Dimenzionisanje Linijskih Elemenata u Okviru MKE Programa - Betonske Konstrukcije - Slobodan Popadić

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ARHITEKTONSKO - GRAEVINSKI FAKULTET

Studijski program: graevinarstvo Usmjerenje: konstruktivno

ZAVRNI RAD ZA PRVI CIKLUS Tema: Dimenzionisanje linijskih elemenata u okviru MKE

programa: betonske konstrukcije Predmet: Metod konanih elemenata

Mentor: Student: prof. dr Dragan Milainovi Slobodan Popadi 01/08

Banja Luka, septembar 2012.

SARAJ: UVOD .......................................................................................................................................................... 2

1. OPTE ................................................................................................................................................. 3

1.1. Istorijski razvoj MKE .................................................................................................................. 3

1.2. Koncept MKE ............................................................................................................................. 4

1.3. Predmet i cilj rada ..................................................................................................................... 5

2. OPTE KARAKTERISTIKE BETONA ....................................................................................................... 6

2.1. Proraun prema graninim stanjima .......................................................................................... 6

2.1.1. GRANINA STANJA NOSIVOSTI .......................................................................................... 6

2.2. Osnove i metode prorauna ....................................................................................................... 7

2.2.1. RADNI DIJAGRAM BETONA (RDB) ...................................................................................... 8

2.2.2. PRINCIPI PRORAUNA PRESJEKA. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI ........................................... 9

2.3. Mogua stanja deformacije presjeka ........................................................................................ 9

2.4. Dimenzionisanje presjeka za granine uticaje.........................................................................10

2.4.1. CENTRINO PRITISNUTI ELEMENTI ..................................................................................10

2.4.2. CENTRINO ZATEGNUTI ELEMENTI ..................................................................................11

2.4.3. EKSCENTRINO ZATEGNUTI ELEMENTI MALI EKSCENTRICITET ....................................11

2.4.4. ELEMENTI NAPREGNUTI NA ISTO SAVIJANJE .................................................................11

2.4.5. EKSCENTRINO PRITISNUTI ELEMENTI VELIKI EKSCENTRICITET ...................................16

2.4.6. EKSCENTRINO ZATEGNUTI ELEMENTI VELIKI EKSCENTRICITET ...................................17

2.4.7. EKSCENTRINO PRITISNUTI ELEMENTI MALI EKSCENTRICITET. DIJAGRAMI INTERAKCIJE .....................................................................................................................................17

2.5. Proraun presjeka za granine uticaje transverzalnih sila .......................................................18

2.5.1. PRORAUN ARMATURE ...................................................................................................20

2.6. T presjek ................................................................................................................................20

2.6.1. VEZANO DIMENZIONISANJE .............................................................................................21

2.7. Proraun vitkih elemenata prema graninoj nosivosti ............................................................22

2.7.1. OBLAST SREDNJE VITKOSTI ( 75) ....................................................................23 3. ALGORITAM MODULA ZA BETON .....................................................................................................25

3.1. Uputstvo za rad u programu ....................................................................................................26

3.2. Numeriki primjeri ...................................................................................................................32

4. ZAKLJUAK .......................................................................................................................................63

5. LITERATURA ......................................................................................................................................64

2

UVOD

U okviru predmeta Metod konanih elemenata, s ciljem automatizacije prorauna konstruktivnih sistema, razvijen je jednostavni programski kod za njihov proraun. Ideja o izradi ovakvog programa se javila kao rezultat potrebe za programskim kodom koji bi se mogao koristiti u edukativne svrhe, te koji bi davao rezultate zadovoljavajue tanosti.

Numeriki metod koji je ugraen u ovaj programski kod je metod konanih elemenata (MKE) (Finite Element Method - FEM), koji se danas najee primjenjuje i koji je najefikasniji numeriki metod pri rjeavanju problema u svim granama mehanike.

Razumljivo, u graevinskim konstrukcijama, nakon analize i prorauna uticaja, neophodno je dimezionisati glavne konstruktivne elemente. Stoga je bilo neophodno, pristupiti izradi modula za dimenzionisanje istih. Kako su najei materijali koji se koriste pri izradi konstrukcija, beton, elik i drvo, tako je i stavljen akcenat na ove materijale pri izradi modula koji je i predmet ovog rada.

Zadatak ovog rada je izrada modula za dimenzionisanje poprenih presjeka linijskih elemenata, izraenih od armiranog betona, koji obuhvata poprene presjeke pravougaonog i T oblika, optereene u jednoj ravni. Modul je raen na osnovu Pravilnika BAB 87 i zasniva se na koncepu Graninih stanja, koji je opteprihvaen koncept za dimenzionisanje betonskih konstrukcija, kako kod nas, tako i u svijetu.

Rad se sastoji od etiri cjeline. Prvi dio obrauje opte postavke Metoda konanih elemenata, kao i predmet i ciljeve

rada. Teoretska razrada i pristup konceptu graninih stanja razraeni su u drugoj cjelini.

Obraene su i navedene osnovne fiziko mehanike karakteristike betona kao konstrruktivnog materijala, te navedena mogua stanja deformacije nosaa. U nastavku su obrazloena mogua naponska stanja koja se mogu pojaviti u konstruktivnom elementu, kao i naini i pravila dimenzionisanja i armiranja istih. Takoe je teorijski obraena i problematika djelovanja smiuih napona, kao posljedica dejstva transverzalnih sila na nosa, te navedena pravila prorauna i dimenzionisanja nosaa za osiguranje od djelovanja istih. Objanjen je i princip prorauna T poprenih presjeka svoenjem na pravougaoni oblik. Zatim kao posljednja stavka u ovom dijelu objanjen je proraun vitkih elemenata prema graninij nosivoti.

Trea cjelina se sastoji od razrade i opisa modula za beton koji je izraen u programskom paketu Wolfram Mathematica. Tu se nalazi algoritam, koji je nakon grafikog prikaza, u nastavku slikovito objanjen, koristei dijalog prozore koji su sastavni dio samog modula. Takoe je i detaljno objanjen nain rukovanja programom. U nastavku je obraeno nekoliko primjera iz literature s ciljem poreenja i utvrivanja da li dobijeni rezultati imaju dovoljnu tanost i da li modul moe pouzdano da se koristi kao pomono sredstvo pri radu studenta.

Poslednji dio ini zakljuak, odnosno rezultati ovog diplomskog rada, kao i konstatacija, odnosno, miljenje o tome koliko je program pouzdan te da li ima zadovoljavajuu tanost za korienje.

3

1. OPTE

1.1. Istorijski razvoj MKE Metode strukturalne analize se dijele na analitike i numerike. Primjena analitikih

metoda je ograniena na jednostavne sluajeve za koje je mogue nai rjeenje u zatvorenom obliku. Za sloenu geometriju i sloeno optereenje nije mogue nai rjeenje u analitikom obliku. Zbog toga se koriste numerike metode, a najee je koriten metod konanih elemenata.

Slika1.1 Numerike metode

MKE spada u metode diskretne analize, zasniva se na fizikoj diskretizaciji posmatranog domena dok se ostale numerike metode zasnivaju na matematikoj diskretizaciji graninih problema. Rjeenje problema metodom konanih elemenata svodi se na rjeavanje sistema algebarskih jednaina. Razmatrani domen, kao kontinuum sa beskonano mnogo stepeni slobode, zamjenjuje se diskretnim modelom meusobno povezanih konanih elemenata, sa konanim brojem stepeni slobode [4]. Ideja na kojoj se zasniva MKE je stara nekoliko hiljada godina i pomou njega su rijeeni neki problemi iz geometrije. Sam razvoj metoda je poeo polovinom XX vijeka. Prve radove iz MKE objavio je Alexander Hrennikoff (1896-1984) 1941. godine, koji je rjeavao probleme iz oblasti strukturalne analize i naponske analize vrstog tijela. Odmah poslije toga Nathan Martimore Newmark (1910-1981) i McHenry razvijaju dalje ideju diskretizacije, dok Gabriel Kron (1901-1968) definie geometrijske i topoloke osobine diskretnih sistema [5]. Posebnu ulogu imale su matrice kao vrlo pogodne za primjenu u metodu sila i deformacije. Ova dva metoda za proraun konstrukcija su postala pogodna za primjenu na raunarima [6].

Nakon toga, 1954. godine pojavljuje se niz radova u matrinom konceptu koje je objavio John Hadji Argyris (1913-2004) i saradnici. Prvi rad u kome je izloen savremeni koncept MKE potie iz 1956. godine koji su objavili Turner, Clough, Martin i Topp. Sam naziv metod

4

konanih elemenata uveo je Clough 1960. godine [4]. Prvi univerzitetski udbenik u oblasti MKE napisao je Cook 1974. godine, u vrijeme kada je metod ve bio prihvaen.

Poseban znaaj u razvoju MKE imali su varijacioni principi mehanike kontinuuma koji su primjenjeni na formulaciji MKE, te je MKE dobio opti pristup. Dalji razvoj MKE odvija se u pravcu ravanskih elemenata. Tako je Richard Courant (1888-1972) rjeavajui granine probleme torzije predloio i koristio trougaone elemente, a rjeenje dobio pomou varijacione metode Ritz-a, Walther Ritz (1878-1909). Polovinom 60-tih XX vijeka White i Fridrich rjeavaju parcijalne diferencijalne jednaine koristei mreu trougaonih konanih elemenata i varijacione principe. Hellinger-Reissner postavljaju mjeoviti model konanih elemenata, u kome su osnovne nepoznate dijelom statike, a dijelom deformacijske veliine. U periodu izmeu 1965. i 1970. godine razvoj MKE ide u pravcu tanosti aproksimacije i konvergencije rjeenja. U ovom periodu javljaju se radovi i monografija Zienkiewicz-a i Cheng-a u kojoj su temeljno prikazane osnove metoda i proireno podruje njegove primjene. Sedamdesetih godina prolog vijeka javljaju se radovi koji su posveeni matematikim osnovama metoda konanih elemenata. Posebno se izdvajaju radovi Oden-a u kojima je dat znaajan doprinos teoriji MKE. Oden je uveo itav niz generalizacija i teorema, proirio podruje primjene na viedimenzionalne prostore i unaprijedio oblast nelinearne analize. Na osnovu dosadanjih znanja iz MKE razvijeni su mnogi opti programi za savremene raunare koji se uspjeno koriste u svim granama mehanike za rjeavanje konkretnih zadataka.

1.2. Koncept MKE Sutina aproksimacije kontinuuma po metodu konanih elemenata, sastoji se u

sljedeem: Razmatrani domen kontinuuma se pomou zamiljenih linija ili povri dijeli na

odreen broj poddomena konanih dimenzija. Pojedini poddomeni se nazivaju konani elementi (finite elements), a njihov skup za cijeli domen mrea konanih elemenata;

Pretpostavlja se da su konani elementi meusobno povezani u konanom broju taaka, koje se usvajaju na konturi elementa i nazivaju se vorne take ili vorovi (nodes);

Stanje u svakom konanom elementu opisuje se pomou interpolacionih funkcija (Interpolation functions) i konanog broja parametara u vorovima koji predstavljaju osnovne nepoznate veliine u MKE. Interpolacione ili aproksimativne funkcije (Approximate functions) se pretpostavljaju u obliku polinoma ime se obezbjeuje kontinuitet izmeu elemenata;

Za analizu i proraun sistema konanih elemenata vae svi principi i postupci koji vae i za klasine diskretne sisteme. Metode pomou kojih se izvode osnovne jednaine metoda konanih elemenata su:

Direktni metod (Direct Finite Element Method) - analogan metodu deformacije linijskih sistema;

Varijacioni metod (Variational Finite Element Method) - najee se koristi u softverskim paketima i zasniva se na principu stacionarnosti funkcionala, gdje je funkcional potencijalna energija sistema, komplementarna energija sistema ili kombinacija ove dvije energije;

Metod reziduuma - metod teinskog reziduuma (Residual Finite Element Method) - koristi se kod problema gdje je teko definisati funkcional ili kod kojih funkcional uopte i ne postoji;

5

Metod energetskog balansa (Energy Balance Finite Element Method) koristi se kod problema koji tretiraju razliite vidove energije (mehaniku, toplotnu, elektromagnetnu).

U proraunu inenjerskih konstrukcija po metodu konanih elemenata kao osnovne nepoznate usvajaju se: kinematike veliine, statike veliine ili mjeovito (kinematike i statike veliine). U zavisnosti od naina izbora osnovnih nepoznatih u vorovima mree, razlikuju se tri osnovna vida metoda konanih elemenata:

Metod deformacije (metod krutosti) (Direct stiffness method - DSM); Metod sila (metod fleksibilnosti) (Flexibility method) i Mjeoviti ili hibridni metod. Metod deformacije je najvie u primjeni. Ako se u varijacionoj formulaciji metoda

konanih elemenata polazi od potencijalne energije sistema kao funkcionala, dolazi se do metoda deformacije, a ako se polazi od komplementarne energije dolazi se do metoda sila. Ako je polazni funkcional izveden na osnovu ove dvije energije, dolazi se do mjeovitog ili hibridnog metoda.

Procedura prorauna po MKE nekog problema sastoji se u sljedeim koracima: Diskretizacija domena i izbor tipa konanog elementa; Izbor interpolacionih funkcija; Sraunavanje karakteristika elemenata; Formiranje jednaina za mreu konanih elemenata; Rjeavanje sistema jednaina; Proraun potrebnih uticaja. Osnovni tipovi konanih elemenata, zavise od problema za koji se koriste pa mogu biti

jednodimenzionalni, dvodimenzionalni i trodimenzionalni elementi. Konane elemente je mogue podijeliti i prema:

Grupi (ljuska, ploa, greda); Redu interpolacionih funkcija (linearan, parabolian, kubni); Geometriji (trougao, etvorougao); Fizikim osobinama (tanka ljuska, debela ljuska) i Materijalnim osobinama (izotropan, anizotropan).

1.3. Predmet i cilj rada Predmet rada je izrada modula za dimenzionisanje linijskih betonskih elemenata,

pravougaonog i T presjeka optereenih u svojoj ravni. Taj modul treba da postane sastavni dio programa koji se izrauje na predmetu Metod konanih elemenata te koji trenutno samo proraunava uticaje u konstruktivnim sistemima. Modul je izraen prema Pravilniku za Beton i armirani Beton 87, a prema konceptu graninih stanja.

Cilj rada je da se izradom ovog modula omogui dimenzionisanje nosivih elemenata, kao i da se dobijeni rezultati u odreenom smislu verifikuju uporeivanjem tih rezultata sa primjerima iz literature kao i sa komercijalnom programima. Nakon uporeivanja mogue je donijeti zakljuak koliko je dati modul, ,,taan i koliko su mu rezultati primjenljivi.

6

2. OPTE KARAKTERISTIKE BETONA Pod betonom se u optem sluaju podrazumijeva vjetaki kameni materijal dobijen

ovravanjem mjeavine nekog vezivnog materijala i agregata. Za spravljanje betona koriste se razni vezivni materijali, kao to su gips, kre, cement, asfalt, epoksi smole i dr., pa se u zavisnosti od toga govori o gips-betonu, kre-betonu, cement-betonu, asfalt-betonu, itd. to se, pak, tie agregata, za spravljanje betona se upotrebljavaju agregati razliitog porijekla, prirodni i vjetaki. To su prirodni ljunak i pijesak, drobljen kamen, razne vrste zgura, itd.

Mada, kao to se vidi, postoje razliite vrste betona, u daljem tekstu emo se ograniiti na problematiku betona kod kojih se kao vezivo koristi cement. Slino kamenu, i beton posjeduje visoku vrstou pri pritisku, a relativno male vrstoe pri zatezanju. Ova loa osobina onemoguava iru primjenu nearmiranog betona, te da bi se maksimalno iskoristile mogunosti betona kao graevinskog materijala, u zonama zatezanja betonskih nosaa postavlja se armatura od elinih profila, koja poslije pojave prslina preuzima cjelokupne napone zatezanja. Na taj nain se nosivost nosaa moe viestruko poveati a konstrukcije dobijene sprezanjem ova dva materijala nazivaju se armiranobetonskim konstrukcijama. Pored ove armature, koja prima normalne napone zatezanja, u podruju oslonaca, gdje su glavni naponi zatezanja visoki, postavlja se i vertikalna armatura u obliku uzengija, esto u kombinaciji sa kosom armaturom koja takoe prihvata dio napona zatezanja.

U poreenju sa konstrukcijama sainjenim od drugih materijala, AB konstrukcije se relativno skorijeg datuma. Pojavljuju se u graevinskoj tehnici u drugoj polovini XIX vijeka. Francuz Lambot prvi je konstruisao amac 1848. godine upotrijebivi armaturu od eline mree, a Monier, batovan po zanimanju, istih godina je izradio korita za cvijee armirana elinom mreom.

Za relativno kratko vrijeme date su prve teorijske osnove za proraun AB konstrukcija, koje su ubrzo zatim pronale svoje mjesto u raznim fazama graenja.

2.1. Proraun prema graninim stanjima 2.1.1. GRANINA STANJA NOSIVOSTI

Proraun prema graninim stanjima nosivosti lomu prvi put se pojavljuje u SSSR- u 1939. godine. Kod nas je uveden u regulativu Pravilnikom BAB 71, u poetku samo kao alternativa proraunu prema doputenim naponima.

Pojam graninog stanja nosivosti knstrukcije, podrazumijeva takvo stanje pri kome se gubi sposobnost daljeg noenja spoljnjeg optereenja, ili drugim rijeima, to je stanje pri kome pod djelovanjem optereenja nastaje lom konstrukcije ili nekog njenog dijela. Optereenje koje je dovelo konstrukciju u takvo stanje nazivamo graninim optereenjem.

Posmatraemo faze kroz koje prolazi savijani nosa sistema proste grede pod djelovanjem optereenja koje se postupno poveava.

Faza I predstavlja elastinu fazu u kojoj je betonski presjek homogen, bez prslina, a ugibi su proporcionalni nivou optereenja.

Faza II nastaje kada naponi zatezanja u zategnutoj zoni najoptereenijeg poprenog presjeka dostignu vrstou betona pri zatezanju i kada u gredi dolazi do pojave prslina. Zbog pada krutosti elementa, ugib znatno bre raste pri daljem porastu optereenja. U nosau dolazi do sukcesivnog otvatanja novih prslina. Pri nivou optereenja B, kada su ivini naponi pritiska u betonu, priblino (0,3-0,4)fbk, nastaje stabilizovano stanje prslina. Pri poveanju optereenja,

7

Dijagram optereenje-ugib nosaa optereenog do loma uglavnom se ne formiraju nove prsline, ve se proiruju postojee. Neutralna linija se pomjera ka pritisnutoj ivici poprenog presjeka, prsline se produbljuju do neutralne linije, to dovodi do daljeg pada krutosti i poveanja deformacija. Dijagram napon-dilatacija u pritisnutoj zoni betona je izrazito nelinearan.

Konano, daljim poveanjem optereenja dostie se faza III faza loma nosaa. Karakter samog loma savijanog nosaa zavisi od koliine i mehanikih karakteristika glavne armature. Kod normalnih procenata armiranja, lom nastaje uglavnom kada naponi u armaturi dostignu napon v. Pri tome, armatura se plastifikuje poinje da tee, to izaziva drastino poveanje ugiba nosaa. Za ovakvu vrstu loma kaemo da je najavljen lom, jer mu prethodi razvijena mrea prslina u nosau, praena velikim ugibima. Iako napon u armaturi nije dostigao granicu kidanja, nosa ispada iz funkcije zbog prevelikih ugiba.

Kod visokih procenata armiranja, naponi u armaturi uglavnom ne dostiu napon v, pa lom nastaje u pritisnutoj zoni betona usljed dostizanja vrstoe betona pri pritisku. U ovom sluaju, lom nastaje iznenada, bez najave, odnosno bez veih deformacija nosaa i unaprijed vidljivih znakova. To je takozvani krti lom, iju eventualnu pojavu, ako je mogue, svakako treba izbjei.

Trea vrsta loma moe nastati istovremenim iscrpljenjem nosivosti i betona i zategnute armature. Ovakav lom nazivamo simultani lom.

Najzad, lom armirano betonskog nosaa moe nastati i pri prelasku sa faze I na fazu II, kao posljedica skoka napona u zategnutoj armaturi u presjeku na mjestu prsline. Ovakav lom se dogaa u sluajevima kada je stvarni procenat armiranja zategnutom armaturom manji od minimalnog, odnosno kada je

8

raunski dijagram veze napona i dilatacija u eliku, aproksimira se bilinearnim radnim dijagarmom elika (RD).

2.2.1. RADNI DIJAGRAM BETONA (RDB) Mnogobrojna eksperimentalna istraivanja obavljena na betonskim uzorcima koji su

optereeni silama pritiska do loma, pokazala su da oblik veze izmeu napona b i dilatacije b zavisi od niza faktora.

Prije svega, oblik dijagrama i veliina krajnjih dilatacija b u poprenim presjecima zavise od naponskog stanja elementa. Dilatacije betona pri lomu su najvee za element napregnut na savijanje i kreu se od 3.0 do 3.7, manje su za ekscentrino pritisnute, a najmanje za centrino pritisnute elemente i iznose oko 2.2.

Na oblik dijagrama b - b znaajan uticaj ima kvalitet betona, brzina nanoenja optereenja, oblik poprenog presjeka i koliina pritisnute i porene armature u presjeku.

Dijagram b - b u funkciji kvaliteta betona za popreni presjek pravougaonog oblika koji je optereen na savijanje, prikazan je shematski na slici 2.1. Na dijagramu se moe uoiti da je beton ilaviji za nie marke betona.

Kako bi se omoguio jedinstven proraun po lomu, nezavisno od nabrojanjih faktora, utvruje se propisima svake zemlje jedinstven dijagram veze b - b za beton u oblasti pritiska, tzv. radni dijagram betona (RDB). Ovakav dijagram priblino opisuje stvarno ponaanje betona u oblasti loma, ali je jednostavnijeg oblika u odnosu na stvarni, ime se postie i jednostavniji proraun. Pravilnik BAB 87 propisuje upotrebu radnog dijagrama u obliku parabole drugog stepena i prave.

Slika 2.1. Zavisnost dijagrama napon Slika 2.2. Radni dijagram betona dilatacija od kvaliteta betona Za ovakav oblik dijagrama, u oblasti 0b2 vai: 4 (a) a u oblasti 2b3.5 dijagram je u obliku prave: (a) U gornjim izrazima sa je oznaena raunska vrstoa betona pri pritisku, i ona je

funkcija marke betona. Vrijednosti date u tabeli 1 se umanjuju za 10 % za elemente konstrukcija ija je visina poprenog presjeka manja od 12 cm. Kod ovakvih dimenzija je tee kvalitetno ugraivanje betona, a i procentualno je vee uee sloja betona loeg kvaliteta koji se nalazi u gornjem dijelu presjeka, u odnosu na ukupnu visinu presjeka.

9

Tabela 1 Raunska vrstoa betona

Iz gornje tabele se vidi da je raunska vrstoa betona fB0.70MB. I dilatacije i raunske vrstoe betona treba shvatiti kao konvencionalne vrijednosti. Pri tome se smatra da do loma betona dolazi kada dilatacije betona distignu vrijednosti graninih dilatacija B. 2.2.2. PRINCIPI PRORAUNA PRESJEKA. KOEFICIJENTI SIGURNOSTI

Sutina prorauna prema graninim stanjima loma sastoji se u dokazu da je granina nosivost presjeka Nu vea ili jednaka nosivosti tog presjeka pri djelovanju graninih uticaja Ns: NsNu

gdje su granini uticaji odgovarajui raunski uticaji u eksploataciji Si uveani parcijalnim koeficijentima sigurnosti ui:

Prethodno opisan proraun polazi od analize konstrukcije u svim njenim fazama nastajanja, poevi od faze projektovanja, preko graenja, izvoenja radova, kontrole kvaliteta ugraenog materijala, pa sve do odravanja konstrukcije u toku eksploatacije. Pri ovome se problemu sigurnosti prilazi sa probabilistikim pristupom koristei metode statistike i vjerovatnoe.

S tim u vezi, parcijalni koeficijenti sigurnosti treba da pokriju: netanosti vezane za procjene veliine stalnog i povemenog optereenja mogua

odstupanja u ovim procjenama kreu se do 15 %, disperziju rezultata i netanosti pri odreivanju mehanikih osobina materijala, netanosti pri usvajanju proraunskog statikog sistema u odnosu na stvarni rad

konstrukcije odstupanja koja nastaju usvajanjem raunskih karakteristika materijala u odnosu na

stvarne (DRB i RD), netanosti koje su posljedica zanemarivanja uticaja temperature, teenja i skupljanja

betona na graninu nosivost konstrukcije, tolerantna odstupanja koj nastaju u toku graenja AB konstrukcija, mogue razlike

izmeu izvedenog i projektovanog poloaja armature, veliine zatitnog sloja i eventualni manji obim korozije elika i betona.

Treba naglasiti da parcijalni koeficijenti sigurnosti ne pokrivaju eventualne greke u proraunima statikih uticaja i dimenzionisanju.

2.3. Mogua stanja deformacije presjeka Iz svega navedenog zakljuujemo da u proraunu prema graninom stanju nosivosti

kriterijumi loma nisu vrijednosti dostignutih napona, ve vrijednosti dostignutih, konvencionalno usvojenih, graninih dilatacija. U zavisnosti od materijala u kome su te granine dilatacije dostignute, razlikujemo 3 vrste loma:

lom po betonu, kada je b=3.5; 0 a-10, lom po armaturi, kada je 0b3.5; a=-10, simultani lom, kada je b=3.5; a=-10,

10

Ovdje je usvojena konvencija da se dilatacije pritiska oznaavaju pozitivnim, a dilatacije zatezanja negativnim brojevima. U oblasti graninog stanja loma mogua deformacijska stanja loma presjeka prikazana su na slici 2.3. Mogu se razlikovati sljedea podruja:

podruje izmeu linija a i b: odgovara sluaju istog zatezanja ili ekscentrinog zatezanja u fazi malog ekscentriciteta pri emu je b0; a=-10. Parcijalni koef. sigurosti su ui1.8, a lom nastaje po zategnutoj armaturi,

podruje izmeu linija b i c: odgovara sluajevima istog savijanja i sloenog savijanja (M, N), pri emu je 0b23.5; a1=-10. Parcijalni koeficijenti sigurnosti su ui1.8, a lom moe biti po armaturi ili simultani

podruje izmeu linija c i d: odgovara sluajevima istog savijanja ili sloenog savijanja sa silom pritiska pri emu je b2=3.5; -3.0 a1-10. Parcijalni koeficijenti sigurnosti su jo uvijek ui1.8.

podruje izmeu linija d i g: odgovara sluajevima sloenog savijanja sa velikom silom pritiska u kojima lom nastaje po betonu, pri emu je dilatacija u betonu b2=3.5, a dilatacija u eliku u granicama -3.0a10. Ovo podruje karaterie poveanje vrijednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti, idui od a1=-3 prema a1=0, jer se neutralna linija nalazi nisko u presjeku koji je veim dijelom pritisnut,

podruje izmeu linija g i h: odnosi se na sluajeve ekscentrinog pritiska (mali ekscentricitet), pri emu dilatacije betona na jae pritisnutoj ivici presjeka variraju izmeu 2b23.5, odnosno na manje pritisnutoj ivici izmeu 0b22. Centrinom pritisku odgovaraju dilatacije betona b1=b2=2 (linija dilatacija h). Parcijalni koeficijenti sigurnosti koji odgovaraju stanju dilatacija a10, imaju vee vrijednosti jer je naponsko stanje presjeka takvo da moe nastupiti nenajavljeni lom, odnosno pojava iznenadnog krtog loma po betonu bez prethodnih vidljivih oteenja elementa.

Slika 2.3. Mogua stanja dilatacija u fazi loma presjeka armiranobetonskog nosaa i kvalitativan prikaz parcijalnih koeficijenata sigurnosti

2.4. Dimenzionisanje presjeka za granine uticaje 2.4.1. CENTRINO PRITISNUTI ELEMENTI

Naponsko stanje centrinog pritiska karakteistino je za AB stubove i zidove. Dimenzionisanje, odnosno dokaz granine nosivosi, vri se za odreene vitkosti, uvoenjem efekta izvijanja. Prema BAB 87 za vitkosti 25, proraun se izvodi bez uticaja izvijanja. Za podruja 2575, stubovi se tretiraju kao umjereno vitki, i u tim sluajevima se mogu

11

primjeniti priblini postupci prorauna izvijanja. Kada je vitkost 75140, stubovi se smatraju izrazito vitkim, i za njihovo dimenzionisanje treba koristiti tanije postupke prorauna. Vitkost 140, nije dozvoljena, osim u prolaznim fazama kod montanih sistema, kada je vitkost ograniena na 200.

Izraz za odreivanje granine sile loma moe se napisati kao 1 U posljednjem izrazu je sa oznaen mehaniki koeficijent armiranja ukupnom

armaturom u presjeku. ! " gdje je: ! geometrijski koeficijent armiranja.

Pri poznatoj graninoj sili loma odreenoj izrazom: 1.9 ' 2.1 ), odreuju se dimenzije poprenog presjeka usvajajui *+ 0.6%, ukoliko je . Meutim ako je , procenat armiranja se moe smanjiti najvie na *+ 0.3%. 2.4.2. CENTRINO ZATEGNUTI ELEMENTI

U ovom sluaju optereenja, cjelokupna sila zatezanja se povjerava armaturi, pa je: 0 1" 1" gdje je :

Z granina sila zatezanja. esto pojava prslina moe biti mjerodavna za dimenzionisanje ovih presjeka. U cilju

ograniavanja irine prslina, odnosno njihove eliminacije, kod ovakvih elemenata se pribjegava prethodnom naprezanju. 2.4.3. EKSCENTRINO ZATEGNUTI ELEMENTI MALI EKSCENTRICITET

Sve dok se napadna linija ekscentrine sile zatezanja nalazi izmeu teita gornje i donje armature u poprenom presjeku, presjek proraunavamo u fazi malog ekscentriciteta. Potrebnu povrinu armature odreujemo iz sljedeih izraza 02 1" 34 532 34 ; 04 1" 32 532 34 ;

odnosno, cjelokupnu silu zatezanja prihvata ukupna armatura, pa je: 0 02 04 1" 2.4.4. ELEMENTI NAPREGNUTI NA ISTO SAVIJANJE 2.4.4.1. Jednostruko armirani pravougaoni presjeci

Dimenzionisanje pravougaonih presjeka optereenih momentom savijanja je vrlo est sluaj u praksi, a karakteristian je naroito za armiranobetonske konstrukcije koje ine grede i ploe.

Bez obzira na stvarni geometrijski oblik poprenog presjeka, isto savijanje ili pravo savijanje pravougaonog presjeka nastaje onda kada je pritisnuta povrina betona oblika pravougaonika, a savijanje se vri u vertikalnoj ravni simetrije nosaa.

12

Slika 2.4. Pravougaoni presjek optereen na isto savijanje proraunski model Pri djelovanju graninog momenta savijanja:

7 7 a u presjeku se javlja spreg unutranjih sila: sila pritiska u betonu Dbu, koja djeluje u teitu naponskog dijagrama pritiska, na odstojanju h od pritisnute ivice presjeka, i sila zatezanja u armaturi Zau, sa napadnom takom u teitu zategnute armature. Spreg unutranjih sila je u ravnotei sa graninim momentom savijanja.

U zavisnosti od veliine dostignutih dilatacija u betonu i armaturi, lom poprenog presjeka, moe da nastupi u sljedea 3 sluaja:

lom po armaturi kad je ||=10 (dostignuta granina dilatacija u eliku), a pri tome je dilatacija na pritisnutoj ivici betona < =B =LBL GHL ?@ 0" 0=AB=A (h)

13

Rjeavanjem integrala konano se dobija: >DM 0" 0 (i) gdje prvi lan u jednaini (i) predstavlja silu pritiska u betonu u trenutku loma N. Pri

tome je M koeficijent punoe naponskog dijagrama i zavisi od veliine dilatacije pritisnute ivice betona:

M 12 6 0,0 P P 2,0 M 3 23 2,0 P P 3,5 Ovaj koeficijent dostie maksimalnu virjednost za 3,5 i iznosi M 0,8095, dok

je za 2 njegova vrijednost M 0,667. Ako se jednaina (i) podijeli sa >C, dobija se: MK SHE TU 0 (ii) Ukoliko se odnos povrine zategnute armature i povrine betonskog presjeka, dimenzija

b x h, izrazi preko koeficijenta armiranja , i ako se uvede oznaka za mehaniki koeficijent armiranja: SHE ; SHE TU TU (i)

onda se iz uslova ravnotee horizontalnih sila, jednaina (ii), odreuje potrebna koliina armature u bezdimenzionalnom obliku:

" MK " Na slian nain moe se transformisati i jednaina (c), dobijena iz uslova ravnotee

momenata, iz koje e se odrediti potrebna statika visina poprenog presjeka: < 4= =4>C D @?@ 7=AB=A (j) Ukoliko uvrstimo izraz (d) u (j), slijedi:

> V W @D @4D4 44 X C D @?@ 7=AB=A Nakon izvrene integracije i sreivanja poslednjeg izraza, uslov ravnotee momenata u

odnosu na teite zategnute armature moe se napisati u obliku: MK1 YK Z[EL (k) gdje je

Y bezdimenzionalni koeficijent poloaja sile pritiska u betonu u odnosu na gornju ivicu presjeka, koji ima vrijednosti: Y 8 46 0,0 P P 2,0 Y 3 4 223 2 2,0 P P 3,5

Veliina \, slika , predstavlja krak unutranjih sila i moe se izraziti u obliku: \ C YD C YKC C1 YK (l) Uvodei oznaku ] za bezdimenzionalni koeficijent krak unutranjih sila: ] 1 YK

14

izraz (l) moe se napisati u obliku: \ ]C Statika visina se odreuje iz jednaine (k):

C ^7> ^ 1MK1 YK ^7> ^ 1MK] Uvoenjem bezdimenzionalnog koeficijenta k, poslednji izraz piemo u konanom

obliku:

C _` Z[ (m) Potrebnu povrinu armature odreujemo iz izraza (i): 0 >C >C TU (n) Na ovaj nain, bezdimenzionalne veliine s, M, Y, ], , k, koje zavise iskljuivo od

dilatacija u betonu i armaturi, lako se tabuliu u cilju pojednostavljenja svakodnevnih prorauna.

Problem dimenzionisanja jednostruko armiranih pravougaonih presjeka prema graninoj nosivosti, za poznati granini moment savijanja, svodi se na dva sluaja:

slobodno dimenzionisanje, koje podrazumjeva proraun dimenzija betonskog poprenog presjeka i potrebne povrine armature,

vezano dimenzionisanje, koje podrazumjeva proraun potrebne povrine zategnute armature u elementu poznatih dimenzija porenog presjeka.

I u jednom i u drugom sluaju prikazae se postupak dimenzionisanja primjenom uobiajenih tabela za odreivanje bezdimenzionalnih veliina.

U sluaju slobodnog dimenzionisanja, poznate su vrijednosti momenata savijanja 7 od djelovanja optereenja u eksploataciji (pri emu je i=g, p, ). Dimenzionisanje se vri u sledeim koracima:

s obzirom da je broj nepoznatih veliina koje treba odrediti (b, d, 0 ) vei od raspoloivog broja jednaina (dva uslova ravnotee), redovno se usvaja irina potrebnog presjeka b. Za uobiajene dimenzije greda, irina presjeka se bira u granicama od 25 do 50 cm, najee oko 30 cm. Izbor irine presjeka zavisi i od uslova pravilnog smjetaja armature i od veliine transverzalnih sila.

Dilatacije u betonu i zategnutoj armaturi (, 0), biraju se slobodno uz uslov da barem jedna od njih dostigne granine vrijednosti:

Od izbora dilatacija zavisi visina poprenog presjeka d. Naime, smanjenjem dilatacije u zategnutoj armaturi (pri odravanju maksimalne dilatacije u betonu 3,5), poveava se visina pritisnute zone x, a samim tim i sila pritiska u betonu. Iz uslova ravnotee unutranjih sila, slijedi da se istovremeno mora poveati i sila zatezanja u armaturi (odnosno poveati povrina zategnute armature u presjeku). Poveanje sile u spregu unutranjih sila, koji je u ravnotei sa spoljanjim graninim momentom savijanja 7, dovodi do smanjenja kraka unutranjih sila, odnosno, do smanjenja visine presjeka. Na taj nain, izborom razliitih dilatacija, presjeka razliitih visina imaju istu graninu nosivost u odnosu na spoljanji granini moment savijanja. Drugim rijeima, konstantan spoljanji moment savijanja moe da se prihvati presjecima razliitih visina. Pritom, treba imati u vidu da, smanjenje visine presjeka bitno utie na granina stanja upotrebljivosti veliinu ugiba i pojavu prslina; istovremeno, javljaju se problemi smjetaja velikih koliina zategnute armature u poprenom presjeku i pravilnog ugraivanja betona.

15

Za dilatacije u zategnutoj aramturi izmeu 7 i 10, dobijaju se i ekonomski i tehniki oprevdane dimenzije presjeka i koliine armature.

U zavisnosti od izbora dilatacija u armaturi, odreuju se parcijalni koeficijenti sigurnosti, a zatim sraunava granini raunski moment savijanja:

usvojenja dilatacija 0 ; ; 7 7 Usvaja se kvalitet materijala marka betona i vrsta elika, odakle su poznate raunske

vrstoe betona i elika ". Za usvojene dilatacije i 0, iz tablica se odreuju koeficijenti k i . Potrebna statika visina i povrina armature raunaju se iz izraza (m) i (n). Prema raunskoj povrini aramture 0, vri se izbor prenika i odreuje broj ipki

armature. Usvojena amratura se rasporeuje u poprenom presjeku, na osnovu pravila za armiranje, koja vode rauna o zatitnim slojevima i mogunostima pravilnog ugraivanja betona. Proraunom teita armature u odnosu na zategnutu ivicu presjeka (veliina b) sraunava se ukupna visina presjeka ? C b.

U sluaju vezanog dimenzionisanja, pored vrijednosti momenta savijanja od eksploatacionog optereenja (7) i usvojenog kvaliteta materijala (, "), poznate su i dimenzije poprenog presjeka (b, d). U ovom sluaju dimenzionisanja, koraci prorauna su sledei:

Sraunava se granini raunski moment savijanja 7 7. Pri tome se parcijalni koeficijenti sigurnosti odreuju predpostavljajui 0 c 3.

Pretpostavlja se veliina b (uobiajeno je b 0,1 ?) i sraunava odgovarajua statika visina C ? b.

Sa ovako odreenom statikom visinom, sraunava se bezdimenzionalni koeficijent k i iz tabele oitavaju odgovarajue dilatacije betona i armature i mehaniki koeficijent armiranja: _ C`7>

; , 0, Kontrolie se da li su odabrane odgovarajue vrijednosti parcijalnih koeficijenata

sigurnosti (provjera relacije 0 c 3) i sraunava potrebna povrina armature iz izraza : 0 >C "

Usvaja se prenik armature i dobijeni broj profila se rasporeuje u poprenom presjeku. Sraunava se stvarni poloaj teita zategnute armature b, odnosno stvarna statika visina i poredi sa pretpostavljenom. U sluaju veih odstupanja, proraun se ponavlja.

U sluaju da je 0 3, presjek se dvostruko armira.

2.4.4.2. Dvostruko armirani presjeci Kada se dimenzije poprenog presjeka ne mogu promijeniti, a pritom se ne moe

poveati kvalitet betona, moe se desiti da jednostruko armiran presjek nije u stanju da primi granini moment savijanja sa dilatacijom a13. Tada se rade dvostruko armirani presjeci, kod kojih se projektuje armatura u pritisnutoj zoni .

Ako sa Mbu oznaimo granini moment koji jednostruko armirani presjek moe da primi , tada je Mu=Mu-Mbu

16

gdje je:

7 dC_e4 >

Razlika momenata se prihvata spregom sila Dau i Zau, odnosno pritisnutom i dodatnom zategnutom armaturom. Iz uslova ravnotee unutranjih sila (Dau= Zau), potrebna dodatna pritisnuta armatura je: 04 7"C b4

Konano, ukupna povrina zategnute armature se odreuje kao: 02 2 g>C " 7"C b4

Smanjenje dilatacije ispod 3 u sutini nije opravdano iz razloga koji se odnose na pojavu krtog loma. Takoe, zbog poveanja parcijalnih koeficijenata sigurnosti, poveava se vrijednost graninog raunskog momenta savijanja, to dovodi do neracionalnog poveanja ukupne armature.

2.4.5. EKSCENTRINO PRITISNUTI ELEMENTI VELIKI EKSCENTRICITET AB elementi optereeni ekscentrinom normalnom silom pritiska, sa napadnom takom u

osi simetrije presjeka, nalaze se u oblasti velikog ekscentriciteta, ako se neutralna linija nalazi u poprenom presjeku. Ovakvom sluaju naprezanja odgovaraju deformacijska stanja presjeka u oblasti graninog stanja ograniena pravama b i g, slika 2.3.

Slika 2.6. Proraunski model pravougaonog poprenog presjeka napregnutog na sloeno savijanje veliki ekscentricitet

Uslove ravnotee normalnih sila, odnosu momenata savijanja u odnosu na teite zategnute armature Mau, piemo u obliku: 0: N N0 10 702 0: N\ N0C b4 70

U sluaju vezanog dimenzionisanja, poznate veliine su , Mu, Nu, b, d, v, fB. Na osnovu procijenjene veliine a1, odreuje se statika visina presjeka i sranava se Mau. S tako odreenim vrijednostima, nalazi se: _ C`70>

i , 02, !2 Ukoliko je a1

17

02 2 g>C " 7"C b4 " dok se potrebna povrina pritisnute armature odreuje iz izraza: 04 70"C b4 2.4.6. EKSCENTRINO ZATEGNUTI ELEMENTI VELIKI EKSCENTRICITET

Svi izrazi koji vae za ekscentrino pritisnute, vae i za ekscentrino zategnute elemente. Kako je usojena konvencija da je sila zatezanja sa negativnim znakom, to e izrazi za odreivanje Mau, statike visine i potrebne povrine armature, biti napisani u obliku: 70 7 1 d?2 b2e C _^70> 02 2 g>C " 1" 2.4.7. EKSCENTRINO PRITISNUTI ELEMENTI MALI EKSCENTRICITET.

DIJAGRAMI INTERAKCIJE Stanje naprezanja koje izaziva normalna sila ija se napadna taka nalazi u osi simetrije

na odstojanju e, koje je relativno malo u odnosu na teite poprenog presjeka, nazivamo ekscentrinim naprezanjem u oblasti malog ekscentriciteta. Pri tome se neutralna linija nalazi izvan poprenog presjeka, a deformacijska stanja presjeka u oblasti granine nosivosti ograniena su pravama g i h, slika 2.3.

Slika 2.7. proraunski model za ekscentrino pritisnut pravougaoni presjek u oblasti malog ekscentriciteta

Dimenzije ovako optereenih presjeka, najee se odreuju pomou dijagrama interakcije, jer oni, u sutini, predstavljaju grafiku interpretaciju granine nosivosti presjeka.

Da bi se uoptila i proirila upotreba dijagrama interakcije, oni se najee prikazuju u bezdimenzionalnom sistemu koordinata, mu-nu. Tako konstruisani dijagrami se mogu primjenjivatii za proizvoljan odnos strana b/d, pravougaonog presjeka, kao i za bilo koju marku betona.

Poloaj armature, definisan odnosom a/d i njen raspored u poprenom presjeku, kao i kvalitet elika imaju bitan uticaj na graninu nosivost, pa se njihova eventualna promjena mora uzeti u obzir.

18

Slika 2.8. Dijagram interakcije a) za pojedinaan presjek, b) u bezdimenzionalnoj formi Za poznate mehanike karakteristike materijala i poznate dimenzije presjeka b i d,

bezdimenzionalne veliine mu i nu se odreuju iz sljedeih izraza: j 7>?4 ; k >? dok se potrebna povrina armature u presjeku zatim odreuje iz izraza: 0 !>? "

Na dijagramu se obino prikazuju i granine dilatacije u betonu i armaturi, koje olakavaju odreivanje vrijednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti. Na analogan nain se koriste i dijagrami interakcije za kruni ili sanduasti popreni presjek, koji se esto javljaju u inejerskoj praksi.

2.5. Proraun presjeka za granine uticaje transverzalnih sila Od uticaja graninih transverzalnih sila, lom u nosau moe nastati uglavnom iz 3

osnovna razloga: usljed nedostatka, ili malog procenta poprene armature, pojave loma betona kada se kosa prslina protee visoko po presjeku, usljed proklizavanja zategnute armature, kad nije pravilno usidrena u podruju

oslonaca. Stepen naprezanja linijskog nosaa od djelovanja graninog optereenja, odreuje se iz

veliine napona smicanja, na osnovu granine transverzalne sile.

Slika 2.9. Opti sluaj nosaa promjenljive visine pod dejstvom promjenljivih graninih uticaja U optem sluaju za nosa promjenljivog poprenog presjeka izloenog dejstvu

promjenljivih graninih uticaja Mu, Nu, Tu, dimenzionisanje se vri prema mjerodavnoj transverzalnoj sili koju moemo odrediti iz uslova ravnotee sila: l* l m 7C no nop D \ 30 qno 30C no nopr

19

gdje je: z krak unutranjih sila, h statika visina. Nominalni napon smicanja odreuje se na osnovu izraza:

s+t l*>\ gdje je:

b minimalna irina poprenog presjeka na dijelu od neutralne linije do teita zategnute armature.

Ovaj nominalni napon smiacanja odreen za granine uticaje, uporeuje se sa raunskom vrstoom pri smicanju r, koja je u funkciji marke betona, prikazana u tabeli 2: Tabela 2 Raunska vrstoa pri smicanju u funkciji marke betona

Ukoliko je zadovoljen uslov: n(T)r u nosau nije potrebno predvidjeti nikakvu raunsku armaturu za prihvatanje uticaja od dejstva transverzalnih sila, ve je dovoljna samo konstruktivna armatura.

Kada je nominalni napon smicanja u granicama su P s+t P 3su, potrebno je poraunati armaturu u podrujima gdje su naponi prekoraeni. Poto se o ovoj oblasti napona smicanja javljaju prsline relativno malog prenika, dio transverzalne sile se moe povjeriti betonu.

Potrebna povrina armature se sraunava prema redukovanoj raunskoj sili TRu: TRu=Tmu-Tbu gdje se sila Tbu, koja se povjerava betonu, odreuje iz izraza: l 12 v3su s+tw> \

U podruju napona u kome je : 3su P s+t P 5su razvoj prslina je takav da je prenoenje sile putem betona znatno smanjeno i neizvjesno pa se usvaja da cjelokupne napone zatezanja preuzima armatura. Na dijelu nosaa na kome se nominalni napon smicanja nalazi u granicama su P s+t P 3su, redukcija mjerodavne transverzalne sile se vri na ranije opisani nain, slika 2.10.

Slika 2.10. - Redukcija raunske transverzalne sile zavisno od veliine normalnog napona smicanja Prekoraenje napona s+t c 5su, nije dozvoljeno zbog rizika od mrvljenja pritisnutih

betonskih dijagonala, izmeu kosih prslina, pod djelovanjem visokih napona pritiska.

20

2.5.1. PRORAUN ARMATURE Sila zatezanja u kosoj armaturi u blizini oslonaca odreuje se iz uslova ravnotee, V=0.

Ukupna povrina kose armature za osiguranje od djelovanja transverzalnih sila:

0x 1"3noy 3noMKzkM V s{>?DBA|

BA

Ako se osiguranje vri samo vertikalnim uzengijama, potrebna povrina jednog presjeka uzengije: jb02 s{> 5"3noy gdje je:

m sjenost, b02 povrina poprenog presjeka, eu rastojanje uzengija, ugao nagiba armature za prihvatanje uticaja, y ugao nagiba pritisnutih betonskih dijagonala. Pored poprene armature, za prihvatanje trensverzalnih sila potrebno je obezbijediti i

dodatnu podunu zategnutu armaturu Aa. Povrina dodatne armature koju treba sabrati sa postojeom zategnutom armaturom,

odreenom iz momenta savijanja: 0 l*2 " 3noy 3noM

Minimalna povrina poprenog presjeka uzengija odreuje se na osnovu zadovoljenja minimalnog procenta armiranja na duini osiguranja : b02 c ,*+ >5j pri emu je ,*+=0.2%. Pri tome maksimalno rastojanje uzengija iznosi: 5,*0B jzk } C/2>25 3j 2.6. T presjek

Nosa T poprenog presjeka ini armiranobetonska greda (rebro), koja je u svom pritisnutom dijelu monolitno vezana sa ploom, slika 2.11. Na taj nain se u pritisnotoj zoni presjeka koncetrie velika masa betona, ime se beton kao materijal optimalno koristi.

Slika 2.11. Karakteristine geometrijske veliine kod T presjeka

21

Normalne napone pritiska prihvataju rebro i sadejstvujua irina ploe na izvjesnoj irini, koju nazivamo raunska aktivna irina ploe b. Do izvjesnog nivoa optereenja, monolitnost veze obezbjeuju naponi smicanja na spoju ploe i rebra, a zatim se ova veza odrava potrebnim armiranjem ploe upravno na pravac pruanja rebra.

Nosai T presjeka se proraunavaju kao pravougaoni presjeci dimenzija > ?, u sluajevima kada se:

1. neutralna linija nalazi u ploi (D P ?)), 2. neutralna linija nalazi u rebru, ali se ploa nalazi u zategnutoj zoni poprenog presjeka

(npr. nad osloncima kontinualnog nosaa koji je sa ploom vezan u svojoj gornjoj zoni). U ovom sluaju presjek proraunavamo kao pravougaoni dimenzija > ?, gdje je > irina rebra.

Kada se neutralna linija nalazi u rebru T presjeka, zenemraujui dio normalnih napona pritiska u dijelu rebra ispod ploe, proraun se znatno pojednostavljuje, uz ouvanje zadovoljavajue tanosti, naroito ukoliko je zadovoljen uslov > c 5>. Greka koja se pri tome ine je relativno mala, jer je i zanemarena pritisnuta povrina presjeka mala, a i naponi pritiska u blizini neutralne linije takoe imaju male vrijednosti. Dalja pretpostavka koja se ini u proraunu u cilju njegovog pojednostavljenja, je da sila pritiska N) djeluje u srednjoj ravni ploe. Drugim rijeima, usvaja se da je ploa napregnuta konstantnim naponima pritiska , kome odgovaraju dilatacije , slika 2.12.

Slika 2.12. Proraunski model T presjeka Zbog velike pritisnute povrine presjeka, dilatacije u betonu rijetko prelaze vrijednosti 0.5 1.5, odnosno T presjeci gotovo po pravilu dostiu granino stanje iscrpljenjem

nosivosti aramture (0 10). 2.6.1. VEZANO DIMENZIONISANJE

U ovom sluaju je poznata geometrija poprenog presjeka (veliine >, >, ?, ?)), kao i mehanike karakteristike materijala. Postupak prorauna zapoinje odreivanjem napona pritiska u srednjoj ravni ploe: 7> ?) dC ?)2 e

Iz veze napon dilatacija moemo odrediti dilataciju u srednjoj ravni ploe:

2 1 ^1 Poloaj neutralne linije u odnosu na srednju ravan ploe odreujemo zatim iz izraza:

D 0 dC ?)2 e

22

Dilatacija na pritisnutoj ivici betona mora da zadovolji uslov:

D ?)2D P 3.5

Ukoliko se neutralna linija nalazi u ploi, presjek dimenzioniemo kao pravougaoni, dimenzija > ?, a kada je zadovoljen uslov D c 4 , potrebnu povrinu aramture odreujemo iz izraza:

0 7" dC ?)2 e U praktinim proraunima, uglavnom se pri dimenzionisanju polazi od pretpostavke da

se neutralna linija nalazi u ploi, pa se presjek dimenzionie kao pravougaoni. Pri dostizanju graniene nosivosti, naroito ako lom nastaje po aramturi uz istovremeno veoma malo naprezanje betona, visina pritsnute zone betona je mala. Tada se neutralna linija najee nalazi u ploi T presjeka, pa se dimenzionisanje vri po obrascima za proraun pravougaonih presjeka, ija je irina jednaka aktivnoj irini bloe b, a visina je jednaka visini nosaa d. Oblik presjeka ispod neutralne linije pritom nije bitan jer se, prema polaznim pretpostavkama, zategnuti dio betonskog poprenog presjeka ne uvodi u proraun. Treba naglasiti, da se mehaniki procenat armiranja zatagnutom armaturom uvijek odnosi na irinu pritisnute zone, a ne na irinu rebra T presjeka.

Polazei od ovakvog rezonovanja, za dati presjek dimenzija > ? i pretpostavljeni poloaj teita zategnute armatire, sraunavaju se sljedee veliine: _ C`7>

; , 0, 2, K Pomou bezdimenzionalnog koeficijenta s, odreuje se poloaj neutralne linije u odnosu

na gornju ivicu presjeka. Ukoliko je D K C P ?), pretpostavka o poloaju neutralne linije je zadovoljena, pa se potrebna povrina armature sraunava sa mehanikim koeficijentom armiranja ija se vrijednost za dilatacije i 0 oitava iz tabele. U protivnom, proraun se sprovodi za T presjek, na naprijed opisan nain.

Treba naglasiti da se izraz za dimenzionisanje pravougaonih presjeka mogu sa dovoljnom tanou primjenjivati i u sluaju T presjeka kada se neutralna linija nalazi u rebru, sve do visine D P 1.25 ?). 2.7. Proraun vitkih elemenata prema graninoj nosivosti

Postupci prorauna vitkih elemenata danas se izdvajaju posebno, jer teorija konstrukcija, na alost, nije u stanju da na prikladan nain za praktinu upotrebu analizira granino stanje loma po teoriji II reda sloenih konstrukcijskih sistema, uz uvaavanje svih reolokih svojstava materijala od kojih je konstrukcija napravljena.

Pri proraunu armiranobetonskih konstrukcija, posebne tekoe izaziva promjena krutosti po duini tapa usljed pojave prslina u betonu. I pored toga to savremena shvatanja pri proraunu vitkih elemenata i konstrukcija polaze od geometrijskih i fizikih nelinearnosti, problem odreivanja kritine duine tapa ostaje i dalje nedovoljno razjanjen, naroito kod sistema sa pomjerljivim vorovima. Taj probelm se mora vezati za utvrivanje kapaciteta noenja konstrukcijskog sistema, uz uvaavanje mogunosti pojave plastinih zglobova, odnosno promjene statikog sistema.

Pod pretpostavkom da nam je duina izvijanja C poznata, vitkost definiemo kao:

23

Cz gdje je: z poluprenik inercije betonskog dijela poprenog presjeka za osu oko koje se presjek

obre prilikom izvijanja ili savijanja. Provjera stabilnosti vitkog elementa na izvijanje nije potrebna ukoliko je zadovoljen bar

jedan od sljedeih uslova: prvi uslov: kad je 25 drugi uslov: kad je c 3.5 ako je P 75 trei uslov: kada je c . | ako je c 75

Pri tome je: 52 - ekscentricitet normalne sile pritiska sraunat po teoriji I reda za elastian sistem. ? odgovarajua visina poprenog presjeka u pravcu ekscentriciteta 52. 2.7.1. OBLAST SREDNJE VITKOSTI ( 75)

Propisi omoguavaju da se za jedno veliko podruje vitkosti (25 75) mogu dovoljno tano primjeniti priblini postupci koji na jednostavan i brz nain priblino uvode efekte teorije II reda. Ovde e biti detaljno objanjen priblian postupak tzv. dopunske ekscentrinosti, koji je prikladan za praktinu upotrebu, jer se, na kraju, zadatak odreivanja koeficijenata sigurnosti na izvijanje vitkog elementa svodi na klasian postupak dokaza graninog stanja loma mjerodavnog ekscentrino pritisnutog presjeka. 2.7.1.1. Ekscentricitet usljed uticaja I reda 52

U optem sluaju ekscentricitet normalne sile usljed uticaja prvog reda jednak je: 52 7 gdje su:

M i N uticaji sraunati za stanje upotrebljivosti. 2.7.1.2. Ekscentricitet usljed netanosti pri izvoenju 5

Ovu ekscentrinost 5 treba uzimati u obzir i kod priblinih prorauna (25 75) i kod tanih prorauna (za 75). Ekscentrinost 5 usvaja se na sljedei nain: 2 3j P C300 P 10 3j 2.7.1.3. Dodatni ekscentricitet usljed teenja betona 5

Uticaji skupljanja i teenja betona mogu biti zanemareni (5 0) u sljedeim sluajevima:

prvi sluaj: ako je P 50 drugi sluaj: ako je c 2

gdje je: 52 ekscentricitet normalne sile pritiska sraunat po teriji I reda za elastian sistem u mjerodavnom presjeku unutar srednje treine duine izvijanja C. ? - odgovarajua visina poprenog presjeka u pravcu ekscentriciteta e.

trei sluaj: ako je ' P 0.2

24

gdje je: ' - eksploataciona normalna sila pritiska od stalnog optereenja - eksploataciona normalna sila pritiska od totalnog optereenja. U sluajevima kada nisu ispunjena pomenuta tri uslova, obavezno bi trebalo uvesti uticaj

teenja preko poveanja ekscentrinosti prema izrazu: 5 52' 5 d2.718 2F 1e gdje su: M ' 4C4 Pri emu su usvojene oznake: 52' - ekscentricitet normalne sile od stalnog optereenja 5 - ekscentricitet usljed netanosti pri izvoenju konstrucije (imerfekcije). 2.7.1.4. Dodatni ekscentricitet II reda 54

Kada je odreeno 52, onda se lako odreuje dodatna ekscentrinost (ekscentrinost II reda), prema sljedeim obrascima, koji su funkcija samo vitkosti i ekscentrinosti I reda 52: 54 ? |F42 `0.1 , kada je 0 P P 0.3 54 ? |F42 , kada je 0.3 P P 2.5 54 ? |F42 3.5 , kada je 2.5 P P 3.5 gdje je:

d dimenzija poprenog presjeka u pravcu izvijanja.

25

3. ALGORITAM MODULA ZA BETON

26

3.1. Uputstvo za rad u programu Pokretanjem programa otvara se dijalog prozor Oblik presjeka sl. 3.1. Klikom na jedan

od dva ponuena tastera bira se pravougaoni ili T popreni presjek.

Slika 3.1.

Izborom pravougaonog presjeka otvara se dijalog prozor Stub-greda sl. 3.2. U ovom dijalog prozoru kao i u prethodnom moe se izabrati jedna od dvije mogunosti klikom na odgovarajui taster.

Slika 3.2.

Ukoliko je element koji je potrebno dimenzionisati stub, izborom opcije Stub klikom na odgovarajui taster otvorie se dijalog prozor Karakteristike poprenog presjeka, sl. 3.3. U ovaj dijalog prozor se unose sljedei podaci: visina presjeka d u cm, irina presjeka b u cm, duina suba l u m, koeficijent vitkosti, debljina zatitnog sloja a0 u cm, zatim, bira se vrsta armature (glatka ili rebrasta); iz padajuih lista se biraju marka betona kao i prenik uzengija. Izborom tastera Cancel u ovom i svim sljedeim dijalog prozorima proraun se prekida.

Slika 3.3.

Nakon unosa podataka i potvrivanja na taster OK otvara se dijalog prozor Presjene sile, sl. 3.4. Ovdje se unose vrijednosti momenata, u kNm, i normalnih sila u, kN, od stalnog i povremenog optereenja. Normalne sile se unose kao negativne ako zateu element, odnosno kao pozitivne ako ga pritiu. Momenti se unose kao pozitivni ili negativni zavisno od toga koju stranu presjeka zateu. Vrijednost ovih presjenih sila se dobija na osnovu statikog prorauna.

27

Slika 3.4.

Zavisno od prethodno unesenih podataka, odnosno dimenzija elementa i presjenih sila, moe se desiti da nije potrebna provjera stabilnosti na izvijanje stuba. Tada e biti ispisana poruka o tome. Meutim, ako je potrebna provjera stabilnosti na izvijanje, za proraun ekscentriciteta usljed teenja betona potreban je podatak o relativnoj vlanosti. Zbog toga e se u ovom sluaju otvoriti dijalog prozor Relativna vlanost stuba, sl. 3.5. U njemu se iz padajue liste moe izabrati relativna vlanost koja e se koristiti pri proraunu. Potrvrda izabrane vrijednosti se vri na taster OK.

Slika 3.5.

Nakon ovoga program e ispisati povrinu potrebne armature. Ukoliko je element koji je potrebno dimenzionisati greda, izborom opcije Greda

klikom na odgovarajui taster u dijalog prozoru prikazanom na sl. 3.2 otvorie se dijalog prozor Karakteristike poprenog presjeka slino kao kod prorauna stuba. Jedina razlika je ta to u ovom dijalog prozoru ne postoji polje za unos duine elementa i koeficijenta vitkosti. Unosom podataka u taj dijalog prozor i potvrivanjem na OK otvorie se sljedei dijalog prozor Optereenje, sl. 3.6, u kojem se moe birati da li e se presjene sile unositi kao ukupno optereenje ili kao razdvojene na stalno i povremeno optereenje.

Slika 3.6.

Ako se izabere opcija Stalno + povremeno otvorie se dijalog prozor Presjene sile kao na sl. 3.4, a ako se izabere opcija Ukupno otvorie se dijalog prozor Presjene sile kao na sl. 3.7. Za ovaj dijalog prozor vai sve kao i kod stubova.

28

Slika 3.7.

U ovom sluaju program e nakon potvrde unesenih podataka ispisati povrinu potrebne armature.

Nakon ispisivanja povrine potrebne armature, bilo da se radi o gredi ili stubu, pojavie se dijalog prozor Donja zona Aa1, sl. 3.8. U njemu se iz padajue liste bira prenik armature koji se eli koristiti. Za izabrani prenik ipke u dijalog prozoru se ispod padajue liste nalaze podaci o potrebnom broju ipki, broju redova u koje se moe smjestiti dati broj ipki, maksimalan broj ipki koji se moe smjestiti u jedan red, kao i relativna razlika povrine potrebne armature i povrine armature koja se ostvaruje sa datim brojem ipki izabranog prenika. Sve ove podatke program ispisuje pored gore navedenog dijalog prozora, za svaku ipku armature pojedinano u vidu liste, sl. 3.9. Na osnovu relativne razlike u povrinama lako se moe odrediti ekonomski najpovoljnija ipka armature. Pored toga to je potrebno voditi rauna o relativnoj razlici povrina treba obratiti panju i na raspored ipki armature u poprenom presjeku. Povoljno je birati ipke koje mogu stati u to manji broj redova, zbog vee statike visine presjeka, ali je sa druge strane, takoe, povoljno birati ipke kojih to vie moe stati u jedan red, zbog prslina. Zato ne postoji neko jedinstveno pravilo oko izbora prenika armature. Potrebno je nai najoptimalnije rjeenje to se tie gore navedenih stavki, tako da ostaje da korisnik programa, na osnovu linog iskustva, sam izabere prenik ipke kojom e se armirati presjek, koristei podatke koji su prikazani u listi na sl. 3.9.

Slika 3.8.

29

Slika 3.9.

Kada se izabere prenik ipke armature i potvrdi na taster OK, otvorie se dijalog prozor Usvajanje armature donje zone po redovima, sl. 3.10. U lijevom dijelu prozora nalaze se podaci o preniku ipke, potrebnom broju ipki, broju redova i maksimalnom broju ipki u jednom redu, dok se u desnom redu nalaze elije po redovima u koje se unosi broj ipki. Podaci u lijevom djelu pomau korisniku programa prilikom rasporeivanja ipki po redovima. U desnom dijelu e biti aktivno onoliko elija u koliko redova je minimalno mogue smjestiti izabranu armaturu.

Slika 3.10.

Nakon rasporeivanja ipki u redove i potvrivanja na OK, ukoliko je potrebna armatura u gornjoj zoni otvorie se dijalog prozor Gornja zona Aa2, koji je oblika kao dijalog prozor sa sl. 3.8. Postupak rada sa ovim prozorom je isti kao i sa prozorom Donja zona Aa1. Poslije njega se takoe otvara prozor kao na sl. 3.10, u kojem se rasporeuje armatura po redovima za gornju zonu.

Program e zatim sraunati statiku visinu na osnovu rasporeenih ipki armature i uporediti je sa pretpostavljenom. Ukoliko se one razlikuju za vie od 1 cm, proraun e se ponoviti sa novom statikom visinom tako da e biti potrebno ponovo usvajanje ipki armature i njihovo rasporeivanje po redovima. Proraun e se ponavljati dok god se ne zadovolji uslov da se statike visine razlikuju za manje od 1 cm.

Ako se dimenzionie element koji je napregnut na isti pritisak ili zatezanje unos podataka se razlikuje. Razlika postoji u dijalog prozoru Donja zona Aa1, sl. 3.11. Umjesto minimalnog broja redova u koji se mogu smjestiti ipke izabrane armature u donjoj zoni, ovdje se ispisuje maksimalan broj redova u koji se mogu rasporediti izabrane ipke po visini nosaa. Broj redova koji se usvoji se upisuje u eliju Usvojen broj redova. Minimalan broj redova koji se treba unjeti je 2. Dio oko rasporeivanja ipki po redovima je identian gore opisanom.

30

Slika 3.11.

Po zavretku prorauna, bilo da se radi o aksijalno napregnutim elementima ili ne, za presjeke veih dimenzija esto je potrebno izabrati prenik konstruktivne armature. To se radi u dijalog prozoru Konstruktivna armatura, sl. 3.12. Prenik armature se bira iz padajue liste.

Slika 3.12.

Potvrivanjem na tester OK, program e ispisati podatke o presjeku i usvojenoj armaturi: prenik armature, broj ipki po redovima, razmak izmeu ipki u redovima, povrinu upotrebljene armature, rastojanje izmeu redova, pretpostavljenu i sraunatu statiku visinu, te njihovu relativnu razliku, zatim upotrebljenu marku betona kao i veliinu usvojenog zatitnog sloja.

Slika 3.13.

31

Za presjek koji je dimenzionisan, tj. za koji je odreena potrebna povrina podune armature, esto je potrebno izvriti i proraun osiguranja od dejstva transverzalnih sila, ukoliko se npr. taj presjek nalazi iznad oslonca. Meutim, kad se dimenzionie presjek u polju, za maksimalnu vrijednost momenta savijanja, gdje je transverzalna sila jednaka nuli, taj proraun nije potreban. Program e u svakom sluaju pitati da li je potreban proraun ili ne, u dijalog prozoru T sile, sl. 3.14.

Slika 3.14.

Prihvatanjem prorauna na taster Da otvorie se prozor Karakteristike presjeka, sl. 3.15. U njemu se bira vrsta armature koja se koristi za uzengije (glatka ili rebrasta), zatim, unosi se vrijednost irine oslonca na koji se oslanja data greda koja se dimenzionie, kao i eljena sjenost uzengija.

Slike 3.15.

Nastavljanjem prorauna ponovo e se otvoriti dijalog prozor Optereenje kao na sl. 3.6. Biranjem bilo koje od opcija otvorie se sljedei dijalog prozor Presjene sile, sl. 3.16, iji e oblik zavisiti od izabrane opcije u prethodnom prozoru. U ovaj prozor se unose vrijednosti transverzalnih sila (ukupna ili stalna + povremena) i vrijednosti raspodijeljenog optereenja koje djeluje na gredu (ukupno ili stalno + povremeno). Vrijednost ovih transverzalnih sila se dobija na osnovu statikog prorauna.

Slika 3.16.

Unoenjem podataka i potvrivanjem na OK program nastavlja sa proraunom. Zavisno od rezultata prorauna program e prikazati neku od sljedeih poruka: Nije potrebno osiguranje od dejstva transverzalnih sila ako je vrijednost transverzalne sile mala i beton je u stanju da primi kompletne napone zatezanja koji se javljaju u tom presjeku, Razmak izmeu uzengija je previe mali kada je potrebno usvojiti veu sjenost uzengija ili vei prenik, Dozvoljeni naponi u presjeku su prekoraeni, potrebno je promjeniti ulazne parametre npr. usvojiti veu marku betona. Ako se ne prikae nijedna od navedenih poruka, znai da je proraun uspjeno proveden i program e ispisati podatke o duini osiguranja, usvojenom

32

razmaku uzengija na duini osiguranja, kao i razmaku uzengija na dijelu gdje nije potrebno osiguranje, sl. 3.17.

Slika 3.17.

Na samom kraju prikazae se skica presjeka sa svim potrebnim kotama, sl. 3.18.

Slika 3.18.

Postupak prorauna T presjeka je veoma slian ve navedenom postupku za pravougaoni presjek. Redoslijed i nain unosa podataka je identian ve opisanom. Razlika je u tome to se kod T presjeka proraun odnosi samo na grede. Nije mogue raunati stubove T poprenog presjeka uzimajui u obzir proraun vitkosti. Takoe, dio programa koji se odnosi na T presjek ima neka ogranienja u pogledu prorauna. Mogu se raunati samo presjeci takvih dimenzija, koji su optereeni takvim silama, da se u proraunu mogu svesti na pravougaoni presjek. U suprotnom e se tokom rada programa pojaviti poruka o greci i prekinuti proraun.

3.2. Numeriki primjeri Radi poreenja rezultata dobijenih pri dimenzionisanju betonskih presjeka pomou

modula za beton, sa rezultatima iz literature kao i sa rezultatima komercijalnih programa (u prvom redu Radimpex Tower 6), u nastavku je prikazano nekoliko numerikih primjera:

1. primjer Odrediti potrebnu koliinu armature za gredu dimenzija 25x25 cm, optereenu silama 1' 330 _ i 1) 240 _ (MB 30, RA 400/500).

33

Rjeenje iz literature:

Rjeenje pomou modula za beton:

34

2. primjer Za nosa na skici: odediti potrebnu koliinu armature u karakteristinim presjecima, izvriti osiguranje od glavnih napona zatezanja ukoliko je to potrebno.

Rjeenje: Dijagrami presjenih sila za stalno i pokretno optereenje: 7o_j

Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u polju: 124.444 kNm na 2.66667 m

35

7_j Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u polju: 88.8889 kNm na 2.66667 m lo_ Tower 6:

MKE program:

36

l_ Tower 6:

MKE program:

Presjeci u kojima se vri dimenzionisanje:

37

Presjek 1 1: Tower 6:

Modul za beton:

38


Modul za beton:

39


Modul za beton:

40

3. primjer Za ram na skici odrediti potrebnu koliinu armature i izvriti osiguranje od glavnih

napona zatezanja u karakteristinim presjecima.


Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u prvom polju: 66.6648 kNm na 1.38011 m maksimalni moment u drugom polju: 140.573 kNm na 2.99591 m

41

7_j Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u prvom polju: 9.09393 kNm na 0.953621 m maksimalni moment u drugom polju: 86.6485 kNm na 2.91855 m lo_ Tower 6:

42

MKE program:

l_ Tower 6:

MKE program:

o_ Tower 6:

43

MKE program:

_ Tower 6:

MKE program:


44


Modul za beton:

45


Modul za beton:

46


Modul za beton:

47


Modul za beton:

48


Modul za beton:

49


Modul za beton:

50


Modul za beton:

51


Modul za beton:

52

4. primjer Za nosa na skici odrediti:

potrebnu koliinu armature za gredu i stub u karakteristinim presjecima izvriti osiguranje od glavnih napona zatezanja u gredi.


Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u polju: 225 kNm na 3 m

53

7_j Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u polju: 180 kNm na 3 m lo_ Tower 6:

54

MKE program:

l_ Tower 6:

MKE program:

55

o_ Tower 6:

MKE program:

_ Tower 6:

MKE program:


56


Modul za beton:

57


Modul za beton:

58


Modul za beton:

59

5. primjer Za gredu sa skice, T poprenog presjeka, odrediti potrebnu koliinu armature u

karakteristinim presjecima i izvriti osiguranje od glavnih napona zatezanja ukoliko je potrebno.

Rjeenje: Dijagrami presjenih sila za stalno i pokretno optereenje: 7o 7_j

Tower 6:

MKE program:

maksimalni moment u polju: 100 kNm na 2 m

60

7o 7_j Tower 6:

MKE program:



61

Modul za beton:


62

Modul za beton:

63

4. ZAKLJUAK

U radu je potvreno da se linijski armiranobetonski nosai optereeni u jednoj ravni mogu uspjeno rjeavati primjenom metoda konanih elemenata i dimenzionisati primjenom automatizovanog programa izraenog za tu namjenu. Prednost ovog programa u odnosu na runi proraun je viestruka. Ona se prije svega ogleda u utedi vremena i davanju rezultata vee tanosti. Izbjegavaju se greke koje nastaju pri oitavanju pojedinh koeficijenata iz odreenih tabela ili dijagrama. Pojedini parametri se raunaju na osnovu tanih obrazaca, za razliku od runog postupka, gdje se usvajaju njihove pribline vrijednosti. Ukoliko se na kraju prorauna ispostavi da odreene pretpostavke nisu ispunjene, iterativnim postupkom se dolazi do ispunjenosti ovih uslova. Ta injenica ini ovaj program pogodnijim za proraun ak i u odnosu na neke komercijalne softverske pakete (Tower 6).

Na osnovu svega izloenog u radu, moe se konstatovati da Modul za beton, kako je nazvan ovaj dio programa u okviru MKE programa, daje razultate zadovoljavajue tanosti na razliitim vrstama nosaa, iji se popreni presjeci nalaze u razliitim naponskim stanjima. Testiranje je vreno poreenjem sa rezultatima dobijenih pomou komercijalnog programa Tower 6. Razlike koje se javljaju u potrebnoj povrini armature su zanemarive, s obzirom na to da je kao krajnji rezultat potrebno usvojiti istu koliinu armature. U pojedinim sluajevima dobijaju se vee potrebne povrine armature u odnosu na Tower 6, to je opravdano, jer Tower ne uzima u obzir minimalne procente armiranja. Odreene razlike javljaju se i potrebnom razmaku izmeu uzengija za osiguranje od dejstva transverzalnih sila. Ova razlika vjerovatno nastaje zbog toga to Modul za beton za koeficijent , koji figurie u datom proraunu, koristi vrijednosti dobijene pomou tanih izraza koji zavise od predmetnog sluaja. U inenjerskim proraunima vrijednost ovog koeficijenta se usvaja da je 0.9. To je jedino logino objanjenje postojanja uoene razlike.

Treba napomenuti da Modul za beton pored gore navedenih prednosti ima i odreene mane i ogranienja. Prilikom dimenzionisanja vie presjeka istog konstruktivnog elementa potrebno je svaki put ispoetka unosti iste ulazane podatke, to ponekad predstavlja zametan posao. Takoe, ukoliko se uoi da je u toku unoenja podataka neki parametar pogreno unesen ili izabran, nije se mogue vratiti i ispraviti uoenu greku. Potrebno je pekinuti proraun programa i ponovo unositi sve podatke. Zatim, program nije u mogunosti da dimenzionie stubove koji se nalaze u oblasti velike vitkosti. Za to je potreban proraun po teoriji drugog reda. Grede T poprenog presjeka se mogu dimenzionisati samo ako imaju takvu geometriju i ako se nalaze u takvom naponskom stanju da se prilikom prorauna mogu svesti na pravugaoni oblik. Takoe su mogue greke i u grafikom prikazu armature za pojedine sluajeve.

S obzirom na to da je ovaj program razvijen za edukativne potrebe, i pored ogranienja koja ima, moe posluiti za dimenzionisanje veine armiranobetonskih elemenata koji se javljaju u nastavi.

Dalji razvoj programa e biti usmjeren na prevazilaenju uoenih mana i ogranienja. Nastojae se razviti algoritam koji je optiji od ve izraenog, koji e se moi koristiti za vie razliitih poprenih presjeka, kao i za dimenzionisanje elemenata napregnutih na koso stanje napona.

64

5. LITERATURA

1. Najdanovi D.: Betonske konstrukcije, Orion Art, Beograd, 2009. 2. Grupa autora: Beton i armirani beton, prema BAB 87, tom 1 prirunik, Graevinski

fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1995. 3. Grupa autora: Beton i armirani beton, prema BAB 87, tom 2 prirunik, Graevinski

fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1995. 4. Sekulovi M.: Metod konanih elemenata, Graevinska knjiga, Beograd 1988. 5. Huebner K. H.: The finite element method for engineers, John Wiley & Sons Inc, New

York, 2001. 6. Zaimovi Uzunovi N, Leme S.: Metod konanih elemenata, Dom tampe, Zenica,

2002. 7. Najdanovi D.: Milosavljevi B., Zbirka reenih ispitnih zadataka iz betonskih

konstrukcija, Nauna knjiga, Beograd, 1991. 8. sr.wikipedia.org/wiki/_

Documents

Dimenzionisanje Linijskih Elemenata u Okviru MKE Programa - Betonske Konstrukcije - Slobodan Popadić