49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

7/22/2019 49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

1/324

Z IRKza prijemni ispit na Vojnoj akademiji

ZADATAKA IZ MATEMATIKE

\URI[I] DU[AN BRKI] NADA


2/324

MINISTARSTVO ODBRANE

UPRAVA ZA [KOLSTVO

SEKTOR ZA QUDSKE RESURSE

VOJNA AKADEMIJA


3/324

JEZI^KI REDAKTOR

Gordana Bawac, profesor

TEHNI^KI UREDNIK

@eqko Hr~ek, potpukovnik

AUTORI

Du{an \uri{i}, profesor

Nada Brki}, profesor

RECENZENTI

van. prof. dr Nikola Toma{evi}

mr Ne|eqko Jankovi}

UREDNIK

mr Slavi{a Savi}, pukovnik, dipl.in`.


4/324

Beograd, 2005.

DU[AN \URI[I] NADA BRKI]

IZ MATEMATIKEZA PRIJEMNI ISPIT NA

VOJNOJ AKADEMIJI

ZBIRKA ZADATAKA


5/324


6/324

5

[email protected]

Predgovor.......................................................................................................11

Gr~ki alfabet...............................................................................................12Prvi deo

Teorijski podsetnik iz elementarne matematike

1. Logika i skupovi. Relacije i funkcije................................................151.1. Iskazi i logi~ke operacije ............................................................15

1.2. Skupovi................................................................................................161.3. Relacije ...............................................................................................171.4. Funkcije .............................................................................................18

2. Skupovi brojeva. Proporcionalnost ................................................. 21 2.1. Realni brojevi ....................................................................................21 2.2. Kompleksni brojevi ..........................................................................25 2.3. Proporcionalnost ............................................................................273. Polinomi. Racionalni algebarski izrazi ........................................ 29 3.1. Polinomi.............................................................................................29

3.2. Racionalni algebarski izrazi....................................................... 324. Linearne jedna~ine i sistemi linearnih jedna~ina. Linearne nejedna~ine ................................................................................................33 4.1. Linearna jedna~ina ......................................................................... 33 4.2. Sistemi linearnih jedna~ina .........................................................33 4.3. Linearne nejedna~ine .......................................................................355. Kvadratne jedna~ine i nejedna~ine ......................................................36 5.1. Kvadratne jedna~ine..........................................................................36 5.2. Kvadratne nejedna~ine .....................................................................386. Linearna i kvadratna funkcija.............................................................40

6.1. Linearna funkcija ............................................................................40 6.2. Kvadratna funkcija........................................................................... 417. Eksponencijalna funkcija. Eksponencijalne jedna~ine i nejedna~ine..............................................................................................45 7.1. Eksponencijalna funkcija ..............................................................45 7.2. Eksponencijalne jedna~ine.............................................................. 45 7.3. Eksponencijalne nejedna~ine .........................................................468. Logaritam. Logaritamska funkcija. Logaritamske jedna~ine i nejedna~ine..............................................................................................46


7/324

6

8.1. Logaritam ............................................................................................46 8.2. Logaritamska funkcija ....................................................................48 8.3. Logaritamske jedna~ine ...................................................................48

8.4. Logaritamske nejedna~ine ...............................................................499. Osnovni pojmovi u trigonometriji i osnovni trigonometrijski identiteti ..................................................................................................50 9.1. Ugao.......................................................................................................50 9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla .............................................52 9.3. Trigonometrijske funkcije o{trog ugla.....................................54

9.4. Definicija trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla..559.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla na funkcije o{trog ugla ..................................................................579.6. Osnovni trigonometrijski identiteti ........................................59

9.7. Adicione formule ............................................................................599.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod ............................................................................................619.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ....................................................................................................619.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija......................619.11. Inverzne trigonometrijske funkcije ........................................64

10. Trigonometrijske jedna~ine i nejedna~ine ......................................68 10.1. Osnovne trigonometrijske jedna~ine..........................................68

10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine .....................................6911. Primena trigonometrije u planimetriji i stereometriji...........77 11.1. Povr{ina trougla ...........................................................................77 11.2. Sinusna i kosinusna teorema ........................................................77 11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja .............................77 11.4. Primena trigonometrije u stereometriji .................................7912. Vektori. Podudarnost. Homotetija i sli~nost ...............................80 12.1.Vektori ...............................................................................................80 12.2. Podudarnost ......................................................................................81 12.3. Homotetija i sli~nost....................................................................8413. Geometrija trougla, ~etvorougla i mnogougla. Krug......................85 13.1. Trougao...............................................................................................85 13.2. ^etvorougao ......................................................................................88 13.3. Mnogougao..........................................................................................90 13.4. Krug.....................................................................................................9114. Poliedri...................................................................................................94 14.1. Prizma................................................................................................94 14.2. Piramida ...........................................................................................95 14.3. Zarubqena piramida .......................................................................97


8/324

7

15. Obrtna tela..............................................................................................98 15.1. Vaqak..................................................................................................98 15.2. Kupa..................................................................................................... 99

15.3. Zarubqena kupa ..............................................................................101 15.4. Sfera i lopta .................................................................................10216. Analiti~ka geometrija u ravni.........................................................104 16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela du`i u datom odnosu ........104 Povr{ina trougla .........................................................................104 16.2. Prava u ravni..................................................................................104 16.3. Kru`nica (kru`na linija, krug) ................................................106 16.4. Elipsa...............................................................................................107 16.5. Hiperbola........................................................................................109 16.6. Parabola..........................................................................................111

17. Binomni obrazac. Elementi kombinatorike .................................113 17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac .............................113 17.2. Elementi kombinatorike ............................................................11418. Realni nizovi. Aritmeti~ka i geometrijska progresija.............117 18.1. Realni nizovi .................................................................................117 18.2. Aritmeti~ka progresija ..............................................................118 18.3. Geometrijska progresija............................................................... 11919. Grani~na vrednost i neprekidnost funkcije.................................12120. Izvod funkcije i wegova primena ....................................................123

20.1. Izvod i pravila diferencirawa ...............................................123 20.2. Tabli~ni izvodi.............................................................................125 20.3. Primena izvoda ..............................................................................126

Drugi deoRe{eni zadaci sa prijemnih ispita iz matematike

1. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1311. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 132

2. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1372. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1383. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1453. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1464. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1534. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1545. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1615. grupa 2000. god. (re{ewa) ...................................................................... 1626. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................168


9/324

8

6. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1697. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1787. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................179

8. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1858. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................1869. grupa 2000. god. (tekst zadataka)..........................................................1929. grupa 2000. god. (re{ewa) ......................................................................19310. grupa 2000. god. (tekst zadataka) ........................................................20310. grupa 2000. god. (re{ewa) .................................................................... 2041. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2101. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2112. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2182. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................219

3. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2253. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2264. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2334. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................2345. grupa 2001. god. (tekst zadataka)..........................................................2435. grupa 2001. god. (re{ewa) ......................................................................244

Tre}i deoZadaci sa prijemnih ispita iz matematike

(sa kona~nim re{ewima i uputstvima)

1. grupa 1997. god. ........................................................................................2532. grupa 1997. god. ........................................................................................2553. grupa 1997. god. ........................................................................................2574. grupa 1997. god. ........................................................................................2595. grupa1997. god. ........................................................................................2616. grupa 1997. god..........................................................................................2637. grupa 1997. god. ........................................................................................265

1. grupa 1998. god..........................................................................................2672. grupa 1988. god..........................................................................................2693. grupa 1998. god..........................................................................................2714. grupa 1998. god..........................................................................................2731. grupa 1999. god..........................................................................................2752. grupa 1999. god..........................................................................................2773. grupa 1999. god..........................................................................................2794. grupa 1999. god..........................................................................................2811. grupa 2002. god..........................................................................................283


10/324

9

2. grupa 2002. god..........................................................................................2853. grupa 2002. god..........................................................................................2874. grupa 2002. god..........................................................................................289

5. grupa 2002. god..........................................................................................2916. grupa 2002. god..........................................................................................2937. grupa 2002. god .........................................................................................2958. grupa 2002. god..........................................................................................2979. grupa 2002. god .........................................................................................29910. grupa 2002. god........................................................................................3011. grupa 2003. god .........................................................................................3032. grupa 2003. god..........................................................................................3053. grupa 2003. god..........................................................................................3074. grupa 2003. god..........................................................................................309

5. grupa 2003. god..........................................................................................3116. grupa 2003. god..........................................................................................3137. grupa 2003. god..........................................................................................3158. grupa 2003. god..........................................................................................3179. grupa 2003. god .........................................................................................31910. grupa 2003. god .......................................................................................321

Literatura. ..................................................................................................323


11/324


12/324

11

PREDGOVOR

Osnovna namena ove zbirke je da se kandidati za Vojnu akademiju{to uspe{nije pripreme za prijemni ispit iz matematike.

Zbirka se sastoji iz tri dela. U prvom delu dat je teorijskipodsetnik iz elementarne matematike. Tu se moè na}i pregledosnovnih pojmova, stavova i formula, ~ije je poznavawe neophodno priizradi zadataka na prijemnom ispitu. Istovremeno, sadràj ovog

podsetnika ukazuje i na to kojim matemati~kim oblastima je pridatve}i zna~aj. U drugom delu nalazi se 150 kompletno re{enih zadataka,koji su raspore|eni u 15 grupa. Tre}i deo ~ine zadaci za koje su datakona~na re{ewa ili uputstva za wihovo re{avawe. Zadaci u drugom itre}em delu su sa prijemnih ispita za Vojnu akademiju koji su odràniu periodu od 1997. do 2003. godine. Zbirka obiluje velikim brojemslika, koje ilustruju odre|ene pojmove, postupke u re{avawu zadatakaili kona~na re{ewa.

Ovom prilikom se posebno zahvaqujemo recenzentima dr Ni-koli Toma{evi}u i mr Ne|eqku Jankovi}u, koji su detaqno pregledalitekst zbirke, ukazali na izvesne propuste i dali niz korisnih saveta.

Autori


13/324


14/324

Prvi deo

TEORIJSKI PODSETNIKIZELEMENTARNE MATEMATIKE


15/324


16/324

15

1. LOGIKA I SKUPOVI. RELACIJE I FUNKCIJE

1.1. Iskazi i logi~ke operacije

Iskazi su re~enice koje su ili ta~ne ili neta~ne.Ozna~avamo ih iskaznim slovima p,q,r ,... . Ako je iskaz p ta~an,

onda je wegova istinitosna vrednost ("te") i pi{emo ( ) ;p =istinitosna vrednost neta~nog iskaza q je ('' '') i pi{emo

( )q = .

Osnovne logi~ke operacije su: negacija ( ne), konjunkcija( i), disjunkcija( ili), implikacija( povla~i, implicira,ako...onda) i ekvivalencija ( ekvivalentno, ako i samo ako).Definicije logi~kih operacija date su slede}im istinitosnimtablicama:

p p

p q p q

p q p q

p q p q

p q p q

.

Polaze}i od iskaznih slova i primewuju}i kona~an broj putalogi~ke operacije, dobijaju se iskazne formule.

Tautologijaje iskazna formula koja je ta~na za sve vrednostiiskaznih slova koja u woj u~estvuju.

Simboli i zovu se univerzalni i egzistencijalni kvan-tifikator (kvantor). Zapis

( ) ( )x x


17/324

16

~itamo "za svaki xvaì ( )x ", a

( ) ( )x x

kao "postoji xza koji vaì ( )x ".

1.2. Skupovi

Skupove naj~e{}e ozna~avamo velikim slovima

, , ,..., , , ,... .A B C X Y Z Uobi~ajeni su slede}i zapisi u vezi sa skupovi-

ma:

x X element xpripada skupu ,X

x X element xne pripada skupu ,X

( ){ }X x x= Xje skup svih elemenata x za koje vaì ( ) ,x

prazan skup, tj. skup koji nema elemenata.

Dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente. Skup A je

podskup skupa B , u oznaci ,A B ako je svaki element skupa A

istovremeno i element skupa B . Vaì

.A B A B B A=

Za skupove A i B defini{u se unija ,A B presekA B irazlika \A B na slede}i na~in:

{ }

{ }

{ }

,

,

\ .

A B x x A x B

A B x x A x B

A B x x A x B

=

=

=

Ako je ,A B = onda za skupove A i B kaèmo da su disjunktni.

Partitivni skup skupa X je skup svih wegovih podskupova.

Ozna~ava se sa ( ).XP Ako se razmatraju samo podskupovi odre|enog

skupa X ,onda se X ~esto zove univerzalni skup. U tom slu~aju se za

skup ( )A XP defini{e wegov komplementsa

\ .c

A A X A= =


18/324

17

U op{tem slu~aju, skupove obi~no predstavqamo takozvanimVenovim dijagramima (sl. 1).

Ure|eni par ( ),a b dobijamo ako elemente dvo~lanog skupa

{ ,a b pore|amo u niz i pri tome preciziramo da je a prvi, a bdrugi element tog niza. Sli~no se formiraju ure|ene trojke,~etvorke ili, uop{te, n -torke.

Dekartov proizvodskupova A i ,B u oznaci ,A B defini{e

se sa:

( ){ }, .A B a b a A b B = Uop{te, Dekartov proizvod skupova

1 2, , ..., nA A A dat je sa

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ... .n n n nA A A a a a a A a A a A = 1.3. Relacije

Relacija sa jednog skupa u neki drugi skup je svaki podskup

Dekartovog proizvoda tih skupova. Dakle, je relacija sa skupa A

u skup B ako je .A B Ako je2,A A A = onda kaèmo da je

(binarna) relacija na .A Umesto ( ),a b pi{emo a b i

kaèmo da je element a u relaciji sa elementom .b

Neka je 2A . Tada za kaèmo da je:

( )R refleksivnaako ( )( ),a A a a

( )S simetri~naako ( )( ), ,a b A a b b a

( )A antisimetri~naako ( )( ), ,a b A a b b a a b =

( )T tranzitivnaako ( )( ), , .a b c A a b b c a c

X

cAA B

B

\A B

BB

A B

Sl.1


19/324

18

Za relaciju ka`emo da je relacija ekvivalencije ako jerefleksivna, simetri~na i tranzitivna (skra}eno: RST ). Ako je

relacija ekvivalencije na skupu A , onda se skup

{ }aC x A a x = zove klasa ekvivalencije elementa .a Svake dve klase ekvivalencijesu ili disjunktne ili se poklapaju. Skup svih klasa ekvivalencije

odre|enih nekom relacijom na skupu A zove se koli~ni~ki skupi

ozna~ava sa / .A

Relacija koja je refleksivna, antisimetri~na i tranzitivnazove se relacija poretka(skra}eno: RAST ).

1.4. Funkcije

Funkcija (preslikavawe) f sa skupa A u skup B , u oznaci

: ,f A B je takva relacija f A B kod koje je svaki element

skupa A u relaciji sa ta~no jednim elementom skupa B . Dakle,funkcija :f A B je okarakterisana slede}im svojstvima:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

, ,

, , , .

x A y B x y f

x A y z B x y f x z f y z

=

Skup A se zove domen (oblast definisanosti) funkcije f i ~esto

ga ozna~avamo sa fD . Skup B je kodomen funkcije f . Ako

( ),x y f , onda pi{emo ( )y f x= i x nazivamo originalom, a ywegovom slikom pri preslikavawu f .

Preslikavawe :f A B mo`emo smatrati ure|enom trojkom

( ), ,f A B pri ~emu je f pravilo tog preslikavawa koje se obi~nozadaje analti~ki (formulom), tabli~no ili grafi~ki.

Funkcije :f A B i :g C D su jednake ako imaju iste

domene, iste kodomene i isto pravilo preslikavawa,tj.

( ) ( ) ( ).f g A C B D x f x g x= = = =


20/324

19

Preslikavawe :f A B je 1 1 (injekcija) ako razli~itim

originalima odgovaraju razli~ite slike, tj.

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 ,

, .

f x x A x x f x f x

x x A f x f x x x

= =

Preslikavawe :f A B jena (surjekcija) ako svaki element

kodomena ima svoj original , tj.

( ) ( ) ( )( ) .f y B x A y f x =

Funkcija je bijekcijaako je i 1 1 i na.

Skup vrednosti funkcije :f A B je skup

( ){ } ( ).fR f x x A f A= =Identi~no preslikavawe skupa A je funkcija :Ai A A za

koju je

( ) ( ) .Ax A i x x =

Kompozicija (slo`ena funkcija) funkcija :f A B i

:g B C je funkcija h , u oznaci h g f= , takva da je

( ) ( )( ) ( )( )( ).x A g f x g f x =Inverzna funkcija funkcije :f A B je funkcija

1:f B A

(ako postoji) za koju je

1 Af f i

= i1

.Bf f i

=

Funkcija ima inverznu ako i samo ako je bijekcija..

Graf (grafik )funkcije :f A B je skup

( )( ){ }, .fG x f x x A=

Ako su A i B podskupovi skupa realnih brojeva R , onda za

funkciju :f A B ka`emo da je realna funkcija realne

promenqive. Za wu se defini{u pojmovi nadgrafa( fG ) i podgrafa

( fG ) (sl. 2):


21/324

20

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }

2

2

, ,

, .

f

f

G x y R y f x

G x y R y f x

= >

=

= =

, tada jedna~ina ima dva re{ewa, i pozitivno

re{ewe ozna~avamo sa n a . Drugo re{ewe je n a . Prema tome, u

ovom slu~aju va`i

xy =

0

0

1

1 y sgn x =


25/324

24

n nx a x a .= =

Za korenovawe vaè slede}e osobine:

( )

( )2 2 2

: :n n n n n n

m npn nm m mpnn m nm

n n

a b a b , a b a b ,

a a , a a , a a ,

x x , x x x R ,

= =

= = =

= =

( )0;a,b m,n, p N > .Stepenovawe racionalnim izloìocem uvodi se sa:

( )0m

n mna a n N , m Z , a= > .

Osnovne osobine stepenovawa su:

( )

( )

yx y x y x xy

x xx x x

x

a a a , a a ,

a aa b a b ,

b b

+ = =

= =

( )0;a,b x, y R>

Pribliàn broj (pribli`na vrednost) nekog ta~nog broja jebroj koji se od wega "neznatno" (malo, zanemarqivo) razlikuje. Ako

je *x pribli`na vrednost broja x, onda kaèmo da je x

aproksimiran brojem *x . Broj

( )* *x x x = naziva se apsolutna gre{kabroja

*x . Bilo koji nenegativan broj *

xA

koji nije mawi od apsolutne gre{ke broja *x , tj. za koji je


26/324


27/324

26

( )0 1i ,= imaginarna jedinica,

a Re z= realni deo kompleksnog broja z ,

b Im z= imaginarni deo kompleksnog broja z ,

bi ~isto imaginaran broj (za 0b ).

Sl. 5

Po{to su kompleksni brojevi definisani kao ure|eni paro-vi, to je jednakost kompleksnih brojeva data sa:

1 2 1 2 1 2z z Re z Re z Im z Im z= = = .

Za operacije nad kompleksnim brojevima1

z a bi= + i

2z c di= + va`i:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1

2 2 2 2

2

0 0

z z a c b d i,

z z a c b d i,

z z a bi c di ac bd ad bc i,

z a bi a bi c di ac bd bc ad i , c,d ,

z c di c di c di c d c d

+ = + + +

= +

= + + = + +

+ + + = = = +

+ + + +

Celobrojni stepeni imaginarne jedinice odre|eni su sa:

( )4 4 1 4 2 4 31 1k k k k i , i i, i , i i k Z .+ + += = = =

Za konjugovawe i moduo kompleksnih brojeva1

z i2

z va`i:

Kompleksne brojeve pred-stavqamo u kompleksnoj (Gausovoj)ravni (sl. 5).Konjugovano kompleksni brojbroja

z a bi= + je broj .z a bi= Moduo kompleksnog broja

z a bi= + je2 2

.z a b = = +

z a bi= +

z a bi=

z

z

a

b

b

0


28/324

27

( ) ( ) ( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2

21 12

2 2

111 2 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

0 ;

0

nn

z z z z , z z z z

z z , z , z z , z z zz z

zzz z , z z z z , , z ,

z z

z z z z z z .

= =

= = =

= = =

+ +

2.3. Proporcionalnost

Koli~nik realnih brojeva a i ( )0b b , tj. broj

: aa b ,

b=

zove se razmerabrojeva a i b .

Jednakost dveju razmera, tj. jednakost oblika

: :a b c d = ,zove se proporcija. Proporcija : :a b c d = ( )0a,b,c,d je ekviva-lentna svakoj od slede}ih jednakosti:

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

2 : :

3 : :

4 : : 0

5 : :

a d b c,

a c b d ,

b a d c,

ak bk c d k ,

ak b ck d .

=

=

=

=

=

Za brojeve1 2 1 2

0n n

a ,a ,...,a ,b ,b ,...,b defini{e se pro{irena

proporcija:

1 1 2 2: : :

n na b a b a b= = = .

Zapisujemo je i u obliku


29/324


30/324

29

(a) (b)

(v) (g)

3. POLINOMI I RACIONALNI ALGEBARSKI IZRAZI

3.1. Polinomi

Polinom (polinomna funkcija) stepena n je svaka funkcija

:nP R R takva da je

( )

( )

1

1 1 0

0 1 1 0 ; 0

n n

n n n

n n n

P x a x a x a x a ,

n N , a ,a ,...,a ,a R a .

= + + + +

Pri tome su:

1 1 0n n

a ,a ,...,a ,a

koeficijenti polinoma,

n

a najstariji (vode}i) koeficijent,

Sl. 6

0 x

ayx

= ( )0a >

0 x

ayx

=

( )0a

Pri re{avawu nejedna~ina koristimo se osnovnim svojstvima

relacija , , < i .> Tako, na primer, za relacije i vaì:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

a a,

a b b a a b,

a b b c a c,

a b a c b c,

a b c ac bc,

a b c ac bc,

ab a b a b ,

ab a b a b ,

aa b a b ,

b

a a b a b , a,b,c R .b

=

+ +

>

<

>

5. KVADRATNE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

5.1. Kvadratne jedna~ine

Osnovni oblik kvadratne jedna~ine po nepoznatoj xje

( )2 0 0ax bx c , a,b,c R, a .+ + =

Re{ewa jedna~ine dobijamo po formuli

2

1 2

4

2,

b b acx

a

=


38/324


39/324

38

Trinomna jedna~inaje jedna~ina oblika

( )2 0 0n nax bx c , a,b,c R, a , n N ,+ + =

i ona se smenom nt x= svodi na kvadratnu jedna~inu2

0at bt c .+ + =Za 2n= trinomna jedna~ina postaje bikvadratna jedna~ina

4 20ax bx c .+ + =

5.2. Kvadratne nejedna~ine

Osnovni oblici kvadratnih nejedna~ina su:

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c ,

ax bx c ,

ax bx c ,

ax bx c .

+ +

+ + >

+ +

+ + >

+ + < < i 0D> i ako su1

x i ( )2 1 2x x x< realni i

razli~iti koreni kvadratnog trinoma 2ax bx c+ + , tada va`i:

( )( )

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1

1 2

0 0

( 0 0) 0 0

ax bx c a x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

x , x x , .

+ +

+

Sli~no se re{avaju i ostali slu~ajevi kvadratnih nejedna~i-na. Slu~aj 0a< svodimo na slu~aj 0a> mno`ewem kvadratne neje-dna~ine sa 1 i vode}i ra~una da se pri tome mewa smer nejednako-sti. Ipak, kvadratnu jedna~inu je najjednostavnije re{avati skicira-wem odgovaraju}eg grafika kvadratne funkcije.


41/324

40

0k=

6. LINEARNA I KVADRATNA FUNKCIJA

6.1. Linearna funkcija

Op{ti oblik linearne funkcije je

( ) ( )y f x kx n, k ,n R .= = +

Domen funkcije je ( )fD R , ,= = + a skup wenih vrednosti

fR R= za 0k i {fR n= za 0k .=

Grafik svake linearne funkcije je prava (sl. 7).Broj k tg= je koeficijent pravcaprave tj. tangens ugla

koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x-ose. Veli~ina n jeodse~ak na y -osi, tj. ordinata prese~ne ta~ke prave sa y -osom.

Nula linearne funkcije jen

xk

= za 0k . Za 0k= i 0n

funkcija nema nula. Ako je 0k n= = , funkcija se svodi na 0y= i

wen grafik je x-osa.

Funkcija je striktno rastu}a za 0k> , striktno opadaju}a za0k< i konstantna za 0k .=

Nije svaka prava grafik neke linearne funkcije. Prave pa-

ralelne sa y -osom, tj. prave sa jedna~inom ( )x a a R= ne predstav-qaju grafik nijedne linearne funkcije

(a) (b)

(v) (g)Sl. 7

nk

n

0

0k

nkxy +=

n

k


42/324

41

6.2. Kvadratna funkcija

Op{ti oblik kvadratne funkcije je

( ) ( )2 0y f x ax bx c, a,b,c R, a .= = + + Domen funkcije je ( )fD , ,= + a skup wenih vrednosti

24

4f

ac bR ,

a

= +

za 0a> i

24

4f

ac bR ,

a

=

za 0a . funkcija je konveksna, opada za2

b, ,

a

raste za2

bx ,

a

+

i za

2

bx

a= ima minimum

24

4min

ac by

a

=

Teme parabole je wena najni`a ta~ka.

Ako je 0a< , funkcija je konkavna, raste za2b, ,a

opada za2

bx ,

a

+

i za

2

bx

a= ima maksimum

24

4max

ac by

a

=

Teme parabole je wena najvi{a ta~ka.

Ordinata prese~ne ta~ke parabole say -osom je ( )0y f c.= =

a

b

2

c

0

T 0a


43/324

42

Skicirawe grafika kvadratne funkcije omogu}uje jednosta-vno re{avawe odgovaraju}e kvadratnie nejedna~ine. Pri tome su odzna~aja samo broj realnih nula funkcije i znak koeficijenta .

Broj realnih nula kvadratne funkcije, tj. broj realnih re{e-wa jedna~ine 2 0ax bx c ,+ + = zavisi od znaka diskriminante

24D b ac.=

Ako je 0D ,> funkcija ima dve razli~ite realne nule i para-bola u dvema ta~kama se~e x-osu (sl. 9).

Sl. 9

U ovom slu~aju (pod pretpostavkom da je1 2

x x< ) va`i:

( )

( ) ( )

( )

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

0

0

0

0

ax bx c x , x x , ,

ax bx c x , x x , ,

ax bx c x x ,x ,

ax bx c x x , x ,

+ + + + + > +

+ +

+ + <

(za 0a> )

i

( )( ) ( )

( )

21 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

0

0

0

0

ax bx c x ,x x , ,

ax bx c x ,x x , ,

ax bx c x x , x ,

ax bx c x x , x .

+ + + + + < +

+ +

+ + >

(za 0a< )

0 2x1x

T

0a>

0 1x 2x

0a +

+ + =

+ + <

(za 0a> )

i

( )

( )

2

2

2

2

02

0

02 2

0

bax bx c x ,

a

ax bx c x ,

b bax bx c x , , ,

a aax bx c x , .

+ + =

+ + >

+ + < +

+ + +

(za 0a< )

Sl. 10

Ako je 0D< (sl. 11), kvadratna funkcija nema realnih nula iparabola se nalazi ili iznad (za 0a> ) ili ispod (za 0a< ) x-ose iva`i:

0

a

b

2

0a>

T

0

a

b

2

T

0a


45/324

44

( )

( )( )

( )

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c x , ,

ax bx c x , ,

ax bx c x ,

ax bx c x ,

+ + +

+ + > + + + <

+ +

(za 0a> )

i

( )

( )

( )( )

2

2

2

2

0

0

0

0

ax bx c x ,

ax bx c x ,

ax bx c x , ,

ax bx c x , .

+ + + + >

+ + < + + + +

(za 0a< )

Sl. 11

Kanonski oblikkvadratne funkcije je

( )( )2

y a x ,= +

pri ~emu je2

b

a = a

2

2

4

4

ac b

a

=

0

0a

T


46/324

45

7. EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA. EKSPONENCIJALNEJEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE7.1. Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika

( ) ( )0 1xy f x a , , a .= = >

Domen funkcije je ( )fD R , ,= = + a skup vrednosti

funkcije ( )0fR , .= +

Za 1a > funkcija je strogo rastu}a, a za 0 1a< < strogo

opadaju}a.Grafici eksponencijalnih funkcija dati su na slici (sl. 12).

Sl. 12

7.2. Eksponencijalne jedna~ine

Eksponencijalne jedna~ine su jedna~ine kod kojih se nepozna-ta nalazi u izloìocu (eksponentu) stepena.

Pri re{avawu eksponencijalnih jedna~ina koristimo se svoj-stvom injektivnosti eksponencijalne funkcije:

1 21 2

x xa a x x .= =

0

1

a

1

xa 1a >

0

1a

1

xa

0 1a<


47/324

46

Za date funkcije g i h , re{ewe eksponencijalne jedna~ine

( ) ( )g x h x a a=

je { }g hx R x D D za 1a = i ( ) ( ){ }g hx R x D D g x h x = za0 1a .<

7.3. Eksponencijalne nejedna~ine

Eksponencijalne nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih senepoznata nalazi u izloìocu (eksponentu) stepena.

Pri re{avawu eksponencijalnih nejedna~ina koristimo se

svojstvom stroge monotonosti eksponencijalne funkcije xy a= :

ra{}ewa za 1a > i opadawa za 0 1a< < .

Za date funkcije g i h vaì:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 1

g x h x

g h

g x h x

g h

a a x D D g x h x ,a

a a x D D g x h x ,

< < >

> >

i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )0 1

g x h x

g h

g x h x

g h

a a x D D g x h x ,a

a a x D D g x h x .

< > < <

Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa , odnosno .

8 . LOGARITAM I LOGARITAMSKA FUNKCIJA. LOGARITAMSKE JEDNAÎNE I NEJEDNAÎNE

8.1. Logaritam

Logaritam broja 0b > za datu osnovu (bazu) a ( )0, 1a a> , u

oznaci alog b , je broj kojim treba stepenovati osnovu a da bi se

dobio broj b . Broj b se zove numerus logaritma.


48/324

47

Prema tome, imamo da je

( )0 1 0cac log b a b , a ,a , b= = > > ,

odnosno a

log ba b= .

Osnovne osobine logaritma su:

( )

1 0

1

1

1k

a

a

a a a

a a a

x

a a

ca

c

a b

aa

log ,

log a ,

log b c log b log c,

blog log b log c,

c

log b x log b,

log blog b ,

log a

log b ,

log a

log b log b.k

=

=

= +

=

=

=

=

=

(U svim navedenim relacijama pretpostavqamo da su osnove

logaritama iz ( ) ( )0 1 1, , , + da su svi numerusi pozitivni i da suimenioci razlomaka razli~iti od nule).

Dekadni logaritmi su logaritmi sa osnovom 10. Po dogovorupi{emo

10

log x log x.=

Prirodni logaritmi su logaritmi sa osnovom

( )2 7182818e e , ... .= Uobi~ajeno je pisati

e

log x ln x.=


49/324

48

8.2. Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija je funkcija oblika ( ) ( )0 1ay f x log x, a , a .= = >

Domen logaritamske funkcije je ( )0fD , ,= + a skup

vrednosti funkcije ( )fR , .= +

Funkcija je strogo rastu}a za 1a ,> a strogo opadaju}a za

0 1a .< i za date funkcije g i h , va`i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0a alog g x log h x g x h x g x h x .= = > >

8.4. Logaritamske nejedna~ine

Logaritamske nejedna~ine su nejedna~ine kod kojih se nepo-znata javqa u numerusu, odnosno pod znakom logaritma.

Pri re{avawu logaritamskih nejedna~ina koristimo se svoj-stvom stroge monotonosti logaritamske funkcije (ra{}ewa za 1a >

i opadawa za 0 1a< < ), kao i ~iwenicom da numerus svake logari-tamske funkcije mora biti pozitivan realan broj.

Ako su g i h date funkcije, onda va`i:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

a a

a a

log g x log h x g x h x g x ,

log g x log h x g x h x h x ,

< < >

> > > (za 1a > )

i

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

a a

a a

log g x log h x g x h x h x ,

log g x log h x g x h x g x .

< > >

> < > (za 0 1a< < )

Sli~no se postupa u slu~aju nejedna~ina sa , odnosno .


51/324

50

9. OSNOVNI POJMOVI U TRIGONOMETRIJI I

OSNOVNI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI

9.1. Ugao

Ugao je unija dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom i jedneod dve oblasti na koje te dve poluprave dele ravan (sl. 14).

Zajedni~kipo~etakO je teme ugla, a poluprave Op iOq su kraciugla. Oznaka ugla je , pOq ili AOB , pri ~emu je pA , a

qB . Oznaka za teme ugla pi{e se izme|u p i q , odnosno , izme|u

A i B , dok redosled oznaka p i q , odnosno A i B nije bitan. Da

bi smo naglasili koja od dve oblsti ravni je oblast ugla, ako je topotrebno, mo`emo to u~initi navo|ewem bilo koje ta~ke iz unutra-

{wosti te oblasti.Ako se poluprave Op iOqpoklapaju i ako je oblast ugla ra-

van bez polupraveOp, onda se dobijeni ugao naziva pun ugao, a ako jeoblast ugla prazan skup, onda se dobijeni ugao nazivanula-ugao.Ako

je unija polupravih Op iOqprava, a oblast ugla poluravan, onda se

dobijeni ugao naziva opru`en ugao. Dva ugla u ravni, pOr i rOq ,

sa zajedni~kim krakom Ornazivaju se susednim uglovima (sl.15), akoosim ta~aka zajedni~kog kraka nemaju drugih zajedni~kih ta~aka.

q

O p

r

Sl. 15 Sl. 17O

pq

r

Sl. 16

q

pO

Sl. 14

B

O

q


52/324

51

Ugao pOr je mawi od ugla pOq, ako se krak Or ugla pOr nalazi u

oblasti uglapOq, a oblast ugla pOr je podskup oblasti ugla pOq .Ako je unija krakova, koji nisu zajedni~ki, prava, za uglove ka`emo

da su naporedni (sl. 16). Ugao je prav ako je podudaran svomnaporednom uglu (sl. 17), a o{tar ili tup ako je mawi ili ve}i odsvog naporednog ugla.

Neka je AB du` u ravni ugla pOq , takva da je OpA i

OqB . Ugao pOq je konveksan (ispup~en) ako je pOqAB

(sl.18; sl.20), a nekonveksan (udubqen) ako je { }BApOqAB ,=(sl.19; sl.21).

Dva ugla su jednaka ako se izometrijskim transformacijamamogu dovesti do poklapawa.

Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 22).

Sl. 22

q

pO

B

Sl. 18

q

pO

B

Sl. 20

q

pO

BSl. 21

Sl. 19

O

B q


53/324

52

Uglovi sa normalnim kracima su jednaki ako su oba o{traili oba tupa, ili su takve wihove dopune do punog ugla (sl. 23).

9.2. Uop{tewe pojma ugla i merewe ugla

Ako kraci ugla pOq ~ine ure|en par ( )OqOp, , onda se ka`eda je ugao pOq orijentisani ozna~ava se sa ( )Op,Oq . Ako se prvi

krak rotira oko temena O do poklapawa sa drugim krakom u smerusuprotnom od kretawa kazaqki na ~asovniku (pozitivni smer), ugao

je pozitivan ; ina~e je negativan .

Ako se posle rotacije od punog ugla nastavi rotacija u pozitivnomsmeru do poklapawa sa drugim krakom, dobija se ugao ve}i od punogugla.

Ako se prvo izvr{i ( )k k N rotacija za pun ugao i nastavirotacija do poklapawa sa drugim krakom, dobija se proizvoqnoveliki pozitivni ugao. Ako se rotacije vr{e u negativnom smeru,dobijaju se negativni uglovi.

Ugao koji je 90 -ti deo pravog ugla ima meru jedanstepen ( )1 .

Mawe merne jedinice su jedan minut ( )1

i jedan sekund ( )1

, pri ~emuje:

061 = i 061 = , odakle sledi da je

=

60

11 i

=

=

60

1

60

1

60

11 .

Sl. 23


54/324


55/324


56/324


57/324

56

Za funkcije ( )siny x = + i ( ) Rxxy += ,cos i 0

osnovni period je

2=T , a za funkcije ( )y tg x = + ,

2x k

+ + i ( ) += xctgy ,

2x k

+ + osnovni period

je

=T .

Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova date su u nared-

noj tablici(oznaka zna~i da funkcija nijedefinisana za odre-|eni ugao).

30 2

6 4 3 2 2

1 2 3sin 0 1 0 1 0

2 2 2

3 2 1cos 1 0 1 0 12 2 2

33 1 0 0 0

3

31 3 0 0

3

tg

ctg


58/324

57

9.5. Svo|ewe trigonometrijskih funkcija proizvoqnog ugla na funkcije o{trog ugla

Kako su trigonometrijske funkcije periodi~ne, to se vre-dnosti ovih funkcija za proizvoqan ugao mogu izraziti pomo}u vre-dnosti trigonometrijskih funkcija za o{tar ugao :

( ) insksinsin =+= 2 , k Z ;

cos2

sinsin =

= ;

( ) cos2 =+= koscosc , k Z ;

ins

2oscosc =

= ;

cos2

sinsin =

+= ; ( ) inssinsin == ;

ins2

oscosc =

+= ; ( ) coscoscos == ;

p

q

0

Sl. 29

p

q

0

Sl. 31

p

q

0

Sl. 32

p

q

0

Sl. 30


59/324


60/324

59

Za ostale trigonometrijske funkcije svo|ewe se vr{i naosnovu prethodno navedenih formula i trigonometrijskihidentiteta.

9.6. Osnovni trigonometrijski identiteti

1. 1cossin 22 =+

2.

cos

sin=tg , Zkk + ,

2

3. sin

cos=ctg , Zkk ,

4. 1= ctgtg , 2

k

5.1

1

cossin

cos

1

coscos

222

22

2

+=

+==

tg ,

Zkk + ,2

6.1cossin

sin

1

sinsin

2

2

22

22

2

+=

+==

tg

tg ,

Zkk + ,2

9.7. Adicione formule

1. ( ) sincoscossinsin +=+1.) cossin22sin =2. ( ) sincoscossinsin =3. ( ) sinsincoscoscos =+3.) 22 sincos2cos =4. ( ) sinsincoscoscos +=

5. ( )

tgtg

tgtgtg

+=+

1 , Zkk ++ ,

2,,

5.)

2

1

22

tg

tgtg

=


61/324

60

6. ( )

tgtg

tgtgtg

+

=

1 , Zkk + ,

2,,

7. ( )

ctgctg

ctgctgctg

+

=+

1 , Zkk + ,,,

7.)

ctg

ctgctg

2

12

2

=

8. ( )

ctgctg

ctgctgctg

+=

1 , Zkk ,,,

9. 1cos2sincos2cos 222 ==

2

2cos1

cos

2

+=

.

222 sin21sincos2cos ==

2

2cos1sin

2 = .

2cos1

2cos12

+

=tg

2cos1

2cos12

+=ctg .

10.

12

22

2cos

2sin

2cos

2sin2

sin222

+

=

+

=

tg

tg

,

21

21

2cos

2sin

2sin

2cos

cos2

2

22

22

tg

tg

+

=

+

= .

21

22

2

tg

tg

tg

=

22

21

2

tg

tg

ctg

= .


62/324

61

9.8. Transformacija zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod

1.

2cos

2sin2sinsin

+=+

2.2

sin2

cos2sinsin

+

=

3.2

cos2

cos2coscos

+

=+

4.2

sin2

sin2coscos

+

=

5.( )

coscos

sin

= tgtg , Zkk + ,2,

6.( )

sinsin

sin = ctgctg , Zkk ,,

9.9. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir

1. ( ) ( )[ ] ++= sinsin2

1cossin

2. ( ) ( )[ ] ++= coscos2

1coscos

3. ( ) ( )[ ] += coscos2

1sinsin

9.10. Grafici osnovnih trigonometrijskih funkcija

1. xsiny =

siny = 2 .

0

y

1

-1

x 2

Sl. 38


63/324

62

2. xcosy =

osxcy = 2 .

xcosxsin =

2

3. y=tgx

y=tgx .

0

1

-1

y

x2

Sl. 39

0 x22

223 232 25

Sl. 41

0

1

-1

y

x2

Sl. 40


64/324

63

4. y=ctgx

y=ctgx .

2 0 x 2 3223 232 25

Sl.42


65/324


66/324


67/324

66

3. arctgxy =

( ) ( ) ,2,2: f( ) tgxxf =

e(-

).

f

( ) ( )2,2,:1 f

( ) arctgx= xf 1 .

f 1f

xy = .

0 22

Sl. 49

0

2

2

Sl. 50

0

2

2

2

2

Sl. 51


68/324

67

4. arcctgxy =

( ) ( ) ,2,2: f( ) ctgxxf =

e(-

).

f

( ) ( )

1: , 0,f

( ) arcctgxxf =1 .

f 1f

xy = .

20

Sl. 52

0

2

Sl. 53

0

2

2

Sl. 54


69/324


70/324

69

10.2. Osnovne trigonometrijske nejedna~ine

Nejedna~ine ax sin i axcos za 1a re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi. Nejedna~ine ax sin i ax cos za 1>a nemaju re{ewa, dok su

za 1a < re{ewa ovih nejedna~ina svi realni brojevi.

Nejedna~ine ax sin , ax cos , ax sin i ax cos za 1a ,

zbog periodi~nosti trigonometrijskih funkcija, mo`emo re{avatiprvo u bilo kom intervalu du`ine 2 , a zatim odrediti skup svihre{ewa. Osnovni interval treba pogodno izabrati, tako da skupre{ewa iz tog intervala opet bude jedan interval.

1.Nejedna~inu 1,sin aax prvo re{avamo u intervalu

2,

2

3 , (sl. 55). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ]

2,

2

3,

, pri ~emu je aarcsin= i aarcsin= , onda

je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Zkkk ++ ,2,2 .

Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skupre{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk ++ ,2,2 .

Pri re{avawu trigonometrijskih nejedna~ina, osim grafika trigo-nometrijskih funkcija pogodno je koristiti i trigonometrijskikrug.

-1

1

023 2

a

x

Sl. 55


71/324


72/324

71

Na slici 58 oznake2

3,

2,,

su radijanske mere uglova.

3. Nejedna~ina 1,cos aax prvo se re{ava u intervalu

[ ], ,(sl. 59). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] [ ] ,, , pri ~emu je aarccos= i aarccos= , onda je skupsvih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Zkkk ++ ,2,2 .Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk ++ ,2,2 .

1

a

2

23

0

Sl. 58

0

1

-1

x

a

Sl. 59


73/324

72

Na slici 60 oznake ,,, su radijanske mere uglova.

4. Nejedna~inu 1cos x a , a prvo re{avamo u intervalu

[ ]2,0 ,(sl. 61). Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval

[ ] [ ] 2,0, , gde je aarccos= i aarccos= 2 , onda je skupsvih re{ewa date nejedna~ine unija intervala

[ ] Zkkk ++ ,2,2 .Ako u nejedna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk ++ ,2,2 .

0 1

a

Sl. 60

0

1

-1

a

x 2

Sl. 61


74/324


75/324


76/324


77/324

76

.

Na slici 66 oznake 0 , su radijanske mere uglova.

8. Nejedna~ina Raactgx , prvo se re{ava u intervalu

( ),0 . Ako je skup re{ewa ove nejedna~ine interval( ],0 , pri ~emuje arcctga= , onda je skup svih re{ewa date nejedna~ine unija

intervala ( ] kk +, , Zk .Ako u nejdna~ini stoji znak stroge nejednakosti, onda je skup

re{ewa unija otvorenih intervala ( ) Zkkk + ,, .

0

1

a

01-1

Sl. 66


78/324

77

11. PRIMENA TRIGONOMETRIJE U PLANIMETRIJI I STEREOMETRIJI

11.1. Povr{ina trougla

Kako je sinah

c= , to je sinah c = , pa je

sin

2 2ABC

aah acP

= =

(sl. 67). Sli~no se dobija da je

sin

2 2ABC

cch cbP

= = i

sin2 2

ABCbbh baP = = .

11.2. Sinusna i kosinusna teorema

Ako su ba, i c naspramne stranice uglova , i

proizvoqnog trougla ABC, a R polupre~nik opisanog kruga oko togtrougla (sl. 68) , onda va`i :

a) Rcba

2sinsinsin

===

(sinusna teorema)

b) cos2222 bccba +=

cos2222 accab +=

cos2222 abbac +=

(kosinusna teorema).

11.3. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Kompleksni broj biaz += , kao ta~ka u Gausovoj ravni (sl.69),

odre|en je realnim brojevima a i b , a za ( ) ( )0,0, ba mo`emo gaodrediti i pomo}u rastojawa ta~ke z od koordinatnog po~etka i

ugla koji radijus-vektor ta~ke z gradi sa pozitivnim delom

x-ose :

R

c

ba

C

B

O

Sl. 68

c b

a

ah

CB

Sl. 67


79/324

78

2 2z a b = = + ( moduo kompleksnog broja),

0, = a

a

btg , [ ) 2,0 ( argument kompleksnog broja).

Kako iz sinb

= sledi da je sinb = , a iz cosa

= sledi da je

cosa = , to je cos sinz i = + , tj. ( )cos sinz i = + {topredstavqa trigonometrijski oblik kompleksnog broja .z

Za 0 02

a b

= > =i je (sl. 70), a za3

0 02

a b

= < =i je (sl. 71).

Ako je ( )2111 sincos iz += i ( )2222 sincos +=z , tada je: 1. = 21 zz ( ) ( )( )222121 sincos +++ i ,

2. ( ) ( )( ) 0,sincos22121

2

1

2

1+=

z

z,

3. ( ) Nnninz nn += ,sincos ,(Muavrova formula)

4. { }1,...,2,1,0,2

sin2

cos

++

+= nk

n

k

n

kz nn

.

biz =

Sl. 71

biz =

Sl. 70

a

x0

b biaz +=

Sl. 69


80/324


81/324

80

12. VEKTORI,PODUDARNOST,HOMOTETIJA I SLI^NOST

12.1. Vektori

Za du` AB kaèmo da je usmerena (orijentisana) ako je

precizirano {ta je wena po~etna, odnosno krajwa ta~ka. Ako je Awena po~etna a B krajwa ta~ka, tada se ta usmerena du` ozna~ava sa

AB

i zove sevektor.Svaki vektor karakteri{u pravac, smer i intenzitet.Pravac vektora je odre|en pravom (nosa~em) kojoj vektor

pripada. Za vektore koji leè na istoj pravoj ili na paralelnim

pravima, kaè se da imaju isti pravac ili da su kolinearni.Smer vektora je odre|en izborom po~etne, odnosno krajwe

ta~ke vektora. Za dati pravac postoje dva me|usobno razli~ita(suprotna) smera.

Intenzitet (duìna) vektora je rastojawe izme|u wegovih

krajwih ta~aka. Intenzitet vektora a AB=

ozna~ava se sa .a AB=

Dva vektora su jednaka ako imaju isti pravac, smer iintenzitet. Jednakost vektora je relacija ekvivalencije u skupu svih

vektora u prostoru. Zbog toga, vektor AB

moèmo poistovetiti sawegovom klasom ekvivalencije, tj. sa skupom svih vektora koji su sawim jednaki. Iz definicije jednakosti proizlazi da se radi oslobodnim vektorima, odnosno o vektorima koji se ne mewaju ako separalelno pomeraju kroz prostor.

Suprotan vektor vektoru AB

, u oznaci AB BA =

, je vektor

koji ima isti pravac i intenzitet kao vektor AB

, ali suprotansmer.

Nula vektor, u oznaci 0

, je vektor ~ija se po~etna ta~ka po-klapa sa krajwom. Nula vektor nema odre|en ni pravac ni smer i we-gov intenzitet je nula.

Jedini~ni vektor (ort)je vektor intenziteta jedan.Tri ili vi{e vektora su komplanarniako leè u istoj ravni.

Zbir vektora a

i b

, u oznaci a b+

, je vektor koji se od ve-

ktora a

i b

dobija po pravilu nadovezivawa ili po pravilu parale-lograma (sl. 75).


82/324

81

Po pravilu nadovezivawa na kraj vektora a

stavqa se po~e-

tak vektora b

, pa vektor a b+

ima po~etak u po~etku vektora a

a

kraj u kraju vektora b

. Po pravilu paralelograma vektor a b+

je

odre|en dijagonalom paralelograma koji obrazuju vektori a

i b

.

Proizvod skalara (broja) k R i vektora a

je vektor, u ozna-

ci ka

, odre|en sa:

(1) ka

i a

su kolinearni,

(2) ka k a=

,

(3) za 0k > vektori a

i ka

su istosmerni, a za 0k je preslikavawe ravni koje svake dve wene ta~ke A i B prevo-

di u ta~ke A i B iste ravni, tako da je A B kAB. =

Figure F i1

F su sli~ne, u oznaci1

F F , ako postoji tran-

sformacija sli~nosti koja figuru F prevodi u figuru1

F .

Za sli~nost trouglova(sl. 78) va`e slede}a pravila:

(1) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}estranice proporcionalne, a uglovi zahva}eni tim stranicamajednaki, tj.

: :ABC A B C b c b c . = =

(2) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im odgovaraju}e straniceproporcionalne, tj.

: : : :ABC A B C a b c a b c . =

(3) Dva trougla su sli~na ako i samo ako imaju jednaka po dvaodgovaraju}a ugla, tj.

ABC A B C . = =(4) Dva trougla su sli~na ako i samo ako su im po dve odgovaraju}e

stranice proporcionalne, uglovi naspram dveju od tih odgovaraju}ihstranica jednaki, a uglovi naspram drugih dveju stranica u obatrougla su ili oba o{tra ili oba prava ili oba tupa. Prema tome,

: :

.

ABC A B C a b a b = =

Sl. 78

b

C

B

a

c c

A

B

C

b a


86/324

85

13. GEOMETRIJA TROUGLA, ÊTVOROUGLA I MNOGOUGLA. KRUG

13.1. Trougao

Navodimo neke osnovne elemente trougla.Sredwa linija trougla je du` koja spaja sredi{ta dveju

stranica trougla. Ona je paralelna tre}oj stranici i upola je kra}aod we.

Teì{na du`je du` koja spaja teme trougla sa sredi{tem na-spramne stranice. Sve teì{ne duì se seku u ta~ki koja se zove te-ì{tetrougla. Teì{te deli svaku teì{nu du` u odnosu 2:1 (ra~u-

naju}i od temena).Visina trougla je du` koja spaja teme trougla sa podno`jemnormale iz tog temena na naspramnu stranicu. Sve visine se seku uta~ki koja se zove ortocentartrougla. êsto se termin visina kori-sti i za duìnu visine.

Presek simetrala stranica trougla je centar opisanog krugatrougla.

Centar upisanog krugatrougla nalazi se u preseku simetrala(bisektrisa, raspolovnica) unutra{wih uglova trougla.

Zbir unutr{wih uglova trougla je180

, a zbir spoqa{wih360. Svaki spoqa{wi ugao trougla jednak je zbiru dva unutra{wawemu nesusedna ugla. Naspram ve}e stranice trougla leì ve}i ugaoi obrnuto, naspram ve}eg ugla leì ve}a stranica trougla.

Svaka stranica trougla mawa je od zbira a ve}a od razlikedruge dve stranice trougla.

Jednakokraki trougaoje trougao koji ima dve stranice jedna-ke. Jednake stranice zovu se kraci, a tre}a stranica je osnovica tro-ugla.

Jednakostrani~ni trougaoima sve stranice i sve unutra{wei spoqa{we uglove jednake. Svaki unutra{wi ugao jednakostrani-

~nog trougla ima 60. Kod jednakostrani~nog trougla se poklapajucentar opisanog kruga, centar upisanog kruga, teì{te i ortocen-tar.

Pravougli trougao je trougao koji ima jedan unutra{wi ugaoprav. Najduà stranica pravouglog trougla, koja se nalazi nasprampravog ugla, zove se hipotenuza, dok su preostale dve katete.

Obim trouglaje zbir duìna wegovih stranica.


87/324

86

Uobi~ajene su slede}e oznake za elemente trougla (sl. 79):

a,b,c duìne stranica,

, , unutra{wi uglovi,

1 1 1, , spoqa{wi uglovi,

a b ch ,h ,h visine (duìne visina),

,

,

.

s

r

R

Sl. 79

Za obim i povr{inu trougla vaè slede}e formule:

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

4

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c s,

a h b h c hP ,

P s s a s b s c ,

a b cP r s,R

P a b sin a c sin b c sin .

= + + =

= = =

=

= =

= = =

CB

ahc

b

a

1

1

1


88/324

87

Za pravougli trougao (sl. 80) sa katetama i b i hipotenu-zom c vaì da je:

2 2 2a b c ,+ =(Pitagorina teorema)

2 2

2

2

ca c p, h p q

cb c q, R

= =

= =

Sl. 80

U slu~aju jednakostrani~nog trougla stranice a imamo:

2

33

2

3 32

6 3

3

4

aO a, h ,

a ar , R r ,

aP .

= =

= = =

=

Za sli~ne trouglove vaì da se obimi odnose kao duìne wi-hovih odgovaraju}ih stranica, a povr{ine kao kvadrati tih duìna

(i kao kvadrati visina). Prema tome, ako su a,b,c i h , odnosno

1 1 1a ,b ,c i

1h odgovaraju}i elementi sli~nih trouglova, tada je:

1 1 1 12 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

O a b c

O a b cP a b c h

P a b c h

= = =

= = = =

ch

BC

cb

a

q


89/324


90/324

89

trapeza je du` koja spaja sredi{ta krakova. Ona je paralelnaosnovicama i jednaka wihovom poluzbiru.

Deltoid (sl. 82b) je ~etvorougao koji ima dva para jednakih

susednih stranica. Dijagonale deltoida su me|usobno normalne.

(b)(a)

Sl. 82

Tangentni ~etvorougao(sl. 83a) je ~etvorougao u koji se moèupisati krug. êtvorougao je tangentan ako i samo ako su mu zbirovinaspramnih stranica jednaki.

Tetivni ~etvorougao(sl. 83b) je ~etvorougao oko koga se mo-

è opisati krug. êtvorougao je tetivan ako i samo ako su mu zbiro-vi naspramnih uglova jednaki.

(a) (b)Sl. 83

Neka su a i b duìne stranica paralelograma,a

h ib

h odgo-

varaju}e visine i jedan wegov unutra{wi ugao. Tada za obim ipovr{inu paralelograma vaè slede}e formule:

m

b

a B

dc

h

C

b

a

C

B

1d

2d

r

C

B

b

a

d

c

O

R

C

B

O


91/324

90

2 2

a b

O a b,

P a h b h a b sin .

= +

= = =

U specijalnim slu~ajevima vaì: za romb

( )1 2 1 2

4

;2

a

O a,

d dP a h d ,d

=

= =

za pravougaonik

2 2

;

O a b,

P a b

= +

=

za kvadrat

2

4O a,

P a .

=

=

Ako su a i b duìne osnovica trapeza, m duìna sredwe

linije i h visina (rastojawe izme|u osnovica), tada je

2 2

a b a bm , P m h h.

+ += = =

Povr{ina deltoida, ~ije su duìne dijagonala1

d i2

d ,

ra~una se po formuli1 2

2

d dP

=

13.3. Mnogougao

Zbir unutra{wih uglova n -tougla je ( )2 180n .

Zbir spoqa{wih uglova konveksnog n -tougla je 360 .

Broj dijagonala konveksnog n -tougla je( )3

2

n n

Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi unutra-{wi uglovi jednaki.

Tangentni mnogougao je mnogougao u koji se moè upisatikrug.

Tetivni mnogougao je mnogougao oko kojeg se moè opisatikrug.


92/324


93/324

92

kru`nim lukom je kru`ni odse~ak(sl. 85a).Dva razli~ita polupre-~nika i odgovaraju}i kru`ni luk odre|uju kru`ni ise~ak (sl. 85b).

(a) (b)

Sl. 85

Ugao pod kojim se iz centra kruga vidi neki luk (tetiva) jecentralni ugaokoji odgovara tom luku (tetivi). Ugao pod kojim se izneke ta~ke na krugu vidi luk, kojem ne pripada ta ta~ka, zove seperiferijski ugao nad tim lukom. Svi periferijski uglovi nadistim lukom su jednaki. Svakoj tetivi odgovaraju dva periferijska

ugla koji su suplementni (u zbiru daju opru`en ugao) (sl. 86a).Centralni ugao je dva puta ve}i od odgovaraju}eg (nad istim

lukom) periferijskog ugla. Periferijski ugao nad pre~nikom jeprav.

O{tar (tup) ugao koji je odre|en tetivom i tangentom ukrajwoj ta~ki tetive kruga jednak je o{trom (tupom) periferijskomuglu nad tom tetivom (sl. 86b).

(a) (b)Sl. 86

O

2

180

O

O

r

O

r r


94/324

93

Sl. 87

Obim i povr{ina kruga polupre~nika r ra~unaju se poformulama

22O r , P r .= =

Neka kru`nom luku odgovara centralni ugao ~ija mera ustepenima iznosi , a u radijanima . Tada je du`ina luka data sa

180

rl , l r ,

= =

a povr{ina odgovaraju}eg kru`nog ise~ka je2

21

360 2

rP , P r .

= =

Povr{ina kru`nog prstena odre|enog krugovima

polupre~nika1

r i ( )2 1 2r r r> jednaka je

( )2 21 2P r r .=

Krugovi neke ravni su kon-centri~niili ekscentri~niu zavi-snosti od toga da li im se centripoklapaju ili ne. Deo ravni izme|udva nejednaka koncentri~na kruga(kru`ne linije) zove se kru`ni pr-sten (sl. 87) .

O

1r

2r


95/324

94

14. POLIEDRI

14.1. Prizma

Svaka prizma (sl. 88) ima dve osnove (baze)i omota~. Osnove~ine dva podudarna mnogougla koji se nalaze u paralelnim ravnima, aomota~ je skup bo~nih strana prizme, pri ~emu je svaka bo~na stranaparalelogram. Ako su osnove neke prizme n -touglovi, onda je re~ on -tostranoj prizmi. Stranice osnova su osnovne ivice, dok suostale ivice bo~ne ivice prizme. Dijagonala prizme je du` kojaspaja teme jedne osnove prizme sa nesusednim temenom druge osnove.Prizma je prava ako su bo~ne ivice normalne na ravni osnova; u

protivnom je prizma kosa.

Sl. 88

Pravilna prizma je prava prizma ~ije su osnove pravilnimnogouglovi.

Ako su osnove prizme paralelogrami, onda se ta prizma zoveparalelepiped. Kvadar (sl. 89) je pravi paralelepiped ~ije su osnovepravougaonici. Kocka(pravilni heksaedar) (sl. 90) je kvadar ~ije susve ivice jednake.

Sl. 89 Sl. 90

a

b

c

a

a

a


96/324

95

Koristimo se standardnim oznakama: B povr{ina baze prizme,

M povr{ina omota~a prizme,

H visina prizme (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina prizme ra~unaju se po formulama:

2P B M ,

V B H .

= +

=

Ako su a, b i c duìne ivica kvadra, onda su povr{ina i

zapremina kvadra date sa:

( )2P a b a c b c ,V a b c.

= + +

=

Za kocku, ~ija je duìna ivice a , vaì:

2

6P a= i3

V a .=

14.2. Piramida

Svaka piramida (sl. 91) ima jednu osnovu (bazu) i omota~.Osnova piramide je mnogougao, a omota~ je skup bo~nih stranapiramide. Svaka bo~na strana je neki trougao. Ako je osnovapiramide n -tougao, onda je re~ o n -tostranoj piramidi. Straniceosnove su osnovneivice, dok su ostale ivice bo~ne ivicepiramide.Zajedni~ka ta~ka svih bo~nih strana jevrh piramide.

Sl. 91

H


97/324

96

Piramida je pravilnaako joj je osnova pravilan mnogougao iako se podno`je normale kroz wen vrh na ravan osnove poklapa sasredi{tem osnove. Sve bo~ne ivice pravilne piramide su jednake.

Visine bo~nih strana pravilne piramide zovu se apoteme. Trostrana piramida zove se i tetraedar. Pravilni tetraedarje tetraedar ograni~en sa ~etiri jednakostrani~na trougla.

Koristimo se slede}im standardnim oznakama:

B povr{ina baze piramide, M povr{ina omota~a piramide,

H visina piramide (odstojawe vrha piramide od ravni osnove), s du`ina bo~ne ivice pravilne piramide,

h

apotema pravilne piramide.Povr{ina i zapremina piramide ra~unaju se po formulama:

3

P B M ,

B HV

= +

=

Sl. 92 Sl. 93

Za pravilnu n -tostranu piramidu (sl. 92) va`i:

2 2 2

2 2

a r a hB n , M n , s H R ,

= = = +

pri ~emu su r i R polupre~nici upisane, odnosno opisane

kru`nice osnove piramide.Za pravilni tetraedar (sl. 93) ivice a imamo da je:

23P a= i

32

12

aV =

a

a

R

s

h

H

a

a


98/324

97

14.3. Zarubqena piramida(sl. 94)

Ako piramidu prese~emo nekom ravni paralelnom sa ravni

osnove i koja ne sadr`i vrh piramide, onda se deo piramide sa onestrane ravni sa koje nije vrh zove zarubqena piramida. Svakazarubqena piramida ima dve osnove (baze)i omota~. Osnove (dowa igorwa) su sli~ni mnogouglovi koji se nalaze u paralelnim ravnima.Omota~ je skup bo~nih strana, pri ~emu je svaka od wih neki trapez.Stranice osnova su osnovne ivice, a ostale su bo~ne ivice zarub-qene piramide. Zarubqena piramida je n -tostrana ako su joj osnoven -touglovi.

Sl. 94

Zarubqena piramida je pravilna ako je takva piramida odkoje je ona nastala.

Za zarubqenu piramidu obi~no se koriste slede}e oznake:

1

B povr{ina dowe baze,

2

B povr{ina gorwe baze,

M povr{ina omota~a,

H

visina (rastojawe izme|u osnova).Povr{ina i zapremina zarubqene piramide ra~unaju se poslede}im formulama:

( )

1 2

1 1 2 23

P B B M ,

HV B B B B .

= + +

= + +


99/324

98

15. OBRTNA TELA

15.1. Vaqak

Svaki (kru`ni) vaqak (sl. 95) ima dve osnove (baze) i omota~.Osnove vaqka su podudarni krugovi koji le`e u paralelnim ravni-ma, a izvodnice su mu ili normalne na ravan osnove (pravi vaqak)ili nisu (kosi vaqak). Omota~ pravog vaqka (u razvijenom obliku) jepravougaonik ~ije su dimenzije odre|ene obimom osnove i du`inomizvodnice (visine).

Uobi~ajene su slede}e oznake:

R polupre~nik osnove (baze) vaqka,

H

visina vaqka,B povr{ina baze vaqka,

M povr{ina omota~a vaqka.

Sl. 95

Za svaki vaqak je

2B R= ,

a za pravi vaqak 2M R H= .

Povr{ina i zapremina vaqka ra~unaju se po formulama:

2

2P B M ,

V B H R H .

= +

= =

Ako je vaqak prav, onda je

( )22 2 2P R R H R R H = + = + .

R

H

H

R


100/324

99

Sl. 96

15.2. Kupa

Svaka (kru`na) kupa (sl. 97) ima jednu osnovu (bazu)i omota~.Osnova kupe je krug, a wene izvodnicezaklapaju sa ravni osnove ilikonstantan ugao (prava kupa) ili ne (kosa kupa). Omota~ prave kupe(u razvijenom obliku) je kru`ni ise~ak ~iji je polupre~nikodgovaraju}eg kruga jednak duìni izvodnice, a duìna luka jednakaobimu osnove. Kod prave kupe se podno`je normale kroz vrh kupe naravan osnove poklapa sa centrom osnove.

Koristimo se slede}im standardnim oznakama:R polupre~nik osnove (baze) kupe,

H visina kupe,s duìna izvodnice prave kupe,

B povr{ina baze kupe,

M povr{ina omota~a kupe.

Pravi vaqak je pravilan (sl. 96) ako je 2R H= , tj. ako je wegovosni presek kvadrat.

2R

H=2R


101/324

100

Sl. 97Za svaku kupu je

2B R= ,

a za pravu kupu M R s= .

Povr{ina i zapremina kupe ra~unaju se po formulama:

2

3 3

P B M ,

B H R HV

= +

= =

Ako je kupa prava, onda je

( )2P R R s R R s= + = + .

Sl. 98

Prava kupa je pravilna (sl. 98) ako je

2R s= , tj. ako je wen osni presek je-dnakostrani~ni trougao.

R

s

R

sH

2R

s=2R


102/324

101

15.3. Zarubqena kupa

Zarubqena (kru`na) kupa (sl. 99) nastaje presecawem (kru`-

ne) kupe nekom ravni koja je paralelna sa osnovom kupe. Ima dve os-nove(baze) i omota~. Osnove su krugovi koji se nalaze u paralelnimravnima. Zarubqena kupa mo`e biti pravaili kosa, u zavisnosti odtoga da li je nastala presecawem prave ili kose kupe.

Obi~no se koristimo slede}im oznakama za zarubqenu kupu:

1B povr{ina dowe baze,

2B povr{ina gorwe baze,

M povr{ina omota~a,

R polupre~nik dowe osnove,r polupre~nik gorwe osnove,

H visina zarubqene kupe (rastojawe izme|u osnova),s du`ina izvodnica prave zarubqene kupe.

Sl. 99

Za svaku zarubqenu kupu je

2 2

1 2B R , B r= = ,

a za pravu zarubqenu kupu

( )M s R r .= +Povr{ina i zapremina zarubqene kupe ra~unaju se po formu-

lama:

r

R

s

r

R


103/324

102

( ) ( )

1 2

2 2

1 1 2 2

1

3 3

P B B M ,

HV B B B B R Rr r

= + +

= + + = + +

Ako je zarubqena kupa prava, onda je

( )2 2P R r s R r .= + + +

5.4. Sfera i lopta

Sfera (sferna povr{) je skup svih ta~aka u prostoru koje suna podjednakom odstojawu od jedne fiksirane ta~ke. Fiksiranata~ka je centar sfere, a pomenuto odstojawe je polupre~nik sfere.Deo prostora ograni~en sferom zove se lopta (kugla) (sl. 100).

Sl. 100Ako loptu preseca neka ravan, onda se deo lopte sa jedne

strane ravni zove loptin odse~ak, a odgovaraju}i deo sferne povr{ije kapicaili kalota(sl. 101).

. 101

Neka je R polupre~nik lop-te. Tada su wena povr{ina i zapre-mina date formulama:

2

3

4

43

P R ,

V R .

=

=

Neka je h visina kalote.Tada je povr{ina kalote

2P R h,=

a zapremina loptinog odse~ka

( ) ( )2

2 23 3

3 6

h hV R h r h ,= = +

pri ~emu je rpolupre~nik osno-ve (prese~nog kruga) loptinogodse~ka.

R

h

R

r


104/324

103

Ako se lopta prese~e sa dve paralelne ravni, onda se deo lop-te izme|u tih ravni naziva loptin sloj, a odgovaraju}i deo sfernepovr{i je loptin (sferni) pojas(sl. 102).

Sl. 102

Neka je h visina sloja i

neka su1

r i2

r polupre~nici

prese~nih krugova. Tada je povr-{ina sfernog pojasa 2P R h,=

a zapremina loptinog sloja

( )

2 2 2

1 23 3

6

hV r r h .

= + +

2r

O R

1rh


105/324

104

16. ANALITI^KA GEOMETRIJA U RAVNI

16.1. Rastojawe izme|u ta~aka. Podela duì u datom odnosu.

Povr{ina trougla

Rastojaweizme|u ta~aka ( )1 1

A x , y i ( )2 2

B x , y dato je sa

( ) ( ) ( )2 2

2 1 2 1d A,B AB x x y y .= = +

Ako ta~ka ( )C x , y deli du` AB u odnosu , tj. ako jeAC

,BC

= tada

je1 2 1 2

1 1

x x y yx , y

+ + = =

+ + U specijalnom slu~aju, za =1, tj. ako je Csredi{te duì AB,vaì

1 2 1 2

2 2

x x y yx , y

+ += =

Povr{ina trougla sa temenima ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3A x , y , B x , y , C x , y

ra~una se po formuli( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2

1

2P x y y x y y x y y .= + +

16.2. Prava u ravni

Op{ti (implicitni) oblikjedna~ine prave je

( )2 20 0Ax By C , A B .+ + = + >

Eksplicitni (glavni) oblikjedna~ine prave je y kx n,= +

pri ~emu je kkoficijent pravca prave, a n odse~ak na y -osi.

Jedna~ina prave koja prolazi kroz ta~ku ( )1 1 1

M x , y i ~iji je

koeficijent pravca kdata je sa

( )1 1y y k x x . =


106/324


107/324


108/324

107

16.4. Elipsa

Elipsa (sl. 103) je skup svih ta~aka u ravni ~iji je zbir

odstojawa od dve fiksirane ta~ke konstantan. Fiksirane ta~ke zovuse ìè ili fokusi elipse. Ako je taj zbir odstojawa 2a i ako su

ìè ( )1

0F c, i ( )2

0F c, , ( )0 c a ,< < tada je jedna~ina elipse

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = ili2 2

2 21

x y

a b+ = ,

pri ~emu je 2 2 2b a c .= To je tzv. kanonski oblik jedna~ine elipse.

Sve ta~ke unutar elipse

2 2

2 2 1x ya b+ = zadovoqavaju relaciju

2 2

2 21

x y,

a b+ < dok za ta~ke van te elipse vaì da je

2 2

2 21

x y.

a b+ >

Sl. 103

r < d

d

r

0

M

b

a

1r2r

2F1F

ax=

ax =


109/324

108

Parametri a i b su duìne velike, odnosno male poluoseelipse.

Duìne potega (fokalni radijusi) ta~ke ( )M x, y na elipsi

su:

( )1 2 1 2

2c c

r a x, r a x, r r a .a a

= + = + =

Linearni ekscentricitet (rastojawe ìè od centra elip-

se) je parametar 2 2c a b= .

Numeri~ki ekscentricitetje parametar2 2

1c a b

.a a

= = d

0

1r

2r

2F


111/324

110

( )1 2 1 2 2c c

r x a, r x a, r r aa a

= + = = (za desnu granu),

( )1 2 1 2 2c c

r x a, r x a, r r aa a= = + = (za levu granu).

Linearni ekscentricitet (rastojawe ìè od centra

hiperbole) je parametar 2 2c a b= + .

Numeri~ki ekscentricitetje parametar2 2

1c a b

.a a

+ = = >

Direktrisehiperbole su pravea

x=

ia

x=

, tj.2

ax

c= i

2ax

c= Osnovno svojstvo direktrisa je da vaì 1

r,

d= > pri ~emu

je rfokalni radijus proizvoqne ta~ke hiperbole, a d odstojawete ta~ke od odgovaraju}e (istostrane) direktrise.

Jedna~ine asimptotahiperbole su:b

y xa

= ib

y x.a

=

Uslov dodiraprave y kx n= + i hiperbole

2 2

2 2 1

x y

a b = je

2 2 2 2a k b n . =

Jedna~ina tangente hiperbole u wenoj ta~ki ( )0 0M x , y je

0 02 2

1xx yy

.a b

=

Ako je centar hiperbole u ta~ki ( )0 0S x , y i ako su wenepoluose (duìna a i b ) paralelne koordinatnim osama, onda je wenajedna~ina

( ) ( )

2 2

0 0

2 21

x x y y.

a b

=


112/324

111

16.6. Parabola

Parabola (sl. 105) je skup svih ta~aka u ravni koje su

podjednako udaqene od jedne fiksirane ta~ke i fiksirane prave kojane sadrì tu ta~ku. Fiksirana ta~ka je ìà (fokus), a fiksiranaprava direktrisa parabole.

Ako je ìà parabole u ta~ki 02

pF ,

, a direktrisa prava

2

px= , tada je jedna~ina parabole

2 2y px.=

To je tzv. kanonski oblik jedna~ine parabole sa parametrom{ }0p R\ .

Ekscentricitetparabole je 1r .d

= =

Sl. 105

M

F

0

dr=

2

p

d

r

0>p

2

px =

2

px =

F

0

0


113/324


114/324

113

17. BINOMNI OBRAZAC.ELEMENTI KOMBINATORIKE

17.1. Binomni koeficijenti i binomni obrazac

Faktorijelprirodnog broja n , u oznaci !n , je proizvod svihuzastopnih prirodnih brojeva od 1 do n . Dakle,

! 1 2 3n n .=

Po definiciji je 0!=1.Binomni koeficijentise defini{u sa:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

01 1!

! ! !

1 11

0 !

n n n n k n n,k N , n k ,k k n k k

k, R, k N .

k k

+

= =

+ = =

Za binomne koeficijente va`e slede}e osobine:

10 1 1

1

1 1

n n n n, n,

n nn n

,k n k

n n n.

k k k

= = = =

=

+ + =

+ +

Za stepenovawe izraza ( )a b a,b C + prirodnim brojem nva`i tzv. binomni obrazac(Wutnova binomna formula):

( ) 0 1 1 1 1 0

0

0 1 1

n n n n n

n

n k k

k

n n n na b a b a b ... a b a b

n n

na b .

k

=

+ = + + + +

=

.


115/324


116/324


117/324

116

Varijacija sa ponavqawem k-te klase nekog n - skupa je svaka

ure|ena k-torka (ne obavezno razli~itih) elemenata iz tog skupa.Wihov ukupan broj je

k kn

V n= .

Permutacija n -skupa je svaka wegova varijacija bez ponavqa-wa n -te klase. Zato je wihov ukupan broj

( )1 2 1 !nn nP V n n n= = = .

Permutacija sa ponavqawemje permutacija m -multiskupa sa

specifikacijom 1 21 2 nkk k

na a ...a . Wihov ukupan broj je

( ) ( )1 2 1 21 2

!

! ! !m n nn

mP k ,k ,...,k k k ... k m .k k ...k

= + + + =

Isak Wutn16431727

49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

Text of 49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

Prijemni ispit matematika_fpb

Kvalifikacioni ispit iz matematike - PRIJEMNI

Banka pitanja za prijemni ispit za upis na Master ...linuxpmf.pmf.ni.ac.rs/pmfenterprise/upload/vesti/1715_dmygd.pdf · Banka pitanja za prijemni ispit za upis na Master akademske

Prijemni ispit 2003

Pripremni Zadaci Za Prijemni Ispit Iz Matematike

Pitanja Prijemni Ispit Za Studij Hemije

Zbirka testova za prijemni ispit - Filoloski fakultet.pdf

zastita brosura v3.pdf · ispit. Prijemni ispit sastoji se iz matematike i testa sklonosti (vrednuje se sa maksimalno 60 bodova) i smatra se položenim ako je kandidat minimalno osvojio

Predgovor Ova zbirka zadataka namenjena je kandidatima za pripremanje prijem - nog ispita iz matematike na Tehničkom fakultetu u Čačku. Zadaci za prijemni ispit iz matematike z

Prijemni ispit matematika

matematika, zadaci za prijemni ispit

Grupa A, Pismeni ispit iz Matematike II, 20.06.2013. ispit ...ff.unze.ba/nabokov/rokovi/mat2mf/10_juni2013... · Grupa A, Pismeni ispit iz Matematike II, 20.06.2013. ispit pisati

GODIŠNJI IZVEŠTAJ DIREKTORA O RADU ŠKOLE - vtsnis.edu.rsvtsnis.edu.rs/wp-content/uploads/2019/01/Izvestaj_o_radu_VTSNIS_2018.pdf · Prijemni ispit iz matematike na Visokoj tehničkoj

Skripta Za Prijemni Ispit

Zbirka zadataka za prijemni ispit iz MATEMATIKE - ftn.kg.ac.rsftn.kg.ac.rs/download/Zbirka_Matematika_NR.pdf · Predgovor Ova zbirka zadataka namenjena je kandidatima za pripremanje

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT - gf.unsa.ba · PDF filePRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni

zbirka za prijemni ispit iz matematike

Proslogodisni Zadaci Za Prijemni Ispit

Vodic za prijemni ispit Sociologija

Zbirka Rjesenih Zadataka Iz Matematike Za Prijemni Ispit

Zbirka za prijemni iz matematike

ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ FIZIČKE HEMIJE

PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE€¦ · PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1. Ako je √100− 2−√64− 2=3, odrediti vrednost izraza √100− 2+√64− 2. Pomnožimo datu jednakost

PRIRUČNIK ZA PRIJEMNI ISPIT - vsar.edu.rsvsar.edu.rs/wp-content/uploads/2017/02/Prirucnik-za-polaganje... · PRIRUČNIK ZA PRIJEMNI ISPIT 3 PREDGOVOR Ovaj priručnik namijenjen je

Zbirka Zadataka Za Prijemni Iz Matematike VA

KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ FIZIČKE HEMIJE • I ENERGETIKA

Test broj 1vujicnikola.weebly.com/uploads/3/4/8/0/3480733/zbirka.pdfZbirka rješenih zadataka iz matematike za prijemni ispit Univerzitet u Istočnom Sarajevu – Mašinski fakultet

Reseni Prijemni Ispiti Iz Matematike Ftn Novi Sad

PRIJEMNI 07 Test Iz matematike

Documents

49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike

Text of 49763201 Zbirka Za Prijemni Ispit Iz Matematike