UNIVERZITET U ZENICI MAINSKI FAKULTET U ZENICI KATEDRA ZA MEHANIKU

prof. dr. Nermina Zaimovi-Uzunovi, dipl. in. doc. dr. Nedim Hodi, dipl. in.

STATIKAProgrami i uputstvo za izradu programa

Zenica, septembar 2006.

Mainski fakultet u Zenici Katedra za mehaniku Predmet: StatikaPrezime i ime studenta: kolska godina: Broj indeksa: Datum izdavanja programa: Rok predaje programa:

ZADACI ZA PRVI PROGRAM IZ STATIKE1. Za sistem krutih tijela prikazan na slici ____ analitikim i grafikim putem odrediti sve unutranje i spoljanje reakcije veza. Podaci za teinu G1 tapa AB i G2 kugle M uz ostale geometrijske veliine i intenzitet sile F dati su u tabeli 1. Sva trenja u zglobnim vezama i na dodirnim povrinama izmeu kugle M i kose stjenke zanemariti. Tabela 1. AB (m) () () ()

AD (m)

CD (m)

G1 (N)

G2 (N)

F (N)

2. Homogena pravougaona ploa teine G i dimenzija axb prikazana na slici ____ vezana je u takama A, B i C za vrstu, kosu, horizontalu i vertikalnu stjenku. Ploa je optereena spregom sila momenta M i silom F. Analitiki i grafiki odrediti reakcije veza u takama A, B i C. Zanemariti teine tapova I, II i III i trenje u zglobnim vezama. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 2. Tabela 2. a (m) () () ()

b (m)

G (N)

F (N)

M (Nm)

3. Na slici ____ prikazana je konica sa papuom/trakom. Odrediti intenzitet sile koenja Fk i intenzitet reakcija u zglobnim vezama O, O1 i B ako je teina tereta M, G, a koeficijent trenja izmeu papue/trake i doboa konice D, . Teinu doboa konice i poluge OBA/AB zanemariti. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 3. Tabela 3. a (m)

b (m)

c (m)

n (m)

R (m)

r (m)

G (N)

4. Za reetkasti nosa u ravni prikazan na slici ____ odrediti: a) analitiki i grafiki reakcije veza, b) sile u tapovima reetkastog nosaa konstrukcijom Kremoninog plana sila, c) za naznaeni presjek sile u tapovima primjenom Kulmanove i Riterove metode. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 4. Tabela 4. F (N)

a (m)

Program izdao: __________________________

2

3

4

slika 1.4.2.5

PRIMJER 1 Za sistem krutih tijela prikazan na slici 1.5. analitikim i grafikim putem odrediti sve unutranje i spoljanje reakcije veza. Dati su podaci: AB = 0.2 m, AD = 0.2 m, CD = 0.2 m, = 60, = 60, = 90, G1 = 20 N, G2 = 10 N i F = 30 N. (G1(*) je teina tapa, G2 je teina kugle M). Trenje u zglobnim vezama kao i na dodirnoj povrini izmeu kugle M i kose stijenke zanemariti. a) Analitiko rjeenje Ako bismo sistem posmatrali kao cjelinu, oslobaanjem od veza na sistem bi djelovale poznate sile teine G1, G2 i sila F i nepoznate reakcije veza FC, FN i FA. Reakcija u zglobu C (sila FC) i reakcija kose stjenke (sila FN) definisane su silama poznatog pravca, a nepoznatog intenziteta i smjera. Reakcija u zglobu A definisana je silom FA nepoznatog pravca, smjera i intenziteta. Kako na sistem djeluje proizvoljni sistem sila u ravni, analitiki uvjeti ravnotee definisani su sa tri jednaine x = 0, y = 0 i M = 0. Iz navedenog se vidi da je broj nepoznatih veliina vei od Slika 1.5. broja jednaina koje definiu analitike uvjete ravnotee, tj. problem treba rijeiti razlaganjem sistema na podsisteme. Uspostavljanjem ravnotee podsistema uspostavie se ravnotea sistema. Kugla M - podsistem I Na slici 1.6. prikazana je kugla M osloboena veza iji je utjecaj zamijenjen odgovarajuim reakcijama odnosno silama FN i Fu. Prema slici je oigledno da na kuglu M djeluje sueljni sistem sila u ravni tako da su analitiki uvjeti ravnotee definisani, za usvojeni koordinatni sistem Oxy, jednainama: x=0 y=0 Iz (1) slijedi: (1') u (2): odnosno: FN sin - Fu cos = 0............................................................................................(1) FN cos + Fu sin - G2 = 0 ...................................................................................(2) Fu = FN tg .............................................................................................................(1') FN cos + Fu sin - G2 = FN cos + FN tg sin - G2 = FN (cos + tg sin ) - G2 = 0 ..........................................................................(3) G2 .........................................................................................(4) FN = (cos + tg sin ) 10 10 FN = = (cos60+ tg 60 sin 60 ) ( 0.5 + 1.7321 0.86603) FN = 5 N Iz (1') slijedi: Fu = 5 . 1.7321 Fu = 8.661 N

Slika 1.6.tap AB - podsistem II

tap AB osloboen veza prikazan je na slici 1.7. Utjecaj veza zamijenjen je odgovarajuim reakcijama, odnosno, silama FC u zglobu C, Fu' = -Fu u uetu i FA koju smo razloili na dvije komponente, FAX i FAY u zglobu A. Na tap AB oigledno djeluje proizvoljni sistem sila u ravni tako da su analitiki uvjeti ravnotee za usvojeni koordinatni sistem Oxy definisani jednainama: x=0 y=0 + MA = 0 Fu' cos - XA + F cos = 0..................................................................... (5) -FC - Fu' sin - G1 + YA - F sin = 0...................................................... (6) FC. 0.4 + (Fu' sin ). 0.2 + G1. 0.1 - (F sin ). 0.2 = 0............................... (7)

Slika 1.7.Uz jednaine: Fu' = Fu .....................................(8) Fu' = 8.661 N r r r FA = FAX + FAY ......................(9) r r FAX = X A i ..........................(10) r r FAY = YA j ...........................(11) X A + YA ...................(12) YA ................................(13) tg = XA YA ..........................(14) = arctg XA FA =2 2

Iz jednaina (5), (6) i (7) dobijamo: Iz (5): XA = Fu' cos + F cos ...........................................................................(5') XA = 8.661 cos 60 + 30 cos 60 = 8.661. 0.5 + 30. 0.5 XA = 19.331 N ( F sin ) 0.2 ( Fu sin ) 0.2 G 1 0.1 .....................................(7') FC = 0.4 ( 30 sin 60 ) 0.2 ( 8.661 sin 60 ) 0.2 20 0.1 = FC = 0.4

Iz (7):

Iz (6):

0.4 FC = 1.696 N YA = FC + Fu' sin + G1 + F sin ...........................................................(6') YA = 1.696 + 8.661. sin 60 + 20 + 30 sin 60 = 1.696 + 8.661. 0.866 + 20 + 30. 0.866 YA = 55.178 N

=

( 30 0.866) 0.2 ( 8.661 0.866) 0.2 20 0.1

Na osnovu izraunatih vrijednosti projekcija XA i YA pomou izraza (12) i (14) izraunavamo intenzitet i pravac reakcije u zglobu A: 55.178 2 2 FA = 58.466 N = 70.693 FA = 19.331 + 55178 . = arctg 19.331 b) Grafiko rjeenje Grafiko rjeenje ovog primjera bit e svedeno na primjenu trougla sila za kuglu M kao podsistem I i teoreme o tri sile za gredu AB kao podsistem II. Primjenom pravila trougla sila u sluaju kugle M vektor teine kugle G2 uz poznate pravce vektora sila normalne reakcije kose stijenke FN i reakcije ueta KD Fu = -Fu', omoguava formiranje trouga sila iz kojeg slijede karakteristike pravca, smjera i intenziteta reakcija FN i Fu. Pri rjeavanju zadataka iz statike, ponekad je korisno da se upotrijebi teorema o tri sile koja glasi: "Ako se slobodno kruto tijelo nalazi u ravnotei pod dejstvom triju neparalelnh sila, koje lee u jednoj ravni, onda se napadne linije tih sila moraju sjei u jednoj taki." U naem sluaju, kad je u pitanju greda AB sile Fu' = -Fu, G1 i F moemo svesti na rezultantu FR koja sa silama u zglobovima C i A,FC i FA omoguava primjenu navedene teoreme na gredu AB. Kugla M - podsistem I

(*) NAPOMENA: Oznake sila ispisane podebljano (F) predstavljaju vektore, a normalno ispisane oznake (F) skalare.

6

UF = ab =

5N 1cm G2 UF =

10N = 2 cm 5N 1cm 5N FN = bc U F = 1cm = 5N 1cm

FN = 5N

Fu = ca U F = 1.75cm

5N 1cm

= 8.75N

a) plan poloaja Slika 1.8.

b) plan (poligon) sila

Fu = 8.75N 8.661N

F' u = a' c' U F = Fu = 8.75N F' u = 8.75N

tap AB - podsistem II

UL = UF =

0.1m 1cm 5N 1cm

de =

G1 20N = = 4cm UF 5N 1cm

. FR = dg UF = 114cm . FA = lm UF = 117cm

5N 1cm 5N

= 57N

F' . ef = a' c' = u = 875cm UF fg = 30N F = = 6cm UF 5N 1cm

= 58.5N 58.466N 1cm 5N = 1.75N 1.696N FC = mk UF = 0.35cm 1cm 5N = 20N 19.331N FAX = XA = nm UF = 4cm 1cm 5N = 55N 55.178N FAY = YA = ln UF = 11cm 1cm = 70 70693 .

Slika 1.9.Na slici 1.8. posmatrana je kugla M za koju je definisan plan poloaja, slika 1.8.a. i plan sila, slika 1.8.b. Polazei od poznate sile teine G2, na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 5 N/cm, pomou plana sila i mnoenjem sa razmjerom za silu UF istih, odreeni su intenziteti sila FN i Fu. Smjer sila FN i Fu uvjetovan je zatvorenim planom, odnosno, trokutom sila. Slika 1.9. predstavlja grafiko rjeenje koje se odnosi na tap AB. Usvajanjem razmjere za duinu UL = 0.1 m/cm nacrtan je plan poloaja, slika 1.9.a., a na osnovu usvojene razmjere za sile UF = 5 N/cm konstruisani su planovi sila, slika 1.9.a. i b. Na osnovu poznatih sila Fu' = -Fu, G1 i F odreena je rezultanta FR koja je pomou zraka verinog poligona 1, 2, 3 i 4 definisanih za proizvoljno izabran pol P preneen u plan poloaja. Zatim je na osnovu primjene teoreme o tri sile na osnovu poznatih pravaca sila FC i FR odreena taka K kroz koju, da bi tap AB bio u ravnotei, mora proi i pravac sile FA. Polazei od poznate sile FR i poznatih pravaca sila FC i FA na kraju je konstruisan plan sila dat na slici 1.9.c., iz kojeg su oitane karakteristike intenziteta i smjera reakcija FC i FA. Na istoj slici reakcija FA razloena je na komponente tako da su sa nje oitane i karakteristike komponenti.

7

PRIMJER 2

Homogena pravougaona ploa teine G = 200 N dimenzija a x b = 40 cm x 30 cm u takama B i C vezana je zglobno, pomou dva tapa zanemarljive teine, za pod i vertikalni zid. U taki A ploa se oslanja na kosi glatki zid koji sa horizontalom zaklapa ugao od 45. Ploa ABCD optereena je spregom sila momenta M = 60 Nm i silom F = 400 N. Odrediti analitiki i grafiki sile u tapovima I i II i reakciju kosog glatkog zida u taki A.a) Analitiko rjeenje

Slika 1.10.x=0 y=0 + MD = 0 Iz (2) i (3):

Na slici 1.11. prikazana je ploa ABCD osloboena veza iji je uticaj zamijenjen reakcijama veze. Uzevi u obzir pretpostavku da su tapovi I i II napregnuti na zatezanje, statiki uvjeti ravnotee proizvoljnog ravanskog sistema sila, za usvojeni koordinatni sistem xOy, definisani su jednainama:

F cos 60 + F2 + FA sin 45 = 0 .....................................................(1) FA cos 45 - G - F1 - F sin 60 = 0.................................................(2) FA. b sin 45 - M - G. a/2 - F1. a = 0................................................(3) F1 = FA cos 45 - G - F sin 60 ......................................................(2') b M G F1 = FA sin 45 .............................................................(3') a a 2 b M G FA cos 45G F sin 60= FA sin 45 ............................(4) a a 2 G M 200 60 F sin 60+ 400 0.866 + 2 a 2 0.4 ..................(5) FA = = b 0.3 0.707 cos 45 sin 45 0.707 a 0.4 FA = 1676.75 N

Slika 1.11.Iz jednaine (2') moemo izraunati intenzitet sile u tapu I: F1 = FA cos 45 - G - F sin 60 = 1676.75. 0.707 - 200 - 400. 0.866 F1 = 639.23 N Silu u tapu II moemo odrediti iz jednaine (1) prema kojoj slijedi: F2 = -F cos 60 - FA sin 45 ................................................(1') F2 = - 400. 0.5 -1676.75. 0.707 F2 = - 1385.65 N Prema predznaku oigledno je da sila F2 ima suprotan smjer, odnosno tap II je napregnut na pritisak.

Iz (2') i (3'):

b) Grafiko rjeenje

UL = UF =

1cm 1mm 200N 1cm

ab = bc = d=

G UF F UF M G

= 1cm = 2 cm

= 0.3m FR UF = 2.9cm

ac = a ' b' =

Slika 1.12. U ovom sluaju moemo primijeniti Kulmanovu (Culmann) metodu, odnosno, imamo sluaj kad je potrebno silu poznatog pravca, intenziteta i smjera rastaviti na tri komponente poznatog pravca djelovanja. Na osnovu usvojene razmjere za duinu UL = 1 cm / 1 mm, prvo crtamo plan poloaja (slika 1.12.a) a nakon toga, usvojivi razmjeru za silu UF = 200 N / 1 cm, crtamo planove sila (slika 1.12.b). Kod crtanja plana poloaja, da bismo primijenili Kulmanov metod prvo smo izvrili sumiranje datog sprega M i sile G (teina ploe), pri emu dobijamo silu koja je po pravcu, smjeru i veliini jednaka sili G, ali je paralelno pomaknuta za veliinu d koju nalazimo kad moment datog sprega sila M podijelimo veliinom zadate sile G (d = M / G = 0.3 m). Dakle, sada na plou djeluju samo sile F i G tano definisanog pravca, smjera, intenziteta i napadne take (slika 1.12.a). Da bi ploa bila u ravnotei, sile u tapovima moraju uravnoteavati silu FR koja je rezultanta sila F i G. Sila FR je u planu sila odreena kao zbir vektora sila F i G. Izborom pola P definisane su polne zrake 1, 2 i 3 na osnovu kojih, povlaei zraku 1 iz proizvoljno odabrane take N na pravcu sile F, u planu poloaja definiemo verini poligon. Presjekom prve i zadnje stranice verinog poligona (taka M) definisana je taka na pravcu rezultante FR. Kroz taku M paralelno sili FR u planu poloaja povlaimo pravac koji definie silu FR u planu poloaja. Treba istai da se pravac rezultante FR u planu poloaja mogao definisati jednostavnije takom S koja predstavlja presjenu taku pravaca sila F i G, a ujedno je taka koja mora leati na pravcu rezultante FR. Kad smo definisali poloaj rezultante FR u planu poloaja dalje prijenjujemo Kulmanovu metodu, odnosno rezultantu FR rastavljamo na njene tri komponente, F1, F2 i FA iji su pravci djelovanja poznati. U tu svrhu definiemo presjene take III i IV pravaca sila FR i FA i F1 i F2. Take III i IV spajamo Kulmanovom linijom K,

8

koja definie pravac pomone Kulmanove sile, pri emu pravac Kulmanove sile definie pravac rezultante sila FR i FA, kao i sila F1 i F2. Polazei od take III crtamo trokut sila FR, FA i pomona Kulmanova sila. Zatim prelazimo na taku IV i pomou pomone Kulmanove sile dobijamo novi trokut sila koji definie veliinu sila F1 i F2. Smjer obilaenja (oznaen na slici) u dobijenom poligonu sila odreen je smjerom sile FR. Poligon sila je zatvoren i imamo, dakle, uravnoteen sistem. Na taj nain je definisan pravac, smjer i intenzitet sila F1, F2 i FA. Intenzitete sila F1, F2 i FA izraunavamo pomou izraza:

1cm FA = 1680 N 1676.75 N

FA = b' c' U F = 8.4 cm

200N

F1 = d ' a ' U F = 3.2 cm FA = 640 N 639.23 N

200N 1cm

1cm F2 = 1380 N 1385.65 N

F2 = c' d ' U F = 6.9 cm

200N

PRIMJER 3 Na slici je prikazana konica sa papuom. Koenje se vri djelovanjem sile F na polugu OAB pri emu se zaustavljanje doboa vri pritiskom papue C na isti. Koeficijent trenja izmeu papue i doboa je = 0.2. Odrediti minimalnu silu F da se dobo zakoi, ako je: n = 10 cm, r = 30 cm, R = 40 cm, a = 100 cm, b = c = 40 cm i Q = 50 kN (teina tereta M). Odrediti reakcije u takama O i O1. Ostala trenja, kao i teine poluge, doboa, papue i ueta zanemariti. Rjeenje Silu F kao i reakcije u osloncima O i O1 moemo odrediti ako dati sistem rastavimo na tri podsistema kako je prikazano na slikama 1.14., 1.15. i 1.16.

Slika 1.13.x=0 y=0

Teret M - podsistem I

Za usvojeni koordinatni sistem xO2y statiki uvjeti ravnotee tereta Q glase: Q cos 270 + Fu' cos 90 = 0 ............................ (1) Fu' - Q = 0 ......................................................... (2) Fu' = Q............................................................... (2') Fu' = 50 kN

Dobo D - podsistem II

Slika 1.14.Statiki uvjeti ravnotee doboa, za usvojeni koordinatni sistem xO1y, definisani su jednainama: x=0 XO1 - FT = 0 ...................................................(3) y=0 YO1 + FN - Fu = 0 ...........................................(4) MO1 = 0 Fu. r - FT. R = 0...............................................(5) + Dopunske jednaine glase: Fu = Fu'...........................................................(6) FT = FN .......................................................(7) r 30 Iz (5) i (7): FT = Fu = 50 R 40 FT = 37.5 kN

Slika 1.15.Na osnovu jednaine (7) koja definie trenje klizanja slijedi: FT 37.5 .................................................................... (7') FN = = 0.2 FN = 187.5 kN Na osmovu jednaina (3), (4) i (5) slijedi: XO1 = FT ................................................................................. (3') XO1 = 37.5 kN YO1 = Fu - FN = 50 - 187.5 YO1 = -137.5 kN Poluga OAB sa papuom C - podsistem III Statiki uvjeti ravnotee poluge OAB sa papuom C, za usvojeni koordinatni sistem xOy, glase: x=0 FT' - XO = 0 ..................................................................... (12) y=0 YO - FN' + F = 0............................................................... (13) FT'. (c - n) + F. a - FN'. b = 0 ............................................ (14) + MO = 0 Dopunske jednaine glase: FN' = FN ........................................................................... (15) FT = FN ......................................................................... (16) FN 'b FT '( c n) FN b FT ( c n) Iz (14), (15) i (16): ................. (17) F= = a a 187.5 40 37.5 ( 40 10) F= 100 F = 63.75 kN Dakle, reakcija FO1y ima suprotan smjer u odnosu na pretpostavljeni. Intenzitet i pravac reakcije u zglobu O1 definisan je izrazima:2 2 2 2 FO1 = X O1 + YO1 = 37.5 + ( 137.5) ........................... (9) FO1 = 142.52 kN Y tg = O1 ............................................................................ (10) X O1 137.5 ............................................... (11) Y = arctg O1 = arctg 37.5 X O1 = - 74.745

Slika 1.16.

9

Iz jednaina (12) i (13), a na osnovu jednaina (15) i (16) slijedi: XO = FT' = FT .......................................................................... (18) XO = 37.5 kN YO = FN' - F = FN - F = 187.5 - 63.75 .................................... (19) YO = 123.75 kN

Dakle, reakcija FO1Y ima suprotan smjer u odnosu na pretpostavljeni. Intenzitet i pravac reakcije u zglobu O definisan je izrazima:2 2 2 2 FO = X O + YO = 37.5 + 123.75 .................................. (20) FO = 129.31 kN Y tg = O .............................................................................. (21) XO 123.75 ................................................. (22) Y = arctg O = arctg 37.5 XO = 73.142

PRIMJER 4

Za dati reetkasti nosa na slici 1.17. potrebno je: a) analitiki i grafiki odrediti otpore oslonaca, b) primjenom Kremoninog metoda (plana sila) odrediti sile u tapovima, c) u naznaenom presjeku p-p primjenom Kulmanove metode odrediti sile u tapovima, i d) u naznaenom presjeku p-p primjenom Riterove metode odrediti sile u tapovima. Dati su podaci: a = 2 m, F = 20 kN.Rjeenje:

Slika 1.17.a) Otpori oslonaca - Grafiko rjeenje

Reetkasti nosa prikazan na slici 1.18. ima s = 9 tapova i n = 6 vorova, to znai da je zadovoljen uvjet (s = 2n - 3) (9 = 2. 6-3), odnosno, reetkasti nosa je statiki odreen.

Na osnovu usvojene razmjere za duinu UL = 1m / 1cm nacrta se plan poloaja (slika 1.18.a.), a zatim na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 10kN / 1cm konstruie se plan (poligon) sila (slika 1.18.b.). Polazei od usvojene razmjere za silu duinama ab i bc definiemo intenzitet sila F i 2F, a zatim polazei od proizvoljno izabrane take "a" na osnovu plana poloaja crtamo vektore sila F i 2F u planu sila. Proizvoljno biramo pol P i povlaimo zrake 1, 2 i 3. Konstrukciju verinog poligona poinjemo povlaenjem prve zrake iz napadne take reakcije nepokretnog oslonca A, odnosno sile FA (slika 1.18.a.), a zatim iz taaka C i D povlaimo zrake verinog poligona 2 i 3. Pomou zavrne strane verinog poligona z u planu poloaja, prenesene paralelno u plan sila, definiemo odsjeke cd i da koji pomnoeni sa razmjerom za silu UF daju intenzitete reakcija FB i FA. Na slici 1.18.c. prikazano je razlaganje reakcije oslonca FA na komponente FAX i FAY i definisanje njihovih karakteristika: pravca, smjera i intenziteta. ab = F UF 2F UF = 20kN = 2cm 10kN 1cm bc = 40kN = = 4cm 10kN 1cm FA = da U F = 2.1cm = 21kN 21.08kN FAX = X A = de U F = = 2cm 10kN 1cm = 20kN 10kN 1cm =

FAY = ea U F = df U F = = 0.7cm UL = UF = 1m 1cm 10kN 1cm FA = FAX + FAY FAX = X A i X A = FA cos A 10kN 1cm = 7 kN 6.6kN

A = 18.5 18.44

FAY = YA j YA = FA sin A FA = tg A = UF = 10kN 1cm2 X 2 + YA A

YA XA YA XA

A = arctg

Slika 1.18. 10

- Analitiko rjeenje Ako reetkasti nosa oslobodimo veza, uticaj nepokretnog oslonca A moemo zamijeniti odgovarajuom reakcijom FA iji je pravac djelovanja odreen nepoznatim uglom A ili njenim komponentama FAX i FAY za koje je poznat pravac djelovanja, a uticaj pokretnog oslonca B zamijenit emo reakcijom FB poznatog pravca djelovanja. Na reetkasti nosa kao kruto tijelo sada djeluje proizvoljni sistem sila u ravni za koji su analitiki uvjeti ravnotee definisani jednainama: x=0 y=0 + MA = 0 F - XA = 0............................................(1) YA - 2F + FB = 0 .................................(2) FB. 3a - 2F. 2a - F. a = 0 ......................(3) 3FB - 5F = 0 ........................................(4) FB = 3F / 5 = 3. 20 / 5 .........................(4') FB = 33.33 kN XA = F .................................................(1') XA = 20 kN YA = 2F - FB = 2. 20 - 33.33 ...............(2') YA = 6.66 kN Pravac djelovanja:tg A = YA XA

A = arctg A = arctgA = 18.44 Kontrola:+ MB = 0

YA XA 6.66 20

Iz(4): Iz (1): Iz (2):

Intenzitet FA:

FA = X A + YA FA = 20 + 6.66FA = 21.08 kN2 2

2

2

2F. a - F. a - YA. 3a = 0 ................... (8) 2. 20. 2 - 20. a - 6.66. 3. 2 = 0 - to znai da su rjeenja tana.

1m UL = 1cm Intenzitet sile u tapu u kN i vrsta naprezanja tapa 5kN UF = zatezanje (+) pritisak (-) 1cm 1 9.25 2 26.50 3 0 0 4 33.25 5 9.25 6 26.50 7 33.25 8 47.00 9 33.25 c) tabelarni prikaz vrste naprezanja tapa i intenziteta sila u tapu Broj tapa

b) Kremonin metod (Kremonin plan sila)

a) Plan poloaja

Ova metoda bazira se na uvjetu da je vektorski zbir spoljanjih i sila u tapovima u svakom voru (zglobu) reetkastog nosaa jednak nuli (uvjet ravnotee sistema sueljnih sila). Poto se grafikim putem odrede otpori oslonaca, na osnovu razmjere za duinu UL = 1m / 1cm nacrtamo plan poloaja, slika 1.19.a. Zatim, na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 5kNm / 1cm, konstruiemo plan spoljanjih sila koje djeluju na reetkasti nosa (u spoljanje sile se ubrajaju i otpori oslonaca) i to tako to nanosimo sile obilaenjem ove reetke u izabranom smjeru. Na slici 1.19.a. izabran je smjer kretanja kazaljke na satu, pa su sile nanijete redom: FA, F, FB, 2F. reakcije tapova, tj. sile koje uravnoteuju djelovanje spoljanjih sila odreujemo na sljedei nain. Polazimo od prostog vora (vor u kojem se javljaju najvie dvije nepoznate sile) npr. vora I. Zamislimo da smo vor I isjekli i uticaj odbaenog dijela sistema (tapova 1 i 2 zamijenili odgovarajuim reakcijama Fu1 i Fu2. Sada na vor I djeluje sistem sueljnih sila - sile FA, Fu1 i Fu2. Da bi te tri sile bile u ravnotei, trougao konstrisan od tih sila mora biti zatvoren. Poi emo od sile FA, u poligonu sila (slika 1.19.b.) to je vektor ab i oko vora I treba obilaziti u usvojenom smjeru, pa zato iz take b treba povui pravu paralelnu tapu 1, a iz take a pravac paralelan tapu 2 u planu poloaja (slika 1.19.a.). U tako konstruisanom trouglu sila vektori be i ea u datoj razmjeri predstavljaju unutranje sile, odnosno, reakcije Fu1 i Fu2 u tapovima 1 i 2. Smjer sila Fu1 i Fu2 odreujemo iz trougla sila abe koji mora biti zatvoren i tako utvren smjer prenosimo na b) Kremonin plan sila odgovarajue tapove kod izrezanog vora, a zatim se na istim tapovima, kod susjednih vorova, ucrtaju strelice suprotnih smjerova, Slika 1.19. jer na tap na njegovim krajevima djeluju suprotne sile. Na osnovu smjerova sila Fu1 i Fu2 zakljuujemo da je tap 1 napregnut na pritisak, a tap 2 na zatezanje. Da bi se u poligonu sila osim intenziteta mogao proitati karakter unutranjih sila, sve sile koje definiu reakciju tapa na naprezanje na pritisak obiljeene su crvenom bojom ili punom linijom, a sile koje definiu reakciju tapa na naprezanje na zatezanje obiljeene su isprekidanom linijom. U Kremoninom planu ovog primjera, slika 1.19.b., reakcija tapa na pritisak oznaena je punom linijom, a na zatezanje isprekidanom linijom. Intenziteti sila Fu1 i Fu2 na osnovu usvojene razmjere za silu unijeti su u tabelu (slika 1.19.c.). U susjednim vorovima II i III djeluju sile Fu1' = -Fu1 (Fu1' = Fu1) i Fu2' = -Fu2 (Fu2' = Fu2). Pri isijecanju sljedeeg vora treba voditi rauna da u voru mogu djelovati najvie dvije nepoznate sile. Zbog toga isijecamo vor III na koji djeluju tri sile: Fu2', Fu3 i Fu6. Polazei od najnie poznate sile Fu2' u poligonu sila to je vektor ac, vidimo da poligon sila moemo zatvoriti samo ako povuemo kolinearni pravac ea, ime smo odrediili silu Fu6. Sila u tapu 3 jednaka je nuli, i to je nulti tap. Smjer sile Fu6 je takav da definisanjem sile Fu6' = -Fu6 u voru V moemo uoiti da je tap 6 napregnut na zatezanje. Poto su sile Fu2 i Fu6 istih intenziteta i istog karaktera u planu sila moemo staviti Fu2 = Fu6. Sljedei vor je vor II. Kad taj vor isijeemo,

11

tada na njega djeluju poznate sile: Fu3' = 0, Fu1' i F i nepoznate sile Fu4 i Fu5. Pri konstrukciji poligona sila treba poi od sile Fu3' = 0, odnosno Fu1', pri emu u taki b na kraj vektora sile Fu1' nadovezujemo vektor F = bc, a zatim iz take c povlaimo pravac paralelan pravcu tapa 4, a iz take e pravac paralelan pravcu tapa 5 u planu poloaja. Presjek tih pravaca daje taku f koja sa takama e, b i c daje poligon ebcf, odnosno poligon sila Fu1', F, Fu4 i Fu5 koji je zatvoren ako su smjerovi sila Fu4 ka taki f (ka voru II) i sile Fu5 ka taki e (od vora II). Na osnovu naznaenih smjerova uz Fu4 = -Fu4' i Fu5 = Fu5' vidimo da je tap 4 napregnut na pritisak, a tap 5 na zatezanje. Isijecanjem vora IV dobijamo da na vor djeluje poznata sila Fu4' i nepoznate sile Fu7 i Fu8, koje u uvjetima ravnotee obrazuju zatvoren trokut sila. U planu sila treba poi od take f odnosno od vektora sile Fu5' = fc, a iz taaka c i f povui pravce paralelne pravcima tapova 7 i 8 u planu poloaja. Na taj nain u presjeku tih pravaca dobijamo taku g koja sa takama f i c definie trokut sila Fu4', Fu8 i Fu7 koji je zatvoren kada sila Fu8 djeluje ka taki g (ka voru IV), a sila Fu7 ka taki f (od vora IV). Uzevi u obzir da je Fu7 = -Fu7' i Fu8 = -Fu8' vidimo da je tap 7 napregnut na zatezanje, a tap 8 na pritisak. Silu u tapu 9 moemo odrediti isijecanjem ili vora V ili VI pri emu uvijek ovisno o tome za koji se vor odluimo drugi vor koristimo kao kontrolu. Ako isijeemo vor V tada u voru V djeluju poznate sile: 2F, Fu6', Fu5', Fu7' i nepoznata sila Fu9. Polazei od najnie poznate sile 2F, odnosno od take d u planu sila na vektor sile 2F = da, nadovezujemo redom vektore sila Fu6' = ae, Fu5' = ef i Fu7' = fg, a zatim iz take g povlaimo pravac paralelan pravcu tapa 9 u planu poloaja i ako smo tano crtali kraj sile Fu9 kojom zatvaramo plan sila daefg mora pasti u taku d. Kada prenesemo smjer sile Fu9 = -Fu9' iz plana sila na tap 9 u planu poloaja moemo zakljuiti da je tap 9 napregnut na zatezanje. vor VI u ovom sluaju predstavlja kontrolu. Navedenim postupkom dobili smo zatvoren plan (poligon) spoljanjih i plan (poligon) unutranjih sila. Pri konstrukciji Kremoninog plana sila treba strogo voditi rauna o usvojenom smjeru obilaenja oko cijelog reetkastog nosaa pri crtanju plana spoljanjih sila, kao i oko svakog vora posebno. Intenziteti svih sila u tapovima reetkastog nosaa odreeni pomou Kremoninog plana sila grafikim putem dati su u tabeli na slici 1.19.c. c ) Kulmanova metoda UL = UF = 1m 1cm 5kN 1cm

Slika 1.20. 12

Kulmanova metoda je metoda odreivanja sila u tapovima reetkastog nosaa grafikim putem. Spada u metode odreivanja sila u tapovima putem presjeka reetkastog nosaa pri emu se iznalaze geometrijski uvjeti ravnotee ravnog sistema sila. Kulmanovom metodom se grafikim putem sila poznatog pravca, smjera i intenziteta razlae na tri nekolinearna pravca, odnosno komponente. Presjek reetkastog nosaa moe biti preko najvie tri tapa iji se pravci ne sijeku u jednoj taki. Za dati presjek p-p to su tapovi 4, 5 i 6. Moe se posmatrati lijevi ili desni dio nosaa u odnosu na presjek p-p, pri emu spoljanje sile koje djeluju na te dijelove nosaa moraju biti uravnoteene unutranjim silama - reakcijama tapova koji su presjeeni. Unutranje sile - reakcije tapova definiu uticaj odbaenog dijela reetkastog nosaa na posmatrani dio. Posmatrajmo ravnoteu jednog, na primjer desnog, dijela reetkastog nosaa u odnosu na presjek p-p. Prvo na osnovu usvojene razmjere za duinu UL = 1m / 1cm nacrtamo plan poloaja (slika 1.20.a.), a zatim na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 5kN / 1cm odredimo rezultatntu spoljanjih sila FRD koje djeluju na desni dio reetkastog nosaa (to su sile 2F i FB), primjenom jednog od grafikih postupaka. U ovom primjeru koristiemo plan sila i verini poligon (slika 1.20.a. i b.). Uticaj lijevog dijela reetkastog nosaa na desni zamjenjujemo silama u tapovima 4, 5 i 6 (-Fu4', Fu5' i Fu6'). Smjerovi sila odreeni su uz pretpostavku da su tapovi napregnuti na zatezanje. Problem uoenog dijela reetkastog nosaa svodi se na ravnoteu slobodnog krutog tijela pod dejstvom ravnog sistema od etiri sile: FRD, Fu4', Fu5' i Fu6'. Poligon obrazovan od ovih sila za sluaj ravnotee mora biti zatvoren. Konstrukciju zatvorenog etvorougla ovih sila moemo izvriti na nain koji je predloio Kulman. Problem ravnotee posmatranog dijela reetkastog nosaa pod dejstvom etiri sile Kulman je sveo na problem ravnotee krutog tijela pod dejstvom dvije sile. Da bi se to ostvarilo, potrebno je po dvije sile sistema sila FRD, Fu4', Fu5' i Fu6' sloiti u njihove rezultante i tako emo dobiti da na dio reetkastog nosaa koji posmatramo djeluju samo dvije sile, a prema prvoj aksiomi Statike, slobodno tijelo e biti u ravnotei pod dejstvom dvije sile ako su istog intenziteta i pravca, a suprotnog smjera. S tim ciljem definisat emo rezultatntu sila FRD i Fu6', i rezultantu sila Fu5' i Fu4'. Rezultanta sila FRD i Fu6' mora proi kroz taku presjeka pravaca tih sila - taka IC, a rezultanta sila Fu5' i Fu6' treba proi kroz taku presjeka pravaca tih sila - taka IIC. Kako su rezultante navedenih parova sila sile istog intenziteta i pravca, a suprotnog smjera, a pravci tih rezultanti moraju proi kroz taku IC i IIC to znai da bi sistem bio u ravnotei prava odreena takama IC i IIC odreuje pravac rezultanti usvojenih parova sila. Prava odreena takama IC i IIC naziva se Kulmanova prava, koju emo oznaiti sa c. Kad se odredi Kulmanova prava c mogue je konstruirati zatvoreni etvorougao sila FRD, Fu4', Fu5' i Fu6' i to na sljedei nain: prvo se u datoj usvojenoj razmjeri za silu iz proizvoljne take d povue vektor sile FRD = de, a zatim se kroz taku d povue prava paralelna Kulmanovoj pravoj, a iz take e prava paralelna pravcu tapa 6 u planu poloaja. U presjeku ovako povuenih pravaca dobijamo taku f kao tjeme etvorougla. Zatim se iz take f povue pravac paralelan pravcu tapa 5, a iz take d pravac paralelan pravcu tapa 4 u planu poloaja. Presjena taka tih pravaca je taka g kao etvrto tjeme etvorougla (slika 1.20.c.). Intenzitet i smjer sila odreuje se zatvaranjem plana sila. Dakle, ako sila FRD ima smjer ka taki e, sila Fu6' mora imati smjer ka taki f, Fu5' ka taki g i Fu4' ka taki d. Intenzitete sila oitavamo iz plana sila, slka 1.20.c., a dobijene smjerove prenosimo na tapove reetkastog nosaa desno od presjeka p-p, jer je posmatran taj dio nosaa. Na osnovu dobijenih smjerova moemo zakljuiti da su tapovi 5 i 6 napregnuti na zatezanje, odnosno da je pretpostavka o naprezanju tih tapova dobra, a da je tap 4 napregnut na pritisak, to znai da je pretpostavka o naprezanju tog tapa na zatezanje pogrena. Moemo takoe uoiti da su dobijeni rezultati istovjetni rezultatima dobijenim prema Kremoninoj metodi. d) Riterova metoda Riterova metoda sastoji se u sljedeem: zamislimo da presijecamo reetkasti nosa preko najvie tri tapa nosaa, tako da se dobiju dva dijela reetkastog nosaa - lijevo i desno od presjeka (u naem sluaju je to presjek p-p preko tapova 4, 5 i 6 - slika 1.20.a. Uticaj jednog dijela reetkastog nosaa na drugi prenosi se preko presjeenih tapova, i definisan je silama u tapovima - reakcijama tapova, koje imaju pravac ose tapa. Postavljanjem uvjeta ravnotee bilo za lijevi ili za desni dio reetkastog nosaa, uzimajui u obzir sile u tapovima (reakcije tapova) i sve spoljanje sile koje djeluju na posmatranom dijelu nosaa odreujemo sile u tapovima. Kako za sistem sila u ravni postoje tri analitika uvjeta ravnotee, ovim se postupkom pomou jednog presjeka mogu odrediti sile u najvie tri tapa. Obino se koriste tri momentne jednaine za proizvoljno izabrane take, ali semogu koristiti i alternativni oblici gdje su ukljuene projekcije sila na osu x ili osu y ( x = 0 i y = 0). Metoda je grafo-analitika zato to se kraci sila u momentnim jednainama u odreenim sluajevima mogu odrediti grafiki sa crtea, a zatim uvrstiti u analitike izraze - momentne jednaine. U ovom sluaju primijenit emo tri momentne jednaine za dio reetkastog nosaa desno od presjeka p-p (slika 1.20.a.) koje glase:+ MV = 0 + MII = 0 + MIV = 0

FB. a + Fu 4'. a = 0 ............................................................. (9) FB. a - Fu6'. a - Fu5'. cos45. a = 0...................................... (10) FB. 2a - 2F. a - Fu6'. a = 0 ................................................. (11)

Iz (9): Iz (11): Iz (10):

Fu 4' = -FB ......................................................................... (12) Fu 4' = -33.33 kN Fu6' = 2FB - 2F = 2. 33.33 - 2. 20 ..................................... (13) Fu6' = 26.66 kN Fu5' = (FB - Fu6') / cos45 = (33.33 - 26.66) / 0.707 ........ (14) Fu5' = 9.43 kN

Iz dobijenih rezultata vidimo da je pretpostavka o naprezanju na zatezanje tapova 5 i 6 tana, a pretpostavka o naprezanju tapa 4 na zatezanje pogrena, na to ukazuje negativni predznak u rezultatu. Dakle, tap 4 je napregnut na pritisak. Intenziteti sila u tapovima 4, 5 i 6 koji su odreeni analitiki, to znai da su tani, priblino su jednaki intenzitetima odreenim prethodnim dvjema grafikim metodama koje su priblino tane.

PRIMJER 5 Za Gerberov reetkasti nosa prikazan na slici 1.21. potrebno je: a) analitiki i grafiki odrediti otpore oslonaca, b) pomou Kremonine metode odrediti sile u tapovima reetkastog nosaa, c) za dati presjek p-p odrediti Kulmanovom i Riterovom metodom sile u presjeenim tapovima. Dati su podaci: F = 20 kN, a = 2 m. Rjeenje Poto je reetkasti nosa prikazan na slici 1.21. oslonjen na tri oslonca, da bi statiki bio odreen, mora se postaviti Gerberov zglob. Uvjet da Gerberov reetkasti nosa sa jednim zglobom bude kruta figura izraen je jednainom koja povezuje broj tapova s i broj vorova n: s = 2n - 4 .........................................(1)

Slika 1.21.

U naem sluaju Gerberov reetkasti nosa ima n = 10 vorova i s = 16 tapova, to znai da je ispunjen uvjet definisan jednainom (1): s = 2n - 4 = 2. 10 - 4 = 16................(2) Dakle dati Gerberov reetkasti nosa predstavlja statiki odreeni kruti nosa.

13

a) Otpori oslonaca - analitiko rjeenje Ako reetkasti nosa oslobodimo veza i njihov uticaj zamijenimo odgovarauim reakcijama FAX, FAY, FB i FC (slika 1.22.), dobijamo proizvoljni sistem sila u ravni koji djeluje na reetkasti nosa kao kruto tijelo. Analitiki uvjeti ravnotee u tom sluaju definisani su jednainama: x=0 y=0 + MA = 0 l + M =0 -XA + F = 0.................................................... (1) YA - F + FB + FC - 2F = 0.............................. (2) FC. 4a - 2F. 4a + FB. 3a + F. a = 0 .................. (3) F. 3a - YA. 2a - XA. a + F. a = 0...................... (4) Intenzitet i pravac reakcije FA odreen je izrazima:

FA =

X A + YA2 2

2

2

......................... (11)

Dakle, ako se javljaju etiri nepoznate veliine, dodatni uvjet ravnotee je da napadni moment lijevo ili desno od Gerberovog zgloba, odnosno u zglobu bude jednak nuli. Iz (1): Iz (4): Iz (2): Iz (3): (6) = (8): Iz (6): XA = F = 20 kN............................................. (1') YA = (4F - XA) / 2 = (4. 20 - 20) / 2 .............. (4') YA = 30 kN FB = 3F - YA - FC .......................................... (2') FB = 3. 20 - 30 - FC ........................................ (5) FB = 30 - FC ................................................... (6) FB = (7F - 4FC) / 3......................................... (3') FB = (7. 20 - 4. FC) / 3.................................... (7) FB = 46.66 - 1.33. FC ..................................... (8) FB = 30 - FC = 46.66 - 1.33. FC ...................... (9) 1.33. FC - FC = 46.66 - 30 .............................. (10) FC = 16.66 / 0.33 = 50 kN FB = 30 - 50 = -20 kN (pogreno pretpostavljen smjer)

FA = 20 + 30FA = 36.06 kN

tg A =

YA XA

................................... (12)

A = arctgA 56.31

YA XA

= arctg

30 20

........... (13)

r r r FA = FAX + FAY r r r FAX = X A i = FA cos A i r r r FAY = YA j = FA sin A j

( (

)

)

- grafiko rjeenje Na osnovu usvojene razmjere za duinu UL = 1m / 1cm nacrta se plan poloaja (slika 1.22.a.), a zatim na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 10kN / 1cm konstruie se plan sila i verini poligon (slika 1.22.a i b). Konstrukciju verinog poligona poinjemo povlaenjem prve zrake iz nepokretnog oslonca A. Reetkasti nosa AG (lijevi dio reetkastog nosaa ABC) je statiki odreen nosa, sa nepoznatim reakcijama FA i FG (reakcija u Gerberovom zglobu) koja ima vertikalni pravac djelovanja i koja definie uticaj odbaenog dijela reetkastog nosaa GBC. Zavrnu stranu verinog poligona z1 dobijamo spajanjem presjeka zrake 2 sa pravcem reakcije FG (vertikalni pravac kroz taku G), a zavrnu stranu z2 dobijamo spajanjem taaka presjeka pravaca reakcije FB sa zakljunom linijom z1 i pravca reakcije FC sa zrakom verinog poligona 4. Reakcija FA je definisana izmeu zrake 1 i zakljune linije z1, reakcija FB izmeu zakljunih linija z1 i z2, a reakcija FC izmeu zakljune linije z2 i zrake verinog poligona 4, sa smjerovima prikazanim na slici 1.22.b. UL = 1m / 1cm b) Kremonin metod (Kremonin plan sila) Primjena Kremonine metode u ovom primjeru identina je metodi objanjenoj u prethodnom primjeru. Dakle, usvojili bismo razmjeru za duinu UL = 1m / 1cm i razmjeru za silu UF = 10kN / 1cm prema kojima bismo nacrtali plan poloaja, slika 1.23.a. i plan (poligon) sila, slika 1.23.b. U okviru plana sila prvo bismo nacrtali plan spoljanjih sila niui sile jednu za drugom obilazei reetkasti nosa u usvojenom smjeru kretanja kazaljke na satu. Konstrukciju poligona sila u tapovima poeli bismo sa prostim vorom kao to je vor II i nastavili bismo redom sa vorovima: III, I, IV, V, X (G), VI, IX, VII I VIII. Konana konstrukcija (slika 1.23.b.) uravnoteenih spoljanjih i unutranjih sila - sila u tapovima predstavlja Kremonin plan sila iz kojeg mjerenjem, uz pomo razmjere za silu UF definiemo intenzitete sila u tapovima i karakter naprezanja tapa. Navedene karakteristike date su u tabeli, slika 1.23.c.

ab = F/UF = 20/10 = 2 cm bc = F/UF = 20/10 = 2 cm cd = 2F/UF = 40/10 = 4 cm FA = fa. UF = 3.6. 10 = 36 kN 36.06 kN FAX = XA = ga. UF = 2. 10 = 20 kN FAY = YA = fg. UF = 3. 10 = 30 kN A = 56.5 56.31 FB = ef. UF = 2. 10 = 20 kN FC = de. UF = 5. 10 = 50 kN

UF = 10 kN / 1cm

Slika 1.22.

14

UL = 1 m / 1cm

UF = 5 kN / 1cm Fu1 = cg. UF Fu1' = gc. UF Fu2 = gb. UF Fu2' = bg. UF Fu3 = Fu3' = 0 Fu4 = cg. UF Fu4' = gc. UF Fu5 = gh. UF Fu5' = hg. UF Fu6 = ha. UF Fu6' = ah. UF Fu7 = ih. UF Fu7' = hi. UF Fu8 = ci. UF Fu8' = ic. UF Fu9 = if. UF Fu9' = fi. UF Fu10 = cj. UF Fu10' = jc. UF Fu11 = jf. UF Fu11' = fj. UF Fu12 = Fu12' = 0 Fu13 = cj. UF Fu13' = jc. UF Fu14 = je. UF Fu14' = ej. UF Fu15 = Fu15' = 0 Fu16 = de. UF Fu16' = ed. UF Broj tapa Intenzitet sile u tapu u kN i vrsta naprezanja tapa zatezanje pritisak (+) (-) 1 8 10 2 9 14,1 3 10 10 4 11 14,1 5 12 0 0 6 13 10 7 14 14,1 15 0 0 16 50 c) tabelarni prikaz intenziteta sila u tapovima i vrste naprezanja tapa c) Kulmanova i Riterova metoda - Kulmanova metoda Postupak primjene Kulmanove metode za odreivanje sila u tapovima odreenih presjekom p-p identian je metodi objanjenoj u prethodnom primjeru. Usvojivi da posmatramo dio nosaa lijevo od presjeka p-p u odgovarajuoj razmjeri za duinu UL = 1m / 1cm nacrtali bismo taj dio nosaa, a zatim na osnovu usvojene razmjere za silu UF = 10kN / 1cm primjenom plana sila i verinog poligona definiemo rezultantu spoljanjih sila koje djeluju na tom dijelu nosaa FRL. Rezultanta FRL je rezultanta sila F i FA koje su uravnoteene silama u tapovima 4, 5 i 6 - Fu4, Fu5 i Fu6. Kada smo odredili rezultantu FRL primjenom Kulmanove metode, detaljno opisane u prethodnom primjeru, vrimo njeno razlaganje na komponente, odnosno sile u tapovima Fu3, Fu4 i Fu5 kako je prikazano na slici 1.24. - Riterova metoda UF = 10 kN / 1cm Kod primjene Riterove metode primjenjujemo postupak identian postupku u prethodnom primjeru. Analitiki uvjeti ravnotee dijela reetkastog nosaa lijevo od presjeka p-p, prema slici 1.24.a., definisani su jednainama:+ MI = 0

Intenzitet sile u tapu u kN i vrsta naprezanja tapa zatezanje pritisak (+) (-) 20 28,3 0 0 20 14,1 10 10

Broj tapa

ab = FA/UF = = 36.06/5 = = 7.212 cm bc = F/UF = = 20/5 = 4 cm cd = 2F/UF = = 40/5 = 8 cm de = FC/UF = = 50/5 = 10 cm ef = FB/UF = = 20/5 = 4 cm fa = F/UF = = 20/5 = 4 cm

b) plan (poligon) sila

Slika 1.23.

ab = FA/UF = 36.06/10 = 3.606 cm bc = F/UF = 20/10 = 2 cm FRL = ac. UF = 2.2. 10 = 22 kN

UL = 1 m / 1cm

F. a - Fu4. a = 0.......................................................(17) MIV = 0 F. 2a + Fu6. a - XA. a - YA. a = 0.............................(18) + y=0 -F + YA + Fu5. cos45 = 0.....................................(19) Iz (17): Iz (18): Iz (19): Fu4 = F...................................................................(17') Fu4 = 20 kN (tap 4 napregnut je na zatezanje) Fu6 = XA + YA - 2F = 20 + 30 - 2. 20 ....................(18') Fu6 = 10 kN (tap 6 napregnut je na zatezanje) Fu5 = (F - YA) / cos45 = (20 - 30) / 0.707...........(19') Fu5 = -14.1 kN pogreno pretpostavljen smjer, tap 5 napregnut je na pritisak)

Slika 1.24.

de = FRL/UF = ac = 2.2 cm Fu6 = ef. UF = 1. 10 = 10 kN Fu4 = fg. UF = 2. 10 = 20 kN Fu5 = gd. UF = 1.41. 10 = 14.1 kN

15

Mainski fakultet u Zenici Katedra za mehaniku Predmet: StatikaPrezime i ime studenta: kolska godina: Broj indeksa: Datum izdavanja programa: Rok predaje programa:

ZADACI ZA DRUGI PROGRAM IZ STATIKE1. Analitiki i grafiki odrediti koordinate teita date homogene linije/homogene povrine na slici ____ i veliinu povrine/volumena koja/koji nastaje rotacijom homogene linije/homogene povrine za ugao oko x i oko y ose. Svi potrebni podaci dati su u tabeli 1. Tabela 1. R (cm) ()

2. Za linijski puni nosa (greda, konzola, ram (okvir)) prikazan na slici ____ potrebno je: a) analitiki i grafiki odrediti otpore oslonaca b) odrediti aksijalnu i transverzalnu silu i moment savijanja u svim karakteristinim presjecima c) nartati statike dijagrame momenta savijanja, aksijalnih i transverzalnih sila d) odrediti ekstremnu vrijednost momenta savijanja na dijelu nosaa ispod kontinualnog optereenja. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 2. Tabela 2. a (m) () ()

q (kN/m)

F (kN)

M (kNm)

3. Za sistem krutih tijela optereen prema slici ____ potrebno je: a) odrediti reakcije svih spoljanjih i unutranjih veza sistema b) nacrtati statike dijagrame momenta savijanja, aksijalnih i transverzalnih sila za svako tijelo sistema posebno Sopstvene teine greda se zanemaruju. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 3. Tabela 3. F (kN)

G (kN)

q (kN/m)

M (kNm)

a (m)

b (m)

c (m)

d (m)

e (m)

f (m)

g (m)

h (m)

4. Za prostorni nosa prikazan na slici ____ potrebno je: a) analitikim putem odrediti reakcije veza, b) nacrtati sve statike dijagrame c) izraunati najvei ukupni moment savijanja. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 4. Tabela 4. F2 (kN) F1 (kN) X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2

S1 (kN)

S2 (kN)

a (m) b (m) c (m) d (m) e (m) f (m) r1 (m) r2 (m)

M (kNm)

5. Homogena ploa na slici ____ odrava se u ravnotei pomou sfernog zgloba/cilindrinog zgloba i tapova ija se teina zanemaruje i koji su za plou i nepokretne oslonce vezani zglobno (trenje u zglobnim vezama se zanemaruje). Odrediti reakcije spoljanjih veza ploe. Svi potrebni podaci su dati u tabeli 5. Tabela 5. F (kN)

G (kN)

M (kNm)

a (m)

b (m)

c (m)

d (m) Program izdao: __________________________

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

PRIMJER 6 Za datu liniju prikazanu na slici analitiki i grafiki odrediti koordinate teita i veliinu povrine koja nastaje rotacijom linije oko x i y ose za ugao = 360 ako je R = 1 cm. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje Datu liniju rastavit emo na pet dijelova za koje su teita definisana u odgovarajuim tabelama. Poloaj teita pojedinih segmenata linije prikazan je na slici 2.7. Koordinate teita date linije odredit emo na osnovu izraza:

L xi

5

i

Slika 2.6.

xT =

i =1

L

=

L1 x 1 + L 2 x 2 + L 3 x 3 + L 4 x 4 + L 5 x 5 L1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5

................................ (1)

L yi

5

i

yT =

i =1

L

=

L1 y1 + L 2 y 2 + L 3 y 3 + L 4 y 4 + L 5 y 5 L1 + L 2 + L 3 + L 4 + L 5

............................ (2)

Slika 2.7.Radi preglednosti, sve vrijednosti za odreivanje poloaja teita date linije prikazat emo tabelarno. Tabela 1. i Li (cm) 1 2R 2 R 3 2R 4 2R 2 5 R 13.11

2 3.14 2 2.83 3.14

xi (cm) R 3R 4R 3R 2(2R)/

1 3 4 3 1.27

yi (cm) 0 2R/ R 3R 4R-2(2R)/

0 0.64 1 3 2.73

Lixi (cm2) 2 9.42 8 8.49 3.99 31.90

Liyi (cm2) 0 2.01 2 8.49 8.57 21.07

Prema jednainama (1) i (2), a na osnovu podataka iz tabele 1 slijedi: xT = 31.90 / 13.11 = 2.43 cm yT = 21.07 / 13.11 = 1.61 cm Veliinu povrine koja nastaje rotacijom linije oko osa x i y odredit emo primjenom Guldinove teoreme na osnovu koje slijedi: - rotacija oko ose x: Ax = . L. yT = 2. L. yT.......................................................... (3) Ax = 2. 3.14. 13.11. 1.61 = 132.55 cm2 - rotacija oko ose y: Ay = . L. xT = 2. L. xT ......................................................... (4) Ay = 2. 3.14. 13.11. 2.43 = 200.06 cm2 Ugao uvrtavamo u radijanima. b) Grafiko rjeenje Koristei razmjeru za duinu Ul = 1cm / 1cm nacrtamo oblik linije u koordinatnom sistemu xOy, a u razmjeri UL = 2cm / 1cm nacrtamo poligon ekvivalentnih "sila" ije su napadne take teita T1, T2, T3, T4, T5 pojedinih segmenata linije. Intenzitet tih "sila" jednak je duini pojedinih segmenata linije. Dakle, imamo sistem paralelnih vektora, ija se rezultanta L dobija primjenom poligona sila i verinog poligona (slika 2.8.). Ako vektore zaokrenemo u istu stranu za ugao od 90, moemo odrediti rezultantu L', vektora L1', L2', L3', L4', L5' primjenom poligona sila i verinog poligona kao u sluaju rezultante L, vektora L1, L2, L3, L4, L5. Presjek pravaca rezultanti L i L' definie teite T date linije. Koordinate teita T linije su:

x T = Om U l = 2.45cm y T = On U l = 1.6cm

1cm 1cm

= 2.45cm 2.43cm

1cm 1cm

= 1.6cm 1.61cm

30

Slika 2.8.PRIMJER 7 Za datu povrinu prikazanu na slici analitiki i grafiki odrediti koordinate teita i veliinu zapremine tijela nastalog rotacijom povrine oko x i y ose za ugao = 360 ako je R = 1 cm. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje Datu sloenu povrinu rastavit emo na odreeni broj elementarnih geometrijskih povrina za koje je poloaj teita definisan u odgovarajuim tabelama. Pri tome emo izvriti odgovarajue dopunjavanje i oduzimanje elementarnih povrina kako je prikazano na slici 2.10. Koordinate teita date povrine odredit emo na osnovu izraza:

A xi

5

i

Slika 2.9.

xT =

i =1

A

=

A 1x1 A 2 x 2 + A 3 x 3 A 4 x 4 + A 5 x 5 A1 A 2 + A 3 A 4 + A5A 1 y1 A 2 y 2 + A 3 y 3 A 4 y 4 + A 5 y5 A1 A 2 + A 3 A 4 + A5

....................................... (1)

A yi

5

i

yT =

i =1

A

=

........................................ (2)

Slika 2.10.Radi preglednosti, sve vrijednosti za odreivanje poloaja teita date sloene povrine prikazat emo tabelarno. Tabela 2. i Ai (cm2) 1 8R2 2 -R2/2 3 4R2 4 -R2 5 2R2 9.29

8 -1.57 4 -3.14 2

xi (cm) 2R 3R R 4(2R)/3 2R+2R/3

2 3 1 0.85 2.67

yi (cm) R 4R/3 3R 4R-4(2R)/3 2R+2R/3

1 0.42 3 3.15 2.67

Aixi (cm3) 16 -4.71 4 -2.67 5.34 17.96

Aiyi (cm3) 8 -0.66 12 -9.89 5.34 14.79

31

Prema jednainama (1) i (2), a na osnovu podataka iz tabele 2 slijedi: xT = 17.96 / 9.29 = 1.93 cm yT = 14.79 / 9.29 = 1.59 cm Veliinu zapremine koja nastaje rotacijom date povrine oko osa x i y odredit emo primjenom Guldinove teoreme na osnovu koje slijedi: - rotacija oko ose x: Vx = . A. yT = 2. A. yT .............................................................(3) Vx = 2 . 3.14 . 9.29 . 1.59 = 92.76 cm3 - rotacija oko ose y: Vy = . A. xT = 2. A. xT.............................................................(4) Vy = 2 . 3.14 . 9.29 . 1.93 = 112.60 cm3 Ugao uvrtavamo u radijanima. b) Grafiko rjeenje

Slika 2.11.

Koristei razmjeru za duinu UL = 1cm / 1cm nacrtamo datu povrinu u koordinatnom sistemu xOy, a u razmjeri UA = 2cm2 / 1cm nacrtamo poligon ekvivalentnih "sila" ije su napadne take teita T1, T2, T3, T4, T5 pojedinih elementarnih povrina. Intenzitet tih "sila" jednak je veliini elementarnih povrina. Dakle, imamo sistem paralelnih vektora A1, A2, A3, A4, A5, ija se rezultanta A dobija primjenom poligona sila i verinog poligona (slika 2.11.). Rotacijom vektora za ugao od 90, na isti nain primejnom poligona sila i verinog poligona dobijamo rezultantu A', paralelnih vektora A1', A2', A3', A4', A5'. Presjek pravaca rezultanti A i A' definie teite T date povrine. Bitno je uoiti da vektori negativnih povrina A2, A4, A2', A4', imaju suprotan smjer od vektora pozitivnih povrina. Koordinate teita T date povrine su: 1cm x T = Om U L = 1.9cm = 1.9cm 1.93cm 1cm 1cm y T = On U L = 1.6cm = 1.6cm 159cm . 1cm PRIMJER 8 Data je konzola AB, optereena kosom silom F1, vertikalnim silama F2 i F3, i trapeznim kontinualnim optereenjem. Analitiki i grafiki odrediti reakciju ukljetenja i nartati statike dijagrame. Dati su podaci: F1 = 2 2 kN, F2 = 4 kN, F3 = 4 kN, q = 2 kN/m i a = 1 m. Rjeenje: a) Analitiko rjeenje - Otpor ukljetenja

Slika 2.12.

Konzola osloboena veza prikazana je na slici 2.13. Uticaj ukljetenja kao veze zamijenjen je odgovarajuom reakcijom FA, odnosno, njenim komponentama FAX i FAY, i momentom ukljetenja MA. Kontinualno optereenje svodimo na koncentrinu silu Fq. Statiki uvjeti ravnotee konzole AB,optereene sistemom proizvoljnih sila defnisani su jednainama: x=0 y=0 + MA = 0 F1. cos45 - XA = 0.................................................................................. (1) YA - F1. sin45 + F2 - Fq + F3 = 0 ............................................................ (2) MA - (F1. sin45 ). a + F2. 2a - Fq. (5a - xT) + F3. 5a = 0 ........................... (3)

32

Sila Fq i poloaj teita trapezne povrine raunaju se izrazima: 2q + q 9 9 Fq = 3a = qa = 2 1 ..................................... (4) 2 2 2 Fq = 9 kN 3a ( 2q + 2q ) 4 4 xT = = a = 1 ....................................... (5) 3 ( 2q + q ) 3 3 xT = 1.33 m

MA = (F1. sin45 ). a - F2. 2a + Fq. (5a - xT) - F3. 5a................ (3') 2 MA = 2 2 1 2 4 1 + 9 (5 1 1.33) 5 4 1 2 MA = 7 kNm Iz (1) i (2): XA = F1. cos45 .................................................................. (1') YA = F1. sin45 - F2 + Fq - F3 ............................................. (2') 2 odnosno: XA = 2 2 = 2 kN X A = 2 kN 2 2 YA = 2 2 + 9 4 4 = 3kN YA = 3kN 2 Intenzitet i pravac djelovanja reakcije FA definisan je izrazima: Iz (3):

FA = X A + YA FA = 2 + 3FA = 3.61 kN2 2

2

2

................................................................ (6)

tg =

YA .......................................................................... (7) XA YA 3 = arctg ...................................................... (8) 2

slika 2.13

XA 56.31 Kontrola:+ MB = 0

= arctg

Fq. xT - F2. 3a + (F1. sin45 ). 4a - YA. 5a + MA = 0 ............ (10) 9 . 1.33 - 4 . 3 . 1 + 2 2 2 . 4 . 1 - 3 . 5 . 1 + 7 = 0 2

- Dijagram momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila

Za crtanje dijagrama momenta savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila primijenit emo analizu po poljima i karakteristinim takama. Analizu po poljima primijenit emo na dijelu konzole sa kontinualnim optereenjem, a na dijelu sa koncentrisanim silama primijenit emo analizu po karakteristinim takama.Polje BD: 0 x 3a

Iz slinosti trouglova slijedi:

q qx x 3a x , odnosno: q = q = = q 1 . x 3a 3a 3a x 3a Intenzitet sila Fq1 i Fq2 definisan je izrazima: x x Fq1 = x( q + q x ) = x q + q1 = q 2 x 3a 3a 1 1 1 x q 2 Fq 2 = x(2q q q x ) = x (q q x ) = x q q1 = x 3a 6a 2 2 2 2 x q 2 x d + Ft = Fq1 + Fq 2 F3 = q 2 x + x F3 = 4 + 4 x 3a 6a 3 3 x q 2 2 x x x 2 d 2 M fx = F3 x Fq 2 x Fq1 = F3 x x x q 2 x = 4 x 2 x + 3 2 6a 3 3a 2 9

Fa = 0

+

d

Vrijednosti Fa, Ft i Mf za neke veliine x date su u tabeli. 0x3m x (m) Fa (kN) Ft (kN) Mf (kNm) 0 0 -4 0 1 0 -0.33 2.11 2 0 2.67 0.89 3 0 5 -3 Vrijednosti aksijalne (Fa) i transverzalne (Ft) sile i momemnta savijanja (Mf) van polja sa kontinualnim optereenjem u karakteristinim takama A, C i D definisane su izrazima: + l 2 Fa ( A+ ) = X A = 2 kN + l Fa ( C+ ) = X A F1 cos 45= 2 2 2 =0 + l 2 Fa ( C ) = X A = 2 kN 2 + l Fa ( D ) = X A F1 cos 45= 2 2 2 =0 2

33

+ Ft ( A+ ) = YA = 3kNl + Ft ( C )l

l

+ M fx ( A + ) = M A = 7kNm + M fxC = M A + YA a = 7 + 3 1 = 4 kNml

l

= YA = 3kN2 2 2 2 = 1kN = 1kN

+ Ft ( C+ ) = YA F1 sin 45= 3 2 2 + Ft ( D ) = YA F1 sin 45= 3 2 2l

+ M fxD = M A + YA 2a F1 sin 45a = 7 + 3 2 2 2

l

2 2

1 = 3kNm

Poto transverzalna sila u polju BD mijenja predznak znai da moemo odrediti ekstremnu vrijednost momenta ispod kontinualnog optereenja. Tu vrijednost odreujemo iz uvjeta: d dM fx d = Ft = 0 dx 2 x 4 + 4 x 0 0 = 0 3

x 0 12 x 0 + 12 = 0 = 6 4.9 2 1 (x0)1 = 10.9 m (x0)2 = 1.1 m Prihvatljivo rjeenje je (x0)2 = 1.1 m za koje slijedi ekstremna vrijednost momenta:M fx = Mf x0

2

( x0 ) 1,2 =

( 12) ( 12) 4 1 12

2

( )2

= 4 x0

( ) 2 2( x0 ) 2 + 2f x00

( x0 ) 3 2

Uzevi u obzir da je M = M fx M f max = M fx = Mf x0

( )2

= M fx = 2.13kNm

( )2

= 2.13kNm 9 9 = M fx > 0 , slijedi da je moment Mf(x=x0) maksimalan, odnosno:0

= 4 11 2(11) + . .

2

11 .

3

Vrijednosti aksijalne i transverzalne sile i momenta savijanja dobijene proraunom za karakteristine presjeke konzole prikazane su pomou dijagrama na slici 2.13.b) Grafiko rjeenje

Usvojimo razmjeru za duinu UL i za silu UF i nacrtamo datu konzolu sa optereenjem. Kontiualno optereenje podijelimo na tri polja i uticaj svakog polja zamijenimo ekvivalentnom koncentrisanom silom intenziteta jednakog povrini polja (slika 2.14). Specifina optereenja q1 i q2 odreujemo na osnovu promjene specifinog optereenja u polju BD: q1 = q + q(x = 2a) = q + q (1 - 2a/3a) = 2 + 2 (1 - 2/3) = 2.67 kN/m q2 = q + q(x = a) = q + q (1 - a/3a) = 2 + 2 (1 - 1/3) = 3.33 kN/m Intenziteti ekvivalentnih koncentrisanih sila Fq1, Fq2, Fq3 iznose: q + q1 2 + 2.67 Fq1 = a = 1 = 2.335kN 2 2

Fq 2 = Fq 3 =

q1 + q 2 2 q 2 + 2q

a = a =

2.67 + 3.33 2 3.33 + 2 2

1 = 2.985kN

1 = 3.65kN 2 2 Na osnovu usvojene razmjere za silu UF konstruiemo poligon sila (slika 2.14), na osnovu kojeg slijedi reakcija FA iji je intenzitet definisan proizvodom dui ga i razmjere UF. Reakcija FA zatvara poligon sila. Da bismo dobili dijagram napadnog momenta redukovan na horizontalu sa odgovarajuim znakom, uobiajenim za napadni momenat, treba imati u vidu sljedee: a) Ako je ukljetenje na lijevoj strani sile u poligonu sila nanosimo redom slijeva u desno, prvo F1 pa F2, Fq1, Fq2, Fq3 i na kraju F3. b) Pol P uzimamo na horizontali povuenoj kroz kraj posljednje sile, i to sa desne strane poligona na proizvoljno izabranom rastojanju H. Kako napadni moment zavisi samo od transverzalnih sila, nacrtan je poligon sila i verini poligon (slika 2.14.a.), kojeg ine samo sile upravne na gredu. Na osnovu zraka 1, 2, 3, ..., 7 definisanih planom sila i verinim poligonom na slici 2.14.a. dobijen je dijagram napadnog momenta redukovan na horizontalu. Moment ukljetenja MA definisan je proizvodom ordinate yA sa dijagrama i razmjere za moment UM. U polju kontinualnog optereenja dijagram momenta definisan je kubnom parabolom za koju su zrake 3, 4, 5 i 6 tangente, odnosno obvojnice. Sa izabranom razmjerom UF, nanosei sile s lijeva udesno (poevi od sile FAY) nacrtan je dijagram transverzalnih sila (slika 2.14.b.). U polju kontinualnog optereenja transverzalna sila se mijenja po funkciji kvadratne parabole, a stvarni dijagram transverzalnih sila dobijen je povlaenjem parabole kroz take poetka i kraja elementarnih polja i sredinje take vektora ekvivalentnih koncentrisanih sila Fq1, Fq2 i Fq3. Na slici 2.14.c. prikazan je dijagram aksijalnih sila nacrtan u razmjeri UFa. Vrijednosti projekcija sila na horizontalnu osu x nanose se na vertikali kroz napadne take sila. Dio konzole AC u ovom sluaju napregnut je na zatezanje tako da je dijagram aksijalnih sila nacrtan iznad nulte linije i u njemu je nacrtan znak "+". Ostali dijelovi konzole nisu optereeni aksijalnim silama.

34

UM f =

3kNm 1cm

Razmjera: UL = 1 m / 1 cm UF = 1 kN / 1 cm UM = UL . UF . H = 1. 1. 3 UM = 3 kNm / 1 cmab = F1 / UF bc = F2 / UF cd = Fq1 / UF de = Fq2 / UF ef = Fq3 / UF fg = F3 / UF

UF t =

1kN 1cm

FA = ga . UF = 3.6. 1 = 3.6 kN 3.61 kN XA = gh . UF = 2. 1 = 2 kN YA = ha . UF = 3. 1 = 3 kN MA = yA . UM = 2.3. 3 = 6.9 kNm 7 kNm Mmax = ymax . UM = 0.7. 3 = 2.1 kNm 2.13 kNm x1 = ak . UF = 2. 1 = 2 kN y1 = kb . UF = 2. 1 = 2 kN x1 = 2 kN y1 = 2 kN

UF a =

1kN 1cm

Slika 2.14.

35

PRIMJER 9 Za datu gredu grafikim i analitikim putem odrediti otpore oslonaca i nacrtati statike dijagrame momenta, aksijalnih i transverzalnih sila detaljnom analizom polja i karakteristinih taaka. Dati su podaci: F1 = 2 kN, F2 = 4 kN, F3 = 4 2 kN, F4 = 3 kN, M = 6 kNm, q = 2 kN/m, a = 1 m i = 45. Teinu grede zanemariti. Rjeenje a) Analitiko rjeenje - Otpori oslonaca

Slika 2.15.

Greda osloboena veza prikazana je na slici 2.16. Uticaj nepokretnog oslonca A zamijenjen je komponentama reakcije oslonca A, FAX i FAY, a pokretnog oslonca B reakcijom FB. Kontinualno optereenje svodimo na koncentrisanu silu Fq. Statiki uvjeti ravnotee grede AB, optereene sistemom proizvoljnih sila i momentom definisani su jednainama: x=0 y=0 + MA = 0 F3. cos - XA = 0 ..................................................................................... (1) F1 - Fq + YA + F2 - F3. sin + FB - F4 = 0 ................................................ (2) -F1. a + Fq. a/2 + F2. 2a + M - (F3. sin ). 4a - FB. 5a - F4. 6a = 0 ............. (3) Silu Fq izraunavamo prema izrazu: Fq = q. 3a = 2. 3. 1 ........................................................(4) Fq = 6 kN Fq M F1 2 F2 + 4 F3 sin + 6F4 2 a .................(5) Iz (3): FB = 5 FB = 3.8 kN 2 Iz (1) i (2): XA = F3. cos = 4 2 ...........................................(1') 2 XA = 4 kN YA = Fq - F1 - F2 + F3. sin - FB + F4 .........................(2') UMf = 2 kNm / 1 cm 2 YA = 6 + 4 2 + 3 - 2 - 4 - 3.8 = 3.2 kN 2

Intenzitet i pravac djelovanja reakcije u osloncu A definisan je izrazima:

FA = FA =UFt = 2 kN / 1 cm

X A + YA 4 + 3.22 2

2

2

.......................................................(6)

FA = 5.12 kN YA ....................................................................(7) XA 3 YA = arctg = arctg ...............................................(8) 2 XA 38.66 tg = Kontrola:+ MI = 0

UFa = 2 kN / 1 cm

-F1. 5a + Fq. 4.5a - YA. 4a - F2. 2a + M + FB. a - F4. 2a = 0 -2. 5. 1 + 6. 4.5. 1 - 3.2. 4. 1 - 4. 2. 1 + 6 + 3.8. 1 + 3. 2. 1 = 0

Slika 2.16.- Dijagram momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila

Za crtanje dijagrama momenta savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila primijenit emo analizu po poljima i karakteristinim takama. Analizom dobijamo brojane vrijednosti momenta, aksijalnih i transverzalnih sila na osnovu kojih konstruiemo dijagrame. Pod poljem se podrazumijeva dio grede gdje transverzalne sile i momenti imaju jedne (nepromijenjene) zavisnosti od poloaja presjeka (koordinate x). U ovom primjeru analizu po poljima primijenit emo na dijelu grede sa kontinualnim optereenjem, a na dijelu sa koncentrisanim silama primijenit emo analizu po karakteristinim takama.Polje I: 0 x a Fq1 = q. x = 2x

Fa = 0 + Ft = Fq1 = q x+ M fx = Fq1 0.5x = 0.5q xl 2 l

+

l

0x1m x (m) Fa (kN) 0 0 1 0

Ft (kN) 0 -2

Mfx (kNm) 0 -1

36

Polje II: 0 x a Fq1 = q. a = 2. 1 = 2 kN Fq2 = q. x = 2x

Fa = 0 + Ft = Fq1 + F1 Fq 2 = Fq1 + F1 q x+ M fx = Fq1 ( 0.5a + x) + F1 x Fq 2 0.5x = Fq1 ( 0.5a + x) + F1 x 0.5q xl 2 l

+

l

x (m) 0 1

Fa (kN) 0 0

Ft (kN) 0 -2

Mfx (kNm) -1 -2

0x1m

Polje III: 0 x a Fq1 = Fq2 = q. a = 2. 1 = 2 kN Fq3 = q. x = 2x

Fa = X A + Ft = Fq1 + F1 Fq 2 + YA Fq 3 = Fq1 + F1 Fq 2 + YA q x . + M fx = Fq1 (15a + x ) + F1 ( a + x ) Fq 2 ( 0.5a + x ) + YA x Fq 3 0.5x = . = Fq1 (15a + x ) + F1 ( a + x ) Fq 2 ( 0.5a + x ) + YA x 0.5q xx (m) 0 1 Fa (kN) 4 4 Ft (kN) 1.2 -0.8 Mfx (kNm) -2 -1.82 l l

+

l

0x1m

Vrijednosti Fa, Ft i Mf za neke vrijednosti x u okviru analize po poljima date su u tabelama. Za dio grede od take E do take K izraunavamo Fa, Ft i Mf za karakteristine take K, B, I, H, L i E.

Fa ( K+ ) = 0 d + Ft ( K+ )

+

d

Fa ( H + ) = F3 cos = 4 2 d

+

d

2 2

= 4 kN 2 2 = 3.2 kN

= F4 = 3kN

+

d M fx ( K ) = 0 + d Fa ( B )

+ Ft ( H + ) = F4 FB + F3 sin = 3 3.8 + 4 2 =0+ M fx ( H + ) = M fx ( H ) + M = 5.4 + 6 = 0.6 kNmd d

+ Ft ( B ) = F4 = 3kN+ M fx ( B) = F4 a = 3 1 = 3kNmd

d

Fa ( L ) = F3 cos = 4 2 d

+

d

2 2

= 4 kN 2 2 = 3.2 kN

Fa ( B+ ) = 0 + Ft ( B+ ) = F4 FB = 3 3.8 = 0.8kN Fa ( I ) = 0 d + Ft ( I ) d + d

+

d

+ Ft ( L ) = F4 FB + F3 sin = 3 3.8 + 4 2 + M fx ( L) = F4 4 a + FB 3a ( F3 sin ) 2 a + M =d

d

= F4 FB = 3 3.8 = 0.8kN

= 3 4 + 3.8 3 4 2 + d

2 2

2 + 6 = 2.6kNm 2 2 = 4 kN 2 2 4 = 0.8kN

+ M fx ( I ) = F4 2 a + FB a = 3 2 + 3.8 1 = 2.2 kNm

Fa ( E ) = F3 cos = 4 2 d

Fa ( I + ) = F3 cos = 4 2 d

+

d

2 2

= 4 kN 2 2 = 3.2 kN

+ Ft ( E ) = F4 FB + F3 sin F2 = 3 3.8 + 4 2 d

+ Ft ( I + ) = F4 FB + F3 sin = 3 3.8 + 4 2

+ M fx ( E ) = F4 5a + FB 4 a ( F3 sin ) 3a + M + F2 a =

Fa ( H ) = F3 cos = 4 2 d

+

d

2 2

= 4 kN 2 2 = 3.2 kN

= 3 5 + 3.8 4 4 2

2 2

3 + 6 + 4 1 = 18kNm .

+ Ft ( H ) = F4 FB + F3 sin = 3 3.8 + 4 2 + M fx ( H ) = F4 3a + FB 2a ( F3 sin ) a =d

= 3 3 + 3.8 2 4 2

2 2

1 = 5.4 kNm

Oznaka Fda(K + ) , ..., Fda(L - ) , znai da se radi o presjeku koji se nalazi lijevo od take K pomjeren za malu veliinu , odnosno o presjeku koji je u odnosu na taku L pomjeren za malu veliinu u desnu stranu. Na slici 2.16. prikazani su dijagrami momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila.b) Grafiko rjeenje Usvojimo razmjeru za duinu UL i za silu UF i nacrtamo gredu sa optereenjem. Kontinualno optereenje podijelimo na tri polja i uticaj svakog polja zamijenimo ekvivalentnom koncentrisanom silom intenziteta jednakog povrini polja (slika 2.17). Intenziteti sila Fq1, Fq2, Fq3, definisani su izrazima: Fq1 = q. a = 2. 1 = 2 kN Fq2 = q. a = 2. 1 = 2 kN Fq3 = q. a = 2. 1 = 2 kN

37

Razmjera: UL = 1 m / 1 cm UF = 2 kN / 1 cm d = a = M/F = 1 m F = F' = F" = M/a = 6 kN UM = UL . UF . H = 1. 2. 3 UM = 6 kNm / 1 cm

ab = Fq1 / UF bc = F1 / UF cd = Fq2 / UF de = Fq3 / UF ef = F2 / UF fg = F' / UF gh = F" / UF hi = F3 / UF ij = F4 / UF

UM = 6 kNm / 1 cm

UFt = 2 kN / 1 cm

UFa = 2 kN / 1 cm

Slika 2.17.

FA = ka . UF = 2.55. 2 = 5.1 kN 5.12 kN FB = jk . UF = 1.9. 2 = 3.8 kN Mmax = ymax . UM = 0.9. 6 = 5.4 kNm M = y. UM = 1. 6 = 6 kNm

Zatim nacrtamo poligon sila i verini poligon (slika 2.17) na osnovu kojih grafikim putem odreujemo reakcije FA i FB. Pri odreivanju reakcija grafikim putem moramo imati u vidu sljedee: poloaj napadne linije reakcije FB je poznat dok FA nije, sile u planu sila nanosimo redom s lijeva udesno, proizvoljno izaberemo taku P kao pol i povuemo zrake 1, 2, 3, ..., 10, prva zraka verinog poligona (uproteni model grede - slika 2.17.a) mora prolaziti kroz taku A, jer je to, kao napadna taka reakcije FA, u potpunosti definisana taka na pravcu reakcije FA (za razliku od ostalih koje nisu poznate) i zbog toga da moemo zatvoriti verini poligon zrakom z koji je definisan izmeu reakcija FA i FB. Ako bismo sile nanosili redom s desna ulijevo, tada bi posljednji zrak morao proi kroz taku A. Kontinualno optereenje je svedeno na ekvivalentni sistem koncentrisanih sila da bi dobili taniji dijagram transverzalnh sila i momenta. Zrak z (zakljuna linija) definisan je takom A (presjena taka zraka 1 i pravca reakcije FA) i takom presjeka zraka 10 i pravca reakcije FB. Reakcija FB (poznatog pravca) je izmeu zraka 10 i z (du jk), dok se reakcija FA

38

dobija zatvaranjem poligona sila od take k do a (zrak z i zrak 1). Na slici 2.17.a. prikazan je takozvani "iskrivljeni dijagram momenta". Intenzitet reakcija FA i FB dobijamo mnoenjem dui ka i jk sa usvojenom razmjerom za silu UF. Kako napadni moment zavisi samo od transverzalnih sila, nacrtan je poligon sila i verini poligon kojeg ine samo sile upravne na gredu (slika 2.17.b) uz izbor poloaja pola P' da zrak z' (zakljuna liija) bude horizontalan (udaljenost pola P' od pravca sila, H 3 cm, proizvoljno se usvaja). Na taj nain dobija se "ispravljeni" dijagram napadnog momenta, kojem su zraci 1', 2', 3', 4', i 5' obvojnice u polju kontinualnog optereenja. Potrebno je istai da smo izvrili redukciju dijelova dijagrama na prepustima grede (A'A"S" i B'B"K") s tim da je veliina ordinata u karakteristinim takama ostala nepromijenjena. Sa izabranom razmjerom UF t i nanosei sile s lijeva udesno (poevi od sile Fq1) nacrtan je dijagram transverzalnih sila (slika 2.17.c). U polju kontinualnog optereenja stvarni dijagram transverzalnih sila dobijen je povlaenjem pravih kroz take poetka i kraja elementarnih polja i sredinje take vektora ekvivalentnih koncentrisanih sila Fq1, Fq2, Fq3, (slika 2.17.c). Na slici 2.17.d. prikazan je dijagram aksijalnih sila nacrtan u razmjeri UFa. Pri crtanju dijagrama koritene su projekcije sila na horizontalnu osu grede. Vrijednosti projekcija sila nanose se na vertikali kroz napadne take sila. Ako aksijalna sila optereuje presjek na istezanje, smatra se pozitivnom, a na pritisak negativnom. Na osnovu toga su oznaeni znaci u dijagramu (pozitivan znak iznad nulte linije, a negativan ispod). Isti princip oznaavanja primjenjuje se i kod dijagrama transverzalnih sila dok je kod dijagrama napadnog momenta pozitivna vrijednost (znak "+") oznaena ispod nulte linije, a negativna (znak "-") iznad nulte linije.

PRIMJER 10 Dat je linijski puni Gerberov nosa AC, optereen koncentrisanom silom F, momentom sprega sila M i jednolikim kontinualnim optereenjem q prema slici 2.18. Analitikim i grafikim putem odrediti otpore oslonaca i nacrtati statike dijagrame. Dati su podaci: F = 4 2 kN, M = 6 kNm, q = 1 kN/m i a = 1 m.

1. Analitiko rjeenje a) Otpori oslonaca

Slika 2.18.

Pri odreivanju otpora oslonaca potrebno je prvo kontinualno optereenje zamijeniti koncentrisanom silom: Fq = q. 2a = 1. 2. 1........................................................ (1) Fq = 2 kN Uticaj oslonaca zamijenimo odgovarajuim reakcijama tako da imamo etiri nepoznate veliine: FAX, FAY, FB, FC, (ili FA, A, FB, FC). Iz uvjeta ravnotee za proizvoljni sistem sila i usvojeni koordinatni sistem Oxy slijede tri jednaine. etvrtu jednainu dobijamo iz uvjeta da je suma momenata za Gerberov zglob s lijeve ili s desne strane jednaka nuli. Analitiki uvjeti ravnotee definisani su jednainama: x=0 y=0 + MA = 0 d + MG = 0 - XA + X = 0 ......................................................... (2) YA + FB - Y - Fq + FC = 0 ..................................... (3) -M + FB. 2a -Y. 3a - Fq. 5a + FC. 6a = 0 ................ (4) FC. 2a - Fq. a = 0.................................................... (5)

Potrebno je definisati i sljedee izraze: FA = FAX + FAY ................................................. (6)

FAX = X A i ...................................................... (7) FAY = YA j ....................................................... (8)X A = FA cos A ................................................ (9) YA = FA sin A ................................................. (10)X A + YA ................................................ (11) YA ........................................................ (12) tg A = XA YA ................................................... (13) A = arctg XA r r r F = FX + FY ......................................................... (14) r r FX = X i ............................................................ (15) r r FY = Y j ............................................................. (16) FA =2 2

X = F cos45= 4 2

2 2 2

= 4 kN ......................... (17)

Iz (5): Iz (2): Iz (4): Iz (3):

= 4 kN ......................... (18) 2 FC Fq / 2 = 2 / 2 = 1 kN ...................................... (19) XA = X = 4 kN ..................................................... (2') FB = M / 2a + Y. 3/2 + Fq. 5/2 - 3FC .................... (20) FB = 6 / 2 + 4. 3/2 + 2. 5/2 - 3. 1 = 11 kN YA = Y + Fq - FB - FC = 4 + 2 - 11 - 1 .................. (3') YA = -6 kN (pogreno pretpostavljen smjer) Y = F sin45= 4 2=

Slika 2.19.

39

Pravac i intenzitet reakcije u osloncu A odreeni su izrazima (13) i (11). 6 A = arctg = 56.31 4

FA = 4 + ( 6) = 7.21kNKontrola:+ ME = 0

2

2

-YA. 3a - M - FB. a - Fq. 2a - FC. 3a = 0 ................. (21) -(-6). 3. 1 - 6 - 11. 1 - 2. 2. 1 + 1. 3. 1 = 0

b) Statiki dijagrami momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila Statike dijagrame za dio nosaa gdje imamo kontinualno optereenje odrediemo analizom po poljima, a na dijelu nosaa gdje nemamo kontinualno optereenje analizom po karakteristinim takama (presjecima), kako je uraeno u prethodnim primjerima. - Analiza po poljima Polje I: 0 x 2a Fq1 = q. x = x

Fa = 0 + Ft = FC + Fq1 = FC + x = x 1+ M fx = FC x Fq1 0.5x = x 0.5 xd 2 d

+

d

x (m) 0 0.5 1 1.5 2

Fa (kN) 0 0 0 0 0

Ft (kN) -1 -0.5 0 0.5 1

Mfx (kNm) 0 0.375 0.5 0.375 0

Prema tabelarnim podacima vidimo da se u polju I ispod kontinualnog optereenja javlja ekstremna vrijednost momenta savijanja Mf jer transverzalna sila mijenja predznak, mada je iz tabele oigledno da se za vrijednost Ft = 0 na udaljenosti od x = 1 m od take C, odnosno oslonca C javlja Mfmax = 0.5 kNm. Isto se moe pokazati i matematiki, kako slijedi: d dM fx d = Ft = ( x 0 1) = 0 dx

x 0 = 1m d d 2 ( 0.5x 0 + x 0 ) = 1 < 0 max dx dx dx Mfmax = Mf (x0 = 1) = -0.5x02 + x0 = 0.5 kNm Dakle, na udaljenosti x = 1 m od oslonca C definisana je ekstremna vrijednost momenta savijanja Mf a ta ekstremna vrijednost je maksimalna (jer je drugi izvod negativan). d M fx2 2 d

=

- Analiza po karakteristinim takama (presjecima) Transverzalna sila (Ft) Aksijalna sila (Fa) + l l + Ft ( A ) = 0 Fa ( A ) = 0

Moment savijanja (Mf)+ M fA = 0D + M f (+ ) = YA a = 6kNm l l l l l l

FaA = X A = 4 kN Fa ( A + ) = 4 kN Fa ( D ) = Fa ( D + ) = = Fa ( B ) = Fa ( B+ ) = Fa ( E ) = X A = 4 kN l Fa ( E + ) + + l + l + l + l + l + l

+

l

+ Ft ( A + ) = + Ft ( D ) = = + Ft ( D + ) = + Ft ( B ) = = YA = 6 kN + Ft ( B+ ) = + Ft ( E ) = YA + FB = 6 + 11 = 5kN + Ft ( E + ) = + Ft ( G ) = = YA + FB Y = 6 + 11 4 = 1kNl l l l l l

l

l

+ M f ( D + ) = YA a + M = 0 + M fB = YA 2 a + M = 6 2 + 6 = 6kNm + M fE = YA 3a + M + FB a = 1kNm + M fG = YA 4a + M + FB 2 a Y a = 0

=

l Fa ( G )

+

= XA X = 0

Izraunate vrijednosti momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila grafiki su predstavljene statikim dijagramima na slici 2.19.

40

2. Grafiko rjeenje Grafiko rjeenje za Gerberov linijski puni nosa bazira se na istim principima kao za prosti linijski puni nosa obraen u prethodnim primjerima. Kontinualno optereenje podijelimo na dva dijela i zamijenimo sa odgovarajuim koncentrisanim silama Fq1 i Fq2. Na osnovu usvojene razmjere za duinu UL = 1m / 1cm i silu UF = 2kN / 1cm nacrtamo nosa i plan sila (slika 2.20.a i f). Verini poligon crtamo tako to prvu zraku povlaimo kroz nepomini oslonac A (sile u poligonu sila naneene s lijeva udesno), a odgovarajue zrake do presjeka sa odgovarajuom silom. Moment sprega sila M svodimo na paralelne sile FS na meusobnom rastojanju a = 1 m. Za odreivanje reakcija FA, FB i FC potrebno je imati dva zavrna zraka verinog poligona. Zavrne zrake verinog poligona odreene su kako je prikazano na slici uprotenog nosaa (slika 2.20.b) gdje je dobijen iskrivljeni dijagram momenta savijanja (Mf). Zavrna zraka verinog poligona z2 odreena je takom M (presjek zrake 6 i pravca reakcije FC) i takom G, odnosno Gerberovim zglobom u kojem moment mora biti jednak nuli, a zavrna zraka z1 odreena je takom R (presjek zrake z2 i pravca reakcije FB) i takom A. Na slikama 2.20.c i g prikazan je ispravljeni dijagram momenta (nakon redukcije na horizontalu) i plan transverzalnih sila (Ft) od kojih zavisi moment savijanja Mf nakon redukcije. UL = 1m / 1cm Fq1 = Fq2 = q. a = 1. 1 = 1 kN F5 = M / a = 6 / 1 = 6 kN ab = bc = F5 / UF = 6 / 2 = 3 cm cd = F / UF = 42 / 2 = 22 cm de = Fq1 / UF = 1 / 2 = 0.5 cm ef = Fq2 / UF = 1 / 2 = 0.5 cm FC = fg. UF = 0.5. 2 = 1 kN FB = gh. UF = 5.5. 2 = 11 kN FA = hk. UF = 3.6. 2 = 7.2 7.21 kN FAX = XA = 2. 2 = 4 kN FAY = YA = h'k. UF = 3. 2 = 6 kN

UMf = 8kNm / 1cm

UMf = 8kNm / 1cm UF = 2kN / 1cm

UFt = 2kN / 1cm

UFa = 2kN / 1cm

Slika 2.20.

UM = UL. UF. H = 1. 2. 4 = 8 kNm / 1 cm M = yM. UM = 0.75. 8 = 6 kNm Mfmax = ymax. UM = 0.06. 8 = 0.48 0.5 kNm

41

PRIMJER 11 Za dati okvirni nosa na slici 2.21. odrediti grafiki i analitiki otpore oslonaca i nacrtati statike dijagrame. Dati su podaci: F1 = 2 kN, F2 = 3 kN, F3 = 3 3 kN, q = 1 kN/m i a = 1 m. Rjeenje: 1. Analitiko rjeenje a) Otpori oslonaca Okvirni nosa posmatramo kao kruto tijelo. Kontinualno optereenje zamijenimo koncentrisanom silom Fq = q. 4a = 4 kN, a uticaj oslonaca zamijenit emo reakcijama veza FA, FBX i FBY (slika 2.25). Na nosa sada djeluje proizvoljni sistem sila u ravni za koji su analitiki uvjeti ravnotee definisani za usvojeni koordinatni sistem Oxy jednainama: x=0 y=0 + MB = 0 F2 - X3 - F1 + XB = 0 ......................................... (1) FA - Fq + Y3 + YB = 0........................................ (2) F1. 2a + X3. 4a + Y3. a + Fq. 3a - FA. 4a = 0 ....... (3)

Slika 2.21.F3 = F3X + F3Y ................................................ (12) F3X = X3 i .................................................... (13) F3Y = Y3 j ..................................................... (14)X 3 = F3 cos 60= 3 3 0.5 = 2.598 kN ........... (15) Y3 = F3 sin 60= 3 3 0.866 = 4.5kN ............. (16) 2 F1 + 4 X 3 + Y3 + 3Fq 3F2 Iz (3): = 5.47 kN ..... (17) FA = 4 Iz (1): XB = F1 + X3 - F2 = 1.598 kN ........................... (1') Iz (2): YB = Y3 + Fq - FA = 3.03 kN............................. (2') Intenzitet i pravac reakcije FB odreeni izrazima (9) i (11) iznose:

Reakcija FB i sila F3 razloenerna komponente definiu izraze: r r FB = FBX + FBY ............................................... (4) r r FBX = X B i .................................................... (5) r r FBY = YB j ..................................................... (6) X B = FB cos B .............................................. (7) YB = FB sin B ................................................ (8)

FB = tg B =

2 2 X B + YB ............................................... (9) YB ....................................................... (10)

XB

B = arctg

YB .................................................. (11) XB

FB = 1.598 + 3.03 = 3.43kN B = arctg 3.03 1.598 = 62 .19

2

2

b) Statiki dijagrami - dijagrami momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila

Prvo se definiu statiki dijagrami za grede vezane za postolje - stubove (na slici 2.25. to su grede AD i BH). Smatra se pri tome da se posmatranje greda vri iz unutranjosti okvirnog nosaa - taka O. U ovom primjeru e biti prikazan jedan od niza naina analize i definisanja statikih dijagrama. Okvirni nosa rastavit emo na tri grede (nosaa): AD, BH i CH, a uticaj jedne na drugu definisat emo preko aksijalne i transverzalne sile i momenta savijanja kako slijedi:- Greda AD

Uvjeti ravnotee: x=0 y=0+ MD = 0

F2 - FXD = 0 FXD = F2 = 3 kN FA - FDY = 0 FDY = FA = 5.47 kN F2. a - MD = 0 MD = F2. a = 3 kNm

Aksijalna sila (Fa) l + Fa ( A ) = 0

UMf = 3kNm / 1cm UFt = 3kN / 1cm UFa = 5kN / 1cm UL = 1m / 1cml

+ Fa ( A + ) = FA = 5.47 kN + Fa ( K ) = + Fa ( K+ ) = + Fa ( D ) = FA = 5.47 kNTransverzalna sila (Ft)+ +

l l

l

Ft ( A ) = Ft ( A + ) = = Ft ( K ) = 0 Ft ( K + ) = Ft ( D ) = F2 = 3kN Moment savijanja (Mf)+ M fA = 0 + M fK = 0 + M f ( D ) = F2 a = 3kNml l l

l

l

+

l

+

l

+

l

Slika 2.22.

42

- Greda BH

Uvjeti ravnotee: x=0 y=0+ MH = 0

FHX - F1 + XB = 0 FHX = F1 - XB = 2 - 1.598 = 0.402 kN YB - FHY = 0 FHY = YB = 3.03 kN -MH - F1. 2a + XB. 4a = 0 MH = XB. 4a - F1. 2a = 2.392 kNm

Aksijalna sila (Fa) d + Fa ( B ) = 0

+ Fa ( B+ ) = + Fa ( M ) = + Fa ( M + ) = = + Fa ( H ) = YB = 3.03kNTransverzalna sila (Ft)d Ft ( B ) d

d

d

d

UL = 1m / 1cm UFa = 3kN / 1cm UFt = 2kN / 1cm UMf = 3kNm / 1cm

+ +

=0+d

Ft ( B+ ) = Ft ( M ) = = X B = 1.598 kN Ft ( M + ) = Ft ( H ) = = X B + F1 = 0.402 kNMoment savijanja (Mf) d + M fB = 0+d M fM d

d

Slika 2.23.UL = 1m / 1cm UMf = 5kNm / 1cm UFt = 5kN / 1cm UFa = 3kN / 1cm

+

d

+

d

= X B 2a = 3196kNm .

+ M f ( H ) = X B 4 a F1 2 a = 2 .392 kNm

- Greda CH - Analiza po poljima Polje I: 0 x a FDX = -F'DX FDY = -F'DY MD = M'D FHX = -F'HX FHY = -F'HY MH = F'H

FDX = F'DX = XD FDY = F'DY = YD FHX = F'HX = XH FHY = F'HY = YH

Fa = 0 + Ft = Fq1 = q x = x+ M fx = Fq1 0.5x = 0.5 xl 2 l

+

l

Fq1 = q. x = x

0x1m x (m) Fa (kN) 0 0 0 1-Polje II: 0 x 3a Fq1 = q. a = 1 kN Fq2 = q. x = x kN

Ft (kN) 0 -1

Mfx (kNm) 0 -0.5

Slika 2.24.

Fa = FXD = X D = 3kN + Ft = Fq1 + FDY Fq 2 = x + 4.47 + M fx = Fq1 ( x + a / 2 ) + FDY x M Fq 2 x / 2 = D = 0.5 x + 4.47 x 3.5 0x3m x (m) Fa (kN) Ft (kN) 0 -3 4.47 1 -3 3.47 2 -3 2.47 3 -3 1.472 l l

+

l

Mfx (kNm) -3.5 0.47 3.44 5.41

Analiza po karakteristinim takama (presjecima) Transverzalna sila (Ft) Aksijalna sila (Fa) d + d + Ft ( H + ) = FHY = 3.03kN Fa ( H + ) = FHX = 0.402 kN

Moment savijanja (Mf)H + M f ( H + ) = M = 2.392 kNm d d

Fa ( E ) = FHX = 0.402 kN

+

d

+ Ft ( E ) = FHY = 3.03kN

d

H + M fE = M FHY a = 5.41kNm

43

2. Grafiko rjeenje Otpori oslonaca Na osnovu razmjere za duinu UL = 1m / 1cm nacrtamo okvirni nosa (slika 2.25.a). Zatim na osnovu plana sila (slika 2.25.b) konstruiemo verini poligon u okviru plana poloaja. Zavrnu zraku verinog poligona z1 prenesemo u plan sila iz kojeg oitavamo intenzitet reakcija oslonaca FA i FB. Dakle, postupak je identian postupcima opisanim u prethodnim primjerima prorauna punih linijskih nosaa. Kontinualno optereenje treba svesti na koncentrisanu silu Fq = q. 4a = 4 kN. Kako je nepokretni oslonac na desnoj strani sile u planu sila niemo poevi od sile F1, zatim F3, Fq, F2, a prvi zrak verinog poligona povlaimo iz take B (nepokretnog oslonca).

UL = 1 m / 1 cm UF = 1 kN / 1 cm

a) plan poloajaab = F1 / UF = 2/1 = 2 cm bc = F3 / UF = 33/1 = 33 cm cd = Fq / UF = 4/1 = 4 cm de = F2 / UF = 3/1 = 3 cm PRIMJER 12

Slika 2.25.

FA = ef. UF = 5.5. 1 = = 5.5 5.47 kN FB = fa. UF = 3.4. 1 = = 3.4 3.43 kN FBX = XB = fg. UF = = 1.6. 1 = 1.6 1.598 kN FBY = YB = ga. UF = = 3. 1 = 3 3.03 kN B = 62 62.19

b) plan (poligon) sila

Za dati okvirni (trozglobni - Gerberov) nosa na slici 2.26. odrediti grafiki i analitiki otpore oslonaca i nacrtati statike dijagrame. dati su podaci: F = 2 kN, q = 0.5 kN/m i a = 1 m. Rjeenje: 1. Analitiko rjeenje a) Otpori oslonaca Okvirni (trozglobni) nosa posmatramo kao kruto tijelo. Kontinualno optereenje zamijenimo koncentrisanom silom Fq = q. 4a = 2 kN, a uticaj oslonaca zamijenit emo reakcijama veza FAX, FAY, FBX i FBY (slika 2.30). Na nosa sada djeluje proizvoljni sistem sila u ravni za koji su analitiki uvjeti ravnotee definisani za usvojeni koordinatni sistem Oxy jednainama (1), (2) i (3), a jednaina (4) predstavlja dopunski uvjet koji uvjetuje da je napadni moment u zglobu G jednak nuli.

Slika 2.26.x=0 y=0 + MA = 0 MG = 0 + F - F - XA + XB = 0 ............................ (1) YA + YB - Fq = 0................................. (2) -F. a + F. 2a - Fq. a + YB. 5a = 0.......... (3) -F. a + XB. 3a + YB. a = 0.................... (4)

Navedene jednaine treba dopuniti jednainama koje definiu razlaganje reakcija FA i FB na komponente. Fi = FiX + FiY (i = A, B) .................. (5)

FiX = X i i ...................................... (6) FiY = Yi j ....................................... (7)X i = Fi cos i ................................. (8) Yi = Fi sin i .................................. (9)2 2 Fi = X i + Yi ................................. (10) Yi ......................................... (11) tg i = Xi Yi ................................... (12) i = arctg Xi

Iz (3): Iz (4): Iz (1): Iz (2): Iz (10) i (12) slijedi:

YB = (Fq - F) / 5 = 0 ........................... (13) XB = (F - YB) / 3 = 0.67 kN ............... (14) XA = XB = 0.67 kN............................ (15) YA = Fq - YB = 2 kN........................... (2')

FB =

X B + YB =YB XB YA XA

2

2

0.67 + 0 = 0.67 kN0 0.672

2

B = arctg FA =2

= arctg2

= 02

X A + YA = 0.67 + 2 = 2.11kN = arctg 2 0.67 = 71.48

A = arctg

44

b) Statiki dijagrami - dijagrami momenata savijanja (Mf), aksijalnih (Fa) i transverzalnih (Ft) sila Statike dijagrame odredit emo kao u prethodnom primjeru prostor okvirnog nosaa. - Greda AD Uvjeti ravnotee: x=0 y=0+ MD = 0

-XA + F - FDX = 0 FDX = F - XA = 1.33 kN YA - FDY = 0 FDY = YA = 2 kN - MD - XA. 3a + F. 2a = 0 MD = - XA. 3a + F. 2a = 2 kNm

Aksijalna sila (Fa)

Fa ( A+ ) = YA = 2 kN Fa ( C ) = Fa ( C+ ) = = Fa ( D ) = YA = 2 kN Transverzalna sila (Ft) l l + Ft ( A + ) = + Ft ( C ) = X A = 0.67 kN+ l + l + l

+

l

UMf = 2 kNm / 1 cm UFt = 2 kN / 1 cm UFa = 2 kN / 1 cm UL = 1 m / 1 cm

+ Ft ( C+ ) = + Ft ( D ) = X A F = 1.33kNMoment savijanja (Mf) l M fA = 0+ M fC = X A a = 0.67 kNm + M f ( D ) = X A 3a F 2 a = 2 kNml l

l

l

Slika 2.27.

- Greda BE Uvjeti ravnotee: x=0 y=0 + ME = 0 Aksijalna sila (Fa) FB - F + FEX = 0 FEX = F - FB = 2 - 0.67 = 1.33 kN FEY = 0 ME - F. a + FB. 3a = 0 ME = F. a - FB. 3a = 0

UL = 1 m / 1 cm UFt = 2 kN / 1 cm UMf = 1 kNm / 1 cm

+ Fa ( B+ ) = + Fa ( M ) = = + Fa ( M + ) = + Fa ( E ) = 0Transverzalna sila (Ft)+ +

d

d

Slika 2.28.

d

d

Ft ( B+ ) = Ft ( M ) = = FB = 0.67 kN Ft ( M + ) = Ft ( E ) = = FB + F = 0.67 + 2 = 1.33kN- Greda NE - Analiza po poljima Polje I: 0 x < a F'EX = -FEX F'EX = FEX = 1.33 kN F'DX = -FDX F'DX = FDX = 1.33 kN F'DY = -FDY F'DY = FDY = 2 kN MD = M'D = 2 kNm Fq1 = qx = 0.5x+ d + d

d

d

Moment savijanja (Mf) d M fB = 0

M fM = FB 2 a = 1.34 kNm M fE = FB 3a F a = 0d

d

Fa = 0 + Ft = Fq1 = 0.5 x+ M fx = Fq1 0.5x = 0.25 xl 2 l

+

l

UL = 1 m / 1 cm UMf = 2 kNm / 1 cm

0x