PRIPREMNIZADACI
ZAPRIJEMNIISPIT
GRAEVINSKIFAKULTETUNIVERZITETAUSARAJEVU
OvojeIzborzadatakakojisunamjenjenibuduimstudentimazalakepripremanjeprijemnogispitanaGraevinskomfakultetuUniverzitetauSarajevu.Izborjenapravljenprema:1. ZbirkazadatakaizalgebreI,IIiIII(premaprogramuzasrednjekole),StjepanMintakovi,ZavodzaizdavanjeudbenikaSarajevo;2. Metodikazbirkazadatakaizalgebreigeometrije(zasvesrednjekole),DrMarcelnajder,DrStjepanTomi,ZavodzaizdavanjeudbenikaSarajevo,tenaosnovuzadatakakojisupostvljeninaklasifikacionomispituizmatematikezaupisnaElektrotehnikifakultet,FizikifakultetiFakultetzafizikuhemijunaUniverzitetuuBeogradu,tenaosnovuprimjerazadatakazatestizmatematikenaSveuilituuZagrebu.Izborjenapravljenukratkomvremenukojejeprotekloodprvogprijemnogispitaujuluove2007.godine,uljetnojpauziuavgustu,takodasumoguipropusti.Molimbuduestudente,kojiuoebillokakvepropusteiliimajukorisnesugestijekakodasepoboljaovajtekst,damenatoupozore.Prof.Dr.BehdetMesihovi Sarajevo24.juni2007.Katedrazamatematiku,programiranje,...Graevinskifakultet,UniverzitetauSarajevu,email:[email protected]
2 SADRAJRAZLOMCI...3ALGEBARSKIIZRAZI...9KVADRATNEJEDNAINE...14JEDNAINESAAPSOLUTNIMVRIJEDNOSTIMA...16GRAFICIKVADRATNEFUNKCIJESAAPSOLUTNIMVRIJEDNOSTIMA...18LOGARITAMSKEJEDNAINEINEJEDNAINE...19PRIMJENASLINOSTI...21POVRINARAVNIHFIGURA...22TRIGONOMETRIJA...24
ISvoenjenaprvikvadrant...24IITrigonometrijskefunkcijesloenihuglova...25IIITrigonometrijskejednaine...27
ANALITIKAGEOMETRIJAURAVNI...30PRIMJERIPRIJEMNOGISPITANARAZNIMFAKULTETIMA...40ElektrotehnikifakultetUiverzitetauBeogradu(sarezultatima),2003g,...40FakultetzasaobraajikomunikacijeuSarajevu09.07.2007,GrupaAiB,...42ElektrotehnikifakultetUiverzitetauSarajevu(02.07.2007),GrupaAiB,...44GraevinskifakultetuSarajevo02.07.2007,(sarjeenjimaq)...46MalostatistikesaprijemnogispitanaGFuSarajevo02.07.2007.,...49TESTIRAJTESEZAPRIJEMNIISPITIZMATEMATIKE!...50PROGRAMIZAPRIJEMNIISPITIZMATEMATIKE....56
3 Razlomci:
Izraunativrijednostinumerikihizraza:
1.
2.3.4.5.6.7.8.
PRIMJEDBA:Ovdjejemjeovitibroj2 15 2 17 23 35 5 5 5 5= + =
4 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
5
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
6
32.
34.
36.
7 Rjeenja
1.5.9.
12.
13.
14.
17.
20.
23.
26.
29.
31.
32.
8
33.
34.
9
Algebarskiizrazi
1.2.3.4.5.6.7.8.
10 9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
11
19.
20.
Rijeenja
1.2.3.
4.5.
12 6.7.9.
11.
12.
13 13.
14.
15.
16.
17.
18.
14 Kvadratnejednaine
1.
2.3.4.5.6.
7.
15 Rjeenjakvadratnihjednaina
1.2.3.
4.5.6.7.
16
Jednainesaapsolutnimvrijednostima
1.2.
3.4.
Rjeenjajednaina1.2.3.
4.
17
18
Graficikvadratnefunkcijesaapsolutnimvrijednostima
1.
3.
Rjeenja1.2.3.
19 Logaritamskejednaineinejednaine
1.2.3.4.6.
20 Rjeenjalogaritamskejednaineinejednaine
1.
2.3.4.
5.
6.
21 Primjenaslinosti
1.
2.3.4.5.6.
Rjeenja
1.
3.4.
6.
22 Povrinaravnihfigura
1.2.
3.4.5.6.7.8.9.
10.
11.
12.
13.
14.
23 Rijeenja
1.4.5.7.8.9.
10.
11.
12.
14.
24 Trigonometrija
Rjeenja
25
26 Rjeenja
27
IIITrigonometrijskejednaine
28 Rjeenja
29
30
ANALITIKAGAEOMETRIJAURAVNI
Taka
RastojanjedtaakaM1(x1,y1)iM2(x2.y2):2 2
2 1 2 1d = (x - x ) + (y - y )
KoordinatesredineSduiM1M2: ( ) ( )s 1 2 s 1 21 1x x x , y y y2 2
= + = + .
PovrinatrouglaPovrinaPtrouglasavrhovimaM1(x1,y1)iM2(x2.y2)iM3(x3,y3):
[ ]1 2 3 2 3 1 3 1 21P = x (y y ) x (y y ) x (y y )2
+ +
TakeM1(x1,y1)iM2(x2.y2)iM3(x3,y3)sukolinearne(tj.leenaistojpravoj)akkojeP=0.JednainapraveOptioblik:Ax+By+C=0,AiliBjerazliitoodnule(tj. 2 2A B+ 0).C=0implicirapravaprolazikrozkoordinatnipoetak.
Segmentnioblik:yx 1,
a b+ =
takaP(a,0)presjeksaosomOx,takaQ(0,b)presjeksaosomOy;x = a prava paralelna osi Oy, y= b prava paralelna osi Ox; jedna ina ose Ox y= 0, jedna ina ose Oy: x= 0. Eksplicitnioblik
y=kx+n
(0,n)presjeksaosomOy,n , 0 , k 0,k
presjeksaosomOx,ugaosapozitivnimsmeromoseOx,k=
tgakoeficijentpravca. PramenapravihsacentrumM0(x0,y0):yy0=k(xx0). PravekrozdvijetakeM1(x1,y1)iM2(x2.y2):
( ) ( )( ) ( )( )2 11 1 1 2 1 2 1 12 1
y yy y x x ili y y x x y y x x
x x
= =
Normalnioblik(p>0jerastojanjepraveodkoordinatnogpoetka,augaokojinormalanatupravuzatvarasa(pozitivnom)smjeromoseOx)
x cos ysin p 0+ = .Vezaizmeuraznihoblikajednaineprave
2 2
C C A Ca , b , k tg , , p ,A B B 2 A B
= = = = += = +
Predznakpredkorjenombirasetakodajep>0.Uslovparalelnostipravih
Pravey=k1x+n1,y=k2x+n2suparalelneakoisamoakojek1=k2. PraveA1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,suparaleleneakko: 1 1 2 2A : B A : B= .Uslovnormalnostipravih Pravey=k1x+n1,k10iy=k2x+n2,k20,sunormalneakkojek1k2=1. PraveA1x+B1y+C1=0iA2x+B2y+C2=0sunormalneakkojeA1A2+B1B2=0.
PravakrozMo(xo,yo)normalnanapravuy=kx+n,k0je ( )0 01y y x x .k
=
31 Ugaoizmedupravih
y=k1x+m1,y=k2x+n2: 2 1 1 21 2
k ktg , 1 k k
1 k k
= ++
,tj.1 1 2k k+ =0=900.
Rastojanjetakeodprave
rastojanjedtakeM0(x0,y0)odpraveAx+By+C=0,2 2A B+ 0,je
0 02 2
Ax By Cd
A +B
+ +=
dC>0akosutakeOiM0saistestraneprave, dC0.Tadaje:2 2
22
B C B C - 4ADp , q , r .2A 2A 4A
+= = =
Tangenta krunice AkotakaMo(xo,yo)pripadakrunici(xp)
2+(yq)2=r2 ondaje(xop)(xp)+(yoq)(yq)=r
2
jednainatangentekruniceutojtaki. Pravay=kx+njetangentakrunice(xp)2+(yq)2=r2akkoje(1+k2)r2=(qkpn)2.
Elipsa
jegeometrijskomjestotaakauravnisaosobinomda jezbirrastojanjaoddvijeutvrenetake(fokusaF1 iF2)stalan.Zbirrastojanjamakojetakeelipsedofokusaobiljeavasesa2a.
32
Kanonskajednaina:22
2 2
yx 1a b+ =
Ekscentritet:2
2
c be 1 1a a
= = < ;Fokusi(ie):(c ,0) , (c,0)
Jednainedirektrisa:a ax , xe e
= = ;fokalniparametar:2bp
a=
Fokalniradijusi:r1=a+ex,r2=aex;
TangentautakiM(x0,yo):0 02 2
x x y y1
a b+ =
Uslovidapravay=kx+nbudetangentahipcrbole:a2k2+b2=n2
Hiperbola
jegeometrijskomjestotaakauravnizakojevrijedidajerazlikarastojanjaoddvijeutvrenetake(fokusaF1iF2)stalna.Stalnarazlikaudaljenostiodfokusaobelezavasesa2a.
Kanonskajednaina:22
2 2
yx 1a b
=
Ekscentricitet:2
2
c be 1 1a a
= = + > ;Fokusi(ie):(c ,0) , (c,0)
Jednainedirektrisa:a ax , xe e
= = ;fokalniparametar:2bp
a=
Fokalniradijusi:r1=a+ex,r2=a+ex;
TangentautakiM(x0,yo):0 02 2
x x y y1
a b =
Uslovidapravay=kx+nbudetangentahipcrbole:a2k2b2=n2
Parabola
jegeometrijskomjesto taakauravnisaosobinomda je rastojanjeod jedne fiksne take (fokusaF) jednakorastojanjuodjednefiksneprave(direktrised).Kanonskajednaina:y2=2pxEkscentricitet:e=
Fokus:p ,02
Jednainadirektrise:p
x2
= ,Fokalniparametar:p
33
Fokalniradijus:p
r = x + 2
TangentautakiM(xo,yo): ( )0 0y y p x x= + Uslovidapravay=kx+nbudetangentaparabole:2kn=p
34
34
ZADACI
Takaitrougao
1.OdredititakuM(x,y)kojajejednakoudaljenaodtacaka:M1(l,0),M2(2,2)iM3(0,2). Rjesenje.IzuslovazadatkajeMM1=MM2iMM1=MM3,dobijeseslijedeisistemjednaina:
odnosno2x+4y=7,2x4y=3,ijejerjeenjex=1iy=5/4,pajetraenatakaM(1,5/4).2. PokazatidajetrougaoABCjednakokrakopravougliakosunjegovatemena:A(2,l),5(5,3)iC(0,4).3. DatasutriuzastopnatjemenaA(l,0),B(3,1)iC(5,4)paralelogramaABCD.Na'ikoordinatetemenaD.Rezultat.D(3,3).4.. DatasudvasusjednatjemenaA(4,4),B(2,8)ipresjekdijagonalaS(2,2)paralelogramaABCD.OdredititjemenaCiD.Rezultat.C(8,0),D(2,4).5. DvatjemenatrouglaABCsuA(3,1)iB(2,2),atreetjemeCpripadapozitivnomdijeluyose.NaikoordinatetakeCtakodapovrinatogtrouglabude10.Uputstvo.Izuslovazadatkadobijaseslijedeajednaina:
5y 8 20 (y 0). = > Rezultat. ( )C 0, 28 5 . '6. TritjemenacetvorouglaABCDsu:A(4,0),B(3,5)iC(7,5),aetvrtotjemeDpripadanegativnomdijeluxose.OdreditikoordinatetackeDtakodapovrinacetvorouglaABCDbude50.Rezultat.D(6,0).
Prava
7.DatajetakaA(l,2)ipravajednacinom2x+y3=0.a) NacijednacinupravekojaprolazikroztackuAinormalnajenadatojpravoj.b) NacijednainupravekojaprolazikroztackuAiparalelnajesadatompravom.
Rjesenje.a)Koeficijentpravcadatepravejek=2,akoeficijenttrazenepraveje 11 1k ,k 2
= = pajejednaina
traeneprave ( )1y 2 x 12
= ,odnosnox2y+3=0.Rezultat.b) 2x+ y4= 0.
8.TackeA1(l,0),B1(2,1)iC1(0,3)susredinestranicatrouglaABC.Nacikoordinatetjemenatogtrougla.Uputstvo.
PravaBCjeparalelnasapravomB1C1ilahkojeviditidajeBC:yx 1 ;
2 2+ =
pravaABjeparalelnasapravomA1B1paje
AB:y 3x ;
3 1=
pravaACjeparalelnasapravomA1C1paje:AC:
y 1x 2 .1 3
= Rezultat. A(3,4),B(3,2),C(l2).
9. Ujednainipravemx2y+5=0odreditiparametarmtakoda:a) pravabudepa
