4.1 INTRODUCCI“N – DOMINIO .atraso dinmico, el valor del factor de amortiguamiento determina

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  • 4. SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (I) 4.1 INTRODUCCIN DOMINIO TIEMPO Un sistema lineal de segundo orden con una variable de entrada, )"(" tx , y una variable salida, )"(" ty se modela matemticamente con una ecuacin que en funcin de parmetros de significado dinmico se escribe en la siguiente forma:

    )()()(2)(22

    2 tKxtydt

    tdydt

    tyd=++ (4.1)

    Siendo, una constante de tiempo, el factor de amortiguamiento y K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos tres parmetros se calculan con ecuaciones en funcin de caractersticas fsicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinmico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para los sistemas de primer orden La ecuacin (4.1) se escribe, usualmente, en trminos de las variables desviacin con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estndar para anlisis dinmico o de sistemas de control:

    )()()(2)(22

    2 tKXtYdt

    tdYdt

    tYd=++ (4.2)

    Siendo, )0()()( ytytY =

    )0()()( xtxtX = La solucin de una ecuacin diferencial lineal no homognea como la (4.2) es la suma de una solucin general y una solucin particular. La solucin general es la que se obtiene con la parte homognea de la ecuacin, es decir, con la expresin contenida en el miembro izquierdo igualado a cero y la solucin particular depende de la expresin matemtica que constituye al miembro derecho de la ecuacin no homognea. Para la solucin general se plantea la denominada Ecuacin caracterstica o Ecuacin auxiliar correspondiente a una ecuacin algebraica

  • Mach

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    polinmica del mismo grado de la parte homognea de la ecuacin diferencial. Para la ecuacin (4.2), la ecuacin caracterstica es de segundo grado con la siguiente expresin, siendo ""r las races de la ecuacin caracterstica:

    01222 =++ rr (4.3) Las races de la ecuacin (4.3) se obtienen con la siguiente frmula:

    12

    =r (4.4)

    La ecuacin (4.4) muestra que la naturaleza de sus races depende del factor de amortiguamiento, lo que determina el tipo de respuesta que se obtiene para la ecuacin diferencial (4.2) o el comportamiento del sistema, de la siguiente manera: Si 1> , las races son reales diferentes y negativas y la respuesta del sistema es una suma de trminos exponenciales con signos negativos. Esto se define como un Comportamiento monotnico estable o Sobreamortiguado Si 1= , las races son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una expresin exponencial con signo negativo. Esto muestra un Comportamiento monotnico estable crtico o Amortiguado crtico porque si se disminuye el valor del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por lo contrario, se aumenta el sistema es ms sobreamortiguado Si 10

  • Mach

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    Si 1 , las races son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresin exponencial con signos positivos. Esto muestra un Comportamiento monotnico inestable o Sobreamortiguado inestable. 4.2 RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Al considerar que en la ecuacin diferencial heterognea (4.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio paso constante, es decir que xtX =)( , entonces se puede escribir que:

    xKtYdt

    tdYdt

    tYd=++ )()(2)(2

    22 (4.5)

    Al resolver la ecuacin (4.5) para cada uno de los casos se encuentran las siguientes soluciones Respuesta Sobreamortiguada Si el factor de amortiguamiento es mayor que uno, las dos races de la ecuacin caracterstica de la ecuacin (4.5) son reales diferentes y negativas y expresan dos atrasos dinmicos equivalentes, 21 , , que permiten demostrar que la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es sobreamortiguado estable de la forma:

    = )/(12

    2)/(

    21

    1 211)(

    tt eexKtY (4.6)

    Siendo 1

    12

    11

    ==

    r

    y 1

    12

    22

    +==

    r

    Estas expresiones para los atrasos dinmicos se explican al considerar que para este caso la ecuacin caracterstica se puede escribir de la siguiente manera:

    ( )( ) 011 2211 =++ rr (4.7)

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    La solucin homognea o complementaria es de la forma

    )/(2

    )/(1

    21)( ttc eAeAtY += (4.8)

    La solucin particular es una expresin constante y, por lo tanto se puede escribir como que

    3)( AtYp = (4.9) Desarrollando la ecuacin (4.9) en la (4.5) se encuentra que xKA =3 , y la solucin general de la ecuacin diferencial (4.5) es:

    xKeAeAtY tt ++= )/(2)/(

    121)( (4.10)

    Evaluando la ecuacin (4.10) para las condiciones 0)0( =Y y 0)0( =dt

    dY , se obtienen

    las expresiones que calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden sobreamortiguado sea la ecuacin (4.6). Cuando el factor de amortiguamiento es menor o igual que -1, las dos races son reales positivas, los atrasos dinmicos correspondientes son negativos y los trminos exponenciales de la ecuacin (4.6) aumentan con el tiempo y, por lo tanto, la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es sobreamortiguada pero inestable. Respuesta Amortiguada Crtica Cuando el factor de amortiguamiento es igual a 1, las dos races son iguales y negativas, los atrasos dinmicos son iguales y puede demostrarse que la paso de un sistema lineal de segundo orden es de la forma:

  • Mach

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    += )/(11)(

    tetxKtY (4.11)

    Cuando las races de la ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial (4.5) sean reales iguales negativas la solucin general es de la forma:

    ( ) xKetAAtY t ++= )/(21)( (4.12)

    Evaluando la ecuacin (4.12) para las condiciones 0)0( =Y y 0)0( =dt

    dY , se obtienen

    las expresiones que calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden amortiguado crtico sea la ecuacin (4.11)

    Figura 4.1 Respuesta Paso de un sistema de segundo orden (a) Amortiguada Crtica, (b) Sobreamortiguada

  • Mach

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    La Figura 4.1 muestra los perfiles tpicos de la respuesta paso sobreamortiguada y amortiguada crtica de un sistema lineal de segundo orden. Se observa que la rapidez inicial de cambio de la respuesta es cero y que entonces incrementa a un mximo y finalmente disminuye para aproximarse exponencialmente a su cambio final en el estado estacionario. Este comportamiento diferencia a un sistema de segundo orden con respecto a uno de primer orden en el que la mxima rapidez de cambio en la respuesta ocurre exactamente en el momento en que se aplica el cambio paso Respuesta Subamortiguada Si el factor de amortiguamiento es mayor que cero y menor que 1, las dos races son complejas conjugadas con parte real negativa, las transformaciones de los trminos exponenciales incluidos en la solucin permiten demostrar que la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es subamortiguada estable porque la solucin de la ecuacin diferencial (4.5) es una expresin exponencial sinusoidal decreciente de la forma:

    +

    = )(

    111)( )/(

    2

    tSenexKtY t (4.13)

    Siendo

    21

    = y

    2

    1 1tan

    =

    En este caso las races en forma de variable compleja se expresan de la siguiente manera:

    bjaj

    r =

    =

    21 (4.14)

    Siendo

    =a y 21

    =b

    Se puede escribir la solucin general de la ecuacin (4.5) en la siguiente forma:

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    xKeAeAtY tbjatbja ++= + )(2)(

    1)( (4.15) Aplicando las equivalencias de los exponenciales complejos en trminos de variable compleja y funciones trigonomtricas, es decir que )()( btjSenbtCose jbt += y que

    )()( btjSenbtCose jbt = y evaluando la solucin de la ecuacin diferencial (4.5)

    para las condiciones iniciales 0)0( =Y y 0)0( =dt

    dY , se obtienen las expresiones que

    calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden subamortiguado sea la ecuacin (4.13) Cuando el factor de amortiguamiento es mayor que -1 y menor que cero, las dos races de la ecuacin caracterstica de la ecuacin (4.5) son complejas conjugadas con parte real positiva y la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es exponencial sinusoidal pero creciente, es decir, subamortiguada pero inestable La Figura 4.2 muestra el perfil caracterstico de la respuesta paso subamortiguada estable de un sistema lineal de segundo orden. Algunas definiciones introducidas en dicho comportamiento son

    Figura 4.2 Respuesta Paso Subamortiguada de un Sistema Lineal de Segundo Orden

  • Mach

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    Tiempo de Levantamiento: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez el valor ltimo. Sobrepaso mximo: Es el valor del pico mximo de la curva. Su valor se expresa en porcentaje como la diferencia entre el valor del pico mximo y el valor ltimo de la respuesta con respecto a este valor ltimo. Se puede demostrar que el valor del sobrepaso mximo se calcula con la siguiente ecuacin:

    =

    21exp

    Sobrepaso (4.16)

    Tiempo de pico: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso Tiempo de asentamiento: Es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamao especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5 %) y permanezca dentro de l. Razn de decaimiento: Es la relacin entre los tamaos de dos picos sucesivos y se puede demostrar que se puede calcular con la siguiente ecuacin

    ==

    2