วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

1

6 การแกแบบจาลองเชงพลวตแบบอนฟนตฮอไรซอนแบบสโตแคสตกโดยการทา

ใหเปนลอกเสนตรง

บทน� เราศกษาการแกแบบจาลองเชงพลวตแบบอนฟนตฮอไรซอน (infinite horizon) โดยวธทาใหเปนลอกเสนตรง (log linearization) แบบจาลองท:เราศกษาในบทน�อยในกลมแบบจาลองวฎจกรธรกจ (business cycle model) สวนท: 6.1 และ 6.2 เราศกษาการแกแบบจาลองแบบอนฟนตฮอไรซอนดวยวธเชงสญลกษณและขอจากดของวธเชงสญลกษณ สวนท: 6.3 ทบทวนความรพ�นฐานท:จาเปนสาหรบการแกแบบจาลองดวยวธทาใหเปนลอกเสนตรง สวนท: 6.4 แสดงวธการแกแบบ จาลอง ดวยวธทาใหเปนลอกเสนตรง สวนท: 6.5 และ 6.6 ประยกตวธทาใหเปนลอกเสนตรงในการแกแบบจาลองทางการคลงและการเงน สวนสดทายของบทน� เราจะศกษาวธการเดาและจบคสมประสทธR (guess and coefficient matching)

6.1 การแกแบบจาลองอนฟนตฮอไรซอนดวยวธเชงสญลกษณ

สวนน�แสดงหลกการท:วไป (general principle) สาหรบแกปญหาอนฟนตฮอไรซอนดวยวธเชงสญลกษณจากตวอยางปญหาการบรโภคในแบบจาลองท:มฟงกชนการผลตเปนเสนตรงดงน�

∑∞

=+ 1,

)(max1 t

t

t

kccu

tt

β

ภายใตเง:อนไข ttt ckk −=+1 , )ln()( tt ccu = , 11 =k , 9.0=β

ปญหาน� จะคลายกบปญหาท:เราศกษาในสวนท: 5.2 เปาหมายของการแกแบบจาลองในบทน�การหาคาของตวแปรทกตวใหอยในรปตวแปร

เลอก (choice variable) ณ เวลา t ใหอยในรปตวแปรสถานะ 1(state variable) tk และหาสมการกาหนดพลวตตวแปรสถานะ สาหรบแบบจาลองดานบนตวแปรเลอกและตวแปรสถานะคอ tc และ

tk ตามลาดบ เหมอนท:ไดแสดงไปในสวนท: 5.2 เราสามารถเร:มกปญหาน�โดยหาของ 1c โดยจากสาม

สมการคอ 1. สมการออยเลอร: tt cc β=+1 2. ขอจากดทางทรพยากร: tt ccckk −−−−=+ ...2111

1 ตวแปรเลอกคอตวแปรท:ผบรโภคเลอกในเวลา t เพ:อทาใหเกดอรรถประโยชนสงสด ตวแปรสถานะคอตวแปรท:

สะทอนขอมลท:จาเปนสาหรบการตดสนในในเวลา t

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

2

3. เง:อนไขทราเวอซอรต (traversality condition) 0lim =∞→ t

tk .

ความหมายของเง:อนไขทราเวอรซอลตในแบบจาลองน� คอ ระดบสนคาทนในเวลาสดทาย ( ∞→t )จะตองมคาเปนศนย จากสามสมการน� เราสามารถหาคา 1c โดยการแทนสมการออยเลอรและขอจากดทางทรพยากรลงในเง:อนไขทราเวอซอรตดงน�

⇒+++−=−=== ∑=

∞→+

∞→∞→...)1()(lim0limlim 2

11

1

111 ββckckkkt

it

tt

tt

∑∞

=

−=⇒=−

⇒=0

1111

11 )1(1t

tkck

ckc β

ββ

เม:อเราได 1c ในรป 1k แลวเราสามารถหาคา 2k ในรป 1k และ 2c ในรป 2k ดงน�

111112 )1( kkkckk ββ =−−=−=

2112 )1()1( kkcc ββββ −=−==

2223 kckk β=−=

ในทานองเดยวกนเราสามารถพสจนไดวา

tt kc )1( β−=

tt kk β=+1 สาหรบ ...,3,2,1=t

ในปญหาอนฟนตฮอไรซอนความสมพนธของ tc กบ tk น�นไมข�นอยกบเวลา (time invariant) ซ: งเปนคณสมบตโดยท:วไป (common characterististic) ของคาตอบท:ไดจากแบบจาลองอนฟนตฮอรไรซอน สมการ tt kc )1( β−= แสดงความสมพนธของตวแปรเลอก (choice variable) tc กบตวแปรสถานะ (state variable) tc สวนสมการ tt kk β=+1 แสดงพลวตของตวแปรสถานะ (dynamics of state variables) tk จากสองสมการน� เราสามารถหาคา tc และ tk สาหรบทก t และสามารถ ซมเลทอนกรมเวลา tc และ tk ตามโปรแกรมดานลางน�

การแกแบบจาลองอนฟนตฮอไรซอนดวยวธเชงสญลกษณ

clear; b=0.9, k(1) = 1

for t=1:50

c(t) = (1-b)*k(t);

k(t+1) = b*k(t);

end

clf; plot(c, 'red'); plot(k, 'black');

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

3

ผลท#ไดจากโปรแกรม

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

6.1.1 รปแบบท-วไปของเง-อนไขทราเวอรซอลต

สาหรบแบบจาลองในสวน 6.1 เง:อนไขทราเวอรซอลตท:เราใชคอ 0lim =∞→ t

tk เง:อนไขน� เปนกรณ

พเศษ (special case) สาหรบแบบจาลองในสวน 6.1 เทาน�น รปแบบท:วไป (general case) ของเง:อนไขทราเวอซอลตคอ 0)(lim 1

/ =+∞→ tt

t

tkcuβ เง:อนไขน� มความหมายวาผบรโภคจะไมเหลอสนคา

ทนไวหลงจากท:เสยชวต ( 01 =+tk ) แลว สาหรบแบบจาลองท:ไมซบซอนมากนกเง:อนไข 0)(lim 1

/ =+∞→ tt

t

tkcuβ จะเทยบเทา

(equivalent) กบเง:อนไข *lim kk tt

=∞→

โดยท: *k คอระดบสนคาทนท:สภาวะคงตว (steady state)2

หรอเราอาจกลาวไดวาเง:อนไขทราเวอรซอลตเปนเง:อนไขท:ทาใหเกดสภาวะคงตวในระยะยาว เน:องจากแบบจาลองท:เราจะศกษาตอไปจะเปนแบบจาลองท:ไมซบซอนมากนก ดงน�นเพ:อความงายตอการเขาใจเราจะใชเง:อนไขทราเวอรซอลตในรป *lim kk t

t=

∞→

6.2 การแกแบบจาลองแบบสโตแคสตกอนฟนตฮอไรซอนดวยวธเชงสญลกษณ

แบบจาลองท:เราไดศกษาในบทท: 5 และสวนท: 6.1 เปนแบบจาลองแบบท:ไมมความไมแนนอนหรอนอนสโตแคสตก (non-stochastic) ท�งหมด ในสวนน� เราจะศกษาแบบจาลองท:มความไมแนนอนหรอแบบจาลองท:มลกษณะสโตแคสตก (stochastic model) โดยจะเร:มศกษาการแกแบบจาลองระบบเศรษฐกจเปดขนาดเลก (small open economy) ดานลางน�

∑∞

=+ 1

1,

)(max1 t

t

t

kccuE

tt

β

ภายใตเง:อนไข tttt cykrk −++=+ )1(1 , 2

2)( ttt cccu

γα −=

2 จะเหนไดวา *lim kk t

t=

∞→⇒ =+∞→ 1

/ )(lim tt

t

tkcuβ 0lim)( **/ =

∞→

t

tkcu β

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

4

1k =1, 2

1)1()0( ==== tt yprobyprob , 9.0=β , 1)1( =+ rβ

โดยท: [.]tE คอฟงกชนคาคาดหวง (expectation function) ภายใตขอมล ณ เวลา t และ tk คอปรมาณสนคาทน r คออตราดอกเบ�ยของโลกโดยกาหนดใหมคาคงท:โดยท: 1)1( =+ rβ หรอ

1/1 −= βr , ty คอระดบผลผลต (.)prob คอฟงกชนความนาจะเปน (probability function) จะเหนไดวาแบบจาลองน� มความไมแนนอนอนเกดจากความไมแนนอนของระดบผลผลต

แบบจาลองน� มลกษณะพเศษคอ มฟงกชนการผลตเปนเสนตรงและฟงกชนอรรถประโยชนเปนฟงกชนควอดดราตก (quadratic function) ลกษณะพเศษสองขอน�ทาใหสมการออยเลอรและขอจากดทรพยากรมลกษณะเปนสมการเสนตรง (linear equation) ลกษณะพเศษน�ทาใหเราสามารถแกปญหาน�ดวยวธการเชงสญลกษณได หากไมมคณสมบตพเศษน� เราจะไมสามารถแกแบบจาลองดวยวธการเชงสญลกษณได ตวแปรสถานะในแบบจาลองน� คอ tk และ ty ในการแกแบบจาลองน� เราตองหาคาของตวแปรเลอก tc ในรปของ tk และ ty เราสามารถหาคา tc ในรปของตวแปรสถานะ โดยการใชสมการออยเลอรรวมกบขอจากดทรพยากรและเง:อนไขทราเวอรซอลตดงน�

จากสมการของลากรานจดงตอไปน�

( )∑∞

=+

−−+++−=1

1

2 )1()2

(t

ttttttt

t

t kcykrccEL λγ

αβ

จากการหาคาอนพนธของ L เราจะไดเง:อนไขอนพนธอนดบหน:งดงน�

tt

t

cuc

Lλ=⇒=

∂∂

)(0 /

)1(0 1

1

rEk

Lttt

t

+=⇒=∂∂

++

λβλ

จากเง:อนไขอนพนธอนดบหน:ง เราสามารถจดรปเปนสมการออยเลอรดงน�

)]([)1()( 1

//

++= ttt cuErcu β ][)1( 1+−+=− ttt cErc γαβγα ][)1( 1+−+=− ttt cErc γαβγα

][ 1+−=− ttt cEc γαγα ][ 1++=− ttt cEc γαγα

ttt ccE =+ )( 1

เง:อนไขทราเวซอลตสาหรบปญหาน� ท:เวลา t = 1 คอ *

1 lim kkE tt

=∞→

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

5

จากขอจากดทรพยากร

1112 )1( cykrk −++=

2223 )1( cykrk −++=

จะไดวา

221113 ))1)((1( cycykrrk −+−+++= 22111

2

3 ])[1()1( cycyrkrk −+−+++=

2

221112

3

)1(1)1( r

cy

r

cyk

r

k

+

−+

+

−+=

+ ในทานองเดยวกน

∑=

+

+

−+=

+

t

ii

ii

t

t

r

cyk

r

k

1

11

)1()1(

สมการน�แสดงวามลคาปจจบนของสนทรพยในอนาคตจะเทากบมลคาในปจจบนของสนทรพยในปจจบนบวกกวาผลรวมของมลคาปจจบนของการออม ii cy − ท:จะเกดข�นในอนาคต

ลมตของสมการ

∑=

+

+

−+=

+

t

ii

ii

t

t

r

cyk

r

k

1

11

)1()1(

เม:อ t มคาเขาใกลอนนตคอ

∑=

∞→

+

∞→ +

−+=

+

t

ii

ii

tt

t

t r

cyk

r

k

1

1

1

)1(lim

)1(lim

คาคาดหวงของสมการน� เม:อ 1=t คอ

∑=

∞→

+

∞→ +

−+=

+

t

ii

ii

tt

t

t r

cyEk

r

kE

1

11

1

1)1(

lim)1(

lim

จากเง:อนไขทราเวอรซอลตจะไดวา

t

t

t r

kE

)1(lim 1

1 ++

∞→=

t

t

t r

kE

)1(

][lim 11

++

∞→0

)1(lim

*

=+

=∞→ tt r

k

ดงน�น

∑∞

= +

−+=

1

11)1(

0i

i

ii

r

cyEk

∑∑∞

=

∞

= ++=

+ 1

11

1

1)1()1( i

i

i

ii

i

r

yEk

r

cE

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

6

สมการน�แสดงวามลคาปจจบนของการบรโภคตลอดชวต ตองมคาเทากบมลคาปจจบนของทรพยสนรวมกบรายไดตลอดชวต เม:อแทนคา )1/(1 r+=β เราสามารถเปล:ยนรปสมการเปน

∑∑∞

=

∞

=

+=1

11

1

1

i

i

i

i

i

iyEkcE ββ ; )1/(1 r+=β

∑∑∞

=

∞

=

++=2

11

1

12i

i

i

iykc

βββ

ββ

ββ

β−

++=− 12

1

1

2

111 yk

c

2)1(

1111

ββ

ββ

+−+−

= ykc

ดงน�น

2)1(

1 ββ

ββ

+−+−

= ttt ykc และ tttt cykrk −++=+ )1(1

สาหรบทกคา t สมการสองสมการสดทายบอกถง tc ในรปตวแปรสถานะ tk และ ty และพลวตของ tk เราสามารถเขยนโปรแกรมเพ:อแสดงคาระดบการบรโภคไดดงน�

แบบจาลองแบบสโตแคสตกอนฟนตฮอไรซอน

clear; k(1) = 0; b = 0.9; r = 1/b-1;

y = grand(1000, 1, 'uin', 0,1);

for t=1:500

c(t) = (1-b)/b*k(t) + (1-b)*y(t) + b/2;

k(t+1) = (1+r)*k(t) + y(t) - c(t);

end

clf; plot(c);

ผลท#ไดจากโปรแกรม

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

7

จะสงเกตไดวากราฟของระดบการบรโภคท:ไดจะมลกษณะเปนการเดนสม (random walk) สอดคลองกบสมการออยเลอร )( 1+= ttt cEc โดยกราฟท:ไดน�จะมลกษณะเปล:ยนไปตามคาของ ty

ท:ถกสมไดจากโปรแกรมแตละคร� ง

6.3 ความรพ3นฐานสาหรบการแกปญหาอนฟนตฮอรไรซอนดวยวธทาใหเปนลอกเสนตรง

6.3.1 วธทาใหเปนลอกเสนตรง

เปนท:ทราบกนดในทางคณตศาสตร การแกปญหาระบบสมการท:มลกษณะไมเปนเสนตรงโดยตรงมความซบซอนและเปนไปไดยาก เทคนคถกใชอยางแพรหลายในการแกหาคาตอบของระบบสมการท:ไมเปนเสนตรงคอการเปล:ยนระบบสมการท:ไมเปนเสนตรงใหอยในรปเสนตรงโดยใชการประมาณของเทยเลอร (Taylor’s approximation) กอน

การประมาณของเทยเลอรทาไดโดยข�นตอนดงน� หากเรามสมการเร:มตนท:ไมเปนเสนตรง

)(xfy =

เม:อเราโทเทลดฟเฟอเรนชเอท (total differentiate) จะไดวา

dxxfdy )(/=

เม:อเราประมาณสมการน�รอบจด ),( 00 yx จะไดวา

xxfy ∆≈∆ )( 0

/

โดยท: 0yyy −≡∆ , 0xxx −≡∆ ในทางเศรษฐศาสตรนยมใชการประมาณแบบลอกเสนตรงเน:องจากการประมาณแบบน�จะทาใหไดความสมพนธระหวางอตราการเจรญเตบโตของตวแปรในแบบจาลองซ:งงายตอการทาความเขาใจในทางเศรษฐศาสตร การประมาณแบบแบบลอกเสนตรงทาไดดงน� จากสมการ

)(xfy =

เม:อทาใหเปนรปลอก

))(ln()ln( xfy =

โทเทลดฟเฟอเรนชเอท (total differentiate) จะได

))(ln()ln( xfdyd =

dxxf

xf

y

dy

)(

)(/

=

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

8

เม:อเราประมาณสมการน�รอบจด ),( 00 yx จะไดวา

)()(

)(0

0

0

/

0

0 xxxf

xf

y

yy−≈

−

0

0

0

00

/

0

0

)(

)(

x

xx

xf

xxf

y

yy −≈

−

xy

xxfx

xf

xxfy ˆ

)(ˆ

)(

)(ˆ

0

00

/

0

00

/

=≈

โดยท: 0

0ˆz

zzz

−= และความหมายของ z คอความเปล:ยนแปลงหรอระดบการเจรญโตของของ z

เม:อเทยบกบคา 0z เพ:อความงายแกการเขาใจเราจะใชสญลกษณ = แทนสญลกษณ ≈และสมมตวาความ

ผดพลาดจากการประมาณมคาเทากบศนย ดงน�น xxf

xxfy ˆ

)(

)(ˆ

0

00

/

≈ จะเปล:ยนเปน

xy

xxfy ˆ

)(ˆ

0

00

/

=

สมการขางตนน�สามารถขยายใหใชกบกรณของฟงกชน 2 ตวแปร: ),( zxfy = ไดดงน�

zy

zxfx

y

xzxfy xx ˆ

),(ˆ

),(ˆ

0

00

0

000 +=

จากสมการน� เราสามารถสรางกฎพ�นฐานของวธการทาใหเปนลอกเสนตรงได 4 กฎดงน� 1) กฎคาคงท:: 0ˆ =→= yy α

2) กฎการบวก: zsxsyzxy zxˆˆˆ ±=→±= ;

0

0

0

0 ,y

zs

y

xs zx ==

3) กฎการคณ: zxyxzy ˆˆˆ +=→= 4) กฎการยกกาลง: xyxy ˆˆ βα β =→=

โดยท: zyx ,, คอตวแปร α และ β คอคาคงท: ในทาใหเปนลอกเสนตรงเราจะใชกฎท�งส:ขอน� เปนหลกโดยลาดบการใชกฎจะเปนดงน� ใช

กฎการบวกกอนกฎการคณ และกฎการคณกอนกฎการยกกาลง หากเจอวงเลบใหทาส:งท:อยในวงเลบหลงสด

ตวอยางเชน หากเราตองการทาสมการ wzzxy /)(32 β+=+ ใหเปนรปลอกเสนตรงเราสามารถทาไดดงน�โดยเร:มจากดานซายกอนโดยให

2zxyL +=

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

9

กาหนดให xx ˆ][ ≡θ โดยท: [.]θ คอฟงกชนทาใหเปนลอกเสนตรง (log-linearizing function) จะไดวา

][][ 2zxyL +=θθ

][ˆˆ 2

0

2

00

0

0 zxL

xzy

L

yL θ+= ; จากกฎการบวก

)]()([ˆˆ 2

0

2

00

0

0 xzL

xzy

L

yL θθ ++= ; จากกฎการคณ

]ˆ2ˆ[ˆˆ

0

2

00

0

0 xzL

xzy

L

yL ++= ; จากกฎการยกกาลง

]ˆ2ˆ[ˆˆ2

000

2

00

2

000

0 xzxzy

xzy

xzy

yL +

++

+= ; 2

0000 xzyL +=

เม:อเราเปล:ยนดานซายของสมการใหอยในรปลอกเสนตรงเสรจแลว เราสามารถเปล:ยนดานขวาของสมการใหอยในรปลอกเสนตรงเชนเดยวกน โดยให

wzR /)(3 β+= ]/)[(]3[][ wzR βθθθ ++=

)()(ˆ 1−++= wzR θβθ

wz

zz

zR ˆˆˆˆ

00

0 −+

++

= ββ

ββ

wzz

zR ˆˆˆ

0

0 −+

=β

ดงน�นสมการ wzzxy /)(32 β+=+ จะถกเปล:ยนเปน

⇔= RL ˆˆ wzz

zxz

xzy

xzy

xzy

yˆˆ]ˆ2ˆ[ˆ

0

0

2

000

2

00

2

000

0 −+

=++

++ β

ตวอยางถดมาเราจะใชวธการทาใหเปนลอกเสนตรงในการแกปญหาระบบสมการตวอยางดานลางน�

222 ayx =+ 1=− yx

กาหนดใหท:จดเร:มตน 50 =a , 40 =x , 30 =y เราตองการคานวณวาหาก a มคาเพ:มข�น 1 เปอรเซนต )01.0ˆ( =a จะทาให x และ y มการเปล:ยนแปลงอยางไร เราสามารถทาระบบสมการใหเปนแบบลอกเสนตรงไดดงน�

aya

yx

a

xˆ2ˆ2ˆ2

2

0

2

0

2

0

2

0 =+ ⇔ ayx ˆˆ25

9ˆ

25

16=+

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

10

yy

yx ˆ

1ˆ

0

0

+= ⇔ yx ˆ

4

3ˆ =

เม:อแกสมการเสนตรงสองสมการสดทายเพ:อหาคา x และ y จะได

ax ˆ28

25ˆ = , ay ˆ

21

25ˆ =

ดงน�นเม:อ a มคาเพ:มข�น 1 เปอรเซนต x และ y จะมคาเปล:ยนไป 25/28 และ 25/21 เปอรเซนตตามลาดบ 6.3.2 การแยกสวนของจอรแดน นอกจากการทาใหเปนลอกเสนตรงแลว เคร:องสาคญท:จาเปนสาหรบการแกแบบจาลองแบบอนฟนตฮอไรซอนกคอการแยกสวนแมทรกซของจอรแดน (Jordan decomposition) จากวชาพชคณตเชงเสน (linear algebra) เราสามารถแยกสวนแมทรกซจตรส W ใดๆใหอยในรป

PQQW1−=

โดยท: Q และ P เปนแมทรกซจตรสและ P เปนแมทรกซทแยงมม (diagonal matrix) ตวอยางเชน ถา

=

43

21W

เราสามารถเขยน PQQW1−= ดงน�

−

−=

−

42.092.0

84.057.0

37.00

037.5

42.092.0

84.057.0

43

211

โดยท:

−=

42.092.0

84.057.0Q ,

=

37.00

037.5P

คาส:งไซแลบในการแยกสวนของจอรแดนทาไดตามตวอยางดานลางน�

การแยกสวนของจอรแดน

W=[1 2; 3 4];

[R P] = spec(W);

Q=inv(R);

M= Q^(-1)*P*Q;

Q

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

11

P

M

ผลท#ไดจากโปรแกรม

Q = 0.5742757 0.8369650

-0.9230523 0.4222292

P = 5.3722813 0

0 - 0.3722813

M = 1 2

3 4

เน:องจากการแยกสวนของจอรแดนมอาจมหลายคาตอบ (multiple solutions) โปรแกรมไซแลบเวอรชนท:ตางกนอาจจะใหผลการแยกสวนท:ตางกนออกไป 6.3.3 คาลมตของระบบสมการวเออาร

เม:อแบบจาลองถกแปลงใหอยในรปลอกเสนตรงแลว แบบจาลองจะสามารถเขยนใหอยในรปสมการวเออารดงน�

t1t WXX =+

โดยท: /

321 ]. ... [ Ntttt xxxx=tX คอเวกเตอรของตวแปรในแบบจาลอง และ W เปนแมทรกซคาคงท:ขนาด NN × และ N คอจานวนตวแปรในแบบจาลอง

ในสวนน� เราจะศกษาเง:อนไขท:ทาให 0lim =+∞→ ktk

X ซ: งเง:อนไขน�จะเปนเคร:องมอสาคญท:

เราจะใชในการแกแบบจาลองในสวนถดไป ในกรณท: 1=N จะไดวา [ ]tx1=tX และ w=W จะไดวา

tt XXk

k w=+

จะเหนไดวา ktk

+∞→Xlim หรอคาในระยะยาวคาของ X จะมคากตอเม:อ 01 =tx หรอ || w 1<

ในกรณท: N = 2 โดยท: /

21 ] [ tt xx=tX และ

=

2221

1211

ww

wwW

เราสามารถใชการแยกสวนของจอรแดนแยกสวน PQQW1−= โดยท: Q เปนแมทรกซจตรส

ขนาด 2x2 และ P เปนแมทรกซทแยงมมขนาด 2x2 ดงน�

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

12

=

2

1

0

0

p

pP

เม:อแทน PQQW1−= ในสมการ t1t WXX =+ จะไดวา

t

1

1t PQXQX−

+ =

จาก 1t2t ++ = WXX จะไดวา

t

21

t

11

12 QXPQPQXPQQQWXX−−−

++ === tt ในทานองเดยวกนจะไดวา

t

1

t QXPQXk

k

−+ =

=

=

−

+

+

2221

1211

2

1

2221

1211

2

11

2

1;

0

0

qq

qq

x

x

qq

qq

p

p

x

x

t

t

k

k

kt

ktQQ

+

+

=

−

+

+

tt

tt

k

k

kt

kt

xqxq

xqxq

p

p

x

x

222121

212111

2

11

2

1

0

0Q

+

+=

−

+

+

)(

)(

2221212

21211111

2

1

tt

k

tt

k

kt

kt

xqxqp

xqxqp

x

xQ

ดงน�น 0lim =+∞→ ktk

X กตอเม:อ 1|| <ip หรอ 0)( 2211 =+ titi xqxq สาหรบ i = 1 และ 2. ใน

ทานองเดยวกนจากกรณท:จานวนตวแปร N > 2 0lim =+∞→ ktk

X จะมคากตอเม:อ 1|| <ip หรอ

0)...( 2211 =+++ NtiNtiti xqxqxq สาหรบ i = 1, 2, … N

6.4 การแกปญหาอนฟนตฮอไรซอนโดยใชวธการทาใหเปนลอกเสนตรงและการซมเลท

แบบจาลอง

สวนน�จะแสดงตวอยางการใชวธทาใหเปนลอกเสนตรงเพ:อแกแบบจาลองตอไปน�

∑∞

=+ 1

1,

)(max1 t

t

t

kccuE

tt

β

ภายใตเง:อนไข ttttt ckfakdk −+−=+ )()1(1 ,

11 )1(1 ++ +−=− ttt aa εγ , αtt kkf =)( , )ln()( tt ccu =

9.0=β , 1=d , 66.0=α , 6.0=γ

1+tε มการกระจายแบบยนฟอรมในชวง [-0.01. 0.01] และเปนอสระตอกน (independent)

เพ:อความงายในเชงพชคณตในแบบจาลองน� เราสมมตใหอตราคาเส:อมราคามคาเทากบ 1 เหมอนในแบบจาลองในสวน 6.2 สมการท:หลกท:จะใชสาหรบการแกแบบจาลองน� คอ

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

13

สมการของออยเลอร: )]()([)( 1

/

1

/

1

/

+++= ttttt cukfaEcu β ขอจากดทรพยากร: ttttt ckfakdk −+−=+ )()1(1

11 )1(1 ++ +−=− ttt aa εγ

เง:อนไขทราเวอรซอลต: *

1 ][lim kkE tt

=∞>−

เราทาการแกแบบจาลองน�ตามข�นตอนดงน� 1. หาคาสภาวะคงตว (steady state) 2. เปล:ยนรปแบบจาลองใหอยในรปแบบลอกเสนตรงและจดรปตวแปรในเวลา t+1 ใหอยในรปตวแปรในเวลา t 3. แกหาตวแปรเลอกในรปตวแปรสถานะ และ 4. ซมมเลทแบบจาลอง 6.4.1 การหาสภาวะคงตว เน:องจากการทาแบบจาลองใหเปนลอกเสนตรงเราตองเลอกจดต�งตนกอน จดต�งตนท:เหมาะสมในกคอคาของตวแปรสภาวะคงตว เน:องจากในระยะยาวตวแปรตางๆจะเคล:อนไหวรอบๆคาท:สภาวะคงตว

เราจะหาคาคงตว (steady state value) ระดบเทคโนโลย ( *a ) และคาคงตวของระดบสนคา

ทน ( *k ) และคาคงตวของการบรโภค ( *

c ) จากสมการ

11 )1(1 ++ +−=− ttt aa εγ

เน:องจากท:สภาวะคงตวโดย tt aa =+1 = *a และ 01 =+tε จะไดวา

1)1(1 *** =⇒−=− aaa γ

จากสมการออยเลอร

)]()([)( 1

/

1

/

1

/

+++= ttttt cukfaEcu β

ท:สภาวะคงตว เราแทนคา *

1 ccc tt == + , 1*

1 ==+ aat และ *

1 kk t =+ ในสมการออยเลอรจะได

)()()( */*/*/cukfacu t β=

)(1 */ kfβ=

β1

)( */ =kf

)1/(1* )( ααβ −=k

จากสมการขอจากดทางทรพยากร เม:อแทนคาท:สภาวะคงตวจะได

******* )( kkcckfak −=⇒−=α

ดงน�นเราจะไดคาของตวแปรทสภาวะคงตวดงน�

***)1/(1** ,)(,1 kkcka −=== − αααβ

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

14

6.4.2 การเปล-ยนแบบจาลองใหอยในรปแบบลอกเสนตรง

หลงจากหาสภาวะคงตวแลว เราจะทาการเปล:ยนแบบจาลองใหอยในรปเสนตรง จากสมการออยเลอรเม:อแทนคาฟงกชนอรรถประโยชนและฟงกชนการผลตจะได

][1

1

1

11

+

−++=

t

tt

t

t c

kaE

c

ααβ

จากสมการน� เม:อทาใหเปนเสนตรงจะได

]ˆ)1(ˆˆ[ˆ111 +++ −++−=− ttttt kacEc α 3

]ˆ[)1(]ˆ[]ˆ[ˆ111 +++ −++−=− ttttttt kEaEcEc α

ในทานองเดยวกนเม:อเราทาขอจากดทางทรพยากร αtttt kakc =+ +1 ใหเปนเสนตรงจะได

ttitc kakscs ˆˆˆˆ1 α+=+ +

โดยท: ** / ycsc = และ ** / yksi = ความหมายของ cs และ is คอสดสวนการบรโภค (consumption share) และสดสวนลงทน (investment share) ในสภาวะคงตว

สาหรบสมการระดบเทคโนโลย เน:องจากสมการมลกษณะเปนเสนตรงอยแลว เราจงสามารถจดรปไดเปน

11 )1(1 ++ +−=− ttt aa εγ

เน:องจาก *a จะไดวา

1*

*

*

*

1 )(+

+ +−

=−

ttt

a

aa

a

aaεγ

11ˆˆ ++ += ttt aa εγ

สมการออยเลอรสมการขอจากดทรพยากรและสมการระดบเทคโนโลยท:ทาใหเปนเสนตรงแลวนามาเขยนรวมกน

เน:องจากเราตองการจดในรปสมการใหคลายเง:อนไขทราเวอรซอลต เราจงยาย ตวแปรและจดรป ]ˆ[ 1+tt cE , ]ˆ[ 1+tt kE และ ]ˆ[ 1+tt aE ไวทางดานซาย และตวแปรท:เหลอไวทางดานขวา จากสมการออยเลอรจะได

ttttttt caEkEcE ˆ]ˆ[]ˆ[)1(]ˆ[ 111 =−−+ +++ α

3 ในการทาฟงกชนความคาดหวงใหเปนเสนตรงเราจะใชกฎ ))(())(( xEfxfE = สาหรบฟงกชนเสนตรง

f .

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

15

จากสมการ

11ˆˆ ++ += ttt aa εγ

เม:อหาคา [.]tE ของสมการจะไดเปน

][]ˆ[]ˆ[ 11 ++ += tttttt EaEaE εγ

ttt aaE ˆ]ˆ[ 1 γ=+

จากสมการขอจากดทรพยากรเม:อจดรปจะไดวา

tcttti cskaks ˆˆˆˆ1 −+=+ α

เน:องจากคาของ 1+tk ถกกาหนดต .งแตชวงทายในเวลา t ดงน .น 11ˆ]ˆ[ ++ = ttt kkE แทนสมการน�

จะไดสมการ

tctttti cskakEs ˆˆˆ]ˆ[ 1 −+=+ α

6.4.3 การหาคาตวแปรเลอกในรปตวแปรสถานะ ในแบบจาลองน�ตวแปรเลอกคอ tc สวนตวแปรสถานะคอ tk และ ta ในสวนน� เราจะหาคา tc ในรปของ tk และ ta

เม:อเราเปล:ยนแบบจาลองใหอยในรปลอกเสนตรงแลวเราจะไดสมการดงน�

ttttttt caEkEcE ˆ]ˆ[]ˆ[)1(]ˆ[ 111 =−−+ +++ α

tttctti akcskEs ˆˆˆ]ˆ[ 1 ++−=+ α

ttt aaE ˆ]ˆ[ 1 γ=+ กาหนดให /]ˆˆˆ[ ttt akc=tX เราสามารถแสดงสมการ 3 สมการน� ในรปแมทรกซไดดงน�

t21tt1 XMXEM =+ ][

โดยท:

−−

=

00

100

111

1

is

M

α

และ

−

=

1

00

001

2

αγ

cs

M

จากสมการ t21tt1 XMXEM =+ ][ จะไดวา

t2

1

1tt XMM][XE−

+ =1

กาหนดให 2

1

1 MMW−= ดงน�น

ttt WX][XE =+1

ttt XW][WXE2

1 =+

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

16

tt1tt XW]X[EE2

2 ][ =++

จากฎการคาดหวงซ� า (law of iterated expectation) จะไดวา

][XE]X[EE ttt1tt 22 ][ +++ =

ttt XW][XE2

2 =+

ในทานองเดยวกนเราจะได

ttt XW][XEj

j =+

โดยใชการแยกสวนของจอรแดนเราสามารถเขยน PQQW1−= โดยท: Q เปนแมทรกซจตรส

และ P เปนแมทรกซทแยงมม จาก

ttt XW][XEj

j =+

ttt QXPQ][XEj

j

1−+ =

=

= −+

3

2

1

3

2

1

00

00

00

;

00

00

00

p

p

p

p

p

p

j

j

j

j PQXQ][XE t

1

tt

t

1

tt QXQ][XE

= −

∞>−+

∞>−j

j

j

jj

j

p

p

p

3

2

1

00

00

00

limlim

ในแบบจาลองปกตเราจะไดวา γ=3p และ 1 || 3 <p สาหรบคาของ || 1p และ || 2p โดยปกต จะมคาหน�งท�มากกวาหน�งและอกคาจะนอยกวาหน�ง เราจะศกษาในกรณ || 1p > 1 และ || 2p < 1 กอน ในกรณน�จะไดวา

0limlim 32 ==∞>−∞>−

j

j

j

jpp

และ

=+∞>−

][XE tt jjlim t

1QXQ

−

∞>−

000

000

00

lim

1

j

j

p

=+∞>−

][XE tt jjlim t

1QXQ

∞>−

−

000

000

00

lim

1

j

j

p

=+∞>−

][XE tt jjlim

∞>−

−

t

t

t

j

j

a

k

c

qqq

qqq

qqqp

ˆ

ˆ

ˆ

000

000

00

lim

333231

232221

1312111

1Q

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

17

=

+

+

+

∞>−

jt

jt

jt

j

a

k

c

ˆ

ˆ

ˆ

lim tE

++

∞>−

−

0

0

)ˆˆˆ(

lim

1312111 ttt

j

j

aqkqcqp1

Q

เง:อนไขทราเวอรซอลต *

1 ][lim kkE tt

=∞>−

จะสงผลให 0]ˆ[lim 1 =∞>− t

tkE ดงน�น

0)ˆˆˆ(lim 1312111 =++∞>−

ttt

j

jaqkqcqp

เน:องจาก 1|| 2 >p สมการดานบนน�จะเปนจรงไดกตอเม:อ

0ˆˆˆ131211 =++ ttt aqkqcq tatkt akc ˆˆˆ φφ +=⇒

โดยท: 1112 / qqk −=φ และ 1113 / qqa −=φ (ในกรณท: 1|| 2 >p และ 1|| 1 <p เราจะไดวา 2122 / qqk −=φ และ 2123 / qqa −=φ )

เม:อเราแทนคา =tc tatk ak ˆˆ φφ + ท:ไดน�ลงในขอจากดทางทรพยากรจะได

tcttti cskaks ˆˆˆˆ1 −+=+ α

t

i

as

t

i

kc

t as

sk

s

sk ˆ

1ˆˆ1

φφα −+

−=+

นอกจากการแทนคา 1ˆ+tk โดยการแทนคา tc ลงในขอจากดทางทรพยากรจะได เราสามารถหา 1

ˆ+tk

ไดจาก

tttttt awkwcwkEk ˆˆˆ]ˆ[ˆ23222111 ++== ++

โดยท: ijw คอคาของสมาชกในแถวท: i และหลกท: i ของ W เราสามารถสรปพลวตของแบบจาลองและพรอมท:จะซมเลท (simulate) แบบจาลองดวยสมการดงน�

=tc tatk ak ˆˆ φφ +

tttt awkwcwk ˆˆˆˆ2322211 ++=+

11ˆˆ ++ += ttt aa εγ

6.4.4 การซมมเลทแบบจาลอง

การซมมเลทแบบจาลองสองรปแบบท:นยมใชในการศกษาและวจยทางเศรษฐศาสตร คอ การซมเลทอมเพาสเรสพอนส (impulse response simulation) และ การซมเลทแบบมอนตคารโล (Monte Carlo simulation)

การซมเลทอมเพาสเรสพอนสใชเพ:อศกษาผลกระทบในเชงคณภาพของการเปล:ยนแปลง ของชอคภายนอก (exogenous shock) tε ตอตวแปรในแบบจาลอง ในการซมเลทอมเพาสเรส

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

18

พอนสจะสมมตวาในเวลา 1=t ระบบเศรษฐกจอยท:สภาวะคงตว และไดรบผลการจากชอค 1ε โดยท: 1ε มคาเทากบคาเบ:ยงเบนมาตรฐานของ tε และ tε = 0 สาหรบ 1>t การซมเลทแบบมอนตคารโลใชเพ:อศกษาผลกระทบในเชงปรมาณของ tε วาทาไดเกดความแปรปรวนของตวแปรตางๆในระบบเศรษฐกจมากหรอนอยเพยงใด ในการซมเลทแบบมอนตคารโลจะสมมตวาในเวลา 1=t ระบบเศรษฐกจอยท:สภาวะคงตว และไดรบผลการจาก tε โดยท: คา tε จะถกสมตามรปแบบการกระจายของ tε ท:ถกกาหนดในแบบจาลอง หลงจากทาการซมเลทแลวคาความแปรปรวนของตวแปรตางๆในแบบจาลองจะถกคานวณสาหรบวเคราะหผลกระทบของ tε ตอตวแปรตางในแบบจาลอง

การซมเลทอมเพาสเรสพอนสและการซมเลทแบบมอนตคารโล

clear; alpha = 0.66; beta = 0.9; gamma = 0.6;

kstar = (alpha*beta)^(1/(1-alpha));

cstar = kstar^alpha - kstar; ystar = kstar^alpha;

si = kstar/ystar; sc = cstar/ystar;

M1 = [1, 1-alpha,-1; 0, 0, 1; 0, si, 0];

M2 = [1, 0, 0; 0, 0, gamma; -sc, alpha,1];

W = inv(M1)*M2;

[R P] = spec(W); //This line and the next line is for Jordan Decomposition

Q = inv(R); //Now we will have Q and P such that Q-1PQ = W.

if abs(P(1,1)) > 1 then

phik = -Q(1,2)/Q(1,1);

phia = -Q(1,3)/Q(1,1);

else

phik = -Q(2,2)/Q(2,1);

phia = -Q(2,3)/Q(2,1);

end

//20 period Impulse response simulation

k(1) = 0; c(1) = 0;

a(1) = ((0.01+0.01)^2/12)^(1/2); //The RHS is the S.D of the shocks

for t=1:20

c(t) = phik*k(t) + phia*a(t);

k(t+1) = W(2,1)*c(t) + W(2,2)*k(t) + W(2,3)*a(t);

a(t+1) = gamma*a(t) + 0;

end

clf();

plot(c(1:20),'red');

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

19

//Monte Carlo simulation;

k(1) = 0; c(1) = 0; a(1) = 0;

for t=1:5000

c(t) = phik*k(t) + phia*a(t);

k(t+1) = (a(t) + alpha*k(t) - sc*c(t))/si;

a(t+1) = gamma*a(t) + grand(1,1,’unf’,-0.01,0.01);

end

clf;

plot(c);

disp(“sd of c =”); disp(stdev(c));

ผลท#ไดจากโปรแกรม

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

sd of c = 0.014

กราฟรปแรกแสดงอมเพาสเรสพอนสของการบรโภคตอชอค tε จะเหนวาระดบการบรโภค

จะเพ:มข�นสาหรบ 2,1=t และคอยๆลดลงกลบสคาในสภาวะคงตว กราฟรปท:สองความผนผวนของการบรโภคอนเปนผลมาจาก tε ซ: งไดมาจากการซมเลทแบบมอนตคารโล จากการคานวณของโปรแกรมพบวาคาเบ:ยงเบนมาตรฐานของระดบการบรโภคเม:อเทยบกบคาระดบการบรโภคในภาวะคงตวมคาประมาณ 1.4 เปอรเซนต

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

20

6.5 การซมเลทแบบจาลองเพ-อศกษาผลกระทบของนโยบายการคลง

สวนน�จะแสดงตวอยางการทาใหเปนลอกเชงเสนเพ:อแกแบบจาลองสาหรบศกษาผลกระทบของการใชจายรฐบาลและนโยบายการคลงตอผลผลตและการบรโภคดงตอไปน�

∑∞

=+ 1

1,

)(max1 t

t

t

kccuE

tt

β

ภายใตเง:อนไข

tttt ygic =++ , ttt ikdk +−=+ )1(1 , 11ˆˆ ++ += ttt gg εγ

),ln()( tt ccu = αtttt kkfy == )( ,

*

*

ˆg

ggg t

t

−= , ** 1.0 yg = , 1+tε ~ )02.0,0(N

9.0=β , 1.0=d , 66.0=α , 65.0=γ

ในแบบจาลองน� ti คอการลงทน (investment) ของผบรโภค tg คอคาใชจายของรฐบาล (government spending) ty คอผลผลตรวมของประเทศ *g และ *y คอคาของ g และ y ท:สภาวะคงตว tε เปนชอคท:เกดจากการใชจายของรฐบาล 6.5.1 การหาสภาวะคงตว

โดยวธของลากรานจเราสามารถแสดงไดวาสมการออยเลอรของปญหาน� คอ

))(1)((()( 1

/

1

//dkfcuEcu tttt −+= ++β

ท:สภาวะคงตวสมการออยเลอรคอ

))(1)((()( */*/*/dkfcuEcu t −+= β

เม:อแกสมการจะได

1

1

* )1

( −+−= α

αβββ d

k

จากสมการการสะสมทนในสภาวะคงตว

***

1 )1()1( ikdkikdk ttt +−=⇒+−=+**

dki =⇒

จากขอจากดทรพยากรท:สภาวะคงตว

tttt ygic =++ ⇒ **** ygic =++

แทนคา **dki = , ** 1.0 yg = และ α** ky = จะได

αα **** 1.0 kkdkc =++ αα *** 9.0 dkkc −=

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

21

ดงน�นเราจะไดวาคาของตวแปรตางท:สภาวะคงตวดงน�

*******1

1

* 9.0,,,)1

( dkkckydkid

k −===+−

= − ααα

αβββ

6.5.2 การเปล-ยนแบบจาลองใหอยในรปแบบลอกเสนตรง

เม:อเราเปล:ยนสมการขอจากดทรพยากรใหอยในรปลอกเสนตรงจะได

ttgtitc ygsiscs ˆˆˆˆ =++

โดยท: *

*

y

csc ≡ ,

*

*

y

isi ≡ , 1.0

*

*

=≡y

gsg

จากฟงกชนการผลต และสมการการสะสมทนจะไดวา

tt ky ˆˆ α=

t

t

t kdd

ki ˆ)

1-1(

ˆˆ 1 += +

เม:อแทนสองสมการน�ลงไปในขอจากดทรพยากรจะได

ttgt

t

itc kgskdd

kscs ˆˆ)ˆ)

1-1(

ˆ(ˆ 1 α=+++ + (1)

จากสมการออยเลอรและแทน β/1)-)(1( */ =+ dkf จะได

1

*/

1ˆ)()1(ˆ)ˆ( ++ −+= tttt kkfccE αβ (2)

6.5.3 การหาคาตวแปรเลอกในรปตวแปรสถานะ ในแบบจาลองน�ตวแปรเลอกคอ tc สวนตวแปรสถานะคอ tk และ tg ดงน�นเราจะหา tc ในรป tk และ tg เม:อรวมสมการ (1), (2) และสมการ 11

ˆˆ ++ += ttt gg εγ และจดรปจะไดวา

tgttitctt

i gskkd

scskEd

sˆˆˆ)

11(ˆ]ˆ[ 1 −+−−−=+ α

ttttt ckEkfcE ˆ]ˆ[)()1(]ˆ[ 1

*/

1 =−− ++ αβ ttt ggE ˆ]ˆ[ 1 γ=+

กาหนดให /]ˆ ˆ ˆ[ ttt gkc=tX ระบบสมการดานบนสามารถเขยนเปน

t21t1 XMXM =+ ][tE

โดยท:

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

22

−−=

100

0)()1(1

0/0*/

kf

dsi

αβ1M ,

−+−−−

=

γ

α

00

001

)1

1(

2

gic sd

ss

M

กาหนดให 2

1

1 MMW−= โดยการแยกสวนของจอรแดนเราสามารถเขยน PQQW

1−= โดยท: ในทานองเดยวกนกบแบบจาลองในสวน 6.4 จากเง:อนไขทราเวอรซอลต เราจะไดคา

111312 /)ˆˆ(ˆ qgqkqc ttt +−= ในกรณท: 1|| 1 >p

212322 /)ˆˆ(ˆ qgqkqc ttt +−= ในกรณท: 1|| 2 >p

โดยท: ijq คอคาของตวเลขในหลกท: i และแถวท: j ของแมทรกซ Q และ ip คอคาของตวเลขในหลกท: i และแถวท: i ของแมทรกซ P โปรแกรมดานลางแสดงอมเพาสเรสพอนสฟงกชนและการซมเลทแบบมอนต คารโล

ผลกระทบของนโยบายการคลงตอการบรโภคและผลผลต

clear; beta=0.9; alpha = 0.66; sg = 0.1; d = 0.1; gamma=0.65;

kstar = ((1+d*beta-beta)/(alpha*beta))^(1/(-1+alpha));

ystar = kstar^alpha;

istar = d*kstar;

si = istar/ystar;

sc = 1 - si - sg;

fpkstar = alpha*kstar^(alpha-1);

M1 = [ 0 si/d 0; 1 -beta*(alpha-1)*fpkstar 0; 0 0 1];

M2 = [ -sc -si*(1-1/d)+alpha -sg;1 0 0;0 0 gamma ];

W = inv(M1)*M2;

[R, P] = spec(W);

Q = inv(R);

if abs(P(1,1)) > 1 then

phik = -Q(1,2)/Q(1,1);

phig = -Q(1,3)/Q(1,1);

else

phik = -Q(2,2)/Q(2,1);

phig = -Q(2,3)/Q(2,1);

end

g(1) =0.02^0.5;

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

23

k(1) = 0;

for t=1:100

c(t) = phik*k(t) + phig*g(t);

y(t) = alpha*k(t);

k(t+1) = W(2,1)*c(t) + W(2,2)*k(t) + W(2,3)*g(t);

g(t+1) = 0.65*g(t) + 0;

end

clf;

plot(c, 'black');

plot(k, 'blue');

//Monte Carlo Simulation

eg = grand(5001,1,'nor',0,0.02);

k(1) = 0;

g(1) = eg(1);

for t=1:5000

c(t) = phik*k(t) + phig*g(t);

y(t) = alpha*k(t);

k(t+1) = W(2,1)*c(t) + W(2,2)*k(t) + W(2,3)*g(t);

g(t+1) = 0.65*g(t) + eg(t+1);

end

disp(“sd of y = ”); disp(stdev(y));

disp(“sd of c = ”); disp(stdev(c));

ผลท#ไดจากโปรแกรม

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

-5.0e-003

-4.5e-003

-4.0e-003

-3.5e-003

-3.0e-003

-2.5e-003

-2.0e-003

-1.5e-003

-1.0e-003

-5.0e-004

0.0e+000

sd of y = 0.0018716

sd of c = 0.0033785

วธเชงตวเลขสาหรบนกเศรษฐศาสตร ธนะพงษ โพธปต

24

จากกราฟอมเพาสเรสพอนสของการบรโภคและผลผลตท:ไดจากโปรแกรม กราฟของการบรโภคคอกราฟเสนท:อยดานลาง จะเหนวาการบรโภคจะลดลงทนทเม:อทการเพ:มของการใชจายของรฐบาล เน:องจากในแบบจาลองน�การใชจายของรฐบาลท:มากข�น จะนามาซ: งการเกบภาษท:เพ:มมากข�นน�นเอง กราฟเสนดานบนคอกราฟของผลผลตซ:งจะเร:มลดลงในเวลา 2=t เม:อเวลาผานไปผลจากการเพ:มของการใชจายของรฐบาลจะคอยๆหายไปและระดบการบรโภคและระดบผลผลตจะกลบสคาในสภาวะคงตวในท:สด ผลท:ไดจากการซมเลทแบบมอนตคารโล พบวาความผนผวนของการใชจายของรฐบาลสงผลใหเกดความแปรปรวนในระดบการบรโภคและการผลตประมาณ 0.2 และ 0.3 เปอรเซนตตามลาดบ

6.6 ผลของการเพ-มอตราการเตบโตของปรมาณเงนในแบบจาลองท-มเงน

สวนน�จะแสดงตวอยางการซมเลทเพ:อศกษาการเพ:มข�นของอตราการเตบโตของปรมาณเงน (growth of money supply) ตอการบรโภคและอตราเงนเฟอในแบบจาลองเงนสดสาหรบใชจายลวงหนา (cash in advance model) ในแบบจาลองน�ผบรโภคมสนทรพยอยสองชนดคอ เงนสด และสนคาทน โดยสนคาจะใหผลตอบแทนจากการผลต แตเงนสดจะใหผลตอบแทนเปนศนย อยางไรกตามผบรโภคจะตองถอเงนสดไวเพ:อการจบจายใชสอยและซ�อสนคา การมเงนในแบบจาลองน�ทาใหแบบจาลองซบซอนกวาแบบจาลองท:ผานๆมา เน:องจากในแบบจาลองน� มระดบราคา แบบจาลองท:จะใชเปนดงน�

∑∞

=+ 1

1,,

),(max1 t

tt

t

mkchcuE

ttt

β

ภายใตเง:อนไข

t

tt

t

tttt

t

tt

p

MG

p

mckfkd

p

mk 11

1

)1()()1( −−

+

−++−+−=+

11 )1( −− −+= ttttt MGmcp

ttt MGM 11 ++ = ;ˆˆ

111 +++ += ttt GG εγ )1.0,0(~1 Nt+ε αttt khkf =),( , )ln()( tt ccu =

66.0=α , 9.0=β , 1.1* =G

โดยท: tp คอระดบราคา tm คอเงนท:ผบรโภคถอไวเพ:อการบรโภค tM คอปรมาณเงน (money supply) ในดลยภาพ

tt Mm = สมการ