7 - Ploce Direktno Oslonjene Na Stubove

PLOČE DIREKTNO OSLONJENE NA STUBOVE P7/1

PROJEKTOVANJE I GRAĐENJE BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1 PRIMERI ZA VEŽBE

1. Dimenzionisati ploču prikazanu na skici, direk-tno oslonjenu na 16 stubova visine 4.0 m. Ploča je, pored sopstvene težine, opterećena dodatnim stalnim opterećenjem ∆g = 1.5 kN/m2 i povremenim opterećenjem p = 10 kN/m2.

Lx = 5.0 m Ly = 6.0 m

Ploča se izvodi od betona MB 30 i armira rebrastom armaturom RA 400/500.

pretp. dp = 24 cm

g = 0.24×25.0 + 1.5 = 7.5 kN/m

Kako je odnos ortogonalnih raspona ploče:

33.12.10.50.6

LL

75.0x

y <==<

a ploča opterećena jednako podeljenim opterećenjem, proračun se može sprovesti prib-ližnim postupkom - metodom zamenjujućih traka (član 219. PBAB 87). Za širinu trake se uzima osovinsko rastojanje stubova upravnog pravca, a za visinu trake debljina ploče. Proračun se sprovodi za dva ortogonalna pravca, uzimajući u oba slučaja ukupno opterećenje.

Statički uticaji - duži pravac Kontinualni nosači u dužem pravcu su raspona 3×6.0 m, širine Lx = 5.0 m u osama B i C, odnos-no Lx / 2 = 2.5 m u ivičnim osama A i D. Ukupno opterećenje na jedan srednji nosač je:

g* = g×Lx = 7.5×5.0 = 37.5 kN/m p* = p×Lx = 10×5.0 = 50 kN/m

Momenti savijanja za kontinualni nosač preko tri jednaka raspona, opterećen jednako raspodelje-nim opterećenjem u svim poljima, sračunati su pomoću tablica datih u PBAB 87, tom II, Prilog 5.2, str. 511:

M = k×q×Ly2

Momenti usled stalnog, povremenog i graničnog opterećenja su prikazani tabelarno.

k G P U 1. polje M0-1 0.08 108 144 432 oslonac -M1 0.1 135 180 540 2. polje M1-2 0.025 33.75 45 135

Reakcije oslonaca:

G1 = G4 = 0.4×37.5×6.0 = 90 kN G2 = G3 = 1.1×37.5×6.0 = 247.5 kN

P1 = P4 = 0.4×50.0×6.0 = 120 kN P2 = P3 = 1.1×50.0×6.0 = 330 kN

Maksimalna sila u stubu je G+P = 247.5 + 330 = 577.5 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).

A B C

4

D

3

2

1

Lx = 5.0

L y =

6.0

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0

A

Lx = 5.0

L y =

6.0

B C

4

D

3

2

1

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0

Lx = 5.0 Lx / 2



Raspodela momenata savijanja Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Lx = 5.0 m se raspodeljuju na:

- traku u polju (P), širine 0.60×Lx = 0.6×5.0 = 3.0 m i

- traku preko stubova (S), širine 0.40×Lx = 0.4×5.0 = 2.0 m

Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Lx = 1.0 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na osu stubova, prema skici:

Ly = 6.0

B

4321

Ly = 6.0 Ly = 6.0

1.5

L x =

5.0

1.0

1.5

0.5

0.5

P 2S

2 2S 1

P 2S

2 2

L x /

2L x

/ 2

Ukupno sračunati momenti savijanja za nosač širine Lx se raspoređuju na sledeći način:

B

P2

S22 S1

P2

S22

1.5 0.5 1.0 0.5 1.5

0.5×

M

1.4×

M

2.1×

M

Lx = 5.0

M

B

P2

S22 S1

P2

S22

1.5 0.5 1.0 0.5 1.5

0.84

×M

1.25

×M

1.25

×M

Lx = 5.0M

raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama

raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama

a. ukupan sračunati negativni (oslonački) moment savijanja - polutraka S1: M1

S1 = 2.1×M1/Lx = 2.1×540/5.0 = 226.8 kNm/m - polutraka S2: M1

S2 = 1.4×M1/Lx = 1.4×540/5.0 = 151.2 kNm/m - traka u polju: M1

P = 0.5×M1/Lx = 0.5×540/5.0 = 54.0 kNm/m b. ukupni sračunati pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:

- polutraka S1: M0-1S1 = 1.25×M0-1/Lx = 1.25×432/5.0 = 108.0 kNm/m

- polutraka S2: M0-1S2 = 1.25×M0-1/Lx = 1.25×432/5.0 = 108.0 kNm/m

- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Lx = 0.84×432/5.0 = 72.6 kNm/m

srednje polje: - polutraka S1: M1-2

S1 = 1.25×M1-2/Lx = 1.25×135/5.0 = 33.8 kNm/m - polutraka S2: M1-2

S2 = 1.25×M1-2/Lx = 1.25×135/5.0 = 33.8 kNm/m - traka u polju: M1-2

P = 0.84×M1-2/Lx = 0.84×135/5.0 = 22.7 kNm/m



Dimenzionisanje Maksimalni moment je oslonački u traci preko stubova, polutraka S1, u pravcu dužeg raspona:

hy = 24 – 2.2 – 2.2/2 = 20.7 cm

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa

968.1

05.2100108.226

7.20k2

=

××

=

εb/εa = 3.5/5.75‰ ; µ = 30.644%

mcm51.32

4005.27.20644.30A

2

a =××=

cm6.1151.32

80.3100e22Ø a =×

=⇒ ⇒ usvojeno RØ22/10 (38.00 cm2/m)

Armatura za ostale preseke sračunata je usvajajući približnu vrednost kraka unutrašnjih sila z ≈ 0.9×hy = 0.9×20.7 = 18.6 cm, a rezultati proračuna su prikazani u tabelarno.

MOMENTI POTREBNA ARMATURA USVOJENA ARMATURA

0-1 1 1-2 0-1 1 1-2 Ø0-1 ea Ø1 ea Ø1-2 ea S1 108 226.8 33.8 14.49 32.51 4.53 14 10 22 10 12 20 S2 108 151.2 33.8 14.49 20.29 4.53 14 10 16 10 12 20 P 72.6 54 22.7 9.74 7.25 3.04 14 15 12 15 8 15

Proračun nosača u osama A i D se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti momenata savijanja iste kao i za ose B i C, pa je usvojena armatura ista.

Statički uticaji - kraći pravac Na potpuno isti način sprovodi se proračun konti-nualnih nosača u pravcu kraćeg raspona.

Kontinualni nosači u dužem pravcu su raspona 3×5.0 m, širine Ly = 6.0 m u osama 2 i 3, odnosno Ly / 2 = 3.0 m u ivičnim osama 1 i 4. Ukupno opte-rećenje na jedan srednji nosač je:

g* = g×Ly = 7.5×6.0 = 45 kN/m p* = p×Ly = 10×6.0 = 60 kN/m M = k×q×Lx

2

k G P U 1. polje M0-1 0.08 90 120 360 oslonac -M1 0.1 112.5 150 450 2. polje M1-2 0.025 28.1 37.5 112.5

4.8

108.0

226.8

108.0

226.8

1.2 1.658 2.683 1.658 1.2

4.8

4.8

1.2 1.658 2.683 1.658 1.2

4.8

4.8

1.2 1.658 2.683 1.658 1.2

4.8

"S1"

"S2"

"P"

A

Lx = 5.0

L y =

6.0

B C

4

D

3

2

1

L y =

6.0

L y /

2

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0



Raspodela momenata savijanja Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Ly = 6.0 m se raspodeljuju na:

- traku u polju (P), širine 0.60×Ly = 0.6×6.0 = 3.6 m i

- traku preko stubova (S), širine 0.40×Ly = 0.4×6.0 = 2.4 m

Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Ly = 1.2 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na osu stubova, prema skici:

Lx = 5.0

2

DCBA

Lx = 5.0 Lx = 5.0

1.8

L y =

6.0

1.2

1.8

0.6

0.6

P 2S

2 2S 1

P 2S

2 2

L y /

2L y

/ 2

Ukupno sračunati momenti savijanja za nosač širine Ly se raspoređuju na sledeći način:

a. ukupan sračunati negativni (oslonački) moment savijanja - polutraka S1: M1

S1 = 2.1×M1/Ly = 2.1×450/6.0 = 157.5 kNm/m - polutraka S2: M1

S2 = 1.4×M1/Ly = 1.4×450/6.0 = 105.0 kNm/m - traka u polju: M1

P = 0.5×M1/Ly = 0.5×450/6.0 = 37.5 kNm/m b. ukupni sračunati pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:

- polutraka S1: M0-1S1 = 1.25×M0-1/Ly = 1.25×360/6.0 = 75.0 kNm/m

- polutraka S2: M0-1S2 = 1.25×M0-1/Ly = 1.25×360/6.0 = 75.0 kNm/m

- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Ly = 0.84×360/6.0 = 50.4 kNm/m

srednje polje: - polutraka S1: M1-2

S1 = 1.25×M1-2/Ly = 1.25×112.5/6.0 = 23.4 kNm/m - polutraka S2: M1-2

S2 = 1.25×M1-2/Ly = 1.25×112.5/6.0 = 23.4 kNm/m - traka u polju: M1-2

P = 0.84×M1-2/Ly = 0.84×112.5/6.0 = 15.8 kNm/m

Dimenzionisanje hy = 24 – (2.2+2.2+2.2/2) = 18.5 cm

111.2

05.2100105.157

5.18k2

=

××

=

εb/εa = 3.5/7.44‰ ; µ = 25.893%

mcm55.24

4005.25.18893.25A

2

a =××=

cm5.1555.24

80.3100e22Ø a =×

=⇒ ⇒

usvojeno RØ22/15 (25.34 cm2/m)

4

1.382 2.236 1.3821 1

4"S1"

"S2"

"P"

4

1.382 2.236 1.3821 1

4

4

1.382 2.236 1.3821 1

4

157.5 157.5

75.0 75.0

75.0 75.0



Armatura za ostale preseke sračunata je usvajajući približnu vrednost kraka unutrašnjih sila z ≈ 0.9×hx = 0.9×18.5 = 16.7 cm, a rezultati proračuna su prikazani u tabelarno.

MOMENTI POTREBNA ARMATURA USVOJENA ARMATURA

0-1 1 1-2 0-1 1 1-2 Ø0-1 ea Ø1 ea Ø1-2 ea S1 75 -158 23.44 11.26 24.55 3.52 16 15 22 15 10 15 S2 75 -105 23.44 11.26 15.77 3.52 16 15 19 15 10 15 P 50.4 -37.5 15.75 7.57 5.63 2.36 14 20 12 20 10 20

Proračun nosača u osama 1 i 4 se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti momenata savijanja iste kao i za ose 2 i 3, pa je usvojena armatura ista.

Nedostajuća podeona armatura u gornjoj zoni usvojena je kod crtanja plana armature, kao minimalno 20% statički potrebne glavne armature.

Proračun ploče u odnosu na napone probijanja Proračun ploča u odnosu na probijanje definisan je članovima 220 i 221. Pravilnika BAB 87. Zasniva se na DIN 1045 normama i sprovodi po dopuštenim naponima, a provera se vrši za EKSPLOATACIONA opterećenja.

Minimalne dimenzije stubova su definisane članom 222. PBAB 87, kao:

cm30cm30

cm7.2615/40015/Hcm2520/50020/L

.maxdmin

.min =

==

===

pri čemu je Lmin manji razmak stubova, a H spratna visina. Usvojeni su stubovi 40×40 cm.

Unutrašnji stubovi (B2, C2, B3, C3) Maksimalna sila u stubu je G+P = 247.5 + 330 = 577.5 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).

hy = 20.7 cm ; hx = 18.5 cm

cm6.192

5.187.20hsr =+

=

cm1.45404d4d 22s =×

π=×

π=

Napominje se da je ds prečnik zame-njujućeg kružnog stuba koji ima istu površinu preseka kao stvarni pravou-gaoni stub. Kod izduženih preseka stranica b/d (b<d) za proračun ds mo-že se uzeti maksimalno d = 1.5×b, bez obzira na stvarni odnos strana preseka stuba.

cm7.646.191.452

h2dd srskp =+=+= ⇒ cm4.2037.64dO kpkp =π×=π×=

2srkp

max

cmkN145.0

6.194.2035.577

hOT

=×

=×

=τ

ds

dkpd p

db

h y h x h sr

hsr/2 hsr/2

hsr/2 hsr/2



Napominje se da je pri određivanju sile probijanja Tmax, moguće silu u stubu (odnosno razliku sila u stubu iznad i ispod razmatrane tavanice u slučaju višespratnih objekata) umanjiti za deo raspodeljenog opterećenja koji deluje unutar kruga prečnika db:

q = g + p = 7.5 + 10 = 17.5 kN/m2

cm3.846.197.642

h2dd srkpb =+=+= ⇒ kN8.9843.0

45.17d

4qT 22

b =×π

×=×π

×=∆

kN7.5678.95.577TTT .redmax =−=∆−= ⇒ 2cm

kN142.06.194.203

7.567=

×=τ

U slučaju međuspratnih konstrukcija, s obzirom na malu debljinu ploče i malo opterećenje, ova redukcija je praktično beznačajna, ali je svakako treba sprovesti pri proračunu temelja.

Sračunati napon smicanja potrebno je uporediti sa dopuštenim vrednostima. Ukoliko je:

a132

τ×γ×≤τ

nije potrebna računska armatura za prijem sila zatezanja, odnosno beton je u stanju da primi i prenese transverzalnu silu koja deluje u zoni oslonca. S druge strane, računski napon smicanja mora zadovoljiti uslov:

b2 τ×γ≤τ

U protivnom, mora se povećati debljina ploče, dimenzija stuba, količina armature ili marka betona. U navedenim izrazima naponi τa i τb su dopušteni naponi smicanja dati članom 122 Pravilnika BAB 87, i zavisno od marke betona, uzimaju sledeće vrednosti:

MB 15 20 30 40 50 60 τa 0.5 0.6 0.8 1.0 1.1 1.2 τb 1.5 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4

dok su vrednosti bezdimenzionih koeficijenata γ1 i γ2 dati izrazima (član 221 BAB):

µ×α×=γ a1 3.1 ; µ×α×=γ a2 45.0

U gornjim izrazima µ je srednja vrednost procenta armiranja gornjom armaturom iz dva upravna pravca na širini oslonačke trake 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly, dok je vrednost koeficijenta αa za različite vrste armature:

αa = 1.0 za GA 240/360 αa = 1.3 za RA 400/500 αa = 1.4 za MA 500/560

Srednja vrednost µ koja se unosi u izraze za γ1 i γ2 mora da zadovolji uslove:

%5.1f25%5.0v

bk ≤σ

×≤µ≤

bez obzira što stvarni procenat armiranja može biti i van naznačenih granica.

Usvojena armatura po trakama:

- polutraka S1, Y pravac: Ø22/10 (38.01 cm2/m) - polutraka S2, Y pravac: Ø16/10 (20.10 cm2/m)



%40.17.20

12

10.2001.38hA

y

ayy =×

+==µ

- polutraka S1, X pravac: Ø22/15 (25.34 cm2/m) - polutraka S2, X pravac: Ø16/15 (13.40 cm2/m)

%05.15.18

12

40.1334.25hA

x

axx =×

+==µ ⇒ %23.1

205.140.1

=+

=µ

=××=γ=××=γ

⇒=α⇒65.023.13.145.0

87.123.13.13.13.1500/400RA2

1a

2a12 cmkN100.008.087.1

32

32

cmkN142.0 =××=τ×γ×>=τ (1)

2b22 cmkN142.022.065.0

cmkN142.0 =×=τ×γ==τ (2)

Kako nije prekoračen napon definisan uslovom (2), nije potrebno povećavati dimenzije preseka. Kako je prekoračen napon definisan uslovom (1), potrebna je armatura za prihvatanje zatežućih sila:

v

max

v

maxa

T35.1

8.1

T75.0Aσ×

=σ×

=

2a cm16.19

407.56735.1A =

×=

usvojeno: 4×5URØ8/15

(4×5×2×0.503 = 20.11 cm2)

Ovu armaturu treba rasporediti prema skici desno (osnova i presek), u skladu sa članom 220. Pravilnika BAB 87.

Na potpuno isti način se vrši kontrola probijanja za preostale stubove. Kako je usvojena ista količina armature, koeficijenti γ1 i γ2, kao i vrednosti dopuštenih napona se neće menjati.

Ivični stubovi (B1,B4, C1,C4, A2,A3, D2,D3) Sile u stubovima se određuju kao reakcije odgovarajućih kontinualnih nosača:

- u osama B1 i B4, odnosno C1 i C4:

G = 1.1×(2.5×7.5)×6.0 = 123.8 kN P = 1.1×(2.5×10)×6.0 = 165 kN

- u osama A2 i A3, odnosno D2 i D3:

G = 1.1×(3.0×7.5)×5.0 = 123.8 kN P = 1.1×(3.0×10)×5.0 = 165 kN

Maksimalna sila u stubu je G+P = 123.8 + 165 = 288.8 kN, polovina sile u srednjem stubu.

d ph y h x h sr

15 ~0.7×hsr10

~1.2×hsr25

15R

UØ

8/15

1 5RUØ8/ 15

15R

UØ

8/15

1 5RUØ8/ 15

40



cm1224.2036.07.646.0d6.0O kpkp =×=π××=π××= (član 220. PBAB 87)

=×=τ×γ<

=××=τ×γ×>=

×=τ

2b2

2a1

2

cmkN142.022.065.0

cmkN100.008.087.1

32

32

cmkN121.0

6.191228.288

2a cm75.9

408.28835.1A =

×= ⇒ usvojeno: (2×3+5)URØ8/15 (11.06 cm2)

Ugaoni stubovi (A1, A4, D1, D4) Sile u stubovima se određuju kao reakcije odgovarajućih kontinualnih nosača:

G = 0.4×(2.5×7.5)×6.0 = 45 kN P = 0.4×(2.5×10)×6.0 = 60 kN

Maksimalna sila u stubu je G+P = 45 + 60 = 105 kN.

cm614.2033.07.643.0d3.0O kpkp =×=π××=π××= (član 220. PBAB 87)

2a12 cmkN100.008.087.1

32

32

cmkN088.0

6.1961105

=××=τ×γ×<=×

=τ

Nije potrebna računska armatura.

U nastavku su prikazani rezultati proračuna razmatrane ploče, proračunate pomoću dva rasprostranjena programska paketa domaćih autora, i to:

- programskim paketom SAN&DAN, metodom zamenjujućeg roštilja (štapasti model)

- programom Tower 6 Radimpex-a, metodom konačnih elemenata

U oba slučaja rezultati proračuna su prikazani u vidu:

- linija jednakih momenata savijanja (granični uticaji, kombinacija 1.6×G+1.8×P), datih posebno za donju (korak ∆Mu=10 kNm/m), a posebno za gornju zonu (korak ∆Mu=20 kNm/m), posebno za dva ortogonalna pravca X i Y

- linija jednakih ugiba (eksploatacioni uticaji, kombinacija G+P), sa korakom 1 mm

- reakcija oslonaca – sila u stubovima, posebno za stalno i povremeno opterećenje.



XY

** POS 100+ ** d=24cm Mx gornja zona (0,217,20kNm/m)

XY

** POS 100+ ** d=24cm Mx donja zona (-87,0,10kNm/m)

-80

-80

-80

-80

-70

-70-70

-70

-70

-70

-70

-70

-70-70

-70

-70

-70

-70

-70

-60 -60

-60

-60

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50

-50-50

-50

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-40

-10-10

-10-10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

A B C D

1

2

3

4

-87 -47 -87

-87 -47 -87

-87

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

20

20 2020

20

20

20

20 20

20

20

20

20

2020

20

20

2020

20

20

20

20

20

20

20

20

20 20

20

20

20

20

20

20

20

20

2020

20

2020

20

20

40

40

40

40

40

40

40

40

40

4040

40

40

4040

40

40

4040 40

40

40

40

40

60

60

60

60

60

6060 60

60

60

60

60

60 60

60

60

80

80

80

80

80

80

80

80

A B C D

1

2

3

4

217 217

217 217

217



60

60 60

6060

6060

60

60

80

80

80

80

80

80

80

80

80

80 80

80

80 80

100 100 100 100

100 100 100 100

A B C D

1

2

3

4

239

239

239

239

239

-40

-40

XY

XY

** POS 100+ ** d=24cm My gornja zona (0,239,20kNm/m)

** POS 100+ ** d=24cm My donja zona (-101,0,10kNm/m)

-90

-90

-90

-90

-90

-90

-90

-90-90 -90-90

-90

-80 -80 -80

-80

-30

-30-30

-30

-30-30

-20

-20

-20 -20 -20

-20-20-20-20

-20-10 -10

-10 -10 -10

-10

-10-10-10-10-10

-10

0000

000000

0

00

0

0 0

00

0

0

00

0

00

00

0

0 0 00

0 00 0

0 0

A B C D

1

2

3

4

-101

-101

-44

-44

-101

-101

-101

0000

000000

0

00

0

0 0

00

0

0

00

0

00

00

0

0 0 00

0 00 0

0 0

202020202020

202020

2020 20

2020 20

2020 20

202020

20202020

2020

20 20 2020

20 20 20 20 20

4040

404040404040

40

4040

4040

40 40 40 40 40

40404040

4040404040

4040

40 40 40 40 40 4040

60

60

60

60

60

60 60

60 60

60 60 60

60

-80-80

-80

-80

-80 -80

-80

-80-80-80-80

-80

-70 -70

-70 -70

-70 -70

-70-70-70-70

-70 -70 -70 -70

-70-70

-70-70

-70-70

-60-60 -60

-60

-60

-60-60

-60



** POS 100+ ** d=24cm Ugib (-6.6,0,1mm)

** POS 100+ Rg/p Tot=2025/2700 Max=272/363

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6

-6 -6

-6

-6

-6

-5-5

-5

-5 -5 -5-5

-5-5

-5

-5

-5

-5-5-5

-5

-5-5

-5

-5

-5

-5 -5 -5

-5

-5 -5

-5-5

-5

-5-5-5

-5

-5-5

-4

-4 -4 -4 -4

-4-4

-4-4-4-4

-4

-4-4

-4

-4

-4-4 -4 -4 -4

-4-4

-4

-4-4-4-4

-3 -3 -3 -3

-3

-3

-3

-3-3-3-3-3

-3

-3

-3

-3

-3

-3-3 -3 -3 -3

-3

-3

-3-3-3-3

- 2-2

-2-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2 -2 -2-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2-2-2

-1

-1-1

-1 -1

-1-1

-1-1

-1

-1

-1

-1 -1

-1

-1

-1

-1

-1-1

0 0

0 0

A B C D

1

2

3

4

-6.6 -6.6

0 0

-2.9 -2.9

0 0

-6.6 -6.6

-6.6

0

3749

98131

98131

3749

99132

272363

272363

99132

99132

272363

272363

99132

3749

98131

98131

3749

363

4

3

2

1

A B C D



-219.6

82.0

82.0

-219.6 -219.6

82.0

82.0

-219.6

20.0

40.0

60.0

80.0

20.0

40.0

-20.

0

0.0

-40. 0

-140

.0

-60.

0

0.0

20.0

40.0

0.0

-40.

0

-20.0

-140.0-60.0

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

40.0

20.0

-20.

0

-20.

0

60.0 -40 .

0

20.0

-40.

0

60.0-8

0.0

-60 .

0

-60.0

-80.0

0.0

-160

.0

-140.0

-100.0

-100.0

-160.0

0.0

-20.

0

-20.

0

60.0

-40.

0 -40. 0

60.0

-60.0

-80.0

2 0.0

-60.

0

-80.0

0.0

-100.0

-160

.0

-140.0

-100.0

-16 0

.0

-140.0

0.0

20.0

60.0 -20 .

0

-20.

0

60.0

-40.0

-80.0

-60.

0

-40.0

-80.

0- 60.

080.040.0

80.0

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

0.5 0.5 3.0 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.53.0 3.00.5 0.50.5 0.5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

3.6

0.6

0.6

0.6

0.6

3.6

3.6

0.6

0.6

-122

.6

-122

.6

76.

3

76.

3 43.

6

Sr(b=0.6)

55.

4

55.

4

-35.

2

-35.

2

10.

5

5.7

5.7

Sr(b=3.6)

65.

6

65.

6

-53.

5

-53.

5

33.

1 6.3

6.3

Sr(b=0.6)

54.

3

54.

3 19.

7

-16.

3

-16.

3

5.7

5.7

Sr(b=3.6)

-191

.5

-191

.5

75.

8

75.

8 31.

5

Sr(b=0.6)

-104

.7

-104

.7

70.

1

70.

1 28.

7

Sr(b=0.6)

Opt. 4: Granicno

Uticaji u ploč i : max Mx= 82.0 / min Mx= -219.6 kNm/m



-259.1

100.0

100.0

-259.1 -259.1

95.9 100.095.9

95.9100.0 95.9

-259.1

20.0

40.0

0.0 0.0

60.0

80.0

80.0

80.0

60.0

40.0

20.0

0.0-20.0

-60.

0

-40. 0

-40.0

-60. 0

-80.0

-60. 0

-80.0

-40. 0

-60.0

-80.0

-120.0

-100.0

-180.0

- 120.0

-100.0

-180.0

-140.0 -120.0

-80.0

-20.0

0.020.0

40.0

40.0

20.00.0

-20.0

-40.0

-40. 0

-60.0

-80.0

-60.0

-100.0

-60. 0

-80.0-100.0

-40.0

-60.

0-100.0

-80.0

-180.0

-140.

0

-120

.0-180.0-120.0

-80.0

-20.0

0.020.0

40.0

60.0

80.0 80.0

80.0

60.0

40.0

20.00.0 0.0

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

0.5 0.5 3.0 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.53.0 3.00.5 0.50.5 0.5

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

3.6

0.6

0.6

0.6

0.6

3.6

3.6

0.6

0.6

-223.9

-223.9

95.0

95.0

37.2

Sr(

b=0.

5)

-136.4

-136.4

96.4

96.4

42.2

Sr(

b=0.

5)

-91.9

-91.9

89.5

89.5

35.0

6.8

6.8

Sr(

b=0.

5)

82.4

82.4

-48.9

-48.9

26.4

6.9

6.9

Sr(

b=3.

0)

86.1

86.1

-69.6

-69.6

24.8

6.8

6.8

Sr(

b=3.

0)

-145.1

-145.1

92.2

92.2

34.9

Sr(

b=0.

5)

Opt. 4: Granicno

Uticaji u ploč i : max My= 100.0 / min My= -259.1 kNm/m



-0.0

-0.0

-5.8

-0.0

-0.0-0.0

-5.8

-5.8

-0.0-0.0

-0.0

-5.8

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

0.500.50 3.00 0.500.500.50 0.500.50 0.503.00 3.000.50 0.500.50 0.50

0.60

0.60

0.60

0.60

0.60

0.60

3.60

0.60

0.60

0.60

0.60

3.60

3.60

0.60

0.60

Zp [m]/1000-5.8-5.0-4.0-3.0-2.0-1.00.0

Opt. 3: I+II

Uticaj i u ploč i: max Zp= 0.1 / min Zp= -5.8 m / 1000

Opt. 3: I+II

Deformisani model Izometrija



39.5(R3) 96.4(R3) 96.4(R3) 39.5(R3)

39.5(R3)96.4(R3) 96.4(R3)39.5(R3)

97.3(R3) 272.9(R3) 272.9(R3) 97.3(R3)

97.3(R3)272.9(R3)97.3(R3) 272.9(R3)

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

Opt. 1: Stalno (g)

Reakcije oslonaca

52.7(R3) 128.6(R3) 128.6(R3) 52.7(R3)

52.7(R3)128.6(R3) 128.6(R3)52.7(R3)

129.8(R3) 363.9(R3) 363.9(R3) 129.8(R3)

129.8(R3)363.9(R3)129.8(R3) 363.9(R3)

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

Opt. 2: Povremeno

Reakcije oslonaca



2. Dimenzionisati ploču prikazanu na skici, direktno oslonjenu na 4 centralna stuba i obodne armirano-betonske zidove debljine 20 cm. Svi ostali podaci su kao u Primeru 1.

U odnosu na rešenje iz prethodnog primera, jedina razlika je u tretiranju trake uz oslonačke zidove.

U Priručniku za primenu Pravilnika za beton i armirani beton, u delu koji se odnosi na tumačenje člana 219 Pravilnika, Tom 1, str. 611, definisan je statički tretman ovog dela ploče: »Ako se ploča po ivici oslanja linijski na zid ili podvlaku, tada se dimenzionisanje preseka za traku u krajnjem polju paralelnu oslonačkoj ivici sprovodi u odnosu na 75% momenta u polju, tj. na iznos 0.63×Mpx/Ly, odnosno 0.63×Mpy/Lx, slika 219/2«.

Imajući to u vidu, za traku širine 0.8×Lx, odnosno 0.8×Ly uz obodne zidove potrebna površina armature je:

a. duži pravac krajnja polja:

M0-1Z = 0.63×M0-1/Lx

= 0.63×432/5.0 = 54.4 kNm/m srednje polje:

M1-2Z = 0.63×M1-2/Lx

= 0.63×135/5.0 = 17.0 kNm/m Armatura je sračunata usvajajući približnu vrednost kraka unutrašnjih sila z ≈ 0.9×hy = 0.9×20.7 = 18.6 cm, a rezultati proračuna su prikazani u tabelarno.

m

cm30.7406.18104.54A

22Z

10,a =××

≈−

usvojeno: RØ12/15 (7.53 cm2/m)

.min,a

222Z

21,a Am

cm4.2m

cm28.2406.18

100.17A =<=××

≈−


A B C

4

D

3

2

1

Lx = 5.0

L y =

6.0

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0

A

Lx = 5.0

L y =

6.0

B C

4

D

3

2

1

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0

0.8×Lx0.8×Lx



b. kraći pravac krajnja polja:

M0-1Z = 0.63×M0-1/Ly

= 0.63×360/6.0 = 37.8 kNm/m srednje polje:

M1-2Z = 0.63×M1-2/Ly

= 0.63×112.5/6.0 = 11.8 kNm/m Armatura je sračunata usvajajući približnu vrednost kraka unutrašnjih sila z ≈ 0.9×hx = 0.9×18.5 = 16.7 cm, a rezultati proračuna su prikazani u tabelarno.

m

cm65.5407.16108.37A

22Z

10,a =××

≈−


.min,a

222Z

21,a Am

cm4.2m

cm77.1407.16

108.11A =<=××

≈−


Sav ostali proračun (trake preko stubova i srednje polje u oba pravca, provera probijanja) je u svemu ista kao u Primeru 1.

Konačno, valja napomenuti da naš važeći Pravilnik nije definisao način raspodele oslonačkih momenata Mo i momenata u polju Mp po širini nosača, na trake iznad stubova i trake u polju. Izloženi postupak se zasniva na, u trenutku donošenja Pravilnika, važećim nemačkim normama DIN 1045.

U nastavku su prikazani rezultati proračuna razmatrane ploče, proračunate pomoću dva rasprostranjena programska paketa domaćih autora, i to:

- programskim paketom SAN&DAN, metodom zamenjujućeg roštilja (štapasti model)

- programom Tower 6 Radimpex-a, metodom konačnih elemenata

U oba slučaja rezultati proračuna su prikazani u vidu:

- linija jednakih momenata savijanja (granični uticaji, kombinacija 1.6×G+1.8×P), datih posebno za donju (korak ∆Mu=10 kNm/m), a posebno za gornju zonu (korak ∆Mu=20 kNm/m), posebno za dva ortogonalna pravca X i Y

- linija jednakih ugiba (eksploatacioni uticaji, kombinacija G+P), sa korakom 1 mm

- reakcija oslonaca – sila u stubovima, posebno za stalno i povremeno opterećenje.

Kao i u primeru 1, mogu se uočiti određene razlike u rezultatima, ali i neke pravilnosti:

- kada bi se osrednjili momenti u polutrakama S1 i S2 preko stubova (u slučaju Tower-a i urađeno, str. 27 i 28), dobijaju se vrednosti koje dobro odgovaraju vrednostima sračunatim metodom zamenjujućih traka

- raspodela momenata u polju prilično odgovara približnom postupku (vrednosti momenata u polutrakama S1 i S2 su gotovo jednake, odnosno nešto veće od vrednosti odgovarajućih momenata u traci u polju)

- trake preko ivičnih stubova imaju slične uticaje kao i trake preko srednjih stubova (jedino bitno odstupanje je gornja zona sračunata u Tower-u)

A

Lx = 5.0

L y =

6.0

B C

4

D

3

2

1

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0

0.8×

L y0.

8×L y



XY

XY

** POS 200+ ** d=24cm Mx gornja zona (0,209,20kNm/m)

** POS 200+ ** d=24cm Mx donja zona (-70,0,10kNm/m)

-60

-60 -60

-60-6

0

-60 -60

-60-5

0

-50 -50

-50

-50

-40

-40-40

-40 -40

-40-40

-40

-40-40

-40-40

-30

-30

-30

-30

-30-30

-30

-30

-20

-20

-20

-20

-20

-20

-20

-20-20

-20

-20

-20-20

-20

-10

-10

-10

-10

-10

-10 -10

-10

-10

-10

-10

-10

-10

-10

-10

-10

-10-1

0

-10-10

-10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

00

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

A B C D

1

2

3

4

-70 -53 -70

-70 -53 -70

-70

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00

0

0

0

0

0

0 0

0

0

0

00

00

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

20

20

20

20

20

20

20

20

2020

20

20

20

20

20

20

20

20

20

2020

20

20

20

20

20

20

20

40

40

40

40

40

40

40

40

40

40

40

40

40

4 060

60

6060

60

6060

60

60

60

6080

80

8 0

80

80

80

80

80

A B C D

1

2

3

4

209 209

209 209

209



0000

000

00

00 0 0

0 00

0 0

00

0 00

0

000

0

00

00

0

0 00

202020

-20 -20

-20

-20-20-20

-20

-20

-20-20

-20

-10-10

-10

-10-10

-10

-10

0000

000

00

-50

-50

-50

-40

-40-40

-40

-40

-40-40

-40

-30

-30-30

-30

-30

-30 -30

-30

-30

A B C D

1

2

3

4

229

229

229

229

229

** POS 200+ ** d=24cm My gornja zona (0,229,20kNm/m)

** POS 200+ ** d=24cm My donja zona (-84,0,10kNm/m)

-80-80

-80

-70

-70-70

-70-70

-70

-70-70

-70

-70

-60

-60-60

-60

-60

-60

-60

-60

-60

-60

-50

-50

-50-50

-50

-50

-50

-50

-50

20 2020 20 20 20

20

20202020

20

20

2020

20 20 20 20

20

20202020

20

40

40 4040 40 40 40

40

404040

40

40

40 40 40 40 40 40

40

4040404040

60

60 60

60 60

60 60

6060

60 60

60 60

60 60

60

80

80 80

80

80

80

80

80 80

80

80

80

100 100 100 100

100 100 100 100

00 0 0

0 00

0 0

00

0 00

0

000

0

00

00

0

0 00

A B C D

1

2

3

4

-84

-84

-50

-50

-84

-84

-84

-30-30

-30

-20

-20-20

-20

-20

XY

XY



4

3

2

1

A B C D

** POS 200+ ** d=24cm Ugib (-4.5,0,1mm)

** POS 200+ Rg/p Tot=2025/2700 Max=267/355

-4-4

-4-4-4-4

-4-4

-4-4 -4

-4 -4

-4-4-4-4-4

-4

-4 -4-4

-3

-3

-3

-3

-3-3-3

-3-3

-3

-3

-3

-3 -3 -3 -3 -3

-3 -3-3 -3

-3-3

-3

-3

-3-3-3-3-3-3

-3

-3

-3

-2

-2

-2-2

-2

-2

- 2

-2-2

- 2

-2

-2-2

-2

-2

-2-2

-2

-2

-2

-2-2

- 2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2-2 -2

-2-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2-2

-1

-1

-1

-1

-1

-1 -1

-1 -1

-1-1

-1

-1

-1-1

-1

-1

-1

-1

-1

A B C D

1

2

3

4

-4.5

-2.8 -2.8

-4.5

-4.5

0

267355

267355

267355

267355

355

1520

14 19

1520

14 19



0.0 0.0

0.0 0.0

-0.0 -0.0

-0.0 -0.0

-0.0 -0.0

-0.0 -0.0

-0.0

-0.0 -0.0

-4.2

-4.2

-0.0

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

0.500.50 3.00 0.500.500.50 0.500.50 0.503.00 3.000.50 0.500.50 0.50

0.60

0.60

0.60

0.60

0.60

0.60

3.60

0.60

0.60

0.60

0.60

3.60

3.60

0.60

0.60

Zp [m]/1000-4.3-4.0-3.0-2.0-1.00.0

Opt. 3: I+II

Uticaji u ploči: max Zp= 0.0 / min Zp= -4.2 m / 1000 Opt. 3: I+II

Deformisani model Izometrija



266.9(R3) 266.9(R3)

266.9(R3)266.9(R3)

r2 = 15.2

r2 =

13.

9

r2 = 15.2

r2 =

13.

9 A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

3.0

1.8

4.8

0.6

0.6

3.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.50.53.0 0.50.5 0.50.50.50.51.52.5 2.51.5

Opt. 1: Stalno (g)

Reakcije oslonaca

355.8(R3) 355.8(R3)

355.8(R3)355.8(R3)

r2 = 20.3r2

= 1

8.6

r2 = 20.3

r2 =

18.

6 A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4 3.

01.

84.

80.

60.

63.

60.

60.

60.

60.

60.

60.

6

0.50.53.0 0.50.5 0.50.50.50.51.52.5 2.51.5

Opt. 2: Povremeno

Reakcije oslonaca



-209.8

-209.8 -209.866.2

66.2

66.2

66.2-209.8

0.0

10.0

0.0

20.0

20.0

3 0.0

30.040

.0

20.0

40.0

50.0 10

.0

10. 0 50

.0

0.0

0.0

-20.

0

30. 0

-20.060.0

-40.0

-60.

0

-40.

0

-60.

0

60.0

-80.0

-160

.0

-100.0

-80.

0

-160

.0

-100.0

40.0

-20.0 -20.

0

60.0

-40.

0

20.0

-40.0 60.0

-80.

0

-60.

0

-60.

0

-80.0

-160

.0

-100.0

30.0

-160

.0

-100.0

40.0

0.0

0.0

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

3.0

1.8

0.6

0.6

3.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.50.53.0 0.50.5 0.50.50.50.51.52.5 2.51.5

1.8

3.0

-181

.6

-181

.6

65.

7

65.

7

39.

1

Sr(b=1.2)

58.

5

58.

5

-29.

4

-29.

4

16.

8

Sr(b=3.6)

-96.

1

-96.

1

63.

0

63.

0

36.

4

Sr(b=0.6)

54.

2

54.

2

27.

0

-14.

2

-14.

2

Sr(b=1.8)

27.

7

Sr(b=3.0)

Opt. 4: Granicno

Uticaji u ploči: max Mx= 66.2 / min Mx= -209.8 kNm/m



82.9

82.982.9

82.9

0.0 10.0

20.0

30.0

0.0

40.050.0

60.0

70.0

80.0

0.0-20.0

-60.0

-40.0

-80.0

-60.0

-80.0

-100.0-160.0 -180.0

-100

.0

-180.0

-160.0

-120.0

10.0

20.0

30.0

30.0

40.0

40.0

0.0

-20.0

-40.0

-60.0

-80.0

-60.0

-80.0

-100

.0

-160.0

-140.0

-120.0

-100.0

-180.0 -160

.0

10.020.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

0.0 0.0

A

5.0

0

B

5.0

0

C

5.0

0

D

1

6.00

2

6.00

3

6.00

4

3.0

1.8

4.8

0.6

0.6

3.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.50.53.0 0.50.5 0.50.50.50.51.52.5 2.51.5

-214.0

-214.0

81.3

81.3

44.0

Sr(b

=1.0

) 81.8

81.8

-63.7

-63.7

32.0

Sr(b

=3.0

)

29.7

29.7

12.8

Sr(b

=2.5

)

64.8

64.8

-43.4

-43.4

31.6 Sr

(b=1

.5)

-141.6

-141.6

82.9

82.9

40.5

Sr(b

=0.5

)

Opt. 4: Granicno

Uticaji u ploči: max My= 82.9 / min My= -247.7 kNm/m



Napominje se da dobijene vrednosti statičkih uticaja veoma zavise od:

- odabrane veličine konačnog elementa (Tower) odnosno mreže štapova zamenjuju-ćeg roštilja (SAN) – što je mreža krupnija, ekstremne vrednosti momenata savijanja (krupno odštampane cifre preko stubova) su manje. U oba slučaja korišćena je mre-ža od 0.5 m u oba pravca, što predstavlja praktični minimum ispod koga ne treba ići. Takođe, u oba slučaja je izvršena redukcija oslonačkog momenta (čl. 172, 173 PBAB, predavanja)

- samog kvaliteta upotrebljenog, tj. raspoloživog konačnog elementa (broj čvorova, kvalitet interpolacije)

- odnosa krutosti na savijanje i torzione krutosti kod zamenjujućeg roštilja (na osnovu preporuka iz literature, usvojena torziona krutost jednaka krutosti na savijanje)

Imajući u vidu sve izneto, kao i:

- približni karakter i ograničen domen primene metode zamenjujućih traka

- priložene dijagrame uticaja dobijenih pomoću dva referentna programska paketa, kojima je proračunat veliki broj izvedenih objekata u zemlji i inostranstvu

vezano pre svega za armiranje traka uz ivične linijske oslonce, umesto preporuke definisane u pojašnjenju člana 219 PBAB, predlaže se da se podela na trake izvrši na sledeći način:

A

L y =

6.0

B C

4

D

3

2

1

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0

2.5 3.0

Lx = 5.0

1.01.5

0.5 0.5

PS22S1

P2

S22

0.5Lx

Z

1.51.0

0.5 0.5

P2

S22S1

S22

2.5

0.3Lx 0.4Lx 0.6Lx 0.5Lx0.3Lx0.4Lx

Z

A

L y =

6.0

B C

4

D

3

2

1

L y =

6.0

L y =

6.0

Lx = 5.0 Lx = 5.0Lx = 5.0

1.8

1.2

1.8

0.6

0.6

PS2 2

S 1P 2

S2 2P 2

S2 2S 1

S2 2Z

Z3.0

0.5L

y0.

3Ly

0.4L

y0.

6Ly

0.5L

y0.

3Ly

0.4L

y

1.8

1.2

1.8

0.6

0.6

3.0

Dakle, da se u delu krajnjih polja uz linijske oslonce formira, uz polutraku S2, traka P/2 (kao u srednjem polju, i pozitivni i negativni momenti savijanja), širine 0.3×Lx odnosno 0.3×Ly a preostali deo, širine 0.5×Lx odnosno 0.5×Ly armira samo u donjoj zoni, sračuna-tim momentima 0.63×Mpx/Ly, odnosno 0.63×Mpy/Lx. Ovakva raspodela momenata savijanja bolje odgovara numerički dobijenim vrednostima.

Documents

7 - Ploce Direktno Oslonjene Na Stubove