Prijemni ispit za upis u srednje skole - Resenja matematike 2009

МатематикаТест 2

Кључ за оцењивање

ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ

Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације које могу да се јаве у одговорима на различита питања, а која је важно да сви оцењивачи реше на јединствен начин.

1. Задатак са исправним поступком и тачним резултатом (одговором) добија максимални број поена без обзира да ли је рађен на други начин од оног који предвиђа кључ.

2. Бодови се не одбијају ако тачан резултат (решење, одговор) није уписан у кућицу предвиђену за резултате.

3. Задатак у коме се појављује мерна јединица добија максималан број поена чак иако та јединица није написана.

4. Максималан број поена добија се за тачно урађен задатак у чијем решењу постоји слика (или цртеж) иако та слика (цртеж) није урађена, осим ако се то изричито тражи.

5. Бодови се не одбијају ако је цртеж у задатку тачно урађен графитном оловком.

6. Прегледач уписује бодове у предвиђену кућицу поред задатка. За погрешно урађен задатак у кућицу уписати нулу, а за неурађен задатак уписати црту.

7. Уколико је ученик написао тачан резултат (решење) а није урадио поступак у задацима у којима је поступак потребан, добија нула поена.

8. Уколико је ученик уочио грешку и прецртао део поступка и након тога урадио тачно задатак, добија максималан број поена предвиђених за тај задатак.

9. Број � се мора уписивати и током израде задатка и у одговору ако је то у тексту назначено.

МАТЕМАТИКА ТЕСТ 2

2

Место за рад:

1.

1. РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

6

6. Збир бројева –1,25 и 172

поделити бројем –2,5.

7. Производ бројева 125

и 2,5 умањити за збир бројева 8,5 и 3,34.

8. Дати су изрази А = 1 1 13 3 3

⋅ − и B = 1 1 1:3 3 3

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. Израчунати вредност разлике А – B.

9. Израчунати вредност израза a b c− + , ако се зна да је

31,5 0,95

a = − + ; 11 0,1252

b = − ; 0,5c = .

10. Израчунати:

А) ( ) ( )2828 : 28 2008 : 20 : 0,28 0,2 ;− −

Б) 0,01 ⋅ 0,1 – 0,1 : 0,01 + 0,01 : 0,1.


А) 5 ⋅ 102,34 ⋅ 20;

Б) 11 7 11 3 11 5130 12 30 4 30 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ − + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

12. Да ли су тачне неједнакости:

А) ( )2 41 1,2 0,83 7

− ⋅ − < ⋅ ;

Б) 1 15 3,72 1,52 3

− ⋅ < ⋅ ?

13. За колико је вредност израза 3 1 1: 3 15 4 12

A ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

мања од вредности израза

2 3 32 :13 4 8

B ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

?

14. Колико пута је вредност израза

3 3 1 3 31 : :4 4 2 4 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

мања од 96?

15. Израчунати :

А) 7 2 4 3 5− − + ⋅ + − ⋅ − ;

Б) 1 1 28 125 8 3

− ⋅ − + ⋅ − .


2.

2. СТЕПЕН И КВАДРАТНИ КОРЕН ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

8

2. СТЕПЕН И КВАДРАТНИ КОРЕН

Производ n чинилацаa a a⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , где је a∈R, n∈N, записује се у облику an и назива

n-тим степеном броја а.

Најважнија својства степеновања:

1. am ⋅ an = am + n

2. am : an = am – n (m > n, a ≠ 0)

3. (am)n = am ⋅ n

4. an ⋅ bn = (a ⋅ b)n

5. an : bn = (a : b)n (b ≠ 0)

Квадратни корен ненегативног реалног броја а, у ознаци a (a ≥ 0), јесте ненегативни реални број чији је квадрат једнак броју а.

Најважниja својствa кореновања:

1. ( )2, 0a a a= ≥

2. 2a a=

3. , 0, 0a b a b a b⋅ = ⋅ ≥ ≥

4. , 0, 0a a a bbb

= ≥ >


А) 2

2 911 33

⋅ − ;

Б) ( )2 213 2 42

⋅ − ⋅ .

21. Израчунати ( ) ( )3 2 3 2 22 3 : 6 2 3 10⋅ + − ⋅ .


А) 3 2

2

5 2 43 3 9

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

Б) ( )3

23 12 175

⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

23. Израчунати 3 2

2

2 416 :8

⋅ .


3.

3. АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

12

49. Израчунати вредност израза (2a – 3b)2 + 12ab за 2a = и 3b = .

50. Дати су биноми А = 2x – 1, B = x – 2 и C = 2x + 1. Израчунати A ⋅ C – B2.

51. Израчунати вредност израза ( )( ) ( )( )2 21 1 1 1x x x x x x− + + − + − + .

52. Од полинома 4x2 – 6x + 3 одузети квадрат бинома –2x – 3 и упростити добијени израз.

53. Израчунати вредност израза:

А) 2 20,35 2 0,35 0,65 0,65+ ⋅ ⋅ + ;

Б) 225 0,2 10 0,2 1⋅ − ⋅ + .

54. Израчунати вредност израза:

А) ( )28 2− ;

Б) ( ) ( )3 2 2 3 3 2 2 3− ⋅ + .

55. Помножити полиноме x – 1 и x2 + x + 1.

56. Упростити израз (а + b) ⋅ (x + y) + (a – b) ⋅ (x – y) – (аx + by).

57. Раставити на чиниоце изразе:

А) 9a2 – 16;

Б) 4xy – 16x2y.

58. Израз x2 + 10x + 25 написати као квадрат бинома и наћи његову вредност за x = 995.

59. А) Користећи формулу за квадрат бинома, израчунати 1052.

Б) Користећи формулу за разлику квадрата, израчунати 95 ⋅ 105.

60. Упростити израз (3x + 1)2 – (2x + 5) ⋅ (2x – 5) – 5x2.

61. Одредити разлику квадрата збира и квадрата разлике монома 3a и 2b и средити добијени израз.

62. Од квадрата разлике монома 2x и 3y одузети разлику њихових квадрата и добијени израз раставити на чиниоце.

63. Које од следећих формула су тачне:

А) (x – y)2 = x2 – y2;

Б) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1;

В) (2x – 1)2 = 4x2 – 2x + 1;

Г) 2

21 12 4

x x x⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

?

(Заокружити слова испред тачних одговора.)

1

1

1


––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

5


1. А) Како је 2 2180 2 3 5= ⋅ ⋅ и 2 22100 2 3 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ , то је НЗД ( ) 2180, 2100 2 3 5 60= ⋅ ⋅ =

и НЗС ( ) 2 2 2180,2100 2 3 5 7 6300= ⋅ ⋅ ⋅ = .

Б) Како је 46 2 23= ⋅ , 69 3 23= ⋅ и 292 2 23= ⋅ , то је НЗД ( )46,69,92 23= и

НЗС ( ) 246,69,92 2 3 23 276= ⋅ ⋅ = .

2. А) Како је 3120 2 3 5= ⋅ ⋅ и 2 21260 2 3 5 7= ⋅ ⋅ ⋅ , то су прости заједнички делиоци бројева 120 и 1260 бројеви: 2, 3 и 5.

Б) 3

2 2

120 2 3 5 2 21260 2 3 5 7 3 7 21

⋅ ⋅= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

3. Како за елементе скупа S важи:

2 3 12 ,3 0,75 ,41 0,333... ,3

=

=

=

то у овом скупу постоје три различита елемента.

4. А) Најмањи број овог скупа је –15,5.

Б) Највећи број овог скупа је 12.

5. A) 23,7 6,11 0,25 60 17,59 15 32,59− + ⋅ = + = ;

Б) 0,8 1,4 5 0,32 : 0,8 0,8 7 0,4 7, 4+ ⋅ − = + − = .

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11,25 7 : 2,5 1,25 7,5 : 2,5 6,25 : 2,5 62,5 : 25 2,52

− + − = − + − = − = − = −

.

7. ( ) ( )12 2,5 8,5 3,34 2,2 2,5 11,84 5,5 11,84 6,345

⋅ − + = ⋅ − = − = −

.

8. 1 1 1 1 1 23 3 3 9 3 9

A = ⋅ − = − = − ;

1 1 1 1 2: 13 3 3 3 3

B = + − = − = −

.

Дакле, 2 2 2 2 2 6 49 3 9 3 9 9 9

A B − = − − − = − + = − + =

. -6,34

Поступак обавезан - 1 поен

2. СТЕПЕН И КВАДРАТНИ КОРЕН ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

8

2. СТЕПЕН И КВАДРАТНИ КОРЕН

20. А) 2

2 9 8111 3 11 9 99 27 723 3

⋅ − = ⋅ − = − = ;

Б) ( )2 2 21 13 2 4 6 16 36 8 282 2

⋅ − ⋅ = − ⋅ = − = .

21. ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 22 3 : 6 2 3 10 8 9 : 6 8 9 100 72 : 6 100 12 100 88⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = − = − .

22. А) 3 2

2

5 2 4 5 8 16 15 8 48 253 3 9 9 27 9 27 27 27 27

+ − = + − = + − = −

;

Б) ( )3

23 27 2712 17 255 125 5

− ⋅ − = − ⋅ = −

.

23.( )

( )

23 23 2 3 4 72

22 8 3 54 3

2 22 4 2 2 2 2 416 :8 2 : 2 22 : 2

⋅⋅ ⋅= = = = = .

24.( )( )

( )( )

3 22 3 4 43 2 4 6 3 8 45 3 5 3 5 3

2 32 6 3 3 4 6 3 92 6 3 3

2 2 2 24 8 16 2 2 2 2 22 2 2 2 2 24 2 2 8 2 2 2 22 2 2 2

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

9 124 3

5 9

2 2 2 2 16 8 82 2

= − = − = − = .

25.( )24 2 32 2 8 2 3 10 3 7

5 5 2 7 7 7

3 3 : 381 3 : 27 3 3 : 3 3 : 3 3 13 9 3 3 3 3 3

⋅⋅ ⋅= = = = =⋅ ⋅

.

26. ( ) ( )6 74 6 7 12 7 7 4 2 12 7 73 36 15 6 3 5 3 6 3 5 6 3 5+ + − − ⋅ = + + ⋅ − − ⋅4 12 7 7 12 7 7 43 6 3 5 6 3 5 3 81= + + ⋅ − − ⋅ = = .

27. А) ( )( )

5 27 5 5 2 5

7 5 5 2 5 5 2

3 3 13 3 3 3 3 9+1 10 5 3 3 3 3 3 9 1 8 43 3 1

⋅ ++ ⋅ += = = = =− ⋅ − −⋅ −

;

Б) ( )( )

5 38 5 5 3 5 3

8 5 5 3 5 35 3

2 2 12 2 2 2 2 2 1 8 1 7 2 2 2 2 2 2 1 8 1 92 2 1

⋅ −− ⋅ − − −= = = = =+ ⋅ + + +⋅ +

.

28. А) ( )6 3 2 4 212 : 3 4a b c a b a b c− = − ;

Б) ( )3 3 2 24 : 2 2a b c ab c a b− = − .

29.( )

( ) ( )

34 3 5 12 3 5 10

3 3 95 2 3

: :

:

x x x x x x x xxx x x

⋅ ⋅= = = .

4



11

49. ( )2 2 2 2 22 3 12 4 12 9 12 4 9a b ab a ab b ab a b− + = − + + = + . За 2a = и 3b = вредност

овог израза једнака је ( ) ( )2 24 2 9 3 4 2 9 3 8 27 35+ = ⋅ + ⋅ = + = .

50. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 4 1 4 4A C B x x x x x x⋅ − = − ⋅ + − − = − − − +2 2 24 1 4 4 3 4 5x x x x x= − − + − = + − .

51. ( )( ) ( )( ) ( )2 2 3 2 2 3 2 21 1 1 1 + + 1 + + + 1x x x x x x x x x x x x x x x x− + + − + − + = − − − − − −

( )3 3 3 3 1 +1 1 1 2x x x x= − − = − − − = − .

52. ( ) ( )22 2 24 6 3 2 3 4 6 3 4 12 9x x x x x x x− + − − − = − + − + +2 24 6 3 4 12 9 18 6x x x x x= − + − − − = − − .

53. А) ( )22 20,35 2 0,35 0,65 0,65 0,35 0,65 1+ ⋅ ⋅ + = + = ;

Б) ( ) ( )2 2225 0,2 10 0,2 1 5 0,2 2 5 0,2 1 5 0,2 1 0⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⋅ − = .

54. А) ( )28 2 8 2 8 2 2 10 2 16 10 8 2− = − ⋅ + = − = − = ;

Б) ( )( ) ( ) ( )2 23 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 6− + = − = − = .

55. ( ) ( )2 3 2 2 31 1 1 1x x x x x x x x x− ⋅ + + = − + − + − = − .

56. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b x y a b x y ax by+ ⋅ + + − ⋅ − − +ax ay bx by ax ay bx by ax by ax by= + + + + − − + − − = + .

57. А) ( ) ( ) ( )22 29 16 3 4 3 4 3 4a a a a− = − = − ⋅ + ;

Б) ( )24 16 4 1 4xy x y xy x− = − .

58. ( )22 10 25 5x x x+ + = + . За x = 995 вредност овог израза је ( )2 2995 5 1000 1000000+ = = .

59. А) ( )22 2 2105 100 5 100 2 100 5 5 10000 1000 25 11025= + = + ⋅ ⋅ + = + + = ;

Б) ( ) ( ) 2 295 105 100 5 100 5 100 5 10000 25 9975⋅ = − ⋅ + = − = − = .

60. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 1 2 5 2 5 5 9 6 1 4 25 5x x x x x x x x+ − + ⋅ − − = + + − − − 2 2 29 6 1 4 25 5 6 26x x x x x= + + − + − = + .

Поступак није обавезан Тачан одговор под А) - 0,5 поенаТачан одговор под Б) - 0,5 поена

А) Б)


11



50. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 4 1 4 4A C B x x x x x x⋅ − = − ⋅ + − − = − − − +2 2 24 1 4 4 3 4 5x x x x x= − − + − = + − .

51. ( )( ) ( )( ) ( )2 2 3 2 2 3 2 21 1 1 1 + + 1 + + + 1x x x x x x x x x x x x x x x x− + + − + − + = − − − − − −

( )3 3 3 3 1 +1 1 1 2x x x x= − − = − − − = − .

52. ( ) ( )22 2 24 6 3 2 3 4 6 3 4 12 9x x x x x x x− + − − − = − + − + +2 24 6 3 4 12 9 18 6x x x x x= − + − − − = − − .

53. А) ( )22 20,35 2 0,35 0,65 0,65 0,35 0,65 1+ ⋅ ⋅ + = + = ;

Б) ( ) ( )2 2225 0,2 10 0,2 1 5 0,2 2 5 0,2 1 5 0,2 1 0⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⋅ − = .

54. А) ( )28 2 8 2 8 2 2 10 2 16 10 8 2− = − ⋅ + = − = − = ;

Б) ( )( ) ( ) ( )2 23 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 6− + = − = − = .

55. ( ) ( )2 3 2 2 31 1 1 1x x x x x x x x x− ⋅ + + = − + − + − = − .


57. А) ( ) ( ) ( )22 29 16 3 4 3 4 3 4a a a a− = − = − ⋅ + ;

Б) ( )24 16 4 1 4xy x y xy x− = − .


59. А) ( )22 2 2105 100 5 100 2 100 5 5 10000 1000 25 11025= + = + ⋅ ⋅ + = + + = ;

Б) ( ) ( ) 2 295 105 100 5 100 5 100 5 10000 25 9975⋅ = − ⋅ + = − = − = .

60. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 1 2 5 2 5 5 9 6 1 4 25 5x x x x x x x x+ − + ⋅ − − = + + − − − 2 2 29 6 1 4 25 5 6 26x x x x x= + + − + − = + .


11



50. ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 1 2 1 2 4 1 4 4A C B x x x x x x⋅ − = − ⋅ + − − = − − − +2 2 24 1 4 4 3 4 5x x x x x= − − + − = + − .

51. ( )( ) ( )( ) ( )2 2 3 2 2 3 2 21 1 1 1 + + 1 + + +1x x x x x x x x x x x x x x x x− + + − + − + = − − − − − −

( )3 3 3 3 1 + 1 1 1 2x x x x= − − = − − − = − .

52. ( ) ( )22 2 24 6 3 2 3 4 6 3 4 12 9x x x x x x x− + − − − = − + − + +2 24 6 3 4 12 9 18 6x x x x x= − + − − − = − − .

53. А) ( )22 20,35 2 0,35 0,65 0,65 0,35 0,65 1+ ⋅ ⋅ + = + = ;

Б) ( ) ( )2 2225 0,2 10 0,2 1 5 0,2 2 5 0,2 1 5 0,2 1 0⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⋅ − = .

54. А) ( )28 2 8 2 8 2 2 10 2 16 10 8 2− = − ⋅ + = − = − = ;

Б) ( )( ) ( ) ( )2 23 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 6− + = − = − = .

55. ( ) ( )2 3 2 2 31 1 1 1x x x x x x x x x− ⋅ + + = − + − + − = − .


57. А) ( ) ( ) ( )22 29 16 3 4 3 4 3 4a a a a− = − = − ⋅ + ;

Б) ( )24 16 4 1 4xy x y xy x− = − .


59. А) ( )22 2 2105 100 5 100 2 100 5 5 10000 1000 25 11025= + = + ⋅ ⋅ + = + + = ;

Б) ( ) ( ) 2 295 105 100 5 100 5 100 5 10000 25 9975⋅ = − ⋅ + = − = − = .

60. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 1 2 5 2 5 5 9 6 1 4 25 5x x x x x x x x+ − + ⋅ − − = + + − − − 2 2 29 6 1 4 25 5 6 26x x x x x= + + − + − = + .


3

4. 4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

23

100. На графику су приказане највиша и најнижа дневна температура у току једне седмице:

Најнижа температураНајвиша температура

А) Ког дана је забележена највиша температура?

Б) Ког дана је забележена највећа разлика између највише и најниже температуре и колика је та разлика у степенима?

1

4. КООРДИНАТЕ И ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

22

99.

100. А) Највиша температура забележена је у среду;

Б) Највећа разлика између највише и најниже температуре забележена је у понедељак и та разлика је износила 15ºC.

Поступак није обавезан Тачан одговор под А) - 0,5 поенаТачан одговор под Б) - 0,5 поена

А) у среду Б) у понедељак


22

99.

100. А) Највиша температура забележена је у среду;

Б) Највећа разлика између највише и најниже температуре забележена је у понедељак и та разлика је износила 15ºC.

4




5.

6.


18

86. Која од следећих функција одговара нацртаном графику:

1) y = –x – 2;

2) y = –2x;

3) y = –x + 2;

4) y = –x + 4;

5) y = –2x + 2?

(Заокружити број испред тачног одговора).

87. Који од следећих цртежа је график функције y = –x + 3?

Заокружити број испoд тачног одговора.

88. Које од тачака A(1,–3), B(2,1) и P(–l,–5) припадају графику функције y = 2x – 3?

89. Одредити тачку А чија је ордината –2 и која припада графику функције y = –3x + 1.

90. Одредити тачку P која припада графику функције y = 5x – 12 и чија је ордината једнака њеној апсциси.

91. Линеарна функција је одређена формулом 3x – y + 6 = 0.

1) Одредити нулу те функције.

2) Одредити x за које је y = –3.

3) 4)

O

y

x1 3

3

2)

O

y

x1 3

- 3

1)

O

y

x1

- 3

3

O

y

x1

- 3

- 3

5. ПРОПОРЦИЈЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

25

111. Два суплементна угла су у размери 5 : 7. Одредити те углове.

112. Дванаест радника радећи по 8 часова дневно заради 120.000 динара. Колико сати дневно треба да ради 10 радника да би зарадили 150.000 динара?

113. У математичкој секцији једне школе има 40 чланова, од којих су 60% девојчице. У ту секцију се учланило 10 нових чланова. Ако су сви нови чланови дечаци, за колико се смањио проценат девојчица?

114. Тридесет процената једне дужи износи 42 cm. Колика је дужина читаве дужи?

115. За колико процената треба повећати број 60 да би се добио број 75?

116. Књига је купљена на сајму књига са попустом од 20% и плаћена је 656 динара. Колика је цена те књиге без попуста?

117. На кружном дијаграму је приказано како је Милица потрошила свој месечни џепарац.

А) Где је Милица потрошила највећи део џепарца?

Б) Који проценат џепарца је Милица потрошила у књижари?

118. После преласка на ново радно место једном раднику је плата повећана за 20%. Колика му је била плата ако је то повећање 3.200 динара?

119. На једном километру дужине пута успон износи 48 m. Колики је тај успон у процентима?

120. Трговац је извесну робу платио 48.000 динара. Половину те робе продао је уз зараду од 15%, трећину уз зараду од 8%, а остатак уз губитак од 6%. Колико је трговац зарадио?

121. На изборе је изашло 70% од укупног броја уписаних гласача. Од њих, 40% гласало је за једног кандидата. Колики проценат укупног броја уписаних гласача је гласао за тог кандидата?

122. Цена књиге снижена је за 10%, а затим за 20% и сада износи 288 динара. Колика је цена била пре првог снижења?

књижара

позориште

дискотека телефон

пекара

1

1


19

88. График функције 2 3y x= − садржи тачку A(1, –3) једино ако је

3 2 1 3− = ⋅ − ,

то јест –3 = –1. Наравно, то није тачно, па график те функције не садржи тачку А.

График функције 2 3y x= − садржи тачку B(2, 1) једино ако је

1 2 2 3= ⋅ − ,

то јест 1 = 1, што је тачно.

График функције 2 3y x= − садржи тачку P(–l,–5) једино ако је

5 2 ( 1) 3− = ⋅ − − ,

то јест 5 5− = − , што је тачно.

Према томе, график фукције 2 3y x= − садржи тачке B(2, 1) и P(–l, –5), али не и тачку A(1, –3).

89. Тачка А(x, –2) припада графику функције 3 1y x= − + једино ако је

2 3 1x− = − + ,

то јест:

3 2 1,3 3,

1.

xx

x

= +=

=

Тражена тачка је A = А(1, –2).

90. Тачка P(x, x), чија је ордината једнака њеној апсциси x, припада графику функције 5 12y x= − једино ако је

5 12x x= − ,

то јест:

4 12x− = − ,

3x = .

Тражена тачка је ( )3,3P P= .

91. 1) Нула функције 3 6 0x y− + = је вредност променљиве x за коју је 0y = , то јест решење једначине

3 0 6 0x − + = ,

па је нула дате функције: 2x = − .

2) Тражени број x је решење једначине

3 ( 3) 6 0x − − + = ,

то јест 3 9x = − , па је 3x = − .


19

88. График функције 2 3y x= − садржи тачку A(1, –3) једино ако је

3 2 1 3− = ⋅ − ,

то јест –3 = –1. Наравно, то није тачно, па график те функције не садржи тачку А.

График функције 2 3y x= − садржи тачку B(2, 1) једино ако је

1 2 2 3= ⋅ − ,

то јест 1 = 1, што је тачно.

График функције 2 3y x= − садржи тачку P(–l,–5) једино ако је

5 2 ( 1) 3− = ⋅ − − ,

то јест 5 5− = − , што је тачно.

Према томе, график фукције 2 3y x= − садржи тачке B(2, 1) и P(–l, –5), али не и тачку A(1, –3).

89. Тачка А(x, –2) припада графику функције 3 1y x= − + једино ако је

2 3 1x− = − + ,

то јест:

3 2 1,3 3,

1.

xx

x

= +=

=

Тражена тачка је A = А(1, –2).

90. Тачка P(x, x), чија је ордината једнака њеној апсциси x, припада графику функције 5 12y x= − једино ако је

5 12x x= − ,

то јест:

4 12x− = − ,

3x = .

Тражена тачка је ( )3,3P P= .

91. 1) Нула функције 3 6 0x y− + = је вредност променљиве x за коју је 0y = , то јест решење једначине

3 0 6 0x − + = ,

па је нула дате функције: 2x = − .

2) Тражени број x је решење једначине

3 ( 3) 6 0x − − + = ,

то јест 3 9x = − , па је 3x = − .


5. ПРОПОРЦИЈЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

26

113. Број девојчица у математичкој секцији је:

60 40 24.

100⋅ =

Уписом нових чланова, укупан број ученика у секцији је 50. Ако са x означимо проценат девојчица у секцији, тада је:

24 : 50 :100,24 100 ,

50

x

x

=⋅=

то јест x = 48%.

Дакле, проценат девојчица се доласком нових чланова у секцији умањио за 60% – 48% = 12%.

114. Означимо са x дужину читаве дужи. Тада важи 30 :100 42 : x= , одакле се добија 30 100 42x⋅ = ⋅ , односно

100 4230

x ⋅= ,

па је 140x = cm.

115. Нека је x тражени проценат. Како је број 60 повећан за 75 – 60 = 15, биће:

60 :15 100 := x ,

60 15 100= ⋅x ,

15 100 25

60⋅= =x .

Тражени проценат је 25%.

116. Нека је x цена књиге без попуста. Тада важи

80 : 656 100 : ,x=

одакле је

656 100 ,80

x ⋅=

820x = динара.

117. А) У пекари; Б) 25%.

Поступак обавезан

Тачно постављена “формула” - 0,5 поенаУкупно 1 поен

820 динара

5



7.

8.

13. СЛИЧНОСТ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

55

284. Троугао ABC је правоугли, са правим углом код темена C. Ако су подаци као на цртежу, одредити углове троуглова ADC и CDB и дужину висине CD троугла ABC.

285. Ако су катете правоуглог троугла a = 6 cm и b = 8 cm, одредити катете њему сличног

троугла чија је хипотенуза c' = 30 cm.

286. Марко је висок l,5m и стоји поред јарбола који је ортогоналан на водоравном плочнику. У једном тренутку, дужине сенки Марка и јарбола су 0,5 m и 6 m. Одредити висину тог јарбола.

287. Странице троугла ABC су a = 12 cm, b = 18 cm и c = 8 cm. Одредити обим њему сличног троугла чија је најдужа страница 27 cm.

288. Странице троугла ABC су a = 18 cm, b = 6 cm и c = 21 cm. Одредити странице њему сличног троугла чији је обим 30 cm.

289. Тачке A и B су са исте стране равни α. Ако су A' и B' ортогоналне пројекције тачака А и B на ту раван и A'B' = 12 cm, AA' = 4 cm , BB' = 9 cm,

одредити дужину дужи AB.

290. Кругови k (O, R) и k1 (S, r) се додирују споља у тачки T. Права која садржи тачку T сече те кругове у тачкама A и B. Ако је R = 12 cm и r = 8 cm, одредити размеру AT : TB.

B

A

B΄

A΄α

7. СИСТЕМИ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

30

160. Решити систем једначина

33

1,2.5

x y x

y xy

+ + = −

−− = −


4 1 5 1 153 4 6

3 7 2 9 27 .4 3 3

x y

x y

− ++ =

+ ++ =


3 53 5

2 3 1 1.2 2

x y x y

x y

− ++ = −

− +− = −

163. Проверити да ли је уређен пар (–1, 1) решење система једначина

3x + 2y + 1 = 0

0,2x + 5 = y + 3,8.


( )24 1 76 3 61 3 1.2 4

x yx

x y

−− − =

− +− = −

165. Pешити систем једначина

( )0,7 2 0,33 0,2 1,2.

2

x y xy x

= − +− = −


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

5 5 1 3 4

2 2 2 .

x x y x

x y y y y

− ⋅ + − − = +

+ − ⋅ + = −

167. Ако је 3 5 14x y+ = и 6x y− = , онда је x y+ једнако:

А) 0;

Б) 5;

В) 6;

Г) 7.

Заокружити слово испред тачног одговора.

168. Одредити линеарну функцију y = kx + n чији график садржи тачке А(–2, 0) и B(3, 2).

1

1


13. СЛИЧНОСТ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

84

284. Како су троуглови ABC и ADC правоугли, за назначене углове α , β , γ важи:

54 90 ,α + ° = ° 54 90 ,β + ° = ° 90 ,α γ+ = °

па су тражени углови: 36 , 36 , 54α β γ= ° = ° = ° .

То такође значи да троуглови ADC и CDB имају исте углове. Тиме су они слични, па су њихове странице наспрам једнаких углова пропорционалне. Зато је:

2

: : ,4 : : 9

4 9.

AD CD CD BDCD CD

CD

==

= ⋅

Тражена дужина висине CD је 6 cm.h CD= =

285. Ако је c хипотенуза датог правоуглог троугла, на основу Питагорине теореме важи:

2 2 2 2 26 8 ,c a b= + = +

то јест 2 100c = , па је 10 cm.c = Зато, ако су a′ и b′ катете њему сличног троугла, тада мора бити:

a ca c′ ′

= и ,b cb c′ ′

=

то јест:

30 ,6 10a′

= 30 ,8 10b′

=

6 3,a′ = ⋅ 8 3.b′ = ⋅

Тражене катете a′ и b′ су 18 cma′ = и 24 cm.b′ =

286. Марко и његова сенка одређују један правоугли троугао са катетама 1,5 ma = и

0,5 mb = . На исти начин, јарбол и његова сенка одређују правоугли троугао са катетама a h′ = и 6 mb′ = , где је h висина тог јарбола.

Одговарајуће странице та два троугла су паралелне, па они имају исте углове. Зато су ти троуглови слични, па су њихове одговарајуће странице пропорционалне. Тиме је:

: ::1,5 6 : 0,5

0,5 6 1,51 9 / 22

18.

a a b bh

h

h

h

′ ′==

⋅ = ⋅

= ⋅

=

Тражена висина јарбола је 18 m.h =

0,5

1,56

h

Поступак обавезан Тачно постављена пропорција - 0,5 поена

(није потребно објашњење о сличности троуглова)

13. СЛИЧНОСТ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

84

284. Како су троуглови ABC и ADC правоугли, за назначене углове α , β , γ важи:

54 90 ,α + ° = ° 54 90 ,β + ° = ° 90 ,α γ+ = °

па су тражени углови: 36 , 36 , 54α β γ= ° = ° = ° .

То такође значи да троуглови ADC и CDB имају исте углове. Тиме су они слични, па су њихове странице наспрам једнаких углова пропорционалне. Зато је:

2

: : ,4 : : 9

4 9.

AD CD CD BDCD CD

CD

==

= ⋅

Тражена дужина висине CD је 6 cm.h CD= =

285. Ако је c хипотенуза датог правоуглог троугла, на основу Питагорине теореме важи:

2 2 2 2 26 8 ,c a b= + = +

то јест 2 100c = , па је 10 cm.c = Зато, ако су a′ и b′ катете њему сличног троугла, тада мора бити:

a ca c′ ′

= и ,b cb c′ ′

=

то јест:

30 ,6 10a′

= 30 ,8 10b′

=

6 3,a′ = ⋅ 8 3.b′ = ⋅

Тражене катете a′ и b′ су 18 cma′ = и 24 cm.b′ =

286. Марко и његова сенка одређују један правоугли троугао са катетама 1,5 ma = и

0,5 mb = . На исти начин, јарбол и његова сенка одређују правоугли троугао са катетама a h′ = и 6 mb′ = , где је h висина тог јарбола.

Одговарајуће странице та два троугла су паралелне, па они имају исте углове. Зато су ти троуглови слични, па су њихове одговарајуће странице пропорционалне. Тиме је:

: ::1,5 6 : 0,5

0,5 6 1,51 9 / 22

18.

a a b bh

h

h

h

′ ′==

⋅ = ⋅

= ⋅

=

Тражена висина јарбола је 18 m.h =

0,5

1,56

h


43

166. Применом формуле за разлику квадрата и поједностављивањем једначина, добија се:

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

5 5 1 3 4

2 2 2

25 1 3 42 2 2

3 4 262 2

3 302 2

102 10 2

102 12

106

x x y x

x y y y y

x y xx y y y y

x x yx y y y

yx y

yx

yx

yx

− ⋅ + − − = +

+ − ⋅ + = −

− − + = ++ − − = −

− + = +− − + =

=− =

=− =

==

==

Решење система је уређени пар (6, 10).

167. Да бисмо израчунали збир вредности добијених за x и y, решићемо систем једначина:

3 5 14

6

x y

x y

+ =

− = 5

3 5 145 5 30,

x yx y

⋅

+ =− =

сабирањем једначина добијамо 8 44,x = значи

448

x = .

Заменом добијене вредности за x у другој једначини добијамо

44 6,8

44 48 ,8 84 .8

y

y

y

− =

= −

= −

Дакле,

44 4 40 5.8 8 8

x y + = + − = =

Тачан је одговор под Б).


43


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

5 5 1 3 4

2 2 2

25 1 3 42 2 2

3 4 262 2

3 302 2

102 10 2

102 12

106

x x y x

x y y y y

x y xx y y y y

x x yx y y y

yx y

yx

yx

yx

− ⋅ + − − = +

+ − ⋅ + = −

− − + = ++ − − = −

− + = +− − + =

=− =

=− =

==

==



3 5 14

6

x y

x y

+ =

− = 5

3 5 145 5 30,

x yx y

⋅

+ =− =


448

x = .


44 6,8

44 48 ,8 84 .8

y

y

y

− =

= −

= −

Дакле,

44 4 40 5.8 8 8

x y + = + − = =



43


( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

5 5 1 3 4

2 2 2

25 1 3 42 2 2

3 4 262 2

3 302 2

102 10 2

102 12

106

x x y x

x y y y y

x y xx y y y y

x x yx y y y

yx y

yx

yx

yx

− ⋅ + − − = +

+ − ⋅ + = −

− − + = ++ − − = −

− + = +− − + =

=− =

=− =

==

==



3 5 14

6

x y

x y

+ =

− = 5

3 5 145 5 30,

x yx y

⋅

+ =− =


448

x = .


44 6,8

44 48 ,8 84 .8

y

y

y

− =

= −

= −

Дакле,

44 4 40 5.8 8 8

x y + = + − = =


Поступак обавезан Тачно израчуната једна променљива - 0,5 поена

6



10.

11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

46

11. КРУГ 240. Одредити обим и површину круга полупречника r = 7cm (за број π узети приближну

вредност 3,14).

241. Површина квадрата је 12 cm2. Одредити површину круга који је описан око тог квадрата.

242. Одредити пречник и површину круга чији је обим 31,4 cm и π ≈ 3,14.

243. Дужина тетиве AB датог круга је 4 cm, а њено растојање од центра круга 1 cm. Одредити површину тог круга.

244. Тетиве AB и AC једног круга су ортогоналне и дужина 6 cm и 8 cm. Одредити полупречник и обим тог круга.

245. Дужина кружног лука AB једног круга је π cm, а централни угао над тим луком 15°. Одредити обим тог круга.

246. Ако су ознаке као на приложеном цртежу и ∠BAO = 50°, одредити назначене углове α и β.

247. Угао између две тетиве AB и AC једног круга је 60°. Ако је полупречник тог круга r = 6 cm и тачка O његов центар, одредити:

А) угао BOC;

Б) угао OBC;

В) дужину тетиве BC.

248. Обим круга је 62,8 cm. Колики је централни угао α који одговара кружном луку дужине 12,56 cm (π ≈ 3,14)?

14. ПРИЗМА И ПИРАМИДА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

60

294. Дужина ивице коцке је 5 cm. Израчунати површину и запремину коцке.

295. Збир дужина свих ивица коцке је 24 cm. Одредити површину њеног дијагоналног пресека.

296. Дужине ивица квадра су 3 cm, 4 cm и 12 cm. Одредити површину тог квадра и дужину његове дијагонале.

297. Одредити површину квадра који је, као на приложеном цртежу, састављен од четири једнаке коцке ивице a = 2 cm.

298. Колико је потребно квадратних метара картона да се направи кутија облика квадра чије су димназије 50 cm, 40 cm и 45 cm?

299. Површина базе правилне четворостране призме је 49 cm2, а висина призме је 3 cm. Израчунати површину призме.

300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 5 cm, а висина призме је 12 cm. Израчунати запремину призме.

301. Основа четворостране призме је ромб чије су дијагонале дужине 16 cm и 12 cm. Израчунати површину призме ако је њена висина 4 cm.

302. Дијагонала правилне четворостране призме нагнута је према равни основе под углом од 60º. Ако је дијагонала основе 6 2 cm, израчунати запремину призме.

303. Израчунати запремину правилне тростране призме чија је основна ивица 9 cm, а дијагонала бочне стране је 15 cm.

1

1

9.


11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

70

244. Дати круг је описан око правоуглог троугла ABC , па његов центар S мора бити средиште хипотенузе BC . Зато, ако је r полупречник тог круга, биће 2r BC= , па на основу Питагорине теореме важи:

( )

2 2 2

2 2 2

2

2

,

2 6 8 ,

4 100,25.

BC AB AC

r

rr

= +

= +

==

Тражени полупречник датог круга је 5 cmr = , а његов обим 2 ,O rπ= то јест 10 cm.O π=

245. Нека је r полупречник и O обим тог круга. Дужина његовог лука који одговара централном углу α је:

2360 360

r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °

.

За cml π= и 15α = ° , та се формула своди на:

15 ,

360

,24

O

O

π

π

= ⋅ °°

=

па је тражени обим круга 24 cm.O π=

246. Троугао OAB је једнакокраки, па је и 50ABO = ° . При том је збир углова у том троуглу једнак 180° , па из

50 50 180α + ° + ° = °

следи да је 80α = ° .

Угао β је периферијски, а угао α централни угао над истим луком AB. Зато је 2α β= , то јест 2 80β = ° . Тражени углови су 80α = ° и 40β = ° .

247. А) Угао BOC је централни, а угао BAC периферијски над истим луком BC. Зато је:

2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,

то јест 120BOC = ° .

Б) Како је OB OC r= = , троугао OBC је једнакокраки. Зато су углови на његовој основици једнаки: OBC OCB= . Збир углова у том троуглу је 180° , па је:

180 ,

2 120 180 ,2 60 .

OBC OCB BOCOBCOBC

+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °

Тражени угао је 30OBC = ° .

B

C

S

A11. КРУГ

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

70


( )

2 2 2

2 2 2

2

2

,

2 6 8 ,

4 100,25.

BC AB AC

r

rr

= +

= +

==



2360 360

r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °

.


15 ,

360

,24

O

O

π

π

= ⋅ °°

=



50 50 180α + ° + ° = °




2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,



180 ,

2 120 180 ,2 60 .

OBC OCB BOCOBCOBC

+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °


B

C

S

A

Поступак обавезан(Уколико ученик упише све углове

на цртежу признати и то као поступак) Тачно израчунат угао α - 0,5 поенаТачно израчунат угао β - 0,5 поена

11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

70


( )

2 2 2

2 2 2

2

2

,

2 6 8 ,

4 100,25.

BC AB AC

r

rr

= +

= +

==



2360 360

r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °

.


15 ,

360

,24

O

O

π

π

= ⋅ °°

=



50 50 180α + ° + ° = °




2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,



180 ,

2 120 180 ,2 60 .

OBC OCB BOCOBCOBC

+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °


B

C

S

A

11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

70


( )

2 2 2

2 2 2

2

2

,

2 6 8 ,

4 100,25.

BC AB AC

r

rr

= +

= +

==



2360 360

r Ol π α α= ⋅ = ⋅° °

.


15 ,

360

,24

O

O

π

π

= ⋅ °°

=



50 50 180α + ° + ° = °




2 2 60BOC BAC= ⋅ = ⋅ ° ,



180 ,

2 120 180 ,2 60 .

OBC OCB BOCOBCOBC

+ + = °⋅ + ° = °⋅ = °


B

C

S

A


89

298. Ако су a , b и c ивице квадра и ако је 50 cm 0,5 ma = = , 40 cm 0,4 mb = = и 45 cm 0,45 mc = = , тада је тражена површина:

( )( )( )

2

2 ,

2 0,5 0,4 0,5 0,45 0,4 0,45 ,

2 0,2 0,225 0,18 ,2 0,605,1, 21 m .

P ab ac bc

P

PPP

= ⋅ + +

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + += ⋅=

Значи, потребно је 21, 21 m картона да се направи кутија датих димензија.

299. База правилне четворостране призме је квадрат (видети цртеж), па из 2B a= то јест 249 ,a= добијамо 7 cma = . Како је њена висина 3 cmH = , тражена површина

призме је:

2

2

2 ,2 4 ,2 49 4 7 3,98 84,182 cm .

P B MP a a HPPP

= += + ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅= +=

300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 2d a= (видети цртеж), па је зато:

5 2 ,

5 2 ,2 2

a

a

=

= ⋅

то јест 5 2 cm2

a = .

Како је висина призме 12 cmH = , биће:

2

2

3

,,

5 2 12,2

25 2 12,4

150 cm .

V B HV a H

V

V

V

= ⋅= ⋅

= ⋅

⋅= ⋅

=

a

a

H

a

a

H

d


89

298. Ако су a , b и c ивице квадра и ако је 50 cm 0,5 ma = = , 40 cm 0,4 mb = = и 45 cm 0,45 mc = = , тада је тражена површина:

( )( )( )

2

2 ,

2 0,5 0,4 0,5 0,45 0,4 0,45 ,

2 0,2 0,225 0,18 ,2 0,605,1,21 m .

P ab ac bc

P

PPP

= ⋅ + +

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + += ⋅=

Значи, потребно је 21, 21 m картона да се направи кутија датих димензија.

299. База правилне четворостране призме је квадрат (видети цртеж), па из 2B a= то јест 249 ,a= добијамо 7 cma = . Како је њена висина 3 cmH = , тражена површина

призме је:

2

2

2 ,2 4 ,2 49 4 7 3,98 84,182 cm .

P B MP a a HPPP

= += + ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅= +=

300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 2d a= (видети цртеж), па је зато:

5 2 ,

5 2 ,2 2

a

a

=

= ⋅

то јест 5 2 cm2

a = .

Како је висина призме 12 cmH = , биће:

2

2

3

,,

5 2 12,2

25 2 12,4

150 cm .

V B HV a H

V

V

V

= ⋅= ⋅

= ⋅

⋅= ⋅

=

a

a

H

a

a

H

d

Поступак обавезанТачно израчуната основна ивица призме - 0,5 поена

Тачно израчунат површина призме - 0,5 поена

7



11.


61

304. Површина основе правилне тростране призме је 36 3 cm2, а висина призме је 8 cm. Израчунати површину призме.

305. Одредити запремину тавана куће ако су подаци као на приложеном цртежу.

306. Основа тростране призме је правоугли троугао чије су катете 15 cm и 20 cm, а највећа бочна страна призме је квадрат. Израчунати површину призме.

307. У акваријум облика квадра може да стане 200 литара воде. Одредити његову висину ако се зна да је његова дужина 80 cm, а ширина 50 cm.

308. Израчунати запремину правилне шестостране призме чија је основна ивица 3 cm, а дијагонала бочне стране је 6 cm.

309. Дата је правилна шестострана призма (видети цртеж), основне ивице 2 3 cm и висине 52 cm. Израчунати површину правоугаоника ACD1F1.

310. Израчунати површину и запремину правилне четворостране пирамиде чија је основна ивица 12 cm, а висина пирамиде је 8 cm.

311. Израчунати површину правилне четворостране пирамиде ако је висина пирамиде 15 cm, а запремина 1280 cm3.

312. Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде ако је основна ивица 24 cm, а апотема 20 cm.

313. Израчунати запремину правилне четворостране пирамиде ако је њена основна ивица a = 8 cm и ако је површина једне њене бочне стране 20 cm2.

S

A B

D

H

O

C

a

1,5


94

311. Запремина правилне четворостране пирамиде је 213

V a H= ⋅ ⋅ , а како је 31280 cmV =

и 15 cmH = добијамо:

2

2

2

11280 15,3

1280 3 ,15

256,16 cm.

a

a

aa

= ⋅ ⋅

⋅=

==

Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо апотему h :

22 2

2

2

,2

225 64,289,

17 cm.

ah H

hhh

= +

= +=

=

Тражена површина је:

2

2

,

4 ,2

256 2 16 17,800 cm .

P B Ma hP a

PP

= +⋅= + ⋅

= + ⋅ ⋅=

312. Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо висину H пирамиде:

22 2

2 2 2

2

,2

20 12 ,256,

16 cm.

aH h

HHH

= −

= −=

=

Тражена запремина је:

2

3

,3

,3

576 16 ,3

3072 cm .

B HV

a HV

V

V

⋅=

⋅=

⋅=

=

a

hH

a2 PO

D C

BA

S

a

hH

a2 PO

D C

BA

S

Поступак обавезанТачно израчуната висина H пирамиде - 1 поен

Тачно израчуната запремина пирамиде - 0,5 поена


94

311. Запремина правилне четворостране пирамиде је 213

V a H= ⋅ ⋅ , а како је 31280 cmV =

и 15 cmH = добијамо:

2

2

2

11280 15,3

1280 3 ,15

256,16 cm.

a

a

aa

= ⋅ ⋅

⋅=

==

Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо апотему h :

22 2

2

2

,2

225 64,289,

17 cm.

ah H

hhh

= +

= +=

=

Тражена површина је:

2

2

,

4 ,2

256 2 16 17,800 cm .

P B Ma hP a

PP

= +⋅= + ⋅

= + ⋅ ⋅=

312. Применом Питагорине теореме на троугао OPS (видети цртеж), добијамо висину H пирамиде:

22 2

2 2 2

2

,2

20 12 ,256,

16 cm.

aH h

HHH

= −

= −=

=


2

3

,3

,3

576 16 ,3

3072 cm .

B HV

a HV

V

V

⋅=

⋅=

⋅=

=

a

hH

a2 PO

D C

BA

S

a

hH

a2 PO

D C

BA

S

8



12.

15. ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

65

337. Површина праве купе је 90π cm2, а површина основе је 25π cm2. Израчунати запремину купе.

338. Ако је дужина пречника праве купе 18 cm, а површина купе је 216π cm2, израчунати површину осног пресека купе.

339. Израчунати површину праве купе ако се зна да је њен осни пресек једнакостранични троугао површине 16 3 cm2.

340. Основа пирамиде је квадрат странице 6 2 cm, а основа купе је круг описан око тог квадрата. Ако су им висине 8 cm, одредити однос њихових запремина.

341. Обим основе праве купе је 36π cm. Изводница купе нагнута је према равни основе под углом од 45º. Израчунати:

А) површину купе;

Б) запремину купе.

342. Гомила песка има облик купе чији је обим основе 8π m, а висина 3 m. Колико кубних метара песка има у тој гомили?

343. Полупречник лопте је 3 cm. Израчунати површину и запремину лопте.

344. Запремина лопте је 4 π3

cm3. Одредити површину лопте.

345. Пречник лопте је 16 cm. Одредити површину и запремину лопте.

346. Обим великог круга лопте је 36π cm. Израчунати запремину лопте.

347. Полупречник лопте је 4 cm. Ако се полупречник повећа за 3 cm, за колико ће се повећати површина лопте?

348. Посуда облика ваљка, полупречника основе r = 5 cm, испуњена је водом до 1112

њене

висине. Ако се у ту посуду потопи лопта полупречника 0r = 2,5 cm, ниво воде достиже тачно врх те посуде. Колика је њена висина H?

349. Пречник лопте од пластелина је 8 cm. Aко се од те лопте направи купа чији је пречник основе једнак пречнику лопте, колика је висина те купе?

350. За бојење дрвене кугле пречника 16 cm утрошено је 32g боје. Колико је боје потребно за бојење 10 кугли пречника 2 dm?

A BO

S

s

r

45O

45O

1,5


108

Изводница s купе је дијагонала квадрата OBDS , па је 18 2 cm.s =

А) Тражена површина је:

( )

2

2

2

,

18 18 18 2,

324 1 2 cm .

P r r s

P

P

π ππ π

π

= +

= + ⋅ ⋅

= +

Б) Тражена запремина је:

2

2

3

1 ,31 18 18,31944 cm .

V r H

V

V

π

π

π

= ⋅

= ⋅ ⋅

=

342. Обим основе купе је 8 mO π= , па добијамо 8 2 ,rπ π= то јест 4 m.r = Тражена запремина је

2

2

3

,3

,3

4 3 ,3

16 m .

B HV

r HV

V

V

π

π

π

⋅=

⋅=

⋅=

=

Значи, у тој гомили има 316 mπ песка.

343. Тражена површина је:

2

2

2

4 ,4 3 ,36 cm .

P rPP

ππ

π

== ⋅ ⋅=


3

3

3

4 ,34 3 ,336 cm .

V r

V

V

π

π

π

=

= ⋅ ⋅

=

H = r

O B

S D

s

45O

45O

Поступак обавезанТачно израчунат полупречник основе купе - 0,5 поена

Тачно израчуната запремина купе - 1 поен


108

Изводница s купе је дијагонала квадрата OBDS , па је 18 2 cm.s =

А) Тражена површина је:

( )

2

2

2

,

18 18 18 2,

324 1 2 cm .

P r r s

P

P

π ππ π

π

= +

= + ⋅ ⋅

= +

Б) Тражена запремина је:

2

2

3

1 ,31 18 18,31944 cm .

V r H

V

V

π

π

π

= ⋅

= ⋅ ⋅

=

342. Обим основе купе је 8 mO π= , па добијамо 8 2 ,rπ π= то јест 4 m.r = Тражена запремина је

2

2

3

,3

,3

4 3 ,3

16 m .

B HV

r HV

V

V

π

π

π

⋅=

⋅=

⋅=

=

Значи, у тој гомили има 316 mπ песка.

343. Тражена површина је:

2

2

2

4 ,4 3 ,36 cm .

P rPP

ππ

π

== ⋅ ⋅=


3

3

3

4 ,34 3 ,336 cm .

V r

V

V

π

π

π

=

= ⋅ ⋅

=

H = r

O B

S D

s

45O

45O

9


8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМA ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

53

па је зато:

1 12 2bbh ah= 2,

,13 12 10,

b

b

bh ahh

⋅

== ⋅

то јест 120 cm13bh = .

186. У правоуглом троуглу ABC важи:

2 2 2

2

2

,169 25,144,

12 cm.

BC AC ABBCBCBC

= −= −=

=

Одавде је 6cmBS = , па се из правоуглог троугла ABS добија:

2 2 2

2 2 2

2

2

,5 6 ,25 36,61,

61 cm.

AS AB BSASASAS

d AS

= += += +=

= =

187. Нека су P и Q тачке у којима круг k додирује краке p и q правог угла pOq. Тада су у четвороуглу OPSQ углови са теменима O, P и Q прави, па и његов четврти угао мора бити прав: 360 90 90 90 90PSQ = ° − ° − ° − ° = ° . Зато је тај четвороугао правоугаоник. При томе су његове суседне странице SP и SQ подударне (као полупречници r круга k) па је тај правоугаоник квадрат странице r. Дијагонала квадрата OPSQ је 6 cmd OS= = , па из 2d r= следи да је

6 6 2 3 3

22r = = = .

Тражени полупречник круга k је 3 2 cmr = . 188. Према приложеном цртежу, висина лествица је висина x једнакокраког трапеза са

основицама 1,6 ma = , 0, 4 mb = и краком 1 mc = . Зато, на основу Питагорине теореме, важи:

22 2

22 2

2 2

2

2

,2

1,2 1 ,2

1 0,6 ,1 0,36,0,64,

a bx c

x

xxx

− + =

+ =

= −= −=

то јест 0,8 mx = . Највећа висина коју Милан може досегнути ако се попне на лествице је 2h x= + , то јест 2,8 mh = .

x c

b

c

a



14.

13.

6. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

27

126. Решити једначину ( ) ( ) 1 11 0,5 2 2 0,25 1 23 4

x x− ⋅ + = ⋅ − + ⋅ .

127. Решити једначину 2 1 32 4

p p− ++ = .

128. Решити једначину 7 3 1 5 114 5 12

x x x− − ++ = − .

129. Решити једначину ( )( ) ( ) ( )2 25 2 2 6 3 5 2 3x x x x− + − = − − + .

130. Решити једначину (4х – 3)2 = (5 – 4х)2 – 16.

131. Решити једначину ( )( ) ( )( )2 3 1 5 0x x x x− − − − − = .

132. Решити једначину (х – 1) ⋅ (х + 1) – (х + 1)2 = 5 – 4х.

133. Решити једначине:

А) ( )( )3 1 1 0x x− + = ;

Б) ( )( )( )4 1 2 3 0x x x+ − − = .

134. А) Раставити на чиниоце (представити у облику производа) израз

( ) ( )2 3 5 2 3x x x− − − .

Б) Решити једначину

( ) ( )2 3 5 2 3 0x x x− − − = .

135. Који број треба додати бројиоцу и одузети од имениоца разломка 1114

да би се добио

разломак једнак разломку 23

?

136. Збир половине, трећине и петине неког броја је за један већи од тог броја. Који је то број?

137. Збир четири узастопна природна броја је 1014. Који су то бројеви?

138. У одељењу су 37

ученика девојчице. Ако би дошле још четири девојчице, број дечака

и девојчица био би једнак. Одредити број ученика у том одељењу.

139. Мајка има 30 година, а син 6 година. За колико година ће мајка бити четири пута старија од сина?

140. Када је путник прешао 300 m, остало му је још 15

пута до половине пута. Колика је

дужина целог пута?

141. Основица једнакокраког троугла је 12 cm. Ако је крак за 2 cm дужи од висине која одговара основици троугла, израчунати ту висину.

142. Једна катета правоуглог троугла има дужину 7 cm, а друга је за 1 cm краћа од хипотенузе. Колика је та хипотенуза?

8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

38

8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 181. А) Једна катета правоуглог троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредити

њeгову другу катету.

Б) Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову хипотенузу.

182. Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити:

1) другу катету тог троугла,

2) обим тог троугла.

183. Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину Pи висину h која одговара хипотенузи.

184. Странице правоугаоника ABCD су 8 cm и 6 cm. Одредити растојање тачке B од праве која садржи тачке A и C.

185. Висина која одговара основици једнакокраког троугла je h = 12 cm, а његов крак b = 13 cm. Одредити:

1) основицу тог троугла,

2) висину која одговара краку тог троугла.

186. Ако су подаци као на приложеном цртежу, одредити растојање d између тачке A и средишта S дужи BC.

187. Круг k са центром у тачки S додирује краке p и q правог угла pOq. Ако је OS = 6 cm, одредити полупречник тог круга k.

188. Стојећи на поду, Милан може да досегне висину од највише 2 m. Коју највећу висину Милан може досегнути ако се попне на лествице чије су димензије као на цртежу?

1,6 m

0,4 m

1 m

5 cm 13 cm

A

B CS

1

1

8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

38

8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 181. А) Једна катета правоуглог троугла је 5 cm, а његова хипотенуза c = 13 cm. Одредити

њeгову другу катету.

Б) Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову хипотенузу.

182. Површина правоуглог троугла је 24 cm2, а једна од његових катета a = 8 cm. Одредити:

1) другу катету тог троугла,

2) обим тог троугла.

183. Катете правоуглог троугла су a = 9 cm и b = 12 cm. Одредити његову површину Pи висину h која одговара хипотенузи.

184. Странице правоугаоника ABCD су 8 cm и 6 cm. Одредити растојање тачке B од праве која садржи тачке A и C.

185. Висина која одговара основици једнакокраког троугла je h = 12 cm, а његов крак b = 13 cm. Одредити:

1) основицу тог троугла,

2) висину која одговара краку тог троугла.

186. Ако су подаци као на приложеном цртежу, одредити растојање d између тачке A и средишта S дужи BC.

187. Круг k са центром у тачки S додирује краке p и q правог угла pOq. Ако је OS = 6 cm, одредити полупречник тог круга k.

188. Стојећи на поду, Милан може да досегне висину од највише 2 m. Коју највећу висину Милан може досегнути ако се попне на лествице чије су димензије као на цртежу?

1,6 m

0,4 m

1 m

5 cm 13 cm

A

B CS


32

137. Ако су n, n + 1, n + 2 и n + 3 четири узастопна природна броја, тада је:

1 2 3 1014,4 6 1014,4 1008,

252.

n n n nnn

n

Значи, тражени бројеви су 252, 253, 254 и 255.

138. Ако је x тражени број ученика у одељењу, тада је:

3 447 7

x x 7

3 28 4 ,28.

x xx

Број ученика у одељењу је 28.

139. После x година мајка ће имати 30 + x, а син 6 + x година. Према услову задатка важи:

30 4 6 ,30 24 4 ,

4 24 30,3 6,

2.

x xx x

x xx

x

Мајка ће бити четири пута старија од сина за 2 године.

140. Ако је s дужина пута, тада је:

1 13005 2

s s 10

3000 2 5 ,1000 m 1 km.

s ss

Дужина пута је 1000 m, то јест 1 km.

141. Ако са b означимо крак једнакокраког троугла, а са h висину која одговара основици, према услову задатка следи да је b = h + 2 cm. Троугао DBC је правоугли (видети цртеж) па на основу Питагорине теореме важи:

2 2 2

2 2 2

6 ,

2 6 .

b h

h h

Применом формуле за квадрат бинома добијамо:

2 2

2 2

4 4 36,4 4 36,

4 32,8 cm.

h h hh h h

hh

Висина троугла је 8 cmh .

h b

6

C

D BA 6


32

137. Ако су n, n + 1, n + 2 и n + 3 четири узастопна природна броја, тада је:

1 2 3 1014,4 6 1014,4 1008,

252.

n n n nnn

n

Значи, тражени бројеви су 252, 253, 254 и 255.

138. Ако је x тражени број ученика у одељењу, тада је:

3 447 7

x x 7

3 28 4 ,28.

x xx

Број ученика у одељењу је 28.

139. После x година мајка ће имати 30 + x, а син 6 + x година. Према услову задатка важи:

30 4 6 ,30 24 4 ,

4 24 30,3 6,

2.

x xx x

x xx

x

Мајка ће бити четири пута старија од сина за 2 године.

140. Ако је s дужина пута, тада је:

1 13005 2

s s 10

3000 2 5 ,1000 m 1 km.

s ss

Дужина пута је 1000 m, то јест 1 km.

141. Ако са b означимо крак једнакокраког троугла, а са h висину која одговара основици, према услову задатка следи да је b = h + 2 cm. Троугао DBC је правоугли (видети цртеж) па на основу Питагорине теореме важи:

2 2 2

2 2 2

6 ,

2 6 .

b h

h h

Применом формуле за квадрат бинома добијамо:

2 2

2 2

4 4 36,4 4 36,

4 32,8 cm.

h h hh h h

hh

Висина троугла је 8 cmh .

h b

6

C

D BA 6

Поступак обавезан Тачно постављена једначина - 0,5 поена

Укупно 1 поен

8. ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМA ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

53

па је зато:

1 12 2bbh ah= 2,

,13 12 10,

b

b

bh ahh

⋅

== ⋅

то јест 120 cm13bh = .

186. У правоуглом троуглу ABC важи:

2 2 2

2

2

,169 25,144,

12 cm.

BC AC ABBCBCBC

= −= −=

=

Одавде је 6cmBS = , па се из правоуглог троугла ABS добија:

2 2 2

2 2 2

2

2

,5 6 ,25 36,61,

61 cm.

AS AB BSASASAS

d AS

= += += +=

= =

187. Нека су P и Q тачке у којима круг k додирује краке p и q правог угла pOq. Тада су у четвороуглу OPSQ углови са теменима O, P и Q прави, па и његов четврти угао мора бити прав: 360 90 90 90 90PSQ = ° − ° − ° − ° = ° . Зато је тај четвороугао правоугаоник. При томе су његове суседне странице SP и SQ подударне (као полупречници r круга k) па је тај правоугаоник квадрат странице r. Дијагонала квадрата OPSQ је 6 cmd OS= = , па из 2d r= следи да је

6 6 2 3 3

22r = = = .

Тражени полупречник круга k је 3 2 cmr = . 188. Према приложеном цртежу, висина лествица је висина x једнакокраког трапеза са

основицама 1,6 ma = , 0, 4 mb = и краком 1 mc = . Зато, на основу Питагорине теореме, важи:

22 2

22 2

2 2

2

2

,2

1,2 1 ,2

1 0,6 ,1 0,36,0,64,

a bx c

x

xxx

− + =

+ =

= −= −=

то јест 0,8 mx = . Највећа висина коју Милан може досегнути ако се попне на лествице је 2h x= + , то јест 2,8 mh = .

x c

b

c

a

Поступак обавезанТачно израчуната катета BC - 0,5 поена

Тачно израчунато одстојање d = AS - 0,5 поена

10


15.

11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

48

255. Кругови k(O, R) и k1(S, r) се доди-

рују споља. Права p додирује те кругове у тачкама A и B. Ако је R = 9 cm и r = 3 cm, одредити AB.

256. Пречници кругова k1 и k2 су дијагонале AC и BD ромба ABCD чија је страница a = 5 cm. Одредити збир површина та два круга.

257. Над катетама правоуглог троугла ABC су конструисани једнакостранични троуглови чије су површине Pa = 64 3 cm2 и Pb = 36 3 cm2. Одредити површину круга који је описан око троугла ABC.

258. Површина датог квадрата ABCD је 144 cm2. Одредити површину круга k чији је центар средиште S тог квадрата и који његову страницу AB дели на три једнака дела.

259. Круг k је описан око правилног шестоугла ABCDEF странице 6 cm, а круг k0 уписан у троугао АCЕ. Одредити површину њиховог кружног прстена.

B

S

A

CD1,5


11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

75

257. Ако су Pa и Pb површине једнакостраничних троуглова са страницама a BC= и b AC= , тада важи:

2 2

2

3 34 4

64 3 34

a ba bP P

a

= =

=2

: 3 36 3 34b=

2

: 3

644a=

2

4 364b⋅ =

2 2

4

4 64 256, 4 36 144.a b

⋅

= ⋅ = = ⋅ =

Како је троугао ABC правоугли и са хипотенузом AB, на основу Питагорине теореме важи:

2 2 2

2 2 2

2

2

,,

256 144,400,

20 cm.

= += += +=

=

AB BC ACAB a bABABAB

Хипотенуза правоуглог троугла ABC је пречник 2r његовог описаног круга. Зато је:

2 ,

20 2 ,10 cm.

==

=

AB rr

r

Површина круга полупречника 10 cm=r је 2 210P r π π= = . Тражена површина круга описаног око троугла ABC је 2100 cmπ=P .

258. Нека је а страница посматраног квадрата. Како је 2 144a = , то је 12 cm.a = Означимо са M и N тачке у којима круг k сече страницу AB и са T средиште те странице. Тада је

2aST = и 1 1 1

2 3 6MT a a= ⋅ = .

Троугао MTS је правоугли, па за полупречник r круга k важи:

2 22

2 2 2

2

,2 6

6 2 ,40.

a ar

rr

= +

= +=

Површина круга k је:

2

2

,40 cm .

P rP

ππ

==

B

S

A

r a—2a—6

MT

N

CD

11. КРУГ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

75

257. Ако су Pa и Pb површине једнакостраничних троуглова са страницама a BC= и b AC= , тада важи:

2 2

2

3 34 4

64 3 34

a ba bP P

a

= =

=2

: 3 36 3 34b=

2

: 3

644a=

2

4 364b⋅ =

2 2

4

4 64 256, 4 36 144.a b

⋅

= ⋅ = = ⋅ =

Како је троугао ABC правоугли и са хипотенузом AB, на основу Питагорине теореме важи:

2 2 2

2 2 2

2

2

,,

256 144,400,

20 cm.

= += += +=

=

AB BC ACAB a bABABAB

Хипотенуза правоуглог троугла ABC је пречник 2r његовог описаног круга. Зато је:

2 ,

20 2 ,10 cm.

==

=

AB rr

r

Површина круга полупречника 10 cm=r је 2 210P r π π= = . Тражена површина круга описаног око троугла ABC је 2100 cmπ=P .

258. Нека је а страница посматраног квадрата. Како је 2 144a = , то је 12 cm.a = Означимо са M и N тачке у којима круг k сече страницу AB и са T средиште те странице. Тада је

2aST = и 1 1 1

2 3 6MT a a= ⋅ = .

Троугао MTS је правоугли, па за полупречник r круга k важи:

2 22

2 2 2

2

,2 6

6 2 ,40.

a ar

rr

= +

= +=

Површина круга k је:

2

2

,40 cm .

P rP

ππ

==

B

S

A

r a—2a—6

MT

N

CD

Поступак обавезан Тачно израчуната страница квадрата - 0,5 поенаТачно израчунат полупречник круга - 0,5 поенаТачно израчуната површина круга - 0,5 поена

11



16.


60

294. Дужина ивице коцке је 5 cm. Израчунати површину и запремину коцке.

295. Збир дужина свих ивица коцке је 24 cm. Одредити површину њеног дијагоналног пресека.

296. Дужине ивица квадра су 3 cm, 4 cm и 12 cm. Одредити површину тог квадра и дужину његове дијагонале.

297. Одредити површину квадра који је, као на приложеном цртежу, састављен од четири једнаке коцке ивице a = 2 cm.

298. Колико је потребно квадратних метара картона да се направи кутија облика квадра чије су димназије 50 cm, 40 cm и 45 cm?

299. Површина базе правилне четворостране призме је 49 cm2, а висина призме је 3 cm. Израчунати површину призме.

300. Дијагонала основе правилне четворостране призме је 5 cm, а висина призме је 12 cm. Израчунати запремину призме.

301. Основа четворостране призме је ромб чије су дијагонале дужине 16 cm и 12 cm. Израчунати површину призме ако је њена висина 4 cm.

302. Дијагонала правилне четворостране призме нагнута је према равни основе под углом од 60º. Ако је дијагонала основе 6 2 cm, израчунати запремину призме.

303. Израчунати запремину правилне тростране призме чија је основна ивица 9 cm, а дијагонала бочне стране је 15 cm.

1,5


90

301. Применом Питагорине теореме на троугао ABO (видети цртеж), добијамо основну ивицу a призме:

2 22 1 2

2 2 2

2

,2 2

8 6 ,100,

10 cm.

d da

aaa

= +

= +=

=

Како је висина призме 4 cmH = , тражена површина је:

1 2

2

2 ,

2 4 ,2

16 12 4 10 4,352 cm .

P B Md dP aH

PP

= +

= ⋅ +

= ⋅ + ⋅ ⋅=

302. Троугао 1ACC је правоугли са једним углом од 60° , а троугао 1AEC је једнакостранични (видети други цртеж), па је његова страница 2AE d= , односно 12 2 cmAE = . Висина призме H је висина троугла 1AEC па ће бити:

3 ,2

12 2 3 ,2

6 6 cm.

AEH

H

H

⋅=

⋅=

=

Како је дијагонала основе 2d a= , биће:

6 2 2,6 cm.

aa

==


2

3

,,

36 6 6

216 6 cm .

V B HV a H

V

V

= ⋅= ⋅

= ⋅

=

a

a

H

D

C1D1

B1A1

2

d1

2O

C

BA

d2

H

dd

C1

30°

60°

30°

60°CA E

a

H

a

D

30°

60°

D1 C1

B1A1

BA

C


90

301. Применом Питагорине теореме на троугао ABO (видети цртеж), добијамо основну ивицу a призме:

2 22 1 2

2 2 2

2

,2 2

8 6 ,100,

10 cm.

d da

aaa

= +

= +=

=

Како је висина призме 4 cmH = , тражена површина је:

1 2

2

2 ,

2 4 ,2

16 12 4 10 4,352 cm .

P B Md dP aH

PP

= +

= ⋅ +

= ⋅ + ⋅ ⋅=

302. Троугао 1ACC је правоугли са једним углом од 60° , а троугао 1AEC је једнакостранични (видети други цртеж), па је његова страница 2AE d= , односно 12 2 cmAE = . Висина призме H је висина троугла 1AEC па ће бити:

3 ,2

12 2 3 ,2

6 6 cm.

AEH

H

H

⋅=

⋅=

=

Како је дијагонала основе 2d a= , биће:

6 2 2,6 cm.

aa

==


2

3

,,

36 6 6

216 6 cm .

V B HV a H

V

V

= ⋅= ⋅

= ⋅

=

a

a

H

D

C1D1

B1A1

2

d1

2O

C

BA

d2

H

dd

C1

30°

60°

30°

60°CA E

a

H

a

D

30°

60°

D1 C1

B1A1

BA

C

Поступак обавезан Тачно израчуната висина H призме - 0,5 поена

Тачно израчуната основна ивица a призме - 0,5 поенаТачно израчуната запремина призме - 0,5 поена

12


17.

12. СЛОЖЕНЕ ФИГУРЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

51

267. Дијагонала квадрата ABCD је 4 cm. Одредити површину осенчене фигуре (у којој је страница BC пречник полукруга и E било која тачка странице AD).

268. Страница квадрата ABCD је 12 cm и око сваког од

његових темена је описан круг полупречника r = 6 cm. Одредити обим и површину осенчене фигуре.

269. Круг полупречника 12 cm додирује краке датог

угла од 60°. Одредити површину осенчене

фигуре.

270. Тачке A, B и C су на кругу са центром O и

полупречником r = 8 cm. Одредити површину осенчене фигуре ако се зна да је ∠AOB = 20º и AC ⊥ OB.

271. Висина CD једнакостраничног троугла ABC је 6 cm и око темена A је описан круг полу-пречника AB. Одредити површину осенчене фигуре.

D

A

C

B

E

D

A

C

B

A D B

C

2


12. СЛОЖЕНЕ ФИГУРЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

79

268. Ако делове кругова са центрима у тачкама C и D преместимо (као на слици) површина осенчене фигуре биће једнака збиру површина квадрата и круга, то јест:

( )2 2 2144 36 36 4 cmP a r π π π= + = + = + .

Доњи део осенчене фигуре је начињен од два кружна лука центалног угла од 90°. Ако та два лука пресликамо као на слици, видимо да је обим осенчене фигуре једнак збиру обима два круга полупречника r , то јест:

2 2 24 cm.O rπ π= ⋅ =

269. Уочимо, прво, да је 120ASB = ° (видети цртеж). Наиме, збир углова делтоида OASB је 360° , а углови код темена A и B су прави, па је:

( )360 90 90 60 120ASB = ° − ° + ° + ° = ° .

С друге стране, површина делтоида OASB једнака је површини једнакостраничног троугла 1OB S странице 24 cm. Тражена површина једнака је разлици површина делтоида и кружног исечка са централним углом 120° :

( )2 2

224 3 12 120 576 3 144 144 3 48 48 3 3 cm .4 360 4 3

P π π π π⋅ °= − = − = − = −°

CD

A B

DC

A B

CD

A B

120°

30°30°

30°

B1

A

B

S

O

12. СЛОЖЕНЕ ФИГУРЕ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

79

268. Ако делове кругова са центрима у тачкама C и D преместимо (као на слици) површина осенчене фигуре биће једнака збиру површина квадрата и круга, то јест:

( )2 2 2144 36 36 4 cmP a r π π π= + = + = + .

Доњи део осенчене фигуре је начињен од два кружна лука центалног угла од 90°. Ако та два лука пресликамо као на слици, видимо да је обим осенчене фигуре једнак збиру обима два круга полупречника r , то јест:

2 2 24 cm.O rπ π= ⋅ =

269. Уочимо, прво, да је 120ASB = ° (видети цртеж). Наиме, збир углова делтоида OASB је 360° , а углови код темена A и B су прави, па је:

( )360 90 90 60 120ASB = ° − ° + ° + ° = ° .

С друге стране, површина делтоида OASB једнака је површини једнакостраничног троугла 1OB S странице 24 cm. Тражена површина једнака је разлици површина делтоида и кружног исечка са централним углом 120° :

( )2 2

224 3 12 120 576 3 144 144 3 48 48 3 3 cm .4 360 4 3

P π π π π⋅ °= − = − = − = −°

CD

A B

DC

A B

CD

A B

120°

30°30°

30°

B1

A

B

S

O

Поступак обавезан Тачно израчуната површина делтоида - 0,5 поена

Тачно израчуната површина кружног исечка - 0,5 поенаУкупно 2 поена.

Education

Prijemni ispit za upis u srednje skole - Resenja matematike 2009