] , (2.43)

F1z = F1 · cos γ1 = 8 · cos 30 = 6, 93 [kN] , (2.44)

F2z = F2 · cos γ2 = 22 · cos 120 = −11, 00 [kN] , (2.45)

F3z = F3 · cos γ3 = 14 · cos 200 = −13, 16 [kN] . (2.46)

Slozky vyslednice Rx, Rz zıskame sectenım prumetu vsech sil v souradnicovych osach

Rx =n∑

i=1

Fix = 4, 00 + 19, 05− 4, 79 = 18, 26 [kN] , (2.47)

Rz =n∑

i=1

Fiz = 6, 93− 11, 00− 13, 16 = −17, 23 [kN] . (2.48)

Celkova vyslednice soustavy sil

R =√Rx

2 +Rz2 =

√18, 262 + (−17, 23)2 = 25, 11 [kN] . (2.49)

Ostry uhel γR,o ke svisle ose pomocı absolutnı hodnoty slozky Rx a vyslednice R je dan vyrazem

γR,o = arcsin|Rx|R

= arcsin|18, 26|25, 11

= 46, 65 [◦] (2.50)

Uhel γR, ktery svıra vyslednice R s kladnym smerem osy z je zrejmy z obr. 2.10

γR = 180− γR,o = 180− 46, 65 = 133, 35 [◦] . (2.51)

Z tretı podmınky ekvivalence (2.64) lze zıskat moment, ktery dana soustava vytvarı vzhle-dem k pocatku souradneho systemu. Do rovnice dosazujeme prumety sil a souradnice pusobist’

19


Obrazek 2.10: Vyslednice obecne soustavy sil z pr. 2.5.1

a je treba respektovat znamenka jak slozek sil tak i jejich umıstenı pro spravny smer vyslednehomomentu. Dosazenım do podmınky

M0 =n∑

i=1

(Fix · zi − Fiz · xi) (2.52)

lze zıkat vysledny moment

M0 = 4, 00·2+19, 05·0+(−4, 79)·(−3)−6, 93·1, 00−(−11, 00)·0−(−13, 16)·(−2) = −10, 87 [kNm] .(2.53)

Dalsı moznostı, jak zjistit moment soustavy sil vzhledem k pocatku, je uvazovat slozkysil a ramena sil v absolutnı hodnote a znamenka urcit podle smeru otacenı kazde slozky sılyvzhledem k pocatku podle obrazku 2.9. Vysledny moment je potom dan vypoctem

M0 = 4, 00 · 2 + 19, 05 · 0 + 4, 79 · 3− 6, 93 · 1, 00 + 11, 00 · 0− 13, 16 · 2 = −10, 87 [kNm] . (2.54)

Vysledny ucinek soustavy sil lze nahradit pouze vyslednicı R na rameni r tak, aby pusobilastejnym momentem k pocatku, jaky vytvarı dana soustava sil viz obrazek 2.10. Lze tedy po-sunout rovnobezne s paprskem vyslednice tuto vyslednici o rameno r tak, ze soucasne vytvarımoment M0 pozadovaneho smeru daneho vypoctem. Delku ramene r urcıme pomocı Varignovyvety

M0 = R · r ⇒ r =|M0|R

=| − 10, 87|

25, 11= 0, 43 [m] . (2.55)

Zadana obecna soustava trı sil je ekvivalentne nahrazena slozkami vysledniceRx = 18,26 kN aRz = -17,23 kN pusobıcımi v pocatku a momentemM0 = -10,87 kNm pusobıcım kdekoliv v rovinesouradneho systemu, nebo vyslednicı R=25,11 kN, uhlem γR = 133,35 ◦ a opet momentem vrovine M0 = -10,87 kNm . V prıpade evivalentnıho nahrazenı soustavy sil jedinou silou vyslednicıR, je zapotrebı ji rovnobezne posunout o vzdalenost r tak, aby soucasne s posunem vykonavalatake otacivy ucinek totozny s ucinkem puvodnı obecne soustavy sil podle obr. 2.10.

Poznamka:

Vyslednice R zobrazena na 2.10 lezıcı na prımce vzdalene o rameno r od pocatku soustavy senazyva tzv. kluzny vektor. Pusobiste teto sıly nenı pevne dano, resp. silovy i momentovyucinek teto vyslednice nenı zavisly na jejım pusobisti (sıla se muze libovolne posouvat po svenositelce).

20


2.5.2 Prıklad - soustava rovnobeznych sil

Je dana soustava sil rovnobeznych s osou z podle obrazku 2.11: F1,z = F1 = 5 kN, F2,z = F2 =18 kN a F3,z = F3 = 5 kN, γ1 = 0, γ2 = 1800 a γ3 = 0, souradnice pusobist’ x1=2 m, x2=6 m,x3=7 m. Nahrad’te soustavu vyslednou silou pusobıcı v pocatku a momentem. Pote nahrad’tesoustavu sil vyslednicı pusobıcı na rameni r0 vzhledem k pocatku. Nakonec urcete pocetne takepolohu vyslednice R vzhledem k sıle F2 (rameno rF2).


Resenı:

Pomocı vypocetnıho postupu v tabulkovem procesoru Microsoft Excel lze urcit vyslednici sil,staticky moment sil k pocatku a rameno vyslednice viz tabulka 2.3.



1 5 0 0 1 2 ~ 0 5 ~ -10

2 18 180 0 -1 6 ~ 0 -18 ~ 108

3 5 0 0 1 7 ~ 0 5 ~ -35

R x = 0 R z = -8 ~

r = 7,875 m

i

63,00

R = -8 M 0 = 63

∑=

3

1i

∑=

3

1i

Vypocet slozek sil v osach x a z podle rovnic (2.6) lze najıt v tabulce 2.3, je zrejme, zeslozky sil promıtnute do osy x jsou nulove a sıly se promıtnou celou svou velikostı do osy z.Prepoctem pomocı goniometrickych funkcı zıskame orientaci techto sil vzhledem k ose z.

Rozklady sil do souradnych os:

F1x = F1 · sin γ1 = 5 · sin 0 = 0, 00 [kN] , (2.56)

F2x = F2 · sin γ2 = 18 · sin 180 = 0, 00 [kN] , (2.57)

F3x = F3 · sin γ3 = 5 · sin 0 = 0, 00 [kN] , (2.58)

21


F1z = F1 · cos γ1 = 5 · cos 0 = 5, 00 [kN] , (2.59)

F2z = F2 · cos γ2 = 18 · cos 180 = −18, 00 [kN] , (2.60)

F3z = F3 · cos γ3 = 5 · cos 0 = 5, 00 [kN] . (2.61)

Slozky vyslednice Rx, Rz zıskame sectenım prumetu vsech sil v souradnicovych osach

Rx =n∑

i=1

Fix = 0, 00 [kN] , (2.62)

Rz =n∑

i=1

Fiz = 5, 00− 18, 00 + 5, 00 = −8, 00(↑) [kN] . (2.63)

Celkova vyslednice R soustavy sil je rovna Rz, zaporne znamenko znamena smer proti osez, cili vzhuru. Pokud bychom chteli vyjadrit orientaci vyslednice pomocı velikosti a uhlu γR,ktery svıra vyslednice s kladnym smerem osy z, dalo by se napsat R=8kN a γR=180 ◦ .

Z tretı podmınky ekvivalence (2.64) lze zıskat moment, ktery dana soustava vytvarı vzhle-dem k pocatku souradneho systemu. Do rovnice dosazujeme prumety sil a souradnice pusobist’

a je treba respektovat znamenka jak slozek sil tak i jejich umıstenı pro spravny smer vyslednehomomentu. Dosazenım do podmınky

M0 =n∑

i=1

(Fix · zi − Fiz · xi) (2.64)

lze zıkat vysledny moment

M0 = 0 + 0 + 0− 5, 00 · 2− (−18, 00) · 6− 5, 00 · 7 = 63, 00 [kNm] . (2.65)

Dalsı moznostı, jak zjistit moment soustavy sil vzhledem k pocatku, je uvazovat slozkysil a ramena sil v absolutnı hodnote a znamenka urcit podle smeru otacenı kazde slozky sılyvzhledem k pocatku podle obrazku 2.11. Vysledny moment je potom dan vypoctem

M0 = −5, 00 · 2 + 18, 00 · 6− 5, 00 · 7 = 63, 00 [kNm] . (2.66)

Dalsım ukolem je nahrazenı vysledneho ucinku soustavy sil vyslednicı R na rameni r0 vizobrazek (obr. 2.12 uprostred). Delku ramene r urcıme pomocı Varignonovy vety

M0 = R · r0 ⇒ r0 =|M0||R|

=|63, 00||8, 00|

= 7, 875 [m] . (2.67)

Na obrazku 2.12 vlevo je znazornena vyslednice soustavy sil pusobıcı v pocatku souradnehosystemu a staticky moment, ktery soustava vyvodı vzhledem k pocatku, na obrazku uprostredje zobrazeno nahrazenı soustavy sil pouze vyslednicı pusobıcı na rameni r vzhledem k pocatkua na obrazku vpravo je zobrazena poloha vyslednice sil vzhledem k sıle F2.

Zadana soustava trı rovnobeznych sil je ekvivalentne nahrazena slozkami vyslednicıR=8,00 kN,uhlem γR = 180,00 ◦ a momentem v rovine M0 = 63,00 kNm. V prıpade evivalentnıho nahra-zenı soustavy sil jedinou silou vyslednicı R, je zapotrebı ji rovnobezne posunout o vzdalenostr=7,875 m tak, aby soucasne s posunem vykonavala take kladny otacivy ucinek totozny sucinkem puvodnı obecne soustavy sil. Vyslednice se posune smerem doprava od pocatku souradnehosystemu (obr. 2.12 uprostred).

22


Obrazek 2.12: Resenı pr. 2.5.2

Poslednım ukolem je urcenı polohy vyslednice vzhledem k sıle F2. V tomto prıpade lze vyuzıtpredchozıch vysledku a pomocı Varignonovy vety a obr. 2.11 urcit rameno rF2

R · rF2 =∑

Fi · ri ⇒ rF2 =

∑Fi · riR

=5 · 4 + 18 · 0− 5 · 1

8= 1, 875 [m] . (2.68)

Pri vypoctu je respektovana orientace sil a jejich hodnoty. Resenı lze vyjadrit slovne, ze momentke kteremukoliv bodu v rovine (v tomto prıpade k pusobisti sıly F2), ktery zpusobı dana soustavasil, je stejny jako moment, ktery zpusobı vyslednice teto soustavy sil (v tomto prıpade vysledniceR na rameni rF2).

2.5.3 Prıklad - urcenı ramene vyslednice soustavy rovnobeznych sil

Je dana soustava sil rovnobeznych s osou z podle obrazku 2.13: F1,z = F1 = −10 kN, F2,z =F2 = 6 kN a F3,z = F3 = 7 kN, souradnice pusobist’ x1=2 m, x2=4 m, x3=8 m. Urcete pocetnepolohu vyslednice R vzhledem k pocatku (rameno r0) a vzhledem k sıle F2 (rameno rF2) pomocıVarignonovy vety.


Resenı:

Vypocetnı postup pro urcenı vyslednice, momentu k pocatku a ramene vyslednice k pocatku jenaznacen v tabulce 2.3.

23




1 16 180 0 -1 2 ~ 0 -16 ~ 32

2 6 0 0 1 4 ~ 0 6 ~ -24

3 7 0 0 1 8 ~ 0 7 ~ -56

r0 = 16,00 m

-48,00

R = -3 M 0 =-48

i

R x = 0 R z =- 3 ~∑=

3

1i

Nejprve se urcı velikost a smer vyslednice soustavy sil R = Rz souctem vsech sil v ose z

Rz =n∑

i=1

Fi = −16, 00 + 6, 00 + 7, 00 = −3, 00(↑) [kN] . (2.69)

Dalsım ukolem je urcit delku ramene r0 pomocı Varignonovy vety (moment k pocatku odvyslednice soustavy sil je stejny jako moment, ktery vyvodı soustava techto sil). Tato veta lzezapsat pri respektovanı smeru otacenı sil kolem pocatku rovnicı podle obrazku 2.14

−R · r0 = F1 · r1 − F2 · r2 − F3 · r3 ⇒ r0 =−16 · 2 + 6 · 4 + 7 · 8

3= 16, 00 [m] , (2.70)

kde r1, r2, r3 jsou ramena sil k pocatku.Rameno vyslednice r2 vzhledem k sıle F2 je urceno stejnym zpusobem pomocı Varignonovy

vety a obrazku 2.14

−R · rF2 = −F1 · r1 + F2 · 0− F3 · r3 ⇒ rF2 =+16 · 2 + 6 · 0 + 7 · 4

3= 20, 00 [m] , (2.71)

kde r1, r2, r3 jsou ramena sil k pusobisti sıly F2.

Obrazek 2.14: Resenı pr. 2.5.2

Na obrazku 2.14 je znazornena vyslednice soustavy sil pusobıcı na rameni vzhledem kpocatku souradneho systemu a na rameni vzhledem k sıle F2.

24


Poznamka:

Pri vypoctu rovnic (2.70) a (2.71) je zapotrebı nejprve odhadnout polohu vyslednice a zakreslitji do obrazku. Potom je treba uvazovat se znamenkem momentu, ktery vyvodı vzhledem kmomentovemu stredu (v tomto prıpade pocatek souradneho systemu, resp. pusobiste sıly F2).Vyjde-li vypoctem rameno vyslednice zaporne, znamena to, ze vyslednice ve skutecnosti pusobına opacne strane vzhledem k momentovemu stredu nez bylo predpokladano.

Poznamka:

Rovnobezne sıly lze zdat velikostmi sil v ose z a znamenkem, kterym se urcı orientace jednot-livych sil. Napr.: F1 = 5 kN, F2 = −18 kN a F3 = 5 kN, souradnice pusobist’ x1=2 m, x2=6 m,x3=7 m. Dalsı moznostı je zadanı velikostmi sil a uhlem, ktery svırajı s osou z.

25

Kapitola 3

Vypocet reakcı silove zatızeneho prutu

3.1 Rovinny nosnık a jeho podeprenı

Jednoduchy rovinny nosnık je nosny prvek, u nejz jeden rozmer (delka) znacne prevlada nadzbyvajıcımi rozmery [2]. Podle tvaru a polohy strednice lze nosnıky rozdelit na

• prıme (vodorovne, svisle, sikme)

• lomene (strednice je predstavovana lomenou carou)

• zakrivene (strednice ma tvar rovinne krivky - napr. oblouk)

• obecneho tvaru

Jednoduchy rovinny nosnık bez vnitrnıch kloubu ma tri stupne volnosti. Pro jeho podeprenılze pouzıt pet zakladnıch typu vnejsıch vazeb, ktere jsou uvedeny v tab.3.1.

Tabulka 3.1: Vazby jednoducheho rovinneho nosnıku

26

3.2. VYPOCET REAKCI VAZEB.

Pevneho staticky a kinematicky urciteho podeprenı lze dosahnout kombinacı vyse uvedenychvazeb, ktere zrusı nosnıku jeho tri stupne volnosti. Tyto vazby predstavujı tri nezname slozkyreakcı vazeb, ktere urcujeme ze trı podmınek rovnovahy.

Podle zpusobu podeprenı delıme nosnıky na

• konzolove (vetknute na jednom konci nosnıku)

• proste (podeprene ve dvou mıstech, a to pevnou kloubovou podporou a posuvnou klou-bovou podporou)

• nosnıky podeprene ve trech bodech napr. tremi kyvnymi pruty nebo tremi posuvnymiklouby.

3.2 Vypocet reakcı vazeb.

Slozky reakcı vazeb se resı ze trı statickych podmınek rovnovahy obecne rovinne soustavysil (2.40) pusobıcı na nosnık uvolneny z vnejsıch vazeb. Poradı sestavenı a typy podmınekrovnovahy volıme tak, abychom z kazde rovnice zıskali jednu neznamou slozku reakcı. Podmınkyrovnovahy, ve kterych se scıtajı sıly, nazyvame silove. Podmınky rovnovahy, ktere obsahujısoucet momentu, nazyvame momentove.

Konzolovy nosnık

1.∑Fix = 0→ Rax (silova podmınka rovnovahy) ,

2.∑Fiz = 0→ Raz (silova podmınka rovnovahy) ,

3.∑Mia = 0→Ma (momentova podmınka rovnovahy) ,

KONTROLA

4.∑Mib = 0 (momentova kontrola k libovolnemu bodu, napr. k volnemu konci).

Prosty nosnık

1.∑Fix = 0→ Rax(silova podmınka rovnovahy) ,

2.∑Mia = 0→ Rbz(momentova podmınka rovnovahy) ,

3.∑Mib = 0→ Raz(momentova podmınka rovnovahy) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 (silova podmınka v ose z).

Tyto obecne tvary podmınek rovnovahy pouzıvame pro vypocet reakcı podle typu ulozenıkonstrukce (podle typu podpor = vazeb) nezavisle na tvaru strednice (prımy nosnık, lomenynosnık, oblouk). Pri vypoctu reakcı se vzdy snazıme odhadnout jejich smer podle pusobıcıhozatızenı a pote je zakreslıme do obrazku. Podmınky rovnovahy sestavujeme az na zaklade

27

3.3. PRIKLADY NA VYPOCET REAKCI

zakreslenych reakcı. Pokud resenım vyjde kladna hodnota reakce, znamena to, ze jejı smer bylspravne odhadnut. Vyjde-li resenım podmınek rovnovahy u reakce znamenko zaporne, znamenato, ze ma opacnou orientaci nez puvodne zvolena. Sestavene podmınky rovnovahy vsak platıpro predem odhadnute smery, proto reakce v puvodnım obrazku ponechame a pro dalsı vypocetzadanı nosnıku prekreslıme s jiz opravenymi smery a kladnymi hodnotami.

3.3 Prıklady na vypocet reakcı

Ve vsech nasledujıcıch prıkladech urcete reakce z podmınek rovnovahy a proved’te kontrolu.

3.3.1 Prosty nosnık - bodove zatızenı

V tomto prıklade je proste podepreny nosnık zatızen bodovym zatızenım, ktere je predstavovanosilou P = 7 kN pusobıcı pod uhlem 60◦ podle obr. 3.1. Urcete reakce a proved’te kontrolu.

Obrazek 3.1: Zadanı pr. 3.3.1

Nejprve urcıme slozky pusobıcı sıly promıtnute do vodorovne a svisle osy

Px = P · sin γ = 7 · sin 60 = 6, 062 [kN] , (3.1)

Pz = P · cos γ = 7 · cos 60 = 3, 5 [kN] . (3.2)

Podle typu podpor doplnıme prıslusne reakce, odhadneme jejich smer podle pusobıcıho zatızenıa zakreslıme do obrazku. V tomto prıklade v podpore a i b pusobı svisle reakce nahoru tak, abyzrusily ucinek sıly Pz. V podpore a je navrzena pevna kloubova podpora, proto v tomto bodebude pusobit vodorovna reakce proti sıle Px. Odhadnute smery reakcı Raz, Rbz a Rax lze videtna obr. 3.1. Pote dosadıme do podmınek rovnovahy pro proste podeprenı nosnıku

1.∑Fix = 0 : Rax − Px = 0⇒ Rax = 6, 062 kN (→) ,

2.∑Mia = 0 : −2 · Pz + 6 ·Rbz = 0⇒ Rbz = 1, 17 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : 4 · Pz − 6 ·Raz = 0⇒ Raz = 2, 33 kN (↑) .

KONTROLA - pro kontrolu secteme vsechny sıly v ose z:

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz + Pz = 0⇒ −2, 33− 1, 17 + 3, 5 = 0→ 0 = 0.

28


3.3.2 Nosnık s previslymi konci - bodove zatızenı

Nosnık s previslymi konci je zatızen silami P1 − P3 a osamelym momentem M podle obr. 3.2.Urcete reakce a proved’te kontrolu.


Odhadneme smer reakcı a zakreslıme do obrazku. V tomto prıklade v podpore a i b pusobısvisle reakce nahoru tak, aby zrusily ucinek svislych sil P . V prıklade nepusobı zatızenı v osenosnıku, proto vodorovna reakce v podpore a vychazı Rax =0. Pote dosadıme do podmınekrovnovahy pro proste podeprenı nosnıku

1.∑Fix = 0 : Rax = 0 kN ,

2.∑Mia = 0 : 1 · P1 − 1 · P2 +M + 3 ·Rbz − 4 · P3 = 0⇒ Rbz = 2, 57 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : 4 · P1 − 3 ·Raz + 2 · P2 +M − 1 · P3 = 0⇒ Raz = 3, 43 kN (↑) .

KONTROLA - pro kontrolu secteme vsechny sıly v ose z:

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz + P1 + P2 + P3 = 0⇒ −3, 43− 2, 57 + 2 + 2 + 2 = 0→ 0 = 0.

3.3.3 Konzola

Vetknuty nosnık (konzola) je zatızen bodovym zatızenım na volnem konci, ktere je predstavovanosilou P = 15 kN pusobıcı pod uhlem 45◦ podle obr. 3.3. Urcete reakce z podmınek rovnovahy aproved’te kontrolu.


Jelikoz sıla pusobı pod uhlem 45 ◦ je zrejme, ze obe slozky Px a Pz musı mıt stejnou hodnotu.Goniometricke funkce odpovıdajı uhlu γ, ktery svıra sıla s osou z. Slozky pusobıcı sıly ve svisle

29


a vodorovne ose majı velikost

Px = P · sin γ = 15 · sin 45 = 10, 61 [kN] , (3.3)

Pz = P · cos γ = 15 · cos 45 = 10, 61 [kN] . (3.4)

Ve vetknutı jsou odebrany nosnıku vsechny 3◦ volnosti, proto vsechny tri reakce zakreslımedo bodu a podle obr. 3.3. Pote dosadıme do podmınek rovnovahy v poradı vhodnem pro kon-zolovy nosnık a vyresıme nezname reakce.

1.∑Fix = 0 : Rax − Px = 0⇒ Rax = 10, 61 [kN] (→) ,

2.∑Fiz = 0 : −Raz + Pz = 0⇒ Raz = 10, 61 [kN] (↑) ,

3.∑Mia = 0 : Ma–Pz · 2 = 0⇒Ma = 21, 22 [kNm] (proti)

KONTROLA

4.∑Mib = 0 : Ma–Raz · 2 = 0⇒ 21, 21− 10, 61 · 2 = 0⇒ 0 = 0

3.3.4 Prosty nosnık - spojite zatızenı rovnomerne

Proste podepreny nosnık je zatızen spojitym rovnomernym zatızenım q po cele delce podleobr. 3.4. Urcete reakce obecne pomocı q a l.


Pro vypocet reakcı lze mısto spojiteho zatızenı q pouzıt tzv. nahradnı bremeno Q [kN]umıstene v jeho tezisti. Nahradnı bremeno tedy pusobı uprostred nosnıku a jeho hodnota je

Q = q · l [kN] , (3.5)

Svisle reakce Raz a Rbz smerujı nahoru tak, aby zrusily ucinek zatızenı q. Na nosnık nepusobızadna vnejsı sıla ve vodorovne ose, proto reakce Rax je nulova. Po dosazenı do podmınekrovnovahy pro proste podeprenı nosnıku lze zıskat

1.∑Fix = 0 : Rax = 0 ,

2.∑Mia = 0 : −Q · l

2+ l ·Rbz = −q · l · l

2+ l ·Rbz = 0⇒ Rbz =

q · l2

kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : Q · l

2− l ·Raz = 0⇒ Raz =

q · l2

kN (↑) .

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz +Q = 0⇒ 0 = 0.

30


3.3.5 Prosty nosnık - spojite zatızenı trojuhelnıkove

V tomto prıklade je proste podepreny nosnık zatızen spojitym trojuhelnıkovym zatızenım pocele delce viz obr. 3.5, intenzita q je hodnota zatızenı v bode b. Urcete reakce pomocı q a l.

Obrazek 3.5: Zadanı nosnıku s trojuhelnıkovym zatızenım pr. 3.3.5

Nahradnı bremeno Q [kN] je umıstene v tezisti trojuhelnıkoveho zatızenı, to znamena vedvou tretinach delky od podpory a, a jeho hodnota je

Q =1

2· q · l [kN] . (3.6)

Svisle reakce Raz a Rbz smerujı nahoru, reakce Rax je opet nulova. Po dosazenı do podmınekrovnovahy pro proste podepreny nosnık lze psat

1.∑Fix = 0 : Rax = 0 ,

2.∑Mia = 0 : −Q · 2 · l

3+ l ·Rbz = 0⇒ Rbz =

2 ·Q3

=q · l3

kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : Q · l

3− l ·Raz = 0⇒ Raz =

Q

3=q · l6

kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz +Q = 0⇒ 0 = 0.

Poznamka:

U prıkladu 3.3.4 a 3.3.5 se dajı reakce odhadnout bez vypoctu. U rovnomerneho spojitehozatızenı, ktere je symetricky ulozeno na nosnıku je zrejme, ze obe reakce jsou stejne velke amajı polovicnı hodnotu z nahradnıho bremene Q. U trojuhelnıkoveho zatızenı se reakce rozdelına jednu tretinu z Q a dve tretiny z Q podle orientace zatızenı.

3.3.6 Sikmy nosnık - zatızenı kolme ke strednici prutu

U sikmeho nosnıku je strednice nosnıku odklonena o urcity uhel vzhledem k souradnym osamx a z. Lze rozlisit ruzne typy zatızenı vzhledem ke strednici prutu, o cemz pojednava kap. 5.V prıklade 3.3.6 je reseno zatızenı kolme ke strednici prutu. Pro vypocty sikmych nosnıku jenejprve zapotrebı urcit delky prutu a goniometricke funkce podle obr. 3.7.

31


Obrazek 3.6: Zadanı sikmeho nosnıku z pr. 3.3.6

Obrazek 3.7: Delky prutu a goniometricke funkce

V prıpade kolmeho zatızenı vzhledem ke strednici je treba si uvedomit, jak zatızenı pusobı vosach x a z a podle nej odhadnout smery reakcı. Smer nahradnıch bremen Q1 a Q2 pro usekyc − a a a − b musı odpovıdat smeru spojiteho zatızenı q (kolmo ke strednici nosnıku) a majıhodnotu

Q1 = q · lac = 2√

5[kN] , Q2 = q · lab = 6√

5[kN] . (3.7)

Predpokladane smery reakcı zakreslıme do obrazku (obr. 3.6 vpravo). Do silovych podmınekrovnovahy

∑Fix = 0 a

∑Fiz = 0 je zapotrebı znat hodnoty slozek zatızenı Q v osach x a z (

obr. 3.8).

Obrazek 3.8: Rozklad zatızenı Q pr. 3.3.6

Svisle reakce Raz a Rbz smerujı nahoru, smer reakce Rbx odhadneme doleva. Po dosazenı dopodmınek rovnovahy pro proste podepreny nosnık lze psat

32


1.∑Fix = 0 : Q1x +Q2x −Rbx = 0⇒ Rbx = 8 kN(←) ,

2.∑Mia = 0 : Q1 ·

lac2−Q2 ·

lab2

+ 3 ·Rbx + 6 ·Rbz = 0⇒ Rbz = 2, 66 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : Q1 · (

lac2

+ lab) +Q2 ·lab2− 6 ·Raz = 0⇒ Raz = 13.33 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz +Q1z +Q2z = 0⇒ 0 = 0.

Poznamka:

Do momentovych podmınek lze alternativne pouzıt slozky zatızenı Q1x, Q1z, Q2x a Q2z ovsemramena sil jsou v tomto prıpade svisle a vodorovne vzdalenosti.

3.3.7 Sikmy nosnık - zatızenı svisle

V tomto prıklade jsou pocıtany reakce v prıpade svisleho zatızenı vzhledem podle obr. 3.9

Obrazek 3.9: Zadanı sikmeho nosnıku z pr. 3.3.6

Delky prutu lze prevzıt z predchozıho prıkladu 3.3.6. Nahradnı bremena castı prutu Q1 aQ2 [kN] jsou opet umıstena v tezisti casti zatızenı na usecıch c−a a a−b, majı stejnou hodnotu,tentokrat vsak smerujı svisle dolu (viz obr. 3.9 vpravo). Jejich hodnoty jsou

Q1 = q · lac = 2√

5[kN] , Q2 = q · lab = 6√

5[kN] . (3.8)

Predpokladane smery reakcı zakreslıme do obrazku 3.9. Svisle reakce Raz a Rbz smerujınahoru tak, aby zrusily ucinek zatızenı q. Na nosnık nepusobı zadna vnejsı sıla ve vodorovneose, proto reakce Rbx je nulova. Ramena nahradnıch bremen vzhledem k podporam jsou vtomto prıpade dany pudorysnymi vzdalenostmi. Po dosazenı do podmınek rovnovahy pro prostepodepreny nosnık lze psat

1.∑Fix = 0 : Rbx = 0 ,

33


2.∑Mia = 0 : Q1 · 1−Q2 · 3 + 6 ·Rbz = 0⇒ Rbz = 5, 963 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : Q1 · 7 +Q2 · 3− 6 ·Raz = 0⇒ Raz = 11, 926 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz +Q1 +Q2 = 0⇒ 0 = 0.

3.3.8 Lomeny nosnık

O nosnıku se zalomenou strednicı (ram) detailneji pojednava kap. 6. V prıklade 3.3.8 jsou resenyreakce ramove konstrukce. Geometrie a zatızenı jsou zobrazeny na obr. 3.10.

Obrazek 3.10: Zadanı lomeneho pravouhleho ramu z pr. 3.3.8

Nahradnı bremeno na ramove prıcli Q se urcı podle vztahu

Q = q · l = 1 · 4 = 4 [kN] . (3.9)

Predpokladane smery reakcı zakreslıme do obrazku 3.10 a po dosazenı do podmınek rov-novahy pro proste podeprenı lze zıskat tyto rovnice

1.∑Fix = 0 : F2 −Rax = 0⇒ Rax = 3 kN (←),

2.∑Mia = 0 : F1 · 1, 5−Q · 2− F2 · 2 + 4 ·Rbz = 0⇒ Rbz = 2, 75 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : F1 · 5, 5 +Q · 2− F2 · 2 +Raz · 4 = 0⇒ Raz = 3, 25 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz −Rbz +Q+ F1 = 0⇒ 0 = 0.

34


3.3.9 Oblouk 1

O obloucıch detailneji pojednava kap. 8. Pri urcovanı reakcı u oblouku stejne jako v predchozıchprıpadech nezalezı na strednici, ale na typu a vzdalenosti podpor a na zatızenı. Opet se resırovnovazna soustava sil, ktera je tvorena zatızenım a reakcemi. Geometrie obloukove konstrukcez prıkladu 3.3.9 a jeho zatızenı jsou zobrazeny na obr. 3.11. Predpokladane smery reakcı za-kreslıme do obrazku 3.11.

Ucinek zatızenı ve vodorovnem smeru je zrusen silou Rbx, otacivy ucinek je zrusen dvojicısil Raz a Rbz. Po dosazenı do podmınek rovnovahy pro proste podeprenı lze zıskat tyto rovnice

1.∑Fix = 0 : qf −Rbx = 0⇒ Rbx = 50 kN (←),

2.∑Mia = 0 : −qf · f

2+ l ·Rbz = 0⇒ Rbz = 20, 833 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : −qf · f

2+ l ·Raz = 0⇒ Raz = 20, 833 kN (↓) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : Raz −Rbz = 0⇒ 0 = 0.

Obrazek 3.11: Zadanı oblouku z pr. 3.3.9

3.3.10 Oblouk 2

V tomto prıklade je oblouk zatızen spojitym rovnomernym zatızenım po cele sve delce. Ulohase resı obdobne jako v prıklade 3.3.4. Geometrie obloukove konstrukce a jeho zatızenı jsouzobrazeny na obr. 3.12.

Predpokladane smery reakcı viz obr. 3.12. Vodorovna reakce Rax je nulova, Raz a Rbz smerujınahoru proti pusobıcımu zatızenı. Po dosazenı do podmınek rovnovahy lze zıskat tyto rovnice

35



1.∑Fix = 0 : Rax = 0 kN ,

2.∑Mia = 0 : −ql · l

2+ l ·Rbz = 0⇒ Rbz = 50, 0 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : ql · l

2− l ·Raz = 0⇒ Raz = 50, 0 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz + ql −Rbz = 0⇒ 0 = 0.

3.3.11 Oblouk 3

Na oblouk v prıklade 3.3.11 pusobı sıla F=10kN, ktera je dana x -ovou souradnicı podle obr.3.13, z -ovou souradnici zd lze dopocıtat podle prıkladu 8.3 a vztahu

zd = k · x2d = 0, 44 · 2, 02 = 1, 778 [m] . (3.10)

Svislou vzdalenost pusobıcı sıly od podpor lze dopocıst: f − zd = 4− 1, 778 = 2, 222 m.Dosazenım do podmınek rovnovahy urcıme reakce

1.∑Fix = 0 : Rax − F = 0⇒ Rax = 10 kN (−→),

2.∑Mia = 0 : F · 2, 222− 6 ·Rbz = 0⇒ Rbz = 3, 7037 kN (↓) ,

3.∑Mib = 0 : F · 2, 222− 6 ·Raz = 0⇒ Raz = 3, 7037 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz +Rbz = 0⇒ 0 = 0.

36



3.3.12 Oblouk 4

Na pravou cast oblouku z prıkladu 3.3.12 pusobı svisle rovnomerne zatızenı q=10kN/m. Geo-metrie konstrukce a predpokladane smery reakcı jsou zobrazeny na obr. 3.14.


Vodorovna reakce Rax je nulova, Raz a Rbz smerujı nahoru proti pusobıcımu zatızenı. Podosazenı do podmınek rovnovahy lze zıskat tyto rovnice

1.∑Fix = 0 : Rax = 0 kN ,

37


2.∑Mia = 0 : −Q · 4, 5 + 6 ·Rbz = 0⇒ Rbz = 22, 5 kN (↑) ,

3.∑Mib = 0 : Q · 1.5− 6 ·Raz = 0⇒ Raz = 7, 5 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz +Q−Rbz = 0⇒ 0 = 0.

3.3.13 Oblouk 5

Na pravou cast oblouku v prıkladu 3.3.13 pusobı vodorovne rovnomerne zatızenı q=10kN/m.Geometrie konstrukce a predpokladane smery reakcı jsou zobrazeny na obr. 3.15.


Ucinek zatızenı ve vodorovnem smeru je zrusen silou Rax, otacivy ucinek je zrusen dvojicısil Raz a Rbz. Po dosazenı do podmınek rovnovahy pro proste podeprenı lze zıskat tyto rovnice

1.∑Fix = 0 : −qf +Rax = 0⇒ Rax = 40, 0 kN (→),

2.∑Mia = 0 : +qf · f

2− l ·Rbz = 0⇒ Rbz = 10, 00 kN (↓) ,

3.∑Mib = 0 : +qf · f

2− l ·Raz = 0⇒ Raz = 10, 00 kN (↑) ,

KONTROLA

4.∑Fiz = 0 : −Raz +Rbz = 0⇒ 0 = 0.

38

Kapitola 4

Vnitrnı sıly prımeho vodorovnehonosnıku

4.1 Analyza vnitrnıch sil na rovinnych nosnıcıch

Tato kapitola se zabyva analyzou vnitrnıch sil na rovinnych nosnıcıch. Nejprve je provedenarekapitulace zaveru z predchazejıcıch kapitol, na ktere se v teto kapitole navazuje:

• Kazdy prut v rovine ma 3◦ volnosti (kap. 1).

• Pokud jsou podeprenım odebrany prave 3◦ volnosti jedna se o staticky urcitou ulohu(kap. 1).

• Vnejsı zatızenı a reakce v podporach jsou v rovnovaze, nezname reakce se urcı pomocı trıstatickych podmınek rovnovahy (kap. 3.2).

• Vnejsı zatızenı a reakce se nazyvajı vnejsı sıly (kap. 3.2).

Uvnitr nosnıku pusobenım vnejsıch sil vznikajı tzv. vnitrnı sıly. Vnitrnı sıly v libovolnemprurezu x jsou urceny na zaklade rovnovahy vnejsıch sil uvolnene casti nosnıku v x s vyslednicıvnitrnıch sil ([1] [2]). Obecnou vyslednici vnitrnıch sil po uvolnenı leve nebo prave casti nosnıkulze ekvivalentne nahradit tremi slozkami:

• slozka vyslednice v ose x - normalova sıla N ,

• slozka vyslednice v ose z - posouvajıcı sıla V ,

• momentova slozka - ohybovy moment M .

Normalova sıla N v libovolnem prurezu x nosnıku je rovna algebraickemu souctu vsechvnejsıch sil pusobıcıch v ose nosnıku zleva nebo zprava od x. Kladna normalova sıla vyvozujev prurezu x tah a pusobı smerem z prurezu. V opacnem prıpade je normalova sıla zaporna avyvozuje tlak viz obr. 4.1.

Posouvajıcı sıla V v libovolnem prurezu x nosnıku je rovna algebraickemu souctu vsechvnejsıch sil pusobıcıch kolmo k ose nosnıku zleva nebo zprava od x. Kladna posouvajıcı sılapocıtana zleva smeruje nahoru. V opacnem prıpade je zaporna. Kladna posouvajıcı sıla pocıtanazprava smeruje dolu. V opacnem prıpade je zaporna viz obr. 4.1.

39

4.1. ANALYZA VNITRNICH SIL NA ROVINNYCH NOSNICICH

Ohybovy moment M v libovolnem prurezu x nosnıku je roven algebraickemu souctu vsechstatickych momentu od vsech vnejsıch sil zleva nebo zprava od x. Kladny ohybovy momentpocıtany zleva otacı po smeru chodu hodinovych rucicek. V opacnem prıpade je zaporny. Kladnyohybovy moment pocıtany zprava otacı proti smeru chodu hodinovych rucicek. V opacnemprıpade je zaporny. Kladnym ohybovym momentem jsou dolnı vlakna tazena a hornı tlacena(nosnık je prohyban smerem dolu). U zaporneho ohyboveho momentu je to naopak viz obr. 4.1.

Obrazek 4.1: Kladne slozky vnitrnıch sil

Pro zıskanı prehledu o prubehu vnitrnıch sil po cele delce nosnıku kreslıme diagramyN, V,M . Kladne normalove sıly N a V se vynasejı nahoru, zaporne dolu. Poradnice ohybovychmomentu se vynasejı vzdy na stranu tazenych vlaken. Prubehy vnitrnıch sil se vykreslujı vzdykolmo na osu nosnıku.

Poznamka:

Je treba si dat pozor na zamenu statickeho momentu a ohyboveho momentu. Staticky momentMs [kNm] k momentovemu stredu s je roven algebraickemu souctu vsech statickych momentu,jedna se o vnejsı otacivy ucinek momentu nebo sil pusobıcıch na rameni (kapitoly 2, 3). Ohybovymoment M [kNm] je vnitrnı sıla v libovolnem prurezu x nosnıku a je roven algebraickemusouctu vsech statickych momentu od vsech vnejsıch sil zleva nebo zprava k prurezu x. Matendenci nosnık deformovat – ohybat.

4.1.1 Schwedlerovy vztahy

Z diferencialnıch podmınek rovnovahy prımeho nosnıku (obr. ) jsou odvozeny nasledujıcı vztahymezi vnitrnımi silami a vnejsım spojitym zatızenım [1], [2]

dN

dx= −n , (4.1)

dV

dx= −q , (4.2)

dM

dx= V +m , (4.3)

Zavery Schwedlerovych vztahu

Zavery z diferencialnıch podmınek rovnavy vyplyvajı z matematickych zakonitostı v rovnicıch(4.1) az (4.3) a tykajı se radu funkcı vnitrnıch sil a vypoctu polohy extremu jak je zrejme z

40


Obrazek 4.2: Uvolneny element nosnıku a derivacne-integracnı schema

obrazku 4.4 az 4.5. Z techto zaveru vyplyva, ze derivacı ohyboveho momentu lze urcit posou-vajıcı sılu a derivacı posouvajıcı sıly intenzitu spojiteho zatızenı. Pro vykreslovanı diagramuto znamena, ze funkce zatızenı, posouvajıcıch sil a ohybovych momentu je vzdy o jeden radvyssı. Velmi dulezitym zaverem je moznost urcenı mısta tzv. nebezpecneho (prechodneho)prurezu. Z matematiky je znamo, ze extrem funkce se nachazı v mıste, kde je derivace tetofunkce rovna nule. Pro urcenı extremnıho momentu pod spojitym zatızenım je nutne nejprvenajıt umıstenı tohoto nebezpecneho prurezu a posleze hodnotu ohyboveho momentu pro tentobod dopocıtat. V praxi to znamena rovnici posouvajıcı sıly pod spojitym zatızenım polozitrovnu nule a resenım vyjde hledany koren x.

Obrazek 4.3: Zavery Schwedlerovych vztahu - nebezpecny prurez n

41


Obrazek 4.4: Nebezpecny prurez n

Obrazek 4.5: Zavislost mezi obrazci q, V , M

Hodnoty vnitrnıch sil v libovolnem prurezu lze vypocıtat z podmınek rovnovahy uvolneneleve anebo prave casti nosnıku. Vypoctem z obou stran se musı dojıt ke stejnym hodnotam,obvykle urcujeme vnitrnı sıly z te strany, kde je vypocet kratsı nebo jednodussı, dulezite hodnotykontrolujeme vypoctem z obou stran (napr. extremnı moment).

V prıpade, ze v jednom bode ma vnitrnı sıla dve hodnoty, pıseme k sıle dva indexy. Prvnıindex znacı mısto, ve kterem je sıla urcena. Druhy index oznacuje bod zleva nebo zpravaprurezu, podle toho, zda se jedna o hodnotu tesne zleva nebo zprava k danemu pruzezu (napr.normalova sıla Nca je hodnota tesne vlevo od bodu c smerem k bodu a). Pokud se vyskytneoznacenı pısmen v indexu s pomlckou, znamena to konstantnı hodnotu vnitrnı sıly na useku(napr. normalova sıla Na−c je konstantnı normalova sıla na useku ac).

42


4.1.2 Prıklad - bodove zatızenı

V tomto prıklade jsou reseny prubehy vnitrnıch sil prosteho nosnıku zatızeneho osamelymbremenem viz obr. 4.7. Reakce jsou vyreseny v kap.3.2.

Obrazek 4.6: Normalove sıly z pr. 4.1.2

43


4.1.3 Prıklad - nosnık s previslym koncem

Nosnık s previslymi konci je zatızen bodovymi zatızenımi podle obr. 4.7. Reakce jsou vyresenyv kap.3.2.

Obrazek 4.7: Normalove sıly z pr. 4.1.2

44


4.1.4 Prıklad - rovnomerne spojite zatızenı

Urcete obecne polohu nebezpecneho prurezu a maximalnı moment na prostem nosnıku zatızenymspojitym rovnomernym zatızenım q.

Obrazek 4.8: Posouvajıcı sıly reseny zleva z pr. 4.1.4

Nejprve jsou obecne urceny reakce viz kapitola 3.2. V tomto prıpade je nosnık zatızenypouze svislym zatızenım, takze normalove sıly jsou rovny nule. Nosnık je zatızeny spojitymrovnomernym zatızenım, takze q= konst. Podle Schwedlerovych vztahu posouvajıcı sıla bude1. radu (linearnı prubeh) a ohybove momenty 2. radu (parabolicky prubeh).

Pri urcovanı posouvajıcıch sil je vyhodne zacıt z leve strany nosnıku, pokud sıla smerujenahoru, zpusobuje kladnou posouvajıcı sılu, kterou vykreslujeme take smerem nahoru. To zna-mena, ze posouvajıcı sıla Va v bode a je rovna hodnote reakce Raz. Mezi body a a b na delcenosnıku x se zmenı hodnota posouvajıcı sıly o hodnotu Vx = −q · x (linearnı funkce). Z pod-pory a do podpory b se posouvajıcı sıla zmenı o hodnotu −q · l. V podpore b tedy hodnota

posouvajıcı pocıtana zleva Vb = Raz − q · l =q · l2− q · l = −q · l

2. Hodnoty posouvajıcıch sil

v bode a a v bode b spojıme prımkou. Pokud posouvajıcı sıla menı znamenko pod spojitymzatızenım, urcıme polohu tohoto mısta xn z rovnice V L − q · xn = 0

Funkci ohybovych momentu lze psat z leve strany Mx = Raz ·x − q · x2

2(rovnice paraboly),

po dosazenı za x hodnotu xn dostaneme hodnotu extremnıho momentu Mn.

45


4.1.5 Prıklad - nerovnomerne spojite zatızenı

Obrazek 4.9: Ohybovy moment reseny zleva z pr. 4.1.5

46

Kapitola 5

Vnitrnı sıly prımeho sikmeho nosnıku

Pojem sikmy nosnık je pouzıvan dle publikace [1] pro nosnık lezıcı v souradnicove rovine xz,ktery je vuci vodorovne ose x pootocen o uhel α. Pro sikmou delku je v teto kapitole pouzitooznacenı L′, vodorovny prumet delky je oznacen L a platı mezi nimi vztah L = L′ · cosα (vizobrazek 5.1). Nosnık je podepren tremi jednoduchymi vazbami proti posunum ve smerech osx a z, tedy jednou neposuvnou a jednou posuvnou kloubovou vazbou (stejne jako u prostehonosnıku v rovinne uloze).

Obrazek 5.1: Sikmy nosnık obecne zatızeny - geometrie a kladne smery vnitrnıch sil na elementu

V obvyklych prıkladech byva nosnık zatızen dvema zpusoby:

• zatızenım, ktere pusobı kolmo na osu prutu (spojite zatızenı nebo osamela bremena),

• zatızenım, ktere pusobı ve smeru svislem (prıpadne ve vodorovnem, u bodovych sil -prıklady 5.4.3 a 5.4.4), pricemz intenzita svisleho spojiteho zatızenı muze byt zadanadvojım zpusobem:

1. spojite zatızenı je zadano na sikmou delku L′ (naprıklad pusobenı vlastnı tıhy kon-strukce) - prıklad 5.2.1,

2. spojite zatızenı je zadano na pudorysny prumet, tedy na delku L (naprıklad zatızenısnehem) - prıklad 5.3.1.

47

5.1. ZATIZENI KOLME KE STREDNICI PRUTU

Graficke znazornenı ruznych zpusobu zadanı intenzity spojiteho zatızenı je patrne z obrazku 5.2,5.6 a 5.10. Vzajemna souvislost mezi intenzitou tehoz zatızenı zadanou na sikmou delku apudorysny prumet bude popsana v prıkladu 5.3.

Vypocet vnitrnıch sil se provadı stejne jako u prımeho vodorovneho nosnıku (kapitola 4),jen s tım rozdılem, ze smer osy prutu uz nenı shodny se smerem souradnicove osy. Vnejsı sılytak nenı treba rozkladat na slozky osove (to je potrebne pouze pro vypocet reakcı), ale natakzvane slozky lokalnı, ktere majı smer rovnobezny, resp. kolmy na osu prutu, coz vychazız obecne definice jednotlivych vnitrnıch sil (viz kapitola 4). Prubehy vnitrnıch sil se sestrojujıtake podle zasad uvedenych v kapitole 4 a vykreslujı se vzdy kolmo na sikmou osu nosnıku.

Obecny postup resenı sikmeho nosnıku:

1. vypocet reakcı Rx, Raz a Rbz - dle kapitoly 3,

2. je-li zadano spojite zatızenı pusobıcı na pudorysny prumet, je treba jej nejdrıve prepocıtatna sikmou delku - viz prıklad 5.3

q′ = q · cosα (5.1)

3. rozklad vsech vnejsıch sil na lokalnı slozky (osove a kolme) -

P‖iz = Piz · sinα (5.2)

P⊥iz = Piz · cosα (5.3)

P‖ix = Pix · cosα (5.4)

P⊥ix = Pix · sinα (5.5)

4. resenı osove ulohy - prubeh normalovych sil N z osovych slozek (P ‖),

5. resenı prıcne ulohy - prubeh posouvajıcıch sil V a ohybovych momentu M ze slozekkolmych (P⊥).

5.1 Zatızenı kolme ke strednici prutu

U takto zadaneho zatızenı je nutne pro vypocet reakcı (dle kapitoly 3) provest nejdrıve rozkladzatızenı na osove slozky (ve smeru os x a z). Pri vypoctu vnitrnıch sil naopak nenı nutne zatızenırozkladat, jelikoz uz je zadano ve smeru kolmem na osu prutu (pro resenı prıcne ulohy).

5.1.1 Sikmy prut zatızeny spojitym zatızenım kolmym ke strednici

Spocıtejte hodnoty a vykreslete prubehy vnitrnıch sil na sikmem nosnıku z obrazku 5.2.

48


Obrazek 5.2: Zadanı prıkladu 5.1.1

Prıpravne vypocty

Znacenı jednotlivych velicin je prevzato z obrazku 5.2 a 5.3.L′ =

√82 + 42 = 4

√5m; lab =

√62 + 32 = 3

√5m; lac =

√22 + 12 =

√5m

sinα = 3/lab = 1√5; cosα = 6/lab = 2√

5

Q1 = q · lac = 2√

5kN; Q2 = q · lab = 6√

5kN

Pro vypocet reakcı (dle kapitoly ??) je potreba rozlozit nahradnı bremena na osove slozky:Q1x = Q1 · sinα = 2kN; Q1z = Q1 · cosα = 4kNQ2x = Q2 · sinα = 6kN; Q2z = Q2 · cosα = 12kN

Rozklad sil

Pro vypocet vnitrnıch sil by bylo postacujıcı rozlozit pouze reakci Raz, ale ze cvicnych duvodu jezde uveden rozklad i ostatnıch reakcı (viz obrazek 5.3). Jednotlive lokalnı slozky jsou vypoctenyna zaklade rovnic 5.2 az 5.5.

R‖az = 5, 96kN; R⊥az = 11, 96kN

R‖bz = 1, 19kN; R⊥bz = 2, 385kN

R‖bx = 7, 16kN; R⊥bx = 3, 58kN

49


Obrazek 5.3: Hodnoty reakcı dle prıkladu 3.3.6 z kapitoly 3 a rozklad sil na nosnıku zprıkladu 5.1.1

50


Normalove sıly

Nac = 0; Nab = −R‖az = −5, 96kN; Nb = Nab = −5, 96kN

Posouvajıcı sıly

Vc = 0; V Lac = −Q1 = −4, 47kN; V L

ab = −Q1 +R⊥az = 7, 45kN; V Lb = −Q1 +R⊥az−Q2 = −5, 96kN

(V Pb = −R⊥bx −R⊥bz)Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xPn = Vb/q = 2, 98m; xLn = Vab/q = 3, 73m

Ohybove momenty

Mb = Mc = 0; MLa = −Q1 · lac2 = −5, 0kNm; ML

a−c2

= −12· q · ( lac

2)2 = −1, 25kNm

Vypocet extremnıho momentu (v prurezu n):MPn = R⊥bx·xPn +R⊥bz·xPn−1

2·q·(xPn )2 = 8, 88kNm

Prubeh vnitrnıch sil je zakreslen na obrazku 5.4.

51


Obrazek 5.4: Vysledne prubehy vnitrnıch sil sikmeho prutu z prıkladu 5.1.1

52


5.1.2 Sikmy prut zatızeny silou kolmou ke strednici

Spocıtejte hodnoty a vykreslete prubehy vnitrnıch sil na sikmem nosnıku z obrazku 5.5. Postupje podobny jako u prıkladu 5.1.1.

Prıpravne vypocty

L′ =√

42 + 22 = 2√

5m; sinα = 2/L′ = 1√5; cosα = 4/L′ = 2√

5

Pro vypocet reakcı (dle kapitoly 3) je potreba rozlozit zadanou sılu na osove slozky:Px = P · sinα = 4, 472kN; Pz = P · cosα = 8, 944kN

Rozklad sil

R‖az = 2, 5kN; R⊥az = 5, 0kN R

‖bz = 1, 5kN; R⊥bz = 3, 0kN R

‖bx = 4, 0kN; R⊥bx = 2, 0kN

Normalove sıly

Na = Nb = −R‖az = −2, 5kN

Posouvajıcı sıly

V La = VPa = R⊥az = 5, 0kN; VPb = V L

b = R⊥az − P = −5, 0kN

Ohybove momenty

Ma = Mb = 0; MLP = R⊥az · L

′

2= Raz · L2 = 11, 18kNm;


53


Obrazek 5.5: Zadanı a resenı prıkladu 5.1.2

54

5.2. ZATIZENI SVISLE, PUSOBENI NA SIKMOU DELKU PRUTU

5.2 Zatızenı svisle, pusobenı na sikmou delku prutu

Narozdıl od predesleho typu zatızenı nenı treba pro vypocet reakcı rozkladat zatızenı v rovine,jelikoz pusobı prımo ve smeru osy z. Pro vypocet vnitrnıch sil je pak ale nutne zatızenı (osamelesıly i spojite zatızenı) rozlozit do lokalnıch (osovych a kolmych) slozek. U takto zadanehospojiteho zatızenı je dale dulezity spravny vypocet nahradnıch bremen, ktery se provadı zesikme delky.

5.2.1 Sikmy prut zatızeny spojitym zatızenım zadanym na delkuprutu



Prıpravne vypocty


√82 + 42 = 4

√5m; lab =

√62 + 32 = 3

√5m; lac =

√22 + 12 =

√5m

sinα = 3/lab = 1√5; cosα = 6/lab = 2√

5

Q1 = q · lac = 2√

5kN; Q2 = q · lab = 6√

5kNNahradnı bremena majı svisly smer!

55


Obrazek 5.7: Hodnoty reakcı dle prıkladu 3.3.7 z kapitoly 3 a rozklad sil na nosnıku zprıkladu 5.2.1

56


Rozklad sil

Graficke znazornenı je na obrazku 5.7. Vzhledem ke smeru pusobenı zatızenı je vodorovnareakce nulova.

R‖az = 5, 33kN; R⊥az = 10, 67kN

R‖bz = 2, 67kN; R⊥bz = 5, 33kN

q‖ = 0, 894kN/m; q⊥ = 1, 789kN/m

Normalove sıly

Nc = 0; Nac = q‖ · lac = 2, 0kN; Nab = q‖ · lac −R‖az = −3, 333kN;Nb = q‖ · L′ −R‖az = R

‖bz = 2, 667kN

Posouvajıcı sıly

Vc = 0; V Lac = −q⊥ · lac = −4, 0kN; V L

ab = −q⊥ · lac +R⊥az = 6, 667kN;Vb = −q⊥ · L′ +R⊥az = R⊥bz = −5, 33kN

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xPn = Vb/q⊥ = 2, 981m; xLn = Vab/q

⊥ = 3, 727m

Ohybove momenty

Mb = Mc = 0; MLa = −1

2· q⊥ · l2ac = −4, 47kNm; ML

a−c2

= −12· q⊥ · ( lac

2)2 = −1, 118kNm

Vypocet extremnıho momentu (v prurezu n): MPn = R⊥bz · xPn − 1

2· q⊥ · (xPn )2 = 7, 95kNm


57



58


5.2.2 Sikmy prut zatızeny svislou silou


Prıpravne vypocty

L′ =√

42 + 22 = 2√

5m; sinα = 2/L′ = 1√5; cosα = 4/L′ = 2√

5

Rozklad sil

R‖az = R

‖bz = 2, 236kN; R⊥az = R⊥bz = 5, 0kN

P ‖ = 4, 472kN; P⊥ = 8, 944kN

Normalove sıly

NLa = NPa = −R‖az = −2, 236kN; VPb = V L

b = −R‖az + P ‖ = R‖bz = 2, 236kN

Posouvajıcı sıly

V La = VPa = R⊥az = 4, 472kN; VPb = V L

b = R⊥az − P⊥ = −R⊥bz = −4, 472kN

Ohybove momenty

Ma = Mb = 0; MLP = R⊥az · L

′

2= Raz · L2 = 10kNm;


59



60

5.3. SPOJITE ZATIZENI ZADANO NA PUDORYSNY PRUMET

5.3 Spojite zatızenı zadano na pudorysny prumet

Hlavnım rozdılem oproti spojitemu zatızenı dle oddılu 5.2 je ve smyslu pusobenı a z tohovyplyvajıcıho vypoctu nahradnıch bremen. Ten se provadı z pudorysne delky. Takto za-dane spojite zatızenı je pak nutne pred jeho rozkladem na osove a kolme slozky prepocıtatna zatızenı pusobıcı na sikmou delku (dle rovnice 5.1). Tento prepocet vychazı z principuzachovanı stejneho ucinku zatızenı, prakticky tedy z rovnosti vyslednych nahradnıch bremen(viz obrazek 5.11). Rovnice 5.1 je odvozena z nasledujıcıho vztahu:

q′ =q · LL′

(5.6)

5.3.1 Sikmy prut zatızeny spojitym zatızenım zadanym na prumet



Prıpravne vypocty


√82 + 42 = 4

√5m; lab =

√62 + 32 = 3

√5m; lac =

√22 + 12 =

√5m

sinα = 3/lab = 1√5; cosα = 6/lab = 2√

5

Q = q · L = 16kNNahradnı bremeno ma svisly smer!

61


Prepocet spojiteho zatızenı na intenzitu na sikmou delku: q′ = 2·84√5

= 1, 789kN/m

Obrazek 5.11: Hodnoty reakcı dle kapitoly 3 a rozklad sil na nosnıku z prıkladu 5.3.1

Rozklad sil

Graficke znazornenı je na obrazku 5.11. Vzhledem ke smeru pusobenı zatızenı je vodorovnareakce nulova. Rozklad spojiteho zatızenı je proveden z prepoctene hodnoty zatızenı q′!

R‖az = 4, 77kN; R⊥az = 9, 54kN

R‖bz = 2, 385kN; R⊥bz = 4, 77kN

q′‖ = 0, 8kN/m; q′⊥ = 1, 58kN/m

Normalove sıly

Nc = 0; Nac = q′‖ · lac = 1, 79kN; Nab = q′‖ · lac −R‖az = −2, 98kN;Nb = q′‖ · L′ −R‖az = R

‖bz = 2, 39kN

Posouvajıcı sıly

Vc = 0; V Lac = −q′⊥ · lac = −3, 58kN; V L

ab = −q′⊥ · lac +R⊥az = 5, 97kN;Vb = −q′⊥ · L′ +R⊥az = R⊥bz = −4, 77kN

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xPn = Vb/q′⊥ = 3, 019m; xLn = Vab/q

′⊥ = 3, 778m

62


Ohybove momenty

Mb = Mc = 0; MLa = −1

2· q′⊥ · l2ac = −4, 0kNm; ML

a−c2

= −12· q′⊥ · ( lac

2)2 = −1, 0kNm


2· q′⊥ · (xPn )2 = 7, 11kNm



63

5.4. DALSI RESENE PRIKLADY

5.4 Dalsı resene prıklady

5.4.1 Sikmy prut - Prıklad 1



64





65





66





67

Kapitola 6

Vnitrnı sıly rovinne lomeneho nosnıku,pravouhle zalomenı

6.1 Charakteristika rovinneho lomeneho nosnıku

Lomeny nosnık (nekdy oznacovan take jako ram) je podle definice v publikaci [1] konstrukce,jejız strednice je rovinna lomena cara slozena (ve smyslu teto kapitoly) ze svislych a vodorovnychcastı, pro ktere se pouzıva oznacenı pruty. Strednice muze byt nerozvetvena i rozvetvena, avsakzadna z castı nesmı tvorit uzavrenou caru (jednalo by se pak o jiny typ konstrukce). Ma-li sejednat o ram rovinny, predpoklada se, ze vsechny pruty majı spolecnou hlavnı rovinu xz. Zapredpokladu resenı pouze staticky urcitych konstrukcı lze uvazovat dva zpusoby podeprenı:

• neposuvne vetknutı v rovine nosnıku v jedine podpore (napr. v prıkladu 6.4.2),

• kloubove podeprenı ve dvou podporach; v jedne z podpor podeprenı neposuvne, ve druhepak posuvne (napr. v prıkladu 6.4.1).

Podporove body, koncove body a body lomu nebo vetvenı se nazyvajı uzly (nekdy se pouzıvatake pojem stycnıky) a oznacujı se malymi pısmeny.

Na kterykoliv prut lomeneho nosnıku muze pusobit po jeho delce libovolne zatızenı (silove imomentove) v rovine jeho srednice (rovina xz). Krome toho mohou pusobit take bodove sılyci momenty prımo v uzlech. Zadane zatızenı vyvola v jednotlivych prutech obecne vsechny trislozky vnitrnıch sil, tedy normalove sıly N , posouvajıcı sıly V i ohybove momenty M . Abybylo mozne urcit znamenka vnitrnıch sil a nasledne spravne vykreslit jejich prubehy, je nutnenejdrıve jednotlive pruty orientovat, tedy urcit, ktery z koncovych uzlu bude po pomyslnemotocenı prutu do vodorovneho smeru povazovan za

”levy“ a

”pravy“. Orientace nosnıku muze

byt vyjadrena pomocı usporadane dvojice pısmen, kdy prvnı pısmeno oznacuje levy uzel a druheuzel pravy, prıpadne graficky: na strane uvazovanych

”spodnıch“ vlaken (u okraje, ktery bude

po pootocenı povazovan za dolnı) je zakreslena prerusovana cara. V nasledujıcıch prıkladech jepouzıvano prave zmınene graficke vyjadrenı orientace prutu.

6.2 Vypocet a vykreslenı vnitrnıch sil

Hodnoty vnitrnıch sil v libovolnem prurezu lze vypocıtat z podmınek rovnovahy z leve aneboprave casti, na ktere je zvolenym prurezem cela konstrukce rozdelena. V praxi je dostacujıcı

68

6.3. KONTROLA ROVNOVAHY VE STYCNIKU

vypocet pouze z jedne strany a to z te, ktera umoznuje jednodussı vypocet. Kladny smyslvnitrnıch sil na jednotlivych prutech obecne lomeneho nosnıku je patrny z obrazku 6.1. Hodnotyjednotlivych vnitrnıch sil jsou dle publikace [1] definovany nasledovne:

1. Normalova sıla N v zadanem prurezu je rovna algebraickemu souctu vsech sil (zatızenıi reakcı) pusobıcıch na zvolene casti lomeneho nosnıku (leve ci prave) ve smeru osyprutu.

2. Posouvajıcı sıla V v zadanem prurezu je rovna algebraickemu souctu vsech sil (zatızenıi reakcı) pusobıcıch na zvolene casti lomeneho nosnıku (leve ci prave) ve smeru kolmemk ose prutu.

3. Ohybovy moment M v zadanem prurezu je roven algebraickemu souctu statickychmomentu (k danemu prurezu) vsech sil a momentu (zatızenı i reakcı) pusobıcıch na zvolenecasti lomeneho nosnıku (leve ci prave).

Obrazek 6.1: Obecny rovinne lomeny nosnık v rovinne uloze se zakreslenım kladnych smysluvnitrnıch sil na prutech

6.3 Kontrola rovnovahy ve stycnıku

Stycnık si lze predstavit jako hmotny bod, v nemz je spojeno nekolik prutu, coz lze vyuzıtke kontrole spravnosti vypoctu vnitrnıch sil v jednotlivych prutech lomeneho nosnıku. Kazdynosnık totiz musı byt v rovnovaze jako celek, stejne tak, jako kterakoliv jeho cast, kterouz nosnıku vyjmeme myslenymi rezy. Stycnık lze tedy pomyslne oddelit od prutu, ktere jsouv nem spojeny, a pusobenı kazdeho z techto prutu lze vyjadrit prostrednictvım vnitrnıch sil(N , V , M), ktere na danem prutu vznikajı v mıste

”uvolneneho“ stycnıku - viz obrazek 6.2.

Nejcasteji se tento princip pouzıva pro kontrolu ohybovych momentu u trojneho (civıcenasobneho) stycnıku - tj. stycnık, ktery spojuje tri (a vıce) prutu. Vsechny momenty se za-kreslujı ve skutecnych smyslech sveho pusobenı a jsou k nim pripsany jejich absolutnı hodnoty

69

6.3. KONTROLA ROVNOVAHY VE STYCNIKU

(viz resenı nasledujıcıch prıkladu). Algebraicky soucet vsech techto momentu pak ma byt ro-ven nule, cımz je splnena momentova podmınka rovnovahy stycnıku. U stycnıku, ve kterych sesbıhajı dva pruty a nepusobı v nich zadny osamely moment, se rovnovaha projevı tım, ze ohy-bove momenty na koncıch obou prutu jsou stejne velke (hodnota v ramovem rohu se takzvane

”preklopı“).

Kontrola silovych podmınek rovnovahy se u staticky urcitych konstrukcı prılis casto ne-pouzıva, nebot’ muze byt vyrazne narocnejsı. V silovych podmınkach rovnovahy se totiz kombi-nujı dva druhy vnitrnıch sil a pokud je nektery z pripojenych prutu sikmy, je nutne dosazovatsvisle a vodorovne slozky normalovych a posouvajıcıch sil.

Obrazek 6.2: Kontrola rovnovahy trojneho stycnıku

Poznamka:

Pro oznacenı vnitrnıch sil se zde pouzıva dvou indexu (viz obrazky 6.4 a 6.5). Toto znacenıjasne definuje, ke kteremu prutu se hodnota vnitrnı sıly vztahuje. Prvnı index udava mısto(prurez), ve kterem jsou vnitrnı sıly pocıtany a druhy index specifikuje, pro ktery prut tytohodnoty platı, s cımz obvykle souvisı take znamenkova konvence.

Pro nazornost jsou dva indexy pouzity u vsech hodnot, i kdyz v nekterych prıpadech jedostacujıcı oznacenı pouze jednım indexem (pro normalovou a posouvajıcı sılu v koncovychbodech a pro ohybove momenty v mıste dvojneho stycnıku - hodnoty jsou na obou prutechstejne, jak je vysvetleno v oddıle 6.3.

70

6.4. RESENE PRIKLADY

6.4 Resene prıklady

6.4.1 Prıklad - ram 1

Spocıtejte hodnoty a vykreslete prubehy vnitrnıch sil na pravouhle lomenem nosnıku na obrazku 6.3.

Obrazek 6.3: Zadanı prıkladu 6.4.1 vcetne reakcı dle prıkladu 3.3.8 z kapitoly 3

Resenı - ram 1

Vnitrnı sıly se urcujı postupne na jednotlivych prutech ramu. Postup je znazornen na obrazcıch 6.4a 6.5, kde jsou vnitrnı sıly na uvolnenych prutech zakresleny vzdy v kladnem smyslu.

71


Obrazek 6.4: Vypocet vnitrnıch sil na jednotlivych prutech ramu z prıkladu 6.4.1 - 1. cast

72


Obrazek 6.5: Vypocet vnitrnıch sil na jednotlivych prutech ramu z prıkladu 6.4.1 - pokracovanı

73


Dosazenım do rovnic na obrazcıch 6.4 a 6.5 lze dopocıtat potrebne hodnoty. Rovnice jsoupro nazornost uvedeny vzdy z leve i prave strany, ale postacujıcı je vypocet jen z jedne.

Normalove sıly

Ncd = Ndc = 0; Nad = Nda = −3, 25kN; Nde = Ned = −1, 25kN; Nef = Nfe = 3, 0kN;Nfg = Ngb = Nbg = −2, 75kN

Posouvajıcı sıly

Vcd = Vdc = −2kN; Vad = Vde = Ved = 3, 0kN; Vef = 1, 25kN; Vfe = −2, 75kN;Vfg = Vgf = −3, 0kN; Vbg = Vgb = 0

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xLn = Vef/q = 1, 25m; xPn = Vfe/q = 2, 75m

Ohybove momenty

Mad = Mbg = Mcd = Mgf = 0; Mda = 6, 0kNm; Mdc = −3, 0kNm; Mde = 3, 0kNm;Med = Mef = 9, 0kNm; Mfe = Mfg = 6, 0kNm

Vypocet extremnıho momentu (v prurezu n): Mn = 9, 78kNm

Vysledne vykreslenı vnitrnıch sil na ramu je na obrazku 6.6. Pro stycnık d je zde provedenatake stycnıkova kontrola.

74


Obrazek 6.6: Vysledne prubehy vnitrnıch sil ramu z prıkladu 6.4.1

75




Obrazek 6.7: Zadanı prıkladu 6.4.2 vcetne reakcı dle kapitoly 3

Normalove sıly

Na = NLba = −Raz = −35kN; Nc = NL

bc = 0; Nd = NPbd = 0

Posouvajıcı sıly

Va = V Lea = Rax = 15kN; Veb = V L

be = Rax − F2 = 0kN; V Lbc = −Q = −15kN; Vd = V P

bd = 20kN

Ohybove momenty

Mc = Md = 0; MLae = −Ma = −42kNm; Mea = −Ma + Rax · 2 = −12, 5kNm; Mbe = −Ma +

Rax · 4−F2 · 2 = −12, 5kNm; Mbc = −Q · 0, 5 = −7, 5kNm; MLc−b2

= −12· q · 0, 52 = −1, 875kNm;

Mbd = −F1 · 1 = −20kNm;

Vysledne vykreslenı vnitrnıch sil na ramu je na obrazku 6.8. Pro stycnık b je provedenastycnıkova kontrola.

76



77





Normalove sıly

Ne = NLce = 0; Na = NL

ca = −Raz = −4, 0kN; Ncd = NLdc = −Raz + F1 = −3, 0kN;

Nb = NPdb = −Rbx = −0, 75kN

Posouvajıcı sıly

Va = Vcd = V Ldc = −Rax = −0, 75kN; Vec = V L

ce = −F1 = −1, 0kN; Vb = 0; V Pdb = Q = 3, 0kN

Ohybove momenty

Ma = Me = Mb = 0; MLca = −Rax · 2 = −1, 5kNm; ML

ce = −F1 · 1, 5 = −1, 5kNm;ML

cd = −F1 · 1, 5−Rax · 2 = −3, 0kNm; Mdc = MPdb = −Q · 1, 5 = −4, 5kNm;

MPd−b2

= −12· q · 1, 52 = −1, 125kNm

Vysledne vykreslenı vnitrnıch sil na ramu je na obrazku 6.10. Pro stycnık c je provedenastycnıkova kontrola.

78



79





Normalove sıly

Nc = NLdc = 0; Na = NL

da = −Raz = −2, 5kN; Nde = NPed = −Rbx = −8, 0kN;

Nb = NPeb = −Rbz = −0, 5kN

Posouvajıcı sıly

Va = 0; V Lda = −Q = −8, 0kN; Vc = V L

dc = −F = −3, 0kN; Vde = V Led = −F + Raz = −0, 5kN;

Vb = V Peb = Rbx = 8, 0kN

Ohybove momenty

Ma = Mb = Mc = 0; MLda = −Q · 2 = −16kNm; ML

a−d2

= −12· q · 22 = −4, 0kNm;

MLdc = −F ·2 = −6, 0kNm; ML

de = −F ·2−Q ·2 = −22kNm; Med = MPeb = −Rbx ·3 = −24kNm

Vysledne vykreslenı vnitrnıch sil na ramu je na obrazku 6.12. Pro stycnık d je provedenastycnıkova kontrola.

80



81





Normalove sıly

Nc = NLbc = 0; Ne = NP

de = 0; Na = NLba = −Raz = −40kN; Ndb = NP

bd = −F2 = −5, 0kN

Posouvajıcı sıly

V La = Rax = 35kN; V L

dba = Rax −Q2 = −5, 0kN; Vc = V Lbc = −F1 = −10kN; V P

bd = Q1 = 30kN;V Pdb = 0; Ve = V P

de = F2 = 5, 0kN

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xLn = Va/q = 3, 5m; xPn = Vba/q = 0, 5m

Ohybove momenty

Mc = Me = 0; MLab = −Ma = −90kNm; ML

ba = −Ma +Rax · 4−Q2 · 2 = −30kNm;ML

bc = −F1 · 2 = −20kNm; MPbd = −F2 · 1−Q1 · 1, 5 = −50kNm;

MPb−d2

= −F2 · 1− 12· q · 1, 52 = −15kNm; Mdb = MP

de = −F2 · 1 = −5, 0kNm

Vypocet extremnıho momentu (v prurezu n): MLn = −Ma+Rax ·xLn− 1

2·q ·(xLn)2 = −28, 75kNm

Vysledne vykreslenı vnitrnıch sil na ramu je na obrazku 6.14. Pro stycnık b je provedenastycnıkova kontrola.

82



83

Kapitola 7

Vnitrnı sıly rovinne lomeneho nosnıkuse sikmymi pruty

Tento typ konstrukce je zvlastnım prıpadem lomeneho nosnıku z kapitoly 6. Od drıve resenehopravouhle lomeneho nosnıku se lisı tım, ze jeden nebo i vıce prutu nosnıku jsou sikme(ve smyslu kapitoly 5). Pri resenı nasledujıcıch uloh budou tedy kombinovany postupy popsanev kapitolach 5 a 6.

Vyhodne je nejdrıve vyresit pruty, jejichz osy jsou rovnobezne s osou x nebo z a naslednepak resit samostatne prut (pruty) sikme. I zde postacı vypocet vnitrnıch sil pouze z jednestrany (z jedne casti konstrukce), cımz si lze usnadnit rozkladanı sil do lokalnıch slozek (osovea kolme). Pro nazornost vsak budou v prıkladech uvadeny rozklady sil z obou stran.

7.1 Prıklad - sikmy ram 1

Spocıtejte hodnoty a vykreslete prubehy vnitrnıch sil na lomenem nosnıku na obrazku 7.1.

7.1.1 Resenı - sikmy ram 1

Pro vypocet vnitrnıch sil na sikmem prutu je treba pusobıcı sıly rozlozit do lokalnıch (osovycha kolmych) slozek. V praxi postacı rozlozit jen reakci Raz, jelikoz zatızenı pusobı kolmo k ose,ale z cvicnych duvodu je zde proveden i rozklad sil pusobıcıch na sikmy prut z prave strany(viz obrazek 7.1).

Prıpravne vypocty

lad =√

42 + 22 = 2√

5m;

sinα = 2/lad = 1√5; cosα = 4/lad = 2√

5

Pro vypocet reakcı (dle kapitoly 3) je potreba rozlozit pusobıcı sılu na osove slozky:

Fx = F · sinα = 2, 236kN; Fz = F · cosα = 4, 472kN

84

7.1. PRIKLAD - SIKMY RAM 1

Obrazek 7.1: Zadanı prıkladu 7.1 vcetne reakcı dle kapitoly 3 a rozkladu sil

Rozklad sil

Znacenı je prevzato z obrazku 7.1. Jednotlive lokalnı slozky jsou vypocteny na zaklade rov-nic 5.2 az 5.5 z kapitoly 5.

R‖az = 2, 278kN; R⊥az = 4, 555kN

R‖bx = 2, 0kN; R⊥bx = 1, 0kN

Pz = 0, 621kN (= Vde)

P‖z = 0, 278kN; P⊥z = 0, 555kN

Normalove sıly

Nb = NPeb = −Rbz = −19, 379kN; Nf = NP

ef = 0; Nde = NPed = −Rbx = −2, 236kN;

Na = NLda = −R‖az = −2, 278kN (= −R‖bx − P

‖z )

85


Posouvajıcı sıly

Vf = 0; V Pef = Q2 = 5, 0kN; Vb = V P

eb = Rbx = 2, 236kN; V Ped = Q2 − Rbz = −14, 279kN;

V Lde = Raz − Fz = 0, 621kN (V P

de = Q1 −Rbz +Q2); Va = V Lca = R⊥az = 4, 555kN;

Vcd = V Ldc = R⊥az − F = −0, 445kN (= −R⊥bx + P⊥z )

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xPn = Ved/q = 2, 876m; xLn = Vde/q = 0, 124m

Ohybove momenty

Ma = Mb = Mf = 0; MPeb = −Rbx · 4 = −8, 94kNm; MP

ef = −Q2 · 0, 5 = −2, 5kNm;

MPe−f2

= −12· q · 0, 52 = −0, 625kNm; MP

ed = −Q2 · 0, 5−Rbx · 4 = −11, 44kNm;

MLc = Raz · 2 = R⊥az · lad2 = 10, 19kNm; ML

d = Raz · 4− F · lad2 = R⊥az · lad − F · lad2 = 9, 19kNmVypocet extremnıho momentu (v prurezu n): ML

n = Md +Vde ·xLn − 12· q · (xLn)2 = 9, 23kNm

Vysledne vykreslenı vnitrnıch sil na ramu je na obrazku 7.2.

86


Obrazek 7.2: Vysledne prubehy vnitrnıch sil ramu z prıkladu 7.1

87






Pro vypocet vnitrnıch sil na sikmem prutu by stacilo rozlozit jen reakci Rbz, ale z cvicnychduvodu je take proveden rozklad sil pusobıcıch na sikmy prut z leve strany (viz obrazek 7.3).

Prıpravne vypocty

lbf =√

42 + 32 = 5m;

88


sinα = 3/lbf = 35; cosα = 4/lbf = 4

5

Q = 0, 5 · q · lbf = 10kN

Pro vypocet reakcı (dle kapitoly 3) je potreba rozlozit nahradnı bremeno na osove slozky:Qx = Q · sinα = 6kN; Qz = Q · cosα = 8kN

Rozklad sil

Znacenı je prevzato z obrazku 7.3.

R‖bz = 1, 4kN; R⊥bz = 1, 866kN

R‖bx = 4, 8kN; R⊥bx = 3, 6kN

Pz = 5, 667kN (= Vfe)

P‖z = 3, 4kN; P⊥z = 4, 533kN

Normalove sıly

Na = NLda = −Raz = −6, 667kN; Nc = NL

dc = 0; Nde = NLfe = −Rax = −6, 0kN;

Nb = NPfb = −R‖bz = −1, 4kN (= −R‖ax + P

‖z )

Posouvajıcı sıly

Vc = V Ldc = −F1 = −2, 0kN; Va = V L

da = −Rax = −6, 0kN; Vde = V Led = −F1 + Raz = 4, 667kN;

Vef = V Lfe = −F1 +Raz + F2 = 0, 621kN (V P

fe = Qz −Rbz); VPb = −R⊥bz = −1, 866kN;

V Pfb = −R⊥bz +Q = 8, 133kN (= R⊥ax + P⊥z )

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n (pozor, jedna se o trojuhelnıkove zatızenı!!!):

xPn =√

2·(−Vb)·lbfq

= 2, 16m

Ohybove momenty

Ma = Mb = Mc = 0; MLda = −Rax · 4 = −24kNm; ML

dc = −F1 · 2 = −4, 0kNm;ML

de = −F1 · 2−Rax · 4 = −28kNm; MLe = −F1 · 4−Rax · 4 +Raz · 2 = −18, 66kNm;

MPf = Rbz · 4−Q · lbf2 = R⊥bz · lbf −Q ·

lbf2

= −7, 33kNmVypocet extremnıho momentu (v prurezu n) - pozor, jedna se o trojuhelnıkove zatızenı!!!:

MPn = R⊥bz · xn −

q·(xn)3

6·lbf= 2, 688kNm


89



90






Pro vypocet vnitrnıch sil na sikmem prutu by stacilo rozlozit jen reakci Rbz, ale z cvicnychduvodu je take proveden rozklad sil pusobıcıch na sikmy prut z leve strany (viz obrazek 7.5).

Prıpravne vypocty

lbe =√

42 + 32 = 5m;

91


sinα = 3/lbe = 35; cosα = 4/lbe = 4

5

Q = q · 4 = 8kNNahradnı bremeno ma svisly smer!

Prepocet spojiteho zatızenı na intenzitu na sikmou delku: q′ = 2·45

= 1, 6kN/m

Rozklad sil

Znacenı je prevzato z obrazku 7.5.R‖bz = 2, 85kN; R⊥bz = 3, 8kN

q′‖ = 0, 96kN/m; q′⊥ = 1, 28kN/m

Pz = 3, 25kN (= Vec)

P‖z = 1, 95kN; P⊥z = 2, 6kN

Normalove sıly

Na = NLca = −Raz = −5, 25kN; Nd = Ncd = NL

ec = 0; NPb = −R‖bz = −2, 85kN;

NPeb = −R‖bz + q′‖ · lbe = 1, 95kN (= P

‖z )

Posouvajıcı sıly

Vd = V Lcd = −F1 = −2, 0kN; Va = V L

fa = −Rax = −4, 0kN; Vfc = V Lcf = F2 − Rax = 0;

Vce = V Lec = −F1 +Raz = 3, 25kN (V P

ec = Q−Rbz); VPb = −R⊥bz = −3, 8kN;

V Peb = −R⊥bz + q′⊥ · lbe = 2, 6kN (= P⊥z )

Vypocet polohy nebezpecneho prurezu n: xPn = Vb/q′⊥ = 2, 968m; xLn = Veb/q

′⊥ = 2, 031m

Ohybove momenty

Ma = Mb = Md = 0; MLf = −Rax · 2 = −8, 0kNm; ML

cf = −Rax · 4 + F2 · 2 = −8, 0kNm;ML

cd = −F1 · 1 = −2, 0kNm; MLce = −F1 · 1−Rax · 4 + F2 · 2 = −10kNm;

MPe = Rbz · 4−Q · 2 = R⊥bz · lbf − 1

2· q′⊥ · ( lbe

2)2 = 3, 0kNm


2· q′⊥ · (xPn )2 = 5, 641kNm


92



93

7.4. OTAZKY

7.4 Otazky

1. Zakreslete kladne smery vsech vnitrnıch sil na rovinnem obecne lomenem nosnıku.

2. Na zvolenem prıkladu graficky znazornete rozdelenı na osovou a prıcnou ulohu u sikmehoprutu, ktery je zatızen spojitym zatızenım kolmym k jeho ose.

3. Na zvolenem prıkladu graficky znazornete rozdelenı na osovou a prıcnou ulohu u sikmehoprutu, ktery je zatızen spojitym zatızenım pusobıcım na pudorysny prumet.

94

Kapitola 8

Vnitrnı sıly rovinne zakriveneho prutu

V teto kapitole bude na prıkladech vysvetleno resenı vnitrnıch sil rovinne zakrivenych nosnıku,jejichz strednici tvorı oblouk ve tvaru kvadraticke paraboly [1]. Pro vypocet je pocatek souradnicovesoustavy umısten ve vrcholu nosnıku, cımz jsou dany zakladnı geometricke vztahy zakrivenehoprutu:

rovnice paraboly

z = k · x2 [m] , ⇒ k =zax2a

=zbx2b

[m−1] , (8.1)

rovnice sklonu strednice prutu (tecna ke strednici)

tgψ =dz

dx= 2k · x [−] , (8.2)

goniometricke funkce uhlu sklonu strednice prutu

cosψ =1√

1 + tg2 ψ[−] , (8.3)

sinψ =tgψ√

1 + tg2 ψ[−] . (8.4)

Jelikoz sklon strednice zakriveneho nosnıku je v kazdem jejım bodu jiny, majı v kazdembodu jiny smer i posouvajıcı a normalove sıly. Pro usnadnenı vypoctu se zavadejı tzv. pomocnevnitrnı sıly: svisla vnitrnı sıla S [kN] (ve smeru osy z) a vodorovna (horizontalni) vnitrnısıla H [kN] (ve smeru osy x), ktere se jednoduse definujı ze statickeho schematu zadanı(napr. prıklad 8.1). Princip vypoctu i znamenkova konvence techto pomocnych vnitrnıch silS, H je shodna s vypoctem i znamenkovou konvencı posouvajıcıch a normalovych sil prımehovodorovneho nosnıku (svisla zleva je kladna smerem nahoru, svisla zprava je kladna smeremdolu, horizontalnı sıly jsou kladne, smerujı-li ven z prutu), viz napr. obrazek 8.2 i dalsı.

Rozkladem S, H sil do smeru tecny ke strednici oblouku a kolmo ke strednici oblouku lzedefinovat normalove N [kN] a posouvajıcı V [kN] sıly v danem bodu pomocı tzv. trans-formacnıch vztahu (8.5) a (8.6). Schema rozkladu S, H sil viz napr. obrazek 8.2 i dalsı. Principvypoctu ohybovych momentu M [kNm] je shodny jako u prımych prutu (kap 4) ci lomenychnosnıku (kap 6).

95

8.1. PRIKLAD - OBLOUK 1

Protoze velikosti vnitrnıch sil jsou zavisle nejen na velikosti a druhu zatızenı, ale i natvaru strednice, nelze jejich prubehy sestrojit analytickym zpusobem jako u prımych prutuci lomenych nosnıku. V prıpade pozadavku definovanı vnirtnıch sil pouze v urcitych bodech,pocıtajı se vnitrnı sıly pouze v techto bodech, jak je uvedeno v prıkladech 8.1 az 8.6. V prıpadepotreby zıskanı prubehu vnitrnıch sil po delce prutu je potreba pouzıt analyticke resenı, ktereje vysvetleno na prıkladu 8.7.

Transformacnı vztahy pro vypocetN , V sil, jejichz odvozenı je vysvetleno v prıkladu 8.1 obr. 8.2,vztahy (8.21), (8.22) a (8.30), (8.31).

N = S · sinψ +H · cosψ [kN] . (8.5)

V = S · cosψ −H · sinψ [kN] , (8.6)

Poznamka:Vnitrnı sıly lze pocıtat shodne jako jako u prımych prutu z leve i prave strany s tım, ze vypocetje vetsinou jednodussı i postacujıcı z jedne z techto stran. V nasledujıcıch resenych prıkladechje v ramci procvicenı vysvetlen postup vypoctu zleva i zprava.

8.1 Prıklad - oblouk 1

Spocıtejte vnitrnı sıly v bode d zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.1. Hodnoty reakcı jsouprevzaty z kapitoly 3.

Obrazek 8.1: Schema konstrukce prıkladu 8.1

96


8.1.1 Resenı - oblouk 1

Rozbor geometrie

Souradnice podporovych bodu a a b urcenych ze zadanı konstrukce:

xa = −3 [m] , za = 5 [m] , xb = 3 [m] , zb = 5 [m] , (8.7)

rovnice paraboly dle (8.1):

k =zax2a

=zbx2b

=5

(±3)2= 0, 55 [m−1] , (8.8)

z = k · x2 = 0, 55 · x2 [m] , (8.9)

rovnice sklonu strednice prutu dle (8.2)

tgψ =dz

dx= 2k · x = 2 · 0, 55 · x = 1, 11 · x [−] , (8.10)

z-ova souradnice bodu d zd dle (8.9), je-li dle zadanı konstrukce xd = 2 [m]

zd = k · x2d = 0, 55 · 22 = 2, 22 [m] , (8.11)

sklon strednice prutu v bodu d dle (8.10)

tgψd = 2k · xd = 1, 11 · xd = 1, 11 · 2 = 2, 22 [−] , (8.12)

goniometricke funkce uhlu sklonu strednice ψd v bodu d dle (8.3) a (8.4)

cosψd =1√

1 + tg2 ψd

= 0, 4104 [−] , (8.13)

sinψd =tgψd√

1 + tg2 ψd

= 0, 91192 [−] . (8.14)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu d z prave strany

Schema pomocnych vnitrnıch sil Sd,Hd dle vyse uvedene znamenkove konvence i schema vnitrnıchsil Nd,Vd,Md viz obr. 8.2 nahore.

Pomocna svisla vnitrnı sıla Sd pocıtana z prave strany

SPd ≡ Sd = −Rbz = −20, 833 [kN] , (8.15)

97


Obrazek 8.2: Schema resenı prıkladu 8.1

98


pomocna horizontalnı vnitrnı sıla Hd pocıtana z prave strany

HPd ≡ Hd = −Rbx = −50, 0 [kN] . (8.16)

Rozklad pomocne svisle vnitrnı sıly Sd do slozek kolme Sd⊥ (v obr. 8.2 znaceno Sdk) a rovnobezneSd‖ se strednicı oblouku:

Sd⊥ = Sd · cosψd = −20, 833 · 0, 4104 = −8, 549 [kN] , (8.17)

Sd‖ = Sd · sinψd = −20, 833 · 0, 91192 = −18, 998 [kN] , (8.18)

rozklad pomocne horizontalnı vnitrnı sıly Hd do slozek kolme Hd⊥ (v obr 8.2 znaceno Hdk) arovnobezne Hd‖ se strednicı oblouku:

Hd⊥ = Hd · sinψd = −50, 0 · 0, 91192 = −45, 596 [kN] , (8.19)

Hd‖ = Hd · cosψd = −50, 0 · 0, 4104 = −20, 52 [kN] . (8.20)

Normalova sıla Nd je dana souctem vsech rovnobeznych pomocnych vnitrnıch sil v bodu ddle znamenkove konvence pro normalove sıly (kladna vede ven z prutu)

NPd ≡ Nd = Sd‖+Hd‖ = Sd ·sinψd+Hd ·cosψd = −18, 998+(−20, 52) = −39, 518 [kN] , (8.21)

posouvajıcı sıla Vd je dana souctem vsech kolmych pomocnych vnitrnıch sil v bodu d dleznamenkove konvence pro posouvajıcı sıly (zprava je kladna smerem dolu)

V Pd ≡ Vd = Sd⊥−Hd⊥ = Sd · cosψd−Hd · sinψd = −8, 549− (−45, 596) = 37, 047 [kN] , (8.22)

ohybovy moment Md pocıtany zprava je dan souctem vsech momentu pusobıcıch na bod dzprava dle znamenkove konvence pro ohybove momenty (kladny natahuje spodnı vlakna)

MdP ≡Md = Rbz ·(3−xd)−Rbx ·(f−zd) = 20, 833 ·1−50 ·2, 778 = −118, 0566 [kNm] . (8.23)

Poznamka:

Rovnice (8.21) a (8.22) jsou zaroven odvozenım transformacnıch vztahu (8.5) a (8.6).

99


Vypocet vnitrnıch sil v bodu d z leve strany

Schema pomocnych vnitrnıch sil Sd,Hd dle vyse uvedene znamenkove konvence i schema vnitrnıchsil Nd,Vd,Md viz obr. 8.2 dole.

Pomocna svisla vnitrnı sıla Sd pocıtana z leve strany

SLd ≡ Sd = −Raz = −20, 833 [kN] , (8.24)

pomocna horizontalnı vnitrnı sıla Hd pocıtana z leve strany

HLd ≡ Hd = −Q = −q · f = −10 · 5 = −50, 0 [kN] . (8.25)

Rozklad pomocne svisle vnitrnı sıly Sd do slozek kolme Sd⊥ (v obr. 8.2 znaceno Sdk) a rovnobezneSd‖ se strednicı oblouku:

Sd⊥ = Sd · cosψd = −20, 833 · 0, 4104 = −8, 549 [kN] , (8.26)

Sd‖ = Sd · sinψd = −20, 833 · 0, 912 = −19, 0 [kN] , (8.27)

rozklad pomocne horizontalnı vnitrnı sıly Hd do slozek kolme Hd⊥ (v obr. 8.2 znaceno Hdk) arovnobezne Hd‖ se strednicı oblouku:

Hd⊥ = Hd · sinψd = −50, 0 · 0, 9119 = −45, 596 [kN] , (8.28)

Hd‖ = Hd · cosψd = −50, 0 · 0, 4104 = −20, 52 [kN] . (8.29)

Normalova sıla Nd je dana souctem vsech rovnobeznych pomocnych vnitrnıch sil v bodu ddle znamenkove konvence pro normalove sıly (kladna vede ven z prutu)

NLd ≡ Nd = Sd‖+Hd‖ = Sd ·sinψd+Hd ·cosψd = −18, 998+(−20, 52) = −39, 518 [kN] , (8.30)

posouvajıcı sıla Vd je dana souctem vsech kolmych pomocnych vnitrnıch sil v bodu d dleznamenkove konvence pro posouvajıcı sıly (zleva je kladna smerem nahoru)

V Ld ≡ Vd = Sd⊥−Hd⊥ = Sd · cosψd−Hd · sinψd = −8, 549− (−45, 596) = 37, 047 [kN] , (8.31)

ohybovy moment Md pocıtany zleva je dan souctem vsech momentu pusobıcıch na bod dzleva dle znamenkove konvence pro ohybove momenty (kladny natahuje spodnı vlakna)

MLd ≡Md = −Raz ·(3+xd)−Q·(

f

2−zd) = −20, 833·5−50·0, 278 = −118, 0566 [kNm] . (8.32)

Poznamka:


100


Alternativnı zpusob vypoctu vnitrnıch sil v bodu d, neboli kontrola rovnovahyuvolnenych castı prutu

Tento vypocet je uveden pouze pro doplnenı. Obecne platı, je-li konstrukce v rovnovaze, musıbyt rovnez v rovnovaze kazda jejı pomyslne oddelena cast. Ucinek pomyslne odstranenych castınahrazujı vnitrnı sıly shodne jako pri uvolnenı prutu lomenych nosnıku (kap 6).

Obrazek 8.3: Rovnovaha castı oblouku prıkladu 8.1

V bodu d je veden pomyslny rez konstrukcı dle obr. 8.3. Na leve casti oblouku je ucinekodstranene prave casti nahrazen pomocnymi vnitrnımi silami Sd, Hd a ohybovym momen-tem Md dle vyse uvedene znamenkove konvence. Na prave casti oblouku je ucinek odstraneneleve casti nahrazen rovnez pomocnymi vnitrnımi silami Sd, Hd a ohybovym momentem Md

dle vyse uvedene znamenkove konvence (obr. 8.3). Pro obe uvolnene casti oblouku musı bytsplneny podmınky rovnovahy, ve kterych vystupujı nezname slozky vnitrnıch sil Sd, Hd a Md.Resenım techto rovnic se zıskajı hodnoty vnitrnıch sil. Nıze uvedene rovnice jsou vyjadrene veznamenkove konvenci shodne s podmınkami rovnovahy pri vypoctu reakcı.

Podmınky rovnovahy leve casti (usek ad):

∑Fix = 0 :

Q+Hd = 0

10 · 5 +Hd = 0

Hd = −50 [kN] ,

(8.33)

∑Fiz = 0 :

Raz + Sd = 0

20, 833 + Sd = 0

Sd = −20, 833 [kN] ,

(8.34)

101


∑Mid = 0 :

Raz · (3 + xd) +Q · (f2− zd) +Md = 0

20, 833 · 5 + 50 · 0, 278 +Md = 0

Md = −118, 0566 [kN] .

(8.35)

∑Mia = 0 : (kontrola)

− Sd · (3 + xd)−Hd · (f − zd)−Q ·f

2+Md = 0

− (−20, 833) · 5− (−50) · 2, 778− 50 · 2, 5 + (−118, 0566) = 0 .

(8.36)

Podmınky rovnovahy prave casti (usek bd):∑Fix = 0 :

−Rbx −Hd = 0

50−Hd = 0

Hd = −50 [kN] ,

(8.37)

∑Fiz = 0 :

−Rbz − Sd = 0

− 20, 833− Sd = 0

Sd = −20, 833 [kN] ,

(8.38)

∑Mid = 0 :

Rbz · (3− xd)−Rbx · (f − zd)−Md = 0

20, 833 · 1− 50 · 2, 778−Md = 0

Md = −118, 0566 [kNm] .

(8.39)

∑Mib = 0 : (kontrola)

− Sd · (3− xd) +Hd · (f − zd)−Md = 0

− (−20, 833) · 1 + (−50) · 2, 778− (−118, 0566) = 0 .

(8.40)

102



Spocıtejte vnitrnı sıly v bode c zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.4 nahore. Hodnoty reakcıjsou prevzaty z kapitoly 3.


Rozbor geometrie


xa = −5 [m] , za = 4 [m] , xb = 5 [m] , zb = 4 [m] , (8.41)


k =zax2a

=zbx2b

=4

(±5)2= 0, 16 [m−1] , (8.42)

z = k · x2 = 0, 16 · x2 [m] , (8.43)


tgψ =dz

dx= 2k · x = 2 · 0, 16 · x = 0, 32 · x [−] , (8.44)

z-ova souradnice bodu c zc dle (8.43), je-li dle zadanı konstrukce xc = 2, 5 [m]

zc = k · x2c = 0, 16 · 2, 52 = 1, 0 [m] , (8.45)

sklon strednice prutu v bodu c dle (8.44)

tgψc = 2k · xc = 0, 32 · xc = 0, 32 · 2, 5 = 0, 8 [−] , (8.46)

goniometricke funkce uhlu sklonu strednice ψc v bodu c dle (8.3) a (8.4)

cosψc =1√

1 + tg2 ψc

= 0, 7809 [−] , (8.47)

sinψc =tgψc√

1 + tg2 ψc

= 0, 6247 [−] . (8.48)

103



104


Vypocet vnitrnıch sil v bodu c z prave strany

Schema pomocnych vnitrnıch sil Sc,Hc dle vyse uvedene znamenkove konvence i schema vnitrnıchsil Nc,Vc,Mc viz obr. 8.4 uprostred.

Pomocna svisla vnitrnı sıla Sc pocıtana z prave strany

SPc ≡ Sc = −Rbz + q · (5− xc) = −50 + 10 · 2, 5 = −25 [kN] , (8.49)

pomocna horizontalnı vnitrnı sıla Hc je nulova, nebot’ se zde nevyskytujı zadne sıly ve smeruosy x.

HPc ≡ Hc = 0 [kN] . (8.50)

Rozklad pomocne svisle vnitrnı sıly Sc do slozek kolme Sc⊥ a rovnobezne se strednicı oblouku:

Sc⊥ = Sc · cosψc = −25 · 0, 7809 = −19, 5225 [kN] , (8.51)

Sc‖ = Sc · sinψc = −25 · 0, 6247 = −15, 6175 [kN] , (8.52)

rozklad pomocne horizontalnı vnitrnı sıly Hc do slozek kolme Hc⊥ a rovnobezne Hc‖ se strednicıoblouku nenı treba pocıtat, nebot’ jsou nulove (Hc = 0, (8.50)).

Normalova sıla Nc je dana souctem vsech rovnobeznych pomocnych vnitrnıch sil v bodu cdle znamenkove konvence pro normalove sıly (kladna vede ven z prutu)

NPc ≡ Nc = Sc‖ +Hc‖ = Sc · sinψc + 0 = −15, 6175 [kN] , (8.53)

posouvajıcı sıla Vc je dana souctem vsech kolmych pomocnych vnitrnıch sil v bodu c dleznamenkove konvence pro posouvajıcı sıly (zprava je kladna smerem dolu)

V Pc ≡ Vc = Sc⊥ −Hc⊥ = Sc · cosψc − 0 = −19, 5225 [kN] , (8.54)

ohybovy moment Mc pocıtany zprava je dan souctem vsech momentu pusobıcıch na bod czprava dle znamenkove konvence pro ohybove momenty (kladny natahuje spodnı vlakna)

McP ≡Mc = Rbz · (5− xc)− q ·

(5− xc)2

2= 50 · 2, 5− 10 · 2, 52

2= 93, 75 [kNm] . (8.55)

Poznamka:


105


Vypocet vnitrnıch sil v bodu c z leve strany

Schema pomocnych vnitrnıch sil Sc,Hc dle vyse uvedene znamenkove konvence i schema vnitrnıchsil Nc,Vc,Mc viz obr. 8.4 dole.

Pomocna svisla vnitrnı sıla Sc pocıtana z leve strany

SLc ≡ Sc = Raz − q · (5 + xc) = 50− 10 · 7, 5 = −25 [kN] , (8.56)

pomocna horizontalnı vnitrnı sıla Hc je nulova, nebot’ se zde nevyskytujı zadne sıly ve smeruosy x.

HLc ≡ Hc = 0 [kN] . (8.57)

Rozklad pomocne svisle vnitrnı sıly Sc do slozek kolme Sc⊥ a rovnobezne Sc‖ se strednicıoblouku:

Sc⊥ = Sc · cosψd = −25 · 0, 7809 = −19, 5225 [kN] , (8.58)

Sc‖ = Sc · sinψc = −25 · 0, 6247 = −15, 6175 [kN] , (8.59)

rozklad pomocne horizontalnı vnitrnı sıly Hc do slozek kolme Hc⊥ a rovnobezne Hc‖ se strednicıoblouku nenı treba pocıtat, nebot’ jsou nulove (Hc = 0, (8.57)).

Normalova sıla Nc je dana souctem vsech rovnobeznych pomocnych vnitrnıch sil v bodu cdle znamenkove konvence pro normalove sıly (kladna vede ven z prutu)

NLc ≡ Nc = Sd‖ +Hd‖ = Sc · sinψc + 0 = −15, 6175 [kN] , (8.60)

posouvajıcı sıla Vc je dana souctem vsech kolmych pomocnych vnitrnıch sil v bodu c dleznamenkove konvence pro posouvajıcı sıly (zleva je kladna smerem nahoru)

V Lc ≡ Vc = Sd⊥ −Hc⊥ = Sc · cosψc − 0 = −19, 5225 [kN] , (8.61)

ohybovy moment Mc pocıtany zleva je dan souctem vsech momentu pusobıcıch na bod czleva dle znamenkove konvence pro ohybove momenty (kladny natahuje spodnı vlakna)

MLc ≡Mc = Raz · (5+xc)−q ·

(5 + xc)2

2−Rax · (f−zc) = 50 ·7, 5−10 · 7, 5

2

2−0 = 93, 75 [kNm] .

(8.62)

Poznamka:


106


Alternativnı zpusob vypoctu vnitrnıch sil v bodu c, neboli kontrola rovnovahyuvolnenych castı prutu

Tento vypocet je uveden pouze pro doplnenı. Obecne platı, je-li konstrukce v rovnovaze, musıbyt rovnez v rovnovaze kazda jejı pomyslne oddelena cast. Ucinek pomyslne odstranenych castınahrazujı vnitrnı sıly shodne jako pri uvolnenı prutu lomenych nosnıku (kap 6).

V bodu c je veden pomyslny rez konstrukcı dle obr. 8.3. Na leve casti oblouku je ucinekodstranene prave casti nahrazen pomocnymi vnitrnımi silami Sc, Hc a ohybovym momen-tem Mc dle vyse uvedene znamenkove konvence. Na prave casti oblouku je ucinek odstraneneleve casti nahrazen rovnez pomocnymi vnitrnımi silami Sc, Hc a ohybovym momentem Mc

dle vyse uvedene znamenkove konvence (obr. 8.5). Pro obe uvolnene casti oblouku musı bytsplneny podmınky rovnovahy, ve kterych vystupujı nezname slozky vnitrnıch sil Sc, Hc a Mc.Resenım techto rovnic se zıskajı hodnoty vnitrnıch sil. Nıze uvedene rovnice jsou vyjadrene veznamenkove konvenci shodne s podmınkami rovnovahy pri vypoctu reakcı.


Podmınky rovnovahy leve casti (usek ac):

∑Fix = 0 :

Rax +Hc = 0

0 +Hc = 0

Hc = 0 [kN] ,

(8.63)

∑Fiz = 0 :

−Raz + q · (5 + xc) + Sc = 0

− 50 + 10 · 7, 5 + Sc = 0

Sc = −25, 0 [kN] ,

(8.64)

107


∑Mic = 0 :

−Raz · (5 + xc) + q · (5 + xc)2

2−Hc · (f − zc) +Mc = 0

− 50 · 7, 5 + 10 · 7, 52

2− 0 +Mc = 0

Mc = 93, 75 [kNm] .

(8.65)

∑Mia = 0 : (kontrola)

− Ss · (5 + xc)−Hc · (f − zc)− q ·7, 52

2+Mc = 0

− (−25) · 7, 5− 0− 10 · 7, 52

2+ 93, 75 = 0 .

(8.66)

Podmınky rovnovahy prave casti (usek bc):∑Fix = 0 :

−Hc = 0

Hc = 0 [kN] ,

(8.67)

∑Fiz = 0 :

q · (5− xc)−Rbz − Sc = 0

10 · 2, 5− 50− Sc = 0

Sc = −25, 0 [kN] ,

(8.68)

∑Mic = 0 :

Rbz · (5− xc)− q ·(5− xc)2

2−Mc = 0

50 · 2, 5− 10 · 2, 52

2−Mc = 0

Mc = 93, 75 [kNm] .

(8.69)

∑Mib = 0 : (kontrola)

− Sc · (5− xc) +Hc · (f − zc) + q · (5− xc)22

−Mc = 0

− (−25, 0) · 2, 5 + 0 + 10 · 2, 52

2− 93, 75 = 0 .

(8.70)

108



Spocıtejte vnitrnı sıly v bodech c a d zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.6. Hodnoty reakcı jsouprevzaty z kapitoly 3.



Rozbor geometrie


xa = −3 [m] , za = 4 [m] , xb = 3 [m] , zb = 4 [m] , (8.71)


k =zax2a

=zbx2b

=4

(±3)2= 0, 44 [m−1] , (8.72)

z = k · x2 = 0, 44 · x2 [m] , (8.73)


tgψ =dz

dx= 2k · x = 2 · 0, 44 · x = 0, 88 · x [−] , (8.74)

z-ova souradnice bodu c zc dle (8.73), je-li dle zadanı konstrukce xc = 1, 5 [m]

zc = k · x2c = 0, 44 · 1, 52 = 1, 0 [m] , (8.75)

109


sklon strednice prutu v bodu c dle (8.74)

tgψc = 2k · xc = 0, 88 · xc = 0, 88 · 1, 5 = 1, 33 [−] , (8.76)

goniometricke funkce uhlu sklonu strednice ψc v bodu c dle (8.3) a (8.4)

cosψc =1√

1 + tg2 ψc

= 0, 60 [−] , (8.77)

sinψc =tgψc√

1 + tg2 ψc

= 0, 80 [−] . (8.78)

z-ova souradnice bodu d zd dle (8.73), je-li dle zadanı konstrukce xc = 2, 0 [m]

zd = k · x2d = 0, 44 · 2, 02 = 1, 77 [m] , (8.79)

sklon strednice prutu v bodu d dle (8.74)

tgψd = 2k · xd = 0, 88 · xd = 0, 88 · 2, 0 = 1, 77 [−] , (8.80)

goniometricke funkce uhlu sklonu strednice ψd v bodu d dle (8.3) a (8.4)

cosψd =1√

1 + tg2 ψd

= 0, 49026 [−] , (8.81)

sinψd =tgψd√

1 + tg2 ψd

= 0, 871576 [−] . (8.82)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu c

Schema pro vypocet vnitrnıch sil Sc,Hc dle vyse uvedene znamenkove konvence i schemavnitrnıch sil Nc,Vc,Mc z leve i prave strany viz obr. 8.7.Vypocet je jednoduchy, proto jsouzde uvedeny pouze vysledky:

Hc = −10, 0 [kN] , Sc = 3, 7037 [kN] , (8.83)

Nc = −3, 037 [kN] , Vc = 10, 22 [kN] , Mc = 13, 33 [kNm] . (8.84)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu d

Vypocet je slozitejsı, nebot’ v bodu d je osamele zatızenı vodorovnou silou F . V tomto bodutudız dochazı ke skokove zmene horizontalnı sıly a stejne jako u prımych prutu, i tady jenutno spocıtat 2 hodnoty teto sıly: Hda v limitnı vzdalenosti (limitne) vlevo od sıly F a Hdb

limitne vpravo od sıly F . Sd i Md majı limitne vlevo i vpravo od bodu d nemenne hodnoty(Sda ≡ Sdb ≡ Sd), (Mda ≡ Mdb ≡ Md). Vypocet lze opet provest z obou stran, coz je v tetokapitole v ramci procvicenı provedeno, pricemz postacujıcı je vypocet pouze z jedne strany.

110


Obrazek 8.7: Schema resenı prıkladu 8.3 - bod c

111


Vypocet vnitrnıch sil v bodu d z leve strany

Vypocet vnitrnıch sil v bodu da z leve strany

Sledovany bod da lezı vlevo-v limitnı vzdalenosti (limitne) od pusobiste sıly F , tudız na usekua− d. Sıla F tedy pusobı na useku d− b. Schema resenı je na obrazku 8.8 nahore.

SLda ≡ SL

d = Raz = 3, 7037 [kN] , (8.85)

HLda = −Rax = −10, 0 [kN] , (8.86)

Sd⊥ = Sd · cosψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] , (8.87)

Sd‖ = Sd · sinψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] , (8.88)

Hda‖ = Hda · cosψd = −10, 0 · 0, 49026 = −4, 9026 [kN] , (8.89)

Hda⊥ = Hda · sinψd = −10, 0 · 0, 87158 = −8, 7158 [kN] , (8.90)

NLda = Sd‖ +Hda‖ = 3, 2281 + (−4, 9026) = −1, 675 [kN] , (8.91)

V Lda = Sd⊥ −Hda⊥ = 1, 8158− (−8, 7158) = 10, 532 [kN] , (8.92)

MLda ≡ML

db ≡MLd = Raz·(3+xd)−Rax·(f−zd) = Raz·5−Rax·2, 22 = −3, 7037 [kNm] . (8.93)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu db z leve strany

Sledovany bod db lezı vpravo-v limitnı vzdalenosti (limitne) od pusobiste sıly F , tudız na usekub− d. Sıla F tedy pusobı na useku d− a. Schema resenı je na obrazku 8.8 dole.

SLdb ≡ SL

d = Raz = 3, 7037 [kN] , (8.94)

HLdb = −Rax + F = 0 [kN] , (8.95)

Sd⊥ = Sd · cosψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] , (8.96)

Sd‖ = Sd · sinψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] , (8.97)

Hda‖ = Hda · cosψd = 0 [kN] , (8.98)

Hda⊥ = Hda · sinψd = 0 [kN] , (8.99)

NLdb = Sd‖ +Hda‖ = 3, 2281 + 0 = 3, 2281 [kN] , (8.100)

V Ldb = Sd⊥ −Hdb⊥ = 1, 8158− 0 = 1, 8158 [kN] , (8.101)

MLdb ≡ML

da ≡MLd = Raz · (3 + xd)−Rax · (f − zd) = −3, 7037 [kNm] . (8.102)

112


Obrazek 8.8: Schema resenı prıkladu 8.3 - bod d, resenı zleva

113


Vypocet vnitrnıch sil v bodu d z prave strany

Vypocet vnitrnıch sil v bodu db z prave strany

Sledovany bod db lezı vpravo-v limitnı vzdalenosti (limitne) od pusobiste sıly F , tudız na usekub− d. Sıla F tedy pusobı na useku d− a. Schema resenı je na obrazku 8.9 nahore.

SPdb ≡ SP

d = Rbz = 3, 7037 [kN] , (8.103)

HLdb = 0 [kN] , (8.104)

Sd⊥ = Sd · cosψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] , (8.105)

Sd‖ = Sd · sinψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] , (8.106)

Hdb⊥ = Hdb · sinψd = 0 [kN] , (8.107)

Hdb‖ = Hdb · cosψd = 0 [kN] , (8.108)

NPdb = Sd‖ +Hdb‖ = 3, 2281 + 0 = 3, 2281 [kN] , (8.109)

V Pdb = Sd⊥ −Hdb⊥ = 1, 8158− 0 = 1, 8158 [kN] , (8.110)

MPdb ≡MP

da ≡MPd = −Rbz · (3− xd) = −3, 7037 [kNm] . (8.111)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu da z prave strany

Sledovany bod da lezı vlevo-v limitnı vzdalenosti (limitne) od pusobiste sıly F , tudız na usekua− d. Sıla F tedy pusobı na useku d− b. Schema resenı je na obrazku 8.9 dole.

SPda ≡ SL

d = Rbz = 3, 7037 [kN] , (8.112)

HPda = −F = −10, 0 [kN] , (8.113)

Sd⊥ = Sd · cosψd = 3, 7037 · 0, 49026 = 1, 8158 [kN] , (8.114)

Sd‖ = Sd · sinψd = 3, 7037 · 0, 871576 = 3, 2281 [kN] , (8.115)

Hda‖ = Hda · cosψd = −10, 0 · 0, 49026 = −4, 9026 [kN] , (8.116)

Hda⊥ = Hda · sinψd = −10, 0 · 0, 87158 = −8, 7158 [kN] , (8.117)

NPda = Sd‖ +Hda‖ = 3, 2281 + (−4, 9026) = −1, 675 [kN] , (8.118)

V Pda = Sd⊥ −Hda⊥ = 1, 8158− (−8, 7158) = 10, 532 [kN] , (8.119)

MPda ≡MP

db ≡MPd = −Rbz · (3− xd) = −3, 7037 [kNm] . (8.120)

114


Obrazek 8.9: Schema resenı prıkladu 8.3 - bod d, resenı zprava

115


Kontroly rovnovahy castı oblouku

Jedna se o doplnkove vypocty.

Kontrola rovnovahy useku a− da (obr. 8.10 vlevo nahore)∑Fix = 0 :

Rax +Hda = 0

10 + (−10) = 0,

(8.121)

∑Fiz = 0 :

−Raz + Sd = 0

− 3, 7 + 3, 7 = 0,

(8.122)

∑Mid = 0 :

−Raz · 5 +Rax · 2, 22 +Mc = 0

− 3, 7037 · 5 + 10 · 2, 22 + (−3, 7037) = 0,

(8.123)

∑Mia = 0 : (alternativa)

− Sd · 5−Hda · 2, 22 +Md = 0

− 3, 7037 · 5− (−10) · 2, 22 + (−3, 7037) = 0.

(8.124)

Kontrola rovnovahy useku b− da (obr. 8.10 vpravo nahore)∑Fix = 0 :

− F −Hda = 0

(−10)− (−10) = 0,

(8.125)

∑Fiz = 0 :

Rbz − Sd = 0

3, 7− 3, 7 = 0,

(8.126)

∑Mid = 0 :

−Rbz · 1−Md = 0

− 3, 7037 · 1− (−3, 7037) = 0,

(8.127)

∑Mib = 0 : (alternativa)

− Sd · 1 +Hda · 2, 22 + F · 2, 22−Md = 0

− 3, 7037 · 1 + (−10) · 2, 22 + 10 · 2, 22− (−3, 7037) = 0.

(8.128)

116



117


Kontrola rovnovahy useku a− db(obr. 8.10 vlevo dole)

∑Fix = 0 :

Rax +Hdb − F = 0

10 + 0− 10 = 0,

(8.129)

∑Fiz = 0 :

−Raz + Sd = 0

− 3, 7 + 3, 7 = 0,

(8.130)

∑Mid = 0 :

−Raz · 5 +Rax · 2, 22 +Mc = 0

− 3, 7037 · 5 + 10 · 2, 22 + (−3, 7037) = 0,

(8.131)

∑Mia = 0 : (alternativa)

− Sd · 5−Hdb · 2, 22 + F · 2, 22 +Md = 0

− 3, 7037 · 5− 0 + 10 · 2, 22 + (−3, 7037) = 0.

(8.132)

Kontrola rovnovahy useku b− db(obr. 8.10 vpravo dole)

∑Fix = 0 :

−Hdb = 0

− 0 = 0,

(8.133)

∑Fiz = 0 :

Rbz − Sd = 0

3, 7− 3, 7 = 0,

(8.134)

∑Mid = 0 :

−Rbz · 1−Md = 0

− 3, 7037 · 1− (−3, 7037) = 0,

(8.135)

∑Mib = 0 : (alternativa)

− Sd · 1 +Hdb · 2, 22−Md = 0

− 3, 7037 · 1 + 0− (−3, 7037) = 0.

(8.136)

118



Spocıtejte vnitrnı sıly v bodech c a d zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.11. Hodnoty reakcıjsou prevzaty z kapitoly 3.

Resenı - oblouk 4

Rozbor geometrie

xa = −3 [m] , za = 4 [m] , xb = 3 [m] , zb = 4 [m] , (8.137)

k =zax2a

=zbx2b

= 0, 44 [m−1] , (8.138)

z = k · x2 = 0, 44 · x2 [m] , (8.139)

tgψ = 2k · x = 0, 88 · x [−] , (8.140)

zc = k · x2c = 0, 44 [m] , (8.141)

tgψc = 2k · xc = 0, 88 [−] , (8.142)

cosψc =1√

1 + tg2 ψc

= 0, 7474 [−] , (8.143)

sinψc =tgψc√

1 + tg2 ψc

= 0, 6644 [−] . (8.144)

zd = k · x2d = 1, 77 [m] , (8.145)

tgψd = 2k · xd = 1, 77 [−] , (8.146)

cosψd =1√

1 + tg2 ψd

= 0, 49026 [−] , (8.147)

sinψd =tgψd√

1 + tg2 ψd

= 0, 871576 [−] . (8.148)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu c

Schema pro vypocet vnitrnıch sil viz obr. 8.11.

119



120


Vypocet vnitrnıch sil v bodu c z prave strany

Schema pomocnych vnitrnıch sil Sc,Hc dle vyse uvedene znamenkove konvence viz obr. 8.11 uprostred.

SPc ≡ Sc = −Rbz + q · 2 = −2, 5 [kN] , (8.149)

HPc ≡ Hc = 0 [kN] . (8.150)

Sc⊥ = Sc · cosψc = −2, 5 · 0, 7474 = −1, 8685 [kN] , (8.151)

Sc‖ = Sc · sinψc = −2, 5 · 0, 6644 = −1, 661 [kN] , (8.152)

NPc = Sc‖ +Hc‖ = Sc‖ + 0 = −1, 661 [kN] , (8.153)

V Pc = Sc⊥ −Hc⊥ = Sc⊥ − 0 = −1, 869 [kN] , (8.154)

McP = Rbz · 2− q ·

(2)2

2= 25 [kNm] . (8.155)

Vypocet vnitrnıch sil v bodu c z leve strany

Schema pomocnych vnitrnıch sil Sc,Hc dle vyse uvedene znamenkove konvence viz obr. 8.11 dole.

SLc ≡ Sc = Raz − q · 1 = −2, 5 [kN] , (8.156)

HLc ≡ Hc = 0 [kN] . (8.157)

Sc⊥ = Sc · cosψc = −2, 5 · 0, 7474 = −1, 8685 [kN] , (8.158)

Sc‖ = Sc · sinψc = −2, 5 · 0, 6644 = −1, 661 [kN] , (8.159)

NLc = Sc‖ +Hc‖ = Sc‖ + 0 = −1, 661 [kN] , (8.160)

V Pc = Sc⊥ −Hc⊥ = Sc⊥ − 0 = −1, 869 [kN] , (8.161)

McP = Raz · 4− q ·

(1)2

2= 25 [kNm] . (8.162)

Hodnoty vnitrnıch sil v bodu d

Hd = 0 [kN] , Sd = −12, 5 [kN], (8.163)

Nd = −10, 895 [kN] , Vd = −6, 128, [kN] , Md = 17, 5 [kNm] . (8.164)

121



Spocıtejte vnitrnı sıly v bodech c a d zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.12. Hodnoty reakcıjsou prevzaty z kapitoly 3.



Vysledky resenı pro bod c

k = 0, 25 [m−1] , zc = 0, 25 [m] , sinψc = 0, 4472 [−] , cosψc = 0, 8944 [−] , (8.165)

Hc = −37, 5 [kN] , Sc = 10, 0 [kN] , (8.166)

Nc = −12, 298 [kN] , Vc = −24, 596 [kN] , Mc = −100, 3125 [kNm] . (8.167)

Vysledky resenı pro bod d

Schema resenı z prave i leve strany viz obrazek 8.13.

k = 0, 25 [m−1] , zd = 1, 0 [m] , sinψd = cosψd = 0, 7071 [−] , (8.168)

Hd = −30, 0 [kN] , Sd = 10, 0 [kN] , (8.169)

Nd = 28, 28 [kN] , Vd = −14, 142 [kN] , Md = −65, 0 [kNm] . (8.170)

122


Obrazek 8.13: Schema resenı prıkladu 8.5 - bod d

123



Spocıtejte vnitrnı sıly v bodech c, d a e zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.14. Hodnoty reakcıjsou prevzaty z kapitoly 3.



Vysledky resenı pro bod c

k = 0, 44 [m−1] , zc = 1, 0 [m] , sinψc = 0, 80 [−] , cosψc = 0, 60 [−] , (8.171)

Hc = 0 [kN] , Sc = 1, 66 [kN] , (8.172)

Nc = −1, 33 [kN] , Vc = 0, 99 [kN] , Mc = 6, 66 [kNm] . (8.173)

Vysledky resenı pro bod e

k = 0, 44 [m−1] , ze = 2, 77 [m] , sinψe = 0, 91192 [−] , cosψe = 0, 41036 [−] , (8.174)

He = 0 [kN] , Se = −8, 33 [kN] , (8.175)

Ne = −7, 5993 [kN] , Ve = −3, 4197 [kN] , Me = 4, 166 [kNm] . (8.176)

124


Vysledky resenı pro bod d

Resenı vnitrnıch sil bodu d je podobne s resenım bodu d v prıkladu 8.3. Prut je v tomto mıstezatızen svislym osamelym zatızenım, coz zpusobı skokovou zmenu svisle pomocne vnitrnı sıly,kterou je nutne definovat limitne vlevo Sda i limitne vpravo Sdb od bodu d. Skokova zmena seprojevı take v normalove Nda, Ndb i posouvajıcı sıle Vda, Vdb. Horizontalnı pomocna vnitrnı sılaHd i ohybovy moment Md jsou v bodu d nemenne.

Schema resenı bodu da i db z prave strany viz obrazek 8.15, z leve strany viz obrazek 8.16.

k = 0, 44 [m−1] , zd = 1, 77 [m] , sinψd = 0, 87158 [−] , cosψd = 0, 49026 [−] , (8.177)

Hd = 0 [kN] , (8.178)

Md = 8, 33 [kNm] . (8.179)

Sda = 1, 66 [kN] , Sdb = −8, 33 [kN] , (8.180)

Nda = 1, 4556 [kN] , Ndb = −7, 2633 [kN] , (8.181)

Vda = 0, 8188 [kN] , Vdb = −4, 0858 [kN] . (8.182)

125


Obrazek 8.15: Schema resenı prıkladu 8.6 - bod d, resenı zprava

126


Obrazek 8.16: Schema resenı prıkladu 8.6 - bod d, resenı zleva

127



Spocıtejte vnitrnı sıly po cele delce zakriveneho nosnıku dle obrazku 8.17. Prubehy vnitrnıchsil vykreslete. Hodnoty reakcı jsou prevzaty z kapitoly 3.



Obecne rovnice

Je zadano definovat vnitrnı sıly po cele delce zakriveneho nosnıku. Pro resenı tohoto typuulohy je potreba definovat vsechny rovnice v obecnem tvaru, ktere budou nasledne vyuzity proanalyticke resenı pomocı tabulkoveho vypoctu, tady v software excelu.


xa = −5 [m] , za = 4 [m] , xb = 5 [m] , zb = 4 [m] , (8.183)

rovnice paraboly dle (8.1)

k =zax2a

=zbx2b

=4

(±5)2= 0, 16 [m−1] , (8.184)

rovnice z-ove souradnice paraboly dle (8.1)

z(x) = k · x2 = 0, 16 · x2 [m] , (8.185)


tgψ(x) =dz

dx= 2k · x = 2 · 0, 16 · x = 0, 32 · x [−] , (8.186)

128


rovnice goniometrickych funkcı uhlu sklonu strednice dle (8.3) a (8.4)

cosψ(x) =1√

1 + tg2 ψ(x)[−] , (8.187)

sinψ(x) =tgψ(x)√

1 + tg2 ψ(x)[−] , (8.188)

rovnice pomocne svisle vnitrnı sıly S(x), ktera je po cele delce oblouku konstantnı

S(x) = −Raz = −2, 40 [kN] , (8.189)

rovnice pomocne horizontalnı vnitrnı sıly H(x) pro levou cast oblouku (xa ≤ x ≤ 0)

H(x)L = −q · z(x) = −q · k · x2 = −0, 48 · x2 [kN] , (8.190)

rovnice pomocne horizontalnı vnitrnı sıly H(x) v prave casti oblouku (0 ≤ x ≤ xb), ktera jezde konstantnı

H(x)P = −Q = −12, 0 [kN] , (8.191)

pro vypocet vnitrnıch sil N(x), V (x) se vyuzijı transformacnı vztahy (8.5) a (8.6)

N(x) = S(x) · sinψ(x) +H(x) · cosψ(x) [kN] , (8.192)

V (x) = S(x) · cosψ(x)−H(x) · sinψ(x) [kN] , (8.193)

rovnice ohyboveho momentu M(x) pro levou cast oblouku (xa ≤ x ≤ 0)

M(x)L = Raz · (5 + x)− q · (f − z(x))2

2[kNm] , (8.194)

rovnice ohyboveho momentu M(x) pro pravou cast oblouku (0 ≤ x ≤ xb)

M(x)P = Raz · (5 + x)−Q · (f2− z(x)) [kNm] . (8.195)

Definovanı vnitrnıch sil pomocı tabulkoveho vypoctu

Rozpetı oblouku xa ≤ x ≤ xb je rozdeleno na urcity pocet dılku (cım hustejsı delenı, tımpresnejsı vypocet) a pro kazdy hranicnı bod jsou pomoci rovnic (8.185) az (8.195) definovanypozadovane veliciny dle tabulky v obrazku 8.18. Z vypoctenych hodnot je mozne vykreslitprubehy vnitrnıch sil (obr. 8.18).

129


Obrazek 8.18: Prubehy vnitrnıch sil prıkladu 8.7

130

Kapitola 9

Rovinne nosnıkove soustavy :Gerberuv nosnık

Spojity nosnık s vlozenymi klouby se nazyva take Gerberovym nosnıkem. Jedna se o kinema-ticky i staticky urcitou konstrukci, ktera se sklada z nekolika prutu spojenych vnitrnımi mo-mentovymi klouby, jednou vnejsı vazbou, ktera branı proti posunutı ve smeru prutu (smer vo-dorovny), a vıce nez dvemi vazbami, ktere branı posunutı ve smeru kolmem k osam prutu (smersvisly). Na Gerberove nosnıku lze pozorovat krajnı a vnitrnı podpory a krajnı ci vnitrnı pole,cımz se rozumı cast Gerberova nosnıku mezi sousednımi podporami. V nekterych prıpadech lzev Gerberove nosnıku pouzıt v krajnı podpore take dokonale vetknutı.

Pri statickem resenı spojiteho nosnıku s vlozenymi klouby se nejprve provadı rozklad naosovou a prıcnou ulohu. Osova uloha se vaze k jedne vazbe branıcı vodorovnemu posunutıa veskeremu pusobıcımu vodorovnemu zatızenı. Jedna se o staticky urcitou ulohu, ktera sevlozenım kloubu nemenı. Prıcna uloha ma spojitost s vıce nez 2 svislymi vazbami a zatızenım,ktere pusobı v prıcnem smeru. Spojity nosnık bez vlozenych kloubu je staticky neurcitou (ki-nemticky preurcitou) ulohou. Kompenzace staticke neurcitosti se provadı prave vkladanımkloubu, jejichz pocet je roven nk = ve − 2. Platı zasada, ze do staticky neurciteho spojitehonosnıku je nutno vlozit tolik kloubu, kolik cinı pocet vnitrnıch podpor nosnıku zvetseny ojednicku za kazde prıpadne vetknutı konce.

Gerberuv nosnık se sklada z nosnıku nesoucıch a nesenych. Nesoucı nosnıky jsou do-statecne podepreny vnejsımi vazbami, jejich nosna funkce je zachovana i pri odstranenı ne-senych nosnıku. Naopak nesene nosnıky jsou podepreny take konci nosnıku nesoucıch, beznichz nenı jejich nosna funkce zarucena.

Staticke resenı spocıva v urcenı interakcı, reakcı a vnitrnıch sil nejprve na castech nesenych.Pak se casti nesoucı zatızı opacne orientovanymi interakcemi ve vnitrnıch vazbach a urcı sena nich zbyvajıcı reakce a vnitrnı sıly.

9.1 Prıklad 1

Urcete reakce a vnitrnı sıly na Gerberove nosnıku, jehoz staticke schema je zobrazeno naobr. 9.1.

131

9.1. PRIKLAD 1

Obrazek 9.1: Staticke schema Gerberova nosnıku prıkladu 1

9.1.1 Zatızenı

Nahradnı bremeno Q2 je rovno q2 · 6 = 12 [kN]. Rozlozene slozky bremene P2 se rovnajıP2x = P2 · cos(60◦) = 2 [kN] a P2z = P2 · sin(60◦) = 3, 4641 [kN].

9.1.2 Vypocet interakcı a reakcı

Vypocet interakcı a reakcı se provadı v nasledujıcıch krocıch:a) Osova uloha:

Ra,x = q1 · 7 + P2x = 9, 0 [kN] (→) , (9.1)

b) Nesena cast k1 − k2:

Rk1 =P1 · 2, 5

4= 9, 375 [kN] (↑) , (9.2)

Rk2 =P1 · 1, 5

4= 5, 625 [kN] (↑) . (9.3)

c) Nesoucı cast a− k1 (konzolovy nosnık):

Ra,z = Rk1 = 9, 375 [kN] (↑) , (9.4)

Ma,y = Rk1 · 2 = 18, 75 [kNm] (proti) . (9.5)

d) Nesoucı cast k2 − d (prosty nosnık s previslymi konci):

Rc,z =1

6· (Rk2 · 1 +Q2 · 3 + P2z · 7) = 9, 104 [kN] (↑) , (9.6)

Rb,z =1

6· (Rk2 · 7 +Q2 · 3− P2z · 1) = 11, 985 [kN] (↑) , (9.7)

e) Kontrola Rz = 0:

Ra,z +Rb,z +Rc,z = P1 +Q2 + P2z . (9.8)

132

9.1. PRIKLAD 1

9.1.3 Vypocet vnitrnıch sil

Vypocet vnitrnıch sil se pak provadı s vyuzitım podmınek rovnovahy tradicnım zpusobem.Vysledne prubehy normalovych a posouvajıcıch sil jsou uvedeny na obr. 9.2 a 9.3. Prubehyohybovych momentu jsou pak zobrazeny na obr. 9.4.

Obrazek 9.2: Prubeh normalovych sil na Gerberove nosnıku z prıkladu 1

Obrazek 9.3: Prubeh posouvajıcıch sil na Gerberove nosnıku z prıkladu 1

133

9.2. PRIKLAD 2

Obrazek 9.4: Prubeh ohybovych momentu na Gerberove nosnıku z prıkladu 1

9.2 Prıklad 2



134

9.2. PRIKLAD 2


Vypocet interakcı a reakcı se provadı v nasledujıcıch krocıch:a) Nesena cast k1 − k2:

Rk1 = Rk2 =P

2= 4 [kN] (↑) , (9.9)

b) Nesoucı cast a− k1 (konzolovy nosnık):

Ra,z = Rk1 + q1 · 2 = 6 [kN] (↑) , (9.10)

Ma,y = Rk1 · 2 +q1 · 22

2= 10 [kNm] (proti) . (9.11)

c) Nesoucı cast k2 − d (prosty nosnık s previslymi konci):

Rc,z =1

6· (−Rk2 · 2−

q2 · 22

2+q2 · 72

2) = 6, 167 [kN] (↑) , (9.12)

Rb,z =1

6· (Rk2 · 8 +

q2 · 82

2− q2 · 12

2) = 15, 833 [kN] (↑) , (9.13)

d) Kontrola Rz = 0:

Ra,z +Rb,z +Rc,z = q1 · 2 + P + q2 · 9 . (9.14)

9.2.2 Vypocet vnitrnıch sil

Vypocet vnitrnıch sil se pak provadı s vyuzitım podmınek rovnovahy tradicnım zpusobem.Vysledne prubehy posouvajıcıch sil jsou uvedeny na obr. 9.6. Prubehy ohybovych momentujsou pak zobrazeny na obr. 9.7.

135

9.3. PRIKLAD 3



9.3 Prıklad 3


136

9.3. PRIKLAD 3


9.3.1 Vysledne hodnoty reakcı a prubehy vnitrnıch sil

Spravne hodnoty reakcı jsou: Hb = Rcx = 5 [kN] (←), Ra = Raz = 4, 332 [kN] (↑), Rb = Rbz =1, 132 [kN] (↑) a Mb = Mby = 3, 396 [kNm] (po).

Vysledne prubehy normalovych a posouvajıcıch sil jsou uvedeny na obr. 9.9 a 9.10, prubehyohybovych momentu pak na obr. 9.11.

Obrazek 9.9: Prubeh normalovych sil na Gerberove nosnıku z prıkladu 3

137

9.4. PRIKLAD 4



9.4 Prıklad 4

Urcete reakce a vnitrnı sıly na Gerberove nosnıku, jehoz staticke schema je zobrazeno naobr. 9.12. Pri resenı vyuzijte symetrii konstrukce.


Vypocet interakcı a reakcı se provadı v nasledujıcıch krocıch:a) Nesena cast k1− osa symetrie:Interakce (reakce) v kloubu k1 se urcı pro zatezovacı obrazec z obr. 9.13:

Rk1 = 2 · 3 +1

2· 4 · 3 = 12 [kN] . (9.15)

b) Nesoucı cast a− k1:Interakce (akce) v kloubu k1 predstavuje zatızenı pusobıcı na cast nesoucı, kterou tvorı

konzolovy nosnık (viz schema na obr. 9.14). Reakce ve vetknutı se pak urcı:

Ra,z = Rk1 +1

2· 2 · 1, 5 = 13, 5 [kN] (↑) , (9.16)

Ma,y = Rk1 · 1, 5 +1

2· 2 · 1, 5 · 1 = 19, 5 [kNm] (po) . (9.17)

138

9.4. PRIKLAD 4


Obrazek 9.13: Zatızenı na casti nesene na leve polovine Gerberova nosnıku z prıkladu 4.

Obrazek 9.14: Staticke schema na casti nesoucı na leve polovine Gerberova nosnıku z prıkladu 4.

139

9.4. PRIKLAD 4

9.4.2 Vysledne hodnoty reakcı a prubehy vnitrnıch sil

Spravne hodnoty reakcı jsou tedy:Raz = Rbz = 13, 5 [kN] (↑) aMay = May = 19, 5 [kNm] (proti, po).Prubeh ohybovych momentu je dan kubickou parabolou s rovnicı:

ML(x) = −Ma,y +Ra,z · x−

q · x3

6 · 4, 5. (9.18)

Nejvetsı ohybovy moment se nachazı v prurezu s nulovou hodnotou posouvajıcı sıly, tedyuprostred nosnıku (x = 4, 5 [m]). Po dosazenı do 9.18 lze zıskat hodnotu:

MLmax = −Ma,y +Ra,z · 4, 5−

q · 4, 53

6 · 4, 5= −19, 5 + 13, 5 · 4, 5− q · 4, 52

6= 21 [kNm] . (9.19)

Vysledne prubehy posouvajıcıch sil a ohybovych momentu jsou uvedeny na obr. 9.15 a 9.16.

Obrazek 9.15: Prubeh posouvajıcıch sil na leve polovine Gerberova nosnıku z prıkladu 4. Vprave casti konstrukce bude prubeh asymetricky.

140

9.4. PRIKLAD 4

Obrazek 9.16: Prubeh ohybovych momentu na leve polovine Gerberova nosnıku z prıkladu 4.Na prave polovine bude prubeh symetricky.

141

Kapitola 10

Rovinne nosnıkove soustavy:trojkloubovy nosnık bez tahla a stahlem

10.1 Trojkloubovy ram

Trojkloubovy ram se sklada ze dvou rovinne lomenych nosnıku v rovinne uloze s kloubovymspojenım a podeprenım dvema kloubovymi vodorovne i svisle neposuvnymi podporami. Pokudby byl rovinne lomeny nosnık v rovinne uloze se dvema kloubovymi vodorovne i svisle nepo-suvnymi podporami, jednalo by se o tzv. dvojkloubovy ram, ktery je 1x kinematicky preurcity a1x staticky neurcity. Vlozenım 1 vnitrnıho momentoveho kloubu vznikne soustava kinematickyi staticky urcita.

Pri vypoctu celkem 4 neznamych reakcı ve vnejsıch vazbach se vyuzijı 3 podmınky rovnovahya podmınka, ze ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu je nulovy. Tuto vnitrnısılu lze pocıtat z obou stran, cımz lze zıskat dostatecne mnozstvı vypocetnıch podmınek i kekontrole.

Jednotny postup pro vypocet reakcı ve vnejsıch vazbach pak muze vypadat nasledovne:

1. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k prave podpore∑Mb = 0,

2. Ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu pocıtany zleva MLc = 0,

3. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k leve podpore∑Ma = 0,

4. Ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu pocıtany zprava MPc = 0,

5. Kontrolnı soucet vsech vnejsıch sil ve svislem smeru Rz = 0,

6. Kontrolnı soucet vsech vnejsıch sil ve vodorovnem smeru Rx = 0.

V prıpade, ze vnejsı vazby v bodech a a b nelezı ve stejne vyskove urovni, rovnice 1 a 2,resp. 3 a 4 predstavujı dvojici soustav 2 rovnic o dvou neznamych. V opacnem prıpade mohoubyt rovnice 1 az 4 pri vhodnem poradı ve vypoctu vzdy jen s jednou neznamou.

142

10.2. PRIKLAD 1

10.2 Prıklad 1

Postup vypoctu reakcı a vnitrnıch sil lze procvicit u trojklouboveho ramu, jehoz staticke schemaje zobrazeno na obr. 10.1.

Obrazek 10.1: Schema trojkloubov0ho r8mu z prıkladu 1

10.2.1 Vypocet reakcı

1. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k leve podpore:

∑Ma = 0 : −P1 · 1, 5 +Q · 2 + P2 · 2−Rb · 4 = 0 ⇒ Rb = 2, 75 [kN] (↑) , (10.1)

2. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k prave podpore:

∑Mb = 0 : Ra · 4− P1 · 5, 5−Q · 2 + P2 · 2 = 0 ⇒ Ra = 3, 25 [kN] (↑) , (10.2)

143

10.2. PRIKLAD 1

3. Ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu pocıtany zleva:

MLc = 0 : Ha · 4− P1 · 1, 5 = 0 ⇒ Ha = 0, 75 [kN] (←) , (10.3)

4. Ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu pocıtany zprava:

MPc = 0 : Hb · 4 +Rb · 4 + P2 · 2−Q · 2 = 0 ⇒ Hb = 2, 25 [kN] (←) , (10.4)

5. Kontrolnı soucet vsech vnejsıch sil ve vodorovnem smeru Rx = 0.

Rx = 0 : −Ha −Hb + P2 = 0 . (10.5)

6. Kontrolnı soucet vsech vnejsıch sil ve svislem smeru:

Rz = 0 : Ra +Rb − P1 −Q = 0 , (10.6)

10.2.2 Prubehy vnitrnıch sil

Vypocet vnitrnıch sil se pak provadı s vyuzitım podmınek rovnovahy tradicnım zpusobem.Vysledne prubehy normalovych a posouvajıcıch sil jsou uvedeny na obr. 10.2 a 10.3, prubehyohybovych momentu pak na obr. 10.4.

Obrazek 10.2: Prubeh normalovych sil na trojkloubovem ramu z prıkladu 1

144

10.3. TROJKLOUBOVY RAM S TAHLEM

Obrazek 10.3: Prubeh posouvajıcıch sil na trojkloubovem ramu z prıkladu 1

Obrazek 10.4: Prubeh ohybovych momentu na trojkloubovem ramu z prıkladu 1

10.3 Trojkloubovy ram s tahlem

U trojklouboveho ramu vznikajı vodorovne slozky reakcı (jsou vetsı cım mensı je prevysenıkloubu oproti spojnici podporovych bodu). Zachycenı techto vodorovnych ucinku je nekdyobtızne, nebot’ konstrukce muze byt ulozena na zdech nebo stıhlych sloupech, ktere nemusıbyt schopny tyto vodorovne sıly unest. Resenım je proto vyuzitı tahla, ktere vodorovne ucinkyprenası. Konstrukce, na ktere trojkloubovy ram spocıva, pak nenı zatızena vodorovnymi ucinky

145

10.4. PRIKLAD 2

(pokud na trojkloubovy ram ale nepusobı vodorovne zatızenı).Postup pro vypocet reakcı ve vnejsıch vazbach se pak nelisı od vypoctu napr. u lomeneho

nosnıku:

1. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k leve podpore∑Ma = 0 ⇒ Rbz,

2. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k prave podpore∑Mb = 0 ⇒ Raz,

3. Soucet vsech vnejsıch sil ve vodorovnem smeru Rx = 0 ⇒ Rax nebo Rbx.

4. Kontrolnı soucet vsech vnejsıch sil ve svislem smeru Rz = 0.

Normalova sıla v tahle Nt se pak urcı z podmınky, ktera se vaze k vnitrnımu momentovemukloubu - ohybovy moment je v nem nulovy. Tuto vnitrnı sılu lze pocıtat z obou stran, cımz lzekrome urcenı hodnoty sıly v tahle Nt provest take jejı kontrolu.

10.4 Prıklad 2

Postup vypoctu reakcı, sıly v tahle Nt a vnitrnıch sil lze procvicit u trojklouboveho ramu stahlem, jehoz staticke schema je zobrazeno na obr. 10.5.

Obrazek 10.5: Schema trojklouboveho ramu s tahlem z prıkladu 2

146

10.4. PRIKLAD 2

10.4.1 Vypocet reakcı

Vypocet reakcı je nasledujıcı:

1. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k leve podpore:

∑Ma = 0 : −Q · 2, 5− P · 7 +M +Rb · 5 = 0 ⇒ Rb = 8, 8 [kN] (↑) , (10.7)

2. Soucet vsech vnejsıch sil ve vodorovnem smeru:

Rx = 0 : −Ha + P = 0 ⇒ Ha = 3 [kN] (←) , (10.8)

3. Soucet statickych momentu na cele konstrukci k prave podpore:

∑Mb = 0 : −Ra · 5 +Q · 2, 5− P · 5 +M −Ha · 2 = 0 ⇒ Ra = 1, 2 [kN] (↑) , (10.9)

4. Kontrolnı soucet vsech vnejsıch sil ve svislem smeru:

Rz = 0 : Ra +Rb −Q = 0 . (10.10)

10.4.2 Vypocet sıly v tahle

Sılu v tahle Nt lze s vyuzitım schematu na obr. 10.6 urcit nasledujıcım zpusobem:

1. Ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu pocıtany zleva:

MLc = 0 : Ha · 7−Nt · 5 = 0 ⇒ Nt = 4, 2 [kN] , (10.11)

2. Ohybovy moment ve vnitrnım momentovem kloubu pocıtany zprava:

MPc = 0 : M +Rb · 5−Nt · 5−Q · 2, 5 = 0 ⇒ Nt = 4, 2 [kN] . (10.12)

10.4.3 Prubehy vnitrnıch sil

Vypocet vnitrnıch sil se pak provadı s vyuzitım podmınek rovnovahy tradicnım zpusobem.Vysledne prubehy normalovych a posouvajıcıch sil jsou uvedeny na obr. 10.7 a 10.8. Prubehyohybovych momentu jsou pak zobrazeny na obr. 10.9.

147

10.4. PRIKLAD 2

Obrazek 10.6: Schema pro urcenı sıly v tahle trojkloubovem ramu s tahlem z prıkladu 2

Obrazek 10.7: Prubeh normalovych sil na trojkloubovem ramu s tahlem z prıkladu 2

148

10.4. PRIKLAD 2

Obrazek 10.8: Prubeh posouvajıcıch sil na trojkloubovem ramu s tahlem z prıkladu 2

Obrazek 10.9: Prubeh ohybovych momentu na trojkloubovem ramu s tahlem z prıkladu 2

149

Kapitola 11

Rovinne nosnıkove soustavy :Prıhradovy nosnık

Prıhradovy nosnık je rovinna nosnıkova soustava tvorena z jednotlivych prutu navzajem klou-bove spojenych ve stycnıcıch (uzlech). Osy vsech prutu lezı v teze rovine. Prıhradovy nosnık jezatızen zpravidla jen bodovym zatızenım ve stycnıcıch a v dusledku toho vznikajı v konstrukcipouze normalove sıly. Pokud na nektery prut nosnıku pusobı take mimostycnıkove zatızenı,transformuje se se toto zatızenı jeste ped vypoctem vnitrnıch sil na zatızenı stycnıkove [1].

Dalsı vyklad bude zameren na resenı vnitrnıch sil zjednodusenou stycnıkovou metodou ametodou prusecnou v Ritterove uprave. Metoda stycnıkova je zalozena na resenı rovnovahy vestycnıcıch, metoda prusecna na resenı rovnovahy pomyslne oddelene casti konstrukce. Spravnouvolbou podmınky rovnovahy je mozne spocıtat hledanou normalovou sılu prave z teto jedinerovnice.

U metody prusecne je nutne dodrzet tyto zasady:

1. Prıhradova konstrukce je myslenym rezem rozdelena na 2 samostatne casti.

2. Rez je veden prave pres 3 pruty, z nichz alespon 1 je prut, z nemz je potreba zjistitnormalovou sılu.

3. Tyto 3 pruty se nesmı protınat v jednom bode.

11.1 Prıklad - prıhradova konstrukce 1

Spocıtejte vnitrnı sıly konstrukce zjednodusenou stycnıkovou metodou, jejız schema je naobrazku 11.1. Delkove rozmery jsou v [m] .

Vypocet reakcı a goniometrie sikmych prutu

U vypoctu reakcı je potreba uvazovat konstrukci jako tuhy celek podle obrazku 11.2 a neznameslozky reakcı spocıtat klasickym zpusobem pomocı podmınek rovnovahy, z kterych v tomtoprıpade vychazı:

150

11.1. PRIKLAD - PRIHRADOVA KONSTRUKCE 1


Obrazek 11.2: Schema pro vypocet reakcı prıkladu 11.1

Rax = 6,828 [kN] ,

Rbx = 7,535 [kN] ,

Rbz = 1,707 [kN] .

(11.1)

Pred resenım vnitrnıch sil je nutne definovat goniometricke funkce uhlu sklonu sikmychprutu (nikoli hodnoty techto uhlu). Nasledne je doporuceno zakreslit uvazovane uhly do schematupodle obrazku 11.3. Je na ctenari potvrdit:

l2 = l5 = 2,236 [m] ,

sinα = 0,4472 [−] ,

cosα = 0,8944 [−] .

(11.2)

Vypocet vnitrnıch sil zjednodusenou stycnıkovou metodou

Schema uvolnenı vsech stycnıku dane konstrukce a nahrazenı ucinku odebranych prutu osovymisilami je na obrazku 11.4. Princip vypoctu zjednodusenou stycnıkovou metodou spocıva v tom,ze rovnovaha v jednotlivych stycnıcıch se resı postupne. Jelikoz bod (stycnık) v rovine ma 2stupne volnosti a pro jeho resenı jsou k dispozici 2 silove podmınky rovnohahy, je nutne zacıt svypoctem stycnıku, ve kterem jsou pouze 2 nezname hodnoty vnitrnıch sil. V prıkladu 11.1 sejedna o stycnıky b nebo c. Specificky je stycnık a, ve kterem je pouze jedna neznama normalovasıla.

151


Obrazek 11.3: Schema geometrie nosnıku prıkladu 11.1

Obrazek 11.4: Schema pro resenı stycnıkovou metodu

Je na ctenari potvrdit nıze uvedene vysledky:

Rovnovaha ve stycnıku a:Resenım podmınky rovnovahy ve smeru osy x vychazı:

N1 = Rax = 6,828 [kN] . (11.3)

Rovnovaha ve stycnıku b:Resenım podmınky rovnovahy ve smeru osy z vychazı:

N2z = N2 · sinα [kN] ,

N2 = −3,817 [kN] .(11.4)

Resenım podmınky rovnovahy ve smeru osy x vychazı:

N2x = N2 · cosα [kN] ,

N3 = −4,121 [kN] .(11.5)

Rovnovaha ve stycnıku e:Ve stycnıku e jsou jiz zname velikosti sil N1 (z rovnovahy ve stycnıku a) a N2 (z rovnovahy vestycnıku b). Resenım podmınek rovnovahy ve stycnıku e ve smerech os x i z (soustava 2 rovnico 2 neznamych) vychazı:

N5 = 3,817 [kN] ,

N6 = 0,0 [kN] .(11.6)

152


Rovnovaha ve stycnıku c:Ve stycnıku c je znama N5 z rovnovahy ve stycnıku e. Resenım podmınky rovnovahy ve stycnıkuc ve smeru osy x vychazı:

N4 = −4,121 [kN] . (11.7)

Rovnovaha ve stycnıku d:Rovnovahu ve stycnıku d nenı nutne resit, vsechny hodnoty vnitrnıch sil definovany. Je ovsemmozne provest kontrolu, zda opravdu soucet vsech sil pusobıcıch na stycnık d v obou smerechje nulovy.

Zaverecny vypis:

Na zaver vyresene ulohy je potreba prehledne vypsat hodnoty vsech reakcı i normalovych silvcetne znamenek.

Rax = 6,828 [kN] ,

Rbx = 7,535 [kN] ,

Rbz = 1,707 [kN] ,

N1 = 6,828 [kN] ,

N2 = −3,817 [kN] ,

N3 = −4,121 [kN] ,

N4 = −4,121 [kN] ,

N5 = 3,817 [kN] ,

N6 = 0,0 [kN] .

(11.8)


Spocıtejte vnitrnı sıly konstrukce z prıkladu 11.1 zmetodou prusecnou v Ritterove uprave, jejızschema je na obrazku 11.1. Delkove rozmery jsou v [m] .

Metodou prusecnou v Ritterove uprave je mozno spocıtat vsechny normalove sıly, nebot’

splnujı podmınky uvedene v uvodu kapitoly. Pokud by nektera z vnitrnıch sil jednu z podmıneknesplnovala, bylo by nutne jejı hodnotu dopocıtat zjednodusenou stycnıkovou metodou.

Vypocet normalove sıly N1:Pro vypocet sıly N1 je potreba provest mysleny rez podle obrazku 11.5. Pro obe pomyslneoddelene casti konstrukce (levou i pravou) je vhodne zvolit momentovou podmınku rovnovahyk bodu b, k tzv. momentovemu stredu sıly N1, nebot’ zbyvajıcı 2 nezname v danem rezu N2

a N3 tımto bodem prochazejı a v rovnici nefigurujı. V leve casti pomysle oddelene konstrukcevytvarejı moment k bodu b sıly Rax a N1, v prave casti pak N1 a F1.

Pri spravnem resenı vyjde z obou resenı:

N1 = 6,828 [kN] . (11.9)

153


Obrazek 11.5: Schema pro resenı metodou prusecnou, sıly N1, N2 a N3

154


Vypocet normalove sıly N2:Pro vypocet sıly N2 je potreba provest mysleny rez podle obrazku 11.5 nebo podle obrazku 11.6.

V prıpade volby rezu dle 11.6 je pro obe pomyslne oddelene casti konstrukce (levou i pravou)vhodne zvolit momentovou podmınku rovnovahy k bodu d, k tzv. momentovemu stredu sılyN2, nebot’ zbyvajıcı 2 nezname v danem rezu N4 a N6 tımto bodem prochazejı a v rovnicinefigurujı. V leve casti pomysle oddelene konstrukce vytvarejı moment k bodu b sıly Rbz az-ova slozka sıly N2, v prave casti pak x-ova slozka sıly N2 a sıly F1 i Rax.

V prıpade volby rezu dle 11.5 vystupujı zbyvajıcı 2 nezname v rezu N1 a N3. Tyto sıly jsourovnobezne, tudız nelze najıt bod (momentovy stred sıly N2), ke kteremu by tyto sıly soucasnenevytvarely otacivy ucinek. Je potreba zvolit silovou podmınku rovnovahy pro obe pomyslneoddelene casti. Opet platı pravidlo, ze je vhodne zvolit podmınku rovnovahy tak, aby sıly, kterenenı potreba resit v rovnici nefigurovaly. Toto je mozne pouze v prıpade, bude-li zvolena silovapodmınka rovnovahy ve smeru kolmem ke zbyvajıcım rovnobeznym silam N1 a N3, tedyv tomto prıpade ve smeru osy z. V leve casti pomysle oddelene konstrukce vytvarejı momentk bodu b sıly Rbz a z-ova slozka sıly N2, v prave casti pak z-ova slozka sıly N2 a sıla F1.

Pri spravnem resenı vyjde ze vsech resenı:

N2 = −3,817 [kN] . (11.10)

Vypocet normalove sıly N3:Pro vypocet sıly N3 je potreba provest mysleny rez podle obrazku 11.5 nebo 11.7. V prıpadevolby rezu dle 11.5 je pro obe pomyslne oddelene casti konstrukce (levou i pravou) je vhodnezvolit momentovou podmınku rovnovahy k bodu e, k tzv. momentovemu stredu sıly N3, nebot’

zbyvajıcı 2 nezname v rezu N1 a N2 tımto bodem prochazejı a v rovnici nefigurujı. V leve castipomysle oddelene konstrukce vytvarejı moment k bodu e sıly N3, Rbx a Rbz, v prave casti pakN3, F1 a F2.


N3 = −4,121 [kN] . (11.11)

Vypocet normalove sıly N4:Pro vypocet sıly N4 je potreba provest mysleny rez podle obrazku 11.6. Pro obe pomyslneoddelene casti konstrukce (levou i pravou) je vhodne zvolit momentovou podmınku rovnovahyk bodu e, k tzv. momentovemu stredu sıly N4, nebot’ zbyvajıcı 2 nezname v rezu N2 a N6 tımtobodem prochazejı a v rovnici nefigurujı. V leve casti pomysle oddelene konstrukce vytvarejımoment k bodu e sıly N4, Rbx a Rbz, v prave casti pak N4, F1 a F2.


N4 = −4,121 [kN] . (11.12)

Vypocet normalove sıly N5:Pro vypocet sıly N5 je potreba provest mysleny rez podle obrazku 11.7. Pro obe pomyslneoddelene casti konstrukce (levou i pravou) je vhodne zvolit momentovou podmınku rovnovahyk bodu d, k tzv. momentovemu stredu sıly N5, nebot’ zbyvajıcı 2 nezname v rezu N3 a N6 tımtobodem prochazejı a v rovnici nefigurujı. V leve casti pomysle oddelene konstrukce vytvarejı

155


moment k bodu d x-ova slozka sıly N5 a sıly Rax i Rbz, v prave casti pak z-ova slozka sıly N5

a sıla F1.


N5 = 3,817 [kN] . (11.13)


Vypocet normalove sıly N6:Pro vypocet sıly N6 je potreba provest mysleny rez podle obrazku 11.6 nebo podle obrazku 11.7.

V prıpade volby rezu dle 11.6 je pro obe pomyslne oddelene casti konstrukce (levou i pravou)vhodne zvolit momentovou podmınku rovnovahy k bodu b, k tzv. momentovemu stredu sılyN6, nebot’ zbyvajıcı 2 nezname v rezu N2 a N4 tımto bodem prochazejı a v rovnici nefigurujı. Vleve casti pomysle oddelene konstrukce vytvarı moment k bodu b pouze sıla N6, v prave castiN6, Rax a sıla F1.

156


V prıpade volby rezu dle 11.7 je pro obe pomyslne oddelene casti konstrukce (levou i pravou)vhodne zvolit momentovou podmınku rovnovahy k bodu c, k tzv. momentovemu stredu sılyN6, nebot’ zbyvajıcı 2 nezname v rezu N3 a N5 tımto bodem prochazejı a v rovnici nefigurujı. Vleve casti pomysle oddelene konstrukce vytvarejı moment k bodu c sıly N6, Rax a Rbz, v pravecasti pak pouze sıla N6.Pri spravnem resenı vyjde z obou resenı:

N6 = 0,0 [kN] . (11.14)

Na zaver vyresene ulohy je potreba prehledne vypsat hodnoty vsech reakcı i normalovychsil vcetne znamenek, jak bylo uvedeno v prıkladu 11.1.


157



Spocıtejte vnitrnı sıly konstrukce z prıkladu 11.3 zmetodou prusecnou v Ritterove uprave, jejızschema je na obrazku 11.8. Delkove rozmery jsou v [m] .

Prıhradova konstrukce je shodna s konstrukcı v prıkladu 11.2, je vsak otocena o 90o. Jedinazmena ve vypoctu oproti predeslemu prıkladu spocıva v resenı sıly N2 pomocı mysleneho rezudle obrazku 11.8.

Jelikoz zbyvajıcı nezname sıly N1 a N3 jsou rovnobezne a ve smeru osy z, je nutne v tomtoprıpade sestavit silovou podmınku rovnovahy pro obe pomyslne oddelene casti ve smeruosy x, cımz se lisı od predesleho prıkladu.

Dalsı postup i vsechny vysledky jsou shodne s predeslym prıkladem s tım, ze jsou zamenenyvsechny x-ove slozky sil za z-ove.

Na zaver vyresene ulohy je potreba prehledne vypsat hodnoty vsech reakcı i normalovychsil vcetne znamenek, jak bylo uvedeno v prıkladu 11.1.


158



Spocıtejte vnitrnı sıly konstrukce, jejız schema je na obrazku 11.9. Delkove rozmery jsou v [m] .

Obrazek 11.9: Schema prurezu prıkladu 11.4

Napoveda pro resenı metodou prusecnou:

Metodou prusecnou lze resit normalove sıly vsech prutu krome N1 a N11, ktere nesplnujıpodmınky uvedene v uvodu kapitoly. Je nutne jejich hodnotu dopocıtat zjednodusenou stycnıkovoumetodou.

U vsech normalovych sil sikmych prutu krome N10 je nutne davat velky pozor na sesta-vovanı momentovych podmınek rovnovahy, nebot’ v rovnicıch figurujı jejich slozky x-ove i z-ovesoucasne. U nekterych sil pri vypoctu z obou stran, u nekterych pouze z jedne strany.

Vysledky resenı

Rax = 10,0 (→) [kN] ,

Rax = 10,0 (↑) [kN] ,

Rbz = 5,0 (↑) [kN] ,

N1 = −5,0 [kN] ,

N2 = 11,18 [kN] ,

N3 = −14,14 [kN] ,

N4 = 0,0 [kN] ,

N5 = 5,0 [kN] ,

N6 = 0,0 [kN] ,

N7 = −11,18 [kN] ,

N8 = 10,0 [kN] ,

N9 = 0,0 [kN] ,

N10 = −11,18 [kN] ,

N11 = 10,0 [kN] .

(11.15)

159

Kapitola 12

Prurezove charakteristiky

V teto kapitole bude na prıkladech vysvetlen vypocet prurezovych charakteristik slozenychprurezu [1], ktere jsou potrebne jak pro dimenzovanı prutu (stanovenı unosnosti, napetı ipretvorenı (predmet Pruznost a plasticita)), tak i pri vypoctu staticky neurcitych konstrukcı(predmety Pruznost a plasticita i dalsı navazujıcı).

V prvnım prıkladu 12.1 je uveden popis vypoctu i s podrobnym komentarem, cımz jecastecne vysvetlena take teorie dane problematiky.

12.1 Prıklad - slozeny prurez 1

Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu dle obrazku 12.1 vlevo. Rozmery jsou v [mm] .

Obrazek 12.1: Schema prurezu prıkladu 12.1

12.1.1 Plocha slozeneho prurezu [m2]

Kazdy slozeny prurez je potreba rozdelit na dılcı zakladnı plochy. Moznostı se nabızı vıce,napr. obr. 12.1. Vysledna plocha prurezu je pak dana souctem dılcıch zakladnıch. Pro resenı

160

12.1. PRIKLAD - SLOZENY PRUREZ 1

prurezovych charakteristik nami zadaneho prurezu je pouzito rozdelenı dle obr. 12.1 uprostrednebo obr. 12.2.

A1 = 40 · 10 = 400 [mm2] ,

A2 = 20 · 40 = 800 [mm2] ,

A3 = 50 · 20 = 1000 [mm2] ,

A =∑

Ai = 2,2 · 103 [mm2] = 2,2 · 10−3 [m2] .

(12.1)

Poznamka

V prıpade otvoru v prurezu se pri vypoctu celkove plochy jeho dılcı plocha odecıta.

12.1.2 Staticky moment plochy [m3]

Stejne jako staticky moment sıly (kap. 2) je mozne definovat staticky moment plochy vztazenyk libovolne ose (Sx, Sz). Pokud nenı urceno jinak, je u vypoctu teziste (viz dale) vyhodnepomocnou (vychozı) souradnou soustavu xz, ke ktere bude pocıtan staticky moment plochy vests pocatkem v levem hornım rohu slozeneho prurezu (obr. 12.2). Tım je zajisteno, ze vsechnydılcı plochy i vzdalenosti jejich tezist’ jsou v kladnem smeru os .

Velikost momentu je dan soucinem velikosti plochy a jejı vzdalenosti od osy, pricemz pusobisteprıslusne plochy je uvazovano jejı teziste. Znamenkova konvence statickeho momentu plochyje shodna jako u statickeho momentu sıly (kladny smer otacenı je proti smeru hodinovychrucicek). Velikosti dılcıch ploch jsou znamy z (12.1), polohy dılcıch tezist’ lze jednoduse defino-vat dle obr. 12.2.

Staticky moment plochy se pouzıva pri vypoctu teziste slozene plochy, viz nasledujıcı kapi-tola.

Sx,i = Ai · zT i [m3] ,

Sz,i = −Ai · xT i [m3] .(12.2)

Poznamka

Stejne jako u soustav sil (kap. 2) platı:Soucet statickych momentu vsech dılcıch ploch prurezu k libovolne ose je je shodny se statickymmomentem celkove plochy ke stejne ose.

161


Obrazek 12.2: Schema pro vypocet teziste prurezu prıkladu 12.1

162


12.1.3 Poloha teziste slozeneho prurezu [m]

Teziste slozeneho obrazce se pocıta ze znamych vztahu, ktere byly zıskany s vyuzitım pravidlauvedeneho v poznamce vyse:

xT =

∑Ai · xT,i∑Ai

[m] , (12.3)

zT =

∑Ai · zT,i∑Ai

[m] . (12.4)

Pro odvozenı techto vztahu je potreba zavest do tezist’ dılcıch ploch Ti fiktivnı sıly ovelikosti danych ploch Ai ve smeru os x nebo z dle obr. 12.2. Tım se zıskajı 2 soustavy fiktivnıchrovnobeznych sil, ktere majı shodne vlastnosti se skutecnou soustavou rovnobeznych sil (kap. 2).Definovanım statickeho stredu techto rovnobeznych sil jsou dany souradnice teziste slozenehoobrazce.

xT =

∑Ai · xT,i∑Ai

=A1 · xT,1 + A2 · xT,2 + A3 · xT,3

A

=400 · 20 + 800 · 30 + 1000 · 45

2,2 · 103,

= 35,0 [mm] .

(12.5)

zT =

∑Ai · zT,i∑Ai

=A1 · zT,1 + A2 · zT,2 + A3 · zT,3

A

=400 · 5 + 800 · 30 + 1000 · 60

2,2 · 103,

= 39,09 [mm] .

(12.6)

Pomocı vztahu (12.5) a (12.6) jsou definovany souradnice teziste celeho slozeneho obrazcevzhledem k pomocnym osam x; z : T ≡ [35, 0 ; 39, 09] [mm] . Tımto bodem jsou vedenytezistnı osy xt ; zt (obr. 12.2 dole), ktere se tımto stavajı zakladnımi osami dalsıho vypoctu apomocne (x; z) jiz nebudou jeho soucastı.

Poznamka

V prıpade otvoru v prurezu, budou cleny prıslusne tomuto otvoru [ Ai · xT,i ] v rovnici (12.5)a [ Ai · zT,i ] v rovnici (12.6) odecıtany.

Pro nasledujıcı vypocty bude treba stanovit vzdalenosti tezist’ dılcıch ploch Ti od obouos tezistnıch xt; zt. Vzdalenosti tzv.ramena se vyjadrujı ve skutecnych hodnotach (nikoliabsolutnıch). Je-li teziste dılcı plochy Ti v kladnem smeru od osy xt (prıpadne zt), ma vzdalenosttohoto teziste od prıslusne osy kladnou hodnotu, je-li v zapornem smeru od tezistnıch os, mahodnotu zapornou.

Ramena tezist’ Ti od osy xt se znacı ci, od osy zt pak di a jsou dany vztahy:

163


ci = zT,i − zT [m] ,

di = xT,i − xT [m] .(12.7)

c1 = zT,1 − zT = 5− 39,09 = −34,09 [mm] ,

c2 = zT,2 − zT = 30− 39,09 = −9,09 [mm] ,

c3 = zT,3 − zT = 60− 39,09 = 20,91 [mm] .

(12.8)

d1 = xT,1 − xT = 20− 35 = −15,0 [mm] ,

d2 = xT,2 − xT = 30− 35 = −5,0 [mm] ,

d3 = xT,3 − xT = 45− 35 = 10,0 [mm] .

(12.9)

12.1.4 Momenty setrvacnosti (MS) zakladnıch prurezu [m4]

Moment setrvacnosti je kvadraticky moment plochy vztazeny k jedne (libovolne) ose a je defi-novan zakladnım obecnym vztahem:

Ix =

∫ ∫A

z2 dA [m4] ,

Iz =

∫ ∫A

x2 dA [m4] ,

(12.10)

kde x, z je vzdalenost plochy A od definovane osy z, respektive x.

MS nabyva nejnizsı hodnoty, je-li vztazen k osam prochazejıcıch tezistem, jedna se o centralnımoment setrvacnosti, tezistnı osy pak centralnı osy setrvacnosti. MS nabyva pouze kladnychhodnot, nebot’ vzdalenost x, respektive z jsou 2krat mocneny a je tudız jedno, zda se jedna ovzdalenost v kladnem ci zapornem smeru od sledovane osy.

Poznamka

Ve stavebnı mechanice byva nejcastejsım pozadavkem stanovenı prave tohoto centralnıhoMS. V bezne praxi se vsak casto hovorı o ”momentu setrvacnosti”s tım, ze se automatickyuvazuje ”centralnı moment setrvacnosti”.

Rovnice pro vypocet momentu setrvacnosti (centralnıch MS) zakladnıch prurezu

Resenım integralu (12.10) se zıskajı zname vzorce pro MS zakladnıch prurezu (kruh, mezikruzı,obdelnık, ctverec, trojuhelnık...).

Zadany slozeny prurez prıkladu 12.1 je tvoren tremi obdelnıky. Rovnice pro vypocet mo-mentu setrvacnosti obdelnıku k jeho vlastnım tezistnım osam v obecnem tvaru jsou:

Ix =1

12· b · h3 [m4] ,

Iz =1

12· h · b3 [m4] .

(12.11)

164


Poznamka

Platı obecne pravidlo, ze velicina, ktera je v zakladnıch rovnicıch (12.11) mocnena predstavujerozmer, jez je kolmy k dane ose. Konkretne viz. (12.12) a (12.13).

Momenty setrvacnosti dılcıch ploch zadaneho prurezu

Jedna se o momenty setrvacnosti Ix,i; Iz,i dılcıch ploch Ai vztazenych k jejich vlastnım tezistnımosam xt,i ; zt,i :

Ix,1 =1

12· 40 · 103 = 3,333 · 103 [mm4] = 3,333 · 10−9 [m4] ,

Ix,2 =1

12· 20 · 403 = 0,1066 · 106 [mm4] = 0,1066 · 10−6 [m4] ,

Ix,3 =1

12· 50 · 203 = 33,333 · 103 [mm4] = 33,333 · 10−9 [m4] .

(12.12)

Iz,1 =1

12· 10 · 403 = 53,33 · 103 [mm4] = 53,33 · 10−9 [m4] ,

Iz,2 =1

12· 40 · 203 = 26,66 · 103 [mm4] = 26,66 · 10−9 [m4] ,

Iz,3 =1

12· 20 · 503 = 208,33 · 103 [mm4] = 208,33 · 10−9 [m4] .

(12.13)

12.1.5 Momenty setrvacnosti prurezu k posunutym osam [m4]

MS prurezu k libovolne posunute ose (x), resp. (z) je definovan tzv. Steinerovou vetou:

Ix = Ix + A · c2 [m4] ,

Iz = Iz + A · d2 [m4] ,(12.14)

kde:

A [m2] .......... plocha prurezu,

Ix , Iz [m4] ... centralnı momenty setrvacnosti prurezu,

c , d [m] ....... vzdalenost teziste prurezu od posunute osy x, resp. z.

12.1.6 Centralnı momenty setrvacnosti slozeneho prurezu [m4]

Moment setrvacnosti slozeneho prurezu k urcite ose je dan souctem momentu setrvacnostidılcıch ploch k teto ose. Pokud se jedna o osu prochazejıcı tezistem, jedna se o centralnı MS.Matematicky toto popisuje opet Steinerova veta (??):

Ix =∑

(Ix,i + Ai · c2i ) [m4] ,

Iz =∑

(Iz,i + Ai · d2i ) [m4] ,(12.15)

kde:

Ai [m2] ............ plocha dılcıch prurezu (12.1),

Ix,i , Iz,i [m4] ... momenty setrvacnosti (centralnı) dılcıch prurezu (12.12) a (12.13),

ci , di [m] ........ ramena tezist’ (12.8) a (12.9),

165


a tım:Ix = [ Ix,1 + A1 · c21 ] + [ Ix,2 + A2 · c22 ] + [ Ix,3 + A3 · c23 ]

= [ 3,33 · 103 + 400 · (−34,9)2 ]

+ [ 106,66 · 103 + 800 · (−9,09)2 ]

+ [ 33,33 · 103 + 1000 · (20,91)2 ]

= 1,1115 · 106 [mm4] = 1,115 · 10−6 [m4] ,

(12.16)

Iz = [ Iz,1 + A1 · d21 ] + [ Iz,2 + A2 · d22 ] + [ Iz,3 + A3 · d23 ]

= [ 53,33 · 103 + 400 · (−15,0)2 ]

+ [ 26,66 · 103 + 800 · (−5,, 0)2 ]

+ [ 208,33 · 103 + 1000 · (10,0)2 ]

= 0,49833 · 106 [mm4] = 0,49833 · 10−6 [m4] .

(12.17)

Poznamka

Clen [ Ix,1 + A1 · c21 ] v rovnici (12.16) vyjadruje moment setrvacnosti prurezu 1 vztazeny ktezistnı ose celeho prurezu xt. Analogicky to platı pro dalsı cleny i prurezy v rovnicıch (12.16) a (12.17).Souctem momentu setrvacnosti vsech dılcıch prurezu vzhledem tezistnı ose se zıska centralnımoment setrvacnosti celeho prurezu, coz je slovnı vyjadrenı Steinerovy vety (12.14) i rov-nic (12.16) a (12.17).

Poznamka

V prıpade otvoru v prurezu, budou cleny prıslusne tomuto otvoru [ Ix,i+Ai·c2i ] v rovnici (12.16)a [ Iz,i + Ai · d2i ] v rovnici (12.17) odecıtany.

12.1.7 Deviacnı moment [m4]

Deviacnı moment je dulezitou velicinou pro definovanı hlavnıch centralnıch MS (kap. 12.1.6).Jedna se o kvadraticky moment plochy vztazeny k dvema vzajemne kolmym osam a je definovanzakladnım obecnym vztahem:

Dxz =

∫ ∫A

x · z dA [m4] , (12.18)

kde:

A [m2] ...... plocha prurezu,

x [m] ........ vzdalenost plochy A od definovane osy z,

z [m] ........ vzdalenost plochy A od definovane osy x,

Deviacnı moment nabyva kladnych i zapornych hodnot, znamenko zavisı na soucinu vzdalenostıos x · z. Pro jednoose ci dvouose symetricke prurezy ma vzdy nulovou hodnotu.

166


Poznamka

Stejne jako momenty setrvacnosti i deviacnı momenty je mozne vztahovat k libovolnym (vzajemnekolmym) osam nebo k osam (vzajemne kolmym) prochazejıcıch tezistem. V druhem prıpade sejedna o centralnı deviacnı moment. Ve stavebnı mechanice byva nejcastejsım pozadavkem sta-novenı prave tohoto centralnıho deviacnıho momentu. V bezne praxi se vsak casto hovorıo ”deviacnım momentu”s tım, ze se automaticky uvazuje ”centralnı deviacnı moment”.

Deviacnı momenty dılcıch ploch zadaneho prurezu

Zadany slozeny prurez prıkladu 12.1 je tvoren tremi obdelnıky. Jedna se o symericke prurezy,tudız deviacnı momenty k jejich vlastnım tezistnım osam jsou nulove.

Dxz,1 = Dxz,2 = Dxz,3 = 0 [m4] . (12.19)

Deviacnı moment prurezu k posunutym osam [m4]

Deviacnı moment prurezu k libovolne posunutym osam x, z nabyva kladnych i zapornych hod-not a stejne jako momenty setrvacnosti je definovan Steinerovou vetou:

Dxz = Dxz + A · c · d [m4] , (12.20)

kde:

A [m2] .......... plocha prurezu,

Dxz [m4] ...... deviacnı moment prurezu vztazeny k jeho vlastnım tezistnım osam,

c , d [m] ....... vzdalenost teziste prurezu od posunute osy (x), resp. (z).

Deviacnı moment slozeneho prurezu [m4]

Deviacnı moment slozeneho prurezu k urcite ose je dan souctem momentu setrvacnosti dılcıchploch k teto ose. Matematicky toto popisuje opet Steinerova veta (12.20):

Dxz =∑

(Dxz,i + Ai · ci · di) [m4] , (12.21)

kde:

Ai [m2] ......... plocha dılcıch prurezu (12.1),

Dxz,i [m4] ..... deviacnı momenty dılcıch prurezu, tady v dusledku symetrie Dxz,i = 0,

ci , di [m] ..... ramena tezist’ (12.8) a (12.9),

a tım:

Dxz = [ Dxz,1 + A1 · c1 · d1 ] + [ Dxz,2 + A2 · c2 · d2 ] + [ Dxz,3 + A3 · c3 · d3 ]

= [ 0 + 0, 4 · 103 · (−34,09) · (−15,0) ]

+ [ 0 + 0, 8 · 103 · (−9,09) · (−5,0) ]

+ [ 0 + 1 · 103 · 20,91 · 10,0 ]

= 0,45 · 106 [mm4] = 0,45 · 10−6 [m4] .

(12.22)

167


Poznamka

V prıpade otvoru v prurezu, budou cleny prıslusne tomuto otvoru [ Dxz,i + Ai · ci · di ] v rov-nici (12.22) odecıtany.

12.1.8 Hlavnı centralnı momenty setrvacnosti prurezu [m4]

Hlavnı centralnı momenty setrvacnosti I1 ≡ Imax ; I2 ≡ Imin jsou kvadraticke momentyplochy vztazene k jedne z pootocenych, vzajemne kolmych tezistnıch os x1 ; z2, pricemz k jednez os, napr. x1 nabyva maximalnıch hodnot a k druhe ose, tedy z2 minimalnıch hodnot. Hlavnıcentralnı MS jsou dany vztahem:

I1,2 =1

2· (Ix + Iz)±

1

2·√

(Ix − Iz)2 + 4 ·D2xz [m4] , (12.23)

kde:

Ix , Iz [m4] ... centralnı momenty setrvacnosti prurezu,

Dxz [m4] ........ deviacnı moment prurezu (centralnı),a tım:

I1 =1

2· (Ix + Iz) +

1

2·√

(Ix − Iz)2 + 4 ·D2xz

=1

2· (1,1115 · 106 + 0,49833 · 106)

+1

2·√

(1,1115 · 106 − 0,49833)2 + 4 · (0,45 · 106)2

= 1,3495 · 106 [mm4] = 1,3495 · 10−6 [m4] ,

(12.24)

I2 =1

2· (Ix + Iz)−

1

2·√

(Ix − Iz)2 + 4 ·D2xz

=1

2· (1,1115 · 106 + 0,49833 · 106)

− 1

2·√

(1,1115 · 106 − 0,49833)2 + 4 · (0,45 · 106)2

= 0,2603 · 106 [mm4] = 0,2503 · 10−6 [m4] ,

(12.25)

Poznamka

U symetrickeho prurezu nenı treba I1 ; I2 pocıtat, nebot’ hlavnı centralnı moment setrvacnostije shodny s centralnım momentem setrvacnosti s tım, ze I1 je vetsı z Ix ; Iz a I2 mensı z Ix ; Iz.

12.1.9 Natocenı hlavnıch centralnıch os

Natocenı hlavnıch centralnıch os x1 ; z2, tedy os, ke kterym jsou vztazeny hlavnı centralnı MSI1 ; I2 se spocıtajı ze vztahu:

tgα1 =I1 − IxDxz

=1,3495 · 106 − 1,1115 · 106

0,45 · 106= 0,5288 [−]

⇒ α1 = 27,87 [◦] ,

(12.26)

168


Obrazek 12.3: Schema k hlavnım centralnım MS prıkladu 12.1

tgα2 =I2 − IxDxz

=0,2603 · 106 − 1,1115 · 106

0,45 · 106= −1,8915 [−]

⇒ α2 = −62,13 [◦] ,

(12.27)

Uhel α1 definuje pootocenı tezistnı osy xt od hlavnı centralnı osy x1, uhel α2 pak pootocenırovnez tezistnı osy xt od hlavnı centralnı osy z2. Kladny smer vede od kladneho smeru osy xke kladnemu smeru osy z, tedy ve smeru chodu hodinovych rucicek, viz obrazek 12.3 vlevo.Uhlel α2 ma zapornou hodnotu, cemuz odpovıda pootocenı osy xt od osy z2 v zapornem smeru(proti chodu hodinovych rucicek).

V inzenyrske praxi se vysledky teto ulohy vyuzıvajı k prıpadnemu pootocenı prurezu o uhelα1. Tım je dosazeno, ze osa xt se stava hlavnı centralnı osou x1 (xt ≡ x1) a dany prurez mav teto poloze nejvetsı hodnotu momentu setrvacnosti a tım i nejvetsı tuhost ohybu vzhledemk ose x, viz obrazek 12.3 vpravo. MS daneho prurezu vzhledem k ose z je v tomto prıpadenejmensı.

Dojde-li k pootocenı prurezu o uhel α2 (je zaporny-bude se jednat o pootocenı proti smeruchodu hodinovych rucicek), bude dosazeno nejvetsı hodnoty MS i ohybove tuhosti vzhledemk ose z.

Poznamka

Shodne hodnoty I1 ; I2 budou dosazeny i pri pootocenı prurezu o dalsıch 180 [◦] , tedy celkoveo 207,87 [◦]. Schematicky tuto situaci vystihuje resenı v prıkladu 12.2.

12.1.10 Invariant souctu momentu setrvacnosti

Soucet momentu setrvacnosti ke dvema vzajemne kolmym osam setrvacnosti se pri otacenı obouos kolem pocatku nemenı, zustava invariantnı. Musı byt tedy splnena podmınka:

Ix + Iz = I1 + I2. (12.28)

169


Po dosazenı:

(1,115 · 10−6 + 0,49833 · 10−6) = (1,3495 · 10−6 + 0,2603 · 10−6)

(1,6098 · 10−6) [m4] = (1,6098 · 10−6) [m4] .(12.29)

Podmınka je splnena.

12.1.11 Polarnı moment setrvacnosti [m4]

Polarnı moment setrvacnosti je kvadraticky moment plochy vztazeny k jednomu bodu a jedefinovan zakladnım obecnym vztahem:

Ip =

∫ ∫A

p2 dA [m4] . (12.30)

Po dosazenı s odkazem na (odkazBenebda, , , , , ,) se zıska:

Ip = Ix + Iz [m4] , (12.31)

kde:

Ai [m2] ...... plocha prurezu,

p [m] ......... vzdalenost plochy A od definovaneho bodu P ,

Ix [m4] ....... moment setrvacnosti plochy vztazeny k ose x s pocatkem v bodu P ,

Iz [m4] ....... moment setrvacnosti plochy vztazeny k ose z s pocatkem v bodu P .

Polarnı moment setrvacnosti nabyva pouze kladnych hodnot. Stejne jako momenty se-trvacnosti i polarnı moment setrvacnosti je mozne vztahovat k libovolnemu bodu nebo k prımo ktezisti. V druhem prıpade se jedna o centralnı polarnı moment setrvacnosti. Ve stavebnı mecha-nice byva nejcastejsım pozadavkem stanovenı prave tohoto centralnıho polarnıho momentusetrvacnosti. V bezne praxi se vsak casto hovorı o ”polarnım momentu setrvacnosti”s tım, zese automaticky uvazuje ”centralnı polarnı moment setrvacnosti”.

Polarnı moment setrvacnosti slozeneho prurezu [m4]

Polarnı moment setrvacnosti slozeneho prurezu se pocıta ve vztahu (12.31). Pro prurez zprıkladu 12.1 ma (centralnı) polarnı moment setrvacnosti hodnotu:

Ip = Ix + Iz

= 1,115 · 106 + 0,49833 · 106

= 1,6133 · 106 [mm4] = 1,6133 · 10−6 [m4] .

(12.32)

170


12.1.12 Rekapitulace zakladnıch pojmu

Moment setrvacnosti (MS) Ix ; Iz [m4] - kvadraticky moment plochy vztazeny k libovolne osex resp. z.

Centralnı moment setrvacnosti Ix ≡ Ixt ; Iz ≡ Izt [m4] - kvadraticky moment plochy vztazenyk jedne z tezistnıch os xt ; zt.

Moment setrvacnosti Ix′ ; Iz′ [m4] - kvadraticky moment plochy vztazeny k libovolne pootoceneose x′ resp. z′.

Hlavnı moment setrvacnosti I1 ≡ Imax ; I2 ≡ Imin [m4] - kvadraticky moment plochy vztazenyk jedne z pootocenych, vzajemne kolmych os x′1 ; z′2, pricemz k jedne (x′1) nabyva maximalnıcha k druhe (z′2) minimalnıch hodnot.

Hlavnı centralnı moment setrvacnosti I1 ≡ Imax ; I2 ≡ Imin [m4] - kvadraticky moment plochyvztazeny k jedne z pootocenych, vzajemne kolmych tezistnıch os xt,1 ; zt,2, pricemz k jedne(xt,1) nabyva maximalnıch a k druhe (zt,2) minimalnıch hodnot. U symetrickeho prurezu jehlavnı centralnı moment setrvacnosti shodny s centralnım momentem setrvacnosti.

Deviacnı moment Dxz [m4] - kvadraticky moment plochy vztazeny ke dvema vzajemne kolmymosam x ; z.

Centralnı deviacnı momentDxz [m4] - kvadraticky moment plochy vztazeny ke dvema vzajemnekolmym tezistnım osam xt ; zt.

Polarnı moment setrvacnosti Ip - kvadraticky moment plochy vztazeny k jednomu bodu (polu).

Centralnı polarnı moment setrvacnosti Ip - kvadraticky moment plochy vztazeny k tezisti.

Osy setrvacnosti - libovolne umıstene osy (napr.(x; z)), obr. 12.2), ke kterym jsou MS vztazeny.

Centralnı osy setrvacnosti - vzajemne kolme osy prochazejıcı tezistem xt ; zt.

Hlavnı osy setrvacnosti - vzajemne kolme osy x1 ; z2 pootocene tak, ze I1 ≡ Ix,max ; I2 ≡ Iz,min.

Hlavnı centralnı osy setrvacnosti - vzajemne kolme osy prochazejıcı tezistem xt,1 ; zt,2 po-otocene tak, ze I1 ≡ Ixt,max ; I2 ≡ Izt,min.

171



Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu, ktery ma shodne rozmery jako v prıkladu 12.1,ale jeho vychozı poloha je oproti predeslemu zadanı zmenena dle obrazku 12.4 vlevo. Rozmeryjsou v [mm] .

Obrazek 12.4: Schema k prıkladu 12.2

Vysledky resenı

Schema k resenı hlavnıch centralnıch momentu viz obr. 12.4 uprostred a vpravo.

xT = 30,91 [mm] ,

zT = 35,00 [mm] ,

c1 = 15,0 [mm] ,

c2 = 5,0 [mm] ,

c3 = −10,0 [mm] ,

d1 = −25,91 [mm] ,

d2 = −0,91 [mm] ,

d3 = 29,09 [mm] ,

Ix = 0,49833 · 106 [mm4] ,

Iz = 1,115 · 106 [mm4] ,

Dxz = −0,45 · 106 [mm4] ,

Ip = 1,6133 · 106 [mm4] ,

I1 = 1,34955 · 106 [mm4] ,

I2 = 0,2503 · 106 [mm4] ,

α1 = −62,13 [◦] ,

α2 = 27,87 [◦] .

(12.33)

172



Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu dle obrazku 12.5 vlevo. Rozmery jsou v [mm] .

Obrazek 12.5: Schema prıkladu 12.3

Vysledky resenı

Jedna se o slozeny svarovany prurez, jehoz jednu z dılcıch ploch tvorı normalizovany valcovanyprurez (A2 ≡ U180). Plocha i hodnota momentu setrvacnosti valcovaneho prurezu (12.34) jsouzıskane z ocelarskych tabulek. Schema k resenı teziste prurezu i MS viz obr. 12.5 uprostred avpravo.

A2 = 2,8 · 103 [mm2] ,

Ix = 13,50 · 106 [mm4] ,

Iz = 1,13 · 106 [mm4] .

(12.34)

173


xT = 20,82 [mm] ,

zT = 90,00 [mm] ,

c1 = c2 = 0 [mm] ,

d1 = −15,82 [mm] ,

d2 = 8,48 [mm] ,

(12.35)

Ix = 16,3125 · 106 [mm4] ,

Iz = 1,7193 · 106 [mm4] ,

Ip = 18,0353 · 106 [mm4] ,

Dxz = 0 [mm4] ... symetrie ,

I1 = Ix ... symetrie ,

I2 = Iz ... symetrie .

(12.36)


Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu, ktery ma shodne rozmery jako v prıkladu 12.3,ale jeho vychozı poloha je oproti predeslemu zadanı pootocena o 90 ◦ dle obrazku 12.6 nahore.Rozmery jsou v [mm] .

Vysledky resenı

Schema k resenı teziste prurezu i MS viz obr. 12.6 uprostred a dole.

A2 = 2,8 · 103 [mm2] ,

Ix = 1,13 · 106 [mm4] ,

Iz = 13,50 · 106 [mm4] .

(12.37)

xT = 90,00 [mm] ,

zT = 20,82 [mm] ,

d1 = d2 = 0 [mm] ,

c1 = −15,82 [mm] ,

c2 = 8,48 [mm] ,

(12.38)

174



Ix = 1,7193 · 106 [mm4] ,

Iz = 16,3125 · 106 [mm4] ,

Ip = 18,0353 · 106 [mm4] ,

Dxz = 0 [mm4] ... symetrie ,


I2 = Iz ... symetrie .

(12.39)

175




Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu dle obrazku 12.7. Rozmery jsou v [mm] .

Vysledky resenı

A1 = 4,8 · 103 [mm2] ,

A2 = 0,6 · 103 [mm2] ,

xT = 42,86 [mm] ,

zT = 32,14 [mm] ,

d1 = −2,86 [mm] ,

d2 = −22,86 [mm] ,

c1 = −2,14 [mm] ,

c2 = −17,14 [mm] ,

(12.40)

Ix = 1,26571 · 106 [mm4] ,

Iz = 2,24071 · 106 [mm4] ,

Ip = 3,50642 · 106 [mm4] ,

Dxz = −0,20571 · 106 [mm4] ,

I1 = 2,28233 · 106 [mm4] ,

I2 = 1,22409 · 106 [mm4] ,

α1 = −78,56 [◦] ,

α2 = 11,44 [◦] .

(12.41)

176


Kontrola invariantu souctu MS:

(Ix + Iz) = (I1 + I2)

(1,26571 · 106 + 2,24071 · 106) = (2,28233 · 106 + 1,22409 · 106)

(3,50642 · 106) [mm4] = (3,50642 · 106) [mm4] .

(12.42)

Podmınka je splnena.

Schema natocenı hlavnıch centralnıch os setrvacnosti viz obr. 12.8

Obrazek 12.8: Schema natocenı hlavnıch centralnıch os setrvacnosti prıkladu 12.5

Poznamka

Jelikoz prurez 2 je otvor, je nutne ve vsech rovnicıch cleny tykajıcı se tohoto prurezu odecıtat.

177




Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu dle obrazku 12.9. Rozmery jsou v [m] .

Vysledky resenı

A1 = 0,2826 [m2] ,

A2 = 0,0314 [m2] ,

xT = 0,2875 [m] ,

zT = 0,3 [m] ,

d1 = 0,0125 [m] ,

d2 = 0,1125 [m] ,

c1 = c2 = 0 [m] ,

(12.43)

Ix = 62,8 · 10−4 [m4] ,

Iz = 59,2675 · 10−4 [m4] ,

Ip = 122,0675 · 106 [m4] ,

Dxz = 0 [m4] ... symetrie ,

(12.44)


I2 = Iz ... symetrie .(12.45)

178




Spocıtejte prurezove charakteristiky prurezu dle obrazku 12.10. Rozmery jsou v [cm] .

Vysledky resenı

A1 = 20,106 · 103 [mm2] ,

A2 = 0,80 · 103 [mm2] ,

xT = 81,24 [mm] ,

zT = 79,17 [mm] ,

d1 = −1,24 [mm] ,

d2 = −31,24 [mm] ,

c1 = 0,83 [mm] ,

c2 = 20,83 [mm] ,

(12.46)

Ix = 31,81 · 106 [mm4] ,

Iz = 31,31 · 106 [mm4] ,

Ip = 63,12 · 106 [mm4] ,

Dxz = 49,99 · 104 [mm4]

I1 = 32,12 · 106 [mm4] ,

I2 = 31,00 · 106 [mm4] ,

α1 = 31,5 [◦] ,

α2 = 58,5 [◦] .

(12.47)

179

Kapitola 13

Otazky k dane problematice

1. Vysvetlete pojem vyslednice soustavy sil a rovnovazna sıla soustavy sil.

2. Vysvetlete rozdıl mezi podmınkami ekvivalence a podmınkami rovnovahy.

3. Vysvetlete pojem svazek sil.

4. Vysvetlete pojem obecna soustava sil.

5. Uved’te pocet podmınek rovnovahy (resp. ekvivalence) pro prımkovou soustavu sil, prosvazek sil a pro obecnou soustavu sil v rovine.

6. Vysvetlete pojem staticky moment sıly k bodu.

7. Vysvetlete, co vyjadruje tzv. Varignonova veta, uved’te prıklad jejıho pouzitı.

8. Vysvetlete postup vypoctu ramene vyslednice (resp. rovnovazne sıly) vzhledem k pocatkunebo k jinemu bodu v prıpade soustavy rovnobeznych sil.

9. Vysvetlete pojem nosna stavebı konstrukce.

10. Vysvetlete rozdıl mezi vnitrnı a vnejsı vazbou.

11. Nakreslete proste podepreny nosnık, zakreslete reakce a napiste popdmınky rovnovahypro vypocet reakcı vcetne kontroly.

12. Nakreslete konzolovy nosnık, zakreslete reakce a napiste popdmınky rovnovahy pro vypocetreakcı vcetne kontroly.

13. Napiste a zobrazte graficky na prıklade vztahy mezi zatızenım, posouvajıcımi silami aohybovymi momenty na nosnıku zatızenem bodovym zatızenım.

14. Napiste a zobrazte graficky na prıklade vztahy mezi zatızenım, posouvajıcımi silami aohybovymi momenty na nosnıku zatızenem spojitym rovnomernym zatızenım.

15. Napiste a zobrazte graficky na prıklade vztahy mezi zatızenım, posouvajıcımi silami aohybovymi momenty na nosnıku zatızenem spojitym nerovnomernym (trojuhelnıkovym)zatızenım.

180

16. Odvod’te a zobrazte graficky na prıklade vypocet nebezpecneho prurezu na nosnıkuzatızenem spojitym rovnomernym zatızenım a spojitym nerovnomernym (trojuhelnıkovym)zatızenım (z obou stran).

17. Definujte, jakym zpusobem muze byt sikmy nosnık zatızen a jak muze byt zadana inten-zita spojiteho zatızenı.

18. Uved’te vztah mezi intenzitou tehoz spojiteho zatızenı zadaneho na pudorysny prumet ana sikmou delku a z jakeho principu tento vztah vychazı.

19. Popiste obecny postup resenı sikmeho nosnıku, jestlize je zatızen kolmo na svou osu.

20. Popiste obecny postup resenı sikmeho nosnıku, jestlize je zatızen spojitym zatızenımpusobıcım na pudorysny prumet.

21. Charakterizujte rovinny pravouhle lomeny nosnık.

22. Co to jsou”stycnıky“ (uzly) a jak je lze vyuzıt pro kontrolu napr. ohybovych momentu

(naznacte take graficky).

23. Vysvetlete pojem Rovinna nosnıkova soustava.

24. Charakterizujte troujkloubovy nosnık.

25. Charakterizujte troujkloubovy nosnık s tahlem.

26. Charakterizujte Gerberuv nosnık.

27. Vysvetlete rozdıl mezi monolitickym a kloubovym spojenım prutu.

28. Charakterizujte obecne normalovou sılu v libovolnem bode konstrukce, uved’te oznacenı.

29. Charakterizujte obecne posouvajıcı sılu v libovolnem bode konstrukce, uved’te oznacenı.

30. Charakterizujte obecne ohybovy moment v libovolnem bode konstrukce, uved’te oznacenı.

31. Charakterizujte rovinny zakriveny nosnık.

32. Charakterizujte rovinny prıhradovy nosnık.

33. Popiste vnitrnı sıly rovinneho prıhradoveho nosnıku.

34. Vysvetlete pojem moment setrvacnosti.

35. Vysvetlete pojem centralnı moment setrvacnosti.

36. Vysvetlete pojem deviacnı moment.

37. Vysvetlete pojem polarnı moment setrvacnosti.

38. Vysvetlete pojem invariant souctu momentu setrvacnosti.

181

Literatura

[1] BENDA, J. a kol. Stavebnı statika I. VSB-TU Ostrava 2005. ISBN 80-248-0771-8.

[2] KADLCAK, J., KYTYR, J. Statika stavebnıch konstrukcı I. VUTIUM Brno 1998.ISBN 80-214-1204-6.

182

LITERATURA

183

Documents

Stavebni Statika